harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \rho _ { \alpha } ( u , v ) \leq M ^ { 1 / 2 } \exp \left( \alpha \| u \| ^ { 2 } + \alpha \| v \| ^ { 2 } \right) } & { \leq M ^ { 1 / 2 } \frac { \rho ( u , w ) ^ { 1 / 2 } } { c ^ { 1 / 2 } } \exp \left( \alpha \| u \| ^ { 2 } + \alpha ( \gamma - 1 ) \| u \| ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \frac { M ^ { 1 / 2 } } { c ^ { 1 / 2 } } \rho _ { \gamma \alpha } ( u , w ) \leq \frac { M ^ { 1 / 2 } } { c ^ { 1 / 2 } } \left[ \rho _ { \gamma \alpha } ( u , w ) + \rho _ { \gamma \alpha } ( w , v ) \right] . } \end{array}
F ( s ) \, = \, \left\{ \begin{array} { l l } { \log \frac { 8 } { \sqrt { s } } - 2 + \mathcal { O } ( s \log s ) } & { \mathrm { ~ a ~ s ~ } s \to 0 \, , } \\ { \frac { \pi } { 2 s ^ { 3 / 2 } } + \mathcal { O } ( s ^ { - 5 / 2 } ) } & { \mathrm { ~ a ~ s ~ } s \to \infty \, . } \end{array} \right.
\sigma ^ { 2 } = { \frac { 2 } { \tau _ { C } } } = { \frac { 6 4 R \, \Gamma ^ { 2 } \, M } { 9 \pi ^ { 2 } v _ { 0 } } } \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; M \ll 1
h T _ { , r r } - 2 T _ { , u r } + h _ { , r } T _ { , r } - 2 h \phi _ { , r } T _ { , r } + 2 \phi _ { , u } T _ { , r } + 2 \phi _ { , r } T _ { , u } - \frac 1 2 \frac { d V } { d T } = 0
\hat { H } : \ \ \ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \left[ \partial _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { \theta } ^ { 2 } + \partial _ { z } ^ { 2 } \right] \, + \, \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { 2 } r ^ { 2 } \ \ \ .
\begin{array} { r l } { \rho } & { = \frac { c _ { \mathrm { m e m } } \Delta V } { I _ { V } \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \frac { N _ { T } } { N _ { V } } } \\ { V _ { \mathrm { m i n } } } & { = V _ { \frac { 1 } { 2 } } + \Delta V \log \left( - 1 + \frac { 1 } { 2 \rho } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) \right) } \\ { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } & { = V _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { b i f } } - V _ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { V _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { b i f } } } & { = V _ { \mathrm { r e s t } } + \Delta V \left[ \frac { I _ { T } N _ { T } p _ { T } } { I _ { V } N _ { V } \rho } + \frac { 1 } { 2 \rho } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) - \log \left( - 1 + \frac { 1 } { 2 \rho } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) \right) \right] . } \end{array}
T r \langle \widehat { \mathbf { u } } \widehat { \mathbf { u } } ^ { H } \rangle = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \langle \hat { u } ^ { * } \hat { u } \rangle + \langle \hat { v } ^ { * } \hat { v } \rangle + \langle \hat { w } ^ { * } \hat { w } \rangle \right) \, d z
\begin{array} { r l } { \| T ^ { n + 1 } ( \gamma ) - T ^ { n } ( \gamma ) \| _ { X _ { c } } } & { \leq L ( \alpha , c ) \| T ^ { n } ( \gamma ) - T ^ { n - 1 } ( \gamma ) \| _ { X _ { c } } , } \\ { \| \theta ( \gamma ) - T ^ { n } ( \gamma ) \| _ { X _ { c } } } & { \leq \frac { L ( \alpha , c ) ^ { n } } { 1 - L ( \alpha , c ) } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) _ { \xi \eta } = \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) _ { \xi } \otimes \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) _ { \eta }
\ln E = \ln { \cal L } _ { \mathrm { m a x } } + { \frac { n } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \operatorname* { d e t } C _ { n } - \sum _ { p = 1 } ^ { n } \ln \Delta \theta _ { p } \, ,
m _ { H } \partial _ { m _ { H } } \; \; , \; \; e \partial _ { e } \; \; , \; \; f _ { \xi } \partial _ { \xi } + ( \chi \partial _ { \xi } + \chi _ { A } \partial _ { \xi _ { A } } ) f _ { \xi } \partial _ { \chi } \; \; .
\mathbf { Q } = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \hat { \mathbf { x } } \cdot \tilde { \mathbf H } ( R _ { 0 } \hat { \mathbf { x } } ) ) \overline { { \mathbf { Y } _ { 2 } ( \hat { \mathbf { x } } ) } } ~ \mathrm { d } s _ { \hat { \mathbf { x } } } .
\mathbf { B } _ { 0 } ^ { \prime } = - E _ { 0 , \parallel } ^ { \prime } ( \theta ^ { \prime } , \phi ) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \prime } + E _ { 0 , \perp } ^ { \prime } ( \theta ^ { \prime } , \phi ) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel }
\frac { d [ \mathrm { h ^ { + } } ] } { d t } = [ \mathrm { N } V ] ( 1 - p ) n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \; J - [ \mathrm { h ^ { + } } ] [ \mathrm { N } V ] \, p \, k _ { v b - }
\left\{ \begin{array} { l } { { x _ { 1 , t } ( z , t ) = c _ { 1 } x _ { 1 , z z } ( z , t ) + a _ { 1 2 } x _ { 2 } ( z , t ) , \quad z \in ( 0 , d ) , \ t > 0 , } } \\ { { x _ { 1 } ( 0 , t ) = x _ { 1 } ( d , t ) = 0 ; } } \\ { { x _ { 2 , t } ( z , t ) = c _ { 2 } x _ { 2 , z z } ( z , t ) + a _ { 2 1 } x _ { 1 } ( z , t ) , \quad z \in ( 0 , d ) , \ t > 0 , } } \\ { { x _ { 2 } ( 0 , t ) = x _ { 2 } ( d , t ) = 0 . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left| \int _ { \Omega } \eta ( \langle \Phi , \nu _ { x } \rangle + \lambda ^ { a } ( x ) \langle \Phi ^ { \infty } , \nu _ { x } ^ { \infty } \rangle ) d x - \int _ { \Omega } \eta \Phi \big ( \phi _ { t } \star ( \overline { { \nu } } + \overline { { \nu ^ { \infty } } } \lambda ^ { a } ( x ) ) d x \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega + D \psi _ { t } \big ) d x \right| < \varepsilon } \end{array}
T _ { 3 1 } ( \omega ) = \frac { | S _ { 3 } | ^ { 2 } } { | S _ { 1 } | ^ { 2 } } = \frac { \frac { 4 } { \tau _ { p } \tau _ { d } } } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \frac { 1 } { \tau _ { d } } + \frac { 1 } { \tau _ { p } } + \frac { 1 } { \tau _ { i } } ) }
\mathbf { E } = ( E _ { x } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ E ~ } } , E _ { y } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ E ~ } } , E _ { z } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ M ~ } } ) , \; \; \mathbf { H } = ( H _ { x } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ M ~ } } , H _ { y } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ M ~ } } , H _ { z } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ E ~ } } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } W _ { 1 , + } ^ { n } } & { = ( \mathbb { E } e ^ { - F _ { 0 } ( 0 ) } ) ^ { n } \int _ { x ^ { \prime } > r ^ { + } } p ( x ^ { \prime } ) p ^ { \ast ( n - 1 ) } ( v n - x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } \\ & { \le ( \mathbb { E } e ^ { - F _ { 0 } ( 0 ) } ) ^ { n } \| p ^ { \ast ( n - 1 ) } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \int _ { x ^ { \prime } > r ^ { + } } p ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } \\ & { \le C ( \mathbb { E } e ^ { - F _ { 0 } ( 0 ) } ) ^ { n } \| p \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| p \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) } ^ { n - 2 } p ( r ^ { + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 2 } } & { = { \mathcal { T } } _ { 2 } ( u _ { 2 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) = { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 2 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) } \\ & { = { \mathcal { S } } ( u _ { 2 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 2 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle \left( { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \bigcup _ { R ^ { \prime } } \left( N \cdot D _ { N } ^ { * } \left( X _ { 1 } , X _ { 2 } , \ldots , X _ { N } ; R ^ { \prime } \right) > \lambda \right) \Big ) } \\ & { \leq ( 2 e ) ^ { d } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi d } } \cdot ( N + 1 ) ^ { d } \cdot \exp ( - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 \Sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { 3 } } ) , } \end{array}
{ \cal M } _ { D } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { \: | p _ { 1 1 } | } } } & { { \epsilon ^ { \: | p _ { 1 2 } | } } } & { { \epsilon ^ { \: | p _ { 1 3 } | } } } \\ { { \epsilon ^ { \: | p _ { 1 2 } | } } } & { { \epsilon ^ { \: | p _ { 2 2 } | } } } & { { \epsilon ^ { \: | p _ { 2 3 } | } } } \\ { { \epsilon ^ { \: | p _ { 1 3 } | } } } & { { \epsilon ^ { \: | p _ { 2 3 } | } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } ^ { - \ell , m } ( e ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \left( \frac { a } { r } \right) ^ { \ell } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m \upsilon } \, d M = \frac { 1 } { \pi ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { \ell - 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( 1 + e \cos \upsilon \right) ^ { \ell - 2 } \cos ( m \upsilon ) \, d \upsilon } \end{array}
\pi _ { \boldsymbol { X } , C _ { 1 } , \Sigma _ { b } | \langle \boldsymbol { D } \rangle } ( \boldsymbol { x } , c _ { 1 } , \sigma _ { b } | \langle \boldsymbol { d } ^ { * } \rangle ) = \pi _ { E } ( \epsilon ) \pi _ { \Sigma } ( \sigma ) \pi _ { M , C _ { 1 } | \langle \boldsymbol { D } \rangle } ( m , c _ { 1 } | \langle \boldsymbol { d } ^ { * } \rangle ) \pi _ { \Sigma _ { b } } ( \sigma _ { b } ) \, .
\begin{array} { r l r } { H _ { F } } & { { } = } & { \sum _ { k = - n / 2 + 1 } ^ { n / 2 } 2 ( \lambda - c o s \left( \frac { 2 \pi k } { n } \right) ) b _ { k } ^ { \dagger } b _ { k } } \end{array}
{ \cal V } ( \lambda ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \rho \, \rho ^ { D - 2 } \ln \left( 1 - { \frac { I _ { \eta - 1 } ( \lambda \rho ) } { K _ { \eta - 1 } ( \lambda \rho ) } } { \frac { K _ { \eta - 1 } ( \rho ) } { I _ { \eta - 1 } ( \rho ) } } \right) ,
v j = J v ^ { \star } , \qquad \mathrm { w h e r e } \quad J = J _ { m + n } = \left( \begin{array} { l l l l } { J _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { J _ { 1 } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { J _ { 1 } } \end{array} \right) , \quad J _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { c } { { a ^ { A * } = a ^ { A } ~ ~ ~ ~ b ^ { A * } = b ^ { A } ~ ~ ~ ~ \omega _ { A B } { } ^ { * } = \omega _ { A B } ~ ~ ~ ~ \lambda ^ { * } = \lambda ~ ~ ~ ~ T ^ { \dagger } = - T } } \\ { { { } } } \\ { { \bar { \rho } _ { i } = \rho ^ { i \dagger } \gamma ^ { 0 } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \bar { \varepsilon } _ { i } = \varepsilon ^ { i \dagger } \tilde { \gamma } ^ { 0 } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d t } n ^ { C } ( X ) = - \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { s o c } } \right] \cdot n _ { t } ^ { C } ( X ) \cdot n _ { t } ^ { G } ( X ) } \\ { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { I } ( X ) = \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { s o c } } \right] \cdot n _ { t } ^ { C } ( X ) \cdot n _ { t } ^ { G } ( X ) } \\ { \quad \quad \quad \quad \quad - \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { e c } } \right] \cdot \mathbb { E } \left[ U _ { \mathrm { e c } } ^ { \mathrm { p r o j } } \left( W _ { \mathrm { i r r } } , T , n _ { t } ^ { G } ( X ) \right) \right] n _ { t } ^ { I } ( X ) } \\ { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { P L } ( X ) = \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { e c } } \right] \cdot \mathbb { E } \left[ U _ { \mathrm { e c } } ^ { \mathrm { p r o j } } \left( W _ { \mathrm { i r r } } , T , n _ { t } ^ { G } \right) \right] \cdot n ^ { I } ( X ) } \\ { \quad \quad \quad \quad \quad - \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { e c } } \right] \mathbb { E } \left[ U _ { \mathrm { e c } } \left( W _ { \mathrm { i r r } } , n _ { t } ^ { G } ( X ) \right) \right] n _ { t } ^ { P L } ( X ) } \\ { \frac { d } { d t } n _ { t } ^ { G } ( X ) = \mathbb { E } \left[ W _ { \mathrm { e c } } \right] \cdot \mathbb { E } \left[ U _ { \mathrm { e c } } \left( W _ { \mathrm { i r r } } , n _ { t } ^ { G } ( X ) \right) \right] \cdot n _ { t } ^ { P L } ( X ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \dot { g } ( \sigma ) , \dot { A } ( \sigma ) ) } & { = ( \sigma ^ { - 2 } ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) - i \sigma ^ { - 1 } ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) ) + i \sigma ^ { - 1 } \big ( ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) \big ) + i \sigma ^ { - 1 } ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) ) } \\ & { \qquad + ( \tilde { \dot { g } } , \tilde { \dot { A } } ) + ( \tilde { \dot { g } } ( \sigma ) , \tilde { \dot { A } } ( \sigma ) ) } \end{array}
\psi _ { k } ^ { ( 2 ) } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( k ^ { 2 } + 1 ) ( k ^ { 2 } + 4 ) } } \left[ \left( 2 - k ^ { 2 } - \frac { 3 } { \cosh ^ { 2 } x } \right) \sin k x - 3 k \cos k x \operatorname { t a n h } x \right] .
\begin{array} { r l } { \mu = } & { \frac { 2 } { \mathcal { K } _ { H } } \left( P _ { \textsc { r f } } + \sum _ { k = 1 , k \in \mathcal { K } _ { H } } ^ { | \mathcal { K } _ { H } | } \frac { 1 } { { \Delta \beta _ { k } } } \right) , } \\ & { P _ { \textsc { r f } } = \sum _ { k = 1 , k \in \mathcal { K } _ { H } } ^ { | \mathcal { K } _ { H } | } p _ { \mathrm { c l - } k } , \qquad \forall k \in \mathcal { K } _ { H } } \\ & { \mathrm { w h e r e } \quad p _ { \mathrm { c l - } k } = \left( \mu - \frac { 1 } { { \Delta \beta _ { k } } } \right) ^ { + } , } \\ & { \mathrm { a n d } \quad { \bf p } _ { \mathrm { c l - } k } = [ p _ { 1 } , p _ { 2 } , . . . , p _ { | \mathcal { K } _ { H } | } ] , } \end{array}
\operatorname* { d e t } \widetilde { R \Gamma } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \mathrm { a d } ( T _ { \textup { \bf f } } ) \otimes \chi , \Delta _ { \mathrm { G r } } ) = \operatorname* { d e t } \widetilde { R \Gamma } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \chi , \Delta _ { 0 } ) \cdot \operatorname* { d e t } \widetilde { R \Gamma } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \mathrm { a d } ^ { 0 } ( T _ { \textup { \bf f } } ) \otimes \chi , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathrm { G r } } )
\begin{array} { r l } { \left\langle \widetilde { v } _ { i n } \right\rangle \left( r ; y \right) } & { { } = \widetilde { v } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 + 2 \mathrm { i } \frac { \displaystyle \exp \left( - \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } K _ { v } \right) + \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } K _ { v } - 1 } { K _ { v } ^ { 2 } } \right] , } \\ { \left\langle \widetilde { \tau } _ { i n } \right\rangle \left( r ; y \right) } & { { } = \widetilde { \tau } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 + 2 \mathrm { i } \frac { \displaystyle \exp \left( - \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \mathrm { P r } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) + \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \mathrm { P r } ^ { 1 / 2 } K _ { v } - 1 } { \mathrm { P r } K _ { v } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\widetilde { v } \! = \! 1 \big / \frac { d k } { d \omega } \big | _ { \omega _ { \mathrm { c } } } \! = \! c \sqrt { 1 - ( \frac { \omega _ { \mathrm { o } } } { \omega _ { \mathrm { c } } } ) ^ { 2 } } \! = \! c \beta _ { v } \! = \! v
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \tilde { a } } \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } + \hat { \tilde { \mathcal { A } } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } & { = 0 } \\ { \boldsymbol { \tilde { a } } \left( \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { ( 1 ) } + \frac { A ^ { ( 1 ) } } { \rho } \partial _ { x } p ^ { ( 1 ) } \right) + \hat { \tilde { \mathcal { A } } } \left( \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } ^ { 2 } } ) + \frac { \boldsymbol { \hat { A } } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { \hat { p } } \right) } & { = 0 } \\ { \boldsymbol { a } \left( \frac { p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) } { \tau _ { r } } + E _ { 0 } \, G ( A ^ { ( 1 ) } ) \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } \right) + \hat { \mathcal { A } } \left( \frac { \boldsymbol { \hat { p } } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) } { \tau _ { r } } + E _ { 0 } \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) \right) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \phi } _ { 0 } | _ { \eta \to - \infty } } & { = { \Phi } _ { 0 } | _ { z \to 0 - } , \quad \hat { \phi } _ { 1 } | _ { \eta \to - \infty } = { \Phi } _ { 1 } | _ { z \to 0 - } + \eta \frac { d { \Phi } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 - } , } \\ { \frac { d \hat { \phi } _ { 0 } } { d \eta } \Big | _ { \eta \to - \infty } } & { = 0 , \quad \quad \quad \; \frac { d \hat { \phi } _ { 1 } } { d \eta } \Big | _ { \eta \to - \infty } = \frac { d { \Phi } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 - } , } \\ { \frac { d \hat { \phi } _ { 2 } } { d \eta } \Big | _ { \eta \to - \infty } } & { = \frac { d { \Phi } _ { 1 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 - } + \eta \frac { d ^ { 2 } { \Phi } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } \Big | _ { z \to 0 - } , } \\ { \frac { d ^ { 2 } \hat { \phi } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } \Big | _ { \eta \to - \infty } } & { = 0 , \quad \quad \quad \; \frac { d ^ { 2 } \hat { \phi } _ { 2 } } { d \eta ^ { 2 } } \Big | _ { \eta \to - \infty } = \frac { d ^ { 2 } { \Phi } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } \Big | _ { z \to 0 - } } \end{array}
\begin{array} { r } { - 2 \alpha _ { t } \mu \operatorname { d i s t } ( x _ { t + 1 } , S ) + \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t } , S ) \geq \left( { 1 } - { \rho } \alpha _ { t } \right) \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t + 1 } , S ) + \left( 1 - { L _ { g } } \alpha _ { t } \right) \left\Vert x _ { t } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega } & { : = } & { \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } d q _ { j } \wedge d p _ { j } - \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } d t _ { \infty ^ { ( i ) } , k } \wedge d \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { e } _ { \infty ^ { ( i ) } , k } ) } - \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } d t _ { X _ { s } ^ { ( i ) } , k } \wedge d \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { e } _ { X _ { s } ^ { ( i ) } , k } ) } } \\ & { } & { - \sum _ { s = 1 } ^ { n } d X _ { s } \wedge d \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { e } _ { X _ { s } } ) } } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l l } { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 2 } \end{array} \right) } .
\frac { d \hat { \sigma } ( \gamma g \rightarrow q \bar { q } ) } { d \hat { t } } = \frac { 2 \pi \alpha \alpha _ { s } } { \hat { s } ^ { 2 } } \left( \frac { \hat { t } } { \hat { u } } + \frac { \hat { u } } { \hat { t } } \right)
( 5 . 1 7 ) = - \frac { ( - i ) ^ { m + n - 1 } } { ( m + n - 1 ) ! } z ^ { m + n - 1 } \left\{ \frac { 1 } { 4 } \frac { 1 } { \lambda } z ^ { 2 \lambda } + \frac { 1 } { 2 } \ln ( z ) \right\}
\begin{array} { r l } { p ^ { j } \mathrm { ~ d i v i d e s ~ } \operatorname* { g c d } \left( \frac { 1 } { 2 } ( B _ { k } - k ) , P _ { k } \right) } & { \Longleftrightarrow p ^ { j } \mathrm { ~ d i v i d e s ~ } P _ { k } \mathrm { ~ a n d ~ } B _ { k } - k } \\ & { \Longleftrightarrow p ^ { j } \mathrm { ~ d i v i d e s ~ } P _ { k } \mathrm { ~ a n d ~ } k } \\ & { \Longleftrightarrow p ^ { j } \mathrm { ~ d i v i d e s ~ } \operatorname* { g c d } ( P _ { k } , k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ( t _ { 1 } ) - u ( t _ { 2 } ) \| _ { F _ { 1 , \, \infty } ^ { s - 1 } } } & { \leq \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \| \mathbb { P } ( u , \, \nabla ) u \| _ { F _ { 1 , \, \infty } ^ { s - 1 } } d \tau } \\ & { \lesssim \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( \| \mathbb { P } ( u , \, \nabla ) u \| _ { \dot { F } _ { 1 , \, \infty } ^ { s - 1 } } + \| \mathbb { P } ( u , \, \nabla ) u \| _ { L ^ { 1 } } \right) d \tau } \\ & { \lesssim \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( \| ( u , \, \nabla ) u \| _ { { F } _ { 1 , \, \infty } ^ { s - 1 } } + \| \nabla p \, \| _ { L ^ { 1 } } \right) d \tau } \\ & { \lesssim | t _ { 1 } - t _ { 2 } | , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { - } ) ^ { 2 } + ( S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { + } ) ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \; \big [ \delta _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } - 2 \, S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { - } \, S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { + } } \\ & { + } & { ( \delta _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } - S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { + } ) ^ { 2 } + ( S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { + } ) ^ { 2 } \big ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \; \delta _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } + ( 1 - \eta _ { \mathfrak { n } } \, \eta _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ) \, ( S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { + } ) ^ { 2 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \parallel } } & { { } = \operatorname* { m a x } \left( \alpha _ { 1 1 } , \alpha _ { 2 2 } , \alpha _ { 3 3 } \right) } \\ { \alpha _ { \perp } } & { { } = \left( 3 \alpha - \alpha _ { \parallel } \right) / 2 } \\ { \alpha _ { r } } & { { } = \alpha _ { \parallel } / \alpha _ { \perp } } \end{array}
{ \cal F } _ { 1 } ( \bar { z } ) = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - \frac { 1 } { \bar { z } } } \log \left( \frac { 1 + \sqrt { 1 - \frac { 1 } { \bar { z } } } } { - 1 + \sqrt { 1 - \frac { 1 } { \bar { z } } } } \right) \, \, \, ,
\displaystyle ( \sum _ { 1 \le i , j \le s { + } 1 } \! \! \! \mathfrak { n } _ { i j } r _ { i } m _ { j } ) ^ { 2 } ( \sum _ { 1 \le i , j \le s { + } 1 } \! \! \! \mathfrak { n } _ { i j } t _ { i } t _ { j } ) { \; = \; } ( \sum _ { 1 \le i , j \le s { + } 1 } \! \! \! \mathfrak { n } _ { i j } t _ { i } m _ { j } ) ^ { 2 } ( \sum _ { 1 \le i , j \le s { + } 1 } \! \! \! \mathfrak { n } _ { i j } r _ { i } r _ { j } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { e i t h e r } \quad S ^ { \prime } \cosh 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert } & { { } \geq 1 + \sinh ^ { 2 } 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert \, \sin ^ { 2 } \phi \, , } \\ { \mathrm { o r } \quad S ^ { \prime } \cosh 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert } & { { } \geq 1 + \sinh ^ { 2 } 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert \, \cos ^ { 2 } \phi \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathcal { S } _ { t r a p } ) [ { \widehat { u } } ] _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } ( r _ { + } , \infty ) \lesssim \varepsilon \int _ { r _ { + } } ^ { \infty } d r \left( \frac { \Lambda } { r ^ { 3 } } + \frac { \omega ^ { 2 } } { r ^ { 1 + \alpha } } + \frac { 1 } { r ^ { 3 + \alpha } } \right) \big | \widehat { u } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \big | ^ { 2 } + \mathfrak { H } _ { 1 } + \mathfrak { H } _ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } A _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 0 } t + \theta _ { 0 } ) } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 0 } t + \theta _ { 0 } ) } + \mathrm { c . c . } } \\ { \psi ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } B _ { s , 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 0 } t + \theta _ { 0 } ) } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { s , 2 } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 0 } t + \theta _ { 0 } ) } + \mathrm { c . c . } } \\ { \Phi ( \mathbf { x } , z , t ) = ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } B _ { s , 1 } \frac { \cosh k _ { 0 } ( z + h ) } { \cosh k _ { 0 } h } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 0 } t + \theta _ { 0 } ) } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \left( B _ { s , 2 } - \frac { 1 } { 2 } k _ { 0 } \operatorname { t a n h } k _ { 0 } h A _ { 1 } B _ { s , 1 } \right) \frac { \cosh 2 k _ { 0 } ( z + h ) } { \cosh 2 k _ { 0 } h } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \omega _ { 0 } t + \theta _ { 0 } ) } , } \end{array}
\vec { v } _ { E } ^ { \prime } = \frac { \vec { v } _ { E } - \vec { W } _ { E } \left( 1 - \frac { \vec { W } _ { E } \vec { v } _ { E } } { ( 1 + W _ { E } ^ { 0 } ) } \right) } { W _ { E } ^ { 0 } - \vec { W } _ { E } \vec { v } _ { E } }