harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta \alpha ^ { l e p } ( s ) = \sum _ { l = e , \mu , \tau } \frac { \alpha ( 0 ) } { 3 \pi } \left[ \ln \frac { s } { m _ { l } ^ { 2 } } - \frac { 5 } { 3 } + { \cal O } \left( \frac { m _ { l } ^ { 2 } } { s } \right) \right] ~ .
\begin{array} { r } { D _ { R e s } \equiv \left\langle 2 \pi \sum _ { l } \lvert \delta V _ { E r , l } \rvert ^ { 2 } J _ { l } ^ { 2 } ( \hat { \lambda } _ { l } ) \delta ( \omega - k _ { \parallel } v _ { \parallel } + l \omega _ { t r } ) \frac { F _ { 0 E } } { n _ { 0 E } } \right\rangle , } \end{array}
g ^ { 2 } \, \Phi _ { i } ^ { 2 } = { \frac { m ( z = h _ { i } ; \mu ) } { a ^ { \prime } ( z = h _ { i } ) } } = { \frac { \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { N - 1 } ( h _ { i } - \mu _ { j } ) } { \displaystyle \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { N } ( h _ { i } - h _ { j } ) } } \, \cdotp
\begin{array} { r l } { \bar { H } _ { 0 , 0 } = } & { \; \bar { { S } } _ { 0 , 0 } ^ { A } E _ { A } + \bar { { S } } _ { 0 , 0 } ^ { A } E _ { B } , } \\ { \boldsymbol { \bar { H } } _ { A , 0 } = } & { \; \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , 0 } ^ { A } E _ { A } + \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , 0 } ^ { A } E _ { B } , } \\ { \boldsymbol { \bar { H } } _ { 0 , A } = } & { \; \boldsymbol { \bar { H } } _ { 0 , A } ^ { A } + \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { 0 , A } ^ { A } E _ { B } , } \\ { \boldsymbol { \bar { H } } _ { A , A } = } & { \; \boldsymbol { \bar { H } } _ { A , A } ^ { A } + \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , A } ^ { A } E _ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \tilde { g } ( \tilde { R } ( T _ { 1 } , E _ { 3 } ) E _ { 3 } , N ) } & & { = T _ { 1 } ( \lambda ) , } \\ & { \tilde { g } ( \tilde { R } ( E _ { 3 } , E _ { 4 } ) E _ { 4 } , N ) } & & { = E _ { 3 } ( \lambda ) , } \\ & { \tilde { g } ( \tilde { R } ( E _ { 4 } , E _ { 3 } ) E _ { 3 } , N ) } & & { = E _ { 4 } ( \lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h \partial _ { j } \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } & { { } = Y ( x ) u _ { i } \quad \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ b ~ u ~ l ~ k ~ ) ~ } } \\ { \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } n _ { j } } & { { } = - \sigma ^ { a } n _ { i } \quad \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ ) ~ } . } \end{array}
\vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) = \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t - \frac { R } { c } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \partial _ { t } ^ { n } \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t ) } { n ! } ( - \frac { R } { c } ) ^ { n } .
f _ { 1 } ^ { a b } = \frac { 1 0 } { 9 } \delta _ { a b } , \quad f _ { 2 } ^ { a b } = \frac { 2 } { 9 } \left( 9 \delta _ { a 3 } \delta _ { b 3 } - 4 \delta _ { a b } \right) .
\begin{array} { r l } & { E _ { \nu _ { n } } \bigg [ \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } \notin { L _ { j } ^ { \ell } } } \overleftarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } \overline { { \xi } } _ { j + 1 } \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] = \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } \notin { L _ { j } ^ { \ell } } } E _ { \nu _ { n } } [ ( \overleftarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ) ^ { 2 } ( \bar { \xi } _ { j + 1 } ) ^ { 2 } ( \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ) ^ { 2 } ] ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { F B S } _ { \mathrm { ( n ) } } } & { = } & { \frac { 1 } { \left| W _ { ( n ) } \right| } \sum _ { V \in W _ { ( n ) } } \left( \hat { M } _ { V } - M _ { V } \right) ^ { 2 } } \\ { \mathrm { F B S } _ { \mathrm { ( n ) , r e f } } } & { = } & { \frac { 1 } { \left| W _ { ( n ) } \right| } \sum _ { V \in W _ { ( n ) } } \hat { M } _ { V } ^ { 2 } + M _ { V } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { 1 ^ { 0 } \quad E _ { j } ( s ) { \neq } E _ { k } ( s ) \quad \forall s \in [ 0 , 1 ] , \quad j { \neq } k , } } \\ { { 2 ^ { 0 } \quad \forall j \ P _ { j } ( s ) } } \\ { { m b o x { i s d o u b l e c o n t i n u o u s l y } } } \\ { { \qquad \qquad \quad \mathrm { d i f f e r e n t i a b l e ~ f u n c t i o n ~ o f } \ s \in [ 0 , 1 ] , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl ( e _ { 1 } ^ { 1 } - e _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \cdot E ^ { i , a } = \bigl ( \delta _ { a } ^ { 2 } - \delta _ { a } ^ { 1 } \bigr ) E ^ { i , a } , } \\ & { \bigl ( e _ { 1 } ^ { 1 } - e _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \cdot e _ { a } ^ { b } = \delta _ { a } ^ { 1 } e _ { 1 } ^ { b } - \delta _ { 1 } ^ { b } e _ { a } ^ { 1 } - \delta _ { a } ^ { 2 } e _ { 2 } ^ { b } + \delta _ { 2 } ^ { b } e _ { a } ^ { 2 } . } \end{array}
\Phi ( x ) = { \frac { 3 } { 2 } } \; \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 + z ^ { 2 } } { ( 1 + z ) ^ { 4 } } } \; \mathrm { e x p } [ - x ^ { 2 } ( 1 + z ) ^ { 2 } ] \; d z \ ,
\Gamma _ { \Delta } \sim \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { F _ { \pi } ^ { 2 } } \left( \frac { M _ { \Delta } ^ { 2 } - M _ { N } ^ { 2 } } { M _ { \Delta } } \right) ^ { 3 } \sim \frac { 1 } { N _ { c } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r c l } { { A ( s , t ) = } } & { { { \frac { d } { d \alpha } } \left[ \mathrm { e } ^ { - i \pi \alpha / 2 } G ( \alpha ) ( s / s _ { 0 } ) ^ { \alpha } \right] } } \\ { { = } } & { { \mathrm { e } ^ { - i \pi \alpha / 2 } ( s / s _ { 0 } ) ^ { \alpha } \big [ G ^ { \prime } ( \alpha ) + ( L - i \pi / 2 ) G ( \alpha ) \big ] \ , } } \end{array}
T = e ^ { 2 \pi m i } \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { i ( - \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { i e ^ { - 2 i \phi _ { 2 } } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { - e ^ { i ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) } \sin ^ { 2 } ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } \\ { i e ^ { i ( - \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) } \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { e ^ { - 2 i \phi _ { 2 } } \cos ^ { 2 } ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { i e ^ { i ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } \\ { 0 } & { i e ^ { - 2 i \phi _ { 2 } } \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } & { e ^ { i ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) } \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } & { y ^ { l + 1 } = ( I + \sigma \partial F ^ { \ast } ) ^ { - 1 } ( y ^ { l } + \sigma \mathcal { K } \bar { x } ^ { l } ) , } \\ & { x ^ { l + 1 } = ( I + \tau \partial G ) ^ { - 1 } ( x ^ { l } - \tau \mathcal { K } ^ { \ast } y ^ { l + 1 } ) , } \\ & { \bar { x } ^ { l + 1 } = 2 x ^ { l + 1 } - x ^ { l } . } \end{array} \right.
\log ( C _ { 1 } ) = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { R _ { 0 } , \ensuremath { \mathrm { P m } } , H _ { B } } \left( \log ( | \hat { F } _ { C , \mathrm { ~ D ~ N ~ S ~ } } | ) - \log ( | \hat { F } _ { C , \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } ^ { * } | ) \right) .
\frac { d } { d t } \left\| h \right\| _ { H ^ { s } } \leq C \left( 1 + \left\| h _ { x } \right\| _ { \mathrm { ~ B ~ M ~ O ~ } } \big [ 1 + \displaystyle \log ( 1 + \left\| h \right\| _ { H ^ { s } } ) \big ] \right) \left\| h \right\| _ { H ^ { s } } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { L } _ { I } } & { = } & { { ^ I l } _ { 0 } + \sum _ { a i } { ^ I l } _ { a } ^ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } { ^ I l } _ { a b } ^ { i j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } \hat { a } _ { a } } \\ & { + } & { { ^ I m } _ { 0 } \hat { b } + \sum _ { a i } { ^ I m } _ { a } ^ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } \hat { b } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } { ^ I m } _ { a b } ^ { i j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } \hat { a } _ { a } \hat { b } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol s } _ { \alpha } ( 0 , t ) } & { { } = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \iiint _ { \Omega _ { L } } \boldsymbol u ( \boldsymbol x , t ) \cdot \left( \nabla \boldsymbol u _ { \alpha } \right) ( \boldsymbol x , t ) d \boldsymbol x } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( p , L ) = L ^ { - \beta / \nu } f _ { V } [ ( p - p _ { c } ) L ^ { 1 / \nu } ] , } \\ { \chi ( p , L ) = L ^ { \gamma / \nu } f _ { \chi } [ ( p - p _ { c } ( L ) ) L ^ { 1 / \nu } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } - \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 t } } & { { } = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { 2 n \cos \theta _ { i } } { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { A _ { 0 r } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 r } } { c } = \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { \left( n ^ { 2 } - 1 \right) \sin \theta _ { i } } { n ^ { 2 } \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { A _ { 0 t } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 t } } { c } = A _ { 0 i } + A _ { 0 r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int { \frac { \ d x } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } } } & { { } = { \mathrm { a r s i n h } } ( x ) + C } \\ { \int { \frac { \ d x } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } } } & { { } = { \mathrm { a r c o s h } } ( x ) + C \qquad ( x > 1 ) } \end{array}
u _ { 2 } ( 0 , \alpha _ { 2 } ) = \alpha _ { 2 } r + ( 1 + ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) \frac { ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } + 1 } \; .
\tilde { x } = \frac { \widetilde { \rho } \sinh \tau } { \cosh \tau - \cos \sigma } \cos \varphi , \tilde { y } = \frac { \widetilde { \rho } \sinh \tau } { \cosh \tau - \cos \sigma } \sin \varphi , \tilde { z } = \frac { \widetilde { \rho } \sinh \sigma } { \cosh \tau - \cos \sigma }
\left\langle \lbrack A ( x ) , B ( y ) ] \right\rangle = \operatorname * { l i m } _ { \tau \rightarrow + 0 } ( \left\langle A ( \tau , x ) B ( 0 , y ) \right\rangle - \left\langle A ( - \tau , x ) B ( 0 , y ) \right\rangle ) .
\frac { \partial p } { \partial t } + \frac { E _ { 0 } } { W A } \left( m \alpha ^ { m } - n \alpha ^ { n } \right) \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } = - \frac { 1 } { \tau _ { r } } \left[ p - p _ { 0 } - \frac { E _ { \infty } } { W } \left( \alpha ^ { m } - \alpha ^ { n } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { | \phi _ { k } \rangle } & { = | 0 \rangle \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } | \hat { F ^ { j } } \rangle + M ( \tau _ { k } ) U | 0 \rangle | \hat { f _ { k } } \rangle + \sum _ { j = k + 1 } ^ { n } | \tau _ { j } \rangle | \hat { f _ { j } } \rangle } \\ & { = | 0 \rangle \sum _ { j = 1 } ^ { k } | \hat { F ^ { j } } \rangle + \sum _ { j = k + 1 } ^ { n } | \tau _ { j } \rangle | \hat { f _ { j } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { c } { { \left\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \right\} = \left( S _ { A } \right) _ { \alpha \beta } } } \\ { { \left( S _ { A } \right) _ { \alpha \beta } = \left( C \gamma ^ { m } \right) _ { \alpha \beta } \, \, P _ { m } + \left( C \gamma ^ { m _ { 1 } m _ { 2 } } \right) _ { \alpha \beta } \, \, \, Z _ { m _ { 1 } m _ { 2 } } + \left( C \gamma ^ { m _ { 1 } \cdots m _ { 5 } } \right) _ { \alpha \beta } \, \, \, X _ { m _ { 1 } \cdots m _ { 5 } } . } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \left( 1 + \frac { \alpha } { r ^ { 7 - p } } \right) ^ { \frac { 1 } { 8 } } \left[ - \frac { d t ^ { 2 } } { 1 + \frac { \alpha } { r ^ { 7 - p } } } + d x ^ { i } d x _ { i } + d y ^ { s } d y _ { s } \right] ,
\begin{array} { r l } { U _ { n s } ^ { \varkappa } ( p ( \bar { \alpha } ) ) } & { { } = \left( \frac { n _ { < } ! \, \Gamma ( 2 \varkappa + n _ { > } ) } { n _ { > } ! \, \Gamma ( 2 \varkappa + n _ { < } ) } \right) ^ { 1 / 2 } \left( 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) ^ { \varkappa } \, ( \mathrm { s g n } ( n - s ) ) ^ { n - s } } \end{array}
+ 4 2 5 5 9 5 3 3 2 4 a ^ { \dag } - 2 5 8 1 5 2 3 3 0 4 a ^ { \dag 3 } - 8 1 0 1 0 4 5 3 7 2 a ^ { \dag 5 } - 6 9 1 6 4 8 5 6 0 a ^ { \dag 7 } - 1 2 2 4 2 2 4 0 a ^ { \dag 9 }
g _ { 2 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = { \frac { 4 } { 3 } } \left( { \frac { \pi } { \omega _ { 1 } } } \right) ^ { 4 } ( a ^ { 8 } - a ^ { 4 } b ^ { 4 } + b ^ { 8 } ) = { \frac { 2 } { 3 } } \left( { \frac { \pi } { \omega _ { 1 } } } \right) ^ { 4 } ( a ^ { 8 } + b ^ { 8 } + c ^ { 8 } )
\begin{array} { r l } { \jmath ( x , y , \hat { x } | P _ { X Y } , D ) } & { = - \lambda ^ { * } D + \left\{ \begin{array} { l l } { \log \frac { 2 } { 1 + \exp ( - \lambda ^ { * } ) } } & { \mathrm { i f ~ } x = y , } \\ { \lambda ^ { * } } & { \mathrm { i f ~ } \hat { x } \neq y , ~ y \neq \mathrm { e } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { M } ^ { K ^ { - } } = \alpha _ { \nu } M _ { K } \mathbf { R } ^ { K } \left( \begin{array} { c c c } { - \nu } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \nu } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \nu - 1 } \end{array} \right) ( \mathbf { R } ^ { K } ) ^ { T } ,
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { h i t s } } ( q ) = \frac { 1 } { 2 } \cdot n _ { \mathrm { i n j e c t i o n s } } \cdot \left( \mathrm { e r f } \left( \frac { q - q _ { \mathrm { t h r } } } { \sigma \, \sqrt { 2 } } \right) + 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 = K ^ { - 1 } ( w _ { 1 } \bar { w } _ { 1 } + w _ { 2 } \bar { w } _ { 2 } ) = r ^ { - 2 } ( z _ { 1 } \bar { z } _ { 1 } + z _ { 2 } \bar { z } _ { 2 } ) = 1 , } \\ & { 0 = K ^ { - 1 } ( w _ { 1 } \xi _ { 1 } + w _ { 2 } \xi _ { 2 } ) = z _ { 1 } ( \frac { d \bar { z } _ { 1 } } { r ^ { 2 } } - 2 \frac { \bar { z } _ { 1 } } { r ^ { 3 } } \bar { \partial } r ) + z _ { 2 } ( \frac { d \bar { z } _ { 2 } } { r ^ { 2 } } - 2 \frac { \bar { z } _ { 2 } } { r ^ { 3 } } \bar { \partial } r ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { \mathrm { i n t r a } } ^ { ( 3 ) } \simeq - F \frac { 1 } { A _ { B } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \zeta _ { 3 } } , \; \; \sigma _ { \mathrm { i n t e r } } ^ { ( 3 ) } \simeq F \frac { 1 } { A _ { B } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \xi _ { 3 } } , } \\ & { F \equiv i \sigma _ { 0 } t _ { \mathrm { h o p } } \hbar ^ { 2 } \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { \xi _ { 1 } } \Bigl ( \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 \zeta _ { 2 } } + \frac { \lambda _ { 2 } } { \xi _ { 2 } } \Bigl ) } \end{array}
G ^ { - 2 } = - { \frac { 1 } { 2 } } \Pi _ { H } ^ { \prime } ( \overline { { { \Lambda } } } ) = i \int { \frac { d ^ { 4 } p _ { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { | \Psi ( v \cdot p _ { q } ) | ^ { 2 } } { ( \overline { { { \Lambda } } } - v \cdot p _ { q } + i \epsilon ) ^ { 2 } } } \, { \frac { v \cdot p _ { q } + m _ { q } } { ( p ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } + i \epsilon ) } } \, ,
\begin{array} { l c c c r } { { \{ \; \chi _ { L } ( { \bf 1 6 } ; { \bf 1 } ) } } & { { \oplus } } & { { \chi _ { R } ( { \bf 1 } ; \overline { { { { \bf 1 6 } } } } ) \; \} } } & { { \times \; \; 3 } } \end{array}
- i V \mathrm { e x p } \frac { 2 i \pi } { k } \left[ e _ { i } ( \widetilde { n _ { j } } + \widetilde { n _ { k } } - 1 / 2 ) + ( e _ { j } + e _ { k } ) ( \widetilde { n _ { i } } - 1 / 2 ) \right]
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } _ { \mathrm { e x } } ( x , \, y , \, t ) } & { = 0 . 5 \left[ \begin{array} { l } { - \cos ^ { 2 } ( \pi ( x - 0 . 5 ) ) \, \cos ( \pi ( y - 0 . 5 ) ) \, \sin ( \pi ( y - 0 . 5 ) ) } \\ { \phantom { - } \cos ^ { 2 } ( \pi ( y - 0 . 5 ) ) \, \cos ( \pi ( x - 0 . 5 ) ) \, \sin ( \pi ( x - 0 . 5 ) ) } \end{array} \right] \cos ( t ) \, , } \\ { p _ { \mathrm { e x } } ( x , \, y , \, t ) } & { = ( \sin ( \pi ( x - 0 . 5 ) ) - \sin ( \pi ( y - 0 . 5 ) ) ) \cos ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { _ \mathrm { e f f } ^ { [ \tilde { A } ( 1 0 0 ) ] } = } \\ & { T _ { 0 } + A L _ { z } S _ { z } + B \textbf { R } ^ { 2 } - D \textbf { R } ^ { 2 } \textbf { R } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } ( p + 2 q ) ( J _ { + } S _ { + } e ^ { - 2 i \theta } + J _ { - } S _ { - } e ^ { + 2 i \theta } ) } \\ & { + ( p + 2 q ) _ { D } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( J _ { + } S _ { + } e ^ { - 2 i \theta } + J _ { - } S _ { - } e ^ { + 2 i \theta } ) , \textbf { R } ^ { 2 } \right] _ { + } , } \end{array}
\vec { L } _ { S } \phi = [ { \vec { L } } ^ { ( \rho ) } { \psi } _ { S } ^ { m } ] { \chi } _ { m } ^ { F } + { \psi } _ { S } ^ { m } [ { \vec { L } } ^ { ( \overline { { { \rho } } } ) } { \chi } _ { m } ^ { F } ] .
\nabla _ { f } \mathcal H ( f ) = \left( \begin{array} { l } { \left( \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \nabla \mathcal V ( r - \hat { r } ) \, \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \right) } \\ { v - \bar { v } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \left( \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \nabla \mathcal V ( r - \hat { r } ) \, \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) \right) } \\ { \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( v - \hat { v } ) \; \mathrm d f ( t , \hat { r } , \hat { v } ) } \end{array} \right) = f \ast \left( \begin{array} { l } { \nabla \mathcal V ( r ) } \\ { v } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { I _ { 2 1 } = } & { d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \Delta \varphi \overline { { w } } \Delta w \, d x d t } \\ { = } & { - d ^ { 2 } s \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \Delta \varphi | \nabla w | ^ { 2 } \, d x d t - \frac { d ^ { 2 } s } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \nabla ( \Delta \varphi ) \cdot \nabla | w | ^ { 2 } \, d x d t } \\ & { + d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \Delta \varphi \overline { { w } } \partial _ { \nu } w \, d \sigma d t } \\ { = } & { - d ^ { 2 } s \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \Delta \varphi | \nabla w | ^ { 2 } \, d x d t + \frac { d ^ { 2 } s } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \Delta ^ { 2 } \varphi | w | ^ { 2 } \, d x d t } \\ & { - \frac { d ^ { 2 } } { 2 } s \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { \nu } ( \Delta \varphi ) | w | ^ { 2 } \, d \sigma d t + d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \Delta \varphi \overline { { w } } \partial _ { \nu } w \, d \sigma d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right\Vert _ { V } } & { { } < 2 \left\Vert P _ { \Sigma _ { 2 } } \left( \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) - \varphi _ { t } ^ { \rho } ( w ) \right) \right\Vert _ { V } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = \frac { b _ { 1 } + b _ { 2 } - b _ { 3 } - b _ { 4 } - b _ { 5 } + 2 x _ { 1 0 } + x _ { 7 } + 2 x _ { 8 } + x _ { 9 } } { 2 } , } \\ { x _ { 2 } } & { = \frac { b _ { 1 } - b _ { 2 } + b _ { 3 } - b _ { 4 } - b _ { 5 } + 2 x _ { 1 0 } + 2 x _ { 6 } + x _ { 7 } + x _ { 9 } } { 2 } , } \\ { x _ { 3 } } & { = b _ { 4 } - x _ { 1 0 } - x _ { 6 } - x _ { 8 } , } \\ { x _ { 4 } } & { = b _ { 5 } - x _ { 1 0 } - x _ { 7 } - x _ { 9 } , } \\ { x _ { 5 } } & { = \frac { - b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } + b _ { 4 } + b _ { 5 } - 2 x _ { 1 0 } - 2 x _ { 6 } - 3 x _ { 7 } - 2 x _ { 8 } - x _ { 9 } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| u \right\| _ { \underline { { H } } ^ { - 1 } ( U ) } } & { : = \operatorname* { s u p } \left\{ \fint _ { U } u v : v \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( U ) , \| v \| _ { \underline { { H } } ^ { 1 } ( U ) } \leq 1 \right\} , } \\ { \left\| u \right\| _ { \widehat { \underline { { H } } } ^ { - 1 } ( U ) } } & { : = \operatorname* { s u p } \left\{ \fint _ { U } u v : v \in H ^ { 1 } ( U ) , \| v \| _ { \underline { { H } } ^ { 1 } ( U ) } \leq 1 \right\} . } \end{array}
\lambda ^ { + } ( m ) = \frac { \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla \varphi _ { + } ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } \varphi _ { + } ^ { p } } { \int _ { \Omega } m ( x ) \varphi _ { + } ^ { p } } = \frac { \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla v ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } | v | ^ { p } } { \int _ { \Omega } m ( x ) | v | ^ { p } } \ge \lambda ^ { - } ( m ) .
I _ { \mathrm { ~ V ~ I ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = I _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { p } ) + I _ { K } ( \mathbf { r } _ { p } ) + I _ { K ^ { * } } ( \mathbf { r } _ { p } ) + I _ { K K ^ { * } } ( \mathbf { r } _ { p } )
\partial _ { i } \partial _ { j } I ( X ) = \frac { X _ { i } X _ { j } } { X ^ { 2 } } \partial _ { X } ^ { 2 } I + \left( { \delta _ { i j } } - \frac { X _ { i } X _ { j } } { X ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { X } \partial _ { X } I \, ,
\mathbf { \Delta t } _ { a } = \big [ \underbrace { t _ { 1 } - t _ { 0 } } _ { x _ { 1 } c _ { \mathrm { i n t } } } , \, \underbrace { t _ { 2 } - t _ { 1 } } _ { x _ { 2 } c _ { \mathrm { i n t } } } , \, \underbrace { t _ { 3 } - t _ { 2 } } _ { x _ { 3 } c _ { \mathrm { i n t } } } , \, \dots \big ] \equiv \mathbf { x } \, c _ { \mathrm { i n t } } \, ,
\begin{array} { r } { \phi _ { \lambda } = \frac { 1 } { \mu \nu } \left( \frac { \lambda } { \mu } \right) ^ { 1 / \nu - 1 } \exp \left[ - \left( \frac { \lambda } { \mu } \right) ^ { 1 / \nu } \right] \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } y _ { i + 1 } - x _ { i + 1 } y _ { i } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \left| \begin{array} { l l } { x _ { i } } & { x _ { i + 1 } } \\ { y _ { i } } & { y _ { i + 1 } } \end{array} \right| } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \left| \begin{array} { l l } { x _ { i } } & { y _ { i } } \\ { x _ { i + 1 } } & { y _ { i + 1 } } \end{array} \right| } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \Big ( } x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 3 } - x _ { 3 } y _ { 2 } + \cdots + x _ { n } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { n } { \Big ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = c _ { 0 } + C \sum _ { s } \left[ \frac { \omega _ { s } } { d _ { 0 } } \left( \frac { 2 } { w _ { 4 } - 1 } - 1 \right) x - \frac { \omega _ { s } ( 1 + d _ { 0 } ) } { d _ { 0 } } \left( \frac { 2 } { w _ { 4 } - 1 } - 1 \right) \right] } \\ & { ~ ~ ~ - C \sum _ { s } \log \left[ \frac { \omega _ { s } } { d _ { 0 } } \left( \left( 1 + \frac { d _ { 0 } } { \omega _ { s } } \right) ( 1 + \omega _ { s } ) - x \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { 1 } { x ^ { 3 } } } \left[ \left( { \frac { 2 + \cos x } { 3 } } \right) ^ { x } - 1 \right] } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { e ^ { x \ln { \frac { 2 + \cos x } { 3 } } } - 1 } { x ^ { 3 } } } } \end{array}
{ \mathcal R } _ { { \mathcal S } , j } ( x , \mathscr { F } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathcal R } _ { { \mathcal S } , j } ( x , \mathscr { F } _ { < i } ) } & { \mathrm { i f ~ } j = 1 , \cdots , i - 1 } \\ { { \mathcal R } _ { { \mathcal S } , j - i + 1 } ( x , \mathscr { F } _ { \geqslant i } ) } & { \mathrm { i f ~ } j = i , \cdots , n . } \end{array} \right.
\Gamma \frac { \partial } { \partial \tau } \int _ { D _ { i } } \vec { Q } \mathrm { d } D + \Gamma _ { e } \frac { \partial } { \partial t } \int _ { D _ { i } } \vec { Q } \mathrm { d } D + \int _ { \partial D _ { i } } \left( \vec { F } _ { c } - \vec { F } _ { v } \right) \mathrm { d } S = \int _ { D _ { i } } \vec { S } _ { q } \mathrm { d } D
< n | \bar { d } \gamma _ { \mu } u | p > = \bar { n } \, \left[ g _ { V } \gamma _ { \mu } + i g _ { M } \sigma _ { \mu \nu } \frac { q ^ { \nu } } { 2 M _ { N } } + g _ { S } \frac { q _ { \mu } } { 2 M _ { N } } \right] \, p \ \ \ ,
= \frac { \epsilon ^ { 0 i j k 5 } } { ( 4 ! ) ^ { 2 } } \left\{ \partial _ { 0 } \left[ \frac { \sigma ^ { \prime } } { ( ( \sigma ^ { \prime } / b ) ^ { 2 } - ( \dot { \sigma } / n ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] - \partial _ { 5 } \left[ \frac { \dot { \sigma } } { ( ( \sigma ^ { \prime } / b ) ^ { 2 } - ( \dot { \sigma } / n ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] \right\} = 0 .