harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \\ { x _ { 1 } } & { \cdots } & { x _ { q ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { z _ { 1 } } & { \cdots } & { z _ { q ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { x _ { 1 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { x _ { q ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { z _ { 1 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { z _ { q ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { x _ { 1 } z _ { 1 } } & { \cdots } & { x _ { q ^ { 2 } } z _ { q ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { P ( x _ { 1 } , 1 , z _ { 1 } ) } & { \cdots } & { P ( x _ { q ^ { 2 } } , 1 , z _ { q ^ { 2 } } ) } & { a _ { 0 } } \end{array} \right) , } & & { P ( X , Y , Z ) = X ^ { 3 } + a _ { 2 } X ^ { 2 } Z + a _ { 1 } X Z ^ { 2 } + a _ { 0 } Z ^ { 3 } . } \end{array}
{ \cal S } _ { 0 } ^ { \theta } + { \cal S } _ { 0 } ^ { \theta ^ { 2 } } | _ { \Sigma } = { \frac { i } { 2 l _ { 1 1 } ^ { 3 } } } \int _ { \Sigma } \sqrt { h _ { i j } } { \bar { \Psi } } _ { M } V _ { M } d ^ { 3 } s ,
\begin{array} { r l } { F ( y , z ) = \frac { 1 } { 2 } y - \frac { 2 } { \pi } \sum _ { m \geq 0 } } & { { } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { 2 m + 1 } \left[ \cos \left( \frac { ( 2 m + 1 ) \pi a z } { h } \right) \frac { \sinh \left( \sqrt { \lambda _ { 2 } } y \right) } { \sqrt { \lambda _ { 2 } } \cosh \left( \frac { \sqrt { \lambda _ { 2 } } \ell } { 2 a } \right) } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B _ { q } ^ { p } \rangle } & { = \sqrt { \frac { B _ { q - 1 } ^ { p - 1 } } { B _ { q } ^ { p } } } \: \eta _ { M - p + 1 } ^ { N - q + 1 } \: | B _ { q - 1 } ^ { p - 1 } \rangle | 1 \rangle } \\ & { + \sqrt { \frac { B _ { q } ^ { p - 1 } } { B _ { q } ^ { p } } } \: | B _ { q } ^ { p - 1 } \rangle | 0 \rangle } \end{array}
\tau _ { D L } = \frac { 4 V _ { s } \Delta } { I _ { R F } c o s \theta \frac { d R } { d \theta } } \frac { 1 + \frac { \mu _ { 0 } M _ { e f f } } { 2 B _ { r e s } } } { ( \frac { 1 + \mu _ { 0 } M _ { e f f } } { B _ { r e s } } ) ^ { 1 / 2 } }
\begin{array} { r l } & { \delta _ { b < c } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ } b < c } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } b > c } \end{array} \right. } \\ & { \delta _ { i _ { b } i _ { c } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ } i _ { b } = i _ { c } \in I } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ a _ { { k _ { y } } , \vec { k } } , a _ { { k _ { y } ^ { \prime } } , \vec { k ^ { \prime } } } ^ { \dagger } \right] = \delta _ { { k _ { y } } , { k _ { y } ^ { \prime } } } ( 2 \pi ) ^ { 3 } { \delta } ^ { 3 } ( \vec { k } - \vec { k ^ { \prime } } ) .
\begin{array} { r l } { { \bf U } } & { = { \bf g } ( { x } ) \chi ( - t ) + { \bf u } ( t , { x } ) \chi ( t ) \left[ \chi ( x - X _ { 1 } ) - \chi ( x - X _ { 2 } ) \right] } \\ & { + \left[ { \bf f _ { 1 } } ( t ) \chi ( X _ { 1 } - x ) + { \bf f _ { 2 } } ( t ) \chi ( x - X _ { 2 } ) \right] \chi ( t ) , } \\ & { { \mathrm { f o r ~ t h e ~ d o m a i n ~ } } t \in ( - \infty , T ] , \quad x \in ( - \infty , \infty ) . } \end{array}
( \mathcal { A } _ { 0 } \times \mathcal { A } _ { 1 } ) ^ { o p } \times ( \mathcal { B } _ { 0 } \times \mathcal { B } _ { 1 } ) \xrightarrow { \cong } ( \mathcal { A } _ { 0 } ^ { o p } \times \mathcal { B } _ { 0 } ) \times ( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { o p } \times \mathcal { B } _ { 1 } ) \xrightarrow { F \times G } { \boldsymbol { \mathrm { V e c t } } } \times { \boldsymbol { \mathrm { V e c t } } } \xrightarrow { - \otimes _ { \boldsymbol { \mathrm { V e c t } } } - } { \boldsymbol { \mathrm { V e c t } } } ;
\begin{array} { r l } & { \operatorname { c o v } _ { \lambda } ( A _ { 1 } , B _ { 1 } ) + \operatorname { c o v } _ { \lambda } ( A _ { 1 } , B _ { 2 } ) + \operatorname { c o v } _ { \lambda } ( A _ { 1 } , B _ { 3 } ) } \\ { + } & { \operatorname { c o v } _ { \lambda } ( A _ { 2 } , B _ { 1 } ) + \operatorname { c o v } _ { \lambda } ( A _ { 2 } , B _ { 2 } ) - \operatorname { c o v } _ { \lambda } ( A _ { 2 } , B _ { 3 } ) } \\ { + } & { \operatorname { c o v } _ { \lambda } ( A _ { 3 } , B _ { 1 } ) - \operatorname { c o v } _ { \lambda } ( A _ { 3 } , B _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \mathrm { T r } \big [ P _ { i } ^ { 0 } \Lambda _ { i } ^ { \dagger } \Lambda _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \mathrm { T r } \big [ P _ { i } ^ { 0 } \Lambda _ { i } ^ { \dagger } \Lambda _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \tilde { F } _ { i a } ^ { \dagger } \tilde { F } _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \mathrm { T r } \big [ P _ { i } ^ { 0 } \Lambda _ { i } ^ { \dagger } \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ F _ { i \alpha } ^ { \dagger } , F _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \Lambda _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } f _ { i a } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \mathrm { T r } \big [ P _ { i } ^ { 0 } \Lambda _ { i } ^ { \dagger } F _ { i \alpha } ^ { \dagger } \Lambda _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \tilde { F } _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \arctan ( x ) = } \\ & { \enspace \quad i \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 M ) ^ { 2 n + 1 } ( 2 n + 1 ) } \left[ \frac { 1 } { ( x \frac { { m - 1 / 2 } } { M } + i ) ^ { 2 n + 1 } } - \frac { 1 } { ( x \frac { m - 1 / 2 } { M } - i ) ^ { 2 n + 1 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { I m \left( \frac { 1 } { \epsilon _ { A - } } \right) \simeq \pi \delta ( \epsilon _ { A - } ) \simeq \pi \left( \frac { \omega _ { - } } { \omega _ { A } } \right) ^ { 2 } \frac { \delta ( z _ { s } ^ { 2 } - z _ { - } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { - s } } . } \end{array}
\left( \left( \prod _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } } q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { r _ { j } } , n \right) - \mathrm { Z C C S } _ { \prod _ { j = 1 } ^ { b } q _ { j } ^ { r _ { j } } } ^ { n \left( \prod _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } } q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \right) }
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ^ { q } [ \Omega ] } & { = \frac { e ^ { i \Omega \tau } / \sqrt { \eta } + \sqrt { \eta } } { 1 + e ^ { i \Omega \tau } } = H _ { 0 } [ \Omega ] } \\ { H _ { \mathrm { G } } ^ { q } [ \Omega ] } & { = \frac { \sqrt { 1 / \eta - e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } } \, \sqrt { 1 - \eta } } { 1 + e ^ { i \Omega \tau } } = \sqrt { \frac { 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } } { 1 - \eta } } H _ { \mathrm { G } } [ \Omega ] } \\ { H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] } & { = \frac { e ^ { i \Omega \tau } / \sqrt { \eta } + e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } \sqrt { \eta } } { e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } + e ^ { i \Omega \tau } } } \\ { H _ { \mathrm { G } } ^ { p } [ \Omega ] } & { = \frac { \sqrt { 1 / \eta - e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } } \, \sqrt { 1 - \eta } } { e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } + e ^ { i \Omega \tau } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \partial _ { t } \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) - \nu \Delta \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) + \mathcal { U } ^ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) ] } \\ & { = \partial _ { t } { U } _ { i } ( x , t ) - \nu \Delta { U } _ { i } ( x , t ) + { U } ^ { j } ( x , t ) \nabla _ { j } { U } _ { i } ( x , t ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { F } } & { { } = } & { ( 6 a ^ { 2 } - 2 \alpha ^ { 2 } ) \alpha , ~ ~ ~ ~ \mathcal { I } = - a ^ { 2 } \alpha ( 4 + c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } ) + \alpha ^ { 3 } } \\ { \mathcal { J } } & { { } = } & { - \alpha ( a ^ { 2 } ( - 2 + c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } ) + \alpha ^ { 2 } ) , } \end{array}
\Psi _ { i } = \left( \begin{array} { l } { { \psi _ { + , i } } } \\ { { \bar { \psi } _ { i , - } } } \end{array} \right) , \qquad \qquad \overline { { { \Psi } } } _ { i } = \left( \psi _ { - , i } , \bar { \psi } _ { + , i } \right) \quad .
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta } _ { 1 } } & { { } = } & { I _ { 1 } , } \\ { \dot { \theta } _ { 2 } } & { { } = } & { I _ { 2 } , } \\ { \dot { I } _ { 1 } } & { { } = } & { - \frac { K _ { \mathrm { C } } } { 2 } \left[ \sin \left( \theta _ { 1 } - 3 \theta _ { 2 } \right) + 3 \sin \left( 3 \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right] , } \\ { \dot { I } _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { K _ { \mathrm { C } } } { 2 } \left[ 3 \sin \left( \theta _ { 1 } - 3 \theta _ { 2 } \right) + \sin \left( 3 \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } & { = | \operatorname* { d e t } J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) | ^ { - 1 } \rho _ { 0 } ( \vec { x } _ { 0 } , \omega ) . } \\ { \frac { d ^ { 2 } \vec { x } _ { z } } { d z ^ { 2 } } } & { = - \left( \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) \cdot \nabla _ { X _ { z } } \right) \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) + \nabla _ { X _ { z } } g ( \vec { x } _ { z } ) + \frac { 1 } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } } \nabla _ { X _ { z } } \left( \frac { \nabla _ { X _ { z } } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } { \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } \right) } \\ { \frac { d \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } { d z } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } \overline { { \rho } } _ { d } ( p ) } \\ & { = } & { \frac { 2 t } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q \tilde { G } _ { 0 } ( q ) \mathrm { s i n c } [ \frac { v t q } { \hbar } ] \{ \overline { { \rho } } _ { d } ( p - q ) - \overline { { \rho } } _ { d } ( p ) \} } \\ & { } & { - \sum _ { j = 1 , 2 } \frac { t C _ { 0 } ( 1 - \delta _ { a b } ) } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { s i n c } [ \frac { v t ( p - p _ { j } ) } { \hbar } ] \overline { { \rho } } _ { d } ( p ) } \\ & { } & { + \sum _ { j = 1 , 2 } \frac { 4 t } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { s i n c } [ \frac { v t ( p - p _ { j } ) } { \hbar } ] \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q \tilde { G } _ { 1 } ( q ) \overline { { \rho } } _ { f } ( p - q ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | W _ { i } | } & { = \int _ { y _ { 0 } } ^ { y _ { 1 } } \sqrt { \left( \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } y } \right) ^ { 2 } } \, \mathrm { d } y } \\ & { \leq ( y _ { 1 } - y _ { 0 } ) \operatorname* { s u p } _ { y _ { 0 } \leq y \leq y _ { 1 } } \sqrt { 1 + \left( \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } y } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \leq ( y _ { 1 } - y _ { 0 } ) \sqrt { 1 + \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { { \boldsymbol \phi } \in \Phi } \quad } & { f ( { \boldsymbol \phi } , \mathbf w \mid \mathbf x , \mathbf y ) } \\ { \operatorname* { m i n } _ { { \boldsymbol \phi } \in \Phi } \quad } & { g ( { \boldsymbol \phi } ) ~ ~ \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } ~ ~ f ( \mathbf w , { \boldsymbol \phi } \mid \mathbf x , \mathbf y ) \geq f ( \mathbf w _ { 0 } , { \boldsymbol \phi } _ { 0 } \mid \mathbf x , \mathbf y ) } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) } { \partial t } = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right) \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) \equiv h \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t )
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } _ { \omega } } } & { \sum _ { \ell \geq | m | } \int _ { \mathbb { R } _ { r _ { * } } } \Re ( ( g _ { 1 } + i \omega g _ { 2 } + i \widetilde { \omega } g _ { 3 } ) u \cdot \overline { { u } } ) + g _ { 4 } | u ^ { \prime } | ^ { 2 } \, d r _ { * } d \omega = \int _ { \mathcal { R } } g _ { 1 } | \uppsi _ { m } | ^ { 2 } + g _ { 2 } \Re ( T \uppsi _ { m } \cdot \uppsi _ { m } ) } \\ & { \: + g _ { 3 } \Re ( K \uppsi _ { m } \cdot \uppsi _ { m } ) + g _ { 4 } | { \mathfrak { X } } _ { * } \uppsi _ { m } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d t , } \\ { \int _ { \mathbb { R } _ { \omega } } } & { \sum _ { \ell \geq | m | } \int _ { \mathbb { R } _ { r _ { * } } } w ( r ) | H | ^ { 2 } \, d r _ { * } = \int _ { \mathcal { R } } ( r ^ { 2 } + 1 ) ^ { - 2 } w ( r ) \Delta | \rho ^ { 2 } F _ { m } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d t } \end{array}
{ \frac { 4 } { \pi } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } } \right) ^ { \! r + 1 } = { \frac { 4 } { \pi } } \left( { \frac { ( - 1 ) ^ { 0 ( r + 1 ) } } { 1 ^ { r } } } + { \frac { ( - 1 ) ^ { 1 ( r + 1 ) } } { 3 ^ { r } } } + { \frac { ( - 1 ) ^ { 2 ( r + 1 ) } } { 5 ^ { r } } } + { \frac { ( - 1 ) ^ { 3 ( r + 1 ) } } { 7 ^ { r } } } + \cdots \right)
\mathcal { L } _ { \mathrm { e f f } } [ x _ { 1 } ( t ) , x _ { 2 } ( t ) ] = \frac { 1 } { 2 } \dot { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \hat { \hat { K } } } { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \dot { x } _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \hat { \hat { K } } } { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } - K U ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } ) ,
\frac { \mu _ { \ell } } { T _ { 0 } } = \ell \left\{ \begin{array} { l l } { \iota _ { \beta } \Phi - \varphi - \mathrm { d } \varphi _ { \ell } , } & { \quad \mathrm { f o r ~ } q > 1 , } \\ { \iota _ { \beta } \Phi - \varphi + \mu _ { 0 } ^ { \ell } / T _ { 0 } } & { \quad \mathrm { f o r ~ } q = 1 , } \\ { \varnothing } & { \quad \mathrm { f o r ~ } q = 0 , } \end{array} \right.
\beta = \frac { 1 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \xi \; \xi ^ { 2 } \phi _ { \sigma } ^ { 2 } \left( \xi \right) \, , \quad \phi _ { \sigma } \left( \xi \right) = \mathrm { e } ^ { - 2 \sigma \xi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \; \mathrm { e } ^ { - 2 \xi s } \, { \cal V } _ { \sigma } \left( \eta , \zeta , s \right)
\omega _ { p } = 2 \pi f _ { p } , \; \; \; \; f _ { p } = \sqrt { \frac { n _ { e } e ^ { 2 } } { \pi m _ { e } } } = 8 . 9 7 9 ~ [ \mathrm { k H z } ] \times \left( \frac { n _ { e } } { 1 ~ [ \mathrm { c m } ^ { 3 } ] } \right) ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { I , * } = \hat { \psi } _ { \alpha } ^ { I I , * } = } & { { } ~ \frac { 1 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } W ( \phi _ { \alpha } ) + \frac { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } \| \nabla \phi _ { \alpha } \| ^ { 2 } , } \\ { \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { I I , * } = } & { { } ~ \frac { 2 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } K ( \phi _ { \alpha } ) + \frac { 2 \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } \phi _ { \alpha } \| \nabla \phi _ { \alpha } \| ^ { 2 } , } \end{array}
B = \frac { 1 + i \tau } { 1 - i \tau } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \tilde { G } _ { ( 3 ) } = i \left( \frac { 1 + i \tau ^ { * } } { 1 - i \tau } \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { \phi / 2 } G _ { 3 }
\Gamma _ { 3 } ^ { [ r , \, 0 ) } \, ( \{ k _ { i } ^ { 2 } \} ; \, \Lambda ^ { 2 } ) \, = \, \frac { N _ { 3 } ^ { [ r ] } \, ( \{ k _ { i } ^ { 2 } \} ; \, \Lambda ^ { 2 } ) } { \Delta _ { 3 } ^ { [ r ] } \, ( k _ { 1 } ^ { 2 } ; \, \Lambda ^ { 2 } ) \, \Delta _ { 3 } ^ { [ r ] } \, ( k _ { 2 } ^ { 2 } ; \, \Lambda ^ { 2 } ) \, \Delta _ { 3 } ^ { [ r ] } \, ( k _ { 3 } ^ { 2 } ; \, \Lambda ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { G ( x , L ) = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \gamma _ { k } ( x ) L ^ { k } = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \gamma _ { k } ( x ) \partial _ { \rho } ^ { k } \left( \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) ^ { \rho } \Big | _ { \rho = 0 } = G ( x , \partial _ { \rho } ) \left( \frac { q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) ^ { \rho } \Big | _ { \rho = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ~ R _ { \alpha } = } & { { } } & { - \frac { ( 1 - \rho ) \Omega _ { E } } { \omega _ { L , 1 3 1 } } \left\{ \sin \theta _ { L } \cos \alpha \sin \psi \cos \beta + \cos \theta _ { L } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { I + N } } } & { = \left\| \mathbf { H } ^ { H } \mathbf { w } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } P _ { x } + \sigma ^ { 2 } , } \\ & { = \mathbf { w } ^ { H } \left( P _ { x } \mathbf { H } \mathbf { H } ^ { H } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { I } \right) \mathbf { w } , } \\ & { = \mathbf { w } ^ { H } \mathbf { A } \mathbf { w } , } \end{array}
\frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } = \left( \frac { 2 } { 3 } \frac { P _ { \mathrm { v } } - P _ { \mathrm { l } } } { \rho _ { \mathrm { l } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \kappa _ { D } , w \right) = } & { { } \frac { \kappa _ { D } w } { ( 2 \mu + ( \kappa _ { D } w ) ) ^ { 2 } } \bigg ( ( \mu - 1 ) \left[ ( \kappa _ { D } w ) ( \mu - 1 ) - \mu \right] \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \mu ( ( \kappa _ { D } w ) + 1 ) ( \mu - 1 ) \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \mu \nu } } & { = ( \epsilon + P ^ { \prime } ) u ^ { \mu } u ^ { \nu } + P ^ { \prime } \, g ^ { \mu \nu } - r ^ { \mu \nu } } \\ & { \qquad - 2 c _ { \phi } ( - ) ^ { p } { * \big ( \mu \wedge \tilde { \mu } - ( - ) ^ { q } \mu _ { \ell } \wedge \tilde { \mu } _ { \psi } \big ) } ^ { ( \mu } u ^ { \nu ) } + { \cal T } ^ { \mu \nu } , } \\ { J } & { = u \wedge n - \tilde { c } _ { \phi } \, { * \tilde { \mu } } + { \cal J } , } \\ { \tilde { J } } & { = u \wedge \tilde { n } - c _ { \phi } \, { * \mu } + { \cal \tilde { J } } , } \\ { L } & { = u \wedge n _ { \ell } + ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } { * \tilde { \mu } _ { \psi } } + { \cal L } , } \\ { \tilde { J } _ { \psi } } & { = u \wedge \tilde { n } _ { \psi } - ( - ) ^ { q } c _ { \phi } { * \mu _ { \ell } } + \tilde { \cal J } _ { \psi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { \le \left( \left( \frac { 1 } { 1 - 8 \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \exp \left( \frac { 2 \theta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } t | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 1 - 8 \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t } \right) \right) ^ { 1 / 2 } \mathbb { P } \left( | Z | ^ { 2 } \ge K \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le \exp \left( - \frac { d } { 4 } \log \left( 1 - 8 \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t \right) + \frac { 2 \theta ^ { 2 } t \sigma ^ { 2 } | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 1 - 8 \theta \bar { c } t \sigma ^ { 2 } } \right) \mathbb { P } \left( | Z | ^ { 2 } \ge K \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\langle \phi _ { 2 } | \phi _ { 1 } \rangle _ { J } ^ { \dagger } = \langle \phi _ { 1 } | \phi _ { 2 } \rangle _ { J } = \langle \phi _ { 1 } | T ^ { \dagger } e ^ { - i J \phi } | \phi _ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } { U _ { \pm } ^ { I } } & { { } = \frac { \mu \epsilon ^ { \prime } } { 2 } + \frac { \mu \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + \frac { 1 } { 2 } ( I _ { + } ^ { 2 } + I _ { - } ^ { 2 } ) + \frac { \mu ^ { 2 } \Sigma ^ { 2 } } { 8 \omega ^ { 2 } } \pm \frac { \mu \Sigma I _ { + } } { 2 \omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { { } = } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \omega - ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } - \frac { 1 } { \omega + ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } \right] } \\ { \beta } & { { } = } & { \frac { 1 } { 6 \hbar } \sum _ { n ^ { \prime } } { | \langle n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \omega - ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } + \frac { 1 } { \omega + ( \omega _ { n ^ { \prime } P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle w _ { t } , G _ { t } \rangle = \int _ { 0 } ^ { t } \langle w _ { s } ( u ) , \partial _ { s } G _ { s } \rangle \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \langle \partial _ { u } \left( ( \rho _ { s } ^ { ( 1 ) } ) ^ { m } - ( \rho _ { s } ^ { ( 2 ) } ) ^ { m } \right) , \partial _ { u } G _ { s } \rangle \mathrm { d } s . } \end{array}
\omega ^ { 2 } ( k _ { \perp } ) \approx \omega _ { \mathrm { ~ U ~ H ~ } } ^ { 2 } + 3 \, \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { 2 } \, k _ { \perp } ^ { 2 } r _ { \mathrm { ~ L ~ } } ^ { 2 } / ( 1 - 3 \beta ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \varphi ( x ^ { k + 1 } ) } & { \le \varphi _ { \gamma _ { k } } ( w ^ { k } ) - \frac { \beta \gamma _ { k } } { 2 } \| R _ { \gamma _ { k } } ( w ^ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \le \varphi _ { \gamma _ { k } } ( x ^ { k } ) - \frac { \beta \gamma _ { k } } { 2 } \| R _ { \gamma _ { k } } ( w ^ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \le \varphi ( x ^ { k } ) - \frac { \beta \gamma _ { k } } { 2 } \| R _ { \gamma _ { k } } ( w ^ { k } ) \| ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { k } - M \gamma _ { k } ^ { 2 } } { 2 } \| R _ { \gamma _ { k } } ( x ^ { k } ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
+ \frac { c \hat { \textbf { b } } } { e { B } _ { \parallel } ^ { * } } \times \left( \mu _ { g y } \nabla _ { g y } B ( \textbf { X } _ { g y } ) + \varepsilon _ { \delta } e \nabla \left\langle \phi _ { 1 } \right\rangle - \varepsilon _ { \delta } \frac { e } { c } v _ { g y , \parallel } \left\langle \nabla { A } _ { 1 \parallel } \right\rangle \right) \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F \,
\left( { \frac { 1 7 } { 9 1 } } , { \frac { 7 8 } { 8 5 } } , { \frac { 1 9 } { 5 1 } } , { \frac { 2 3 } { 3 8 } } , { \frac { 2 9 } { 3 3 } } , { \frac { 7 7 } { 2 9 } } , { \frac { 9 5 } { 2 3 } } , { \frac { 7 7 } { 1 9 } } , { \frac { 1 } { 1 7 } } , { \frac { 1 1 } { 1 3 } } , { \frac { 1 3 } { 1 1 } } , { \frac { 1 5 } { 1 4 } } , { \frac { 1 5 } { 2 } } , { \frac { 5 5 } { 1 } } \right)
\begin{array} { r l r } { M _ { k } ( k ) } & { { } = } & { \frac { k ^ { 2 } } { 2 \pi } \int r ^ { 2 } \sin { ( \theta ) } M _ { i i } ( r ) e ^ { i k r \cos { ( \theta ) } } ~ \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \dot { P } _ { x } = \left( \Gamma _ { \mathrm { F B } } P _ { 0 } - \frac { 1 } { T _ { 2 } } \right) P _ { x } + \omega _ { 0 } P _ { y } , } \\ { \dot { P } _ { y } = - \omega _ { 0 } P _ { x } - \frac { 1 } { T _ { 2 } } P _ { y } , } \end{array} \right.
j \big ( \lceil \mathbf x \rfloor \mathbf y \big ) \mathbf z = \operatorname { a d } _ { j ( \mathbf x ) } \big ( j ( \mathbf y ) \big ) \mathbf z = \big ( j ( \mathbf x ) j ( \mathbf y ) - j ( \mathbf y ) j ( \mathbf x ) \big ) \mathbf z = \big ( \widetilde { \mathbf x } \, \widetilde { \mathbf y } - \widetilde { \mathbf y } \, \widetilde { \mathbf x } \big ) \mathbf z = j ( \widetilde { \mathbf x } \mathbf y ) \mathbf z
\begin{array} { r l } { L } & { { } = \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ n ~ s ~ } } } \operatorname* { P r } ( n _ { i } \Bigg | \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } } w _ { 0 } ( T _ { j } ) \mathbb { I } _ { i } ( R _ { j } ) ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \theta _ { P } ( \omega ) = \frac { \omega / c } { 2 \Delta L _ { D } } \left[ ( n _ { 2 } ( \omega ) \big ( x _ { 2 } ^ { 2 } - z _ { 2 } ^ { 2 } \big ) - n _ { 1 } ( \omega ) \big ( x _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 1 } ^ { 2 } \big ) \right] \, , } \end{array}