harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\langle h _ { k i n } \right\rangle = } & { { } \left\langle u _ { i } ( \mathbf { x } , t ) w _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \right\rangle } \\ { = } & { { } \, \, \mathrm { i } \epsilon _ { i j k } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \int \mathrm { d } ^ { 4 } q ^ { \prime } k _ { j } ^ { \prime } \mathfrak { G } _ { i n } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { k m } \left( \mathbf { q } ^ { \prime } \right) \left\langle \hat { f } _ { n } ( \mathbf { q } ) \hat { f } _ { m } ( \mathbf { q } ^ { \prime } ) \right\rangle \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left[ \left( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { x } - \left( \omega + \omega ^ { \prime } \right) t \right] } } \\ { = } & { { } - \mathrm { i } \epsilon _ { i j k } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q k _ { j } \mathfrak { G } _ { i n } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { k m } \left( - \mathbf { q } \right) \left[ \frac { D _ { 0 } } { k ^ { 3 } } P _ { n m } ( \mathbf { k } ) + \mathrm { i } \frac { D _ { 1 } } { k ^ { 5 } } \epsilon _ { n m p } k _ { p } \right] } \\ { = } & { { } - \int \frac { \mathrm { d } k } { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } X \frac { 2 D _ { 1 } \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } + 4 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \right) } { \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) ^ { 2 } - 8 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) + 1 6 \Omega ^ { 4 } X ^ { 4 } } } \\ { = } & { { } - 4 \pi D _ { 1 } \mathcal { I } _ { u ^ { 2 } } \left( \nu , \Omega , k _ { \ell } \right) } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \varepsilon } ( C | Q ) _ { \sigma } \geq H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { p \varepsilon ^ { 2 } / 3 } ( C | Q ) _ { \rho } + \log _ { 2 } [ p ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } / 3 ) ] .
\begin{array} { r l } & { \frac { ( 1 - e ^ { - C _ { 1 } \tau } ) } \tau V ^ { \tau , h } ( t _ { 0 } , x _ { 0 } ) \leq H \left( t _ { 0 } + \tau , x _ { 0 } , \nabla _ { x } ^ { h } \tilde { V } ( t _ { 0 } + \tau , x _ { 0 } ) \right) + N h \Delta _ { x } ^ { h } \tilde { V } ( t _ { 0 } + \tau , x _ { 0 } ) } \\ & { \quad \leq H \left( t _ { 0 } + \tau , x _ { 0 } , 2 C _ { T , \delta } ( q _ { x _ { 0 } } + p _ { 0 } ) \right) + C C _ { T , \delta } h ( | x _ { 0 } - y _ { 0 } | ^ { 2 } + 1 ) } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } _ { \Pi } [ \tilde { F } _ { k } ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } ] \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \frac { | \sum _ { \sigma \neq \sigma _ { 0 } } \mathcal { H } _ { \sigma \sigma _ { 0 } } | } { \sqrt { \sum _ { \sigma \neq \sigma _ { 0 } } | \sum _ { \sigma ^ { \prime } \neq \sigma _ { 0 } } \mathcal { H } _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } | ^ { 2 } } } \sqrt { \alpha } \stackrel { \varepsilon \rightarrow 0 } { \longrightarrow } \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbb { G } ( x , w ) , \mathbb { G } ( x , y ) \right\rangle } & { = \left\langle \mathbb { G } _ { p } ( x , w ) + \mathbb { G } _ { s } ( x , w ) , \mathbb { G } _ { p } ( x , y ) + \mathbb { G } _ { s } ( x , y ) \right\rangle } \\ & { = \left\langle \mathbb { G } _ { p } ( x , w ) , \mathbb { G } _ { p } ( x , y ) \right\rangle + \left\langle \mathbb { G } _ { s } ( x , w ) , \mathbb { G } _ { s } ( x , y ) \right\rangle } \\ & { \quad + \left\langle \mathbb { G } _ { p } ( x , w ) , \mathbb { G } _ { s } ( x , y ) \right\rangle + \left\langle \mathbb { G } _ { s } ( x , w ) , \mathbb { G } _ { p } ( x , y ) \right\rangle } \\ & { = \frac { 1 } { \omega c _ { p } } \Im \{ \mathbb { G } _ { p } ( w , y ) \} + \frac { 1 } { \omega c _ { s } } \Im \{ \mathbb { G } _ { s } ( w , y ) \} + \mathbb { W } ( w , y ) , } \end{array}
P _ { \ \nu } ^ { \mu } = - { \frac { 1 } { 4 } } R _ { \ \lambda } ^ { \mu } R _ { \ \nu } ^ { \lambda } + { \frac { 1 } { 6 } } R R _ { \ \nu } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 8 } } \delta _ { \nu } ^ { \mu } R _ { \ \beta } ^ { \alpha } R _ { \ \alpha } ^ { \beta } - { \frac { 1 } { 1 6 } } \delta _ { \ \nu } ^ { \mu } R ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \vec { \nabla } \cdot ( \rho \vec { V } ) = } & { \, \, 0 , } \\ { \rho \left( \partial _ { t } \vec { V } + ( \vec { V } \cdot \vec { \nabla } ) \vec { V } \right) = } & { - \vec { \nabla } P + \eta \nabla ^ { 2 } \vec { V } + \frac { \eta } { 3 } \vec { \nabla } ( \vec { \nabla } \cdot \vec { V } ) . } \end{array}
\left\langle \rho _ { 1 } ^ { 4 } - L + \frac { d Q } { d t } \right\rangle = \left\langle \frac { 8 } { 3 } \left( \rho _ { 2 } \sin \theta + \frac { \sqrt { \chi } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { \chi + 4 } { 3 } - L \right\rangle .
j _ { \mu } ( x ) = \sum _ { I = 1 } ^ { K } \int \! d \tau _ { I } \, Q _ { I } ( \tau _ { I } ) \, v _ { \mu } ^ { I } ( \tau _ { I } ) \, \delta ^ { 4 } \bigl [ x - z _ { I } ( \tau _ { I } ) \bigr ] ,
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } f ( p , q , t ) } & { { } = { \frac { \partial f } { \partial q } } { \frac { \partial H } { \partial p } } - { \frac { \partial f } { \partial p } } { \frac { \partial H } { \partial q } } + { \frac { \partial f } { \partial t } } } \end{array}
\mu _ { \alpha \beta } = - \frac { 2 } { \Omega _ { \mathrm { ~ u ~ c ~ } } n _ { \mathrm { c } } } \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ u ~ c ~ } } } \sum _ { n \mathbf k } v _ { n \mathbf k } ^ { \alpha } \partial _ { E _ { \beta } } f _ { n \mathbf k } ,
\begin{array} { r } { - a _ { z } b _ { z } t ^ { - b _ { z } - 1 } = - \frac { z a _ { 1 } a _ { z } } { 2 a _ { 2 } } t ^ { - b _ { z } - ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) } \, ; } \end{array}
D _ { 1 , 1 } = - 8 \left[ \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { \widetilde \epsilon } \right] , D _ { 2 , 1 } = 3 \left[ \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { \widetilde \epsilon } \right] , D _ { 3 , 1 } = \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { \widetilde \epsilon } .
\int _ { P _ { 1 } ( x , \theta , \theta _ { 1 } ) } ( x _ { 1 } - x ) \, d x _ { 1 } { } = { } \frac { l ^ { 2 } v d t } { 2 } | \sin ( \theta - \theta _ { 1 } ) | \, { \bf e } ( \theta ) ,
\int \! { \frac { d \omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } } \, { \frac { \rho ( \omega ) } { N } } \sim \frac { \langle J _ { 5 } J _ { 5 } \rangle ^ { ( 0 ) } ( Q ) } { N } - 2 g ^ { 2 } ( Q ) { \frac { \langle [ ( \bar { \psi } \psi ) ^ { 2 } ] \rangle _ { T , \mu } } { Q ^ { 2 } } } + 4 \Bigl ( { \frac { g ^ { 2 } ( Q ) } { g ^ { 2 } } } \Bigr ) ^ { 2 } { \frac { \langle [ \theta _ { 0 0 } ] \rangle _ { T , \mu } } { Q ^ { 2 } } } + \cdots
\begin{array} { r l r } { \mathcal { W } \left[ f \right] } & { = } & { - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \frac { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \left( \frac { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - 1 \right) } \\ & { } & { \times \log \left( \frac { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } \right) \, d A _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \mathrm { . } } \end{array}
\frac { 1 } { \lambda } \; \frac { \rho _ { n } ^ { [ \ell ] } ( \bar { \alpha } , \bar { z } ) } { \bar { \alpha } ^ { n } } = { \cal K } _ { n } ^ { [ \ell ] } ( \bar { \alpha } , \bar { z } ; 0 , 0 ; \lambda ) - \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha \int _ { - 1 } ^ { 1 } d z \; \frac { \rho _ { n } ^ { [ \ell ] } ( \alpha , z ) } { \alpha ^ { n } } \; { \cal K } _ { n } ^ { [ \ell ] } ( \bar { \alpha } , \bar { z } ; \alpha , z ; \lambda ) .
E _ { \mathrm { p h o t o n } } = h \nu _ { 0 } \pm \frac { h \vec { k } \cdot \vec { v } } { 2 \pi } \pm \frac { ( h \nu _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 m c ^ { 2 } } - \frac { ( h \nu _ { 0 } ) v ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } .
\mathbf { a } ^ { \mathbb { \gamma } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) = \left\{ { \begin{array} { c l } { \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) } & { { \mathrm { f o r ~ } } \qquad \mathbb { \gamma } = 1 } \\ { \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( \mathbf { I } \otimes \mathbf { g } _ { j } ^ { \intercal } ( t _ { n } ) ) \mathbf { f } _ { \mathbf { x x } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) \mathbf { g } _ { j } ( t _ { n } ) } & { { \mathrm { f o r ~ } } \quad \mathbb { \gamma } = 1 . 5 , } \end{array} } \right.
\| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = \| \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } - [ \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ( [ \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { - 1 } [ \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } } & { { } = \mathbf { I } + \frac { 1 - \cos \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \tilde { \mathbf { x } } + \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert - \sin \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 3 } } \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } } \end{array}
\left( \frac { g _ { 0 } } { 4 \pi } \right) ^ { 2 } \left[ J _ { 0 } ^ { ( r ) } ( k ^ { 2 } ) - J _ { 0 } ^ { ( r ) } \left( - \overline { { { u } } } \Lambda ^ { 2 } \right) \right] \, ,
H _ { F } = 1 + \sum _ { i } { \frac { Q _ { i } } { [ | \vec { x } - \vec { x } _ { 0 \, i } | ^ { 2 } + { \frac { 4 Q _ { p } } { ( p - 4 ) ^ { 2 } } } | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ^ { p - 4 } ] ^ { \frac { ( p - 3 ) ^ { 2 } + 3 } { 2 ( p - 4 ) } } } } , \ \ \ \ H _ { p } = { \frac { Q _ { p } } { | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ^ { 6 - p } } } .
[ { \pmb v } , { \pmb v } ^ { \prime } ] = [ { \pmb u } + { \pmb w } , \, { \pmb u } ^ { \prime } + { \pmb w } ^ { \prime } ] = [ { \pmb u } , { \pmb u } ^ { \prime } ] + [ { \pmb u } , { \pmb w } ^ { \prime } ] + [ { \pmb w } , { \pmb u } ^ { \prime } ] + [ { \pmb w } , { \pmb w } ^ { \prime } ]
| \Phi \rangle = \int d p \left( \phi ( p ) + A _ { \mu } ( p ) \alpha _ { - 1 } ^ { \mu } + B _ { \mu \nu } ( p ) \alpha _ { - 1 } ^ { \mu } \alpha _ { - 1 } ^ { \nu } + \cdots \right) | 0 , p \rangle ,
\begin{array} { r c } { \hat { H } = } & { - J _ { A B } \sum _ { < i , m > } \boldsymbol { \hat { S } } _ { i } \cdot \boldsymbol { \hat { S } } _ { m } - J _ { A } \sum _ { \ll i , j \gg } \boldsymbol { \hat { S } } _ { \boldsymbol { i } } \cdot \boldsymbol { \hat { S } } _ { j } } \end{array}
\left( g _ { i } \Delta _ { i , \mathrm { o p t } } ^ { \alpha } \right) ^ { \beta } = \frac { \lambda / \alpha } { \prod _ { m } \Delta _ { m , \mathrm { o p t } } } \left( \sum _ { m } g _ { m } ^ { \beta } \Delta _ { m , \mathrm { o p t } } ^ { \beta \alpha } \right) ^ { 1 - 1 / \beta } \ , \ \ i = 1 , 2 , 3 \, .
D ( \mathfrak { S } _ { 2 } ^ { \theta } ) = \left( L _ { d } ^ { 2 } , D ( \mathcal { L } _ { 2 } ) \cap L _ { d } ^ { 2 } \right) _ { \theta } = \left( L ^ { 2 } \cap L _ { d } ^ { 2 } , D ( \mathcal { L } _ { 2 } ) \cap L _ { d } ^ { 2 } \right) _ { \theta }
\begin{array} { r l } { M _ { n } ^ { * } = } & { \ \textrm { m i n } \{ \textrm { m a x } \{ \sqrt { \frac { \beta _ { 3 } m _ { a , 0 } } { \frac { \beta _ { 1 } \rho m _ { c , 0 } } { f _ { n } ^ { m d } } + \beta _ { 2 } \kappa \rho m _ { c , 0 } f _ { n } ^ { m d 2 } } } } \\ & { - m _ { a , 1 } , M _ { n } ^ { m i n } \} , M _ { n } ^ { m a x } \} } \end{array}
\Theta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z , t ) \, = \, \phi _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z , t ) - \frac { r _ { 0 } \dot { \bar { z } } _ { E } } { 2 \Gamma } \, ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } - \Phi _ { \epsilon } \biggl ( \frac { \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z , t ) } { 1 + \epsilon R } \biggr ) \, ,
{ \bar { m } } _ { ( i ) ( j ) } : = I ^ { \alpha \beta } { \bar { Z } } _ { \alpha ( i ) } { \bar { Z } } _ { \beta ( j ) } = \epsilon ^ { C D } { \bar { \pi } } _ { D ( i ) } { \bar { \pi } } _ { C ( j ) } = - { \bar { m } } _ { ( j ) ( i ) }
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \Phi } = \frac { \Delta M _ { s } } { \gamma \omega _ { e x } } \left[ \dot { \Phi } ^ { 2 } - c ^ { 2 } \Phi ^ { \prime 2 } - \omega _ { b } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \Phi \right] , } \\ { \frac { d E } { d t } = \dot { \Phi } \left[ - \frac { 2 \Delta M _ { s } } { \gamma } \alpha \dot { \Phi } + \frac { 2 \Delta M _ { s } } { \gamma } \tau \right] . } \end{array}
h _ { l , p , q } ( \zeta ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ \int _ { \mathrm { a r c c o s h } ( y ) } ^ { \infty } \frac { u d u } { \sqrt { \cosh u - y } } \frac { l ^ { 2 } + p e ^ { - u } } { \sinh ^ { q } ( u / 2 ) } \right] _ { y = 1 + n ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \hat { K } = \hat { H } - \mu \hat { N } = } & { \sum _ { k \sigma } \epsilon _ { k } \hat { c } _ { k \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { k \sigma } } \\ & { + \frac { U } { 2 N } \sum _ { \sigma } \sum _ { k , k ^ { \prime } , q } \hat { c } _ { k + q \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { k ^ { \prime } - q - \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { k ^ { \prime } - \sigma } \hat { c } _ { k \sigma } \, , } \end{array}
\frac { \partial < \tilde { u } _ { n } > } { \partial x } + \underbrace { \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { \partial \tilde { v } _ { n } } { \partial y } \, \mathrm { d } y } _ { v \left( 1 / 2 \right) - v \left( - 1 / 2 \right) = 0 } + \frac { \partial < \tilde { w } _ { n } > } { \partial z } = \nabla \cdot < \tilde { \mathbf { u } } _ { n } > = 0 ,
q ( y | x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { N ( N - 1 ) } , } & { \mathrm { i f } ~ i \neq j ~ \mathrm { e x i s t } : y \equiv \tau _ { i j } ( x ) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } { \Delta \theta } _ { A } ^ { 1 } = } & { { } - q _ { k } ^ { 2 } \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { 1 } - \Delta \theta _ { B } ^ { 1 } \big ) \frac { \kappa ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } } { \beta } + Q + \xi _ { \theta _ { A } ^ { 1 } } \, , } \\ { \partial _ { t } { \Delta \theta } _ { B } ^ { 1 } = } & { { } ~ q _ { k } ^ { 2 } \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { 1 } - \Delta \theta _ { B } ^ { 1 } \big ) \beta + \xi _ { \theta _ { B } ^ { 1 } } \, , } \end{array}
M ^ { ( 1 0 ) } \equiv \frac { v _ { 3 } } { \sqrt { 2 } } \, Y _ { F } ^ { ( 1 0 ) } , ~ ~ ~ M ^ { ( 1 2 6 ) } \equiv \frac { v _ { 4 } } { \sqrt { 2 } } \, Y _ { F } ^ { ( 1 2 6 ) } .
\begin{array} { r } { f _ { \theta } ( t ) = - \sqrt { 2 } m ^ { 2 } \xi _ { 2 } E _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } \cos \varphi _ { 0 } \cos 2 \alpha , \quad \quad } \\ { f _ { \varphi } ( t ) = m h _ { y } \cos \varphi _ { 0 } + m ^ { 2 } \xi _ { 1 } E _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \varphi _ { 0 } \sin 2 \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { o _ { r } ( x , y ) } & { { } = } & { \textrm { R e L U } ( W _ { 3 , r } \star \textrm { R e L U } ( W _ { 2 , r } \star \textrm { R e L U } ( W _ { 1 , r } \star v _ { r } ( x , y ) ) ) ) } \\ { o _ { a } ( x , y ) } & { { } = } & { \textrm { R e L U } ( W _ { 3 , a } \star \textrm { R e L U } ( W _ { 2 , a } \star \textrm { R e L U } ( W _ { 1 , a } \star \{ s ( x , y ) , c ( x , y ) \} ) ) ) } \\ { \pi ( x , y ) } & { { } = } & { \sigma ( W _ { 3 } \star \textrm { R e L U } ( W _ { 2 } \star \textrm { R e L U } ( W _ { 1 } \star \{ o _ { r } ( x , y ) , o _ { a } ( x , y ) \} ) ) ) } \end{array}
= \sigma _ { \psi } \left( W _ { 1 } \left( x _ { w } - W ^ { ( 1 ) + } W ^ { ( 2 ) } \frac { 1 } { N } \sum _ { r \in \mathcal { Z } _ { w } \backslash u } \psi \left( x _ { u } , x _ { r } \right) \right) + W _ { 2 } x _ { v } + b _ { \psi } \right) =
\omega { \frac { d ^ { 3 } R } { d ^ { 3 } k } } \ = \ - { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \, \mathrm { I m } \, \Pi _ { \mu } ^ { \mu } \, { \frac { 1 } { e ^ { \beta \omega } - 1 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( \omega ^ { t + 1 } ) ] - \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) ] } & { \leq \frac { - 2 \delta _ { \omega } ^ { t } + L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( w ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \frac { L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( z ^ { t + 1 } ) ] - \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( z ^ { t } ) ] } & { \leq \frac { - 2 \delta _ { z } ^ { t } + L _ { z } ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \frac { L _ { z } ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\boldsymbol { \sigma } ^ { ( 2 ) } = \eta _ { 0 } \mathbf { A } _ { 1 } ( \mathbf { u } ^ { ( 2 ) } ) - 0 . 5 \Psi _ { 1 , 0 } \mathbf { A } _ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ) + ( \Psi _ { 1 , 0 } + \Psi _ { 2 , 0 } ) [ \mathbf { A } _ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ) ] ^ { 2 }
\sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ [ a _ { i } , ( \xi _ { 1 } ( a _ { j } ^ { \dagger } ) ] , \xi _ { 2 } ( a _ { i } ^ { \dagger } ) \right\} = 2 \xi _ { 2 } ( a _ { j } ^ { \dagger } ) \xi _ { 1 } ^ { \prime } ( a _ { j } ^ { \dagger } ) \, ,
\nabla { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { P } \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { } = - \nabla { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } \neq 0
\begin{array} { r l } { f ( r ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \varepsilon _ { \mathrm { i n } } \varepsilon _ { 0 } \kappa _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } { \eta } ( 1 + \lambda ) \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { \displaystyle \frac { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } \kappa _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } } { \eta } \left( 1 + \lambda \frac { R ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } \right) \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + 3 \alpha + \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 2 } + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( 1 + 2 \alpha + \gamma - \mu \right) \pi \right) } \end{array}
\frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { { S W } } } } = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { { S } } } } + \frac { 1 } { \tau _ { W } } = \left( { \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } \varepsilon ^ { 1 / 3 } + \omega _ { W 0 } \varepsilon _ { W } ^ { 1 / 3 } } \right) k ^ { 2 / 3 } \equiv \omega _ { \mathrm { { s w } } } \varepsilon _ { \mathrm { { s w } } } ^ { 1 / 3 } k ^ { 2 / 3 } .
h ^ { ( 5 ) } ( - 2 \omega , - \omega , \omega , \omega , \omega ) = \mathbf { E } ^ { * } ( 2 \omega ) \cdot \left[ \mathbf { E } ^ { * } ( \omega ) \times \mathbf { E } ( \omega ) \right] \left( \mathbf { E } ( \omega ) \cdot \mathbf { E } ( \omega ) \right)
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { 2 } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \big [ ( \alpha _ { x x } - \alpha _ { y y } ) ^ { 2 } + ( \alpha _ { x x } - \alpha _ { z z } ) ^ { 2 } + ( \alpha _ { y y } - \alpha _ { z z } ) ^ { 2 } \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ( R _ { \mathbb { T } _ { 6 } } ( \Sigma _ { g } ) ) } & { = q ^ { 1 8 g - 3 } \left( q - 1 \right) ^ { 6 g + 3 } + q ^ { 1 8 g - 3 } \left( q - 1 \right) ^ { 8 g + 2 } + 2 q ^ { 2 0 g - 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 4 g + 4 } + 5 q ^ { 2 0 g - 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 6 g + 3 } } \\ & { \quad + 3 q ^ { 2 0 g - 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 8 g + 2 } + 2 q ^ { 2 2 g - 7 } \left( q - 1 \right) ^ { 2 g + 5 } + 1 0 q ^ { 2 2 g - 7 } \left( q - 1 \right) ^ { 4 g + 4 } + 1 5 q ^ { 2 2 g - 7 } \left( q - 1 \right) ^ { 6 g + 3 } } \\ & { \quad + 7 q ^ { 2 2 g - 7 } \left( q - 1 \right) ^ { 8 g + 2 } + q ^ { 2 2 g - 7 } \left( q - 1 \right) ^ { 1 0 g + 1 } + 4 q ^ { 2 4 g - 9 } \left( q - 1 \right) ^ { 2 g + 5 } + 1 7 q ^ { 2 4 g - 9 } \left( q - 1 \right) ^ { 4 g + 4 } } \\ & { \quad + 2 4 q ^ { 2 4 g - 9 } \left( q - 1 \right) ^ { 6 g + 3 } + 1 3 q ^ { 2 4 g - 9 } \left( q - 1 \right) ^ { 8 g + 2 } + 2 q ^ { 2 4 g - 9 } \left( q - 1 \right) ^ { 1 0 g + 1 } } \\ & { \quad + q ^ { 2 6 g - 1 1 } \left( q - 1 \right) ^ { 2 g + 5 } \left( q + 7 \right) + 2 3 q ^ { 2 6 g - 1 1 } \left( q - 1 \right) ^ { 4 g + 4 } + 2 9 q ^ { 2 6 g - 1 1 } \left( q - 1 \right) ^ { 6 g + 3 } } \\ & { \quad + 1 6 q ^ { 2 6 g - 1 1 } \left( q - 1 \right) ^ { 8 g + 2 } + 3 q ^ { 2 6 g - 1 1 } \left( q - 1 \right) ^ { 1 0 g + 1 } + 3 q ^ { 2 8 g - 1 3 } \left( q - 1 \right) ^ { 2 g + 5 } } \\ & { \quad + 1 3 q ^ { 2 8 g - 1 3 } \left( q - 1 \right) ^ { 4 g + 4 } + 2 1 q ^ { 2 8 g - 1 3 } \left( q - 1 \right) ^ { 6 g + 3 } + 1 5 q ^ { 2 8 g - 1 3 } \left( q - 1 \right) ^ { 8 g + 2 } } \\ & { \quad + 4 q ^ { 2 8 g - 1 3 } \left( q - 1 \right) ^ { 1 0 g + 1 } + q ^ { 3 0 g - 1 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 1 2 g } + q ^ { 3 0 g - 1 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 2 g + 5 } + 5 q ^ { 3 0 g - 1 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 4 g + 4 } } \\ & { \quad + 1 0 q ^ { 3 0 g - 1 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 6 g + 3 } + 1 0 q ^ { 3 0 g - 1 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 8 g + 2 } + 5 q ^ { 3 0 g - 1 5 } \left( q - 1 \right) ^ { 1 0 g + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \, d \boldsymbol { \xi = } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { \alpha \beta , j i } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } ) \, d \boldsymbol { \xi } } \\ & { \leq } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { C } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert } \sum _ { k , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \exp \left( - \frac { m _ { \alpha } ^ { 2 } } { 8 m _ { \beta } } \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } \right) d \mathbf { g } = C \int _ { 0 } ^ { \infty } R e ^ { - m _ { \alpha } ^ { 2 } R ^ { 2 } / \left( 8 m _ { \beta } \right) } d R = C \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a } & { = } & { \frac { 1 } { 6 \hbar ^ { 2 } } \left[ \frac { | \langle n P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } { \{ \omega - ( \omega _ { n _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) \} ^ { 2 } } + \frac { | \langle n P _ { 3 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } { \{ \omega - ( \omega _ { n P _ { 3 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) \} ^ { 2 } } \right] , } \\ { b } & { = } & { \frac { 1 } { 1 2 \hbar ^ { 2 } } \left[ \frac { 2 | \langle n P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } { \{ \omega - ( \omega _ { n P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) \} ^ { 2 } } - \frac { | \langle n P _ { 3 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } { \{ \omega - ( \omega _ { n P _ { 3 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) \} ^ { 2 } } \right] . } \end{array}