harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { c c c c } { { \hat { p } _ { 0 } - m } } & { { 0 } } & { { \hat { p } _ { 3 } } } & { { \hat { p } _ { 1 } - i \hat { p } _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { \hat { p } _ { 0 } - m } } & { { \hat { p } _ { 1 } + i \hat { p } _ { 2 } } } & { { - \hat { p } _ { 3 } } } \\ { { - \hat { p } _ { 3 } } } & { { - \hat { p } _ { 1 } + i \hat { p } _ { 2 } } } & { { - \hat { p } _ { 0 } - m } } & { { 0 } } \\ { { - \hat { p } _ { 1 } - i \hat { p } _ { 2 } } } & { { \hat { p } _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { - \hat { p } _ { 0 } - m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c c } { { \Psi _ { 1 } } } \\ { { \Psi _ { 2 } } } \\ { { \Psi _ { 3 } } } \\ { { \Psi _ { 4 } } } \end{array} \right) _ { D } = 0 \quad ,
U ( t ) = 1 - { \frac { i \lambda } { \hbar } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } V ( t _ { 1 } ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } - { \frac { \lambda ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } V ( t _ { 1 } ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) } V ( t _ { 2 } ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) } + \cdots
\left\{ \begin{array} { l l } { { \dot { x } } _ { 2 j - 1 } { \dot { x } } _ { 2 j } + { \dot { y } } _ { 2 j - 1 } { \dot { y } } _ { 2 j } + { \dot { z } } _ { 2 j - 1 } { \dot { z } } _ { 2 j } = 0 , } & { } \\ { { \dot { x } } _ { 2 j } { \dot { x } } _ { 2 j + 1 } + { \dot { y } } _ { 2 j } { \dot { y } } _ { 2 j + 1 } + { \dot { z } } _ { 2 j } { \dot { z } } _ { 2 j + 1 } = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ W ~ K ~ } } ( r ) \approx } & { { } \frac { \alpha ( Z \alpha ) ^ { 3 } } { \pi } \left[ \left( - \frac { 3 } { 2 } \zeta ( 3 ) + \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } - \frac { 7 } { 9 } \right) \frac { 1 } { r } + 2 \pi \zeta ( 3 ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left| \left( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { \alpha _ { n } h } \right) ^ { m / 2 } \chi v _ { n } \right| \right| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq \int _ { | x | \leq \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } } d ( x ) ^ { 2 } | \Lambda _ { \alpha _ { n } h } \widetilde { \Psi } _ { m } ( x ) | ^ { 2 } d x + O ( h ^ { \infty } ) } \\ & { \leq C _ { m } ( \alpha _ { n } h ) ^ { - 1 / 2 } \int _ { | x | \leq \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } } d ( x ) ^ { 2 } d x + O ( h ^ { \infty } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { Y } ( y ) } & { = E ( Y - y | Y \geq y ) } \\ & { = \frac { \sum _ { y = k } ^ { \infty } ( y - k ) P ( Y = y ) } { P ( Y \geq y ) } } \\ & { = \frac { \sum _ { y = k } ^ { \infty } \bar { F } ( y ) } { \bar { F } ( k - 1 ) } } \\ & { = \frac { \sum _ { y = k } ^ { \infty } \left( \ 1 - \frac { \Gamma ( y , \lambda ) } { \Gamma y } + \frac { ( 1 - \theta ) ^ { y } } { \Gamma y } \exp { \left( \frac { \lambda \theta } { 1 - \theta } \right) } \Gamma \left( y , \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) \right) } { 1 - \frac { \Gamma ( k - 1 , \lambda ) } { \Gamma ( k - 1 ) } + \frac { ( 1 - \theta ) ^ { k - 1 } } { \Gamma ( k - 1 ) } \exp { \left( \frac { \lambda \theta } { 1 - \theta } \right) } \Gamma \left( k - 1 , \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ t ] } & { { } 0 . 8 3 \cdot 8 s _ { 1 / 2 } ^ { 2 } 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 1 } 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 1 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 1 } + } \end{array}
\frac { \partial u } { \partial t } + \ldots + c _ { p } \underbrace { \theta \nabla \Pi } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ s ~ s ~ u ~ r ~ e ~ g ~ r ~ a ~ d ~ i ~ e ~ n ~ t ~ } } = \underbrace { - g \hat { k } } _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ v ~ i ~ t ~ y ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } ,
\begin{array} { r l } { \Tilde { f } ^ { L R } ( \vec { r } , \omega ) } & { { } = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \int _ { c } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) x } \mathrm { d } x } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \vec { r } \to 0 } [ \Tilde { f } ^ { L R } ( \vec { r } , \omega ) ] } & { { } = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) c } } { k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } \, , } \end{array}
P ( z \mid x ) = \frac { 1 } { \prod _ { k = 1 } ^ { d } \sqrt { 2 \pi { \sigma } _ { ( k ) } ^ { 2 } ( x ) } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\| \frac { z - { \mu } ( x ) } { { \sigma } ( x ) } \right\| ^ { 2 } \right)
\begin{array} { l l } { n _ { i } ( x = a ) = 0 ; } & { \left. \frac { \partial n _ { i } } { \partial x } \right| _ { x = 0 } = 0 } \\ { T ( x = a ) = T _ { 0 } ; } & { \left. \frac { \partial T } { \partial x } \right| _ { x = 0 } = 0 } \\ { n _ { i } ( t = 0 ) = 0 ; } & { T ( t = 0 ) = T _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 , k } } & { : = \mathbb E \left[ \phi _ { t , a } ^ { \top } \left( \tilde { Y } _ { t , a } ( \hat { \zeta } _ { t } ^ { ( k ) } , \hat { \overline { { \theta } } } _ { t + 1 , a } ^ { ( k ) } ) - \tilde { Y } _ { t , a } ( \zeta _ { t } ^ { * } , { \overline { { \theta } } } _ { t + 1 , a } ^ { * } ) \right) \right] } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { \alpha ^ { - 1 } + \alpha ^ { 6 } x } \\ { \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x } & { - \left( \alpha ^ { - 7 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 7 } x ^ { 2 } \right) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { S ( x ) \Gamma ( x ) } \\ { x ^ { 6 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 5 } } \\ { \alpha ^ { 7 } + \alpha ^ { 0 } x } \end{array} \right) } .
r _ { 0 } = 0 . 1 8 5 \left[ \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { L } \left( \frac { L - z } { L } \right) C _ { n } ^ { 2 } ( z ) } \right] ^ { 3 / 5 } ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 1 } - \nu ( \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } \, , } \\ { \varepsilon _ { 2 } } & { { } = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 2 } - \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } \, , } \\ { \varepsilon _ { 3 } } & { { } = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } \sigma _ { 3 } - \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) { \big ) } \, , } \end{array}
( \partial ^ { 2 } - 3 f \partial _ { z } ) h _ { \mu \nu } + 4 \alpha \kappa e ^ { 2 A ( z ) } \Big \{ \partial _ { z } f \partial _ { \lambda } ^ { 2 } - f ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } - f \big ( 2 \partial _ { z } f - f ^ { 2 } \big ) \partial _ { z } \Big \} h _ { \mu \nu } = - \kappa T _ { \mu \nu } ^ { ( m ) } \, ,
- ( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } { 4 } ) \frac { M _ { 1 } ^ { L } } { 2 } \Big [ ( \frac { \partial \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } } { \partial L _ { 2 } ^ { L } } d L _ { 2 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } } { \partial \ell _ { 2 } ^ { L } } d \ell _ { 2 } ) \times \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } + \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } \times ( \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } } { \partial L _ { 1 } ^ { L } } d L _ { 1 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } } { \partial \ell _ { 1 } ^ { L } } d \ell _ { 1 } ^ { L } ) \Big ] ,
{ \bf v } = - { \bf K } ( { \bf x } ) \lambda ( s , c , \Gamma ) { \bf \nabla } p , \quad - { \bf \nabla } \cdot \left( { \bf K } ( { \bf x } ) \lambda ( s , c , \Gamma ) { \bf \nabla } p \right) = q _ { a } + q _ { o } ,
\begin{array} { r l } { W _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 1 } } } & { = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to - \infty } \frac { 1 } { | t | } \ln { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \mu \in [ - \mu _ { 1 } , - \mu _ { 2 } ) \, \right\} } \\ & { = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to - \infty } \frac { 1 } { | t | } \ln { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \mu \in [ - \mu _ { 1 } , - \mu _ { 2 } ) \, \right\} } \\ & { = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } \leq C e ^ { - \mu t } \Vert v \Vert _ { V } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \leq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \mu \in ( - \mu _ { 1 } , - \mu _ { 2 } ) \, \right\} . } \end{array}
n _ { a } ^ { \mathrm { d . w . } } ( t ) \sim \frac { \rho _ { \mathrm { d . w . } } ( t _ { 3 } ) } { \langle \omega _ { a } \rangle } \left( \frac { R _ { 3 } } { R } \right) ^ { 3 } \sim \frac { 6 } { \gamma } \frac { f _ { a } ^ { 2 } } { t _ { 1 } } \left( \frac { R _ { 1 } } { R } \right) ^ { 3 } \, .
f \left( x ; { \frac { 1 } { 2 } } , 0 , 1 , 0 \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi | x | ^ { 3 } } } } \left( \sin \left( { \frac { 1 } { 4 | x | } } \right) \left[ { \frac { 1 } { 2 } } - S \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi | x | } } } \right) \right] + \cos \left( { \frac { 1 } { 4 | x | } } \right) \left[ { \frac { 1 } { 2 } } - C \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi | x | } } } \right) \right] \right)
\{ R _ { A _ { 1 } } ^ { 2 } , R _ { A _ { 2 } } ^ { 2 } , R _ { B _ { 1 } } ^ { 2 } , R _ { B _ { 2 } } ^ { 2 } , R _ { A _ { 1 } + A _ { 2 } } ^ { 2 } , R _ { B _ { 1 } + B _ { 2 } } ^ { 2 } , R _ { A _ { 1 } + B _ { 1 } } ^ { 2 } , R _ { A _ { 1 } + B _ { 2 } } ^ { 2 } , R _ { A _ { 2 } + B _ { 1 } } ^ { 2 } , R _ { A _ { 2 } + B _ { 2 } } ^ { 2 } \} .
A _ { \mathrm { t y p } } = A _ { \mathrm { t y p } } ^ { ( 0 ) } + A _ { \mathrm { t y p } } ^ { ( 1 ) } + A _ { \mathrm { t y p } } ^ { ( 2 ) } - M ^ { 4 } \mathrm { ~ \sum ~ } \! \! \! \! \! \! \int _ { P Q } { \frac { \delta _ { p _ { 0 } } } { P ^ { 4 } ( P ^ { 2 } { + } M ^ { 2 } ) } } \left[ { \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } } { Q ^ { 4 } } } { - } { \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } ( P { + } Q ) ^ { 2 } } } \right] \, .
\psi ^ { [ - 1 ] } ( t ; \theta ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { \psi ^ { - 1 } ( t ; \theta ) } & { { \mathrm { i f ~ } } 0 \leq t \leq \psi ( 0 ; \theta ) } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } \psi ( 0 ; \theta ) \leq t \leq \infty . } \end{array} } \right.
\begin{array} { r } { W _ { i j } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega , \omega ^ { \prime } ) = \left\langle E _ { i } ( { \bf r } _ { 1 } , \omega ) E _ { j } ^ { * } ( { \bf r } _ { 2 } , \omega ^ { \prime } ) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { h } ( u , w ) - a ( u , w ) } & { = \bigl ( ( c _ { h } u ^ { e } , w ) _ { \Gamma _ { h } } - ( c u , w ^ { l } ) _ { \Gamma } \bigr ) + \bigl ( ( b _ { h } \cdot \nabla _ { \Gamma _ { h } } u ^ { e } , w ) _ { \Gamma _ { h } } - ( b \cdot \nabla _ { \Gamma } u , w ^ { l } ) _ { \Gamma } \bigr ) } \\ & { \quad - ( \{ b _ { h } ; n _ { E } \} [ u ^ { e } ] , \{ w \} ) _ { \mathcal { E } _ { h } } + \frac { 1 } { 2 } ( | \{ b _ { h } ; n _ { E } \} | [ u ^ { e } ] , [ w ] ) _ { \mathcal { E } _ { h } } } \\ & { = I + I I + I I I + I V . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) } & { \propto } & { \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad , \quad \sigma ^ { 3 } U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) = + U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) } \\ { U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) } & { \propto } & { \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \quad , \quad \sigma ^ { 3 } U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) = - U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) } \end{array}
\chi ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \Vert u \Vert _ { V } \leq \frac 1 2 , } \\ { 0 , } & { \Vert u \Vert _ { V } \geq 1 , } \end{array} \right. \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \Vert D \chi ( u ) \Vert _ { \mathcal { L } ( V ) } \leq 3 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } u \in V ,
Q _ { \lambda \kappa ; \sigma } + Q _ { \sigma \kappa ; \lambda } - \frac { 2 } { 3 } \left( g _ { \sigma \lambda } Q ^ { \nu } { _ { \kappa ; \nu } } + g _ { \kappa ( \lambda } Q _ { \sigma ) } { ^ { \mu } } { _ { ; \mu } } \right) = { \cal Q } _ { \lambda \kappa \sigma } = O ( r ^ { - 1 } )
\begin{array} { r l } { \Delta E } & { = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } + \theta _ { B } } { 2 } \right) , } \\ & { = \Delta _ { B } \left[ \cos \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) - \sin \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) \sin \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) \right] ^ { 2 } , } \\ & { = \Delta _ { B } \left[ \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) + \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \sin \theta _ { A } \sin \theta _ { B } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \mathbf { \Phi } ) = h ( \mathbf { y } ) - h ( \mathbf { n } _ { 1 } ) } & { \overset { ( b ) } = \log _ { 2 } \operatorname* { d e t } ( \pi e \mathbf { B } ) - \log _ { 2 } \operatorname* { d e t } ( \pi e \mathbf { C } ) } \\ & { = \log _ { 2 } \operatorname* { d e t } \Big ( p \mathbf { K } \mathbf { K } ^ { H } \mathbf { C } ^ { - 1 } + \mathbf { I } _ { N } \Big ) , } \end{array}
\pi ( Z ) = \frac { ( 2 n + 1 ) ! } { ( n ! ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { Z } x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } d x = \frac { 1 } { B ( n + 1 , n + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { Z } x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } d x .
\frac { \partial \Psi _ { x } } { \partial t } ( x , z , t ) + \left( \frac { d _ { x } } { k _ { x } } + \alpha _ { x } \right) \Psi _ { x } ( x , z , t ) = - \frac { d _ { x } } { k _ { x } ^ { 2 } } \frac { \partial \sigma ( x , z , t ) } { \partial x } .
F _ { R } = F _ { L } \, \, \frac { \cos \left\{ \sqrt { 2 } \, h \, ( x _ { m } - x _ { L } ) \right\} } { \cos \left\{ h \, ( x _ { m } - x _ { R } ) / \sqrt { 3 } \right\} } = e ^ { - \pi / \sqrt { 2 } h } \frac { \cos \left\{ \sqrt { 2 } \, h \ln \left( \frac { 2 \mu } { m _ { E } } \right) - \pi \right\} } { \cos \left\{ h \left[ \ln \left( \frac { 2 \mu } { m _ { E } } \right) - \ln \left( \frac { 2 \mu } { F _ { R } } \right) \right] / \sqrt { 3 } \right\} } \; .
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { H } } = \left| \left( \partial _ { \mu } + { \frac { i } { 2 } } \left( g ^ { \prime } Y _ { \mathrm { W } } B _ { \mu } + g { \vec { \tau } } { \vec { W } } _ { \mu } \right) \right) \varphi \right| ^ { 2 } - { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } } \left( \varphi ^ { \dagger } \varphi - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { x } _ { i , j , k } = \left( \begin{array} { l } { x _ { i } } \\ { x _ { j } } \\ { x _ { k } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { x _ { 0 } + i \; \Delta x } \\ { y _ { 0 } + j \; \Delta y } \\ { z _ { 0 } + k \; \Delta z } \end{array} \right) = \boldsymbol { x } _ { 0 } + \Delta \boldsymbol { x } \quad \mathrm { w i t h } \quad \begin{array} { l } { i = 0 . . . n _ { x } - 1 } \\ { j = 0 . . . n _ { y } - 1 } \\ { k = 0 . . . n _ { z } - 1 } \end{array} } \end{array}
\mu _ { \alpha \beta } [ l _ { 1 } \neq l _ { 2 } ] = { \frac { \pi ^ { ( D - 3 ) / 2 } } { 2 ^ { D - 2 } } } { \frac { 1 } { \Gamma ( ( D - 1 ) / 2 ) } } \times \sum _ { l _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } \sum _ { l _ { 2 } } ^ { * } \Biggl \{ ( l _ { 1 } ^ { 2 } - l _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { - 3 } s _ { \alpha \beta } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \hat { E } _ { \varepsilon r } ( 0 ) } & { = 2 ( \sigma _ { 0 } r + b _ { 0 } ) + \varepsilon \int _ { \alpha _ { 0 } } ^ { \beta _ { 0 } } \sqrt { f _ { \Delta _ { 0 } } ( s ) [ 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta _ { 0 } } ( s ) ] } \, d s } \\ & { = 2 ( \sigma _ { 0 } r + b _ { 0 } ) + \varepsilon c _ { \varepsilon } , } \end{array}
u ( { \underline { { k } } } , \lambda ) = { \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { + } } } } \left( k ^ { + } + \beta m + { \vec { \alpha } } _ { \perp } \cdot { \vec { k } } _ { \perp } \right) \ \left\{ \begin{array} { l l } { { \chi ( \uparrow ) } } & { { \lambda = \uparrow } } \\ { { \chi ( \downarrow ) } } & { { \lambda = \downarrow } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { 2 \mathcal { R } \left( \mathbf { h } _ { k } ^ { H } \mathbf { w } _ { 0 } ^ { ( t - 1 ) } { \mathbf { h } } _ { k } ^ { H } \mathbf { w } _ { 0 } \right) - \left| { \mathbf { h } } _ { k } ^ { H } \mathbf { w } _ { 0 } ^ { ( t - 1 ) } \right| ^ { 2 } } \\ { \geq } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \left( \lambda _ { k } + \kappa _ { k } \right) ^ { 2 } - \left( \lambda _ { k } ^ { ( t - 1 ) } - \kappa _ { k } ^ { ( t - 1 ) } \right) \left( \lambda _ { k } - \kappa _ { k } \right) \right. } \\ & { \left. + \left( \lambda _ { k } ^ { ( t - 1 ) } - \kappa _ { k } ^ { ( t - 1 ) } \right) ^ { 2 } \right) , \quad \forall k \in \mathcal { K } . } \end{array}
| { E _ { \omega } } \rangle = \sum _ { j } ^ { } { { e _ { j } } b _ { j } ^ { \dag } | 0 \rangle } + \int { d z { \phi _ { L } } ( z ) a _ { L } ^ { \dag } ( z ) | 0 \rangle } + \int { d z { \phi _ { R } } ( z ) a _ { R } ^ { \dag } ( z ) | 0 \rangle } .
\left\{ \begin{array} { r l r } { \boldsymbol { t } ( \boldsymbol { x } ) } & { \approx \hat { \boldsymbol { t } } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { \theta } ) } & { i n \quad \Gamma _ { u } , } \\ { \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { \approx \boldsymbol { \phi } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { \theta } ) } & { i n \quad \Gamma _ { t } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \mathcal { M } ( \theta ) } { d \theta ^ { 2 } } } & { = ( \rho - 1 , \rho U , G ) ^ { T } \left\{ D _ { ( \rho _ { \theta } , \rho _ { \theta } U _ { \theta } , G _ { \theta } ) } ^ { 2 } \mathcal { M } ( \theta ) \right\} ( \rho - 1 , \rho U , G ) } \\ & { = \left[ \nabla _ { ( \rho _ { \theta } , \rho _ { \theta } U _ { \theta } , G _ { \theta } ) } ^ { 2 } \mathcal { M } ( \theta ) \right] _ { i j } \langle f , e _ { i } \rangle _ { v } \langle f , e _ { j } \rangle _ { v } . } \end{array}
\left( d x ^ { 1 } ( \mathbf { u } ) \right) ^ { 2 } = { \frac { 4 R ^ { 2 } \left( r ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( d u ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + 1 6 R ^ { 4 } \left( R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } \right) \left( \mathbf { u } \cdot d \mathbf { u } \right) u ^ { 1 } d u ^ { 1 } + 1 6 R ^ { 4 } \left( u ^ { 1 } \right) ^ { 2 } \left( \mathbf { u } \cdot d \mathbf { u } \right) ^ { 2 } } { \left( R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } \right) ^ { 4 } } } .
- U _ { s } \left[ \bar { P } _ { m c d s w } - \bar { P } _ { m r } \right] + \left[ \bar { Q } _ { m c d s w } - \bar { Q } _ { m r } \right] = 0 , \quad - U _ { s } \left[ \bar { P } _ { e c d s w } - \bar { P } _ { e r } \right] + \left[ \bar { Q } _ { e c d s w } - \bar { Q } _ { e r } \right] = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bf L } ^ { t } ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { { } = } & { - { \bf N } \tilde { \bf L } ^ { - 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) { \bf N } ^ { - 1 } , } \\ { \tilde { \bf L } ^ { \dagger } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { { } = } & { { \bf J } { \tilde { \bar { \bf L } } } ^ { - 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) { \bf K } ^ { - 1 } . } \end{array}
\rho = \frac { m _ { \mathrm { A l } } c _ { \mathrm { A l } } + m _ { \mathrm { N } } c _ { \mathrm { N } } + m _ { \mathrm { A r } } c _ { \mathrm { A r } } } { \sqrt { 3 } n _ { \mathrm { u c } } a ^ { 2 } c } n _ { \mathrm { t o t } }
\begin{array} { r l } { \dot { A } } & { { } = - i g S - \frac { C } { 2 } A + F _ { a } , } \\ { \dot { S } } & { { } = - i g D A - \frac { \gamma } { 2 } S + F _ { + } , } \\ { \dot { D } } & { { } = - 2 i g ( A ^ { * } S - S ^ { * } A ) - \gamma ( D + 1 ) + F _ { z } . } \end{array}
U _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ u ~ s ~ s ~ } } \left( \boldsymbol { \rho } - \boldsymbol { \rho } _ { 0 } \right) \propto \, \exp \left( - \frac { \left| \boldsymbol { \rho } - \boldsymbol { \rho } _ { 0 } \right| ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { P S F } } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { n v _ { i } - \frac { \hbar } { 2 m } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } n } & { { } = \frac { \nu } { 2 \pi } \left( \epsilon _ { i j } \partial _ { t } a _ { j } - \epsilon _ { i j } \partial _ { j } a _ { 0 } \right) , } \\ { \frac { 2 \pi } { \nu } \left( \epsilon _ { i j } n v _ { j } + \frac { \hbar } { 2 m } \partial _ { i } n \right) } & { { } = \partial _ { i } a _ { 0 } - \partial _ { t } a _ { i } , } \end{array}
\mathbf { B } _ { n , m } \left( \mathbf { r } \right) = X _ { n , m } \left( \mathbf { r } \right) \boldsymbol { \hat { x } } + Y _ { n , m } \left( \mathbf { r } \right) \boldsymbol { \hat { y } } + Z _ { n , m } \left( \mathbf { r } \right) \boldsymbol { \hat { z } }
\begin{array} { r l r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } { x - \tau A ^ { * } \left( \hat { y } _ { i } + \frac { 1 } { p _ { i } } ( \hat { y } _ { i } - y _ { i } ) \right) - \hat { x } } & { \in \tau \partial g ( \hat { x } ) } \\ { y _ { i } + \sigma _ { i } A _ { i } x - \hat { y } _ { i } } & { \in \sigma _ { i } \partial f _ { i } ^ { * } ( \hat { y } _ { i } ) } \end{array} \right. } & { \Leftrightarrow } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \in \partial g ( \hat { x } ) - \frac { 1 } { \tau } ( x - \hat { x } ) + A ^ { * } \left( \hat { y } _ { i } + \frac { 1 } { p _ { i } } ( \hat { y } _ { i } - y _ { i } ) \right) } \\ { 0 } & { \in \partial f _ { i } ^ { * } ( \hat { y } _ { i } ) - \frac { 1 } { \sigma _ { i } } ( y _ { i } - \hat { y } _ { i } ) - A _ { i } x } \end{array} \right. } \\ { \Leftrightarrow } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \in \partial g ( \hat { x } ) - \frac { 1 } { \tau } ( x - \hat { x } ) + \frac { 1 } { p _ { i } } A ^ { * } \left( \hat { y } _ { i } - y _ { i } \right) + A ^ { * } \hat { y } _ { i } } \\ { 0 } & { \in \partial f _ { i } ^ { * } ( \hat { y } _ { i } ) - \frac { 1 } { \sigma _ { i } } ( y _ { i } - \hat { y } _ { i } ) - A _ { i } ( x - \hat { x } ) - A _ { i } \hat { x } } \end{array} \right. } & { \Leftrightarrow } & { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \in F _ { i } \left( \begin{array} { l } { \hat { x } } \\ { \hat { y _ { i } } } \end{array} \right) - O _ { i } ^ { \tau , \sigma ^ { i } } \left( \begin{array} { l } { \hat { x } - x } \\ { \hat { y _ { i } } - y _ { i } } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \ell ( \mathbf { y } ) } & { = \operatorname* { m a x } ( 0 , \Delta ( \mathbf { y } , \mathbf { t } ) + \langle \mathbf { w } , \phi ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) \rangle - \langle \mathbf { w } , \phi ( \mathbf { x } , \mathbf { t } ) \rangle ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } ( 0 , \operatorname* { m a x } _ { y \in { \mathcal { Y } } } \left( \Delta ( \mathbf { y } , \mathbf { t } ) + \langle \mathbf { w } , \phi ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) \rangle \right) - \langle \mathbf { w } , \phi ( \mathbf { x } , \mathbf { t } ) \rangle ) } \end{array} }
F _ { 2 } ^ { U } ( z , Q ^ { 2 } ) = \frac { 4 } { 9 } z ( q _ { \frac { u } { U } } + q _ { \frac { \bar { u } } { U } } ) + \frac { 1 } { 9 } z ( q _ { \frac { d } { U } } + q _ { \frac { \bar { d } } { U } } + q _ { \frac { s } { U } } + q _ { \frac { \bar { s } } { U } } ) + . . .
\begin{array} { l l } { { | V _ { u d } | = 0 . 9 7 3 5 \pm 0 . 0 0 0 8 } } & { { | V _ { u b } / V _ { c b } | = 0 . 0 9 0 \pm 0 . 0 2 5 } } \\ { { | V _ { c b } | = 0 . 0 4 0 5 \pm 0 . 0 0 1 9 } } & { { | V _ { t b } ^ { * } V _ { t d } | = 0 . 0 0 8 3 \pm 0 . 0 0 1 6 . } } \end{array}