harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Delta { v _ { c } } = \frac { \Delta v \, v _ { 0 } } { \Delta v + v _ { 0 } } = \frac { p _ { 1 } p _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \tau ) } { p _ { 1 } \sqrt { 1 \! + \! R _ { * } ^ { 2 } } + ( p _ { 1 } \! + \! p _ { 2 } ) \operatorname { t a n h } ( \tau ) } v _ { w } , \qquad p _ { 1 } = \frac { q _ { i } ^ { s } - q _ { p } ^ { s } } { q _ { i } ^ { s } } , \qquad p _ { 2 } = \frac { R _ { * } ^ { 2 } } { 2 R _ { a } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { N \to 0 } U ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) = - e ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ) } \oint \frac { d u _ { 1 } d u _ { 2 } } { ( 2 i \pi ) ^ { 2 } } e ^ { u _ { 1 } \sigma _ { 1 } + u _ { 2 } \sigma _ { 2 } } } \\ & { } & { \times ( \mathrm { l o g } ( 1 + \frac { \sigma _ { 1 } } { u _ { 1 } } ) \frac { 1 } { ( u _ { 1 } - u _ { 2 } + \sigma _ { 1 } ) ( u _ { 2 } - u _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } } \end{array}
I _ { M } = \frac { - m ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x T r [ U ^ { - 1 } D _ { i } U ] ^ { 2 } ; \; \; D _ { i } = \partial _ { i } + A _ { i } ; \; \; U = \exp ( i \omega _ { a } \tau _ { a } / 2 ) .
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { M } } & { { } = \left[ e ^ { - i x _ { r } ^ { \top } \omega _ { u } } \right] _ { r , u } , } & { \mathbf { M } ^ { t } } & { { } = \left[ e ^ { - i x _ { r + 1 } ^ { \top } \omega _ { u } } \right] _ { r , u } . } \end{array}
[ a _ { 1 } , \dots , a _ { 5 } ] = [ 0 . 0 0 0 0 0 5 9 1 , - 0 . 0 0 0 0 3 5 1 2 , 0 . 0 0 1 3 4 8 1 0 , - 0 . 0 1 0 7 5 1 6 7 , 0 . 0 1 0 1 6 7 0 2 ]
\int \theta _ { k } ( \rho ) \mathrm { d } \pi - \int \theta _ { k } ( \mathsf { P } _ { t } \rho ) \mathrm { d } \pi = - \int _ { 0 } ^ { t } \int \theta _ { k } ^ { \prime } ( \mathsf { P } _ { t } \rho ) \mathsf { L } \mathsf { P } _ { t } \rho \mathrm { d } \pi \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { t } \int \mathsf { D } \theta _ { k } ^ { \prime } ( \mathsf { P } _ { t } \rho ) \mathsf { D } \mathsf { P } _ { t } \rho \mathrm { d } \pi \mathrm { d } m .
i \left( \begin{array} { l } { { \dot { \nu } _ { e } } } \\ { { \dot { \bar { \nu } _ { \ell } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { V _ { e } - \delta } } & { { \mu _ { \nu } B _ { + } } } \\ { { \mu _ { \nu } B _ { - } } } & { { - V _ { \ell } + \delta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \bar { \nu } _ { \ell } } } \end{array} \right) ~ ,
\cos { \frac { 3 \pi } { 2 0 } } = \cos 2 7 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 8 } } \left[ 2 { \sqrt { 5 + { \sqrt { 5 } } } } + { \sqrt { 2 } } \; \left( { \sqrt { 5 } } - 1 \right) \right]
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 , } \\ { ( 1 - \chi ) \big ( ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } + \nabla p - \frac { D } { \mathrm { R e } } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } \big ) + \lambda \chi \mathbf { u } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \mathbb { J } } _ { 1 } = \textbf { I } \otimes \textbf { I } , \quad \hat { \mathbb { J } } _ { 2 } = \textbf { I } \otimes ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) , \quad \hat { \mathbb { J } } _ { 3 } = ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \otimes \textbf { I } , \quad \hat { \mathbb { J } } _ { 4 } = ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \otimes ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) , } \\ & { \hat { \mathbb { J } } _ { 5 } = \frac { 1 } { 2 } ( \overline { { \mathbb { I } } } + \underline { { \mathbb { I } } } ) - \frac { 1 } { 2 } ( \textbf { I } \overline { { \otimes } } ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) + \textbf { I } \underline { { \otimes } } ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) + ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \overline { { \otimes } } \textbf { I } + ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \underline { { \otimes } } \textbf { I } ) , } \\ & { \hat { \mathbb { J } } _ { 6 } = \frac { 1 } { 2 } ( \overline { { \mathbb { I } } } + \underline { { \mathbb { I } } } ) - \hat { \mathbb { J } } _ { 5 } , } \end{array}
\Omega _ { \cal I } = i { \omega _ { \cal I } } ^ { 0 } P _ { 0 } + i { \omega _ { \cal I } } ^ { a } P _ { a } + \ldots + i { \omega _ { \cal I } } _ { 0 0 } ^ { 0 } P _ { 0 } ^ { 0 0 } + \ldots
\begin{array} { r l } { h \left( \zeta _ { t } , \nu _ { t } , \tau _ { t } \right) = - \psi ( \zeta _ { t } , \nu _ { t } ) } & { \left( \alpha _ { t } L _ { t } m _ { t } \chi _ { t } - 1 \right) + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } \psi ( \zeta _ { t } , \nu _ { t } ) ^ { 2 } } { 4 \tau _ { t } } \left( 2 - \chi _ { t } \left( L _ { t } + m _ { t } \right) \right) ^ { 2 } + \frac { \tau _ { t } } { 4 } } \\ & { \left( L _ { t } - m _ { t } \right) ^ { 2 } - \frac { \alpha _ { t } \psi ( \zeta _ { t } , \nu _ { t } ) } { 2 } \left( L _ { t } + m _ { t } \right) \left( 2 - \chi _ { t } \left( L _ { t } + m _ { t } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { L ( \tau ) ^ { 2 } } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( m _ { t } - 1 ) \pi + \frac { 1 } { 2 } \int _ { m _ { 0 } \pi - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } } f ( \tau ) d \tau + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t } ^ { ( m _ { 0 } - m _ { t } ) \pi + \frac { \pi } { 2 } } f ( \tau ) d \tau } \\ & { = ( m _ { t } - 1 ) \frac { \pi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \widetilde { \xi ( 0 ) } } { 2 } } f ( \tau ) d \tau + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \frac { \widetilde { \xi ( t ) } } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } f ( \tau ) d \tau } \\ & { = ( m _ { t } - 1 ) \frac { \pi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan ( \tau ) \right) \right] _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \widetilde { \xi ( 0 ) } } { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan ( \tau ) \right) \right] _ { \frac { \widetilde { \xi ( t ) } } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } } \\ & { = ( m _ { t } - 1 ) \frac { \pi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan \left( \frac { \widetilde { \xi ( 0 ) } } { 2 } \right) \right) + \frac { \pi } { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { \pi } { 2 } - \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan \left( \frac { \widetilde { \xi ( t ) } } { 2 } \right) \right) } \\ & { = m _ { t } \frac { \pi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan \left( \frac { \widetilde { \xi ( 0 ) } } { 2 } \right) \right) - \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan \left( \frac { \widetilde { \xi ( t ) } } { 2 } \right) \right) } \\ & { = m _ { t } \frac { \pi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } \right) \right) - \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { \beta , \: \lambda , \: s _ { i } } } } & { { \displaystyle \lambda \varepsilon ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } s _ { i } } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \zeta \in \Xi } \left( ( \zeta - \eta ) ^ { 2 } - \beta \zeta + \beta \eta - \lambda \left| \zeta - \widehat { \zeta } _ { i } \right| ^ { 2 } \right) \leq s _ { i } } } & { \forall i = 1 , \ldots , N } \\ & { \lambda \geq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf \nabla } _ { i } \Phi ( R ) = \frac { 4 } { \pi } \beta \rho { \bf \hat { n } _ { i } ^ { 0 } } \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ { \bf J } _ { \Phi } = 0 , } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { 0 }
\begin{array} { r } { \hat { \alpha } _ { x } ( t ) = \left( \frac { \beta _ { x } ( t ) } { n _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { t } } | e _ { i , x } ( t ) | ^ { \beta _ { x } ( t ) } \right) ^ { \frac { 1 } { \beta _ { x } ( t ) } } . } \end{array}
\varphi \; = \; \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { s _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } c _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } c ^ { 2 } + c _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } s _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } - | V _ { u s } | ^ { 2 } } { 2 s _ { \mathrm { u } } c _ { \mathrm { u } } s _ { \mathrm { d } } c _ { \mathrm { d } } c } \right) \; .
\frac { \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \Big | _ { y ^ { + } = c } \simeq A _ { 0 } + C + B _ { 0 } \left[ \ln R e _ { \tau } + \ln \left( \frac { b } { a } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ e ^ { i \vec { u } ^ { * } \vec { g } _ { t } } \right] } & { = { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ e ^ { i g _ { t } ^ { r } ( u _ { r } + \rho u _ { \lambda } ) } \right] { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ e ^ { i g _ { t } ^ { \lambda } u _ { \lambda } } \right] } \\ & { = \exp \left\lbrace i t \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { i ( u _ { r } r + u _ { \lambda } \rho r ) } - 1 \right) \varphi _ { r } ( y ) d r + \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { i u _ { \lambda } y } - 1 \right) \varphi _ { \lambda } ( \lambda ) d \lambda \right) \right\rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } = } & { \ \int _ { 0 } ^ { t _ { e } } [ 1 - C ( t ) ] \, u ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) + p ( t ) \, U _ { v } ( t ) d t + \tilde { U } _ { e } } \\ { \tilde { U } _ { e } = } & { \ \int _ { t _ { e } } ^ { \infty } [ 1 - C ( t ) ] \, u ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) + p ( t ) \, U _ { v } ( t ) \, \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ { = } & { \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { R } } _ { \gamma } \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } - \Pi _ { R } { \mathbf { R } } _ { \gamma } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } + \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } ) \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta _ { R } \gamma _ { x } ) \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 } { \theta _ { R } \gamma _ { x } } \Big ( ( 1 - \theta _ { R } \gamma _ { x } ) ^ { 2 } \left\| \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ & { + \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } \Big ) } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta _ { R } \gamma _ { x } ) \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 } { \theta _ { R } \gamma _ { x } } \Big ( ( 1 - \theta _ { R } \gamma _ { x } ) ^ { 2 } \delta _ { R , 2 } ^ { 2 } \left\| \Lambda \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \delta _ { R , 2 } ^ { 2 } \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \Big ) , } \end{array}
{ \cal E } \equiv M = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \left[ \frac { 1 } { 2 } { \dot { \phi } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } { { \phi } ^ { \prime } } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 } \left( \phi ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { \lambda } \right) ^ { 2 } + \varepsilon \frac { m ^ { 3 } } { \sqrt \lambda } \phi \right] = \frac { 2 { \sqrt 2 } m ^ { 3 } } { 3 \lambda }
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { \hat { j } } N _ { j } ^ { t _ { k } } } & { \le \operatorname* { m a x } \left( \left( 1 - \frac { 1 } { 4 B } \right) ^ { K / 4 8 B } \sum _ { j = 1 } ^ { \hat { j } } N _ { j } ^ { 1 } , 1 \right) } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \left( e ^ { - K / 2 0 0 B ^ { 2 } } d , 1 \right) = 1 . } \end{array}
\langle \ifmmode \mathrm { N u } _ { \textrm { l o c } , T } \else \mathrm { N u } _ { \textrm { l o c } , T } \fi \left( \tilde { z } = 0 . 5 \right) \rangle _ { \tilde { A } } = \langle \ifmmode \mathrm { N u } _ { \textrm { l o c } } \else \mathrm { N u } _ { \textrm { l o c } } \fi \left( \tilde { z } = 0 . 5 \right) \rangle _ { \tilde { A } } .
\hat { \vec { e } } _ { \beta _ { 1 } } = \left( - \sin \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) \cos \beta _ { 1 } , \sin \beta _ { 1 } , \cos \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) \cos \beta _ { 1 } \right)
b _ { i } ^ { ( 2 ) } = b _ { i } + \frac 1 2 \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { b _ { i j } } { b _ { j } } X _ { j } , ~ ~ ~ ~ X _ { j } = \frac { \ln ( \alpha _ { U } / \alpha _ { j } ( M ) ) } { \ln ( M _ { U } / M ) } .
V ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) = V _ { 0 } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) + V _ { 0 } ( x ^ { \prime } - a + R _ { x } ^ { \prime } \sin ( \omega z ^ { \prime } ) , y ^ { \prime } - R _ { y } ^ { \prime } \cos ( \omega z ^ { \prime } ) )
\begin{array} { r l } { \textbf { j } _ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { { } = - \langle \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } ( t _ { 0 } ) | \hat { K } _ { H } ( t _ { 0 } , t ) \left[ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) \right] \hat { K } _ { H } ( t , t _ { 0 } ) | \varphi _ { v , \textbf { k } _ { 0 } } { ( t _ { 0 } ) } \rangle , } \end{array}
P \left( \mathrm { ~ U ~ s ~ e ~ r ~ } _ { i } \rightarrow \mathrm { ~ M ~ P ~ } _ { j } \right) = \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ i ~ t ~ } ^ { - 1 } \left( \alpha _ { i } + \beta _ { j } - \gamma \| \phi _ { i } - \phi _ { j } \| ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \ell = \tilde { \rho } ( \omega , \mu ) : = } & { \int _ { \omega } ^ { \chi ( \omega , \mu ) } \frac { d z } { \sqrt { 2 ( G ( \omega ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } } \\ { = } & { \int _ { \omega } ^ { \chi ( \omega , \mu ) } \frac { d z } { \sqrt { 2 ( G ( \chi ( \omega , \mu ) ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } . } \end{array}
\mathcal { T } ( t , t ^ { \prime } ) = i \sum _ { k \alpha i } \left[ \partial _ { \theta } t _ { k \alpha i } ( \theta ( t ^ { \prime } ) ) G _ { i k \alpha } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) + \partial _ { \theta } t _ { i k \alpha } ( \theta ( t ) ) G _ { k \alpha i } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) \right] ,
t _ { s s } = \left. \frac { E _ { t , s _ { N } } } { E _ { i , s _ { 1 } } } \right\vert _ { E _ { i , p _ { 1 } } = 0 } = Q _ { 1 1 } + \frac { Q _ { 1 2 } ( Q _ { 2 4 } Q _ { 4 1 } - Q _ { 2 1 } Q _ { 4 4 } ) + Q _ { 1 4 } ( Q _ { 2 1 } Q _ { 4 2 } - Q _ { 2 2 } Q _ { 4 1 } ) } { Q _ { 2 2 } Q _ { 4 4 } - Q _ { 2 4 } Q _ { 4 2 } }
\sigma _ { T } = \frac { 2 T } { \sqrt { V _ { 0 } m } } \sqrt { \left[ c _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } + \frac { \xi + \frac { V _ { 0 } + u _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } { \eta T } } { \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right] } ,
\frac { \partial } { \partial t } { K } _ { i } ( { \bf x } , t ) + 4 H \, K _ { i } ( { \bf x } , t ) + \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } { K } _ { i j } ( { \bf x } , t ) = - \tau _ { w } ^ { - 1 } K _ { i }
\begin{array} { r l } { u ^ { 2 } x ^ { 2 } + v ^ { 2 } y ^ { 2 } + w ^ { 2 } z ^ { 2 } - 2 v w y z - 2 w u z x - 2 u v x y } & { { } = 0 } \\ { \pm { \sqrt { x } } \cos \left( { \frac { A } { 2 } } \right) \pm { \sqrt { y } } \cos \left( { \frac { B } { 2 } } \right) \pm { \sqrt { z } } \cos \left( { \frac { C } { 2 } } \right) } & { { } = 0 } \end{array}
\theta _ { s } ^ { * } ( t ) = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \Delta \theta - \frac { \Delta \theta } { \tau } t , } & { 0 < t < \tau } \\ { \frac { \Delta \theta } { \tau } t - \Delta \theta . } & { \tau < t < 2 \tau } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Pi _ { m , S S } ^ { H , \ell } } & { { } = - 2 \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \tau ^ { \phi } \left( \overline { { S } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { S } } _ { k j } ^ { \sqrt { \theta } } \right) , } \\ { \Pi _ { m , \Omega \Omega } ^ { H , \ell } } & { { } = \; \; \; 2 \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \tau ^ { \phi } \left( \overline { { \Omega } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { \Omega } } _ { k j } ^ { \sqrt { \theta } } \right) , } \\ { \Pi _ { m , S \Omega } ^ { H , \ell } } & { { } = - 2 \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \left[ \tau ^ { \phi } \left( \overline { { S } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { \Omega } } _ { j k } ^ { \sqrt { \theta } } \right) + \tau ^ { \phi } \left( \overline { { \Omega } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { S } } _ { j k } ^ { \sqrt { \theta } } \right) \right] } \end{array}
\kappa _ { i j k } ( \nu ) = \sum _ { k } A _ { k } \sum _ { j } F _ { j } \sum _ { i , i ^ { \prime } } [ \kappa _ { b b ( } ( i , i ^ { \prime } ; \nu ) + \kappa _ { b f } ( i , \epsilon _ { i ^ { \prime } } ; \nu ) + \kappa _ { f f } ( \epsilon _ { i } , \epsilon _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } ; \nu ) + \kappa _ { s c } ( \nu ) ] \ .
S _ { c } = \phi _ { c } \left( \frac { 1 } { K _ { d _ { c } } } + \frac { 1 } { K _ { f } } - \frac { 1 } { K _ { 0 } } \right) \, , \qquad \frac { 1 } { K _ { d _ { c } } } = \frac { Z _ { N _ { c } } } { \phi _ { c } } \, .
\begin{array} { r l r } { C _ { 1 } } & { = } & { \frac { 3 L \omega } { 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) } + \frac { 3 2 } { ( 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) ) ^ { 2 } } \delta \gamma ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 3 L \omega } { 1 - L \gamma } + \frac { 3 2 } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - L \gamma ) L ^ { 3 } \omega } { 3 2 } \cdot \gamma ^ { 2 } \leq \frac { 4 L \omega } { 1 - L \gamma } , } \\ { C _ { 2 } } & { = } & { \frac { 3 } { 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) } + \frac { 3 2 } { ( 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) ) ^ { 2 } } \delta ( \gamma + \omega ) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 3 } { 1 - L \gamma } + \frac { 3 2 } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - L \gamma ) L ^ { 3 } \omega } { 3 2 } \cdot ( \gamma + \omega ) ^ { 2 } \leq \frac { 4 } { 1 - L \gamma } , } \\ { C _ { 3 } } & { = } & { \frac { 1 6 } { ( 1 - L ^ { 2 } \gamma ( \gamma + \omega ) ) ^ { 2 } } \leq \frac { 1 6 } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { F } ( \mathbf { k } , \hat { \mathbf { r } } , t ) } & { = \left[ e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \hat { \mathbf { r } } } \mathbf { \mathcal { \hat { H } } } _ { \textrm { L D } } ( t ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \hat { \mathbf { r } } } - i \hbar \frac { d } { d t } \right] } \\ & { = \frac { ( \hat { \mathbf { p } } + \hbar \mathbf { k } ) ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + V _ { 0 } ( \hat { \mathbf { r } } ) - \frac { e E _ { \textrm { d } } } { m _ { e } \Omega } \sin ( \Omega t ) \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { d } } \cdot ( \hat { \mathbf { p } } + \hbar \mathbf { k } ) - i \hbar \frac { d } { d t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad { \mathbb { E } } _ { \xi } \Vert g ( x ; w , \xi ) - g ( y ; w , \xi ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { d ^ { 2 } } { 2 \delta ^ { 2 } } { \mathbb { E } } _ { \xi } \Vert F ( x + \delta w ; \xi ) - F ( y + \delta w ; \xi ) \Vert ^ { 2 } + \frac { d ^ { 2 } } { 2 \delta ^ { 2 } } { \mathbb { E } } _ { \xi } \Vert F ( x - \delta w ; \xi ) - F ( y - \delta w ; \xi ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { d ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } \Vert x - y \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { d \Omega _ { 3 } } = - d t ^ { 2 } + \frac { l ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } } \cosh ^ { 2 } ( r _ { + } t / l ) ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \chi ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \left\lVert v _ { 0 } \right\rVert _ { B _ { \frac 6 5 , \frac 4 3 } ^ { \frac 1 2 } ( \Omega ) } \le C ( \Omega ) \left\lVert v _ { 0 } \right\rVert _ { B _ { \frac 4 3 , \frac 4 3 } ^ { \frac 1 2 } ( \Omega ) } } & { { } \le C ( \Omega ) \left\lVert v _ { 0 } \right\rVert _ { H ^ { \frac 1 2 } ( \Omega ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq - \frac { 1 } { C } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } , } \\ & { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { \frac { 1 } { s } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { \frac { 2 s - 1 } { s } } . } \end{array}
W _ { 0 } ( \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) = \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } ( W _ { 0 } { \widehat { u } } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } + { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ( W _ { 0 } \widehat { w } ) _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } ,
\begin{array} { r l } { \Big [ L ( Y ) \log { ( n ) } + Q ( Y ) \Big ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \qquad \qquad ~ ~ \qquad \qquad \quad } & { } \\ { + \Big [ Q _ { 0 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + Q _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + Q _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { R ( Y ) \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } + \Big [ R _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + R _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r } & { { } = - \frac 1 2 ( e ^ { i \phi _ { 1 } } + e ^ { i \phi _ { 2 } } ) , } \\ { t } & { { } = - \frac 1 2 ( e ^ { i \phi _ { 1 } } - e ^ { i \phi _ { 2 } } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { d } { d x } } \left( \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } f ( x , t ) \, d t \right) } \\ & { = f { \big ( } x , b ( x ) { \big ) } \cdot { \frac { d } { d x } } b ( x ) - f { \big ( } x , a ( x ) { \big ) } \cdot { \frac { d } { d x } } a ( x ) + \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } { \frac { \partial } { \partial x } } f ( x , t ) \, d t } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I I _ { 2 } } & { \leq 4 N ^ { 6 } \int _ { 0 } ^ { t - \lambda } e ^ { - ( t - s ) } \frac { 1 + ( N ( t - s ) ) ^ { 3 } } { ( t - s ) ^ { 3 } } \left( \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \int _ { \vert u \vert \leq 2 N } \vert f ( s , y , u ) \vert \mathbf { 1 } _ { \vert f ( s , y , u ) \vert > \mu ( u ) } d u d y \right. } \\ & { \quad \left. + \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \int _ { \vert u \vert \leq 2 N } \frac { 1 } { \sqrt { \mu ( u ) } } \vert f ( s , y , u ) \vert \mathbf { 1 } _ { \vert f ( s , y , u ) \vert \leq \mu ( u ) } d u d y \right) d s . } \end{array}
b = q ^ { h + k - 1 } { \frac { \sin k \alpha } { \sin \alpha } } = q ^ { h } \cdot \sum _ { 0 \leq i \leq { \frac { k - 1 } { 2 } } } ( - 1 ) ^ { i } { \binom { k } { 2 i + 1 } } p ^ { k - 2 i - 1 } ( q ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) ^ { i } ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ o ~ l ~ e ~ } } ( \boldsymbol { x } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { 3 \vec { x } \, ( \vec { M } \cdot \vec { x } ) - \vert x \vert ^ { 2 } \, \vec { M } } { \vert x \vert ^ { 5 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( k _ { \mathcal { Y } } , k _ { \mathcal { Y } } ( r ) ) } & { { } = \sqrt { \sum _ { k } \left( r ( 1 - p _ { n o d e } ) ( \langle k _ { \mathcal { Y } } \rangle - k _ { \mathcal { Y } } ^ { \alpha } ( 0 ) ) ^ { 2 } \right) } } \\ { d ( k _ { \mathcal { Y } } , k _ { \mathcal { Y } } ( r ) ) } & { { } = r ( 1 - p _ { n o d e } ) \sigma ( k _ { \mathcal { Y } } ) , } \end{array}