harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { P _ { 1 } = ( h , 0 ) \, , \quad P _ { 2 } = ( h , f _ { \mathrm { b d } } ( h ) ) \, , \quad P _ { 3 } = ( 0 , f _ { \mathrm { b d } } ( 0 ) ) \, , \quad P _ { 4 } = ( 0 , 0 ) \, , } \\ & { \overline { { \Gamma _ { 0 } } } = \partial \Omega \cap \{ x _ { 1 } = 0 \} \, , \quad \overline { { \Gamma _ { 1 } } } = \partial \Omega \cap \{ x _ { 2 } = f _ { \mathrm { b d } } ( x _ { 1 } ) \} \, , } \\ & { \overline { { \Gamma _ { 2 } } } = \partial \Omega \cap \{ x _ { 1 } = h \} \, , \quad \overline { { \Gamma _ { 3 } } } = \partial \Omega \cap \{ x _ { 2 } = 0 \} \, , } \end{array}
\frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ t ~ } ) } = \mu \approx \widetilde { \mu } = \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } k _ { m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ / ~ u ~ m ~ } } X _ { m } } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } k _ { m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ / ~ u ~ m ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { \overline { { P } } _ { \mathrm { ~ h ~ c ~ } } } & { { } = \left[ \frac { 1 } { ( w - 1 ) \left( \frac { ( r + 1 ) ( N _ { I } [ 1 - r ] + r N _ { T } v _ { T } ) } { N _ { T } v _ { T } \left( r \left[ w ^ { N _ { I } } - 1 \right] + N _ { I } ( w - 1 ) \right) } - \frac { r } { w ^ { N _ { I } } - 1 } \right) } \right. } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l } { { \frac { 1 } { 3 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \frac { 1 } { 3 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \in { \mathrm { S U } } ( 4 ) , \qquad { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \in { \mathrm { S U } } ( 2 ) _ { \mathrm { R } }
{ \cal B } / i = \frac { i } { q ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i m \Gamma } = \frac { 1 } { 2 m \Gamma } \Biggm [ 1 + \exp \Big ( 2 i \tan ^ { - 1 } \frac { q ^ { 2 } - m ^ { 2 } } { m \Gamma } \Big ) \Biggm ] \ ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { H ( \omega ) = \frac { N ( i \omega ) } { D ( i \omega ) } = \frac { N _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { d e g ( N ) } ( i \omega - i z _ { \ell } ) } { D _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { d e g ( D ) } ( i \omega - i p _ { \ell } ) } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho = \sum _ { i , j = 0 , 1 } a _ { i j } | i j \rangle \langle i j | , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { e _ { A } ^ { k } = \sum _ { i } P _ { k , i } | i \rangle \langle i | , ~ ~ ~ e _ { B } ^ { l } = \sum _ { j } P _ { l , j } | j \rangle \langle j | , } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t , } ~ ~ \mathcal { C } ^ { \prime } ( d ) = ( T r [ \rho ( e _ { A } ^ { k } \otimes e _ { B } ^ { l } ) ] ) _ { k , l } . } \end{array}
S _ { 0 } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } \left[ e ^ { - 2 \phi } ( R + 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + 4 \lambda ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \nabla f _ { i } ) ^ { 2 } \right] \ \ ,
{ \dot { \hat { R } } } _ { k } ( t ) = - 2 \beta ( { \hat { R } } _ { k } ( t ) + { \frac { 1 } { 2 } } ) - ( \omega _ { 0 } / \hbar ) \{ [ { \hat { b } } ( t ) + { \hat { b } } ^ { \dagger } ( t ) ] { \vec { \mu } } \cdot { \hat { \vec { A } } } _ { f r e e } ^ { ( + ) } ( { \vec { r } } , t ) + H . c . \}
\eta _ { * } = - \frac { k \sqrt { | h | } \sin \alpha } { \sqrt { 2 } \sqrt { 2 - \cos \alpha } \sqrt { \left| k _ { z } \right| } } \left( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \, i \, \epsilon \, \bar { \mu } \cos \alpha \right) ,
x _ { \textrm { m o d e } } = \beta ^ { - 1 / \alpha } { \Bigg ( } { \frac { \alpha ^ { 2 } + 2 \kappa ^ { 2 } ( \alpha - 1 ) } { 2 \kappa ^ { 2 } ( \alpha ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } ) } } { \Bigg ) } ^ { 1 / 2 \alpha } { \Bigg ( } { \sqrt { 1 + { \frac { 4 \kappa ^ { 2 } ( \alpha ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } ) ( \alpha - 1 ) ^ { 2 } } { [ \alpha ^ { 2 } + 2 \kappa ^ { 2 } ( \alpha - 1 ) ] ^ { 2 } } } } } - 1 { \Bigg ) } ^ { 1 / 2 \alpha } \quad ( \alpha > 1 )
{ \small Y : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \ U : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \ Z : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \ T : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , }
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } \left( \frac { m _ { \phi } \log m _ { \phi } } { \epsilon _ { 3 } ^ { 2 } } \right) } & { { } = \mathcal { O } \left( \frac { \mathcal { O } ( n ) 2 ^ { \mathcal { O } ( \mathrm { p o l y l o g } ( 1 / \epsilon _ { 1 } ) ) } \log ( \mathcal { O } ( n ) 2 ^ { \mathcal { O } ( \mathrm { p o l y l o g } ( 1 / \epsilon _ { 1 } ) ) } ) } { \epsilon _ { 3 } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { T } F } { \partial x _ { 2 d } } \left( - J _ { i } ^ { T } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial ^ { T } F } { \partial x _ { 1 d } } J _ { i } - \frac { \partial ^ { T } F } { \partial x _ { 2 d } } \tilde { R } _ { d } - B _ { c } M ^ { T } B _ { 0 d } ^ { T } = 0 , } \\ & { \frac { \partial ^ { T } F } { \partial x _ { 2 d } } \left( - B _ { 0 d } M B _ { c } ^ { T } \right) - \left( J _ { c } - R _ { c } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { d i s t } ( \langle x _ { 1 } , y _ { 1 } \rangle , \langle x _ { 2 } , y _ { 2 } \rangle ) } & { { } = \operatorname { a r c o s h } \left( 1 + { \frac { { ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } ^ { 2 } + { ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) } ^ { 2 } } { 2 y _ { 1 } y _ { 2 } } } \right) } \end{array}
T _ { \nu } ^ { \mu } = \left[ \begin{array} { c c c } { { - ( \rho + \delta \rho ) } } & { { } } & { { a ( \rho + P ) ( v + B ) _ { | j } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - a ^ { - 1 } ( \rho + P ) v ^ { | i } } } & { { } } & { { ( P + \delta P ) \delta _ { j } ^ { i } + \delta \pi _ { j } ^ { i } } } \end{array} \right] \, ,
F = \frac { P ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } { \cal M } \left[ \lambda , n , \displaystyle { \frac { \mu ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } } \exp \left( { \frac { 8 \pi } { \sqrt { 3 } \lambda ^ { 2 } ( 1 - \xi ( \mu ) ) } } \right) \right] }
\begin{array} { r l r } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { { } \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 3 } - \, { \mathbb L } _ { 3 } = - ( { \mathbb X } _ { 3 } + { \mathbb X } _ { 4 } ) , } \\ { { \mathbb J } _ { 2 } } & { { } \approx } & { + \, { \mathbb K } _ { 1 } - \, { \mathbb L } _ { 2 } = { \mathbb X } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 3 } } & { { } \approx } & { - \, { \mathbb K } _ { 2 } - \, { \mathbb L } _ { 1 } = - \, { \mathbb X } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( a + b = 2 ) } & { = \operatorname* { m a x } ( 0 , \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } - 1 ) } \\ { P ( a + b = 1 ) } & { = \operatorname* { m i n } ( 1 - \epsilon _ { l } , \epsilon _ { r } ) + \operatorname* { m i n } ( 1 - \epsilon _ { r } , \epsilon _ { l } ) } \\ { P ( a + b = 0 ) } & { = \operatorname* { m a x } ( 0 , 1 - \epsilon _ { l } - \epsilon _ { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left| \mathcal { H } _ { 1 } \right| ^ { 2 } \right] = \mathbb { E } \left[ \left| h _ { 1 } + \, \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { 1 } } \left| \bar { g } _ { 1 } ^ { i } \right| \left| g _ { 1 } ^ { i } \right| \right| ^ { 2 } \right] = \underbrace { \mathbb { E } \left\{ { \left| h _ { 1 } \right| ^ { 2 } } \right\} } _ { \mathcal { E } _ { 1 } } } \\ & { + \, \underbrace { \mathbb { E } \left\{ { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { 1 } } \left| \bar { g } _ { 1 } ^ { i } \right| \left| g _ { 1 } ^ { i } \right| \right) ^ { 2 } } \right\} } _ { \mathcal { E } _ { 2 } } + 2 \, \underbrace { \mathbb { E } \left\{ { \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { 1 } } \left| \bar { g } _ { 1 } ^ { i } \right| \left| g _ { 1 } ^ { i } \right| \left| h _ { 1 } \right| } \right\} } _ { \mathcal { E } _ { 3 } } . } \end{array}
\Pi ( \xi ) \equiv ( 1 + 2 \xi ) \left[ ( 1 + \xi ) \left( \xi - \frac { \nu } { \mu ^ { 2 } } \right) - \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } \xi \right] - \sigma ^ { 2 } ( 1 + \xi ) \xi ^ { 3 }
\begin{array} { r l r } { \Sigma } & { = } & { \delta s _ { A E } ^ { 2 } + \delta s _ { A F } ^ { 2 } - \delta s _ { A G } ^ { 2 } - \delta s _ { A H } ^ { 2 } } \\ & { + } & { \delta s _ { B E } ^ { 2 } + \delta s _ { B F } ^ { 2 } - \delta s _ { B G } ^ { 2 } - \delta s _ { B H } ^ { 2 } } \\ & { - } & { \delta s _ { C E } ^ { 2 } - \delta s _ { C F } ^ { 2 } + \delta s _ { C G } ^ { 2 } + \delta s _ { C H } ^ { 2 } } \\ & { - } & { \delta s _ { D E } ^ { 2 } - \delta s _ { D F } ^ { 2 } + \delta s _ { D G } ^ { 2 } + \delta s _ { D H } ^ { 2 } \, . } \end{array}
T _ { o } + A ( \lambda ( t ) ) \, \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { s ( t ) } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { ~ S ~ } } t } } \right) = T _ { i } + B ( \lambda ( t ) ) \, \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { s ( t ) } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t } } R _ { \rho } \right) = T _ { m } ,
R _ { \Bar { \imath } _ { 1 } j _ { 1 } \Bar { \imath } _ { 2 } j _ { 2 } } ^ { \mathrm { C h } } = \partial _ { \Bar { \imath } _ { 1 } } \partial _ { j _ { 1 } } g _ { \Bar { \imath } _ { 2 } j _ { 2 } } - g ^ { \Bar { k } l } \partial _ { \Bar { \imath } _ { 1 } } g _ { \Bar { \imath } _ { 2 } l } \, \partial _ { j _ { 1 } } g _ { j _ { 2 } \Bar { k } } ,
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { H ( x ) } ( O _ { A } ) - \Phi _ { H _ { B } ( x ) } ( O _ { A } ) \| _ { \infty } } & { \le \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \kappa _ { \beta } ( t ) | \, \| \alpha _ { t } ( O _ { A } ) - \alpha _ { t } ^ { B } ( O _ { A } ) \| _ { \infty } \, d t } \\ & { \le c \, | A | \, \| O _ { A } \| _ { \infty } e ^ { - \mu \operatorname { d i s t } ( A , B ^ { c } ) } \int _ { - \delta } ^ { \delta } \, | \kappa _ { \beta } ( t ) | \, \, e ^ { v t } \, d t } \\ & { \quad + 2 \, \| O _ { A } \| _ { \infty } \, \int _ { [ - \delta , \delta ] ^ { c } } \, | \kappa _ { \beta } ( t ) | \, d t \, . } \end{array}
\Bigl ( \frac { \partial u } { \partial x _ { 1 } } \Bigr ) ^ { \! 2 } \frac { \partial ^ { \, 2 } u } { \partial x _ { 1 } ^ { \, 2 } } + 2 \, \frac { \partial u } { \partial x _ { 1 } } \frac { \partial u } { \partial x _ { 2 } } \frac { \partial ^ { \, 2 } u } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } + \Bigl ( \frac { \partial u } { \partial x _ { 2 } } \Bigr ) ^ { \! 2 } \frac { \partial { \, ^ { 2 } } u } { \partial x _ { 2 } ^ { \, 2 } } \, \, = \, \, 0
\begin{array} { r l } { \frac { d K _ { r } } { d t } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left< \boldsymbol { a } , \boldsymbol { a } \right> } & { = - \left< \boldsymbol { a } , \widetilde { C } _ { r } ( \boldsymbol { a } ) \boldsymbol { a } \right> + \nu \left< \boldsymbol { a } , D _ { r } \boldsymbol { a } \right> } \\ & { = - \nu \left| \left| Q _ { r } \boldsymbol { a } \right| \right| ^ { 2 } \leq 0 , } \end{array}
\Phi ( x , u ) = { \frac { 1 } { x } } - { \frac { \wp ( u ) } { 2 } } x + { \frac { \wp ^ { \prime } ( u ) } { 6 } } x ^ { 2 } + { \frac { g _ { 2 } - 5 \wp ^ { 2 } ( u ) } { 4 0 } } x ^ { 3 } + \ldots
\begin{array} { r l } & { r : = \left\lceil 2 \xi \log \left( \frac { 2 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } ( D - 1 ) ! ( 2 \xi ) ^ { D - 1 } \, D ^ { D - 1 } } { \varepsilon \, e ^ { \frac { k _ { 0 } + 1 } { 2 \xi } } ( 1 - e ^ { - \frac { 1 } { 2 \xi } } ) } \right) \right\rceil , } \\ & { \gamma = \frac { \varepsilon \, e ^ { - [ 2 ( r + k _ { 0 } ) ] ^ { D } ( 3 \log 2 + 5 \beta h ) } } { 3 [ 2 ( r + k _ { 0 } ) ] ^ { D } h \ell } , } \\ & { t : = \left\lceil \frac { 2 4 . 1 2 ^ { k _ { 0 } } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log \left( \frac { n ^ { k _ { 0 } } 2 ^ { k _ { 0 } + 1 } } { \delta ^ { \prime } } \right) \right\rceil \, . } \end{array}
\mathbf { E } ( \ell ) = i \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } \frac { i ^ { \nu } } { k _ { \ell } } \left[ c _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { m } _ { \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ) } + d _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { m } _ { \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } \right]
\begin{array} { r } { M ( \omega ) = \left( \frac { 1 - M _ { m i n } } { \omega _ { m a x } ^ { \alpha } - \omega _ { m i n } ^ { \alpha } } \right) \omega ^ { \alpha } + \frac { \omega _ { m a x } ^ { \alpha } M _ { m i n } - \omega _ { m i n } ^ { \alpha } } { \omega _ { m a x } ^ { \alpha } - \omega _ { m i n } ^ { \alpha } } } \end{array}
S _ { 0 } = \frac { 1 9 \pi ^ { 2 } } { 1 2 } \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } \, , \ \ \, d e l t a _ { 1 } = \frac { 4 8 } { 1 9 \pi ^ { 2 } } \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } \left( \ln \frac { m _ { \mu } } { m _ { e } } \right) ^ { 2 } = 0 . 0 3 5 2 \, .
\begin{array} { r } { \Vert \rho _ { f } ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } + \Vert j _ { f } ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \lesssim \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } \leq \Vert f ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } \Phi \Big ( T , \cdots , \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) } ) , \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } \Big ) , } \end{array}
{ \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { ~ O ~ L ~ S ~ } \{ 1 \} } \leq \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { ~ O ~ L ~ S ~ } \{ 2 \} } \leq \dots \leq \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { ~ O ~ L ~ S ~ } \{ B \} } }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { M } ^ { ( 2 ) } } { \mathrm { d } t } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { - \frac { 1 } { T _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { T _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { T _ { 1 } } } \end{array} \right] \boldsymbol { M } ^ { ( 2 ) } + \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { M _ { 0 } } { T _ { 1 } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\left\langle \hat { A } ^ { \dagger } ( \omega - \Delta _ { \mathrm { L O } } ) \hat { A } ( \omega ^ { \prime } + \Delta _ { \mathrm { L O } } ) ) \right\rangle = \left\langle \hat { A } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { A } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial Q _ { 1 1 } } { \partial t } } & { { } = } & { \xi _ { 1 } \left[ \pm Q _ { 1 1 } - ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) Q _ { 1 1 } + \nabla ^ { 2 } Q _ { 1 1 } \right] + c _ { 0 } ( P _ { 1 } ^ { 2 } - P _ { 2 } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial Q _ { 1 2 } } { \partial t } } & { { } = } & { \xi _ { 1 } \left[ \pm Q _ { 1 2 } - ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) Q _ { 1 2 } + \nabla ^ { 2 } Q _ { 1 2 } \right] + 2 c _ { 0 } P _ { 1 } P _ { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma } \frac { \partial P _ { 1 } } { \partial t } } & { { } = } & { \xi _ { 2 } \bigg [ \left( \frac { \rho } { \rho _ { c } } - 1 - { \bf P } \cdot { \bf P } \right) P _ { 1 } - \frac { v _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 \rho _ { 0 } } \nabla _ { x } \rho + \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( { \bf P } \cdot \nabla ) P _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \nabla _ { x } ( | { \bf P } | ^ { 2 } ) } \\ { \frac { 1 } { \Gamma } \frac { \partial P _ { 2 } } { \partial t } } & { { } = } & { \xi _ { 2 } \bigg [ \left( \frac { \rho } { \rho _ { c } } - 1 - { \bf P } \cdot { \bf P } \right) P _ { 2 } - \frac { v _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 \rho _ { 0 } } \nabla _ { y } \rho + \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( { \bf P } \cdot \nabla ) P _ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \nabla _ { y } ( | { \bf P } | ^ { 2 } ) } \\ { \frac { 1 } { \Gamma ^ { \prime } } \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { { } = } & { - v _ { 0 } ^ { \prime } \nabla \cdot ( { \bf P } \rho ) + D _ { \rho } ^ { \prime } \nabla ^ { 2 } \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { 1 S - 4 S } ( v ) } & { { } = 7 5 ~ 4 9 7 ~ 4 7 2 + 9 4 ~ 3 7 1 ~ 8 4 0 v - 1 1 5 ~ 6 0 5 ~ 5 0 4 v ^ { 2 } - 1 6 8 ~ 0 9 9 ~ 8 4 0 v ^ { 3 } - 2 9 ~ 1 9 6 ~ 2 8 8 v ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \langle p q | r s \rangle \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s } \hat { a } _ { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A s y m V a r ( \widetilde { A } _ { k } ) } & { = \cfrac { 2 c \sigma ^ { 2 } } { \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } \bigg [ \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + 4 B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } \\ & { + \cfrac { 5 B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ( A _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { k } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } { \big ( A _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } + B _ { 1 } ^ { 0 ^ { 2 } } \big ) } \bigg ] , } \end{array}
G _ { 0 } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } ( { \bf { k } } ) = \frac { \theta _ { \epsilon } ( | { \bf { k } } | , \Lambda ) - \theta _ { \epsilon } ( | { \bf { k } } | , \Lambda _ { 0 } ) } { { \bf { k } } ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l r } { \Sigma ( t ) } & { { } = } & { { 3 } \alpha i D ^ { K } ( t , t ) = \frac { 3 \alpha } { 2 \omega _ { P } } ( a ^ { 2 } ( t ) + \omega _ { P } ^ { 2 } b ^ { 2 } ( t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathsf { W } } ^ { 2 } \left( \rho _ { 0 } , \rho _ { 1 } \right) } & { = \operatorname* { i n f } \bigg \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int \left\Vert v _ { t } \right\Vert ^ { 2 } \mathrm { d } \rho _ { t } \mathrm { d } t : \left( \rho _ { t } , v _ { t } \right) _ { t \in [ 0 , 1 ] } \; \mathrm { s o l v e s } \; \partial _ { t } \rho _ { t } = - \mathsf { d i v } \left( \rho _ { t } v _ { t } \right) \bigg \} . } \end{array}
d \omega ^ { k _ { s } , 0 } = - \frac { 1 } { 2 } c _ { i _ { p } j _ { q } } ^ { k _ { s } } \omega ^ { i _ { p } , 0 } \wedge \omega ^ { j _ { q } , 0 } \quad ( p , q , s = 0 , 1 ) \; ,
\begin{array} { r l } { \int _ { s _ { 0 } } ^ { 1 } \left\vert \frac { 1 } { \sqrt { s ^ { 2 } + x _ { \pm } ( s ) ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { \sqrt { s ^ { 2 } + x _ { \pm } ( 0 ) ^ { 2 } } } \right\vert \, \textnormal { d } s } & { \leq C \int _ { s _ { 0 } } ^ { 1 } x _ { \pm } ( 0 ) \frac { s ^ { \varepsilon } + \lambda } { s ^ { 2 } } \, \textnormal { d } s = O ( x _ { \pm } ( 0 ) ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { M } _ { a _ { 1 } a _ { 2 } e \to a _ { 3 } \dots a _ { n } e } ^ { ( 0 ) } } & { = \hat { V } _ { a _ { 1 } a _ { 2 } e \to a _ { 3 } \dots a _ { n } e } + \hat { R } _ { a _ { 1 } a _ { 2 } e \to a _ { 3 } \dots a _ { n } e } } \\ & { = \hat { V } _ { a _ { 1 } a _ { 2 } e \to a _ { 3 } \dots a _ { n } e } - \hat { V } _ { a _ { 1 } a _ { 2 } e \to a _ { 3 } \dots a _ { n } e } ^ { ( \mathrm { o n } ) } , } \end{array}
W _ { 2 } = \kappa _ { 1 3 } \frac { ( \omega + d _ { 2 1 } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } \alpha _ { 3 1 } + | \Omega _ { c } | ^ { 2 } \alpha _ { 2 1 } } { 2 \mathcal { D } ^ { 2 } } , \eqno { ( \textrm { S 6 b } ) }
S _ { 2 1 , ( 1 2 ) } = 1 + \frac { \gamma _ { c } } { [ i ( \omega - \omega _ { c } ) - ( \alpha _ { c } + \gamma _ { c } ) ] - \frac { [ i J + \Gamma e ^ { i \Theta _ { 1 ( 2 ) } } ] ^ { 2 } } { i ( \omega - \omega _ { m } ) - ( \alpha _ { m } + \gamma _ { m } ) } }
t _ { d } = e ^ { \frac { 5 0 \cos ( 0 ) } { c ^ { 2 } \cdot 1 ^ { 2 } } } = e ^ { \frac { 5 0 } { c ^ { 2 } } } = e ^ { \frac { 5 0 } { 2 9 9 7 9 2 4 5 8 ^ { 2 } } } = e ^ { 5 . 5 6 3 2 5 0 3 \cdot 1 0 ^ { - 1 6 } } = 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 6 3 2 5 0 2 8 0 2 6 8 0 9 3 7 0 8 3 5 8 1 3 3 8 6 9 3 9 0 6 3 5 8 3 3 1 7 4 5 6 7 8 7 1 4 7 3 . . .
\begin{array} { r l } { \mu _ { t , k + 1 , i } } & { \ensuremath { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \mathbb { E } \left[ \xi _ { t , k + 1 , i } \vert \mathcal { F } _ { t , k + 1 / 2 } \right] \; , } \\ { \sigma _ { t , k + 1 , i } ^ { 2 } } & { \ensuremath { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \mathbb { E } \left[ \| \xi _ { t , k + 1 , i } - \mu _ { t , k + 1 , i } \| ^ { 2 } \vert \mathcal { F } _ { t , k + 1 / 2 } \right] \; . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c l } { \frac { d U } { d t } } & { = } & { - 4 \left( \mathrm { ~ s k e w ~ } \left( \left( - \tilde { M } + \hat { M } \right) U ^ { T } \right) U \right) , } \\ { \frac { d V } { d t } } & { = } & { - 4 \left( \mathrm { ~ s k e w ~ } \left( \left( - \tilde { N } + \hat { N } \right) U ^ { T } \right) V \right) , } \end{array} \right.
D _ { \mu } { \cal V } { \cal V } ^ { - 1 } = - { \frac { 1 } { 2 \sqrt 2 } } \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { { \cal A } _ { \mu } ^ { i j k l } } } \\ { { { \cal A } _ { \mu \, i j k l } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
V ( x _ { - } ) \equiv - \frac { 1 } { 2 f } \frac { d ^ { 2 } f } { d x _ { - } ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { 1 } { f } \frac { d f } { d x _ { - } } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 { \hbar } ^ { 2 } c ^ { 2 } } f ^ { 2 } + \frac { 4 m ^ { 2 } c ^ { 4 } P _ { c m } ^ { 2 } } { { \hbar } ^ { 2 } ( f ^ { 2 } - 4 c ^ { 2 } P _ { c m } ^ { 2 } ) }
U = ( \eta _ { E } ^ { \varepsilon } , \psi _ { E } ^ { \varepsilon } ) \in C \big ( [ 0 , \frac { T } { \varepsilon } ] ; \, H ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) \times \dot { H } ^ { p + 1 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) \big )
{ \cal L } _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } \left( \hat { x } , \hat { z } , \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } } { s _ { q q } } , \frac { M _ { 2 } ^ { 2 } } { s _ { q q } } \right) = \eta _ { 0 } \, { h } _ { \lambda _ { 1 } } \left( \hat { z } , \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { \hat { z } } s _ { q q } } \right) { h } _ { \lambda _ { 2 } } \left( \frac { \hat { x } } { \hat { z } } , \frac { M _ { 2 } ^ { 2 } \, \sqrt { \hat { z } } } { \sqrt { \hat { x } } s _ { q q } } \right) .
\begin{array} { r l } { \cos 2 \theta } & { { } = 2 \cos \theta \cos \theta - 1 = 2 \cos ^ { 2 } \theta - 1 } \\ { \cos 3 \theta } & { { } = 2 \cos \theta \cos 2 \theta - \cos \theta = 4 \cos ^ { 3 } \theta - 3 \cos \theta , } \end{array}
\bf M ^ { \nu } \propto \mathrm { \l ^ { 8 } } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \l } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { \l } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ , \qquad \bf M ^ { e } \propto \left( \begin{array} { l l l } { { \l ^ { 5 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \l ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ ,
\frac { 1 } { l _ { P } ^ { 2 } } = \frac { V _ { \parallel } V _ { \perp } } { g _ { s } ^ { 2 } l _ { s } ^ { 8 } } \ , \qquad \frac { 1 } { g _ { Y M } ^ { 2 } } = \frac { V _ { \parallel } } { g _ { s } l _ { s } ^ { p - 3 } } \, ,
r _ { \mathrm { ~ E ~ } } = \sum _ { i } r _ { \mathrm { ~ E ~ } } ^ { ( i ) } \prod _ { 0 \leq j < i } ( 1 - r _ { \mathrm { ~ E ~ } } ^ { ( j ) } ) = 1 - \prod _ { i } ( 1 - r _ { \mathrm { ~ E ~ } } ^ { ( i ) } ) ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } ( g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } ) + \Gamma _ { \mathrm { m } } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) ^ { 2 } } { \left[ g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } } d \omega } & { = } & { 2 \pi , } \\ { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] } { \left[ g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } } d \omega } & { = } & { 0 . } \end{array}