harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
h _ { i j } ( x , y ) = h ( x ) \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cos ( v ) } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { \cos ( v ) } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, \, .
\begin{array} { r } { f ( E _ { X v N } | T _ { v i b } , T _ { r o t } ) = \frac { 1 } { T _ { v i b } T _ { r o t } } \exp \left[ - \frac { E _ { X v 0 } - E _ { X 0 0 } } { T _ { v i b } } - \frac { E _ { X v N } - E _ { X v 0 } } { T _ { r o t } } \right] . } \end{array}
L _ { S } ^ { \mu \nu } = \frac { 4 \pi \alpha } { m } \frac { 1 } { ( \ell \cdot q ) ^ { 2 } - \mathrm { ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 4 ~ } ~ } Q ^ { 4 } } \left[ g ^ { \mu \nu } ( \ell \cdot q ) ^ { 2 } - ( q ^ { \mu } \ell ^ { \nu } + q ^ { \nu } \ell ^ { \mu } ) \, \ell \cdot q - Q ^ { 2 } l ^ { \mu } l ^ { \nu } \right] .
\mathbf { v } ( \mathbf { r } ) = \frac { \hbar } { m } \mathrm { I m } \left\{ \frac { \nabla \Psi ( \mathbf { r } ) } { \Psi ( \mathbf { r } ) } \right\} = \frac { \hbar } { m } \nabla \cal { S } ( \mathbf { r } )
S _ { \varepsilon , \lambda } = { \mathrm T } \exp \left( - { \mathrm i } \lambda \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \mathrm d } t \int { \mathrm d } ^ { 3 } x \, \exp ( - \varepsilon | t | ) \, { \mathcal H } _ { \mathrm I } ( x ) \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { 1 } \, : } & { { } = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } - \tilde { \phi } \bigr ) \partial _ { Z } \eta _ { * } \, \mathrm { d } X \, = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \partial _ { Z } \eta _ { * } - \partial _ { Z } \phi _ { * } \bigr ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { { } = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } } ( \partial _ { Z } \Theta ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X + \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime } \cup \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime \prime \prime } } \bigl ( W _ { \epsilon } \partial _ { Z } \eta _ { * } - \partial _ { Z } \phi _ { * } \bigr ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , z ) ) ) ^ { 2 } d \nu ( z ) - \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \mathrm { I m } ( K _ { T _ { n } } ( x , z ) ) ) ^ { 2 } d \nu ( z ) } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } s _ { l } ^ { - 1 } s _ { l ^ { \prime } } ^ { - 1 } \frac { ( 2 l + 1 ) ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) } { 8 \pi } d _ { ( l + 1 ) ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { x } ) d _ { ( l ^ { \prime } + 1 ) ( l ^ { \prime } + 1 ) } ^ { l ^ { \prime } } ( \theta _ { x } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdot \int _ { 0 } ^ { \pi } d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { z } ) d _ { q ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } ^ { l ^ { \prime } } ( \theta _ { z } ) \sin ( \theta _ { z } ) d \theta _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { k } } & { { } = } & { \frac { c \vec { p } _ { k } } { \sqrt { m _ { k } ^ { 2 } c ^ { 2 } + \vec { p } _ { k } ^ { \, 2 } } } \, , } \\ { u _ { k l } } & { { } = } & { \frac { c \sqrt { \left( p _ { k } \cdot p _ { l } \right) ^ { 2 } - m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } { p _ { k } ^ { 0 i } p _ { l } ^ { 0 j } } \, , } \\ { \vec { p } _ { k l } ^ { \, s } } & { { } = } & { \gamma _ { k l } \, \vec { \beta } _ { k l } \, p _ { k } ^ { 0 } - \frac { 1 } { \beta _ { k l } ^ { 2 } } \, ( \gamma _ { k l } - 1 ) \, \left( \vec { p } _ { k } \cdot \vec { \beta } _ { k l } \right) \, \vec { \beta } _ { k l } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { { S N R } _ { \mathrm { { O 3 C a t a l o g } } } \gtrapprox } } & { { } 1 . 9 \, \mathrm { { S N R } _ { 1 5 0 9 1 4 } = 0 . 1 0 4 5 , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( k ^ { 2 } - \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \omega ^ { 2 } \right) \phi _ { 0 } } & { = } & { \left( 1 - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } \right) \omega \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } \right) , } \\ { \left( k ^ { 2 } - \mu \varepsilon \omega ^ { 2 } \right) \mathbf { A } _ { 0 } } & { = } & { \left( 1 - \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \right) \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { A } _ { 0 } \right) \mathbf { k } + \mu \varepsilon \left( \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon } - 1 \right) \omega \mathbf { k } \phi _ { 0 } . } \end{array}
\sigma ( \Sigma ^ { + } n ) \approx \frac { 8 \pi \alpha ^ { 2 } } { 9 \sqrt { \tau } } K ( x ) \{ \frac { 4 } { 9 } [ d _ { p } ( x ) \bar { u } _ { \Sigma } ( x ) + u _ { \Sigma } ( x ) \bar { d } _ { p } ( x ) ] + \frac { 1 } { 9 } [ u _ { p } ( x ) \bar { d } _ { \Sigma } ( x ) + s _ { \Sigma } ( x ) \bar { s } _ { p } ( x ) ] \} ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } = } & { { } \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { s b } ( \theta , \mathcal { S } _ { s b } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a + \int _ { 4 } ^ { x } \frac { t ^ { 3 / 2 } } { t ^ { 2 } } \, d t } & { = 2 \sqrt { x } } \\ { a + \int _ { 4 } ^ { x } t ^ { - 1 / 2 } \, d t } & { = 2 \sqrt { x } } \\ { a + 2 t ^ { 1 / 2 } \Big | _ { 4 } ^ { x } } & { = 2 \sqrt { x } } \\ { a + 2 \left( x ^ { 1 / 2 } - 4 ^ { 1 / 2 } \right) } & { = 2 \sqrt { x } } \\ { a } & { = 4 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \left\| \frac { 1 } { \sqrt { \lambda _ { j } } } v _ { j } \right\| _ { \dot { H } ^ { s ^ { \prime } } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { j } ^ { s ^ { \prime } / s - 1 } } \\ & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( c j ) ^ { 2 s / d \cdot ( s ^ { \prime } / s - 1 ) } \le C \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } j ^ { 2 ( s ^ { \prime } - s ) / d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 2 } - d _ { 1 } = - \frac { 3 } { 2 s ^ { 3 } r ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { s ^ { 2 } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { s ^ { 3 } } ) , \quad } & { d _ { 2 } - d _ { 3 } = - \frac { 3 } { 2 s ^ { 3 } r ^ { 6 } } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { s ^ { 2 } r ^ { 4 } } + \frac { 1 } { t ^ { 3 } } ) , } \\ { g _ { 2 } - g _ { 3 } = - \frac { 7 } { s r ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { s r } ) , \quad } & { g _ { 1 } - g _ { 2 } = - \frac { 7 } { s r } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { s } ) . } \end{array}
\psi \ = \ \psi _ { 1 } + \gamma _ { L } \psi _ { 2 } + \gamma _ { 5 } \psi _ { 3 } + \gamma _ { L } \gamma _ { 5 } \psi _ { 4 } \ \equiv \ \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \ \Gamma _ { i } \psi _ { i } \ .
P _ { s } - \frac { \theta } { 8 \, \pi ^ { 2 } } \, B _ { s } ^ { ( - ) } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \, ( 1 / g ) ^ { n } \, a _ { s } ^ { ( n ) } ( S , P - \frac { \theta } { 8 \pi ^ { 2 } } \, B ^ { ( + ) } ) \, .
\begin{array} { r l } & { \hat { \rho } _ { 0 } ^ { \mathrm { w e a k } } = \frac { 1 } { | Q | ^ { 2 } } \times } \\ & { \left( \begin{array} { l l l } { ( \Gamma ^ { 2 } + \Delta _ { a } ^ { 2 } ) \varepsilon ^ { 2 } } & { g ( \Delta _ { a } + i \Gamma ) \varepsilon ^ { 2 } } & { Q ^ { * } ( \Gamma - i \Delta _ { a } ) \varepsilon } \\ { g ( \Delta _ { a } - i \Gamma ) \varepsilon ^ { 2 } } & { g ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } & { - i Q ^ { * } g \varepsilon } \\ { Q ( \Gamma + i \Delta _ { a } ) \varepsilon } & { i Q g \varepsilon } & { \chi } \end{array} \right) } \end{array} \, ,
w _ { P } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } V ^ { 2 } - V ^ { \prime \prime } + 2 P V ^ { \prime } \mathcal { H } [ \rho _ { P } ] - 2 P \mathcal { H } [ \rho _ { P } ^ { \prime } ] + 2 P ^ { 2 } \mathcal { H } [ \rho _ { P } ] ^ { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \Big [ ( \ln \rho _ { P } ) ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { 2 } ( \ln \rho _ { P } ) ^ { 2 } \Big ] \, .
\begin{array} { r l } & { \psi _ { 0 } \left( \sigma \right) + { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \sigma } } \left[ \partial _ { s } K _ { 2 } \left( \sigma , s \right) - \frac { 2 s } { \pi } K _ { 0 } \left( \sigma , s \right) \right] \varphi _ { 0 } \left( s \right) d s } \\ & { = \frac { 2 } { \pi } ( \mathcal { A } \Psi ) ( \sigma ) , \mathrm { ~ \ ( s h o r e l i n e ~ e q u a t i o n ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \epsilon ) } & { { } \sim \int _ { - \infty } ^ { \infty } g ( \tilde { x } ) e ^ { - f ( \tilde { x } ) / \epsilon - ( x - \tilde { x } ) ^ { 2 } f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) / 2 \epsilon } \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \beta } ( ( w _ { k , i } ^ { + } , w _ { k , i } ^ { - } ) , ( w _ { \ell , j } ^ { + } , w _ { \ell , j } ^ { - } ) ) = \delta _ { i j } \delta _ { k 0 } \delta _ { \ell 0 } \textnormal { a n d } \widetilde { \beta } ( ( w _ { k , i } ^ { + } , w _ { k , i } ^ { - } ) , ( b _ { j } v ^ { \ell } , b _ { j } v ^ { \ell } ) ) = - \delta _ { i j } \delta _ { k \ell } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d \rho { \frac { R ^ { 3 } ( 3 \rho ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) x _ { 0 } ^ { 5 } \rho ^ { 3 } } { ( \rho ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 7 } } } \sim { \frac { R ^ { 3 } } { x _ { 0 } ^ { 3 } } } \rightarrow 0 ,
\begin{array} { r } { \mathrm { R e } \, \sigma _ { x x } ( \omega ) = \frac { \pi v ^ { 2 } } { 8 } \frac { 1 } { v ^ { 2 } - 2 b ( m v ^ { 2 } - b \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } ) } \bigg [ 1 + \frac { 4 ( m v ^ { 2 } + b \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } \bigg ] \Theta ( \hbar \omega - 2 | m | v ^ { 2 } ) } \end{array}
E _ { \mathrm { H } } [ \rho ] = { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } \int d \mathbf { r } \int d \mathbf { r } ^ { \prime } \, { \frac { \rho ( \mathbf { r } ) \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } ,
\begin{array} { r l } { | B | } & { \le \mathrm { c s t } \, \| F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { c o h } ; K , \bar { \lambda } ^ { \prime } , r } ^ { \alpha , \gamma } } \sum _ { n = 0 } ^ { M } ( \lambda 2 ^ { n } ) ^ { \alpha } ( \lambda 2 ^ { n } + | y - x | ) ^ { \gamma - \alpha } } \\ & { \lesssim \mathrm { c s t } \, \| F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { c o h } ; K , \bar { \lambda } ^ { \prime } , r } ^ { \alpha , \gamma } } \bigg \{ \underbrace { \lambda ^ { \gamma } \sum _ { n = 0 } ^ { M } 2 ^ { n \gamma } } _ { B _ { 1 } } \, + \, \underbrace { \lambda ^ { \alpha } | y - x | ^ { \gamma - \alpha } \sum _ { n = 0 } ^ { M } 2 ^ { n \alpha } } _ { B _ { 2 } } \bigg \} \, . } \end{array}
\Gamma _ { \mu \, \nu . . . \rho } ^ { V _ { 1 } \, V _ { 2 } . . . V _ { n } } = \Gamma _ { 0 \, \mu \, \nu . . . \rho } ^ { V _ { 1 } \, V _ { 2 } . . . V _ { n } } + \Delta \Gamma _ { \mu \, \nu . . . \rho } ^ { V _ { 1 } \, V _ { 2 } . . . V _ { n } }
M ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \frac { w ( \mathbf { x } _ { l } ) L ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) } { \sum _ { n } w ( \mathbf { x } _ { n } ) L ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { n } ) } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { C } ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \geq C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \int _ { r } ^ { \rho _ { 0 } } \frac { \xi _ { - } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n + 1 } } d \rho } & { = C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \int _ { r } ^ { \rho _ { 0 } } \frac { \xi _ { - } ( B _ { \rho } ) + \xi _ { + } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n + 1 } } d \rho } \\ & { = C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \int _ { r } ^ { \rho _ { 0 } } \frac { | \xi | ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n + 1 } } d \rho } \\ & { \geq C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \int _ { r } ^ { \rho _ { 0 } } \frac { \delta } { \rho } d \rho } \\ & { = C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \delta \ln \left( \frac { \rho _ { 0 } } { r } \right) . } \end{array}
N _ { i _ { \bf k } \, i _ { \bf k } ^ { \prime } } ^ { n _ { \bf k } n _ { \bf k } ^ { \prime } } \equiv \left\{ \left( \begin{array} { c } { { { n _ { \bf k } ^ { \prime } } } } \\ { { { i _ { \bf k } ^ { \prime } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { n _ { { \bf k } } } } \\ { { i _ { \bf k } } } \end{array} \right) \frac { 1 } { i _ { \bf k } ^ { \prime } ! \; i _ { \bf k } ! } \right\} ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { L } ^ { ( \gamma ) } ) ^ { 2 } ( \tau ) } & { = \frac { D } { \gamma } \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { 1 - 3 \alpha + \beta } } \\ & { = : D \; \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \langle \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 0 } ^ { ( e c ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } & { { } = E _ { 0 } ^ { ( e c ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) + \mathcal { G } _ { 0 0 } ^ { ( n ) } + \mathcal { G } _ { 0 0 } ^ { ( c ) } \quad , } \end{array}
\theta _ { F } = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { T _ { x x } + i T _ { x y } } { T _ { x x } - i T _ { x y } } \right] = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { 1 + a \sigma _ { x x } + i a \sigma _ { x y } } { 1 + a \sigma _ { x x } - i a \sigma _ { x y } } \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \bar { \psi } ( s , z ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } z ) } \Bigg [ C _ { i } ( s ) + \frac { \mathscr { E } _ { \lambda , i } ( s ) } { \mathscr { E } _ { \lambda } ( s ) } \int \exp ( - \lambda _ { i } z ) \mathscr { R } ( s , z ) d z \Bigg ] } \end{array}
\left( { \frac { \partial \Omega } { \partial x } } \right) _ { E } = - \sum _ { Y } Y \left( { \frac { \partial \Omega _ { Y } } { \partial E } } \right) _ { x } = \left( { \frac { \partial \left( \Omega X \right) } { \partial E } } \right) _ { x }
{ \footnotesize \boldsymbol g _ { t } = \left[ \begin{array} { l } { \frac { I } { \mathfrak R ( V _ { t } ^ { 1 , 3 } ) } , \cdots , \frac { I } { \mathfrak R ( V _ { t } ^ { 1 , 1 5 } ) } , \cdots , \frac { I } { \mathfrak R ( V _ { t } ^ { 1 6 , 2 } ) } , \cdots \frac { I } { \mathfrak R ( V _ { t } ^ { 1 6 , 1 4 } ) } } \end{array} \right] ^ { T } }
G \left( b \right) = 2 i \left\{ \mathrm { ~ L ~ } { { \mathrm { ~ i ~ } } _ { 2 } } \left( i \left( \sqrt { { { b } ^ { - 2 } } - 1 } - { { b } ^ { - 1 } } \right) \right) - \mathrm { ~ L ~ } { { \mathrm { ~ i ~ } } _ { 2 } } \left( \frac { i } { { { b } ^ { - 1 } } + \sqrt { { { b } ^ { - 2 } } - 1 } } \right) \right\} + 4 \ln \left( \sqrt { { { b } ^ { - 2 } } - 1 } + { { b } ^ { - 1 } } \right) \mathrm { a r c c o t } \left( \sqrt { { { b } ^ { - 2 } } - 1 } + { { b } ^ { - 1 } } \right) .
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \{ \bar { S } _ { 3 } ( x ) [ 2 ^ { j } \lambda , 2 ^ { j } \lambda ^ { \prime } ] \} } & { { } = { \mathbb E } \{ \bar { S } _ { 3 } ( x ) [ \lambda , \lambda ^ { \prime } ] \} } \\ { { \mathbb E } \{ \bar { S } _ { 4 } ( x ) [ 2 ^ { j } \lambda , 2 ^ { j } \lambda ^ { \prime } , 2 ^ { j } \gamma ] \} } & { { } = { \mathbb E } \{ \bar { S } _ { 4 } ( x ) [ \lambda , \lambda ^ { \prime } , \gamma ] \} } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \{ 1 1 , 2 2 \} } ( k _ { x } ) = \frac { \mp k _ { z , 1 } \eta _ { 2 } ^ { 2 } \beta ^ { \pm } \pm k _ { z , 2 } \eta _ { 1 } ^ { 2 } \beta ^ { \mp } } { k _ { z , 1 } \eta _ { 2 } \beta ^ { \pm } + k _ { z , 2 } \eta _ { 1 } \beta ^ { \mp } } } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( s \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \times \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\frac { d h } { d \rho } = \sqrt { \frac { 4 } { \varphi ^ { 2 } } - 1 } , \qquad \sqrt { 1 + \left( \frac { d h } { d \rho } \right) ^ { 2 } } = \frac { 2 } { \varphi ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { \Delta _ { \beta , \mathrm { c o n s } } ^ { \star } \! \! = \! \operatorname* { m a x } \Bigg \{ \! 1 , \! \Bigg \lceil \! \! - \! \frac { 1 + R } { 2 ( 1 \! - \! R ) } \! + \! \sqrt { \! \frac { R ^ { 2 } } { ( 1 \! - \! R ) ^ { 2 } } \! + \! \frac { R \! + \! 2 \beta W } { 1 \! - \! R } \! + \! \frac { 1 } { 4 } } \Bigg \rceil \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ { \bf v } _ { k } \right\} \in { \cal K } ^ { \perp } = \mathrm { s p a n } ^ { \perp } \left\{ { \widetilde { \bf f } } ( { \bf n } ) , ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) { \widetilde { \bf f } } ( { \bf n } ) , ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) ^ { 2 } { \widetilde { \bf f } } ( { \bf n } ) , \ldots \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathbf { A } } _ { i } ^ { ( j ) } \mathbf { X } _ { i } ^ { ( j ) } } & { { } = \mathbf { X } _ { i } ^ { ( j ) } \mathbf { \Lambda } _ { i } ^ { ( j ) } , } \\ { \mathbf { \Phi } _ { i } ^ { ( j ) } } & { { } = \mathbf { U } _ { i } ^ { ( j ) } \mathbf { X } _ { i } ^ { ( j ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { A C } _ { + } } & { = } & { \left[ ( N - 2 ) \cdot \omega _ { + } , ( 2 ) \omega _ { z } , ( N - 1 ) \cdot 2 \omega _ { - } \right] } \\ { \mathrm { A C } _ { - } } & { = } & { \left[ ( N - 1 ) \cdot \omega _ { + } , ( - 1 ) \omega _ { z } , ( N ) \cdot 2 \omega _ { - } , ( 1 ) 2 \omega _ { z } \right] } \end{array}
\frac { \partial } { \partial { \bf p } } \left( \frac { d { \cal H } _ { s } } { d s } \right) = \frac { d } { d s } \left( \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } } \right) = \frac { d \dot { \bf q } _ { 0 } } { d s } = \ddot { \bf q } _ { 0 } ( s ) = { \bf 0 } \, .
\begin{array} { r l } { C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \rho _ { 0 } } ) } { \rho _ { 0 } ^ { n } } \right) - C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { r } ) } { r ^ { n } } \right) } & { \geq - C ( \Lambda _ { 0 } , \Omega ^ { \prime } ) \int _ { r } ^ { \rho _ { 0 } } \frac { \xi _ { \varepsilon } ( B _ { r _ { 0 } } ) } { \rho ^ { n + 1 } } d \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } ( m , x ; t , x _ { 0 } ) } & { \leq \frac { e ^ { - \frac { ( m - x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 t } - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } { - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 t } } } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } t ^ { d + 1 } } } { \mathbf 1 } _ { m > x ^ { 1 } \vee x _ { 0 } ^ { 1 } } } \\ & { = 2 ^ { ( d + 1 ) / 2 } \phi _ { d + 1 } ( m - x ^ { 1 } , m - x _ { 0 } ^ { 1 } , \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } ; 2 t ) { \mathbf 1 } _ { m > x ^ { 1 } \vee x _ { 0 } ^ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 1 } ( \omega ) = } & { { } \left[ U _ { 2 1 } B _ { 1 } ^ { N } ( U ^ { - 1 } ) _ { 1 1 } + U _ { 2 2 } B _ { 2 } ^ { N } ( U ^ { - 1 } ) _ { 2 1 } \right] } \end{array}
R _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { c _ { 1 2 } } } & { { s _ { 1 2 } ^ { \ast } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - s _ { 1 2 } } } & { { c _ { 1 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\zeta _ { T } ^ { X | K } = \frac { 1 } { K _ { X } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { X } } \delta _ { \Psi ( x _ { j } ^ { X } ( 0 ) , T , 0 ) } + \sum _ { Y \in \{ H , W , G \} } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { Y } } \mathcal { I } _ { Y } ( t - , u ) \Delta _ { X } ( u , T , t ) Q _ { Y } ( d t , d u ) \right) ,
D _ { 3 } = \left| { H _ { 1 } } \rangle \! \langle { H _ { 1 } } \right| + \mu \left| { H _ { 2 } } \rangle \! \langle { H _ { 2 } } \right| + \nu \left| { V _ { 2 } } \rangle \! \langle { V _ { 2 } } \right|
e ^ { i { \bf k } \cdot ( { \bf x } - { \bf x _ { 0 } } ) } = \sum _ { m , n = - \infty } ^ { \infty } J _ { m } ( k \rho ) J _ { n } ( k \rho _ { 0 } ) ( - 1 ) ^ { n } e ^ { i m \varphi } e ^ { i n \varphi _ { 0 } } e ^ { i ( m + n ) \theta } ,
Z ^ { - 1 } \int ( d \phi ) e ^ { - S _ { 0 } } [ - \frac { g } { 3 ! } \int d ^ { 5 } x \phi ( x ) ^ { 3 } ] ^ { N } \prod _ { i } \int d ^ { 5 } x \exp ( i p _ { i } \cdot x _ { i } ) \phi ( x _ { i } )
I _ { g } | _ { \boldsymbol { r } \in \partial \Gamma } = I _ { g } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \ \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ \boldsymbol { \Omega } \cdot \boldsymbol { n } _ { \Gamma } < 0 , \quad I _ { g } | _ { t = 0 } = I _ { g } ^ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { S [ { \boldsymbol { x } } ( t ) ; \theta ] } & { = \theta _ { F } ^ { \mu } \theta _ { F } ^ { \nu } \mathsf { a } _ { \mu \nu } + \theta _ { F } ^ { \mu } \mathsf { b } _ { \mu } + \theta \mathrm { - } \mathrm { i n d . \ t e r m s } } \\ { W [ { \boldsymbol { x } } ( t ) ; \theta ] } & { = - ( \theta _ { F } ^ { \mu } \theta _ { F } ^ { \nu } \mathsf { a } _ { \mu \nu } + \theta _ { F } ^ { \mu } \mathsf { b } _ { \mu } + \mathsf { c } ) + } \\ & { \quad \quad ( \theta _ { R } ^ { \mu } \theta _ { R } ^ { \nu } \mathsf { \tilde { a } } _ { \mu \nu } + \theta _ { R } ^ { \mu } \mathsf { \tilde { b } } _ { \mu } + \mathsf { \tilde { c } } ) , } \end{array}
g _ { \mu \nu } \, d x ^ { \mu } \, d x ^ { \nu } \simeq - d t ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \, t ^ { 2 p _ { i } ( x ) } \, ( \omega ^ { i } ) ^ { 2 } \, , \; \; \varphi \simeq p _ { \varphi } \, ( x ) \, \ln \, t \, + \psi \, ( x ) \, ,
H _ { j k } = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( { \frac { \partial r _ { i } } { \partial \beta _ { j } } } { \frac { \partial r _ { i } } { \partial \beta _ { k } } } + r _ { i } { \frac { \partial ^ { 2 } r _ { i } } { \partial \beta _ { j } \partial \beta _ { k } } } \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { a } } } & { { } = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } _ { n } , t _ { n } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } + \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } , t _ { n + 1 / 2 } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } + \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } , t _ { n + 1 / 2 } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 4 ) } } & { { } = \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { D } \left[ \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \left[ \bar { \mathbf { a } } + 2 \mathbf { d } ^ { ( 3 ) } , t _ { n + 1 } \right] \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { { } = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ \bar { \mathbf { a } } + \left( \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } + 2 \left( \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } + \mathbf { d } ^ { ( 3 ) } \right) \right) / 3 \right] + \mathbf { d } ^ { ( 4 ) } / 3 } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ F ( \nabla \phi ( e ) ) \right] } & { = \mathbb { E } \left[ F ( Y ) \, | \, Y - \nabla \phi ^ { e } ( e ) = 0 \right] } \\ & { \leq \frac { 1 } { \mathbb { P } \left( Y - \nabla \phi ^ { e } ( e ) \geq 0 \right) } \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ F ( Y ) \, | \, Y - \nabla \phi ^ { e } ( e ) \right] \right] } \\ & { \leq \frac { 1 } { \mathbb { P } \left( Y - \nabla \phi ^ { e } ( e ) \geq 0 \right) } \mathbb { E } \left[ F ( Y ) \right] } \\ & { \leq C . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } f _ { 0 } } & { = - \hat { O } _ { 1 } ( f _ { 2 } + f _ { 3 } ) } \\ { D _ { t } f _ { 1 } } & { = - \hat { O } _ { 2 } ( f _ { 2 } + f _ { 3 } ) + 2 m f _ { 2 } } \\ { D _ { t } f _ { 2 } } & { = \hat { O } _ { 2 } f _ { 1 } + \hat { O } _ { 1 } f _ { 0 } - 2 m f _ { 1 } } \\ { D _ { t } f _ { 3 } } & { = - \hat { O } _ { 2 } f _ { 1 } - \hat { O } _ { 1 } f _ { 0 } } \end{array}