harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x _ { \mathrm { h } } ( t ) } & { + \mathrm { i } \, \Omega ^ { - 1 } { \dot { x } } _ { \mathrm { h } } ( t ) = \exp [ - \mathrm { i } \Omega ( t - t _ { 0 } ) ] } \\ & { \cdot ( x _ { \mathrm { h } } ( t _ { 0 } ) + \mathrm { i } \, \Omega ^ { - 1 } { \dot { x } } _ { \mathrm { h } } ( t _ { 0 } ) \pm a _ { \mathrm { m a x } } / \Omega ^ { 2 } ) \mp a _ { \mathrm { m a x } } / \Omega ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta = } & { \Bigg \{ \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j \! = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \bigg [ \left( 1 \! - p \left( 1 \! - \left( \eta _ { \alpha _ { i } } \! + \mu _ { \alpha _ { i } } \right) ^ { \gamma } \right) \right. \bigg . \Bigg . } \\ & { \quad \left. \! - q \left( 1 \! - \left( \eta _ { \alpha _ { j } } \! + \mu _ { \alpha _ { j } } \right) ^ { \gamma } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { \gamma } } \! - \left( 1 \! - p \left( 1 \! - \mu _ { \alpha _ { i } } ^ { \gamma } \right) \right. } \\ & { \quad \left. \! - q \left( 1 \! - \mu _ { \alpha _ { j } } ^ { \gamma } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { \gamma } } \! + 1 \! - \left( 1 \! - p \left( 1 \! - \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { i } } \right) ^ { \gamma } \right) \right. } \\ & { \quad \Bigg . \bigg . \left. \! - q \left( 1 \! - \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { j } } \right) ^ { \gamma } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { \gamma } } \bigg ] ^ { \gamma } \Bigg \} ^ { \frac { 1 } { \gamma } } } \\ & { \! - \Bigg \{ \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j \! = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \bigg [ 1 \! - \left( 1 \! - p \left( 1 \! - \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { i } } \right) ^ { \gamma } \right) \right. \bigg . \Bigg . } \\ & { \quad \quad \Bigg . \bigg . \left. \! - q \left( 1 \! - \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { j } } \right) ^ { \gamma } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { \gamma } } \bigg ] ^ { \gamma } \Bigg \} ^ { \frac { 1 } { \gamma } } , } \end{array}
\left( \mathrm { S i n g l e } \right) \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ F ~ i ~ n ~ d ~ } u _ { i } \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ : ~ } } & { } \\ { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { S i n g l e } } = 0 _ { j } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega , } \\ { \sigma _ { i j } n _ { j } = - p ^ { \mathrm { c a v } } n _ { i } } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } , } \\ { \sigma _ { i j } n _ { j } = 0 _ { i } } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { o u t } } , } \\ { u _ { i } n _ { i } = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } , } \\ { u _ { i } \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { x } } = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \{ \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } \cap \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } \cap y = 0 \} , } \\ { u _ { i } \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { y } } = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \{ \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } \cap \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } \cap x = 0 \} , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { e _ { m } v _ { 0 } ^ { b , c , \mu } } & { = C G ( \frac { b } { 2 } , \frac { b } { 2 } ; \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } \, | \, \frac { c + b } { 2 } , \frac { c + b } { 2 } ) \; C G ( \frac { m - b } { 2 } , - \frac { m - b } { 2 } ; \, \frac { b } { 2 } , - \frac { b } { 2 } \, | \, \frac { m } { 2 } , - \frac { m } { 2 } ) \; \; v _ { a } ^ { a } \otimes v _ { 0 } ^ { c } } \\ & { = v _ { a } ^ { a } \otimes v _ { 0 } ^ { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( u , \rho , \psi ) = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left( e ( t , x , \rho ) + \gamma | u | ^ { 2 } \rho \right) d x d t + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } c ( T , x , \rho ( T , x ) ) d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \rho \left( \partial _ { t } \psi + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \psi + \left( \mathcal { P } ( \rho ) + s ( t , x , \rho ) u \right) \cdot \nabla \psi \right) d x d t } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { \mathrm { F } } } \rho \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \nabla \psi \cdot \vec { n } + \beta \psi \right) d b d t } \\ & { - \int _ { \Omega } ( \psi ( T , x ) \rho ( T , x ) - \psi ( 0 , x ) \rho ( 0 , x ) ) d x , } \end{array}
\left| { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { d i r } } ( B _ { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) \right| _ { \gamma = 9 0 ^ { \circ } } ^ { \mathrm { m a x } } = 2 \, \sqrt { \frac { ( 1 - \epsilon ^ { 2 } { \cal K } ) ( \xi _ { d } ^ { 2 } { \cal K } - 1 ) } { \left( \xi _ { d } ^ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } \right) ^ { 2 } { \cal K } ^ { 2 } } } \approx \frac { 2 } { \xi _ { d } \sqrt { { \cal K } } }
\frac { 1 } { A _ { 1 } A _ { 2 } \cdots A _ { n } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } d x _ { 2 } \cdots d x _ { n } \, \delta \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } - 1 \bigg ) \frac { ( n - 1 ) ! } { ( x _ { 1 } A _ { 1 } + x _ { 2 } A _ { 2 } + \cdots x _ { n } A _ { n } ) ^ { n } } \, .
\theta ^ { \prime } = \arcsin \left[ \frac { n _ { 1 } } { n _ { 0 } } \cdot \sin \left( \arcsin \left( \theta _ { 1 } \right) - \arcsin \left( \frac { n _ { 0 } } { n _ { 1 } } \cdot \theta _ { 1 } \right) + \theta \right) \right] ,
U _ { \phi } = \left( \begin{array} { c c } { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \phi \left( \mathbf { P } \right) \right] } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left[ \frac { i } { 2 } \phi \left( \mathbf { P } \right) \right] } \end{array} \right) ,
0 \geq \int - | r ^ { - 1 / 2 } { \widehat { u } } ^ { \prime } - r ^ { - 3 / 2 } W \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | ^ { 2 } - R ^ { \star } ( r ^ { - 2 } | W \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | ^ { 2 } ) = \int - \frac { 1 } { r } | { \widehat { u } } ^ { \prime } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } | W \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | ^ { 2 } - \frac { 2 R ^ { \star } ( r ) } { r ^ { 3 } } | { \widehat { u } } | ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = ( - 1 ) ^ { m } z ^ { - \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - \kappa } \sum _ { j = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( - \kappa - m ) _ { j } } { j ! } \overline { { z } } ^ { j } \frac { \partial ^ { m } } { \partial z ^ { m } } \left( z ^ { n + \rho + j } \right) } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } m ! } { 2 \pi i } z ^ { - \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - \kappa } \oint _ { \mid t \mid = 1 } \frac { t ^ { n + \rho } } { ( t - z ) ^ { m + 1 } } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { + \infty } ( - \kappa - m ) _ { j } \frac { ( t \overline { { z } } ) ^ { j } } { j ! } \right) d t } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } m ! } { 2 \pi i } z ^ { - \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - \kappa } \oint _ { \mid t \mid = 1 } \frac { t ^ { n + \rho } ( 1 - t \overline { { z } } ) ^ { \kappa + m } } { ( t - z ) ^ { m + 1 } } d t } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } m ! } { 2 \pi i } z ^ { - \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - \kappa } \oint _ { \mid t \mid = 1 } t ^ { n + m + \rho + \kappa } \frac { ( \overline { { t } } - \overline { { z } } ) ^ { \kappa + m } } { ( t - z ) ^ { m + 1 } } d t . } \end{array}
\lambda _ { i j k } ^ { \prime } [ ( V _ { K M } ) _ { j l } ( { \tilde { \nu } } _ { L } ^ { i } { \bar { d } } _ { R } ^ { k } d _ { L } ^ { l } + { \tilde { d } } _ { L } ^ { l } { \bar { d } } _ { R } ^ { k } { \nu } _ { L } ^ { i } + ( \tilde { d } _ { R } ^ { k } ) ^ { * } \overline { { { ( \nu _ { L } ^ { i } ) ^ { c } } } } d _ { L } ^ { l } ) - { \tilde { e } } _ { L } ^ { i } { \bar { d } } _ { R } ^ { k } u _ { L } ^ { j } - { \tilde { u } } _ { L } ^ { j } { \bar { d } } _ { R } ^ { k } e _ { L } ^ { i } - ( \tilde { d } _ { R } ^ { k } ) ^ { * } \overline { { { ( e _ { L } ^ { i } ) ^ { c } } } } u _ { L } ^ { j } ] ,
\{ f \star g \} ( \tau ) = \frac { \int _ { \Delta T } f ( t + \tau ) g ( t ) \, \mathrm { d } t } { \left( \int _ { \Delta T } f ( t ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \right) ^ { 1 / 2 } \left( \int _ { \Delta T } g ( t ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \right) ^ { 1 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ) - Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) } \\ & { = \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } ) - Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) } \\ & { \quad + \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ \langle v \rangle ^ { m } Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ) - Q _ { D } ( F _ { + } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } ) \} . } \end{array}
\triangle \left( \hat { Q } _ { \pm } \right) = \hat { Q } _ { \pm } \otimes I + q ^ { \pm T } \otimes \left( \hat { Q } _ { \pm } - \hat { \epsilon } _ { \pm } I \right) \in U _ { q } ( \widehat { s l _ { 2 } } ) \otimes \mathcal { B } _ { q } ^ { \epsilon } ( \widehat { s l _ { 2 } } ) \ .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \| v ^ { ( 4 ) } - v ^ { \omega k _ { 4 } } \| _ { L ^ { 1 } ( \mathcal { X } _ { 1 } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 } \ln t , } \\ { \| v ^ { ( 4 ) } - v ^ { \omega k _ { 4 } } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { X } _ { 1 } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } \ln t , } \end{array} \right. \qquad \zeta \in \mathcal { I } , \ t \geq 2 . } \end{array}
P _ { \overline { { { q } } } Q \overline { { { Q } } } \rightarrow \overline { { { q } } } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { n o n - i d e n t . } } ( w , x , y , s _ { \overline { { { q } } } Q } , s _ { Q \overline { { { Q } } } } , s _ { \overline { { { q } } } Q \overline { { { Q } } } } ) = P _ { q \overline { { { Q } } } Q \rightarrow q ^ { \prime } } ^ { \mathrm { n o n - i d e n t . } } ( w , x , y , s _ { q \overline { { { Q } } } } , s _ { Q \overline { { { Q } } } } , s _ { q Q \overline { { { Q } } } } ) .
E ( u , v ) : = | | \boldsymbol { D } _ { x } ^ { + } u | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \boldsymbol { D } _ { x } ^ { + } v | | _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } | | u | | _ { 2 p + 2 } ^ { 2 p + 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } | | v | | _ { 2 p + 2 } ^ { 2 p + 2 } + \frac { 2 \beta } { p + 1 } \Delta x \sum _ { i = 1 } ^ { N } | u _ { i } | ^ { p + 1 } | v _ { i } | ^ { p + 1 } .
\frac { ( 2 \pi ) ^ { D / 2 } } { G N \sqrt { 2 } } = \frac { \Lambda ^ { D - 2 } ( 1 - ( e H / \Lambda ^ { 2 } ) ^ { D / 2 - 1 } ) } { D / 2 - 1 } + \frac { ( e H ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } { \rho } \int _ { \rho ^ { 2 } / e H } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { 1 / 2 } } e ^ { - s } .
d s ^ { 2 } = d \chi ^ { 2 } - \frac { d \tau ^ { 2 } } { 1 - ( \tau _ { 0 } / \tau ) ^ { 2 p - 2 } } + \tau ^ { 2 } [ d \theta ^ { 2 } + s i n h ^ { 2 } \theta d \Omega _ { p - 2 } ^ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { I _ { C , { \mathrm { b a l l } } } } & { { } = \int _ { - R } ^ { R } { \frac { \pi \rho } { 2 } } r ( z ) ^ { 4 } \, \mathrm { d } z = \int _ { - R } ^ { R } { \frac { \pi \rho } { 2 } } \left( R ^ { 2 } - z ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } z } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ \boldmath ~ A ~ } _ { \mathrm { p } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \hat { \mathrm { ~ \boldmath ~ z ~ } } \times \int _ { S ^ { \prime } } B _ { z } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ x ~ } ^ { \prime } ) \frac { \mathrm { ~ \boldmath ~ r ~ } } { r ^ { 2 } } \, d S ^ { \prime } , } \end{array}
S 4 _ { t } = - 1 . 1 5 e ^ { \frac { - S 1 _ { t - 1 } ^ { 2 } } { 2 } } + 1 . 3 5 e ^ { \frac { - S 3 _ { t - 1 } ^ { 2 } } { 2 } } + 0 . 2 8 e ^ { \frac { - S 4 _ { t - 1 } ^ { 2 } } { 2 } } + \varepsilon 4
L _ { p } \left( y , y ^ { \mathrm { ~ a ~ n ~ a ~ l ~ y ~ t ~ i ~ c ~ } } , v \right) = \frac { \left( \sum _ { i } v _ { i } \left| y _ { i } - y _ { i } ^ { \mathrm { ~ a ~ n ~ a ~ l ~ y ~ t ~ i ~ c ~ } } \right| ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } { \left( \sum _ { i } v _ { i } \left| y _ { i } \right| ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } + \left( \sum _ { i } v _ { i } \left| y _ { i } ^ { \mathrm { ~ a ~ n ~ a ~ l ~ y ~ t ~ i ~ c ~ } } \right| ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } ,
\begin{array} { r l r } { { { u } _ { n } } \left( t \right) } & { { } = } & { a { { B } _ { u } } \left( X \right) } \\ { { { \theta } _ { n } } \left( t \right) } & { { } = } & { { { B } _ { \theta } } \left( X \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { l , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) } & { { } = } & { - 2 \delta _ { n } \frac { q \beta } { r _ { c } ^ { 2 } } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p = \pm 1 } \frac { R _ { n + p } ( u , r / r _ { c } ) } { p ^ { l } W _ { n + p } ^ { I } } , } \\ { H _ { 3 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) } & { { } = } & { 2 \delta _ { n } \frac { q \beta } { r _ { c } ^ { 2 } } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p = \pm 1 } \frac { R _ { p , n } ^ { \mathrm { ( m ) } } ( u , r / r _ { c } ) } { p W _ { n + p } ^ { I } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \partial _ { x } ^ { s - 2 } v = } & { - \left( \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \right) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 2 } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } - \nu \partial _ { z z } v ^ { 1 } ) d t } \\ & { - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \left( \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \right) \partial _ { x } ^ { s - 2 } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } - \nu \partial _ { z z } v ^ { 1 } ) d t } \\ & { - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 2 } \left( u \partial _ { x } v ^ { 1 } + u ^ { 2 } \partial _ { x } v + w \partial _ { z } v ^ { 1 } + w ^ { 2 } \partial _ { z } v - \nu \partial _ { z z } v \right) d t } \\ & { + \left( \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \right) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 2 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) d W } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \left( \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \right) \partial _ { x } ^ { s - 2 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) d W } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left( \partial _ { x } ^ { s - 2 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) - \partial _ { x } ^ { s - 2 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 2 } ) \right) d W } \\ { : = } & { ( A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } ) d t + ( A _ { 4 } + A _ { 5 } + A _ { 6 } ) d W , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { V } } & { { } = } & { 2 \nu \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r _ { j } ^ { 2 } } \overline { { ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } - 2 \overline { { \epsilon } } ^ { + } - 2 \overline { { \epsilon } } ^ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { O _ { i } } ( x ) - f _ { O _ { i } } ( x | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } ) | } & { \le \sum _ { l \in \mathcal { S } _ { i } ( r ) ^ { c } } | x _ { l } ( 0 ) | \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \big | \partial _ { l } \operatorname { t r } \big [ O _ { i } \sigma ( \beta , x ( s ) ) \big ] \big | \, d s } \\ & { = \beta \sum _ { l \in \mathcal { S } _ { i } ( r ) ^ { c } } | x _ { l } ( 0 ) | \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \big | \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ( s ) ) } \big ( O _ { i } , \widetilde { H } _ { l } ( x ( s ) ) \big ) | \, d s \, , } \end{array}
R _ { t t } = - a ^ { 2 } R _ { r r } = a ( \frac { a _ { , r r } } { 2 } + \frac { a _ { , r } } { r } ) , \; \; R _ { \phi \phi } = \sin ^ { 2 } \theta R _ { \theta \theta } = ( 1 - a - r a _ { , r } ) \sin ^ { 2 } \theta .
\begin{array} { r l } { { \mathcal { Z } } } & { { } = \exp { \big ( } 0 ( \mu - \varepsilon ) / k _ { \mathrm { { B } } } T { \big ) } + \exp { \big ( } 1 ( \mu - \varepsilon ) / k _ { \mathrm { { B } } } T { \big ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left| \left( \frac { \left( \sigma ^ { * } ( x ) \right) ^ { 2 } + ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) ( x ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a ^ { * } ( P ) } ( x ) ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a ^ { * } ( P ) | x ) } \right) \right. } \\ & { \ \ \ + \left( \frac { \left( \sigma ^ { a } ( x ) \right) ^ { 2 } + ( \mu ^ { a } ( P ) ( x ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( x ) ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | x ) } \right) - \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a ^ { * } ( P ) } ( x ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( x ) - ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ \left. - \left( \frac { \left( \sigma ^ { * } ( x ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a ^ { * } ( P ) | x ) } + \frac { \left( \sigma ^ { a } ( x ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | x ) } + \left( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) ( x ) - \mu ^ { a } ( P ) ( x ) - ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) \right) ^ { 2 } \right) \right| } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left| \frac { \left( \sigma ^ { * } ( x ) \right) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a ^ { * } ( P ) | x ) } - \frac { \left( \sigma ^ { * } ( x ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a ^ { * } ( P ) | x ) } \right| + \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left| \frac { \left( \sigma ^ { a } ( x ) \right) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | x ) } - \frac { \left( \sigma ^ { a } ( X ) \right) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | x ) } \right| } \\ & { \ \ \ + \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) ( x ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a ^ { * } ( P ) } ( x ) ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a ^ { * } ( P ) | x ) } + \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { ( \mu ^ { a } ( P ) ( x ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( x ) ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | x ) } } \\ & { \ \ \ + \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left| \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a ^ { * } ( P ) } ( x ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( x ) - ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) \right) ^ { 2 } - \left( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) ( x ) - \mu ^ { a } ( P ) ( x ) - ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) \right) ^ { 2 } \right| } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D } & { { } \approx } & { \left( M _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } + M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } + M _ { 2 } ^ { - 1 / 2 } \right) R ^ { \mathrm { ~ T ~ } } K R \times } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \{ \hat { \beta } _ { t } \} _ { t } } { \small \textsc { { L A R } } } _ { \beta } ( \{ \hat { \beta } _ { t } \} _ { t } ) \geq { \mathbb E } [ L ( { \mathcal { N } } ( 0 , ( { \mathcal { H } } _ { B } ) ^ { \dagger } { \operatorname { V a r } } ( { \mu ^ { * } } ) ( { \mathcal { H } } _ { B } ) ^ { \dagger } ) ) ] \; . } \end{array}
D _ { 1 1 2 2 } = \overline { { \left( \delta u \right) ^ { 2 } \left( \delta v \right) ^ { 2 } } } \simeq \overline { { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial v } { \partial x } \right) ^ { 2 } } } r ^ { 4 } + . . . .
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 1 } } & { = } & { C _ { N } ^ { - 1 / 2 } { S } _ { N , 1 1 } ( \Delta t ) ^ { T } C _ { N } { S } _ { N , 1 1 } ( \Delta t ) C _ { N } ^ { - 1 / 2 } + } \\ & { } & { C _ { N } ^ { - 1 / 2 } { S } _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) ^ { T } { S } _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) C _ { N } ^ { - 1 / 2 } , } \\ { G _ { 1 2 } } & { = } & { C _ { N } ^ { - 1 / 2 } { S } _ { N , 1 1 } ( \Delta t ) ^ { T } C _ { N } { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) + C _ { N } ^ { - 1 / 2 } { S } _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) ^ { T } { S } _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) , } \\ { G _ { 2 1 } } & { = } & { { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) ^ { T } C _ { N } { S } _ { N , 1 1 } ( \Delta t ) C _ { N } ^ { - 1 / 2 } + { S } _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) ^ { T } { S } _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) C _ { N } ^ { - 1 / 2 } , } \\ { G _ { 2 2 } } & { = } & { { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) ^ { T } C _ { N } { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) + { S } _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) ^ { T } { S } _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) . } \end{array}
D _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { j } ( Z ) \: = \: \left[ \frac { ( j + q _ { 1 } ) ! ( j - q _ { 1 } ) ! } { ( j + q _ { 2 } ) ! ( j - q _ { 2 } ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } \quad \sum _ { s = \operatorname * { m a x } ( 0 , q _ { 1 } + q _ { 2 } ) } ^ { s = \operatorname * { m i n } ( j - q _ { 2 } , j + q _ { 2 } ) } { \binom { j + q _ { 2 } } { s } } \times
\hat { H } = \cfrac { \omega _ { m } } { 2 k _ { m } ^ { 2 } K _ { m } } \left( \cfrac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } + 2 k _ { m } ^ { 2 } \cfrac { \Delta r _ { e f f } ( z ) } { r _ { 0 _ { e f f } } } \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { \pm } ^ { ( t ) } } { P _ { + } ^ { ( i ) } } } & { { } = } & { \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \frac { \xi _ { 2 } } { \xi _ { 1 } } | T _ { \pm + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) | ^ { 2 } , } \\ { \frac { P _ { \pm } ^ { ( r ) } } { P _ { + } ^ { ( i ) } } } & { { } = } & { - \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \frac { \xi _ { 2 } } { \xi _ { 1 } } | R _ { \pm + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { c l } { b _ { 1 } ( u _ { 1 } , v _ { 1 } ) = ( f , v _ { 1 } ) _ { 1 } } & { \mathrm { f o r ~ a n y } \ v _ { 1 } \in V _ { 1 } ^ { 0 } , } \\ { u _ { 1 } = u _ { 2 } } & { \mathrm { o n } \ \Gamma , } \\ { b _ { 2 } ( u _ { 2 } , v _ { 2 } ) \! = \! ( f , v _ { 2 } ) _ { 2 } \! + \! ( f , R _ { 1 } \gamma _ { 0 } v _ { 2 } ) _ { 1 } \! - \! b _ { 1 } ( u _ { 1 } , R _ { 1 } \gamma _ { 0 } v _ { 2 } ) \! - \! ( q , v _ { 2 } ) _ { L ^ { 2 } ( \Gamma ) } } & { \mathrm { f o r ~ a n y } \ v _ { 2 } \in V _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { k } } & { = \frac { 2 K - 2 } { k \log t } + \frac { 1 - \frac { 2 K - 2 } { k } } { t ^ { 1 / ( 2 K - 2 ) } \log t } } \\ & { \qquad + \left( \theta _ { k } - \frac { 1 } { k } + \frac { 2 } { \log t } \right) \left( C _ { k } ( \eta _ { 3 } , h _ { 1 } ) + D _ { k } ( \eta _ { 3 } , h _ { 1 } ) h _ { 1 } ^ { 2 / K - k / ( K - 1 ) } \right) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \log t } \frac { h _ { 1 } ^ { 1 - k / ( 2 K - 2 ) } } { h _ { 1 } ^ { 1 - k / ( 2 K - 2 ) } - 1 } h _ { 0 } ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 1 } t ^ { 1 / ( k K - 2 K + 2 ) - 1 / k } . } \end{array}
\Gamma _ { 0 } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m ^ { 5 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } \, , \qquad \left. \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } x } \right| _ { \mathrm { B o r n } } = 2 x ^ { 2 } ( 3 - 2 x ) \Gamma _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { 1 \le \sum _ { b = 0 } ^ { a - 1 } e ^ { - \frac { p a } { 2 } \cdot \frac { b } { a } \left( 1 - \frac { b } { a } \right) } \le a \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \frac { p a } { 2 } x ( 1 - x ) } \, \mathrm { d } x + 1 } & { = a e ^ { - \frac { p a } { 8 } } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } e ^ { \frac { p a } { 2 } x ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x + 1 } \\ & { = \frac { 8 } { p } \sqrt { \frac { p a } { 8 } } e ^ { - \frac { p a } { 8 } } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { \frac { p a } { 8 } } } e ^ { x ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x + 1 } \\ & { \ll \frac { 1 } { p } + 1 . } \end{array}
\delta \vec { U } ^ { m } = \vec { U } ^ { m + 1 } - \vec { U } _ { \mathcal { A } } ^ { m } \sqrt { \Bigl ( 1 - \Delta t \, r ^ { - 1 } [ \vec { W } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ] \Bigr ) \mathcal { J } ^ { m } }