harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { 1 } } & { = 2 \alpha \langle \theta _ { t } - \theta ^ { * } + \alpha e _ { t - 1 } - e _ { p , t } , g _ { t } ( \theta _ { t } ) \rangle } \\ & { = 2 \alpha \langle \theta _ { t } - \theta ^ { * } , g _ { t } ( \theta _ { t } ) \rangle + 2 \alpha ^ { 2 } \langle e _ { t - 1 } , g _ { t } ( \theta _ { t } ) \rangle - 2 \alpha \langle e _ { p , t } , g _ { t } ( \theta _ { t } ) \rangle } \\ & { \leq 2 \alpha \langle \theta _ { t } - \theta ^ { * } , g _ { t } ( \theta _ { t } ) \rangle + 2 \alpha ^ { 2 } \Vert e _ { t - 1 } \Vert \Vert g _ { t } ( \theta _ { t } ) \Vert + 2 \alpha \Vert e _ { p , t } \Vert \Vert g _ { t } ( \theta _ { t } ) \Vert } \\ & { \leq 2 \alpha \langle \theta _ { t } - \theta ^ { * } , g _ { t } ( \theta _ { t } ) \rangle + 1 2 6 \alpha ^ { 2 } \delta G ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( s ) ) } & { \leq - M _ { 1 , - \alpha } ( g ( s ) ) + 9 \delta _ { 1 } [ C + 3 2 ( 1 - \gamma ) K _ { 0 } C ^ { 2 } ( K _ { 0 } c _ { 0 , 2 \beta } + 1 ) ] + C ; } \\ { \partial _ { s } M _ { 1 , \beta } ( g ( s ) ) } & { \leq - M _ { 1 , \beta } ( g ( s ) ) + K _ { 0 } c _ { 0 , 2 \beta } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( s ) ) } \\ & { + 3 C ( c _ { 0 , \beta - \alpha } ) \delta _ { 1 } [ C + 3 2 ( 1 - \gamma ) K _ { 0 } C ^ { 2 } ( K _ { 0 } c _ { 0 , 2 \beta } + 1 ) ] + C , } \end{array}
C _ { 6 } ^ { ( \mathrm { ~ N ~ a ~ R ~ b ~ } ) _ { 2 } - ( \mathrm { ~ N ~ a ~ R ~ b ~ } ) _ { 2 } } = 4 \times C _ { 6 } ^ { \mathrm { ~ N ~ a ~ R ~ b ~ - ~ N ~ a ~ R ~ b ~ } } = 6 0 9 9 6 0 0
| \operatorname* { d e t } ( { \underline { { v _ { i ^ { \prime } } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \Theta ( t , w _ { i ^ { \prime \prime } } ) } } } _ { | s } ) | ^ { 2 } \geq c \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in E } | \operatorname* { d e t } ( { \underline { { v _ { i ^ { \prime } } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \Theta ( t ^ { \prime } , w _ { i ^ { \prime \prime } } ) } } } _ { | s } ) | ^ { 2 }
W = \int \, ( \mathcal { D } q _ { i } ) ( \mathcal { D } p _ { i } ) ( \mathcal { D } \phi ) ( \operatorname * { d e t } q _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \, \operatorname * { d e t } M \, \exp \, i L ^ { ( 2 ) }
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } [ r _ { t } | { \mathcal F } _ { 0 } ] } & { = r _ { 0 } e ^ { - \theta _ { r } t } + \frac { 1 } { i } \frac { \partial } { \partial \alpha } \left[ - \gamma _ { r } \int _ { 0 } ^ { t } \log \left( 1 - \frac { i \alpha e ^ { - \theta _ { r } ( t - u ) } } { c _ { r } } \right) d u \right] _ { \alpha = 0 } } \\ & { = r _ { 0 } e ^ { - \theta _ { r } t } + \frac { \gamma _ { r } } { c _ { r } } \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } t } } { \theta _ { r } } , } \\ { \mathbb { V } ^ { { \mathbb Q } } [ r _ { t } | { \mathcal F } _ { 0 } ] } & { = - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha ^ { 2 } } \left[ - \gamma _ { r } \int _ { 0 } ^ { t } \log \left( 1 - \frac { i \alpha e ^ { - \theta _ { r } ( t - u ) } } { c _ { r } } \right) d u \right] _ { \alpha = 0 } = \frac { \gamma _ { r } } { c _ { r } ^ { 2 } } \frac { 1 - e ^ { - 2 \theta _ { r } t } } { 2 \theta _ { r } } } \\ { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } [ \lambda _ { t } | { \mathcal F } _ { 0 } ] } & { = \lambda _ { 0 } e ^ { - \theta _ { \lambda } t } + \left( \frac { \rho \gamma _ { r } } { c _ { r } } + \frac { \gamma _ { \tau } } { c _ { \tau } } \frac { \gamma _ { \lambda } } { c _ { \lambda } } \right) \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } t } } { \theta _ { \lambda } } } \\ { \mathbb { V } ^ { { \mathbb Q } } [ \lambda _ { t } | { \mathcal F } _ { 0 } ] } & { = \left[ \frac { \rho ^ { 2 } \gamma _ { r } } { c _ { r } ^ { 2 } } + \frac { \gamma _ { \tau } \gamma _ { \lambda } } { c _ { \tau } ^ { 2 } c _ { \lambda } ^ { 2 } } \left( \gamma _ { \lambda } + c _ { \tau } \right) \right] \frac { 1 - e ^ { - 2 \theta _ { \lambda } t } } { 2 \theta _ { \lambda } } . } \end{array}
\sqrt { - g } L _ { g r a v } = \sqrt { - g } L - { \frac { \partial } { \partial x ^ { c } } } \left( g _ { a b } \pi ^ { a b c } \right) = \left( { \frac { 1 } { 4 \pi { \cal A } _ { P } } } \right) R \sqrt { - g } .
( \mu \nu | \kappa \lambda ) = \iint \mu ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \nu ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } \kappa ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \lambda ( \mathbf { r } _ { 2 } ) d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 1 } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 2 }
{ \frac { \partial P } { \partial X } } = { \frac { P _ { 1 } } { X } } - { \frac { P _ { 2 } } { 1 - X } } + \left[ { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { P _ { 1 } + P _ { 2 } } { Y _ { e } } } + { \frac { \partial P _ { e } } { \partial Y _ { e } } } \right] \left[ { \frac { Z _ { 1 } } { A _ { 1 } } } - { \frac { Z _ { 2 } } { A _ { 2 } } } \right] .
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { O } _ { R } ( Z ) \left( \mathcal { O } _ { S } ( Z ) \right) ^ { \dagger } \rangle } & { = \frac { 1 } { ( n ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \sum _ { \tau \in S _ { n } } \chi _ { R } ( \sigma ) \chi _ { S } ( \tau ) \langle \mathcal { O } _ { \sigma } ( Z ) \left( \mathcal { O } _ { \tau } ( Z ) \right) ^ { \dagger } \rangle \, . } \end{array}
< \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } \; | \; T \psi > = \int d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } < \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } \; | \; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } > < \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \; | \psi ( - t ) > ^ { * } = < - \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } \; | \; \psi ( - t ) > ^ { * } \; ,
\begin{array} { r } { \langle \mathbf { r } \alpha ^ { \prime } | \mathbf { k } \alpha \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { L } } \left( \frac { 2 } { \pi a ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp { \left( - \frac { r _ { \perp } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) } \exp { \left( \mathrm { i } r _ { \parallel } \cdot k \right) } \delta _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } G _ { 0 } ( x , t ) } & { { } = \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } Q ( t - t _ { 1 } ) D _ { \alpha } \left[ - \frac { d } { d x } \frac { 2 \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] } { b } G _ { 0 } ( x , t _ { 1 } ) + \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } G _ { 0 } ( x , t _ { 1 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { \varnothing , \sigma } ^ { ( A ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } ^ { ( f ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { \varnothing , \tau } ^ { ( B ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( f ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ( \rho , z ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } F _ { 1 } ( \rho , z ) d \theta \quad = \quad - ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) \rho , } \\ { f _ { 2 } ( \rho , \theta ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } F _ { 2 } ( \rho , z ) d \theta \quad = \quad - 3 m z . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { F _ { 1 } ^ { \prime ( 0 ) } } { F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } } & { { } = } & { \frac { f _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) - g _ { \ell } ^ { \prime } ( i \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } { f _ { \ell } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) - g _ { \ell } ( i \kappa _ { c } ^ { ( 0 ) } ) } } \end{array}
u _ { 0 } = 1 , \; v _ { 0 } = 0 , \quad u _ { 1 } = 0 , \; v _ { 1 } = 1 , \quad u _ { k + 1 } = u _ { k - 1 } - q _ { k } u _ { k } , \; v _ { k + 1 } = v _ { k - 1 } - q _ { k } v _ { k }
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { V } } = \mathbf { h } ^ { - 2 } \mathbf { V } \mathbf { G } _ { 1 } ^ { \top } + \mathbf { h } ^ { - 1 } \mathbf { V } \mathbf { G } _ { 2 } ^ { \top } + \mathbf { u } _ { m } \textrm { \boldmath { g } } ^ { \top } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l } { { X ^ { 2 } - T ^ { 2 } } } & { { = } } & { { - U V } } & { { = } } & { { e ^ { { \frac { v - u } { 4 M } } } } } & { { = } } & { { e ^ { { \frac { r ^ { * } } { 2 M } } } } } & { { = } } & { { \left( { \frac { r } { 2 M } } - 1 \right) e ^ { { \frac { r } { 2 M } } } \nonumber } } \\ { { \frac { X + T } { X - T } } } & { { = } } & { { \frac { V } { - U } } } & { { = } } & { { e ^ { { \frac { u + v } { 4 M } } } } } & { { = } } & { { e ^ { { \frac { t } { 2 M } } } \; , } } & { { } } & { { } } \end{array} \right.
( \delta M _ { Z } ^ { o } ) ^ { 2 } = - \Sigma _ { Z } ^ { o } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) \simeq - \Sigma _ { Z } ^ { o } ( o ) ; ~ ~ ( \delta M _ { W } ^ { o } ) ^ { 2 } = - \Sigma _ { W } ^ { o } ( M _ { W } ^ { 2 } ) \simeq - \Sigma _ { W } ^ { o } ( o ) ~ ,
\begin{array} { r l } { D _ { I } \log H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) } & { = D _ { I } \log ( x ( z ) + y ( v ) ) + D _ { I } \log U _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( v , z ) \; , } \\ { D _ { I } \log \hat { M } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } & { = D _ { I } \log ( x ( v ) + y ( v ) ) + D _ { I } \log \hat { V } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( v , z ) \; , } \\ { D _ { I } \log \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } & { = D _ { I } \log ( x ( z ) + y ( z ) ) + D _ { I } \log \hat { M } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) \; . } \end{array}
1 , \quad \eta _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } ^ { \prime } : = \frac { \chi } { 1 + \chi ^ { 2 } } , \quad \frac { \chi } { 2 + 2 \chi ^ { 2 } } , \quad \frac { \chi } { 2 + 2 \chi ^ { 2 } } , \quad \frac { \chi ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { \chi ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\epsilon ^ { \mathrm { ~ M ~ } } ( k , \omega ) = 1 + \frac { ( \omega + i \nu ) [ \epsilon ^ { 0 } ( k , \omega + i \nu ) - 1 ] } { \omega + i \nu \frac { \epsilon ^ { 0 } ( k , \omega + i \nu ) - 1 } { \epsilon ^ { 0 } ( k , 0 ) - 1 } } \; ,
s h o w s a n a l y s i s o n e i g e n v a l u e s o f V o r t i c e l l a S t r a n g e . A t t h e f i r s t r o w , w e s e e t h a t b o t h e i g e n v a l u e s h a v e z e r o i m a g i n a r y p a r t s , w i t h a b s o l u t e r e a l p a r t s o f b o t h g r e a t e r t h a n 1 ( s e e a l s o f i r s t c o l u m n i n F i g u r e
B ^ { ( 1 ) } = ( 1 - \partial _ { x } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } N ^ { ( 1 ) } - \mathscr { N } ( N ^ { ( 0 ) } B _ { x } ^ { ( 0 ) } ) = ( 1 - \partial _ { x } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } N ^ { ( 1 ) } - \mathscr { N } ( N ^ { ( 0 ) } \mathscr { N } N ^ { ( 0 ) } ) .
2 p _ { \frac { 3 } { 2 } , m = - \frac { 3 } { 2 } } , 2 p _ { \frac { 3 } { 2 } , m = - \frac { 1 } { 2 } } , 2 p _ { \frac { 3 } { 2 } , m = \frac { 1 } { 2 } } , 2 p _ { \frac { 3 } { 2 } , m = \frac { 3 } { 2 } } , 1 s _ { \frac { 1 } { 2 } , m = - \frac { 1 } { 2 } } , 1 s _ { \frac { 1 } { 2 } , m = \frac { 1 } { 2 } } , ( \mathrm { o t h e r } ) .
S \left[ { \bf r } ( t ) \right] ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime } ) \equiv S \left[ { \bf r } ( t ) \right] ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } - t ^ { \prime } ) \; ,
f _ { c o r e } = \int _ { 2 r _ { m } } ^ { \infty } f ( \zeta ) d \zeta = e ^ { - 2 r _ { m } } = \left( y + 1 - \sqrt { y ( y + 2 ) } \right) ^ { 2 } , \; \; y = \frac { m } { 2 \pi \nu } .
\begin{array} { r l r } { \int d ^ { \, 4 } p \, { \frac { p _ { \mu } } { ( p - a ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } } & { { } = } & { a _ { \mu } \int { \frac { d ^ { \, 4 } p \, } { ( p - a ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } } \end{array}
\delta \left( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } \right) = \sum _ { p _ { k } } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { k } ; \mathcal { \vec { A } } } \delta ( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } T _ { p _ { k } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } ) = \sum _ { p _ { k } } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { k } ; \mathcal { \vec { A } } } \delta _ { p _ { 3 } ^ { \prime } p _ { k } } | T _ { p _ { k } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | = | T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { \vec { A } } } \, .
\begin{array} { r } { { g } _ { t , i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i f ~ \left( \left( ~ { e } _ { \mathcal { N } _ t } ~ - ~ { \Theta } _ { \mathcal { N } _ t } ~ { z } _ t ~ + ~ { A } _ { t , \mathcal { N } _ t } ^ { \top } ( ~ { A } _ { t , \mathcal { B } _ t } ^ { - 1 } ) ^ { \top } ~ { \Theta } _ { \mathcal { B } _ t } ~ { z } _ t ~ \right) _ + \right) _ { i } > 0 ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
S = \, _ { 1 } \langle \, _ { 2 } \langle I | | \Phi \rangle _ { 1 } Q ^ { ( 2 ) } | \Phi \rangle _ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \, _ { 1 } \langle \, _ { 2 } \langle \, _ { 3 } \langle V | | \Phi \rangle _ { 1 } | \Phi \rangle _ { 2 } | \Phi \rangle _ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathbb { P } _ { \mathcal { F } _ { s } } ( \mathfrak { M } _ { s } | _ { S _ { 2 } } = g ) } { \mathbb { P } _ { \mathcal { F } _ { s } } ( \mathfrak { B } _ { s } | _ { S _ { 2 } } = g ) } } & { = \frac { \mathbb { P } _ { 0 , t } ( g ( 0 ) , g ( t ) , - \infty ) \mathbb { P } _ { \mathcal { F } _ { s } } ( \mathfrak { A } ^ { k } | _ { [ - s , s ] } \in \operatorname { N I } ( \mathfrak { A } _ { k + 1 } , [ - s , 0 ] \cup [ t , s ] ) ) } { \mathbb { P } _ { \mathcal { F } _ { s } } ( \mathfrak { A } ^ { k } | _ { [ - s , s ] } \in \operatorname { N I } ( \mathfrak { A } _ { k + 1 } , [ - s , 0 ] \cup [ t , s ] ) \cap \operatorname { N I } ( - \infty , [ 0 , t ] ) ) } } \\ & { \ge \mathbb { P } _ { 0 , t } ( g ( 0 ) , g ( t ) , - \infty ) . } \end{array}
( \mathcal { P } _ { a , M } { \widehat { u } } ) _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } : = R ^ { \star } { \widehat { u } } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } + ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } { \widehat { u } } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } - v ^ { 2 } ( \Lambda - 2 a m \omega ) { \widehat { u } } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } - V _ { 1 } { \widehat { u } } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } = H _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \, .
W _ { \alpha \beta } ^ { i n } = 2 \pi \biggl ( ( - g _ { \alpha \beta } + { \frac { p _ { \alpha } ^ { b } q _ { \beta } ^ { b } + p _ { \beta } ^ { b } q _ { \alpha } ^ { b } } { q ^ { b } p ^ { b } } } ) W _ { 1 } + p _ { \alpha } ^ { b } p _ { \beta } ^ { b } { \frac { W _ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \biggr ) { \frac { \hat { q } ^ { b } } { q ^ { b } p ^ { b } } }
\begin{array} { r l } { \big \{ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \Delta + V ( \vec { x } ) } & { \overbrace { - \frac { V ^ { 2 } ( \vec { x } ) } { 2 m c ^ { 2 } } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } c ^ { 2 } } V ( \vec { x } ) \Delta + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } c ^ { 2 } } \vec { \nabla } V \vec { \nabla } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 8 m ^ { 2 } c ^ { 2 } } \Delta V ( \vec { x } ) } ^ { H _ { \mathrm { c o r r } } } \big \} \psi _ { i } ( \vec { x } ) = } \\ & { \overset { ^ { ( ) } } { \underset { ^ { ( ) } } { = } } \underbrace { m c ^ { 2 } \Big ( 1 - \frac { \lambda _ { i } } { 2 D } \Big ) } _ { E _ { i } } \psi _ { i } ( \vec { x } ) . } \end{array}
\mathbf { F } _ { \ell } \sim \sum _ { \nu } \left[ c _ { \ell \nu } \mathbf { N } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \textrm { o u t w a r d } ) } + d _ { \ell \nu } \mathbf { N } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \textrm { i n w a r d } ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { i } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( x _ { j } - x _ { i } ) , \ \ \ i = 1 , . . . , N , } \\ { x _ { i 0 } } & { { } = x _ { i } ( 0 ) , \ \ i = 1 , . . , N . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textup { e } ^ { - \frac { 1 } { 3 } t + \int _ { 0 } ^ { t } \epsilon ( s ) \textup { d } s } \bigg [ \partial _ { t } A ( t ) - ( \frac { 1 } { 3 } - \epsilon ( t ) ) A ( t ) \bigg ] \geq - \tilde { C } \textup { e } ^ { \epsilon _ { 1 } t } \textup { e } ^ { - \frac { 1 } { 3 } t + \int _ { 0 } ^ { t } \epsilon ( s ) \textup { d } s } \geq - \tilde { C } \textup { e } ^ { 2 \epsilon _ { 1 } t } \textup { e } ^ { - \frac { 1 } { 3 } t } \geq - \tilde { C } \textup { e } ^ { - \frac { 1 } { 6 } t } , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \langle q _ { i 0 } - Q _ { i 0 } \rangle } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \langle \dot { q } _ { i 0 } \rangle } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { m \omega _ { i } \omega _ { j } \langle ( q _ { i 0 } - Q _ { i 0 } ) ( q _ { j 0 } - Q _ { j 0 } ) \rangle } } & { { = } } & { { k _ { B } T \delta _ { i j } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { m \langle \dot { q } _ { i 0 } \dot { q } _ { j 0 } \rangle } } & { { = } } & { { k _ { B } T \delta _ { i j } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \langle \dot { q } _ { i 0 } ( q _ { j 0 } - Q _ { j 0 } ) \rangle } } & { { = } } & { { 0 \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { C } } = \bf { A } \otimes \bf { B } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 , 1 } B _ { 1 , 1 } } & { A _ { 1 , 1 } B _ { 1 , 2 } } & { A _ { 1 , 2 } B _ { 1 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } B _ { 1 , 2 } } \\ { A _ { 1 , 1 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 1 , 1 } B _ { 2 , 2 } } & { A _ { 1 , 2 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } B _ { 2 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } B _ { 1 , 1 } } & { A _ { 2 , 1 } B _ { 1 , 2 } } & { A _ { 2 , 2 } B _ { 1 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } B _ { 1 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 2 , 1 } B _ { 2 , 2 } } & { A _ { 2 , 2 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } B _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { \mapsto x , } \\ { p _ { x } } & { \mapsto p _ { x } + \frac { q L } { \beta _ { 0 } P _ { 0 } c } e _ { x } \left( x , y , \tau \right) , } \\ { y } & { \mapsto y , } \\ { p _ { y } } & { \mapsto p _ { y } + \frac { q L } { \beta _ { 0 } P _ { 0 } c } e _ { y } \left( x , y , \tau \right) , } \\ { \tau } & { \mapsto \tau , } \\ { p _ { \tau } } & { \mapsto p _ { \tau } + \frac { q L } { \beta _ { 0 } P _ { 0 } c } e _ { \tau } \left( x , y , \tau \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i - j = r \; ( \mathrm { m o d ~ } \ell ) \atop 1 \leq i , j \leq \ell } Y _ { i j } + \sum _ { i - j = r \; ( \mathrm { m o d ~ } \ell ) \atop \ell + 1 \leq i , j \leq 2 \ell } Y _ { i j } } & { = } & { - 2 , \quad \mathrm { f o r } \; r = 1 , \ldots , \ell , } \\ { Y _ { j j } } & { = } & { 1 , \quad \, \, \, \, \, \mathrm { f o r } \; j = 1 , \ldots , 2 \ell , } \\ { \mathbf { Y } } & { \succeq } & { 0 , } \\ { \mathrm { r a n k } ( \mathbf { Y } ) } & { = } & { 1 , } \\ { \sum _ { j = 0 } ^ { \ell - 1 } Y _ { 1 j + 1 } } & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \ell - 1 } Y _ { 1 ( \ell + j + 1 ) } , } \end{array}
\sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { S _ { 0 } ^ { 2 } + ( 2 \pi n - \sigma ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 S _ { 0 } } \left[ \coth \left( \frac { S _ { 0 } } { 2 } + \frac { i \sigma } { 2 } \right) + \coth \left( \frac { S _ { 0 } } { 2 } - \frac { i \sigma } { 2 } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { = e ^ { \mathrm { i } { \bf k . a _ { 1 } } } \rho ( C _ { 2 } ) \quad \mathrm { ( f r o m ~ 1 c ~ ) } } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { = e ^ { \mathrm { i } { \bf k . a _ { 2 } } } \rho ( C _ { 2 } ) \quad \mathrm { ( f r o m ~ 1 d ~ ) } } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { = e ^ { \mathrm { i } { \bf k . ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) } } \rho ( C _ { 2 } ) \quad \mathrm { ( f r o m ~ 1 b ~ ) } } \end{array}
\exp \left( - F ^ { \prime } [ \rho ^ { \prime } ] \right) = \int D [ \rho , \delta A ] \ \delta ( \rho ^ { \prime } - \rho - \delta \rho [ \delta A ] ) \exp \left( - F [ \rho ] - { \frac { i } { 2 } } \delta A D ^ { - 1 } [ \rho ] \delta A \right)
\begin{array} { r l } { G _ { \alpha \beta } } & { { } = R _ { \alpha \beta } - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha \beta } R } \\ { G ^ { \alpha \beta } } & { { } = ( g ^ { \alpha \gamma } g ^ { \beta \zeta } - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \alpha \beta } g ^ { \gamma \zeta } ) ( \Gamma ^ { \epsilon } { } _ { \gamma \zeta , \epsilon } - \Gamma ^ { \epsilon } { } _ { \gamma \epsilon , \zeta } + \Gamma ^ { \epsilon } { } _ { \epsilon \sigma } \Gamma ^ { \sigma } { } _ { \gamma \zeta } - \Gamma ^ { \epsilon } { } _ { \zeta \sigma } \Gamma ^ { \sigma } { } _ { \epsilon \gamma } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { \mathrm { l r } } } { 2 } C _ { 1 } x ^ { 2 } - d \log ( C _ { 1 } x ^ { 2 } ) } & { \geq \left( \frac { \left( 2 d + \sqrt { 4 d ^ { 2 } + a _ { \mathrm { l r } } } \right) ^ { 2 } } { 2 a _ { \mathrm { l r } } } - 2 d \left( \frac { 2 d + \sqrt { 4 d ^ { 2 } + a _ { \mathrm { l r } } } } { a _ { \mathrm { l r } } } \right) \right) x } \\ & { = \left( \frac { 8 d ^ { 2 } + 2 a _ { \mathrm { l r } } + 4 d \sqrt { 4 d ^ { 2 } + 2 a _ { \mathrm { l r } } } } { 2 a _ { \mathrm { l r } } } - \frac { 8 d ^ { 2 } + 4 d \sqrt { 4 d ^ { 2 } + 2 a _ { \mathrm { l r } } } } { 2 a _ { \mathrm { l r } } } \right) x } \\ & { = x . } \end{array}
( a _ { 0 } , b _ { 0 } , a _ { 1 } , b _ { 1 } , \ldots , a _ { r } , b _ { r } , a _ { r } , \ldots , \overline { { b } } _ { 1 } , a _ { 1 } , \overline { { b } } _ { 0 } , a _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l r } { k _ { x } ( i , j ) } & { { } = } & { 0 . 5 ( S ( i , j + 1 ) - S ( i , j - 1 ) ) / h } \\ { k _ { y } ( i , j ) } & { { } = } & { 0 . 5 ( S ( i + 1 , j ) - S ( i - 1 , j ) ) / h } \\ { k _ { z } ( i , j ) } & { { } = } & { \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } - k _ { x } ^ { 2 } ( i , j ) - k _ { y } ^ { 2 } ( i , j ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E ( z , \omega ) } { \partial z } } & { { } = } & { - i \left( \frac { [ \sqrt { \epsilon ( \omega ) } - n _ { g } ] \omega } { c } - \beta ( \omega _ { 0 } ) \right) E ( z , \omega ) } \end{array}
f _ { \omega ^ { \prime } l m } ^ { b } = \int d \tilde { \omega } \, d \theta _ { 0 } \, d \eta _ { 0 } \, ( \alpha _ { \omega \omega ^ { \prime } l m } ^ { b } p _ { \omega } + \beta _ { \omega \omega ^ { \prime } l m } ^ { b } \bar { p } _ { \omega } + \mathrm { t e r m s ~ i n v o l v i n g ~ } q _ { \omega } ) ,
v _ { 1 } ( \nu ) = \mathrm { c o s } \phi / 4 - s _ { W } ( \frac { 3 \mathrm { c o s } \beta } { 2 \sqrt { 2 4 } } + \sqrt { \frac 5 8 } \frac { \mathrm { s i n } \beta } { 6 } ) \mathrm { s i n } \phi
P ^ { \mu } \, _ { \alpha } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l } { { \sqrt { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i } } & { { - i } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { l } { { T _ { 0 } | \bar { \Omega } \rangle = \frac { - 1 } { 2 ( k + \check { g } ) } S _ { a 0 } ^ { a } | \bar { \Omega } \rangle = \frac { \bar { p } } { 2 ( k + \check { g } ) } | \bar { \Omega } \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { J _ { 0 } | \bar { \Omega } \rangle = \frac { - \bar { p } } { 2 ( k + \check { g } ) } | \bar { \Omega } \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { T _ { 0 } | \bar { a } _ { 1 } , . . . , \bar { a } _ { N } \rangle = \frac { k N } { 2 ( k + \check { g } ) } | \bar { a } _ { 1 } , . . . , \bar { a } _ { N } \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { J _ { 0 } | \bar { a } _ { 1 } , . . . , \bar { a } _ { N } \rangle = \frac { - k N } { ( k + \check { g } ) } | \bar { a } _ { 1 } , . . . , \bar { a } _ { N } \rangle } } \end{array}
Z ( N , l , r ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \Gamma _ { j + k r } , \quad \Gamma _ { j + k r } = \sum _ { \mu = 1 } ^ { l } ( f _ { k , 1 } - f _ { k , 0 } ) = { \binom { N } { l - k r } } - { \binom { N } { l - 1 - k r } }
\begin{array} { r l } { m _ { f , A } } & { \le E _ { f } ( u _ { 0 } ( A ) ) = \frac 1 2 \int _ { M } ( | \nabla _ { \bar { g } } u _ { 0 } ( A ) | _ { \bar { g } } ^ { 2 } + 2 \bar { K } u _ { 0 } ( A ) - f \mathrm { e } ^ { 2 u _ { 0 } ( A ) } ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = \frac 1 2 \int _ { M } ( \bar { K } \log ( A ) - f A ) d \mu _ { \bar { g } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \bar { K } \log ( A ) - A \int _ { M } f d \mu _ { \bar { g } } \right) . } \end{array}