harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r } { \int _ { \Omega } ( { \boldsymbol { \Psi } _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \sigma } } ) ^ { * } \cdot \boldsymbol { \Psi } _ { l m } ^ { \sigma } \; d \Omega = G _ { j _ { l } j _ { l } } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } , } & { } & { \int _ { \Omega } ( { \boldsymbol { \Phi } _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \sigma } } ) ^ { * } \cdot { \boldsymbol { \Phi } _ { l m } ^ { \sigma } } \; d \Omega = G _ { h _ { l } h _ { l } } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } , } & { } & { \int _ { \Omega } ( { \boldsymbol { \Psi } _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \sigma } } ) ^ { * } \cdot \boldsymbol { \Phi } _ { l m } ^ { \sigma } \; d \Omega = G _ { j _ { l } h _ { l } } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { -- } ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = \frac 1 { \gamma _ { \mathrm { 1 D } } ^ { 4 } } \left| \sum _ { i } \left[ \frac { ( \omega _ { 0 } - H ) \otimes ( \omega _ { 0 } - H ) } { \Omega - H \otimes 1 - 1 \otimes H - V } \right] _ { 1 1 , i i } g _ { i } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\vec { \tau } ^ { m } = \vec { X } _ { s } ^ { m } = \frac { \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } } { | \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } | } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \vec { \nu } ^ { m } = - ( \vec { \tau } ^ { m } ) ^ { \perp } \, .
h _ { 2 k } = [ - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } g _ { 3 } ^ { 2 } \frac { r _ { k + 1 } } { h _ { 2 k + 1 } } + \frac { 2 k + 1 } { 2 \rho _ { 2 k + 1 } } ] r _ { k }
\begin{array} { r l } { { 4 } \gamma _ { \alpha } } & { = \frac { \tan ( k _ { \alpha } / 2 ) } { 2 \omega _ { \alpha } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { \alpha } } { 2 } \right) } \\ { \eta _ { p } } & { = \frac { \tan ( k _ { p } / 2 ) } { 2 \omega _ { p } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { s } + k _ { i } - k _ { p } } { 2 } \right) } \\ { \eta _ { s , i } } & { = \frac { \tan ( k _ { s , i } / 2 ) } { 2 \omega _ { p } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { 2 k _ { p } - k _ { i , s } } { 2 } \right) } \\ { \Delta k } & { = k _ { s } + k _ { i } - 2 k _ { p } } \end{array}
E _ { f } = - { \frac { \cos { \pi s } } { \pi } } \mu ^ { 2 s } \sum _ { l } ( l + \frac 1 2 ) \int _ { m } ^ { \infty } d k [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 - s } \frac { \partial } { \partial k } [ \ln f _ { l } ( i k ) - \ln f _ { l } ^ { a s } ( i k ) ]
\Phi = \phi _ { 0 } + \tilde { \Phi } , \quad \tilde { \Phi } = - \frac { c k _ { \mu } } { \omega _ { L } p _ { - } } \int _ { 0 } ^ { \phi _ { 0 } } \pi ^ { \mu } ( \phi ^ { \prime } ) d \phi ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } & { = L ^ { 3 } \int \left( | \nabla f _ { s } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v f _ { s } ^ { 2 } \right) \, \textnormal { d } x } \\ & { \quad \times \bigl [ \rho _ { \uparrow } \rho _ { \downarrow } + O _ { K } \left( a b ^ { 2 } \rho ^ { 3 } \right) + O _ { K } \left( \rho ^ { 2 } ( s a b ^ { 2 } \rho ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { K + 1 } \right) + O \left( s a ^ { 3 } \log ( b / a ) ( \log N ) ^ { 3 } \right) \bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathsf { D } [ P ] ( \vec { x } , \vec { y } ) : = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial p _ { 1 } ( \vec { x } ) } { \partial x _ { i } } y _ { i } , \hdots , \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial p _ { n } ( \vec { x } ) } { \partial x _ { i } } y _ { i } \right) } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial p _ { j } ( \vec { x } ) } { \partial x _ { i } } y _ { i } \in R [ x _ { 1 } , \hdots , x _ { n } , y _ { 1 } , \hdots , y _ { n } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { i j } = \log \left( \frac { 1 } { 2 T } \sum _ { \tau = - T ; \tau \neq 0 } ^ { T } \frac { P ( x ^ { ( t ) } = i , x ^ { ( t + \tau ) } = j ) } { P ( x ^ { ( t ) } = i ) P ( x ^ { ( t ) } = j ) } \right) - \log \left| { \cal D } ^ { \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ } } \right| + \log \left| { \cal D } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \hat { \beta } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \beta _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \frac { 1 } { n b _ { k } ^ { i , l } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b _ { k } ^ { i , l } } ( t _ { j } - t ) \tilde { e } _ { j , k } ^ { i , l } \right| = o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { i j } ^ { \mathrm { G S } } ( k _ { x } , y , k _ { z } ) = \Re \left< \tilde { \overline { { u } } } _ { i } ^ { \prime } \tilde { \overline { { u } } } _ { i } ^ { \prime } { } ^ { * } \right> , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \pi } { \alpha } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { \pi } { \beta } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { e ^ { - a ^ { 2 } r ^ { 2 } } } { r } \left[ \mathrm { e r f c x } \left( \frac { \lambda } { 2 a } + a r \right) - \mathrm { e r f c x } \left( \frac { \lambda } { 2 a } - a r \right) \; \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { h _ { A _ { \delta } } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } { h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } } & { = \frac { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \mathbb { 1 } _ { \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) < \tau _ { \delta } ( A _ { \delta } ) } h _ { A _ { \delta } } ( \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) ) ] } { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \mathbb { 1 } _ { \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) < \tau _ { \delta } ( ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) ) } h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) ) ] } } \\ & { = \frac { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } \left[ \mathbb { 1 } _ { \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) < \tau _ { \delta } ( A _ { \delta } ) } \frac { h _ { A _ { \delta } } ( \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) ) } { h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) ) } h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) ) \right] } { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \mathbb { 1 } _ { \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) < \tau _ { \delta } ( ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) ) } h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( \tau _ { \delta } ( l _ { b , r , \delta } ) ) ] } . } \end{array}
\mathcal { B } _ { m } ^ { \left[ V \right] } \left( t \right) = \varDelta \gamma \frac { V _ { o } ^ { 1 / 3 } t ^ { 4 / 9 } } { E ^ { \prime 5 / 9 } \mu ^ { \prime 4 / 9 } } = \mathcal { B } _ { m s } \left( t / t _ { s } \right) ^ { 4 / 9 } ,
\frac { x _ { d } } { x _ { s } } = \frac { \tau _ { B _ { d } } } { \tau _ { B _ { s } } } \frac { m _ { B _ { d } } } { m _ { B _ { s } } } \frac { B _ { B _ { d } } f _ { B _ { d } } ^ { 2 } } { B _ { B _ { s } } f _ { B _ { s } } ^ { 2 } } \left| \frac { V _ { t d } } { V _ { t s } } \right| ^ { 2 }
\mathbf { J } ( x , y , z ) ~ = ~ \sum _ { m n p } ~ \mathbf { J } ( \alpha _ { m } , \beta _ { n } , \gamma _ { p } ) ~ e ^ { j ( \alpha _ { m } x + \beta _ { n } y + \gamma _ { p } z ) } ~ ~ ~ ~ ~ ( 2 . 1 a )
F _ { g } ( Q ^ { 2 } , k ^ { 2 } ) \; = \; \exp \left[ - \, \int _ { k ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } } \frac { d k ^ { ' \, 2 } } { k ^ { ' \, 2 } } w _ { g } ( k ^ { ' \, 2 } ) \right] \,
\Pi _ { \mathrm { e x t } } = 2 1 . 2 7 c _ { \mathrm { e x t } } + 1 . 6 3 c _ { \mathrm { e x t } } ^ { 2 } + 0 . 0 1 6 6 c _ { \mathrm { e x t } } ^ { 3 }
\Psi = \sum _ { i \; \bullet } c _ { \bullet } \mathrm { \Large ~ e ^ { i { \bf ~ k ~ \cdot ~ r } _ { i } } ~ } a _ { i } ^ { + } \left| O \right\rangle + \sum _ { i \; \circ } c _ { \circ } \mathrm { \Large ~ e ^ { i { \bf ~ k ~ \cdot ~ r } _ { i } } ~ } a _ { i } ^ { + } \left| O \right\rangle
E = \left( { \frac { a _ { 1 } \, a _ { 2 } } { 2 \pi L _ { B } } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } { k \; d k \; } D \left( k \right) \mid _ { k _ { 0 } = k _ { B } = 0 } { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k r _ { B 1 } \right) { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k r _ { B 2 } \right) { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k r _ { 1 2 } \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mu _ { i \to \Psi _ { j } } ( T _ { i j } ) } & { { } = } \\ { = \frac { 1 } { z _ { \Psi _ { i } \to j } } } & { { } \sum _ { \{ T _ { i l } \} _ { k \in \partial i \setminus j } } \Psi ( \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } ; \mathcal { D } _ { i } ) \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ( T _ { i k } ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { s u p } _ { z \in ( 0 , \pi ) } | x ( z ) | } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { z \in ( 0 , \pi ) } \Big | \int _ { 0 } ^ { z } x ^ { \prime } ( z ) d z \Big | } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { z \in ( 0 , \pi ) } \int _ { 0 } ^ { z } | x ^ { \prime } ( z ) | d z } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } | x ^ { \prime } ( z ) | d z } \\ & { \leq } & { \Big | \int _ { 0 } ^ { \pi } 1 d z \Big | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big | \int _ { 0 } ^ { \pi } | x ^ { \prime } ( z ) | ^ { 2 } d z \Big | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = } & { \sqrt { \pi } \| x \| _ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\tilde { K } _ { 0 } = \frac { E _ { \gamma } ( 1 + \frac { v } c ) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - \frac { E _ { \gamma } ( 1 - \frac { v } c ) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } = \frac { 2 E _ { \gamma } \frac { v } c } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } . \eqno ( 3 0 )
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \ell ! } \underset { p \in P [ \ell ] } { \sum } \ \overset { \ell } { \underset { k = \ell - n + 1 } { \prod } } \textup { s g n } ( \lambda _ { p ( k ) } ) } \\ { = \ } & { \frac { 1 } { \ell ! } \underset { p \in P [ \ell ] } { \sum } 1 _ { \{ N ( \lambda _ { 1 : \ell } , n , p ) \in 2 \mathbb { Z } \} } - \frac { 1 } { \ell ! } \underset { p \in P [ \ell ] } { \sum } 1 _ { \{ N ( \lambda _ { 1 : \ell } , n , p ) \notin 2 \mathbb { Z } \} } = \binom { \ell } { n } ^ { - 1 } a _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } : = \Bigg \{ } & { { } ( f _ { v } , f _ { \Sigma } , f _ { b } , e _ { v } , e _ { \Sigma } , e _ { b } ) \in \mathcal { F } _ { 1 } \times \mathcal { E } _ { 1 } \mid } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { u ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a } & { - b } & { - c } & { - d } \\ { b } & { \; \, \, a } & { - d } & { \; \, \, c } \\ { c } & { \; \, \, d } & { \; \, \, a } & { - b } \\ { d } & { - c } & { \; \, \, b } & { \; \, \, a } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { u } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! J { \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } } J \left[ \rule { 0 cm } { 7 mm } g _ { 0 } ^ { 2 } \right. } & { { } + } & { \left. { \frac { g _ { 0 } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( \Delta \beta _ { 0 } \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) + a \right) \right] } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ \ } \Delta \beta _ { 0 } } & { { } = } & { - \frac 2 3 n _ { f } \mathrm { ~ \qquad ~ a ~ n ~ d ~ \ } a = \frac { 1 0 } 9 \, n _ { f } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( x , y , t ) } & { = } & { - U e ^ { b t } \cos { \left( \frac { 2 \pi x } { L } \right) } \sin { \left( \frac { 2 \pi y } { L } \right) } } \\ { v ( x , y , t ) } & { = } & { U e ^ { b t } \sin { \left( \frac { 2 \pi x } { L } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi y } { L } \right) } } \\ { p ( x , y , t ) } & { = } & { p _ { o } - \frac { U ^ { 2 } } { 4 } e ^ { b t } \left[ \cos { \left( \frac { 4 \pi x } { L } \right) } + \cos { \left( \frac { 4 \pi y } { L } \right) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { ( i ) } ^ { * } } & { { } = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j } \tilde { a } _ { i j } N ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) , } \\ { Y _ { ( i ) } } & { { } = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j } { a _ { i j } } N ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) , } \\ { y _ { n + 1 } } & { { } = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j } { b _ { j } } N ( Y _ { ( j ) } ^ { * } , Y _ { ( j ) } ) . } \end{array}
\hat { H } _ { 0 } = \hbar \omega \left[ a ^ { \dagger } a + \frac { 1 } { 2 } \right] \ \ , \ \ \hat { H } _ { 0 } | n > = E _ { n } | n > \ \ , \ \ E _ { n } = \hbar \omega ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \ , \ n = 0 , 1 , 2 , \cdots \ .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { p } _ { i } ^ { - } \sim _ { \psi } \mathfrak { p } _ { j } ^ { - } } & { \iff \operatorname* { P r } ( \mathfrak { P } ^ { + } | \mathfrak { p } _ { i } ^ { - } ) \approx \operatorname* { P r } ( \mathfrak { P } ^ { + } | \mathfrak { p } _ { j } ^ { - } ) } \\ { \mathfrak { p } _ { i } ^ { - } \sim _ { \psi } \mathfrak { p } _ { j } ^ { - } } & { \iff \psi ( \mathfrak { p } _ { i } ^ { - } ) = \psi ( \mathfrak { p } _ { j } ^ { - } ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { j } } & { { } = 2 r \left( \overline { { u } } - \overline { { w } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } , } \\ { m _ { j } } & { { } = 2 r \left( \overline { { u } } \, \overline { { w } } - { \overline { { w } } } ^ { 2 } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } + 2 r \left( \overline { { u ^ { \prime } w ^ { \prime } } } - \overline { { w ^ { 2 } } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } + 2 r \left( - \overline { { p } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } \; \textrm { a n d } , } \\ { f _ { j } } & { { } = 2 r \left( \overline { { u } } \, \overline { { b } } - { \overline { { w } } \, \overline { { b } } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } + 2 r \left( \overline { { u ^ { \prime } b ^ { \prime } } } - \overline { { w ^ { \prime } b ^ { \prime } } } \frac { \textnormal { d } r } { \textnormal { d } z } \right) \Bigg | _ { r _ { j } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ [ [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , \quad ( x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ) = ( x _ { 3 2 } , \dots , x _ { 3 n } ) } \\ & { \Longrightarrow { \mathrm { t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ a l l ~ b a s i c ~ c o m m u t a t o r s ~ i n ~ t h i s ~ f o r m ~ i s ~ e q u a l ~ t o ~ } } n . } \\ & { [ [ [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , x _ { 3 2 } , \dots , x _ { 3 n } ] , \quad ( x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ) \neq ( x _ { 3 2 } , \dots , x _ { 3 n } ) , } \\ & { \Longrightarrow { \mathrm { t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ a l l ~ b a s i c ~ c o m m u t a t o r s ~ i n ~ t h i s ~ f o r m ~ i s ~ e q u a l ~ t o ~ } } { \binom { n } { 2 } } . } \end{array}
\left. \varepsilon _ { \mathrm { A } } \frac { \partial \Gamma _ { 1 , \mathrm { A } } } { \partial z } \right| _ { z \to 0 ^ { + } } - \left. \varepsilon _ { \mathrm { B } } \frac { \partial \Gamma _ { 1 , \mathrm { B } } } { \partial z } \right| _ { z \to 0 ^ { - } } = - 4 \pi e ^ { 2 } \Pi _ { 1 } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } ( t ) } & { = \int _ { s } ^ { t } \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } | u _ { j } | ^ { \zeta - 2 } \Big ( \frac { u _ { j } f _ { j } ( \cdot , u ) } { \zeta - 1 } - \nabla u _ { j } \cdot a _ { j } \nabla u _ { j } - \nabla u _ { j } \cdot F _ { j } ( \cdot , u ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + \frac 1 2 \sum _ { n \geq 1 } [ ( b _ { n , j } \cdot \nabla ) u _ { j } + g _ { n , j } ( \cdot , u ) ] ^ { 2 } \Big ) \, d x d r , } & \\ { \mathcal { S } ( t ) } & { = \sum _ { n \geq 1 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } | u _ { j } | ^ { \zeta - 2 } u _ { j } [ ( b _ { n , j } \cdot \nabla ) u _ { j } + g _ { n , j } ( \cdot , u ) ] \, d x d w _ { r } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vert I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) ) - I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , y ) ) \Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } | x - y | ^ { 2 \varepsilon } \left( \frac { t ^ { n ( \theta + 1 ) - \frac { \beta \varepsilon } { H _ { 0 } \alpha } } } { \Gamma \left( n ( \theta + 1 ) + 1 - \frac { \beta \varepsilon } { H _ { 0 } \alpha } \right) } \right) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { \leq } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } | x - y | ^ { 2 \varepsilon } \left( \frac { T ^ { n ( \theta + 1 ) - \frac { \beta \varepsilon } { H _ { 0 } \alpha } } } { \Gamma \left( n ( \theta + 1 ) + 1 - \frac { \beta \varepsilon } { H _ { 0 } \alpha } \right) } \right) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { \leq } & { \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } T ^ { - \frac { 2 \beta \varepsilon } { \alpha } } | x - y | ^ { 2 \varepsilon } T ^ { 2 H _ { 0 } n ( \theta + 1 ) } } { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } , } \end{array}
D _ { x } | _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } = D _ { x } | _ { k } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } - S \left( H _ { y } ^ { * } | _ { k + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } - H _ { y } ^ { * } | _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } \right) - v \Delta t \frac { \partial D _ { x } } { \partial z } ,
\mathbf F ( \mathbf x , \mathbf y ) = \mathbf y - \mathbf x - \Delta t \left( \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 \alpha } \Big ) \mathbf A \mathbf x + \frac { 1 } { 2 \alpha } \mathbf A \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) \right) \left( \frac { y _ { i } } { \sigma _ { i } ( \mathbf x , \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) ) } \right) ^ { r ( \mathbf x ) } , \quad i = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { , x _ { 1 } > \frac { b } { a } x _ { 2 } , } \\ { 2 } & { , x _ { 1 } < \frac { b } { a } x _ { 2 } } \end{array} \right.
f ^ { ( 1 ) } = \left[ - { \frac { 1 } { n } } \left( { \frac { 2 k _ { B } T } { m } } \right) ^ { 1 / 2 } \mathbf { A ( \mathbf { v } ) \cdot \nabla \ln } T \mathbf { - } { \frac { 2 } { n } } \mathbb { B ( \mathbf { v } ) \colon \nabla } \mathbf { v } _ { 0 } \right] f ^ { ( 0 ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ \tau ] } & { \le \frac { \log _ { 2 } ( M - 1 ) + C _ { 2 } } { C } + \left\lceil \frac { \log _ { 2 } ( \frac { 1 - \epsilon } { \epsilon } ) } { C _ { 2 } } \right\rceil \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } + 2 ^ { - C _ { 2 } } \left( \frac { 2 C _ { 2 } } { C } - \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \right) \frac { 1 - \frac { \epsilon } { 1 - \epsilon } 2 ^ { - C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } \, . } \end{array}
\mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \tilde { \mathcal { B } } ( L ) \boldsymbol { \epsilon } _ { T } \right\rVert _ { \infty } > y \right) = \mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \tilde { \mathcal { B } } ( L ) \boldsymbol { \epsilon } _ { 0 } \right\rVert _ { \infty } > y \right) \leq C \frac { N d _ { N } ^ { m } S _ { m } } { \left( y \sqrt { T } \right) ^ { m } } .
\left( \frac { r _ { 1 } + r _ { 2 } } { r _ { 1 } r _ { 2 } } \right) ^ { N + 1 } \tilde { F } ^ { ( N ) } \left( x , \xi , \frac { 1 - x } { 1 - \xi ^ { 2 } } b ^ { \perp } \right)
M _ { \delta } = \operatorname* { s u p } _ { \| \zeta \| _ { \mathbb { V } } \le \delta } \| \mathcal { A } ^ { \prime \prime } ( t _ { * } + \zeta ) \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } \times \mathbb { V } , \mathbb { V } ^ { * } ) } .
= { \frac { ( 0 . 3 \cdot 0 ) + ( 0 . 7 \cdot - 0 . 5 ) + ( 0 \cdot 1 ) + ( 0 . 3 \cdot - 1 ) } { 0 . 3 + 0 . 7 + 0 + 0 . 3 } }
\begin{array} { r } { v _ { \beta } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) = \frac { 2 \beta } { \sigma ^ { 2 } } + \frac { \hat { \alpha } } { 2 \sigma ^ { 2 } } v ^ { 2 } + \frac { 2 \eta } { \sigma ^ { 2 } } x _ { 1 } \left( v - \frac { h } { \eta } \right) - a v < 0 , } \\ { v _ { \beta } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) = \frac { 2 \beta } { \sigma ^ { 2 } } + \frac { \hat { \alpha } } { 2 \sigma ^ { 2 } } v ^ { 2 } + \frac { 2 \eta } { \sigma ^ { 2 } } x _ { 2 } \left( v - \frac { h } { \eta } \right) - a v > 0 . } \end{array}
H _ { 2 } \ = \ 2 \omega \Dot { B } + \frac { \omega ^ { 2 } F } { 2 } A + \frac { \omega ^ { 2 } } { 8 } ( A ^ { 3 } + A B ^ { 2 } ) - \frac { \omega ^ { 2 } F } { 1 2 } A ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \neq j } ( Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { n i } ^ { \xi } Z _ { m j } ^ { \xi } = \, } & { { } \left( \sum _ { i j } - \sum _ { i = j } \right) ( Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { n i } ^ { \xi } Z _ { m j } ^ { \xi } } \\ { = \, } & { { } \sum _ { i } ( Z _ { m i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { n i } ^ { \xi } \sum _ { j } ( Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m j } ^ { \xi } - \sum _ { i } ( Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n i } ^ { \xi } } \\ { = \, } & { { } \delta _ { m n } - \sum _ { i } | Z _ { m i } ^ { \xi } | ^ { 2 } | Z _ { n i } ^ { \xi } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { 1 } ( T ^ { c } ) \geq \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { 7 2 n - 6 3 } } { 2 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n , } } \\ { \mathrm { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { 7 2 n - 4 7 } } { 2 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
[ ( 1 - d _ { B } ) F _ { B 0 1 } / \mathcal { F } _ { B _ { 1 } } + n _ { 1 } ] \kappa F _ { B 0 2 } / \mathcal { F } _ { B _ { 0 } } + ( 1 - d _ { B } ) F _ { B 0 2 } / \mathcal { F } _ { B _ { 1 } }
\begin{array} { r l } { \frac { d J _ { \mathrm { L } } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } } & { { } = \frac { \partial J _ { \mathrm { L } } } { \partial \boldsymbol { \theta } _ { v } } + \frac { \partial J _ { \mathrm { L } } } { \partial \boldsymbol { \theta } _ { T } } \frac { d \boldsymbol { \theta } _ { T } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } + \frac { \partial J _ { \mathrm { L } } } { \partial \boldsymbol { \lambda } } \frac { d \boldsymbol { \lambda } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n , N } ( R _ { u } f ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { p \in \mathscr { P } _ { N } ( R _ { u } f ) } d _ { w } ( R _ { u } f , p ) = \operatorname* { m i n } _ { R _ { u } p \in \mathscr { P } _ { N } ( f ) } d _ { w } ( R _ { u } f , R _ { u } p ) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { R _ { u } p \in \mathscr { P } _ { N } ( f ) } d _ { w } ( f , p ) = \operatorname* { m i n } _ { q \in \mathscr { P } _ { N } ( f ) } d _ { w } ( f , q ) = H _ { n , N } ( f ) . } \end{array}
{ \frac { \Delta _ { h } } { h } } ( 1 + \lambda h ) ^ { \frac { x } { h } } = { \frac { \Delta _ { h } } { h } } e ^ { \ln ( 1 + \lambda h ) { \frac { x } { h } } } = \lambda e ^ { \ln ( 1 + \lambda h ) { \frac { x } { h } } } ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } = } & { \frac { 2 \lambda _ { s } } { \lambda } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { j } \frac { 1 } { \frac { k } { n / 2 } + 1 } + \frac { 1 } { \frac { n _ { 0 } } { n / 2 } } \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \frac { 1 } { \frac { k } { n / 2 } + 1 } \Bigg ] } \\ { \leq } & { \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { j } \frac { 1 } { \frac { k } { n } + 1 } + \frac { 1 } { \frac { n _ { 0 } } { n } } \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \frac { 1 } { \frac { k } { n } + 1 } \Bigg ] } \\ { = } & { 2 \Delta _ { 1 } ^ { r ( n _ { 0 } ) } } \end{array}