harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - \tau } [ T _ { 1 } ] } & { = \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k < l } Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) ^ { \top } Z _ { i } ( O _ { t , l } ^ { ( i ) } ) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k < l } Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) ^ { \top } \mathbb { E } \left[ Z _ { i } ( O _ { t , l } ^ { ( i ) } ) \mid \mathcal { F } _ { k } ^ { t } \right] \right] } \\ & { \le \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k < l } \left\| Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) \right\| \left\| \mathbb { E } \left[ Z _ { i } ( O _ { t , l } ^ { ( i ) } ) \mid \mathcal { F } _ { k } ^ { t } \right] \right\| \right] \quad \mathrm { ~ ( C a u c h y – S c h w a r z ~ i n e q u a l i t y ) } } \\ & { \le \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k < l } c _ { 3 } L _ { 2 } \rho ^ { ( l - k ) } \right] \quad \mathrm { ~ ( ~ L e m m a ~ ~ a n d ~ ) } } \\ & { \le \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } c _ { 3 } L _ { 2 } \rho ^ { m } \right] } \\ & { = \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } N K } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \frac { \rho } { 1 - \rho } = \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { N K ( 1 - \rho ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathsf K } _ { a } ^ { \circ } ( x , y ) = { \mathsf K } _ { a } ( x , y ) - \frac { 1 } { m } \sum _ { u = 1 } ^ { m } { \mathsf K } _ { a } ( X _ { u } , y ) - \frac { 1 } { m } \sum _ { v = 1 } ^ { m } { \mathsf K } _ { a } ( x , X _ { v } ) + \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { 1 \leq u , v \leq m } { \mathsf K } _ { a } ( X _ { u } , X _ { v } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { x } } & { : = \left\{ u \in \mathbb { R } \mid \exists ( v \in \mathbb { R } ) : ( u , v ) \in D \right\} , } \\ { D _ { y } } & { : = \left\{ v \in \mathbb { R } \mid \exists ( u \in \mathbb { R } ) : ( u , v ) \in D \right\} , } \\ { D _ { x + y } } & { : = \left\{ z \in \mathbb { R } \mid \exists ( ( u , v ) \in D ) : z = x + y \right\} . } \end{array}
{ \frac { \xi _ { 0 } } { \lambda } } = 2 ~ i ~ \xi _ { 0 } \left( { \frac { 1 } { 2 L } } \sum _ { n = \pm \frac { 1 } { 2 } , \pm \frac { 3 } { 2 } , \cdots ~ } \right) \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d p ^ { - } } { 2 \pi } } { \frac { 1 } { 2 p _ { n } ^ { + } p ^ { - } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } + i \epsilon } } ~ ,
f ( \tau ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \frac { \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ^ { \prime } ) } { \langle \tau _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \rangle } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime \prime } \Phi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ( \tau ^ { \prime \prime } ) \omega _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } \left( \operatorname* { m i n } { ( \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) } \right) ,
S = \int d ^ { 3 } x \{ \frac { - 1 } { 2 g ^ { 2 } } T r ( G _ { i j } ) ^ { 2 } - T r [ \hat { A } _ { i } , \psi ] ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } T r ( \hat { A } _ { i } ) ^ { 2 } \}
\Xi _ { \mathrm { s } } \left( r ^ { \alpha } \right) = \int _ { \mathcal { V } ^ { 4 } } \sqrt { - g } d ^ { 4 } u \Theta \left( u ^ { 0 } \right) \delta \left( u ^ { \mu } u _ { \mu } - 1 \right) K _ { \mathrm { s } } ( u ^ { \mu } ) f _ { \ast \mathrm { s } } ,
{ \frac { d } { d t } } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { T } } \\ { \mathbf { N } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right] } = \| \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \| { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \kappa } & { 0 } \\ { - \kappa } & { 0 } & { \tau } \\ { 0 } & { - \tau } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { T } } \\ { \mathbf { N } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right] } .
H ^ { 2 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) = 1 - { \sqrt { \frac { 2 \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } }
{ \frac { \displaystyle \int e ^ { i S } \phi ( x _ { 1 } ) \cdots \phi ( x _ { n } ) \, D \phi } { \displaystyle \int e ^ { i S } \, D \phi } } = \left\langle 0 \left| \phi ( x _ { 1 } ) \cdots \phi ( x _ { n } ) \right| 0 \right\rangle \, .
( x _ { k } - x _ { j } ) \in \Big [ \prod _ { j _ { 0 } = \ell + 2 } ^ { j + 1 } \prod _ { k _ { 0 } = k + 2 } ^ { N + 2 } x _ { \mathrm { F } _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } \Big ] \Big [ \prod _ { j _ { 0 } = 0 } ^ { \ell } \prod _ { k _ { 0 } = \ell + m + 3 } ^ { k + 2 } x _ { \mathrm { F } _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } ^ { - 1 } \Big ] C ^ { \infty } ( K _ { \ell , m , n } ; \mathbb { R } ^ { + } ) .
\xi = - \sqrt { \alpha ^ { \prime } } \frac { 1 } { \partial _ { \tau } } ( u _ { 2 } \psi ^ { 2 } + i u _ { 4 } \psi ^ { 4 } ) \ , \overline { { { \xi } } } = - \sqrt { \alpha ^ { \prime } } \frac { 1 } { \partial _ { \tau } } ( u _ { 2 } \psi ^ { 2 } - i u _ { 4 } \psi ^ { 4 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \varphi ( a _ { k } ) } & { { } = \textup { G a m m a } \left( a _ { k } ; \eta _ { a } , \lambda _ { a } \right) } \\ { \varphi ( \mu _ { k } ) } & { { } = U ( \nu _ { 0 } , \nu _ { 1 } ) } \\ { \varphi ( \sigma _ { k } ) } & { { } = \textup { G a m m a } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { k } ^ { 2 } } ; \eta _ { \sigma } , \lambda _ { \sigma } \right) } \\ { \varphi ( B ) } & { { } = N ( B ; \nu _ { B } , { \xi _ { B } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
E _ { i } ^ { 2 } ( \vec { p \, } ) = \epsilon ^ { 2 } ( \vec { p \, } ) + | \Delta | ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } \pm 2 \sqrt { \epsilon ^ { 2 } ( \vec { p \, } ) \mu ^ { 2 } + ( p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { * } ^ { 2 } ) | \Delta | ^ { 2 } }
\operatorname* { m a x } { \left( \frac { \mathcal { T } _ { i , j } - \mathcal { T } _ { i - 1 , j } } { \Delta x } , \frac { \mathcal { T } _ { i , j } - \mathcal { T } _ { i + 1 , j } } { \Delta x } , 0 \right) } = \frac { \mathcal { T } _ { i , j } + s _ { k } ^ { \mathrm { h } } } { \Delta x } ,
\begin{array} { r } { u _ { N } ( t , z ) = \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ \int _ { 0 } ^ { t } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) - \gamma \right) d s \right\} \right] , \quad t \geq 0 , z = ( z _ { 1 } , . . . , z _ { N } ) \in \mathbb { R } ^ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 ^ { - H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ( C | Q ) _ { \sigma _ { \ast } } } } & { { } \leq p _ { \ast } ^ { - 1 } \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { E } _ { Q \rightarrow Q ^ { \prime } } } \left\langle \Gamma _ { C Q ^ { \prime } } \right\vert \mathcal { I } \otimes \mathcal { E } ( \rho _ { \ast } ) \left\vert \Gamma _ { C Q ^ { \prime } } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { j , t } } & { = \int \int k ( x , x ^ { \prime } ) k ( y , y ^ { \prime } ) \psi _ { j } ( x ) \psi _ { j } ( x ^ { \prime } ) \, d \mu _ { 0 , t } ( x , y ) \, d \mu _ { 0 , t } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { k , \ell } \lambda _ { k } \lambda _ { \ell } \left[ \int \varphi _ { k } ( x ) \varphi _ { \ell } ( y ) \psi _ { j } ( x ) \, d \mu _ { 0 , t } ( x , y ) \right] ^ { 2 } . } \end{array}
( g ) ^ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { e ^ { - \psi / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { e ^ { - \psi / 2 } } } & { { ( f ^ { 2 } x _ { I } ^ { 2 } - h _ { + + } ) e ^ { - \psi } + g _ { + I } \gamma ^ { I J } g _ { J + } } } & { { - e ^ { - \frac { 3 } { 2 } \psi } g _ { + I } \gamma ^ { I J } } } \\ { { 0 } } & { { - e ^ { - \frac { 3 } { 2 } \psi } g _ { + J } \gamma ^ { J I } } } & { { e ^ { - \psi } \gamma ^ { I J } } } \end{array} \right)
\langle | \widetilde { \rho } _ { e } | ^ { 2 } \rangle = \left( \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \langle | \widetilde { \rho } _ { i } | ^ { 2 } \rangle \, .
u _ { j } ^ { n , - } = u _ { j } ^ { n } + ( x _ { { j - \frac { 1 } { 2 } } } - x _ { j } ) \delta _ { j } , \qquad u _ { j } ^ { n , + } = u _ { j } + ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } - x _ { j } ) \delta _ { j }
\begin{array} { r l } { \textbf { L } \boldsymbol { \circ } ( \textbf { p } _ { + } \otimes \textbf { E } _ { V } ) [ I ] = } & { \ \bigoplus _ { F \in \Sigma [ I ] } ( \textbf { p } _ { + } [ S _ { 1 } ] \otimes \textbf { E } _ { V } [ S _ { 1 } ] ) \otimes \dots \otimes ( \textbf { p } _ { + } [ S _ { k } ] \otimes \textbf { E } _ { V } [ S _ { k } ] ) } \\ { \cong } & { \ \bigoplus _ { F \in \Sigma [ I ] } ( \textbf { p } _ { + } [ S _ { 1 } ] \otimes \dots \otimes \textbf { p } _ { + } [ S _ { k } ] ) \otimes \textbf { E } _ { V } [ I ] } \\ { = } & { \ ( \textbf { L } \boldsymbol { \circ } \textbf { p } _ { + } ) \otimes \textbf { E } _ { V } [ I ] . } \end{array}
\widetilde { A } ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) ( J ^ { \prime } = 1 / 2 , p ^ { \prime } = + ) \leftarrow \widetilde { X } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } ( 0 0 0 ) ( N = 1 , p = - )
\begin{array} { r l r l } { \| u ^ { t } - u ^ { ( h ) } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } & { \leq \| u ^ { t } - u ^ { ( h ) } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \varOmega _ { h } ) } } \\ & { = \| u ^ { t } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \varOmega _ { h } ) } } & & { \mathrm { ( s i n c e ~ u ^ { ( h ) } = 0 ~ o n ~ \partial \varOmega _ h ~ ) } } \\ & { \leq C h ^ { r + 1 } \| u ^ { t } \| _ { W ^ { 1 , \infty } ( \varOmega ^ { t } ) } } \\ & { \leq C h ^ { r + 1 } \| f \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ^ { t } ) } , } \end{array}
w _ { \mathrm { s t } } ^ { 2 } \simeq w _ { z } ^ { 2 } + 2 \left( \frac { 2 . 0 8 8 \lambda z } { \pi \rho _ { \mathrm { F } } } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - 0 . 2 6 \left( \frac { \rho _ { \mathrm { F } } } { w _ { 0 } } \right) ^ { 1 / 3 } \right] ^ { 2 } .
\bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } \mathcal { P } _ { \rho } = \bar { \mathcal { A } } _ { n } \mathcal { P } _ { \rho } = \mathcal { P } _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \xi _ { n } \mathcal { P } _ { \rho } .
\prod _ { \substack { j , k \geq 1 \, j \leq k ; \, ( j , k ) = 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - y ^ { j } z ^ { k } } \right) ^ { \frac { 1 } { j ^ { a } k ^ { b } } } = \exp \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { y ^ { m } } { m ^ { a } } \right) \frac { z ^ { n } } { n ^ { b } } \right\} \quad i f \quad a + b = 1 .
\eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( \xi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) , t ) = \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) , \qquad \qquad \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( \xi ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) ) = \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) .
\hat { b } _ { 2 } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } = e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \hat { b } _ { 2 } + \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M \Psi _ { 1 } } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \partial _ { x } \tilde { M } } \\ & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \tilde { M } + \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S } \partial _ { x } \tilde { M } } \\ & { = \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \tilde { M } } \\ & { \ + ( \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } ) \partial _ { x } \tilde { M } + \Psi _ { 1 } \Pi _ { S } \partial _ { x } \tilde { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { d } ^ { \prime } } & { = ( d _ { 0 } ^ { \prime } , d _ { 1 } ^ { \prime } , \dotsc , d _ { n } ^ { \prime } ) = ( 1 , d _ { 1 } + 1 , \dotsc , d _ { n } + 1 ) } \\ { \mathbf { r } ^ { \prime } } & { = ( r _ { 0 } ^ { \prime } , r _ { 1 } ^ { \prime } , \dotsc , r _ { n } ^ { \prime } ) = ( \sum r _ { i } , r _ { 1 } , \dotsc , r _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q \widetilde { P } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } - \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) \right) \widetilde { G } _ { r } } & { { } = 0 \, , } \\ { - \, \frac { \partial \widetilde { P } } { \partial z } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } - \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) \right) \widetilde { G } _ { z } } & { { } = 0 \, . } \end{array}
U = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { a \epsilon } } & { { b \epsilon ^ { 2 } } } \\ { { - a \epsilon } } & { { 1 } } & { { f \epsilon } } \\ { { - b \epsilon ^ { 2 } } } & { { - f \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; , \quad V = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { ( c a ^ { \prime } - s b ^ { \prime } ) \epsilon } } & { { ( s a ^ { \prime } + c b ^ { \prime } ) \epsilon } } \\ { { - a ^ { \prime } \epsilon } } & { { c } } & { { s } } \\ { { - b ^ { \prime } \epsilon } } & { { - s } } & { { c } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } & { \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } = n ( \varphi _ { j + 1 } ^ { n } - \varphi _ { j } ^ { n } ) , \quad \nabla ^ { 2 , n } \varphi _ { j } ^ { n } = \frac { n } { 2 } ( \varphi _ { j + 1 } ^ { n } - \varphi _ { j - 1 } ^ { n } ) , } \\ & { \Delta ^ { n } \varphi _ { j } ^ { n } = n ^ { 2 } ( \varphi _ { j + 1 } ^ { n } + \varphi _ { j - 1 } ^ { n } - 2 \varphi _ { j } ^ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle } & { \psi _ { n } - J _ { X } ( \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) ) , \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) - z \rangle - \langle \psi - J _ { X } ( y ) , y - z \rangle | } \\ & { \leq | \langle \psi _ { n } - J _ { X } ( \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) ) , \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) - z \rangle - \langle \psi _ { n } - J _ { X } ( \pi _ { C } \psi _ { n } ) , y - z \rangle | } \\ & { + | \langle \psi _ { n } - J _ { X } ( \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) ) , y - z \rangle - \langle \psi - J _ { X } ( y ) , y - z \rangle | } \\ & { = | \langle \psi _ { n } - J _ { X } ( \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) ) , \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) - y \rangle | + | + \langle \psi _ { n } - J _ { X } ( \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) - ( \psi - J _ { X } ( y ) ) ) , y - z \rangle | } \\ & { \leq \| \psi _ { n } - J _ { X } ( \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) ) \| _ { X ^ { * } } \| \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) - y \| _ { X } + | + \langle \psi _ { n } - J _ { X } ( \pi _ { C } ( \psi _ { n } ) - ( \psi - J _ { X } ( y ) ) ) , y - z \rangle | . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { i D _ { \beta } ^ { 1 1 } ( k ) = \left[ i D _ { \beta } ^ { 2 2 } ( k ) \right] ^ { * } = \tilde { \Delta } ( k ) + 2 \pi \; \delta ( k ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) \; n _ { B } ( | k _ { 0 } | ) = : \tilde { \Delta } _ { \beta } ( k ) } } \\ { { i D _ { \beta } ^ { 1 2 } ( k ) = i D _ { \beta } ^ { 2 1 } ( k ) \; e ^ { - \beta \; | k _ { 0 } | } = 2 \pi \; \delta ( k ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) \; n _ { B } ( | k _ { 0 } | ) } } \end{array} \right. ,
a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } = a _ { \ell } \, a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } } \, , \quad b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } = b _ { \ell } \, b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } } \, .
\langle f ^ { \prime } , f ^ { \prime } \rangle _ { \parallel } = 4 \mu ^ { 2 } , \qquad \langle \sin f , \sin f \rangle _ { \perp } = \frac { 1 0 + 1 6 \kappa ^ { 2 } } { 1 5 } \frac { 4 } { \mu }
\begin{array} { r } { E = \frac 1 2 I _ { i } \Omega _ { i } ^ { 2 } + b ( { \bf K } , { \bf z } ( 0 ) ) , \qquad ( { \bf k } , { \bf m } ) = ( { \bf K } , I { \boldsymbol \Omega } ) , \qquad { \bf K } ^ { 2 } = 1 . } \end{array}
\sigma _ { a a } = \frac { 2 0 0 \pi ^ { 3 } } { 8 1 } \alpha _ { s } ^ { 2 } ( 4 m _ { 1 } ^ { 2 } ) \alpha _ { s } ^ { 2 } ( 4 m _ { 2 } ^ { 2 } ) \frac { M ^ { 1 0 } } { m _ { 1 } ^ { 6 } m _ { 2 } ^ { 6 } s ^ { 7 } } | \Psi _ { a } ( 0 ) | ^ { 4 } \sqrt { 1 - \frac { 4 M ^ { 2 } } { s } } \left( \frac { 2 } { 5 } a _ { 4 } + \frac { 2 } { 3 } a _ { 2 } + 2 a _ { 0 } \right) ,
B _ { Q } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \Delta Q ^ { 2 } } \left[ F _ { 2 } \left( x , Q ^ { 2 } + \Delta Q ^ { 2 } \right) - F _ { 2 } \left( x , Q ^ { 2 } - \Delta Q ^ { 2 } \right) \right] ,
w ( \tilde { z } ) = \frac { s R _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu } \left( \frac { 1 } { 4 } \left( \tilde { R } ^ { 2 } - | \tilde { z } | ^ { 2 } \right) + \alpha \frac { \tilde { R } ^ { 2 } } { N } \tau ( \tilde { z } ) \right) ,
\varepsilon _ { 0 } = { \frac { 1 } { ( 4 \pi \times 1 0 ^ { - 7 } \, { \textrm { N / A } } ^ { 2 } ) ( 2 9 9 7 9 2 4 5 8 \, { \textrm { m / s } } ) ^ { 2 } } } = { \frac { 6 2 5 0 0 0 } { 2 2 4 6 8 8 7 9 4 6 8 4 2 0 4 4 1 \pi } } \, { \textrm { F / m } } \approx 8 . 8 5 4 1 8 7 8 1 7 6 2 0 3 9 \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, { \textrm { F } } { \cdot } { \textrm { m } } ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | v | ^ { 2 } \langle v \rangle ^ { - q } d v = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { | v | ^ { 4 } } { 1 + | v | ^ { q } } d | v | } & { \leq 4 \pi \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } | v | ^ { 4 } d | v | + \int _ { 1 } ^ { \infty } | v | ^ { 4 - q } d | v | \right) \leq \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { q - 5 } , } \end{array}
\delta a _ { a } ^ { + } = ( \epsilon _ { b } ^ { \beta } \theta ^ { + b } \partial _ { \beta } ^ { - } + \epsilon _ { b } ^ { \beta } \theta ^ { - b } \partial _ { \beta } ^ { + } - \epsilon ^ { + b } \partial _ { b } ^ { - } ) a _ { a } ^ { + } - \epsilon _ { a } ^ { \alpha } A _ { \alpha } ^ { + } \ .
\begin{array} { r } { \Gamma ( x _ { k } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } \left( \frac { \varepsilon _ { \mathrm { c l f } } } { L _ { \mathrm { c l f } } M _ { k } } , \frac { \varepsilon _ { \mathrm { c b f } } } { L _ { \mathrm { c b f } } M _ { k } } \right) , \mathrm { ~ i f ~ } p _ { k } ( x _ { k } ) \geq \varepsilon _ { \mathrm { c l f } } } \\ { \operatorname* { m i n } \left( \frac { \varepsilon _ { \mathrm { c b f } } } { L _ { \mathrm { c b f } } M _ { k } } , \tau _ { b d } \right) , \mathrm { ~ o t h e r w i s e ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathrm { V a r } [ x ( t | 0 ) ] = \frac { b } { a } \left( 1 - e ^ { - a t ^ { \gamma _ { s } } } \right) ^ { 2 } = \frac { b } { a } \left( 1 - 2 e ^ { - a t ^ { \gamma _ { s } } } + e ^ { - 2 a t ^ { \gamma _ { s } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) } & { \approx \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { \alpha } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \alpha _ { l m } \mathbf { B } _ { \alpha _ { l m } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \mathbf { B } _ { \beta } ( \mathbf { r } ) } & { \approx \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { \beta } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \beta _ { l m } \mathbf { B } _ { \beta _ { l m } } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { + } ( z ) = } & { - \frac { \alpha e ^ { \beta z } 2 ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } \left( \frac { i \alpha \omega e ^ { \beta z } } { \beta c } \right) ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } L _ { - \frac { 2 i \omega } { c \beta } } ^ { \frac { 2 i \omega } { c \beta } } \left( \frac { 2 i e ^ { z \beta } \alpha \omega } { c \beta } \right) } { \gamma _ { 1 } + 2 ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } \left( \frac { i \alpha \omega e ^ { \beta z } } { \beta c } \right) ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } L _ { - \frac { 2 i \omega } { c \beta } } ^ { \frac { 2 i \omega } { c \beta } } \left( \frac { 2 i e ^ { z \beta } \alpha \omega } { c \beta } \right) } - \frac { \alpha e ^ { \beta z } 2 ^ { 1 + \frac { 2 i \omega } { \beta c } } \left( \frac { i \alpha \omega e ^ { \beta z } } { \beta c } \right) ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } L _ { - \frac { 2 i \omega } { c \beta } - 1 } ^ { \frac { 2 i \omega } { c \beta } + 1 } \left( \frac { 2 i e ^ { z \beta } \alpha \omega } { c \beta } \right) } { \gamma _ { 1 } + 2 ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } \left( \frac { i \alpha \omega e ^ { \beta z } } { \beta c } \right) ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } L _ { - \frac { 2 i \omega } { c \beta } } ^ { \frac { 2 i \omega } { c \beta } } \left( \frac { 2 i e ^ { z \beta } \alpha \omega } { c \beta } \right) } } \\ & { - \frac { 2 \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 1 } + 2 ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } \left( \frac { i \alpha \omega e ^ { \beta z } } { \beta c } \right) ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } L _ { - \frac { 2 i \omega } { c \beta } } ^ { \frac { 2 i \omega } { c \beta } } \left( \frac { 2 i e ^ { z \beta } \alpha \omega } { c \beta } \right) } - \frac { \alpha \gamma _ { 1 } e ^ { \beta z } } { \gamma _ { 1 } + 2 ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } \left( \frac { i \alpha \omega e ^ { \beta z } } { \beta c } \right) ^ { \frac { 2 i \omega } { \beta c } } L _ { - \frac { 2 i \omega } { c \beta } } ^ { \frac { 2 i \omega } { c \beta } } \left( \frac { 2 i e ^ { z \beta } \alpha \omega } { c \beta } \right) } } \end{array}
\rho _ { S } ( 0 ) = d _ { 1 } ^ { - } d _ { 1 } ^ { + } \otimes d _ { 2 } ^ { - } d _ { 2 } ^ { + } \otimes | \psi _ { 1 } ^ { 0 } \rangle \langle \psi _ { 1 } ^ { 0 } | \otimes | \psi _ { 2 } ^ { 0 } \rangle \langle \psi _ { 2 } ^ { 0 } |
\begin{array} { r l r l r l } { { 5 } } & { \alpha = 2 : } & { \quad } & { \mathscr { C } _ { R _ { q } , \mathsf { K L } } ^ { \mathrm { L M C } } ( \pi , h , \Delta _ { 0 } , 1 ) \gtrsim \frac { \ln ( \Delta _ { 0 } ) } { h } , } & { \quad } & { \mathscr { C } _ { R _ { q } , \mathsf { K L } } ^ { \mathrm { L D } } ( \pi , \Delta _ { 0 } , 1 ) \gtrsim \ln ( \Delta _ { 0 } ) , } \\ & { \alpha \in ( 0 , 2 ) : } & { \quad } & { \mathscr { C } _ { R _ { q } , R _ { q ^ { \prime } } } ^ { \mathrm { L M C } } ( \pi , h , \Delta _ { 0 } , 1 ) \gtrsim \frac { d ^ { 1 - \alpha / 2 } \Delta _ { 0 } ^ { \frac { ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } } { 2 \alpha } } } { h } , } & { \quad } & { \mathscr { C } _ { R _ { q } , R _ { q ^ { \prime } } } ^ { \mathrm { L D } } ( \pi , \Delta _ { 0 } , 1 ) \gtrsim d ^ { 1 - \alpha / 2 } \Delta _ { 0 } ^ { \frac { ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } } { 2 \alpha } } , } \\ & { \alpha = 0 : } & { \quad } & { \mathscr { C } _ { R _ { q } , R _ { q ^ { \prime } } } ^ { \mathrm { L M C } } ( \pi , h , \Delta _ { 0 } , 1 ) \gtrsim \frac { d } { \nu h } \exp ( \Delta _ { 0 } / \nu ) , } & { \quad } & { \mathscr { C } _ { R _ { q } , R _ { q ^ { \prime } } } ^ { \mathrm { L D } } ( \pi , \Delta _ { 0 } , 1 ) \gtrsim \frac { d } { \nu } \exp ( \Delta _ { 0 } / \nu ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { \mathrm { ~ t ~ y ~ p ~ e ~ 1 ~ : ~ } \; U = \frac { C ^ { \prime } } { \pi } \tan ^ { - 1 } \xi } \\ { \mathrm { ~ t ~ y ~ p ~ e ~ 2 ~ : ~ } \; W = \frac { C ^ { \prime } } { \xi ^ { 2 } + 1 } } \end{array}
\tilde { E } _ { \eta } ( \tau , \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z e \frac { \tau \sinh ( \eta - \eta _ { 0 } ) } { 4 \pi { [ ( r _ { \bot } - r _ { \bot 0 } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 3 / 2 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \tau _ { 0 } < \tau _ { f } ( \mathbf { x } ; \mathbf { x } _ { 0 } ) < \tau } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \big \| \partial _ { y } f _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \big \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s \leq \big \| u _ { \mathrm { i n } , k } + i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \Phi _ { \mathrm { i n } , k } + u _ { t , \mathrm { i n } , k } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + } \\ { + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 | k | \int _ { 0 } ^ { t } \big \| [ U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } , \partial _ { y } ^ { 2 } ] \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( s ) \big ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s . } \end{array}