harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { H D } } ^ { 2 } ( \theta ) } & { { } = \frac { 6 k _ { B } T ( t ) } { m \omega _ { \perp } ^ { 2 } } \left[ \sin ^ { 2 } \theta + \lambda \cos ^ { 2 } \theta \right] ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \times e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } \slash 2 - 2 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } } ) } \\ & { \leq } & { 1 5 e ^ { 6 L ^ { 2 } + 1 } L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } T ^ { - 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + 1 } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \quad \times e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } \slash 2 + 2 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \quad \times ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { \mathcal { N } } \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \left[ \mathcal { R } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } t _ { i j } \mathcal { R } _ { j } ^ { \dagger } \right] _ { a b } f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { j b } ^ { \phantom { \dagger } } + \sum _ { i = 1 } ^ { \mathcal { N } } \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \left[ \Lambda _ { i } \right] _ { a b } f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } ( \phi ( t _ { 2 } ) - \phi ( t _ { 1 } ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \partial _ { t } \| u ( t ) \| _ { H ^ { 1 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \, d t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { M } \Bigl ( u ( t ) \partial _ { t } u ( t ) + \nabla u ( t ) \nabla \partial _ { t } u ( t ) \Bigr ) d \mu _ { \bar { g } } d t } \\ & { = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { M } \Bigl ( u ( t ) \partial _ { t } u ( t ) - [ \Delta u ( t ) ] \partial _ { t } u ( t ) \Bigr ) d \mu _ { \bar { g } } d t } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac E N = \frac N { 2 \pi \rho _ { 0 } ^ { 2 } } \ln \frac { N } { \sqrt { e } \pi \rho _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { \bar { n } } { 2 } \ln \frac { \bar { n } } { \sqrt { e } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \int \mathrm { d } \mathbf { r ^ { ' } } \hat { \rho } _ { \mathrm { c } } ( \mathbf { r } ) C ( \mathbf { r } , \mathbf { r ^ { ' } } ) \hat { \rho } _ { \mathrm { c } } ( \mathbf { r ^ { ' } } ) \right\} = } \\ & { \mathcal { N } _ { \psi } \int \mathrm { D } \psi \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \int \mathrm { d } \mathbf { r ^ { ' } } \psi ( \mathbf { r } ) C ^ { - 1 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r ^ { ' } } ) \psi ( \mathbf { r ^ { ' } } ) - i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \hat { \rho } _ { \mathrm { c } } ( \mathbf { r } ) \psi ( \mathbf { r } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 1 0 0 } } & { = \frac { 1 - 1 2 z ^ { 2 } } { 2 c _ { 0 0 0 } } \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial y } \quad \mathrm { a n d } } \\ { w _ { 1 0 0 } } & { = \frac { 4 z ^ { 3 } - z } { 2 c _ { 0 0 0 } ^ { 2 } } \left[ - \left( \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial y } \right) ^ { 2 } + c _ { 0 0 0 } \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 0 } } { \partial y ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta \! = \! i ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \! - \! U _ { i } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \! \mid \! \theta \! = \! i ] \le \left( 1 + 2 ^ { - C _ { 2 } } \frac { 1 - 2 ^ { - N C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } \right) \frac { C _ { 2 } } { C } - \frac { \mathbf { U } ( Y ^ { 0 } ) } { C } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { U } \; } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { U } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { U } ) } & & { } \\ { \mathbf { V } \; } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { V } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { V } ) } & & { } \\ { \mathbf { y } ^ { 1 } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { 1 } \mathbf { x } + \mathbf { b } ^ { 1 } ) } & & { } \\ { \mathbf { Z } ^ { l } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , } & & { 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { = ( 1 - \mathbf { Z } ^ { l } ) \odot \mathbf { U } + \mathbf { Z } ^ { l } \odot \mathbf { V } , } & & { 2 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 1 } = M _ { r r } } & { = - \left[ D k _ { r } ^ { 2 } + i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } + \chi \right] - } \\ & { - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } B _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { r } + i \Theta _ { r } ) , } \\ { M _ { 1 2 } = M _ { r - r } } & { = - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } B _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( - \Gamma _ { r } + i \Theta _ { r } ) , } \\ { M _ { 2 1 } = M _ { - r - r } } & { = - \left( - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \right) \frac { k _ { r } \bar { B } _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { r } + i \Theta _ { r } ) = \bar { M } _ { 1 2 } , } \\ { M _ { 2 2 } = M _ { - r - r } } & { = - \left[ D k _ { r } ^ { 2 } - i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } + \chi \right] - } \\ & { - \left( - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \right) \frac { k _ { r } \bar { B } _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( - \Gamma _ { r } + i \Theta _ { r } ) = \bar { M } _ { 1 1 } . } \end{array}
H _ { o } ^ { D } = \frac { \sqrt { M _ { 1 } M _ { 2 } } \sqrt { w ^ { 2 } - 1 } } { \sqrt { 1 + r ^ { 2 } - 2 r \omega } } \{ ( 1 + r ) h _ { + } - ( 1 - r ) h _ { - } \} .
\lvert f _ { i } \rvert ^ { 2 } = \frac { 2 ( g _ { i } - 1 ) } { g _ { i } \gamma n _ { 0 } } \frac { 1 } { \exp \big ( - \frac { \mu ^ { \prime } + \epsilon _ { i } } { T n _ { 0 } } \big ) - 1 } ;
m _ { k } v _ { n + 1 } ^ { ( k ) } = \lambda _ { k } m _ { k } v _ { n } ^ { ( k ) } + \xi _ { n } ^ { ( k - 1 ) } m _ { k - 1 } \left( 1 - \lambda _ { k - 1 } \right) v _ { n } ^ { ( k - 1 ) } \ ,
\frac { \Delta \rho } { \Delta t } = \frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } } \frac { \Delta p } { \Delta t } = - \frac { \partial U _ { i } ^ { n + \theta _ { 1 } } } { \partial { { x } _ { i } } } = - \left[ \frac { \partial U _ { i } ^ { n } } { \partial { { x } _ { i } } } + \theta _ { 1 } \frac { \partial \Delta { { U } _ { i } } } { \partial { { x } _ { i } } } \right]
\begin{array} { r l } { { \bf H 1 : } } & { { } \quad \partial _ { \tau } \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) = \alpha \, [ 2 \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } ( a \partial _ { q } ) - 2 ] \ \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) } \\ { { \bf H 2 : } } & { { } \quad \partial _ { \tau } \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) = \frac { \alpha } { 1 2 } [ - 2 \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } ( 2 a \partial _ { q } ) + 3 2 \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } ( a \partial _ { q } ) - 3 0 ] \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) } \\ { { \bf H 3 : } } & { { } \quad \partial _ { \tau } \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) = \frac { \alpha } { a ^ { 2 } } \, \partial _ { q } ^ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } ( n _ { i } v _ { i } ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { n _ { i } \frac { d v _ { i } } { d t } } & { { } = } & { - \sigma \frac { \partial n _ { i } } { \partial x } - n _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial x } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } } & { { } = } & { n _ { e } - \delta _ { i } n _ { i } + \delta _ { d } z _ { d } + \rho ( x - v _ { s } t ) , } \end{array}
\Omega _ { { k } } = 2 \left( \omega ^ { 2 } f _ { 0 } + \frac { 1 } { 4 } f _ { 0 } ^ { \prime \prime } \right) - \frac { d } { d \eta } \bigg ( \frac { a ^ { \prime } } { a } f _ { 0 } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { P ( \varphi , x ) = } & { { } \left( P ( \varphi , x ) - \Delta x \frac { \partial P } { \partial x } + O ( \Delta x ^ { 2 } ) \right) \left( 1 - \Delta x \left[ \frac { x _ { T } } { 4 \xi ^ { 2 } } \varphi ^ { 2 } - i q ( x ) \varphi - 2 z \cos \varphi \right] + O ( \Delta x ^ { 2 } ) \right) } \end{array}
\dot { \omega } \left( \bar { \rho } , \phi ^ { l } \right) \approx \dot { \omega } ( \bar { \rho } , \widetilde { \phi } ) - \frac { 1 } { \tau _ { c } } \cdot \bar { \rho } \left( \boldsymbol { \phi } ^ { * } - \widetilde { \phi } \right)
P _ { \nu } ^ { \mu + 2 } ( x ) = - 2 ( \mu + 1 ) \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } P _ { \nu } ^ { \mu + 1 } ( x ) + ( \mu - \nu ) ( \mu + \nu + 1 ) P _ { \nu } ^ { \mu } ( x ) ,
\mathrm { Z n S / T i O _ { 2 } / M g O / Z n S / S i _ { 3 } N _ { 4 } / I T O / S i O _ { 2 } / T i O _ { 2 } / T a _ { 2 } O _ { 5 } / Z n O / A l _ { 2 } O _ { 3 } / A g }
\operatorname* { l i m i n f } _ { N \to \infty } \frac { \sum _ { l = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } } { \sum _ { l = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( l ) } } \ge \operatorname* { l i m i n f } _ { N \to \infty } c o n s t . \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } > 0
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \left[ \check { Q } _ { g , t + 1 } ^ { 2 } - \check { Q } _ { g , t } ^ { 2 } \right] \leq \frac { 1 } { 2 } \left( \check { x } _ { g , m a x } ^ { 2 } + \check { a } _ { g , m a x } ^ { 2 } \right) } \\ { + \check { Q } _ { g , t } \left( \check { a } _ { g , t } - \check { x } _ { g , t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathscr { R } ^ { \tilde { p } } \left( u _ { i } , \tilde { p } \right) = \left\{ \begin{array} { r l } { V _ { n + 1 } ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) - V _ { n } ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { v e n , P } } - q ^ { \mathrm { a r t , S } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { { } } \\ { V _ { n + 1 } ^ { \mathrm { r v } } \left( u _ { i } \right) - V _ { n } ^ { \mathrm { r v } } \left( u _ { i } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { v e n , S } } - q ^ { \mathrm { a r t , P } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { { } } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , P } } \left( p _ { n + 1 } ^ { \mathrm { a r t , P } } - p _ { n } ^ { \mathrm { a r t , P } } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { a r t , P } } - q ^ { \mathrm { p e r , P } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { { } } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , S } } \left( p _ { n + 1 } ^ { \mathrm { a r t , S } } - p _ { n } ^ { \mathrm { a r t , S } } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { a r t , S } } - q ^ { \mathrm { p e r , S } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { { } } \\ { C ^ { \mathrm { v e n , S } } \left( p _ { n + 1 } ^ { \mathrm { v e n , S } } - p _ { n } ^ { \mathrm { v e n , S } } \right) - \Delta t \left( q ^ { \mathrm { p e r , S } } - q ^ { \mathrm { a r t , S } } \right) _ { n + \theta ^ { \tilde { p } } } , } & { { } } \end{array} \right. } \end{array}
\varphi \, ( \vec { k } , \, t ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi L ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { L } \bar { \varphi } \, ( \vec { x } , \, t ) \exp ( - i \vec { k } \cdot \vec { x } ) d \vec { x } \ .
\begin{array} { r l } & { i \partial _ { t } u + \displaystyle \frac 1 2 \Delta _ { x } u - \displaystyle \frac { k ^ { 2 } } { 2 } u + i k \cdot \nabla _ { x } u = \left( \gamma \sigma _ { 1 } \star \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 2 } \Psi \, { \mathrm { d } } z \right) u , } \\ & { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \partial _ { t t } ^ { 2 } \Psi - \Delta _ { z } \Psi = - \gamma \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \star | u | ^ { 2 } . } \end{array}
\Big ( \int _ { \mathcal { M } } \vert \nabla f ^ { n , t } \vert ^ { q } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ) ^ { \frac { 2 } { q } } \lesssim \Big ( \int _ { \mathcal { M } } \vert \nabla g ^ { n , t } \vert ^ { q } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ) ^ { \frac { 2 } { q } } \lesssim _ { q } \Big ( \int _ { \mathcal { M } } \vert \nabla g ^ { n , t } \vert ^ { 4 } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \quad \mathrm { f o r ~ a n y ~ q \in ~ [ 2 , \operatorname* { m i n } \{ \bar { ~ } q , 4 \} ] ~ , }
\begin{array} { r l } & { \| { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ^ { k } ) - { \nabla } { \mathbf { f } } ( { \mathbf { x } } ^ { \star } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \| { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } ) - { \nabla } \mathbf { f } ( { \mathbf { x } } ^ { \star } ) \| ^ { 2 } + 2 \| { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ^ { k } ) - { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 n L [ f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ( x ^ { \star } ) ] + 2 c _ { 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { W } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) } & { { } = \partial _ { t } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) + \sum _ { j \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } , j \leq k } \mathbf { v } _ { k - j } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { j } ^ { \pm } - \nu ^ { \pm } \Delta \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) + \nabla p _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) } \\ { \mathbf { W } ^ { \pm } } & { { } = \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \mathbf { W } _ { k } ^ { \pm } , } \end{array}
g _ { 0 } = 4 \epsilon _ { 3 } \eta _ { m } ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { \eta _ { 0 } / \eta _ { m } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left( \eta _ { 0 } / \eta _ { m } \right) } \right] .
\begin{array} { r } { E _ { 0 } Z = \int _ { B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon ) } \int \log \left( \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( x ) } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( x ) } \right) p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( x ) d \mu ^ { n } ( x ) d \bar { \Pi } ( \eta ) = \int _ { B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon ) } - K ( p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } , p _ { \eta } ^ { n } ) d \bar { \Pi } ( \eta ) \geq - n \varepsilon ^ { 2 } . } \end{array}
S _ { \scriptscriptstyle Y M } = \int d ^ { 4 } x \; T r \left\{ - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \bar { \lambda ^ { a } } \hat { D } \lambda ^ { a } + \frac { 1 } { 2 } ( D ^ { a } ) ^ { 2 } \right\} ,
\begin{array} { l l l } { \mathrm { d i s t } ( B , B _ { X } ) } & { \leq } & { \displaystyle \| y _ { n } - x _ { n } \| = \| p - x _ { n } \| = \| p - ( x _ { n } + z _ { n } ) + z _ { n } \| } \\ & { \leq } & { \displaystyle \left( \| p - ( x _ { n } + z _ { n } ) \| + \| z _ { n } \| \right) } \\ & { = } & { \displaystyle \left( | \| p \| - \| x _ { n } + z _ { n } \| | + \| z _ { n } \| \right) } \\ & { = } & { \displaystyle \left( | \mathrm { d i s t } ( B , B _ { X } ) + 1 - \| x _ { n } + z _ { n } \| | + \| z _ { n } \| \right) } \\ & { = } & { \mathrm { d i s t } ( B , B _ { X } ) + 1 + \displaystyle \left( \| z _ { n } \| - \| x _ { n } + z _ { n } \| \right) . } \end{array}
\frac { d ( p ) } { c ( p ) } = \alpha ( p ) , \ \frac { b ( - p ) } { a ( - p ) } = \gamma ( p ) = 2 \cosh ( \beta p ^ { 0 } / 2 ) - \alpha ( p ) , \ \frac { b ( - p ) } { a ( - p ) } \cdot \frac { d ( p ) } { c ( p ) } = \gamma ( p ) \cdot \alpha ( p ) = 1 ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } & { \le \theta ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \int _ { 0 } ^ { 1 } h ( u ) d u \le \theta ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta u } ) \| ^ { \alpha } \big ) ^ { 2 } d u . } \end{array}
\begin{array} { r } { i \partial _ { t } \lvert \Psi ( t ) \rangle = H _ { \mathrm { ~ V ~ G ~ } } ( t ) \lvert \Psi ( t ) \rangle = \left[ \frac { [ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) ] ^ { 2 } } { 2 } + V ( \textbf { r } ) \right] \lvert \Psi ( t ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ( X _ { J } , r ) } & { \ge N ( X _ { J , \lfloor ( m - 2 ) / t \rfloor } , r ) \ge \# X _ { J , \lfloor ( m - 2 ) / t \rfloor } \ge C _ { 2 } \bigg ( \frac { r _ { \lfloor ( m - 2 ) / t \rfloor } } { \ell _ { \lfloor ( m - 2 ) / t \rfloor } } \bigg ) ^ { k } } \\ & { = C _ { 2 } 2 ^ { k ( t - 1 ) \lfloor ( m - 2 ) / t \rfloor } \ge C _ { 2 } ^ { \prime } 2 ^ { k m ( t - 1 ) / t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { F A } ( \lambda ) } & { = \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { \frac { \left( \lambda _ { 1 } - \hat { \lambda } \right) ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 2 } - \hat { \lambda } \right) ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 3 } - \hat { \lambda } \right) ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } } } \\ & { = \sqrt { \frac { \mathrm { V a r } ( \lambda ) } { \mathrm { E } \left( \lambda ^ { 2 } \right) } } = \sqrt { 1 - \frac { E ( \lambda ) ^ { 2 } } { E ( \lambda ^ { 2 } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { t \nearrow 0 } \frac { 1 } { \kappa ( x , t ) } \frac { \partial } { \partial t } u ( x , t ) = \operatorname* { l i m } _ { t \searrow 0 } \frac { 1 } { \kappa ( x , t ) } \frac { \partial } { \partial t } u ( x , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q } & { { } \equiv } & { \langle | u | \rangle _ { y , z } = \frac { 1 } { 2 } ( u _ { 2 } h _ { 2 } - u _ { 1 } h _ { 1 } ) \approx - u _ { 1 } h _ { 1 } \approx u _ { 2 } h _ { 2 } \quad \mathrm { ~ u ~ s ~ i ~ n ~ g ~ } \ \ , } \\ { Q _ { m } } & { { } \equiv } & { \langle \rho u \rangle _ { y , z } \approx \rho _ { 1 } u _ { 1 } h _ { 1 } \approx \rho _ { 2 } u _ { 2 } h _ { 2 } . } \end{array}
\sigma _ { q \bar { q } } ^ { ( 0 ) } ( s , m ^ { 2 } ) = \frac { 2 \pi } { 3 } \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) K _ { q \bar { q } } N C _ { F } \frac { 1 } { s } \beta \left( 1 + \frac { 2 m ^ { 2 } } { s } \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { b , \mathbf { r ^ { a } } , \mathbf { N ^ { I } } } \quad } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { i j , k } ^ { a } \left( b , r _ { i } ^ { a } , r _ { j } ^ { a } , N _ { i } ^ { I } , N _ { j } ^ { I } \right) \left[ b + \left( r _ { i } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) l _ { i j } ^ { a } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } \left( b , r _ { i } ^ { a } , r _ { j } ^ { a } , N _ { i } ^ { I } , N _ { j } ^ { I } \right) \left[ b + \left( r _ { i } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { i , k } ^ { b _ { 1 } } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } \left( b , r _ { i } ^ { a } , r _ { j } ^ { a } , N _ { i } ^ { I } , N _ { j } ^ { I } \right) \left[ b + \left( r _ { j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { j , k } ^ { b _ { 2 } } - C _ { a v } \cdot w _ { j } ^ { a } \left( N _ { j } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \left( b , r _ { i } ^ { a } , r _ { j } ^ { a } , N _ { i } ^ { I } , N _ { j } ^ { I } \right) \left[ 2 b + \left( r _ { i } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { i , k } ^ { b _ { 3 } } + \left( r _ { j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { j , k } ^ { b _ { 3 } } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i } ^ { I } \right) - C _ { a v } \cdot w _ { j } ^ { a } \left( N _ { j } ^ { I } \right) \right] } \\ { - } & { \frac { C _ { a v } } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } N _ { i } ^ { I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { C } } & { { } = ( C _ { i j k l } ) _ { i , j , k , l \in \mathcal { I } } , } \\ { C _ { i j k l } } & { { } = \lambda \delta _ { i j } \delta _ { k l } + \mu \left( \delta _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { i l } \delta _ { j k } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { 1 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { { } = \mathscr { x } \mathrm { ~ , ~ } g ^ { 2 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \mathscr { y } \mathrm { ~ , ~ } g ^ { 3 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \mathscr { z } \mathrm { ~ , ~ } g ^ { 4 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathcal { E } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = 1 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \mathrm { ~ , ~ } } \\ { g ^ { 5 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathscr { x } > 0 } \\ { - 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathscr { x } < 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } g ^ { 6 } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathcal { E } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = 2 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
Z _ { P } [ J , \hat { \rho } ] \; = \; \mathrm { T r } \left\{ \frac { } { } T _ { P } \, \exp \left( i \sum _ { f } \int _ { P } d ^ { 4 } x J ^ { f } ( x ) \phi _ { f } ( x ) \right) \, \hat { \rho } \right\} \; ,
\begin{array} { r l } { \langle \widehat { O } \rangle } & { { } = \operatorname { T r } \left( \widehat { O } \rho ( t ) \right) = \operatorname { T r } \left( \widehat { O } \mathbb { E } _ { \Xi } \rho _ { \Xi } ( t ) \right) = \mathbb { E } _ { \Xi } \operatorname { T r } \left( \widehat { O } \rho _ { \Xi } ( t ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F _ { 1 2 } } } & { { } = m _ { 1 } \mathbf { a } _ { 1 } , } \\ { \mathbf { F _ { 2 1 } } } & { { } = m _ { 2 } \mathbf { a } _ { 2 } , } \end{array}
1 - b = \frac 1 { 2 \lambda _ { t } } \left[ \lambda _ { t } \lambda _ { b } + \lambda _ { t } + \lambda _ { b } - \sqrt { ( \lambda _ { t } \lambda _ { b } + \lambda _ { t } + \lambda _ { b } ) ^ { 2 } - 4 \lambda _ { t } \lambda _ { b } } \right]
\begin{array} { r l } { \frac { \operatorname* { d e t } g _ { C + i } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } & { { } = \operatorname* { d e t } \frac { A } { g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log q ( \pi _ { n } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \ell ( \psi _ { i } ) \log q ( \psi _ { i } ) , } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \Big \{ \ell ( \psi _ { i } ) - n q ( \psi _ { i } ) + n q ( \psi _ { i } ) \Big \} \log q ( \psi _ { i } ) , } \\ & { = n \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } q ( \psi _ { i } ) \log q ( \psi _ { i } ) } \\ & { + n \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \Big ( \frac { 1 } { n } \ell ( \psi _ { i } ) - q ( \psi _ { i } ) \Big ) \log q ( \psi _ { i } ) , } \\ & { = - n \{ H ( \Phi ) + \eta \} } \end{array}