harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | f _ { i } ( \mathbf x ) - g _ { i } ( \mathbf x ) | } & { = | f _ { j } ( \mathbf x ) \cdot f _ { k } ( \mathbf x ) - g _ { j } ( \mathbf x ) \cdot g _ { k } ( \mathbf x ) | } \\ & { \le | f _ { j } ( \mathbf x ) | \cdot | f _ { k } ( \mathbf x ) - g _ { k } ( \mathbf x ) | + | g _ { k } ( \mathbf x ) | \cdot | f _ { j } ( \mathbf x ) - g _ { j } ( \mathbf x ) | } \\ & { \le G _ { j } \cdot \gamma _ { k } + \gamma _ { j } \cdot G _ { k } = : \gamma _ { i } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { a , b } ( - b u , u ) = \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x - u ) } } d x . } \end{array}
\frac { 1 } { 8 0 0 0 0 } T ^ { 4 } - \frac { 1 1 } { 6 0 0 0 } T ^ { 3 } + \frac { 1 5 1 } { 1 6 0 0 } T ^ { 2 } - \frac { 6 6 1 } { 2 4 0 } T + \frac { 1 3 7 5 5 3 } { 1 2 8 }
\left( D ^ { 1 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = D ^ { 1 } \left( \Delta t , \varepsilon , \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } , \left( \lambda _ { g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right) , \; \; \left( D ^ { 2 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } = D ^ { 2 } \left( \Delta t , \varepsilon , \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } , \left( \lambda _ { g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right)
\begin{array} { r l r } { \int d \Pi _ { 2 } } & { = } & { \int d \Omega \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } E _ { 1 } E _ { 2 } } \left( \frac { p _ { 1 } } { E _ { 1 } } + \frac { p _ { 1 } } { E _ { 2 } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = } & { \int d \Omega \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { \left\vert p _ { 1 } \right\vert } { E _ { c m } } . } \end{array}
F _ { r } ( \phi _ { \pm } , \phi _ { \mp } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { 3 } r \right) \phi _ { \pm } ^ { 3 } - r a ^ { 2 } \phi _ { \pm } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - r ) \phi _ { \pm } ^ { 2 } \phi _ { \mp } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { d = 0 } ^ { n } d 2 ^ { d } } & { = \sum _ { d = 0 } ^ { n } \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } 2 ^ { d } = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } 2 ^ { i + 1 } \sum _ { d = i + 1 } ^ { n } 2 ^ { d - i - 1 } = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } 2 ^ { i + 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { n - i - 1 } 2 ^ { j } = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } 2 ^ { i + 1 } ( 2 ^ { n - i } - 1 ) } \\ & { = n 2 ^ { n + 1 } - 2 \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } 2 ^ { i } = n 2 ^ { n + 1 } - 2 ( 2 ^ { n } - 1 ) = ( n - 1 ) 2 ^ { n + 1 } + 2 } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \int _ { T M } L ^ { 0 } ( y , v ) + c ( H ^ { 0 } ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { \lambda } ^ { x } ( y , v ) \right| \leq \frac { 2 \lambda \epsilon ^ { \prime } \| u _ { \lambda } \| _ { \infty } } { e ^ { - \lambda \epsilon ^ { \prime } T _ { 0 } } } + \| \Delta _ { \lambda } \| _ { L ^ { \infty } } \leq \frac { 2 \lambda \epsilon ^ { \prime } \| u _ { \lambda } \| _ { \infty } } { e ^ { - \lambda \epsilon ^ { \prime } T _ { 0 } } } + \lambda C _ { 1 } \longrightarrow 0 } \end{array}
u _ { 1 } = \frac { r _ { 1 2 } + r _ { 3 4 } } { 2 ( r _ { 1 3 } + r _ { 2 4 } ) } + \frac { r _ { 1 2 } + r _ { 3 4 } } { 2 ( r _ { 2 3 } + r _ { 1 4 } ) }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S _ { m } } { \mathrm { d } t } = } & { { } F _ { m } ( \boldsymbol { S } , \boldsymbol { G } ) \; , } \\ { \frac { \mathrm { d } G _ { n , i } ^ { \lambda } } { \mathrm { d } t } = } & { { } F _ { n , i } ^ { \lambda } ( \boldsymbol { S } , \boldsymbol { G } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { \alpha } _ { j } ( h ) } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } } & { = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \frac { e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } { \tau ^ { 2 } } } } { \sum _ { k \in \mathbb { F } _ { q } } e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( k ) } { \tau ^ { 2 } } } } - \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \frac { e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } { \tau ^ { 2 } } } e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } { \tau ^ { 2 } } } } { \left( \sum _ { k \in \mathbb { F } _ { q } } e ^ { \frac { \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( k ) } { \tau ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \boldsymbol { \alpha } _ { j } ( h ) \left( 1 - \boldsymbol { \alpha } _ { j } ( h ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf S } _ { \mathrm { g c } } } & { = } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \, K _ { \mathrm { g c } } \, \dot { \bf X } \; + \; \frac { c \, { \bf E } } { 4 \pi } \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf H } _ { \mathrm { g c } } } \\ & { } & { + \; \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \frac { \partial \bf E } { \partial t } \; + \; \frac { { \bf u } _ { \mathrm { E } } } { c } \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \frac { \partial \bf B } { \partial t } \right) } \\ & { } & { - \; \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left( \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf B } { \partial t } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \frac { 1 } { c } \left( \dot { \bf X } - { \bf u } _ { \mathrm { E } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { l } ( t ) = \; \Theta ( t - t _ { l } ) } & { { } \; \Big \{ s _ { l } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } \sin \big ( ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) ( t - t _ { l } ) + n \phi _ { l } \big ) } \\ { + } & { { } c _ { l } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } \cos \big ( ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) ( t - t _ { l } ) + n \phi _ { l } \big ) \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathscr { N } } = } & { \biggl \{ \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \theta } : \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { a } } ) \to \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { u } } ) \, \colon \, \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \theta } = ( W _ { L } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { L } ) \circ \sigma ( W _ { L - 1 } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { L - 1 } ) \circ \cdots \circ \sigma ( W _ { 0 } + \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { 0 } ) } \\ & { \theta = ( W _ { \ell } , \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { \ell } ) _ { \ell = 0 , . . . , L } , \, W _ { \ell } \in \mathbb { R } ^ { d _ { \ell + 1 } \times d _ { \ell } } , \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { \ell } : \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { \ell } } ) \to \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { \ell + 1 } } ) , \, \mathrm { ~ a n d ~ } d _ { 0 } = d _ { a } , \ d _ { L + 1 } = d _ { u } \biggr \} . } \end{array}
f ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { m _ { 1 } } j _ { 1 } \ldots j _ { m _ { 2 } } \ldots k _ { 1 } \ldots k _ { m _ { N - 1 } } } \; u _ { i _ { 1 } } ^ { 1 } \ldots u _ { i _ { m _ { 1 } } } ^ { 1 } u _ { j _ { 1 } } ^ { 2 } \ldots u _ { j _ { m _ { 2 } } } ^ { 2 } \ldots u _ { k _ { 1 } } ^ { N - 1 } \ldots u _ { k _ { m _ { N - 1 } } } ^ { N - 1 } \; .
\begin{array} { r } { \vartheta ^ { \# } \big ( \mathbf { x } ; \chi \big ) = D _ { 2 } \vartheta \big ( \mathbf { x } ; \chi \big ) \quad \mathrm { a n d } \quad \vartheta ^ { \prime } \big ( \mathbf { x } ; \kappa ( \mathbf { x } ) \big ) = D _ { 2 } \vartheta \big ( \mathbf { x } ; \kappa ( \mathbf { x } ) \big ) } \end{array}
\qquad \qquad \qquad \qquad + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { M ^ { \prime } \neq M } ( \bar { q } _ { M M ^ { \prime } } - 3 ) { \frac { 1 } { V _ { M ^ { \prime } } } } \partial _ { a } \tilde { E } _ { M ^ { \prime } } \Gamma _ { \hat { a } } \Gamma _ { M ^ { \prime } } ^ { \perp } \eta = 0 .
\frac { \partial E _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } K _ { \theta , \phi } } { 3 8 4 b _ { 0 } } k ^ { 2 + 2 x } \int _ { \Delta _ { \perp } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \delta ( s + s _ { p } \tilde { p } + s _ { q } \tilde { q } ) \frac { 1 } { \tilde { p } \tilde { q } }
\begin{array} { r l } { v _ { r } } & { { } = - \frac { r _ { 0 } } { 2 f _ { M } } \cdot \sqrt { g f _ { M } \cdot \left[ 1 - \cos \left( \vartheta \right) \right] } , } \\ { v _ { \varphi } } & { { } = \frac { r _ { 0 } } { 2 f _ { M } } \cdot \sqrt { g f _ { M } \cdot \left[ 1 + \cos \left( \vartheta \right) \right] } , } \\ { v _ { z } } & { { } = \sqrt { g f _ { M } \cdot \left[ 1 - \cos \left( \vartheta \right) \right] } . } \end{array}
\| D ^ { 2 } G \| _ { L ^ { \infty } ( D _ { r } \setminus B _ { R } ( 0 ) ) } , \| D ^ { 2 } \tilde { G } \| _ { L ^ { \infty } ( \tilde { D } _ { r } \setminus B _ { R } ( 0 ) ) } \le \frac { C } { R ^ { 1 - \frac { \eta } { \gamma } } } ; \qquad [ D ^ { 2 } G ] _ { C ^ { \frac { \eta } { \gamma } } ( D _ { r } \setminus B _ { R } ( 0 ) ) } , [ D ^ { 2 } \tilde { G } ] _ { C ^ { \frac { \eta } { \gamma } } ( \tilde { D } _ { r } \setminus B _ { R } ( 0 ) ) } \le \frac { C } { R } .
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l } { { 8 } } & { { } \boldsymbol { I } ( t ) } & { } & { { } \approx } & { } & { { } \int _ { V ( t ) } } & { } & { { } \boldsymbol { u } } & { } & { { } d V } & { } & { { } = \; } & { } & { { } \; \boldsymbol { I } _ { V } ( t ) } & { } & { { } - \: \boldsymbol { I } _ { \partial V } ( t ) , } \end{array}
m _ { \chi } ^ { 2 } = \mu ^ { 2 } - 2 \lambda v ^ { 2 } + \mathrm { q u a n t u m ~ c o r r e c t i o n s ~ o f ~ o r d e r ~ } \frac { g _ { t } ^ { 2 } m _ { t } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \mathrm { ~ a n d ~ s m a l l e r } = 0
\tilde { N } _ { \omega } ( k \xi , k \xi _ { 2 } ) = K _ { i \omega } ( k \xi ) - \frac { K _ { i \omega } ^ { \prime } ( k \xi _ { 2 } ) } { I _ { i \omega } ^ { \prime } ( k \xi _ { 2 } ) } I _ { i \omega } ( k \xi ) .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 6 } + _ { 4 } + _ { 1 3 } + _ { 2 } + _ { 1 1 } + _ { 4 } } \\ & { = - \delta _ { i , j } ( \partial W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } + 2 \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] ) + \delta _ { i , j } ( m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] - \delta _ { i , j } \delta _ { p , q } \sum _ { x \leq m - n } \partial ^ { 2 } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = - \delta _ { i , j } \partial W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } - 2 \delta _ { i , j } \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] + \delta _ { i , j } ( m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] - \delta _ { i , j } \delta _ { p , q } \sum _ { x \leq m - n } \partial ^ { 2 } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
{ \mathrm { a r e a } } = \int _ { a } ^ { b } \cosh x \, d x = \int _ { a } ^ { b } { \sqrt { 1 + \left( { \frac { d } { d x } } \cosh x \right) ^ { 2 } } } \, d x = { \mathrm { a r c ~ l e n g t h . } }
\begin{array} { r l } { \tilde { \xi } _ { k } ( x ) } & { = x - \sum _ { y = 1 } ^ { x } \mathbf { 1 } _ { \left\{ \nu ( y ) \le k \right\} } } \\ & { = x - \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \left( \eta _ { \ell } ^ { \uparrow } ( y ) + \eta _ { \ell } ^ { \downarrow } ( y ) \right) } \\ & { = \xi _ { k } ( x ) . } \end{array}
W _ { \overline { { { q } } } ^ { \prime } } ^ { * } \; \; \propto \; \; \frac { \beta ^ { 2 } } { M _ { \overline { { { q } } } ^ { \prime } } ^ { * 2 } \; \; + \; \; \beta ^ { 2 } } \; \; \; \; \; ,
\begin{array} { r } { H _ { T } ( t ) = \frac { q _ { 1 } ^ { 2 } } { C _ { \Sigma } } + h _ { 1 } \left( \frac { \phi _ { 1 } + \Phi _ { e } / \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } } \right) + h _ { 2 } \left( \frac { \phi _ { 1 } - \Phi _ { e } / \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } ^ { c e } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { C _ { 1 1 } - 2 C _ { 6 6 } + C _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { C _ { 1 1 } + C _ { 1 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { C _ { 3 3 } + C _ { 1 3 } } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { T } ^ { c o } ( \theta ) } & { = \left( \begin{array} { l l l } { ( C _ { 1 1 } - C _ { 6 6 } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { c ^ { 2 } ( C _ { 1 1 } - C _ { 6 6 } ) + s ^ { 2 } C _ { 1 3 } } & { s c ( C _ { 1 1 } - C _ { 6 6 } - C _ { 1 3 } ) } \\ { 0 } & { s c ( C _ { 1 1 } - C _ { 6 6 } - C _ { 1 3 } ) } & { s ^ { 2 } ( C _ { 1 1 } - C _ { 6 6 } ) + c ^ { 2 } C _ { 1 3 } } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { T } ^ { t c } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { C _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { C _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { C _ { 1 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / i } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / j } ^ { \downarrow } \} ) = \mathbf { w } \cdot ( \mathbf { h } _ { i } ^ { l \uparrow } \odot \mathbf { h } _ { j } ^ { l \downarrow } ) .
\begin{array} { r l } { V _ { C , \theta } ( x ) } & { : = U _ { \mathrm { e l } } ( \theta ) V _ { C } ( x ) U _ { \mathrm { e l } } ( \theta ) ^ { - 1 } } \\ & { = - e ^ { - \theta } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { Z e } { | x _ { j } | } + e ^ { - \theta } \sum _ { i < j } \frac { e ^ { 2 } } { | x _ { i } - x _ { j } | } = e ^ { - \theta } V _ { C } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } \sigma _ { x , \lambda } ( \boldsymbol { x } ) \sigma _ { t , \lambda } ( t ) \mathrm { d } \mu ( \boldsymbol { x } , t ) = \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } \gamma _ { x } ( \boldsymbol { x } ) \gamma _ { t } ( t ) \mathrm { d } \mu ( \boldsymbol { x } , t ) } \end{array}
\sin { \frac { \pi } { 4 0 } } = { \frac { 1 } { 4 } } ( { \sqrt { 2 } } - 1 ) { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } ( 2 + { \sqrt { 2 } } ) ( 5 + { \sqrt { 5 } } ) } } - { \frac { 1 } { 8 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } ( 1 + { \sqrt { 2 } } ) ( { \sqrt { 5 } } - 1 )
\begin{array} { l } { \displaystyle F ( I , \theta , B ) = \frac { \partial I } { \partial \xi } \tilde { g } _ { 1 } + \frac { \partial I } { \partial \varphi } \tilde { g } _ { 2 } + \frac { \partial I } { \partial B } \tilde { g } _ { 3 } } \\ { \displaystyle G ( I , \theta , B ) = \frac { \partial \theta } { \partial \xi } \tilde { g } _ { 1 } + \frac { \partial \theta } { \partial \varphi } \tilde { g } _ { 2 } + \frac { \partial \theta } { \partial B } \tilde { g } _ { 3 } } \\ { \tilde { g } _ { i } ( I , \theta , B ) = g _ { i } ( \xi ( I , \theta , B ) , \varphi ( I , \theta , B ) , B ) , \; \; i = 1 , 2 , 3 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { G } \left( \tilde { x } ( t _ { n } ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } , \lambda \right) ( h _ { n } ) \equiv \tilde { x } ( t _ { n } + h _ { n } ) = \tilde { x } ( t _ { n } ) + \int _ { 0 } ^ { h _ { n } } f ( \tilde { x } ( t _ { n } + s ) , \tilde { y } _ { m } ^ { n } ; \lambda ) d s , \qquad h _ { n } \in ( 0 , h ] , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { U _ { \mu 3 } } } & { { \equiv } } & { { \sin \theta _ { \mu \tau } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { - \sin \theta _ { 2 3 } ^ { L } \cos \theta _ { 2 3 } ^ { \nu } + \cos \theta _ { 2 3 } ^ { L } \sin \theta _ { 2 3 } ^ { \nu } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \cong } } & { { - 0 . 8 9 8 ( 1 - m _ { \nu _ { 3 } } / m _ { \nu _ { 2 } } ) + 0 . 4 4 1 \sqrt { m _ { \nu _ { 3 } } / m _ { \nu _ { 2 } } } e ^ { - i \xi } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } z ^ { \prime } ( x ) ) z ^ { \prime \prime } ( x ) = \varepsilon ^ { - 1 } F ^ { \prime } ( z ( x ) ) , \quad \qquad x \in ( h _ { i } + r _ { + } , h _ { i } + r ) , } \\ & { z ( h _ { i } + r _ { + } ) = u ( h _ { i } + r _ { + } ) , \quad \qquad z ^ { \prime } ( h _ { i } + r ) = 0 . } \end{array}
\left< { \mathcal { H } ^ { \left( 2 \right) } } \right> _ { \theta } = \delta _ { \nu } \left< { \frac { \partial F ^ { ( 2 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } + \left< { \frac { \partial F ^ { ( 2 ) } } { \partial \theta } } \right> _ { \theta } + \left< { \frac { \partial V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } { \partial J } \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } .
E _ { 0 } \, \pi ( { F } _ { - } ) E _ { 0 } = E _ { 0 } \, \pi ( \mathrm { ~ T ^ { - 1 } ~ } \! \int _ { 0 } ^ { T } \! d t \, \alpha _ { t } ( F _ { - } ) ) E _ { 0 } \rightarrow 0
\begin{array} { r } { \rho ( T | \widehat { L } ) = \frac { \partial } { \partial T } \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { a } } ^ { \widehat { L } _ { b } } d \widehat { L } _ { f } \; P ( \widehat { L } _ { f } , T | \widehat { L } , 0 ) \right) \ . } \end{array}
\psi ( \boldsymbol { x } ) = \sum _ { \boldsymbol { \alpha } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } M _ { x _ { i } } ^ { \alpha _ { i - 1 } \alpha _ { i } } = \sum _ { \alpha _ { j } } { M _ { L } } _ { \boldsymbol { x } _ { \le j } } ^ { \alpha _ { j } } { M _ { R } } _ { \boldsymbol { x } _ { > j } } ^ { \alpha _ { j } } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { R } ( \tau _ { 0 } , k _ { 0 } : \hbar ) = \sum _ { \tau = 1 } ^ { \tau _ { 0 } } U _ { \hbar , \lambda } ( - \frac { \tau _ { 0 } - \tau } { \tau _ { 0 } } t ) \big [ \mathcal { R } _ { \tau } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 0 } ; \hbar ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \mathcal { R } _ { \tau , i , j } ^ { k _ { 0 } } ( N ; \hbar ) \big ] . } \end{array}
\frac { c \alpha } { 2 } \left( N ^ { - \alpha + 1 / \gamma } \right) \left( \frac { 1 } { 2 } h ^ { - \alpha + 1 / \gamma } + \frac { 1 } { 2 } - ( h + 1 ) ^ { - \alpha + 1 / \gamma } \right)
\begin{array} { r c l } { \pi ^ { 2 } \displaystyle \int _ { Q _ { 1 } ^ { + } } \varphi ^ { 2 } \, d x } & { \le } & { \displaystyle \int _ { S _ { 2 } } ( \partial _ { x _ { 2 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { + } \cup S _ { 2 } ^ { - } } ( \partial _ { x _ { 3 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \displaystyle \int _ { S _ { 3 } } ( \partial _ { x _ { 3 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 3 } ^ { + } \cup S _ { 3 } ^ { - } } ( \partial _ { x _ { 2 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x } \\ & & { + \displaystyle \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { + } \cup S _ { 2 } ^ { - } \cup S _ { 3 } ^ { + } \cup S _ { 3 } ^ { - } } ( \partial _ { x _ { 1 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ^ { L } ( f ) } & { = \mathcal { P } _ { x y } \frac { \partial f } { \partial y } + \mathcal { P } _ { y z } \frac { \partial f } { \partial z } \simeq i \mathcal { P } ^ { x y } k _ { y } f , } \\ { \mathcal { C } ^ { L } ( f ) } & { = \mathcal { C } ^ { y } \frac { \partial f } { \partial y } + \mathcal { C } ^ { z } \frac { \partial f } { \partial z } \simeq i \mathcal { C } ^ { y } k _ { y } f , } \\ { ( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } ) ^ { L } f } & { = \mathcal { N } ^ { y y } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } + \mathcal { N } ^ { y } \frac { \partial f } { \partial y } \simeq - \mathcal { N } ^ { y y } k _ { y } ^ { 2 } f , } \end{array}
{ \bf M } = \frac { 1 } { A D - B C } \left( \begin{array} { c r c } { { \frac { 1 } { 2 } ( { A ^ { 2 } } + { B ^ { 2 } } + { C ^ { 2 } } + { D ^ { 2 } } ) } } & { { A B + C D } } & { { \frac { 1 } { 2 } ( - { A ^ { 2 } } + { B ^ { 2 } } - { C ^ { 2 } } + { D ^ { 2 } } ) } } \\ { { A C + B D } } & { { A D + B C } } & { { - A C + B D } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } ( - { A ^ { 2 } } - { B ^ { 2 } } + { C ^ { 2 } } + { D ^ { 2 } } ) } } & { { - A B + C D } } & { { \frac { 1 } { 2 } ( { A ^ { 2 } } - { B ^ { 2 } } - { C ^ { 2 } } + { D ^ { 2 } } ) } } \end{array} \right) \, \, \, .
\frac { \left( Y _ { j } ^ { d } \right) ^ { 2 } - \left( Y _ { i } ^ { d } \right) ^ { 2 } } { \left( Y _ { j } ^ { d } \right) ^ { 2 } + \left( Y _ { i } ^ { d } \right) ^ { 2 } } = - \mathrm { s i g n } ( i - j ) + { \cal O } ( \lambda ^ { 4 } ) ,
{ \cfrac { \partial ^ { 4 } w } { \partial x ^ { 4 } } } + 2 { \cfrac { \partial ^ { 4 } w } { \partial x ^ { 2 } \partial y ^ { 2 } } } + { \cfrac { \partial ^ { 4 } w } { \partial y ^ { 4 } } } = { \cfrac { 1 } { D } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { m n } \sin { \frac { m \pi x } { a } } \sin { \frac { n \pi y } { b } }
\hat { h } \left( \begin{array} { c } { { u _ { 0 } ( x ) } } \\ { { v _ { 0 } ( x ) } } \end{array} \right) = l ( \Omega _ { s p h } ) \left( \begin{array} { c } { { u _ { 0 } ( x ) } } \\ { { v _ { 0 } ( x ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { | U _ { t } ( x ) - U _ { t } ^ { \prime } ( x ) | } & { \le \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \| V ^ { \prime } \| _ { \infty } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { T } \left\vert Z _ { s } ^ { t , x , u _ { n } ( s ) } - Z _ { s } ^ { t ^ { \prime } , x , u _ { n } ( s ) } \right\vert d s \right. } \\ & { ~ ~ + \left. \| S ^ { \prime } \| _ { \infty } \left\vert Z _ { T } ^ { t , x , u _ { n } ( t ) } - Z _ { T } ^ { t ^ { \prime } , x , u _ { n } ( t ) } \right\vert + C ( \| u _ { n } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| V \| _ { \infty } ) | t - t ^ { \prime } | \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \end{array}
\Phi = \left( \begin{array} { l l l l l } { - \alpha _ { 1 } } & { I _ { m } } & { 0 _ { m } } & { \cdots } & { 0 _ { m } } \\ { - \alpha _ { 2 } } & { 0 _ { m } } & { I _ { m } } & { \cdots } & { 0 _ { m } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - \alpha _ { h - 1 } } & { 0 _ { m } } & { 0 _ { m } } & { \cdots } & { I _ { m } } \\ { - \alpha _ { h } } & { 0 _ { m } } & { 0 _ { m } } & { \cdots } & { 0 _ { m } } \end{array} \right) _ { h m \times h m } , ~ ~ ~ F = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { 1 } - \alpha _ { 1 } } \\ { \beta _ { 2 } - \alpha _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \beta _ { h } - \alpha _ { h } } \end{array} \right) _ { h m \times m } ,
\begin{array} { r } { A ( x , t ) = \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { { i } } } { 1 0 } t ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { ( 1 + \mathrm { { i } } ) x - \arctan ( t ) } } { 1 + \frac { ( 2 t ^ { 2 } + 2 ) \mathrm { e } ^ { 2 x - 2 \arctan ( t ) } } { 8 ( t ^ { 2 } + 1 ) } } , } \end{array}
\Phi _ { B } ( \varphi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \varphi \in [ ( 2 j - 2 ) \pi / m + \varphi _ { 0 } , ( 2 j - 1 ) \pi / m + \varphi _ { 0 } ) } \\ { \pi , } & { \varphi \in [ ( 2 j - 1 ) \pi / m + \varphi _ { 0 } , 2 j \pi / m + \varphi _ { 0 } ) } \end{array} \right. ,
G ( Z _ { 1 } ) F ( X _ { 1 } X _ { 2 } ^ { - 1 } ) G ( Z _ { 1 } ) = \mu F ( X _ { 1 } X _ { 2 } ^ { - 1 } ) G ( Z _ { 1 } ) F ( X _ { 1 } X _ { 2 } ^ { - 1 } ) ,
H _ { 0 } = { \frac { 1 6 } { 3 } } \left( 2 \left( M _ { 1 } ^ { 2 } + M _ { 2 } ^ { 2 } + M _ { 1 } M _ { 2 } + 3 M _ { 1 } + 3 M _ { 2 } \right) - 3 J \left( J + 1 \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \Theta _ { j , j } ( s ) } & { = d _ { j } ( s ) \equiv \kappa _ { j } [ \widetilde { p } _ { j + 1 } ( a _ { j } , s | a _ { j } ) + \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j } , s | a _ { j } ) ] - 1 , \ j = 1 , \ldots m - 1 , } \\ { \Theta _ { j , j - 1 } ( s ) } & { = c _ { j } ( s ) \equiv \kappa _ { j - 1 } \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j } , s | a _ { j - 1 } ) , \quad j = 2 , \ldots m - 1 , } \\ { \Theta _ { j , j - 1 } ( s ) } & { = b _ { j } ( s ) \equiv \kappa _ { j + 1 } \widetilde { p } _ { j + 1 } ( a _ { j } , s | a _ { j + 1 } ) , \quad j = 1 , \ldots , m - 2 . } \end{array}
C = \left( \frac { d \Phi } { d x } \right) ^ { 2 } + J \left( \Phi \right) \, , \ \ \ \ \ \ \, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f = \frac { 4 } { \alpha ^ { 2 } } \left( \frac { d \Phi } { d x } \right) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } ( y \mid x ) } & { = x \left( V ( x , y ) - y ^ { - 1 } \right) , } \\ { H _ { 2 } ( y \mid x ) } & { = { \left( 1 + { \left( \frac { y } { x } \right) } ^ { - \frac { 1 } { \gamma } } \right) } ^ { \gamma - 1 } \textrm { e } ^ { - \frac 1 x \left( { \left( 1 + { \left( \frac { y } { x } \right) } ^ { - \frac { 1 } { \gamma } } \right) } ^ { \gamma } - 1 \right) } . } \end{array}
I _ { D } = \Gamma _ { e x } \cdot \Phi _ { D } = \Gamma _ { e x } \cdot \frac { \Gamma _ { r a d , D } } { \Gamma _ { E E T } + \Gamma _ { r a d , D } + \Gamma _ { n r , m e t , D } + \Gamma _ { n r , 0 , D } }