harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \right] - \beta \left( \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \right] - \Omega ^ { ( 1 ) } U ^ { ( 0 ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { k } ( \eta _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { k } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ^ { * } ) } \\ & { - \gamma _ { k } ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) - \gamma _ { k } \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) - \gamma _ { k } \mathrm { B i L i n } _ { \mathbb { E } _ { \xi } f } ( p _ { k } ^ { * } - p _ { k - 1 } ^ { * } , q _ { k } ^ { * } - q ) } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p ) \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ 4 ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon + \mathrm { E x p e c t E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ^ { x } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E x p e c t E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ^ { x } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] . } \end{array}
S _ { \mathrm { b o s o n } } ^ { \mathrm { r o o t } } = \int d ^ { 4 } x \left\{ \frac 1 { 4 g ^ { 2 } } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } + \bar { \nabla } _ { \mu } \bar { q } _ { A f } \nabla _ { \mu } q ^ { f A } + \frac { g ^ { 2 } } 8 [ \mathrm { ~ T r ~ } ( \bar { q } \tau ^ { m } q ) ] ^ { 2 } \right\} ,
L _ { i _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l l l } { { L _ { i } ^ { ( 0 ) } , ~ ~ ~ \ i _ { 1 } = 1 , . . . 7 , } } \\ { { \frac { d } { d t } ( \lambda _ { i } ^ { ( 0 ) A } L _ { i } ^ { ( 0 ) } ) , ~ ~ ~ i _ { 2 } = 7 + A , ~ A = 1 , 2 , 3 , } } \\ { { \frac { d } { d t } ( \Omega _ { 4 } ^ { ( 0 ) } ) , ~ ~ ~ i _ { 2 } = 1 1 , } } \\ { { \frac { d } { d t } ( \lambda _ { i _ { 1 } } ^ { ( 1 ) B } L _ { i _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ) , ~ ~ ~ i _ { 2 } = 1 1 + B , ~ B = 1 , 2 . } } \end{array} \right.
\psi _ { m ^ { i j } } = \delta ( y - m ^ { 1 2 } ) \, \delta ( x _ { 0 } - m ^ { 1 3 } ) \, \delta ( x _ { 1 } - m ^ { 1 4 } ) \, \delta ( x _ { 2 } - m ^ { 2 3 } ) \, e ^ { \frac { i m ^ { 2 4 } \, x _ { 3 } } { m ^ { 1 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l } { H _ { J } ^ { ( N + L ) } ( \sigma , \alpha ) } & { \sim E _ { ( 0 , p ) } ( \alpha ) + E _ { ( 1 , p - 1 ) } ( \sigma , \alpha ) } \\ & { = E _ { ( 0 , p ) } ( \alpha ) + \sum _ { i } \left( \sum _ { ( j _ { 2 } \cdots j _ { p } ) } J _ { i j _ { 2 } \cdots j _ { p } } \alpha _ { j _ { 2 } } \cdots \alpha _ { j _ { p } } \right) \sigma _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } \phi _ { c } + [ ( m _ { r } ^ { 2 } + \delta m ^ { 2 } ) + ( \xi _ { r } + \delta \xi ) R ] \phi _ { c } } } \\ { { - 4 ( \kappa _ { r } + \delta \kappa ) \phi _ { c } ^ { 3 } - 1 2 ( \kappa _ { r } + \delta \kappa ) \phi _ { c } < \phi _ { q } ^ { 2 } > } } \\ { { + \ 3 ( \lambda _ { r } ^ { 2 } + \delta \lambda ^ { 2 } ) \phi _ { c } ^ { 5 } + 3 0 ( \lambda _ { r } ^ { 2 } + \delta \lambda ^ { 2 } ) \phi _ { c } ^ { 3 } < \phi _ { q } ^ { 2 } > } } \\ { { + 1 5 ( \lambda _ { r } ^ { 2 } + \delta \lambda ^ { 2 } ) \phi _ { c } < \phi _ { q } ^ { 4 } > \ = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { { } = \mathcal { E } _ { \Uparrow } - \mathcal { E } _ { \Downarrow } , } \\ { c _ { S } } & { { } = \mathcal { E } _ { \uparrow } - \mathcal { E } _ { \downarrow } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ^ { T } J L } & { = \left[ \begin{array} { l l } { A ^ { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { - \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { A ^ { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { - \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { ( A ^ { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { - \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { ( A ^ { - \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { A ^ { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { - \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { A ^ { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { - \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { A ^ { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { - \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { A ^ { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } \\ { - A ^ { - \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \frac { 1 } { 4 } } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { A ^ { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { - \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right] } \\ & { = J . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { * } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } ) } & { { } = \boldsymbol { k } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } , \mathcal { D } ) ^ { \intercal } \boldsymbol { \mathrm { K } } ( \mathcal { D } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { y } ; } \\ { \sigma _ { * } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } ) } & { { } = k ( \boldsymbol { \theta } _ { * } , \boldsymbol { \theta } _ { * } ) - \boldsymbol { k } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } , \mathcal { D } ) ^ { \intercal } \boldsymbol { \mathrm { K } } ( \mathcal { D } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { k } ( \boldsymbol { \theta } _ { * } , \mathcal { D } ) . } \end{array}
u ^ { \mu } ( { \bf p } , 0 _ { t } ) = { \frac { N } { m } } \left( \begin{array} { l } { { E _ { p } } } \\ { { p _ { 1 } } } \\ { { p _ { 2 } } } \\ { { p _ { 3 } } } \end{array} \right) \quad , \quad { \bf B } ^ { ( \pm ) } ( { \bf p } , 0 _ { t } ) = { \bf 0 } \quad , \quad { \bf E } ^ { ( \pm ) } ( { \bf p } , 0 _ { t } ) = { \bf 0 } \, \, .
\left\{ h _ { i } , k _ { i } \in G \vert \prod _ { i = 1 } ^ { g } A d _ { q } ( h _ { i } ) A d _ { q } ( k _ { i } ) A d _ { q } ( h _ { i } ^ { - 1 } ) A d _ { q } ( k _ { i } ^ { - 1 } ) = 1 \right\} \, \, \forall q \in G .
\begin{array} { r l r } { u ( x ) } & { \geq } & { C \int _ { y \in \mathcal C _ { Q , \Sigma _ { 2 } } , \, \sigma _ { 1 } | x - Q | \leq | x - y | \leq \sigma _ { 2 } | x - Q | } G _ { \mathcal { C } } ^ { s } ( x , y ) | y | ^ { a } u ^ { p } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { \geq } & { C \int _ { y \in \mathcal C _ { Q , \Sigma _ { 2 } } , \, \frac { \sigma _ { 1 } ( 5 \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } ) } { 4 \sigma _ { 2 } } | x | \leq | x - y | \leq \frac { \sigma _ { 1 } + 3 \sigma _ { 2 } } { 4 } | x | , \, | y | \geq R _ { 0 } + \frac { 4 \sigma _ { 2 } } { \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } } r + 1 } \frac { 1 } { | x - y | ^ { n - 2 s } } \cdot \frac { 1 } { | y | ^ { p \mu _ { 0 } - a } } \mathrm { d } y } \\ & { \geq } & { \frac { C _ { 1 } } { | x | ^ { p \mu _ { 0 } - ( 2 s + a ) } } . } \end{array}
\dot { C } _ { l , E h } ^ { ( \alpha ) } = - i \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } C _ { l } ^ { ( \alpha ) } - \sum _ { k } \sum _ { \nu } ^ { N _ { n } } { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) } \cdot \mathbf { d } _ { \nu , l k } ^ { ( \alpha ) } C _ { k } ^ { ( \alpha ) }
R _ { \mathrm { d i l a t o n } } ^ { \mathrm { b o u n d a r y } } ( r ) = A _ { \mathrm { o u t } } \left( 1 - i \frac { r _ { H } ^ { 2 } } { \pi r ^ { 2 } } \right) + A _ { \mathrm { i n } } \left( 1 + i \frac { r _ { H } ^ { 2 } } { \pi r ^ { 2 } } \right) .
\Lambda ( \bar { \boldsymbol { \gamma } } ) = \sqrt { \frac { 1 } { v _ { g } } | { \cal J } ( \bar { \boldsymbol { \gamma } } ) | } = \left| \frac { d t } { d s } \operatorname* { d e t } \left[ \frac { \partial \bar { \bf r } ^ { T } } { \partial \bar { \boldsymbol { \gamma } } } \right] \right| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, .
P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } = \frac { \tilde { \Lambda } ^ { 2 } } { 8 \pi \mathcal { N } } \int \frac { d ^ { 3 } \tilde { q } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \frac { \left| \beta \left( \tilde { q } \right) \right| ^ { 2 } } { \sqrt { 3 \tilde { q } ^ { 2 } / 4 + \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } .
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \overline { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { T ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 1 } ) - T ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 2 } ) = \frac { 1 } { L ( L - 1 ) } \sum _ { \mathcal { I } _ { i } , \mathcal { I } _ { j } \in \Omega } \Big ( \Delta _ { i j } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 1 } ) - \Delta _ { i j } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 2 } ) \Big ) } \\ { = } & { \frac { 2 } { L ( L - 1 ) } \sum _ { l \in S ( \widetilde { \phi } _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 1 } ) } \Big ( \Delta _ { i l } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 1 } ) + \Delta _ { j l } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 1 } ) - \Delta _ { j l } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 2 } ) - \Delta _ { i l } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 2 } ) \Big ) } \\ { + } & { \frac { 2 } { L ( L - 1 ) } \Big ( \Delta _ { i j } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 1 } ) - \Delta _ { i j } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 2 } ) \Big ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 m } { P _ { r j } } ^ { 2 } \, \rightarrow \, \frac { 1 } { 2 m } { P _ { r j } } ^ { 2 } + \frac { i \hbar } { 2 m r _ { j } } P _ { r j } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 8 m { r _ { j } } ^ { 2 } } \; .
\cfrac { d } { d t } ( z - s ) \leq \varepsilon _ { S S l } k _ { 1 } s _ { 0 } ( z - s ) - k _ { 1 } ( K _ { S } + s _ { 0 } ) L , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } t \leq t _ { \mathrm { c r o s s } } .
\begin{array} { r l r } { \left[ \begin{array} { l } { \vec { \mathcal { E } } _ { 1 , \mathrm { i n } } ^ { \star } } \\ { \vec { \mathcal { E } } _ { 2 , \mathrm { i n } } ^ { \star } } \end{array} \right] } & { = } & { \stackrel { \leftrightarrow } { \sigma } _ { z } \mathrm { T R } \left\lbrack \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { S } } \right\rbrack \stackrel { \leftrightarrow } { \sigma } _ { z } \left[ \begin{array} { l } { \vec { \mathcal { E } } _ { 1 , \mathrm { o u t } } ^ { \star } } \\ { \vec { \mathcal { E } } _ { 2 , \mathrm { o u t } } ^ { \star } } \end{array} \right] , } \end{array}
\Delta = \frac { U } { N } \sum _ { \substack { k \, | \xi _ { k } | < \omega } } \left\langle c _ { - k , \downarrow } c _ { k , \uparrow } \right\rangle = \frac { U } { N } \sum _ { \substack { k \, | \xi _ { k } | < \omega } } u _ { k } ^ { * } v _ { k } ( 1 - 2 \left\langle \gamma _ { k , \uparrow } ^ { \dag } \gamma _ { k , \uparrow } \right\rangle ) = \frac { U } { N } \sum _ { \substack { k \, | \xi _ { k } | < \omega } } \frac { \Delta } { 2 \sqrt { \xi _ { k } ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } } \operatorname { t a n h } { \left( \beta ( \sqrt { \xi _ { k } ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } + \lambda ) \right) }
E _ { y } \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } , \Delta k \right) = \frac { \Delta k \cos \left( \Delta k z _ { 0 } \right) } { 2 \pi \epsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x d y \frac { K _ { 1 } \left( \Delta k \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } y \rho _ { 0 } ( x + x _ { 0 } , y + y _ { 0 } )
W _ { M o r , i i } ( Q _ { \alpha } ) = D _ { 0 } ^ { ( i ) } \left\{ 1 - \exp \left[ - a _ { \alpha } ^ { ( i ) } \left( Q _ { \alpha } - Q _ { 0 , \alpha } ^ { ( i ) } \right) \right] \right\} ^ { 2 } + \epsilon _ { \alpha } ^ { ( i ) }
\begin{array} { r l } { c _ { 1 \theta } } & { = c _ { 1 a } \cos \theta + c _ { 1 \phi } \sin \theta = } \\ & { = \frac { - \gamma _ { - } + i \Omega } { \gamma _ { + } - i \Omega } \left( c _ { a } \cos \theta + c _ { \phi } \sin \theta \right) + } \\ & { \quad + \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \left( b _ { a } \cos \theta + b _ { \phi } \sin \theta \right) + } \\ & { \quad + \sqrt { \frac { m } { \hbar } } \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \left( ( \gamma _ { -- } i \Omega ) \mathcal { X } \cos \theta - \gamma _ { + } \mathcal { H } \sin \theta \right) x , } \end{array}
| F ( u _ { n } ( t _ { n } ) ) - F ( \mathbf 1 ) | = \frac 1 2 | \| u _ { n } ( t _ { n } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \| \mathbf 1 \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } | \le \| u _ { n } ( t _ { n } ) - \mathbf 1 \| _ { L ^ { 2 } } ( \varepsilon _ { 0 } + \| \mathbf 1 \| _ { H ^ { 1 } } ) < \frac { 1 } { n } ( \varepsilon _ { 0 } + \| \mathbf 1 \| _ { H ^ { 1 } } ) .
\begin{array} { r l } { w ( v _ { 1 } ) } & { = f ( v _ { 2 } ) + f ( v _ { n } ) + f ( e _ { 1 } ) + f ( e _ { n } ) } \\ & { = 2 + f ( v _ { n } ) + ( 2 n - 1 ) + 2 n } \\ & { = 4 n + 1 + f ( v _ { n } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 n + 1 + ( n - 1 ) \quad } & { \mathrm { i f ~ } n \equiv 0 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { 4 n + 1 + n \quad } & { \mathrm { i f ~ } n \equiv 1 \mathrm { ~ o r ~ } 2 ( \bmod ~ 4 ) } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 5 n \quad } & { \mathrm { i f ~ } n \equiv 0 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { 5 n + 1 \quad } & { \mathrm { i f ~ } n \equiv 1 \mathrm { ~ o r ~ } 2 ( \bmod ~ 4 ) } \end{array} \right. } \end{array}
R _ { s } ( B _ { p } , T ) = a _ { 0 } + a _ { 1 } B _ { p } + a _ { 2 } B _ { p } ^ { 2 } + a _ { 3 } B _ { p } ^ { 3 } + a _ { 4 } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - a _ { 5 } / T )
\xi = \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { R _ { 2 } } \right) R _ { 1 } ^ { 2 } - R _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 R _ { 1 } \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { R _ { 2 } } \right) } .
\mathcal { A } _ { \sigma _ { h } , \Psi _ { i } } ^ { ( \beta ) } \mathcal { B } _ { \Psi _ { 1 2 } } ^ { ( \beta \beta \alpha , \Psi _ { i } ) \Psi _ { 1 2 } } = \sum _ { j } \mathcal { A } _ { \sigma _ { h } , \Psi _ { j } } ^ { ( \alpha ) } \mathcal { B } _ { \Psi _ { 1 2 } , \Psi _ { 1 2 } } ^ { ( \alpha \alpha \beta ) \Psi _ { j } } X _ { j i } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( p ) - \mathcal { E } ( \Bar { p } ) \leq } & { \mathrm { K L } ( p \| \Bar { p } ) + \left( C + \frac { 4 \lambda _ { 1 } \sigma ( \Bar { p } ) } { \lambda _ { 2 } \sqrt { \alpha _ { \Bar { p } } } } \right) \sqrt { \mathrm { K L } ( p \| \Bar { p } ) } , } \\ { \int \| \theta \| ^ { 2 } ( p - \Bar { p } ) ( \theta ) d \theta \leq } & { \frac { 2 } { \alpha _ { \Bar { p } } } \mathrm { K L } ( p \| \Bar { p } ) + \frac { 4 \sigma ( \Bar { p } ) } { \sqrt { \alpha _ { \hat { p } } } } \sqrt { \mathrm { K L } ( p \| \Bar { p } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \mathcal { N } _ { \emptyset } = x ) } & { = \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } d ^ { - \gamma - 1 } L ( d ) \left( 1 + \frac { 1 } { d } \right) ^ { - x - 1 } = E [ 1 / \mathcal { D } ] E \left[ \left( 1 + \frac { 1 } { Y ^ { \prime } } \right) ^ { - x - 1 } \right] } \\ & { = E [ 1 / \mathcal { D } ] E \left[ e ^ { - ( x + 1 ) \log ( 1 + 1 / Y ^ { \prime } ) } \right] = E [ 1 / \mathcal { D } ] P \left( \frac { W } { \log ( 1 + 1 / Y ^ { \prime } ) } > x + 1 \right) } \end{array}
a _ { \mathrm { P } } ^ { ( 1 ) } = \frac { 2 \alpha _ { s } ( \mu ) } { m ^ { 2 } } \langle r ^ { - 3 } \rangle , \quad a _ { \mathrm { P } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 2 \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \mu ) } { \pi m ^ { 2 } } \left\{ \langle r ^ { - 3 } \rangle \left( \frac { 2 5 } { 6 } \ln \left( \frac { \mu } { m } \right) + A \right) + \frac { 1 3 } { 6 } \langle r ^ { - 3 } \ln m r \rangle \right\}
\begin{array} { r l } { | \partial _ { r ^ { \star } \! } ^ { k } v | } & { \lesssim \frac { \Delta ^ { 1 / 2 } } { r ^ { 2 + k } } , } \\ { \big | \partial _ { r ^ { \star } \! } ^ { k } \big ( v _ { 0 } ^ { - 2 } \big ( 1 - \frac { \eta } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \big ) ^ { 2 } - \frac { \Gamma _ { \natural } ^ { 2 } } { \Delta _ { \natural } } \big ) \big | } & { \lesssim r ^ { - 2 - k } , } \\ { \big | \partial _ { r ^ { \star } \! } ^ { k } \big ( v f _ { \natural } + \big ( 1 - \frac { \eta } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \big ) h _ { 0 } \big ) \big | } & { \lesssim r ^ { - 2 - k } , } \end{array}
E _ { c c w } = E _ { { c c w } _ { 0 } } \exp ( i \gamma L | E _ { { c c w } _ { 0 } } | ^ { 2 } ) = i \sqrt { 1 - \rho } E _ { i n } \exp [ i \gamma L ( 1 - \rho ) | E _ { i n } | ^ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { H ( k ) } & { { } = A ( k ) \sigma _ { 0 } + \mathrm { i } J _ { \mathrm { L } } \sin { \theta _ { \mathrm { L } } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k } \sigma _ { y } + \mathrm { i } J _ { \mathrm { R } } \sin { \theta _ { \mathrm { R } } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k } \sigma _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi \equiv \mathit { { E } } _ { k } ^ { R } e ^ { i \phi _ { k } } J _ { n + 1 } + \mathit { { E } } _ { k } ^ { L } } & { { } e ^ { - i \phi _ { k } } J _ { n - 1 } + 2 \Psi ^ { z } , } \end{array}
{ \frac { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) + \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) - \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } } - { \frac { \operatorname { e x s e c } ( \theta ) + \operatorname { e x c s c } ( \theta ) } { \operatorname { e x s e c } ( \theta ) - \operatorname { e x c s c } ( \theta ) } } = { \frac { 2 \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } { \operatorname { v e r s i n } ( \theta ) - \operatorname { c o v e r s i n } ( \theta ) } }
\widetilde { W } _ { j \bar { k } } ^ { N P } ( b , Q , Q _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = { \textrm { e x p } } \left[ - g _ { 1 } ^ { ' } ( 1 + g _ { 3 } ^ { ' } \ln { ( 1 0 0 x _ { 1 } x _ { 2 } ) } ) - g _ { 2 } ^ { ' } \ln ( Q b _ { m a x } ) \right] b ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { w _ { L } = w _ { j } + { \nabla } w _ { j } \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) ^ { t } { \nabla } ^ { 2 } w _ { j } ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { T } } = { \frac { \partial S } { \partial U } } = { \frac { \partial S } { \partial q } } { \frac { d q } { d U } } = { \frac { 1 } { \varepsilon } } { \frac { \partial S } { \partial q } } = { \frac { k } { \varepsilon } } \ln \left( 1 + N ^ { \prime } / q \right)
{ \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } \rho } } { \frac { \partial p } { \partial t } } = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial t } } \int _ { p _ { 1 } } ^ { p } { \frac { d { \tilde { p } } } { d \rho ( { \tilde { p } } ) } } = - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial t } } \left[ { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } + { \frac { \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi } { 2 } } \right]
\begin{array} { r } { \xi _ { \ell } \leq \widetilde { \xi } _ { \ell } \ \ \ , \ \ \ \xi _ { r } \leq \widetilde { \xi } _ { r } \ \ \ , \ \ \ { \overline { { r } } } ^ { \sharp } \geq \widetilde { \overline { { r } } } ^ { \sharp } \ \ \ , \ \ \ { \underline { { r } } } ^ { \sharp } \leq \widetilde { \underline { { r } } } ^ { \sharp } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { S } = \left( \begin{array} { l l } { - 1 + 2 ( B + 1 ) X Y } & { ( B + 1 ) ( X ^ { 2 } + 3 Y ^ { 2 } ) - \Delta } \\ { - ( B + 1 ) ( 3 X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) + \Delta } & { - 1 - 2 ( B + 1 ) X Y } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \sigma } _ { a b } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } } & { { } = } & { \nabla _ { c } \left[ \rho \left( \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } q _ { b d } } q _ { a d } - \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } q _ { a d } } q _ { b d } \right) \right] - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial ( d + p ) } { \partial \zeta _ { c } } \right) \epsilon _ { a b } - \omega _ { a b } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ( n ) } & { \ge \int _ { A _ { 1 } ( n ) } \frac { u ( x _ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { 1 } } \tau _ { j } \xi _ { j } ( n ) ) - 2 u ( x _ { n } ) } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { 1 } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { 1 } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau } \\ & { \ge \left( \operatorname* { m i n } _ { \overline { B } _ { r _ { 0 } } } u - 2 u ( x _ { n } ) \right) \, \int _ { \{ t _ { 1 } ( n ) < \tau _ { j } < t _ { 2 } ( n ) , \, \forall j \} } \frac { 1 } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { 1 } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { 1 } + 2 s } { 2 } } } . } \end{array}
\lambda { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime } - { \varepsilon } _ { 1 } { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime \prime \prime } + ( c - H _ { { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime } ( { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime } ) ) { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime \prime } = { \Theta } ^ { \prime } .
S _ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { n } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , . . . , \mathbf { k } _ { n - 1 } ) = N ^ { - 1 } \langle \hat { \rho } _ { \alpha _ { 1 } } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) . . . \hat { \rho } _ { \alpha _ { n - 1 } } ( \mathbf { k } _ { n - 1 } ) \hat { \rho } _ { \alpha _ { n } } ( \mathbf { k } _ { n } ) \rangle
\begin{array} { r l } { u ^ { \ast } B ( u v ^ { \ast } ) } & { = u ^ { \ast } ( \mathbb { I } _ { m } - u u ^ { \ast } ) B _ { 0 } ( \mathbb { I } _ { n } - v v ^ { \ast } ) = 0 , } \\ { B ( u v ^ { \ast } ) v } & { = ( \mathbb { I } _ { m } - u u ^ { \ast } ) B _ { 0 } ( \mathbb { I } _ { n } - v v ^ { \ast } ) v = 0 \textrm { a n d } } \\ { B ( a b ^ { \ast } ) } & { = ( \mathbb { I } _ { m } - a a ^ { \ast } ) B _ { 0 } ( \mathbb { I } _ { n } - b b ^ { \ast } ) = \mathbb { I } _ { m } B _ { 0 } \mathbb { I } _ { n } = B _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \left( \widehat { \bar { q } _ { B _ { k } } } \right) } & { = } & { \frac { N } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \mathbb { E } \left( { B _ { k } } _ { i } \right) = \mathbb { E } ( q _ { B _ { k } } ) , } \\ { \mathrm { V a r } \left( \widehat { \bar { q } _ { B _ { k } } } \right) } & { = } & { \frac { N ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \mathrm { V a r } \left( { B _ { k } } _ { i } \right) = \frac { N } { m } V _ { \mathrm { n o } } , } \end{array}
\Omega ^ { v , C P D F } = \Omega _ { 0 } ^ { C P D F } + \Omega _ { v } ^ { C P D F } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ \sum _ { a , p } \Omega _ { a , p } ^ { ( k , 1 ) } + \sum _ { p } \Omega _ { v , p } ^ { ( k , 1 ) } \right]
\begin{array} { r l } { Z _ { \mathrm { B } } ^ { \mathrm { c l } } } & { = \prod _ { n } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \mathbf { X } _ { \omega _ { n } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \mathbf { P } _ { \omega _ { n } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \beta \left( \mathbf { P } _ { \omega _ { n } } ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } \mathbf { X } _ { \omega _ { n } } ^ { 2 } \right) } \right] } \end{array}
\phi ( \mathbf { x } ) = c _ { 0 } + c _ { x } \: x + c _ { y } \: y + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { L S } } } \lambda _ { i } \: \| \mathbf { x } - \bar { \mathbf { x } } _ { i } \|