harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { y } _ { i } = \Sigma _ { k \in \mathcal { K } } T ( r _ { i } ^ { k } - \mu _ { i } , P a d 2 d ( y _ { i } ^ { k } ) ) \oslash \Sigma _ { k \in \mathcal { K } } T ( r _ { i } ^ { k } - \mu _ { i } , P a d 2 d ( \bf { 1 } ) ) ,
\{ \tilde { \gamma } ^ { a } , \tilde { \gamma } ^ { b } \} = \{ \tilde { a } ^ { a } , \tilde { a } ^ { b } \} = 2 \eta ^ { a b } , \; \; \; \; \tilde { S } ^ { a b } = \frac { i } { 4 } [ \tilde { a } ^ { a } , \tilde { a } ^ { b } ] = \frac { i } { 4 } [ \tilde { \gamma } ^ { a } , \tilde { \gamma } ^ { b } ] .
F ( \mu R ) = \frac { 1 5 } { 4 } \left[ \frac { 2 } { 3 ( \mu R ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( \mu R ) ^ { 3 } } + \frac { 1 } { ( \mu R ) ^ { 5 } } \right] - \frac { 1 5 } { 4 } e ^ { - 2 \mu R } \left[ \frac { 1 } { ( \mu R ) ^ { 3 } } + \frac { 2 } { ( \mu R ) ^ { 4 } } + \frac { 1 } { ( \mu R ) ^ { 5 } } \right] .
\begin{array} { r l } & { \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \sigma _ { 1 , 0 } \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 2 } ( z ) \psi _ { 0 } ( z ) \, { \mathrm { d } } z = 0 , } \\ & { \pi _ { 0 } = 0 , } \\ & { \Delta _ { z } \psi _ { 0 } = 2 \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \sigma _ { 2 } ( z ) \sigma _ { 1 , 0 } Q _ { 0 } , } \end{array}
S _ { \mathrm { b r a n e } } = \frac { 1 } { 8 \pi G _ { n + 2 } } \int _ { \partial M } d ^ { n + 1 } x \sqrt { - h } K + \frac { 1 } { 8 \pi G _ { n + 2 } } \int _ { \partial M } d ^ { n + 1 } x \sqrt { - h } \sigma .
\mathrm { a r e a } ( S ) = \int _ { S } \sigma = \int _ { \Omega } \mathbf { g } ^ { * } \sigma = \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \right) d u d v = \int _ { \Omega } \frac { 3 } { 2 } d u d v \overset { * } { = } \int _ { u = 0 } ^ { u = 4 } \left( \int _ { v = 0 } ^ { v = 2 - \frac { 1 } { 2 } u } d v \right) d u = \frac { 3 } { 2 } \int _ { u = 0 } ^ { u = 4 } \left( 2 - \frac { 1 } { 2 } u \right) d u = 6 .
g ^ { l i } ~ { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { l } } } = \left\{ g ^ { 1 1 } ~ { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { 1 } } } , g ^ { 2 2 } ~ { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { 2 } } } , g ^ { 3 3 } ~ { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { 3 } } } \right\} = \left\{ { \cfrac { 1 } { h _ { 1 } ^ { 2 } } } ~ { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { 1 } } } , { \cfrac { 1 } { h _ { 2 } ^ { 2 } } } ~ { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { 2 } } } , { \cfrac { 1 } { h _ { 3 } ^ { 2 } } } ~ { \frac { \partial \varphi } { \partial q ^ { 3 } } } \right\}
\hat { u } _ { s } ( \xi , 0 ) = \left( \begin{array} { c c } { \hat { u } _ { s , 1 } ( \xi , 0 ) } \\ { \hat { u } _ { s , 2 } ( \xi , 0 ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \gamma _ { s } } \\ { \gamma _ { p } } & { - \xi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { P ( \xi ) } \\ { S ( \xi ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 2 } } { d \tau _ { j } ^ { 2 } } \log L ( \beta , \tau \mid y ) = { \mathrm { E } } \Big [ \frac { d ^ { 2 } } { d \tau _ { j } ^ { 2 } } \log L ( \beta , \tau \mid y , u ) \Big | \tau _ { j } , y \Big ] + { \mathrm { V a r } } \Big [ \frac { d } { d \tau _ { j } } \log L ( \beta , \tau \mid y , u ) \Big | \tau _ { j } , y \Big ] , } \end{array}
\mathcal { A } _ { \sf U C B } \left( \mathcal { D V } ; ( \mathcal { D V } _ { l } , ( \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ) _ { l } ) , \theta _ { m } \right) : = \mu _ { l } \left( \mathcal { D V } ; ( \mathcal { D V } _ { l } , ( \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ) _ { l } ) , \theta _ { m } \right) + \kappa \sigma \left( \mathcal { D V } ; ( \mathcal { D V } _ { l } , ( \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ) _ { l } ) , \theta _ { m } \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \mathscr { L } ( z _ { k } ) \in s _ { k k } , \; \; \mathscr { L } ( w _ { k } ) \in t _ { k k } } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ k ~ } , } \\ { \mathscr { L } ( z _ { k l } ) \in s _ { k l } , \; \; \mathscr { L } ( w _ { k l } ) \in t _ { k l } } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ k \ne ~ l ~ } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { J } \big ( \boldsymbol { \beta } ^ { ( d ) } , \boldsymbol { \rho } ^ { ( d ) } , \boldsymbol { \delta } ^ { ( d ) } \big ) \ge \mathcal { J } \big ( \boldsymbol { \beta } ^ { ( d - 1 ) } , \boldsymbol { \rho } ^ { ( d ) } , \boldsymbol { \delta } ^ { ( d ) } \big ) , \boldsymbol { \beta } ^ { ( d ) } \in \boldsymbol { \Gamma } , } \end{array}
{ \cal L } _ { N S D } = \beta ^ { 2 } { \sqrt { 1 + \frac { f _ { \mu } f ^ { \mu } } { \beta ^ { 2 } } } } - \frac 1 { 2 m } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } f _ { \mu } \partial _ { \nu } f _ { \rho } \; .
8 \pi ^ { 2 } \frac { d B _ { 2 } } { d t } = 3 h _ { U } ^ { 2 } A _ { U } + h _ { \tau } ^ { 2 } A _ { \tau } + 3 g _ { 2 } ^ { 2 } M _ { 2 } + g _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 1 }
\begin{array} { r } { 0 \leq 3 \odot _ { \mathbb { X } } P _ { 1 _ { 1 } 0 _ { 2 } } ( \theta ) \ominus _ { \mathbb { X } } P _ { 1 _ { 1 } 0 _ { 2 } } ( 3 \theta ) \leq 1 . } \end{array}
\mathcal { S } _ { 1 } ^ { W } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + { \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \sharp } } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \leq C \mathcal { N } [ W \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } , \mathcal { P } _ { H } ] + C ^ { \prime } \left( \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \mathcal { N } _ { \sharp } [ H , H ] \right) .
\begin{array} { r } { \! \mathrm { [ F S L - w r i t e ~ p r i v a c y ] } \ I ( \Delta _ { \Gamma } ; A _ { W , 1 } ^ { \langle \mathcal { C } _ { j } \rangle , ( j ) } , A _ { W , 2 } ^ { \langle \theta _ { [ 2 ] } \rangle , ( j ) } , M _ { [ K ] } , \mathcal { R } _ { S } | \sum _ { i \in \Phi _ { k } } \! \! \Delta _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } , \forall k \! \in \! \Gamma , \forall l \! \in \! [ L ] ) = 0 , \ \forall j } \end{array}
\textrm { M A E } = \frac { 1 } { N _ { C P } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { C P } } \left| d _ { i } \right| = \sum _ { i } ^ { N _ { C P } } | \mathcal { P } _ { i } ( M ( \boldsymbol { x } , E _ { \mathrm { b r e a s t } } , E _ { \mathrm { s k i n } } , \nu _ { \mathrm { b r e a s t } } , \nu _ { \mathrm { s k i n } } ) , V ) | .
d s ^ { 2 } = ( r ^ { 2 } / b ^ { 2 } - G _ { 3 } M ) d \tau ^ { 2 } + { \frac { d r ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } / b ^ { 2 } - G _ { 3 } M ) } } + r ^ { 2 } d \phi ^ { 2 } ,
< \psi _ { 2 } \mid \psi _ { 1 } > = \int \; \frac { d q d q ^ { * } } { 2 \pi } \left( \frac { q - q ^ { * } } { 2 i } \right) ^ { 2 ( c - 1 ) } { \psi } _ { 2 } ^ { * } ( q ) \psi _ { 1 } ( q ) ,
\begin{array} { r l } { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha 2 j } - \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 1 ) } - \beta \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j - 1 ) } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha 2 j } } & { { } = \mathbf { 0 } \, , } \\ { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 1 ) } - \beta \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 2 ) } - \mathbf { K } _ { G } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha 2 j } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 1 ) } } & { { } = \mathbf { 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { d p } \textrm { - } \mathrm { p h } } = } & { { } \; \mathrm { i } \hbar \sum _ { m = 1 } ^ { \mathcal { N } } \sqrt { \frac { d } { L _ { z } } } \sum _ { q } \xi _ { q } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m q d } \left( a _ { m } ^ { \dagger } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \chi _ { q } } + b _ { m } ^ { \dagger } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \chi _ { q } } \right) c _ { q } ^ { \phantom { \dagger } } } \end{array}
\omega _ { \pm } ^ { \mu } \ = \ \frac { 1 } { \sqrt { 2 \Delta _ { 3 } } } ( k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } q ^ { \mu } - q \cdot k _ { 2 } k _ { 1 } ^ { \mu } - q \cdot k _ { 1 } k _ { 2 } ^ { \mu } \pm i \varepsilon ^ { \mu q k _ { 1 } k _ { 2 } } ) ,
t = t ^ { r } = t ^ { l } = \eta \frac { e ^ { 2 i \delta _ { 1 } } + e ^ { 2 i \delta _ { 2 } } } { 2 } , \ \ \ \ r ^ { r / l } = \eta \frac { e ^ { 2 i \delta _ { 1 } } - e ^ { 2 i \delta _ { 2 } } } { 2 } \pm i \sqrt { \eta ^ { 2 } - 1 } e ^ { i ( \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) } ,
\tau _ { \mathrm { r e c } } ( V _ { \mathrm { b } } ) = \frac { \tau } { \ln \left( e ^ { \frac { V _ { \mathrm { b } } - V _ { \mathrm { b d } } } { V _ { 0 } } } - 1 \right) - \ln \left( e ^ { \frac { V _ { \mathrm { b } } - V _ { \mathrm { b d } } } { V _ { 0 } \cdot e } } - 1 \right) } .
\sum _ { \alpha = x , y , z } \sum _ { \beta = x , y , z } r _ { \alpha } r _ { \beta } v _ { \alpha \beta } ( \mathbf { R } ) = { \frac { 1 } { 3 } } \sum _ { \alpha = x , y , z } \sum _ { \beta = x , y , z } ( 3 r _ { \alpha } r _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } r ^ { 2 } ) v _ { \alpha \beta } ( \mathbf { R } ) ,
a _ { P } ^ { \dagger } | k _ { 1 } , \, \cdots , k _ { P } , \cdots \rangle = \delta _ { k _ { P } \, 0 } \, \, \Gamma _ { P } ^ { \mathbf { k } } \, \, | k _ { 1 } , \, \cdots , \, 1 _ { P } , \, \cdots \rangle .
\Gamma ( B ^ { - } ) - \Gamma ( B ^ { 0 } ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { b } ^ { 2 } } { 4 \pi } | V _ { c b } | ^ { 2 } | V _ { u d } | ^ { 2 } [ \langle B ^ { - } | P ^ { b u } | B ^ { - } \rangle - \langle B ^ { 0 } | P ^ { b d } | B ^ { 0 } \rangle ] \, ,
\Omega _ { a } ^ { \left( 2 \right) } \left( x \right) = \int _ { 0 } ^ { 1 } { d \lambda } \left( { x - \xi } \right) ^ { k } A _ { k } ^ { \left( a \right) } \left( { \xi + \lambda \left( { x - \xi } \right) } \right) \approx 0 ,
I _ { 0 } ^ { j } = \frac { 1 } { d ^ { 2 } } F _ { 7 4 1 1 3 } ^ { j } \operatorname* { m a x } \left\lbrace 0 . 8 , 1 + A _ { j } ( \bar { F } _ { 1 0 . 7 } - 8 0 ) \right\rbrace ,
\begin{array} { r } { Q ^ { ( i + 1 ) } = Q ^ { ( i ) } + \frac { \Delta P - \Delta P ^ { ( i ) } } { d \Delta P / d Q } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { \mathrm { { w h e r e } ~ ~ \frac { d \Delta P } { d Q } = n \left\{ \frac { ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) } { ( m + 1 ) ( m + 2 ) + 2 ( m + 1 ) \ n u + 2 \ n u ^ { 2 } ) ( 1 - \ n u ) ^ { ( k + 1 ) } } \right\} ^ { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | Q - U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } | ^ { ( n - 1 ) } } { h ^ { ( 3 n + 1 ) } } d Z . ~ ~ ~ ~ } } \end{array}
\alpha _ { p } ( t , \mathbf { x } ) \, \rho _ { p } \langle H _ { p } \rangle ( t , \mathbf { x } ) = \int H _ { p } ( t ; \mathbf { V } _ { p } , \mathbf { V } _ { s } ) F _ { p } ^ { E } ( t , \mathbf { x } ; \mathbf { V } _ { p } , \mathbf { V } _ { s } ) \, d \mathbf { V } _ { p } \, d \mathbf { V } _ { s } ~ ,
S = { \frac { \pi \bar { r } _ { + } ^ { 2 } } { G } } + { \frac { 1 } { 1 2 } } ( 1 - ( { \frac { \bar { r } _ { - } } { \bar { r } _ { + } } } ) ^ { 2 } ) \ln { \frac { L } { ( \bar { r } _ { + } - \bar { r } _ { - } ) } } + { \frac { 1 } { 6 } } \ln { \frac { \bar { r } _ { + } } { z _ { 0 } } } ~ ~ .
\boldsymbol { \Sigma _ { \mathrm { ~ N ~ P ~ S ~ } } ^ { [ n ] } } = \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ^ { * } \boldsymbol { \Lambda } _ { \mathrm { ~ N ~ P ~ S ~ } } ^ { [ n ] } \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } }
\begin{array} { r } { \mu _ { \infty } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = 0 } ^ { \infty } \left( f _ { h } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { h } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \sum _ { i = 0 } ^ { K } \sum _ { k = i } ^ { K } \sigma _ { k } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { \infty } \left( f _ { l } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { l } } \right) - \prod _ { l = K + 1 } ^ { \infty } f _ { l } \right) < \infty , } \end{array}
\sum _ { i \geq 0 } \ ( - 1 ) ^ { i } \, R _ { i } + \ \sum _ { k , i \geq 0 , l \geq 1 } \ ( - 1 ) ^ { i } \, R _ { i } \, R _ { 1 ^ { k } , l } = \ \sum _ { j \geq 0 } \ R _ { 2 i } \ .
\tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) : = \mathcal { F } ^ { - 1 } ( \tilde { D } _ { p , q } ^ { m } ( \tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) ) ( \boldsymbol { x } ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { x } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } + \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial u _ { x } } { \partial t } + u _ { x } \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } + u _ { y } \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } & { = - \frac { \partial p } { \partial x } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } } { \partial y ^ { 2 } } \right) , } \\ { \frac { \partial u _ { y } } { \partial t } + u _ { x } \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } + u _ { y } \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } & { = \theta - \frac { \partial p } { \partial y } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } } { \partial y ^ { 2 } } \right) , } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial t } + u _ { x } \frac { \partial \theta } { \partial x } + u _ { y } \frac { \partial \theta } { \partial y } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial y ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
{ \frac { \ddot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } } = - { \frac { 4 \pi G _ { 4 } } { 3 } } ( \varrho + 3 { \frac { \wp } { c ^ { 2 } } } ) - { \frac { C c ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 4 } } } ,
\int \sinh ( a x + b ) \cos ( c x + d ) \, d x = { \frac { a } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \cosh ( a x + b ) \cos ( c x + d ) + { \frac { c } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \sinh ( a x + b ) \sin ( c x + d ) + C
\begin{array} { r } { D _ { T } ^ { a \rightarrow b } C _ { I J K L } ^ { H } = [ e _ { i j } ^ { I J } + e _ { i j } ( w ^ { I J } ) ] : \mathscr { A } _ { i j k l } ^ { a \rightarrow b } : [ e _ { k l } ^ { K L } + e _ { k l } ( w ^ { K L } ) ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \dot { x } } _ { 2 j - 1 } { \dot { x } } _ { 2 j } + { \dot { y } } _ { 2 j - 1 } { \dot { y } } _ { 2 j } + { \dot { z } } _ { 2 j - 1 } { \dot { z } } _ { 2 j } = 0 , } & \\ & { j = 1 , \dots , \frac { 1 } { 2 } ( N - 1 ) } \\ { { \dot { x } } _ { 2 j } { \dot { x } } _ { 2 j + 1 } + { \dot { y } } _ { 2 j } { \dot { y } } _ { 2 j + 1 } + { \dot { z } } _ { 2 j } { \dot { z } } _ { 2 j + 1 } = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { < \chi _ { \pm } \mid \{ { \hat { \gamma } } ^ { ( \lambda , \mu , \alpha ) } ( p , s ) , { \hat { \gamma } } _ { ( \tau , \nu , \beta ) } ( p ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) \} \mid \chi _ { \pm } > = } } \\ { { = < e ^ { ( \lambda , \mu , \alpha ) } ( p , s ) , e _ { ( \tau , \nu , \beta ) } ( p ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) > = \delta _ { s s ^ { \prime } } \delta _ { \tau } ^ { \lambda } \delta _ { \mu } ^ { \nu } \delta _ { \beta } ^ { \alpha } \delta ^ { ( 3 ) } ( \vec { p } - \vec { p ^ { \prime } } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( n ) } } & { { } \sim \frac { g _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \int d ^ { D } k \frac { g ^ { \alpha \beta } g _ { \beta \delta } g ^ { \delta \gamma } g _ { \gamma \alpha } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { 0 } , z _ { 0 } , ( N + 1 ) t _ { 0 } ) = \frac { i } { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \iint F _ { N - j } ( x , z ) } \\ & { \times \left[ H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \left( \beta \rho _ { 0 } , \frac { c _ { n } } { \rho _ { 0 } } ( j + 1 ) t _ { 0 } \right) - H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \left( \beta \rho _ { 0 } , \frac { c _ { n } } { \rho _ { 0 } } j t _ { 0 } \right) \right] \; d x d z } \end{array}
\partial _ { t } ( e ^ { - a + b + 3 c } \dot { \lambda } ) - \partial _ { r } ( e ^ { a - b + 3 c } \lambda ^ { \prime } ) = e ^ { a + b - 3 c } [ 2 Q _ { K } ^ { 2 } e ^ { \frac { 8 \lambda } { 3 } } - P ^ { 2 } e ^ { \frac { 4 \lambda } { 3 } + 4 \nu } - Q ^ { 2 } e ^ { \frac { 4 \lambda } { 3 } - 4 \nu } ] .
\psi ( \tau ) = \sqrt { \frac { 1 } { \pi \alpha } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \psi _ { n } ^ { ( 1 ) } \cos { \frac { n \tau } { \alpha } } + \psi _ { n } ^ { ( 2 ) } \sin { \frac { n \tau } { \alpha } } \right) + { \frac { \psi _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi \alpha } } } ~ ~ ~
{ \cal A } _ { C P } ^ { s \gamma + d \gamma } = { \frac { \mathrm { B R } ^ { s \gamma } { \cal A } _ { C P } ^ { s \gamma } + \mathrm { B R } ^ { d \gamma } { \cal A } _ { C P } ^ { d \gamma } } { \mathrm { B R } ^ { s \gamma } + \mathrm { B R } ^ { d \gamma } } } \, .
\begin{array} { r l } { R _ { c v } ^ { c } } & { { } = \mathcal { R } _ { c } | P _ { c v } | ^ { 2 } \frac { \kappa \sqrt { E - E _ { g } } e ^ { \pi \kappa } } { \textrm { s i n h } ( \pi \kappa ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \lambda } } & { { } = - \frac { 1 } { 6 \omega _ { \lambda } ^ { 2 } } \sum _ { k } \sum _ { l ^ { \prime } k ^ { \prime } } \sum _ { l ^ { \prime \prime } k ^ { \prime \prime } } \sum _ { \alpha \beta \gamma } \times } \end{array}
e ^ { \psi } = \left| \frac { Q _ { 2 } \sqrt { c _ { 1 } } } { Q _ { 1 } \sqrt { c _ { 2 } } } \frac { \sinh \left[ \sqrt { c _ { 2 } } ( I ( A ) + \tilde { c } _ { 2 } ) \right] } { \sinh \left[ \sqrt { c _ { 1 } } ( I ( A ) + \tilde { c } _ { 1 } ) \right] } \right| ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac 1 2 \| y ( \cdot , T ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \operatorname* { m i n } ( \beta _ { 0 } , q _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { T } \| y \| _ { V _ { 0 } } ^ { 2 } d t \leq } & { \displaystyle \frac 1 2 \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \delta } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; ( V _ { 0 } ) ^ { \star } ) } ^ { 2 } + \frac { \delta } { 2 } \| y \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { b - a } { 2 \delta } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \frac { \delta } { 2 } \left\| \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y \right\| _ { L ^ { 2 } ( Q ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \displaystyle \frac 1 2 \| y ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \delta } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; ( V _ { 0 } ) ^ { \star } ) } ^ { 2 } + \frac { \delta } { 2 } \| y \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { b - a } { 2 \delta } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \frac { \delta } { 2 } \left\| y \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { c c } { \frac { { \partial } { \bf { m } } } { { \partial } t } = } & { \frac { - \gamma { \mu } _ { 0 } } { 1 + { \alpha } ^ { 2 } } [ ( { \bf { m } } \times { \bf { { H } } } _ { \bf { { K } } } ) + \alpha { \bf { m } } \times ( { \bf { m } } \times { \bf { { H } } } _ { \bf { { K } } } ) } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \frac { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } { m _ { 0 } g ^ { 2 } N } \int \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } \, \phi ^ { 2 } \left( r \right) = \left( \frac { m _ { 0 } } { \vert E \vert } - \frac { \vert E \vert } { m _ { 0 } } \right) \beta \, ,
A = \int d y \left[ \frac { 4 y } { ( 1 + y ) ^ { 2 } } \right] ^ { s } \left[ \frac { ( 1 - y ) ^ { 2 } } { ( 1 + y ) ^ { 2 } } \right] ^ { t } \left[ \frac { 1 } { 1 - y ^ { 2 } } a _ { 1 } - \frac { 1 - y } { 4 y ( 1 + y ) } a _ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { k \rightarrow \infty } T _ { 2 } ( \mu _ { n _ { k } } , \nu _ { n _ { k } } , c _ { n _ { k } } , h _ { c , { n _ { k } } } ) } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { k \rightarrow \infty } \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi _ { c _ { n _ { k } } } ^ { \star } ( \mu _ { n _ { k } } , \nu _ { n _ { k } } ) } \pi ( h _ { c , { n _ { k } } } ) } \\ & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { k \rightarrow \infty } \pi _ { n _ { k } } ( h _ { c , { n _ { k } } } ) - 1 / { n _ { k } } } \\ & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { k \rightarrow \infty } \pi _ { n _ { k } } ( h _ { c , { \infty } } ) - \left\| h _ { c , { \infty } } - h _ { c , { n _ { k } } } \right\| _ { \infty } - 1 / { n _ { k } } } \\ & { = \pi _ { \infty } ( h _ { c , { \infty } } ) \geq T _ { 2 } ( \mu _ { \infty } , \nu _ { \infty } , c _ { \infty } , h _ { c , { \infty } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \widehat { a } _ { k } - \widehat { \varepsilon } , \widehat { a } _ { k } + \widehat { \varepsilon } ) \cap \widehat { I } \subset \widehat { A } , \quad \widehat { \mathfrak { m } } \mathrm { - a . e . } , } \\ & { ( \widehat { b } _ { k } - \widehat { \varepsilon } , \widehat { b } _ { k } + \widehat { \varepsilon } ) \cap \widehat { I } \subset \widehat { I } \setminus \widehat { A } , \quad \widehat { \mathfrak { m } } \mathrm { - a . e . } , } \end{array}
t a n ^ { 2 } \theta _ { B } = \frac { \sum _ { k _ { x } , k _ { y } } k _ { y } ^ { 2 } | E _ { B } ( \vec { k } , t ) | } { \sum _ { k _ { x } , k _ { y } } k _ { x } ^ { 2 } | E _ { B } ( \vec { k } , t ) | } ,
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { P o r t \ 1 ^ { \prime } } \rangle } \\ { | \mathrm { P o r t \ 2 ^ { \prime } } \rangle } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \sqrt { 1 - \alpha } } & { \sqrt { \alpha } } \\ { - \sqrt { \alpha } } & { \sqrt { 1 - \alpha } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { P o r t \ 3 ^ { \prime } } \rangle } \\ { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \sqrt { m \omega / \hbar } , \quad f = \alpha ^ { 4 } \cos ^ { 2 } \omega t + \beta ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \omega t } \\ { \xi } & { { } = \beta [ \alpha ^ { 2 } ( x - A \cos \omega t ) - k \sin \omega t ] / f ^ { 1 / 2 } } \\ { { \cal T } } & { { } = \frac { 1 } { 2 f } \Big \{ \alpha ^ { 2 } [ ( \beta ^ { 4 } - \alpha ^ { 4 } ) x ^ { 2 } - k ^ { 2 } + \beta ^ { 4 } A ^ { 2 } ] \sin \omega t \cos \omega t } \\ { \theta } & { { } = \arctan \left( \frac { \beta ^ { 2 } \sin \omega t } { \alpha ^ { 2 } \cos \omega t } \right) + 2 \pi \nu , \quad \nu = \left\lfloor \frac { \omega t + \pi } { 2 \pi } - \epsilon \right\rfloor , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq \mu \dot { \beta } ( \infty ) D _ { h } \left( x ^ { * } , Z ( t ) \right) + \mu \frac { d } { d t } \left\{ D _ { h } \left( x ^ { * } , Z ( t ) \right) \right\} } \\ & { \quad + \dot { \beta } ( \infty ) \left( f ( X ( t ) ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) + \frac { d } { d t } \left\{ f ( X ( t ) ) - f \left( x ^ { * } \right) \right\} } \\ & { = e ^ { - { \beta } _ { \mathrm { 2 n d } } ( t ) } \frac { d } { d t } \left\{ { V } _ { \mathrm { 2 n d } } ( X ( t ) , Z ( t ) , t ) \right\} , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = E _ { 1 } + \left( \begin{array} { c c } { \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } } \end{array} \right) + \sum _ { j } \left( \begin{array} { c c } { \langle 1 _ { + } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { + } ^ { \prime } \rangle } & { \langle 1 _ { + } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { - } ^ { \prime } \rangle } \\ { \langle 1 _ { - } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { + } ^ { \prime } \rangle } & { \langle 1 _ { - } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { - } ^ { \prime } \rangle } \end{array} \right) \otimes ( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } ) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } .
\theta _ { N + 3 } ~ \equiv ~ \frac { N } { \lambda _ { 0 } } ~ \phi _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 L } \sum _ { a } \int _ { - L } ^ { L } d x ^ { - } ( ~ \psi _ { R } ^ { a \dag } \psi _ { L } ^ { a } + \psi _ { L } ^ { a \dag } \psi _ { R } ^ { a } ~ ) \approx 0 ~ .