harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
D _ { 1 } = \operatorname* { m a x } \{ | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } , \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) \pi _ { 1 } ^ { L B } } | | \frac { d _ { \rho ^ { \pi ^ { * } } } ^ { \pi ^ { * } } } { \mu ^ { P } } | | _ { \infty } \} , \ D _ { 2 } = | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } + \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) \pi _ { 1 } ^ { L B } } | | \frac { d _ { \rho ^ { \pi ^ { * } } } ^ { \pi ^ { * } } } { \mu ^ { P } } | | _ { \infty }
D ( x ) = - \frac { 4 } { 9 } \ln x + \frac { - 1 9 x ^ { 3 } + 2 5 x ^ { 2 } } { 3 6 ( x - 1 ) ^ { 3 } } + \frac { x ^ { 2 } ( 5 x ^ { 2 } - 2 x - 6 ) } { 1 8 ( x - 1 ) ^ { 4 } } \ln x ,
\mathcal { U } _ { 1 } ( t , t _ { 0 } ) \approx \prod _ { t _ { j } = t _ { 0 } } ^ { t _ { N - 1 } } U ( t _ { j } + \Delta t , t _ { j } ) = \prod _ { t _ { j } = t _ { 0 } } ^ { t _ { N - 1 } } \prod _ { k = 1 } ^ { K } e ^ { - i h _ { k } ( t _ { j } + \Delta t / 2 ) P _ { k } \Delta t } .
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } ^ { \pm } } & { { } = e ^ { \mu ( \nu _ { 1 } ) } \left[ n _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } \pm \delta _ { n _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } } ^ { \pm } \right] / p _ { \mu ( \nu _ { 1 } ) } } \\ { m _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } ^ { \pm } } & { { } = e ^ { \mu ( \nu _ { 1 } ) } \left[ m _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } \pm \delta _ { m _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } } ^ { \pm } \right] / p _ { \mu ( \nu _ { 1 } ) } } \end{array}
H _ { a x i a l } = \int d ^ { 3 } x \frac { 1 } { 2 } [ ( \frac { \partial _ { I } } { \partial _ { 3 } } \pi _ { I } ) ^ { 2 } + \pi _ { I } ^ { 2 } - A _ { I } \partial ^ { 2 } A _ { I } - ( \partial _ { I } A _ { I } ) ^ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { \ddot { \xi } _ { a } + k _ { a } ^ { 2 } c ^ { 2 } \left( 1 - \frac { F _ { 0 } } { g _ { 0 } } \cos ( \Omega t ) \right) \xi _ { a } } & { = 0 } \\ { \Rightarrow \frac { 1 } { \tilde { c } ^ { 2 } } \ddot { \xi } _ { a } + \left( k _ { a } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } k _ { a } ^ { 2 } F _ { 0 } \sin ^ { 2 } ( \omega _ { 0 } t ) \right) \xi _ { a } } & { = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ z ( t ) , p _ { z } ( t ) \right] } & { \approx { \frac { 2 i \hbar e ^ { 2 } } { 3 \pi m c ^ { 3 } } } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d x } { x ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 6 } } } } \\ & { = \left( { \frac { 2 i \hbar e ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \pi m c ^ { 3 } } } \right) \left( { \frac { \pi } { \tau \omega _ { 0 } ^ { 3 } } } \right) } \\ & { = i \hbar } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) \delta \geq \left( \sum _ { i \in [ m _ { 1 } ] } U _ { i } - \sum _ { j \in [ m _ { 2 } ] } V _ { j } \right) \geq 0 \right) } \\ & { \geq \mathbb { P } \left( 1 \geq \mathcal { N } ( 0 , 1 ) \geq 0 \right) - \sqrt { \frac { 2 } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) q } } \geq \frac { 1 } { 4 } - \sqrt { \frac { 2 } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) q } } . } \end{array}
\mathbf { v } ^ { n + 1 } = \mathbf { v } ^ { n } - { \Delta t } \, \nabla \cdot ( \mathbf { v } ^ { n } \otimes \mathbf { v } ^ { n } ) + { \Delta t } \, \nu \Delta \mathbf { v } ^ { * } - { \Delta t } \, \nabla p ^ { n } + { \Delta t } \, \nabla p ^ { n } - { \Delta t } \, \nabla p ^ { n + 1 } .
\sigma _ { \mathrm { R } } = v _ { \mathrm { R } } - \frac { \lambda _ { \mathrm { R } } } { 2 } \frac { \tilde { I } _ { 1 } ^ { \zeta } } { v _ { \mathrm { R } } } + O ( \lambda _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } )
I _ { l \omega } = ( - 1 ) ^ { l } \times 2 \, \langle I _ { \mathrm { ~ t ~ } } \rangle \, \frac { \mathfrak { I } _ { l } ( 2 \kappa A ) } { \mathfrak { I } _ { 0 } ( 2 \kappa A ) } , \qquad l = 1 , 2 , 3 , . . .
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { s a l t } } ( { H } ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { { H } / 2 } d z \ \mathcal { M } _ { \mathrm { s } Q } ( z ) } { \frac { N } { V } \int _ { 0 } ^ { { H } / 2 } d z \ \mathcal { M } _ { q Q } ( z ) } } \end{array}
\mathrm { ~ E ~ r ~ r ~ o ~ r ~ } = \frac { p _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } - p _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { p _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } }
d s ^ { 2 } = - \Delta ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( { d \theta } ^ { 2 } + { \sin } ^ { 2 } \theta { d \varphi } ^ { 2 } \right) ~ ~ ,
\dot { \varepsilon } _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } + \varepsilon _ { 1 } ^ { m _ { 1 } ^ { \prime } } g _ { 1 ~ ~ 1 } ^ { m _ { 1 } ^ { \prime } m _ { 1 } } = 0 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ m _ { 1 } ^ { \prime } = m _ { 1 } - 1 , \cdots , 3
\mathcal { V } _ { B } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { V } _ { B , N e w t } \approx 3 7 . 5 R ^ { 3 } } & { \mathrm { ~ : ~ } \quad \mathrm { ~ W ~ i ~ } < 0 . 5 } \\ { \mathcal { V } _ { B , s t r a n d } \approx 2 5 0 \uppi R ^ { 3 } / L } & { \mathrm { ~ : ~ } \quad \mathrm { ~ W ~ i ~ } \geq 0 . 5 } \end{array} \right. ,
+ \left[ | x | - { \frac { 4 } { 9 4 5 } } | y | ^ { 3 } + { \frac { 2 } { 4 5 } } | x | | y | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } | x | ^ { 2 } | y | + { \frac { 8 } { 1 5 } } | x | ^ { 5 / 2 } | y | ^ { 1 / 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } | x | ^ { 3 } \left( - { \frac { 1 7 } { 6 } } - \psi \left( \frac { 1 } { 2 } \right) + \ln { \frac { | x | ^ { 2 } } { | y | } } \right) \right] \cos { \frac { \bar { \theta } } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \textrm { G O } - \mathrm { C O O H } \mathrm { ( a q ) } } & { \rightleftharpoons } & { \textrm { G O } - \mathrm { C O O } ^ { - } \mathrm { ( a q ) } + \mathrm { H } ^ { + } \mathrm { ( a q ) } } \\ { \textrm { G O } - \mathrm { C O O H } _ { 2 } ^ { + } \mathrm { ( a q ) } } & { \rightleftharpoons } & { \textrm { G O } - \mathrm { C O O H } \mathrm { ( a q ) } + \mathrm { H } ^ { + } \mathrm { ( a q ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) } & { { } = S j ( \mathbf { x } _ { 1 } ) j ( \mathbf { x } _ { 2 } ) \ldots { } j ( \mathbf { x } _ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( x , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 3 } c ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \int \! \frac { d k } { \sqrt { | k | } } \, \exp [ \mathrm { i } k x - \Delta x ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } - \mathrm { i } c | k | t ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } _ { n } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) } \\ { = } & { \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mu _ { 1 } ( 1 - \alpha ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \nu _ { 1 } ( 1 - \beta ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] ( 1 - \mu _ { 1 } - \nu _ { 1 } ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] ( 1 - \mu _ { 2 } - \nu _ { 2 } ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mu _ { 1 } \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] \mu _ { 2 } \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \nu _ { 1 } \beta } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] \nu _ { 2 } \beta } \\ & { + c \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \alpha ( 1 - \mu _ { 1 } ) \mathbf { P } ( U = 0 ) } \\ & { - d \alpha ( 1 - \mu _ { 2 } ) \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \beta ( 1 - \nu _ { 1 } ) \mathbf { P } ( U = 0 ) } \\ & { - d \beta ( 1 - \nu _ { 2 } ) \mathbf { P } ( U = 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { ( i ) } & { } & { \tilde { C } _ { X } = \tilde { C } _ { Y } = 1 - K _ { w } ^ { - 1 } \frac { H } { \gamma } ~ , } & { } & { \epsilon _ { X Y } = \epsilon _ { Y X } = - K _ { s } ^ { - 1 } ~ , } & { } & { \epsilon _ { X X } = \epsilon _ { Y Y } = 0 ~ , } \\ { ( i i ) } & { } & { \tilde { C } _ { X } = \tilde { C } _ { Y } = 1 ~ , } & { } & { \epsilon _ { X Y } = \epsilon _ { Y X } = - K _ { w } ^ { - 1 } ~ , } & { } & { \epsilon _ { X X } = \epsilon _ { Y Y } = 0 ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } / \hbar } & { = \omega _ { B } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) - \frac { V N / \beta } { 1 + \beta J _ { 0 , 0 } + \beta \hat { O } / N } } \\ & { \approx \omega _ { B } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) + V _ { 1 } \hat { O } + V _ { 2 } \hat { O } ^ { 2 } } \\ & { = \omega _ { B } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) + V _ { 1 } \sqrt { N } [ \Omega _ { 1 } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } + \hat { c } _ { 1 } ) - \Omega _ { - 1 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } + \hat { c } _ { - 1 } ) ] } \\ & { + V _ { 1 } ( \Delta _ { 1 } \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } + \Delta _ { - 1 } \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) + V _ { 2 } N [ \Omega _ { 1 } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } + \hat { c } _ { 1 } ) - \Omega _ { - 1 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } + \hat { c } _ { - 1 } ) ] ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } } & { { } = \frac { \alpha A ^ { \prime } ( t ) } { r } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } [ \alpha A ( t ) \Theta ( r ) ] ^ { k } \int _ { 0 } ^ { r } \tilde { r } \Theta ( \tilde { r } ) \, d \tilde { r } \, \mathbf { e } _ { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) \wedge \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 2 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { n } e _ { \eta } ^ { 2 } \wedge \ast \Big ( \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) - d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) . } \end{array}
\frac { 2 \pi } { L } \nu \sin \theta ( \nu ) - m \cos \theta ( \nu ) + \frac { N g ^ { 2 } L } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int \! \! \! \! \! \! - \mathrm { d } \nu ^ { \prime } \frac { \sin ( \theta ( \nu ) - \theta ( \nu ^ { \prime } ) ) } { ( \nu - \nu ^ { \prime } ) ^ { 2 } } = 0 \ .
\begin{array} { r l } { c r ^ { p ^ { e } } ( y _ { 2 } y _ { 3 } \cdots y _ { d } ) ^ { ( s - 1 ) p ^ { e } } } & { \in ( J _ { 1 } , y _ { 2 } ^ { s } , y _ { 3 } ^ { s } , \ldots , y _ { d } ^ { s } ) ^ { [ p ^ { e } ] } } \\ & { \subseteq ( J _ { 1 } ^ { ( p ^ { e } ) } , y _ { 2 } ^ { s p ^ { e } } , y _ { 3 } ^ { s p ^ { e } } , \ldots , y _ { d } ^ { s p ^ { e } } ) . } \end{array}
\mathbf { I } = { \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { 1 1 } } & { I _ { 1 2 } } & { I _ { 1 3 } } \\ { I _ { 2 1 } } & { I _ { 2 2 } } & { I _ { 2 3 } } \\ { I _ { 3 1 } } & { I _ { 3 2 } } & { I _ { 3 3 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \eta = } & { \frac { \gamma } { \left[ \prod _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( \frac { \gamma } { \frac { \gamma } { \overline { { \eta } } _ { 1 } } \! - \frac { \gamma } { \overline { { \eta } } _ { 2 } } \! + 1 \! - \frac { \gamma } { \overline { { \eta } } _ { 3 } } } \! + 1 \! - \gamma \right) \right] ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } \! + \gamma \! - 1 } } \\ & { \! - \frac { \gamma } { \left[ \prod _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( \frac { \gamma ^ { 2 } } { \overline { { \eta } } _ { 3 } \! - \gamma } \! + 1 \right) \right] ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } \! + \gamma \! - 1 } , } \end{array}
\Lambda _ { a } ^ { i } = \lambda _ { - a } ^ { i 4 } - \sqrt 2 \theta ^ { + } G _ { a } ^ { i } - i \theta ^ { + } { \bar { \theta } } ^ { + } ( D _ { 0 } + D _ { 1 } ) \lambda _ { - a } ^ { i 4 } - \sqrt 2 { \bar { \theta } } ^ { + } E _ { a } ^ { i }
\begin{array} { r } { g _ { j i } ^ { k + 1 } = - \mu ^ { - 1 } \gamma _ { i } ^ { t } \left( \operatorname { c u r l } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) \right) - i \kappa S \left( \gamma _ { i } ^ { T } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) \right) = - g _ { i j } ^ { k } - 2 i \kappa S \left( \gamma _ { i } ^ { T } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ z ^ { n } ] Q ( z ) } & { \sim \frac { e ^ { d _ { 0 } + d _ { 1 } \log \theta ( n ) + d _ { 2 } \log ^ { 2 } \theta ( n ) - d _ { 1 } } } { 2 \sqrt { \pi } \sqrt { d _ { 2 } \log \big ( \frac { 2 d _ { 2 } } { n } \log \big ( \frac { n e ^ { - d _ { 1 } / ( 2 d _ { 2 } ) } } { 2 d _ { 2 } } \big ) \big ) } } \Big ( \frac { 2 d _ { 2 } } { n } \log \Big ( \frac { n e ^ { - d _ { 1 } / ( 2 d _ { 2 } ) } } { 2 d _ { 2 } } \Big ) \Big ) ^ { 1 - 2 d _ { 2 } } } \end{array}
\mathcal { A } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] ( \vec { x } ) = \vec { \mathrm { i d } } - \Delta t \, \vec { W } ^ { m } ( \vec { x } ) \quad \forall \vec { x } \in \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] ( \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } ) = \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m - 1 } .
T ^ { \pm } = { \frac { n ^ { \pm } } { n } } = { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { e x p } \left( - ( \sigma _ { u n } \mp P _ { 3 } \sigma _ { p } ) { \frac { \lambda N d } { \lambda _ { t h . } } } \right) .
\frac { \partial T ^ { * } } { \partial t ^ { * } } - \alpha _ { \mathrm { { s } } } ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { W _ { \mathrm { { c e l l } } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { s , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { { c e l l } } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { s , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { \delta _ { \mathrm { { s } } } ^ { 2 } / \alpha _ { \mathrm { s , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = \frac { S _ { \mathrm { { h } } } ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { { s } } } ^ { * } c _ { p , \mathrm { { s } } } ^ { * } }
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 1 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } & { = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 1 } ^ { ( + 1 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] , } \\ { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 2 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } & { = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] , } \\ { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 3 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } & { = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 3 } ^ { ( + 3 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 3 } ^ { ( + 1 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 3 } ^ { ( - 1 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 3 } ^ { ( - 3 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] , } \\ { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 4 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } & { = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 4 } ^ { ( + 4 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 4 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 4 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 4 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \\ & { } & { + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 4 } ^ { ( - 4 ) } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ S ~ } } } & { = I R _ { 1 } + I _ { \mathrm { ~ L ~ } } R _ { 2 } + V _ { \mathrm { ~ L ~ } } } \\ { V _ { \mathrm { ~ C ~ } } } & { = I _ { \mathrm { ~ L ~ } } R _ { 2 } + V _ { \mathrm { ~ L ~ } } } \\ { I } & { = I _ { \mathrm { ~ C ~ } } + I _ { \mathrm { ~ L ~ } } } \end{array} \right. ,
\frac { \partial } { t } \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho v } \\ { E } \end{array} \right) + \frac { \partial } { \partial x } \left( \begin{array} { l } { \rho v } \\ { p + \rho v ^ { 2 } } \\ { ( E + p ) v } \end{array} \right) = 0
\Sigma _ { p q } ^ { \mathrm { c } } ( \omega ) = \sum _ { m } \sum _ { i } \frac { \langle p i | \chi _ { m } ^ { N + 2 } \rangle \langle q i | \chi _ { m } ^ { N + 2 } \rangle } { \omega + \epsilon _ { i } - \Omega _ { m } ^ { N + 2 } + i \eta } + \sum _ { m } \sum _ { a } \frac { \langle p a | \chi _ { m } ^ { N - 2 } \rangle \langle q a | \chi _ { m } ^ { N - 2 } \rangle } { \omega + \epsilon _ { a } - \Omega _ { m } ^ { N - 2 } - i \eta } .
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { k } \left( F _ { p } \left( y _ { 3 } \right) + F _ { m } \left( y _ { 1 } , y _ { 3 } \right) + F _ { i } \left( y _ { 1 } \right) - F _ { 0 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { k } \left[ A _ { p } y _ { 3 } + \frac { C _ { f } \rho } { A _ { p } } \left( \alpha \pi d _ { v } C _ { d , v } y _ { 1 } \sqrt { \frac { 2 y _ { 3 } } { \rho } } \right) ^ { 2 } - \underbrace { k _ { i } \left( y _ { 1 } - x _ { 1 / 2 } \right) } _ { \forall y _ { 1 } \leq x _ { 1 } \land y _ { 1 } \geq x _ { 2 } } - F _ { 0 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d K _ { r } } { d t } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left< \boldsymbol { a } , \boldsymbol { a } \right> } & { { } = - \left< \boldsymbol { a } , \widetilde { C } _ { r } ( \boldsymbol { a } ) \boldsymbol { a } \right> + \nu \left< \boldsymbol { a } , D _ { r } \boldsymbol { a } \right> } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ c ] F ( v , t ) } & { = \sum _ { w ^ { + } = 0 } ^ { N } \sum _ { w ^ { - } = 0 } ^ { N } g _ { N } ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) , } \\ { ( \mathbf { w } ^ { - } ) ^ { T } \mathbf { f } ( v , t ) } & { = N \sum _ { w ^ { + } = 0 } ^ { N } \sum _ { w ^ { - } = 0 } ^ { N } w ^ { - } g _ { N } ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) , } \\ { ( \mathbf { w } ^ { + } ) ^ { T } \mathbf { f } ( v , t ) } & { = N \sum _ { w ^ { + } = 0 } ^ { N } \sum _ { w ^ { - } = 0 } ^ { N } w ^ { + } g _ { N } ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { a \sqrt { b + c } + b \sqrt { c + a } + c \sqrt { a + b } } & { \leq \sqrt { 2 ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ( a + b + c ) } } \\ & { = \sqrt { a b c ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ( a + b + c ) } } \\ & { = \sqrt { \sum _ { c y c } a ^ { 4 } b c + \sum _ { c y c } ( a ^ { 3 } b ^ { 2 } c + a ^ { 2 } b ^ { 3 } c ) } } \\ & { \leq \sqrt { \sum _ { c y c } a ^ { 6 } + 2 \sum _ { c y c } a ^ { 3 } b ^ { 3 } } } \\ & { = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { X } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { r } ) } & { = ( \operatorname* { d e t } E ( K ) ^ { 0 } ) \cdot h ( x _ { 1 } P _ { 1 } + . . . + x _ { r } P _ { r } ) } \\ & { = ( \operatorname* { d e t } B ^ { 0 } ) \cdot x ^ { t } B x } \\ & { = ( \operatorname* { d e t } B ^ { 0 } ) \cdot x ^ { t } ( B ^ { 0 } ) ^ { - 1 } x } \\ & { = x ^ { t } \mathrm { a d j } ( B ^ { 0 } ) x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { M } _ { i } ^ { D } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \mathbb { I } + \hat { m } _ { i } \cdot \vec { \sigma } ) ~ ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ \hat { m } _ { i } \in \left\{ { \frac { 2 ( \phi ^ { 2 } + 1 ) } { 1 0 \sqrt { 3 } \phi } } ( 0 , \pm \phi , \pm 1 ) , { \frac { 2 ( \phi ^ { 2 } + 1 ) } { 1 0 \sqrt { 3 } \phi } } ( \pm \phi , \pm 1 , 0 ) , { \frac { 2 ( \phi ^ { 2 } + 1 ) } { 1 0 \sqrt { 3 } \phi } } ( 0 \pm 1 , 0 , \pm \phi ) \right\} } \\ & { \bigcup \left\{ \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm 1 , \pm 1 , \pm 1 ) , \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( 0 , \pm 1 / \phi , \pm \phi ) , \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm \phi , 0 , \pm 1 / \phi ) , \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm 1 / \phi , \pm \phi , 0 ) \right\} } \\ & { \bigcup \left\{ \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm 2 / \phi , \pm 1 / \phi ^ { 2 } , \pm 1 ) , \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm 1 / \phi ^ { 2 } , \pm 1 , \pm 2 / \phi ) , \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm 1 , \pm 2 / \phi , \pm 1 / \phi ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { \bigcup \left\{ \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm \phi , \pm 1 / \phi , \pm 1 / \phi ) , \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm 1 / \phi , \pm \phi , \pm 1 / \phi ) , \frac { 2 \phi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { 3 } } ( \pm 1 / \phi , \pm 1 / \phi , \pm \phi ) \right\} } \\ & { \bigcup \left\{ { \frac { 1 } { 1 0 \sqrt { 3 } } } ( \pm 2 ( \phi ^ { 2 } + 1 ) , \pm 2 ( \phi - 1 ) , 0 ) , { \frac { 1 } { 1 0 \sqrt { 3 } } } ( \pm 2 ( \phi - 1 ) , \pm 2 ( \phi ^ { 2 } + 1 ) , 0 ) , { \frac { 1 } { 1 0 \sqrt { 3 } } } ( 0 , \pm 2 ( \phi ^ { 2 } + 1 ) , \pm 2 ( \phi - 1 ) ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e r r } } = \ } & { { } \hbar \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { - i \delta t } e ^ { i \tilde { \phi } } \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { B D } } } { 2 } \right) + \hbar \Omega \hat { S } _ { + } e ^ { i \delta t } e ^ { i \tilde { \phi } } \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { R D } } } { 2 } \right) } \\ { + } & { { } \hbar \Omega \hat { S } _ { - } e ^ { i \delta t } e ^ { - i \tilde { \phi } } \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { B D } } } { 2 } \right) + \hbar \Omega \hat { S } _ { - } e ^ { - i \delta t } e ^ { - i \tilde { \phi } } \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { R D } } } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bf S } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { \sigma ( t _ { n } ) } & { \sigma ( t _ { n + 1 } ) } & { \sigma ( t _ { n + 2 } ) } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \sigma ( t _ { n } ) } & { \sigma ( t _ { n + 1 } ) } & { \sigma ( t _ { n + 2 } ) } & { \cdots } \\ { \sigma ( t _ { n - 1 } ) } & { \sigma ( t _ { n } ) } & { \sigma ( t _ { n + 1 } ) } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \sigma ( t _ { n - 2 } ) } & { \sigma ( t _ { n - 1 } ) } & { \sigma ( t _ { n } ) } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right) . } \end{array}
G _ { m } ( p ^ { b } ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ b \leq ~ a ~ i s ~ o d d } , } \\ { \varphi ( p ^ { b } ) } & { \mathrm { i f ~ b \leq ~ a ~ i s ~ e v e n } , } \\ { - p ^ { a } } & { \mathrm { i f ~ b = a + 1 ~ i s ~ e v e n } , } \\ { ( \frac { m / p ^ { a } } { p } ) p ^ { a } \sqrt { p } } & { \mathrm { i f ~ b = a + 1 ~ i s ~ o d d } , } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ b ~ \geq ~ a + 2 ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { l o s s } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { { \bf k } , \zeta } \Big [ \hat { p } _ { { \bf k } , \zeta } ^ { 2 } + \omega _ { { \bf k } , \zeta } ^ { 2 } \Big ( \hat { x } _ { { \bf k } , \zeta } - \frac { c _ { { \bf k } , \zeta } } { \omega _ { { \bf k } , \zeta } ^ { 2 } } \hat { q } _ { \bf k } \Big ) ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}
C _ { i j k l } ^ { e } = \left( K - \frac { 2 } { 3 } G \right) \delta _ { i j } \delta _ { k l } + 2 G \left( \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { i l } \delta _ { k j } ) \right) ,