harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha } ^ { B } ( x , y ; a , b ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( 1 - a _ { \alpha _ { i } } b _ { \alpha _ { i } } ) \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \frac { x _ { j } + y _ { i } } { x _ { i } - x _ { j } } \operatorname* { d e t } ( c _ { \alpha _ { i } } ^ { B } ( x _ { j } ) ) _ { 1 \leq i , j \leq n } , } \\ { f _ { \alpha } ^ { C } ( x , y ; a , b ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } + y _ { i } ) \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } \frac { x _ { i } + y _ { j } } { x _ { j } - x _ { i } } \operatorname* { d e t } ( c _ { \alpha _ { i } } ^ { C } ( x _ { j } ) ) _ { 1 \leq i , j \leq n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { \prime } } & { { } = k l ( x + \varepsilon t ) } \\ { y ^ { \prime } } & { { } = l y } \\ { z ^ { \prime } } & { { } = l z } \\ { t ^ { \prime } } & { { } = k l ( t + \varepsilon x ) } \\ { k } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } } } \end{array}
\Delta _ { \bar { g } } u _ { l } = \mathrm { e } ^ { 2 u _ { l } } \partial _ { t } u _ { l } + \bar { K } - \mathrm { e } ^ { 2 u _ { l } } f + \mathrm { e } ^ { 2 u _ { l } } \alpha _ { l } \; \to \; \bar { K } - \mathrm { e } ^ { 2 u _ { \infty } } f + \mathrm { e } ^ { 2 u _ { \infty } } \alpha _ { \infty } \qquad \mathrm { i n ~ L ^ 2 ( M , \bar { ~ } g ) ~ . }
\begin{array} { r l } & { \frac { d E _ { \beta , R } ^ { < } } { d x } = \frac { e _ { \alpha } ^ { 2 } } { 4 \pi { { \varepsilon } _ { 0 } } } \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - 1 } ^ { + 1 } { d \cos \theta \cos \theta \frac { { { \rho } _ { \beta } } ( { { v } _ { \alpha } } \cos \theta ) } { { { \rho } _ { t o t a l } } ( { { v } _ { \alpha } } \cos \theta ) } } F ( { { v } _ { \alpha } } \cos \theta ) l n ( \frac { F ( { { v } _ { \alpha } } \cos \theta ) } { { { K } ^ { 2 } } } ) } \\ & { - \frac { e _ { \alpha } ^ { 2 } } { 4 \pi { { \varepsilon } _ { 0 } } } \frac { i } { 2 \pi } \frac { 1 } { { { \tau } _ { \beta } } { { m } _ { \alpha } } v _ { \alpha } ^ { 2 } } \frac { { { \rho } _ { \beta } } ( { { v } _ { \alpha } } ) } { { { \rho } _ { t o t a l } } ( { { v } _ { \alpha } } ) } [ F ( { { v } _ { \alpha } } ) l n ( \frac { F ( { { v } _ { \alpha } } ) } { { { K } ^ { 2 } } } ) - { { F } ^ { * } } ( { { v } _ { \alpha } } ) l n ( \frac { { { F } ^ { * } } ( { { v } _ { \alpha } } ) } { { { K } ^ { 2 } } } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \Upsilon } \colon \mathrm { S F } _ { \Upsilon } ( \mathcal { M } ; \Lambda ) } & { \longrightarrow A ( \mathcal { A } ; \Lambda ) , } \\ { \Psi _ { \Upsilon } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } \colon \mathrm { S F } _ { \Upsilon } ( \mathcal { M } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ; \Lambda ) } & { \longrightarrow A ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \mathcal { A } ; \Lambda ) } \end{array}
i s t h e n u m b e r o f t e t r a h e d r a ) ~ . T h i s i s b a s e d o n a n a r g u m e n t s i m i l a r t o t h e o n e g i v e n b y P a u l i n g t o e x p l a i n t h e r e s i d u a l e n t r o p y o f w a t e r - i c e a t z e r o t e m p e r a t u r e ~ . F r o m n o w o n w a r d , w e w i l l r e f e r t o t h e c o n d i t i o n
\begin{array} { r l } { q _ { 3 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) = } & { ( \frac { 1 } { 1 8 } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 1 } { 1 2 6 0 \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } [ 1 0 3 ( \zeta _ { n } ^ { 2 } - \zeta _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { + 2 3 2 \zeta _ { 0 } \zeta _ { n } ( \zeta _ { 0 } ^ { 2 } + \zeta _ { n } ^ { 2 } ) - 1 8 4 \zeta _ { 0 } ^ { 2 } \zeta _ { n } ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j \geq j _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { \star , j } } } \sqrt { \frac { ( 1 - p ) | W _ { \star , j } | } { | W _ { \star } | } } } & { \lesssim \sum _ { j \geq j _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { c _ { \star } j } } \sqrt { \frac { ( 1 - p ) b _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { + } j _ { 0 } } { a _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { - } } \, \frac { 1 } { j ^ { 2 } } } } \\ & { = \sqrt \frac { ( 1 - p ) b _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { + } j _ { 0 } } { c _ { \star } a _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { - } } \sum _ { j \geq j _ { 0 } } j ^ { - 3 / 2 } } \\ & { \leq \sqrt \frac { ( 1 - p ) b _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { + } } { c _ { \star } a _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { - } } \, 2 \sqrt { \frac { j _ { 0 } } { j _ { 0 } - 1 } } } \\ & { \to 2 \sqrt \frac { ( 1 - p ) b _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { + } } { c _ { \star } a _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { - } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { 3 } ^ { \mu } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } & { { } = \phantom { - } u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 1 } u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { G T C } } ^ { k _ { x } } } & { { } = \sum _ { k _ { y } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \Big ( \omega _ { 0 } - 2 \tau _ { x } \cos ( k _ { x } \delta l _ { x } ) - 2 \tau _ { y } \cos ( k _ { y } \delta l _ { y } ) \Big ) \hat { c } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { k _ { x } , k _ { y } } + \mu _ { 0 } \sqrt { \frac { N _ { y } + 1 } { 2 } } \sum _ { k _ { y } \in \mathcal { K } _ { c } } { g _ { \boldsymbol k } } \big ( \hat { a } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } c _ { k _ { x } , k _ { y } } + \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } c _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \big ) . } \end{array}
\bar { F } ( \bar { F } ^ { \dag } \bar { F } ) ^ { - 1 } \bar { F } ^ { \dag } \frac { \partial \bar { g } _ { \mu \nu } } { \partial l _ { i } } = \bar { B } _ { \mu \nu } ^ { \lambda \rho } \frac { \partial \bar { g } _ { \lambda \rho } } { \partial l _ { i } }
\begin{array} { r l } { w _ { 1 } ^ { s } ( x ) = } & { - \frac { C _ { 1 } + \overline { { u } } _ { \mathrm { e } } ^ { 0 } B _ { 1 } } { 2 ( 1 - A ) } + \frac { J _ { 1 } N \cosh \left( M ( x \pm L ) \right) } { 2 M \left( { D } ^ { 2 } { M } ^ { 2 } - 1 \right) \sinh \left( M L \right) } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { J _ { 1 } \left( \left( { M } ^ { 2 } + N \right) { D } ^ { 2 } - 1 \right) } { 2 D ( 1 - { D } ^ { 2 } { M } ^ { 2 } ) } \frac { \cosh \left( ( x \pm L ) / D \right) } { \left( \sinh \left( L / D \right) \right) } ; } \end{array}
\hat { \sigma } _ { g g } ^ { J / \psi } ( \hat { s } ) \; = \; \varphi \left[ { \frac { 5 } { 1 4 4 } } \theta _ { D } ^ { J / \psi } ( 7 ) + \left\{ { \frac { 5 } { 1 4 4 } } \theta _ { D } ^ { J / \psi } ( 9 ) + { \frac { 1 } { 1 6 } } \theta _ { F } ^ { J / \psi } ( 9 ) \right\} \right]
\begin{array} { r l } { \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , \varphi ) \big ) } & { = \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 1 } + f _ { 1 } ( t , \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { C } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 1 } + f _ { 1 } ( t , \varphi ^ { \prime } ) } ^ { \theta _ { 2 } + f _ { 2 } ( t , \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 2 } + f _ { 2 } ( t , \varphi ^ { \prime } ) } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \widetilde { \gamma } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( 2 \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
< p _ { 2 } | \ J _ { e m } ^ { \mu } ( 0 ) \ | p _ { 1 } > \ = \, \bar { u } ( p _ { 2 } ) \, \left( i \, F _ { 2 } ^ { \nu } \, \mu _ { B } + e \, F _ { 3 } ^ { \nu } \, \gamma _ { 5 } \, \right) \sigma ^ { \mu \nu } \, q _ { \nu } \, u ( p _ { 1 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho } & { = - \nabla \cdot \left( \rho \pmb { u } \right) } \\ { \partial _ { t } ( \rho \pmb { u } ) } & { = - \nabla \cdot \left( \pmb { u } \otimes \rho \pmb { u } + p \mathbb { I } \right) - \rho \nabla \Phi + \mathbf { S } _ { \rho \pmb { u } } \left( \rho , \rho \pmb { u } , \rho e \right) } \\ { \partial _ { t } ( \rho e ) } & { = - \nabla \cdot \left( \pmb { u } \left( p + \rho e \right) \right) + S _ { \rho e } \left( \rho , \rho \pmb { u } , \rho e \right) . } \end{array}
\int _ { - \frac { d } { 2 } } ^ { \frac { d } { 2 } } 2 \pi s \sqrt { 1 + \left( \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } t = \frac { \pi } { \alpha } \left( d + \frac { \sinh \alpha d } { \alpha } \right)
\Delta _ { 2 } ^ { \mathrm { E C C } } ( u _ { * } ; u , u ^ { \prime } ) \geq \left[ \gamma _ { * } ^ { \mathrm { e f f } } - C \mathcal G _ { \mathrm { E C C } } ( \hat { U } _ { * } ) \right] \Vert \Delta \hat { U } \phi _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { f _ { a } ^ { \mathrm { ~ b ~ e ~ a ~ m ~ } } ( \textbf { p } , t _ { 0 } ) = A \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \textbf { p } - \textbf { p } _ { 0 } } { \sigma } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
M _ { 4 } ^ { n + 1 } = \int _ { \tilde { x } _ { 4 - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { x _ { 1 + \frac { 1 } { 2 } } } q _ { 1 } ^ { n } \, \mathrm { d } x + M _ { 2 } ^ { n } + \int _ { x _ { 3 - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \tilde { x } _ { 4 + \frac { 1 } { 2 } } } q _ { 3 } ^ { n } \, \mathrm { d } x \, .
f _ { x ( x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } ) } = N _ { 3 } ^ { c } { \frac { x \left( x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } \right) } { 2 r ^ { 3 } { \sqrt { 6 } } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { 3 } ^ { - 3 } - Y _ { 3 } ^ { 3 } \right)
\begin{array} { l } { \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } - \theta _ { h } ^ { \ast n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \left\Vert \theta _ { h } ^ { n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } + \Delta t S _ { h } ( \theta _ { h } ^ { n } , \theta _ { h } ^ { n } ) } \\ { \leq \Delta t C \displaystyle \left( \frac { \Delta t ^ { 1 / 2 } \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { \theta } ( D ) ) } } { h } \right) ^ { 2 } \left( \frac { h ^ { m } } { \Delta t ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 2 } + 5 \Delta t \left( S _ { h } ( \rho ^ { n } , \rho ^ { n } ) \right) } \\ { + 5 \Delta t \left( S _ { h } ( c ^ { n } , c ^ { n } ) \right) + \displaystyle \frac { \Delta t } { 2 } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { U } } ( u _ { s } q _ { n } ) \, d s = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { 1 } _ { K ^ { c } } ( g _ { - \tau } u _ { s } q _ { n } ) \ d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { T e ^ { - 2 \tau } } \left| \left\{ s \in \left[ 0 , T e ^ { - 2 \tau } \right] : u _ { s } q _ { n } ^ { \prime } \notin K \right\} \right| < \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \cosh ( \gamma l ) } & { Z _ { T L } \sinh ( \gamma l ) } \\ { Z _ { T L } ^ { - 1 } \sinh ( \gamma l ) } & { \cosh ( \gamma l ) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { + } } & { { } = \frac { f _ { i } + f _ { \bar { i } } } { 2 } , } \\ { f _ { i } ^ { - } } & { { } = \frac { f _ { i } - f _ { \bar { i } } } { 2 } , } \end{array}
{ { \underline { { \boldsymbol { \chi } } } _ { \dagger } } ^ { \prime } = \alpha \underline { { \mathbf I } } + \beta \boldsymbol \Omega ^ { * } \boldsymbol \Omega ^ { * } + \gamma \boldsymbol \Omega ^ { * } \times \underline { { \mathbf I } } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \mathrm { h e a t } } } & { = \frac { S _ { E } S _ { r } } { \sqrt { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } T _ { s c e } ^ { 5 / 2 } } \Big [ \bar { v } _ { G \parallel } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } - \frac { J _ { \parallel B } } { 2 - J _ { \parallel B } ^ { 2 } } ( 2 - \bar { \mu } ) ( 2 \bar { v } _ { G \parallel } - J _ { \parallel B } ) \Big ] e ^ { - \bar { v } _ { G \parallel } ^ { 2 } - \bar { \mu } } , } \end{array}
+ \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 4 } \} - 2 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} | ^ { 2 } - 2 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } - 2 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { p ( \{ \tilde { x } _ { n } \} _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { N _ { \mathrm { s } } } \operatorname* { d e t } I } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n , m = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } \left( \tilde { x } _ { n } - \tilde { x } _ { 0 } e ^ { - t _ { n } / \tau _ { \mathrm { o t } } } \right) [ I ^ { - 1 } ] _ { n m } \left( \tilde { x } _ { m } - \tilde { x _ { 0 } } e ^ { - t _ { m } / \tau _ { \mathrm { o t } } } \right) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt { n ^ { 2 } - \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor ^ { 2 } } \right\rfloor } & { \iff \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor \leq \sqrt { n ^ { 2 } - \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor ^ { 2 } } < \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor + 1 } \\ & { \iff 2 \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor ^ { 2 } \leq n ^ { 2 } < 2 \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor ^ { 2 } + 2 \left\lfloor \frac { n } { \sqrt { 2 } } \right\rfloor + 1 . } \end{array}
J _ { R } ( \omega ) = \frac { \pi } { 2 } \sum _ { i } \frac { C _ { i } ^ { 2 } } { \Omega _ { i } } \delta ( \omega - \Omega _ { i } ) = \eta _ { \mathrm { s } } \omega \Gamma ^ { 2 } / ( \omega ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } )
d = { \frac { b _ { 1 } \overline { { c } } _ { 1 } + b _ { 2 } \overline { { c } } _ { 2 } + b _ { 3 } \overline { { c } } _ { 3 } } { c _ { 1 } \overline { { c } } _ { 2 } + \overline { { c } } _ { 1 } c _ { 2 } } } ( { \frac { | S | } { | D ^ { + } | } } )
T _ { D u r } = T _ { D u r , 0 } - \mathrm { s g n } ( \Gamma ) \, S c { \frac { R } { v _ { 0 } } } \, \Bigg ( { \frac { \mathrm { c o s } \phi } { \mathrm { t a n } { \frac { \Delta ( t ) } { 2 } } } } \Bigg ) ^ { 2 } + O ( S c ^ { 2 } )
r ( \lambda , r _ { s c h } ) = \left( r _ { s c h } ^ { 3 / 2 } - { \frac { 3 } { 2 } } \lambda \right) ^ { 2 / 3 } = \left( { \frac { 3 } { 2 } } ( \eta - \lambda ) \right) ^ { 2 / 3 } .
F _ { 2 } \left( \hat { \zeta } \right) = - \frac { z _ { c } \beta _ { 1 } } { 2 \epsilon \sqrt { \delta } } \sqrt { \frac { \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } } { z _ { c } \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } } \left( \frac { \beta _ { 2 } } { \beta _ { 1 } } - 2 \log { \left( 1 + \frac { \beta _ { 2 } } { \beta _ { 1 } } \right) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \theta = } & { ( x _ { 0 } ^ { u } , R _ { u } , ( \rho _ { u } , \sigma _ { u } ^ { 2 } ) , x _ { 0 } ^ { v } , R _ { v } , ( \rho _ { v } , \sigma _ { v } ^ { 2 } ) , c , \lambda ) } \\ { \in } & { [ 0 , 1 ] ^ { 3 } \times [ 0 . 0 5 , 0 . 4 ] \times [ 0 . 0 2 , 2 ] \times [ 0 . 1 , 5 ] } \\ { \times } & { [ 0 , 1 ] ^ { 3 } \times [ 0 . 0 5 , 0 . 4 ] \times [ 0 . 0 2 , 2 ] \times [ 0 . 1 , 5 ] \times [ 0 . 2 , 0 . 8 ] \times [ 1 0 ^ { - 8 } , 1 0 ^ { - 2 } ] } \end{array}
- { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { d a ( \eta ) } { d \eta } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 4 \pi G } { 3 } } a ^ { 4 } ( \eta ) \sigma = 0 \ , \quad d ( \sigma a ^ { 3 } ) = - p d ( a ^ { 3 } ) \ ,
\begin{array} { r } { \sum _ { n } \frac { s ^ { 2 \alpha - 1 } } { s ^ { 2 \alpha } + \hbar ^ { 2 - 2 \alpha } ( \epsilon - \omega n ) ^ { 2 } } \left[ \hat { K } C _ { n } ( x ) \right] = 0 , } \\ { i \hbar ^ { 1 - \alpha } \sum _ { n } \frac { ( \epsilon - \omega n ) } { s ^ { 2 \alpha } + \hbar ^ { 2 - 2 \alpha } ( \epsilon - \omega n ) ^ { 2 } } \left[ \hat { K } C _ { n } ( x ) \right] = 0 . } \end{array}
\epsilon _ { \mu } ^ { ( i ) } ( k ) \epsilon _ { \nu } ^ { ( i ) } ( - k ) = - ( g _ { \mu \nu } - \delta _ { \mu 0 } \delta _ { \nu 0 } ) + \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } ( 1 - \delta _ { \mu 0 } ) ( 1 - \delta _ { \nu 0 } ) } { \vec { k } ^ { 2 } }
{ \bf M } _ { \Lambda } ^ { R L } = \frac { 1 } { 2 } \theta _ { \Lambda } \Lambda - 2 \, , \quad { \bf M } _ { \Lambda } ^ { R i } = - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \hat { \beta } \theta _ { \Lambda } \gamma ^ { i } \theta _ { \Lambda } \, , \quad { \bf M } _ { \Lambda } ^ { L i } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } \hat { \beta } } \Lambda \gamma ^ { i } \Lambda \, ,
i _ { A B } = \Bigg ( \gamma _ { B } \frac { ( z _ { A } - z _ { B } ) \cos ( \phi _ { A } - \phi _ { B } ) } { 2 \pi | \boldsymbol { r _ { A } } - \boldsymbol { r _ { B } } | ^ { 3 } } \rho _ { B } d s _ { B } \, d \phi _ { B } \Bigg ) \gamma _ { A } \rho _ { A } d s _ { A } d s _ { A }
\begin{array} { r l } { g ( { \epsilon } V _ { \Psi } \; v , w ) } & { = g ( \{ G _ { + } , Q ^ { \epsilon } - Q \} v , w ) = g ( G _ { + } ( Q ^ { \epsilon } - Q ) v , w ) + g ( ( Q ^ { \epsilon } - Q ) G _ { + } v , w ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { 2 | v | + 2 } g ( v , ( Q ^ { \epsilon } - Q ) G _ { + } w ) + ( - 1 ) ^ { 2 | v | + 2 } g ( v , G _ { + } ( Q ^ { \epsilon } - Q ) w ) } \\ & { = g ( v , { \epsilon } V _ { \Psi } \; w ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha = \alpha ( \lambda ) } & { = \frac { p _ { 1 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } - \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } \frac { ( \lambda - 1 ) \, E _ { \underline { { \theta } } } [ Z _ { 1 } ( c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } \lambda Z ) I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ Z _ { 1 } ^ { 2 } ( c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } \lambda Z ) ^ { 2 } I _ { ( 0 , \frac { c _ { 0 , 1 } } { c _ { 0 , 2 } \lambda } ) } ( Z ) ] } } \\ & { = \frac { p _ { 1 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } - \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } \alpha _ { 1 } ( \lambda ) , \; \; \; ( s a y ) , } \end{array}
\langle c | \mathrm { e } ^ { - \pi \ell H } | c \rangle _ { \mathrm { R - R } } \sim \sum _ { m , k } \left[ 1 - ( - 1 ) ^ { m } \right] \left[ 1 + ( - 1 ) ^ { k } \right] \mathrm { e } ^ { - { \frac { \pi \alpha ^ { \prime } \ell } { 2 R ^ { 2 } } } ( k - \gamma m ) ^ { 2 } }
\left( \kappa \frac { \partial } { \partial z _ { i } } - \sum _ { j = 1 ( \neq i ) } ^ { \Omega + 1 } \frac { { \bf t } _ { i } \cdot { \bf t } _ { j } } { z _ { i } - z _ { j } } \right) \psi ^ { W Z W } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { \Omega + 1 } )
\left( \begin{array} { c c } { { a ^ { \prime \prime } } } & { { b ^ { \prime \prime } } } \\ { { c ^ { \prime \prime } } } & { { d ^ { \prime \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { a ^ { \prime } } } & { { b ^ { \prime } } } \\ { { c ^ { \prime } } } & { { d ^ { \prime } } } \end{array} \right)
\overline { { \Omega } } _ { \hat { d } = 1 } ^ { \mathrm { { P } } } : = \mathbf { C } _ { p } \left( \xi \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { \mathrm { { c p s } } } } R _ { k , p } \left( \xi \right) \mathbf { P } _ { k } ,
\widehat { \cal R } = ( 1 + 2 \widehat { \cal N } _ { 0 } ) \widehat { \cal N } _ { \perp } ( 2 - \widehat { \cal N } _ { \perp } ) , \qquad \widehat { \cal C } _ { + } = ( \widehat { \cal S } - \widehat { \cal R } ) ( 1 + 2 \widehat { \cal N } _ { 0 } ) .
d \left( \mathrm { e } ^ { \phi } { } ^ { * } { \tilde { F } } _ { 3 } \right) + { \tilde { F } } _ { 5 } \wedge H _ { 3 } + 2 \kappa ^ { 2 } \frac { \delta { \cal { L } } _ { b } } { \delta C _ { 2 } } = 0
\displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } e ^ { 4 } d t \leq C \| e \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } \| e \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 3 } \quad \mathrm { a n d } \quad \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } ( e ^ { \prime } ) ^ { 4 } d t \leq C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 3 } .
G _ { \mu } ^ { i } = \left( \begin{array} { c } { { ^ { ( 3 - ) } h _ { \mu } ^ { i } } } \\ { { ^ { ( 1 + ) } h _ { \mu } ^ { i } } } \\ { { ^ { ( 2 - ) } h _ { \mu } ^ { i } } } \\ { { ^ { ( 1 - ) } h _ { \mu } ^ { i } } } \\ { { ^ { ( 2 + ) } h _ { \mu } ^ { i } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { f ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \left[ \operatorname* { l i m } _ { s \to 1 ^ { - } } \int _ { C _ { s } } \frac { f ( \tau ) } { \tau - z } \, d \tau \right] } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname* { l i m } _ { s \to 1 ^ { - } } \left[ \frac { f ( h ( s , t ) ) } { h ( s , t ) - z } \cdot h _ { t } ( s , t ) \right] \, d t } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { f ( h ( 1 , t ) ) } { h ( 1 , t ) - z } \cdot h _ { t } ( 1 , t ) \, d t } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( \tau ) } { \tau - z } \, d \tau } \end{array}
I ( \omega ) = \ensuremath { \mathrm { ~ I ~ m ~ } } \chi ( \omega ) \approx \frac { d ^ { 2 } n } { 3 \epsilon _ { 0 } } \sum _ { \alpha } \ensuremath { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } t \ e ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \omega t } R _ { \alpha \alpha } ( t ) .
\begin{array} { r } { \psi _ { ( n ) } ( x ) = \psi _ { ( n - 1 ) } ( x ) + 2 i ( \lambda _ { n } - \lambda _ { n } ^ { * } ) \frac { q _ { n 1 } ^ { * } q _ { n 2 } } { | \mathbf { q _ { n } } | ^ { 2 } } , } \end{array}
\mathbb { P } \left( \frac { 1 } { { t } } ( z _ { t } + \mathbb { E } [ m _ { t } ] ) < o ( 1 ) \right) \geq \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { { t } } \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { 0 } } ( z _ { t } + \mathbb { E } [ m _ { t } ] ) < o ( 1 ) \right) .
\begin{array} { r } { I _ { 2 } \le C ^ { \prime } \Psi ( t , x ) \Psi ( t , x ^ { \prime } ) \Psi ( t , y ) \Psi ( t , y ) \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } t } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - \frac { 2 c _ { 1 } } { 3 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \beta / 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } s . } \end{array}
\Delta _ { i j k l } ^ { a b c d } = ( F _ { a c } \delta _ { b d } + \delta _ { a c } F _ { b d } ) \delta _ { i k } \delta _ { j l } - ( F _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { i k } F _ { j l } ) \delta _ { a c } \delta _ { b d }
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( \mathbf { x } ) = } & { ( \varepsilon _ { c } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + ( \varepsilon _ { s } ( \mathbf { x } ) - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { s } \setminus \overline { { \bigcup _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } B _ { l } } } ) } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \varepsilon _ { l } - \varepsilon _ { 0 } ) \chi ( B _ { l } ) + \varepsilon _ { 0 } , } \\ { \quad \mu ( \mathbf { x } ) = } & { ( \mu _ { c } ( \mathbf { x } ) - \mu _ { 0 } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \mu _ { l } - \mu _ { 0 } ) \chi ( B _ { l } ) + \mu _ { 0 } , } \\ { \sigma ( \mathbf { x } ) = } & { \sigma _ { c } ( \mathbf { x } ) \chi ( \Omega _ { c } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { 0 } } \sigma _ { l } \chi ( B _ { l } ) . } \end{array}