harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\nabla \cdot \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } = \nabla p _ { s } + \nabla \cdot \left( - 2 \alpha _ { s } F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \left[ \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } + \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } \right] \right) .
\begin{array} { r l } { \| X _ { 1 2 } \| _ { L ^ { 1 } ( \mathcal { Y } _ { 5 } ^ { \epsilon } ) } \leq } & { \; C \int _ { 0 } ^ { \infty } ( u ^ { N } + t ^ { - 2 N / 3 } ) e ^ { - c t u ^ { 2 } } d u + C \int _ { 0 } ^ { t ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } } e ^ { - c t ^ { 1 / 3 } v ^ { 2 } } v ^ { N + 1 } \frac { d v } { t ^ { 1 / 3 } } } \\ & { + C \int _ { t ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } } ^ { \infty } e ^ { - c t ^ { 1 / 3 } v ^ { 2 } } \frac { d v } { t ^ { 1 / 3 } } } \\ { \leq } & { \; C t ^ { - N / 2 } + C t ^ { - \frac { N + 1 } { 6 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - c w ^ { 2 } } w ^ { N + 1 } \frac { d w } { t ^ { 1 / 2 } } + C e ^ { - c t ^ { 1 / 2 } } \leq C t ^ { - \frac { N + 1 } { 6 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ^ { 1 2 } = } & { \left( 1 - \frac { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \left[ 2 - 5 \left( 1 - \frac { \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \sin ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \right] + \frac { \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { H _ { 1 } ^ { 1 2 } = } & { \left( 3 H _ { 0 } ^ { 1 2 } \left( \gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) - 1 \right) \tilde { \Psi } _ { 1 } - 4 \tilde { \Gamma } _ { 2 } H _ { 0 } ^ { 1 2 } \left( \gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) + 3 \tilde { \Gamma } _ { 2 } - \frac { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { \tilde { H } _ { 2 } = } & { \left( 3 H _ { 0 } ^ { 1 2 } \left( \gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) - 1 \right) \tilde { \Psi } _ { 1 } ^ { 2 } + \left( 6 - 8 H _ { 0 } ^ { 1 2 } \left( \gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) - 2 \frac { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \tilde { \Gamma } _ { 2 } \tilde { \Psi } _ { 1 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 8 } \Bigg [ \sin ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \, \left( 5 \, \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } - { \frac { 5 \, \Gamma _ { 1 } ^ { 4 } } { \, L _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { 2 1 0 \, \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } } { \, L _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { 2 0 5 \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 4 } } { \, L _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { 2 0 5 \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 4 } } { \, \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } } \right) } \\ & { \quad + { \frac { \Gamma _ { 1 } ^ { 4 } } { \, L _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { 6 6 \, \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } } { \, L _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { 4 1 \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 4 } } { \, L _ { 1 } ^ { 2 } } } + 4 0 \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \mathbf { s } _ { 1 } } ^ { \alpha } ( f ; \beta ) } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \mathbb { E } _ { f } \big [ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \alpha ^ { t - 1 } \Delta _ { t } | \mathbf { s } _ { 1 } \big ] } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \alpha ^ { n } ( \Delta + n ) } \\ & { = \frac { \Delta } { 1 - \alpha } + \frac { \alpha } { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } } < \infty . } \end{array}
L _ { s o f t } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha } M _ { \alpha } { \tilde { \lambda } } { \tilde { \lambda } } - \sum _ { i } m _ { i } ^ { 2 } | { \tilde { \phi } } | ^ { 2 } - ( A _ { i j k } { \tilde { Y } } _ { i j k } { \tilde { \phi } } _ { i } { \tilde { \phi } } _ { j } { \tilde { \phi } } _ { k } + B _ { i j } { \tilde { \mu } } _ { i j } { \tilde { \phi } } _ { i } { \tilde { \phi } } _ { j } + h . c ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 3 } } k ( s ) \, d s } & { = \int _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 3 } } ( - 1 ) ^ { l } \Phi ( s - s _ { 2 } ) \, d s = \int _ { s _ { 1 } } ^ { s _ { 2 } } ( - 1 ) ^ { l } \Phi ( s - s _ { 2 } + T ) \, d s } \\ & { = - \int _ { s _ { 1 } } ^ { s _ { 2 } } ( - 1 ) ^ { l } \Phi ( s - s _ { 2 } ) \, d s = - \int _ { s _ { 1 } } ^ { s _ { 2 } } k ( s ) \, d s . } \end{array}
\boldsymbol { \Omega } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } = \left( \begin{array} { l } { \Omega _ { \parallel } \cos { [ 2 \theta _ { \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ } } ( t ) ] } } \\ { \Omega _ { \parallel } \sin { [ 2 \theta _ { \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ } } ( t ) ] } } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
= \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { 1 } { h } } \left[ x ^ { n } + { \binom { n } { 1 } } x ^ { n - 1 } h + { \binom { n } { 2 } } x ^ { n - 2 } h ^ { 2 } + . . . + { \binom { n } { n } } h ^ { n } - x ^ { n } \right]
\begin{array} { r l } { | \hat { G } | _ { x } } & { = \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } ( \hat { g } _ { j k } ) _ { x } \hat { G } _ { j k } } \\ & { = - \mathrm { i } \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } - q _ { k } ) \hat { g } _ { j k } \hat { G } _ { j k } + \mathrm { i } \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } \hat { G } _ { j k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q _ { j } ( x ) } & { = } & { \left( \frac { \partial g _ { 1 } ( \mathbf { z } ) } { \partial z _ { j } } \right) x ^ { n - 1 } + \cdots + \left( \frac { \partial g _ { n - 1 } ( \mathbf { z } ) } { \partial z _ { j } } \right) x + \left( \frac { \partial g _ { n } ( \mathbf { z } ) } { \partial z _ { j } } \right) } \\ & { = } & { \frac { \partial } { \partial z _ { j } } \Big [ x ^ { n } + g _ { 1 } ( \mathbf { z } ) x ^ { n - 1 } + \cdots + g _ { n } ( \mathbf { z } ) \Big ] \; = \; \frac { \partial } { \partial z _ { j } } \Big [ ( x - z _ { 1 } ) ^ { \ell _ { 1 } } \cdots ( x - z _ { m } ) ^ { \ell _ { m } } \Big ] } \\ & { = } & { - \ell _ { j } \, ( x - z _ { j } ) ^ { \ell _ { j } - 1 } \left[ \prod _ { k \neq j } ( x - z _ { k } ) ^ { \ell _ { k } } \right] . } \end{array}
V _ { \mathrm { t a d } } \ \sim \ \frac { 1 } { ( 1 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { n } } \, f r a c { \Lambda ^ { D } \, M _ { \mathrm { S U S Y } } ^ { 3 - D + \sum _ { d } d \, V _ { d } \: + \: \sum _ { d } d \, U _ { d } } } { M _ { \mathrm { P } } ^ { \ \sum _ { d } d \, V _ { d } \: + \: \sum _ { d } d \, U _ { d } } } \, S \ + \ \mathrm { h . c . } \ \sim \ \frac { 1 } { ( 1 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { n } } \, M _ { \mathrm { P } } \, M _ { \mathrm { S U S Y } } ^ { 2 } \, S \ + \ \mathrm { h . c . } \, ,
N _ { 0 } = \frac 1 { \beta } \int _ { 0 } ^ { 1 } d t \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } d r \int _ { \Omega } d \Omega \, \left\{ \mathrm { t r } \left[ - i \gamma ^ { 0 } R \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left( - \frac 1 { 4 \pi } \right) \frac { e ^ { - S _ { n } \bar { \Omega } _ { n } \left| \vec { x } - \vec { x ^ { \prime } } \right| } } { \left| \vec { x } - \vec { x ^ { \prime } } \right| } \times \right. \right.
\begin{array} { r l r } { ^ { B S } \nabla _ { ^ { T } \! \omega } ^ { T } \! \theta } & { = } & { \delta ^ { 2 } \big ( g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) ^ { V } \! ( \theta J ) + g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) ^ { V } \! ( \omega J ) \big ) - \delta ^ { 2 } \big ( g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) g ^ { - 1 } ( \theta , p ) } \\ & { } & { + g ^ { - 1 } ( \omega , p ) g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) \big ) ^ { V } \! ( p J ) - g ^ { - 1 } ( \theta , p ) ^ { V } \! \omega - g ^ { - 1 } ( \omega , \theta ) ^ { V } \! p } \\ & { } & { + 2 g ^ { - 1 } ( \omega , p ) g ^ { - 1 } ( \theta , p ) ^ { V } \! p , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { i n } , k } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \sqrt { \Gamma _ { k } } \sigma _ { k , 0 } ^ { ( 1 ) } \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { o u t } , k } ^ { ( L ) } } & { { } = \sqrt { \gamma _ { k } } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( L ) } \, \, , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { h o p } , k } ^ { ( \ell ) } } & { { } = \sqrt { t _ { k } ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { k , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( \ell ) } \, \, , \ \ \ \ 1 \le \ell \le \left( L - 1 \right) , \, \, k = 1 , 2 \, \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \frac { \partial } { \partial t } \psi _ { 2 } ( x , t ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \psi _ { 2 } ( x , t ) + \gamma e ^ { - i \omega t } \psi _ { 1 } ( x , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \mathcal { R } _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t \right) } & { { } = \tilde { \nu } _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } & { \mathcal { R } _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t \right) } & { { } = \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } \\ { K _ { i } ^ { \rightarrow } \left( t \right) } & { { } = \sum _ { r = 0 } ^ { t - 2 } \mathcal { R } _ { i } ^ { \rightarrow } \left( r \right) , } & { K _ { i } ^ { \leftarrow } \left( t \right) } & { { } = \sum _ { s = t } ^ { T - 1 } \mathcal { R } _ { i } ^ { \leftarrow } \left( s \right) } \end{array}
\cos ( { \beta \Lambda } ) \equiv { \it R e } \left[ \frac { e ^ { - i k _ { 0 } L _ { 0 } } } { t _ { 0 } ( \omega ) } \right] = \sin ( k L ) \left[ \cos ( k _ { 0 } L _ { 0 } ) \mathcal { R } ( \omega ) - \sin ( k _ { 0 } L _ { 0 } ) \mathcal { I } ( \omega ) \right] .
{ \boldsymbol { \omega } } _ { \mathrm { p } } = { \frac { { \boldsymbol { I } } _ { \mathrm { s } } { \boldsymbol { \omega } } _ { \mathrm { s } } } { { \boldsymbol { I } } _ { \mathrm { p } } \cos ( { \boldsymbol { \alpha } } ) } }
I = \int d ^ { d + 1 } x \sqrt g \; \left( { \frac { 1 } { 4 } } { \cal F } _ { \mu \nu } { \cal F } ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } { \cal A } _ { \mu } { \cal A } ^ { \mu } \right) ,
\begin{array} { r l } { \beta \frac { \kappa _ { 1 , \sigma } ( w _ { u } , w _ { v } ) } { \| x _ { u } - x _ { v } \| ^ { d } } \! \le \! \beta \frac { f _ { \gamma } ( | \| x _ { v } \| - r _ { k } | ) f _ { \gamma } ( | \| x _ { u } \| - r _ { k } | ) ^ { \sigma } } { | \| x _ { v } \| - r _ { k } | ^ { d } } } & { \! \le \! \beta C _ { \beta } ^ { - \gamma d ( \sigma + 1 ) } | \| x _ { v } \| - r _ { k } | ^ { d } r _ { k } ^ { - d ( 1 - \gamma ) } r _ { k } ^ { \sigma \gamma d } | \| x _ { v } \| - r _ { k } | ^ { - d } } \\ & { = \beta C _ { \beta } ^ { - \gamma d ( \sigma + 1 ) } r _ { k } ^ { - d ( 1 - \gamma ( \sigma + 1 ) ) } \le 1 / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underset { { \bf g } _ { \ell } , { \bf q } _ { 1 \ell } , { \bf q } _ { 2 \ell } } { \operatorname* { m i n } } ~ \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \| { \bf Y } ^ { ( i ) \top } { \bf q } _ { i \ell } - { \bf g } _ { \ell } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { s . t . } \quad \| { \bf g } _ { \ell } \| _ { 2 } ^ { 2 } = 1 . } \end{array}
S [ y , \psi ] = \frac { k } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } z \left( \partial y \bar { \partial } y - \partial \psi _ { 1 } \bar { \partial } \psi _ { 1 } - \partial \psi _ { 2 } \bar { \partial } \psi _ { 2 } - 2 \cosh { 2 y } \partial \psi _ { 2 } \bar { \partial } \psi _ { 1 } \right)
{ \frac { d \log { y _ { \mathrm { c } } } } { d \log { k } } } = { \frac { m _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } } { 4 \pi } } \left[ { \frac { H ^ { \prime } \left( \phi \right) } { H \left( \phi \right) } } \right] ^ { 2 } = \epsilon .
( \varphi _ { 2 } ^ { - 1 } ) ^ { \ast } ( A _ { 1 } - A _ { 2 } ) \ = \ \left( \frac { 1 } { z } \right) ^ { \ast } \! \! A \, - A \ = \ i \, \left( \frac { | z | } { z } \right) ^ { N } d \left( \frac { z } { | z | } \right) ^ { N } \, = \ i \, ( \varphi _ { 2 } ^ { - 1 } ) ^ { \ast } ( g _ { 1 2 } \, d g _ { 2 1 } ) \ ,
\mathcal { F } _ { \omega } \langle u ^ { 2 } ( t ) \rangle _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ q ~ } } = T \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { \hat { \chi } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } { ( i \omega ^ { \prime } ) } \hat { S } _ { r } ( \omega , \omega ^ { \prime } ) \, .
\begin{array} { r l } { f _ { 1 , i } } & { = \left\langle \frac { \partial \varepsilon _ { i } } { \partial \mathbf { x } } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right\rangle c _ { 0 } + 2 \varepsilon _ { i } \left\langle \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \mathbf { x } } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right\rangle + \varepsilon _ { i } c _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial \mathbf { x } ^ { 2 } } , } \\ { f _ { 2 , i } } & { = - \frac { 2 \varepsilon _ { i } c _ { 0 } } { | \partial S / \partial \mathbf { x } | } \sum _ { j , k } \frac { \partial S } { \partial x _ { j } } \frac { \partial S } { \partial x _ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x _ { j } \partial x _ { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \Pi } _ { t } = - A ^ { \top } \Pi _ { t } - \Pi _ { t } A + \Pi _ { t } B B ^ { \top } \Pi _ { t } } \\ { \Pi _ { 0 } = \Sigma _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } \left[ \frac { I } { 2 } + \Sigma _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \Phi _ { T , 0 } ^ { \top } M _ { T , 0 } ^ { - 1 } \Phi _ { T , 0 } \Sigma _ { 0 } ^ { 1 / 2 } - \left( \frac { I } { 4 } + \Sigma _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \Phi _ { T , 0 } ^ { \top } M _ { T , 0 } ^ { - 1 } \Sigma _ { T } M _ { T , 0 } ^ { - 1 } \Phi _ { T , 0 } \Sigma _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right] \Sigma _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
m _ { u } ^ { 1 , 2 } \approx \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + { \bar { \phi } } _ { 4 } \pm \sqrt { 1 - 2 { \bar { \phi } } _ { 4 } + 4 ( \Delta _ { 2 } \Delta _ { 5 } ) ^ { 2 } { \bar { \phi } } _ { 4 } + { \bar { \phi } } _ { 4 } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { v _ { k } \cdot \frac { k - 1 } { k ^ { 2 } } \cdot \frac { f _ { k } ^ { \prime } ( x _ { k } ^ { * } ) } { f _ { k } ( x _ { k } ^ { * } ) } } & { = C ^ { \prime } \Big ( \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } d _ { \ell } x _ { \ell } ^ { * } \Big ) \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ k ~ \in ~ \mathcal { K } ~ , } } \\ { \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } d _ { \ell } v _ { \ell } \cdot \frac { \ell - 1 } { \ell ^ { 2 } } \cdot \frac { f _ { \ell } ^ { \prime } ( x ^ { u } ) } { f _ { \ell } ( x ^ { u } ) } } & { = C ^ { \prime } \Big ( \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } d _ { \ell } x ^ { u } \Big ) \cdot \Big ( \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } d _ { \ell } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { r } _ { j } ( t ) = } & { \left[ \lambda - r _ { j } ( t ) ^ { 2 } \right] r _ { j } ( t ) } \\ & { + K r _ { j + 1 } ( t - \tau ) \, H _ { r } \left[ \hat { \varphi } _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \hat { \varphi } _ { j } ( t ) - \dot { \varphi } _ { 4 } ( t ) \tau \right] , } \\ & { j = 1 , \dots , 4 } \\ { \dot { \hat { \varphi } } _ { j } ( t ) = } & { \omega - \gamma r _ { j } ( t ) ^ { 2 } } \\ & { + K \frac { r _ { j + 1 } ( t - \tau ) } { r _ { j } ( t ) } \, H _ { \varphi } \left[ \hat { \varphi } _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \hat { \varphi } _ { j } ( t ) - \dot { \varphi } _ { 4 } ( t ) \tau \right] } \\ & { - \dot { \varphi } _ { 4 } ( t ) , ~ j = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { p _ { 1 } ^ { 2 } = p _ { 2 } ^ { 2 } = m ^ { 2 } , } } & { { p _ { 3 } ^ { 2 } = s , } } \\ { { m _ { 1 } = m _ { 2 } = m _ { 4 } = m _ { 5 } = m , } } & { { m _ { 3 } = m _ { 6 } = M , } } \\ { { m = 1 5 0 \mathrm { ( G e V ) } , } } & { { M = 9 1 . 1 7 \mathrm { ( G e V ) } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R e ( Z ) } & { { } = } & { - \frac { k } { 2 k ^ { \prime } } } \\ { I m ( Z ) } & { { } = } & { - k \left[ \frac { P ^ { \mathrm { r e } } + 2 ( 1 - P ^ { \mathrm { r e } } ) ^ { 1 / 2 } \sin \phi } { 2 - P ^ { \mathrm { r e } } - 2 ( 1 - P ^ { \mathrm { r e } } ) ^ { 1 / 2 } \cos \phi } \right] } \end{array}
\int _ { a } ^ { b } y _ { n } ( x ) d x = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { a } ^ { b } \partial _ { x } u _ { n } ( x , t ) d x d t = \int _ { 0 } ^ { T } \left( u _ { n } ( b , t ) - u _ { n } ( a , t ) \right) d t = 0 ,
\begin{array} { r l r } { z ( t ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal F } ( e , z _ { e } ) d e } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal G } ( e , z _ { e } ) d \hat { \cal W } ( e ) + \int _ { 0 } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = - \frac { p _ { c } } { \ell _ { 1 } } \frac { \partial p } { \partial x } + \mu \left[ \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { U } { \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { U } { \ell _ { 3 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } \right] , } \\ { 0 } & { { } = - \frac { p _ { c } } { \ell _ { 2 } } \frac { \partial p } { \partial y } + \mu \left[ \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 2 } ^ { 3 } } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 2 } \ell _ { 3 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial z ^ { 2 } } \right] , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { 0 } & { { } = - \frac { p _ { c } } { \ell _ { 3 } } \frac { \partial p } { \partial z } + \mu \left[ \frac { { \mathcal { D } } _ { c } \ell _ { 3 } } { \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } \ell _ { 3 } } { \ell _ { 2 } ^ { 4 } } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 2 } ^ { 2 } \ell _ { 3 } } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial z ^ { 2 } } \right] } \end{array}
{ B _ { \beta } = \beta _ { 1 1 } \beta _ { 2 2 } - \beta _ { 1 2 } ^ { 2 } + \beta _ { 1 1 } \beta _ { 3 3 } - \beta _ { 1 3 } ^ { 2 } + \beta _ { 2 2 } \beta _ { 3 3 } - \beta _ { 2 3 } ^ { 2 } \, \mathrm { ~ , ~ } }
E ( R ) = - \frac { \pi } { 6 R } \left[ { \frac { 7 } { 1 0 } } + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } b _ { k } ( - \pi g ) ^ { k } \left( \frac { R } { 2 \pi } \right) ^ { \frac { 9 k } { 8 } } \right] .
\begin{array} { r l } { \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \sigma _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } ^ { 2 } \textnormal { d } x } & { \leq \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } ( 2 \operatorname* { m a x } \{ \Vert \sigma _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { r } } ^ { \frac { r } { 2 } } , \Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } \} ) ^ { 2 } } \\ & { = 4 \operatorname* { m a x } \left\{ \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \sigma _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { r } } ^ { r } \textnormal { d } x , \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } ^ { 2 } \right\} } \\ & { \lesssim 4 \operatorname* { m a x } \left\{ \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \sigma _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } ^ { 2 } \textnormal { d } x , \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } ^ { 2 } \langle \xi \rangle ^ { m r - 2 ( \rho - \delta ) } \right\} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \begin{array} { r l } { \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 2 0 } ^ { c } = } & { { } - \frac { 3 \sqrt { 1 5 } } { 2 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } { \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 2 0 } ^ { s } = } & { { } - \frac { 3 \sqrt { 1 5 } } { 2 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } } \end{array} } \end{array} \right.
a _ { i , j } ^ { n } = \displaystyle \int _ { I _ { n } } \phi _ { n , j } ^ { \prime \prime } \phi _ { n , i } d t = \frac { 2 } { k _ { n } } \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } L _ { j - 1 } ^ { \prime \prime } L _ { i - 1 } d x = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \frac { 2 } { k _ { n } } ( i + j - 1 ) ( j - i ) , } & & { ~ ~ j - 2 \ge i ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ i + j ~ ~ \mathrm { i s ~ e v e n } , } \\ & { 0 , } & & { ~ ~ \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } \\ & { = } & { \left( \frac { M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } M _ { \alpha , k } ^ { \prime } M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } \right) ^ { 1 / 2 } W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) \mathrm { . } } \end{array}
{ \bar { h } } _ { { \bf \Phi } _ { J _ { 1 , \cdots , [ { \frac { D - 1 } { 2 } } ] } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { [ { \frac { D - 1 } { 2 } } ] } J _ { i } ^ { 2 } + { \bar { h } } _ { { \bf \Phi } _ { 0 } } ,
\begin{array} { r } { \langle \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { A \dagger } ( \omega ) \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { B } ( \omega ) \rangle = 4 \pi ^ { 2 } \rho _ { { \bf k } } ^ { 2 } ( \omega ) \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { B } \langle \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { I } \dagger } \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { I } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { b 1 } } & { { } = } & { 0 . 1 3 5 5 \, , \, c _ { b 2 } = 0 . 6 2 2 \, , \, \sigma = 2 / 3 \, , } \\ { c _ { v 1 } } & { { } = } & { 7 . 1 \, , \, c _ { v 2 } = 0 . 7 \, , \, c _ { v 3 } = 0 . 9 \, , } \\ { c _ { w 1 } } & { { } = } & { \frac { c _ { b 1 } } { \kappa ^ { 2 } } + \frac { 1 + c _ { b 2 } } { \sigma } \approx 3 . 2 4 \, , } \\ { c _ { w 2 } } & { { } = } & { 0 . 3 \, , \, c _ { w 3 } = 2 . 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { W _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } } { W _ { s _ { 1 } } } = } & { \frac { \det [ B _ { \tau } ^ { \langle } \left( \mathbb { I } + { \Delta } \right) B _ { \tau } ^ { \rangle } ] } { \det [ B _ { \tau } ^ { \langle } B _ { \tau } ^ { \rangle } ] } } \\ { = } & { \det [ \mathbb { I } + { \Delta } ( \mathbb { I } - { G } ^ { s _ { 1 } } ( \tau ) ) ] . } \end{array}
+ O \big [ q _ { 0 } | z | R ^ { 2 } / 2 f ^ { 2 } = \pi | z | R ^ { 2 } / f ^ { 2 } \lambda _ { e } \lesssim \pi g ( | z | / f ) ( R / { R _ { \mathrm { m a x } } } ) \ll 1 \big ]
B ( D _ { s } ^ { + } \to \ell ^ { + } \nu _ { \ell } ) = B _ { \mathrm { S M } } \left[ 1 + { \frac { m _ { D _ { s } } ^ { 2 } } { m _ { H ^ { \pm } } ^ { 2 } } } \left( 1 - \tan ^ { 2 } \beta { \frac { m _ { s } } { m _ { c } } } \right) \right] ^ { 2 } \, .
{ { \bar { v } } _ { j } } \left( { { \bf { \kappa } } , t } \right) = \mathbb { F } \left\{ { { { \bar { u } } _ { j } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) } \right\} = \sum _ { \bf { k } } { { { \bar { u } } _ { j } } \left( { { \bf { x } } , t } \right) { e ^ { - i { \bf { k } } \cdot { \bf { x } } } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \int d \eta \exp \left[ - \eta ^ { 2 } \left( \frac { D ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } - \frac { D ^ { 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } - \frac { D ^ { 2 } [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 2 \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ B D ] } \right) \right. } \\ & { } & { \quad \left. + \eta \left( - 2 i k _ { u } ( z - s ) + \frac { i D k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \sigma _ { r } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } + i D k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \, \frac { \sigma _ { y } ^ { 2 } [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] - i k ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ B D ] } \right) \right] , } \end{array}