harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sf Q \left[ \tau \right] = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] } & { - \sin \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] } & { 0 } \\ { \sin \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] } & { \cos \circ ~ \Omega \left[ \tau \right] } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
C _ { 1 1 } ^ { 0 } \equiv - r ^ { - 1 } \partial _ { 1 } h _ { 1 1 } , \qquad C _ { 1 \bar { b } } ^ { \bar { c } } = C _ { \bar { b } 1 } ^ { \bar { c } } \equiv { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { - 1 } \partial _ { 1 } h _ { \bar { b } } ^ { \bar { c } } , \qquad C _ { \bar { a } \bar { b } } ^ { 0 } \equiv r ^ { - 1 } \partial _ { 1 } h _ { \bar { a } \bar { b } } ,
\begin{array} { c c c c c c c c c } { x _ { d - 1 } x _ { d - 2 } } & { x _ { d - 1 } x _ { d - 3 } } & { \dots } & { x _ { 4 } x _ { 3 } } & { x _ { 4 } x _ { 2 } } & { x _ { 4 } x _ { 1 } } & { x _ { 3 } x _ { 2 } } & { x _ { 3 } x _ { 1 } } & { x _ { 2 } x _ { 1 } } \\ { \downarrow } & { \downarrow } & & { \downarrow } & { \downarrow } & { \downarrow } & { \downarrow } & { \downarrow } & { \downarrow } \\ { j = { \binom { d - 1 } { n - 1 } } } & { j = { \binom { d - 1 } { n - 1 } } - 1 } & { \dots } & { j = 6 } & { j = 5 } & { j = 4 } & { j = 3 } & { j = 2 } & { j = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf Q } ^ { [ n , n - 1 ] } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c c } { { \bf Q } _ { 0 , 0 } ^ { [ n , n - 1 ] } } & { { \bf O } } & { { \bf O } } \\ { { \bf Q } _ { 1 , 0 } ^ { [ n , n - 1 ] } } & { { \bf Q } _ { 1 , 1 } ^ { [ n , n - 1 ] } } & { { \bf O } } \\ { { \bf Q } _ { 2 , 0 } ^ { [ n , n - 1 ] } } & { { \bf O } } & { { \bf Q } _ { 2 , 2 } ^ { [ n , n - 1 ] } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { J } \left[ { \mathbf { l e n } ( \mathrm { e l i a s } _ { \delta } ( J ) ) } \right] } & { = } & { E _ { \Psi } \left[ E _ { J } \left[ { \mathbf { l e n } ( \mathrm { e l i a s } _ { \delta } ( J ) ) } | \Psi \right] \right] } \\ & { \leq } & { E _ { \Psi } \left[ E _ { J } \left[ \log _ { 2 } J + 2 \log _ { 2 } ( \log _ { 2 } J ) + 3 \ | \Psi \right] \right] } \\ & { \leq } & { E _ { \Psi } \left[ \log _ { 2 } E _ { J } \left[ J | \Psi \right] + 2 \log _ { 2 } ( \log _ { 2 } E _ { J } \left[ J | \Psi \right] ) + 3 \right] } \\ & { \leq } & { E _ { \Psi } \left[ \log _ { 2 } E _ { J } \left[ J | \Psi \right] \right] + 2 \log _ { 2 } ( E _ { \Psi } \left[ \log _ { 2 } E _ { J } \left[ J | \Psi \right] ) + 3 \right] } \\ & { \leq } & { n \Lambda ( p _ { a } , p _ { b } ) + 2 \log _ { 2 } ( n \Lambda ( p _ { a } , p _ { b } ) ) + 3 } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { 1 } ( G , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 2 } ( G , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( G , B , D ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) + R _ { 1 } ( B , G , D ) + R _ { 2 } ( B , G , D ) > 2 } \\ { P ( G , G ) = 1 } \\ { P ( G , B ) = 0 } \\ { P ( B , G ) = 0 } \\ { P ( B , B ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ E ~ q ~ . ~ ~ ~ ( ~ ) ~ h ~ o ~ l ~ d ~ s ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \\ { R _ { 1 } ( G , G , D ) < 1 } \\ { \frac { b } { c } > 1 + \frac { R _ { 1 } ( B , G , D ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( G , G , C ) - R _ { 1 } ( G , G , D ) } } \\ { R _ { 1 } ( B , G , C ) \leq R _ { 1 } ( B , G , D ) { \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad } \frac { b } { c } < \frac { R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( B , G , C ) - R _ { 1 } ( B , G , D ) } } \\ { R _ { 1 } ( G , B , C ) \leq R _ { 1 } ( G , B , D ) { \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad } \frac { b } { c } < 1 + \frac { R _ { 1 } ( B , G , D ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( G , B , C ) - R _ { 1 } ( G , B , D ) } } \end{array} \right. } \end{array}
I = \frac { e ^ { 2 F ( t ) } } { 2 f _ { 2 } } \big [ { \big ( f _ { 2 } \dot { x } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \dot { f } _ { 2 } x \big ) } ^ { 2 } + 2 x ^ { 3 } f _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) \, a ( t ) \big ] + \frac { g _ { x } ( t ) } { 4 f _ { 2 } } x ^ { 2 } \, .
\displaystyle \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \displaystyle \frac { d ^ { 2 } \Gamma } { d x d y } ( M \to \gamma \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) = \displaystyle \frac { \alpha } { 4 \pi } R _ { T } ( t ) \displaystyle \frac { 1 } { x } \left[ 1 + \displaystyle \frac { 4 m _ { \ell } ^ { 2 } } { t } + R _ { L } ( t ) \displaystyle \frac { t } { k _ { 0 } ^ { 2 } } + \displaystyle \frac { y ^ { 2 } } { 4 \vec { k } ^ { 2 } } m ^ { 2 } \left( 1 - R _ { L } ( t ) \displaystyle \frac { t } { k _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \eta \langle \Phi ^ { \infty } , \phi \star ( \overline { { \nu ^ { \infty } } } d \lambda ^ { s } ) \rangle d x = \int _ { \Omega } \eta \langle \Phi ^ { \infty } , \phi \star ( \overline { { \nu ^ { \infty } } } d \lambda ^ { s } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } C ^ { s } ) \rangle d x + \overbrace { \int _ { \Omega } \eta \langle \Phi ^ { \infty } , \phi \star ( \overline { { \nu ^ { \infty } } } d \lambda ^ { s } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega \setminus C ^ { s } ) \rangle d x } ^ { = \mathcal { E } _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { { \bf k } n } } & { { } = } & { \frac { \eta _ { \bf k } \left( \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { l } - \mu \right) } { \left[ 1 + \exp \left( \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { l } - \mu } { \tau _ { e } } \right) \right] } , } \\ { P _ { { \bf k } n } } & { { } = } & { \frac { \overline { { \eta } } _ { \bf k } \left( \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu \right) } { 1 + \exp \left( \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu } { \tau _ { e } } \right) } } \end{array}
\phi _ { \mathbf { k } } ^ { \mathrm { I S } } = \lambda _ { \mathbf { k } } + \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \rangle } k _ { \langle \mu \rangle } + \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \rangle } k _ { \langle \mu } k _ { \nu \rangle } + \mathcal { O } ( k ^ { 3 } ) .
\delta ( \tilde { f _ { a } } \to f ^ { \prime } \chi ) = \frac { \sum _ { r } \left( \Gamma ( \tilde { f _ { a } } \to f ^ { \prime } \chi _ { r } ) - \Gamma ^ { 0 } ( \tilde { f _ { a } } \to f ^ { \prime } \chi _ { r } ) \right) } { \sum _ { r } \Gamma ^ { 0 } ( \tilde { f _ { a } } \to f ^ { \prime } \chi _ { r } ) } \, \, ,
v _ { \operatorname* { m i n } } = - W _ { 0 } \left[ - \exp \left( \alpha - H _ { \mathrm { L V } } \right) \right] \, , \quad v _ { \operatorname* { m a x } } = - W _ { - 1 } \left[ - \exp \left( \alpha - H _ { \mathrm { L V } } \right) \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \| x _ { i } - x _ { j } \| } & { = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \left[ \frac { 4 n } { 3 } + \left( \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { S } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| x - x _ { i } \| - \frac { 4 n } { 3 } \right) \right] } \\ & { = \frac { 4 } { 3 } ( N - 1 ) N + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \left( \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb { S } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| x - x _ { i } \| - \frac { 4 n } { 3 } \right) } \end{array}
\operatorname { p d f } _ { \mathrm { M J } } ( p ; \theta ) \mathrm { d } p _ { 1 } \cdots \mathrm { d } p _ { d } = \pi ^ { \frac { 1 - d } { 2 } } 2 ^ { - { \frac { d + 1 } { 2 } } } ( m c ) ^ { - d } \, \theta ^ { \frac { 1 - d } { 2 } } \operatorname { K } _ { \frac { d + 1 } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { \theta } } \right) ^ { - 1 } e ^ { - { \frac { \gamma ( p ) } { \theta } } } \mathrm { d } p _ { 1 } \cdots \mathrm { d } p _ { d }
H _ { \mathrm e f f } = \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } \, V _ { c b } V _ { u d } ^ { * } \, \Big \{ c _ { 1 } ( \mu ) \, ( \bar { d } u ) ( \bar { c } b ) + c _ { 2 } ( \mu ) \, ( \bar { c } u ) ( \bar { d } b ) + \dots \Big \} \, ,
\frac { d ^ { 2 } x _ { p } } { d t ^ { 2 } } + \gamma _ { p } \frac { d x _ { p } } { d t } + \omega _ { p } ^ { 2 } x _ { p } - \sum _ { q \neq p } \Omega _ { p q } ^ { 2 } x _ { q } = 0 ,
\Gamma ( \Lambda _ { b 1 } \to \Lambda _ { b } \, \gamma ) = { \frac { 1 } { 6 } } e ^ { 2 } \kappa { \left( \frac { m _ { \bar { B } } + m _ { N } } { m _ { \bar { B } } m _ { N } } \right) ^ { 2 } } \left( 1 - { \frac { \alpha } { 4 ! } } { \frac { 5 } { \sqrt { \kappa ^ { 3 } \mu _ { b } } } } \right) \left( 1 + { \cal O } ( \lambda ) \right) \, .
\Delta G = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \nu _ { j } \mu _ { j } = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \nu _ { j } ( \mu _ { j } ^ { \ominus } + R T \ln ( \{ R _ { j } \} ) ) = \Delta G ^ { \ominus } + R T \ln \left( \prod _ { j = 1 } ^ { m } \{ R _ { j } \} ^ { \nu _ { j } } \right) = \Delta G ^ { \ominus } + R T \ln ( K _ { c } )
\mu _ { N - 1 } ^ { ( N ) } = - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \; w ^ { 2 } ( x ) \left( { \cal P } _ { N - 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } K _ { N - 1 , m } .
\begin{array} { r l } & { R \leq \operatorname* { m i n } \Bigg \{ \Bigg ( q ( 1 - \alpha ) H _ { b } ( p ) + p ( 1 - q \alpha ) H _ { b } \Big ( \frac { q ( 1 - \alpha ) } { ( 1 - q \alpha ) } \Big ) \Bigg ) , \quad q H _ { b } ( p ) \Bigg \} } \\ & { D _ { 1 } \geq ( 1 - p ) \cdot \operatorname* { m i n } \{ q , \; ( 1 - q ) \} } \\ & { D _ { 2 } \geq ( 1 - p ) \cdot \operatorname* { m i n } \{ q \alpha , \; ( 1 - q \alpha ) \} . } \end{array}
\mathcal { O } _ { a } = \frac { 3 } { 2 } J _ { 2 } R ^ { 2 } \left( - ( p - 1 ) \frac { \mu _ { 1 } ^ { 4 } \beta _ { 1 } ^ { 7 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 7 } } + ( p + 2 ) \frac { \mu _ { 2 } ^ { 4 } \beta _ { 2 } ^ { 7 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 7 } } \right)
{ \sqrt [ [object Object] ] { { \frac { q } { 2 } } + { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { { \frac { q } { 2 } } - { \sqrt { { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { p ^ { 3 } } { 2 7 } } } } } } .
\begin{array} { r l } { Y _ { k } } & { { } = \sum _ { p = 1 } ^ { F } \tilde { X } _ { k } ^ { p } \beta _ { p } + \mathcal { R } _ { k } , \quad k = 1 , \ldots , N } \\ { \tilde { X } _ { k } ^ { p } } & { { } = { X } _ { k } ^ { p } + \mathcal { Q } _ { k } ^ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mu _ { 1 } } [ X _ { 1 } ] } & { = \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } [ b X _ { 0 } + d \phi _ { 0 } ( X _ { 0 } ) ] = b \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } [ X _ { 0 } ] - \frac { b d ^ { 2 } \beta _ { 1 } } { 1 + d ^ { 2 } \beta _ { 1 } } \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } [ X _ { 0 } ] = \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } [ X _ { 0 } ] \frac { b } { 1 + d ^ { 2 } \beta _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \kappa _ { 2 } ^ { ( n ) } ( \beta ) = \int \frac { d ^ { ( 2 ) } \ln ( \langle \exp ( s \kappa _ { 2 } ^ { ( n - 1 ) } ( \alpha , \beta ) ) \rangle ) } { d s ^ { ( 2 ) } } | _ { s = 0 } + \delta ( n ) [ \kappa _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( \alpha , \beta ) } \\ & { - \frac { d ^ { ( 2 ) } \ln ( \langle \exp ( s \kappa _ { 2 } ^ { ( n - 1 ) } ( \alpha , \beta ) ) \rangle ) } { d s ^ { ( 2 ) } } | _ { s = 0 } ] d \alpha = \int \kappa _ { 2 } ^ { ( n ) } ( \alpha , \beta ) d \alpha , } \end{array}
\left( \frac { d L } { d \mathbf { x } } \right) = \left( \frac { \partial f } { \partial \mathbf { x } } \right) ^ { T } + \mathbf { \boldsymbol { \lambda } } ^ { T } \frac { \partial \bf { R } } { \partial \mathbf { x } } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \langle I \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } } \end{array} \right) = \frac { 1 6 \pi ( k r ) ^ { 2 } } { 3 \sin ^ { 4 } \theta } \left( \begin{array} { l l } { 1 + \cos ^ { 2 } \theta } & { - 2 m \cos \theta } \\ { - 2 m \cos \theta } & { 1 + \cos ^ { 2 } \theta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { I _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ( r , \theta ) } \\ { V _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ( r , \theta ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ( r , t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \hat { \Psi } _ { 1 } ( w ) \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } w \, , } \\ { \Psi _ { 2 } ( r , t ) } & { = \int _ { \frac { t } { r } } ^ { 1 } \hat { \Psi } _ { 2 } ( w ) \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { d } w \, , } \\ { \Psi _ { 3 } ( r , t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \hat { \Psi } _ { 3 } ( w ) \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } w \, , } \\ { \Psi _ { 4 } ( r , t ) } & { = \int _ { \frac { t } { r } } ^ { 1 } \hat { \Psi } _ { 4 } ( w ) \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } w \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { v a r } \left[ \hat { \Sigma } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) \right] = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big [ { \cal N } _ { n } } \\ & { \quad \quad \left. + \eta _ { n } \kappa _ { n } \left( B _ { n } ^ { 2 } \mathrm { v a r } \hat { X } _ { n , m } + A _ { n } ^ { 2 } \mathrm { v a r } \hat { Q } _ { n , m } \right) \right] , } \end{array}
\psi ( x , \tau ) = \sqrt { \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 2 i \alpha ^ { 2 } \tau } } \exp \left( \frac { - \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } + i k x - i k ^ { 2 } \tau } { 1 + 2 i \alpha ^ { 2 } \tau } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | \mathcal { K } _ { \beta + } | } \sum _ { k \in \mathcal { W } ( t ) } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } + { \boldsymbol z } _ { n } ~ \rangle \ge } & { ~ \frac { 1 - \sigma } { | \mathcal { K } _ { \beta + } | } \sum _ { k \in \mathcal { W } ( 0 ) } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { \ge } & { ~ \frac { 1 - \sigma } { | \mathcal { K } _ { \beta + } | } \cdot | \mathcal { W } ( 0 ) | \cdot c _ { \eta } \cdot \Big ( \alpha - \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \Big ) \cdot t } \\ { \gtrsim } & { ~ \frac { 1 } { | \mathcal { K } _ { \beta + } | } \cdot | \mathcal { W } ( 0 ) | \cdot c _ { \eta } \cdot \alpha \cdot t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textup { K L } ( p ( y | \grave { f } ( x ) ) , p ( y | f ( x ; \theta _ { M } ) ) ) } \\ & { = - T \grave { f } ( x ) + T \grave { f } ( x ) \log \left( T \grave { f } ( x ) \right) + T f ( x ; \theta _ { M } ) - T \grave { f } ( x ) \log \left( T f ( x ; \theta _ { M } ) \right) } \\ & { = T \left( - \grave { f } ( x ) + f ( x ; \theta _ { M } ) + \grave { f } ( x ) \log \left( \frac { \grave { f } ( x ) } { f ( x ; \theta _ { M } ) } \right) \right) . } \end{array}
\mathcal { H } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ \textnormal ~ { ~ T ~ } ~ } } \stackrel { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } { \simeq } \mathcal { H } _ { 0 } [ \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ \textnormal ~ { ~ T ~ } ~ } } ]
\int \, \bar { u } ^ { ( \tilde { e } , \tilde { r } ) } ( v ) \, F _ { r r } ( d v ; \tilde { e } , \tilde { r } ) = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } \int \, \bar { u } ^ { ( \tilde { e } , \tilde { r } ) } ( v ) \, F ( d v ; \tilde { e } , \tilde { r } ) \leq 0
{ \boldsymbol { c } } _ { k } = \mathrm { ~ G ~ C ~ N ~ } _ { \theta } \left( \{ \vec { \widetilde { \alpha } } _ { I k } \} _ { I = 1 \dots { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ } } } } , \{ \vec { R } _ { I J } \} _ { I , J = 1 \dots { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ } } } } \right)
\| \left( \mathbf { I } - \mathbf { Q Q } ^ { T } \right) \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } \| _ { 2 } \leq \left( \sum _ { \substack { j = 1 \, j \neq i } } ^ { n } \vert \alpha _ { j } \vert \right) \cdot \epsilon _ { i } ^ { ( k ) } ,
\begin{array} { c } { { L = { \tilde { \sigma } } \left[ 2 c \epsilon + c { \bf e ^ { \prime } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \bf p } ( { \bf x ^ { \prime } } - { \bf e } _ { + } ) + \right. } } \\ { { \left. + { \bf p } _ { + } ( { \bf e ^ { \prime } } _ { + } - { \bf e } _ { 1 } ) - \sum _ { i , j } d _ { i j } ( { \bf e } _ { i } { \bf e } _ { j } - \eta _ { i j } ) \right] , } } \end{array}
- i g \frac { \tau ^ { \gamma } } { 2 } A _ { { \sf G I } \, i } ^ { \gamma } ( { \bf { r } } ) = - i g V _ { C } ( { \bf { r } } ) \frac { \tau ^ { \gamma } } { 2 } A _ { i } ^ { \gamma } ( { \bf { r } } ) V _ { C } ^ { - 1 } ( { \bf { r } } ) + V _ { C } ( { \bf { r } } ) { \partial } _ { i } V _ { C } ^ { - 1 } ( { \bf { r } } ) ,
\begin{array} { r l } { \# \{ \alpha : \mathcal { N } ^ { * } ( 1 0 0 \sqrt { n } } & { q _ { \alpha } ) \geq \operatorname* { m a x } ( N \exp ( - c _ { 0 } \log L / \log \log L ) , C _ { 0 } ) \} , } \\ & { \leq M \cdot \# \{ j : \mathcal { N } ^ { * } ( s _ { j } ) \geq \operatorname* { m a x } ( N \exp ( - c _ { 0 } \log L / \log \log L ) , C _ { 0 } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \hat { v } _ { \alpha \to i } } & { { } = } & { y _ { \alpha } \left( \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } \! x _ { i } \! \right) \! \! \left[ 1 - \! \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } \! ( 1 - x _ { j } \hat { w } _ { j \rightarrow \alpha } ) \right] } \end{array}
\{ \mathcal { F } _ { i } ( \mathbf { x } _ { t - w + 1 } , \mathbf { x } _ { t - w + 2 } , \dots , \mathbf { x } _ { t } ; \mathbf { \theta ) } \} _ { i = 1 } ^ { k } \ \ \ \ \ \textrm { s . t . } \ \ \ \ \ \mathcal { F } _ { i } : ( \mathbb { R } ^ { w } \times \ \mathbb { R } ^ { z } ; \mathbb { R } ^ { p } ) \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } \textrm { x } \ \mathbb { R } ^ { z } ,
\phi ( x ) = - { \frac { \phi _ { 0 } \; ( \eta _ { a b } \; \zeta ^ { a } \; \zeta ^ { b } ) } { \eta _ { a b } \; [ x ^ { a } - x _ { 0 } ^ { a } - i \zeta ^ { a } ] \; [ x ^ { b } - x _ { 0 } ^ { b } - i \zeta ^ { b } ] } }
P _ { J } = I ^ { 2 } R ( T , I ) \approx P _ { J _ { 0 } } + 2 I _ { 0 } R _ { 0 } \delta I + \alpha \frac { P _ { J _ { 0 } } } { T _ { 0 } } \delta T + \beta \frac { P _ { J _ { 0 } } } { I _ { 0 } } \delta I .
\begin{array} { r l } { I _ { i } - \langle I _ { i } \rangle } & { { } = \Tilde { E } _ { 1 } \Tilde { E } _ { 2 } ^ { * } U _ { i h } U _ { i k } ^ { * } + \Tilde { E } _ { 1 } ^ { * } \Tilde { E } _ { 2 } U _ { i h } ^ { * } U _ { i k } } \\ { I _ { j } - \langle I _ { j } \rangle } & { { } = \Tilde { E } _ { 1 } \Tilde { E } _ { 2 } ^ { * } U _ { j h } U _ { j k } ^ { * } + \Tilde { E } _ { 1 } ^ { * } \Tilde { E } _ { 2 } U _ { j h } ^ { * } U _ { j k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } ( r , \theta ) } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { r ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } \ \left( A _ { n } f _ { \mathrm { ~ I ~ } , i j } ( \theta , n ) + B _ { n } f _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , i j } ( \theta , n ) \right) } , } \\ { u _ { i } ( r , \theta ) } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { \frac { n } { 2 } } } { 2 \mu } \ \left( A _ { n } g _ { \mathrm { ~ I ~ } , i } ( \theta , n ) + B _ { n } g _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , i } ( \theta , n ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { d = ( \sigma ^ { ( 2 ) } ( a - \alpha _ { 1 } \Delta _ { * } ) - \sigma ^ { ( 1 ) } ( a + \alpha _ { 2 } \Delta _ { * } ) - \Delta _ { * } ) ^ { 2 } } \\ { + 4 \sigma ^ { ( 1 ) } \sigma ^ { ( 2 ) } ( a + \alpha _ { 2 } \Delta _ { * } ) ( a - \alpha _ { 1 } \Delta _ { * } ) } \\ { = ( \sigma ^ { ( 2 ) } ( a - \alpha _ { 1 } \Delta _ { * } ) ) ^ { 2 } + ( \sigma ^ { ( 1 ) } ( a + \alpha _ { 2 } \Delta _ { * } ) ) ^ { 2 } } \\ { + 2 \sigma ^ { ( 1 ) } \sigma ^ { ( 2 ) } ( a + \alpha _ { 2 } \Delta _ { * } ) ( a - \alpha _ { 1 } \Delta _ { * } ) } \\ { - 2 ( \sigma ^ { ( 2 ) } ( a - \alpha _ { 1 } \Delta _ { * } ) - \sigma ^ { ( 1 ) } ( a + \alpha _ { 2 } \Delta _ { * } ) ) \Delta _ { * } + \Delta _ { * } ^ { 2 } } \\ { = \big [ ( \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } - \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + 2 ( \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } + \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } ) + 1 \big ] \Delta _ { * } ^ { 2 } } \\ { + 2 a \big [ - \alpha _ { 1 } ( \sigma ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ( \sigma ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \\ { + ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ) \sigma ^ { ( 1 ) } \sigma ^ { ( 2 ) } + \sigma ^ { ( 1 ) } - \sigma ^ { ( 2 ) } \big ] \Delta _ { * } + a ^ { 2 } ( \sigma ^ { ( 1 ) } + \sigma ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to \infty } f ^ { * } ( q _ { k } ) + f ( A \mu _ { k } ) = \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to \infty } - \Vert \mu _ { k } \Vert _ { \mathcal { M } } \leq - \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to \infty } \Vert \mu _ { k } \Vert _ { \mathcal { M } } \leq - \Vert \mu _ { \infty } \Vert _ { \mathcal { M } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ( \theta ) ( z , z ) } & { : = Z _ { 2 } ( v _ { \zeta } ( \theta , 0 ) + z ) , } \\ { \tilde { P } ( v _ { \zeta } ( \theta , y ) + z ) } & { : = Z _ { 1 } ( v _ { \zeta } ( \theta , y ) + z ) + ( Z _ { 2 } ( v _ { \zeta } ( \theta , y ) + z ) - Z _ { 2 } ( v _ { \zeta } ( \theta , 0 ) + z ) ) + Z _ { 3 } ( v _ { \zeta } ( \theta , y ) + z ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \alpha ^ { \prime } { x _ { p } ^ { \prime } } _ { 0 } } } = \overline { { \alpha ^ { \prime } { u _ { p } ^ { \prime } } _ { 0 } } } = \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } _ { 0 } { u _ { p } ^ { \prime } } _ { 0 } } } = 0 . } \end{array}
\times \exp \bigg \{ \sum _ { \stackrel { i , j = 1 } { i \neq j } } ^ { N } \left[ \sqrt { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } p ^ { ( i ) } + \alpha _ { 1 } ^ { ( i ) } V _ { i } ^ { \prime } ( 0 ) \partial _ { z _ { i } } + \bar { \alpha } _ { 1 } ^ { ( i ) } \bar { V } _ { i } ^ { \prime } ( 0 ) \partial _ { \bar { z } _ { i } } \right]
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \gamma } ^ { D } - \omega _ { \gamma } ^ { S } } { \omega _ { \gamma } ^ { D } } } & { { } = h _ { + } c _ { \vartheta \! / \! 2 } ^ { 2 } \Big \{ \cos \varphi _ { 0 } - \cos \! \big [ \omega _ { g } L ( 1 \! - \! c _ { \vartheta } ) + \varphi _ { 0 } \big ] \Big \} } \end{array}
V ( \overline { { { \rho } } } ) = \frac { 3 e ^ { 4 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \overline { { { \rho } } } ^ { 4 } \left( \ln \frac { \overline { { { \rho } } } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \right) + \frac { e ^ { 2 } } { 8 } T ^ { 2 } \overline { { { \rho } } } ^ { 2 } - \frac { e ^ { 3 } } { 4 \pi } T | \overline { { { \rho } } } | ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { x _ { i } ^ { \Omega } } & { { } = u \cos { \varphi _ { i } } \sin { \theta _ { i } } + x } \\ { y _ { i } ^ { \Omega } } & { { } = u \sin { \varphi _ { i } } \sin { \theta _ { i } } + y } \\ { z _ { i } ^ { \Omega } } & { { } = u \cos { \theta _ { i } } + z , } \end{array}
{ { \cal U } _ { b e n d } ( { \bf r } _ { p - 1 } ^ { ( l ) } , { \bf r } _ { p } ^ { ( l ) } , { \bf r } _ { p + 1 } ^ { ( l ) } ) = \frac { 1 } { 2 } \kappa ^ { \prime } \left( \cos \theta _ { p } ^ { ( l ) } - \cos \theta _ { s } \right) ^ { 2 } , }
h ^ { 2 } q _ { t } - \frac { \partial ( \psi , q ) } { \partial ( \xi , \eta ) } = 0 , \; \; \; \; h ^ { 2 } q = \nabla ^ { 2 } \psi , \; \; \; \; h = \frac { 2 } { 1 + \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } }
u _ { 1 } = { \frac { u _ { 1 } ^ { \prime } + v } { 1 + u _ { 1 } ^ { \prime } v / c ^ { 2 } } } \ , \qquad u _ { 2 } = { \frac { u _ { 2 } ^ { \prime } } { \gamma \left( 1 + u _ { 1 } ^ { \prime } v / c ^ { 2 } \right) } } \ , \qquad u _ { 3 } = { \frac { u _ { 3 } ^ { \prime } } { \gamma \left( 1 + u _ { 1 } ^ { \prime } v / c ^ { 2 } \right) } } \ .
{ \begin{array} { r l } { u _ { i } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { c - 1 } ~ q ^ { d - 1 - l } ~ i _ { l } } \\ { v _ { u _ { i } } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { c - 1 } ~ a ^ { l } ~ i _ { l } + b \quad ( { \mathrm { c o m p u t e d ~ i n ~ } } \mathbb { F } _ { q } ) } \\ { x _ { q u _ { i } + v _ { u _ { i } } } } & { = ( u _ { i } , v _ { u _ { i } } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { s _ { t } } & { { } = \gamma { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { s } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { s } } & { { } = \mathbf { s } ^ { \prime } + { \frac { \gamma ^ { 2 } } { \gamma + 1 } } { \boldsymbol { \beta } } \left( { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { s } ^ { \prime } \right) } \end{array}