harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { C D } _ { K / K ^ { \prime } } = [ I _ { K / K ^ { \prime } } ^ { \sigma ^ { + } } - I _ { K / K ^ { \prime } } ^ { \sigma ^ { - } } ] / [ I _ { K / K ^ { \prime } } ^ { \sigma ^ { + } } + I _ { K / K ^ { \prime } } ^ { \sigma ^ { - } } ]
\begin{array} { r l } { r } & { { } = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } , } \\ { \varphi } & { { } = \arctan ( y / x ) , } \\ { \theta } & { { } = \operatorname { a r c c o s } { \frac { z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } = \operatorname { a r c c o s } { \frac { z } { r } } = \arctan { \frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { z } } . } \end{array}
\langle \phi | \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \psi ) \theta \rangle = \langle \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \psi ) \phi | \theta \rangle \mathrm { ~ \ \ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \psi , \phi , \theta .
\delta \ \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \left( \frac { \delta m _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { \delta m _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \right) .
\int d ^ { 2 } \vec { \vartheta } \, F ( \vec { \vartheta } ) \, e ^ { i \varphi } ( \partial _ { \vartheta } + i \cot \vartheta \, \partial _ { \varphi } ) \, G ( \vec { \vartheta } ) = - \int d ^ { 2 } \vec { \vartheta } \left[ e ^ { i \varphi } ( \partial _ { \vartheta } + i \cot \vartheta \, \partial _ { \varphi } ) F ( \vec { \vartheta } ) \right] G ( \vec { \vartheta } ) .
\mathrm { ~ E ~ S ~ R ~ I ~ } _ { j } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { s _ { i } ^ { o u t } } { \sum _ { l = 1 } ^ { n } { s _ { l } ^ { o u t } } } } \left( 1 - h _ { i } ( T ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \cfrac { d } { d t } L ^ { 2 } } & { = - 2 ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) ) L ^ { 2 } - 2 g ^ { \prime } ( s ) \dot { s } ( c - g ( s ) ) } \\ & { = - 2 ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) L ^ { 2 } + 2 g ^ { \prime } ( s ) \bigg [ \dot { c } + k _ { 2 } c \bigg ] ( c - g ( s ) ) } \\ & { = - 2 ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) L ^ { 2 } + 2 g ^ { \prime } ( s ) \bigg [ - ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) ( c - g ( s ) ) + k _ { 2 } c \bigg ] ( c - g ( s ) ) } \\ & { = - 2 ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) L ^ { 2 } - 2 ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) g ^ { \prime } ( s ) L ^ { 2 } + 2 g ^ { \prime } ( s ) k _ { 2 } c ( c - g ( s ) ) } \\ & { \leq - 2 \bigg [ \operatorname* { m i n } _ { s \in [ 0 , s _ { 0 } ] } ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) ( 1 + g ^ { \prime } ( s ) ) \bigg ] L ^ { 2 } + 2 \operatorname* { m a x } _ { s \in [ 0 , s _ { 0 } ] } | g ^ { \prime } ( s ) | \cdot k _ { 2 } \widetilde c \cdot | c - g ( s ) | . } \end{array}
{ \cal E } _ { a s 1 } ^ { s p i n } \ = \ \frac { \beta ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } } { 4 \pi } \left( \frac 1 s + \ln \left( \frac { 4 \mu ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } } \right) - 1 \right) \- \ - \frac { \beta ^ { 2 } m _ { e } } { 1 6 R }
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { I } ^ { \intercal } ( I - Y V ) \equiv \lambda _ { V } ^ { \intercal } ( Z I - V ) = \lambda _ { V } ^ { \intercal } ( Y ^ { - 1 } I - Y ^ { - 1 } Y V ) } \\ & { = \lambda _ { V } ^ { \intercal } Y ^ { - 1 } ( I - Y V ) \implies \lambda _ { I } ^ { \intercal } = \lambda _ { V } ^ { \intercal } Y ^ { - 1 } \implies \lambda _ { V } = Y ^ { \intercal } \lambda _ { I } } \end{array}
\textbf { C P } _ { S } : \left( F _ { C P _ { S } } \left( \frac { \pi } { 6 } \right) , \Delta _ { C P _ { S } } \left( \frac { \pi } { 6 } \right) \right) = \left( \frac { 8 } { 3 \sqrt { 3 } ( B + 1 ) } , \sqrt { 3 } \right) .
\begin{array} { r l } { \xi ( t ) - \xi ( t - h ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } { ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t - s ) g ( s ) d s } - \int _ { 0 } ^ { t - h } { ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t - h - s ) g ( s ) d s } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t - h } ( \omega I - A ) ^ { \alpha } \big ( T ( t - s ) - T ( t - h - s ) \big ) g ( s ) d s } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \int _ { t - h } ^ { t } ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t - s ) g ( s ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } } & { \delta ( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { \mu _ { 1 } \in S _ { m } \times S _ { n } } \delta \left( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } ( \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ) ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } ( \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ) \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { \mu _ { 1 } \in S _ { m } \times S _ { n } } \delta \left( ( \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 2 } ) T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { \mu _ { 1 } \in S _ { m } \times S _ { n } } \delta \left( \underbrace { \mu _ { 2 } T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } } _ { = T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } } \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { m ! n ! } \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } \in S _ { m } \times S _ { n } } \delta \left( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } ( \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \mu _ { 1 } ) ( \mu _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { m ! n ! } \delta \left( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } \left( \sum _ { \mu _ { 1 } \in S _ { m } \times S _ { n } } \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \mu _ { 1 } \right) \left( \sum _ { \mu _ { 2 } \in S _ { m } \times S _ { n } } \mu _ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \right) \right) } \\ & { = \frac { | \mathrm { A u t } _ { \mathcal { A } } \left( p _ { 1 } \right) | | \mathrm { A u t } _ { \mathcal { A } } \left( p _ { 2 } ^ { \prime } \right) | } { m ! n ! } \delta \left( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { A } } T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } \right) } \\ & { = \frac { m ! n ! } { | T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { A } } | | T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } | } \delta \left( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { A } } T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { A } } \right) \, . } \end{array}
{ \frac { d _ { o e } A _ { e e } } { 1 - d _ { o o } A _ { o o } } } = - { \frac { B _ { e , k _ { 0 } } D _ { 1 } } { B _ { o , k _ { 0 } } D _ { 2 } } } = { \frac { B _ { e , k _ { 0 } } D _ { 2 } } { B _ { o , k _ { 0 } } D _ { 1 } } } , ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ D _ { 1 } ^ { 2 } = - D _ { 2 } ^ { 2 }
F ( x ) = \beta \sum _ { \mathbf { p } } \sum _ { r } E _ { \mathbf { p } } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \left( a _ { r } ( \mathbf { p } ) u _ { r } ( \mathbf { p } ) e ^ { - { \frac { i p x } { \hbar } } } + b _ { r } ^ { \dagger } ( \mathbf { p } ) v _ { r } ( \mathbf { p } ) e ^ { \frac { i p x } { \hbar } } \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n s u c } } + 1 } k _ { i } = N _ { \mathrm { u n s u c } } + 1 + \sum _ { i : \, k _ { i } \geq 2 } ( k _ { i } - 1 ) } & { \leq N _ { \mathrm { u n s u c } } + 1 + \sum _ { i : \, k _ { i } \geq 2 } k _ { i } } \\ & { \leq N _ { \mathrm { u n s u c } } + 1 + \sqrt { N _ { \mathrm { u n s u c } } + 1 } \sqrt { \sum _ { i : \, k _ { i } \geq 2 } k _ { i } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { R } } _ { 1 } ( X , Y ) } & { \equiv \widetilde { P } ( X , Y ) \widetilde { R } _ { 1 } ( X , Y , C ) + \left( 1 - \widetilde { P } \left( X , Y \right) \right) \widetilde { R } _ { 1 } ( X , Y , D ) } \\ { \overline { { R } } _ { 2 } ( X , Y ) } & { \equiv \widetilde { P } ( X , Y ) \widetilde { R } _ { 2 } ( X , Y , C ) + \left( 1 - \widetilde { P } \left( X , Y \right) \right) \widetilde { R } _ { 2 } ( X , Y , D ) . } \end{array}
\Gamma ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 2 } ; \mathbf { r } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) | _ { \mathbf { r } = \mathbf { r } ^ { \prime } ; \mathbf { r } _ { 2 } = \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } } = \sum _ { p q r s } \Gamma _ { p q r s } \psi _ { p } ( \mathbf { r } ) \psi _ { q } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \psi _ { r } ^ { * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \psi _ { s } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d w } { d z } = \exp \left[ - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \chi _ { 1 } } { d \xi } \ln \frac { \vartheta _ { 1 } ( \zeta - \xi ) } { \vartheta _ { 1 } ( \zeta + \xi ) } d \xi - \frac { 1 } { \pi } \int _ { \pi / 2 } ^ { 0 } \frac { d \chi _ { 2 } } { d \xi } \ln \frac { \vartheta _ { 4 } ( \zeta - \xi ) } { \vartheta _ { 4 } ( \zeta + \xi ) } d \xi \right. } \\ & { + } & { \frac { i } { \pi } \left. \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi | \tau | } { 2 } } \frac { d \ln v _ { 1 } } { d \eta } \ln \frac { \vartheta _ { 2 } ( \zeta - i \eta ) } { \vartheta _ { 2 } ( \zeta + i \eta ) } d \xi + \frac { i } { \pi } \int _ { \frac { \pi | \tau | } { 2 } } ^ { 0 } \frac { d \ln v _ { 2 } } { d \eta } \ln \frac { \vartheta _ { 1 } ( \zeta - i \eta ) } { \vartheta _ { 1 } ( \zeta + i \eta ) } d \xi + c _ { 1 } \zeta + c _ { 2 } + i c _ { 3 } \right] , } \end{array}
\Gamma _ { i j } ^ { ( S ) } ( x , \alpha _ { s } , \frac { 1 } { \epsilon } ) = \delta ( 1 - x ) \delta _ { i j } - \frac { 1 } { \epsilon } \left[ \left( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \right) P _ { i j } ^ { ( S ) , ( 0 ) } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } P _ { i j } ^ { ( S ) , ( 1 ) } ( x ) + . . . \right] + { \cal O } ( \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } ) \; .
\begin{array} { r l r l r l } { t _ { i } } & { { } = \frac { \partial p } { \partial s _ { i } } , } & { \widehat { t } _ { i } } & { { } = \frac { t _ { i } } { | t _ { i } | } , } & { \nabla s _ { i } } & { { } = \frac { \widehat { t } _ { i } } { | t _ { i } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } \frac { \partial x _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } = \frac { \partial } { \partial x _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } F _ { i ^ { \prime } i } } \end{array}
\mathcal { L } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } I _ { n } \, \dot { \theta } _ { n } ^ { 2 } - \Pi \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } , \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } , . . . , \theta _ { N } - \theta _ { N - 1 } \right) \, .
\Omega _ { \cal A } = G _ { \cal A } ^ { - 1 } d G _ { \cal A } = i \Omega _ { \cal A } ^ { ( - 1 ) } L _ { - 1 } + i \Omega _ { \cal A } ^ { ( 0 ) } L _ { 0 } + i \Omega _ { \cal A } ^ { ( 1 ) } L _ { 1 } + \ldots .
\begin{array} { r l } & { F \simeq D _ { S } ^ { 2 } - 4 \alpha ^ { 2 } D _ { S } + 2 \alpha D _ { S } ^ { 2 } - ( \alpha + 1 ) \alpha + 2 \alpha ^ { 3 } , } \\ & { K \simeq \frac { 2 \pi q _ { E } ^ { 2 } q ^ { 2 } R _ { 0 } ^ { 2 } \omega } { m _ { E } c ^ { 2 } } \left\langle \frac { \Omega _ { d E } ^ { 2 } Q F _ { 0 E } } { \omega _ { t E } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \right\rangle _ { \upsilon } = \frac { 2 } { \pi } \delta { \hat { W } } _ { n k u } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { a _ { 1 } + b _ { 1 } = A \left( a _ { 2 } + b _ { 2 } \right) + B \left( a _ { 2 } - b _ { 2 } \right) / Z _ { 1 } } \\ { a _ { 1 } - b _ { 1 } = C Z _ { 1 } \left( a _ { 2 } + b _ { 2 } \right) + D \left( a _ { 2 } - b _ { 2 } \right) } \end{array} \right.
\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \rangle _ { t } = e ^ { - \kappa t } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { \kappa \tau } i \left( \eta _ { p } ^ { * } \langle \hat { a } \rangle _ { \tau } - \eta _ { p } \langle \hat { a } ^ { \dagger } \rangle _ { \tau } \right) .
t T _ { i } ( t ) - \phi = \frac { t } { \pi } \int _ { 4 m _ { \ell } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { I m } \, \, t ^ { \prime } T _ { i } ( t ^ { \prime } ) } { t ^ { \prime } ( t ^ { \prime } - t - i 0 ) } d t ^ { \prime } ,
\begin{array} { r } { P _ { 1 } ( 0 , t ) = \Bigl ( \int _ { 0 ( \Gamma _ { 0 } ) } ^ { t } R _ { p e } ( \tau ) d \tau \Bigr ) \exp { \Bigl ( - \int _ { 0 ( \Gamma _ { 0 } ) } ^ { t } R _ { p e } ( \tau ) d \tau \Bigr ) } . } \end{array}
F = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { f } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - f } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
m _ { s } \leftarrow b _ { s } m _ { s } + \frac { 1 - b _ { s } } { \sum _ { i = 1 , i \neq s } ^ { N _ { s } } { b _ { i } } } \sum _ { i = 1 , i \neq s } ^ { N _ { s } } { b _ { i } m _ { i } } ,
\langle ( D + D ^ { * } ) _ { { \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } { \frac { 1 } { 2 } } } \pi ( \vec { q } ~ ) \vert c \bar { q } q \bar { d } ; { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } { \frac { 1 } { 2 } } \rangle = - I _ { + - } ^ { 0 0 } - I _ { z z } ^ { 0 0 }
\begin{array} { r l r } { 2 k _ { n _ { 0 } } i \frac { 1 } { q } } & { { } = } & { - 4 \frac { 4 } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { g w _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 2 } { k _ { n _ { 0 } } } , } \end{array}
U \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial x } + V \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial y } = - \overline { { u \frac { \partial p } { \partial y } + v \frac { \partial p } { \partial x } } } - \overline { { v ^ { 2 } } } \frac { \partial U } { \partial y } - \frac { \partial \overline { { u v ^ { 2 } } } } { \partial y } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } } { \partial y ^ { 2 } } - \epsilon _ { u v } ,
\omega _ { c } ( \tau _ { 1 } ^ { \prime } , \tau _ { 2 } ^ { \prime } ) = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f } ~ ~ ~ ~ \tau _ { 2 } ^ { \prime } < \tau _ { 1 } ~ ~ \mathrm { o r } ~ ~ \tau _ { 1 } ^ { \prime } > \tau _ { 2 } \; .
\begin{array} { r l r } { \big [ \lambda _ { a } + { \bf s } \cdot \nabla \big ] I ( { \bf r } , { \bf s } ) } & { { } = } & { - \sum _ { { \bf s } ^ { \prime } } q _ { { \bf s } { \bf s } ^ { \prime } } \bigg ( I ( { \bf r } , { \bf s } ) - I ( { \bf r } , { \bf s } ^ { \prime } ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } } & { = X _ { 0 } + \int _ { T _ { 0 } } ^ { t } \frac { \mathrm { V a r } [ X _ { m ( s ) + 1 } \| X _ { 0 } , \ldots , X _ { m ( s ) } , I _ { t } ^ { ( n ) } ] \sqrt { H _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) H _ { 2 } ( s ) - H _ { 1 } ( s ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) ) } } { H _ { 1 } ( T _ { m ( s ) + 1 } ) H _ { 2 } ( s ) - H _ { 1 } ( s ) H _ { 2 } ( T _ { m ( s ) + 1 } ) } \, \mathrm { d } W _ { s } , } \\ & { = X _ { m ( t ) } + \int _ { T _ { m ( t ) } } ^ { t } \frac { \mathrm { V a r } [ X _ { m ( s ) + 1 } \| X _ { 0 } , \ldots , X _ { m ( s ) } , I _ { t } ^ { ( n ) } ] \sqrt { H _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) H _ { 2 } ( s ) - H _ { 1 } ( s ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) ) } } { H _ { 1 } ( T _ { m ( s ) + 1 } ) H _ { 2 } ( s ) - H _ { 1 } ( s ) H _ { 2 } ( T _ { m ( s ) + 1 } ) } \, \mathrm { d } W _ { s } . } \end{array}
\Omega _ { \mathfrak { t } _ { 0 } } : = \mathfrak { t } _ { * } ^ { - 1 } ( ( \mathfrak { t } _ { 0 } , \infty ] ) , \qquad \overline { { \Omega _ { \mathfrak { t } _ { 0 } } } } = \mathfrak { t } _ { * } ^ { - 1 } ( [ \mathfrak { t } _ { 0 } , \infty ] ) \subset M , \qquad \Omega : = \Omega _ { 0 } , \qquad \overline { \Omega } : = \overline { { \Omega _ { 0 } } } .
\begin{array} { r } { \| \psi _ { R } \| _ { W ^ { 2 , \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } \leq \| \tilde { f } _ { R } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } = R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \| \tilde { f } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { R } ) } \leq C R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \omega , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { H } } = - \frac { \alpha ( Z \alpha ) ^ { 4 } } { 2 \pi n _ { a } ^ { 3 } } \frac { \left( j _ { a } ( j _ { a } + 1 ) - l _ { a } ( l _ { a } + 1 ) - \frac { 3 } { 4 } \right) } { l _ { a } ( l _ { a } + 1 ) ( 2 l _ { a } + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { 2 \Delta x } \right. } \\ & { \phantom { m m m m } - \left. \frac { ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { 2 \Delta y } \right) } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i , j - 1 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j - 1 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta y } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i , j - 1 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j - 1 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } ( \sin ( \Phi _ { 1 } ^ { i } ) - \sin ( \Phi _ { 2 } ^ { i } ) ) ^ { 2 } + ( \cos ( \Phi _ { 1 } ^ { i } ) - c o s ( \Phi _ { 2 } ^ { i } ) ) ^ { 2 } } \\ & { + ( \sin ( \Psi _ { 1 } ^ { i } ) - \sin ( \Psi _ { 2 } ^ { i } ) ) ^ { 2 } + ( \cos ( \Psi _ { 1 } ^ { i } ) - \cos ( \Psi _ { 2 } ^ { i } ) ) ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { d M } { d m _ { \pi } ^ { 2 } } = - \frac { 3 g _ { \pi q q } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } M } \frac { d } { d m _ { \pi } ^ { 2 } } \left( m _ { \pi } ^ { 2 } \log ( m _ { \pi } ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) \right) + { \cal O } ( 1 / N _ { c } ^ { 2 } ) + { \cal O } ( m _ { \pi } ^ { 2 } ) .
\left\langle G , f \right\rangle _ { \Gamma _ { 0 } ( p ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { p - 1 } \log _ { p } u } & { \mathrm { ~ i f ~ } f = E _ { 2 } ^ { ( p ) } , } \\ { L _ { \mathrm { a l g } } ( 1 , f ) \log _ { E _ { f } } P _ { f } } & { \mathrm { ~ i f ~ } f \mathrm { ~ i s ~ a ~ c u s p i d a l ~ e i g e n f o r m ~ w i t h ~ r a t i o n a l ~ c o e f f i c i e n t s } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \left( 8 0 0 - \Delta \right) s ( \vec { x } ) } & { { } = 4 0 0 0 \sqrt { 2 \pi } \, g ( \vec { x } ) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \, , } \\ { \nabla s ( \vec { x } ) \cdot \vec { n } } & { { } = 0 \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega \, . } \end{array}
{ \mathbb C } _ { \mu _ { \mathtt { i } _ { ( j - 1 ) } } } \otimes ( \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { j } } \circ \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { j } + 1 } \circ \cdots \circ \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { i } _ { j } - 1 } ) ( { \mathbb C } _ { \mu _ { \mathtt { i } _ { j } } } \otimes \bullet )
\begin{array} { r } { \| \hat { B } ^ { t + 1 } ( w _ { 0 } - w ^ { * } ) \| _ { \hat { \Sigma } } ^ { 2 } = \| \hat { \Sigma } ^ { 1 / 2 } \hat { B } ^ { t + 1 } \hat { \Sigma } ^ { - 1 / 2 } \hat { \Sigma } ^ { 1 / 2 } ( w _ { 0 } - w ^ { * } ) \| ^ { 2 } } \\ { \le ( 1 - \frac { 1 } { \kappa } ) ^ { 2 ( t + 1 ) } \| w _ { 0 } - w ^ { * } \| _ { \hat { \Sigma } } ^ { 2 } \le e ^ { - 2 ( t + 1 ) / \kappa } \| w _ { 0 } - w ^ { * } \| _ { \hat { \Sigma } } ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \frac { d J } { d t } = \ } & { { } \big ( \nabla \cdot \dot { x } \big ) J , } & { } & { { } x \in \Omega ( t ) , } & { } & { { } t \geq t _ { 0 } } \\ { J ( x , t _ { 0 } ) = \ } & { { } J _ { 0 } ( x ) > 0 , } & { } & { { } x \in \Omega ( t ) . } \end{array}
V ( t _ { \mathrm { p e a k } } ) = C - 2 A \tau _ { \mathrm { r i s e } } ( \tau _ { \mathrm { r i s e } } + \tau _ { \mathrm { d e c a y } } ) ^ { - 1 } ( \tau _ { \mathrm { d e c a y } } / \tau _ { \mathrm { r i s e } } ) ^ { \tau _ { \mathrm { d e c a y } } / ( \tau _ { \mathrm { r i s e } } + \tau _ { \mathrm { d e c a y } } ) }
{ \cal I } = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! d \sigma \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! { \frac { d \rho } { \rho } } { \frac { \log ( 1 + \rho ) } { ( 1 + \rho ) ^ { 3 } } } { \frac { [ \rho ( x - z ) + ( 1 - \sigma ) ( x - y ) ] _ { + } [ \rho ( y - z ) + \sigma ( y - x ) ] _ { + } ^ { 2 } } { [ \rho \sigma ( x - z ) ^ { 2 } + \rho ( 1 - \sigma ) ( y - z ) ^ { 2 } + \sigma ( 1 - \sigma ) ( x - y ) ^ { 2 } - i \epsilon ] } } \ .
\begin{array} { r l } { { \mathcal K } ( \pm \rho , X _ { i } ) } & { { } = \frac { 1 } { \mathrm { V a r } \{ n _ { i } \} } \left| k _ { \pm \rho } \frac { \partial \langle n _ { i } \rangle } { \partial k _ { \pm \rho } } \right| , } \\ { { \mathcal B } ( \rho , X _ { i } ) } & { { } = \frac { 1 } { \mathrm { V a r } \{ n _ { i } \} } \left| \frac { \partial \langle n _ { i } \rangle } { \partial B _ { \rho } } \right| . } \end{array}
P _ { s _ { \mathrm { u n i t } } } \Delta s = \int _ { 0 } ^ { s } p _ { s _ { \mathrm { m i x } } } ( s ^ { \prime } ; \mu _ { s _ { a } } , \mu _ { s _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , P ) d s \approx [ ( 1 - P ) \mu _ { s _ { a } } + P \mu _ { s _ { b } } ] \Delta s ,
\begin{array} { r l } & { \left| \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) - \overline { { r } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) - \gamma _ { 1 } \sum _ { a ^ { 2 } \in A ^ { 2 } } \sum _ { s ^ { \prime } \in S } \operatorname* { m a x } _ { \pi \in \mathcal P ( A ^ { 1 } ) } \pi \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s ^ { \prime } ) p ( s ^ { \prime } | s , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) \overline { { \pi } } _ { \infty } ^ { 2 } ( s , a ^ { 2 } ) \right| } \\ & { \leq \left| \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) - \widetilde { Q } _ { t + 1 } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) \right| } \\ & { + \left| \overline { { r } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) - \overline { { r } } _ { t } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) \right| } \\ & { + \gamma _ { 1 } \sum _ { a ^ { 2 } \in A ^ { 2 } } \sum _ { s ^ { \prime } \in S } \operatorname* { m a x } _ { \pi \in \mathcal P ( A ^ { 1 } ) } \left| \pi \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s ^ { \prime } ) \overline { { \pi } } _ { \infty } ^ { 2 } ( s , a ^ { 2 } ) - \pi \widetilde { Q } _ { t } ^ { 1 } ( s ^ { \prime } ) \overline { { \pi } } _ { t } ^ { 2 } ( s , a ^ { 2 } ) \right| p ( s ^ { \prime } | s , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) } \\ & { \leq \| \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } - \widetilde { Q } _ { t + 1 } ^ { 1 } \| + \gamma _ { 1 } \| \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } - \widetilde { Q } _ { t } ^ { 1 } \| + ( M + C ( \| \overline { { Q } } _ { 0 } ^ { i } \| , M ) ) \| \overline { { \pi } } _ { \infty } ^ { 2 } - \overline { { \pi } } _ { t } ^ { 2 } \| } \\ & { \leq \| \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } - \overline { { Q } } _ { t + 1 } ^ { 1 } \| + \| \overline { { Q } } _ { t + 1 } ^ { 1 } - \widetilde { Q } _ { t + 1 } ^ { 1 } \| } \\ & { ~ ~ ~ ~ + \gamma _ { 1 } \left( \| \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } - \overline { { Q } } _ { t } ^ { 1 } \| + \| \overline { { Q } } _ { t } ^ { 1 } - \widetilde { Q } _ { t } ^ { 1 } \| \right) } \\ & { ~ ~ ~ ~ + ( M + C ( \| \overline { { Q } } _ { 0 } ^ { i } \| , M ) ) \| \overline { { \pi } } _ { \infty } ^ { 2 } - \overline { { \pi } } _ { t } ^ { 2 } \| \ , } \end{array}
\tilde { F } _ { l } , \tilde { G } _ { l } = \left\{ \begin{array} { l l } { { - i k ^ { \prime } A _ { F , G } j _ { l } ( k ^ { \prime } r ) j _ { l } ( k ^ { \prime } r ^ { \prime } ) , } } & { { r , r ^ { \prime } < a } } \\ { { - i k B _ { F , G } h _ { l } ( k r ) h _ { l } ( k r ^ { \prime } ) , } } & { { r , r ^ { \prime } > a } } \end{array} \right.