harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } \lesssim } & { \Big \{ ( \| \nabla \varphi \| + \| \nabla \Delta \varphi \| ) ( \| \nabla u \| + \| \varphi \| + \| u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \nabla u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) } \\ & { + ( \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } + \| \varphi \| ^ { 2 } ) ( \| \Delta \varphi \| + \| \nabla \varphi \| ) } \\ & { + ( \| \nabla u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \| \nabla u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta \varphi \| ) \| \Delta u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big \} \| \nabla \varphi _ { t } \| } \\ { \lesssim } & { ( \mathcal { E } _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) + \mathcal { E } _ { 0 } ( t ) ) \mathcal { D } _ { 0 } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \mathcal { L } ^ { \prime } } & { = } & { \left[ \left( \Gamma _ { r ^ { \prime \mu } } \right) _ { \mu } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial r ^ { \prime \mu } } \right] d r ^ { \prime \mu } + \left[ \Gamma _ { u _ { \parallel } ^ { \prime } } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial u _ { \parallel } ^ { \prime } } \right] d u _ { \parallel } ^ { \prime } } \\ & { } & { + \left[ \Gamma _ { \phi ^ { \prime } } - \frac { \partial R } { \partial \phi ^ { \prime } } - \varepsilon \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial \phi ^ { \prime } } \right] d \phi ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 2 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 \sqrt { n } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { M ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
S _ { \alpha } ( t ) = - \frac \alpha m p _ { \alpha } + \frac \sigma \omega \left( p ^ { 2 } c _ { \alpha } - p \cdot c \, p _ { \alpha } \right) \cos \left( \omega t \right) + \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } p ^ { \beta } c ^ { \gamma } \sin \left( \omega t \right)
\begin{array} { r l } { { \sf { T } } _ { + } } & { = \left\{ ( \alpha , \beta , \gamma ) : \alpha + \beta + \gamma = \pi , \, 0 \leq \alpha , \beta , \gamma \leq \pi \right\} } \\ { { \sf { T } } _ { - } } & { = \left\{ ( \alpha , \beta , \gamma ) : \alpha + \beta + \gamma = - \pi , \, - \pi \leq \alpha , \beta , \gamma \leq 0 \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { c u r l } \mathbf { H } _ { \mathrm { 2 D / 1 D } } = \left( \begin{array} { l } { - \phi _ { 2 } ^ { \prime } ( z ) \mathbf { T } _ { 2 , y } ( x , y ) } \\ { \phi _ { 2 } ^ { \prime } ( z ) \mathbf { T } _ { 2 , x } ( x , y ) } \\ { \phi _ { 2 } \operatorname { c u r l } _ { 2 D } \mathbf { T } _ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | b _ { 2 ^ { j + 1 } B } - b _ { B } | } & { \leq \sum _ { k = 0 } ^ { j } | b _ { 2 ^ { k + 1 } B } - b _ { 2 ^ { k } B } | } \\ & { \lesssim \sum _ { k = 0 } ^ { j } \frac { 1 } { | 2 ^ { k } B | } \int _ { 2 ^ { k } B } | b ( y ) - b _ { 2 ^ { k + 1 } B } | d y } \\ & { \lesssim \sum _ { k = 0 } ^ { j } \frac { 1 } { | 2 ^ { k } B | } \| ( b - b _ { 2 ^ { k + 1 } B } ) \chi _ { 2 ^ { k + 1 } B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \| \chi _ { 2 ^ { k + 1 } B } \| _ { L ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \| b \| _ { * } \sum _ { k = 0 } ^ { j } \frac { 1 } { | 2 ^ { k } B | } \| \chi _ { 2 ^ { k + 1 } B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \| \chi _ { 2 ^ { k + 1 } B } \| _ { L ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim ( j + 1 ) \| b \| _ { * } . } \end{array}
\frac { 1 } { C _ { r } } \leq \frac { \| f _ { \theta _ { m } } \| } { \left\| f _ { \theta _ { \lfloor m / N \rfloor * N } } \right\| } , \frac { \widetilde { Z } _ { \lfloor m / N \rfloor * N } } { \left\| f _ { \theta _ { \lfloor m / N \rfloor * N } } \right\| } \leq C _ { r } \, , \quad \mathrm { a . s . }
\begin{array} { r l } { F = } & { { } - T \sum _ { \vec { k } } \ln \left( 1 + e ^ { - \beta \xi ( \vec { k } ) } \right) - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \sum _ { \vec { k } } \left( \xi ( \vec { k } ) - E ( \vec { k } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { \rho } _ { 2 , s } ^ { \varphi , x } ( l , k , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \widehat { \mathfrak { b } } _ { 0 , s } ^ { \varphi , x } ( l , k , j ) } { \mathrm { i } \delta _ { l j k } } , } & { \mathrm { i f ~ ( l , k ) \in ~ \mathcal { J } _ { S } ~ } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. } \end{array}
\tau _ { 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \xi _ { i } , \qquad \tau _ { 2 } = \sum _ { \stackrel { i , j = 1 } { i < j } } ^ { N } \xi _ { i } \xi _ { j } , \quad \ldots , \quad \tau _ { N } = \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } \ldots \xi _ { N } \, .
\begin{array} { r l r } { \hat { C } ( k _ { 0 } , q _ { + } , q _ { - } ) } & { = } & { \frac { 1 } { - 2 i k _ { 0 } + e ( { \bf q } , 1 ) + k _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { i k _ { 0 } + 1 } & { - \tilde { \Omega } ^ { * } ( { \bf q } ) } \\ { - \tilde { \Omega } ( { \bf q } ) } & { i k _ { 0 } + 1 } \end{array} \right) , } \\ { \tilde { \Omega } ( { \bf q } ) } & { = } & { 1 - 2 e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } - q _ { - } ) } \cos \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } + q _ { - } ) . } \end{array}
{ \bf { \langle { u } \rangle } } \cdot { \bf { n } _ { u } } = 0 \, , \, { \bf { n } _ { u } } \cdot \nabla [ { \bf { \langle { u } \rangle } } - ( { \bf { \langle { u } \rangle } } \cdot { \bf { n } _ { u } } ) \, { \bf { n } _ { u } } ] = { \bf { 0 } } \, , \, { \bf { n } _ { u } } \cdot \nabla \tilde { \nu } _ { t } = 0
\begin{array} { r l } { \left\lvert \left\langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } [ \exp ( \theta T ( x ) ) ] \mathbf { v } _ { 1 } \right\rangle \right\rvert } & { \leq 1 + \mathcal { V } \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { \theta ^ { k } } { k ! } \mathcal { M } ^ { k - 2 } } \\ & { = 1 + \frac { \mathcal { V } ( e ^ { \mathcal { M } \theta } - \mathcal { M } \theta - 1 ) } { \mathcal { M } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \gamma ) \, x ^ { \beta - 1 } E _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( - \lambda x ^ { \alpha } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { \gamma } \{ \rho _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } \star f _ { \alpha } ( \cdot \vert t ) \} ( x ) \, t ^ { - 1 } e ^ { - \lambda t } \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, t ^ { \gamma - 1 } e ^ { - \lambda t } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x u } \, d S _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( u \vert t ) } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } \, \mathrm { I m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, e ^ { - x u } ( u e ^ { - i \pi } ) ^ { \alpha \gamma - \beta } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { \gamma - 1 } e ^ { - ( \lambda + ( u e ^ { - i \pi } ) ^ { \alpha } ) t } \, d t } \\ & { = \frac { \Gamma ( \gamma ) } { \pi } \, \mathrm { I m } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, e ^ { - x u } \frac { ( e ^ { - i \pi } u ) ^ { \alpha \gamma - \beta } } { ( \lambda + ( e ^ { - i \pi } u ) ^ { \alpha } ) ^ { \gamma } } d u } \\ & { = \Gamma ( \gamma ) \, \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x u } \, d R _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( u \vert \lambda ) } \end{array}
m _ { \nu } = \left( \begin{array} { l l l } { { U _ { e 3 } ^ { 2 } m _ { 3 } + m } } & { { U _ { e 3 } U _ { \mu 3 } m _ { 3 } + m } } & { { U _ { e 3 } U _ { \tau 3 } m _ { 3 } + m } } \\ { { U _ { \mu 3 } U _ { e 3 } m _ { 3 } + m } } & { { U _ { \mu 3 } ^ { 2 } m _ { 3 } + m } } & { { U _ { \mu 3 } U _ { \tau 3 } m _ { 3 } + m } } \\ { { U _ { \tau 3 } U _ { e 3 } m _ { 3 } + m } } & { { U _ { \tau 3 } U _ { \mu 3 } m _ { 3 } + m } } & { { U _ { \tau 3 } ^ { 2 } m _ { 3 } + m } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n _ { \ell } \to \infty } \left( \frac { 1 } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } { \varphi } ( G _ { i } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { i } ) \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n _ { \ell } \to \infty } \left( \sqrt { \frac { 1 } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } { \varphi } ^ { 2 } ( G _ { i } ) } \sqrt { \frac { 1 } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } { \varphi } ^ { 2 } ( \hat { G } _ { i } ) } \cos ( \theta ^ { \ell + 1 } ) \right) } \\ { \implies \mathbf { E } \left[ { \varphi } ( G _ { i } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { i } ) \right] } & { = \sqrt { \mathbf { E } \left[ { \varphi } ^ { 2 } ( G _ { i } ) \right] } \sqrt { \mathbf { E } [ { \varphi } ^ { 2 } ( \hat { G } _ { i } ) ] } \cos ( \theta ^ { \ell + 1 } ) } \\ { \implies J _ { 1 , 1 } ( \theta ^ { \ell } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \cos ( \theta ^ { \ell + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x , b b } ( a _ { x } , a _ { y } ) } & { = } & { \Delta \nu _ { x , b b } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ I _ { 0 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) - I _ { 1 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) \right] \exp [ - \frac { a _ { y } ^ { 2 } u } { 4 } ] } \\ & { } & { \times \left[ \frac { 1 } { [ ( \sigma _ { y } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } - 1 ) u + 1 ] } I _ { 0 } \left( \frac { a _ { y } ^ { 2 } } { 4 } \frac { u } { ( 1 - \sigma _ { x } ^ { 2 } / \sigma _ { y } ^ { 2 } ) u + \sigma _ { x } ^ { 2 } / \sigma _ { y } ^ { 2 } } \right) \right] } \end{array}
\Tilde { \Gamma } _ { \mathrm { c o n } } = 1 / \operatorname* { m a x } ( \left| S ( \omega ) \right| ^ { 2 } ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| S ( \omega ) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } \omega = 1 7 . 8 { \cdot } 2 \pi \ \mathrm { M H z }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } } & { \geq | \nabla Q _ { k } ^ { + } ( x _ { k } ) | ^ { p } - | \nabla Q _ { k } ^ { - } ( x _ { k } ) | ^ { p } } \\ & { = \alpha _ { k } ^ { p } - \beta _ { k } ^ { p } + p \epsilon _ { k } \left( \alpha _ { k } ^ { p } s - \beta _ { k } ^ { p } t \right) + o ( \epsilon _ { k } ) } \\ & { = \lambda _ { + } ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } + p \epsilon _ { k } \left( \lambda _ { + } ^ { p } s - \lambda _ { - } ^ { p } t \right) + o ( \epsilon _ { k } ) , } \end{array}
i \frac { \partial \phi _ { 1 , 1 } } { \partial \tau } + C _ { 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 1 , 1 } } { \partial \xi ^ { 2 } } + C _ { 2 } | \phi _ { 1 , 1 } | ^ { 2 } \phi _ { 1 , 1 } = C _ { 3 } s \phi _ { 1 , 1 } ,
\begin{array} { r l } { \int f \cdot \operatorname* { s u p } _ { t \in [ c _ { j } , b _ { j } ] } \, ( \tilde { \sigma } _ { t } \ast g ) } & { \leqslant \int f \cdot \operatorname* { s u p } _ { t \in [ c _ { j } , b _ { j } ] } | \tilde { \sigma } _ { t } \ast ( g - \mathbb { E } _ { k _ { j } } g ) | } \\ & { \quad + \int f \cdot \operatorname* { s u p } _ { t \in [ c _ { j } , b _ { j } ] } | \tilde { \sigma } _ { t } \ast \mathbb { E } _ { k _ { j } } g - \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho c _ { j } } g | } \\ & { \quad + \int f \cdot \operatorname* { s u p } _ { t \in [ c _ { j } , b _ { j } ] } | \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho c _ { j } } g - \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g | } \\ & { \quad + \int f \cdot \operatorname* { s u p } _ { t \in [ c _ { j } , b _ { j } ] } | \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g - P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g | } \\ & { \quad + \int f \cdot P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g . } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { f } = k _ { f , 0 } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \Delta \phi ) } , } \\ { k _ { r } = k _ { r , 0 } e ^ { \frac { \Delta Z F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \Delta \phi ) } , } \end{array}
P _ { \Delta } ( \Omega ) = m \left[ \left( \Omega ^ { 2 } - \frac { G _ { 2 2 } \sin ( \Omega \tau ) } { m } \Omega - \frac { K _ { \Delta } } { m } \right) - \frac { i \Omega } { m } \big ( \xi _ { \Delta } + G _ { 2 2 } \cos ( \Omega \tau ) \big ) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { H } ^ { 1 } ( N ) } { \partial H } } & { = 4 \sum _ { k = 2 } ^ { N } \left( 2 k ^ { 2 H } - ( k + 1 ) ^ { 2 H } - ( k - 1 ) ^ { 2 H } \right) } \\ { * } & { \quad \times \left( 2 k ^ { 2 H } \log k - ( k + 1 ) ^ { 2 H } \log ( k + 1 ) - ( k - 1 ) ^ { 2 H } \log ( k - 1 ) \right) } \\ & { \quad + 4 \log 2 \cdot 2 ^ { 2 H } \left( 2 ^ { 2 H } - 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { u \left( \gamma _ { t _ { i } } ( s ) \right) \leq \gamma _ { t _ { i } } ^ { 1 } ( s ) \cos ( \pi - \alpha ( \nu ^ { p } ( \gamma _ { t _ { i } } ( s ) ) ) + \gamma _ { t _ { i } } ^ { 2 } ( s ) \leq \gamma _ { t _ { i } } ^ { 1 } ( s ) \cot ( - \alpha ( \nu ^ { p } ( \gamma _ { t _ { i } } ( s ) ) ) + \gamma _ { t _ { i } } ^ { 2 } ( s ) \leq 3 u _ { \operatorname* { m i n } } ( t _ { i } ) . } \end{array}
( ) _ { n } ~ \equiv ~ \left| \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { \ldots } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { Y _ { 1 1 } } } & { { Y _ { 1 2 } } } & { { \ldots } } & { { Y _ { 1 n } } } \\ { { 1 } } & { { Y _ { 1 2 } } } & { { Y _ { 2 2 } } } & { { \ldots } } & { { Y _ { 2 n } } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { 1 } } & { { Y _ { 1 n } } } & { { Y _ { 2 n } } } & { { \ldots } } & { { Y _ { n n } } } \end{array} \right| ,
\begin{array} { l } { \overset { V } { A } ( i ) = ( \mathfrak { i } _ { A ( i ) } \otimes \mathrm { i d } ) \bigl ( \overset { V } { M } \bigr ) , \: \: \overset { V } { B } ( i ) = ( \mathfrak { i } _ { B ( i ) } \otimes \mathrm { i d } ) \bigl ( \overset { V } { M } \bigr ) \quad \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i \leq g } \\ { \overset { V } { M } ( i ) = ( \mathfrak { i } _ { M ( i ) } \otimes \mathrm { i d } ) \bigl ( \overset { V } { M } \bigr ) \quad \mathrm { f o r ~ } g + 1 \leq i \leq g + n } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( x , y ) = \left( p - \Pi \right) _ { x } \left( \frac 1 2 y ^ { 2 } - h y \right) - \left( \frac { \sigma _ { 0 } \beta \Gamma _ { x } } { \Gamma _ { \infty } - \Gamma } \right) y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa _ { i } ^ { m } ( t ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \in D _ { i } ^ { m } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ o ~ m ~ e ~ } m \in \mathbb { Z } , i = 1 , 2 , } \\ { \kappa _ { b } ( t ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \not \in \mathcal { D } , } \end{array} \right. } \\ { \rho ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { i } ^ { m } ( t ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \in D _ { i } ^ { m } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ o ~ m ~ e ~ } m \in \mathbb { Z } , i = 1 , 2 , } \\ { \rho _ { b } ( t ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \not \in \mathcal { D } . } \end{array} \right. } \end{array}
r ( a , x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { M _ { i } \left( 1 + \frac { d ( a , a _ { 0 } ) \wedge d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } \right) } & { \mathrm { w . p . } \; \frac { 1 } { 2 } , } \\ { M _ { i } \left( 1 - \frac { d ( a , a _ { 0 } ) \wedge d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } \right) } & { \mathrm { w . p . } \; \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. \quad x \in B _ { i } , i \geq 1 .
H ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { n } \left[ \vec { p } _ { n } - \frac { e } { c } \vec { A } ( x _ { n } ) - \frac { e } { c } \; \vec { a } ( x _ { n } ) \right] ^ { 2 } + \sum _ { n } e A _ { 0 } ( x _ { n } ) + \sum _ { n < n ^ { \prime } } V ( x _ { n } - x _ { n ^ { \prime } } )
{ \begin{array} { r l } & { = \iiiint _ { V } \left( { \frac { \partial F _ { u } } { \partial u } } + { \frac { \partial F _ { x } } { \partial x } } + { \frac { \partial F _ { y } } { \partial y } } + { \frac { \partial F _ { z } } { \partial z } } \right) \, d V } \\ & { = \iiiint _ { V } \left( { \frac { \partial u ^ { 4 } } { \partial u } } + { \frac { \partial x ^ { 5 } } { \partial x } } + { \frac { \partial y ^ { 6 } } { \partial y } } + { \frac { \partial z ^ { - 3 } } { \partial z } } \right) \, d V } \\ & { = \iiiint _ { V } { \frac { 4 u ^ { 3 } z ^ { 4 } + 5 x ^ { 4 } z ^ { 4 } + 5 y ^ { 4 } z ^ { 4 } - 3 } { z ^ { 4 } } } \, d V } \\ & { = \iiiint _ { V } { \frac { 4 u ^ { 3 } z ^ { 4 } + 5 x ^ { 4 } z ^ { 4 } + 5 y ^ { 4 } z ^ { 4 } - 3 } { z ^ { 4 } } } \, d V } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { - 1 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 4 } ^ { 5 } \int _ { - 1 } ^ { 3 } { \frac { 4 u ^ { 3 } z ^ { 4 } + 5 x ^ { 4 } z ^ { 4 } + 5 y ^ { 4 } z ^ { 4 } - 3 } { z ^ { 4 } } } \, d V } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { - 1 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 4 } ^ { 5 } \left( { \frac { 4 ( 3 u ^ { 4 } z ^ { 3 } + 3 y ^ { 6 } + 9 1 z ^ { 3 } + 3 ) } { 3 z ^ { 3 } } } \right) \, d y \, d z \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { - 1 0 } ^ { 2 \pi } \left( 4 u ^ { 4 } + { \frac { 7 4 3 4 4 0 } { 2 1 } } + { \frac { 4 } { z ^ { 3 } } } \right) \, d z \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( - { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } + { \frac { 1 4 8 6 8 8 0 \pi } { 2 1 } } + 8 \pi u ^ { 4 } + 4 0 u ^ { 4 } + { \frac { 3 7 1 7 2 0 0 2 1 } { 1 0 5 0 } } \right) \, d u } \\ & { = { \frac { 3 7 1 7 2 8 4 2 1 } { 1 0 5 0 } } + { \frac { 1 4 8 6 9 1 3 6 \pi ^ { 3 } - 1 0 5 } { 2 1 0 \pi ^ { 2 } } } } \\ & { \approx { 5 7 6 4 6 8 . 7 7 } } \end{array} }
\frac { F _ { 2 } ( x ) } { x } = \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d y } { y } q ( y ) \left[ e _ { i } ^ { 2 } \delta ( 1 - x / y ) + \sigma ^ { \gamma ^ { * } q \to g q } ( \frac { x } { y } , Q ^ { 2 } ) \right]
\langle \mathrm { V o l } ^ { 2 } \rangle _ { \Delta } = - { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \Lambda ^ { 2 } } } \left( { \frac { \mathrm { T V } ( \Delta ) } { \mathrm { P R } ( \Delta ) ( \hbar ^ { 3 } / 4 \pi ) ^ { V } } } \right) _ { \Lambda = 0 } .
\begin{array} { r l } { w ( k ) } & { { } = 2 \langle \phi \lvert \vec { \nabla } \rvert \vec { \phi } _ { 1 } \rangle + \langle \vec { \phi } _ { 1 } \lvert \mathcal { E } - \mathcal { H } - k \rvert \vec { \phi } _ { 1 } \rangle , } \end{array}
g _ { i } = g _ { \bar { i } } - 2 \mathrm { w } _ { i } k _ { \mathrm { r } } \left( C _ { \mathrm { e q } } - \frac { g _ { i } + g _ { \bar { i } } } { 2 \mathrm { w } _ { i } } \right) \frac { \mathbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { n } } { c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } ,
\mathrm { T r } ( T ^ { a } T ^ { b } ) ~ = ~ T ( R ) \delta ^ { a b } ~ ~ , ~ ~ T ^ { a } T ^ { a } ~ = ~ C _ { 2 } ( R ) I ~ ~ , ~ ~ f ^ { a c d } f ^ { b c d } ~ = ~ C _ { 2 } ( G ) \delta ^ { a b }
\begin{array} { r l r l } { ( y ^ { ( k ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) } & { = \mathcal { C } _ { k } ( u ^ { ( k - 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) } & { k } & { = 1 , \ldots , l } \\ { ( u ^ { ( k ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) } & { = \sigma ( y ^ { ( k ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) } & { k } & { = 1 , \ldots , l - 1 . } \end{array}
\frac { d \langle \hat { A } ( \psi ) \rangle } { d t } = \left\langle \frac { d } { d t } \hat { A } ( \psi ) \right\rangle + \frac { 1 } { i \hbar } \langle \lbrack \hat { A } ( \psi ) , \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \psi ) ] \rangle .
i \hbar \left( \partial _ { t } + u \cdot \nabla \right) \phi = \bigg ( \frac { 1 } { D } \frac { \delta \tilde { F } } { \delta \rho } + \widehat H _ { e } \bigg ) \phi , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \tilde { F } ( D , \rho ) : = \int D \tilde { \epsilon } ( \rho ) \, \mathrm { d } r .
G _ { \alpha } ^ { ( n ) } \equiv \sum _ { m = 0 } ^ { n } \{ \tau _ { \alpha } ^ { ( n - m ) } , \tilde { H } ^ { ( m ) } \} + \sum _ { m = 0 } ^ { n - 2 } \{ \tau _ { \alpha } ^ { ( n - m ) } , \tilde { H } ^ { ( m + 2 ) } \} _ { ( \Phi ) } + \{ \tau _ { \alpha } ^ { ( n + 1 ) } , \tilde { H } ^ { ( 1 ) } \} _ { ( \Phi ) } , ~ ~ n \geq 2
\begin{array} { r l r } { \mathscr { C } ^ { ( \mathcal { R } ) } ( \mathcal { N } _ { G } ) } & { { } = } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } I ( M ; ~ Y ) \right\} , } \end{array}
Y _ { U } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { W T ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } } & { { W T ^ { 2 } \xi } } & { { W ^ { 2 } T \xi } } \\ { { W T ^ { 2 } \xi ^ { 3 } } } & { { W T ^ { 2 } } } & { { W ^ { 2 } T } } \\ { { \xi ^ { 3 } } } & { { 1 } } & { { W T } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { 2 M \sum _ { j = 1 } ^ { M } } & { \Big ( E _ { j } [ X ] - \frac 1 M \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } E _ { \ell } [ X ] \Big ) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { j , k = 1 } ^ { M } ( E _ { j } [ X ] - E _ { k } [ X ] ) ^ { 2 } \leq 4 \operatorname* { m a x } _ { \ell = 1 , \ldots , M } \lambda _ { 1 } ( A _ { \ell } ) \sum _ { k = 1 } ^ { M } \operatorname { V a r } _ { P _ { k } } ( X ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { K - 1 } \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } ( k ) \right] } \\ { = } & { \left( K - k _ { 0 } \right) \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } \left( k _ { 0 } \right) \right] + \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { K - 1 } \omega _ { k } \left( \mathbb { E } \left[ x _ { T } ^ { 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ x ^ { 2 } \left( k _ { 0 } \right) \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \textrm { L D } } ( t ) } & { = \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v } \langle \psi _ { u \mathbf { k } } | \mathcal { \hat { H } } _ { \textrm { L D } } ( t ) | \psi _ { v \mathbf { k } } \rangle \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v \mathbf { k } } } \\ & { = \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v } \left( \epsilon _ { u \mathbf { k } } \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u \mathbf { k } } + \frac { e \mathbf { A } _ { \textrm { d } } ( t ) } { m _ { e } } \cdot \mathbf { p } _ { u \mathbf { k } , v \mathbf { k } } \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v \mathbf { k } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta U \equiv \mathrm { e n e r g y ~ s t o r e d ~ i n ~ t h e ~ s p r i n g } } & { = } & { \mathrm { a r e a ~ \triangle { O B A } ~ } } \\ & { = } & { \frac { k } { 2 } L ^ { 2 } } \\ { \Delta Q \equiv \mathrm { w a s t e d ~ e n e r g y } } & { = } & { \mathrm { a r e a ~ \triangle { E B C } ~ } + \mathrm { a r e a ~ \triangle { O E D } ~ } } \\ & { = } & { \Delta Q _ { l } + \Delta Q _ { L - l } } \\ & { = } & { \frac { k } { 2 } l ^ { 2 } + \frac { k } { 2 } \left( L - l \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { k } { 2 } L ^ { 2 } - k l \left( L - l \right) ; } \end{array}
{ \star { \cal L } _ { e } ^ { \prime } } \to { \star { \cal L } _ { e } ^ { \prime } } - \frac { 1 } { 2 f _ { s } } { \cal M } \wedge { \star \cal M } - \frac { 1 } { 2 m ^ { 2 } } { \cal J } _ { e } ^ { \prime } \wedge { \star { \cal J } _ { e } ^ { \prime } } .
\frac { \lambda ^ { 6 } } { \kappa ^ { 4 } } = \beta ( 4 \pi ) ^ { 5 } \mathrm { ~ a n d ~ } ( T _ { 5 } ) ^ { 3 } = \beta ^ { 2 } \frac { 2 \pi } { ( 2 \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { t _ { 0 } } & { { } = \omega t , } \\ { t _ { 1 } } & { { } = 0 , } \\ { t _ { 2 } } & { { } = \epsilon ^ { 2 } t , } \\ { t _ { 3 } } & { { } = \epsilon ^ { 3 } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } ^ { H } = } & { { } - 4 { \bf { Q } } ^ { H } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } ) ( { \bf { I } } ^ { k } - \left| { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } \right| ^ { 2 } ) , } \\ { { \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } ^ { k } } } ^ { H } = } & { { } \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } _ { x } ^ { k } } ^ { T } + j \frac { \partial f } { \partial { \bf t m } _ { y } ^ { k } } ^ { T } , } \end{array}
\overline { { { | { \cal A } | } } } ^ { 2 } = \frac { 9 } { 4 } \alpha _ { s } ^ { 3 } ( 4 \pi ) ^ { 3 } \pi ^ { 2 } s ^ { 2 } \frac { m _ { T } ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } [ ( 1 - \frac { 2 k _ { T } ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } ) k _ { T } ^ { 2 } | { \cal I } _ { c } | ^ { 2 } + m _ { c } ^ { 2 } | { \cal I } _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } ] .