harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { | 1 \rangle = a _ { L \uparrow } ^ { \dag } a _ { L \downarrow } ^ { \dag } | \theta \rangle , \quad | 2 \rangle = a _ { R \uparrow } ^ { \dag } a _ { R \downarrow } ^ { \dag } | \theta \rangle , \quad | 3 \rangle = a _ { L \uparrow } ^ { \dag } a _ { R \downarrow } ^ { \dag } | \theta \rangle , \quad | 4 \rangle = a _ { R \uparrow } ^ { \dag } a _ { L \downarrow } ^ { \dag } | \theta \rangle , } \\ & { | 5 \rangle = a _ { L \uparrow } ^ { \dag } a _ { R \uparrow } ^ { \dag } | \theta \rangle , \quad | 6 \rangle = a _ { L \downarrow } ^ { \dag } a _ { R \downarrow } ^ { \dag } | \theta \rangle . } \end{array}
\phi _ { I } ( x , y , z ) = v _ { 0 } z + c - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { \Omega ( u , v ) \mathrm { d } u \mathrm { d } v } { \sqrt { ( x - v ) ^ { 2 } + ( y - u \sin { ( \beta ) } ) ^ { 2 } + ( z - u \cos { ( \beta ) } ) ^ { 2 } } }
B = - \frac { \vert e \vert H } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 2 \sqrt { \pi } \vert e \vert H } { \Gamma ( 1 + \delta ) } \int _ { 0 ^ { + } } ^ { \infty } d \eta \; \eta ^ { - 3 / 2 + 1 + \delta } \mathrm { e } ^ { - ( 4 + \beta ^ { 2 } m ^ { 2 } ) \eta } \mathrm { c s c h } ^ { 2 } ( \beta ^ { 2 } \vert e \vert H \eta )
\exp \left[ \frac { i e } { \hbar c } \int _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { i } } ^ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { f } } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } [ \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ( t ) ] \cdot d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \right] \; .
[ V _ { \alpha } , V _ { \beta } ] = \epsilon _ { \alpha \beta } ^ { ~ ~ ~ \! \gamma } V _ { \gamma } , \qquad [ V _ { \alpha } , V _ { m } ^ { a } ] = V _ { m } ^ { b } ( \sigma _ { \alpha } ) _ { b } ^ { ~ a } , \qquad \{ V _ { m } ^ { a } , V _ { m } ^ { b } \} = - m ^ { 2 } ( \sigma ^ { \alpha } ) ^ { a b } V _ { \alpha }
\begin{array} { r } { G ( f ) = G ( v + z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { R ( v z ^ { 3 } ) , \mathrm { ~ o r ~ } R ( z ^ { 4 } ) } & { \mathrm { f r o m ~ q u a r t i c ~ t e r m s , } } \\ { R ( v ^ { n - k } z ^ { k } ) , \quad \mathrm { ~ f o r ~ n = 5 ~ , ~ a n d ~ k \ge ~ 2 ~ , ~ o r ~ n \ge ~ 6 ~ } } & { \mathrm { ~ f r o m ~ h i g h e r ~ o r d e r ~ t e r m s } , } \end{array} \right. } \end{array}
d s _ { ( \; , 1 ) } ^ { 2 } = - \int _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 3 } } \sum _ { a , b = 1 } ^ { 8 } \sum _ { \mu } { y } _ { \mu } ^ { a } { y } _ { \mu } ^ { b } d s \, \rho _ { a } \rho _ { b } = - \int _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 3 } } \sum _ { \mu } d { t } _ { \mu } d { t } _ { \mu } .
\begin{array} { r } { E _ { x } ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi \leqslant \xi _ { 4 } } \\ { - E _ { 0 } \frac { \xi - \xi _ { 4 } } { \xi _ { 3 } - \xi _ { 4 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi _ { 4 } < \xi \leqslant \xi _ { 3 } } \\ { - E _ { 0 } \frac { \xi _ { 0 } - \xi } { \xi _ { 0 } - \xi _ { 3 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi _ { 3 } < \xi \leqslant \xi _ { 0 } } \\ { E _ { 0 } \frac { \xi - \xi _ { 0 } } { \xi _ { 1 } - \xi _ { 0 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi _ { 0 } < \xi \leqslant \xi _ { 1 } } \\ { E _ { 0 } \frac { \xi _ { 2 } - \xi } { \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi _ { 1 } < \xi \leqslant \xi _ { 2 } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi _ { 2 } < \xi } \end{array} \right. } \end{array}
\hat { H } _ { g h } = ( \hat { p } _ { z } ^ { \dagger } , \hat { p } _ { z } ) + ( \hat { p } _ { \eta } ^ { \dagger } , \hat { p } _ { \eta } ) + ( \hat { z } ^ { \dagger } , \Omega ( \hat { x } ) \hat { z } ) + ( \hat { \eta } ^ { \dagger } , \Omega ( \hat { x } ) \hat { \eta } )
\begin{array} { r l } { \delta _ { l , - w } ( x ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { x } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \\ { = } & { { } \frac { 2 \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { x } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } A _ { ( - ) } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } \mathbf { 1 } } { 2 \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, } \end{array}
{ \cal G } _ { \omega } ( r , r ^ { \prime } , \theta ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 \nu \Gamma \left( { \frac { D } { 2 } } - 1 \right) } { 8 ( \pi r r ^ { \prime } ) ^ { D / 2 - 1 } \sin \pi \nu } } C _ { n } ^ { ( D / 2 - 1 ) } ( \cos \theta ) \left[ J _ { \nu } ( k r _ { < } ) J _ { - \nu } ( k r _ { > } ) - \beta J _ { \nu } ( k r ) J _ { \nu } ( k r ^ { \prime } ) \right] ,
x \frac { d t } { d x } = \frac { a } { 2 } x ^ { 1 / 2 } y ^ { 1 / 6 } + \frac { a } { 6 } x ^ { 3 / 2 } y ^ { - 5 / 6 } y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } t + \frac { a } { 6 } x ^ { 3 / 2 } y ^ { - 5 / 6 } y ^ { \prime } .
T _ { g } ^ { \mu \nu } = { \frac { 1 } { 4 \pi G } } \left[ \partial ^ { \mu } \phi \, \partial ^ { \nu } \phi \, - { \frac { 1 } { 2 } } \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \lambda } \phi \, \partial ^ { \lambda } \phi \right]
{ \kappa } _ { j } ^ { i } \ast a = - Z _ { k } ^ { - 1 i } Z _ { j } ^ { l } q ^ { - { \delta } _ { j } ^ { l } } q ^ { { \delta } _ { j } ^ { k } } Z _ { r } ^ { k } { \frac { \partial a } { \partial { Z _ { r } ^ { l } } } } \, , \quad \, k > l \, .
0 = \partial _ { p } \partial _ { q } \left( { \frac { R _ { \sigma } ^ { \ \sigma } - R _ { \tau } ^ { \ \tau } } { p + q } } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ Q ^ { \prime \prime \prime } ( q ) - P ^ { \prime \prime \prime } ( p ) \right]
{ \begin{array} { r l } { p ( 1 0 0 ) } & { = 1 9 0 , \! 5 6 9 , \! 2 9 2 } \\ { p ( 1 0 0 0 ) } & { = 2 4 , \! 0 6 1 , \! 4 6 7 , \! 8 6 4 , \! 0 3 2 , \! 6 2 2 , \! 4 7 3 , \! 6 9 2 , \! 1 4 9 , \! 7 2 7 , \! 9 9 1 \approx 2 . 4 0 6 1 5 \times 1 0 ^ { 3 1 } } \\ { p ( 1 0 0 0 0 ) } & { = 3 6 , \! 1 6 7 , \! 2 5 1 , \! 3 2 5 , \! \dots , \! 9 0 6 , \! 9 1 6 , \! 4 3 5 , \! 1 4 4 \approx 3 . 6 1 6 7 3 \times 1 0 ^ { 1 0 6 } } \end{array} }
\mathbb { P } ( \mathcal { E } _ { B } | \boldsymbol { \varphi } ) = \int \delta ( \mathcal { E } _ { B } - \boldsymbol { E } _ { B } ( \boldsymbol { \psi } ) ) \mathbb { P } ( \boldsymbol { \psi ^ { \prime } } ) \mathrm { d } \boldsymbol { \psi ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle } & { { } = | ( \overline { { N = 0 , F = 0 , M _ { F } = 0 } } ) ^ { ( k ) } \rangle , } \\ { | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle } & { { } = | ( \overline { { N = 1 , F = 1 ^ { - } , M _ { F } = 0 } } ) ^ { ( k ) } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \widehat { G } _ { n } \in \Xi } \operatorname* { s u p } _ { G \in \Xi _ { 2 } ( l _ { n } ) } \mathbb { E } _ { p _ { G } } \biggr ( d _ { 5 } ^ { 2 } ( G , \widehat { G } _ { n } ) \biggr ) \geq \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 1 2 8 } \biggr \{ 1 - V ( p _ { G _ { 1 } } ^ { n } , p _ { G _ { 2 } } ^ { n } ) \biggr \} } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \mathrm { R a o } } \le 2 \left\lVert S _ { n } ( \theta _ { 0 } ) \right\rVert _ { H ( \theta _ { 0 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \le 4 \left\lVert S _ { n } ( \theta _ { 0 } ) - S ( \theta _ { 0 } ) \right\rVert _ { H ( \theta _ { 0 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } + 4 \left\lVert S ( \theta _ { 0 } ) \right\rVert _ { H ( \theta _ { 0 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { p } _ { \theta } ( \boldsymbol { 0 } ) = p ( [ R \cos \theta , R \sin \theta ] ) + \int _ { r = R } ^ { r = 0 } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { d l } = p ( [ R \cos \theta , R \sin \theta ] ) + \int _ { r = 0 } ^ { r = R } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { e } _ { r } d r
\begin{array} { r } { r _ { k } ^ { \ast } = \frac { m } { n } = \operatorname* { m i n } \left( \sqrt { \frac { w ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } } , \sqrt { \frac { w ( F ^ { ( k - 1 ) } , G ^ { ( k - 1 ) } ) \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } , G ^ { ( k - 1 ) } ) ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } , G ^ { ( k - 1 ) } ) ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
( \stackrel { . . } { x } _ { 0 } + \gamma \stackrel { . } { x } _ { 0 } ) \left( \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \rho ^ { \prime 2 } d x \right) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } V ^ { \prime } d x = \Delta V ,
\begin{array} { r } { ( x , p ) \succeq _ { \mathrm { s t o } } ( x , q ) \quad \mathrm { i f f } \quad { \sum } _ { i = 1 } ^ { k } p _ { i } \leq { \sum } _ { i = 1 } ^ { k } q _ { i } \quad \mathrm { f o r } \quad k = 1 , . . , n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { f } } & { = \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac 1 2 } \rho _ { f } ^ { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } , \qquad r _ { g } = \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac 1 2 } \rho _ { g } ^ { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } , \qquad U _ { f , g } = | u _ { f } - u _ { g } | , } \\ & { \theta _ { f } = \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { r _ { f } ^ { 2 } + U _ { f , g } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } } { 2 r _ { f } U _ { f , g } } \right) , \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { \theta } = \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { r _ { f } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } - U _ { f , g } ^ { 2 } } { 2 r _ { g } U _ { f , g } } \right) . } \end{array}
\Lambda ^ { ( 3 ) } ( g _ { 2 } , g _ { 3 } ) ^ { \alpha } \: + \: \Lambda ^ { ( 3 ) } ( g _ { 1 } , g _ { 2 } g _ { 3 } ) ^ { \alpha } \: = \: g _ { 3 } ^ { * } \Lambda ^ { ( 3 ) } ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: + \: \Lambda ^ { ( 3 ) } ( g _ { 1 } g _ { 2 } , g _ { 3 } ) ^ { \alpha } \: + \: d \log \gamma _ { \alpha } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } , g _ { 3 } }
r _ { 0 } ^ { 6 } = { \frac { 1 } { 6 ^ { 2 } } } \{ ( t ^ { I } q _ { I } ) _ { \mathrm { h o r } } \} ^ { 3 } \qquad \Longrightarrow \qquad { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 1 / 2 } } } ( - q _ { 0 } ) ^ { 2 } q _ { 1 } = { \frac { 8 ( Q _ { H } Q _ { F } ) ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } \ ,
\mathcal { G } _ { 1 } ( \hat { g } _ { 1 } ) \geq \int _ { \Omega _ { 1 } } \left( \frac { c _ { 1 } } { 2 } | \nabla ( \hat { g } _ { 1 } - g _ { 1 } ) | ^ { 2 } + \frac 1 2 | \hat { g } _ { 1 } - g _ { 1 } | ^ { 2 } \right) d x \geq \frac { \check { c } _ { 1 } } { 2 } \lVert \hat { g } _ { 1 } - g _ { 1 } \rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } ^ { 2 }
P ( k _ { 1 } | u , \beta _ { S } ) = \frac { \big ( \sqrt { u \beta _ { S } } \big ) ^ { 3 } } { B \Big ( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { u } \Big ) } \Big [ 1 + ( u \beta _ { S } ) k _ { 1 } \Big ] ^ { - ( \frac { 1 } { u } + \frac { 3 } { 2 } ) } \sqrt { k _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \langle A | } & { { } \doteq { \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 } ^ { * } } & { A _ { 2 } ^ { * } } & { \cdots } & { A _ { N } ^ { * } } \end{array} \right) } } \\ { | B \rangle } & { { } \doteq { \left( \begin{array} { l } { B _ { 1 } } \\ { B _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { B _ { N } } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { L } \mu } } & { { } = \sum _ { \eta } \left[ \left( \mathbf { S } ^ { \mathrm { L } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] _ { \mu \eta } \tilde { a } _ { \mathrm { L } \eta } , } \\ { a _ { \mathrm { G } \mu } } & { { } = \sum _ { \eta } \left[ \left( \mathbf { S } ^ { \mathrm { G } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] _ { \mu \eta } \tilde { a } _ { \mathrm { G } \eta } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \{ J _ { 0 } , J _ { 0 } \} } } & { { \{ J _ { 0 } , J _ { 1 } \} } } \\ { { \{ J _ { 1 } , J _ { 0 } \} } } & { { \{ J _ { 1 } , J _ { 1 } \} } } \end{array} \right) = { \cal D } \delta ( x - y )
\begin{array} { r l } { \tan \left( \lambda \right) } & { { } = { \frac { \sin \left( \alpha \right) \cos \left( \varepsilon \right) + \tan \left( \delta \right) \sin \left( \varepsilon \right) } { \cos \left( \alpha \right) } } ; \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \cos \left( \beta \right) \sin \left( \lambda \right) = \cos \left( \delta \right) \sin \left( \alpha \right) \cos \left( \varepsilon \right) + \sin \left( \delta \right) \sin \left( \varepsilon \right) ; } \\ { \cos \left( \beta \right) \cos \left( \lambda \right) = \cos \left( \delta \right) \cos \left( \alpha \right) . } \end{array} \right. } } \\ { \sin \left( \beta \right) } & { { } = \sin \left( \delta \right) \cos \left( \varepsilon \right) - \cos \left( \delta \right) \sin \left( \varepsilon \right) \sin \left( \alpha \right) } \\ { { \left[ \begin{array} { l } { \cos \left( \beta \right) \cos \left( \lambda \right) } \\ { \cos \left( \beta \right) \sin \left( \lambda \right) } \\ { \sin \left( \beta \right) } \end{array} \right] } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \left( \varepsilon \right) } & { \sin \left( \varepsilon \right) } \\ { 0 } & { - \sin \left( \varepsilon \right) } & { \cos \left( \varepsilon \right) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \cos \left( \delta \right) \cos \left( \alpha \right) } \\ { \cos \left( \delta \right) \sin \left( \alpha \right) } \\ { \sin \left( \delta \right) } \end{array} \right] } } \\ { \tan \left( \alpha \right) } & { { } = { \frac { \sin \left( \lambda \right) \cos \left( \varepsilon \right) - \tan \left( \beta \right) \sin \left( \varepsilon \right) } { \cos \left( \lambda \right) } } ; \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \cos \left( \delta \right) \sin \left( \alpha \right) = \cos \left( \beta \right) \sin \left( \lambda \right) \cos \left( \varepsilon \right) - \sin \left( \beta \right) \sin \left( \varepsilon \right) ; } \\ { \cos \left( \delta \right) \cos \left( \alpha \right) = \cos \left( \beta \right) \cos \left( \lambda \right) . } \end{array} \right. } } \\ { \sin \left( \delta \right) } & { { } = \sin \left( \beta \right) \cos \left( \varepsilon \right) + \cos \left( \beta \right) \sin \left( \varepsilon \right) \sin \left( \lambda \right) . } \\ { { \left[ \begin{array} { l } { \cos \left( \delta \right) \cos \left( \alpha \right) } \\ { \cos \left( \delta \right) \sin \left( \alpha \right) } \\ { \sin \left( \delta \right) } \end{array} \right] } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \left( \varepsilon \right) } & { - \sin \left( \varepsilon \right) } \\ { 0 } & { \sin \left( \varepsilon \right) } & { \cos \left( \varepsilon \right) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \cos \left( \beta \right) \cos \left( \lambda \right) } \\ { \cos \left( \beta \right) \sin \left( \lambda \right) } \\ { \sin \left( \beta \right) } \end{array} \right] } . } \end{array}
\chi ( p _ { T } , \xi , \tau ) = \chi _ { 0 } + \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \theta ^ { - 1 } ( p _ { T } , \sinh ^ { - 1 } ( \frac { \tau \sinh \xi } { \tau ^ { \prime } } ) , \tau ^ { \prime } ) \; .
H _ { i j } = \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } = \left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { 2 } / \beta _ { 0 } ^ { 2 } , \quad } & { i = j = 0 } \\ { \left< \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \phi _ { j } ( \mathbf { u } ) \right> , \quad } & { i \ge 1 , j \ge 1 } \\ { 0 , \quad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta _ { i j } } \! \log \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \alpha \vert \sigma ) } & { = \delta _ { \Omega ( \sigma ) , i } \delta _ { \alpha , j } - \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i } } \mathrm { e } ^ { \theta _ { i j } } \delta _ { \Omega ( \sigma ) , i } } \\ & { = \delta _ { \Omega ( \sigma ) , i } \left[ \delta _ { \alpha , j } - \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( j \vert \sigma ) \right] . } \end{array}
\Big ( \frac { v ^ { - \, \prime } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { - } ( \lambda ) } { v ^ { - } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { - } ( \lambda ) } + \frac { v ^ { + } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { + \, \prime } ( \lambda ) } { v ^ { + } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda ) } \Big ) D ( \lambda ) ,
( T _ { 0 } , T _ { 1 } , T _ { 2 } , T _ { 3 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( 0 , 0 , 0 , i R ) } } & { { s \in ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } } \\ { { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) } } & { { s \in ( s _ { 2 } , s _ { 3 } ) } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { v _ { B } ^ { \varepsilon } = ^ { t } ( 0 , 0 , 0 ) } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \\ { v _ { A } ^ { \varepsilon } \cdot n _ { \Gamma } = v _ { B } ^ { \varepsilon } \cdot n _ { \Gamma } = v _ { S } ^ { \varepsilon } \cdot n _ { \Gamma } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ( t ) , } \\ { P _ { \Gamma } v _ { A } ^ { \varepsilon } = P _ { \Gamma } v _ { B } ^ { \varepsilon } = r P _ { \Gamma } v _ { S } ^ { \varepsilon } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ( t ) , } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l l } { ( n _ { \Omega } \cdot \nabla ) \theta _ { B } ^ { \varepsilon } = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \\ { \theta _ { A } ^ { \varepsilon } = \theta _ { B } ^ { \varepsilon } = \theta _ { S } ^ { \varepsilon } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ( t ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \Gamma ( \nu , z ) = \Gamma ( \nu ) - z ^ { \nu } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - z ) ^ { n } } { ( \nu + n ) n ! } \qquad \mathrm { f o r } \ | z | < \infty \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A s y m V a r ( \widetilde { \alpha } _ { k } ) } & { - A s y m V a r ( \breve { \alpha } _ { k } ) } \\ & { = \cfrac { 3 6 0 c \sigma ^ { 2 } \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } - ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } ) \big ) } { ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } ) ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } ) } < 0 . } \end{array}
\frac { \partial I } { \partial V } ( \omega ) = \frac { 1 } { R _ { \ell } + i \omega L + \underbrace { R _ { 0 } ( 1 + \beta ) + \frac { R _ { 0 } \mathscr { L } } { 1 - \mathscr { L } } \frac { 2 + \beta } { 1 + i \omega \tau _ { 0 } / ( 1 - \mathscr { L } ) } } _ { Z _ { T E S } ( \omega ) } } = \frac { 1 } { Z _ { c i r c } ( \omega ) }
\frac { x } { \log { x } } + \int _ { 2 } ^ { x } \frac { d t } { ( \log { t } ) ^ { 2 } } = \operatorname { L i } ( x ) + \frac { 2 } { \log { 2 } } \quad \mathrm { a n d } \quad \int _ { 2 } ^ { x } \frac { x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d t } { \sqrt { t } \log { t } } = \frac { \operatorname { E i } \! \left( \frac { \log { x } } { 2 } \right) - \operatorname { E i } \! \left( \frac { \log { 2 } } { 2 } \right) } { \sqrt { x } } ;
\begin{array} { r l } { H _ { f } = } & { \left( \begin{array} { c c } { H _ { \lambda } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { \mu } } \end{array} \right) , } \\ { H _ { \lambda } = } & { \frac { I } { \tau _ { \lambda } } - \sigma _ { \lambda } ( T ^ { \top } T + \nu _ { \lambda } ^ { 2 } D ^ { \top } D ) , } \\ { H _ { \mu } = } & { \frac { I } { \tau _ { \mu } } - \sigma _ { \mu } ( P ^ { \top } P + \nu _ { \mu } ^ { 2 } D ^ { \top } D ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X ( n , i ) + X ( n ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } m _ { k } X ( 1 , k ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \xrightarrow { P ( n , i ; n ^ { \prime } , i ^ { \prime } ; m _ { k } ) } Z ( n , i ) + X ( n ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) , } \\ & { Z ( n , i ) + X ( n ^ { \prime \prime } , i ^ { \prime \prime } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \xrightarrow { Q ( n , i ; n ^ { \prime \prime } , i ^ { \prime \prime } ) } X ( n , i ) + X ( n , i ^ { * } ) + X ( n ^ { \prime \prime } , i ^ { \prime \prime } ) , } \end{array}
R _ { i } = \mathrm { r a n k } ( \lambda _ { M A X } \mathbb { 1 } _ { N } - \textbf { A } , [ \textbf { B } , \textbf { e } _ { i } ] ) - \mathrm { r a n k } ( \lambda _ { M A X } \mathbb { 1 } _ { N } - \textbf { A } , \textbf { B } )
\begin{array} { r l } { V ( f ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ ( f | _ { G ( f ) \cup D ( f ) } ) ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ ( f | _ { G ( f ) \cup D ( f ) } ) ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t + \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ ( f | _ { C ( f ) } ) ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \Big | \pi _ { 0 } \big [ f ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } \Big | \pi _ { 0 } \big [ f ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t . } \end{array}
{ \bar { D } _ { - 1 2 } f ^ { ( 1 2 , - 1 2 ) } \, + 3 \cdot 1 4 4 \cdot { \frac { 1 5 } { 2 } } \, f ^ { ( 1 1 , - 1 1 ) } + 1 5 \, g = 0 . }
\int _ { V } \left[ \varphi ( x ^ { \prime } ) \delta ( x - x ^ { \prime } ) - G ( x , x ^ { \prime } ) \, { \nabla ^ { \prime } } ^ { 2 } \, \varphi ( x ^ { \prime } ) \right] \ d ^ { 3 } x ^ { \prime } = \int _ { S } \left[ \varphi ( x ^ { \prime } ) \, { \nabla ^ { \prime } } G ( x , x ^ { \prime } ) - G ( x , x ^ { \prime } ) \, { \nabla ^ { \prime } } \varphi ( x ^ { \prime } ) \right] \cdot d { \widehat { \sigma } } ^ { \prime } .
\mathbf { r } _ { 0 } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right] } - { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 1 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } = \mathbf { p } _ { 0 } .
{ \cal L } = | \partial _ { \mu } \vec { \varphi } | ^ { 2 } + \frac { i } { 2 } \bar { \vec { \psi } } \sigma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \vec { \psi } + \frac { i } { 2 } \vec { \psi } \bar { \sigma } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \bar { \vec { \psi } } .
\begin{array} { r l } & { \! - \tau ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \zeta ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { i } } \right) + q \cdot \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ { \leq } & { \tau ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \eta _ { \beta _ { i } } + \mu _ { \beta _ { i } } \right) \right. \Big . \Bigg . } \\ & { \left. \quad \quad + q \cdot \tau \left( \eta _ { \beta _ { j } } \! + \mu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { i } } \right) \! + q \cdot \tau \left( \mu _ { \beta _ { j } } \right) \right) } \\ & { \Bigg . \Big . \quad \quad \quad \! + \zeta ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \zeta \left( \nu _ { \beta _ { i } } \right) \! + q \cdot \zeta \left( \nu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ & { \! - \tau ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \zeta ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \zeta \left( \nu _ { \beta _ { i } } \right) \! + q \cdot \zeta \left( \nu _ { \beta _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \\ { = } & { \eta ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { D } = d i a g \left( \frac { \partial _ { t } a _ { 1 } } { a _ { 1 } } , \frac { \partial _ { t } a _ { 2 } } { a _ { 2 } } , \frac { \partial _ { t } a _ { 3 } } { a _ { 3 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { I } = \frac { \mathcal { Q } \times \int \left( \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } ^ { \tilde { n } } d a _ { n } ^ { \tilde { n } } \right) \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } ^ { \tilde { n } } } { \mathcal { Q } \times \int \left( \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } ^ { \tilde { n } } d a _ { n } ^ { \tilde { n } } \right) \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } ^ { \tilde { n } } \exp \{ i M \sum _ { n } \bar { b } _ { n } ^ { \tilde { n } } a _ { n } ^ { \tilde { n } } \} } \, , } \end{array}
\eta _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } } \left[ \check { q } ( \check { q } - 1 ) ( \check { q } - t ) \check { p } ^ { 2 } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } t } { \check { q } } + \frac { t _ { X _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } ( t - 1 ) } { \check { q } - 1 } - \frac { t _ { X _ { 3 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } t ( t - 1 ) } { \check { q } - t } + t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } ( \check { q } - 1 - t ) \right] .