harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { ~ s ~ \! ~ \! ~ \! ~ \! ~ \: ~ / ~ } | _ { t _ { m } } : = \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 3 } } [ 6 \, M ( \vec { X } ^ { m } ) ] ^ { \frac { 2 } { 3 } } } { A ( \vec { X } ^ { m } ) } , \qquad V _ { c } | _ { t _ { m } } : = \frac { 2 \pi \int _ { \mathscr { R } _ { - } ^ { m } } ( \vec { U } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 2 } ) r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z } { \operatorname { v o l } ( \vec { X } ^ { m } ) } , \qquad z _ { c } | _ { t _ { m } } : = \frac { 2 \pi \int _ { \mathscr { R } _ { - } ^ { m } } ( \vec { \mathrm { i d } } \cdot \vec { e } _ { 2 } ) r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z } { \operatorname { v o l } ( \vec { X } ^ { m } ) } ,
G _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { - ( 1 - \tilde { v } ^ { 2 } ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \tilde { v } } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - \tilde { v } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\left. \left\{ ( 1 - e ^ { 2 i \gamma } ) i D - ( 1 + e ^ { 2 i \gamma } ) v _ { 0 1 } + { \sqrt 2 } \eta \partial _ { 1 } ( { \bar { \sigma } } + e ^ { 2 i \gamma } \sigma ) \right\} \right| _ { x ^ { 1 } = 0 } = 0
\begin{array} { r l } { \frac { d w } { d z } } & { = \operatorname* { l i m } _ { ( z , w ) \to ( 1 , 0 ) } \left( - \frac { f _ { z } ( z , w ) } { f _ { w } ( z , w ) } \right) \to \frac { 0 } { 0 } } \\ { \frac { d w } { d z } } & { = \operatorname* { l i m } _ { ( z , w ) \to ( 1 , 4 ) } \left( - \frac { f _ { z } ( z , w ) } { f _ { w } ( z , w ) } \right) = - \frac { 3 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } _ { i , j } } & { { } = \langle \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { i - 1 } \mathcal { R } _ { n } , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { j - 1 } \mathcal { R } _ { n } \rangle _ { \mathbb { K } } , } \end{array}
r e v e a l f o u r v i b r a t i o n a l e i g e n m o d e s f o r t h e o s c i l l a t o r . I n t h i s w o r k , w e o n l y f o c u s o n t h e s h e a r m o d e , w h e r e t h e m o v a b l e p a r t s o s c i l l a t e h o r i z o n t a l l y a s i n d i c a t e d b y t h e a r r o w s i n F i g . ~ ( a ) . T h e r e s o n a n c e f r e q u e n c y o f t h e s h e a r m o d e i n v a c u u m a t
\begin{array} { r l } { h _ { x } ^ { i , j + 0 . 5 , k + 0 . 5 } } & { = \frac { g _ { z } ^ { i , j + 1 , k + 0 . 5 } - g _ { z } ^ { i , j , k + 0 . 5 } } { \Delta y } } \\ & { - \frac { g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k + 1 } - g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k } } { \Delta z } , } \\ { h _ { y } ^ { i + 0 . 5 , j , k + 0 . 5 } } & { = \frac { g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k + 1 } - g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k } } { \Delta z } } \\ & { - \frac { g _ { z } ^ { i + 1 , j , k + 0 . 5 } - g _ { z } ^ { i , j , k + 0 . 5 } } { \Delta x } , } \\ { h _ { z } ^ { i + 0 . 5 , j + 0 . 5 , k } } & { = \frac { g _ { y } ^ { i + 1 , j + 0 . 5 , k } - g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k } } { \Delta x } } \\ & { - \frac { g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j + 1 , k } - g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k } } { \Delta y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \hat { { \mathbf { U } } } } & { = { \mathbf { I } } , \quad ( \mathbf { 1 } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \otimes I _ { d } ) \hat { { \mathbf { U } } } = 0 } \\ { \hat { { \mathbf { U } } } \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } } & { = { \mathbf { I } } - \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \otimes I _ { d } . } \end{array}
\mathbf { C } _ { i , j } ^ { \ell } = \sum _ { \kappa _ { A } \in \mathcal { T } _ { A } } ( \phi _ { A , j } , [ \nabla \phi _ { A , i } ] _ { \ell } ) _ { \kappa _ { A } } ^ { N I } , \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i , j = 1 , \dots , N _ { A } .
\phi _ { e } ( \mathbf { v } ) \approx [ \mathbf { k } _ { 0 } \Delta t _ { 1 2 } - \mathbf { k } _ { 3 } ( 2 t _ { s , 3 } + \Delta t _ { 3 } - \Delta t _ { 1 2 } ) ] \frac { \mathbf { v } } { 2 }
\begin{array} { r l } { { z } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) = } & { { z } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - \int _ { - \infty } ^ { x } J \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) \right) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \eta _ { \ast } \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) \right) d y } \\ & { - \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } a _ { j } ^ { n } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma } } { \gamma } d y , } \\ { { w } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) = } & { { w } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - \int _ { - \infty } ^ { x } J \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) \right) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \eta _ { \ast } \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) \right) d y } \\ & { - \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } a _ { j } ^ { n } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma } } { \gamma } d y , } \end{array}
Q = \left[ { \begin{array} { r r r r } { 2 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 3 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 3 } & { - 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \end{array} } \right] .
\begin{array} { l } { J _ { ( { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } , \dots , { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } ) } ^ { T } ( { \dot { q } } _ { 1 } , \dots { \dot { q } } _ { m } ) = \left( \frac { \partial { \dot { q } } _ { j } } { \partial { \dot { q } } _ { \sigma _ { i } } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } = \left( \begin{array} { c c c c } & { \frac { \partial \alpha _ { h + 1 } ^ { ( \sigma ) } } { \partial { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } } } & { \dots } & { \frac { \partial \alpha _ { k } ^ { ( \sigma ) } } { \partial { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } } } \\ { { \mathbb I } _ { \ell } } & { \dots } & & { \dots } \\ { { \mathbb O } _ { ( m - \ell ) \times \ell } } & { \frac { \partial \alpha _ { h + 1 } ^ { ( \sigma ) } } { \partial { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } } } & { \dots } & { \frac { \partial \alpha _ { k } ^ { ( \sigma ) } } { \partial { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } } } \end{array} \right) } \end{array}
( { \boldsymbol { k } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { k } } _ { s } ; { \boldsymbol { \ell } } _ { 1 } , \ldots , { \boldsymbol { \ell } } _ { s } ) \in p _ { s } ( { \boldsymbol { \beta } } , { \boldsymbol { \alpha } } )
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \overline { \mathscr { B } } _ { s } \frac { \mathrm { d } \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } s } \left[ \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } \right] = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \overline { \mathscr { B } } _ { s } \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } \mathcal { L } _ { s } } { \mathrm { d } s } \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } \left[ \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } \right] = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathscr { B } _ { s } \frac { \mathrm { d } \mathcal { L } _ { s } } { \mathrm { d } s } \left[ \mathscr { A } _ { s } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho _ { n n } } { d Z } } & { = i L \Big [ J _ { n } ( Z ) \rho _ { n + 1 , n } + J _ { n - 1 } ( Z ) \rho _ { n - 1 , n } } \\ & { \qquad - J _ { n } ( Z ) \rho _ { n , n + 1 } - J _ { n - 1 } ( Z ) \rho _ { n , n - 1 } \big ] } \\ & { = - 2 L \, \mathrm { I m } \Big [ J _ { n } ( Z ) \rho _ { n + 1 , n } + J _ { n - 1 } ( Z ) \rho _ { n - 1 , n } \Big ] , } \end{array}
u _ { 2 } ( x , t ; \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \simeq u _ { \mathrm { s } } ( x + \Delta _ { 1 2 } , t ; \eta _ { 1 } ) + u _ { \mathrm { s } } ( x + \Delta _ { 2 1 } , t ; \eta _ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { p _ { p } } & { { } = } & { \eta _ { n } ( \phi ) \mu \dot { \gamma } + f _ { T } \phi \rho _ { p } ( 1 \! - \! \Delta \bar { \rho } ) ^ { 2 } v _ { x } ^ { 2 } , \quad \eta _ { n } = \frac { \phi ^ { 2 } } { ( \phi _ { m } \! - \! \phi ) ^ { 2 } } , } \\ { \tau } & { { } = } & { \eta _ { s } ( \phi ) \mu \dot { \gamma } , \quad \eta _ { s } ( \phi ) = 1 + 2 . 5 \phi _ { m } { \cal A } ( \phi ) ^ { - 1 } + \Bigl ( \mu _ { 1 } + \frac { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } { 1 \! + \! I _ { 0 } { \cal A } ( \phi ) ^ { - 2 } } \Bigr ) { \cal A } ( \phi ) ^ { - 2 } , \qquad { \cal A } ( \phi ) = \frac { \phi _ { m } } { \phi } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ u _ { k _ { 2 } } ^ { \prime } ( r ) u _ { k _ { 1 } } ( r ) - u _ { k _ { 1 } } ^ { \prime } ( r ) u _ { k _ { 2 } } ( r ) \right] _ { 0 } ^ { R } = } \\ { ( k _ { 2 } ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { R } d r \, u _ { k _ { 1 } } ( r ) u _ { k _ { 2 } } ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { W } ^ { ( m j ) } = } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { 2 q \geq n } ^ { q = n } \sum _ { r = 0 } ^ { m - n } \frac { 1 } { q ! ( n - q ) ! } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \left[ A ^ { q } ( A ^ { * } ) ^ { n - q } \right. \times } \end{array}
\ensuremath { \vert \bar { \Psi } _ { I , J } \rangle } = 2 c _ { I } c _ { J } \; \ensuremath { \vert \Psi _ { 0 } \rangle } - c _ { J } \; \ensuremath { \vert \Phi _ { I } \rangle } - c _ { I } \; \ensuremath { \vert \Phi _ { J } \rangle } .
\cos \beta \frac { \partial ^ { N } k _ { \delta } } { \partial u ^ { N } } ( u , v ) = \sum _ { p = 0 } ^ { N - 1 } \frac { \partial ^ { N - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { N - p } } \sum _ { I } c _ { I } A ^ { N - p - | I | } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { 1 } } ( \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial u ^ { 2 } } ) ^ { i _ { 2 } } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ) ^ { i _ { p } } .
\begin{array} { c } { { P R ^ { \prime } \left( \sqrt { \frac { z } { w } } \right) \left( q ^ { S _ { 3 } } \otimes { \frac { E } { z } } + { \frac { E } { w } } \otimes q ^ { - S _ { 3 } } \right) = } } \\ { { = \left( q ^ { S _ { 3 } } \otimes { \frac { E } { w } } + { \frac { E } { z } } \otimes q ^ { - S _ { 3 } } \right) P R ^ { \prime } \left( \sqrt { \frac { z } { w } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda \tilde { \Phi } ^ { e } - \mu \sigma ^ { 2 } \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { \Phi } ^ { e } } & { { } = - \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \tilde { \Phi } ^ { e } - V [ m _ { 0 } ] \tilde { \Phi } ^ { e } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Phi } ^ { e } \log { \tilde { \Phi } ^ { e } } , } \\ { - \lambda \tilde { \Gamma } ^ { e } - \mu \sigma ^ { 2 } \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { \Gamma } ^ { e } } & { { } = \frac { \mu \sigma ^ { 4 } } { 2 } \Delta \tilde { \Gamma } ^ { e } + V [ m _ { 0 } ] \tilde { \Gamma } ^ { e } - \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Gamma } ^ { e } \log { m } + \gamma \mu \sigma ^ { 2 } \tilde { \Gamma } ^ { e } \log { \tilde { \Gamma } ^ { e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T o r } \left( N , V _ { 1 } \right) } & { = \mathrm { T o r } \left( N , \langle V _ { 1 } , N \rangle N + \langle V _ { 1 } , J N \rangle J N + \langle V _ { 1 } , X _ { 0 } \rangle X _ { 0 } \right) } \\ & { = \langle V _ { 1 } , J N \rangle X _ { 0 } + \langle V _ { 1 } , X _ { 0 } \rangle \mathrm { T o r } ( N , X _ { 0 } ) . } \end{array}
\Longrightarrow - V \left[ \vec { h } _ { \mu \nu } \right] \equiv 2 ( N - 1 ) \zeta \int d ^ { 3 } x \left[ H _ { \alpha } \mathrm { a r c s i n h } { \, } H _ { \alpha } - \sqrt { 1 + H _ { \alpha } ^ { 2 } } \right] .
h _ { p } ( 1 / q ) = \log J _ { p } ( 1 / q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { p } \log \frac { 2 } { 1 - e ^ { - p / 2 } } + o ( 1 ) } & { \textrm { i f } 0 < p < \infty , } \\ { - \frac { q } { 8 } + \frac { 1 } { 2 p } \log \frac { 2 \pi q } { | p | } + \frac { 1 } { 4 } + o ( 1 ) } & { \textrm { i f } - \infty < p < 0 } \end{array} \right. \qquad \textrm { a s } q \to \infty .
\delta g _ { \mu \nu } = h _ { \mu \nu } ( z = 0 ) = h _ { \mu \nu } ( z = \ell ) = { \frac { 1 6 \pi k \ell _ { P } ^ { 2 } \ell ^ { 2 } } { 8 \delta ^ { 4 } } } \left( \eta _ { \mu \nu } - 4 n _ { \mu } n _ { \nu } \right) .
\varphi \leftarrow \varphi - \epsilon \partial _ { \varphi } \left( \alpha \mathcal { L } _ { R e c } + \beta \mathcal { L } _ { O T _ { \mathcal { S } } } + \delta \mathcal { L } _ { O T _ { \mathcal { M } } } + \eta \mathcal { L } _ { R e g } \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { 1 \le n \le \lfloor \sqrt { t / ( 2 \pi ) } \rfloor } n ^ { - 1 / 2 - i t } } & { = \sum _ { 1 \le n \le a _ { R } ^ { \prime } } + \sum _ { a _ { R } ^ { \prime } < n \le a _ { K } } + \sum _ { a _ { K } < n \le \lfloor \sqrt { t / ( 2 \pi ) } \rfloor } } \\ & { = S _ { 1 } + S _ { 2 } + S _ { 3 } , } \end{array}
+ ( n + 1 ) ^ { 2 } G _ { 2 n } c _ { - 6 - 2 n } ^ { ( 2 ) } + c _ { - 4 } ^ { ( 1 ) } + c _ { - 6 - n } ^ { ( 1 ) } G _ { n } + c _ { - 6 } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l } { \Upsilon \approx \frac { \gamma ^ { 2 } } { J } } & { \frac { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } { 1 - \big ( \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \big ) ^ { M } } , \quad \zeta \approx g \sqrt { \frac { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } { 1 - \big ( \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \big ) ^ { M } } } , } \\ & { \xi \approx w \big ( \frac { v } { w } \big ) ^ { M } \frac { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } { 1 - \big ( \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \big ) ^ { M } } . } \end{array}
\mathrm { ~ E ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } = \frac { - 1 - \frac { 2 \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } \mathrm { ~ N ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } + \sqrt { \left( 1 + \frac { 2 \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } \mathrm { ~ N ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } \right) ^ { 2 } + \frac { 8 \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } \mathrm { ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } } } { 4 \frac { \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } } .
E ^ { \prime } = \frac { A } { 2 } \prod _ { m = 1 } ^ { M } ( | \mathbf { k } _ { m } | ^ { 4 } + b _ { m } ) \bar { \psi } ^ { 2 } + \frac { B } { 2 } \bar { \psi } ^ { 2 } + \frac { C } { 3 } \bar { \psi } ^ { 3 } + \frac { D } { 4 } \bar { \psi } ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , t ] } \| u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \| u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } d r } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { t } \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , s ] } \| u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } ^ { 2 } d s + \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) ) \| _ { H } ^ { 2 } d r , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ^ { \mathrm { M S , } b \mathrm { , a d d . } } ( \phi ) } & { { } = \left( 1 + \left( e ^ { b } - 1 ) \phi \right) \right) ^ { \frac { \ln { ( 1 - \kappa ) } } { b \epsilon } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ a _ { \mathrm { ~ G ~ } } , a _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \dagger } \right] } & { { } = \frac { \left[ G a _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \prime } + g a _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \prime \dagger } , G a _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \prime \dagger } + g a _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \prime } \right] } { G ^ { 2 } - g ^ { 2 } } } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } S _ { 2 k , 2 n } ( - 1 ) ^ { n } = \oint _ { 0 } { \frac { d z } { 2 \pi i } } { \frac { 1 } { z ^ { 2 k - 1 } } } { \frac { 1 } { 1 + z ^ { 2 } } } = ( - 1 ) ^ { k } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \alpha _ { i } \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } + \beta \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } } { ( \alpha _ { i } ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } , \mathrm { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ~ i f ~ i ~ = ~ k ~ } } \\ & { \frac { \mathcal { I } _ { n } ( \alpha _ { i } , \beta , 0 ) - \mathcal { I } _ { n } ( \alpha _ { k } , \beta , 0 ) } { \alpha _ { k } - \alpha _ { i } } , \mathrm { ~ i f ~ i ~ \neq ~ k ~ } } \end{array}
u _ { i } = u \left( \mathbf { x } _ { i } \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } \widetilde { h } _ { i j } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \beta _ { j } \widetilde { g } _ { i j } + \widetilde { f } _ { i } ,
\begin{array} { r c l l } { \mathfrak { i } _ { A } : } & { \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ( H ) } & { \longrightarrow } & { \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ( H ) } \\ & { \alpha } & { \longmapsto } & { 1 \otimes \alpha } \end{array} , \qquad \begin{array} { r c l l } { \mathfrak { i } _ { B } : } & { \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ( H ) } & { \longrightarrow } & { \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ( H ) } \\ & { \beta } & { \longmapsto } & { \beta \otimes 1 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ \| X _ { 0 } - \mathbb { E } [ X _ { 0 } ] \| _ { U } ^ { 2 } ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \| X _ { 0 } - \mathbb { E } [ X _ { 0 } | X _ { t } ] + \mathbb { E } [ X _ { 0 } | X _ { t } ] - \mathbb { E } [ X _ { 0 } ] \| _ { U } ^ { 2 } ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \| X _ { 0 } - \mathbb { E } [ X _ { 0 } | X _ { t } ] \| _ { U } ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \| \mathbb { E } [ X _ { 0 } | X _ { t } ] - \mathbb { E } [ X _ { 0 } ] \| _ { U } ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \langle X _ { 0 } - \mathbb { E } [ X _ { 0 } | X _ { t } ] , \mathbb { E } [ X _ { 0 } | X _ { t } ] - \mathbb { E } [ X _ { 0 } ] \rangle _ { U } ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \| X _ { 0 } - \mathbb { E } [ X _ { 0 } | X _ { t } ] \| _ { U } ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \| \mathbb { E } [ X _ { 0 } | X _ { t } ] - \mathbb { E } [ X _ { 0 } ] \| _ { U } ^ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { \Delta ( z ^ { \, i } { } _ { j } ) } } & { { z ^ { \, i } { } _ { k } \otimes z ^ { \, k } { } _ { j } } } & { { \Delta ( { \bf 1 } ) } } & { { { \bf 1 } \otimes { \bf 1 } } } \\ { { \varepsilon ( z ^ { \, i } { } _ { j } ) } } & { { \delta ^ { \, i } { } _ { j } } } & { { \varepsilon ( { \bf 1 } ) } } & { { 1 } } \\ { { S ( z ^ { \, i } { } _ { j } ) } } & { { ( S ( Z ) ) ^ { \, i } { } _ { j } } } & { { S ( { \bf 1 } ) } } & { { { \bf 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { - i j - } = } & { \partial _ { \rho } \gamma _ { i j } - \psi _ { i k } \psi _ { j } ^ { k } - \hat { \nabla } _ { ( i } \varphi _ { j ) } - 2 \rho \varphi _ { i } \varphi _ { j } \, , } \\ { \nabla _ { - } \tilde { R } _ { - i j - } = } & { \frac { 1 } { t } \Big [ \partial _ { \rho } ^ { 2 } \gamma _ { i j } - 2 \psi _ { j } ^ { k } { \cal B } _ { k i } - 2 \psi _ { i } ^ { k } { \cal B } _ { k j } - \hat { \nabla } _ { ( i } ( \partial _ { \rho } \varphi _ { j ) } ) - 6 \varphi _ { i } \varphi _ { j } + \varphi ^ { k } \varphi _ { k } \gamma _ { j i } - \psi _ { i } ^ { k } \hat { \nabla } _ { j } \varphi _ { k } - \psi _ { j } ^ { k } \hat { \nabla } _ { i } \varphi _ { k } } \\ & { \quad + \varphi ^ { k } ( \hat { \nabla } _ { i } \psi _ { j k } + 2 \hat { \nabla } _ { j } \psi _ { k i } - 2 \hat { \nabla } _ { k } \psi _ { j i } + \hat { \nabla } _ { i } \psi _ { k j } - \hat { \nabla } _ { k } \psi _ { i j } ) } \\ & { \quad + 2 \rho \big ( \varphi ^ { k } ( \varphi _ { j } \psi _ { i k } + \varphi _ { i } \psi _ { k j } - \varphi _ { k } \psi _ { i j } ) - 2 \varphi ^ { k } \varphi _ { ( i } \psi _ { j ) k } - 3 \partial _ { \rho } \varphi _ { ( i } \varphi _ { j ) } - 2 \varphi ^ { k } \varphi _ { ( i } f _ { j ) k } \big ) \Big ] \, . } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ C ~ } } = \frac { \pi } { 2 } \mathcal { A } _ { 0 , \mathrm { ~ C ~ } } ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 , \mathrm { ~ C ~ } } ^ { 2 } t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ , ~ C ~ } } \, .
\frac { d n _ { e } f f } { d T } = \Sigma _ { i } \Gamma _ { i } \frac { d n _ { i } } { d T } = \Gamma _ { S i N } \frac { d n _ { S i N } } { d T } + \Gamma _ { a - S i } \frac { d n _ { a - S i } } { d T }
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 4 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 3 } - \mathbf { k } _ { 2 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 7 } } & { { } = 2 \mathbf { k } _ { 1 } , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 5 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 1 } - \mathbf { k } _ { 3 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 8 } } & { { } = 2 \mathbf { k } _ { 2 } , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 6 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 9 } } & { { } = 2 \mathbf { k } _ { 3 } . } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { c } { \dot { q } ^ { 1 } = \frac { \partial H } { \partial p _ { 1 } } ( q ^ { 1 } , \cdots , q ^ { n } , p _ { 1 } , \cdots , p _ { n } ) , } \\ { \vdots } \\ { \dot { q } ^ { n } = \frac { \partial H } { \partial p _ { n } } ( q ^ { 1 } , \cdots , q ^ { n } , p _ { 1 } , \cdots , p _ { n } ) , } \\ { \dot { p } _ { 1 } = - \frac { \partial H } { \partial q ^ { 1 } } ( q ^ { 1 } , \cdots , q ^ { n } , p _ { 1 } , \cdots , p _ { n } ) , } \\ { \vdots } \\ { \dot { p } _ { n } = - \frac { \partial H } { \partial q ^ { n } } ( q ^ { 1 } , \cdots , q ^ { n } , p _ { 1 } , \cdots , p _ { n } ) , } \\ { \dot { z } = p _ { i } \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } - H . } \end{array} \right.
d s ^ { 2 } = - 2 d \hat { x } ^ { + } d \hat { x } ^ { - } + d \hat { x } ^ { 2 } + ( \hat { x } ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) d \hat { z } ^ { 2 } + 2 ( \hat { x } ^ { + } d \hat { x } - \hat { x } d \hat { x } ^ { + } ) d \hat { z } + d x _ { \perp } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { f _ { \mathrm { d i p } } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } = } & { \frac { x \cos \left( 2 x \right) - 2 \sin \left( 2 x \right) } { 8 x ^ { 4 } } , } \\ { f _ { \mathrm { d i p } } ^ { ( 2 ) } ( x ) } & { { } = } & { \frac { 3 \sin \left( 2 x \right) - 2 x \cos \left( 2 x \right) - 4 x } { 8 x ^ { 3 } } , } \end{array}
\Delta B _ { 5 , m a x } = - \frac { 1 } { 8 \pi } \frac { T } { \overline { { { m } } } _ { 2 } } \frac { 1 } { 1 6 } \left( \frac { 2 5 } { 4 } g ^ { 4 } + \frac { 3 0 } { 4 } g ^ { \prime 4 } - \frac { 1 9 } { 2 } g ^ { 2 } g ^ { \prime 2 } \right) < 0 .
\int _ { \Omega } \frac { \partial \mathcal { E } ^ { \ell } } { \partial t } d V = \sum _ { \ell } \left| \Omega ^ { \ell } \right| \frac { \partial \mathcal { E } ^ { \ell } } { \partial t } = - \sum _ { \ell \mathcal { r } } \left| \partial \Omega ^ { \ell \mathcal { r } } \right| \left( D _ { \mathcal { E } } ^ { \ell \mathcal { r } , - } + D _ { \mathcal { E } } ^ { \mathcal { r } \ell , - } \right) .
\begin{array} { r l } { M _ { i } ( t + \Delta t , n ; \mathbf { g } ( n ) ) } & { = M _ { i } ( t , n ; \mathbf { g } ( n ) ) + } \\ { \frac { \Delta t } { \Delta x } } & { \left[ F _ { i } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ( n ) \right) - F _ { i } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n + \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ( n ) \right) \right] , } \end{array}
d ^ { D } l _ { E } = l _ { E } ^ { D - 1 } \sin ^ { D - 2 } \varphi _ { 1 } \sin ^ { D - 3 } \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } d l _ { E } d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { D - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { I _ { i } } = C _ { \phi _ { i } , \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { y _ { 0 } } } \{ \mathbf { I _ { i , 0 } } \} = ( } & { a _ { i , 0 } + a _ { i , 1 } \mathbf { x _ { 0 } } + a _ { i , 2 } \mathbf { y _ { 0 } } + a _ { i , 3 } \mathbf { x _ { 0 } \odot x _ { 0 } } + } \\ & { a _ { i , 4 } \mathbf { y _ { 0 } \odot y _ { 0 } } + a _ { i , 5 } \mathbf { x _ { 0 } \odot y _ { 0 } } ) \odot \mathbf { I _ { i , 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | E ( C _ { i , j } | C _ { i , j + k } ) - E ( C _ { i , j } | C _ { i , j + k + 1 } ) | } & { \leq a _ { k } X _ { i } , } \\ { | C o v ( C _ { i , j _ { 1 } } , C _ { i , j _ { 2 } } | C _ { i , j _ { 2 } + k } ) - C o v ( C _ { i , j _ { 1 } } , C _ { i , j _ { 2 } } | C _ { i , j _ { 2 } + k + 1 } ) | } & { \leq b _ { k } Y _ { i } , } \end{array}