harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \eta ( E ) = } & { \frac { 2 \pi } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \frac { 1 } { \omega _ { \mathrm { L } } S _ { 0 } } e ^ { \left[ - \beta E + \beta Q \omega _ { \mathrm { L } } ^ { - 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } ( 1 - E ^ { 2 } ) ( c _ { 1 1 } + c _ { 2 2 } ) + c _ { 3 3 } E ^ { 2 } \right) \right] } } \\ & { \times \Theta ( \omega _ { \mathrm { L } } S _ { 0 } + E ) \Theta ( \omega _ { \mathrm { L } } S _ { 0 } - E ) } \\ & { \times \mathrm { I } _ { 0 } \left( \frac { 1 } { 2 } \beta Q \omega _ { \mathrm { L } } ^ { - 2 } ( c _ { 1 1 } - c _ { 2 2 } ) ( 1 - E ^ { 2 } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( 0 , \tau ) } & { { } = \frac { d } { d \tau } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \tau } } \frac { s \psi _ { 0 } \left( s \right) } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } d x - \tau \frac { d } { d \tau } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \tau } } \frac { s \varphi _ { 0 } ( s ) } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } d s - \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { s \varphi _ { 0 } ( s ) } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } d s } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { - ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } ) } & { = - a + ( - b ) \alpha + ( - c ) \alpha ^ { 2 } \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } \mathrm { G F } ( 8 ) , { \mathrm { t h i s ~ o p e r a t i o n ~ i s ~ t h e ~ i d e n t i t y ) } } } \\ { ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } ) + ( d + e \alpha + f \alpha ^ { 2 } ) } & { = ( a + d ) + ( b + e ) \alpha + ( c + f ) \alpha ^ { 2 } } \\ { ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } ) ( d + e \alpha + f \alpha ^ { 2 } ) } & { = ( a d + b f + c e ) + ( a e + b d + b f + c e + c f ) \alpha + ( a f + b e + c d + c f ) \alpha ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \oint _ { C } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } \, d s } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( 2 \sin ( s ) \mathbf { i } + 5 \cos ( s ) \mathbf { j } ) \cdot ( \cos ( s ) \mathbf { i } + \sin ( s ) \mathbf { j } ) \, d s } \end{array}
U _ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } N _ { e } T _ { e 2 } + \frac { 3 } { 2 } N _ { i } T _ { i 2 } - \frac { 1 } { 2 } N _ { e } e ^ { 2 } \left( \frac { 3 Z } { 2 } + 1 \right) k _ { e 2 } - \frac { 1 } { 4 } N _ { i } Z ^ { 2 } e ^ { 2 } k _ { i 2 } ^ { 2 } \frac { 2 k _ { D 2 } + k _ { e 2 } } { ( k _ { D 2 } + k _ { e 2 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { k _ { i j } ^ { ( 2 ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } + \frac { k _ { i j } ^ { ( 2 , 1 ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } \right) + \Gamma \left( p _ { f } ^ { ( 1 ) } - p _ { f } ^ { ( 2 ) } \right) = \hphantom { X X X X X X X X X X X X X } } \end{array}
\vert \{ \lambda \} , \{ \rho \} , \chi \rangle { } ~ \equiv { } ~ ( \alpha _ { - { n _ { 1 } } } ^ { 0 } ) ^ { \lambda _ { 1 } } . . . ( \alpha _ { - { n _ { p } } } ^ { 0 } ) ^ { \lambda _ { p } } ( \epsilon _ { - r _ { 1 } } ^ { ( \pm ) 0 } ) ^ { \rho _ { 1 } } . . . ( \epsilon _ { - r _ { s } } ^ { ( \pm ) 0 } ) ^ { \rho _ { s } } \vert \chi ; q \rangle { } ~ ,
\frac { \partial { v } _ { 1 z s } } { \partial t } = \frac { q _ { s } } { m _ { s } } { v } _ { 1 x s } B _ { 0 } + \frac { 1 } { m _ { s } n _ { s } } \frac { B _ { 1 } } { B _ { 0 } } \frac { \partial p _ { s 0 } } { \partial y } .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \mathrm { ( ) } \le M ^ { 2 } \mathbb { P } ( \bar { \Omega } ) \operatorname* { s u p } _ { B _ { R } } | \nabla \zeta | } } \\ & { + \mathbb { P } \big ( \bar { \Omega } - \{ \forall t \in [ - 1 , 2 ] \; X ( t ) \in \bar { B } _ { R } \} \big ) \operatorname* { s u p } _ { B _ { R } } \zeta + ( 1 - \kappa _ { \lambda } ) _ { + } \int _ { B _ { R } } \zeta } \end{array}
h _ { \mathrm { e f f } } = { \left( \begin{array} { l l } { | { \vec { p } } | } & { 0 } \\ { 0 } & { | { \vec { p } } | } \end{array} \right) } + { \frac { 1 } { 2 | { \vec { p } } | } } { \left( \begin{array} { l l } { ( { \tilde { m } } ^ { 2 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { ( { \tilde { m } } ^ { 2 } ) ^ { * } } \end{array} \right) } + { \frac { 1 } { | { \vec { p } } | } } { \left( \begin{array} { l l } { { \widehat { a } } _ { \mathrm { e f f } } - { \widehat { c } } _ { \mathrm { e f f } } } & { - { \widehat { g } } _ { \mathrm { e f f } } + { \widehat { H } } _ { \mathrm { e f f } } } \\ { - { \widehat { g } } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \dagger } + { \widehat { H } } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \dagger } } & { - { \widehat { a } } _ { \mathrm { e f f } } ^ { T } - { \widehat { c } } _ { \mathrm { e f f } } ^ { T } } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l } & { i ( 1 + k / k _ { L } ) \frac { \partial \alpha _ { k } ^ { p m } ( k , \eta ) } { \partial \eta } \exp ( - i \tilde { k } _ { k } ^ { p m } \eta ) = k _ { c } \sum _ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } \Big \langle \mathrm { L G } _ { p m } \Big | \left( \frac { \delta n ( r , \xi , \eta ) } { \Delta n } \right) _ { k } \ast \left( \alpha _ { k } ^ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( k , \eta ) \exp ( - i \tilde { k } _ { k } ^ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } \eta ) \right) \Big | \mathrm { L G } _ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } \Big \rangle } \end{array}
M _ { x , y } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mu } \eta _ { \mu } ( x ) [ ( 1 + i \tilde { \theta } _ { \mu } ( x ) ) \delta _ { y , x + \mu } - ( 1 - i \tilde { \theta } _ { \mu } ( x - \mu ) ) \delta _ { y , x - \mu } ] + m \delta _ { x , y } .
I _ { \mathrm { e f f } } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g ^ { E } } \left[ R - \frac { 1 } { 2 } ( \partial \Phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 \Phi } ( \partial b ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } e ^ { \Phi } \delta c \right]
Q = { \frac { \partial } { \partial \theta } } - i \Theta ^ { * } { \frac { \partial } { \partial t } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad Q ^ { \dagger } = { \frac { \partial } { \partial \theta ^ { * } } } + i \Theta { \frac { \partial } { \partial t } }
\frac { C ^ { n + 1 } - C ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } \cdot \nabla C _ { l } ^ { n + 1 } = \nabla \cdot \left( g _ { l } ^ { n } D _ { l } \nabla C _ { l } ^ { n + 1 } \right) .
\begin{array} { r l } { f ^ { i , j , k } } & { = \frac { g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k } - g _ { x } ^ { i - 0 . 5 , j , k } } { \Delta x } } \\ & { + \frac { g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k } - g _ { y } ^ { i , j - 0 . 5 , k } } { \Delta y } } \\ & { + \frac { g _ { z } ^ { i , j , k + 0 . 5 } - g _ { z } ^ { i , j , k - 0 . 5 } } { \Delta z } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { m _ { T } \ddot { u } _ { T 1 } = k _ { s } \left( u _ { 1 } - u _ { T 1 } \right) + c _ { s } \left( \dot { u } _ { 1 } - \dot { u } _ { T 1 } \right) - k _ { b } u _ { T 1 } - c _ { b } \dot { u } _ { T 1 } } \\ { m _ { T } \ddot { u } _ { T 2 } = k _ { s } \left( u _ { 3 } - u _ { T 2 } \right) + c _ { s } \left( \dot { u } _ { 3 } - \dot { u } _ { T 2 } \right) - k _ { b } u _ { T 2 } - c _ { b } \dot { u } _ { T 2 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { E ^ { * } \left( \left( F _ { i , j } ^ { * } - \widehat f _ { j , n } \right) ^ { 4 } \right) = E ^ { * } \left( \left( \frac { \widehat \sigma _ { j , n } } { \sqrt { C _ { i , j } } } r _ { i , j } ^ { * } \right) ^ { 4 } \right) = \frac { \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 4 } } { C _ { i , j } ^ { 2 } } E ^ { * } \left( r _ { i , j } ^ { * 4 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { p v } \int _ { 0 } ^ { L } } & { { } z _ { e } ( e ^ { \prime } ) \cot \Big ( \frac { z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } = \frac { L } { \pi } p v \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { z _ { e } ( e ^ { \prime } ) } { z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) } \, \mathrm { d } e ^ { \prime } } \\ { = } & { { } - \frac { L } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \Bigg ( \Bigg [ \ln \Big ( z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) \Big ) \Bigg ] _ { - \infty } ^ { e - \varepsilon } + \Bigg [ \ln \Big ( z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) \Big ) \Bigg ] _ { e + \varepsilon } ^ { + \infty } \Bigg ) } \\ { = } & { { } - \frac { L } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \operatorname* { l i m } _ { S \to \infty } \Bigg ( \Big ( ( \ln ( \varepsilon \rho ) + i \theta ) - \ln S \Big ) + \Big ( \ln S + i \pi - ( \ln ( \varepsilon \rho ) + i \theta + i \pi ) \Big ) \Bigg ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) } & { { } \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } c _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , \ \ \mathbf { v } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , \ } \\ { p _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( x , t ) } & { { } \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { - 2 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } p _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { D _ { \mu } ^ { i } = \nabla _ { \mu } + i \frac { q } { 2 \sqrt { \beta } } Q _ { i } \tilde { H } _ { \mu } , } } \\ { { D _ { \mu } ^ { I } = \nabla _ { \mu } + i \frac { e } { 2 } E _ { I } \tilde { A } _ { \mu } - i \frac { \alpha e } { 2 \sqrt { \beta } } E _ { I } \tilde { H } _ { \mu } , } } \end{array}
n ( x ) = \lambda ^ { 2 } T \int _ { 0 } ^ { L ( x ) } \omega ( y ) d y = \lambda ^ { 2 } T \left\{ \frac { \alpha _ { s } E ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } e ^ { \frac { - n \pi m ^ { 2 } } { | g E | } } \right\} L ( x ) \, .
i \frac { \partial } { \partial t } G ( \bar { z } ^ { \prime \prime } , z ^ { \prime } ; t ) = \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i j } \bar { z } _ { i } ^ { \prime \prime } \frac { \partial } { \partial \bar { z } _ { i } ^ { \prime \prime } } ( \bar { z } _ { j } ^ { \prime \prime } \frac { \partial } { \partial \bar { z } _ { j } ^ { \prime \prime } } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \beta _ { i } \bar { z } _ { i } ^ { \prime \prime } \frac { \partial } { \partial \bar { z } _ { i } ^ { \prime \prime } } + \gamma ^ { \prime } \right) G ( \bar { z } ^ { \prime \prime } , z ^ { \prime } ; t )
t _ { x } = \sum _ { a , b , k , l , m , n } \overset { X _ { 1 } } { B ( 1 ) } _ { b } ^ { a } \otimes \overset { X _ { 2 } } { A ( 1 ) } _ { l } ^ { k } \otimes \overset { X _ { 3 } } { M ( 2 ) } _ { n } ^ { m } \otimes p _ { S } \big ( _ { 1 } x _ { a } \otimes _ { 1 } x ^ { b } \otimes _ { 2 } x _ { k } \otimes _ { 2 } x ^ { l } \otimes _ { 3 } x _ { m } \otimes _ { 3 } x ^ { n } \big ) .
K = \left( \begin{array} { c c c } { \phantom { a } } \\ { \mathbf k \times \mathbf e _ { x } } & { \mathbf k \times \mathbf e _ { y } } & { \mathbf k \times \mathbf e _ { z } } \\ { \phantom { m } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - k _ { z } } & { k _ { y } } \\ { k _ { z } } & { 0 } & { - k _ { x } } \\ { - k _ { y } } & { k _ { x } } & { 0 } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } & { U ( z ; R _ { 1 } , R _ { 2 } ) = - { \frac { A } { 6 } } \left( { \frac { 2 R _ { 1 } R _ { 2 } } { z ^ { 2 } - ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) ^ { 2 } } } + { \frac { 2 R _ { 1 } R _ { 2 } } { z ^ { 2 } - ( R _ { 1 } - R _ { 2 } ) ^ { 2 } } } + \ln \left[ { \frac { z ^ { 2 } - ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) ^ { 2 } } { z ^ { 2 } - ( R _ { 1 } - R _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right] \right) } \end{array} }
\mathbf { R } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { u _ { a v e } - c _ { a v e } n _ { x } } & { u _ { a v e } } & { u _ { a v e } + c _ { a v e } n _ { x } } & { n _ { y } } \\ { v _ { a v e } - c _ { a v e } n _ { y } } & { v _ { a v e } } & { v _ { a v e } + c _ { a v e } n _ { y } } & { - n _ { x } } \\ { \frac { c _ { a v e } ^ { 2 } } { ( \gamma - 1 ) } + \nu - c _ { a v e } \tilde { u } } & { \nu } & { \frac { c _ { a v e } ^ { 2 } } { ( \gamma - 1 ) } + \nu + c _ { a v e } \tilde { u } } & { u _ { a v e } n _ { y } - v _ { a v e } n _ { x } } \end{array} \right] ,
V ( r ) \sim \left\{ \begin{array} { c l } { { - 2 k ^ { 2 } / r ^ { 6 } } } & { { \textrm { s c a l a r p e r t u r b a t i o n } } } \\ { { + 4 k ^ { 2 } / r ^ { 6 } } } & { { \textrm { e l e c t r o m a g n e t i c - g r a v i t a t i o n a l p e r t u r b a t i o n } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { H } } _ { 0 } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) = \overline { { \mathrm { C } _ { c } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } ^ { \lVert \cdot \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \mathrm { , } \quad \mathrm { a n d } \quad \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , 0 } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) = \overline { { \mathrm { C } _ { c } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } ^ { \lVert \cdot \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \mathrm { ~ ; } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) } & { { } = \frac { ( D \alpha + D ) \left( - \frac { 2 \gamma } { D \alpha + D } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha + 1 } } e ^ { \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha + 1 } } { D \alpha + D } } } { \Theta ( \alpha + 1 ) \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } , - \frac { 2 L ^ { \alpha + 1 } \gamma } { \alpha D + D } \right) } \ . } \end{array}
\left< X ( p _ { X } ) | \bar { q } \gamma ^ { \mu } b | \bar { B } ( p _ { B } ) \right> \equiv f _ { + } ( q ^ { 2 } ) ( p _ { B } + p _ { X } ) ^ { \mu } + f _ { - } ( q ^ { 2 } ) ( p _ { B } - p _ { X } ) ^ { \mu } \, ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { i j } * G ( v ) \nu _ { i } \nu _ { j } } & { \leq \int _ { 2 | v ^ { \prime } | < | v | } \frac { | v - v ^ { \prime } | ^ { 2 } - \langle v - v ^ { \prime } , \nu \rangle ^ { 2 } } { | v - v ^ { \prime } | ^ { 3 } } G ( v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } } \\ & { \quad + \int _ { 2 | v ^ { \prime } | \geq | v | } \frac { | v - v ^ { \prime } | ^ { 2 } - \langle v - v ^ { \prime } , \nu \rangle ^ { 2 } } { | v - v ^ { \prime } | ^ { 3 } } G ( v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( U _ { i } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } } & { { } = } & { ( U _ { i } ) _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \phi ( \Delta _ { j } ^ { + } \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } + \Delta _ { j } ^ { + } \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } , \Delta _ { j } ^ { - } \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } + \Delta _ { j } ^ { - } \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathsf { E } [ \xi _ { 2 } ( u , \beta ) ] = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda r \, \mathrm { e } ^ { - \lambda \pi r ^ { 2 } } \, } \\ & { \qquad \mathrm \times \mathsf { E } \biggl [ \log \biggl ( 1 + \frac { H _ { b _ { o } , t } \, w _ { u , r , \theta } ^ { - \beta } } { \sigma ^ { 2 } + I _ { u , b _ { o } } } \biggr ) \biggm | R _ { b _ { o } } = r \biggr ] \, \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta , } \end{array}
\tilde { H } _ { \kappa , i } ( \phi _ { i } ) = \frac { \ln \left( \kappa + ( 1 - \kappa ) \left( ( 1 - \frac { I } { \gamma } \right) ^ { \phi _ { i } } \right) } { \ln \left( 1 - \frac { I } { \gamma } \right) } .
\begin{array} { r } { \mathfrak { M } _ { \Phi _ { 7 , n + m } - \Phi _ { 7 , n } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \overset { \le } \sum _ { k = n } ^ { \infty } \mathfrak { M } _ { \Phi _ { 7 , k } \circ \psi _ { k + 1 } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \overset \le 6 \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) \sum _ { k = n } ^ { \infty } c _ { \mathtt { p e } } ^ { k + 1 } N _ { k } ^ { - \frac { \sigma _ { 1 } } 2 } . } \end{array}
( \tilde { \eta } _ { \infty } ^ { ( 0 ) } ) ^ { T } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \tilde { \eta } _ { \infty } ^ { ( 0 ) } = \mathbf { V } ^ { T } ( \mathbf { A } - \mathbf { B } ) \mathbf { V } .
\begin{array} { r } { \mathbf { q } _ { 2 } = | A _ { 1 } | ^ { 2 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 1 } \bar { A } _ { 1 } } + | B _ { 1 } | ^ { 2 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { B _ { 1 } \bar { B } _ { 1 } } + \left( A _ { 1 } ^ { 2 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 1 } A _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } 2 \left( \omega _ { 1 n } t - \theta \right) } + B _ { 1 } ^ { 2 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { B _ { 1 } B _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } 2 \left( \omega _ { 1 n } t + \theta \right) } + c . c . \right) } \\ { + \left( A _ { 1 } B _ { 1 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 1 } B _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } 2 \omega _ { 1 n } t } + A _ { 1 } \overline { { B } } _ { 1 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 1 } \overline { { B } } _ { 1 } } e ^ { - \mathrm { i } 2 \theta } + c . c . \right) . \ \ \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( P _ { \mathrm { I + N } } ^ { ( n ) } , \widehat { P } _ { \mathrm { I + N } } ^ { ( n ) } \right) } & { = \left| P _ { \mathrm { I + N } } ^ { ( n ) } - \widehat { P } _ { \mathrm { I + N } } ^ { ( n ) } \right| ^ { 2 } , } \\ & { = \left| P _ { \mathrm { I + N } } ^ { ( n ) } - f _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ; \boldsymbol { \Theta } _ { \mathrm { i n } } ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
V = \left\{ { \begin{array} { c } { ( \Delta , x ) : x \in C \mathrm { { } } } \\ { \operatorname { T r } ( A ^ { T } A \Delta ) - 2 y ^ { T } A ^ { T } x + \left\| y \right\| ^ { 2 } - \rho \leq 0 , \mathrm { { { } \Delta \geq x x ^ { T } } } } \end{array} } \right\} .
\widehat { \mathcal { E } } _ { \mathrm { ~ B ~ i ~ a ~ s ~ } } ^ { 2 } = \mathcal { O } ( M ^ { - p } ) \le ( 1 - \theta ) \epsilon ^ { 2 } , \qquad \widehat { \mathcal { E } } _ { \mathrm { ~ S ~ t ~ a ~ t ~ } } ^ { 2 } = \frac { V _ { h } } { N } \le \theta \epsilon ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \beta \to 0 } \mu = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to \infty } \mu = 1 } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 0 } \mu = \operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } \mu = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial } { \partial t } \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } + \frac { \partial } { \partial x } \left[ 2 u ^ { 3 } + u u _ { x x } - \frac { 1 } { 2 } u _ { x } ^ { 2 } + \epsilon \left( \frac { 1 } { 4 } c _ { 1 } u ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } u ^ { 2 } u _ { x x } + c _ { 4 } u u _ { x x x x } - c _ { 4 } u _ { x } u _ { x x x } \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \mathrm + \frac { 1 } { 2 } c _ { 4 } u _ { x x } ^ { 2 } \right) \right] + \epsilon \left( c _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u ^ { 2 } u _ { x x x } = 0 . } \end{array}
{ \cal C } [ \phi ] ( t ) \equiv { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \ln p } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 \ln p } } ( t - t ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \phi ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } } & { = } & { R C _ { S C } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \; \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q ) ^ { 3 } ( 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q ) ( 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q ) } } 2 \beta _ { x } \cos ^ { 2 } \phi _ { x } } \\ & { } & { \exp \left[ - \frac { 2 \beta _ { x } J _ { x } \cos ^ { 2 } \phi _ { x } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } + q } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } + q } - \frac { \gamma ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + q } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \vphantom { \bigg ( } } } & { { \begin{array} { c c c c c } { { \quad H _ { u } ^ { 0 } } } & { { \ H _ { d } ^ { 0 } } } & { { \quad L ^ { 0 } } } & { { \qquad N ^ { c } } } & { { } } \end{array} } } \\ { { \widehat { M } _ { N } = \begin{array} { l } { { H _ { u } ^ { 0 } } } \\ { { H _ { d } ^ { 0 } } } \\ { { L ^ { 0 } } } \\ { { N ^ { c } } } \end{array} } } & { { \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { Z ^ { ( l ) } } } & { { G ^ { ( l ) T } } } & { { 0 } } \\ { { Z ^ { ( l ) } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { G ^ { ( l ) } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho _ { u } M ^ { ( l ) } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho _ { u } M ^ { ( l ) T } } } & { { N } } \end{array} \right) } } \end{array}
\left| \xi \right| ^ { 2 \gamma _ { 1 } } \frac { ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } ) ^ { 2 } + \sum _ { 0 \le i _ { 0 } < i _ { 1 } \le n \atop i _ { 1 } > 1 } \left| \xi \right| ^ { 2 ( \beta _ { i _ { 0 } } + \beta _ { i _ { 1 } } - 1 + \alpha _ { 2 } ) } \left| G _ { 1 } \big ( \beta _ { i _ { 0 } } , \beta _ { i _ { 1 } } ; \tilde { g } _ { i _ { 0 } } ( \xi ) , \tilde { g } _ { i _ { 1 } } ( \xi ) \big ) \right| ^ { 2 } } { \Big ( 1 + \left| \xi \right| ^ { 2 ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } ) } + \left| \xi \right| ^ { 2 ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 0 } ) } \left| \tilde { g } _ { 2 } ( \xi ) \right| ^ { 2 } + \left| \xi \right| ^ { 2 ( \beta _ { n } - \beta _ { 0 } ) } \left| \tilde { g } _ { n } ( \xi ) \right| ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } } | \mathrm { d } \xi | ^ { 2 } .
J _ { N } ^ { i } ( \sigma ) = J _ { 0 } ^ { i } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \cos n \sigma ( J _ { n } ^ { i } + J _ { - n } ^ { i } ) \quad \mathrm { a n d } \quad J _ { D } ^ { i } ( \sigma ) = i \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sin n \sigma ( J _ { n } ^ { i } - J _ { - n } ^ { i } ) .
\begin{array} { r l } { x _ { n } ^ { 2 b } } & { = x _ { n } ^ { b } + x _ { n } ^ { 2 b } - x _ { n } ^ { b } } \\ & { \geq \frac { b } { n } - \sqrt { 6 \cdot b / n \log n } + \left( 1 + \frac { C - 1 } { 4 } \right) \cdot \frac { b } { n } } \\ & { \geq \frac { 2 b } { n } - \sqrt { 6 \cdot b / n \log n } + \frac { C - 1 } { 4 } \cdot \frac { b } { n } } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \geq } \frac { 2 b } { n } + \frac { C - 1 } { 8 } \cdot \frac { b } { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \mathcal { L } _ { k + 1 } ^ { a } } & { \leq \left[ 1 - \frac { 3 } { 2 } \eta _ { k } \mu + \frac { 4 a _ { 1 } \eta _ { k } ^ { 3 } n L ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } + \frac { 2 2 a _ { 2 } \eta _ { k } ^ { 3 } n L ^ { 2 } } { \alpha } \right] \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \left[ \frac { 3 + \tilde { \lambda } _ { 2 } } { 4 } a _ { 1 } \eta _ { k } + \frac { 3 \eta _ { k } L ^ { 2 } } { n \mu } + \frac { 9 a _ { 2 } \eta _ { k } \gamma } { \alpha } \right] \mathbb { E } \left[ \left\Vert \check { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \left[ \left( 1 - \frac { \alpha } { 3 } \right) a _ { 2 } \eta _ { k } + a _ { 1 } \eta _ { k } \gamma C \right] \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \left[ \frac { 1 } { n } + a _ { 1 } \eta _ { k } n + \frac { 1 1 a _ { 2 } \eta _ { k } n } { \alpha } \right] \eta _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \left[ \frac { 4 a _ { 1 } \eta _ { k } } { ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 8 a _ { 2 } \eta _ { k } } { \alpha } \right] \left( \eta _ { k } - \eta _ { k + 1 } \right) ^ { 2 } \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}