harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathrm { { C R } } ( \alpha , W ) \cdot \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W + 2 } , 0 ) , ( \alpha , i ) } \left[ e ^ { - \nu _ { \phi } ( \mathbb R ) } \right] = 2 ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } \frac { 2 } { \gamma } \overline { G } ( \alpha , \gamma ) \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ) \left[ e ^ { - R _ { W } } \cdot L _ { W } ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { = \frac { \gamma } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } \Big [ \Theta _ { m , \alpha } ( \theta ) \Theta _ { n , \beta } ( \theta ) } \\ & { \times \chi _ { m , \alpha } ^ { \prime } ( r ) \chi _ { n , \beta } ^ { \prime } ( r ) r + \Theta _ { m , \alpha } ^ { \prime } ( \theta ) \Theta _ { n , \beta } ^ { \prime } ( \theta ) } \\ & { \times \chi _ { m , \alpha } ( r ) \chi _ { n , \beta } ( r ) \frac { 1 } { r } \Big ] d r d \theta } \\ & { = \gamma \pi \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { a } A _ { 0 , \alpha } A _ { 0 , \beta } \chi _ { 0 , \alpha } ^ { \prime } \chi _ { 0 , \alpha } ^ { \prime } r d r } \\ & { + \frac { \gamma \pi } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { a } ( A _ { m , \alpha } A _ { m , \beta } + B _ { m , \alpha } B _ { m , \beta } ) } \\ & { \times \Big ( \chi _ { m , \alpha } ^ { \prime } \chi _ { m , \beta } ^ { \prime } r + m ^ { 2 } \chi _ { m , \alpha } \chi _ { m , \beta } \frac { 1 } { r } \Big ) d r } \\ & { = \gamma \pi \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \infty } A _ { 0 , \alpha } A _ { 0 , \beta } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \chi _ { 0 , \alpha } ^ { \prime } \chi _ { 0 , \beta } ^ { \prime } + \frac { 0 ^ { 2 } } { r } \chi _ { 0 , \alpha } \chi _ { 0 , \beta } \right) d r } \\ & { + \frac { \gamma \pi } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \infty } ( A _ { m , \alpha } A _ { m , \beta } + B _ { m , \alpha } B _ { m , \beta } ) } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \chi _ { m , \alpha } ^ { \prime } \chi _ { m , \beta } ^ { \prime } + \frac { m ^ { 2 } } { r } \chi _ { m , \alpha } \chi _ { m , \beta } \right) d r . } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 0 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 0 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \end{array} \! \! \right) \! \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { k } ^ { X } } & { = \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( C _ { \frac { i } { n } } + J _ { \frac { i } { n } } + \epsilon _ { i } \big ) - \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k - 1 } ^ { n } } \big ( C _ { \frac { i } { n } } + J _ { \frac { i } { n } } + \epsilon _ { i } \big ) } \\ & { \le \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( C _ { \frac { i } { n } } + \epsilon _ { i } \big ) + \operatorname* { m a x } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } J _ { \frac { i } { n } } - \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k - 1 } ^ { n } } \big ( C _ { \frac { i } { n } } + \epsilon _ { i } \big ) - \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k - 1 } ^ { n } } J _ { \frac { i } { n } } } \\ & { = D _ { k } ^ { C } + \operatorname* { m a x } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } J _ { \frac { i } { n } } - \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k - 1 } ^ { n } } J _ { \frac { i } { n } } + \mathcal { O } _ { \mathbb { P } } \big ( h _ { n } ^ { \alpha \wedge 1 / 2 } \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ^ { \prime } + \varphi w } & { = } & { c _ { 1 } ( x ( r _ { 1 } ( 1 - x / K _ { 1 } ) - \alpha _ { 1 2 } y ) ) + c _ { 2 } ( y ( r _ { 2 } ( 1 - y / K _ { 2 } ) - \alpha _ { 2 1 } x ) ) } \\ & { } & { - ( \mu z + m z ^ { 2 } ) + \varphi ( c _ { 1 } x + c _ { 2 } y + z ) } \\ & { \leq } & { c _ { 1 } ( x \left( r _ { 1 } + \varphi - \left( \frac { r _ { 1 } } { K _ { 1 } } \right) x \right) + c _ { 2 } ( y \left( r _ { 2 } + \varphi - \left( \frac { r _ { 2 } } { K _ { 2 } } \right) y \right) - ( \mu - \varphi ) z } \\ & { \leq } & { c _ { 1 } ( x \left( r _ { 1 } + \varphi - \left( \frac { r _ { 1 } } { K _ { 1 } } \right) x \right) + c _ { 2 } ( y \left( r _ { 2 } + \varphi - \left( \frac { r _ { 2 } } { K _ { 2 } } \right) y \right) } \\ & { \leq } & { \frac { c _ { 1 } K _ { 1 } ( r _ { 1 } + \varphi ) ^ { 2 } } { 4 r _ { 1 } } + \frac { c _ { 2 } K _ { 2 } ( r _ { 2 } + \varphi ) ^ { 2 } } { 4 r _ { 2 } } } \\ & { = } & { \rho . } \end{array}
\mathbf { a } ( \mathbf { r } ) = \mathbf { A } _ { 2 } ( \mathbf { r } ) - \mathbf { A } _ { 1 } ( \mathbf { r } ) = \mathbf { A } _ { 2 } ( \mathbf { r } ) = \nabla \times ( g ( \mathbf { r } ) \nabla \psi ( \mathbf { r } ) )
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( \zeta , t ) } \\ { x _ { 2 } ( \zeta , t ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathcal G } } \\ { - { \mathcal G } ^ { * } } & { - R } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { L } _ { 1 } ( \zeta ) x _ { 1 } ( \zeta , t ) } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } ( \zeta ) x _ { 2 } ( \zeta , t ) } \end{array} \right] } \\ { + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { B _ { 0 } } \end{array} \right] u _ { d } ( \zeta , t ) } \\ { y _ { d } ( \zeta , t ) = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { B _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { L } _ { 1 } ( \zeta ) x _ { 1 } ( \zeta , t ) } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } ( \zeta ) x _ { 2 } ( \zeta , t ) } \end{array} \right] } \\ { u _ { b } = { \mathcal B } \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { L } _ { 1 } ( \zeta ) x _ { 1 } ( \zeta , t ) } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } ( \zeta ) x _ { 2 } ( \zeta , t ) } \end{array} \right] , \; y _ { b } = { \mathcal C } \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { L } _ { 1 } ( \zeta ) x _ { 1 } ( \zeta , t ) } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } ( \zeta ) x _ { 2 } ( \zeta , t ) } \end{array} \right] } \end{array}
{ \cal C } ( \Omega ^ { - } \to \Xi ^ { - } \pi ^ { 0 } ) = \delta ^ { \prime } \sqrt { 3 } g _ { { } _ { \pi _ { p } ^ { 0 } \Xi _ { s } ^ { - } , \Xi _ { p } ^ { * - } } } - \delta \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } g _ { { } _ { \bar { K } _ { s } ^ { 0 } \Xi _ { s } ^ { - } , \Omega _ { s } ^ { - } } } ,
\delta x ^ { \perp } ( \tau , \sigma ) = \sum _ { n } C _ { n } ^ { \perp } ( \tau ) e ^ { - i n \sigma } , \; \; \; \; \; \; \delta x ^ { \parallel } ( \tau , \sigma ) = \sum _ { n } C _ { n } ^ { \parallel } ( \tau ) e ^ { - i n \sigma } ,
\omega _ { 0 } ^ { \underline { { 0 } } \underline { { m } } } = e ^ { - U } \partial _ { m } ( e ^ { - 2 U } ) , \qquad \omega _ { m } ^ { \underline { { n } } \underline { { p } } } = \delta _ { m } ^ { \ n } \partial _ { p } U - \delta _ { m } ^ { \ p } \partial _ { n } U
x = \frac { E _ { e } ^ { \prime } } { E _ { e } } = \frac { v ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } = \left( \frac { M - m } { M + m } \right) ^ { 2 } \approx 1 - 4 \frac { m } { M } = 9 9 . 9 5 \, \
\begin{array} { r l } { \Vert \hat { u } _ { y } ^ { \xi } \Vert _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { y } ^ { \xi } ) } ^ { 2 } } & { \leq \left| D ( \hat { u } _ { y } ^ { \xi } ) ^ { 2 } \right| ( \Omega _ { y } ^ { \xi } ) = \int _ { \Omega _ { y } ^ { \xi } } 2 | \hat { u } _ { y } ^ { \xi } ( \hat { u } _ { y } ^ { \xi } ) ^ { \prime } | d t + \sum _ { t \in J _ { \hat { u } _ { y } ^ { \xi } } } \left| | ( \hat { u } _ { y } ^ { \xi } ) ^ { + } ( t ) | ^ { 2 } - | ( \hat { u } _ { y } ^ { \xi } ) ^ { - } ( t ) | ^ { 2 } \right| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \Vert \hat { u } _ { y } ^ { \xi } \Vert _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { y } ^ { \xi } ) } ^ { 2 } + 2 | \Omega _ { y } ^ { \xi } | \int _ { \Omega _ { y } ^ { \xi } } \left| ( \hat { u } _ { y } ^ { \xi } ) ^ { \prime } \right| ^ { 2 } d t + \sum _ { t \in J _ { \hat { u } _ { y } ^ { \xi } } } \left( \left| ( \hat { u } _ { y } ^ { \xi } ) ^ { + } ( t ) \right| ^ { 2 } + \left| ( \hat { u } _ { y } ^ { \xi } ) ^ { - } ( t ) \right| ^ { 2 } \right) , } \end{array}
( x - u ^ { 3 } ) ( x - v ^ { 3 } ) = x ^ { 2 } - ( u ^ { 3 } + v ^ { 3 } ) x + u ^ { 3 } v ^ { 3 } = x ^ { 2 } - ( u ^ { 3 } + v ^ { 3 } ) x + ( u v ) ^ { 3 } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \Delta E = E _ { 0 } + \eta } & { { } = } & { e ( V _ { \mathrm { ~ d ~ l ~ } } + V _ { \mathrm { ~ q ~ } } ) , } \\ { C _ { \mathrm { ~ d ~ l ~ } } V _ { \mathrm { ~ d ~ l ~ } } } & { { } = } & { C _ { \mathrm { ~ q ~ } } V _ { \mathrm { q } } , } \\ { C _ { \mathrm { q } } } & { { } = } & { e ^ { 2 } \int \mathcal { D } ( \epsilon ) F _ { \mathrm { ~ t ~ } } ( \epsilon - e V _ { \mathrm { q } } ) \mathrm { ~ d ~ } \epsilon , } \end{array}
\left( { \frac { 1 } { \sqrt { V } } } , \sqrt { V } \right) = \cosh \theta \left( \sqrt { \frac { Q _ { 4 } } { Q _ { 0 } } } , \sqrt { \frac { Q _ { 0 } } { Q _ { 4 } } } \right) + \sinh \theta \left( \sqrt { \frac { Q _ { 4 } } { Q _ { 0 } } } , - \sqrt { \frac { Q _ { 0 } } { Q _ { 4 } } } \right)
{ \begin{array} { r l } { \ell _ { j } ( x ) } & { = { \frac { ( x - x _ { 0 } ) } { ( x _ { j } - x _ { 0 } ) } } \cdots { \frac { ( x - x _ { j - 1 } ) } { ( x _ { j } - x _ { j - 1 } ) } } { \frac { ( x - x _ { j + 1 } ) } { ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) } } \cdots { \frac { ( x - x _ { k } ) } { ( x _ { j } - x _ { k } ) } } } \\ & { = \prod _ { \begin{array} { l } { 0 \leq m \leq k } \\ { m \neq j } \end{array} } { \frac { x - x _ { m } } { x _ { j } - x _ { m } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | S _ { 2 1 } | ^ { 2 } } } & { { } = \frac { A _ { + } \delta \omega _ { + } ^ { 2 } } { ( \omega - \omega _ { + } ) ^ { 2 } + \delta \omega _ { + } ^ { 2 } } + \frac { A _ { - } \delta \omega _ { - } ^ { 2 } } { ( \omega - \omega _ { - } ) ^ { 2 } + \delta \omega _ { - } ^ { 2 } } } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { t } } \\ { { c } } \\ { { u } } \end{array} \right) ; \ \ \left( \begin{array} { c } { { b } } \\ { { s } } \\ { { d } } \end{array} \right) ; \ \ \left( \begin{array} { c } { { \tau } } \\ { { \mu } } \\ { { e } } \end{array} \right) ; \ \ \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right) .
\displaystyle T _ { 2 } = \overline { { \Sigma } } _ { 2 , 0 } ^ { \smash { \scriptstyle \sharp } } \quad \textnormal { a n d } \quad T _ { n } = \overline { { \Sigma } } _ { n , 0 } ^ { \smash { \scriptstyle \sharp } } \cup \bigg [ \bigcup _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \big ( \partial \Sigma _ { j , 0 } ^ { \smash { \scriptstyle \sharp } } \cup \partial \Sigma _ { j , 1 } ^ { \smash { \scriptstyle \sharp } } \big ) \bigg ] \quad \textnormal { f o r n \geq 3 } .
\begin{array} { r } { \tilde { \pi } _ { s } \in \mathop { \mathrm { a r g m i n } } _ { p \in \Delta ( \mathcal { A } ) } \mathcal { D } _ { h } ( p , \nabla h ^ { * } ( \eta f _ { s } ^ { \theta } ) ) \; \Longleftrightarrow \; \tilde { \pi } _ { s } \in \mathop { \mathrm { a r g m i n } } _ { p \in \Delta ( \mathcal { A } ) } \langle - \eta f _ { s } ^ { \theta } + \nabla h ( \bar { \pi } _ { s } ) , p \rangle + \mathcal { D } _ { h } ( p , \bar { \pi } _ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } } & { = \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } - \sum _ { t _ { 3 } } \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 3 } } S _ { j _ { 1 } } ^ { t _ { 3 } } S _ { j _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } - \sum _ { u _ { 3 } } \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 3 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } S _ { u _ { 3 } } ^ { i _ { 1 } } S _ { u _ { 2 } } ^ { i _ { 1 } } , } \\ { \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 2 } } } & { = \tilde { v } _ { u _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 2 } } + \sum _ { t _ { 3 } u _ { 3 } } \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 3 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 3 } } S _ { u _ { 2 } } ^ { t _ { 3 } } S _ { u _ { 2 } } ^ { t _ { 2 } } - \sum _ { u _ { 3 } } \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 3 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 2 } } S _ { u _ { 3 } } ^ { t _ { 2 } } - \sum _ { t _ { 3 } } \tilde { v } _ { u _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 3 } } S _ { u _ { 2 } } ^ { t _ { 3 } } , } \\ { \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } t _ { 4 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } } & { = \tilde { v } _ { u _ { 1 } t _ { 4 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } - \sum _ { u _ { 3 } } \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 3 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } S _ { u _ { 3 } } ^ { t _ { 4 } } \, , } \\ { \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 4 } } } & { = \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 4 } } - \sum _ { t _ { 3 } } \tilde { v } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 3 } } S _ { u _ { 4 } } ^ { t _ { 3 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { y } _ { j j k } ^ { \mathsf { p } } \! = \! \sqrt { p _ { j k } ^ { \mathsf { p } } } \tau _ { \mathrm { p } } \mathbf { h } _ { j k } ^ { j } + \tau _ { \mathrm { p } } \! \! \sum _ { ( l , i ) \in \mathcal { P } _ { j k } \setminus ( j , k ) } \! \! \! \sqrt { p _ { l i } ^ { \mathsf { p } } } \mathbf { h } _ { l i } ^ { j } + \mathbf { N } _ { j } ^ { \mathsf { p } } \boldsymbol { \phi } _ { j k } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { L _ { 1 , l } } { \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } } \\ & { } & { \in [ \Phi _ { 2 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) , \Phi _ { 1 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { C } _ { \phi _ { \alpha } } ( z ) } & { = \left[ \frac { 1 - | z | ^ { 2 } } { 1 - \overline { { z } } \phi _ { \alpha } ( z ) } \right] ^ { 2 } } \\ & { = \left[ \frac { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ( 1 - \overline { { \alpha } } z ) } { 1 - \overline { { \alpha } } z - \overline { { z } } ( z - \alpha ) } \right] ^ { 2 } } \\ & { = \left[ \frac { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ( 1 - \overline { { \alpha } } z ) } { 1 - | z | ^ { 2 } + 2 i I m \{ \alpha \overline { { z } } \} } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
\, \textup { r e s } _ { / \mathrm { P a n } } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) \subset \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) }
\left( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 1 } \right) \big | _ { { \upSigma } _ { b 2 } } = \left( \phi _ { 1 ^ { \prime } } + \phi _ { 2 1 ^ { \prime } } \right) \big | _ { { \upSigma } _ { b 2 } } = 0 ,
F _ { \mathrm { p e r } } ^ { 1 2 } = \frac { \mu _ { 2 } M _ { 2 } } { \| q _ { 2 } \| } - \frac { m _ { 0 } \, m _ { 2 } } { \| q _ { 2 } + \sigma _ { 1 1 } \, q _ { 1 } \| } - \frac { m _ { 1 } \, m _ { 2 } } { \| q _ { 2 } - \sigma _ { 0 1 } \, q _ { 1 } \| } = - \frac { \mu _ { 1 } m _ { 2 } } { \| q _ { 2 } \| } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \tilde { \sigma } _ { 1 , n } P _ { n } ( \cos \zeta _ { 1 } ) \left( \frac { \| q _ { 1 } \| } { \| q _ { 2 } \| } \right) ^ { n }
\Gamma _ { m - 1 } ^ { + } ( x _ { m } ) = \{ ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { m - 1 } ) \mid ( x _ { j } - x _ { m } ) ^ { 2 } \ge 0 , x _ { j } ^ { 0 } \ge x _ { m } ^ { 0 } , \forall j \} .
\begin{array} { r l } { T _ { \boldsymbol { p } } ^ { ( 0 ) } = } & { - \dot { \iota } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d \tau \left( \langle \chi _ { \boldsymbol { p } } ( \tau ) | \frac { \overleftarrow { \partial } } { \partial \tau } + \frac { \overrightarrow { \partial } } { \partial \tau } | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle \right) } \\ & { - \dot { \iota } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d \tau \langle \chi _ { \boldsymbol { p } } ( \tau ) | V ( \boldsymbol { r } ) | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle } \\ { = } & { - \langle \chi _ { \boldsymbol { p } } ( \tau ) | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle | _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } - \dot { \iota } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d \tau \langle \chi _ { \boldsymbol { p } } ( \tau ) | V ( \boldsymbol { r } ) | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle . } \end{array}
| 0 \rangle _ { D } = \prod _ { k = - \infty } ^ { N - 1 } \Pi _ { 0 } ^ { k k } | 0 \rangle , \quad { } _ { D } \langle 0 | = \langle 0 | \prod _ { k = - \infty } ^ { N - 1 } \Pi _ { 3 } ^ { k k } ,
\begin{array} { r } { \left\langle \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { N } } } } \right\rangle = \int \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { N } } } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } F _ { i } \prod _ { k = 1 } ^ { P - 1 } \mathrm { d } \Delta \mathbf { r } _ { i } ^ { ( k ) } , } \end{array}
{ \frac { \overline { { x ^ { 2 } } } } { 2 t } } = D = \mu k _ { \mathrm { { B } } } T = { \frac { \mu R T } { N _ { \mathrm { A } } } } = { \frac { R T } { 6 \pi \eta r N _ { \mathrm { A } } } } .
\mathrm { R e } \, \chi _ { T } ^ { \mathrm { D } } ( \omega ) = - \frac { \hbar A } { \pi ^ { 2 } } \int \int _ { R _ { 4 } } d \omega _ { \mathrm { i n } } d k _ { \| } k _ { \| } \sqrt { k _ { \| } ^ { 2 } - ( \omega + \omega _ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } \sqrt { \omega _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } - k _ { \| } ^ { 2 } } \; { \overline { { n } } } ( - \omega _ { \mathrm { i n } } )
\widetilde { P } _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( s ) = \sqrt { x _ { j } / x _ { i } } A _ { i } A _ { j } \left[ \Omega _ { i j } ( \beta p ) + \Omega _ { i j } ^ { \prime } ( \beta p ) s + \mathcal { O } ( s ^ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l } { { 2 } \mathrm { E } } & { = ( \mathcal { S } + 1 ) \tau _ { c } P _ { c } + ( \mathcal { T } + \mathcal { W } + \tau _ { \mathrm { s } } + 2 \tau _ { \mathrm { c } } - ( \mathcal { S } + 1 ) \tau _ { c } ) P _ { 0 } } \\ & { = \mathcal { S } \tau _ { \mathrm { c } } ( P _ { \mathrm { c } } - P _ { 0 } ) + \mathcal { W } P _ { 0 } + ( \mathcal { T } + \tau _ { \mathrm { c } } + \tau _ { \mathrm { s } } ) P _ { 0 } + \tau _ { \mathrm { c } } P _ { \mathrm { c } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { i , k } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { ( j , m , n ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 3 } } \left\{ \frac { \partial h _ { i j m } } { \partial x _ { n } } ( \xi _ { 7 } ^ { l } ) + \frac { \partial h _ { i j m } } { \partial x _ { n } } ( \xi _ { 8 } ^ { l } ) \right\} ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } - X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l , a } ) \Big ( [ W _ { j , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , k \Delta _ { l } } ] \times } \\ & { } & { [ W _ { m , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { m , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ] - [ W _ { m , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - W _ { m , k \Delta _ { l } } ] [ W _ { j , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ] \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h } } \left[ R _ { c } ^ { S A } \right] \approx \frac { 1 } { N } \left[ \mathrm { l n } \left( 1 + \frac { K \lambda N p \alpha ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) - \frac { 3 K \lambda ^ { 2 } N ^ { 2 } p ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } } { 2 \left( \sigma ^ { 2 } + K \lambda N p \alpha ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \right] \mathrm { l o g } _ { 2 } e . } \end{array}
\frac { 1 } { \beta } = g _ { q } ( u _ { i } , \lambda _ { i } ) = \frac { 1 - \lambda _ { i } } { 1 + u _ { i } \lambda _ { i } } \frac { 1 + \frac { \bar { q } ( 1 + \bar { q } ) ( 1 - \lambda _ { i } ) u _ { i } } { 1 + ( 1 - \bar { q } ^ { 2 } ( 1 - \lambda _ { i } ) ) u _ { i } } } { 1 + \frac { \bar { q } ( 1 + \bar { q } ) u _ { i } } { 1 + ( 1 - \bar { q } ^ { 2 } ) u _ { i } } } .
\begin{array} { r l } { ( x _ { n } - y _ { n } ) - \frac { T } { 2 } } & { = \int _ { u _ { 0 } ( y _ { n } ) } ^ { u _ { 0 } ( x _ { n } ) } \frac { d u } { \sqrt { 2 ( E - \Phi ( u ) ) } } - \int _ { u _ { 0 } ( y _ { n } ) } ^ { u _ { 0 } \big ( y _ { n } + \frac { T } { 2 } \big ) } \frac { d u } { \sqrt { 2 ( E - \Phi ( u ) ) } } } \\ & { = \int _ { u _ { 0 } \big ( y _ { n } + \frac { T } { 2 } \big ) } ^ { u _ { c } ( x _ { n } ) + O ( c ) } \frac { d u } { \sqrt { 2 ( E - \Phi ( u ) ) } } \to 0 \qquad \mathrm { a s ~ c ~ \to ~ 0 ~ } \ . } \end{array}
\boldsymbol { t } = \cos \alpha ( \xi ) \, \boldsymbol { e } _ { 1 } + \sin \alpha ( \xi ) \, \boldsymbol { e } _ { 2 } , \qquad \boldsymbol { m } = - \sin \alpha ( \xi ) \, \boldsymbol { e } _ { 1 } + \cos \alpha ( \xi ) \, \boldsymbol { e } _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \left[ \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \mathcal { K } _ { 0 } ^ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \mathcal { K } _ { \varepsilon } ^ { 2 \varepsilon } \mathcal { K } _ { 0 } ^ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \ldots , \mathcal { K } _ { \left( n - 1 \right) \varepsilon } ^ { n \varepsilon } \cdots \mathcal { K } _ { 0 } ^ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { w _ { x } ( x ) } & { = { \frac { q _ { x 1 } } { 6 b D } } \, ( 3 a x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) } \\ { \theta _ { x } ( x ) } & { = { \frac { q _ { x 2 } } { 2 b D ( 1 - \nu ) } } \left[ x - { \frac { 1 } { \nu _ { b } } } \, \left( { \frac { \sinh ( \nu _ { b } a ) } { \cosh [ \nu _ { b } ( x - a ) ] } } + \operatorname { t a n h } [ \nu _ { b } ( x - a ) ] \right) \right] } \end{array} }
\underbrace { \overbrace { \bigcirc \! \! - \! \! \! - \! \! \! - \! \! \bigcirc \! \! - \! \! \! - \! \! \! - \! \! \bigcirc \! \! - \! \! \! - \! \! \! - \! \! \bigcirc \! \! - \! \! \! - \! \! \! - \! \! \bigcirc \! \! - \! \! \! - \! \! \! - \! \! \bigcirc \! \! - \! \! \! - \! \! \! - \! \! \bigcirc \! \! - \! \! \! - \! \! \! - \! \! } ^ { D = 1 0 } } _ { N = 8 } \underbrace { \overbrace { \bigotimes } ^ { N = 2 } } _ { D = 4 }
\langle \Omega | { \mathcal { T } } \{ { \phi } ( x _ { 1 } ) \cdots { \phi } ( x _ { n } ) \} | \Omega \rangle = { \frac { \int { \mathcal { D } } \phi \phi ( x _ { 1 } ) \cdots \phi ( x _ { n } ) e ^ { i \int d ^ { 4 } x \left( { \frac { 1 } { 2 } } \partial ^ { \mu } \phi \partial _ { \mu } \phi - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } \right) } } { \int { \mathcal { D } } \phi e ^ { i \int d ^ { 4 } x \left( { \frac { 1 } { 2 } } \partial ^ { \mu } \phi \partial _ { \mu } \phi - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } \right) } } } .
\sigma _ { 1 , y } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( \left| \Psi _ { y , m } ^ { + } \right> + \left| \Psi _ { y , m } ^ { - } \right> ) ( \left< \Psi _ { y , m } ^ { + } \right| + \left< \Psi _ { y , m } ^ { - } \right| ) , \quad \sigma _ { 2 , y } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( \left| \Psi _ { y , m } ^ { + } \right> - \left| \Psi _ { y , m } ^ { - } \right> ) ( \left< \Psi _ { y , m } ^ { + } \right| - \left< \Psi _ { y , m } ^ { - } \right| ) .