harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } } \big | \mathrm { E C T } _ { f } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { f } ^ { A } ( v , t ) \big | \; \mathrm { d } t } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } } \bigg | \sum _ { e \in E } \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } - 1 ) \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) - \Big [ \sum _ { e \in E } \mathrm { E C T } _ { b _ { e } } ( v , t ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } - 1 ) \mathrm { E C T } _ { b _ { i } } ( v , t ) \Big ] \bigg | \; \mathrm { d } t } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } } \Big | \sum _ { e \in E } \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) - \sum _ { e \in E } \mathrm { E C T } _ { b _ { e } } ( v , t ) \Big | \; \mathrm { d } t } \\ { \leq } & { \sum _ { e \in E } \int _ { \mathbb { R } } \Big | \mathrm { E C T } _ { \gamma _ { e } } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { b _ { e } } ( v , t ) \Big | \; \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \Gamma } _ { i j } ^ { \ell } Y ^ { j } X ^ { i } } & { = \frac { 1 } { 2 } g ^ { \ell m } \left( ( \nabla _ { X } \sigma ) _ { j m } Y ^ { j } + ( \nabla _ { Y } \sigma ) _ { i m } X ^ { i } - ( \nabla _ { m } \sigma ) _ { i j } Y ^ { j } X ^ { i } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( ( \nabla _ { X } \sigma ) Y + ( \nabla _ { Y } \sigma ) X - ( \nabla \sigma ) ( X , Y ) \right) \right] ^ { \ell } . } \end{array}
e _ { A \lambda } ^ { \alpha } \, e _ { A ^ { \prime } \lambda } ^ { * \alpha ^ { \prime } } \, \left( \delta _ { \perp \alpha \alpha ^ { \prime } } - ( D - 2 ) \frac { { q _ { 1 } } _ { \perp \alpha } \, { q _ { 1 } } _ { \perp \alpha ^ { \prime } } } { { q _ { 1 } } _ { \perp } ^ { 2 } } \right) = 0 \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; e _ { A \lambda } ^ { \alpha } \, e _ { A ^ { \prime } \lambda } ^ { * \alpha ^ { \prime } } \, \delta _ { \perp \alpha \alpha ^ { \prime } } = - 1 \, ,
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { D i f f } } : = } & { \ ( t - h ( t ) \mid ( W , h ) \in \Sigma _ { \mathrm { D i f f } } \mathrm { ~ a n d ~ } t \in M _ { W } ) } \\ { = } & { \ ( 1 - \varepsilon , f { \otimes } g - f g , \ensuremath { \partial } { \otimes } { f } - f { \otimes } \ensuremath { \partial } - \ensuremath { \partial } { f } \mid f , g \in \mathcal { R } ) } \end{array}
J = \sum _ { k = 1 } ^ { N } u _ { k } ^ { T } R _ { u } u _ { k } + \Delta u _ { k } ^ { T } R _ { \Delta u } u _ { k } + e _ { k + 1 } ^ { T } Q _ { e } e _ { k + 1 } + \Delta \hat { e } ^ { T } \hat { Q } _ { \Delta e } \Delta \hat { e }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \partial _ { t } \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) - \nu \Delta \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) + \mathcal { U } ^ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) ] } \\ & { = \underbrace { \partial _ { t } U _ { i } ( x , t ) } + \partial _ { t } U _ { i } ( x , t ) \left( \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } \mathbb { E } [ \psi ( x ) ] \right) } \\ & { - \underbrace { \nu \Delta U _ { i } ( x , t ) } - \frac { \nu \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } \left( \mathbb { E } [ \psi ( x ) ] \Delta U _ { i } ( x , t ) - \nabla _ { i } U _ { i } ( x , t ) \mathbb { E } [ \nabla ^ { j } \psi ( x ) ] \right) } \\ & { - \frac { \nu \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } \left( \nabla ^ { j } U _ { i } \mathbb { E } [ \nabla _ { j } \psi ( x ) ] + U _ { i } ( x , t ) \mathbb { E } [ \Delta \psi ( x ) ] \right) } \\ & { + \underbrace { U ^ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } U _ { i } ( x , t ) } + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } U ^ { j } ( x , t ) \psi ( x ) \nabla _ { j } U _ { i } ( x , t ) } \\ & { + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } U ^ { j } ( x , t ) U _ { i } ( x , t ) \mathbb { E } [ \nabla _ { j } \psi ( x ) ] } \\ & { \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } U ^ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } U _ { i } ( x , t ) \mathbb { E } [ \psi ( x ) ] + \frac { \theta ^ { 2 } } { { d ( d + 2 ) } } U ^ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } U _ { i } ( x , t ) \mathbb { E } [ \psi ( x ) \psi ( x ) ] } \\ & { + \frac { \theta ^ { 2 } } { { d ( d + 2 ) } } U ^ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } U _ { i } ( x , t ) \mathbb { E } [ \nabla _ { j } \psi ( x ) ] } \\ & { = \partial _ { t } { U } _ { i } ( x , t ) - \nu \Delta { U } _ { i } ( x , t ) + { U } ^ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } { U } _ { i } ( x , t ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \Sigma } _ { t + 1 } = \overline { { A } } _ { t } \tilde { \Sigma } _ { t } \overline { { A } } _ { t } ^ { \top } - \overline { { A } } _ { t } \tilde { \Sigma } _ { t } C ^ { \top } ( \tilde { V } _ { t } + C \tilde { \Sigma } _ { t } C ^ { \top } ) ^ { - 1 } C \tilde { \Sigma } _ { t } \overline { { A } } _ { t } ^ { \top } , } \end{array}
\tilde { v } ( k , \omega ) = \frac { \tilde { h } } { H } \frac { i \overline { { D } } _ { 0 } k ( 1 + \mathrm { P e } ^ { \star } \overline { { \mathrm { P e } } } ) + ( \mathrm { P e } ^ { \star } / \overline { { \mathrm { P e } } } - 1 ) \omega / k } { { 1 + ( \mathrm { P e } ^ { \star } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \ln S ( A , \Pi , \widetilde { \Pi } ) } & { = \sum _ { i < j } A _ { i j } \ln \biggl [ \frac { ( 1 + \delta _ { i j } ) ( 1 + \tilde { \delta } _ { i j } ) } { ( 1 - \frac { p _ { i j } } { 1 - p _ { i j } } \delta _ { i j } ) ( 1 - \frac { p _ { i j } } { 1 - p _ { i j } } \tilde { \delta } _ { i j } ) } \biggr ] } \\ & { \qquad + \ln \biggl [ \Bigl ( 1 - \frac { p _ { i j } } { 1 - p _ { i j } } \delta _ { i j } \Bigr ) \Bigl ( 1 - \frac { p _ { i j } } { 1 - p _ { i j } } \tilde { \delta } _ { i j } \Bigr ) \biggr ] . } \end{array}
\widehat { \mathcal { E } } _ { A _ { \mathrm { M L M C } } } ^ { 2 } \approx \frac { \left\Vert \mathbb { E } ( u ) - \mathbb { E } ( u _ { L } ) \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } } { \left\Vert \mathbb { E } ( u _ { L } ) \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \frac { V _ { \ell } } { N _ { \ell } } = \widehat { \mathcal { E } } _ { \mathrm { B i a s } } ^ { 2 } + \widehat { \mathcal { E } } _ { \mathrm { S t a t } } ^ { 2 } ,
\begin{array} { c c c c c c c } { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { } } & { { h ^ { 1 1 } } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { 1 } } & { { } } & { { h ^ { 1 2 } } } & { { } } & { { h ^ { 2 1 } } } & { { } } & { { 1 } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { } } & { { h ^ { 2 2 } } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \end{array} \ ; \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \begin{array} { l } { { h ^ { 1 1 } = h ^ { 2 2 } } } \\ { { h ^ { 1 2 } = h ^ { 2 1 } \ . } } \end{array}
\psi ( \zeta _ { j } , | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { j } | ) = \left( \frac { \zeta _ { j } ^ { 3 } } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { - \zeta _ { j } | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { j } | } ,
B = \int _ { - \Lambda } ^ { \Lambda } \, { \frac { d q ^ { 2 } } { | q ^ { 2 } + i \epsilon | ^ { 2 } } } \; \to \; \sim \int _ { - \Lambda } ^ { \Lambda } \, { \frac { d q ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } - \lambda + i \epsilon ) ( q ^ { 2 } + \lambda - i \epsilon ) } }
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { b } } & { { } = \varepsilon _ { 1 } ^ { b } + \varepsilon _ { 3 } ^ { b } - \varepsilon _ { 2 } ^ { b } , } \\ { \Delta \epsilon ^ { b } } & { { } = 2 \varepsilon _ { 2 } ^ { b } - ( \varepsilon _ { 1 } ^ { b } + \varepsilon _ { 3 } ^ { b } ) , } \\ { t ^ { b } } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } ( \varepsilon _ { 2 } ^ { b } - \varepsilon _ { 1 } ^ { b } ) ( \varepsilon _ { 3 } ^ { b } - \varepsilon _ { 2 } ^ { b } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( F , F _ { \epsilon } ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } L ( F _ { n } , F _ { \epsilon } ) \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } L ( F _ { n } , F _ { n , \epsilon } ) + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } L ( F _ { n , \epsilon } , F _ { \epsilon } ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } L ( F _ { n } , F _ { n , \epsilon } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( 0 ) } & { = 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 , } \\ { f ( 1 ) } & { = 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 , \mathrm { ~ a n d } } \\ { f ( 2 ) } & { = 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | T | } & { \leq } & { 2 A u ( s _ { 1 } ) C [ 3 b _ { 2 } ( \delta ) u ( s _ { 1 } ) + \cdots + N b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s _ { 1 } ) ^ { N - 2 } + u ( s _ { 1 } ) ^ { N - 1 } N ( 2 + 2 c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] } \\ & { \leq } & { 2 A u ( s ) C [ 3 b _ { 2 } ( \delta ) u ( s ) + \cdots + N b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 2 } + u ( s ) ^ { N - 1 } N ( 2 + 2 c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } e _ { A } + ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \Pi _ { A } = \widetilde { Q } _ { A } \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } e _ { B } + ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) \Pi _ { B } = \widetilde { Q } _ { B } \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } e _ { S } + ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \Pi _ { S } = \widetilde { Q } _ { S } \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } . } \end{array} \right.
\frac { \nu _ { 1 } \mu _ { 0 } - \mu _ { 0 } - \nu _ { 1 } } { \mu _ { 0 } } < \nu _ { 0 } < \frac { \nu _ { 1 } \mu _ { 0 } + \mu _ { 0 } - \nu _ { 1 } } { \mu _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { \psi ( 0 , \tau ) } & { = \frac { d } { d \tau } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \tau } } \frac { s \psi _ { 0 } \left( s \right) } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } d x - \tau \frac { d } { d \tau } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \tau } } \frac { s \varphi _ { 0 } ( s ) } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } d s - \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { s \varphi _ { 0 } ( s ) } { \sqrt { \tau ^ { 2 } - s ^ { 2 } } } d s } \\ & { = \frac { \pi } { 2 } \left[ \mathcal { A } ^ { - 1 } \psi _ { 0 } - \tau \mathcal { A } ^ { - 1 } \varphi _ { 0 } \right] - \mathcal { A } \left( s \varphi _ { 0 } \right) . } \end{array}
- \textstyle { \frac { 1 } { 8 } } \int d ^ { 4 } x ~ ( \int d ^ { 2 } \theta ~ W ^ { \alpha } W _ { \alpha } + \int d ^ { 2 } \bar { \theta } ~ \bar { W } _ { \dot { \alpha } } \bar { W } ^ { \dot { \alpha } } ) = \int d ^ { 4 } x ~
{ \frac { 1 } { D _ { 0 } D _ { 1 } \cdots D _ { n } } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \cdots \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - u _ { 0 } D _ { 0 } \cdots - u _ { n } D _ { n } } \, d u _ { 0 } \cdots d u _ { n } \, .
\tau \to { \frac { p \tau + q } { r \tau + s } } , \ \ \ H ^ { ( i ) } \to ( r \tau _ { 1 } + s ) H ^ { ( i ) } + r \tau _ { 2 } ( { \cal L } \hat { \cal M } ) _ { i j } \, \star H ^ { ( j ) } , \ \ \ \ \ p s - q r = 1 .
\int x ^ { 2 } \operatorname { a r c c o s } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \operatorname { a r c c o s } ( a x ) } { 3 } } - { \frac { \left( a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 \right) { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } { 9 \, a ^ { 3 } } } + C
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal P _ { A } ^ { n + 1 } - \mathcal P _ { A } ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = - \mathcal I _ { P , A } ^ { n + \frac 1 2 } \, , } \\ { \frac { \mathcal P _ { B } ^ { n + 1 } - \mathcal P _ { B } ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = - \mathcal I _ { P , B } ^ { n + \frac 1 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| \widehat { x } _ { k } - x _ { 0 } \| ^ { 2 } = \sum _ { j \in [ j _ { \operatorname* { m a x } } ] } \operatorname* { P r } [ J = j ] 2 ^ { 2 j } \mathbb { E } \| x _ { j } - x _ { j - 1 } \| ^ { 2 } = \sum _ { j \in [ j _ { \operatorname* { m a x } } ] } 2 ^ { j } \mathbb { E } \| x _ { j } - x _ { j - 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
s h o w s p h a s e p o r t r a i t a n d p h a s e s p a c e d i a g r a m a b o u t S t a n d a r d . \mu _ { 0 } v a l u e s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e c o l o r b a r a t t h e r i g h t - h a n d s i d e . F i g u r e
\begin{array} { r } { \mathtt { S o l } _ { \mathcal { N } } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) = \{ ( e _ { \alpha } ^ { I } , \omega _ { \mu } ^ { I J } + \eta ^ { I J } U _ { \mu } ) \mid e _ { \alpha } ^ { I } \in \mathtt { S o l } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) , \; U _ { \mu } \; \mathrm { a r b i t r a r y } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ \operatorname* { s u p } _ { Y \subset \gamma _ { i } ^ { \delta } [ 0 , \tau _ { i } ( l ) ] \cap B ^ { c } ( v _ { \delta } , l ) } | W ( Y , v _ { \delta } ) | > n , \, \gamma _ { i } ^ { \delta } \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ m e r g e ~ w i t h ~ } \cup _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \gamma _ { j } ^ { \delta } \mathrm { ~ b e f o r e ~ h i t t i n g ~ } \partial B ( z _ { i } ^ { \delta } , r ) \bigg | \gamma _ { 1 } ^ { \delta } , \ldots , \gamma _ { i - 1 } ^ { \delta } \right] } \\ { \le } & { C h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { \delta } ^ { + } ) e ^ { - c n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ( C \gets D ) = } & { ~ \frac { ( 1 - w _ { R } ) / k \cdot ( k - k _ { C } ) F _ { D | C } } { w _ { R } F _ { C } + ( 1 - w _ { R } ) / k \cdot [ k _ { C } F _ { C | C } + ( k - k _ { C } ) F _ { D | C } ] } } \\ { = } & { ~ ( 1 - w _ { R } ) \frac { k - k _ { C } } { k } + w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) ( \pi _ { D | C } - \pi _ { C } ) \frac { k - k _ { C } } { k } \delta } \\ & { + ( 1 - w _ { R } ) ^ { 2 } ( \pi _ { D | C } - \pi _ { C | C } ) \frac { k _ { C } ( k - k _ { C } ) } { k ^ { 2 } } \delta + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \pi _ { 1 } ( U , w ) } & { = \langle u _ { 1 } , \dots , u _ { k } \mid \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { l } \rangle } \\ { \pi _ { 1 } ( V , w ) } & { = \langle v _ { 1 } , \dots , v _ { m } \mid \beta _ { 1 } , \dots , \beta _ { n } \rangle } \\ { \pi _ { 1 } ( U \cap V , w ) } & { = \langle w _ { 1 } , \dots , w _ { p } \mid \gamma _ { 1 } , \dots , \gamma _ { q } \rangle } \end{array} }
\begin{array} { r } { \bar { \rho } _ { j + 1 / 2 } ^ { n + 1 } = \frac { \rho _ { j + 1 / 2 } ^ { n } \biggl | \underline { { \mathcal { P } _ { j + 1 / 2 } ^ { n } } } \biggr | - \Delta t ( f _ { j + 1 } ^ { n } - f _ { j } ^ { n } ) } { \biggl | \overline { { \mathcal { P } _ { j + 1 / 2 } ^ { n } } } \biggr | } } \\ { \rho _ { j + 1 / 2 } ^ { n + 1 } : = \frac { 1 } { \biggl | \underline { { \mathcal { P } _ { j + 1 / 2 } ^ { n + 1 } } } \biggr | } \sum _ { i \in \mathbb { Z } } \biggl | \underline { { \mathcal { P } _ { j + 1 / 2 } ^ { n + 1 } } } \bigcap \overline { { \mathcal { P } _ { i + 1 / 2 } ^ { n } } } \biggr | \, \bar { \rho } _ { i + 1 / 2 } ^ { n + 1 } } \\ { \rho _ { \Delta } ( t , x ) : = \sum _ { n = 0 } ^ { N } \sum _ { \begin{array} { l } { j \in \mathbb { Z } } \\ { j \neq j _ { n } \pm 1 } \end{array} } \rho _ { j + 1 / 2 } ^ { n } \, \mathbb { 1 } _ { \mathcal { P } _ { j + 1 / 2 } ^ { n } } ( t , x ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { I _ { p } } & { B D ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { I _ { q } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { A - B D ^ { - 1 } C } & { 0 } \\ { 0 } & { D } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { I _ { p } } & { 0 } \\ { D ^ { - 1 } C } & { I _ { q } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \phi ( | { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } | ) = e ^ { - \kappa _ { b } | { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } | } \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } } { | { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } | } , } \end{array}
2 . 3 4 \times 1 0 ^ { - 5 } + 5 . 6 7 \times 1 0 ^ { - 6 } = 2 . 3 4 \times 1 0 ^ { - 5 } + 0 . 5 6 7 \times 1 0 ^ { - 5 } = 2 . 9 0 7 \times 1 0 ^ { - 5 }
{ \cal L } = ( \partial ^ { \mu } \phi ) ^ { \ast } \partial _ { \mu } \phi - { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \alpha } } ( \partial A ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } A ( M A ) - m _ { s } ^ { 2 } \phi ^ { \ast } \phi \quad . \; \;
( \rho _ { L 1 } , u _ { L 1 } , v _ { L 1 } , p _ { L 1 } ) = ( 1 . 0 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , M _ { s } \sqrt { \gamma } \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 . 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 . 0 \mathrm { ~ P a } ) ,
G ( f ) = \frac { F _ { s i t e } ( f , V s 3 0 , P G A _ { r o c k } ) } { F _ { s i t e } ( f , V s _ { r e f } , P G A _ { r o c k } ) } ; ~ ~ ~ ~ G ^ { \lambda } ( f ) = \frac { F _ { s i t e } ( f , V s 3 0 , P G A _ { r o c k } ^ { \lambda } ) } { F _ { s i t e } ( f , V s _ { r e f } , P G A _ { r o c k } ^ { \lambda } ) }
\begin{array} { r l } { { \bf A } ^ { \{ F , F \} } } & { = C ^ { \{ S \} } \otimes A ^ { \{ F \} } \in \mathbb { R } ^ { s ^ { \{ S F \} } \times s ^ { \{ S F \} } } , } \\ { { \bf A } ^ { \{ F , E \} } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \otimes A ^ { \{ F \} } c ^ { \{ F \} \times k } \in \mathbb { R } ^ { s ^ { \{ S F \} } \times s ^ { \{ S \} } } , } \\ { { \bf A } ^ { \{ F , I \} } } & { = { \bf A } ^ { \{ F , E \} } = \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \otimes A ^ { \{ F \} } c ^ { \{ F \} \times k } \in \mathbb { R } ^ { s ^ { \{ S F \} } \times s ^ { \{ S \} } } , } \end{array}
\Delta F _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { i } e _ { i } ^ { 2 } \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } + 4 m _ { i } ^ { 2 } ) } { \pi } \frac { 4 } { 3 } \int _ { \bar { x } _ { q } } ^ { 1 } \frac { d y } { y } ( \frac { x } { y } ) ^ { 2 } [ q _ { i } ( y , Q ^ { 2 } + 4 m _ { i } ^ { 2 } ) + \bar { q } _ { i } ( y , Q ^ { 2 } + 4 m _ { i } ^ { 2 } ) ]
\operatorname* { s u p } _ { \lambda \ge \sqrt { \delta } } \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { 0 } ( \lambda x ) e ^ { - x ^ { 2 } } \mathrm { d } x \le \operatorname* { s u p } _ { \lambda \ge \sqrt { \delta } } \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { 0 } ( \lambda x ) \mathrm { d } x = \operatorname* { s u p } _ { \lambda \ge \sqrt { \delta } } \frac 1 \lambda \rho [ ( 0 , \infty ) ] \le \frac 1 { \sqrt { \delta } }
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \frac { \Gamma ( 2 k ) \Gamma ( n + k ) } { \Gamma ( 1 + n + 2 k ) } [ \gamma + \psi ( 1 + k ) ] = \zeta ( 3 ) .
\begin{array} { r } { C = \nu _ { \alpha \beta } \frac { m _ { 0 } } { m _ { \alpha } } \int _ { \Omega } U ( \Vec { v } , \bar { v } ) \cdot ( \frac { m _ { 0 } } { m _ { \alpha } } \bar { f } _ { \beta } \nabla f _ { \alpha } - \frac { m _ { 0 } } { m _ { \beta } } f _ { \alpha } \bar { \nabla } \bar { f } _ { \beta } ) } \end{array}
\scriptstyle { \begin{array} { r l } { x ^ { ( 1 ) } } & { { } = x _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } \\ { x ^ { ( 2 ) } } & { { } = x _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } \\ { x ^ { ( 3 ) } } & { { } = b \cos i \varphi } \\ { x ^ { ( 4 ) } } & { { } = b \sin i \varphi } \end{array} }
\frac { \beta ^ { 3 } } { 2 ^ { 9 } \pi ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \int _ { - q } ^ { q } d \omega \int _ { \frac { q - \omega } { 2 } } ^ { \infty } d p \int _ { \frac { q + \omega } { 2 } } ^ { \infty } d k \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \, ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { ( p + q - k - 1 ) } { ( p + q - 1 ) } \frac { k ! R _ { k + 1 } ( p , q , r , s ) } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! [ p + q - 2 ] _ { k _ { 1 } } [ r + s ] _ { k _ { 2 } } [ p + q + r + s - k - 1 ] _ { k } } } \\ & { = \frac { R _ { k + 1 } ( p , q , r , s ) } { [ p + q - 1 ] _ { k } [ r + s ] _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 2 } ^ { \mathrm { b } } : \quad } & { G ^ { 7 } ( 0 ) = 0 , \; G ^ { 7 } ( 1 ) = 1 , \; G ^ { 7 } ( 2 ) = 1 , \; G ^ { 7 } ( 3 ) = 2 , \; G ^ { 7 } ( 4 ) = 2 , } \\ & { G ^ { 7 } ( 5 ) = 3 , \; G ^ { 7 } ( 6 ) = 3 , \; G ^ { 7 } ( 7 ) = 4 , \; G ^ { 7 } ( 8 ) = 4 , \; G ^ { 7 } ( 9 ) = 5 , } \\ & { G ^ { 7 } ( 1 0 ) = 5 , \; G ^ { 7 } ( 1 1 ) = 6 , \; G ^ { 7 } ( 1 2 ) = 6 , \; G ^ { 7 } ( 1 3 ) = 7 , } \\ & { G ^ { 7 } ( 1 4 ) = 7 , \; G ^ { 7 } ( 1 5 ) = 8 , \; G ^ { 7 } ( 1 6 ) = 8 , \; G ^ { 7 } ( 1 7 ) = 9 , \; G ^ { 7 } ( 1 8 ) = 9 , } \\ & { G ^ { 7 } ( 1 9 ) = 1 0 , \; G ^ { 7 } ( 2 0 ) = 1 0 , \; G ^ { 7 } ( 2 1 ) = 1 1 , \; G ^ { 7 } ( 2 2 ) = 1 1 . \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 6 } = \frac { i \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } - 1 , n _ { y } + 1 \right) \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } , n _ { y } \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } , n _ { y } + 1 \right) } } & { } \\ { - \frac { i \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } - 1 \right) \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } , n _ { y } \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } \right) } } & { } \\ { + \frac { i \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } - 1 \right) \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } \right) } } & { } \\ { - \frac { i \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } - 1 , n _ { y } + 1 \right) \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } , n _ { y } + 1 \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } , n _ { y } + 1 \right) } } & { } \\ { + \frac { i \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } , n _ { y } + 1 \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } - \frac { i \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { P } ( t , x ) = \frac { k ( 1 - e ^ { - 2 \beta t } ) } { 4 } e ^ { \frac { k ^ { 2 } e ^ { - 2 \beta t } } { 4 } } ( \mathrm { E r f } X - 1 ) e ^ { - k | x - e ^ { - \beta t } a | } + \frac { e ^ { - \beta t } } { \sqrt { \pi } } e ^ { - ( x - a e ^ { - \beta t } ) ^ { 2 } } , } \\ & { } & { X = - x e ^ { \beta t } + \frac 1 2 k e ^ { - \beta t } + a . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal A _ { \omega } ^ { 2 } } & { = ( \gamma _ { \lambda } ^ { - } ) ^ { * } A _ { \omega } ^ { - } ( \gamma _ { \lambda } ^ { + } ) ^ { * } A _ { \omega } ^ { + } + ( \gamma _ { \lambda } ^ { + } ) ^ { * } A _ { \omega } ^ { + } ( \gamma _ { \lambda } ^ { - } ) ^ { * } A _ { \omega } ^ { - } + \Psi ^ { - \infty } } \\ & { = \left( ( \gamma _ { \lambda } ^ { - } ) ^ { * } A _ { \omega } ^ { - } ( \gamma _ { \lambda } ^ { - } ) ^ { * } \right) \left( b _ { \lambda } ^ { * } A _ { \omega } ^ { + } b _ { \lambda } ^ { - * } \right) b _ { \lambda } ^ { * } } \\ & { \qquad + \left( ( \gamma _ { \lambda } ^ { + } ) ^ { * } A _ { \omega } ^ { + } ( \gamma _ { \lambda } ^ { + } ) ^ { * } \right) \left( b _ { \lambda } ^ { - * } A _ { \omega } ^ { - } b _ { \lambda } ^ { * } \right) b _ { \lambda } ^ { - * } + \Psi ^ { - \infty } } \end{array}
I _ { 2 } \ = \ \frac { 1 } { 5 1 2 } \Big ( \uptau ^ { 4 } + ( 3 \uptau - 2 \uptau ^ { 3 } ) \sin 2 \uptau + ( \frac { 3 } { 2 } - 3 \uptau ^ { 2 } ) \cos 2 \uptau - \frac { 3 } { 2 } \Big )
\begin{array} { r l } { { 4 } P _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { { } = P _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) , } \\ { J _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { { } = J _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) , } \\ { P _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = P _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) , } \\ { J _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = J _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { d } _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } } & { = } & { \lambda _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } \left[ \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 2 ) } \left( \mathcal { W } _ { ( i + 1 , j , k ) } - \mathcal { W } _ { ( i , j , k ) } \right) \right. } \\ & { } & { \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 4 ) } \left( \mathcal { W } _ { ( i + 2 , j , k ) } - 3 \mathcal { W } _ { ( i + 1 , j , k ) } + 3 \mathcal { W } _ { ( i , j , k ) } - \mathcal { W } _ { ( i - 1 , j , k ) } \right) \left. \right] \, \mathrm { ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { 2 } ( t ) = 0 . 1 8 7 4 \Big [ 0 . 3 4 2 1 \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ( n - m t ) - \tan ^ { - 1 } \big [ \sinh ( n - m t ) \big ] \Big ] . } \end{array}