harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| \mathbf { v _ { r e l } } | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { ( 1 - \mathbf { v _ { 1 } } \cdot \mathbf { v _ { 2 } } ) ^ { 2 } } } \left[ ( \mathbf { v _ { 1 } } - \mathbf { v _ { 2 } } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v _ { 1 } } \times \mathbf { v _ { 2 } } ) ^ { 2 } \right]
{ \it L } = \sqrt { - g } \biggl [ \phi \biggl ( R - \omega \frac { \phi _ { ; \rho } \phi ^ { ; \rho } } { \phi ^ { 2 } } - \frac { \Psi _ { ; \rho } \Psi ^ { ; \rho } } { \phi ^ { 2 } } \biggr ) - \frac { 1 } { 2 } \xi _ { ; \rho } \xi ^ { ; \rho } \biggr ] + L _ { \mathrm { r } } ,
k _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \frac { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ o ~ n ~ s ~ i ~ n ~ o ~ n ~ e ~ g ~ e ~ n ~ e ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ o ~ n ~ s ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ p ~ r ~ e ~ c ~ e ~ d ~ i ~ n ~ g ~ g ~ e ~ n ~ e ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \ .
V ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ; E ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j } C _ { 2 n } ^ { ( i , j ) } p ^ { 2 ( n - i ) } { \cal O } _ { j } ^ { i } ( { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ) ,
\frac { 4 } { 2 7 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { \tau _ { a } } { \tau _ { Q } } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \left( \frac { \tau _ { a } } { \tau _ { Q } } \right) ^ { - 2 } \right] ^ { 3 } > \left( \frac { | z _ { 0 } | } { L } \right) ^ { 2 } .
\int d ^ { 4 } x \int d y \sqrt { - g } \frac { 1 } { M _ { 5 } ^ { 3 } } \bar { \Psi } _ { i } \Psi _ { j } \bar { \Psi } _ { k } \Psi _ { l } \equiv \int d ^ { 4 } x \frac { 1 } { M _ { 4 } ^ { 2 } } \bar { \Psi } _ { i } ^ { ( 0 ) } \Psi _ { j } ^ { ( 0 ) } \bar { \Psi } _ { k } ^ { ( 0 ) } \Psi _ { l } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega ^ { \prime } } L ( \nabla ( u _ { k } ) _ { \varepsilon } ) } & { \le \int _ { \Omega ^ { \prime } } \left\{ \int _ { B _ { \varepsilon } ( x ) } \eta _ { \varepsilon } ( x - y ) L ( \nabla u _ { k } ( y ) ) \, d y \right\} \, d x } \\ & { \le \int _ { I _ { \varepsilon } ( \Omega ^ { \prime } ) } L ( \nabla u _ { k } ( y ) ) \int _ { B _ { \varepsilon } ( y ) \cap \Omega ^ { \prime } } \eta _ { \varepsilon } ( x - y ) \, d x \, d y \le \int _ { \Omega } L ( \nabla u _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { r } } & { { } = 1 + \frac { 3 } { 2 } \hat { k } ^ { 2 } , } \\ { \gamma } & { { } = - \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } \frac { 1 } { \hat { k } ^ { 3 } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 \hat { k } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } [ \theta ( \partial _ { x } ) ^ { 2 } ] \Psi ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \theta } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \exp { [ - \frac { ( y - x ) ^ { 2 } } { 4 \theta } ] } \Psi ( y ) d y , } \end{array}
\operatorname { t r } \left( { a \! \! \! / } { b \! \! \! / } { c \! \! \! / } { d \! \! \! / } \right) = 4 \left[ ( a \cdot b ) ( c \cdot d ) - ( a \cdot c ) ( b \cdot d ) + ( a \cdot d ) ( b \cdot c ) \right]
g _ { V } ^ { Z , e } g _ { V } ^ { Z , f } \Longrightarrow { \frac { 4 T _ { e } ^ { 3 } T _ { f } ^ { 3 } - 8 T _ { e } ^ { 3 } Q _ { f } F _ { E W } ^ { f } ( s ) - 8 T _ { f } ^ { 3 } Q _ { e } F _ { E W } ^ { e } ( s ) + 1 6 Q _ { f } Q _ { f } F _ { E W } ^ { e f } ( s , t ) } { 1 6 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } } ,
\partial _ { \mu } ( e e _ { { f } } ^ { \mu } u _ { { m } } ^ { { \{ f \} } } ) + { \frac { 2 } { c ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { { 1 / 2 } } } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } e _ { \mu { f } } u ^ { { m \{ f \} } } \partial _ { \nu } \theta \Gamma _ { { m n } } C ^ { - { 1 } } \partial _ { \rho } \theta = 0
E _ { \mathrm { k i n } } ( \lambda ) = \frac { E _ { g } } { 2 } \frac { x } { 1 - x } \left\{ 1 - \frac { x } { 2 } \left[ \frac { \theta ( 1 - x ) } { \sqrt { 1 - x } } \ln \left( \frac { 1 + \sqrt { 1 - x } } { 1 - \sqrt { 1 - x } } \right) + 2 \frac { \theta ( x - 1 ) } { \sqrt { x - 1 } } \arctan \sqrt { x - 1 } \right] \right\}
\begin{array} { r l } { g ^ { ( \theta , r ) } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( \pmb { \mathscr { u } } _ { ( \theta , \varphi , r ) } \cdot \hat { \varphi } ) d \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \tilde { \dot { y } } } { \dot { \theta } } = \frac { 2 P e _ { s } \sin \theta } { P e _ { f } \left( 1 - 2 \tilde { y } / \tilde { H } \right) \left( \beta ( \alpha ) \cos 2 \theta - 1 \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big ( \exists k \in H _ { \mathrm { k i n } } \ \ k ( p _ { 1 } ) = p _ { 2 } \big ) \Longrightarrow \big ( \forall \varphi _ { \mathrm { o l d } } \in \mathcal { S } _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { k i n } } \ \ \varphi _ { \mathrm { o l d } } ( p _ { 1 } ) = \varphi _ { \mathrm { o l d } } ( p _ { 2 } ) \big ) . } \end{array}
{ \cal M } _ { \mathrm { D P A } } ^ { { \mathrm { e ^ { + } e ^ { - } \to W W } } \to 4 f } = \frac { R ( k _ { \mathrm { W } ^ { + } } ^ { 2 } = M _ { \mathrm W } ^ { 2 } , k _ { \mathrm { W } ^ { - } } ^ { 2 } = M _ { \mathrm W } ^ { 2 } ) } { ( k _ { \mathrm { W } ^ { + } } ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) ( k _ { \mathrm { W } ^ { - } } ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) }
\widetilde { F } _ { \mu \nu } ^ { C I , a } \left( x \right) = 4 \left[ \overline { { { \eta } } } _ { \mu \nu } ^ { a } \widetilde { \omega } _ { 1 } \left( x \right) + \left( x _ { \mu } \overline { { { \eta } } } _ { \nu \rho } ^ { a } - x _ { \nu } \overline { { { \eta } } } _ { \mu \rho } ^ { a } \right) x _ { \rho } \widetilde { \omega } _ { 2 } \left( x \right) \right] ,
- \Delta \Lambda _ { n } = 4 \pi G _ { n } ( n - 2 ) ( \sigma - p ) \frac { \Delta [ \epsilon h \dot { t } ] } { Z } + 4 \pi G _ { n } ( \sigma + \rho ) \Delta \left[ \frac { \ddot { Z } + \frac { 1 } { 2 } h ^ { \prime } } { \epsilon h \dot { t } } \right] .
\begin{array} { r l } { a _ { \vec { k } } } & { { } = \sqrt \frac { \omega _ { k } } { 2 k } \eta _ { \vec { k } } + \mathrm i \sqrt \frac { k } { 2 \omega _ { k } } \psi _ { \vec { k } } , \; \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \omega _ { k } = \sqrt { g k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { \mathrm { t h e o r y } } \left( g _ { 0 0 } ^ { 2 } , \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) } & { { } = } & { { \frac { g _ { 0 0 } ^ { 2 } } { \pi } } + g _ { 0 0 } ^ { 4 } \left( \beta _ { 1 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + a _ { 1 } \right) } \\ { D _ { \mathrm { p h y s . } } \left( g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) , \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) } & { { } = } & { { \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } { \pi } } } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 1 } ^ { q } = S _ { 2 2 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E ( 4 f ( 1 - f ) + R T ( f - f _ { 0 } ) ^ { 2 } ) , } \\ { S _ { 3 3 } ^ { q } = S _ { 4 4 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E ( 4 f _ { 0 } ( 1 - f _ { 0 } ) + R T ( f - f _ { 0 } ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { w ( i ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \underline { { C } } s i n { ( \pi i / \bar { i } ) } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i < { \bar { i } } } \\ { { \bar { C } s i n { ( \pi ( i - \bar { i } ) / 2 ( 1 - \bar { i } ) ) } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i > { \bar { i } } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial E _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ) } & { = } & { B ( u _ { h } ^ { 0 , 1 } ; E _ { 1 } , g _ { h } ^ { 0 , \boldsymbol { x } } ) } \\ & { \lesssim } & { ( \| E _ { 0 } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + \| e _ { H } ^ { 0 } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } ) \| g _ { h } ^ { 0 , \boldsymbol { x } } \| _ { 1 , 1 } } \\ & { \lesssim } & { ( H ^ { 2 r } + 0 ) \mid \log h \mid } \\ & { \lesssim } & { \mid \log h \mid H ^ { 2 } . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { q ^ { * } } ( G _ { i } , \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } ) \ln p _ { q ^ { * } } ( G _ { i } , \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \ln p ( G _ { m } ^ { * } , \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } ) .
\begin{array} { r l } { C _ { \Delta X } ^ { \mathrm { ( a c ) } } ( t ; \delta t ) } & { { } \simeq \frac { 8 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } ( \sigma \mathcal { Y } ) ^ { 2 } } \end{array}
Q _ { [ \beta } ( Q _ { \alpha ] } S _ { m ( n + 1 ) } - Y _ { \alpha ] ( n + 1 ) } ) + \epsilon _ { \alpha \beta } ^ { ~ ~ ~ \! \gamma } ( Q _ { \gamma } S _ { m ( n + 1 ) } - Y _ { \gamma ( n + 1 ) } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { M } ^ { ( 0 ) } = - \nabla \cdot \mathbf { M } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { M } ^ { ( 1 ) } = - \nabla \cdot \mathbf { M } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } ^ { ( 2 ) } = - \mathrm { t r a c e } ( \nabla \cdot \mathbf { M } ^ { ( 3 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { Z } ( \mathbf { k } ) } & { { } \approx \mu _ { B } g _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } B \left( 1 - \frac { \epsilon _ { 0 } } { \sqrt { 4 \Omega _ { R } ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } + \mu _ { B } ^ { 2 } g _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 } B ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\frac { \partial f _ { 1 } } { \partial t } + \mathbf { v } \cdot \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial \mathbf { x } } - \frac { q _ { e } } { m _ { e } } \mathbf { E } _ { 1 } \cdot \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial \mathbf { v } } = 0 .
\begin{array} { r } { M ^ { \prime } ( t ) = - \frac { 1 } { 2 } \left( [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ( \overline { { x } } _ { t } ) ] h ( \overline { { x } } _ { t } ) - \mathscr { Q } h _ { x } ( \overline { { x } } _ { t } ) \right) . } \end{array}
\frac { 1 } { 4 d } \left[ \mathrm { T r } \left( G ^ { - 1 } \dot { G } \right) \right] ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 d } \left( \frac { d } { d u } { \log \operatorname * { d e t } G } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { d } \left( \dot { \phi } - \dot { \overline { { { \phi } } } } \right) ^ { 2 } .
{ \sqrt { 4 \pi } } \Psi _ { \bar { b } b } ( 0 ) = 2 . 5 1 3 \; \mathrm { G e V } ^ { 3 / 2 } , \; \; \; { \sqrt { 4 \pi } } \Psi _ { \bar { c } c } ( 0 ) = 0 . 8 9 5 \; \mathrm { G e V } ^ { 3 / 2 } ,
1 + V _ { 2 } = \frac { \gamma - 1 } { \gamma + 1 } \left( 1 + V _ { 1 } \right) + \frac { 2 C _ { 1 } ^ { 2 } } { \left( \gamma + 1 \right) \left( 1 + V _ { 1 } \right) } .
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { p e r } } & { = \sum _ { i \in \{ S _ { 1 } , S _ { 2 } , E _ { 1 } , E _ { 2 } \} } { ( p _ { i } ^ { f i n } - p _ { 0 } ) ^ { 2 } - ( p _ { i } ^ { i n } - p _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { i \in \{ S _ { 1 } , S _ { 2 } , E _ { 1 } , E _ { 2 } \} } { \Delta p _ { i } ^ { 2 } + 2 p _ { i } ^ { i n } \Delta p _ { i } - 2 \Delta p _ { i } p _ { 0 } } . } \end{array}
C = m ( n s ( 2 m u z - 3 n + 3 ) - 2 m u ( z ^ { 2 } ( 2 m n u - ( n - 1 ) ( 2 ( m - 1 ) n + 1 ) ) + n z ( 6 m n - 4 m u - 6 m - 7 n + u + 8 ) - ( 4 m - 3 ) ( n - 1 ) n ) ) ,
{ \bf E } ^ { ( n ) } ( z ) = E _ { 0 } ^ { ( n ) } \left( { \bf A } _ { + } ^ { ( n ) } e ^ { i k ^ { ( n ) } z } + { \bf A } _ { - } ^ { ( n ) } e ^ { - i k ^ { ( n ) } z } \right) , \, \, \, n = 1 , 2 \, .
{ \boldsymbol { F } } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q _ { 1 } q _ { 0 } } { ( { \boldsymbol { x } } _ { 1 } - { \boldsymbol { x } } _ { 0 } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } _ { 1 , 0 }
\vec { F } _ { 2 1 m } ^ { [ 2 ] } = \left( \frac { k } { c ^ { 2 } } \right) \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \left[ \hat { R } \frac { \vec { J } _ { 1 } \cdot \vec { J } _ { 2 } } { R ^ { 2 } } - \frac { \vec { J } _ { 1 } } { R } \partial _ { t } \rho _ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { C } _ { \bf d d } \left( \mathcal { C } _ { \bf d d } \right) ^ { - 1 } } & { { } = } & { \mathcal { M } _ { \bf d } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left( \mathcal { C } _ { \bf d d } \right) ^ { - 1 } \mathcal { C } _ { \bf d d } = \mathcal { L } _ { \bf d } . } \end{array}
\underbrace { \left[ { \frac { 3 } { 2 } } N ^ { 3 } \log _ { 2 } N \right] } _ { \mathrm { R e a l } } + \underbrace { \left[ { \frac { 3 } { 2 } } N ^ { 3 } \log _ { 2 } N - 3 N ^ { 3 } + 3 N ^ { 2 } \right] } _ { \mathrm { R e c u r s i v e } } = \left[ { \frac { 9 } { 2 } } N ^ { 3 } \log _ { 2 } N - 3 N ^ { 3 } + 3 N ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } & { \gamma ( k , \ell , p , q , { k _ { { u j , i } } } , { \beta _ { { u j , i } } } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { N } \xi ( \ell , p , { k _ { { u j , i } } } , { \beta _ { { u j , i } } } ) \theta ( q , { \beta _ { { u j , i } } } ) , } & { p \! \le \! \ell \! < \! M , } \\ { \frac { 1 } { N } \xi ( \ell , p , { k _ { { u j , i } } } , { \beta _ { { u j , i } } } ) \theta ( q , { \beta _ { { u j , i } } } ) \phi ( k , q , { k _ { { u j , i } } } ) , } & { 0 \! \le \! \ell \! < \! p , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \pi _ { \bigstar } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H ^ { t } = \mathbb { F } _ { 2 } [ a _ { \alpha } ^ { \pm } , u _ { \alpha } ^ { \pm } ] \quad \mathrm { i f ~ n = 1 ~ } } \\ & { \pi _ { \bigstar } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H ^ { t } = \mathbb { F } _ { 2 } [ a _ { \alpha } , a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } ] / ( a _ { \alpha } ^ { 2 } ) [ u _ { \alpha } ^ { \pm } , u _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ^ { \pm } ] \quad \mathrm { i f ~ n \geq ~ 2 ~ } . } \end{array}
m _ { 3 } ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) } ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { \bar { ( j ) } } ) : = p M ( \tilde { h } ^ { k _ { 1 } } ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } ) , \tilde { h } ^ { k _ { 3 } } h M ( \tilde { h } ^ { k _ { 2 } } ( e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ) , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { \bar { ( j ) } } ) )
A _ { f } ^ { \dagger } ( \vec { p } ) = ( { \frac { 1 } { 2 ( 2 \pi ) ^ { D } f ( \vec { p } ) } } ) ^ { 1 / 2 } \int _ { x } e ^ { i \vec { p } \cdot \vec { x } } [ f ( \vec { p } ) ( \phi _ { x } - \varphi _ { x } ) - i \Pi _ { x } ]
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { R } - \mathbf { I } ) = \operatorname* { d e t } \left( ( \mathbf { R } - \mathbf { I } ) ^ { \mathsf { T } } \right) } \\ { = } & { \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { R } ^ { \mathsf { T } } - \mathbf { I } \right) = \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } - \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { R } \right) } \\ { = } & { \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } ( \mathbf { I } - \mathbf { R } ) \right) = \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \right) \, \operatorname* { d e t } ( - ( \mathbf { R } - \mathbf { I } ) ) } \\ { = } & { - \operatorname* { d e t } ( \mathbf { R } - \mathbf { I } ) } \\ { \Longrightarrow \ 0 = } & { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { R } - \mathbf { I } ) . } \end{array} }
\Omega = - \frac i 2 V \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \frac { d p _ { 0 } } { 2 \pi } \mathrm { T r } \left[ M _ { 1 1 } ^ { 2 } \mathrm { L n } \gamma ^ { 0 } S ^ { + } ( p ) - M _ { 1 2 } M _ { 2 1 } \mathrm { L n } \gamma ^ { 0 } S ^ { - } ( p ) \right] - \Delta \Omega .
{ \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { u } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { L } } \\ { u _ { L } } \end{array} \right] } { \mathrm { ~ f o r ~ } } x \leq 0 \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad { \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { u } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { R } } \\ { u _ { R } } \end{array} \right] } { \mathrm { ~ f o r ~ } } x > 0
\begin{array} { l c l } { { X _ { n } ^ { ( I I ) } ( \tau _ { 0 } ) } } & { { = } } & { { { \displaystyle i \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 - e ^ { i m \sigma _ { 0 } } } { m \sigma _ { 0 } - 2 \pi n } X _ { m } ^ { ( I ) } ( \tau _ { 0 } ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \dot { X } } _ { n } ^ { ( I I ) } ( \tau _ { 0 } ) } } & { { = } } & { { { \displaystyle i \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 - e ^ { i m \sigma _ { 0 } } } { m \sigma _ { 0 } - 2 \pi n } { \dot { X } } _ { m } ^ { ( I ) } ( \tau _ { 0 } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { L } _ { 0 1 } ( \tilde { g } _ { 1 } , \tilde { A } _ { 1 } ) \! } & { = \! \! \Big ( \! \! - i V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \big ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) \Big ) } \\ & { \quad - ( \widetilde { L } _ { 1 1 } + \widetilde { L } _ { 2 1 } ) ( \tilde { g } _ { 1 } , \tilde { A } _ { 1 } ) . } \end{array}
\tilde { \rho } _ { \tilde { v } } [ 1 / p ] \simeq \left( \begin{array} { l l l l } { \tilde { \rho } _ { \tilde { v } , r + 1 } } & { * } & { \cdots } & { * } \\ { 0 } & { \tilde { \rho } _ { \tilde { v } , r + 2 } } & { \cdots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \tilde { \rho } _ { \tilde { v } , t } } \end{array} \right) \mathrm { ~ a n d ~ } \tilde { \rho } _ { \tilde { v } ^ { c } } [ 1 / p ] \simeq \left( \begin{array} { l l l l } { \tilde { \rho } _ { \tilde { v } ^ { c } , r } } & { * } & { \cdots } & { * } \\ { 0 } & { \tilde { \rho } _ { \tilde { v } ^ { c } , r - 1 } } & { \cdots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \tilde { \rho } _ { \tilde { v } ^ { c } , 1 } } \end{array} \right)
{ \frac { 1 } { 2 } } \rho v _ { c } ^ { 3 } + \rho c _ { P } \kappa _ { T } { \frac { T \nabla } { H _ { P } } } + \rho v _ { c } c _ { P } T ( \nabla - \nabla _ { e } ) \left( { \frac { \ell } { 2 H _ { P } } } \right) = 0
\prod _ { l = 1 } ^ { d } \hat { C } ( \vec { A } _ { l } ) = \sum _ { | B | = d } \textrm { d e t } ( A _ { B } ) \hat { p } _ { B _ { 1 } } \wedge \hat { p } _ { B _ { 2 } } \wedge \ldots \wedge \hat { p } _ { B _ { d } } .
\left\langle \psi _ { 1 } \right\rangle = \bigl \langle \phi _ { 1 } ( X _ { g y } + \rho ) - \frac { 1 } { c } v _ { \parallel g y } ( X _ { g y } ) { A } _ { 1 \parallel } ( X _ { g y } + \rho ) \bigr \rangle
\Phi ^ { a } = \hat { x } ^ { a } \, \phi ( r ) , \qquad B ^ { a } = - \frac { \epsilon _ { a b c } \, x ^ { b } \, d x ^ { c } } { e \, r ^ { 2 } } \, [ \, 1 - u ( r ) \, ] - \hat { x } ^ { a } v ( r ) \, d t .
- \frac { \pi } { 2 } = \int _ { 1 } ^ { u _ { o b s } } \frac { d u } { \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } - \frac { b } { 2 } \int _ { 1 } ^ { u _ { o b s } } d u \frac { u ^ { q + 2 } - 1 } { ( 1 - u ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } }
\begin{array} { r l } { \dot { \phi } } & { { } = - \frac { { \cal E } _ { 0 } e } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 3 2 } \, z \, a ( - k n ) \bigg [ 4 x \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 3 x \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \sigma } R ( \sigma ) } & { = \frac { \partial R ( \sigma ) } { \partial \sigma } } \\ & { = \Phi ^ { - 1 } ( \underline { { p _ { A } } } ( \sigma ) ) + \sigma \cdot \frac { \partial \Phi ^ { - 1 } ( \underline { { p _ { A } } } ( \sigma ) ) } { \partial \underline { { p _ { A } } } ( \sigma ) } \cdot \frac { \partial \underline { { p _ { A } } } ( \sigma ) } { \partial \sigma } } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { n } = \frac { ( \phi , f _ { n } ) } { ( f _ { n } , f _ { n } ) ^ { 1 / 2 } } = \frac { ( \phi , f _ { n } ) } { \sqrt { 2 } \, \sigma _ { n } } , \qquad ( n = 1 , 2 ) . } \end{array}
\hat { H } _ { j } ^ { a u x } = \hat { A } _ { j - 1 } ^ { \phantom { \dagger } } \hat { A } _ { j - 1 } ^ { \dagger } + E _ { j - 1 } = \hat { A } _ { j } ^ { \dagger } \hat { A } _ { j } ^ { \phantom { \dagger } } + E _ { j } .
\frac { n _ { B } } { s } \sim 1 0 ^ { - 1 0 } \theta \left( \frac { 1 0 \, \mathrm { e V } } { m _ { \nu _ { L } } } \right) \left( \frac { T _ { \mathrm { f } } } { \mathrm { G e V } } \right) \left( \frac { 1 0 ^ { 1 1 } \, \mathrm { G e V } } { M } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \left| \Psi _ { \textrm { 1 , a l t } } ( A ) \right\rangle } & { { } = \left( \sum _ { k _ { d } , k _ { d - 1 } = 1 } ^ { N } A _ { d k _ { d } } A _ { d - 1 k _ { d - 1 } } \hat { a } _ { k _ { d } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { d - 1 } } ^ { \dagger } \right) \ldots \left( \sum _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 2 k _ { 1 } } A _ { 1 k _ { 1 } } \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \right) | \textrm { v a c } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \mathrm { f b } } ( z ) \rangle } & { { } = U _ { s } ( z ) | \psi _ { \mathrm { f b } } ( 0 ) \rangle } \\ { | \psi _ { \mathrm { e d g e } } ( z ) \rangle } & { { } = U _ { s } ( z ) | \psi _ { \mathrm { e d g e } } ( 0 ) \rangle } \end{array}
\omega ^ { \omega ^ { \omega ^ { \varepsilon _ { 0 } + 1 } } } = \omega ^ { { \varepsilon _ { 0 } } ^ { \omega } } = \omega ^ { { \varepsilon _ { 0 } } ^ { 1 + \omega } } = \omega ^ { ( \varepsilon _ { 0 } \cdot { \varepsilon _ { 0 } } ^ { \omega } ) } = { ( \omega ^ { \varepsilon _ { 0 } } ) } ^ { { \varepsilon _ { 0 } } ^ { \omega } } = { \varepsilon _ { 0 } } ^ { { \varepsilon _ { 0 } } ^ { \omega } } \, .
\begin{array} { r l } & { m _ { M \, \widetilde { \otimes } \, N } : ( M \otimes N ) \otimes ( M \otimes N ) \xrightarrow { \mathrm { i d } _ { M } \, \otimes \, c _ { N , M } \, \otimes \, \mathrm { i d } _ { N } } M \otimes M \otimes N \otimes N \xrightarrow { m _ { M } \otimes m _ { N } } M \otimes N , } \\ & { 1 _ { M \, \widetilde { \otimes } \, N } = 1 _ { M } \otimes 1 _ { N } . } \end{array}
\sigma _ { j } = \underbrace { \overline { { \overline { { u } } _ { j } \overline { { \omega } } } } - \overline { { \overline { { u } } } } _ { j } \overline { { \overline { { \omega } } } } } _ { \mathrm { ~ L ~ e ~ o ~ n ~ a ~ r ~ d ~ } } + \underbrace { \overline { { \overline { { u } } _ { j } \omega ^ { \prime } } } + \overline { { u _ { j } ^ { \prime } \overline { { \omega } } } } - \overline { { \overline { { u } } } } _ { j } \overline { { \omega ^ { \prime } } } - \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } ~ \overline { { \overline { { \omega } } } } } _ { \mathrm { ~ C ~ r ~ o ~ s ~ s ~ } } + \underbrace { \overline { { u _ { j } ^ { \prime } \omega ^ { \prime } } } - \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } ~ \overline { { \omega ^ { \prime } } } } _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ y ~ n ~ o ~ l ~ d ~ s ~ } } ,
\begin{array} { r l r l } { { 4 } \iiiint _ { { \mathcal { F M } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) } \widehat \psi \overline { { \widehat \zeta } } } & { = \iiiint _ { { \mathcal { W M } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) } \psi \overline { { \zeta } } , \qquad } & { \iiiint _ { { \mathcal { F M } ^ { \star } } ( r _ { 1 } ^ { \star } , r _ { 2 } ^ { \star } ) } \widehat \psi \overline { { \widehat \zeta } } } & { = \iiiint _ { { \mathcal { W M } ^ { \star } } ( r _ { 1 } ^ { \star } , r _ { 2 } ^ { \star } ) } \psi \overline { { \zeta } } \, , } \\ { \iiiint _ { { \mathcal { F M } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) } | \widehat \psi | ^ { 2 } } & { = \iiiint _ { { \mathcal { W M } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) } | \psi | ^ { 2 } , \qquad } & { \iiiint _ { { \mathcal { F M } ^ { \star } } ( r _ { 1 } ^ { \star } , r _ { 2 } ^ { \star } ) } | \widehat \psi | ^ { 2 } } & { = \iiiint _ { { \mathcal { W M } ^ { \star } } ( r _ { 1 } ^ { \star } , r _ { 2 } ^ { \star } ) } | \psi | ^ { 2 } . } \end{array}
k _ { z } = \pm k _ { z } ^ { W } = \pm \sqrt { \frac { \omega _ { p } ^ { ' } ( \omega _ { p } ^ { ' 2 } + \omega _ { c } \omega _ { p } ^ { ' } - \omega _ { p } ^ { 2 } ) } { c ^ { 2 } ( \omega _ { c } + \omega _ { p } ^ { ' } ) } } .