harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ( x , s , t ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( s ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ) f ( x + \eta , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \varepsilon \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( s ^ { \prime \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ( x , s , t ) \, d s , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A _ { \mathbf { k } } | } & { { } = \sqrt { ( \Omega _ { x } - \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + ( \Omega _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } , } \\ { | B _ { \mathbf { k } } | } & { { } = \sqrt { ( \Omega _ { x } + \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + ( \Omega _ { y } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d C _ { A } } { d t } = - k _ { a } C _ { A } + k _ { a } \frac { k _ { H } } { \delta _ { a } } C _ { U } + E ( t ) \mathrm { ~ , } } \\ & { \frac { d C _ { U } } { d t } = k _ { a } C _ { A } - k _ { a } \frac { k _ { H } } { \delta _ { a } } C _ { U } - k _ { d } C _ { U } + \frac { k _ { d } } { \delta _ { d } } C _ { L } \mathrm { ~ , } } \\ & { \frac { d C _ { L } } { d t } = k _ { d } C _ { U } - \frac { k _ { d } } { \delta _ { d } } C _ { L } \mathrm { ~ . } } \end{array}
| f _ { \omega } ( t ) | ^ { 2 } \simeq | B | ^ { 2 } \frac { t } { t _ { 0 } } ( \omega t _ { 0 } ) ^ { 2 \alpha } ( 1 \! + \! B ^ { \prime } \omega t _ { 0 } ) J _ { - \alpha } ^ { 2 } \Big ( \sqrt { \frac { v _ { f } } { v _ { i } } } \omega t \Big ) .
\begin{array} { r } { L = \frac 1 2 I _ { i j } ^ { - 1 } M _ { i } M _ { j } - \frac 1 2 \lambda _ { i j } [ ( R ^ { T } R ) _ { i j } - \delta _ { i j } ] - \frac 1 2 G _ { i j } ( R , \dot { R } ) [ ( R ^ { T } R ) _ { i j } ^ { - 1 } - \delta _ { i j } ] , } \end{array}
W ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { n } ) ( x ) = { \left| \begin{array} { l l l l } { f _ { 1 } ( x ) } & { f _ { 2 } ( x ) } & { \cdots } & { f _ { n } ( x ) } \\ { f _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { f _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) } & { \cdots } & { f _ { n } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { f _ { 1 } ^ { ( n - 1 ) } ( x ) } & { f _ { 2 } ^ { ( n - 1 ) } ( x ) } & { \cdots } & { f _ { n } ^ { ( n - 1 ) } ( x ) } \end{array} \right| } , \qquad x \in I .
g ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \frac { C _ { X } ( \tau | p ) } { C _ { X } ( \tau | p _ { c } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { x } { 1 - e ^ { - x } } } , } & { x = \frac { 2 ( p / p _ { c } - 1 ) } { 1 + \omega } \log \tau , \quad p \rightarrow p _ { c } + 0 , } \\ { \sqrt { \frac { 2 x } { e ^ { 2 x } - 1 } } , } & { x = \frac { 1 - p / p _ { c } } { 1 + \omega } \log \tau , \quad p \rightarrow p _ { c } - 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } } & { { } = \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \mathbf { U } _ { i - 1 , j } ^ { 0 } } \\ { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } } & { { } = \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \mathbf { U } _ { i + 2 , j } ^ { 0 } } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { = \, } & { { } 2 ^ { n } \left( 2 ^ { n } + 1 \right) \mathbb { I } + 2 \left( 2 ^ { n } + 1 \right) P _ { i } - 2 \mathbb { I } + 2 \left( 2 ^ { n } + 1 \right) \left( 2 ^ { n } - 1 \right) P _ { i } + 2 \mathbb { I } } \\ { = \, } & { { } 2 ^ { n } \left( 2 ^ { n } + 1 \right) \left( \mathbb { I } + 2 P _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { C } ^ { ( L ) } ( \mathcal { N } _ { G } ) \! } & { { } \leq \! \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \! H ( M ) \! + \! ( f _ { L } - f _ { W } ) \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \! \left\{ \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \! \! \! \! \! \! \pi ( m ) \right\} \! \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { 1 , 2 , 3 , 4 } ( k , \xi ) } & { { } = } & { \pm \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 A _ { 1 1 } ^ { 2 } - 2 A _ { 1 2 } ^ { 2 } + 4 A _ { 3 2 } A _ { 1 4 } - 2 A _ { 3 4 } ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 1 } ( s ) \vert } & { \le ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 1 } } + ( \tilde { c } _ { 1 } + c _ { 2 } ) \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 2 } } } \\ { \vert u _ { 2 } ( s ) \vert } & { \le ( \frac { \gamma _ { 1 } } { c } c _ { 1 } + \frac { \gamma _ { 2 } } { c } \tilde { c } _ { 2 } ) \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } + ( \frac { \gamma _ { 1 } } { c } \tilde { c } _ { 1 } + \frac { \gamma _ { 2 } } { c } c _ { 2 } ) \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } } \\ & { \le c _ { 1 } ^ { \ast } \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } + c _ { 2 } ^ { \ast } \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } v _ { i } + \partial _ { i } P } & { { } = \nu \nabla ^ { 2 } v _ { i } + M _ { j } \partial _ { j } B _ { i } - \Gamma \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } \left( \omega _ { k } - 2 \Omega _ { k } \right) , } \end{array}
\tilde { \cal L } _ { W Z } ( \xi ) \equiv \Pi _ { \rho _ { k } i } ( \xi ) \, \Lambda ^ { \rho _ { k } i } ( \xi ) \quad , \quad \xi ^ { i } = ( \tau , { \bf \sigma } ) \quad , \quad i = 0 , 1 , \dots , p \quad , \quad
l ^ { * } = { \frac { r } { \gamma + 1 } } + \left( { \frac { 1 } { \gamma ( \gamma + 1 ) } } { \frac { A _ { 1 } } { A _ { 0 } } } - { \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } } { \frac { B } { A _ { 0 } } } \right) + { \frac { 1 } { \gamma ( \gamma + 1 ) } } { \frac { B } { A _ { 0 } } } \ln r + . . . ~ ~ .
\begin{array} { r l } { k _ { R \rightarrow P } } & { { } \in \left[ \frac { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) } { \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } - \theta _ { \frac { \alpha } { 2 } } \sigma , \frac { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) } { \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } + \theta _ { \frac { \alpha } { 2 } } \sigma \right] , } \\ { \sigma } & { { } = \sqrt { \frac { \mathrm { V a r } ( \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ) } { \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ^ { 2 } M _ { \mathrm { r e a l } } } + \frac { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ^ { 2 } \mathrm { V a r } ( \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ) } { \widehat { t } _ { l o o p - R \Sigma _ { R } R } ^ { 4 } n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \boldsymbol { \psi } \cdot { \bf e } _ { y } } \\ { \boldsymbol { \psi } \cdot { \bf e } _ { y } } & { 0 } \end{array} \right] \left( \begin{array} { l } { G _ { y } } \\ { G _ { z } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d Z } { d t } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k + 1 } } \sum _ { s \in S _ { k } , i _ { k + 1 } \geq 0 } } & { { } t ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + j _ { k } } { \frac { [ X ^ { ( i _ { 1 } ) } Y ^ { ( j _ { 1 } ) } \cdots X ^ { ( i _ { k } ) } Y ^ { ( j _ { k } ) } X ] } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! } } } \\ { + } & { { } t ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + j _ { k } + i _ { k + 1 } } { \frac { [ X ^ { ( i _ { 1 } ) } Y ^ { ( j _ { 1 } ) } \cdots X ^ { ( i _ { k } ) } Y ^ { ( j _ { k } ) } X ^ { ( i _ { k + 1 } ) } Y ] } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! i _ { k + 1 } ! } } , \quad i _ { r } , j _ { r } \geq 0 , \quad i _ { r } + j _ { r } > 0 , \quad 1 \leq r \leq k } \end{array} } .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { { \sigma } _ { 1 } } \gamma ^ { - l _ { 1 } / 2 } \cdot \gamma ^ { - l _ { 1 } / 4 } } & { \le } & { \gamma ^ { 3 r / 2 } \sum _ { s _ { 1 } ^ { ( a ) } = 0 } ^ { r } \gamma ^ { - 3 s _ { 1 } ^ { ( a ) } / 2 } \sum _ { s _ { 1 } ^ { ( b ) } = r - 2 - s _ { 1 } ^ { ( a ) } } ^ { r } \gamma ^ { - 3 s _ { 1 } ^ { ( b ) } / 2 } } \\ & { } & { \le \gamma ^ { 3 r / 2 } \sum _ { s _ { 1 } ^ { ( a ) } = 0 } ^ { r } \gamma ^ { - 3 s _ { 1 } ^ { ( a ) } / 2 } \gamma ^ { - 3 r / 2 + 3 s _ { 1 } ^ { ( a ) } / 2 } \le K _ { 2 } \cdot r \ , } \end{array}
\dot { \pi } _ { ~ z } ^ { \bar { z } } = 2 e ^ { 2 \sigma } \partial _ { z } ( e ^ { - 2 \sigma } \partial _ { z } N ) + 2 \pi _ { ~ z } ^ { \bar { z } } \partial _ { z } N ^ { z } + N ^ { z } \partial _ { z } \pi _ { ~ z } ^ { \bar { z } } .
\begin{array} { r l } { \Delta V ( \underline { { r } } , \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } & { { } = V ( \underline { { r } } , \underline { { R } } , \underline { { x } } ) - V ( \underline { { r } } , \underline { { R } } , \underline { { x } } _ { 0 } ) \quad , } \end{array}
\xi _ { l , m } ( z ) = N _ { l , m } A _ { l } ^ { \dagger } ( z ) \dots A _ { l - m + 1 } ^ { \dagger } ( z ) \left[ \frac { 1 } { \cosh ^ { l - m } z } \right] \; , \; E _ { l , m } = l ^ { 2 } - ( l - m ) ^ { 2 }
E _ { x } = - \frac { 1 } { 3 } ( \mathcal { I } _ { 2 , x } + \mathcal { I } _ { 3 , x } - 2 \mathcal { I } _ { 1 , x } ) + \frac { i } { \sqrt { 3 } } ( \mathcal { I } _ { 2 , x } - \mathcal { I } _ { 3 , x } )
\begin{array} { r } { \sum _ { \{ t ^ { \prime } : t ^ { \mathrm { m i n } } \leq t ^ { \prime } + \Delta _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i } \leq t \} } z _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i } \leq \sum _ { \{ t ^ { \prime } : t ^ { \mathrm { m i n } } \leq t ^ { \prime } + \delta _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i - 1 } \leq t \} } z _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i - 1 } \quad \forall ( u , v , r ) \in \mathcal { F } , i \in \mathcal { I } ^ { ( u , v , r ) } \setminus \{ 1 \} , t \in \mathcal { T } } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { 2 } = - F _ { 2 } ( \theta , \varphi ) - \eta _ { 1 } \partial _ { \varphi } F _ { 1 } ( \theta , \varphi ) , } \\ { F _ { 2 } ( \theta , \varphi ) = F _ { 2 } ( \theta - \iota \Delta \varphi , \varphi _ { b } ) . } \end{array}
\frac { \omega _ { c } ^ { 2 } } { \omega _ { p } ^ { 2 } } + 1 < K < \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { p } ^ { 2 } } + \frac { \omega _ { c } } { \omega _ { p } ^ { 2 } } \sqrt { \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega _ { p } ^ { 2 } } + 1 ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t r } ( J ( T , \bar { r } ) ) } & { = } & { \frac { c } { \varepsilon } ( M - 1 - T ( N - 1 ) ) , } \\ { \mathrm { d e t } ( J ( T , \bar { r } ) ) } & { = } & { \frac { 1 } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } T ^ { M } ( 1 - T ) ^ { N - M + 1 } b \frac { \bar { r } ( 1 - \bar { r } ) \beta } { 2 } > 0 . } \end{array}
\mathcal { L } = \textstyle \frac { 1 } { 2 } i \bar { \psi } \star \gamma ^ { \mu } \stackrel { \leftrightarrow } { D _ { \mu } } \psi - m \bar { \psi } \star \psi - \textstyle \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } \star F ^ { \mu \nu } \, ,
\begin{array} { r l r } { \zeta ( t ) } & { \sim } & { F _ { \zeta } ( \eta ^ { \ast } , s ) \tau } \\ & { \sim } & { \frac { F _ { \zeta } ( \eta ^ { \ast } , s ) } { F _ { \lambda } ( \eta ^ { \ast } , s ) } \ln \left( \frac { \xi ( t ) } { \xi _ { 0 } } \right) } \\ & { \sim } & { K - \frac { F _ { \zeta } ( \eta ^ { \ast } , s ) } { 2 F _ { \lambda } ( \eta ^ { \ast } , s ) } \ln ( t ) } \\ & { \equiv } & { K - \tilde { \zeta } ( s ) \ln ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { Q } \Bigg ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } } & { \bigg | \langle G _ { t } , \rho _ { t } \rangle - \langle G _ { 0 } , \rho _ { 0 } \rangle - \int _ { 0 } ^ { t } \langle \rho _ { s } , \partial _ { s } G _ { s } \rangle \mathrm { d } s + m \int _ { 0 } ^ { t } \langle \partial _ { u u } G _ { s } , 1 - \rho _ { s } \rangle \mathrm { d } s } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad - \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { k \geqslant 2 } \binom { m } { k } ( - 1 ) ^ { k } \Big \langle \partial _ { u u } G _ { s } , \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \big \langle 1 - \pi _ { s } , { \iota } _ { \epsilon _ { k } } ^ { \cdot + j \epsilon _ { k } } \big \rangle \Big \rangle \mathrm { d } s \bigg | > \frac { \delta } { 2 ^ { 2 } } \Bigg ) } \\ & { + \mathbb { Q } \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { k \geqslant 2 } \binom { m } { k } ( - 1 ) ^ { k } \Big \langle \partial _ { u u } G _ { s } , ( 1 - \rho _ { s } ) ^ { k } - \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \big \langle 1 - \pi _ { s } , { \iota } _ { \epsilon _ { k } } ^ { \cdot \; + j \epsilon _ { k } } \big \rangle \Big \rangle \mathrm { d } s \bigg | > \frac { \delta } { 2 } \right) } \\ & { + \mathbb { Q } \left( \big | \langle G _ { 0 } , \rho _ { 0 } - \rho ^ { \mathrm { i n i } } \rangle \big | > \frac { \delta } { 2 ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { k } ( l , l ^ { \prime } ) = \sin { \big ( \varphi \frac { | z _ { l ^ { \prime } } - z _ { l } | } { d } \big ) } + \frac { \sin { ( \varphi q ) } \cos { \big ( \varphi \frac { | z _ { l ^ { \prime } } - z _ { l } | } { d } \big ) } } { \cos { ( k q ) } - \cos { ( \varphi q ) } } + \frac { i \sin { ( k q ) } \sin { \big ( \varphi \frac { | z _ { l ^ { \prime } } - z _ { l } | } { d } \big ) } } { \cos { ( k q ) } - \cos { ( \varphi q ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } & { { } = \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) - [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + } ( 0 ^ { + } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - } ( 0 ^ { - } ) ] . } \end{array}
g _ { 1 } ^ { p ( n ) } ( x , Q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( { \frac { 2 } { 9 } } ) \{ \delta C _ { N S } \otimes [ \pm { \frac { 3 } { 4 } } \Delta q _ { 3 } + { \frac { 1 } { 4 } } \Delta q _ { 8 } ] + \delta C _ { S } \otimes \Delta \Sigma + \delta C _ { G } \otimes \Delta G \} ~ ,
\bigl [ a _ { \pm } , a _ { \pm } ^ { + } \bigr ] = 1 \quad \bigl [ a _ { \pm } , a _ { \mp } ^ { + } \bigr ] = \bigl [ a _ { \pm } , a _ { \mp } \bigr ] = \bigl [ a _ { \pm } ^ { + } , a _ { \mp } ^ { + } \bigr ] = 0
\begin{array} { r l } & { \mathbb { B } ( \Vec { a } , z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ; \theta , N ) } \\ { = } & { \sum _ { \mu } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \frac { \Gamma ( \theta N - \theta ( i - 1 ) ) } { \Gamma ( \theta N - \theta ( i - 1 ) + \mu _ { i } ) } \frac { ( M \theta ) _ { \mu } } { H ( \mu ) H ^ { ' } ( \mu ) } 2 ^ { - 2 | \mu | } \frac { P _ { \mu } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , \cdots , a _ { M } ^ { 2 } ; \theta ) P _ { \mu } ( z _ { 1 } ^ { 2 } , \cdots , z _ { M } ^ { 2 } ; \theta ) } { P _ { \mu } ( 1 ^ { M } ; \theta ) ^ { 2 } } } \\ { \le } & { \sum _ { \mu } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \frac { \Gamma ( \theta N - \theta ( i - 1 ) ) } { \Gamma ( \theta N - \theta ( i - 1 ) + \mu _ { i } ) } \frac { ( M \theta ) _ { \mu } } { H ( \mu ) H ^ { ' } ( \mu ) } 2 ^ { - 2 | \mu | } a _ { 1 } ^ { 2 | \mu | } z _ { 1 } ^ { 2 | \mu | } } \\ { \le } & { \sum _ { \mu } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \left[ \frac { \Gamma ( \theta N - \theta ( i - 1 ) ) } { \Gamma ( \theta N - \theta ( i - 1 ) + \mu _ { i } ) } \frac { \Gamma ( \theta M - \theta ( i - 1 ) + \mu _ { i } ) } { \Gamma ( \theta M - \theta ( i - 1 ) ) } \right] \frac { 1 } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \mu _ { i } ! } \frac { 1 } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \prod _ { j = 0 } ^ { \mu _ { i } - 1 } ( \theta + j ) } 2 ^ { - 2 | \mu | } a _ { 1 } ^ { 2 | \mu | } z _ { 1 } ^ { 2 | \mu | } } \\ { \le } & { \sum _ { \mu _ { 1 } \ge . . . \ge \mu _ { M } \ge 0 } \frac { 1 } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \mu _ { i } ! } \frac { 1 } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \prod _ { j = 0 } ^ { \mu _ { i } - 1 } ( \theta + j ) } \left( \frac { a _ { 1 } z _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 | \mu | } } \\ { \le } & { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \left( \sum _ { \mu _ { i } = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \mu _ { i } ! \prod _ { j = 0 } ^ { \mu _ { i } - 1 } ( \theta + j ) } \left( \frac { a _ { 1 } z _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 2 \mu _ { i } } \right) \le \prod _ { i = 1 } ^ { M } \left( 1 + \sum _ { \mu _ { i } = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \theta } \frac { 1 } { [ ( \mu _ { i } - 1 ) ! ] ^ { 2 } } \left( \frac { a _ { 1 } | z | } { 2 } \right) ^ { 2 \mu _ { i } } \right) } \\ { \le } & { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \left( 1 + \frac { 1 } { \theta } \left( \frac { a _ { 1 } | z | } { 2 } \right) ^ { 2 } e ^ { \frac { a _ { 1 } | z | } { 2 } } \right) = \left[ 1 + \frac { 1 } { \theta } \left( \frac { a _ { 1 } | z | } { 2 } \right) ^ { 2 } e ^ { \frac { a _ { 1 } | z | } { 2 } } \right] ^ { M } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { e x t } ( r ) } & { { } = } & { - \frac { Z } { r } } \\ { v _ { H } ( r ) } & { { } = } & { 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { n ( r ^ { \prime } ) r ^ { 2 } } { | r - r ^ { \prime } | } d r ^ { \prime } } \end{array}
\{ ( x _ { \delta } , y _ { \delta } , \gamma _ { x _ { \delta } , y _ { \delta } } ) | x _ { \delta } , y _ { \delta } \in \Omega _ { \delta } \mathrm { ~ a n d ~ } \gamma _ { x _ { \delta } , y _ { \delta } } \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ u n i q u e ~ p a t h ~ c o n n e c t i n g ~ } x _ { \delta } \mathrm { ~ a n d ~ } y _ { \delta } \mathrm { ~ i n ~ } \mathcal { T } _ { \delta } \} ,
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { i d } \otimes ( \eta \circ P ) ) \big ( ( t _ { x } ) _ { 1 } ( \overset { Y } { C } - \mathrm { i d } _ { Y } ) _ { 2 } \big ) } & { = ( \mathfrak { R } \otimes \eta ) \big ( ( t _ { x } ) _ { 1 } ( \overset { Y } { C } - \mathrm { i d } _ { Y } ) _ { 2 } \big ) } \\ & { = \mathfrak { R } \big ( x ( \overset { Y } { C } - \mathrm { i d } _ { Y } ) _ { j } ^ { i } \big ) = x ( \overset { Y } { C } - \mathrm { i d } _ { Y } ) _ { j } ^ { i } . } \end{array}
\left\{ { \cal F } , \frac { } { } \{ { \cal G } , { \cal K } \} \right\} + \left\{ { \cal G } , \frac { } { } \{ { \cal K } , { \cal F } \} \right\} + \left\{ { \cal K } , \frac { } { } \{ { \cal F } , { \cal G } \} \right\} = 0 .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ( \boldsymbol { x } ) = - \frac { j _ { e } \hbar } { 2 e \mu _ { 0 } M _ { s } } \left[ \eta _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ m ~ p ~ } } \, \boldsymbol { m } \times \boldsymbol { p } + \eta _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ e ~ l ~ d ~ } } \, \boldsymbol { p } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf \Gamma } _ { 1 2 } ^ { + } ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) } & { { } = } & { { \bf I } \delta ( { \bf x } _ { \mathrm { H } , F } - { \bf x } _ { \mathrm { H } , S } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { x } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d J _ { x } \int _ { 0 } ^ { \infty } d J _ { y } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \phi } { 2 \pi } \ x ^ { 2 } e ^ { - J _ { x } - J _ { y } } } \\ & { = \beta _ { x } \left( 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } d J _ { x } \int _ { 0 } ^ { \infty } d J _ { y } e ^ { - J _ { x } - J _ { y } } J _ { x } \frac { \Delta \beta _ { x } } { \beta _ { x } } ( J _ { x } , J _ { y } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } ( x ) = } & { \ln ( x ) - \frac { 1 } { 2 x } - \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 l } } { 2 l x ^ { 2 l } } , \qquad x \to \infty , } \\ { \psi _ { 1 } ( x ) = } & { \frac { 1 + 2 x } { 2 x ^ { 2 } } + \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 l } } { x ^ { 2 l + 1 } } , \qquad x \to \infty , } \end{array}
K _ { 2 2 } ( p _ { 1 } , - p _ { 1 } ) = { \frac { T } { p _ { 1 } ^ { 0 } } } ( K _ { 2 1 } - K _ { 1 2 } ) = { \frac { T } { p _ { 1 } ^ { 0 } } } [ \Pi ( p _ { 1 R } ) - \Pi ( p _ { 1 A } ) ]
\frac { \mathcal { A } _ { n } [ u ] } { \mathcal { A } _ { n - 1 } [ u ] } = \sqrt { \frac { \alpha ^ { N } + \alpha ^ { N } \sum _ { j = - N } ^ { - 1 } { \alpha ^ { j } | U _ { - j } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } } } { \sum _ { j \ge 0 } { \alpha ^ { j } | U _ { N - 1 - j } ^ { ( m ) } | ^ { 2 } } } } .
\langle { \cal O } [ \overline { { { \psi } } } , \psi , A , h ] \rangle \; = \; \frac { 1 } { Z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \langle { \cal O } [ \overline { { { \psi } } } , \psi , A , h ] \Big ( S _ { M } [ \overline { { { \psi } } } , \psi ] \Big ) ^ { n } \rangle _ { 0 } \; ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } W _ { n } \langle \mathcal { L } ( u ) \rangle _ { n } W _ { n } ^ { T } } \\ & { \quad \quad = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 4 u ^ { T } u } { ( n \log n ) d } \left( \begin{array} { l l } { \beta ^ { 2 } n } & { \frac { \beta ( \beta + \frac { 1 } { 2 } ) } { a _ { n } \mu _ { n } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } a _ { k + 1 } \mu _ { k + 1 } } \\ { \frac { \beta ( \beta + \frac { 1 } { 2 } ) } { a _ { n } \mu _ { n } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } a _ { k + 1 } \mu _ { k + 1 } } & { \bigg ( \frac { \beta + \frac { 1 } { 2 } } { a _ { n } \mu _ { n } } \bigg ) ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( a _ { k + 1 } \mu _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) } \\ & { \quad \quad = \frac { 4 u ^ { T } u } { d } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \big ( \beta + \frac { 1 } { 2 } \big ) ^ { 2 } } \end{array} \right) = \frac { u ^ { T } u } { d } W \quad \mathbb { P } \mathrm { - a . s . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( t , x ) } & { = D \Psi ^ { - 1 } ( { \Psi ( t , x ) } ) [ ( 1 , b ( \Phi _ { t } ( x ) ) ) ] \wedge D \Psi ^ { - 1 } ( { \Psi ( t , x ) } ) [ \vec { T } ( t , \Phi _ { t } ( x ) ) ] } \\ & { = ( 1 , 0 ) \wedge D \Psi ^ { - 1 } ( { \Psi ( t , x ) } ) [ \vec { T } ( t , \Phi _ { t } ( x ) ) ] } \\ & { = : ( 1 , 0 ) \wedge \tau ( t , x ) . } \end{array}
q _ { x 1 } = \int _ { - b / 2 } ^ { b / 2 } q _ { 0 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { y } { b } } \right) \, { \mathrm { d } } y = { \frac { b q _ { 0 } } { 2 } } ~ ; ~ ~ q _ { x 2 } = \int _ { - b / 2 } ^ { b / 2 } y q _ { 0 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { y } { b } } \right) \, { \mathrm { d } } y = - { \frac { b ^ { 2 } q _ { 0 } } { 1 2 } } \, .
\frac { \operatorname * { d e t } D ( \varphi ) } { \operatorname * { d e t } D ( 0 ) } \; = \; \operatorname * { l i m } _ { \Lambda \to \infty } \left[ \frac { \langle + \mid \varphi + \rangle } { \mid \langle + \mid \varphi + \rangle \mid } \; \frac { \langle \varphi + \mid \varphi - \rangle } { \langle + \mid - \rangle } \; \frac { \langle \varphi - \mid - \rangle } { \mid \langle \varphi - \mid - \rangle \mid } \right]
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { t h e r m } ^ { * } } & { = \frac { 2 \lambda ^ { + } \lambda ^ { - } ( T ^ { + } - T ^ { - } ) } { \sqrt { \pi \Delta t } ( \lambda ^ { + } \sqrt { k ^ { - } } + \lambda ^ { - } \sqrt { k ^ { + } } ) } + \frac { \lambda ^ { + } \lambda ^ { - } ( \sqrt { k ^ { + } } T _ { \xi } ^ { + } + \sqrt { k ^ { - } } T _ { \xi } ^ { - } ) } { ( \lambda ^ { + } \sqrt { k ^ { - } } + \lambda ^ { - } \sqrt { k ^ { + } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \tau _ { C , \chi = 0 } } { \tau _ { 0 } } = \frac { 1 } { Z _ { \perp } I } \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } u _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } e ^ { u _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \left[ \log \left( \frac { w + 1 } { w - 1 } \right) - 0 . 8 4 \right] , } \end{array}