harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \gamma } & { = 2 \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) ( t - t ^ { \prime } ) } , } \\ { C } & { = 2 \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) ( t ^ { \prime } - t ) } , } \\ { \mathcal { F } _ { a } ( t ) } & { = - i \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } c _ { \mathrm { q } } ( 0 ) e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { + } } ( t ) } & { = - i \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } ( 0 ) \sigma _ { \mathrm { z } } ( t ) e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { z } } ( t ) } & { = 2 i \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } \left[ - \sigma _ { \mathrm { + } } ( t ) b _ { \mathrm { k } } ( 0 ) e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } + b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } ( 0 ) \sigma _ { \mathrm { - } } ( t ) e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { N T } \ell ( t ) e ^ { i S ( t ) } \mathrm { d } t } \\ { \& = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { n T } ^ { ( n + 1 ) T } \ell ( t ) e ^ { i S ( t ) } \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } I ( T ) e ^ { i a n T } } \\ & { = } & { I ( T ) \, \frac { \sin { ( a T N / 2 ) } } { \sin { ( a T / 2 ) } } \, e ^ { ( i a T ( N - 1 ) / 2 ) } . } \end{array}
{ \mu _ { 1 , 2 } ^ { 2 } } ( x ) = \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + E ( { V _ { e } + V _ { X } } ) \mp \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( { \Delta m ^ { 2 } \cos 2 \theta } - A \right) ^ { 2 } + \left( { \Delta m ^ { 2 } \sin 2 \theta } \right) ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } & { V _ { \alpha _ { G } } ^ { \mathrm { N S } } ( \theta , \omega ^ { * } ) } \\ & { = \frac { \alpha _ { G } } { \alpha _ { G } - 1 } \left[ 1 - \int _ { \mathcal { X } } \left( p _ { G _ { \theta } } ( x ) D _ { \omega ^ { * } } ( x ) ^ { \frac { \alpha _ { G } - 1 } { \alpha _ { G } } } \right) d x \right] } \\ & { = \frac { \alpha _ { G } } { \alpha _ { G } - 1 } \Bigg [ 1 - \int _ { \mathcal { X } } p _ { G _ { \theta } } ( x ) \left( \frac { p _ { r } ( x ) ^ { \alpha _ { D } } } { p _ { r } ( x ) ^ { \alpha _ { D } } + p _ { G _ { \theta } } ( x ) ^ { \alpha _ { D } } } \right) ^ { \frac { \alpha _ { G } - 1 } { \alpha _ { G } } } d x \Bigg ] } \\ & { = \frac { \alpha _ { G } } { \alpha _ { G } - 1 } \Bigg [ 1 - \int _ { \mathcal { X } } p _ { G _ { \theta } } ( x ) \frac { ( p _ { r } ( x ) / p _ { G _ { \theta } } ( x ) ) ^ { \alpha _ { D } ( 1 - 1 / \alpha _ { G } ) } } { ( ( p _ { r } ( x ) / p _ { G _ { \theta } } ( x ) ) ^ { \alpha _ { D } } + 1 ) ^ { 1 - 1 / \alpha _ { G } } } d x \Bigg ] } \\ & { = \int _ { \mathcal { X } } p _ { G _ { \theta } } ( x ) f _ { \alpha _ { D } , \alpha _ { G } } ^ { \mathrm { N S } } \left( \frac { p _ { r } ( x ) } { p _ { G _ { \theta } } ( x ) } \right) d x + \frac { \alpha _ { G } } { \alpha _ { G } - 1 } \left( 1 - 2 ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { G } } - 1 } \right) , } \end{array}
\delta t , ~ N _ { \mathrm { s t e p s } } ~ ~ [ \mathrm { ~ S ~ i ~ z ~ e ~ a ~ n ~ d ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ i ~ n ~ t ~ e ~ g ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ t ~ i ~ m ~ e ~ s ~ t ~ e ~ p ~ s ~ } ]
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { a m } ( l K ( p ) , p ) = l \frac { \pi } { 2 } , \qquad } & & { \mathrm { c n } ( x + 4 l K ( p ) , p ) = \mathrm { c n } ( x , p ) , } \\ & { \mathrm { s n } ( x + 4 l K ( p ) , p ) = \mathrm { s n } ( x , p ) , } & & { \mathrm { d n } ( x + 2 l K ( p ) , p ) = \mathrm { d n } ( x , p ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d f } & { { } = } & { \frac { 2 B _ { z 0 } { } ^ { 2 } } { | x _ { 0 } | ^ { 2 } } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - 2 } \left( \frac { 1 } { x _ { 0 } } d x _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - 1 } \left\langle \left( f + g \right) ^ { - 3 / 2 } \right\rangle d f \right) } \end{array}
W _ { p } ( \chi _ { \gamma } , \varepsilon _ { e } ) = \int _ { 0 } ^ { \varepsilon _ { e } } \frac { \mathrm { d } W } { \mathrm { d } \varepsilon _ { e } ^ { \prime } } ( \chi _ { \gamma } , \varepsilon _ { e } ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \varepsilon _ { e } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \tilde { p } ( u ( z ) ) } & { = } & { 1 + \frac { \tilde { p } _ { 1 } c _ { 1 } z } { 2 } + \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( c _ { 2 } - \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \right) \tilde { p } _ { 1 } + \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } \tilde { p } _ { 2 } \right\} z ^ { 2 } } \\ & { ~ } & { + \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( c _ { 3 } - c _ { 1 } c _ { 2 } + \frac { c _ { 1 } ^ { 3 } } { 4 } \right) \tilde { p } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 1 } \left( c _ { 2 } - \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \right) \tilde { p } _ { 2 } + \frac { c _ { 1 } ^ { 3 } } { 8 } \tilde { p } _ { 3 } \right\} z ^ { 3 } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \frac { ( S _ { c } ^ { ( n ) } - 1 ) ! ! } { \prod _ { v = 1 } ^ { n } D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! } } & { \leq \frac { S _ { c } ^ { ( n ) } } { 2 } \log S _ { c } ^ { ( n ) } - \frac { S _ { c } ^ { ( n ) } } { 2 } + O ( 1 ) - \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } S _ { c } ^ { ( n ) } \log n + \frac { 1 } { 2 } S _ { c } ^ { ( n ) } \log \frac { S _ { c } ^ { ( n ) } } { n } - \frac { 1 } { 2 } S _ { c } ^ { ( n ) } - \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! + O ( 1 ) . } \end{array}
\overline { { l } } = \frac { \int _ { \theta _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \theta \operatorname* { m a x } } d ( \theta ) \mathrm { d } \theta } { \int _ { \theta _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \theta \operatorname* { m a x } } 1 \mathrm { ~ d } \theta } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \delta x _ { 1 } \rangle = - 2 / 3 \quad , \quad \langle \delta x _ { 2 } \rangle = 0 \quad , \quad \langle \delta x _ { 3 } \rangle _ { c } = 2 / 3 } \\ & { } & { \langle \delta x _ { 1 } ^ { 2 } \rangle _ { c } = \langle \delta x _ { 3 } ^ { 2 } \rangle _ { c } = 2 t - \frac { 8 } { 9 } \quad , \quad \langle \delta x _ { 2 } ^ { 2 } \rangle _ { c } = 2 t - \frac { 3 } { 2 } \quad , \quad \langle \delta x _ { 1 } \delta x _ { 2 } \rangle _ { c } = \langle \delta x _ { 2 } \delta x _ { 3 } \rangle _ { c } = \frac { 3 } { 4 } \quad , \quad \langle \delta x _ { 1 } \delta x _ { 3 } \rangle _ { c } = \frac { 5 } { 3 6 } } \\ & { } & { \langle \delta x _ { 1 } ^ { 3 } \rangle _ { c } = - \langle \delta x _ { 3 } ^ { 3 } \rangle _ { c } = - \frac { 5 2 } { 2 7 } \quad , \quad \langle \delta x _ { 2 } ^ { 3 } \rangle _ { c } = 0 \quad , \quad \langle \delta x _ { 1 } \delta x _ { 2 } ^ { 2 } \rangle _ { c } = - \langle \delta x _ { 1 } ^ { 2 } \delta x _ { 2 } \rangle _ { c } = - \frac { 7 } { 4 } } \\ & { } & { \langle \delta x _ { 1 } ^ { 2 } \delta x _ { 3 } \rangle _ { c } = - \langle \delta x _ { 1 } \delta x _ { 3 } ^ { 2 } \rangle _ { c } = \frac { 1 9 } { 1 0 8 } \quad , \quad \langle \delta x _ { 2 } \delta x _ { 3 } ^ { 2 } \rangle _ { c } = - \langle \delta x _ { 2 } ^ { 2 } \delta x _ { 3 } \rangle _ { c } = - \frac { 7 } { 4 } \quad , \quad \langle \delta x _ { 1 } \delta x _ { 2 } \delta x _ { 3 } \rangle _ { c } = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 } } & { { } = \frac { A } { 1 6 } \frac { 6 } { 5 \pi } ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } \approx 0 . 3 6 A } \\ { C _ { 2 } } & { { } = B _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } | } & { \leq \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } - \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } \cdot e ^ { - \tilde { \alpha } \cdot \frac { 1 5 } { \lambda } \cdot \log n } \leq \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } - \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } \cdot \Big ( 1 - \tilde { \alpha } \cdot \frac { 3 0 } { \lambda } \cdot \log n \Big ) } \\ & { = \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } \cdot \tilde { \alpha } \cdot \frac { 3 0 } { \lambda } \cdot \log n \leq \frac { n } { b } \cdot n ^ { 1 / 8 } \cdot \log n . } \end{array}
\mathbf { x } ^ { ( t + 1 ) } = \underset { \mathrm { ~ t ~ t i m e s } } { \underbrace { ( \mathcal { P } + \lambda \mathcal { Q } _ { \lambda } ) \, \circ \, \cdots \, \circ \, ( \mathcal { P } + \lambda \mathcal { Q } _ { \lambda } ) } } \, ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) = ( \mathcal { P } + \lambda \mathcal { Q } _ { \lambda } ) ^ { t } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) .
{ \cal C } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( T M ) } } = ( q _ { \mathrm { T i } } \epsilon _ { \mathrm { A l } } - q _ { \mathrm { A l } } \epsilon _ { \mathrm { T i } } ) e ^ { - q _ { \mathrm { A l } } d / 2 } / ( q _ { \mathrm { T i } } \epsilon _ { \mathrm { A l } } )
r _ { S } = \frac { { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } } ( ( s - m _ { \pi } ^ { 2 } / 2 ) R e H _ { \pi \pi } ( s ) + { \frac { s } { 1 2 } } ) } { ( s / s _ { R _ { 2 } } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \tilde { \theta } ( s _ { m + 2 } + \alpha ) } & { = \tilde { \theta } ( s _ { m + 2 } ) + \int _ { s _ { m + 2 } } ^ { s _ { m + 2 } + \alpha } - k _ { m + 3 } h \left( \frac { u - s _ { m + 2 } } { \alpha } \right) + k _ { m + 3 } d u } \\ & { = \tilde { \theta } ( s _ { m + 2 } ) + \alpha k _ { m + 3 } ( 1 - H ) } \\ & { > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle x \rangle _ { + } = - \langle x \rangle _ { - } = \frac { v _ { 0 } } { 1 + 2 \gamma } } \\ & { } & { \langle x ^ { 2 } \rangle _ { + } = \langle x ^ { 2 } \rangle _ { - } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + 2 \gamma } + \frac { g } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) } \\ & { } & { \langle x ^ { 3 } \rangle _ { + } = - \langle x ^ { 3 } \rangle _ { - } = \frac { 6 v _ { 0 } ^ { 3 } + ( 1 - \frac { 1 } { N } ) 3 g v _ { 0 } ( 3 + 2 \gamma ) } { 2 ( 1 + 2 \gamma ) ( 3 + 2 \gamma ) } \; . } \end{array}
\begin{array} { l } { g _ { \varepsilon } = \int _ { 0 } ^ { \infty } G _ { \varepsilon \varkappa } G _ { 0 } r \: d r , } \\ { f _ { \varepsilon } = \int _ { 0 } ^ { \infty } F _ { \varepsilon \varkappa } F _ { 0 } r \: d r , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 4 u \alpha \lceil \frac { R } { T } \rceil } { n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } = \widetilde \Theta \left( \frac { R } { T n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) \mathrm { ~ a n d ~ } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { \frac { 4 u } { u - 1 } \alpha ( R - \lceil \frac { R } { T } \rceil ) } { n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } = \widetilde \Theta \left( \frac { R } { n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \psi } { \partial t } \frac { u _ { 2 } ^ { 2 } } { w } \sqrt { u _ { 2 } } - \frac { m \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 w ^ { 2 } } \psi u _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { u } _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } u _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { u } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \epsilon ^ { 1 } ~ = ~ \epsilon _ { S M } ^ { 1 } + \epsilon _ { n e w } ^ { 1 } ~ = ~ ( 5 . 1 \pm 2 . 2 ) \times 1 0 ^ { - 3 } \; , } } \\ { { \epsilon ^ { 2 } ~ = ~ \epsilon _ { S M } ^ { 2 } + \epsilon _ { n e w } ^ { 2 } ~ = ~ ( - 4 . 1 \pm 4 . 8 ) \times 1 0 ^ { - 3 } \; , } } \\ { { \epsilon ^ { 3 } ~ = ~ \epsilon _ { S M } ^ { 3 } + \epsilon _ { n e w } ^ { 3 } ~ = ~ ( 5 . 1 \pm 2 . 0 ) \times 1 0 ^ { - 3 } \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ^ { \prime } ( \vec { f } ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \theta C _ { i } + \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( P _ { i } f _ { i } ) + 1 ] \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U _ { t } : = ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { t - 1 } ) , } \\ & { U _ { i , t } : = ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { t - 1 } , K _ { i } ^ { t - 1 } ) , i = 1 , 2 , } \\ & { U _ { 3 , t } : = ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { t - 1 } , K _ { 1 } ^ { t - 1 } , K _ { 2 } ^ { t - 1 } ) , } \\ & { V _ { i , t } : = ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , K _ { i } ^ { t - 1 } ) , i = 1 , 2 , } \\ & { V _ { 3 , t } : = ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , K _ { 1 } ^ { t - 1 } , K _ { 2 } ^ { t - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr H ( u ) = } & { \, \frac 1 2 \left( \displaystyle \frac 1 2 \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } } | \nabla u | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } x + \frac { k ^ { 2 } } { 2 } \int _ { \mathbb T ^ { d } } | u ( x ) | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } x + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } k \cdot ( - i \nabla u ) \overline { { u } } \, { \mathrm { d } } x \right) } \\ & { - \frac { \gamma ^ { 2 } \kappa } { 4 } \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } } ( \Sigma \star | u | ^ { 2 } ) ( x ) | u ( x ) | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \left( t \right) } & { { } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { s r } \left( t \right) \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( - \dot { \sigma } _ { s r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \right) \left( \varepsilon \left( t \right) - \varepsilon \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } \right) } \end{array}
< n _ { j } > = \frac 1 2 \mathrm { T } \mathrm { r } \left[ \Lambda _ { j } { \bf S } \right] - 1 + \frac 1 2 { \bf y } { \bf R } \mathrm { ~ { \bf ~ S } \Lambda _ { j } { \bf ~ S } \Sigma _ { x } { \bf ~ R } { \bf ~ y } ~ } ,
W _ { \lambda , \mu } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { H _ { 0 , 2 } ^ { 1 , 0 } \left[ - z \left| \begin{array} { c } { - , - } \\ { ( 0 , 1 ) , ( 1 - \mu , \lambda ) } \end{array} \right. \right] , } & { 0 < \lambda } \\ { H _ { 1 , 1 } ^ { 1 , 0 } \left[ - z \left| \begin{array} { c } { - , ( \mu , - \lambda ) } \\ { ( 0 , 1 ) , - } \end{array} \right. \right] , } & { - 1 < \lambda < 0 } \\ { \frac { 1 } { \Gamma ( \mu ) } H _ { 0 , 1 } ^ { 1 , 0 } \left[ - z \left| \begin{array} { c } { - } \\ { ( 0 , 1 ) } \end{array} \right. \right] , } & { \lambda = 0 } \end{array} \right.
\frac { d \sigma _ { f } ( e ^ { + } e ^ { - } \to \gamma \mu ^ { + } \mu ^ { - } ) } { d \omega } = 2 \sigma _ { 0 } ( s ) \frac { 1 } { \sqrt { s } } F _ { \mu } ( x , a ) | 1 - \frac { 3 \Gamma ( \phi \to e ^ { + } e ^ { - } ) \sqrt { s } } { \alpha D _ { \phi } ( s ) } | ^ { 2 } ,
( \nabla _ { \beta r } v _ { \alpha q } ^ { ~ \underline { { \beta } } } ) v _ { \underline { { \beta } } } ^ { ~ \gamma q ^ { \prime } } = { \frac { 1 } { 4 } } ( \nabla _ { \beta r } u _ { a } ^ { ~ \underline { { a } } } ) u _ { \underline { { a } } } ^ { ~ i } ( \gamma ^ { a } ) _ { \alpha } ^ { ~ \gamma } ( \gamma _ { i } ) _ { q } ^ { ~ q ^ { \prime } } \equiv { \frac { 1 } { 4 } } \hat { \Omega } _ { \beta r , a } ^ { ~ ~ ~ ~ i } ( \gamma ^ { a } ) _ { \alpha } ^ { ~ \gamma } ( \gamma _ { i } ) _ { q } ^ { ~ q ^ { \prime } } .
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | M _ { \varepsilon } ^ { \gamma , n } ( f , \omega ) - M _ { \varepsilon } ^ { \gamma } ( f , \omega ) | ^ { 2 } \mathbf { 1 } _ { { \ensuremath { \mathcal A } } _ { q } } \right] \le { \ensuremath { \mathbb E } } [ | W _ { \infty } ^ { ( n , \varepsilon ) } | ^ { 2 } ] = { \ensuremath { \mathbb E } } [ | W _ { 0 } ^ { ( n , \varepsilon ) } | ^ { 2 } ] + { \ensuremath { \mathbb E } } [ \langle W ^ { ( n , \varepsilon ) } \rangle _ { \infty } ] .
\eta = \frac { M _ { \pi } } { 1 0 T } \int v _ { i } v _ { j } \left( v _ { i } v _ { j } - \frac { 1 } { 3 } v ^ { 2 } \delta _ { i j } \right) f ^ { 0 } \left( v \right) h \left( v \right) d \vec { v }
\langle \pi ^ { - } | \bar { d } _ { \alpha } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } u _ { \alpha } | 0 \rangle = - f _ { \pi } p _ { \pi } ^ { \mu } , \qquad \langle K ^ { - } | \bar { s } _ { \alpha } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } u _ { \alpha } | 0 \rangle = - f _ { K } p _ { K } ^ { \mu } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } \left[ f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right] } & { \leq 2 d _ { n + 1 } D + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { D } { d _ { n + 1 } } + 1 \right) d _ { n + 1 } ^ { 2 } \log \left( n + 2 \right) } \\ & { = 2 d _ { n + 1 } \left[ D + \frac { 1 } { 2 } \left( D \frac { d _ { n + 1 } } { d _ { n + 1 } } + d _ { n + 1 } \right) \log \left( n + 2 \right) \right] } \\ & { \leq 2 d _ { n + 1 } D \left[ 1 + \log \left( n + 2 \right) \right] } \\ & { \leq 4 d _ { n + 1 } D \log \left( n + 2 \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d u } { d t } = a _ { 1 } u + a _ { 2 } v + a _ { 3 } u ^ { 2 } + a _ { 4 } u v + a _ { 5 } u ^ { 2 } v + a _ { 6 } u ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) , } \\ { \frac { d v } { d t } = b _ { 1 } u + b _ { 2 } v + b _ { 3 } u ^ { 2 } + b _ { 4 } u v + b _ { 5 } v ^ { 2 } + b _ { 6 } u ^ { 3 } + b _ { 7 } u ^ { 2 } v + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) , } \end{array} \right.
C ^ { \, ( \mathrm { a n a l y t } ) } ( x , y ) = ( C _ { 0 } - C _ { \mathrm { e q } } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { \sin { ( \beta _ { n } b ) } } { N _ { n } ^ { 2 } \beta _ { n } } \frac { \cosh { ( \beta _ { n } ( x - a ) ) } } { \cosh { ( \beta _ { n } a } ) } \cdot \cos { ( \beta _ { n } y ) } \right) + C _ { \mathrm { e q } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial f _ { \omega } } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial f _ { \omega } } { \partial x } = \frac { f _ { \omega } ^ { 0 } - f _ { \omega } } { \tau } \Rightarrow \big ( \textrm { E q . ~ } \big ) \Rightarrow \frac { 1 } { v } \frac { \partial I _ { \omega } } { \partial t } + \mu \frac { \partial I _ { \omega } } { \partial x } = \frac { I _ { \omega } ^ { 0 } ( T ( x ) ) - I _ { \omega } } { v \tau ( \omega , T ) } , } \end{array}
k _ { 1 } ^ { \mu } T _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 1 ) a b c d } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = C _ { 1 } k _ { 2 \nu } S _ { \rho \sigma } ^ { ( 1 ) } ( q _ { 1 } ) + C _ { 1 } \Gamma _ { \sigma \nu \rho } ^ { ( 1 ) } ( p _ { 2 } , k _ { 2 } , q _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { | \Theta _ { \mathbb { V } ^ { \mathrm { n i l p } } } ( \tau ) _ { \mu } ^ { \prime } - \Theta _ { \tilde { \mathbb { V } } ^ { \mathrm { n i l p } } } ( \tau ) _ { \mu } ^ { \prime } | _ { t } } & { \leq \sum _ { v \in \mathcal { V } _ { \mathbb { Z } } ^ { \vee } \cap W _ { 2 } } | \varphi _ { \mathbb { V } ^ { \mathrm { n i l p } } } ( v ) - \varphi _ { \tilde { \mathbb { V } } ^ { \mathrm { n i l p } } } ( v ) | _ { t } } \\ & { \leq C ( - \log | t | ) ^ { - 1 } \left( \sum _ { v \in \mathcal { V } _ { \mathbb { Z } } ^ { \vee } \cap W _ { 2 } } e ^ { - \frac { \pi } { 2 } \| v \| _ { \mathcal { V } ^ { \mathrm { n i l p } } , t } ^ { 2 } } \right) } \\ & { = O ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 4 h ^ { \prime \prime } ( \lambda = 1 ) } & { { } \! = \! } & { \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d x _ { n } \, { \frac { ( { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } ) ^ { 2 } \, \exp \Big [ \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { n } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \ = \ { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 1 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \times } \end{array}
\left( \frac { \dot { a } } { a } \right) _ { n } ^ { 2 } = H _ { e f f } ^ { 2 } ( z = L _ { n } ) = \kappa _ { 5 } ^ { 4 } \sigma _ { n } ^ { 2 } - \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \Lambda _ { 5 } } { 6 } + 2 \kappa _ { 5 } ^ { 4 } \sigma _ { n } \rho _ { m } ^ { n } + \kappa _ { 5 } ^ { 4 } \rho _ { m } ^ { n 2 } + C e ^ { - 4 H _ { e f f } \tau _ { n } }
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t } } = \frac { C _ { j } } { 2 f _ { a } } \, \bar { \Psi } _ { j } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \Psi _ { j } \partial _ { \mu } a \mathrm { \quad ~ o r \quad } - i \, \frac { C _ { j } m _ { j } } { f _ { a } } \, \bar { \Psi } _ { j } \gamma _ { 5 } \Psi _ { j } a ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = - \infty } ^ { - 1 } g ( x - k T ) + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } g ( x - k T ) \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 6 } , ~ } & { { } ~ \forall x \in [ - \pi , \pi ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Biggr \langle \left[ \begin{array} { l } { w ^ { * } - w ^ { t + 1 } } \\ { z ^ { * } - z ^ { t + 1 } } \\ { \lambda - \tilde { \lambda } ^ { t } } \end{array} \right] , \ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \rho ^ { t } ( z ^ { t } - z ^ { t + 1 } ) } \\ { ( \lambda ^ { t } - \lambda ^ { t + 1 } ) / \rho ^ { t } } \end{array} \right] \Biggr \rangle } \\ { = } & { \textstyle \frac { \rho ^ { t } } { 2 } \big ( \| z ^ { * } - z ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \| z ^ { * } - z ^ { t } \| ^ { 2 } + \| z ^ { t + 1 } - z ^ { t } \| ^ { 2 } \big ) + \frac { 1 } { 2 \rho ^ { t } } \big ( \| \lambda - \lambda ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \| \lambda - \lambda ^ { t } \| ^ { 2 } + \underbrace { \| \tilde { \lambda } ^ { t } - \lambda ^ { t } \| ^ { 2 } } _ { \geq 0 } - \underbrace { \| \tilde { \lambda } ^ { t } - \lambda ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } } _ { = \| \rho ^ { t } ( z ^ { t + 1 } - z ^ { t } ) \| ^ { 2 } } \big ) } \\ { \geq } & { \textstyle \frac { \rho ^ { t } } { 2 } \big ( \| z ^ { * } - z ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \| z ^ { * } - z ^ { t } \| ^ { 2 } \big ) + \frac { 1 } { 2 \rho ^ { t } } \big ( \| \lambda - \lambda ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \| \lambda - \lambda ^ { t } \| ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
+ \left. \sum _ { p } \int d ^ { 3 } r \, \, \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { A } _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) } \, d A _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) \right| _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { S = } & { - \mathrm { i } \sum _ { m = 1 } ^ { \mathcal { N } } \sum _ { q } \sqrt { \frac { d } { L _ { z } } } \frac { \xi _ { q } } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } - \omega _ { 0 } } } \\ & { \times \left[ \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m q d } c _ { q } ^ { \phantom { \dagger } } \left( a _ { m } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \chi _ { q } } + b _ { m } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \chi _ { q } } \right) + \mathrm { H . c . } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } = } & { { } \nu _ { e } \left[ \frac { 3 \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } } { ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) ^ { 3 } } + \frac { 2 \alpha _ { p } a _ { 1 p } } { \sigma _ { p } ^ { 2 } } - 2 \alpha _ { e } a _ { 1 e } \right] , } \\ { B = } & { { } \frac { ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \lambda \nu _ { e } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { \mu ^ { - } } } & { { } = } & { N _ { \mu ^ { - } } ^ { 0 } \times P _ { \mu \mu } + N _ { e ^ { - } } ^ { 0 } \times P _ { e \mu } ~ , } \\ { N _ { \mu ^ { + } } } & { { } = } & { N _ { \mu ^ { + } } ^ { 0 } \times \overline { { P } } _ { \mu \mu } + N _ { e ^ { + } } ^ { 0 } \times \overline { { P } } _ { e \mu } ~ . } \end{array}
\tilde { f } _ { j } ( x , \tilde { v } _ { j , 0 } ) = \lambda _ { j } ^ { 2 + \beta _ { s - 1 } } f ( \lambda _ { j } x + x _ { j } , \lambda _ { j } ^ { - \beta _ { 0 } } \tilde { v } _ { j , 0 } ) = \frac { f ( \lambda _ { j } x + x _ { j } , \lambda _ { j } ^ { - \beta _ { 0 } } \tilde { v } _ { j , 0 } ) } { \lambda _ { j } ^ { - p \beta _ { 0 } } }
\Gamma _ { \chi _ { c 1 } \rightarrow g q { \overline { { q } } } } = \frac { 1 } { 2 m } \ { \overline { { g } } } _ { \chi _ { c 1 } } ^ { 2 } \ \frac { 4 } { 3 } ( 4 \pi \alpha _ { s } ) ^ { 3 } \int d \Phi _ { 3 } \frac { 1 } { \tilde { q } ^ { 4 } } \ \frac { 1 } { 4 } h _ { \mu \nu } H ^ { \mu \nu } ,