harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G ( T , T ^ { \prime } ) } & { \triangleq \mathbb { P } \left[ \frac { S } { I + \sigma ^ { 2 } } > T , S + I < T ^ { \prime } \right] = \mathbb { P } \left[ I < \frac { S } { T } - \sigma ^ { 2 } , I < T ^ { \prime } - S \right] } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { P } \left[ I < \frac { S } { T } - \sigma ^ { 2 } \right] } & { \mathrm { i f } \, \frac { S } { T } - \sigma ^ { 2 } < T ^ { \prime } - S , } \\ { \mathbb { P } \left[ I < T ^ { \prime } - S \right] } & { \mathrm { i f } \, T ^ { \prime } - S < \frac { S } { T } - \sigma ^ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { P _ { \| } } \left( B _ { \| } ^ { * } \; \dot { P } _ { \| } \right) } & { { } = } & { e \, { \bf E } ^ { * } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial { \bf B } ^ { * } } { \partial \partial P _ { \| } } + { \bf B } ^ { * } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, e \frac { \partial { \bf E } ^ { * } } { \partial P _ { \| } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \vec { m } _ { 7 } ( \xi ) | } & { \overset { , } { \le _ { \alpha , S _ { 0 } ^ { + } , \nu } } \mathtt { M } ^ { 1 + \alpha } | i _ { \xi } | ^ { \alpha - 1 } , } \\ { | \vec { m } _ { 7 } ( \xi _ { 1 } ) - \vec { m } _ { 7 } ( \xi _ { 2 } ) | } & { \overset { , } { \le _ { \alpha , S _ { 0 } ^ { + } , \nu } } \mathtt { M } ^ { 1 + \alpha } | i _ { \xi , 1 } - i _ { \xi , 2 } | ( | i _ { \xi , 1 } | + | i _ { \xi , 2 } | ) ^ { \alpha - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { 1 S - 5 S } ( v ) } & { = - 1 ~ 2 2 0 ~ 7 0 3 ~ 1 2 5 - 1 ~ 4 6 4 ~ 8 4 3 ~ 7 5 0 v + 1 ~ 8 5 5 ~ 4 6 8 ~ 7 5 0 v ^ { 2 } + 2 ~ 5 1 9 ~ 5 3 1 ~ 2 5 0 v ^ { 3 } } \\ & { + 5 1 9 ~ 5 3 1 ~ 2 5 0 v ^ { 4 } + 1 1 9 ~ 5 3 1 ~ 2 5 0 v ^ { 5 } + 8 ~ 9 8 0 ~ 4 6 8 ~ 7 5 0 v ^ { 6 } + 4 3 ~ 5 5 7 ~ 6 5 6 ~ 2 5 0 v ^ { 7 } } \\ & { + 3 7 ~ 4 1 5 ~ 8 0 0 ~ 0 0 0 v ^ { 8 } - 1 2 ~ 3 6 3 ~ 9 7 1 ~ 2 5 0 v ^ { 9 } - 1 7 ~ 5 4 1 ~ 3 4 7 ~ 7 5 0 v ^ { 1 0 } - 4 7 1 ~ 9 6 2 ~ 2 5 0 v ^ { 1 1 } } \\ & { + 2 ~ 2 1 3 ~ 5 5 7 ~ 1 5 0 v ^ { 1 2 } + 2 5 7 ~ 2 7 1 ~ 0 7 8 v ^ { 1 3 } - 8 1 ~ 7 5 2 ~ 6 3 0 v ^ { 1 4 } - 1 2 ~ 0 8 0 ~ 8 0 2 v ^ { 1 5 } + 1 0 9 ~ 3 8 1 v ^ { 1 6 } } \\ & { + 1 ~ 6 7 9 ~ 6 1 6 v ^ { 8 } ( - 4 6 ~ 8 7 5 + 2 0 ~ 6 2 5 v ^ { 2 } - 2 ~ 5 4 5 v ^ { 4 } + 9 1 v ^ { 6 } ) \: _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , - v ; 1 - v ; \frac { ( v - 5 ) ( v - 1 ) } { ( v + 5 ) ( v + 1 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \hat { Y } _ { t } d t - S _ { 0 } \right) ^ { + } \right] } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left| \sigma S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } { W } _ { t } d t + S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } ( \bar { \sigma } ^ { \prime } - \omega \lambda ) t d t \right| \right] } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sigma S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ | { W } _ { t } | ] d t + \frac { T } { 4 } ( \bar { \sigma } ^ { \prime } - \omega \lambda ) S _ { 0 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sigma S _ { 0 } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \sqrt { \frac { 2 t } { \pi } } d t + \frac { T } { 4 } ( \bar { \sigma } ^ { \prime } - \omega \lambda ) S _ { 0 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \frac { 2 T } { \pi } } \sigma S _ { 0 } + \frac { T } { 4 } ( \bar { \sigma } ^ { \prime } - \omega \lambda ) S _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { t } } \big ( u A ( x , u ) | \nabla u | ^ { p - 2 } \nabla u \cdot \nabla \eta \big ) \, d x } & { = \int _ { B _ { t } \setminus B _ { s } } \big ( u A ( x , u ) | \nabla u | ^ { p - 2 } \nabla u \cdot \nabla \eta \big ) \, d x } \\ & { \le \frac { 1 } { \mu } \L { p } { \nabla u } { B _ { t } \setminus B _ { s } } ^ { p - 1 } \L { p } { \nabla \eta } { B _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { \mathrm { T } } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { j } a _ { j } ^ { \mathrm { J } } \mathbf { e } _ { j } ^ { + } ( \mathbf { r } _ { \perp } ) \exp ( i \beta _ { j } ( z - z _ { \mathrm { J } } ) ) \ ( z > z _ { \mathrm { J } } ) } \end{array}
\partial _ { \underline { { i } } } \epsilon _ { I } - { \textstyle \frac { i } { 4 } } e ^ { 2 \phi } \bigl ( \partial _ { \underline { { i } } } a \bigr ) \epsilon _ { I } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \sqrt 2 e ^ { - U - \phi } \biggl ( F _ { 0 i } ^ { + ( 1 ) } \alpha _ { I J } + i F _ { 0 i } ^ { + ( 2 ) } \beta _ { I J } \biggr ) \gamma ^ { 0 } \epsilon ^ { J } = 0 \, .
) a c c o r d i n g t o K a s h a ^ { \prime } s r u l e ~ . W e t h e r e f o r e m o d e l l e d o f f - r e s o n a n t p h o t o - e x c i t a t i o n b y s t a r t i n g t h e s i m u l a t i o n s d i r e c t l y i n t h e S
\left. \begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { 0 } } & { = | E _ { x } | ^ { 2 } + | E _ { y } | ^ { 2 } \, , \phantom { Z Z Z Z } } \\ { \mathbf { S } _ { 1 } } & { = | E _ { x } | ^ { 2 } - | E _ { y } | ^ { 2 } \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 2 } } & { = 2 \mathrm { R e } [ E _ { x } E _ { y } ^ { \ast } ] \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 3 } } & { = 2 \mathrm { I m } [ E _ { x } E _ { y } ^ { \ast } ] \, , } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l r } { \bar { \dot { m } } _ { \mathrm { ~ f ~ } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { t _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } } } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } } } \left\vert \dot { m } _ { \mathrm { ~ f ~ } } ( t ) \right\vert \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } s \log ( 1 + \exp ( s / \varepsilon ) ) d s } & { = - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( \log ( t ) ) ^ { 2 } } { t + 1 } d t } \\ & { \ge - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \log ( t ) ) ^ { 2 } d t } \\ & { = - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \underbrace { \left. t ( \log ( t ) ) ^ { 2 } \right| _ { 0 } ^ { 1 } } _ { 0 } + \varepsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \log ( t ) d t } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } \left. t \log t \right| _ { 0 } ^ { 1 } - \varepsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d t = - \varepsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \gamma } _ { k , 2 } } & { = \frac { \mathbf v _ { 2 } ^ { H } \mathbf A _ { k , k , 2 } \mathbf v _ { 2 } } { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathbf v _ { 2 } ^ { H } \mathbf A _ { i , k , 2 } \mathbf v _ { 2 } + \tilde { \sigma } _ { k } ^ { 2 } + \frac { \hat { \sigma } _ { k } ^ { 2 } } { \rho _ { k } } } , } \\ { \bar { \gamma } _ { k , 3 } } & { = \frac { \mathbf v _ { 3 } ^ { H } \mathbf A _ { k , k , 3 } \mathbf v _ { 3 } } { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathbf v _ { 3 } ^ { H } \mathbf A _ { i , k , 3 } \mathbf v _ { 3 } + \sigma _ { k } ^ { 2 } } , } \end{array}
\Bar { \mathbf { x } } ^ { \prime } = ( 0 , \Bar { y } _ { 1 } ^ { \prime } , \Bar { x } _ { 2 } ^ { \prime } , \Bar { y } _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , \Bar { x } _ { N } ^ { \prime } , \Bar { y } _ { N } ^ { \prime } )
V = | \lambda ( v _ { u } v _ { d } - \mu ^ { 2 } ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } ( g ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) ( v _ { u } ^ { 2 } - v _ { d } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } v _ { u } ^ { 2 } + M ^ { 2 } v _ { d } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { l } { \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla h | _ { \Gamma _ { l , r , b } } = \mathbf { n } \cdot K \cdot ( D \cdot \nabla ^ { * } ) h | _ { \Gamma _ { l , r , b } } = 0 , } \\ { h ( x , 1 ) _ { \Gamma _ { t o p } } = \phi ( x ) \quad \mathrm { ~ ( ~ D ~ i ~ r ~ i ~ c ~ h ~ l ~ e ~ t ~ ) ~ } , \quad \mathbf { n } \cdot K \cdot ( D \cdot \nabla ^ { * } ) h | _ { \Gamma _ { t o p } } = - \gamma ( h - \phi ) \quad \mathrm { ~ ( ~ R ~ o ~ b ~ i ~ n ~ ) ~ } , \quad x \in [ 0 , 1 ] , } \end{array} } \end{array}
a _ { 0 | 1 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { h } ( 1 ) \mathcal { P } _ { k } \sigma _ { h } ( \eta ) L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle = \sum _ { p = 0 } ^ { 3 } d _ { p | 1 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { h } ( 1 ) \mathcal { P } _ { k } \sigma _ { h } ( \eta ) L _ { \, - 2 + p } ^ { ( 1 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle
\operatorname* { l i m } _ { \rho \to \infty } d ( \rho ) = \infty ; \quad \operatorname* { l i m } _ { \rho \to \infty } \Delta t ( \rho ) = 0 ; \quad \frac { d } { d \rho } ( d ( \rho ) \Delta t ( \rho ) ) = 0 ,
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { t } \mathcal { M } + \mathcal { M } \mathcal { N } - \mathcal { N } \mathcal { M } \right) \psi \left( x _ { t } \right) = \partial _ { t } \lambda \psi \left( x _ { t } \right) , } \end{array}
\cdot \{ \langle m ; A ; \pm | \frac { \delta : \hat { \mathrm { H } } _ { \pm } : } { \delta A _ { 1 } ( y , t ) } | \overline { { { m } } } ; A ; \pm \rangle \langle \overline { { { m } } } ; A ; \pm | \frac { \delta : \hat { \mathrm { H } } _ { \pm } : } { \delta A _ { 1 } ( x , t ) } | m ; A ; \pm \rangle - ( x \longleftrightarrow y ) \} . \,
\rho _ { N } = 1 - \frac { 4 } { 3 } \frac { T _ { C } } { T _ { H } } - \left( \frac { T _ { E } } { T _ { H } } \right) ^ { 4 } \left[ 1 - \frac { 4 } { 3 } \frac { T _ { C } } { T _ { E } } \right]
\begin{array} { r l } & { C R { B _ { \theta } } = \frac { 1 } { { 2 \gamma L } } } \\ & { \times \frac { { M ( { M s + N p - \frac { N } { M } { | q | } ^ { 2 } } ) } } { { { ( { M i + N a - \frac { N } { M } { { | c | } ^ { 2 } } } ) ( { M s + N p - \frac { N } { M } { { | q | } ^ { 2 } } } ) - { { ( { M k + N e - \frac { N } { M } { c ^ { * } } q } ) } ^ { 2 } } } } } , } \end{array}
g _ { \phi \phi } = { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { ( C ^ { 2 } - 3 B D ) \phi ^ { 2 } + ( B C - 9 A D ) \phi + ( B ^ { 2 } - 3 A C ) } { ( A + B \phi + C \phi ^ { 2 } + D \phi ^ { 3 } ) ^ { 2 } } } \ ,
\mathcal { R } _ { f } = k _ { f , 0 } \left( \frac { C _ { e } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { \Delta z } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \phi _ { p } - \phi ) } ,
\begin{array} { r l } & { b _ { 1 1 } ^ { + - } ( 0 ) = \rho _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) ) } \\ & { b _ { 2 2 } ^ { + - } ( 0 ) = \rho _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) ) } \\ & { b _ { 1 2 } ^ { - + } ( 0 ) = \rho _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) ) } \\ & { b _ { 1 2 } ^ { + - } ( 0 ) = \rho _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) ) } \end{array}
\partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } = \frac { 1 } { \phi } - 2 - 0 . 6 \phi - \frac { 4 } { \pi } \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ R ~ } } \cdot \frac { \phi _ { m } ( \phi - 2 \phi _ { m } ) } { ( \phi - \phi _ { m } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ^ { - 1 } ( \MakeUppercase { \romannumeral 1 } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { C \to 0 + } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathrm { I m \, } \sigma = C } \! e ^ { - i \sigma t _ { b , * } } \MakeUppercase { \romannumeral 1 } \, d \sigma } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \big ( t _ { b , * } ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) + ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) \big ) + \frac { 1 } { 2 } \Big ( ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) + ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) + ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) \Big ) : = ( \hat { g } , \hat { A } ) , } \end{array}
T : ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \rightarrow \left( \textrm { s g n } ( x _ { 2 } ) \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( | x | + x _ { 1 } \right) } , \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( | x | - x _ { 1 } \right) } \right)
= \frac { d } { d \nu } \left. \left[ \int \left\{ \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { v } d ^ { 3 } x \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } | \nabla \left( \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) + \nu \hat { \chi } ( \textbf { x } ) \right) | ^ { 2 } \right\} d t \right] \right\vert _ { \nu = 0 }
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { t + 1 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \chi _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \upsilon _ { t } > 0 } \, \, \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \ge 0 } \, \, \left( \phi _ { t } h ( \tau _ { t } ) \hat { U } _ { t } + F ( \chi _ { t } , \nu _ { t } , \zeta _ { t } , \upsilon _ { t } ) \right) \right) \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \chi _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \upsilon _ { t } > 0 } \left( \phi _ { t } \left( \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { t } \ge 0 } h ( \tau _ { t } ) \right) \hat { U } _ { t } + F ( \chi _ { t } , \nu _ { t } , \zeta _ { t } , \upsilon _ { t } ) \right) \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \chi _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \left( \operatorname* { m i n } _ { \upsilon _ { t } > 0 } \left( \phi _ { t } \mu _ { t } ^ { 2 } \hat { U } _ { t } + F ( \chi _ { t } , \nu _ { t } , \zeta _ { t } , \upsilon _ { t } ) \right) \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \left( \left( 1 + \nu _ { t } \right) \left( \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \left( \frac { c _ { t } ^ { 2 } } { \nu _ { t } } + \left( 1 + \zeta _ { t } \right) \left( \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } \sigma _ { t } ^ { 2 } } { \zeta _ { t } } + \left( \mu _ { t } \sqrt { \hat { U } _ { t } } + 2 \alpha _ { t } L _ { g } \right) ^ { 2 } \right) \right) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \left( \left( 1 + \nu _ { t } \right) \left( \frac { c _ { t } ^ { 2 } } { \nu _ { t } } + \left( \mu _ { t } \sqrt { \hat { U } _ { t } } + \alpha _ { t } \left( \sigma _ { t } + 2 L _ { g } \right) \right) ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { = \left( \mu _ { t } \sqrt { \hat { U } _ { t } } + \alpha _ { t } \sigma _ { t } + c _ { t } + 2 \alpha _ { t } L _ { g } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ddot { f } _ { \omega } ( t ) \! + \! \Big [ \frac { v _ { f } } { v _ { i } } \omega ^ { 2 } \! + \! m _ { \mathrm { e f f } } ( t ) \Big ] f _ { \omega } ( t ) = 0 , } \\ & { m _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = m + \frac { \lambda } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { 2 \gamma } { ( \omega - 1 ) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } | f _ { \omega } ( t ) | ^ { 2 } , } \end{array}
{ \cal J } = \frac { 2 s \beta p _ { { } _ { T } } ^ { 2 } \mathrm { c o s e c } ^ { 2 } \Theta } { z ( s - 2 m _ { p } ^ { 2 } ) \sqrt { m _ { \Lambda _ { c } ^ { + } } ^ { 2 } + p _ { { } _ { T } } ^ { 2 } \mathrm { c o s e c } ^ { 2 } \Theta } } ,
\begin{array} { r } { m ( \varepsilon , \delta ) = c \frac { \gamma ^ { 4 } \log ( 1 / \delta ) } { \varepsilon ^ { 2 } } D _ { \sigma } ( \rho _ { 0 } ( \varepsilon ) ) + c \frac { ( \ensuremath { R } ^ { \sigma } ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 4 } \rho _ { 0 } ( \varepsilon ) } , \quad \mathrm { a n d } \quad \overline { { b } } = \frac { \varepsilon } { c \sqrt { D _ { \sigma } ( \rho _ { 0 } ( \varepsilon ) ) } } , } \end{array}
k _ { 2 } \propto \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } | \langle \nu _ { \mathrm { R } } ^ { j } | \hat { V } _ { j } | \nu _ { \mathrm { L } } ^ { j } \rangle | ^ { 2 } \propto V _ { \mathrm { R L } } ^ { 2 } ,
\int _ { \beta } ^ { \infty } x ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 - \exp [ G ( x , \lambda _ { q } , \lambda _ { s } ) ] } \frac { \partial \varphi ( x , \lambda _ { q } , \lambda _ { s } ) } { \partial \lambda _ { s } } d x \; = \; 0 \; \; .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { a \pm \epsilon _ { 1 } } } & { = [ \overline { { a } } _ { 1 } \pm 1 ] [ \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } \pm 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } \pm 1 ] } \\ { \lambda _ { a \pm \epsilon _ { 2 } } } & { = [ \overline { { a } } _ { 1 } ] [ \overline { { a } } _ { 2 } \pm 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } \mp 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } \pm 1 ] } \\ { \lambda _ { a \pm ( \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } ) } } & { = [ \overline { { a } } _ { 1 } \pm 1 ] [ \overline { { a } } _ { 2 } \pm 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } \pm 2 ] } \\ { \lambda _ { a \pm ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } ) } } & { = [ \overline { { a } } _ { 1 } \pm 1 ] [ \overline { { a } } _ { 2 } \mp 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } \pm 2 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { j _ { l } j _ { l } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ j _ { l } ^ { 2 } ( u ) \left( 1 + \frac { l ( l + 1 ) } { u ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial u } \left( u j _ { l } ( u ) \right) , \right) ^ { 2 } \right] } & { } & { G _ { h _ { l } h _ { l } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ | h _ { l } ( u ) | ^ { 2 } \left( 1 + \frac { l ( l + 1 ) } { u ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \left| \frac { \partial } { \partial u } \left( u h _ { l } ( u ) \right) \right| ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U + \varnothing _ { S } \to U + S \qquad } & { { } S \to \varnothing _ { S } } \\ { \Gamma _ { s \to s + 1 } = u e ^ { - \beta \sigma } \Gamma _ { S } ^ { 0 } \quad \quad } & { { } \Gamma _ { s + 1 \to s } = ( s + 1 ) \Gamma _ { S } ^ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { n } ^ { \mathrm { S R I M } } ( \varepsilon ) } & { { } = } & { \frac { 0 . 5 \ln ( 1 + 1 . 1 3 8 3 \varepsilon ) } { \varepsilon + 0 . 0 1 3 2 1 \varepsilon ^ { 0 . 2 1 2 2 6 } + 0 . 1 9 5 9 3 \varepsilon ^ { 0 . 5 } } , \varepsilon \leqslant 3 0 ; } \\ { S _ { n } ^ { \mathrm { S R I M } } ( \varepsilon ) } & { { } = } & { 0 . 5 \ln ( \varepsilon ) / \varepsilon , \phantom { 3 . 5 \ln ( \varepsilon ) / \varepsilon \ln ( \varepsilon ) } \varepsilon > 3 0 ; } \end{array}
\nabla ^ { 2 } G ( { \bf x } - { \bf y } ) = \delta ^ { 2 } ( { \bf x } - { \bf y } ) , \; \; \; \; \; G ( { \bf x } - { \bf y } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } l n | { \bf x } - { \bf y } | .
\begin{array} { r l } & { S _ { X } ( \omega ) = } \\ & { \frac { | \chi _ { \mathrm { M } } ( \omega ) | ^ { 2 } \left( | 1 - \epsilon _ { \mathrm { f b } } H _ { \mathrm { f b } } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { F _ { \mathrm { N } } } + | g _ { \mathrm { f b } } H _ { \mathrm { f b } } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { X _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { i m p } } } \right) } { | 1 - ( \epsilon _ { \mathrm { f b } } + g _ { \mathrm { f b } } \chi _ { \mathrm { f b } } ) H _ { \mathrm { f b } } | ^ { 2 } } . } \end{array}
L ( \theta ) = \underset { ( s , a ) \sim \pi _ { \theta _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } } } { \mathbb { E } } \left[ \operatorname* { m i n } \left( \frac { \pi _ { \theta } ( a \vert s ) } { \pi _ { \theta _ { o l d } } ( a \vert s ) } , g \left( \epsilon , A ^ { \pi _ { \theta _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } } } ( s , a ) \right) \right) A ^ { \pi _ { \theta _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } } } ( s , a ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } ( \Psi ) } & { { } \equiv } & { \Psi + \Psi _ { 1 } \; = \; \Psi \left( 1 \; + \frac { } { } 2 \, \epsilon \, \nu ( \Psi ) \right) , } \\ { \Phi ^ { * } ( \Psi ) } & { { } \equiv } & { \Phi + \Phi _ { 1 } \; = \; \Phi ( \Psi ) \; + \; \epsilon \, \Psi \, \Phi ^ { \prime } ( \Psi ) \, \nu ( \Psi ) , } \\ { B ^ { * } ( \Psi ) } & { { } \equiv } & { B _ { 0 } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \omega _ { e x } ) } & { = - \frac { 1 } { \pi } \Im \sum _ { \lambda = x , y , z } \langle \Psi _ { 0 } | \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \dagger } \frac { 1 } { \omega _ { e x } - \hat { H } + E _ { 0 } + i \eta } \hat { \mu } _ { \lambda } | \Psi _ { 0 } \rangle , } \\ { \sigma ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) } & { = - \frac { 1 6 \pi \omega _ { e m } ^ { 3 } \omega _ { e x } } { 9 c ^ { 4 } } \sum _ { \rho , \lambda = x , y , z } | \alpha _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { z : = \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ^ { * } \left[ \left( \begin{array} { l } { { \mathcal R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } { \mathcal R } ( \mathcal { P } ) v ( \boldsymbol { m } , \omega , s , \widetilde { \boldsymbol { m } } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) - \widetilde { m } \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \omega , s , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \right] } \end{array}
N _ { \mathrm { r a d } } \approx \frac { 2 \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } { l \mu _ { 0 } ( \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ( - \cos ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) + \sin ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) \Big ) } \frac { ( r _ { 2 } \omega _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } { c _ { 3 } \sqrt { c _ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { { \sf T M w c [ 5 ] } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 9 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \bigg [ x \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } = \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ u ~ l ~ a ~ r ~ i ~ z ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } . } \end{array}
B _ { i j k } ^ { \, \gamma } = { \textstyle \frac { 1 } { 6 } } \, \epsilon _ { a b c } \, q _ { i } ^ { \, \alpha a } q _ { j } ^ { \, \beta \, b } q _ { k } ^ { \, \gamma \, c } \, ( C \gamma ^ { 5 } ) _ { \alpha \beta } \, ,
\begin{array} { r l } { V a r ^ { * } \left( \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } Z _ { i , n } ^ { * } \right) } & { = \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } \frac { C _ { i , j } \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 2 } } { \left( \frac { 1 } { \sqrt { I + n - j } } \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } \right) ^ { 2 } } = \frac { \left( \frac { 1 } { I + n - j } \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j } \right) \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 2 } } { \left( \frac { 1 } { I + n - j } \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 2 } } { \frac { 1 } { I + n - j } \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } } . } \end{array}
\mathrm { E r r } ( \ddot { \bf d } ) = \sqrt { \int _ { 6 0 } ^ { 1 5 0 } { \left\Vert \ddot { \bf d } \left( t \right) - \ddot { \bf d } ^ { \mathrm { r e f } } \left( t \right) \right\Vert ^ { 2 } \ \mathrm { d } t } } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { \mathrm { i n t } } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) = \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { o } ( \omega ) \! \! \prod _ { \alpha = 1 , 2 } \big | \tilde { \ddot { d } } _ { z } ^ { ( \alpha ) } ( \omega ) \big | \, \, \big | \hat { S } ( k _ { x } ^ { ( \alpha ) } , k _ { z } ^ { ( \alpha ) } ) \big | \, \cos \big [ \phi _ { d i p } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) - \phi _ { d i p } ^ { ( 2 ) } ( \omega ) + \Delta \theta _ { \mathrm { o p t } } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) \big ] \, , } \end{array}