harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { v ^ { \prime } } & { { } = R v + \omega \times R x + \Dot { \Sigma } O } \\ { a ^ { \prime } } & { { } = R a + 2 \omega \times R v + \omega \times ( \omega \times R x ) + \Dot { \omega } \times R x + \Ddot { \Sigma } O } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \lambda \sum _ { t = 1 } ^ { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) \right) \right] \exp \left( - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \right) } \\ & { = \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \left\{ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { P } \left[ ( \xi _ { t } ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] - 1 \right\} + O ( \lambda ^ { 3 } / \sqrt { T } ) \right) \right] } \\ & { \leq ( 1 + \varepsilon ) \exp \left( O ( \lambda ^ { 3 } / \sqrt { T } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { g g } = } & { { } \ - \Omega _ { p } I m ( \rho _ { g r } ) + \Gamma \rho _ { r r } } \\ { \dot { \rho } _ { r r } = } & { { } \ + \Omega _ { p } I m ( \rho _ { g r } ) - \Gamma \rho _ { r r } } \\ { \dot { \rho } _ { g r } = } & { { } \ - \frac { i } { 2 } \Omega ( \rho _ { r r } - \rho _ { g g } ) - \frac { 1 } { 2 } \Gamma \rho _ { g r } - i \left( \Delta - V \rho _ { r r } ^ { \beta } \right) \rho _ { g r } } \end{array}
{ \cal R } _ { 1 } ^ { 2 } = { \cal R } _ { 2 } ^ { 2 } \; { : = } \; 2 R ^ { 2 } + \frac { 2 R _ { m } ^ { 2 } } { n } + \frac { 3 ( 1 - \delta ) } { 4 } \left( \frac { 1 4 { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } + \frac { 7 R _ { m } ^ { 2 } } { 2 \delta } + \frac { 8 4 ( 1 - \delta _ { 1 } ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } } + \frac { 4 2 R _ { m } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } m ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { \Omega } _ { f } } { \partial t } } & { { } = \frac { \nabla \sqrt { \rho } \times \nabla p } { \rho } + \frac { \mu \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { \Omega } } { \sqrt { \rho } R e _ { a c } } + \frac { \mu } { R e _ { a c } } \frac { \nabla \sqrt { \rho } \times [ \nabla \times \boldsymbol { \Omega } ] } { \rho } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \prod _ { \substack { \ell = 1 ; \, \ell \neq n } } ^ { d } \sqrt { \log ( 2 + | j _ { \ell } | + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } + z ) } } { ( 2 + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } + z ) ^ { L } } \, d z } \\ & { \leq 2 \times \frac { \prod _ { \substack { \ell = 1 ; \, \ell \neq n } } ^ { d } \sqrt { \log ( 2 + | j _ { \ell } | + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } ) } } { ( 2 + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } ) ^ { L - 1 } } . } \end{array}
\epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } \to 0 , \bar { f } ) \approx X ( \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) )
\begin{array} { r } { \mathbf { q } _ { 1 } \left( r , \theta , z , t \right) = A _ { 1 } \left( T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } } \left( r , z \right) e ^ { \mathrm { i } \left( \omega _ { 0 } t - \theta \right) } \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ { + B _ { 1 } \left( T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { B _ { 1 } } \left( r , z \right) e ^ { \mathrm { i } \left( \omega _ { 0 } t + \theta \right) } + c . c . \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| g - D _ { 0 } g _ { p } \right| _ { g _ { p } } ^ { 2 } } & { \leq D _ { 0 } ^ { 2 } \left| G _ { \phi _ { 0 } } ( \phi ) - G _ { \phi _ { 0 } } ( \infty ) \right| ^ { 2 } + \left| G _ { \phi _ { 0 } } ( \phi ) - G _ { \phi _ { 0 } } ( \infty ) \right| O ( s ^ { - p } ) + O ( s ^ { - 2 p } ) } \\ & { \leq \frac { D _ { 0 } ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \left| \log \left( 1 - \frac { C } { p \phi } \right) \right| ^ { 2 } + \left| \log \left( 1 - \frac { C } { p \phi } \right) \right| O ( s ^ { - p } ) + O ( s ^ { - 2 p } ) } \\ & { \leq \left( \frac { C D _ { 0 } } { p ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \phi ^ { - 2 } + \frac { C D _ { 0 } } { p ^ { 2 } } \phi ^ { - 1 } O ( s ^ { - p } ) + O ( s ^ { - 2 p } ) \leq C s ^ { - 2 p } , } \end{array}
W { \widehat { u } } - W _ { 0 } { \widehat { u } } = - i \omega \widetilde { \chi } _ { 1 } \left( f _ { \natural } - \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) h _ { 0 } } { \omega v } \right) { \widehat { u } } - i \omega ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) \left( f _ { \sharp } - \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) h _ { 0 } } { \omega v } \right) { \widehat { u } } .
{ \begin{array} { l l l l l } { \langle } & { a , b , c , d , e , p , q , r , t , k } & { | } & & \\ & { p ^ { 1 0 } a = a p , } & { p a c q r = r p c a q , } & { r a = a r , } & \\ & { p ^ { 1 0 } b = b p , } & { p ^ { 2 } a d q ^ { 2 } r = r p ^ { 2 } d a q ^ { 2 } , } & { r b = b r , } & \\ & { p ^ { 1 0 } c = c p , } & { p ^ { 3 } b c q ^ { 3 } r = r p ^ { 3 } c b q ^ { 3 } , } & { r c = c r , } & \\ & { p ^ { 1 0 } d = d p , } & { p ^ { 4 } b d q ^ { 4 } r = r p ^ { 4 } d b q ^ { 4 } , } & { r d = d r , } & \\ & { p ^ { 1 0 } e = e p , } & { p ^ { 5 } c e q ^ { 5 } r = r p ^ { 5 } e c a q ^ { 5 } , } & { r e = e r , } & \\ & { a q ^ { 1 0 } = q a , } & { p ^ { 6 } d e q ^ { 6 } r = r p ^ { 6 } e d b q ^ { 6 } , } & { p t = t p , } & \\ & { b q ^ { 1 0 } = q b , } & { p ^ { 7 } c d c q ^ { 7 } r = r p ^ { 7 } c d c e q ^ { 7 } , } & { q t = t q , } & \\ & { c q ^ { 1 0 } = q c , } & { p ^ { 8 } c a ^ { 3 } q ^ { 8 } r = r p ^ { 8 } a ^ { 3 } q ^ { 8 } , } & & \\ & { d q ^ { 1 0 } = q d , } & { p ^ { 9 } d a ^ { 3 } q ^ { 9 } r = r p ^ { 9 } a ^ { 3 } q ^ { 9 } , } & & \\ & { e q ^ { 1 0 } = q e , } & { a ^ { - 3 } t a ^ { 3 } k = k a ^ { - 3 } t a ^ { 3 } } & & { \rangle } \end{array} }
\widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } ( \tau ) = S _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } ( \tau ) + \mathrm { i } \mathcal { H } \{ S _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } ( \tau ) \} \; .
\begin{array} { r l r } { F _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( \theta ) = } & { } & { p _ { z } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k _ { o } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \ell = - \ell _ { \mathrm { m a x } } } ^ { \ell _ { \mathrm { m a x } } } \bigg [ b _ { n \ell } } \\ & { } & { \times \left. e ^ { - j [ k _ { o } R _ { n } \cos ( \theta - \phi _ { n } ) + \ell ( \frac { \pi } { 2 } - \theta ) + \frac { \pi } { 4 } ] } \right] } \end{array}
l = \left\{ \begin{array} { r l } { \varkappa , } & { { } \: \varkappa > 0 , } \\ { - \varkappa - 1 , } & { { } \: \varkappa < 0 , } \end{array} \right. \qquad j = | \varkappa | - \frac { 1 } { 2 } .
\begin{array} { r l } { p _ { i j } = p _ { i j } ^ { - } + p _ { i j } ^ { + } } & { { } = \frac { y _ { i } y _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } + \frac { x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = \frac { y _ { i } y _ { j } + x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { 1 , j } = - J _ { 4 , j } + J _ { 5 , j } , \quad H _ { 2 , j } = 2 J _ { 5 , j } , } \\ & { E _ { 1 , j } = i J _ { 1 , j } - J _ { 7 , j } , \quad F _ { 1 , j } = - i J _ { 1 , j } - J _ { 7 , j } , } \\ & { E _ { 2 , j } = - i J _ { 3 , j } - J _ { 6 , j } , \quad F _ { 2 , j } = i J _ { 3 , j } - J _ { 6 , j } , } \\ & { E _ { 3 , j } = i J _ { 2 , j } - J _ { 8 , j } , \quad F _ { 3 , j } = - i J _ { 2 , j } - J _ { 8 , j } , } \end{array}
\kappa _ { \mathrm { R , K N } } \approx \kappa _ { \mathrm { T h } } \left[ 1 + 9 . 5 8 0 5 7 \left( \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \right) - 3 3 . 8 3 8 6 \left( \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { p \to 1 ^ { + } } \frac { f ( p ) ^ { \frac { 1 } { p } } - f ( 1 ) } { p - 1 } } \\ { = } & { f ( 1 ) \Big ( - \log f ( 1 ) + \frac { f ^ { \prime } ( 1 ^ { + } ) } { f ( 1 ) } \Big ) = f ^ { \prime } ( 1 ^ { + } ) - f ( 1 ) \log f ( 1 ) = - H ( \rho ) - \tau ( \rho ) \log \tau ( \rho ) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \big ( n \langle g \rangle \big ) + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( n \langle g \boldsymbol { v } \rangle \big ) - n \langle \frac { \boldsymbol { F } } { m } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { v } } g \rangle - n \langle \frac { F _ { \omega } } { I } \partial _ { \omega } g \rangle = 0 .
\prod _ { \substack { ( j , k ) = 1 \, j , k \geq 1 } } \left( 1 + y ^ { j } z ^ { k } \right) ^ { \frac { 1 } { \sqrt { j k } } } = \exp \left\{ \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { j } } { \sqrt { j } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { \sqrt { k } } \right) - \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { 2 j } } { \sqrt { j } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { 2 k } } { \sqrt { k } } \right) \right\} .
\begin{array} { c c c } { { R _ { B C D } ^ { A } } } & { { = } } & { { \tilde { R } _ { B C D } ^ { A } , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { R _ { i B j } ^ { A } } } & { { = } } & { { - a _ { k } D _ { B } \partial ^ { A } a _ { l } \eta _ { i j } ^ { k l } , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { R _ { A j B } ^ { i } } } & { { = } } & { { - a ^ { k } D _ { B } \partial _ { A } a _ { l } \eta _ { k j } ^ { l i } , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { R _ { j k l } ^ { i } } } & { { = } } & { { - a ^ { m } \partial ^ { A } a _ { n } a _ { r } \partial _ { A } a _ { s } ( \eta _ { m k } ^ { n i } \eta _ { j l } ^ { r s } - \eta _ { m l } ^ { n i } \eta _ { j k } ^ { r s } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { d e t } ( B _ { j } - \lambda I ) } \\ & { \quad = - [ \lambda ^ { 3 } + \{ ( d + 1 + { \epsilon } ) \sigma _ { j } - 1 + \alpha _ { 0 } + \tau \} \lambda ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \{ ( d + { \epsilon } d + { \epsilon } ) \sigma _ { j } ^ { 2 } + ( - 1 + d \alpha _ { 0 } + \tau ( d + 1 ) + { \epsilon } ( \alpha _ { 0 } - 1 ) ) \sigma _ { j } + \tau ( \alpha _ { 0 } - 1 + \beta _ { 0 } ) \} \lambda } \\ & { \qquad + \{ { \epsilon } d \sigma _ { j } ^ { 2 } + ( \tau d + { \epsilon } ( - 1 + d \alpha _ { 0 } ) ) \sigma _ { j } + \tau ( - 1 + d \alpha _ { 0 } + \beta _ { 0 } ) \} \sigma _ { j } ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { { \cal O } _ { 1 2 } = \mu _ { 1 2 } \phi \phi \chi ^ { - } } } & { { { \cal O } _ { 1 3 } = \mu _ { 1 3 } \phi \phi \xi } } & { { { \cal O } _ { 1 4 } = \mu _ { 1 4 } \chi ^ { - } \chi ^ { - } L ^ { + + } } } \\ { { { \cal O } _ { 1 5 } = \mu _ { 1 5 } \xi \xi L ^ { + + } } } & { { { \cal O } _ { 1 6 } = \mu _ { 1 6 } X _ { b } X _ { a } ^ { \dagger } \chi ^ { - } } } & { { { \cal O } _ { 1 7 } = \mu _ { 1 7 } X _ { b } X _ { a } ^ { \dagger } \xi } } \\ { { { \cal O } _ { 1 8 } = \mu _ { 1 8 } \Delta _ { b } X _ { a } ^ { \dagger } X _ { a } ^ { \dagger } } } & { { { \cal O } _ { 1 9 } = \mu _ { 1 9 } \Delta _ { c } X _ { a } ^ { \dagger } X _ { b } ^ { \dagger } } } & { { { \cal O } _ { 2 0 } = \mu _ { 2 0 } \Delta _ { L } X _ { a } ^ { \dagger } X _ { a } ^ { \dagger } } } \\ { { { \cal O } _ { 2 1 } = \mu _ { 2 1 } \Delta _ { a } ^ { \dagger } \Delta _ { b } \chi ^ { - } } } & { { { \cal O } _ { 2 2 } = \mu _ { 2 2 } \Delta _ { a } ^ { \dagger } \Delta _ { L } \xi } } & { { { \cal O } _ { 2 3 } = \mu _ { 2 3 } \Delta _ { b } ^ { \dagger } \Delta _ { c } \chi ^ { - } } } \\ { { { \cal O } _ { 2 4 } = \mu _ { 2 4 } \Delta _ { L } ^ { \dagger } \Delta _ { c } \xi } } & { { { \cal O } _ { 2 5 } = \mu _ { 2 5 } \Delta _ { a } ^ { \dagger } \Delta _ { c } L ^ { -- } } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( s _ { 1 } ) } & { = s _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } & { = s _ { 2 } - s _ { 1 } } \\ { f _ { 3 } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } ) } & { = ( s _ { 3 } - s _ { 2 } ) - 2 ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) } \\ & { = s _ { 3 } - 3 s _ { 2 } + 2 s _ { 1 } } \\ { f _ { 4 } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } , s _ { 4 } ) } & { = s _ { 4 } - 3 s _ { 3 } + 2 s _ { 2 } - 3 ( s _ { 3 } - 3 s _ { 2 } + 2 s _ { 1 } ) } \\ & { = s _ { 4 } - 6 s _ { 3 } + 1 1 s _ { 2 } - 6 s _ { 1 } } \\ { f _ { 5 } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } , s _ { 4 } , s _ { 5 } ) } & { = s _ { 5 } - 6 s _ { 4 } + 1 1 s _ { 3 } - 6 s _ { 2 } - 4 ( s _ { 4 } - 6 s _ { 3 } + 1 1 s _ { 2 } - 6 s _ { 1 } ) } \\ & { = s _ { 5 } - 1 0 s _ { 4 } + 3 5 s _ { 3 } - 5 0 s _ { 2 } + 2 4 s _ { 1 } . } \end{array}
\mathrm { C _ { \mathrm { { s c a } , \mathrm { { e x t } , \mathrm { { a b s } } } } } \propto | \mathbf { J _ { \mathrm { { r a d } } } } \mathbf { J _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \dagger } } | ^ { 2 } | \tilde { \mathrm { { E } } } _ { \mathrm { { r a d } } } | ^ { 2 } = | \mathbf { J _ { \mathrm { { r a d } } } } \mathbf { J _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \dagger } } | ^ { 2 } \mathrm { { I } } _ { \mathrm { { r a d } } } , }
Q _ { \mathrm { I } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( e ^ { i \pi / 4 } Q _ { 2 } + e ^ { - i \pi / 4 } \overline { { { Q } } } _ { \dot { 2 } } ) , \qquad Q _ { \mathrm { I I } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( e ^ { - i \pi / 4 } Q _ { 1 } + e ^ { i \pi / 4 } \overline { { { Q } } } _ { \dot { 1 } } ) ,
\centering \begin{array} { l r } { \langle \textbf { F } _ { i } ( t ) \rangle = 0 } \\ { \langle \textbf { F } _ { i } ( t ) \textbf { F } _ { j } ( t ^ { \prime } ) \rangle = 6 k _ { B } T m \gamma \delta _ { i j } \delta ( t - t ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { B ^ { - } : = B _ { \epsilon } ( 0 ) \cap \{ { \mathbf x } \in \Omega \colon x _ { 1 } < 0 \} , } \\ { B ^ { + } : = B _ { \epsilon } ( 0 ) \cap \{ { \mathbf x } \in \Omega \colon x _ { 1 } > 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \bigg \{ \bigg ( \hat { \beta } _ { 1 } ^ { * } - \alpha _ { 1 } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \hat { \beta } _ { 2 } ^ { * } } & { - \alpha _ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \geq \epsilon \bigg \} \leq 4 \bigg \{ e ^ { - \frac { n } { 3 2 } \big ( \frac { \epsilon \lambda _ { 2 } } { 1 + \lambda _ { 2 } } \big ) ^ { 2 } } + e ^ { - \frac { n } { 3 2 } \big ( \frac { \epsilon \lambda _ { 3 } } { 1 + \lambda _ { 3 } } \big ) ^ { 2 } } } \\ & { \quad + e ^ { - \frac { n } { 3 2 } \big ( \frac { \epsilon \lambda _ { 4 } } { 1 + \lambda _ { 4 } } \big ) ^ { 2 } } + e ^ { - \frac { n } { 3 2 } \big ( \frac { \epsilon \lambda _ { 5 } } { 1 + \lambda _ { 5 } } \big ) ^ { 2 } } \bigg \} , } \end{array}
\overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { v } ) = \sum _ { i \in M _ { \boldsymbol { u - v } } ^ { \mathcal { L } } } W _ { i } ^ { \mathcal { L } } ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { v } ) + \sum _ { i \in I _ { \boldsymbol { u - v } } ^ { \mathcal { L } } \setminus M _ { \boldsymbol { u - v } } ^ { \mathcal { L } } } M _ { w } .
\begin{array} { r l } { p _ { k } - \frac { k \sqrt { p _ { k } } } { \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } } } & { = \frac { \sqrt { p _ { k } } ( \sqrt { p _ { k } } ( \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } ) - k ) } { \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } } } \\ & { > \frac { \sqrt { p _ { k } } \left( \frac { c _ { k } + \sqrt { c _ { k } ^ { 2 } + 4 k } } { 2 } \left( \frac { c _ { k } + \sqrt { c _ { k } ^ { 2 } + 4 k } } { 2 } - c _ { k } \right) - k \right) } { \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } } } \\ & { = 0 . } \end{array}
D ^ { \mu \nu \lambda \sigma } ( x - y ) = 1 6 \pi G \left( \eta ^ { \mu \lambda } \eta ^ { \nu \sigma } + \eta ^ { \mu \sigma } \eta ^ { \nu \lambda } - { \frac { 2 } { 9 } } \eta ^ { \mu \nu } \eta ^ { \lambda \sigma } \right) \int { \frac { d ^ { 1 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 1 1 } } } { \frac { e ^ { i k \cdot ( x - y ) } } { - k ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \lvert \kappa _ { u } ( \Psi ) \rvert } & { \lesssim _ { s , p , n } \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \mathrm { d } \Psi \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { r , q } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { r ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { r , s , p , n } \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \mathrm { d } \Psi \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { r ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { r ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { r , s , p , n } ( \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ) \lVert \Psi \rVert _ { { \mathrm { B } } _ { \tilde { r } ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { 1 + \varepsilon } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
d _ { i j } \equiv { \frac { \langle \Pi _ { c h } ^ { \dag } ( \vec { k } _ { i } ) \Pi _ { c h } ( \vec { k } _ { j } ) \rangle } { \left[ \, \langle \Pi _ { c h } ^ { \dag } ( \vec { k } _ { i } ) \Pi _ { c h } ( \vec { k } _ { i } ) \rangle \; \langle \Pi _ { c h } ^ { \dag } ( \vec { k } _ { j } ) \Pi _ { c h } ( \vec { k } _ { j } ) \rangle \, \right] ^ { 1 / 2 } } } \ \; ,
y ^ { 2 } = P ( x ) = x \left( x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( u _ { 1 } ^ { \prime } + u _ { 2 } ^ { \prime } ) x + \frac { 1 } { 4 } ( u _ { 1 } ^ { \prime } - u _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \Lambda ^ { 2 } x ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } & { \bar { c } \leq r _ { 0 } ( \mathcal { E } _ { k - 1 } - \mathcal { E } _ { k } ) h ( \mathcal { E } _ { k - 1 } ) \leq r _ { 0 } h ( \mathcal { E } _ { k - 1 } ) \int _ { \mathcal { E } _ { k } } ^ { \mathcal { E } _ { k - 1 } } { 1 \, d s } } \\ & { \leq r _ { 0 } \int _ { \mathcal { E } _ { k } } ^ { \mathcal { E } _ { k - 1 } } { h ( s ) \, d s } = r _ { 0 } \int _ { \mathcal { E } _ { k } } ^ { \mathcal { E } _ { k - 1 } } { s ^ { - 2 \nu } \, d s } = \frac { r _ { 0 } } { 1 - 2 \nu } ( { \mathcal { E } _ { k - 1 } } ^ { 1 - 2 \nu } - { \mathcal { E } _ { k } } ^ { 1 - 2 \nu } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left\langle x , { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \oint _ { C } { \frac { \varphi } { \lambda I - L } } d \lambda \right\rangle } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \oint _ { C } d \lambda \left\langle x , { \frac { \varphi } { \lambda I - L } } \right\rangle } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \oint _ { C } d \lambda \int d y \left\langle x , { \frac { y } { \lambda I - L } } \right\rangle \langle y , \varphi \rangle } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g ^ { ( 0 ) } \left( \gamma , \phi \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } | \cos \gamma \sin 2 \phi | } \\ { g ^ { ( \pm 1 ) } \left( \gamma , \phi \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } | \mp \cos \gamma \cos 2 \phi + i \sin \gamma \cos \phi | } \\ { g ^ { ( \pm 2 ) } \left( \gamma , \phi \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \bigg | \frac { 1 } { 2 } \cos \gamma \sin 2 \phi \mp i \sin \gamma \sin \phi \bigg | . } \end{array}
\dot { N } = \left( \gamma _ { a } - \Gamma _ { 0 } \right) N - \gamma _ { c } N ^ { 2 } + \frac { \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } { \hbar \Omega _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 2 N \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } { \hbar \Omega _ { 0 } } } \frac { \mathrm { d } { W } } { \mathrm { d } t } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S D } ( \tau _ { \ell } ) } & { = \left\langle ( \tilde { x } _ { n + \ell } - \tilde { x } _ { n } ) ^ { 2 } \right\rangle = \frac { 2 k _ { B } T } { \kappa } \left\{ \mathcal { F } ( \alpha ) - \left[ \frac { \sinh ( \alpha ) } { \alpha } \right] ^ { 2 } e ^ { - | \tau _ { \ell } | / \tau _ { \mathrm { o t } } } \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { 4 } ( - 5 ) \triangleq \frac { 1 } { 3 2 } , \textup N _ { 4 } ( - 4 ) \triangleq - \frac { 1 } { 1 6 } , \textup N _ { 4 } ( - 3 ) } & { \triangleq 0 , \textup N _ { 4 } ( - 2 ) \triangleq \frac { 1 } { 4 } , \textup N _ { 4 } ( - 1 ) \triangleq \frac { 1 } { 2 } , \textup N _ { 4 } ( 0 ) \triangleq 1 , } \\ { \mathrm { a n d ~ } N _ { 4 } ( 1 ) } & { = 4 , \textup N _ { 4 } ( 2 ) = 1 6 . } \end{array}
N _ { \nu } ^ { 0 } ( E ) = \frac { E _ { \nu } ^ { \mathrm { t o t } } } { \langle E _ { \nu } \rangle } \frac { 1 } { F _ { 2 } ( \eta ) T ^ { 3 } } \frac { E ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { E / T - \eta } + 1 } ,
\begin{array} { r } { \prod _ { i = 1 } ^ { m } \bigg ( \frac { b _ { i } } { a _ { i } } \bigg ) ^ { a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } } \bigg ( \frac { \hat { b } _ { i } } { \hat { a } _ { i } } \bigg ) ^ { \hat { a } _ { i } ^ { t ^ { * } } \hat { b } _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } } e ^ { a _ { i } - b _ { i } + \hat { a } _ { i } - \hat { b } _ { i } } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { \mathrm { H D } } ( \tau ) } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \bigg ( 1 + J _ { 1 } { \left( \mathrm { P } \sin ( 2 \tau ) \right) } \cos ( \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { n } } = } & { - P _ { 0 } \delta _ { \alpha \beta } + 2 \xi \left( Q _ { \alpha \beta } + \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) Q _ { \gamma \epsilon } H _ { \gamma \epsilon } } \\ & { - \xi H _ { \alpha \gamma } \left( Q _ { \gamma \beta } + \frac { \delta _ { \gamma \beta } } { 3 } \right) - \xi \left( Q _ { \alpha \gamma } + \frac { \delta _ { \alpha \gamma } } { 3 } \right) H _ { \gamma \beta } } \\ & { + \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { s } } + Q _ { \alpha \gamma } H _ { \gamma \beta } - H _ { \alpha \gamma } Q _ { \gamma \beta } , } \end{array}
f _ { \mu \nu } : = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { p } ( x _ { i } - x _ { j } ) } & { \mu = ( i , \uparrow ) , \nu = ( j , \uparrow ) , } \\ { f _ { s } ( x _ { i } - y _ { j } ) } & { \mu = ( i , \uparrow ) , \nu = ( j , \downarrow ) , } \\ { f _ { s } ( y _ { i } - x _ { j } ) } & { \mu = ( i , \downarrow ) , \nu = ( j , \uparrow ) , } \\ { f _ { p } ( y _ { i } - y _ { j } ) } & { \mu = ( i , \downarrow ) , \nu = ( j , \downarrow ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \operatorname { v a r } \left( \frac { X _ { 1 } + \cdots + X _ { n } } n \right) } \\ { = } & { \frac 1 { n ^ { 2 } } \operatorname { v a r } ( X _ { 1 } + \cdots + X _ { n } ) } \\ { = } & { \frac 1 { n ^ { 2 } } \left( \operatorname { v a r } ( X _ { 1 } ) + \cdots + \operatorname { v a r } ( X _ { n } ) \right) } \\ & { \mathrm { a n d ~ s o ~ o n . } } \\ { \operatorname E \left( \overline { X } \right) = } & { \operatorname E \left( \frac { X _ { 1 } + \cdots + X _ { n } } n \right) } \\ { = } & { \frac 1 n \left( \operatorname E ( X _ { 1 } + \cdots + X _ { n } ) \right) } \\ { = } & { \frac 1 n \left( \operatorname E ( X _ { 1 } ) + \cdots + \operatorname E ( X _ { n } ) \right) . } \end{array}
V _ { \ell } \simeq \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { - ( 1 / \sqrt 3 ) \sqrt { ( m _ { e } / m _ { \mu } ) } } } & { { ( 2 / \sqrt 6 ) \sqrt { ( m _ { e } / m _ { \mu } ) } } } \\ { { \sqrt { ( m _ { e } / m _ { \mu } ) } } } & { { 1 / \sqrt 3 } } & { { - 2 / \sqrt 6 } } \\ { { 0 } } & { { 2 / \sqrt 6 } } & { { 1 / \sqrt 3 } } \end{array} \right) \ ,
M _ { i } ^ { s o f t } = 8 g ^ { 4 } e ^ { 2 } e _ { H } ^ { 2 } N \mu ^ { - \epsilon } C _ { \epsilon } C _ { F } \left[ C _ { A } \tilde { S } _ { i , O K } + 2 C _ { F } \tilde { S } _ { i , Q E D } \right] B _ { i , Q E D } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I m } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } G _ { 2 } \right] } & { = } & { 1 6 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \, \cos ^ { 2 } \theta \cdot u ^ { 2 } } \\ & { } & { + 8 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \, \cos ^ { 2 } \theta \cdot u \, + \, { \cal O } ( u ^ { 3 } ) . } \end{array}