harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \eta ( J _ { \mathrm { L } } , J _ { \mathrm { R } } , \theta _ { \mathrm { L } } , \theta _ { \mathrm { R } } ) \equiv \frac { n _ { \mathrm { L } } - n _ { \mathrm { R } } } { n _ { \mathrm { L } } + n _ { \mathrm { R } } + n _ { \mathrm { E } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ G _ { s } ^ { \gamma } G _ { u } ^ { \gamma } \right] = \mathbb { E } \left[ \left( \mathfrak { F } \left( \frac { \gamma } { 2 } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \frac { \gamma } { 2 } , x } \right) - \mathfrak { F } \left( { \gamma } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \gamma , x } \right) \right) G _ { u } ^ { \gamma } \right] + ( \pi ^ { \gamma } - \pi ^ { \frac { \gamma } { 2 } } ) ( f ) \mathbb { E } [ G _ { u } ^ { \gamma } ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( \sum _ { i = 0 } ^ { m } B _ { i } t ^ { i } \right) \! ( t I _ { n } - A ) } & { = ( t I _ { n } - A ) \sum _ { i = 0 } ^ { m } B _ { i } t ^ { i } } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { m } B _ { i } t ^ { i + 1 } - \sum _ { i = 0 } ^ { m } B _ { i } A t ^ { i } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { m } B _ { i } t ^ { i + 1 } - \sum _ { i = 0 } ^ { m } A B _ { i } t ^ { i } } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { m } B _ { i } A t ^ { i } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { m } A B _ { i } t ^ { i } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { m ( X ) } & { = \sum _ { \pi \in \mathcal P _ { < } ( { \mathbf { f } } ) } \alpha _ { \pi } \prod _ { B \in \pi } \frac { 1 } { | \pi | ! } c ( X \mathbin { \upharpoonright } B ) . } \\ { m ( X ) } & { = \sum _ { \pi \in \mathcal P ( { \mathbf { f } } ) } \alpha _ { \pi } \prod _ { B \in \pi } c ( X \mathbin { \upharpoonright } B ) , } \end{array}
\frac { d \hat { \sigma } } { d v d w d z } ( q \bar { q } \rightarrow \gamma \gamma ) = \frac { 2 \pi \alpha _ { e m } ^ { 2 } } { 3 \hat { s } } e _ { q } ^ { 4 } \frac { 1 - 2 v + 2 v ^ { 2 } } { v ( 1 - v ) } \delta ( 1 - z ) \delta ( 1 - w )
r \cdot s = \sum _ { i = 1 } ^ { s } r = \underbrace { r + r + \cdots + r } _ { s { \mathrm { ~ t i m e s } } } = \sum _ { j = 1 } ^ { r } s = \underbrace { s + s + \cdots + s } _ { r { \mathrm { ~ t i m e s } } }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \| x ^ { \prime } ( t ) \| d t } & { \leqslant | ( \psi \circ \tilde { f } \circ \bar { x } ) ( 0 ) - ( \psi \circ \tilde { f } \circ \bar { x } ) ( \overline { { T } } ) | } \\ & { \leqslant \psi ( | ( \tilde { f } \circ \bar { x } ) ( 0 ) - ( \tilde { f } \circ \bar { x } ) ( \overline { { T } } ) | ) } \\ & { = \psi ( f ( x ( 0 ) ) - f ( x ( T ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { t } + f ( u ) _ { x } } & { { } = 0 } \\ { u ( x , 0 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l l } { u _ { l } , } & { \quad } & { x < 0 } \\ { u _ { r } , } & { } & { x > 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( t ) } & { \equiv \exp { \bigg ( - \int _ { 0 } ^ { t } \mu ( u ) d u \bigg ) } } \\ & { = \exp { \bigg ( - \int _ { 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( t , t _ { o n } ) } \mu ( u ) d u \bigg ) } \exp { \bigg ( - I ( t > t _ { o n } ) \int _ { t _ { o n } } ^ { \mathrm { m i n } ( t , t _ { e n d } ) } \mu ( u ) d u \bigg ) } \exp { \bigg ( - I ( t > t _ { e n d } ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { t } \mu ( u ) d u \bigg ) } } \\ & { = S _ { 1 } ( \mathrm { m i n } ( t , t _ { o n } ) ) S _ { 2 } ( \mathrm { m i n } ( t , t _ { e n d } ) ) S _ { 3 } ( t ) } \end{array}
\mathbf { X } _ { \mathcal { S } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } } = \mathbf { X } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } + \mathbf { X } _ { \mathcal { S } \cap \mathcal { D } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } \cap \mathcal { D } } \in \mathrm { c o l } ( \mathbf { X } _ { \mathcal { D } } )
\frac { \partial L _ { + } } { \partial \theta } = - \frac { 1 } { 1 + \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { + } ( \theta ) } } \frac { \partial \varepsilon _ { + } } { \partial \theta } \sim - \frac { 1 } { 1 + \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { 0 } } } \frac { \partial \varepsilon _ { + } } { \partial \theta } \quad \mathrm { f o r } \quad \theta \rightarrow - \infty
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { D ( q ) } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \bigl ( u _ { 1 } + u _ { 2 } k + u _ { 3 } k ^ { 2 } + u _ { 4 } \omega ^ { 3 k } + u _ { 5 } \omega ^ { 2 k } + u _ { 6 } \omega ^ { 4 k } \bigr ) q ^ { k } } \\ & { = 1 + q + 2 q ^ { 2 } + 3 q ^ { 3 } + 4 q ^ { 4 } + 5 q ^ { 5 } + 7 q ^ { 6 } + \dots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \Lambda } \ell ( S \Theta ; \lambda ) } & { = \frac { 2 ( \beta - 1 ) } { m } \sum _ { j \in [ m ] } \varphi ( \xi _ { 1 j } ) \varphi ( \xi _ { 1 j } ) ^ { \top } - \frac { 2 \beta } { m ( m - 1 ) } \sum _ { 1 \leq j \neq k \leq m } \varphi ( \xi _ { 1 j } ) \varphi ( \xi _ { 1 k } ) ^ { \top } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { 2 } \sum _ { j , k = 1 } ^ { m } \left\langle \Lambda , \varphi ( \xi _ { i j } ) \varphi ( \xi _ { i ^ { \prime } k } ) ^ { \top } \right\rangle \varphi ( \xi _ { i j } ) \varphi ( \xi _ { i ^ { \prime } k } ) ^ { \top } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| _ { 2 , \infty } } & { \leq \left\| { \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| _ { 2 , \infty } + \left\| { U ^ { * } U ^ { * T } \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| _ { 2 , \infty } \leq t + \left\| { U ^ { * } } \right\| _ { 2 , \infty } \left\| { U ^ { * T } \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| } \\ & { \leq t + \left\| { U ^ { * } } \right\| _ { 2 , \infty } \left\| { \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| \leq t + \left\| { U ^ { * } } \right\| _ { 2 , \infty } \leq t + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \d } { \d t } \mathcal E [ h ( t ) ] = } & { { } \dot { s } _ { + } ( t ) \frac 1 2 ( \partial _ { y } h ) ^ { 2 } | _ { y = s _ { + } } - \dot { s } _ { - } ( t ) \frac 1 2 ( \partial _ { y } h ) ^ { 2 } | _ { y = s _ { - } } + \int _ { s _ { - } ( t ) } ^ { s _ { + } ( t ) } \partial _ { y } h ( \partial _ { t } \partial _ { y } h ) \d y } \\ { = } & { { } - \dot { s } _ { + } ( t ) \big ( \frac 1 2 ( \partial _ { y } h ) ^ { 2 } - h \partial _ { y } ^ { 2 } h \big ) | _ { y = s _ { + } } + \dot { s } _ { - } ( t ) \big ( \frac 1 2 ( \partial _ { y } h ) ^ { 2 } - h \partial _ { y } ^ { 2 } h \big ) | _ { y = s _ { - } } } \end{array}
S _ { 1 } = - \int d ^ { 5 } \sigma \sqrt { - \mathrm { d e t } \, ( G _ { \mu \nu } + \cal F _ { \mu \nu } ) } + \int ( { \cal H } \wedge { \cal F } - \frac { 1 } { 2 } C _ { 1 } \wedge { \cal F } \wedge { \cal F } ) ,
S _ { \xi } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } | \xi | \hat { \phi } ^ { 2 } \tilde { R } - \frac { | \xi | } { \xi } \left( { \frac { 1 } { 2 } } { \cal D } _ { \mu } \hat { \phi } { \cal D } ^ { \mu } \hat { \phi } + V ( \hat { \phi } ) \right) - { \frac { 1 } { 4 } } H _ { \mu \nu } H ^ { \mu \nu } \right] ,
\begin{array} { r } { { \sigma _ { n _ { 1 } } ^ { 2 } } = E [ { \mathbf { n _ { 1 } } } { \mathbf { n _ { 1 } } } ^ { H } ] = \alpha ^ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { H } + \mathbf { W } _ { S } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } \mathbf { W } _ { S } ^ { H } . } \end{array}
\hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \to \; e ^ { i \alpha } \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; \; , \; \; \; \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \to \; e ^ { - i \alpha } \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\left( N _ { \mathrm { S S B } } \right) _ { \mathrm { V A } } ( \alpha ) = \frac { 6 } { \pi } \left[ 2 \alpha \left( 1 - 2 ^ { 1 - \alpha } \right) \Gamma ( 1 + \alpha ) \zeta ( \alpha ) \right] ^ { 1 / \alpha } .
\frac { a _ { \mathrm { l r } } } { 2 } C _ { 1 } x ^ { 2 } - d \log ( C _ { 1 } x ^ { 2 } ) \geq \left( \frac { a _ { \mathrm { l r } } } { 2 } C _ { 1 } - 2 d \sqrt { C _ { 1 } } \right) x .
\begin{array} { r } { \rVert g _ { j } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \chi _ { j } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert g _ { j } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \chi _ { j } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { s } \varepsilon ^ { b + 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \end{array}
\nu _ { w _ { V _ { 0 } } , w _ { B _ { 0 } } , w _ { B _ { 1 } } } ( a , b ) = 1 0 0 \sqrt { \sum _ { Y = V _ { 0 } , B _ { 0 } , B _ { 1 } } \left[ w _ { Y } \cdot \frac { Y _ { a } - Y _ { b } } { ( Y _ { a } + Y _ { b } ) / 2 } \right] ^ { 2 } } ,
{ \bar { \delta } } { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } = { \bar { \delta } } { \frac { \partial \varphi ^ { A } } { \partial x ^ { \sigma } } } = { \frac { \partial } { \partial x ^ { \sigma } } } ( { \bar { \delta } } \varphi ^ { A } ) \, .
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } ( Y ) = } & { { } \bigg [ \Lambda _ { M _ { 1 } } + \Lambda _ { L _ { 0 } } \log { ( 1 + Y ) } \bigg ] \frac { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } { Y } , } \\ { L _ { 1 } ( Y ) = } & { { } \bigg [ \Lambda _ { L _ { 1 } } + \frac { \Lambda _ { M _ { 1 } } } { 2 } \log { ( 1 + Y ) } + \frac { \Lambda _ { L _ { 0 } } } { Y ^ { 2 } } + \frac { \Lambda _ { L _ { 0 } } } { 4 } \log ^ { 2 } { ( 1 + Y ) } \bigg ] \frac { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } { Y } , } \end{array}
M _ { p l } ^ { 2 } = { M _ { X } ^ { 3 } } \left( { \frac { k _ { 0 } } { \displaystyle { k _ { 0 } ^ { 2 } - ( k _ { 1 } - k _ { c } ) ^ { 2 } } } } e ^ { - 2 \sigma ( y _ { 0 } ) } + { \frac { k _ { 1 } } { \displaystyle { k _ { 1 } ^ { 2 } - ( k _ { 0 } + k _ { c } ) ^ { 2 } } } } e ^ { - 2 \sigma ( y _ { 1 } ) } \right) ~ . ~ \,
\begin{array} { r l } { \pi _ { N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } , N _ { 4 } } ( F ) } & { = h + N _ { 1 } \# \{ \textrm { n o - } S _ { - } \textrm { n o n - c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} } \\ & { + N _ { 2 } \# \{ \textrm { c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} + N _ { 3 } \# \{ S _ { + } \textrm { i n t e r v a l s } \} } \\ & { + N _ { 4 } \# \{ S _ { + } \textrm { c i r c l e s } \} } \end{array}
\mu ^ { A } = \left( X ^ { A \dot { B } } + i \Theta ^ { A } \bar { \Theta } ^ { \dot { B } } \right) \bar { \lambda } { } _ { { \dot { B } } } + 2 z ^ { A B } \lambda ^ { B } + i \Theta _ { A } ( \Theta ^ { B } \lambda _ { B } ) ,
\overline { { { C } } } _ { 1 } ( \widetilde { X } ) \chi ^ { 3 } + \overline { { { C } } } _ { 2 } ( \widetilde { X } ) \chi ^ { 2 } + \overline { { { C } } } _ { 3 } ( \widetilde { X } ) \chi + \overline { { { C } } } _ { 4 } ( \widetilde { X }
\hat { H } _ { \mathrm { B P } } = \hat { H } _ { \mathrm { m v } } + \hat { H } _ { \mathrm { D 1 } } + \hat { H } _ { \mathrm { D 2 } } + \hat { H } _ { \mathrm { o o } } + \hat { H } _ { \mathrm { s s c } } ,
\frac { { \cal F } } { N } = \frac { m ^ { 2 } } { 2 N g ^ { 2 } } - \int \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } \left[ \epsilon ( k ) + \frac { 2 } { \beta } \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { - \beta \epsilon ( k ) } \right) \right] \ .
{ \ddot { u } } = { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } } \quad \quad \nabla = \left( { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } , { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } , \ldots , { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } } \right) \quad \quad \nabla ^ { 2 } = { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } }
t \mapsto \prod _ { k = 3 } ^ { \infty } \exp \Bigl ( \frac { \alpha ^ { k } } { k 2 ^ { k + 1 } } \int _ { \mathbb R ^ { k } } \Bigl ( e ^ { i t \ln \bigl ( 1 + \prod _ { i \leq k } \operatorname { t a n h } ( \beta x _ { i } ) \bigr ) } - 1 - i t \prod _ { i \leq k } \operatorname { t a n h } ( \beta x _ { i } ) \Bigr ) \frac { 1 } { \prod _ { i \leq k } | x _ { i } | ^ { 1 + \alpha } } d x _ { 1 } \dots d x _ { k } \Bigr ) .
i \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } V _ { c } \varphi _ { e } e ^ { i \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } b ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } = - \frac { V _ { c } ( t = 0 ) } { \Delta _ { 3 1 } } \cos { \theta _ { 1 3 } } - \frac { 1 } { \Delta _ { 3 1 } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { i \Delta _ { 3 1 } t ^ { \prime } } \frac { d } { d t ^ { \prime } } \left[ V _ { c } ( t ^ { \prime } ) \varphi _ { e } ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \epsilon ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } \right]
\boldsymbol { \pi } _ { * } \mu _ { \mathtt { C } } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \mathrm { d } \wp ^ { \mathrm { 1 D } } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left\{ 2 \pi p _ { \mathbb { S } ^ { 1 } } ( t , 1 , 1 ) \right\} \frac { p _ { \mathbb { R } ^ { + } } ( t , x , x ) } { t } \mathbb { P } _ { \mathbb { R } ^ { + } } ^ { t , x , x } ( \mathrm { d } \wp ^ { \mathrm { 1 D } } ) ,
\hat { \hat { T } } _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } = - \left( i _ { \hat { \hat { k } } _ { ( n ) } } \hat { \hat { C } } \right) _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } Q ^ { n m } \hat { \hat { k } } _ { ( m ) } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } \, .
\hat { F } _ { e p } = \frac { \omega _ { m } } { 2 \pi } \int _ { - \frac { \pi } { \omega _ { m } } } ^ { \frac { \pi } { \omega _ { m } } } m _ { i } \, \frac { 2 \, l ^ { 2 } - \left( 2 \, l \cos { \alpha _ { 0 } } - d v _ { b } \, \cos ( \omega _ { m } \, t ) \right) ^ { 2 } } { 4 \, l ^ { 2 } - { \left( 2 \, l \cos { \alpha _ { 0 } } - d v _ { b } \, \cos ( \omega _ { m } \, t ) \right) } ^ { 2 } } \, d v _ { b } \, \omega _ { m } ^ { 2 } \, \cos ( \omega _ { m } \, t ) \, e ^ { - i p \omega _ { m } t } d t .
\begin{array} { r l } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { 0 } ( r , \phi , z ) = } & { { } - 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n + 1 } \Psi _ { n } ^ { 1 } ( r , \phi , z ) } \end{array}
{ \cal H } ^ { ( 0 ) } = - \frac { 2 \kappa } { \sqrt { - \gamma } } \frac { \delta I ^ { ( 0 ) } } { \delta \gamma _ { \mu \nu } } \frac { \delta I ^ { ( 0 ) } } { \delta \gamma _ { \lambda \rho } } \left( \gamma _ { \mu \rho } \gamma _ { \nu \lambda } - \frac { 1 } { d - 1 } \gamma _ { \mu \nu } \gamma _ { \lambda \rho } \right) + \frac { \sqrt { - \gamma } } { \kappa } \Lambda = 0 ,
\left( \begin{array} { c c } & { \alpha _ { \lambda } ( \theta , \varphi ) } \\ & { \beta _ { \lambda } ( \theta , \varphi ) } \end{array} \right) = \frac 1 { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { \ell \in \mathbb { Z } } e ^ { i ( \ell + \frac 1 2 ) \phi } \left( \begin{array} { c c } & { \alpha _ { \lambda \ell } ( \theta ) } \\ & { \beta _ { \lambda \ell } ( \theta ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { q ( \tilde { f } , g ) - q ( \tilde { f } ^ { \prime } , g ^ { \prime } ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( q ( f ( \xi _ { j } ) \chi _ { j } , g ) - q ( f ^ { \prime } ( \xi _ { j } ) \chi _ { j } , g ^ { \prime } ) ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } q ( \chi _ { j } , f ( \xi _ { j } ) g - f ^ { \prime } ( \xi _ { j } ) g ^ { \prime } ) } \\ & { \geq \sum _ { j = 1 } ^ { N } q ( \chi _ { j } , f g - f ^ { \prime } g ^ { \prime } ) - \varepsilon q ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \chi _ { j } , | g | + | g | ^ { \prime } ) } \\ & { \geq - \varepsilon I ( | g | + | g ^ { \prime } | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathcal { M } _ { 3 } P _ { \neq } [ ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ( a ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) P _ { \neq } ( ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) ) ) ] \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \epsilon \left\| \mathcal { M } _ { 3 } \big ( ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } + \partial _ { z } ^ { 2 } \big ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) \right\| _ { 2 } + \epsilon \langle t \rangle ^ { 4 } \| P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } } \\ & { \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) P _ { \neq } [ ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ( a ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) ) ] \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \epsilon \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) \big ( ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } + \partial _ { z } ^ { 2 } \big ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) \right\| _ { L ^ { 2 } } + \langle t \rangle ^ { 4 } \| P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } \mathcal { C K } _ { a } ^ { \frac 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { n } \log \Big ( \frac { Z _ { n , \beta _ { n } } } { n ! } \Big ) } & { = } & { \frac { 1 } { n } \log \Big ( \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \kappa \in S _ { n } } e ^ { - \beta _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \kappa ( i ) - i | } \Big ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n } \log { \mathbb { E } [ e ^ { - n ^ { 2 } \beta _ { n } F ( \nu _ { n , \tau } ) } ] } . } \end{array}
\tilde { \mathbf { u } } _ { a } ( \tilde { \mathbf { x } } , \tilde { t } ) = \frac { 1 } { \tilde { D } + \varepsilon \tilde { \eta } } \int _ { - \tilde { D } } ^ { \varepsilon \tilde { \eta } } \tilde { \mathbf { u } } ~ d \tilde { z } \ ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { T } _ { i s } = } & { \sum _ { \alpha , \beta , \gamma , q _ { i } , q _ { s } } e _ { i , q _ { i } } e _ { s , q _ { s } } } \\ & { \times \int d \vec { r } \: \chi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 2 ) } ( \vec { r } ) \: E _ { p , \gamma } ( \vec { r } ) G _ { q _ { i } \alpha } ( \vec { r } _ { i } , \vec { r } , \omega _ { i } ) G _ { q _ { s } \beta } ( \vec { r } _ { s } , \vec { r } , \omega _ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { v } } & { { } = ( \hat { a } _ { e } , \hat { a } _ { e } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { o } , \hat { a } _ { o } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { t } , \hat { a } _ { t } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { \mathrm { t m } } , \hat { a } _ { \mathrm { t m } } ^ { \dagger } ) ^ { \top } , } \\ { \boldsymbol { f } _ { \mathrm { i n } } } & { { } = ( \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { 0 } } , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { 0 } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } , \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } , \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { t , \mathrm { v a c } } , \delta \hat { a } _ { t , \mathrm { v a c } } ^ { \dagger } , \delta \hat { a } _ { \mathrm { t m , v a c } } , \delta \hat { a } _ { \mathrm { t m , v a c } } ^ { \dagger } ) ^ { \top } , } \end{array}
R ( t = 2 0 \tau _ { S } ) = { \frac { 1 } { 2 } } | \eta | ^ { 2 } e ^ { - \gamma _ { L } t } \enspace , \quad \gamma _ { L } / \gamma _ { S } \approx 1 . 7 2 \times 1 0 ^ { - 3 } \ .
\mathcal { M } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { g ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { g ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { g ^ { 2 } } } & { { g g ^ { \prime } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { g g ^ { \prime } } } & { { g ^ { \prime 2 } } } \end{array} \right) \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 4 } \; ,
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( x ) } & { { } = x ^ { 2 } + s x + { \frac { c } { 2 } } + { \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { d } { 2 s } } } \\ { F _ { 2 } ( x ) } & { { } = x ^ { 2 } - s x + { \frac { c } { 2 } } + { \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { d } { 2 s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { j } ( t ) } & { = \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } M _ { j j \prime } q _ { j \prime } ( t ) , } \\ { M _ { j j \prime } } & { = - \left[ D k _ { j } ^ { 2 } + i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { j } + \chi \right] \delta _ { j j \prime } - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { j } B _ { j } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { j \prime } + i \Theta _ { j \prime } ) . } \end{array}
[ \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } - ( \frac { 3 { \ddot { a } } } { 2 a } + \frac { 3 { \dot { a } } ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } ) + \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + ( M ^ { 2 } + \xi { \cal R } ) ] f _ { k } ( t , t ^ { \prime } ) = \delta ( t - t ^ { \prime } ) .
\frac { \lambda ^ { 1 } } { N ^ { 2 } } \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } T r _ { p } [ ( - \Sigma _ { \phi } ^ { ( 1 ) } ( p ) N ^ { 2 / 3 } ) ^ { n } ( N + 1 / N ) ^ { n } ] .
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ f _ { \mathrm { l a } } ^ { \wedge } \left( { \tilde { C } } _ { t , T , i } ^ { \prime } , h _ { T } ^ { E } \right) : = \varphi \operatorname { T r } _ { s } \left( \frac { N ^ { Z } } { 2 } f ^ { \prime } \left( { \tilde { D } } _ { t , T , i } \right) \right) - \frac { \chi ^ { \prime } ( Z _ { i } , F _ { i } ) } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { m } ^ { E } ( F ) ( x ) } & { = T _ { m } ^ { E } S ( \widehat { \mathsf { A } } ) ( x ) = \widehat { \mathsf { A } } ( T _ { m , x } ^ { \mathbb { K } } ) = \frac { 1 } { \nu _ { j , j } ( x ) } \widehat { \mathsf { A } } ( T _ { m , x } ^ { \mathbb { K } } ( \cdot ) \nu _ { j , j } ( x ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { \nu _ { j , j } ( x ) } \widehat { \mathsf { A } } ( T _ { j , x } ^ { \mathbb { K } } ( \cdot ) \nu _ { j , j } ( x ) ) = f ( j , x ) = f ( m , x ) } \end{array}
{ \cal H } ( \nu ; z ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle { \cal F } \left( 1 - \nu ; \frac { 1 } { z } \right) { } - \frac { \pi } { 2 } b } } & { { = \displaystyle { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { z ^ { - n - 1 + \nu } } { n + 1 - \nu } } { } - \frac { \pi } { 2 } b } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ | z | ~ > ~ 1 ~ } } } \\ { { \displaystyle { \cal F } \left( \nu ; z \right) \; \; \; \; + \frac { \pi } { 2 } b } } & { { = \displaystyle { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n + \nu } } { n + \nu } } \; \; + \frac { \pi } { 2 } b } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ | z | ~ < 1 ~ } \; \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } , ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega _ { L } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { ~ T ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { w } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x _ { 2 } , } \end{array}
\nabla \mathbf { { u } } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } & { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } \\ { \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } & { \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \dot { \gamma } } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { m u l t i , S D E } } ( \theta ) = \: } & { \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { S D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { x } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { S D E } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { S D E } } ) - g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { S D E , B } } , t ) d t + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } g ( t ) d w . } \end{array}