harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { R e } = 0 . 1 2 3 3 5 3 , \quad \mathrm { P e } _ { s } = 8 2 . 2 3 5 3 , \quad \mathrm { F r } = 0 . 0 0 0 0 3 9 4 0 3 6 , \quad \mathrm { S c } = 1 0 0 0 , \quad \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } = 7 . 9 4 4 6 8 \times 1 0 ^ { 7 } .
\begin{array} { r l r } { g _ { Y } } & { = } & { \left( \frac { 4 \Gamma C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \chi ( \omega ) \right| ^ { 2 } \left( \left| f ( \omega ) \right| ^ { 2 } + 1 \right) \mathrm { d } \omega \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { g _ { X } } & { = } & { - \frac { 1 } { g _ { \mathrm { Y } } } \frac { 8 \Gamma C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \Im { ( \phi ( \omega ) ) \Im { ( f ( \omega ) ) } } d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { m } _ { i j } ^ { ( t + 1 ) } } & { { } = \boldsymbol { \omega } _ { i j } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } _ { i j } ^ { ( t ) } ) \odot \boldsymbol { \phi } ( \mathbf { x } _ { i j } ^ { ( t ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { { } = } & { \frac { \langle \tilde { \Psi } _ { f } ^ { ( 1 ) } | H _ { W } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } + \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 1 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } . } \end{array}
F O M = \left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { 7 \mu m } ^ { 1 4 \mu m } T ( \lambda ) d \lambda + \int _ { 7 \mu m } ^ { 9 \mu m } T ( \lambda ) d \lambda , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } d _ { c r i t i c a l } \geq 0 . 5 ~ \mu m } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { ( \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } ) ^ { 2 } ( F _ { 2 } - F _ { 1 } ) ( 1 + \xi _ { s } Z ( \xi _ { s } ) ) \lvert \delta \phi _ { 1 } \rvert ^ { 2 } , } \\ { D _ { 2 } } & { = } & { - i \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } [ F _ { 1 } ( 1 + \xi _ { s } Z ( \xi _ { s } ) ) - \Gamma _ { s } \xi _ { s } Z ( \xi _ { s } ) - \Gamma _ { 1 } ] / \omega _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { e ^ { i t z } } { z ^ { 2 } + 1 } } } & { { } = { \frac { e ^ { i t z } } { 2 i } } \left( { \frac { 1 } { z - i } } - { \frac { 1 } { z + i } } \right) } \end{array}
D ( q , \omega ) = - \frac { \gamma q ^ { 2 } } { \rho _ { m } } q _ { \rho } + \omega ^ { 2 } + \frac { 4 i \omega } { \rho _ { m } } \eta q ^ { 2 } - 4 \frac { \eta ^ { 2 } } { \rho _ { m } ^ { 2 } } q ^ { 2 } ( q ^ { 2 } - q _ { v } q _ { \rho } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \hbar } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } ( t _ { n } , \tau _ { n } ) } & { = n \omega t _ { n } + i \frac { \Gamma } { \hbar \omega } \omega \tau _ { n } } \\ { - \frac { U _ { \mathrm { p } } } { 2 4 \hbar \omega } } & { ( \omega \tau _ { n } ) ^ { 3 } [ \frac { ( \omega \tau _ { n } ) ^ { 2 } } { 1 5 } + ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } + \omega \tilde { t } _ { n } ) ^ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { { } = { \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 g } } \sin ^ { 2 } \left( \theta \right) , } \\ { R } & { { } = { \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { g } } \sin \left( 2 \theta \right) , ~ { \mathrm { a n d } } } \\ { T } & { { } = { \frac { 2 v _ { 0 } } { g } } \sin \left( \theta \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { L } _ { \tau } ^ { \ast } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \tau + 1 } \left( \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } - \boldsymbol { Q } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \tau + 1 } \boldsymbol { P } _ { \tau } ^ { \ast } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { \boldsymbol { Q } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = } & { \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) \left[ \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] ^ { - 1 } } \\ { \boldsymbol { R } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = } & { \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) \, } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } ) - \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } _ { 2 } ) , { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } - { \boldsymbol { \beta } } _ { 2 } \rangle \leq \gamma \| { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } - { \boldsymbol { \beta } } _ { 2 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 4 \gamma } { 3 } \frac { \log d } { n } \| { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } - { \boldsymbol { \beta } } _ { 2 } \| _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
F ( y ) \equiv \left\{ \begin{array} { r l l l c } { { { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } } } & { { \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } } } & { { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } } & { { y \leq 1 } } \\ { { { - \sqrt { y ^ { 2 } - 1 } } } } & { { \tan ^ { - 1 } } } & { { \sqrt { y ^ { 2 } - 1 } } } & { { y \geq 1 } } & { { ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { X _ { i j } ^ { 2 } X _ { i j ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { = \big ( \sum _ { r } B _ { i j r } + \sum _ { r \neq s } B _ { i j r } B _ { i j s } \big ) \big ( \sum _ { r } B _ { i j ^ { \prime } r } + \sum _ { r \neq s } B _ { i j ^ { \prime } r } B _ { i j ^ { \prime } s } \big ) } \\ & { = \sum _ { r } B _ { i j r } B _ { i j ^ { \prime } r } + \sum _ { r _ { 1 } \neq r _ { 2 } } B _ { i j r } B _ { i j ^ { \prime } s } + \sum _ { r _ { 1 } \neq s } B _ { i j r _ { 1 } } B _ { i j s } \sum _ { r _ { 2 } } B _ { i j ^ { \prime } r _ { 2 } } + \sum _ { r _ { 1 } \neq s } B _ { i j ^ { \prime } r _ { 1 } } B _ { i j ^ { \prime } s } \sum _ { r _ { 2 } } B _ { i j r _ { 2 } } } \\ & { \quad + \big ( \sum _ { r \neq s } B _ { i j r } B _ { i j s } \big ) \big ( \sum _ { r \neq s } B _ { i j ^ { \prime } r } B _ { i j ^ { \prime } s } \big ) } \\ & { = \sum _ { r _ { 1 } \neq r _ { 2 } } B _ { i j r } B _ { i j ^ { \prime } s } + \sum _ { r _ { 1 } \neq s } B _ { i j r _ { 1 } } B _ { i j s } \sum _ { r _ { 2 } } B _ { i j ^ { \prime } r _ { 2 } } + \sum _ { r _ { 1 } \neq s } B _ { i j ^ { \prime } r _ { 1 } } B _ { i j ^ { \prime } s } \sum _ { r _ { 2 } } B _ { i j r _ { 2 } } } \\ & { \quad + \big ( \sum _ { r \neq s } B _ { i j r } B _ { i j s } \big ) \big ( \sum _ { r \neq s } B _ { i j ^ { \prime } r } B _ { i j ^ { \prime } s } \big ) } \end{array}
N { \bar { \psi } } ( x ) \, \gamma ^ { \mu } \, { \underline { { \psi ( x ) \, { \bar { \psi } } ( x ^ { \prime } ) } } } \, \gamma ^ { \nu } \, \psi ( x ^ { \prime } ) \, A _ { \mu } ( x ) \, A _ { \nu } ( x ^ { \prime } ) \; ,
\hat { h } = \hat { f } ( \mathbf { c } ) = h _ { 0 } + \mathbf { h _ { 1 } } ^ { T } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { c } ) \mathbf { h _ { 2 } } = h _ { 0 } + ( \mathbf { h _ { 1 } } \odot \mathbf { h _ { 2 } } ) ^ { T } \mathbf { c } = h _ { 0 } + \mathbf { t } ^ { T } \mathbf { c } ,
D ^ { \ast } = \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u ) \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left[ 2 \frac { \frac { \partial f } { \partial x } - \frac { \partial \overline { { f } } } { \partial x } + \frac { \Delta } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u ) \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } { \kappa \frac { \partial { f } } { \partial x } } \right] .
{ } _ { 2 } F _ { 1 } \left( a , - a ; { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { x ^ { 2 } } { 4 ( x - 1 ) } } \right) = { \frac { ( 1 - x ) ^ { a } + ( 1 - x ) ^ { - a } } { 2 } } ,
q _ { 0 } = \sqrt { p _ { 1 } ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } , \qquad p _ { 0 } = \sqrt { p _ { 1 } ^ { 2 } - P ^ { 2 } } , \qquad p _ { 1 } ^ { 2 } = \sqrt { \frac { ( p q ) ^ { 2 } - P ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { s } } , \qquad k _ { 1 } = p _ { 0 } ^ { \prime } = k _ { 0 } = { \frac { \sqrt { s } } { 2 } } \, .
( \Phi _ { 1 } , . . . , \Phi _ { s } ) \rightarrow ( e ^ { 2 \pi i { \frac { n _ { 1 } } { q _ { 1 } } } } \, \Phi _ { 1 } , . . . , e ^ { 2 \pi i { \frac { n _ { s } } { q _ { s } } } } \, \Phi _ { s } ) ~ ,
F _ { \rho _ { 2 } } ^ { G } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { G } = \left( \begin{array} { l l l } { 2 \bar { \omega } } & { \omega } & { 1 } \\ { \omega } & { 2 \bar { \omega } } & { 1 } \\ { \bar { \omega } } & { \bar { \omega } } & { 2 \bar { \omega } } \end{array} \right) = \bar { \omega } ( F ^ { A } + F ^ { B } ) + \omega F ^ { G } .
| u ( t , x ) - u ( t , y ) | \leq \Omega ( t , | x - y | ) = \int _ { 0 } ^ { | x - y | } \mathcal { V } ( t , \eta ) d \eta \leq | x - y | ^ { \frac { 1 } { q } } \| \mathcal { V } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } } \leq \| \mathcal { V } _ { 0 } \| _ { L ^ { p } } | x - y | ^ { \frac { 1 } { q } } G ^ { \lambda - \frac { 1 } { p } } ( 0 , t ) ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { h } } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ T ~ o ~ t ~ a ~ l ~ e ~ n ~ t ~ h ~ a ~ l ~ p ~ y ~ } } { \mathrm { ~ T ~ o ~ t ~ a ~ l ~ h ~ e ~ a ~ t ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ f ~ e ~ r ~ r ~ a ~ t ~ e ~ } } \frac { [ \mathrm { { J } ] } } { [ \mathrm { { W } ] } } } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ n ] = ( 1 - \alpha ) E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ B ~ E ~ } } [ n ] + \alpha E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ I ~ D ~ E ~ R ~ } } [ n ] + E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ B ~ E ~ } } [ n ] .
F _ { f } ^ { p e r t } \, \left( \frac { k ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } ; \, \alpha \right) \, = \, \sum _ { p \, = \, 0 } ^ { \infty } \, \alpha ^ { p } \, F ^ { ( p ) \, p e r t } \, ( \lambda ) \, \, ,
\begin{array} { r } { F _ { p } = \frac { \rho _ { p } f \phi _ { l } } { \rho _ { f } ( \rho _ { p } d _ { p } ^ { 2 } / 1 8 \mu ) } ( \widetilde { u } _ { x } - \widetilde { v } _ { x } ) \frac { 2 \delta } { \overline { { u } } ^ { 2 } } , } \end{array}
\boldsymbol { X } = \left[ \begin{array} { l l l l } { | } & { | } & & { | } \\ { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \theta } , 1 } } & { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \theta } , 2 } } & { . . . } & { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \theta } , m } } \\ { | } & { | } & & { | } \\ { | } & { | } & & { | } \\ { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \dot { \theta } } , 1 } } & { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \dot { \theta } } , 2 } } & { . . . } & { \boldsymbol { S } _ { \boldsymbol { \dot { \theta } } , m } } \\ { | } & { | } & & { | } \end{array} \right] ,
{ \cal L } = { \frac { i } { 2 } } \bar { \psi } _ { a } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { a } + { \frac { g } { 8 } } \left\{ \left( \bar { \psi } _ { a } \psi _ { a } \right) ^ { 2 } - \left( \bar { \psi } _ { a } \gamma _ { 5 } \psi _ { a } \right) ^ { 2 } \right\}
\begin{array} { r l r } { { \bf x } _ { t + 1 } } & { = } & { { \bf x } _ { t } + \Delta t \left[ \alpha ( Q \cdot t a n h ( { \bf x } _ { t } ) + b ^ { T } ) - \beta { \bf x } _ { t } \right] , } \\ { \frac { d { \bf x } } { d t } } & { = } & { \alpha ( Q \cdot \operatorname { t a n h } ( { \bf x } ) + b ^ { T } ) - \beta { \bf x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { c } ( t ) } & { = \sum _ { p _ { 1 } = 0 } ^ { R _ { 1 } } \sum _ { p _ { 2 } = 0 } ^ { R _ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { p _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \ell } } \frac { c _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } \beta _ { p _ { 1 } , k } \gamma _ { p _ { 2 } , j } t ^ { k } } { k ! } e ^ { ( - a _ { 1 } + \lambda _ { j } ) t } } \\ & { + \sum _ { p _ { 1 } = 0 } ^ { R _ { 1 } } \sum _ { p _ { 2 } = 0 } ^ { R _ { 2 } } \sum _ { m = 0 } ^ { p _ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { \ell } } \frac { c _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } \beta _ { p _ { 2 } , m } \gamma _ { p _ { 1 } , \ell } t ^ { m } } { m ! } e ^ { ( - a _ { 2 } + \lambda _ { \ell } ) t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta = } & { { } \operatorname { a r c c o s } { \biggl [ \frac { 4 \cos { ( \theta _ { \mathrm { t i l t } } ) } } { 3 + \cos { ( 2 \theta _ { \mathrm { t i l t } } ) } } \biggl ] } , } \\ { \xi } & { { } = 2 \, \xi _ { \mathrm { t i l t } } . } \end{array}
[ \psi _ { m , n } ^ { A } ( z ) , \psi _ { m , n } ^ { B } ( z ) , \psi _ { m , n } ^ { C } ( z ) ] ^ { \mathrm { T } } = [ a _ { k } ( z ) , a _ { k + 1 } ( z ) , a _ { k + 2 } ( z ) ] ^ { \mathrm { T } }
\begin{array} { r l r } { \left< B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ) } ( \Gamma _ { p } ) \right> } & { { } = } & { \frac { \left< w \right> } { \delta t } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Omega _ { t _ { i - 1 } , t _ { i } } ( \Gamma _ { p } ; 0 ) , } \end{array}
{ \cal F } _ { 0 } ( \beta ) = ( \operatorname * { d e t } \zeta ) ^ { - \frac 1 2 } \exp \left[ \frac 1 2 \beta \eta ^ { * } \zeta ^ { - 1 } \beta + \beta ( { \bf d } ^ { * } - \eta ^ { * } \zeta ^ { - 1 } { \bf d } ) + \frac 1 2 { \bf d } \eta ^ { * } \zeta ^ { - 1 } { \bf d } - | { \bf d } | ^ { 2 } \right] .
P _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) = \int _ { \Sigma _ { \mathrm { d } } } \hat { { \bf n } } \cdot { \bf S } _ { \mathrm { b a c k g r o u n d } } ^ { \mathrm { } } ( { \bf r } , \omega ) d \mathbf { r } ,
\left\{ \begin{array} { l } { { { \frac { \partial \pi } { \partial t } } = - { \frac { 1 } { \hbar } } { \frac { \delta K _ { 1 } } { \delta \chi } } } } \\ { { { \frac { \partial \chi } { \partial t } } = ~ { \frac { 1 } { \hbar } } { \frac { \delta K _ { 1 } } { \delta \pi } } } } \end{array} \right. ,
{ ( { \mathcal { I } } ( \theta ) ) } _ { i , j } = \operatorname { E } \left[ \left( { \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } } \ln { \mathcal { L } } \right) \left( { \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } } \ln { \mathcal { L } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \widetilde { C _ { \phi } } ( z ) } & { = \langle C _ { \phi } \hat { k } _ { z } , \hat { k } _ { z } \rangle } \\ & { = ( 1 - | z | ^ { 2 } ) \langle C _ { \phi } { k _ { z } } , { k _ { z } } \rangle } \\ & { = ( 1 - | z | ^ { 2 } ) k _ { z } ( \phi ( z ) ) } \\ & { = \frac { 1 - | z | ^ { 2 } } { 1 - | z | ^ { 2 } \alpha } . } \end{array}
Q \, = \, - S \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } , ~ ~ \alpha _ { 1 } \, = \, \frac { \sigma ^ { 2 / 3 } } { q \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } } ( \frac { 9 g } { 4 \pi } ) ^ { 1 / 3 } | B ^ { ( 2 ) } | .
\begin{array} { r l } { \varrho ( m ( x , y ) , m ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) ) } & { \leq \varrho ( m ( x , y ) , m ( x , y ^ { \prime } ) ) + \varrho ( m ( x , y ^ { \prime } ) , m ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \varrho ( y , y ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { 2 } \varrho ( x , x ^ { \prime } ) . } \end{array}
P \left( A \right) = P \left( \left\{ x _ { 2 } \right\} \cup \left\{ x _ { 4 } \right\} \cup \left\{ x _ { 6 } \right\} \cup \left\{ x _ { 8 } \right\} \right) = P \left( \left\{ x _ { 2 } \right\} \right) + P \left( \left\{ x _ { 4 } \right\} \right) + P \left( \left\{ x _ { 6 } \right\} \right) + P \left( \left\{ x _ { 8 } \right\} \right) = \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } = \frac { 1 } { 2 }
a _ { n } ( f , D ) \simeq ( 4 \pi ) ^ { - ( m - 1 ) / 2 } \int _ { \partial { \cal M } } d z \, \left( c _ { 0 } S ^ { n - 1 } + c _ { 1 } f _ { ; m } S ^ { n - 2 } + c _ { 2 } L _ { a a } S ^ { n - 2 } + \dots \right) \, ,
\epsilon _ { 1 } ^ { \pm } ( \tau , \chi ) = \exp \left\{ { \frac { i \tau } { 2 } } \right\} ~ \left[ \begin{array} { c } { { \sinh ( \chi / 2 ) } } \\ { { \mp i \cosh ( \chi / 2 ) } } \end{array} \right] ~ ~ ~ ,
L _ { \mathrm { T } , \mathrm { B L } } ( z _ { i } ) = \frac { ( k _ { i , \mathrm { D N S } } ^ { + } ) ^ { 3 / 2 } } { \epsilon _ { i , \mathrm { D N S } } ^ { + } } \cdot \frac { \nu _ { 1 } } { u _ { \tau } } .
\ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } = ( \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 1 } ^ { \prime } , \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 2 } ^ { \prime } , \cdots , \ensuremath { \mathbf { r } } _ { N } ^ { \prime } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 N }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( \partial _ { z } ^ { 2 } + \partial _ { z } + z ^ { - 1 } L _ { S } ) u = \eta _ { z _ { 0 } } ( z ) \cdot \left( \mathscr { R } ( v ) + z ^ { - 1 } \mathscr { T } ( 0 ) \right) , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S \times \mathbb { R } _ { > z _ { 0 } / 1 2 } ; } \\ { u ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = 0 , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S ; } \\ { \| u - w \| _ { S , z _ { 0 } / 1 2 ; \mu _ { 1 } - 1 } < + \infty . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( 1 - \frac { 1 } { 1 - \lambda / \Gamma _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \frac { \rho ( E ) e ^ { - \beta E } } { e ^ { - \beta E } - \lambda / \Gamma _ { 0 } } \Big ) P _ { \lambda } ^ { u } = 0 . } \end{array}
\Gamma _ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } \xi [ i \partial _ { \mu } + V _ { \mu } + A _ { \mu } \gamma _ { 5 } ] \xi ^ { \dagger } + \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { \dagger } [ i \partial _ { \mu } + V _ { \mu } - A _ { \mu } \gamma _ { 5 } ] \xi
\begin{array} { r l } { \left\langle v ^ { k } \left( \mathbf { x } \right) \left( v ^ { k } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \right) ^ { * } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { \left[ 2 \pi \right] ^ { ( d - 1 ) } } \int e ^ { i ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } - \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { x } ^ { \prime } ) } \left\langle \tilde { v } ^ { k } \left( \mathbf { k } \right) \tilde { v } ^ { k } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right\rangle d \mathbf { k } d \mathbf { k } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( n ) } } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( n ) } \Big ] + \frac { ( - \beta ) } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \Big ] - \Omega ^ { ( i ) } \Omega ^ { ( n - i ) } \right) } \\ & { } & { + \frac { ( - \beta ) ^ { 2 } } { 3 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - i - 1 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( j ) } E _ { N } ^ { ( n - i - j ) } \Big ] - \Omega ^ { ( i ) } \Omega ^ { ( j ) } \Omega ^ { ( n - i - j ) } \right) } \\ & { } & { + \cdots + \frac { ( - \beta ) ^ { n - 1 } } { n ! } \left\{ \Big [ ( E _ { N } ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } \Big ] - ( \Omega ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } } & { \left( \Delta _ { u } ; q > 1 \right) = \frac { \sqrt { \beta ^ { q G } } } { \sqrt { q - 1 } \ { C ^ { q G } } ^ { 2 } } B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 - q } { 2 q - 2 } \right) } \\ & { \times \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { q - 1 } , \frac { 5 - q } { 2 q - 2 } ; \frac { q + 1 } { 2 q - 2 } ; ( 1 - q ) \beta ^ { q G } \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta ^ { \mathrm { M } } \lambda _ { * } ( E ; \{ p \} ) = \big ( \operatorname* { m a x } _ { i \in \cal { S } } \lambda _ { ( i ) } ( E ; \{ p \} ) \! - \! \operatorname* { m i n } _ { i \in \cal { S } } \lambda _ { ( i ) } ( E ; \{ p \} ) \big ) / 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 n } { k } + \frac { k - 1 } { k } ( 1 - p ) n ^ { \alpha } \leq ( 1 - 2 p ) n ^ { \alpha } } \\ & { \iff \frac { 2 } { k } + ( 1 - \frac { 1 } { k } ) ( 1 - p ) n ^ { \alpha - 1 } \leq ( 1 - 2 p ) n ^ { \alpha - 1 } } \\ & { \iff \frac { 1 } { k } ( ( 1 - p ) n ^ { \alpha - 1 } - 2 ) \geq n ^ { \alpha - 1 } p } \\ & { \iff k \leq \frac { ( 1 - p - 2 / n ^ { \alpha - 1 } ) } { p } = k _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { i j } = \frac { n _ { i j } ^ { \mathrm { r e t w e e t } } + n _ { i j } ^ { \mathrm { q u o t e } } + n _ { i j } ^ { \mathrm { r e p l y } } + n _ { i j } ^ { \mathrm { m e n t i o n } } } { N _ { j } ^ { \mathrm { t w e e t s } } } , } \end{array}
{ \frac { \pi } { 4 } } = \left( \prod _ { p \equiv 1 { \pmod { 4 } } } { \frac { p } { p - 1 } } \right) \cdot \left( \prod _ { p \equiv 3 { \pmod { 4 } } } { \frac { p } { p + 1 } } \right) = { \frac { 3 } { 4 } } \cdot { \frac { 5 } { 4 } } \cdot { \frac { 7 } { 8 } } \cdot { \frac { 1 1 } { 1 2 } } \cdot { \frac { 1 3 } { 1 2 } } \cdots ,
\mathbf { A } _ { \mathbf { k } \lambda } ( \mathbf { r } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { V } } } e _ { \mathbf { k } \lambda } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \, , \quad \lambda = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \mathscr X _ { + } + \frac { \kappa _ { 1 } } { C } \| F ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } + \left( \frac { \kappa _ { 2 } } { C } - C \kappa _ { 1 } \right) \| F ^ { ( m _ { 2 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq C ( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } ) \langle \| F _ { - } \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \end{array}
S ~ = ~ \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } ~ e ^ { - 2 \phi } \left[ - \frac { R } { G } - 4 \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + F ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \chi \partial ^ { \mu } \chi \right] ~ ~ ,
\varepsilon \int \mathbb { P } \left( \frac { | \nabla \eta _ { 1 } | ^ { 2 } } { \eta _ { 1 } } + \frac { | \nabla \eta _ { 2 } | ^ { 2 } } { \eta _ { 2 } } + \frac { | \nabla \eta _ { 1 } + \nabla \eta _ { 2 } | ^ { 2 } } { 1 - \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } } \right) \, d x \geq \int \mathbb { P } ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) C _ { 1 } d x - \int ( \mathbb { P } _ { 1 } + \mathbb { P } _ { 2 } ) C _ { 1 } d x .
\begin{array} { r l } { ( \Delta \otimes \mathrm { i d } ) \circ \Delta ( v ) } & { = \Delta \otimes \mathrm { i d } ( v \otimes 1 + 1 \otimes v ) } \\ & { = \Delta ( v ) { \otimes } 1 + \Delta ( 1 ) { \otimes } v } \\ & { = ( v \otimes 1 + 1 \otimes v ) \otimes 1 + ( 1 \otimes 1 ) \otimes v } \\ & { = ( v \otimes 1 ) \otimes 1 + ( 1 \otimes v ) \otimes 1 + ( 1 \otimes 1 ) \otimes v } \\ & { = ( \mathrm { i d } \otimes \Delta ) \circ \Delta ( v ) , \quad \mathrm { b y ~ a s s o c i a t i v i t y ~ o f ~ \otimes ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { P } ( t ) } & { = } & { [ 1 - f ( t ) ] \sum _ { n } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes | n \rangle \langle n | + } \\ & { + } & { f ( t ) \sum _ { n } \left( \begin{array} { c c } { \exp ( i n \varphi ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp ( - i \varphi n ) } \end{array} \right) \otimes | n \rangle \langle n | . } \end{array}
m _ { e } \frac { d \boldsymbol v _ { e } ^ { \prime } } { d t } = - e \left[ \mathbf E ^ { \prime } + \boldsymbol v _ { e } ^ { \prime } \times \tilde { \mathbf { B } } ^ { \prime } \right] - m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \boldsymbol r _ { e } ^ { \prime } - \boldsymbol r _ { n } ^ { \prime } ) + \mathbf { F ^ { \prime } }
U = \frac { e ^ { 2 } } { 8 G } \left( | \phi | ^ { 2 } - v ^ { 2 } + \frac { 2 \kappa } e M + 2 g | \phi | ^ { 2 } M \right) ^ { 2 } + \frac { e ^ { 2 } } 2 M ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 }
\begin{array} { r } { F _ { a i } ^ { \alpha , 3 } = F _ { a i } ^ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } , 3 } + A _ { a i } ^ { \beta \alpha } + A _ { a i } ^ { \alpha \alpha } , } \\ { F _ { a i } ^ { \beta , 3 } = F _ { a i } ^ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } , 3 } + B _ { a i } ^ { \beta \alpha } + B _ { a i } ^ { \alpha \alpha } , } \end{array}