harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \varepsilon ^ { i j k } \int _ { D } K ^ { j } ( x , \eta ) \sigma _ { \varepsilon } ^ { k } ( \eta , t ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \varepsilon ^ { i j k } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ K ^ { j } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) Q _ { l } ^ { k } ( \eta , t ; 0 ) 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } \right] W _ { \varepsilon } ^ { l } ( \eta , 0 ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \varepsilon ^ { i j k } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ Q _ { l } ^ { k } ( \eta , t ; s ) 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { j } ( x , X _ { t } ^ { \eta } ) g _ { \varepsilon } ^ { l } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \textrm { d } \eta \textrm { d } s } \end{array}
1 , 2 , 3 , \dots , \omega , \omega + 1 , \omega + 1 , \dots \omega \cdot 2 , \omega \cdot 2 + 1 , \omega \cdot 2 + 2 , \dots \omega \cdot 3 , \dots \omega ^ { 2 } , \omega ^ { 2 } + 1 , \omega ^ { 2 } + 2 , \dots \omega ^ { 2 } + \omega , \dots \omega ^ { 3 } , \dots \omega ^ { 4 } , \dots , \omega ^ { \omega } , \dots \omega ^ { { \omega } ^ { \omega } } , \dots ,
D = \mathrm { D i a g } \big [ \kappa _ { + } ( 2 N _ { + } { + } \, 1 ) , \kappa _ { + } ( 2 N _ { + } { + } \, 1 ) , \kappa _ { - } ( 2 N _ { - } { + } \, 1 ) , \kappa _ { - } ( 2 N _ { - }
\frac { \mathrm { ~ N ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ w ~ a ~ y ~ s ~ o ~ f ~ a ~ c ~ h ~ i ~ e ~ v ~ i ~ n ~ g ~ o ~ d ~ d ~ } \, J } { \mathrm { ~ N ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ w ~ a ~ y ~ s ~ o ~ f ~ a ~ c ~ h ~ i ~ e ~ v ~ i ~ n ~ g ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } \, J } = \frac { ( S + 1 ) } { S } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ u ~ c ~ l ~ e ~ i ~ w ~ i ~ t ~ h ~ h ~ a ~ l ~ f ~ i ~ n ~ t ~ e ~ g ~ r ~ a ~ l ~ s ~ p ~ i ~ n ~ ; ~ a ~ n ~ d ~ }
- \int d ^ { 4 } x \int d y \, \, \Big [ \frac { F } { g _ { 5 } ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } \lambda ^ { a } \lambda ^ { a } + \frac { F ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 4 } } k | { \widetilde q } | ^ { 2 } \Big ] \delta ( y ) \, .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 4 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\mathopen : \phi _ { 0 } ^ { \alpha } \psi _ { 0 } ^ { \beta } \mathclose : = - \mathopen : \psi _ { 0 } ^ { \beta } \phi _ { 0 } ^ { \alpha } \mathclose : = \phi _ { 0 } ^ { \alpha } \psi _ { 0 } ^ { \beta } , \qquad \mathopen : \psi _ { m } ^ { \alpha } \psi _ { n } ^ { \beta } \mathclose : = \left\{ \begin{array} { c l } { { \psi _ { m } ^ { \alpha } \psi _ { n } ^ { \beta } } } & { { \mathrm { f o r ~ m < 0 ~ } , } } \\ { { - \psi _ { n } ^ { \beta } \psi _ { m } ^ { \alpha } } } & { { \mathrm { f o r ~ m > 0 ~ } . } } \end{array} \right.
X ^ { t } \left( \mathbf { V } \left( \mathbf { v } \right) \right) = \left( \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { t , 0 } \left( \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) , 0 } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) \right) , \theta ^ { \bar { N } _ { t } \left( \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) , 0 } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) , \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) \ .
+ \left( { \frac { \partial v _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial v _ { z } } { \partial x } } \right) \mathbf { j } + \left( { \frac { \partial v _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial v _ { x } } { \partial y } } \right) \mathbf { k }
d _ { 3 } \rightarrow f _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ x ~ } } + \frac { F } { 2 } \left[ \left( \frac { f _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ x ~ } } } { f _ { \mathrm { ~ D ~ } } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { f _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ x ~ } } } { F } \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } { v _ { r , i , j } ^ { t + 1 } } & { = } & { v _ { r , i , j } ^ { t } + \nu ( \frac { v _ { r , i + 1 , j } ^ { t } - 2 v _ { r , i , j } ^ { t } + v _ { r , i - 1 , j } ^ { t } } { ( \Delta r ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { v _ { r , i , j + 1 } ^ { t } - 2 v _ { r , i , j } ^ { t } + v _ { r , i , j - 1 } ^ { t } } { ( \Delta \theta ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { v _ { r , i + 1 , j } ^ { t } - v _ { r , i - 1 , j } ^ { t } } { 2 \Delta r } } \\ & { - } & { \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \frac { v _ { \theta , i , j + 1 } ^ { t } - v _ { \theta , i , j - 1 } ^ { t } } { 2 \Delta \theta } - \frac { v _ { r } ^ { t } } { r ^ { 2 } } ) \Delta t - v _ { r , i , j } ^ { t } \frac { v _ { r , i + 1 , j } ^ { t } - v _ { r , i - 1 , j } ^ { t } } { 2 \Delta r } \Delta t - \frac { v _ { \theta , i , j } ^ { t } } { r } ( \frac { v _ { r , i , j + 1 } ^ { t } - v _ { r , j - 1 } ^ { t } } { 2 \Delta \theta } - v _ { \theta , i , j } ^ { t } ) \Delta t } \end{array}
t _ { u } ( q ) = \frac { 1 } { k _ { 1 } ( K _ { M } + q s _ { 0 } ) } \, \log \left( 1 + C ( q ) \cdot \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad C = C ( q ) : = \frac { 1 } { q } \cdot \frac { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + q k _ { 1 } s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) } .
\chi _ { i t e r . } ^ { 2 } ( A _ { 1 } , t _ { 1 } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { v } ( f ) - \hat { A } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { - i \omega \hat { t } _ { 0 } } - A _ { 1 } \mathrm { e } ^ { - i \omega t _ { 1 } } \tilde { s } ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } .
\begin{array} { r l } { \widehat { R _ { 4 , 2 } } } & { : \mathcal { E } _ { \tau , h } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) \to \mathcal { F } _ { 4 \tau , 2 h } ( 4 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \; , } \\ { \widehat { R _ { 4 , 2 } } } & { : = \left( \begin{array} { l l l } { \hat { R } ( \check { \check { \theta } } _ { t } ) \hat { R } ( 2 \check { \theta } _ { t } ) \hat { R } ( \check { \theta } _ { x } ) } & { \: \cdots \: } & { \hat { R } ( \hat { \hat { \theta } } _ { t } ) \hat { R } ( 2 \hat { \theta } _ { t } ) \hat { R } ( \hat { \theta } _ { x } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , 0 } ^ { ( \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } , \ell m ) } ( \rho ) = } & { { } \left[ \rho ( \rho + R ) + \frac { R ^ { 2 } } { 1 0 } \right] A _ { m ^ { \prime } } ^ { \ell ^ { \prime } } { } _ { 0 } ^ { 1 } { } _ { m } ^ { \ell } - \frac { R ^ { 2 } } { 1 0 } A _ { m ^ { \prime } } ^ { \ell ^ { \prime } } { } _ { 0 } ^ { 3 } { } _ { m } ^ { \ell } , } \\ { J _ { 1 , \pm 1 } ^ { ( \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } , \ell m ) } ( \rho ) = } & { { } \left[ \rho ( \rho + R ) + \frac { R ^ { 2 } } { 5 } \right] A _ { m ^ { \prime } } ^ { \ell ^ { \prime } } { } _ { \pm 1 } ^ { 1 } { } _ { m } ^ { \ell } - \frac { R ^ { 2 } } { 5 \sqrt { 6 } } A _ { m ^ { \prime } } ^ { \ell ^ { \prime } } { } _ { \pm 1 } ^ { 3 } { } _ { m } ^ { \ell } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \frac { \partial \delta f _ { 2 } } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial \delta f _ { 2 } } { \partial x } - \delta ( t - \tau ) A _ { 1 } A _ { 2 } e ^ { 2 } \times } \\ { \times \cos k _ { 2 } x \sin k _ { 1 } ( x - v _ { x } \tau ) k _ { 1 } \tau \frac { \partial v _ { x } } { \partial p _ { x } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial p _ { x } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \beta } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k \, n _ { \beta } ( k ) } \\ { \times \langle \phi _ { a } | p _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k } p _ { i } | \phi _ { a } \rangle - \delta m ^ { \beta } . } \end{array}
A _ { t } ( \mid \vec { p } \mid , \lambda , m , \theta ) = - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 3 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \Lambda _ { 0 } ^ { 2 } } d ( \vec { k } ^ { 2 } ) \frac 1 { w _ { k } ( \vec { k } ^ { 2 } + \vec { q } ^ { 2 } / 4 + m ^ { 2 } ) } ,
\Gamma _ { t } ^ { ( 6 ) } ( { \bf { q } } _ { 1 } , \ldots , { \bf { q } } _ { n } ) \sim g _ { t } ^ { 3 } \gamma ^ { ( 6 ) } ( { \bf { q } } _ { 1 } , \ldots , { \bf { q } } _ { n } ) + O ( g _ { t } ^ { 4 } ) \; .
\tilde { \Delta } ^ { \alpha \beta } = \frac { p ^ { - \alpha } { } _ { \delta } ( \tilde { \Gamma } ^ { n } A _ { n } ) ^ { \delta \sigma } p ^ { - \beta } { } _ { \sigma } } { 2 i \big ( \sqrt { ( \pi A ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } A ^ { 2 } } + ( \pi A ) \big ) } , \qquad \tilde { \Delta } \Delta = p ^ { - }
\begin{array} { r } { \left| \left( P _ { \Psi } ^ { n - 1 } ( \mathfrak { s } ^ { \prime } ) - \boldsymbol { x } \right) _ { j } \right| \leq \left| \left( P _ { \Psi } ^ { n - 1 } ( \mathfrak { s } ^ { \prime } ) - P _ { \Psi } ^ { n } ( \mathfrak { s } ) \right) _ { j } \right| + \left| \left( P _ { \Psi } ^ { n } ( \mathfrak { s } ) - \boldsymbol { x } \right) _ { j } \right| \leq \frac { \ell _ { \Psi } ^ { n - 1 } } { 4 } + \frac { \ell _ { \Psi } ^ { n } } { 2 } \leq \frac { \ell _ { \Psi } ^ { n - 1 } } { 2 } . } \end{array}
J = \operatorname * { d e t } \left[ \begin{array} { c c } { { \partial w _ { i } / \partial z _ { j } } } & { { \partial w _ { i } / \partial \overline { { { z } } } _ { j } } } \\ { { \partial \overline { { { w } } } _ { i } / \partial z _ { j } } } & { { \partial \overline { { { w } } } _ { i } / \partial \overline { { { z } } } _ { j } } } \end{array} \right] ,
{ \operatorname* { d e t } } \left( \left( v ^ { 2 } - \frac { 4 S - 5 A } { 6 0 \rho } \right) g ^ { i j } - \frac { 8 S + 5 A } { 6 0 \rho } n ^ { i } n ^ { j } \right) = 0 .
= \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \left[ \frac { \psi ( n + 1 + \gamma ) - \psi ( 1 ) } { ( n + \gamma ) ^ { 2 } } + \frac { \psi ( n + 2 - \gamma ) - \psi ( 1 ) } { ( n + 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \right] \, .
D _ { \mathrm { K L } } ( p _ { t \mid 0 } | | p _ { \infty } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 n } \left[ e ^ { - \lambda _ { i } t } \left( E _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 - e ^ { - \lambda _ { i } t } \right) \right]
\dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { g } _ { t } ^ { 1 , 3 , \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } , \cdots , \dot { g } _ { t } ^ { 1 6 , 1 4 , \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } } \end{array} \right] \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { g } _ { t } ^ { 1 , 3 , \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } , \cdots , \dot { g } _ { t } ^ { 1 6 , 1 4 , \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } } \end{array} \right]
{ \begin{array} { r l } { \tan ^ { - 1 } x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 } } } & { = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 } } + \cdots } \\ & { = x + x \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 3 } } \right) + x \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 3 } } \right) \left( { \frac { - 3 x ^ { 2 } } { 5 } } \right) + x \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 3 } } \right) \left( { \frac { - 3 x ^ { 2 } } { 5 } } \right) \left( { \frac { - 5 x ^ { 2 } } { 7 } } \right) + \cdots } \\ & { = { \cfrac { x } { 1 - { \cfrac { \frac { - x ^ { 2 } } { 3 } } { 1 + { \frac { - x ^ { 2 } } { 3 } } - { \cfrac { \frac { - 3 x ^ { 2 } } { 5 } } { 1 + { \frac { - 3 x ^ { 2 } } { 5 } } - { \cfrac { \frac { - 5 x ^ { 2 } } { 7 } } { 1 + { \frac { - 5 x ^ { 2 } } { 7 } } - \ddots } } } } } } } } } \\ & { = { \cfrac { x } { 1 + { \cfrac { x ^ { 2 } } { 3 - x ^ { 2 } + { \cfrac { ( 3 x ) ^ { 2 } } { 5 - 3 x ^ { 2 } + { \cfrac { ( 5 x ) ^ { 2 } } { 7 - 5 x ^ { 2 } + \ddots } } } } } } } } . } \end{array} }
H _ { c } = \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { 1 } { 2 } \pi _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } F _ { i j } F ^ { i j } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( ( A ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( A ^ { i } ) ^ { 2 } ) - A _ { 0 } \Omega _ { 2 } \right] ,
\sigma _ { 1 } C \mapsto R = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \qquad \sigma _ { 2 } C \mapsto L ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \frac { h } { \sqrt { D t } } } & { { } \approx I - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { u } d u \sqrt { 1 - ( 1 - \chi ) ^ { 2 } } u ^ { - \frac { \chi + 1 } { 2 } } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 1 } } \\ { \sigma _ { 2 2 } } \\ { \sigma _ { 1 2 } } \end{array} \right] } \, = \, { \frac { E } { 1 - \nu ^ { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \nu } & { 0 } \\ { \nu } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 - \nu } { 2 } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 1 } } \\ { \varepsilon _ { 2 2 } } \\ { 2 \varepsilon _ { 1 2 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \operatorname { V a r } _ { \tilde { \pi } ^ { ( k ) } } \left[ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ M ~ F ~ } , p } ^ { ( k ) } \right] = c _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ M ~ F ~ } } ^ { ( k ) } \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( k ) } ] , \quad c _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ M ~ F ~ } } ^ { ( k ) } = c _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ } } ( \widetilde { F } ^ { ( k ) } , \widetilde { G } ^ { ( k ) } , \tilde { \pi } ^ { ( k ) } ) \times c _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ } } ^ { ( k ) } } \end{array}
\kappa = \frac { n _ { y } } { | n _ { y } | } \left( \frac { \bar { y } _ { x x } + \bar { y } _ { z z } + \bar { y } _ { x x } \bar { y } _ { z } ^ { 2 } + \bar { y } _ { z z } \bar { y } _ { x } ^ { 2 } - 2 \bar { y } _ { x z } \bar { y } _ { x } \bar { y } _ { z } } { ( 1 + \bar { y } _ { x } ^ { 2 } + \bar { y } _ { z } ) ^ { 3 / 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { 4 \nabla _ { \mathrm { ~ t ~ w ~ o ~ } } ^ { 2 } ( x , y ) } & { { } \equiv \sum _ { \mu = 1 } ^ { 3 } \big [ V _ { \mu } ( x ) \, \delta _ { x + 2 \hat { \mu } , \, y } + V _ { \mu } ^ { \dagger } ( x - 2 \hat { \mu } ) \, \delta _ { x - 2 \hat { \mu } , \, y } \big ] - 6 \, \delta _ { x , y } } \end{array}
\langle \overline { { L } } _ { 1 } , \overline { { L } } _ { 2 } \rangle _ { s , t } = \sum _ { v \in M _ { K } } N _ { v } \langle \overline { { L } } _ { 1 } , \overline { { L } } _ { 2 } \rangle _ { s , t , v } + h _ { \overline { { L } } _ { 1 } } ( \operatorname { d i v } ( t ) ) + h _ { \overline { { L } } _ { 2 } } ( \operatorname { d i v } ( s ) )
c _ { \nu } ^ { - 1 } = \prod _ { i > j } \prod _ { k = 0 } ^ { p } \frac { k + \nu _ { i } - \nu _ { j } - ( p + 1 ) ( i - j ) } { k - \nu _ { i } + \nu _ { j } + ( p + 1 ) ( i - j ) } \; .
\mathbf { H } ( \mathbf { r } ) = H _ { 0 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { m = n } b _ { n m } \mathbf { M } _ { n m } ^ { ( i ) } ( k , \mathbf { r } ) + a _ { n m } \mathbf { N } _ { n m } ^ { ( i ) } ( k , \mathbf { r } ) ,
\left( \begin{array} { c } { \rho _ { t } } \\ { \sigma _ { t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { ( 2 \pi ) ^ { - 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) + \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \rho _ { p } ( k ) } \\ { \sigma _ { p } ( k ) } \end{array} \right) \equiv d _ { 0 } + \hat { T } * \left( \begin{array} { c } { \rho _ { p } ( k ) } \\ { \sigma _ { p } ( k ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \Phi ^ { ( m ) } ( \mathbf { x } , z , t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { \Phi } _ { 0 } ^ { ( m ) } ( \mathbf { k } , t ) \frac { \cosh | \mathbf { k } | ( z + h ) } { \cosh | \mathbf { k } | h } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \mathrm { d } \mathbf { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \tilde { s } _ { a } [ s , x _ { s } ] = ( 1 - x _ { s } ) s , } & \\ & { \tilde { s } _ { b } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ] = s - t _ { 2 } + \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { t _ { 1 } + t _ { 2 } } , } & \\ & { \tilde { s } _ { c } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ] = \left( 1 - \frac { s } { t _ { 1 } + t _ { 2 } } \right) s . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \exists 0 < s < 1 : \quad \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + \delta { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } ) + \delta { \boldsymbol { \theta } } \cdot \frac { \partial \mathcal { H } ^ { - 1 } } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + s \delta { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ { \frac { \partial \mathcal { H } ^ { - 1 } } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } } & { { } = - \mathcal { H } ^ { - 1 } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } \mathcal { H } ^ { - 1 } } \\ { \lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + \delta { \boldsymbol { \theta } } ) \rVert } & { { } \leq \lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } ) \rVert + \lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + s \delta { \boldsymbol { \theta } } ) \rVert ^ { 2 } L \lVert \delta { \boldsymbol { \theta } } \rVert } \end{array}
\hat { O } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } } = \overline { { { \psi } } } ( 0 ) \, i \! \stackrel { \leftrightarrow } { D } ^ { ( \mu _ { 1 } } \! \! \cdots i \! \stackrel { \leftrightarrow } { D } ^ { \mu _ { n } ) } \! \psi ( 0 ) ~ ~ ~ n = 1 , 2 , . . . \ ,
( h ^ { \mathrm { g l a s s } } + z ^ { \mathrm { a i r } } ) \tan \theta ^ { \mathrm { a i r } } = h ^ { \mathrm { g l a s s } } \tan \theta ^ { \mathrm { g l a s s } } + z _ { \mathrm { f } } ^ { \mathrm { s a m } } ( \theta ^ { \mathrm { a i r } } ) \tan \theta ^ { \mathrm { s a m } }
M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p _ { a } , p ^ { \prime } , \tilde { q } , \tilde { q } ^ { \prime } ) = ( \mu _ { a } ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial \mu _ { a } ^ { 2 } } M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p _ { a } , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) \Bigr | _ { \mu _ { a } = m _ { a } , \theta _ { a } = \theta _ { p } }
\Big ( \frac { \frac { a ^ { 3 } } { 1 3 a ^ { 2 } + 5 b ^ { 2 } } } { n } + \frac { ( n - 1 ) ( a + b + c ) } { 5 4 n } \Big ) \Big ( \frac { \frac { b ^ { 3 } } { 1 3 b ^ { 2 } + 5 c ^ { 2 } } } { n } + \frac { ( n - 1 ) ( a + b + c ) } { 5 4 n } \Big ) \Big ( \frac { \frac { c ^ { 3 } } { 1 3 c ^ { 2 } + 5 a ^ { 2 } } } { n } + \frac { ( n - 1 ) ( a + b + c ) } { 5 4 n } \Big ) \geq \frac { ( a + b + c ) ^ { 3 } } { 5 4 ^ { 3 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l l } { 2 \omega ^ { 2 } + ( h _ { z } ( 0 , 0 , 0 ) ) ^ { 2 } } & { - 2 \omega h _ { z } ( 0 , 0 , 0 ) } & { 2 \omega ^ { 2 } } \\ { \omega h _ { z } ( 0 , 0 , 0 ) } & { ( h _ { z } ( 0 , 0 , 0 ) ) ^ { 2 } } & { - \omega h _ { z } ( 0 , 0 , 0 ) } \\ { 2 \omega ^ { 2 } } & { a \omega h ( 0 , 0 , 0 ) } & { 2 \omega ^ { 2 } + ( h _ { z } ( 0 , 0 , 0 ) ) ^ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { - h _ { x x } ( 0 , 0 , 0 ) } \\ { - h _ { x y } ( 0 , 0 , 0 ) } \\ { - h _ { y y } ( 0 , 0 , 0 ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\Delta ^ { a } \equiv \left( \nabla _ { \lambda } - i g \nu ^ { a } \overline { { { A } } } _ { \lambda } \right) ^ { 2 } = \nabla ^ { 2 } + i g \nu ^ { a } H ( x _ { 1 } \partial _ { 2 } - x _ { 2 } \partial _ { 1 } ) - { \frac { g ^ { 2 } ( \nu ^ { a } ) ^ { 2 } } { 4 } } H ^ { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) .
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! d t | \psi _ { s } ( t , z ) | ^ { 4 } = 4 \eta _ { m } ^ { 3 } \left[ \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left( \eta / \eta _ { m } \right) - \eta / \eta _ { m } \right] .
\begin{array} { r l r } { ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( Y - { Q _ { 0 , n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) - E _ { n } ( x ) } \\ & { } & { - \tilde { r } _ { n } ( x ) + R _ { n , 1 } ( x ) + O _ { P } ( C ( M _ { n } ) r ( d , J _ { 0 , n } ) ^ { k + 1 } ) . } \end{array}
\phi _ { \mathrm { { a b s o r p t i o n / e m i s s i o n } } } ^ { \mathrm { { C C } ~ ( \ t e x t i t { p } _ { 1 } \rightarrow \ t e x t i t { l } _ { \ t e x t i t } { m } ) } } ( E _ { k } \pm \omega ; E _ { k } )
\begin{array} { r l } { { 2 } 0 } & { { } = D \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Pi _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \mathrm { d } \Pi _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } - \gamma \left( \Pi _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) - \Pi _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) \right) , } \\ { 0 } & { { } = D \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Pi _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \left( - v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \mathrm { d } \Pi _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } - \gamma \left( \Pi _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) - \Pi _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) \right) , } \end{array}
| \hat { \nabla } \hat { \psi } | = \hat { H } \hat { \bar { u } } _ { s } = \int _ { 0 } ^ { \hat { H } } \hat { u } _ { s } ~ \mathrm { d } \hat { z } = \frac { \displaystyle { n \left( | \hat { \nabla } \hat { p } | \hat { H } - \hat { \tau } _ { y } \right) _ { + } ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \left( ( n + 1 ) | \hat { \nabla } \hat { p } | \hat { H } + n \hat { \tau } _ { y } \right) } } { ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) \hat { \kappa } ^ { 1 / n } | \hat { \nabla } \hat { p } | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { E _ { \theta } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big [ \sqrt { ( l - m ) ( l + m + 1 ) } \mathrm { Y } _ { l , m + 1 } ( \theta , \phi ) e ^ { - i \phi } - \sqrt { ( l + m ) ( l - m + 1 ) } \mathrm { Y } _ { l , m - 1 } ( \theta , \phi ) e ^ { i \phi } \Big ] \frac { E _ { 0 } e ^ { i k r } } { k r } , } \\ { E _ { \phi } } & { { } = } & { \frac { i m } { \sin \theta } \mathrm { Y } _ { l , m } ( \theta , \phi ) \frac { E _ { 0 } e ^ { i k r } } { k r } , } \\ { E _ { r } } & { { } = } & { - i l ( l + 1 ) \mathrm { Y } _ { l , m } ( \theta , \phi ) \frac { E _ { 0 } e ^ { i k r } } { ( k r ) ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { y - y _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } = \sqrt { 1 + \left( \frac { s - s _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) ^ { 2 } } - 1 ~ \! + ~ \! \gamma \frac { \lambda } { L } ~ \! \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { s - s _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) ^ { 2 }
\hat { \phi } ( { \bf x } , t ) = \sum _ { \alpha } \hat { \phi } _ { \alpha } ( t ) u _ { \alpha } ( { \bf x } ) , \hat { \phi } ( { \bf y } , t ) = \sum _ { \beta } \hat { \phi } _ { \beta } ( t ) u _ { \beta } ( { \bf x } ) ,
[ V _ { \alpha } , V _ { \beta } ] = \epsilon _ { \alpha \beta } ^ { ~ ~ ~ \! \gamma } V _ { \gamma } , \; \; \; [ V _ { \alpha } , V _ { m } ^ { a } ] = V _ { m } ^ { b } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { b } ^ { ~ a } , \; \; \; \{ V _ { m } ^ { a } , V _ { m } ^ { b } \} = - m ^ { 2 } ( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } V _ { \alpha } ,
\frac { 1 } { 2 } \beta _ { i j } ^ { 0 0 } ( t ) \beta _ { k l } ^ { 0 0 } ( t ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { i } \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k l }
\begin{array} { r l } { \alpha \nu > } & { { } \; \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } } , } \\ { 1 > \mathcal { R } _ { 0 } > } & { { } \; 2 \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } + \sqrt { \nu - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \left( 1 - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial h _ { 2 } } { \partial \rho _ { 2 } } \bigg \rvert _ { \rho _ { 2 } = 1 - a \Delta _ { 2 } + O \left( \Delta _ { 2 } ^ { 2 } \right) } = - \Delta _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } k _ { 2 } \left( a \Delta _ { 2 } ( 2 - 3 a \Delta _ { 2 } ) - 2 \right) - \mu \rho _ { 1 } ( 1 - a \Delta _ { 2 } ) \cos { \psi } , } \end{array}