harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
j ( i d _ { P _ { n } } ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , j ( i d _ { P _ { \overline { { n } } } } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , j ( \alpha _ { n } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { X } & { 0 } \end{array} \right) , j _ { \beta _ { n } } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { Y } & { 0 } \end{array} \right) , j ( \alpha _ { \overline { { n } } } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { X } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , j ( \beta _ { \overline { { n } } } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { Y } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { l l } { \overline { { f } } ( a _ { 1 } a _ { 2 } \dots a _ { n } , b _ { 1 } b _ { 2 } \dots b _ { m } ) = \hfill } \\ { { \displaystyle 1 - \frac { 2 \operatorname* { s u p } \{ | \mathcal { M } | : \mathcal { M } \mathrm { \ i s \ a \ m a t c h \ b e t w e e n \ } a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } \mathrm { \ a n d \ } b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { m } \} } { n + m } . } } \end{array}
\mathcal { J } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } ( \mathbf { x } , v _ { \parallel } , \mathbf { w } ) = 3 . 5 e ^ { - 2 \mathcal { T } ( \mathbf { x } , v _ { \parallel } , \mathbf { w } ) / t _ { \operatorname* { m a x } } }
S = \int _ { - { \frac { T } { 2 } } } ^ { { \frac { T } { 2 } } } d t \int _ { - { \frac { R } { 2 } } } ^ { { \frac { R } { 2 } } } d x \left( - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \right)
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 1 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega k _ { 4 } } ^ { i } \frac { \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } s ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } s ) ) } { s - k } d s \bigg \} , } \\ & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { i } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \frac { \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) } { s - k } d s \bigg \} , \quad \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { i } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \frac { \ln f ( s ) } { s - k } d s \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ^ { w } ( t ) } & { : = \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , \ldots , \ell \} } \| w _ { i } ( t ) \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } + \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , \ldots , \ell \} } \frac { \nu _ { i } q _ { 0 } ( q _ { 0 } - 1 ) } { 4 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } - 2 } | \nabla w _ { i } | ^ { 2 } \, d x d s } \\ & { \leq \| w _ { 0 } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } + C _ { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { t } ( 1 + a ^ { u } ( s ) + a ^ { v } ( s ) ) X ^ { w } ( s ) d s + M ( t ) , } \end{array}
\frac { I ^ { s f } } { I _ { c } } = \frac { ( f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } - f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( f _ { x x } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { s f } } \omega _ { y } ^ { 2 } ) ( \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { { \mathcal K } _ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } \frac { 2 \{ \omega + ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } - \omega ) \sin ^ { 2 } \theta \} ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } - \omega ) \sin \theta \cos \theta } { \sqrt { 2 ( G ( \omega ; \mu ) - G ( \omega + ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } - \omega ) \sin ^ { 2 } \theta ; \mu ) } } d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } \frac { \{ \omega + ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } - \omega ) \sin ^ { 2 } \theta \} \sqrt { 2 ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } - \omega ) } \cos \theta } { \sqrt { - \int _ { 0 } ^ { 1 } g ( \omega + s ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } - \omega ) \sin ^ { 2 } \theta ; \mu ) d s } } d \theta < \infty , } \\ { { \mathcal K } _ { 4 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } \frac { \sqrt { 2 ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } - \omega ) } \cos \theta } { \sqrt { - \int _ { 0 } ^ { 1 } g ( \omega + s ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } - \omega ) \sin ^ { 2 } \theta ; \mu ) d s } } d \theta < \infty , } \end{array}
{ \cal M } _ { f } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { g _ { f } v _ { 1 ( 2 ) } } } \\ { { \Lambda _ { f } } } & { { \hat { M } ^ { F } } } \end{array} \right) \, , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \hat { M } _ { \alpha \beta } ^ { F } = \sum _ { k } h _ { F } ^ { k } \, \langle \xi _ { \alpha \beta } ^ { k } \rangle
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I n t e r s e c t i n g ~ c u r v e s : } } & { \beta _ { 1 } = ( 5 , 3 , 1 ) ^ { \top } ~ , ~ ~ \beta _ { 2 } = ( 5 , 3 + \gamma , 1 + \gamma ) ^ { \top } , } & { \gamma \geq 0 } \\ { \mathrm { P a r a l l e l ~ c u r v e s : } } & { \beta _ { 1 } = ( \delta , 5 , 1 ) ^ { \top } ~ , ~ ~ \beta _ { 2 } = ( 0 , 5 , 1 ) ^ { \top } , } & { \delta \geq 0 . } \end{array}
g ( x , y ) = - \frac { 1 } { 2 } \left( 2 \frac { y } { 1 - \beta x } - \frac { 1 } { \tilde { A } } \right) \pm \sqrt { \frac { 1 } { 4 } \left( 2 \frac { y } { 1 - \beta x } - \frac { 1 } { \tilde { A } } \right) ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { ( 1 - \beta x ) ( 1 - \beta y ) } } .
H _ { T } = \int d x ^ { 1 } \mathrm { T r } \left\{ - \omega _ { 0 } ( D _ { 1 } \pi _ { \omega _ { 1 } } - [ \pi _ { \phi } , \phi ] ) - ( \phi ^ { 2 } + \{ \pi _ { \omega _ { 1 } } , \phi \} ) B + \lambda _ { \omega _ { 0 } } \pi _ { \omega _ { 0 } } + \lambda _ { B } \pi _ { B } \right\} .
\begin{array} { r l } { \sum _ { g \ge 1 } f ( g ) } & { = - \sum _ { g \ge 1 } \int _ { g } ^ { \infty } f ^ { \prime } ( t ) d t = - \int _ { 0 } ^ { \infty } [ t ] f ^ { \prime } ( t ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( t ) d t + \int _ { 0 } ^ { \infty } \{ t \} f ^ { \prime } ( t ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } W ( u ) \frac { d u } { u } - \int _ { 0 } ^ { \infty } \{ t \} \biggl ( \frac { v W ^ { \prime } ( v / t } { t ^ { 3 } } + \frac { W ( v / t ) } { t ^ { 2 } } \biggr ) d t } \\ & { = J ( W ) - \frac { 1 } { v } \int _ { 0 } ^ { \infty } \{ v / u \} ( W ^ { \prime } ( u ) u + W ( u ) ) d u . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { i } - v _ { i + 1 } = \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } I _ { i _ { k _ { l } } = m } , } \\ { \mu _ { i } - \mu _ { i + 1 } = \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } I _ { j _ { k _ { l } } = m } , } \\ { \lambda _ { i } - \lambda _ { i + 1 } = \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } I _ { k = m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 2 r } \overline { U } ^ { 2 } \, \frac { d \varrho } { \varrho ^ { 1 + 2 \, s } } } & { \le \frac { 1 } { N \, \omega _ { N } } \, \int _ { 0 } ^ { 2 r } \left( \int _ { \partial B _ { \varrho } } U ^ { 2 } \, d \mathcal { H } ^ { N - 1 } \right) \, \frac { d \varrho } { \varrho ^ { N + 2 \, s } } } \\ & { = \frac { 1 } { N \, \omega _ { N } } \, \int _ { B _ { 2 r } } \frac { U ( h ) ^ { 2 } } { | h | ^ { N + 2 \, s } } \, d h = \frac { 1 } { N \, \omega _ { N } } \, \iint _ { B _ { r } \times B _ { 2 r } } \frac { | \widetilde { u } ( x ) - \widetilde { u } ( x + h ) | ^ { 2 } } { | h | ^ { N + 2 \, s } } \, d x \, d h . } \end{array}
^ { 4 4 } \mathrm { ~ S ~ c ~ } ~ \to ~ ^ { 4 4 } \! \mathrm { ~ C ~ a ~ } ^ { * } ~ + ~ e ^ { + } ~ + ~ \nu ~ + ~ \gamma ( 1 . 1 6 ~ \mathrm { ~ M ~ e ~ V ~ } , 2 . 6 1 ~ \mathrm { ~ p ~ s ~ } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { \leq \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } ( 1 + x \gamma ^ { \prime } ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \gamma ^ { \prime } } } x ^ { 4 } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } e ^ { - x } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq \frac { 3 } { 2 } \Gamma ( 3 ) . } \end{array}
\phi _ { 2 } = \frac { g \phi _ { 1 } } { s - m ^ { 2 } } \to \phi _ { 2 } ^ { r e n } = \frac { g } { \sqrt { Z _ { 1 } } ( s - m ^ { 2 } ) } = \frac { g _ { r e n } } { s - m ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { x _ { i } \in \{ - 1 , + 1 \} } } & { { } \sum _ { i , j } a _ { i j } x _ { i } x _ { j } } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } } & { { } ( \sum _ { j } t _ { i , j } x _ { j } ) ^ { 2 } = 0 \leq \kappa ^ { 2 } n _ { i } ^ { 2 } , i = 1 , \ldots , s } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho ( t , x ) + \nabla \cdot \big ( \rho ( t , x ) \nabla _ { x } \Phi ( t , x ) \big ) = \beta \Delta _ { x } \rho ( t , x ) , } \\ & { \partial _ { t } \Phi ( t , x ) + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla _ { x } \Phi ( t , x ) \| ^ { 2 } = - \beta \Delta _ { x } \Phi ( t , x ) , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , \quad \Phi ( T , x ) = - V ( x ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { V } } & { = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \textsc { p } \textsc { q } } v _ { \textsc { q } \textsc { q } } ^ { \textsc { p } \textsc { p } } + \frac { i } { 4 } \sum _ { \substack { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } } f _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { ( A ) } \hat { \gamma } _ { \textsc { p } _ { 1 } , 0 } \hat { \gamma } _ { \textsc { p } _ { 2 } , 1 } } \\ & { + \frac { i } { 4 } \sum _ { \substack { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } f _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { ( B ) } \hat { \gamma } _ { \textsc { q } _ { 1 } , 0 } \hat { \gamma } _ { \textsc { q } _ { 2 } , 1 } } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } } \mathrm { s y m } ( v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ) \hat { \gamma } _ { \textsc { p } _ { 1 } , 0 } \hat { \gamma } _ { \textsc { p } _ { 2 } , 1 } \hat { \gamma } _ { \textsc { q } _ { 1 } , 0 } \hat { \gamma } _ { \textsc { q } _ { 2 } , 1 } , } \end{array}
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = ( \frac { f _ { - } } { f _ { + } } ) ^ { \alpha } d x _ { / / } ^ { 2 } + f _ { - } ^ { \beta _ { - } } f _ { + } ^ { \beta _ { + } } ( r ^ { 2 } d \Omega _ { 8 - p } ^ { 2 } + d r ^ { 2 } )
\tilde { Q } _ { \mathrm { s s } } ( s ) \simeq \exp \left[ - \frac { \nu _ { 0 } } { \tau } \int _ { s _ { \mathrm { u v } } } ^ { s } \frac { s d s } { e ^ { - s / \tau } - 1 + s / \tau } \right] = \exp \left[ - \nu _ { 0 } ( s - s _ { \mathrm { u v } } ) - \nu _ { 0 } \tau \log \left( \frac { e ^ { - s / \tau } - 1 + s / \tau } { e ^ { - s _ { \mathrm { u v } } / \tau } - 1 + s _ { \mathrm { u v } } / \tau } \right) \right] ~ .
\begin{array} { r } { \sigma _ { \psi } ^ { 2 } = ( 2 { \pi } \nu ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { \kappa _ { 0 } } \phi _ { n } ( \kappa ) { \kappa } d { \kappa } d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \overline { { p } } } & { = - ( 1 + q _ { w } ) \overline { { \rho } } _ { d } g , } \\ { \overline { { p } } } & { = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v s } R _ { v } ) \overline { { T } } , } \\ { \overline { { \rho } } _ { v s } R _ { v } \overline { { T } } } & { = e _ { \mathrm { r e f } } \left( \frac { \overline { { T } } } { T _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { \frac { c _ { p v } - c _ { l } } { R _ { v } } } \exp \left( \frac { L _ { \mathrm { r e f } } - ( c _ { p v } - c _ { l } ) T _ { \mathrm { r e f } } } { R _ { v } } \left( \frac { 1 } { T _ { \mathrm { r e f } } } - \frac { 1 } { \overline { { T } } } \right) \right) , } \\ { \theta _ { e } } & { = \overline { { T } } \left( \frac { \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } \overline { { T } } } { p _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { - R _ { d } / ( c _ { p d } + c _ { l } q _ { w } ) } \exp \left( \frac { ( L _ { \mathrm { r e f } } + ( c _ { p v } - c _ { l } ) ( \overline { { T } } - T _ { \mathrm { r e f } } ) ) \overline { { \rho } } _ { v s } } { \overline { { \rho } } _ { d } ( c _ { p d } + c _ { l } q _ { w } ) \overline { { T } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { \bf M \ t h e o r y } } } & { { \quad \quad { \bf I I B \ t h e o r y } } } \\ { { g _ { \mu \nu } ^ { ( M ) } \quad } } & { { \quad \quad \quad g _ { \mu \nu } ^ { ( B ) } } } \\ { { g _ { \mu \alpha } ^ { ( M ) } \quad } } & { { \quad \quad \quad B _ { \mu 9 } ^ { ( \alpha ) } } } \\ { { g _ { \alpha \beta } ^ { ( M ) } \quad } } & { { \quad \quad \quad \rho , g _ { 9 9 } ^ { ( B ) } } } \\ { { C _ { \mu \nu \rho } \quad } } & { { \quad \quad \quad A _ { \mu \nu \rho 9 } } } \\ { { C _ { \mu \nu \alpha } \quad } } & { { \quad \quad \quad B _ { \mu \nu } ^ { ( \alpha ) } } } \\ { { C _ { \mu \nu \alpha \beta } \quad } } & { { \quad \quad \quad g _ { \mu 9 } ^ { ( B ) } } } \end{array}
G _ { \mathrm { v a l } - \mathrm { s e a } } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } ( x ^ { + } , x ^ { - } , s , b ) = \int d x _ { q _ { v } } ^ { + } \sum _ { i } D _ { \mathrm { v a l } - \mathrm { s e a } } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } , i } ( x _ { q _ { v } } ^ { + } x ^ { - } s , b ) \, \bar { F } _ { \mathrm { p a r t } } ^ { h _ { 1 } , i } ( x _ { q _ { v } } ^ { + } , x ^ { + } - x _ { q _ { v } } ^ { + } ) \, F _ { \mathrm { p a r t } } ^ { h _ { 2 } } ( x ^ { - } )
N _ { C S } = \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { V } \vec { { \cal Y } } \cdot \vec { { \cal H } } _ { { \cal Y } } d ^ { 3 } x = \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 8 n B _ { 0 } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \frac { { \cal R } ^ { 2 } d { \cal R } } { \bigr [ { \cal R } ^ { 2 } + 1 \bigl ] ^ { 4 } } = \frac { g ^ { 2 } n B _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { i \dot { \vec { v } } _ { A } ( t ) = } & { { } M _ { A } \vec { v } _ { A } ( t ) + i \sqrt { K } \vec { v } _ { i n } ^ { A } ( t ) , } \\ { \vec { v } _ { A } ( t ) = } & { { } \left[ a _ { 1 } ( t ) , b ( t ) , a _ { 2 } ( t ) \right] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V } & { = \left[ \left( \frac { a + b } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { a - b } { 2 } \right) ^ { 2 } \right] h } \\ & { = 1 8 \times ( 1 , 1 2 ; 1 5 + 0 ; 4 5 ) } \\ & { = 1 8 \times ( 1 , 1 3 ) } \\ & { = 2 1 , 5 4 ~ \mathrm { { \fontfamily { q p l } \selectfont ~ v o l u m e - s a r } } . } \end{array}
\int \cosh ( a x + b ) \sin ( c x + d ) \, d x = { \frac { a } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \sinh ( a x + b ) \sin ( c x + d ) - { \frac { c } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \cosh ( a x + b ) \cos ( c x + d ) + C
\delta { \hat { \xi } } ^ { { \hat { \imath } } } = \delta ^ { { \hat { \imath } } 6 } [ - \Lambda ^ { ( 0 ) } + \frac { m } { 2 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) { \rho } ^ { ( 0 ) } - \frac { m } { 2 } ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \sigma ^ { ( 0 ) } \omega ^ { ( 0 ) } ] \, ,
\begin{array} { r l } { y ( s ) } & { = D + \frac { \hat { C } \ln ( \overline { { a } } / \overline { { \rho } } ^ { 2 } ) } { 3 } + \pi \hat { C } \Bigg [ d \int _ { + \infty } ^ { s } \mathrm { A i } ( s ^ { \prime } ) \mathrm { d } s ^ { \prime } + \int _ { s } ^ { 0 } \mathrm { G i } ( s ^ { \prime } ) \mathrm { d } s ^ { \prime } } \\ & { + \operatorname* { l i m } _ { s _ { \infty } \rightarrow + \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { s _ { \infty } } \mathrm { G i } ( s ^ { \prime } ) \mathrm { d } s ^ { \prime } - \frac { 1 } { \pi } \ln s _ { \infty } \right) \Bigg ] = } \\ & { = D + \frac { \hat { C } \ln ( \overline { { a } } / \overline { { \rho } } ^ { 2 } ) } { 3 } + \pi \hat { C } \Bigg [ d \int _ { + \infty } ^ { s } \mathrm { A i } ( s ^ { \prime } ) \mathrm { d } s ^ { \prime } + \int _ { s } ^ { 0 } \mathrm { G i } ( s ^ { \prime } ) \mathrm { d } s ^ { \prime } + 0 . 2 3 9 \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { 1 , \quad } & { h = 1 , } \\ & { B _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) , \quad } & { h = 2 , } \\ & { \sum _ { s _ { 2 } ^ { k } \in \mathcal { S } } \cdots \sum _ { s _ { h - 1 } ^ { k } \in \mathcal { S } } B _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) \cdots B _ { h - 1 } ( s _ { h } ^ { k } \vert s _ { h - 1 } ^ { k } , a _ { h - 1 } ^ { k } ) , \quad } & { h \geq 3 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { { \bf X } _ { I } } ( \omega _ { ~ b c } ^ { a } ) \mathrm { { \bf ~ h } } _ { a } = { \bf R } ( { \bf X } , \mathrm { { \bf ~ h } } _ { c } ) \mathrm { { \bf ~ h } } _ { b } - { \bf T } ( { \bf X } , \nabla _ { c } \mathrm { { \bf ~ h } } _ { b } ) + \nabla _ { c } { \bf T } ( { \bf X } , \mathrm { { \bf ~ h } } _ { b } ) + \nabla _ { c } \nabla _ { b } { \bf X } - \nabla _ { \nabla _ { c } \mathrm { { \bf ~ h } } _ { b } } { \bf X } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \left( u _ { a } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ^ { 2 } \mathbb { E } [ H _ { a \alpha } ^ { 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] \mathbb { E } \left[ R _ { a \alpha } \frac { \partial { \texttt X } } { \partial H _ { a \alpha } } { \texttt X } ^ { D - 2 } \overline { { { \texttt X } } } ^ { D } \big | \Omega _ { \varepsilon } \right] \right| } \\ & { ~ ~ ~ \leq C N ^ { - 1 + 4 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 4 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ^ { P } ( t ) } & { = - \frac { t ^ { 2 } } { 6 0 } F ^ { \prime } ( t ) - \frac { 1 } { 1 0 } F ^ { \prime \prime } ( t ) , } \\ { * [ 1 m m ] F _ { 2 } ^ { P } ( t ) } & { = \Big ( \frac { 1 } { 3 5 0 } + \frac { 2 t ^ { 3 } } { 1 5 7 5 } \Big ) F ^ { \prime } ( t ) + \Big ( \frac { 1 1 t } { 1 0 5 0 } + \frac { t ^ { 4 } } { 7 2 0 0 } \Big ) F ^ { \prime \prime } ( t ) + \frac { t ^ { 2 } } { 6 0 0 } F ^ { \prime \prime \prime } ( t ) + \frac { 1 } { 2 0 0 } F ^ { ( 4 ) } ( t ) , } \end{array}
d f / f _ { 0 } = P _ { \mathrm { o p t } } \frac { d f / f _ { 0 } } { d n _ { \mathrm { q p } } } \frac { d n _ { \mathrm { q p } } } { P _ { \mathrm { o p t } } } = P _ { \mathrm { o p t } } \frac { d f / f _ { 0 } } { d n _ { \mathrm { q p } } } \frac { \eta \tau _ { \mathrm { q p } } } { \Delta V _ { L } } ,
- { \cal D } _ { f } ( { \cal D } _ { f } - 1 ) \Psi = s ( 1 - s ) \Psi = s { \bar { s } } \Psi = E _ { n } \Psi \Rightarrow s = { \frac { 1 } { 2 } } + i p _ { n } = { \frac { 1 } { 2 } } + i \sqrt { E _ { n } - { \frac { 1 } { 4 } } } .
\begin{array} { r l } { A } & { { } = a + \alpha ^ { 2 } c + \alpha f } \\ { B } & { { } = b + \beta ^ { 2 } c + \beta e } \\ { C } & { { } = 2 \alpha \beta c + d + \alpha e \beta f } \\ { D } & { { } = 2 \alpha \gamma c + \gamma f + g + \alpha i } \\ { E } & { { } = 2 \beta \gamma c + \gamma e + h + \beta i } \\ { F } & { { } = \gamma ^ { 2 } c + \gamma i + j } \end{array}
{ \cal V } ( z ) = - \left( \frac { 2 \alpha ^ { 2 } - m ^ { 2 } } { | 1 - \alpha ^ { 2 } z ^ { 2 } | } - \frac { \alpha ^ { 2 } } { | 1 + \alpha z | } \delta ( 1 + \alpha z ) - \frac { \alpha ^ { 2 } } { | 1 - \alpha z | } \delta ( 1 - \alpha z ) \right)
c o r r e s p o n d i n g t o S I S O ( s i n g l e -- i n p u t , s i n g l e -- o u t p u t ) a d d i t i v e f e e d b a c k i n t e r c o n n e c t i o n . I t i s a c o m - p r e - L i e s u b a l g e b r a a s , t h e p r e - L i e -- a l g e b r a c o r r e s p o n d i n g t o a d d i t i v e f e e d b a c k i s d e f i n e d o n t h e s p a c e o f
n _ { s \mathbf { q } } = n _ { s \mathbf { q } } ^ { 0 } \left[ 1 - ( 1 + n _ { s \mathbf { q } } ^ { 0 } ) \frac { \mathbf { \nabla } T \cdot \mathbf { F } _ { s \mathbf { q } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \right] ,
\langle \Psi _ { 0 } | \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i a } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = \sum _ { c = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } [ \mathcal { R } _ { i } ] _ { c \alpha } \dag , [ \Delta _ { i } ( \mathbf { 1 } - \Delta _ { i } ) ] _ { c a } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dag , .
\int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { q ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { q ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \approx \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { q } - \mathbf { x } _ { i } ^ { q } ) \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { y } _ { j } ^ { q } - \mathbf { y } _ { i } ^ { q } ) } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { q } - \mathbf { x } _ { i } ^ { q } ) \right) ^ { 2 } } \right) .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \displaystyle \tilde { m } _ { n } ^ { \pm } } } & { { = } } & { { \frac { 2 n - 1 } { R } \pm m _ { q } ( \phi _ { H } ) } } \\ { { \displaystyle m _ { n } ^ { \pm } } } & { { = } } & { { m _ { q } ( \phi _ { H } ) \pm \frac { 2 n } { R } } } \\ { { \displaystyle m _ { 0 } } } & { { = } } & { { m _ { q } ( \phi _ { H } ) = \frac { 2 } { \pi R } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \pi } { 2 } y _ { q } R \phi _ { H } \right) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \widetilde { x } _ { - } } & { \; : = \; e ^ { 2 C _ { 0 } } \, \frac { ( B ^ { 2 } + 4 A C ) C } { B ^ { 3 } } \; = \; \frac { \big [ \big ( \Lambda - 1 - C _ { 3 } \epsilon ^ { 2 } ( \Lambda + 1 ) \big ) ^ { 2 } + 4 \Lambda ( C _ { 2 } + C _ { 3 } \epsilon ) ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \big ] ( C _ { 2 } + C _ { 3 } \epsilon ) \, e ^ { 2 C _ { 0 } } \, \epsilon } { \left( \Lambda - 1 - C _ { 3 } \epsilon ^ { 2 } \left[ \Lambda + 1 \right] \right) ^ { 3 } } \, , } \\ { \widetilde { x } _ { + } } & { \; : = \; e ^ { - 2 C _ { 0 } } \, \frac { B ^ { 2 } - 2 A C } { A B } \; = \; \frac { \big ( \Lambda - 1 - C _ { 3 } \epsilon ^ { 2 } ( \Lambda + 1 ) \big ) ^ { 2 } \, - \, 2 \, \Lambda \, ( C _ { 2 } + C _ { 3 } \epsilon ) ^ { 2 } \, \epsilon ^ { 2 } } { \big ( \Lambda - 1 - C _ { 3 } \epsilon ^ { 2 } ( \Lambda + 1 ) \big ) \, \Lambda \, ( C _ { 2 } + C _ { 3 } \epsilon ) \, e ^ { 2 C _ { 0 } } \, \epsilon } \, . } \end{array}
\mathfrak { u } _ { r } ^ { \varphi } ( x ) : = \left( \textnormal { m e d } ( u , B _ { r } ) - r ( \varphi _ { B _ { r } } ^ { - } ) ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 r } \right) \right) \vee T _ { B _ { r } } u ( x ) \wedge \left( \textnormal { m e d } ( u , B _ { r } ) + r ( \varphi _ { B _ { r } } ^ { - } ) ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 r } \right) \right) .
H _ { Z } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \otimes H _ { X } + \left[ \begin{array} { l l l l l } { \gamma } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes I _ { n } .
| u ( t , x ) - u ( t _ { 0 } , y ) | \leq A \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } \left[ \frac { | x - y | ^ { \alpha } } { t _ { 0 } ^ { \alpha / 2 } } + \frac { ( t - t _ { 0 } ) ^ { \frac { \alpha } { 2 ( \alpha + 1 ) } } } { t _ { 0 } ^ { \frac { \alpha } { 2 ( \alpha + 1 ) } } } \right] ,
\cos ( \frac { k _ { 1 } ^ { \prime } \wedge k _ { 2 } ^ { \prime } } { 2 s ^ { 2 } } ) \cos ( \frac { k _ { 3 } ^ { \prime } \wedge k _ { 4 } ^ { \prime } } { 2 s ^ { 2 } } ) = \cos ( \frac { k _ { 1 } ^ { \prime } \wedge k _ { 2 } ^ { \prime } } { 2 } - t k _ { 1 } ^ { \prime } \wedge k _ { 2 } ^ { \prime } ) \cos ( \frac { k _ { 3 } ^ { \prime } \wedge k _ { 4 } ^ { \prime } } { 2 } - t k _ { 3 } ^ { \prime } \wedge k _ { 4 } ^ { \prime } )
M = \left( \begin{array} { l l } { { { \bf 1 } + { \vec { q } } \otimes { \vec { g } } } } & { { { \vec { q } } \otimes { \vec { q } } } } \\ { { - { \vec { g } } \otimes { \vec { g } } } } & { { { \bf 1 } - { \vec { g } } \otimes { \vec { q } } } } \end{array} \right)
M _ { Q \bar { Q } \rightarrow B C } ^ { F } ~ = ~ < \chi _ { F } ^ { B } ( 1 3 ) \chi _ { F } ^ { C } ( 4 2 ) | { \mathbf { 1 } } _ { F } ^ { ( 4 3 ) } | \chi _ { F } ^ { f _ { 0 } } ( 1 2 ) >