harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } ; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } 3 / 8 , } \\ { - 2 \mathrm { ~ o ~ r ~ } 2 } & { { } ; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } 2 / 8 , } \\ { - 4 \mathrm { ~ o ~ r ~ } 4 } & { { } ; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } 1 / 1 6 . } \end{array}
- \omega \mathrm { ~ } D _ { { \bf { k } } } ^ { * } ( - { \bf { q } } ) = \omega _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) D _ { { \bf { k } } } ^ { * } ( - { \bf { q } } ) + ( \frac { v _ { { \bf { q } } } } { V } ) \Lambda _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) \sum _ { { \bf { k } } ^ { ' } } [ \Lambda _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ( { \bf { q } } ) D _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ^ { * } ( - { \bf { q } } ) + \Lambda _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ( - { \bf { q } } ) C _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ( { \bf { q } } ) ] + \Lambda _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } )
\mathbb { P } [ | \gamma _ { 0 } ^ { \delta } ( t ) | > e ^ { - t + s } ] \le \mathbb { P } [ d ( \cup _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \gamma _ { i } ^ { \delta } , 0 ) < e ^ { - t } ] + \mathbb { P } [ \{ d ( \cup _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \gamma _ { i } ^ { \delta } , 0 ) > e ^ { - t } \} \cap \{ | \gamma _ { 0 } ^ { \delta } ( t ) | > e ^ { - t + s } \} ] \le C e ^ { - c s } .
\mathbf { e } _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } ; \mathbf { e } _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } ; \mathbf { e } _ { 3 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } ; \mathbf { e } _ { 4 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } ,
\Psi _ { 0 } [ \tilde { \Theta } ( k ) ] \, = \, \prod _ { k } \left( { \frac { k } { \pi } } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \left( { \frac { - 1 } { 4 \pi } } k \tilde { \Theta } ^ { 2 } ( k ) \right) \, .
\underset { \b { \tilde { b } } _ { \boldsymbol \ell } \in \mathbb R ^ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } , m } ( \boldsymbol \ell ) | } } { \mathrm { M i n i m i z e ~ } } \ \big \| \boldsymbol H _ { \boldsymbol \ell } \b { \tilde { b } } _ { \boldsymbol \ell } - \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } \boldsymbol D ^ { - 1 } \boldsymbol f _ { \boldsymbol \ell } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } , \quad \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } .
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } e ^ { - t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 - z ^ { n + 1 } } { 1 - z } } { \frac { t ^ { n } } { n ! } } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } { \frac { e ^ { - t } } { 1 - z } } { \big ( } e ^ { t } - z e ^ { t z } { \big ) } = { \frac { 1 } { 1 - z } } ,
S + S _ { \mathrm { e m } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int { d ^ { 4 } x \sqrt { - g } ( R - 2 \Lambda ) } - \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int { d ^ { 4 } x \sqrt { - g } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } } \, ,
e ^ { 2 } \mathrm { I m } \, \Pi _ { u , d , s } ( s ) = \sum _ { q = u , d , s } N _ { c } \, Q _ { q } ^ { 2 } \frac { \alpha } { 3 } \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right] \, ,
\frac { d \hat { \rho } } { d t } = - i [ \hat { H } , \hat { \rho } ] + \sum _ { k } \left( \hat { L } _ { k } \hat { \rho } \hat { L } _ { k } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \hat { L } _ { k } ^ { \dagger } \hat { L } _ { k } \hat { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \hat { \rho } \hat { L } _ { k } ^ { \dagger } \hat { L } _ { k } \right) ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , i n - w } ( o u t ) - \delta _ { l , i n - w } ( o u t ) } & { { } = \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { \mathrm { i n } } ^ { - 1 } A ^ { T } D _ { \mathrm { o u t } } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { T } A \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( S , T ) } & { { } = 1 . 2 5 7 \times 1 0 ^ { - 4 } + 1 . 2 6 5 \times 1 0 ^ { - 3 } e ^ { - 0 . 0 4 2 9 7 T } - 1 . 1 0 5 \times 1 0 ^ { - 3 } e ^ { 0 . 3 7 1 0 x } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l } { { \mathsf { T i m e \ d o m a i n } } \quad } & { \ x \quad } & { = \quad } & { x _ { _ { R E } } \quad } & { + \quad } & { x _ { _ { R O } } \quad } & { + \quad i \ } & { x _ { _ { I E } } \quad } & { + \quad } & { \underbrace { i \ x _ { _ { I O } } } } \\ & { { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } & & { \ \ { \Bigg \Updownarrow } { \mathcal { F } } } \\ { { \mathsf { F r e q u e n c y \ d o m a i n } } \quad } & { X \quad } & { = \quad } & { X _ { R E } \quad } & { + \quad } & { \overbrace { i \ X _ { I O } } \quad } & { + \quad i \ } & { X _ { I E } \quad } & { + \quad } & { X _ { R O } } \end{array} }
\operatorname * { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \left( \Sigma _ { R } ^ { \beta } ( p _ { 0 } + i \epsilon , p ) - \Sigma _ { R } ^ { \beta } ( p _ { 0 } - i \epsilon , p ) \right) = - 2 i \mathrm { I m } \Sigma _ { R } ^ { \beta } ( p _ { 0 } , p ) \, ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \dot { \tilde { \hat { J } } } _ { + } \right\rangle } & { { } = - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } A \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle , } \\ { \left\langle \dot { \tilde { \hat { J } } } _ { - } \right\rangle } & { { } = i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } A ^ { * } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle , } \\ { \left\langle \dot { \hat { J } } _ { z } \right\rangle } & { { } = - \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } \frac { A - A ^ { * } } { 2 i } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle , } \end{array}
\tau _ { 2 } = \sum _ { a = 0 } ^ { 2 } \sum _ { b = 0 } ^ { 2 } \sum _ { c = 0 } ^ { 2 } Y _ { a b c } ^ { ( 2 ) } ( t _ { 2 } Z _ { 2 } ) ^ { a } ( t _ { 4 } Z _ { 4 } ) ^ { b } ( t _ { 7 } Z _ { 7 } ) ^ { c }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { m i n i m i z e } \quad } & { f ( x ) } \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } \quad } & { x \in \mathbb { R } ^ { n } , } \\ & { c _ { i } ( x ) \geq 0 { \mathrm { ~ f o r ~ } } i = 1 , \ldots , m , } \\ { { \mathrm { w h e r e } } \quad } & { f : \mathbb { R } ^ { n } \to \mathbb { R } , \ c _ { i } : \mathbb { R } ^ { n } \to \mathbb { R } . } \end{array} } \quad ( 1 )
\begin{array} { r l } { \phi _ { a b , x } ^ { ( 1 ) } } & { = ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) \left| a \middle > \middle < b \right| _ { C } \otimes \left( \sum _ { p , q = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { x } ) ^ { p + q } \left| p p \middle > \middle < q q \right| _ { A _ { 1 } B _ { 1 } } \right) \bigotimes _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \left( \sum _ { r _ { i } = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , r _ { i } } \left| r _ { i } \middle > \middle < r _ { i } \right| _ { A _ { i } } \right) } \\ & { = ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ^ { N } \left| a \middle > \middle < b \right| _ { C } \otimes \sum _ { p , q , \{ r _ { i } \} = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { x } ) ^ { p + q + 2 \sum r _ { i } } \left| p r _ { 1 } \ldots r _ { N - 1 } p \middle > \middle < q r _ { 1 } \ldots r _ { N - 1 } q \right| _ { A B _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ^ { ( v ) } } & { = \sum _ { r = k } ^ { \infty } \sum _ { z = r } ^ { \infty } P ^ { ( v ) } ( z ) \binom { z } { r } ( 1 - H ) ^ { r } H ^ { z - r } , } \\ { m ^ { ( e ) } } & { = \sum _ { s = q } ^ { \infty } \sum _ { n = s } ^ { \infty } P ^ { ( e ) } ( n ) \binom { n } { s } ( 1 - R ) ^ { s } R ^ { n - s } . } \end{array}
\left. \frac { \partial f ( l ^ { \prime } , l , b ; \lambda _ { * } ) } { \partial l ^ { \prime } / 2 } \right| _ { l ^ { \prime } = l } = \left. \frac { \partial f ( l , l , b ^ { \prime } ; \lambda _ { * } ) } { \partial b ^ { \prime } / 2 } \right| _ { b ^ { \prime } = b } \; .
\frac { d \Gamma } { d s _ { + } d s _ { - } } ( { \bar { B } } ^ { 0 } \to D ^ { + } D ^ { - } \pi ^ { 0 } ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { 3 2 m _ { B } ^ { 3 } } } | { \overline { { { \cal A } } } } | ^ { 2 }
\boldsymbol { w } _ { 0 \dag } = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 2 \ell ^ { \prime } \Delta \eta ^ { - 1 } i B _ { 0 } ( \nu + \eta ) , 2 \ell ^ { \prime } \Delta \eta ^ { - 1 } ( \eta ^ { 2 } - B _ { 0 } ^ { 2 } ) ) , \quad \boldsymbol { w } _ { 0 \ddag } = ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) .
p _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { p ( \nu , d _ { i } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; \omega _ { j } = + 1 \, ( \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } ) } \\ { 1 - p ( \nu , d _ { i } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; \omega _ { j } = - 1 \, ( \mathrm { ~ f ~ a ~ l ~ s ~ e ~ } ) } \end{array} \right. \, ,
{ \left\{ \begin{array} { l l } { p V ^ { n } = { \mathrm { c o n s t a n t } } = p _ { 1 } V _ { 1 } ^ { n } = p _ { 2 } V _ { 2 } ^ { n } \Rightarrow { \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } } } \ = \left( { \frac { V _ { 1 } } { V _ { 2 } } } \right) ^ { n } } & \\ { { \frac { p ^ { \frac { n - 1 } { n } } } { T } } = { \mathrm { c o n s t a n t } } = { \frac { p _ { 1 } ^ { \frac { n - 1 } { n } } } { T _ { 1 } } } = { \frac { p _ { 2 } ^ { \frac { n - 1 } { n } } } { T _ { 2 } } } \Rightarrow \left( { \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } } } \right) ^ { \frac { n - 1 } { n } } = { \frac { T _ { 2 } } { T _ { 1 } } } } & \end{array} \right. }
{ { \bf Q } ^ { 3 \nu } } _ { Z } = \left[ - m _ { Z } ^ { 2 } - \frac { g ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 4 \cos \theta _ { W } } -- \frac { g \sigma m _ { Z } } { \cos \theta _ { W } } + \frac { i g } { 2 \cos \theta _ { W } } \left( \partial _ { \mu } \sigma \right) I ^ { \mu } \right] Z ^ { \nu } + \beta X _ { 0 } ( \partial _ { \mu } K ^ { 3 \mu } ) A ^ { \nu } .
\| \frac { 2 } { r } A _ { \theta } [ Q , \epsilon ] \epsilon \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim ( \int _ { 0 } ^ { \infty } Q \langle r \rangle | \epsilon | d r ) \cdot \| \frac { 1 } { \langle r \rangle } \epsilon \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 3 / 2 } \| \epsilon \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \lesssim _ { M } \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 3 / 2 } .
\forall s _ { 1 } \in G _ { 1 } , s _ { 2 } \in G _ { 2 } , v _ { 1 } \in V _ { 1 } , v _ { 2 } \in V _ { 2 } : \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } \oplus \rho _ { 2 } : G _ { 1 } \times G _ { 2 } \to { \mathrm { G L } } ( V _ { 1 } \oplus V _ { 2 } ) } \\ { ( \rho _ { 1 } \oplus \rho _ { 2 } ) ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) : = \rho _ { 1 } ( s _ { 1 } ) v _ { 1 } \oplus \rho _ { 2 } ( s _ { 2 } ) v _ { 2 } } \end{array} \right. }
\hat { \sigma } _ { \mathrm { L O } } ( q \bar { q } \to A h , A H ) = \lambda _ { Z A h , Z A H } ^ { 2 } \frac { G _ { F } ^ { 2 } M _ { Z } ^ { 4 } } { 2 8 8 \pi } ( v _ { q } ^ { 2 } + a _ { q } ^ { 2 } ) \frac { \lambda ( Q ^ { 2 } , M _ { A } ^ { 2 } , M _ { h , H } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { ( Q ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } & { B _ { 1 } : = \left\lbrace z : 0 \leq \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) x + \sigma z < \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \right\rbrace , } \\ & { B _ { 2 } : = \left\lbrace z : - \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } < \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) x + \sigma z \leq 0 \right\rbrace , } \\ & { B _ { 3 } : = \left\lbrace z : \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) x + \sigma z \geq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \right\rbrace , } \\ & { B _ { 4 } : = \left\lbrace z : \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) x + \sigma z \leq - \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \right\rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \langle \mathcal { L } _ { N } ^ { ( m - 1 ) } f \big \rangle _ { \nu _ { \gamma } ^ { N } } \leqslant \frac { 1 } { 2 A } \Gamma _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \sqrt { f } , \nu _ { \gamma } ^ { N } ) + \frac { A } { 2 } \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } \sum _ { \eta \in \Omega _ { N } } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \tau _ { x } \eta ) \bigg | 1 - \frac { \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ^ { x , x + 1 } ) } { \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ) } \bigg | ^ { 2 } f ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ) , } \end{array}
{ } \mu ^ { * } ( \tau ) = R _ { 0 } ( \tau , \cdot ) : \Gamma ^ { 1 , 0 } ( \cdot ) + R _ { 0 } ( \tau , \cdot ) : \Sigma ( \cdot , \cdot ) : \mu ^ { * } + \sum _ { j \geq 2 } \frac { 1 } { j ! } R _ { 0 } ( \tau , \cdot ) : \Gamma ^ { 1 , j } ( \cdot , \ldots ) : ( \mu ^ { * } ) ^ { j }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \! \left[ \left\| \mathbf { u } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] } & { \leq \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } + \frac { 1 } { 1 + \omega } \big ( \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \big ) \right\| ^ { 2 } + \frac { \omega } { ( 1 + \omega ) ^ { 2 } } \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left\| \frac { \omega } { 1 + \omega } \big ( \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \big ) + \frac { 1 } { 1 + \omega } \big ( \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \big ) \right\| ^ { 2 } + \frac { \omega } { ( 1 + \omega ) ^ { 2 } } \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \omega ^ { 2 } } { ( 1 + \omega ) ^ { 2 } } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } + \frac { 1 } { ( 1 + \omega ) ^ { 2 } } \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 2 \omega } { ( 1 + \omega ) ^ { 2 } } \langle \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle + \frac { \omega } { ( 1 + \omega ) ^ { 2 } } \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \omega } { ( 1 + \omega ) ^ { 2 } } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \frac { 2 \omega } { ( 1 + \omega ) ^ { 2 } } \langle \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \omega } \left\| \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } + \frac { \omega } { 1 + \omega } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) * } = \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } \right\rVert _ { \infty } , \qquad \epsilon _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) * } = \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { B } ( 1 ) ^ { * } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { * } \right\rVert _ { \infty } , \qquad z _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } = \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } , } \end{array}
\int _ { | k | < \frac { \Lambda } { s } } \frac { d ^ { D } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \int _ { | k | < \frac { \Lambda } { s } } \frac { d ^ { D } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \int _ { \frac { \Lambda } { s } < | k | < \Lambda } \frac { d ^ { D } k _ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \int _ { \frac { \Lambda } { s } < | k | < \Lambda } \frac { d ^ { D } k _ { 4 } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \phi _ { 4 f } ( k _ { 4 } ) \phi _ { 3 f } ( k _ { 3 } ) \phi _ { 2 s } ( k _ { 2 } ) \phi _ { 1 s } ( k _ { 1 } ) .
\mathcal { E } ( t ) \leq \mathcal { E } ( 0 ) + C \int _ { 0 } ^ { t } \left( \mathcal { E } ^ { 3 / 2 } ( s ) + \mathcal { E } ( s ) \right) \ d s + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R } w ( x , s ) \partial _ { s } \left( \partial _ { x } ^ { 4 } w ( x , s ) \right) ^ { 2 } \ d x d s .
G _ { { D } } ^ { ( + ) } ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } ; k ) = { \mathcal G } _ { { D } } ^ { ( + ) } ( { \bf R } ; k ) \stackrel { \scriptscriptstyle ( r \rightarrow \infty ) } { \sim } - \frac { 1 } { 4 \pi } \left( \frac { k } { 2 \pi } \right) ^ { ( { D } - 3 ) / 2 } \, e ^ { i \gamma _ { { D } } } \, \frac { e ^ { i k r } } { r ^ { ( { D } - 1 ) / 2 } } \, e ^ { - i { \bf k } ^ { \prime } \cdot { \bf r } ^ { \prime } } \; ,
\begin{array} { r l r } { \textbf { A } \textbf { B } } & { = } & { b _ { 0 } \textbf { A } + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } b _ { k } \textbf { A } ^ { k + 1 } } \\ & { = } & { b _ { 0 } \textbf { A } + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 2 } b _ { k } \textbf { A } ^ { k + 1 } + b _ { n - 1 } \textbf { A } ^ { n } } \\ & { = } & { b _ { 0 } \textbf { A } + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 2 } b _ { k } \textbf { A } ^ { k + 1 } + b _ { n - 1 } a _ { 0 } \textbf { I } + b _ { n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } a _ { k } \textbf { A } ^ { k } } \\ & { = } & { b _ { n - 1 } a _ { 0 } \textbf { I } + \Big ( b _ { 0 } + b _ { n - 1 } a _ { 1 } \Big ) \textbf { A } + \sum _ { k = 2 } ^ { n - 1 } \Big ( b _ { k - 1 } + b _ { n - 1 } a _ { k } \Big ) \textbf { A } ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } [ \mathfrak { q } ] ^ { q ^ { \prime } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } v } { v } v ^ { \left( 1 + \frac { \beta } { \alpha } \right) q ^ { \prime } } \Vert \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , \cdot ) \star \mathfrak { q } ( \cdot ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } } ^ { q ^ { \prime } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } v } { v } v ^ { \left( 1 + \frac { \beta } { \alpha } \right) q ^ { \prime } } \Vert \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , \cdot ) \star \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } } ^ { q ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d I ( V ; X , \alpha ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { 1 } { t } \Big ( \int _ { V ( t ) } \alpha ( \xi _ { t } x ) - \int _ { V } \alpha ( x ) \Big ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { 1 } { t } \Big ( \int _ { V } \xi _ { t } ^ { \ast } \alpha ( \xi _ { t } x ) - \int _ { V } \alpha ( x ) \Big ) } \\ & { = \int _ { V } \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { 1 } { t } \Big ( \xi _ { t } ^ { \ast } \alpha ( \xi _ { t } x ) - \alpha ( x ) \Big ) } \\ & { = \int _ { V } \mathfrak { L } _ { X } \alpha , } \end{array}
\beta _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 1 ) } = \frac { \beta ^ { ( 2 ) } + 2 } { 4 } \left[ \sqrt { 1 + \frac { 1 6 } { ( \kappa ^ { ( 1 ) } - 2 ) ( \beta ^ { ( 2 ) } + 2 ) ^ { 2 } } } - 1 \right]
\begin{array} { r l } { \alpha ( \hbar \omega ) = \frac { \mathcal { A } } { \hbar \omega } \Bigg ( 2 R ^ { * } \sum _ { n } } & { { } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \mathcal { G } \left( E _ { x _ { n } } - \hbar \omega \right) + } \end{array}
- \frac { 1 } { 4 } s _ { \mathrm { i m } } \left( 4 s _ { \mathrm { i m } } ^ { 2 } ( a _ { 1 2 1 0 } + a _ { 2 1 0 1 } ) + 4 s _ { \mathrm { o b } } \left( s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } ^ { 2 } + s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 0 } ^ { 2 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } + 1 ) ^ { 2 } + a _ { 0 2 0 0 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } + 1 ) ^ { 2 } + a _ { 2 0 0 0 } \right) - 4 s _ { \mathrm { i m } } ( a _ { 0 2 2 0 } + a _ { 2 0 0 2 } ) + 1 \right)
\boldsymbol { \mathrm { A } } ( z ) = \boldsymbol { \mathrm { B } } \left( \begin{array} { l l l l } { e ^ { - j \mathrm { C _ { 1 1 } } z } } & { } & { } & { } \end{array} \right) \boldsymbol { \mathrm { B ^ { - 1 } } } \boldsymbol { \mathrm { A } } ( 0 ) ,
\alpha _ { s } ( Q _ { B L M } ^ { 2 } ) \int \mathrm { d } ^ { 4 } k F ( k , Q ) \equiv \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) \int \mathrm { d } ^ { 4 } k \left( 1 - \frac { \beta _ { 0 } } { 4 \pi } \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) \ln \frac { - k ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) F ( k , Q ) \, . \, \, \,
\sum _ { i = 1 } ^ { P } \sigma _ { i _ { K } } ^ { 2 } \mathbf { h } _ { i } \mathbf { h } _ { i } ^ { T } = \sum _ { i = 1 } ^ { P } \lambda _ { i } \mathbf { q } _ { i } \mathbf { q } _ { i } ^ { T }
\sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Tilde { r } _ { j , m } c _ { j , n - m } C _ { i j } ^ { \alpha } = \frac { \rho _ { \mathrm { r } } \left( \omega + n \Omega \right) ^ { 2 } } { \delta \kappa _ { \mathrm { r } } } \int _ { x _ { i } ^ { - } } ^ { x _ { i } ^ { + } } v _ { i , n } ^ { * * } ( x , \alpha ) \, \mathrm { d } x .
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathcal { A } ( \rho _ { l } ) - \mathcal { A } ( \rho _ { v } ) } { \rho _ { l } - \rho _ { v } } } & { = } & { \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial \rho } \bigg \vert _ { \rho _ { v } } , } \\ { \frac { \mathcal { A } ( \rho _ { l } ) - \mathcal { A } ( \rho _ { v } ) } { \rho _ { l } - \rho _ { v } } } & { = } & { \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial \rho } \bigg \vert _ { \rho _ { l } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { R _ { \alpha } } ( P _ { \theta _ { 0 } } | P _ { \theta _ { 1 } } , P _ { \theta _ { 2 } } ) } \\ & { = \frac { \Gamma ( \alpha _ { 0 } ) \Gamma \Big ( \alpha _ { 0 } + \alpha \big ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 2 \alpha _ { 0 } \big ) \Big ) } { \Gamma \Big ( \alpha _ { 0 } + \alpha \big ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 0 } \big ) \Big ) \Gamma \Big ( \alpha _ { 0 } + \alpha \big ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 0 } \big ) \Big ) } } \\ & { \quad \ \ \times \frac { \big ( \beta _ { 0 } + \alpha ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } ) \big ) ^ { \alpha _ { 0 } + \alpha ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 0 } ) } \big ( \beta _ { 0 } + \alpha ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 0 } ) \big ) ^ { \alpha _ { 0 } + \alpha ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 0 } ) } } { \beta _ { 0 } ^ { \alpha _ { 0 } } \big ( \beta _ { 0 } + \alpha ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } - 2 \beta _ { 0 } ) \big ) ^ { \alpha _ { 0 } + \alpha ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 2 \alpha _ { 0 } ) } } - 1 . } \end{array}
F ( \mathcal { P } ( \xi _ { A } , \xi _ { B } | \theta ) ) \leq 4 \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \hat { \rho } _ { A } , \hat { H } _ { A } ] + 4 \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \hat { \rho } _ { B } , \hat { H } _ { B } ] ,
( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } \ast d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi } ) \wedge d ( \frac { \tilde { p } } { \rho } ) = \int _ { \Sigma } \mathrm { t r } ( \frac { \tilde { p } } { \rho } ) \wedge \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ,
\begin{array} { r l } { C O H Y _ { x y } ( \omega ) } & { = \frac { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } A _ { x } ( \omega , k ) A _ { y } ( \omega , k ) e ^ { i ( \Phi _ { x } ( \omega , k ) - \Phi _ { y } ( \omega , k ) ) } } { \sqrt { \left( \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } A _ { x } ^ { 2 } ( \omega , k ) \right) \left( \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } A _ { y } ^ { 2 } ( \omega , k ) \right) } } } \\ & { = \frac { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } C S D _ { x y } ( \omega , k ) } { \sqrt { \left( \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } P S D _ { y } ( \omega , k ) \right) \left( \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } P S D _ { y } ( \omega , k ) \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } _ { 0 } } & { { } = \frac { n _ { 0 } } { \Delta t _ { 0 } } , } \\ { \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } = \frac { n _ { 0 } } { \Delta t _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\phi _ { \mathrm { A A _ { 1 } } } + \phi _ { \mathrm { A _ { 1 } B } } = \beta _ { 0 } ( l _ { \mathrm { A A _ { 1 } } } + l _ { \mathrm { A _ { 1 } B } } ) = ( 2 k + 1 ) \pi / 2
\Delta _ { 1 } = \delta _ { 1 } , \quad \Delta _ { 2 } = \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } , \quad \cdots , \quad \Delta _ { n } = \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } \cdots \delta _ { n } , \quad \Delta _ { n + 1 } = 1 .