harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { d _ { \theta } \bigg ( ( x , ( T g ) ^ { ( k ) } ( x ) ) , ( y , ( T h ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \bigg ) } \\ & { \le \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } - \alpha _ { j } } \bigg [ d _ { \theta } \bigg ( ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) , g ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) ) ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) , g ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) ) ) \bigg ) } \\ & { + d _ { \theta } \bigg ( ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) , h ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) ) ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) , h ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) ) ) \bigg ) \bigg ] } \\ & { = \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } - \alpha _ { j } } \Big [ d _ { \theta } \Big ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) , g ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) ) , ( x , ( T g ) ^ { ( k ) } ( x ) ) \Big ) } \\ & { + d _ { \theta } \Big ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) , h ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) ) , ( y , ( T h ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \Big ) \Big ] } \\ & { \le \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } - \alpha _ { j } } \Big [ d _ { \theta } \Big ( ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) , g ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) ) ) , ( y , ( T g ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \Big ) + d _ { \theta } \Big ( ( x , ( T g ) ^ { ( k ) } ( x ) ) , ( y , ( T h ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \Big ) } \\ & { + d _ { \theta } \Big ( ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) , h ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) ) ) , ( x , ( T h ) ^ { ( k ) } ( x ) ) \Big ) + d _ { \theta } \Big ( ( x , ( T g ) ^ { ( k ) } ( x ) ) , ( y , ( T h ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \Big ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathrm { m a s s } } } & { { } = { \frac { \chi _ { \mathrm { v } } } { \rho } } ; } \\ { \chi _ { \mathrm { m o l } } } & { { } = M \chi _ { \mathrm { m a s s } } = { \frac { M \chi _ { \mathrm { v } } } { \rho } } . } \end{array}
C _ { \lambda } = \frac { 1 } { V } ( \partial ( \hbar \omega n _ { \lambda } ^ { 0 } ) / \partial T ) = \frac { k _ { \mathrm { B } } } { V } ( \hbar \omega / k _ { \mathrm { B } } T ) ^ { 2 } n _ { \lambda } ^ { 0 } ( n _ { \lambda } ^ { 0 } + 1 )
w _ { \tau } ( s ) = { \frac { 1 } { m _ { \tau } ^ { 2 } } } \, \left( 1 - { \frac { s } { m _ { \tau } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + 2 { \frac { s } { m _ { \tau } ^ { 2 } } } \right) \ ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { M _ { \infty } \to 1 ^ { + } } ( \theta _ { \mathrm { s t d y } } ^ { \mathrm { d } } , \theta _ { \mathrm { s t d y } } ^ { \mathrm { s } } ) = ( 0 , 0 ) \, , \qquad \, \, \operatorname* { l i m } _ { M _ { \infty } \to \infty } ( \theta _ { \mathrm { s t d y } } ^ { \mathrm { d } } , \theta _ { \mathrm { s t d y } } ^ { \mathrm { s } } ) = ( \frac { \pi } { 2 } , \arctan { \sqrt { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } } ) \, . } \end{array}
L _ { \omega _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { \zeta } \\ { \phi } \end{array} \right) : = \left( \begin{array} { l l } { \omega _ { 0 } \partial _ { t } } & { - D [ 0 ] } \\ { - \Delta - 2 } & { \omega _ { 0 } \partial _ { t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \zeta } \\ { \phi } \end{array} \right) = 0 , \quad \Pi ^ { ( 0 ) } \zeta = \Pi ^ { ( 1 ) } \zeta = \Pi ^ { ( 1 ) } \phi = 0 .
\Sigma _ { H H } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 1 } ^ { \rho _ { 3 } ^ { 2 } } \frac { d z } { z ^ { 2 } } L \int _ { x _ { c } } ^ { 1 - 2 \Delta } d x \int _ { \Delta } ^ { 1 - x - \Delta } d x _ { 1 } \frac { I _ { H H } } { x _ { 1 } ( 1 - x - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { R _ { n } } & { = \int _ { \Lambda _ { n } } \big ( \mathcal { R } f - \Pi _ { \pi _ { n } ( y ) } f ( \pi _ { n } ( y ) ) \big ) ( \psi _ { x } ^ { \lambda } \varphi _ { y } ^ { n } ) d y } \\ & { = \langle \mathcal { R } f , \psi _ { x } ^ { \lambda } \rangle - \int _ { \Lambda _ { n } } \Pi _ { \pi _ { n } ( y ) } f ( \pi _ { n } ( y ) ) ( \psi _ { x } ^ { \lambda } \varphi _ { y } ^ { n } ) d y \ . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \partial _ { m } \phi _ { i } \partial ^ { m } \phi _ { i } + \imath \bar { \psi } _ { i } \gamma ^ { m } \partial _ { m } \psi _ { i } - \frac { \partial { \cal W } } { \partial \phi _ { i } } \frac { \partial { \cal W } } { \partial \phi _ { i } } - \frac { \partial ^ { 2 } { \cal W } } { \partial \phi _ { i } \partial \phi _ { j } } \bar { \psi } _ { i } \psi _ { j } \right\} .
\begin{array} { r } { { R _ { u p } } = \log \left( \operatorname* { d e t } \bigg ( \mathbf { I } _ { N _ { s } } + \frac { p } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { { { { { \mathbf { W } } _ { o p t } } } } { \mathbf { H } } { { \mathbf { F } } _ { o p t } } } { { { \mathbf { F } } _ { o p t } ^ { H } } { { \mathbf { H } } ^ { H } } { { { \mathbf { W } } _ { o p t } ^ { H } } } } \bigg ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { o } ( t ) } & { { } = A ( x ( t ) - o ( t ) ) - 2 L [ A ] o ( t ) , } \\ { \dot { s } ( t ) } & { { } = \widetilde D v ( t ) - \widetilde { S } ( t ) ( B x ( t ) + H ( o ( t ) ) v ( t ) + \widetilde W r ( t ) , } \\ { \dot { x } ( t ) } & { { } = \widetilde { S } ( t ) B x ( t ) - \widetilde G x ( t ) , } \\ { \dot { r } ( t ) } & { { } = \widetilde G x ( t ) - \widetilde W r ( t ) - \widetilde { R } ( t ) H ( o ( t ) ) v ( t ) , } \\ { \dot { v } ( t ) } & { { } = ( \widetilde { S } ( t ) + \widetilde { R } ( t ) ) H ( o ( t ) ) v ( t ) - \widetilde D v ( t ) , } \end{array}
t e l l s u s t h a t q u a d r a t i c L a t i n s q u a r e s o f o r d e r q = p ^ { d } w i l l n o t b e u s e f u l f o r c o n s t r u c t i n g p e r f e c t 1 - f a c t o r i s a t i o n s u n l e s s d i s s m a l l . I t a l s o t e l l s u s t h a t u n l e s s d i s s m a l l , t h e o n l y q u a d r a t i c L a t i n s q u a r e s w h i c h c o u l d b e u s e f u l f o r c o n s t r u c t i n g 1 - f a c t o r i s a t i o n s w h i c h c o n t a i n o n l y s h o r t c y c l e s a r e t h e s q u a r e s \mathcal { L } [ a , b ] w i t h \{ a , b \} \subseteq \mathbb { F } _ { p } \cap \mathcal { N } _ { q } . C o m b i n i n g L e m m a
( ( 0 , 0 ) _ { 1 } - 1 / \sqrt { 3 } ( 0 , 0 ) _ { 2 } ) , \; ( 1 , 0 ) , \; ( 1 / 2 , \sqrt { 3 } / 2 ) , \; ( - 1 / 2 , \sqrt { 3 } / 2 ) ,
C = \langle \left[ \theta _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ p ~ e ~ l ~ } } ( t ) - \langle \theta _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ p ~ e ~ l ~ } } \rangle \right] \left[ \theta _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ } } ( t ) - \langle \theta _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ } } \rangle \right] \rangle / \left( \sigma _ { \theta _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ p ~ e ~ l ~ } } } \sigma _ { \theta _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ } } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } ( | \mathbf Z ^ { \diamond } - \mathbf Z ^ { \dagger } | _ { \infty } ^ { q } \mathbf 1 ( \bar { A } _ { n } ^ { \circ } \cap \bar { B } _ { n } ^ { \circ } \cap \bar { C } _ { n } ^ { \circ } ) | \mathcal { F } _ { n } ) } \\ & { \leq M \left| \sqrt { \log n | \mathbb { B } | } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq r \leq | \mathbb { B } | , 0 \leq l \leq n - 2 \lceil n b \rceil } \left( \sum _ { j = w + \lceil n \tau _ { n } \rceil - 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil - w - \lceil n \tau _ { n } \rceil } ( \hat { S } _ { l , j , r } ^ { \mathbb { B } } - S _ { l , j , r } ^ { \mathbb { B } } ) ^ { 2 } \mathbf 1 ( \bar { A } _ { n } ^ { \circ } \cap \bar { B } _ { n } ^ { \circ } \cap \bar { C } _ { n } ^ { \circ } ) \right) \right| ^ { q / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbf { G } } ( 0 , x ^ { \prime } ; \omega ) = [ \ensuremath { \mathbf { I } } _ { 2 } + Z \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( 0 , 0 ; \omega ) ] ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( 0 , x ^ { \prime } ; \omega ) . } \end{array}
S = \sum _ { i } \left[ n _ { i , ( 0 0 0 ) } - n _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ t ~ } , ( 0 0 0 ) } ( t _ { i } ) \right] ^ { 2 } + \sum _ { i } \left[ n _ { i , ( 0 1 0 ) } - n _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ t ~ } , ( 0 1 0 ) } ( t _ { i } ) \right] ^ { 2 } + \sum _ { i } \left[ n _ { i , ( 1 0 0 ) } - n _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ t ~ } , ( 1 0 0 ) } ( t _ { i } ) \right] ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { { \bf \Pi } _ { \mathrm { { { F } } } } : = } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta t } { \Delta x } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left[ \left( \mathbf { F } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } ) - \mathbf { F } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } ) \right) + \left( \mathbf { F } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } ) - \mathbf { F } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } ) \right) \right] } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta t } { \Delta y } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left[ \left( \mathbf { F } _ { 2 } ( \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } ) - \mathbf { F } _ { 2 } ( \mathbf { U } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } ) \right) + \left( \mathbf { F } _ { 2 } ( \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } ) - \mathbf { F } _ { 2 } ( \mathbf { U } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| f - g \| _ { L _ { 2 } ^ { 1 } } } & { = \iint _ { \Omega \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + | v | ^ { 2 } ) | M [ f ] - M [ g ] | \, d x d v } \\ & { = \int _ { \Omega } \left( \int _ { \mathsf { s u p p } ( M [ f ] ) \cup \mathsf { s u p p } ( M [ g ] ) } ( 1 + | v | ^ { 2 } ) | M [ f ] - M [ g ] | \, d v \right) d x . } \end{array}
T _ { \mu \nu } = ( - g ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left\{ - \frac { 1 } { 4 } \gamma _ { \mu \nu } \left[ \gamma ^ { \rho \sigma } \left( g _ { \rho \sigma } - g ^ { \kappa \tau } F _ { \rho \kappa } F _ { \tau \sigma } \right) - ( p - 3 ) \Lambda \right] + g _ { \mu \nu } - g ^ { \rho \sigma } F _ { \mu \rho } F _ { \sigma \nu } \right\} .
\begin{array} { r } { \varepsilon \frac { d } { d t } \mathscr Y _ { - , 1 } + \frac { 2 } { 3 C \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \mathscr Y _ { - , 1 } \leq C ( \varepsilon ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } e ^ { - \theta ^ { 2 } t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] } { \widetilde { \mathscr E } _ { - , 2 } ( t ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \widetilde \psi ^ { n } - \psi \| _ { p } } \\ & { \preceq \| \mathcal { P } _ { n } ( \mathcal { E } ^ { - 1 } \mathcal { U } ) \psi - \mathcal { E } ^ { - 1 } \mathcal { U } \psi \| _ { p + 2 } + \| \mathcal { P } _ { n } [ \mathcal { E } _ { n } ^ { - 1 } ( \mathcal { J } _ { n } + \mathcal { K } _ { n } ) - \mathcal { E } ^ { - 1 } ( \mathcal { J } + \mathcal { K } ) ] \psi \| _ { p + 2 } } \\ & { \quad + \| \mathcal { P } _ { n } [ \mathcal { E } _ { n } ^ { - 1 } \mathcal { A } _ { n } - \mathcal { E } ^ { - 1 } \mathcal { A } ] \eta \| _ { p + 2 } . } \end{array}
Z _ { n ^ { ( e ) } } = \left( \begin{array} { l l } { { { \bf 1 } } } & { { 0 } } \\ { { { { \tilde { \bf c } } ^ { h } } } } & { { { \bf 1 } } } \end{array} \right) , \qquad \qquad { \tilde { \bf c } } ^ { h } = 4 0 n ^ { ( e ) } { n ^ { ( e ) } } ^ { t }
\alpha _ { p } \equiv { \frac { 1 } { V } } \left( { \frac { d V } { d T } } \right) = { \frac { 1 } { V } } \left( { \frac { 1 } { p } } \right) = { \frac { 1 } { p V } } = { \frac { 1 } { T } }
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \mathrm { o u t } } } & { > D _ { i } + f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu \left( F ^ { * } \setminus F _ { i } \right) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot 0 } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } = D _ { i } + f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) . } \end{array}
\phi = { \frac { g _ { \phi } \bar { n } n - f _ { \pi } ^ { 2 } m _ { K } ^ { 2 } b _ { 1 } ( 1 - \cos \theta ) } { m _ { \phi } ^ { 2 } + 2 f _ { \pi } ^ { 2 } m _ { K } ^ { 2 } b _ { 2 } ( 1 - \cos \theta ) } } .
\begin{array} { r l } { d \mathcal { M } _ { i j } ( s ) = } & { d N _ { i j } ( s ) - \exp \{ \alpha _ { i } ( s ) + \beta _ { j } ( s ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ( s ) \} d s } \\ { \approx } & { d N _ { i j } ( s ) - \exp \{ \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) + \beta _ { j } ^ { * } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ^ { * } ( t ) \} d s , } \end{array}
[ \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ] = \phi _ { 1 } \circ \phi _ { 2 } - ( - 1 ) ^ { ( n _ { 1 } - 1 ) ( n _ { 2 } - 1 ) + | \phi _ { 1 } | | \phi _ { 2 } | } \phi _ { 2 } \circ \phi _ { 1 }
\begin{array} { r l r } { u _ { \mathrm { E } } ^ { \tt t i d a l } ( \vec { x } ) } & { { } = } & { \sum _ { b \not = \mathrm { E } } \Big ( U _ { b } ( { \vec { r } } _ { b \mathrm { E } } ^ { } + \boldsymbol { \mathrm { x } } ) - U _ { b } ( { \vec { r } } _ { b \mathrm { E } } ^ { } ) - \boldsymbol { \mathrm { x } } \cdot { \vec { \nabla } } U _ { b } ( { \vec { r } } _ { b \mathrm { E } } ^ { } ) \Big ) \simeq \sum _ { b \not = \mathrm { E } } \frac { G M _ { b } } { 2 r _ { b \mathrm { E } } ^ { 3 } } \Big ( 3 ( \boldsymbol { \mathrm { n } } _ { b \mathrm { E } } ^ { } \cdot \boldsymbol { \mathrm { x } } ) ^ { 2 } - \boldsymbol { \mathrm { x } } ^ { 2 } \Big ) + { \cal O } \Big ( \frac { x ^ { 3 } } { r _ { b \mathrm { E } } ^ { 4 } } , c ^ { - 2 } \Big ) , } \end{array}
\delta S \vert _ { \hat { E } ^ { I } = 0 = \tilde { E } ^ { i } } = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { { \cal M } ^ { 1 + 1 } } \left( \hat { M } _ { 2 } ^ { I } U _ { \underline { { { m } } } } ^ { I } + j _ { 1 } \wedge \left( \hat { E } ^ { + + } U _ { \underline { { { m } } } } ^ { -- } - \hat { E } ^ { -- } U _ { \underline { { { m } } } } ^ { + + } - 2 m f ^ { i } u _ { \underline { { { m } } } } ^ { i } \right) \right) \delta \hat { X } ^ { \underline { { { m } } } }
N ( \theta ) = \frac { m } 3 \left( \ln \sin \theta - \frac 1 { \sin ^ { 2 } \theta } \right) + \frac { C _ { 1 } } 4 \left( \ln \frac { 1 - \cos \theta } { 1 + \cos \theta } - \frac { 2 \cos \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } \right) + C _ { 2 } .
J _ { N , p , q } ^ { \mathrm { V a r } , \mathrm { S } } ( \varepsilon ) = \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { X } } { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } \right) } } \mathrm { V a r } _ { \xi \sim \mathbb { Q } } \left[ F ( x , \xi ) \right] .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { S _ { [ 0 , 2 R _ { 1 } ) ; [ 0 , 2 R _ { 2 } ) } } D ^ { 2 } f ( \nabla u ) ( \nabla \partial _ { 1 } u , \nabla \partial _ { 1 } u ) \eta ^ { 2 } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { \int _ { S _ { [ 0 , 2 R _ { 1 } ) ; [ 0 , 2 R _ { 2 } ) } } D ^ { 2 } f ( \nabla u ) ( \nabla \eta , \nabla \eta ) \eta ^ { 2 } \Gamma _ { 1 } ^ { 1 + \alpha } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { \frac { c } { R _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { S _ { ( R _ { 1 } , 2 R _ { 1 } ) ; [ 0 , 2 R _ { 2 } ) } } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha + 1 - \frac { \mu _ { 1 } } { 2 } } \, \mathrm { d } x + \frac { c } { R _ { 2 } ^ { 2 } } \int _ { S _ { [ 0 , 2 R _ { 1 } ) ; ( R _ { 2 } , 2 R _ { 2 } ) } } \Gamma _ { 2 } ^ { - \frac { \mu _ { 2 } } { 2 } } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha + 1 } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \left( \varphi \rho _ { w 4 } S _ { w } + \varphi \rho _ { o 4 } S _ { o } + \rho _ { r 4 } \right) + \partial _ { x } \left( u \left( \rho _ { w 4 } f _ { w } + \rho _ { o 4 } f _ { o } \right) \right) = 0 , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d z \int _ { 0 } ^ { \infty } D _ { c } ^ { h } ( z , p _ { T } ^ { 2 } ) d p _ { T } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \int _ { 0 } ^ { \infty } \bar { D } _ { \bar { c } } ^ { \bar { h } } ( z , p _ { T } ^ { 2 } ) d p _ { T } ^ { 2 } = 1
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { - v _ { 0 } p _ { d } ( x ) + x p _ { s } ( x ) - 2 g \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) \int d y \frac { 1 } { x - y } p _ { s , s } ^ { ( 2 ) } ( x , y ) } \\ { 0 } & { = } & { \partial _ { x } [ - v _ { 0 } p _ { s } ( x ) + x p _ { d } ( x ) - 2 g \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) \int d y \frac { 1 } { x - y } p _ { d , s } ^ { ( 2 ) } ( x , y ) ] - 2 \gamma p _ { d } ( x ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { = \mathcal { L } _ { \mathrm { P D E } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { b o u n d a r y } } , } \\ & { = | | \hat { u } _ { t } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) + \mathcal { A } ( \hat { u } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) ) - \mathcal { S } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + | | \mathcal { B } ( \hat { u } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) ) | | _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \longrightarrow \mathrm { T o r } _ { 2 } ^ { R } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) , R / I ) \longrightarrow } & { \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) \otimes _ { R } R / I } \\ & { \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T / I T , \Delta ) \longrightarrow \mathrm { T o r } _ { 1 } ^ { R } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) , R / I ) \longrightarrow 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { H \big ( M _ { \textrm { B e t t i } } ^ { r } ( X ) ; \frac { 1 } { q t ^ { 2 } } , t ) } & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \big ( \operatorname* { d e t } ( I _ { n } - \frac { 1 } { q t } A _ { \sigma } ) \big ) ^ { 2 g } } \\ & { = \frac { 1 } { ( q t ) ^ { 2 g r } } \cdot \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \big ( \operatorname* { d e t } ( q t I _ { n } - A _ { \sigma } ) \big ) ^ { 2 g } } \\ & { = \frac { 1 } { ( q t ) ^ { 2 g r } } \cdot \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \big ( \operatorname* { d e t } ( I _ { n } - q t A _ { \sigma } ) \big ) ^ { 2 g } } \\ & { = \frac { 1 } { ( q t ) ^ { 2 g r } } \cdot H \big ( M _ { \textrm { B e t t i } } ^ { r } ( X ) ; q , t ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { C ^ { - 1 } \| \mathrm { A } \Omega \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \| \mathrm { A } f \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq C \| \mathrm { A } \Omega \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { R } \ = \ - \frac 1 4 \tilde { g } ^ { i j } \tilde { g } ^ { k l } \tilde { g } ^ { m n } ( \partial _ { i } \partial _ { j } \partial _ { m } \psi \, \partial _ { k } \partial _ { l } \partial _ { n } \psi - \partial _ { i } \partial _ { k } \partial _ { m } \psi \, \partial _ { j } \partial _ { l } \partial _ { n } \psi ) ~ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } \Big ( \frac { p _ { j } } { 1 - p _ { j } } - \frac { q _ { j } } { 1 - q _ { j } } \Big ) } & { = \sum _ { j } \Big ( \frac { \alpha _ { j } } { \alpha } - \frac { \beta _ { j } } { \beta } \Big ) } \\ & { = \sum _ { j } \Big ( \frac { \alpha _ { j } } { \alpha } - \frac { \alpha _ { j } } { \beta } + \frac { \alpha _ { j } } { \beta } - \frac { \beta _ { j } } { \beta } \Big ) } \\ & { = \Big ( \frac 1 \alpha - \frac 1 \beta \Big ) \sum _ { j } \alpha _ { j } + \frac 1 \beta \sum _ { j } \big ( \alpha _ { j } - \beta _ { j } \big ) } \end{array}
\lambda _ { n } ^ { ( \ast ) } = \left[ \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \Xi _ { n } ( \epsilon ) \right] ^ { - 1 } = \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \left| \widehat { \eta } _ { n } ( \epsilon ) \right| ^ { - \epsilon / 2 } \; ,
\dot { n } _ { j } \propto - \sum _ { \alpha } \left\langle a _ { 3 , \alpha } ^ { \dagger } a _ { 2 , \alpha } ^ { \dagger } a _ { 1 , \alpha } ^ { \dagger } a _ { 1 , \alpha } a _ { 2 , \alpha } a _ { 3 , \alpha } \right\rangle
A _ { L } = \int _ { \Omega } d ^ { 2 } x \left[ { \frac { 1 } { 4 \pi } } ( \partial _ { a } \phi ) ^ { 2 } + \mu e ^ { 2 b \phi } \right] + { \frac { Q } { \pi R } } \int _ { \partial \Omega } d l \, \phi + 2 Q ^ { 2 } \ln { R } .
\operatorname * { l i m } _ { \lambda \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \kappa ^ { 2 } } { \lambda } \rho _ { i i } \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { \lambda } \right) H ( \kappa ^ { 2 } ) = 0 .
\frac { \partial P ( \phi , t ) } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial \phi } \left( \frac { 1 } { 3 H _ { \i } } \frac { \partial V } { \partial \phi } P ( \phi , t ) \right) + \frac { H _ { \i } ^ { 3 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } P ( \phi , t ) } { \partial \phi ^ { 2 } } \, .
\left( \frac { \dot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { K } { a _ { 0 } ^ { 2 } } = 2 k ^ { 2 } \frac { ( - 1 - \bar { \rho } _ { 0 } \bar { \rho } _ { \frac 1 2 } ) \sinh ( k b ) + ( \bar { \rho } _ { 0 } + \bar { \rho } _ { \frac 1 2 } ) \cosh ( k b ) } { \sinh ( k b ) - \bar { \rho } _ { \frac 1 2 } ( \cosh ( k b ) - 1 ) } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } { M _ { 8 } } = f _ { 1 } ( \tilde { z } _ { 0 } + \tilde { z } _ { 2 } , \tilde { z } _ { 4 } + \tilde { z } _ { 6 } , \tilde { z } _ { 1 } + \tilde { z } _ { 3 } , \tilde { z } _ { 5 } + \tilde { z } _ { 7 } ) , \quad \operatorname* { d e t } { M _ { 9 } } = f _ { 0 } ( \tilde { z } _ { 0 } - \tilde { z } _ { 2 } , \tilde { z } _ { 4 } - \tilde { z } _ { 6 } , \tilde { z } _ { 1 } - \tilde { z } _ { 3 } , \tilde { z } _ { 5 } - \tilde { z } _ { 7 } ) . } \end{array}
V _ { 3 } = \frac { 2 ( \check { p } _ { 1 } \check { q } _ { 1 } + \check { p } _ { 2 } \check { q } _ { 2 } ) } { \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } } + 2 \check { q } _ { 1 } ^ { 3 } + 2 \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } \check { q } _ { 2 } + 2 \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 2 } ^ { 3 } + 4 ( \check { q } _ { 1 } + \check { q } _ { 2 } ) t _ { 2 } + 2 t _ { 1 }
| \Psi _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } ( t ) \rangle = | \Psi _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ } } ( z , t ) \rangle \otimes | \Psi _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ( k _ { z } , t ) \rangle
\begin{array} { r l } & { x _ { i } = \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 1 } } - \frac { 1 } { \alpha _ { i } } , } \\ & { y _ { j } = \frac { 1 - 2 \lambda _ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } } - \frac { 1 } { \beta _ { j } } , } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { M } y _ { j } - A + s _ { 1 } ^ { 2 } = 0 , } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { M } \ln \left( 1 + \beta _ { j } y _ { j } \right) - B + s _ { 2 } ^ { 2 } = 0 , } \\ & { \lambda _ { 1 } s _ { 1 } = 0 , } \\ & { \lambda _ { 2 } s _ { 2 } = 0 , } \end{array}
\int _ { S } z d x \wedge d y + y d z \wedge d x + x d y \wedge d z = \int _ { \Omega } \mathbf { g } ^ { * } \left( z d x \wedge d y + y d z \wedge d x + x d y \wedge d z \right) = \int _ { \Omega } \left( \left( \frac { 4 - u - 2 v } { 2 } \right) + v + u \cdot \frac { 1 } { 2 } \right) d u d v = \int _ { \Omega } 2 d u d v = 2 \int _ { u = 0 } ^ { u = 4 } \left( \int _ { v = 0 } ^ { v = 2 - \frac { 1 } { 2 } u } d v \right) d u = 2 \int _ { u = 0 } ^ { u = 2 } \left( 2 - \frac { 1 } { 2 } u \right) d u = 8 .
{ \vec { a } } = { \vec { a } } _ { 0 } + { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { c } } \, t ^ { 3 }