harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d \langle T \rangle } { d t } } & { + \frac { 5 } { 3 } \sum _ { i } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \langle T \rangle - \sum _ { i } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \left( \frac { \langle r _ { i } ^ { 2 } T \rangle } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } - \langle r _ { i } \partial _ { i } T \rangle \right) } \\ & { \quad = \frac { 2 } { 3 N k _ { B } } \sum _ { i , j , k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \delta _ { i , j } \left( \int d ^ { 3 } r \mu _ { i j k \ell } \right) \delta _ { k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { \ell } ( t ) } { \sigma _ { \ell } ( t ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \frac { 2 } { 3 N k _ { B } } \sum _ { i , j } \int d ^ { 3 } r \left[ \partial _ { i } ( \kappa _ { i j } \partial _ { j } T ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i } ^ { s } } & { { } = \frac { N } { D } } \\ { N } & { { } = c _ { 0 } + c _ { 1 } A _ { i } ^ { 0 } + c _ { 2 } A _ { i } ^ { 1 } + c _ { 3 } ( A _ { i } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + c _ { 4 } ( A _ { i } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + c _ { 5 } A _ { i } ^ { 0 } A _ { i } ^ { 1 } } \\ { D } & { { } = 1 + c _ { 6 } A _ { i } ^ { 0 } + c _ { 7 } A _ { i } ^ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ( \partial _ { t } b _ { j } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 \gamma } \langle ( \mathcal A _ { k } \mathcal A _ { k } + \mathcal A _ { k } ^ { * } \mathcal A _ { k } ) \mathfrak h _ { j } , f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } ) . } \\ & { \quad + \langle \mathfrak h _ { j } , \{ ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { k } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { k } ) \mathcal A _ { k } ^ { * } + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { k } } \mathcal A _ { k } \} f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \mathfrak h _ { j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { = - \langle \mathfrak h _ { j } , e ^ { \gamma \psi } \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } \mathfrak h \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } . } \end{array}
R _ { c } = - \frac { 1 } { \pi } \frac { 1 } { \mathcal { L } \xi _ { 1 } } \left( 1 + \frac { \pi ^ { 2 } D } { L ^ { 2 } \chi } \right) ^ { 2 } \beta \eta L ^ { 2 } \chi ^ { 2 } R _ { 0 } ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } & { \ddot { U } _ { 1 } - \frac { 2 } { \beta _ { 2 } ^ { \prime } } \left[ \gamma ^ { \prime } \left( | U _ { 1 } | ^ { 2 } + 2 | U _ { 2 } | ^ { 2 } \right) - \kappa _ { 1 } \right] U _ { 1 } = 0 , } \\ & { \ddot { U } _ { 2 } - \frac { 2 } { \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } } \left[ \gamma ^ { \prime \prime } \left( | U _ { 2 } | ^ { 2 } + 2 | U _ { 1 } | ^ { 2 } \right) - \kappa _ { 2 } \right] U _ { 2 } = 0 , } \end{array}
\Sigma ( p ) = \Sigma _ { 0 } F \left( { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { i \nu } { 2 } } , { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { i \nu } { 2 } } , { \frac { 3 } { 2 } } ; - \frac { p ^ { 2 } } { \Sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ,
X _ { \pm } ( \Omega ^ { 2 } ) = [ \Omega ^ { 2 } - ( \omega _ { p } + \omega _ { q } + \omega _ { p \pm q } ) ^ { 2 } ] [ \Omega ^ { 2 } - ( \omega _ { q } - \omega _ { p } + \omega _ { p \pm q } ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { r l } { \centering } & { A = 2 \left( 1 / 6 - E / G \right) , \; B = A F / G , \; C = A E / G , } \\ & { E = \left( \frac { \alpha _ { 1 } ^ { B J } \left( \chi _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + 1 \right) } { \chi _ { 1 } \sigma _ { 1 } } + 1 \right) \left( \frac { \alpha _ { 2 } ^ { B J } } { \chi _ { 2 } \sigma _ { 2 } } + 1 \right) + \left( \frac { \alpha _ { 2 } ^ { B J } \left( \chi _ { 2 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + 1 \right) } { \chi _ { 2 } \sigma _ { 2 } } + 1 \right) \left( \frac { \alpha _ { 1 } ^ { B J } } { \chi _ { 1 } \sigma _ { 1 } } + 1 \right) , } \\ & { F = \frac { \alpha _ { 2 } ^ { B J } } { \sigma _ { 2 } \chi _ { 2 } } - \frac { \alpha _ { 1 } ^ { B J } } { \sigma _ { 1 } \chi _ { 1 } } + \alpha _ { 1 } ^ { B J } \alpha _ { 2 } ^ { B J } \left( \frac { \chi _ { 1 } \sigma _ { 1 } } { \chi _ { 2 } \sigma _ { 2 } } - \frac { \chi _ { 2 } \sigma _ { 2 } } { \chi _ { 1 } \sigma _ { 1 } } \right) , } \\ & { G = \frac { \alpha _ { 2 } ^ { B J } } { \sigma _ { 2 } \chi _ { 2 } } \left( 1 + \frac { \alpha _ { 1 } ^ { B J } } { \sigma _ { 1 } \chi _ { 1 } } \right) + \frac { \alpha _ { 1 } ^ { B J } } { \sigma _ { 1 } \chi _ { 1 } } \left( 1 + \frac { \alpha _ { 2 } ^ { B J } } { \sigma _ { 2 } \chi _ { 2 } } \right) , } \\ & { \eta _ { j x } = \eta _ { j y } = e ^ { \mathcal { I } _ { j } ( 1 \mp y ) } , } \\ & { \chi _ { 1 } = \sqrt { \eta _ { 1 x } ( - 1 ) } = 1 , \; \textnormal { a n d } \; \chi _ { 2 } = \sqrt { \eta _ { 2 x } ( 1 ) } = 1 . } \end{array} \right\} } \end{array}
\displaystyle \left( \frac { x } { a } \right) ^ { 2 } + \frac { y } { b } \left( \frac { y } { b } + \delta \right) - \sqrt { \left( \frac { x } { a } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { y } { b } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \Omega 2 \mathrm { b } 4 } & { = } & { - \frac { \beta } { 4 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) , } \\ { \Omega 2 \mathrm { b } 5 } & { = } & { - \frac { \beta } { 4 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } f _ { i } f _ { j } , } \\ { \Omega 2 \mathrm { b } 6 } & { = } & { - \frac { \beta } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { W _ { i j } W _ { i j } } ( f _ { i } + 1 ) f _ { j } , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { e , b } } \frac { { \mathrm d } T } { T R } + \xi _ { \mathrm { e , b } } \frac { { \mathrm d } R } { R } + \eta _ { \mathrm { e , b } } \, { \mathrm d } \omega = \sigma _ { 3 \mathrm { b } } \frac { { \mathrm d } t } { r } + \xi _ { 3 \mathrm { b } } \frac { { \mathrm d } r } { r } + \eta _ { 3 \mathrm { b } } \, { \mathrm d } \omega
g _ { \overline { { i } } } ( \mathbf { x _ { b } } , t + \Delta t ) = g _ { i } ^ { * } ( \mathbf { x _ { b } } , t ) + \lambda _ { i } \left( \frac { \Delta t } { \Delta x } \right) \left( \frac { q ^ { \prime \prime } } { \rho c _ { p } } \right)
Y _ { D / E } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \cos \theta } } & { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \cos \theta } } & { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 1 } \cos \theta } } \\ { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 2 } \cos \theta } } & { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 1 } \cos \theta } } & { { \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \cos \theta } } \\ { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 2 } \sin \theta } } & { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 1 } \sin \theta } } & { { \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \sin \theta } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { M F } } ^ { \mathrm { O R } } } & { { } ( \vartheta , \varphi ) = } \\ { \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } } & { { } e ^ { - \beta \left( H _ { \mathrm { S } } - Q S _ { 0 } ^ { 2 } ( ( c _ { 1 1 } \cos ^ { 2 } \varphi + c _ { 2 2 } \sin ^ { 2 } \varphi ) \sin ^ { 2 } \vartheta + c _ { 3 3 } \cos ^ { 2 } \vartheta ) \right) } , } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } \pi _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { g ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } } ) \pi _ { z } ^ { 2 } + V ( x _ { 1 } ^ { 2 } )
{ \mathcal L } _ { \mathrm b } = f _ { \mathrm r } \, n _ { 1 } n _ { 2 } \, \int { \hat { \rho } _ { 1 } ( x , y ) } \, \hat { \rho } _ { 2 } ( x , y ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y ~ ,
{ \bf S } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { - g _ { s } \, { h } - g _ { c } \, { h } \, \frac { \partial { H } } { \partial { x } _ { 1 } } } \\ { - g _ { c } \, { h } \, \frac { \partial { H } } { \partial { x } _ { 2 } } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r } { E ( \mathbf r , t ) = \frac { 1 } { c } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 4 \pi } I ( { \Omega } , \mathbf r , t ) \textrm { d } { \Omega } , \quad \textrm { a n d } \quad F ( \mathbf r , t ) = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 4 \pi } \Omega I ( { \Omega } , \mathbf r , t ) \textrm { d } { \Omega } , } \end{array}
\frac { J _ { 0 } ( \frac { m _ { n } } { k } ) } { Y _ { 0 } ( \frac { m _ { n } } { k } ) } = \frac { J _ { 0 } ( \frac { m _ { n } } { k } e ^ { \pi k R } ) } { Y _ { 0 } ( \frac { m _ { n } } { k } e ^ { \pi k R } ) } \, .
{ \mathcal { L } } ^ { - 1 } \! \left\{ { \frac { 1 } { s + a } } \right\} * { \mathcal { L } } ^ { - 1 } \! \left\{ { \frac { 1 } { s + b } } \right\} = e ^ { - a t } * e ^ { - b t } = \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - a x } e ^ { - b ( t - x ) } \, d x = { \frac { e ^ { - a t } - e ^ { - b t } } { b - a } } .
\begin{array} { r } { \| \partial _ { y } \Psi _ { n } ^ { I } \| _ { L ^ { 2 } ( ( y _ { \infty } - \delta _ { 0 } , y _ { \infty } + \delta _ { 0 } ) \cap ( 0 , 1 ) ) } \leq C \delta _ { 0 } ^ { \frac 1 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \langle \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \widetilde { \rho } } = \Big \langle \frac { \beta ^ { \left( q \right) } \left( i \right) + 1 } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) } \Big \rangle _ { i } + \nu , \; \exists \nu \in \left[ 0 , \infty \right) , } \end{array}
\mu = \frac { 1 } { n \bar { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } n _ { k } \bar { N } _ { k } \mu _ { k } = \frac { 1 } { n \bar { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } N _ { i } \Omega _ { i } \, , \quad \Sigma = \frac { 1 } { n \bar { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } n _ { k } \bar { N } _ { k } \Sigma _ { k } = \frac { 1 } { n \bar { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } N _ { i } \Omega _ { i } \Omega _ { i } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { c c c c c c c } & { \boxed { 1 } } & { \cos ( z ) } & { \cos ( 2 z ) } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ & { \cos ( z ) } & { 1 } & { \cos ( z ) } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { \cos ( 2 z ) } & { \cos ( z ) } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c c } & { \sin ^ { 2 } ( z ) } & { \cos ( z ) ( 1 - \cos ( 2 z ) ) } & { - \cos ( z ) } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { \cos ( z ) ( 1 - \cos ( 2 z ) ) } & { \sin ^ { 2 } ( 2 z ) } & { - \cos ( 2 z ) } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} } \\ & { = \begin{array} { c c c c c c } & { \boxed { \sin ^ { 2 } ( z ) } } & { 2 \cos ( z ) \sin ^ { 2 } ( z ) } & { - \cos ( z ) } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 2 \cos ( z ) \sin ^ { 2 } ( z ) } & { 4 \sin ^ { 2 } ( z ) \cos ^ { 2 } ( z ) } & { - \cos ( 2 z ) } & { 0 } & { 1 } \end{array} \mapsto } \\ & { \begin{array} { c c c c c } { \sin ^ { - 2 } ( z ) } & { 4 \sin ^ { 4 } ( z ) \cos ^ { 2 } ( z ) - 4 \sin ^ { 4 } ( z ) \cos ^ { 2 } ( z ) } & { - \sin ^ { 2 } ( z ) \cos ( 2 z ) + 2 \cos ^ { 2 } ( z ) \sin ^ { 2 } ( z ) } & { - 2 \cos ( z ) \sin ^ { 2 } ( z ) } & { \sin ^ { 2 } ( z ) } \end{array} } \\ & { = \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 1 + \sin ^ { 2 } ( z ) } & { - 2 \cos ( z ) } & { 1 } \end{array} } \end{array}
+ e \mathbf { E } \left( t \right) \left( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } \right) \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } - i \hbar \gamma \left( \rho _ { i j } ^ { \left( \sigma \right) } - \rho _ { e i j } ^ { \left( \sigma \right) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { k } , \mu } { \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega V \epsilon _ { 0 } } } } \left\{ \mathbf { e } ^ { ( \mu ) } a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } + { \bar { \mathbf { e } } } ^ { ( \mu ) } { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \right\} } \\ { \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) } & { { } = i \sum _ { \mathbf { k } , \mu } { \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 V \epsilon _ { 0 } } } } \left\{ \mathbf { e } ^ { ( \mu ) } a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } - { \bar { \mathbf { e } } } ^ { ( \mu ) } { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \right\} } \\ { \mathbf { B } ( \mathbf { r } ) } & { { } = i \sum _ { \mathbf { k } , \mu } { \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega V \epsilon _ { 0 } } } } \left\{ \left( \mathbf { k } \times \mathbf { e } ^ { ( \mu ) } \right) a ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } - \left( \mathbf { k } \times { \bar { \mathbf { e } } } ^ { ( \mu ) } \right) { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \right\} } \end{array}
S = \int _ { M } d ^ { 6 } x \sqrt { G } G ^ { \lambda \rho } G ^ { \mu \sigma } G ^ { \nu \tau } \left( - \frac { 3 } { 4 } D _ { [ \lambda } B _ { \mu \nu ] } D _ { \rho } B _ { \sigma \tau } - \frac { \alpha } { 2 } D _ { \lambda } B _ { \rho \mu } D _ { \nu } B _ { \tau \sigma } \right)
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} } & { = \left\langle \frac { \delta F } { \delta u } , \omega \times \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + \left\langle \frac { \delta F } { \delta D } , \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + L \left[ \frac { \delta G } { \delta u } , \frac { \delta F } { \delta \theta } ; \theta \right] } \\ & { \qquad - \left\langle \frac { \delta G } { \delta D } , \nabla \cdot \frac { \delta F } { \delta u } \right\rangle - L \left[ \frac { \delta F } { \delta u } , \frac { \delta G } { \delta \theta } ; \theta \right] . } \end{array}
v = \sum _ { i \in I } c _ { i } v _ { i } \mapsto g ( v ) = ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { n + { \boldsymbol { \kappa } } } ) \in G _ { \sigma } \subset G \subset \widetilde { T } \simeq ( \mathbb { C } ^ { * } ) ^ { n + { \boldsymbol { \kappa } } } \; \mathrm { ~ w h e r e ~ } \; a _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { 2 \pi \sqrt { - 1 } c _ { i } } , } & { i \in I , } \\ { 1 , } & { i \in I ^ { \prime } . } \end{array} \right.
- e ^ { - \nu } \left( 2 \frac { \partial ^ { 2 } \mu } { \partial r ^ { 2 } } + \left( \frac { \partial \mu } { \partial r } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { r } \left( \frac { \partial \mu } { \partial r } - \frac { \partial \nu } { \partial r } \right) - \frac { \partial \mu } { \partial r } \frac { \partial \nu } { \partial r } \right) + e ^ { - \mu } \left( 2 \frac { \partial ^ { 2 } \nu } { \partial t ^ { 2 } } + \left( \frac { \partial \nu } { \partial t } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial \nu } { \partial t } \frac { \partial \mu } { \partial t } \right) = \alpha \beta ^ { 2 } \frac { e ^ { - \beta r } } { r } .
\langle \psi ( { \bf { x } } ^ { ' } , t ^ { ' } ) \psi ^ { \dagger } ( { \bf { x } } , t ) \rangle = \rho _ { 0 } e ^ { - \sum _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } \neq 0 } f _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } } ^ { * } ( { \bf { x } } ^ { ' } ) f _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } } ( { \bf { x } } ^ { ' } ) }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \| Q ( x ) - x \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { q _ { i } } { N } - x \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { q _ { i } } { N } - x \| _ { 2 } ^ { 2 } | R \right] \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \| q _ { i } - x \| _ { 2 } ^ { 2 } | R \right] \right] } \\ & { \leq 1 6 \sqrt { 3 } \, \frac { \Delta } { N } , } \end{array}
\langle \delta j ^ { \mu } ( x ) \rangle \simeq \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { \, 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ \left( 1 , { \bf p } / \omega _ { + } \right) ^ { \mu } \frac { - i \Sigma _ { o f f } ^ { ( b a r e ) ( + ) } } { | I m \Sigma _ { R } ^ { ( + ) } | } - \left( 1 , - { \bf p } / \omega _ { - } \right) ^ { \mu } \frac { - i \Sigma _ { o f f } ^ { ( b a r e ) ( - ) } } { | I m \Sigma _ { R } ^ { ( - ) } | } \right] .
\Delta g _ { \mathrm { i n t } } ^ { ( 2 ) } = \Delta g _ { \mathrm { 3 e l } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { 2 e l } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { c t } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d } } ^ { ( 2 ) } \, .
\begin{array} { r l } & { u _ { r } ( t _ { j + 1 } , r _ { i } , \lambda _ { k } ) = \frac { u _ { i + 1 , k } ^ { j + 1 } - u _ { i - 1 , k } ^ { j + 1 } } { 2 \Delta r } + O ( \Delta r ^ { 2 } ) , } \\ { u _ { \lambda } ( t _ { j + 1 } , r _ { i } , \lambda _ { k } ) } & { = \frac { u _ { i , k + 1 } ^ { j + 1 } - u _ { i , k - 1 } ^ { j + 1 } } { 2 \Delta \lambda } + O ( \Delta \lambda ^ { 2 } ) , } \\ & { u _ { t } ( t _ { j + 1 } , r _ { i } , \lambda _ { k } ) = \frac { u _ { i , k } ^ { j + 1 } - u _ { i , k } ^ { j } } { \Delta t } + O ( \Delta t ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = M _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , } \\ { p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , } \\ { p _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { = ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 2 } + M _ { 2 } \boldsymbol { v } _ { 0 } + M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } - p _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 1 } , } \end{array}
\left\langle \left( \delta x _ { 1 } ( t ) \right) ^ { 2 } \right\rangle = n _ { t r } \left\langle \left( \delta x _ { 1 } ( t ) \right) ^ { 2 } \right\rangle _ { t r } + n _ { f r } \left\langle \left( \delta x _ { 1 } ( t ) \right) ^ { 2 } \right\rangle _ { f r } ,
\begin{array} { r l } { | \phi \rangle _ { \mathrm { C } } = } & { { } ~ c _ { 1 } | 1 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 2 } | 2 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 3 } | 3 \rangle _ { \mathrm { C } } + c _ { 4 } | 4 \rangle _ { \mathrm { C } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } } | h _ { n } ( Y _ { r - } - x ) f ( X _ { r - } ( x ) , r ) | \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } r } & { \leq \| f \| \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } } h _ { n } ( Y _ { r - } - x ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } r } \\ & { = T \cdot \| f \| < \infty } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \frac { { \partial } ^ { 7 } \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 7 } } } } = { - } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 7 } } { \Bigl ( } \mathrm { 5 0 4 0 } \lambda { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } + \mathrm { 1 5 1 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 1 2 6 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 4 2 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \mathrm { 6 3 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } + \mathrm { 4 2 } { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } { \frac { { \partial } ^ { 7 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( \breve { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) ) = \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \mathbb { E } \Big ( \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } \breve { Y } _ { i } \Big ) ^ { 2 } \Big ) = \frac { 1 } { S } \mathbb { E } \Big ( \Big ( \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } \breve { Y } _ { i } \Big ) ^ { 2 } \Big ) = \sum _ { l = - S + 1 } ^ { S + 1 } \frac { S - l } { S } \mathbb { E } ( \breve { Y } _ { i } \breve { Y } _ { i + l } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ \beta _ { i } | \; | \beta _ { i } | > 1 \} = \{ \beta _ { i , a } | \; | \beta _ { i , a } | > 1 \} \cup \{ \beta _ { i , b } | \; | \beta _ { i , b } | > 1 \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } ( \hat { Q } ) \leq \epsilon _ { \mathcal { Q } , \mathcal { Z } } + \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left\{ \frac { 5 6 ( T - t - 1 ) ^ { 2 } \log \{ { T N _ { \mathrm { [ ] ~ } } ( 2 \epsilon L _ { t } , \mathcal { L } _ { q _ { t } ( z ^ { \prime } ) , z } , \| \cdot \| ) } / { \delta } \} } { 3 n } \right\} + o _ { p } ( n ^ { - 1 } ) . } \end{array}
D _ { F } ( x - y ) = \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { i ( { p \! \! \! / } + m ) } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon } } e ^ { - i p \cdot ( x - y ) }
\begin{array} { r } { Q _ { 1 } ( k ) = \delta _ { 3 } ( \lambda ) \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \sqrt { 3 } \cot ( \alpha ) - 1 } { 2 } f ( k ) } & { 0 } & { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) - r _ { 1 } ( k ) r _ { 1 } ( \omega k ) } \\ { 0 } & { \frac { \sqrt { 3 } \cot ( \alpha ) + 1 } { 2 } } & { 0 } \\ { \overline { { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } } - \overline { { r _ { 1 } ( k ) r _ { 1 } ( \omega k ) } } } & { 0 } & { 1 + r _ { 1 } ( \omega k ) r _ { 2 } ( \omega k ) } \end{array} \right) , } \end{array}
x = \frac { 2 E _ { l } } { M _ { B } } \; , \mathrm { \ \ } y = \frac { q ^ { 2 } } { M _ { B } ^ { 2 } } \; , \mathrm { \ \ } y _ { 0 } = \frac { 2 q _ { 0 } } { M _ { B } } \; ,
\begin{array} { r l } { \| u - u _ { 0 } - a \Psi _ { 1 } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } } & { \leq C ( S , \gamma , \alpha ) ( 1 + \delta z _ { 0 } ^ { - \gamma } ) ( 1 + | a | ) z _ { 0 } ^ { \gamma / 2 } \cdot R ^ { \mu _ { 1 } + \gamma / 2 } } \\ & { < ( 1 + | a | ) \sqrt { \delta } z _ { 0 } ^ { - \gamma / 2 } \cdot R ^ { \mu _ { 1 } + \gamma / 2 } , } \end{array}
\left[ \mathbf { 1 6 } _ { a } \mathbf { 1 0 _ { H } } \right] _ { \mathbf { 1 6 } + \mathbf { \bar { 1 6 } } } \left[ \langle \mathbf { 4 5 _ { R } } \rangle \mathbf { 1 6 } _ { a } \right]
\frac { d \tilde { m } _ { Q _ { L } } ^ { 2 } } { d t } = - \frac 1 { 8 \pi ^ { 2 } } \sum c _ { i } ^ { Q } M _ { i } ^ { 2 } g _ { i } ^ { 2 } + \frac { h _ { t } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } { \cal M } _ { U } ^ { 2 } + \frac { h _ { b } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } { \cal M } _ { D } ^ { 2 } + \frac 1 6 \frac { \alpha _ { 1 } } { 2 \pi } S
C _ { v } = { \mathrm { m a x } } _ { \forall \ell } \left\lbrace 2 \| j _ { \ell } \| ^ { 2 } [ 2 \delta _ { \ell } \gamma ^ { \prime } ( \delta _ { \ell } ) + 3 \gamma ( \delta _ { \ell } ) ] \delta _ { \ell } \gamma ^ { \prime } ( \delta _ { \ell } ) + 2 \gamma ( \delta _ { \ell } ) \delta _ { \ell } ^ { 2 } \gamma ^ { \prime \prime } ( \delta _ { \ell } ) \right\rbrace
E = - { \frac { 1 } { 4 \pi a } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d y \, e ^ { i y \delta } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) x { \frac { d } { d x } } \ln [ 1 - \xi ^ { 2 } ( ( s _ { l } e _ { l } ) ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] ,
\frac { d \sigma } { d z } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { s } \; \frac { 1 + z ^ { 2 } } { 1 - z ^ { 2 } } \; \left( 1 \pm \frac { s ^ { 2 } } { 2 \Lambda _ { \pm } ^ { 4 } } \, ( 1 - z ^ { 2 } ) \right) \; .
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 4 } N _ { \mathrm { p a i r } } } { d t d \Omega _ { i } d \Omega _ { s } d \omega _ { s } } = } & { { } \frac { 8 } { \pi } n _ { i } n _ { s } r _ { i } ^ { 2 } r _ { s } ^ { 2 } \frac { ( \omega _ { p } - \omega _ { s } ) ^ { 3 } \omega _ { s } ^ { 3 } } { c ^ { 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { i } ( R , \dot { R } ) = - \epsilon _ { i j k } ( \tilde { R } p ) _ { j k } , \qquad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \quad [ ( R ^ { T } \dot { R } ) - ( R ^ { T } \dot { R } ) ^ { T } ] _ { i j } = 2 \epsilon _ { i j k } I _ { k a } ^ { - 1 } \epsilon _ { a b c } ( \tilde { R } p ) _ { b c } . } \end{array}
r = \operatorname* { s u p } _ { z > 0 } \ \operatorname* { i n f } _ { x > 0 , \ y > 0 , \ x \circ y = z } { \frac { y ^ { \top } A x } { y ^ { \top } x } } = \operatorname* { s u p } _ { z > 0 } \ \operatorname* { i n f } _ { x > 0 , \ y > 0 , \ x \circ y = z } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } y _ { i } a _ { i j } x _ { j } / \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } x _ { i } .