harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { U _ { \theta } ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } , \varphi _ { 0 } ) \theta _ { l } - \sin \theta _ { 0 } \frac { m } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } \dot { \varphi } _ { l } } & { = } & { f _ { \theta } ( t ) , } \\ { U _ { \varphi } ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } , \varphi _ { 0 } ) \varphi _ { l } + \sin \theta _ { 0 } \frac { m } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } \dot { \theta } _ { l } } & { = } & { f _ { \varphi } ( t ) , } \end{array}
{ \mathbb { M } = \mathrm { ~ D ~ i ~ a ~ g ~ } ( e ^ { \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } , \cdots , e ^ { \mathcal { A } _ { n + 1 } ^ { \ast } } ) - ( \mathbb { S } _ { + } ^ { - 1 } \cdot \mathbb { S } _ { - } ) }
\eta ( B _ { z } ) = \eta _ { 0 } ^ { \prime } \left[ \frac { 2 \gamma _ { B } ( B _ { z } - B _ { 0 } ) } { \gamma _ { B } ^ { 2 } + ( B _ { z } - B _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } .
\eta ^ { 2 } \cdot \tau ^ { 2 } { \cal { G } } \; \; : = \; \; { \cal { Y } } _ { [ p _ { 1 } , . . . , p _ { N } ] } \circ \left( { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { i , j , k , l = 1 } ^ { N } \left( \eta ^ { ( i j ) } \eta ^ { ( k l ) } + 2 \eta ^ { ( i k ) } \eta ^ { ( l j ) } \right) \tau ^ { ( i j ) } \tau ^ { ( k l ) } \right) { \cal { G } }
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { \varphi } ^ { 2 } ( \cos Q , \sin Q ) : = \Delta _ { \varphi } ^ { 2 } \cos Q + \Delta _ { \varphi } ^ { 2 } \sin Q } \\ { = } & { \langle \varphi | \cos ^ { 2 } Q | \varphi \rangle + \langle \varphi | \sin ^ { 2 } Q | \varphi \rangle - \langle \varphi | \cos Q | \varphi \rangle ^ { 2 } - \langle \varphi | \sin Q | \varphi \rangle ^ { 2 } } \\ { = } & { 1 - \langle \varphi | \cos Q | \varphi \rangle ^ { 2 } - \langle \varphi | \sin Q | \varphi \rangle ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\{ \hat { e } _ { i } , \hat { e } _ { j } \right\} } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } + \sum _ { k = 1 } ^ { 8 } D _ { i j k } \hat { e } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { S } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \alpha \rho \left| \chi _ { \mathrm { ~ r ~ f ~ l ~ } } \right| ^ { 2 } Y ^ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } S _ { \mathrm { ~ m ~ c ~ } } } \biggl [ 2 N _ { c } ^ { b } ( 1 - Y ^ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } ) + 2 N _ { r } ^ { b } \biggr . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i \leftarrow j } ( z ) = } & { { } 1 - \phi + \phi \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } z ^ { s } \sum _ { \{ s _ { k } : k \in \partial ( j ) \backslash i \} } \left[ \prod _ { k \in \partial ( j ) \backslash i } \pi _ { j \leftarrow k } ( s _ { k } ) \right] } \end{array}
E _ { n } = 4 \mu { \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { n } { \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { 4 } } \right) } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right] } ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r } { ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 0 } ) \cdot ( \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } ) ^ { - \frac 1 2 } \Phi ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) = \frac 2 d \Big ( \alpha _ { 0 } F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) - \alpha _ { 1 } F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) \Big ) . } \end{array}
\sigma _ { i s o } = \frac { 1 } { 3 } ( \sigma _ { x x } + \sigma _ { y y } + \sigma { z z } ) = \frac { 1 } { 3 } ( \mathrm { ~ D ~ I ~ A ~ } _ { x x } + \mathrm { ~ D ~ I ~ A ~ } _ { y y } + \mathrm { ~ D ~ I ~ A ~ } _ { z z } + \mathrm { ~ P ~ A ~ R ~ A ~ } _ { x x } + \mathrm { ~ P ~ A ~ R ~ A ~ } _ { y y } + \mathrm { ~ P ~ A ~ R ~ A ~ } _ { z z } )
\begin{array} { r l r } { \Big \| \frac { 1 } { h } \int _ { - h } ^ { 0 } T ( t - r ) \big ( f ( r + h ) - f ( 0 ) \big ) d r \Big \| _ { X } } & { \leq } & { \frac { 1 } { h } \int _ { - h } ^ { 0 } \| T ( t - r ) \| \| f ( r + h ) - f ( 0 ) \| _ { X } d r } \\ & { \leq } & { M \operatorname* { s u p } _ { r \in [ - h , 0 ] } \| f ( r + h ) - f ( 0 ) \| _ { X } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \mathcal { N } _ { 1 } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { \mathcal { N } _ { 1 } = 0 } ^ { k _ { C } - 1 } \mathcal { N } _ { 1 } P ( \mathcal { N } _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { l k } } & { : = \int e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } + u \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } \\ & { \geq \mu ( \mathcal { A } ) \int _ { \mathcal { A } } e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } + u \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } \mu ( \mathcal { A } ) } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } \\ & { \geq \mu ( \mathcal { A } ) e ^ { \int _ { \mathcal { A } } \left( - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } + u \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } \right) \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } \mu ( \mathcal { A } ) } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \rho } _ { k } ( x , 0 ) = \int _ { 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 } \rho ( x , 0 , y ) \phi _ { k } ( y ) d y , ~ ~ ~ \hat { z } _ { k } ( x , 0 ) = \int _ { 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 } z ( x , 0 , y ) \phi _ { k } ( y ) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \| , \mathrm { o h m } } ^ { ( i ) } ( \tau \gg L / ( 2 C _ { A } ) ) } & { { } = - 2 \int _ { \partial s _ { i } } \sigma _ { \| } \frac { E _ { y } ( y _ { B } - y ) } { L } d y d R } \end{array}
{ \cal A } ^ { c } = - i \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \lambda _ { c } \frac { \alpha } { 2 \pi } \frac { C _ { 2 } Q _ { c } } { 3 m _ { c } ^ { 2 } } \frac { F ( r ) } { q ^ { 2 } } \ J _ { G , \mu \alpha \varrho } \left[ \varepsilon ^ { \beta \lambda \mu \varrho } q _ { \beta } q ^ { \alpha } - \varepsilon ^ { \alpha \lambda \mu \varrho } q ^ { 2 } \right] \ \bar { u } \gamma _ { \lambda } v
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { X } } = } & { - \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } \left[ G _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) + G _ { b u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) \right] H _ { u b } ^ { ( a ) } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } \left[ G _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) - G _ { b u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) \right] H _ { u b } ^ { ( s ) } \left( k , \mathbf { X } ; \tau _ { 1 } , \tau , T \right) . } \end{array}
[ q ^ { t } ] _ { j } = { \frac { r _ { j } / c _ { j } } { c ^ { T } r } } , \, r _ { j } = \| { \mathrm { C o l } } _ { j } [ G _ { t } ] \| _ { 2 } \sqrt { c _ { j } / \rho _ { j } } , \, 1 \leq j \leq m .
\begin{array} { r l } { d _ { \mathrm { i n } } ( V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } ) - d _ { \mathrm { o u t } } ( V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } ) } & { \le 2 \sum _ { v _ { i } \in V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } } d ( v _ { i } ) - 3 | V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } | } \\ & { = 4 | E _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } | - 3 | V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } | } \\ & { = | V _ { \mathrm { s w p } } ^ { j } | - 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( g , N ) } & { \leq d ( 1 , ( \pi _ { H } ( g ) ) ^ { - 1 } \cdot ( \pi _ { N } ( g ) ) ^ { - 1 } \cdot \pi _ { N } ( g ) ) = d ( 1 , \pi _ { H } ( g ) ) , } \\ { d ( g , H ) } & { \leq d ( 1 , ( \pi _ { H } ( g ) ) ^ { - 1 } \cdot ( \pi _ { N } ( g ) ) ^ { - 1 } \cdot \pi _ { H } ( g ) ) = d ( 1 , C _ { \pi _ { H } ( g ) ^ { - 1 } } ( \pi _ { N } ( g ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg [ - \frac { \log { ( n ) } } { \sqrt { 2 } } - \frac { \gamma } { \sqrt { 2 } } \bigg ] \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W } } } & { = e ^ { - i \delta t } \hbar \eta \Omega \ e ^ { i \tilde { \phi } } \hat { S } _ { + } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) \cos \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) } \\ & { + e ^ { - i \delta t } \hbar \Omega \ e ^ { i \tilde { \phi } } \hat { S } _ { + } \sin \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) } \\ & { + \cos \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) \mathcal { O } \left( \eta ^ { 2 j + 1 } \right) + \sin \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) \mathcal { O } \left( \eta ^ { 2 j } \right) + \mathrm { h . c . } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { x ^ { 2 } } { r _ { x } ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { r _ { y } ^ { 2 } } } + { \frac { z ^ { 2 } } { r _ { z } ^ { 2 } } } = 1 } \\ & { r _ { x } = { \frac { 1 } { 2 } } ( l - a + c ) , \quad r _ { y } = { \sqrt { r _ { x } ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } , \quad r _ { z } = { \sqrt { r _ { x } ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } . } \end{array} }
H _ { 2 } | 0 0 \rangle = { \frac { 1 } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { 2 } } | 0 0 \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } | 0 1 \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } | 1 0 \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } | 1 1 \rangle = { \frac { | 0 0 \rangle + | 0 1 \rangle + | 1 0 \rangle + | 1 1 \rangle } { 2 } }
\begin{array} { r l } & { D ^ { \nu } \log L ( \theta ; Y _ { 0 : n } ) = D ^ { \nu _ { 1 } } \left( D ^ { \nu _ { 2 } } \log L ( \theta ; Y _ { 0 : n } ) \right) } \\ { = } & { D ^ { \nu _ { 1 } } \frac { \langle W _ { n } ^ { \nu _ { 2 } } \pi + W _ { n } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) \rangle } { \langle W _ { n } ^ { 0 } \pi \rangle } } \\ { = } & { \frac { \langle W _ { n } ^ { \nu } \pi + W _ { n } ^ { \nu _ { 2 } } ( D ^ { \nu _ { 1 } } \pi ) + W _ { n } ^ { \nu _ { 1 } } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) + W _ { n } ^ { 0 } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle W _ { n } ^ { 0 } \pi \rangle } } \\ & { - \frac { \langle W _ { n } ^ { \nu _ { 2 } } \pi + W _ { n } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 2 } } \pi ) \rangle \times \langle W _ { n } ^ { \nu _ { 1 } } \pi + W _ { n } ^ { 0 } ( D ^ { \nu _ { 1 } } \pi ) \rangle } { \langle W _ { n } ^ { 0 } \pi \rangle ^ { 2 } } } \\ { = : } & { \sum _ { t = 1 } ^ { n } g ^ { \nu } ( W _ { t } ^ { ( 2 ) } , W _ { t - 1 } ^ { ( 2 ) } ) + g _ { 0 } ^ { \nu } ( W _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { a } ( \boldsymbol r ) , \hat { \pi } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \right] } & { { } = } & { i \hbar ^ { 2 } c ^ { 3 } \delta ( \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } ) , } \\ { \left[ \hat { A } _ { \alpha } ( \boldsymbol r ) , \hat { B } _ { \beta } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \right] } & { { } = } & { 0 , } \\ { \left[ \hat { A } _ { \alpha } ( \boldsymbol r ) , \tilde { E } _ { c , \beta } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \right] } & { { } = } & { - \frac { \hbar } { \epsilon _ { 0 } } \cdot \delta _ { \alpha , \beta } ^ { \perp } \left( \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } \right) , } \\ { \left[ \hat { B } _ { \alpha } ( \boldsymbol r ) , \tilde { E } _ { c , \beta } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \right] } & { { } = } & { \frac { \hbar } { \epsilon _ { 0 } } \epsilon _ { \alpha , \beta , \gamma } \frac { d } { d x _ { \gamma } } \delta \left( \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { y } } _ { c } ^ { { t _ { 2 } } } } & { = { \bf { H } } _ { s c } ^ { { t _ { 2 } } } \sqrt { { P _ { s } } } { { \bf { \bar { x } } } _ { c } } + { \bf { H } } _ { r c } ^ { { t _ { 2 } } } \sqrt { { P _ { r } } } { { \bf { x } } _ { e } } + { \bf { w } } _ { c } ^ { { t _ { 2 } } } } \\ { { \bf { y } } _ { e } ^ { { t _ { 2 } } } } & { = { \bf { H } } _ { r e } ^ { { t _ { 2 } } } \sqrt { { P _ { r } } } { { \bf { x } } _ { e } } + { \bf { w } } _ { e } ^ { { t _ { 2 } } } } \end{array}
S _ { u } ( \textbf { x } _ { u } ^ { \prime } , \textbf { x } _ { s } ) = \frac { 2 \partial _ { 3 , u } ^ { \prime } } { - \rho ( \textbf { x } _ { u } ^ { \prime } ) } G ^ { + } ( \textbf { x } _ { u } ^ { \prime } , \textbf { x } _ { s } ) W ( \omega )
\begin{array} { r l } { d _ { f } \mathscr { F } ( c , f ) [ h ] ( \varphi ) } & { { } = c \, h ^ { \prime } ( \varphi ) - h ( \varphi ) \frac { \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } { \sin ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \Psi \{ f \} \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q _ { \alpha } \gamma ( x , y ) } & { { } = x ^ { \alpha } \gamma ( x , y ) , D _ { x } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ( x , y ) } & { = \sqrt { x \frac { \partial \gamma ( x , y ) } { \partial x } } . \sqrt { \gamma ( x , y ) } S _ { x } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ( x , y ) } & { { } = \sqrt { \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \gamma ( x , y ) _ { x = t } } { t } d t } . \sqrt { \gamma ( x , y ) } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { - D ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { ( - D ^ { 2 } ) } } ( - \partial ^ { 2 } ) { \frac { 1 } { - \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } - m ^ { 2 } { \frac { 1 } { - D ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \left\{ { \frac { 1 } { ( - D ^ { 2 } ) } } - { \frac { 1 } { ( - \partial ^ { 2 } ) } } \right\} ( - \partial ^ { 2 } ) { \frac { 1 } { - \partial ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { C _ { n _ { c } n _ { d } } ^ { \alpha } ( \chi ) \equiv \frac { \alpha ^ { n _ { c } + n _ { d } } e ^ { - | \alpha | ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { n _ { c } ! n _ { d } ! } } \cos ^ { n _ { c } } \chi \sin ^ { n _ { d } } \chi , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { x } ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } = \sum _ { \mu = 1 } ^ { 2 } \sum _ { \nu = 1 } ^ { 2 } [ \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ] _ { x x } ^ { \mu \nu } [ E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ] _ { x } ^ { \mu } = p _ { x } ^ { 1 } + p _ { x } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { q ( x ) u _ { t t } - \Delta { u } = 0 ~ \mathrm { i n } ~ \Omega \times ( 0 , T ] , } \\ & { } & { u ( x , 0 ) = u _ { t } ( x , 0 ) = 0 ~ \mathrm { i n } ~ \overline { { \Omega } } \times \{ 0 \} , } \\ & { } & { \nabla { u } \cdot \nu = f ~ \mathrm { o n } ~ \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r c } \Big [ - \ddot { d } _ { x } ( t ^ { \prime } ) \sin \varphi + \ddot { d } _ { y } ( t ^ { \prime } ) \cos \varphi \, \Big ] } \\ { B _ { \varphi } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r c } \Big [ \ddot { d } _ { z } ( t ^ { \prime } ) \sin \vartheta - \ddot { d } _ { y } ( t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \sin \varphi - \ddot { d } _ { x } ( t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \cos \varphi \, \Big ] \, , } \\ { B _ { r } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \hat { F } _ { q } = - T \log ( \hat { Z } _ { q } ) } & { { } } & { \approx } & { { } } & { F _ { q } = - T \log ( Z _ { q } ) \, , } \\ { \hat { F } _ { p } = T \log ( \hat { Z } _ { p } ^ { - 1 } ) } & { { } } & { \approx } & { { } } & { F _ { p } = T \log ( Z _ { p } ^ { - 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \tau E _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } ] - \tau E _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ^ { M } ] } \\ & { \quad \lesssim \tau \| \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } \| \nabla \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \Big ( \| \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \mathbf { y } _ { h } ^ { M } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } + C _ { \boldsymbol { \varphi } , \Phi } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { 0 } = S _ { 1 } ^ { 1 } \times S _ { 2 } ^ { 1 } \times \dots \times S _ { n - 1 } ^ { 1 } \times \lbrace 0 \rbrace \times S _ { n } ^ { 1 } , } \\ & { Q _ { i } = S _ { 1 } ^ { 1 } \times S _ { 2 } ^ { 1 } \times \dots \times \hat { S } _ { i } ^ { 1 } \times \dots \times S _ { n - 1 } ^ { 1 } \times \lbrack 0 , 1 \rbrack \times S _ { n } ^ { 1 } , } \\ & { i = 1 , 2 , \dots , n - 2 } \\ & { R = S _ { 1 } ^ { 1 } \times S _ { 2 } ^ { 1 } \times \dots \times S _ { n - 2 } ^ { 1 } \times \lbrack 0 , 1 \rbrack } \\ & { T = S _ { n - 1 } ^ { 1 } \times \lbrace 0 \rbrace \times S _ { n } ^ { 1 } } \end{array}
* e ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { k } } = e ^ { i _ { 1 } } g ^ { - 1 } e ^ { i _ { 1 } } \cdots g ^ { i _ { k } } g ^ { - 1 } e ^ { i _ { k } } \epsilon _ { i _ { 1 } \ldots i _ { k } i _ { k + 1 } \ldots i _ { n } } e ^ { i _ { k + 1 } \ldots i _ { n } }
{ \begin{array} { r l } { \int _ { \mathrm { c r y s t a l } } \phi _ { \mathbf { R } } ( \mathbf { r } ) ^ { * } \phi _ { \mathbf { R ^ { \prime } } } ( \mathbf { r } ) d ^ { 3 } \mathbf { r } } & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { \mathbf { k , k ^ { \prime } } } \int _ { \mathrm { c r y s t a l } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } } \psi _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) ^ { * } e ^ { - i \mathbf { k ^ { \prime } } \cdot \mathbf { R ^ { \prime } } } \psi _ { \mathbf { k ^ { \prime } } } ( \mathbf { r } ) d ^ { 3 } \mathbf { r } } \\ & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { \mathbf { k , k ^ { \prime } } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } } e ^ { - i \mathbf { k ^ { \prime } } \cdot \mathbf { R ^ { \prime } } } \delta _ { \mathbf { k , k ^ { \prime } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { ( R - R ^ { \prime } ) } } } \\ & { = \delta _ { \mathbf { R , R ^ { \prime } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { 1 \leq i \leq p - 1 } i s _ { i } ^ { \mathfrak { g } } ( a , b ) \lambda ^ { i - 1 } } & { = \bigl ( \mathrm { a d } _ { \lambda a + b } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p - 1 } ( a ) } \\ & { = \bigl ( \mathrm { a d } _ { \lambda a + b } ^ { \mathfrak { a } } \bigr ) ^ { p - 1 } ( a ) + \omega _ { \mathfrak { a } } \bigl ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( \lambda a + b ) , \bigl ( \mathrm { a d } _ { \lambda a + b } ^ { \mathfrak { a } } \bigr ) ^ { p - 2 } ( a ) \bigr ) x } \\ & { = \bigl ( \mathrm { a d } _ { \lambda a + b } ^ { \mathfrak { a } } \bigr ) ^ { p - 1 } ( a ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } } & { { } = \cos ^ { 2 } \alpha \cos \delta , } \\ { \xi _ { 2 } } & { { } = ( \cos 2 \alpha + \cos ^ { 2 } \delta ) , } \\ { \xi _ { 3 } } & { { } = \sin ^ { 2 } 2 \delta + \cos ^ { 2 } \delta ( 4 + 8 \cos 2 \alpha ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { | \tilde { w } _ { 1 } } \frac { 1 } { | w | } \mathrm { d } w _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \log \bigr ( \frac { \tilde { w } _ { 1 } + | ( \tilde { w } _ { 1 } , \pi _ { 1 } w ) | } { | ( \tilde { w } _ { 1 } , \pi _ { 1 } w ) | - \tilde { w } _ { 1 } } \bigr ) \lesssim \frac { | \tilde { w } _ { 1 } | } { | \pi _ { 1 } w | }
\begin{array} { r l } { \pi } & { { } \approx 7 6 8 { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + 1 } } } } } } } } } } } } } } } } } } } \end{array}
\log R = \left\{ \begin{array} { l l } { - 0 . 0 5 3 1 + 0 . 8 8 2 4 \log M , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ M < 1 . 0 6 } \\ { 0 . 0 0 8 8 + 0 . 5 6 1 5 \log M , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ M > 1 . 4 7 } \end{array} \right.
\frac { \partial } { \partial \beta } G _ { \beta } ( x _ { f } , \overline { { { x } } } _ { f } , x _ { i } , \overline { { { x } } } _ { i } ) = F ( x _ { f } , \overline { { { x } } } _ { f } , x _ { i } , \overline { { { x } } } _ { i } ) G _ { \beta } ( x _ { f } , \overline { { { x } } } _ { f } , x _ { i } , \overline { { { x } } } _ { i } ) ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \overline { { \epsilon } } _ { r } \! \! = \! \! \{ 2 , 2 . 7 2 , 3 . 4 , 3 . 7 5 , 4 . 4 8 \} \! \! \!
C _ { \mu \nu } ^ { J } ( q , T ) = i \int ~ d ^ { 4 } x e ^ { i q x } \sum _ { n } \langle n | T \{ J _ { \mu } ^ { a } ( 0 _ { ) } , ~ J _ { \nu } ^ { a } ( x ) \} e x p [ ( \Omega - H ) / T ] | n \rangle
p = p _ { 2 } k ^ { 2 } + \cdots = \bigl [ \frac { 1 } { 2 } \Delta ( \eta - 2 B _ { 0 } ^ { 2 } / \eta - B _ { 0 } ^ { 2 } \nu / \eta ^ { 2 } ) - \nu \bigr ] k ^ { 2 } + \cdots ,
\begin{array} { l c l } { { { \widehat \Sigma } } } & { { = } } & { { \oplus _ { p \leq q } { \widehat \Sigma } ^ { ( p , q ) } } } \\ { { } } & { { = } } & { { \oplus _ { p \leq q } \oplus _ { m \in Z } { \widehat \Sigma } _ { m } ^ { ( p , q ) } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { S } ^ { - 1 } H _ { \mathrm { O B C } } ^ { \mathrm { A I I } ^ { \dag } } \tilde { S } = \sum _ { j = - L } ^ { L } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i k j } ( S ^ { - 1 } H ( k ) S ) \otimes \mathcal { E } _ { \mathrm { O B C } } ^ { ( j ) } d k } \end{array}
E _ { y z , x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } = { \frac { 3 } { 2 } } m n ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) V _ { d d \sigma } - m n [ 1 + 2 ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ] V _ { d d \pi } + m n [ 1 + ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) / 2 ] V _ { d d \delta }
\frac { d U } { d H } \Big | _ { A } = \frac { \eta [ 3 ( 1 + n ) ( \delta + \mu ) + 2 \delta - 1 ] - 3 \mu ( \delta + \mu ) } { 3 \eta ( 2 \eta + 3 \delta + 3 \mu ) } \approx \frac { [ ( 3 n + 5 ) \delta - 1 ] \eta - 3 \mu \delta } { 9 \eta \delta } ,
\begin{array} { r l } { Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { G } } } & { = Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { M } } + Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { N } } , } \\ { Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { M } } } & { = 0 , } \\ { Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { N } } } & { = \frac { 1 } { 5 } \left( q _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } + q _ { \beta } \delta _ { \alpha \gamma } + q _ { \gamma } \delta _ { \alpha \beta } \right) . } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ h ~ } } ( \mathcal { E } , t \rightarrow - \infty ) = 1 - f ( \mathcal { E } , t \rightarrow - \infty ) = \left( e ^ { - ( \mathcal { E } - \mu ) / k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ 0 ~ } } } + 1 \right) ^ { - 1 }
\beta _ { d } = 2 . 4 \times 1 0 ^ { - 5 } \; \mathrm { ~ K ~ } ^ { - 1 } , m _ { d } = 7 . 8 5 \times 1 0 ^ { 3 } \; \mathrm { ~ J ~ } / \mathrm { ~ m ~ } ^ { 3 } , K = 2 . 5 \times 1 0 ^ { 1 0 } \; \mathrm { ~ P ~ a ~ }
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \dot { V } _ { 0 } - V _ { 1 } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } + \operatorname { T r } ( \dot { V } _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) / 2 } \\ & { = \dot { V } ( q _ { t } ) - V ^ { ( 4 ) } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) _ { i j k l } \dot { \Sigma } _ { t , i j } \Sigma _ { t , k l } / 4 } \\ & { ~ ~ ~ - V ^ { \prime } ( q _ { t } ) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - V ^ { \prime \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { i j k } \Sigma _ { t , j k } \dot { q } _ { t , i } / 2 } \\ & { ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } \operatorname { T r } \left[ \frac { d V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } ) } { d t } \cdot \Sigma _ { t } \right] + \frac { 1 } { 4 } V ^ { ( 4 ) } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) _ { i j k l } \dot { \Sigma } _ { t , i j } \Sigma _ { t , k l } } \\ & { = 0 , } \end{array}