harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \| e ^ { - i \tau \widehat { \mathcal { A } } _ { \varepsilon } } - e ^ { - i \tau \widehat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { h o m } } } } & { \| _ { H ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } } & & { \le C ( 1 + | \tau | ^ { 1 / 2 } ) \varepsilon , } \\ { \| \cos ( \tau \widehat { \mathcal { A } } _ { \varepsilon } ^ { 1 / 2 } ) - \cos ( \tau ( \widehat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { h o m } } ) ^ { 1 / 2 } ) } & { \| _ { H ^ { 3 / 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } } & & { \le C ( 1 + | \tau | ^ { 1 / 2 } ) \varepsilon , } \\ { \| \widehat { \mathcal { A } } _ { \varepsilon } ^ { - 1 / 2 } \sin ( \tau \widehat { \mathcal { A } } _ { \varepsilon } ^ { 1 / 2 } ) - ( \widehat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { h o m } } ) ^ { - 1 / 2 } \sin ( \tau ( \widehat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { h o m } } ) ^ { 1 / 2 } ) } & { \| _ { H ^ { 1 / 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } } & & { \le C ( 1 + | \tau | ^ { 1 / 2 } ) \varepsilon . } \end{array}
\nabla \cdot { \bf j } ( { \bf r } , t ) = - \partial _ { t } n ( { \bf r } , t ) \rightarrow { \bf j } _ { L } ( { \bf r } , t ) = \int \partial _ { t } n ( { \bf r } ^ { \prime } , t ) \nabla _ { r } \frac { 1 } { 4 \pi \vert { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } \vert } d ^ { 3 } r ^ { \prime }
\mathbb { E } _ { p _ { \hat { \theta } _ { 0 } } ( \mathbf { \Delta x } _ { 0 } \mid \mathbf { \bar { y } } _ { 0 } ) } \, \left[ \mathbf { \Delta x } _ { 0 } \mid \mathbf { \bar { y } } _ { 0 } \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \Phi _ { \tau + 1 } - \Phi _ { \tau } ] } & { \leq - \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \left( \frac { 5 \rho \eta _ { \tau + 1 , i } } { 8 \lambda } - \frac { \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 2 } L } { 2 } \right) \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 2 \rho } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } \rho } { 1 6 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 3 } + \frac { \rho } { 4 2 \lambda } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 4 2 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 1 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 3 } } \\ & { \leq - \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \left( \frac { 3 \rho \eta _ { \tau + 1 , i } } { 5 \lambda } - \frac { \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 2 } L } { 2 } \right) \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 2 \rho } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 1 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 3 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } - \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \rho \eta _ { i } } { 2 \lambda } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 2 \rho } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 1 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } \left( [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } _ { x } h ] h \right) \Lambda ^ { s } h \ d x \right| \leq C \left\| h _ { 0 } \right\| _ { L ^ { 2 } } \left( \left\| h \right\| _ { H ^ { s - \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } + \left\| h \right\| _ { H ^ { s - 2 } } \right) \left\| h \right\| _ { H ^ { s } } } \end{array}
l _ { 0 } ^ { \alpha } m _ { 0 \alpha } + \frac { 1 } { \omega } \left( l _ { 0 } ^ { \alpha } m _ { 1 \alpha } + l _ { 1 } ^ { \alpha } m _ { 0 \alpha } - i \left( \frac { a _ { ; \alpha } } { a } m _ { 0 } ^ { \alpha } + m _ { 0 ; \alpha } ^ { \alpha } \right) \right) = 0 .
{ \begin{array} { r l } { V ^ { 2 } } & { = \left( \operatorname* { d e t } M \right) ^ { 2 } = \operatorname* { d e t } M \operatorname* { d e t } M = \operatorname* { d e t } M ^ { \mathsf { T } } \operatorname* { d e t } M = \operatorname* { d e t } ( M ^ { \mathsf { T } } M ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { a } \cdot \mathbf { a } } & { \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } } & { \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } } \\ { \mathbf { b } \cdot \mathbf { a } } & { \mathbf { b } \cdot \mathbf { b } } & { \mathbf { b } \cdot \mathbf { c } } \\ { \mathbf { c } \cdot \mathbf { a } } & { \mathbf { c } \cdot \mathbf { b } } & { \mathbf { c } \cdot \mathbf { c } } \end{array} \right] } } \\ & { = \ a ^ { 2 } \left( b ^ { 2 } c ^ { 2 } - b ^ { 2 } c ^ { 2 } \cos ( \alpha ) \right) } \\ & { \quad - a b \cos ( \gamma ) \left( a b \cos ( \gamma ) c ^ { 2 } - a c \cos ( \beta ) \; b c \cos ( \alpha ) \right) } \\ & { \quad + a c \cos ( \beta ) \left( a b \cos ( \gamma ) b c \cos ( \alpha ) - a c \cos ( \beta ) b ^ { 2 } \right) } \\ & { = \ a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } \cos ( \alpha ) } \\ & { \quad - a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \gamma ) + a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } \cos ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \gamma ) } \\ & { \quad + a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } \cos ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \gamma ) - a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } \cos ( \beta ) } \\ & { = \ a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } \left( 1 - \cos ^ { 2 } ( \alpha ) - \cos ^ { 2 } ( \gamma ) + \cos ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \gamma ) + \cos ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \gamma ) + \cos ^ { 2 } ( \beta ) \right) } \\ & { = \ a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } \; \left( 1 + 2 \cos ( \alpha ) \cos ( \beta ) \cos ( \gamma ) - \cos ^ { 2 } ( \alpha ) - \cos ^ { 2 } ( \beta ) - \cos ^ { 2 } ( \gamma ) \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \Re \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( - \Delta ) ^ { s } \Bar { \psi } ( - \Delta ) ^ { s } ( B \psi ) = \Re \left\langle ( - \Delta ) ^ { s } \psi , ( - \Delta ) ^ { s } ( B \psi ) \right\rangle } \\ & { = \Re \left\langle ( - \Delta ) ^ { s + \frac { 1 } { 2 } } \psi , ( - \Delta ) ^ { s - \frac { 1 } { 2 } } ( B \psi ) \right\rangle = \Re \left\langle ( - \Delta ) ^ { s - \frac { 1 } { 2 } } ( - \Delta ) \psi , ( - \Delta ) ^ { s - \frac { 1 } { 2 } } ( B \psi ) \right\rangle . } \end{array}
\left\vert \psi \right\rangle = \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \beta \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle ,
\begin{array} { r } { \sigma _ { \pm } = - \frac { \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } } { 2 } \pm \sqrt { I _ { 1 2 } I _ { 1 3 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } + \frac { ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } ) ^ { 2 } } { 4 } } \mathrm { \, . } } \end{array}
\mathcal { L } _ { t o t a l } = \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { N \times M \times T \times C } \frac { ( \hat { Y _ { i } } - Y _ { i } ) ^ { 2 } } { ( \hat { Y _ { i } } ) ^ { 2 } + \epsilon } } _ { \mathcal { L } _ { D C } } + \lambda _ { S } \underbrace { \Vert T V _ { t } ( d _ { \theta } ) \Vert _ { 1 } } _ { \mathcal { L } _ { T V } } + \lambda _ { L } \underbrace { \Vert d _ { \theta } \Vert _ { * } } _ { \mathcal { L } _ { L R } } .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { M } ( o _ { H } = { \sf g o o d } | \tau _ { H - 1 } ) = \frac 3 4 \mathbb { P } _ { M } ( s _ { H } = s _ { \oplus } | \tau _ { H - 1 } ) + \frac 1 4 \mathbb { P } _ { M } ( s _ { H } = s _ { \ominus } | \tau _ { H - 1 } ) \leq \frac 1 4 + \frac 1 2 \mathbb { P } _ { M } ( s _ { H } = s _ { \oplus } | \tau _ { H - 1 } ) \leq \frac 1 4 + \frac 1 2 \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r } { R \sim \left( \begin{array} { c c c } { \cos ( \varphi + \psi ) } & { - \sin ( \varphi + \psi ) } & { 0 } \\ { \sin ( \varphi + \psi ) } & { \cos ( \varphi + \psi ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + O ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { { } = j _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) , } \\ { j _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = j _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Gamma } = } & { { } \sum _ { \kappa } w _ { \kappa } | \kappa \rangle \langle \kappa | \; , ~ ~ ~ 0 \leq w _ { \kappa } \leq 1 , ~ ~ ~ \sum _ { \kappa } w _ { \kappa } = 1 \; , } \end{array}
{ \bf 2 7 } \rightarrow \underbrace { [ ( { \bf 1 6 , 1 0 } ) + ( { \bf 1 6 , \bar { 5 } } ) + ( { \bf 1 6 , 1 } ) ] } _ { \bf 1 6 } + \underbrace { [ ( { \bf 1 0 , \bar { 5 } } ) + ( { \bf 1 0 , 5 } ) ] } _ { \bf 1 0 } + \underbrace { [ ( { \bf 1 , 1 } ) ] } _ { { \bf 1 } }
\begin{array} { r l } { m _ { 0 } ( t ) } & { { } = \mathcal { H } _ { 0 } ( 1 - t ) ^ { \mathcal { U } _ { 0 } / 2 } , } \\ { m _ { 1 } ( t ) } & { { } = \left( \frac { 2 \mathcal { U } _ { 1 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \mathcal { U } _ { 0 } } + \mathcal { H } _ { 1 } \right) ( 1 - t ) ^ { \mathcal { U } _ { 0 } } - \frac { 2 \mathcal { U } _ { 1 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \mathcal { U } _ { 0 } } ( 1 - t ) ^ { \mathcal { U } _ { 0 } / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { m } _ { N } ^ { - } } & { = \sum _ { \tilde { w } ^ { - } \in \mathcal { W } } \sum _ { \tilde { w } ^ { + } \in \mathcal { W } } \int _ { \mathcal { O } } \tilde { w } ^ { - } \tilde { g } ( v , \tilde { w } ^ { - } , \tilde { w } ^ { + } , t ) \, d v \, \Delta { \tilde { w } } ^ { - } \, \Delta { \tilde { w } } ^ { + } , } \\ { \tilde { m } _ { N } ^ { + } } & { = \sum _ { \tilde { w } ^ { + } \in \mathcal { W } } \sum _ { \tilde { w } ^ { - } \in \mathcal { W } } \int _ { \mathcal { O } } \tilde { w } ^ { + } \tilde { g } ( v , \tilde { w } ^ { - } , \tilde { w } ^ { + } , t ) \, d v \, \Delta { \tilde { w } } ^ { - } \, \Delta { \tilde { w } } ^ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } = \pi / 2 , \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \cos ( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } ) { \bf 1 } - i \sin ( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } ) \sigma _ { 1 } \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \phi _ { h } ^ { \prime \prime } - 2 k ^ { 2 } \phi _ { h } + 2 k ( \delta ( y ) - \delta ( y - \pi r _ { c } ) ) \phi _ { h } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 k | y | } m ^ { 2 } \phi _ { h } = 0 .
f ^ { \stackrel { \underbrace { \mathrm { \scriptsize ~ 1 \ldots ~ 1 } } } { m _ { 1 } } \stackrel { \underbrace { \mathrm { \scriptsize ~ 2 \ldots ~ 2 } } } { m _ { 2 } } \cdots \stackrel { \underbrace { \mathrm { \scriptsize ~ N - 1 \ldots ~ N - 1 } } } { m _ { N - 1 } } } ( u ) \; , \qquad { m _ { 1 } \geq m _ { 2 } \geq \ldots \geq m _ { N - 1 } } \; .
\begin{array} { r l } { \delta _ { l , i n - w } ( o u t ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { \mathrm { i n } } ^ { - 1 } A ^ { T } D _ { \mathrm { o u t } } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( { \varepsilon } , \psi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { m _ { 0 } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ 1 ~ } } \\ { \varepsilon m _ { 0 } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ 2 ~ } } \\ { \frac { m _ { 1 } } { \varepsilon } ( 1 - \psi ^ { 2 } ) _ { + } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ 3 ~ } } \\ { m _ { 1 } ( 1 - \psi ^ { 2 } ) _ { + } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ 4 ~ } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi ( t ) U ( t ) \right) } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \left( \frac { d } { d t } \Psi ( t ) \right) U ( t ) + \Pi _ { S ^ { \perp } } ( \Psi ( t ) ) \left( \frac { d } { d t } U ( t ) \right) } \\ & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \left( \partial _ { x } \mathcal { B } ( t ) \Psi ( t ) - \Psi ( t ) \Psi ( t ) ^ { - 1 } \partial _ { x } \mathcal { B } ( t ) \Pi _ { S } \Psi ( t ) U ( t ) \right) } \\ & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \mathcal { B } ( t ) \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi ( t ) U ( t ) , } \end{array}
H ( \omega ) = 5 + \frac { 2 + 0 . 1 i } { \omega - ( 2 + 0 . 3 i ) } + \frac { 4 + 0 . 1 i } { \omega - ( 5 + 1 . 4 i ) } + \frac { 6 + 0 . 1 i } { \omega - ( 6 . 5 + 0 . 7 i ) }
\begin{array} { r c l } { { \mathrm { i n t e g r a l } } } & { { = } } & { { \displaystyle - 2 m ^ { 2 } ( 4 \pi ) ^ { - 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } D _ { m } ^ { 2 } ( k _ { 1 } ) \overline { { { D ( k _ { 1 } + p ) } } } K _ { 0 } \left( \sqrt { x m ^ { 2 } \tilde { k _ { 1 } } ^ { 2 } } \right) . } } \end{array}
\mathbb { T } _ { \# } : = \Bigg ( \mathcal { N } _ { \# } ( \mathrm { d } t \mathrm { d } \omega ) ; \Big ( ( \mathbf { b } _ { t } ) _ { 0 \leq t \leq T _ { - } } , \sum _ { j \in J : 0 \leq t _ { j } ^ { \prime } \leq T _ { - } } \delta _ { ( t _ { j } ^ { \prime } , \omega _ { j } ^ { \prime } ) } \Big ) ; \Big ( ( \mathbf { b } _ { t } ) _ { T _ { + } \leq t \leq 1 } , \sum _ { j \in J : T _ { + } \leq t _ { j } ^ { \prime } \leq 1 } \delta _ { ( t _ { j } ^ { \prime } , \omega _ { j } ^ { \prime } ) } \Big ) \Bigg ) .
\begin{array} { r } { \{ \Sigma ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } , \vec { D } ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } \} : = \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ c ~ o ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ m ~ a ~ t ~ r ~ i ~ x ~ a ~ n ~ d ~ d ~ i ~ s ~ p ~ l ~ a ~ c ~ e ~ m ~ e ~ n ~ t ~ v ~ e ~ c ~ t ~ o ~ r ~ o ~ f ~ } \rho _ { \alpha ^ { \prime } } \; , } \end{array}
N ( \psi ) = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \kappa _ { n } r _ { i } \cos \psi } \cos \frac { 1 } { 2 } \psi \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \kappa _ { n } r _ { i } ( \tau ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \psi ) } } { \tau ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \psi } \mathrm { d } \, \tau .
\begin{array} { r l } { \delta \hat { \psi } _ { z } } & { = \mathrm { i } \frac { \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \sigma _ { 0 } \left( \frac { \delta \hat { \phi } _ { 0 } \delta \hat { \psi } _ { - } } { 1 - \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } } + \frac { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } \delta \hat { \psi } _ { + } } { 1 + \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } } \right) = } \\ & { = \mathrm { i } \frac { \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \sigma _ { 0 } \frac { \delta \hat { \phi } _ { 0 } \delta \hat { \psi } _ { - } + \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } \delta \hat { \psi } _ { + } + \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \left( \delta \hat { \phi } _ { 0 } \delta \hat { \psi } _ { - } + \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } \delta \hat { \psi } _ { + } \right) } { 1 - \frac { \omega _ { z } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } , } \end{array}
\textrm { R e } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \frac { 6 e ^ { i \nu \tau } } { ( \tau - i \epsilon ) ^ { 4 } } \right] = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \tau \frac { 6 e ^ { i \nu \tau } } { ( \tau - i \epsilon ) ^ { 4 } } .
H _ { c } = \int d ^ { 2 } x \left[ ( { \vec { \nabla } } + i { \vec { A } } ) \phi ^ { * } \cdot ( { \vec { \nabla } } - i { \vec { A } } ) \phi + \pi _ { \phi ^ { * } } \pi _ { \phi } + A _ { 0 } ( j _ { 0 } - \frac { \alpha } { 2 \pi } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } A _ { j } ) \right]
\begin{array} { r l } { d \omega } & { = \sum _ { i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } } d \omega _ { i _ { 1 } \cdots i _ { k } } \wedge d x ^ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge d x ^ { i _ { k } } } \\ & { = \sum _ { i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } } \sum _ { j } \frac { \partial \omega _ { i _ { 1 } \cdots i _ { k } } } { \partial x ^ { j } } d x ^ { j } \wedge d x ^ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge d x ^ { i _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| T _ { j } R _ { Q , j } \| _ { L ^ { p } ( Q _ { \rho } ^ { * } ) } \leq | Q | ^ { 1 / p - 1 / 2 } \| T _ { j } R _ { Q , j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k _ { Q } n ( 1 / p - 1 / 2 ) } 2 ^ { - j ( \kappa + ( n - \kappa ) ( 1 - \rho ) ) ( 1 / p - 1 / 2 ) } \| R _ { Q , j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim 2 ^ { - j ( \kappa + ( n - \kappa ) ( 1 - \rho ) ) ( 1 / p - 1 / 2 ) } } \end{array}
\frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } p ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } = \nabla ^ { 2 } p ^ { \prime } + \frac { \lambda + 2 \mu } { \bar { \rho } c ^ { 2 } } \nabla ^ { 2 } \left( \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial t } \right)
\frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + \left( { \bf u } \cdot \nabla \right) { \bf u } = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla p _ { 1 } - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 0 } } g \hat { z } ,
\mathbf { a } + \mathbf { b } = ( a _ { 1 } + b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 } + ( a _ { 2 } + b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 } + ( a _ { 3 } + b _ { 3 } ) \mathbf { e } _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { [ t ] } & { { } 0 . 9 2 \cdot 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 1 } 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 1 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 3 } 5 g _ { 7 / 2 } ^ { 5 } + } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { A } } } { d t } } & { { } = } & { 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ \frac { { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { G M _ { \oplus } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ( 1 - J _ { 2 } \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ) ^ { 2 } P _ { 2 0 } ( \cos \theta ) \Big ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \gamma \eta _ { t } } { 4 } \bigg ( 8 \| u _ { t } - \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { 8 C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| G _ { t } - \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } + \frac { 8 \kappa ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| H _ { t } - \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 8 \kappa ^ { 2 } \| h _ { t } - \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } + \frac { 1 6 \hat { L } ^ { 2 } } { \mu } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) \bigg ) + \frac { \eta _ { t } } { 4 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \gamma \eta _ { t } } { 4 } \bigg ( 8 \| u _ { t } - \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { 8 C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| G _ { t } - \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } + \frac { 8 \kappa ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \| H _ { t } - \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 8 \kappa ^ { 2 } \| h _ { t } - \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } \bigg ) + \frac { \lambda \mu \eta _ { t } } { 4 } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \frac { \eta _ { t } } { 4 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \Gamma _ { t } - \Gamma _ { t + 1 } + 2 \hat { c } ^ { 2 } \gamma \sigma ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } + 2 c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { i } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \psi _ { i } ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) = - \langle z _ { i } ^ { ( k ) } , x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } \rangle + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } + x _ { i } ^ { ( k ) } - 2 x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) } \end{array}
R _ { \operatorname* { m a x } } ( \phi ) = \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } \left[ \frac { \cosh x \cosh r + \sinh x \cos \phi \sqrt { \sinh ^ { 2 } r - \sin ^ { 2 } \phi \sinh ^ { 2 } x } } { 1 + \sin ^ { 2 } \phi \sinh ^ { 2 } x } \right]
\Lambda _ { \gamma ^ { \prime } \gamma } = \int _ { \phi = 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \rho = 0 } ^ { \infty } [ 2 \epsilon _ { r } ( \rho , z ) k _ { \gamma } \Delta k _ { \gamma } + k _ { \gamma } ^ { 2 } \Delta \epsilon _ { r } ( \rho , \phi ) - \frac { 2 m _ { \gamma } \Delta m _ { \gamma } } { \rho ^ { 2 } } ] \hat { e } _ { \gamma ^ { \prime } } ^ { * } ( \rho ) \cdot \hat { e } _ { \gamma } ( \rho ) e ^ { - j ( m _ { \gamma } ^ { \prime } - m _ { \gamma ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \phi } \rho d \rho d \phi
2 \ln ( 3 ) = 3 \ln 2 - \sum _ { k \geq 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { 8 ^ { k } k } } = 3 \ln 2 + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 } { 2 n + 1 } } { \left( { \frac { 1 } { 2 \cdot 8 + 1 } } \right) } ^ { 2 n + 1 } .
\binom { \mathcal { P } _ { 1 , j } ^ { + } } { \mathcal { P } _ { 1 , j } ^ { - } } = I _ { j } ^ { 1 , 2 } \binom { \mathcal { P } _ { 2 , j } ^ { + } } { \mathcal { P } _ { 2 , j } ^ { - } } ,
\begin{array} { r l r } { J _ { N , \hat { \pi } } ( \mu ) } & { : = } & { \hat { c } _ { N } ( \mu ) , } \\ { \mathrm { a n d } \quad J _ { n , \hat { \pi } } ( \mu ) } & { : = } & { \hat { c } _ { n } ( \mu , \hat { \phi } _ { n } ( \mu ) ) + J _ { n + 1 , \hat { \pi } } ( \hat { T } _ { n } ( \mu , \hat { \phi } _ { n } ( \mu ) ) ) , \quad n = 0 , \ldots , N - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( T ; t , x ) } & { = e ^ { - \frac { \lambda } { \rho } ( x - \rho ( \ell - t ) ) } \delta \left( T - t - \frac { ( x - \rho ( \ell - t ) ) } { \rho } \right) } \\ & { \qquad + ( x - \rho ( \ell - t ) ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( \lambda / \rho ) ^ { n } } { n ! } ( \rho ( T - t ) ) ^ { n - 1 } e ^ { - \lambda ( T - t ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \cdot p ^ { \ast n } ( \rho ( T - t ) - ( x - \rho ( \ell - t ) ) ) \cdot 1 _ { T \geq t + \frac { ( x - \rho ( \ell - t ) ) } { \rho } } , } \end{array}
\mathbb { E } \sum _ { \Delta t = 0 } ^ { \infty } \delta ^ { \Delta t } U _ { H } ( t ) = - \delta P _ { I } ( t ) \sum _ { \Delta t = 1 } ^ { \infty } [ \delta ( 1 - P _ { I } ( t ) ) ] ^ { \Delta t - 1 } \alpha .