harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Big | \theta _ { \rho } ^ { 2 } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ^ { 2 } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac p 2 \| D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) \| _ { L _ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } \Big | } \\ & { + \Big | \theta _ { \rho } ^ { 2 } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ^ { 2 } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac { p ( p - 2 ) } { 2 } \left\langle D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle ^ { 2 } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 4 } \Big | } \\ { \leq } & { C _ { p } ( 1 + \| u _ { n } \| ^ { p } + \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } ) . } \end{array}
V _ { \mathrm { i o n s } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) + V _ { \mathrm { e l } } ( x _ { \mathrm { r e l } } ) ,
{ \bf \hat { u } } ( x = 0 , y , z , t ) = A _ { \mathrm { 2 D } } \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ l ~ } [ { \bf u } _ { \mathrm { e 2 D } } ( y ) e ^ { - \mathrm { i } \omega _ { \mathrm { T S } } t } ] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) ( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } - p ^ { - 1 } ) \} \right| } \\ & { \leq } & { p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ | ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) | \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | \} } \\ & { = } & { p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ | ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) | \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ) \} } \\ & { } & { + p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ | ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) | \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 1 } \{ ( 1 - \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ | ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) | | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | \} + p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 2 } ( 1 - \epsilon ) ^ { - 1 } [ { \mathbb { E } } \{ | ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) | ^ { 2 } \} ] ^ { 1 / 2 } \{ { \mathbb { E } } ( | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | ^ { 2 } ) \} ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { + p ^ { - 1 } \{ { \mathbb { E } } ( | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | ^ { 2 } ) \} ^ { 1 / 2 } \{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} ^ { 1 / 2 } } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 2 } \times p ^ { 1 - \delta / 2 } + p ^ { - 1 } \times p ^ { 1 - \delta / 2 } \times c _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } / 2 \} } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 1 - \delta / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial F ( z ) } { \partial z } } & { { } = \frac { k _ { \mathrm { B } } T \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } ^ { \prime } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z ) } \ \frac { - \beta \partial \mathcal { H } ( z ) } { \partial z } } { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } ^ { \prime } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \, } & { : \, \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \longrightarrow \dot { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k + 1 } ) \, ; } \\ { \mathrm { d } ^ { \ast } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \, } & { : \, \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \longrightarrow \dot { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } ^ { \ast } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k - 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta } & { { } = \rho ( B ^ { 2 } d z \wedge d \theta _ { 1 } - B ^ { 1 } d z \wedge d \theta _ { 2 } ) } \\ { \vartheta } & { { } = \rho ( u ^ { 2 } d z \wedge d \theta _ { 1 } - u ^ { 1 } d z \wedge d \theta _ { 2 } ) } \\ { \iota _ { u } \iota _ { B } \mu } & { { } = \rho ( B ^ { 1 } u ^ { 2 } - B ^ { 2 } u ^ { 1 } ) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = \frac { \rho \, Z _ { 1 } \left( Z ^ { n } Z _ { 2 } - Z \, Z _ { 2 } ^ { n } \right) } { \rho _ { 1 } Z \left( Z _ { 1 } ^ { n } Z _ { 2 } - Z _ { 1 } Z _ { 2 } ^ { n } \right) } } \\ { x _ { 2 } } & { = \frac { \rho \, Z _ { 2 } \left( Z \, Z _ { 1 } ^ { n } - Z ^ { n } Z _ { 1 } \right) } { \rho _ { 2 } Z \left( Z _ { 1 } ^ { n } Z _ { 2 } - Z _ { 1 } Z _ { 2 } ^ { n } \right) } } \end{array}
\cos ( k q ) = \frac { \Gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \omega _ { 0 } - \omega ) ^ { 2 } } \cos [ k ( z _ { 3 } + z _ { 1 } - 2 z _ { 2 } ) ] + \left[ 1 - \frac { \Gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \omega _ { 0 } - \omega ) ^ { 2 } } \right] \cos ( k q ) - \frac { 2 \Gamma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } - \omega } \sin ( k q ) .
A _ { \sigma } ( 1 - \alpha z _ { \sigma ( 2 ) } ) + A _ { \sigma \tau _ { 2 , 3 } . . . \tau _ { M - 1 , M } } ( \alpha \beta z _ { \sigma ( 1 ) } z _ { \sigma ( 2 ) } ^ { L } ) = - A _ { \sigma \tau _ { 1 , 2 } } ( 1 - \alpha z _ { \sigma ( 1 ) } ) - A _ { \sigma \tau _ { 2 , 3 } . . . \tau _ { M - 1 , M } \tau _ { 1 , M } } ( \alpha \beta z _ { \sigma ( 2 ) } z _ { \sigma ( 1 ) } ^ { L } )
\alpha \left( \nu \right) = \left\{ { { \begin{array} { c } { { { 0 , \quad \quad ~ \nu < \nu _ { 0 } } \hfill } } \\ { { { \frac { H Z ^ { 4 } } { \nu ^ { 3 } } , \quad \nu > \nu _ { 0 } } \hfill } } \end{array} } } \right.
\frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } } \left. H _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) \right\vert _ { \boldsymbol { \theta = \theta } _ { n } } = \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } } H _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \boldsymbol { \theta } ^ { T } \partial \boldsymbol { \theta } } \left. H _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) \right\vert _ { \boldsymbol { \theta = \theta } _ { \ast } } ( \boldsymbol { \theta } _ { n } ^ { \ast } - \boldsymbol { \theta } )
{ \cal L } = \bar { \psi } i { \gamma \cdot \partial } \psi + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 N } } \left[ ( \bar { \psi } \psi ) ^ { 2 } + ( \bar { \psi } i \gamma _ { 5 } \psi ) ^ { 2 } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { b } ^ { \prime } : = } & { { } \Delta _ { b } + 2 \mathrm { ~ i ~ } \mathcal { X } _ { b } | \langle b \rangle | ^ { 2 } + \mathrm { ~ g ~ } _ { b c } | \langle c \rangle | ^ { 2 } , } \\ { \Delta _ { c } ^ { \prime } : = } & { { } \Delta _ { c } + 2 \mathrm { ~ i ~ } \mathcal { X } _ { c } | \langle c \rangle | ^ { 2 } + \mathrm { ~ g ~ } _ { b c } | \langle b \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { N } ( \rho ^ { \mathrm { W } , \eta } ) - \ell _ { N } ( \rho ) } & { \leq \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } \leq \bigg ( - \eta + \frac { H \eta ^ { 2 } } { 2 c } + \frac { G ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \bigg ) \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { = - \eta \bigg [ 1 - \frac { \eta } { 2 c } \bigg ( H + \frac { G ^ { 2 } } { c } \bigg ) \bigg ] \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
S ( g ) = \frac { k } { 4 \pi } \int _ { \Sigma } T r ( g ^ { - 1 } \partial _ { + } g g ^ { - 1 } \partial _ { - } g ) - \frac { k } { 1 2 \pi } \int _ { B } T r ( g ^ { - 1 } d g \wedge g ^ { - 1 } d g \wedge g ^ { - 1 } d g ) ,
\mathbb { V } ( Y _ { \ell } ) = \frac { 1 } { N _ { \ell } - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \ell } } \left\Vert Y _ { \ell } ^ { ( i ) } \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } - \frac { 1 } { N _ { \ell } } \left\Vert \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \ell } } Y _ { \ell } ^ { ( i ) } \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } \right) .
\int \frac { d ^ { 3 } { \cal P } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \vec { v } _ { \cal P } \cdot \nabla _ { \cal P } ( f _ { p } + f _ { \overline { { p } } } ) - \frac { ( 3 - v _ { \cal P } ^ { 2 } ) } { 2 { \cal E } } ( f _ { p } + f _ { \overline { { p } } } ) \right]
\begin{array} { r } { L = \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } \langle a _ { j , j + 1 } \rangle , \; \; \; \alpha _ { L } = \frac { 1 } { L } \frac { \mathrm { d } L } { \mathrm { d } T } . } \end{array}
a _ { 2 } = \partial ^ { \sigma } \left( k _ { 1 } \eta _ { \; \; \; ( \sigma ) } ^ { * \rho } C _ { ( \rho ) } \right) - \gamma \left( k _ { 1 } \eta _ { \; \; \; ( \sigma ) } ^ { * \rho } \eta _ { \; ( \rho ) } ^ { \sigma } \right) .
\begin{array} { r l } { q ( z _ { i } , z _ { j } ) } & { = \left( ( \prod _ { k \in S } \partial _ { z _ { k } } ) p _ { f } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } ) \right) _ { | \{ z _ { \ell } = 0 \} _ { \ell \in [ n ] \setminus ( S \cup \{ i , j \} ) } } } \\ & { = f ( S ) + f ( S \cup \{ i \} ) z _ { i } + f ( S \cup \{ j \} ) z _ { j } + f ( S \cup \{ i , j \} ) z _ { i } z _ { j } . } \end{array}
\frac { d } { d t } g _ { t _ { 0 } , x } ( t ) = \partial _ { 1 } f _ { n , s } ( h _ { t _ { 0 } , x } ( t ) ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n - s } \partial _ { k + 1 } f _ { n , s } ( h _ { t _ { 0 } , x } ( t ) ) .
{ \cal Z } _ { \nu } ^ { ( N _ { f } ) } ( \mu ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \prod _ { j = 1 } ^ { N _ { f } } \left( \frac { d \phi _ { j } } { 2 \pi } \exp \left[ \mu \cos ( \phi _ { j } ) - i \nu \phi _ { j } - i j \phi _ { j } \right] \right) \varepsilon _ { i _ { 1 } \ldots i _ { N _ { f } } } e ^ { i \phi _ { i _ { 1 } } } \ldots e ^ { i N _ { f } \phi _ { i _ { N _ { f } } } } \; ,
{ \begin{array} { r l } { L _ { b } } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } 1 0 ^ { - n ! } } \\ & { = 1 0 ^ { - 1 } + 1 0 ^ { - 2 } + 1 0 ^ { - 6 } + 1 0 ^ { - 2 4 } + 1 0 ^ { - 1 2 0 } + 1 0 ^ { - 7 2 0 } + 1 0 ^ { - 5 0 4 0 } + 1 0 ^ { - 4 0 3 2 0 } + \ldots } \\ & { = 0 . { \textbf { 1 } } { \textbf { 1 } } 0 0 0 { \textbf { 1 } } 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 { \textbf { 1 } } 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \ \ldots } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { R } & { { } \approx } & { \frac { | z _ { 1 } | ^ { 2 } } { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } - | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left( \frac { | z _ { 1 } | ^ { 2 } } { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } \right) _ { \eta = 0 } \, , } \\ { T } & { { } \approx } & { \frac { | z _ { 3 } | ^ { 2 } } { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } - | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left( \frac { | z _ { 3 } | ^ { 2 } } { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } \right) _ { \eta = 0 } + | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { m \to 0 } m \langle \bar { \psi } \psi \rangle _ { \cal B } = - \operatorname * { l i m } _ { m \to 0 } m \frac { 1 } { V } \tilde { \mathrm { T r } } S = - V ^ { - 1 } \int _ { V } d ^ { 4 } x \mathrm { T r } { \cal P } _ { 0 } ( x , x ) = - \frac { { \cal B } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } }
\hat { \mathbf { D } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 2 u _ { x } + v _ { y } } & { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { \frac 1 2 u _ { z } } \\ { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { u _ { x } + 2 v _ { y } } & { \frac 1 2 v _ { z } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { v , N } ^ { 3 } } & { \leq C _ { 1 } N ^ { \# \{ \ell \, : \, v _ { \ell } = 0 \} / 2 } \prod _ { \ell \, : \, v _ { \ell } = 0 } \left( \sum _ { j _ { \ell } = 0 } ^ { N } 2 ^ { j _ { \ell } ( 1 - h _ { \ell } ) } \right) \times \ldots } \\ & { \qquad \ldots \times \prod _ { \ell ^ { \prime } \, : \, v _ { \ell ^ { \prime } } = 1 } \left( \sum _ { j _ { \ell ^ { \prime } } = - \infty } ^ { \lfloor - 2 ^ { N b } \rfloor } 2 ^ { j _ { \ell ^ { \prime } } ( 1 - h _ { \ell ^ { \prime } } ) } \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell ^ { \prime } } | ) } \right) } \\ & { \leq C _ { 2 } N ^ { \frac { d } { 2 } } 2 ^ { N \left( \sum _ { ( \ell \, : \, v _ { \ell } = 0 ) } ( 1 - h _ { \ell } ) \right) - 2 ^ { N b } \left( \sum _ { ( \ell ^ { \prime } \, : \, v _ { \ell ^ { \prime } } = 1 ) } ( 1 - h _ { \ell ^ { \prime } } ) \right) } , } \end{array}
D \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \geqslant C \Big [ ( 1 - t ) ^ { 2 } + t \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ e ~ } ^ { - i z \sin ( \varphi - \varphi _ { 0 } ) } = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } J _ { n } ( z ) \, \mathrm { ~ e ~ } ^ { i z \varphi _ { 0 } } , } \end{array}
\Delta _ { m m ^ { \prime } } = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 \quad \quad } & { \mathrm { f o r } } & { \quad m \geq 0 , \quad m ^ { \prime } \geq 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { m ^ { \prime } } } & & { \quad m \geq 0 , \quad m ^ { \prime } < 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { m } } & & { \quad m < 0 , \quad m ^ { \prime } \geq 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { m + m ^ { \prime } } } & & { \quad m < 0 , \quad m ^ { \prime } < 0 . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r } { \hbar \mid S _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( x ) \mid \ll \mid ( p ( x ) ) \mid ^ { 2 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \hbar } { | p ( x ) | } } \left| { \frac { d p ^ { 2 } } { d x } } \right| \ll | p ( x ) | ^ { 2 } } \\ { \lambda \left| { \frac { d V } { d x } } \right| \ll { \frac { | p | ^ { 2 } } { m } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \cos ( X + P ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ( \sqrt { 2 } [ X \cos ( \frac { 2 \pi } { 8 } ) + P \sin ( \frac { 2 \pi } { 8 } ) ] ) + } \\ & { } & \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ( - \sqrt { 2 } [ X \cos ( \frac { 1 0 \pi } { 8 } ) + P \sin ( \frac { 1 0 \pi } { 8 } ) ] ) , } \\ & { } & \\ { \cos ( X - P ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ( \sqrt { 2 } [ X \cos ( \frac { 1 4 \pi } { 8 } ) + P \sin ( \frac { 1 4 \pi } { 8 } ) ] ) + } \\ & { } & \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ( - \sqrt { 2 } [ X \cos ( \frac { 6 \pi } { 8 } ) + P \sin ( \frac { 6 \pi } { 8 } ) ] ) . } \\ & { } & \end{array}
\frac { \textrm { e x p o n e n t o f \eta s c a l i n g o f c l a s s i c a l c o m p l e x i t y } } { \textrm { e x p o n e n t o f \eta s c a l i n g o f q u a n t u m c o m p l e x i t y } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 4 \alpha + 7 \right) / \left( 4 \alpha + 1 \right) } & { \alpha \leq 2 } \\ { \left( 4 \alpha + 7 \right) / \left( \alpha + 7 \right) } & { 2 \leq \alpha \leq 3 } \\ { \left( 5 \alpha + 4 \right) / \left( 2 \alpha + 4 \right) } & { 3 \leq \alpha \leq 4 } \\ { \left( 5 \alpha + 4 \right) / \left( \alpha + 8 \right) } & { \alpha \geq 4 } \end{array} \right. \qquad \textrm { i f } \qquad N = \Theta \left( \eta ^ { \alpha } \right) \, .
P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \cos 2 \theta \cos 2 \bar { \theta } ) - \frac { 1 } { 2 } s i n 2 \theta s i n 2 \bar { \theta } \cdot c o s ( \int _ { 0 } ^ { t } \delta _ { 3 } d t ^ { \prime } ) e ^ { - \frac { \alpha + \gamma } { 2 } t } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { k } } & { : = \left( x _ { 1 , k } , x _ { 2 , k } , \cdots , x _ { n , k } \right) ^ { \intercal } \in \mathbb { R } ^ { n \times p } } \\ { H _ { k } } & { : = \left( h _ { 1 , k } , h _ { 2 , k } , \cdots , h _ { n , k } \right) ^ { \intercal } \in \mathbb { R } ^ { n \times p } } \\ { \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) } & { : = \left( \nabla f _ { 1 } ( x _ { 1 , k } ) , \nabla f _ { 2 } ( x _ { 2 , k } ) , \cdots , \nabla f _ { n } ( x _ { n , k } ) \right) ^ { \intercal } \in \mathbb { R } ^ { n \times p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac 1 2 \| y ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + } & { \int _ { Q } \beta ( x ) \left| \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ( x , t ) \right| ^ { 2 } \; d x d t + \int _ { Q } q ( x ) | y ( x , t ) | ^ { 2 } \, d x d t } \\ { = } & { \displaystyle \frac 1 2 \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { T } \langle f , \, y \rangle _ { ( V _ { 0 } ) ^ { \star } , V _ { 0 } } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \ast d w \wedge \eta ^ { \prime } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \langle w , \delta \eta ^ { \prime } \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 0 } ( \Omega ) } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( w ) \wedge \ast \boldsymbol { n } ( \eta ^ { \prime } ) = 0 , } \end{array}
\mathbf { F } _ { c , i } = - \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } \mathbf { Q } = m g \cos ^ { 2 } \alpha { \left( \begin{array} { l } { - \tan \alpha } \\ { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { - \tan \alpha } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { y } \end{array} \right) } = m g { \left( \begin{array} { l } { - \sin \alpha \cos \alpha } \\ { \cos ^ { 2 } \alpha } \end{array} \right) }
B _ { 0 } ( M _ { * } ^ { 2 } ) = \frac { \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) \, \Gamma ( d - 2 + 2 k ) \, \Gamma ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( d - 2 ) \, \Gamma ( 2 k + 1 ) \, \Gamma ( k + \frac { d } { 2 } ) } M _ { \ast } ^ { 2 k } \ \cdot
\frac { \partial ^ { 2 } \Gamma } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } = { \frac { m _ { \chi } } { 2 5 6 \pi ^ { 3 } } } { \sum _ { \mathrm { s p i n s } } } ^ { \prime } \left| { \cal M } \right| ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l r } { ( \gamma ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { k } } & { \geq } & { ( \gamma + ( 2 k - 1 ) \omega _ { 0 } ) ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 k - 1 } } \\ { \left[ ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ( \gamma + \omega _ { 0 } ) \right] ^ { k } } & { \geq } & { ( \gamma + ( 2 k - 1 ) \omega _ { 0 } ) ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 k - 1 } \, . \qquad } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \left( \frac { d } { d r } + \frac { \kappa + 1 } { r } \right) g _ { n \kappa } - ( W _ { n \kappa } - V ( r ) + m _ { e } ) f _ { n \kappa } } & { { } = 0 , } \\ { \left( \frac { d } { d r } - \frac { \kappa - 1 } { r } \right) f _ { n \kappa } + ( W _ { n \kappa } - V ( r ) - m _ { e } ) g _ { n \kappa } } & { { } = 0 . } \end{array} } \end{array}
k ^ { - } = \phi + \nu ( M ) ~ ~ \textrm { i s c o n s t a n t a l o n g a } ~ ~ { \cal C } ^ { - } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ k ^ { + } = \phi - \nu ( M ) ~ ~ \textrm { i s c o n s t a n t a l o n g a } ~ ~ { \cal C } ^ { + } .
\begin{array} { r l r } { w _ { m a } ( z ) } & { { } = } & { z - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \frac { z } { 4 } \right) } \\ { \theta _ { m a } ( z ) } & { { } = } & { z - \frac { 1 } { 2 } \frac { \int _ { 0 } ^ { z } \left( \cosh { \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \ \frac { z ^ { \prime } } { 4 } \right) } \right) ^ { - 2 P r } d z ^ { \prime } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \cosh { \left( \sqrt { \frac { R a } { P r } } \ \frac { z ^ { \prime } } { 4 } \right) } \right) ^ { - 2 P r } d z ^ { \prime } } } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { f _ { \alpha } ^ { I } } } & { { \bar { X } ^ { I } } } \end{array} \right) = e ^ { K / 2 } \left( \begin{array} { l l } { { - \frac { 1 } { z + \bar { z } } } } & { { 1 } } \\ { { - \frac { i } { z + \bar { z } } } } & { { - i } } \end{array} \right) \ ,
\left( \frac { k _ { \perp } ^ { \prime } } { k ^ { ' + } } e ^ { - i \lambda \varphi ^ { \prime } } + \frac { k _ { \perp } } { k ^ { + } } e ^ { + i \lambda \varphi } \right) \delta _ { - \lambda ^ { \prime } } ^ { \lambda } - m \lambda \left( \frac { 1 } { k ^ { ' + } } + \frac { 1 } { k ^ { + } } \right) \delta _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { \lambda }
\begin{array} { r l r } & { } & { ( + 2 \xi , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \ ( - 2 \xi , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + 2 \xi , + \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \ ( + 2 \xi , - \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( - 2 \xi , + \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \ ( - 2 \xi , - \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + \xi , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 , 0 ) , \ ( - \xi , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + \xi , 0 , - 2 \xi , 0 , 0 , 0 ) , \ ( - \xi , 0 , - 2 \xi , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + \xi , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 ) , \ ( - \xi , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + \xi , 0 , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 ) , \ ( - \xi , 0 , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 ) , } \\ & { } & { ( + \xi , 0 , 0 , 0 , 0 , + 2 \xi ) , \ ( - \xi , 0 , 0 , 0 , 0 , + 2 \xi ) , } \\ & { } & { ( 0 , + 2 \xi , + \xi , 0 , 0 , 0 ) , \ ( 0 , + 2 \xi , - \xi , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( 0 , - 2 \xi , + \xi , 0 , 0 , 0 ) , \ ( 0 , - 2 \xi , - \xi , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( 0 , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 , 0 ) , \ ( 0 , 0 , - 2 \xi , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( 0 , 0 , + \xi , + 2 \xi , 0 , 0 ) , \ ( 0 , 0 , - \xi , + 2 \xi , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( 0 , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 ) . } \end{array}
T _ { L } ( \nu , Q ^ { 2 } ) = \frac { 2 } { \pi } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \mathrm { d } \nu ^ { \prime } \, \nu ^ { \prime \, 2 } \, \frac { \sigma _ { L } ( \nu ^ { \prime } , Q ^ { 2 } ) } { \nu ^ { \prime \, 2 } - \nu ^ { 2 } } ,
I _ { A } = I \frac { \sin ^ { 2 } ( a / 2 ) } { \sin ^ { 2 } ( c / 2 ) } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad I _ { B } = I \frac { \sin ^ { 2 } ( b / 2 ) } { \sin ^ { 2 } ( c / 2 ) } \, .
A ^ { x } ( x _ { F } ) = \frac { 1 } { { \cal P } _ { \gamma } } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \sigma ( s , x _ { F } , \varphi = 0 ) - \mathrm { d } ^ { 2 } \sigma ( s , x _ { F } , \varphi = \pi / 2 ) } { \mathrm { d } ^ { 2 } \sigma ( s , x _ { F } , \varphi = 0 ) + \mathrm { d } ^ { 2 } \sigma ( s , x _ { F } , \varphi = \pi / 2 ) } ,
\tau = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e v } } } \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { e v } } } { \left( \frac { \theta _ { j } ^ { ( k ) } - \theta _ { j } ^ { ( k - 1 ) } } { \theta _ { j } ^ { ( k ) } } \right) ^ { 2 } } } .
( { { \bf c } _ { 1 } + { \bf c } _ { 2 } } ) y _ { 1 } ^ { + } = \left. \frac { d { \bf U } } { d y } \right| _ { y = 0 } y _ { 1 } \, , \quad ( { { \bf c } _ { 1 } + { \bf c } _ { 2 } } ) y _ { 2 } ^ { + } = \left. \frac { d { \bf U } } { d y } \right| _ { y = 0 } y _ { 2 } \, .
\{ A , B \} = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { \partial A } { \partial { p _ { a } ^ { \mu } } } \frac { \partial B } { \partial { q _ { a \mu } } } - \frac { \partial A } { \partial { q _ { a } ^ { \mu } } } \frac { \partial B } { \partial { p _ { a \mu } } } \right) .
\begin{array} { r l } { I _ { p _ { i } } = 2 \mathrm { R e } \int _ { - \infty } ^ { \infty } } & { { } \Big [ \left( ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | \bar { u } _ { p _ { i } } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime \prime } \right) v _ { s } - ( v _ { s } ) ^ { 2 } \bar { u } _ { p _ { i } } ^ { * } - ( \bar { u } _ { p _ { i } } ) ^ { 2 } v _ { s } ^ { * } \Big ] \; \bar { u } _ { p _ { i } } ^ { * } \; d \tau . } \end{array}