harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { E \bigg [ \prod _ { i = 1 } ^ { 8 } \Big ( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \Big ) ^ { l _ { i } } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \bigg ] } \\ { = } & { R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 8 } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 7 } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 6 } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 6 } } { n ^ { 5 } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 8 } } { n ^ { 4 } } \bigg ) } \\ & { + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \{ \Phi _ { 8 } ^ { \varepsilon } ( s _ { 1 } ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 7 } ^ { \varepsilon } ( s _ { 1 } ) \} \, \mathrm { d } s _ { 1 } } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \sum _ { j = 0 } ^ { 6 - i } R _ { k - 1 } ( \varepsilon ^ { 2 j } ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s _ { 1 } } \cdots \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s _ { i } } \{ \Phi _ { 8 - i - j } ^ { \varepsilon } ( s _ { i + 1 } ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 7 - i - j } ^ { \varepsilon } ( s _ { i + 1 } ) \} \, \mathrm { d } s _ { i + 1 } \cdots \, \mathrm { d } s _ { 1 } } \\ & { + R _ { k - 1 } ( 1 ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s _ { 1 } } \cdots \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s _ { 7 } } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s _ { 8 } ) \, \mathrm { d } s _ { 8 } \cdots \, \mathrm { d } s _ { 1 } } \\ & { + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 9 } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon } { n ^ { 8 } \sqrt { n } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 8 } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n ^ { 7 } \sqrt { n } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 7 } } \bigg ) } \\ & { + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 5 } } { n ^ { 6 } \sqrt { n } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 6 } } { n ^ { 6 } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 7 } } { n ^ { 5 } \sqrt { n } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 8 } } { n ^ { 5 } } \bigg ) + R _ { k - 1 } \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 9 } } { n ^ { 4 } \sqrt { n } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B | = } & { | S _ { k } ( r ) | - \left| \bigcup _ { 2 \leq i < j \leq k + 1 } ( A _ { i j } \cup A _ { i j } ^ { \prime } ) \right| } \\ { \geq } & { | S _ { k } ( r ) | - { \binom { k } { 2 } } \left| A _ { k , k + 1 } \cup A _ { k , k + 1 } ^ { \prime } \right| } \\ { \geq } & { | S _ { k } ( r ) | - { \binom { k } { 2 } } \left( 2 | \mathcal { E } | \cdot | S _ { k - 1 } ( r ) | - | S _ { k - 1 } ( r ) | \right) } \\ { = } & { | S _ { k } ( r ) | - { \binom { k } { 2 } } \left( 2 | \mathcal { E } | - 1 \right) | S _ { k - 1 } ( r ) | . } \end{array}
{ \sqrt { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 2 k + 1 ) ! } { 2 ^ { 3 k + 1 } ( k ! ) ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 3 } { 8 } } + { \frac { 1 5 } { 6 4 } } + { \frac { 3 5 } { 2 5 6 } } + { \frac { 3 1 5 } { 4 0 9 6 } } + { \frac { 6 9 3 } { 1 6 3 8 4 } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \frac { { \Theta } ( 0 ) - { \Theta } ( s _ { - } ( \lambda , c ) ) } 2 = \widetilde { \Theta } ( s ( T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) ) ) - \widetilde { \Theta } ( s ( T _ { 1 } ( \alpha ) ) ) } & { = \lambda L ^ { \prime } ( c ) \left( s ( T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) ) - s ( T _ { 1 } ( \alpha ) ) \right) } \\ & { \leqslant \lambda c L ^ { \prime } ( c ) \left( T _ { 1 } ( \alpha ) - T _ { \frac 1 2 } ( \alpha ) \right) , } \end{array}
\Psi [ A _ { i } ] = \int D \phi \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } x d ^ { 2 } y \left[ A _ { i } ( x ) - \frac { 1 } { g } \partial _ { i } \phi ( x ) \right] G ^ { - 1 } ( x - y ) \left[ A _ { i } ( y ) - \frac { 1 } { g } \partial _ { i } \phi _ { i } ( y ) \right] \right\}
{ \frac { \partial B _ { i } } { \partial t } } = R _ { \omega _ { i } } \sin \theta { \frac { \partial A _ { i } } { \partial \theta } } + \beta { \frac { \partial ^ { 2 } B _ { i } } { \partial \theta ^ { 2 } } } - { \frac { \partial V _ { i } B _ { i } } { \partial \theta } } .
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { d } } ( \tau _ { \mathrm { d } } ) } & { = \big ( 3 ( \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) + \big ( 3 ( \gamma - 1 ) ( \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) + 2 ( 2 - \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) \big ) h \big ) h + ( 1 + \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) \big ( \tau _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } ( \tau _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } - 1 ) ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 h \big ) } \\ & { > ( 1 + \tau _ { \mathrm { d } } ^ { - 1 } ) \tilde { f } _ { \mathrm { d } } ( \tau _ { \mathrm { d } } ) \, , } \end{array}
\Gamma _ { 0 } = \Gamma _ { U + L } ( B o r n ) = \frac { G _ { F } \, m _ { W } ^ { 2 } \, m _ { t } } { 8 \sqrt { 2 } \, \pi } | V _ { t b } | ^ { 2 } \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + 2 x ^ { 2 } ) } { x ^ { 2 } } .
M _ { n } ^ { 2 } = \frac { \lambda T ^ { 2 } } { 2 4 } \left\{ 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 ^ { j - 1 } } \left[ - 3 \left( \frac { \lambda } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] ^ { j } \right\}
\begin{array} { r l r } { P ( n , \vec { r } , \vec { \tau } , x ) } & { = } & { \int _ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } } ^ { \infty } P ( n , \vec { r } , \vec { \tau } , x | t ) P ( t ) d t } \\ & { = } & { P ( n ) P ( \vec { r } ) P ( \vec { \tau } ) \int _ { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } } ^ { \infty } P ( x | n , \vec { r } , \vec { \tau } , t ) P ( t | \vec { \tau } ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { + o ( 1 ) \| D v _ { n } \| _ { p } = F _ { \lambda } ( v _ { n } ) - \frac { 1 } { \alpha p ^ { * } } F _ { \lambda } ^ { \prime } ( v _ { n } ) ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) g ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) ) ) \psi _ { \varepsilon } } \\ & { = \frac { 1 } { p } \| D v _ { n } \| _ { p } ^ { p } - \frac { \lambda } { k } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) | ^ { k } d x - \frac 1 { \alpha p ^ { * } } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | D v _ { n } | ^ { p - 1 } \bigl | D ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) g ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) ) ) \bigr | \psi _ { \varepsilon } d x } \\ & { \qquad - \frac 1 { \alpha p ^ { * } } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) g ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) ) | D v _ { n } | ^ { p - 2 } D v _ { n } \cdot D \psi _ { \varepsilon } d x + \frac { \lambda } { \alpha p ^ { * } } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) | ^ { k } \psi _ { \varepsilon } d x } \\ & { \ge \frac { 1 } { N } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | D v _ { n } | ^ { p } \psi _ { \varepsilon } d x - \frac { \lambda } { k } \int _ { \mathbb R ^ { N } } V | G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) | ^ { k } d x } \\ & { \qquad - \frac 1 { \alpha p ^ { * } } \int _ { B _ { \epsilon } ( x _ { j } ) \setminus B _ { \epsilon / 2 } ( x _ { j } ) } G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) g ( G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) ) | D v _ { n } | ^ { p - 1 } | D \psi _ { \varepsilon } | d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p } & { { } = \sqrt { p _ { \parallel } ^ { 2 } + p _ { \perp } ^ { 2 } } } \\ { \xi } & { { } = \frac { p _ { \parallel } } { p } = \frac { p _ { \parallel } } { \sqrt { p _ { \parallel } ^ { 2 } + p _ { \perp } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\sqrt { \operatorname * { d e t } [ H / a + m \Gamma _ { 5 } ] } = \{ \operatorname * { d e t } [ H / a + m \Gamma _ { 5 } ] ^ { 2 } \} ^ { 1 / 4 } = \{ \operatorname * { d e t } [ H ^ { 2 } / a ^ { 2 } + m ^ { 2 } \Gamma _ { 5 } ^ { 2 } ] \} ^ { 1 / 4 }
\begin{array} { r l } { f ( x _ { r } ) \leq } & { \ f ( x _ { r - 1 } ) + \langle \nabla f ( x _ { r - 1 } ) , x _ { r } - x _ { r - 1 } \rangle + \frac { L } { 2 } \| x _ { r } - x _ { r - 1 } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ f ( x _ { r - 1 } ) + \frac { 1 } { \eta } \left( - \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla f ( x _ { r - 1 } ) \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| x _ { r } - x _ { r - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| x _ { r } - x _ { r - 1 } + \eta \nabla f ( x _ { r - 1 } ) \| ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { L } { 2 } \| x _ { r } - x _ { r - 1 } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ f ( x _ { r - 1 } ) - \frac { \eta } { 2 } \| \nabla f ( x _ { r - 1 } ) \| ^ { 2 } - \left( \frac { 1 } { 2 \eta } - \frac { L } { 2 } \right) \| x _ { r } - x _ { r - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \left\| \frac { 1 } { \eta } ( x _ { r - 1 } - x _ { r } ) - \nabla f ( x _ { r - 1 } ) \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { r } _ { s } ( s , \hat { t } _ { 0 } ) = \hat { R } _ { 0 } + \hat { \eta } ( s , \hat { t } _ { 0 } ) = \hat { R } _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } C _ { i } ( \hat { t } _ { 0 } ) y _ { i } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R H S } _ { i } } & { = } & { \underset { r = r _ { \infty } - i } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } ( t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { \infty } - 1 - i - r } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 - j + r } - t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 2 r _ { \infty } - 1 - i - r } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 - j + r } ) \delta _ { 1 \leq r \leq j } } \\ & { = } & { \underset { r = r _ { \infty } - i } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { \infty } - 1 - i - r } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 - j + r } \delta _ { 1 \leq r \leq j } } \\ & { } & { - \underset { r = r _ { \infty } - i } { \overset { r _ { \infty } - 1 } { \sum } } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 2 r _ { \infty } - 1 - i - r } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 - j + r } ) \delta _ { 1 \leq r \leq j } } \\ & { = } & { \underset { r = r _ { \infty } - i } { \overset { j } { \sum } } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { \infty } - 1 - i - r } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 - j + r } - \underset { r = r _ { \infty } - i } { \overset { j } { \sum } } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 2 r _ { \infty } - 1 - i - r } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 - j + r } ) } \\ & { \overset { s = r _ { \infty } + j - i - r } { = } } & { \underset { r = r _ { \infty } - i } { \overset { j } { \sum } } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { \infty } - 1 - i - r } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 - j + r } - \underset { s = r _ { \infty } - i } { \overset { j } { \sum } } t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 - j + s } t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 2 r _ { \infty } - 1 - i - s } ) } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n f , i } ^ { + } = } & { { } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ \Psi _ { i } ( f ^ { e q } ) _ { i n t e r i o r } } \\ { = } & { { } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ ( \hat { f } _ { i } ^ { e q } ) _ { i n t e r i o r } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { R _ { p } C \partial _ { t } \psi _ { d } } & { = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \psi _ { d } \, , } & { \quad } & { z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, , } \\ { \psi _ { d } ( z , 0 ) } & { = 0 \, , } \\ { \ell _ { p } \partial _ { z } \psi _ { d } ( 0 , t ) } & { = \xi [ \psi _ { d } ( 0 , t ) - \Psi ( t ) ] , } \\ { \partial _ { z } \psi _ { d } ( \ell _ { p } , t ) } & { = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Delta - \frac { 1 } { 3 } ) N } & { = N \left( | \Sigma | _ { g } ^ { 2 } - \tau \eta \right) - 1 , } \\ { \Delta X ^ { a } + \mathrm { R i c } [ g ] ^ { a } _ { b } X ^ { b } } & { = 2 \nabla _ { b } N \Sigma ^ { b a } - \nabla ^ { a } \hat { N } + 2 N \tau ^ { 2 } \jmath ^ { a } - ( 2 N \Sigma ^ { b c } - \nabla ^ { b } X ^ { c } ) ( \Gamma [ g ] _ { b c } ^ { a } - \Gamma [ \gamma ] _ { b c } ^ { a } ) , } \end{array}
M _ { 1 } ^ { 2 } \simeq 0 . 1 8 M _ { 1 , 0 } ^ { 2 } ~ , \quad M _ { 2 } ^ { 2 } \simeq 0 . 6 9 M _ { 2 , 0 } ^ { 2 } ~ , \quad M _ { 3 } ^ { 2 } \simeq 7 . 0 M _ { 3 , 0 } ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \sum _ { j } [ \omega _ { a } a _ { j } ^ { \dag } a _ { j } - \xi ( a _ { j + 1 } ^ { \dag } a _ { j } + H . c . ) + \omega _ { b } b _ { j } ^ { \dag } b _ { j } - \xi ( b _ { j + 1 } ^ { \dag } b _ { j } + H . c . ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { = \left\langle E _ { X } ( \vec { x } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle + \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } \\ & { = \left\langle \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \cos ^ { 2 } ( \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) + \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \sin ^ { 2 } ( \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } \\ & { = \left\langle \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle \equiv \rho _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( 0 ) } & { \approx \mathbb { P } \Big ( \frac { A _ { K , 2 } - A _ { K , 1 } } { 1 + e ^ { - ( C _ { K , 1 } \gamma + C _ { K , 2 } ) } } \geq - A _ { K , 1 } \Big ) } \\ & { = \mathbb { P } \Big ( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - ( C _ { K , 1 } \gamma + C _ { K , 2 } ) } } \geq \kappa \Big ) } \\ & { = \mathbb { P } \big ( e ^ { - ( C _ { K , 1 } \gamma + C _ { K , 2 } ) } \leq 1 / \kappa - 1 \big ) } \\ & { = \mathbb { P } \big ( - ( C _ { K , 1 } \gamma + C _ { K , 2 } ) \leq \ln \big [ ( 1 - \kappa ) / \kappa \big ] \big ) } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \mathbb { P } \big ( ( C _ { K , 1 } \gamma + C _ { K , 2 } ) \geq \ln \big [ \kappa / ( 1 - \kappa ) \big ] \big ) } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } \mathbb { P } \big ( \gamma \geq \ln \big [ \kappa / ( 1 - \kappa ) \big ] / C _ { K , 1 } - C _ { K , 2 } / C _ { K , 1 } \big ) } \\ & { = \mathbb { P } \big ( \gamma \geq \beta \big ) , } \end{array}
{ \cal L } = 1 - Q , \; \; \: \; Q = \left[ ( 1 - { \bf E } ^ { 2 } ) ( 1 + { \bf \nabla } y ^ { 2 } ) + ( { \bf E } \cdot { \bf \nabla } y ) ^ { 2 } - { \dot { y } } ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { | \langle G ( w _ { 1 , s } ) E _ { \sigma } G ( w _ { 2 , t } ) B \rangle | } & { = \left| \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { i } \frac { \langle \boldsymbol { w } _ { i } , B \boldsymbol { w } _ { \sigma i } \rangle } { ( \lambda _ { i } - w _ { 1 , s } ) ( \lambda _ { i } - \sigma w _ { 2 , t } ) } \right| } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \frac { 1 } { | \lambda _ { i } - w _ { 1 , s } | | \lambda _ { i } - \sigma w _ { 2 , t } | } } \\ & { \prec \frac { 1 } { | \mathrm { I m } \, w _ { 1 , s } | \vee | \mathrm { I m } \, w _ { 2 , t } | } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu ( y ) } & { { } = } & { 1 - y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } y ^ { 2 } \ln y } \\ { w _ { 1 } ( y ) } & { { } = } & { \frac { 1 0 } { 1 3 } - \frac { 2 } { 1 1 } y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 0 } y ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 0 0 } y ^ { 2 } \ln y } \\ { w _ { 2 } ( y ) } & { { } = } & { \frac { 1 0 } { 1 1 } + \frac { 2 } { 1 1 } y ^ { 2 } - \frac { 1 } { 6 } y ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 0 0 } y ^ { 2 } \ln y } \\ { w _ { 3 } ( y ) } & { { } = } & { - \frac { 4 1 } { 1 0 } + \frac { 3 9 } { 2 0 } y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } y ^ { 4 } - \frac { 1 } { 1 5 0 } y ^ { 2 } \ln y . } \end{array}
T ^ { R } ( p ^ { 2 } ) = T ( p ^ { 2 } ) - T ( 0 ) = \frac { p ^ { 2 } } { \pi } \int _ { 4 m ^ { 2 } } ^ { \infty } \! \! \frac { d t } { t - p ^ { 2 } } \frac { 1 } { t } I m T ( t )
\begin{array} { r l } { f ( y ) = } & { \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in \Delta } \Big [ \frac { L } { 2 } \| y \| ^ { 2 } - \frac { L - \mu } { 2 } \| y - \frac { 1 } { L - \mu } \sum _ { i \in I } \alpha _ { i } ( g _ { i } - \mu x _ { i } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \sum _ { i \in I } \alpha _ { i } \Big ( f _ { i } + \frac { 1 } { 2 ( L - \mu ) } \| g _ { i } - L x _ { i } \| ^ { 2 } - \frac { L } { 2 } \| x _ { i } \| ^ { 2 } \Big ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \Sigma } } & { { = } } & { { \Sigma _ { u n p o l } + \kappa \cos \theta ^ { * } { \cal P } + \bar { \kappa } \cos \bar { \theta } ^ { * } \bar { { \cal P } } + \cos \theta ^ { * } \cos \bar { \theta ^ { * } } \kappa \bar { \kappa } { \cal Q } } } \\ { { } } & { { } } & { { + \sin \theta ^ { * } \sin \bar { \theta ^ { * } } \cos ( \phi ^ { * } + \bar { \phi ^ { * } } ) \kappa \bar { \kappa } { \cal Y } + \dots } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boxed { f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } \approx \frac { 2 + 2 \beta ^ { 2 } } { \beta } = 2 \beta + \frac { 2 } { \beta } \quad \Leftrightarrow \quad f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } \approx 4 \frac { \gamma } { \kappa } + \frac { \kappa } { \gamma } } } \end{array}
\log C = - \sum _ { k } \frac { \coth \frac 1 2 \beta \omega _ { k } } { \hbar \omega _ { k } } \bigg \vert \int _ { 0 } ^ { \Delta t } \! \mathrm { d } t \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega _ { k } t } f _ { k } ( t ) \bigg \vert ^ { 2 } \, ,
a _ { 2 } ^ { \nu e } ( e ) = \mathrm { s i n } \phi / 4 - s _ { W } ( \frac { \mathrm { c o s } \beta } { \sqrt { 2 4 } } + \sqrt { \frac 5 8 } \frac { \mathrm { s i n } \beta } { 3 } ) \mathrm { c o s } \phi
\begin{array} { r l } { \textbf { r } _ { \mathrm { b o u n d a r y } } } & { { } = \big \{ \textbf { r } : \rho ( \textbf { r } ) = ( 1 - n \sigma ) \rho _ { \mathrm { m a x } } ( \textbf { r } ) \big \} . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { t u n . } } } } = { \frac { n \pi \hbar } { 2 t _ { w } ^ { 2 } m _ { w } ^ { * } } } e ^ { { \frac { - 2 } { \hbar } } \int _ { 0 } ^ { t _ { b } } { \sqrt { 2 m _ { b } ^ { * } ( E _ { b } - E ( z ) z ) } } \, d z }
\begin{array} { r } { \sigma _ { H } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { j } \int f ( E _ { j } - E _ { F } ) \Omega _ { j , z } ( k _ { x } , k _ { y } ) d k _ { x } d k _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { r } _ { i } } & { { } = \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } , } \\ { \mathbf { v } _ { i } } & { { } = { \boldsymbol { \omega } } \times \left( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } \right) + \mathbf { V } = { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } + \mathbf { V } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { ^ { 2 } \Gamma _ { p q r s } } = \frac { 1 } { 2 } \, \langle \Psi | \phi _ { r } ^ { + } \, \phi _ { s } ^ { + } \, \phi _ { q } ^ { - } \, \phi _ { p } ^ { - } | \Psi \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad - ( \sum _ { x > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 1 ) } \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) } \\ & { = - \alpha _ { 2 } \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } [ - 1 ] [ e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ] - 2 \alpha _ { 2 } \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] ( e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { = - \alpha _ { 2 } \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } [ - 1 ] ( \delta _ { q , i } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { x , j } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } ) - 2 \alpha _ { 2 } \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] ( \delta _ { x , j } \delta _ { q , i } \alpha _ { 1 } + \delta _ { x , q } \delta _ { i , j } ) } \\ & { = - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } + \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 1 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - 2 \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] - 2 \delta _ { i , j } \delta ( q > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] . } \end{array}
\sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \big ( v _ { a } ^ { 2 } ( { \mathbf { n } } ) + v _ { a } ^ { 2 } ( { \mathbf { m } } ) + v _ { a } ^ { 2 } ( { \mathbf { k } } ) \big ) = \frac { 2 S - A } { 2 \rho } \, .
\begin{array} { r l } { { \cal R } ^ { 2 n } } & { { } = \displaystyle { \cal R } ^ { 2 n - 2 } + 2 { \cal H } \prod _ { \sigma } L _ { \sigma } ^ { ( 2 M ) } { \cal I } ^ { 2 n - 1 } } \\ { { \cal I } ^ { 2 n + 1 } } & { { } = \displaystyle { \cal I } ^ { 2 n - 1 } - 2 { \cal H } \prod _ { \sigma } L _ { \sigma } ^ { ( 2 M ) } { \cal R } ^ { 2 n } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d X ^ { 0 } ( t _ { 1 } ) } { a ( t _ { 1 } ) } = \frac { d X ^ { 0 } ( t _ { 2 } ) } { a ( t _ { 2 } ) } \quad \Rightarrow \quad \frac { d t _ { 1 } } { a _ { 1 } } = \frac { d t _ { 2 } } { a _ { 2 } } \quad \Rightarrow \quad \lambda _ { 1 } = c d t _ { 1 } \equiv c \nu _ { 1 } ^ { - 1 } = \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \lambda _ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \| \mathbf { x } \| ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 1 - \delta } } | p ( \mathbf { x } ) | } & { = \operatorname* { m a x } _ { \| \mathbf { y } \| \leq \frac { 1 } { 1 - \delta } } \big | p \big ( \mathbf { y } \cdot \sqrt { 1 - \delta } \big ) \big | } \\ & { \leq T _ { d } \big ( \frac { 1 } { 1 - \delta } \big ) \cdot \operatorname* { m a x } _ { \| \mathbf { y } \| \leq 1 } \big | p \big ( \mathbf { y } \cdot \sqrt { 1 - \delta } \big ) \big | } \\ & { = T _ { d } \big ( \frac { 1 } { 1 - \delta } \big ) \cdot \operatorname* { m a x } _ { \| \mathbf { x } \| ^ { 2 } \leq 1 - \delta } | p ( \mathbf { x } ) | . } \end{array}
\int _ { \mathbb { B } } \int _ { \mathbb { H } } \frac { c } { | \boldsymbol { \xi } | ^ { b } } ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { J } ) ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { a } ) \textup { d V d V } ^ { \prime } \sim \delta ^ { - ( 4 - b + d ) - b + ( 2 + m + n ) + d } = \delta ^ { - 2 + m + n } .
{ \frac { 1 } { 5 } } = \dots { \underline { { 1 } } } 1 1 { \underline { { 1 1 } } } 1 1 { \underline { { 1 1 } } } 1 1 { \underline { { 1 } } } _ { \mathrm { b a l 3 } } .
\begin{array} { r l } & { K ^ { 1 / 2 } e _ { i } ^ { j } = \varepsilon \mu A ^ { n - 2 i } e _ { i } ^ { j } , K ^ { 1 / 2 } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \varepsilon \mu A ^ { \overline { { n } } - 2 i } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } , L ^ { 1 / 2 } e _ { i } ^ { j } = \mu A ^ { 2 i - n } e _ { i } ^ { j } , L ^ { 1 / 2 } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \mu A ^ { 2 i - \overline { { n } } } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } ; } \\ & { F e _ { n } ^ { j } = \overline { { e } } _ { 0 } ^ { j + 1 } , F \overline { { e } } _ { \overline { { n } } } ^ { j } = 0 , F e _ { i } ^ { j } = e _ { i + 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq n , F \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \overline { { e } } _ { i + 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq \overline { { n } } ; } \\ & { E e _ { 0 } ^ { j } = \overline { { e } } _ { \overline { { n } } } ^ { j } , E \overline { { e } } _ { 0 } ^ { j } = 0 , E e _ { i } ^ { j } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ n - i + 1 ] e _ { i - 1 } ^ { j } , E \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ \overline { { n } } - i + 1 ] \overline { { e } } _ { i - 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq 0 . } \end{array}
\frac { d w } { d t d \omega d \Omega } = \frac { e ^ { 2 } } { \pi } \left[ \frac { E ^ { 2 } + { E ^ { \prime } } ^ { 2 } } { E E ^ { \prime } } X - \left( \frac { \omega } { \kappa E ^ { \prime } } \right) ^ { 2 / 3 } \right] \Phi ( X ) \quad ,
\begin{array} { r l } { S _ { i a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } ) } & { { } = - \frac { 1 } { \pi } \Im \sum _ { \lambda = x , y , z } \mu _ { \lambda , i a } \langle \Psi _ { 0 } | \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle , } \\ { \sigma _ { i a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) } & { { } = - \frac { 1 6 \pi \omega _ { e m } ^ { 3 } \omega _ { e x } } { 9 c ^ { 4 } } \sum _ { \rho , \lambda = x , y , z } \sum _ { j b } \mu _ { \rho , i b } \mu _ { \lambda , j a } \Im \langle A _ { j a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } ) | \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } | B _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) \rangle , } \end{array}