harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d _ { X } ( \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } ) } & { \leq \left\| \mathcal { N } ( \psi _ { 1 } ) - \mathcal { N } ( \psi _ { 2 } ) \right\| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 3 } ) } } \\ & { \leq C \left( T + T ^ { \frac { q - q ^ { \prime } } { q q ^ { \prime } } } ( Z _ { T } ( \psi _ { 1 } ) ^ { 2 \alpha } + Z _ { T } ( \psi _ { 2 } ) ^ { 2 \alpha } \right) d _ { X } ( \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } ) . } \end{array}
K ( z , z _ { 1 } ) = \int x ( u ) ( \beta z + \bar { \alpha } ) ^ { - 2 k } \left[ 1 - \frac { ( \alpha z + \bar { \beta } ) \bar { z } _ { 1 } } { ( \beta z + \bar { \alpha } ) } \right] ^ { - 2 k } d \mu ( u )
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \cfrac { 1 } { J } } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { F } } } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } ~ ; ~ ~ J : = \operatorname* { d e t } { \boldsymbol { F } } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad \sigma _ { i j } = { \cfrac { 1 } { J } } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial F _ { i K } } } ~ F _ { j K } ~ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \arg [ G _ { p } ^ { ( + ) } ( \theta _ { 1 } ) ] = } \\ & { } & { \arctan \left[ \frac { s _ { p } \cos \theta _ { p } + \left( \delta + x \right) d _ { p } \sin \theta _ { p } + \zeta ^ { - 1 } d _ { p } ^ { \prime } \sin \theta _ { p } } { - d _ { p } \sin \theta _ { p } + \left( \delta + x \right) s _ { p } \cos \theta _ { p } + \zeta ^ { - 1 } s _ { p } ^ { \prime } \cos \theta _ { p } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = t _ { 0 } } ( H _ { t } ) ^ { * } ( T ) = \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = 0 } ( H _ { s + t _ { 0 } } ) ^ { * } ( T ) } \\ { = \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = 0 } ( H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } ( H _ { s } ) ^ { * } ( T ) } \\ { = ( H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = 0 } ( H _ { s } ) ^ { * } ( T ) } \\ { = ( H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } ( L _ { X } ( T ) ) = 0 . } \end{array}
\delta \Pi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathrm { e q } } = \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } u _ { \gamma } + ( \rho c _ { s } ^ { 2 } - P _ { 0 } ) [ u _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } ] _ { \mathrm { c y c } } ,
{ \boldsymbol { u } } = u _ { r } { \boldsymbol { e } } _ { r } + u _ { \theta } { \boldsymbol { e } } _ { \theta } = { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } } { \boldsymbol { e } } _ { r } - { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial \Psi } { \partial r } } { \boldsymbol { e } } _ { \theta } .
S _ { 0 } = \int d ^ { 2 } x \, \Big ( i \overline { { \psi } } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi - g _ { 0 } \overline { { \psi } } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \psi \partial _ { \mu } \phi + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } \Big )
\mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ( \omega ) = \{ \mathbf { p } _ { D _ { 1 } } ^ { T } ( \omega ) , \mathbf { p } _ { D _ { 2 } } ^ { T } ( \omega ) , \cdots , \mathbf { p } _ { D _ { M } } ^ { T } ( \omega ) \} ^ { T }
\begin{array} { r } { \langle \overline { a } , \overline { { \alpha } } \rangle \equiv \langle \overline { x } , \overline { { \beta } } \rangle , \, \langle \overline { b } , \overline { c } \rangle \equiv \langle \overline { { \alpha } } , \overline { { \gamma } } \rangle \mathrm { ~ a n d ~ } \langle \overline { y } , \overline { z } \rangle \equiv \langle \overline { { \beta } } , \overline { { \gamma } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \textrm { t r a p } } \propto \frac { \mathcal { V } ^ { ( \circ ) } } { 1 + Q ( \vec { x } _ { 0 } ) } \bigg [ \sqrt { \frac { \pi k _ { \textrm { B } } T } { 2 m } } } & { \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } - \frac { 1 } { v _ { \textrm { m a x } } } \right) \times } \\ & { \mathrm { e r f } \left( \sqrt { \frac { m } { 2 k _ { \textrm { B } } T } } ( v _ { \textrm { m a x } } - v _ { 0 } ) \right) \bigg ] . } \end{array}
2 : X ^ { - } f < { P _ { 2 } } g > h : \rightarrow \frac 1 { z - w } : 2 p ^ { + } ( \partial _ { p ^ { + } } f ) ( \partial _ { p ^ { + } } g ) h + ( 1 - 2 i s ) ( \partial _ { p ^ { + } } f ) g h :
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha } \int _ { U _ { \alpha } } \rho _ { \alpha } \omega } & { = \sum _ { \alpha } \int _ { U _ { \alpha } } \rho _ { \alpha } \left( \sum _ { \beta } \tau _ { \beta } \right) \omega = \sum _ { \alpha , \beta } \int _ { U _ { \alpha } } \rho _ { \alpha } \tau _ { \beta } \omega } \\ & { = \sum _ { \alpha , \beta } \int _ { U _ { \alpha } \cap V _ { \beta } } \rho _ { \alpha } \tau _ { \beta } \omega = \sum _ { \beta } \int _ { V _ { \beta } } \tau _ { \beta } \omega . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \rho _ { f } ( t ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T ^ { d } ) } \leq \Vert \rho _ { f ^ { \mathrm { i n } } } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T ^ { d } ) } + \int _ { 0 } ^ { t } \Vert \mathrm { d i v } _ { x } ( j _ { f } ) ( s ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T ^ { d } ) } \, \mathrm { d } s \leq \Theta + T \Vert j _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { \ell } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { \varrho _ { \chi } } \frac { ( x + h ) ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } - x ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } } { h \varrho _ { \chi } ( \varrho _ { \chi } + 1 ) } \right| \leq \bigg ( \left( 1 + \frac { h } { x } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } + 1 \bigg ) \frac { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { h } \sum _ { | \gamma _ { \chi } | \geq T } \frac { 1 } { \gamma _ { \chi } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \quad + \sqrt { x } \left( 1 + \frac { h } { x } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 2 N ( \frac { 5 } { 7 } , \chi ) + \sum _ { \frac { 5 } { 7 } \leq | \gamma _ { \chi } | < \eta ( x _ { 0 } ) } \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \gamma _ { \chi } ^ { 2 } } } + \sum _ { \eta ( x _ { 0 } ) \leq | \gamma _ { \chi } | < T } \frac { 1 } { | \gamma _ { \chi } | } \right) . } \end{array}
f _ { 1 } ( v ) d v = \frac { v d v } { v _ { E } v _ { 0 } \sqrt { \pi } } \Bigl \{ e ^ { - \frac { ( v - v _ { e } ) ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } - e ^ { - \frac { ( v + v _ { E } ) ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } \Bigr \}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { s } + \theta ( n ) \alpha _ { n } A ) \mathcal { Z } _ { s } ^ { n } ( \overrightarrow { \varphi } ) d s } \\ & { \quad = \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \bigg ( 2 \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) - \frac { f _ { 1 } ( n ) } { \theta ( n ) \alpha _ { n } } \overline { { \eta } } _ { j } ( s ) \bigg ) \partial _ { x } T _ { f _ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n , 1 } d s } \\ & { \qquad + \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \bigg ( \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) + 2 \lambda \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) - \frac { f _ { 2 } ( n ) } { \theta ( n ) \alpha _ { n } } \overline { { \zeta } } _ { j } ( s ) \bigg ) \partial _ { x } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n , 1 } d s + E _ { t } ^ { n } , } \end{array}
- \partial _ { q } W = \frac { 4 \pi \hbar } { T _ { B H } } \int _ { r _ { + } } d r \, r ^ { 2 } \: \biggl [ \frac { \partial _ { q } F } { F } \biggr ] \, \langle T _ { \alpha } ^ { \alpha } \rangle \; + \frac { 4 \pi \hbar } { T _ { B H } } \int _ { r _ { + } } d r \, r ^ { 2 } \: \biggl [ \frac { 4 \partial _ { q } r } { r } - \frac { 2 \partial _ { q } F } { F } \biggr ] \, \langle T _ { \theta } ^ { \theta } \rangle + \cdots .
\frac { 1 } { \lambda _ { r } } + \frac { D - 1 } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { D } { 2 } } } \Gamma ( 1 - \frac { D } { 2 } ) \mathrm { t r } \mathrm { \boldmath ~ 1 ~ } - \left( \frac { K _ { c r } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { D - 2 } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { \pi } ( 4 \pi ) ^ { \frac { D } { 2 } } } \Gamma ( \frac { D - 1 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { D } { 2 } ) \Gamma ( 1 - \frac { D } { 2 } ) \mathrm { t r } \mathrm { \boldmath ~ 1 ~ } = 0 .
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } ^ { i } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } F ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right| \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } = \eta \right] \mathbb { P } \left[ \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } \in \mathrm { d } \eta \right] \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \right| \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } = \eta \right] F ^ { j } ( \eta , T - t ) p _ { - b _ { T } } ( 0 , \xi , t , \eta ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \right| \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } = \eta \right] F ^ { j } ( \eta , T - t ) p _ { b } ( T - t , \eta , T , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { w } ^ { k } - } & { { } \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { w } ^ { k } + \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } + \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } = - \nabla r ^ { k } + \Delta \mathbf { g } ^ { k } - \mu I _ { h } \mathbf { w } ^ { k } , \quad \nabla \cdotp \mathbf { w } ^ { k } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| { \bf { b } } _ { \mathrm { { L } } } ^ { H } ( r _ { l } , \phi _ { l } ) { \bf { b } } _ { \mathrm { L } } ( r _ { m } , \phi _ { m } ) \right| = \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { n = - \widetilde { N } } ^ { \widetilde { N } } e ^ { j k \left( \psi _ { \mathrm { { L } } , r _ { l } , \phi _ { l } } ^ { ( n ) } - \psi _ { { \mathrm { L } } , r _ { m } , \phi _ { m } } ^ { ( n ) } \right) } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { n = - \widetilde { N } } ^ { \widetilde { N } } e ^ { j k n d \left( - \sin \phi _ { l } + \sin \phi _ { m } \right) + j k n ^ { 2 } d ^ { 2 } \left( \frac { \cos ^ { 2 } \phi _ { l } } { 2 r _ { l } } - \frac { \cos ^ { 2 } \phi _ { m } } { 2 r _ { m } } \right) } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { n = - \widetilde { N } } ^ { \widetilde { N } } e ^ { j ( \eta _ { 1 } n + \eta _ { 2 } n ^ { 2 } ) } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) } & { { } \! = \! } & { { \frac { 1 } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } } } \, { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } \int _ { - a _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } d x _ { 1 } \int _ { - a _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } \ e ^ { - { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \cal M } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { k } , \mathbf { q } ) } & { { } = } & { \sum _ { j , l = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { k j } ^ { * } \varepsilon _ { k l } \left[ \langle w _ { j , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { + } ) | F ( \mathbf { q } ) | { w } _ { l , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { + } ) \rangle \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( M _ { A } , d , d _ { 0 } , v _ { 0 } , v _ { A 0 } ) } & { { } = \sqrt { f ( d , d _ { 0 } , z _ { 0 } ) } \ d _ { 0 } \sqrt { \frac { M _ { A 0 } } { M _ { A } } \frac { 1 } { \sqrt { d _ { 0 } / d - 1 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { - 1 + \operatorname* { m a x } _ { ( i , j , k ) } \vert K _ { i } + K _ { j k } \vert \le K _ { 1 2 3 } \le 1 - \operatorname* { m a x } _ { ( i , j , k ) } \vert K _ { i } - K _ { j k } \vert \; , \; ( i , j , k ) = ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 3 , 1 , 2 ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( q _ { _ { H } } ^ { - 1 } ( \tilde { \ell } ) ) } & { = q _ { _ { H } } ^ { - 1 } ( ( \ell \cap U ) _ { 0 } ) \cup q _ { _ { H } } ^ { - 1 } ( ( \ell \cap a ^ { k } ( U ) ) _ { 0 } ) } \\ & { = q _ { _ { H } } ^ { - 1 } ( ( \ell \cap U ) _ { 0 } \cup ( \ell \cap a ^ { k } ( U ) ) _ { 0 } ) } \\ & { = q _ { _ { H } } ^ { - 1 } ( \ell ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \arcsin ( z ) } & { { } { } = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + i z \right) = i \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } - i z \right) } & { { } = \operatorname { a r c c s c } \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( z ) } & { { } { } = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + z \right) = { \frac { \pi } { 2 } } - \arcsin ( z ) } & { { } = \operatorname { a r c s e c } \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \arctan ( z ) } & { { } { } = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { i - z } { i + z } } \right) = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { 1 + i z } { 1 - i z } } \right) } & { { } = \operatorname { a r c c o t } \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( z ) } & { { } { } = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { z + i } { z - i } } \right) = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { i z - 1 } { i z + 1 } } \right) } & { { } = \arctan \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \operatorname { a r c s e c } ( z ) } & { { } { } = - i \ln \left( i { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } + { \frac { 1 } { z } } \right) = { \frac { \pi } { 2 } } - \operatorname { a r c c s c } ( z ) } & { { } = \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c s c } ( z ) } & { { } { } = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } + { \frac { i } { z } } \right) = i \ln \left( { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } - { \frac { i } { z } } \right) } & { { } = \arcsin \left( { \frac { 1 } { z } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } \log \operatorname* { d e t } \Xi _ { k - 1 } ( \beta ) - \frac { 2 \varepsilon ^ { - 1 } } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Bigg \{ \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) } \\ & { \quad + \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ) + \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ) \Bigg \} } \\ & { \quad \cdot \Big \{ P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) + \frac { 1 } { n } \Big ( b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta _ { 0 } ) - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \Big ) \Big \} } \\ { + } & { \frac { 2 \varepsilon ^ { - 1 } } { n ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) } \\ { + } & { \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \big ( P _ { k } ( \theta ) \big ) ^ { \top } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ) P _ { k } ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Sigma } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \xi } ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { n } d ^ { n } ( \boldsymbol { \delta \rho } ) \Big [ \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \delta \rho _ { i } \Delta z _ { i } ) ^ { 2 } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( z ) } & { { } = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \ensuremath { \mathrm { d } } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ensuremath { \mathrm { d } } \phi \int _ { - \infty } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } p _ { \theta } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } p _ { \phi } e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } } & { = [ \, L \; | \; L ^ { \prime } \; | \; L ^ { \prime \prime } \, ] \in \mathcal { M } _ { N \times 3 N } ( \mathbb { Z } ) , \ \mathrm { w h e r e } } \\ { L } & { = G ^ { \prime \prime } - G ^ { \prime } , \quad L ^ { \prime } = G - G ^ { \prime \prime } , \quad L ^ { \prime \prime } = G ^ { \prime } - G . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = } & { } & { \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) \mathrm { d } \varphi } \\ & { } & { \sum _ { j ^ { \prime } } ^ { n } \sum _ { k ^ { \prime } } ^ { n } \phi _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } ( t ) \int N ( r , \theta ) \nabla _ { \perp } ( \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( r ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( \theta ) ) \cdot } \\ & { } & { \nabla _ { \perp } ( \Lambda _ { j } ( r ) \Lambda _ { k } ( \theta ) ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta } \end{array}
\psi _ { 0 } ^ { ( j ) } = a _ { j } \exp { \left\{ i \left[ \beta _ { j } x + \sigma \left( \sum _ { j = 1 } ^ { j = N } a _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \beta _ { j } ^ { 2 } \right) t \right] \right\} }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \le R / 4 , E , t < \tau _ { j } \right) \le 2 \mathbb { P } \left( | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \leq \frac { R } { 4 } \Big | E \right) \mathbb { P } ( E , t < \tau _ { j } ) } \\ & { \le 4 e ^ { - \bar { c } \beta \frac { R ^ { 2 } } { 1 2 8 } \eta _ { k } ^ { - 1 } } \mathbb { P } ( E , t < \tau _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf P } ^ { ( 3 ) } } & { = \frac { 2 } { 3 } \left( [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] + 2 [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] \right) ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) \quad ( \mathrm { u n d e r ~ T R S } ) , } \\ { { \bf P } ^ { ( 3 ) } } & { = \left( [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] + [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] - \frac { 2 } { 3 } [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] - \frac { 1 } { 3 } [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] \right) ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) } \\ & { ( \mathrm { u n d e r ~ b r o k e n ~ T R S } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { n , \nu } = - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 1 5 } \left( \frac { 8 n ^ { 5 } \hbar \omega ^ { 3 } \mu _ { \nu } } { e ^ { 2 } F _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } & { y _ { 1 } ^ { t + 1 } = \mathrm { P r o j } _ { K _ { 1 } } ( \bar { v } - y _ { 2 } ^ { t } ) = \left( a _ { t + 1 } , - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } } \right) , \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } \right) \right) , } \\ & { y _ { 2 } ^ { t + 1 } = \mathrm { P r o j } _ { K _ { 2 } } ( \bar { v } - y _ { 1 } ^ { t + 1 } ) = ( 1 - a _ { t + 1 } , 0 , 0 ) , } \\ & { \mathrm { w i t h ~ a _ { t + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( ~ 1 + \frac { 1 } { \sqrt { a _ t ^ 2 + 1 } } \right) a _ t ~ a n d ~ a _ 0 = 1 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { x = 0 } s ^ { x } p ( x - 1 , t ) = \sum _ { x = 1 } s ^ { x } p ( x - 1 , t ) = \sum _ { x = 0 } s ^ { x + 1 } p ( x , t ) = s G ( s , t ) } \\ & { \sum _ { x = 0 } s ^ { x } ( x + 1 ) p ( x + 1 , t ) = \sum _ { x = 1 } s ^ { x - 1 } x p ( x , t ) = \partial _ { s } \sum _ { x = 1 } s ^ { x } p ( x , t ) = \partial _ { s } \Big [ \sum _ { x = 0 } s ^ { x } p ( x , t ) - p ( 0 , t ) \Big ] = \partial _ { s } G ( s , t ) } \\ & { \sum _ { x = 0 } s ^ { x } x p ( x , t ) = s \partial _ { s } \sum _ { x = 0 } s ^ { x } p ( x , t ) = s \partial _ { s } G ( s , t ) , } \end{array}
g ^ { ( 2 ) } ( \Delta x ) = \frac { 2 \Sigma _ { i } \langle n _ { \mathrm { i o n } } ( x _ { i } ) \cdot n _ { \mathrm { i o n } } ( x _ { i } + \Delta x ) \rangle } { \Sigma _ { i } \langle n _ { \mathrm { i o n } } ( x _ { i } ) \rangle \cdot \langle n _ { \mathrm { i o n } } ( x _ { i } + \Delta x ) \rangle } ,
\mathbf { A } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } ( t ) B _ { 2 } ( x t ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } Q _ { n } ( x ) { \frac { t ^ { n } } { n ! } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { n } C _ { m } ( n ) P _ { m } ( x ) \right) { \frac { t ^ { n } } { n ! } } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { n = m } ^ { \infty } { \frac { m ! } { n ! } } C _ { m } ( n ) t ^ { n } \right) { \frac { P _ { m } ( x ) } { m ! } } . } \end{array}
\frac { 1 } { n ^ { a ( \beta + 1 ) - \beta } } G _ { n } = \frac { 1 } { n ^ { 1 + a ( \beta + 1 ) - \beta } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } S _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k ^ { a ( \beta + 1 ) - \beta } } S _ { k } a _ { n , k } ^ { \prime \prime \prime } \quad \mathrm { w i t h } \quad a _ { n , k } ^ { \prime \prime \prime } = \frac { k ^ { a ( \beta + 1 ) - \beta } } { n ^ { 1 + a ( \beta + 1 ) - \beta } } .
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } ^ { 3 } \right| \mathrm { d } x \mathrm { d } t } & { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| q _ { \mathrm { o n } } - \tilde { q } _ { \mathrm { o n } } \right| \mathrm { d } x \mathrm { d } t } \\ & { \leq } & { { L } \left\| q _ { \mathrm { o n } } - \tilde { q } _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , T ] ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \widehat { G } _ { n } \in \Xi } \operatorname* { s u p } _ { G \in \Xi } \mathbb { E } _ { p _ { G } } \biggr ( \lambda ^ { 2 } \| ( \widehat { \mu } _ { n } , \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \mu , \Sigma ) \| ^ { 2 } \biggr ) \geq c _ { 1 } n ^ { - 1 / r } , } \\ { \operatorname* { i n f } _ { \widehat { G } _ { n } \in \Xi } \operatorname* { s u p } _ { G \in \Xi } \mathbb { E } _ { p _ { G } } \biggr ( | \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda | ^ { 2 } \biggr ) \geq c _ { 2 } n ^ { - 1 / r } . } \end{array}
B _ { 2 3 } = \oint _ { - \tau _ { * } b _ { 2 } } \overline { { { \tau ^ { * } \Omega ^ { ( 4 ) } } } } = - \overline { { { \oint _ { b _ { 2 } } \Omega ^ { ( 4 ) } } } } = - \overline { { { B _ { 4 2 } } } } .
< { \cal { H } } > = { \frac { 1 } { 8 } } G ^ { - 1 } ( x x ; \chi ) + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname * { l i m } _ { x \rightarrow y } \nabla _ { x } \nabla _ { y } G ( x , y ; \chi ) - { \frac { \alpha _ { 0 } } { \beta ^ { 2 } } } ~ ~ e ^ { - { \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } } G ( x , x ; \chi ) }
\mathcal { M } \left( p ^ { 2 } + p _ { \perp } ^ { 2 } + M ^ { 2 } \right) G ( p , p _ { \perp } ) + \frac { p ^ { 2 } } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { \perp } ^ { \prime } \, G ( p , p _ { \perp } ^ { \prime } ) = 1 ,
T _ { \theta ^ { \prime } \iota ^ { \prime } \cdots \kappa ^ { \prime } } ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \cdots \zeta ^ { \prime } } = \Lambda ^ { \alpha ^ { \prime } } { } _ { \mu } \Lambda ^ { \beta ^ { \prime } } { } _ { \nu } \cdots \Lambda ^ { \zeta ^ { \prime } } { } _ { \rho } \Lambda _ { \theta ^ { \prime } } { } ^ { \sigma } \Lambda _ { \iota ^ { \prime } } { } ^ { \upsilon } \cdots \Lambda _ { \kappa ^ { \prime } } { } ^ { \phi } T _ { \sigma \upsilon \cdots \phi } ^ { \mu \nu \cdots \rho }
{ R } _ { q 1 2 } ^ { + } ( { R } _ { q 1 2 } ^ { + } ) ^ { - 1 } L _ { 1 j } ^ { + } L _ { 2 j } ^ { + } = ( { R } _ { q 1 2 } ^ { + } ) ^ { - 1 } L _ { 2 j } ^ { + } L _ { 1 j } ^ { + } ( { R } _ { q 1 2 } ^ { + } ) ,