harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 1 } { T } \sum _ { n = - \infty } ^ { - N - 1 } \hat { g } ( n / T ) e ^ { \mathbf { i } 2 \pi x n / T } + \frac { 1 } { T } \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } \hat { g } ( n / T ) e ^ { \mathbf { i } 2 \pi x n / T } \right| } & { { } \le \frac { 1 } { T } \sum _ { n = - \infty } ^ { - N - 1 } \hat { g } ( n / T ) + \frac { 1 } { T } \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } \hat { g } ( n / T ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { \mathrm { T } } ) } \\ { \mathbf { t } ^ { \mathrm { e f f } } = 2 \mu \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ^ { s } ) + \lambda \mathrm { t r } ( \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ^ { s } ) ) \mathbf { I _ { d } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal T } _ { 1 1 } } & { { } = } & { \Big ( - { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } C _ { 2 0 } + 2 C _ { 2 2 } \Big ) R ^ { 2 } , \qquad { \cal T } _ { 1 2 } = 2 S _ { 2 2 } R ^ { 2 } , } \\ { { \cal T } _ { 2 2 } } & { { } = } & { \Big ( - { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } C _ { 2 0 } - 2 C _ { 2 2 } \Big ) R ^ { 2 } , \qquad { \cal T } _ { 1 3 } = C _ { 2 1 } R ^ { 2 } , } \\ { { \cal T } _ { 3 3 } } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 2 } { 3 } } C _ { 2 0 } R ^ { 2 } , \qquad \qquad \qquad \quad ~ ~ { \cal T } _ { 2 3 } = S _ { 2 1 } R ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial L } { \partial q ^ { i } } ( q ( t ) , \dot { q } ( t ) ) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \frac { \partial L } { \partial \dot { q } ^ { i } } ( q ( t ) , \dot { q } ( t ) ) = 0 . } \end{array}
N _ { \mathrm { t h e o } } = N _ { \mathrm { m a x } } \frac { \displaystyle \int _ { L - D / 2 } ^ { L + D / 2 } d L \, L ^ { - 2 } \int d E _ { e ^ { + } } \, S ( E _ { e ^ { + } } ) \, P ( L / E _ { \bar { \nu } _ { e } } ) } { \displaystyle \int _ { L - D / 2 } ^ { L + D / 2 } d L \, L ^ { - 2 } \int d E _ { e ^ { + } } \, S ( E _ { e ^ { + } } ) } \ ,
\begin{array} { r l } { O _ { 1 } } & { = 0 . 2 9 9 \cdot I _ { \lambda _ { r } } + 0 . 5 8 7 \cdot I _ { \lambda _ { g } } + 0 . 1 1 4 \cdot I _ { \lambda _ { b } } } \\ { O _ { 2 } } & { = I _ { \lambda _ { r } } - I _ { \lambda _ { g } } } \\ { O _ { 3 } } & { = I _ { \lambda _ { b } } - I _ { \lambda _ { r } } - I _ { \lambda _ { g } } } \end{array}
\boldsymbol { \mathcal { E } } = \alpha \left\langle \mathbf { B } \right\rangle - \left( \beta + \zeta \right) \left\langle \mathbf { J } \right\rangle - \nabla \zeta \times \left\langle \mathbf { B } \right\rangle + \gamma \left( \left\langle \mathbf { W } \right\rangle + 2 \boldsymbol { \Omega } \right) ,
\textbf { H } = \textrm { r o t } \ \mathfrak { m } \times \frac { \textbf { R } _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } } = \mathfrak { m } \ \textrm { d i v } \frac { \textbf { R } _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } } - ( \mathfrak { m } \nabla ) \frac { \textbf { R } _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } }
b ^ { \prime } = { \frac { b } { V _ { m , c } } } = { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \sqrt { 8 } } \sinh ( { \frac { 1 } { 3 } } \operatorname { a s i n h } ( { \sqrt { 8 } } ) ) - 1 \right) \approx 0 . 2 5 3 0 7 7 \approx { \frac { 0 . 0 7 7 8 0 } { Z _ { c } } }
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; - \beta S ( t ) ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) + \delta \varepsilon P ( t ) , } \\ { I ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \beta S ( t ) ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \gamma _ { 1 } I ( t ) , } \\ { T ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \gamma _ { 1 } I ( t ) - \varepsilon T ( t ) , } \\ { P ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \varepsilon T ( t ) - \nu \beta P ( t ) ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \delta \varepsilon P ( t ) + \delta \varepsilon R ( t ) , } \\ { Y ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \nu \beta P ( t ) ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \gamma _ { 2 } Y ( t ) , } \\ { R ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \gamma _ { 2 } Y ( t ) - \delta \varepsilon R ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< ( \mathcal { A } _ { 0 } + \nu ) f , f \right> _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( \mathcal { O } ) } } & { = \int _ { \mathcal { O } } \mu \left\{ ( \mathcal { A } _ { 0 } f ) f + \nu f ^ { 2 } \right\} d x } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathcal { O } } \partial _ { i } ( \tilde { a } _ { i } \partial _ { i } f ) f d x + \int _ { \mathcal { O } } ( \tilde { c } + \nu \mu ) f ^ { 2 } d x } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \mathcal { O } } \tilde { a } _ { i } ( \partial _ { i } f ) ^ { 2 } d x + \int _ { \mathcal { O } } ( \tilde { c } + \nu \mu ) f ^ { 2 } d x } \end{array}
R _ { \: 2 } ^ { 1 } = d \omega _ { \: 2 } ^ { 1 } = - ( \partial _ { 1 } \partial _ { 1 } \phi + \partial _ { 2 } \partial _ { 2 } \phi ) e ^ { - 2 \phi } e ^ { 1 } \wedge e ^ { 2 }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } A _ { 1 } } & { = \frac { \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 1 } ( [ 0 2 ] ) \bigr ) } { \pi } + z _ { 2 3 } - z _ { 2 4 } - z _ { 0 3 } , } & { \qquad B _ { 1 } } & { = \frac { \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 1 } ( [ 0 3 ] ) \bigr ) } { \pi } + z _ { 0 2 } + z _ { 3 4 } - z _ { 2 3 } , } \\ { A _ { 2 } } & { = \frac { \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 3 } ( [ 0 1 ] ) \bigr ) } { \pi } + z _ { 1 2 } - z _ { 0 2 } - z _ { 1 4 } , } & { \qquad B _ { 2 } } & { = \frac { \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 3 } ( [ 0 2 ] ) \bigr ) } { \pi } + z _ { 0 1 } + z _ { 2 4 } - z _ { 1 2 } , } \\ { A _ { 3 } } & { = \frac { \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 2 } ( [ 0 3 ] ) \bigr ) } { \pi } + z _ { 1 3 } - z _ { 0 1 } - z _ { 3 4 } , } & { \qquad s } & { = z _ { 0 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| H ( \phi _ { \gamma } ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { K _ { n } - 1 } ) ) - f _ { 0 , K _ { n } } \| _ { 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } | \frac { \xi _ { i } \gamma _ { i } } { S _ { \gamma } ( \xi ) } - \xi _ { i } ^ { 0 } | } & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } | \xi _ { i } - \xi _ { i } ^ { 0 } | + \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } | \frac { \xi _ { i } \gamma _ { i } } { S _ { \gamma } ( \xi ) } - \xi _ { i } | } \\ & { \leq \tilde { \varepsilon } _ { n } + \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \xi _ { i } | \frac { \gamma _ { i } } { S _ { \gamma } ( \xi ) } - 1 | . } \end{array}
M _ { 1 2 } ^ { ( q ) } = \frac { G _ { \mathrm { { \scriptsize ~ F } } } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } M _ { B _ { q } } B _ { B _ { q } } f _ { B _ { q } } ^ { 2 } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \, v _ { t } ^ { ( q ) 2 } S ( x _ { t } ) \, e ^ { i \left( \pi - \phi _ { \mathrm { { \scriptsize ~ C P } } } ( B _ { q } ) \right) } .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 3 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = f _ { 1 2 } ^ { 2 } f _ { 1 3 } ^ { 2 } f _ { 2 3 } ^ { 2 } \Biggl [ \rho ^ { 3 } + \rho \sum _ { p \geq 0 } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 2 } } \left( \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } ) + \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \right) } \\ & { \qquad + \sum _ { p \geq 0 } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 3 } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \Biggr ] . } \end{array}
\exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \oint _ { C } \oint _ { C } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \dot { x } _ { i } ( t _ { 1 } ) \dot { y } _ { i } ( t _ { 2 } ) n ^ { a } ( t _ { 1 } ) n ^ { a } ( t _ { 2 } ) G ( x - y ) \right)
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { r } \leq } & { \frac { \tilde { n } } { n } \frac { \lambda _ { s } n } { \lambda } + \frac { n - \tilde { n } + 1 } { n } \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left[ O ( \sqrt { n } ) + \frac { n c e ^ { - \frac { ( n - \tilde { n } ) ^ { 2 } } { 4 n } } } { n - \tilde { n } + 1 } \right] } \\ { \leq } & { \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left[ c n ^ { \alpha } + O ( \sqrt { n } ) + c \right] } \end{array}
{ \Psi _ { i } ^ { ' } } = \frac { w _ { i } } { c _ { s } ^ { 2 } } c _ { i , \alpha } \partial _ { \beta } \left( \frac { \mu } { p } \partial _ { \gamma } \delta \Pi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathrm { e q } } \right) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } } & { { } \left\{ - \left( \tilde { u } _ { n } , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( g _ { 0 } \tilde { u } _ { n } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } \right\} } \\ { = } & { { } - \left( u , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma u \partial _ { x } u , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma \left( \partial _ { x } u \right) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } u ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( g _ { 0 } u , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } , } \end{array}
I C _ { i } = \frac { D _ { i } ^ { \mathrm { i n } } } { N _ { \mathscr { V } } - 1 } \frac { D _ { i } ^ { \mathrm { i n } } } { \sum _ { j = 1 } ^ { D _ { i } ^ { \mathrm { i n } } } d _ { j i } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { H \Delta t } { \hbar } \xi ^ { n } e ^ { \displaystyle i k j \Delta x } } & { { } = \frac { \Delta t } { \hbar } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ( \Delta x ) ^ { 2 } } \displaystyle \sum _ { \ell = - r } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } e ^ { i k \ell \Delta x } + V _ { j } \right] \xi ^ { n } e ^ { \displaystyle i k j \Delta x } } \end{array}
Z _ { \lambda } = 1 + \frac { 9 } { 2 \pi ^ { 2 } } \log ( \Lambda / M ) \; \lambda ^ { 2 } + \left( \frac { 8 1 } { 4 \pi ^ { 4 } } ( \log ( \Lambda / M ) ) ^ { 2 } - \frac { 5 1 } { 4 \pi ^ { 4 } } \log ( \Lambda / M ) \right) \; \lambda ^ { 3 } .
\sigma = \left( \left( \left( \frac { V _ { g } } { 8 \pi m c ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( E _ { j } ^ { 2 } - { E _ { j } ^ { + } } ^ { 2 } \right) + \sqrt { 1 + p ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 1 \right) { p ^ { + } } ^ { - 2 } \right) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l r } { { \cal F } _ { \{ \ell \} } ^ { ( 1 ) } ( \rho , \phi ) } & { { } = } & { { \cal U } _ { P } e ^ { i ( \ell + m ) \phi } { \tilde { \cal F } } _ { \{ \ell \} } ( \rho ) ; } \\ { { \cal F } _ { \{ \ell \} } ^ { ( 2 ) } ( \rho , \phi ) } & { { } = } & { { \cal V } _ { P } e ^ { i ( \ell - m ) \phi } { \tilde { \cal F } } _ { \{ \ell \} } ( \rho ) } \end{array}
\frac { d } { d r } f = - A h + { \frac { b } { r ^ { 2 } } } , \qquad \frac { d } { d r } h + \frac { 2 h } { 1 + r } = - A f - { \frac { b } { r ^ { 2 } } } , \qquad \frac { d } { d r } b + A b = q ( f - h ) .
S _ { \mathrm { \tiny ~ d i f f } } = \int d ^ { n } x \sqrt { g } ~ \left( ( \nabla ^ { \rho } \mathrm { D } ^ { \lambda \mu } ) ~ \mathrm { D } ^ { \alpha } { } _ { \rho } ~ \nabla _ { \alpha } \mathrm { D } _ { \mu \lambda } + 2 ( \nabla ^ { \rho } \mathrm { D } ^ { \lambda \mu } ) ~ \mathrm { D } _ { \lambda \alpha } ~ \nabla _ { \mu } \mathrm { D } ^ { \alpha } { } _ { \rho } - \frac { q } 4 ( \nabla _ { \alpha } \nabla _ { \beta } \mathrm { D } ^ { \alpha \beta } ) { } \nabla _ { \lambda } \nabla _ { \mu } { } \mathrm { D } ^ { \lambda \mu } { } - \frac 1 2 ( \nabla ^ { \alpha } \mathrm { D } ^ { \beta \gamma } ) \nabla _ { \alpha } \mathrm { D } _ { \beta \gamma } \right) .
\mathbf { F ^ { c } } = \left( \begin{array} { c } { \rho u } \\ { \rho u ^ { 2 } + p } \\ { \rho u v } \\ { \rho u w } \\ { u ( E + p ) } \end{array} \right) , \mathbf { G ^ { c } } = \left( \begin{array} { c } { \rho v } \\ { \rho u v } \\ { \rho v ^ { 2 } + p } \\ { \rho v w } \\ { v ( E + p ) } \end{array} \right) , \mathbf { F ^ { v } } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - \tau _ { x x } } \\ { - \tau _ { y x } } \\ { - \phi _ { x } + q _ { x } } \end{array} \right) , \; \mathbf { G ^ { v } } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - \tau _ { x y } } \\ { - \tau _ { y y } } \\ { - \phi _ { y } + q _ { y } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { | \langle \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { u } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle | \leq \| \nabla \mathbf { u } \| _ { 2 } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 4 } ^ { 2 } \leq c R _ { 1 } \| \nabla \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } \leq c \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu } \| \nabla \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \mu } { 4 } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } + \Psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } & { \prec 1 + \frac { ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 1 / 2 } + ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 4 } } \, , } \\ { \Psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } + \Psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } } & { \prec 1 + \frac { ( \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 1 / 2 } } { \sqrt { N \eta } } + \frac { ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 1 / 4 } + ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 4 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 8 } } \cdot \frac { ( \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { ( \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } + ( \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 4 } } \, , } \end{array}
\sum _ { b _ { i } = 0 } ^ { 1 } \left[ \kappa ^ { a _ { i } } ( 1 - \kappa ) ^ { 1 - a _ { i } } \phi \delta _ { b _ { i } , 1 } + \delta _ { a _ { i } , 0 } ( 1 - \phi ) \delta _ { b _ { i } , 0 } \right] = \delta _ { a _ { i } , 0 } ( 1 - \phi ) + \kappa ^ { a _ { i } } ( 1 - \kappa ) ^ { 1 - a _ { i } } \phi = \mathrm { P r } ( a _ { i } ) .
\beta _ { 2 } ^ { ( 4 ) } = K _ { 4 } ^ { 2 } \Bigg [ - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 \pi } - 2 \ln 2 + \frac { 6 } { \pi } L \left( \frac { \pi } { 3 } \right) \Bigg ] \; ,
{ \left[ \begin{array} { l l l } { | V _ { u d } | } & { | V _ { u s } | } & { | V _ { u b } | } \\ { | V _ { c d } | } & { | V _ { c s } | } & { | V _ { c b } | } \\ { | V _ { t d } | } & { | V _ { t s } | } & { | V _ { t b } | } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 9 7 3 7 3 \pm 0 . 0 0 0 3 1 } & { 0 . 2 2 4 3 \pm 0 . 0 0 0 8 } & { 0 . 0 0 3 8 2 \pm 0 . 0 0 0 2 0 } \\ { 0 . 2 2 1 \pm 0 . 0 0 4 } & { 0 . 9 7 5 \pm 0 . 0 0 6 } & { 0 . 0 4 0 8 \pm 0 . 0 0 1 4 } \\ { 0 . 0 0 8 6 \pm 0 . 0 0 0 2 } & { 0 . 0 4 1 5 \pm 0 . 0 0 0 9 } & { 1 . 0 1 4 \pm 0 . 0 2 9 } \end{array} \right] } .
{ \cal M } _ { D _ { k } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { m _ { 0 } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } ( T _ { d } ^ { 3 } - Q _ { d } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) \cos 2 \beta } } & { { m _ { d _ { k } } ( A - \mu \tan \beta ) } } \\ { { m _ { d _ { k } } ( A - \mu \tan \beta ) } } & { { m _ { 0 } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } Q _ { d } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \cos 2 \beta } } \end{array} \right) .
{ \mathcal { H } } ( q _ { 1 } , \ldots , q _ { N } , p _ { 1 } , \ldots , p _ { N } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { \omega _ { i } } { 2 } } ( q _ { i } ^ { 2 } + p _ { i } ^ { 2 } ) + { \frac { K } { 4 N } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } ( q _ { i } p _ { j } - q _ { j } p _ { i } ) ( q _ { j } ^ { 2 } + p _ { j } ^ { 2 } - q _ { i } ^ { 2 } - p _ { i } ^ { 2 } )
S = \frac { ( n ( n + 2 ) q ^ { 2 } ) ^ { n } } { 4 G _ { d } } \bar { V } _ { 2 n } - \frac { ( n + 1 ) q ^ { 3 } } { G _ { d } } \bar { V } _ { 2 n } [ \Psi _ { b } - \Psi _ { n } ] ,
\begin{array} { r l } & { f _ { g ( | \varphi _ { 1 } | ) , g ( | \varphi _ { 2 } | ) } ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 5 \, ( \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { 3 d B } ) ^ { 2 } } { 2 4 \, \, g _ { 1 } \, g _ { 2 } } \frac { \sqrt { \mathrm { { l o g } } _ { 1 0 } ( \frac { g _ { m a x } } { g _ { 2 } } ) { \mathrm { l o g } } _ { 1 0 } ( \frac { g _ { m a x } } { g _ { 1 } } ) } } { \mathrm { { l n } } ( \frac { g _ { m a x } } { g _ { 2 } } ) { \mathrm { l n } } ( \frac { g _ { m a x } } { g _ { 1 } } ) } \, \frac { \mathrm { { e x p } } \big ( \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { 3 d B } \sqrt { 1 0 { \mathrm { l o g } } _ { 1 0 } ( g _ { m a x } / g _ { 2 } ) } / ( 2 \sqrt { 3 } ) \big ) } { 1 - e ^ { - \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { A } } - \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { A } e ^ { - \lambda _ { b s } R _ { L } ^ { 2 } \phi _ { A } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { \perp } \omega = \left( \begin{array} { l } { \partial _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 1 } - \partial _ { 1 } \partial _ { 2 } u _ { 2 } } \\ { - \partial _ { 1 } \partial _ { 2 } u _ { 1 } + \partial _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } } \end{array} \right) = \Delta u , } \end{array}
\mathbf { \overline { { H } } } _ { ( \overline { { x } } _ { X } , \overline { { y } } _ { Y } ) } ^ { M _ { 1 } } \bullet \mathbf { \overline { { H } } } _ { ( { \overline { { y } } _ { Y } } , \overline { { z } } _ { Y } ) } ^ { M _ { 2 } } \implies \mathbf { \overline { { H } } } _ { ( \overline { { x } } _ { X } , \overline { { y } } _ { Y } ) } ^ { N _ { 1 } } \bullet \mathbf { \overline { { H } } } _ { ( \overline { { y } } _ { X } , \overline { { z } } _ { Y } ) } ^ { N _ { 2 } } .
\lambda ^ { I } = \left[ \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { H _ { 1 2 } e ^ { i \phi _ { 1 2 } } x _ { 1 2 } ^ { I } } } & { { 0 } } \\ { { H _ { 2 1 } x _ { 2 1 } ^ { I } e ^ { i \phi _ { 2 1 } } + \tilde { H } _ { 2 1 } \tilde { x } _ { 2 1 } ^ { I } e ^ { i \tilde { \phi } _ { 2 1 } } } } & { { H _ { 2 2 } x _ { 2 2 } ^ { I } e ^ { i \phi _ { 2 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { H _ { 3 2 } x _ { 3 2 } ^ { I } e ^ { i \phi _ { 3 2 } } } } & { { H _ { 3 3 } e ^ { i \phi _ { 3 3 } } } } \end{array} \right] ,
| \Phi \rangle = \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \; \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } \rangle
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } { \bf M } = } & { ( \operatorname* { d e t } { \bf E } ) ( \operatorname* { d e t } { \bf N } ^ { - 1 } ) \operatorname* { d e t } \left( { \bf N } - \xi ^ { 2 } { \bf P } _ { \phi } ( \textbf { 1 } _ { n } \, \, \textbf { 0 } ) { \bf P } _ { \boldsymbol { \chi } } ^ { T } { \bf E } ^ { - 1 } { \bf P } _ { \boldsymbol { \chi } } \left( \begin{array} { l } { \textbf { 1 } _ { n } } \\ { \textbf { 0 } } \end{array} \right) { \bf P } _ { \phi } ^ { T } \right) } \\ { = } & { \frac { \xi ^ { 2 ( n - k - 1 ) } ( \xi ^ { 2 } + 1 ) ^ { k } } { 2 ^ { k } J } \operatorname* { d e t } \left( { \bf N } - \xi ^ { 2 } { \bf P } _ { \phi } ( \textbf { 1 } _ { n } \, \, \textbf { 0 } ) { \bf P } _ { \boldsymbol { \chi } } ^ { T } { \bf E } ^ { - 1 } { \bf P } _ { \boldsymbol { \chi } } \left( \begin{array} { l } { \textbf { 1 } _ { n } } \\ { \textbf { 0 } } \end{array} \right) { \bf P } _ { \phi } ^ { T } \right) . } \end{array}
V _ { 1 } ( x ) \rightarrow \ln x - \sum _ { n > 0 } \frac { t _ { n } } { n m _ { 0 } ^ { n } x ^ { n } } \, ; \; V _ { 2 } ( x ) \rightarrow \ln y - \sum _ { n > 0 } \frac { s _ { n } } { n m _ { 0 } ^ { n } y ^ { n } }
\begin{array} { r l } { \hat { g } _ { 0 } ( x - x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { { } = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { \exp [ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + A ^ { 2 } / ( 2 B ) + ( B / 2 ) k ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
\vert c _ { 0 2 } c _ { 1 3 } s _ { 1 2 } ^ { * } - s _ { 0 2 } ^ { * } s _ { 0 3 } s _ { 1 3 } ^ { * } \vert ^ { 2 } + \vert c _ { 0 3 } s _ { 1 3 } ^ { * } \vert ^ { 2 } < 0 . 0 1 6 .
\begin{array} { r } { \Re [ { \bf E } ^ { * } \times { \bf B } ] = | A _ { 0 } | ^ { 2 } \left\langle \Re [ i \omega \left( \Psi \partial _ { x } \Psi ^ { * } , - \Psi ^ { * } \partial _ { y } \Psi , - \Psi ^ { * } \partial _ { z } \Psi \right) ] \right\rangle _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( B \times [ 0 , s ] ) } & { = \gamma \, { \frac { \Gamma ( { \frac { d + 1 } { 2 } } ) } { \pi ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } } \, \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \bf 1 } ( f ( v , 0 ) \in B \times [ 0 , s ] ) \, \mathrm { d } v } \\ & { = \gamma \, { \frac { 2 \Gamma ( { \frac { d + 1 } { 2 } } ) } { \pi ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } } \, \lambda _ { d - 1 } ( B ) \sqrt { s } . } \end{array}
\{ { \mathrm { i } \omega [ ( \hat { \mathbf { k } } \cdot \mathbf { r } / c ) - t } ] \} = \{ { \mathrm { i } \omega ^ { \prime } [ ( \hat { \mathbf { k } } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } / c ) - t ^ { \prime } } ] \}
{ \cal O } ^ { \prime } \equiv { \cal O } ^ { \dagger } = ( \partial _ { \mu } + i g V _ { \mu } - i g _ { 5 } \gamma _ { 5 } A _ { \mu } ) \gamma ^ { \mu } + i m + i \lambda \phi + \gamma _ { 5 } \lambda ^ { \prime } \phi ^ { \prime } .
{ \cal P } _ { \cal B } ( u ) ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { a } } \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } u ( t ) > \, \overline { { a } } \, , } \\ { u ( t ) \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } \, \underline { { a } } \le u ( t ) \le \, \overline { { a } } \, , } \\ { \underline { { a } } \, , } & { \mathrm { ~ i f \ \ } u ( t ) < \, \underline { { a } } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { t _ { \mu n } = } & { t _ { \mu n } ^ { ( 0 ) } + t _ { \mu n } ^ { ( 1 ) } + t _ { \mu n } ^ { ( 2 ) } + \dots } \\ { = } & { t _ { \mu n } ^ { ( 0 ) } + \int d \omega _ { 1 } X _ { \mu n } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) e ^ { - i \omega _ { 1 } t } + \int d \omega _ { 1 } \int d \omega _ { 2 } X _ { \mu n } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) e ^ { - i \omega _ { 1 } t - i \omega _ { 2 } t } + \dots } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] , } \\ { \dot { r } } & { { } = r ( 1 - r ) [ u ( 1 - x ) - x ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { r _ { n + 1 } } & { { } = \frac { r _ { n } - C \sum _ { k } \frac { d \varphi } { d r } \bigg | _ { r _ { n } } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left( w _ { k , n } e ^ { i k \theta _ { n } } \right) } { \cos ( \theta _ { n + 1 } - \theta _ { n } ) } , } \\ { r _ { n + 1 } } & { { } = \frac { \frac { C } { r _ { n } } \sum _ { k } \varphi ^ { \prime } ( r _ { n } ) \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( w _ { k , n } e ^ { i k \theta _ { n } } \right) } { \sin ( \theta _ { n + 1 } - \theta _ { n } ) } , } \\ { w _ { k , n + 1 } } & { { } = \mu _ { k } \left[ w _ { k , n } + \phi _ { k } ( r _ { n } ) e ^ { - i k \theta _ { n } } \right] ; } \end{array}
\hat { \mathcal { E } } _ { 1 \mapsto 2 } ^ { 2 D } : \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 2 } = b x _ { 1 } , } \\ { y _ { 2 } = b y _ { 1 } , } \\ { d t _ { 2 } = \frac { w _ { 1 } ( t _ { 1 } ) } { w _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } b ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) d t _ { 1 } , } \\ { \psi _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , t _ { 2 } ) = \frac { 1 } { b } \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , t _ { 1 } ) e ^ { \frac { i } { 2 } \frac { m } { w _ { 2 } } \frac { \dot { b } } { b } ( x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) } e ^ { - i l \int \omega _ { 2 } d t _ { 2 } + i l \int \omega _ { 1 } d t _ { 1 } } . } \end{array} \right.
\Pi _ { 2 , 2 } ^ { 0 , \beta } ( m _ { 0 } , i \Omega , \vec { k } = 0 ) = - \frac { \lambda ^ { 2 } ~ I _ { \beta } ^ { \epsilon } ( m _ { 0 } ) } { 2 ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \tilde { \epsilon } } - \ln \left( \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) + 2 \right] + F ( \Omega ^ { 2 } ) ,