harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { F _ { x } ( \eta _ { x } ^ ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \langle \eta _ { x } ^ , \varphi _ { k } ^ \rangle F _ { x } ( \varphi _ { k } ^ ) } \\ & { \quad + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \sum _ { k \in 2 ^ { - n } \mathbb { Z } } \sum _ { \psi \in \Psi } 2 ^ { - n d } \langle \eta _ { x } ^ , \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } \rangle F _ { x } ( \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma + \gamma _ { 0 } = \frac { \lvert A _ { 1 } \rvert ^ { 2 } } { \partial _ { \omega _ { 0 } } \epsilon _ { 0 , R } } \left( \frac { \hat { C } _ { 0 } } { \lvert \epsilon _ { s } \rvert ^ { 2 } } + \chi _ { 0 } \right) \epsilon _ { s , I } . } \end{array}
\eta ~ = ~ { \frac { 1 } { 9 6 \pi ^ { 2 } } } [ - ( T ( R _ { o } ) - 2 T ( R _ { \frac { 1 } { 2 } } ) + 2 T ( R _ { 1 } ) ) ] ~ + ~ { \frac { 1 } { 9 6 \pi ^ { 2 } } } [ 3 ( - 2 T ( R _ { \frac { 1 } { 2 } } ) + 8 T ( R _ { 1 } ) ) ] ,
p _ { i } = \frac { \partial L } { \partial \dot { m } ^ { i } } = h _ { i j } \, \dot { m } ^ { j } + \frac { i } { 2 } \, \eta _ { j } \, \tilde { \Gamma } _ { i \, l } ^ { j } \, \eta ^ { l } \, , \qquad [ p _ { i } \, , m ^ { j } ] = - i \delta _ { i } ^ { j } \, .
d s ^ { 2 } = \left[ 1 + O ( \rho ^ { 2 } ) \right] d \rho ^ { 2 } + \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 } \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 3 } \right) + O ( \rho ^ { 4 } ) .
\overline { { Q } } _ { t + 1 } ^ { i } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } ) = ( 1 - \alpha _ { t } ^ { i } ) \overline { { Q } } _ { t } ^ { i } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } ) + \alpha _ { t } ^ { i } \Big ( r ^ { i } ( a _ { t } ^ { 1 } , a _ { t } ^ { 2 } ) + \gamma _ { i } \pi _ { t } ^ { 1 } \overline { { Q } } _ { t } ^ { i } ( s _ { t + 1 } ) \Big ) \ ,
D ^ { \mu } \varphi _ { a } = \partial ^ { \mu } \varphi _ { a } + g W _ { a b } A ^ { b \mu } \varphi _ { a } , \; \bar { F } _ { \mu \nu } ^ { a } = \partial _ { \left[ \mu \right. } A _ { \left. \nu \right] } ^ { a } + g \frac { \delta W _ { b c } } { \delta \varphi _ { a } } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } .
P \left[ \mathrm { ~ W ~ / ~ c ~ m ~ } \right] = 8 5 \left( \frac { I _ { 0 } [ \mathrm { ~ k ~ A ~ } ] } { r _ { 0 } [ \mathrm { ~ m ~ m ~ } ] } \right) ^ { 7 / 5 } t _ { c } [ \mu \mathrm { ~ s ~ } ] \, f [ \mathrm { ~ k ~ H ~ z ~ } ] \, .
\Bar { \Gamma } = \frac { \Gamma } { n v _ { N } } = \frac { 3 } { 8 } I _ { 1 } \Bar { \nu } \Bar { \rho } ^ { 2 } \frac { q ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } ( \Bar { \kappa } _ { n } + \bar { \kappa } _ { T } ) ,
\sum _ { i , j , i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg ( \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } X _ { j _ { \ell } , i _ { \ell } } ^ { ( b _ { 2 \ell - 1 } ) } X _ { j _ { \ell } , i _ { \ell + 1 } } ^ { ( b _ { 2 \ell } ) } - \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } Y _ { j _ { \ell } , i _ { \ell } } ^ { ( b _ { 2 \ell - 1 } ) } Y _ { j _ { \ell } , i _ { \ell + 1 } } ^ { ( b _ { 2 \ell } ) } - \mathbb { E } [ \cdot ] \bigg ) \bigg ( \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } X _ { j _ { \ell } ^ { \prime } , i _ { \ell } ^ { \prime } } ^ { ( b _ { 2 \ell - 1 } ) } X _ { j _ { \ell } ^ { \prime } , i _ { \ell + 1 } ^ { \prime } } ^ { ( b _ { 2 \ell } ) } - \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } Y _ { j _ { \ell } ^ { \prime } , i _ { \ell } ^ { \prime } } ^ { ( b _ { 2 \ell - 1 } ) } Y _ { j _ { \ell } ^ { \prime } , i _ { \ell + 1 } ^ { \prime } } ^ { ( b _ { 2 \ell } ) } - \mathbb { E } [ \cdot ] \bigg ) \bigg ]
\begin{array} { r l r } { \mathbf { B } ^ { e x t } } & { = } & { I _ { e x t } ( \mathbf { r } , \varepsilon ^ { k } t ) \nabla \varphi + \nabla \psi _ { e x t } ( \mathbf { r } , \varepsilon ^ { k } t ) \times \nabla \varphi , } \\ { \mathbf { B } ^ { s e l f } } & { = } & { I _ { s e l f } ( \mathbf { r } , \varepsilon ^ { k } t ) \nabla \varphi + \nabla \psi _ { s e l f } ( \mathbf { r } , \varepsilon ^ { k } t ) \times \nabla \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 3 2 } = } & { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x \times \left( \alpha - a _ { j } ^ { n + 1 } \right) \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d x } \\ & { - \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \left\{ \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d y \right\} \left( \alpha - a _ { j } ^ { n + 1 } \right) { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x } \\ { = } & { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x \times \left( \alpha - a _ { j } ^ { n + 1 } \right) \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) d x - A _ { 3 2 } . } \end{array}
\int _ { \mathbb { R } ^ { d } \backslash \Omega } \kappa \rho ( x ) \log \Big ( \frac { \rho ( x ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, d x \sim - \kappa \rho _ { \infty } | \partial \Omega | \beta ^ { - 1 / 2 } ,
Z = \sum _ { \{ n _ { i \mu } \} } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \left[ \prod _ { i } \frac { d \theta _ { i } } { 2 \pi } \right] \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \prod _ { i , \mu } d A _ { i \mu } \right] \exp ( - S ) ,
\begin{array} { r l } { \int \Xi \phi _ { N } d \hat { \mu } _ { N } } & { = 2 P \iint _ { J _ { N } ^ { 2 } } \frac { \phi ( x ) - \phi ( y ) } { x - y } d \mu _ { P } ( x ) d \hat { \mu } _ { N } ( y ) + 2 P \iint _ { ( J _ { N } ^ { 2 } ) ^ { c } } \frac { \phi _ { N } ( x ) - \phi _ { N } ( y ) } { x - y } d \mu _ { P } ( x ) d \hat { \mu } _ { N } ( y ) + \int _ { J _ { N } } ( \phi ^ { \prime } - V ^ { \prime } \phi ) d \hat { \mu } _ { N } } \\ & { = 2 P \iint \frac { \phi ( x ) - \phi ( y ) } { x - y } d \mu _ { P } ( x ) d \hat { \mu } _ { N } ( y ) + \int ( \phi ^ { \prime } - V ^ { \prime } \phi ) d \hat { \mu } _ { N } + o ( N ^ { - 1 / 2 } ) \, , } \end{array}
{ \widehat { \pmb { \mathscr { H } } } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( { \widehat { \boldsymbol { \sigma } } } _ { 3 } + i { \widehat { \boldsymbol { \sigma } } } _ { 2 } \right) } { \widehat { \bf P } } ^ { 2 } - V { \widehat { \bf I } } + { \widehat { \boldsymbol { \sigma } } } _ { 3 } ,
\langle \sigma ( z , \bar { z } ) \rangle _ { \mathbb { H } } ^ { \alpha \beta } = \bar { z } ^ { - 2 h _ { \sigma } } \left[ \mathcal { A } _ { \sigma , \Psi _ { \mathbf { 1 } } } ^ { ( \beta ) } \mathcal { B } _ { \Psi _ { \mathbf { 1 } } , \Psi _ { 1 2 } } ^ { ( \beta \beta \alpha ) \Psi _ { 1 2 } } \tilde { \mathcal { F } } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) + \mathcal { A } _ { \sigma , \Psi _ { 1 3 } } ^ { ( \beta ) } \mathcal { B } _ { \Psi _ { 1 3 } , \Psi _ { 1 2 } } ^ { ( \beta \beta \alpha ) \Psi _ { 1 2 } } \tilde { \mathcal { F } } _ { 1 3 } ( \eta ) \right] \, ,
U _ { \mathrm { { A C } } } ( \Psi _ { 0 } ) = \sum _ { n \neq 0 } \frac { \langle \Psi _ { 0 } | \vec { d } \cdot \vec { \mathcal { E } } ^ { * } | \Psi _ { n } \rangle \langle \Psi _ { n } | \vec { d } \cdot \vec { \mathcal { E } } | \Psi _ { 0 } \rangle } { \hbar [ \, \omega - ( \omega _ { n } - \omega _ { 0 } ) ] } - \sum _ { n \neq 0 } \frac { \langle \Psi _ { 0 } | \vec { d } \cdot \vec { \mathcal { E } } | \Psi _ { n } \rangle \langle \Psi _ { n } | \vec { d } \cdot \vec { \mathcal { E } } ^ { * } | \Psi _ { 0 } \rangle } { \hbar [ \, \omega + ( \omega _ { n } - \omega _ { 0 } ) ] } ,
\begin{array} { r } { \tau \Big ( \partial _ { t } \mathbf q + \mathbf v \cdot \nabla \mathbf q - \mathbf q \cdot \nabla \mathbf v + ( \nabla \cdot \mathbf v ) \mathbf q \Big ) + \mathbf q = - \lambda \nabla T , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } w _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \mathrm { d } z _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { { } = v _ { z , p } , } \\ { \frac { \mathrm { d } v _ { z , p } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \frac { q _ { p } } { m _ { p } } E _ { z } ( z _ { p } ) - \tilde { \mu } _ { p } \left. \frac { \mathrm { d } B } { \mathrm { d } z } \right| _ { z _ { p } } . } \end{array}
{ \frac { 7 } { 1 0 } } = { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 0 } } \; \; \; ; \; \; \; { \frac { 8 } { 1 0 } } = { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } } + { \frac { 1 } { 3 0 } } \; \; \; ; \; \; \; { \frac { 9 } { 1 0 } } = { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 3 0 } }
u = { \frac { 0 . 4 6 6 1 x + 0 . 1 5 9 3 y } { y - 0 . 1 5 7 3 5 x + 0 . 2 4 2 4 } } , \quad v = { \frac { 0 . 6 5 8 1 y } { y - 0 . 1 5 7 3 5 x + 0 . 2 4 2 4 } } .
\begin{array} { r l } & { f ^ { \prime } ( \theta ) = - \frac { \pi } { q ( \log q ) ^ { 3 } } \sum _ { n \in { \mathbb { Z } } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { ( \theta + 2 n \pi ) \pi } { 2 \log q } \right) \cosh \left( \frac { ( \theta + 2 n \pi ) \pi } { 2 \log q } \right) ^ { - 2 } , } \\ & { f ^ { \prime \prime } ( \theta ) = - \frac { \pi } { q ( \log q ) ^ { 4 } } \sum _ { n \in { \mathbb { Z } } } \left( 1 - 3 \operatorname { t a n h } \left( \frac { ( \theta + 2 n \pi ) \pi } { 2 \log q } \right) ^ { 2 } \right) \cosh \left( \frac { ( \theta + 2 n \pi ) \pi } { 2 \log q } \right) ^ { - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta = \frac { K } { { K + { { \left| { { { \mathbf { I } } _ { { \mathbf { u - t a r } } } } } \right| } ^ { 2 } } { R _ { u } } + { { \left| { { I _ { T x } } } \right| } ^ { 2 } } { R _ { T x } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta ^ { r ( n _ { 0 } ) ( m ) } - \Delta ^ { r ( n _ { 0 } ) ( m + 1 ) } } \\ & { = \left[ \Delta ^ { r ( m ) } + \Delta ^ { r ( n _ { 0 } - m ) } \right] - \left[ \Delta ^ { r ( m + 1 ) } + \Delta ^ { r ( n _ { 0 } - m - 1 ) } \right] } \\ & { = \left[ \Delta ^ { r ( m ) } - \Delta ^ { r ( m + 1 ) } \right] - \left[ \Delta ^ { r ( n _ { 0 } - m - 1 ) } - \Delta ^ { r ( n _ { 0 } - m ) } \right] } \\ & { \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { K E = } & { { } \; \frac { | \mathbf { p } _ { 1 } | ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } + \frac { | \mathbf { p } _ { 2 } | ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } , } \\ { P E = } & { { } \; \frac 1 2 k _ { 1 } ( | \mathbf { q } _ { 1 } - \mathbf { q } _ { o } | - l _ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac 1 2 k _ { 2 } ( | \mathbf { q } _ { 2 } - \mathbf { q } _ { 1 } | - l _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } \, \mathbf { g } \cdot ( \mathbf { q } _ { 1 } - \mathbf { q } _ { o } ) - m _ { 2 } \, \mathbf { g } \cdot ( \mathbf { q } _ { 2 } - \mathbf { q } _ { o } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 } = } & { f _ { 0 } \left\{ - \cos { ( \theta _ { 0 } ) } \left[ \cos { ( \phi ) } \hat { x } + \sin { ( \phi ) } \hat { y } \right] + \sin { ( \theta _ { 0 } ) } \hat { z } \right\} = - f _ { 0 } \hat { \theta } _ { 0 } } \\ { \mathbf { E } _ { r } = } & { f _ { r } \left\{ \left[ - r _ { p p } \cos { ( \theta _ { r } ) } \cos { ( \phi ) } + r _ { p s } \sin { ( \phi ) } \right] \hat { x } - \left[ r _ { p p } \cos { ( \theta _ { r } ) } \sin { ( \phi ) } + r _ { p s } \cos { ( \phi ) } \right] \hat { y } + r _ { p p } \sin { ( \theta _ { r } ) } \hat { z } \right\} } \\ { = } & { - f _ { r } \left( r _ { p p } \hat { \theta } _ { r } + r _ { p s } \hat { \phi } \right) . } \end{array}
W _ { \mathrm { t r e e } } = \sqrt { 2 } \sum _ { i < j \atop k < l } \tilde { A } _ { i j } \left( \Phi ^ { i } { } _ { k } \delta ^ { j } { } _ { l } + \delta ^ { i } { } _ { k } \Phi ^ { j } { } _ { l } + m \delta ^ { i } { } _ { k } \delta ^ { j } { } _ { l } \right) A ^ { k l } .
\begin{array} { r l } & { 2 S ^ { 1 , s p } + \widetilde { S ^ { 2 } } - z } \\ { = } & { 2 ( S ^ { 1 , s p } + S ^ { 2 , s p } ) + \epsilon ^ { * } ( S ^ { 2 } ) - z } \\ { = } & { 2 ( S ^ { 1 , s p } + S ^ { 2 , s p } - S ^ { 1 , r } - S ^ { 2 , r } + S ^ { 1 , r } + S ^ { 2 , r } - \Lambda ^ { r } + \Lambda ^ { r } ) + \epsilon ^ { * } ( S ^ { 2 } ) - z } \\ { = } & { 2 ( S ^ { 1 , s p } - S ^ { 1 , r } ) + ( S ^ { 2 , s p } - S ^ { 2 , r } ) + ( S ^ { 2 , s p } + \epsilon ^ { * } ( S ^ { 2 } ) - S ^ { 2 , r } ) + 2 ( S ^ { 1 , r } + S ^ { 2 , r } - \Lambda ) + 2 q + z - 2 \delta } \\ { \ge } & { 2 \cdot 0 + 0 + \epsilon + 2 \cdot 0 + 2 q + z - 2 \delta } \\ { = } & { 2 q + z + \epsilon - 2 \delta . } \end{array}
\log \overline { { C } } \gtrsim - 1 0 \frac { \delta F ^ { 2 } } { F ^ { 2 } } \frac { \Delta x ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { \vert A ( \omega _ { 1 } \Delta t ) \vert ^ { 2 } } { ( \omega _ { 1 } \Delta t ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { x x } = \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } } & { - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } } \\ { - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } } & { - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C a s e \ 1 } \ \ \widehat B _ { 2 } : \mathcal { F } } & { = } & { - q _ { 3 } + \varepsilon ( u ^ { 2 } \pm v ^ { 2 } + \varepsilon + q _ { 1 } ) } \\ { \mathrm { C a s e \ 2 } \ \ \widehat B _ { 3 } : \mathcal { F } } & { = } & { - q _ { 3 } + \varepsilon ( u ^ { 2 } \pm v ^ { 2 } \pm \varepsilon ^ { 2 } + q _ { 2 } \varepsilon + q _ { 1 } ) , } \\ { \mathrm { C a s e \ 3 } \ \ \widehat C _ { 3 } : \mathcal { F } } & { = } & { - q _ { 3 } + \varepsilon ( u ^ { 3 } + u \varepsilon + \varepsilon + q _ { 2 } u + q _ { 1 } \pm v ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phantom { i i } ( i ) \; \forall \; j \in J , \, m \in \mathbb { N } _ { 0 } , \, \beta \in M _ { m } : \; \nu _ { j , m } ( \beta , \cdot ) \in \mathcal { C } ^ { 1 } ( \Omega ) , } \\ & { \phantom { i } ( i i ) \; \forall \; j \in J , \, m \in \mathbb { N } _ { 0 } , \, \beta , \gamma \in M _ { m } , x \in \Omega : \; \nu _ { j , m } ( \beta , x ) = \nu _ { j , m } ( \gamma , x ) , } \\ & { ( i i i ) \; \forall \; j \in J , \, m \in \mathbb { N } _ { 0 } \; \exists \; i \in J , \, k \in \mathbb { N } _ { 0 } , \, k \geq m , \, C > 0 \; \forall \; \beta \in M _ { m } , \, x \in \Omega , \, 1 \leq n \leq d : } \\ & { \phantom { ( i i i ) \; } \bigl | \partial ^ { e _ { n } } \nu _ { j , m } ( \beta , \cdot ) \bigr | ( x ) \leq C \nu _ { i , k } ( \beta , x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - ( ( x - x _ { i } ) / 2 ) \, a _ { 1 } ( 0 , 0 ) \, \langle X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle } \\ & { = \langle \phi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) - \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) , \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle = \langle \phi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert \beta _ { i } \vert = \left| \sum _ { j = 1 } ^ { d } T _ { i j } v _ { j } \right| \leq \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \dots d } \vert T _ { i j } \vert \cdot \vert v _ { j } \vert } \\ { \ll \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \dots d } O ( \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { 1 - j + j - \varepsilon } ) = O ( \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { \varepsilon } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 1 , i , \mathrm { H } } ( \mathbf { x } , z ) = c _ { 1 , i } ^ { - } e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| } + c _ { 1 , i } ^ { + } e ^ { \frac { | z | } { \hbar } \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| } . } \end{array}
{ \frac { d \Gamma } { d \omega } } ( B \to D ^ { * * } \ell \nu ) = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } | V _ { c b } | ^ { 2 } } { 4 8 \pi } } m _ { B } ^ { 2 } m _ { D ^ { * * } } ^ { 3 } \sqrt { \omega ^ { 2 } - 1 } f ^ { * * } | \xi ^ { * * } ( \omega ) | ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { s } } & { { } = 1 - \frac { \ell \gamma _ { \times } } { \tilde { c } _ { \phi } } - \frac { \tilde { \ell } \tilde { \gamma } _ { \times } ^ { \prime } } { c _ { \phi } } = \lambda + \tilde { \lambda } - 1 . } \end{array}
1 - \sin ^ { 2 } ( 2 \theta ) \left[ | U _ { { \bf k } } | ^ { 2 } \; \sin ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { k , 2 } - \omega _ { k , 1 } } { 2 } t \right) + | V _ { { \bf k } } | ^ { 2 } \; \sin ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { k , 2 } + \omega _ { k , 1 } } { 2 } t \right) \right] \, ,
k [ x ] / x ^ { m } \cong k [ x ] \otimes _ { k [ y ] } ^ { \mathrm { L } } k \stackrel { \cong } { \longleftarrow } | k [ x ] \quad \substack { \longleftarrow \, \longleftarrow } \quad k [ x ] \otimes _ { k } k [ y ] \quad \substack { \longleftarrow \, \longleftarrow \, \longleftarrow } \quad k [ x ] \otimes _ { k } k [ y ] \otimes _ { k } k [ y ] \quad \substack { \longleftarrow \, \longleftarrow \, \longleftarrow \, \longleftarrow } \quad \ldots |
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { \delta _ { i } } \langle \hat { G } ( Q _ { i } ) \rangle _ { - \delta _ { i } } \right] } & { \equiv } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = \delta _ { i } } ^ { \infty } \langle n _ { i } | \hat { F } ( Q _ { i } ) | n _ { i } - \delta _ { i } \rangle \langle n _ { i } - \delta _ { i } | \hat { G } ( Q _ { i } ) | n _ { i } \rangle \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } } \\ & { = } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { i } + \delta _ { i } | \hat { F } ( Q _ { i } ) | n _ { i } \rangle \langle n _ { i } | \hat { G } ( Q _ { i } ) | n _ { i } + \delta _ { i } \rangle \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} \exp \left( - \beta \delta _ { i } \omega _ { i } \right) } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } } \\ & { = } & { \exp \left( - \beta \delta _ { i } \omega _ { i } \right) \Big [ f ( n _ { i } ; - \delta _ { i } ) g ( n _ { i } ; - \delta _ { i } ) \Big ] = \left( \frac { f _ { i } } { f _ { i } + 1 } \right) ^ { \delta _ { i } } \Big [ f ( n _ { i } ; - \delta _ { i } ) g ( n _ { i } ; - \delta _ { i } ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { s } } & { { } = \left\{ \left. z _ { 0 } \left( s - { \frac { 1 } { 2 } } + i x \right) \right\vert x \in \mathbf { R } \right\} \quad { \mathrm { a n d } } } \\ { H _ { t } } & { { } = \left\{ \left. z _ { 0 } \left( x + i \left( t - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right) \right\vert x \in \mathbf { R } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { g } = \frac { { \left( \alpha ( \omega _ { s } ) - 1 \right) } { \frac { d \beta } { d \omega } } \bigg | _ { \omega _ { s } } - { \beta ( \omega _ { s } ) } { \frac { d \alpha } { d \omega } } \bigg | _ { \omega _ { s } } } { | t _ { p } ( \omega _ { s } ) | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } ( \tau ) = } & { { } \left\{ \varepsilon + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } t _ { i } \cos \left[ \textbf { q } \cdot \textbf { b } _ { i } + \theta _ { i } ( \tau ) \right] \right\} \sigma _ { z } + } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { a / g } ( t ) } & { { } = } & { N _ { a / g } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ } } \ e ^ { - t / T _ { 1 } } + N _ { 0 , a / g } \Big ( 1 - e ^ { - t / T _ { 1 } } \Big ) , } \\ { P _ { a / g } ( t ) } & { { } = } & { P _ { a / g } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ } } \ e ^ { - t / T _ { 2 } } , } \end{array}
\left. E _ { \gamma } \frac { d N } { d ^ { 3 } k d ^ { 4 } x } \right| _ { m i x } = w ( \varepsilon ) \left. E _ { \gamma } \frac { d N } { d ^ { 3 } k d ^ { 4 } x } \right| _ { Q G P } + ( 1 - w ( \varepsilon ) ) \left. E _ { \gamma } \frac { d N } { d ^ { 3 } k d ^ { 4 } x } \right| _ { h a d } .
E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n ] = E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n ] - \operatorname* { l i m } _ { \gamma \to \infty } \frac { E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n _ { \gamma } ] } { \gamma } \, ,
\sum _ { \lambda , \kappa = 0 } ^ { 3 } A _ { \mu \nu } ^ { \lambda } ( x ) C _ { \lambda } ^ { \kappa } \frac { \partial } { \partial y ^ { \kappa } } = \nabla _ { ( C \frac { \partial } { \partial y } ) _ { \mu } } ( C \frac { \partial } { \partial y } ) _ { \nu } = \sum _ { \lambda , \kappa = 0 } ^ { 3 } C _ { \mu } ^ { \lambda } \left( \frac { \partial C _ { \nu } ^ { \kappa } } { \partial y ^ { \lambda } } + \sum _ { \sigma = 0 } ^ { 3 } A _ { \lambda \sigma } ^ { \kappa } ( y ) C _ { \nu } ^ { \sigma } \right) \frac { \partial } { \partial y ^ { \kappa } } ,
\psi _ { n } ( z ) = \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } \mathrm { A i } \left( \frac { z } { z _ { 0 } } + \mathrm { A i Z } ( n ) \right) } { \sqrt { z _ { 0 } } \mathrm { A i } ^ { \prime } \left( \mathrm { A i Z } ( n ) \right) }
\begin{array} { r l } { E ^ { ( n ) } ( \lambda ; z ) E ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) } & { \sim \frac { N [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] } { z ^ { 2 } } \frac { ( n ^ { \prime } - 1 ) ! } { ( n + n ^ { \prime } - 2 ) ! } ( \lambda \cdot \partial _ { \lambda ^ { \prime } } ) ^ { n - 1 } E ^ { ( n + n ^ { \prime } - 2 ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) } \\ & { + \frac { N [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] } { z } \frac { n } { n + n ^ { \prime } } \frac { ( n ^ { \prime } - 1 ) ! } { ( n + n ^ { \prime } - 2 ) ! } ( \lambda \cdot \partial _ { \lambda ^ { \prime } } ) ^ { n - 1 } \partial _ { z } E ^ { ( n + n ^ { \prime } - 2 ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) + \dots } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e _ { 9 } w } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 1 2 3 4 5 8 } + e _ { 1 2 3 6 7 8 } + e _ { 1 4 5 6 7 8 } - e _ { 1 8 } ) w , } \\ { e _ { 1 0 } w } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 1 2 3 4 6 8 } - e _ { 1 2 3 5 7 8 } + e _ { 2 4 5 6 7 8 } - e _ { 2 8 } ) w , } \\ { e _ { 1 1 } w } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 1 2 3 4 7 8 } + e _ { 1 2 3 5 6 8 } + e _ { 3 4 5 6 7 8 } - e _ { 3 8 } ) w } \\ { e _ { 1 2 } w } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 2 4 5 6 8 } + e _ { 1 3 4 5 7 8 } + e _ { 2 3 4 6 7 8 } - e _ { 4 8 } ) w } \\ { e _ { 1 3 } w } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 2 4 5 7 8 } - e _ { 1 3 4 5 6 8 } + e _ { 2 3 5 6 7 8 } - e _ { 5 8 } ) w } \\ { e _ { 1 4 } w } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 2 4 6 7 8 } - e _ { 1 3 5 6 7 8 } - e _ { 2 3 4 5 6 8 } - e _ { 6 8 } ) w } \\ { e _ { 1 5 } w } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 2 5 6 7 8 } + e _ { 1 3 4 6 7 8 } - e _ { 2 3 4 5 7 8 } - e _ { 7 8 } ) w , } \end{array}
\mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } - ( \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } \cdot \mathbf { n } ) \mathbf { n } = \mathbf { n } \times ( \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } \times \mathbf { n } )
\begin{array} { r l } { J _ { N - 1 } ( \nu ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { \phi \in F } \left( \mathbb { E } _ { N - 1 , \nu } [ \phi ^ { 2 } ( X _ { N - 1 } ) ] + J _ { N } ( \hat { T } _ { N - 1 } ( \nu , \phi ) ) \right) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \phi \in F } \left( \mathbb { E } _ { N - 1 , \nu } [ \phi ^ { 2 } ( X _ { N - 1 } ) ] + \Big ( b \mathbb { E } _ { N - 1 , \nu } [ X _ { N - 1 } ] + d \mathbb { E } _ { N - 1 , \nu } [ \phi ( X _ { N - 1 } ) ] \Big ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f _ { Y } ( y | \, p , \nu ) } & { = { \frac { \nu } { p } } B { \bigg ( } { \frac { p } { 2 } } , { \frac { \nu } { 2 } } { \bigg ) } ^ { - 1 } { \big ( } { \frac { p } { \nu } } { \big ) } ^ { \, p / 2 } { \big ( } { \frac { p } { \nu } } { \big ) } ^ { - p / 2 - 1 } y ^ { \, p / 2 - 1 } { \big ( } 1 + y { \big ) } ^ { - ( p + \nu ) / 2 } } \\ & { = B { \bigg ( } { \frac { p } { 2 } } , { \frac { \nu } { 2 } } { \bigg ) } ^ { - 1 } y ^ { \, p / 2 - 1 } ( 1 + y ) ^ { - ( \nu + p ) / 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Omega _ { f , i } } & { { } = \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } ( f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } - f _ { i } ) + \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 2 } } \right) ( f _ { i } ^ { \ast } - f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ) , } \\ { \Omega _ { g , i } } & { { } = \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } ( g _ { i } ^ { \mathrm { e q } } - g _ { i } ) + \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 2 } } \right) ( g _ { i } ^ { \ast } - g _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ) , } \end{array}