harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { L ( n _ { U } , n _ { R } ) = } & { \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } \bigg [ ( M + \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) n _ { R } ^ { - 1 } \bigg ] r ^ { - \alpha } \frac { 2 r } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r } \\ { R ( n _ { U } , n _ { R } ) = } & { \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } \Bigg [ M ( M + 1 ) + 2 M \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) n _ { R } ^ { - 1 } \Bigg ] \frac { 2 r ^ { - 2 \alpha + 1 } } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r } \\ & { + \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } \Bigg [ \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) s _ { n _ { R } ^ { \prime } } ^ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 + k _ { n _ { R } ^ { \prime } } ) } { \Gamma ( k _ { n _ { R } ^ { \prime } } ) } \Bigg ] \frac { 2 r ^ { - 2 \alpha + 1 } } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r } \\ & { + \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } \Bigg [ \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } ( n _ { U } ^ { \prime } - 1 ) \bigg ( \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) n _ { R } ^ { - 1 } \bigg ) ^ { 2 } \Bigg ] \frac { 2 r ^ { - 2 \alpha + 1 } } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r } \\ & { + ( n _ { R } - 1 ) \Bigg ( \int _ { r _ { 0 } } ^ { r _ { 1 } } \bigg [ M + \sum _ { n _ { U } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { U } ^ { \prime } | n _ { U } , r ) n _ { U } ^ { \prime } \sum _ { n _ { R } ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } , r ) n _ { R } ^ { - 1 } \bigg ] \frac { 2 r ^ { - \alpha + 1 } } { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } } d r \Bigg ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { k _ { a } \in \mathbb { R } , \quad } & & { E ( k _ { a } , k _ { y } ) = U _ { a } \pm \sqrt { \widetilde { m } + v _ { 1 } ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } k _ { a } ^ { 2 } } , } & & { E ( p _ { a } , k _ { y } ) \in ( - \infty , U _ { 0 } - \widetilde { m } ) \cup ( U _ { a } + \widetilde { m } , \infty ) , } \\ & { k _ { a } = - i \, p _ { a } , \quad } & & { E ( p _ { a } , k _ { y } ) = U _ { a } \pm \sqrt { \widetilde { m } - v _ { 1 } ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } p _ { a } ^ { 2 } } , } & & { E ( p _ { a } , k _ { y } ) \in ( U _ { a } - \widetilde { m } , U _ { 0 } + \widetilde { m } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ N ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { R } ) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ l ~ } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ c ~ } } } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sum _ { p = 2 } ^ { N _ { \mathrm { ~ o ~ r ~ d ~ } } } \sum _ { k = 0 } ^ { p - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { p - k - 2 \delta _ { k , 0 } } c _ { l k p \alpha } \left[ g _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ( { r } _ { i j } ) \right] ^ { k } } \\ { \left[ \left[ g _ { \alpha } ( { R } _ { i \alpha } ) \right] ^ { l } + \left[ g _ { \alpha } ( { R } _ { j \alpha } ) \right] ^ { l } \right] \left[ g _ { \alpha } ( { R } _ { i \, \alpha } ) \, g _ { \alpha } ( { R } _ { j \alpha } ) \right] ^ { ( p - k - l ) / 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { s } = \theta _ { A } , } & { \forall u _ { \mathrm { C L } } > 0 , } \\ { \theta _ { s } = \theta _ { R } , } & { \forall u _ { \mathrm { C L } } < 0 , } \\ { \theta _ { s } = \theta _ { s } , } & { u _ { \mathrm { C L } } = 0 . } \end{array} \right.
\frac { \epsilon _ { l } } { \rho g ^ { 3 / 2 } d ^ { 5 / 2 } } = f _ { \epsilon _ { l } } ( \frac { S } { d } , \frac { f } { \sqrt { g / d } } ) \propto ( \frac { S } { d } ) ^ { \alpha _ { \epsilon _ { l } } } ( \frac { f } { \sqrt { g / d } } ) ^ { \beta _ { \epsilon _ { l } } }
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d x } } \int _ { \sin x } ^ { \cos x } \cosh t ^ { 2 } \, d t } & { { } = \cosh \left( \cos ^ { 2 } x \right) { \frac { d } { d x } } ( \cos x ) - \cosh \left( \sin ^ { 2 } x \right) { \frac { d } { d x } } ( \sin x ) + \int _ { \sin x } ^ { \cos x } { \frac { \partial } { \partial x } } \left( \cosh t ^ { 2 } \right) d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \nu } & { { } = \left( \frac { 1 } { 4 \pi \langle T \rangle } \right) \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { f _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) \, \phi _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) } { 1 + \left[ \phi _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) \right] ^ { 2 } } \, d \cos ( \theta ) } \end{array}
K _ { G } ( \alpha , \beta ) = \frac { \Gamma ( | \alpha _ { C _ { 0 } } | + \beta ) \left[ \Gamma ( | \alpha _ { \mathfrak { p a } ( i _ { 0 } ) } | + \beta ) \prod _ { C \in \mathcal { C } _ { G ^ { \prime } } ^ { + } \setminus \{ \mathfrak { p a } ( i _ { 0 } ) \} } \Gamma ( | \alpha _ { C } | + \beta ) \right] } { \Gamma ( \beta ) ^ { m } \prod _ { i \in V } \Gamma ( \alpha _ { i } ) \Gamma ( | \alpha _ { \mathfrak { p a } ( i _ { 0 } ) } | + \beta ) \prod _ { S \in \mathcal { S } _ { G } ^ { + } } \Gamma ( | \alpha _ { S } | + \beta ) }
\frac { 1 } { ( q \! \cdot \! n ) ^ { j } } = P V \left( \frac { 1 } { ( q \! \cdot \! n ) ^ { j } } \right) - i \pi \frac { ( - 1 ) ^ { j - 1 } } { ( j - 1 ) ! } \delta ^ { ( j - 1 ) } ( q \! \cdot \! n ) \; s g n ( q ^ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { \mathbb { R } ^ { N _ { h } } } ( 0 , R ) } | s ^ { h , k } ( t , u ) - g ^ { h } ( t , u ) | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times \mathcal { B } _ { \mathbb { R } ^ { N _ { h } } } ( 0 , k ^ { 1 / ( 2 N _ { h } ) } ) } | s ^ { h , k } ( t , u ) - g ^ { h } ( t , u ) | } \\ & { \le C ^ { l } c _ { q u } ^ { l } k ^ { - l / ( 2 N _ { h } ) } \rightarrow 0 , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( r , \theta , \varphi ) r ^ { 2 } \sin \theta \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \varphi ~ .
\begin{array} { r } { \sum _ { s \in \nu } \left[ \left( J \rho ^ { s + 1 } \right) _ { i , p } - \left( J \rho ^ { s } \right) _ { i , p } + q _ { p } \Delta \xi _ { p } ^ { s } \frac { S _ { 1 } \left( \xi _ { i + 1 / 2 } - \xi _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \right) - S _ { 1 } \left( \xi _ { i - 1 / 2 } - \xi _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \right) } { \Delta \xi } \right] = 0 , } \end{array}
\mathscr { E } \left\Vert \tilde { \Theta } \mathbf { h } _ { r , i } \right\Vert ^ { 2 } = \frac { \varrho ^ { 2 } } { \rho _ { i } + 1 } \left( \rho _ { i } \mathscr { E } \left( \mathbf { \bar { h } } _ { r , i } ^ { H } \mathbf { \bar { h } } _ { r , i } \right) + \mathscr { E } \left( \mathbf { \tilde { h } } _ { r , i } ^ { H } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , i } \right) \right) = \frac { \varrho ^ { 2 } } { \rho _ { i } + 1 } \left( \rho _ { i } M + M \right) = M \varrho ^ { 2 }
\left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 1 } ^ { 3 } , \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \right) \to \left( \left( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) \sigma _ { 1 } ^ { 3 } \left( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) ^ { - 1 } , \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \right)
d f _ { 2 } ^ { p o s } ( z , z _ { 0 } ) = d z \cdot \frac { P _ { e ^ { - } ; e ^ { + } } P _ { e ^ { + } } } { \lambda _ { 2 } } \cdot \int _ { z } ^ { L } d \zeta \frac { \partial f _ { + } ( \zeta , z _ { 0 } ) } { \partial \zeta } e ^ { - \frac { \zeta - z } { \lambda _ { a n i h } } }
\kappa _ { j } = \Big ( \frac { \hat { \bf { n } } _ { j + 1 / 2 } + \hat { \bf { n } } _ { j - 1 / 2 } } { 2 } \Big ) \cdot \Big ( \frac { \hat { \bf { t } } _ { j + 1 / 2 } - \hat { \bf { t } } _ { j - 1 / 2 } } { \Delta s } \Big ) ,
Z = \int D \varphi ^ { i } J ( \varphi ) \exp \left\{ i \int d x \, \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \varphi ^ { i } g _ { i j } \partial _ { \mu } \varphi ^ { j } \right\} \equiv \int D \varphi ^ { i } J ( \varphi ) \exp \left\{ i S _ { \mathrm { c h } } ( \varphi ) \right\} .
\phi _ { 3 } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, = \, \beta _ { \epsilon } \Bigl ( R ^ { 3 } \phi _ { 3 0 } + R \phi _ { 3 1 } \Bigr ) + R ^ { 3 } \phi _ { 3 2 } + R \phi _ { 3 3 } \, ,
V _ { \mathrm { p h - e l } } ( t ) = e ^ { i t ( H _ { 0 } + H _ { \mathrm { p h } } ) / \hbar } H _ { \mathrm { p h - e l } } ^ { ( 0 ) } e ^ { - i t ( H _ { 0 } + H _ { \mathrm { p h } } ) / \hbar }
S _ { P , \Sigma } ( X , h ) \, \to \, S _ { \mathrm { t o t . , } \Sigma } ( X , h ) \; : = \; S _ { P , \Sigma } ( X , h ) \, + \, S _ { \Sigma } ^ { \prime } ( X , h ) \, + \, S _ { \Sigma } ^ { \prime \prime } ( X , h ) \,
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { R _ { s } } 4 \pi I _ { c _ { E } ( \bar { r } , t ) > \mathcal { T } } V _ { c } \frac { N _ { c } } { V _ { s } } r ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } r , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) } \\ { \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) } \end{array} \right) = \exp \left[ \frac { i } { 4 \Delta } \int ^ { t } d t ^ { \prime } \left( \begin{array} { c } { \left\vert \Omega _ { 2 } \right\vert ^ { 2 } } \\ { \left\vert \Omega _ { 1 } \right\vert ^ { 2 } } \end{array} \right) f ^ { 2 } \left( t \right) \right] \left( \begin{array} { c } { a \left( e , \mathbf { p } , t \right) } \\ { a \left( g , \mathbf { p } , t \right) } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \left| \frac { \partial { \mathcal J } _ { 1 } } { \partial \xi } \right| \leq \frac { | g ( \xi ; \mu ) | } { 2 } \int _ { \zeta } ^ { \alpha ( \mu ) } \frac { 1 } { \{ G ( \xi ; \mu ) - G ( \zeta ; \mu ) \} ^ { 3 / 2 } } d z = \frac { | g ( \xi ; \mu ) | ( \alpha ( \mu ) - \zeta ) } { 2 \{ G ( \xi ; \mu ) - G ( \zeta ; \mu ) \} ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { c c } { \displaystyle { \rho = \langle \rho _ { k } \rangle , \ \ \sigma ^ { ( k ) } = \sigma ^ { ( k ) } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = \frac { R _ { k } \rho _ { k } } { c _ { V } \rho } > 0 , } } \\ { \displaystyle { \langle \sigma ^ { ( k ) } \rangle = \frac { R } { c _ { V } } = \gamma - 1 . } } \end{array}
I _ { 1 } = \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac { d ^ { 4 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac { 2 ( q ^ { 2 } + q _ { \mu } k _ { \mu } ) } { k ^ { 2 } \Big ( 1 + k ^ { 2 n } / \Lambda ^ { 2 n } \Big ) \, l ^ { 2 } \Big ( 1 + l ^ { 2 n } / \Lambda ^ { 2 n } \Big ) \, q ^ { 4 } ( q + k ) ^ { 4 } ( q + l ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( R a _ { c } ) \mathbf { \Psi } _ { 2 } } & { { } = \underbrace { \left( \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { 1 } { P r } f _ { 1 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( A _ { 1 Z } f _ { 1 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) + \displaystyle \frac { 1 } { P r } \left( f _ { 1 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { P r } f _ { 2 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( A _ { 1 Z } f _ { 2 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) + \displaystyle \frac { 1 } { P r } \left( f _ { 2 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } \\ { \hphantom { f _ { 2 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + } \left( A _ { 1 Z } f _ { 3 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) \hphantom { + \left( f _ { 2 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } } \\ { f _ { 4 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( A _ { 1 Z } f _ { 4 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) + \left( f _ { 4 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } \\ { L e f _ { 4 0 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( A _ { 1 Z } f _ { 4 1 } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . \right) + L e \left( f _ { 4 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { c } z } + c . c . \right) } \end{array} \right) } _ { \displaystyle \mathcal { N } _ { 2 } } , } \end{array}
\mathbf { w } ( \mathbf { r } , t ) = \sum _ { \alpha = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { \beta = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { \zeta = 0 } ^ { N - 1 } \tilde { \vec { w } } _ { \alpha \beta \zeta } ( t ) e ^ { 2 \pi i ( j \alpha + k \beta + l \zeta ) / N } .
D ( T ) = D ( T ^ { * } ) + \int _ { T ^ { * } } ^ { T } d T ^ { \prime } M _ { g } ( T ^ { \prime } ) \frac { d M _ { g } ( T ^ { \prime } ) } { d T ^ { \prime } } \ 3 D ( T ^ { \prime } ) { \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d ^ { 3 } k } { \omega _ { g } ( k ) } f _ { g } ( k ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d ^ { 3 } k ~ k ^ { 2 } } { \omega _ { g } ( k ) } f _ { g } ( k ) } } \ .
\mathscr R _ { \omega } ^ { \pm } : = \left( [ \Pi ^ { \pm } , B _ { \omega } ^ { \pm } ] + B _ { \omega } ^ { \pm } ( \Pi ^ { \pm } - ( b _ { \lambda } ^ { \pm 1 } ) ^ { * } \Pi ^ { \pm } ( b _ { \lambda } ^ { \mp } ) ^ { * } ) \right) ( b _ { \lambda } ^ { \pm 1 } ) ^ { * } + \Pi ^ { \pm } B _ { \omega } ^ { \mp } ( b _ { \lambda } ^ { \mp 1 } ) ^ { * } + \Pi ^ { \pm } \mathscr R _ { \omega } ,
\begin{array} { r l } { \dot { R } ( t ) } & { { } = v _ { R } ( t ) , } \\ { m \dot { v _ { R } } ( t ) } & { { } = - \frac { \partial V ( x ) } { \partial x } + \sqrt { \lambda } \zeta ( t ) , } \\ { \dot { \zeta } ( t ) } & { { } = - \eta _ { 0 } \sqrt { \lambda } v _ { R } ( t ) - \lambda \zeta ( t ) + \sqrt { 2 \lambda k _ { B } T \eta _ { 0 } } \xi ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { x } ( t ) \triangleq \left[ \begin{array} { l l l l l l } { x ( t ) } & { y ( t ) } & { z ( t ) } & { \dot { x } ( t ) } & { \dot { y } ( t ) } & { \dot { z } ( t ) } \end{array} \right] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { { \bf 1 6 } _ { 3 } ( - { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + + } ) , \qquad } } & { { { \bf 1 6 } _ { i } ( \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } + p \right] ^ { + + } ) , \qquad i = 1 , 2 } } \\ { { { \bf 1 6 } ( - { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + + } ) , \qquad } } & { { { \bf \overline { { { 1 6 } } } } ( { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + + } ) } } \\ { { { \bf 1 0 } ( - p ^ { - + } ) , \qquad } } & { { { \bf 1 0 ^ { \prime } } ( p ^ { + + } ) } } \end{array}
\! \! \! \begin{array} { r c l r c l r c l } { \hat { \mathcal { P } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { p ^ { h } \left( t , x , \hat { w } ( t ) \right) , } & { \hat { \mathcal { Q } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { q ^ { h } \left( t , x , \hat { w } ( t , x ) , \hat { w } ( t ) \right) , } & { \hat { \mathcal { U } } _ { b } ^ { h } ( t , \xi ) } & { = } & { u _ { b } ^ { h } \left( t , \xi , \hat { w } ( t ) \right) , } \\ { \check { \mathcal { P } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { p ^ { h } \left( t , x , \check { w } ( t ) \right) , } & { \check { \mathcal { Q } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { q ^ { h } \left( t , x , \check { w } ( t , x ) , \check { w } ( t ) \right) , } & { \check { \mathcal { U } } _ { b } ^ { h } ( t , \xi ) } & { = } & { u _ { b } ^ { h } \left( t , \xi , \check { w } ( t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { s h o r t } ( t , m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { 1 } ^ { - 1 } p ( t , m = 0 ) } & { t < t _ { o n } } \\ { Z _ { 2 } ^ { - 1 } p ( t , m ) } & { t _ { o n } \leq t < t _ { e n d } } \\ { Z _ { 3 } ^ { - 1 } p ( t , m = 0 ) } & { t \geq t _ { e n d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } = } & { \; \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) \bar { q } } & { ( 1 - \omega ) q } \\ { ( 1 - \omega ) q } & { 0 } & { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) \bar { q } } \\ { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) \bar { q } } & { ( 1 - \omega ) q } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal { V } = } & { \; k \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { ( \omega ^ { 2 } - 1 ) \bar { q } } & { ( 1 - \omega ^ { 2 } ) q } \\ { ( \omega - 1 ) q } & { 0 } & { ( 1 - \omega ) \bar { q } } \\ { ( \omega - \omega ^ { 2 } ) \bar { q } } & { ( \omega ^ { 2 } - \omega ) q } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { + ( \bar { q } _ { x } - 3 q ^ { 2 } ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \omega } \\ { \omega } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + ( q _ { x } - 3 \bar { q } ^ { 2 } ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \\ { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( x , } & { { } t _ { k } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { j } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge \hat { \omega } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \end{array}
f _ { \pm } ^ { 1 / 2 } ( \theta , \phi ) = v \biggl [ - e ^ { - i ( \phi - \gamma ) / 2 } \sin ( \beta / 2 ) \cos ( \theta / 2 ) + e ^ { i ( \phi - \gamma ) / 2 } \cos ( \beta / 2 ) \sin ( \theta / 2 ) \biggr ] e ^ { \pm i \phi / 2 } .
\left\{ \begin{array} { l l } { T _ { f } : ( a - r , a + r ) \to \mathbf { R } } \\ { T _ { f } ( x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { f ^ { ( k ) } ( a ) } { k ! } } ( x - a ) ^ { k } } \end{array} \right.
{ \mathrm { s . t . } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } \left( x , y \right) = \left( x - 5 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 2 5 } \\ { g _ { 2 } \left( x , y \right) = \left( x - 8 \right) ^ { 2 } + \left( y + 3 \right) ^ { 2 } \geq 7 . 7 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } \sim 1 - \epsilon \frac { \log { ( 1 + Y ) } } { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \log ^ { 2 } { ( 1 + Y ) } } { 8 } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \epsilon ^ { 1 + 2 k } } { 2 } \frac { \Gamma ( k ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { k } } } & { } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \epsilon ^ { 2 + 2 k } } { 4 } \frac { [ 4 b _ { k } - \log { ( 1 + Y ) } \Gamma ( k ) ] } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { k } } } & { . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \lambda _ { \perp } a ^ { 2 } - \eta _ { \perp } v ^ { 2 } + \delta \eta _ { \perp l } b ^ { 2 } \; , } \\ { U _ { 1 } ^ { \mu } } & { { } = } & { b ^ { 2 } \delta \eta _ { l l l \perp } \, l ^ { \mu } + a ^ { 2 } \delta \lambda \, l ^ { \mu } + \delta \eta _ { \perp l } v ^ { 2 } l ^ { \mu } + b \delta \eta _ { l l l } \, v ^ { \mu } - \frac { a b \delta \lambda \, H _ { \parallel } ^ { \mu } ( V , \xi ) } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \; , } \\ { U _ { 2 } ^ { \mu } } & { { } = } & { b \left( \frac { \delta \chi } { 3 } + \delta \eta _ { l l l } \right) \, l ^ { \mu } + \frac { ( \chi _ { \perp } - \eta _ { l l } ) v ^ { \mu } } { 3 } - \frac { a ( \chi + \lambda _ { \perp } ) H _ { \parallel } ^ { \mu } ( V , \xi ) } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \; , } \end{array}
p ( n _ { 1 } , m ) \, d n _ { 1 } \, d m = \frac { 2 } { \pi } \left| \frac { \partial \varphi } { \partial n _ { 1 } } \right| \, d n _ { 1 } \, d m = \frac { d n _ { 1 } \, d m } { \pi \sqrt { m ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { c } _ { l , \uparrow } } & { = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { l - 1 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { z } \hat { \sigma } _ { l } ^ { - } , \quad \hat { n } _ { l , \uparrow } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \hat { \sigma } _ { l } ^ { z } \right) , } \\ { \hat { c } _ { l , \downarrow } } & { = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { L + l - 1 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { z } \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { - } , \quad \hat { n } _ { l , \downarrow } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } ^ { i } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } F ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] \mathbb { P } \left[ \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } \in \mathrm { d } \eta \right] \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } F ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] p _ { - b _ { T } } ( 0 , \xi , T , \eta ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c - 1 } } ( x ) : = } & { - \frac { \Delta \alpha } { 2 \pi \epsilon ^ { 1 / 2 } } \sum _ { \alpha _ { k } \in \Omega } \omega ( \alpha _ { k } , x ) \varphi _ { 1 } ( \alpha _ { k } ) \psi ( ( \mathcal P _ { * } ( \alpha _ { k } , x ) - \mathcal P ( \alpha _ { k } ) ) / \epsilon ) , } \\ { \psi ( \hat { q } ) : = } & { ( 2 \pi ) ^ { - 1 } \int ( \hat { p } - \hat { q } ) ^ { - 1 } \int w ( \hat { p } - \hat { s } ) \hat { s } _ { + } ^ { - 1 / 2 } \mathrm { d } \hat { s } \mathrm { d } \hat { p } . } \end{array}
\lambda _ { k } ^ { \mathrm { ~ i ~ } } = \operatorname* { l i m i n f } _ { t \to \infty } \lambda _ { k } ( t ) , \quad \lambda _ { k } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \lambda _ { k } ( t ) , \quad k = 1 , \ldots , n .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \bar { n } } & { = - \epsilon \nabla _ { \vec { k } } \cdot \Big ( E \big [ \frac { \partial \Omega _ { 0 } } { \partial \vec { x } } \big ( \int _ { t - T } ^ { t } \dot { \vec { k } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \cdot \nabla _ { \vec { k } } \bar { n } ( \vec { k } , t _ { d } ) \big ) \big ] \Big ) } \\ & { = \epsilon ^ { 2 } \nabla _ { \vec { k } } \cdot \Big ( E \big [ \frac { \partial \Omega _ { 0 } } { \partial \vec { x } } \big ( \int _ { t - T } ^ { t } \partial _ { \vec { x } } \Omega _ { 0 } ( \vec { k } + \epsilon \frac { \partial \Omega _ { 0 } } { \partial \vec { x } } ( t - t ^ { \prime } ) , \vec { x } - \frac { \partial \Omega } { \partial \vec { k } } ( t - t ^ { \prime } ) , t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \cdot \nabla _ { \vec { k } } \bar { n } ( \vec { k } , t _ { d } ) \big ) \big ] \Big ) } \\ & { = \epsilon ^ { 2 } \nabla _ { \vec { k } } \cdot \Big ( E \big [ \frac { \partial \Omega _ { 0 } } { \partial \vec { x } } \big ( \int _ { t - T } ^ { t } \partial _ { \vec { x } } \Omega _ { 0 } ( \vec { k } , \vec { x } - \frac { \partial \omega } { \partial \vec { k } } ( t - t ^ { \prime } ) , t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \cdot \nabla _ { \vec { k } } \bar { n } ( \vec { k } , t _ { d } ) \big ) \big ] \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \pi i \int _ { a } ^ { b } \left( x - \lfloor x \rfloor - \frac { 1 } { 2 } \right) f ^ { \prime } ( x ) e ( f ( x ) ) \, d x } \\ & { \qquad = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m } \int _ { a } ^ { b } f ^ { \prime } ( x ) e ( f ( x ) - m x ) \, d x - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m } \int _ { a } ^ { b } f ^ { \prime } ( x ) e ( f ( x ) + m x ) \, d x = S _ { 1 } - S _ { 2 } , } \end{array}
\partial ^ { \mu } A _ { \mu , a } ^ { \phi } = - f _ { \pi } m _ { \pi } ^ { 2 } \sigma ( \vec { x } ) \phi _ { a } ( x ) - \frac { 1 } { 2 f _ { \pi } } \epsilon _ { a b c } \partial ^ { \mu } \phi _ { b } ( x ) V _ { \mu , c } ( \vec { x } ) .
\begin{array} { r l r } { s _ { \sigma v , { \cal E } } } & { = } & { - k _ { B } \int f _ { \sigma } \ln \left( \frac { f _ { \sigma M } \Delta ^ { 3 } v _ { \sigma } } { n _ { \sigma } } \right) d ^ { 3 } v , } \\ { s _ { \sigma v , \mathrm { r e l } } } & { = } & { - k _ { B } \int f _ { \sigma } \ln \left( \frac { f _ { \sigma } } { f _ { \sigma M } } \right) d ^ { 3 } v , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { | \psi _ { V B S } ^ { ( 1 ) } | ^ { 2 } + | \psi _ { V B S } ^ { ( 2 ) } | ^ { 2 } } = a \sqrt { 2 \frac { \alpha ^ { 2 } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \alpha x ) + \beta ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } } . } \end{array}