harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( [ \phi ^ { \delta } ] _ { 2 } ^ { 3 } - [ \phi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 1 } ) } & { - ( [ \phi ^ { \delta } ] _ { 1 } ^ { 3 } - [ \phi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ { \approx \; } & { - ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( c _ { 1 } ( ( a _ { 2 } ) _ { y } - a _ { 1 } c _ { 2 } ) X _ { \alpha } ^ { \delta } - c _ { 2 } ( ( a _ { 1 } ) _ { x } - a _ { 2 } c _ { 1 } ) X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) , } \\ { ( [ \xi ^ { \delta } ] _ { 2 } ^ { 3 } - [ \xi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 1 } ) } & { - ( [ \xi ^ { \delta } ] _ { 1 } ^ { 3 } - [ \xi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ { \approx \; } & { ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( c _ { 1 } ( ( b _ { 2 } ) _ { y } - b _ { 1 } c _ { 2 } ) X _ { \alpha } ^ { \delta } - c _ { 2 } ( ( b _ { 1 } ) _ { x } - b _ { 2 } c _ { 1 } ) X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) , } \\ { ( [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 2 } ^ { 3 } - [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 1 } ) } & { - ( [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 1 } ^ { 3 } - [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ { \approx \; } & { - ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( - c _ { 1 } ( ( a _ { 2 } ) _ { y } - a _ { 1 } c _ { 2 } ) \phi ^ { \delta } + c _ { 1 } ( ( b _ { 2 } ) _ { y } - b _ { 1 } c _ { 2 } ) \xi ^ { \delta } \right) ( 0 ) } \\ & { - ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( ( c _ { 2 } ) _ { x x } + ( c _ { 1 } ) _ { y y } + c _ { 1 } ( a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } ) + c _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } ) \right) ( 0 ) X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 ) , } \\ { ( [ X _ { \beta } ^ { \delta } ] _ { 2 } ^ { 3 } - [ X _ { \beta } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 1 } ) } & { - ( [ X _ { \beta } ^ { \delta } ] _ { 1 } ^ { 3 } - [ X _ { \beta } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ { \approx \; } & { ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( - c _ { 2 } ( ( a _ { 1 } ) _ { x } - a _ { 2 } c _ { 1 } ) \phi ^ { \delta } + c _ { 2 } ( ( b _ { 1 } ) _ { x } - b _ { 2 } c _ { 1 } ) \xi ^ { \delta } \right) ( 0 ) } \\ & { + ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( ( c _ { 2 } ) _ { x x } + ( c _ { 1 } ) _ { y y } + c _ { 1 } ( a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } ) + c _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } ) \right) ( 0 ) X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { M ^ { ( l ) } ( r ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { U _ { 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { U _ { 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { U } _ { 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { U } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } \\ { V _ { 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { V _ { 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { V } _ { 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { V } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } \\ { T _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { T _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { T } _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { T } _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } \\ { T _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { T _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { T } _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( r ) } & { \tilde { T } _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( r ) } \end{array} \right] } \end{array}
\left( { \frac { x } { 1 / { \sqrt { I _ { 1 } } } } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { y } { 1 / { \sqrt { I _ { 2 } } } } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { z } { 1 / { \sqrt { I _ { 3 } } } } } \right) ^ { 2 } = 1 ,
\begin{array} { r l } { \underline { { \delta } } ( \alpha , \beta ) } & { : = ( \delta \alpha , \delta \beta ) , } \\ { \underline { { \imath } } _ { \mathrm { X } } ( \alpha , \beta ) } & { : = ( \imath _ { \mathrm { X } } \alpha , \imath _ { \mathrm { X } } \beta ) , } \\ { \underline { { \mathcal { L } } } _ { \mathrm { X } } ( \alpha , \beta ) } & { : = ( \mathcal { L } _ { \mathrm { X } } \alpha , \mathcal { L } _ { \mathrm { X } } \beta ) . } \end{array}
g ^ { 4 } \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { W } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { q ^ { 2 } - m _ { W } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { p ^ { 2 } - m _ { l _ { i } } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { q ^ { 2 } - m _ { l _ { j } } ^ { 2 } } } { \frac { p \cdot q } { ( p + q ) ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { m _ { D } ^ { 2 } M } { ( p + q ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { r _ { 1 } } & { { } = } & { \cos \theta \cos \varphi , } \\ { r _ { \uparrow } } & { { } = } & { \sin \theta \cos \psi , } \\ { r _ { \downarrow } } & { { } = } & { \sin \theta \sin \psi , } \\ { r _ { { - } 1 } } & { { } = } & { \cos \theta \sin \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathbf { i j } } ^ { \mathrm { ~ E ~ x ~ } } } & { { } = - \sum _ { n } ^ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } \sum _ { \mathbf { k , l } } c _ { n \mathbf { k } } c _ { n \mathbf { l } } ^ { * } ( \mathbf { i k } | \mathbf { l j } ) , } \\ { ( \mathbf { i k } | \mathbf { l j } ) } & { { } = \int \int d \mathbf { r } d \mathbf { r ^ { \prime } } \phi _ { \mathbf { i } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \phi _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) v ( \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } ) \phi _ { \mathbf { l } } ^ { * } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \phi _ { \mathbf { j } } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) , } \end{array}
X ( x _ { t } ) = { \frac { x _ { t } } { 8 } } \biggl [ { \frac { x _ { t } + 2 } { x _ { t } - 1 } } + 3 { \frac { x _ { t } - 2 } { ( x _ { t } - 1 ) ^ { 2 } } } \log x _ { t } \biggr ] ,
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Q } _ { c _ { n } ^ { 2 } - \tau } ^ { c _ { n } } \leq ( \tau - \frac { \underline { { c } } } { \lambda _ { 0 } } ) \| \psi ^ { + } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } = - \frac { \underline { { c } } } { 2 \lambda _ { 0 } } \| \psi ^ { + } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \qquad \textrm { i n d e p e n d e n t l y o f } c _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \sum _ { i _ { 1 } = K + 1 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } } \sum _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } = } & { \sum _ { i _ { 2 } = 1 } ^ { I + n - K - 1 } \sum _ { i _ { 1 } = K + 1 } ^ { i _ { 2 } + K } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } + K } \sum _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } + K } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } } \\ { = } & { \sum _ { i _ { 2 } = 1 } ^ { I + n - K - 1 } i _ { 2 } \left( \frac { 1 } { i _ { 2 } } \sum _ { i _ { 1 } = K + 1 } ^ { i _ { 2 } + K } \mu _ { i _ { 1 } } \right) \mu _ { i _ { 2 } + K } \sum _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } + K } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } } \\ { \leq } & { c o n s t . \sum _ { i _ { 2 } = 1 } ^ { I + n - K - 1 } i _ { 2 } \mu _ { i _ { 2 } + K } \sum _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } + K } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } } \\ { = } & { c o n s t . \sum _ { j = 1 + K } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j } } \sum _ { l = 1 } ^ { j - K } l \mu _ { l + K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { d \boldsymbol { P } _ { h } } { d t } \right) _ { i } = \frac { d } { d t } \left< \boldsymbol { e } _ { i } , \boldsymbol { u } _ { h } \right> _ { \Omega _ { h } } } & { = - \left< \boldsymbol { e } _ { i } , \widetilde { C } _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } ) \boldsymbol { u } _ { h } \right> - \left< \boldsymbol { e } _ { i } , G _ { h } \boldsymbol { p } _ { h } \right> + \nu \left< \boldsymbol { e } _ { i } , D _ { h } \boldsymbol { u } _ { h } \right> } \\ & { = 0 , \quad \forall i \in \{ 1 , . . . , d \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { L o s s = L _ { M S E } + \lambda L _ { P h y s i c s } = \frac { 1 } { N } \sum _ { t , n = 1 } ^ { T , N } ( \hat { U } _ { n , t } - U _ { n , t } ) ^ { 2 } + } \\ { \lambda ( V _ { t } - V _ { o r i g i n } ) ^ { 2 } , } \end{array}
f ( k ^ { 2 } ) \approx \frac { \Gamma ( D / 2 ) \Gamma ( N / 2 ) } { 2 \Gamma ( ( D - N ) / 2 ) } ( k ^ { 2 } ) ^ { - N / 2 } \int \frac { d x _ { 1 } \ldots d x _ { N - 1 } } { \left( - P ^ { 2 } ( x _ { i } ) \right) ^ { N / 2 } } \ .
\begin{array} { r l r } { \left. \begin{array} { c } { \left[ 9 5 , 4 6 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 4 8 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 4 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 4 2 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 2 8 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 1 6 , 1 1 7 \right] } \end{array} \right\} } & { { } 1 / 6 } & { } \\ { \left. \left[ 1 4 , 6 1 , 6 8 \right] \: \: \: \right\} \: } & { { } 1 } & { } \\ { \left. \begin{array} { c } { \left[ 9 5 , 1 2 8 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 1 2 , 1 1 7 \right] } \end{array} \right\} } & { { } 1 / 2 } & { } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda \left( \sum _ { u ^ { \prime } \in \Pi u } u ^ { \prime } , \sum _ { v ^ { \prime } \in \Pi v } v ^ { \prime } \right) = \Lambda \left( \kappa \circ \iota ^ { * } \left( \sum _ { u ^ { \prime } \in \Pi u } u ^ { \prime } \right) , \kappa \circ \iota ^ { * } \left( \sum _ { v ^ { \prime } \in \Pi v } v ^ { \prime } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \langle \rho ^ { \prime } ( \phi ) \phi _ { t } , | u | ^ { 2 } \rangle \leq } & { C \| \phi _ { t } \| _ { L ^ { 3 } } \| u \| _ { L ^ { 3 } } ^ { 2 } \leq C \| \phi _ { t } \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \nabla \phi _ { t } \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } \| \nabla u \| } \\ { \leq } & { \delta _ { 1 } \| ( \phi _ { t } , \nabla \phi _ { t } ) \| ^ { 2 } + C _ { \delta _ { 1 } } \| ( u , \nabla u ) \| ^ { 4 } } \\ { \leq } & { \delta _ { 1 } \| ( \phi _ { t } , \nabla \phi _ { t } ) \| ^ { 2 } + C _ { \delta _ { 1 } } E _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { \partial } { x } \left[ \sqrt { g } \left( \frac { \gamma ^ { 2 } x } { \partial x ^ { 3 } + x _ { 0 } ^ { 3 } } f + \frac { \gamma ^ { 3 } } { 2 ( x ^ { 3 } + x _ { 0 } ^ { 3 } ) } \frac { \partial f } { \partial x } \right) \right] } \\ { \sqrt { g } } & { { } = 4 \pi x ^ { 2 } \sin \theta . } \end{array}
\frac { \delta } { \delta A _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) } { \cal S } _ { f k , i } ^ { p } \circ \hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) = \frac { \partial } { \partial \nu } \left[ \int \int F _ { i } ( x , v ) \frac { q _ { i } } { c } \varepsilon _ { \delta } ( \textbf { A } _ { 1 } ( \textbf { x } ) + \nu \hat { \chi } ( \textbf { x } ) ) \dot { x } d t d \Omega \right]
G ( k , k ) = - \eta ^ { 2 } ( k , k ) \left[ \lambda ^ { - 1 } + \frac { M } { 2 \pi ^ { 2 } } \int { d q q ^ { 2 } } \, \frac { \theta ( q - p _ { F } ) \eta ^ { 2 } ( q , q ) } { { k ^ { 2 } } - q ^ { 2 } } \right] ^ { - 1 }
\sigma _ { b a } ( \Delta \omega _ { a } ) \simeq \frac { 4 \Omega _ { N } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { 4 \Delta \omega _ { a } ^ { 2 } \gamma ( \gamma - 4 \gamma _ { a } ) + ( 4 \Delta \omega _ { a } ^ { 2 } - 4 \Omega _ { N } ^ { 2 } + \gamma _ { a } \gamma ) ^ { 2 } } .
T _ { M } ^ { e x t } ( { \bf Q } ) _ { K ^ { * } } = e j _ { M } ^ { K ^ { * } } ( Q ) a _ { M } ^ { e x t } ( { \bf Q } ) \sum _ { m _ { Y ^ { * } } m _ { K ^ { * } } } \int d ^ { 3 } \pi \Phi _ { m _ { Y ^ { * } } m _ { K ^ { * } } , - } ^ { \ell S ~ ~ * } ( { \bf \pi } ) \Phi _ { m _ { Y ^ { * } } m _ { K ^ { * } } , + } ^ { \ell S } ( { \bf \pi } + \epsilon _ { Y ^ { * } } { \bf Q } )
\int _ { \mathbb { I } ^ { q } } \sum _ { i = 1 } ^ { D } h _ { i } \frac { \partial f } { \partial \theta _ { C , i } } ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \theta } _ { C } ) d \mathbf { u } = \sum _ { i = 1 } ^ { D } \left[ \int _ { \mathbb { I } ^ { q } } \frac { \partial f } { \partial \theta _ { C , i } } ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \theta } _ { C } ) d \mathbf { u } \right] h _ { i } .
\begin{array} { r l } { | \mathcal S _ { y , x } | } & { = \left| ( y _ { n + 1 } - x _ { n + 1 } ) \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) - \varepsilon \frac { \partial u _ { \varepsilon } } { \partial x _ { n + 1 } } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle \right| } \\ & { = \left| ( y _ { n + 1 } - x _ { n + 1 } ) \left( \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } - \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } \right) + | ( y _ { n + 1 } - x _ { n + 1 } ) \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } - \varepsilon \frac { \partial u _ { \varepsilon } } { \partial x _ { n + 1 } } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle \right| } \\ & { \leq \rho \left| \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right| + \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } | \langle y - x , e _ { n + 1 } \rangle - \langle y - x , \nu _ { \varepsilon } \rangle \langle e _ { n + 1 } , \nu _ { \varepsilon } \rangle | } \\ & { \leq \rho \left| \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right| + \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } | y - x | \sqrt { 1 - \nu _ { \varepsilon , n + 1 } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \rho \left| \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right| + \rho \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \sqrt { 1 - \nu _ { \varepsilon , n + 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , d ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \, } & { { } + 2 \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } \pm \vec { \delta } _ { 0 } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } f ( x , t ) { \ } d x } & { = \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \{ D _ { t } ^ { A } f + ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) f \} { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } f ( x , t ) { \ } d x } & { = \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \{ D _ { t } ^ { B } f + ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) f \} { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } f ( x , t ) { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } } & { = \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \{ D _ { t } ^ { S } f + ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) f \} { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \theta } } & { { } = C _ { \theta } ^ { - 1 } \exp { \bigl ( \alpha _ { b } \cos ( \theta - \theta _ { 0 } ) \bigr ) } , } \\ { P _ { v } } & { { } = C _ { v } ^ { - 1 } \exp { \Bigl ( - \frac { ( 1 - v / v _ { c } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { r } ^ { 2 } } \Bigr ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \psi } _ { 1 } ( s ) = \frac { i ^ { \alpha } s ^ { \alpha - 1 } \left( i ^ { \alpha } s ^ { \alpha } - E _ { 2 } \right) } { \left( i ^ { \alpha } s ^ { \alpha } - E _ { 1 } \right) \left( i ^ { \alpha } s ^ { \alpha } - E _ { 2 } \right) - \gamma ^ { 2 } } , } \end{array}
\exp { \left\{ - \frac { c _ { 1 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int ^ { \rho } \frac { d \rho ^ { \prime } } { \rho ^ { \prime } } \; \frac { e ^ { 4 } } { v _ { e f f } ^ { 2 } } ( \rho ^ { \prime } ) \right\} }
\ln 2 = { \frac { 1 3 1 } { 1 9 2 } } + { \frac { 3 } { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \left| e ^ { ( s - t ) A } ( G ^ { * } ( u ( s ) ) - G ^ { * } ( v ( s ) ) ) \right| _ { L ( \bar { \mathcal { L } } ; \mathbb { R } ^ { 4 } ) } ^ { p } d s } & { \leqslant c \int _ { 0 } ^ { t } \left| u ( s ) - v ( s ) \right| _ { C ( \bar { \mathcal { L } } ; \mathbb { R } ^ { 4 } ) } ^ { p } } \\ & { \leqslant c \int _ { 0 } ^ { t } \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , s ] } \left| u ( s ) - v ( s ) \right| _ { C ( \bar { \mathcal { L } } ; \mathbb { R } ^ { 4 } ) } ^ { p } } \\ & { \leqslant c t \cdot \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \left| u ( s ) - v ( s ) \right| _ { C ( \bar { \mathcal { L } } ; \mathbb { R } ^ { 4 } ) } ^ { p } . } \end{array}
a d a m u s f p @ g m a i l . c o m \quad d . h e a l y @ a b d n . a c . u k \quad p . m e r e d i t h @ u c l . a c . u k \quad t o m . m i t c h e l l @ u c l . a c . u k \quad a s h l e y . s e s n i c . 1 8 @ u c l . a c . u k
g \phi F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } / 4 , \quad g _ { 5 } \phi _ { 5 } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } F ^ { \mu \nu } F ^ { \rho \sigma } / 8 , \quad G \phi R _ { \mu \nu \rho \sigma } R ^ { \mu \nu \rho \sigma } / 2 \kappa ^ { 2 } , \quad G _ { 5 } \phi _ { 5 } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } { R ^ { \mu \nu } } _ { \alpha \beta } R ^ { \rho \sigma \alpha \beta } / 4 \kappa ^ { 2 } ,
P _ { \mu } ^ { ^ L } = \frac { 2 \tau _ { 1 } ( k _ { 1 \mu } - k _ { 2 \mu } ) - y p _ { 1 \mu } } { M \sqrt { y ^ { 2 } + 4 x y \tau _ { 1 } } } \ , \P _ { \mu } ^ { ^ T } = \frac { ( 1 + 2 x \tau _ { 1 } ) k _ { 2 \mu } - ( 1 - y - 2 x \tau _ { 1 } ) k _ { 1 \mu } - x ( 2 - y ) p _ { 1 \mu } } { \sqrt { V x ( 1 - y - x y \tau _ { 1 } ) ( y + 4 x \tau _ { 1 } ) } } \ .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \delta _ { \Lambda ^ { ( 0 ) } } C ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { \partial \Lambda ^ { ( 0 ) } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \Lambda ^ { ( 0 ) } } C ^ { ( 3 ) } } } & { { = } } & { { 3 \partial \Lambda ^ { ( 0 ) } B \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \Lambda ^ { ( 2 ) } } C ^ { ( 3 ) } } } & { { = } } & { { 3 \partial \Lambda ^ { ( 2 ) } \, . } } \end{array} \right.
I _ { o } = I _ { e } \left( { \frac { q ^ { 4 } } { m ^ { 2 } c ^ { 4 } } } \right) { \frac { 1 + \cos ^ { 2 } 2 \theta } { 2 } } = I _ { e } 7 . 9 4 . 1 0 ^ { - 2 6 } { \frac { 1 + \cos ^ { 2 } 2 \theta } { 2 } } = I _ { e } f
\begin{array} { r } { ( \widetilde B _ { 1 } ) _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \mp , \mu } = ( \widehat B _ { 1 } ) _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \mp , \mu } \mp A _ { 1 } , \qquad ( \widetilde B _ { 2 } ) _ { i , j \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , \mp } = ( \widehat B _ { 2 } ) _ { i , j \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , \mp } \mp A _ { 2 } , \qquad 1 \leq \mu \leq Q , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { s e } = \tilde { \sigma } _ { s m } } & { { } = \frac { 1 - \mathcal { A } e ^ { i \phi ( \omega ) } } { 1 + \mathcal { A } e ^ { i \phi ( \omega ) } } = \frac { 1 - e ^ { i [ \phi ( \omega ) - i \log \mathcal { A } ] } } { 1 + e ^ { i [ \phi ( \omega ) - i \log \mathcal { A } ] } } } \end{array}
\mathbf v ^ { ( i ) } ( \mathbf x ) = \Delta t \mathbf A \mathbf x \frac { r ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \left( \frac { g _ { i } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \right) ^ { r ( \mathbf x ) - 1 } = \Delta t \mathbf A \mathbf x \frac { r ( \mathbf x ) } { g _ { i } ( \mathbf x ) } \left( \frac { g _ { i } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \right) ^ { r ( \mathbf x ) }
\begin{array} { l } { \displaystyle \mathcal { G } _ { N } ( t , s ) \, = \, N \, \exp ( s ) \, \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { 1 , 1 - N } \\ { 2 , 1 } \end{array} \right| t , - s \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { Q } _ { e r } } & { = } & { 2 \bar { u } _ { r } ^ { 3 } + 3 \left( \bar { u } _ { r } - \frac { 1 } { 4 } k _ { r } ^ { 2 } \right) a _ { r } ^ { 2 } + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 4 } \left( c _ { 1 } + 3 c _ { 2 } - 6 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { r } ^ { 4 } \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm + \frac { 1 } { 4 } \left( \left( 3 c _ { 1 } + 9 c _ { 2 } - 1 8 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { r } ^ { 2 } - 2 c _ { 2 } \bar { u } _ { r } k _ { r } ^ { 2 } + 5 c _ { 4 } k _ { r } ^ { 4 } \right) a _ { r } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c d } ( u , k ) } & { = \frac { \mathrm { c n } ( u , k ) } { \mathrm { d n } ( u , k ) } , } \\ { \mathrm { c s } ( u , k ) } & { = \frac { \mathrm { c n } ( u , k ) } { \mathrm { s n } ( u , k ) } , } \\ { \mathrm { d c } ( u , k ) } & { = \frac { \mathrm { d n } ( u , k ) } { \mathrm { c n } ( u , k ) } , } \\ { \mathrm { d s } ( u , k ) } & { = \frac { \mathrm { d n } ( u , k ) } { \mathrm { s n } ( u , k ) } , } \\ { \mathrm { n c } ( u , k ) } & { = \frac { 1 } { \mathrm { c n } ( u , k ) } , } \\ { \mathrm { n d } ( u , k ) } & { = \frac { 1 } { \mathrm { d n } ( u , k ) } , } \\ { \mathrm { n s } ( u , k ) } & { = \frac { 1 } { \mathrm { s n } ( u , k ) } , } \\ { \mathrm { s c } ( u , k ) } & { = \frac { \mathrm { s n } ( u , k ) } { \mathrm { c n } ( u , k ) } , \ \ \ \mathrm { a n d } } \\ { \mathrm { s d } ( u , k ) } & { = \frac { \mathrm { s n } ( u , k ) } { \mathrm { d n } ( u , k ) } . } \end{array}
\langle \mathbf { v } _ { D } \cdot \nabla \alpha \rangle = \frac { H } { q \psi _ { 0 } } \frac { a _ { \psi } \left( k ^ { 2 } - 2 b a _ { \ell } ( 1 - k ^ { 2 } ) \right) } { 2 a _ { \ell } } .
\left( \begin{array} { l l } { \left( 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } } & { \left( 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \, \bar { \alpha } } \\ { \left( 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \, \alpha } & { \left( 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } } \end{array} \right) \in \mathrm { S U } ( 1 , 1 ) \, .
I _ { m , n } = { \left\{ \begin{array} { l l } { - { \frac { 1 } { ( n - 1 ) ( b p - a q ) } } \left[ { \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { m - 1 } ( p x + q ) ^ { n - 1 } } } + a ( m + n - 2 ) I _ { m , n - 1 } \right] } \\ { { \frac { 1 } { ( m - 1 ) ( b p - a q ) } } \left[ { \frac { 1 } { ( a x + b ) ^ { m - 1 } ( p x + q ) ^ { n - 1 } } } + p ( m + n - 2 ) I _ { m - 1 , n } \right] } \end{array} \right. } \,
\hat { H } _ { m n p } v ^ { p } = { \frac { \hat { H } _ { m n } ^ { * } - { \frac { 1 } { 2 } } t r ( \hat { H } ^ { * } ) ^ { 2 } \hat { H } _ { m n } ^ { * } + ( \hat { H } ^ { * } ) _ { m n } ^ { 3 } } { L _ { D B I } } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { s \in ( t , T ) } \| \partial _ { y } \omega _ { \tau , k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq \bigg ( \int _ { t } ^ { \tau } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s \operatorname* { s u p } _ { s \in ( t , T ) } \| ( \partial _ { t } - 1 ) \omega _ { \tau , k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { X } ( t ) } & { { } : = \Phi _ { Q ^ { \prime } } ( 0 , t ) X ( 0 ) + \sum _ { i = 0 } ^ { t } \Phi _ { Q ^ { \prime } } ( t + 1 - i , t ) U ^ { \prime } ( t - i ) , } \\ { \tilde { X } ^ { * } ( t ) } & { { } : = \sum _ { i = 0 } ^ { t } \Phi _ { Q ^ { \prime } } ( t + 1 - i , t ) U ^ { \prime } ( t - i ) + \Phi _ { Q ^ { \prime } } ( 0 , t ) } \end{array}
\left\langle \sqrt { { \bf r } ^ { 2 } } \right\rangle = \frac 2 { \sqrt { \sigma _ { 0 } } } \left( \frac { a ( n ) } 3 \right) ^ { 3 / 4 } \left[ 1 + \frac { 3 m _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \sigma _ { 0 } } \left( \frac 3 { a ( n ) } \right) ^ { 3 / 2 } \right] ^ { - 1 / 3 } .
\begin{array} { r l } { \exp \left[ - \frac { x ^ { 2 } } { w _ { e } ^ { 2 } } \right] } & { { } = ( U _ { G } ^ { ( \pm ) } ) ^ { \dag } \exp \left[ \chi \left( \frac { 1 } { 2 } \left( a ^ { \dag } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( a ^ { \dag } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( a a ^ { \dag } + a ^ { \dag } a \right) \right) \right] U _ { G } ^ { ( \pm ) } , } \\ { \chi } & { { } = - \frac { w ^ { 2 } } { 2 w _ { e } ^ { 2 } } , } \end{array}
\alpha ^ { ( 1 ) } \left( \omega \right) = \hslash \omega \sqrt { \frac { \mu _ { 0 } } { \epsilon _ { r } } } \frac { \sigma _ { \nu } \Gamma _ { 2 1 } \left\vert M _ { 2 1 } \right\vert ^ { 2 } } { \left( \Delta E - \hslash \omega \right) ^ { 2 } + \left( \hslash \Gamma _ { 2 1 } \right) ^ { 2 } }