harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { | P _ { 1 } ( r ) | - 1 . 2 6 8 4 4 | \mathcal { E } | ^ { 1 1 / 3 } } \\ { \geq } & { q ^ { - 1 } | \mathcal { E } | ^ { 4 } - 2 | \mathcal { E } | ^ { 3 } - q ^ { d - 1 } | \mathcal { E } | ^ { 2 } - 4 q ^ { - 2 } | \mathcal { E } | ^ { 4 } - 4 q ^ { ( d - 2 ) / 2 } | \mathcal { E } | ^ { 3 } - 1 . 2 6 8 4 4 | \mathcal { E } | ^ { 1 1 / 3 } } \\ { \geq } & { t ^ { 4 } q ^ { 2 d - 1 } - 2 t ^ { 3 } q ^ { 3 d / 2 } - t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } - 4 t ^ { 4 } q ^ { 2 d - 2 } - 4 t ^ { 3 } q ^ { 2 d - 1 } - 1 . 2 6 8 4 4 t ^ { 1 1 / 3 } q ^ { 1 1 d / 6 } } \\ { = } & { t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } \left( t ^ { 2 } - 2 t q ^ { ( 2 - d ) / 2 } - 1 - 4 t ^ { 2 } q ^ { - 1 } - 4 t - 1 . 2 6 8 4 4 t ^ { 5 / 3 } q ^ { ( 6 - d ) / 6 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } \left( t ^ { 2 } - 2 t \cdot 5 ^ { ( 2 - 6 ) / 2 } - 1 - 4 t ^ { 2 } \cdot 5 ^ { - 1 } - 4 t - 1 . 2 6 8 4 4 t ^ { 5 / 3 } \cdot 5 ^ { ( 6 - 6 ) / 6 } \right) } \\ { = } & { t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } \left( \frac { 1 } { 5 } t ^ { 2 } - \frac { 1 0 2 } { 2 5 } t - 1 - 1 . 2 6 8 4 4 t ^ { 5 / 3 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } \left( \frac { 1 } { 5 } t ^ { 2 } - \frac { 4 9 } { 1 2 } t - 1 . 2 6 8 4 4 t ^ { 5 / 3 } \right) } \\ { = } & { t ^ { 3 } q ^ { 2 d - 1 } \left( t ^ { 2 / 3 } \left( \frac { 1 } { 5 } t ^ { 1 / 3 } - 1 . 2 6 8 4 4 \right) - \frac { 4 9 } { 1 2 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 3 } q ^ { 2 d - 1 } \left( 3 1 3 ^ { 2 / 3 } \left( \frac { 1 } { 5 } \cdot 3 1 3 ^ { 1 / 3 } - 1 . 2 6 8 4 4 \right) - \frac { 4 9 } { 1 2 } \right) > 0 . } \end{array}
u ( y , N ) = \frac { U ( y ) } { N } = \frac { ( N - 1 ) ( N - 3 ) } { 8 N ^ { 2 } \, y ^ { 2 } } + \frac { g } { 8 } \, ( y ^ { 2 } - y _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \nabla \rho - \nabla ^ { 2 } { \mathbf E } + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \mathbf E } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = - \mu _ { 0 } \frac { \partial { \mathbf J } } { \partial t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ } & { { } \boldsymbol { J } _ { \psi \vert \phi } = \sum _ { \alpha = 0 } ^ { 4 } \boldsymbol { c } ^ { \alpha } f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) , \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \alpha \neq 0 , } \end{array}
\chi _ { \mathrm { ~ F ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ A ~ B ~ ) ~ } } = [ ( \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ A ~ A ~ } } + \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } ) / 2 - \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } ] / k _ { B } T = 0 . 1 2
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 1 / 2 } } | f _ { k } ( x , u _ { k } ) \Phi | \, d x } & { \le \int _ { B _ { 1 / 2 } } ( | f _ { + , k } | + | f _ { - , k } | ) | \Phi | \, d x = \int _ { B _ { 1 / 2 } } | F _ { k } | | \Phi | \, d x } \\ & { \le C ( N ) \| F _ { k } \| _ { L ^ { N } ( B _ { 1 / 2 } ) } \| \Phi \| _ { L ^ { N ^ { \prime } } ( B _ { 1 / 2 } ) } } \\ & { \le \frac { C ( N , p ) } { k } \| \Phi \| _ { W ^ { 1 , p } ( B _ { 1 / 2 } ) } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { N } _ { S } = \frac { ( 1 - \beta ) \cdot E _ { S } - \beta \cdot E _ { B } } { \delta } \, = \, \frac { E _ { S } - \beta \cdot N } { \delta } \; \geq 0 , } \\ & { } & { \tilde { N } _ { B } = \frac { \varepsilon \cdot E _ { B } - ( 1 - \varepsilon ) \cdot E _ { S } } { \delta } \, \, = \, \frac { \varepsilon \cdot N - E _ { S } } { \delta } \; \ge 0 , } \end{array}
{ _ 1 F } _ { 1 } \left( - n + l + 1 , 2 l + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } + 2 ; \varepsilon r \right) = \sum _ { s = 0 } ^ { n - l - 1 } \frac { ( - n + l + 1 ) _ { s } } { ( 2 l + \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } + 2 ) _ { s } } \frac { ( \varepsilon r ) ^ { s } } { s ! }
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } } & { { } = \sum _ { i } \left[ \mathbf { R } \times m _ { i } \left( \mathbf { V } + \mathbf { v } _ { i } \right) + \mathbf { r } _ { i } \times m _ { i } ( \mathbf { V } + \mathbf { v } _ { i } ) \right] } \end{array}
\mathrm { c o s } \theta _ { k , p } : = { \frac { - p \cdot k + ( P \cdot p ) ( P \cdot k ) / s } { \left[ ( P \cdot p ) ^ { 2 } / s - p ^ { 2 } \right] ^ { \frac 1 2 } \left[ ( P \cdot k ) ^ { 2 } / s - k ^ { 2 } \right] ^ { \frac 1 2 } } }
{ \frac { d } { d k } } \Gamma _ { k } [ \phi ] = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { T r } \left[ \left( { \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma _ { k } } { \delta \phi \delta \phi } } + R _ { k } \right) ^ { - 1 } \cdot { \frac { d } { d k } } R _ { k } \right]
\begin{array} { r } { \sum _ { \{ t ^ { \prime } : t ^ { \mathrm { m i n } } \leq t ^ { \prime } + \Delta _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , 1 } \leq t \} } z _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , 1 } \leq \sum _ { t ^ { \prime } = t ^ { \mathrm { m i n } } } ^ { t } \left( f _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r } + q _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r } \right) \quad \forall ( u , v , r ) \in \mathcal { F } , t \in \mathcal { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( v ^ { t + 1 } ) _ { i } \| _ { \infty } } & { = \left( \| \xi _ { i } ^ { \prime } \| _ { 2 } + \frac { \alpha \lambda } { \beta _ { 2 } } \right) \frac { \| \xi _ { i } ^ { \prime } \| _ { \infty } } { \| \xi _ { i } ^ { \prime } \| _ { 2 } } \geq \| \xi _ { i } ^ { \prime } \| _ { \infty } \geq \left| ( \nabla _ { d } z ^ { t } ) _ { i } - \frac { ( y _ { d } ^ { t } ) _ { i } } { \beta _ { 2 } } \right| - \frac { \lambda } { \beta _ { 2 } } } \\ & { \geq \frac { 1 } { \beta _ { 2 } } \left| ( y _ { d } ^ { t } ) _ { i } \right| - \left| ( \nabla _ { d } z ^ { t } ) _ { i } \right| - \frac { \lambda } { \beta _ { 2 } } , } \end{array}
\left\vert I _ { \Gamma _ { 2 } } \right\vert \leqslant \int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } R ^ { \xi } \frac { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( R \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( R \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) \right\vert } \mathrm { e } ^ { R t \mathrm { \cos } \varphi } \mathrm { d } \varphi \rightarrow 0 , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad R \rightarrow \infty ,
g \; \partial _ { \mu } \left\langle \mathrm { T } \, j _ { a } ^ { \mu } ( x ) \, { \cal O } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \right\rangle = - i \partial _ { \mu } \left\langle \mathrm { T } \; { \frac { \delta { \cal O } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \delta { \cal A } _ { \mu } ^ { a } ( x ) } } \right\rangle \; \; ,
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { { } \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } ) \bigg ( S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) + \frac { m \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \alpha f _ { o n } } ( 1 - e ^ { - \beta ( t _ { e n d } - t _ { o n } ) } ) \bigg ) \bigg ( \tau + ( t _ { e } - t _ { e n d } ) \bigg ) . } \end{array}
\mathbf { u } \wedge \mathbf { v } \wedge \mathbf { w } = ( u _ { 1 } v _ { 2 } w _ { 3 } + u _ { 2 } v _ { 3 } w _ { 1 } + u _ { 3 } v _ { 1 } w _ { 2 } - u _ { 1 } v _ { 3 } w _ { 2 } - u _ { 2 } v _ { 1 } w _ { 3 } - u _ { 3 } v _ { 2 } w _ { 1 } ) ( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \psi _ { T } ( q , t ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \frac [ 1 0 p t ] { \frac { ( t ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i } e _ { j } } } { ( q ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i } e _ { j } } } } { \frac [ 5 p t ] { \frac { ( t ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i + 1 } e _ { j } } } { ( t ; q ) _ { e _ { i + 1 } } } } { \frac { ( q ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i + 1 } e _ { j } } } { ( q ; q ) _ { e _ { i + 1 } } } } } = \prod _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \frac { ( t ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i } e _ { j } } } { ( q ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i } e _ { j } } } \cdot \frac { ( t ; q ) _ { e _ { i + 1 } } ( q ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i + 1 } e _ { j } } } { ( t ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i + 1 } e _ { j } } ( q ; q ) _ { e _ { i + 1 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t ^ { n } } & { = } & { t ^ { n } + \Delta t \, , } \\ { k T _ { i } ^ { n } } & { = } & { \frac { 2 \, E _ { f } ^ { n } } { 2 \pi \, L R ^ { 2 } \left( n _ { p } + n _ { D } + n _ { T } + n _ { B } \right) } \, , } \\ { k T _ { e } ^ { n } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { k T _ { r } } & { k T _ { i } ^ { n } \le k T _ { r } } \\ { b \, k T _ { i } ^ { n } } & { k T _ { i } ^ { n } > k T _ { r } } \end{array} \right. \, , } \\ { k T _ { Z } ^ { n } } & { = } & { c \, k T _ { i } ^ { n } \, , } \\ { u ^ { n } } & { = } & { \sqrt { \frac { 3 \, k T _ { Z } ^ { n } } { m _ { Z } } } \, , } \\ { \Delta \tau ^ { n } } & { = } & { \frac { R } { 4 \, u ^ { n } } \, , } \\ { E _ { f } ^ { n } } & { = } & { E _ { f } ^ { n } + \pi \, L R ^ { 2 } \, \Delta t \, \left[ P _ { f } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) - P _ { i e } \left( k T _ { i } ^ { n } , k T _ { e } ^ { n } \right) \right] \, , } \\ { Q _ { F } ^ { n } } & { = } & { \frac { E _ { f } ^ { n } } { E _ { i } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 \longrightarrow \mathcal O _ { F _ { 0 } } \longrightarrow e _ { F _ { 0 } } ^ { * } ( \mathcal Q _ { 2 } | _ { F _ { 1 } ( Z ) } \otimes \mathcal O _ { F _ { 1 } ( Z ) } ( - 1 ) ) \otimes t _ { F _ { 0 } } ^ { * } ( \mathcal O _ { G ( 3 , H ) } ( 1 ) ) | _ { F _ { 0 } } \longrightarrow N _ { F _ { 0 } ( Z ) / \mathbb P ( \mathcal Q _ { 2 } | _ { F _ { 1 } ( Z ) } ) } \longrightarrow \Omega _ { F _ { 0 } ( Z ) } \longrightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf x } _ { N } ( t ) = { \bf x } _ { N \Vert } ( 0 ) + { \bf x } _ { N \bot } ( t ) = { \bf x } _ { N \Vert } ( 0 ) + | { \bf x } _ { N \bot } ( 0 ) | \left[ { \bf e } _ { 1 } \cos ( | \boldsymbol { \omega } | t ) + { \bf e } _ { 2 } \sin ( | \boldsymbol { \omega } | t ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a = \frac { 1 } { 4 } ( \alpha + \iota _ { x y } ( \alpha ) + \iota _ { x z } ( \alpha ) + \iota _ { y z } ( \alpha ) ) , \quad b = \frac { 1 } { 4 \omega _ { x } } ( \alpha - \iota _ { x y } ( \alpha ) - \iota _ { x z } ( \alpha ) + \iota _ { y z } ( \alpha ) ) , } \\ & { c = \frac { 1 } { 4 \omega _ { y } } ( \alpha - \iota _ { x y } ( \alpha ) + \iota _ { x z } ( \alpha ) - \iota _ { y z } ( \alpha ) ) , \quad d = \frac { 1 } { 4 \omega _ { z } } ( \alpha + \iota _ { x y } ( \alpha ) - \iota _ { x z } ( \alpha ) - \iota _ { y z } ( \alpha ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) } & { = \left[ - \frac { \mathrm { i } \, \mathfrak { L } _ { z } } { 2 } + \frac { \mathrm { i } \Lambda } { 2 } \left( 3 \mathrm { i } { Y _ { n } ^ { m } } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \sin ( 2 \phi ) + \mathfrak { L } _ { y } \sin ( 2 \theta ) \sin ( \phi ) + \mathfrak { L } _ { z } \cos ( 2 \theta ) \sin ^ { 2 } ( \phi ) + \mathfrak { L } _ { z } \cos ^ { 2 } ( \phi ) \right) \right] + } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathrm { D e } \Bigg \lbrace \frac { \mathrm { i } \, \mathrm { P e } _ { a } } { 1 6 \pi } \left[ \alpha _ { 1 } \left( 3 \mathrm { i } Y _ { n } ^ { m } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \sin ( 2 \phi ) + \mathfrak { L } _ { y } \sin ( 2 \theta ) \sin ( \phi ) + \mathfrak { L } _ { z } \cos ( 2 \theta ) \sin ^ { 2 } ( \phi ) + \mathfrak { L } _ { z } \cos ^ { 2 } ( \phi ) \right) - \alpha _ { 2 } \mathfrak { L } _ { z } \right] + } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \frac { \mathrm { i } \, \mathrm { P e } _ { f } } { 1 6 } \Big [ \beta _ { 1 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \Big ( - i Y _ { n } ^ { m } ( 3 + 5 \cos ( 2 \theta ) ) - 1 0 \mathrm { i } Y _ { n } ^ { m } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \cos ( 4 \phi ) + 2 \mathfrak { L } _ { y } \sin ( 2 \theta ) \cos ( \phi ) - 2 \mathfrak { L } _ { y } \sin ( 2 \theta ) \cos ( 3 \phi ) + } \\ & { \quad 2 \mathfrak { L } _ { z } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \sin ( 4 \phi ) + 2 \mathfrak { L } _ { z } \cos ( 2 \theta ) \sin ( 2 \phi ) + 2 \mathfrak { L } _ { z } \sin ( 2 \phi ) \Big ) + \beta _ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \left( 8 \mathrm { i } Y _ { n } ^ { m } \cos ( 2 \phi ) - 4 \mathfrak { L } _ { z } \sin ( 2 \phi ) \right) \Big ] \Bigg \rbrace . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \Gamma _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } = ( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - 1 ) e ^ { - j \phi ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } } } \\ { \Gamma _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } = ( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - 1 ) e ^ { j \phi ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ F _ { j ( k _ { \pm 1 } ) } ] } & { = \frac { 2 c } { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac { 2 c } { \beta \kappa \xi } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ { R _ { 2 } [ F _ { j ( k _ { \pm 1 } ) } ] } & { = \frac { 2 c } { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) ( \frac { s \vee \tilde { s } _ { 0 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + \frac c { \beta \kappa \xi } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) ( \frac { s \vee \tilde { s } _ { 0 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( s ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { a _ { n } } { n ^ { s } } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } A ( N ) N ^ { - s } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } A ( n ) ( n ^ { - s } - ( n + 1 ) ^ { - s } ) } \\ & { = s \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A ( n ) n ^ { - s - 1 } + \underbrace { { \mathcal { O } } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A ( n ) n ^ { - s - 2 } \right) } _ { = { \mathcal { O } } ( 1 ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { m n } } & { { } = \frac { \partial \Phi _ { m } } { \partial \phi _ { n } } } \\ { \mathcal { Q } _ { m n } } & { { } = \frac { \partial \mathcal { F } _ { m } } { \partial \phi _ { n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } \{ e ^ { \mathcal { J } t } \} } & { = ( i \omega \mathbb { I } _ { n } - \mathcal J ) ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { m } } } + i \omega } } & { 0 } \\ { \frac { \alpha \gamma } { ( 1 / { \tau _ { \mathrm { m } } } + i \omega ) ( 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } + i \omega ) } } & { \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } + i \omega } } \end{array} \right) , } \end{array}
i \ ( v . D _ { x } + \hat { C } ) \ G _ { r e t } ( X , Y ; A ; { \mathbf v } , { \mathbf v ^ { \prime } } ) = \delta ^ { ( 4 ) } ( X - Y ) \ \delta _ { S _ { 2 } } ( { \mathbf v } - { \mathbf v ^ { \prime } } )
\begin{array} { r } { - \mathbf Q ^ { \mathrm T } \mathbf H ( \mathbf u \mathbf u ^ { \mathrm T } + \frac 1 n \mathbf 1 _ { n } \mathbf 1 _ { n } ^ { \mathrm T } ) \mathbf Q = \left[ \begin{array} { l l l l l } { g _ { 1 1 } } & { g _ { 1 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { g _ { 2 1 } } & { g _ { 2 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { g _ { 3 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } \\ { g _ { n 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \end{array} \right] : = \mathbf G } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ^ { k } } & { { } = \mathbf { u } ^ { k - 1 } + \delta \mathbf { u } ^ { k } , } \\ { \mathbf { w } ^ { k } } & { { } = \mathbf { w } ^ { k - 1 } + \delta \mathbf { w } ^ { k } , } \\ { p ^ { k } } & { { } = p ^ { k - 1 } + \delta p ^ { k } , } \\ { q ^ { k } } & { { } = q ^ { k - 1 } + \delta q ^ { k } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l r l r l } { { 1 3 } } & { ( P } & & { \; \land } & & { ( Q \lor R ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( P \land Q ) } & & { \; \lor ( P \land R ) ) } & & { \quad { \mathrm { ~ D i s t r i b u t i o n ~ o f ~ } } } & & { { \mathrm { ~ c o n j u n c t i o n ~ } } } & & { { \mathrm { ~ o v e r ~ } } } & & { { \mathrm { ~ d i s j u n c t i o n ~ } } } \\ & { ( P } & & { \; \lor } & & { ( Q \land R ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( P \lor Q ) } & & { \; \land ( P \lor R ) ) } & & { \quad { \mathrm { ~ D i s t r i b u t i o n ~ o f ~ } } } & & { { \mathrm { ~ d i s j u n c t i o n ~ } } } & & { { \mathrm { ~ o v e r ~ } } } & & { { \mathrm { ~ c o n j u n c t i o n ~ } } } \\ & { ( P } & & { \; \land } & & { ( Q \land R ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( P \land Q ) } & & { \; \land ( P \land R ) ) } & & { \quad { \mathrm { ~ D i s t r i b u t i o n ~ o f ~ } } } & & { { \mathrm { ~ c o n j u n c t i o n ~ } } } & & { { \mathrm { ~ o v e r ~ } } } & & { { \mathrm { ~ c o n j u n c t i o n ~ } } } \\ & { ( P } & & { \; \lor } & & { ( Q \lor R ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( P \lor Q ) } & & { \; \lor ( P \lor R ) ) } & & { \quad { \mathrm { ~ D i s t r i b u t i o n ~ o f ~ } } } & & { { \mathrm { ~ d i s j u n c t i o n ~ } } } & & { { \mathrm { ~ o v e r ~ } } } & & { { \mathrm { ~ d i s j u n c t i o n ~ } } } \\ & { ( P } & & { \to } & & { ( Q \to R ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( P \to Q ) } & & { \to ( P \to R ) ) } & & { \quad { \mathrm { ~ D i s t r i b u t i o n ~ o f ~ } } } & & { { \mathrm { ~ i m p l i c a t i o n ~ } } } & & { { \mathrm { ~ } } } & & { { \mathrm { ~ } } } \\ & { ( P } & & { \to } & & { ( Q \leftrightarrow R ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( P \to Q ) } & & { \leftrightarrow ( P \to R ) ) } & & { \quad { \mathrm { ~ D i s t r i b u t i o n ~ o f ~ } } } & & { { \mathrm { ~ i m p l i c a t i o n ~ } } } & & { { \mathrm { ~ o v e r ~ } } } & & { { \mathrm { ~ e q u i v a l e n c e ~ } } } \\ & { ( P } & & { \to } & & { ( Q \land R ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( P \to Q ) } & & { \; \land ( P \to R ) ) } & & { \quad { \mathrm { ~ D i s t r i b u t i o n ~ o f ~ } } } & & { { \mathrm { ~ i m p l i c a t i o n ~ } } } & & { { \mathrm { ~ o v e r ~ } } } & & { { \mathrm { ~ c o n j u n c t i o n ~ } } } \\ & { ( P } & & { \; \lor } & & { ( Q \leftrightarrow R ) ) } & & { \; \Leftrightarrow \; } & & { ( ( P \lor Q ) } & & { \leftrightarrow ( P \lor R ) ) } & & { \quad { \mathrm { ~ D i s t r i b u t i o n ~ o f ~ } } } & & { { \mathrm { ~ d i s j u n c t i o n ~ } } } & & { { \mathrm { ~ o v e r ~ } } } & & { { \mathrm { ~ e q u i v a l e n c e ~ } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } } & { { } = \mathbb { E } [ \| | \rho _ { \mathrm { ~ e ~ r ~ r ~ } } ( t ) \rangle \| _ { 2 } ] = \mathbb { E } [ \langle \rho _ { \mathrm { ~ e ~ r ~ r ~ } } ( t ) | | \rho _ { \mathrm { ~ e ~ r ~ r ~ } } ( t ) \rangle ] } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { d s ^ { 2 } = ( \frac { F } { K } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \left( d t + \omega _ { I } d x ^ { I } \right) ^ { 2 } - ( \frac { K } { F } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } d x _ { I } d x _ { I } } } & { { , } } & { { H _ { \mu \nu \rho } = 2 F K \, A _ { [ \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho ] } } } \\ { { e ^ { - \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } \sigma } = F K } } & { { , } } & { { e ^ { - 4 \phi } = \frac { K } { F } } } \\ { { A _ { \mu } = - K ^ { - 1 } ( \, 1 \, , \, \omega _ { I } \, ) } } & { { , } } & { { B _ { \mu } = - F ( \, 1 \, , \, \omega _ { I } ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert I - A ^ { 1 / 2 } \Tilde { T } _ { E } A ^ { 1 / 2 } \rVert _ { 2 } } & { \leq \lVert I - A ^ { 1 / 2 } T _ { E } A ^ { 1 / 2 } \rVert _ { 2 } + \lVert A ^ { 1 / 2 } ( \Tilde { T } _ { E } - T _ { E } ) A ^ { 1 / 2 } \rVert _ { 2 } } \\ & { \leq \lVert I - A ^ { 1 / 2 } T _ { E } A ^ { 1 / 2 } \rVert _ { 2 } + \gamma _ { 2 } ^ { h } \lVert T _ { E } \rVert _ { 2 } \lVert A \rVert _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { L } _ { \mathfrak { p } } ^ { \mathrm { B D P } } ( f / K , \chi ) ( \phi ( \gamma _ { - } ) - 1 ) ^ { 2 } } & { = \frac { \Omega _ { p } ^ { 4 j } } { \Omega _ { \infty } ^ { 4 j } } \cdot \frac { \Gamma ( r + j ) \Gamma ( j + 1 - r ) \phi ( \mathfrak { N } ^ { - 1 } ) } { 4 ( 2 \pi ) ^ { 1 - 2 j } \sqrt { D _ { K } } ^ { 2 j - 1 } } \cdot e _ { \mathfrak { p } } ( f , \chi \phi ) \cdot L ( f / K , \chi \phi , r ) . } \end{array}
\begin{array} { r r c l } { L _ { 1 } : } & { y } & { = } & { x / 2 , } \\ { L _ { 2 } : } & { y } & { = } & { 1 / 2 - x , } \\ { L _ { 3 } : } & { y } & { = } & { 1 / 3 , } \\ { L _ { 4 } : } & { y } & { = } & { 1 / 2 - x / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { s h o r t } ( t , m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p ( t , m ) } & { t < t _ { e n d } } \\ { p ( t , m = 0 ) \frac { S ( t _ { e n d } , m ) } { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } } & { t \geq t _ { e n d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\textrm { M S E } = \left\langle \Delta ^ { 2 } \phi _ { k } \right\rangle = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = m } ^ { m + n - 1 } ( \Delta \phi _ { k } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = m } ^ { m + n - 1 } ( \phi _ { k } - \tilde { \phi } _ { k } ) ^ { 2 } ,
\epsilon _ { i } ^ { a } ( \theta ) \approx r \, i \, m _ { a } \cosh \theta - \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \left( \delta _ { i j } - 2 \left( A _ { i j } ^ { s u ( k ) } \right) ^ { - 1 } \right) L _ { j } ^ { a } ( \theta ) - \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \left( A _ { i j } ^ { s u ( k ) } \right) ^ { - 1 } L _ { j } ^ { b } ( \theta - \sigma ) \; .
A _ { i j } ^ { u } ( M _ { G U T } ) = A h _ { i j } ^ { u } ( M _ { G U T } ) , \; A _ { i j } ^ { d } ( M _ { G U T } ) = A h _ { i j } ^ { d } ( M _ { G U T } ) , \; A _ { i j } ^ { l } ( M _ { G U T } ) = A h _ { i j } ^ { l } ( M _ { G U T } ) ,
p = \pm B _ { 0 } \ell \left[ \frac { k ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, \frac { P [ \nu ^ { 2 } ( P + 2 ) - P ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } ] } { \nu ^ { 2 } ( \nu ^ { 2 } + P B _ { 0 } ^ { 2 } ) } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } + \cdots .
{ \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } } = \bigg ( n _ { \xi } , n _ { \phi } , n _ { z } \bigg ) \approx \bigg ( - \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } , 1 , - H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { s } } & { = - \frac { \partial H } { \partial \psi _ { s } } = e ^ { - t / { \tau _ { e c o n } } } \beta ( \kappa - \kappa ^ { * } ) ^ { 2 } + ( v _ { s } - v _ { i } ) \kappa i } \\ { \dot { v } _ { i } } & { = - \frac { \partial H } { \partial \psi _ { i } } = e ^ { - t / { \tau _ { e c o n } } } \alpha + v _ { i } } \end{array}
\bar { \bf N } = - \sqrt { 1 - \bar { U } ^ { 2 } } \frac { ~ \partial } { \partial U } - \frac { \bar { U } } { \sqrt { 1 - \bar { U } ^ { 2 } } } \left( T \frac { ~ \partial } { \partial T } + V \frac { ~ \partial } { \partial V } + X \frac { ~ \partial } { \partial X } + Y \frac { ~ \partial } { \partial Y } + Z \frac { ~ \partial } { \partial Z } \right)
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } - { \widehat { y } } _ { i } \right) ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { K } { \widehat { \beta } } _ { j } X _ { i j } \right) ^ { 2 } .
{ \left( \begin{array} { l } { w ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { \cos ( \pi / 1 2 ) } & { 0 } & { 0 } & { \sin ( \pi / 1 2 ) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin ( \pi / 1 2 ) } & { 0 } & { 0 } & { \cos ( \pi / 1 2 ) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { w } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) }
W ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) \approx \frac { \epsilon _ { \infty } ^ { - 1 } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } + ( \alpha - \epsilon _ { \infty } ^ { - 1 } ) \frac { \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } ( \gamma | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } .
\left\{ \begin{array} { r l } & { i \frac { \partial } { \partial \tau } \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) = \mathcal { A } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) , } \\ & { \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , 0 ) = f _ { j } ( \mathbf { x } ) \mathbf { e } _ { j } . } \end{array} \right.