harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left| \bigcap _ { C \in B } U _ { C } ^ { * } \right| } & { \leq } & { \left| U _ { C _ { 1 } } ^ { * } \cap U _ { C _ { 2 } } ^ { * } \right| } \\ & { = } & { \left| \left( \bigcup _ { \ell \in C _ { 1 } } { \cal M } _ { R _ { \ell } ^ { * } , \Delta } \right) \cap \left( \bigcup _ { \ell \in C _ { 2 } } { \cal M } _ { R _ { \ell } ^ { * } , \Delta } \right) \right| } \\ & { \leq } & { \sum _ { \ell _ { 1 } \in C _ { 1 } } \sum _ { \ell _ { 2 } \in C _ { 2 } } \left| { \cal M } _ { R _ { \ell _ { 1 } } ^ { * } , \Delta } \cap { \cal M } _ { R _ { \ell _ { 2 } } ^ { * } , \Delta } \right| } \\ & { \leq } & { | { \cal A } ^ { * } | ^ { 2 } \cdot \left( \frac { 2 } { \Psi } \cdot N ( { \cal R } ^ { * } , \Delta ) + 1 \right) } \\ & { \leq } & { \frac { \epsilon } { 2 ^ { | { \cal A } ^ { * } | } } \cdot N ( { \cal R } ^ { * } , \Delta ) + | { \cal A } ^ { * } | ^ { 2 } \ . } \end{array}
T ^ { \mu } \ _ { \nu } ( \eta ) = \left( \begin{array} { c c } { { H ( \eta ) c ^ { - 1 } ( \eta ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { T _ { \beta } ^ { \beta } - c ^ { - 1 } ( \eta ) H ( \eta ) \ } } \end{array} \right) + c ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { { \zeta } } & { { \alpha ^ { \prime } } } \\ { { - \alpha ^ { \prime } } } & { { - \zeta \ } } \end{array} \right)
d { \boldsymbol { \theta } } _ { t , \Delta t } ^ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } = \mathcal { H } ^ { - 1 } ( t + \Delta t , \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } ) \boldsymbol { \mathcal { G } } ( t + \Delta t , \tilde { { \boldsymbol { \theta } } } _ { t } ) .
\begin{array} { r } { v \tilde { \psi } _ { 1 B } = \Big ( E - \omega _ { o } - \gamma ^ { 2 } \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d q \frac { \sin ^ { 2 } { q } } { E - \omega _ { q } } \Big ) \tilde { \psi } _ { 1 A } . } \end{array}
P ( s = R ( K _ { i } ) | T _ { n } ( s ) = x ) = { \frac { 2 ^ { - I ( K _ { i } ) } } { \sum _ { j : I ( K _ { j } ) < n } 2 ^ { - I ( K _ { j } ) } + \sum _ { j : I ( K _ { j } ) \geqslant n } 2 ^ { - I ( K _ { j } ) } } } .
\tilde { \beta } = \beta \left( 1 - \frac { L } { L _ { s s } } \frac { \alpha T } { \beta c _ { p } } \right) , \qquad \tilde { \beta } _ { R } = \beta _ { R } \left( 1 - \frac { L } { L _ { s s } } \frac { \alpha _ { R } T _ { R } } { c _ { p r } \beta _ { R } } \right)
E _ { \rho _ { 1 } } ^ { \beta _ { 1 } } E _ { [ ( \theta _ { 1 1 } ) \rho _ { 2 } ] } ^ { [ \beta _ { 2 } ( \gamma _ { 1 1 } ) ] } \cdots E _ { [ ( \theta _ { k - 2 , 1 } , \ldots , \theta _ { k - 2 , k - 2 } ) \rho _ { k - 1 } ] } ^ { [ \beta _ { k - 1 } ( \gamma _ { k - 2 , 1 } , \ldots , \gamma _ { k - 2 , k - 2 } ) ] } E _ { [ ( \theta _ { k - 1 , 1 } , \ldots , \theta _ { k - 1 , k - 1 } ) \rho _ { k } ] } ^ { [ \beta _ { k } ( \gamma _ { k - 1 , 1 } , \ldots , \gamma _ { k - 1 , k - 1 } ) ] } \} _ { s y m m e t r i z e d } .
\begin{array} { r l } & { \frac { ( \rho - \kappa \theta ) } { 2 \rho ( \gamma - \kappa ) \theta } \| \nabla \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k + 1 } ) ] + \frac { \rho \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { \rho \beta } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { \rho ( 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \gamma \beta \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} } \\ & { \quad - \frac { \rho ( \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] , } \end{array}
\mathcal { H } _ { L + T _ { \mathrm { i n i } } } ( w _ { \mathrm { e x t } } ) g = \left[ \begin{array} { l } { U _ { \mathrm { h } } } \\ { Y } \\ { U _ { \mathrm { n l } } } \end{array} \right] g = \left[ \begin{array} { l } { U _ { \mathrm { h p } } } \\ { U _ { \mathrm { h f } } } \\ { Y _ { p } } \\ { Y _ { f } } \\ { U _ { \mathrm { n l } } } \end{array} \right] g = \left[ \begin{array} { l } { u _ { \mathrm { h , i n i } } } \\ { u _ { \mathrm { h } } } \\ { y _ { \mathrm { i n i } } } \\ { y _ { \mathrm { f } } } \\ { u _ { \mathrm { n l } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial r } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] } & { = \frac { \partial } { \partial r } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } ( 1 - p ) ^ { k } p ^ { r } } \\ & { = \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } ( 1 - p ) ^ { k } \left( p ^ { r } \frac { \partial } { \partial r } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } + \log ( p ) p ^ { r } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } \right) } \\ & { \leq \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } ( 1 - p ) ^ { k } \left( p ^ { r } \frac { k } { r } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } + \log ( p ) p ^ { r } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \binom { k + r - 1 } { r - 1 } ( 1 - p ) ^ { k } p ^ { r } \left( \frac { k } { r } + \log ( p ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi } & { { } = B _ { \mathrm { L } } H _ { m } ^ { ( 1 ) } ( \omega r / c _ { \mathrm { L } } ) \exp ( \mathrm { i } m \theta ) , } \\ { \psi } & { { } = B _ { \mathrm { T } } H _ { m } ^ { ( 1 ) } ( \omega r / c _ { \mathrm { T } } ) \exp ( \mathrm { i } m \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } \partial _ { 2 } ( n _ { - } \cdot u ) = n _ { 2 } \ n _ { - } \cdot u \vert _ { \gamma ^ { - } } - n _ { 2 } \ n _ { - } \cdot u \vert _ { \gamma ^ { + } } = 0 . } \end{array}
{ \bf \mu } = \mu _ { c } { \bf e } + { \bf \tilde { \mu } } \, , \qquad { \bf \eta } = \eta _ { c } { \bf e } + { \bf \tilde { \eta } } \, , \qquad { \bf { \mathcal { A } } } ^ { u } = A _ { c } ^ { u } { \bf e } + { \bf \tilde { { \mathcal { A } } } } ^ { u } \, , \qquad { \bf { \mathcal { A } } } ^ { v } = A _ { c } ^ { v } { \bf e } + { \bf \tilde { { \mathcal { A } } } } ^ { v } \, ,
{ \mathcal { I } } _ { m , n } = { \frac { \partial \mu ^ { \textsf { T } } } { \partial \theta _ { m } } } \Sigma ^ { - 1 } { \frac { \partial \mu } { \partial \theta _ { n } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } \left( \Sigma ^ { - 1 } { \frac { \partial \Sigma } { \partial \theta _ { m } } } \Sigma ^ { - 1 } { \frac { \partial \Sigma } { \partial \theta _ { n } } } \right) ,
x ( \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) = \frac { \left[ 1 - ( 1 + \Delta _ { \mathrm { ~ G ~ } } ) c \right] \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } - \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ G ~ } , 0 } } { \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ } , 0 } - \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ G ~ } , 0 } + ( \Delta _ { \mathrm { ~ L ~ } } - \Delta _ { \mathrm { ~ G ~ } } ) c \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } } .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { k } ( \lambda ) } & { = \frac { \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { k } } { f ( \lambda ) ^ { 3 k / 2 } } \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - v _ { k } ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } \\ { - u _ { k } ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { - 1 / 2 } } & { 0 } \end{array} \right) , } & { \qquad k \, \, \textrm { o d d } , } \\ { \left( \begin{array} { l l } { v _ { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { u _ { k } } \end{array} \right) , } & { \qquad k \, \, \textrm { e v e n } . } \end{array} \right. } \end{array}
\rho _ { 1 } = \frac { b } { 2 } \log \frac { Q ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } - d _ { 1 } , \qquad \rho _ { 2 } = b _ { 2 } + d _ { 2 } - b _ { 1 } d _ { 1 } - d _ { 1 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { f _ { \omega } ( t ) } & { { } \simeq \cos ( t \sqrt { \omega ^ { 2 } \! + \! \xi ^ { - 2 } } ) - \frac { i \omega \sin ( t \sqrt { \omega ^ { 2 } \! + \! \xi ^ { - 2 } } ) } { \sqrt { \omega ^ { 2 } \! + \! \xi ^ { - 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varrho _ { \varepsilon } } & { \in C _ { \mathrm { w e a k } } ( [ 0 , T ] ; L ^ { \frac { 5 } { 3 } } ( \Omega _ { \varepsilon } ) ) , } \\ { \textbf { \textup { u } } _ { \varepsilon } } & { \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; W _ { 0 } ^ { 1 , 2 } ( \Omega _ { \varepsilon } ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) , } \\ { \vartheta _ { \varepsilon } } & { \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; W ^ { 1 , 2 } ( \Omega _ { \varepsilon } ) ) \cap L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 4 } ( \Omega _ { \varepsilon } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { \mathbf { k } } } & { { } = \sum _ { j } ( \hat { \mathrm { e } } _ { \mathbf { k } } \cdot \hat { \boldsymbol \mu } _ { j } ( \hat { \bf R } _ { j } ) ) \sin ( \mathbf { k } \cdot \bar { \boldsymbol x } _ { j } ) , } \\ { \hat { \mathcal { S } } _ { \mathbf { k } } } & { { } = \sum _ { j } ( \hat { \mathrm { e } } _ { \mathbf { k } } \cdot \hat { \boldsymbol \mu } _ { j } ( \hat { \bf R } _ { j } ) ) \cos ( \mathbf { k } \cdot \bar { \boldsymbol x } _ { j } ) . } \end{array}
I _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \end{array} \right] } , \ I _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } , \ I _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } , \ \dots , \ I _ { n } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { E ^ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ } } = - \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 0 } V \sum _ { \vec { i } } M _ { s } \, \boldsymbol { m } _ { \vec { i } } \cdot \boldsymbol { h } _ { \vec { i } } ^ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Delta b _ { n } = } & { b ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } , \varphi ^ { 1 } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } ) ) - b ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , \varphi ^ { 2 } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } ) ) , } \\ { \Delta \sigma _ { n } = } & { \sigma ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } , \varphi ^ { 1 } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } ) ) - \sigma ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , \varphi ^ { 2 } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } ) ) , } \\ { \Delta \beta _ { n } = } & { \beta ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } , \varphi ^ { 1 } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } ) , e ) - \beta ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , \varphi ^ { 2 } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } ) , e ) , } \\ { \Delta f _ { n } = } & { f ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } , \hat { Y } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } , Z _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } , \Gamma _ { t _ { n } } ^ { \pi , 1 } ) - f ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , \hat { Y } _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , Z _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } , \Gamma _ { t _ { n } } ^ { \pi , 2 } ) , } \\ { \Delta Z _ { n } : = } & { Z _ { t _ { n } } ^ { 1 } - Z _ { t _ { n } } ^ { 2 } , \quad \Delta U _ { n } : = U _ { t _ { n } } ^ { 1 } - U _ { t _ { n } } ^ { 2 } . } \end{array} } \end{array}
E _ { l } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| P _ { l } z _ { i } \| ^ { 2 } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 ^ { l } - 1 } \left\vert \left\langle R ^ { 2 ^ { l } m } ( \psi _ { - l } ) , z _ { i } \right\rangle \right\vert ^ { 2 } .
\begin{array} { l } { { \tilde { Z } ( \tilde { z } ^ { \prime } ) = G ( g ) ^ { - 1 } \tilde { Z } ( \tilde { z } ) \tilde { K } ( \tilde { z } ; g ) ~ ~ ~ } } \\ { { { } } } \\ { { \bar { \tilde { Z } } ( \tilde { z } ^ { \prime } ) = \bar { \tilde { K } } ( \tilde { z } ; g ) \bar { \tilde { Z } } ( \tilde { z } ) G ( g ) } } \end{array}
p _ { 1 } = 0 , \quad ( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } = - M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } = ( 0 , - \frac { 1 } { 2 } , 0 , 0 , 0 , \frac { 1 } { 2 } , 0 ) ^ { T } ,
\frac { d \Gamma } { d y } = \frac { d \Gamma ^ { ( 0 ) } } { d y } \left[ 1 - \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 \pi } \left( \ln ^ { 2 } ( 1 - y ) + \frac { 3 1 } { 6 } \ln ( 1 - y ) + \frac { 5 } { 4 } + \pi ^ { 2 } \right) \right] ,
{ \begin{array} { r l } { F ( I ) } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } I _ { \sigma ( i ) } ^ { i } = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { \delta } _ { i , \sigma ( i ) } } \\ & { = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \operatorname { \delta } _ { \sigma , \operatorname { i d } _ { \{ 1 \ldots n \} } } = \operatorname { s g n } ( \operatorname { i d } _ { \{ 1 \ldots n \} } ) = 1 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \vec { U } } { \partial t } - \frac { \partial } { \xi _ { 1 } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 j } \frac { \partial } { \partial \xi _ { j } } \mathbf { U } \right) } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf r _ { 1 } } ( t ) = ( x + d ( t ) ) \hat { \bf x } + ( z - z _ { 0 } ) \hat { \bf z } , } \\ { { \bf r _ { 2 } } ( t ) = ( x - d ( t ) ) \hat { \bf x } + ( z - z _ { 0 } ) \hat { \bf z } , } \end{array}
A ( P , E , \alpha ) = { \frac { i \alpha _ { R } } { m } } { \frac { 1 } { 1 - \displaystyle { \frac { \alpha _ { R } } { 1 2 \sqrt { 3 } \pi } } \log \displaystyle { { \frac { \mu ^ { 2 } } { P ^ { 2 } - 6 m E } } } } }
{ \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { x } & { 0 } \\ { 0 } & { y } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r } { { \small \left\vert \frac { Z _ { \cdot , j } ^ { \intercal } X _ { \cdot , - j } ( \beta _ { - j } - \widehat { \beta } _ { - j } ) } { Z _ { \cdot , j } ^ { \intercal } X _ { \cdot , j } } \right\vert \leq \frac { 1 } { n } \| Z _ { \cdot , j } ^ { \intercal } X _ { \cdot , - j } \| _ { \infty } \cdot \frac { \| \beta _ { - j } - \widehat { \beta } _ { - j } \| _ { 1 } } { \frac { 1 } { n } \vert Z _ { \cdot , j } ^ { \intercal } X _ { \cdot , j } \vert } \leq C \lambda _ { \gamma } \| \widehat { \beta } - \beta \| _ { 1 } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in { \mathbb { R } } ^ { p } } \left| { \mathbb { P } } \left( n _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } V _ { i } + C _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } \leq t \right) - { \mathbb { P } } \left( N ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Upsilon _ { i } \leq t \right) \right| \rightarrow 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { H ^ { \vec { L } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \boldsymbol { \sigma } _ { 0 } h _ { i } ^ { 0 , \vec { L } } + \vec { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \vec { h } _ { i } ^ { \, \textrm { S O } , \vec { L } } \right] + V _ { \textrm { e e } } ^ { \vec { L } } + V _ { \textrm { N N } } ^ { \vec { L } } } \end{array}
( \epsilon _ { Q _ { i } } \epsilon _ { U _ { j } } ) ( t _ { X } ) = ( \epsilon _ { Q _ { i } } \epsilon _ { U _ { j } } ) ( 0 ) \, \exp \left( - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t _ { X } } \! \alpha _ { U } ( t ) \, d t \right)
P ( m _ { 1 } ^ { \prime } , m _ { 2 } ^ { \prime } \vert m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } ~ \delta _ { ( m _ { 1 } m _ { 2 } , ~ m _ { 1 } ^ { \prime } \oplus m _ { 2 } ^ { \prime } ) }
\hat { \mathbf { S } } ^ { \mu \nu } ( \omega , \mathbf { k } _ { | | } ) = \sideset { } { ' } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { R } _ { m } + \mathbf { T } ^ { \nu } - \mathbf { T } ^ { \mu } ) e ^ { - i \mathbf { k } _ { | | } \mathbf { R } _ { m } }
A _ { i } ^ { l o o p } = \left( c _ { 2 } / F _ { \pi } ^ { 2 } \right) a _ { i } ^ { \left( 8 \right) } + \left( c _ { 3 } / F _ { \pi } ^ { 2 } \right) a _ { i } ^ { \left( 2 7 \right) } \: .
\epsilon = \frac { | | \mathbf { X } - \mathbf { X } _ { r } | | _ { F } } { | | \mathbf { X } | | _ { F } } = \sqrt { \frac { \sum _ { i = r + 1 } ^ { n - 1 } \mathbf { S } _ { i i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \mathbf { S } _ { i i } } }
E \, = \, \frac { \rho F } { 2 } \int _ { 0 } ^ { l } d x \, \left( \dot { y } ^ { 2 } \, + \, r ^ { 2 } \dot { \psi } ^ { 2 } \right) \, + \, \frac { E I } { 2 } \int _ { 0 } ^ { l } d x \, \psi ^ { 2 } \, + \, \frac { k F G } { 2 } \int _ { 0 } ^ { l } d x \, \left( y ^ { \prime } \, - \, \psi \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { r } ) \, = \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 Q _ { N } } \right) \, \frac { q _ { N } N } { B } \, \left( \frac { 1 } { 1 \, + \, \frac { A \, q _ { N } } { B } } \right) ^ { N } \, } \\ { \displaystyle \times \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \frac { \mathrm { d } \xi } { \left( 1 \, + \, \frac { A \, q _ { N } } { B } \, \xi \right) ^ { N + 1 } } \, { } _ { 1 } F _ { 1 } \left( 1 - N ; 1 ; \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 A B } \, \frac \xi { 1 \, + \, \frac B { A q _ { N } } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal A } _ { P } ^ { \mathrm { v } } \left( x _ { 1 } , \Xi _ { P } ^ { \mathrm { v } } \right) : = \{ \left( A , a \right) \in { \mathbb R } ^ { n _ { 2 } \times m } \times { \mathbb R } ^ { n _ { 2 } } : \left. \left[ A _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } x _ { 1 } + A _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } \left( A { \xi } + a \right) + A _ { 3 } ^ { \mathrm { i n } } { \xi } \right] _ { l } \leq \left[ b ^ { \mathrm { i n } } \right] _ { l } \forall { \xi } \in \Xi _ { l P } ^ { \mathrm { v } } , l \in { \mathcal L } \right\} . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \Omega \to 0 } \Phi ^ { \Delta , J } ( t , \bar { t } , \psi ; \tau , \bar { \tau } , \phi ) = e ^ { i ( \mu \hat { \psi } + \lambda \hat { \phi } ) } \, \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } c _ { m n } t ^ { m } \tau ^ { n } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } | t | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | \tau | ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big [ h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { m } _ { k , n } \big ] = } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big ( h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { m } _ { k , n } > x \big ) \, d x - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big ( - h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \tilde { m } _ { k , n } > x \big ) \, d x } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big ( \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le 1 } B _ { t } > x \big ) \, d x + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } _ { \mathbb { P } } ( 1 ) } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big ( \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } | B _ { 1 } | > x \big ) \, d x + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } _ { \mathbb { P } } ( 1 ) } \\ & { = - \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \big [ \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } | B _ { 1 } | \big ] + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } _ { \mathbb { P } } ( 1 ) } \\ & { = - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } _ { \mathbb { P } } ( 1 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } = } & { - i \Delta _ { a } a - \gamma _ { a } a - i g _ { N } c + \sqrt { 2 \gamma _ { a } } a _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { c } = } & { - i \Delta _ { c } c - \kappa _ { c } c + i g _ { c } c q - i g _ { N } a + E + \sqrt { 2 \kappa _ { c } } c _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { m } = } & { - i \Delta _ { m } m - \kappa _ { m } m - i g _ { m } m q + \Omega _ { d } + \sqrt { 2 \kappa _ { m } } m _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { q } = } & { \ \omega _ { b } p , \, \, \, \, \, \dot { p } = - \omega _ { b } q - \gamma _ { b } p + g _ { c } c ^ { \dagger } c - g _ { m } m ^ { \dagger } m + \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { j } ( t ) } & { \sim } & { - Q _ { j } \frac { t ^ { 2 j } } { ( 2 j ) ! } \quad \mathrm { a s } \quad t \rightarrow 0 ^ { + } } \\ { Q _ { j } } & { = } & { \left( \frac { ( \prod _ { i = 1 } ^ { j - 1 } k _ { i } ) \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } g } { \prod _ { i = 1 } ^ { j } m _ { i } } \right) } \end{array}
\frac { 1 } { \mathcal { N } ( A _ { n } , \mathbb { T } _ { n } ) } \operatorname* { m a x } _ { t , s \in \mathbb { T } _ { n } } \iint _ { \substack { h \in \cup _ { u \in \mathbb { T } _ { n } \cap ( t + A _ { n } ) } V ( u ) \, h ^ { \prime } \in \cup _ { v \in \mathbb { T } _ { n } \cap ( s + A _ { n } ) } V ( v ) } } \| C ( h - h ^ { \prime } ) \| _ { \mathrm { t r } } d h ^ { \prime } d h = \mathcal { O } \left( 1 \right) .
S \sim \int d ^ { 4 } x \, a ^ { 3 } b ^ { n } \left[ R - 2 n \frac { \ddot { b } } { b } - 6 n \frac { \dot { a } } { a } \frac { \dot { b } } { b } - n ( n - 1 ) \frac { \dot { b } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } & { = \mu ( x , v ) \Big [ - \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) } \\ & { \quad + 2 \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) - ( 2 \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \lambda _ { 1 } ( x , v ) ) \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \Big ] . } \end{array}
\theta ^ { * } \gets \mathrm { a r g m i n } _ { \theta } \{ \hat { J } _ { F } ( \theta ; \mathcal { S } _ { F } ^ { \mathrm { m b } } ) + \hat { J } _ { R } ( \theta ; \mathcal { S } _ { R } ^ { \mathrm { m b } } ) \, | \, n _ { F } ^ { \mathrm { e f f } } ( \theta ; \mathcal { S } _ { F } ^ { \mathrm { m b } } ) \geq f n _ { s } ^ { \mathrm { m b } } , n _ { R } ^ { \mathrm { e f f } } ( \theta ; \mathcal { S } _ { R } ^ { \mathrm { m b } } ) \geq f n _ { s } ^ { \mathrm { m b } } \}
\begin{array} { r l r } { \Big | \frac { 1 } { | T | } \sum _ { ( x _ { i } , y _ { i } ) \in T } \langle v , x _ { i } \rangle ( y _ { i } - x _ { i } ^ { \top } w ^ { * } ) \Big | } & { \leq } & { \frac { 2 - \tilde { \alpha } } { \tilde { \alpha } } \rho _ { 1 } \, \sqrt { v ^ { \top } \Sigma v } \, \sigma \; , } \\ { \left| \frac { 1 } { | T | } \sum _ { x _ { i } \in T } \, \langle v , x _ { i } \rangle ^ { 2 } - v ^ { \top } \Sigma v \, \right| } & { \leq } & { \frac { 2 - \tilde { \alpha } } { \tilde { \alpha } } \, \rho _ { 2 } v ^ { \top } \Sigma v \; , } \\ { \Big | \frac { 1 } { | T | } \sum _ { ( x _ { i } , y _ { i } ) \in T } ( y _ { i } - x _ { i } ^ { \top } w ^ { * } ) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \Big | } & { \leq } & { \frac { 2 - \tilde { \alpha } } { \tilde { \alpha } } \rho _ { 3 } \, \sigma ^ { 2 } \; , \; \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \left| \frac { 1 } { | T | } \sum _ { x _ { i } \in T } \, \langle v , x _ { i } \rangle \, \right| } & { \leq } & { \frac { 2 - \tilde { \alpha } } { \tilde { \alpha } } \, \rho _ { 4 } \sqrt { v ^ { \top } \Sigma v } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X + Y } & { = - ( \frac { P _ { X _ { 0 } } } { 2 r H ^ { 2 } } + \frac { P _ { Y _ { 0 } } } { 2 r H ^ { 2 } } ) \Phi + ( \frac { P _ { X _ { 1 } } } { 2 H } + \frac { P _ { Y _ { 1 } } } { 2 H } ) \Phi ^ { \prime } - ( \frac { 2 \mathbf { Q } P _ { X \mathcal { N } } } { r ^ { 2 } H ^ { 2 } } + \frac { 2 \mathbf { Q } P _ { Y \mathcal { N } } } { r ^ { 2 } H ^ { 2 } } ) \mathcal { N } } \\ & { = - ( \frac { H } { r } - \frac { P _ { Z } } { r H } ) \Phi - 2 \mu _ { b _ { 0 } } \Phi ^ { \prime } - \frac { 1 6 \mathbf { Q } \mu _ { b _ { 0 } } } { r ^ { 2 } H } \mathcal { N } } \end{array}