harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \vec { \Omega } _ { N _ { s } } = } & { { } \vec { \Omega } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } ( \vec { \theta } _ { i } + \vec { \varphi } _ { i } ) + O ( \Delta t ^ { 5 / 2 } ) } \\ { = } & { { } \vec { \Omega } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \vec { \theta } _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \vec { \varphi } _ { i } + O ( \Delta t ^ { 5 / 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] \} } \textrm { d } x } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \beta ( \tau ^ { + } , n ^ { + } ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) \textrm { d } n ^ { + } \textrm { d } \tau ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \, \mathrm { d } M _ { t } = \frac { \mathrm { V a r } [ X _ { 1 } \| X _ { 0 } , I _ { t } ^ { ( 1 ) } ] } { H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) } } \\ & { \times \left( \left( \frac { Z _ { t } ( H _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) ) - M _ { t } ( H _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) ) } { H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) } - J _ { t } \right) \, \mathrm { d } t + \, \mathrm { d } I _ { t } ^ { ( 1 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathbf { E } ^ { x } ) _ { i \alpha } = \int _ { \P } \varphi _ { i , x } m _ { \alpha } \, d \mathbf { x } , \quad \quad ( \mathbf { E } ^ { y } ) _ { i \alpha } = \int _ { \P } \varphi _ { i , y } m _ { \alpha } \, d \mathbf { x } , \quad \quad \alpha = 1 , . . . , n _ { k - 1 } . } \end{array}
X _ { p + 1 , q + 1 } = \frac { 1 } { m n } \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } e ^ { 2 \pi i j p / m } e ^ { 2 \pi i k q / n } Y _ { j + 1 , k + 1 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { c } _ { i } = \{ } & { { } ( 0 , - 1 , - 1 ) , ( - 1 , 0 , - 1 ) , ( 0 , 0 , - 1 ) , ( 1 , 0 , - 1 ) , ( 0 , 1 , - 1 ) , ( - 1 , - 1 , 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F = } & { \frac { 1 } { 2 } \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( \vec { q } \cdot \nu ) \overline { { u } } _ { \Gamma } g _ { \Gamma } \, d \sigma d t - \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } g \left( \vec { q } \cdot \nabla \overline { { u } } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d i v } ( \vec { q } ) \overline { { u } } \right) \, d x d t } \\ & { - \Im \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } g _ { \Gamma } \left( \vec { q } \cdot \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d i v } ( \vec { q } ) \overline { { u } } _ { \Gamma } \right) \, d \sigma d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \tilde { C } _ { 1 1 } } & & { = 2 y ^ { 2 } z ^ { 2 } \big ( 1 1 5 2 0 0 x y ^ { 3 } z ^ { 6 } - 8 2 9 4 4 x y ^ { 2 } z ^ { 6 } + 9 6 0 0 x y ^ { 3 } z ^ { 5 } - 2 7 6 4 8 x y ^ { 2 } z ^ { 5 } - 9 7 6 x y ^ { 2 } z ^ { 4 } } \\ & { } & & { + 8 8 x y ^ { 2 } z ^ { 3 } - 9 x y ^ { 2 } z ^ { 2 } - 1 0 3 6 8 0 y ^ { 3 } z ^ { 6 } + 1 0 3 6 8 0 y ^ { 2 } z ^ { 6 } + 2 5 9 2 0 y ^ { 2 } z ^ { 5 } - 3 4 5 6 y ^ { 2 } z ^ { 4 } } \\ & { } & & { - 4 8 y ^ { 2 } z ^ { 3 } + 3 4 5 6 y z ^ { 4 } + 9 1 2 y z ^ { 3 } + 1 2 y z ^ { 2 } + 4 y z - 4 z - 1 \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { V ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { Y _ { 1 u u } + Y _ { 0 } ^ { \mathrm { T M } } } & { Y _ { 1 u v } } \\ { Y _ { 1 v u } } & { Y _ { 1 v v } + Y _ { 0 } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a _ { 3 } ^ { \dagger } - a _ { 4 } ^ { \dagger } ) } & { { } \xrightarrow { M , \Phi } - e ^ { i \phi _ { 1 } } a _ { 3 } ^ { \dagger } + e ^ { i \phi _ { 2 } } a _ { 4 } ^ { \dagger } } \end{array}
{ \mathcal { L } } = - { \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } } \operatorname { T r } [ F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } ] + { \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } } \operatorname { T r } [ B B ] - { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } \operatorname { T r } [ B G ] - { \frac { \xi } { g ^ { 2 } } } \operatorname { T r } [ \partial ^ { \mu } b D _ { \mu } c ]
\mathrm { C _ { x y } = \frac { \displaystyle \int _ { f _ { 1 } } ^ { f _ { 2 } } \log _ { 1 0 } ( < y ( f ) _ { n o r m } ^ { a s d } > ) \cdot \frac { | P _ { x y } ( f ) | ^ { 2 } } { P _ { x x } ( f ) \, P _ { y y } ( f ) } } { \displaystyle \int _ { f _ { 1 } } ^ { f _ { 2 } } \log _ { 1 0 } ( < y ( f ) _ { n o r m } ^ { a s d } > ) } . }
A _ { n } = \left( \begin{array} { l l l l } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \phi _ { n , 1 } ^ { \prime \prime } \phi _ { n , 1 } d t \quad } & { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \phi _ { n , 2 } ^ { \prime \prime } \phi _ { n , 1 } d t \quad } & { \cdots \quad } & { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \phi _ { n , r _ { n } + 1 } ^ { \prime \prime } \phi _ { n , 1 } d t } \\ { \vdots \quad } & { \vdots \quad } & { \vdots \quad } & { \vdots } \\ { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \phi _ { n , 1 } ^ { \prime \prime } \phi _ { n , r _ { n } - 1 } d t \quad } & { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \phi _ { n , 2 } ^ { \prime \prime } \phi _ { n , r _ { n } - 1 } d t \quad } & { \cdots \quad } & { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \phi _ { n , r _ { n } + 1 } ^ { \prime \prime } \phi _ { n , r _ { n } - 1 } d t } \\ { \phi _ { n , 1 } ( t _ { n - 1 } ) \quad } & { \phi _ { n , 2 } ( t _ { n - 1 } ) \quad } & { \cdots \quad } & { \phi _ { n , r _ { n } + 1 } ( t _ { n - 1 } ) } \\ { \phi _ { n , 1 } ^ { \prime } ( t _ { n - 1 } ) \quad } & { \phi _ { n , 2 } ^ { \prime } ( t _ { n - 1 } ) \quad } & { \cdots \quad } & { \phi _ { n , r _ { n } + 1 } ^ { \prime } ( t _ { n - 1 } ) } \end{array} \right)
| \! | \hat { \boldsymbol { \beta } } - \boldsymbol { \beta } | \! | _ { 2 } \leq \frac { 8 1 ( 8 4 A e ) ^ { \frac 1 2 } L L _ { 0 } \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } C _ { \sharp } ^ { \frac 3 2 } ( 1 + \epsilon ^ { - 2 } + \epsilon ^ { - 4 } ) } { \zeta \alpha \epsilon ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \log \left( \frac { M L } { \delta } \right) } D }
G _ { \mathrm { f r e e } } ( { \bf r } , 0 , M ) = \int \frac { d ^ { 2 } { \bf k } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { e ^ { i { \bf k r } } } { k ^ { 2 } / ( 2 m ) + M } = \frac { m } { \pi } K _ { 0 } ( \sqrt { 2 m M } \; | { \bf r } | ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { \pi _ { 1 } ( m ) , \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { ( l ) } = ~ } & { \mathrm { M L P } _ { 7 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { e } _ { \pi _ { 1 } ( m ) , \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { ( l - 1 ) } , \mathrm { A G G } _ { \mathrm { E } } ^ { ( l ) } \Big \{ \right. } \\ & { \mathrm { M L P } _ { 5 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { e } _ { \pi _ { 1 } ( m ) , k _ { 1 } } ^ { ( l - 1 ) } , \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , \pi _ { 1 } ( m ) } ^ { ( l - 1 ) } \right) , } \\ & { \mathrm { M L P } _ { 6 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { e } _ { m _ { 1 } , \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { ( l - 1 ) } , \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { ( l - 1 ) } \right) } \\ & { \left. \Big \} _ { k _ { 1 } \in \mathcal { N } _ { \pi _ { 1 } ( m ) } ^ { \mathrm { B S } } \setminus \left\{ \pi _ { 2 } ( k ) \right\} , m _ { 1 } \in \mathcal { N } _ { \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { \mathrm { U E } } \setminus \left\{ \pi _ { 1 } ( m ) \right\} } \right) , } \\ & { ~ \forall ( m , k ) \in \mathcal { E } . } \end{array}
\operatorname { t a n h } ( z ) = { \frac { z \, _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { z ^ { 2 } } { 4 } } ) } { \, _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { z ^ { 2 } } { 4 } } ) } } = { \cfrac { z / 2 } { { \frac { 1 } { 2 } } + { \cfrac { \frac { z ^ { 2 } } { 4 } } { { \frac { 3 } { 2 } } + { \cfrac { \frac { z ^ { 2 } } { 4 } } { { \frac { 5 } { 2 } } + { \cfrac { \frac { z ^ { 2 } } { 4 } } { { \frac { 7 } { 2 } } + \ddots } } } } } } } } = { \cfrac { z } { 1 + { \cfrac { z ^ { 2 } } { 3 + { \cfrac { z ^ { 2 } } { 5 + { \cfrac { z ^ { 2 } } { 7 + \ddots } } } } } } } } .
\begin{array} { r l } { x _ { S } ( t ) } & { = C \lambda _ { \perp } \cos \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \cos ( \omega _ { \perp } t ) , } \\ { y _ { S } ( t ) } & { = - C \lambda _ { \perp } \sin \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \cos ( \omega _ { \perp } t ) , } \\ { z _ { S } ( t ) } & { = C \lambda _ { z } \cos ( \omega _ { z } t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \hat { \Psi } _ { i } ^ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \Psi _ { i } \left( \lfloor n t \rfloor \right) - q _ { i } n t \right) , } & & { \quad t \ge 0 , \quad i = 1 , \dots , I , } \\ { \hat { N } _ { j } ^ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( N _ { j } ( n t ) - n t \right) , } & & { \quad t \ge 0 , \quad j = 0 , 1 , \dots , J , } \end{array}
\psi ( x _ { i } , \vec { k } _ { \perp } { } _ { i } ) = A \exp ( - b { \cal M } ^ { 2 } ) = \exp - \left( b \sum _ { i } ^ { n } { \frac { k _ { \perp i } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } } { x _ { i } } } \right) \ .
\alpha _ { a b } ^ { - i } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \delta _ { a } ^ { i } \delta _ { b } ^ { 0 } - \delta _ { b } ^ { i } \delta _ { a } ^ { 0 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { i a b } .
R ( t ) = \frac { t } { \mathcal { H } _ { 1 } t ^ { \frac { 3 u _ { 1 } - 2 } { \kappa } } + \frac { 3 u _ { 2 } } { 2 - 3 u _ { 1 } } } , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \kappa = \frac { 6 } { 7 } .
\begin{array} { r l r } { \int _ { T _ { j k } } ( x - x _ { T } ) ^ { 2 } d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( x _ { i } - x _ { T } ) ^ { 2 } | { \bf n } _ { T } | , } & { { } } & { \int _ { T _ { j k } } ( x - x _ { T } ) ( y - y _ { T } ) d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( x _ { i } - x _ { T } ) ( y _ { i } - y _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | , } \\ { \int _ { T _ { j k } } ( y - y _ { T } ) ^ { 2 } d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( y _ { i } - y _ { T } ) ^ { 2 } | { \bf n } _ { T } | , } & { { } } & { \int _ { T _ { j k } } ( y - y _ { T } ) ( z - z _ { T } ) d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( y _ { i } - y _ { T } ) ( z _ { i } - z _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | , } \\ { \int _ { T _ { j k } } ( z - z _ { T } ) ^ { 2 } d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( z _ { i } - z _ { T } ) ^ { 2 } | { \bf n } _ { T } | , } & { { } } & { \int _ { T _ { j k } } ( z - z _ { T } ) ( x - x _ { T } ) d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( z _ { i } - z _ { T } ) ( x _ { i } - x _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | , } \end{array}
V _ { ( j , m ) } ^ { ( 1 ) } ( z , \bar { z } ) = { \large [ } - \frac { j } { \alpha _ { + } } \partial \phi ( z ) \gamma ^ { ( j - m ) } - ( j - m ) \partial \gamma \gamma ^ { j - m - 1 } ( z ) { \large ] } \times c . c . \times e ^ { 2 j \phi ( z , \bar { z } ) / \alpha _ { + } }
\begin{array} { c l } { { \Xi _ { 2 } ^ { h } = } } & { { \{ ( \pm e _ { a } \pm e _ { b } \pm e _ { c } \pm e _ { d } ) / 2 : a , b , c , d \mathrm { ~ d i s t i n c t } , } } \\ { { } } & { { e _ { a } ( e _ { b } ( e _ { c } e _ { d } ) ) = \pm e _ { h } \mathrm { ~ i f ~ e x a c t l y ~ o n e ~ o f ~ } a , b , c , d = 0 \mathrm { ~ o r ~ } h , } } \\ { { } } & { { e _ { a } ( e _ { b } ( e _ { c } e _ { d } ) ) = \pm 1 \mathrm { ~ o t h e r w i s e ~ } \} . } } \end{array}
L _ { i _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( x ) = \int d ^ { 2 } y \left[ W _ { i _ { 2 } j } ^ { ( 2 ) } ( x , y ) \ddot { \varphi } ^ { j } ( y ) + \alpha _ { i _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( y ) \delta ^ { 2 } ( x - y ) \right] = 0 ,
\begin{array} { r l } { T ^ { \mu \nu } } & { = ( \epsilon + P ) u ^ { \mu } u ^ { \nu } + P \, g ^ { \mu \nu } - r ^ { \mu \nu } } \\ & { \qquad - 2 c _ { \phi } ( - ) ^ { p } { * \big ( \mu \wedge \tilde { \mu } - ( - ) ^ { q } \mu _ { \ell } \wedge \tilde { \mu } _ { \psi } \big ) } ^ { ( \mu } u ^ { \nu ) } + { \cal T } ^ { \mu \nu } , } \\ { J } & { = u \wedge n - \tilde { c } _ { \phi } \, { * \tilde { \mu } } + { \cal J } , } \\ { L } & { = u \wedge n _ { \ell } + ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } { * \tilde { \mu } _ { \psi } } + { \cal L } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { C } } ( 1 , \mathbf { c } ) } & { = \langle 1 [ \phi ] | \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { C } _ { n } - c _ { n } \bigr ) | 1 [ \phi ] \rangle } \\ & { = \sum _ { \mu , \nu } \phi _ { \mu } ^ { * } \phi _ { \nu } \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { C } _ { n } - c _ { n } \bigr ) \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 3 } = p _ { 2 4 } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } \int \! \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) } \\ { p _ { 1 4 } = p _ { 2 3 } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } \int \! \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) } \\ { p _ { 1 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } \int \! \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) } \\ { p _ { 3 4 } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } \int \! \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) } \end{array}
C ^ { 0 } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ; C ^ { 1 , \beta ^ { \prime } } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } ) ) \cap C ^ { 1 , \beta ^ { \prime } } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ; L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } ) )
\vert a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { k } \rangle \vert x \rangle \xrightarrow { \mathcal { O } _ { q } } \vert a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { k } \rangle \vert x \oplus R ( a _ { 1 } , . . . , a _ { k } ) \rangle
{ \cal Q } _ { k } = \oint _ { \partial \Sigma } d \Sigma _ { \mu \nu } \gamma ^ { \mu \nu \lambda } \delta _ { \epsilon _ { k } } \Psi _ { \mu } = \oint _ { \partial \Sigma } d \Sigma _ { \mu \nu } \gamma ^ { \mu \nu \lambda } \hat { \nabla } _ { \lambda } \epsilon _ { k } = 0 \ .
\begin{array} { c l } { \displaystyle \mathcal { H } ^ { ( 2 ) } } & { \displaystyle = \left< { \mathcal { H } ^ { ( 2 ) } } \right> _ { \theta } } \\ & { \displaystyle = \left< { \frac { \partial V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } { \partial J } \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } } \\ & { \displaystyle = \frac { 3 } { 4 } J ^ { 2 } \left( \sum _ { n = - \infty , n \neq l _ { 3 \nu _ { x } } } ^ { \infty } { 3 f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n } } + \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { f _ { 1 , 0 , n } g _ { 1 , 0 , n } } \right) } \\ & { \displaystyle = \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { - 1 } J ^ { 2 } . } \end{array}
[ { \cal D } _ { \mu } , { \cal D } _ { \nu } ] = - i \varrho _ { 3 } g _ { c } { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { ( 3 ) } - i \varrho _ { 2 } g { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { ( 2 ) } - i \varrho _ { 1 } g ^ { \prime } { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { ( 1 ) } - { \frac { i } { 4 } } \varrho _ { 0 } { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } ,
( \textbf { f } _ { i } ) _ { j } ^ { n + 1 } = \frac { 2 } { 3 } ( \textbf { f } _ { i } ) _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { j } ^ { n } - \frac { 2 } { 3 } \Delta t R ( ( \textbf { f } _ { i } ) _ { j } ^ { 2 } )
\langle E ^ { 2 } \rangle _ { i , j } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } E ^ { 2 } \cdot \rho _ { i } ( E ) \cdot f _ { j } ( E ) \cdot \mathrm { ~ d ~ } E } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho _ { i } ( E ) \cdot f _ { j } ( E ) \cdot \mathrm { ~ d ~ } E } ,
V _ { 1 ^ { 4 } A ^ { \prime } } ( r _ { a } , r _ { b } , \alpha ) = V _ { 1 ^ { 4 } A ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } ( r _ { a } , r _ { b } , \alpha ) + \lambda V _ { 1 ^ { 4 } A ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ 3 ~ - ~ b ~ o ~ d ~ y ~ } } ( r _ { a } , r _ { b } , \alpha )
\| \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } ^ { \mathrm { i n } } } \breve { \mathbf { Z } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| = | \breve { \mathbf { Z } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } | \| \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } ^ { \mathrm { i n } } } \| = | \breve { \mathbf { Z } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } | \stackrel { d } { = } | \breve { Z } |
\mathbf { H } _ { \mathrm { ~ 3 ~ D ~ } } ( \mathbf { \check { q } } , \mathbf { \overline { { q } } } ) = \left. \frac { \partial \left( \mathbf { A } _ { \mathrm { ~ 3 ~ D ~ } } \mathbf { \check { q } } \right) } { \partial \mathbf { q } } \right| _ { \mathbf { \overline { { q } } } } .
\boldsymbol \varpi \boldsymbol \varpi = - \frac { 1 } { \omega _ { p e } ^ { 2 } } \Big [ ( \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) \underline { { \mathbf I } } - \boldsymbol \Omega \boldsymbol \Omega \Big ] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { f } ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { n } , \mu _ { t } ) } & { \leq \mathcal { W } _ { f } ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { n } , \mathcal { K } _ { n } ( \delta _ { \widehat { Y } _ { t } ^ { i } } ) ) + \mathcal { W } _ { f } ( \mathcal { K } _ { n } ( \delta _ { \widehat { Y } _ { t } ^ { i } } ) , \mu _ { t } ) } \\ & { \leq \mathcal { K } _ { n } ( f ( \Delta _ { t } ^ { n } | ) ) + f ^ { \prime } ( 0 ) \mathcal { W } _ { 1 } ( \mathcal { K } _ { n } ( \delta _ { \widehat { Y } _ { t } ^ { i } } ) , \mu _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal R ( \mu , \boldsymbol { \pi } ) \leq \biggl ( } & { \frac { 2 \gamma ^ { T } } { ( 1 - \gamma ^ { T } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 1 - \gamma ^ { T } } \biggr ) \epsilon _ { r } ( \boldsymbol { \pi } ^ { * } , J _ { 1 } ) } \\ & { + \biggl ( \frac { 2 \gamma ^ { 2 T } } { ( 1 - \gamma ^ { T } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 \gamma ^ { T } } { 1 - \gamma ^ { T } } \biggr ) L _ { U } \, d ( \alpha , d _ { \mathcal { Y } } , T ) + \frac { 2 \gamma ^ { T } } { 1 - \gamma ^ { T } } \bigl \| V ^ { * } ( J _ { 1 } , \boldsymbol { \pi } ) - V \bigr \| _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( s ) ( T ^ { * } T ) ^ { N } g ( y ) } & { = \overline { { T } } ^ { * } \overline { { T } } ( g ( \cdot ) \varphi ( \cdot ) ) ( y ) } \\ & { = \varphi ( s ) \int K _ { N } ( y , y ^ { \prime } ) \varphi ( s ^ { \prime } ) g ( y ^ { \prime } ) \varphi ( s ^ { \prime } ) d s ^ { \prime } d y ^ { \prime } } \\ & { = \varphi ( s ) \int K _ { N } ( y , y ^ { \prime } ) g ( y ^ { \prime } ) d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } ( \mathbf { Y } ^ { \star } | | \mathbf { W } ) } & { = \sum _ { i j } \Big ( \mathbf { W } _ { i j } \frac { y _ { i } } { \mathbf { W } _ { i \, \cdot } } \log \frac { y _ { i } } { \mathbf { W } _ { i \, \cdot } } - \mathbf { W } _ { i j } \frac { y _ { i } } { \mathbf { W } _ { i \, \cdot } } + \mathbf { W } _ { i j } \Big ) } \\ & { = \sum _ { i } \Big ( y _ { i } \log \frac { y _ { i } } { \mathbf { W } _ { i \, \cdot } } - y _ { i } + \mathbf { W } _ { i \, \cdot } \Big ) } \\ & { = \sum _ { i } \Big ( y _ { i } \log \frac { y _ { i } } { ( x * x ) _ { i } } - y _ { i } + ( x * x ) _ { i } \Big ) } \\ & { = \mathcal { I } ( y | | x * x ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { O } _ { E _ { r } } ( \bar { \Lambda } , Z ) \overline { { \mathcal { O } _ { E _ { s } } ( \bar { \Lambda } , Z ) } } \rangle } & { = \sum _ { p } \sum _ { t = 1 } ^ { | \mathrm { C o l } ( m ) | } m ! | \mathrm { O r b } _ { \mathcal { K } } ( p ^ { \prime } ) | \mathcal { O } _ { \alpha _ { 1 } ^ { ( p ) } , \alpha _ { 2 } ^ { ( p ) } , \alpha _ { 3 } ^ { ( p ) } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) C _ { r s ^ { \prime } } ^ { t ; \mathcal { K } } \frac { 1 } { | \mathrm { O r b } _ { \mathcal { K } } ( p ^ { \prime } ) | } \delta _ { p ^ { \prime } t } } \\ & { = \sum _ { p } m ! C _ { r s ^ { \prime } } ^ { p ^ { \prime } ; \mathcal { K } } \mathcal { O } _ { \alpha _ { 1 } ^ { ( p ) } , \alpha _ { 2 } ^ { ( p ) } , \alpha _ { 3 } ^ { ( p ) } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) } \\ & { = m ! \sum _ { p } C _ { r s ^ { \prime } } ^ { p ^ { \prime } ; \mathcal { K } } \mathcal { O } _ { E _ { p } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) \, , } \end{array}
\it \nabla \cdot \bf V = \tau \left\{ 2 \frac { \partial } { \partial t } ( \nabla \cdot { \bf V } ) + \nabla \cdot ( { \bf V } \nabla ) { \bf V } + \nabla ^ { 2 } \mathrm { p - \nabla \cdot { \bf F } } \right\}
{ \mathcal { P } } _ { q } [ L ] ( { \boldsymbol { s } } ) = \sum _ { { \tilde { \boldsymbol { u } } } = - { \boldsymbol { n } } _ { \boldsymbol { u } } } ^ { { \boldsymbol { n } } _ { \boldsymbol { u } } } L ( { \boldsymbol { u } } q + { \boldsymbol { s } } , { \boldsymbol { u } } ) \Delta { \boldsymbol { u } } , \quad \Delta { \boldsymbol { u } } = \Delta u \Delta v , \quad q = \left( 1 - { \frac { 1 } { \alpha } } \right)
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { F } ( \phi , \phi ) \right| = } & { - \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } \phi ^ { i } ( x , t ) \phi _ { t } ^ { i } ( x , t ) \; d x d t + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } \beta ^ { i } ( x ) \left| { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( x , t ) \right| ^ { 2 } \; d x d t } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { a } ^ { b _ { i } } q ^ { i } ( x ) \left| \phi ^ { i } ( x , t ) \right| ^ { 2 } \; d x \, d t } \\ { \geq } & { \displaystyle \frac 1 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \phi ^ { i } ( \cdot , 0 ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b _ { i } ) } ^ { 2 } + \displaystyle \underline { { q ^ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } \left| { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( x , t ) \right| ^ { 2 } \; d x d t + \displaystyle \underline { { \beta ^ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } \left| \phi ^ { i } ( x , t ) \right| ^ { 2 } \; d x d t } \\ { \geq } & { \displaystyle \frac 1 2 \| \phi ( \cdot , 0 ) \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \displaystyle \operatorname* { m i n } \left[ \underline { { q ^ { 0 } } } , \underline { { \beta ^ { 0 } } } \right] \displaystyle \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \ensuremath { \frac { \partial v _ { L } } { \partial \rho } } - \frac { 2 u } { 3 \gamma } \ensuremath { \frac { \partial \gamma } { \partial \rho } } , \qquad c ^ { 2 } = \rho \ensuremath { \frac { \partial ^ { 2 } E _ { 0 } ( \rho ) } { \partial \rho ^ { 2 } } } , } \\ { B } & { { } = j \ensuremath { \frac { \partial ^ { 2 } v _ { L } } { \partial \rho ^ { 2 } } } - u ^ { 5 / 2 } \ensuremath { \frac { \partial ^ { 2 } \gamma } { \partial \rho ^ { 2 } } } + \frac { 5 u ^ { 5 / 2 } } { 3 \gamma } \left( \ensuremath { \frac { \partial \gamma } { \partial \rho } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T ^ { 1 } ( I ) \cdot T ^ { 1 } ( S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}