harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ Q _ { T } \; \rightarrow \; \left( \sum _ { \nu } C _ { V } ^ { 2 } \right) { \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 9 6 \pi ^ { 4 } \alpha } } \; \sqrt { 2 \pi } \; \left( 1 + { \frac { 1 } { 5 } } v _ { * } ^ { 2 } \right) ^ { - 3 / 2 } \; \omega _ { p } ^ { 1 5 / 2 } \; T ^ { 3 / 2 } \; e ^ { - \omega _ { p } / T } \; , }
{ \frac { 1 } { 2 } } ( D _ { 0 } Y ) ^ { 2 } \rightarrow R ^ { - 2 } { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { 0 } Y - \partial _ { \sigma } A - { \frac { 1 } { R } } \{ A , Y \} ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { | f ( \mathbf { z } ) - f ( \widehat \mathbf { z } ) | } & { = | F ( 0 ) - F ( \| \mathbf { z } - \widehat \mathbf { z } \| _ { \infty } ) | } \\ & { \leq \| \mathbf { z } - \widehat \mathbf { z } \| _ { \infty } \cdot \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq u \leq \| \mathbf { z } - \widehat \mathbf { z } \| _ { \infty } } | F ^ { \prime } ( u ) | } \\ & { \leq \varepsilon \cdot d ^ { 2 } \cdot T _ { d } ( 1 + \varepsilon ) \cdot f _ { \operatorname* { m a x } } \leq \varepsilon \cdot d ^ { 2 } \cdot \mathfrak { c } \cdot f _ { \operatorname* { m a x } } . } \end{array}
K ^ { ( \infty , G ) } ( u ) = \frac { G } { 2 G - 1 } u ^ { \left( 1 / G - 1 \right) } - \frac { 1 - G } { 2 G - 1 } u , \qquad 0 \le u \le 1 , \ 0 < G < 1 , \ G \neq \frac { 1 } { 2 } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \sqrt { m + \Delta m _ { i } } } \approx \frac { 1 } { m ^ { 1 / 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta m _ { i } } { m ^ { 3 / 2 } } + \frac { 3 } { 8 } \frac { \Delta m _ { i } ^ { 2 } } { m ^ { 5 / 2 } } . } \end{array}
{ \cal S } _ { \sigma } [ \gamma , X ] = - \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma \partial ^ { \alpha } X ^ { M } \partial ^ { \beta } X ^ { N } \eta _ { M N } \gamma _ { \alpha \beta } \sqrt { \gamma }
\begin{array} { r l } { \mu _ { i \backslash j } ^ { t } = } & { { } \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \sum _ { t _ { i } = t + 2 } ^ { T + 1 } p \left( \boldsymbol { O } _ { i } \mid t _ { i } \right) p _ { 0 } \left( t _ { i } \right) \left[ \prod _ { r = 0 } ^ { t _ { i } - 2 } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { r } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { r } \nu _ { k i } ^ { r } } \right] \left[ 1 - \mathbb { I } _ { 1 \leq t _ { i } \leq T } e ^ { \tilde { \nu } _ { i } ^ { t _ { i } - 1 } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t _ { i } - 1 } \nu _ { k i } ^ { t _ { i } - 1 } } \right] \prod _ { s = t _ { i } } ^ { T - 1 } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { s } \mu _ { k \setminus i } ^ { s } } + } \end{array}
\frac { \partial n ( k ) } { \partial t } \biggr \rvert _ { A } = 2 \textnormal { I m } \langle \hat { \psi } _ { k } ^ { * } \sum _ { k _ { 1 } \in A , k _ { 2 } \in A , k _ { 3 } \in A } \hat { \psi } _ { 1 } \hat { \psi } _ { 2 } \hat { \psi } _ { 3 } ^ { * } \delta _ { 3 k } ^ { 1 2 } \rangle .
\left\langle \hat { f } _ { i } ( \mathbf { k } ; \tau ) \hat { g } _ { j } ( \mathbf { k } _ { 1 } ; \tau _ { 1 } ) \right\rangle = \left[ P _ { i j } ( \mathbf { k } ) Q _ { f g } \left( k ; \tau , \tau _ { 1 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \epsilon _ { i j k } \frac { k _ { k } } { k ^ { 2 } } H _ { f g } \left( k ; \tau , \tau _ { 1 } \right) \right] \delta ( \mathbf { k } + \mathbf { k } _ { 1 } ) ,
- \frac { m } { N g ^ { 2 } } = \sum _ { n } \chi _ { n } ^ { \dagger } ( x ) \chi _ { n } ( x ) \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \beta \epsilon _ { n } } + 1 } \ , \qquad \epsilon _ { n } = \omega _ { n } - \mu = \pm \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \ .
\tilde { E } ( \omega ) = \tilde { E } _ { 0 } \, \cos ^ { 2 } { \left( \frac { \omega - \omega _ { 0 } } { \Omega } { \pi } \right) } , \quad \omega _ { 0 } - \Omega / 2 \leq \omega \leq \omega _ { 0 } + \Omega / 2 ,
{ \cal { M } } \, \propto \, \left( { \frac { 1 } { p _ { W b g } ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } + i m _ { t } \Gamma _ { t } } } \right) \left( { \frac { 1 } { p _ { W b } ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } + i m _ { t } \Gamma _ { t } } } \right) \; .
\left\{ \begin{array} { c c c l l } { { A _ { \mu } ^ { I } } } & { { \null } } & { { \null } } & { { ( \mathbf { I } = 1 , \dots , n _ { V } ) } } & { { \mathrm { v e c t o r s } } } \\ { { \null } } & { { \lambda _ { A } ^ { i } } } & { { \phi ^ { i } } } & { { ( i = 1 , \dots , n _ { V } + n _ { T } \equiv n ) } } & { { ( A = 1 , 2 ) } } \\ { { B _ { \mu \nu } ^ { \mathcal { M } } } } & { { \null } } & { { \null } } & { { ( \mathcal { M } = 1 , \dots , n _ { T } ) } } & { { \mathrm { t e n s o r s } \ } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { C } ^ { n } \setminus \{ 0 \} ) / S ^ { 1 } } & { \longrightarrow ( 0 , \infty ) \times \mathbb { C } P ^ { n - 1 } , } \\ { \big \langle ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { n } ) \big \rangle } & { \longmapsto ( \big | ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { n } ) \big | , \big \lfloor z _ { 1 } , \cdots , z _ { n } \big \rfloor ) . } \end{array}
J \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \lambda \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \langle \hat { x } \rangle } & { { } = \langle \hat { q } - q _ { t } \rangle = \langle \hat { q } \rangle - q _ { t } = 0 , } \\ { \langle \hat { x } \otimes \hat { x } ^ { T } \rangle } & { { } = \langle ( \hat { q } - q _ { t } ) \otimes ( \hat { q } - q _ { t } ) ^ { T } \rangle = \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \gamma } _ { \mu , i } } & { = \gamma _ { \mu , i - 1 } ( \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { i - 1 } ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \nu , i - 1 } t _ { \mu , \nu } ^ { ( \alpha ) } } \\ & { = \gamma _ { \mu , i - 1 } ( \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { i - 1 } ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \nu , i - 1 } A ( \nu , \mu - \nu - 1 ) L \big ( \alpha - ( \mu - \nu ) , \nu , \mu - \nu ) } \\ & { = \gamma _ { \mu , i - 1 } ( \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { i - 1 } ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \nu , i - 1 } a _ { \nu } a _ { \nu + 1 } \cdots a _ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \nu } ( \lambda _ { \nu } , \lambda _ { \nu + 1 } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathcal { O } } ( p _ { 3 } ( \Delta _ { 3 } ) ) } & { = ( d p _ { 3 } + [ \mu , p _ { 3 } ] ) ( \Delta _ { 3 } ) = ( \frac { 1 } { 2 } [ p _ { 2 } , p _ { 2 } ] + [ \mu , p _ { 3 } ] ) ( \Delta _ { 3 } ) = } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } [ p _ { 2 } , p _ { 2 } ] ( \Delta _ { 3 } ) = \gamma _ { \mathcal { O } } \circ ( p _ { 2 } \otimes p _ { 2 } ) \circ \overline { { \Delta } } _ { ( 1 ) } ( \Delta _ { 3 } ) = } \\ & { = \gamma _ { \mathcal { O } } \circ ( p _ { 2 } \otimes p _ { 2 } ) ( \Delta _ { 2 } \circ _ { 1 } \Delta _ { 2 } + ( \Delta _ { 2 } \circ _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) ^ { ( 2 3 1 ) } + ( \Delta _ { 2 } \circ _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) ^ { ( 3 1 2 ) } ) = } \\ & { = p _ { 2 } ( \Delta _ { 2 } ) \circ _ { 1 } p _ { 2 } ( \Delta _ { 2 } ) + ( p _ { 2 } ( \Delta _ { 2 } ) \circ _ { 1 } p _ { 2 } ( \Delta _ { 2 } ) ) ^ { ( 2 3 1 ) } + ( p _ { 2 } ( \Delta _ { 2 } ) \circ _ { 1 } p _ { 2 } ( \Delta _ { 2 } ) ) ^ { ( 3 1 2 ) } \: . } \end{array}
\eta ( \mathbf { x } , 0 ) = 1 + e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } , \qquad \mathbf { v } ( \mathbf { x } , 0 ) = \mathbf { 0 } , \qquad b ( \mathbf { x } ) = 0 ,
( A - 2 I ) \mathbf { y } _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 5 } & { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 9 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } = \mathbf { 0 } ,
p _ { K _ { e } } ( k ) = \int _ { \mathcal H } \frac { e ^ { - H } H ^ { k } } { k ! } f _ { H } ( H ) \, \mathrm d H = \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k ! } \partial _ { t } ^ { k } M _ { H } ( - t ) | _ { t = 1 } ,
\begin{array} { r l } { r } & { { } = a \, \left( 1 - e \, \cos E \right) , } \\ { \sin E } & { { } = \frac { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, \sin f } { 1 + e \, \cos f } , } \\ { \cos E } & { { } = \frac { e + \cos f } { 1 + e \, \cos f } , } \end{array}
h _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } \mathrm { ~ s ~ o ~ f ~ t ~ m ~ a ~ x ~ } \bigg ( \frac { q _ { i } ^ { T } k _ { j } } { \sqrt { h } } \bigg ) = \sum _ { j = 1 } ^ { L } a _ { i j } v _ { j } .
S = \int d ^ { 6 } x \left[ { \frac { 1 } { 1 2 } } { \epsilon } ^ { 0 i j k l m } F _ { 0 i j } F _ { k l m } - { \frac 1 6 } F _ { k l m } F _ { k l m } + { \frac 1 6 } G ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } ( F _ { { \mu } { \nu } { \sigma } } - { \partial } _ { [ { \mu } } A _ { { \nu } { \sigma } ] } ) \right] ,
E = \{ \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } \} ; v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } \in V , v _ { 1 } \neq v _ { 2 } , v _ { 1 } \neq v _ { 3 } , v _ { 2 } \neq v _ { 3 } \}
\mu _ { 3 } ^ { 2 } + v _ { 3 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 3 } v _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 2 3 } v _ { 2 } ^ { 2 } = 0 \nonumber
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \left( { \frac { L / K } { \cdot } } \right) : I _ { K } ^ { \Delta } \longrightarrow \operatorname { G a l } ( L / K ) } \\ { \prod _ { i = 1 } ^ { m } { \mathfrak { p } } _ { i } ^ { n _ { i } } \longmapsto \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( { \frac { L / K } { { \mathfrak { p } } _ { i } } } \right) ^ { n _ { i } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \Delta } & { = \left| \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } } l o g i t ( e ( Z _ { i } ) ) - \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { j \in M _ { 1 } } l o g i t ( e ( Z _ { j } ) ) \right| } \\ & { \leq \gamma _ { \mathcal { F } } ( \mathbb { Q } _ { n _ { 0 } } ^ { 0 } , \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } ^ { 1 } ) , } \end{array}
\epsilon _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { ( n ) } = \operatorname* { m a x } [ \epsilon _ { \mathrm { ~ A ~ A ~ } } ^ { ( n ) } , \epsilon _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } ^ { ( n ) } , \epsilon _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } ^ { ( n ) } ]
{ \cal { V } } = - \frac { \pi ^ { 2 } } { V } \frac { s ( N - s ) } { N } + \frac { V } { 2 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 4 \pi } { V } \sum _ { i = 1 } ^ { s } \sum _ { j = s + 1 } ^ { N } | A _ { + } ^ { ( j i ) } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { k } ( B ^ { k } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { i } \sum _ { j > i } | X ^ { ( i j ) } | ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { \mathcal { M } ( { \bf k } , \omega ) = \left( \begin{array} { l l l } { \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { C } } & { } & { - \tilde { g } } \\ { - \tilde { g } } & { } & { \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { X } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mu } & { { } = - \iota _ { u } F , } \\ { \mathrm { d } \tilde { \mu } } & { { } = - \iota _ { u } \tilde { F } } \\ { \mathrm { d } \mu _ { \ell } } & { { } = \ell \left( \mu - \iota _ { u } \Xi \right) , } \\ { \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { \ell } } & { { } = \tilde { \ell } \left( \tilde { \mu } - \iota _ { u } \tilde { \Xi } \right) . } \end{array}
\nonumber + \frac { d } { d s } \zeta _ { H } ( s ; 1 + i \frac { m ^ { 2 } } { 2 e E } ) _ { s = - 1 } \} + i \frac { m ^ { 2 } e E } { 8 \pi ^ { 2 } } [ \mathrm { l n } \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - 1 ] \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| z _ { k } ^ { ( t + 1 ) } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le \| z _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \gamma _ { k } ^ { 2 } \| \nabla g _ { k } ( z _ { k } ^ { ( t ) } ) \| ^ { 2 } + \gamma _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } - 2 \gamma _ { k } \langle \nabla g _ { k } ( z _ { k } ^ { ( t ) } ) , z _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { k } ^ { * } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { m } = \frac { 1 } { 2 \zeta _ { m } ^ { 2 } \Big ( - 2 \mu _ { m } ^ { \prime } + \zeta _ { m } ^ { 2 } \Big ) } \Bigg ( - 6 ( \mu _ { m } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \zeta _ { m } ^ { 2 } } & { { } \Big ( \kappa _ { m } + 1 3 \zeta _ { m } ^ { 2 } - 6 \mu _ { m } ^ { \prime } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { : = \sum _ { j = 0 } ^ { m } \sum _ { i = j } ^ { j + m } \Big ( - \mathbf { Y } _ { i j } \log ( x _ { i - j } x _ { j } ) + x _ { i - j } x _ { j } \Big ) } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { m } \sum _ { i = j } ^ { j + m } \Big ( - \mathbf { Y } _ { i j } \log x _ { i - j } - \mathbf { Y } _ { i j } \log x _ { j } + x _ { i - j } x _ { j } \Big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Vert h \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = - 2 \langle u \cdot \nabla _ { x } h , h \rangle _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } - 2 \langle B ^ { u , f } h , h \rangle _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } + 2 \langle S , h \rangle _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } } \\ & { = \int _ { \mathbb T ^ { d } } ( \mathrm { d i v } _ { x } \, u - 2 B ^ { u , f } ) \vert h \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x + 2 \langle S , h \rangle _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } . } \end{array}
g _ { p _ { i } ^ { \prime } } \left\{ \begin{array} { l l } { \leq g _ { p _ { \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor } ^ { \prime } } \quad \mathrm { ~ i f ~ } \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor \ge i \ge l , } \\ { > g _ { p _ { \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor } ^ { \prime } } \quad \mathrm { ~ i f ~ } \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor < i \leq h . } \end{array} \right.
\varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) = e ^ { t \mathcal { A } _ { U } } u + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } F _ { \rho } \circ \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) \, d s , \qquad u \in V ,
0 = - \int d ^ { N ^ { 2 } } X d ^ { N ^ { 2 } } Y \, \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N ^ { 2 } } \left[ \frac { \partial } { \partial X _ { \alpha } } \mathrm { e } ^ { - S } \frac { \partial } { \partial X _ { \alpha } } + \frac { \partial } { \partial Y _ { \alpha } } \mathrm { e } ^ { - S } \frac { \partial } { \partial Y _ { \alpha } } \right] \mathrm { e } ^ { K \cdot \Psi } .
\begin{array} { r } { \varepsilon ^ { a } = \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { D } \\ { C } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { a 1 } \otimes \left\{ \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { D } \\ { A } \\ { A } \end{array} \right) _ { b 2 } , \left( \begin{array} { c } { A } \\ { A } \\ { C } \\ { D } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { b 2 } \right\} , \quad \varepsilon ^ { b } = \left\{ \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { D } \\ { C } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { a 1 } , \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { D } \\ { C } \\ { A } \\ { B } \end{array} \right) _ { a 1 } \right\} \otimes \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { D } \\ { A } \\ { A } \end{array} \right) _ { b 2 } } \end{array}
2 \big ( | \omega _ { N } | - \widetilde { \mathtt { r } } _ { \mathbf { m } } \big ) > \omega _ { S } + \widetilde { \mathtt { r } } _ { 2 \mathbf { m } } , \qquad \textnormal { i . e . } \qquad 2 | \omega _ { N } | > \omega _ { S } + 2 \widetilde { \mathtt { r } } _ { \mathbf { m } } + \widetilde { \mathtt { r } } _ { 2 \mathbf { m } } ,
\begin{array} { r l r } { \int { \frac { d ^ { D } \! p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } { \frac { ( p ^ { 2 } ) ^ { R } } { [ p ^ { 2 } - C ] ^ { M } } } } & { { } = } & { { \frac { i ( - 1 ) ^ { R + M } } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } C ^ { R - M + D / 2 } } } } \end{array}
\mathbf { B } ( t ) = \mathbf { T } ( t ) \times \mathbf { N } ( t ) = { \frac { \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \times \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t ) } { \| \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \times \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( t ) \| } } .
{ \mathcal H } ( \widetilde { G } ^ { T } , \widetilde { K } ^ { T } ) \otimes _ { { \mathbb Z } } { \mathcal H } ( \widetilde { \Delta } _ { \bar { S } } , \widetilde { K } _ { \bar { S } } ) \to \mathrm { E n d } _ { D ^ { + } ( { \mathcal O } ) } \left( R \Gamma \left( \widetilde { X } _ { \widetilde { K } } , { \mathcal V } _ { \tilde { \lambda } } \right) \right)
\log ( e ^ { X } e ^ { Y } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } } { ( e ^ { X } e ^ { Y } - I ) } ^ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } } \left( { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } { \frac { X ^ { i } } { i ! } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } { \frac { Y ^ { j } } { j ! } } - I } \right) ^ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } } \left( \sum _ { i , j \geq 0 , i + j > 1 } ^ { \infty } { \frac { X ^ { i } Y ^ { j } } { i ! j ! } } \right) ^ { k } .
W _ { a } ^ { ( v ) } = \sum _ { \nu } \mathbf { F } _ { a \nu } \cdot \delta \mathbf { r } _ { \nu } = \sum _ { \nu } \mathbf { F } _ { a \nu } \cdot \sum _ { i } \frac { \partial \mathbf { r } _ { \nu } } { \partial q _ { i } } \delta q _ { i } = \sum _ { i } \varphi _ { i } \delta q _ { i }
b ( r , l _ { 1 } , p _ { 1 } , l _ { 2 } , p _ { 2 } ) = b \sqrt { \frac { p _ { 2 } ! ( p _ { 1 } + | l _ { 1 } | ) ! } { p _ { 1 } ! ( p _ { 2 } + | l _ { 2 } | ) ! } } \left( \frac { r \sqrt { 2 } } { w _ { 0 } } \right) ^ { | l _ { 2 } | - | l _ { 1 } | } \frac { L _ { p _ { 2 } } ^ { | l _ { 2 } | } \left( \frac { 2 r ^ { 2 } } { { w _ { 0 } } ^ { 2 } } \right) } { L _ { p _ { 1 } } ^ { | l _ { 1 } | } \left( \frac { 2 r ^ { 2 } } { { w _ { 0 } } ^ { 2 } } \right) }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho } & { = - \frac { ( \partial _ { t } v ) \rho } { v } = \rho ^ { 3 } - 2 h \rho ^ { 2 } + \frac { \rho } { v } \partial _ { u } ( \frac { \partial _ { u } \rho } { v \rho } ) = \rho ^ { 3 } - 2 h \rho ^ { 2 } + \frac { \rho } { v } \partial _ { u } ( \partial _ { \theta } \rho ) } \\ & { = \rho ^ { 2 } \partial _ { \theta } ( \partial _ { \theta } \rho ) + \rho ^ { 2 } ( \rho - 2 h ) } \end{array}
\Psi ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } ; \hbar ) = 1 + { \hbar } \Psi _ { 1 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } ) + \left( \hbar \right) ^ { 2 } \Psi _ { 2 } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } ) + \ldots
\begin{array} { r l } { \hat { T } } & { { } = \sum _ { q } \left( | q + 1 , \uparrow \rangle \langle \uparrow , q | + | q - 1 , \downarrow \rangle \langle \downarrow , q | \right) , } \\ { R _ { j } ( \hat { \alpha } ) } & { { } = \sum _ { q , \sigma \sigma ^ { \prime } } | q , \sigma \rangle \left[ e ^ { - i \alpha _ { q } \hat { \sigma } _ { i } } \right] _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \langle q , \sigma ^ { \prime } | , \quad j = 1 , 3 . } \end{array}
| \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { H F } } \rangle \sim | \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { H F } } \rangle + \lambda \sum _ { i \neq 0 } \frac { \langle \Psi _ { 0 , i } ^ { \mathrm { H F } } | \hat { \mathsf { V } } | \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { H F } } \rangle } { E _ { 0 } ^ { \mathrm { H F } } - E _ { 0 , i } ^ { \mathrm { H F } } } | \Psi _ { 0 , i } ^ { \mathrm { H F } } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { c h r g } } } & { = - \sum _ { \alpha = 1 } ^ { c } \left[ \beta _ { \alpha } ^ { \tt B } ( \lambda _ { \alpha , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } + \lambda _ { \alpha , i _ { \alpha } ^ { \tt B } } - \lambda _ { \alpha , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } - \lambda _ { \alpha , f _ { \alpha } ^ { \tt B } } ) + \Delta \beta _ { \alpha } ( \lambda _ { \alpha , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } - \lambda _ { \alpha , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } ) \right] \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \int { \frac { d x } { 2 + \cos x } } } & { = \int { \frac { 1 } { 2 + { \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } } } { \frac { 2 \, d t } { t ^ { 2 } + 1 } } } & & { t = \tan { \frac { x } { 2 } } } \\ & { = \int { \frac { 2 \, d t } { 2 ( t ^ { 2 } + 1 ) + ( 1 - t ^ { 2 } ) } } = \int { \frac { 2 \, d t } { t ^ { 2 } + 3 } } } \\ & { = { \frac { 2 } { 3 } } \int { \frac { d t } { { \bigl ( } t { \big / } { \sqrt { 3 } } { \bigr ) } ^ { 2 } + 1 } } } & & { u = t { \big / } { \sqrt { 3 } } } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } \int { \frac { d u } { u ^ { 2 } + 1 } } } & & { \tan \theta = u } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } \int \cos ^ { 2 } \theta \sec ^ { 2 } \theta \, d \theta = { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } \int d \theta } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } \theta + C = { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } \arctan \left( { \frac { t } { \sqrt { 3 } } } \right) + C } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } } \arctan \left( { \frac { \tan { \frac { x } { 2 } } } { \sqrt { 3 } } } \right) + C . } \end{array} }
m ^ { 1 ; 1 ; 9 } , \ m ^ { 1 ; 4 ; 9 } , \ m ^ { 2 ; 6 ; 9 } , \ m ^ { 4 ; 7 ; 9 } , \ m ^ { 7 ; 7 ; 9 } , \ m ^ { 2 ; 3 ; 9 ; 9 } , \dots
\begin{array} { c } { { g ( \vartheta | \vartheta _ { k } ) = \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } } \chi ( \vartheta - h _ { k } ) - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { S } } \left( \chi ( \vartheta - \hat { y } _ { k } + i \eta ) + \chi ( \vartheta - \hat { y } _ { k } - i \eta ) \right) + } } \\ { { - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { C } } \chi ( \vartheta - c _ { k } ) - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { W } } \chi _ { I I } ( \vartheta - w _ { k } ) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { v } ( t ) } & { = { \frac { d R } { d t } } { \left[ \begin{array} { l } { \cos ( \omega t + \pi / 4 ) } \\ { \sin ( \omega t + \pi / 4 ) } \end{array} \right] } + \omega R ( t ) { \left[ \begin{array} { l } { - \sin ( \omega t + \pi / 4 ) } \\ { \cos ( \omega t + \pi / 4 ) } \end{array} \right] } } \\ & { = { \frac { d R } { d t } } \mathbf { u } _ { R } + \omega R ( t ) \mathbf { u } _ { \theta } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { J _ { \chi } ( \lambda , t ) } & { = Z ( \lambda , t ) P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \mp s _ { - 1 } \mathrm { e } ^ { 2 t g ( \lambda ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } Z ( \lambda , t ) ^ { - 1 } } \\ & { = I \mp s _ { - 1 } \mathrm { e } ^ { 2 t g ( \lambda ) } Z ( \lambda , t ) P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } Z ( \lambda , t ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \alpha } } \, \langle \gamma ( \epsilon ^ { * } , q ) | \bar { u } \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) b | B ^ { - } ( p _ { B } ) \rangle = \, - F _ { V } \, \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \epsilon ^ { * \nu } v ^ { \rho } q ^ { \sigma } + i F _ { A } [ \epsilon _ { \mu } ^ { * } ( v \cdot q ) - q _ { \mu } ( \epsilon ^ { * } \cdot v ) ] ,
{ \frac { F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { M ( p q ) } } \left( p ^ { \mu } - { \frac { p q } { q ^ { 2 } } } q ^ { \mu } \right) \left( p ^ { \nu } - { \frac { p q } { q ^ { 2 } } } q ^ { \nu } \right)
S U ( 7 ) [ B ^ { 3 } { \bar { Q } } ^ { 3 } Q _ { a n t i } ] \rightarrow S U ( 6 ) [ ( B ^ { 2 } A { \bar { Q } } ^ { 2 } ) _ { a n t i } ] \rightarrow S p ( 6 ) [ B Q ^ { 3 } ] \rightarrow S p ( 4 ) [ Q _ { 1 } Q _ { 2 } ]
\begin{array} { r } { T ^ { \alpha \beta } = \left[ \rho v ^ { \alpha } v ^ { \beta } + \eta ^ { 2 } \sigma \partial ^ { \beta } \left( \frac { 1 } { \rho } \partial ^ { \alpha } \sigma \right) + 8 \pi \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \delta ^ { \alpha \beta } + \sigma \tau ^ { \alpha \beta } \right] } \end{array}