harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } = L _ { 1 2 } L _ { 2 3 } ^ { 2 } + L _ { 2 3 } L _ { 1 3 } ^ { 2 } + L _ { 1 3 } L _ { 1 2 } ^ { 2 } } \\ & { C _ { \theta } = \theta L _ { 1 2 } L _ { 2 3 } ^ { 2 } + \sigma ( \theta ) L _ { 2 3 } L _ { 1 3 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ( \theta ) L _ { 1 3 } L _ { 1 2 } ^ { 2 } } \\ & { C _ { \theta ^ { 2 } } = \theta ^ { 2 } L _ { 1 2 } L _ { 2 3 } ^ { 2 } + \sigma ( \theta ^ { 2 } ) L _ { 2 3 } L _ { 1 3 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ( \theta ^ { 2 } ) L _ { 1 3 } L _ { 1 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \exp ( \iota t L ) ( \iota t Q ) ^ { 2 } } & { = \left[ \frac { \iota t } { \vartheta } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \right] ^ { 2 } \times \left[ \sum _ { i < j } \mathbb { E } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } \ell _ { k } \right) q _ { i j } ^ { 2 } \right. } \\ & { \qquad + \sum _ { i < j = k < l } \mathbb { E } \prod _ { m \neq i , j , l } ^ { n } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } \ell _ { m } \right) q _ { i j } q _ { j l } } \\ & { \qquad \left. + \sum _ { i < j < k < l } \mathbb { E } \prod _ { m \neq i , j , k , l } ^ { n } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } \ell _ { m } \right) q _ { i j } q _ { k l } \right] } \\ & { = \left[ \frac { \iota t } { \vartheta } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \right] ^ { 2 } \times \left[ \psi ^ { n - 2 } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) \binom { n } { 2 } \mathbb { E } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } ) \right) q _ { 1 2 } ^ { 2 } \right. } \\ & { \qquad + \psi ^ { n - 3 } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) \binom { n } { 3 } \mathbb { E } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } + \ell _ { 3 } ) \right) q _ { 1 2 } q _ { 2 3 } } \\ & { \qquad \left. + \psi ^ { n - 4 } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) \binom { n } { 4 } \left( \mathbb { E } \exp \left( \frac { \iota t } { \vartheta n } ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } ) \right) q _ { 1 2 } \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\tau _ { i j } = \mu \left( { \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial v _ { j } } { \partial x _ { i } } } - { \frac { 2 } { 3 } } \delta _ { i j } \nabla \cdot \mathbf { v } \right) + \kappa \delta _ { i j } \nabla \cdot \mathbf { v }
\ln \mathrm { d e t } _ { { S c h } } = \quad - ( \mathrm { n o . ~ b o u n d ~ s t a t e s } ) X \quad \left[ \ln \left( \displaystyle \frac { \mathrm { n o . ~ b o u n d ~ s t a t e s } } { m a } \right) + 0 ( 1 ) \right] .
\begin{array} { r l } { \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) } & { { } = \frac { 1 } { n _ { i } } \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \, f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { f ( m ^ { 2 } , q ^ { 2 } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle ( 1 - x ) z \ln \frac { z + 1 } { z - 1 } - 2 , \mathrm { ~ f o r ~ } x < 0 , } } \\ { { \displaystyle ( 1 - x ) z ~ 2 \arctan \frac { 1 } { z } - 2 , \mathrm { ~ f o r ~ } 0 < x < 1 , } } \\ { { \displaystyle ( 1 - x ) z \left[ \ln \frac { 1 + z } { 1 - z } - i \pi \right] - 2 , \mathrm { ~ f o r ~ } 1 < x , } } \end{array} \right. } } \\ { { z } } & { { = } } & { { \displaystyle \sqrt { \left| 1 - \frac { 1 } { x } \right| } , } } \\ { { x } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { q ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \eta _ { 0 } = \eta _ { u } } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \right] } \\ & { = \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } { 1 - ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] } , } \end{array}
T ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c c } { \gamma } & { \gamma \beta } & { 0 } & { 0 } \\ { \gamma \beta } & { \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c c } { \rho _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c c } { \gamma } & { \gamma \beta } & { 0 } & { 0 } \\ { \gamma \beta } & { \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { \gamma ^ { 2 } \rho _ { 0 } } & { \gamma ^ { 2 } \rho _ { 0 } \beta } & { 0 } & { 0 } \\ { \gamma ^ { 2 } \rho _ { 0 } \beta } & { \gamma ^ { 2 } \rho _ { 0 } \beta ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
( d - 2 a _ { 6 } - a _ { 1 } - a _ { 2 } ) = a _ { 1 } { \bf 1 ^ { + } } ( { \bf 6 ^ { - } } - { \bf 3 ^ { - } } ) + a _ { 2 } { \bf 2 ^ { + } } ( { \bf 6 ^ { - } } - { \bf 4 ^ { - } } ) \, .
| | \rho ^ { 2 } t ^ { - 1 } \partial _ { \rho } u | | _ { L ^ { 2 } ( H _ { \rho } ) } \leq | | \frac \rho t ( K u + 2 u ) | | _ { L ^ { 2 } ( H _ { \rho } ) } + | | \rho \, \overline { { \partial } } _ { i } u | | _ { L ^ { 2 } ( H _ { \rho } ) } + 2 | | \frac \rho t u | | _ { L ^ { 2 } ( H _ { \rho } ) } \leq 6 E _ { \mathrm { c o n } } ( \rho , u ) ^ { \frac 1 2 } ,
S = \frac { 1 } { 2 } \int \left( ( e ^ { - \Phi } Q _ { B } e ^ { \Phi } ) ( e ^ { - \Phi } \eta _ { 0 } e ^ { \Phi } ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ( e ^ { - t \Phi } \partial _ { t } e ^ { t \Phi } ) \left\{ ( e ^ { - t \Phi } Q _ { B } e ^ { t \Phi } ) , ( e ^ { - t \Phi } \eta _ { 0 } e ^ { t \Phi } ) \right\} \right) \ .
h _ { a } ^ { x } = ( 1 , \bar { 2 } , 2 ) = \left( \begin{array} { c c } { { { h _ { 2 } } ^ { + } } } & { { { h _ { 1 } } ^ { 0 } } } \\ { { { h _ { 2 } } ^ { 0 } } } & { { { h _ { 1 } } ^ { - } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { f _ { x } ^ { \prime } ( u _ { 0 } , \hat { u } _ { 0 } ) = \frac { n } { k } \left( p _ { 0 } ( u _ { 0 } ) - \int _ { u _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { x - \hat { u } _ { 0 } } { u _ { 0 } - \hat { u } _ { 0 } } \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } { \overline { { F } } _ { 0 } ( x ) } d x \right) , } \\ { f _ { y } ^ { \prime } ( u _ { 0 } , \hat { u } _ { 0 } ) = \frac { n } { k } \int _ { u _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { x - u _ { 0 } } { u _ { 0 } - \hat { u } _ { 0 } } \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } { \overline { { F } } _ { 0 } ( x ) } d x . } \end{array}
\displaystyle { \operatorname* { m i n } _ { \varphi } } \left\{ \left| \left| f _ { h } - \mathcal { R } \varphi \right| \right| _ { 2 } ^ { 2 } + J _ { s } ( \varphi ) + J _ { d } ( \varphi ) + J _ { b } ( \varphi , \varphi _ { b } ) \right\} ,
\boldsymbol x _ { t + 1 } \sim \mathrm { ~ D ~ i ~ r ~ i ~ c ~ h ~ l ~ e ~ t ~ - ~ m ~ u ~ l ~ t ~ i ~ n ~ o ~ m ~ i ~ a ~ l ~ } ( N _ { t + 1 } , f _ { 1 } ( x _ { t } ^ { 1 } / N _ { t } ) \, x _ { t } ^ { 1 } , \ldots , f _ { k } ( x _ { t } ^ { k } / N _ { t } ) \, x _ { t } ^ { k } ) .
c _ { 2 } = - \frac { m } { \hbar ^ { 2 } n ^ { 2 } } \frac { \langle H _ { \mathrm { k i n } } \rangle } { N } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \langle k ^ { 2 } \rangle } { n ^ { 2 } } \ ,
\mathcal { N } = t r \int d ^ { 3 } x \left( A _ { \mu } \frac \delta { \delta A _ { \mu } } + c \frac \delta { \delta c } + A _ { \mu } ^ { * } \frac \delta { \delta A _ { \mu } ^ { * } } + c ^ { * } \frac \delta { \delta c ^ { * } } \right) \; .
( { \bf { I } } { \partial _ { t } } + { \bf { D } } ) { \bf { m } } + \frac { { \Delta t } } { 2 } { ( { \bf { I } } { \partial _ { t } } + { \bf { D } } ) ^ { 2 } } { \bf { m } } + O ( \Delta { t ^ { 2 } } ) = - \frac { { \bf { S } } } { { \Delta t } } ( { \bf { m } } - { { \bf { m } } ^ { e q } } ) + { \bf { \tilde { F } } } + \frac { { \Delta t } } { 2 } ( { \bf { I } } { \partial _ { t } } + { \bf { D } } ) { \bf { \tilde { F } } }
{ \frac { 1 } { \pi \beta _ { 0 } \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } } } + { \frac { a _ { 1 } } { \pi \left( \beta _ { 0 } \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } + \cdots
\begin{array} { r l } { h _ { m , n } ( x ) = } & { { } \frac { \alpha ^ { m } } { ( m - 1 ) ! } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { n - m } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } t ^ { m - 1 } e ^ { - \frac { ( x - t - Q _ { n - m } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { n - m } ^ { 2 } } - \alpha t } H ( t ) d t } \\ { = } & { { } \frac { \alpha ^ { m } } { ( m - 1 ) ! } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { n - m } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } t ^ { m - 1 } e ^ { - \frac { ( x - t - Q _ { n - m } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { n - m } ^ { 2 } } - \alpha t } d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X ( x , k ) = I - \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } X ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } , } \\ & { Y ( x , k ) = I + \int _ { - \infty } ^ { x } e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } Y ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } . } \end{array}
q ( x , v ) = \rho _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( x , v _ { x } , t _ { f } ) = \frac { m \omega \chi } { \pi k _ { B } T } \exp { \left( - \chi \frac { m \Omega _ { i } ^ { 2 } } { k _ { b } T } x ^ { 2 } - \frac { m } { k _ { b } T } v ^ { 2 } \right) } \, ,
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { W } S ( X , Y , Z ) } \\ & { \quad = \nabla _ { W } ( S ( X , Y , Z ) ) - S ( \nabla _ { W } X , Y , Z ) - S ( X , \nabla _ { W } Y , Z ) - S ( X , Y , \nabla _ { W } Z ) } \\ & { \quad = \nabla _ { W } ( \langle Y , Z \rangle X ) - \nabla _ { W } ( \langle X , Z \rangle Y ) - S ( \nabla _ { W } X , Y , Z ) - S ( X , \nabla _ { W } Y , Z ) - S ( X , Y , \nabla _ { W } Z ) } \\ & { \quad = W \langle Y , Z \rangle X + \langle Y , Z \rangle \nabla _ { W } X - \nabla _ { W } \langle X , Z \rangle Y - \langle X , Z \rangle \nabla _ { W } Y - \langle Z , Y \rangle \nabla _ { W } X } \\ & { \quad \quad \, + \langle Z , \nabla _ { W } X \rangle Y - \langle Z , \nabla _ { W } Y \rangle X + \langle Z , X \rangle \nabla _ { W } Y - \langle Y , \nabla _ { W } Z \rangle X + \langle X , \nabla _ { W } Z \rangle Y } \\ & { \quad = 0 . } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ( T _ { b b } ) = \Gamma _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ l ~ t ~ } } \int _ { \nu _ { \mathrm { ~ w ~ g ~ } } } ^ { \nu _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ l ~ t ~ } } } \frac { h \nu } { \exp ( { \frac { h \nu } { k _ { B } T _ { b b } } ) } - 1 } d \nu .
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial u } { \partial \mathbf { x } } \right| _ { \mathbf { x } _ { i } } } & { { } \approx \frac { u \left( \mathbf { x } _ { i } + \Delta \mathbf { x } \right) - u \left( \mathbf { x } _ { i } - \Delta \mathbf { x } \right) } { 2 \Delta \mathbf { x } } , } \\ { \left. \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial \mathbf { x } ^ { 2 } } \right| _ { \mathbf { x } _ { i } } } & { { } \approx \frac { u \left( \mathbf { x } _ { i } + \Delta \mathbf { x } \right) - 2 u \left( \mathbf { x } _ { i } \right) + u \left( \mathbf { x } _ { i } - \Delta \mathbf { x } \right) } { \Delta \mathbf { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
\Sigma _ { n } ( E ) = \frac { \eta } { \pi \hbar } \sum _ { m } | \langle m | q | n \rangle | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } \frac { ( E ^ { \prime } - E _ { m } ) ( \frac { E ^ { \prime } - E _ { m } } { \hbar } ) ^ { 2 } \theta ( E ^ { \prime } - E _ { m } ) d E ^ { \prime } } { E ^ { \prime } - E - i \epsilon }
\frac { B r ( B \to X _ { s } \nu \bar { \nu } ) } { B r ( B \to X _ { c } e \bar { \nu } ) } = \frac { 3 \alpha ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \Theta _ { \mathrm { W } } } \frac { | V _ { t s } | ^ { 2 } } { | V _ { c b } | ^ { 2 } } \frac { X ^ { 2 } ( x _ { t } ) } { f ( z ) } \frac { \bar { \eta } } { \kappa ( z ) } \, .
| a _ { x y } | = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \sqrt { ( v _ { { x } _ { i + 1 } } - v _ { { x } _ { i } } ) ^ { 2 } + ( v _ { { y } _ { i + 1 } } - v _ { { y } _ { i } } ) ^ { 2 } } } { \Delta t ( N - 1 ) }
\begin{array} { r l } { \| A - \tilde { A } \| + \left\| \frac { A + \tilde { A } } { 2 } \right\| ^ { 2 } } & { { } \leq \kappa \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } + \frac { 1 } { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Xi } } & { = \frac { 1 } { v _ { \mathrm { p } } ^ { 2 N } } \sum _ { n _ { \gamma } = 0 } ^ { \infty } \prod _ { \gamma } \frac { e ^ { \mu _ { \gamma } n _ { \gamma } } } { n _ { \gamma } ! v _ { \gamma } ^ { n _ { \gamma } } } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \int \mathrm { \hat { D } } \{ \mathbf { R } _ { j } \} \prod _ { \kappa = 1 } ^ { n _ { \gamma } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } _ { \gamma , \kappa } } \\ & { \exp ( - \mathcal { H } ) \prod _ { \mathbf { r } } \delta \left[ \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - 1 \right] } \\ & { \times \delta \left[ \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \mathbf { R } _ { 1 } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { 1 } \right] \delta \left[ \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \mathbf { R } _ { 2 } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { 0 } ( t ) } { \partial t } } & { { } = W _ { 1 } ^ { - } P _ { 1 } ( t ) , } \\ { \frac { \partial P _ { N } ( t ) } { \partial t } } & { { } = W _ { N - 1 } ^ { + } P _ { N - 1 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { \textmd a } _ { i } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { j } \right] ^ { + } } & { { } = \delta _ { i j } } \\ { \left[ \hat { \textmd a } _ { i } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { j } ^ { \dagger } \right] ^ { + } } & { { } = \left[ \hat { \textmd a } _ { i } , \hat { \textmd a } _ { j } \right] ^ { + } = 0 } \\ { \left[ \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { J } \right] ^ { + } } & { { } = \delta _ { I J } } \\ { \left[ \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { J } ^ { \dagger } \right] ^ { + } } & { { } = \left[ \hat { \textmd a } _ { I } , \hat { \textmd a } _ { J } \right] ^ { + } = 0 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \nabla \Pi _ { k _ { \diamond } } ^ { \nabla } w , \nabla q ) _ { L ^ { 2 } ( E ) } = ( \nabla w , \nabla q ) _ { L ^ { 2 } ( E ) } \qquad \forall \, q \in \mathbb { P } _ { k _ { \diamond } } ( E ) , } \\ { ( \Pi _ { k _ { \diamond } } ^ { \nabla } w , 1 ) _ { L ^ { 2 } ( \partial E ) } = ( w , 1 ) _ { L ^ { 2 } ( \partial E ) } . } \end{array} \right.
P _ { 1 } ( i \leftrightarrow j ) = \mathbb { E } _ { x _ { i } , x _ { j } } [ p _ { i j } ( w _ { i } , w _ { j } , x _ { i } , x _ { j } ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ \frac { w _ i ~ w _ j } { k } ~ \geq ~ \frac { \mu } { 2 ^ d } ~ } } \\ { \frac { C _ { 1 } } { 1 + C _ { 1 } } \frac { w _ { i } w _ { j } } { k } + o ( \frac { w _ { i } w _ { j } } { k } ) } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\hat { \cal L } = \frac { 1 } { G _ { s } ( 2 \pi ) ^ { p } ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \frac { p + 1 } { 2 } } } \left( \sqrt { \mathrm { d e t } ( G + 2 \pi \alpha ^ { \prime } \hat { F } ) } \right) _ { \star } ,
\begin{array} { r l } { \Psi ( | x | ^ { \frac { 1 } { 2 } } z , x ) } & { = e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } | x | ^ { \frac { \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } \mathbf { R } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( 0 ) } ( z ) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { \overline { { s } } _ { * } e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) e ^ { x ^ { 2 } g ( z ) \sigma _ { 3 } } } \\ & { = e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } | x | ^ { \frac { \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } \mathbf { R } ( z ) \mathbf { E } ^ { ( 0 ) } ( z ) \Phi ^ { ( \mathrm { B e s } ) } ( x ^ { 2 } \varphi _ { 4 } ( z ) ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) \left[ s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) \right] ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { \bar { s } _ { * } e ^ { - 2 \pi i \alpha } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\langle \hat { { \cal O } } _ { n } ( \vec { z } ) \hat { { \cal O } } _ { n } ( \vec { z } ^ { \prime } ) \rangle \, = \, \frac { B _ { { \hat { { \cal O } } _ { n } } , \hat { { \cal O } } _ { n } } } { ( \vec { z } - \vec { z } ^ { \prime } ) ^ { 2 \hat { \Delta } _ { n } } } \,
\begin{array} { r l r l } { \tilde { D } _ { x } } & { { } = D _ { x } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \in M , } & { \tilde { D } _ { x } } & { { } = T _ { x } \tilde { M } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \in \tilde { M } \backslash M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { h } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 s } | \mathcal { F } _ { h } [ u _ { h } ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi , } \\ { \| u _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } ( 1 + M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 } ) ^ { s } | \mathcal { F } _ { h } [ u _ { h } ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i - 1 } c _ { i } } & { \mapsto c _ { i - 2 } c _ { i - 1 } c _ { i } \cup D , } \\ { c _ { i - 1 } c _ { i + 1 } } & { \mapsto c _ { i - 1 } c _ { i } c _ { i + 1 } \cup D , } \\ { c _ { i - 1 } c _ { i + 2 } } & { \mapsto c _ { i + 2 } c _ { i + 3 } c _ { i - 1 } \cup D } \\ { c _ { i + 1 } c _ { i + 2 } } & { \mapsto c _ { i + 1 } c _ { i + 2 } c _ { i - 2 } \cup D , } \\ { c _ { i } c _ { i + 1 } } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { i } c _ { i + 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = i + 1 , } \\ { c _ { i } c _ { i + 1 } c _ { i + 2 } \cup D } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = i + 2 , } \end{array} \right. } \\ { c _ { i } c _ { i + 2 } } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { i } c _ { i + 1 } c _ { i + 2 } \cup D } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = i + 1 , } \\ { c _ { i } c _ { i + 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = i + 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
H _ { i j } = \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { i j } } { R ^ { 3 } } \left[ \frac { J _ { \perp } } { 2 } \left( S _ { i } ^ { + } S _ { j } ^ { - } + \mathrm { { h . c . } } \right) \right] ,
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \eta } } } & { = { \frac { p ^ { 2 } - p _ { 0 } ^ { 2 } } { p ^ { 2 } + p _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathbf { \hat { w } } + { \frac { 2 p _ { 0 } } { p ^ { 2 } + p _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathbf { p } } \\ & { = { \frac { m k - r p _ { 0 } ^ { 2 } } { m k } } \mathbf { \hat { w } } + { \frac { r p _ { 0 } } { m k } } \mathbf { p } , } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { x ^ { ( k + 1 ) } } & { = x ^ { ( k ) } - { \frac { 1 } { n + 1 } } P _ { ( k ) } { \tilde { g } } ^ { ( k + 1 ) } } \\ { P _ { ( k + 1 ) } } & { = { \frac { n ^ { 2 } } { n ^ { 2 } - 1 } } \left( P _ { ( k ) } - { \frac { 2 } { n + 1 } } P _ { ( k ) } { \tilde { g } } ^ { ( k + 1 ) } { \tilde { g } } ^ { ( k + 1 ) T } P _ { ( k ) } \right) } \end{array} }
g _ { 3 } = \left[ \begin{array} { c c c } { - \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 3 } x } \\ { - \alpha \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 3 } y } \\ { \alpha ( 1 + \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } ^ { 2 } ) - \alpha _ { 3 } z } \end{array} \right] , g _ { 4 } = \left[ \begin{array} { c c c } { \alpha \alpha _ { 1 } + x } \\ { \alpha \alpha _ { 2 } + y } \\ { \alpha \alpha _ { 3 } + z } \end{array} \right]
{ n _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } , n _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } } \sim \mathcal { N } ( 0 , 1 0 ) ; \phi _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } , \phi _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } } \sim \mathcal { N } ( 0 , \frac { \pi } { 6 } ) } ; \newline { { f _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } , f _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } } \sim \mathcal { N } ( 0 , 2 0 ) ; \gamma _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } , \gamma _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } } \sigma _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } , \sigma _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ f ~ f ~ ) ~ } } \sim \mathcal { N } ( 1 , 1 0 ) } }
\left( \begin{array} { l l } { f _ { \mu } ^ { c } I - \Theta _ { u } } & { f _ { \eta } ^ { c } I } \\ { g _ { \mu } ^ { c } I } & { g _ { \eta } ^ { c } I - \Theta _ { v } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \bf \xi } } \\ { { \bf \zeta } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 8 \zeta \lambda } { \mu } f } & { { } = } & { 1 + \lambda ^ { 3 } + \zeta \big [ 6 + \zeta + ( 2 + \zeta ) \lambda ^ { 3 } \big ] + r ^ { 2 } ( 1 + \zeta ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \tilde { x } _ { i + 1 } ) } & { \leq f ( \tilde { x } _ { i } ) + \langle \nabla f ( \tilde { x } _ { i } ) , \tilde { x } _ { i + 1 } - \tilde { x } _ { i } \rangle + \frac { L } { 2 } \| \tilde { x } _ { i + 1 } - \tilde { x } _ { i } \| ^ { 2 } = f ( \tilde { x } _ { i } ) - \eta _ { i } \langle \nabla f ( \tilde { x } _ { i } ) , \tilde { d } _ { i } \rangle + \frac { L \eta _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { = f ( \tilde { x } _ { i } ) - \eta _ { i } \langle \bar { \nu } _ { i } , \tilde { d } _ { i } \rangle - \eta _ { i } \langle \nabla f ( \tilde { x } _ { i } ) - \bar { \nu } _ { i } , \tilde { d } _ { i } \rangle + \frac { L \eta _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } f ( \tilde { x } _ { i } ) - ( \frac { \rho \eta _ { i } } { \lambda } - \frac { L \eta _ { i } ^ { 2 } } { 2 } ) \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } - \eta _ { i } \langle \nabla f ( \tilde { x } _ { i } ) - \bar { \nu } _ { i } , \tilde { d } _ { i } \rangle } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } f ( \tilde { x } _ { i } ) - \left( \frac { \rho \eta _ { i } } { \lambda } - \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } L } { 2 } \right) \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { \rho \eta _ { i } } { 4 \lambda } \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda \eta _ { i } } { \rho } \| \bar { \nu } _ { i } - \nabla f ( \tilde { x } _ { i } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( c ) } { \leq } f ( \tilde { x } _ { i } ) - \left( \frac { 3 \rho \eta _ { i } } { 4 \lambda } - \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } L } { 2 } \right) \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { \lambda \eta _ { i } } { \rho } \| \bar { e } _ { i } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { j } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { b } ^ { 2 } + \frac { N _ { j } } { \Delta + i } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ n ~ - ~ v ~ a ~ c ~ u ~ u ~ m ~ s ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ v ~ a ~ c ~ u ~ u ~ m ~ s ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
\widetilde { \boldsymbol { n } } _ { i j } = ( \tilde { n } _ { i j } ^ { t } , \tilde { n } _ { i j } ^ { x } , \tilde { n } _ { i j } ^ { y } ) = \left( \frac { \partial \widetilde { \mathbf { x } } } { \partial \chi } \times \frac { \partial \widetilde { \mathbf { x } } } { \partial \tau } \right) / \| \frac { \partial \widetilde { \mathbf { x } } } { \partial \chi } \times \frac { \partial \widetilde { \mathbf { x } } } { \partial \tau } \| ,
W \: \sim \frac { 1 } { q B } \qquad \Longrightarrow \qquad - \frac { S _ { E } } { \hbar } - W = - \frac { \pi q } { \hbar B } \, \biggl ( 1 + \tilde { \sigma } \frac { \hbar } { q ^ { 2 } } \biggr ) + \cdots ,