harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { 3 \chi } { 4 } \frac { u ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \mu } \varepsilon } { \varepsilon } \; , } \\ { \mathcal { P } _ { l } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { \chi _ { l } } { 4 } \frac { u ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \mu } \varepsilon } { \varepsilon } - 2 \eta _ { l l } l ^ { \alpha } l ^ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } \; , } \\ { \mathcal { P } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { \chi _ { \perp } } { 4 } \frac { u ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \mu } \varepsilon } { \varepsilon } + \eta _ { l l } l ^ { \alpha } l ^ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } , } \\ { \pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { - 2 \eta _ { \perp } \sigma _ { \perp } ^ { \mu \nu } \; , } \\ { W _ { \perp l } ^ { \mu } } & { { } = } & { - 2 \eta _ { l } \Xi _ { \lambda } ^ { \mu } l _ { \nu } \sigma ^ { \lambda \nu } \; , } \\ { W _ { \perp u } ^ { \mu } } & { { } = } & { \frac { \lambda _ { \perp } } { 4 } \Xi ^ { \mu \nu } \frac { \mathcal { D } _ { \nu } \varepsilon } { \varepsilon } \; , } \\ { M } & { { } = } & { \frac { \lambda _ { l } } { 4 } \frac { l ^ { \nu } \mathcal { D } _ { \nu } \varepsilon } { \varepsilon } \; . } \end{array}
{ \cal L } _ { 0 } ^ { ( \Lambda ) } = - { \frac { 1 } { 4 } } \, F _ { a \mu \nu } ^ { ( \Lambda ) } F _ { n } ^ { ( \Lambda ) a \mu \nu } + \overline { { \psi } } ^ { ( \Lambda ) } \left[ i \, \not D ^ { ( \Lambda ) } - m ( \Lambda ) \right] \psi ^ { ( \Lambda ) } \ .
E _ { z } = d . \ \frac { 3 \textrm { c o s } ^ { 2 } \theta - 1 } { R _ { o } ^ { 3 } } , \quad E _ { z } = d . \ \frac { 3 \textrm { s i n } \theta \textrm { c o s } \theta } { R _ { o } ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { \pi _ { 2 } ( G ) } & { \leq d _ { G } ( \tilde { u } ) d _ { G } ( v ) } \\ & { < s k \left( \frac { n - | S | } { s } + | S | \right) } \\ & { = k ( n + ( s - 1 ) | S | ) } \\ & { < k \left( n + \left( \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } } - 1 \right) ( c _ { k } \sqrt { n } + 1 ) \right) } \\ & { = k \left( \left( 1 + \frac { c _ { k } } { \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } } \right) n - \frac { ( c _ { k } ( \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } ) - 1 ) \sqrt { n } } { \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } } - 1 \right) } \\ & { < \frac { k \sqrt { p _ { k } } n } { \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } } } \\ & { < p _ { k } n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { p } ( Y ; X _ { i } ) } & { = \mathop { \mathbb { E } } _ { x _ { i } , y \sim p } \left[ \log \left( \frac { \hat { p } ( y | x _ { i } ) } { \hat { p } ( y ) } \right) \right] } \\ { I _ { p } ( Y ; X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } & { = \mathop { \mathbb { E } } _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } , y \sim p } \left[ \log \left( \frac { \hat { p } ( y | x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \hat { p } ( y ) } \right) \right] } \\ { I _ { \tilde { q } } ( Y ; X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } & { = \mathop { \mathbb { E } } _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } , y \sim \tilde { q } } \left[ \log \left( \frac { \tilde { q } ( x _ { 2 } | x _ { 1 } , y ) \hat { p } ( y | x _ { 1 } ) } { \hat { p } ( y ) \sum _ { y ^ { \prime } } \tilde { q } ( x _ { 2 } | x _ { 1 } , y ^ { \prime } ) \hat { p } ( y ^ { \prime } | x _ { 1 } ) } \right) \right] } \\ { R } & { = I _ { \tilde { q } } ( Y ; X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } \\ { U _ { 1 } } & { = I _ { \tilde { q } } ( Y ; X _ { 1 } , X _ { 2 } ) - I _ { p } ( Y ; X _ { 2 } ) } \\ { U _ { 2 } } & { = I _ { \tilde { q } } ( Y ; X _ { 1 } , X _ { 2 } ) - I _ { p } ( Y ; X _ { 1 } ) } \\ { S } & { = I _ { p } ( Y ; X _ { 1 } , X _ { 2 } ) - I _ { \tilde { q } } ( Y ; X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { s } } & { = 0 , } \\ { y _ { s } } & { = \Delta \left( - \frac { \left( \sqrt { S } - 1 \right) } { 2 } + \textrm { m o d } \left( s - 1 , \sqrt { S } \right) \right) , } \\ { z _ { s } } & { = \Delta \left( - \frac { \left( \sqrt { S } - 1 \right) } { 2 } + \left\lfloor \frac { s - 1 } { \sqrt { S } } \right\rfloor \right) , } \end{array}
\Delta \widetilde { \rho } \, \ddot { { \bf X } } = \partial _ { s } \left( T \partial _ { s } { \bf X } \right) - \gamma \partial _ { s } ^ { 4 } { \bf X } - \textbf { F } _ { \mathrm { f s } } + \textbf { F } _ { \mathrm { c o l } } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \partial _ { s } { \bf X } \cdot \partial _ { s } { \bf X } = 1 ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \o } { 2 \left[ \int _ { Q \setminus Q _ { k _ { n } ( x ) } } W ( y , u _ { n } ) \; d y \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \nabla u _ { n } | \; d x } } & { \leq C _ { M } \int _ { \o } { \mathcal { L } ^ { N } ( Q \setminus Q _ { k _ { n } ( x ) } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \nabla u _ { n } | \; d x } } \\ & { \leq C _ { M } \| \nabla u _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \, \left( \int _ { \Omega } \mathcal { L } ^ { N } ( Q \setminus Q _ { k _ { n } ( x ) } ) \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { i } ( \beta ) } & { { } = \frac { \mathbf { W } ( \mathbf { A } , \beta ) _ { i i } } { \mathbf { W } ( | \mathbf { A } | , \beta ) _ { i i } } } \\ { b _ { i } ( \beta ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ r _ { i } ( \beta ) + 1 \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 , 1 } ( x , t ) = } & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( Y _ { s } ^ { \xi } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \xi } , s ; t , x \right) \wedge \hat { \theta } ( \xi , 0 ) \right] \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( \overline { { Y _ { s } ^ { \overline { { \xi } } } } } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \overline { { \xi } } } , s ; t , x \right) \wedge \hat { \theta } ( \xi , 0 ) \right] \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \\ & { - 2 \kappa \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \right| _ { \xi _ { 2 } = 0 } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( Y _ { s } ^ { \xi , \tau } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \xi , \tau } , s ; t , x \right) \wedge \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } ) \right] \mathrm { d } \tau \right) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } s } \\ & { + 2 \kappa \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left. \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \right| _ { \xi _ { 2 } = 0 } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( \overline { { Y _ { s } ^ { \overline { { \xi } } , \tau } } } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \overline { { \xi } } , \tau } , s ; t , x \right) \wedge \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } ) \right] \mathrm { d } \tau \right) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 1 } ^ { a } } & { \rightarrow \frac { v _ { 1 } ^ { a } } { \sqrt { \omega _ { 1 1 } } } , } \\ { v _ { 2 } ^ { a } } & { \rightarrow \frac { v _ { 2 } ^ { a } - \omega _ { 1 2 } } { \sqrt { \omega _ { 2 2 } } } , } \\ { v _ { 3 } ^ { a } } & { \rightarrow \frac { v _ { 3 } ^ { a } - \omega _ { 1 3 } v _ { 1 } ^ { a } - \omega _ { 2 3 } v _ { 2 } ^ { a } } { \sqrt { \omega _ { 3 3 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m _ { y } \ddot { y } + c _ { y } \dot { y } + k _ { y } y + \Lambda ( \dot { \theta } ^ { 2 } s i n \theta - \ddot { \theta } c o s \theta ) = F _ { y } } \\ & { I _ { \theta } \ddot { \theta } + c _ { \theta } \dot { \theta } + k _ { \theta } \theta - \Lambda ( \ddot { y } c o s \theta ) = M _ { \theta } } \end{array}
\theta _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } \qquad \theta _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \qquad \theta _ { 1 } \theta _ { 2 } = - \theta _ { 2 } \theta _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } .
\Omega _ { \phi } ( p ^ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \sum _ { a , b } H _ { a b } H _ { b a } \left( m _ { a } ^ { 2 } a _ { 0 } ( m _ { a } ^ { 2 } ) + m _ { b } ^ { 2 } a _ { 0 } ( m _ { b } ^ { 2 } ) + \left( ( m _ { a } + m _ { b } ) ^ { 2 } - p ^ { 2 } \right) b _ { 0 } ( p ^ { 2 } , m _ { a } ^ { 2 } , m _ { b } ^ { 2 } ) \right) ,
\epsilon _ { l , S = 1 , J } = \frac { 7 } { 6 } \delta _ { l 0 } + \frac { 1 - \delta _ { l 0 } } { 2 ( 2 l + 1 ) } \left\{ \begin{array} { l c l } { { \frac { 3 l + 4 } { ( l + 1 ) ( 2 l + 3 ) } } } & { { \mathrm { i f } } } & { { J = l + 1 } } \\ { { - \frac { 1 } { l ( l + 1 ) } } } & { { \mathrm { i f } } } & { { J = l } } \\ { { - \frac { 3 l - 1 } { l ( 2 l - 1 ) } } } & { { \mathrm { i f } } } & { { J = l - 1 . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \ \int P _ { \lambda } ( Z ^ { * } V ^ { * } \Lambda ^ { * } \Lambda V Z ; 2 ) d V = \int P _ { \lambda } ( Z Z ^ { * } V ^ { * } \Lambda ^ { * } \Lambda V ; 2 ) d V } \\ { = } & { \frac { P _ { \lambda } ( Z Z ^ { * } ; 2 ) P _ { \lambda } ( \Lambda ^ { * } \Lambda ; 2 ) } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { N } ; 2 ) } = \frac { P _ { \lambda } ( Z ^ { * } Z ; 2 ) P _ { \lambda } ( \Lambda \Lambda ^ { * } ; 2 ) } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { N } ; 2 ) } , } \end{array}
\frac { d r } { d \theta ^ { 5 } } = \tan \phi = \frac { \sin \theta ^ { 5 } - f \cos \theta ^ { 5 } } { \cos \theta ^ { 5 } + f \sin \theta ^ { 5 } } , \quad \sin \phi = \frac { \sin \theta ^ { 5 } - f \cos \theta ^ { 5 } } { \sqrt { 1 + f ^ { 2 } } } , \quad \cos \phi = \frac { \cos \theta ^ { 5 } + f \sin \theta ^ { 5 } } { \sqrt { 1 + f ^ { 2 } } } .
x _ { 1 } = \frac { M _ { n - 3 } ^ { 2 } } { s } \; , \; x _ { 2 } = \frac { M _ { n - 4 } ^ { 2 } } { s x _ { 1 } } \; , \; x _ { 3 } = \frac { M _ { n - 5 } ^ { 2 } } { s x _ { 1 } x _ { 2 } } \; , \ldots \; , x _ { n - 4 } = \frac { M _ { 2 } ^ { 2 } } { s x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { n - 6 } x _ { n - 5 } }
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { 1 } { 2 } \iiint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \tilde { F } _ { - } ^ { 0 } ( t , x , | \xi | ) \tilde { F } _ { - } ^ { 0 } ( t , x , | \xi ^ { \prime } | ) } \\ & { \quad \quad \mathrm { t r } ( \Phi ( \xi - \xi ^ { \prime } ) \{ \frac { \xi } { | \xi | } \partial _ { r } \ln ( \tilde { F } _ { - } ^ { 0 } ( t , x , r ) ) | _ { r = | \xi | } - \frac { \xi ^ { \prime } } { | \xi ^ { \prime } | } \partial _ { r } \ln ( \tilde { F } _ { - } ^ { 0 } ( t , x , r ) ) | _ { r = | \xi ^ { \prime } | } \} ^ { \otimes 2 } ) d x d \xi d \xi ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { V } { T } \partial _ { \hat { t } } \hat { v } + \frac { V ^ { 2 } } { L } ( \hat { v } \cdot \hat { \nabla } ) \hat { v } = - \frac { P } { \rho L } \hat { \nabla } \hat { p } + G \hat { g } + \frac { \nu V } { L ^ { 2 } } \hat { \Delta } \hat { v } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } \left( \varepsilon \right) } & { { } = J _ { \alpha _ { 1 } } \left( \pi + \varepsilon \right) J _ { \alpha _ { 2 } } \left( \pi + \varepsilon \right) J _ { \alpha _ { 3 } } \left( \pi + \varepsilon \right) } \end{array}
T _ { i j } \equiv \epsilon _ { 0 } \left( E _ { i } E _ { j } - { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { i j } E ^ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( B _ { i } B _ { j } - { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { i j } B ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } = } & { { } \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 3 } \kappa _ { p } } { \pi \, \omega _ { p } \omega _ { \gamma } k _ { p } ^ { 2 } } \sum _ { \pm } \frac { \varepsilon _ { q _ { \pm } ^ { \prime } } } { q _ { z \pm } ^ { \prime } } } \end{array}
w _ { h k } ^ { B } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { 1 , \quad } & { h = 1 , } \\ & { B _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) , \quad } & { h = 2 , } \\ & { \sum _ { s _ { 2 } ^ { k } \in \mathcal { S } } \cdots \sum _ { s _ { h - 1 } ^ { k } \in \mathcal { S } } B _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) \cdots B _ { h - 1 } ( s _ { h } ^ { k } \vert s _ { h - 1 } ^ { k } , a _ { h - 1 } ^ { k } ) , \quad } & { h \geq 3 . } \end{array} \right.
\gamma \frac { E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma + \epsilon } ] - E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma - \epsilon } ] } { 2 \epsilon } \geq E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] \, .
\begin{array} { r l } { q _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) } & { \sim e ^ { i \omega \left[ \tau ( \mathbf { x } _ { s } , \mathbf { x } ^ { * } ) + \tau ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } _ { \widetilde { r } } ) - \tau ( \mathbf { x } _ { \widetilde { r } } , \mathbf { x } ) \right] } } \\ & { \sim e ^ { i \omega \left[ \tau ( \mathbf { x } _ { s } , \mathbf { x } ^ { * } ) \pm \tau ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } ) \right] } \; , } \end{array}
\mathrm { ~ P ~ S ~ s ~ p ~ a ~ t ~ i ~ a ~ l ~ d ~ i ~ s ~ p ~ e ~ r ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } = \sqrt { \frac { \sum _ { i } \left\| { P S } _ { i } - { P S } _ { m e a n } \right\| ^ { 2 } } { N _ { P S } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial t } } & { { } = \mathcal { F } _ { N N } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , \frac { \partial ^ { d } u ( x , t ) } { \partial x ^ { d } } , x , t ; \phi \right) + y ( x , t ) \; , } \\ { \frac { \partial y ( x , t ) } { \partial t } } & { { } = \mathcal { D } _ { N N } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , \frac { \partial ^ { d } u ( x , t ) } { \partial x ^ { d } } , x , t ; \theta \right) } \\ { u ( x , t ) } & { { } = h ( x , t ) , \; - \tau \leq t \leq 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { B } ( u ( x , t ) ) = g ( x , t ) , \; x \in \partial \Omega , \; t \geq 0 \, , } \\ { y ( x , 0 ) } & { { } = \int _ { - \tau } ^ { 0 } \mathcal { D } _ { N N } \left( h ( x , s ) , \frac { \partial h ( x , s ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } h ( x , s ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , \frac { \partial ^ { d } h ( x , s ) } { \partial x ^ { d } } , x , s ; \theta \right) d s \, . } \end{array}
m _ { W } = \sqrt { \left( \frac { E _ { W } } { \gamma _ { f } v _ { f } } \right) \left[ m _ { f } - \left( \frac { E _ { W } } { \gamma _ { f } v _ { f } } \right) \right] } \qquad \mathrm { ( m a s s ~ o f ~ W ~ b o s o n ) . }
\mathbb L _ { k , 0 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 2 ( 2 \uppi ) ^ { 2 d } \gamma ^ { 2 } \kappa | \sigma _ { 1 , 0 } | ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) \mathrm { ~ a n d ~ } \mathbb L _ { k , m } = \left( \begin{array} { l l } { - i k \cdot m } & { \frac { m ^ { 2 } } 2 } \\ { - \frac { m ^ { 2 } } 2 + 2 ( 2 \uppi ) ^ { 2 d } \gamma ^ { 2 } \kappa | \sigma _ { 1 , m } | ^ { 2 } } & { - i k \cdot m } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { 0 } } ^ { 0 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } } & { \leq \Lambda ( T , R ) \sum _ { I , J } \left\Vert \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \left\Vert \mathcal { R } _ { 0 } ^ { I , J } ( s , \mathrm { Z } ^ { s ; t } ( \cdot , v ) \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } v \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ) } } \\ & { \leq \Lambda ( T , R ) \left\Vert \int _ { 0 } ^ { t } \left\Vert \mathcal { R } _ { 0 } ( s ) \right\Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { 0 } } \, \mathrm { d } s \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ) } } \\ & { \leq \Lambda ( T , R ) T \left\Vert \mathcal { R } _ { 0 } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { 0 } ) } } \\ & { \leq \Lambda ( T , R ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { I ^ { \mathrm { { c o } } } ( \theta , \tau ) = | A _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o } } } Y _ { 2 2 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o } } } } + A _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o } } } Y _ { 2 0 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o } } } } + A _ { s } ^ { \mathrm { { c o } } } Y _ { 0 0 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { s } ^ { \mathrm { { c o } } } } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { v \in B _ { n } ^ { h } ( u ) } m _ { v } ( f ( v ) - \bar { f } _ { B _ { n } ^ { h } ( u ) } ) ^ { 2 } } & { = \operatorname { v o l } _ { h } ( u , n ) \, \mathbb { E } \left[ ( f ( Z ) - \mathbb { E } [ f ( Z ) ] ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { v o l } _ { h } ( u , n ) \left( \mathbb { E } \left[ f ^ { 2 } ( Z ) \right] - \mathbb { E } [ f ( Z ) ] ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { \operatorname { v o l } _ { h } ( u , n ) } { 2 } \mathbb { E } \left[ f ^ { 2 } ( Z ) + f ^ { 2 } ( Z ^ { \prime } ) - 2 f ( Z ) f ( Z ^ { \prime } ) \right] } \\ & { = \frac { \operatorname { v o l } _ { h } ( u , n ) } { 2 } \mathbb { E } \left[ ( f ( Z ) - f ( Z ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } \right] \ . } \end{array}
\theta _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } ( \lambda ) = \int _ { 0 } ^ { \lambda } \widetilde { \alpha } \, d \widetilde { \lambda } , \qquad \theta _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } ( \lambda ) = - \int _ { \gamma } \left( \frac { E } { \mathsf { A } } d t + \sum _ { k = 2 } ^ { N } \frac { p _ { k } } { \mathsf { A } } \, d \psi _ { k } \right) \, .
F ( \bar { y } , z ) = \sum _ { s } \oint \frac { \bar { d u } } { 2 \pi i } \frac { 1 } { ( \bar { y } - \bar { u } ) ^ { 2 } } \oint \frac { d v } { 2 \pi i } \frac { 1 } { ( v - z ) } \frac { \xi _ { s } ^ { \prime } ( v ) } { \xi _ { s } ( v ) ( 1 - \bar { \xi } _ { s } ( u ) \xi _ { s } ( v ) ) }
{ \begin{array} { l l l l } { \mathrm { r } _ { 0 } = \left( { \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { r } _ { 1 } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { r } _ { 2 } = \left( { \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { r } _ { 3 } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} } \right) , } \\ { \mathrm { s } _ { 0 } = \left( { \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { s } _ { 1 } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { s } _ { 2 } = \left( { \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { s } _ { 3 } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n , m } ^ { \delta z _ { 0 } } } & { ( x , y , z ) = \mathrm { i } ^ { m } \bigg ( \mathcal { U } _ { n , m } - \mathrm { i } \frac { \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } } \\ & { - A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } - B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } - ( C _ { n } + C _ { m } ) \cdot \mathcal { U } _ { n , m } \Big ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { D } { { { r ^ { 2 } } } } \frac { \partial } { { \partial r } } \left( { r ^ { 2 } } \frac { { \partial C _ { o } } } { { \partial r } } \right) + \frac { D } { { { r ^ { 2 } } \sin \theta } } \frac { \partial } { { \partial \theta } } \left( \sin \theta \frac { { \partial C _ { o } } } { { \partial \theta } } \right) + \frac { D } { { { r ^ { 2 } } { { \sin } ^ { 2 } } \theta } } \frac { { { \partial ^ { 2 } } C _ { o } } } { { \partial { \varphi ^ { 2 } } } } } \\ & { + \frac { { \delta ( r - { r _ { \mathrm { t x } } } ) \delta ( \theta - \theta _ { \mathrm { t x } } ) \delta ( \varphi - \varphi _ { \mathrm { t x } } ) \delta ( t - t _ { 0 } ) } } { r ^ { 2 } \sin \theta } = i \omega C _ { o } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { z ^ { \prime } } } \\ { { \bar { z } ^ { \prime } } } \\ { { \bf 1 } } \end{array} \right) = { \bf M } \left( \begin{array} { c } { { z } } \\ { { \bar { z } } } \\ { { \bf 1 } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c c c } { { u } } & { { 0 } } & { { t } } \\ { { 0 } } & { { \bar { u } } } & { { \bar { t } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \bf 1 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { z } } \\ { { \bar { z } } } \\ { { \bf 1 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ ( w _ { k } + B u _ { k } ^ { p r } ) ^ { \top } P ^ { * } \left( A x _ { k } + B u _ { k } ^ { c b } \right) \big | \mathcal { F } _ { k } \right] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ w _ { k } + k ^ { - 1 / 4 } B v _ { k } \big | \mathcal { F } _ { k - 1 } \right] ^ { \top } P ^ { * } \left( A x _ { k } + B u _ { k } ^ { c b } \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f ( x , t + \lambda ) | } \\ { = } & { \left| \int e \left[ x \cdot \xi + R ^ { 1 - 2 \alpha } ( t + \lambda ) ^ { \alpha } \mu \left( \frac { t + \lambda } { R ^ { 2 } } \right) \cdot \xi + t | \xi | ^ { 2 } \right] \left[ e ( \lambda | \xi | ^ { 2 } ) \widehat { f } ( \xi ) \right] d \xi \right| . } \end{array}
I _ { 5 } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 5 } } \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g ^ { ( 5 ) } } \left\{ e ^ { - 2 \phi _ { 1 } } \left[ R ^ { ( 5 ) } + 2 0 e ^ { 2 \psi } + 4 ( D \phi _ { 1 } ) ^ { 2 } - 5 ( D \psi ) ^ { 2 } \right] - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 5 \psi } ( F _ { 1 } ^ { ( 5 ) 2 } + F _ { 2 } ^ { ( 5 ) 2 } ) \right\}
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { ( \mathbf { s } , \mathfrak { m } ) } = \{ f \in L ^ { 2 } ( I , \mathfrak { m } ) : f \ll \mathbf { s } , d f / d \mathbf { s } \in L ^ { 2 } ( I , d \mathbf { s } ) , } \\ & { \qquad \qquad \qquad f ( j ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } j \notin I \mathrm { ~ a n d ~ } | \mathbf { s } ( j ) | < \infty \mathrm { ~ f o r ~ } j = l \mathrm { ~ o r ~ } r \} , } \\ & { { \mathscr E } ^ { ( \mathbf { s } , \mathfrak { m } ) } ( f , g ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { I } \frac { d f } { d \mathbf { s } } \frac { d g } { d \mathbf { s } } d \mathbf { s } , \quad f , g \in { \mathscr F } ^ { ( \mathbf { s } , \mathfrak { m } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 6 } N : = \frac { 1 } { x } \left( \frac { 1 } { \delta _ { + } } + \frac { 1 } { \delta _ { - } } - \frac { 1 } { \rho } \right) } & { { } \, , \qquad \delta _ { \pm } : = \sqrt { x ^ { 2 } + ( \rho \pm y ) ^ { 2 } } \, , \qquad \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) : = \sqrt { \frac { 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \, , } \\ { M ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) : = \, } & { { } \frac { \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } { 2 \pi ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { 2 - \kappa ^ { 2 } ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } { 2 - 2 \kappa ^ { 2 } ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } E ( \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) ) - K ( \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) ) \right) \, , } \end{array}