harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left( \textrm { T r } [ \hat { \sigma } ^ { 3 } ] \right) ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { ( d - 3 ) ^ { 2 } } { ( d - 1 ) ( d - 2 ) } ( \textrm { T r } [ \hat { \sigma } ^ { 2 } ] ) ^ { 3 } } \\ { \textrm { T r } [ \hat { \sigma } ^ { 4 } ] } & { \leq } & { \frac { ( d - 2 ) ^ { 3 } + 1 } { ( d - 1 ) ^ { 2 } ( d - 2 ) } ( \textrm { T r } [ \hat { \sigma } ^ { 2 } ] ) ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { e e } } ( \{ n _ { p } \} ) = \operatorname* { m i n } _ { \{ { ^ { 2 } \Gamma _ { p q r s } } \} \to \{ n _ { p } \} } \; \sum _ { p q r s } { ^ { 2 } \Gamma } _ { p q r s } \, g _ { r s p q } = \lambda \, V _ { \mathrm { e e } } ^ { ( 1 ) } ( \{ n _ { p } \} ) + \lambda ^ { 2 } \, V _ { \mathrm { e e } } ^ { ( 2 ) } ( \{ n _ { p } \} ) + . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ^ { * } } & { { } = \frac { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( 3 ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \left[ \beta _ { 3 } ( k ^ { ( 3 ) } - 1 ) W _ { 3 , 2 } ^ { * } + \beta _ { 2 } ( k ^ { ( 3 ) } - 1 ) \frac { k ^ { ( 2 , \mathrm { n e s t e d } ) } } { k ^ { ( 3 ) } } W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { n e s t e d } ) } + \beta _ { 2 } k ^ { ( 2 , \mathrm { f r e e } ) } W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { f r e e } ) } \right] } { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( 3 ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } } \equiv F _ { 1 } ( \xi ^ { * } , \{ S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \} ) ~ , } \end{array}
\frac { | \tilde { P } | } { | T | } \approx \frac { F _ { \pi } } { F _ { K } } \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \frac { B r ( B ^ { + } \to \pi ^ { + } K ^ { 0 } ) } { B r ( B ^ { + } \to \pi ^ { + } \pi ^ { 0 } ) } } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } z ^ { k _ { C } } ( 1 - z ) ^ { k - k _ { C } } } = 1 , } \\ & { \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } z ^ { k _ { C } } ( 1 - z ) ^ { k - k _ { C } } k _ { C } } = k z , } \\ & { \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } z ^ { k _ { C } } ( 1 - z ) ^ { k - k _ { C } } { k _ { C } } ^ { 2 } } = k z [ 1 + ( k - 1 ) z ] , } \\ & { \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } z ^ { k _ { C } } ( 1 - z ) ^ { k - k _ { C } } k _ { C } ( k - k _ { C } ) } = k ( k - 1 ) z ( 1 - z ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \mathbb { R } ^ { s } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { s } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widetilde \theta _ { i } ^ { ( 1 ) } \big ) \leq \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \mathbb { R } ^ { s } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { s } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widetilde \theta _ { i } \big ) . } \end{array}
\boldsymbol { \mathcal { B } } \theta \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] = \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 2 } { v \Delta t } \left( \boldsymbol { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 1 } { v \Delta t } ( 1 - \theta ) \right) \; ,
\begin{array} { r c l } { { \hat { \lambda } _ { ( p = 1 ) } [ \gamma ( 1 ) ] } } & { { = } } & { { \hat { \lambda } _ { ( p = 1 ) } [ \gamma ( 0 ) ] + 1 = \left( M _ { ( p = 1 ) } \hat { \lambda } _ { ( p = 1 ) } \right) [ \gamma ( 0 ) ] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { M _ { ( p = 1 ) } } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) = T \, , } } \end{array}
\widehat { L } _ { \beta } ( \lambda ) = \frac { 1 } { \sin \gamma } \left( \begin{array} { c c } { { \sinh [ \gamma ( \lambda + \mathrm { i } S ^ { 3 } ) ] } } & { { \mathrm { i } \, \sin \gamma \, e ^ { ( \gamma - \beta ) \lambda } \, S ^ { - } } } \\ { { \mathrm { i } \, \sin \gamma \, e ^ { ( \beta - \gamma ) \lambda } \, S ^ { + } } } & { { \sinh [ \gamma ( \lambda - \mathrm { i } S ^ { 3 } ) ] } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { x _ { k + 1 } - x _ { k } } { \sqrt { s } } } & { = \frac { \tau _ { k } } { \sqrt { s } } \left( z _ { k } - x _ { k } \right) - \sqrt { s } \nabla f \left( y _ { k } \right) } \\ { \frac { z _ { k + 1 } - z _ { k } } { \sqrt { s } } } & { = \frac { \delta _ { k } } { \sqrt { s } } \left( \mu y _ { k } - \mu z _ { k } - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( t _ { i _ { 1 } } ) \ldots \psi ( t _ { i _ { n } } ) } & { = ( K + \pi ( s ) ) \psi ( t _ { i _ { n } } ) } \\ & { = ( K + \pi ( s ) ) ( \psi ( t _ { i _ { n } } ) - \pi ( t _ { i _ { n } } ) + \pi ( t _ { i _ { n } } ) ) } \\ & { = K ( \psi ( t _ { i _ { n } } ) - \pi ( t _ { i _ { n } } ) + \pi ( t _ { i _ { n } } ) ) + \pi ( s ) ( \psi ( t _ { i _ { n } } ) - \pi ( t _ { i _ { n } } ) ) + \pi ( s t _ { i _ { n } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \left( { U } - c \right) \left( D ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } \right) - ( D ^ { 2 } { U } ) \right] \widehat { v } - \frac { 1 } { i \alpha R e } \left( D ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \widehat { v } = 0 , } \\ & { \frac { \epsilon _ { j } } { i \alpha R e } \left[ \frac { D ^ { 2 } \widehat { v } _ { j } } { \eta _ { j x } } - \xi _ { j } \frac { \alpha ^ { 2 } \widehat { v } _ { j } } { \eta _ { j y } } - \frac { D \eta _ { j x } D \widehat { v } _ { j } } { \eta _ { j x } ^ { 2 } } \right] = c \sigma _ { j } ^ { 2 } \left( D ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } \right) \widehat { v } _ { j } , } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial \phi _ { j } } = - \Delta t \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { T } } E _ { x } ^ { a d j } ( y _ { s } , T _ { m } - t _ { n } ) \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ \bar { J } _ { s } ( \omega _ { j } ) \exp ( - i \omega _ { j } t _ { n } + i \phi _ { j } ) ]
\begin{array} { r l } { | q _ { \overline { { x } } } + \xi | \geq | q _ { \overline { { x } } } | - | \xi | } & { \geq L _ { 1 } \beta | \overline { { x } } - \overline { { y } } | ^ { \beta - 1 } - 2 L _ { 2 } - A _ { 0 } , } \\ & { = L _ { 1 } \beta | \overline { { x } } - \overline { { y } } | ^ { \beta - 1 } - 3 L _ { 1 } - 4 L _ { 2 } , } \\ & { = L _ { 1 } \left( \beta | \overline { { x } } - \overline { { y } } | ^ { \beta - 1 } - 3 \right) - 4 L _ { 2 } , } \\ & { \geq L _ { 1 } \left( \beta r ^ { \beta - 1 } - 3 \right) - 4 L _ { 2 } \geq C _ { 1 } L _ { 1 } , \ \ C _ { 1 } > 0 , } \end{array}
F _ { \mathrm { K e p } } = \tilde { F } _ { \mathrm { K e p } } + \frac { 1 } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 3 } } \, \alpha _ { \mathrm { K e p } } \, \tilde { L } _ { 3 } - \frac { 1 } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 4 } } \frac { 3 } { 2 } \alpha _ { \mathrm { K e p } } \, \tilde { L } _ { 3 } ^ { 2 } + O \left( \frac { 1 } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 5 } } \right)
\mathcal { L = } \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + \, \overline { { \! { \psi } } } \left( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - M \right) \psi - \lambda \phi \, \overline { { \! { \psi } } } \psi .
\Delta U = R T \ln { \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } } - R T \ln { \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } } = 0 { \mathrm { ~ ( N o t e : ~ U ~ o f ~ a n ~ i s o t h e r m a l ~ p r o c e s s ~ h a s ~ t o ~ e q u a l ~ 0 ) } }
\begin{array} { r l } { R _ { 2 } [ F _ { j _ { 2 } } ] } & { = \eta ^ { 1 - \gamma _ { 1 } } j ( s _ { 0 } ) \int \tau ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } \frac { 1 + \tau ^ { 2 } } { 1 + s _ { 0 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau - s _ { 0 } + \frac 1 3 ( \tau ^ { 3 } - s _ { 0 } ^ { 3 } ) ) ) } \\ & { = 4 \eta ^ { - 1 - \gamma _ { 1 } } c ^ { \gamma _ { 2 } } j ( s _ { 0 } ) \int ( 1 + \tau ^ { 2 } ) \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau - s _ { 0 } + \frac 1 3 ( \tau ^ { 3 } - s _ { 0 } ^ { 3 } ) ) ) } \\ & { = 4 \frac { c ^ { \gamma _ { 2 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 1 + \gamma _ { 1 } } } j ( s _ { 0 } ) . } \end{array}
f _ { p p } = - \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { p p } ( \mathrm { ~ I ~ P ~ } ) _ { p } + ( 2 - D _ { p p } ) ( \mathrm { ~ E ~ A ~ } ) _ { p } + ( 2 - D _ { p p } ) \epsilon \right) = ( \mathrm { ~ I ~ P ~ } ) _ { p }
\mathrm { d } { \mathcal { H } } = \sum _ { i } \left( { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p _ { i } } } \mathrm { d } p _ { i } \right) + { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial t } } \mathrm { d } t
\boldsymbol J = \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { c } { 2 } } & { a \left( \frac { \omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \omega } - \frac { 3 k _ { 3 } a ^ { 2 } } { 8 \omega } \right) } \\ { - \frac { 1 } { a } \left( \frac { \omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \omega } - \frac { 9 k _ { 3 } a ^ { 2 } } { 8 \omega } \right) } & { - \frac { c } { 2 } } \end{array} \right] .
\alpha _ { t e s t } \in [ 1 ^ { \circ } , 2 ^ { \circ } , 3 ^ { \circ } , 4 ^ { \circ } , 5 ^ { \circ } , 6 ^ { \circ } , 7 ^ { \circ } , 8 ^ { \circ } , 9 . 5 ^ { \circ } , 1 0 ^ { \circ } , 1 1 ^ { \circ } , 1 1 . 5 ^ { \circ } , 1 2 ^ { \circ } ] ,
\mathbf I - \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) ^ { 2 } \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } \succ 0 \quad \iff \quad \mathbf I - \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) ^ { 2 } \mathbf { \Lambda } ^ { 2 } \succ 0 \quad \iff \quad \Delta t < \frac { 2 } { \rho ( \mathbf { \Sigma ) } } \, ,
\widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f , I w } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { 0 } ) \xrightarrow { j _ { T } } \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f , I w } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \mathrm { I n d } _ { K / \mathbb { Q } } \, T , \Delta _ { \mathrm { C M } } ) \xrightarrow { \pi _ { T } } \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f , I w } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta _ { \emptyset } )
f ( z ) = z ^ { m } e ^ { \phi ( z ) } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - { \frac { z } { u _ { n } } } \right) \exp \left\lbrace { \frac { z } { u _ { n } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { z } { u _ { n } } } \right) ^ { 2 } + \cdots + { \frac { 1 } { \lambda _ { n } } } \left( { \frac { z } { u _ { n } } } \right) ^ { \lambda _ { n } } \right\rbrace
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } f _ { L } ( r _ { t } ) } & { = [ - f _ { L } ^ { \prime } ( r _ { t } ) \mathcal { U } _ { t } ( X _ { t } , \hat { X } _ { t } ) + 2 f _ { L } ^ { \prime \prime } ( r _ { t } ) ] \mathrm { d } t + \mathrm { d } N _ { t } } \\ & { \stackrel { = } - f _ { L } ^ { \prime } ( r _ { t } ) [ \mathcal { U } _ { t } ( X _ { t } , \hat { X } _ { t } ) + f _ { L } ( r _ { t } ) ] \mathrm { d } t + \mathrm { d } N _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \Theta \left[ K _ { \Omega } ( \vec { p } , \vec { R } ) G _ { \Omega } ( \vec { p } ^ { \prime } , \vec { R } ^ { \prime } ) \right] = 1 , } } \\ { { \Theta \left[ F _ { \Omega } ^ { + } ( \vec { p } ^ { \prime } , \vec { R } ^ { \prime } ) K _ { - \Omega } ( - \vec { p } , \vec { R } ) \right] = \Theta \left[ \Delta ^ { * } ( \vec { R } ) \widehat { \gamma } _ { A } ( \vec { p } ^ { \prime } , \vec { R } ^ { \prime } ) \widetilde { G } _ { \Omega } ( \vec { p } ^ { \prime } , \vec { R } ^ { \prime } ) \right] } } \end{array}
\begin{array} { r } { { R _ { 1 } ^ { \delta } } ^ { 2 } = ( \rho _ { 0 } - \rho ) ^ { 2 } + ( z _ { 0 } - z ) ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } } \\ { { R _ { 2 } ^ { \delta } } ^ { 2 } = ( \rho _ { 0 } + \rho ) ^ { 2 } + ( z _ { 0 } - z ) ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } } \end{array}
\Delta a _ { \mu } = \frac { 2 } { 3 } k _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \lambda } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { 2 } { p - 2 } \frac { \pi ^ { p / 2 } } { \Gamma [ p / 2 ] } \frac { m _ { F } ^ { 2 } } { M _ { * } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { T = } & { \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) l _ { 1 } ^ { 2 } \dot { \alpha } _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { + m _ { 2 } l _ { 1 } l _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 2 } \cos ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } m _ { 2 } l _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { V = } & { - ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) g l _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } - m _ { 2 } g l _ { 2 } \cos \alpha _ { 2 } . } \end{array}
\langle \nabla P \rangle _ { i } = \left[ \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left( \frac { \mathbf { r } _ { i j } } { \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert } \otimes \frac { \mathbf { r } _ { i j } } { \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert } \omega _ { i j } \right) \right] ^ { - 1 } \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left( \frac { P _ { j } - \widehat { P } _ { i } } { \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert ^ { 2 } } \mathbf { r } _ { i j } \omega _ { i j } \right) \, ,
\left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { m _ { B } ^ { 2 } } \right) V - \left( 1 + \frac { m _ { V } } { m _ { B } } \right) ^ { 2 } A _ { 1 } = { \cal O } ( \lambda ) , \qquad \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { m _ { B } ^ { 2 } } \right) T _ { 1 } - T _ { 2 } = \frac { q ^ { 2 } } { m _ { B } ^ { 2 } } \, { \cal O } ( \lambda ) ,
{ \begin{array} { l c l } { \varphi } & { = } & { \forall u \forall v ( \exists w ( x \times w = u \times v ) \rightarrow ( \exists w ( x \times w = u ) \lor \exists w ( x \times w = v ) ) ) \land x \neq 0 \land x \neq 1 , : } \\ { \psi } & { = } & { \forall u \forall v ( ( u \times v = x ) \rightarrow ( u = x ) \lor ( v = x ) ) \land x \neq 0 \land x \neq 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \nu } [ H ( s _ { 1 } , \dots , s _ { n } ) ] } & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \frac { d \boldsymbol \nu } { d \boldsymbol \pi } \cdot H ( s _ { 1 } , \dots , s _ { n } ) \right] } \\ & { \leq \left( \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lvert \frac { d \boldsymbol \nu } { d \boldsymbol \pi } \right\rvert ^ { p } \right] \right) ^ { 1 / p } \left( \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } [ H ( s _ { 1 } , \dots , s _ { n } ) ^ { q } ] \right) ^ { 1 / q } } \\ & { = \left\lVert \frac { d \boldsymbol \nu } { d \boldsymbol \pi } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi , p } \left( \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } [ H ( s _ { 1 } , \dots , s _ { n } ) ^ { q } ] \right) ^ { 1 / q } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { B } _ { x } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { v _ { 0 } } \hat { E } _ { y } } \\ { \hat { B } _ { y } } & { { } = } & { \frac { 1 } { v _ { 0 } } \hat { E } _ { x } . } \end{array}
Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { f } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \Delta _ { \perp } E _ { z } = - \frac { 2 \nu } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \frac { \tilde { r } n _ { + } } { r _ { 0 } ^ { + } } - \frac { 2 \nu } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \frac { \tilde { r } n _ { - } } { r _ { 0 } ^ { - } } . } \end{array}
{ \boldsymbol { r } } = ( { \boldsymbol { r } } _ { 1 } , \dots , { \boldsymbol { r } } _ { n _ { \uparrow } } , \dots , { \boldsymbol { r } } _ { { n _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 \times { n _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } }
\mathbf { D } = \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { x } } & { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { \frac 1 2 u _ { z } } \\ { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { v _ { y } } & { \frac 1 2 u _ { z } } \\ { \frac 1 2 u _ { z } } & { \frac 1 2 v _ { z } } & { - ( u _ { x } + v _ { y } ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \bigg ( \mathcal { R } ( \widehat { f } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) \leq ( 1 + 1 6 \gamma ) \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 3 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) \bigg ) \geq 1 - \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) - ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , } \\ { ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) - ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , } \\ { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) C ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) \left( A ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) C ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) - A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \right) , } \\ { ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) \left( C ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) - C ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } \bf { E } } & { = } & { \mu \epsilon \frac { \partial ^ { 2 } \bf { E } } { \partial t ^ { 2 } } + \mu \sigma \frac { \partial \bf { E } } { \partial \it { t } } + \frac { \bf { E } } { \lambda ^ { 2 } } } \\ { \nabla ^ { 2 } \bf { B } } & { = } & { \mu \epsilon \frac { \partial ^ { 2 } \bf { B } } { \partial t ^ { 2 } } + \mu \sigma \frac { \partial \bf { B } } { \partial \it { t } } + \frac { \bf { B } } { \lambda ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathinner { \varepsilon _ { e } ^ { \perp } \mathopen { \left( 0 \right) } } = } & { \left\langle \varepsilon \right\rangle \equiv \phi _ { p } \varepsilon _ { p } + \phi _ { q } \varepsilon _ { q } , } & { \mathinner { \varepsilon _ { e } ^ { z } \mathopen { \left( 0 \right) } } = } & { ( \phi _ { p } / \varepsilon _ { p } + \phi _ { q } / \varepsilon _ { q } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 1 } \frac { 1 } { \lambda } \cdot \frac { f ( \lambda x ) - \lambda f ( x ) } { \lambda - 1 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 1 } \frac { f ( \lambda x ) - f ( x ) + f ( x ) - \lambda f ( x ) } { \lambda - 1 } } \\ & { = \left( \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 1 } \frac { f ( \lambda x ) - f ( x ) } { \lambda - 1 } \right) - f ( x ) } \\ & { = x \left( \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 1 } \frac { f ( x + ( \lambda - 1 ) x ) - f ( x ) } { ( \lambda - 1 ) x } \right) - f ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 0 } ^ { N - 1 } = \left[ v _ { 0 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots , v _ { N - 1 } \right] } \\ { V _ { 1 } ^ { N } = \left[ v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots , v _ { N } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 2 } ^ { D } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { v ^ { T } \otimes I _ { n } } & { ( Y \mathbf { 1 } _ { n } ) ^ { T } \otimes I _ { n } } \\ { - X \otimes I _ { n } } & { - Y ^ { T } \otimes I _ { n } } \end{array} \right] } \\ { P _ { 2 } ^ { D } } & { = \left\{ ( A , B ) \mid G _ { 2 } ^ { D } \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] \leq \left[ \begin{array} { l } { v - \eta \mathbf { 1 } _ { n } } \\ { \mathbf { 0 } _ { n ^ { 2 } } } \end{array} \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \deg _ { F _ { \ell } ^ { i } } ( Y ) } & { \leqslant k ^ { 2 k } \varepsilon ^ { 1 / k } t ^ { \ell - i } \binom { t } { k - ( j + \ell - i ) } } \\ & { \leqslant \varepsilon ^ { 1 / k } k ^ { 2 k } t ^ { \ell - i } t ^ { k - ( j + \ell - i ) } \leqslant \varepsilon ^ { 1 / k } k ^ { 4 k } \binom { t - j } { k - j } , } \end{array}
T _ { j _ { 1 } . . . j _ { n } } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = T _ { j _ { 1 } . . . j _ { l } } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { l } ) T _ { j _ { l + 1 } . . . j _ { n } } ( x _ { l + 1 } , . . . , x _ { n } )
\left\{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \Phi } _ { 1 } } & { { } = \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } , x _ { 1 } , y _ { 1 } , x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \mathbf { \Phi } _ { 2 } } & { { } = \left( z _ { 0 } , z _ { 1 } , z _ { 2 } \right) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { 2 } \partial _ { t } \mathbf { v } _ { \varepsilon } + \mathbf { v } _ { \varepsilon } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { \varepsilon } - \operatorname { d i v } ( 2 \nu ( c _ { \varepsilon } ) D \mathbf { v } _ { \varepsilon } ) + \nabla p _ { \varepsilon } } & { { } = - \varepsilon \Delta c _ { \varepsilon } \nabla c _ { \varepsilon } , } \\ { \operatorname { d i v } \mathbf { v } _ { \varepsilon } } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { t } c _ { \varepsilon } + \mathbf { v } _ { \varepsilon } \cdot \nabla c _ { \varepsilon } } & { { } = \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Delta c _ { \epsilon } - \varepsilon ^ { - \frac { 3 } { 2 } } f ^ { \prime } ( c _ { \varepsilon } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal X } _ { i } = \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { ~ m ~ } } } d t \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } ( t ) e ^ { i ( \omega _ { p } t + \varphi ) } + h . c . , } \\ { \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } ( t ) \equiv \hat { U } ^ { \dagger } ( t ) \left( \left| 2 \right> _ { i } \left< 1 \right| + \left| 1 \right> _ { i } \left< 2 \right| \right) \hat { U } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , E _ { T } ^ { \theta } \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } & { = \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , I + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \theta ^ { k } } { k ! } D ^ { k } \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { = \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \theta ^ { k } } { k ! } \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , D ^ { k } \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \theta ^ { k } } { k ! } \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { v } _ { 3 } , D ^ { k } \boldsymbol \rho \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \forall p \in \ensuremath { \mathrm { ~ P ~ S ~ } } , \hat { b } _ { p } \ensuremath { \vert 0 \rangle } = 0 \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \forall p \in \ensuremath { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } , \hat { d } _ { p } \ensuremath { \vert 0 \rangle } = 0 . } \end{array}
R _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } } ^ { ( T \, E ) } = 8 \pi \mu \, \varepsilon _ { \alpha \gamma \gamma _ { 1 } } \gamma _ { \beta \beta _ { 1 } \delta \delta _ { 1 } } m _ { \gamma \gamma _ { 1 } \delta \delta _ { 1 } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } )
\begin{array} { r l } & { \frac { \alpha _ { 1 } } { \log ^ { 3 } ( n B M d / \rho \omega ) } } \\ { = } & { O ( \sigma _ { 1 } \sqrt { d } + \frac { G \sqrt { \log d } } { \sqrt { b _ { 1 } } } + \sigma _ { 2 } \sqrt { d \kappa } + \frac { M \sqrt { \kappa \log d } } { \sqrt { b _ { 2 } } } ) \cdot } \\ { = } & { O ( \frac { G B \eta \sqrt { d \log ( 1 / \delta ) } } { n \varepsilon \kappa } + \frac { B M ^ { 2 } \sqrt { \log ( 1 / \delta ) } } { n \varepsilon \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \sqrt { d \kappa } + \frac { G \sqrt { B \eta \log d } } { \sqrt { n \kappa } } + M \sqrt { \kappa } \frac { \sqrt { B M \log d } } { \sqrt { n } \alpha _ { 1 } } ) . } \end{array}
\hat { f } ( \eta ) \sim \left( 1 - \kappa \eta ^ { 2 } / 2 \right) ^ { - 1 / 4 } \exp \left[ - \frac { \kappa } 2 \int \frac { \eta d \eta } { ( 1 - \eta ) \left( 1 - \kappa \eta ^ { 2 } / 2 \right) } \right] .
\begin{array} { r l r } { \hat { f } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \gamma } \left( f e ^ { - \nu \Delta t } + ( 1 - e ^ { - \nu \Delta t } ) A f ^ { t } \right) } \\ { \textrm { a n d } \quad \widetilde { f } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \gamma } \left( f - ( 1 - e ^ { - \nu \Delta t } ) B f ^ { t } \right) . } \end{array}