harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { f ( \eta ) } & { = } & { e r f \left( { \frac { \eta } { 2 \sqrt { D } } } \right) , } \\ { f ( \eta ) } & { = } & { \kappa _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } , } \\ { f ( \eta ) } & { = } & { \kappa _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 6 D } \eta ^ { 2 } \right) , } \\ { f ( \eta ) } & { = } & { \kappa _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 3 D } \eta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 0 } \frac { 1 } { D ^ { 2 } } \eta ^ { 4 } \right) , } \\ { f ( \eta ) } & { = } & { \kappa _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 2 D } \eta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 0 } \frac { 1 } { D ^ { 2 } } \eta ^ { 4 } - \frac { 1 } { 8 4 0 } \frac { 1 } { D ^ { 3 } } \eta ^ { 6 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } \big ( ( \mathbb { d } \mathsf { G } ) \xi \big ) } & { = \mathrm { t r } \big ( ( \mathcal { L } _ { \ell } \mathbb { d } E + \mathcal { D } _ { i } \mathbb { d } F _ { \ell } ^ { i } + [ \mathbb { d } A _ { \ell } , E ] + [ \mathbb { d } A _ { i } , F _ { \ell } ^ { i } ] ) \xi \big ) } \\ & { = \mathrm { t r } \big ( - \mathbb { d } E \ \mathcal { L } _ { \ell } \xi - \mathbb { d } F _ { \ell } ^ { i } \ \mathcal { D } _ { i } \xi + [ \mathbb { d } A _ { \ell } , E ] \xi + [ \mathbb { d } A _ { i } , F _ { \ell } ^ { i } ] \xi \big ) } \\ & { \qquad \qquad + L _ { \ell } \mathrm { t r } \big ( ( \mathbb { d } E ) \xi \big ) + D _ { i } \mathrm { t r } \big ( ( \mathbb { d } F _ { \ell } ^ { i } ) \xi \big ) , } \end{array}
\mathrm { d } ( F ^ { \prime } \circ F ^ { - 1 } ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { R } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { v } & { 1 } \end{array} \right)
\frac { d } { d t } \Bigl ( \dot { q } _ { i } + \lambda ^ { 2 } q _ { i } \Bigr ) = - \biggl [ \lambda ^ { 2 } + \frac { 2 \tilde { T } _ { 2 } ( 2 \tilde { T } _ { 1 } + 1 ) } { ( q ^ { 2 } + 2 \eta ) ^ { 2 } } \biggr ] ( \dot { q } _ { i } + \lambda ^ { 2 } q _ { i } ) - \frac { 1 } { q ^ { 2 } } ( \dot { q } _ { k } + \lambda ^ { 2 } q _ { k } ) ^ { 2 } \, q _ { i } \, .
- 2 \Bigl ( e ^ { \psi } \partial _ { 1 } \partial _ { \bar { 1 } } + e ^ { \psi } \partial _ { 2 } \partial _ { \bar { 2 } } + \partial _ { 3 } \partial _ { \bar { 3 } } \Bigr ) Z = ( 4 \pi ) ^ { 1 / 2 } \kappa e ^ { \psi } \rho _ { 3 } \ , \quad e ^ { \psi } \rho _ { 3 } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \delta ^ { 6 } ( x ^ { m } - x _ { j } ^ { m } ) \ .
\begin{array} { r } { { \cal V } _ { \Delta x } ( t ) = 2 \left[ \left( \frac { k _ { B } \, T } { k } + \frac { { \cal F } ^ { 2 } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { k ( w + w _ { r } ) } \right) ( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - w _ { r } \, t } ) + \frac { { \cal F } ^ { 2 } \, \mu ^ { 2 } \, q ( 1 - q ) } { w ^ { 2 } - w _ { r } ^ { 2 } } \left( \mathrm { ~ e ~ } ^ { - w _ { - } \, t } - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - w _ { r } \, t } \right) \right] \, . } \end{array}
\dot { x } _ { \imath } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = - \gamma _ { \imath } \left( x _ { \imath } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \beta \sum _ { \jmath = 1 } ^ { 2 } g _ { \imath \jmath } a _ { \imath } ^ { \dagger } a _ { \imath } \right) ,
S _ { 1 } ^ { \mathrm { e l } } ( 0 , Q ^ { 2 } ) = { \frac { 4 } { Q ^ { 2 } } } F _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) ( F _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) + F _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) ) \ .
\tilde { D } ^ { L } ( X ) _ { i j } = \sum _ { k } [ Q , P _ { I } ( F _ { i k } ^ { I } ) ] ^ { L } ( X _ { k j } ) , \ \tilde { D } ^ { R } ( X ) _ { i j } = \sum _ { k } [ Q , P _ { I } ( F _ { i k } ^ { I } ) ] ^ { R } ( X _ { k j } ) \ .
Q _ { s } = 0 . 0 8 9 A _ { E } k _ { m } \left( \frac { \alpha _ { s } \rho _ { s } ^ { 2 } C _ { p } g _ { s } } { k _ { m } \eta _ { L } } \right) ^ { 1 / 3 } ( T _ { p } - T _ { s } ) ^ { 4 / 3 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf H _ { i i } } & { = [ ( m - 1 ) d i a g ( \mathbf u ^ { \circledast ^ { m - 2 } } ) - \alpha \mathbf I _ { n } ] _ { i i } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( m - 1 ) a ^ { m - 2 } - \alpha = \sigma _ { c } > 0 , \quad \quad u _ { i } = c } \\ { ( m - 1 ) b ^ { m - 2 } - \alpha = \sigma _ { d } < 0 , \quad \quad u _ { i } = d } \\ { ( m - 1 ) c ^ { m - 2 } - \alpha = \sigma _ { e } > 0 , \quad \quad u _ { i } = e } \end{array} \right. . } \end{array}
| B , \eta , V > _ { o s c } ^ { f } = \exp { i \eta \sum _ { n > 0 } ^ { \infty } \{ \frac { 1 } { 2 } ( e ^ { - 2 v } \psi _ { n } ^ { A \dagger } \tilde { \psi } _ { n } ^ { A \dagger } + e ^ { 2 v } \psi _ { n } ^ { B \dagger } \tilde { \psi } _ { n } ^ { B \dagger } ) - \psi _ { n } ^ { T \dagger } \tilde { \psi } _ { n } ^ { T \dagger } \} } | 0 > \; ,
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla _ { z _ { l } } g ^ { ( j ) } \left( y , z \right) \right\Vert _ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \left( 1 + \varepsilon \right) \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } } { \delta } \left\Vert X _ { i } - z _ { j } \right\Vert _ { 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \left( 1 + \varepsilon \right) ^ { 2 } \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } \left\Vert X _ { i } - z _ { l } \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 3 \left( 1 + \varepsilon \right) R } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } \delta } + \frac { 3 \left( 1 + \varepsilon \right) ^ { 2 } R \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } ^ { 2 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } \delta ^ { 2 } } . } \end{array}
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = \left( \frac { \pi ^ { 4 } } { 1 5 } Q \right) ^ { - 1 / 3 } l _ { p } ^ { \prime 2 } U ^ { 2 } ( - d \tau ^ { 2 } + d x _ { 6 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 9 } ^ { 2 } + d x _ { 1 1 } ^ { 2 } ) + \left( \frac { \pi ^ { 4 } } { 1 5 } Q \right) ^ { 2 / 3 } l _ { p } ^ { \prime 2 } ( \frac { 4 d U ^ { 2 } } { U ^ { 2 } } + d \Omega _ { ( 4 ) } ^ { 2 } )
\frac { { \cal P } } { q - a } \; \frac { { \cal P } } { q - b } = \frac { { \cal P } } { a - b } ( \frac { { \cal P } } { q - a } - \frac { { \cal P } } { q - b } ) + \pi ^ { 2 } \delta ( q - a ) \; \delta ( q - b ) .
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { l o s s } } ( \omega , { \bf k } ) = \frac { \pi } { 2 } \sum _ { \zeta } \frac { c _ { { \bf k } , \zeta } ^ { 2 } } { \omega _ { { \bf k } , \zeta } } \delta ( \omega - \omega _ { { \bf k } , \zeta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { \ell } _ { 1 } ( { q } ) = - a \left( { p } _ { h } , { q } \right) + b ( \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } , { q } ) , \forall q \in \mathbb { Q } , } \\ & { } & { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) = \ell _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) - d \left( \boldsymbol { v } , { p } _ { h } \right) - c ( \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } , \boldsymbol { v } ) , \forall \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { U } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { f } _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ) } } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in B _ { R } } \frac { | f _ { k } ( x _ { k } + \rho _ { k } x ) - f _ { k } ( x _ { k } ) | } { \rho _ { k } ^ { \alpha } [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } \le \frac { ( \rho _ { k } R ) ^ { \alpha } [ f _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } { \rho _ { k } ^ { \alpha } [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } } \\ & { \le \frac { R ^ { \alpha } [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 / 2 } ) } } { k [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } } \le \frac { R ^ { \alpha } } { k } \to 0 , \textrm { a s } k \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { i } = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \alpha _ { i } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 2 } } \to { \frac { \alpha _ { i } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 2 } } , \quad \quad \delta = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \alpha ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 2 } } \to { \frac { \alpha ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i _ { 0 } , k } = } & { u _ { i _ { 0 } } + k \Delta u _ { i _ { 0 } } , \quad \Delta u _ { i _ { 0 } } = \frac { u _ { i _ { 0 } + 1 } - u _ { i _ { 0 } } } { n _ { u } } , \quad k = 0 , \ldots , n _ { u } , } \\ { v _ { i _ { 0 } , \ell } = } & { v _ { j _ { 0 } } + \ell \Delta v _ { j _ { 0 } } , \quad \Delta v _ { j _ { 0 } } = \frac { v _ { j _ { 0 } + 1 } - v _ { j _ { 0 } } } { n _ { v } } , \quad \ell = 0 , \ldots , n _ { v } . } \end{array}
V \left( z \right) = - \left( \alpha \left( 0 \right) - \beta \left( 0 \right) \right) \frac { \pi ^ { 3 } } { a ^ { 4 } } F \left( \frac { \pi z } { a } \right) + \left( \alpha \left( 0 \right) + \beta \left( 0 \right) \right) \frac { \pi ^ { 3 } } { 3 6 0 a ^ { 4 } } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { L _ { y } , L _ { z } \rightarrow \infty } \gamma = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \rho } { 1 - \rho ^ { 2 } } \frac { \lambda ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } d ^ { 4 } } \bar { P } \left[ F \left( \frac 1 2 \arctan \frac { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } { \rho } \bigg | 2 \right) \right] ^ { 2 } , } & { 0 < \rho < 1 } \\ { \frac { \lambda ^ { 4 } } { 4 \pi ^ { 2 } d ^ { 4 } } \bar { P } , } & { \rho = 1 } \end{array} \right. . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } B \omega } \sigma ( \omega ) Q ( \omega ) } { \omega + \mathrm { i } \xi _ { m } } \mathrm { d } \omega = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { - 2 B \xi ^ { \prime } } \delta \sigma ( \mathrm { i } \xi ^ { \prime } ) Q ( \mathrm { i } \xi ^ { \prime } ) } { \xi ^ { \prime } + \xi _ { m } } \mathrm { d } \xi ^ { \prime } - \sum _ { n \ge 1 } \frac { \mathrm { i } \sigma _ { n } ^ { \pm } Q ( \mathrm { i } \xi _ { n } ) } { \xi _ { n } + \xi _ { m } } \mathrm { e } ^ { - 2 B \xi _ { n } } ,
\begin{array} { r l } { \theta _ { C ^ { \prime } C Q } = \sum _ { x ^ { \prime } , x } } & { { } q _ { x } \mathrm { ~ t ~ r ~ } \{ \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x } \} ^ { - 1 } \tilde { q } _ { x ^ { \prime } | x } | x ^ { \prime } , x \rangle _ { C ^ { \prime } C Q } \langle x ^ { \prime } , x | } \\ { = \sum _ { x ^ { \prime } , x } } & { { } q _ { x } q _ { x ^ { \prime } | x } | x ^ { \prime } , x \rangle _ { C ^ { \prime } C Q } \langle x ^ { \prime } , x | \otimes \tau _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } , } \end{array}
a ^ { 3 2 } + 1 2 4 0 a ^ { 2 8 } c ^ { 4 } + 2 7 7 7 6 a ^ { 2 6 } c ^ { 6 } + 3 3 0 4 6 0 a ^ { 2 4 } c ^ { 8 } + 2 0 1 1 7 7 6 a ^ { 2 2 } c ^ { 1 0 } + 7 0 6 3 7 8 4 a ^ { 2 0 } c ^ { 1 2 } + 1 4 7 2 1 2 8 0 a ^ { 1 8 } c ^ { 1 4 } + 1 8 7 9 6 2 3 0 a ^ { 1 6 } c ^ { 1 6 } + 1 4 7 2 1 2 8 0 a ^ { 1 4 } c ^ { 1 8 } + 7 0 6 3 7 8 4 a ^ { 1 2 } c ^ { 2 0 } + 2 0 1 1 7 7 6 a ^ { 1 0 } c ^ { 2 2 } + 3 3 0 4 6 0 a ^ { 8 } c ^ { 2 4 } + 2 7 7 7 6 a ^ { 6 } c ^ { 2 6 } + 1 2 4 0 a ^ { 4 } c ^ { 2 8 } + b ^ { 1 6 } ( 1 2 6 9 7 6 a ^ { 1 6 } + 1 5 2 3 7 1 2 0 a ^ { 1 4 } c ^ { 2 } + 2 3 1 0 9 6 3 2 0 a ^ { 1 2 } c ^ { 4 } + 1 0 1 6 8 2 3 8 0 8 a ^ { 1 0 } c ^ { 6 } + 1 6 3 4 1 8 1 1 2 0 a ^ { 8 } c ^ { 8 } + 1 0 1 6 8 2 3 8 0 8 a ^ { 6 } c ^ { 1 0 } + 2 3 1 0 9 6 3 2 0 a ^ { 4 } c ^ { 1 2 } + 1 5 2 3 7 1 2 0 a ^ { 2 } c ^ { 1 4 } + 1 2 6 9 7 6 c ^ { 1 6 } ) + 6 7 1 0 8 8 6 4 b ^ { 3 2 } + c ^ { 3 2 }
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla f ( X ( T ) ) \right\Vert ^ { 2 } } & { \leq \frac { 8 } { T ^ { 2 } } \operatorname { c s c h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } T \right) \left( f ( x _ { 0 } ) - f \left( X ( T ) \right) + \frac { \mu } { 2 } \left\Vert x _ { 0 } - X ( T ) \right\Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \frac { 8 } { T ^ { 2 } } \operatorname { c s c h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } T \right) \left( f ( x _ { 0 } ) - f \left( x ^ { * } \right) + \frac { \mu } { 2 } \left\Vert x _ { 0 } - X ( T ) \right\Vert ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( A _ { 3 } ( a _ { 3 } ) ) f } & { = f + ( \cosh ( a _ { 3 } ) - 1 ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } z _ { 1 } ^ { k - 1 } ( f _ { 1 , k } z _ { 1 } + f _ { 2 , k } z _ { 2 } ) } \\ & { \quad + \sinh ( a _ { 3 } ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } z _ { 1 } ^ { k - 1 } ( f _ { 2 , k + 1 } z _ { 1 } + f _ { 1 , k - 1 } z _ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } z _ { 1 } ^ { k - 1 } ( ( \cosh ( a _ { 3 } ) f _ { 1 , k } + \sinh ( a _ { 3 } ) f _ { 2 , k + 1 } ) z _ { 1 } } \\ & { \quad + ( \cosh ( a _ { 3 } ) f _ { 2 , k } + \sinh ( a _ { 3 } ) f _ { 1 , k - 1 } ) z _ { 2 } + f _ { 3 , k } z _ { 3 } + f _ { 4 , k } z _ { 4 } ) } \\ & { = ( \cosh ( a _ { 3 } ) + \sinh ( a _ { 3 } ) z _ { 2 } ) } \\ & { \quad \times f ( z _ { 1 } , \operatorname { t a n h } ( a _ { 3 } ) + \cosh ( a _ { 3 } ) ^ { - 2 } z _ { 2 } , \cosh ( a _ { 3 } ) ^ { - 1 } z _ { 3 } , \cosh ( a _ { 3 } ) ^ { - 1 } z _ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { k } ( t ) = \Psi _ { k } ( t ) - \langle \Psi _ { k } \rangle _ { 0 } = \sum _ { p = 1 } ^ { F } \tilde { X } _ { k } ^ { p } ( t ) + \mathcal { R } _ { k } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T \left( \delta \right) _ { m ^ { \prime } , m } = } & { \sqrt { \frac { m ! } { m ^ { \prime } ! } } \alpha ^ { m ^ { \prime } - m } e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } L _ { n } ^ { m ^ { \prime } - m } \left( \alpha ^ { 2 } \right) \, , \, m ^ { \prime } \geq m , } \\ { T \left( \delta \right) _ { m ^ { \prime } , m } = } & { \sqrt { \frac { m ^ { \prime } ! } { m ! } } \left( - \alpha ^ { m - m ^ { \prime } } \right) e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } L _ { m } ^ { m - m ^ { \prime } } \left( \alpha ^ { 2 } \right) \, , \, m > m ^ { \prime } , } \end{array}
y _ { i j } ^ { u } f \left( { \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { ( i \sigma _ { 2 } Q _ { i } ) ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} } \right) \Sigma ^ { * } \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { u _ { j } ^ { c } } } \end{array} \right) + y _ { i j } ^ { d } f \left( { \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { Q _ { i } ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} } \right) \Sigma \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { d _ { j } ^ { c } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { R _ { 1 } \leq I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) } \\ & { R _ { 2 } \leq \operatorname* { m i n } \Big \{ \big ( H ( Y _ { 1 } , S _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) \! - \! H ( S _ { 1 } | Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } , V ) \big ) , \quad \big ( I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) - R _ { 1 } \big ) \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \epsilon \partial _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } \omega _ { 1 } \partial _ { 0 } + \epsilon ^ { 3 } ( \omega _ { 2 } \partial _ { 0 } + \partial _ { 2 } ) \right) \dot { D } ( t ) } & { { } = \gamma \left[ - D ( t ) + ( I _ { 0 } + \epsilon I _ { 1 } D ( t ) ) | E ( t ) | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \sigma _ { i } \to \sigma _ { j } } G _ { P } ^ { \prime } ( \sigma _ { i } , \sigma _ { j } ) = - 2 \alpha ^ { \prime } ~ \mathrm { l n } ~ d ^ { 2 } ( | \sigma _ { i j } | ) + f ( \sigma _ { i } , \sigma _ { j } ) \quad ,
C ( \textbf x _ { 1 } , \textbf x _ { 2 } ) \sim \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Theta _ { N } ( \textbf x _ { 1 } , \textbf x _ { 2 } ) } } { 4 \pi \ell ^ { 2 } \sqrt { \sigma ( \varphi _ { 1 } ) \sigma ( \varphi _ { 2 } ) } } \frac { \mathrm { i } \exp \left( - \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } - \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { 2 \pi N } \, \sin \bigl ( \int _ { \varphi _ { 2 } } ^ { \varphi _ { 1 } } \frac { \mathrm { d } \theta } { 4 } \lambda ( \theta ) \bigr ) }
Q _ { 3 } = ( \bar { s } d ) _ { V - A } \sum _ { q = u , d , s } ( \bar { q } q ) _ { V - A } ~ ~ ~ ~ ~ ~ Q _ { 4 } = ( \bar { s } _ { \alpha } d _ { \beta } ) _ { V - A } \sum _ { q = u , d , s } ( \bar { q } _ { \beta } q _ { \alpha } ) _ { V - A }
f _ { \boldsymbol { H _ { i } } } ^ { l } ( \boldsymbol { M _ { r } } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { { r _ { j } } } { \left( \boldsymbol { H _ { j } } - \boldsymbol { { c } _ { j } } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { x x } } & { { } = } & { \langle x ^ { 2 } \rangle - \langle x \rangle ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { x v } } & { { } = } & { \langle x v \rangle - \langle x \rangle \langle v \rangle } \\ { \sigma _ { v v } } & { { } = } & { \langle v ^ { 2 } \rangle - \langle v \rangle ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { t o t . D } } ^ { 2 } } & { { } = ( 2 \mathcal { E } _ { \mathrm { D } } ) ^ { 2 } = 4 \mathcal { E } _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } , } \\ { p _ { \mathrm { t o t . D } } ^ { 2 } } & { { } = \Big ( 2 \frac { p _ { \mathrm { D } } } { \sqrt 2 } \Big ) ^ { 2 } = 2 p _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } , } \\ { { M _ { \mathrm { D } } ^ { * } } ^ { 2 } } & { { } = \mathcal { E } _ { \mathrm { t o t . D } } ^ { 2 } - p _ { \mathrm { t o t . D } } ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { C } ( \mathbf { m } ( \mathbf { x } ) ) = \mathbf { M } ( \mathbf { m } ( \mathbf { x } ) ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 / c ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } \end{array} \right) .
N M I ( C _ { 1 } , C _ { 2 } ) = \frac { - 2 \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { | C _ { 1 } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | C _ { 2 } | } \mathbb { P } ( i , j ) \log \left( \frac { \mathbb { P } ( i , j ) } { \mathbb { P } _ { 1 } ( i ) \mathbb { P } _ { 2 } ( j ) } \right) } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { | C _ { 1 } | } \mathbb { P } _ { 1 } ( i ) \log \mathbb { P } _ { 1 } ( i ) + \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { | C _ { 2 } | } \mathbb { P } _ { 2 } ( j ) \log \mathbb { P } _ { 2 } ( j ) } { , }
\mathrm { \frac { R I N _ { b s c } } { R I N _ { s n } } } = \frac { 4 \eta _ { i n j } \mathrm { P _ { b s c } } } { 2 \hbar \omega } \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( 1 - \frac { 2 \eta _ { e s c } } { 1 + x } \right) ^ { 2 } S _ { \delta \phi } + \left( \frac { 4 \eta _ { e s c } x } { 1 - x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } S _ { \delta \theta } \right] \, .
\{ J _ { 0 } ^ { a } ( x ) \; , \; \stackrel { \wedge } { J _ { 1 } ^ { b } } ( y ) \} = \, \epsilon ^ { a b c } \stackrel { \wedge } { J _ { 1 } ^ { c } } ( x ) \; \delta ( x - y ) \, - 2 \delta ^ { a b } \; \delta ^ { \prime } ( x - y )
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \bigg | } f ( t _ { i } ) - f ( t _ { i - 1 } ) { \bigg | } = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| { \frac { f ( t _ { i } ) - f ( t _ { i - 1 } ) } { \Delta t } } \right| \Delta t = \int _ { a } ^ { b } { \Big | } f ^ { \prime } ( t ) { \Big | } \ d t .
\frac { 1 } { A \lambda ^ { 3 } } V _ { u d } ^ { } V _ { u b } ^ { * } = \bar { \varrho } + i \bar { \eta } , \qquad \qquad \frac { 1 } { A \lambda ^ { 3 } } V _ { t d } ^ { } V _ { t b } ^ { * } = 1 - ( \bar { \varrho } + i \bar { \eta } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { e e ^ { \prime } } ( \textbf { r } , \tau ) } & { = - i \Delta \omega _ { e e ^ { \prime } } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) + i \sum _ { g , \, s } \left( \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e g } s } \rho _ { { g e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) - \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g e ^ { \prime } } s } \right) , } \end{array}
x ^ { * } x = x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } + x _ { 5 } ^ { 2 } + x _ { 6 } ^ { 2 } + x _ { 7 } ^ { 2 } .
\Pi _ { 3 B } ~ = ~ - \, \frac { 2 \pi ^ { 4 \mu } } { ( \mu - 1 ) ^ { 3 } \Gamma ^ { 4 } ( \mu ) \Delta } \left[ 1 - \frac { \Delta ( \mu - 1 ) } { 2 } \left( 3 \Theta + \frac { 1 } { ( \mu - 1 ) ^ { 2 } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { f ( \sigma ^ { \textrm { B S } } , \xi ) \approx } & { f ( \sigma ^ { m k t } , \xi ^ { m k t } ) + \frac { \partial f } { \partial \sigma } ( \sigma ^ { m k t } , \xi ^ { m k t } ) ( \sigma ^ { \textrm { B S } } - \sigma ^ { m k t } ) + \frac { \partial f } { \partial \xi } ( \sigma ^ { m k t } , \xi ^ { m k t } ) ( \xi - \xi ^ { m k t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d x _ { i , p } } { d t } = u _ { i , p } , ~ ~ ~ m _ { p } \frac { d u _ { i , p } } { d t } = m _ { p } \left( 1 - \frac { \rho _ { g } } { \rho _ { p } } \right) g _ { i } + F _ { i , p } ^ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \mathrm { v a c u u m } \right) \bigoplus \left( \mathrm { 1 \; p a r t i c l e \; H i l b e r t \; s p a c e } \right) \bigoplus \left( \mathrm { 2 \; p a r t i c l e \; H i l b e r t \; s p a c e } \right) \bigoplus \; . . . } \\ { . . . \; \bigoplus \left( \mathrm { N \; p a r t i c l e \; H i l b e r t \; s p a c e } \right) \bigoplus \; . . . \qquad \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( B , x ) } & { = x ^ { 5 } - ( n _ { 2 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 4 } + n _ { 3 } n _ { 5 } ) x ^ { 3 } - 2 n _ { 2 } n _ { 4 } x ^ { 2 } + } \\ & { ( n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 5 } + n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } + n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } ) x + 2 n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } . } \end{array}
{ \mathcal L } _ { e f f } \; \sim \; h \rho _ { 0 } q \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \epsilon _ { k l } \, \dot { r } _ { k } ^ { ( \alpha ) } R _ { l } ^ { ( \alpha ) } \, - \, \frac { h ^ { 2 } \rho _ { 0 } q ^ { 2 } } { 2 \pi m } \, \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \, \ln | \frac { r ^ { ( \alpha ) } } { \xi } | \; ,
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , l a d - S } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \\ & { \times } & { { \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } } ^ { \prime } \, \frac { \langle P a P b | I ( \omega ) | n _ { 1 } n _ { 2 } \rangle \langle n _ { 2 } | U | n _ { 3 } \rangle \langle n _ { 1 } n _ { 3 } | I ( \omega + \Delta _ { P a Q a } ) | Q a Q b \rangle } { ( \varepsilon _ { P a } + \omega - u \varepsilon _ { n _ { 1 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - \Delta _ { P a Q a } - u \varepsilon _ { n _ { 2 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - \Delta _ { P a Q a } - u \varepsilon _ { n _ { 3 } } ) } \, , } \end{array}
z _ { n } ^ { I } = \frac { 1 } { t _ { f } + \Delta _ { t } } \left[ \left( \sum _ { t = \Delta _ { t } } ^ { t _ { f } } N _ { C S } ^ { I } ( t ) \cos { \frac { n \pi t } { t _ { f } } } \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( N _ { C S } ^ { I } ( 0 ) + N _ { C S } ^ { I } ( t _ { f } ) \cos { n \pi } \right) \right] \; \; ,
F _ { P } ( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } ) = \frac { 3 g _ { s } ^ { 2 } } { N _ { c } \, q _ { 1 } ^ { 2 } } \, C _ { P } \, , \qquad ( | q _ { 1 } ^ { 2 } | \gg | q _ { 2 } ^ { 2 } | )
\int _ { 0 } ^ { 1 } { d } x \, x ^ { n - 1 } F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) = C _ { n } ^ { q } ( Q ^ { 2 } ; \mu ^ { 2 } ) \, a _ { n } ^ { q } ( \mu ^ { 2 } ) + C _ { n } ^ { g } ( Q ^ { 2 } ; \mu ^ { 2 } ) \, a _ { n } ^ { g } ( \mu ^ { 2 } ) ,
a ( I ) _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { x _ { \mathrm { m i n } } \leq \| { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } \| < x _ { \mathrm { m a x } } ~ \mathrm { a n d } ~ i \neq j } \\ { 0 , } & { \mathrm { { o t h e r s } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u } & { = \frac { 1 } { 1 - e ^ { - b / \sqrt { x } } } \ \rightarrow \ d u = \frac { b x ^ { - 3 / 2 } e ^ { - b / \sqrt { x } } } { 2 ( 1 - e ^ { - b / \sqrt { x } } ) ^ { 2 } } d x , } \\ { d v } & { = \frac { 1 } { \sigma } \frac { e ^ { y / \sigma } } { ( 1 + e ^ { y / \sigma } ) ^ { 2 } } \ \rightarrow \ v = - \frac { 1 } { ( 1 + e ^ { y / \sigma } ) } . } \end{array}
1 - { \frac { g } { 6 } } ( 1 + { \frac { 2 } { 9 } } g \pi \sqrt { 3 } ) \ln [ g ] + { \frac { 1 } { 2 7 } } g ^ { 2 } \pi \sqrt { 3 } \ln [ 1 + { \frac { 1 } { 9 } } g \pi \sqrt { 3 } ( 1 + { \frac { g } { 1 2 } } ) ] = 0 .