harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } p \| _ { 1 } ^ { 2 } \leq } & { c _ { 0 } \| V _ { k } ( u , \varphi ) \| ^ { 2 } \leq c \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } ^ { 2 } + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 1 } ^ { 2 } \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 2 } ^ { 4 } ) \Big ( \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { j } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { 1 } ^ { 2 } \Big ) } \\ { \leq } & { c \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } ^ { 2 } + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \mathcal { E } _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) \mathcal { E } _ { j } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } = } & { { } \frac { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ( l _ { 1 } + l _ { 2 } ) g } { 2 m _ { 1 } l _ { 1 } l _ { 2 } } \left\{ 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 m _ { 1 } l _ { 1 } l _ { 2 } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ( l _ { 1 } + l _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } } & { \overset { \mathcal { E } _ { \eta _ { \mathrm { d } } } } { \rightarrow } \sqrt { \eta _ { \mathrm { d } } } \hat { a } + \sqrt { 1 - \eta _ { \mathrm { d } } } \hat { v } } \\ & { \overset { \mathcal { A } _ { \eta _ { \mathrm { d } } } ^ { \xi } } { \rightarrow } \sqrt { \eta _ { \mathrm { d } } } \hat { a } + \sqrt { 1 - \eta _ { \mathrm { d } } } ( \hat { v } + \xi ) } \\ & { = \sqrt { \eta _ { \mathrm { d } } } \hat { a } + \sqrt { 1 - \eta _ { \mathrm { d } } } \hat { e } . } \end{array}
\Im \Pi _ { i } ( k ) = - \frac { g ^ { 2 } m _ { H } ^ { 2 } k _ { 0 } } { 1 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \frac { d p \, p } { \omega } \, ( - \frac { d n } { d p } ) \delta _ { \Gamma } ( \omega - p ) .
\frac { \langle B _ { c } | \psi _ { c } ^ { \dagger } ( i \vec { D } ) ^ { 2 } \psi _ { c } | B _ { c } \rangle } { 2 M _ { B _ { c } } \cdot m _ { c } ^ { 2 } } \simeq v _ { c } ^ { 2 } \simeq \frac { 2 m _ { b } } { m _ { c } ( m _ { c } + m _ { b } ) } \, T .
\left\{ \begin{array} { l } { E _ { \mathrm { a p e } , x } | _ { y = - \frac { b } { 2 } , \frac { b } { 2 } } = 0 } \\ { E _ { \mathrm { a p e } , y } | _ { x = - \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } } = 0 } \end{array} \right.
\gamma _ { ( \mathbf { u } ) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } } } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { u } { c } } \right) ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l r } { S _ { f e } } & { \approx } & { \frac { Z _ { i } ^ { 2 } e ^ { 4 } \, n _ { e } \, G \left( x _ { e } \right) } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, m _ { e i } m _ { i } \, v _ { i } ^ { 2 } } \, \ln \Lambda _ { f e } \, , } \\ { G \left( x _ { e } \right) } & { \approx } & { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \, \left( \int _ { 0 } ^ { x _ { e } } d t \, e ^ { - t ^ { 2 } } - x _ { e } \, e ^ { - x _ { e } ^ { 2 } } \right) \, , } \\ { x _ { e } } & { \approx } & { \sqrt { \frac { m _ { e } v _ { i } ^ { 2 } } { 2 \, k T _ { e } } } \, , } \\ { m _ { e i } } & { = } & { \frac { m _ { e } m _ { i } } { m _ { e } + m _ { i } } \, . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \mathrm { L I S } \big ( \mathrm { S a m p l e } _ { N } ( \mu _ { f } ) \big ) \right] = \Omega \left( \mathbb { E } \left[ \mathrm { L I S } \big ( \mathrm { S a m p l e } _ { \lfloor \varepsilon \mathrm { L e b } ( C ) N \rfloor } ( \mathrm { L e b } _ { C } ) \big ) \right] \right) = \Omega \left( \ell _ { \lfloor \varepsilon \mathrm { L e b } ( C ) N \rfloor } \right) = \Omega \left( \sqrt { N } \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c } { \begin{array} { c } { p _ { 1 } = A _ { 1 , 1 } B _ { 1 , 1 } , } \\ { p _ { 2 } = A _ { 1 , 1 } B _ { 1 , 2 } , } \\ { p _ { 3 } = A _ { 1 , 2 } B _ { 2 , 1 } , } \\ { p _ { 4 } = A _ { 1 , 2 } B _ { 2 , 2 } , } \\ { p _ { 5 } = A _ { 2 , 1 } B _ { 1 , 1 } , } \\ { p _ { 6 } = A _ { 2 , 1 } B _ { 1 , 2 } , } \\ { p _ { 7 } = A _ { 2 , 2 } B _ { 2 , 1 } , } \\ { p _ { 8 } = A _ { 2 , 2 } B _ { 2 , 2 } , } \end{array} } & { \begin{array} { c } { C _ { 1 , 1 } = p _ { 1 } + p _ { 3 } , } \\ { C _ { 2 , 1 } = p _ { 5 } + p _ { 7 } , } \\ { C _ { 1 , 2 } = p _ { 2 } + p _ { 4 } , } \\ { C _ { 2 , 2 } = p _ { 6 } + p _ { 8 } . } \end{array} } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) } ( P _ { r } , { P } _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) - \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) } ( P _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) } \\ & { = d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) } ( P _ { r } , { P } _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) - d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) } ( \hat { P } _ { r } , { P } _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) } \\ & { \quad + \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) } ( \hat { P } _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) - \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) } ( P _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) } \\ & { \quad + d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) } ( \hat { P } _ { r } , { P } _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) - \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) } ( \hat { P } _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) . } \end{array}
{ \cal C } _ { k } ^ { \prime \prime } + \biggl \{ k _ { L } ^ { 2 } + k _ { T } ^ { 2 } \biggl [ - \frac { \eta } { \eta _ { 1 } } \biggr ] ^ { \gamma } - \frac { \mu ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } } { \eta ^ { 2 } } \biggr \} { \cal C } _ { k } = 0 ,
S _ { A } = - \frac { 1 } { 4 } \int d x ^ { 0 } d x ^ { 1 } \sqrt { - g } e ^ { - \bar { \phi } } \left( F _ { \alpha \beta } ^ { I } F ^ { I \alpha \beta } + 2 F _ { \alpha j } ^ { I } F ^ { I \alpha j } \right)
g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) = \frac { 1 } { 2 } \frac { g _ { 0 } } { 1 + \varepsilon P } \log { \left( 1 + \left( \frac { N } { N _ { \mathrm { t r } } } \right) ^ { 2 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { [ x ^ { j } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } } & { = [ x ^ { j } ] \left( \sum _ { i = 0 } { \binom { k + i } { k } } R ^ { i } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } { \binom { k + i } { k } } [ x ^ { j } ] R ^ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { j } { \binom { k + i } { i } } [ x ^ { j } ] R ^ { i } } \\ & { \ \ \ [ \mathrm { s i n c e ~ d e \ensuremath { g _ { x } } ( R ) \ensuremath { \geq 1 } } ] } \\ & { = [ x ^ { j } ] \sum _ { i = 0 } ^ { j } { \binom { k + i } { i } } R ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } \hat { p } ^ { 2 } ( t ) ^ { T } \biggl ( ( \sigma ( t , Y ^ { u _ { 2 } } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) ) - \hat { \sigma } ( t , \hat { Y } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) ) ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } ( \eta ( t , Y ^ { u _ { 2 } } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) , z ) - \hat { \eta } ( t , \hat { Y } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) , z ) ) ^ { 2 } \nu ( d z ) } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } ( \gamma ^ { j } ( t , Y ^ { u _ { 2 } } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) ) - \hat { \gamma } ^ { j } ( t , \hat { Y } ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) ) ) ^ { 2 } \lambda _ { j } ( t ) \biggr ) \hat { p } ^ { 2 } ( t ) d t \biggr ] < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \bigl ( \frac { 2 \eta } { \eta _ { t } } + \frac { z ^ { 2 } } { 3 } \bigl ) \partial _ { z } ^ { 2 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \bigl ( \frac { 8 \eta } { z \eta _ { t } } + 2 z \bigl ) \partial _ { z } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \bigl ( \frac { 8 } { 3 } - \gamma \bigl ) \tilde { M } _ { \mathrm { L } } } \\ & { } & { + \frac { 9 \Bar { \tau } } { 1 0 } \bigg [ \frac { z ^ { 4 } } { 1 0 } \partial _ { z } ^ { 4 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \frac { 8 z ^ { 3 } } { 5 } \partial _ { z } ^ { 3 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \frac { 9 5 8 z ^ { 2 } } { 1 3 5 } \partial _ { z } ^ { 2 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \frac { 4 0 4 z } { 4 5 } \partial _ { z } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \frac { 3 2 } { 2 7 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } \bigg ] . } \end{array}
\left\langle \exp \left( \; 2 \sum _ { b = 1 } ^ { N } \beta ^ { ( b ) } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } x \; t ( x ) \; : \cos \left( 2 \sqrt { \pi } \varphi ^ { ( b ) } ( x ) \right) : _ { Q ^ { W } } \; \right) \right\rangle _ { Q ^ { \mu } }
\int _ { 0 } ^ { x _ { A } } { \frac { d x _ { B } } { x _ { B } } } ( x _ { B } ) ^ { \gamma _ { B } } \left( 1 + \log { \frac { x _ { A } } { x _ { B } } } \right) = x _ { A } ^ { \gamma _ { B } } { \frac { 1 + \gamma _ { B } } { ( \gamma _ { B } ) ^ { 2 } } } \, \, ,
\begin{array} { r l } { \Hat F _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } } & { { } = \sum _ { G _ { y } } \Delta y w _ { G _ { y } } \sum _ { \alpha = 0 } ^ { K _ { \alpha } } F ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { G _ { y } } , \lambda _ { \alpha } \Delta t ) ) w _ { \alpha } , } \end{array}
\partial _ { t } \Omega ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \Omega ( t , \xi ) - \mu _ { 1 } g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \Omega ( t , \xi ) = C _ { d , \beta } g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \partial _ { \eta } \Omega ( t , \eta ) \eta ^ { \beta - 1 } d \eta ,
\begin{array} { r l r } { ( \gamma ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { k } } & { { } \geq } & { ( \gamma + ( 2 k - 1 ) \omega _ { 0 } ) ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 k - 1 } } \\ { \left[ ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ( \gamma + \omega _ { 0 } ) \right] ^ { k } } & { { } \geq } & { ( \gamma + ( 2 k - 1 ) \omega _ { 0 } ) ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 k - 1 } \, . \qquad } \end{array}
\boldsymbol { \Pi } ( \kappa , \omega ) = \left[ \begin{array} { l l } { \kappa ^ { 4 } E I - \omega ^ { 2 } \rho A + K / a } & { - K / a } \\ { - K } & { - \omega ^ { 2 } M + K } \end{array} \right] , \quad \mathbf { V } = \left[ \begin{array} { l } { w _ { 0 } } \\ { v _ { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \zeta _ { C } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - \zeta _ { C } ) ^ { n } } & { = ( 1 - ( 1 - \zeta _ { C } ) ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - \zeta _ { C } ) ^ { n } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - \zeta _ { C } ) ^ { n } - \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - \zeta _ { C } ) ^ { n } - 1 \right) } \\ & { = 1 . } \end{array}
\int \mathrm { d } \textbf { x } \, p ( \textbf { x } ) \, I ( \textbf { x } , \overline { { \textbf { x } } } _ { k } ^ { n } , \phi _ { k } ^ { n } ) = \frac { \langle \Psi _ { T } | e ^ { - \tau \hat { H } } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } \, .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { F } } & { = 6 \pi \mu a \left( 1 + { \frac { a ^ { 2 } } { 6 } } \nabla ^ { 2 } \right) \mathbf { v } ^ { \infty } ( \mathbf { x } ) | _ { x = 0 } - 6 \pi \mu a \mathbf { U } } \\ { \mathbf { T } } & { = 8 \pi \mu a ^ { 3 } ( \mathbf { \Omega } ^ { \infty } ( \mathbf { x } ) - \mathbf { \omega } ) | _ { x = 0 } } \end{array} }
- \beta _ { q , i n } \frac { ( \mathbf { x } _ { q , 1 } - \Delta _ { c } ) ^ { h } } { 1 + ( \mathbf { x } _ { q , 1 } - \Delta _ { c } ) ^ { h } } + B ( \mathbf { x } _ { q , 1 } - \Delta _ { c } ) ^ { a } = 0 .
\begin{array} { r } { P _ { e w } ^ { * , d } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } < k _ { a } ^ { d } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } \\ { 1 - \frac { \ln ( \rho k _ { a } ^ { d } + \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } ) - \ln ( \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } ) } { 2 \ln \rho } , } & { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } \geq k _ { a } ^ { d } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { v } } } & { = { \frac { d } { d t } } { \boldsymbol { r } } = \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \dot { q } } _ { k } \ { \boldsymbol { e _ { k } } } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } q _ { k } \ { \dot { \boldsymbol { e _ { k } } } } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \dot { q } } _ { k } \ { \boldsymbol { e _ { k } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { d } q _ { j } \ { \dot { \boldsymbol { e _ { j } } } } , } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \dot { q } } _ { k } \ { \boldsymbol { e _ { k } } } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { i = 1 } ^ { d } q _ { j } \ { \Gamma ^ { k } } _ { i j } { \boldsymbol { e _ { k } } } { \dot { q } } _ { i } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { d } \left( { \dot { q } } _ { k } \ + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { i = 1 } ^ { d } q _ { j } \ { \Gamma ^ { k } } _ { i j } { \dot { q } } _ { i } \right) { \boldsymbol { e _ { k } } } \ , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E ^ { + } } { \partial z } + \frac { 1 } { v } \frac { \partial E ^ { + } } { \partial t } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \mathrm { L } } } { 2 } E ^ { + } + g P _ { 0 } ^ { + } , } \\ { - \frac { \partial E ^ { - } } { \partial z } + \frac { 1 } { v } \frac { \partial E ^ { - } } { \partial t } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \mathrm { L } } } { 2 } E ^ { - } + g P _ { 0 } ^ { - } , } \\ { \frac { \partial P _ { 0 } ^ { + } } { \partial t } } & { = } & { \mathrm { \ p i \ d e l t a _ { h o m } } ( 1 + i \alpha ) \left[ - P _ { 0 } ^ { + } + i f _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { b } } \left( 1 + i \alpha \right) \left( N _ { 0 } E ^ { + } + N _ { 1 } ^ { + } E ^ { - } \right) \right] , } \\ { \frac { \partial P _ { 0 } ^ { - } } { \partial t } } & { = } & { \mathrm { \ p i \ d e l t a _ { h o m } } ( 1 + i \alpha ) \left[ - P _ { 0 } ^ { - } + i f _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { b } } \left( 1 + i \alpha \right) \left( N _ { 0 } E ^ { - } + N _ { 1 } ^ { - } E ^ { + } \right) \right] , } \\ { \frac { \partial N _ { 0 } } { \partial t } } & { = } & { \frac { I } { e V } - \frac { N _ { 0 } } { \tau _ { \mathrm { e } } } + \frac { i } { 4 \hbar } \left[ E ^ { + * } P _ { 0 } ^ { + } + E ^ { - * } P _ { 0 } ^ { -- } E ^ { + } P _ { 0 } ^ { + * } - E ^ { - } P _ { 0 } ^ { - * } \right] , } \\ { \frac { \partial N _ { 1 } ^ { + } } { \partial t } } & { = } & { - \frac { N _ { 1 } ^ { + } } { \tau _ { \mathrm { e } } } + \frac { i } { 4 \hbar } \left[ E ^ { - * } P _ { 0 } ^ { + } - E ^ { + } P _ { 0 } ^ { - * } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 3 } ] \right\| _ { 2 } } & { { } \lesssim \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ \frac { - \kappa ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } \partial _ { t } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \frac { \kappa ^ { ( i ) } a _ { p , k } ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \kappa ^ { ( i ) } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) \right\} } & { { } = 0 . } \end{array}
\omega _ { 0 } = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { x _ { p } } { n } K _ { 1 } ( n B x _ { p } ) , ~ x _ { p } = ( \phi ^ { 2 } + h + 2 p h ) ^ { 1 / 2 } ;
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \, d s \int _ { D } \, d w \int _ { 0 } ^ { s } \, d s ^ { \prime } \int _ { D } \, d w ^ { \prime } \int _ { D \setminus D _ { w ^ { \prime } } } \, d z ^ { \prime } \nu ( w ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) p _ { D } ( s - s ^ { \prime } , z ^ { \prime } , w ) \nu ( w , D \setminus D _ { w ^ { \prime } } ) \left( \hat { P } _ { s ^ { \prime } } ^ { D } f ( w ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \, d s \int _ { D } \, d w \int _ { D \setminus D _ { w } } \, d z \int _ { 0 } ^ { s } \, d s ^ { \prime } \int _ { D } \, d z ^ { \prime } \nu ( z ^ { \prime } , D \setminus D _ { z ^ { \prime } } ) p _ { D } ( s - s ^ { \prime } , z ^ { \prime } , w ) \nu ( w , z ) \left( P _ { t - s } ^ { D } f ( z ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( E _ { \mathrm { c u t } } ) } & { < 1 6 \pi ^ { 2 } \int _ { \sqrt { 2 E _ { \mathrm { c u t } } } } ^ { \infty } \rho _ { \mu \nu } ( G ) \rho _ { \kappa } ( G ) d G } \\ & { \approx \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } } { ( 2 \alpha _ { \mu \nu } ) ^ { l _ { \mu \nu } - 1 } ( 2 \alpha _ { \kappa } ) ^ { l _ { \kappa } } } \Big ( \frac { \pi ^ { 2 } } { \alpha _ { \mu \nu } \alpha _ { \kappa } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( 2 E _ { \mathrm { c u t } } ) ^ { \frac { l _ { \mu \nu } + l _ { \kappa } - 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { E _ { \mathrm { c u t } } } { 2 \theta _ { \mu \nu \kappa } } } < \tau , } \end{array}
U ( t , \vec { x } ) = \left( P e ^ { - i g \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, A _ { 0 } ( t ^ { \prime } , \vec { x } ) } \right) \left( P e ^ { i g \int _ { 0 } ^ { \beta } d t ^ { \prime } \, A _ { 0 } ( t ^ { \prime } , \vec { x } ) } \right) ^ { { \frac { t } { \beta } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { G _ { \omega } ( { \bf x } ; { \bf \xi } ) = \frac { \, 1 } { \, 2 \pi } K _ { 0 } \left( \omega | { \bf x } - { \bf \xi } | \right) - \frac { \, 1 } { \, 2 \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \beta _ { n } \cos \left( n ( \psi - \psi _ { 0 } ) \right) \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( \omega ) } { I _ { n } ^ { \prime } ( \omega ) } I _ { n } \left( \omega | { \bf x } | \right) I _ { n } \left( \omega | { \bf \xi } | \right) \, , } \\ & { } & { R _ { \omega } ( { \bf \xi } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( \log { 2 } - \gamma _ { e } - \log { \omega } \right) - \frac { \, 1 } { \, 2 \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \beta _ { n } \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( \omega ) } { I _ { n } ^ { \prime } ( \omega ) } \left[ I _ { n } \left( \omega | { \bf \xi } | \right) \right] ^ { 2 } \, , } \end{array}
\aligned \frac { d } { d t } M ( t ) = \int \psi ( \frac { r } { R } ) R e [ \bar { u } \cdot r \partial _ { r } \Delta u ] - \int \psi ( \frac { r } { R } ) R e [ \Delta \bar { u } \cdot r \partial _ { r } u ] \, - \int \psi ( \frac { r } { R } ) R e [ \bar { u } \cdot r \partial _ { r } ( A _ { t } [ u ] u ) ] + \int \psi ( \frac { r } { R } ) R e [ A _ { t } [ u ] \bar { u } \cdot r \partial _ { r } u ] \, - \int \psi ( \frac { r } { R } ) R e [ \bar { u } \cdot r \partial _ { r } ( ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) ^ { 2 } u ) ] + \int \psi ( \frac { r } { R } ) R e [ ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) ^ { 2 } \bar { u } \cdot r \partial _ { r } u ] \, \int \psi ( \frac { r } { R } ) R e [ \bar { u } \cdot r \partial _ { r } ( | u | ^ { 2 } u ) ] - \int \psi ( \frac { r } { R } ) R e [ | u | ^ { 2 } \bar { u } \cdot r \partial _ { r } u ] \endaligned
S _ { 2 } = \frac { \epsilon ^ { - 1 } ( \epsilon ^ { - 1 } \log _ { 2 } \epsilon ^ { - 1 } + \mathrm { p o l y } ( \epsilon ^ { - 1 } ) ) } { \epsilon ^ { - 1 } \mathrm { p o l y } ( \log _ { 2 } \epsilon ^ { - 1 } ) } = \frac { \epsilon ^ { - 1 } \log _ { 2 } \epsilon ^ { - 1 } + \mathrm { p o l y } ( \epsilon ^ { - 1 } ) } { \mathrm { p o l y } ( \log _ { 2 } \epsilon ^ { - 1 } ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { \lambda \kappa T } \bigl ( F ( \mathbf { z } ^ { 1 } ) - \mathbb { E } _ { t } [ F ( \mathbf { z } ^ { T } ) ] \bigr ) + \frac { 3 2 \eta _ { l } L ^ { 2 } K } { \kappa \gamma m T } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { 0 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { 4 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \kappa \gamma ^ { 3 } T } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { 0 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \kappa } \left( 3 2 \lambda \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) + \lambda \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ( 3 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { \lambda \kappa T } \bigl ( F ( \mathbf { z } ^ { 0 } ) - F ^ { * } ) \bigr ) + \frac { 3 2 \eta _ { l } L ^ { 2 } K } { \kappa \gamma m T } \sum _ { i \in [ m ] } \mathbb { E } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { 0 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } ( 1 - 2 \gamma ) ^ { 2 } } { \kappa \gamma ^ { 3 } T } \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { 0 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \kappa } \left( 3 2 \lambda \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) + \lambda \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ( 3 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) \right) } \end{array}
D ( P + R _ { 2 } ) D ( P + R _ { 1 } + K ) = \frac { D ( P + R _ { 2 } ) - D ( P + R _ { 1 } + K ) } { K ^ { 2 } + 2 K \cdot ( P + R _ { 1 } ) + ( P + R _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( P + R _ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb E \mathcal { A } _ { \varepsilon } ( \sigma ) ^ { m } } & { = \mathbb E \prod _ { k \le \pi ( \varepsilon ^ { - \alpha } ) } \big ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta g _ { 1 , k , \varepsilon } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } \big ) ^ { m } } \\ & { = \mathbb E _ { w , u , \delta } \exp \Big ( \varepsilon ^ { - \alpha } \Big ( \mathbb E _ { g , v } \big ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta g _ { 1 , 1 , \varepsilon } ) \bar { s } _ { 1 , k } \delta _ { 1 } \big ) ^ { m } - 1 \Big ) \Big ) } \\ & { = \mathbb E _ { w , u } \exp \Big ( \varepsilon ^ { - \alpha } \Big ( \mathbb E _ { g , v } \Big [ \sum _ { 1 \le \ell \le m / 2 } { \binom { m } { 2 \ell } } \operatorname { t a n h } ^ { 2 \ell } ( \beta g _ { 1 , 1 , \varepsilon } ) \bar { s } _ { 1 , k } ^ { 2 \ell } \Big ] \Big ) \Big ) } \\ & { \le \mathbb E _ { w , u } \exp \Big ( \mathbb E _ { v } \bar { s } _ { 1 , k } ^ { 2 } 2 ^ { m } \int _ { | x | > \varepsilon } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta x ) \mu ( d x ) \Big ) } \\ & { \le \exp \Big ( 2 ^ { m } \int _ { \mathbb { R } } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta x ) \mu ( d x ) \Big ) < \infty , } \end{array}
U T 2 = U T 1 + 0 . 0 2 2 \cdot \sin ( 2 \pi t ) - 0 . 0 1 2 \cdot \cos ( 2 \pi t ) - 0 . 0 0 6 \cdot \sin ( 4 \pi t ) + 0 . 0 0 7 \cdot \cos ( 4 \pi t ) \; { \mathrm { s e c o n d s } }
: F ( \varphi _ { 0 } ) : = \exp \{ { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { C } { \frac { d ^ { 2 } } { d b ^ { 2 } } } \} : : F ( \varphi _ { 0 } ^ { B } \mathrm { \large { e } } ^ { f _ { 0 } } + b ) : : \Big | _ { b = 0 } ~ .