harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nabla \phi _ { 1 } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } } { \partial \nabla \phi _ { 1 } } = } & { { } ~ \kappa _ { 1 } \varepsilon \nabla \phi \otimes \nabla \phi , } \\ { \nabla \phi _ { 2 } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } } { \partial \nabla \phi _ { 2 } } = } & { { } ~ \kappa _ { 2 } \varepsilon \nabla \phi \otimes \nabla \phi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial T } { \partial t } + \tau ^ { \gamma } \frac { \partial ^ { 1 + \gamma } T } { \partial t ^ { 1 + \gamma } } = D \frac { \partial ^ { 2 } T } { \partial x ^ { 2 } } + \hat { Q } + \tau _ { \gamma } \frac { \partial ^ { \gamma } Q } { \partial t ^ { \gamma } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \lambda _ { \xi } } } & { { } { = } } & { { | U | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { \lambda _ { \xi } } } & { { } { = } } & { { | V | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { \lambda _ { \xi } } } & { { } { = } } & { { | W | + a \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \end{array}
T r K _ { B _ { 3 } ^ { \alpha } } = \left( { \frac { V _ { B _ { 3 } ^ { \alpha } } } { l ^ { 3 } } } + { \frac { A _ { + } } { l } } ( 2 \pi \alpha ) c _ { 2 } ( \alpha ) ~ \bar { s } ~ \right) { \frac { e ^ { - \mu \bar { s } } } { ( 4 \pi \bar { s } ) ^ { 3 / 2 } } } ~ + ~ E S ~ ~ ,
\begin{array} { r l } & { s _ { 1 } ^ { 1 3 } ( z _ { 1 } , z _ { 3 } ) s _ { 2 } ^ { 1 2 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \sum _ { k , \ell \in \mathbb { N } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } s _ { 1 ; k , i } ( z _ { 1 } ) s _ { 2 ; \ell , j } ( z _ { 1 } ) \otimes b _ { j } z _ { 2 } ^ { \ell } \otimes b _ { i } z _ { 3 } ^ { k } \in ( D _ { n } ( A ) \otimes A \otimes A ) [ \! [ z _ { 2 } , z _ { 3 } ] \! ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big ( ( n + i - j ) ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) + A _ { j ( j - 1 ) } { { \big ( { ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) } ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu ) } \big ) } ^ { \ast } } _ { ( j - 1 ) j } + n ( d ^ { ( \nu ) } ( i - N - 1 ) - c ^ { ( \nu ) } ) \Big ) \xi ( n , i , j ) } \\ & { } & { + { { \big ( { ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) } ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } \big ) } ^ { \ast } } _ { ( j - 1 , j ) } \xi ( n , i , j - 1 ) + ( n + i - j ) ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) \xi ( n , i , j + 1 ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { 0 } ( \mathbf r , \mathbf r ^ { \prime } , z ) = - \frac 1 { 2 \pi } \frac { e ^ { i k ( z ) | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } } { | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } } \end{array}
\left[ T _ { \underline { { { p } } } } ^ { ( N ) } , \, T _ { \underline { { { q } } } } ^ { ( N ) } \right] \ = \ \frac { N } { 2 \pi M } \; \mathrm { s i n } \left( \frac { 2 \pi M } { N } \left( p _ { 1 } q _ { 2 } - p _ { 2 } q _ { 1 } \right) \right) \, T _ { \underline { { { p } } } + \underline { { { q } } } \, ( \mathrm { m o d } \, N ) } ^ { ( N ) } \ .
\frac { 1 } { 2 \Omega } \int \left( \alpha _ { \mu } { \dot { \alpha } } _ { \nu } + { \dot { \alpha } } _ { \nu } \alpha _ { \mu } \right) \sqrt { L } d ^ { n } X = \frac { 1 } { 2 \Omega } \int \left( \alpha _ { \nu } { \dot { \alpha } } _ { \mu } + { \dot { \alpha } } _ { \mu } \alpha _ { \nu } \right) \sqrt { L } d ^ { n } X
a _ { j } " \psi _ { 0 } ^ { \prime } = b " \psi _ { 0 } ^ { \prime } = L _ { - } \psi _ { 0 } ^ { \prime } = 0 \quad M _ { 0 5 } \psi _ { 0 } ^ { \prime } = - m \psi _ { 0 } ^ { \prime } \quad M _ { 1 2 } \psi _ { 0 } ^ { \prime } = - \psi _ { 0 }
E _ { \phi e } = T _ { e } C _ { e e } { \widetilde \rho } _ { e } \cdot { \widetilde \rho } _ { e } + T _ { e } C _ { e i } { \widetilde \rho } _ { i } \cdot { \widetilde \rho } _ { e } - T _ { e } C _ { e e } \cdot 1 .
\begin{array} { r l } { C _ { g } ( t ) } & { { } \sim \mathrm { ~ S ~ t ~ u ~ d ~ e ~ n ~ t ~ T ~ } _ { \nu = 4 } \left( \mu = \hat { C } _ { g } ( t ) , \sigma = \kappa \sqrt { \hat { C } _ { g } ( t ) + 1 } \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } \\ { \kappa } & { { } \sim \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ f ~ C ~ a ~ u ~ c ~ h ~ y ~ } ( \sigma = 3 0 ) . } \end{array}
\left[ M { \frac { \partial } { \partial M } } + \beta ( g ) { \frac { \partial } { \partial g } } + \gamma _ { \zeta } ( g ) { \frac { \partial } { \partial \zeta } } - \gamma _ { \varphi } ( g ) \varphi { \frac { \partial } { \partial \varphi } } \right] V ( \varphi ) = 0 ,
{ \frac { \tilde { a } _ { c } ^ { 2 } } { a _ { c } ^ { 2 } } } = \exp \left( { \frac { 9 6 \pi ^ { 2 } \xi } { e ^ { 2 } } } + K + 3 + 2 \gamma + { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } } \right) ~ ~ ~ .
\eta = { \frac { 1 / \tau _ { r } } { 1 / \tau _ { r } + 1 / \tau _ { n r } } } = { \frac { r a d i a t i v e \ r e c o m b i n a t i o n } { t o t a l \ r e c o m b i n a t i o n } } \leq 1 .
\begin{array} { r l } { \| \bar { y } _ { t + 1 } - y _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } ) \| \bar { y } _ { t + 1 } - y _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 4 } { \mu \gamma \alpha _ { t } } ) \| y _ { \bar { x } _ { t } } - y _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } ) \| \bar { y } _ { t + 1 } - y _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 4 } { \mu \gamma \alpha _ { t } } ) \kappa ^ { 2 } \| \bar { x } _ { t } - \bar { x } _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } \end{array}
S _ { p } = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { N } = 0 } ^ { \infty } \phi _ { 1 , 2 , \cdots , N } \frac { d ^ { - ( l + 1 ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { N } ( R _ { j } ) ^ { ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } { 2 ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Gamma ( a _ { j } + n _ { j } + 1 ) } \Gamma \Big ( ( l + 1 ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) \Big )
\begin{array} { r l } { A _ { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } } ( \sigma , \alpha ) } & { = \langle \delta \rangle , \mathrm { ~ w i t h ~ } } \\ { \delta } & { = R ( \sigma _ { t } , \alpha _ { t } ) - \bar { R } [ \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } ] + V _ { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } } ( \sigma _ { t + \Delta t } ) - V _ { \hat { \pi } _ { \boldsymbol { \theta } } } ( \sigma _ { t } ) , } \end{array}
\langle T _ { \mu } ^ { \mu } ( x ) \rangle _ { R e n . } = \frac { \eta ^ { 2 } } { 7 2 0 \pi ^ { 2 } r ^ { 4 } } + \frac { q ^ { 2 } } { 9 6 \pi ^ { 2 } r ^ { 4 } } \ .
S _ { E } = { \frac { 4 \, \pi } { \lambda } } \int d \tau \int d r \; r ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } { ( { \frac { \partial \varphi } { \partial \tau } } ) ^ { 2 } + ( \nabla \varphi ) ^ { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \varphi ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } - f \varphi ^ { 3 } \right] .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 2 \pi \int _ { a } ^ { b } ( y - k ) f ( y ) \, d y , } & { { \mathrm { i f } } \ k \leq a < b } \\ { \displaystyle 2 \pi \int _ { a } ^ { b } ( k - y ) f ( y ) \, d y , } & { { \mathrm { i f } } \ a < b \leq k } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle \nabla _ { x } u _ { j } , \nabla _ { x } u _ { k } \rangle } & { = \frac { A _ { j } A _ { k } } { L _ { j } L _ { k } } \left\langle \left( i \beta _ { j } - \frac { 2 + i B _ { j } } { 2 L _ { j } } y _ { j } \right) b _ { j , 1 } , \left( i \beta _ { k } - \frac { 2 + i B _ { k } } { 2 L _ { k } } y _ { k } \right) b _ { k , 1 } \right\rangle } \\ & { = \frac { A _ { j } A _ { k } } { L _ { j } L _ { k } } \left\{ \beta _ { j } \cdot \beta _ { k } \left\langle b _ { j , 1 } , b _ { k , 1 } \right\rangle + i \frac { 2 + i B _ { j } } { 2 L _ { j } } \beta _ { k } \cdot \left( \begin{array} { l } { \left\langle b _ { j , 2 } , b _ { k , 1 } \right\rangle } \\ { \left\langle b _ { j , 3 } , b _ { k , 1 } \right\rangle } \end{array} \right) \right. } \\ & { \qquad - i \frac { 2 - i B _ { k } } { 2 L _ { k } } \beta _ { j } \cdot \left( \begin{array} { l } { \left\langle b _ { j , 1 } , b _ { k , 2 } \right\rangle } \\ { \left\langle b _ { j , 1 } , b _ { k , 3 } \right\rangle } \end{array} \right) } \\ & { \qquad \left. + \frac { 2 + i B _ { j } } { 2 L _ { j } } \frac { 2 - i B _ { k } } { 2 L _ { k } } \left( \left\langle b _ { j , 2 } , b _ { k , 2 } \right\rangle + \left\langle b _ { ( j , 3 } , b _ { k , 3 } \right\rangle \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 8 } } & { = } & { b \mathrm { ~ } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) \exp \left\{ - \frac { \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} } \\ & { } & { \left[ 2 \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) + \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right] } \end{array}
M _ { x } = { \frac { 1 } { a } } { \frac { \partial \Phi } { \partial x } } \, , \qquad M _ { y } = { \frac { 1 } { a } } { \frac { \partial \Phi } { \partial y } } \, , \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad M _ { z } = { \frac { 1 } { a } } { \frac { \partial \Phi } { \partial z } } \, ,
u _ { 1 } = \frac { \Delta U } { 2 } \left[ \operatorname { t a n h } \left( \frac { x _ { 2 } } { 2 \delta _ { \theta } ^ { 0 } } \right) - \operatorname { t a n h } \left( \frac { x _ { 2 } + L _ { 2 } / 2 } { 2 \delta _ { \theta } ^ { 0 } } \right) - \operatorname { t a n h } \left( \frac { x _ { 2 } - L _ { 2 } / 2 } { 2 \delta _ { \theta } ^ { 0 } } \right) \right] + \lambda _ { 1 } ,
x = \pm B ( \mathrm { ~ \footnotesize ~ \displaystyle ~ \frac ~ { ~ 5 ~ } ~ { ~ 6 ~ } ~ } , \mathrm { ~ \footnotesize ~ \displaystyle ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } ) \left( 1 - y ^ { - 1 / 2 } P _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \left( - \frac { 1 } { 6 } , - \frac { 3 } { 2 } \right) } \left( 1 - 2 y ^ { 3 } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { - \mathrm { I m } [ \tilde { n } _ { \pm } ] } & { { } = S _ { - } \mp i \frac { \mu } { 4 \omega } | { \bf { a } } \times { \bf { c } } | \cos \varphi \; , } \\ { \mathrm { I m } [ { n } _ { \pm } ] } & { { } = S _ { - } \pm i \frac { \mu } { 4 \omega } | { \bf { a } } \times { \bf { c } } | \cos \varphi \; , } \end{array}
t e l l s u s t h a t a q u a d r a t i c L a t i n s q u a r e o f o r d e r q c o n t a i n i n g a n i n t e r c a l a t e e x i s t s i f 8 3 \leqslant q \equiv 3 \bmod 4 . W e c a n t h e n u s e a c o m p u t e r t o c o n f i r m t h a t a n a n t i - a t o m i c q u a d r a t i c L a t i n s q u a r e o f o r d e r q \equiv 3 \bmod 4 e x i s t s w h e n e v e r 3 < q \leqslant 7 9 . I f q \equiv 1 \bmod 4 t h e n w e k n o w f r o m T h e o r e m
\begin{array} { r l } { ( F _ { 1 } , e / f ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 2 , \ \ensuremath { \Sigma } = + 1 \, ; } \\ { ( F _ { 2 } , e / f ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 1 , \ \ensuremath { \Sigma } = 0 \, ; } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ( F _ { 3 } , e / f ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 0 , \ \ensuremath { \Sigma } = - 1 . } \end{array}
\mu = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \omega } { 2 } \pm \frac { \gamma } { 2 } - 1 , } & { \mathrm { f o r } \quad k = 0 , } \\ { \frac { \omega } { 2 } \pm \frac { \gamma } { 2 } + 1 , } & { \mathrm { f o r } \quad k = \pi . } \end{array} \right.
q _ { i } ^ { D } = - \int _ { \gamma _ { \mathbf { x } } } { f } _ { x } \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { X } ) d \gamma _ { \mathbf { x } } \cong - \sum _ { \mathbf { x } _ { i } \in \gamma _ { \mathbf { x } } } \hat { { f } } _ { x } ( \mathbf { x } _ { i } ) \Delta x \Delta y
\hat { H } = \underbrace { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \nabla _ { i } ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ \hat { ~ } { ~ T ~ } ~ } } - \underbrace { \sum _ { i A } \frac { Z _ { A } } { | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { R } _ { A } | } + \sum _ { i < j } \frac { 1 } { | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } | } } _ { \mathrm { ~ \hat { ~ } { ~ V ~ } ~ } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \varphi } \Big ( d _ { f } \Psi \{ f \} [ h ] \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } & { = \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial _ { \varphi } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \big ] } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\boldsymbol { B } ( k ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 5 9 . 9 9 9 8 \beta _ { 1 k } } & { 0 . 2 6 1 9 \beta _ { 2 k } } & { 0 } \\ { - 0 . 2 6 1 9 \beta _ { 1 k } } & { 5 9 . 9 9 9 2 \beta _ { 2 k } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 5 9 . 9 9 9 8 \beta _ { 3 k } } \\ { \beta _ { 1 k } } & { 0 . 0 0 8 7 \beta _ { 2 k } } & { 0 } \\ { - 0 . 0 0 8 7 \beta _ { 1 k } } & { \beta _ { 2 k } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \beta _ { 3 k } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma _ { \tau } } { d Z } } & { { } = 2 \zeta _ { 2 } \vartheta _ { \tau } \sigma _ { \tau } + b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \sigma _ { \tau } + \frac { 1 5 } { 8 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { 0 } \zeta _ { 4 } \sigma _ { \tau } } \end{array}
{ \cal R } = { \frac 2 { ( 1 + 4 \Phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \; } ( 3 - 4 \Phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } \; = 2 \, \left( { \frac 4 { 1 + 4 \Phi ^ { 2 } } - 1 } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { c c } { { Q \bar { Q } ( A \bar { A } ) ^ { k } \leftrightarrow M _ { k } \quad } } & { { A ^ { N - 1 } Q ^ { 2 } \leftrightarrow a ^ { N - 1 } q ^ { 2 } } } \\ { { Q ^ { 2 } \bar { A } ( A \bar { A } ) ^ { k } \leftrightarrow H _ { k } \quad } } & { { \bar { A } ^ { N - 1 } \bar { Q } ^ { 2 } \leftrightarrow \bar { a } ^ { N - 1 } \bar { q } ^ { 2 } } } \\ { { \bar { Q } ^ { 2 } { A } ( A \bar { A } ) ^ { k } \leftrightarrow \bar { H } _ { k } \quad } } & { { ( A \bar { A } ) ^ { k } \leftrightarrow ( a \bar { a } ) ^ { k } } } \\ { { \qquad A ^ { N } \leftrightarrow a ^ { N } } } & { { A ^ { N - 2 } Q ^ { 4 } \leftrightarrow a ^ { N - 2 } q ^ { 4 } } } \\ { { \qquad \bar { A } ^ { N } \leftrightarrow \bar { a } ^ { N } } } & { { \bar { A } ^ { N - 2 } \bar { Q } ^ { 4 } \leftrightarrow \bar { a } ^ { N - 2 } \bar { q } ^ { 4 } } } \end{array}
\varphi ^ { \prime \prime } + { \frac { 2 } { r } } \varphi ^ { \prime } + { \frac { ( r + 1 ) ^ { 4 } \omega ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } } \varphi - { \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } } \varphi - { \frac { 2 } { r ^ { 2 } ( r + 1 ) ^ { 2 } } } \varphi = 0 ,
\mathcal { L } _ { \mathrm { s p i n ~ 0 } } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 6 0 m ^ { 4 } } \left[ 7 \left( \mathbf { E } ^ { 2 } - \mathbf { H } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 4 ( \mathbf { E H } ) ^ { 2 } \right]
\sqrt { Z _ { H } m _ { B } } \frac { i N _ { c } } { 1 6 \pi ^ { 4 } } \int ^ { \mathrm { r e g } } d ^ { 4 } \ell \frac { \mathrm { T r } \left[ ( \gamma \cdot \ell + m ) ( g _ { \phi s s } \gamma \cdot \epsilon ) ( \gamma \cdot ( \ell + p ) + m ) ( \mathrm { V , A , T } ) \frac { 1 + \gamma \cdot v } { 2 } \gamma _ { 5 } \right] } { ( \ell ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( ( \ell + p ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( v \cdot \ell + \Delta _ { H } ) } ,
\frac { d } { d t } h _ { Q } = h _ { Q } \left[ 6 h _ { Q } ^ { 2 } + h _ { s } ^ { 2 } - \left( \frac { 1 6 } { 3 } g _ { 3 } ^ { 2 } + 3 g _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 1 5 } g _ { 1 } ^ { 2 } + 2 g _ { 1 ^ { ' } } ^ { 2 } ( Q _ { u } ^ { 2 } + Q _ { Q } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } ) \right) \right] ;
\begin{array} { r } { { R _ { k } } \left[ l \right] = { \log _ { 2 } } \left( { \frac { { { \sigma ^ { 2 } } + { \bf { h } } _ { k } ^ { H } \left( { { \bf { \Theta } } \left[ l \right] } \right) \left( { \sum _ { i = k } ^ { K } { { { \bf { S } } _ { i } } \left[ l \right] } } \right) { { \bf { h } } _ { k } } \left( { { \bf { \Theta } } \left[ l \right] } \right) } } { { { \sigma ^ { 2 } } + { \bf { h } } _ { k } ^ { H } \left( { { \bf { \Theta } } \left[ l \right] } \right) \left( { \sum _ { i = k + 1 } ^ { K } { { { \bf { S } } _ { i } } \left[ l \right] } } \right) { { \bf { h } } _ { k } } \left( { { \bf { \Theta } } \left[ l \right] } \right) } } } \right) , \forall k \in { \cal K } , l \in { \cal L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } = } & { \sum _ { i \sigma } \epsilon _ { i } \hat { n } _ { i \sigma } + { \sum _ { i j \sigma } } ^ { \prime } t _ { i j } \, \hat { a } _ { i \sigma } ^ { \dag } \, \hat { a } _ { j \sigma } + \sum _ { i } U _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \, \hat { n } _ { i \downarrow } + \frac { 1 } { 2 } { \sum _ { i j \sigma { \sigma } ^ { \prime } } } ^ { \prime } K _ { i j } \hat { n } _ { i \sigma } \, \hat { n } _ { j { \sigma } ^ { \prime } } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } { \sum _ { i j } } ^ { \prime } J _ { i j } ^ { H } \left( \hat { \textbf { S } } _ { i } \cdot \hat { \textbf { S } } _ { j } - \frac { 1 } { 4 } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } \right) + \frac { 1 } { 2 } { \sum _ { i j } } ^ { \prime } { J } _ { i j } ^ { \prime } ( \hat { a } _ { i \uparrow } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i \downarrow } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \downarrow } \hat { a } _ { j \uparrow } + \mathrm { H . c . } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } { \sum _ { i j } } ^ { \prime } V _ { i j } ( \hat { n } _ { i \sigma } + \hat { n } _ { j \sigma } ) ( \hat { a } _ { i \bar { \sigma } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \bar { \sigma } } + \mathrm { H . c . } ) + \mathcal { H } _ { \mathrm { i o n - i o n } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gg _ { \mathscr { O } } = \mathrm { ~ A ~ r ~ g ~ } \left( w _ { \mathscr { O } } ( \j _ { 1 } , \j _ { 2 } ) w _ { \mathscr { O } } ( \j _ { 2 } , \j _ { 3 } ) w _ { \mathscr { O } } ( \j _ { 3 } , \j _ { 1 } ) \right) + \gg , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \arctan \left[ { \frac { 2 \sin \alpha } { \cot ( { \frac { c } { 2 } } ) \sin ( \beta + \alpha ) + \tan ( { \frac { c } { 2 } } ) \sin ( \beta - \alpha ) } } \right] , } \\ { b } & { { } = \arctan \left[ { \frac { 2 \sin \beta } { \cot ( { \frac { c } { 2 } } ) \sin ( \alpha + \beta ) + \tan ( { \frac { c } { 2 } } ) \sin ( \alpha - \beta ) } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { p } } ( x _ { 0 } , 0 ) } & { \geq } & { N ( N - 1 ) \cdots ( N - p + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - p } h ( 0 , 0 ) ( 1 - c ) - c | a _ { 2 } ( \delta ) | } \\ & { \geq } & { \frac { N ( N - 1 ) ( 1 - c ) ^ { 2 } h ( 0 , 0 ) | a _ { 2 } ( \delta ) | } { ( N - 1 ) ( 1 + c ) h ( 0 , 0 ) } - c | a _ { 2 } ( \delta ) | = \left[ \frac { N ( 1 - c ) ^ { 2 } } { 1 + c } - c \right] | a _ { 2 } ( \delta ) | , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \vec { c } } } & { = { \vec { c } } _ { 0 } + { \vec { p } } \, t } \\ { { \vec { s } } } & { = { \vec { s } } _ { 0 } + { \vec { c } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { p } } \, t ^ { 2 } } \\ { { \vec { \jmath } } } & { = { \vec { \jmath } } _ { 0 } + { \vec { s } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { c } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { p } } \, t ^ { 3 } } \\ { { \vec { a } } } & { = { \vec { a } } _ { 0 } + { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { c } } _ { 0 } \, t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { p } } \, t ^ { 4 } } \\ { { \vec { v } } } & { = { \vec { v } } _ { 0 } + { \vec { a } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { c } } _ { 0 } \, t ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 1 2 0 } } { \vec { p } } \, t ^ { 5 } } \\ { { \vec { r } } } & { = { \vec { r } } _ { 0 } + { \vec { v } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { a } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 1 2 0 } } { \vec { c } } _ { 0 } \, t ^ { 5 } + { \frac { 1 } { 7 2 0 } } { \vec { p } } \, t ^ { 6 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 2 1 \frac { 3 } { 2 } + \frac { 3 } { 2 } } } & { = \Phi _ { 2 1 + 1 \uparrow } } \\ { \Psi _ { 2 1 \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } \Phi _ { 2 1 + 1 \downarrow } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \Phi _ { 2 1 0 \uparrow } } \\ { \Psi _ { 2 1 \frac { 3 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } } & { = \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } \Phi _ { 2 1 - 1 1 \uparrow } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \Phi _ { 2 1 0 \downarrow } } \\ { \Psi _ { 2 1 \frac { 3 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } } } & { = \Phi _ { 2 1 - 1 \downarrow } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 4 2 , l } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } ( s _ { l k } ( t ) - s _ { l k } ^ { * } ( t ) ) \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \widetilde M _ { l } ( s ) } \\ { = } & { \Big ( \frac { 1 } { v _ { l l } ( t ) } - \frac { 1 } { v _ { l l } ^ { * } ( t ) } \Big ) \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \widetilde M _ { l } ( s ) } \\ & { + \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \Big ( \frac { 1 } { v _ { 2 n , 2 n } ( t ) } - \frac { 1 } { v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) } \Big ) \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { i n } ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { n + 1 } } & { = A ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { ( A u ) ^ { n + 1 } } & { = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { b } } ^ { T } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { p } } \\ { p ^ { n + 1 } } & { = p ^ { n } - \Delta t \, \boldsymbol { b } ^ { T } E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) - \frac { \Delta t \, \boldsymbol { b } ^ { T } } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \delta \omega ^ { a b } : } } & { { \epsilon _ { a b a _ { 3 } . . . a _ { 2 n - 1 } } ( R ^ { a _ { 3 } a _ { 4 } } + l ^ { - 2 } e ^ { a _ { 3 } } e ^ { a _ { 4 } } ) \cdot \cdot \cdot ( R ^ { a _ { 2 n d - 3 } a _ { 2 n - 2 } } + l ^ { - 2 } e ^ { a _ { 2 n d - 3 } } e ^ { a _ { 2 n - 2 } } ) T ^ { a _ { 2 n - 1 } } } } & { { = 0 } } \\ { { \delta e ^ { a } : } } & { { \epsilon _ { a a _ { 2 } . . . a _ { 2 n - 1 } } ( R ^ { a _ { 2 } a _ { 3 } } + l ^ { - 2 } e ^ { a _ { 2 } } e ^ { a _ { 3 } } ) \cdot \cdot \cdot ( R ^ { a _ { 2 n d - 2 } a _ { 2 n - 1 } } + l ^ { - 2 } e ^ { a _ { 2 n d - 2 } } e ^ { a _ { 2 n - 1 } } ) } } & { { = 0 } } \end{array} .