harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \mathcal { A } ~ i s ~ a ~ r e a l ~ o p e r a t o r ~ i f ~ \mathcal { A } ^ { j _ 1 } _ { j _ 2 } ( l ) ~ = ~ \overline { { \mathcal { A } ^ { - j _ 1 } _ { - j _ 2 } ( - l ) } } ~ } , } \\ & { \mathrm { ~ \mathcal { A } ~ i s ~ a ~ s y m m e t r i c ~ o p e r a t o r ~ i f ~ ( \mathcal { A } ) ^ { j _ 1 } _ { j _ 2 } ( l ) ~ = ~ ( \overline { { \mathcal { A } ) ^ { j _ 2 } _ { j _ 1 } ( l ) } } ~ } , } \\ & { \mathrm { ~ \mathcal { A } ~ i s ~ a ~ r e v e r s i b l e ~ o p e r a t o r ~ i f ~ ( \mathcal { A } ) ^ { j _ 1 } _ { j _ 2 } ( l ) ~ = ~ \mathcal { A } ^ { - j _ 1 } _ { - j _ 2 } ( - l ) ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { 1 } } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \operatorname* { s u p } _ { { \varepsilon } \leq { \varepsilon } _ { 0 } } \frac { \int _ { 0 } ^ { \delta } 2 ( x + { \varepsilon } ) ^ { \alpha ^ { * } } \, \mathrm { d } \lambda _ { I } ( x ) } { { \varepsilon } ^ { \beta } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \operatorname* { s u p } _ { { \varepsilon } \leq { \varepsilon } _ { 0 } } \frac { 2 \left( \left( { \delta } + { \varepsilon } \right) ^ { \alpha ^ { * } + 1 } - { \varepsilon } ^ { \alpha ^ { * } + 1 } \right) } { ( \alpha ^ { * } + 1 ) { \varepsilon } ^ { \beta } } = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } L ( s , { \varepsilon } _ { 0 } ) } \end{array}
a _ { \mu } \; \mathrm { ( F i g . \; 1 ) } = - 0 . 7 9 4 5 ( 2 0 2 ) \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) ^ { 4 } \quad ( \mathrm { R e f . ~ \ c i t e { k i n 1 } } ) \; .
\begin{array} { r l r } { Z ( T ) } & { { } = } & { \frac { p \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ u ~ } } T } } \\ { \Rightarrow \frac { \mathrm { d } Z ( T ) } { \mathrm { d } T } } & { { } = } & { Z ( T ) \bigg ( \frac { 1 } { p } \frac { \mathrm { d } p } { \mathrm { d } T } + \frac { 1 } { \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } T } - \frac { 1 } { T } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \frac { x ^ { H } T _ { n } ( p ) ^ { - 1 } T _ { n } ( f ) x } { x ^ { H } x } = \frac { 1 } { 2 } \frac { x ^ { H } \left( T _ { n } ( p ) ^ { - 1 } T _ { n } ( f ) + T _ { n } ( \bar { f } ) T _ { n } ( \bar { p } ) ^ { - 1 } \right) x } { x ^ { H } x } } \\ & { \phantom { = } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \frac { x ^ { H } \left( T _ { n } ( p ) ^ { - 1 } T _ { n } ( f ) - T _ { n } ( \bar { f } ) T _ { n } ( \bar { p } ) ^ { - 1 } \right) x } { \mathrm { i } x ^ { H } x } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { y ^ { H } \left( T _ { n } ( f ) T _ { n } ( \bar { p } ) + T _ { n } ( p ) T _ { n } ( \bar { f } ) \right) y } { y ^ { H } T _ { n } ( p ) T _ { n } ( \bar { p } ) y } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \frac { y ^ { H } \left( T _ { n } ( f ) T _ { n } ( \bar { p } ) - T _ { n } ( p ) T _ { n } ( \bar { f } ) \right) y } { \mathrm { i } y ^ { H } T _ { n } ( p ) T _ { n } ( \bar { p } ) y } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { y ^ { H } T _ { n } ( f \bar { p } + p \bar { f } ) y + y ^ { H } R _ { 1 } y } { y ^ { H } T _ { n } ( \vert p \vert ^ { 2 } ) y - y ^ { H } R _ { 2 } y } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \frac { y ^ { H } T _ { n } ( f \bar { p } - p \bar { f } ) y + y ^ { H } R _ { 3 } y } { \mathrm { i } y ^ { H } T _ { n } ( \vert p \vert ^ { 2 } ) y - y ^ { H } R _ { 2 } y } , } \end{array}
\tau ( E ) = \frac { 2 } { \Gamma } \left[ - \frac { \frac { 1 } { | \gamma | } } { { \left( \frac { \epsilon + Q } { | \gamma | } \right) } ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } \right] ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { d ^ { 2 } \bar { K } } { d \xi ^ { 2 } } + \frac { d \bar { K } } { d \xi } + c _ { H } ( \frac { d \bar { K } } { d \xi } + K ) = 0 , \xi > \bar { \eta } , } \\ & { \frac { d ^ { 2 } \bar { K } } { d \xi ^ { 2 } } + \frac { d \bar { K } } { d \xi } + c _ { L } ( \frac { d \bar { K } } { d \xi } + K ) = 0 , \bar { \kappa } < \xi < \bar { \eta } , } \\ & { \bar { K } ( \bar { \kappa } ) = 1 , \frac { d \bar { K } } { d \xi } ( \bar { \kappa } ) = 0 , } \\ & { \bar { K } ( \bar { \eta } ) = \bar { K } ( \bar { \eta } ^ { * } - ) = \gamma , \frac { d \bar { K } } { d \xi } ( \bar { \eta } + ) = \frac { d \bar { K } } { d \xi } ( \bar { \eta } - ) , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { \xi \rightarrow \infty } e ^ { \xi } \bar { K } ( \xi ) = 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\lVert u \right\rVert _ { \mathrm { B } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } = \left\lVert ( 2 ^ { k s } \left\lVert { \Delta } _ { k } u \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ) _ { k \in \mathbb { Z } } \right\rVert _ { \ell ^ { q } ( \mathbb { Z } ) } \mathrm { ~ a n d ~ } \left\lVert u \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } = \left\lVert ( 2 ^ { j s } \left\lVert \dot { \Delta } _ { j } u \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ) _ { j \in \mathbb { Z } } \right\rVert _ { \ell ^ { q } ( \mathbb { Z } ) } \mathrm { , ~ } } \end{array}
S _ { \vartheta } = \prod _ { n > 0 } \exp \left( - \cos 2 \vartheta \; a _ { n } \bar { a } _ { n } \right) \prod _ { n > 0 } ( \sin 2 \vartheta ) ^ { a _ { n } a _ { - n } + \bar { a } _ { n } \bar { a } _ { - n } } \prod _ { n > 0 } \exp \left( \cos 2 \vartheta \; a _ { - n } \bar { a } _ { - n } \right)
\begin{array} { r l } { P _ { { \mathrm { t o t a l } } } } & { = P _ { \mathrm { B S } } ^ { \mathrm { a c t } } + P _ { \mathrm { R I S } } ^ { \mathrm { a c t } } + L ( P _ { \mathrm { C } } + P _ { \mathrm { D C } } ) , } \\ { P _ { { \mathrm { t o t a l } } } } & { = P _ { \mathrm { B S } } ^ { \mathrm { p a s } } + L P _ { \mathrm { C } } , } \\ { P _ { { \mathrm { t o t a l } } } } & { = P _ { \mathrm { B S } } ^ { \mathrm { n o } } , } \\ { P _ { { \mathrm { t o t a l } } } } & { = P _ { \mathrm { B S } } ^ { \mathrm { a f } } + P _ { \mathrm { r e l a y } } + L P _ { \mathrm { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { v ^ { \flat } \wedge \frac { \partial \alpha _ { v } } { \partial t } = - \mathrm { d } \, \iota _ { v } \, \omega _ { \xi } + ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) \, \mathrm { d } v ^ { \flat } + \mathrm { d } ( p + \frac { s _ { v } } { 2 } ) \wedge \alpha _ { v } \ . } \end{array}
\sum _ { I _ { 1 } I _ { 2 } \cdots I _ { n } = ( I ) } X ^ { I _ { 1 } , I _ { 2 } , \ldots , I _ { n } } \equiv \sum _ { I _ { 1 } , I _ { 2 } , \ldots , I _ { n } } \delta _ { ( I ) } ^ { I _ { 1 } I _ { 2 } \cdots I _ { n } } X ^ { I _ { 1 } , I _ { 2 } , \ldots , I _ { n } } .
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { N } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { N } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le | L _ { 1 } ( j _ { 1 } , - k ) - L _ { 1 } ( j _ { 2 } , - k ) | | L _ { 7 } ( j _ { 1 } , k ) | + | L _ { 1 } ( j _ { 2 } , - k ) | | L _ { 7 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 7 } ( j _ { 2 } , k ) | } \\ & { \overset { , , , } { \le _ { \alpha } } | k | ^ { 2 } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | } \\ & { \times ( | j _ { 1 } | ^ { \alpha - 2 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 2 } + ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 1 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 3 } ) } \\ & { \le _ { \alpha } | k | ^ { 2 } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 1 } ( ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 3 } + | j _ { 1 } | ^ { \alpha - 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big ( \gamma ^ { ( 1 ) } + \gamma ^ { ( 2 ) } - k _ { x } ^ { 2 } \Gamma - \mathrm { i } \omega \mu _ { 0 } \sigma _ { x x } \big ) \big ( \gamma ^ { ( 1 ) } + \gamma ^ { ( 2 ) } - k _ { y } ^ { 2 } \Gamma - \mathrm { i } \omega \mu _ { 0 } \sigma _ { y y } \big ) } \\ & { = \big ( k _ { x } k _ { y } \Gamma + \mathrm { i } \omega \mu _ { 0 } \sigma _ { x y } \big ) \big ( k _ { x } k _ { y } \Gamma + \mathrm { i } \omega \mu _ { 0 } \sigma _ { y x } \big ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ( t , z ) = \psi _ { s } ( t , z ) + \psi _ { r a d } ( t , z ) = \eta ( z ) \frac { \exp [ i \chi ( t , z ) ] } { \cosh ( x ) } + v ( t , z ) \exp [ i \chi ( t , z ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathcal { F } } = \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } } ) } & { = \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } _ { 1 } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { 0 } } ) \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } _ { 2 } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { 1 } } ) \cdots \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } _ { m } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { m - 1 } } ) \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { m } } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { { \lambda } ^ { 2 } u + c _ { 1 } u _ { x x } = F ^ { 1 } , } \\ { { \lambda } ^ { 2 } \rho v + \alpha v _ { x x } - \gamma \beta p _ { x x } - i { \lambda } d _ { 2 } v = F ^ { 2 } , } \\ { { \lambda } ^ { 2 } \mu p + \beta p _ { x x } - \gamma \beta v _ { x x } = F ^ { 3 } , } \\ { { \lambda } ^ { 2 } y + c _ { 2 } y _ { x x } = F ^ { 4 } , } \end{array} \right.
\Phi _ { _ { A G N } } \simeq 3 \times 1 0 ^ { 1 9 } \epsilon \, \alpha _ { 6 } \, M _ { 1 0 } \, m _ { 1 1 } ^ { 3 } \, L _ { - 3 } ^ { 2 } \, \Bigl ( { \frac { \langle D \rangle } { 1 \, \mathrm { G p c } } } \Bigr ) ^ { - 2 } \mathrm { c m } ^ { - 2 } \cdot \mathrm { s } ^ { - 1 } ,
\tan \theta = { \frac { \mathrm { o p p o s i t e } } { \mathrm { a d j a c e n t } } } = { \frac { \left( { \frac { \mathrm { o p p o s i t e } \times \mathrm { h y p o t e n u s e } } { \mathrm { o p p o s i t e } \times \mathrm { a d j a c e n t } } } \right) } { \left( { \frac { \mathrm { a d j a c e n t } \times \mathrm { h y p o t e n u s e } } { \mathrm { o p p o s i t e } \times \mathrm { a d j a c e n t } } } \right) } } = { \frac { \left( { \frac { \mathrm { h y p o t e n u s e } } { \mathrm { a d j a c e n t } } } \right) } { \left( { \frac { \mathrm { h y p o t e n u s e } } { \mathrm { o p p o s i t e } } } \right) } } = { \frac { \sec \theta } { \csc \theta } }
\begin{array} { r l r l } { S _ { i k } ^ { \mathrm { r e } } } & { = T _ { i j k } ^ { \mathrm { r e } } v _ { j } } & & { \mathrm { ( ~ N _ \mathrm { ~ n z } ^ \mathrm { ~ r s h / r e } ~ F L O P s ) } } \\ { S _ { i k } ^ { \mathrm { i m } } } & { = T _ { i j k } ^ { \mathrm { i m } } v _ { j } } & & { \mathrm { ( ~ N _ \mathrm { ~ n z } ^ \mathrm { ~ r s h / i m } ~ F L O P s ) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \pm } } = \cos \alpha \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \pm \sin \alpha \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial n ^ { \pm } } = - \sin \alpha \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \pm \cos \alpha \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - { \epsilon } ) { \mathcal K } _ { 3 } } { { \mathcal K } _ { 3 } + { \mathcal K } _ { 4 } } + \frac { { \mathcal K } _ { 2 } } { { \mathcal K } _ { 3 } + { \mathcal K } _ { 4 } } } \\ & { \qquad < \frac { { \mathcal K } _ { 1 } + { \mathcal K } _ { 2 } } { { \mathcal K } _ { 3 } + { \mathcal K } _ { 4 } } < \frac { \beta ( \overline { { \mu } } ) { \mathcal K } _ { 3 } } { { \mathcal K } _ { 3 } + { \mathcal K } _ { 4 } } + \frac { { \mathcal K } _ { 2 } } { { \mathcal K } _ { 3 } + { \mathcal K } _ { 4 } } . } \end{array}
\partial ^ { + + } = u ^ { + \alpha ^ { \prime } } { \frac { \partial } { \partial u ^ { - \alpha ^ { \prime } } } } \ : \ \ \, p a r t i a l ^ { + + } u ^ { + \alpha ^ { \prime } } = 0 \ , \ \ \partial ^ { + + } u ^ { - \alpha ^ { \prime } } = u ^ { + \alpha ^ { \prime } } \ .
\begin{array} { r l r l } { 2 F _ { 1 } } & { = [ 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 1 0 ] \qquad } & { F _ { 2 } } & { = [ 2 , 2 , 2 , 2 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 ] } \\ { F _ { 3 } } & { = [ 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 0 ] \qquad } & { F _ { 4 } } & { = [ 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 4 , 4 , 5 , 9 ] } \\ { F _ { 5 } } & { = [ 1 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 8 ] \qquad } & { F _ { 6 } } & { = [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 8 , 9 ] } \\ { F _ { 7 } } & { = [ 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 5 , 9 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 1 } ^ { n ^ { 1 / \alpha } } \int _ { 1 } ^ { n ^ { 1 / \alpha } } c ^ { 2 } ( x y ) ^ { - \alpha - 1 } \operatorname* { m i n } ( \frac { x y } { \mu n } , 1 ) \operatorname* { m i n } ( \frac { x } { \mu } f ( \delta ) n ^ { ( 7 - 3 \tau ) / ( 4 ( \tau - 2 ) ) } , 1 ) \operatorname* { m i n } ( \frac { y } { \mu } f ( \delta ) n ^ { ( 7 - 3 \tau ) / ( 4 ( \tau - 2 ) ) } , 1 ) d x d y } \\ & { = \delta n ^ { 3 - 3 / 2 \alpha } } \end{array}
E ( \textnormal { s i g n } \, Q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { E ( Q = - 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } Q < 0 } \\ { E ( Q = 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } Q > 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \varphi _ { | \pi ^ { * } ( L + m H ) | } \mathrm { ~ i s ~ b i r a t i o n a l } } & { \iff \varphi _ { | \pi ^ { * } ( L + m H ) | | _ { Z _ { n - 1 } } } \mathrm { i s ~ b i r a t i o n a l } } \\ & { \iff \cdots \iff \varphi _ { | \pi ^ { * } ( L + m H ) | | _ { Z _ { 1 } } } \mathrm { i s ~ b i r a t i o n a l } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \le \frac { | v _ { k } - v | ^ { 2 } } { ( | v _ { k } | + | v | ) ^ { 2 - p } } } & { \le ( | v _ { k } | ^ { p - 2 } v _ { k } - | v | ^ { p - 2 } v \big ) \cdot ( v _ { k } - v ) = \mathcal G _ { k } \to 0 \mathrm { ~ p o i n t w i s e ~ i n ~ C _ 0 ~ } } \\ & { \implies \frac { | v _ { k } - v | ^ { 2 } } { ( | v _ { k } | + | v | ) ^ { 2 - p } } \to 0 \mathrm { ~ p o i n t w i s e ~ i n ~ C _ 0 ~ . } } \end{array}
m _ { \mathrm { r e d } } = { \frac { m _ { \mathrm { e } } m _ { \mathrm { p } } } { m _ { \mathrm { e } } + m _ { \mathrm { p } } } } = m _ { \mathrm { e } } ~ { \frac { 1 } { 1 + m _ { \mathrm { e } } / m _ { \mathrm { p } } } } ~ .
\begin{array} { r l } { \hat { S } ( t , t _ { 0 } ) } & { { } \approx 1 - \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \, \hat { H } _ { \mathrm { i n t } } ^ { I } ( t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\left\langle t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } ( V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \right\rangle = \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } \nu ^ { - 2 / 3 } 4 ^ { 1 / 3 } ( 1 - 4 \rho ) ^ { - 1 / 3 } \ M ( \alpha )
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) T _ { f _ { 1 } s } ^ { - } \big ( \nabla ^ { 2 , n } \varphi _ { j } ^ { n } - \partial _ { x } \varphi _ { j } ^ { n } \big ) d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \lesssim \frac { \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } T } { n ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \mathbb { E } _ { n } \big [ \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) ^ { 2 } \big ] T _ { f _ { 1 } s } ^ { - } \big ( \nabla ^ { 2 , n } \varphi _ { j } ^ { n } - \partial _ { x } \varphi _ { j } ^ { n } \big ) ^ { 2 } d s \lesssim T ^ { 2 } \frac { \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } } { n ^ { 6 } } . } \end{array}
\frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial _ { \gamma } \mathbb { A } ^ { \beta } = \varrho \, U ^ { \alpha } U ^ { \beta } - \frac { c ^ { 2 } \varrho } { \Lambda _ { \rho } } \, \Upsilon ^ { \alpha \beta }
\mathcal { H } ( z ) = \frac { 1 } { 2 } { \mathbf { p } _ { q } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { p } _ { q } ^ { \prime } + U ( z , \mathbf { q } ^ { \prime } ) \ .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \Gamma } ( t ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { \le \lambda _ { 2 } \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t - 1 ) \| ^ { 2 } \} + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) \mathbb { E } \{ \| X ^ { \Gamma } ( t - 1 ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { + \lambda _ { 1 } c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n + \Big ( 1 + \frac { 2 } { r _ { 0 } n } \Big ) \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } ( \| X ( 0 ) \| ^ { 2 } + 3 \| \tilde { z } ^ { s } \| ^ { 2 } ) + \frac { c _ { l } \lambda _ { 1 } } { 2 } } \\ & { \| z ^ { s } \| ^ { 2 } + 2 c _ { s } c _ { l } \lambda _ { 1 } \| z ^ { s } \| ( \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| + \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 1 } | + | \zeta _ { 2 } | ) } \\ & { \le ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \| X ^ { \Gamma } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } \Big ( \frac { 1 } { \lambda _ { 3 } } \wedge t \Big ) \Big [ \Big ( 1 + \frac { 1 } { 2 r _ { 0 } n } \Big ) c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \Big ( 1 + \frac { 3 } { r _ { 0 } n } \Big ) ( \| X ( 0 ) \| ^ { 2 } + 3 \| \tilde { z } ^ { s } \| ^ { 2 } ) + \Big ( 1 + \frac { 1 } { r _ { 0 } n } \Big ) \frac { c _ { l } } { 2 } } \\ & { ~ \| z ^ { s } \| ^ { 2 } + 2 c _ { s } c _ { l } \| z ^ { s } \| ( \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| + 2 \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 1 } | + 2 | \zeta _ { 2 } | ) \Big ] } \\ & { + \lambda _ { 2 } \Big ( \frac { 1 } { \lambda _ { 3 } } \wedge t \Big ) [ ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } + c _ { x } ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } + i { \bf { \Gamma } } } \right) } ^ { - 1 } } \left( { { \bf { K } } + { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { 0 } } \right) { \left| \psi \right\rangle } } & { { } = \omega { \left| \psi \right\rangle } } \\ { { { \left( { 1 + \frac { { i { \bf { \Gamma } } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } } \right) } ^ { - 1 } } { { \left( { 2 { \omega _ { 0 } } } m _ { 0 } \right) } ^ { - 1 } } \left( { { \bf { K } } + { \omega _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { 0 } } \right) { \left| \psi \right\rangle } } & { { } = \omega { \left| \psi \right\rangle } } \\ { \left( { 1 - \frac { { i { \bf { \Gamma } } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } } \right) \left( { \frac { { \bf { K } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } + \frac { { { \omega _ { 0 } } } } { 2 } } \right) { \left| \psi \right\rangle } } & { { } = \omega { \left| \psi \right\rangle } } \\ { \left( { \frac { { { \omega _ { 0 } } } } { 2 } - \frac { { i { \bf { \Gamma } } } } { 4 m _ { 0 } } + \frac { { \bf { K } } } { { 2 { \omega _ { 0 } } m _ { 0 } } } - \frac { { i { \bf { \Gamma } \mathbf { K } } } } { { 4 { ( \omega _ { 0 } m _ { 0 } ) } ^ { 2 } } } } \right) { \left| \psi \right\rangle } } & { { } = \omega { \left| \psi \right\rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \Pi ( Q _ { n } ) - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \{ P _ { 0 } \phi _ { j } ^ { * } ( \Pi ( Q _ { n } ) - { Q _ { 0 , n } } ) \} \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) - \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } r _ { n } ^ { * } ( j ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { } & { - \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } P _ { 0 } \phi _ { j } ^ { * } \{ ( Q _ { n } - \Pi _ { J _ { 0 , n } } ( Q _ { n } ) \} \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) - \tilde { r } _ { n } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \mathfrak { g } ^ { 1 } = [ \mathfrak { g } , \mathfrak { g } ] = \mathrm { S p a n } \{ X _ { 3 } , X _ { 4 } \} } \\ & { \mathfrak { g } ^ { 2 } = [ \mathfrak { g } , \mathfrak { g } ^ { 1 } ] = \mathrm { S p a n } \{ X _ { 4 } \} } \\ & { \mathfrak { g } ^ { 3 } = [ \mathfrak { g } , \mathfrak { g } ^ { 2 } ] = \{ 0 \} } \end{array}
\left[ \Sigma _ { C } \right] _ { i j } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \approx i \, g _ { i } \, A _ { C } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \, A _ { C } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) \, g _ { j }
E ^ { z } ( t , \! z ) \! = \! 4 \pi e \! \left\{ \! \widetilde { N } ( z ) \! - \! \widetilde { N } [ Z _ { e } ( t , \! z ) ] \! \right\} \! , \: \: \: \widetilde { N } ( z ) \! \equiv \! \! \! \int _ { 0 } ^ { z } \! \! \! \! \! \! d \eta \, \widetilde { n _ { 0 } } ( \eta ) .
\begin{array} { r l } { \Delta \hat { \eta } = } & { \nabla \cdot ( \nabla \hat { \eta } ) = \nabla \cdot ( \nabla \rho e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } - \frac { 1 } { 2 \beta } \rho \nabla \Phi e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } ) } \\ { = } & { \Delta \rho e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } + ( \nabla \rho , \nabla e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } ) - \frac { 1 } { 2 \beta } ( \nabla \rho , \nabla \Phi ) e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } - \frac { 1 } { 2 \beta } \rho \Delta \Phi e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } - \frac { 1 } { 2 \beta } \rho ( \nabla \Phi , \nabla e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } ) } \\ { = } & { \Delta \rho e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } - \frac { 1 } { \beta } ( \nabla \rho , \nabla \Phi ) e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } - \frac { 1 } { 2 \beta } \rho \Delta \Phi e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } + \frac { 1 } { ( 2 \beta ) ^ { 2 } } \rho \| \nabla \Phi \| ^ { 2 } } \\ { = } & { e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } \Big \{ \Delta \rho - \frac { 1 } { \beta } \nabla \cdot ( \rho \nabla \Phi ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \rho \Delta \Phi + \frac { 1 } { 4 \beta ^ { 2 } } \rho \| \nabla \Phi \| ^ { 2 } \Big \} } \\ { = } & { \frac { 1 } { \beta } e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } \Big \{ \partial _ { t } \rho - \frac { 1 } { 2 \beta } \rho \partial _ { t } \Phi \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } & { = 0 . 5 \left\{ \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } + \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } \right\} } \\ & { = 0 . 5 \left\{ \left[ \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i } ^ { \prime \prime } \right] + \left[ \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i + 1 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i + 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { \xi _ { x } } { J } \right) _ { i + 1 } ^ { \prime \prime } \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { \normalfont ~ d } } { \mathrm { \normalfont ~ d } t } \frac { 1 } { 2 } \| e _ { \ell } \| ^ { 2 } = \! \left\langle e _ { \ell } , \frac { \dot { \varphi } } { \varphi } ( e _ { \ell } - \gamma _ { \ell - 1 } ) + e _ { \ell + 1 } + \dot { \gamma } _ { \ell - 1 } - \alpha ( \| e _ { \ell } \| ^ { 2 } ) e _ { \ell } \right\rangle } \\ & { \le \! \| e _ { \ell } \| \! \left( \left\| \frac { \dot { \varphi } } { \varphi } \right\| _ { \infty } \! \! \! \! ( 1 \! + \! \alpha ( \varepsilon _ { \ell - 1 } ^ { 2 } ) \varepsilon _ { \ell - 1 } ) \! + \! 1 \! + \! \bar { \gamma } _ { \ell - 1 } \! - \! \alpha ( \varepsilon _ { \ell } ^ { 2 } ) \varepsilon _ { \ell } \! \right) \le \! 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf \hat { S } } \rangle } & { { } = } & { \hbar \left( \begin{array} { c } { | \alpha _ { \mathrm { H } } | ^ { 2 } + | \alpha _ { \mathrm { V } } | ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { \mathrm { H } } ^ { * } \alpha _ { \mathrm { V } } + \alpha _ { \mathrm { V } } ^ { * } \alpha _ { \mathrm { H } } } \\ { - i ( \alpha _ { \mathrm { H } } ^ { * } \alpha _ { \mathrm { V } } - \alpha _ { \mathrm { V } } ^ { * } \alpha _ { \mathrm { H } } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta ^ { 0 G } ( t _ { d } ) = } & { { } \gamma ^ { 2 } D _ { 0 } \sqrt { \frac { \pi e } { 2 } } \tau _ { c } \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } e ^ { \frac { \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } } { 2 \tau _ { c } ^ { 2 } } } \left[ 4 \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha t _ { d } } { \sqrt { 2 } \tau _ { c } } \right) \right. } \end{array}