harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l c r } { { \{ X ^ { \mu } , X ^ { \nu } \} = \sum _ { \stackrel { m _ { 1 } , n _ { 1 } } { m _ { 2 } , n _ { 2 } } } X _ { m _ { 1 } n _ { 1 } } ^ { \mu } ( \sigma ) X _ { m _ { 2 } n _ { 2 } } ^ { \nu } ( \sigma ) \{ L _ { m _ { 1 } n _ { 1 } } , L _ { m _ { 2 } n _ { 2 } } \} , } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { { \cal F } } } & { { = } } & { { 2 \partial b + \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } B \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \tilde { \cal F } } } & { { = } } & { { 6 \partial \tilde { b } + \frac { m } { 2 } c ^ { ( 6 ) } + \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \tilde { B } - 6 \left( C ^ { ( 5 ) } - 5 C ^ { ( 3 ) } B \right) \left( \partial c ^ { ( 0 ) } - \frac { m } { 2 } b \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - 3 0 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \left[ \partial a ^ { ( 2 ) } - \frac { m } { 2 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) b \partial b \right] \left( { \cal H } ^ { ( 3 ) } - 3 \partial a ^ { ( 2 ) } \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - 1 2 0 \frac { m } { 2 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 3 } \partial c ^ { ( 0 ) } b \partial b \partial b \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { T } & { { } \approx } & { \frac { 2 \omega \delta _ { 0 } } { c } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \right) - 2 \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { { \left( D ^ { 1 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \to - \frac { c \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } l _ { k } } { \left[ \varepsilon \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } + { \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \mathord { \left/ { \vphantom { \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \varepsilon } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \varepsilon } \right] ^ { \mathrm { 2 } } } \to o \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) \to 0 \mathrm { , } } } \\ { { \left( D ^ { 2 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \to - \frac { c \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } l _ { k } } { 2 \pi \varepsilon ^ { \mathrm { 2 } } \left[ \varepsilon \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } + { \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \mathord { \left/ { \vphantom { \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \varepsilon } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \varepsilon } \right] ^ { \mathrm { 2 } } } \to - \frac { c l _ { k } } { 2 \pi \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } } } } \end{array}
E [ \rho ] = T [ \rho ] + E _ { c } [ \rho ] = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \int d { \mathbf r } | \nabla \Psi ( { \mathbf r } ) | ^ { 2 } + \int d { \mathbf r } \, { \cal E } _ { c } [ \rho ]
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - \hat { m } ( x ) ) ) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) ) ^ { 2 } + ( m ( x ) - \hat { m } ( x ) ) ^ { 2 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + ( m ( x ) - \hat { m } ( x ) ) \frac { 2 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ) ^ { 2 } ( Y _ { i } - m ( x ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) ) ^ { 2 } + o _ { p } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial g } { \partial \phi } } ^ { H } } & { = \sum _ { n } { \frac { \partial g _ { n } } { \partial \phi } } ^ { H } } \\ & { = \sum _ { n } \mathrm { r e a l } ( - 4 \mathrm { d i a g } ( - j e ^ { - j \phi } ) { { \bf A } _ { n } } ^ { H } \mathrm { d i a g } ( { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } ) ( { \bf { I } } _ { n } ^ { z _ { d } } - \left| { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } \right| ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) \right\| _ { 1 } \right] } & { \le 2 \frac { F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } } { D _ { \infty } N } + 2 \frac { K D _ { \infty } \sqrt { T } \sum _ { i = 1 } ^ { d } G _ { i } } { D _ { \infty } N } + \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { d } G _ { i } } { \sqrt { T } } } \\ & { = \frac { 2 T ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } + \frac { 3 \sum _ { i = 1 } ^ { d } G _ { i } } { \sqrt { T } } } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \left( \frac { 5 ( \sum _ { i = 1 } ^ { d } G _ { i } ) ^ { 2 / 3 } ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) ^ { 1 / 3 } } { ( N \delta ) ^ { 1 / 3 } } , \frac { 6 \sum _ { i = 1 } ^ { d } G _ { i } } { \sqrt { N } } \right) + \frac { 2 ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } , } \end{array}
{ \cal L } ^ { s e e - s a w } \simeq { \frac { 1 } { 2 } } \overline { { { { \tilde { \nu } } _ { L } } } } m _ { L } ( { \tilde { \nu } } _ { L } ) ^ { c } + { \frac { 1 } { 2 } } \overline { { { ( { \tilde { \nu } } _ { R } ) ^ { c } } } } M _ { R } { \tilde { \nu } } _ { R } + \mathrm { ~ H . c . } ,
\begin{array} { r l } { D ( s ) } & { = \zeta ( s ) L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) ) ^ { 2 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n + 1 } ( f ) ) ^ { 2 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) \times \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) ) } \\ & { \times L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) \times \mathrm { S y m } ^ { n + 1 } ( f ) ) ^ { 2 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n + 1 } ( f ) \times \mathrm { S y m } ^ { n + 1 } ( f ) ) } \\ & { = \zeta ( s ) L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) ) ^ { 2 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n + 1 } ( f ) ) ^ { 2 } \prod _ { i = 0 } ^ { n } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { 2 i } ( f ) ) } \\ & { \times \prod _ { j = 0 } ^ { n } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { 2 j + 1 } ( f ) ) ^ { 2 } \prod _ { k = 0 } ^ { n + 1 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { 2 k } ( f ) ) } \\ & { = \zeta ( s ) ^ { 3 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) ) ^ { 4 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n + 1 } ( f ) ) ^ { 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { n } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { 2 i } ( f ) ) } \\ & { \times \prod _ { 0 \leq j \leq n , j \neq \frac { n - 1 } { 2 } } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { 2 j + 1 } ( f ) ) ^ { 2 } \prod _ { k = 1 } ^ { n + 1 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { 2 k } ( f ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { I J K L } \mathrm { e } ^ { I } \wedge \mathrm { e } ^ { J } \wedge \delta \widehat { \omega } ^ { K L } = \tau ^ { * } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } \\ & { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \epsilon _ { I J K L } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { J } \wedge N ^ { K } \wedge \delta N ^ { L } = \tau ^ { * } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , } \end{array}
\frac { \langle \Phi \mid T \left\{ \hat { A } _ { I } \left( x _ { 1 } \right) \hat { A } _ { I } \left( x _ { 2 } \right) \hat { A } _ { I } \left( x _ { 3 } \right) . . . \exp \left( - \int _ { - \infty } ^ { \infty } H _ { i } \left( t \right) d t \right) \right\} \mid \Phi \rangle } { \langle \Phi \mid T \left\{ \exp \left( - \int _ { - \infty } ^ { \infty } H _ { i } \left( t \right) d t \right) \right\} \mid \Phi \rangle } ,
T _ { N , d } ^ { ( 1 ) } = - \frac { \alpha _ { 0 } \omega } { 2 } \left[ J _ { N - 1 } ( { \cal R } _ { q } ) \; { \cal M } _ { a t } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) e ^ { i ( N - 1 ) \phi _ { q } } + J _ { N + 1 } ( { \cal R } _ { q } ) \; { \cal M } _ { a t } ^ { ( 1 ) } ( - \omega ) e ^ { i ( N + 1 ) \phi _ { q } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla g ^ { ( j ) } \left( y , z \right) \right\Vert _ { 2 } } & { = \sqrt { \left\Vert \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } \left( y , z \right) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \left\Vert \nabla _ { z _ { l } } g ^ { ( j ) } \left( y , z \right) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \sqrt { \left( 1 + \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } \delta } + \frac { \left( 1 + \varepsilon \right) \sqrt { m } } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } \delta ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + m \left( \frac { 3 \left( 1 + \varepsilon \right) R } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } \delta } + \frac { 3 \left( 1 + \varepsilon \right) ^ { 2 } R \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } ^ { 2 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } \delta ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \triangleq C _ { \mathsf { l i p } , g } . } \end{array}
\mu { \frac { d } { d \mu } } \vec { C } ( \mu ) = \left[ { \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } } { \hat { \gamma } _ { s } ^ { ( 0 ) T } } + { \frac { \alpha _ { e m } ( \mu ) } { 4 \pi } } { \hat { \gamma } _ { e } ^ { ( 0 ) T } } \right] \cdot \vec { C } ( \mu ) \; ,
A ( K _ { S } \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } \gamma ) = e A e ^ { i \delta _ { 0 } ^ { 0 } } T _ { B } + e ( a e ^ { \delta _ { 1 } ^ { 1 } } + b e ^ { \delta _ { b } } ) T _ { E } + i e \eta _ { + - } c e ^ { \delta _ { 1 } ^ { 1 } } T _ { M } ,
\left( \partial _ { r } ^ { 2 } + { \frac { \partial _ { r } } { r } } - { \frac { ( j - 1 / 2 ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - 2 e ^ { 2 } v ^ { 2 } f ^ { 2 } \right) ( { \frac { h _ { 2 } } { \sqrt { 2 } e v f } } ) + i \kappa h _ { 4 } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { { \cal F } _ { \mathrm { K S } } [ { \boldsymbol \rho } , { \bf n } ] = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k , \sigma } f _ { k } ^ { \sigma } \langle \Phi _ { k } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \vert \nabla ^ { 2 } \vert \Phi _ { k } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \rangle } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } \iint \frac { \left( 2 { \rho } ( { \bf r } ) - n ( { \bf r } ) \right) { n } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } + E _ { \mathrm { x c } } [ { \bf n } ] } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + \sum _ { \sigma } \int v _ { \mathrm { x c } } ^ { \sigma } [ { \bf n } ] ( { \bf r } ) \left( \rho _ { \sigma } ( { \bf r } ) - n _ { \sigma } ( { \bf r } ) \right) d { \bf r } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ - T _ { e } { \cal S } [ { \bf f } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon ( \eta ) = \sqrt { \sum _ { t } \left( \frac { T _ { p } ^ { \mathrm { D M S C } } ( t ) - T _ { p } ^ { \mathrm { t h e o r y } } ( t ; \eta ) } { T _ { p } ^ { \mathrm { D M S C } } ( t ) } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \left[ \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \right) + \frac { \partial } { \partial \phi } \left( \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } \right) \right] } & { { } = \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } \frac { \partial P ^ { ( k ) } } { \partial z } , } \\ { - \frac { \partial P ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { \rho _ { k } } { \mathrm { ~ F ~ r ~ } } H _ { \xi } \frac { \sinh \xi \sin \phi } { \cosh \xi - \cos \phi } } & { { } = 0 , } \\ { - \frac { \partial P ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + \frac { \rho _ { k } } { \mathrm { ~ F ~ r ~ } } H _ { \phi } \frac { \bigl ( 1 - \cosh \xi \cos \phi \bigr ) } { \cosh \xi - \cos \phi } } & { { } = 0 . } \end{array}
{ \frac { u _ { i } ^ { n + 1 } - u _ { i } ^ { n } } { \Delta t } } = F _ { i } ^ { n + 1 } \left( u , \, x , \, t , \, { \frac { \partial u } { \partial x } } , \, { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \right) \qquad { \mathrm { ( b a c k w a r d ~ E u l e r ) } }
\begin{array} { r } { f _ { \kappa \rightarrow \lambda } = \frac { 2 m _ { e } ( \omega _ { \lambda } - \omega _ { \kappa } ) } { 3 \hbar ^ { 2 } } \sum _ { \alpha = x , y , z } \langle \tilde { \Psi } _ { \kappa } | \hat { \mu } _ { \alpha } | \Psi _ { \lambda } \rangle \langle \tilde { \Psi } _ { \lambda } | \hat { \mu } _ { \alpha } | \Psi _ { \kappa } \rangle } \end{array}
{ } ^ { * } ( d x ^ { i _ { 1 } } \cdots d x ^ { i _ { p } } ) = \sum _ { j _ { p + 1 } < \ldots < j _ { D } } g ^ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \ldots g ^ { i _ { p } j _ { p } } \epsilon _ { j _ { 1 } \ldots j _ { p } j _ { p + 1 } \ldots j _ { D } } d x ^ { j _ { p + 1 } } \cdots d x ^ { j _ { D } } ,
= { C ^ { 7 } } _ { 2 7 } = - { C ^ { 5 } } _ { 3 4 } = { C ^ { 2 } } _ { 3 7 } = { C ^ { 6 } } _ { 3 8 } = { C ^ { 2 } } _ { 4 6 } = - { C ^ { 7 } } _ { 4 8 } = 1 ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 L _ { x } } \frac { 1 } { 2 L _ { y } } \int _ { - L _ { y } } ^ { L _ { y } } \int _ { - L _ { x } } ^ { L _ { x } } \pmb { j } \cdot \pmb { A } ( x , y ) d x d y } \\ & { = } & { \frac { e \hbar B } { 2 m \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } = \frac { \mu _ { B } B } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } , } \end{array}
\langle \mathbf { b } ^ { \prime } , \mathbf { \lambda } ^ { * } ( \mathbf { b } ^ { \prime } ) \rangle - \langle \mathbf { b } , \mathbf { \lambda } ^ { * } ( \mathbf { b } ) \rangle = \langle \mathbf { c } , \mathbf { x } ^ { * } ( \mathbf { b } ^ { \prime } ) - \mathbf { x } ^ { * } ( \mathbf { b } ) \rangle = f ( \mathbf { b } ^ { \prime } ) - f ( \mathbf { b } ) .
\Delta \Gamma _ { \mathrm { h a d } } = \Gamma _ { 0 } \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 2 } \int _ { \sqrt { 1 - \rho ^ { - 1 } } } ^ { 1 } R \left( \frac { 4 m _ { \mu } ^ { 2 } } { 1 - u ^ { 2 } } \right) \, K ( u ) \, d u
h [ a ] ( \mathbf { r } ) = \int \frac { f ( r ^ { \prime } ) e ^ { - a ( r ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 2 } } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \, d \mathbf { r } ^ { \prime } \ .
{ \bf A } = \left( \begin{array} { l l l } { { N ^ { - 1 / 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( L M ) ^ { 1 / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { { { \bf a } ^ { ( 1 ) } } } & { { { \bf a } ^ { ( 3 ) } } } & { { 0 } } \\ { { { { \bf a } ^ { ( 3 ) } } ^ { \dagger } } } & { { { \bf a } ^ { ( 2 ) } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { { N ^ { - 1 / 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( M L ) ^ { 1 / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\frac { 1 6 \, \pi ^ { 2 } } { g _ { i , \, \mathrm { b a r e } } ^ { 2 } } = \frac { 1 6 \, \pi ^ { 2 } } { g _ { i } ^ { 2 } ( \mu ) } - b _ { i } \, ( 4 \pi ) ^ { \epsilon } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t ^ { 1 - \epsilon } } \, e ^ { - t \frac { \mu ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { q } \otimes \hat { q } ^ { T } \rangle } & { { } = q _ { t } \otimes q _ { t } ^ { T } + \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) , } \\ { \langle \hat { p } \otimes \hat { p } ^ { T } \rangle } & { { } = p _ { t } \otimes p _ { t } ^ { T } + \operatorname { C o v } ( \hat { p } ) , } \\ { \langle \hat { q } \otimes \hat { p } ^ { T } \rangle } & { { } = q _ { t } \otimes p _ { t } ^ { T } + \operatorname { C o v } ( \hat { q } , \hat { p } ) . } \end{array}
T _ { 1 2 } = \frac { N _ { 1 } N _ { 2 } } { \operatorname * { d e t } \left( 2 \left( M _ { 1 } + M _ { 2 } \right) \sigma \right) ^ { d / 2 } } \exp \left( \frac { 1 } { 4 } \left( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \right) ^ { T } \left( M _ { 1 } + M _ { 2 } \right) ^ { - 1 } \left( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \right) \right)
\Omega _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } } : = \mathcal E _ { p } ( \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } , \mathrm { a d } ) \cdot \frac { ( - 2 \sqrt { - 1 } ) ^ { k + 1 } } { \mathfrak c _ { \textup { \bf f } } ( \kappa ) } \cdot \langle \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } , \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } \rangle , \qquad \mathrm { w h e r e ~ } \quad \mathcal E ( \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } , \mathrm { a d } ) : = \left( 1 - \frac { \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } } { \alpha _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } } \right) \left( 1 - \frac { \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } } { p \alpha _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } } \right) .
\begin{array} { r l } { b ^ { m + n } } & { { } = b ^ { m } \cdot b ^ { n } } \\ { ( b ^ { m } ) ^ { n } } & { { } = b ^ { m \cdot n } } \\ { ( b \cdot c ) ^ { n } } & { { } = b ^ { n } \cdot c ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad - [ \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } ( - e _ { u , i + 1 } t ^ { - s - 1 } \otimes e _ { i + 1 , u } t ^ { s + 1 } + e _ { i + 1 , u } t ^ { - s } \otimes e _ { u , i + 1 } t ^ { s } ) , \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } ] } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j \leq i ) e _ { j , i + 1 } t ^ { - s - 1 } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { i + 1 , v } t ^ { s - w + 1 } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j \leq i ) e _ { v , i + 1 } t ^ { - s + w - 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } e _ { i + 1 , j } t ^ { s + 1 } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , u } t ^ { - s + w } \otimes e _ { u , i + 1 } t ^ { s } e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { i + 1 , u } t ^ { - s } \otimes e _ { u , v } t ^ { s - w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \mathfrak h _ { j } , \{ ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { k } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { k } ) \mathcal A _ { k } ^ { * } + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { k } } \mathcal A _ { k } \} f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad = \langle \mathcal A _ { k } \mathcal A _ { j } ^ { * } \mathfrak h , ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { k } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { k } ) f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \langle \mathcal A _ { k } ^ { * } \mathcal A _ { j } ^ { * } \mathfrak h , \partial _ { x _ { k } } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad = ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { j } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { k } ) a } \\ & { \quad \quad + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { k } } \langle \mathfrak h _ { j k } , \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \langle \mathfrak h _ { j k } , \mathfrak h _ { l l } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \partial _ { x _ { k } } c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } \big ) } & { = \log \left( \frac { \theta _ { 0 } } { 1 - \theta _ { 0 } } \right) + \alpha \bigg ( \log \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 1 - \theta _ { 1 } } \right) - \log \left( \frac { \theta _ { 0 } } { 1 - \theta _ { 0 } } \right) \bigg ) } \\ & { = \log \left( \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } } { ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } } \right) , } \end{array}
T _ { a b } = \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \, ( \partial _ { a } X ^ { \mu } \partial _ { b } X _ { \mu } - { \frac 1 2 } \, g _ { a b } \, \partial _ { c } X ^ { \mu } \partial ^ { c } X _ { \mu } ) - \frac { 1 } { 4 \pi k } \, ( R _ { a b } - { \frac 1 2 } \, g _ { a b } \, R ) .
\mathbf { i } _ { \alpha } \widetilde \alpha \equiv ( i _ { W \alpha } \otimes 1 + 1 \otimes i _ { \alpha } ) \widetilde \alpha = 0 \quad , \quad \mathbf { L } _ { \alpha } \widetilde \alpha \equiv ( L _ { W \alpha } \otimes 1 + 1 \otimes L _ { \alpha } ) \widetilde \alpha = 0 \quad ,
\begin{array} { r l } { - \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot ( \tilde { \rho } ( \tilde { \theta } ) \tilde { f } ( \tilde { \theta } ; \tilde { \rho } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) ) } & { = - \nabla _ { \theta } \cdot ( A ^ { - 1 } \tilde { \rho } ( \tilde { \theta } ) \tilde { f } ( \tilde { \theta } ; \tilde { \rho } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) ) } \\ & { = - \nabla _ { \theta } \cdot ( \rho ( \theta ) f ( \theta ; \rho , \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) ) | A ^ { - 1 } | , } \end{array}
{ \bar { v } } = v ( m _ { Z } ) = { \frac { M _ { Z } ( m _ { Z } ) \cos \theta _ { W } ( m _ { Z } ) } { [ \pi \alpha _ { 2 } ( m _ { Z } ) ] ^ { 1 / 2 } } } = ( \sqrt { 2 } G _ { F } ) ^ { - 1 / 2 } = 2 4 6 \, \mathrm { G e V } .
y ( t ) = \tilde { y } ( t ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } ( \xi _ { 1 } , t ) } \\ { D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } ( \xi _ { 2 } , t ) } \end{array} \right) = \sum _ { i \geq 1 } \left( \begin{array} { l } { \varphi _ { i } ( \xi _ { 1 } ) } \\ { \varphi _ { i } ( \xi _ { 2 } ) } \end{array} \right) w _ { i } ( t ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } ( \xi _ { 1 } , t ) } \\ { D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } ( \xi _ { 2 } , t ) } \end{array} \right) .
k _ { - \alpha } ( t ) = \frac { t ^ { - \alpha - 1 } } { \Gamma ( - \alpha ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { Q } w _ { j } e ^ { - \lambda _ { j } t } + O ( \varepsilon t ^ { - \alpha - 1 } ) , \quad t \in [ t _ { 1 } , T ] ,
\begin{array} { r l } { \texttt { \small e n e r g y - f l u x - d i f f } } & { = 1 - R ^ { 2 } \left( E _ { f l u x } ^ { D } ( k ) , E _ { f l u x } ^ { \theta } ( k ) \right) , } \\ { \texttt { \small e n s t r o p h y - f l u x - d i f f } } & { = 1 - R ^ { 2 } \left( Z _ { f l u x } ^ { D } ( k ) , E _ { f l u x } ^ { \theta } ( k ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \alpha \iint \mathcal { D } \rho \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \delta [ \rho - \hat { \rho } ] \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \hat { \rho } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} } \\ & { = \alpha \iiint \mathcal { D } \, \rho \mathcal { D } w \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \big [ \rho ( \mathbf { r } ) - \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) \big ] - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \hat { \rho } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} } \end{array}
\textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } \boxtimes \mathcal { A } | _ { C } ( \Delta ) ) \longrightarrow \varprojlim _ { k } \left( \Gamma ( X \setminus \{ p \} , \mathcal { A } ) \otimes \widehat { \mathcal { A } } _ { p } / \mathfrak { m } _ { p } \widehat { \mathcal { A } } _ { p } ^ { k } \right) \stackrel { \zeta \otimes \zeta } { \longrightarrow } ( A ( \! ( z ) \! ) \otimes A ) [ \! [ z ] \! ]
\{ \; \; , \; \; \} _ { \alpha } = ( \{ \; \; , \; \; \} _ { \Lambda } , \; \{ \; \; , \; \; \} _ { W } ) , \quad \left( I _ { a } ^ { \alpha } , Q _ { a } ^ { \alpha } , D ^ { \alpha } \right) = \left( ( I _ { a } , Q _ { a } , D _ { 0 } ) , ( \phi _ { a } , q _ { a } , D ) \right) . \nonumber
\hat { A } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \tilde { s } ^ { * } ( f ) \tilde { v ( f ) } } { J ( f ) } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { s } ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } } .