harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { | a _ { 1 } | } & { \leq } & { | b | \left( 1 - \frac { \rho } { 2 } \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho + l } \right) - ( r - \rho ) \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho + l } \right) - 2 x ^ { 2 } \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho + l } \right) \right) } \\ & { + } & { | b | \left( - 2 x y \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho + l } \right) \right) } \\ & { = } & { | b | \left( 1 - \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho + l } \right) \left( \frac { \rho } { 2 } + ( r - \rho ) + 2 x ^ { 2 } - 2 | x y | \right) \right) } \\ & { = } & { | b | \left( 1 - \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho + l } \right) \left( - \frac { \rho } { 2 } + 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 | x y | \right) \right) \leq | b | } \end{array}
2 \mathbb { E } ^ { 3 } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} + 4 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \right\} | ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} + \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \right\} | ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \}
d _ { \omega } \big ( C ( f _ { n } ) ( x _ { n } ) , C ( f _ { n } ) ( y _ { n } ) \big ) = \operatorname* { l i m } _ { \omega } \frac { 1 } { c _ { n } } d \big ( f _ { n } ( x _ { n } ) , f _ { n } ( y _ { n } ) \big ) \leq \operatorname* { l i m } _ { \omega } \frac { 1 } { c _ { n } } L \cdot d ( x _ { n } , y _ { n } ) + v _ { n } ( | x _ { n } | \vee | y _ { n } | )
N ( k ) = \frac { \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } \left( \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 3 } + \epsilon _ { \mathrm { + } } \right) } { 2 \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } \left( 2 \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 2 } - 1 \right) + 2 \epsilon _ { \mathrm { { m } } } \left( \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { l } { \rho _ { t } + u \rho _ { x } + w \rho _ { z } = 0 } \\ { \varsigma _ { t } + u \varsigma _ { x } + w \varsigma _ { z } + \rho _ { x } \big ( g z - \frac 1 2 ( u ^ { 2 } + w ^ { 2 } ) \big ) _ { z } + \frac 1 2 \rho _ { z } \big ( u ^ { 2 } + w ^ { 2 } \big ) _ { x } = 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { P } } _ { j } ( t ) } & { { } = a _ { j } \mathcal { P } _ { j } ( t ) + Q b _ { j } \tilde { \mathcal { P } } _ { j } ( t ) + \xi _ { j } , } \\ { \dot { \tilde { \mathcal { P } } } _ { j } ( t ) } & { { } = a _ { j } \tilde { \mathcal { P } } _ { j } ( t ) - Q ( t ) b _ { j } \mathcal { P } _ { j } ( t ) + \tilde { \xi } _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } [ \| R \| _ { 2 } ^ { 2 } \geq t \mu ] } & { \leq \operatorname* { P r } \Big [ \operatorname* { m a x } _ { i \in [ d ] } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \eta _ { i j } \geq t \mu \Big ] = \operatorname* { P r } \Big [ \bigcup _ { i \in [ d ] } \Big \{ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \eta _ { i j \geq t \mu } \Big \} \Big ] } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { d } \operatorname* { P r } \Big [ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \eta _ { i j } \geq t \mu \Big ] = d \operatorname* { P r } \Big [ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \eta _ { 1 j } \geq t \mu \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H [ v , \mathbf { B } ^ { \prime } , \mathbf { A } ] } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( - \mathrm { i } \nabla _ { k } + \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { k } ) ) ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { B } ^ { \prime } ( \mathbf { r } _ { k } ) \cdot \mathbf { S } _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ i \in \mathbb { S } : \langle v , \varpi _ { { \mathcal { O } } _ { i } } \rangle = C ( [ i ] ) \} } & { = \{ i \in \mathbb { S } \setminus \! J : \langle v , \varpi _ { { \mathcal { O } } _ { i } } \rangle = C ( [ i ] ) \} } \\ & { = \{ i \in \mathbb { S } \setminus \! J : \langle v ^ { \prime } , \varpi _ { { \mathcal { O } } _ { i } } \rangle = C ( [ i ] ) \} . } \end{array}
\frac { W _ { + } [ \phi _ { 0 } ] - W _ { - } [ \phi _ { 0 } ] } { f [ \phi _ { 0 } ] } \ = \, f r a c { W _ { + } ^ { \prime } [ \phi _ { 0 } ] - W _ { - } ^ { \prime } [ \phi _ { 0 } ] } { f ^ { \prime } [ \phi _ { 0 } ] } \ = \ T \ .
\begin{array} { r l r } { \log _ { 1 0 } { \left( \frac { \eta } { 1 ~ \mathrm { ~ P ~ } } \right) } } & { { } = } & { - 3 . 5 5 + \frac { 5 0 8 4 . 9 ~ \mathrm { ~ K ~ } } { T - 5 8 4 . 9 ~ \mathrm { ~ K ~ } } . } \end{array}
( ) \lesssim \frac { 1 } { \lambda } \| \chi ( \frac { r } { R } ) \lambda \epsilon ( \lambda r ) \| _ { \dot { H } _ { m } ^ { 1 } } \lesssim \frac { 1 } { \lambda } E [ \chi ( \frac { r } { R } ) \lambda \epsilon ( \lambda r ) + \lambda Q ( \lambda r ) ] ^ { 1 / 2 } \lesssim \frac { 1 } { \lambda } E [ \chi ( \frac { r } { R } ) u ] ^ { 1 / 2 } + \frac { 1 } { \lambda ^ { 3 } R ^ { 3 } } .
{ R } _ { \alpha \beta } ^ { ( T \Omega ) } = - 8 \pi \mu \, \varepsilon _ { \alpha \gamma \gamma _ { 1 } } \varepsilon _ { \beta \delta \delta _ { 1 } } m _ { \gamma \gamma _ { 1 } \delta \delta _ { 1 } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } )
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol B _ { \mathrm { o p t } } - \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } \boldsymbol D ^ { - 1 } \boldsymbol F ^ { * } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } = \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } } \big \| \boldsymbol H _ { \boldsymbol \ell } \boldsymbol b _ { \boldsymbol \ell } ^ { \mathrm { o p t } } - \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } \boldsymbol D ^ { - 1 } \boldsymbol f _ { \boldsymbol \ell } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
+ \, \xi _ { W } [ m _ { l } ^ { 2 } ( 2 \xi _ { W } + 1 ) - 3 M _ { W } ^ { 2 } ] m _ { l } ^ { 2 } ( m _ { l } ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) B _ { 0 } \Bigg ( 0 ; \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { \xi _ { W } } , \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { \xi _ { W } } \Bigg ) \Bigg \} \ .
m _ { B } = { \frac { { \Bigl ( } { \vec { A P } } , { \vec { A C } } , \mathbf { k } { \Bigr ) } } { { \Bigl ( } { \vec { A B } } , { \vec { A C } } , \mathbf { k } { \Bigr ) } } } , \quad m _ { C } = { \frac { { \Bigl ( } { \vec { A B } } , { \vec { A P } } , \mathbf { k } { \Bigr ) } } { { \Bigl ( } { \vec { A B } } , { \vec { A C } } , \mathbf { k } { \Bigr ) } } } .
\partial _ { \chi _ { ( A ) } } \Gamma _ { Y _ { 1 } } ( 0 ) \; \; \Gamma _ { \varphi _ { 1 } \varphi _ { 1 } } ( 0 ) + \partial _ { \chi _ { ( A ) } } \Gamma _ { Y _ { 1 } \varphi _ { 1 } } ( 0 ) \; \; \Gamma _ { \varphi _ { 1 } } ( 0 ) = - \partial _ { \xi _ { ( A ) } } \Gamma _ { \varphi _ { 1 } } ( 0 )
{ \hat { H } } _ { \mathrm { D } } = 2 g _ { I } \mu _ { \mathrm { B } } \mu _ { \mathrm { N } } { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { \mathbf { N } \cdot \mathbf { J } } { \mathbf { J } \cdot \mathbf { J } } } { \frac { \mathbf { I } \cdot \mathbf { J } } { r ^ { 3 } } } .
\mathrm { d i s t } _ { { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } } ( \varphi _ { 0 } , \varphi _ { 1 } ) = \operatorname* { i n f } _ { \substack { \gamma _ { \cdot } : [ 0 , 1 ] \mapsto { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } \, \gamma ( 0 ) = \varphi _ { 0 } , \ \gamma ( 1 ) = \varphi _ { 1 } } } \mathscr { L } [ \gamma ] .
\begin{array} { r l } { i \Pi _ { 3 } ^ { \mu \nu } ( p ) } & { { } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { [ ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] } \biggl \{ ( p - k ) ^ { \nu } k ^ { \mu } ( 2 k \cdot k - p \cdot k ) + k ^ { \nu } k ^ { \mu } [ 2 k \cdot ( p - k ) - p \cdot ( p - k ) ] + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } } & { { } = \sigma \left( \ln \left( \frac { \mathbf { I } ^ { \psi } } { \sum \mathbf { I } ^ { \psi } } \right) ^ { T } \mathbf { o } _ { t } + \ln \left( \mathbf { B } _ { \mathbf { u } _ { t - 1 } } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t - 1 } } ^ { * } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \left( \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \right) ^ { - 1 } + \left( \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \right) ^ { - 1 } \right) \succcurlyeq \frac { R ^ { - 1 } + ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } } { 2 } } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \right) ^ { - 1 } L \left( \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \right) ^ { - 1 } \succcurlyeq R ^ { - 1 } L ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq L R ^ { - 1 } L ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } L } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \left( \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \right) R ^ { - 1 } \left( \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \right) ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } \left( \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \frac { 1 } { 8 } \left( I + R ^ { * } R ^ { - 1 } \right) \left( R + R ^ { * } \right) \left( ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } R + I \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \frac { 1 } { 8 } \left( R + R ^ { * } + R ^ { * } + R ^ { * } R ^ { - 1 } R ^ { * } \right) \left( ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } R + I \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \frac { 1 } { 8 } \left( R + R ^ { * } + R ^ { * } + R ^ { * } R ^ { - 1 } R ^ { * } + R ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } R + R + R + R ^ { * } \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \frac { 3 } { 4 } L + \frac { 1 } { 4 } \cdot \frac { R ^ { * } R ^ { - 1 } R ^ { * } + R ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } R } { 2 } } \\ { \Leftrightarrow } & { \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \succcurlyeq \frac { R ^ { * } R ^ { - 1 } R ^ { * } + R ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } R } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t } } & { = } & { 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \oplus } ^ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } + \frac { G M _ { \oplus } } { R _ { \oplus } } \Big ( 1 - \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } J _ { \ell } P _ { \ell 0 } ( 0 ) + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { + \ell } P _ { \ell k } ( 0 ) ( C _ { \ell k } \cos k \phi + S _ { \ell k } \sin k \phi ) \Big ) \Big ] . ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { s u p } _ { \boldsymbol { \xi } \in \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) - k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \mathbf { 1 } _ { \mathfrak { h } _ { N } } \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \boldsymbol { \xi } \in \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \left\vert \mathbf { g } \right\vert \leq \frac { 1 } { N } } k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } + \operatorname* { s u p } _ { \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert \geq N } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { \leq } & { \int _ { \left\vert \mathbf { g } \right\vert \leq \frac { 1 } { N } } \frac { C } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert } \, d \mathbf { g } + \frac { C } { N } \leq C \left( \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { N } } R \, d R + \frac { 1 } { N } \right) } \\ & { = } & { C \left( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N } \right) \rightarrow 0 \mathrm { ~ a s ~ } N \rightarrow \infty \mathrm { . } } \end{array}
m _ { * } = 1 \mathrm { M } _ { \odot } , r _ { * } = 1 \mathrm { R } _ { \odot } , m _ { p } = 1 \mathrm { M } _ { J } , r _ { p } = 1 \mathrm { R } _ { J } , a = 4 . 0 7 2 \times 1 0 ^ { - 2 } \mathrm { ~ A U } , e = 0 . 0 1 , k _ { L , * } = 0 . 0 7 , \tau _ { * } = 4 . 1 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { ~ s } , C _ { * } = 0 . 0 7 , \Omega _ { * } = 2 7 \mathrm { ~ d a y s } , \theta _ { * } = 0 , k _ { L , p } = 0 . 3 , \tau _ { p } = 4 . 1 2 \mathrm { ~ s } , C _ { p } = 0 . 3 , \Omega _ { p } = 0 . 5 \mathrm { ~ d a y s } , \theta _ { p } = 3 0 ^ { \circ }
\begin{array} { r } { T = \left( \frac { { \left( \Lambda ^ { 2 } r ^ { 6 } + 1 2 \, m \Lambda r ^ { 3 } - 3 \, \Lambda r ^ { 4 } + 3 6 \, m ^ { 2 } - 1 8 \, m r \right) } p \left( t \right) } { 9 \, r ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } t \otimes \mathrm { d } t } \\ { + \left( \frac { { \left( \Lambda ^ { 2 } r ^ { 6 } + 1 2 \, m \Lambda r ^ { 3 } - 6 \, \Lambda r ^ { 4 } + 3 6 \, m ^ { 2 } - 3 6 \, m r + 9 \, r ^ { 2 } \right) \rho ( t ) } } { 9 \, r ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } t \otimes \mathrm { d } t } \\ { + \left( - \frac { 3 \, r p \left( t \right) } { \Lambda r ^ { 3 } + 6 \, m - 3 \, r } \right) \mathrm { d } r \otimes \mathrm { d } r + r ^ { 2 } p \left( t \right) \mathrm { d } { \theta } \otimes \mathrm { d } { \theta } } \\ { + r ^ { 2 } p \left( t \right) \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } { \phi } \otimes \mathrm { d } { \phi } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \Sigma } ^ { j + j ^ { \prime } } ( X \times Y \times Z , \Omega _ { X \times Y \times Z } ^ { i + i ^ { \prime } } ( \log \mathrm { p r } _ { X \times Z } ^ { * } \Delta _ { X \times Y } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) ) } \\ & { \to H _ { P ( \Phi _ { X } , \Phi _ { Z } ) } ^ { j + j ^ { \prime } - \dim Z } ( X \times Z , \Omega _ { X \times Z } ^ { i + i ^ { \prime } - \dim Z } ( \log \Delta _ { X \times Z } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) ) } \end{array}
\{ ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime } - 1 , j ^ { \prime } - 1 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } - 1 } , \ldots , ( E _ { z } ) _ { i ^ { \prime \prime } + 2 , j ^ { \prime \prime } + 2 } \}
F _ { 1 } ( x ) = 2 M W _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) \; \; \; \; \; \; \; \; F _ { 2 } ( x ) = \nu W _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) \; \; \; \; \; \; \; \; F _ { 3 } ( x ) = \nu W _ { 3 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } { \delta g _ { s i , - } ^ { ( 2 ) } } & { \simeq } & { - \left[ i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { - } } J _ { 0 } J _ { - } \delta \phi _ { - } \delta \phi _ { 0 } + \frac { ( \Lambda _ { 0 } ^ { s } ) ^ { 2 } } { 4 \omega _ { s } \omega _ { - } } J _ { 0 } ^ { 2 } J _ { s } | \delta \phi _ { 0 } | ^ { 2 } \delta \phi _ { s } \right] } \\ & { \times } & { \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } \frac { e } { T _ { i } } F _ { M i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } \left( x = 0 \right) } & { { } = 1 , } \\ { \partial _ { x } a _ { 1 } \left( x = 1 \right) } & { { } = a _ { 1 } \left( x = 1 \right) . } \\ { \partial _ { x } a _ { 2 } \left( x = 0 \right) } & { { } = - a _ { 2 } \left( x = 0 \right) } \\ { a _ { 2 } \left( x = 1 \right) } & { { } = - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { C | C } = } & { { } ~ w _ { I } ( - c + b ) + \frac { 1 - w _ { I } } { k } \left\{ - c + b + \sum _ { k _ { C } ^ { \prime } = 0 } ^ { k - 1 } { \frac { ( k - 1 ) ! } { k _ { C } ^ { \prime } ! ( k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } ^ { \prime } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 } [ - ( k - 1 ) c + k _ { C } ^ { \prime } b ] } \right\} } \\ { = } & { { } - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | C } ] b . } \end{array}
\dim \mathcal F _ { \lambda , \mu } \leq \left\lbrace \begin{array} { r l } { \dim \mathcal F _ { \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } , \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } } + \dim \mathcal F _ { \lambda - \omega _ { 1 } , \mu - \omega _ { 2 } } - \dim \mathcal F _ { \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } - \omega _ { 2 } , ( \mu _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } } , } & { \mathrm { i f } \, \lambda _ { 2 } = 0 , } \\ { \dim \mathcal F _ { \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } , \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } } + \dim \mathcal F _ { \lambda - \omega _ { 1 } , \mu - \omega _ { 2 } } - \dim \mathcal F _ { \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } - \omega _ { 1 } , ( \lambda _ { 2 } - 1 ) \omega _ { 2 } } , } & { \mathrm { i f } \, \mu _ { 1 } = 0 , } \\ { \dim \mathcal F _ { \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } , \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } } + \dim \mathcal F _ { \lambda - \omega _ { 1 } , \mu - \omega _ { 2 } } - \dim \mathcal F _ { \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } - \omega _ { 1 } , \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } - \omega _ { 2 } } } & \\ { - \dim \mathcal F _ { \zeta _ { \mu } ^ { \lambda } - \lambda _ { 2 } ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) - \omega _ { 2 } , ( \mu _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } } } & { \mathrm { i f } \, \mu _ { 1 } , \lambda _ { 2 } \neq 0 . } \end{array} \right.
g _ { i } = \left\{ 1 . 0 , \; 0 . 6 8 8 6 , \; 0 . 8 8 6 4 , \; 0 . 8 9 1 8 , \; 0 . 2 9 0 3 , \; 1 . 1 0 5 5 \right\} ,
\begin{array} { r } { E _ { 1 } ( \bar { \xi } ) = - \sum _ { k = 0 , \ldots , n - 1 , a _ { k } > 0 } ( a _ { k } ) ^ { 2 } ( u _ { k + 1 } - u _ { k } ) \ln \left( \frac { F ( ( \xi _ { k + 1 } - v _ { k } ) / a _ { k } ) - F ( ( \xi _ { k } - v _ { k } ) / a _ { k } ) } { ( u _ { k + 1 } - u _ { k } ) / a _ { k } } \right) } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 0 , \ldots , n - 1 , a _ { k } = 0 } ( u _ { k + 1 } - u _ { k } ) ( \xi _ { k + 1 } - v _ { k } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = - } & { ( 1 + i \alpha ) E _ { t 0 } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { r 0 } } \\ { + } & { i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } E _ { t \mu _ { 1 } } E _ { t \mu _ { 2 } } E _ { t ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } + 2 E _ { t 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { r \mu _ { 3 } } ) + F _ { t } } \\ { 0 = - } & { ( 1 + i \alpha ) E _ { r 0 } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { t 0 } } \\ { + } & { i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } E _ { r \mu _ { 1 } } E _ { r \mu _ { 2 } } E _ { r ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } + 2 E _ { r 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { t \mu _ { 3 } } ) + F _ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ ( C _ { 1 } - C _ { 3 } ) a _ { 1 } + 1 \right] \cdot } & { { } \left[ ( C _ { 1 } ^ { 2 } - C _ { 3 } ^ { 2 } ) b _ { 1 } ^ { 2 } + 2 C _ { 1 } b _ { 1 } + 1 \right] \cdot } \end{array}
\begin{array} { r } { y = \frac { 1 } { 4 } \big ( \ln \frac { \mathbf { C } _ { 3 } } { \mathbf { C } _ { 4 } } + 2 - \sqrt { ( \ln \frac { \mathbf { C } _ { 4 } } { \mathbf { C } _ { 3 } } - 2 ) ^ { 2 } - 8 ( - \ln \frac { \mathbf { C } _ { 4 } } { 2 \sqrt { \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } } } - \frac { 1 } { 5 } ) } \big ) } \end{array}
\partial _ { t } \hat { g } _ { k , \ell } + i k v ( r ) \hat { g } _ { k , \ell } = \nu \left( \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ( r \partial _ { r } ) - \frac { \ell ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \hat { g } _ { k , \ell } .
\langle \mathcal { S } [ G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } G _ { 2 } ] ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) \mathring { A } _ { 2 } ^ { { 2 , 1 } } \rangle = \sum _ { \sigma } \sigma \, \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } G _ { 2 } E _ { \sigma } \rangle \langle ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) \mathring { A } _ { 2 } ^ { { 2 , 1 } } E _ { \sigma } \rangle
\boldsymbol \alpha = \left[ \begin{array} { c c c c } { \boldsymbol \alpha _ { n - 1 } ^ { ( - P ) } } & { } & { } & { } \end{array} \right] , \; \boldsymbol \zeta = \left[ \begin{array} { c c c c } { \boldsymbol \zeta _ { n } ^ { ( - P ) } } & { } & { } & { } \end{array} \right] , \; \boldsymbol \gamma = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \chi ^ { ( - P ) } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \chi ^ { ( - P + 1 ) } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \chi ^ { ( P ) } } \end{array} \right]
{ \frac { B _ { t o p } } { B _ { \tau } } } = { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { a + b } { b } } { \frac { v _ { w } } { \sqrt { 2 \Gamma _ { s s } D _ { q } } } } { \frac { \int ( J _ { B _ { L } } - J _ { B _ { R } } ) } { \int ( J _ { L _ { L } } - J _ { L _ { R } } ) } } \approx { \frac { 3 } { 8 } } { \frac { v _ { w } } { \sqrt { 2 \Gamma _ { s s } D _ { q } } } } { \frac { D _ { q } } { D _ { \tau _ { R } } } } \bigl ( { \frac { m _ { t } ( T ) } { m _ { \tau } ( T ) } } \bigr ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \overline { { x } } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \overline { { u } } _ { p } , } \\ { S t \frac { \mathrm { d } \overline { { u } } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \overline { { \alpha } } \left( - k \overline { { x } } _ { p } - \overline { { u } } _ { p } \right) - k \overline { { \alpha ^ { \prime } x _ { p } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } { \mathrm { d } t } } & { = 2 \overline { { x _ { p } ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } , } \\ { S t \frac { \mathrm { d } \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } { \mathrm { d } t } } & { = 2 \overline { { \alpha } } \left( - k \overline { { x _ { p } ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } - \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \right) + 2 \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } \left( - k \overline { { x } } _ { p } - \overline { { u } } _ { p } \right) , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { x _ { p } ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } \right) } & { = \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { S t } \left[ \overline { { \alpha } } \left( - k \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } - \overline { { x _ { p } ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } \right) + \overline { { \alpha ^ { \prime } x _ { p } ^ { \prime } } } \left( - k \overline { { x } } _ { p } - \overline { { u } } _ { p } \right) \right] , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } x _ { p } ^ { \prime } } } \right) } & { = \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } , } \\ { S t \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } \right) } & { = \overline { { \alpha } } \left( - k \overline { { \alpha ^ { \prime } x _ { p } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } \right) + \overline { { { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \left( - k \overline { { x } } _ { p } - \overline { { u } } _ { p } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { m } = \frac { k _ { c } F _ { \mathrm { ~ p ~ } } \tau _ { \mathrm { ~ v ~ } } ^ { 2 } } { m } = k _ { c } U \tau _ { \mathrm { ~ v ~ } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \tilde { F } _ { c } = \frac { F _ { c } } { F _ { \mathrm { ~ p ~ } } } = \frac { F _ { c } \tau _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { m U } } \end{array}
\delta E _ { 8 } ^ { T } = { \frac { 1 } { 2 N _ { c } } } { \frac { \alpha _ { s } } { 4 m ^ { 2 } } } { \frac { \pi \langle \alpha _ { s } G ^ { 2 } \rangle } { 6 N _ { c } } } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } F ( n , l ; l _ { 1 } , l _ { 2 } ) G ^ { T } ( j , m , l ; l _ { 1 } , l _ { 2 } ) \rangle \, .
\mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } _ { 1 0 } [ \Gamma ^ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ( \hbar \omega = 1 . 0 5 , 1 . 7 7 , 2 . 3 6 , 3 . 2 8 \mathrm { ~ ~ ~ e ~ V ~ } ; t ) ]
P _ { \pm } ^ { ( j ) } = \pi \int _ { 0 } ^ { \rho } d r _ { \perp } r _ { \perp } \hat { \bf e } _ { z } \cdot \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( { \bf E } _ { \omega , \pm } ^ { ( j ) } \times { \bf H } _ { \omega , \pm } ^ { ( j ) * } \right) ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \lambda } ( \mathcal { P } _ { ( \Lambda _ { T } ( m , n ) ) ^ { \flat } } ( X _ { n } ) ) \leq e ^ { m - 1 } \Big ( \frac { \varphi _ { X _ { n } ^ { \prime } } ( n ) } { \varphi _ { X _ { n } ^ { \prime } } ( m - 1 ) } \Big ) ^ { m - 1 } = e ^ { m - 1 } \Big ( \frac { \varphi _ { X ^ { \prime } } ( n ) } { \varphi _ { X ^ { \prime } } ( m - 1 ) } \Big ) ^ { m - 1 } \, , } \end{array}