harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } \leq - \left( \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m i n } \lbrace 1 , \underline { { \alpha } } \rbrace - \epsilon \right) \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 4 } { \epsilon } | \Omega | \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \, , } \end{array}
{ \mathcal { S } } = \int \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } { \bar { \psi } } \, \partial _ { \nu } \psi - m c ^ { 2 } { \bar { \psi } } \psi \right) \mathrm { d } ^ { 4 } x ,
D _ { q \to \gamma } ( \xi , \mu ^ { 2 } ) = \frac { e _ { q } ^ { 2 } \alpha _ { \mathrm { e m } } ( \mu ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \left[ P _ { q \to \gamma } ( \xi ) \, \ln \! \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ( 1 - \xi ) ^ { 2 } } \right) + C \right] .
\begin{array} { r l } { I ( \vec { x } , \vec { \Omega } , t ) = } & { c _ { 1 } ( t ) B _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { \Omega } ) + c _ { 2 } ( t ) \vec { \Omega } \cdot \nabla B _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { \Omega } ) + c _ { 3 } ( t ) \partial _ { t } B _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { \Omega } ) } \\ & { + c _ { 4 } ( t ) I _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { \Omega } ) + c _ { 5 } ( t ) \vec { \Omega } \cdot \nabla I _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { \Omega } ) , } \end{array}
{ \boldsymbol { \nabla } } _ { n } = \mathbf { e } _ { x } { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } } + \mathbf { e } _ { y } { \frac { \partial } { \partial y _ { n } } } + \mathbf { e } _ { z } { \frac { \partial } { \partial z _ { n } } } \, , \quad \nabla _ { n } ^ { 2 } = { \boldsymbol { \nabla } } _ { n } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } _ { n } = { \frac { \partial ^ { 2 } } { { \partial x _ { n } } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } } { { \partial y _ { n } } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } } { { \partial z _ { n } } ^ { 2 } } }
\begin{array} { c } { { \Delta _ { \nu } ^ { T E } ( z ) = \mathcal { J } _ { \nu } ( \bar { z } _ { 1 } ) \left\{ \mathcal { Y } _ { \nu } ( \bar { z } _ { 0 } ) \mathcal { J } _ { \nu } ^ { \prime } ( \bar { z } _ { 2 } ) - \mathcal { J } _ { \nu } ( \bar { z } _ { 0 } ) \mathcal { Y } _ { \nu } ^ { \prime } ( \bar { z } _ { 2 } ) \right\} - } } \\ { { - \xi \, \mathcal { J } _ { \nu } ^ { \prime } ( \bar { z } _ { 1 } ) \left\{ \mathcal { Y } _ { \nu } ( \bar { z } _ { 0 } ) \mathcal { J } _ { \nu } ( \bar { z } _ { 2 } ) - \mathcal { J } _ { \nu } ( \bar { z } _ { 0 } ) \mathcal { Y } _ { \nu } ( \bar { z } _ { 2 } ) \right\} , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { k \setminus i } ^ { t } = m _ { k \setminus i } ^ { t } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] x _ { k } ^ { t } } \end{array}
W _ { \alpha } = - i \lambda _ { \alpha } + \theta \cdot \sigma ^ { \mu } \cdot \bar { \theta } \, \partial _ { \mu } \lambda _ { \alpha } - \frac { i } { 4 } \theta ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } \partial ^ { 2 } \lambda _ { \alpha } + \theta _ { \alpha } D - \frac { i } { 2 } \theta ^ { 2 } \sigma ^ { \mu } { } _ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } } \partial _ { \mu } D
\varphi = \sqrt { 2 } \, \kappa \, \phi \simeq \left( - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 5 - p } { 4 } \, \frac { n ^ { 2 } } { \Delta _ { m , n } } \right) \, \frac { Q _ { p } } { r ^ { 7 - p } } ~ ~ .
\operatorname { R } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \operatorname { E } [ X _ { 1 } X _ { 1 } ] } & { \operatorname { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] } & { \cdots } & { \operatorname { E } [ X _ { 1 } X _ { n } ] } \\ { \operatorname { E } [ X _ { 2 } X _ { 1 } ] } & { \operatorname { E } [ X _ { 2 } X _ { 2 } ] } & { \cdots } & { \operatorname { E } [ X _ { 2 } X _ { n } ] } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \operatorname { E } [ X _ { n } X _ { 1 } ] } & { \operatorname { E } [ X _ { n } X _ { 2 } ] } & { \cdots } & { \operatorname { E } [ X _ { n } X _ { n } ] } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Phi _ { n + 1 } ( z ) } { d z } } & { = } & { \alpha N _ { n } ( z ) \sin \Phi _ { n + 1 } ( z ) , } \\ { N _ { n + 1 } ( z ) } & { = } & { N _ { n } ( z ) \cos \Phi _ { n + 1 } ( z ) \ e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } + } \\ & { } & { N _ { 0 , g } \Big ( 1 - e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } \Big ) , } \\ { 0 } & { \le } & { z \le L _ { \mathrm { c a v } } , } \\ { \Phi _ { n + 1 } ( 0 ) } & { = } & { \Phi _ { n } ( L _ { \mathrm { c a v } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) \xrightarrow { P } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \operatorname* { d e t } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } ^ { 0 } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , ~ \beta \Bigr ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { t r } \bigg [ [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta \Bigr ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \Bigr ) \bigg ] \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu ^ { 0 } } & { = | \{ j : \mathcal { E } _ { j } ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { 0 } } ) \in \mathbb { R } , \; \mathcal { E } _ { j } ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { 0 } } ) < \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \} | , } \\ { \nu ^ { \angle } } & { = | \{ j : \mathcal { E } _ { j } ( \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } ) \in \mathbb { R } , \; \mathcal { E } _ { j } ( \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } ) < \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \} | . } \end{array}
H = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \left[ \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } | \nabla \psi _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } ) | ^ { 2 } + U _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \psi _ { \sigma } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \psi _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right]
\Im F ( a , b ; c ; z ) = - \frac { \pi \Gamma ( c ) ( z - 1 ) ^ { c - a - b } \theta ( z - 1 ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) \Gamma ( 1 - a - b + c ) } F ( c - a , c - b ; c - a - b + 1 ; 1 - z ) ,
S _ { \operatorname * { m i n } } = \int _ { t _ { \mathrm { i } } } ^ { t _ { \mathrm { f } } } d t \, \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } r _ { j } \left[ 1 - \frac { 1 } { 6 } ( \dot { { \bf z } } _ { j \mathrm { T } _ { j } } ^ { 2 } + \dot { { \bf z } } _ { M \mathrm { T } _ { j } } ^ { 2 } + \dot { { \bf z } } _ { j \mathrm { T } _ { j } } \cdot \dot { { \bf z } } _ { M \mathrm { T } _ { j } } ) + \ldots \right]
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( x , y , z _ { \ell } + a ) = \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( x , y , z _ { \ell } + a ) \, e ^ { i \left( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( z _ { \ell } - a ) + 2 k _ { \mathrm { ~ m ~ } } a \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
\frac { d } { d t } \Delta ^ { 2 } = - \frac { \delta _ { \mathrm { s } } } { \chi N ^ { 2 } } \frac { d } { d t } S _ { 1 } ^ { z } = \frac { 2 \delta _ { \mathrm { s } } } { N ^ { 2 } } ( S _ { 2 } ^ { y } S _ { 1 } ^ { x } - S _ { 2 } ^ { x } S _ { 1 } ^ { y } ) ,
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \Phi } { \partial Z } } & { + \zeta _ { 1 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial X ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial Y ^ { 2 } } \right) + \left( 1 + i a _ { 1 } \right) \zeta _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \tau ^ { 2 } } } \\ & { + \left( 1 + i b _ { 1 } \right) \zeta _ { 3 } \Phi + \left( 1 + i c _ { 0 } \right) \zeta _ { 4 } | \Phi | ^ { 2 } \Phi } \\ & { + \left( 1 + i c _ { _ { _ { 1 , X X } } } \right) \zeta _ { 5 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial X ^ { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi } \\ & { + \left( 1 + i c _ { _ { _ { 2 , Y Y } } } \right) \zeta _ { 6 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Y ^ { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { k } } \times { \bf { k } } \times { \bf { E } } + \mu \, \epsilon \, \omega ^ { 2 } \, { \bf { E } } + \mathrm { i } \, \mu \, \sigma _ { B } \, { \bf { k } } \times { \bf { E } } = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 4 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 6 } ^ { \prime \prime } } \end{array} \right) } & { { } = } & { { \mathcal R } \left( - \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 4 } ^ { \prime } } \\ { \lambda _ { 6 } ^ { \prime } } \end{array} \right) } \end{array}
\langle \pi ^ { i } ( p _ { 1 } ) \pi ^ { l } ( p _ { 2 } ) \mathrm { o u t } | V _ { \mu } ^ { k } ( 0 ) | 0 \rangle = i \epsilon ^ { i l k } ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) _ { \mu } F _ { V } ( \, s \, ) \; \; ,
\begin{array} { r l } { v _ { 1 } ( 0 ) = } & { \; \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \omega } & { 0 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad ( v _ { 6 } v _ { 1 } ) ( 0 ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \omega } & { 1 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { \omega } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { v _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) = } & { \; \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) x - r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) } & { 0 } \\ { ( \omega - 1 ) x - \omega \, r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { ( v _ { 6 } v _ { 1 } ) ^ { \prime } ( 0 ) = } & { \; \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 - \omega ^ { 2 } } & { \omega - 1 } \\ { \omega - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega - 1 } & { \omega - 1 } & { 0 } \end{array} \right) x + \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) } & { \omega ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) } \\ { - \omega r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) } & { r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) - r _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { 1 } - u _ { 0 } \| _ { H } } & { \leq \| u _ { 0 } - u ^ { * } \| _ { H } + \| u _ { 1 } - u ^ { * } \| _ { H } } \\ & { \leq 2 \| u _ { 0 } - u ^ { * } \| _ { H } + \frac { { L _ { { \mathcal { F } } ^ { \prime } } } } { { \alpha } _ { 0 } } \| u _ { 0 } - u ^ { * } \| _ { H } \leq \big ( 2 + \frac { { L _ { { \mathcal { F } } ^ { \prime } } } } { { \alpha } _ { \operatorname* { i n f } } } \big ) \| u _ { 0 } - u ^ { * } \| _ { H } . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { M C S } } = - \frac { 1 } { 4 e ^ { 2 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \frac { \kappa } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } + | D _ { \mu } \phi | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } ( \partial _ { \mu } { \cal N } ) ^ { 2 } - V ( | \phi | , { \cal N } )
\begin{array} { r l } & { ( [ \nabla _ { X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } } , \nabla _ { X _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } } ] - \nabla _ { [ X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } , X _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } ] } ) \left( f _ { \mu } + I ^ { 2 } \right) } \\ & { = \biggr ( X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } \left( Z _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } \right) - X _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } \left( Z _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } \right) - \sum _ { r = 1 } ^ { n } \sum _ { l = 1 } ^ { m - 1 } \frac { \partial \Pi _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } j _ { l } } } { \partial x _ { r } } Z _ { j _ { 1 } \dotsc r \dotsc j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - [ Z _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } , Z _ { j _ { 1 } \dotsc j _ { m - 1 } } ] _ { \mu } ^ { \nu } \biggl ) f _ { \nu } + I ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { \gamma } ( x , t ) } & { = } & { - \frac { ( \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } ) ^ { q + 1 } \Gamma ( q + 1 ) } { | \sqrt { \lambda } \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } | ^ { 2 q } } \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { \Gamma ( m + 1 ) } { \Gamma ( 2 m + 1 ) } \frac { x ^ { 2 m } } { 2 } \big ( \frac { 4 } { \lambda } \big ) ^ { m + 1 } { _ 2 F _ { 1 } } ( m + 1 , q + 1 ; 1 ; 2 \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { - \frac { ( \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } ) ^ { q + 1 } 2 ^ { q - 1 } } { | \sqrt { \lambda } \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } | ^ { 2 q } ( 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda ) ^ { \frac { q + 3 } { 2 } } } \Big [ \Big ( - i e ^ { \gamma - i \tau } \alpha _ { 0 } \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } \Big ) ^ { q } + \Big ( - i e ^ { \gamma + i \tau } \alpha _ { 0 } ^ { * } \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } \Big ) ^ { q } \Big ] } \\ & { } & { \times \Big [ ( 1 + ( - 1 ) ^ { q } ) q \Gamma ( \frac { q } { 2 } ) \sqrt { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda } { _ 1 F _ { 1 } } ( \frac { q + 2 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } ; - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda } ) } \\ & { } & { + 4 i x ( 1 - ( - 1 ) ^ { q } ) \Gamma ( \frac { q + 3 } { 2 } ) { _ 1 F _ { 1 } } ( \frac { q + 3 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } ; - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda } ) \Big ] } \\ & { } & { + \frac { 2 \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \frac { 4 x \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } } { ( 2 \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } D \big ( \frac { x } { \sqrt { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda } } \big ) . } \end{array}
\left\langle | { \cal M } | ^ { 2 } \right\rangle = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \mathrm { \tiny ~ e ^ { + } e ^ { - } ~ s p i n s } } { \cal M } ^ { \mu \alpha } I _ { \mu } ^ { \lambda } J _ { \lambda } ^ { \gamma } g _ { \alpha \beta } \rho ( p _ { + } ^ { 2 } ) \overline { { { { \cal M } ^ { \nu \beta } I _ { \nu } ^ { \rho } J _ { \rho } ^ { \gamma } } } }
\tilde { w } = - \tilde { \nabla } \cdot ( \tilde { D } \tilde { \mathbf { u } } _ { b } ) - \tilde { z } \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \mathbf { u } } _ { b } - \tilde { \zeta } _ { \tilde { t } } + O ( \sigma ^ { 2 } ) \ ,
C ^ { a , b } ( x _ { 1 2 } , \partial _ { 2 } ) \, C ^ { a , b } ( x _ { 3 4 } , \partial _ { 4 } ) \frac { 1 } { x _ { 2 4 } ^ { 2 a } } = \frac { 1 } { x _ { 1 3 } ^ { 2 a _ { + } } x _ { 2 4 } ^ { 2 a _ { - } } } \, { \cal { E } } _ { a , b } ( u , v ) ,
C _ { 0 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , m _ { 0 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = \frac 1 r \left( \frac { c _ { 2 } } 2 \ln ^ { 2 } ( r ) + c _ { 1 } \ln ( r ) + c _ { 0 } \right) + \O \left( \frac 1 { r ^ { 2 } } \right) , \quad r \rightarrow \infty .
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } ^ { \prime } } & { = \sqrt { 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } } \simeq 4 e ^ { - \pi \ell _ { 0 } / 2 w } \ll 1 , } \\ { 1 - \gamma ^ { 2 } } & { \simeq 1 6 e ^ { - \pi \ell _ { 0 } / w } \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \pi s } { 2 w } \right) , } \\ { \frac { k _ { 2 } } { k _ { 2 } ^ { \prime } } } & { = \frac { k _ { 1 } } { k _ { 1 } ^ { \prime } } ( 1 - \gamma ^ { 2 } ) \simeq 4 e ^ { - \pi \ell _ { 0 } / 2 w } \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \pi s } { 2 w } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( q ) } & { = \sum _ { i + \tilde { j } + k \ge r - 1 } \frac { ( i + \tilde { j } + k ) ^ { r - 1 } } { ( i + \tilde { j } + k ) ! } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { \tilde { j } } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + \tilde { j } + k - ( r - 1 ) } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { \tilde { j } } \bar { \partial } ^ { k } ( \partial _ { d } q ) \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + \tilde { j } + k < r - 1 } \| \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { \tilde { j } } \bar { \partial } ^ { k } ( \partial _ { d } q ) \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \tilde { Z } _ { 4 b } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \bigg ( \sum _ { i j k \ell } \big [ \, [ \beta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } + \beta _ { j } \beta _ { k } \beta _ { \ell } \beta _ { i } ] \theta _ { i } ^ { 3 } \theta _ { j } ^ { 3 } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \big ] + \sum _ { i j k \ell j ^ { \prime } k ^ { \prime } } \beta _ { j } \beta _ { k } \beta _ { j ^ { \prime } } \beta _ { k ^ { \prime } } \theta _ { i } ^ { 3 } \theta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { j ^ { \prime } } ^ { 2 } \theta _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \big ( \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \big ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Y _ { 2 } ^ { - 2 } ( \theta , \varphi ) } & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { \frac { 1 5 } { 2 \pi } } } \, \sin ^ { 2 } \theta \, e ^ { - 2 i \varphi } } \\ { Y _ { 2 } ^ { - 1 } ( \theta , \varphi ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \frac { 1 5 } { 2 \pi } } } \, \sin \theta \, \cos \theta \, e ^ { - i \varphi } } \\ { Y _ { 2 } ^ { 0 } ( \theta , \varphi ) } & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { \frac { 5 } { \pi } } } \, ( 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) } \\ { Y _ { 2 } ^ { 1 } ( \theta , \varphi ) } & { = { \frac { - 1 } { 2 } } { \sqrt { \frac { 1 5 } { 2 \pi } } } \, \sin \theta \, \cos \theta \, e ^ { i \varphi } } \\ { Y _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta , \varphi ) } & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { \frac { 1 5 } { 2 \pi } } } \, \sin ^ { 2 } \theta \, e ^ { 2 i \varphi } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } } & { = } & { \prod _ { \eta = \pm } \left( \hbar \omega - \epsilon _ { \eta } \right) = \left[ \hbar \omega - g - \frac { ( \hbar v _ { F } k _ { y } ) ^ { 2 } } { 4 g } \right] ^ { 2 } } \\ & { - } & { \left\{ ( \hbar v _ { F } k _ { x } ) ^ { 2 } + \left[ \frac { ( \hbar v _ { F } k _ { y } ) ^ { 2 } } { 4 g } \right] ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d u _ { j } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { j } \cdot \nabla u _ { j } ) \, d t } & { = \big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F _ { j } ( \cdot , u ) ) + f _ { j } ( \cdot , u ) \big ] \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , j } \cdot \nabla ) u _ { j } + g _ { n , j } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { j } ( 0 ) } & { = u _ { 0 , j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { r } } & { { } = } & { 2 E _ { 0 } - E _ { l } + \partial _ { \lambda } ^ { 2 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 1 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } E _ { 0 } + . . . } \end{array}
\textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) ) \equiv f ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , g ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } } ) ) \overset { q ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } } ) } { = } \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } }
\rho _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { \Gamma ( n / 2 + 1 ) m } { \nu } \right) ^ { 1 / d } \; \; \; } & { \mathrm { i n ~ a ~ } d - \mathrm { d i m e n s i o n a l ~ E u c l e d i a n ~ s p a c e } \medskip } \\ { \displaystyle \cosh ^ { - 1 } \left( \frac { m } { 2 \pi \nu } - 1 \right) \; \; \; } & { \mathrm { o n ~ a ~ h y p e r b o l i c ~ p l a n e } } \end{array} \right.
\| { \mathcal K } ^ { \gamma , \beta } F - \mathsf { K } ( { \mathcal R } ^ { \gamma } F ) \| _ { \mathcal { G } _ { K , \bar { \lambda } } ^ { \gamma + \beta ; ( \alpha + \beta ) \wedge 0 , \gamma + \beta } } \le \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } \, \| F - { \mathcal R } ^ { \gamma } F \| _ { \mathcal { G } _ { K , \bar { \lambda } ^ { \prime } } ^ { \gamma ; \alpha , \gamma } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \delta f _ { m } ^ { L } } & { = } & { - a _ { m } e ^ { - i m \Omega _ { d } t } \left[ \frac { 8 r ^ { 2 } } { 2 1 B _ { 0 } } ( \gamma _ { m } - i \omega _ { m } ) - \frac { i m \mu } { q B _ { 0 } \gamma } \right] \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { i m \Omega _ { d } t ^ { \prime } - i \omega _ { m } t ^ { \prime } + \gamma _ { m } t ^ { \prime } } } \\ & { = } & { - a _ { m } e ^ { - i m \Omega _ { d } t } \left[ \frac { 8 r ^ { 2 } } { 2 1 B _ { 0 } } ( \omega _ { m } + i \gamma _ { m } ) + \frac { m \mu } { q B _ { 0 } \gamma } \right] \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \left( \frac { e ^ { i m \Omega _ { d } t - i \omega _ { m } t + \gamma _ { m } t } - 1 } { \omega _ { m } - m \Omega _ { d } + i \gamma _ { m } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { c } } _ { i j } } & { { } = \frac { c _ { i } + c _ { j } } { 2 } \, , } \\ { \overline { { \rho } } _ { i j } } & { { } = \frac { \rho _ { i } + \rho _ { j } } { 2 } \, , } \\ { \mu _ { i j } } & { { } = h \mathbf { u } _ { i j } \cdot \frac { \mathbf { r } _ { i j } } { \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, , \: \: \: \eta ^ { 2 } = 0 . 0 1 h ^ { 2 } \, , } \end{array}
h _ { 1 } = \left( \begin{array} { r r r } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\delta { \mathcal { L } } _ { R S } = \delta { \bar { \psi } } _ { \mu } \gamma ^ { \mu \nu \rho } \partial _ { \nu } \psi _ { \rho } + { \bar { \psi } } _ { \mu } \gamma ^ { \mu \nu \rho } \partial _ { \nu } \delta \psi _ { \rho } = \delta { \bar { \psi } } _ { \mu } \gamma ^ { \mu \nu \rho } \partial _ { \nu } \psi _ { \rho } - \partial _ { \nu } { \bar { \psi } } _ { \mu } \gamma ^ { \mu \nu \rho } \delta \psi _ { \rho } + { \mathrm { ~ b o u n d a r y ~ t e r m s } }
\frac { d \sigma _ { e ^ { \pm } p } } { d \Omega } = { \frac { d \sigma } { d \Omega } } _ { M o t t } \frac { \tau { G _ { M } ^ { p } } ^ { 2 } + \epsilon { G _ { E } ^ { p } } ^ { 2 } } { \epsilon ( 1 + \tau ) } ,
l _ { \bar { q } } ^ { \mu } = \left( k _ { g } + k _ { \bar { q } } ^ { \prime } - k _ { \bar { q } } \right) ^ { \mu } = { \frac { \vec { k } _ { g _ { \! \perp } } ^ { \, 2 } } { 2 k _ { g } ^ { + } } } \ \eta ^ { \mu } \quad \mathrm { a n d } \quad l _ { q } ^ { \mu } = \left( k _ { g } + k _ { q } - k _ { q } ^ { \prime } \right) ^ { \mu } = { \frac { \vec { k } _ { g _ { \! \perp } } ^ { \, 2 } } { 2 k _ { g } ^ { + } } } \ \eta ^ { \mu }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { i } ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { r e f } } + \sum _ { i } ^ { m } F _ { i } Q _ { i } + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { i , j } ^ { m } F _ { i j } Q _ { i } Q _ { j } } \end{array}
B _ { A } ^ { 2 } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) = \sum _ { k _ { \perp } = k _ { \perp } } ^ { k _ { \perp } \rightarrow \infty } \sum _ { k _ { \parallel } = k _ { \parallel } } ^ { k _ { \parallel } \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } P _ { B _ { A } } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } , f _ { s c } ) d f _ { s c }
h ( t ) = h _ { 0 } ( t ) + \frac { ( 1 - \pi ) ( \alpha f _ { P } ( t ) + ( 1 - \alpha ) f _ { S } ( t ) ) } { \pi + ( 1 - \pi ) ( \alpha S _ { P } ( t ) + ( 1 - \alpha ) S _ { S } ( t ) ) } .
\frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) + \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } } \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \lambda _ { 0 } } \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } .