harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
C _ { 1 } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) = \frac { 1 3 - A _ { W } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) } { 3 9 - 8 A _ { W } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) } , \; \; C _ { 2 } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) = \frac { 3 3 - 6 A _ { W } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) } { 3 9 - 8 A _ { W } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) } .
\begin{array} { r l } { \overline { { S } } _ { r } } & { { } = \frac { c } { 8 \pi } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( \delta \mathbf { E } _ { m } \times \delta \mathbf { B } _ { m } ^ { * } \right) _ { r } = - \frac { c } { 8 \pi } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \frac { \omega _ { 0 } B _ { 0 } ^ { 2 } D _ { A } } { c k _ { \theta } ^ { 2 } r } \delta \xi _ { r } ^ { * } \partial _ { r } \left( r \delta \xi _ { r } \right) \right) = } \end{array}
{ S S F } _ { n o r m a l i z e d } = \frac { { D T W } _ { s c o r e } ( O , M ) / { D T W } _ { l e n g t h } ( O , M ) } { { D T W } _ { s c o r e } ( { O , \langle O \rangle } ) / { D T W } _ { l e n g t h } ( { O , \langle O \rangle } ) } ,
U ( { \bf k } _ { 0 } ) ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \psi _ { j } ^ { * } ( { \bf k } _ { 0 } ) = ( E _ { j } ( { \bf k } _ { 0 } ) ^ { * } ) ^ { - 1 } ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \psi _ { j } ^ { * } ( { \bf k } _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \Phi } q _ { 0 , \Phi } ^ { \prime } - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } } & { = \sum _ { \Phi } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) p _ { W } ( j ) Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( j ) } - \sum _ { \Phi } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( i ) } } \end{array}
{ } \partial _ { \tau } \mu ( \tau ) = \alpha k _ { 1 } - k _ { 2 } \mu ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu ^ { 2 } ( \tau ) + 2 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } )
\operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { \pi ( i ) } = c _ { i } , x _ { \pi ( j ) } = y _ { \pi ( j ) } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { \pi ( i ) } = y _ { \pi ( i ) } , x _ { \pi ( j ) } = c _ { j } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right]
{ \begin{array} { r l } { E } & { = T \ + \ U _ { e N } \ + \ U _ { e e } } \\ & { = C _ { \mathrm { { k i n } } } \int [ n ( \mathbf { r } ) ] ^ { 5 / 3 } \ d ^ { 3 } r \ + \int n ( \mathbf { r } ) \ V _ { N } ( \mathbf { r } ) \ d ^ { 3 } r \ + \ { \frac { 1 } { 2 } } \ e ^ { 2 } \int { \frac { n ( \mathbf { r } ) \ n ( \mathbf { r } \, ^ { \prime } ) } { \left\vert \mathbf { r } - \mathbf { r } \, ^ { \prime } \right\vert } } \ d ^ { 3 } r \ d ^ { 3 } r ^ { \prime } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { H \left[ \frac { \mu } { \xi } \frac { \tan ^ { - 1 } \frac { \xi } { \mu } } { \xi ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \right] } & { { } = } & { H \left[ \frac { \mu } { \xi } \right] \frac { \tan ^ { - 1 } \frac { \xi } { \mu } } { \xi ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } + \frac { \mu } { \xi } H \left[ \frac { \tan ^ { - 1 } \frac { \xi } { \mu } } { \xi ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \right] + H \left[ H \left[ \frac { \mu } { \xi } \right] H \left[ \frac { \tan ^ { - 1 } \frac { \xi } { \mu } } { \xi ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \right] \right] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } = \left| \cos ( \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } ) \right| e ^ { j \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } } } \\ { T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } = \left| \cos ( \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } - \varphi ) \right| e ^ { j \theta _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ^ { \prime } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } & { { } = } & { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) + \nabla \chi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } \\ { A _ { 0 } ^ { \; \prime } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } & { { } = } & { A _ { 0 } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) - \frac { \partial \chi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } { \partial t } } \end{array}
\partial _ { \mu } J ^ { \mu } ( x ) = 0 , \quad J ^ { \mu } ( x ) \equiv { \frac { e } { 2 m } } \left( \, \varphi ^ { * } ( x ) \partial ^ { \mu } \varphi ( x ) - \varphi ( x ) \partial ^ { \mu } \varphi ^ { * } ( x ) \, \right) .
\mathcal L _ { M } ( \mathrm { ~ \mathrm { ~ P ~ } ~ } _ { \mathrm { ~ \footnotesize ~ c ~ o ~ r ~ } } ) : = \frac { 1 } { 2 } \| ( \mathrm { ~ \mathrm { ~ P ~ } ~ } _ { \mathrm { ~ \footnotesize ~ c ~ o ~ r ~ } } - \mathrm { ~ \mathrm { ~ P ~ } ~ } ) \odot \chi _ { T ^ { c } } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } + \lambda \| \nabla \mathrm { ~ \mathrm { ~ P ~ } ~ } _ { \mathrm { ~ \footnotesize ~ c ~ o ~ r ~ } } \| _ { \ell ^ { 1 } } ,
A ( \eta _ { T } \rightarrow B _ { 1 } B _ { 2 } ) = \frac { S _ { \eta _ { T } B _ { 1 } B _ { 2 } } } { 4 \pi ^ { 2 } \sqrt { 2 } F _ { Q } } \ \ \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \epsilon _ { 1 } ^ { \mu } \epsilon _ { 2 } ^ { \nu } k _ { 1 } ^ { \alpha } k _ { 2 } ^ { \beta }
\alpha = \frac { \int _ { \mathrm { W G 2 } } | E _ { y } | ^ { 2 } d x } { \int _ { \mathrm { W G 1 } } | E _ { y } | ^ { 2 } d x + \int _ { \mathrm { W G 2 } } | E _ { y } | ^ { 2 } d x + \int _ { \mathrm { W G 3 } } | E _ { y } | ^ { 2 } d x } .
\begin{array} { l c l } { { U _ { a } ( u ) } } & { { = } } & { { c _ { 1 } \sin ( 2 u + a \gamma ) + c _ { 2 } \frac { \textstyle 1 } { \textstyle \sin ( a \gamma ) } + c _ { 3 } \frac { \textstyle \sin ( a \gamma + 2 u ) } { \textstyle \sin ( 2 u ) \sin ( a \gamma ) } + c _ { 4 } \frac { \textstyle 1 } { \textstyle \sin ( 2 u ) } } } \\ { { D _ { a } ( u ) } } & { { = } } & { { c _ { 1 } \sin ( 2 u - a \gamma ) - c _ { 2 } \frac { \textstyle 1 } { \textstyle \sin ( a \gamma ) } + c _ { 3 } \frac { \textstyle \sin ( a \gamma - 2 u ) } { \textstyle \sin ( 2 u ) \sin ( a \gamma ) } + c _ { 4 } \frac { \textstyle 1 } { \textstyle \sin ( 2 u ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) } \\ & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) + \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } \delta \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } \delta \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } } \\ & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i - 1 , j } + \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j } } \\ & { + \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i + 2 , j } } \end{array} .
\begin{array} { r l } & { \alpha ( \mathcal { A } _ { 1 } , \mathcal { A } _ { 2 } ) = \underset { A _ { 1 } \in \mathcal { A } _ { 1 } , A _ { 2 } \in \mathcal { A } _ { 2 } } { \operatorname* { s u p } } \left| \mathbb { P } ( A _ { 1 } \cap A _ { 2 } ) - \mathbb { P } ( A _ { 1 } ) \mathbb { P } ( A _ { 2 } ) \right| , } \\ & { \beta ( \mathcal { A } _ { 1 } , \mathcal { A } _ { 2 } ) = \operatorname* { s u p } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j \in I \times J } \left| \mathbb { P } ( A _ { i } \cap B _ { j } ) - \mathbb { P } ( A _ { i } ) \mathbb { P } ( B _ { j } ) \right| , } \\ & { \varphi ( \mathcal { A } _ { 1 } , \mathcal { A } _ { 2 } ) = \underset { A _ { 1 } , A _ { 2 } \in \mathcal { A } _ { 1 } \times \mathcal { A } _ { 2 } , \mathbb { P } ( A _ { 1 } ) \neq 0 } { \operatorname* { s u p } } \left| \mathbb { P } ( A _ { 2 } | A _ { 1 } ) - \mathbb { P } ( A _ { 1 } ) \right| } \end{array}
\begin{array} { r } { m \geq \operatorname* { m a x } \left( \frac { 2 ^ { 3 } n \log \frac { 4 n } { \delta } } { \kappa _ { n } { d } } , \; \frac { 2 ^ { 2 5 } n ^ { 4 } D _ { 0 } ^ { 2 } } { \kappa _ { n } ^ { 4 } { d } ^ { 3 } \gamma ^ { 2 } \delta ^ { 5 } } , \; \frac { 2 ^ { 3 5 } n ^ { 6 } D _ { 0 } ^ { 2 } } { \kappa _ { n } ^ { 6 } { d } ^ { 5 } \gamma ^ { 2 } \delta ^ { 5 } } \right) . } \end{array}
\Delta \boldsymbol { v } _ { t } = - \alpha \frac { 1 } { | D | } \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { t } } u ( \boldsymbol { \theta } _ { t } ) - \alpha \boldsymbol { v } _ { t - 1 } + \alpha \sqrt { \frac { 2 \boldsymbol { M } } { | D | \gamma } } \boldsymbol { \mathcal { N } } _ { t } \left( 0 , I \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 2 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } - \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \, \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq { \mathrm { e } } ^ { - \frac { 1 } { g _ { \mathrm { s } } } A _ { n } } \, \frac { 1 } { 4 \pi } \, \sqrt { \frac { g _ { \mathrm { s } } \, ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { 2 \pi n ^ { 3 } } } \left\{ 2 \gamma _ { \mathrm { E } } + \log \left( \frac { n ^ { 6 } } { g _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \right) \right\} + o ( g _ { \mathrm { s } } ^ { 3 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { - 2 } \\ { - 1 } \\ { 2 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \ \ \ \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { - 3 } \\ { 1 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } } & { = } & { \Psi \; + \; \epsilon \, P _ { \parallel } \, b _ { \Theta } \; - \; \epsilon ^ { 2 } \, J \, { \cal R } _ { \Theta } ^ { * } , } \\ { \psi ^ { * } } & { = } & { \psi \; - \; \epsilon \, P _ { \parallel } \, b _ { \Phi } \; + \; \epsilon ^ { 2 } \, J \, { \cal R } _ { \Phi } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l ^ { \prime } \right) } \sum _ { a = - p } ^ { p } \exp \left( { \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n a } \right) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l ^ { \prime } + a } ( \varphi ) \mathrm { d } { \varphi } } \end{array}
( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { v } + ( \nabla \boldsymbol { u } ) \cdot \boldsymbol { v } = ( \nabla ^ { \perp } \cdot \boldsymbol { v } ) \boldsymbol { u } ^ { \perp } + \nabla ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { v } ) ,
\Phi _ { - \frac 1 2 + i \varepsilon , m , \bar { m } } \approx \left( \frac 1 { 2 i \varepsilon } + \frac \phi { \alpha _ { + } } \right) \gamma ^ { - \frac 1 2 + i \varepsilon - m } \bar { \gamma } ^ { - \frac 1 2 + i \varepsilon - \bar { m } } e ^ { - \frac \phi { \alpha _ { + } } } +
\begin{array} { r l } { \operatorname { I } _ { X , Y } ( x , y ) } & { { } = - \log _ { 2 } \left[ p _ { X , Y } ( x , y ) \right] = - \log _ { 2 } \left[ p _ { X } \! ( x ) p _ { Y } \! ( y ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sin ( \theta _ { 2 } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta _ { 2 } ) h _ { 2 } \Big ) } & { { } = - \left( \frac { \omega _ { S } \cot \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } { \sin ( \theta _ { 2 } ) } + \widetilde { \gamma } \right) \partial _ { \varphi } h _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { T } ( E ) } & { { } } & { = \frac { \int _ { 0 } ^ { + \infty } { \Delta \mathfrak { t } } \tilde { D } ( \Delta \mathfrak { t } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } E \Delta \mathfrak { t } } \mathrm { d } { \Delta \mathfrak { t } } } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \tilde { D } ( \Delta \mathfrak { t } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } E \Delta \mathfrak { t } } \mathrm { d } { \Delta \mathfrak { t } } } } \end{array}
\frac { d \epsilon _ { n } } { d x } = - \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } \frac { d E _ { \mu } } { d x } \frac { \epsilon _ { n } } { E _ { \mu } } + \frac { \beta _ { \perp } ( 0 . 0 1 4 ) ^ { 2 } } { 2 \beta ^ { 3 } E _ { \mu } m _ { \mu } L _ { R } } \,
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 4 } h _ { i + 3 } \cdot t _ { i + 3 , i + 4 } \cdot t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 4 , i + 5 } ^ { - 1 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { = } & { h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 6 } h _ { i + 5 } \cdot t _ { i + 5 , i + 6 } ^ { 2 } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } t _ { i + 6 , i + 7 } ^ { - 1 } h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } } \\ & { } & { \cdot ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) h _ { i + 4 } h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { = } & { h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 8 } h _ { i + 7 } \cdot t _ { i + 7 , i + 8 } ^ { 3 } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } t _ { i + 5 , i + 6 } ^ { - 1 } t _ { i + 8 , i + 9 } ^ { - 1 } h _ { i + 5 } h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } } \\ & { } & { \cdot ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) h _ { i + 6 } h _ { i + 4 } h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { \vdots } & \\ & { = } & { h _ { j - 2 } \cdot t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { \frac { j - i - 3 } { 2 } } \cdot t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } \cdots t _ { j - 4 , j - 3 } ^ { - 1 } \cdot t _ { j - 1 , j } ^ { - 1 } } \\ & { } & { \cdot h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \mathbf { u } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { w } ) ) _ { y } } & { = ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { w } ) \mathbf { v } _ { y } - ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { w } _ { y } } \\ { ( \mathbf { u } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { w } ) ) _ { z } } & { = ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { w } ) \mathbf { v } _ { z } - ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { w } _ { z } } \end{array} }
\frac { d } { d t } \big ( \boldsymbol { \Phi } , \boldsymbol { \Psi } \big ) _ { \mathcal { P } } = \frac { d } { d t } \big ( \hat { \boldsymbol { \Phi } } , \hat { \boldsymbol { \Psi } } \big ) _ { \hat { \mathcal { P } } } = \Big ( \frac { d \hat { \boldsymbol { \Phi } } } { d t } , \hat { \boldsymbol { \Psi } } \Big ) _ { \hat { \mathcal { P } } } + \Big ( \hat { \boldsymbol { \Phi } } , \frac { d \hat { \boldsymbol { \Psi } } } { d t } \Big ) _ { \hat { \mathcal { P } } } .
\begin{array} { r l } { \left( T \circ \pi _ { 1 } \oplus T \circ \pi _ { 2 } \right) ( ( a , b ) , n ) ( \mathbf { e } _ { i } , \mathbf { 0 } ) } & { = \left( T ( a , n ) \oplus T ( b , n ) \right) ( \mathbf { e } _ { i } , \mathbf { 0 } ) } \\ & { = \left( T ( a , n ) \mathbf { e } _ { i } , \mathbf { 0 } \right) = ( \mathbf { e } _ { n i + a } , \mathbf { 0 } ) } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { \nu } J _ { \nu } ( x ) } { e ^ { 2 \pi x / b } - 1 } F _ { 1 } ( x ) d x } = \frac { 2 } { \pi } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { ' } ( b k ) ^ { \nu } K _ { \nu } ( b k ) F _ { 1 } ( i b k ) - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } { x ^ { \nu } K _ { \nu } ( x ) F _ { 1 } ( i x ) d x } ,
\begin{array} { r } { H _ { \nu } ( z ) = \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { \nu + 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( z / 2 ) ^ { 2 n } } { \Gamma ( n + 3 / 2 ) \Gamma ( n + \nu + 3 / 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { V } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } } \right) } & { { } = A \left\{ { { e } ^ { 2 \alpha \left( \Delta { { \theta } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - 2 \theta _ { M } \right) } } - 2 { { e } ^ { \alpha \left( \Delta { { \theta } } + 2 { { \theta } _ { L i n } } - 2 \theta _ { M } \right) } } \right\} } \end{array}
q ( t ) = \| u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 ) - v _ { * } ( x _ { 2 } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } t ^ { 2 } + O ( t ^ { 3 } ) \leq \varepsilon ^ { 2 } t ^ { 2 } \qquad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad t \to 0 .
\begin{array} { l } { { e ^ { + } p \rightarrow \tilde { t } \rightarrow \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { + } b \rightarrow \ell ^ { + } \mathrm { j } \nu \nu , ~ \ell ^ { + } \ell ^ { + } \ell ^ { - } \mathrm { j } , ~ \ell ^ { + } \mathrm { j j j } , ~ \mathrm { j j j } \nu } } \\ { { e ^ { + } p \rightarrow \tilde { c } \rightarrow \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } c \rightarrow \ell ^ { + } \ell ^ { - } \mathrm { j } \nu , ~ \ell ^ { \pm } \mathrm { j j j } , ~ \mathrm { j j j } \nu } } \end{array}
\gamma _ { 1 } ( n ) = { \frac { \mu _ { 3 } } { \mu _ { 2 } ^ { 3 / 2 } } } = { \frac { _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - 9 { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) - _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) + 8 | _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) | ^ { 3 } } { 4 ( 1 - | _ { 0 } F _ { 1 } ( { \frac { 2 + n } { 2 } } , - { \frac { t ^ { 2 } } { 4 } } ) ) ^ { 2 } | ^ { ( 3 / 2 ) } } }
\left\vert i \right\rangle = \sqrt { 2 E _ { \mathbf { p } } } \sqrt { 2 E _ { \mathbf { q } } } a _ { \mathbf { p } } ^ { s ^ { \dagger } } a _ { \mathbf { q } } ^ { r ^ { \dagger } } \left\vert 0 \right\rangle \equiv \left\vert \mathbf { p , } s \mathbf { ; q , } r \right\rangle ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { M } _ { \mathrm { c o n } } ( r ) } & { { } = } & { \frac { e ^ { 2 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ^ { 4 } f _ { \mathrm { c o n } } ^ { ( 1 ) } \left( k _ { F } r \right) } { 6 \pi ^ { 3 } m _ { e } } \mathbf { I } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log M } & { = n R _ { \mathrm { { G M } } } ( a , \sigma ^ { 2 } , D ) + \sqrt { n \mathrm { V } _ { \mathrm { G M } } ( a , \sigma ^ { 2 } , D ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { n } ) } \\ { * } & { \qquad + \log \Big ( \frac { \log n } { 2 } \Big ) + \beta _ { 1 } ( \log n ) ^ { q } + \beta _ { 2 } + c _ { r } } \\ { * } & { \qquad + c _ { v } | Q ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { n } ) | + \frac { 4 C _ { D } } { \tilde { c } \theta _ { D } } . } \end{array}
\mathcal { P } _ { \mathrm { o } } ^ { \mathrm { h } } ( \boldsymbol { q } , \Omega , A ) = \{ { n } _ { \mathrm { i n d } } [ ( 2 m - 1 ) \boldsymbol { q } , ( 2 m - 1 ) \Omega ] | _ { A } \}
\begin{array} { r l r } { \sigma ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \sum _ { \mu \in \{ x , y , z \} } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \langle \Psi _ { 0 } \vert } \hat { P } _ { \mu } \ensuremath { \vert \Psi _ { n } \rangle } \ensuremath { \langle \Psi _ { n } \vert } \delta ( \omega + E _ { 0 } - \hat { H } ) \hat { P } _ { \mu } \ensuremath { \vert \Psi _ { 0 } \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } } _ { 2 } , \pi / 2 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { - i } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathbb { P } ( \Vert x _ { \infty } \Vert \geq t ) \leq \frac { 1 } { 1 - ( 1 + \epsilon ) \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) } \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { p } { p - 1 } } - ( 1 + \epsilon ) } { \left( ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } - 1 \right) ^ { p } } \frac { \mathbb { E } \Vert q _ { 1 } \Vert ^ { p } } { t ^ { p } } , \qquad \mathrm { f o r ~ a n y ~ t > 0 ~ } ,
\boldsymbol A _ { a , b } = \left( \begin{array} { c c c } { - \boldsymbol M _ { { a } , { b } } ^ { 0 , \boldsymbol V _ { h } } } & { \boldsymbol M _ { { a } , { b } } ^ { 1 , \boldsymbol V _ { h } } } & { \boldsymbol 0 } \\ { \boldsymbol M _ { { a } , { b } } ^ { 1 , \boldsymbol V _ { h } } } & { \boldsymbol A _ { { a } , { b } } + \boldsymbol N _ { { a } , { b } } ^ { A } } & { \boldsymbol C _ { { a } , { b } } ^ { \top } } \\ { \boldsymbol 0 } & { - \boldsymbol C _ { { a } , { b } } } & { \boldsymbol M _ { a , b } ^ { 1 , Q _ { h } } + \boldsymbol B _ { a , b } + \boldsymbol N _ { a , b } ^ { B } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { H _ { 4 } ( t ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \big ( 4 E _ { C i } n _ { i } ^ { 2 } - E _ { J i } \cos ( \varphi _ { i } ) + \frac { E _ { L i } } { 2 } [ \varphi _ { i } - \phi _ { i } ( t ) ] ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } ( \ln | \rho _ { s } / \rho _ { t } | ) } { \partial s \partial t } = \frac { \partial ^ { 2 } ( \ln | \phi _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) / \phi _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) | ) } { \partial s \partial t } = \frac { \partial ^ { 2 } ( \ln | \phi _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) | - \ln | \phi _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) | ) } { \partial s \partial t } = 0 , } \end{array}
\sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { t } ) + L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( j - i ) d + ( d + 1 ) \leq ( 2 k - 1 ) ( l - m ) ( 2 \alpha - d ) + \sum _ { t = l } ^ { m - 1 } ( L _ { T } ( u _ { t } ) + L _ { T } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( l - m ) ( d _ { 0 } + 1 ) + ( d _ { 0 } + 1 ) + 3 - ( 2 k - 1 ) ( l - m ) \leq d _ { T } ( u _ { l } , u _ { m } ) + 3 - ( 2 k - 1 ) ( l - m ) \leq d _ { T } ( u _ { l } , u _ { m } ) = d _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { i } , u _ { j } )
\begin{array} { r l } { 2 \, T _ { 1 } ^ { ( i ) } } & { = \int _ { \frac { c r _ { e } ^ { 2 } } { \beta } } ^ { \frac { c \tau ^ { 2 } } { \beta } } \frac { s ^ { i - 1 } \, e ^ { - s } } { ( i - 1 ) ! } \, \prod _ { j \in \mathbb { N } \setminus \{ i \} } \left( 1 - \beta + \beta \, \frac { \Gamma \left( j , s , \frac { c \tau ^ { 2 } } { \beta } \right) } { ( j - 1 ) ! } \right) \, d s . } \end{array}
\Omega : = \sqrt { \frac { 1 2 8 \eta ^ { 2 } \sigma \cos \theta _ { 0 } } { R ^ { 5 } \rho ^ { 3 } g ^ { 2 } } } = 8 \sqrt { 2 \cos \theta _ { 0 } } \, \frac { \mathrm { O h } } { \mathrm { B o } }
\begin{array} { r l r } { | z _ { 1 } | ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( 1 + 4 \overline { { \beta } } ^ { 4 } \right) \left( 1 - 2 \lambda \cos ( 2 \overline { { \xi } } ) + \lambda ^ { 2 } \right) \, , } \\ { | z _ { 2 } | ^ { 2 } } & { { } = } & { \left[ 1 + 2 \overline { { \beta } } \left( 1 + \overline { { \beta } } \right) \right] ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } \left[ 1 - 2 \overline { { \beta } } \left( 1 - \overline { { \beta } } \right) \right] ^ { 2 } } \\ { | z _ { 3 } | ^ { 2 } } & { { } = } & { 3 2 \lambda \overline { { \beta } } ^ { 2 } \, , } \end{array}
A _ { n _ { j } } = \frac { 2 i } { N } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { - 2 \pi i k j / N } 2 \sin ( \pi k v _ { i } ) \{ [ \! \! \prod _ { l , m \not = i } 2 \sin ( \pi k v _ { l } ) ] T r \gamma _ { k , 9 } + 9 T r \gamma _ { k , 5 _ { i } } \}
R ^ { ( 1 ) } ( \theta ) = \frac { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) _ { \theta } \left( \frac { 1 } { 2 \lambda } + 1 \right) _ { \theta } } { \left( \frac { 1 } { 2 \lambda } + \frac { 3 } { 2 } \right) _ { \theta } } \frac { \left( \frac { \eta } { \pi \lambda } - \frac { 1 } { 2 } \right) _ { \theta } } { \left( \frac { \eta } { \pi \lambda } + \frac { 1 } { 2 } \right) _ { \theta } } \ .
\frac { d Z _ { \nu } ( t ) } { d t } = \left( \frac { C } { C _ { s } } \right) ^ { n } p ( \nu , \nu ^ { \prime } ) X _ { \nu } ( t ) X _ { \nu ^ { \prime } } ( t ) - \frac { Z _ { \nu } ( t ) } { \tau _ { z , \nu } } .