harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } M _ { i j } R _ { j } ^ { ( \alpha ) } } & { { } = 0 \, , \qquad i = 1 , 2 , 3 \, , \quad \alpha = 1 , 3 - r \, , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } L _ { i } ^ { ( \alpha ) } M _ { i j } } & { { } = 0 \, , \qquad j = 1 , 2 , 3 \, , \quad \alpha = 1 , 3 - r \, . } \end{array}
- [ 1 - ( { \frac { r _ { 0 } } { r } } ) ^ { D - 3 } ] d t ^ { 2 } + [ 1 - ( { \frac { r _ { 0 } } { r } } ) ^ { D - 3 } ] ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { D - 2 } + d z ^ { 2 } + ( d x _ { 1 } ^ { 2 } + d x _ { 2 } ^ { 2 } + \ldots + d x _ { p } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \tilde { k } _ { d } ^ { ( 0 ) } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } ( \pi - \varphi ) } \\ { \tilde { k } _ { d } ^ { ( 1 ) } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ( d + 1 ) } ( \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( \| y \| _ { 2 } ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \times \big [ \sin \varphi + ( \pi - \varphi ) \cos \varphi \big ] } \\ { \tilde { k } _ { d } ^ { ( 2 ) } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ( d + 1 ) ( d + 3 ) } ( \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) ( \| y \| _ { 2 } ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) \times \big [ 3 \sin \varphi \cos \varphi + ( \pi - \varphi ) ( 1 + 2 \cos ^ { 2 } \varphi ) \big ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { \to H ^ { 0 } ( X , { \mathcal { O } } ( - a , - b ) ) \to H ^ { 0 } ( X , { \mathcal { O } } ) \to H ^ { 0 } ( X , { \mathcal { O } } _ { C } ) } \\ & { \to H ^ { 1 } ( X , { \mathcal { O } } ( - a , - b ) ) \to H ^ { 1 } ( X , { \mathcal { O } } ) \to H ^ { 1 } ( X , { \mathcal { O } } _ { C } ) } \\ & { \to H ^ { 2 } ( X , { \mathcal { O } } ( - a , - b ) ) \to H ^ { 2 } ( X , { \mathcal { O } } ) \to H ^ { 2 } ( X , { \mathcal { O } } _ { C } ) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \partial \vec { U } } { \partial t } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \partial } { x _ { i } } \left[ \mathbf { F } _ { h } ^ { i } - \mathbf { F } _ { p } ^ { i } \right] = 0 } \end{array}
\mathcal { A } _ { D } = \sum _ { n = 1 } ^ { \mathcal { N } + 1 } ( t _ { n } - t _ { n - 1 } ) \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { ( \textbf { r } _ { n } ^ { N } - \textbf { r } _ { n - 1 } ^ { N } ) ^ { 2 } } { ( t _ { n } - t _ { n - 1 } ) ^ { 2 } } + \overline { { V ( n ) } } \right] ,
\begin{array} { r l r } { R \sin \phi _ { 1 } } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi = \sqrt { \frac { 2 B } { P _ { 0 } } ( \sin \phi _ { 1 } - \sin \phi _ { 0 } ) } , } \\ { R - R \cos \phi _ { 1 } } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ c _ { i } ^ { \, } , c _ { j } ^ { \dagger } \right\} \equiv c _ { i } ^ { \, } c _ { j } ^ { \dagger } + c _ { j } ^ { \dagger } c _ { i } ^ { \, } } & { { } = \delta _ { i j } , } \\ { \left\{ c _ { i } ^ { \dagger } , c _ { j } ^ { \dagger } \right\} = \left\{ c _ { i } ^ { \, } , c _ { j } ^ { \, } \right\} } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \mathbf d _ { { \mathbf x } , i } ^ { t , k + 1 } = \rho \mathbf d _ { { \mathbf x } , i } ^ { t , k } + \nabla _ { x } f _ { i } ( { \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t , k ) } } , { \mathbf { y } _ { i } ^ { ( t , k ) } } ; { \xi _ { i } ^ { ( t , k ) } } ) , \qquad } & { { \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t , k + 1 ) } } = { \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t , k ) } } - \eta _ { x } ^ { c } \mathbf d _ { { \mathbf x } , i } ^ { t , k + 1 } } \\ { \mathbf d _ { { \mathbf y } , i } ^ { t , k + 1 } = \rho \mathbf d _ { { \mathbf y } , i } ^ { t , k } + \nabla _ { y } f _ { i } ( { \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t , k ) } } , { \mathbf { y } _ { i } ^ { ( t , k ) } } ; { \xi _ { i } ^ { ( t , k ) } } ) , \qquad } & { { \mathbf { y } _ { i } ^ { ( t , k + 1 ) } } = { \mathbf { y } _ { i } ^ { ( t , k ) } } + \eta _ { y } ^ { c } \mathbf d _ { { \mathbf y } , i } ^ { t , k + 1 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } ( u ) = } & { { } \sqrt { 2 } ( \sqrt { 2 } u - \lambda ) ( - \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } H _ { n } ( u ) \frac { u ^ { n + 1 } } { { n + 1 } ! } ) } \\ { = } & { { } \sqrt { 2 } ( \sqrt { 2 } u - \lambda ) ( - \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } H _ { n } ( - u ) \frac { u ^ { n + 1 } } { { n + 1 } ! } ) } \end{array}
m _ { z { \bar { z } } } ^ { 2 } \sim 5 \, G _ { z { \bar { z } } } ^ { - 1 } \left( R _ { z { \bar { z } } } - G _ { z { \bar { z } } } \right) { \frac { m _ { 3 / 2 } ^ { 4 } } { M _ { p } ^ { 2 } } } { \cal J } \ ,
\begin{array} { r l } { m _ { \alpha } ( x \vert \mu , \lambda ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \alpha } ( x \vert t ) \, d G ( t \vert \mu , \lambda ) \qquad \mu > 0 , \lambda > 0 } \\ & { = \frac { \lambda ^ { \mu } } { \Gamma ( \mu ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \alpha } ( x \vert t ) \, t ^ { \mu - 1 } e ^ { - \lambda t } \, d t } \\ & { = \frac { \mu \lambda ^ { \mu } } { \Gamma ( \mu + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \alpha } ( x \vert t ) \, t ^ { \mu - 1 } e ^ { - \lambda t } \, d t } \end{array}
V _ { l } = 1 \ \mathrm { l } \times { \frac { 3 1 0 \ \mathrm { K } } { 2 7 3 \ \mathrm { K } } } \times { \frac { 1 0 0 \ \mathrm { k P a } - 0 \ \mathrm { k P a } } { 1 0 0 \ \mathrm { k P a } - 6 . 2 \ \mathrm { k P a } } } = 1 . 2 1 \ \mathrm { l }
\dot { x } ^ { i } = 4 \pi e _ { a } { } ^ { i } G ^ { a c } M _ { c } { } ^ { b } e _ { b } { } ^ { j } \hat { p } _ { j } + e _ { a } { } ^ { i } G ^ { a b } N _ { b } { } ^ { c } G _ { c d } e _ { j } { } ^ { d } x ^ { j }
\begin{array} { r l } { \langle f , \mathbf { p } _ { \chi } ^ { \prime } | \Delta H _ { \chi T } | i , \mathbf { p } _ { \chi } \rangle } & { { } \equiv \! \int \! \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \langle \mathbf { p } _ { \chi } ^ { \prime } | \mathcal { O } _ { \chi } ( \mathbf { q } ) | \mathbf { p } _ { \chi } \rangle \times \langle f | \mathcal { O } _ { T } ( \mathbf { q } ) | i \rangle } \end{array}
\alpha = \beta ( \mu _ { U } - \mu _ { D } ) / 2 , \; \; \cosh \theta _ { C } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \frac { S _ { U D } ( p ) } { \sqrt { S _ { U D } ^ { 2 } ( p ) - R _ { U D } ^ { 2 } ( p ) } } + 1 \right] ^ { 1 / 2 } , \; \; \sinh \theta _ { C } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \frac { S _ { U D } } { \sqrt { S _ { U D } ^ { 2 } ( p ) - R _ { U D } ^ { 2 } ( p ) } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 }
{ \cal L } _ { 0 } \, = \, { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \sigma \partial ^ { \mu } \sigma + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } { \vec { \pi } } \partial ^ { \mu } { \vec { \pi } } - { \frac { \lambda } { 4 } } ( \sigma ^ { 2 } + { \vec { \pi } } ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { h ( \nu _ { t } , \tau _ { t } , \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } ) \ge h ( \nu _ { t } , \tau _ { t } , \alpha _ { t } \phi _ { t } + \tau _ { t } m _ { t } ) = \left( 1 + \nu _ { t } \right) \left( 1 - 2 m _ { t } \alpha _ { t } + 2 L _ { t } ^ { 2 } \alpha _ { t } ^ { 2 } \right) + \tau _ { t } ( 2 L _ { t } ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\phi ( \sigma ) = q + \hat { \phi } ( \sigma ) , \qquad \hat { \phi } ( \sigma ) = { \frac i { \sqrt { 4 \pi } } } ~ \sum _ { n \ne 0 } { \frac 1 n } ~ ( a _ { n } e ^ { - i n \sigma } + b _ { n } e ^ { i n \sigma } ) ,
2 i \frac { \partial } { \partial x _ { + } } { \eta } _ { 4 } + ( V + E - \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 } + e _ { 2 } ) b ) { \eta } _ { 4 } = m _ { 1 } { \eta } _ { 2 } + m _ { 2 } { \eta } _ { 3 } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \beta } \left( x \, , 0 \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad x \ge \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { \frac { \beta } { 2 } \left( x + \frac { 1 } { 2 \beta } \right) ^ { 2 } } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad | x | \le \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad x \le - \frac { 1 } { 2 \beta } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime } } & { = - { \frac { \nu } { E } } \sigma _ { 3 } \, , } \\ { \varepsilon _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } } & { = - { \frac { \nu } { E } } \sigma _ { 3 } \, , } \\ { \varepsilon _ { 3 } ^ { \prime \prime \prime } } & { = { \frac { 1 } { E } } \sigma _ { 3 } \, . } \end{array} }
\left| { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots , i _ { n } } \right\rangle = { \textnormal { T r } } ( \phi _ { i _ { 1 } } \phi _ { i _ { 2 } } \ldots \phi _ { i _ { n } } ) \left| { i _ { 1 } } \right\rangle \left| { i _ { 2 } } \right\rangle \ldots \left| { i _ { n } } \right\rangle
\begin{array} { r l } & { C ( x , t ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi t } } \bigg [ \sqrt { \pi t } \ \mathrm { e r f } \left( \frac { 3 + x } { 2 \sqrt { t } } \right) + \frac { 2 } { 9 } x t \ e ^ { - \frac { 6 x + x ^ { 2 } + 9 } { 4 t } } + \frac { 2 } { 3 } t \ e ^ { - \frac { 6 x + x ^ { 2 } + 9 } { 4 t } } - \frac { 2 } { 9 } t ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { \pi } \ \mathrm { e r f } \left( \frac { 3 + x } { 2 \sqrt { t } } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 9 } x ^ { 2 } \sqrt { \pi t } \ \mathrm { e r f } \left( \frac { 3 + x } { 2 \sqrt { t } } \right) - \sqrt { \pi t } \ \mathrm { e r f } \left( \frac { x - 3 } { 2 \sqrt { t } } \right) - \frac { 2 } { 9 } x t \ e ^ { - \frac { - 6 x + x ^ { 2 } + 9 } { 4 t } } + \frac { 2 } { 3 } t \ e ^ { - \frac { - 6 x + x ^ { 2 } + 9 } { 4 t } } } \\ & { + \frac { 2 } { 9 } t ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { \pi } \ \mathrm { e r f } \left( \frac { x - 3 } { 2 \sqrt { t } } \right) + \frac { 1 } { 9 } x ^ { 2 } \sqrt { \pi t } \ \mathrm { e r f } \left( \frac { x - 3 } { 2 \sqrt { t } } \right) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { D } _ { \mathrm { L O } } ( \alpha ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } d _ { n } \hat { \alpha } ^ { n + 1 } } \\ & { = \hat { \alpha } + \left( \frac { 2 3 } { 6 } - 4 \zeta _ { 3 } \right) \hat { \alpha } ^ { 2 } + \left( 1 8 - 1 2 \zeta _ { 3 } \right) \hat { \alpha } ^ { 3 } + \left( \frac { 2 0 1 } { 2 } - 4 2 \zeta _ { 3 } - 6 0 \zeta _ { 5 } \right) \hat { \alpha } ^ { 4 } + . . . } \end{array}
D ( \xi ) = \left( 1 - \frac { 4 } { \xi } - \frac { 8 } { \xi ^ { 2 } } \right) \ln ( 1 + \xi ) + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 8 } { \xi } - \frac { 1 } { 2 ( 1 + \xi ) ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l r } { g ( \lambda ) } & { { } \! = \! } & { \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d x _ { n } \, x _ { n } \, { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { \lambda } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \ = \ { \frac { \exp \Big [ \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 1 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ u ( t ) \right] } & { { } = e ^ { - t / \tau _ { d } } u ( 0 ) + ( 1 - e ^ { - t / \tau _ { d } } ) \bar { u } } \\ { \mathrm { V a r } \left( u ( t ) \right) } & { { } = \sigma _ { u } ^ { 2 } \left( 1 - e ^ { - 2 t / \tau _ { d } } \right) } \\ { \mathbb { E } \left[ u ( t ) u ( 0 ) \right] } & { { } = \sigma _ { u } ^ { 2 } e ^ { - t / \tau _ { d } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mu _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } ( \tilde { Q } ) - \mu ( \tilde { Q } ) ) ( x ) } & { = } & { \int _ { ( 0 , x ] } ( \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } ) ) d \mu ( y ) } \\ & { = } & { \int \tilde { \phi } _ { x } ( y ) ( \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } ) ( y ) d \mu ( y ) } \\ & { = } & { \int ( \tilde { \phi } _ { x } ( y ) - \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } \alpha _ { x } ( v ) \tilde { \phi } _ { v } ( y ) ) ( \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } ) ( y ) d \mu ( y ) } \\ & { \leq } & { \parallel \tilde { \phi } _ { x } - \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } \alpha _ { x } ( v ) \tilde { \phi } _ { v } \parallel _ { \mu } \parallel \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } \parallel _ { \mu } , } \end{array}
\phi _ { j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } ; 0 , ( N _ { 2 } - N _ { 1 } ) / 2 , N _ { 1 } } = \frac { { ( - 1 ) } ^ { j _ { 1 } } j _ { 2 } ! { \left( \frac { n - 2 } { 2 } \right) } _ { j _ { 1 } + j _ { 3 } } } { N _ { 2 } ! { \left( \frac { n } { 2 } \right) } _ { ( N _ { 1 } + N _ { 2 } ) / 2 } { ( n - 2 ) } _ { N _ { 1 } } } \; .
\widehat { K } _ { i j } = \left( \begin{array} { l l l l } { { Z - { \frac { { C ^ { \prime } } ^ { 2 } } { C } } } } & { { C ^ { \prime } / 2 } } & { { 0 } } & { { q ^ { \prime } \overline { { { \psi } } } } } \\ { { C ^ { \prime } / 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { ( q / 4 ) \overline { { { \psi } } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - { \frac { C } { 2 } } P ^ { \mu \nu , \alpha \beta } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { q \hat { 1 } } } \end{array} \right)
i ( B _ { r } ) _ { | _ { R _ { 0 } } } = \sum _ { l m } \frac { ( l + 1 + l \zeta ^ { 2 l + 1 } ) ^ { 2 } } { 2 l + 1 } ( g _ { l m } ^ { 2 } + h _ { l m } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { C _ { q } = \int _ { \vert v \vert \leq N } \langle v \rangle ^ { - q + 2 } d v = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { N } \frac { | v | ^ { 2 } } { 1 + | v | ^ { q - 2 } } d | v | } & { \leq 4 \pi \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } | v | ^ { 2 } d | v | + \int _ { 1 } ^ { N } | v | ^ { 4 - q } d | v | \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { q - 4 } \left( 1 - \frac { 1 } { N ^ { q - 5 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } } { \partial r } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } } { \partial \theta ^ { 2 } } = \cos \theta \left[ 2 r \exp ( - r ^ { 2 } ) - \frac { \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) } { r } + \frac { \exp ( - r ^ { 2 } ) } { r } \right] . } \end{array}
\frac { \Gamma ( B \rightarrow K \eta _ { c } ) } { \Gamma ( B \rightarrow K \psi ) } = ( 1 3 . 0 \mathrm { G e V ^ { 2 } } ) \frac { { \vert \xi ( v . v ^ { \prime } = 3 . 6 9 ) \vert } ^ { 2 } } { { \vert \xi ( v . v ^ { \prime } = 3 . 5 5 ) \vert } ^ { 2 } } \frac { f _ { \eta _ { c } } ^ { 2 } } { f _ { \psi } ^ { 2 } } \; \; ,
x ( h ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { h } _ { 1 } - \bar { H } _ { 1 } + \ln \left( \frac { 1 - \bar { h } _ { 1 } } { 1 - \bar { H } _ { 1 } } \right) } & { \quad \mathrm { i f ~ } \; \; x \geq 0 \, , } \\ { \bar { h } _ { 1 } - \bar { H } _ { 1 } - \ln \left( \frac { 1 + \bar { h } _ { 1 } } { 1 + \bar { H } _ { 1 } } \right) } & { \quad \mathrm { i f ~ } \; \; x \leq 0 \, , } \end{array} \right.
{ \sqrt [ [object Object] ] { 2 \cos ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \cos ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \cos ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } = { \sqrt [ [object Object] ] { 5 - 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) } & { { } = \sum _ { j , k } \int _ { V _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } w _ { c } ^ { * } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { k } \right) \left[ \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right] w _ { v } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { k } \right) } \mathrm { d } \mathbf { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { \mathrm { e f f } } = \frac { \omega h } { k h + \mathrm { a r g } ( \tilde { S } _ { \mathrm { a v g } } ) - \mathrm { a r g } ( \tilde { S } _ { \mathrm { r e f } } ) } , } \\ & { \alpha _ { \mathrm { e f f } } = - \frac { 1 } { h } \ln \left( \frac { | \tilde { S } _ { \mathrm { a v g } } | } { | \tilde { S } _ { \mathrm { r e f } } | } \right) . } \end{array}
F ( \rho , \sigma ) = \left( \operatorname { t r } { \sqrt { | \psi _ { \rho } \rangle \langle \psi _ { \rho } | \sigma | \psi _ { \rho } \rangle \langle \psi _ { \rho } | } } \right) ^ { 2 } = \langle \psi _ { \rho } | \sigma | \psi _ { \rho } \rangle \left( \operatorname { t r } { \sqrt { | \psi _ { \rho } \rangle \langle \psi _ { \rho } | } } \right) ^ { 2 } = \langle \psi _ { \rho } | \sigma | \psi _ { \rho } \rangle .
K n = \frac { { { \lambda _ { B G K } } } } { L } = \frac { \tau } { L } \sqrt { \frac { { 8 R T } } { \pi } } = \frac { { \hat { \tau } } } { { \hat { L } } } \sqrt { \frac { { 8 \hat { T } } } { \pi } } ,
\begin{array} { r } { \| \mathscr G \omega \| _ { H ^ { - 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) } = \operatorname* { s u p } _ { \phi \in H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) } \frac { \Big | \langle \mathscr { G } ( \omega ) , \, \phi \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } \Big | } { \| \phi \| _ { H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) } } \leq C \| \omega \| _ { H _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { R } ^ { + } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \tilde { a } _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { d / 4 } x _ { \ell ^ { \prime } } } & { = 0 , \quad \forall \ell \in { \mathbb N } \ \Leftrightarrow \ \sum _ { \ell ^ { \prime } \neq \ell } ^ { \infty } \tilde { a } _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { d / 4 } x _ { \ell ^ { \prime } } = - \tilde { a } _ { \ell , \ell } ^ { d / 4 } x _ { \ell } , \quad \forall \ell \in { \mathbb N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - K _ { 2 } \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { X } \right) + 2 P \left( \mathbf { X } \right) \nabla _ { \mathbf { Y } } \cdot \left( \sigma _ { 1 2 } \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } , t \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right) } \\ & { + \nabla _ { \mathbf { X } } \cdot \left( \sigma _ { 2 2 } \left( \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) P \left( \mathbf { X } \right) \right) = 0 , } \end{array}
\boldsymbol { \gamma } _ { k } : = \frac { \left\langle \mathbf { W } _ { k + 1 } - \mathbf { W } _ { k } , \mathbf { W } _ { k } \right\rangle } { \left\langle \mathbf { W } _ { k } , \mathbf { W } _ { k } \right\rangle } .
\int _ { S } \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } F ( \tau ) = \int _ { \bigcup \gamma _ { c d } { \cal F } } \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } F ( \tau ) = \sum _ { ( c , d ) = 1 } \int _ { \gamma _ { a b } { \cal F } } \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } F ( \tau ) \; .
{ \frac { | \epsilon _ { t c } ^ { L } \epsilon _ { t u } ^ { L } \epsilon _ { t c } ^ { R } \epsilon _ { t u } ^ { R } | } { 1 0 ^ { - 8 } } } \left( { \frac { 1 0 0 ~ \mathrm { G e V } } { m _ { e f f } } } \right) ^ { 2 } < 1 .
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \mathcal { M } ( K , H ( t ) ) = \int _ { X } \mathrm { t r } \bigg ( \big ( - \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } D D _ { H ( t ) } ^ { c } s \big ) s \bigg ) \frac { \omega ^ { n } } { n ! } } \\ & { = \int _ { X } - \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } d \mathrm { t r } ( D _ { H ( t ) } ^ { c } s \cdot s ) \frac { \omega ^ { n } } { n ! } - \int _ { X } \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } \mathrm { t r } \big ( D _ { H ( t ) } ^ { c } s \wedge D s \big ) \frac { \omega ^ { n } } { n ! } } \\ & { = \int _ { X } | D s | _ { H ( t ) , \omega } ^ { 2 } \frac { \omega ^ { n } } { n ! } , } \end{array}
\rho \left( \mathcal { F } _ { U } , \mathcal { F } _ { V } \right) : = \operatorname* { s u p } _ { \substack { f \in \mathcal { L } ^ { 2 } \left( \mathcal { F } _ { U } \right) \, g \in \mathcal { L } ^ { 2 } \left( \mathcal { F } _ { V } \right) } } \frac { \mathrm { C o v } [ f , g ] } { \mathrm { V a r } [ f ] ^ { 1 / 2 } \mathrm { V a r } [ g ] ^ { 1 / 2 } } \leq r .
\begin{array} { r } { \rVert d _ { i } \chi _ { j } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { v } _ { ( 0 ) } } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { t } \mathbf { v } _ { ( 0 ) } + \nabla \cdot \left( \mathbf { v } _ { ( 0 ) } \otimes \mathbf { v } _ { ( 0 ) } \right) + \nabla p _ { ( 1 ) } - \nu \Delta \mathbf { v } _ { ( 1 ) } } & { { } = \mathbf { 0 } . } \end{array}
\mathcal { R } ^ { w } : = \{ \widehat { \rho } \in \operatorname { H o m } ( \Pi , \operatorname { S L } _ { 2 } ) , \widehat { \rho } ( \theta _ { \overrightarrow { v } } ^ { 1 / 2 } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \mathrm { , ~ f o r ~ a l l ~ } \overrightarrow { v } \in \widehat { \mathbb { V } } \} .
\begin{array} { l c l } { F \left( n , x \right) = \displaystyle \frac { G M _ { 1 } M _ { 2 } } { h ^ { 2 } } \cdot } \\ { \displaystyle \left\lbrace \left[ - \frac { 3 x ^ { 2 } } { 3 2 n } \left( n x + n + 1 \right) ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } x ^ { 2 } - 2 n ^ { 2 } x - 3 n ^ { 2 } - 2 n x + 6 n - 3 \right) \right] \ln \frac { n \left( x + 1 \right) + 1 } { n \left( x + 1 \right) - 1 } + \right. } \\ { \displaystyle + \left[ \frac { 3 x ^ { 2 } } { 3 2 n } \left( n x - n + 1 \right) ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } x - 3 n ^ { 2 } - 2 n x - 6 n - 3 \right) \right] \ln \frac { n \left( x - 1 \right) + 1 } { n \left( x - 1 \right) - 1 } - } \\ { \displaystyle \left. - \frac { 3 x ^ { 3 } } { 2 } \ln \frac { n \left( x - 1 \right) - 1 } { n \left( x + 1 \right) - 1 } - \frac { 3 x ^ { 2 } } { 8 } \left( n ^ { 2 } x ^ { 2 } + 3 n ^ { 2 } + 3 \right) \right\rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { \geq } & { \frac { 1 } { 2 } \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { 2 } - 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } + f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { - 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { t } ^ { q _ { 2 } } n ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } } & { { } = F _ { 2 } ( t ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , V _ { m } , n ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , m , h ) , } \\ { \delta _ { t } ^ { q _ { 3 } } m ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } } & { { } = F _ { 3 } ( t ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , V _ { m } , n , m ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , h ) , } \\ { \delta _ { t } ^ { q _ { 4 } } h ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } } & { { } = F _ { 4 } ( t ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , V _ { m } , n , m , h ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \Delta r _ { I , \, E M } ^ { 2 } \left( \Delta t \right) \rangle = \sum _ { m \equiv f , s } 2 D _ { m } t _ { m } \left( 1 - e ^ { - \frac { \Delta t } { t _ { m } } } \right) + 2 D _ { n } \Delta t , \; \; \; \; \, } \end{array}