harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\gamma _ { \mu } = \left( \begin{array} { c c } { { \sigma _ { \mu } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sigma _ { \mu } } } \end{array} \right) \, , \quad \sigma _ { \mu \nu } = { \frac { 1 } { 2 i } } [ \gamma _ { \mu } , \gamma _ { \nu } ] = \epsilon _ { \mu \nu \rho } \sigma _ { \rho } \, ; \quad \mu , \nu , \rho = 1 , 2 , 3 \, .
\begin{array} { r } { S _ { 2 2 } ^ { \sigma \sigma _ { , } ^ { \prime } q } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E T r [ A _ { \gamma \delta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( 2 , \sigma ) A _ { \delta \gamma } ^ { \rho ^ { \prime } \rho } ( 2 , \sigma ^ { \prime } ) ] } \\ { \times ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E + \hbar \omega ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E + \hbar \omega ) ] f _ { \delta } ( E ) ) , } \end{array}
\mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } ; C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } , \cdots , t _ { k } } ^ { k } ; H _ { \mathrm { s c , c } } ^ { m , s } ( \mathbb { R } ^ { N - k } ) ) ) \hookrightarrow \mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } ; C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } , \cdots , t _ { k } } ^ { k } ; \mathcal { E } ^ { \prime } ( \mathbb { R } _ { t _ { k + 1 } , \cdots , t _ { N } } ^ { N - k } ) ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x , y } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] = } & { N ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ^ { N } ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ( \lambda _ { x } \lambda _ { y } ) ^ { a + b } \sum _ { \mathcal { M } } \sum _ { \{ r _ { i } \} = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { x } ^ { 2 \sum _ { m \in \mathcal { M } } m } \times } \\ & { \sum _ { \Phi ^ { \prime } , \Phi ^ { \prime \prime } \in \mathcal { P } } \Gamma ( \mathcal { M } , \Phi ^ { \prime } , \Phi ^ { \prime \prime } ) \left< b r _ { 1 } \ldots r _ { N - 1 } \right| \Phi ^ { \prime } \left( \left| b \right> \left| \mathcal { M } \right> \right) \left< a r _ { 1 } \ldots r _ { N - 1 } \right| \Phi ^ { \prime \prime } \left( \left| a \right> \left| \mathcal { M } \right> \right) \left| a \middle > \middle < b \right| , } \end{array}
{ \check { Q } } _ { i } = e _ { i } \check { \theta } _ { i } ^ { \ast } ( \tau ) \check { \theta } _ { i } ( \tau ) = Q _ { i } = e _ { i } \theta _ { i } ^ { \ast } ( \tau ) \theta _ { i } ( \tau ) ~ ~ ~ ~ ~ \big [ \dot { Q } _ { i } ( \tau ) = 0 \Rightarrow Q _ { i } ( \tau ) \equiv Q _ { i } \big ] .
\begin{array} { r l r } { R _ { v } } & { { } = } & { Q + \frac { \left( 1 - Q \right) ^ { 2 } } { 1 - Q \cdot R _ { p h } } R _ { p h } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { R _ { e } } & { { } = } & { Q + \frac { \left( 1 - Q \right) ^ { 2 } } { 1 - Q \cdot V } V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } } & { { } = \left[ i f \chi - 1 - i \delta \right] E + h Y \, , } \\ { \dot { D } } & { { } = \gamma \left[ - D + \Im ( \chi ) | E | ^ { 2 } \right] \, , } \\ { Y } & { { } = \eta e ^ { i \varphi } \left[ E ( t - \tau ) - Y ( t - \tau ) \right] + Y _ { 0 } \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\nabla \times ( { \bf { U } } \times { \bf { B } } _ { 1 } ) \simeq \left( { 0 , 0 , B _ { 1 } ^ { r } \frac { \partial U ^ { \phi } } { \partial r } + B _ { 1 } ^ { \theta } \frac { 1 } { r } \frac { \partial U ^ { \phi } } { \partial \theta } } \right) \simeq \left( { 0 , 0 , 0 } \right) .
\begin{array} { r } { { \bf P } ( t ) \equiv M \left( \dot { \bf R } - \frac { m _ { 2 } \dot { m } _ { 1 } - m _ { 1 } \dot { m } _ { 2 } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \bf r } \right) = { \bf P } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { s h } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( f ( x ) , f ( y ) ) } { 2 } \leq \lambda ( K ) ^ { 1 / 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \left( \mathrm { s h } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } { 2 } \right) ^ { K } , \left( \mathrm { s h } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } { 2 } \right) ^ { 1 / K } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } } & { \lesssim } & { \left| \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } W _ { i } \right| _ { \infty } + \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } | Q \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 1 } a _ { 0 } ( p ) | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } + O _ { p } ( n ^ { - 1 / 2 } + p ^ { - ( 1 / 6 \wedge \delta / 2 ) } ) | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } + O _ { p } \{ n ^ { - 1 / 2 } \log ^ { 1 / 2 } ( n p ) \} \, . } \end{array}
M _ { \chi } = \left( \begin{array} { c c c c } { { M _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - m _ { Z } c _ { \beta } s _ { W } } } & { { m _ { Z } s _ { \beta } s _ { W } } } \\ { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } & { { m _ { Z } c _ { \beta } c _ { W } } } & { { - m _ { Z } s _ { \beta } c _ { W } } } \\ { { - m _ { Z } c _ { \beta } s _ { W } } } & { { m _ { Z } c _ { \beta } c _ { W } } } & { { 0 } } & { { - \mu } } \\ { { m _ { Z } s _ { \beta } s _ { W } } } & { { - m _ { Z } s _ { \beta } c _ { W } } } & { { - \mu } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } = ( a ^ { \prime } - b ^ { \prime } ) \Delta t { } \left[ \mathbf { f } _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathbf { w } _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } \boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } } \right] + \boldsymbol { \pi } _ { b ^ { \prime } } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { q b } } } & { { } = } & { \hat { H } _ { X } + \hat { H } _ { Y } + \hat { H } _ { Z } , } \\ { \hat { H } _ { X } } & { { } = } & { \frac { J } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \left( \hat { \sigma } _ { l } ^ { x } \hat { \sigma } _ { l + 1 } ^ { x } + \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { x } \hat { \sigma } _ { L + l + 1 } ^ { x } \right) } \\ { \hat { H } _ { Y } } & { { } = } & { \frac { J } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \left( \hat { \sigma } _ { l } ^ { y } \hat { \sigma } _ { l + 1 } ^ { y } + \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { y } \hat { \sigma } _ { L + l + 1 } ^ { y } \right) } \\ { \hat { H } _ { Z } } & { { } = } & { \frac { V } { 4 } \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \left[ \left( 1 - \hat { \sigma } _ { l } ^ { z } \right) \left( 1 - \hat { \sigma } _ { l + 1 } ^ { z } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { R } _ { 1 } ^ { n } \right\| _ { \alpha / 2 } ^ { 2 } \lesssim } & { \varepsilon ^ { 4 } \tau ^ { 4 } \left[ \left\| \xi \left( t _ { n } \right) \right\| _ { m + \alpha / 2 } ^ { 6 } + n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left\| \xi \left( t _ { k } \right) - \xi \left( t _ { k + 1 } \right) \right\| _ { m + \alpha / 2 } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. \left( \left\| \xi \left( t _ { k } \right) \right\| _ { m + \alpha / 2 } + \left\| \xi \left( t _ { k + 1 } \right) \right\| _ { m + \alpha / 2 } \right) ^ { 4 } \right] } \\ { \lesssim } & { \varepsilon ^ { 4 } \tau ^ { 4 } + n ^ { 2 } \varepsilon ^ { 4 } \tau ^ { 4 } \left( \varepsilon ^ { 2 } \tau \right) ^ { 2 } \lesssim \varepsilon ^ { 4 } \tau ^ { 4 } , \quad 0 \leq n \leq T _ { \varepsilon } / \tau - 1 . } \end{array}
{ \hat { x } } ^ { i } ( \varepsilon ) = e ^ { i { \hat { H } } \varepsilon } { \hat { x } } ^ { i } ( 0 ) e ^ { - i { \hat { H } } \varepsilon } \simeq { \hat { x } } ^ { i } ( 0 ) + { \frac { { \hat { \pi } } ^ { i } ( 0 ) } { m } } \varepsilon + { \frac { e } { 4 m ^ { 2 } } } ( 2 { \hat { F } } ^ { i k } { \hat { \pi } } _ { k } ( 0 ) - i \partial _ { k } { \hat { F } } ^ { i k } ) \varepsilon ^ { 2 } \, ,
{ \frac { 1 } { 5 \cdot 2 ^ { 7 / 3 } \alpha ( h ) } } \; { \epsilon ^ { 4 / 3 } \Phi \left( { z / \alpha ( h ) } , 5 t \right) } = \int \mathrm { d } l \int \mathrm { d } a \; \; e ^ { - z l - t a } \tilde { \phi } ( l , a ) \ .
\Delta _ { R \mu \alpha } ( k ) = \frac { 1 } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon k _ { 0 } } \left[ g _ { \mu \alpha } - \frac { k _ { \mu } k _ { \alpha } } { m ^ { 2 } } - i m \varepsilon _ { \mu \alpha \rho } \frac { k ^ { \rho } } { m ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r } { u = 0 , \quad w = 0 , \quad - \frac { \partial p } { \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } = 0 , \quad T = 0 , \quad C = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad x = 0 , } \\ { u = 0 , \quad w = 0 , \quad - \frac { \partial p } { \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } = 0 , \quad T = 1 , \quad C = 1 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad x = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { \partial } B ^ { i , j } ( t ) } { \mathrm { \partial } t } } & { = W _ { \mathrm { i n } } ^ { i , j } \left( t \right) \ - W _ { \mathrm { o u t } } ^ { i , j } \left( t \right) } \\ & { = \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } { W _ { \mathrm { i n , } \mathrm { d } } ^ { i , j } \left( t \right) } - \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } { \overbrace { C _ { 3 } { \left( Q _ { \mathrm { d } } ^ { i , j } \left( t \right) \right) } ^ { C _ { 4 } } f \Bigl ( B \left( t \right) \Bigr ) } ^ { W _ { \mathrm { o u t , d } } ^ { i , j } \left( t \right) } , } } \end{array}
= Q _ { i } ^ { o } ( \lambda _ { 1 } ( \sigma ) ) + \ldots + Q _ { i } ^ { o } ( \lambda _ { k - 1 } ( \sigma ) ) + \bar { Q } _ { i } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) = Q _ { i } ^ { o } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \theta ^ { c ( \lambda _ { j } ( \sigma ) ) - c ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) } + \bar { Q } _ { i } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) .
\Gamma ( Z \rightarrow f \overline { { { f } } } ) = \Gamma _ { f } ^ { S M } + \delta \Gamma _ { f } ^ { 5 } \equiv \Gamma _ { f } ^ { S M } \biggl ( 1 + { \frac { \delta \Gamma _ { f } ^ { 5 } } { \Gamma _ { f } ^ { S M } } } \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \overline { { f ^ { \prime } g ^ { \prime } } } } & { = \overline { { \tilde { f } _ { \varphi } \tilde { g } _ { \varphi } } } ^ { \varphi } + \overline { { f ^ { \prime \prime } g ^ { \prime \prime } } } , } \\ { \langle { f ^ { \prime } g ^ { \prime } } \rangle _ { \varphi } } & { = \langle { \tilde { f } _ { \varphi } \tilde { g } _ { \varphi } } \rangle _ { \varphi } + \langle { f ^ { \prime \prime } g ^ { \prime \prime } } \rangle _ { \varphi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \hat { x } ( t ) } & { = \left[ \hat { A } \hat { x } ( t ) + \hat { B } \hat { u } ( t ) \right] d t + \sum _ { i = 1 } ^ { q } \hat { N } _ { i } \hat { x } ( t ) d W _ { i } ( t ) , \quad \hat { y } ( t ) = \hat { C } \hat { x } ( t ) , } \\ { d \hat { x } _ { r } ( t ) } & { = \left[ \hat { A } _ { r } \hat { x } _ { r } ( t ) + \hat { B } _ { r } \hat { u } ( t ) \right] d t + \sum _ { i = 1 } ^ { q } \hat { N } _ { i , r } \hat { x } _ { r } ( t ) d W _ { i } ( t ) , \quad \hat { y } _ { r } ( t ) = \hat { C } _ { r } \hat { x } _ { r } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { r } } & { : = \hat { \mathbf { r } } , } \\ { \mathbf { e } _ { \perp } ( r ) : = \frac { 1 } { B _ { 0 } ( r ) } \left( 0 , B _ { 0 z } ( r ) , - B _ { 0 \theta } ( r ) \right) , \quad } & { \mathbf { e } _ { \parallel } ( r ) : = \frac { \mathbf { B } _ { 0 } } { B _ { 0 } } = \frac { 1 } { B _ { 0 } ( r ) } \left( 0 , B _ { 0 \theta } ( r ) , B _ { 0 z } ( r ) \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { U _ { F } ( u , v ) } \\ & { = } & { \frac { e ^ { j \frac { k } { 2 f } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) } } { j \lambda f } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ U _ { L } ( x , y ) c i r c ( r ) e ^ { j \frac { k } { 2 f } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } } \\ & { } & { e ^ { j \frac { k } { 2 f } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } ] e ^ { - j \frac { 2 \pi } { \lambda f } ( x u + y v ) } d x d y } \\ & { = } & { \frac { e ^ { j \frac { k } { 2 f } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) } } { j \lambda f } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } U _ { L } ( x , y ) c i r c ( r ) e ^ { - j \frac { 2 \pi } { \lambda f } ( x u + y v ) } d x d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } , T _ { * } \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) } & { \leqslant \int d ( T z , z ) d \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = \int d ( T z , z ) ( 1 + h ( x _ { 0 } , z ) ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = \int d ( T z , z ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) + \int d ( y , x _ { 0 } ) ( 1 + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) ) h ( x _ { 0 } , z ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = W _ { 1 } ( \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } , T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ) + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { ( j , d ) } f _ { ( j , d ) , ( k , d ^ { \prime } ) } = r _ { ( k , d ) } \delta _ { d , d ^ { \prime } } - \left[ \nabla _ { X _ { ( k , d ^ { \prime } ) } } \Psi _ { ( k , d ) } \right] r _ { ( k + 1 , d ) } \cdots - \left[ \nabla _ { X _ { ( k , d ^ { \prime } ) } } \Psi _ { ( k + \ell , d ) } \right] r _ { { ( k + \ell , d ) } } = \frac { \partial \phi } { \partial X _ { ( k , d ^ { \prime } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \nabla _ { 2 D } \hat { \phi } _ { k h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } \omega _ { h } + ( - \alpha + \beta _ { k } ^ { 2 } ) \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { \phi } _ { k h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tilde { f } _ { k + 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = \mathrm { K n } [ \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } ] ^ { - 1 } \left( \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } f ^ { ( 0 ) } + \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 1 ) } + \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 1 2 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 2 ) } \right) , } & { \tilde { f } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } & { = 0 , } \\ { \tilde { f } _ { k + 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \mathrm { K n } [ \tilde { \mathcal { L } } ^ { ( 2 2 ) } ] ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 1 ) } f _ { k } ^ { ( 1 ) } + \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 2 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 2 ) } + \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 2 3 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 3 ) } \right) , } & { \tilde { f } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } & { = 0 , } \\ { \tilde { f } _ { k + 1 } ^ { ( 3 ) } } & { = \mathrm { K n } [ \tilde { \mathcal { L } } ^ { ( 3 3 ) } ] ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 3 2 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 2 ) } + \tilde { \mathcal { A } } ^ { ( 3 3 ) } \tilde { f } _ { k } ^ { ( 3 ) } \right) , } & { \tilde { f } _ { 0 } ^ { ( 3 ) } } & { = 0 . } \end{array}
E _ { \mathcal { N } } = \frac { b _ { 1 } } { 4 } \ln \left[ \frac { N } { \pi } \frac { \sin \left( \frac { \pi n _ { 1 } } { N } \right) \sin \left( \frac { \pi n _ { 2 } } { N } \right) } { \sin \left( \frac { \pi ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) } { N } \right) } \right] + b _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { U ( t ) u - u } & { \overset = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d } { d \tau } U ( \tau ) u d \tau = \int _ { 0 } ^ { t } - ( \Psi ( \tau ) ) ^ { - 1 } Z ( \tau ) U ( \tau ) u d \tau } \\ & { \overset = - \sum _ { j \in S } \int _ { 0 } ^ { t } ( U ( \tau ) u , g _ { j } ( \tau ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } ( \Psi ( \tau ) ) ^ { - 1 } [ \chi _ { j } ( \tau ) ] d \tau } \\ & { = - \sum _ { j \in S } \int _ { 0 } ^ { t } ( u , { U ( \tau ) ^ { T } g _ { j } ( \tau ) } ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } { ( \Psi ( \tau ) ) ^ { - 1 } [ \chi _ { j } ( \tau ) ] } d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { \sqrt { n } } } & { \int _ { 0 } ^ { \Theta ^ { \prime } } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi } \\ & { \left[ - E _ { 0 , \parallel } \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \prime } + E _ { 0 , \perp } \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right] \exp \left( i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf \Gamma } _ { \alpha 2 } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } _ { \alpha } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf R } ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + { \bf J } _ { \alpha \alpha } { { \bar { \bf F } } } _ { \alpha } ^ { * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Psi _ { f } ( \sigma ) \rangle = \binom { 1 } { 0 } \otimes | \Psi _ { f } ^ { ( a ) } ( \sigma ) \rangle \, \, \, \, \mathrm { o r } \, \, \binom { 0 } { 1 } \otimes | \Psi _ { f } ^ { ( b ) } ( \sigma ) \rangle . } \end{array}
\boldsymbol { v } _ { i } ^ { n } ( \xi ) = \boldsymbol { v } _ { i } ^ { n } ( 0 ) + \frac { \boldsymbol { v } _ { i } ^ { n ^ { \prime } } ( 0 ) } { 1 ! } \xi + \frac { \boldsymbol { v } _ { i } ^ { n ^ { \prime \prime } } ( 0 ) } { 2 ! } \xi ^ { 2 } + . . .
{ \cal { L } _ { W Z } } \sim \int d ^ { 4 } x ~ \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } ~ a _ { a } \partial _ { \mu } a _ { b } \partial _ { \nu } a _ { c } \partial _ { \alpha } a _ { d } \partial _ { \beta } a _ { e } ~ t r [ \tau _ { a } \tau _ { b } \tau _ { c } \tau _ { d } \tau _ { e } ]
\mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } = \left( \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } + \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { T T } } \right) ^ { - 1 } = \left( \mathbf { I } + \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { T T } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ | \hat { E } _ { 0 } - \mathbb { E } \left[ X _ { 1 } \right] | \ge \epsilon / 2 ~ | ~ K \ge 8 w ^ { 2 } \epsilon ^ { - 2 } \ln \left( 6 \delta ^ { - 1 } \right) \right] \le \delta / 3 . } \end{array}
\partial _ { 0 } ( \epsilon _ { i j } u ^ { j } ) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j } \partial _ { j } ( \vec { u } ^ { 2 } ) + \epsilon _ { i j } \frac { \partial _ { j } P } { \rho } = \epsilon _ { i j } \tilde { E } _ { j } = - u _ { i } \omega \; ,
\begin{array} { r l r } { \hat { S } _ { z } } & { { } = } & { \hbar \left( \begin{array} { c c } { \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } , } & { \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { H } } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { V } } } \end{array} \right) } \end{array}
\left[ R ^ { 3 } n _ { L } \right] ( t ) = \int ^ { t } d t R ^ { 3 } \; 2 \sqrt { 3 } \frac { | c _ { \phi } ^ { \prime } | H } { M } | \phi ^ { 4 } | \sin \left( \mathrm { { a r g } } ( c _ { \phi } ^ { \prime } ) + 4 { \mathrm { a r g } } ( \phi ) \right) \; .
\begin{array} { r l } & { \tau ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \left[ 1 - \lambda _ { s } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot + \lambda ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times \right] \vec { w } - 4 \left[ \lambda _ { d } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot \right] \vec { w } } \\ & { + 2 \tau \partial _ { t } \left[ 1 - \left( \lambda _ { s } ^ { 2 } + \lambda _ { d } ^ { 2 } \right) \nabla \nabla \cdot + \lambda ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times - \right. } \\ & { \left. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac { f \rho \gamma } { 3 a \zeta T } \left( 1 - \frac { \tau ^ { 2 } } { 1 5 a ^ { 2 } } \vec { w } ^ { 2 } \right) \right] \vec { w } = 0 \ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { \gamma } | \mathbf { x } | ^ { \alpha - 1 } \mathbf { x } \cdot \mathrm { d } \mathbf { x } } & { = { \frac { 1 } { \alpha + 1 } } \int _ { \gamma } ( \alpha + 1 ) | \mathbf { x } | ^ { ( \alpha + 1 ) - 2 } \mathbf { x } \cdot \mathrm { d } \mathbf { x } } \\ & { = { \frac { 1 } { \alpha + 1 } } \int _ { \gamma } \nabla | \mathbf { x } | ^ { \alpha + 1 } \cdot \mathrm { d } \mathbf { x } = { \frac { | \mathbf { q } | ^ { \alpha + 1 } - | \mathbf { p } | ^ { \alpha + 1 } } { \alpha + 1 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { X } & { { } : u \mapsto ( 2 u - 1 ) r _ { x } \in [ - r _ { x } , r _ { x } ] , } \\ { Y } & { { } : v \mapsto ( 2 v - 1 ) r _ { y } \in [ - r _ { y } , r _ { y } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { U } = } & { { } e ^ { - i \int _ { \ell T + 0 ^ { + } } ^ { ( \ell + 1 ) T - 0 ^ { + } } \hat { H } ( t ) d t } e ^ { - i \int _ { \ell T - 0 ^ { + } } ^ { \ell T + 0 ^ { + } } \hat { H } ( t ) d t } } \\ { = } & { { } e ^ { - i \int _ { \ell T + 0 ^ { + } } ^ { ( \ell + 1 ) T - 0 ^ { + } } \hat { H } _ { 0 } d t } e ^ { - i \int _ { \ell T - 0 ^ { + } } ^ { \ell T + 0 ^ { + } } \delta ( t / T - \ell ) \hat { H } _ { 1 } d t } } \\ { = } & { { } e ^ { - i \hat { H } _ { 0 } T } e ^ { - i \hat { H } _ { 1 } T } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \frac { d u _ { 1 } } { d r } } \\ { \frac { d u _ { 2 } } { d r } } \\ { \frac { d u _ { 3 } } { d r } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { d _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { d _ { 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { u _ { 1 } ( r ) } \\ { u _ { 2 } ( r ) } \\ { u _ { 3 } ( r ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { ( A _ { h } \nabla \check { u } _ { h } , \nabla v ) } & { = ( A _ { h } \nabla \check { u } _ { h } , \nabla ( v - R _ { h } v ) ) } \\ & { = ( A _ { h } \nabla ( \check { u } _ { h } - \check { \chi } _ { h } ) , \nabla ( v - R _ { h } v ) ) \quad \forall \check { \chi } _ { h } \in \mathring S _ { h } ( \varOmega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \mu _ { \infty } \left( \prod _ { j _ { 4 } = 0 } ^ { \infty } \left( f _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \right) \right) \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { K } \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } } \left\{ \sum _ { j _ { 3 } = K + 1 } ^ { \infty } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { \infty } f _ { j _ { 4 } } - 1 \right) \right. } \\ & { \qquad \left. + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left[ \left( \prod _ { j _ { 2 } = K + 1 } ^ { \infty } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) - 1 \right) \right] \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { \infty } f _ { j _ { 4 } } \right) + \sum _ { j _ { 3 } = i _ { 2 } } ^ { K } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \left( \prod _ { j _ { 4 } = K + 1 } ^ { \infty } f _ { j _ { 4 } } - 1 \right) \right\} . } \end{array}
\mathcal { E } \left( t \right) = \sqrt { P \left( t \right) } \, \mathrm { e } ^ { i \left( \omega _ { 0 } t + \phi \left( t \right) \right) } + \sqrt { P \left( t - \tau _ { d } \right) } \, \mathrm { e } ^ { i \left( \left( \omega _ { 0 } + \Delta \omega \right) \left( t - \tau _ { d } \right) + \phi \left( t - \tau _ { d } \right) \right) } + \xi _ { E } \left( t \right) ,
\left\{ \begin{array} { r l } { \varrho _ { f } \left( \partial _ { t } \mathbf { u } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } \right) - \mathrm { d i v } \, \mathbb { T } ( \mathbf { u } , p ) = 0 , } & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega _ { \eta } } \\ { \mathrm { d i v } \, \mathbf { u } = 0 , } & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega _ { \eta } , } \\ { \mathbf { u } = 0 , } & { \quad \mathrm { ~ o n ~ } ( 0 , T ) \times \Gamma _ { D } , } \end{array} \right.