harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { 1 1 } ^ { R } ( \mu ^ { 2 } ) = 0 < \sigma _ { 2 2 } ^ { R } ( \mu ^ { 2 } ) = \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \leq \dots \leq \sigma _ { N N } ^ { R } ( \mu ^ { 2 } ) = \sigma _ { N } ^ { 2 } < 1
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 1 } ( \zeta , k ) = \exp \big ( - i \nu _ { 1 } \tilde { \ln } _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) - \tilde { \chi } _ { 1 } ( \zeta , k ) \big ) , } \\ & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = \exp \big ( - i \nu _ { 1 } \tilde { \ln } _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) + i \nu _ { 2 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 2 } ( \zeta , k ) \big ) , } \\ & { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = \exp \big ( - i \nu _ { 3 } \tilde { \ln } _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) + i \nu _ { 4 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 3 } ( \zeta , k ) \big ) , } \\ & { \delta _ { 4 } ( \zeta , k ) = \exp \big ( - i \nu _ { 4 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 4 } ( \zeta , k ) \big ) , } \\ & { \delta _ { 5 } ( \zeta , k ) = \exp \big ( - i \nu _ { 5 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 5 } ( \zeta , k ) \big ) , } \end{array}
\Gamma _ { { \mathbf { V } _ { \underline { { Q } } } ^ { \dagger } } } ( 0 ) = \Gamma _ { \mathbf { C } } ( c _ { \underline { { Q } } } ) \Gamma _ { \mathbf { C } } ( c _ { \underline { { Q } } } + 2 - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \Gamma _ { \mathbf { C } } ( c _ { \underline { { Q } } } + 1 - k _ { 1 } ) \Gamma _ { \mathbf { C } } ( c _ { \underline { { Q } } } + 1 - k _ { 2 } )
{ \begin{array} { r l } { z _ { 1 } } & { = x _ { 1 } y _ { 0 } + x _ { 0 } y _ { 1 } } \\ & { = x _ { 1 } y _ { 0 } + x _ { 0 } y _ { 1 } + x _ { 1 } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 1 } + x _ { 0 } y _ { 0 } - x _ { 0 } y _ { 0 } } \\ & { = x _ { 1 } y _ { 0 } + x _ { 0 } y _ { 0 } + x _ { 0 } y _ { 1 } + x _ { 1 } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 1 } - x _ { 0 } y _ { 0 } } \\ & { = ( x _ { 1 } + x _ { 0 } ) y _ { 0 } + ( x _ { 0 } + x _ { 1 } ) y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 1 } - x _ { 0 } y _ { 0 } } \\ & { = ( x _ { 1 } + x _ { 0 } ) ( y _ { 0 } + y _ { 1 } ) - x _ { 1 } y _ { 1 } - x _ { 0 } y _ { 0 } } \\ & { = ( x _ { 1 } + x _ { 0 } ) ( y _ { 1 } + y _ { 0 } ) - z _ { 2 } - z _ { 0 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \partial _ { t } T ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \, , } \\ { 0 } & { { } = \partial _ { t } \rho ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } = - \vec { v } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \cdot \nabla \rho ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \, , } \\ { 0 } & { { } = \rho ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \partial _ { t } \vec { v } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } = - \nabla p ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } + \rho ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \vec { F } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \hat { v } } _ { p } } & { = - ( \widehat { \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } } ) \cdot \boldsymbol { e } _ { p \boldsymbol { k } } - \hat { b } \sin \theta _ { \boldsymbol { k } } - \nu k ^ { 2 } \hat { v } _ { p } + \hat { \boldsymbol { f } } \cdot \boldsymbol { e } _ { p \boldsymbol { k } } } \\ { \dot { \hat { v } } _ { t } } & { = - ( \widehat { \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } } ) \cdot \boldsymbol { e } _ { t \boldsymbol { k } } - \nu k ^ { 2 } \hat { v } _ { t } + \hat { \boldsymbol { f } } \cdot \boldsymbol { e } _ { t \boldsymbol { k } } } \\ { \dot { \hat { b } } } & { = - \widehat { \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } b } + N ^ { 2 } \hat { v } _ { p } \sin \theta _ { \boldsymbol { k } } - \kappa k ^ { 2 } \hat { b } } \end{array} \right. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r ~ } ~ k _ { h } \neq 0 } \end{array}
f _ { \pm i } ( \omega ) \equiv \mathrm { r e c t } ( \frac { \omega \pm \omega _ { i } } { L _ { i } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { | \omega \pm \omega _ { i } | < L _ { i } , } \\ { 0 , } & { | \omega \pm \omega _ { i } | \geq L _ { i } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { f } \ } & { \int _ { a } ^ { \infty } \mathbb { I } ( x > b ) f ( x ) \mathrm { d } x } \\ { \textit { s . t . } } & { \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) \mathrm { d } x = \beta , } \\ & { f ( a ) = f ( a + ) = \eta , } \\ & { f _ { + } ^ { \prime } ( a ) \ge - \nu , } \\ & { f \mathrm { \ c o n v e x \ f o r \ } x \ge a , } \\ & { f ( x ) \ge 0 \mathrm { \ f o r \ } x \ge a . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { Y } ^ { m * } \left( { \boldsymbol { \Xi } ^ { i j } } , \, { \delta \boldsymbol { \omega } ^ { k l } } \right) } & { { } = g _ { Y } ^ { m } \left( { \delta \boldsymbol { \omega } ^ { k l } } , \, { \hat { \eta } ^ { i j } } \right) } \end{array}
D ( \tilde { b } , x ) \! = \! \! \int \! \! d ^ { 2 } r d z \Phi ( r , z ) r \ln \left( { \frac { \tilde { b } ^ { 2 } } { r x } } \right) \exp \left[ - { \frac { a _ { p } } { 2 } } \ln ^ { 2 } \left( { \frac { \tilde { b } ^ { 2 } } { r x } } \right) \right] ,
I _ { I I B } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 1 0 } } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g _ { S } } \left\{ e ^ { - 2 \phi } \left( R _ { S } + 4 \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - { \frac { 1 } { 1 2 } } H _ { 3 } ^ { 2 } \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \chi \partial ^ { \mu } \chi \right.
\Gamma _ { + } ^ { - 1 } A ^ { ( r ) } C _ { r } - \alpha _ { r } C _ { 3 } \Gamma _ { + } ^ { - 1 } A ^ { ( r ) } = C \delta _ { r 3 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \alpha } { 1 + \mu \alpha k } C U _ { 3 } ^ { - 1 } Y Y ^ { \mathrm { T } } A ^ { ( r ) } C U _ { r } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { d } s ^ { 2 } } & { { } = } & { \mathrm { d } t ^ { 2 } - a ^ { 2 } \left( t \right) \bigg [ \frac { \mathrm { d } \chi ^ { 2 } } { 1 - \kappa \, \chi ^ { 2 } } + \chi ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega ^ { 2 } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { { 4 } } & { \mathrm { d } ^ { 2 , 1 } ( \tau ) = 1 } & & { \Longleftrightarrow } & & { \mathrm { L e m m a ~ } , } & \\ & { \partial ^ { 2 , 1 } ( \tau ) \mathrm { d } ^ { 1 , 2 } ( \gamma ) = 1 } & & { \Longleftrightarrow } & & { \mathrm { L e m m a ~ } , } & \\ & { \partial ^ { 1 , 2 } ( \gamma ) ^ { - 1 } \mathrm { d } ^ { 0 , 3 } ( \omega ) = 1 \quad } & & { \Longleftrightarrow \quad } & & { \mathrm { L e m m a ~ } , } & \\ & { \partial ^ { 0 , 3 } ( \omega ) = 1 } & & { \Longleftrightarrow } & & { \mathrm { e q u a t i o n ~ } . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial u } { \partial t } } + u { \frac { \partial u } { \partial x } } } & { { } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial x } } + F _ { x } } \\ { - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial z } } - g } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } } } & { = } & { \beta _ { 0 } \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \mathrm { G e V } ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \mathrm { G e V } ^ { 2 } } } \right) } \\ & { + } & { c + \left( { \frac { a } { \ln \Lambda ^ { 2 } } } + \dots \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { x } = e ^ { - ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } & { { } \quad } & { B _ { x } = 0 , } \\ { E _ { y } = 0 , } & { { } \quad } & { B _ { y } = \frac { 1 } { c } e ^ { - ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } \\ { E _ { z } = 0 , } & { { } \quad } & { B _ { z } = 0 , } \end{array}
N ( \varepsilon ) = \frac { n _ { 0 } } { \beta ^ { 2 - \delta } \Gamma ( a + 1 ) \eta _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 - \delta } \varepsilon ^ { 3 - \delta } } \int _ { \beta \eta _ { \mathrm { m i n } } \varepsilon } ^ { { \beta \eta _ { \mathrm { m a x } } \varepsilon } } \mathrm { d } x \, x ^ { 2 + a - \delta } G \left( \frac { x } { \beta \eta _ { \mathrm { m a x } } \varepsilon } \right) e ^ { - x } .
\mathsf { A R B } _ { \mathcal P } \hat { P } ^ { - 1 } = \left| \frac { \mathsf E _ { \mathcal P } \hat { P } ^ { - 1 } - ( \mathsf E \hat { P } ) ^ { - 1 } } { ( \mathsf E \hat { P } ) ^ { - 1 } } \right| .
H _ { o p } = \int d ^ { 3 } r \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \, h \, \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) V ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\langle \pi ^ { + } ( p _ { 1 } ) | J _ { \mu } ^ { W } | \bar { B } ^ { 0 } ( p _ { B } ) \rangle = F _ { + } \left( p _ { 2 } ^ { 2 } \right) ( p _ { B } + p _ { 1 } ) ^ { \mu } + F _ { - } \left( p _ { 2 } ^ { 2 } \right) ( p _ { B } - p _ { 1 } ) ^ { \mu } .
\begin{array} { r l r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } ( g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } ) + \Gamma _ { \mathrm { m } } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) ^ { 2 } } { \left[ g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } } d \omega } & { { } = } & { 2 \pi , } \\ { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] } { \left[ g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } } d \omega } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\langle T ^ { 1 / 2 } \xi \mid T ^ { 1 / 2 } \xi \rangle \leq \langle S ^ { 1 / 2 } \xi \mid S ^ { 1 / 2 } \xi \rangle \quad \forall \xi \in \operatorname { d o m } ( S ^ { 1 / 2 } )
0 = 1 - g _ { c } + \frac { ( D - 1 ) } { 2 N _ { c } } \left[ 1 - \frac { 1 } { \tilde { g } _ { s c } } \log ( 1 + \tilde { g } _ { s c } ) \right] - \frac { ( D - 1 ) ^ { 2 } ( 4 - D ) } { 2 N _ { c } ( D - 2 ) } \left[ 1 - \frac { 1 } { g _ { V c } } \log ( 1 + g _ { V c } ) \right] \ ,
\mathrm { \bf ~ e i t h e r } \ A _ { i } = \pm 2 \sqrt { n _ { i } } , \ \mathrm { f o r } \ i = 0 , \dots , r \, h b o x { \bf o r } \ A _ { i } = 0 \ \mathrm { f o r } \ i = 0 , \dots , r \ .
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { S } _ { i } } { d t } = } & { { } - \gamma _ { \mathrm { L } } \mathbf { S } _ { i } \times \left( \mathbf { B } _ { i } + \mathbf { B } _ { i } ^ { \mathrm { f } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \left( \frac { 1 } { 2 \eta } + \frac { \lambda } { 4 } \right) \mathbb { E } _ { k } \| { \tilde { x } } ^ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { \gamma } { 2 } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { k } \| y _ { i \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 \eta } \mathbb { E } _ { k } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \mathbb { E } _ { k } \left[ f ( x ^ { k + 1 } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) + m \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k + 1 } ) \right) \right] + \frac { 1 } { N } \mathbb { E } _ { k } \langle A Y ^ { k + 1 } - A Y ^ { * } , x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \rangle } \\ & { \qquad + \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } \| e _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } \| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \tilde { x } } ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { ( m - 1 ) \gamma } { 2 m } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + ( m - 1 ) \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k } ) \right) } \\ & { \quad + \theta \left( f ( x ^ { k } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) \right) + \frac { \theta } { 8 \eta } \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \theta } { N } \langle A Y ^ { k } - A Y ^ { * } , x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \rangle } \\ & { \quad + \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n } \left( 1 - \frac { \delta } { 6 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 4 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n } \left( 1 - \frac { \delta _ { 1 } } { 6 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { m n } \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } - \frac { 4 \eta ( n R ^ { 2 } + R _ { m } ^ { 2 } ) } { n } - ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) \left( \frac { 1 4 { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } + \frac { 7 R _ { m } ^ { 2 } } { 2 \delta } + \frac { 8 4 ( 1 - \delta _ { 1 } ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } } + \frac { 4 2 R _ { m } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } m ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { \quad \cdot \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \int d ^ { 4 } x \, a \, \frac \delta { \delta \rho } , \, v \frac \partial { \partial v } , \, m _ { \psi } \frac \partial { \partial m _ { \psi } } , \, { \cal N } _ { \Phi } , \, { \cal N } _ { \psi } \right\} \, \, ,
\dot { \textbf { X } } _ { g y } = \left\{ \textbf { X } _ { g y } , H _ { g y } \right\} = \frac { B ^ { * } } { m B _ { \parallel } ^ { * } } \frac { \partial H _ { g y } } { \partial v _ { g y , \parallel } } + \varepsilon _ { \delta } \frac { c \hat { b } } { e B _ { \parallel } ^ { * } } \times \nabla ^ { * } H _ { g y } ,
\Phi _ { \mathrm { t r u e } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Phi _ { i } P _ { i } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Phi _ { i } \Omega _ { i } \exp { \left( - \frac { E _ { i } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Omega _ { j } \exp { \left( - \frac { E _ { j } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } }
\begin{array} { r l } & { W _ { i i } ^ { ( 1 ) } ( Q ) = \sum _ { \alpha } \kappa _ { \alpha } ^ { ( i ) } Q _ { \alpha } } \\ & { W _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( Q ) = \sum _ { \alpha } \lambda _ { \alpha } ^ { ( i , j ) } Q _ { \alpha } \, , \; \, i \neq j } \\ & { W _ { i i } ^ { ( 2 ) } ( Q ) = \sum _ { \alpha , \beta } \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { \alpha , \beta } ^ { ( i ) } Q _ { \alpha } Q _ { \beta } } \\ & { W _ { i j } ^ { ( 2 ) } ( Q ) = \sum _ { \alpha , \beta } \frac { 1 } { 2 } \mu _ { \alpha , \beta } ^ { ( i , j ) } Q _ { \alpha } Q _ { \beta } \, , \; \, i \neq j } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { r _ { a x } ( t ) } \\ { r _ { a y } ( t ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \cos \theta ( t ) } & { - \sin \theta ( t ) } \\ { \sin \theta ( t ) } & { \ \cos \theta ( t ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { s _ { a x } ( t ) } \\ { s _ { a y } ( t ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { e ^ { 2 \alpha \int _ { 0 } ^ { z } N ^ { * } ( z ^ { \prime } ) d z ^ { \prime } } \cdot \tan ^ { 2 } \Big ( \frac { \Phi ^ { * } ( 0 ) } { 2 } \Big ) = } \\ { \frac { N ^ { * } ( z ) \Big ( 1 - e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } \Big ) + N _ { 0 , g } \Big ( e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } - 1 \Big ) } { N ^ { * } ( z ) \Big ( 1 + e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } \Big ) - N _ { 0 , g } \Big ( e ^ { T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } - 1 \Big ) } , } \\ { 0 \le z \le L _ { g } . } \end{array}
C _ { \theta } = \frac { \int _ { y = 0 } | ( \rho v ^ { 2 } ) ^ { \prime } | \, d x } { \int _ { x = x _ { o u t } } ( \rho _ { \infty } U _ { \infty } ^ { 2 } - \rho u ^ { 2 } ) \, d y } ,
\left\{ \begin{array} { l } { { a _ { 1 } ^ { - } = - x _ { 2 } H ^ { - } + x _ { 1 } G ^ { - } } } \\ { { a _ { 2 } ^ { - } = x _ { 1 } H ^ { - } + x _ { 2 } G ^ { - } } } \end{array} \right. \enskip .
\mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ i ~ p ~ r ~ o ~ c ~ a ~ l ~ } } = S _ { \eta \eta } ( \omega ) d \omega \frac { 8 \rho ^ { 2 } g ^ { 2 } } { k ^ { 6 } } \left( \frac { k d \sinh ( k d ) + 1 - \cosh ( k d ) } { \cosh ( k d ) } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { ( J _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) + Y _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) ) } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { d _ { j l p } ^ { ( \gamma j , j ) } ( r ) = } & { { } ( - 1 ) ^ { \frac { j - l } { 2 } } \frac { \Gamma \left( j + i \gamma j + 1 \right) } { \left| \Gamma \left( j + i \gamma j + 1 \right) \right| } \frac { \Gamma \left( l - i \gamma j + 1 \right) } { \left| \Gamma \left( l - i \gamma j + 1 \right) \right| } \frac { \sqrt { 2 j + 1 } \sqrt { 2 l + 1 } } { ( j + l + 1 ) ! } \left[ ( 2 j ) ! ( l + j ) ! ( l - j ) ! \frac { ( l + p ) ! ( l - p ) ! } { ( j + p ) ! ( j - p ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\langle A _ { \Sigma _ { A } } | \mathcal { O } _ { T \tau } | B _ { \Sigma _ { B } } \rangle = \frac { C _ { S _ { B } \Sigma _ { B } , T \tau } ^ { S _ { A } \Sigma _ { A } } } { \sqrt { 2 S _ { A } + 1 } } \, \langle A \| \mathcal { O } _ { T } \| B \rangle ,
+ \sum _ { l = \mathrm { m a x } ( n , 0 ) } ^ { \infty } E _ { l } ( x | A ) \frac { \ln ( t m ^ { 2 } ) ^ { - 1 } - \gamma + \psi ( l + 1 - n ) - \psi ( \frac { d } { 2 } - l ) } { \Gamma ( \frac { d } { 2 } - l ) \Gamma ( l + 1 - n ) } ( - t ) ^ { l - n } +
\begin{array} { r } { \rho ( { q } , t ) = \sum _ { \alpha } f _ { \alpha } ( { q } , t ) ; \; \; \; \rho ( { q } , t ) { \bf u } ( { q } , t ) = \sum _ { \alpha } { \bf e } _ { \alpha } ( { q } ) f _ { \alpha } ( { q } , t ) } \end{array}
\frac { \partial { v } _ { 1 z s } } { \partial t } = \frac { q _ { s } } { m _ { s } } { v } _ { 1 x s } B _ { 0 } + \frac { 1 } { m _ { s } n _ { s } B _ { 0 } } \left( \vec { \nabla } p \times \vec { B } _ { 1 } \right) _ { x }
\begin{array} { r l } { \dot { L _ { i } } } & { = \mathcal { K } _ { 2 } \cdot ( \dot { \varphi _ { i } } - \dot { s _ { i } } ) } \\ & { = \mathcal { K } _ { 2 } \cdot ( \int _ { E _ { i } } { \frac { \partial f ( d ( \varphi _ { i } , \theta ) ) } { \partial \varphi _ { i } } \rho ( \theta ) d \theta } - \kappa _ { s } ( \delta ^ { * } ( \varphi _ { i } , s _ { i } ) - \delta ^ { * } ( s _ { i } , \varphi _ { \alpha } ) ) ) } \\ & { = \mathcal { K } _ { 2 } \cdot ( \int _ { E _ { i } } { \frac { \partial f ( d ( \varphi _ { i } , \theta ) ) } { \partial \varphi _ { i } } \rho ( \theta ) d \theta } - \kappa _ { s } ( \delta ^ { * } ( \varphi _ { i } , s _ { i } ) - \delta ^ { * } ( s _ { i } , \varphi _ { \alpha } ) ) ) } \\ & { = \mathcal { K } _ { 2 } \cdot ( \int _ { E _ { i } ^ { 2 } } { \frac { \partial f ( d ( \varphi _ { i } , \theta ) ) } { \partial \varphi _ { i } } \rho ( \theta ) d \theta } + \int _ { E _ { i } ^ { 3 } } { \frac { \partial f ( d ( \varphi _ { i } , \theta ) ) } { \partial \varphi _ { i } } \rho ( \theta ) d \theta } + \kappa _ { s } \delta ^ { * } ( s _ { i } , \varphi _ { \alpha } ) - \kappa _ { s } \delta ^ { * } ( \varphi _ { i } , s _ { i } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { c ^ { T } y A ^ { T } A } { \| A y \| } y - \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } A ^ { T } A } { \| A y ^ { \prime } \| } y ^ { \prime } \right) ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \left( \frac { ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } c } { \| A y \| } - \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) ^ { 2 } c } { \| A y ^ { \prime } \| } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \left( \frac { c ^ { T } y } { \| A y \| } y - \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } y ^ { \prime } \right) \right) ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e e ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) } & { { } = n ( \textbf { r } ) \rho _ { e e ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) , } \\ { P _ { e g } ( \textbf { r } , t ) } & { { } = n ( \textbf { r } ) \rho _ { e g } ( \textbf { r } , t ) e ^ { i ( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t ) } , } \\ { P _ { g e } ( \textbf { r } , t ) } & { { } = n ( \textbf { r } ) \rho _ { g e } ( \textbf { r } , t ) e ^ { - i ( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t ) } , } \\ { P _ { g g ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) } & { { } = n ( \textbf { r } ) \rho _ { g g ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } \left\| y _ { k } ( s ) - y _ { k - 1 } ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \operatorname { e } ^ { c ( t - s ) } d s \leq \int _ { 0 } ^ { t } \left[ \dot { \mathcal T } _ { k , - } ( s ) + \sigma _ { k } ^ { 2 } \big ( \dot { \mathcal T } _ { k , + } ( s ) + 4 \mathbb E \left\| u ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \big ) \right] \operatorname { e } ^ { c ( t - s ) } d s . } \end{array}
\Delta ^ { 2 } = [ \frac { ( M _ { V _ { 0 } } ^ { 2 } - i \Gamma _ { V _ { 0 } } M _ { V _ { 0 } } - M _ { Z _ { 0 } } ^ { 2 } + i \Gamma _ { Z _ { 0 } } M _ { Z _ { 0 } } ) ^ { 2 } } { 4 } + ( \delta m ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } .
\mathcal { L } = \frac { 1 } { N \cdot M } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \sum _ { j = 1 } ^ { M } { \sqrt { ( \hat { \mathbf { Y } } _ { j } ^ { i } - \mathbf { Y } _ { j } ^ { i } ) ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } & { 1 / \delta = \exp \left( { \frac { 2 n t ^ { 2 } } { ( b - a ) ^ { 2 } } } \right) } \\ & { \Longrightarrow \ln ( 1 / \delta ) = { \frac { 2 n t ^ { 2 } } { ( b - a ) ^ { 2 } } } } \\ & { \Longrightarrow \frac { ( b - a ) ^ { 2 } \ln ( 1 / \delta ) } { 2 n } = t ^ { 2 } } \\ & { \Longrightarrow t = ( b - a ) \sqrt { \frac { \ln ( 1 / \delta ) } { 2 n } } } \end{array}
\phi _ { \ell } \stackrel { r \rightarrow \infty } { \longrightarrow } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k r } } \cos \left( k r - \frac { \ell \pi } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } + \delta _ { \ell } \right) e ^ { i \ell \varphi } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } \left( \| \mathbf { J } _ { 2 } \| _ { \operatorname* { m a x } } \geq C ( \frac { \log d } { N } ) ^ { 1 / 2 } \right) } & { = \mathbb { E } \left[ \mathrm { P r } \left( \| \mathbf { J } _ { 2 } \| _ { \operatorname* { m a x } } \geq C ( \frac { \log d } { N } ) ^ { 1 / 2 } \mid y _ { ( 1 ) } ^ { ( i ) } , \dots , y _ { ( n _ { i } ) } ^ { ( i ) } , i \in [ m ] \right) \right] } \\ & { \leq \exp ( - C ^ { \prime \prime } \log d ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \Omega } \sum _ { \mathbf { G } } \frac { 4 \pi } { G ^ { 2 } } \Big ( \rho ( \mathbf { G } ) \rho ( - \mathbf { G } ) - ( 1 - e ^ { - \frac { G ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } } ) \rho _ { c } ( \mathbf { G } ) \rho _ { c } ( - \mathbf { G } ) \Big ) .
\delta R _ { \mu } ^ { \nu } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \mu } ^ { \nu } ( g ^ { \alpha \beta } \delta R _ { \alpha \beta } + \delta g ^ { \alpha \beta } R _ { \alpha \beta } ) = 3 l _ { D } ^ { 2 } \delta T _ { \mu } ^ { \nu }
d \mu _ { p } ^ { ( m + 1 ) } ( \mathbf { x } _ { \ominus } ) = x _ { 0 } ^ { p } \, p ^ { ( m ) } ( x _ { 0 } | \mathbf { x } _ { - } ) \, d x _ { 0 } \, d \mu _ { p } ^ { ( m ) } ( \mathbf { x } _ { - } ) .