harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
[ \Lambda \frac { \partial \phantom { a } } { \partial \Lambda } + \mu \frac { \partial \phantom { a } } { \partial \mu } + \beta _ { 1 } \frac { \partial \phantom { a } } { \partial g _ { 1 } } + \beta _ { 2 } \frac { \partial \phantom { a } } { \partial g _ { 2 } } - \gamma N _ { F } ] \Gamma ^ { ( N ) } ( p _ { 1 } , \ldots p _ { N } ) \approx 0 ,
m _ { B ^ { * } } - m _ { B } = \frac { 2 \hat { C } _ { m } } { 3 m } \hat { \mu } _ { m } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 m ^ { 2 } } \left[ \hat { C } _ { m } \left( \hat { \rho } _ { k m } ^ { 3 } - 2 \hat { \rho } _ { s } ^ { 3 } \right) + \hat { C } _ { m } ^ { 2 } \hat { \rho } _ { m m } ^ { 3 } + \hat { \rho } _ { s } ^ { 3 } \right] \, .
F \cong \varinjlim _ { i } [ \varinjlim _ { j } [ \phi _ { i j } , - ] _ { \mathcal { C } _ { \mathbb { T } } } , - ] _ { M o d _ { \lambda } ( \mathbb { T } ) } \cong \varinjlim _ { i } \varprojlim _ { j } [ [ \phi _ { i j } , - ] _ { \mathcal { C } _ { \mathbb { T } } } , - ] _ { M o d _ { \lambda } ( \mathbb { T } ) } \cong \varinjlim _ { i } \varprojlim _ { j } e v ( \phi _ { i j } )
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { { } = } & { \frac { \rho } { \varepsilon } - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \frac { \partial S } { \partial t } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = } & { - \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } , } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { { } = } & { \mu \varepsilon \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } + \mu \mathbf { j } + \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \nabla S . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k } & { : } & { c _ { 1 , k \hphantom { - k } } { \bf x } ^ { { \bf e } _ { 1 , k \hphantom { - k } } } + c _ { 2 , k \hphantom { - k } } { \bf x } ^ { { \bf e } _ { 2 , k \hphantom { - k } } } = b _ { k } ( t ) } \\ { n - k } & { : } & { c _ { 1 , n - k } { \bf x } ^ { { \bf e } _ { 1 , n - k } } + c _ { 2 , n - k } { \bf x } ^ { { \bf e } _ { 2 , n - k } } = b _ { n - k } ( t ) . } \end{array}
\frac { \mathbb { E } [ \Phi ( X , V _ { t + \Delta { t } } ) ] - \mathbb { E } [ \Phi ( X , V _ { t } ) ] } { \Delta { t } } = \mathbb { E } \left[ B ( X , X ^ { \ast } ) \bigl ( \Phi ( X , \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) ) - \Phi ( X , V _ { t } ) \bigr ) \right] ,
M _ { \nu } \rightarrow U ^ { T } M _ { \nu } U = \left( \begin{array} { c c } { { \left( M _ { D } \right) _ { d i a g } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \left( M _ { D } \right) _ { d i a g } } } \end{array} \right) ,
q _ { i } ^ { * } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mu _ { i } + \frac { \sqrt { \Sigma _ { i i } - \mu _ { i } ^ { 2 } } } { 2 } \frac { 2 \eta - 1 } { \sqrt { \eta ( 1 - \eta ) } } , } & { \mathrm { i f ~ } \frac { \Sigma _ { i i } - \mu _ { i } ^ { 2 } } { \Sigma _ { i i } } < \eta < 1 ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } 0 \leq \eta \leq \frac { \Sigma _ { i i } - \mu _ { i } ^ { 2 } } { \Sigma _ { i i } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ) _ { i } ^ { n + 1 } = ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ) _ { i } ^ { n } + \Delta t \left[ ( J j ^ { \xi } ) _ { i + 1 / 2 } - ( J j ^ { \xi } ) _ { i - 1 / 2 } \right] ^ { n + 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } [ \alpha ] } & { = - \mu _ { L } \alpha ^ { 2 } \hat { K } + \beta ^ { i } \partial _ { i } [ \alpha ] , } & { \partial _ { t } [ \beta ^ { i } ] } & { = \mu _ { S } \alpha ^ { 2 } \tilde { \Gamma } ^ { i } - \eta \beta ^ { i } + \beta ^ { j } \partial _ { j } [ \beta ^ { i } ] , } \end{array}
\partial _ { \mu } ^ { z } \Delta V _ { i } ^ { \mu } ( z , u , v ) = - \frac { i g _ { 1 } } { 2 } [ \delta ^ { 4 } ( z - u ) - \delta ^ { 4 } ( z - v ) ] ( Y _ { R } ^ { i } L + Y _ { L } ^ { i } R ) \Delta \Sigma ^ { i } ( u - v ) \, ,
\mathcal { L } ( f _ { n , \alpha } ) = \frac { \operatorname* { m a x } _ { r \in [ 0 , a ] , \theta \in [ 0 , 2 \pi ] } | f _ { n , \alpha } ( r , \theta ) | } { \operatorname* { m a x } _ { r \in [ 0 , a ] , \theta \in [ 0 , 2 \pi ] } \left| \nabla f _ { n , \alpha } ( r , \theta ) \right| } ,
\begin{array} { r l } { f ( \vec { x } ) } & { = \frac { \exp \! \big ( - \frac { 1 } { 2 } ( \vec { x } - \vec { \mu } ) ^ { \intercal } \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ( \vec { x } - \vec { \mu } ) \big ) } { 2 \pi \sqrt { | \mathbf { \Sigma } | } } , } \\ & { \quad \vec { x } = \left( \begin{array} { l } { x } \\ { E } \end{array} \right) , \quad \vec { \mu } = \left( \begin{array} { l } { \mu _ { x } } \\ { \mu _ { E } } \end{array} \right) , } \\ & { \quad \mathbf { \Sigma } = \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { x } ^ { 2 } } & { \rho \sigma _ { x } \sigma _ { E } } \\ { \rho \sigma _ { x } \sigma _ { E } } & { \sigma _ { E } ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } F + F ^ { \prime \prime } - 9 \frac { K ^ { \prime } } { K } F ^ { \prime } + \bigg [ 1 6 \bigg ( \frac { K ^ { \prime } } { K } \bigg ) ^ { 2 } - \frac { 4 K ^ { \prime \prime } } { K } \bigg ] F = 0 .
\begin{array} { r l } & { \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k + 1 } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 + \frac { 2 } { \alpha _ { x } r \delta } ) \left\| { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } - \Lambda ( { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { Y } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + ( 1 + \frac { \alpha _ { x } r \delta } { 2 } ) \bigg \Vert ( 1 - \alpha _ { x } r ) ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } ) } \\ & { ~ + \alpha _ { x } r ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } - \frac { { \mathbf { Q } } _ { x } ^ { k } } { r } ) \bigg \Vert _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
T _ { \mathrm { B o r e l } } ( m _ { \tau } ^ { 2 } ) = 1 + { \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } \tau \, W _ { \tau } ( \tau ) \, F _ { 1 } \big ( a ( \tau m _ { \tau } ^ { 2 } ) \big ) + { \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } } \, \mathrm { R e } \int _ { - \tau _ { L } } ^ { 0 } \! \mathrm { d } \tau \, W _ { \tau } ( \tau - i \epsilon ) \, ,
\begin{array} { r l } { E _ { \xi } } & { { } = - \frac { \partial \phi } { \partial \mathbf { n } } } \\ { E _ { \eta } } & { { } = - \frac { \partial \phi } { \partial \eta } = - \frac { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 2 } } } \\ { E _ { \tau } } & { { } = - \frac { \partial \phi } { \partial \tau } = - \frac { \phi _ { 3 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 3 } \sin ( \alpha ) } + \frac { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 2 } \tan ( \alpha ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \langle \Phi _ { f } | D \Omega ^ { i , C P D F } | \Phi _ { i } \rangle + \langle \Phi _ { f } | H _ { w } \Omega ^ { i , + } | \Phi _ { i } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \| u \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ( \eta ) ) ^ { 2 } } ^ { 2 } \mathrm { d } \, \mathbb { P } } \\ & { \le ( H - m + 1 ) ^ { 2 } ( C _ { 4 } ( \omega , h ) + ( C _ { 5 } ( \omega , h ) + ( C _ { 6 } ( \omega , h , L _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \int _ { \Omega } \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ( \eta ) ) ^ { 2 } } ^ { 2 } \mathrm { d } \, \mathbb { P } , } \end{array}
\mathbb { P } _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { t } = \frac { \exp { \left( - \eta c _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { t } \right) } } { \sum _ { s _ { i } ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { t } ^ { i } } \sum _ { s _ { j } ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { t } ^ { j } } \exp { \left( - \eta c _ { s _ { i } ^ { \prime } s _ { j } ^ { \prime } , k } ^ { t } \right) } } , \quad t \in \{ b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } \} .
\begin{array} { r } { \varphi = \frac { \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } } { I _ { \mathrm { ~ f ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { 2 } - m _ { \mathrm { ~ f ~ } } B _ { \mathrm { ~ r ~ } , z } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } = \frac { m _ { \mathrm { ~ f ~ } } B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } } { I _ { \mathrm { ~ f ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { 2 } - m _ { \mathrm { ~ f ~ } } B _ { \mathrm { ~ r ~ } , z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { W ( 0 , T ) } ^ { D } v } & { { } = \lambda v \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ i ~ n ~ t ~ } ( \mathcal { M } ) , } \\ { \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \frac { \partial \Phi _ { * } ^ { t } v } { \partial n ^ { t } } \circ \Phi ^ { t } \mathrm { ~ d ~ } t } & { { } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \mathcal { M } ^ { N } , } \\ { v } & { { } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \mathcal { M } ^ { D } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( a _ { g } a _ { h } , b _ { g } b _ { h } ) a _ { g } a _ { h } ( b _ { g } b _ { h } ) ^ { \dagger } } & { = \langle a _ { g } a _ { h } , b _ { g } b _ { h } \rangle = ( - 1 ) ^ { | b _ { g } | | b _ { h } | } \langle a _ { g } \langle a _ { h } , b _ { h } \rangle , b _ { g } \rangle = ( - 1 ) ^ { | b _ { g } | | b _ { h } | } \langle a _ { g } \alpha ( a _ { h } , b _ { h } ) a _ { h } b _ { h } ^ { \dagger } , b _ { g } \rangle } \\ & { = ( - 1 ) ^ { | b _ { g } | | b _ { h } | } \alpha ( a _ { g } \alpha ( a _ { h } , b _ { h } ) a _ { h } b _ { h } ^ { \dagger } , b _ { g } ) a _ { g } \alpha ( a _ { h } , b _ { h } ) a _ { h } b _ { h } ^ { \dagger } b _ { g } ^ { \dagger } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { | b _ { g } | | b _ { h } | } \alpha ( a _ { g } a _ { h } b _ { h } ^ { \dagger } , b _ { g } ) \alpha ( a _ { h } , b _ { h } ) a _ { g } a _ { h } b _ { h } ^ { \dagger } b _ { g } ^ { \dagger } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j - 1 } + [ ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { c e l l } } ] \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j } - \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 1 } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { c e l l } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j } } & { = \mathbf { 0 } \, , } \\ { - \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j } + [ ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { c e l l } } ] \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 1 } - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 2 } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { c e l l } } \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 1 } } & { = \mathbf { 0 } \, . } \end{array}
t _ { \pm } = \frac { 1 } { 6 } \left( 4 u _ { 1 } ^ { 2 } + 5 u _ { 2 } ^ { 2 } \pm \sqrt { 4 u _ { 1 } ^ { 4 } + 2 8 u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 4 } - 7 2 } \right) \, .
u = { \frac { \mathrm { A } } { { \frac { \mathrm { e l e c t r o n } } { { \mathrm { m } } ^ { 3 } } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { 2 } \cdot { \frac { \mathrm { C } } { \mathrm { e l e c t r o n } } } } } = { \frac { \frac { \mathrm { C } } { \mathrm { s } } } { { \frac { 1 } { \mathrm { m } } } { \cdot } { \mathrm { C } } } } = { \frac { \mathrm { m } } { \mathrm { s } } }
\begin{array} { r l } { S _ { x , \pm } ^ { L R } } & { { } = \frac { e ^ { - i \phi _ { \pm } ^ { R } } \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } - e ^ { i \phi _ { \mp } ^ { R } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } { - e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } - \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } + \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } } \\ { S _ { y , \pm } ^ { L R } } & { { } = \frac { i e ^ { - i \phi _ { \pm } ^ { R } } \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } + i e ^ { i \phi _ { \mp } ^ { R } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } { - e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } - \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } + \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } } \\ { S _ { z , \pm } ^ { L R } } & { { } = \frac { - e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } - \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } - \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } { - e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } - \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \cos { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } + \cos { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \sin { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } } \end{array}
a ^ { 5 } + b ^ { 5 } = ( a + b ) \left( a ^ { 2 } - { \frac { 1 - { \sqrt { 5 } } } { 2 } } a b + b ^ { 2 } \right) \left( a ^ { 2 } - { \frac { 1 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } a b + b ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Big \| D ^ { \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \mathcal T _ { \theta } } \ell ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) \cdot } & { D ^ { \alpha _ { 2 } } \frac { \partial ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A ) } { \partial \theta _ { i } } \Big \| _ { L ^ { 1 } } \leq \big \| D ^ { \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \mathcal T _ { \theta } } \ell ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) \big \| _ { L ^ { \infty } } \Big \| D ^ { \alpha _ { 2 } } \frac { \partial ( \mathcal T _ { \theta } \circ \mathcal A ) } { \partial \theta _ { i } } \Big \| _ { L ^ { 1 } } . } \end{array}
\lbrack { \hat { x } } _ { C } ^ { I I } , { \hat { x } } _ { P } ^ { I I } ] = - 3 2 u \partial _ { t u u } ^ { 3 } - 1 6 ( 1 + 2 p _ { 2 } - 2 u ) \partial _ { t u } ^ { 2 } + 3 2 t u \partial _ { u u } ^ { 2 } +
\left\{ \begin{array} { l l } { f \overline { { n } } \overline { { m } } \twoheadrightarrow _ { \beta } \mathbf { j } _ { 1 } ( \mathbf { p } \overline { { m } } \rho ) \textrm { i f } \overline { { m } } \neq \overline { { n } } } \\ { f \overline { { n } } \overline { { m } } \twoheadrightarrow _ { \beta } \mathbf { j } _ { 2 } \rho \textrm { i f } \overline { { m } } = \overline { { n } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( \vec { r } ) = \frac { e ^ { i k _ { \mathrm { ~ m ~ } } | \vec { r } - \vec { r } _ { \ell } | } } { - i k _ { \mathrm { ~ m ~ } } | \vec { r } - \vec { r } _ { \ell } | } \, S _ { \ell } ( \theta , \varphi ) \vec { E } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ e ~ } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I m \{ \widetilde { C } _ { \phi _ { \alpha } } ( z ) \} } & { = 2 k _ { \alpha , z } ^ { 2 } \left[ ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ( 1 - R e \{ \bar { \alpha } z \} ) + 2 ( I m \{ \bar { \alpha } z \} ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \qquad \times \left[ I m \{ \bar { \alpha } z \} ( 1 + | z | ^ { 2 } - 2 R e \{ \bar { \alpha } z \} ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { n } ^ { ( N ) } ( r _ { * } ) = \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - 2 n \right) P _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 n + \frac { 1 } { 2 } } \left( \operatorname { t a n h } r _ { * } \right) , } \end{array}
\mu ^ { \prime } = \left\langle \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } \left( u _ { \mu } ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } q F _ { \mu \nu } ^ { \prime } r _ { 1 } ^ { \prime \nu } \right) \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } = \frac { w ^ { \prime 2 } } { 2 q H ^ { \prime } } .
H _ { \mathrm { ~ X ~ X ~ } } = H _ { \mathrm { ~ X ~ X ~ } } ^ { \uparrow } + H _ { \mathrm { ~ X ~ X ~ } } ^ { \downarrow } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad H _ { \mathrm { X X } } ^ { \uparrow } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k , l } n _ { k } ^ { \uparrow } n _ { l } ^ { \uparrow } \iint \phi _ { k } ^ { \uparrow * } ( { \bf x } ) \phi _ { l } ^ { \uparrow * } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \mathcal { V } _ { \mathrm { e e } } ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) \phi _ { k } ^ { \uparrow } ( { \bf x } ^ { \prime } ) \phi _ { l } ^ { \uparrow } ( { \bf x } ) \mathrm { d } { \bf x } \mathrm { d } { \bf x } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { | M \rho N \rrangle } & { = \left( \sum _ { i j k l } M _ { k i } N _ { l j } ^ { \mathrm { T } } | k \rangle \langle i | \otimes | l \rangle \langle j | \right) | \rho \rrangle } \\ & { = \left( \sum _ { i k } M _ { k i } | k \rangle \langle i | \right) \otimes \left( \sum _ { l j } N _ { l j } ^ { \mathrm { T } } | l \rangle \langle j | \right) | \rho \rrangle } \end{array}
f _ { \mathrm { A p } } ( t _ { \mathrm { A p } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( 1 - e ^ { - { t _ { \mathrm { A p } } } / { \tau _ { \mathrm { r e c } } } } ) \cdot e ^ { - { t _ { \mathrm { A p } } } / { \tau _ { \mathrm { A p } } } } } / { \mathit { N o r m } } } & { 0 < t _ { \mathrm { A p } } < t _ { \mathrm { g a t e } } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \big | \operatorname* { m a x } _ { \bar { x } _ { T } \in [ [ X _ { T } | m _ { T } ] ] } c _ { T } ( \bar { x } _ { T } , u _ { T } ) - \operatorname* { m a x } _ { \bar { x } _ { T } \in [ [ X _ { T } | \mu _ { T } ( x _ { T } ) ] ] } c _ { T } ( \bar { x } _ { T } , u _ { T } ) \big | } \\ { = } & { \big | c _ { T } ( x _ { T } , u _ { T } ) - \operatorname* { m a x } _ { \bar { x } _ { T } \in [ [ X _ { T } | \mu _ { T } ( x _ { T } ) ] ] } c _ { T } ( \bar { x } _ { T } , u _ { T } ) \big | } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { \bar { x } _ { T } \in [ [ X _ { T } | \mu _ { T } ( x _ { T } ) ] ] } | c _ { T } ( x _ { T } , u _ { T } ) - c _ { T } ( \bar { x } _ { T } , u _ { T } ) | } \\ { \leq } & { L _ { c _ { T } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { \bar { x } _ { T } \in [ [ X _ { T } | \mu _ { T } ( x _ { T } ) ] ] } d ( x _ { T } , \bar { x } _ { T } ) } \\ { \leq } & { L _ { c _ { T } } \cdot \Big ( d ( x _ { T } , \mu _ { T } ( x _ { T } ) ) + \operatorname* { m a x } _ { \bar { x } _ { T } \in [ [ X _ { T } | \mu _ { T } ( x _ { T } ) ] ] } d ( \mu _ { T } ( x _ { T } ) , \bar { x } _ { T } ) \Big ) , } \\ { \leq } & { 2 L _ { c _ { T } } \cdot \gamma _ { T } = : \epsilon _ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K } & { \mapsto \frac { 1 } { 4 | \Gamma | } \left\lbrack \left( \sum _ { \gamma \in \Gamma } \gamma K \gamma ^ { - 1 } - \mathrm { e / o } \gamma K \gamma ^ { - 1 } \mathrm { e / o } \right) - \left( \sum _ { \gamma \in \Gamma } \gamma K \gamma ^ { - 1 } - \mathrm { e / o } \gamma K \gamma ^ { - 1 } \mathrm { e / o } \right) ^ { \ast } \right\rbrack . } \end{array}
J = \sum _ { \mu = 0 } ^ { N f - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N f - 1 } C _ { \mu 0 } ( \eta ) \frac { \partial C _ { \mu k } ( \eta ) } { \partial \eta } x _ { k } + \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| .
\begin{array} { r l } { ( \Delta _ { t } b _ { k , 0 , j } ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { m } \frac { t ^ { i } } { i ! } \left( \partial _ { t } ^ { i } \Delta _ { t } \Big | _ { t = 0 } \right) ( b _ { k , 0 , j } ) ( s ) + O ( t ^ { m + 1 } ) } \\ { ( \partial _ { t } ^ { m } \Delta _ { t } ) \Big | _ { t = 0 } } & { : C ^ { l + 2 } ( Y ) \to C ^ { l } } \\ & { = \left( \partial _ { t } ^ { m } g ^ { i j } ( s , t ) \Big | _ { t = 0 } \right) \partial _ { s _ { i } } \partial _ { s _ { j } } - \left( \partial _ { t } ^ { m } b ^ { k } ( s , t ) \Big | _ { t = 0 } \right) \partial _ { s _ { k } } } \end{array}
f ( x ) \; \to \; { \hat { \mathcal O } } _ { r } ( f ) \; = \; \int \frac { d p _ { 1 } d p _ { 2 } } { 2 \pi \hbar } \, { \tilde { f } } _ { r } ( p ) \, \exp [ \frac { i } { \hbar } ( p _ { 1 } { \hat { x } } _ { 0 } ^ { 1 } + p _ { 2 } { \hat { x } } _ { 0 } ^ { 2 } ) ]
\mathcal { E } : = \frac { \int _ { \gamma _ { 0 } } ^ { \infty } \left[ { d N } / { d \gamma } - f _ { _ \mathrm { M J } } ( \gamma , \theta ) \right] ( \gamma - 1 ) \, d \gamma } { \int _ { \gamma _ { 0 } } ^ { \infty } ( { d N } / { d \gamma } ) ( \gamma - 1 ) \, d \gamma } \, ,
o ^ { \mathrm { i n } } \gets \big \lvert \sum _ { i \in I ^ { k } } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { i n } } \; - \; \xi _ { k } ^ { \mathrm { u } } \: s ^ { \mathrm { i n } , k } \big \rvert \quad \mathrm { a n d } \quad o ^ { \mathrm { o u t } } \gets \big \lvert \sum _ { i \in I ^ { k } } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } \; - \; \xi _ { k } ^ { \mathrm { d } } \: s ^ { \mathrm { o u t } , k } \big \rvert
\begin{array} { r } { \hat { p } _ { 1 } = P _ { 1 - } - b ^ { 2 } \nu \frac { d V _ { 0 } } { d z } \Big | _ { - } + \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda \eta } } { V _ { 0 - } } \int _ { - \infty } ^ { \eta } \mathrm { e } ^ { \lambda \eta } \frac { d \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta } d \eta . } \end{array}
\nonumber \overline { { { \sum } } } | { \cal A } | ^ { 2 } = \frac { 2 5 \alpha _ { s } ^ { 2 } \mu | R _ { D } ^ { \prime \prime } ( 0 ) | ^ { 2 } } { 2 ^ { 1 5 } \pi m _ { c } ^ { 7 } } \frac { 1 2 8 d \sum _ { i = 0 } ^ { 1 2 } f _ { i } d ^ { i } } { 1 5 ( 1 - d - x _ { 1 } ) ^ { 5 } ( 1 - d - x _ { 2 } ) ^ { 5 } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 6 } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { k , k _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { 3 } } \| } & { \mathcal { F } _ { ( \xi , \eta ) \rightarrow ( x , y ) } ^ { - 1 } \big [ m ( \xi , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) \psi _ { k _ { 1 } } ( \eta ) \big ] ( x , y ) \| _ { L _ { x , y } ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim \big ( \sum _ { | \alpha | , | \beta | \leq 3 } \| | \xi | ^ { \alpha } | \eta | ^ { \beta } \nabla _ { \xi } ^ { \alpha } \nabla _ { \eta } ^ { \beta } m ( \xi , \eta ) \psi _ { [ k - 1 , k + 1 ] } ( \xi ) \psi _ { [ k _ { 1 } - 1 , k _ { 1 } + 1 ] } ( \eta ) \| _ { L _ { \xi , \eta } ^ { \infty } } \big ) ^ { 1 - \delta } } \\ & { \times \big ( \sum _ { | \alpha | , | \beta | \leq 4 } \| | \xi | ^ { \alpha } | \eta | ^ { \beta } \nabla _ { \xi } ^ { \alpha } \nabla _ { \eta } ^ { \beta } m ( \xi , \eta ) \psi _ { [ k - 1 , k + 1 ] } ( \xi ) \psi _ { [ k _ { 1 } - 1 , k _ { 1 } + 1 ] } ( \eta ) \| _ { L _ { \xi , \eta } ^ { \infty } } \big ) ^ { \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } - c ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } = 0 , } \\ & { u ( 0 , t ) = u ( 5 , t ) , \qquad \frac { \partial u } { \partial x } ( 0 , t ) = \frac { \partial u } { \partial x } ( 5 , t ) , } \\ & { u ( x , 0 ) = 2 \, \mathrm { s e c h } ^ { 3 } \left( \frac { 3 } { \delta _ { 0 } } ( x - x _ { 0 } ) \right) , \qquad \frac { \partial u } { \partial t } ( x , 0 ) = 0 , } \end{array}
f ( a ) + { \frac { f ^ { \prime } ( a ) } { 1 ! } } ( x - a ) + { \frac { f ^ { \prime \prime } ( a ) } { 2 ! } } ( x - a ) ^ { 2 } + { \frac { f ^ { \prime \prime \prime } ( a ) } { 3 ! } } ( x - a ) ^ { 3 } + \cdots ,
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \mu = \mathrm { t a n h } \big ( \beta m _ { \infty } / \sqrt { q } \big ) } \\ { \lambda = \mathrm { t a n h } \big ( \beta \lambda ^ { 2 } m _ { \infty } ^ { 2 } / q ( 1 - m _ { \infty } ^ { 2 } / q ) \big ) } \\ { m _ { \infty } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } D z \int _ { - \infty } ^ { \infty } D \tilde { z } \big [ f _ { 0 } + \sigma z \big ] } \\ { \displaystyle q = \sigma ^ { 2 } + \int _ { - \infty } ^ { \infty } D z \int _ { - \infty } ^ { \infty } D \tilde { z } f _ { 0 } ^ { 2 } } \\ { \chi = \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } D z \int _ { - \infty } ^ { \infty } D \tilde { z } \, \frac { 1 - f _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 - \alpha \gamma \chi \cdot \big ( 1 - f _ { 0 } ^ { 2 } \big ) } } \end{array} \right. \,