harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mu ( \vartheta _ { \varepsilon } ) } & { \leq \overline { { \mu } } \left( 1 + \overline { { \vartheta } } \right) + \overline { { \mu } } \varepsilon ^ { m } \vartheta _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \eta ( \vartheta _ { \varepsilon } ) } & { \leq \overline { { \eta } } \left( 1 + \overline { { \vartheta } } \right) + \overline { { \eta } } \varepsilon ^ { m } \vartheta _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\mathcal { L } ^ { k } ( \theta ; \mathcal { D } _ { k } ) = w \mathcal { L } _ { R } ^ { k } ( \theta _ { g } ; \mathcal { D } _ { k } ) + \mathcal { L } _ { S } ^ { k } ( \theta _ { h } , \mathcal { D } _ { k } ) + \mathcal { L } _ { C } ^ { k } ( \theta ; \mathcal { D } _ { k } ) + \mathcal { L } _ { E } ^ { k } ( \theta ; \mathcal { D } _ { k } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\Vert \nabla f _ { i } ( x _ { i , k } ) \right\Vert ^ { 2 } } & { \leq 2 L ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\Vert x _ { i , k } - \hat { x } \right\Vert ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\Vert \nabla f _ { i } ( \hat { x } ) \right\Vert ^ { 2 } , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \hat { x } , } \end{array}
\chi _ { \mathbf { A } } ( x ) = \operatorname* { d e t } ( x I - \mathbf { A } ( \mathbb { B } _ { \textbf { k } , \varphi } ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x - 1 ) ^ { \frac { \varphi } { 2 } - 2 } ( x + 1 ) ^ { \textbf { k } - \frac { \varphi } { 2 } - 1 } f ( x ) , \textup { i f } \varphi \textup { i s e v e n , } } \\ { ( x - 1 ) ^ { \frac { \varphi - 1 } { 2 } - 2 } ( x + 1 ) ^ { \textbf { k } - \frac { \varphi - 1 } { 2 } - 1 } g ( x ) , \textup { i f } \varphi \textup { i s o d d , } } \end{array} \right.
e ^ { { \cal { G } } _ { \mathrm { c } } \{ J \} } = \frac { { \cal { Z } } \{ J \} } { { \cal { Z } } _ { 0 } } = \frac { \int { \cal { D } } \{ \phi \} e ^ { - S \{ \phi \} + ( J , \phi ) } } { \int { \cal { D } } \{ \phi \} e ^ { - S _ { 0 } \{ \phi \} } } \; .
\prod _ { \substack { ( a , b , c ) = 1 \, a , b , c \geq 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - x ^ { a } y ^ { b } z ^ { c } } \right) ^ { \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { a b c } } } = \exp \left\{ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { i } } { \sqrt [ 3 ] { i } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { j } } { \sqrt [ 3 ] { j } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { \sqrt [ 3 ] { k } } \right) \right\} .
- \Delta \boldsymbol { \mathbf { V } } ^ { k } + \boldsymbol { \mathbf { V } } ^ { k } = 0 \ \mathrm { i n } \ \Omega \setminus \overline { { \omega } } , \quad \boldsymbol { \mathbf { V } } ^ { k } = 0 \ \mathrm { o n } \ \partial \Omega , \quad \partial _ { n } \boldsymbol { \mathbf { V } } ^ { k } = - D _ { \omega } \mathcal { G } ^ { k } ( \omega ) \ \mathrm { o n } \ \partial \omega .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { m } = \frac { c } { m _ { 1 } } + \frac { 1 - c } { m _ { 2 } } , \quad \frac { 1 } { \gamma - 1 } = \frac { m } { m _ { 1 } } \frac { c } { \gamma _ { 1 } - 1 } + \frac { m } { m _ { 2 } } \frac { 1 - c } { \gamma _ { 2 } - 1 } , } \end{array}
V ( \phi ) = - \frac 3 { l ^ { 2 } } - \frac 3 { 2 l ^ { 2 } } \phi ^ { 2 } + \frac { v _ { 3 } } { 6 } \phi ^ { 3 } + \frac { v _ { 4 } } { 4 ! } \phi ^ { 4 } + \cdots ~ .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( t M o n _ { i } ( \chi ( 0 ) , N ) ) = \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) } { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) + \sum _ { j \ne i } F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } } \\ & { = \exp \left\{ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left[ \log ( F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) - \log \left( F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) + \sum _ { j \ne i } F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \right) \right] \right\} } \\ & { \overset { \star \star } { \le } \exp \left\{ - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \sum _ { j \ne i } F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) + \sum _ { j \ne i } F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } \right\} } \\ & { = \prod _ { j \ne i } \exp \left\{ - F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) + \sum _ { j \ne i } F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } \right\} } \\ & { \le \prod _ { j \ne i } \exp \left\{ - c _ { N } F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) } \right\} } \end{array}
\mathrm { L o s s = \ e p s i l o n _ { 1 } \ n o r m { C _ { u } - C _ { R C } } ^ { 2 } + \ e p s i l o n _ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { t = t _ { i } } ^ { t _ { f } } \ n o r m { \ u _ { k } ^ { f } ( t ) - \ u _ { k } ( t ) } ^ { 2 } \exp { - \frac { t - t _ { i } } { t _ { f } - t _ { i } } } ; t \in \mathbb { Z } }
{ \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { a l l \; s p i n s } | T | ^ { 2 } = { \frac { 4 e ^ { 2 } } { 2 7 } } f ^ { 2 } M _ { 1 / 2 } M _ { 3 / 2 } ^ { \prime } ( v \cdot v ^ { \prime } - 1 ) ( 1 + v ^ { \prime } \cdot v ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { ( T _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 2 } \varphi ) ( t ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cot \frac { \zeta - t } { 2 } ( E _ { 1 } S _ { 2 } \varphi ) ^ { \prime } ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta + \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( E _ { 1 } S _ { 2 } \varphi ) ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { \zeta - t } { 2 } \Big ) ( E _ { 1 } S _ { 2 } \varphi ) ^ { \prime \prime } ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta + ( M _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 2 } \varphi ) ( t ) } \\ & { = \big ( \widetilde { S } _ { 0 } \{ ( E _ { 1 } S _ { 2 } \varphi ) ^ { \prime \prime } \} \big ) ( t ) + ( M _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 2 } \varphi ) ( t ) } \end{array}
{ J } _ { f } ( { \bf z } ) = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial z _ { 1 } } } & { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial z _ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial z _ { 5 } } } \\ { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial z _ { 1 } } } & { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial z _ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial z _ { 5 } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { \partial f _ { 5 } } { \partial z _ { 1 } } } & { \frac { \partial f _ { 5 } } { \partial z _ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial f _ { 5 } } { \partial z _ { 5 } } } \end{array} \right)
\frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 3 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| ^ { 2 } \ll \frac { \delta ^ { 2 } } { \varphi ( q ) } .
\begin{array} { r } { \frac 1 { 2 \omega _ { \nu } ^ { 2 } ( \varepsilon ) } H _ { \star } \preceq \frac { 1 - s _ { n } } { \omega _ { \nu } ^ { 2 } ( \varepsilon ) } H _ { \star } \preceq H _ { n } ( \theta ) \preceq ( 1 + s _ { n } ) \omega _ { \nu } ^ { 2 } ( \varepsilon ) H _ { \star } \preceq \frac 3 2 \omega _ { \nu } ^ { 2 } ( \varepsilon ) H _ { \star } , \; \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta \in \Theta _ { \varepsilon / R _ { \nu } ^ { \star } } ( \theta _ { \star } ) , } \end{array}
M _ { L R ; L R } ^ { U } ( s ) = \left( \frac { E _ { l } - m _ { l } } { E _ { l } } \cdot \frac { E _ { l } ^ { \prime } - m _ { l } ^ { \prime } } { E _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 + \left( \frac { E _ { l } + m _ { l } } { E _ { l } - m _ { l } } \cdot \frac { E _ { l } ^ { \prime } + m _ { l } ^ { \prime } } { E _ { l } ^ { \prime } - m _ { l } ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] ( 1 - y ) ,
g ( z , t ) = z ^ { a _ { 0 } } \left[ z + ( 1 - z ) \frac { t + \alpha } { a _ { 0 } + \alpha } \right] ^ { - ( a _ { 0 } + \alpha ) } = z ^ { a _ { 0 } } \left[ z + ( 1 - z ) \left( 1 + \beta \right) \right] ^ { - \alpha _ { r } } ,
\begin{array} { r l r } { f ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) } & { { } = } & { n _ { f } ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) \, f _ { 0 } \, } \\ { \theta ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) } & { { } = } & { n _ { \theta } ( { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { 2 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) \, \theta _ { 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } & { { } = } & { 1 - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega - \omega _ { c } ) } \, , } \\ { \frac { c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } & { { } = } & { 1 - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + \omega _ { c } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi } & { { } = \sum _ { x _ { i } ^ { 0 } } \gamma ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \{ s _ { j i } \} _ { j \in \partial i } } \psi ^ { * } ( t _ { i } , \underline { { t } } _ { \partial i } , x _ { i } ^ { 0 } , \{ s _ { j i } \} _ { j \in \partial i } ) \prod _ { j \in \partial i } w ( s _ { j i } ) } \end{array}
S _ { \mathrm { r e p l i c a } } = \sum _ { E _ { i } } \{ \mathrm { \ o p e r a t o r n a m e { l n } } \sqrt { { \frac { E _ { i } } { 2 } } } + \sqrt { 1 + E _ { i } } \mathrm { \ o p e r a t o r n a m e { l n } } ( { \frac { 1 } { \sqrt { E _ { i } } } } + \sqrt { 1 + { \frac { 1 } { E _ { i } } } } ) \}
\int \displaylimits \frac { \partial \left( \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon } ( \boldsymbol { x } ) \cdot \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \zeta } ( \boldsymbol { x } ) \right) } { \partial x _ { j } } \mathrm { d } V _ { x } < \infty ,
H _ { P T } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { 2 } \left\{ \frac { k ( k - 1 ) } { s i n ^ { 2 } \alpha { x } } + \frac { \lambda ( \lambda - 1 ) } { c o s ^ { 2 } \alpha { x } } \right\} ,
\sqrt { a \left( 1 + \frac { \left( E ^ { 2 } T _ { 1 } W \right) ^ { 2 } + 2 E ^ { 2 } T _ { 1 } W \left( 2 h \kappa ( w _ { 1 2 } + w _ { 2 0 } ) + h N W w _ { 2 0 } \right) } { a } \right) }
\mathbf { P } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { r r r } { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 2 } & { 4 } & { 2 } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { , ~ i f ~ } k _ { l } \in \{ - 1 , 1 \} } \\ { \left( \begin{array} { r r r } { 2 } & { 4 } & { 2 } \\ { 4 } & { 8 } & { 4 } \\ { 2 } & { 4 } & { 2 } \end{array} \right) \mathrm { , ~ i f ~ } k _ { l } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Theta A = A \Theta , } & { \quad \Theta B = B \Omega , } \\ { \Theta \circ \mathcal { X } = \mathcal { X } , \quad \Omega \circ \mathcal { U } } & { = \mathcal { U } , \quad \Theta \circ \mathcal { T } = \mathcal { T } , } \\ { \Theta ^ { T } Q \Theta = Q , \quad \Omega ^ { T } R \Omega } & { = R , \quad \Theta ^ { T } P \Theta = P , } \end{array}
g _ { n } ( { \sigma } _ { 0 } ) = e x p \left\{ J _ { 3 } \sum _ { \triangle } { \sigma } _ { 0 } { \sigma } _ { 1 } { \sigma } _ { 1 } + h \sum { \sigma } _ { 1 } \right\} { [ g _ { n - 1 } ( { \sigma } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ] } ^ { \gamma - 1 } { [ g _ { n - 1 } ( { \sigma } _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ) ] } ^ { \gamma - 1 } .
\begin{array} { r l r } { \int { \frac { d x \, x ( 1 - x ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { { } } & { \left[ \ln \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { - q ^ { 2 } } \right) - \ln x - \ln ( 1 - x ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \cal F _ { \lambda , \mu } \leq } & { \dim V ( \lambda _ { 1 } + 1 ) \omega _ { 1 } ) + \dim V ( ( \lambda _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } ) } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } [ ( \lambda _ { 1 } + 2 ) ( \lambda _ { 1 } + 3 ) + \lambda _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } + 2 ) ] = \frac { 3 } { 2 } ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + 2 ) = \dim V ( \lambda _ { 1 } \omega _ { 1 } ) \dim V ( \omega _ { 1 } ) . } \end{array}
P _ { \nu _ { e } \leftrightarrow \nu _ { \mu } } = { \frac { s ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 3 } ~ } { s ^ { 2 } + c ^ { 2 } \, ( 1 \mp E / E _ { \mathrm { r e s } } ) ^ { 2 } } } ~ \sin ^ { 2 } \left[ { \frac { \Delta m ^ { 2 } \, L } { 4 \, E _ { \nu } } } \; \sqrt { s ^ { 2 } + c ^ { 2 } \, ( 1 \mp E / E _ { \mathrm { r e s } } ) } \right]
\begin{array} { r l } { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } & { = \frac 1 2 \rho _ { 2 } v _ { 1 } , } \\ { v _ { 1 } ^ { \prime } } & { = \mu _ { 1 } ^ { 2 } + \frac 1 2 v _ { 1 } ^ { 2 } - 1 - \delta \rho _ { 2 } ^ { 3 } v _ { 1 } , } \\ { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } & { = - \left( \frac 1 2 v _ { 1 } + \delta \rho _ { 2 } ^ { 3 } \right) \mu _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d } { d \bar { z } } \Bigl \{ \frac { \eta _ { n } ( \bar { \phi } _ { s } ) } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } _ { s } ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { \bar { \phi } _ { s } } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } _ { s } ) ^ { 1 / 2 } } T \Bigr \} = - G _ { a } I ^ { 2 } \bar { \phi } _ { s } , \qquad \frac { 4 } { \pi } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } S \bar { \phi } _ { s } d \bar { z } = \langle \bar { \phi } \rangle , } \\ & { } & { \bar { q } ^ { p } = \frac { 4 } { \pi \langle \bar { \phi } \rangle } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { S \bar { \phi } _ { s } \, d \bar { z } } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } _ { s } ) ^ { 1 / 4 } } , \qquad I = \frac { 4 } { \pi } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { S ( \bar { z } ) \, d \bar { z } } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } _ { s } ) ^ { 1 / 4 } } , \qquad S = \sqrt { 1 \! - \! 4 \bar { z } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { \mathcal { K } } ( t , u ( t ) ) - \tilde { \mathcal { K } } ( s , u ( s ) ) \| _ { \beta - 1 } } & { \leq L _ { R } ( \mid t - s \mid + \| u ( t ) - u ( s ) \| _ { \beta } ) } \\ & { \leq \tilde { L _ { R } } ( \mid t - s \mid + | t - s | ^ { \tilde { \theta } \vartheta } ) , \quad t , s \in [ 0 , T ] . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( B ^ { n } , \Sigma ^ { n } ) ( t , x , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { n } ) = ( B , \Sigma ) ( t , x , \mu _ { t } ) , ~ \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } c _ { 0 } ^ { n } ( t ) = c _ { 0 } ( t ) , ~ \mathrm { a n d } ~ \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } c _ { 1 } ^ { n } ( t , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { n } ) = c _ { 1 } ( t , \mu _ { t } ) .
\begin{array} { r l } { I ( a , b , D ) } & { { } = \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { a } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { b } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { s } J _ { 0 } = \hat { J } \sqrt { \frac { B _ { 0 0 } } { B _ { m i n } } } \frac { \pi } { 2 } \sqrt { \frac { N _ { f p } ^ { 2 } | B _ { M } | } { b _ { w } } } \left( \frac { \partial _ { s } | B _ { M } | } { \partial _ { s } B _ { 0 0 } } - 1 \right) \, , } \end{array}
{ \cal A } _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { \mathrm { N R } } ( \varepsilon , { \bf p } ) = - i \int d t \, e ^ { i \varepsilon t } \left\langle T \left( \psi _ { \sigma } ( { \bf p } , t ) \psi _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( { \bf p } , 0 ) \right) \right\rangle ,
\begin{array} { r } { \hat { \Theta } _ { 0 } ^ { ( s ) } \equiv \frac { r _ { 0 } ^ { ( s ) } \gamma _ { s } } { 2 \hbar } \hat { V } _ { s } ^ { \circ } + \frac { i c _ { 0 } ^ { ( s ) } } { \hbar } \hat { V } _ { s } ^ { \times } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta } & { { } = M _ { 1 2 } r _ { 0 } t _ { 0 } + M _ { 1 } r _ { 0 } + M _ { 2 } t _ { 0 } + B } \\ { W } & { { } = Q _ { 1 2 } r _ { 0 } t _ { 0 } + Q _ { 1 } r _ { 0 } + Q _ { 2 } t _ { 0 } + P } \end{array}
[ - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) + \mathrm { R D } + \frac { 3 } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } + \mathrm { U } + \mathrm { R } - \mathrm { E } ] f _ { 1 } - \mathrm { Z } f _ { 2 } = - \lambda _ { 1 }
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { a } } } & { { } = \frac { x z } { w } , } \\ { k _ { \mathrm { w } } } & { { } = x y = 1 , } \\ { x + s } & { { } = y + z , } \\ { c _ { \mathrm { a } } } & { { } = w + z , } \\ { c _ { \mathrm { b } } } & { { } = s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \mathbf { Q } ) [ ( x , z ) , ( g _ { f } , v _ { f } ) ] \mathcal { K } } & { = \mathcal { G } ( \mathbf { Q } ) [ ( x , z ) , ( h , w ) ^ { - 1 } ( g _ { j } , 0 ) ] \mathcal { K } } \\ & { = \mathcal { G } ( \mathbf { Q } ) ( h , w ) ^ { - 1 } [ ( h x , h z + w ) , ( g _ { j } , 0 ) ] \mathcal { K } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } ^ { \mu } } & { { } = } & { - \; \mu _ { 0 } ( \widehat { \sf z } / \Omega _ { 0 } ) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf u } \; + \; ( \Omega _ { 0 } / B _ { 0 } ) \; \partial \overline { { S } } _ { 3 } / \partial \zeta _ { 0 } , } \\ { G _ { 1 } ^ { \zeta } } & { { } = } & { - \; ( \Omega _ { 0 } / B _ { 0 } ) \; \partial S _ { 3 } / \partial \mu _ { 0 } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \tau } \ln \frac { p ( \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = A \tau ) } { p ( \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - A \tau ) } = A ,
{ \cal D } \tilde { g } = \frac { i \lambda } { 2 n _ { i } } J _ { 0 } F _ { 0 } \eta \omega _ { \ast } \int d ^ { 3 } v ^ { \prime } J _ { 0 } ^ { \prime } \tilde { g } ^ { \prime } \left[ \left( \frac { v } { v _ { t h } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { v ^ { \prime } } { v _ { t h } } \right) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \neq j } \ln | y _ { i } - y _ { j } | } & { \leqslant 2 + \sum _ { i \neq j } \iint \ln | y _ { i } - y _ { j } + u - v | d \lambda _ { N ^ { - 5 } } ( u ) d \lambda _ { N ^ { - 5 } } ( v ) } \\ & { = 2 + N ^ { 2 } \iint \ln | x - y | d \widetilde { \mu } _ { N } ( x ) d \widetilde { \mu } _ { N } ( y ) - N \iint \ln | u - v | d \lambda _ { N ^ { - 5 } } ( u ) d \lambda _ { N ^ { - 5 } } ( v ) \, . } \end{array}
F ( q ^ { 2 } ) = \frac { F ( 0 ) } { 1 - a _ { F } \, \frac { q ^ { 2 } } { m _ { B } ^ { 2 } } + b _ { F } \left( \frac { q ^ { 2 } } { m _ { B } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \varphi } \Big ( d _ { f } \Psi \{ f \} [ h ] \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } & { { } = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial _ { \varphi } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \big ] } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( \exp ( t \omega ^ { - 1 } ( X ) ) \mathscr { g } _ { 1 } ) } & { = \exp ( t \upsilon ^ { - 1 } ( X ) ) \varphi ( \mathscr { g } _ { 1 } ) } \\ & { = \exp ( t \upsilon ^ { - 1 } ( X ) ) \varphi ( \mathscr { g } _ { 2 } ) } \\ & { = \varphi ( \exp ( t \omega ^ { - 1 } ( X ) ) \mathscr { g } _ { 2 } ) } \end{array}
\left[ \mathbf { J } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } + \lambda \operatorname { d i a g } \left( \mathbf { J } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } \right) \right] { \boldsymbol { \delta } } = \mathbf { J } ^ { \mathrm { T } } \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \ln \mathcal { P } ( \mathrm { R } ) } { \partial \beta } } & { { } = \frac { \partial } { \partial \beta } \left( \ln Z _ { \mathrm { R } } - \ln Z \right) = \left< U \right> - \left< U \right> _ { \mathrm { R } } \ , } \end{array}
D _ { \mu } \left( \begin{array} { l } { { u } } \\ { { d } } \end{array} \right) _ { L } = \biggl ( \partial _ { \mu } - { \frac { i g } { 2 } } \tau ^ { a } W _ { \mu } ^ { a } - { \frac { i g ^ { \prime } } { 6 } } Y _ { \mu } \biggr ) \left( \begin{array} { l } { { u } } \\ { { d } } \end{array} \right) _ { L }
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { x } } _ { 0 \mid t } } & { { } = \mathbf { x } _ { 0 \mid t } - \gamma _ { t } \mathbf { A } ^ { \dagger } ( \mathbf { A } \mathbf { x } _ { 0 \mid t } - \mathbf { A } \mathbf { x } - \mathbf { n } ) } \end{array}
q ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( q _ { 0 } / c _ { 0 } ) [ ( 1 + r ^ { 2 n } ) ^ { - 1 / n } - c _ { r } ] ^ { - 1 } } & { r < r _ { c } } \\ { q ( r _ { c } ) ( r / r _ { c } ) ^ { 2 } } & { r \ge r _ { c } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \Delta u ( \mathbf { r } ) + k ^ { 2 } \varepsilon ( \mathbf { r } ) u ( \mathbf { r } ) = 0 } \\ { u = u ^ { s } + u ^ { \mathrm { i n c } } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } r \left( \frac { \partial u ^ { s } } { \partial r } - i k u ^ { s } \right) = 0 , } \end{array}
{ V } _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { g a u g e } } ( r ) = - \, \frac { g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } } { 2 } ~ \left( \delta ^ { A E } \, \delta ^ { F D } - \delta ^ { A F } \, \delta ^ { D E } \right) ~ \frac { 1 } { 7 \, \Omega _ { 8 } \, r ^ { 7 } } ~ ~ ,
- j \omega \epsilon \mathbf { E } ^ { \mathrm { s c a } } = \nabla \times \mathbf { H } ^ { \mathrm { s c a } } = \frac { \partial H _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } } { \partial y } \hat { \mathbf { x } } - \frac { \partial H _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } } { \partial x } \hat { \mathbf { y } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial g _ { t , a } ( \zeta ^ { * } , \overline { { \theta } } ) } { \partial \overline { { \theta } } _ { t + 1 , a ^ { \prime } } } } & { = \mathbb E \left[ \alpha _ { t , a } ( \phi ( S _ { t + 1 } , a ^ { \prime } ) \phi ( S _ { t } , a ) ^ { \top } ) + ( { 1 - { \alpha } _ { t , a } } ) ( Z _ { a ^ { \prime } } ^ { \phi } ( S _ { t } , a ) \phi ^ { \top } ( S _ { t } , a ) ) \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \alpha _ { t , a } ( \phi _ { t + 1 , a ^ { \prime } } \phi _ { t , a } ^ { \top } ) + ( { 1 - { \alpha } _ { t , a } } ) ( Z _ { a ^ { \prime } , t , a } ^ { \phi } \phi _ { t , a } ^ { \top } ) \right] } \\ & { = \tilde { \Sigma } _ { t , a } ^ { t + 1 , a ^ { \prime } } + \tilde { \Omega } _ { t , a } ^ { { a ^ { \prime } , t , a } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { \mathrm { n e a r } } } & { = \mathbf { h } _ { \mathrm { n e a r } } ^ { H } \mathbf { v } _ { \mathrm { n e a r } } x _ { \mathrm { n e a r } } + \mathbf { h } _ { \mathrm { n e a r } } ^ { H } \mathbf { v } _ { \mathrm { f a r } } x _ { \mathrm { f a r } } + z _ { 0 } } \\ & { = \sqrt { N } h _ { \mathrm { n e a r } } \mathbf { b } ^ { H } ( \theta , r ) ( \mathbf { v } _ { \mathrm { n e a r } } x _ { \mathrm { n e a r } } + \mathbf { v } _ { \mathrm { f a r } } x _ { \mathrm { f a r } } ) + z _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { y } ^ { T } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \nu _ { 1 , 2 } e ^ { \gamma l _ { 1 , 2 } ^ { + } } } & { \ldots } & { \nu _ { i , j } e ^ { \gamma l _ { i , j } ^ { + } } } \end{array} \right] , } \\ { \boldsymbol { z } ^ { T } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \nu _ { 1 , 2 } e ^ { - \gamma l _ { 1 , 2 } ^ { + } } } & { \ldots } & { \nu _ { i , j } e ^ { - \gamma l _ { i , j } ^ { + } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { i n t r a } } | \gamma \rangle = \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \bigg ( - { \frac { 1 } { 2 \mu _ { M } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r _ { k } ^ { 2 } } } \bigg ) + V _ { \mathrm { i n t r a } } ( r ) \bigg ] | \gamma \rangle = E _ { \gamma } ^ { \mathrm { i n t r a } } | \gamma \rangle
{ \widetilde F } ( \mu ) ~ \approx ~ \Bigl [ ~ - ~ \frac { 1 } { 2 } \ln { ( 2 \mu ) } ~ - ~ \frac { 7 } { 2 4 } ~ \Bigr ] ~ + ~ \frac { 1 5 \pi ^ { 2 } } { 6 4 } \mu .
\left\{ \begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] , } \\ { \dot { r } } & { { } = r ( 1 - r ) [ \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta ( x - T ) } } - \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \beta ( x - T ) } } ] . } \end{array} \right.