harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d ( a , b _ { 1 } ) = d ( b _ { 0 } , b _ { 1 } ) } & { \leq \operatorname* { m a x } ( \delta _ { 0 } , r _ { 0 } + ( 1 + \delta _ { 0 } ) ( s _ { 0 } - r _ { 0 } ) ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \left( \frac { 1 } { 2 } r _ { 0 } , r _ { 0 } + \left( 1 + \frac { 1 } { 1 0 8 } \right) \frac { 1 } { 3 } ( s - r ) \right) } \\ & { < \operatorname* { m a x } \left( \frac { 1 } { 2 } r _ { 0 } , r _ { 0 } + \frac { 5 } { 4 } \cdot \frac { 1 } { 3 } ( s - r ) \right) = \frac { 1 } { 4 } r + \frac { 3 } { 4 } s . } \end{array}
C _ { 3 } = \operatorname* { m a x } \left( \frac { ( 1 8 b + 6 3 ( d + 2 2 ) / 2 ) ^ { 3 } } { b } , 1 , \frac { 2 ( 7 \cdot 1 6 ) ^ { 2 } } { b } , \frac { 2 ^ { 3 } ( 7 \cdot ( d + 2 2 ) \cdot 6 4 ) ^ { 4 } } { b } \right) .
{ \cal P } _ { \alpha \to \beta } ( L ) = \sum _ { i , j } V _ { i \alpha } \, V _ { i \beta } ^ { * } \, V _ { j \alpha } ^ { * } \, V _ { j \beta } \; \exp \left( - i \frac { m _ { i } ^ { 2 } - m _ { j } ^ { 2 } } { 2 p _ { 0 } } \, L \right) \, ,
\tilde { S } _ { Q 1 } ^ { k i n } ( B _ { i } ) = \frac { 2 } { N } \mathrm { T r } \, \sum _ { j = - L / 2 + 1 } ^ { L / 2 } ( 1 - \cos k _ { j } ) B _ { j } ^ { 2 } = \tilde { S } _ { Q 1 f } ^ { k i n } ( B _ { i } )
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } } & { = m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } + \frac { \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { t - 1 , 0 1 } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \times \frac { 1 - m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } } { 1 - m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } } } \\ & { = m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } + \left( 1 - m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } \right) \left[ \frac { \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { t - 1 , 0 1 } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) } { \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { t - 1 , 0 1 } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) + \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) M _ { t - 1 , 0 0 } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) } \right] } \\ & { = m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } + \left( 1 - m _ { i \setminus j } ^ { t - 1 } \right) \left[ \frac { \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t - 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t - 1 } \nu _ { k i } ^ { t - 1 } } \right] \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) } { \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t - 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t - 1 } \nu _ { k i } ^ { t - 1 } } \right] \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) + \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t - 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t - 1 } \nu _ { k i } ^ { t - 1 } } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 2 } f ( \boldsymbol { \Lambda } ) = } & { \; 2 \sum _ { i } \left[ \big ( [ E _ { z } ] _ { i } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \frac { 1 } { q } \sum _ { j } [ E _ { z } ] _ { j } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \big ) \right. } \\ & { \left. \times \big ( \nabla ^ { 2 } [ E _ { z } ] _ { i } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \frac { 1 } { q } \sum _ { j } \nabla ^ { 2 } [ E _ { z } ] _ { j } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \big ) \right. } \\ & { \left. + \Big ( \nabla [ E _ { z } ] _ { i } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \frac { 1 } { q } \sum _ { j } \nabla [ E _ { z } ] _ { j } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \Big ) \right. } \\ & { \left. \times \Big ( \nabla [ E _ { z } ] _ { i } ( \boldsymbol { \Lambda } ) - \frac { 1 } { q } \sum _ { j } \nabla [ E _ { z } ] _ { j } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \Big ) ^ { T } \right] . } \end{array}
\frac { \partial p _ { s } ^ { s } } { \partial t } + \mathbf { u ^ { s } } \cdot \nabla p _ { s } ^ { s } = - K _ { 2 } ( p _ { s } ^ { s } - p _ { \infty } ^ { s } ) \vert \vert \boldsymbol { S ^ { s } } \vert \vert
V _ { \mu } = \mathcal { F } _ { 1 } p _ { 1 \mu } + \mathcal { F } _ { 2 } p _ { 2 \mu } + \mathcal { M } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } p _ { 1 } ^ { \nu } p _ { 2 } ^ { \rho } q ^ { \sigma } ,
\alpha ^ { \prime } e ^ { - 2 \phi ^ { \prime } } ( D ^ { \mu } \partial ^ { \nu } \phi ^ { \prime } ) ( \partial _ { \mu } \phi ^ { \prime } ) ( \partial _ { \nu } \phi ^ { \prime } ) \rightarrow \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { ~ ~ \alpha ^ { \prime } \frac { G ^ { 3 } M ^ { 3 } ( 3 G M - 2 \rho ) } { \rho ^ { 7 } x } ~ ~ ~ } } & { { ( Q _ { e } = 0 ) } } \\ { { - \alpha ^ { \prime } \frac { G ^ { 3 } M ^ { 3 } ( 3 G M - 2 \rho ) } { \rho ^ { 5 } x ^ { 3 } } ~ ~ ~ } } & { { ( Q _ { m } = 0 ) } } \end{array} \right. \right.
E _ { \theta } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left[ f _ { \theta } ^ { k } ( x _ { d } ) - y _ { i } ^ { k } \right] ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = n + 1 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left[ f _ { \theta } ^ { k } ( x _ { i } ) - y _ { i } ^ { k } \right] ^ { 2 } { \mathrm { . } }
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \lambda ( 1 + \bar { q } ) ( 1 - ( 1 - \lambda ) \bar { q } ^ { 2 } ) } \\ { b } & { { } = \lambda ( 2 + 2 \bar { q } + \lambda \bar { q } ^ { 2 } ) + d ( 1 + \bar { q } ) ( 1 - \lambda \bar { q } - ( 1 - \lambda ) \bar { q } ^ { 2 } ) } \\ { c } & { { } = \lambda ( 1 + \bar { q } + \bar { q } ^ { 2 } ) + d ( 2 + ( 1 - \lambda ) \bar { q } - \bar { q } ^ { 2 } ) } \\ { d } & { { } = 1 - \beta ( 1 - \lambda ) . } \end{array}
w ( \mu , t , r ) = - \frac { 1 } { \mu } \mathrm { ~ R e ~ } \int _ { \textstyle { \cal C } } d z \, H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \mu z ) \Bigl [ q \frac { \partial } { \partial q } F ( q , t , r ) \Bigr ] \biggl | _ { 2 q = - z ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \mathbf { E _ { \mathrm { f a r - f i e l d } } } ( \mathbf { r _ { \infty } } ) = - 2 \pi \mathrm { i } E _ { 0 } \frac { e ^ { \mathrm { i } k r } } { r } k _ { z } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { P } _ { j } ^ { - } ( \kappa , \alpha ) \hat { \mathbf { e } } _ { j } ^ { - } . } \end{array}
\left[ A _ { i } ( x ) , A _ { j } ( y ) \right] = 0 ~ ~ , ~ ~ \left[ E _ { i } ( x ) , E _ { j } ( y ) \right] = 0 ~ ~ , ~ ~ \left[ E _ { i } ^ { A } ( x ) , A _ { j } ^ { B } ( y ) \right] = - i \delta ^ { A B } \delta _ { i j } \delta ( x - y )
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \tilde { x } } ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { ( m - 1 ) \gamma } { 2 m } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + ( m - 1 ) \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k } ) \right) } \\ & { \quad + \theta \left( f ( x ^ { k } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) \right) + \frac { \theta } { 8 \eta } \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \theta } { N } \langle A Y ^ { k } - A Y ^ { * } , x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \rangle } \\ & { \geq \left( \frac { 1 } { 2 \eta } + \frac { \lambda } { 4 } \right) \mathbb { E } _ { k } \| { \tilde { x } } ^ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { \gamma } { 2 } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { k } \| y _ { i \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 \eta } \mathbb { E } _ { k } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \mathbb { E } _ { k } \left[ f ( x ^ { k + 1 } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) + m \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k + 1 } ) \right) \right] + \frac { 1 } { N } \mathbb { E } _ { k } \langle A Y ^ { k + 1 } - A Y ^ { * } , x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \rangle } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 N } \left( \frac { 1 } { \sigma } - \frac { 8 \eta ( n R ^ { 2 } + R _ { m } ^ { 2 } ) } { n } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { \eta } { 2 } \| e ^ { k } \| ^ { 2 } - \left( \frac { \eta } { 2 } + \frac { \lambda \eta ^ { 2 } } { 2 } \right) \mathbb { E } _ { k } \| e ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \tilde { \ensuremath { { \mathbb E } } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| G ^ { n , m _ { k } } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n , m _ { k } } ) - G ^ { n } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n } ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] = 0 \quad \tilde { \mathbb { P } } \mathrm { - a . s . ~ a n d ~ i n ~ } L ^ { p } ( \tilde { \Omega } , \tilde { \mathbb { P } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathbf { a } } _ { 0 } = \mathrm { v e c } ( \hat { \mathcal { A } } _ { 0 } ) = C _ { 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } \mathrm { v e c } ( Q ) + \Big ( I + C _ { 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } \Big ) \mathrm { v e c } ( R ) , } \\ { C _ { 1 } = C \otimes C , } \end{array}
S _ { s t a t } \sim 2 \pi \sqrt { \frac { c } { 6 } } \sqrt { N _ { R \, 0 } } = 2 \pi \sqrt { J ^ { 2 } - { \frac { \alpha ^ { \prime } c } { 2 4 } } [ p _ { R } ^ { 2 } - p _ { L } ^ { 2 } ] } .
\begin{array} { r l } { E _ { X } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { { } = \rho _ { m } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) e ^ { i \phi _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) } \cos ( \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) } \\ { E _ { Y } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { { } = \rho _ { m } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) e ^ { i \phi _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) } \sin ( \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { v } _ { \perp } } & { { } = - \hat { \mathbf { x } } v _ { x } \sin \theta + \hat { \mathbf { y } } v _ { y } \cos \theta + \hat { \mathbf { z } } v _ { z } } & { v _ { \perp } ^ { 2 } } & { { } = v _ { x } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta - 2 v _ { x } v _ { y } \cos \theta \sin \theta + v _ { y } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + v _ { z } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { v } _ { \| } } & { { } = \hat { \mathbf { x } } v _ { x } \cos \theta + \hat { \mathbf { y } } v _ { y } \sin \theta } & { v _ { \| } ^ { 2 } } & { { } = v _ { x } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + 2 v _ { x } v _ { y } \cos \theta \sin \theta + v _ { y } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i k } } & { = \frac { \sum _ { e \in E : i \in e } A _ { e } \uprho _ { i k } ^ { ( e ) } } { C \sum _ { q } w _ { k q } \sum _ { j \neq i \in V } u _ { j q } } \quad , } \\ { w _ { k q } } & { = \frac { \sum _ { e \in E } A _ { e } \uprho _ { k q } ^ { ( e ) } } { C \sum _ { i < j \in V } u _ { i k } u _ { j q } } \, . } \end{array}
{ \hat { H } } _ { 4 } = { \frac { i h } { 8 \pi c ^ { 2 } } } \sum _ { i } { \frac { q _ { i } } { m _ { i } ^ { 2 } } } \mathbf { \hat { p } } _ { i } \cdot \mathbf { F } ( \mathbf { r } _ { i } )
\pi _ { p o s } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H = \mathbb { F } _ { 2 } [ a _ { \lambda _ { 0 } } , a _ { \lambda _ { 1 } } , \cdots , a _ { \lambda _ { n - 2 } } , a _ { \alpha } , u _ { \lambda _ { 0 } } , u _ { \lambda _ { 1 } } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } , u _ { \alpha } ] / ( a _ { \lambda _ { i } } u _ { \lambda _ { j } } = 0 , \mathrm { f o r ~ n - 1 \geq ~ i \rangle ~ j \geq ~ 0 ~ } ) .
H _ { \textrm { t o t } } = \omega _ { 1 } \sigma _ { \textrm { e } } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } } + \omega _ { \textrm { c } } a ^ { \dagger } a + g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } ) + \frac { \Omega } { 2 } ( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \textrm { e } } e ^ { i \omega _ { \textrm { p } \mathrm { { ' } } } t } + \textrm { h . ~ c . } ) ,
\begin{array} { r l } & { a _ { p m } ( r , \theta , \xi , \tau ) = } \\ & { \alpha _ { p m } ( \xi ) \exp \left( - i \omega _ { L } \tau ( 2 p + | m | + 1 ) \frac { 2 c ^ { 2 } } { \omega _ { L } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \mathrm { L G } _ { p m } \, , } \\ & { \mathrm { L G } _ { p m } ( r , \theta ) = } \\ & { \sqrt { \frac { p ! } { ( p + | m | ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } \, r } { w _ { 0 } } \right) ^ { | m | } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } + i m \theta \right) L _ { p } ^ { | m | } \left( \frac { 2 r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \, , } \\ & { \langle \mathrm { L G } _ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } | ( \ldots ) | \mathrm { L G } _ { p m } \rangle \equiv } \\ & { \frac { 2 } { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { \infty } r d r \mathrm { L G } _ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { * } ( \ldots ) \mathrm { L G } _ { p m } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { v _ { e } ( x _ { s } , y _ { s } ) } \\ { v _ { n } ( x _ { s } , y _ { s } ) } \end{array} \right] = \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l } \end{array} \right] } _ { G } \left[ \begin{array} { l } { f _ { e } ( x _ { s ^ { \prime } } , y _ { s ^ { \prime } } ) } \\ { f _ { n } ( x _ { s ^ { \prime } } , y _ { s ^ { \prime } } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \frac { \Delta \phi _ { k + 1 } - \Delta \phi _ { k } } { \Delta \phi _ { k - 1 } - \Delta \phi _ { k } } = - \frac { N _ { k - 1 } } { N _ { k + 1 } } = - \frac { r _ { k - 1 } } { r _ { k + 1 } } \; } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \vec { z } _ { I , K } } \\ { \vec { r } _ { K } } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { E } _ { I I } } & { \boldsymbol { G } _ { \iota I } ^ { T } } \\ { \boldsymbol { G } _ { \iota I } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \vec { v } _ { I , K } } \\ { * } \end{array} \right] = - \left[ \begin{array} { l } { \vec { z } _ { I , K } } \\ { \vec { r } _ { K } } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { E } _ { I B } } \\ { \boldsymbol { G } _ { \iota B } } \end{array} \right] \vec { v } _ { B , K } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | \big ( \partial _ { 1 } \mathbf { y } _ { h } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } _ { h } - \partial _ { 1 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } ^ { \epsilon } \big ) ( x _ { T } ) \big | } & { \le \big | \nabla \big ( \mathbf { y } _ { h } - \mathbf { y } ^ { \epsilon } \big ) ( x _ { T } ) \big | \big ( | \nabla \mathbf { y } _ { h } ( x _ { T } ) | + | \nabla \mathbf { y } ^ { \epsilon } ( x _ { T } ) | \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } ( v _ { 0 } - v _ { c } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( v _ { 1 } - v _ { c } ) ^ { 2 } } & { { } + u _ { d } - u _ { d } ^ { \prime } } \end{array}
G _ { i _ { 1 } j _ { 1 } \ldots i _ { N } j _ { N } } = - \langle c _ { i _ { 1 } } { \bar { c } } _ { j _ { 1 } } \cdots c _ { i _ { N } } { \bar { c } } _ { j _ { N } } \rangle = { \frac { - 1 } { Z [ 0 ] } } \left. { \frac { \delta ^ { N } Z [ J ] } { \delta J _ { j _ { 1 } i _ { 1 } } \cdots \delta J _ { j _ { N } i _ { N } } } } \right| _ { J = 0 }
\begin{array} { r l r } { { \hat { \sigma } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { \cos ^ { 2 } ( k z ) \, s _ { 2 } } { 2 s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) + 4 s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { 1 } ) } \, , } \\ { { \hat { \sigma } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) \, s _ { 1 } } { 2 s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) + 4 s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { 2 } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { u } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho \mathbf { u } } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } + p ( \rho , \eta ) \mathbf { I } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial E } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( E \mathbf { u } + p ( \rho , \eta ) \mathbf { u } - K \nabla \theta ( \rho , \eta ) \right) = 0 . } \end{array}
v _ { c } ( t ) = h _ { v } ( t ) \otimes v _ { i } ( t ) = \frac { 1 0 } { \pi } \left( 1 - \sum _ { n = 1 } ^ { 1 0 } \frac { 2 } { ( 4 n ^ { 2 } - 1 ) D _ { 0 . 5 } ( n ) } \cos \left( 1 . 2 4 n t - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 0 . 7 1 \sqrt { n } } { 1 + 0 . 7 1 \sqrt { n } } \right) \right) \right)
4 \omega ^ { 6 } + \omega ^ { 4 } [ ( a - 1 ) ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } - 2 ( a + 1 ) \gamma ^ { \prime } + 1 ] + \omega ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } ( a ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } + a ^ { 2 } + 1 ) - a ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } = 0
{ \frac { D \epsilon } { D t } } = c _ { \epsilon _ { 1 } } { \frac { \epsilon } { k } } P _ { k } - c _ { \epsilon _ { 2 } } { \frac { \epsilon ^ { 2 } } { k } } + { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left[ ( \nu + { \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { \epsilon } } } ) { \frac { \partial \epsilon } { \partial x _ { j } } } \right]
\begin{array} { r } { | \Phi \rangle _ { A } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi _ { A } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) | 0 \rangle = } \\ { = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi _ { A } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) | 0 \rangle = } \\ { = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi _ { A } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) | 0 \rangle = } \\ { = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } \Phi _ { A } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } ) | 0 \rangle = - | \Phi \rangle _ { A } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ^ { \prime \prime \prime } } & { = } & { ( \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } ) ^ { \prime } } \\ & { = } & { ( R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } ) ^ { \prime } + \delta ^ { 2 } \mu ( R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } ) ^ { \prime } } \\ & { = } & { R ^ { \prime } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime \prime } } \\ & { } & { + \delta ^ { 2 } \mu ( R ^ { \prime } ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , J \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = } & { R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime \prime } + \delta ^ { 2 } \mu ( R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , J \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } ) \gamma ^ { \prime } + R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = } & { R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } - 2 \delta ^ { 2 } \mu \, R ( J \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime \prime } } \\ & { = } & { R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + 2 \delta ^ { 2 } \mu \, R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } J } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime \prime } } \\ & { = } & { R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } - R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime } + \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime \prime } } \\ & { = } & { \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) \gamma ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\varepsilon _ { \mu \nu \lambda \rho } \partial _ { \lambda } \partial _ { \rho } \theta _ { a } ^ { \mathrm { s i n g . } } ( x ) = 2 \pi \Sigma _ { \mu \nu } ^ { a } ( x ) \equiv 2 \pi \int _ { \Sigma _ { a } } ^ { } d \sigma _ { \mu \nu } \left( x ^ { ( a ) } ( \xi ) \right) \delta \left( x - x ^ { ( a ) } ( \xi ) \right) .
\mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } = \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { T } \mathbf { 1 } = \sum _ { i } { d _ { \mathrm { o u t } } } _ { , i } = \sum _ { i } { d _ { \mathrm { i n } } } _ { , i }
\Phi ( x ^ { \mu } ) = \Phi _ { 0 } + \sqrt { 2 } \phi _ { 1 } ( x ^ { \mu } ) E _ { 1 } + \sqrt { 2 } \phi _ { 2 } ( x ^ { \mu } ) ~ R _ { 3 } ( a ( x ^ { \mu } ) ) E _ { 2 } R _ { 3 } ( a ( x ^ { \mu } ) ) ^ { T } \quad ,
B _ { 1 } ^ { [ n _ { 1 } , n _ { 2 } ] } \cong \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a ^ { - \gamma [ n + l _ { 2 } - ( n _ { 1 } l _ { 1 } + n _ { 2 } l _ { 2 } ) ] } \cdot Q _ { n } ^ { [ n _ { 1 } , n _ { 2 } ] } ( x ; p )
( \mathrm { I } ) \left\{ \begin{array} { l } { { n ^ { \mu } \rightarrow n ^ { \mu } + \Delta _ { \perp } ^ { \mu } , } } \\ { { \overline { { { n } } } ^ { \mu } \rightarrow \overline { { { n } } } ^ { \mu } , } } \end{array} \right. \ ( \mathrm { I I } ) \left\{ \begin{array} { l } { { n ^ { \mu } \rightarrow n ^ { \mu } , } } \\ { { \overline { { { n } } } ^ { \mu } \rightarrow \overline { { { n } } } ^ { \mu } + \epsilon _ { \perp } ^ { \mu } , } } \end{array} \right. \ ( \mathrm { I I I } ) \left\{ \begin{array} { l } { { n ^ { \mu } \rightarrow ( 1 + \alpha ) n ^ { \mu } , } } \\ { { \overline { { { n } } } ^ { \mu } \rightarrow ( 1 - \alpha ) \overline { { { n } } } ^ { \mu } . } } \end{array} \right.
\frac { h ^ { 2 } \sigma _ { 0 } M ^ { 2 } \lambda g ( 0 ) } { 1 6 \pi s } e ^ { 2 ( b t + \alpha _ { P } ( t ) \ln ( s / M ^ { 2 } ) ) } \left[ ( ( - t ) ^ { \gamma } \ln \frac { s } { M ^ { 2 } } + C ) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } ( - t ) ^ { 2 \gamma } \right] ~ ,
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } \binom { W _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } } { s } = \sum _ { k = s } ^ { m _ { 2 } } \binom { k } s { \mathbb { P } } ( W _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } = k ) } \\ & { \, = \frac { 1 } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } \sum _ { k = s } ^ { m _ { 2 } } \Big ( \binom { k } s 2 ^ { k } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k } { m _ { 1 } } - \binom { k + 1 } s 2 ^ { k + 1 } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k - 1 } { m _ { 1 } } \Big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } \sum _ { k = s } ^ { m _ { 2 } - 1 } \binom { k } { s - 1 } 2 ^ { k + 1 } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k - 1 } { m _ { 1 } } . } \end{array}
\Delta ( 1 ) = { \frac { 1 } { | \widetilde C _ { 9 } ( 1 ) | ^ { 2 } + | C _ { 1 0 } | ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 4 \, \mathrm { R e } \, [ C _ { 7 } ^ { * } \, \widetilde C _ { 9 } ( 1 ) ] } { 1 - r } } + { \frac { 4 \, | C _ { 7 } | ^ { 2 } } { ( 1 - r ) ^ { 2 } } } \right] .