harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ { \frac { \partial _ { \xi } \big ( T ^ { ( 1 ) } - \kappa T _ { a i r } ^ { ( 1 ) } \big ) } { h _ { \xi } } } } - ( \partial _ { u } \delta \xi [ u ] ) \, \frac { h _ { \xi } } { h _ { u } } \, \frac { \partial _ { u } \big ( T ^ { ( 0 ) } - \kappa T _ { a i r } ^ { ( 0 ) } \big ) } { h _ { u } } + \delta \xi [ u ] \, { \partial _ { \xi } { \frac { \partial _ { \xi } \big ( T ^ { ( 0 ) } - \kappa T _ { a i r } ^ { ( 0 ) } \big ) } { h _ { \xi } } } } = 0 \mathrm { ~ a ~ t ~ } \xi = \xi _ { 0 } \ , \
H _ { s 1 } = \operatorname { d i a g } [ \underbrace { H _ { 1 } , \cdots , H _ { 1 } } _ { N _ { y } } ] , H _ { s 2 } = \operatorname { d i a g } [ \underbrace { H _ { 2 } , \cdots , H _ { 2 } } _ { N _ { y } } ] ,
N u = \frac { \overline { { \left\langle u _ { r } T \right\rangle _ { s } } } - \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } r } } { - \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } \frac { \mathrm { d } T _ { c } } { \mathrm { d r } } } = - \Gamma \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } r } \left( r = r _ { i } \right) = - \frac { 1 } { \Gamma } \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } r } \left( r = r _ { o } \right) ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } _ { t } = \mathcal { D } ( \boldsymbol { x } _ { 0 } , \boldsymbol { x } _ { T } , t ) = { \alpha _ { t } } \boldsymbol { x } _ { 0 } + { ( 1 - \alpha _ { t } ) } \boldsymbol { x } _ { T } , } \end{array}
| \left< \chi _ { I p \sigma } | \phi _ { I ^ { \prime } p ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { ( o ) } \right> | ^ { 2 } = n _ { I p \sigma } \delta _ { I I ^ { \prime } } \delta _ { p p ^ { \prime } } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } }
\begin{array} { l } { \phantom { } _ { l } \Delta \alpha _ { n m } = \left\{ \begin{array} { c c } { \phantom { } _ { l } \Delta \bar { C } _ { n m } , } & { n - m = \mathrm { e v e n } , } \\ { - \phantom { } _ { l } \Delta \bar { S } _ { n m } , } & { n - m = \mathrm { o d d } , } \end{array} \right. } \\ { \phantom { } _ { l } \Delta \beta _ { n m } = \left\{ \begin{array} { c c } { \phantom { } _ { l } \Delta \bar { S } _ { n m } , } & { n - m = \mathrm { e v e n } , } \\ { \phantom { } _ { l } \Delta \bar { C } _ { n m } , } & { n - m = \mathrm { o d d } , } \end{array} \right. } \end{array}
\Pi _ { T } = \sum _ { i } ^ { N } \Pi _ { i } = \sum _ { i } ^ { N } \frac { n _ { i } E _ { i } A _ { i } } 2 \left[ \frac { ( b _ { i } - b _ { i 0 } ) ^ { 2 } } { b _ { i 0 } } + \frac { ( c _ { i } - c _ { i 0 } ) ^ { 2 } } { c _ { i 0 } } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \leq C _ { 1 } \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } , \quad \forall ~ u \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) , } \\ & { \left\Vert u \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } \leq C _ { 2 } \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) } , \quad \forall ~ u \in L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } ^ { \mu } \nabla _ { \mu } p _ { \alpha } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } R _ { \alpha \beta \gamma \lambda } \dot { x } ^ { \beta } S ^ { \gamma \lambda } , } \\ { \dot { x } ^ { \mu } \nabla _ { \mu } S ^ { \alpha \beta } } & { { } = p ^ { \alpha } \dot { x } ^ { \beta } - p ^ { \beta } \dot { x } ^ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J ( E ^ { * } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { - r _ { 1 } / 1 0 } & { 0 } & { - 3 r _ { 1 } / 1 6 } \\ { 0 } & { r _ { 2 } ( 2 K _ { 2 } - 3 ) / ( 1 0 K _ { 2 } ) } & { r _ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) / ( 1 6 K _ { 2 } ) } \\ { 3 c _ { 1 } r _ { 1 } / 5 } & { r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) / ( 5 K _ { 2 } ) } & { - m } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \alpha _ { 1 } } ^ { \ast } } & { { } = - \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle { \beta _ { 1 } } ^ { \ast } , } \\ { { \beta _ { 1 } } ^ { \ast } } & { { } = - \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle { \alpha _ { 1 } } ^ { \ast } . } \end{array}
\begin{array} { r } { c ^ { - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } p _ { j } f _ { a , b ; \epsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } ( E _ { j } ) \le c ^ { - 1 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \le j \le N - 1 } f _ { a , b ; \epsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } ( E _ { j } ) \le c ^ { - 1 } ( \epsilon ^ { \prime } ) ^ { 2 } \le 0 . 1 c ^ { - 1 } \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ^ { 0 } = q \gamma _ { 0 } ^ { 2 } E _ { r } \beta _ { r } , } & { { } \quad \mathcal { F } ^ { r } = q E _ { r } , } \\ { \mathcal { F } ^ { \theta } = 0 , } & { { } \quad \mathcal { F } ^ { z } = q \gamma _ { 0 } ^ { 2 } E _ { r } \beta _ { 0 } \beta _ { r } \, . } \end{array}
N _ { \star } = N _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ l ~ } } \, \int d M _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ l ~ } } \, p \big ( M _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ l ~ } } \big ) \, N _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ r ~ s ~ / ~ g ~ a ~ l ~ } } \big ( M _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ l ~ } } \big )
| \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \sum _ { \sigma _ { 1 } , . . . \sigma _ { N } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \; \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } \sigma _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } \sigma _ { N } ) \hat { \psi } _ { \sigma _ { 1 } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \dots \hat { \psi } _ { \sigma _ { N } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) | 0 \rangle
Z ^ { 2 } + T ^ { 2 } = \frac { 2 R ^ { 4 } e ^ { - \pi / 2 } } { U _ { T } ^ { 2 } } e ^ { 2 \tan ^ { - 1 } ( U / U _ { T } ) } \frac { U - U _ { T } } { U + U _ { T } } .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { I I } ^ { x } ( t ) = V _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( \hat { n } _ { i } ^ { \uparrow } + \hat { n } _ { i } ^ { \downarrow } \right) \, , } \end{array}
v _ { E } ( x ) = v _ { M ^ { 4 } } + \xi x ^ { 3 } - \frac { g \nu ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } x ^ { 4 } } { 1 2 } Z _ { 2 } ( 2 ; w _ { 1 } , w _ { 2 } ) + { \cal O } ( \nu ^ { 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { a _ { i f } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 3 } r ^ { 3 } R _ { n _ { f } , 0 } ( r ) R _ { n _ { i } , 0 } ( r ^ { \prime } ) [ g _ { 1 } ( \nu _ { f } , r , r ^ { \prime } ) + g _ { 1 } ( \nu _ { i } , r , r ^ { \prime } ) ] d r d r ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 4 } { 9 \nu ^ { 3 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \Gamma ( k + 4 ) } { \Gamma ( k + 1 ) ( 2 + k - \nu ) } [ F _ { n _ { f } } ( \nu _ { f } ) F _ { n _ { i } } ( \nu _ { f } ) + F _ { n _ { f } } ( \nu _ { i } ) F _ { n _ { i } } ( \nu _ { i } ) ] } \end{array}
z ( 1 - z ) { \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } } + [ { \frac { 1 } { 2 } } - ( 1 - 2 \lambda ) z ] { \frac { d u } { d z } } - ( \lambda ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 8 } } \omega ^ { 2 } ) u = 0 .
\operatorname { W F R } _ { \delta } ( \mu _ { q _ { 1 } } , \mu _ { q _ { 2 } } ) ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { t _ { 1 } } a _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { t _ { 0 } } b _ { j } - 2 \operatorname* { s u p } _ { ( A , B ) \in \mathcal { A } } \sum _ { i = 1 } ^ { t _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { t _ { 0 } } \sqrt { A _ { i j } B _ { i j } } \langle u _ { i } , v _ { j } \rangle
P _ { E } = P _ { \mathrm { M S W } } | a | ^ { 2 } + ( 1 - P _ { \mathrm { M S W } } ) | b | ^ { 2 } + ( { \frac { 1 } { 2 } } - P _ { \mathrm { M S W } } ) \tan 2 \theta ( a b ^ { * } + b a ^ { * } )
\begin{array} { r l } { v ^ { 2 } } & { = \frac { d \alpha ^ { 2 } } { d \alpha ^ { 0 } } = \frac { d \alpha ^ { 2 } / d s } { d \alpha ^ { 0 } / d s } = \frac { d \overline { { \alpha } } ^ { 2 } / d s } { \lambda _ { u } ( d \overline { { \alpha } } ^ { 0 } / d s ) + \lambda _ { u } u ( d \overline { { \alpha } } ^ { 1 } / d s ) } } \\ & { = \frac { d \overline { { \alpha } } ^ { 2 } / d \overline { { \alpha } } ^ { 0 } } { \lambda _ { u } ( 1 + u \mathrm d \overline { { \alpha } } ^ { 1 } / d \overline { { \alpha } } ^ { 0 } ) } = \frac { \overline { { v } } ^ { 2 } } { \lambda _ { u } ( 1 + u \overline { { v } } ^ { 1 } ) } , } \end{array}
\frac { d z } { d t } = - \epsilon c \frac { \sinh ( \alpha + \epsilon \cos \theta + \epsilon ^ { 2 } \Gamma \cos 2 \theta ) } { \sinh \alpha } \sin \theta - \epsilon ^ { 2 } \Omega c \frac { \sinh 2 ( \alpha + \epsilon \cos \theta + \epsilon ^ { 2 } \Gamma \cos 2 \theta ) } { \sinh 2 \alpha } \sin 2 \theta ,
\begin{array} { r l } { \kappa } & { { } = \frac { 1 } { u } + \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { m v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { 2 } } { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { ( 1 - u ) \beta _ { S } } , } \end{array}
\dot { \gamma } ^ { \mathrm { i } } = \rho _ { \mathrm { m } } b ^ { 2 } v _ { D } \exp \left( - \frac { \Delta F } { k T } \right) \sinh \left[ \frac { \left( \left| \tau ^ { \mathrm { i } } \right| - \tau _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { i } } \right) \Delta V } { k T } \right] ,
\frac { \partial \tilde { f } _ { 1 } } { \partial x } + \frac { \partial \tilde { f } _ { 1 } } { z _ { 1 } } + \frac { \partial \tilde { f } _ { 1 } } { z _ { 2 } } = - \frac { \alpha } { 2 \pi } \big [ x - z _ { 1 } - z _ { 2 } \big ] \tilde { f } _ { 1 } ,
\int x ^ { 2 } \operatorname { a r t a n h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \operatorname { a r t a n h } ( a x ) } { 3 } } + { \frac { \ln \left( 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } \right) } { 6 a ^ { 3 } } } + { \frac { x ^ { 2 } } { 6 a } } + C
\begin{array} { r } { \tilde { \Xi } _ { z , j } = ( \tilde { y } _ { j , h } ^ { i } \tilde { y } _ { j , h } ^ { l } / 2 - \tilde { y } _ { j , k } ^ { i } \tilde { y } _ { j , h } ^ { l } ) / \tilde { \sigma } _ { i , l } ( t _ { j } ) - 4 ^ { - 1 } \tilde { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \left( \tilde { y } _ { j , h } ^ { i , 2 } / \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t _ { j } ) + \tilde { y } _ { j , h } ^ { l , 2 } / \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t _ { j } ) \right) . } \end{array}
\overline { { { \eta } } } _ { [ 1 2 ] } = - \overline { { { \eta } } } _ { [ 2 1 ] } , \quad \overline { { { \xi } } } _ { [ 2 3 ] } = - \overline { { { \xi } } } _ { [ 3 2 ] } , \quad \chi _ { \{ 3 3 \} }
\begin{array} { r l r } { M } & { { } = } & { \frac { 1 + \frac { 1 } { C _ { f 0 } } \frac { H _ { F } } { L } \left( 1 - \beta ^ { 2 } \right) - \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } } { \beta \left( 1 - \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } \right) } . } \end{array}
\int _ { \Omega } u ( x ) d x = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \int _ { \Omega _ { 1 } } \phi _ { i 1 } ( x _ { 1 } ) d x _ { 1 } \int _ { \Omega _ { 2 } } \phi _ { i 2 } ( x _ { 2 } ) d x _ { 2 } \cdots \int _ { \Omega _ { d } } \phi _ { i d } ( x _ { d } ) d x _ { d } .
\begin{array} { r l } & { \mathsf { D } _ { 0 , n + 1 } ( h ) \Phi _ { 0 , n + 1 } ( \varphi \, \widetilde { \otimes } \, x ) = \sum _ { ( R ) , ( h ) } h _ { ( 1 ) } \Phi _ { 0 , 1 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( R _ { ( 1 ) } \bigr ) ( \varphi ) \right) \otimes \mathsf { D } _ { 0 , n } \bigl ( h _ { ( 2 ) } R _ { ( 2 ) } \bigr ) \Phi _ { 0 , n } ( x ) } \\ { = \: } & { \sum _ { ( R ) , ( h ) } \Phi _ { 0 , 1 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( R _ { ( 1 ) } S ^ { - 1 } ( h _ { ( 2 ) } ) \bigr ) ( \varphi ) \right) h _ { ( 1 ) } \otimes \mathsf { D } _ { 0 , n } \bigl ( h _ { ( 3 ) } R _ { ( 2 ) } \bigr ) \Phi _ { 0 , n } ( x ) } \\ { = \: } & { \sum _ { ( R ) , ( h ) } \Phi _ { 0 , 1 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( S ^ { - 1 } ( h _ { ( 3 ) } ) R _ { ( 1 ) } \bigr ) ( \varphi ) \right) h _ { ( 1 ) } \otimes \mathsf { D } _ { 0 , n } \bigl ( R _ { ( 2 ) } h _ { ( 2 ) } \bigr ) \Phi _ { 0 , n } ( x ) } \\ { = \: } & { \sum _ { ( R ) , ( h ) } \Phi _ { 0 , 1 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( S ^ { - 1 } ( h _ { ( 4 ) } ) R _ { ( 1 ) } \bigr ) ( \varphi ) \right) h _ { ( 1 ) } \otimes \mathsf { D } _ { 0 , n } \bigl ( R _ { ( 2 ) } \bigr ) \Phi _ { 0 , n } \bigl ( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( S ^ { - 1 } ( h _ { ( 3 ) } ) \bigr ) ( x ) \bigr ) \mathsf { D } _ { 0 , n } \bigl ( h _ { ( 2 ) } \bigr ) } \\ { = \: } & { \sum _ { ( h ) } \Phi _ { 0 , n + 1 } \bigl ( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( S ^ { - 1 } ( h _ { ( 2 ) } ) \bigr ) ( \varphi \, \widetilde { \otimes } \, x ) \bigr ) \mathsf { D } _ { 0 , n + 1 } ( h _ { ( 1 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { v _ { \eta } \frac { \partial \mathcal { H } ^ { ( n ) } } { \partial \eta } + \mathcal { L } _ { w } \left[ \mathcal { H } ^ { ( n ) } \right] = 0 , } \\ { \mathcal { H } ^ { ( n ) } ( 0 , { \mathfrak { v } } ) = - \frac { \mathscr { A } \cdot n } { 2 T ^ { 2 } } \ \ \mathrm { f o r } \ \ v _ { \eta } > 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \eta \rightarrow \infty } \mathcal { H } ^ { ( n ) } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) = \mathcal { H } _ { \infty } ^ { ( n ) } \in \mathcal { N } , } \end{array} \right. } \end{array}
B _ { \varphi } ( r ) \triangleq \left\{ \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } \quad \textnormal { s . t . } \quad 2 \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| < r \right\} , \qquad B _ { \varphi } ^ { c } ( r ) \triangleq \mathbb { T } \setminus B _ { \varphi } ( r ) .
\mathrm { 2 s ^ { 2 } 2 p ^ { 3 } , ~ 2 s 2 p ^ { 4 } , ~ 2 s ^ { 2 } 2 p ^ { 2 } { \ t e x t i t { n l } } ~ ( \ t e x t i t { n } = 3 , 4 , ~ \ t e x t i t { l } = s , p , d , f ) }
\langle T \boldsymbol { \nabla } \cdot ( { \tilde { \lambda _ { c p } } \boldsymbol { \nabla } T } ) \rangle _ { V , t } = \langle \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \tilde { \lambda _ { c p } } T \boldsymbol { \nabla } T ) \rangle _ { V , t } - \langle \tilde { \lambda _ { c p } } | \boldsymbol { \nabla } T | ^ { 2 } \rangle _ { V , t } .
\Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 7 1 0 ) ) : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 5 0 0 ) ) : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 3 7 0 ) ) = 5 9 . 3 8 8 : 2 7 . 9 0 8 : 1 8 . 5 6 4 .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { | k | \le \mathtt { b } _ { 0 } , | \vec { b } | \le | \vec { \mathtt { b } } | } \mathfrak { M } _ { | D | ^ { k } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { { b } } } ( \psi ) | D | ^ { - k - | \vec { b } | ( 2 - \alpha ) } } ^ { \gamma } ( 0 , s ) , \ \mathfrak { M } _ { | D | ^ { k - | \vec { b } | ( 2 - \alpha ) } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { { b } } } ( \psi ) | D | ^ { - k } } ^ { \gamma } ( 0 , s ) \le _ { \mathtt { p e } , s } ( 1 + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } \Tilde { f } _ { 1 } } & { { } = \frac { p ^ { 2 } } { m } ( \Tilde { f } _ { 2 } + \Tilde { f } _ { 3 } ) + 2 m \Tilde { f } _ { 2 } } \\ { D _ { t } \Tilde { f } _ { 2 } } & { { } = \frac { e E p _ { z } } { 2 m \epsilon } \Big ( 1 + \frac { m ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } \Big ) - \Big ( \frac { p ^ { 2 } } { m } + 2 m \Big ) \Tilde { f } _ { 1 } } \\ { D _ { t } \Tilde { f } _ { 3 } } & { { } = - \frac { e E p _ { z } } { 2 m \epsilon } p ^ { 2 } + \frac { p ^ { 2 } } { m } \Tilde { f } _ { 1 } } \end{array}
\dot { x } _ { \mu } ^ { c l } ( \sigma ) = u _ { \mu } - { \frac { 1 } { 2 } } u _ { \mu } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) \frac { \dot { G } _ { B } ( \sigma , \tau _ { 1 } ) - \dot { G } _ { B } ( \sigma , \tau _ { 2 } ) } { L + G _ { B } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { \operatorname* { m i n } ( n , m ) \to \infty } } & { \frac { \ln \left| n ! / ( n + m ) ! \right| + k ( n + m + 1 ) } { n + 1 } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { \operatorname* { m i n } ( n , m ) \to \infty } k + \frac { k m } { n + 1 } + \frac { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \ln ( n ) - n } { n + 1 } - \frac { ( n + m + \frac { 1 } { 2 } ) \ln ( n + m ) - n - m } { n + 1 } } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { \operatorname* { m i n } ( n , m ) \to \infty } k + \frac { ( k - \ln ( n + m ) - 1 ) m } { n + 1 } + \frac { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) ( \ln ( n ) - \ln ( n + m ) ) } { n + 1 } \leq k < \infty . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow + \infty } \bar { Q } _ { x } ^ { K , t } \left[ \varphi ( \bar { R } ^ { N } ) | U _ { 1 } , . . . U _ { K - 1 } \right] = \int _ \varphi \left( \prod _ { i = 1 } ^ { K - 1 } r \left( x _ { i } \right) h ^ { \infty } \left( x _ { i } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { K } \psi _ { i } ( x _ { i + K - 1 } ) \right) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { 2 K - 1 } \Pi ^ { \infty } ( d x _ { i } ) \right) ,
\log _ { 1 0 } \mu = - 6 . 6 , \ \log _ { 1 0 } k _ { 0 } = - 3 . 1 5 , \ a = 2 . 8 5 , \ \log _ { 1 0 } c = - 2 . 9 5 , \ \omega = - 0 . 0 3 , \ \log _ { 1 0 } \tau = 3 . 9 9 , \ \log _ { 1 0 } d = - 0 . 3 5 , \ \gamma = 1 . 2 2 , \ \rho = 0 . 5 1 , \ M _ { 0 } = 1 \ M _ { \mathrm { ~ w ~ } }
\begin{array} { l r } { | \phi ( s ) - \phi _ { 0 } | _ { \infty } \leq t \| \frac { \partial W } { \partial I } \| _ { G , \rho , \infty } \leq t \frac { \hat { \delta } _ { c } } { c } \leq t \delta _ { 1 } \frac { c } { c } = t \delta _ { 1 } } & { \forall 0 < s \leq s _ { 0 } } \\ { | I ( s ) - I _ { 0 } | _ { 1 } \leq t \| \frac { \partial W } { \partial \phi } \| _ { G , \rho , 1 } \leq t \hat { \delta } _ { c } \leq t \delta _ { 2 } } & { \forall 0 < s \leq s _ { 0 } } \end{array}
^ { * } D _ { > } ^ { i j } ( k _ { 0 } , \vec { k } ) = - i { \frac { \rho _ { t } ( k _ { 0 } , k ) } { 1 - e ^ { - \beta k _ { 0 } } } } \, ( \delta ^ { i j } - \hat { k } ^ { i } \hat { k } ^ { j } ) .
\begin{array} { r l } { \delta E _ { \mathrm { M S } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { m } { M } \left( - E _ { 0 } + K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 1 ) } \right) \ , } \\ { \delta E _ { \mathrm { M S } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \left( \frac { m } { M } \right) ^ { 2 } \left( E _ { 0 } - K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 1 ) } + K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 2 ) } \right) \ . } \end{array}
A \equiv \frac { ( - K ^ { \prime } ( 0 ) ) ( - { \textstyle \int } p ^ { 2 } K ^ { \prime } ) } { ( - { \textstyle \int } K ^ { \prime } ) K ( 0 ) } , \ \ \ B \equiv \frac { K ^ { \prime \prime } ( 0 ) K ( 0 ) } { ( - K ^ { \prime } ( 0 ) ) ^ { 2 } } .
\mathbb { E } _ { \mathbb { P } } [ \ell \left( \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { X } \right) ] = u _ { 1 } \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } [ \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { X } ] + \operatorname* { m a x } \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } \} = u _ { 1 } \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { \mu } + \operatorname* { m a x } \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } \} .
\frac { \partial ^ { 2 } \tau } { \partial { \bf x } _ { h } \partial { \bf x } _ { h } ^ { T } } = \frac { 2 } { v _ { 0 } } \left( \frac { \partial { \bf q } ^ { T } } { \partial { \bf x } _ { h } } \right) ^ { T } { \bf K } _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ P ~ } } \left( \frac { \partial { \bf q } ^ { T } } { \partial { \bf x } _ { h } } \right) \, .
{ } _ { \mathrm { N S } } ^ { ( 0 ) T } \langle \mathrm { D } p _ { \psi } , \eta | = \langle \widetilde M | \langle L | \left( \widehat C { \widehat { \gamma } } ^ { 6 } \dots { \widehat { \gamma } } ^ { 5 + s } \frac { 1 - \mathrm { i } \eta \widehat \gamma } { 1 - \mathrm { i } \eta } \right) _ { L M }
\left( E - H _ { f } \right) \; \psi _ { f } \left( \vec { r } \; \right) \; = \; \left[ V _ { t } \right] ^ { T } \; \left( E - H _ { c } \right) ^ { - 1 } \; V _ { t } \; \psi _ { f } \left( \vec { r } \; \right) \; \; \; .
\frac { 1 } { A _ { \phi } } \frac { d \Gamma _ { \phi } ^ { u } } { d t } + \Gamma _ { \phi } ^ { u } \Big ( - \frac { 1 } { A _ { \phi } ^ { 2 } } \frac { d A _ { \phi } } { d t } \Big ) = \frac { \Gamma _ { \phi } ^ { u } } { A _ { \phi } } \frac { u _ { \rho } } { \rho } + \frac { \Gamma _ { \phi } ^ { b } } { A _ { \phi } }
D _ { i j } = E \Big [ \partial _ { { x } _ { i } } \Omega _ { 0 } \int _ { t - T } ^ { t } \partial _ { { x } _ { j } } \Omega _ { 0 } \big ( \vec { k } , \vec { x } - \frac { \partial \omega } { \partial \vec { k } } ( t - t ^ { \prime } ) , t ^ { \prime } \big ) d t ^ { \prime } \Big ] ,
\begin{array} { r } { \geq \frac { 1 } { C } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } - C \varepsilon \langle \| F _ { + } ^ { ( s , m ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } \rangle ^ { 2 } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
I ( E ) = A _ { 3 } E ^ { 3 } \epsilon ^ { - 3 } + A _ { 2 } E ^ { 3 } \epsilon ^ { - 2 } + ( A _ { 1 } E ^ { 3 } + B _ { 1 } E ) \epsilon ^ { - 1 } + ( A _ { 0 } E ^ { 3 } + B _ { 0 } E ) \log \epsilon + O ( 1 ) ,
{ \frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { B ^ { \ast } } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { B } ^ { 2 } } } \approx { \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - { \overline { { m } } } _ { B } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \langle \tilde { S } _ { + } \rangle = \langle S _ { + } \rangle e ^ { i [ \Omega _ { 0 } t + \eta \sin ( \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } ) + \Gamma _ { \mathrm { R b } } t ] } } \end{array}
{ \cal L } _ { h i g h } \sim \mathrm { T r } [ - \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \hat { F } _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \lambda _ { 3 } ( \hat { D } _ { \mu } \Phi ) ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 4 } } { 4 } ( \eta ^ { 2 } + \Phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] ,
L ( \boldsymbol { \Theta } _ { t } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \hat { Q } _ { g , t } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \hat { Z } _ { g , t } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \check { Q } _ { g , t } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \check { Z } _ { g , t } ^ { 2 } ,
\sigma ^ { p _ { 2 s - 1 } } ( \mathbf d ) = \mathbf w _ { i _ { k _ { 2 s - 1 } } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n - 1 } } \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) \ \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \ \sigma ^ { p _ { 2 s } } ( \mathbf d ) = \mathbf w _ { i _ { k _ { 2 s } } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n - 1 } } \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) .
G ( x _ { 1 } ^ { \prime } \cdots x _ { N } ^ { \prime } ; x _ { 1 } \cdots x _ { N } ) = \left< 0 | T \left[ \psi ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) \cdots \psi ( x _ { N } ^ { \prime } ) \bar { \psi } ( x _ { 1 } ) \cdots \bar { \psi } ( x _ { N } ) \right] | 0 \right> \, .
\begin{array} { r l } & { \Gamma ( t ) : = \int _ { 0 } ^ { t } g ( r ) d r , } \\ & { G ( t ) : = 1 + \mu _ { d , \beta , \epsilon } e ^ { \mu _ { d , \beta , \epsilon } \Gamma ( t ) } \left[ \nu ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } g ( r ) d r + \nu ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } \mu _ { d , \beta , \epsilon } \Gamma ( t ) \int _ { 0 } ^ { t } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } g ( r ) d r \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial v ^ { i } } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial x ^ { k } } \left( - v ^ { k } v ^ { i } - p + \nu \frac { \partial v ^ { i } } { \partial x ^ { k } } \right) , \, \frac { \partial v ^ { k } } { \partial x ^ { k } } = 0 , } \\ & { \left. p ( t , x ) \right| _ { x \in L } = 0 , \, \left. \frac { \partial p ( t , x ) } { \partial x ^ { i } } n ^ { i } \right| _ { x \in \Gamma } = 0 , } \\ & { \left. v ^ { 1 } ( t , x ) \right| _ { x \in L } = 1 , \, \left. v ^ { 2 } ( t , x ) \right| _ { x \in C } = \left. v ^ { 1 } ( t , x ) \right| _ { x \in \Gamma } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \varphi , x ) = \sqrt { \frac { x _ { T } } { 4 \pi \Delta x } } \int \mathrm { d } ( \Delta \varphi ) } & { P ( \varphi - \Delta \varphi , x - \Delta x ) \dots } \\ & { \dots \exp \left( - \int _ { x - \Delta x } ^ { x } \mathrm { d } x ^ { \prime } \left[ \frac { x _ { T } } { 4 } \left( \frac { \Delta \varphi } { \Delta x } \right) ^ { 2 } + \frac { x _ { T } } { 4 \xi ^ { 2 } } \varphi ^ { 2 } - i q ( x ) \varphi - 2 z \cos \varphi \right] \right) . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \, \int \, \sqrt { - g } \, [ \, m _ { P l } ^ { 2 } \, ( - R + \, 2 \partial _ { \mu } \Phi \partial ^ { \mu } \Phi ) - \exp ( - 2 \Phi ) \, F _ { a \mu \nu } \, F _ { a } ^ { \mu \nu } ] \, d ^ { 4 } x \, ,
R _ { + } ^ { 2 } R _ { - } ^ { 2 } = \frac { 4 } { h ^ { 2 } } ( C ^ { 2 } - D ^ { 2 } ) , \; \; R _ { + } ^ { 2 } + R _ { - } ^ { 2 } = \frac { 4 } { h ^ { 2 } } ( 1 - C h ) .