\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \Big [ f ( X _ { t } ^ { \varepsilon } , Y _ { t } ^ { \varepsilon } ) } & { - f ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) - \int _ { s } ^ { t } \mathcal { L } f ( X _ { u } ^ { \varepsilon } , Y _ { u } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } u \Big | \mathscr { F } _ { s } ^ { \varepsilon } \Big ] } \\ & { = \sum _ { k \geq 1 } \mathbf { E } \Big [ \mathbb { I } _ { \{ s < \tau _ { k } ^ { \varepsilon } \leq t \} } \Big ( f ( X _ { \tau _ { k + 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { \tau _ { k + 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) - f ( X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) - \int _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \tau _ { k + 1 } ^ { \varepsilon } } \mathcal { L } f ( X _ { u } ^ { \varepsilon } , Y _ { u } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } u \Big ) \Big | \mathscr { F } _ { s } ^ { \varepsilon } \Big ] } \\ & { + \mathbf { E } \Big [ f ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } ( s ) } ^ { \varepsilon } , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } ( s ) } ^ { \varepsilon } ) - f ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) - \int _ { s } ^ { { \tau ^ { \varepsilon } ( s ) } } \mathcal { L } f ( X _ { u } ^ { \varepsilon } , Y _ { u } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } u \Big | \mathscr { F } _ { s } ^ { \varepsilon } \Big ] } \\ & { - \mathbf { E } \Big [ f ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } ( t ) } ^ { \varepsilon } , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } ( t ) } ^ { \varepsilon } ) - f ( X _ { t } ^ { \varepsilon } , Y _ { t } ^ { \varepsilon } ) - \int _ { t } ^ { { \tau ^ { \varepsilon } ( t ) } } \mathcal { L } f ( X _ { u } ^ { \varepsilon } , Y _ { u } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } u \Big | \mathscr { F } _ { s } ^ { \varepsilon } \Big ] } \\ & { \leq \sum _ { k \geq 1 } \mathbf { E } \Big [ \mathbb { I } _ { \{ s < \tau _ { k } ^ { \varepsilon } \leq t \} } \mathbf { E } \Big ( f ( X _ { \tau _ { k + 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { \tau _ { k + 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) - f ( X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) - \int _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \tau _ { k + 1 } ^ { \varepsilon } } \mathcal { L } f ( X _ { u } ^ { \varepsilon } , Y _ { u } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } u \Big | \mathscr { F } _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } \Big ) \Big | \mathscr { F } _ { s } ^ { \varepsilon } \Big ] } \\ & { + C \operatorname* { s u p } _ { x , y } \mathbf { E } _ { x , y } \Big [ | X _ { \tau ^ { \varepsilon } ( 0 ) } ^ { \varepsilon } - x | + | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } ( 0 ) } ^ { \varepsilon } - y | + \tau ^ { \varepsilon } ( 0 ) \Big ] } \\ & { \leq \delta \sum _ { k \geq 1 } \mathbf { E } \Big [ \mathbb { I } _ { \{ s < \tau _ { k } ^ { \varepsilon } \leq t \} } ( \tau _ { k + 1 } ^ { \varepsilon } - \tau _ { k } ^ { \varepsilon } ) \Big | \mathscr { F } _ { s } ^ { \varepsilon } \Big ] + \mathcal { O } ( \varepsilon ) } \\ & { \leq \delta \mathbf { E } \Big [ \tau ^ { \varepsilon } ( t ) - \tau ^ { \varepsilon } ( s ) \Big | \mathscr { F } _ { s } \Big ] + \mathcal { O } ( \varepsilon ) } \\ & { \leq \delta ( t - s ) + \delta \operatorname* { s u p } _ { x , y } \mathbf { E } _ { x , y } ( \tau ^ { \varepsilon } ( t ) - t ) + \delta \operatorname* { s u p } _ { x , y } \mathbf { E } _ { x , y } ( \tau ^ { \varepsilon } ( s ) - s ) + \mathcal { O } ( \varepsilon ) = \delta ( t - s ) + \mathcal { O } ( \varepsilon ) . } \end{array}