harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { B _ { \ell , s ; j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } } } & { \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { s \Omega _ { \ell j _ { 1 } } + s ^ { 2 } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } ^ { 2 } } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } j _ { 1 } = j _ { 2 } = j _ { 3 } = j _ { 4 } } \\ { s \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 4 } } + s ^ { 2 } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } ^ { 2 } \Omega _ { \ell j _ { 4 } } } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } j _ { 1 } = j _ { 2 } = j _ { 3 } , j _ { 1 } \neq j _ { 4 } } \\ { s \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 3 } } + s ^ { 2 } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 3 } } } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } j _ { 1 } = j _ { 2 } , j _ { 3 } = j _ { 4 } , j _ { 1 } \neq j _ { 3 } } \\ { s \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 3 } } \Omega _ { \ell j _ { 4 } } + s ^ { 2 } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 3 } } \Omega _ { \ell j _ { 4 } } } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } j _ { 1 } = j _ { 2 } , j _ { 1 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } \, \, d i s t . } \\ { s \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 2 } } \Omega _ { \ell j _ { 3 } } \Omega _ { \ell j _ { 4 } } + s ^ { 2 } \Omega _ { \ell j _ { 1 } } \Omega _ { \ell j _ { 2 } } \Omega _ { \ell j _ { 3 } } \Omega _ { \ell j _ { 4 } } } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } \, \, d i s t . } \end{array} \right. } \end{array}
\omega ^ { 2 } = \frac { 4 l ( l + 1 ) \bar { N } ^ { 2 } ( \ln ( \beta r _ { 0 } ) - \ln ( \alpha r _ { 0 } ) ) ^ { 2 } } { ( 2 l + 1 ) ^ { 2 } ( \ln ( \beta r _ { 0 } ) - \ln ( \alpha r _ { 0 } ) ) ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } .
\sigma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { r r } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \quad \sigma ^ { 1 } = \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \sigma ^ { 2 } = \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \sigma ^ { 3 } = \left( \begin{array} { r r } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right)
\beta _ { \mathrm { a } } ( T ) = 2 B ( T ) + 2 ( \gamma _ { 0 } - 1 ) T \frac { d B ( T ) } { d T } + \frac { ( \gamma _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } } T ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } B ( T ) } { d T ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } , \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ & { } & { = \hat { \mathcal { D } } ^ { \mathrm { L R } } ( ( \cos ( { \it \Delta \phi } ) , \sin ( { \it \Delta \phi } ) , 0 ) , \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ & { } & { = \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) { \bf 1 } - i \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \exp ( - i { \it \Delta \phi } ) } \\ { \exp ( + i { \it \Delta \phi } ) } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
G _ { s c a l e d } = - \frac { 1 } { \beta } \frac { | \boldsymbol { x } | } { R } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k R / \beta } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { k M } { \beta ^ { 2 } } x _ { 1 } } G _ { s }
T _ { \mu \nu } = \phi _ { , \mu } \phi _ { , \nu } - \frac 1 2 g _ { \mu \nu } \left( \phi _ { , \rho } \phi ^ { , \rho } + m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \right) + \xi \left[ ( R _ { \mu \nu } - \frac 1 2 g _ { \mu \nu } R ) \phi ^ { 2 } + g _ { \mu \nu } ( \phi ^ { 2 } ) _ { ~ ; \rho } ^ { , \rho } - ( \phi ^ { 2 } ) _ { ; \mu \nu } \right] \, .
\begin{array} { r } { \left\{ \! \begin{array} { c c } { \bar { \psi } \rightarrow \bar { \psi } e ^ { i \alpha \gamma _ { 5 } } } \\ { \psi \rightarrow e ^ { i \alpha \gamma _ { 5 } } \psi } \end{array} \! \right\} \! , \ \left\{ \! \begin{array} { c c } { \bar { \psi } \rightarrow \bar { \psi } e ^ { i \alpha i \gamma _ { 3 } } } \\ { \psi \rightarrow e ^ { i \alpha i \gamma _ { 3 } } \psi } \end{array} \! \right\} \! , \ \left\{ \! \begin{array} { c c } { \bar { \psi } \rightarrow \bar { \psi } e ^ { i \alpha \Gamma } } \\ { \psi \rightarrow e ^ { i \alpha \Gamma } \psi } \end{array} \! \right\} \! , } \end{array}
\left( [ \delta _ { \varepsilon _ { 1 } } \, , \, [ \delta _ { \varepsilon _ { 2 } } \, , \, \delta _ { \varepsilon _ { 3 } } ] ] + [ \delta _ { \varepsilon _ { 3 } } \, , \, [ \delta _ { \varepsilon _ { 1 } } \, , \, \delta _ { \varepsilon _ { 2 } } ] ] + [ \delta _ { \varepsilon _ { 2 } } \, , \, [ \delta _ { \varepsilon _ { 3 } } \, , \, \delta _ { \varepsilon _ { 1 } } ] ] \right) q ^ { r } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \left\langle w , \frac { \delta H } { \delta u } - D u \right\rangle } & { = 0 , \, \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , \frac { \delta H } { \delta D } - \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } - g ( D + b ) \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { k + 1 } } & { { } = 2 x _ { k } x _ { 1 } - x _ { k - 1 } , } \\ { y _ { k + 1 } } & { { } = 2 y _ { k } x _ { 1 } - y _ { k - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { G } _ { 2 } | } & { \le C \left( \sum _ { \kappa \subset \Omega _ { 1 2 } \cup \Omega _ { 2 1 } } \varepsilon \Vert \nabla ( S - I _ { N } S ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { \kappa \subset \Omega _ { 1 2 } \cup \Omega _ { 2 1 } } \varepsilon \Vert \nabla \xi \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le C \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } N ^ { - k } \Vert \xi \Vert _ { N I P G } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { x z } } & { { } = } & { - \varepsilon _ { 0 } E _ { x } E _ { z } - \mu _ { 0 } ^ { - 1 } B _ { x } B _ { z } , } \\ { T _ { z z } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \varepsilon _ { 0 } ( E _ { x } ^ { 2 } \! + \! E _ { y } ^ { 2 } \! - \! E _ { z } ^ { 2 } ) + \mu _ { 0 } ^ { - 1 } ( B _ { x } ^ { 2 } \! + \! B _ { y } ^ { 2 } \! - \! B _ { z } ^ { 2 } ) \right] . } \end{array}
\tilde { m } _ { N } ^ { a } = \langle N | \sum _ { l = u , d , s } m _ { l } \Delta _ { l l } ^ { a } \bar { f _ { l } } f _ { l } + \sum _ { h = t , b , c } m _ { h } \Delta _ { h h } ^ { a } \bar { f _ { h } } f _ { h } | N \rangle .
{ \cal J } = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d x } { x ^ { 3 } } } \left( { \frac { \pi } { x } } \right) ^ { 1 / 2 } \left[ \theta _ { 3 } \left( { \frac { i \pi } { x } } \right) - \theta _ { 4 } \left( { \frac { i \pi } { x } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \Delta _ { ( 1 ) } ^ { 2 } / \epsilon ^ { 2 } : \ \partial _ { x } ^ { 2 } f ( x ) } & { { } \approx \frac { f ( x + \epsilon ) - 2 f ( x ) + f ( x - \epsilon ) } { \epsilon ^ { 2 } } } \\ { \Delta _ { ( 2 ) } ^ { 2 } / \epsilon ^ { 2 } : \ \partial _ { x } ^ { 2 } f ( x ) } & { { } \approx \frac { - f ( x + 2 \epsilon ) + 1 6 \, f ( x + \epsilon ) - 3 0 \, f ( x ) + 1 6 \, f ( x - \epsilon ) - f ( x + 2 \epsilon ) } { 1 2 \, \epsilon ^ { 2 } } . } \end{array}
E _ { y } = e ^ { - j k z + j \omega t } \left\{ \begin{array} { c c } { E _ { 1 } e ^ { - \beta ( x - a / 2 - b ) } , } & { x > a / 2 + b } \\ { E _ { 2 } e ^ { - j \alpha _ { \mathrm { N I M } } ( x - a / 2 ) } + E _ { 3 } e ^ { + j \alpha _ { \mathrm { N I M } } ( x - a / 2 ) } , } & { a / 2 + b > x > a / 2 } \\ { E _ { 4 } e ^ { + \beta x } + E _ { 5 } e ^ { - \beta x } , } & { a / 2 > x > - a / 2 } \\ { E _ { 6 } e ^ { - j \alpha _ { \mathrm { P I M } } ( x + a / 2 ) } + E _ { 7 } e ^ { + j \alpha _ { \mathrm { P I M } } ( x + a / 2 ) } , } & { - a / 2 > x > - a / 2 - b } \\ { E _ { 8 } e ^ { + \beta ( x + a / 2 + b ) } , } & { x < - a / 2 - b } \end{array} \right.
3 7 : { \bigg ( } 3 + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 9 } } { \bigg ) } x = 1 \; \; \; \rightarrow \; \; \; x = { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } }
\begin{array} { r l r } { E _ { I I , p } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { e ^ { \imath \, { \bf k _ { m , 1 } } . { \bf r } } \left[ t _ { 1 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( r _ { 2 1 } ) ^ { 2 n } e ^ { \imath \Phi _ { m } n } e ^ { - \imath n \, { \bf k _ { m , 1 } } . \Delta { \bf r } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { C + i } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } = \left( \begin{array} { c c } { I _ { C C } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { i i } } \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array} { c c } { G _ { C C } ^ { s _ { 1 } } } & { G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } } \\ { G _ { i C } ^ { s _ { 1 } } } & { G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { G _ { C C } ^ { s _ { 2 } } } & { G _ { C i } ^ { s _ { 2 } } } \\ { G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } } & { G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c c } { G _ { C C } ^ { s _ { 1 } } } & { G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } } \\ { G _ { i C } ^ { s _ { 1 } } } & { G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c c } { G _ { C C } ^ { s _ { 2 } } } & { G _ { C i } ^ { s _ { 2 } } } \\ { G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } } & { G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } + 2 G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } } & { 2 G _ { C C } ^ { s _ { 1 } } G _ { C i } ^ { s _ { 2 } } - G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } - G _ { C i } ^ { s _ { 2 } } + 2 G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } } \\ { 2 G _ { i C } ^ { s _ { 1 } } G _ { C C } ^ { s _ { 2 } } - G _ { i C } ^ { s _ { 1 } } - G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } + 2 G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } } & { I _ { i i } + 2 G _ { i C } ^ { s _ { 1 } } G _ { C i } ^ { s _ { 2 } } - G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } - G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } + 2 G _ { i i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i i } ^ { s _ { 2 } } } \end{array} \right) } \\ & { \equiv \left( \begin{array} { c c } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right) . } \end{array}
\boxed { \begin{array} { r l } & { \dot { \overline { { \phi S } } } + \nabla \cdot \boldsymbol { w } _ { 1 } ( p , \phi ) + \phi S \dot { \epsilon } _ { v } = \nabla \cdot M ( \phi ) \nabla \mu ( S ) , } \\ & { \dot { \phi } + \nabla \cdot \boldsymbol { w } ( p , \phi ) + \phi \dot { \epsilon } _ { v } = 0 , } \\ & { \phi = \phi _ { 0 } + ( 1 - \phi _ { 0 } ) \epsilon _ { v } + \frac { 1 - \phi _ { 0 } } { K _ { s } } p , } \\ & { \nabla \cdot \left( \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } ( \boldsymbol { \epsilon } , S ) - b p \boldsymbol { I } \right) = 0 , } \\ & { \beta \dot { d } = \frac { 3 G _ { c } } { 8 l _ { d } } \left( 2 l _ { d } ^ { 2 } \triangle { d } - 1 \right) - g ^ { \prime } ( d , \psi _ { c } ) \psi _ { e } ^ { A } , \quad \dot { d } \ge 0 . } \end{array} }
Z _ { 2 } ( s ) = \frac { 1 } { 8 } \zeta ( s + 1 ) \Gamma \left( \frac { 3 - s } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 + s } { 2 } \right) \left[ - 1 + 3 ( 1 + s ) - \frac { 5 } { 8 } ( 3 + s ) ( 1 + s ) \right] .
\begin{array} { r l } & { A + B = \left( \begin{array} { l l } { 1 - 1 } & { 1 + 1 } \\ { 0 + 0 } & { 1 - 1 } \end{array} \right) = } \\ & { \left\lbrace \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \right\rbrace } \\ { \qquad } \\ & { A \cdot B = \left( \begin{array} { l l } { 1 \cdot ( - 1 ) + 1 \cdot 0 } & { 1 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 1 ) } \\ { 0 \cdot ( - 1 ) + 1 \cdot ( 0 ) } & { 0 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 1 ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 - 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) = } \\ & { \left\lbrace \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right\rbrace } \\ { \qquad } \\ & { A \cdot C = \left( \begin{array} { l l } { 1 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1 ) } & { 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 } \\ { 0 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1 ) } & { 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 2 - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } \end{array} \right) = \left\lbrace \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } \end{array} \right) \right\rbrace . } \end{array}
D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 1 } ( z ) } \bigg \{ { e ^ { i \omega t } \bigg \} } = D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 2 } ( t ) } \bigg \{ { e ^ { i k z } \bigg \} } = e ^ { i ( \omega t + \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 1 } ( z ) ) } = e ^ { i ( k z + \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 2 } ( t ) ) } = e ^ { i ( \omega t + k z ) } ,
\psi _ { n , m } ^ { ( + , l ) } = \left[ i \lambda _ { n , m } \phi _ { n , m } ^ { ( l ) } + \gamma ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } \phi _ { n , m } ^ { ( l ) } ) \right] \epsilon _ { 1 } ~ ~ ~ , ~ ~ n , m = 0 , 1 , 2 , . . ,
\dot { R } ^ { 2 } - \Biggl [ \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \cdot \biggl ( - \frac { m } { R ^ { 2 } } - \frac { a } { 2 } \cdot R + \frac { e ^ { 2 } } { 2 R ^ { 3 } } \biggr ) ^ { 2 } + \Lambda _ { - } G R ^ { 2 } \Biggr ] = - 1 ,
{ \left[ \begin{array} { l } { { \dot { x } } _ { 1 } } \\ { { \dot { x } } _ { 2 } } \\ { { \dot { x } } _ { 3 } } \end{array} \right] } = A { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( t ) } \\ { x _ { 2 } ( t ) } \\ { x _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right] } + B { \left[ \begin{array} { l } { u _ { 1 } ( t ) } \\ { u _ { 2 } ( t ) } \\ { u _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l r l } { U } & { { } = \sqrt { + n _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { \omega } ^ { 2 } - \tilde { \beta } ^ { 2 } } \, , } & { W } & { { } = \sqrt { - n _ { 2 } ^ { 2 } \tilde { \omega } ^ { 2 } + \tilde { \beta } ^ { 2 } } \, . } \end{array}
B = k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } + W ^ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } ( s + s ^ { \prime } + u + u ^ { \prime } ) + t + t ^ { \prime } - 1 2 m _ { e } ^ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } \Sigma _ { + } + t _ { + } - 1 2 m _ { e } ^ { 2 } .
x = { \frac { W } { 2 \pi } } \left( \lambda - \lambda _ { 0 } \right) , \qquad \quad y = { \frac { W } { 2 \pi } } \ln \left[ \tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \varphi } { 2 } } \right) \right] .
\hat { \cal { L } } _ { S D } ^ { S } = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { f } ^ { \mu } + \hat { h } ^ { \mu } - \partial ^ { \mu } \hat { \phi } ) ( \hat { f } _ { \mu } + \hat { h } _ { \mu } - \partial _ { \mu } \hat { \phi } ) - \frac { 1 } { 2 m } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } ( \hat { f } _ { \alpha } \partial _ { \beta } \hat { f } _ { \gamma } + 2 \hat { h } _ { \alpha } \partial _ { \beta } \hat { f } _ { \gamma } ) .
\begin{array} { r l r } { E _ { m } } & { { } = } & { \Omega _ { R } \sqrt { \sin ^ { 2 } k _ { x } + \cos ^ { 2 } k _ { y } + \cos ^ { 2 } k _ { z } } = - E _ { n } = E } \\ { \rho _ { m } } & { { } = } & { | m \rangle \langle m | = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbb { I } + \frac { \mathcal { H } ( \mathbf { k } ) } { E } \right) } \\ { \rho _ { n } } & { { } = } & { | n \rangle \langle n | = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbb { I } - \frac { \mathcal { H } ( \mathbf { k } ) } { E } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi = \frac { \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } } { I _ { \mathrm { ~ f ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { 2 } - m B _ { \mathrm { ~ r ~ } , z } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } = \frac { m B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } } { I _ { \mathrm { ~ f ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { 2 } - m B _ { \mathrm { ~ r ~ } , z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( d _ { x } f ) _ { y } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) } \\ & { = } & { ( d _ { x } f ) ( y , x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) } \\ & { = } & { [ x , f ( y , x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) ] - \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { x ( f + y + x _ { 1 } + \cdots + x _ { j - 1 } ) } f ( y , x _ { 1 } , \cdots , [ x , x _ { j } ] , \cdots , x _ { n } ) } \\ & { } & { - ( - 1 ) ^ { x f } f ( [ x , y ] , x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) } \\ & { = } & { ( d _ { x } ( f _ { y } ) - ( - 1 ) ^ { x f } f _ { [ x , y ] } ) ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \alpha = \pm } \alpha \left( E _ { \rightarrow } ^ { \alpha } + E _ { \leftarrow } ^ { \alpha } \right) = \sum _ { \alpha = \pm } \alpha \left( E _ { \rightarrow } ^ { \alpha } + E _ { \leftarrow } ^ { \alpha } \right) , } \\ & { \sum _ { \alpha = \pm } \left( E _ { \rightarrow } ^ { \alpha } + E _ { \leftarrow } ^ { \alpha } \right) = \frac { \eta } { \eta ^ { \prime } } \sum _ { \alpha = \pm } \left( E _ { \rightarrow } ^ { \alpha } + E _ { \leftarrow } ^ { \alpha } \right) , } \\ & { \sum _ { \alpha = \pm } \left( E _ { \rightarrow } ^ { \alpha } - E _ { \leftarrow } ^ { \alpha } \right) \cos \theta _ { \alpha } = \sum _ { \alpha = \pm } \left( E _ { \rightarrow } ^ { \alpha } - E _ { \leftarrow } ^ { \alpha } \right) \cos \theta _ { \alpha } ^ { \prime } , } \\ & { \sum _ { \alpha = \pm } \alpha \left( E _ { \rightarrow } ^ { \alpha } - E _ { \leftarrow } ^ { \alpha } \right) \cos \theta _ { \alpha } = \frac { \eta } { \eta ^ { \prime } } \sum _ { \alpha = \pm } \alpha \left( E _ { \rightarrow } ^ { \alpha } - E _ { \leftarrow } ^ { \alpha } \right) \cos \theta _ { \alpha } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { h } u } & { = | u ( x , t + h ) - u ( y , t ) | } \\ & { \leq C \bigg [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + \bigg ( \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } ( \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) ( t ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } + \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } \bigg ] [ h ^ { \nu / 2 } + | x - y | ] } \end{array}
\left( \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } \right) ^ { 4 / 3 } = f ^ { 2 } \left( \frac { 1 + \sigma } { b } - \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } \right) ^ { 4 / 3 } + \frac { H ^ { * } } { c } \frac { 1 - f ^ { 3 } } { 3 \left( 1 - f \right) } \left( b \frac { R a } { R a _ { c r } } \right) ^ { 1 / 3 } ,
\begin{array} { r l } & { \phi ^ { 0 } \equiv \hat { \Phi } ^ { 0 } , \quad \overline { { \phi ^ { k } } } = \overline { { \phi ^ { 0 } } } , \quad \forall \, k \ge 0 , } \\ & { \overline { { \hat { \Phi } ^ { k } } } = \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } \, \hat { \Phi } ( \cdot , t _ { k } ) \, d { \bf x } = \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } \, \hat { \Phi } ^ { 0 } \, d { \bf x } = \overline { { \phi ^ { 0 } } } , \quad \forall \, k \ge 0 , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } [ - R + 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \frac { 3 } { 4 } H ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } F ^ { 2 } ( V ) ] \, ,
\mu = r _ { + } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 4 } } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \rho _ { i } \right) , \ \ \rho _ { i } = r _ { + } ^ { 2 } + q _ { i } .
\mathcal { K } _ { t } ^ { i } = [ \operatorname* { m a x } \{ 0 , \operatorname* { i n f } _ { x } \mathcal { J } _ { t - 1 } ^ { i } \} , \ldots , \operatorname* { i n f } _ { x } \mathcal { J } _ { t } ^ { i } - 1 ] .
b _ { i } = \left( \begin{array} { c } { { 4 1 / 1 0 } } \\ { { - 1 9 / 6 } } \\ { { - 7 } } \end{array} \right) \; \; , \; \; \; b _ { i j } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 9 9 / 5 0 } } & { { 2 7 / 1 0 } } & { { 4 4 / 5 } } \\ { { 9 / 1 0 } } & { { 3 5 / 6 } } & { { 1 2 } } \\ { { 1 1 / 1 0 } } & { { 9 / 2 } } & { { - 2 6 } } \end{array} \right) \; \; .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big \| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) ) \Big \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left\| \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { 1 \leq i \neq j \leq n } \mathbb { E } \Big [ \mathbb { E } \Big \langle \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) , \mathcal { H } _ { j } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \Big \rangle | \mathcal { F } ^ { k } \Big ] } \\ & { \leq \frac { \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } { n } , } \end{array}
D = \frac { \left[ P _ { \mathrm { v } } - P _ { \mathrm { l } } \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 2 \sigma \left( T _ { \mathrm { l } } \right) \rho _ { \mathrm { l } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { D i s c r i m i n a t o r } } } & { { } = \mathbb { E } _ { y \sim p _ { y } ( y ) } [ ( D _ { Y } ( y ) - 1 ) ^ { 2 } ] + \mathbb { E } _ { x \sim p _ { x } ( x ) } [ ( D _ { Y } ( G ( x ) ) ) ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { n R = } & { H \left( W \right) } \\ { = } & { H \left( { W | { Y ^ { n } } } \right) + I \left( { W ; { Y ^ { n } } } \right) } \\ { \leq } & { H \left( { W | { Y ^ { n } } } \right) + I \left( { { X ^ { n } } \left( W \right) ; { Y ^ { n } } } \right) } \\ { \leq } & { 1 + \left( { 1 - \alpha + \left( { \gamma + \alpha - 1 } \right) P _ { { \mathrm { e , s } } } ^ { \left( n \right) } } \right) n R + I \left( { { X ^ { n } } \left( W \right) ; { Y ^ { n } } } \right) } \\ { \leq } & { 1 + \left( { 1 - \alpha + \left( { \gamma + \alpha - 1 } \right) P _ { { \mathrm { e , s } } } ^ { \left( n \right) } } \right) n R + n { C } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mu } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \frac { \sigma } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) - \sigma \varepsilon \Delta \phi , } \\ { \bar { \gamma } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ - m \left( \bar { \mu } ^ { \mathrm { I } } + \omega p \right) . } \end{array}
\ln J = \alpha \left( \mathrm { T r } _ { \phi } e ^ { t ( D _ { \mu } ) ^ { 2 } } - \mathrm { T r } _ { \psi } e ^ { t { \not D } ^ { 2 } } + \mathrm { T r } _ { F } e ^ { t ( D _ { \mu } ) ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ V ~ } } ( \sigma , \eta ) ] ( c ^ { * } ) } & { { } = \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \chi } [ \Re \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] \bigg ( 1 - \frac { { c ^ { * } } ^ { 2 } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \chi } [ | \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) | ^ { 2 } ] } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \chi } [ \Re \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] } \bigg ) , } \end{array}
\frac { d \sigma } { d x d Q ^ { 2 } d z } = \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { Q ^ { 4 } x } [ y ^ { 2 } 2 x { \cal F } _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } , z ) + 2 ( 1 - y ) { \cal F } _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } , z ) ] \; .
\frac { 1 } { \tau } \rightarrow \frac { \sqrt { 3 } \pi ^ { 2 } \omega _ { p } } { 3 2 } \frac { \left( \epsilon _ { n r } - \mu _ { n r } \right) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 4 } } \frac { c ^ { 4 } } { v _ { F } ^ { 4 } } = \frac { \sqrt { 3 } \pi ^ { 2 } \omega _ { p } } { 1 2 8 } \left( \frac { \epsilon _ { n r } - \mu _ { n r } } { \mu _ { n r } } \right) ^ { 2 } \ ,