harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { \mathrm { ( A r e a ) } } \frac { \mathrm { d } N _ { \pi ^ { 0 } } } { \mathrm { d } Y } \simeq \frac { \zeta ( 3 ) \tau _ { \mathrm { f } } T _ { \mathrm { f } } ^ { 3 } } { \pi ^ { 2 } } \simeq 0 . 1 3 \: \mathrm { f m } ^ { - 2 } ,
h = ( 0 . 6 5 \pm 0 . 0 6 ) \left[ \rho ( 0 , S _ { \infty } ) - \rho ( T _ { \infty } , S _ { \infty } ) \right] \left( \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } z } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { 0 } , \lambda _ { 0 } ) } & { = f ( x _ { 0 } ) + \langle \lambda _ { 0 } \; , \; F ( x _ { 0 } ) \rangle + \frac { \rho } { 2 } \| F ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { { \overset { } { \leq } } f ( x _ { 0 } ) + \frac { \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 2 \rho } + \frac { \rho } { 2 } \| F ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } + \frac { \rho } { 2 } \| F ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { { \overset { } { \leq } } \bar { U } + \frac { 1 } { 2 \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + c _ { 0 } . } \end{array}
\langle \psi | \chi \rangle = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \langle \psi | L _ { - n } ^ { \mathrm { m } } | \chi \rangle = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( L _ { n } ^ { \mathrm { m } } | \psi \rangle ) ^ { \dagger } | \chi \rangle = 0 .
\overline { { { u } } } ( \vec { k } , \eta ) \, P _ { \eta } = 0 \ \ , \ \ \overline { { { u } } } ( \vec { k } , - \eta ) \, P _ { \eta } = \overline { { { u } } } ( \vec { k } , - \eta ) \ \ ; \ \ \overline { { { v } } } ( \vec { k } , \eta ) \, P _ { \eta } = \overline { { { v } } } ( \vec { k } , \eta ) \ \ , \ \ \overline { { { v } } } ( \vec { k } , - \eta ) \, P _ { \eta } = 0 \ \ ,
\begin{array} { r l } { \| g ( x , d ) - g ( y , d ) \| _ { X } } & { = \| f ( x , d \varphi ( x ) ) - f ( y , d \varphi ( y ) ) \| _ { X } } \\ & { = \| f ( x , d \varphi ( x ) ) - f ( y , d \varphi ( x ) ) + f ( y , d \varphi ( x ) ) - f ( y , d \varphi ( y ) ) \| _ { X } } \\ & { \leq \| f ( x , d \varphi ( x ) ) - f ( y , d \varphi ( x ) ) \| _ { X } + \| f ( y , d \varphi ( x ) ) - f ( y , d \varphi ( y ) ) \| _ { X } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 2 5 4 } & { = 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 3 } \\ { 2 2 5 5 } & { = 5 \cdot 1 1 \cdot 4 1 } \\ { 2 2 5 6 } & { = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 7 } \\ { 2 2 5 7 } & { = 3 7 \cdot 6 1 } \\ { 2 2 5 8 } & { = 2 \cdot 1 1 2 9 } \\ { 2 2 5 9 } & { = 3 \cdot 3 \cdot 2 5 1 } \\ { 2 2 6 0 } & { = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 1 1 3 } \\ { 2 2 6 1 } & { = 7 \cdot 1 7 \cdot 1 9 } \\ { 2 2 6 2 } & { = 2 \cdot 3 \cdot 1 3 \cdot 2 9 } \\ { 2 2 6 3 } & { = 3 1 \cdot 7 3 } \\ { 2 2 6 4 } & { = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 8 3 } \\ { 2 2 6 5 } & { = 3 \cdot 5 \cdot 1 5 1 } \\ { 2 2 6 6 } & { = 2 \cdot 1 1 \cdot 1 0 3 } \end{array}
\mu = { \frac { m _ { \mathrm { e } } m _ { \mathrm { p } } } { m _ { \mathrm { e } } + m _ { \mathrm { p } } } } = { \frac { m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } } { 2 m _ { \mathrm { e } } } } = { \frac { m _ { \mathrm { e } } } { 2 } } ,
n _ { \nu } ( x ) = \frac { M _ { \odot } } { m _ { \nu } R _ { 0 } ^ { 3 } } \frac { 3 } { 8 \pi } \beta ^ { - 3 / 2 } I _ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \beta \frac { v } { x } \right) ,
W = - k q \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( Q _ { i } \int _ { \gamma } \nabla { \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { p } _ { i } \right| } } \cdot \mathrm { d } \mathbf { r } \right) = k q \sum _ { i = 1 } ^ { n } Q _ { i } \left( { \frac { 1 } { \left| \mathbf { a } - \mathbf { p } _ { i } \right| } } - { \frac { 1 } { \left| \mathbf { b } - \mathbf { p } _ { i } \right| } } \right)
k _ { x } = k _ { b } + k _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ; k _ { y } = k _ { c } + k _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ; k _ { x } \mu _ { x } = w _ { r } ^ { x } ; k _ { y } \mu _ { y } = w _ { r } ^ { y }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { 1 } a \cdot \left( S ( x , t ) , u _ { 1 } ( x , t ) , v _ { 1 } ( x , t ) , . . . , u _ { m } ( x , t ) , v _ { m } ( x , t ) \right) d x \le } & { \varepsilon + a _ { \mathrm { m a x } } L } \\ { - \varepsilon \delta \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ( x , t ) + v _ { i } ( x , t ) \right) d x . } \end{array}
\left. \begin{array} { l } { \displaystyle \underline { { a } } _ { i } \Gamma ^ { \frac { q _ { i } ^ { - } - 2 } { 2 } } ( | t | ) \quad \mathrm { i f ~ t ~ < ~ - 1 ~ } } \\ { \displaystyle \underline { { a } } _ { i } \Gamma ^ { \frac { q _ { i } ^ { + } - 2 } { 2 } } ( | t | ) \quad \mathrm { i f ~ t ~ > ~ 1 ~ } } \end{array} \right\} \leq h _ { i } ( t )
\begin{array} { r l } { \left\langle \tilde { \alpha } _ { o u t } ( \omega ) \left( \tilde { \alpha } _ { o u t } ( \omega ) \left( \omega ^ { \prime } \right) \right) ^ { * } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) } \\ { \left\langle \tilde { \alpha } _ { i n } ( \omega ) \left( \tilde { \alpha } _ { i n } ( \omega ) \left( \omega ^ { \prime } \right) \right) ^ { * } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } \Gamma } { d s d t } } = { \frac { H ^ { 2 } v _ { t } ^ { 2 } G _ { F } ^ { 2 } } { 3 8 4 \pi ^ { 3 } m _ { b } ^ { 3 } } } \left[ \hat { F } ^ { 2 } ( 2 V - ( m _ { b } ^ { 2 } - s ) W / 2 ) + 2 \hat { G } ^ { 2 } ( m _ { b } ^ { 2 } - s ) V + 4 m _ { b } \hat { F } \hat { G } V \right]
\begin{array} { r } { U _ { a } = \hat { R } _ { y } ( \theta _ { a } ) \hat { R } _ { z } ( \phi _ { a } ) \hat { R } _ { y } ( - \vartheta _ { a } ) , } \\ { F _ { a } = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( a _ { p } , a _ { s } ) , a = r , t , } \end{array}
\hat { U } ( h , \bar { h } ) = { \frac { 1 } { 4 } } \, h \, l o g { \frac { h } { C ^ { \prime } } } + { \frac { 1 } { 4 } } \, \bar { h } \, l o g { \frac { \bar { h } } { C ^ { \prime } } } - i \ D ^ { \prime } ( h - \bar { h } ) ,
t _ { R } ^ { ( n ) } = s _ { R } ^ { ( n ) } \left\{ \theta ( s _ { 1 } - t ) { \frac { t } { s _ { 1 } } } + [ \theta ( s _ { 2 } - t ) - \theta ( s _ { 1 } - t ) ] { \frac { s _ { 2 } - t } { s _ { 2 } - s _ { 1 } } } + \cdot \cdot \cdot + \theta ( t _ { n } - s ) { \frac { t - s _ { n } } { s - s _ { n } } } \right\} .
\begin{array} { r l } { \ddot { x } ( t ) } & { { } = - \; \frac { \Omega _ { R F } ^ { 2 } } { 4 } \left( a _ { x } - 2 q _ { x } \cos ( \Omega _ { R F } t ) \right) \ \left( x ( t ) + p _ { x } / Q \right) } \\ { \ddot { y } ( t ) } & { { } = - \; \frac { \Omega _ { R F } ^ { 2 } } { 4 } \left( a _ { y } - 2 q _ { y } \cos ( \Omega _ { R F } t ) \right) \ \left( y ( t ) + p _ { y } / Q \right) } \\ { \ddot { z } ( t ) } & { { } = - \; \frac { \Omega _ { R F } ^ { 2 } } { 4 } \; a _ { z } \ \left( z ( t ) + p _ { z } / Q \right) } \end{array}
T _ { 0 } \ge \widetilde { \mathfrak { C } } \varepsilon ^ { - 2 } \quad \textnormal { w i t h } \quad \widetilde { \mathfrak { C } } = \operatorname* { m a x } \left( \sqrt { \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 1 ) } } } \left( \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 2 ) } } \right) ^ { \frac { 1 - \rho } { 2 } } , \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 2 ) } } , \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 1 ) } } ( \kappa , \delta ) \gamma _ { 0 } ^ { 1 - \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { w _ { i , L } } & { { } = } & { w _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf g } _ { i } + \overline { { \bf g } } _ { j } \right) \cdot ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) , } \\ { w _ { i , R } } & { { } = } & { w _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf g } _ { i } + \overline { { \bf g } } _ { k } \right) \cdot ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { k } ) . } \end{array}
{ \cal Z } _ { \delta } ( x , z ; p , \epsilon ) \equiv \langle \alpha | \delta \rangle \, \theta _ { \delta } ( 0 ) ^ { - 1 } \langle \psi ( x _ { 1 } ) \! \cdot \! \psi ( x _ { 2 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } p _ { i } \! \cdot \! \psi ( z _ { i } ) \, \epsilon _ { i } \! \cdot \! \psi ( z _ { i } ) \rangle _ { \delta } \, .
\begin{array} { r l } { f _ { l x 0 } = } & { { } \sqrt { \frac { ( f _ { t z } ^ { 2 } - f _ { t y } ^ { 2 } ) ( q ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } } \\ { f _ { l y 0 } = } & { { } \sqrt { \frac { ( f _ { t z } ^ { 2 } - f _ { t x } ^ { 2 } ) ( p ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) } { p ^ { 2 } + r ^ { 2 } } + \frac { 1 0 U _ { t } ( \alpha _ { x } - \alpha _ { z } ) } { 4 \pi ^ { 2 } m ( p ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) \alpha _ { x } } } } \\ { f _ { l z 0 } = } & { { } \sqrt { \frac { ( f _ { t y } ^ { 2 } - f _ { t x } ^ { 2 } ) ( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) } { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } + \frac { 1 0 U _ { t } ( \alpha _ { x } - \alpha _ { y } ) } { 4 \pi ^ { 2 } m ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) \alpha _ { x } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { \mathrm { ~ O ~ R ~ O ~ C ~ } } \left( V _ { \mathrm { ~ a ~ } } \right) = \mathrm { ~ e ~ } ^ { m _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ^ { \mathrm { ~ g ~ a ~ i ~ n ~ } } \left( V _ { \mathrm { ~ a ~ } } - b _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ^ { \mathrm { ~ g ~ a ~ i ~ n ~ } } \right) } } \end{array}
O ^ { T } \, { \cal M } _ { N } ^ { 2 } ( m _ { t } ) \, O \ = \ \mathrm { d i a g } \, \Big [ \, M _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } ( m _ { t } ) , \ M _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } ( m _ { t } ) , \ M _ { H _ { 3 } } ^ { 2 } ( m _ { t } ) \, \Big ] \ ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \bigg [ \Big ( \int _ { \mathcal { M } } \vert \nabla f ^ { n , t } \vert ^ { q } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ) ^ { \frac { 2 p } { q } } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { p } } \lesssim _ { q } \bigg ( \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \, \mathbb { E } \Big [ \Big ( ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { s + t } ( \mu ^ { n } - \rho ) \Big ) ^ { 2 p } \Big ] ^ { \frac { 1 } { p } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 2 2 } = ( \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } - 2 5 6 ) ( \nu _ { 1 } \nu _ { 4 } - \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } ) , } & { } & { b _ { 2 2 } = \nu _ { 2 } \nu _ { 4 } ( \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } - 2 5 6 ) , } \\ { a _ { 2 0 } = ( \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } - 1 6 \nu _ { 2 } ) ( \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 4 } - 1 6 \nu _ { 3 } ) , } & { } & { b _ { 2 0 } = 1 6 \nu _ { 4 } ( \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } - 1 6 \nu _ { 2 } ) , } \\ { a _ { 0 2 } = ( 1 6 \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } ) ( \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } - 1 6 \nu _ { 4 } ) , } & { } & { b _ { 0 2 } = 1 6 \nu _ { 2 } ( \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } - 1 6 \nu _ { 4 } ) , } \\ { a _ { 0 0 } = 1 6 ( \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } - \nu _ { 2 } \nu _ { 4 } ) ( \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } - \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } ) , } & { } & { b _ { 0 0 } = 2 5 6 ( \nu _ { 1 } \nu _ { 3 } - \nu _ { 2 } \nu _ { 4 } ) . } \end{array}
\lambda = - 2 i k + \left( \frac { 8 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } { 1 5 } - \frac { 2 } { 3 } \cot \theta - \frac { 1 } { 3 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ a ~ } ~ } } k ^ { 2 } \right) k ^ { 2 } ,
c _ { 2 ( \mu - \nu ) , 2 \nu } = \frac { \sqrt { 2 } } { \pi ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { V _ { 0 } } { \kappa + 1 } \right) ^ { \kappa + 1 } \left( \begin{array} { l } { \kappa + 1 } \\ { \mu } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mu } \\ { \nu } \end{array} \right) \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 ( \mu - \nu ) } \omega _ { 2 } ^ { 2 \nu } } { ( 2 V _ { 0 } ) ^ { \mu } } \, , \quad \nu = 0 , . . . , \mu \, .
p ( E _ { i } ^ { { \tt A } } , N _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } , N _ { i } ^ { { \tt B } } \, ; \, E _ { f } ^ { { \tt A } } , N _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } , N _ { f } ^ { { \tt B } } )
\begin{array} { r l } { \ \hat { \psi } } & { \approx N \biggl ( g ( \mathbb E ( Y _ { i } ) ) , \frac { g ^ { \prime } ( \mathbb E ( Y _ { i } ) ) ^ { 2 } V a r ( Y _ { i } ) } { n } \biggl ) } \\ { \ } & { = N \biggl ( \ln \sigma , \frac { \frac { 1 } { 4 \sigma ^ { 4 } } \cdot 2 \sigma ^ { 4 } } { n } \biggl ) } \\ { \ } & { = N \biggl ( \ln \sigma , \frac { 1 } { 2 n } \biggl ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \overline { { P } } _ { t } V ( x , v ) } { V ( x , v ) } \leq ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { \lvert \{ i : v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x + v t ) > 0 \} \rvert } ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { \lvert \{ i : v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x + v t ) < 0 \} \rvert } } \\ & { + \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } \setminus \{ v \} } \! t ^ { | \{ i : w _ { i } \neq v _ { i } \} | } ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { \lvert \{ i : w _ { i } = v _ { i } , v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x + v t ) > 0 \} \rvert } ( \gamma _ { 0 } t + e ^ { - \beta _ { 1 } M t } ) ^ { \lvert \{ i : w _ { i } = v _ { i } , v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x + v t ) < 0 \} \rvert } . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { g f } } + { \cal L } _ { \mathrm { g h o s t } } = - \frac { 1 } { 2 \xi } ( \partial _ { \mu } A ^ { \mu } ) \star ( \partial _ { \nu } A ^ { \nu } ) + \partial ^ { \mu } \bar { c } \star ( \partial _ { \mu } c - i e \left[ A _ { \mu } , c \right] _ { \mathrm { M B } } )
\int _ { 0 } ^ { \infty } J _ { \nu } ^ { 2 } ( \lambda R ) \lambda ^ { 1 - 2 s } d \lambda = R ^ { 2 ( s - 1 ) } \frac { \Gamma ( \nu - s + 1 ) \Gamma ( s - 1 / 2 ) } { 2 \sqrt { \pi } \Gamma ( \nu + s ) \Gamma ( s ) }
( C { F } ^ { \, ( m + 1 ) } ) _ { \alpha { \dot { \beta } } } = \frac { \left( C \Gamma ^ { { \mu _ { 1 } } \dots { \mu } _ { m + 1 } } \right) _ { \alpha { \dot { \beta } } } } { ( m + 1 ) ! } \, F _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { m + 1 } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \mathcal { D } } u ( x ^ { \prime } , x _ { n } ) } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { u ( x ^ { \prime } , x _ { n } ) \, } & { \mathrm { , ~ i f ~ } ( x ^ { \prime } , x _ { n } ) \in \mathbb { R } ^ { n - 1 } \times \mathbb { R } _ { + } \mathrm { , ~ } } \\ { - u ( x ^ { \prime } , - x _ { n } ) \, } & { \mathrm { , ~ i f ~ } ( x ^ { \prime } , x _ { n } ) \in \mathbb { R } ^ { n - 1 } \times \mathbb { R } _ { - } ^ { * } \mathrm { ~ ; ~ } } \end{array} \right. } \\ { \mathrm { E } _ { \mathcal { N } } u ( x ^ { \prime } , x _ { n } ) } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { u ( x ^ { \prime } , x _ { n } ) \, } & { \mathrm { , ~ i f ~ } ( x ^ { \prime } , x _ { n } ) \in \mathbb { R } ^ { n - 1 } \times \mathbb { R } _ { + } \mathrm { , ~ } } \\ { u ( x ^ { \prime } , - x _ { n } ) \, } & { \mathrm { , ~ i f ~ } ( x ^ { \prime } , x _ { n } ) \in \mathbb { R } ^ { n - 1 } \times \mathbb { R } _ { - } ^ { * } \mathrm { . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } v _ { z } ^ { 0 } + ( v _ { z } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } = - p _ { z z } ^ { 0 } = \frac { h _ { z z } ^ { 0 } } { ( h ^ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { ( h _ { z z } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { h ^ { 0 } } - 3 ( h _ { z z } ^ { 0 } ) ^ { 3 } + h _ { z z z z } ^ { 0 } } \\ & { \partial _ { t } h ^ { 0 } = - v _ { z } ^ { 0 } h ^ { 0 } \qquad \qquad \partial _ { t } h _ { z z } ^ { 0 } = - \frac { 3 } 2 v _ { z } ^ { 0 } h _ { z z } ^ { 0 } - v _ { z z z } ^ { 0 } \frac { h } 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \ensuremath { L } | _ { 1 , \Omega } + | u | _ { 2 , \Omega } } & { \le C _ { \ensuremath { \Delta t } } \| f \| _ { 0 , \Omega } , } \\ { | p | _ { 1 , \Omega } = { \ensuremath { \Delta t } } | \nabla \! \cdot \! u | _ { 1 , \Omega } } & { \le C _ { \ensuremath { \Delta t } } { \ensuremath { \Delta t } } \| f \| _ { 0 , \Omega } } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \sigma } { d y d Q ^ { 2 } } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { y Q ^ { 4 } } \left\{ \left[ 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } \right] F _ { 2 } ^ { c } ( x , Q ^ { 2 } , m _ { c } ) - y ^ { 2 } F _ { L } ^ { c } ( x , Q ^ { 2 } , m _ { c } ) \right\}
\frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \simeq \frac { 1 } { \sqrt { - 2 \pi \, \partial _ { x } ^ { 2 } { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x _ { m n } ) } } \, \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \log \left( - p ^ { 2 } \, U _ { p - 1 } ( \upzeta _ { \alpha } ^ { \star } ) \, U _ { p - 1 } ( \upzeta _ { \beta } ^ { \star } ) \left( \upzeta _ { \alpha } ^ { \star } - \upzeta _ { \beta } ^ { \star } \right) ^ { 2 } \right) \right\} { \mathrm { e } } ^ { \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( m , n ) } + \cdots .
\begin{array} { r } { q _ { z } ( r , z , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \tilde { E } _ { n m } ( t ) J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) \sin ( \gamma _ { m } z ) , } \end{array}
\langle B ( v ) | \bar { b } _ { v } \stackrel { \longleftarrow } { ( i \slash { D } ^ { \perp } ) } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } ( i \slash { D } ^ { \perp } ) c _ { v } | D ^ { * } ( v , \epsilon ) \rangle = 2 \sqrt { M _ { B } M _ { D } } \, \epsilon _ { \mu } \left( - \frac { 1 } { 3 } \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { \quad u _ { x y z } + \langle u _ { x y } , u _ { z } \rangle + \{ \varrho \circ u _ { x } , u _ { y } , u _ { z } \} + \{ \varrho \circ u _ { z } , u _ { x } , u _ { y } \} } \\ & { \quad + \langle u _ { x } , u _ { y z } \rangle + \langle u _ { x } , \langle u _ { y } , u _ { z } \rangle \rangle + \langle \langle u _ { x } , u _ { z } \rangle , u _ { y } \rangle } \\ & { = u _ { x y z } + \langle u _ { x } , u _ { y z } \rangle + \{ \varrho \circ u _ { y } , u _ { x } , u _ { z } \} + \langle u _ { x y } , u _ { z } \rangle + \langle \langle u _ { x } , u _ { y } \rangle , u _ { z } \rangle ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \lambda _ { k } ( c _ { k } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t \leq \ } & { ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \frac { 1 4 } { \beta _ { \operatorname* { m i n } } } + ( \alpha _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \lambda _ { k } \frac { 5 } { 4 \beta _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 3 } } + \frac { 1 4 } { \beta _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 3 } } T \| f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { ~ I ~ O ~ C ~ } _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , \; \bar { \Pi } _ { j k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \right] \qquad ,
( \vec { p } - \vec { v } _ { B } ) ^ { 2 } - ( \vec { p } ^ { \prime } - \vec { v } _ { B } ) ^ { 2 } = ( \vec { P } ^ { \prime } - \vec { v } _ { B } ) ^ { 2 } - ( \vec { P } - \vec { v } _ { B } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r c l r c l r c l r c l } { k } & { = } & { 4 } & { m } & { = } & { 1 } & { n } & { = } & { 2 } \\ { u ^ { 1 } } & { = } & { S } & { u ^ { 2 } } & { = } & { I } & { u ^ { 3 } } & { = } & { H } & { u ^ { 4 } } & { = } & { R } \\ { w ^ { 1 } } & { = } & { S ( t ) } & { w ^ { 2 } } & { = } & { I ( t ) } & { w ^ { 3 } } & { = } & { H ( t ) } & { w ^ { 4 } } & { = } & { R ( t ) } \\ { v ^ { 1 } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { v _ { S } } \end{array} \right] } & { v ^ { 2 } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { v _ { I } } \end{array} \right] } & { v ^ { 3 } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } & { v ^ { 4 } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c } { 1 } \\ { v _ { R } } \end{array} \right] } \\ { u _ { b } ^ { 1 } } & { = } & { S _ { b } } & { u _ { b } ^ { 2 } } & { = } & { 0 } & { u _ { b } ^ { 3 } } & { = } & { 0 } & { u _ { b } ^ { 4 } } & { = } & { 0 } \\ { u _ { o } ^ { 1 } } & { = } & { S _ { o } } & { u _ { o } ^ { 2 } } & { = } & { I _ { o } } & { u _ { o } ^ { 3 } } & { = } & { H _ { o } } & { u _ { o } ^ { 4 } } & { = } & { R _ { o } } \end{array}
[ L _ { n } ^ { ( 1 ) } , L _ { m } ^ { ( 2 ) } ] = ( 2 n - m ) L _ { n + m } ^ { ( 2 ) } - n \{ \frac { n m } { 4 } + ( \frac { L } { 2 \pi } ) ^ { 2 } e B \} L _ { n + m } ^ { ( 0 ) } ,
\Theta _ { 0 } ( \tilde { x } ) \equiv \frac { \pi } { 2 } - 2 \tan ^ { - 1 } \left[ \sqrt { m } \ \mathcal { B } \ \mathrm { s n } \left( \left. \frac { \tilde { x } } { \mathcal { A } } \right| m \right) \right] .
B _ { S } = \frac { g _ { 3 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { 8 } m _ { \widetilde { \chi ^ { 0 } } } \sum _ { q , i } ( a _ { \widetilde { q } _ { i } } ^ { 2 } + b _ { \widetilde { q } _ { i } } ^ { 2 } ) I _ { 2 } ( m _ { \widetilde { q } } , \ m _ { q } , \ m _ { \widetilde { \chi ^ { 0 } } } )
\begin{array} { r l } { P _ { \Delta _ { 2 } } = } & { \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 } } } \\ { - } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } } \right) { \eta _ { 2 } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { \left[ \begin{array} { c } { \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 } } } \right) } \\ { + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } } \right) } \end{array} \right] { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } . } \end{array}
J _ { _ { T , L } } \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x } { x } } \; \widetilde { I } _ { _ { T , L } } ( x ) \; \int _ { 0 } ^ { + \infty } d w \; { \frac { \sqrt { w / { w + 4 } } \, \mathrm { t a n h } ^ { - 1 } \sqrt { w / { w + 4 } } } { ( w + \widetilde { R } _ { _ { T , L } } ( x ) ) ^ { 2 } + ( \widetilde { I } _ { _ { T , L } } ( x ) ) ^ { 2 } } } \; .
e _ { \uparrow } ^ { - } = u _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad \quad e _ { \downarrow } ^ { - } = u _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \quad e _ { \uparrow } ^ { + } = \ v _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad \quad e _ { \downarrow } ^ { + } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { - 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \delta \mathcal { L } } { \delta v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) } \end{array}
d { \cal A } _ { \lambda _ { V } \lambda _ { \gamma } } \propto { \frac { T _ { \lambda _ { V } \lambda _ { \gamma } } \ { \cal F } ( k , k - \Delta ) } { { \bf k } _ { t } ^ { 2 } ( { \bf k } _ { t } - \Delta _ { t } ) ^ { 2 } } } .