harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \mathbf { G } } _ { z z } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; \omega ) = \frac { i } { 4 { \pi } } ( \frac { \omega } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \kappa ^ { 3 } } { p } r ^ { p } ( \kappa ) J _ { 0 } ( \frac { \kappa \omega R } { c } ) e ^ { 2 i p { \omega } z / c } d { \kappa }
\left( \begin{array} { l } { \hat { \psi } _ { P } } \\ { \hat { A } _ { P } } \end{array} \right) = e ^ { \hat { \sigma } t + i \hat { k } _ { z } z } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \left( \begin{array} { l } { \hat { \psi } _ { m } } \\ { \hat { A } _ { m } } \end{array} \right) e ^ { i m \hat { l } _ { f } x } ,
\begin{array} { l c l } { { { \cal D } _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } } } & { { = } } & { { | \tilde { c } | ^ { 2 } \left( ( k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } ) ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } \delta _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { + [ 2 k _ { 2 } ^ { 2 } + l ^ { 2 } ] | \vec { k } | ^ { 4 } v _ { \lambda } v _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { * } - ( k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } ) | \vec { k } | ^ { 2 } [ v _ { \lambda } x _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { * } + x _ { \lambda } v _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { * } ] } } \\ { { } } & { { } } & { { + ( 2 ( k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } ) + k _ { 2 } ^ { 2 } ) | \vec { k } | ^ { 2 } w _ { \lambda } w _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { * } } } \\ { { } } & { { } } & { { + [ ( k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } ) k _ { 2 } ^ { 2 } + ( k _ { 1 } \cdot l ) ^ { 2 } ] | \vec { k } | ^ { 2 } R _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. + ( k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } ) ( k _ { 1 } \cdot l ) | \vec { k } | [ S _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } + S _ { \lambda ^ { \prime } \lambda } ^ { * } ] + ( k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } ) ^ { 2 } T _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \right) . } } \end{array}
u ( r _ { 1 2 } , \mu ) = \frac { 1 } { 2 } r _ { 1 2 } \, \bigg ( 1 - \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \mu \, r _ { 1 2 } ) \bigg ) - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } \mu } e ^ { - ( \mu \, r _ { 1 2 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \rangle = \bigg [ \bigg ( \frac { C ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 B ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) - 2 } - \frac { B ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) } { 2 } - \frac 1 2 \bigg ) a _ { 1 } ^ { \dagger } } & { { } } \\ { + \bigg ( \frac { C ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 B ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) - 2 } - \frac { B ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) } { 2 } + \frac 1 2 \bigg ) a _ { 2 } ^ { \dagger } } & { { } \bigg ] | 0 \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \big ( \mathcal { S } ( \boldsymbol { X } ^ { 1 } ) - \mathcal { S } ( \boldsymbol { X } ^ { 2 } ) \big ) \boldsymbol { Y } = ( \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ^ { 1 } ) - \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ^ { 2 } ) ) \boldsymbol { Y } + ( \mathcal { S } ^ { 2 } ( \boldsymbol { X } ^ { 1 } ) - \mathcal { S } ^ { 2 } ( \boldsymbol { X } ^ { 2 } ) ) \boldsymbol { Y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { m } K _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \nabla _ { m } \gamma _ { j i } - \nabla _ { m } \gamma _ { i j } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 4 } ( - H _ { m i k } \gamma _ { k j } + H _ { m j l } \gamma _ { i l } + H _ { m j k } \gamma _ { k i } - H _ { m i l } \gamma _ { j l } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } ( - H _ { m i k } h _ { j k } + H _ { m j l } h _ { i l } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \forall t \in \mathbb R , \ \ \chi ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { 1 , \ \ } & & { t \leq 0 , } \\ & { 0 , \ \ } & & { t \geq 1 , } \end{array} \right. , \ \ \ } \\ { u n d e r l i n e { \chi } ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { 1 , \ \ } & & { t \leq 0 , } \\ & { 1 / 2 , \ \ } & & { t \geq 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { ( 0 ) } } & { = \sum _ { \mu n } t _ { \mu n } \tau _ { \mu n } } \\ { T ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) } & { = \sum _ { \mu n } X _ { \mu n } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) \tau _ { \mu n } } \\ { T ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } & { = \sum _ { \mu n } X _ { \mu n } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \tau _ { \mu n } , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t } } = \tilde { q } _ { i } \overline { { { \chi } } } \left( g _ { \tilde { q } _ { i } \chi q } ^ { L } P _ { L } + g _ { \tilde { q } _ { i } \chi q } ^ { R } P _ { R } \right) q + \mathrm { h . c . } ,
\rho = \frac { 4 \alpha ( 5 - 2 \omega ) ( 7 - 2 \omega ) } { 5 ( \alpha + 1 ) ( \alpha + 2 ) } \sqrt { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T } } \frac { \mu } { L _ { r e f } \mathrm { K n } } ,
v _ { + } ^ { \mathrm { p l a t e a u } } \simeq \sqrt { \frac { 2 } { \sqrt { 1 3 } } } \, \frac { 1 } { \sqrt { \xi } } , \qquad \sqrt { \frac { 2 } { \sqrt { 1 3 } } } \simeq 0 . 7 5 4 .
b _ { j } = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } \{ \bar { z } _ { j } + { \frac { \partial } { \partial z _ { j } } } \} , ~ ~ ~ ~ b _ { j } ^ { \dagger } = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } \{ z _ { j } - { \frac { \partial } { \partial \bar { z } _ { j } } } \} .
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } { u } = \mathcal { L } ( u ) , } & { ( x , t ) \in \Omega \times \mathbb { R } ^ { + } , } \\ { \mathcal { B } ( u ) = 0 , } & { ( x , t ) \in \partial \Omega \times \mathbb { R } ^ { + } , } \\ { u ( x , 0 ) = u _ { 0 } ( x ) , } & { x \in \bar { \Omega } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { X _ { F , j } ( t ) } ~ } & { H _ { j } ^ { F } ( t ) \left( a _ { j } ( t ) - \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } m _ { i j } ( t ) \right) + V \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } f _ { i j } ^ { \mathrm { t r a n } } ( t ) } \\ { ~ } & { + V f _ { j } ^ { \mathrm { w o r k } } ( t ) + \frac { \rho } { 2 } \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } \left( m _ { i j } ( t ) - m _ { i j } ^ { \prime } ( t ) + \lambda _ { i j } ( t ) \right) ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { s . t . } ~ } & { , ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | \lambda _ { i } [ v _ { i } , v _ { j } ] \big | } & { = \big | [ \lambda _ { i } v _ { i } , v _ { j } ] \big | \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } \big | [ A J _ { D } v _ { i } , v _ { j } ] \big | } \\ & { = \big | v _ { i } ^ { \top } J _ { D } A ^ { \top } J _ { D } v _ { j } \big | = \big | v _ { i } ^ { \top } J _ { D } A J _ { D } v _ { j } \big | } \\ & { = \big | [ v _ { i } , A J _ { D } v _ { j } ] \big | = \big | [ v _ { i } , \lambda _ { j } v _ { j } ] \big | } \\ & { = \big | \lambda _ { j } [ v _ { i } , v _ { j } ] \big | . } \end{array}
W _ { 0 } ( t _ { 0 } ) = C _ { l } ^ { 2 } \frac { 2 l + 1 } { 2 } ( \frac { 2 \kappa ^ { 2 } } { \left| { E ( t _ { 0 } ) } \right| } ) ^ { \frac { 2 } { \kappa } - 1 } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } [ \frac { - 2 \kappa ^ { 3 } } { \left| { E ( t _ { 0 } ) } \right| } ] ,
\operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \delta _ { i j } ( 2 \hbar T ) \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { 4 N ^ { 2 } \sin ^ { 2 } k \pi / 2 N } \frac { \cos ^ { 2 } k \pi / 2 N } { 4 N ^ { 2 } \sin ^ { 2 } k \pi / 2 N } .
| k _ { \sigma } ( v ; m ) - k _ { \sigma } ( 0 ; m ) | \leq \delta ^ { - 1 } v ^ { \delta } \, \operatorname * { s u p } _ { u > 0 } | u ^ { 1 - \delta } \, \partial _ { u } \, k _ { \sigma } ( u ; m ) | \leq c _ { N } \, v ^ { \delta } ( 1 + m ) ^ { - N } .
\begin{array} { l l l } { \medskip \lambda _ { 1 , p } ( \Omega ) \geq \frac { ( n - 1 ) ^ { p } ( \sqrt { - c } ) ^ { p } } { p ^ { p } } \coth ^ { p } ( \sqrt { - c } \, R ) , } & { \textrm { i f } } & { c < 0 , } \\ { \medskip \lambda _ { 1 , p } ( \Omega ) \geq \frac { ( n - 1 ) ^ { p } } { p ^ { p } R ^ { p } } , } & { \textrm { i f } } & { c = 0 , } \\ { \lambda _ { 1 , p } ( \Omega ) \geq \frac { ( n - 1 ) ^ { p } ( \sqrt c ) ^ { p } } { p ^ { p } } \cot ^ { p } ( \sqrt c \, R ) , } & { \textrm { i f } } & { c > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { | \Phi _ { \mathcal E } ^ { N } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { n _ { 1 } , \dots , n _ { N } } \int \, \cdots \int d \boldsymbol { p } _ { 1 } \dots \boldsymbol { p } _ { N } f _ { \mathcal E } ^ { N } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } , \dots , \boldsymbol { p } _ { N } ; n _ { 1 } , \dots n _ { N } ) \times \ } & { { } \times } & { | \boldsymbol { p } _ { 1 } \rangle \dots | \boldsymbol { p } _ { N } \rangle | n _ { 1 } \rangle \dots | n _ { N } \rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { \nabla _ { \xi } b _ { i j } ^ { p } = ( \mathrm { D } _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } ) ^ { - T } \nabla _ { \alpha } b _ { i j } ^ { p } \, , } & & { \mathrm { D } _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \beta } & { 1 - \alpha } \end{array} \right] \, , } & & { ( \mathrm { D } _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } ) ^ { - T } = \frac { 1 } { 1 - \alpha } \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \alpha } & { \beta } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { a } ^ { - 1 } \rho \phi _ { t } + F ( t , x , \rho ) \phi _ { x } \textrm { \, d } t \textrm { \, d } x \leq \int _ { 0 } ^ { T } Q _ { - 1 } ( t ) \phi ( t , - 1 ) \textrm { \, d } t } \\ { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 1 } ^ { b } \rho \phi _ { t } + F ( t , x , \rho ) \phi _ { x } \textrm { \, d } t \textrm { \, d } x \leq \int _ { 0 } ^ { T } Q _ { 1 } ( t ) \phi ( t , 1 ) \textrm { \, d } t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { ( \rho ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { = } } & { { ( \rho ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { , } } } \\ { { ( u ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { = } } & { { ( u ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { , } } } \\ { { ( v ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { = } } & { { ( v ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { , } } } \\ { { ( w ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { = } } & { { ( w ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { , } } } \\ { { ( e ) _ { i , j , K _ { M A X } } } } & { { = } } & { { ( e ) _ { i , j , 1 } \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { \Tilde { \varepsilon } , \varepsilon _ { 2 } } } & { = \frac { \Tilde { \varepsilon } - \varepsilon _ { 2 } } { \Tilde { \varepsilon } + \varepsilon _ { 2 } } , } \\ { \delta _ { \Tilde { \varepsilon } , \varepsilon _ { 2 } , \varepsilon _ { 1 } } } & { = \frac { \Tilde { \varepsilon } - \varepsilon _ { 2 } \xi } { \Tilde { \varepsilon } + \varepsilon _ { 2 } \xi } , \qquad \xi = \frac { e ^ { 2 k R } - \delta _ { \varepsilon _ { 2 } , \varepsilon _ { 1 } } } { e ^ { 2 k R } + \delta _ { \varepsilon _ { 2 } , \varepsilon _ { 1 } } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { P ( - , G ) = 1 } \\ { P ( - , B ) = 0 } \\ { R _ { 1 } ( - , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( - , G , D ) = 0 } \\ { R _ { 1 } ( - , B , D ) > 0 } \\ { R _ { 1 } ( - , B , C ) \leq R _ { 1 } ( - , B , D ) } \\ { R _ { 2 } ( - , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 2 } ( - , B , D ) = 0 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { T _ { 2 } } & { \leq \frac { 4 C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 4 L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| [ \nabla _ { y ^ { 2 } } g ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } } ) ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( \bar { x } _ { t } , y _ { \bar { x } _ { t } } ) - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
e ^ { - \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } V _ { i j } \Delta t } = \sum _ { \lambda } \sum _ { \alpha \beta } \phi _ { \alpha \lambda } \phi _ { \beta \lambda } \left[ \cos \left( J _ { \lambda } \Delta t \right) \left( b _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i \beta } + b _ { j \alpha } ^ { \dagger } b _ { j \beta } \right) - \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \sin \left( J _ { \lambda } \Delta t \right) \left( b _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { j \beta } + b _ { j \alpha } ^ { \dagger } b _ { i \beta } \right) \right] .
\begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c c } { 0 } & { } & { 1 } & { } & { 4 } & { } & { 9 } & { } & { 1 6 } & { } & { 2 5 } & { \ldots } & { ( n - 1 ) ^ { 2 } } & { } & { n ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { N } ^ { I I I } ( x ) } & { = } & { \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d q e ^ { i k _ { 0 } x _ { 0 } + i ( q _ { + } + 1 ) x _ { + } + i ( q _ { - } - 1 ) x _ { - } } \hat { C } _ { N } ^ { I I } ( k _ { 0 } , { \bf q } ) } \\ { \hat { C } _ { N } ^ { I I I } ( k _ { 0 } , { \bf q } ) } & { = } & { \frac { \chi _ { N } ( q _ { + } ) } { - 2 i k _ { 0 } + e ( { \bf q } , 1 ) } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
C _ { n } = \left( \begin{array} { c c c c } { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } & { \ldots } & { C _ { 1 n } } \\ { C _ { 1 2 } } & { C _ { 2 2 } } & { \ldots } & { C _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { C _ { 1 n } } & { C _ { 2 n } } & { \ldots } & { C _ { n n } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( n \mathbf { b } v _ { | | } \right) } \\ { \frac { \partial p } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( p \mathbf { b } v _ { | | } \right) - \frac { 2 } { 3 } p \nabla \cdot \left( \mathbf { b } v _ { | | } \right) } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( m n v _ { | | } \right) } & { { } = - \nabla \cdot \left( m n v _ { | | } \mathbf { b } v _ { | | } \right) - \partial _ { | | } p } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( { \bf k } , \omega ) } & { = \int d \tau \int d t \langle \hat { c } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { \bf k } ( t + \tau ) + \hat { x } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( t ) \hat { x } _ { \bf k } ( t + \tau ) \rangle e ^ { i \omega \tau } } \\ & { = \langle \hat { \mathcal { C } } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { \mathcal { C } } _ { \bf k } ( \omega ) + \hat { \mathcal { X } } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( \omega ) \hat { \mathcal { X } } _ { \bf k } ( \omega ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { s } ( c _ { s , a } ) } & { { } = 3 . 3 \times 1 0 ^ { - 1 0 } , } \\ { D _ { s } ( c _ { s , c } ) } & { { } = 4 \times 1 0 ^ { - 1 1 } } \end{array}
\cos i = \frac { \Psi _ { 3 } } { \Psi _ { 2 } } , \qquad \cos \tilde { i } _ { 2 } = \frac { \Psi _ { 2 } ^ { 2 } + \Psi _ { 1 } ^ { 2 } - \Gamma _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 \, \Psi _ { 1 } \, \Psi _ { 2 } } , \qquad \cos i _ { 2 } = \frac { \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } + \Psi _ { 1 } ^ { 2 } - \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \, \Psi _ { 1 } \, \Gamma _ { 2 } } , \qquad \cos i _ { 3 } = \frac { \Gamma _ { 3 } ^ { 2 } + \Psi _ { 2 } ^ { 2 } - \Psi _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \, \Psi _ { 2 } \, \Gamma _ { 3 } } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { Q } [ S ; A _ { m - m ^ { \prime } } ; \delta f _ { m ^ { \prime } } ] } & { { } = } & { \left[ \left( i \frac { m ^ { \prime } \mu A _ { m - m ^ { \prime } } } { q B _ { 0 } \gamma r } - \frac { m ^ { \prime } r \dot { A } _ { m - m ^ { \prime } } } { 7 B _ { 0 } ( m - m ^ { \prime } ) } \right) \delta f _ { m ^ { \prime } } - \left( \frac { S } { B _ { 0 } } \delta _ { m , m ^ { \prime } } + \frac { A _ { m - m ^ { \prime } } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial \delta f _ { m ^ { \prime } } } { \partial t } \right] } \end{array}
\biggl \| \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { i w \cdot \zeta } a _ { t _ { l } , j , k , h , \xi } ( \zeta , w ) \psi ( 2 ^ { h - n } w ) \hat { \mathcal { F } } _ { - h + n } ^ { y } ( \xi , \xi + w ) d w \biggl \| _ { L _ { \zeta } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \lesssim 2 ^ { 2 h - j - n } \| \hat { \mathcal { F } } _ { - h + n } ( \xi , \xi + \zeta ) \| _ { L _ { \zeta } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 3 } + \sigma _ { 2 } ^ { 3 1 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 3 } } & { { } = 0 , } \\ { K _ { 1 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 3 } + K _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { 1 3 } + K _ { 3 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 1 } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = g ^ { * } ( \omega _ { 1 } \times ( - \omega _ { 2 } ) ) ( \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } , \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } ) } \\ & { = g _ { 1 } ^ { * } ( \omega _ { 1 } ) ( \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } , \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } ) - g _ { 2 } ^ { * } ( \omega _ { 2 } ) ( \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } , \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( d g _ { 1 } ) - \operatorname* { d e t } ( d g _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \biggl [ \frac { 1 } { 2 } \biggr . } & { \left( | \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial r } | ^ { 2 } + | \frac { \partial \phi _ { 2 } } { \partial r } | ^ { 2 } \right) + \frac { g } { r ^ { 2 } } \left( | \phi _ { 1 } | ^ { 4 } + | \phi _ { 2 } | ^ { 4 } \right) } \\ & { \; \; \; - \frac { 2 g _ { 1 2 } } { r ^ { 2 } } | \phi _ { 1 } | ^ { 2 } | \phi _ { 2 } | ^ { 2 } + \frac { g _ { L H Y } } { r ^ { 3 } } ( | \phi _ { 1 } | ^ { 5 } + | \phi _ { 2 } | ^ { 5 } ) } \\ & { \biggl . + V _ { 0 } | \Psi ( r ) | ^ { 2 } ( | \phi _ { 1 } | ^ { 2 } + | \phi _ { 2 } | ^ { 2 } ) \biggr ] d r } \end{array}
E < 0 : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ R = { \frac { M } { 2 | E | } } ( 1 - \cos \eta ) ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( \eta - \sin \eta ) = { \frac { ( 2 | E | ) ^ { 3 / 2 } ( t - t _ { B } ) } { M } } ~ ;
\mathbb { C } o v \Big ( \int _ { A } Z d M , \int _ { B } Z d M \Big ) = \int _ { A \times B } C _ { Z } d C _ { M } + \operatorname* { l i m } _ { ( n , m ) \to \infty } \sum _ { j \in J _ { n } ^ { A } } \sum _ { k \in J _ { m } ^ { B } } K _ { Z , M } ^ { ( 2 ) } ( ( a _ { j } ^ { n } , b _ { k } ^ { m } ) , A _ { j } ^ { n } \times B _ { k } ^ { m } ) .
\big \lVert \mathcal { I } _ { \nu } ^ { \gamma } ( k , t ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } = \sum _ { n = 0 } ^ { k } \sum _ { \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \in \mathcal { A } ( k , n ) } \sum _ { \kappa \in \mathcal { S } _ { n } } \sum _ { \alpha , \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } ^ { k } } \mathcal { T } ( n , \alpha , \tilde { \alpha } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \kappa ) ,
\begin{array} { r l } { R _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } } & { { } : = \prod _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } \Xi _ { \lambda , r , j } ^ { ( n ) } \left( B ^ { T } P _ { \sigma } \right) = \prod _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } \Xi _ { \lambda , r , j } ^ { ( n ) } \left( \sum _ { p , q } b _ { \sigma ( q ) p } E _ { p q } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } ( \varphi _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } , v _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } ) } & { = \sum _ { E \in \mathcal { T } _ { h _ { \diamond } } } ( \nabla \Pi _ { k _ { \diamond } } ^ { \nabla } \varphi _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } , \nabla \Pi _ { k _ { \diamond } } ^ { \nabla } v _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } ) _ { L ^ { 2 } ( E ) } + S ^ { E } \left( \left( \Pi _ { k _ { \diamond } } ^ { \nabla } - \mathrm { I } \right) \varphi _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } , \left( \Pi _ { k _ { \diamond } } ^ { \nabla } - \mathrm { I } \right) v _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ^ { q } f _ { i } ( S ) u _ { i } + g _ { i } ( S ) v _ { i } + a ^ { q } } & { \left( - \frac { 1 } { y _ { u , i } } \alpha _ { i } ( u , v ) u _ { i } + \beta _ { i } ( u , v ) v _ { i } \right) + \left( \alpha _ { i } ( u , v ) u _ { i } - \frac { 1 } { y _ { v , i } } \beta _ { i } ( u , v ) v _ { i } \right) } \\ & { \le K _ { q } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( u _ { j } + v _ { j } ) ^ { r } + 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { u } ^ { l } \tilde { \gamma } ( u , v ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { l } \psi ( u + v , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \psi ( u - v , \mathbf { \hat { x } } ) } } \, d \mathbf { \hat { x } } + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \psi ( u + v , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \partial _ { x _ { 1 } } ^ { l } \psi ( u - v , \mathbf { \hat { x } } ) } } \, d \mathbf { \hat { x } } } \\ & { = \tilde { \gamma } _ { l , 0 } ( u , v ) + \tilde { \gamma } _ { 0 , l } ( u , v ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { f } ^ { L R } ( \vec { r } , \omega ) } & { = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \int _ { c } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) x } \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \frac { \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) c } } { k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \vec { r } \to 0 } [ \Tilde { f } ^ { L R } ( \vec { r } , \omega ) ] } & { = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) c } } { k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\delta z _ { \perp } ^ { \pm } = \vert \delta \mathbf { z } _ { \perp } ^ { \pm } \vert = \vert \mathbf { z } _ { \perp } ^ { \pm } ( \mathbf { r } _ { 0 } + \mathbf { r } _ { \perp } ) - \mathbf { z } _ { \perp } ^ { \pm } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) \vert
\begin{array} { r l } { { w } C _ { 1 } ^ { T } } & { = ( \frac { C _ { 1 } B _ { 1 } B _ { 2 } ^ { T } - C _ { 1 } B _ { 2 } B _ { 1 } ^ { T } } { ( C _ { 1 } B _ { 2 } ) ^ { 2 } } ) C _ { 1 } ^ { T } } \\ & { = \frac { C _ { 1 } B _ { 1 } B _ { 2 } ^ { T } C _ { 1 } ^ { T } - C _ { 1 } B _ { 2 } B _ { 1 } ^ { T } C _ { 1 } ^ { T } } { ( C _ { 1 } B _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lfloor \sqrt { 2 } n \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor \right\rfloor = \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \left\lfloor \sqrt { 2 } n \right\rfloor \right\rfloor \iff } \\ & { \left\lfloor \sqrt { 2 } n \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor \right\rfloor \leq \frac { n } { \sqrt { 2 } } \left\lfloor \sqrt { 2 } n \right\rfloor < \left\lfloor \sqrt { 2 } n \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor \right\rfloor + 1 \iff } \\ & { n \left( 2 \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor - \left\lfloor \sqrt { 2 } n \right\rfloor \right) \leq \sqrt { 2 } \sigma \; \mathrm { ~ a n d ~ } \; \frac { n } { \sqrt { 2 } } \left( \left\lfloor \sqrt { 2 } n \right\rfloor - 2 \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor \right) < 1 - \sigma . } \end{array}
\partial _ { 2 } f ^ { [ M 2 ] } = \partial _ { 2 } f ^ { [ M 5 ] } \left( f ^ { [ M 5 ^ { \prime } ] } - D _ { i } D _ { i } Y \right) + \partial _ { 2 } f ^ { [ M 5 ^ { \prime } ] } \left( f ^ { [ M 5 ] } - D _ { p } D _ { p } X \right) .
\begin{array} { r l r } { X } & { = } & { \int e ^ { i \int \mathbb { P } \cdot \dot { \mathbb { A } } - { \cal H } ( \mathbb { P } , \mathbb { A } ) ] \, d ^ { \, 4 } x } \, { \cal D } \mathbb { A } _ { T } \, { \cal D } \mathbb { P } \, ; } \\ { { \cal H } } & { = } & { { \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } } \left( ( \nabla f ) ^ { 2 } + \mathbb { P } \cdot \mathbb { P } + \mathbb { B } \cdot \mathbb { B } + \mathbb { J } \cdot \mathbb { A } \right) } \end{array}
S w \times \left( \frac { 1 } { 1 + ( f - f _ { 0 } ) ^ { 2 } \ w ^ { 2 } } - i \frac { ( f - f _ { 0 } ) \ w } { 1 + ( f - f _ { 0 } ) ^ { 2 } \ w ^ { 2 } } \right) \times e ^ { - i \phi } + o \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { M } ^ { ( 1 ) } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { \gamma B _ { z } } & { - \gamma B _ { y } } \\ { - \gamma B _ { z } } & { 0 } & { \gamma B _ { x } } \\ { \gamma B _ { y } } & { - \gamma B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] \boldsymbol { M } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\hat { H } _ { Q } = \sum _ { n } { \omega _ { n } ^ { 0 } | n \rangle \langle n | } + \sum _ { n } { \alpha _ { n } ^ { ' } X _ { n } | n \rangle \langle n | } + \sum _ { n \ne n ^ { \prime } } { \nu _ { n , n ^ { \prime } } | n \rangle \langle n ^ { \prime } | } ,