harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb E \bigl [ | J _ { i j } | \Psi _ { i j } ( J _ { i j } ) ; | J _ { i j } | \leq K \bigr ] } & { \leq 2 \mathbb E \Bigl [ \frac { | J _ { i j } | } { 1 - | \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) | } ; | J _ { i j } | \leq K \Bigr ] \mathbb E \bigl | \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } - \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } \bigr | , } \\ { \mathbb E \bigl [ | J _ { i j } | \Psi _ { i j } ( J _ { i j } ) ; | J _ { i j } | \geq K \bigr ] } & { \leq 2 \mathbb E \bigl [ | J _ { i j } | ; | J _ { i j } | \geq K \bigr ] } \end{array}
{ \cal S } ^ { ( 1 ) } \sim T _ { 2 5 } k V _ { 2 6 - D } e ^ { - 2 a } ( 1 + \frac { D } { 2 } + 2 a ) \prod _ { i = 1 } ^ { D } \sqrt { \frac { 2 \pi } { u _ { i } } } \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { | \mathcal { O } ^ { ( n ) } | _ { 1 } } { | \mathcal { O } ^ { ( n ) } | } } & { = } & { \frac { | \mathcal { O } ^ { ( n ) } | _ { 1 } } { | \mathcal { O } ^ { ( n ) } | _ { 1 } + | \mathcal { O } ^ { ( n ) } | _ { 2 } } = \frac { 2 | T ^ { ( n ) } | _ { 1 } - | T ^ { ( n ) } | _ { 2 } + o ( n ) } { - 1 + | T ^ { ( n ) } | _ { 2 } + 2 ( | T ^ { ( n ) } | _ { 1 } - | T ^ { ( n ) } | _ { 2 } ) + | T ^ { ( n ) } | _ { 2 } + 1 + o ( n ) ) } } \\ & { = } & { \frac { 3 | T ^ { ( n ) } | _ { 1 } - | T ^ { ( n ) } | + o ( n ) } { 2 | T ^ { ( n ) } | _ { 1 } + o ( n ) } \underset { n \to \infty } \longrightarrow \frac { 3 d _ { 1 } ^ { T } - 1 } { 2 d _ { 1 } ^ { T } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r ^ { \mu } } & { { } = } & { r ^ { \prime \mu } + \varepsilon r _ { 1 } ^ { \prime \mu } + \varepsilon ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime \mu } , } \\ { u ^ { \mu } } & { { } = } & { u ^ { \prime \mu } + \varepsilon V ^ { \prime \mu } , } \end{array}
M ^ { i j } = \frac { 1 } { L _ { x } L _ { y } ( 1 + \phi ^ { 2 } / T ^ { 2 } ) } \left( \begin{array} { c c } { { L _ { y } / L _ { x } } } & { { - \phi / T - ( 1 + \phi ^ { 2 } / T ^ { 2 } ) T \theta } } \\ { { \phi / T + ( 1 + \phi ^ { 2 } / T ^ { 2 } ) T \theta } } & { { L _ { x } / L _ { y } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \rho } & { { } = { { \rho } _ { 0 } } \left( 1 - { { \alpha } _ { 0 } } \delta T + { { \beta } _ { 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \mu } & { { } = { { \mu } _ { 0 } } \left( 1 + { { m } _ { 1 0 } } \delta T + { { m } _ { 2 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) , } \\ { { { C } _ { p } } } & { { } = { { C } _ { p 0 } } \left( 1 + { { c } _ { 1 0 } } \delta T + { { c } _ { 2 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \lambda } & { { } = { { \lambda } _ { 0 } } \left( 1 + { { l } _ { 1 0 } } \delta T + { { l } _ { 2 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \alpha } & { { } = { { \alpha } _ { 0 } } \left( 1 + { { a } _ { 1 0 } } \delta T + { { a } _ { 2 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\underline { { \varphi } } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho h } \end{array} \right) } \end{array} , \quad \quad \underline { { N } } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { n _ { x } } \\ { n _ { y } } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \left( u _ { a } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ^ { 2 } \mathbb { E } [ H _ { a \alpha } ^ { 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] \mathbb { E } [ \Phi ^ { \prime } ( H _ { a \alpha } ) | \Omega _ { \varepsilon } ] \right| } \\ & { ~ ~ ~ \leq C N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } | \Omega _ { \varepsilon } ] + C N ^ { - 1 + 4 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 4 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] + \varepsilon _ { 1 } . } \end{array}
\{ \varepsilon ^ { \mu \nu } \} \rightarrow \{ \varepsilon ^ { \mu \nu } \} = \{ \varepsilon ^ { \mu \nu } \} + \omega \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { f ^ { 1 } } } & { { f ^ { 2 } } } & { { f ^ { 0 } - f ^ { 3 } } } \\ { { - f ^ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - f ^ { 1 } } } \\ { { - f ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - f ^ { 2 } } } \\ { { f ^ { 3 } - f ^ { 0 } } } & { { f ^ { 1 } } } & { { f ^ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
{ \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { 2 \pi } { 7 } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { 4 \pi } { 7 } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \sin ( { 8 \pi } { 7 } } } = \left( - { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { - { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } + 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 5 - 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 4 - 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } } \right) } }
p ( \triangle , x _ { i - 1 } , x _ { i } ; \theta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } \exp \left( - \frac { ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \right) ,
\langle A | \hat { O } | B \rangle = o _ { r s } \frac { \Pi _ { S _ { A } } ^ { - 1 } } { \sqrt { 2 } } \mathsf { R } _ { [ s , r ] _ { 0 } } ^ { B A } = o _ { r s } Q _ { s r } ^ { B A } / 2 .
[ \cdots ] \, \approx \, 1 \, + \, { \frac { 1 } { 2 \vert \vec { k } \vert } } \, ( 2 P _ { 0 } - E _ { 1 } ^ { \prime } - E _ { 2 } ^ { \prime } - E _ { 1 } - E _ { 2 } ) .
d \Pi ^ { \underline { { m } } } = - i d \Theta ^ { 1 } \sigma ^ { \underline { { m } } } d \Theta ^ { 1 } - i d \Theta ^ { 2 } \tilde { \sigma } ^ { \underline { { m } } } d \Theta ^ { 2 } , d d \Theta ^ { 1 \underline { { \mu } } } = 0 , d d \Theta _ { \underline { { \mu } } } ^ { 2 } = 0 , \qquad ( I I A )
\begin{array} { r l } { \rho _ { n , \Omega } ( r ) } & { \geqslant \frac { 1 } { 2 ( \Omega - \kappa _ { 1 } ) } \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { s ^ { 2 n + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } { \tau ^ { 2 n + 1 } } \frac { f _ { 0 } ^ { \prime } ( \tau ) } { \tau } d \tau d s } \\ & { \geqslant \frac { C _ { 1 } ( 1 - r ) } { 8 ( n + 1 ) ( \Omega - \kappa _ { 1 } ) } } \end{array}
q _ { \mathrm { G } } = { \frac { q _ { \mathrm { S I } } } { \sqrt { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } } , \quad \mathbf { E } _ { \mathrm { G } } = { \sqrt { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \, \mathbf { E } _ { \mathrm { S I } } , \quad \mathbf { B } _ { \mathrm { G } } = { \sqrt { 4 \pi / \mu _ { 0 } } } \, { \mathbf { B } _ { \mathrm { S I } } } , \quad c = { \frac { 1 } { \sqrt { \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } } } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { k e r } { ( \mathrm { a d } ) } = \{ T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } : \quad T U T ^ { - 1 } = U , \quad \forall U \in \mathcal { G } _ { p , q , r } \} , } \\ & { } & { \mathrm { k e r } ( \check { \mathrm { a d } } ) = \{ T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } : \quad \widehat { T } U T ^ { - 1 } = U , \quad \forall U \in \mathcal { G } _ { p , q , r } \} , } \\ & { } & { \mathrm { k e r } ( \tilde { \mathrm { a d } } ) = \{ T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } : \quad T U _ { 0 } T ^ { - 1 } + \widehat { T } U _ { 1 } T ^ { - 1 } = U , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \forall U = U _ { 0 } + U _ { 1 } \in \mathcal { G } _ { p , q , r } , \quad U _ { 0 } \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } , \quad U _ { 1 } \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) } \} . } \end{array}
D _ { 1 } = - E _ { a } ( d { \cal B } _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } / d E _ { l } ) _ { E _ { l } = E _ { a } } - x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } ( d { \cal B } _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ } } / d x _ { m } ) _ { x _ { m } = x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ } } }
\Phi = \psi _ { 1 } e + \psi _ { 2 } E _ { 3 } E _ { 1 } e + \psi _ { 3 } E _ { 3 } E _ { 0 } e + \psi _ { 4 } E _ { 1 } E _ { 0 } e = \sum _ { i } \psi _ { i } s _ { i } ,
\begin{array} { r l } { f _ { \textsf { K n o w n - g } } : ( \mathbb R ^ { 3 } ) ^ { 4 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb R } & { { } \to ( \mathbb R ^ { 3 } ) ^ { 4 } } \\ { ( \mathbf { z } ( 0 ) , \mathbf { q } _ { o } , \mathbf { g } , \Delta t ) } & { { } \mapsto \mathbf { \hat { z } } ( \Delta t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \parallel } } & { { } = \mu [ \sigma ( \varepsilon _ { \alpha \alpha } ) ^ { 2 } + \varepsilon _ { \alpha \beta } \varepsilon _ { \alpha \beta } ] , } \\ { W _ { \perp } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \lambda + 2 \mu ) ( \epsilon _ { 3 3 } + \sigma \varepsilon _ { \alpha \alpha } ) ^ { 2 } + 2 \mu \varepsilon _ { \alpha 3 } \varepsilon _ { \alpha 3 } , } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } T } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } + \omega ^ { 2 } T = \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } + \omega ^ { 2 } \right) T = 0 .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { V } } & { = } & { \left\{ \phi \in W ^ { 1 , 1 + n } ( \Omega ) : ~ \phi = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } ; ~ ~ \phi = Q \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 2 } \right\} } \\ { \mathcal { V } _ { 0 } } & { = } & { \left\{ \tilde { \phi } \in W ^ { 1 , 1 + n } ( \Omega ) : ~ \phi = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } ; ~ ~ \phi = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 2 } \right\} } \end{array}
\{ v _ { 1 } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) = u ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) , v _ { 2 } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) = v ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ } , t ) \}
B _ { ( \vec { i } , \vec { j } ) } \triangleq \{ \mathrm { ~ q ~ u ~ b ~ i ~ t ~ s ~ } \; \; \ell = ( \ell _ { 1 } , \dots , \ell _ { d } ) : \ell _ { k } \in [ ( 2 i _ { k } - 2 ) R _ { k } + j _ { k } + 1 , ( 2 i _ { k } - 1 ) R _ { k } + j _ { k } ] , \; \; \forall k \in \{ 1 , \dots , d \} \} ,
c _ { k , n } = \sum _ { l = 1 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { l } } { l ^ { n } } = - \biggl \{ \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } \right) \zeta ( n ) + \frac { ( - 1 ) ^ { k + n - 1 } } { 2 ^ { n } \Gamma ( n ) } \biggl [ \psi ^ { ( n - 1 ) } \left( \frac { k + 1 } { 2 } \right) - \psi ^ { ( n - 1 ) } \left( \frac { k } { 2 } + 1 \right) \biggr ] \biggr \}
\begin{array} { r l } { \left\lVert \varphi \right\rVert _ { L ^ { 4 } ( ( 0 , T _ { \nu } ) \times \partial \Omega ) } ^ { 4 } } & { { } \le A ^ { 4 } T _ { \nu } | \partial \Omega | , } \\ { \left\lVert \varphi - \mathbb E [ \varphi | \mathcal F ] \right\rVert _ { L ^ { 4 } ( ( 0 , T ) \times \partial \Omega ) } ^ { 4 } } & { { } \le \left[ \delta \left( \frac \delta \nu \frac { A ^ { 2 } } L + \frac A L \right) \right] ^ { 4 } T | \partial \Omega | . } \end{array}
- d { } ^ { * 6 } d \gamma = i \, \frac { 2 \kappa ^ { 2 } \tau _ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \, ( N _ { 1 } - N _ { 2 } ) \, \delta ^ { ( 2 ) } ( x ) d x ^ { 4 } \wedge d x ^ { 5 } \wedge ^ { * _ { 4 } } \omega _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { S ( U _ { 1 } ^ { * } , V _ { 1 } ^ { * } , N _ { 1 } ^ { * } ) } & { = } & { \frac { U _ { 1 } ^ { * } } { T } + \frac { V _ { 1 } ^ { * } P } { T } - \frac { N _ { 1 } ^ { * } \mu } { T } } \\ { S ( U _ { 2 } ^ { * } , V _ { 2 } ^ { * } , N _ { 2 } ^ { * } ) } & { = } & { \frac { U _ { 2 } ^ { * } } { T } + \frac { V _ { 2 } ^ { * } P } { T } - \frac { N _ { 2 } ^ { * } \mu } { T } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \Bigl | \frac { 1 } { N } \sum _ { t = 1 } ^ { N ( N - 1 ) / 2 } \bigl ( \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta \tilde { J } _ { i _ { t } j _ { t } } \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } } \bigr \rangle _ { t } - \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta J _ { i _ { t } j _ { t } } \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } } \bigr \rangle _ { t } \bigr ) \Bigr | \leq \frac { \alpha \beta } { \alpha - 1 } K ^ { 1 - \alpha } . } \end{array}
\mathcal { L } = ( \partial _ { \mu } \sigma ) ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } q ^ { 2 } B ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } - \lambda \sigma ^ { 4 } - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu }
\Theta ^ { \mu \nu } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { S } d ^ { 2 } S ^ { \mu \nu } ( x ( \sigma ) ) \delta ^ { 4 } ( x - x ( \sigma ) ) , \quad d ^ { 2 } S ^ { \mu \nu } : = d \sigma ^ { 1 } d \sigma ^ { 2 } { \frac { \partial ( x ^ { \mu } , x ^ { \nu } ) } { \partial ( \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } ) } } .
\begin{array} { r } { a _ { 1 } \approx \frac { r _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \log \left( \frac { 2 } { r _ { b } } \right) , } \\ { b _ { 1 } \approx \frac { g r _ { b } ^ { 3 } } { 8 } \log \left( \frac { 2 } { r _ { b } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { d } } } & { { } = \zeta K _ { d } ( \mathbf { m \cdot \hat { z } } ) ^ { 2 } } \\ { \mathcal { E } _ { \mathrm { k } } } & { { } = - K ( \mathbf { m \cdot \hat { k } } ) ^ { 2 } } \\ { \mathcal { E } _ { \mathrm { Z } } } & { { } = - \mu _ { 0 } M _ { s } \mathbf { H } \cdot \mathbf { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { 3 } g ^ { \prime } ( x ) = } & { { } ( - ( \lambda x + 1 + x ^ { 2 } ) \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \lambda + \frac { 1 } { x } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { x } ( C - e r f ( \frac { \lambda + \frac { 1 } { x } } { \sqrt { 2 } } ) + e r f ( \frac { \lambda + 1 } { \sqrt { 2 } } ) ) + 1 } \\ { = } & { { } - ( \lambda x + 1 + x ^ { 2 } ) g ( x ) + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ( A , B , C ) } & { = ( 1 , 2 , 3 ) \quad \quad \quad \alpha _ { \mathbf { J } _ { 1 } ^ { ( 3 ) } } = \det S [ \mathbf { J } _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] = \det \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 2 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) = - 2 ; } \\ { \mathbf { J } _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ( A , B , C ) } & { = ( 0 , 2 , 3 ) \quad \quad \quad \alpha _ { \mathbf { J } _ { 2 } ^ { ( 3 ) } } = \det S [ \mathbf { J } _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] = \det \left( \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) = 0 ; } \\ { \mathbf { J } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } ( A , B , C ) } & { = ( 0 , 1 , 3 ) \quad \quad \quad \alpha _ { \mathbf { J } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } } = \det S [ \mathbf { J } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } ] = \det \left( \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) = - 2 . } \end{array}
C _ { \mu } = \frac { h _ { \mu } ^ { 2 } } { 2 } \{ d - l \} C _ { \mu } + \sum _ { \mu ^ { \prime } \not = \mu } \frac { h _ { \mu ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 } \{ I - l \} C _ { \mu ^ { \prime } } - \frac { h _ { \varepsilon } ^ { 2 } } { 2 } \{ I - l \} C _ { \varepsilon } .
{ } Q _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \frac { R e ( E _ { \pm } ) } { I m ( E _ { \pm } ) } = \frac { E _ { 0 } \pm \hbar ( \kappa + \gamma _ { 0 } s i n \varphi ) } { 2 \hbar \gamma _ { 0 } ( 1 \pm c o s \varphi ) } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } = \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } \left[ - \mathbf { \hat { z } } + \cos \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \mathbf { \hat { m } } \right] = \frac { \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \cos ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } t + \varphi ) } \\ { - \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \sin ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } t + \varphi ) } \\ { - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathrm { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { x } d G \int _ { G } ^ { 1 - x + G } d y \int _ { 0 } ^ { x - G } d v = - \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { x } d t \int _ { 1 + t - x } ^ { t } d Y \int _ { 0 } ^ { t } d v ~ , }
\begin{array} { r } { v _ { g } ^ { \pm } = V _ { E } ^ { \pm } = \frac { { k _ { \pm } ^ { \prime } / \mu \omega } } { \displaystyle \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } } \; , } \end{array}
\rho _ { 0 } ( x ) = \frac { 1 } { \pi } \sqrt { 2 N } ( m g ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \, \mathrm { R e } \! \left( \sqrt { 1 - \textstyle { \frac { ( m g ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { 2 N } } x ^ { 2 } } \right) \, .
\delta { \cal J } ( x ) = \left( a ^ { m } + \lambda _ { M } ^ { m n } x _ { n } + \lambda _ { D } x ^ { m } + ( x ^ { 2 } \Lambda _ { K } ^ { m } - 2 x ^ { m } x \cdot \Lambda _ { K } ) \right) { \frac { \partial } { \partial x ^ { m } } } \; { \cal J } ( x )
\nabla \frac { \mu _ { k , N _ { k } } } { g _ { k , N _ { k } } ( u _ { k , N _ { k } } ) } = \frac { 1 } { g _ { k , N _ { k } } ( u _ { k , N _ { k } } ) } \nabla \mu _ { k , N _ { k } } - \mu _ { k , N _ { k } } \frac { g _ { k , N _ { k } } ^ { \prime } ( u _ { k , N _ { k } } ) } { g _ { k , N _ { k } } ^ { 2 } ( u _ { k , N _ { k } } ) } \nabla u _ { k , N _ { k } }
\begin{array} { r l } { B _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } } { l } \Big ( n I _ { 0 } ( t ) + I _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } , 1 } ^ { \varphi } ( t ) + I _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } , 2 } ^ { \varphi } ( t ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( k - 1 ) } & { = c \frac \xi { k ^ { 2 } } \int \frac 1 { 1 + \tau ^ { 2 } } w ( k ) d \tau - \alpha ( k - 1 ) \int j ( k - 1 ) \ d \tau _ { 1 } } \\ & { = c \frac \xi { k ^ { 2 } } \int \frac 1 { 1 + \tau ^ { 2 } } w ( k ) d \tau } \\ & { - \alpha ^ { 2 } ( k - 1 ) ^ { 2 } \iint \exp ( \kappa \frac { \xi ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) ) w ( \tau _ { 2 } , k - 1 ) d \tau _ { 2 } d \tau _ { 1 } } \\ & { = c \frac \xi { k ^ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } \frac 1 { 1 + \tau ^ { 2 } } w ( k ) d \tau - \frac { \alpha ^ { 2 } k ^ { 2 } ( k - 1 ) ^ { 2 } } { \kappa \xi ^ { 2 } } \int d \tau _ { 2 } w ( \tau _ { 2 } , k - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 1 } \, ( \boldsymbol { k \cdot v } _ { 1 } ) \biggl ( \frac { \delta ( \boldsymbol { v } _ { 1 } - \boldsymbol { v } _ { 3 } ) } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 3 } } } & { { } + \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { k _ { i 0 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \boldsymbol { k \cdot v } _ { 1 } } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 1 } } \frac { 1 } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } ) \biggr ) } \end{array}
\Psi _ { E } = \left( \begin{array} { c } { { \varphi _ { E } \left( r , \theta \right) } } \\ { { \chi _ { E } \left( r , \theta \right) } } \end{array} \right) \qquad , \quad \mathrm { s a t i s f y : } \quad \begin{array} { c } { { L \varphi _ { E } = E \chi _ { E } } } \\ { { L ^ { \dag } \chi _ { E } = E \varphi _ { E } } } \end{array}
\tau _ { \mathrm { s m } } = \frac { 4 ( \zeta - 1 ) } { \zeta } \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { r } ^ { 2 } \Big [ \psi _ { 0 } ( \tilde { r } ) - \lambda ^ { 3 / 2 } \psi ( \tilde { r } ) \Big ] d \tilde { r } ,
D _ { \mu \nu } ^ { p r o p } ( B ) = - ( g _ { \mu \rho } ^ { \perp } - n _ { \mu } ( n K n ) ^ { - 1 } ( n K ) _ { \rho } ^ { \perp } ) \tilde { K } _ { \rho \sigma } ^ { - 1 } ( g _ { \sigma \nu } ^ { \perp } - ( K n ) _ { \sigma } ^ { \perp } ( n K n ) ^ { - 1 } n _ { \nu } )
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb P \left[ \displaystyle \forall ~ { m \in [ M ] } \operatorname* { i n f } _ { \boldsymbol { v } _ { m } \in \mathbb R ^ { L } } \left( | \! | X _ { m } \boldsymbol { v } _ { m } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { T _ { m } \sigma _ { m } ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } } 2 \left( | \! | \boldsymbol { v } _ { m } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 } { s _ { m } } | \! | \boldsymbol { v } _ { m } | \! | _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right) \geq 0 \right] } \\ & { \geq } & { 1 - 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \exp \left( - \frac { T _ { m } \operatorname* { m i n } \{ \zeta , \zeta ^ { 2 } \} } { 2 } + s _ { m } \operatorname* { m i n } \{ \log L , \log ( 2 1 e L / s _ { m } ) \} \right) \, . } \end{array}
f [ \phi ] = i \int d ^ { 4 } x \Biggl [ { \frac { \partial \cdot A ^ { \alpha } } { \lambda } } ( \partial \cdot A ^ { \alpha } - \eta \cdot A ^ { \alpha } ) + { \bar { c } } ( \partial \cdot \mathrm { D } - \eta \cdot \mathrm { D } ) c ^ { \alpha } \Biggr ] .
\begin{array} { r l } { \omega _ { t + 1 } ^ { ( j ) } } & { = \omega _ { t } ^ { ( j ) } + \eta \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( j ) } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { t } ^ { ( j ) } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } - 1 \right] \omega _ { t } ^ { ( j ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( g \phi _ { h } , \frac { \partial h ^ { - } } { \partial t } \right) _ { \Omega ^ { - } } - \left( g \frac { \partial \phi _ { h } } { \partial x } , F _ { h } ( h ^ { - } , u ^ { - } ) \right) _ { \Omega ^ { - } } = - \left. \phi _ { h } g F _ { h } ( h ^ { - } , u ^ { - } ) \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = 0 } , } \\ & { \left( H \phi _ { u } , \frac { \partial u ^ { - } } { \partial t } \right) _ { \Omega ^ { - } } - \left( H \frac { \partial \phi _ { u } } { \partial x } , F _ { u } ( h ^ { - } , u ^ { - } ) \right) _ { \Omega ^ { - } } = - \left. \phi _ { u } H F _ { u } ( h ^ { - } , u ^ { - } ) \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = 0 } . } \end{array}
0 \leq \bar { \lambda } ( M _ { s } ) = ( \bar { g } _ { 1 } ^ { 2 } ( M _ { s } ) + \bar { g } _ { 2 } ^ { 2 } ( M _ { s } ) ) ( \cos ( 2 \phi ) ) ^ { 2 } / 4 \leq ( \bar { g } _ { 1 } ^ { 2 } ( M _ { s } ) + \bar { g } _ { 2 } ^ { 2 } ( M _ { s } ) ) / 4
M _ { W } \Gamma _ { W } ^ { ( 0 + 1 ) } = ( 1 - { \cal R } \! e \hat { \Pi } _ { T } ( M _ { W } ^ { 2 } , g ^ { 2 } ) ) \; { \cal I } \! m \hat { \Sigma } _ { T } ( M _ { W } ^ { 2 } , g ^ { 2 } ) + { \cal I } \! m \hat { \Sigma } _ { T } ( M _ { W } ^ { 2 } , g ^ { 4 } ) \; .
\ell ( x , y ) = \frac { \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } E ( \delta ^ { 2 } ( x , y ) ) \tau ( x , y ) } { D ( x , y ) - \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } } ~ \textrm { ( C a s e ~ \# 1 ) } .
\; \; \; \; \; \; - \frac { 1 } { M ^ { 2 } } [ C ^ { 2 } ( \frac { 6 f _ { 1 } ( s ) } { c o s h ^ { 2 } s } + \frac { \phi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( s ) } { c o s h ^ { 6 } s } ) + 4 K _ { a } ^ { b } K _ { b } ^ { a } ( \frac { f _ { 2 } ( s ) } { c o s h ^ { 2 } s } + f _ { 3 } ( s ) \phi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( s ) ) ] ,
\begin{array} { r l } { \left[ \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { \pm } \left( 1 - \Gamma _ { \pm } \right) - b _ { \pm } \frac { k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } } { \left( \omega _ { z } \pm \omega _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \hat { \sigma } _ { \pm } \right] \delta \hat { \psi } _ { \pm } } & { { } = - R _ { 1 } ^ { \pm } \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { \pm } \left( 1 - \Gamma _ { \pm } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| ( { \cal E } _ { 1 } y ^ { n } ) ( t ) - ( { \cal E } _ { 1 } y ) ( t ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { \mathbb { E } \| { \cal T } _ { q } ( t - s _ { i } ) ( { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , g _ { s _ { i } } + \bar { y ^ { n } } _ { s _ { i } } ) - { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , g _ { s _ { i } } + \bar { y } _ { s _ { i } } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\epsilon _ { 1 1 } = \epsilon _ { 2 2 } = \epsilon _ { 3 3 } = 0 , \qquad \epsilon _ { 1 2 } = \epsilon _ { 2 3 } = \epsilon _ { 3 1 } = 1 , \qquad \epsilon _ { 2 1 } = \epsilon _ { 3 2 } = \epsilon _ { 1 3 } = - 1 .
K _ { E S W } = \sqrt { \frac { \left| \Delta f _ { 3 } \right| } { \left| \Delta f _ { 1 } \right| } } \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad K _ { E S W } = \sqrt { \frac { \left| \Delta f _ { 4 } \right| } { \left| \Delta f _ { 2 } \right| } } .
f ( z ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \operatorname { t a n h } \left( \frac { z + w _ { 0 p e r t } } { 2 } \right) - \operatorname { t a n h } \left( \frac { z - w _ { 0 p e r t } } { 2 } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ( u - \hat { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( p - \hat { p } ) = 0 \quad } & { } & { \mathrm { i n } \; \Omega _ { R } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ { \frac { \partial ( p - \hat { p } ) } { \partial t } + \nabla ( u - \hat { u } ) = 0 \quad } & { } & { \mathrm { i n } \; \Omega _ { R } ^ { + } \times ( 0 , T ) . } \end{array}