harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { i j } } & { { } = \boldsymbol { g } _ { i } \cdot \boldsymbol { g } _ { j } = \frac { \partial x ^ { k } } { \partial \xi ^ { i } } \frac { \partial x ^ { k } } { \partial \xi ^ { j } } \Rightarrow \boldsymbol { \left[ G \right] } = \boldsymbol { \left[ A \right] ^ { T } } \boldsymbol { \left[ A \right] } = \boldsymbol { \left[ G \right] ^ { T } } , } \\ { g ^ { i j } } & { { } = \boldsymbol { g } ^ { i } \cdot \boldsymbol { g } ^ { j } = \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial \xi ^ { j } } { \partial x ^ { k } } \Rightarrow \boldsymbol { \left[ \bar { G } \right] } = \boldsymbol { \left[ \bar { A } \right] } \boldsymbol { \left[ \bar { A } \right] ^ { T } } = \boldsymbol { \left[ \bar { G } \right] ^ { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { \leq \frac { 1 } { c } \ln \left( \frac { 2 \ln ( ( 1 + \epsilon ) / ( c \omega ) ) } { \omega } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { c } \left( \ln \frac { 2 } { \omega } + \ln \left( \ln \frac { \gamma ( 1 + \epsilon ) } { u ^ { 2 } \cdot \omega } + \ln \frac { 1 } { s ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \frac { 1 } { c } \left( \ln \frac { 2 } { \omega } + \ln \frac { \gamma ( 1 + \epsilon ) } { u ^ { 2 } \cdot \omega } + \ln \ln _ { + } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { \gamma } { u ^ { 2 } \cdot s ^ { 2 } } \left( 2 \ln \frac { 1 } { \omega } + \ln \ln _ { + } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } + \ln \frac { 2 \gamma ( 1 + \epsilon ) } { u ^ { 2 } } \right) = m } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { T , + } ( t , s , - 1 ) } & { = \sum _ { k } e ^ { - t \lambda _ { k , T , + } } \phi _ { k , T , + } ( s ) \phi _ { k , T , + } ( - 1 ) } \\ & { \leq C \sum _ { k } e ^ { - t \lambda _ { k , T , + } } \frac { { \l _ { k , T , + } + 1 } } { T ^ { 1 / 4 } } \leq C \sum _ { k } e ^ { - a t \lambda _ { k , T , + } } \frac { 1 } { { t } T ^ { 1 / 4 } } } \\ & { \leq \frac { C } { t ^ { 3 / 2 } T ^ { 1 / 4 } } + \frac { C } { { t } ^ { 2 } T ^ { 5 / 4 } } . } \end{array}
T = \left( \begin{array} { c c c c c } { { \mathrm { r o t } \theta _ { 1 } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \mathrm { r o t } \theta _ { 2 } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \mathrm { r o t } \theta _ { N } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { { \large 1 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { k } \left( F _ { p } \left( y _ { 3 } \right) + F _ { m } \left( y _ { 1 } , y _ { 3 } \right) + F _ { i } \left( y _ { 1 } \right) - F _ { 0 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { C a F } } \approx B _ { e } N ^ { 2 } + \gamma \mathbf { \left( S \cdot N \right) } + b \mathbf { \left( S \cdot I \right) } + c \left( S _ { z } I _ { z } \right) + f \left( \mathbf { I \cdot N } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { u } _ { e , j } ^ { m } = } & { \frac { - \bar { I } } { \bar { n } _ { j } ^ { m } \bar { A } _ { j } ^ { m } } , } \\ { \bar { n } _ { j } ^ { m + 1 } = } & { \bar { n } _ { j } ^ { m } - \frac { k } { 2 h } \left( \bar { n } _ { j + 1 } ^ { m } \bar { u } _ { i , j + 1 } ^ { m } - \bar { n } _ { j - 1 } ^ { m } \bar { u } _ { i , j - 1 } ^ { m } \right) , } \\ { \bar { u } _ { i , j } ^ { m + 1 } = } & { \bar { u } _ { i , j } ^ { m } - \frac { k } { 2 h \bar { m } _ { i } } \left[ \frac { \left( \bar { u } _ { e , j + 1 } ^ { m } \right) ^ { 2 } - \left( \bar { u } _ { e , j - 1 } ^ { m } \right) ^ { 2 } } { 2 } + \bar { T } _ { e } \left( \ln \bar { n } _ { j + 1 } ^ { m } - \ln \bar { n } _ { j - 1 } ^ { m } \right) \right] } \\ & { - \frac { k } { 4 h } \left[ \left( \bar { u } _ { i , j + 1 } ^ { m } \right) ^ { 2 } - \left( \bar { u } _ { i , j - 1 } ^ { m } \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \phi _ { a } | p _ { i } ( H _ { S } - E _ { a } ) \log \frac { 2 ( H _ { S } - E _ { a } ) } { ( \alpha Z ) ^ { 2 } } p _ { i } | \phi _ { a } \rangle } \\ { = \frac { 2 ( \alpha Z ) ^ { 4 } } { n _ { a } ^ { 3 } } \log \beta _ { a } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { { } \approx \frac { n I _ { 0 } \mu _ { 2 , r } r } { 4 \pi ^ { 2 } l } \Big [ 4 \pi ^ { 2 } \mu _ { 0 } + \frac { 2 ( \mu _ { 0 } \mu _ { 2 , r } r _ { 2 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } { ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } } \\ { E _ { z } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { { } \approx \frac { n I _ { 0 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 2 , r } ^ { 2 } r _ { 2 } r \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) } { 2 \pi l ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } \cos ( \omega _ { 0 } t ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \sin \theta \sin \phi - 2 \sin ^ { 2 } { \frac { \theta } { 2 } } \sin ^ { 2 } { \frac { \phi } { 2 } } \cos ( \angle ( u , v ) ) , \quad a = c \cot \left( { \frac { \phi } { 2 } } \right) , \quad b = c \cot \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) , } \\ { d } & { = { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a b \cos ( \angle ( u , v ) ) + c ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \angle ( u , v ) ) } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { G _ { m } ^ { 2 } ( t + 1 ) } & { = ( \operatorname* { m a x } \{ G _ { m } ( t ) - P _ { m , \mathrm { a v g } } + P _ { m } ( t ) , 0 \} ) ^ { 2 } } \\ & { \leq G _ { m } ^ { 2 } ( t ) + P _ { m } ^ { 2 } ( t ) + P _ { m , \mathrm { a v g } } ^ { 2 } + 2 G _ { m } ( t ) ( P _ { m } ( t ) - { P } _ { m , \mathrm { a v g } } ) , } \end{array}
\beta ^ { i } ( b ^ { i } ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) = ( \beta ^ { i } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } { \mathbb D } _ { T } ^ { \gamma } \phi ^ { i } - I _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } q ^ { i } \phi ^ { i } + I _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } g ^ { i } .
P ^ { + } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { - } \mathrm { T r } \biggl [ 2 \partial _ { - } \phi _ { - } \cdot \partial _ { - } \phi _ { + } + { \frac { \mathrm { i } } { 2 } } \sum _ { h } \left( u _ { h } ^ { \dagger } \cdot \partial _ { - } u _ { h } - \partial _ { - } u _ { h } ^ { \dagger } \cdot u _ { h } \right) \biggr ]
\begin{array} { r } { \varphi ( Y _ { \alpha } ) = \tilde { \lambda } _ { \alpha } = - \frac { \gamma ( Y _ { \alpha } ) + \lambda _ { \alpha } p ( Y _ { \alpha } ) } { \delta ( Y _ { \alpha } ) + \lambda _ { \alpha } q ( Y _ { \alpha } ) } \quad ( \alpha = 1 , 2 , 3 , \ldots , M ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { K } } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \mathbf { v } _ { i } \cdot \mathbf { v } _ { i } , } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left( \omega \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } + \mathbf { V } \right) \cdot \left( \omega \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } + \mathbf { V } \right) , } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \omega ^ { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } ^ { 2 } \mathbf { \hat { t } } _ { i } \cdot \mathbf { \hat { t } } _ { i } \right) + \omega \mathbf { V } \cdot \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \right) \mathbf { V } \cdot \mathbf { V } . } \end{array} }
a _ { R } ( s , t ) = a _ { R } \tilde { s } ^ { \alpha _ { R } ( t ) } \ e ^ { b _ { R } t } , \quad \alpha _ { R } ( t ) = \alpha _ { R } ( 0 ) + \alpha _ { R } ^ { \prime } t \ , \quad ( R = f \, \mathrm { a n d } \, \omega ) \ ,
\dot { \rho } = - \frac { \mathrm { i } } { \hbar } \left[ H , \rho \right] + \sum _ { \alpha , \beta } \Gamma _ { \alpha \beta } \left( \sigma _ { \beta } \rho \sigma _ { \alpha } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \{ \sigma _ { \alpha } ^ { \dagger } \sigma _ { \beta } , \rho \} \right) \, ,
\mathrm { ~ N ~ L ~ L ~ } \! = \! - \! \left\langle \ln p ( y _ { t r u e } | X ) \right\rangle \! = \! \frac { 1 } { 2 } \! \left\langle \! \ln \sigma ^ { 2 } ( X ) \! + \! \frac { ( y _ { t r u e } \! - \! \mu ( X ) ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } ( X ) } \! \right\rangle ,
\begin{array} { c l } { \displaystyle a _ { 1 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 2 } { 6 4 \pi } \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { N } { S _ { i } \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } } \\ & { \displaystyle \left[ 2 \cot { 3 \pi \delta } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } + \sin { 3 | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { 3 ( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) | ) } \right. } \\ & { \displaystyle \left. + 3 \left( 2 \cot { \pi \nu _ { x } } \cos { \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \cos { \chi _ { x } ( s ) } + \sin { | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { ( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) ) } \right) \right] d s ^ { \prime } d s , } \end{array}
\Phi ( { \bf r } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , { \bf r } _ { n _ { M } } ^ { ( M ) } , t ) = e ^ { - \frac { i } { \hbar c } \Lambda } \bar { \Phi } ( { \bf r } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , { \bf r } _ { n _ { M } } ^ { ( M ) } , t ) \, ,
\begin{array} { r l } { \rho ( i + 1 , j ) - \rho ( i , j ) } & { = ( F _ { i + 1 } - F _ { j } - 1 ) F _ { j - 2 } - ( F _ { j } - 1 ) F _ { i - 1 } - ( F _ { i } - F _ { j } - 1 ) F _ { j - 2 } + ( F _ { j } - 1 ) F _ { i - 2 } } \\ & { = F _ { i - 1 } F _ { j - 2 } - ( F _ { j } - 1 ) F _ { i - 3 } } \\ & { = F _ { i - 3 } - ( - 1 ) ^ { j } F _ { i - j - 1 } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { c } { \displaystyle \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { j } } \right) = 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial t } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \widetilde { u _ { j } } \right) + \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial \check { \tau } _ { i j } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \sigma _ { i j } - \left( \overline { { \tau _ { i j } } } - \check { \tau } _ { i j } \right) \right] \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \check { e } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \check { e } + \overline { { p } } \right) \widetilde { u _ { j } } \right] - \frac { \partial \check { \tau } _ { i j } \widetilde { u _ { i } } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \check { q } _ { j } } { \partial x _ { j } } = - B _ { 1 } - B _ { 2 } - B _ { 3 } + B _ { 4 } + B _ { 5 } + B _ { 6 } - B _ { 7 } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \left[ \ensuremath { \mathcal { U } } , \ensuremath { \mathcal { V } } \right] _ { M } , \ensuremath { \mathcal { W } } \right] _ { M } + \left[ \left[ \ensuremath { \mathcal { V } } , \ensuremath { \mathcal { W } } \right] _ { M } , \ensuremath { \mathcal { U } } \right] _ { M } + \left[ \left[ \ensuremath { \mathcal { W } } , \ensuremath { \mathcal { U } } \right] _ { M } , \ensuremath { \mathcal { V } } \right] _ { M } = 0 . } \end{array}
C _ { p } = \frac { p - p _ { \infty } } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 2 } } , \quad C _ { f } = \frac { \tau _ { w } } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 2 } }
\frac { \hbar } { m } = \frac { \bar { \lambda } _ { c } ^ { 2 } } { \bar { t } _ { c } } \quad \textrm { w i t h } \quad \bar { \lambda } _ { c } : = \frac { \hbar } { m c } , \; \bar { t } _ { c } : = \frac { \hbar } { m c ^ { 2 } }
\chi = m ^ { 2 } \frac { \sin \left( \beta \sqrt { \phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \pi } \ln [ \frac { m ^ { 2 } } { \chi } ] } \right) } { \beta \sqrt { \phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \pi } \ln [ \frac { m ^ { 2 } } { \chi } ] } }
\overline { { \delta h _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } } ( \Omega ) = \mathcal { C } ^ { 2 } H _ { \delta x _ { c } } \overline { { \delta x _ { c } ^ { 2 } } } ( \Omega ) + \mathcal { C } ^ { 2 } H _ { \delta y _ { c } } \overline { { \delta y _ { c } ^ { 2 } } } ( \Omega ) ,
\Psi ( Y , X , W ; \theta , \varphi , \gamma ) = \widetilde { \mathcal { S } } ( X ; \varphi ) \Bigg \{ \sum _ { w \, \in \, \widetilde { \mathbb { W } } } \, \, \kappa _ { w } \, \Bigg [ \gamma ( w , X ) + \frac { \widetilde { K } ( W - w ) } { \varphi ( w , X ) } \, [ Y - \gamma ( w , X ) ] \Bigg ] - \theta [ \widetilde { \mathbb { W } } , \kappa ] ( X ) \Bigg \}
\begin{array} { r l } { \sum _ { c , c ^ { \prime } } \delta _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } B _ { a _ { 1 } c } B _ { c c ^ { \prime } } B _ { c ^ { \prime } b _ { 2 } } } & { , \quad \sum _ { c , c ^ { \prime } } \delta _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } B _ { b _ { 1 } c } B _ { c c ^ { \prime } } B _ { c ^ { \prime } a _ { 2 } } , } \\ { \sum _ { c } B _ { a _ { 1 } c } B _ { c b _ { 2 } } B _ { b _ { 1 } a _ { 2 } } } & { , \quad \sum _ { c } B _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } B _ { b _ { 1 } c } B _ { c a _ { 2 } } . } \end{array}
\hat { L } { } _ { M ^ { 2 } } f ( Q ^ { 2 } ) = \operatorname * { l i m } _ { Q ^ { 2 } , n \rightarrow \infty , ( Q ^ { 2 } / n ) = M ^ { 2 } } \frac { ( Q ^ { 2 } ) ^ { ( n + 1 ) } } { n ! } \left( - \frac { d } { d Q ^ { 2 } } \right) ^ { n } f ( Q ^ { 2 } ) \equiv f ( M ^ { 2 } )
A _ { n k m l } = \iint d { \bf x } \, d { \bf y } \, \xi _ { n } ( { \bf x } ) \, \xi _ { k } ( { \bf x } ) \, \tilde { \chi } ( { \bf x } , { \bf y } ) \, \xi _ { m } ( { \bf y } ) \, \xi _ { l } ( { \bf y } ) \, ,
\begin{array} { c } { { { } [ P _ { \mu } , K _ { \nu } ] = 2 i ( M _ { \mu \nu } + \eta _ { \mu \nu } D ) \, , } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ P _ { \mu } , S ^ { a } ] = - \gamma _ { \mu } Q ^ { a } \, , } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ K _ { \mu } , Q ^ { a } ] = - \gamma _ { \mu } S ^ { a } \, , } } \\ { { { } } } \\ { { { } \{ Q ^ { a \alpha } , \bar { S } _ { b \beta } \} = - i \delta ^ { a } { } _ { b } ( 2 \delta ^ { \alpha } { } _ { \beta } D + ( \gamma ^ { [ \mu } \gamma ^ { \nu ] } ) ^ { \alpha } { } _ { \beta } M _ { \mu \nu } ) + 2 i \delta ^ { \alpha } { } _ { \beta } A ^ { a } { } _ { b } \, . } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { m } x \, d x = \frac { \sqrt { \pi } \Gamma \big ( \frac { m + 1 } { 2 } \big ) } { \Gamma \big ( \frac { m } { 2 } + 1 \big ) } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, \, m > - 1 .
H _ { B } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi _ { I } ^ { a } \partial \phi _ { I } ^ { a } } + \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { I J } ^ { 2 } \phi _ { I } ^ { a } \phi _ { J } ^ { a }
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { K } _ { \mathrm { K P } } ( t ^ { 1 } , \lambda ) , s ^ { 1 } \rangle } & { : = \langle \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , S ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle + \langle \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 1 } ) \Phi _ { 0 } , S ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle + \lambda \langle \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 0 } ) ( e ^ { T ^ { \angle } } - I ) \Phi _ { 0 } , S ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { r } _ { 1 } \widetilde { h } _ { i } \widetilde { r } _ { 1 } ^ { - 1 } } & { = } & { t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 2 } } \cdots t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } } } } \\ & { = } & { t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { k } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { k } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { k - 1 } } \cdots t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { 1 } } } \\ & { = } & { \widetilde { h } _ { i + 1 } . } \end{array}
\widehat { w } = \tilde { w } - G _ { \Sigma } ( \tilde { s } ) , \quad G _ { \Sigma } ( \tilde { s } ) = \frac { 4 } { \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Delta \Sigma _ { j } \tilde { s } _ { j } G \left( \frac { \tilde { s } _ { j } } { \tilde { s } } \right)
\Delta _ { 0 } ^ { ( \widetilde { 1 } ) } = \frac 1 { 2 m ^ { 2 } } i p ^ { ( \widetilde { 1 } ) } \left( i p ^ { ( \widetilde { 1 } ) } - \varepsilon m \right) \left( 1 - \sigma _ { p } ^ { ( \widetilde { 1 } ) 2 } \right) = \Psi _ { 0 } ^ { ( \widetilde { 1 } ) } \cdot \overline { { { \Psi } } } _ { 0 } ^ { ( \widetilde { 1 } ) }
\begin{array} { r l r } { \phi : S _ { e } \oplus _ { \beta _ { \zeta } ^ { - 1 } ( \mathcal { O } _ { C } ^ { \times } ) } \mathcal { O } _ { C } ^ { \times } } & { \longmapsto } & { S _ { e } \oplus _ { \beta _ { \zeta } ^ { - 1 } ( \mathcal { O } _ { C } ^ { \times } ) } \mathcal { O } _ { C } ^ { \times } } \\ { ( p , h ) } & { \longmapsto } & { ( \phi _ { 1 } ( p ) , \phi _ { 2 } ( p ) \cdot \iota ( h ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( y ) } & { = } & { \psi ( x ) + \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \int _ { - \delta / 2 } ^ { \delta / 2 } \psi ^ { \prime } ( x + v ( \ell - 1 / 2 ) \delta + u ) \mathrm { d } u } \\ & { = } & { \psi _ { \delta } ( y ) + \frac 1 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \int _ { - \delta / 2 } ^ { \delta / 2 } u ^ { 2 } \psi ^ { ( 3 ) } ( x + v ( \ell - 1 / 2 ) \delta ) \mathrm { d } u + O ( n \delta ^ { 5 } ) } \\ & { = } & { \psi _ { \delta } ( y ) + \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 4 } \int _ { x } ^ { y } \psi ^ { ( 3 ) } ( u ) \mathrm { d } u + O ( \delta ^ { 4 } | x - y | ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq p \leq N } \frac { 1 } { \sqrt { T } } \left\lvert \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = j } ^ { \infty } \boldsymbol { b } _ { p , k } \right) \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 - j } \right\rvert > y \right) \leq 2 N \exp \left( - C \frac { y ^ { 2 } T } { d _ { N } ^ { 2 } S _ { 2 } } \right) , } \end{array}
T _ { 0 } ^ { e } ( { \bf r } ; k ) = \frac { 4 \pi r E _ { \theta } ( { \bf r } ; k ) } { V _ { g } ( \omega ) } e ^ { j k r } = - 4 \pi C _ { 0 } \frac { F _ { e } ( { \bf r } ; \zeta ) } { F ( \zeta ) } .
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } } } & { { } = } & { \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( { \frac { \ln \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } \right) + \mathrm { c o n s t . } } \end{array}
\widehat { \Delta } _ { \mu \lambda } ^ { r e t } \; \widehat { \Pi } _ { \lambda \rho } ^ { c o r } \; \widehat { \Delta } _ { \rho \nu } ^ { a d v } \; \propto \; d _ { \mu \lambda } ( K ) \, d _ { \lambda \tau } ( q ) \, d _ { \tau \rho } ( K - q ) \, d _ { \rho \nu } ( K ) \; \propto \; d _ { \mu \nu } ( K ) \; \widehat { \Pi } _ { \perp } ^ { c o r } ( K ) \; ,
\begin{array} { r l } { | D ^ { 2 } u _ { k } ( z ) - D ^ { 2 } v _ { k } ( z ) | } & { \le \| D ^ { 2 } ( u _ { k } - v _ { k } ) \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 2 ^ { - 2 - k } } ( z ) ) } } \\ & { \le C 2 ^ { 2 k } \| u _ { k } - v _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 2 ^ { - k - 1 } ( z ) } ) } + C | f ( z ) - f ( 0 ) | } \\ & { \le C 2 ^ { 2 k } \| u _ { k } - v _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 2 ^ { - k - 1 } ( z ) } ) } + C 2 ^ { - k \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { 1 } } & { \simeq \mathcal { F } ( \mathbf { f r e e } _ { \mathrm { L i e } \{ 1 \} } ^ { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } \circ \mathbf { t r i v } ^ { \mathrm { L i e } \{ 1 \} } ( k ( 2 ) [ - 2 ] ) ) \simeq \mathcal { F } ( \mathbf { t r i v } _ { \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } } ^ { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } \circ \mathbf { f r e e } ^ { \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } } ( k ( 2 ) [ - 2 ] ) ) } \\ & { \simeq \mathcal { F } ( \mathbf { t r i v } _ { \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } } ^ { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } ( C ) ) \: . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial p _ { A } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial p ^ { A } \partial \tilde { q } _ { B } } \frac { \partial \theta } { \partial \tilde { q } ^ { B } } - \frac { \partial \theta } { \partial q ^ { A } } \bigg ) = 0
\begin{array} { r l } { d \ddot { x } ( t ) = } & { \frac { m \sin \theta ( t ) ( \ell \dot { \theta } ^ { 2 } ( t ) + g \cos \theta ( t ) ) + d a ( t ) + d W ( t ) } { M + m \sin ^ { 2 } \theta ( t ) } , } \\ { d \ddot { \theta } ( t ) = } & { - d a ( t ) \cos \theta ( t ) - m \ell \dot { \theta } ^ { 2 } ( t ) \cos \theta ( t ) \sin \theta ( t ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad - ( M + m ) g \sin \theta ( t ) , } \end{array}
\frac { d } { d p } \mathbf { P } ( N , N _ { 0 } , p ) = \frac { N ! } { ( N _ { 0 } - 1 ) ! ( N - N _ { 0 } ) ! } p ^ { N _ { 0 } - 1 } ( 1 - p ) ^ { N - N _ { 0 } } .
\begin{array} { r l r } { W } & { { } = } & { 4 \cdot ( 2 \pi ) ^ { 1 / 3 } \sigma _ { W 0 } \varepsilon ^ { - 1 / 3 } \varepsilon _ { W } k _ { \mathrm { { C } } } ^ { 2 / 3 } \int _ { s \ge 1 } \! \! \! d s \ s ^ { - 5 / 3 } } \end{array}
\psi ( \bar { t } - s , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) = - \partial _ { t } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) s + \epsilon _ { 1 } ,
K _ { 1 x } ^ { 4 } = \left| \begin{array} { l l l l l l l } { ~ 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 ~ } \\ { ~ | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | ~ } \\ { ~ A _ { 2 } } & { A _ { 3 } } & { A _ { 4 } } & { B _ { 1 } } & { B _ { 2 } } & { B _ { 3 } } & { B _ { 4 } ~ } \\ { ~ | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | ~ } \end{array} \right| = \left| \begin{array} { l l l l l l l } { ~ 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 ~ } \\ { ~ | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | ~ } \\ { ~ A _ { 2 } } & { A _ { 3 } } & { A _ { 4 } } & { B _ { 1 } } & { B _ { 2 } - t A _ { 2 } } & { B _ { 3 } - t A _ { 3 } } & { B _ { 4 } ~ } \\ { ~ | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | } & { | ~ } \end{array} \right|
b _ { { \mathbf { k } } _ { l } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } , . . . \rangle = { \sqrt { n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . n _ { { \mathbf { k } } _ { l } } - 1 , . . . \rangle
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \left( \vec { m } \right) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \vec { m } } { \partial t } + \nabla \left[ \vec { m } \vec { v } + p _ { \mathrm { t o t } } \cdot I - \frac { \vec { B } \vec { B } } { \mu } \right] } & { { } = \rho \vec { f } _ { \mathrm { e } } + \vec { f } _ { \mathrm { C } } , } \\ { \frac { \partial e } { \partial t } + \nabla \left[ \left( e + p _ { \mathrm { t o t } } \right) \vec { v } - \frac { \left( \vec { v } \vec { B } \right) \vec { B } } { \mu } \right] } & { { } = \left( \rho \vec { f } _ { \mathrm { e } } + \vec { f } _ { \mathrm { C } } \right) \vec { v } + Q _ { \mathrm { p } } , } \\ { \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } - \nabla \times \left( \vec { v } \times \vec { B } \right) } & { { } = 0 . } \end{array}