harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \begin{array} { l l l } { - Q - \beta I _ { n } \! } & { \! - P \! } & { \! - P K ^ { \top } } \\ { - P } & { 0 } & { 0 } \\ { - K P } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] + \delta \! \left[ \begin{array} { l } { \dot { X } _ { \delta } } \\ { - X _ { \delta } } \\ { - U _ { \delta } } \end{array} \right] \! \! \left[ \begin{array} { l } { \dot { X } _ { \delta } } \\ { - X _ { \delta } } \\ { - U _ { \delta } } \end{array} \right] ^ { \top } \! \geqslant 0 .
\begin{array} { r l } { \gamma \operatorname* { s u p } _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } \in \Omega , \tau \in [ 0 , 1 ] } \rVert \partial _ { \varphi _ { j } } ^ { \mathtt { b } } ( \Delta _ { 1 2 } \Psi _ { k } ( \tau ) ) | D | ^ { - ( 1 + \mathtt { b } ) ( 1 + m ) } h \rVert _ { s } } & { \le _ { s , \mathtt { b } _ { 0 } , m } \rVert h \rVert _ { s } + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } , } \\ { \gamma \operatorname* { s u p } _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } \in \Omega , \tau \in [ 0 , 1 ] } \rVert | D | ^ { - ( 1 + \mathtt { b } ) ( 1 + m ) } \partial _ { \varphi _ { j } } ^ { \mathtt { b } } ( \Delta _ { 1 2 } \Psi ( \tau ) ) h \rVert _ { s } } & { \le _ { s , \mathtt { b } _ { 0 } , m } \rVert h \rVert _ { s } + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } , } \end{array}
\Pi \approx { \frac { G M _ { \star } \rho _ { d s } } { 2 R _ { d s } } } = 3 . 6 \times 1 0 ^ { 6 } ~ \mathrm { M P a } \left( { \frac { M _ { \star } } { M _ { \odot } } } \right) \left( { \frac { \rho _ { d s } } { 7 . 9 ~ \mathrm { g ~ c m ^ { - 3 } } } } \right) \left( { \frac { R _ { d s } } { 1 ~ \mathrm { a u } } } \right) ^ { - 1 } ,
\psi _ { { \bf k } s } ^ { \pm } = \left[ - \gamma ^ { 0 } \left( { \frac { d } { d \tau } } + \frac { 1 } { 2 \tau } \right) - i \gamma _ { \bf { { \perp } } } \cdot { \bf { k _ { \perp } } } - i \gamma ^ { 3 } \pi _ { \eta } + m \right] \chi _ { s } { \frac { f _ { { \bf k } s } ^ { \pm } } { \sqrt \tau } } \, .
\begin{array} { r l r } { \pi _ { i j } } & { { } = } & { p \delta _ { i j } - \eta \left( \frac { \partial { \mathfrak u } _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial { \mathfrak u } _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) } \\ { q _ { i } } & { { } = } & { - \lambda \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } , } \end{array}
P _ { \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { e } } ^ { \mathrm { s u n } } ( t ) = 1 - \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 2 } ) \cos ^ { 4 } \theta _ { 1 3 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } t } { 4 E } \right) - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) .
W _ { \varepsilon } ( x , 0 ) = \omega _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - \theta _ { + } ( x _ { 1 } , 0 ) \phi ( x _ { 2 } / \varepsilon ) - \theta _ { - } ( x _ { 1 } , 0 ) \phi ( - x _ { 2 } / \varepsilon ) - \theta ( 0 ) \phi ( | x | / \varepsilon ) 1 _ { \{ x _ { 1 } < 0 \} } ,
U \sim \exp \left[ - 2 \left( \frac { \rho z _ { r } } { w _ { 0 } z _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right] \cos ^ { 2 } \left[ \pi x \left( \frac { \lambda } { 2 \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) ^ { - 1 } + \Delta \varphi \right] ,
\begin{array} { r l } { 1 = \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } | ^ { p } d \xi } & { \leqslant \left( \frac { { C } _ { n , 2 \gamma } } { 2 ^ { \frac { \gamma } { n + 1 } } } + \epsilon \right) \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \bar { F } _ { i _ { m } } ^ { \Phi } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } ) d \xi + C ( \epsilon ) \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } | ^ { 2 } d \xi , } \\ & { \leqslant \left( { C } _ { n , 2 \gamma } - \epsilon \right) \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \bar { F } _ { i _ { m } } ^ { \Phi } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } ) d \xi + C ( \epsilon ) \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } | ^ { 2 } d \xi , } \\ & { \to \left( 1 - \frac { \epsilon } { { C } _ { n , 2 \gamma } } \right) + C ( \epsilon ) \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F | ^ { 2 } d \xi , } \end{array}
T _ { \mu \nu \rho \sigma } ^ { d v , n i } ( p ) = - i \frac { 2 ^ { \omega } } { 3 2 } m ^ { 2 } g _ { \mu \rho } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d x \int \! \! \frac { d ^ { 2 \omega } l } { ( 2 \pi ) ^ { 2 \omega } } \frac { ( 2 l - p ( 1 - 2 x ) ) _ { \nu } ( 2 l - p ( 1 - 2 x ) ) _ { \sigma } } { [ l ^ { 2 } - \Delta ] ^ { 2 } } \, \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ T ~ R ~ V ~ } _ { { \mathbf x } _ { 1 } , { \mathbf x } _ { 2 } , { \mathbf x } _ { 3 } [ , { \mathbf x } _ { 4 } ] } ^ { t _ { 0 } , t _ { N } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Delta t } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \left| \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } \mathbf { t r v } \; d t \right| _ { F r } } \\ { \overline { { \mathrm { ~ T ~ R ~ V ~ } } } _ { { \mathbf x } _ { 1 } , { \mathbf x } _ { 2 } , { \mathbf x } _ { 3 } [ , { \mathbf x } _ { 4 } ] } ^ { t _ { 0 } , t _ { N } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Delta t } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { N } } \left| \mathbf { t r v } \right| _ { F r } \, d t } \end{array}
\mathbf { V } \ensuremath { \mathbf { u } } _ { r } ^ { n } + \mathbf { V } _ { \bot } \ensuremath { \mathbf { u } } _ { r \bot } ^ { n } = \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n } = ( \mathbf { V } + \boldsymbol { \delta } \mathbf { V } ) \bar { \ensuremath { \mathbf { u } } } _ { r } ^ { n } ,
\times \textrm { d } _ { \tau } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { Z _ { m s } ( \omega _ { c } ) } { Z _ { t } \left( 1 + A \cos \left( \frac { \omega _ { m } } { \omega _ { \infty } } \tau + \phi _ { m } \right) \right) } \right) W ( \omega ) \right] p _ { f } ( \tau ) ,
A ( K _ { L } \to \gamma ^ { \ast } ( q _ { 1 } , \epsilon _ { 1 } ) \gamma ^ { \ast } ( q _ { 2 } , \epsilon _ { 2 } ) ) = i \varepsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \epsilon _ { 1 } ^ { \mu } \epsilon _ { 2 } ^ { \nu } q _ { 1 } ^ { \rho } q _ { 2 } ^ { \sigma } F ( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } ) \; ,
I m \, \Pi _ { W } ^ { T } ( q ^ { 2 } ) = \sum _ { f } { \frac { g ^ { 2 } } { 4 8 \pi } } q ^ { 2 } = q ^ { 2 } { \frac { \Gamma _ { W } } { m _ { W } } } = q ^ { 2 } \gamma _ { W } \; ,
+ 1 6 [ ( 2 p _ { 2 } + 1 ) t - ( 2 p _ { 1 } + 1 ) u ] \partial _ { t u } ^ { 2 } - 4 ( 2 p _ { 1 } + 1 ) ( 2 p _ { 2 } + 1 - 2 u ) \partial _ { t } + 4 ( 2 p _ { 2 } + 1 ) ( 2 p _ { 1 } + 1 - 2 t ) \partial _ { u }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } X ( t , x ) = } & { { } - P _ { X } ^ { \perp } A _ { H } ( U ) \partial _ { x } U W S ^ { - 1 } , } \\ { \dot { W } ( t ) = } & { { } - P _ { W } ^ { \perp } ( A _ { H } ( U ) \partial _ { x } U ) ^ { \top } X S ^ { - T } , } \\ { \dot { S } ( t ) = } & { { } - \langle X A _ { H } ( U ) \partial _ { x } U W \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z ) = \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } ( \mathbf { x } ) | \mathbf { q } | } \Pi _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } , } \end{array}
{ \tilde { H } } _ { n } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { h _ { 1 , 1 } } & { h _ { 1 , 2 } } & { h _ { 1 , 3 } } & { \cdots } & { h _ { 1 , n } } \\ { h _ { 2 , 1 } } & { h _ { 2 , 2 } } & { h _ { 2 , 3 } } & { \cdots } & { h _ { 2 , n } } \\ { 0 } & { h _ { 3 , 2 } } & { h _ { 3 , 3 } } & { \cdots } & { h _ { 3 , n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { } & { 0 } & { h _ { n , n - 1 } } & { h _ { n , n } } \\ { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } & { h _ { n + 1 , n } } \end{array} \right] }
\frac { U _ { d } ( r ) } { f _ { 0 } R } \approx \left\{ \begin{array} { l c r } { - 4 \pi \sqrt { r / R - 2 } + C } & { } & { 0 < r / R - 2 \ll 1 } \\ { \pi ^ { 2 } \frac { R ^ { 3 } } { r ^ { 3 } } } & { } & { r / R - 2 \gg 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { x } y f ( y ) d y - \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { y } f ( u ) H ^ { u - y } d u d y } & { = \int _ { 0 } ^ { x } \sum _ { m \le H ^ { y } } \frac { \chi ( m ) \Lambda ( m ) } { m \log H } f \biggl ( y - \frac { \log m } { \log H } \biggr ) d y } \\ & { = \sum _ { m \le H ^ { x } } \frac { \chi ( m ) \Lambda ( m ) } { m \log H } \int _ { \frac { \log m } { \log H } } ^ { x } f \biggl ( y - \frac { \log m } { \log H } \biggr ) d y } \\ & { = \sum _ { m \le H ^ { x } } \frac { \chi ( m ) \Lambda ( m ) } { m \log H } F \biggl ( x - \frac { \log m } { \log H } \biggr ) . } \end{array}
R _ { A } ^ { h } ( z , \nu ) = \frac { 1 } { N _ { A } ^ { e } ( \nu ) } \, \frac { N _ { A } ^ { h } ( z , \nu ) } { d \nu \, d z } \Biggm / \frac { 1 } { N _ { D } ^ { e } ( \nu ) } \, \frac { N _ { D } ^ { h } ( z , \nu ) } { d \nu \, d z }
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \beta _ { 1 } + 1 \beta _ { 2 } } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 6 } & { { } } \\ { \beta _ { 1 } + 2 \beta _ { 2 } } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 5 } & { { } } \\ { \beta _ { 1 } + 3 \beta _ { 2 } } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 7 } & { { } } \\ { \beta _ { 1 } + 4 \beta _ { 2 } } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 1 0 } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \overline { { N _ { ( 2 n ) ^ { k - 1 } , 2 k n } ^ { 0 } } } ( F ) } \psi _ { \overline { { N _ { ( 2 n ) ^ { k - 1 } , 2 k n } ^ { 0 } } } } ^ { - 1 } ( u _ { 0 } ) } \\ { \times } & { f _ { \mathcal { W } ( \tau , 2 n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } \left( u _ { 0 } \left[ \begin{array} { c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { a } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 4 n ( k - 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \hat { a } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \tilde { z } } & { 0 } & { 0 } \\ { a ^ { \ast } - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } \\ { - z } & { a - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \right) d u _ { 0 } . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { i } } { d s ^ { 2 } } } + \Gamma _ { j k } ^ { i } { \frac { d x ^ { j } } { d s } } { \frac { d x ^ { k } } { d s } } + \Delta _ { j k } ^ { i } { \frac { d x ^ { j } } { d s } } { \frac { d x ^ { k } } { d s } } = 0
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \mu ^ { - 1 } \nabla \times { \boldsymbol { E } } , \nabla \times \boldsymbol { v } ) - k ^ { 2 } ( \varepsilon { \boldsymbol { E } } , \boldsymbol { v } ) - ( \varepsilon \nabla \varphi , \boldsymbol { v } ) = ( { \boldsymbol { J } } , \boldsymbol { v } ) \ \ \forall \boldsymbol { v } \in { \boldsymbol { H } } _ { 0 } ( \mathrm { c u r l } ; \Omega ) , } \\ & { } & { ( \varepsilon { \boldsymbol { E } } , \nabla \psi ) = 0 \ \ \ \ \forall \psi \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a _ { i } } ^ { b _ { i } } ( \rho _ { h i } ) _ { t } \varphi _ { i } \ \mathrm { d } x - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h i } } \int _ { K } Q _ { e } ( \rho _ { h i } ) \varphi _ { i } ^ { \prime } \ \mathrm { d } x + \sum _ { x \in \mathcal { F } _ { h i } ^ { I } } H \big ( \rho _ { h i } ^ { ( L ) } , \rho _ { h i } ^ { ( R ) } \big ) \left[ \varphi _ { i } \right] } & { } \\ { + H _ { i } \varphi _ { i } ^ { ( L ) } ( b _ { i } ) - H \big ( \rho _ { D i } , \rho _ { h i } ^ { ( R ) } ( a _ { i } ) \big ) \varphi _ { i } ^ { ( R ) } ( a _ { i } ) } & { = 0 , } \end{array}
\mathbf { H } _ { f } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 1 } \, \partial x _ { 2 } } } } & { \cdots } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 1 } \, \partial x _ { n } } } } \\ { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 2 } \, \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } } } & { \cdots } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 2 } \, \partial x _ { n } } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { n } \, \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { n } \, \partial x _ { 2 } } } } & { \cdots } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { B e t a } ( A _ { q } , B _ { q } ) , \, \, m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { B e r n o u l l i } ( q _ { m } ) , } \\ { \mathbf { r } _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { U n i f o r m \, \, o v e r \, \, F O V } , } \\ { I _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { E m p i r i c a l } , } \\ { \mathcal { B } \sim } & { { } \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \mathcal { B } } , \beta _ { \mathcal { B } } \right) . } \end{array}
P _ { \lambda m } ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { J _ { m } ( y ) Y _ { m } ( x ) - Y _ { m } ( y ) J _ { m } ( x ) , } } & { { \lambda = 1 } } \\ { { J _ { m } ( y ) Y _ { m } ^ { \prime } ( x ) - Y _ { m } ( y ) J _ { m } ^ { \prime } ( x ) , } } & { { \lambda = 0 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { R i e m } ( M ) } & { \rightarrow \Omega ^ { 1 } ( M ; \mathrm { E n d } \, \mathfrak { S } _ { g _ { 0 } } ) , } \\ { g } & { \mapsto { p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } } _ { \ast } \nabla ^ { \mathfrak { S } _ { g } } - \nabla ^ { \mathfrak { S } _ { g _ { 0 } } } = p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } \circ \nabla ^ { \mathfrak { S } _ { g } } \circ p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } - \nabla ^ { \mathfrak { S } _ { g _ { 0 } } } } \end{array}
r _ { \mathrm { E } } = \sqrt { G _ { \mathrm { N } } M _ { \mathrm { D } } d } \mathrm { \qquad ~ w h e r e \qquad } d \equiv \frac { 4 d _ { 1 } d _ { 2 } } { d _ { 1 } + d _ { 2 } }
{ \frac { 1 } { d ^ { 2 } } } = { \frac { ( h ^ { 2 } + k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \alpha + 2 ( h k + k \ell + h \ell ) ( \cos ^ { 2 } \alpha - \cos \alpha ) } { a ^ { 2 } ( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \alpha + 2 \cos ^ { 3 } \alpha ) } }
\frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t } = 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \boldsymbol { \mathrm { v } } _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } + U _ { \mathrm { E } } ( { \vec { x } } _ { \mathrm { C } } ) + \sum _ { b \not = \mathrm { E } } \frac { G M _ { b } } { 2 r _ { b \mathrm { E } } ^ { 3 } } \Big ( 3 ( \boldsymbol { \mathrm { n } } _ { b \mathrm { E } } \cdot \boldsymbol { \mathrm { x } } _ { \mathrm { C } } ) ^ { 2 } - \boldsymbol { \mathrm { x } } _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } \Big ) \Big ] + { \cal O } ( { x _ { \mathrm { C } } ^ { 3 } , c ^ { - 4 } } ) ,
L _ { 1 } ^ { 1 , 2 , 3 } ( a ) = a b c \int _ { a } ^ { \infty } \frac { d \xi ’ } { \left[ E _ { 1 } ^ { 1 , 2 , 3 } ( \xi ’ ) \right] ^ { 2 } \sqrt { \left( \xi ^ { 2 } – h ^ { 2 } \right) \left( \xi ^ { 2 } – k ^ { 2 } \right) } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { M } g ^ { m n } ( \mathrm { R i c } [ g ] _ { b n } - \mathrm { R i c } [ \gamma ] _ { b n } ) z ^ { b } \partial _ { m } \psi \mu _ { g } + \int _ { M } ( g - \gamma ) ^ { m n } \mathrm { R i c } [ \gamma ] _ { b n } z ^ { b } \partial _ { m } \psi \mu _ { g } \lesssim \| g - \gamma \| _ { H ^ { 2 } } \int _ { M } | z \nabla \psi | \lesssim \epsilon e ^ { - T } , } \end{array}
J ^ { \mu } ( p + q , p ) = \left[ b _ { c o r e } ^ { \mu } ( p + q , p ) + { \frac { q ^ { \mu } } { q ^ { 2 } } } b _ { s p r d } ( p + q , p ) \right] + \overline { { J } } ^ { \mu } ( p + q , p ) + \ldots .
\begin{array} { r l } { N \gamma ^ { 2 } \frac { \partial V } { \partial t } = } & { N \alpha \gamma \left( 1 - \frac { V ^ { 2 } } { \alpha } \right) \frac { \partial \phi } { \partial z } } \\ & { - N \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \partial a ^ { 2 } } { \partial z } + \frac { V } { \alpha ^ { 2 } } \frac { \partial a ^ { 2 } } { \partial t } \right) - \gamma \alpha \tilde { c _ { s } } ^ { 2 } \frac { \partial N } { \partial z } . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { e } v _ { z } | _ { \xi = 0 } = n _ { e } \frac { D _ { x } ^ { 2 } } { 2 + D _ { x } ^ { 2 } } = \frac { n _ { 0 } D _ { x } ^ { 2 } } { 2 } + \mathcal { O } \left[ \lambda ^ { 3 } \right] . } \end{array}
\mathrm { S k e w } \left[ U - V \right] = \frac { \sigma _ { U } ^ { 3 } \mathbb { S } \left[ U , U , U \right] - 3 \sigma _ { U } ^ { 2 } \sigma _ { V } \mathbb { S } \left[ U , U , V \right] + 3 \sigma _ { U } \sigma _ { V } ^ { 2 } \mathbb { S } \left[ U , V , V \right] - \sigma _ { V } ^ { 3 } \mathbb { S } \left[ V , V , V \right] } { \sigma _ { U - V } ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { \Pi _ { N + 1 } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) = } & { { } \frac { \tau _ { \mathrm { m } } - N \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } - \frac { \tau _ { \mathrm { m } } ( N + 1 ) } { | \alpha | ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d } } } } \end{array}
\phi _ { c v } ^ { B } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } = \phi _ { c } ^ { B } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } - \phi _ { v } ^ { B } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) }
\begin{array} { r l } { f _ { X } ( x ) } & { = \frac { f _ { X _ { i _ { 0 } } } ( x _ { i _ { 0 } } ) } { ( 1 - x _ { i _ { 0 } } ) ^ { | \mathfrak { n b } _ { G } ( i _ { 0 } ) } | } \, f _ { X ^ { \prime } } ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \propto \frac { x _ { i _ { 0 } } ^ { \alpha _ { i _ { 0 } } - 1 } ( 1 - x _ { i _ { 0 } } ) ^ { \beta _ { i _ { 0 } } - 1 } } { ( 1 - x _ { i _ { 0 } } ) ^ { | \mathfrak { n b } _ { G } ( i _ { 0 } ) } | } \, \left( \prod _ { i \in \mathfrak { n b } _ { G } ( i _ { 0 } ) } \left( \frac { x _ { i } } { 1 - x _ { i _ { 0 } } } \right) ^ { \alpha _ { i } - 1 } \right) \, \left( \prod _ { i \in \mathfrak { n b } _ { G ^ { * } } ( i _ { 0 } ) } x _ { i } ^ { \alpha _ { i } - 1 } \right) \Delta _ { G ^ { \prime } } ^ { \beta - 1 } \left( x ^ { \prime } \right) } \\ & { = \, \prod _ { i \in V } x _ { i } ^ { \alpha _ { i } - 1 } \Delta _ { G } ^ { \beta - 1 } ( x ) ( 1 - x _ { i _ { 0 } } ) ^ { \beta _ { i _ { 0 } } - | \alpha _ { \mathfrak { n b } _ { G } ( i _ { 0 } ) } | - \beta } , } \end{array}
{ \begin{array} { r c c c c } { U ( { \vec { x } } , t ) } & { = } & { A \cos ( 2 \pi \nu { \hat { n } } \cdot { \vec { x } } - \omega t + \varphi ) } & { + } & { \mathrm { i } A \sin ( 2 \pi \nu { \hat { n } } \cdot { \vec { x } } - \omega t + \varphi ) } \\ { U ( { \vec { x } } , t ) } & { = } & { F ( { \vec { x } } , t ) } & { + } & { \mathrm { i } A \sin ( 2 \pi \nu { \hat { n } } \cdot { \vec { x } } - \omega t + \varphi ) } \end{array} }
R _ { a b c } { } ^ { d } = h _ { a } { } ^ { f } h _ { b } { } ^ { g } h _ { c } { } ^ { k } h ^ { d } { } _ { j } \, { \mathcal R } _ { f g k } { } ^ { j } + \epsilon \left( K _ { a c } K _ { b } { } ^ { d } - K _ { b c } K _ { a } { } ^ { d } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Theta } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \alpha \left[ H + 2 \hat { D } ^ { i } Z _ { i } - 2 \kappa _ { 1 } ( 2 + \kappa _ { 2 } ) \Theta \right] + \mathcal { L } _ { \beta } \Theta } \\ { \partial _ { t } Z _ { i } } & { { } = \alpha \left[ M _ { i } + D _ { i } \Theta - \kappa _ { 1 } Z _ { i } \right] + \gamma ^ { 1 / 3 } Z ^ { j } \partial _ { t } \left[ \gamma ^ { - 1 / 3 } \gamma _ { i j } \right] + \beta ^ { j } \hat { D } _ { j } Z _ { i } , } \end{array}
\hat { F } _ { \rho } ^ { \alpha } = [ ( \not v _ { 2 } + 1 ) \gamma _ { 5 } C ] ^ { + \delta \sigma } [ ( \not v _ { 1 } + 1 ) \gamma _ { 5 } C ] _ { \delta ^ { \prime } \sigma } \hat { A } _ { [ \rho \delta ] } ^ { \alpha \delta ^ { \prime } } D _ { 1 } ( \omega )
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { ~ \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { ~ \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } / \mathcal { D } _ { s } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle . } \end{array}
j _ { z } ( \omega , k _ { z } ) = e \left( \frac { \kappa } { \omega - k _ { z } s } \right) ^ { - i \frac { \omega } { \kappa } } \frac { s e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } - \frac { \pi \omega } { 2 \kappa } } } { \omega - k _ { z } s } \Gamma \left( 1 - i \frac { \omega } { \kappa } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \hat { U } ( t ) } & { { } = \exp \left( \hat { W } ( A ) t \right) \, , } \\ { Z ( t ) } & { { } = \mathrm { T r } \left[ \hat { U } ( t ) \right] \, , } \\ { \hat { \rho } ( t ) } & { { } = \hat { U } ( t ) / Z ( t ) \, . } \end{array}
S _ { A B } = \mathrm { i } \, g _ { R } \, \frac { 1 } { 6 } \, X ^ { \mathbf { I } } ( \phi ) \, \mathcal { P } _ { \mathbf { I } } ^ { x } ( q ) \, \left( \sigma ^ { x } \right) _ { A } ^ { \phantom { A } C } \, \epsilon _ { B C }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 , 0 } } & { = \frac { \int _ { - \infty } ^ { 0 } ( \psi _ { 2 } ( z + \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } ) - \sigma _ { 2 } ) \, z \, f _ { Z } ( z + \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } ) d z } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } z ^ { 2 } \, f _ { Z } ( z + \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } ) d z } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \frac { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } - 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } } e ^ { \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 2 } } } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) e } { ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ) e - 2 \sigma _ { 2 } ^ { 3 } e ^ { \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 2 } } } } , } & { \mathrm { i f ~ } \sigma _ { 1 } \leq \sigma _ { 2 } \ } \\ { \frac { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } , } & { \mathrm { i f ~ } \sigma _ { 1 } > \sigma _ { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
\prod _ { i = 1 } ^ { n } f ( x _ { i } ; \theta ) = g _ { 1 } \left[ u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ) ; \theta \right] H ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { P ( Y = k ) } { P ( X = k ) } } & { = \frac { { \binom { M } { k - x _ { i } ^ { \prime } } } p ^ { k - x _ { i } ^ { \prime } } ( 1 - p ) ^ { M - k + x _ { i } ^ { \prime } } } { { \binom { M } { k - x _ { i } } } p ^ { k - x _ { i } } ( 1 - p ) ^ { M - k + x _ { i } } } } \\ & { = \frac { ( N - k + x _ { i } ^ { \prime } + 1 ) ( N - k + x _ { i } ^ { \prime } + 2 ) \cdots ( N - k + x _ { i } ) } { ( k - x _ { i } + 1 ) ( k - x _ { i } + 2 ) \cdots ( k - x _ { i } ^ { \prime } ) } ( \frac { 1 - p } { p } ) ^ { x _ { i } ^ { \prime } - x _ { i } } . } \end{array}
\Phi _ { c } [ G _ { 0 } ] = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \omega \, \mathrm { T r } \left\{ v \chi _ { 0 } ( i \omega ) + \mathrm { l n } \left[ 1 - v \chi _ { 0 } ( i \omega ) \right] \right\} .