harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S p \left( { i \gamma _ { 5 } ( m - \hat { k } _ { 3 } ) \gamma _ { \alpha _ { 2 } } ( m + \hat { k } _ { 1 } ) \gamma _ { \alpha _ { 3 } } ( m + \hat { k } _ { 2 } ) } \right) = 4 m \epsilon _ { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } } q _ { 2 } ^ { \beta _ { 2 } } q _ { 3 } ^ { \beta _ { 3 } } ,
\mathcal { D } ^ { 2 } \psi _ { 0 } = \left[ - \left( \partial _ { \mu } + i g G _ { \mu } ^ { \left( \pm \right) } \right) ^ { 2 } - \frac { g } { 2 } \sigma _ { \mu \nu } G _ { \mu \nu } ^ { \left( \pm \right) } \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \mp \gamma _ { 5 } \right) \right] \psi _ { 0 } = 0 .
\Delta \mathbf { r } _ { i } \times \left( { \boldsymbol { \omega } } \times \left( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \right) + { \boldsymbol { \omega } } \times \left( \left( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \times \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { v ( t , \varphi _ { 0 , t } ( x ) ) = u _ { 0 } ( x ) + \int _ { 0 } ^ { t } \partial _ { t } v ( r - , \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) \diamond \mathrm { d } \varphi _ { 0 , r } ( x ) } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \partial _ { x } v ( r - , \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) a ( \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) \, \mathrm { d } r - \int _ { 0 } ^ { t } \partial _ { x } v ( r - , \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) A ( \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) \circ \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \mathcal { Q } z } ( v ( r - , \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) - v ( r - , \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) \Big ) \, \tilde { N } ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \mathcal { Q } z } ( v ( r - , \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) ) - v ( r - , \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) - \mathcal { Q } v ( r - , \varphi _ { 0 , r - } ( x ) ) z \Big ) \, \nu ( \mathrm { d } z ) \, \mathrm { d } r } \\ & { = u _ { 0 } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ( t ) - ( X ^ { \eta } ( 0 ) + X ^ { \xi } ( 0 ) ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { = \mathbb { E } \{ \| X ( t ) \| ^ { 2 } \} + \| X ^ { \eta } ( 0 ) + X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } - 2 \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } } \\ & { ~ ( X ^ { \eta } ( 0 ) + X ^ { \xi } ( 0 ) ) } \\ & { = \mathbb { E } \{ \| X ( t ) \| ^ { 2 } \} + \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } - 2 ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } } \\ & { ~ \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } - [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] \zeta _ { 1 } \eta ^ { T } X ( 0 ) - 2 ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } } \\ & { ~ \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } - \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] \zeta _ { 2 } \xi ^ { T } X ( 0 ) } \\ & { \le \mathbb { E } \{ \| X ( t ) \| ^ { 2 } \} + [ 1 - 2 ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } } \\ & { + [ 1 - 2 ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 1 } t | \zeta _ { 1 } | \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| } \\ & { + 2 \lambda _ { 1 } t | \zeta _ { 2 } | \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| } \\ & { \le \mathbb { E } \{ \| X ( t ) \| ^ { 2 } \} + [ 1 - 2 ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } } \\ & { + [ 1 - 2 ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 1 } t c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } \\ & { \le ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \| X ^ { \Gamma } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } t c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n \Big ( 6 + \frac { c _ { l } } { 2 } + 1 6 c _ { s } c _ { l } } \\ & { + \frac { 3 c _ { l } + 2 3 } { 2 r _ { 0 } n } \Big ) + \Big ( \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 3 } } + \lambda _ { 2 } t \Big ) ( \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } + c _ { x } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\alpha _ { 1 } \alpha _ { 0 m } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ , ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } = \frac { 3 2 } { \pi ^ { 2 } } \frac { w _ { \mathrm { ~ x ~ } } w _ { \mathrm { ~ y ~ } } } { p _ { \mathrm { ~ x ~ } } h _ { 1 } } \bigg [ \frac { \sin ( k _ { m } ^ { \mathrm { ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } w _ { \mathrm { ~ y ~ } } / 2 ) } { k _ { m } ^ { \mathrm { ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } w _ { \mathrm { ~ y ~ } } / 2 } \bigg ] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \uprho _ { i k } ^ { ( e ) } } & { { } = \sum _ { j \in e : j \neq i } \sum _ { q } \uprho _ { i j k q } ^ { ( e ) } \, , } \\ { \uprho _ { k q } ^ { ( e ) } } & { { } = \sum _ { i < j \in e } \uprho _ { i j k q } ^ { ( e ) } \, , } \end{array}
g _ { \overline { { i } } } ( \mathbf { x _ { b } } , t + \Delta t ) = - g _ { i } ^ { * } ( \mathbf { x _ { b } } , t ) + 2 w _ { i } T _ { w } \left[ 1 + \frac { ( \mathbf { c _ { i } } \cdot \mathbf { u _ { w } } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \mathbf { u _ { w } } \cdot \mathbf { u _ { w } } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { R _ { k } \leq } & { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) I ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } { N _ { k } } } \\ & { - \frac { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) V ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } } { N _ { k } } Q ^ { - 1 } \left( \epsilon _ { k } \right) } \\ & { + O \left( \frac { \log N _ { k } } { N _ { k } } \right) , } \end{array}
\gamma \sim \mathcal F \left( \log ( \bar { \beta } ) , k _ { l } \right) , \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; k _ { l } ( \mathbf x _ { 1 } , \mathbf x _ { 2 } ) = a \exp \left( - \frac { | \mathbf x _ { 1 } - \mathbf x _ { 2 } | ^ { 2 } } { 2 l ^ { 2 } } \right) .
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha + \beta - \gamma } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \nu } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \gamma } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
[ \hat { C } ^ { i b } , \hat { Q } ^ { a } ] _ { + } = i \varepsilon ^ { a b } \hat { \pi } _ { ( B ) } ^ { 0 i } , \; \; [ \hat { \pi } _ { ( C ) i b } , \hat { Q } ^ { a } ] _ { + } = i \varepsilon _ { 0 i j k } \delta _ { b } ^ { a } ( \partial ^ { j } \hat { A } ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } \hat { A } ^ { j } \wedge \hat { A } ^ { k } ) ,
\sigma _ { L 3 } ( E _ { 0 } ) \rho d = \omega _ { L 3 } \tau _ { L 3 } ( E _ { 0 } ) \rho d = \frac { \Phi _ { i } ^ { d } ( E _ { 0 } ) M _ { i , E _ { 0 } } } { \Phi _ { 0 } ( E _ { 0 } ) \frac { \Omega } { 4 \pi } } ,
z = \int \frac { d y } { G ( y ) } = \frac { \zeta } { 2 ( \alpha ^ { 2 } - 1 ) } \left[ \frac { 1 } { \alpha } \ln \left| \frac { \alpha + \hat { y } } { \alpha - \hat { y } } \right| + \ln \left| \frac { 1 - \hat { y } } { 1 + \hat { y } } \right| \right] .
\begin{array} { r l } & { D _ { a } ^ { n } f ( x ) = } \\ & { \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor n \rfloor } \binom { n } { k } \left[ D _ { a } ^ { k } ( x - a ) + D _ { a } ^ { k } ( a - z _ { 1 } ) ( x - a ) ^ { 0 } \right] \left[ D _ { a } ^ { n - k } ( x - a ) + D _ { a } ^ { n - k } ( a - z _ { 2 } ) ( x - a ) ^ { 0 } \right] } \\ & { + \sum _ { k = \lfloor n \rfloor + 1 } ^ { \infty } \binom { n } { k } \left[ D _ { a } ^ { k } ( x - a ) + D _ { a } ^ { k } ( a - z _ { 1 } ) ( x - a ) ^ { 0 } \right] \left[ I _ { a } ^ { k - n } ( x - a ) + I _ { a } ^ { k - n } ( a - z _ { 2 } ) ( x - a ) ^ { 0 } \right] } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor n \rfloor } \binom { n } { k } \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - k ) } ( x - a ) ^ { 1 - k } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - k ) } ( a - z _ { 1 } ) ( x - a ) ^ { - k } \right] \cdot } \\ & { \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - n + k ) } ( x - a ) ^ { 1 - n + k } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - n + k ) } ( a - z _ { 2 } ) ( x - a ) ^ { - n + k } \right] } \\ & { + \sum _ { k = \lfloor n \rfloor + 1 } ^ { \infty } \binom { n } { k } \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - k ) } ( x - a ) ^ { 1 - k } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - k ) } ( a - z _ { 1 } ) ( x - a ) ^ { - k } \right] \cdot } \\ & { \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( 2 + k - n ) } ( x - a ) ^ { 1 + k - n } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 + k - n ) } ( a - z _ { 2 } ) ( x - a ) ^ { k - n } \right] } \end{array}
p _ { j } \left( t \right) = t \left\vert \nabla ^ { j } d \xi \right\vert + \sum _ { J _ { j } } t ^ { k _ { 1 } + . . . + k _ { j } } \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { 1 } } \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { 2 } } . . . \left\vert \nabla ^ { j } \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { j } } \left\vert d \xi \right\vert ^ { k _ { 1 } } \left\vert \nabla d \xi \right\vert ^ { k _ { 2 } } . . . \left\vert \nabla ^ { j - 1 } d \xi \right\vert ^ { k _ { j } } ,
\begin{array} { r l } & { \| f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) v \| _ { L ^ { 2 } } \leq C _ { 1 } ( \| v \| _ { L ^ { \infty } } ) \| v \| _ { L ^ { 2 } } , \quad v \in L ^ { \infty } ( \Omega ) , } \\ & { \| f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) v \| _ { H ^ { 1 } } \leq C _ { 2 } ( \| v \| _ { L ^ { \infty } } ) \| v \| _ { H ^ { 1 } } , \quad v \in H ^ { 1 } ( \Omega ) \cap L ^ { \infty } ( \Omega ) , } \\ & { \| f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) v \| _ { H ^ { 2 } } \leq \frac { C _ { 3 } \left( \| v \| _ { H ^ { 2 } } \right) } { \varepsilon ^ { 1 - 2 \sigma } } , \quad v \in H ^ { 2 } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \varphi } J _ { 1 , 1 } \{ f \} ( \varphi ) } & { { } = \frac { \omega _ { N } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { f ^ { \prime } ( \varphi ) \cos \big ( \theta ^ { \prime } + \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ { \triangleq } & { { } J _ { 1 , 1 , 1 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 1 , 1 , 2 } \{ f \} ( \varphi ) + J _ { 1 , 1 , 3 } \{ f \} ( \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l c l } { ( \textbf { G } _ { n i } ) _ { s } } & { = } & { \textbf { P } _ { i } ( \textbf { h } _ { n i } ) _ { s } = \textbf { P } _ { i } ( \widetilde { \Lambda } _ { n i } ^ { + } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { L } + \textbf { P } _ { i } ( \widetilde { \Lambda } _ { n i } ^ { - } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { R } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ ( G _ { n i } ) _ { L } + ( G _ { n i } ) _ { R } \right] - \frac { 1 } { 2 } \frac { | \widetilde { \lambda } _ { 1 i } n _ { 1 } + \widetilde { \lambda } _ { 2 i } n _ { 2 } | + | - \widetilde { \lambda } _ { 1 i } n _ { 1 } + \widetilde { \lambda } _ { 2 i } n _ { 2 } | } { 2 } \Delta U _ { i } } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } v _ { A } = \mathcal { F } ^ { A } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } v _ { B } = \mathcal { F } ^ { B } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } v _ { S } = \mathcal { F } ^ { S } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\langle w , \Delta u + \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 4 } \hat { k } \hat { k } \Delta u B _ { z } \right\rangle + \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle w , 2 \Omega \times \Delta u \right\rangle } & { { } } \\ { \qquad - \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle \nabla \cdot w , \Delta p \right\rangle - \left\langle w , b \hat { k } \right\rangle } & { { } = - \tilde { R } _ { u } [ w ] , \quad \forall w \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \nabla \cdot \Delta u } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { H _ { t } } { \alpha _ { t - 1 } } - \frac { H _ { t - 1 } } { \alpha _ { t - 2 } } } & { \leq - \frac { 4 8 ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M \mu ^ { 2 } } H _ { t - 1 } + \frac { 2 c _ { u } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 3 } } { b M } \sigma ^ { 2 } + \frac { 8 \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } \tilde { L } ^ { 2 } } { b M } ( D _ { t - 1 } + E _ { t - 1 } ) } \\ & { \qquad + \frac { 8 \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } \tilde { L } ^ { 2 } } { b M } ( F _ { t - 1 } + G _ { t - 1 } ) + \frac { 8 \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } L ^ { 2 } } { b M } ( J _ { t - 1 } + Q _ { t - 1 } ) } \\ & { \qquad + \frac { 8 \tilde { L } ^ { 2 } } { b M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \eta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } D _ { \ell } + \frac { 8 \tilde { L } ^ { 2 } } { b M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \gamma ^ { 2 } \alpha _ { \ell } G _ { \ell } + \frac { 8 L ^ { 2 } } { b M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } I \tau ^ { 2 } \alpha _ { \ell } J _ { \ell } } \end{array}
\mu _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } ) v _ { 2 } ^ { 2 } + f _ { 1 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } + f _ { 1 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } + \mu _ { 1 2 } ^ { 2 } v _ { 2 } / v _ { 1 } = 0 ,
\hat { \theta } ^ { s } | _ { \partial K } = \left\{ \begin{array} { c c } { \theta ^ { s } | _ { K } } & { v \cdot \hat { n } > 0 , } \\ { \theta ^ { s } | _ { K + } } & { v \cdot \hat { n } < 0 , } \end{array} \right.
A _ { \gamma \beta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( \alpha , \sigma ) = \delta _ { \alpha \gamma } \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \sigma \rho } \delta _ { \sigma \rho ^ { \prime } } - s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \rho \dagger } s _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { D } _ { \tilde { \mathbf { x } } } \mathrm { c a y } \right) \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) } & { : = \frac { d } { d t } \mathrm { c a y } ( \hat { \mathbf { X } } + t \hat { \mathbf { Y } } ) | _ { t = 0 } } \\ & { = \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } \tilde { \mathbf { y } } \left( \mathbf { I } + \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) \right) = 2 \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } \tilde { \mathbf { y } } \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { k , n ; l , m } = \mathrm { T r } \left( \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] \hat { F } _ { l } \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( m ) \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { S R G M } } ( \mathbf { A } ) } & { = P _ { \mathrm { R G M } } ( \mathbf { A } ) \cdot \frac { P _ { \mathrm { S R G M } } ( \mathbf { A } ) } { P _ { \mathrm { R G M } } ( \mathbf { A } ) } } \\ & { = p ^ { L } ( 1 - p ) ^ { \binom { N } { 2 } - L } \cdot \frac { ( p ^ { - } ) ^ { L ^ { - } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } } ( 1 - p ^ { -- } p ^ { + } ) ^ { \binom { N } { 2 } - L ^ { -- } L ^ { + } } } { p ^ { L } ( 1 - p ) ^ { \binom { N } { 2 } - L } } } \\ & { = p ^ { L } ( 1 - p ) ^ { \binom { N } { 2 } - L } \cdot \frac { ( p ^ { - } ) ^ { L ^ { - } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } } ( 1 - p ^ { -- } p ^ { + } ) ^ { \binom { N } { 2 } - L ^ { -- } L ^ { + } } } { p ^ { L ^ { - } } p ^ { L ^ { + } } ( 1 - p ) ^ { \binom { N } { 2 } - L ^ { -- } L ^ { + } } } } \\ & { = p ^ { L } ( 1 - p ) ^ { \binom { N } { 2 } - L } \cdot \left( \frac { p ^ { - } } { p } \right) ^ { L ^ { - } } \left( \frac { p ^ { + } } { p } \right) ^ { L ^ { + } } \left( \frac { 1 - p ^ { -- } p ^ { + } } { 1 - p } \right) ^ { \binom { N } { 2 } - L ^ { -- } L ^ { + } } ; } \end{array}
\Gamma _ { k } ^ { ( \mathrm { ~ t ~ y ~ p ~ e ~ } ) } = \int \Theta ^ { ( \mathrm { ~ t ~ y ~ p ~ e ~ } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } = \int \Theta ^ { ( \mathrm { ~ t ~ y ~ p ~ e ~ } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) 2 \pi k ^ { \prime 2 } \mathrm { d } k ^ { \prime } \sin \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } \mathrm { d } \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } }
\begin{array} { r l r } { { \sigma _ { x x } } } & { { } = } & { { \sigma _ { \perp } } { \cos ^ { 2 } } \phi + { \sigma _ { \parallel } } { \sin ^ { 2 } } \phi , } \\ { { \sigma _ { z z } } } & { { } = } & { { \sigma _ { \parallel } } { \cos ^ { 2 } } \phi + { \sigma _ { \perp } } { \sin ^ { 2 } } \phi , } \\ { { \sigma _ { x z } } } & { { } = } & { { \sigma _ { z x } } = \left( { { \sigma _ { \perp } } - { \sigma _ { \parallel } } } \right) \cos \phi \sin \phi . } \end{array}
G _ { M N } = \Phi ^ { - \frac { 1 } { D - 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { g _ { \mu \nu } + \Phi a _ { \mu } a _ { \nu } } } & { { \, \Phi a _ { \mu } } } \\ { { \Phi a _ { \nu } } } & { { \, \Phi } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } , \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] } & { \le \frac \epsilon 2 \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] + ( 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } + 6 M ^ { 2 } ) \mathbb E \left[ \mathcal T _ { 1 } \right] . } \end{array}
\Xi ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: = \: \Xi ( g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: + \: g _ { 2 } ^ { * } \Xi ( g _ { 1 } ) ^ { \alpha } \: + \: d \log \omega _ { \alpha } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } }
\int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| { \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right| \, { \mathrm { d } } y \, { \mathrm { d } } x = \infty .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big [ \frac { 1 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \big ( D G _ { f } ( u ) \big ) - \mathbb { E } \big ( D G _ { f } ( u ) \big ) \big ] \geq M ( i , j ) \Big ) } \\ { = } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) - \mathbb { E } \big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) \big ) \geq M ( i , j ) - \mathbb { E } \big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) \big ) \Big ) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) - \mathbb { E } \big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) \big ) \geq 1 / 2 M ( i , j ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma _ { c } ^ { \varepsilon { , \kappa } , \nu = 0 } \, : \, \left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = r ( x , y ) \, c _ { \varepsilon } ( w ) } \\ { \dot { y } } & { = r ( x , y ) \, s _ { \varepsilon } ( w ) } \\ { \dot { w } } & { = \varepsilon \frac { \partial r } { \partial y } \, c _ { \varepsilon } ( w ) + \frac { \partial r } { \partial x } \, s _ { \varepsilon } ( w ) + u } \end{array} \right. , } \end{array}
\lambda = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sqrt { ( \tau _ { z } ^ { - 1 } - \tau _ { x } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } + 4 p _ { 2 , 1 } q _ { 2 , 1 } X _ { b , 1 } X _ { b , 2 } } - ( \tau _ { z } ^ { - 1 } + \tau _ { x } ^ { - 1 } ) \right] ,
\langle \underline { { \mathbf { c u r l } } } ( { \boldsymbol \chi } - \mathbf { I } _ { h } ( { \boldsymbol \chi } ) ) { \mathbf { n } } , \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \rangle _ { \Gamma } \, = \, - \, \langle \nabla \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \times { \mathbf { n } } , { \boldsymbol \chi } - \mathbf { I } _ { h } ( { \boldsymbol \chi } ) \rangle _ { \Gamma } \, = \, - \, \langle \underline { { { \boldsymbol \gamma } } } _ { * } ( \nabla \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } ) , { \boldsymbol \chi } - \mathbf { I } _ { h } ( { \boldsymbol \chi } ) \rangle _ { \Gamma } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u _ { 2 } } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x + \frac { c _ { 2 } } { b } ) } } } & { { } = 2 F _ { a , b } \left( c _ { 2 } , \frac { - c _ { 2 } } { b } \right) - 2 \pi , } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u _ { 3 } } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x + \frac { c _ { 3 } } { b } ) } } } & { { } = 2 F _ { a , b } \left( c _ { 3 } , \frac { - c _ { 3 } } { b } \right) - 2 \pi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta _ { q } ( x , y ) = \frac { q ( x + y ) } { q ( x ) q ( y ) } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { q _ { i } ( ( x + y ) _ { i } ) } { q _ { i } ( x _ { i } ) q _ { i } ( y _ { i } ) } \prod _ { i < j } \frac { \beta _ { q } ( ( x + y ) _ { i } , ( x + y ) _ { j } ) } { \beta _ { q } ( x _ { i } , x _ { j } ) \beta _ { q } ( y _ { i } , y _ { j } ) } } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \widetilde { q _ { i } } ( ( x + y ) _ { i } ) } { \widetilde { q _ { i } } ( x _ { i } ) \widetilde { q _ { i } } ( y _ { i } ) } \prod _ { i < j } \frac { \beta _ { q } ( ( x + y ) _ { i } , ( x + y ) _ { j } ) } { \beta _ { q } ( x _ { i } , x _ { j } ) \beta _ { q } ( y _ { i } , y _ { j } ) } = \frac { \tilde { q } ( x + y ) } { \tilde { q } ( x ) \tilde { q } ( y ) } = \beta _ { \tilde { q } } ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { Y } } & { { } = { \frac { d \mathbf { F } } { d t } } = { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { p } } { d t ^ { 2 } } } = { \frac { d ^ { 2 } ( m \mathbf { v } ) } { d t ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] - \beta \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } - \beta \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } } \\ & { } & { + \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } , } \end{array}
\rho _ { \Pi } ^ { ( D = 6 ) } ( \sigma , \sigma ^ { \prime } ) = { \frac { 1 + b ^ { 2 } } { 9 6 \pi ^ { 2 } } } \big \{ \sigma ^ { \prime 2 } \delta ( \sigma ) + \sigma ^ { 2 } \delta ( \sigma ^ { \prime } ) + \sigma \sigma ^ { \prime } \delta ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) \big \} \; \; .
\begin{array} { r l r l } { \Delta p _ { 1 } } & { = m _ { 1 } \Delta v _ { 1 } = J } & { \Delta L _ { 1 } } & { = I _ { 1 } \Delta \omega _ { 1 } - R _ { 1 } ( m _ { 1 } \Delta v _ { 1 } ) = 0 } \\ { \Delta p _ { 2 } } & { = - m _ { 2 } \Delta v _ { 2 } = - J } & { \Delta L _ { 2 } } & { = I _ { 2 } \Delta \omega _ { 2 } + R _ { 2 } ( m _ { 2 } \Delta v _ { 2 } ) = 0 } \end{array}
\sigma _ { 2 } ( r = a , b ) = \sigma _ { 1 } ( r = a , b ) = 0 , \sigma _ { r r } ( r = a ) = - p _ { f } ( r = a ) , \sigma _ { r r } ( r = b ) = 0 , w ( r = a ) = \frac { v _ { f } } { - i \omega }
\begin{array} { r } { \Delta t = k _ { \mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ } } \frac { \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { ~ i ~ , ~ k ~ } } ( \Delta x _ { \mathrm { ~ i ~ , ~ k ~ } } ) } { v _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } } & { \left( \| \hat { \psi } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t _ { 0 } ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } + \| \hat { u } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t _ { 0 } ) - u ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { ( 1 - \alpha ) ( b - a ) } \frac { \mathcal C _ { 0 } } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi ^ { 0 } - \psi ^ { ( \sigma ) } \| . } \end{array}
\int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \frac { D } { D t } \rho \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } d V = \frac { d } { d t } \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \rho ( \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } ) d V .
\begin{array} { r l } { T _ { n } } & { = \sum _ { i , j , k \mathrm { ~ ( d i s t . ) } } ( A _ { i k } - \Omega _ { i k } ) ( A _ { j k } - \Omega _ { j k } ) + 2 \sum _ { i j k ( d i s t ) } ( \Omega _ { i k } - \alpha ) ( A _ { j k } - \Omega _ { j k } ) } \\ & { \quad + \sum _ { i j k ( d i s t ) } ( \Omega _ { i k } - \alpha ) ( \Omega _ { j k } - \alpha ) \equiv T _ { n 1 } + T _ { n 2 } + T _ { n 3 } . } \end{array}