harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\textup { r e s } _ { / \mathrm { b a l } } : \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \longrightarrow H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { A A } \\ { B D } \\ { C A } \\ { C C } \\ { B B } \\ { A A } \end{array} \right) \xrightarrow { T _ { b 2 } ^ { A C } } \left( \begin{array} { c } { A A } \\ { B D } \\ { C C } \\ { C A } \\ { B B } \\ { A A } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ) } \mathbb { E } _ { \mathbb { Q } } [ \zeta ] = } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \operatorname* { i n f } _ { \lambda \geq 1 } \left( \lambda \varepsilon + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \widehat { \zeta } _ { i } \right) , \operatorname* { i n f } _ { \lambda < 1 } \left( \lambda \varepsilon + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( ( \widehat { \zeta } _ { i } - B ) \lambda + B ) \right) \right\} } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \bar { \zeta } + \varepsilon , \operatorname* { m i n } \{ \bar { \zeta } + \varepsilon , B \} \right\} . } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \bar { \zeta } + \varepsilon , B \right\} . } \end{array}
V = V ( \Omega ) \times H ^ { 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) , \quad H = L _ { \sigma } ^ { 2 } ( \Omega ) \times L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) , \quad V ^ { \prime } = V ( \Omega ) ^ { \prime } \times H ^ { - 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) .
\varrho _ { F } ( r ) = \frac { Z e } { 8 \pi a _ { F } ^ { 3 } \big | \mathrm { L i } _ { 3 } ( - e ^ { c _ { F } / a _ { F } } ) \big | } \, \bigg [ \exp \bigg ( \frac { r - c _ { F } } { a _ { F } } \bigg ) + 1 \Bigg ] ^ { - 1 } ,
\{ f , g \} _ { 1 } = \frac { \partial f } { \partial z ^ { n } } \frac { \partial ^ { L } g } { \partial { \bar { \eta } } ^ { n } } + \frac { \partial f } { \partial { \bar { z } } ^ { n } } \frac { \partial ^ { L } g } { \partial \eta ^ { n } } - \frac { \partial ^ { R } f } { \partial { \bar { \eta } } ^ { n } } \frac { \partial g } { \partial z ^ { n } } - \frac { \partial ^ { R } f } { \partial \eta ^ { n } } \frac { \partial g } { \partial { \bar { z } } ^ { n } }
\mathrm { ~ t ~ } ( \mu m ) = \left( 3 . 5 2 5 7 \times 1 0 ^ { - 4 } \right) \times \frac { I ( \mathrm { ~ m A } ) } { A \left( \mathrm { ~ c m } ^ { 2 } \right) } \times \mathrm { ~ T ~ i ~ m ~ e ~ } ( \mathrm { s e c } )
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { k _ { \alpha } \alpha _ { 0 } } } & { { } \equiv \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } / 2 } ^ { T _ { 0 } / 2 } E \{ q ( t ) \} e ^ { - i 2 \pi ( k _ { \alpha } \alpha _ { 0 } ) t } d t , } \\ { \hat { R } _ { k _ { \alpha } \alpha _ { 0 } } ( \tau ) } & { { } \equiv \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } / 2 } ^ { T _ { 0 } / 2 } R ( t , \tau ) e ^ { - i 2 \pi ( k _ { \alpha } \alpha _ { 0 } ) t } d t , } \end{array}
\mathcal { D } = \{ t _ { i } , X _ { i } , Y _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { n } \cup \{ \bar { t } _ { i } , V _ { 1 i } \} _ { i = 1 } ^ { n _ { 1 } } \cup \{ \tilde { t } _ { i } , V _ { 2 i } \} _ { i = 1 } ^ { n _ { 2 } }
\partial _ { t } \mathbf { v } + \mathbf { v } \cdot \nabla \mathbf { v } = - \nabla q + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { v } + \mathbf { g } - \mu I _ { h } ( \mathbf { v } ) + \mu I _ { h } ( \mathbf { u } ) , \quad \nabla \cdotp \mathbf { v } = 0 ,
b ( x , \mu ^ { 2 } ) = \frac { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \ln \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } \right) \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } P _ { q g } ( z ) g \left( \frac { x } { z } , \mu ^ { 2 } \right) \; ,
\begin{array} { r l r } { f _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \left[ 3 g ^ { ( 2 ) } ( \frac { 1 } { 2 } , \tau ) - g ^ { ( 2 ) } ( \frac { 1 } { 3 } , \tau ) + g ^ { ( 2 ) } ( \frac { 1 } { 6 } , \tau ) \right] , } \\ { f _ { 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 3 } } \left[ 1 5 g ^ { ( 3 ) } ( \frac { 1 } { 3 } , \tau ) - 1 2 g ^ { ( 3 ) } ( \frac { 1 } { 6 } , \tau ) \right] , } \\ { f _ { 4 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 4 } } \left[ - 1 8 g ^ { ( 4 ) } ( 0 , \tau ) - 2 7 g ^ { ( 4 ) } ( \frac { 1 } { 3 } , \tau ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { m } _ { 1 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { P } \hat { w } _ { 2 , \ln } ^ { P } ( y , \tilde { y } , z ) d z , } \\ & { \hat { m } _ { 1 } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { P } \hat { w } _ { 2 } ^ { P } ( y , \tilde { y } , z ) d z - \frac { X _ { E } ( y ) } { 2 \pi i } , } \\ & { \hat { m } _ { 2 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { P } \hat { w } _ { 3 , \ln } ^ { P } ( y , \tilde { y } , z ) d z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { j } ^ { ( i ) } } & { = \mathrm { s h i f t } ( \mathbf { u } _ { j } , i ) } \\ { \mathbf { x } _ { j } ^ { ( i ) } } & { = \mathbf { u } _ { j } ^ { ( i ) } | | \, \mathbf { a } ^ { ( i ) } , \qquad \mathbf { x } _ { j } ^ { ( i + L / 2 ) } = \overline { { \mathbf { u } } } _ { j } ^ { ( i ) } | | \, \mathbf { a } ^ { ( i + L / 2 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| ( \mathbf { y } ^ { t , k } ( i ) + \delta _ { i , k } ) - \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \right\| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { \tau = 1 } ^ { K - 1 } ( 1 + \frac { 1 } { 2 K - 1 } ) ^ { \tau } \Big ( \frac { 4 K ^ { 3 } L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } { 2 K - 1 } + 8 K \eta ^ { 2 } ( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } \\ & { + \frac { 8 K \eta ^ { 2 } } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } \Big ) + ( 1 + \frac { 1 } { 2 K - 1 } ) \rho ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 K ( \frac { 4 K ^ { 3 } L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } { 2 K - 1 } + 8 K \eta ^ { 2 } ( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } \\ & { + \frac { 8 K \eta ^ { 2 } } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } ) + \frac { 2 K \rho ^ { 2 } } { 2 K - 1 } . } \end{array}
\Gamma _ { g q q } ^ { \sigma } + \widetilde { \Gamma } _ { g q q } ^ { \sigma } = Z _ { 1 1 } \left\langle R _ { 3 , 1 } ^ { \sigma } \right\rangle _ { g q q } ^ { ( 3 ) } \ , \qquad \Gamma _ { g g g } ^ { \sigma } + \widetilde { \Gamma } _ { g g g } ^ { \sigma } = 0 .
\| \mathbf { F } \| = { \frac { 1 } { \hbar c } } \int { \frac { \mathbf { F } ^ { * } ( x ) \cdot \mathbf { F } ( x ^ { \prime } ) } { | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } } } d x ^ { 3 } d x ^ { 3 } = 1
\begin{array} { r l } { \bigg | \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } \, \phi \big ( | X _ { j } ( s ) - } & { X _ { i } ( s ) | \big ) - \frac { w _ { i j } ( s ) } { k _ { i } ( s ) } \, \phi \big ( | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | \big ) \bigg | } \\ { \leq } & { \bigg | \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } \bigg ( \phi \big ( | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) | \big ) - \phi \big ( | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | \big ) \bigg ) \bigg | + \bigg | \bigg ( \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } - \frac { w _ { i j } ( s ) } { k _ { i } ( s ) } \bigg ) \phi \big ( | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | \big ) \bigg | } \\ { \leq } & { \bigg | \phi \big ( | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) | \big ) - \phi \big ( | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | \big ) \bigg | + \bigg | \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } - \frac { w _ { i j } ( s ) } { k _ { i } ( s ) } \bigg | } \\ { \leq } & { L \, \bigg | | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) | - | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | \bigg | + \bigg | \frac { w _ { i j } ^ { 0 } \, | k _ { i } ( s ) - k _ { i } ^ { 0 } | + k _ { i } ^ { 0 } \, | w _ { i j } ^ { 0 } - w _ { i j } ( s ) | } { k _ { i } ^ { 0 } \, k _ { i } ( s ) } \bigg | } \\ { \leq } & { L \, \big | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) - x _ { j } ( s ) + x _ { i } ( s ) \big | + \frac { w _ { i j } ^ { 0 } \, 2 N M s \varepsilon + k _ { i } ^ { 0 } \, 2 M s \varepsilon } { k _ { i } ^ { 0 } \, k _ { i } ( s ) } } \\ { \leq } & { L \, \big | z _ { j } ( s ) - z _ { i } ( s ) \big | + 4 N M \varepsilon s } \end{array}
V _ { g a u g e } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { { m _ { \phi } ^ { 2 } | \Phi | ^ { 2 } } } & { { \Phi \ll M _ { S } } } \\ { { M _ { F } ^ { 4 } \log \frac { | \Phi | ^ { 2 } } { M _ { S } ^ { 2 } } } } & { { \Phi \gg M _ { S } } } \end{array} \right. ,
\mathcal { C } g ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi _ { n } < 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi _ { n } > 0 . } \end{array} \right.
\nu _ { \textrm { T } } = C _ { \nu } \frac { K ^ { 2 } } { \varepsilon } \left[ { 1 - \left( { C _ { { \textrm { N } } K } \frac { 1 } { \varepsilon } \frac { D K } { D t } - C _ { { \textrm { N } } \varepsilon } \frac { K } { \varepsilon ^ { 2 } } \frac { D \varepsilon } { D t } } \right) } \right] ,
Z = \int { \cal D } B e x p \bigg ( - { \frac { 4 \pi } { g } } \varepsilon ^ { l m n } ( B _ { l } ^ { A B } \partial _ { m } B _ { n A B } - { \frac { 4 \pi } { g } } f _ { A B C D E F } B _ { l } ^ { A B } B _ { m } ^ { C D } B _ { n } ^ { E F } ) \bigg ) .
{ \mathbf x } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { e ^ { t } } \\ { - t } \\ { 0 } \end{array} \right) \; \; \; , \; \; \; { \mathbf v } ( { \mathbf x } , t ) = \left( \begin{array} { l } { x } \\ { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right)
\hat { s } _ { 1 } ^ { - } = \operatorname * { m a x } [ 0 , \hat { t } _ { 2 } - \hat { t } _ { 1 } ] , ~ ~ ~ ~ \hat { s } _ { 1 } ^ { + } = \operatorname * { m i n } [ \hat { s } - \hat { s } _ { 2 } , \hat { s } + \hat { t } _ { 2 } ]
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 4 a ^ { 2 } } d _ { 0 } : = \big [ ( \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } ) ( \sigma ^ { ( 1 ) } + \sigma ^ { ( 2 ) } ) + \sigma ^ { ( 1 ) } - \sigma ^ { ( 2 ) } \big ] ^ { 2 } } \\ { - \big [ ( \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } - \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + 2 ( \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } + \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } ) + 1 \big ] } \\ { \times ( \sigma ^ { ( 1 ) } + \sigma ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } = 2 \big [ ( \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } ) ( ( \sigma ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } - ( \sigma ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } ) } \\ { - ( \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } + \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } ) ( \sigma ^ { ( 1 ) } + \sigma ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } \big ] - 4 \sigma ^ { ( 1 ) } \sigma ^ { ( 2 ) } } \\ { = - 4 \big [ ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 1 } ) \sigma ^ { ( 1 ) } \sigma ^ { ( 2 ) } ( \sigma ^ { ( 1 ) } + \sigma ^ { ( 2 ) } ) + \sigma ^ { ( 1 ) } \sigma ^ { ( 2 ) } ) } \\ { = - 4 \sigma ^ { ( 1 ) } \sigma ^ { ( 2 ) } ( ( \sigma ^ { ( 1 ) } + \sigma ^ { ( 2 ) } + 1 ) < 0 . } \end{array}
{ \cal L } = - 3 M _ { P } ^ { 2 } \int d ^ { 4 } \theta \varphi \varphi ^ { \dagger } e ^ { - K / 3 M _ { P } ^ { 2 } } + \left( \int d ^ { 2 } \theta \varphi ^ { 3 } W + h . c . \right) \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { M _ { 2 , 0 } ^ { \sigma , e q } = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , e q } ( v _ { i \alpha } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) = \rho ^ { \sigma } [ ( D + I ^ { \sigma } ) R ^ { \sigma } T + u _ { \alpha } ^ { 2 } ] , } \end{array} } \end{array}
= { R _ { 2 } } ^ { 2 } \, \bigg ( \, \big ( \frac { R _ { 1 } } { R _ { 2 } } \big ) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \frac { \Delta \phi } { 2 } ) + \sin ^ { 2 } ( \frac { \Delta \phi } { 2 } ) \, \bigg )
\sigma _ { x } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \sigma _ { y } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \sigma _ { z } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { G _ { I + J } ^ { \alpha } } & { = \langle \Phi _ { I + J } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { I + J } \rangle = \langle \Phi _ { I } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { I } \rangle + \langle \Phi _ { J } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { J } \rangle + 2 \langle \Phi _ { I } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { J } \rangle } \\ & { = G _ { I } ^ { \alpha } + G _ { J } ^ { \alpha } + 2 \langle \Phi _ { I } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { J } \rangle = G _ { I } ^ { \alpha } + G _ { J } ^ { \alpha } + 2 \, h _ { I J } ^ { \alpha } ~ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { w ( z ) } & { = P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { a } & { b } & { c } & \\ { \alpha } & { \beta } & { \gamma } & { \; z } \\ { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } & { \gamma ^ { \prime } } & \end{array} } \right\} } \\ & { = \left( { \frac { z - a } { z - b } } \right) ^ { \alpha } \left( { \frac { z - c } { z - b } } \right) ^ { \gamma } P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \infty } & { 1 } & \\ { 0 } & { \alpha + \beta + \gamma } & { 0 } & { \; { \frac { ( z - a ) ( c - b ) } { ( z - b ) ( c - a ) } } } \\ { \alpha ^ { \prime } - \alpha } & { \alpha + \beta ^ { \prime } + \gamma } & { \gamma ^ { \prime } - \gamma } & \end{array} } \right\} } \end{array} } ,
\phi _ { 2 } ^ { a } = \partial _ { i } \pi _ { i } ^ { a } + g f _ { a b c } \pi _ { i } ^ { b } A _ { i } ^ { c } - M ^ { 2 } A _ { 0 } ^ { a } - \epsilon \frac { \partial \bar { \cal L } _ { I } } { \partial A _ { 0 } ^ { a } } + O ( \epsilon ^ { 2 } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { p } ( t ) = \Gamma _ { p } ^ { ( 0 ) } + } & { \Gamma _ { p } ^ { ( 1 ) } e ^ { i \omega _ { \mathrm { r f } } t } + \Gamma _ { p } ^ { ( - 1 ) } e ^ { - i \omega _ { \mathrm { r f } } t } } \\ { + } & { \Gamma _ { p } ^ { ( 2 ) } e ^ { 2 i \omega _ { \mathrm { r f } } t } + \Gamma _ { p } ^ { ( - 2 ) } e ^ { - 2 i \omega _ { \mathrm { r f } } t } + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r } { A ( k ) = J _ { \mathrm { L } } \cos { \theta _ { \mathrm { L } } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k } + J _ { \mathrm { R } } \cos { \theta _ { \mathrm { R } } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k } } \end{array}
t _ { 2 l } = \frac { \tan \left( \pi / 4 - \pi l / h \right) } { 2 \cos ^ { 2 } ( \pi l / h ) } \prod _ { i = 1 } ^ { l } \frac { \tan ^ { 2 } ( \pi ( 2 i - 1 ) / 2 h ) } { \tan ^ { 2 } ( \pi i / h ) }
{ \cal V } ( P \gamma \gamma ) = - 2 i g _ { P } \frac { e ^ { 2 } } { F _ { 8 } } \bar { \it { v } } ( P ) \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } k _ { 1 \mu } e _ { \nu } ^ { ( \gamma ) } k _ { 2 \alpha } e _ { \beta } ^ { ( \gamma ) } ~ ,
y ^ { 2 } = x ^ { 3 } + \sum _ { k = - 4 } ^ { 4 } \sum _ { l = 0 } ^ { 8 - n k } f _ { k l } z ^ { \prime l } z ^ { 4 + k } p ^ { 8 - l + q ^ { \prime } k } x + \sum _ { k = - 6 } ^ { 6 } \sum _ { l = 0 } ^ { 1 2 - n k } g _ { k l } z ^ { \prime l } z ^ { 6 + k } p ^ { 1 2 - l + q ^ { \prime } k }
\begin{array} { r l } { R _ { k + 1 } ( s , t ) } & { = \epsilon ^ { k + 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { k + 1 } } b _ { k + 1 , 0 , j } ( s ) \overline { { f } } _ { k + 1 , 0 , j } ( t / \epsilon ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \epsilon ^ { i + k + 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { k + 1 , i } } b _ { k + 1 , i , j } ( s ) \overline { { f } } _ { k + 1 , i , j } ( t / \epsilon ) + O ( \epsilon ^ { \ell + k + 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta _ { \phi , p } ^ { + } ( \alpha ) - \beta _ { \phi , \hat { p } } ^ { + } ( \alpha ) } \\ & { = P ( Y \geq k ) - P ( Y \geq \hat { k } ) + \frac { P ( Y = k ) [ P ( X < k ) - P ( \hat { X } \leq \hat { k } ) ] } { P ( X = k ) } } \\ & { - \frac { P ( Y = \hat { k } ) [ P ( \hat { X } < \hat { k } ) - P ( \hat { X } \leq \hat { k } ) ] } { P ( \hat { X } = \hat { k } ) } } \\ & { = P ( Y \geq k ) - P ( Y > \hat { k } ) + \frac { P ( Y = k ) [ P ( X < k ) - P ( \hat { X } \leq \hat { k } ) ] } { P ( X = k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \gamma d _ { i , j } + \pi _ { j } + \mu _ { i } + \sigma _ { i , j } } & { = \xi _ { i , j } } & & { , ~ \forall i , j } \\ { ( 1 - \gamma ) \phi _ { i } + \mu _ { i } + \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = i + 1 } ^ { M } \left( \eta _ { i , l } - \tau _ { i , l } \right) } & { } \\ { - \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = 1 } ^ { i - 1 } \left( \eta _ { l , i } - \tau _ { l , i } \right) + \frac { \nu _ { i } } { \lambda _ { i } } } & { = \rho _ { i } } & & { , ~ \forall i . } \end{array}
f _ { i } = ( 1 - f _ { p } ) \left( 1 - \exp \left\{ - \frac { 6 f _ { p } } { 1 - f _ { p } } \left[ \frac { \eta } { n ( \kappa ) } + \left( 2 + \frac { 3 f _ { p } } { n ^ { 2 } ( \kappa ) ( 1 - f _ { p } ) } \right) \eta ^ { 2 } \right. \right. \right. + \left. \left. \left. \frac { 4 } { 3 } \left( 1 + \frac { 3 f _ { p } } { n ( \kappa ) ( 1 - f _ { p } ) } \right) \eta ^ { 3 } \right] \right\} \right) ,
\begin{array} { r l } { f _ { \phi } ( \phi ) } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { p } } \frac { w _ { k } } { \sqrt { 2 \pi \overline { { { \phi _ { k } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } } \exp { \left( - \frac { \left( \phi - \overline { { \phi } } _ { k } \right) ^ { 2 } } { 2 \overline { { { \phi _ { k } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial y } { \partial t } } & { = \frac { \partial } { x } ( D \frac { \partial y } { \partial \partial x } - \chi y \frac { \partial z } { \partial x } ) + q y ( 1 - y ) , } \\ { \frac { \partial z } { \partial t } } & { = \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x ^ { 2 } } + y - z + f ( x , u ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathcal { X } : = \Bigl \{ X : = } & { ( \mathcal { C } _ { X } , \mathcal { C } _ { X } ^ { \ast } ) \subset \mathcal { V } \times \mathcal { V } \Big | \mathcal { C } \supset \mathcal { C } _ { X } , \ \mathcal { C } _ { X } \mathrm { ~ i s ~ p r e - d u a l ~ c o n e } \Bigr \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big [ L ( Y ) \log { ( n ) } + Q ( Y ) \Big ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { [ \chi ( Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { R ( Y ) \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 1 } ) } { [ \chi ( Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 1 } } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } } & { { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( L ( \overline { { X } } _ { s } ^ { n } , \overline { { \alpha } } _ { s } ^ { n } ) + \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { s } ^ { n } ) ) \bigg ) d s + \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { T } ^ { n } ) ) \bigg ] } \\ & { = { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( L ( \overline { { X } } _ { s } , \overline { { \alpha } } _ { s } ) + \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { s } ) ) \bigg ) d s + \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { T } ) ) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mathbf { w } ^ { k } ( t ) \| _ { 2 } \leq O \left( \frac { \| \Delta \mathbf { g } ^ { k } \| _ { 2 } } { \mu } \right) , \quad \| \nabla \mathbf { w } ^ { k } ( t ) \| _ { 2 } \leq O \left( \frac { \| \Delta \mathbf { g } ^ { k } \| _ { 2 } } { \sqrt { \mu \nu } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { d ( S _ { t } ^ { p } ) = S _ { t } ^ { p } \left[ \left( p ( r - q ) + \frac { p ^ { 2 } } { 2 } \sigma ^ { 2 } \right) d t + p \sigma d W _ { t } + p \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } ( \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } x ^ { 2 } + \rho x ) { J } _ { Z } ( \lambda d t , d x ) \right] } \\ { + \frac { 1 } { 2 } p ( p - 1 ) S _ { t } ^ { p } ( \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } ( \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } x ^ { 2 } + \rho x ) { J } _ { Z } ( \lambda d t , d x ) ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 0 } ( t ) } & { { } = \alpha _ { 0 } e ^ { - i \omega t } - \alpha _ { z } ( 1 - e ^ { - i \omega t } ) \; , } \\ { \gamma ( t ) } & { { } = \alpha ( 1 - e ^ { - i \omega t } ) \; . } \end{array}
0 \to { \mathcal { E } } _ { n } { \overset { \phi _ { n , n - 1 } } { \rightarrow } } { \mathcal { E } } _ { n - 1 } { \overset { \phi _ { n - 1 , n - 2 } } { \rightarrow } } \cdots { \overset { \phi _ { 1 , 0 } } { \rightarrow } } { \mathcal { E } } _ { 0 } \to 0
H _ { i j } ^ { \mathrm { K I } ( 2 ) } ( \mathbf { k } ) = H _ { i j } ^ { \mathrm { D F T } } ( \mathbf { k } ) + \alpha _ { \mathbf { 0 } j } \Delta H _ { i j } ^ { \mathrm { K I } ( 2 ) } ( \mathbf { k } )
| \alpha ; \varkappa \rangle = ( 1 - u ) ^ { \varkappa } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { n } } { \sqrt { x _ { n } ! } } \, | n \rangle \, , \quad x _ { n } = \frac { n } { 2 \varkappa - 1 + n } \, .
\begin{array} { r } { - \dot { F } _ { \Psi } { ( t + ) } : = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 , h > 0 } \frac { F _ { \Psi } ( t ) - F _ { \Psi } ( t + h ) } { h } = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } \Psi ( m , m , \tilde { x } ) \| A ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) \| ^ { 2 } p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; t ) d m d \tilde { x } , } \end{array}
[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + V _ { \mathrm { i o n } } + V _ { \mathrm { H } } + \Sigma ( E _ { n \bf { k } } ^ { \mathrm { Q P } } ) ] \psi _ { n \bf { k } } ^ { \mathrm { Q P } } = E _ { n \bf { k } } ^ { \mathrm { Q P } } \psi _ { n \bf { k } } ^ { \mathrm { Q P } } ,
V _ { \theta } = \frac { i } { 4 } x _ { i } ^ { \ast } \dot { \psi } _ { i } - \frac { i } { 4 } e A _ { i } ^ { \ast } \psi _ { i } + \frac { i } { 4 } e x _ { i } ^ { \ast } \partial _ { j } A _ { i } \psi _ { j } + \frac { i } { 4 } ( R \chi ^ { \ast } - i \dot { \xi } \chi ^ { \ast } )
{ \frac { 2 } { E _ { g } m ^ { 2 } } } \sum _ { m , \ n } { | \langle u _ { c , 0 } | p _ { \ell } | u _ { n , 0 } \rangle | } { | \langle u _ { c , 0 } | p _ { m } | u _ { n , 0 } \rangle | } \approx 2 0 \mathrm { e V } { \frac { 1 } { m E _ { g } } } \ ,
\varepsilon _ { W K B } \equiv \operatorname * { s u p } _ { n } | \varepsilon _ { W K B } ( n ) | \; , \qquad \varepsilon _ { k } \equiv \operatorname * { s u p } _ { n } | \varepsilon _ { k } ( n ) | \; , \qquad \varepsilon _ { k } ^ { * } \equiv \operatorname * { s u p } _ { n } | \varepsilon _ { k } ^ { * } ( n ) | \; .
[ \sigma _ { s _ { i } } , \sigma _ { s _ { j } } ] = [ \sigma _ { s _ { i } } , \sigma _ { \nu _ { j } } ] = [ \sigma _ { \nu _ { i } } , \sigma _ { \nu _ { j } } ] = 0 , \, \, \ [ \sigma _ { s _ { i } } , s _ { j } ] = \delta _ { i j } \sigma _ { s _ { j } } , \, \, [ \sigma _ { \nu _ { i } } , \nu _ { j } ] = \delta _ { i j } \sigma _ { \nu _ { i } } .
\begin{array} { r l } { w _ { 1 } ( z ) } & { = 1 - z ^ { 1 / 4 } + z ^ { 1 / 2 } - z ^ { 3 / 4 } } \\ { w _ { 2 } ( z ) } & { = 1 - i z ^ { 1 / 4 } - z ^ { 1 / 2 } + i z ^ { 3 / 4 } } \\ { w _ { 3 } ( z ) } & { = 1 + z ^ { 1 / 4 } + z ^ { 1 / 2 } + z ^ { 3 / 4 } } \\ { w _ { 4 } ( z ) } & { = 1 + i z ^ { 1 / 4 } - z ^ { 1 / 2 } - i z ^ { 3 / 4 } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { 2 U } { c ^ { 2 } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( \frac { - 1 } { 1 - \frac { 2 U } { c ^ { 2 } } } \right) d x ^ { 2 } - d y ^ { 2 } - d z ^ { 2 } + 2 h _ { 0 \mu } d x ^ { \mu } c d t