{ \begin{array} { r l } & { \left( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } | \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } ^ { \prime } | ^ { 2 } } \\ & { = \left[ \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { 1 + \gamma _ { v } } } \mathbf { v } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { = ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { \gamma _ { v } + 1 } } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] + { \frac { 1 } { c ^ { 4 } } } \left( { \frac { \gamma _ { v } } { \gamma _ { v } + 1 } } \right) ^ { 2 } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ^ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) \right] } \\ & { = ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { \gamma _ { v } + 1 } } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] + { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } \left( { \frac { \gamma _ { v } } { \gamma _ { v } + 1 } } \right) ^ { 2 } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { \gamma _ { v } + 1 } } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] + { \frac { ( 1 - \alpha _ { v } ) ( 1 + \alpha _ { v } ) } { c ^ { 2 } } } \left( { \frac { \gamma _ { v } } { \gamma _ { v } + 1 } } \right) ^ { 2 } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { \gamma _ { v } + 1 } } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] + { \frac { ( \gamma _ { v } - 1 ) } { c ^ { 2 } ( \gamma _ { v } + 1 ) } } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { \gamma _ { v } + 1 } } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] + { \frac { ( 1 - \gamma _ { v } ) } { c ^ { 2 } ( \gamma _ { v } + 1 ) } } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] } \\ & { = ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } + 1 } { \gamma _ { v } + 1 } } \left[ ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) \right] } \\ & { = ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } | \mathbf { v } \times \mathbf { u } ^ { \prime } | ^ { 2 } } \end{array} }