harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Vert \nabla \omega ( t ) \Vert _ { L ^ { 1 } } \ge \int _ { - \pi } ^ { \pi } \left[ \int _ { 0 } ^ { \pi } | \partial _ { y } \omega ( x , y , t ) | \, \mathrm { d } y \right] \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \vec { u } } { U } = \left( 1 - \frac { R ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \cos ( \theta ) \widehat { \vec { r } } - \left( 1 + \frac { R ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \sin ( \theta ) \widehat { \vec { \theta } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { L } _ { j A } } & { { } = \sqrt { g J } \, \hat { c } _ { j , A } ^ { \dagger } , \qquad \hat { L } _ { j B } = \sqrt { g J } \, \hat { c } _ { j , B } , } \\ { \hat { L } _ { j C } } & { { } = \sqrt { g J } \, \hat { c } _ { j , C } , \qquad \hat { L } _ { j D } = \sqrt { g J } \, \hat { c } _ { j , D } ^ { \dagger } . } \end{array}
T _ { t } ^ { t } = T _ { z } ^ { z } = \varphi ^ { 2 } e ^ { - 2 g M } + \frac { A ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } e ^ { - 2 g M } + { \cal P } M ^ { 2 } + \left( \frac { A ^ { \prime } } { r h } \right) ^ { 2 } + { \cal R } \left( \frac { G } { g r } \right) ^ { 2 } + U .
\begin{array} { r l r } { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } & { \leq } & { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { \varpi _ { i ^ { \prime } } ( t ) } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } + \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { \varpi _ { i ^ { \prime } } ( t ) } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \mathcal { A } ^ { ( l ) } ) } & { \geq \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \operatorname* { m a x } \left\{ \| A \| ^ { l / k } : \, A \in \mathcal { A } ^ { ( k ) } \right\} } \\ & { = \left( \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \operatorname* { m a x } \left\{ \| A \| ^ { 1 / k } : \, A \in \mathcal { A } ^ { ( k ) } \right\} \right) ^ { l } } \\ & { = \rho ( \mathcal { G } , \mathcal { A } ) ^ { l } , } \end{array}
\Delta = 4 T _ { 2 } ^ { 2 } \partial _ { T } \partial _ { \bar { T } } + 4 \lambda ^ { 2 } T _ { 2 } \partial _ { B } \partial _ { \bar { B } } + \frac { 3 } { 4 \lambda } \partial _ { \lambda } ( \lambda ^ { 3 } \partial _ { \lambda } )
\hat { r } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \hat { r } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \Omega ^ { ( \mu , \alpha , \lambda ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q | p _ { Z } ) } \\ & { : = - \log \mathrm { E } _ { q } \left[ \exp \left\{ - \lambda \omega _ { q | p _ { Z } ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( Z , K _ { 1 } , K _ { 2 } | U ) \right\} \right] , } \\ & { \Omega ^ { ( \mu , \alpha , \lambda ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { : = \operatorname* { m i n } _ { \scriptstyle \atop { \scriptstyle q \in { { \cal Q } } ( p _ { K _ { 1 } K _ { 2 } | { Z } } ) } } \Omega ^ { ( \mu , \alpha , \lambda ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q | p _ { Z } ) , } \\ & { F ^ { ( \mu , \alpha , \lambda ) } ( R _ { \cal A } , R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { : = \frac { \Omega ^ { ( \mu , \alpha , \lambda ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) - \alpha \lambda { \mu } R _ { \cal A } } { 1 + \lambda ( 1 + \alpha \bar { \mu } ) } , } \\ & { F ( R _ { \cal A } , R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { : = \operatorname* { s u p } _ { \scriptstyle ( \mu , \alpha ) \in [ 0 , 1 ] ^ { 2 } , \lambda \geq 0 } F ^ { ( \mu , \alpha , \lambda ) } ( R _ { \cal A } , R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t ) \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) T _ { h } ^ { l } ( t ) / 2 + \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) T _ { h } ^ { i } ( t ) / 2 \| _ { q } } \\ & { = \| ( \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) ) ( \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) ) + ( \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) - T _ { h } ^ { i } ( t ) / 2 ) \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) ( \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) - T _ { h } ^ { l } ( t ) / 2 ) \| _ { q } } \\ & { = O ( n ^ { \phi - 1 } b ^ { - 1 } h + b ^ { 3 } + n ^ { - 1 / 2 } h ) . } \end{array}
\int _ { | { \bf k } | = k _ { 1 } } ^ { | { \bf k } | = k _ { 2 } } d ^ { 3 } { \bf k ^ { \prime } } q ( { \bf k ^ { \prime } - k } , t ) p _ { 1 } ( { \bf k ^ { \prime } } , t ) e ^ { \mu _ { k } t } + \int _ { | { \bf k } | = k _ { 1 } } ^ { | { \bf k } | = k _ { 2 } } d ^ { 3 } { \bf k ^ { \prime } } q ( { \bf k ^ { \prime } - k } , t ) p _ { 2 } ( { \bf k ^ { \prime } } , t ) e ^ { - \mu _ { k } t }
\Psi ( t ) = \psi _ { 1 } ( t ) \otimes \psi _ { 2 } ( t ) = c _ { 1 1 } ( t ) | g _ { 1 } \rangle \otimes | g _ { 2 } \rangle + c _ { 1 2 } ( t ) | g _ { 1 } \rangle \otimes | e _ { 2 } \rangle + c _ { 2 1 } ( t ) | e _ { 1 } \rangle \otimes | g _ { 2 } \rangle + c _ { 2 2 } ( t ) | e _ { 1 } \rangle \otimes | e _ { 2 } \rangle ,
S _ { \frac { 1 } { T } } ( f ) \ \triangleq \ \underbrace { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } S \left( f - { \frac { k } { T } } \right) \equiv \overbrace { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } s [ n ] \cdot e ^ { - i 2 \pi f n T } } ^ { \mathrm { F o u r i e r ~ s e r i e s ~ ( D T F T ) } } } _ { \mathrm { P o i s s o n ~ s u m m a t i o n ~ f o r m u l a } } = { \mathcal { F } } \left\{ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } s [ n ] \ \delta ( t - n T ) \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { x } L _ { \xi } ( x , \eta ) = { \psi ^ { * } } ^ { \prime } \Big ( \frac { \ell _ { \xi } ( x ) - \eta } { \lambda } \Big ) \nabla \ell _ { \xi } ( x ) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial \eta } L _ { \xi } ( x , \eta ) = 1 - { \psi ^ { * } } ^ { \prime } \Big ( \frac { \ell _ { \xi } ( x ) - \eta } { \lambda } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { n _ { 2 } ( q _ { B } ) = \frac { 2 ( 2 \pi ) } { q _ { B } ^ { 4 } } \prod _ { k = 1 } ^ { D - 3 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta _ { k } \sin ^ { k } \theta _ { k } } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { \infty } d q _ { A } \ q _ { A } ^ { D - 1 } | \chi ^ { ( A ) } ( q _ { A } ) | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \ \sin ^ { D - 2 } \theta } \\ & { } & { \times \frac { 1 } { \left[ ( q _ { A } / q _ { B } ) ^ { 2 } + ( q _ { A } / q _ { B } ) \cos \theta + ( \mathcal { A } + 1 ) / 2 \mathcal { A } \right] ^ { 2 } } \, , \ \ \ \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { \ell } ^ { ( w ) } = \frac { 1 } { k _ { \ell } } \frac { 1 } { \mathcal { V } _ { \ell } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } r ~ \boldsymbol { u } _ { \ell } ^ { \dagger } ( \nabla \times \boldsymbol { A } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mathrm { K L } } \sim - d ^ { 2 } S = d \bigg [ \frac { \partial S } { \partial \rho _ { \mu } } d \rho ^ { \mu } \bigg ] = \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial \rho ^ { \mu } \partial \rho ^ { \nu } } \frac { \partial \rho ^ { \mu } } { \partial \xi ^ { \kappa } } \frac { \partial \rho ^ { \nu } } { \partial \xi ^ { \lambda } } d \xi ^ { \kappa } d \xi ^ { \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \mathcal { E } _ { a , N _ { a } ( t ) } ^ { c } ( \epsilon ) , N _ { a } ( t ) = n \right] } & { = \mathbb { P } \left[ \mathcal { K } _ { a , N _ { a } ( t ) } ^ { c } ( \epsilon ) , N _ { a } ( t ) = n \right] + \mathbb { P } \left[ \mathcal { A } _ { a , N _ { a } ( t ) } ^ { c } ( \epsilon ) , \mathcal { K } _ { a , N _ { a } ( t ) } ( \epsilon ) , N _ { a } ( t ) = n \right] } \\ & { \leq \exp \left( - \frac { \alpha _ { a } \epsilon } { \kappa _ { a } + \epsilon } n \right) + 2 \exp \left( - \frac { \alpha _ { a } ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } { 4 } n \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta \dot { d } = \nabla \cdot \frac { \partial \psi ^ { s } } { \partial { \nabla { d } } } - \frac { \partial \psi ^ { s } } { \partial { d } } , } \\ & { \phi \boldsymbol { \tau } + \kappa \nabla { S } \otimes \nabla { S } = C _ { S t } \boldsymbol { D } , } \\ & { p \nabla \phi - \boldsymbol { f } ^ { s f } = C _ { D a } \boldsymbol { v } _ { f / s } , } \\ & { \boldsymbol { h } = - M \nabla \mu , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \exp ( a ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } ) ) q _ { 1 2 } } & { = \mathbb { E } \big ( \exp ( a \ell _ { 1 } ) - 1 \big ) \big ( \exp ( a \ell _ { 2 } ) - 1 \big ) q _ { 1 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \big ( \exp ( a \ell _ { 1 } ) - 1 - a \ell _ { 1 } \big ) \big ( \exp ( a \ell _ { 2 } ) - 1 - a \ell _ { 2 } \big ) q _ { 1 2 } \right. } \\ & { \qquad \left. + a \ell _ { 1 } \big ( \exp ( a \ell _ { 2 } ) - 1 - a \ell _ { 2 } \big ) q _ { 1 2 } + a \ell _ { 2 } \big ( \exp ( a \ell _ { 1 } ) - 1 - a \ell _ { 1 } \big ) q _ { 1 2 } + a ^ { 2 } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } \right] } \\ & { = a ^ { 2 } \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } + O \left( | a | ^ { 3 } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } | + | a | ^ { 4 } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 1 2 } | \right) , } \end{array}
< p | J _ { \mu } ^ { ( S ) A } | \Sigma ^ { + } > = \overline { { \psi } } _ { p } \left[ g _ { 1 } ^ { ( S ) } ( k ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } + g _ { 2 } ^ { ( S ) } ( k ^ { 2 } ) i \sigma _ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } k ^ { \nu } + g _ { 3 } ^ { ( S ) } ( k ^ { 2 } ) i \gamma _ { 5 } k _ { \mu } \right] \psi _ { \Sigma ^ { + } } .
{ \begin{array} { r l } { \left( 1 + r + r ^ { 2 } + \cdots + r ^ { n } \right) ( 1 - r ) } & { = \left( ( 1 - r ) + ( r - r ^ { 2 } ) + ( r ^ { 2 } - r ^ { 3 } ) + \dots + ( r ^ { n } - r ^ { n + 1 } ) \right) } \\ & { = 1 + ( - r + r ) + ( - r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) + \dots + ( - r ^ { n } + r ^ { n } ) - r ^ { n + 1 } } \\ & { = 1 - r ^ { n + 1 } . } \end{array} }
\boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } ^ { \star } = \boldsymbol { \mathsf { U } } \exp \left( - \lambda x _ { 1 } \right) \triangleq \boldsymbol { \mathsf { U } } \exp \left( - \boldsymbol { \lambda } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { x } \right) \, ,
\begin{array} { r } { \Omega _ { \pm } = \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \pm \textrm { s i g n } \left( - \textrm { R e } ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } ) \right) \sqrt { \left( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } \right) ^ { 2 } + ( \delta _ { - } ) ^ { 2 } } + i \Gamma / 2 . } \end{array}
e ^ { q _ { i } - q _ { n + 1 } } = { \frac { X ^ { ( n - i + 1 ) } } { X ^ { ( n - i ) } } } , \quad p _ { i } = { \frac { Y ^ { ( n - i + 1 ) } } { X ^ { ( n - i + 1 ) } } } - { \frac { Y ^ { ( n - i ) } } { X ^ { ( n - i ) } } }
{ P S N R } = 1 0 \cdot \log _ { 1 0 } \left( \frac { { M A X } _ { I } ^ { 2 } } { { M S E } } \right) , \ \quad { M S E } = \frac { 1 } { M N } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { N } [ I ( i , j ) - \hat { I } ( i , j ) ] ^ { 2 }
^ { 7 4 } _ { 3 2 } \mathrm { G e } ( n , \gamma ) \rightarrow \ _ { 3 2 } ^ { 7 5 } \mathrm { G e } \xrightarrow { \beta ^ { - } , T _ { 1 / 2 } = 8 2 . 8 \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \ _ { 3 3 } ^ { 7 5 } \mathrm { A s }
\frac { \partial \arg \{ \breve { D } ( \epsilon ) \} } { \partial \epsilon } = \frac { \partial \arg \{ \mathfrak { D } ( \epsilon ) \} } { \partial \epsilon } + \frac { \frac { 2 } { | \gamma | } } { { \left( \frac { \epsilon + Q } { | \gamma | } \right) } ^ { 2 } + 1 } .
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } ^ { \prime } = } & { g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { x _ { 1 } ^ { \prime } ( ( 1 - x _ { 1 } ^ { \prime } ) ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - x _ { 1 } ^ { \prime } ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) - y _ { 1 } ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { y _ { 1 } } = } & { h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { y _ { 1 } ( - x _ { 1 } ^ { \prime } ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - y _ { 1 } ( - \epsilon - y _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } + z _ { 1 } ) + ( 1 - y _ { 1 } ) ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { z _ { 1 } } = } & { f ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) + g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) + h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { x _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon ( - 1 + 2 x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ) + ( - 1 + x _ { 1 } ^ { \prime } + b x _ { 1 } ^ { \prime } + b y _ { 1 } ) ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - \beta ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ) ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + } \\ & { y _ { 1 } ( ( - 1 + y _ { 1 } ) ( \epsilon + b ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - \beta ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + x _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) + y _ { 1 } ( \epsilon + y _ { 1 } + x _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + } \\ & { ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ( \epsilon + ( 1 - b + \beta + x _ { 1 } ^ { \prime } ) y _ { 1 } ^ { 2 } - \epsilon z _ { 1 } + ( - 1 + z _ { 1 } ) z _ { 1 } + y _ { 1 } ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 + \beta - z _ { 1 } ) + ( - 2 + b - \beta ) z _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( x ) } & { \leq \hat { V } _ { \gamma } ( x ) } \\ & { \quad + \frac { 2 \overline { { \Lambda } } ( x ) \sum _ { k = 1 } ^ { C } \left( \prod _ { j = k } ^ { C } \overline { { \rho } } _ { j } \right) \overline { { \varphi } } _ { k } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \| \psi _ { k } ( \theta _ { i } ) \| ^ { 2 } } } { \gamma N } } \\ & { \quad + 3 \sqrt { \frac { \log \frac { 6 } { \delta } } { 2 N } } + 3 \sqrt { \frac { \log \log _ { 2 } 2 \overline { { \Lambda } } ( x ) } { N } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { s } } \nabla ^ { 2 } \mathbf { v } + \eta _ { \mathrm { d } } \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) + \eta _ { \mathrm { o } } \nabla ^ { 2 } ( \boldsymbol { \epsilon } \cdot \mathbf { v } ) - \frac { h } { 2 } \nabla p - \frac { \eta } { h } \mathbf { v } + \mathbf { F } = \mathbf { 0 } } & { { } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { v } = \frac { h ^ { 2 } } { 6 \eta } \nabla ^ { 2 } p } & { { } , } \end{array}
1 9 { \cal A } _ { 2 n } = { \cal E } _ { 2 n } \equiv \epsilon ^ { 1 . . 2 n } \epsilon ^ { 1 ^ { \prime } . . 2 n ^ { \prime } } R _ { 1 } . . . R _ { . . . 2 n { ^ \prime } } / \sqrt { - g } \; ;
\begin{array} { r l } & { \hat { p } _ { i } - p _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { i } e _ { H i } = i e _ { 0 } } \\ & { \textrm { R M S } _ { b } = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } ( \hat { p } _ { i } - p _ { i } ) ^ { 2 } ] } } \\ & { = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } i ^ { 2 } e _ { 0 } ^ { 2 } } = e _ { 0 } \sqrt { ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) / 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { C _ { 6 } } { r ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \left\{ 1 - \mathcal { F } _ { \xi } ^ { 2 } ( \phi ) + [ 1 - \mathcal { F } _ { \xi } ( \phi ) ] ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \right\} } \\ & { + \frac { C _ { 3 } } { r ^ { 3 } } \left[ 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 + 3 \mathcal { F } _ { \xi } ( \phi ) \sin ^ { 2 } \theta \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \ } & { \mathcal { N } ( \epsilon ^ { \prime } , \mathcal { G } _ { C + 1 } ( \mathcal { F } ^ { C } , \varphi _ { C + 1 } \circ \mathcal { F } _ { C + 1 } ) , N ) } \\ & { \leq \frac { 3 6 \cdot 4 ^ { a _ { C + 1 } } } { \epsilon ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { C } 4 ^ { p _ { k } } \left( \prod _ { j = k } ^ { C } \overline { { \rho } } _ { j } \right) ^ { 2 } \overline { { \varphi } } _ { k } ^ { 2 } \tau _ { k } ^ { 2 } \Lambda _ { k } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \ \times \log \frac { 1 5 \cdot 2 ^ { a _ { C + 1 } } \cdot 2 ^ { p _ { k } } ( \prod _ { j = k } ^ { C } \overline { { \rho } } _ { j } ) \overline { { \varphi } } _ { k } \tau _ { k } \Lambda _ { k } N } { \epsilon ^ { \prime } } } \\ & { \quad + \frac { 3 6 \cdot 4 ^ { a _ { C + 1 } } \overline { { \rho } } _ { C + 1 } ^ { 2 } \overline { { \varphi } } _ { C + 1 } ^ { 2 } \tau _ { C + 1 } ^ { 2 } \Lambda _ { C + 1 } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \quad \times \log \frac { 1 5 \cdot 2 ^ { a _ { C + 1 } } \overline { { \rho } } _ { C + 1 } \overline { { \varphi } } _ { C + 1 } \tau _ { C + 1 } \Lambda _ { C + 1 } N } { \epsilon ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } _ { \vec { i } } ^ { \mathrm { ~ d ~ m ~ i ~ } } = \frac { 2 } { \mu _ { 0 } \, M _ { s , \vec { i } } } \; \sum _ { k = \pm x , \pm y , \pm z } \tilde { D } _ { \vec { i } , k } \; \frac { \vec { e } _ { k } ^ { \mathrm { ~ d ~ m ~ i ~ } } \times \vec { m } _ { \vec { i } + \vec { e } _ { k } } } { 2 \, \Delta _ { k } } , } \end{array}
\Pi ( p ) = \frac { 1 } { \xi } - \frac { 2 } { \xi } \left( \beta + \frac { 2 } { 3 } \right) \ln \left( \frac { 4 \pi p } { e ^ { 2 } \xi } \right) - \frac { 1 } { \xi } \left( \beta + \frac { 2 } { 9 } \right) + O ( p \ln p ) .
L 1 = \frac { 1 } { C \times H \times W } \sum _ { c = 1 } ^ { C } \sum _ { i = 1 } ^ { H } \sum _ { j = 1 } ^ { W } a _ { i } \mid \hat { X } _ { c , i , j } ^ { t + 1 } - X _ { c , i , j } ^ { t + 1 } \mid
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \Phi _ { 7 , n + 1 } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { = 2 \mathfrak { M } _ { \Phi _ { 7 , n } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) \mathfrak { M } _ { \phi _ { n + 1 } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) , } \\ & { \overset \le 2 c _ { \mathtt { p e } } ^ { n + 1 } ( 1 + \mathfrak { M } _ { \psi _ { n + 1 } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) ) } \\ & { \overset \le 2 c _ { \mathtt { p e } } ^ { n + 1 } \left( 1 + c _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 1 } } N _ { n + 1 } ^ { 2 \tau + 1 } \mathbb { M } _ { 0 } ( s _ { 0 } ) \right) } \\ & { \overset \le 2 c _ { \mathtt { p e } } ^ { n + 1 } ( 1 + c _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 1 1 - 1 0 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 1 } } N _ { n + 1 } ^ { 2 \tau + 1 } ) } \\ & { \overset \le 2 c _ { \mathtt { p e } } ^ { n + 1 } \left( 1 + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 2 } } c _ { \mathtt { p e } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } = \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } = \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { t } ^ { \theta , \mathbf { c } , \mathbf { d } } = } & { M ^ { \mathbf { c } , \mathbf { d } } + \sum _ { i = 1 } ^ { a } \frac { \delta } { p _ { i } } \gamma _ { i , \pi _ { i } ( 1 ) } { r _ { i } } + \sum _ { j = 1 } ^ { b } \frac { \delta } { q _ { j } } \mu _ { j , \sigma _ { j } ( 1 ) } { s _ { j } } + \sum _ { i = 1 } ^ { a } \frac { \delta } { p _ { i } } \gamma _ { i , \pi _ { i } ( m _ { i } ) } { x _ { i } } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { b } \frac { \delta } { q _ { j } } \mu _ { j , \sigma _ { j } ( n _ { j } ) } { y _ { j } } + \frac { \delta } { \lambda } d _ { \theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \mathrm { o u t } } ( t ) } & { = e ^ { - \displaystyle \frac { ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } } 2 \cos \{ [ \Omega + \Lambda ( t - t _ { 0 } ) ] ( t - t _ { 0 } ) + \varphi \} } \\ & { = \exp \Bigg \{ - \left( \frac { 1 } { 2 \tau ^ { 2 } } + i \Lambda \right) ( t - t _ { 0 } ) ^ { 2 } - i \Omega ( t - t _ { 0 } ) - i \varphi \Bigg \} + c . c . , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ } } } & { { } = E _ { 0 } + E _ { 1 } \cos ( \lvert x - x ^ { \prime } \rvert ) } \\ { w _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ h ~ } } } & { { } = - I _ { 0 } - I _ { 1 } \cos ( \lvert x - x ^ { \prime } \rvert ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \rho , v } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Omega } \rho ( t , x ) | v ( t , x ) | ^ { 2 } d x d t + \beta \int _ { \Omega } ( \rho ( 1 , x ) - \rho _ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } d x , } \\ & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho v ) = \nabla \cdot ( \sigma ( | \nabla \rho | ) \nabla \rho ) , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { u } } & { { } = v - u } \\ { \dot { v } } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon _ { 1 } } \Big ( v ( 1 - v ) - \frac { v - \mu } { v + \mu } ( f u + \phi ) \Big ) } \end{array}
F ( | \mathbf { E } | ) = \frac { I _ { 1 } ( 4 \omega ( | \mathbf { E } | ) ) } { 2 \omega ( | \mathbf { E } | ) } \ \ \ \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \ \ \ \omega ( | \mathbf { E } | ) = O _ { s } ^ { 1 / 2 } | \mathbf { E } | ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l r } { A _ { \mathrm { 0 + } } e ^ { i \xi } + A _ { \mathrm { 0 - } } e ^ { - i \xi } } & { { } = } & { A _ { \mathrm { 0 t } } \, , } \\ { A _ { \mathrm { 0 + } } e ^ { i \xi } - A _ { \mathrm { 0 - } } e ^ { - i \xi } } & { { } = } & { \frac { k } { k ^ { \prime } } A _ { \mathrm { 0 t } } \, . } \end{array}
{ \cal A } = ( - 1 ) ( \tilde { F } _ { 1 } \tilde { F } _ { 1 } ^ { * } + \tilde { F } _ { 7 } \tilde { F } _ { 7 } ^ { * } ) + 2 ( \tilde { F } _ { 2 } \tilde { F } _ { 2 } ^ { * } + \tilde { F } _ { 6 } \tilde { F } _ { 6 } ^ { * } ) + ( - 1 ) ( \tilde { F } _ { 3 } \tilde { F } _ { 3 } ^ { * } + \tilde { F } _ { 5 } \tilde { F } _ { 5 } ^ { * } ) + 8 \tilde { F } _ { 4 } \tilde { F } _ { 4 } ,
( S _ { x } + S _ { x } \bar { S } - \bar { S } _ { x } - \bar { S S } _ { x } ) + \bar { S } ( S _ { x } + S _ { x } \bar { S } - \bar { S } _ { x } - \bar { S S } _ { x } ) + ( S + \bar { S } + \bar { S S } ) \bar { S } _ { x } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { 2 + \alpha } [ } & { D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho / 2 } ( x _ { \circ } ) ) } \le } \\ & { \le \delta \rho ^ { 2 + \alpha } [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho } ( x _ { \circ } ) ) } } \\ & { \qquad + C \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \rho } ( x _ { \circ } ) ) } + \rho ^ { 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \rho } ( x _ { \circ } ) ) } + \rho ^ { 2 + \alpha } [ f ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho } ( x _ { \circ } ) ) } \right) } \\ & { \le \delta \rho ^ { 2 + \alpha } [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho } ) } + C \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W _ { 4 1 } ( q , \boldsymbol { x } ) = s _ { 4 1 1 } + ( q + q ^ { 2 } ) s _ { 3 2 1 } + q ^ { 3 } s _ { 2 2 2 } + ( q + q ^ { 2 } + q ^ { 3 } ) s _ { 3 1 1 1 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + ( q ^ { 2 } + q ^ { 3 } + q ^ { 4 } ) s _ { 2 2 1 1 } + ( q ^ { 3 } + q ^ { 4 } + q ^ { 5 } ) s _ { 2 1 1 1 1 } + q ^ { 6 } s _ { 1 1 1 1 1 1 } , \qquad \mathrm { a n d } } \\ & { \mathcal { E } _ { 3 2 1 } ^ { ( 6 ) } \big | _ { \leq 1 } = 1 \otimes s _ { 4 1 1 } + ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \otimes s _ { 3 2 1 } + s _ { 3 } \otimes s _ { 2 2 2 } + ( s _ { 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 } ) \otimes s _ { 3 1 1 1 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + ( s _ { 2 } + s _ { 3 } + s _ { 4 } ) \otimes s _ { 2 2 1 1 } + ( s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 5 } ) \otimes s _ { 2 1 1 1 1 } + s _ { 6 } \otimes s _ { 1 1 1 1 1 1 } . } \end{array}