harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { M _ { t } } & { = M _ { 0 } - \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \int _ { 0 } ^ { s } r _ { u } d u } r _ { s } u ( s , \mathbf { X } _ { s } ) d s } \\ & { \ \ \ \ + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \int _ { 0 } ^ { s } r _ { u } d u } \left[ u _ { t } ( s , \mathbf { X } _ { s } ) - \mathbf { X } _ { s } ^ { * } \mathbf { \Theta } \nabla u ( s , \mathbf { X } _ { s } ) \right] d s } \\ & { \ \ \ \ + \iint _ { ( 0 , t ] \times { \mathbb R } _ { + } ^ { 2 } \setminus \{ 0 \} } e ^ { - \int _ { 0 } ^ { s } r _ { u } d u } \mathcal { D } _ { u } ^ { s , \vec { X } _ { s } } ( \mathbf { y } ) N ( d s , d \mathbf { y } ) , } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { 2 ^ { L } - 1 } ( \mathbf { I } - \mathbf { A } ) ^ { n } = \prod _ { l = 0 } ^ { L - 1 } ( \mathbf { I } + ( \mathbf { I } - \mathbf { A } ) ^ { 2 ^ { l } } )
R _ { \tau } = \frac { 2 } { \pi } \; \int _ { 0 } ^ { M _ { \tau } ^ { 2 } } { \frac { d s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } } \, \left( 1 - { \frac { s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + 2 { \frac { s } { M _ { \tau } ^ { 2 } } } \right) \mathrm { I m } \; \Pi ( s ) \; ,
\frac { 8 \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 9 \pi ^ { 3 } } \left( 2 \mu \frac { 9 \zeta _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 6 } \ln \frac { 9 T ^ { 2 } } { m _ { q } ^ { 2 } } + 2 \delta T \frac { 3 \zeta _ { 2 } } { 4 } \frac { 7 \zeta _ { 3 } } { 4 } \ln \frac { 1 5 T ^ { 2 } } { m _ { q } ^ { 2 } } \right) T
\Delta p _ { 2 } = { \sqrt { \frac { \sigma ^ { 2 } ( 1 + \epsilon ^ { 2 } / \Omega ^ { 2 } ) + \hbar ^ { 2 } / 1 6 \Omega ^ { 2 } } { 1 + 4 \epsilon ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } / \hbar ^ { 2 } + 1 / 1 6 \Omega ^ { 2 } ) } } } .
{ \tilde { f } } ( \xi ) , \ { \tilde { f } } ( \omega ) , \ F ( \xi ) , \ { \mathcal { F } } \left( f \right) ( \xi ) , \ \left( { \mathcal { F } } f \right) ( \xi ) , \ { \mathcal { F } } ( f ) , \ { \mathcal { F } } ( \omega ) , \ F ( \omega ) , \ { \mathcal { F } } ( j \omega ) , \ { \mathcal { F } } \{ f \} , \ { \mathcal { F } } { \bigl ( } f ( t ) { \bigr ) } , \ { \mathcal { F } } { \bigl \{ } f ( t ) { \bigr \} } .
\frac { \partial \vec { u } ^ { ( k ) } } { \partial t } + \left( { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } ^ { ( k ) } \cdot \nabla \right) { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } ^ { ( k ) } = - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \nabla p ^ { ( k ) } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \Delta { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } ^ { ( k ) } + \frac { 1 } { \mathrm { F r } } { \mathrm { \boldmath ~ e _ g ~ } } ,
\begin{array} { r l } { ( E _ { j } ^ { n + 1 } ( \rho _ { \dagger } ^ { \varDelta } ) ) ^ { \theta + 1 } } & { = \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \mu } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \mu + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right. } \\ & { \quad \left. - \mu \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { = \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \mu } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \mu + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { \quad + ( \theta + 1 ) \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \mu } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \mu + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta } } \\ & { \quad \times - \mu \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { = \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \mu } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \mu + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { \quad - \frac { \gamma + 1 } { 2 } \mu \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta } } \\ & { \quad \times \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x . } \end{array}
K ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { d - p - 1 } } = { \frac { m } { ( p + 1 ) ! } } \epsilon ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { d - p - 1 } \mu _ { d - p } \dots \mu _ { d } } \, A _ { \mu _ { d - p } \dots \mu _ { d } }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } [ ( \xi _ { n , i } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 4 } ] = n ^ { - 2 q r } \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { - 2 } ( q ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left( \sum _ { 1 \le i _ { 1 } < \cdots < i _ { q r - 1 } < i } \sum _ { l \in \mathcal { L } } H _ { l , q } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } } , X _ { i } ) \right) ^ { 4 } \right] } \\ { \lesssim } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } n ^ { - 2 q r } \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { - 2 } ( q ) n ^ { 2 ( q r - 1 ) } \mathbb { E } \left[ \prod _ { u = 1 } ^ { 4 } H _ { l _ { u } , q } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( u ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } ^ { ( u ) } } , X _ { i } ) \right] } \\ { \lesssim } & { n ^ { - 1 } \rightarrow 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 4 } | \partial _ { r } ^ { k } ( v f _ { \sharp } ) | } & { \leq C r ^ { - 2 - k } | \eta | \qquad } & { \textrm { f o r } k } & { \geq 1 , } \\ { \left| \partial _ { \eta } ^ { k } f _ { \sharp } \right| } & { \leq C r ^ { - 1 } \qquad } & { \textrm { f o r } k } & { \geq 1 , } \\ { \left| \partial _ { \eta } ^ { k } \left( f _ { \sharp } - \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - \eta } { \Delta ^ { 1 / 2 } } h _ { 0 } \right) \right| \ } & { \leq C r ^ { - 1 } \qquad } & { \textrm { f o r } k } & { \geq 0 , } \\ { \left| \partial _ { r ^ { \star } \! } ^ { k } \left( f _ { \sharp } - \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - \eta } { \Delta ^ { 1 / 2 } } h _ { 0 } \right) \right| \ } & { \leq C r ^ { - k - 1 } | \eta | \qquad } & { \textrm { f o r } k } & { \geq 0 . } \end{array}
P ( E _ { T } | b ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi q ^ { 2 } a N _ { p } ( b ) } } \exp \left( - \frac { [ E _ { T } - q N _ { p } ( b ) ] ^ { 2 } } { 2 q ^ { 2 } a N _ { p } ( b ) } \right) .
( \nabla \cdot U ) ( \theta , \varphi ) \triangleq \frac { 1 } { \sin ( \theta ) } \partial _ { \theta } \big [ \sin ( \theta ) U _ { \theta } ( \theta , \varphi ) \big ] + \frac { 1 } { \sin ( \theta ) } \partial _ { \varphi } U _ { \varphi } ( \theta , \varphi ) .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } ( r , \theta ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { r ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } \ \left( A _ { n } f _ { \mathrm { I } , i j } ( \theta , n ) + B _ { n } f _ { \mathrm { I I } , i j } ( \theta , n ) \right) } , } \\ { u _ { i } ( r , \theta ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { \frac { n } { 2 } } } { 2 \mu } \ \left( A _ { n } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , n ) + B _ { n } g _ { \mathrm { I I } , i } ( \theta , n ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T N ^ { \mu } } & { = T N ^ { \mu } + ( \tilde { J } \cdot \tilde { \mu } ) ^ { \mu } + ( \tilde { L } \cdot \tilde { \mu } _ { \ell } ) ^ { \mu } } \\ & { = T S ^ { \mu } + T ^ { \mu \nu } u _ { \nu } + ( J \cdot \mu ) ^ { \mu } + ( \tilde { J } \cdot \tilde { \mu } ) ^ { \mu } } \\ & { \qquad + ( L \cdot \mu _ { \ell } ) ^ { \mu } + ( \tilde { L } \cdot \tilde { \mu } _ { \ell } ) ^ { \mu } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L } & { = \left( \hbar c \right) ^ { 2 } \left( \partial _ { \mu } { \hat { a } } \partial ^ { \mu } { \hat { a } } ^ { \dagger } + \partial _ { \mu } { \hat { b } } \partial ^ { \mu } { \hat { b } } ^ { \dagger } + \cdots \right) - \left( m c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( { \hat { a } } { \hat { a } } ^ { \dagger } + { \hat { b } } { \hat { b } } ^ { \dagger } + \cdots \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 m c ^ { 2 } } } \left[ \left( \hbar c \right) ^ { 2 } \left( { \frac { - i m c } { \hbar } } { \hat { A } } + \partial _ { 0 } { \hat { A } } \right) \left( { \frac { i m c } { \hbar } } { \hat { A } } ^ { \dagger } + \partial ^ { 0 } { \hat { A } } ^ { \dagger } \right) - \left( \hbar c \right) ^ { 2 } \partial _ { x } { \hat { A } } \partial ^ { x } { \hat { A } } ^ { \dagger } + ( A \Rightarrow B ) + \cdots - \left( m c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( { \hat { A } } { \hat { A } } ^ { \dagger } + { \hat { B } } { \hat { B } } ^ { \dagger } + \cdots \right) \right] } \\ & { = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left[ { \frac { i m c } { \hbar } } \left( \partial _ { 0 } { \hat { A } } { \hat { A } } ^ { \dagger } - { \hat { A } } \partial ^ { 0 } { \hat { A } } ^ { \dagger } \right) + \partial _ { \mu } { \hat { A } } \partial ^ { \mu } { \hat { A } } ^ { \dagger } + ( A \Rightarrow B ) + \cdots \right] } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c } { F _ { 1 } ^ { \prime } = 2 z _ { 2 } + 3 z _ { 4 } + 4 z _ { 5 } + 2 z _ { 6 } + z _ { 7 } , } & { F _ { 2 } ^ { \prime } = 4 z _ { 1 } + 2 z _ { 4 } + z _ { 5 } + 3 z _ { 6 } , } \\ { F _ { 3 } ^ { \prime } = 4 z _ { 2 } + 5 z _ { 3 } + 2 z _ { 4 } + z _ { 5 } , } & { F _ { 4 } ^ { \prime } = 4 z _ { 1 } + 2 z _ { 3 } + z _ { 4 } + 2 z _ { 5 } + 4 z _ { 7 } + 5 z _ { 8 } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi ( h ) = \frac { \int | f _ { \tau ^ { * } , h } - \hat { f } _ { \tau ^ { * } , h } | \sqrt { \pi ( y ) \hat { \pi } ( y ) } d y } { \int \sqrt { \pi ( y ) \hat { \pi } ( y ) } d y } , } \end{array}
N _ { c } ^ { - n } \epsilon ^ { g _ { 1 } g _ { 2 } . . . g _ { n } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left( \partial _ { 1 } ^ { i a _ { i } } S _ { 0 } ^ { - 1 } \psi _ { i b _ { i } } ^ { 0 } \right) \left( \overline { { { \psi } } } _ { g _ { i } b _ { i } } ^ { 0 } S _ { 0 } ^ { - 1 } g ^ { \dag } \overline { { { \partial } } } _ { 1 } ^ { g _ { i } a _ { i } } \right) .
N _ { u , d } = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \mu _ { u , d } ^ { 3 } ; \, N _ { s } = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } ( \mu _ { s } ^ { 2 } - m _ { s } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } ; \, N _ { e } = \frac { 1 } { 3 \pi ^ { 2 } } ( \mu _ { e } ) ^ { 3 } .
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l } { { 5 } 4 s } & { = } & & { ( 1 - 2 + 3 - \cdots ) \ \ } & & { + ( 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots ) } & & { + ( 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots ) } & & { + ( 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots ) } \\ & { = } & & { ( 1 - 2 + 3 - \cdots ) } & & { + 1 + ( - 2 + 3 - 4 + \cdots ) \ \ } & & { + 1 + ( - 2 + 3 - 4 + \cdots ) \ \ } & & { + 1 - 2 + ( 3 - 4 + \cdots ) } \\ & { = \ 1 + } & & { ( 1 - 2 + 3 - \cdots ) } & & { + ( - 2 + 3 - 4 + \cdots ) } & & { + ( - 2 + 3 - 4 + \cdots ) } & & { + ( 3 - 4 + 5 - \cdots ) } \\ & { = \ 1 + [ \ } & & { ( 1 - 2 - 2 + 3 ) } & & { + ( - 2 + 3 + 3 - 4 ) } & & { + ( 3 - 4 - 4 + 5 ) } & & { + \cdots \ ] } \\ & { = \ 1 + [ \ } & & { 0 + 0 + 0 + \cdots \ ] } \\ { 4 s } & { = \ 1 } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } u _ { i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) + 2 \epsilon _ { i j \ell } \omega _ { \mathrm { { F } } j } u _ { \ell } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { 2 D } } } & { { } = } & { \underbrace { \sum _ { i \sigma } \left( \epsilon _ { s } b _ { s i \sigma } ^ { \dagger } b _ { s i \sigma } + \epsilon _ { p } b _ { p i \sigma } ^ { \dagger } b _ { p i \sigma } \right) } _ { H _ { 0 } } \underbrace { - \Gamma _ { 0 } \sum _ { i j , \sigma \sigma ^ { \prime } } G _ { i j } \left( b _ { p i \sigma } ^ { \dagger } b _ { s i \sigma } \right) \left( b _ { s j \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } b _ { p j \sigma ^ { \prime } } \right) } _ { H _ { \mathrm { d i p - d i p } } } + \underbrace { \sum _ { i \sigma } \left( \Omega e ^ { - i \omega _ { L } t } b _ { p i \sigma } ^ { \dagger } b _ { s i \sigma } + h . c . \right) } _ { H _ { \mathrm { d r i v e } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { c c c c } { h _ { 0 } } & { h _ { 1 } } & { \cdots } & { h _ { n _ { 1 } } } \\ { h _ { 1 } } & { h _ { 2 } } & { \cdots } & { h _ { n _ { 1 } + 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { h _ { n _ { 1 } - 1 } } & { h _ { n _ { 1 } } } & { \cdots } & { h _ { 2 n _ { 1 } - 1 } } \\ { 1 } & { z } & { \cdots } & { z ^ { n _ { 1 } } } \end{array} \right) , } \end{array}
a _ { 8 } ^ { \prime } - \frac { 1 } { \rho } a _ { 8 } = \frac { \eta ^ { 2 } \rho } { 2 \sqrt { 3 } e } ( \psi _ { 4 } ^ { 2 } + \psi _ { 6 } ^ { 2 } - 1 ) ,
V ( \sigma ) = \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 0 } } \sigma ^ { 2 } - i \, \mathrm { t r } \ \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \sigma } s d s \frac { 1 } { L } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { D - 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \frac { 1 } { k ^ { 2 } - s ^ { 2 } } \, .
y ^ { 2 } \partial _ { y } y ^ { - 2 } \partial _ { y } H + { \frac { 1 } { y ^ { 2 } } } \left( f ^ { - { \frac { 3 } { 2 } } } ( \mu ) \partial _ { \mu } f ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } ( \mu ) \, \partial _ { \mu } - m ^ { 2 } f \right) H = - \omega ^ { 2 } H \ .
\begin{array} { r } { u ( x _ { i } ^ { + } ) = m _ { i } ^ { + } \mathrm { ~ } \mathrm { ~ a n d ~ } \mathrm { ~ } \operatorname* { s u p } _ { B _ { i } ^ { + } } | \nabla u | \lesssim _ { n } { N } m _ { i } ^ { + } , \mathrm { ~ } \mathrm { ~ w h e r e ~ } \mathrm { ~ } B _ { i } ^ { + } : = B ( x _ { i } ^ { + } , \frac { 1 } { 1 0 N } ) . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } } { d \chi ^ { 2 } } \tilde { \varphi } _ { n j } ( \chi ) - \left( \frac { \beta _ { j } ^ { 2 } - 1 } { 4 \chi ^ { 2 } } + \chi ^ { 2 } - \varepsilon _ { n j } \right) \tilde { \varphi } _ { n j } ( \chi ) = 0 .
\begin{array} { r } { \Delta - \widetilde \Omega ( \mathbf { k } _ { \parallel } ) = - \frac { \widetilde \Gamma ( { \mathbf { k } _ { \parallel } } ) } { 2 } \frac { \sin ( 2 k _ { z } \ell ) } { 1 + \cos ( 2 k _ { z } \ell ) } = - \frac { \widetilde \Gamma ( { \mathbf { k } _ { \parallel } } ) } { 2 } \tan ( k _ { z } \ell ) , } \end{array}
{ \cal M } = \int \frac { d ^ { D } \! q } { ( q - p ) ^ { 2 } ( q \! \cdot \! n ) } \longrightarrow ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! M L } \int \frac { d ^ { D } \! q \, ( q \! \cdot \! n ^ { * } ) } { ( q - p ) ^ { 2 } \left[ ( q \! \cdot \! n ) ( q \! \cdot \! n ^ { * } ) + i \epsilon \right] } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { F ( \bar { x } ) } & { = \big \{ y \in Y \; \big | \; ( \bar { x } , y ) \in \mathrm { g p h } \, F \big \} } \\ & { = \big \{ y \in Y \; \big | \; A _ { 1 } ( \bar { x } ) + A _ { 2 } ( y ) = z , \, \langle x _ { i } ^ { * } , \bar { x } \rangle + \langle y _ { i } ^ { * } , y \rangle \leq \beta _ { i } , \, i = 1 , \ldots , m \big \} } \\ & { = \big \{ y \in Y \; \big | \; A _ { 2 } ( y ) = z - A _ { 1 } ( \bar { x } ) , \, \langle y _ { i } ^ { * } , y \rangle \leq \beta _ { i } - \langle x _ { i } ^ { * } , \bar { x } \rangle , \, i = 1 , \ldots , m \big \} . } \end{array} } \end{array}
{ \cal L } _ { v e c } ^ { \prime } \, = \, \mathrm { i } \, \Bigl [ { \cal F } ^ { - T } \, \bigl ( A + B { \bar { \cal N } } \bigr ) ^ { T } { \bar { \cal N } } ^ { \prime } ( A + B { \bar { \cal N } } \bigr ) { \cal F } ^ { - } \, - \, { \cal F } ^ { + T } \, \bigl ( A + B { \cal N } \bigr ) ^ { T } { \cal N } ^ { \prime } ( A + B { \cal N } \bigr ) { \cal F } ^ { + } \Bigr ]
C _ { c e } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } , T ) = \frac { ( \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } ^ { e } - \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } ) \cdot ( \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } - \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } ^ { c } ) } { \| \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } ^ { e } - \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } \| \| \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } _ { 0 } - \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } ^ { c } \| } ,
\vert I _ { P , \overline { { { P } } } } \vert < C \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { L } { \frac { ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) ^ { 2 } } { ( l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) + r ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \textbf { f } _ { \mathrm { Q D } } ^ { ( 1 , 2 ) } = r _ { 1 } ^ { 5 } k _ { L , 1 } \left( 1 + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } \right) \cdot \bigg [ } & { \frac { 5 ( \mathbf { \Omega } _ { 1 } \cdot \mathbf { d } ) ^ { 2 } \mathbf { d } } { 2 d ^ { 7 } } - \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \mathbf { d } } { 2 d ^ { 5 } } } \\ & { - \frac { ( \mathbf { \Omega } _ { 1 } \cdot \mathbf { d } ) \mathbf { \Omega } _ { 1 } } { d ^ { 5 } } - \frac { 6 G m _ { 2 } \mathbf { d } } { d ^ { 8 } } \bigg ] , } \end{array}
\Phi ( \mathbf { r } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \, d ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } \; { \frac { \operatorname { d i v } \mathbf { v } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { 4 \pi \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } .
H _ { \mathbf { k } , m n } ^ { \mathrm { { e f f } } } = \langle u _ { m , 0 } | H _ { 0 } | u _ { n , 0 } \rangle + \mathbf { k } \cdot \langle u _ { m , 0 } | \nabla _ { \mathbf { k } } H _ { \mathbf { k } } ^ { \prime } | u _ { n , 0 } \rangle
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } = } & { { } \; - \varepsilon \beta S ( m + \alpha n ) + \delta \varepsilon P , } \\ { m ^ { \prime } = } & { { } \; \beta S ( m + \alpha n ) - \gamma m , } \\ { T ^ { \prime } = } & { { } \; \varepsilon \gamma m - \varepsilon T , } \\ { P ^ { \prime } = } & { { } \; \varepsilon \delta + \varepsilon T ( 1 - \delta ) - \varepsilon \nu \beta P ( m + \alpha n ) - \delta \varepsilon ( S + \varepsilon m + 2 P + \varepsilon n ) , } \\ { n ^ { \prime } = } & { { } \; \nu \beta P ( m + \alpha n ) - \gamma n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \, } & { : \, \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \longrightarrow \mathrm { N } _ { 2 } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k + 1 } ) \, ; } \\ { \mathrm { d } ^ { \ast } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \, } & { : \, \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \longrightarrow \mathrm { N } _ { 2 } ( \mathrm { d } ^ { \ast } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k - 1 } ) \, ; } \end{array}
\mathrm { V o l } = \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \, \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \, \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } d \psi \, \sqrt { \operatorname * { d e t } g } = \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \, \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \, \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } d \psi \left( { \frac { \ell } { 2 } } \right) ^ { 3 } \, \sin \theta = \ell ^ { 3 } \, 2 \pi ^ { 2 } \ .
M ^ { \nu } \sim \lambda \left( \begin{array} { c c c c } { { - 0 . 0 0 7 7 5 } } & { { - 0 . 1 8 9 7 2 } } & { { 0 . 0 5 0 3 0 } } & { { \frac { \hat { h } _ { e } v _ { \eta } } { 2 \sqrt 2 \lambda } } } \\ { { } } & { { - 4 . 6 0 8 3 8 } } & { { 1 . 2 6 3 5 } } & { { \frac { \hat { h } _ { \mu } v _ { \eta } } { 2 \sqrt 2 \lambda } } } \\ { { } } & { { } } & { { - 0 . 2 9 3 4 6 } } & { { \frac { \hat { h } _ { \tau } v _ { \eta } } { 2 \sqrt 2 \lambda } } } \\ { { \frac { \hat { h } _ { e } v _ { \eta } } { 2 \sqrt 2 \lambda } } } & { { \frac { \hat { h } _ { \mu } v _ { \eta } } { 2 \sqrt 2 \lambda } } } & { { \frac { \hat { h } _ { \tau } v _ { \eta } } { 2 \sqrt 2 \lambda } } } & { { \frac { M _ { R } } { 2 \lambda } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { E ^ { ( 2 ) } ( { \bf R } , \rho ) = } & { E ( { \bf R } , \rho _ { \mathrm { r e f } } ) + \int \left( \frac { \delta F _ { S } [ \rho ] } { \delta \rho ( { \bf r } ) } \Big \vert _ { \rho _ { \mathrm { r e f } } } + V _ { \mathrm { H } } [ \rho _ { \mathrm { r e f } } ] ( { \bf r } ) + V _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf R , r } ) \right) \Delta \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } } \\ & { ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } \iint \Delta \rho ( { \bf r } ) \frac { \delta ^ { 2 } F _ { S } [ \rho ] } { \delta \rho ( { \bf r } ) \delta \rho ( { \bf r ^ { \prime } } ) } \Big \vert _ { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \Delta \rho ( { \bf r ^ { \prime } } ) d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } + E _ { \mathrm { H } } [ \Delta \rho ] } \\ { = } & { V _ { S } ^ { ( 0 ) } ( { \bf R } ) + \int V _ { S } ^ { ( 1 ) } ( { \bf r } ) \Delta \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } + \frac { 1 } { 2 } \iint \Delta \rho ( { \bf r } ) V _ { S } ^ { ( 2 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \Delta \rho ( { \bf r ^ { \prime } } ) d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } + E _ { \mathrm { H } } [ \Delta \rho ] , } \end{array}
\sigma _ { A } - \sigma _ { P } = { \frac { 1 6 m \pi ^ { 2 } \alpha } { 2 m \nu - Q ^ { 2 } } } \Biggl ( m \nu G _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) - Q ^ { 2 } G _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) \Biggr ) .
D _ { P } = \beta \left( \left| k \right| ^ { 2 } - 4 p _ { 0 } ^ { 2 } \right) \left( \left| k \right| ^ { 2 } - 4 \xi p _ { 0 } ^ { 2 } \right) \quad , \quad \widetilde { D } _ { P } = 2 \beta \left( \left| k \right| ^ { 2 } - 4 \xi p _ { 0 } ^ { 2 } \right)
\Omega = \sqrt { \frac { 1 2 8 \eta ^ { 2 } \sigma \cos \theta _ { 0 } } { R ^ { 5 } \rho ^ { 3 } g ^ { 2 } } } = \sqrt { 1 2 8 \cos \theta _ { 0 } } \, \frac { \mathrm { O h } } { \mathrm { B o } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e } ) - f _ { p } ( z _ { p } ) - \langle \lambda _ { p } ^ { t + 1 } , \underbrace { \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } z _ { p } ^ { t , e + 1 } } _ { = z _ { p } ^ { t + 1 } } - z _ { p } \rangle \leq \rho ^ { t } \underbrace { \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \langle z _ { p } ^ { t + 1 } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle } _ { \leq 0 \mathrm { ~ f r o m ~ } } + } \\ & { \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \Big ( \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \Big ) + \langle \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \rangle \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 1 0 } ( 4 n + 2 ) q ^ { n } } & { \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } } \\ & { \equiv ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } \pmod { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \dot { V } _ { 0 } - V _ { 1 } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } + \operatorname { T r } ( \dot { V } _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) / 2 } \\ & { = \dot { V } ( q _ { t } ) - V ^ { \prime } ( q _ { t } ) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - V ^ { \prime \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { i j k } \Sigma _ { t , j k } \dot { q } _ { t } , _ { i } / 2 } \\ & { ~ ~ ~ + \operatorname { T r } \{ [ d V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } ) / d t ] \cdot \Sigma _ { t } \} / 2 = 0 , } \end{array}