harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { F } _ { \alpha \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) \nabla _ { { \pmb \alpha } _ { m } } } { m ! }
\frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } } { \Delta t } ( \overline { { l } } _ { h } ^ { n + 1 } - l _ { h } ^ { n + 1 } ) - \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla \overline { { l } } _ { h } ^ { n + 1 } ) = 0 ,
\mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , \xi ) \cdot w \, d x } & { = - \int _ { \Omega } ( { \mathcal { A } } ( x , \xi ) - { \mathcal { A } } ( x , w ) ) \cdot ( \xi - w ) \, d x + \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , \xi ) \cdot \xi \, d x } \\ & { \quad - \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , w ) \cdot ( \xi - w ) \, d x } \\ & { \leq \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , \xi ) \cdot \xi \, d x - \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } ( x , w ) \cdot ( \xi - w ) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F _ { p p } ) ^ { \beta \alpha } } & { { } = 2 \epsilon s \mathrm { I m } \left( \frac { \partial m _ { \gamma } } { \partial p _ { \alpha } } \frac { \partial \bar { m } ^ { \gamma } } { \partial p _ { \beta } } \right) , } \\ { ( F _ { x x } ) _ { \beta \alpha } } & { { } = 2 \epsilon s \mathrm { I m } \left( \nabla _ { \alpha } m _ { \gamma } \nabla _ { \beta } \bar { m } ^ { \gamma } + m _ { \gamma } \nabla _ { [ \alpha } \nabla _ { \beta ] } \bar { m } ^ { \gamma } \right) , } \\ { ( F _ { p x } ) _ { \alpha } { } ^ { \beta } } & { { } = - ( F _ { x p } ) ^ { \beta } { } _ { \alpha } = 2 \epsilon s \mathrm { I m } \left( \frac { \partial m _ { \gamma } } { \partial p _ { \beta } } \nabla _ { \alpha } \bar { m } ^ { \gamma } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { 0 } } & { { } = V _ { 0 } U _ { 0 } ^ { \prime } + V _ { 1 } U _ { 1 } ^ { \prime } , } \\ { U _ { 1 } } & { { } = V _ { 1 } U _ { 0 } ^ { \prime } + V _ { 0 } U _ { 1 } ^ { \prime } , } \\ { U _ { 2 } } & { { } = U _ { 2 } ^ { \prime } , } \\ { U _ { 3 } } & { { } = U _ { 3 } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } R } & { = \hat { \rho } _ { 0 } + \epsilon \hat { \rho } _ { 1 } , } & { V } & { = \hat { v } _ { 0 } + \epsilon \hat { v } _ { 1 } , \; } & { P } & { = \hat { p } _ { 0 } + \epsilon \hat { p } _ { 1 } , } \\ { T } & { = \hat { \theta } _ { 0 } + \epsilon \hat { \theta } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \hat { \theta } _ { 2 } , \; } & { Y } & { = \hat { c } _ { 0 } + \epsilon \hat { c } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \hat { c } _ { 2 } , } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( s , v ) \Psi ( r , w ) } & { \le \left( c _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { c _ { 0 } | v - w | } { \Phi _ { 1 } ( w ) } \right) \left( 1 \wedge \frac { \Phi _ { 1 } ( w ) } { 1 \wedge r ^ { 1 / 2 } } \right) \Psi ( s , w ) } \\ & { \le \left( c _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { c _ { 0 } | v - w | } { 1 \wedge r ^ { 1 / 2 } } \right) \Psi ( s , w ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { \widetilde { H } } } { \hbar } } & { { } = \quad \omega \Big ( \hat { n } + \frac 1 2 \Big ) + \frac { \Omega } { 2 } \hat { \Sigma } _ { X } - \Delta - \omega ( \alpha ^ { 2 } + \alpha _ { z } ^ { 2 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( x , y ) } & { = \frac { \sinh \left( \sqrt i W \frac { y } { L } \right) } { \sinh ( \sqrt i W ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ A _ { n } \exp \left( r _ { - n } \frac { x } { L } \right) + B _ { n } \exp \left( r _ { + n } \frac { x } { L } \right) \right] \sin \left( \frac { n \pi y } { L } \right) , } \\ { A _ { n } } & { = \frac { ( a _ { n } + b _ { n } ) \exp ( r _ { + n } ) - b _ { n } } { \exp ( r _ { + n } ) - \exp ( r _ { - n } ) } , \; \; B _ { n } = \frac { b _ { n } - ( a _ { n } + b _ { n } ) \exp ( r _ { - n } ) } { \exp ( r _ { + n } ) - \exp ( r _ { - n } ) } , } \\ { a _ { n } } & { = \frac { 2 ( 1 - \cos ( n \pi ) ) } { n \pi } , \; \; b _ { n } = \frac { 2 n \pi \cos ( n \pi ) } { i W ^ { 2 } + ( n \pi ) ^ { 2 } } , } \\ { r _ { \pm n } } & { = P \pm \sqrt { P ^ { 2 } + i W ^ { 2 } + ( n \pi ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } [ p _ { m } , p _ { r } ] } & { = B \sum _ { k = \mathcal { M } _ { C } } ^ { N - 1 } { \binom { N - 1 } { k } } p _ { r } ^ { k } ( 1 - p _ { r } ) ^ { N - 1 - k } } \\ & { + p _ { m } ( B { \binom { N - 1 } { \mathcal { M } _ { C } - 1 } } p _ { r } ^ { \mathcal { M } _ { C } - 1 } ( 1 - p _ { r } ) ^ { N - \mathcal { M } _ { C } } - C ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ( f ) } & { = \underset { K \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } \frac { 1 } { 2 K T _ { c } } \langle | \hat { N } ( f ) | ^ { 2 } \rangle , } \\ & { = \frac { | P ( f ) | ^ { 2 } } { 2 T _ { c } } \underset { K \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } \frac { \langle | \hat { G } ( f ) | ^ { 2 } \rangle } { K } , } \\ & { = \frac { | P ( f ) | ^ { 2 } } { 2 T _ { c } } \underset { K \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } \frac { m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } } { K } \sum _ { m , n = - K } ^ { K - 1 } \langle \hat { X } _ { n } \hat { X } _ { m } \rangle e ^ { \mathrm { i } 2 \pi f ( n - m ) T _ { c } } , } \\ & { = m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } \frac { | P ( f ) | ^ { 2 } } { T _ { c } } \left[ 1 + \underset { K \rightarrow \infty } { \mathrm { l i m } } \frac { 1 } { 2 K } \sum _ { \underset { m \neq n } { m , n = - K } } ^ { K - 1 } \langle \hat { X } _ { n } \hat { X } _ { m } \rangle e ^ { \mathrm { i } 2 \pi f ( n - m ) T _ { c } } \right] . } \end{array}
M _ { Z - Z ^ { \prime } } ^ { 2 } = 2 \left( \begin{array} { l l } { { ( m _ { H } ^ { 2 } + { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } m _ { S } ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { 2 g ^ { \prime } Q _ { H } ^ { \prime } } { G } } ( m _ { H } ^ { 2 } + { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } m _ { S } ^ { 2 } ) } } \\ { { { \frac { 2 g ^ { \prime } Q _ { H } ^ { \prime } } { G } } ( m _ { H } ^ { 2 } + { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } m _ { S } ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { 4 g ^ { 2 } { Q ^ { \prime } } _ { H } ^ { 2 } } { G ^ { 2 } } } ( 1 + { \frac { | Q _ { S } ^ { \prime } | } { | Q _ { H } ^ { \prime } | } } ) ( m _ { H } ^ { 2 } + { \frac { | Q _ { H } ^ { \prime } | } { | Q _ { S } ^ { \prime } | } } m _ { S } ^ { 2 } ) + m _ { S } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \Big ( e ^ { - A ( T ) } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } X ( t ) > \gamma \Big ) } & { \leq \frac { 1 } { \gamma } { \mathbb E } ( H _ { T } \wedge \lambda ) + { \mathbb P } ( H _ { T } > \lambda ) , } \\ { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } X ( t ) > \gamma \Big ) } & { \leq \frac { e ^ { R } } { \gamma } { \mathbb E } ( H _ { T } \wedge \lambda ) + { \mathbb P } ( H _ { T } > \lambda ) + { \mathbb P } ( A ( T ) > R ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { u + \overline { { { M _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } } } } } = { \frac { \cal P } { u + M _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } } - i \pi \, \mathrm { s i g n } ( p _ { 0 } r _ { 0 } ) \delta ( u + M _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } ) \; .
H = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { p - A } \right) ^ { 2 } + \Phi - \left( \mathbf { p - A } \right) \cdot \mathbf { a } _ { \pm } + \frac { \mathbf { a } _ { \pm } ^ { 2 } } { 2 } + \phi .
\frac { 1 } { \sqrt { G } } \partial _ { M } \sqrt { G } G ^ { M N } \partial _ { N } = ( k z ) ^ { 2 } \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } - ( k z ) ^ { 5 } \partial _ { z } \frac { 1 } { ( k z ) ^ { 3 } } \partial _ { z } .
\begin{array} { r l } { 2 \frac { \left\Vert \dot { W } _ { \delta } ( t ) \right\Vert } { t } } & { = \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left\Vert \mu \nabla h ( X _ { \delta } ) - \mu W _ { \delta } - \nabla f ( X _ { \delta } ) \right\Vert } \\ & { \leq \left\Vert \mu \nabla h ( X _ { \delta } ) - \mu W _ { \delta } - \nabla f ( X _ { \delta } ) \right\Vert } \\ & { \leq \mu \left\Vert W _ { \delta } \right\Vert + \mu \left\Vert \nabla h ( X _ { \delta } ) \right\Vert + \left\Vert \nabla f ( X _ { \delta } ) \right\Vert } \\ & { \leq \mu \left\Vert w _ { 0 } \right\Vert + \frac { \mu t ^ { 2 } } { 2 } A _ { \delta } ( t ) + \mu \left\Vert \nabla h \left( x _ { 0 } \right) \right\Vert + \mu L _ { h } t B _ { \delta } ( t ) + \left\Vert \nabla f \left( x _ { 0 } \right) \right\Vert + L _ { f } t B _ { \delta } ( t ) . } \end{array}
B _ { \infty , \infty } ^ { s } ( \mathbb { T } ^ { d } ) : = \left\{ \varphi \in \mathrm D ^ { \prime } ( \mathbb { T } ^ { d } ) \bigg | \; \operatorname* { s u p } _ { ( j , k , l ) \in \mathcal { I } _ { w } } 2 ^ { j ( s + \frac { d + w } { 2 } ) } | ( \varphi , \psi _ { j + w , k } ^ { l } ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { d } ) } | < \infty \right\} .
\begin{array} { r l } { v ^ { + } ( a ) = \operatorname* { l i m } _ { y \rightarrow a _ { + } } v ( y ) , \qquad } & { v ( a ) = - \left[ v \right] _ { a } = v ^ { - } ( a ) : = v ^ { + } ( a ) , } \\ { v ^ { - } ( b ) = \operatorname* { l i m } _ { y \rightarrow b _ { - } } v ( y ) , \qquad } & { v ( b ) = \left[ v \right] _ { b } = v ^ { + } ( b ) : = v ^ { - } ( b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { t } _ { s } } & { { } = \frac { \nabla _ { s } x } { \partial h _ { s } } = \widehat { t } , } \\ { \widehat { t } _ { \theta } } & { { } = \frac { \partial _ { \theta } x } { \sigma } = - \sin ( \theta + \phi ) \widehat { n } + \cos ( \theta + \phi ) \widehat { b } , } \\ { \widehat { t } _ { \sigma } } & { { } = \frac { \partial _ { \sigma } x } { h _ { \sigma } } = \cos ( \theta + \phi ) \widehat { n } + \sin ( \theta + \phi ) \widehat { b } , } \end{array}
G ^ { J J ^ { \prime } } ( x ) = \frac { \delta ^ { J J ^ { \prime } } } { | x | ^ { 2 J } } \left( \frac { g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } N } { 8 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { J } \cdot J \cdot \frac { \sinh \left( \frac { 1 } { 2 } \frac { J ^ { 2 } } { N } \right) } { \frac { 1 } { 2 } \frac { J ^ { 2 } } { N } }
\mathrm { v a r } ( \widehat { \sigma _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { 2 } } ) = \frac { 1 } { m _ { \Delta } ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sigma _ { k } ^ { 4 } \mathrm { v a r } ( Y _ { k } ) \simeq \frac { 2 } { m _ { \Delta } ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } m _ { k } \sigma _ { k } ^ { 4 } .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \mathscr { E } _ { l } ^ { c } ) } & { \leq } & { \exp ( - c L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash ( K _ { 0 } ^ { 3 \slash 2 } T ^ { 3 \slash 2 } ) ) + C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 } ) } \\ & { } & { + \exp ( - 8 L ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\bar { e } _ { i } e _ { j } = \frac { 1 } { 2 } ( \bar { e } _ { i } e _ { j } + \bar { e } _ { j } e _ { i } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \bar { e } _ { i } e _ { j } - \bar { e } _ { j } e _ { i } ) = \delta _ { i j } + e _ { i j }
y ( t _ { 1 } ) = \int \frac { d \omega _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 \pi } t ( \omega _ { 1 } ^ { \prime } ) e ^ { - \mathrm { i } \omega _ { 1 } ^ { \prime } t _ { 1 } } = \mathrm { i } \theta ( t _ { 1 } ) \sum _ { \mu } e ^ { - \mathrm { i } \omega _ { \mu } t _ { 1 } } t _ { \mu } \: ,
\begin{array} { r } { ( t _ { a } ) _ { a \in \underline { { \sf 4 } } } \cdot ( B _ { a } , I ) _ { a \in \underline { { \sf 4 } } } = ( t _ { a } ^ { - 1 } \, B _ { a } , I ) _ { a \in \underline { { \sf 4 } } } \qquad \mathrm { f o r } \quad ( t _ { a } ) _ { a \in \underline { { \sf 4 } } } = \big ( \mathrm { e } ^ { \, \mathrm { i } \, \epsilon _ { a } } \big ) _ { a \in \underline { { \sf 4 } } } \in \mathsf { T } _ { \vec { \epsilon } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } } & { = \widehat \gamma { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } Q { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } + \widehat \gamma { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } X { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } + \widehat \gamma ^ { 2 } { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } X { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } , } \\ { L \cdot { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol U } } & { = \widehat \gamma { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } Q { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol U } + \widehat \gamma { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } X { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol U } + \widehat \gamma ^ { 2 } { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } X { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol U } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } \left\{ \bar { \theta } , \, \cos ^ { - 1 } \left( \frac { r _ { m + 1 } } { 2 } \right) \right\} < \widehat { \theta } < \frac { \pi } { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } d \leq 1 } \\ { \operatorname* { m a x } \left\{ \bar { \theta } , \, \cos ^ { - 1 } \left( \frac { r _ { m + 1 } } { 2 d } \right) \right\} < \widehat { \theta } < \frac { \pi } { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } d > 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { B ( x , t ) = } & { { } \frac { B _ { i n } ( x ) } { \Gamma _ { i n } } \delta ( t ) - \frac { \zeta \gamma } { 4 \Gamma _ { i n } } \Theta ( t ) e ^ { - \gamma t / 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n \left( - \frac { \zeta \gamma t } { 4 } \right) ^ { n - 1 } \beta _ { 1 } \frac { \xi _ { 1 } ^ { n } } { n ! } R \left( \begin{array} { l } { q _ { 1 } } \\ { n + 1 } \end{array} ; x \right) } \\ { = } & { { } \frac { B _ { i n } ( x ) } { \Gamma _ { i n } } \delta ( t ) - \frac { B _ { i n } ( x ) } { \Gamma _ { i n } } \frac { \xi _ { 1 } \zeta \gamma x } { 4 } \Theta ( t ) e ^ { - \gamma t / 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( - \frac { \xi _ { 1 } \zeta \gamma x t } { 4 } \right) ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n ! ( n - 1 ) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d Y ( t ) = \left[ \begin{array} { l } { d X _ { 1 } ( t ) } \\ { d X _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right] } \\ & { \qquad = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { p } ( t ) - a ( t , \alpha ( t - ) ) - \delta ( t ) } \\ { X _ { 2 } ( t - ) u ( t ) } \end{array} \right] d t + \left[ \begin{array} { l l } { - \sigma _ { 1 } ( t , \alpha ( t - ) ) } & { 0 } \\ { 0 } & { X _ { 2 } ( t - ) \sigma _ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { d W _ { 1 } ( t ) } \\ { d W _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right] } \\ & { \qquad + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { X _ { 2 } ( t - ) \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t , \alpha ( t - ) , z ) } \end{array} \right] \tilde { N } ( d t , d z ) + \left[ \begin{array} { l } { - \gamma ( t , \alpha ( t - ) ) } \\ { 0 } \end{array} \right] d \tilde { \Phi } ( t ) , } \\ & { \mathrm { w i t h ~ i n i t i a l ~ v a l u e s , } } \\ & { Y ( 0 ) = \left[ \begin{array} { l } { X _ { 1 } ( 0 ) } \\ { X _ { 2 } ( 0 ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { u - c } \\ { c } \end{array} \right] > 0 . } \end{array}
J _ { ( 0 , y _ { t } ) } = \left( \begin{array} { c c } { r y _ { t } + v _ { I } + y _ { t } - 1 } & { 0 } \\ { - \frac { N _ { I } ( r - 1 ) ( y _ { t } - 1 ) y _ { t } } { N _ { T } } } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { H = - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { \lambda _ { k } } { 2 } \left\{ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \xi _ { i } ^ { k } S _ { i } \right) ^ { 2 } - 1 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { - \delta _ { n } } ( t ) } & { = Y _ { - \delta _ { n } } ( t ) - \sqrt { x _ { 0 } } + \frac { b } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } Y _ { - \delta _ { n } } ( s ) d s - \frac { \sigma } { 2 } W ( t ) } \\ & { \le Y _ { - \delta _ { n + 1 } } ( t ) - \sqrt { x _ { 0 } } + \frac { b } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } Y _ { - \delta _ { n + 1 } } ( s ) d s - \frac { \sigma } { 2 } W ( t ) } \\ & { = L _ { - \delta _ { n + 1 } } ( t ) , } \end{array}
\partial _ { t } \tilde { h } + \tilde { a } _ { \kappa } \partial _ { s } \tilde { h } + \tilde { b } _ { \kappa } \tilde { h } - \kappa c _ { \kappa } \partial _ { s } ^ { 2 } \tilde { h } = \partial _ { s } g \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } \times [ 0 , T ] ,
\begin{array} { r l } & { l _ { X , Y } l _ { X , Z } < \{ l _ { X , Y } h _ { X , Z } , \; h _ { X , Y } l _ { X , Z } \} < h _ { X , Y } h _ { X , Z } < \theta _ { Y , X } } \\ & { l _ { X , Y } l _ { X , Z } < \{ l _ { X , Y } h _ { X , Z } , \; h _ { X , Y } l _ { X , Z } \} < \theta _ { Y , X } < h _ { X , Y } h _ { X , Z } } \\ & { l _ { X , Y } l _ { X , Z } < l _ { X , Y } h _ { X , Z } < \theta _ { Y , X } < h _ { X , Y } l _ { X , Z } < h _ { X , Y } h _ { X , Z } } \\ & { l _ { X , Y } l _ { X , Z } < h _ { X , Y } l _ { X , Z } < \theta _ { Y , X } < l _ { X , Y } h _ { X , Z } < h _ { X , Y } h _ { X , Z } } \\ & { l _ { X , Y } l _ { X , Z } < \theta _ { Y , X } < \{ l _ { X , Y } h _ { X , Z } , \; h _ { X , Y } l _ { X , Z } \} < h _ { X , Y } h _ { X , Z } } \\ & { \theta _ { Y , X } < l _ { X , Y } l _ { X , Z } < \{ l _ { X , Y } h _ { X , Z } , \; h _ { X , Y } l _ { X , Z } \} < h _ { X , Y } h _ { X , Z } } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { \dot { \phi } _ { k } } } & { { = } } & { { \pi _ { k } \qquad k = 1 , 2 , \ldots L } } \\ { { \dot { \pi } _ { k } } } & { { = } } & { { \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { ( \nabla ^ { 2 } \phi ) _ { k } - m ^ { 2 } \phi _ { k } - \phi _ { k } ^ { 3 } } } & { { k = 2 , 3 , \ldots , L - 1 } } \\ { { ( \nabla ^ { 2 } \phi ) _ { k } - m ^ { 2 } \phi _ { k } - \phi _ { k } ^ { 3 } - w _ { k } ^ { 3 } \pi _ { k } / T - w _ { k } ^ { \prime } \pi _ { k } ^ { 3 } / T } } & { { k = 1 , L } } \end{array} \right. \right. } } \\ { { \dot { w } _ { k } } } & { { = } } & { { \pi _ { k } ^ { 2 } / T - 1 , \qquad \dot { w } _ { k } ^ { \prime } = \pi _ { k } ^ { 4 } / T - 3 \pi _ { k } ^ { 2 } \qquad k = 1 , L . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { ( a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + \dotsb + a _ { n } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { \, a _ { 1 } ^ { 2 } + 2 a _ { 1 } a _ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) a _ { 3 } + a _ { 3 } ^ { 2 } + \dotsb + a _ { n - 1 } ^ { 2 } + 2 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } a _ { i } \right) a _ { n } + a _ { n } ^ { 2 } } \\ { = } & { \, a _ { 1 } ^ { 2 } + [ 2 a _ { 1 } + a _ { 2 } ] a _ { 2 } + [ 2 ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) + a _ { 3 } ] a _ { 3 } + \dotsb + \left[ 2 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } a _ { i } \right) + a _ { n } \right] a _ { n } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k + 1 } ^ { z } \| ^ { 2 } ] } & { \le ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } ( 1 + 8 l _ { g , 1 } ^ { 2 } \gamma _ { k } ^ { 2 } ) \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ] + 2 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 8 l _ { g , 1 } ^ { 2 } ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \left( \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + \gamma _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ] \right) , } \\ { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k + 1 } ^ { y } \| ^ { 2 } ] } & { \le ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } ( 1 + 9 6 l _ { g , 1 } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } ) \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } ] + 2 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } + \lambda _ { k + 1 } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + 1 2 \delta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 9 6 l _ { g , 1 } ^ { 2 } ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } ( \xi ^ { 2 } \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { V } ^ { ( \mathrm { t f } ) } } & { { } = \! \sum _ { k } | s _ { k } ^ { ( A ) } | + \! \sum _ { l } | s _ { l } ^ { ( B ) } | + \! \sum _ { t k l } | s _ { t } ^ { ( v ) } \alpha _ { k t } ^ { ( A _ { v } ) } \alpha _ { l t } ^ { ( B _ { v } ) } | , } \\ { \lambda _ { P } ^ { ( \mathrm { t f } ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { s } ^ { 2 } + \sum _ { n } | s _ { n } | ^ { 2 } , } \\ { \lambda _ { \mathrm { V P } _ { s } } ^ { ( \mathrm { t f } ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } | \tilde { s } _ { k } ^ { ( A ) } | + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l } | \tilde { s } _ { l } ^ { ( B ) } | } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } { \dot { \textbf { e } } } _ { \theta } = { \ddot { \textbf { e } } } _ { \theta } = - { \ddot { \theta } } { \textbf { e } } _ { r } - { \dot { \theta } } ^ { 2 } { \textbf { e } } _ { \theta }
a ( t ) = \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { e } P _ { i n } } } { 2 i \left( \Delta + + \mathrm { ~ g ~ } _ { \theta } \theta ( t ) + \mathrm { ~ g ~ } _ { N } N ( t ) \right) - \kappa + \alpha _ { N } \left| N ( t ) \right| } .
{ \hat { \Pi } } _ { 2 } ( \vec { x } , t ) = 3 D - i ( { \dot { \hat { \phi } } } _ { 2 } ( \vec { x } , t ) + \frac { 1 } { 2 = } \hat { D _ { { \bar { z } } _ { 1 } } \phi _ { 1 } } ( \vec { x } , t ) + \hat { D _ { 3 } \phi _ { 2 } } ( \vec { x } , t ) ) ,
\begin{array} { r l r } { B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \ensuremath { \mathbf { D } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + \ensuremath { \mathbf { P } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { 1 } L _ { 1 } + b _ { 2 } L _ { 2 } } & { = b _ { 1 } L _ { 1 } + b _ { 2 } \left( L _ { 1 } ^ { \perp } - s L _ { 1 } \right) \frac { 1 } { 1 + s ^ { 2 } } } \\ & { = \left( b _ { 1 } - \frac { b _ { 2 } s } { 1 + s ^ { 2 } } \right) L _ { 1 } + \frac { b _ { 2 } } { 1 + s ^ { 2 } } L _ { 1 } ^ { \perp } , } \end{array}
W _ { \alpha \beta } ^ { - 1 } ( 1 , 2 ) = D _ { 0 \, \alpha \beta } ^ { - 1 } ( 1 , 2 ) + \Sigma _ { \alpha \beta } ( 1 , 2 ) + 2 \, \gamma _ { \alpha \beta \rho } \, \Phi ^ { \rho } ( 1 ) \, \delta ( 1 - 2 ) ,
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = \pm v _ { \| } k - \frac { i } { 2 } D _ { \pi } ^ { \| } k ^ { 2 } + \ldots , } \\ { \omega } & { { } = - i D _ { \pi } ^ { \perp } k ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { L } _ { z } } & { { } = } & { \hbar m \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { S } _ { z } } & { { } = } & { \hbar \left( \hat { n } _ { \mathrm { L } } - \hat { n } _ { \mathrm { R } } \right) . } \end{array}
\hat { V } = \sum _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \sum _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } .
{ { \sigma } _ { e m } } ( \omega ) = { \textrm { R e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d t { { e } ^ { i \omega t } } T { { r } _ { S } } } \left[ \rho _ { { { \mu } ^ { + } } } ^ { \dagger } ( t ) { { \rho } _ { { { \mu } ^ { + } } } } ( { { t } _ { e q } } ) \right]
- \psi ^ { \prime \prime } - \left( 2 \frac { f ^ { \prime } } { f } + \frac { 1 } { 2 } \frac { s ^ { \prime } } { s } \right) \psi ^ { \prime } + m ^ { 2 } \psi = \lambda _ { 1 } \delta ( r - a ) + \lambda _ { 2 } \delta ( r - b ) \ .