harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial U } { \partial t } + U \frac { \partial U } { \partial x } + V \frac { \partial U } { \partial y } = \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial y ^ { 2 } } \right) ,
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { m _ { n } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } } \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } ) + V ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } ) \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } ) = E \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { N } ) \, .
\langle \psi _ { 0 } | \Psi ( t ) \rangle = c _ { 0 } ( t ) e ^ { - i \mathcal { E } _ { 0 } t / \hbar } | _ { t \gg T } = c ( 0 ) e ^ { - i ( \mathcal { E } _ { 0 } + \Delta \mathcal { E } ) t / \hbar } e ^ { - \Gamma t / 2 }
X _ { [ i j } ^ { e _ { 1 } } X _ { k l ] } ^ { e _ { 2 } } I _ { n , p } = \int _ { S ^ { D - 1 } } d \Omega X _ { [ i j } \cdot P _ { e _ { 1 } } X _ { k l ] } \cdot P _ { e _ { 2 } } F
g _ { s } ( x , v _ { \parallel } , t ) = \int _ { - d _ { i } } ^ { d _ { i } } \mathrm { d } z \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } v _ { \perp } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \phi \, f _ { s } ( x , z , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , \phi , t ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { d \eta } { d z } = 4 \epsilon _ { 3 } \eta _ { m } ^ { 3 } \left( 1 - \frac { \eta ^ { 2 } } { \eta _ { m } ^ { 2 } } \right) \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \eta } { \eta _ { m } } \right) \left[ \frac { \eta / \eta _ { m } } { \mathrm { a r c t a n h } \left( \eta / \eta _ { m } \right) } - \frac { \eta _ { 0 } / \eta _ { m } } { \mathrm { a r c t a n h } \left( \eta _ { 0 } / \eta _ { m } \right) } \right] . } \end{array}
p { \ddot { r } } = n a b \varepsilon \cos ( \theta ) \, { \dot { \theta } } = n a b \varepsilon \cos ( \theta ) \, { \frac { n a b } { r ^ { 2 } } } = { \frac { n ^ { 2 } a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \varepsilon \cos ( \theta ) .
\begin{array} { r l } & { ~ \frac { \hat { \rho } ( \hat { \rho } - \rho ) } { 2 } \mathbb { E } _ { \tau } [ \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } - { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } \| ^ { 2 } ] = \frac { \hat { \rho } ( \hat { \rho } - \rho ) } { 2 } \frac { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } } } \\ { \leq } & { ~ \frac { 1 } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } } \left( f ( { \mathbf x } ^ { ( S ) } ) - \underline { f } + \frac { 3 M ^ { 2 } } { 2 \hat { \rho } } \right) + ( 1 + \Lambda ^ { \prime } ) \hat { \rho } \frac { \sum _ { t \in I } \eta _ { t } \Lambda ^ { \prime } \epsilon _ { t } } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } } + \frac { \hat { \rho } ( 1 + \Lambda ^ { \prime } ) } { 2 } \epsilon ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \frac { 1 } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } } \left( f ( { \mathbf x } ^ { ( S ) } ) - \underline { f } + \frac { 3 M ^ { 2 } } { 2 \hat { \rho } } \right) + \frac { 3 \hat { \rho } ( 1 + \Lambda ^ { \prime } ) } { 2 } \epsilon ^ { 2 } , } \end{array}
u _ { k _ { 1 } } ^ { \prime \prime } ( r ) u _ { k _ { 2 } } ( r ) - u _ { k _ { 1 } } ( r ) u _ { k _ { 2 } } ^ { \prime \prime } ( r ) = ( k _ { 2 } ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } ) u _ { k _ { 1 } } ( r ) u _ { k _ { 2 } } ( r ) .
\begin{array} { r l } & { ( A B ) ^ { i } _ { j } = A ^ { i } _ { k } B ^ { k } _ { j } } \\ { \mathrm { o r } \quad } & { ( A B ) ^ { i j } = A ^ { i } _ { k } B ^ { k j } } \\ { \mathrm { o r } \quad } & { ( A B ) _ { i j } = A _ { i k } B ^ { k } _ { j } } \\ { \mathrm { o r } \quad } & { ( A B ) _ { i } ^ { j } = A _ { i k } B ^ { k j } } \\ { \mathrm { o r } \quad } & { . . . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } t _ { + , \ensuremath { \mathrm { s s } } } = t _ { + , \ensuremath { \mathrm { a p p } } } = \frac { D _ { + } ^ { \mathrm { s } } } { D _ { + } ^ { \mathrm { s } } + D _ { - } ^ { \mathrm { s } } }
\sigma ( M ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { 3 / 4 } } & { f o r \mu < 1 } \\ { N ^ { 1 / 2 } ( p - p _ { c } ) ^ { - \alpha / 4 } } & { f o r \mu > 1 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { \rho _ { i } } & { ( t + 1 ) = \frac { \operatorname* { P r } ( Y _ { t + 1 } \mid i ) \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } { \sum _ { j \in \Omega } \operatorname* { P r } ( Y _ { t + 1 } \mid j ) \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } } & { = \frac { \operatorname* { P r } ( Y _ { t + 1 } \mid i ) \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } { q \sum _ { j \in S _ { y _ { t + 1 } } } \rho _ { j } ( y ^ { t } ) + p \sum _ { j \in \Omega \setminus S _ { y _ { t + 1 } } } \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { k + 1 } } & { = } & { \frac { { { \mathbb E } } Z ^ { k } Z ^ { k + 1 } } { \theta _ { k } \theta _ { k + 1 } } = \frac { { { \mathbb E } } ( \theta _ { k - 1 } \bar { Z } ^ { k - 1 } + \bar { a } ) _ { + } ( \theta _ { k } \bar { Z } ^ { k } + \bar { a } ) _ { + } } { \sqrt { { { \mathbb E } } ( \theta _ { k - 1 } \bar { Z } ^ { k - 1 } + \bar { a } ) _ { + } ^ { 2 } { { \mathbb E } } ( \theta _ { k } \bar { Z } ^ { k } + \bar { a } ) _ { + } ^ { 2 } } } \ , } \\ & { = } & { \frac { { { \mathbb E } } ( \bar { Z } ^ { k - 1 } + \bar { a } / \theta _ { k - 1 } ) _ { + } ( \bar { Z } ^ { k } + \bar { a } / \theta _ { k } ) _ { + } } { \sqrt { { { \mathbb E } } ( \bar { Z } ^ { k - 1 } + \bar { a } / \theta _ { k - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } { { \mathbb E } } ( \bar { Z } ^ { k } + \bar { a } / \theta _ { k } ) _ { + } ^ { 2 } } } \ . } \end{array}
\{ S ^ { p } , T ^ { r } \} = \left( \sum _ { k _ { p } = 0 } ^ { r } . . . \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 3 } } \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { k _ { 2 } } \alpha ^ { k _ { 1 } } \alpha ^ { k _ { 2 } } . . . \alpha ^ { k _ { p } } \right) S ^ { p } T ^ { r } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } ^ { \prime \prime } } & { = \frac { 2 \alpha ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \Omega } \frac { ( W - 1 ) ^ { 2 } ( 4 W ^ { 4 } - 4 W ^ { 3 } - 4 W \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) } { ( 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + 2 W ) ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( r ) } \\ { \Gamma } & { = \frac { \alpha ^ { 4 } n _ { i , 0 } \Omega } { \mu m _ { e } n _ { e , 0 } \Delta } \frac { ( W - 1 ) ^ { 2 } ( 2 W ^ { 3 } - 2 W ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) } { ( 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + 2 W ) ^ { 2 } ( W ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } - W ) } + \mathcal { O } ( r ) \, , } \\ { \mathrm { w i t h } \quad \Delta } & { = c ^ { 2 } ( n _ { e , 0 } + n _ { i , 0 } ) \left[ V ^ { 2 } - \frac { n _ { i , 0 } } { n _ { e , 0 } + n _ { i , 0 } } \nu ^ { 2 } \right] + \mathcal { O } ( r ) \, . } \end{array}
\omega _ { + } - \omega _ { - } = 2 p \zeta _ { 1 } - \frac { 2 } { t _ { \mathrm { R } } } \left( \frac { \delta _ { + } - \delta _ { - } + L [ \hat { D } _ { \mathrm { S } } ( \Omega _ { \mathrm { p } } ) - \hat { D } _ { \mathrm { S } } ( - \Omega _ { \mathrm { p } } ) ] } { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { x ^ { i } = \frac { R } { \cos { \psi } } \, \alpha ^ { i } \ , \quad x ^ { 5 } = \frac { R } { \cos { \psi } } \, \sin { \psi } \qquad \mathrm { w i t h } \quad \psi \in { \cal I } _ { \psi } \equiv \left( - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \eta _ { i j } \alpha ^ { i } \alpha ^ { j } = - 1 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \rho _ { i } \mathsf { E } [ W _ { i } ( t + 1 ) \mid \theta = i , Y ^ { t } = y ^ { t } ] - C = } & { \sum _ { i \in S _ { 0 } } \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \left( q a _ { i } + \! p b _ { i } \right) + \! \sum _ { i \in S _ { 0 } } \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \left( q d _ { i } + \! p c _ { i } \right) } \\ { \ge } & { \sum _ { i \in S _ { 0 } } \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \left( q a _ { i } + \! p b _ { i } \right) - \sum _ { i \in S _ { 1 } } \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) ^ { 2 } \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) - \alpha } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ { \ge } & { \sum _ { i \in S _ { 0 } } \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \left( q a _ { i } \! + \! p b _ { i } \right) \! - \! \frac { 1 \! + \! \alpha } { 2 } \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } \alpha \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( \varepsilon , \delta ) = \frac { L ^ { 2 \ensuremath { d } _ { 0 } } \log ( 1 / \delta ) } { p _ { 0 } } \Big ( \frac { c } { \varepsilon } \Big ) ^ { \ensuremath { d } _ { 0 } + 2 } + \frac { \log ( 1 / \delta ) } { \mathbb { L } ^ { 2 } p _ { 0 } r _ { 0 } ^ { \ensuremath { d } _ { 0 } + 1 } } L ^ { \ensuremath { d } _ { 0 } } \frac { \log ( 1 / \delta ) } { p _ { 0 } } \log ^ { \ensuremath { d } _ { 0 } + 2 } ( 1 / \varepsilon ) , \quad \mathrm { a n d } \quad \overline { { b } } ( \varepsilon , \delta ) = \varepsilon / 2 . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { t o t a l } } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \mathbf { r } _ { 3 } , \mathbf { r } _ { 4 } ) = \Psi _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) \Psi _ { \mathrm { B } } ( \mathbf { r } _ { 3 } , \mathbf { r } _ { 4 } )
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 0 } } & { = - 8 B _ { 3 } \Gamma _ { 2 } , } \\ { \Gamma _ { 1 } } & { = \alpha \left( \frac { 4 } { 1 - \bar { \omega } } - \frac { 2 } { 1 - 4 \bar { \omega } ^ { 2 } } - 2 \right) , } \\ { \Gamma _ { 2 } } & { = \alpha \left( \frac { 2 } { 1 - \bar { \omega } } + \frac { 1 } { 1 - 4 \bar { \omega } ^ { 2 } } - 1 \right) , } \\ { \Gamma _ { 3 } } & { = \alpha \left( \frac { 2 } { 1 + \bar { \omega } } - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } } & { = 1 - \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 3 } } \\ { \gamma _ { 2 } } & { = - \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 } } \left( a _ { 3 } - \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { ( a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } E \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } , \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 } } { a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right) } \\ { \gamma _ { 3 } } & { = \frac { a _ { 2 } } { a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 } } \left( a _ { 2 } - \frac { a _ { 1 } a _ { 3 } } { ( a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } E \left( \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } , \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } } { a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 } } \right) \right) . } \end{array}
p _ { 2 } ^ { \prime } = \pm \sqrt { c _ { 2 } \, ( p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) + \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) \mathsf { A } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } \, , \qquad \quad \psi _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { \mathsf { A } ^ { 2 } c _ { 1 } } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, .
A _ { 0 } ^ { \prime } ( y ) ( 4 \eta ( y , t ) + \sigma ( y , t ) ) + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 3 } \left( \xi _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( y ) \delta \xi ( y , t ) - \xi _ { 0 } ^ { \prime } ( y ) \delta \xi ^ { \prime } ( y , t ) + ( \xi _ { 0 } ^ { \prime } ( y ) ) ^ { 2 } \frac { \delta b ( y , t ) } { b _ { 0 } } \right) = 0 + O ( m _ { B } ^ { 4 } / k ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l r } { \| Q ^ { K } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } & { \leq } & { \| Q ^ { K } - Q ^ { * } \| _ { \mu } + \| Q ^ { * } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 4 } \right) ^ { \frac { K } { 2 } } \| Q ^ { 0 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } + \frac { 1 } { 1 - \gamma } \| \Pi _ { \mu } Q ^ { \pi } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 8 } \right) ^ { K } \| Q ^ { 0 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } + \frac { 1 } { 1 - \gamma } \| \Pi _ { \mu } Q ^ { \pi } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { d } _ { 0 } ^ { ( 1 , 0 ) [ 1 ] } } & { = - 3 } \\ { \tilde { d } _ { h } ^ { ( 1 , 0 ) [ 0 ] } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac 1 3 - 3 \gamma _ { E } + \frac { 1 3 } { 9 } \log ( 2 ) } & { \qquad h = 0 } \\ { \Gamma ( h ) \Big ( 6 - \frac { 3 } { 2 ^ { h } } \Big ) } & { \qquad h > 0 } \end{array} \right. } \\ { \tilde { d } _ { 0 } ^ { ( 0 , 1 ) [ 0 ] } } & { = \frac 1 5 \Big ( \log ( 2 ) - \log ( 3 ) \Big ) \, . } \end{array}
| D _ { ( x , y ) } \psi ( x , y ) | \leq C _ { 2 } ^ { \prime } x ^ { \bar { \alpha } } \leq C _ { 2 } ^ { \prime } \big ( x _ { P _ { 0 } ^ { 1 } } | _ { \theta _ { 1 } = \theta ^ { \mathrm { s } } + \frac { \sigma } { 2 } } \big ) ^ { \bar { \alpha } - 1 } x \qquad \, \mathrm { f o r ~ ( x , y ) ~ \in ~ \mathcal { R } \big ( ~ \overline { { \Omega } } \cap \mathcal { D } ^ 5 _ \epsilon \big ) ~ } \, ,
\begin{array} { r l r } { \hat { W } _ { j } } & { { } = } & { \mu _ { \mathrm { ~ B ~ } } g _ { J } \mathbf { B } \cdot \left( \hat { V } _ { j } \hat { Q } _ { 1 } \hat { \mathbf { J } } + \hat { \mathbf { J } } \hat { Q } _ { 1 } \hat { V } _ { j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 \left( \frac { c } { B _ { 0 } } k _ { Z } k _ { \theta 0 } \lvert A _ { 0 } \rvert \right) ^ { 2 } \frac { b _ { 0 } } { b _ { Z } } \left[ \frac { 1 - \omega _ { A } ^ { 2 } / ( 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) } { \hat { \chi } _ { i Z } ( \omega _ { Z } / \omega _ { 0 } ) } \left( \frac { 1 } { \hat { \epsilon } _ { A + } } - \frac { 1 } { \hat { \epsilon } _ { A - } } \right) + \left( \frac { 1 } { \hat { \epsilon } _ { A + } } + \frac { 1 } { \hat { \epsilon } _ { A - } } \right) \right] } \\ & { } & { = - 1 , } \end{array}
\langle H _ { 1 } \rangle = \left\langle \frac { q ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 2 m } \right\rangle \approx \frac { q ^ { 2 } } { 4 m } \left( \frac { R _ { G } } { R } \right) ^ { 2 n } \left( \frac { R } { n } \right) ^ { 2 } \tilde { B } ^ { 2 } \left( z \right)
\vec { H } ( \vec { z } _ { j } ) - \vec { v } _ { j } \times \vec { D } ( \vec { z } _ { j } ) = - \vec { \nabla } ( C _ { 0 } ( \vec { x } ) - \vec { C } ( \vec { x } ) \cdot \vec { v } ( \vec { x } ) ) \Bigg | _ { \vec { x } = \vec { z } _ { j } } ,
\begin{array} { r l } { \| x ( t ) \| _ { X } } & { \leq M \Big ( e ^ { - \lambda t } \| x _ { 0 } \| _ { X } + \| B \| \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \lambda ( t - r ) } \| u ( r ) \| _ { U } d r \Big ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { M \xi ( \| u ( r ) \| _ { U } ) d r } } } \\ & { \leq M \Big ( e ^ { - \lambda t } \| x _ { 0 } \| _ { X } + \| B \| \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( r ) \| _ { U } d r \Big ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { M \xi ( \| u ( r ) \| _ { U } ) d r } } . } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } | \omega | \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \chi _ { - } ^ { 2 } } - \chi _ { - } ^ { 2 } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \chi _ { + } ^ { 2 } } + \chi _ { + } ^ { 2 } \right) \ \ \ .
{ \hat { \mu } } _ { \mathrm { M A P } } = { \frac { \sigma _ { m } ^ { 2 } \, n } { \sigma _ { m } ^ { 2 } \, n + \sigma _ { v } ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } \right) + { \frac { \sigma _ { v } ^ { 2 } } { \sigma _ { m } ^ { 2 } \, n + \sigma _ { v } ^ { 2 } } } \, \mu _ { 0 } = { \frac { \sigma _ { m } ^ { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } \right) + \sigma _ { v } ^ { 2 } \, \mu _ { 0 } } { \sigma _ { m } ^ { 2 } \, n + \sigma _ { v } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \int { \frac { d ^ { D } \! p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } { \frac { ( p ^ { 2 } ) ^ { R } } { [ p ^ { 2 } - C ] ^ { M } } } } & { = } & { { \frac { i ( - 1 ) ^ { R + M } } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } C ^ { R - M + D / 2 } } } } \\ & { \times } & { { \frac { \Gamma ( R + D / 2 ) \, \Gamma ( M - R - D / 2 ) } { \Gamma ( D / 2 ) \, \Gamma ( M ) } } } \end{array}
\widetilde { D } _ { x x } ^ { \textrm { ( a g g ) } } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \mathcal { F } [ \widetilde { D } _ { x x } ^ { \textrm { ( e s t ) } } + \aleph \, \partial _ { x } \widetilde { D } _ { x x } ^ { \textrm { ( e s t ) } } ] } { 1 + i \aleph k _ { x } } \right\} .
\frac { 1 } { 3 } ~ \frac { ( { 3 \nu ^ { \prime } \mathrm { ~ l ~ n ~ } N ^ { \prime } - \mathrm { ~ l ~ n ~ } \phi } ) } { ( { \mathrm { ~ l ~ n ~ } N ^ { \prime } - \mathrm { ~ l ~ n ~ } \phi } ) }
J ^ { \mu } = \bar { u } _ { \nu } \left\{ \gamma ^ { \mu } ( g _ { V } - g _ { A } \gamma ^ { 5 } ) - \frac { i } { 2 m _ { \tau } } \sigma ^ { \mu \nu } Q _ { \nu } ( \kappa - i \tilde { \kappa } \gamma ^ { 5 } ) \right\} u _ { \tau } \; ,
\begin{array} { r l } & { - \varepsilon \frac { d } { d t } \langle \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a ^ { ( s ) } , b ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| a ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad = - \langle \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a ^ { ( s ) } , \varepsilon \partial _ { t } b ^ { ( s ) } + \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { x } a ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad - \varepsilon \langle \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } \partial _ { t } a ^ { ( s ) } , b ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Theta | } & { \stackrel { \approx _ { \delta } } N _ { j + 1 } \leq \Delta ^ { - \epsilon } N _ { j } \stackrel { \approx _ { \delta } } \Delta ^ { - \epsilon } | \mathcal { T } _ { j - 1 } ( \mathbf { p } ) | _ { \Delta } } \\ & { \stackrel { \approx _ { \delta } } \Delta ^ { - \epsilon } | \widehat { \mathcal { T } } _ { j - 1 } ( \mathbf { p } ) | _ { \Delta } \sim \Delta ^ { - \epsilon } | \Theta _ { \mathbf { p } } | , \qquad \mathbf { p } \in \mathcal { Q } . } \end{array}
W [ \phi , \rho ] = W _ { + } [ \phi ] + W _ { - } [ \rho ] - \int d ^ { 2 } x [ B _ { - } J _ { + } ( \phi ) + B _ { + } J _ { - } ( \rho ) ] + { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } x B _ { + } B _ { - } ,
\begin{array} { r l } { \Re \int _ { \Omega } ( - \Delta ) ^ { s } \Bar { \psi } ( - \Delta ) ^ { s } ( B \psi ) } & { { } = \Re \left\langle ( - \Delta ) ^ { s } \psi , ( - \Delta ) ^ { s } ( B \psi ) \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta ^ { a _ { 1 } } h _ { \mathrm { e f f } } ( \Omega ) = } \\ & { \mathrm { R e } \left[ 2 i k \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { \mathrm { L O } } ^ { * } a _ { j } ( \Omega ) \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle h ( x , y ) \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { j } \rangle \right] . } \end{array}
{ \cal R } _ { i j } = \frac { 1 } { m } \mathrm { T r } \left\{ \left( \partial _ { ( i } { \cal E } \right) { \cal P } ^ { - 1 } \left( \partial _ { j ) } { \cal E } ^ { \dagger } \right) { \cal P } ^ { - 1 } \right\} = - \frac { 1 } { 2 m } \mathrm { T r } \left\{ \left( \partial _ { ( i } { \cal M } \right) \partial _ { j ) } { \cal M } ^ { - 1 } \right\} .
\begin{array} { r l } { \lVert U _ { 1 } ^ { \prime } U _ { 0 } ^ { \prime } - U _ { 1 } U _ { 0 } \rVert } & { = \lVert U _ { 1 } ^ { \prime } ( U _ { 0 } ^ { \prime } - U _ { 0 } ) + ( U _ { 1 } ^ { \prime } - U _ { 1 } ) U _ { 0 } \rVert } \\ & { \leq \lVert U _ { 1 } ^ { \prime } \rVert \lVert ( U _ { 0 } ^ { \prime } - U _ { 0 } ) \rVert + \lVert ( U _ { 1 } ^ { \prime } - U _ { 1 } ) \rVert \lVert U _ { 0 } \rVert } \\ & { = \lVert ( U _ { 0 } ^ { \prime } - U _ { 0 } ) \rVert + \lVert ( U _ { 1 } ^ { \prime } - U _ { 1 } ) \rVert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E ( t , \tau ) } { \partial t } } & { = \left[ - 1 + i ( | E | ^ { 2 } - \Delta _ { 0 } ) + i \hat { \beta } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E } \\ & { + S _ { + } e ^ { - i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i a _ { + } t } + S _ { - } e ^ { i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i a _ { - } t } , } \end{array}
i D _ { \mu } \left( \bar { Q } _ { v } ^ { ( \pm ) } \, \Gamma C \, Q _ { v } ^ { ( \mp ) } \right) : = \bar { Q } _ { v } ^ { ( \pm ) } \, \Gamma C ( i D _ { \mu } ) \, Q _ { v } ^ { ( \mp ) } + \bar { Q } _ { v } ^ { ( \pm ) } \, ( \stackrel { \longleftarrow } { i D _ { \mu } } ) \Gamma C \, Q _ { v } ^ { ( \mp ) }
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } e ^ { x } } { ( e ^ { x } - 1 ) ^ { k } } } \mathrm { d } x = { \frac { n ! } { ( k - 1 ) ! } } \zeta ^ { n } \prod _ { j = 0 } ^ { k - 2 } \left( 1 - { \frac { j } { \zeta } } \right)
\begin{array} { r l r } { N } & { { } = } & { ( D _ { + } ^ { 2 } - a _ { - } ) ^ { 2 } + a _ { c o } ^ { 2 } = ( D _ { - } ^ { 2 } - a _ { + } ) ^ { 2 } + a _ { c o } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { S } ( \Delta ) } { \partial \Delta } \Bigg | _ { m _ { \mathrm { e x } } = 0 } = \frac { 3 } { 2 } \frac { \ \mathcal { S } ( \Delta ) \Big | _ { m _ { \mathrm { e x } } = 0 } } { \Delta + 2 \omega _ { \mathrm { r e c } } / m _ { \mathrm { e x } } } .
\begin{array} { r } { { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 + m , 1 + q ; 1 ; z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { + \infty } \frac { \Gamma ( m + k + 1 ) ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { m + q + 1 } } { \Gamma ( 1 + m ) \Gamma ( 1 + q ) \Gamma ( m - q + k + 1 ) } \frac { 1 } { k ! } \big ( \frac { 1 } { z } \big ) ^ { k + m + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } } ^ { ( 4 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 \pi H _ { 4 , j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } } ^ { ( 3 ) } } { 2 \mathrm { i } \left( j _ { 1 } \kappa _ { j _ { 1 } } + j _ { 2 } \kappa _ { j _ { 2 } } + j _ { 3 } \kappa _ { j _ { 3 } } + j _ { 4 } \kappa _ { j _ { 4 } } \right) } } & { \mathrm { ~ i f ~ ( j _ 1 , j _ 2 , j _ 3 , j _ 4 ) ~ \in ~ \mathcal { A } _ 4 ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \alpha } _ { i } Q _ { B } ^ { T } \hat { u } _ { i } } & { = Q _ { B } ^ { T } Q _ { B } \hat { v } _ { i } - \hat { \beta } _ { i - 1 } Q _ { B } ^ { T } \hat { u } _ { i - 1 } } \\ & { = ( I _ { n } - Q _ { A } ^ { T } Q _ { A } ) \hat { v } _ { i } - \hat { \beta } _ { i - 1 } Q _ { B } ^ { T } \hat { u } _ { i - 1 } } \\ & { = \hat { v } _ { i } + ( - 1 ) ^ { i } Q _ { A } ^ { T } ( \alpha _ { i } u _ { i } + \beta _ { i - 1 } u _ { i - 1 } ) - \hat { \beta } _ { i - 1 } Q _ { B } ^ { T } \hat { u } _ { i - 1 } . } \end{array}
| A _ { R } ( 2 ^ { \prime } ) - \tilde { A } _ { R } ( 2 ^ { \prime } ) | \leq 2 | A ^ { T } ( 2 ^ { \prime } ) | \approx \frac { | V _ { u s } | } { | V _ { u d } | } \frac { 2 f _ { K } } { f _ { \pi } } | A ( 3 ) | .
\begin{array} { r l } { U _ { I } ( t , t _ { 0 } ) = } & { { } \: 1 - \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d s \: H _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { I } ( s ) + \left( - \frac { i } { \hbar } \right) ^ { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d s _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } d s _ { 2 } \: H _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { I } ( s _ { 1 } ) H _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { I } ( s _ { 2 } ) } \end{array}
\sigma _ { 1 , y } \left| \psi ( \mathcal { M } , i ) \right> = \frac { ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \Xi _ { \mathcal { M } } ^ { ( i ) \frac { 1 } { 2 } } } \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { r } \left| r \right> \otimes \sum _ { \Phi \in \Tilde { \mathcal { P } } } \bigg [ \sum _ { \substack { n = 0 , \, n \notin \mathcal { M } } } ^ { \infty } \lambda _ { y } ^ { 2 n } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi } ^ { ( i ) } + \sum _ { m \in \bar { \mathcal { M } } } \lambda _ { y } ^ { 2 m } \sum _ { \Phi \in \mathcal { P } _ { m } } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi \cdot \Phi ^ { \prime } } ^ { ( i ) } \bigg ] ( \Phi \left| r \right> \left| \mathcal { M } \right> ) .
V _ { e } \, = \, - 2 i \pi \, \hat { \theta } _ { e } \, \int d p _ { 0 } ^ { \prime } d p _ { 0 } \delta ( p _ { 0 } ^ { \prime } \! - \! \mu _ { e } ) \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } K _ { e } ^ { T } ( p _ { 0 } ^ { \prime } , p _ { 0 } ) \delta ( p _ { 0 } \! - \! \mu _ { e } ) \, \hat { \theta } _ { e } ,
\begin{array} { r l } & { \phi \rho _ { s } \big ( \partial _ { t } { \bf u } + { \bf u } \boldsymbol { \cdot } \nabla { \bf u } \big ) = \phi \rho _ { s } { \bf g } - \nabla p + \mathrm { d i v } \, \boldsymbol { \tau } - \phi \nabla p _ { f } + \beta ( \phi ) ( { \bf u } _ { f } - { \bf u } ) , } \\ & { ( 1 - \phi ) \rho _ { f } \big ( \partial _ { t } { \bf u } _ { f } + { \bf u } _ { f } \boldsymbol { \cdot } \nabla { \bf u } _ { f } \big ) = ( 1 - \phi ) \rho _ { f } { \bf g } - ( 1 - \phi ) \nabla p _ { f } - \beta ( \phi ) ( { \bf u } _ { f } - { \bf u } ) , } \end{array}