harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int x \operatorname { a r c c s c } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 2 } \operatorname { a r c c s c } ( a x ) } { 2 } } + { \frac { x } { 2 \, a } } { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } } + C
C _ { \theta } ( \tau ) = \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } ( { \scriptstyle { \cal A B } } ) { \cal A } ( \tau ) { \cal B } \rangle \; - \; \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } ( { \scriptstyle { \cal A } } ) { \cal A } \rangle \operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime \prime } } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) { \cal B } \rangle \stackrel { \tau \rightarrow \infty } { \longrightarrow }
M y _ { C . M . } = \int _ { 0 } ^ { y _ { 1 } } \rho y A ( y ) d y + \int _ { a } ^ { y _ { 2 } } \rho y A ( y ) d y + \int _ { y _ { 1 } } ^ { a } \tilde { \rho } ( y ) y \tilde { A } ( y ) d y + C ,
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 } } & { { } = } & { A , } \\ { \psi _ { 2 j - 1 } } & { { } = } & { a _ { 1 } R e ^ { i k j } + a _ { 2 } S e ^ { - i k j } , } \\ { \psi _ { 2 j } } & { { } = } & { a _ { 1 } S e ^ { i k j } + a _ { 2 } R e ^ { - i k j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { x } ^ { K , t } ( F ) } & { = } & { \mathbb { E } _ { x } \left( f ( \tau ( U ) ) \sum _ { n = 1 } ^ { K - 1 } \left( \sum _ { v _ { 1 } < \cdots < v _ { n } , v _ { i } \in T _ { 0 } ( U ) , | v _ { i } | = t } \psi _ { 0 } ( \mathbb { U } ( \vec { v } ) ) \right) \left( \sum _ { w _ { 1 } < \cdots < w _ { K - n } , w _ { i } \in T _ { 1 } ( U ) , | w _ { i } | = t } \psi _ { 1 } ( \mathbb { U } ( \vec { w } ) ) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \mu } \left[ f ^ { \mu } - \left[ { \frac { \partial } { \partial ( \partial _ { \mu } \varphi ) } } { \mathcal { L } } \right] \right. } & { { } \left. Q [ \varphi ] - 2 \left[ { \frac { \partial } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \varphi ) } } { \mathcal { L } } \right] \partial _ { \nu } Q [ \varphi ] \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| P _ { \xi } \right\rangle } & { = \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } ) \hat { a } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { b } _ { \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \left| 0 \right\rangle = \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \! \! \int \! \! d \boldsymbol { r } _ { A } \! \! \int \! \! d \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } \xi _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } _ { A } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { a , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ) \hat { \psi } _ { b , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } ) \left| 0 \right\rangle . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ O ~ D ~ E ~ } } ( \beta ) = \sum _ { n } \left\| \theta _ { t _ { n } } - \tilde { \theta } _ { t _ { n } } \right\| ^ { 2 } , \; \; \tilde { \theta } _ { t _ { n } } = \theta _ { t _ { 0 } } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { n } } \Gamma _ { \beta } ( \theta ( t ) ) \; d t ,
\begin{array} { r l } & { R ^ { 2 } ( C _ { 1 } , C _ { 2 } ) = } \\ & { \sum _ { j \in k _ { \perp } } \frac { \left[ \log \left( | \tilde { B } | _ { t u r b \_ p s p } ^ { 2 } ( k _ { \perp , j } \rho _ { p } ) \right) - \log \left( | \tilde { B } | _ { m o d e l } ^ { 2 } ( k _ { \perp , j } \rho _ { p } , C _ { 1 } , C _ { 2 } ) \right) \right] ^ { 2 } } { \log \left( | \tilde { B } | _ { t u r b \_ p s p } ^ { 2 } ( k _ { \perp , j } \rho _ { p } ) \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } & { \int _ { \{ | x | = r \} } \sum _ { a , b , j = 1 } ^ { 3 } { g } ^ { a b } ( { g } _ { a j , b } - { g } _ { a b , j } ) \frac { x ^ { j } } { | x | } d A } \\ & { = - \sum _ { k \in \mathscr J _ { 1 } ( r ) } \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \partial B _ { k } } ( \nabla \log f ) \cdot \nu \, d A - \frac 1 { 8 \pi } \int _ { B ( r ) \setminus \mathscr B ( r ) } \Delta \log f \; d x } \\ & { \quad + \frac 1 { 1 6 \pi } \sum _ { k \in \mathscr J _ { 2 } ( r ) } \int _ { B ( r ) \cap B _ { k } } \sum _ { a , b , j = 1 } ^ { 3 } \partial _ { j } ( { g } ^ { a b } ( { g } _ { a j , b } - { g } _ { a b , j } ) ) d x . } \end{array}
\tilde { w } _ { 0 } D _ { q } [ \lambda ] \equiv D _ { q } [ \tilde { w } _ { 0 } ^ { - 1 } ( \lambda ) ] = \mathrm { s i g n } w _ { 0 } \; D _ { q } [ \lambda ] \, , ~ ~ ~ ~ \forall w _ { 0 } \in { \cal W } _ { 0 } \; .
\tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } \leq \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } + r _ { s } \frac { \partial \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } } { \partial r _ { s } } \leq \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X } } + \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ( \infty ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial B _ { h } } { \partial z } = } & { \int _ { p _ { \star } } ^ { p } \frac { \partial \upsilon } { \partial \eta } \, \mathrm { d } p ^ { \prime } \frac { \partial \eta } { \partial z } + \int _ { p _ { \star } } ^ { p } \frac { \partial \upsilon } { \partial S } \, \mathrm { d } p ^ { \prime } \frac { \partial S } { \partial z } + T _ { \star } \frac { \partial \eta } { \partial z } + \mu _ { \star } \frac { \partial S } { \partial z } } \\ { \approx } & { ( p - p _ { \star } ) \left( \overline { { \upsilon _ { \eta } } } \frac { \partial \eta } { \partial z } + \overline { { \upsilon _ { S } } } \frac { \partial S } { \partial z } \right) + T _ { \star } \frac { \partial \eta } { \partial z } + \mu _ { \star } \frac { \partial S } { \partial z } } \\ { \approx } & { \frac { g ( z - z _ { \star } ) } { \rho _ { \star } } \frac { \partial \rho _ { l r } } { \partial z } + T _ { \star } \frac { \partial \eta } { \partial z } + \mu _ { \star } \frac { \partial S } { \partial z } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { I _ { \nu } \left( - y - i x \right) = e ^ { \displaystyle { - \imath \pi \nu } } I _ { \nu } \left( y + i x \right) } } \\ { { I _ { \nu } \left( y + i x \right) = \left( I _ { \nu } \left( y - i x \right) \right) ^ { * } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( \mathbf { M } ^ { K ^ { - } } ) } & { { } = \mathrm { t r ( } \mathbf { M } ) } \\ { \Rightarrow M _ { K } } & { { } = - \frac { \mathrm { t r ( } \mathbf { M } ) } { ( \nu + 1 ) \alpha _ { v } } . } \end{array}
V ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = \frac { m _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { m _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } q _ { 2 } ^ { 2 } - m \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } \Gamma q _ { 1 } q _ { 2 }
\left( \begin{array} { l } { \mathbf { D } } \\ { \mathbf { H } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \epsilon \mathbb { 1 } + \kappa _ { D E } } & { \kappa _ { D B } } \\ { \kappa _ { H E } } & { { \mu } ^ { - 1 } \mathbb { 1 } + \kappa _ { H B } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { E } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } g ( y _ { i } ) \left( 1 - \delta _ { i N } \right) } & { = A _ { i 0 } f ( y = 0 ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } f ( y _ { j } ) - \delta _ { i N } g ( y = y _ { \infty } ) , \quad \quad \quad } & & { i = 1 , . . . , N } \\ { h ( y _ { i } ) } & { = A _ { i 0 } \, g ( y = 0 ) + A _ { i N } \, g ( y = y _ { \infty } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } A _ { i j } g ( y _ { j } ) , \quad \quad \quad } & & { i = 1 , . . . , N - 1 } \\ { \mathcal { T } _ { x x } ^ { \prime } ( y _ { i } ) } & { = A _ { i N } \mathcal { T } _ { x x } ( y = y _ { \infty } ) + \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } A _ { i j } \mathcal { T } _ { x x } ( y _ { j } ) , \quad \quad \quad } & & { i = 0 , . . . , N - 1 . } \\ { \mathcal { T } _ { x y } ^ { \prime } ( y _ { i } ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { N } A _ { i j } \mathcal { T } _ { x y } ( y _ { j } ) , \quad \quad \quad } & & { i = 0 , . . . , N - 1 . } \\ { \mathcal { T } _ { y y } ^ { \prime } ( y _ { i } ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { N } A _ { i j } \mathcal { T } _ { y y } ( y _ { j } ) , \quad \quad \quad } & & { i = 0 , . . . , N - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = - \gamma e ^ { - \beta t } u ^ { \prime } ( c ( t ) ) + \beta e ^ { - \beta t } u ^ { \prime } ( c ( t ) ) - c ^ { \prime } ( t ) e ^ { - \beta t } u ^ { \prime \prime } ( c ( t ) ) } \\ & { = ( \beta - \gamma ) e ^ { - \beta t } u ^ { \prime } ( c ( t ) ) - c ^ { \prime } ( t ) e ^ { - \beta t } u ^ { \prime \prime } ( c ( t ) ) . } \end{array}
{ \mathbf { \tau } } = - 2 \rho k \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } { { g ^ { ( i ) } } } { { \mathbf { T } } ^ { ( i ) } } - \frac { { 2 \rho k } } { 3 } { \mathbf { I } } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { \tilde { z } _ { 4 } } & { 0 } & { - { g } _ { 1 } } & { 0 } & { - { h } _ { 1 } } & { - { g } _ { 2 } } \\ { 0 } & { \tilde { z } _ { 6 } + 2 { g } _ { 1 } } & { 0 } & { { h } _ { 1 } } & { - { h } _ { 2 } } & { - h _ { 3 } } \\ { - { g } _ { 1 } } & { 0 } & { \tilde { z } _ { 5 } } & { { h } _ { 2 } } & { 0 } & { - { g } _ { 3 } } \\ { 0 } & { { h } _ { 1 } } & { { h } _ { 2 } } & { \tilde { z } _ { 2 } + 2 { g } _ { 2 } } & { { h } _ { 3 } } & { 0 } \\ { - { h } _ { 1 } } & { - { h } _ { 2 } } & { 0 } & { { h } _ { 3 } } & { \tilde { z } _ { 3 } + 2 { g } _ { 3 } } & { 0 } \\ { - { g } _ { 2 } } & { - { h } _ { 3 } } & { - { g } _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { \tilde { z } _ { 1 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert H \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \varPhi \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \partial _ { t } ^ { - 1 } \varPsi _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } } \\ { \lVert \partial _ { t } H \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \varPsi \rVert _ { - \nu , 0 } . } \end{array}
( { { \bf { H } } _ { \mathrm { { c o m } } } ^ { 1 } } ) ^ { H } = { \bf { H } } _ { \mathrm { I } } ^ { H } { \mathrm { d i a g } } \left( { \boldsymbol { \varphi } } ^ { 1 } \right) { \bf { G } } + { \bf { H } } _ { \mathrm { d } } ^ { H } = \left[ { { \boldsymbol { h } } _ { { \mathrm { c o m } } , 1 } ^ { 1 } } , { { \boldsymbol { h } } _ { { \mathrm { c o m } } , 2 } ^ { 1 } } , \cdots , { { \boldsymbol { h } } _ { \mathrm { { c o m } } , K } ^ { 1 } } \right] ^ { H }
- { \cal L } _ { M } ^ { \nu } \ = \ \frac { 1 } { 2 } ( \bar { \nu } _ { L } ^ { 0 } , \bar { \nu } _ { R } ^ { 0 C } ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { m _ { D } } } \\ { { m _ { D } ^ { T } } } & { { m _ { M } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { L } ^ { 0 C } } } \\ { { \nu _ { R } ^ { 0 } } } \end{array} \right) \quad + \quad h . c .
u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , \ast y } = 2 u _ { i j } ^ { n } - ( \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { n , - y } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { n , + y } ) - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { i } } \left( f ( u _ { i j } ^ { n , - x } ) - f ( u _ { i j } ^ { n , + x } ) \right) - \frac { \Delta t } { \Delta y _ { j } } \left( g ( u _ { i j } ^ { n , - y } ) - g ( u _ { i j } ^ { n , + y } ) \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( y , \sqrt { y } ) } \frac { 1 } { \langle x \rangle ^ { d + 1 } | x - y | } \, d x } & { = \int _ { B ( 0 , \sqrt { y } ) } \frac { 1 } { \langle x + y \rangle ^ { d + 1 } | x | } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { y } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { r ^ { d - 2 } ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { d - 3 } } { ( 1 + r ^ { 2 } + | y | ^ { 2 } + 2 | y | r z ) ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } \, d z d r . } \end{array}
m = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { m ^ { 1 } } } & { { m ^ { 2 } + m ^ { 3 } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { m ^ { 2 } - m ^ { 3 } } } & { { - m _ { 1 } } } \end{array} \right) = { \cal Q } = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { \delta } { 2 } r } } & { { \beta q } } \\ { { \gamma p } } & { { - \frac { \delta } { 2 } r } } \end{array} \right) \, .
F ( u , v , w ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { x = 0 } ^ { M - 1 } e ^ { - i 2 \pi \frac { u x } { M } } \left( \frac { 1 } { N L } \sum _ { y = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { z = 0 } ^ { L - 1 } \rho _ { x y z } e ^ { - i 2 \pi ( \frac { v y } { N } + \frac { w z } { L } ) } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \hat { O } \left( t \right) } & { { } = - i \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \left[ \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \left( t \right) , \hat { O } \left( t \right) \right] \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \left( t \right) J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega _ { s ^ { \prime } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) \wedge \ast [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) ] _ { 1 } = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) \wedge \ast \delta \big ( \eta \wedge d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \big ) } \\ { = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \big ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } i _ { \mathcal { N } } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \big ) v _ { \Sigma } } \\ { = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { i } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { j } , } \end{array}
A _ { \cal P } ^ { ( \gamma p ) } ( s , 0 ) = 3 P _ { \gamma } P _ { p } [ 2 A _ { \cal P } ^ { ( 1 ) } ( s / 6 , 0 ) + 3 A _ { \cal P } ^ { ( 2 ) } ( s / 3 , 0 ) + A _ { \cal P } ^ { ( 3 ) } ( 2 s / 3 , 0 ) ] ,
{ \begin{array} { r l } { e _ { 0 } } & { = 1 , } \\ { - e _ { 1 } } & { = - p _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( e _ { 1 } p _ { 1 } - p _ { 2 } ) , } \\ { - e _ { 3 } } & { = - { \frac { 1 } { 3 } } ( e _ { 2 } p _ { 1 } - e _ { 1 } p _ { 2 } + p _ { 3 } ) , } \\ { e _ { 4 } } & { = { \frac { 1 } { 4 } } ( e _ { 3 } p _ { 1 } - e _ { 2 } p _ { 2 } + e _ { 1 } p _ { 3 } - p _ { 4 } ) , } \\ & { \ \ \vdots } \end{array} }
\Bar { \boldsymbol { \epsilon } } = \frac { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \psi } } - \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \psi } , D M D } } { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ( \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \psi } } ) } ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { N + 1 } ^ { \mathrm { ( i i ) } } } & { { } \big ( \alpha \big ) = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } - N \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } - \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { | \alpha | ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d } } } ( 1 - p ) ( N + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textrm { i f } \sum _ { i = 1 } ^ { m ^ { \prime } } \rho _ { b _ { i } } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } > \frac { 1 } { 2 } \rho _ { b _ { m ^ { \prime } } } ( t ) \quad \mathrm { t h e n : ~ } m = m ^ { \prime } - 1 } \\ & { \textrm { i f } \sum _ { i = 1 } ^ { m ^ { \prime } } \rho _ { b _ { i } } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \le \frac { 1 } { 2 } \rho _ { b _ { m ^ { \prime } } } ( t ) \quad \mathrm { t h e n : ~ } m = m ^ { \prime } \, . } \end{array}
\psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \rightarrow \left\{ 1 + \frac { i e } { \hbar } { \mathrm { ~ \bf ~ a ~ } } \cdot [ \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \times \mathrm { ~ \bf ~ B ~ } + \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] \right\} ( 1 + i { \mathrm { ~ \bf ~ a ~ } } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { o p } / \hbar ) \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; \; ( \mathrm { i n f i n i t e s i m a l \; \; \; { \mathrm { ~ \bf ~ a ~ } } ) \; , }
\{ \boldsymbol { x } ^ { k + 1 } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } ^ { k + 1 } } = \operatorname { C o n v } \Big ( \operatorname { M a x P o o l } \big ( \{ \boldsymbol { x } ^ { k } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } ^ { k } } \big ) \Big ) , \ \mathrm { ~ k ~ f ~ r ~ o ~ m ~ 1 ~ t ~ o ~ ( ~ K ~ - ~ 1 ~ ) ~ } .
\sigma _ { 8 } = \sum _ { i = 4 } ^ { 7 } A _ { i } ^ { 8 } \sigma _ { i } , \quad \sigma _ { 9 } = \sum _ { i = 4 } ^ { 7 } A _ { i } ^ { 9 } \sigma _ { i } , \quad \sigma _ { 1 0 } = \sum _ { i = 4 } ^ { 7 } A _ { i } ^ { 1 0 } \sigma _ { i } .
\begin{array} { r l } { \delta \phi _ { i j } \Delta x ^ { 2 } } & { = \underbrace { \frac { E I \omega ( r _ { i j } ) } { \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } \frac { ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) } { r _ { i j } ^ { 4 } } \Delta x ^ { 2 } } _ { \mathrm { f o r c e ~ d u e ~ t o ~ b e n t : ~ } f _ { i j j ^ { \prime } } } \cdot ( \delta u _ { j } + \delta u _ { j ^ { \prime } } - 2 \delta u _ { i } ) } \\ & { = f _ { i j j ^ { \prime } } \cdot \delta u _ { j } + f _ { i j j ^ { \prime } } \cdot \delta u _ { j ^ { \prime } } - 2 f _ { i j j ^ { \prime } } \cdot \delta u _ { i } . } \end{array}
| r ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } \chi ^ { \dagger } | _ { p , S } \lesssim | r ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } \chi ^ { \dagger } | _ { p , S _ { * } } + \int _ { u _ { 0 } ( { \underline { { u } } } _ { * } ) } ^ { u } | r ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } \sigma | _ { p , S } \lesssim \frac { \mathcal { I } _ { 0 } + \Delta _ { 0 } } { | u | ^ { \frac { s - 3 } { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { z _ { j _ { 1 } } } \cdot \cdot \cdot \partial _ { z _ { j _ { n } } } u _ { N } \right) ( t , z ) = u _ { N } ( t , z ) c _ { j _ { 1 } } g _ { j _ { 1 } } ( t ) \cdot \cdot \cdot c _ { j _ { n } } g _ { j _ { n } } ( t ) , } \end{array}
D = \int _ { - Q _ { 1 } } ^ { Q _ { 1 } } { \rho _ { 1 } ( k ) d k } , \; \; \; D _ { m } = \int _ { - B _ { 1 } } ^ { B _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } ( \Lambda ) d \Lambda } , \; \; \; E _ { 1 } / N = D ^ { - 1 } \int _ { - Q _ { 1 } } ^ { Q _ { 1 } } { k ^ { 2 } \rho _ { 1 } ( k ) d k } .
f ( \nu , x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N } \frac { 1 } { k ! } \frac { \partial ^ { ( k ) } f ( 0 , x ) } { \partial \nu ^ { k } } \nu ^ { k } + \sum _ { m = 1 } ^ { p } \left[ \frac { r _ { m } ( x ) } { \nu - p _ { m } ( x ) } - h _ { m } ^ { ( N ) } ( \nu , x ) \right] + I _ { p } ( \nu , x , N ) \ .
\begin{array} { r l r } { F _ { Q } [ { \bf Q } ] } & { { } = } & { \int \mathrm { ~ d ~ } { \bf r } \left\{ \frac { A } { 2 } \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \boldsymbol { Q } ^ { 2 } ) + \frac { B } { 3 } \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \boldsymbol { Q } ^ { 3 } ) + \frac { C } { 4 } [ \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \boldsymbol { Q } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \left| \nabla { \bf Q } \right| ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \sigma } _ { i j } n _ { i } t _ { j } } & { { } = } & { - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { \chi } { 2 - \chi } \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { V S } } } \left( \hat { V } _ { i } + \eta ^ { 1 } \hat { q } _ { i } \right) t _ { i } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { q } _ { k } n _ { k } } & { { } = } & { - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { \chi } { 2 - \chi } \frac { 4 + \delta } { 2 } \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { T J } } } \left( \mathcal { \hat { T } } + \eta ^ { 1 } \hat { \sigma } _ { i j } n _ { i } n _ { j } \right) \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
v _ { i j } = \frac { 1 } { r _ { i j } } - \sum _ { J } \frac { Z _ { J } } { \eta _ { B } } \frac { 1 } { r _ { i J } } - \sum _ { I } \frac { Z _ { I } } { \eta _ { A } } \frac { 1 } { r _ { I j } } + \sum _ { I J } \frac { Z _ { I } Z _ { J } } { \eta _ { A } \eta _ { B } } \frac { 1 } { r _ { I J } } ,
\begin{array} { r l } { W _ { h , a } [ g ] : = } & { \nu \int _ { \mathbb { D } } \frac { - \mathrm { \normalfont ~ R e } [ g ( y ) ] | f _ { h } ^ { \prime } ( y ) | ^ { 2 } + 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } [ ( 1 + h ^ { \prime } ( y ) ) \overline { { g ^ { \prime } ( y ) } } ] \, \mathrm { \normalfont ~ R e } [ a - f _ { h } ( y ) ] } { | a - f _ { h } ( y ) | ^ { \nu + 2 } } \, d y } \\ & { - \nu ( \nu + 2 ) \int _ { \mathbb { D } } \frac { \mathrm { \normalfont ~ R e } [ ( a - f _ { h } ( y ) ) \overline { { g ( y ) } } ] \, \mathrm { \normalfont ~ R e } [ a - f _ { h } ( y ) ] } { | a - f _ { h } ( y ) | ^ { \nu + 4 } } | f _ { h } ^ { \prime } ( y ) | ^ { 2 } \, d y } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \check { X } _ { t _ { n + 1 } } = \check { X } _ { t _ { n } } + b ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta t + \sigma ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta \check { W } _ { t _ { n } } , } \\ & { \operatorname* { m i n } _ { ( \alpha _ { t _ { n } } ) _ { n = 0 , \dots , N _ { T } - 1 } } \mathbb { E } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { T } - 1 } f ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta t + g ( \check { X } _ { T } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { = \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi , } \\ { \frac { L } { 2 } } & { = \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi , } \end{array}
{ \cal Z } = \int { \cal D } x _ { \mu } ( \xi ) { \cal D } h _ { \mu \nu } \exp \Biggl \{ - \int d ^ { 4 } x \left[ \frac 1 { 1 2 \eta ^ { 2 } } H _ { \mu \nu \lambda } ^ { 2 } + g _ { m } ^ { 2 } h _ { \mu \nu } ^ { 2 } + i \pi h _ { \mu \nu } \hat { \Sigma } _ { \mu \nu } \right] \Biggr \} ,
g _ { D q - G T } ^ { 2 } = G _ { \mathrm { O S } } ^ { 2 } ( \alpha _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } ) ^ { \frac { q - 1 } { 2 } } \ , \quad \theta _ { D q - G T } = G _ { O S } ^ { 2 } ( \alpha _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } ) ^ { \frac { q + 1 } { 2 } } \ .
| \{ \lambda \} , q \rangle _ { \mp } = ( - 1 ) ^ { | \lambda | } ( j _ { \lambda } ^ { \beta } ) ^ { 1 / 2 } J _ { \{ \lambda ^ { \prime } \} } ^ { ( 1 / \beta ) } ( \{ \pm \sqrt { \beta } \alpha _ { - n } \} ) | q \rangle .
\begin{array} { r l } { \left| I _ { A } ^ { \prime } - I _ { A } ^ { \prime \prime } \right| , \left| J _ { A } ^ { \prime } - J _ { A } ^ { \prime \prime } \right| } & { \leq C \int _ { \mathbf { R } \backslash [ - A , A ] } \left( W _ { A } \left( x _ { 1 } \right) \right) ^ { 2 } d x _ { 1 } , } \\ { \left| I _ { A } - I _ { A } ^ { \prime } \right| , \left| J _ { A } - J _ { A } ^ { \prime } \right| } & { \leq 2 C \int _ { - A } ^ { A } \left( W _ { \infty } \left( x _ { 1 } \right) - W _ { A } \left( x _ { 1 } \right) \right) W _ { \infty } \left( x _ { 1 } \right) d x _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \operatorname* { m i n } } \left( h _ { k } \eta _ { k ^ { \prime } } \sqrt { 2 ^ { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { i - 1 } m _ { g _ { i ^ { \prime } } , k ^ { \prime } } } \sum _ { l = k ^ { \prime } } ^ { K } P _ { l , k ^ { \prime } } } \Lambda _ { k , k ^ { \prime } } \right) } \\ { = } & { \sqrt { \frac { 6 \cdot 2 ^ { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { i - 1 } m _ { g _ { i ^ { \prime } } , k ^ { \prime } } } | h _ { g _ { i } } | ^ { 2 } \sum _ { l = k ^ { \prime } } ^ { K } P _ { l , k ^ { \prime } } } { 2 ^ { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { K - k ^ { \prime } + 1 } m _ { g _ { i ^ { \prime } } , k ^ { \prime } } } - 1 } } \overset { \geq } 1 , } \end{array}
F _ { 1 2 } ( \alpha _ { 1 } ) \, = \, \sum _ { \alpha _ { 2 } } F ( M ; \alpha _ { 1 } \cup \alpha _ { 2 } ) \, \alpha _ { 2 } \qquad : V _ { \Sigma _ { 1 } } \rightarrow V _ { \Sigma _ { 2 } }
\frac { \left( 1 - \mathcal { R } \right) q \rho _ { s } \varOmega _ { s } + \bar { \beta } \zeta \varDelta } { \alpha \zeta \varDelta - \rho _ { s } q - \alpha ^ { 2 } \frac { q + \zeta ^ { 2 } \varDelta ^ { 2 } } { \rho _ { s } + \alpha \zeta \varDelta } } > 0
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) d s } & { { } = z _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } + ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } s } } { \alpha _ { k } } d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { - \alpha _ { k } ( s - u ) } \sqrt { 2 \alpha _ { k } } d W _ { k } ( u ) d s } \end{array}