harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { N } } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = } & { [ \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \partial _ { z } \mathbf { N } _ { h , \pm } + k _ { \pm } ^ { 2 } N _ { R z , + } ] \cos \psi _ { \pm } , } \\ { \hat { \mathcal { F } } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = } & { [ k _ { \pm } ^ { 2 } N _ { F 1 , \pm } - N _ { F 2 , \pm } + N _ { F 3 , \pm + } - N _ { F 4 , \pm } - ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { k } _ { \pm } - \omega _ { \pm } ) \mathbf { k } _ { \pm } \cdot N _ { h , + } ] \sin \psi _ { \pm } , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ a ~ u ~ x ~ } } : = \sum _ { i j \sigma \sigma ^ { \prime } } \left( \chi _ { i j } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma ^ { \prime } } + \Delta _ { i j } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \frac { I _ { [ t + \varepsilon , \infty ) } ^ { f } ( n ) ( c _ { i } ) } { I _ { [ t , t + \varepsilon ] } ^ { f } ( n ) ( c _ { i } ) } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \frac { \frac { n ^ { n } e ^ { - n } f _ { 1 } } { \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + 1 - c m } e ^ { ( t + \varepsilon ) ( c _ { i } m - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } - 1 ) + c _ { i } M } } { f _ { 2 } \left( t + \frac { \varepsilon } { 2 } \right) \frac { 2 } { c _ { i } ^ { 2 } } \left( e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \left( t + \frac { \varepsilon } { 2 } \right) + c _ { i } b _ { 1 } } - e ^ { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 } ( t + \varepsilon ) + c _ { i } b _ { 1 } } \right) } = 0 } \end{array}
{ \cal M } = m _ { 0 } \left[ \begin{array} { c c } { { 2 \sin \alpha \sin \alpha ^ { \prime } } } & { { \sin ( \alpha + \alpha ^ { \prime } ) } } \\ { { \sin ( \alpha + \alpha ^ { \prime } ) } } & { { 2 \cos \alpha \cos \alpha ^ { \prime } } } \end{array} \right] ,
{ \cal H } = \sum _ { \kappa } ^ { } \varepsilon _ { \kappa } ( \overline { { { \Psi } } } _ { \kappa , 1 } { \Psi } _ { \kappa , 1 } + \overline { { { \Psi } } } _ { \kappa , 2 } { \Psi } _ { \kappa , 2 } ) ,
P ^ { 0 } = E = \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } { \phi _ { 0 } } ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { 1 } { 2 } F _ { i j } ^ { 2 } + \vert D _ { i } \phi \vert ^ { 2 } + \frac { e ^ { 2 } } { 4 } ( \vert \phi \vert ^ { 2 } - { \phi _ { 0 } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right]
\frac { \partial { \bf H } } { \partial t } = \mathrm { r o t } { \bf [ u \times H ] } + \nu _ { m } \Delta { \bf H } - \frac { \nu _ { m } } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \bf H } } { \partial t ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \dim _ { \mathbf { k } } \mathrm { P } _ { i } V ^ { [ j ] } \cap \mathrm { P } _ { j } ^ { \prime } V ^ { [ j ] } } & { = \dim _ { \mathbf { k } } \mathrm { P } _ { i - 1 } V ^ { [ j + 1 ] } \cap \mathrm { P } _ { j + 1 } ^ { \prime } V ^ { [ j + 1 ] } - \dim _ { \mathbf { k } } \mathrm { P } _ { i - 1 } V ^ { [ j + 1 ] } + \dim _ { \mathbf { k } } \mathrm { P } _ { j } ^ { \prime } V ^ { [ j ] } } \\ & { = \dim _ { \mathbf { k } } \mathrm { P } _ { j + 1 } V ^ { [ i - 1 ] } \cap \mathrm { P } _ { i - 1 } ^ { \prime } V ^ { [ i - 1 ] } - \dim _ { \mathbf { k } } \mathrm { P } _ { i - 1 } ^ { \prime } V ^ { [ i - 1 ] } + \dim _ { \mathbf { k } } \mathrm { P } _ { j } V ^ { [ i ] } } \\ & { = \dim _ { \mathbf { k } } \mathrm { P } _ { j } V ^ { [ i ] } \cap \mathrm { P } _ { i } ^ { \prime } V ^ { [ i ] } . } \end{array}
\frac { \delta { \cal W } } { \delta \psi ^ { \alpha } } = \frac { \delta \Gamma } { \delta \psi ^ { \alpha } } \, , \; \; \; \frac { \delta { \cal W } } { \delta \phi _ { A a } ^ { * } } = \frac { \delta \Gamma } { \delta \phi _ { A a } ^ { * } } \, , \; \; \; \frac { \delta { \cal W } } { \delta \bar { \phi } _ { A } } = \frac { \delta \Gamma } { \delta \bar { \phi } _ { A } } \, ,
\footnotesize \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l l } { \beta _ { 1 } ^ { ( L ) } N _ { 1 } ^ { ( L ) } \chi ^ { ( L ) } } & { \beta _ { 2 } ^ { ( L ) } N _ { 2 } ^ { ( L ) } \chi ^ { ( L ) } } & { \beta _ { 1 } ^ { ( R ) } N _ { 1 } ^ { ( R ) } \chi ^ { ( R ) } } & { \beta _ { 2 } ^ { ( R ) } N _ { 2 } ^ { ( R ) } \chi ^ { ( R ) } } \\ { N _ { 1 } ^ { ( L ) } \Sigma _ { 1 } ^ { ( L ) } } & { N _ { 2 } ^ { ( L ) } \Sigma _ { 2 } ^ { ( L ) } } & { - N _ { 1 } ^ { ( R ) } \Sigma _ { 1 } ^ { ( R ) } } & { - N _ { 2 } ^ { ( R ) } \Sigma _ { 2 } ^ { ( R ) } } \\ { - N _ { 1 } ^ { ( L ) } ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( L ) } ) } & { - N _ { 2 } ^ { ( L ) } ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( L ) } ) } & { N _ { 1 } ^ { ( R ) } ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( R ) } ) } & { N _ { 2 } ^ { ( R ) } ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( R ) } ) } \\ { \beta _ { 1 } ^ { ( L ) } N _ { 1 } ^ { ( L ) } ( \Sigma _ { 1 } ^ { ( L ) } + k _ { z } ^ { 2 } ) } & { \beta _ { 2 } ^ { ( L ) } N _ { 2 } ^ { ( L ) } ( \Sigma _ { 2 } ^ { ( L ) } + k _ { z } ^ { 2 } ) } & { \beta _ { 1 } ^ { ( R ) } N _ { 1 } ^ { ( R ) } ( \Sigma _ { 1 } ^ { ( R ) } + k _ { z } ^ { 2 } ) } & { \beta _ { 2 } ^ { ( R ) } N _ { 2 } ^ { ( R ) } ( \Sigma _ { 2 } ^ { ( R ) } + k _ { z } ^ { 2 } ) } \end{array} \right) = 0 ,
H _ { 0 } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \omega _ { n } \sigma _ { n } ^ { + } \sigma _ { n } ^ { - } - J \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \left( \sigma _ { n + 1 } ^ { + } \sigma _ { n } ^ { - } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right)
{ \cal { M } } _ { l } = \left( \begin{array} { c c } { { f _ { 3 } ( - v _ { \mu } ^ { \prime } s _ { 2 } s _ { 3 } + c _ { 2 } v _ { 1 } ^ { \prime } ) } } & { { f _ { 2 } ( s _ { 2 } v _ { 1 } ^ { \prime } + c _ { 2 } s _ { 3 } v _ { \mu } ^ { \prime } ) } } \\ { { f _ { 3 } ( - c _ { 3 } s _ { 2 } v _ { 1 } ^ { \prime } + s _ { 2 } s _ { 3 } v _ { \tau } ^ { \prime } ) } } & { { f _ { 2 } ( c _ { 2 } c _ { 3 } v _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 2 } s _ { 3 } v _ { \tau } ^ { \prime } ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \hat { p } _ { y _ { 2 } } \psi _ { 2 } = - i \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial y _ { 2 } } = \left[ - i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } } \frac { 1 } { b ^ { 2 } } + \frac { m } { w _ { 2 } } \frac { \dot { b } } { b ^ { 2 } } y _ { 2 } \psi _ { 1 } \right] e ^ { \frac { i } { 2 } \frac { m } { w _ { 2 } } \frac { \dot { b } } { b } ( x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) } e ^ { - i l _ { 2 } \int \omega _ { 2 } d t _ { 2 } + i l _ { 1 } \int \omega _ { 1 } d t _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi ( \bar { t } - s , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) } \\ & { = \psi ( \bar { t } - s , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) . } \end{array}
\vec { G } = \left( \begin{array} { l l } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 1 } } & { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \\ { \vec { a } _ { 2 } \cdot \vec { a } _ { 1 } } & { \vec { a } _ { 2 } \cdot \vec { a } _ { 2 } } \end{array} \right) \, , \quad \vec { G } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \vec { a } ^ { 1 } \cdot \vec { a } ^ { 1 } } & { \vec { a } ^ { 1 } \cdot \vec { a } ^ { 2 } } \\ { \vec { a } ^ { 2 } \cdot \vec { a } ^ { 1 } } & { \vec { a } ^ { 2 } \cdot \vec { a } ^ { 2 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l r } { ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } \sigma _ { n } ^ { - 2 } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { } & { - \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \{ P _ { n } \phi _ { j } ^ { * } \sigma _ { n } ^ { - 2 } ( Y - Q _ { n } ) \} \phi _ { j , 0 } ^ { * } ( x ) + R _ { 1 , n } ( x ) . } \end{array}
M _ { \alpha \beta } ^ { \mu q } ( \hat { t } ) = - \frac { e ^ { 2 } Q _ { q } } { \hat { t } } + \frac { e ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { w } } \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { w } } } \frac { g _ { \alpha } ^ { \mu } g _ { \beta } ^ { q } } { \hat { t } - m _ { Z } ^ { 2 } } \; , \qquad \alpha , \beta = L , R \; .
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { B l o c h } \rangle } & { = } & { | \theta , \phi \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
z _ { \tau } ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) = ( \sqrt { { \frac { g } { \gamma } } } l ^ { \mu } + g _ { \tau { \check { r } } } \gamma ^ { { \check { r } } { \check { s } } } z _ { \check { s } } ^ { \mu } ) ( \tau , \vec { \sigma } ) ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } \sigma _ { x , \lambda } ( \boldsymbol { x } ) \sigma _ { t , \lambda } ( t ) \mathrm { d } \mu ( \boldsymbol { x } , t ) = \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } \gamma _ { x } ( \boldsymbol { x } ) \gamma _ { t } ( t ) \mathrm { d } \mu ( \boldsymbol { x } , t ) } \\ & { = \mu ( H _ { k , b } ) + \sigma ( \theta _ { x } ) \mu ( \Pi _ { k , b } ^ { x } ) + \sigma ( \theta _ { t } ) \mu ( \Pi _ { k , b } ^ { t } ) + \sigma ( \theta _ { x } ) \sigma ( \theta _ { t } ) \mu ( I _ { k , b } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { \mathrm { ~ o ~ x ~ } } } & { { } \propto } & { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \lambda k _ { \mathrm { B } } T } } \int \exp \left( { \frac { - ( \epsilon + \eta + \lambda ) ^ { 2 } } { 4 \lambda k _ { \mathrm { B } } T } } \right) f ( \epsilon , T ) \mathcal { D } ( \epsilon + e V _ { \mathrm { ~ q ~ } } ) \mathrm { ~ d ~ } \epsilon , } \\ { k _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ d ~ } } } & { { } \propto } & { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \lambda k _ { \mathrm { B } } T } } \int \exp \left( { \frac { - ( \epsilon + \eta - \lambda ) ^ { 2 } } { 4 \lambda k _ { \mathrm { B } } T } } \right) \big ( 1 - f ( \epsilon , T ) \big ) \mathcal { D } ( \epsilon + e V _ { \mathrm { ~ q ~ } } ) \mathrm { ~ d ~ } \epsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu \left( \left( a , X ^ { P } \right) \in \Gamma \right) } & { = \int _ { A _ { T } \times W _ { T } \times \mathbf { R } ^ { d } } \mathbb { I } _ { a \in \Gamma _ { 1 } } \mathbb { I } _ { X ^ { P } ( a , w , x ) \in \Gamma _ { 2 } } \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) \mu _ { B } \left( \mathrm { d } w \right) \mu _ { \xi } \left( \mathrm { d } x \right) } \\ & { = \int _ { a \in \Gamma _ { 1 } } \mu \left( X ^ { P } ( a , B , \xi ) \in \Gamma _ { 2 } | \sigma ( a ) \right) \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) } \\ & { = \int _ { a \in \Gamma _ { 1 } } \Tilde { \mu } \left( X ^ { P } \left( a , \Tilde { B } , \Tilde { \xi } \right) \in \Gamma _ { 2 } \right) \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) } \\ & { = \int _ { a \in \Gamma _ { 1 } } \left( P | a \right) _ { T } ( \Gamma _ { 2 } ) \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { N _ { 0 } , N _ { 1 } } \left( \frac { N _ { 0 } } { N _ { 1 } } \right) ^ { s } } & { \left( \sum _ { L _ { 0 } } c _ { 0 } ^ { 2 } ( L _ { 0 } , N _ { 0 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { L _ { 1 } } c _ { 1 } ^ { 2 } ( L _ { 1 } , N _ { 1 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \sum _ { \gamma \geqslant \gamma _ { 0 } } 2 ^ { - s \gamma } \sum _ { N _ { 0 } } \left( \sum _ { L _ { 0 } } c _ { 0 } ^ { 2 } ( L _ { 0 } , N _ { 0 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { L _ { 1 } } c _ { 1 } ^ { 2 } ( L _ { 1 } , 2 ^ { \gamma } N _ { 0 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { \gamma \geqslant \gamma _ { 0 } } 2 ^ { - s \gamma } \left( \sum _ { L _ { 0 } , N _ { 0 } } c _ { 0 } ^ { 2 } ( L _ { 0 } , N _ { 0 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { L _ { 1 } , N _ { 0 } } c _ { 1 } ^ { 2 } ( L _ { 1 } , 2 ^ { \gamma } N _ { 0 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \lesssim \Vert u _ { 0 , n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { - s , b } } \Vert u _ { 1 , n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E \left[ \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \xrightarrow { P } 0 , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E \left[ \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \xrightarrow { P } 0 , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E \left[ \xi _ { k } ^ { i _ { 1 } } ( \theta _ { 0 } ) \xi _ { k } ^ { i _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \xrightarrow { P } 4 I _ { b } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E \left[ \eta _ { k } ^ { j _ { 1 } } ( \theta _ { 0 } ) \eta _ { k } ^ { j _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \xrightarrow { P } 4 I _ { \sigma } ^ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E \left[ \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \xrightarrow { P } 0 , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E \left[ ( \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) ) ^ { 4 } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \xrightarrow { P } 0 , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E \left[ ( \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) ) ^ { 4 } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \xrightarrow { P } 0 . } \end{array}
\mathscr { D } ( { \mathbf { X } } ) d ^ { 3 } X = \mathscr { D } ^ { \xi } ( { \mathbf { x } } ) d ^ { 3 } X = \mathscr { D } ^ { \xi } ( { \mathbf { x } } ) \mathscr { J } d ^ { 3 } x = : { D } d ^ { 3 } x \, ,
\begin{array} { r l } & { \langle ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } ) \mathring { A } _ { 2 } \rangle } \\ { = \ } & { - \langle \underline { { W G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } } } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle + \langle G _ { 1 } - M _ { 1 } \rangle \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle } \\ & { + \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] \rangle + \langle \mathcal { S } [ G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } ] ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle } \\ & { + \sum _ { \sigma } \frac { \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \sigma } \, c _ { \sigma } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) } { 1 - \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \sigma } \, c _ { \sigma } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] M _ { 1 } ) } \bigg [ - \langle \underline { { W G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } } } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle } \\ & { + \langle G _ { 1 } - M _ { 1 } \rangle \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle + \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] \rangle } \\ & { + \langle \mathcal { S } [ G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } ] ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle } \\ & { - \langle \mathring { A } _ { 1 } ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) E _ { \sigma } \rangle + c _ { \sigma } ( \Phi _ { \sigma } ) \langle ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M _ { 1 2 } ^ { \mathring { A } _ { 1 } } ) E _ { \sigma } \rangle \bigg ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigg ( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } + U _ { \mu } ( \rho ) - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } Q _ { \mu \mu } ( \rho ) \Bigg ) F _ { n \mu } ( \rho ) } & { { } } \\ { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \Bigg ( \sum _ { \nu \neq \mu } 2 P _ { \mu \nu } ( \rho ) \frac { \partial } { \partial \rho } + Q _ { \mu \nu } ( \rho ) \Bigg ) F _ { n \nu } ( \rho ) } & { { } = E _ { n } F _ { n \mu } ( \rho ) , } \end{array}
\left( \frac { x _ { \mathrm { b j } } } { x _ { 0 } } \right) ^ { 2 \lambda } \frac { 1 } { A ^ { \gamma } } \frac { 1 } { A } F _ { 2 } ^ { A } ( x _ { \mathrm { b j } } , Q ^ { 2 } ) = F _ { 2 } ^ { p } \left( x _ { 0 } , \left( \frac { x _ { \mathrm { b j } } } { x _ { 0 } } \right) ^ { 2 \lambda } \frac { Q ^ { 2 } } { A ^ { \delta } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } H ( x ( t ) ) } & { = ( \nabla H ( x ) ) ^ { \top } \dot { x } = - ( \nabla H ( x ) ) ^ { \top } R \nabla H ( x ) \le 0 } \\ { \Rightarrow H ( x ( t ) ) } & { = H ( x _ { 0 } ) - \int _ { 0 } ^ { t } ( \nabla H ( x ( \tau ) ) ) ^ { \top } R \nabla H ( x ( \tau ) ) \, \mathrm { d } \tau \le H ( x _ { 0 } ) . } \end{array}
\hat { \hat { V } } = V - 2 \left[ l n \left\{ ( I _ { 0 } + \lambda ) { [ ( E _ { 1 } - E _ { 0 } ) ^ { 2 } I _ { 1 } - \frac { W ^ { 2 } ( r ) } { I _ { 0 } + \lambda } + \lambda _ { 1 } ] } \right\} \right] ^ { \prime \prime } .
\begin{array} { r } { \sigma ^ { \pm } = \sigma _ { 0 } ^ { \pm } + \frac { 1 } { 2 } \Delta \sigma ^ { \pm } \left( 1 + \frac { \ln { \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \cosh \frac { L + 2 s } { L _ { \mathrm { s } } } \aftergroup \egroup \right) } - \ln { \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \cosh \frac { L - 2 s } { L _ { \mathrm { s } } } \aftergroup \egroup \right) } } { \ln { \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \cosh \frac { 5 L } { L _ { \mathrm { s } } } \aftergroup \egroup \right) } - \ln { \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \cosh \frac { 3 L } { L _ { \mathrm { s } } } \aftergroup \egroup \right) } } \right) ~ , } \end{array}
{ \cal H } = \int d ^ { d } x \Bigl [ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i } ( \partial _ { \mu } \Phi _ { i } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i } r _ { i } \Phi _ { i } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 ! } } \sum _ { i j k l } u _ { i j k l } \; \Phi _ { i } \Phi _ { j } \Phi _ { k } \Phi _ { l } \Bigr ] ,
\begin{array} { r l } { \xi } & { = \frac { 1 } { 6 2 5 ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 4 } } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { 1 5 } \sum _ { j = 0 } ^ { 3 } \xi _ { i , j } a ^ { 2 i } ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) ^ { 1 5 - i } t ^ { j } ( 1 - t ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 1 5 } \xi _ { i , 4 } a ^ { 2 i } ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) ^ { 1 5 - i } t ^ { 4 } \right) , } \\ { \zeta } & { = \frac { 1 } { 6 2 5 ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 4 } } \left( \frac { 1 } { 2 5 6 } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { 1 5 } \sum _ { j = 0 } ^ { 3 } \zeta _ { i , j } a ^ { 2 i } ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) ^ { 1 5 - i } t ^ { j } ( 1 - t ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 1 5 } \zeta _ { i , 4 } a ^ { 2 i } ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) ^ { 1 5 - i } t ^ { 4 } \right) + 2 k \right) , } \\ { 2 k \xi } & { ( 1 - \frac 3 2 a ^ { 2 } - \frac 1 8 a ^ { 4 } - \frac 7 4 a ^ { 6 } ) + \xi ^ { 2 } ( 1 - a ^ { 2 } ) ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) - \zeta ^ { 2 } - 2 k \zeta } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { 1 5 } \sum _ { j = 0 } ^ { 8 } \eta _ { i , j } a ^ { 2 i + 6 } ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) ^ { 1 5 - i } t ^ { j } ( 1 - t ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 1 5 } \eta _ { i , 9 } a ^ { 2 i + 6 } ( 1 - 2 a ^ { 2 } ) ^ { 1 5 - i } t ^ { 9 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | G _ { i j } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) | } & { { } \leq \sum _ { n } \rho _ { n } \sum _ { n ^ { \prime } } | \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } | n ^ { \prime } \rangle | | \langle n ^ { \prime } | c _ { j } | n \rangle | } \end{array}
f _ { 2 , I I } ^ { 0 0 } = \frac { \textstyle 4 ( I + 1 ) } { \textstyle ( 2 I + 3 ) ^ { 2 } ( 2 I + 5 ) } ( \overline { { { n } } } _ { \pi } - \overline { { { n } } } _ { \rho } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { \alpha } ( E ) = } & { \frac { A f _ { \alpha } } { 2 \gamma _ { \alpha } } \exp \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { \alpha } ^ { 2 } } \pm \frac { E - \mu } { \gamma _ { \alpha } } \right) \mathrm { e r f c } \left( \frac { \sigma } { \sqrt { 2 } \gamma _ { \alpha } } \pm \frac { E - \mu } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { \mathscr F } : = \{ \widehat f = \widehat \iota f : f \in { \mathscr F } \} , } \\ & { \widehat { \mathscr E } ( \widehat f , \widehat g ) : = { \mathscr E } ( \widehat { \iota } ^ { - 1 } \widehat f , \widehat { \iota } ^ { - 1 } \widehat g ) , \quad \widehat f , \widehat g \in \widehat { \mathscr F } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 6 } } & { { } \longleftrightarrow \mathcal { C } _ { \textnormal { \scriptsize i n c } } , } \\ { \lambda _ { 7 } } & { { } \longleftrightarrow \mathcal { C } _ { 2 } , } \\ { \lambda _ { 8 } } & { { } \longleftrightarrow \mathcal { E } _ { 2 n } ^ { \bullet } . } \end{array}
\lambda _ { M } ^ { i + 1 } = \frac { \left[ K _ { v } ( \lambda _ { M } ^ { i } ) + K _ { r } + 3 \right] \rho } { 4 \left( \rho E - \frac { 1 } { 2 } \rho \vec { U } ^ { 2 } \right) } \quad \mathrm { w i t h } \quad \lambda _ { M } ^ { 0 } = \frac { \left( K _ { r } + 3 \right) \rho } { 4 \left( \rho E - \frac { 1 } { 2 } \rho \vec { U } ^ { 2 } \right) } .
\langle \hat { O } \rangle = \frac { \langle \Psi _ { 0 } \vert \hat { O } \vert \Psi _ { 0 } \rangle } { \langle \Psi _ { 0 } \vert \Psi _ { 0 } \rangle } = \operatorname* { l i m } _ { \Theta \to \infty } \frac { \langle \Psi _ { T } \vert e ^ { - \Theta H } \hat { O } e ^ { - \Theta H } \vert \Psi _ { T } \rangle } { \langle \Psi _ { T } \vert e ^ { - 2 \Theta H } \vert \Psi _ { T } \rangle } .
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf \Xi } _ { i } ^ { ( l ) } ( t ) \rangle } & { = } & { 0 , } \\ { \langle { \Xi } _ { i , \alpha } ^ { ( l _ { 1 } ) } \left( t \right) { \Xi } _ { j , \beta } ^ { ( l _ { 2 } ) } \left( t ^ { \prime } \right) \rangle } & { = } & { \delta _ { l _ { 1 } l _ { 2 } } \delta _ { i j } \delta _ { \alpha \beta } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
I _ { \mathrm { H R S } } = \frac { V G _ { \mathrm { { p } } } - I _ { 0 } } { G _ { \mathrm { { A } } } } + \frac { 1 } { \Lambda } W \Biggl \{ \frac { \Lambda I _ { 0 } } { G _ { \mathrm { A } } } \exp \left[ \frac { \alpha q ( V + R _ { \mathrm { s } } I _ { 0 } ) } { G _ { \mathrm { A } } } \right] \Biggl \} ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { b _ { i j k l } = - \frac { 1 } { 3 } D _ { S } \delta _ { i j } \delta _ { k l } + \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { S } + D _ { R } \right) \delta _ { i k } \delta _ { j l } } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { S } - D _ { R } \right) \delta _ { i l } \delta _ { j k } } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { \frac { d u } { d \tau } } & { = v + \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 1 } } u v + \frac { \alpha _ { 4 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 2 } v + \frac { \alpha _ { 5 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) } \\ & { \triangleq P ( u , v ) , } \\ { \frac { d v } { d \tau } } & { = \frac { \beta _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } u v + \frac { \beta _ { 3 } } { \alpha _ { 1 } } v ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 4 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 2 } v + \frac { \beta _ { 5 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) } \\ & { \triangleq Q ( u , v ) , } \end{array} } \end{array} \right.