harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
p _ { t } ( \mathbf { x } ^ { \prime } | \mathbf { x } ) \propto p _ { \mathrm { d a t a } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , t ; \mathbf { x } ^ { \prime } ) \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathrm { e x p } ( - | \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } | ^ { 2 } / ( 2 t ) )
S _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { { \cos ( \psi / 2 ) } } & { { - \sin ( \psi / 2 ) } } \\ { { \sin ( \psi / 2 ) } } & { { \cos ( \psi / 2 ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { \lambda / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - \lambda / 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { { \cos ( \psi / 2 ) } } & { { \sin ( \psi / 2 ) } } \\ { { - \sin ( \psi / 2 ) } } & { { \cos ( \psi / 2 ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\{ \phi ( X ( t ) , Z ( t ) , t ) \right\} } & { = - \left( 1 + \mu e ^ { \beta } \right) \left\langle \frac { d } { d t } \nabla h ( Z ) , x ^ { * } - Z \right\rangle + \mu \dot { \beta } e ^ { \beta } D _ { h } \left( x ^ { * } , Z \right) } \\ & { \quad + \dot { \beta } e ^ { \beta } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) + e ^ { \beta } \left\langle \nabla f ( X ) , \dot { X } \right\rangle } \\ & { = \left\langle \mu \dot { \beta } e ^ { \beta } \left( \nabla h ( Z ) - \nabla h ( X ) \right) + e ^ { \alpha + \beta } \nabla f ( X ) , x ^ { * } - Z \right\rangle + \mu \dot { \beta } e ^ { \beta } D _ { h } \left( x ^ { * } , Z \right) } \\ & { \quad + \dot { \beta } e ^ { \beta } \left( f ( X ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) + e ^ { \beta } \left\langle \nabla f ( X ) , \dot { X } \right\rangle , } \end{array}
F ( [ G , o ] ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \exists v \sim _ { G } o : \mathsf { U C } _ { o } ( G ) [ v , o ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ o r ~ } \mathsf { U C } _ { o } ( G ) [ o , v ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( o ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( v ) > \delta } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\kappa = [ 1 \cdot 1 0 ^ { - 5 } , 3 . 6 \cdot 1 0 ^ { - 5 } , 1 . 3 \cdot 1 0 ^ { - 4 } , 4 . 6 \cdot 1 0 ^ { - 4 } , 0 . 0 0 1 7 , 0 . 0 0 6 0 , 0 . 0 2 2 , 0 . 0 7 7 , 0 . 2 8 , 1 ] ( 2 \pi c / a ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \big \vert A \big \vert } & { = \mathscr { L } _ { 2 } \cdot \prod a ^ { ( 2 ) } \cdot \mathscr { L } _ { 3 } \cdot \prod a ^ { ( 3 ) } \cdots \mathscr { L } _ { ( n - 1 ) } \cdot \prod a ^ { ( n - 1 ) } \cdot \mathscr { L } _ { n } } \\ & { = \prod a ^ { ( 2 ) } \cdot \prod a ^ { ( 3 ) } \cdots \prod a ^ { ( n - 1 ) } \cdot Q _ { K _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } } & { = G _ { \mathrm { C H _ { 4 } , 0 } } + { \cal R } T \ln { \Psi _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } } , } \\ { G _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } & { = G _ { \mathrm { H _ { 2 } O , 0 } } + { \cal R } T \ln { \Psi _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } , } \\ { G _ { \mathrm { C O } } } & { = G _ { \mathrm { C O , 0 } } + { \cal R } T \ln { \Psi _ { \mathrm { C O } } } , } \\ { G _ { \mathrm { H _ { 2 } } } } & { = G _ { \mathrm { H _ { 2 } , 0 } } + { \cal R } T \ln { \Psi _ { \mathrm { H _ { 2 } } } } . } \end{array}
\psi ( x , { \bf p } ; s _ { 1 } , s _ { 2 } ) = \psi _ { 1 G E } ( x , { \bf p } ; s _ { 1 } , s _ { 2 } ) + \psi _ { S E 1 } ( x , { \bf p } ; s _ { 1 } , s _ { 2 } ) + \psi _ { S E 2 } ( x , { \bf p } ; s _ { 1 } , s _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ \eta _ { a } , \eta _ { b } \right] } \| D ^ { \alpha } \bar { v } ( t ) \| ^ { 2 } \leq 2 \mathbb { E } \| D ^ { \alpha } \bar { v } ( \eta _ { a } ) \| ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb { E } \int _ { \eta _ { a } } ^ { \eta _ { b } } \| \bar { u } \| _ { \widehat { s - 2 } } ^ { 2 } ( 1 + \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + \| u ^ { 2 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) d t . } \end{array}
{ \boldsymbol { F } } = { \boldsymbol { R } } \cdot { \boldsymbol { U } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } & { 0 } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \tau } _ { i j } = \mu _ { 1 } p \frac { \mathrm { \bf S } _ { i j } } { | \mathrm { \bf S } | } + 2 \eta ( \phi ) \mathrm { \bf S } _ { i j } } \\ & { \mathrm { d i v } \, { \bf u } = 2 \mu _ { 1 } | \mathrm { \bf S } | - \frac { 2 \mu _ { 1 } } { d \Delta \phi \sqrt { \rho _ { s } } } ( \phi _ { \mathrm { m a x } } - \phi ) \sqrt { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( n ) } & { = ( \alpha b ( n ) + \eta a _ { 0 } ) b ( n ) } \\ { P ( n + 1 ) + k - P ( n ) } & { \leq ( \alpha b ( n ) + \eta a _ { 0 } ) a _ { 0 } } \\ { \frac 1 2 ( \alpha b ( n ) + \eta a _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } & { \leq ( P ( n + 1 ) + k ) \eta \left( 1 - \frac { L ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) \eta } 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { D } L ( D ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \boldsymbol { x } \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { x } ) } [ ( D ( \boldsymbol { x } ) - 1 ) ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \boldsymbol { z } \sim p _ { \mathrm { \ b o l d s y m b o l { z } } } ( \boldsymbol { z } ) } [ ( D ( G ( \boldsymbol { z } ) ) ) ^ { 2 } ] , } \\ { \operatorname* { m i n } _ { G } L ( G ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \boldsymbol { z } \sim p _ { \mathrm { \ b o l d s y m b o l { z } } } ( \boldsymbol { z } ) } [ ( D ( G ( \boldsymbol { z } ) ) - 1 ) ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega ( d ^ { 2 } ) \le \mathcal { I } \le 3 \sum _ { t = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { t } \in \mathcal { I } _ { t } } \frac { \lambda _ { i _ { t } } ^ { t } } { d } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { d } + 5 2 N \varepsilon ^ { 2 } \exp ( - \Omega ( d ^ { 2 } ) ) \le \mathcal { O } \left( N \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { d } \right) } \end{array}
\tilde { \cal V } _ { I } = { \cal V } _ { J } \, \big ( { \cal S } ^ { - 1 } \big ) ^ { J } { } _ { \! I } \ , \qquad \tilde { \cal V } ^ { I } = \bar { \cal S } ^ { I } { } _ { \! J } \, { \cal V } ^ { J } \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { i } ^ { ( j ) , - } } & { = \left[ \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( k ) } \right] _ { k \in \mathcal { G } _ { i } ^ { ( j ) } } \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times m _ { i } ^ { ( j ) } } , } \\ { \mathbf { S } _ { i } ^ { ( j ) , + } } & { = \left[ \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( k + 1 ) } \right] _ { k \in \mathcal { G } _ { i } ^ { ( j ) } } \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times m _ { i } ^ { ( j ) } } . } \end{array}
\big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \big ( i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } \big ) = i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } \big ) - i k [ U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } , \partial _ { y } ^ { 2 } ] \psi _ { k } .
\begin{array} { c c } { { u ( p , + ) = { \frac { 1 } { \sqrt { E + m } } \left( \begin{array} { c } { { E + m } } \\ { { 0 } } \\ { { p _ { z } } } \\ { { p _ { x } + i p _ { y } } } \end{array} \right) } , } } & { { u ( p , - ) = { \frac { 1 } { \sqrt { E + m } } \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { E + m } } \\ { { p _ { x } - i p _ { y } } } \\ { { - p _ { z } } } \end{array} \right) } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { v ( p , + ) = { - \frac { 1 } { \sqrt { E + m } } \left( \begin{array} { c } { { p _ { z } } } \\ { { p _ { x } + i p _ { y } } } \\ { { 0 } } \\ { { E + m } } \end{array} \right) } , } } & { { v ( p , - ) = { \frac { 1 } { \sqrt { E + m } } \left( \begin{array} { c } { { p _ { x } - i p _ { y } } } \\ { { p _ { z } } } \\ { { 0 } } \\ { { E + m } } \end{array} \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathbb { P } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \Big ( h _ { n } ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { m i n } _ { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } } \big ( \epsilon _ { i } + \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } ( W _ { t _ { i } ^ { n } } - W _ { k h _ { n } } ) \big ) > x \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \Big ) = \ } & { = \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \Big [ \exp \Big ( - h _ { n } ^ { 1 / 2 } \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \eta \sum _ { i = \lfloor k n h _ { n } \rfloor + 1 } ^ { \lfloor ( k + 1 ) n h _ { n } \rfloor } \Big ( x - \sum _ { j = 1 } ^ { i - \lfloor k n h _ { n } \rfloor } U _ { j } \Big ) _ { + } ( 1 + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } ( 1 ) ) \Big ) \Big ] \ } & { = \mathbb { E } _ { \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } } \Big [ \exp \Big ( - h _ { n } ^ { 1 / 2 } n h _ { n } \sigma _ { ( k - 1 ) h _ { n } } \eta \int _ { 0 } ^ { 1 } ( B _ { t } - x ) _ { - } \, d t \, ( 1 + { \scriptstyle { \mathcal { O } } } ( 1 ) ) \Big ) \Big ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ H e l l } } } ( \mu ^ { y } , \mu _ { \mathrm { m a r g i n a l } } ^ { y , N } ) } & { \leq C _ { \mathrm { C o r } } ^ { \prime } \left( \left\| \Phi - m _ { N } ^ { \Phi } \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 2 } ( U ) } + \left\| k _ { N } ^ { 1 / 2 } ( \cdot , \cdot ) \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 2 } ( U ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 1 } } & { = \mathbb { A } _ { e , [ 1 ] } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } } \\ { X _ { 2 } } & { = \mathbb { A } _ { e , [ 2 ] } + \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbb { A } _ { e , [ 1 , 1 ] } - \mathbb { A } _ { ( 1 2 ) , [ 1 , 1 ] } \right) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } ^ { 2 } } \\ { X _ { 3 } } & { = \mathbb { A } _ { e , [ 3 ] } + \left( \mathbb { A } _ { e , [ 1 , 2 ] } - \mathbb { A } _ { ( 1 2 ) , [ 1 , 2 ] } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 3 ! } \left( \mathbb { A } _ { e , [ 1 , 1 , 1 ] } + \mathbb { A } _ { ( 1 2 3 ) , [ 1 , 1 , 1 ] } + \mathbb { A } _ { ( 1 3 2 ) , [ 1 , 1 , 1 ] } - \mathbb { A } _ { ( 1 2 ) , [ 1 , 1 , 1 ] } - \mathbb { A } _ { ( 2 3 ) , [ 1 , 1 , 1 ] } - \mathbb { A } _ { ( 1 3 ) , [ 1 , 1 , 1 ] } \right) } \\ & { = \mathbb { A } _ { e , [ 3 ] } + \left( \mathbb { A } _ { e , [ 1 , 2 ] } - \mathbb { A } _ { ( 1 2 ) , [ 1 , 2 ] } \right) + \frac { 1 } { 3 ! } \left( \mathbb { A } _ { e , [ 1 , 1 , 1 ] } - 3 \mathbb { A } _ { ( 1 2 ) , [ 1 , 1 , 1 ] } + 2 \mathbb { A } _ { ( 1 2 3 ) , [ 1 , 1 , 1 ] } \right) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 3 } + \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 2 } \right) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } a _ { n , 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 6 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n , 1 } ^ { 3 } . } \end{array}
I _ { n n ^ { \prime \prime } } ( \hat { q } _ { 1 } , \hat { q } _ { 2 } ) \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \eta \mathrm { e } ^ { i \eta \mathrm { s g n } ( e H ) \hat { q } _ { 1 } } D _ { n } ( \eta - \hat { q } _ { 2 } ) D _ { n ^ { \prime \prime } } ( \eta + \hat { q } _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( t ) } & { = \tilde { F } _ { 1 } ( t ) + \frac { 3 t ^ { 2 } } { 1 0 } F ^ { \prime } ( t ) , } \\ { * [ 1 m m ] F _ { 2 } ( t ) } & { = \tilde { F } _ { 2 } ( t ) + \frac { 3 t ^ { 2 } } { 1 0 } \tilde { F } _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) + \frac { 3 2 t ^ { 3 } } { 1 7 5 } F ^ { \prime } ( t ) + \frac { 9 t ^ { 4 } } { 2 0 0 } F ^ { \prime \prime } ( t ) . } \end{array}
\Gamma _ { 2 , \epsilon } ^ { \mathrm { S I R } , S } : ( S , I ) \mapsto \left( - \rho W \left[ - \frac { 1 } { \rho } \exp \left( \frac { 1 } { \rho } \left( \epsilon + \rho \ln S - S \right) \right) \right] , I \right) \, ,
\begin{array} { r l } { 2 c _ { 2 r } - c _ { k } } & { = 2 c _ { 2 r } - ( c _ { 2 r + 1 } + ( k - 2 r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) ) } \\ & { = 2 c _ { 2 r } - ( c _ { 2 r } + \Delta _ { 1 } + ( k - 2 r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) ) } \\ & { = c _ { 2 r } - \Delta _ { 1 } - ( k - 2 r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) } \\ & { = c _ { 2 r - 2 ( k - 2 r ) } + ( k - 2 r ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) - \Delta _ { 1 } - ( k - 2 r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) } \\ & { = c _ { 6 r - 2 k } + \Delta _ { 2 } } \end{array}
- D _ { 4 } ( { \frac { \partial S } { \partial t } } ) ^ { 2 } + ( { \frac { \partial S } { \partial r } } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } ( { \frac { \partial S } { \partial \theta } } ) ^ { 2 } + D _ { 4 } ( { \frac { \partial S } { \partial x ^ { 1 1 } } } ) ^ { 2 } = 0 ~
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \| \sum _ { p = 1 } ^ { \ell + 1 } \phi ( I _ { p } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \left( 1 - \frac { 2 } { n - \ell } \right) \mathbb { E } \left[ \| \sum _ { p = 1 } ^ { \ell } \phi ( I _ { p } ) \| ^ { 2 } \right] + \mathbb { E } \left[ \| \phi ( I _ { \ell + 1 } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq ( \ell + 1 ) \mathbb { E } \left[ \| \phi ( I _ { 1 } ) \| ^ { 2 } \right] \; . } \end{array}
\widetilde { \Gamma } ( \boldsymbol { \mathbf { k } } , \boldsymbol { \mathbf { k } } ^ { \prime } , \boldsymbol { \mathbf { \upkappa } } , \boldsymbol { \mathbf { \upkappa } } ^ { \prime } , \omega ) = 8 \pi ^ { 3 } \delta ( \boldsymbol { \mathbf { k } } - \boldsymbol { \mathbf { k } } ^ { \prime } - \boldsymbol { \mathbf { \upkappa } } + \boldsymbol { \mathbf { \upkappa } } ^ { \prime } ) \Gamma ( \boldsymbol { \mathbf { k } } , \boldsymbol { \mathbf { k } } ^ { \prime } , \boldsymbol { \mathbf { \upkappa } } , \boldsymbol { \mathbf { \upkappa } } ^ { \prime } , \omega )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \tilde { u } \in \mathbb { R } ^ { M \times p } } } & { \sum _ { k = 0 } ^ { p } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \hat { \ell } \left( \tilde { y } _ { k , i } , \tilde { u } _ { k , i } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad \tilde { y } _ { k + 1 , i } } & { = \tilde { \Phi } _ { i } ( \tilde { y } _ { k } , \tilde { u } _ { k } ) , \qquad \begin{array} { l } { k = 0 , \ldots , p - 1 } \\ { \, i = 1 , \ldots , M } \end{array} . } \end{array}
V ( { \bf q } ) = \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { { \bf q } ^ { 2 } + m _ { q } ^ { 2 } } \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } + { \bf q } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } ( 1 + \frac { { \bf p } ^ { 2 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } - { \frac { { \bf p } \cdot { \bf q } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } } + \frac { { \bf q } ^ { 2 } } { 4 m _ { 1 } m _ { 2 } } ) ,
S _ { z } ^ { N P } ( b , Q , x ) = b ^ { 2 } \left\{ g ^ { ( 1 ) } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \left. g ^ { ( 2 ) } ( b , Q ) \right| _ { D Y } + \left. g ^ { ( 2 ) } \right| _ { e ^ { + } e ^ { - } } ( b , Q ) \Bigr ) \right\} ,
\sigma _ { h } ^ { 1 } = \sigma _ { h } ^ { 3 } = 6 . 5 \mathrm { ~ M ~ P ~ a ~ } , \, \, \sigma _ { h } ^ { 2 } = 7 . 5 \mathrm { ~ M ~ P ~ a ~ } , \quad C _ { L } ^ { 1 } = C _ { L } ^ { 3 } = 0 , \, \, C _ { L } ^ { 2 } = 5 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \mathrm { ~ m ~ / ~ s ~ } ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r } { B _ { 1 } ( u ( y ) , k ) = b _ { 1 } ( y ^ { \prime } , k ) , \quad B _ { 2 } ( u ( y ) , k ) = b _ { 2 } ( y ^ { \prime } , k ) , \quad E ( u ( y ) , u ( y ^ { \prime } ) , k ) = e ( y , y ^ { \prime } , k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { = } & { \bigg | \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } } \bigg | ^ { 2 } = \frac { | \mu _ { 2 } k _ { \mathrm { i } } - \mu _ { 1 } k _ { \mathrm { t } } | ^ { 2 } } { | \mu _ { 2 } k _ { \mathrm { i } } + \mu _ { 1 } k _ { \mathrm { t } } | ^ { 2 } } \, , } \\ { T } & { = } & { \bigg | \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } } \bigg | ^ { 2 } \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } = \frac { 4 \mu _ { 2 } ^ { 2 } | k _ { \mathrm { i } } | ^ { 2 } } { | \mu _ { 2 } k _ { \mathrm { i } } + \mu _ { 1 } k _ { \mathrm { t } } | ^ { 2 } } \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w } & { { } = } & { - ( 1 + u ) \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) + ( 2 + 2 u + u ^ { 2 } ) \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) , } \\ { \mathbf { f } } & { { } = } & { u \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) \hat { { \mathbf v } } \times \hat { { \mathbf a } } , } \\ { \mathbf { g } } & { { } = } & { - ( 1 + u ) \left[ \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) - 2 \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ^ { \prime } ) \right] \mathbf { S } _ { i } - ( 1 + u ) u } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { B ( x , R ) } \fint _ { B ( z , r ) } | f ( z ) - f ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { B ( x , R ) } \fint _ { B ( x , r ) } | f ( z ) - f ( y ) | ^ { 2 } \phi ( z ) \phi ( y ) d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { X } \fint _ { B ( x , r ) } | f ( z ) - f ( y ) | ^ { 2 } \phi ( z ) \phi ( y ) d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { \leq C \int _ { X } \phi ^ { 2 } \, d \Gamma ( f , f ) = C \int _ { B ( x , \lambda R ) } \phi ^ { 2 } \, d \Gamma ( f , f ) } \\ & { \leq C \int _ { B ( x , \lambda R ) } d \Gamma ( f , f ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 1 1 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - X _ { v _ { 1 } } - X _ { | v _ { 1 } | v _ { 1 } } | v _ { 1 } | - X _ { v _ { 1 } v _ { 1 } v _ { 1 } } v _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { d _ { 2 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - Y _ { v _ { 2 } } - Y _ { | v _ { 2 } | v _ { 2 } } | v _ { 2 } | - Y _ { | r | v _ { 2 } } | r | - Y _ { v _ { 2 } v _ { 2 } v _ { 2 } } v _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { d _ { 2 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - Y _ { r } - Y _ { | v _ { 2 } | r } | v _ { 2 } | - Y _ { | r | r } | r | } \\ { d _ { 3 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - N _ { v _ { 2 } } - N _ { | v _ { 2 } | v _ { 2 } } | v _ { 2 } | - N _ { | r | v _ { 2 } } | r | } \\ { d _ { 3 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - N _ { r } - N _ { | v _ { 2 } | r } | v _ { 2 } | - N _ { | r | r } | r | - N _ { r r r } r ^ { 2 } } \end{array}
S _ { P L } \biggr \vert _ { o n - s h e l l } \rightarrow - \frac { \hbar } { 9 6 \pi T _ { B H } } \int _ { r _ { + } } ^ { r _ { B } } d r \, \frac { F ^ { \prime } ( r ) \, \bigl ( F ^ { \prime } ( r ) - F ^ { \prime } ( r _ { + } ) \bigl ) } { F ( r ) } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { 1 - q ^ { 1 4 } + q ^ { 2 0 } + q ^ { 2 1 } - q ^ { 2 7 } } & & { - \bigl ( q ^ { 5 } + \dots + q ^ { 1 1 } \bigr ) \cdot q ^ { 5 \ell _ { 1 } } } \\ & { + \bigl ( q ^ { 1 5 } + \dots + q ^ { 3 2 } \bigr ) \cdot q ^ { 7 \ell _ { 1 } } } & & { + \bigl ( q ^ { 1 1 } + \dots + q ^ { 2 1 } \bigr ) \cdot q ^ { 1 0 \ell _ { 1 } } } \\ & { - \bigl ( q ^ { 1 7 } + \dots + q ^ { 3 6 } \bigr ) \cdot q ^ { 1 4 \ell _ { 1 } } } & & { - \bigl ( q ^ { 1 8 } + \dots + q ^ { 3 0 } \bigr ) \cdot q ^ { 1 5 \ell _ { 1 } } } \\ & { + \bigl ( q ^ { 2 6 } + \dots + q ^ { 3 8 } \bigr ) \cdot q ^ { 2 0 \ell _ { 1 } } } & & { + \bigl ( q ^ { 2 0 } + \dots + q ^ { 3 9 } \bigr ) \cdot q ^ { 2 1 \ell _ { 1 } } } \\ & { - \bigl ( q ^ { 3 5 } + \dots + q ^ { 4 5 } \bigr ) \cdot q ^ { 2 5 \ell _ { 1 } } } & & { - \bigl ( q ^ { 2 4 } + \dots + q ^ { 4 1 } \bigr ) \cdot q ^ { 2 8 \ell _ { 1 } } } \\ & { + \bigl ( q ^ { 4 5 } + \dots + q ^ { 5 1 } \bigr ) \cdot q ^ { 3 0 \ell _ { 1 } } } & & { + \bigl ( q ^ { 2 9 } - \dots - q ^ { 5 6 } \bigr ) \cdot q ^ { 3 5 \ell _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { y } _ { n + 1 } ^ { k + 1 } = { \mathcal { G } } ( { { y } _ { n } ^ { k + 1 } } ) + { \mathcal { F } } ( { { y } _ { n } ^ { k } } ) - { \mathcal { G } } ( { { y } _ { n } ^ { k } } ) , \quad \left\{ \begin{array} { r l } { n } & { = 0 , \ldots , { N _ { p } } , } \\ { k } & { = 0 , \ldots , K - 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
C \bar { C } = \rho _ { 3 } ^ { 2 } \rho _ { 4 } ^ { 2 } + \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } \rho _ { 4 } \cos { \theta }
D ^ { \mu \nu } ( k ) _ { b a } = D ^ { \mu \nu } ( k ) \delta _ { b a } = \frac { 1 } { \Theta } \varepsilon ^ { \mu \nu \lambda } \frac { \overline { { { k } } } _ { \lambda } } { { \bf k } ^ { 2 } } \; \delta _ { b a } \; ,
\begin{array} { r } { \kappa _ { u } ( \Psi _ { 1 } ) - \kappa _ { u } ( \Psi _ { 2 } ) = \kappa _ { u } ( \Psi _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow + \infty } \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \langle u , \mathrm { d } { \Phi _ { k } } \rangle - \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \langle \mathbf { \delta } u , { \Phi _ { k } } \rangle \right] = 0 \mathrm { . ~ } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( - \Delta ) ^ { s } \tilde { w } ( x ) = 0 , \ \ \ \ } & { x \in \Omega \bigcap B _ { \lambda } ( 0 ) , } \\ { \tilde { w } ( x ) = \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | \cdot | y | } \right) ^ { n - 2 s } G _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) + \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } G _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) \geq 0 , } & { x \in ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } \setminus ( \Omega \bigcap B _ { \lambda } ( 0 ) ) , } \\ { \tilde { w } ( x ) \equiv 0 , } & { x \in B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } , } \\ { \tilde { w } ( x ) = - \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } \tilde { w } ( x ^ { \lambda } ) , } & { x \in B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus \{ 0 \} . } \end{array} \right.
Q ^ { 3 } { } _ { 3 } = \alpha ^ { 2 } X _ { 3 } ( M ^ { 3 } { } _ { \mu } ) X _ { 3 } ( M ^ { 3 \mu } ) + 2 \alpha \beta X _ { 3 } ( M ^ { 3 } { } _ { \mu } ) X _ { 3 } ( K ^ { 3 \mu } ) +
V _ { q + S D } ^ { t o t . } ( r ) = A r + B - \frac { 4 \alpha _ { s } } { 3 r } \left( 1 + \frac { b ^ { 2 } } { E _ { 1 } E _ { 2 } } \right) - \frac { 4 \pi \alpha _ { s } } { 3 m _ { 1 } m _ { 2 } } \delta ( \vec { r } ) + \frac { 4 \alpha _ { s } } { 3 m _ { 1 } m _ { 2 } } \left( \frac { m _ { 2 } } { 2 m _ { 1 } } + 1 \right) \frac { \vec { L } \vec { S } _ { 1 } } { r ^ { 3 } } -
\begin{array} { l l } { { { \displaystyle \Im m I _ { 2 } ( \omega , q ) = - \frac { m ^ { * 3 } } { \pi q \beta ^ { 2 } } \left( \beta E _ { + } \log \frac { 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { - } ) } } { 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { + } ) } } + \mathrm { L i } _ { 2 } ( 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { + } ) } ) - \mathrm { L i } _ { 2 } ( 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { - } ) } ) \right) } } } \\ { { { \displaystyle \Im m I _ { 4 } ( \omega , q ) = - \frac { 2 m ^ { * 4 } } { \pi q \beta } E _ { + } ^ { 2 } \left( \log \frac { 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { - } ) } } { 1 + e ^ { \beta ( \mu - E _ { + } ) } } + 2 \int _ { 1 } ^ { \infty } \mathrm { d } z ~ z \log \frac { 1 + e ^ { - \beta ( z E _ { + } - \omega - \mu ) } } { 1 + e ^ { - \beta ( z E _ { + } - \mu ) } } \right) } } } \end{array}
{ \cal I } _ { U ( 1 ) } - \delta { \cal I } _ { U ( 1 ) } = \operatorname * { l i m } _ { \beta \rightarrow 0 } 2 ^ { N / 2 - 1 } \mathrm { T r ^ { \prime } } \; ( - 1 ) ^ { P } e ^ { ( \beta / 2 ) \nabla ^ { 2 } } = \operatorname * { l i m } _ { \beta \rightarrow 0 } 2 ^ { N / 2 - 1 } \; \int [ d X ] \; \langle - X \vert \, e ^ { ( \beta / 2 ) \nabla ^ { 2 } } \, \vert X \rangle .