harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } ~ \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \alpha y _ { 0 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } y _ { 0 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } , } \\ { 0 = } & { { } ~ \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { I } ) y _ { 1 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( 1 - p _ { I } ) y _ { 1 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } , } \\ { 0 = } & { { } ~ \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) y _ { 2 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( 1 - p _ { I } ) y _ { 2 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } . } \end{array}
Z _ { k } \Big [ \begin{array} { c } { { \gamma } } \\ { { \delta } } \end{array} \Big ] ( \tau ) = \sum _ { n = 0 } ^ { k } e ^ { i \pi \delta n } \chi _ { k } ^ { n } ( \tau ) \left( \chi _ { k } ^ { n + \gamma ( k - 2 n ) } ( \tau ) \right) ^ { * }
\overline { { \mathsf { K } } } - \overline { { \mathsf { P } } } - \overline { { \mathsf { W } } } = \overline { { \mathsf { K } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } - \overline { { \mathsf { P } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } - \overline { { \mathsf { W } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { - \kappa + 1 / 2 } { 2 } - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { \kappa + 1 / 2 } { 2 } - 1 } \, \mathrm { e } ^ { ( \xi - 1 / 2 ) z } } \\ & { \quad \times \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } z ^ { 2 } } + \frac { 1 } { z } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } z } + \xi ( 1 - \xi ) - \frac { \mu ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } + ( 2 \xi - 1 ) \, \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } z } - 2 \xi ( 1 - \xi ) + \frac { \kappa + \xi - \frac { 1 } { 2 } } { z } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times J _ { \mu } ( \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } z ) \, \mathrm { d } \xi \ . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \left( t \right) } & { = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { s r } \left( t \right) \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( - \dot { \sigma } _ { s r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \right) \left( \varepsilon \left( t \right) - \varepsilon \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \left( - \dot { \sigma } _ { s r } \left( t \right) \right) \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \ddot { \sigma } _ { s r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \left( \varepsilon \left( t \right) - \varepsilon \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ( \dot { z } ) = \frac { 1 } { 4 } \dot { \mathbf { z } } ^ { T } \mathsf { K } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { R } } } \\ { \mathsf { P } ^ { \mathcal { R } } } & { 0 } \end{array} \right) \mathsf { K } \dot { \mathbf { z } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T _ { 0 } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \partial _ { t } f _ { n } \Phi \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t } & { \le \| A [ f _ { n } ] \| _ { L _ { t , v } ^ { \infty } } \| \nabla ^ { 2 } \Phi \| _ { L _ { t } ^ { 1 } L _ { v } ^ { p ^ { \prime } } } \| f \| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { v } ^ { p } } + 2 \| \nabla \Phi \| _ { L ^ { 1 } L ^ { \frac { 3 } { 2 } \frac { p } { p - 3 / 2 } } } \| \nabla a [ f _ { n } ] \| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { v } ^ { 3 } } \| f _ { n } \| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { v } ^ { p } } } \\ & { \le C \| \nabla ^ { 2 } \Phi \| _ { L _ { t } ^ { 1 } L _ { v } ^ { \frac { p } { p - 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 F ( t ) } \Big [ } & { { } f _ { 2 } \dot { x } ^ { 2 } - \dot { f } _ { 2 } x \dot { x } + x ^ { 2 } \big \{ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \ddot { f } _ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \dot { f } _ { 2 } f ( t ) } \\ { + } & { { } f _ { 2 } \omega ^ { 2 } ( t ) + 2 x f _ { 2 } a ( t ) \big \} \Big ] \, . } \end{array}
B _ { N } \simeq \frac { R _ { 1 } ^ { N } } { 2 ^ { N } N ! } + \frac { ( \beta R _ { 1 } ) ^ { | N - m | } R _ { m } } { 2 ^ { | N - m | + 1 } \; | N - m | ! } e ^ { - i ( m \phi _ { 1 } - \phi _ { m } ) } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ \; ~ N ~ \geq ~ 0 ~ } ,
< \Phi ^ { n } ( t _ { 2 } ) \left[ \Phi ^ { * } ( t _ { 1 } ) \right] ^ { n } > = { \frac { 1 } { Z } } \int [ d \phi ^ { * } d \phi ] \Phi ^ { n } ( t _ { 2 } ) \left[ \Phi ^ { * } ( t _ { 1 } ) \right] ^ { n } e ^ { - S } \ .
M _ { m , k } ^ { [ \phi ] } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } w _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } \Delta _ { k } \left( v _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } , \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } \right) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k = 0 , 1 , \dots .
\frac { g _ { \sigma q } ^ { 2 } } { 4 \pi } = \frac { g _ { \pi q } ^ { 2 } } { 4 \pi } = 1 . 2 4 , ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { \sigma } = 0 . 2 7 8 \ \mathrm { G e V } \ , ~ ~ ~ ~ ~ \Lambda _ { \sigma } = 0 . 3 3 7 \ \mathrm { G e V } \ .
{ \begin{array} { r l } { = } & { { \frac { 1 } { 1 - \rho } } \exp \left( { \frac { \rho ( \ln ( 1 - u ) + \ln ( 1 - v ) ) } { 1 - \rho } } \right) \cdot I _ { 0 } \left( { \frac { 2 { \sqrt { \rho \ln ( 1 - u ) \ln ( 1 - v ) } } } { 1 - \rho } } \right) } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } x = F _ { X } ^ { - 1 } ( u ) = - \ln ( 1 - u ) / \lambda } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } y = F _ { Y } ^ { - 1 } ( v ) = - \ln ( 1 - v ) / \mu } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { g a p ~ c l o s u r e ~ f o r ~ \mathrm { \sc ~ K r o n } } } & { : = \left( \frac { \mathrm { [ o p t i m a l ~ v a l u e ~ f o r ~ \mathrm { \sc ~ K r o n } ] } - s ^ { * } } { v - s ^ { * } } \right) \times 1 0 0 \% } \\ { \mathrm { g a p ~ c l o s u r e ~ f o r ~ \mathrm { \sc ~ B e t a } } } & { : = \left( \frac { \mathrm { [ o p t i m a l ~ v a l u e ~ f o r ~ \mathrm { \sc ~ B e t a } ] } - s ^ { * } } { v - s ^ { * } } \right) \times 1 0 0 \% } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y _ { 1 } , Y _ { 2 } \right) } & { = \log \operatorname* { s u p } _ { U : U - X - ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) } \frac { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) = U ) } { \operatorname* { m a x } _ { u } P _ { U } ( u ) } } \\ & { = \log \operatorname* { s u p } _ { U : U - X - ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) } \frac { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) = U ) } { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } ) = U ) } \frac { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } ) = U ) } { \operatorname* { m a x } _ { u } P _ { U } ( u ) } } \\ & { \leq \log \operatorname* { s u p } _ { U : U - X - ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) } \frac { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) = U ) } { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } ) = U ) } \cdot \operatorname* { s u p } _ { U : U - X - ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) } \frac { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } ) = U ) } { \operatorname* { m a x } _ { u } P _ { U } ( u ) } } \\ & { \leq \log \operatorname* { s u p } _ { U : U - X - Y _ { 2 } | Y _ { 1 } } \frac { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) = U ) } { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } ) = U ) } \cdot \operatorname* { s u p } _ { U : U - X - Y _ { 1 } } \frac { \mathrm { \mathbf { P r } } ( \hat { U } ( Y _ { 1 } ) = U ) } { \operatorname* { m a x } _ { u } P _ { U } ( u ) } } \\ & { = \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y _ { 2 } | Y _ { 1 } \right) + \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y _ { 1 } \right) , } \end{array}
\delta _ { \hat { \xi } } f = \{ f , L [ \hat { \xi } ] \} = \dot { \sqrt { g _ { r r } } } = \frac { \hat { \xi } _ { r | r } } { f } = f \left( \hat { \xi } _ { , r } ^ { r } + \Gamma _ { r r } ^ { r } \hat { \xi } ^ { r } \right) = \left( f \hat { \xi } ^ { r } \right) _ { , r } .
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \Gamma _ { 0 1 } ^ { 0 } } & { = \alpha ^ { \prime } ( r ) , \quad } & & { \Gamma _ { 0 0 } ^ { 1 } = \alpha ^ { \prime } ( r ) e ^ { 2 \alpha ( r ) - 2 \beta ( r ) } , \quad } & & { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } = \beta ^ { \prime } ( r ) , } \\ { \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } } & { = - r e ^ { - 2 \beta ( r ) } , \quad } & & { \Gamma _ { 3 3 } ^ { 1 } = - r \sin ^ { 2 } \theta e ^ { - 2 \beta ( r ) } , \quad } & & { \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { r } , } \\ { \Gamma _ { 3 3 } ^ { 2 } } & { = - \sin \theta \cos \theta , \quad } & & { \Gamma _ { 1 3 } ^ { 3 } = \frac { 1 } { r } , \quad } & & { \Gamma _ { 2 3 } ^ { 3 } = \frac { \cos \theta } { \sin \theta } . } \end{array}
\Pi _ { a a } ( q ^ { 2 } ) \sim { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } } \left( 1 + { \frac { \alpha _ { s } ( q ^ { 2 } ) } { \pi } } \right) \ln { \frac { \mu ^ { 2 } } { - q ^ { 2 } } } \qquad ( a = 3 , 8 ) \ ,
\tilde { f } ( \vec { k } ) \ = \ \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 4 } \tilde { \sigma } ^ { 3 / 2 } } \exp { \biggl [ - \frac { \vec { k } ^ { 2 } } { 4 \tilde { \sigma } ^ { 2 } } \biggr ] }
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { s t } } ( \Delta ) } & { { } = \mathcal { Z } ^ { - 1 } \mathrm { e x p } \left[ \frac { - 2 N \Delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } { \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } } \right] } \\ { \lambda = \frac { a } { h } } & { { } \frac { 2 N } { \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { 4 a } { h } + 1 \right) \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \right) - 1 , } \end{array}
J _ { \widehat { \mathbf { R } } } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 2 } ) , } & { z } & { \in \partial U ( z _ { \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - x ^ { 2 } } ) , } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 0 } , \delta ) \cup \widehat { \gamma } _ { 2 } \cup \widehat { \gamma } _ { 6 } , } \\ & { \mathbf { I } + O ( e ^ { - c _ { 3 } x ^ { 2 } } ) , } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } , } \end{array} \right.
\Sigma _ { d s } = \rho _ { d s } W _ { d s } = 1 . 5 \times 1 0 ^ { - 4 } ~ \mathrm { g ~ c m ^ { - 2 } } \left( { \frac { L } { L _ { \odot } } } \right) \left( { \frac { M _ { \star } } { M _ { \odot } } } \right) ^ { - 1 } ~ .
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { : = \| \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } u \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } u \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } , } \\ { \| u \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { : = \| \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } u \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { 2 } + \| \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } u \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | h _ { \epsilon } ( \xi ) | \leq | \xi | ^ { \beta } , \quad \forall \xi \in \mathbb { R } , } \\ & { | h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \xi ) | = h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \xi ) \leq 2 \beta | \xi | ^ { \beta - 1 } , \quad \forall | \xi | \geq 2 \epsilon > 0 , } \\ & { \int _ { - \xi } ^ { \xi } | h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \sigma ) | d \sigma = \int _ { - \xi } ^ { \xi } h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \sigma ) d \sigma \leq 2 | \xi | ^ { \beta } , \quad \forall \xi \in \mathbb { R } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } S _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 0 } + E _ { 1 } S _ { 2 } T _ { 0 } = } & { \Big ( \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } S _ { 0 } S _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } B _ { 3 } S _ { 0 } \Big ) + \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } \widetilde { S } _ { 0 } \widetilde { S } _ { 0 } + E _ { 1 } B _ { 2 } \widetilde { S } _ { 0 } + E _ { 1 } S _ { 2 } M _ { 0 } } \\ { = } & { E _ { 1 } S _ { 0 } S _ { 0 } + J _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal { R } _ { { \cal { S } } } } \left( { \cal { L } } \circ { { \cal { H } } _ { K } } \right) \le C _ { L } { \cal { R } _ { { \cal { S } } } } \left( { { \cal { H } } _ { K } } \right) , } \end{array}
F ^ { a } = m \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \xi ^ { a } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } + \Gamma ^ { a } _ { b c } { \frac { \mathrm { d } \xi ^ { b } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \mathrm { d } \xi ^ { c } } { \mathrm { d } t } } \right) = g ^ { a k } \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial T } { \partial { \dot { \xi } } ^ { k } } } - { \frac { \partial T } { \partial \xi ^ { k } } } \right) \, , \quad { \dot { \xi } } ^ { a } \equiv { \frac { \mathrm { d } \xi ^ { a } } { \mathrm { d } t } } \, ,
\begin{array} { r l } & { m _ { 1 1 } = \cos { \xi } \cos { \psi } - \sin { \xi } \sin { \phi } \sin { \psi } , } \\ & { m _ { 1 2 } = - \sin { \xi } \cos { \phi } , } \\ & { m _ { 1 3 } = - \cos { \xi } \sin { \psi } - \sin { \xi } \sin { \phi } \cos { \psi } , } \\ & { m _ { 2 1 } = \sin { \xi } \cos { \psi } + \cos { \xi } \sin { \phi } \sin { \psi } , } \\ & { m _ { 2 2 } = \cos { \xi } \cos { \phi } , } \\ & { m _ { 2 3 } = - \sin { \xi } \sin { \psi } + \cos { \xi } \sin { \phi } \cos { \psi } , } \\ & { m _ { 3 1 } = \cos { \phi } \sin { \psi } , } \\ & { m _ { 3 2 } = - \sin { \phi } , } \\ & { m _ { 3 3 } = \cos { \phi } \cos { \psi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla f ( w _ { \theta ^ { \prime } } ) - \nabla f ( w ) \| } & { \le \Big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \nabla f ( w _ { \theta ^ { \prime } \theta } ) \| ^ { \alpha } d \theta \Big ) \| w _ { \theta ^ { \prime } } - w \| } \\ & { = \Big ( L _ { 0 } \theta ^ { \prime } + L _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \nabla f ( w _ { \theta ^ { \prime } \theta } ) \| ^ { \alpha } \theta ^ { \prime } d \theta \Big ) \| w ^ { \prime } - w \| } \\ & { \overset { ( i ) } { = } H ( \theta ^ { \prime } ) \| w ^ { \prime } - w \| } \end{array}
c _ { m } ( s ) = c _ { m } ( 0 ) + \frac { 1 } { T } \sum _ { n \neq m } \left. \left[ \frac { i \langle \widetilde { m } ( s ^ { \prime } ) | \dot { n } ( s ^ { \prime } ) \rangle } { \Delta _ { m n } ( s ^ { \prime } ) } e ^ { i \Omega _ { m n } ( s ^ { \prime } ) } \right] \right| _ { s ^ { \prime } = 0 } ^ { s ^ { \prime } = s } c _ { n } ( 0 ) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { d e g } ( p ) < k } \| p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \vec { c } \in \mathbb { R } ^ { k } } \| \mathbf { Q } \mathbf { c } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \vec { c } \in \mathbb { R } ^ { k } } \| \sqrt { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } \mathbf { Q } \mathbf { c } - \sqrt { | \vec { A } - z _ { j } \vec { I } | } r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = f _ { 2 } ( t ) \, H } & { { } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \dot { f } _ { 2 } \sum _ { i } \big ( x _ { i } \, p _ { x , i } + y _ { i } \, p _ { y , i } + z _ { i } \, p _ { z , i } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \psi } _ { 0 } \left( x \right) } & { = 0 \, , \quad { \psi } _ { 1 } \left( x \right) = \frac { \lambda \pi } { T } \sin \left( \frac { \pi } { \ell } x \right) \, , } \\ { f \left( x , t \right) } & { = { \pi } ^ { 2 } \left[ - { \left( \frac { \lambda } { T } \right) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { { \ell } ^ { 2 } } \left( \alpha \left( t \right) + \frac { { \pi } ^ { 2 } } { 2 \ell } \beta \left( t \right) { \sin } ^ { 2 } \left( \frac { \lambda \pi } { T } t \right) \right) \right] \sin \bigg ( \frac { \pi } { \ell } x \bigg ) \sin \left( \frac { \lambda \pi } { T } t \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { t } ( x , t ) = } & { w _ { x x } ( x , t ) + c ( x , t ) w ( x , t ) + \int _ { 0 } ^ { x } w ( y , t ) f ( x , y ) \mathrm { d } y , ( x , t ) \in ( 0 , 1 ) \times { \mathbb { R } _ { > 0 } } , } \\ { w _ { x } ( 0 , t ) = } & { 0 , t \in { \mathbb { R } _ { > 0 } } , } \\ { w _ { x } ( 1 , t ) = } & { U ( t ) , t \in { \mathbb { R } _ { > 0 } } , } \\ { w ( x , 0 ) = } & { w _ { 0 } ( x ) , x \in ( 0 , 1 ) , } \end{array}
P _ { \mathrm { f a d } } ( \tau ) = \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { \gamma \sigma _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } \tau } \left( \ln \frac { \eta } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } - 1 } \exp \left[ - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } \left( \ln \frac { \eta } { \tau } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } } \right] .
\begin{array} { r l } & { \tau _ { j } ^ { i } \geq 0 } \\ & { \tau _ { j } ^ { i } \leq 9 5 } \\ & { \tau _ { j } ^ { i } \geq t _ { a } ^ { i } + d ^ { i } } \\ & { \tau _ { j } ^ { i } \leq t _ { c } ^ { i } + d ^ { i } } \\ & { t _ { d } ^ { i } \geq t _ { c } ^ { i } + d ^ { i } } \\ & { \tau _ { j } ^ { i } < \tau _ { j + 1 } ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { p h } ^ { ( \infty ) } \equiv \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow \infty } v _ { p h } ( \omega ) = U _ { 0 } , } \\ & { \alpha ^ { ( \infty ) } U _ { 0 } \equiv \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow \infty } \alpha ( \omega ) U _ { 0 } = - \boldsymbol { l } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { B } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { d } _ { 0 } , } \end{array}
I _ { 5 } ^ { ( 1 ) } = D p ^ { 2 } \int d ^ { D } k \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } = D p ^ { 2 } I ( 1 , 2 )
\vec { x } _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ s ~ } } ^ { k } \, = \, \mathcal { F } ^ { - 1 } \big ( \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ A ~ C ~ S ~ } } \tilde { \vec { y } } ^ { k } \big ) , \quad \vec { x } _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ s ~ } } \, = \, \mathrm { ~ R ~ S ~ S ~ } \Big ( \Big \{ \vec { x } _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ s ~ } } ^ { k } \Big \} _ { k = 1 } ^ { n _ { c } } \Big ) .
\begin{array} { r l } { c _ { s } ^ { + } } & { = u _ { x } + \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \rho } + \sqrt { { \left( \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \rho } \right) } ^ { 2 } + { \varsigma } ^ { 2 } + \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } } , } \\ { c _ { s } ^ { - } } & { = u _ { x } + \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \rho } - \sqrt { { \left( \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { 2 \rho } \right) } ^ { 2 } + { \varsigma } ^ { 2 } + \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } } . } \end{array}
\Pi _ { 0 0 } ( 0 , k ) = m _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { \mu ^ { 2 } } { c \pi } \biggl \{ 1 + \left( 2 + \frac { k ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { k ^ { 4 } } { 4 \mu ^ { 4 } } \right) \frac \mu { k } \arctan \frac { k } { 2 \mu } + \frac { k ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { 2 } } \biggr \} .
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { \Big \{ \partial _ { < a _ { 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \ln k \Big ( { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } + \tau } \Big ) + \sum _ { p = 1 } ^ { \ell } \frac { \ell ! } { p ! ( \ell - p ) ! } k _ { < a _ { 1 } } . . . k _ { a _ { p } } \partial _ { a _ { p + 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \frac { \partial ^ { p - 1 } } { \partial \tau ^ { p - 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } } \Big \} \Big | _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } . ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { V } _ { j } ^ { n + 1 } = \mathbf { D } _ { j } ^ { - 1 } \left( \mathbf { V } _ { j } ^ { n } + \Delta t \, u _ { m , j } ^ { n + 1 } \textrm { \boldmath { g } } \right) . } \end{array}
I _ { n o n - p l a n a r } ^ { T = 0 } = \frac { g } { 2 } \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { e ^ { i \tilde { p } k } } { e ^ { \beta ( \frac { k ^ { 2 } } { 2 } - \mu ) } - 1 } = \frac { g } { 8 \pi ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { - \frac { \mu } { T } } - 1 } \, .
\begin{array} { r l } & { m _ { 2 } ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } ( e _ { j _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { - j _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ) = \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 } - k _ { 1 } ) ! ( 2 j _ { 2 } - k _ { 2 } ) ! } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! ( 2 j _ { 1 } ) ! ( 2 j _ { 2 } ) ! } } m _ { 2 } ( e _ { j _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } - \frac { k _ { 1 } } { 2 } , \frac { k _ { 1 } } { 2 } ) } , e _ { - j _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } - \frac { k _ { 2 } } { 2 } , \frac { k _ { 2 } } { 2 } ) } ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k _ { 2 } } \frac { \sqrt { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) } ( 2 j _ { 1 } - k _ { 1 } ) ! ( 2 j _ { 2 } - k _ { 2 } ) ! } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } + 1 ) ! } \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - 2 k _ { 1 } - 2 k _ { 2 } + 1 ) ! } { ( 2 j _ { 1 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ! ( 2 j _ { 2 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ! } } e _ { j _ { 1 } - j _ { 2 } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } ( \| U ( t ) \| ^ { 2 } + \| W ( t ) \| ^ { 2 } + \| R ( t ) \| ^ { 2 } ) + \alpha ( P ) ( \| U ( t ) \| ^ { 2 } + \| W ( t ) \| ^ { 2 } + \| R ( t ) \| ^ { 2 } ) } \\ { \leq } & { \, \frac { d } { d t } ( \| U ( t ) \| ^ { 2 } + \| W ( t ) \| ^ { 2 } + \| R ( t ) \| ^ { 2 } ) + ( b \| W ( t ) \| ^ { 2 } + r \| R ( t ) \| ^ { 2 } ) } \\ { + } & { \, 2 \left[ m P - \left( \beta + k + \frac { 1 } { 2 b } | a - \sigma | ^ { 2 } + \frac { q ^ { 2 } } { r } + \frac { C ^ { * 4 } \, k ^ { 8 } ( 1 + Q ) ^ { 2 } } { \eta ^ { 3 } \, r ^ { 4 } } \right) \right] \| U ( t ) \| ^ { 2 } \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } \frac { t _ { x } - 1 } { \Delta x } - ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } \frac { t _ { y } - 1 } { \Delta y } \right) } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { y } - 1 } { t _ { y } \Delta y } } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { x } - 1 } { t _ { x } \Delta x } } \end{array}
t _ { k } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \operatorname { t a n h } \left( \frac { s } { 2 } \right) e ^ { \frac { k \pi i } { 2 g } } } \\ { \operatorname { t a n h } \left( \frac { s } { 2 } \right) e ^ { - \frac { k \pi i } { 2 g } } } & { 1 } \end{array} \right] , \quad k = 0 , 1 , \dots , 2 g - 1 .
\{ { \hat { \xi } } _ { 1 } , { \hat { \xi } } _ { 2 } \} _ { \mathrm { \scriptsize ~ S D } } ^ { t } = { \hat { \xi } } _ { 1 } ^ { a } \partial _ { a } { \hat { \xi } } _ { 2 } ^ { t } - { \hat { \xi } } _ { 2 } ^ { a } \partial _ { a } { \hat { \xi } } _ { 1 } ^ { t } , \qquad \{ { \hat { \xi } } _ { 1 } , { \hat { \xi } } _ { 2 } \} _ { \mathrm { \scriptsize ~ S D } } ^ { a } = { \hat { \xi } } _ { 1 } ^ { b } \partial _ { b } { \hat { \xi } } _ { 2 } ^ { a } - { \hat { \xi } } _ { 2 } ^ { b } \partial _ { b } { \hat { \xi } } _ { 1 } ^ { a } + g ^ { a b } \left( { \hat { \xi } } _ { 1 } ^ { t } \partial _ { b } { \hat { \xi } } _ { 2 } ^ { t } - { \hat { \xi } } _ { 2 } ^ { t } \partial _ { b } { \hat { \xi } } _ { 1 } ^ { t } \right) .