harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 1 } & { : A _ { n } ^ { 2 } \gamma _ { n + 4 k } - A _ { n } \gamma _ { n } = 0 } \\ { u _ { n } } & { : A _ { n } \alpha _ { n + 4 k } - A _ { n } \alpha _ { n } = 0 } \\ { u _ { n } ^ { 2 } u _ { n + 4 } \dots u _ { n + 4 k - 4 } } & { : B _ { n } ( \alpha _ { n + 4 k } + \alpha _ { n + 4 } + \alpha _ { n + 8 } + \dots + \alpha _ { n + 4 k - 8 } + \alpha _ { n + 4 k - 4 } ) = 0 } \\ { u _ { n } u _ { n + 4 } \dots u _ { n + 4 k - 4 } } & { : 2 A _ { n } B _ { n } \gamma _ { n + 4 k } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } } & { = \frac { 1 } { m } \sum \{ d _ { i } - c _ { i } : [ c _ { i } , d _ { i } ] \mathrm { ~ h a s ~ t y p e ~ ( B ) } \} \in [ 0 , 1 ] , } \\ { \mathbf { h } } & { = \frac { 1 } { m } \sum \{ \beta ( d _ { i } ) - \beta ( c _ { i } ) : [ c _ { i } , d _ { i } ] \mathrm { ~ h a s ~ t y p e ~ ( B ) } \} \in [ s \mathbf { a } , ( 2 - s ) \mathbf { a } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k } \left( \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \right. } \\ & { } & { \left. + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \right) } \\ & { } & { = \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i j j } ( f _ { j } + 1 / 2 ) \{ \hat { a } _ { i } \} + \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i j j } ( f _ { j } + 1 / 2 ) \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \} } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k } \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } \} + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k } \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \} } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k } \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \} + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k } \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \} , } \end{array}
R ( z = L , t ) = \frac { 1 } { 2 } D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 0 } } \big \{ { e ^ { i \omega t } \big \} } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 0 } } \big \{ { e ^ { i \omega t } \big \} } \bigg ) ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 0 } } \big \{ { e ^ { i \omega t } \big \} } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 0 } ^ { * } } \big \{ { e ^ { - i \omega t } \big \} } \bigg ) ,
\left( \frac { \partial { \eta } } { \partial t } \right) ^ { N S } - \left( \frac { \partial { \eta } } { \partial t } \right) ^ { K S } = f \left( \eta , \eta _ { x } , \eta _ { x x } , \eta _ { x x x } , \eta _ { x x x x } , R \right) ;
\gamma ^ { \alpha \beta \gamma \cdots } \equiv \gamma ^ { \alpha } \gamma ^ { \beta } \gamma ^ { \gamma } \cdots \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \nabla _ { \alpha \beta \gamma \cdots } \equiv \partial _ { \alpha } \partial _ { \beta } \partial _ { \gamma } \cdots \, .
{ \frac { \pi } { 2 } } = { \Big ( } { \frac { 2 } { 1 } } \cdot { \frac { 2 } { 3 } } { \Big ) } \cdot { \Big ( } { \frac { 4 } { 3 } } \cdot { \frac { 4 } { 5 } } { \Big ) } \cdot { \Big ( } { \frac { 6 } { 5 } } \cdot { \frac { 6 } { 7 } } { \Big ) } \cdot { \Big ( } { \frac { 8 } { 7 } } \cdot { \frac { 8 } { 9 } } { \Big ) } \cdots
\begin{array} { r } { \tilde { q } ( v _ { 0 } ) = w _ { 1 } { \mathcal N } ( m _ { 1 } , \sigma _ { 1 } ^ { 2 } ) + w _ { 2 } { \mathcal N } ( m _ { 2 } , \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ) , \quad w _ { 1 } + w _ { 2 } = 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { \mathrm { ~ H ~ } } \left( u , v , t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } \right) } & { { } \doteq \exp ( i u ^ { 2 } \, v + i v ^ { 3 } + i t _ { 3 } \, u ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } \textbf { B } } & { { } = \frac { \partial \textbf { E } } { \partial t } + \left[ \frac { \partial \textbf { P } } { \partial t } - \, \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } \textbf { M } \right] , } \\ { \, \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } \textbf { E } } & { { } = - \frac { \partial \textbf { B } } { \partial t } , } \end{array}
\frac { \ensuremath { \partial } n _ { 1 } } { \ensuremath { \partial } t } + w _ { 1 } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } n _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } z } + V _ { c } \, \ensuremath { \boldsymbol \nabla } \ensuremath { \boldsymbol \cdot } ( < { \ensuremath { \boldsymbol } p } _ { s } > n _ { 1 } + < { \ensuremath { \boldsymbol } p } _ { 1 } > n _ { s } ) = \nabla ^ { 2 } n _ { 1 } .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 1 } { V } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t e t } } } V _ { i } E _ { \mathrm { c } } \gamma _ { i } = E _ { \mathrm { c } } \gamma _ { \mathrm { e f f } } \: , } \end{array}
{ \delta _ { \Sigma } } = { { 3 \sqrt 2 W { { \left| { \nabla \phi } \right| } ^ { 2 } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { 3 \sqrt 2 W { { \left| { \nabla \phi } \right| } ^ { 2 } } } 4 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 4 }
\mathbf { B } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \nabla \times \iiint _ { V } d ^ { 3 } l { \frac { \mathbf { J } ( \mathbf { l } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { l } | } }
\begin{array} { r l r } { \left\langle \Delta X ^ { 2 } \right\rangle } & { = } & { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } b B _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { z } \frac { P _ { x x } ^ { 2 D } ( k _ { x } , k _ { y } ) } { k _ { \perp } } } \\ & { } & { \times \mathrm { e r f } \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { b } { B _ { 0 } } k _ { \perp } ( z - z ^ { \prime } ) \right] } \\ & { } & { \times \left[ 1 - \cos \left( k _ { x } X _ { 0 } \right) e ^ { - ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) z ^ { 2 } / 2 } \right] d z ^ { \prime } d k _ { x } d k _ { y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { E \hat { \Omega } } ^ { - } ( \vec { r } ) } & { = \sqrt { \frac { 2 k } { \pi } } \sum _ { \ell m } i ^ { \ell } e ^ { - i \sigma _ { \ell } } F _ { \ell } ( k r ) Y _ { \ell m } ^ { * } ( \hat { k } ) Y _ { \ell m } ( \hat { r } ) } \\ & { = \sum _ { \ell m } i ^ { \ell - 1 } e ^ { - i \sigma _ { \ell } } Y _ { \ell m } ^ { * } ( \hat { k } ) \phi _ { \ell m E } ^ { - } ( \vec { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H a m } ( \check { q } , \check { p } ) } & { = } & { - \nu _ { { X _ { 2 } } , 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } H _ { X _ { 2 } , 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { t } \Big [ \check { q } ( \check { q } - 1 ) ^ { 2 } \check { p } ^ { 2 } + \hbar \check { q } ( \check { q } - 1 ) \check { p } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { \check { q } } } \\ & { } & { - \frac { t ^ { 2 } } { 4 ( \check { q } - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { ( 4 t _ { X _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , 0 } + t ) t } { 4 ( \check { q } - 1 ) } + t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ( - t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } + \hbar ) ( \check { q } - 1 ) - t _ { X _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , 0 } t + t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } \Big ] } \\ & { } & \end{array}
\hat { K } _ { i j } = \hat { G } _ { i j } \Big | _ { \phantom { p } _ { \Theta \to 1 + C ^ { 2 } / 2 \gamma \Phi } } , \quad \bigl ( \hat { K } ^ { - 1 } \bigr ) ^ { i j } = { \frac { 1 } { \sqrt g } } \left( \begin{array} { l l l l } { { { \frac { 1 } { f } } g _ { \mu \alpha } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { 2 } { C } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { \frac { 2 } { C } } } } & { { - \left( { \frac { 4 } { C ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { \gamma \Phi } } \right) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { 1 } { \gamma \Phi } } P _ { \mu \nu , \alpha \beta } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { k _ { 1 \rightarrow 0 } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \epsilon \Gamma ( 1 - \bar { \tilde { f } } ( \epsilon ) ) \frac { e ^ { - ( E _ { r } + \epsilon - \bar { E } _ { d } ) ^ { 2 } } / 4 E _ { r } k T } { \sqrt { 4 \pi E _ { r } k T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q ( \Pi ) } & { = } & { \frac 1 2 \Pi ^ { \top } \widetilde { D } \Pi } \\ & { = } & { - \frac 1 2 \beta ^ { 2 } { \bf w } _ { T } ^ { \top } V { \bf w } _ { T } + \frac 1 2 \beta ^ { 2 } ( \eta ^ { \top } { \bf w } _ { T } ) + \frac 1 2 \beta ( 1 - \beta ) ( \eta ^ { \top } { \bf w } _ { T } ) } \\ & { = } & { - \frac 1 2 \beta ^ { 2 } \sigma _ { T } ^ { 2 } + \frac 1 2 \beta ( \eta ^ { \top } { \bf w } _ { T } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { b \in \mathcal { B } _ { p } } \int _ { e _ { b } } \nabla u \cdot \frac { \mathbf { n } _ { p b } } { | \mathbf { n } _ { p b } | } d S \approx \sum _ { b \in \mathcal { B } _ { p } \cap \mathcal { B } _ { D } } \frac { | e _ { b } | } { | \mathbf { d } _ { p ^ { \prime } b } | } \left( u _ { b } - u _ { p } - \nabla u _ { p } \cdot \mathbf { d } _ { p p ^ { \prime } } \right) + \sum _ { b \in \mathcal { B } _ { p } ^ { + } \setminus \mathcal { B } _ { D } } \nabla u _ { p } \cdot \mathbf { n } _ { b } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \gamma \theta } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] - \frac { \gamma \beta \theta } { 2 } \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma - \kappa } } \\ & { + ( \rho + \kappa \beta ) \theta \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \frac { \theta ( \rho - 3 \lambda - 2 \kappa \beta - \kappa ) } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - \hat { z } ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { \gamma \theta ^ { 2 } - \rho \theta } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] + \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k | I _ { k } - J _ { k } | } & { = k \left| \int _ { R _ { k } } \hat { \varphi } ( x + 2 k y , y ) \, \hat { \psi } ( x , y ) - \hat { \varphi } ( x + 2 k y , 0 ) \, \hat { \psi } ( x , 0 ) \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } x \right| } \\ & { \leq c _ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { ( x , y ) \in R _ { k } } \left| \hat { \varphi } ( x + 2 k y , y ) \, \hat { \psi } ( x , y ) - \hat { \varphi } ( x + 2 k y , 0 ) \, \hat { \psi } ( x , 0 ) \right| \to 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t _ { n } } } & { \left\{ \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { E } \gamma ( e ) \Delta U _ { n } ( e ) \lambda ( d e ) d t \right\} } \\ & { = \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { E } \Delta U _ { n } ( e ) \tilde { \mu } ( d e , d t ) \int _ { E } \gamma ( e ) \tilde { \mu } ( d e , ( t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) \right\} } \\ & { = \mathbb { E } _ { t _ { n } } \{ [ \Delta \hat { Y } _ { n + 1 } + \Delta f _ { n } \Delta t _ { n } ] \int _ { E } \gamma ( e ) \tilde { \mu } ( d e , ( t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) \} } \\ & { = \Delta t _ { n } \left[ \Delta \hat { \Gamma } _ { n } + \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \Delta f _ { n } \int _ { E } \gamma ( e ) \tilde { \mu } ( d e , ( t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) \right\} \right] . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , \tilde { u } _ { 1 } , \tilde { u } _ { 2 } ) = \frac { \tilde { u } _ { 2 } } { \tilde { u } _ { 2 } - \tilde { u } _ { 1 } } \Delta _ { 1 } - \frac { u _ { 2 } } { u _ { 2 } - u _ { 1 } } \Delta _ { 0 } } \\ & { = \frac { \tilde { u } _ { 2 } ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) \Delta _ { 1 } - u _ { 2 } ( \tilde { u } _ { 2 } - \tilde { u } _ { 1 } ) \Delta _ { 0 } } { ( \tilde { u } _ { 2 } - \tilde { u } _ { 1 } ) ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) } = 0 . } \end{array}
i \left( \begin{array} { l } { { \dot { \nu } _ { e L } } } \\ { { \dot { \tilde { \nu } } _ { e R } } } \\ { { \dot { \nu } _ { \mu L } } } \\ { { \dot { \tilde { \nu } } _ { \mu R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { { V _ { e } - c _ { 2 } \delta } } & { { 0 } } & { { s _ { 2 } \delta } } & { { \mu B _ { + } ( t ) } } \\ { { 0 } } & { { - V _ { e } - c _ { 2 } \delta } } & { { - \mu B _ { - } ( t ) } } & { { s _ { 2 } \delta } } \\ { { s _ { 2 } \delta } } & { { - \mu B _ { + } ( t ) } } & { { V _ { \mu } + c _ { 2 } \delta } } & { { 0 } } \\ { { \mu B _ { - } ( t ) } } & { { s _ { 2 } \delta } } & { { 0 } } & { { - V _ { \mu } + c _ { 2 } \delta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e L } } } \\ { { \tilde { \nu } _ { e R } } } \\ { { \nu _ { \mu L } } } \\ { { \tilde { \nu } _ { \mu R } } } \end{array} \right) ~ ,
\begin{array} { r } { H _ { e } = - t \sum _ { \sigma } ( \hat { c } _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 2 \sigma } + \hat { c } _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 \sigma } ) + U \sum _ { i = 1 , 2 } \hat { n } _ { i + } \hat { n } _ { i - } , } \end{array}
\big < \cdots \big > _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } \equiv \sum _ { \sigma \alpha } \sum _ { \sigma ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } \cdots \mathbb { E } \frac { w ( \sigma , \alpha ) w ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) - \beta H _ { J } ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ; \lambda ) \big ] } } { \big ( \sum _ { \rho \gamma } w ( \rho , \gamma ) \exp { \big [ - \beta H _ { J } ( \rho , \gamma ; \lambda ) \big ] } \big ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \textrm { P S F } _ { \textrm { f r e e } } \propto | \vec { E } _ { \textrm { f r e e } } | ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \iint | \vec { E } _ { p } | ^ { 2 } \textrm { d } \Omega } \\ & { = \frac { 1 } { 3 } | \vec { E } _ { x } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } | \vec { E } _ { y } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } | \vec { E } _ { z } | ^ { 2 } } \\ & { \propto \frac { 1 } { 3 } \textrm { P S F } _ { \textrm { x } } + \frac { 1 } { 3 } \textrm { P S F } _ { \textrm { y } } + \frac { 1 } { 3 } \textrm { P S F } _ { \textrm { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 2 n d + } } ( \mathrm { \boldmath ~ d ~ } ) } & { = \int \frac { d Q } { \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - Q ^ { 2 } / 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left( \oint \frac { d z _ { j } } { 2 \pi i } \frac { \mathrm { e } ^ { - z _ { j } ^ { 2 } / 2 + Q z _ { j } } } { z _ { j } ^ { 1 + d _ { j } } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \int \frac { d Q \, \mathrm { e } ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } \prod _ { j = 1 } ^ { N } H e _ { d _ { j } } ( Q ) } \\ & { = : \frac { \mathcal { J } ( d _ { 1 } , \dots , d _ { N } ) } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } . } \end{array}
\left( { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \right) , \qquad \left( - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \right) .
\boldsymbol { \textbf { X } } _ { n + 1 } = F _ { n } ( \boldsymbol { \textbf { X } } _ { n } ) = \boldsymbol { \textbf { X } } _ { n } \pm ( \boldsymbol { \textbf { X } } _ { n } - \boldsymbol { \textbf { X } } _ { n } ^ { 2 } )
\int _ { S ^ { d } } d \mu ( \theta ^ { \prime \prime } ) G _ { \omega } ^ { - } ( \theta , \theta ^ { \prime \prime } ) G _ { \omega } ^ { + } ( \theta ^ { \prime \prime } , \theta ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { 4 \omega ^ { 2 } } } \delta ^ { ( d ) } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { F } _ { 2 } \frac { [ u _ { \alpha } ^ { \pm } ] } { [ u _ { \alpha } ] } \langle u _ { \lambda _ { n - 2 } } ^ { i } \rangle [ a _ { \lambda _ { 1 } } ] \langle 1 , a _ { \alpha } \rangle } \\ { \oplus } & { \mathbb { F } _ { 2 } \frac { [ u _ { \alpha } ^ { \pm } , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ^ { \pm } ] } { [ u _ { \alpha } , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ] } \langle u _ { \lambda _ { n - 3 } } ^ { i } \rangle [ a _ { \lambda _ { 1 } } ] \langle 1 , a _ { \alpha } \rangle } \\ { \oplus } & { \cdots } \\ { \oplus } & { \mathbb { F } _ { 2 } \frac { [ u _ { \alpha } ^ { \pm } , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ^ { \pm } , \cdots , { u _ { \lambda _ { 2 } } } ^ { \pm } ] } { [ u _ { \alpha } , u _ { \lambda _ { n - 2 } } , \cdots , u _ { \lambda _ { 2 } } ] } \langle u _ { \lambda _ { 1 } } ^ { i } \rangle [ a _ { \lambda _ { 1 } } ] \langle 1 , a _ { \alpha } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = T _ { 0 } } ^ { T _ { 0 } + m - 1 } \mathbb E \left[ \left. \lVert Q _ { t } \rVert _ { 1 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } & { \ge \sum _ { t = T _ { 0 } } ^ { T _ { 0 } + m - 1 } Q _ { t , i ^ { * } } } \\ & { \ge \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T _ { 0 } + m } \left( Q _ { T _ { 0 } , i ^ { * } } - M m \right) } \\ & { = m \lVert Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } - M m ^ { 2 } } \\ & { \ge m \cdot ( 2 M m - 2 M ) - M m ^ { 2 } } \\ & { = M m ^ { 2 } - 2 M m } \\ & { \ge \frac 1 2 M m ^ { 2 } , } \end{array}
{ g ^ { + } } ^ { \prime } ( m _ { 1 } ) = { g ^ { - } } ^ { \prime } ( m _ { 1 } ) = \frac { m _ { 1 } } { \omega _ { 1 } } \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } - f ^ { 2 } } { k _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { m _ { 2 } } { \omega _ { 2 } } \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } - f ^ { 2 } } { k _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } .
\frac { 1 } { p _ { \mathrm { ~ C ~ } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { m _ { \mathrm { ~ C ~ } } } \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t } + \frac { 1 } { T _ { \mathrm { ~ C ~ } } } \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t } - \frac { 1 } { V _ { \mathrm { ~ C ~ } } } \frac { \mathrm { d } V _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t } - \frac { 1 } { \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } \frac { \mathrm { d } \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { \mathrm { d } t }
\begin{array} { r l r } { k _ { 1 } } & { = } & { f ( u ^ { n } , t _ { n } ) } \\ { k _ { 2 } } & { = } & { f ( u ^ { n } + ( 1 2 / 2 3 ) h k _ { 1 } , t _ { n } + 1 2 h / 2 3 ) } \\ { k _ { 3 } } & { = } & { f ( u ^ { n } + h ( ( - 6 8 / 3 7 5 ) k _ { 1 } + ( 3 6 8 / 3 7 5 ) k _ { 2 } ) , t _ { n } + 4 h / 5 ) } \\ { k _ { 4 } } & { = } & { f ( u ^ { n } + h ( ( 3 1 / 1 4 4 ) k _ { 1 } + ( 5 2 9 / 1 1 5 2 ) k _ { 2 } + ( 1 2 5 / 3 8 4 ) k _ { 3 } ) , t _ { n } + h ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { ( 1 - \beta + ( 3 2 / 3 ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 2 } ) } { ( ( 1 - \beta ) ^ { 2 } + ( 6 4 / 9 ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 2 } ) } , } \\ { \alpha _ { i } } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 } \frac { ( 1 - 3 \beta ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 1 } } { ( ( 1 - \beta ) ^ { 2 } + ( 6 4 / 9 ) ( \mathrm { R e } ) ^ { - 2 } ) } , } \end{array}
\widehat { L } _ { \mathrm { p a r t } } = { \cal P } _ { i } \dot { \eta } _ { i } - \frac { 1 } { 2 } { \cal P } _ { i } ^ { 2 } + e ( \widehat { A } _ { i } \dot { X } _ { i } + \widehat { A } _ { 0 } + \frac { e \theta } { 2 } \varepsilon _ { i j } \widehat { A } _ { i } \frac { d } { d t } \widehat { A } _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( e \theta \varepsilon _ { i j } { \cal P } _ { i } \widehat { A } _ { j } ) \, .
\mathsf { L } \left( \begin{array} { c } { \mathbb { N } } \\ { \mathbb { T } } \\ { \mathbb { U } } \end{array} \right) = \mathbb { R } ^ { p _ { 0 } } \hat { p } _ { 0 , \psi } + \mathbb { R } ^ { T _ { 0 } } \hat { T } _ { 0 , \psi } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E } { \partial y } = \frac { \partial B } { \partial z } = \frac { \partial E } { \partial z } = \frac { \partial B } { \partial y } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial E } { \partial x } + \frac { \partial B } { \partial t } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial B } { \partial x } + \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } \frac { \partial E } { \partial t } } & { = 0 , \, \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( x + y ) } & { \stackrel { ( ) } { = } ( n _ { 1 } + n _ { 1 } + 1 ) f ( y _ { 0 } ) + f ( r _ { 3 } - y _ { 0 } ) } \\ & { = ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) f ( y _ { 0 } ) + [ f ( r _ { 3 } - y _ { 0 } ) + f ( y _ { 0 } ) ] } \\ & { \stackrel { ( ) } { = } ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) f ( y _ { 0 } ) + f ( r _ { 3 } ) } \\ & { = ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) f ( y _ { 0 } ) + f ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) } \\ & { \stackrel { ( ) } { = } ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) f ( y _ { 0 } ) + f ( r _ { 1 } ) + f ( r _ { 2 } ) } \\ & { = [ n _ { 1 } f ( y _ { 0 } ) + f ( r _ { 1 } ) ] + [ n _ { 1 } f ( y _ { 0 } ) + f ( r _ { 1 } ) ] } \\ & { = a ( x ) + a ( y ) . } \end{array}
\chi _ { 1 1 } ^ { R } = \chi _ { R } ( \theta _ { + 1 } ^ { \prime } ) - \chi _ { R } ( \theta _ { + 1 } ) , \quad \chi _ { 1 1 } ^ { J } = \chi _ { J } ( \theta _ { + 1 } ^ { \prime } ) - \chi _ { J } ( \theta _ { + 1 } ) , \quad \chi _ { 1 2 } ^ { J } = \chi _ { J } ( \theta _ { + 1 } ^ { \prime } ) - \chi _ { J } ( \theta _ { + 2 } ) .
G _ { \mu \nu } ^ { a } G ^ { \mu \nu a } = 2 ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } ) \, \partial ^ { \mu } \! A ^ { \nu a } + 4 g f ^ { a b c } \partial ^ { \mu } \! A ^ { \nu a } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } + g ^ { 2 } f ^ { a b c } f ^ { a d e } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } A ^ { \mu d } A ^ { \nu e } \ ,
\frac { d ^ { 2 } \Delta \sigma ^ { H } } { d p _ { T } d \eta } = \sum _ { f ^ { e } , f ^ { p } , c } \Delta f ^ { e } ( x _ { e } , M ^ { 2 } ) \otimes \Delta f ^ { p } ( x _ { p } , M ^ { 2 } ) \otimes \frac { d ^ { 2 } \Delta \hat { \sigma } ^ { f _ { e } f _ { p } \rightarrow c d } } { d p _ { T } d \eta } \otimes D _ { c } ^ { H } ( z , M ^ { 2 } ) \; ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j \neq 0 } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( E ( x _ { j } ) ) } & { { } = } & { - \frac { \sin ( \gamma ) } { \gamma } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d \lambda \rho ( \lambda ) K _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda ) \sigma ( \lambda ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = { \frac { ( a - \mu _ { Y } ) ( a \, c - a \, \mu _ { Y } - c \, \mu _ { Y } + \mu _ { Y } ^ { 2 } + \sigma _ { Y } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { Y } ^ { 2 } ( c - a ) } } } \\ { \beta } & { { } = - { \frac { ( c - \mu _ { Y } ) ( a \, c - a \, \mu _ { Y } - c \, \mu _ { Y } + \mu _ { Y } ^ { 2 } + \sigma _ { Y } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { Y } ^ { 2 } ( c - a ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbb { C } } _ { n m } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { C } ^ { ( 0 ) } - i n \omega _ { \mathrm { r f } } \mathbf { I } , } & { \mathrm { f o r } \ n = m , } \\ { \mathbf { C } ^ { ( \pm 1 ) } , } & { \mathrm { f o r } \ m = n \mp 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ S _ { 2 4 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E [ T _ { 2 4 } ^ { \uparrow \uparrow } f _ { 4 } ( 1 - f _ { 4 } ) + T _ { 4 2 } ^ { \uparrow \uparrow } f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) ] .
H ^ { \sigma \sigma _ { j } } ( { \vec { x } } , { \vec { x } } ^ { \prime } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { h ^ { \sigma \sigma _ { j } } } & { \left| { \vec { x } } - { \vec { x } } ^ { \prime } \right| = c } \\ { h ^ { \sigma \sigma _ { j } } / 2 } & { \left| { \vec { x } } - { \vec { x } } ^ { \prime } \right| = { \sqrt { 2 c } } } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }