harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A = \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \; \; \; D = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { d } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( m , h ) } & { = \frac { 1 - m } { \sqrt { 1 + m - \sqrt { h ^ { 2 } ( 1 - m ) ^ { 2 } + 4 m } } } } \\ { \sin ( \Theta _ { R } ) } & { = h + \frac { m + 1 } { m - 1 } + \sqrt { h ^ { 2 } + \frac { 4 m } { ( m - 1 ) ^ { 2 } } } } \\ { \beta } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } - \Theta \right) ; \quad \beta _ { R } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } - \Theta _ { R } \right) } \\ { \mathcal { B } ( h , \Theta _ { R } ) } & { = \tan \left( \beta _ { R } \right) } \\ { \mathcal { B } ( m , h ) } & { = \sqrt { \frac { 2 - h ( 1 - m ) + \sqrt { h ^ { 2 } ( m - 1 ) ^ { 2 } + 4 m } } { h ( 1 - m ) - 2 m - \sqrt { h ^ { 2 } ( m - 1 ) ^ { 2 } + 4 m } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { i ^ { * } = \frac { \beta - \alpha } { \beta ( 1 + \frac { \alpha p _ { r } } { l _ { i } } ) } \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } r ^ { * } \ = \ \frac { i ^ { * } \alpha p _ { r } } { l _ { i } } } \end{array}
3 . 4 \beta ^ { [ 2 | 2 ] } ( y ) = - 9 y ^ { 2 } \left[ \frac { 1 - 2 2 . 2 1 y + 3 6 . 9 3 y ^ { 2 } } { 1 - 2 8 . 2 1 y + 1 4 3 . 2 y ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) , } \\ { ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) C ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) . } \end{array}
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = h _ { 0 } ^ { - 2 / 3 } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + d x _ { 2 } ^ { 2 } ) + h _ { 0 } ^ { 1 / 3 } ( d x _ { 3 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 9 } ^ { 2 } + d x _ { 1 1 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( - z \left( \frac { m } { r } + 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - z \frac { m } { r } + i k r \right) L _ { n } ^ { m } ( a ) } \\ & { } & { = - \frac { z } { r } \left( 2 \left( a \frac { d } { d a } + m \right) - a - \frac { i k r ^ { 2 } } { z } \right) L _ { n } ^ { m } ( a ) } \\ & { } & { = - 2 \frac { z } { r } \left( ( n + m ) L _ { n } ^ { m - 1 } ( a ) - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) L _ { n } ^ { m } ( a ) \right) , } \end{array}
| \epsilon | \approx \cos \theta _ { 2 } \sin \theta _ { 2 } \sin \theta _ { 3 } \sin \delta \left[ { \frac { \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 } ( 1 + \eta \log \eta ) - \cos ^ { 2 } \theta _ { 2 } \eta ( 1 + \log \eta ) } { \sin ^ { 4 } \theta _ { 2 } + \cos ^ { 4 } \theta _ { 2 } \eta - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { 2 } \eta \log \eta } } \right] ,
n = \sqrt { \epsilon _ { r } ( \omega ) } \simeq 1 + \frac { 2 \pi N e ^ { 2 } } { m } \sum _ { j } \, \frac { f _ { j } ( \omega _ { j } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) } { ( \omega _ { j } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \gamma _ { j } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \, .
2 H = c ^ { 2 } = { \frac { p _ { t } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) } } - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) p _ { r } ^ { 2 } - { \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { p _ { \varphi } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } }
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 5 } } & { = \frac { 1 } { c _ { 5 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 5 } ^ { \{ S \} } - c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 5 } ^ { \{ S \} } - c _ { 7 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \gamma _ { 6 } = \frac { 1 } { c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 6 } ^ { \{ S \} } - c _ { 5 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 6 } ^ { \{ S \} } - c _ { 7 } ^ { \{ S \} } ) } , } \\ { \gamma _ { 7 } } & { = \frac { 1 } { c _ { 7 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 7 } ^ { \{ S \} } - c _ { 5 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 7 } ^ { \{ S \} } - c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \gamma _ { 8 } = \frac { 1 } { c _ { 8 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 8 } ^ { \{ S \} } - c _ { 9 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 8 } ^ { \{ S \} } - c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } ) } } \\ { \gamma _ { 9 } } & { = \frac { 1 } { c _ { 9 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 9 } ^ { \{ S \} } - c _ { 8 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 9 } ^ { \{ S \} } - c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \gamma _ { 1 0 } = \frac { 1 } { c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } - c _ { 8 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } - c _ { 9 } ^ { \{ S \} } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { u } } & { { } = } & { \varphi ( \{ x _ { w } : \, w \in N _ { u } \} ) , } \\ { x _ { v } } & { { } = } & { \varphi ( \{ x _ { w } : \, w \in N _ { v } \} ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { \sigma } = { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi ^ { a } \partial ^ { \mu } \phi ^ { a } - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma \phi ^ { a } \phi ^ { a } - { \frac { N m _ { 0 } ^ { 2 } } { g _ { 0 } } } \sigma + { \frac { N } { 2 g _ { 0 } } } \sigma ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \rVert u \rVert _ { E } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } : = \rVert u \rVert _ { E , \Omega } ^ { \operatorname* { s u p } } + \gamma \rVert u \rVert _ { E , \Omega } ^ { \mathrm { l i p } } , \quad \mathrm { L i p } ( \Omega , E ) : = \left\{ f : \Omega \mapsto E \ | \ \rVert f \rVert _ { E } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } < \infty \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( r , r , t ) \sim \int d k d k ^ { \prime } d \theta d \theta ^ { \prime } k k ^ { \prime } e ^ { - i k r \cos ( \theta ) + i k ^ { \prime } r \cos ( \theta ^ { \prime } + \theta ) } \rho ( k , k ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } , t ) = \int d k d k ^ { \prime } d \theta ^ { \prime } k k ^ { \prime } 2 \pi J _ { 0 } ( q ( k , k ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) r ) \rho ( k , k ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } , t ) } \end{array}
P ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) = \frac { 1 } { \phi ( t ) } \left( \frac { x } { x _ { 0 } e ^ { - \tau ( t ) } } \right) ^ { ( \varepsilon _ { 1 } - 1 ) / 2 } \exp \left( - \frac { x + x _ { 0 } e ^ { - \tau ( t ) } } { \phi ( t ) } \right) I _ { \varepsilon _ { 1 } - 1 } \left( \frac { 2 } { \phi ( t ) } \sqrt { x x _ { 0 } e ^ { - \tau ( t ) } } \right) .
\mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \psi ( n S ) \pi ^ { + } ( \rho ^ { + } ) ) = \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \psi \pi ^ { + } ( \rho ^ { + } ) ) \; \frac { f _ { n S } ^ { 2 } } { f _ { \psi } ^ { 2 } } \; \frac { M ^ { 2 } - m _ { n S } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } - m _ { \psi } ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { b _ { } } ^ { c _ { } } } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \left[ c _ { } \Delta t { } \mathbf { w } _ { b _ { } } \right] ^ { n } } \end{array}
\chi _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ I ~ n ~ S ~ , ~ O ~ u ~ t ~ S ~ } } ( x , y , p _ { x } , p _ { y } ) = c ^ { - 4 } \chi _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ I ~ n ~ S ~ , ~ O ~ u ~ t ~ S ~ } } ( x ^ { ' } , y ^ { ' } , p _ { x } ^ { ' } , p _ { y } ^ { ' } ) .
\frac { 1 } { N } \mathrm { I m } \bigl ( \Pi ( \omega ) \bigr ) = \epsilon ( \omega ) { \frac { \theta ( \omega ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } ) } { 4 \sqrt { 1 - 4 m ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } } } } \times \Bigl \{ \operatorname { t a n h } \Bigl ( { \frac { | \omega | / 2 + \mu } { 2 T } } \Bigr ) + \operatorname { t a n h } \Bigl ( { \frac { | \omega | / 2 - \mu } { 2 T } } \Bigr ) \Bigr \}
G ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } ( B ) = - { \frac { 1 } { 3 ! } } { \epsilon } ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } { \rho } { \eta } { \delta } } { \partial } _ { [ { \rho } } B _ { { \eta } { \delta } ] } \equiv - { \frac { 1 } { 3 ! } } { \epsilon } ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } { \rho } { \eta } { \delta } } F _ { { \rho } { \eta } { \delta } } ( B ) ,
\begin{array} { r l } { C _ { M L M C } } & { \le C \ensuremath { \varepsilon } ^ { - 2 } \left( 1 + \ensuremath { \varepsilon } ^ { - \alpha _ { 2 } / ( \eta _ { \mathcal { O } } r ) } ( 1 + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \alpha _ { 3 } ( 2 - d / ( \eta _ { \Psi } r ) ) } ) + \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 - d / ( \eta _ { \Psi } r ) } ( 1 + C ) \right) } \\ & { \le C \left( \ensuremath { \varepsilon } ^ { - 2 - \alpha _ { 2 } / ( \eta _ { \mathcal { O } } r ) + \alpha _ { 3 } ( 2 - d / ( \eta _ { \Psi } r ) ) } + \ensuremath { \varepsilon } ^ { - d / ( \eta _ { \Psi } r ) } \right) } \\ & { \le C \left( \ensuremath { \varepsilon } ^ { - \alpha _ { 2 } 2 / d - 1 - d / ( 2 \eta _ { \Psi } r ) } + \ensuremath { \varepsilon } ^ { - d / ( \eta _ { \Psi } r ) } \right) } \\ & { \le C \ensuremath { \varepsilon } ^ { - d / ( \eta _ { \Psi } r ) } . } \end{array}
\frac { \partial S } { \partial t } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { d S _ { 0 } } { d z } \frac { \partial \psi } { \partial x } + \kappa _ { s } \left( \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial z ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { S _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { T _ { 2 } } \sum _ { g \mid k } g \sum _ { e \in \mathbb { N } } \frac { \mu ( e ) } { \textup { l c m } ( T _ { 1 } , g e ) \textup { l c m } ( g e / ( g e , T _ { 2 } ) , ( g e , T _ { 1 } ) / ( g e , T _ { 1 } , t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ) } } \\ & { = \frac { 1 } { T _ { 2 } } \sum _ { g \mid k } g \sum _ { e \in \mathbb { N } } \frac { \mu ( e ) ( T _ { 1 } , g e ) ( g e / ( g e , T _ { 2 } ) , ( g e , T _ { 1 } ) / ( g e , T _ { 1 } , t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ) } { T _ { 1 } g ^ { 2 } e ^ { 2 } ( g e , T _ { 1 } ) / ( ( g e , T _ { 2 } ) ( g e , T _ { 1 } , t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ) } } \\ & { = \frac { 1 } { T _ { 1 } T _ { 2 } } \sum _ { g \mid k } \frac { 1 } { g } \sum _ { e \in \mathbb { N } } \frac { \mu ( e ) ( g e ( g e , T _ { 1 } , t _ { 2 } - t _ { 1 } ) , ( g e , T _ { 1 } ) ( g e , T _ { 2 } ) ) } { e ^ { 2 } } . } \end{array}
p ^ { + } \frac { d } { d p ^ { + } } \phi ^ { ( n ) } ( x , \nu / \mu , \mu / m ) = \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d \xi } { \xi } \int _ { x / \xi } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \frac { 2 } { [ 1 - x / ( \xi z ) ] _ { + } } D ( z , \nu / \mu ) \phi ( \xi , \mu / m ) \; .
S = \int _ { x } \eta ^ { \mu \nu } \left( \partial _ { \mu } \varphi ^ { * } + i e A _ { \mu } \varphi ^ { * } \right) \left( \partial _ { \nu } \varphi - i e A _ { \nu } \varphi \right) = \int _ { x } | D \varphi | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { C _ { n - i ( d + 1 ) } ( n ) } & { = \frac { n ! \beta ^ { - 1 } ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } , \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) } { i ! ( n - i ( d + 1 ) ) ! } \times } \\ & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } t ^ { n - i ( d + 1 ) } | t | ^ { 2 \mu _ { 1 } } ( b - a t ^ { d + 1 } ) ^ { i } \frac { ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } } { { 1 - t } } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ I _ { j } I _ { j + k } ] = } & { \mathbb { E } _ { Y _ { j } , Y _ { j + k } } [ \int _ { 0 } ^ { p } \int _ { 0 } ^ { p } \int _ { z _ { j } } ^ { z _ { j } + Y _ { j } } U ( t ) d t \times \int _ { z _ { j + k } } ^ { z _ { j + k } + Y _ { j + k } } } \\ & { U ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } f _ { Z _ { j } ^ { [ p ] } , Z _ { j + k } ^ { [ p ] } } ( z _ { j } , z _ { j + k } ) d z _ { j } d z _ { j + k } ] , } \end{array}
\mathrm { \bf ~ P } \, | P ( \vec { p } \, ) \rangle = - | P ( - \vec { p } \, ) \rangle \, , \qquad \mathrm { \bf ~ P } \, | \bar { P } ( \vec { p } \, ) \rangle = - | \bar { P } ( - \vec { p } \, ) \rangle \, .
\int d ^ { D - 2 } q _ { 2 } \, \, { \cal K } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ) f ( \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } ) = \frac { N \alpha _ { s } } { \pi } \int \frac { d { \vec { q } } _ { 2 } ^ { ~ 2 } } { | { \vec { q } } _ { 2 } ^ { ~ 2 } - { \vec { q } } _ { 1 } ^ { ~ 2 } | } \left[ f ( { \vec { q } } _ { 2 } ^ { ~ 2 } ) - 2 \frac { \operatorname * { m i n } ( \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } , \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } ) } { ( \vec { q } _ { 2 } ^ { ~ 2 } + \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } ) } f ( { \vec { q } } _ { 1 } ^ { ~ 2 } ) \right] .
\omega _ { \mu } ^ { \ a b } = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \nu a } ( \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { \ b } - \partial _ { \nu } e _ { \mu } ^ { \ b } ) - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \nu b } ( \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { \ a } - \partial _ { \nu } e _ { \mu } ^ { \ a } ) - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \rho a } e ^ { \sigma b } ( \partial _ { \rho } e _ { \sigma c } - \partial _ { \sigma } e _ { \rho c } ) e _ { \mu } ^ { \ c } ,
\begin{array} { r l r } { \langle R ( t ) ^ { 2 } \rangle _ { t } \! } & { \approx } & { \! \langle R ( t ) \rangle _ { t } ^ { 2 } , \langle R ( t ) R ( t + 1 ) \cos \theta ( t + 1 ) \rangle _ { t } } \\ { \! } & { \approx } & { \! \langle R ( t ) \rangle _ { t } ^ { 2 } \cos \langle \theta ( t ) \rangle _ { t } = \langle R ( t ) \rangle _ { t } ^ { 2 } \cos ( 2 \pi w ) , } \end{array}
[ \delta _ { 1 } ( \Lambda _ { 1 } ) , \delta _ { 2 } ( \Lambda _ { 2 } ) ] = \delta _ { 2 } ( \Lambda _ { 1 } \star \Lambda _ { 2 } - \Lambda _ { 2 } \star \Lambda _ { 1 } ) + \delta _ { 1 } ( - \frac { 1 } { 2 } ( \Lambda _ { 2 } Q \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 1 } Q \Lambda _ { 2 } ) .
\Big ( \frac { \theta _ { 2 } ( z | \tau ) } { \theta _ { 1 } ( z | \tau ) } \Big ) ^ { 2 } = \Big ( \frac { \theta _ { 2 } ( 0 | \tau ) } { \theta _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 | \tau ) } \Big ) ^ { 2 } ( { \cal P } ( z | \tau ) - e _ { 1 } ( \tau ) ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u ( x , t ) + \partial _ { x } ( u ^ { 2 } ( x , t ) / 2 ) = } & { { } \nu \partial _ { x } ^ { 2 } u ( x , t ) ~ x \in ( 0 , 1 ) , t \in ( 0 , 1 ] } \\ { u ( x , 0 ) = } & { { } u _ { 0 } ( x ) ~ x \in ( 0 , 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { - \left( \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { d } } \! - \! 1 \! \right) \: \sin \phi \: \lesssim \: \frac { \Gamma } { \omega _ { 0 } } \: \hat { \sigma } \: \lesssim \: \left( \! 1 \! - \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { u } } \! \right) \: \sin \phi } \end{array}
\frac { \vec { p } \, ^ { 2 } } { m } \, \Psi ( \vec { p } ) + \int \frac { d ^ { 3 } p ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, V ( \vec { p } , \vec { p } \, ^ { \prime } ) \, \Psi ( \vec { p } \, ^ { \prime } ) \; = \; E \, \Psi ( \vec { p } ) \; .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { I n t } } } & { = } & { c g _ { a \gamma \gamma } \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \; \left[ \hat { a } \left( \hat { \boldsymbol D } - \hat { \boldsymbol P } \right) \cdot \hat { \boldsymbol B } \right] } \\ & { + } & { \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \; \left[ \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } g _ { a \gamma \gamma } ^ { 2 } \hat { a } ^ { 2 } \hat { \boldsymbol B } \cdot \hat { \boldsymbol B } \right] , } \end{array}
U = \frac { \sqrt { f + ( \mathbf { n } _ { 3 } \mathbf { f } ) } } { \sqrt { 2 } } \biggl ( 1 + \frac { [ \mathbf { n } _ { 3 } \, \mathbf { f } ] } { f + ( \mathbf { n } _ { 3 } \mathbf { f } ) } \biggr ) .
\widehat { L _ { b , \gamma } } ( \sigma ) = e ^ { i t _ { b , * } \sigma } L _ { b , \gamma } e ^ { - i t _ { b , * } \sigma } , \quad \widehat { \mathcal { P } _ { b , \gamma } } ( \sigma ) = e ^ { i t _ { b , * } \sigma } \mathcal { P } _ { b , \gamma } e ^ { - i t _ { b , * } \sigma } , \quad \widehat { \mathcal { W } _ { b , \gamma } } ( \sigma ) = e ^ { i t _ { b , * } \sigma } \mathcal { W } _ { b , \gamma } e ^ { - i t _ { b , * } \sigma } .
\begin{array} { r l } { \mathscr { D } _ { j , k } ( \gamma _ { \mathfrak c , \mathfrak a } ) ( P ) = - ( k - 1 ) ! \left( ( N \mathfrak a ) - \Lambda ( \mathfrak a ) ^ { k - j } ( \mathfrak a , \mathscr { R } ( \mathfrak m ) ) \right) } & { \left( \frac { \varphi ( \mathfrak c ) } { \rho \Lambda ( \mathfrak c ) } \right) ^ { k - j } \times } \\ & { \left( \frac { N \mathfrak m \sqrt { d _ { K } } } { 2 \pi } \right) ^ { j } L _ { \mathfrak m } \left( \overline { { \varphi ^ { k - j } } } , k , ( \mathfrak c , \mathscr { R } ( \mathfrak m ) ) \right) , } \end{array}
\int d \Pi _ { 1 } d \Pi _ { 2 } f _ { \Psi _ { 1 } } ^ { E Q } \delta ( s - M _ { 1 } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } 2 \pi ^ { 4 } \frac { n _ { \Psi _ { 1 } } ^ { E Q } } { M _ { 1 } \Gamma _ { \Psi _ { 1 } } } \langle \Gamma _ { \Psi _ { 1 } } \rangle
y _ { k } = H \left\{ 1 + \frac { 1 } { a } \operatorname { t a n h } \left[ - 1 + \frac { 2 k - 1 } { N _ { y } } \right] \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } ( a ) \right\} , k \in \left[ 1 , N _ { y } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf S } \rangle } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c } { \langle { \bf \sigma _ { x } } \rangle } \\ { \langle { \bf \sigma _ { y } } \rangle } \\ { \langle { \bf \sigma _ { z } } \rangle } \end{array} \right) } \end{array}
G _ { B } ^ { ( 1 ) } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = 2 \bigl \langle \tau _ { 1 } \mid { \Bigl ( { \frac { d ^ { 2 } } { { d \tau } ^ { 2 } } } - { \frac { B _ { a b } } { \bar { T } } } \Bigl ) } ^ { - 1 } \mid \tau _ { 2 } \bigr \rangle .
\begin{array} { r l } & { ( \theta , \alpha , z ) \mapsto ( - \Delta + H _ { \mathrm { f } } + 1 ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) + r - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( H _ { \mathrm { f } } + r ) } \\ & { ( \theta , \alpha , z ) \mapsto ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) + r - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( H _ { \mathrm { f } } + r ) ( - \Delta + H _ { \mathrm { f } } + 1 ) } \end{array}
{ \frac { \partial c } { \partial t } } + c { \frac { \partial c } { \partial s } } = \nu { \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial r ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial s } } - g { \frac { \partial z } { \partial s } }
\left\Vert g \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert g \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \leq C _ { 3 } \left\Vert g \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = C _ { 3 } ( g , u ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq C _ { 3 } \left\Vert g \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { A } \left( \boldsymbol { k } _ { \boldsymbol { n } } \right) = \prod _ { j } \left[ \sum _ { \tilde { m } _ { j } } \exp \left[ - i \left( d k _ { j } d x _ { j } \right) \tilde { m } _ { j } \tilde { n } _ { j } \right] \right] } \end{array} .
\begin{array} { r l r } { c _ { 0 } ( x ) } & { = } & { \frac { L ^ { 3 } } { 3 D ^ { 2 } } - \frac { [ L - x ] ^ { 2 } L } { 2 D ^ { 2 } } + \frac { [ L - x ] ^ { 3 } } { 6 D ^ { 2 } } , } \\ { c _ { 1 } ( x ) } & { = } & { \frac { 2 L ^ { 2 } - [ L - x ] ^ { 2 } } { 2 \nu D } , \ c _ { 2 } ( x ) = \frac { 1 } { \nu } \left( 1 + \frac { L } { \nu } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \langle N _ { 1 } ( N \! + \! 1 ) \big \rangle } & { { } = \Big \langle N _ { 1 } ( N ) \times \frac { N _ { 1 } ( N ) } { N } \Big \rangle + \Big \langle \left( N _ { 1 } ( N ) + 1 \right) \times \Big ( 1 - \frac { N _ { 1 } ( N ) } { N } \Big ) \Big \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] \phi _ { 1 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 2 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 2 y ) } \\ { \phi _ { 3 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 3 y ) } \\ { \phi _ { 4 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 4 y ) } \\ { \phi _ { 5 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 6 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { \phi _ { 7 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( 3 y ) } \\ { \phi _ { 8 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( 4 y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta Y _ { n } | ^ { 2 } + ( 1 - A _ { 3 } ) \Delta t _ { n } | \Delta Z _ { n } | ^ { 2 } + } & { \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } ( 1 - A _ { 4 } ) \Delta t _ { n } | \Delta \Gamma _ { n } | ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + A _ { 5 } h ) \mathbb { E } _ { t _ { n } } { | \Delta Y _ { n + 1 } | ^ { 2 } } + A _ { 6 } h | \Delta X _ { n } | ^ { 2 } . } \end{array}
[ F _ { 1 } ] _ { x } ^ { \prime \prime } ( t , x ) - k ^ { 2 } [ F _ { 1 } ] ( t , x ) = - \frac { 1 } { 2 \sqrt { - \pi A _ { 2 } ( t ) } } e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 A _ { 2 } ( t ) } } .
{ \boldsymbol \tau _ { w } } = \nu \left. \frac { d { \bf U } } { d y } \right| _ { y = 0 } = \nu { \bf c } \left. \frac { d \mathrm { L o W } } { d y ^ { + } } \right| _ { y = 0 } \left. \frac { d y ^ { + } } { d y } \right| _ { y = 0 } = { \bf c } u _ { \tau } \, ,
d \psi = { \frac { \partial \psi } { \partial z } } d z + { \frac { \partial \psi } { \partial \overline { { z } } } } d \overline { { z } } = - { \frac { \omega _ { 0 } } { 4 } } \left[ \left( \overline { { z } } - S ( z ) \right) d z + \left( { z } - \overline { { S ( z ) } } \right) d \overline { { z } } \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { U _ { i } ( \sigma _ { i } , \bar { \sigma } , \theta _ { i } ) = } & { \int _ { \underline { { \theta } } } ^ { \overline { { \theta } } } f _ { i } ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , \bar { \sigma } ( \tilde { \theta } ) , \theta _ { i } ) \bar { p } ( \tilde { \theta } | \theta _ { i } ) d \tilde { \theta } } \\ { = } & { \int _ { \Theta _ { - i } } f _ { i } ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , H ( \sigma _ { i } ( \theta _ { i } ) , \sigma _ { - i } ( \theta _ { - i } ) ) , \theta _ { i } ) p _ { i } ( \theta _ { - i } | \theta _ { i } ) d \theta _ { - i } . } \end{array}
{ \cal A } _ { L L } ^ { j j } = { \frac { [ \Delta g \otimes \Delta g ] \Delta \sigma _ { g g } ^ { j j } + [ \Delta g \otimes \Delta q ] \Delta \sigma _ { g q } ^ { j j } + [ \Delta q \otimes \Delta q ] \Delta \sigma _ { q q } ^ { j j } + [ \Delta q \otimes \Delta \bar { q } ] \Delta \sigma _ { q \bar { q } } ^ { j j } + \ldots } { [ g \otimes g ] \sigma _ { g g } ^ { j j } + [ g \otimes q ] \sigma _ { g q } ^ { j j } + [ q \otimes q ] \sigma _ { q q } ^ { j j } + [ q \otimes \bar { q } ] \sigma _ { q \bar { q } } ^ { j j } + \ldots } } .
b ( \mathbf { x } ) = 0 . 5 \cdot e ^ { - 5 \, ( x + 0 . 1 ) ^ { 2 } - 5 0 y ^ { 2 } } , \qquad \eta ( \mathbf { x } , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l c } { 1 + \delta } & { \textnormal { i f } - 0 . 9 5 \leq x \leq - 0 . 8 5 } \\ { 1 } & { \textnormal { e l s e w h e r e } } \end{array} \right. .
{ \cal { L } } = - ( D _ { \mu } \phi ) ^ { \dagger } ( D ^ { \mu } \phi ) - \lambda \left( \phi ^ { \dagger } \phi - \frac { 1 } { 2 } f \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu }
\begin{array} { r l } { \hat { S } x _ { 1 } } & { = S x _ { 1 } + X R X ^ { T } J ^ { T } S x _ { 1 } = \lambda _ { 1 } x _ { 1 } - \lambda _ { 1 } X R X ^ { T } J x _ { 1 } = \lambda _ { 1 } x _ { 1 } - \lambda _ { 1 } X R \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { - 1 } \end{array} \right] } \\ & { = \lambda _ { 1 } ( 1 + r _ { 1 2 } ) x _ { 1 } = \lambda _ { 1 } \cdot ( 1 + \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } ( \mu - \lambda _ { 1 } ) ) x _ { 1 } = ( \lambda _ { 1 } + \mu - \lambda _ { 1 } ) x _ { 1 } = \mu x _ { 1 } } \end{array}
L _ { Y } ^ { ( d ) } = a _ { d } \left( \begin{array} { c c } { { \overline { { { u } } } _ { L } } } & { { \overline { { { d } } } _ { L } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \varphi ^ { + } } } \\ { { \varphi ^ { - } } } \end{array} \right) d _ { R } + h . c . \Rightarrow L _ { m } ^ { ( d ) } = m _ { d } \overline { { { d } } } d
\begin{array} { r l r } & { \textrm { N o n - p e n e t r a t i o n c o n d i t i o n : } \quad } & { \delta _ { \nu } \leq 0 , } \\ & { \textrm { C o m p r e s s i o n c o n d i t i o n : } \quad } & { \lambda _ { \nu } \geq 0 , } \\ & { \textrm { C o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n : } \quad } & { \lambda _ { \nu } \delta _ { \nu } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { S } ^ { c } \cap \mathcal { S } _ { \Delta x } } \left| g ( X ) ( \xi ) - g ( X _ { \Delta x } ) ( \xi ) \right| d \xi } & { \leq \sqrt { \mathrm { m e a s } \! \left( \mathcal { S } _ { \Delta x } \right) } \| g ( X ) - g ( X _ { \Delta x } ) \| _ { 2 } } \\ & { \leq \sqrt { F _ { \infty } } \| g ( X ) - g ( X _ { \Delta x } ) \| _ { 2 } , } \end{array}
R _ { j } ~ = ~ \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \sum _ { k } \phi _ { i } ( E _ { k } ) C _ { j } ( E _ { k } ) P _ { e e , i } ( E _ { k } , \Delta m ^ { 2 } , \theta ) ~ \equiv ~ \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } R _ { i j } ,