harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } ( m ( \mathrm { d i a g } [ g _ { 1 } , . . . , g _ { k } ] ) g ) } \\ { = } & { \left| \frac { \operatorname* { d e t } g _ { 1 } } { \operatorname* { d e t } g _ { k } } \right| ^ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { k } \chi _ { i } \chi _ { T } ( \operatorname* { d e t } g _ { k + 1 - i } ) | \operatorname* { d e t } g _ { k + 1 - i } | ^ { s + ( k - i ) n + \frac { n + 1 } { 2 } } f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { g _ { 1 } , . . . , g _ { k } } ) , s } ^ { 0 } ( g ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { r ( n _ { 0 } ) ( m ) } - \Delta ^ { r ( n _ { 0 } ) ( m + 1 ) } } & { = \left[ \Delta ^ { r ( m ) } + \Delta ^ { r ( n _ { 0 } - m ) } \right] - \left[ \Delta ^ { r ( m + 1 ) } + \Delta ^ { r ( n _ { 0 } - m - 1 ) } \right] } \\ & { = \left[ \Delta ^ { r ( m ) } - \Delta ^ { r ( m + 1 ) } \right] - \left[ \Delta ^ { r ( n _ { 0 } - m - 1 ) } - \Delta ^ { r ( n _ { 0 } - m ) } \right] } \\ & { \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { a \vec { w } A U } & { { } = a \lambda _ { v } \vec { w } + b \lambda _ { v } \vec { \psi _ { 0 } } , } \\ { ( \times U : ) \ \ a \vec { w } A U U } & { { } = a \lambda _ { v } \vec { w } U + b \lambda _ { v } \vec { \psi _ { 0 } } U , } \\ { a \vec { w } A U } & { { } = a \lambda _ { v } \vec { w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { { \mu } { \nu } } ^ { 0 0 } } & { { } = ( - 1 ) ^ { \mu + \nu } \sum _ { k } \frac { 1 } { [ k ] } C _ { a 0 ; a , 0 } ^ { k 0 } C _ { a \mu ; a , - \mu } ^ { k 0 } C _ { b 0 ; b , 0 } ^ { k 0 } C _ { b , \nu ; b , - \nu } ^ { k 0 } . } \end{array}
\left. \begin{array} { l l } { { \partial _ { + } q _ { 1 } = { \displaystyle \frac { 2 } { \lambda } } ( 1 - q _ { 1 } q _ { 2 } ) e ^ { \phi } , \, \, } } & { { \partial _ { + } q _ { 2 } = - 2 q _ { 1 } e ^ { - 2 \phi } - { \displaystyle \frac { 2 } { \lambda } } q _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { \phi } , } } \\ { { \partial _ { - } q _ { 1 } = - ( q _ { 2 } + \lambda q _ { 1 } ^ { 2 } ) + q _ { 1 } \partial _ { - } \phi , \, \, } } & { { \partial _ { - } q _ { 2 } = \lambda ( 1 - q _ { 1 } q _ { 2 } ) - q _ { 2 } \partial _ { - } \phi , } } \end{array} \right.
b _ { k ^ { \prime } k } ^ { m } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 2 \alpha _ { m } ) ^ { - 2 } \sqrt { k ( k + m ) ( k + 1 ) ( k + m + 1 ) } } & { k ^ { \prime } = k + 2 , } \\ { - ( 2 \alpha _ { m } ) ^ { - 2 } \sqrt { k ( k + m ) } ( 4 k + 2 m + 2 \alpha _ { m } R ) } & { k ^ { \prime } = k + 1 , } \\ { ( 2 \alpha _ { m } ) ^ { - 2 } ( 6 k ^ { 2 } - 6 k + 6 k m - 3 m + m ^ { 2 } + 2 ) + \frac { 2 k - 1 + m } { 2 \alpha _ { m } } + \frac { R ^ { 2 } } { 6 } } & { k ^ { \prime } = k , } \\ { - ( 2 \alpha _ { m } ) ^ { - 2 } \sqrt { ( k - 1 ) ( k - 1 + m ) } ( 4 k - 4 + 2 m + 2 \alpha _ { m } R ) } & { k ^ { \prime } = k - 1 , } \\ { ( 2 \alpha _ { m } ) ^ { - 2 } \sqrt { ( k - 1 ) ( k - 1 + m ) ( k - 2 ) ( k - 2 + m ) } } & { k ^ { \prime } = k - 2 , } \\ { 0 } & { o t h e r w i s e , } \end{array} \right.
\gamma = q \cdot \rho L g = \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ c ~ o ~ m ~ p ~ l ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ d ~ e ~ n ~ s ~ i ~ t ~ y ~ } \cdot \mathrm { ~ w ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ o ~ f ~ c ~ a ~ b ~ l ~ e ~ }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \vert \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) \vert ^ { 2 } } \\ { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \big ( \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) ] \big ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \sum _ { 1 \leq \ell < \ell ^ { \prime } \leq n } \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \big ( \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) ] \big ) \big ( \phi _ { k } ( X _ { \ell ^ { \prime } } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ^ { \prime } ) ] \big ) . } \end{array}
p ^ { + } \frac { d } { d p ^ { + } } \phi ^ { ( n ) } ( x , \nu / \mu , \mu / m ) = \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d \xi } { \xi } p ^ { + } \frac { d } { d p ^ { + } } D ( x / \xi , \nu / \mu ) \phi ( \xi , \mu / m ) \; .
\begin{array} { r } { p _ { \mathrm { p t } } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) : = p ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } | \ensuremath { \mathbf d } ) = { \frac { p ( \ensuremath { \mathbf d } | \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) } { p ( \ensuremath { \mathbf d } ) } } p _ { \mathrm { p r } } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { + \ell } C _ { \ell m } ^ { \sigma } \boldsymbol { \Psi } _ { \ell m } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \tilde { t } _ { 1 } } } \\ { { \tilde { t } _ { 2 } } } \end{array} \right) = { \mathcal R } ^ { \tilde { t } } \left( \begin{array} { c } { { \tilde { t } _ { L } } } \\ { { \tilde { t } _ { R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { \frac { i } { 2 } \varphi _ { \tilde { t } } } \cos \theta _ { \tilde { t } } } } & { { e ^ { - \frac { i } { 2 } \varphi _ { \tilde { t } } } \sin \theta _ { \tilde { t } } } } \\ { { - e ^ { \frac { i } { 2 } \varphi _ { \tilde { t } } } \sin \theta _ { \tilde { t } } } } & { { e ^ { - \frac { i } { 2 } \varphi _ { \tilde { t } } } \cos \theta _ { \tilde { t } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \tilde { t } _ { L } } } \\ { { \tilde { t } _ { R } } } \end{array} \right) \enspace ,
( \rho , u , p , \mathrm { E O S } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 1 . 2 \times 1 0 ^ { - 6 } ~ \mathrm { g / m m ~ ^ 3 ~ } , 0 . 0 ~ \mathrm { m m / s } , 1 . 0 \times 1 0 ^ { 5 } ~ \mathrm { P a } , \mathrm { s t i f f e n e d ~ g a s } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad \xi < 0 ~ \mathrm { m m } } \\ { \left( 2 . 2 0 4 \times 1 0 ^ { - 3 } ~ \mathrm { g / m m ~ ^ 3 ~ } , 4 . 0 \times 1 0 ^ { 5 } ~ \mathrm { m m / s } , 1 . 0 \times 1 0 ^ { 5 } ~ \mathrm { P a } , \mathrm { M i e - G r \" { u } n e i s e n } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad \xi > 0 ~ \mathrm { m m } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| \nabla f _ { \xi } ( z ) \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \big \| ( | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } - y _ { \xi } ) ( a _ { \xi } a _ { \xi } ^ { \top } ) z \big \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \\ & { \ge \frac { 1 } { 2 } \big | | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 3 } - y _ { \xi } | a _ { \xi } ^ { \top } z | \big | ^ { \frac { 2 } { 3 } } \| a _ { \xi } \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \ge } \frac { 1 } { 2 } \big ( | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } - | y _ { \xi } | | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { \frac { 2 } { 3 } } \big ) \big | \| a _ { \xi } \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \ge } \frac { 1 } { 3 } \big ( | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } - | y _ { \xi } | ^ { \frac { 3 } { 2 } } \big ) \big | \| a _ { \xi } \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \end{array}
F _ { _ { ( 1 ) } } = \left( \begin{array} { c c c } { { f } } & { { 0 } } & { { M _ { _ { ( 1 ) } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { R _ { _ { ( 1 ) } } } } \\ { { - M _ { _ { ( 1 ) } } ^ { ^ T } } } & { { - R _ { _ { ( 1 ) } } ^ { ^ T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; .
\Delta E _ { \mathrm { R P } } ^ { \ddagger } = \frac { \left< U \ m _ { \xi } ^ { - 1 / 2 } \right> _ { z _ { \mathrm { T S } } } } { \left< m _ { \xi } ^ { - 1 / 2 } \right> _ { z _ { \mathrm { T S } } } } - \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { 2 } - \left< U \right> _ { \mathrm { R } }
\begin{array} { r l r } { H _ { p } ^ { \mathrm { f r e e } } } & { { } = } & { \int \hbar \omega _ { p } ( k ) a _ { p } ^ { \dagger } ( k ) a _ { p } ( k ) d k , } \\ { H _ { a s } ^ { \mathrm { f r e e } } } & { { } = } & { \int \hbar \omega _ { a s } ( k ) a _ { a s } ^ { \dagger } ( k ) a _ { a s } ( k ) d k , } \\ { H _ { a c } ^ { \mathrm { f r e e } } } & { { } = } & { \int \hbar \omega _ { a c } ( q ) b _ { a c } ^ { \dagger } ( q ) b _ { a c } ( q ) d q , } \end{array}
\frac { \partial \chi _ { N } ^ { 2 } } { \partial A _ { k } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \left[ - \frac { \tilde { s } _ { k } ^ { * } ( f ) \mathrm { e } ^ { i \omega t _ { k } } \tilde { v } ( f ) } { J ( f ) } + \frac { \tilde { s } _ { k } ^ { * } ( f ) \mathrm { e } ^ { i \omega t _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { j } \tilde { s } _ { j } ( f ) \mathrm { e } ^ { - i \omega t _ { j } } } { J ( f ) } \right] = 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \hat { f } - f \| _ { \infty } ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \| H ^ { - 1 } \{ \widehat { H ( f ) } \} - H ^ { - 1 } \{ H ( f ) \} \| _ { \infty } ^ { 2 } = \mathbb { E } \| ( H ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( g ) ( \widehat { H ( f ) } - H ( f ) ) \| _ { \infty } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \mathbb { E } \| H ^ { - 1 } ( g ) ( \widehat { H ( f ) } - H ( f ) ) \| _ { \infty } ^ { 2 } . } \end{array}
P = \cdots \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } x _ { - 2 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } x _ { - 1 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } x _ { 0 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } x _ { 1 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } x _ { 2 } \mathord { \vrule w i d t h 1 2 p t h e i g h t 3 p t d e p t h - 1 . 5 p t } \cdots .
S _ { s i g } = \frac { I _ { 0 } A _ { a p } T _ { l } } { h \nu } \int _ { 0 } ^ { t _ { i n t } } \! \! \! \! F ( R _ { d } , \gamma t ) d t = \frac { P _ { m a x } } { h \nu \, \gamma } \int _ { 0 } ^ { \gamma t _ { i n t } } \! \! \! \! F ( R _ { d } , y ) d y ,
\begin{array} { r l r } & { V B _ { n } = } & { \Bigg \langle \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \ldots , \sigma _ { n - 1 } , \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , \ldots , \rho _ { n - 1 } ~ \mid ~ \rho _ { i } ^ { 2 } = 1 \quad \mathrm { f o r } \quad 1 \leq i \leq n - 1 , } \\ & { } & { \sigma _ { i } \sigma _ { j } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } , \quad \rho _ { i } \rho _ { j } = \rho _ { j } \rho _ { i } , \quad \sigma _ { i } \rho _ { j } = \rho _ { j } \sigma _ { i } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | \ge 2 , } \\ & { } & { \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { i } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } \sigma _ { j } , \quad \rho _ { i } \rho _ { j } \rho _ { i } = \rho _ { j } \rho _ { i } \rho _ { j } , \quad \rho _ { i } \sigma _ { j } \rho _ { i } = \rho _ { j } \sigma _ { i } \rho _ { j } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | = 1 \Bigg \rangle . } \end{array}
u ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad x \in [ 0 , w _ { p } ] , } \\ { 0 , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad x \in ( w _ { p } , 1 ] . } \end{array} \right.
{ \hat { T } } = { \frac { \mathbf { \hat { p } } \cdot \mathbf { \hat { p } } } { 2 m } } = { \frac { { \hat { p } } ^ { 2 } } { 2 m } } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } ,
) . T h e r e g u l a t o r y a g e n c y s u b s i d i z e s t r a n s i t s e r v i c e s f o r l o w - i n c o m e h o u s e h o l d s i n u n d e r s e r v e d / r e m o t e a r e a s w h i l e t a x i n g A M o D s e r v i c e s . T h e s u b s i d y i m p r o v e s t r a n s i t s e r v i c e s a n d s t r e n g t h e n s t h e c o m p e t i t i v e n e s s o f p u b l i c t r a n s i t ( d i r e c t t r a n s i t s e r v i c e s , i . e . , m o d e
\left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 1 } B _ { 1 1 } + A _ { 1 2 } B _ { 2 1 } } & { A _ { 1 1 } B _ { 1 2 } + A _ { 1 2 } B _ { 2 2 } } \\ { A _ { 2 1 } B _ { 1 1 } + A _ { 2 2 } B _ { 2 1 } } & { A _ { 2 1 } B _ { 1 2 } + A _ { 2 2 } B _ { 2 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n } \geq \delta n ( \log n ) ^ { - 1 / 2 } ) \geq 1 - \varepsilon , \qquad d = 3 , } \\ & { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n } \geq \delta n ) \geq 1 - \varepsilon , \qquad d \geq 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { N } ) } & { = \frac { \mathbb { P } ( \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \cap \mathcal { E } ^ { \mathcal { T } _ { N } } ) } { \mathbb { P } ( \mathcal { E } ^ { \mathcal { T } _ { N } } ) } = \frac { 2 p _ { N } \mathbb { P } ( \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } } ) \mathbb { P } ( \mathcal { R } _ { 0 } ^ { \mathcal { T } _ { N } } ) } { 1 - \gamma _ { N } } } \\ & { = \frac { 2 p _ { N } } { ( 1 - \gamma _ { N } ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } u _ { n } n \beta _ { N } ( 1 - \beta _ { N } ) ^ { n - 1 } \times \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } u _ { n } ( 1 - \beta _ { N } ) ^ { n } } \\ & { = \frac { 2 p _ { N } } { ( 1 - \gamma _ { N } ) } \frac { \beta _ { N } ( 1 - p _ { N } ) } { x _ { N } } \frac { 1 - x _ { N } } { 2 p _ { N } } } \\ & { = \frac { 1 - x _ { N } } { x _ { N } ( 1 - \gamma _ { N } ) } \gamma _ { N } . } \end{array}
E _ { b } = k _ { b } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \frac { ( \boldsymbol \kappa _ { i } - \tilde { \boldsymbol \kappa } _ { i } ) ^ { T } ( \boldsymbol \kappa _ { i } - \tilde { \boldsymbol \kappa } _ { i } ) } { \lVert \tilde { \mathbf e } ^ { i } \rVert + \lVert \tilde { \mathbf e } ^ { i - 1 } \rVert } ,
\mathcal { C } \mathcal { C } ^ { \mathrm { T } } = \left( \begin{array} { l l l } { c _ { 1 1 } } & { c _ { 1 2 } } & { c _ { 1 3 } } \\ { c _ { 1 2 } } & { c _ { 2 2 } } & { c _ { 2 3 } } \\ { c _ { 1 3 } } & { c _ { 2 3 } } & { c _ { 3 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { n } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) = \mathcal { Q } _ { l } } & { { } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r ) } } ( \alpha _ { l } ) } \end{array}
P _ { \perp } \; { \cong } \; { \frac { 4 s _ { \theta } E } { { \left( { \frac { { { { \it m _ { b } } } ^ { 2 } } } { 2 \, { E ^ { 2 } } } } + \left( 1 - { \it c _ { \theta } } \right) \, \left( 1 - { \frac { { { { \it m _ { t } } } ^ { 2 } } } { 2 \, { E ^ { 2 } } } } \right) \right) } } } { \frac { \left( { \tilde { a } } _ { w w 1 } + 2 a _ { d } c _ { \theta } \right) } { \Lambda } } . \nonumber
\begin{array} { r l } { I ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { \Gamma ( 4 n + 2 ) } { \Gamma ^ { 2 } ( 2 n ) } \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x ^ { 2 n - 1 } y ^ { 2 n - 1 } } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 4 n + 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| D V _ { p } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { d \times d } ) } ^ { p } \leq \| \mathcal { J } ^ { \prime } ( \Omega ) \| _ { \left( W ^ { 1 , p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { d } ) \right) ^ { * } } \left( 1 + C _ { p } \right) \| D V _ { p } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { d \times d } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } | G _ { \Delta x } ( t , } & { y ( t , \xi ) ) - G _ { \Delta x } ( t , y _ { \Delta x } ( t , \xi ) ) | y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \left| G _ { \Delta x } ( t , y ( t , \xi ) ) - G _ { \Delta x } \left( t , y ( t , \xi ) - y ( t , \xi ) + y _ { \Delta x } ( t , \xi ) \right) \right| y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { \leq \int _ { \mathbb { R } } \left| G _ { \Delta x } ( t , y ( t , \xi ) + \Theta ) - G _ { \Delta x } ( t , y ( t , \xi ) - \Theta ) \right| y _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \int _ { j \Theta } ^ { ( j + 1 ) \Theta } \left| G _ { \Delta x } ( t , x + \Theta ) - G _ { \Delta x } ( t , x - \Theta ) \right| d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \Theta } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } | G _ { \Delta x } ( t , x + ( j + 1 ) \Theta ) - G _ { \Delta x } ( t , x + ( j - 1 ) \Theta ) | d x } \\ & { \leq 2 \Theta G _ { \Delta x , \infty } ( t ) = 2 G _ { \infty } ( 0 ) \| y ( t ) - y _ { \Delta x } ( t ) \| _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { 1 6 ^ { 2 } n ^ { 2 } } { d ^ { 2 } \kappa _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } c _ { m , j } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 1 6 ^ { 2 } n ^ { 2 } D } { d ^ { 2 } \kappa _ { n } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sqrt { \lambda _ { m , j } } \right) ^ { 2 } } & { \leq \left( \frac { 1 6 ^ { 2 } n ^ { 2 } D } { d ^ { 2 } \kappa _ { n } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } \right) \cdot m } \\ & { = \left( \frac { 1 6 ^ { 2 } n ^ { 2 } D } { d ^ { 2 } \kappa _ { n } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \cdot m \leq m ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { 1 } { k T } m _ { a } \cosh \theta = \ln ( 1 + y _ { a } ( \theta ) ) + \sum _ { b = 1 } ^ { l } \, \bigl ( \Phi _ { a b } * \ln ( 1 + y _ { b } ^ { - 1 } ) \bigr ) ( \theta ) \, ,
\begin{array} { r l } { \| v ( t ) - \textbf { 1 } \bar { v } \| ^ { 2 } } & { \le \| v ( 0 ) - \textbf { 1 } \bar { v } \| ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { \varepsilon } \| \nabla \mathcal V \| _ { \infty } ^ { 2 } + \varepsilon \| v - \textbf { 1 } \bar { v } \| ^ { 2 } - 2 ( v - \textbf { 1 } \bar { v } ) \Psi ( z ) ( v - \textbf { 1 } \bar { v } ) \mathrm d s } \\ & { \le \| v ( 0 ) - \textbf { 1 } \bar { v } \| ^ { 2 } + \frac { t } { \varepsilon } \| \nabla \mathcal V \| _ { \infty } ^ { 2 } - ( 2 \lambda _ { 2 } - \varepsilon ) \int _ { 0 } ^ { t } \| v - \textbf { 1 } \bar { v } \| ^ { 2 } \mathrm d s , } \end{array}
\Xi _ { c } ( \mathbf { k } , t ; \mathcal { P } , \mathcal { N } ) = \frac { 2 } { \left( 2 \pi \right) ^ { 2 } } \int _ { B Z } d \mathbf { k } ^ { \prime } V _ { 2 D } \left( \mathbf { k - k } ^ { \prime } \right)
Q = \frac { \left[ ( q _ { 1 } - q _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ^ { 1 0 0 } } { \pi ^ { 2 } \cdot 2 ^ { 1 0 0 } \cdot 1 0 0 ! } e ^ { - ( q _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { u } & { = u _ { 0 } + \sigma , } \\ { x } & { = x _ { 0 } + \sigma \left[ \left( 1 - \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \sigma ) \right) p _ { x } - \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( u ) p _ { y } \right] , } \\ { y } & { = y _ { 0 } + \sigma \left[ \left( 1 + \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \sigma ) \right) p _ { y } - \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( u ) p _ { x } \right] , } \\ { v } & { = v _ { 0 } + \frac { \sigma } { 2 } ( p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ( p _ { x } ^ { 2 } - p _ { y } ^ { 2 } ) \sigma \bar { f } _ { + } ( \sigma ) - \varepsilon \sigma \bar { f } _ { \times } ( \sigma ) p _ { x } p _ { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { N } ^ { \otimes n } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { { } = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { j _ { 1 } , . . . j _ { n } = 1 } ^ { N } \mathbb { E } \left[ \left( \partial _ { z _ { j _ { 1 } } } \cdot \cdot \cdot \partial _ { z _ { j _ { n } } } u _ { N } \right) ( t , Z ) \right] \xi _ { j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdot \cdot \cdot \xi _ { j _ { n } } ( x _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ( \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } , T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) } & { \geqslant \int _ { M } f ( z ) ( d T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) - d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) ) } \\ & { = \int _ { B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) } ( f ( T z ) - f ( z ) ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = \delta \left( 1 - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 ( n + 2 ) } ( \textrm { R i c } _ { x _ { 0 } } ( v , v ) + 2 \textrm { H e s s } _ { x _ { 0 } } V ( v , v ) ) \right) } \\ & { \qquad + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) . } \end{array}
\tau _ { 0 } \sim R _ { \star } \sqrt { m _ { p } / T _ { \star } } = 1 . 9 \times 1 0 ^ { 5 } \lambda ^ { 9 / 1 6 } M _ { p l } ^ { 9 / 8 } / ( \alpha ^ { 9 / 4 } m _ { e } ^ { 1 / 4 } m _ { p } ^ { 1 5 / 8 } )
\begin{array} { r l } { \psi ^ { n - k } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) } & { = \psi ^ { n - k } \left( \frac { \alpha _ { k } t } { \sigma _ { \ell } \sqrt { n - k } } \right) } \\ & { = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \alpha _ { k } t \right) ^ { 2 } \right] \left[ 1 - \frac { \iota ( \alpha _ { k } t ) ^ { 3 } } { 6 \sqrt { n - k } } \mathbb { E } \left( \frac { \ell _ { 1 } } { \sigma _ { \ell } } \right) ^ { 3 } \right] + o \left( \frac { ( | t | ^ { 3 } + t ^ { 6 } ) } { \sqrt { n } } \exp ( - ( \alpha _ { k } t ) ^ { 2 } / 4 ) \right) . } \end{array}
\psi _ { M } ( \rho _ { M } ) = c _ { 1 } ( p ) \sqrt { \rho _ { M } } \, e ^ { - \pi p / 2 } H _ { i p } ^ { ( 1 ) } ( \omega \rho _ { M } ) + c _ { 2 } ( p ) \sqrt { \rho _ { M } } \, e ^ { \pi p / 2 } H _ { i p } ^ { ( 2 ) } ( \omega \rho _ { M } ) ,
\left. \overline { { | A _ { \mu } A ^ { \mu } | } } \right| _ { \eta = 0 } = \overline { { A _ { \perp } ^ { 2 } } } | _ { \eta = 0 } = \frac { \mathcal { A } _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { - 2 r ^ { 2 } / \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \, ,
Z = \int { \cal D } A _ { i } { \cal D } \Phi { \cal D } E _ { i } { \cal D } \Pi { \cal D } A _ { 0 } \exp ( i A _ { 0 } ^ { a } ( ( D _ { i } E _ { i } ) ^ { a } + ( g / 2 ) \Pi ^ { \dagger } \tau ^ { a } \Phi + h . c . ) / T ) \exp ( - H ( A , \Phi , E , \Pi ) ) \, .
e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } - \frac { i } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } - \frac { i } { 2 } ) } = \sum _ { l } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } , i } ^ { - 1 } C _ { m _ { 1 } - l , l ; m _ { 1 } } ^ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } ; j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } - i } e _ { m _ { 1 } - l } ^ { ( j _ { 1 } ) } \bar { e } _ { l } ^ { ( \bar { j } _ { 1 } ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma _ { e Z } } { d \omega } ( \omega , y ) = } & { { } \frac { \alpha r _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega } \lbrace ( \frac { 4 } { 3 } - \frac { 4 } { 3 } y + y ^ { 2 } ) } \end{array}
\psi ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t / \tau ) = \frac { \exp \left[ \frac { - ( t - \mu ) ^ { 2 } } { 2 ( s \tau ) ^ { 2 } } \right] + \exp \left[ \frac { - ( t + \mu ) ^ { 2 } } { 2 ( s \tau ) ^ { 2 } } \right] } { \sqrt { 2 \sqrt { \pi } s \tau \left\{ 1 + \exp \left[ - \mu ^ { 2 } / ( s \tau ) ^ { 2 } \right] \right\} } }
( \alpha \ast \beta ) ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { H ( 2 s , t ) } } & { { \mathrm { ~ 0 \leq ~ s ~ \leq ~ { \frac { 1 } { ~ 2 } } ~ } } } \\ { { H ( 2 s - 1 , t ) } } & { { \mathrm { ~ { \frac { 1 } { ~ 2 } } \leq ~ s ~ \leq ~ 1 ~ } } } \end{array} \right.
{ \widetilde { \mathcal { M } } } [ F ] ( s ) : = { \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { s } F ( t ) { \frac { d t } { t } } , \qquad \left| { \widetilde { \mathcal { M } } } [ F ] ( s ) \right| \in ( - \infty , + \infty ) , \forall s \in \{ z \in \mathbb { C } : \Re ( z ) > 0 \} \setminus \{ \zeta _ { 1 } ( F ) , \ldots , \zeta _ { k } ( F ) \} .
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) d x } & { = \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) d ( x - a ) } \\ & { = f ( x ) ( x - a ) | _ { a } ^ { \infty } - \int _ { a } ^ { \infty } ( x - a ) f _ { + } ^ { \prime } ( x ) d x } \\ & { = - \int _ { a } ^ { \infty } ( x - a ) f _ { + } ^ { \prime } ( x ) d x } \\ & { = - \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { 2 } f _ { + } ^ { \prime } ( x ) | _ { a } ^ { \infty } + \int _ { a } ^ { \infty } \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { 2 } d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) } \\ & { = \int _ { a } ^ { \infty } \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { 2 } d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) } \end{array}