harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } } & { = } & { 8 \pi \rho \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \\ { \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial z } } & { = } & { - 4 \pi ( p _ { r } + p _ { \varphi } ) \; , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi \partial z } } & { = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } } & { = } & { 8 \pi ( p _ { r } - p _ { \varphi } ) \; , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi ^ { 2 } } } & { = } & { 0 \; , } \\ { 2 \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \frac { \partial \beta } { \partial z } + \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial \varphi } } & { = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 3 } { 4 r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } } & { = } & { 8 \pi p _ { z } \; . } \end{array}
\langle \Psi | \textit { \textbf { G } } _ { 2 } | \Psi \rangle = \frac { i } { 2 \pi } \sum _ { n \neq 0 } \frac { q _ { 0 } + q _ { \pi } } { 2 n } \langle \Psi | \mathrm { \boldmath ~ \ a l p h a _ { n } \times ~ \ a l p h a _ { - n } ~ } | \Psi \rangle = \frac { q } { 2 \pi } \langle \Psi | \textit { \textbf { S } } | \Psi \rangle .
F _ { ( g ) } = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 3 } r \phi ( r ) \theta ( - z ) \Gamma ^ { p n } ( \Delta _ { 3 } , - z , - b ) \Gamma ^ { p n } ( \Delta _ { 4 } , - z , - b ) e ^ { i p _ { s } r } ,
\begin{array} { r l } { E _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - { \frac { 1 } { 8 m _ { e } ^ { 3 } c ^ { 2 } } } \left\langle \psi ^ { 0 } \right\vert p ^ { 2 } p ^ { 2 } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } \\ { E _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - { \frac { 1 } { 8 m _ { e } ^ { 3 } c ^ { 2 } } } \left\langle \psi ^ { 0 } \right\vert ( 2 m _ { e } ) ^ { 2 } ( E _ { n } - V ) ^ { 2 } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } \\ { E _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - { \frac { 1 } { 2 m _ { e } c ^ { 2 } } } \left( E _ { n } ^ { 2 } - 2 E _ { n } \langle V \rangle + \left\langle V ^ { 2 } \right\rangle \right) } \end{array}
{ \psi } _ { T , L } ^ { ( \lambda , { \lambda } ^ { \prime } ) } ( z , { \vec { r } } _ { \perp } ; Q ^ { 2 } ) { \equiv } \frac { \sqrt { 4 \pi } } { 1 6 { \pi } ^ { 3 } } \int _ { k _ { \perp 0 } } \! d ^ { 2 } { k } _ { \perp } \exp { ( \mathrm { i } { \vec { k } } _ { \perp } \cdot { \vec { r } } _ { \perp } ) } { \cal M } _ { T , L } ^ { ( \lambda , { \lambda } ^ { \prime } ) } ( z , { \vec { k } } _ { \perp } ; Q ^ { 2 } ) \ .
\Theta ( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) = \int _ { u ^ { \prime } } ^ { \infty } d u \int _ { v ^ { \prime } } ^ { u ^ { \prime } } d v ~ F ( u , v ; u ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \partial _ { u } \partial _ { v } \psi _ { 0 } ^ { 2 } ( u , v ) \ .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } } \sum _ { r = 1 } ^ { n } \widetilde U _ { r } ( x _ { r } ) } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : } } & { \sum _ { r : l \in \mathcal { L } _ { r } } x _ { r } \leq c _ { l } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } l \in \mathcal { L } } \\ & { \quad x _ { r } \geq 0 , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } r = 1 , . . . , n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \beta ) \triangleq \operatorname* { m i n } _ { w ( \cdot ) \geq 0 } } & { \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D } ^ { D + \Gamma } \texttt { m s e } ^ { [ k ] } ( t , \tilde { S } ^ { [ k ] } ) d t \right] - \beta { \mathbb { E } } \left[ \Gamma \right] } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \quad { \mathbb { E } } \left[ w \left( \tilde { Y } \right) \right] \geq \frac { 1 } { 1 - \epsilon } \left( \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } - \frac { K } { \mu } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } \left( \mu _ { k \eta } , \pi \right) \le } & { 2 C _ { 1 } \left. \left( x ^ { \frac { 1 } { 2 } } + x ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) \right| _ { x = f ( \delta _ { r } , r , k , \eta ) } + \sqrt { 2 C _ { 2 } c _ { \mathrm { P } } ( \Bar { \pi } _ { r } ) } e ^ { - k \eta / 2 \beta c _ { \mathrm { P } } \left( \Bar { \pi } _ { r } \right) } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \textbf { m } } { \mathrm { d } t } = - | \gamma _ { 0 } | \textbf { m } \times \textbf { H } _ { \mathrm { e f f } } ( \textbf { m } ) + \alpha \textbf { m } \times \frac { \mathrm { d } \textbf { m } } { \mathrm { d } t } .
\begin{array} { r l } { b ^ { 2 } \gamma \frac { d V } { d z } } & { { } = - \frac { 1 } { \epsilon } \frac { d P } { d z } + b ^ { 2 } \nu \frac { d ^ { 2 } V } { d z ^ { 2 } } , } \\ { \frac { d T } { d z } } & { { } = \frac { d ^ { 2 } T } { d z ^ { 2 } } + \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \left( V \frac { d P } { d z } + \epsilon b ^ { 2 } \nu \left( \frac { d V } { d z } \right) ^ { 2 } \right) , } \\ { \frac { d Y } { d z } } & { { } = \frac { 1 } { L e } \frac { d ^ { 2 } Y } { d z ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ V ~ } ( H _ { i } ^ { n \times d } , H _ { j } ^ { m \times d } ) } & { { } = \frac { \mathrm { ~ C ~ O ~ V ~ } ( H _ { i } ^ { n \times d } , H _ { j } ^ { m \times d } ) } { \sqrt { \mathrm { ~ V ~ A ~ R ~ } ( H _ { i } ^ { n \times d } ) \mathrm { ~ V ~ A ~ R ~ } ( H _ { j } ^ { m \times d } ) } } } \\ { \mathrm { ~ C ~ O ~ V ~ } ( H _ { i } ^ { n \times d } , H _ { j } ^ { m \times d } ) } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { m } \sum _ { k = l + 1 } ^ { n } \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } ^ { 2 } ( h _ { i } ^ { k } , h _ { j } ^ { l } ) } \\ { \mathrm { ~ V ~ A ~ R ~ } ( H _ { i } ^ { n \times d } ) } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { n } \sum _ { k = l + 1 } ^ { n } \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } ^ { 2 } ( h _ { i } ^ { k } , h _ { i } ^ { l } ) } \end{array}
f ( x ) = \frac { \partial } { { \partial { x } } } \left[ { K \left( x \right) \frac \partial { { \partial x } } h ( x ) } \right] \approx \hat { f } ( x ; \theta ) = \frac { \partial } { { \partial { x } } } \left[ { K \left( x \right) \frac \partial { { \partial x } } \hat { h } ( x ; \theta ) } \right] .
\Sigma _ { \bot } = - \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } ( \widehat Q ^ { 2 } ) } { \widehat V \hat { y } } \sqrt { \frac { M ^ { 2 } } { \widehat Q ^ { 2 } } ( 1 - \hat { y } - \hat { x } \hat { y } \hat { \tau } ) } g _ { 1 } ( \hat { x } , \widehat Q ^ { 2 } ) [ 1 + e _ { 2 } \hat { R } ( \hat { x } , \widehat Q ^ { 2 } ) ] \ ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { M V o l } _ { \Sigma , \omega , * } ( z _ { 1 } , \dots , \lambda z _ { i } + z _ { i } ^ { \prime } , \dots , z _ { d } ) = \lambda } & { \operatorname { M V o l } _ { \Sigma , \omega , * } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { i } , \dots , z _ { d } ) } \\ & { + \operatorname { M V o l } _ { \Sigma , \omega , * } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { i } ^ { \prime } , \dots , z _ { d } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c ( x , z ) = C _ { 0 } \Big [ 1 + K _ { x } R ( x , r _ { x } ) ^ { m - 1 } ( 1 - R ( x , r _ { x } ) ) ^ { n - 1 } + K _ { z } R ( z , r _ { z } ) ^ { m - 1 } ( 1 - R ( z , r _ { z } ) ) ^ { n - 1 } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { c } = ( \frac { \overline { w } } { a } + \beta - { \alpha } ) a _ { 2 } > 0 \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \overline { w } + ( \beta - { \alpha } ) a > 0 \mathrm { ~ w ~ h ~ i ~ c ~ h ~ i ~ m ~ p ~ l ~ i ~ e ~ s ~ } c _ { a } = - c _ { i } ^ { r } ( \overline { w } + \beta a ) \overline { \eta } p < 0 . } \end{array}
i n a l l o f t h e e x p e r i m e n t s , i n e r t i a l e f f e c t s i n t h e f l o w a r e c o n s i d e r e d i r r e l e v a n t . T h e e x p e c t e d e x t e n s i o n a l r a t e s o b t a i n e d f r o m t h e n u m e r i c a l f l o w v e l o c i t y p r o f i l e s g i v e n i n F i g . ~ ( c ) a r e
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { y } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) [ \bar { y } ] = 0 , \qquad } & { \forall \bar { y } \in \mathcal { Y } _ { t } , } \\ { \mathcal { L } _ { u } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) [ \bar { u } ] = 0 , \qquad } & { \forall \bar { u } \in \mathcal { U } , } \\ { \mathcal { L } _ { p } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) [ \bar { p } ] = 0 , \qquad } & { \forall \bar { p } \in \mathcal { Y } _ { t } , } \end{array} } \end{array} \right.
g _ { B } ^ { ( m , l ) } ( \Omega ) = \alpha \sum _ { k } { | O _ { m l k } | } ^ { 2 } \frac { \frac { \Gamma _ { m l k } } { 2 } } { ( \Omega _ { m l k } - \Omega ) ^ { 2 } + { ( \frac { \Gamma _ { m l k } } { 2 } ) } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { D S G } & { R N \quad p a r a m e t e r \quad F C : : \quad } \\ { X : \quad } & { l _ { X , Y } l _ { X , Z } < h _ { X , Y } l _ { X , Z } < \theta _ { Y , X } < l _ { X , Y } h _ { X , Z } < h _ { X , Y } h _ { X , Z } } \\ { Y : \quad } & { \theta _ { X , Y } < l _ { Y , X } < \theta _ { Z , Y } < h _ { Y , X } } \\ { Z : \quad } & { l _ { Z , Y } < \theta _ { X , Z } < h _ { Z , Y } } \end{array}
E _ { H } = \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } - \left( \frac { \partial H } { \partial q ^ { i } } + p _ { i } \frac { \partial H } { \partial z } \right) \frac { \partial } { \partial p _ { i } } + \left( p _ { i } \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } - H \right) \frac { \partial } { \partial z } + \frac { \partial } { \partial t } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } ^ { 1 } } & { = a _ { 2 } ^ { 2 } \ \ = \cos \theta , } \\ { a _ { 2 } ^ { 1 } } & { = - a _ { 1 } ^ { 2 } = - \sin \theta , } \\ { a _ { \beta } ^ { \alpha } } & { = \delta _ { \beta } ^ { \alpha } , \mathrm { ~ t h e ~ K r o n e c k e r ~ d e l t a } , 3 \leq \alpha , \beta \leq n , } \end{array} \right. } \end{array}
4 ( 3 , \bar { 3 } , 1 ) + ( \bar { 3 } , 3 , 1 ) + 3 ( \bar { 3 } , 1 , 3 ) + 1 0 ( 1 , 3 , \bar { 3 } ) + 7 ( 1 , \bar { 3 } , 3 )
w ( \chi _ { \ell } \ll 1 ) = \frac { 3 \, \sqrt { 6 } \, G _ { F } ^ { 2 } \, m _ { \ell } ^ { 6 } } { ( 1 6 \pi ) ^ { 3 } E _ { \nu } } \, ( 3 g _ { V } ^ { 2 } + 1 3 g _ { A } ^ { 2 } ) \, \chi _ { \ell } ^ { 4 } \, \exp \left( - { \frac { 8 } { 3 \chi _ { \ell } } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { { \mathcal H } ( t , X _ { t } ^ { n , \xi } ) = { \mathcal H } ( 0 , X _ { 0 } ^ { n , \xi } ) + \int _ { 0 } ^ { t } \partial _ { s } { \mathcal H } ( s , X _ { s } ^ { n , \xi } ) d s + } \\ & { \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { L } _ { n } \mathcal { H } ( s , X _ { s } ^ { n , \xi } ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } \big ( { \mathcal H } ( s , X _ { s - } ^ { n , \xi } + R _ { n } f ( s , u ) ) - { \mathcal H } ( s , X _ { s - } ^ { n , \xi } ) \big ) q ( d s , d u ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 1 } ^ { 1 } ( g ^ { - 1 } u ) = } & { \frac { 1 } { a _ { 1 1 } a _ { 0 0 } } B _ { 2 1 } ^ { 1 } ( u ) + q _ { 2 } } \\ { B _ { 1 2 } ^ { 2 } ( g ^ { - 1 } u ) = } & { \frac { a _ { 1 1 } } { a _ { 0 0 } } B _ { 1 2 } ^ { 2 } ( u ) + q _ { 1 } } \\ { A _ { 2 1 } ^ { 1 } ( g ^ { - 1 } u ) = } & { { \frac { a _ { 0 0 } ^ { 2 } } { a _ { 1 1 } ^ { 2 } } q _ { 1 } A _ { 2 0 } ^ { 1 } ( u ) + \frac { a _ { 0 0 } } { a _ { 1 1 } } A _ { 2 1 } ^ { 1 } ( u ) - \frac { 1 } { a _ { 1 1 } a _ { 0 0 } } p _ { 0 } B _ { 2 1 } ^ { 1 } ( u ) - \textstyle { \frac 1 2 } p _ { 0 } q _ { 2 } + p _ { 2 } } } \\ { A _ { 1 2 } ^ { 2 } ( g ^ { - 1 } u ) = } & { a _ { 0 0 } ^ { 2 } a _ { 1 1 } ^ { 2 } q _ { 2 } A _ { 1 0 } ^ { 2 } ( u ) + a _ { 0 0 } a _ { 1 1 } A _ { 1 2 } ^ { 2 } ( u ) - \frac { a _ { 1 1 } } { a _ { 0 0 } } p _ { 0 } B _ { 1 2 } ^ { 2 } ( u ) - \textstyle { \frac 1 2 } p _ { 0 } q _ { 1 } + p _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \texttt { S u m } \texttt { ( c ) } } & { : \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \phi _ { k } ^ { t + \tau } \phi _ { j } ^ { t } ( T - t ) } \\ & { = T \phi _ { k } ^ { \tau } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ) ^ { t } - \phi _ { k } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ) ^ { t } \cdot t . } \end{array}
S = S _ { 0 } + S _ { 1 } = \int d \tau d ^ { p } \xi \left[ { \frac { d e t ( \partial _ { \mu } x ^ { M } G _ { M N } \partial _ { \nu } x ^ { N } ) } { E ( \tau , \sigma ^ { m } ) } } - { \phi ( x ^ { M } ) } E ( \tau , \sigma ^ { m } ) \right] ~ ~ ,
a = { \frac { - d } { D } } { \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { y _ { 1 } } & { z _ { 1 } } \\ { 1 } & { y _ { 2 } } & { z _ { 2 } } \\ { 1 } & { y _ { 3 } } & { z _ { 3 } } \end{array} \right| }
\Omega _ { \alpha } ^ { 2 } ( t ) = \omega _ { \alpha } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \phi _ { c } ^ { 2 } ( { \bf x } , t ) + \frac { \lambda } { 2 } { \sum _ { \beta } } ^ { \prime } \langle \hat { \Phi } _ { \beta } ^ { 2 } ( t ) \rangle .
\begin{array} { r l } & { \| \nabla \psi ( x , \lambda ) - \nabla \psi ( x ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) \| } \\ & { \leq \| \nabla _ { x } \psi ( x , \lambda ) - \nabla _ { x } \psi ( x ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) \| + \| \nabla _ { \lambda } \psi ( x , \lambda ) - \nabla _ { \lambda } \psi ( x ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( x , \lambda ) \in \mathcal { S } \times \Lambda } \Big \{ L _ { F } \| \lambda + \rho F ( x ) \| + M _ { F } ( 2 + \rho M _ { F } ) \Big \} \left\| \left( \begin{array} { l } { x - x ^ { \prime } } \\ { \lambda - \lambda ^ { \prime } } \end{array} \right) \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial P _ { 0 } ( x , p , t ) } { \partial t } = - \frac { \Gamma } { \hbar } \Re ( \tilde { f } ( E ( x ) , t ) ) P _ { 0 } ( x , p , t ) + \frac { \Gamma } { \hbar } ( 1 - \Re ( \tilde { f } ( E ( x ) , t ) ) ) P _ { 1 } ( x , p , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { X } ^ { Z e e } = g _ { S } \mu _ { B } S _ { Z } B _ { Z } } \\ & { H _ { A } ^ { Z e e } = g _ { S } ^ { \prime } \mu _ { B } S _ { Z } B _ { Z } + g _ { L } L _ { Z } B _ { Z } + g _ { l } ^ { \prime } \mu _ { B } \left( e ^ { - 2 i \theta } S _ { + } B _ { + } + e ^ { 2 i \theta } S _ { - } B _ { - } \right) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \hat { \rho } = - \frac { i } { \hbar } \left[ \hat { H } _ { m o l } + \hat { H } _ { l a s } + \hat { H } _ { p l a } , \hat { \rho } \right] + \mathcal { D } _ { p l a s } \left[ \hat { \rho } \right] .
\begin{array} { r l } { \rho ( P _ { 0 } | P _ { 0 } + t \mu _ { 1 } , P _ { 0 } + s \mu _ { 2 } ) } & { = \sqrt { t s } \int _ { \mathrm { S u p p } ( P _ { 0 } ) ^ { C } } \sqrt { h _ { 1 } h _ { 2 } } \, d \nu } \\ & { + t s \int _ { \mathrm { S u p p } ( P _ { 0 } ) } \frac { h _ { 1 } h _ { 2 } } { 2 p _ { 0 } } \, d \nu + o ( t ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } 0 } & { { } { } = \{ \} } & { } & { { } { } = \emptyset , } \\ { 1 } & { { } { } = \{ 0 \} } & { } & { { } { } = \{ \emptyset \} , } \\ { 2 } & { { } { } = \{ 0 , 1 \} } & { } & { { } { } = \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} , } \\ { 3 } & { { } { } = \{ 0 , 1 , 2 \} } & { } & { { } { } = \{ \emptyset , \{ \emptyset \} , \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} \} . } \end{array}
{ \cal A } = \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \sinh | v | \prod _ { a } 2 \sin | \theta _ { a } | } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d l } { 4 \pi l } e ^ { - \frac { b ^ { 2 } } { 4 l } } \sum _ { \alpha } Z _ { B } Z _ { F } ^ { \alpha }
\frac { ( - i ) ^ { \frac { D - 2 } { 2 } } } { ( D - 2 ) ! } \varepsilon _ { \, j _ { 1 } \cdots j _ { D - 2 } } ^ { i } \sigma ^ { j _ { 1 } } \cdots \sigma ^ { j _ { D - 2 } } = \sigma ^ { i }
\begin{array} { r } { \frac { 4 \pi } { c } \omega \delta \mathbf { J } = - \textrm { i } \mathbf { k } \times \left( \mathbf { k } \times \left( \delta \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } \right) \right) . } \end{array}
| 2 \cdot 5 | _ { 1 0 } = | 1 0 ^ { 1 } | _ { 1 0 } = { \frac { 1 } { 1 0 ^ { 1 } } } \neq { \frac { 1 } { 1 0 ^ { 0 } } } = | 2 | _ { 1 0 } \cdot | 5 | _ { 1 0 }
\begin{array} { r l } { \| \bar { \mathcal { E } _ { l } } \| _ { C _ { \star } ^ { \alpha } , S , R } } & { \leq C ( S , \alpha ) \left( R ^ { - 1 } + \| u _ { + } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } + \| u _ { - } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } \right) , } \\ { \| \bar { \mathcal { E } _ { l } } \| _ { C _ { \sharp } ^ { \alpha } , S , R } } & { \leq C ( S , \alpha ) \left( R ^ { - 1 } + R \| u _ { + } \| _ { C _ { \sharp } ^ { 2 , \alpha } , S , R } + R \| u _ { - } \| _ { C _ { \sharp } ^ { 2 , \alpha } , S , R } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { t + 1 } - \Phi _ { t } } & { = \operatorname* { P r } _ { x \sim X } [ x \in Q _ { t } ] \Big ( ( S ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) - S ( \Gamma ( Y _ { Q _ { t } } ) , Y _ { Q _ { t } } ) ) - ( S ( \gamma , Y _ { Q _ { t } } ) - S ( \Gamma ( Y _ { Q _ { t } } ) , Y _ { Q _ { t } } ) ) \Big ) } \\ & { \leq \operatorname* { P r } _ { x \sim X } [ x \in Q _ { t } ] \Big ( V ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) ( \gamma ^ { \prime } - \Gamma ( Y _ { Q _ { t } } ) ) - \frac { ( V ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) ) ^ { 2 } } { 2 L } - \frac { ( V ( \gamma , Y _ { Q _ { t } } ) ) ^ { 2 } } { 2 L } \Big ) } \\ & { \leq \operatorname* { P r } _ { x \sim X } [ x \in Q _ { t } ] \Big ( V ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) ( \gamma ^ { \prime } - \Gamma ( Y _ { Q _ { t } } ) ) - \frac { ( V ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) ) ^ { 2 } } { 2 L } \Big ) - \frac { \alpha } { 2 L m } } \\ & { \leq \operatorname* { P r } _ { x \sim X } [ x \in Q _ { t } ] \Big ( V ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) ( \gamma ^ { \prime } - \Gamma ( Y _ { Q _ { t } } ) ) \Big ) - \frac { \alpha } { 2 L m } } \\ & { \leq V ( \gamma ^ { \prime } , Y _ { Q _ { t } } ) ( \gamma ^ { \prime } - \Gamma ( Y _ { Q _ { t } } ) ) - \frac { \alpha } { 2 L m } } \\ & { \leq L | \gamma ^ { \prime } - \Gamma ( Y _ { Q _ { t } } ) | \cdot | \gamma ^ { \prime } - \Gamma ( Y _ { Q _ { t } } ) | - \frac { \alpha } { 2 L m } } \\ & { \leq \frac { L } { m ^ { 2 } } - \frac { \alpha } { 2 L m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ P _ { 0 } \vert \Phi ] } & { = \operatorname* { l i m } _ { W \to \infty } \frac { \sum _ { w = 1 } ^ { W } E _ { 0 } ( w ) } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } I _ { w } } } \\ & { = \frac { \mathbb { P } ( U \vert \bar { S } ) ( \mathbb { E } [ X ] - 1 ) + 1 } { \mathbb { E } [ I ] } P _ { \mathrm { t x } } = \frac { \eta P _ { \mathrm { t x } } } { F } , } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { C } } = - { \frac { g } { \sqrt { 2 } } } \left[ { \overline { { u } } } _ { i } \gamma ^ { \mu } { \frac { 1 - \gamma ^ { 5 } } { 2 } } M _ { i j } ^ { \mathrm { C K M } } d _ { j } + { \overline { { \nu } } } _ { i } \gamma ^ { \mu } { \frac { 1 - \gamma ^ { 5 } } { 2 } } e _ { i } \right] W _ { \mu } ^ { + } + { \mathrm { h . c . } } ~ ,
q \equiv - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \mathrm { ~ } t r G _ { \mu \nu } \tilde { G } _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 } \int d \sigma _ { 1 } d \sigma _ { 2 } d \tau _ { 1 } d \tau _ { 2 } \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } \dot { z } _ { 1 \mu } z \prime _ { 1 \nu } \dot { z } _ { 2 \alpha } z \prime _ { 2 \beta } \delta ( z _ { 1 } - z _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { a _ { 1 S - 2 S } ( v ) } & { { } = \frac { 2 ^ { 9 } \sqrt { 2 } } { 3 ^ { 5 } ( v ^ { 2 } - 4 ) ^ { 3 } ( v ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( v ^ { 2 } + 3 v + 2 ) } \Upsilon _ { 1 S - 2 S } ( v ) , } \end{array}
\nu _ { \mathrm { ~ c ~ x ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } = n _ { \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ x ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } ( v _ { \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } ) \right\rangle
\begin{array} { r } { \tau _ { \mathrm { o p t } } / 2 = \frac { \pi } { \omega _ { + } } + \frac { \pi } { \omega _ { - } } - \frac { 2 } { \omega _ { - } } \operatorname { a r c c o s } [ \frac { \omega _ { - } } { \omega _ { + } } ] , } \end{array}
\mathrm { B r } ( D ^ { 0 } \to e ^ { + } e ^ { - } \gamma ) _ { \mathrm { S M } } = 1 . 2 \times 1 0 ^ { - 9 } , \qquad \mathrm { B r } ( D ^ { 0 } \to \mu ^ { + } \mu ^ { - } \gamma ) _ { \mathrm { S M } } = 1 . 1 \times 1 0 ^ { - 9 } .
\mathbf { x } [ k + 1 ] = e ^ { \mathbf { A } T } \left[ e ^ { \mathbf { A } k T } \mathbf { x } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { k T } e ^ { \mathbf { A } ( k T - \tau ) } \mathbf { B } \mathbf { u } ( \tau ) d \tau \right] + \int _ { k T } ^ { ( k + 1 ) T } e ^ { \mathbf { A } ( k T + T - \tau ) } \mathbf { B } \mathbf { u } ( \tau ) d \tau
\begin{array} { r l } { \frac { \partial X _ { j } } { \partial Z _ { n } } = \frac { \partial X _ { j } } { \partial z _ { n } } \frac { \partial z _ { n } } { \partial Z _ { n } } } & { = \left( G _ { j n } \frac { d Z _ { n } } { d z _ { n } } + G _ { j n } ^ { \prime } \frac { d Z _ { n } ^ { \prime } } { d z _ { n } } + G _ { j n } ^ { \prime \prime } \frac { d Z _ { n } ^ { \prime \prime } } { d z _ { n } } \right) \frac { d ( e ^ { Z _ { n } } ) } { \partial Z _ { n } } } \\ & { = \left( G _ { j n } \zeta _ { n } + G _ { j n } ^ { \prime } \zeta _ { n } ^ { \prime } + G _ { j n } ^ { \prime \prime } \zeta _ { n } ^ { \prime \prime } \right) z _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( B ) _ { k \ell } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d + 2 } { 2 } } & { \mathrm { i f ~ } k \mathrm { ~ o d d ~ a n d ~ } \ell = \frac { k + 1 } { 2 } \mathrm { ~ o r } , } \\ & { \mathrm { i f ~ } k < i \mathrm { ~ e v e n ~ a n d ~ } \ell = \frac { d + k + 2 } { 2 } \mathrm { ~ o r } , } \\ & { \mathrm { i f ~ } k > i \mathrm { ~ e v e n ~ a n d ~ } \ell = \frac { d + k } { 2 } , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f ~ } k \mathrm { ~ o d d ~ a n d ~ } \ell > \frac { d } { 2 } \mathrm { ~ o r , } } \\ & { \mathrm { i f ~ } k \mathrm { ~ e v e n ~ a n d ~ } \ell \le \frac { d } { 2 } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { l } { { A _ { 0 } = B _ { 0 } = A _ { 1 } = B _ { 2 } = 0 \, , \quad A _ { k } = B _ { k } = 0 \, , \quad k \geq 3 , } } \\ { { B _ { 1 } = 1 \, , \quad A _ { 2 } = - 1 \pm \sqrt { 1 + \nu } < 0 \, , } } \\ { { \mathrm { } } } \\ { { \displaystyle { s = s _ { 0 } - ( 1 / A _ { 2 } ) \ln \left( 1 - A _ { 2 } u _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) \right) \, , \quad v = v _ { 0 } = c o n s t . \, , } } } \\ { { \mathrm { } } } \\ { { \displaystyle { q = A _ { 2 } u ^ { 2 } \, , \quad u = p = \frac { u _ { 0 } } { 1 - A _ { 2 } u _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) } \, . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } ( \tilde { u } _ { b } - \tilde { u } _ { c } ) = - \alpha ( \tilde { u } _ { b } - \tilde { u } _ { c } ) , } \\ & { \frac { d } { d t } \left( \tilde { v } _ { b } - \tilde { v } _ { c } \right) = - ( \tilde { \delta } _ { b } B - \tilde { \delta } _ { c } C ) - 2 \left( B C + A ^ { 2 } \cos \phi \right) ( \tilde { u } _ { b } - \tilde { u } _ { c } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { r _ { 1 } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } } & { \quad r _ { 2 } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } } & { \cdots } & { \quad r _ { n } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } } \\ { r _ { 1 } = r _ { 1 } ( t ) } & { \quad r _ { 2 } = r _ { 2 } ( t ) } & { \cdots } & { \quad r _ { n } = r _ { n } ( t ) } \end{array} }
[ { \hat { M } } ^ { \mu \nu } , { \hat { M } } ^ { \rho \sigma } ] = - \imath ( { \eta } ^ { \mu \rho } { \hat { M } } ^ { \nu \sigma } + { \eta } ^ { \nu \sigma } { \hat { M } } ^ { \mu \rho } - { \eta } ^ { \mu \sigma } { \hat { M } } ^ { \nu \rho } - { \eta } ^ { \nu \rho } { \hat { M } } ^ { \mu \sigma } )
{ \begin{array} { r l r l } { B _ { n } } & { = ( - 1 ) ^ { \left\lfloor { \frac { n } { 2 } } \right\rfloor } [ n { \mathrm { ~ e v e n } } ] { \frac { n ! } { 2 ^ { n } - 4 ^ { n } } } \, S _ { n } \ , } & { n } & { = 2 , 3 , \ldots } \\ { E _ { n } } & { = ( - 1 ) ^ { \left\lfloor { \frac { n } { 2 } } \right\rfloor } [ n { \mathrm { ~ e v e n } } ] n ! \, S _ { n + 1 } } & { n } & { = 0 , 1 , \ldots } \end{array} }