harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { T _ { 1 2 } } & { = \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C \left[ \left[ \begin{array} { l l } { \Delta v _ { 1 } } & { \Delta v _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 , * } ^ { H } } \\ { v _ { 2 , * } ^ { H } } \end{array} \right] ( t _ { * } v _ { 1 , * } + s _ { * } v _ { 2 , * } ) + \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 , * } } & { v _ { 2 , * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \Delta v _ { 1 } ^ { H } } \\ { \Delta v _ { 2 } ^ { H } } \end{array} \right] ( t _ { * } v _ { 1 , * } + s _ { * } v _ { 2 , * } ) \right] } \\ & { + \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C \left[ \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 , * } } & { v _ { 2 , * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 , * } ^ { H } } \\ { v _ { 2 , * } ^ { H } } \end{array} \right] ( t _ { * } v _ { 1 , * } + s _ { * } v _ { 2 , * } - t v _ { 1 } - s v _ { 2 } ) \right] } \\ & { = \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C \left[ t _ { * } \Delta v _ { 1 } + s _ { * } \Delta v _ { 2 } + \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 , * } } & { v _ { 2 , * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { - s _ { * } \overline { { E } } _ { 1 2 } } \\ { - t _ { * } \overline { { E } } _ { 2 1 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 , * } } & { v _ { 2 , * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { t _ { * } - t - s E _ { 2 1 } } \\ { s _ { * } - s - t E _ { 1 2 } } \end{array} \right] \right] + O ( \epsilon ^ { 4 } ) } \\ & { = \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C \left[ t _ { * } \Delta v _ { 1 } + s _ { * } \Delta v _ { 2 } + \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 , * } } & { v _ { 2 , * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { t _ { * } - t - s _ { * } \overline { { E } } _ { 1 2 } - s E _ { 2 1 } } \\ { s _ { * } - s - t _ { * } \overline { { E } } _ { 2 1 } - t E _ { 1 2 } } \end{array} \right] \right] + O ( \epsilon ^ { 4 } ) } \\ & { = \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C \left[ t _ { * } \Delta v _ { 1 } + s _ { * } \Delta v _ { 2 } + \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 , * } } & { v _ { 2 , * } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { t _ { * } - t + s _ { * } E _ { 2 1 } - s E _ { 2 1 } } \\ { s _ { * } - s + t _ { * } E _ { 1 2 } - t E _ { 1 2 } } \end{array} \right] \right] + O ( \epsilon ^ { 4 } ) } \\ & { = \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C \left[ t _ { * } \Delta v _ { 1 } + s _ { * } \Delta v _ { 2 } + v _ { 1 , * } ( t _ { * } - t ) + v _ { 2 , * } ( s _ { * } - s ) \right] + O ( \epsilon ^ { 4 } ) } \\ & { = \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C [ - t _ { * } r _ { 1 } - s _ { * } r _ { 2 } - t _ { * } E _ { 1 2 } v _ { 2 , * } - s _ { * } E _ { 2 1 } v _ { 1 , * } + v _ { 1 , * } ( t _ { * } - t ) + v _ { 2 , * } ( s _ { * } - s ) ] + O ( \epsilon ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \bar { t } _ { s } } - C _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \mu \gamma } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } C _ { t } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } E _ { t } + \frac { 9 I \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma b _ { x } M } } \\ & { \qquad + \frac { 9 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \gamma \eta ^ { 2 } } { 2 \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } + \frac { 9 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } } { 2 \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } + \frac { 4 I \gamma \sigma ^ { 2 } } { \mu b _ { y } M } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( \psi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { R } + ( \theta _ { S } - \theta _ { R } ) \left[ \frac { 1 } { 1 + ( - \alpha \psi ) ^ { n } } \right] ^ { \frac { n - 1 } { n } } , \quad } & { \psi \leq 0 , } \\ { \theta _ { S } , \quad } & { \psi > 0 , } \end{array} \right. } \\ { K ( \Theta ( \psi ) ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { K _ { s } \, ( \Theta ( \psi ) ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 - \left( 1 - \Theta ( \psi ) ^ { \frac { n } { n - 1 } } \right) ^ { \frac { n - 1 } { n } } \right] ^ { 2 } , \quad } & { \psi \leq 0 , } \\ { K _ { s } , \quad } & { \psi > 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \mathcal { J } } { \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { x } } } = \ensuremath { \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial \ensuremath { \mathbf { x } } } } + \sum _ { i = 0 } ^ { i = K } \ensuremath { \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial \mathbf { q } ^ { i } } } \ensuremath { \frac { \partial \mathbf { q } ^ { i } } { \partial \ensuremath { \mathbf { x } } } } ,
P _ { \mathrm { C C G , i } } ^ { \mathrm { e s t . } } = P _ { \mathrm { C C G , i } } ^ { \mathrm { m e a s . } } \times \frac { 3 \bar { P } _ { \mathrm { 0 } } + \mathrm { d } \bar { P } / \mathrm { d } I \times I } { 3 \bar { P } _ { \mathrm { C C G } } ^ { \mathrm { m e a s . } } } ,
m _ { H } ( \mathrm { G e V } ) > 1 3 8 + 2 . 1 \left[ m _ { t } ( \mathrm { G e V } ) - 1 7 5 . 6 \right] - 3 . 0 ~ \frac { \alpha _ { s } ( m _ { Z } ) - 0 . 1 1 9 } { 0 . 0 0 4 } ~ .
\tilde { f } _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } = \tilde { f } ( 2 \pi m _ { 1 } / M _ { 1 } \, , \, 2 \pi m _ { 2 } / M _ { 2 } ) , \qquad 0 \le m _ { 1 } < M _ { 1 } \, , \, 0 \le m _ { 2 } < M _ { 2 } .
\begin{array} { c } { { N _ { A } = \frac 1 4 \varepsilon _ { A B C D E } p ^ { B } \overline { { { p } } } ^ { C } q ^ { D } \overline { { { q } } } ^ { E } \ , } } \\ { { p ^ { A } N _ { A } = 0 \quad , \qquad N ^ { A } N _ { A } = 1 . } } \end{array}
{ \frac { 1 } { 4 \pi G _ { 4 } } } \int _ { \partial \Sigma } d S _ { \mu \nu } e \hat { E } ^ { \mu \nu } = \bar { \varepsilon } _ { \infty } \left[ P _ { \mu } ^ { A D M } \gamma ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } G _ { 4 } } } e ^ { - \varphi _ { \infty } / 2 } \{ V _ { R \, \infty } L ( \vec { Q } - i \gamma ^ { 5 } \vec { P } ) \} ^ { a } \Gamma ^ { a } \right] \varepsilon _ { \infty } ,
\begin{array} { r } { I _ { L } ^ { p h } = \frac { i e } { h } \int \textbf { T r } \left[ \Gamma _ { L } \{ G ^ { < ( p h ) } + f _ { L } ( E ) ( G ^ { > ( p h ) } - G ^ { < ( p h ) } ) \} \right] d E , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { s u r f } } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( w _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( u , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } . } \end{array}
\Gamma _ { \mu } ( p ^ { \prime } , p ; k ) = ( p ^ { \prime } + p ) _ { \mu } L ( p ^ { 2 } , p ^ { 2 } , k ^ { 2 } ) + [ k _ { \mu } ( p ^ { 2 } \! - \! p ^ { 2 } ) - ( p ^ { \prime } + p ) _ { \mu } k ^ { 2 } ] T ( p ^ { 2 } , p ^ { 2 } , k ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { B = ( \gamma + i y ) e ^ { i \eta } ( \zeta + i p ) ^ { - ( \gamma + \gamma _ { 0 } + 2 ) } \times } \\ { \times { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 + \gamma + i y , \gamma + \gamma _ { 0 } + 2 ; 2 \gamma + 1 ; \frac { 2 i p } { \zeta + i p } \right) . } \end{array}
\langle H _ { 1 } \rangle = \left( \begin{array} { c } { { v _ { 1 } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad \langle H _ { 2 } \rangle = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { v _ { 2 } } } \end{array} \right) , \qquad \langle S \rangle = u ,
\begin{array} { r l } { \nu ( k ) } & { - \nu ( k - 1 ) = \ell ( k { m _ { \mathrm { m a x } } } + k ) - \ell ( ( k - 1 ) { m _ { \mathrm { m a x } } } + ( k - 1 ) ) } \\ & { \leq k { m _ { \mathrm { m a x } } } + k - \left( ( k - 1 ) { m _ { \mathrm { m a x } } } + ( k - 1 ) - { m _ { \mathrm { m a x } } } \right) = 2 { m _ { \mathrm { m a x } } } + 1 . } \end{array}
R _ { f , 1 , i } = \left| \frac { \partial U _ { i } } { \partial t } + U _ { i } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x } + V _ { i } \frac { \partial U _ { i } } { \partial y } - \nu \left( \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial y ^ { 2 } } \right) \right|
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \alpha \iiint \mathcal { D } \, \rho \mathcal { D } w \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \big [ \rho ( \mathbf { r } ) - \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) \big ] - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \rho ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} } \\ & { = \alpha \iint \mathcal { D } \, \rho \mathcal { D } w \, \exp \left\{ i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \rho ( \mathbf { r } ) - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \rho ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ - i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) \right\} } \\ & { = \alpha \iint \mathcal { D } \, \rho \mathcal { D } w \, \exp \left\{ i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \rho ( \mathbf { r } ) - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \rho ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) - N \ln z [ i w ] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sqrt { \kappa _ { i } } f _ { i } , \sqrt { \kappa _ { j } } f _ { j } \right\rangle _ { \mathcal { H } _ { k } } } & { = \sqrt { \kappa _ { i } \kappa _ { j } } v _ { i } ^ { \top } ( H ^ { + } ) ^ { \top } k ( Z , Z ) H ^ { + } v _ { j } } \\ & { = \frac 1 { \sqrt { \kappa _ { i } \kappa _ { j } } } v _ { i } ^ { \top } \left[ H k ( Z , Z ) ^ { + } H ^ { \top } \right] ( H ^ { + } ) ^ { \top } k ( Z , Z ) H ^ { + } \left[ H k ( Z , Z ) ^ { + } H ^ { \top } \right] v _ { j } } \\ & { = \frac 1 { \sqrt { \kappa _ { i } \kappa _ { j } } } v _ { i } ^ { \top } H k ( Z , Z ) ^ { + } k ( Z , Z ) k ( Z , Z ) ^ { + } H ^ { \top } v _ { j } } \\ & { = \frac 1 { \sqrt { \kappa _ { i } \kappa _ { j } } } v _ { i } ^ { \top } H k ( Z , Z ) ^ { + } H ^ { \top } v _ { j } = \delta _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L \circ \phi = L \circ ( I + \psi ) } & { \overset = L + ( \omega \cdot \partial _ { \varphi } \circ \psi - D \circ \psi + \mathcal { R } \circ \psi ) } \\ & { = L + \omega \cdot \partial _ { \varphi } ( \psi ) + \psi \circ ( \omega \cdot \partial _ { \varphi } ) - D \circ \psi + \mathcal { R } \circ \psi } \\ & { = ( \omega \cdot \partial _ { \varphi } - D ) + \mathcal { R } + \psi \circ ( \omega \cdot \partial _ { \varphi } ) - \psi \circ D + \omega \cdot \partial _ { \varphi } ( \psi ) + ( \psi \circ D - D \circ \psi ) + \mathcal { R } \circ \psi } \\ & { = ( I + \psi ) \circ ( \omega \cdot \partial _ { \varphi } - D ) + ( \omega \cdot \partial _ { \varphi } ( \psi ) + [ \psi , D ] + \mathcal { R } ) + \mathcal { R } \circ \psi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { Y _ { \alpha } ^ { \sigma } } & { { } = [ \frac { D + 2 } { 2 } \rho ^ { \sigma } R ^ { \sigma } ( T ^ { \sigma } - T ) ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) - \frac { D + 4 } { 2 D } \rho ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) ^ { 2 } u _ { \alpha } ^ { \sigma } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { ( z _ { \mathrm { L } } ^ { ( 3 ) } , w _ { \mathrm { L } } ^ { ( 3 ) } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( z _ { \mathrm { L } } ^ { ( 2 ) } , w _ { \mathrm { L } } ^ { ( 2 ) } ) , \quad \mathrm { i f ~ z ^ { ( 2 ) } _ \mathrm { ~ L } \geq ~ D ^ n _ j ~ } , } \\ { ( D _ { j } ^ { n } , w _ { \mathrm { L } } ^ { ( 2 ) } ) , \quad \mathrm { i f ~ z ^ { ( 2 ) } _ \mathrm { ~ L } < ~ D ^ n _ j ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \delta E \left[ \mathbf { y } \right] ( \mathbf { v } ) } & { : = \int _ { \Omega } D ^ { 2 } \mathbf { y } : D ^ { 2 } \mathbf { v } - \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \Omega } \partial _ { i j } \mathbf { v } \cdot ( \partial _ { 1 } \mathbf { y } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } ) Z _ { i j } } \\ & { - \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \Omega } \partial _ { i j } \mathbf { y } \cdot ( \partial _ { 1 } \mathbf { v } \times \partial _ { 2 } \mathbf { y } ) Z _ { i j } - \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \Omega } \partial _ { i j } \mathbf { y } \cdot ( \partial _ { 1 } \mathbf { y } \times \partial _ { 2 } \mathbf { v } ) Z _ { i j } , } \end{array}
F _ { q } ( M ) = \left[ \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \langle n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \ldots ( n - q + 1 ) \rangle _ { i } \right] \left/ \left[ \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \langle n \rangle _ { i } \right] ^ { q } \right. \ \ .
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L , \, C L } } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \sum _ { n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } k _ { 1 } ^ { 3 } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) } \\ { \times } & { \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | r _ { j } | \phi _ { n _ { 2 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 2 } } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 3 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 3 } } | r _ { j } | \phi _ { a } \rangle } { E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } } } \\ & { \times \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \left\lbrace \frac { 5 } { 6 } \frac { \left( ( E _ { a } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } ) ^ { 3 } - ( E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } ) ^ { 3 } \right) } { E _ { n _ { 3 } } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } } \right. } \\ & { - \frac { ( E _ { a } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } ) ^ { 3 } \log [ 2 | E _ { a } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } | ] } { E _ { n _ { 3 } } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } } } \\ & { \left. + \frac { ( E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } ) ^ { 3 } \log [ 2 | E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } | ] } { E _ { n _ { 3 } } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } } \right\rbrace , } \end{array}
\mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } ( u ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( u _ { n } - \bar { u } ) ( u _ { n } - \bar { u } ) ^ { T } , \quad \bar { u } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } u _ { n } ,
\begin{array} { r } { U = \frac { h } { 2 } \int d A \, ( \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + \sigma ^ { a } \delta _ { i j } ) u _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \int d A \, Y ( x ) u _ { i } u _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 2 } \} , \{ e _ { 3 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 3 } \} , \{ e _ { 5 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 3 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } \} , \{ e _ { 3 } , e _ { 4 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 4 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 2 } , v _ { 3 } \} , \{ e _ { 3 } , e _ { 5 } \} ) = \gamma _ { 1 } ^ { \ast } \cup \gamma _ { 2 } ^ { \ast } , } \\ { \gamma _ { 5 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 5 } , e _ { 6 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 6 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } \} , \{ e _ { 3 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } \} ) = \gamma _ { 2 } ^ { \ast } \cup \gamma _ { 3 } ^ { \ast } , } \\ { \gamma _ { 7 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 2 } , v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 3 } , e _ { 5 } , e _ { 6 } \} ) , } \\ { \gamma _ { 8 } ^ { \ast } } & { = ( \{ v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , v _ { 4 } \} , \{ e _ { 3 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } , e _ { 6 } \} ) = \gamma _ { 3 } ^ { \ast } \cup \gamma _ { 5 } ^ { \ast } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ( w ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { y } _ { 1 } ) \otimes w ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { y } _ { 2 } ) \rho _ { A B } w ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { y } _ { 1 } ) ^ { \dag } \otimes w ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { y } _ { 2 } ) ^ { \dag } ) = w ( \vec { x } , \vec { y } ) \mathcal { E } ( \rho _ { A B } ) w ( \vec { x } , \vec { y } ) ^ { \dag } \; , } \end{array}
- \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m - 1 \right) } , \delta } \cdots { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( 1 \right) } , \delta } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( 1 \right) } , \delta } \cdots { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m - 1 \right) } , \delta } \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } \right\} \right\} .
\sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \sin ^ { 2 } ( p \theta ) \, , \qquad \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \sin ^ { 4 } ( p \theta ) \, , \qquad \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) = 3 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) \sin ^ { 2 } ( p \theta ) \, .
\begin{array} { r } { \epsilon _ { - 1 } - \epsilon _ { 0 } = \sin ( \frac { 2 \pi n } { L } ) ( 1 - 2 \eta ) \frac { 2 \pi } { L } + O ( \frac { 1 } { L ^ { 2 } } ) , \qquad \epsilon _ { 0 } - \epsilon _ { + 1 } = \sin ( \frac { 2 \pi n } { L } ) ( 2 \eta ) \frac { 2 \pi } { L } + O ( \frac { 1 } { L ^ { 2 } } ) , } \end{array}
\langle a _ { n } ^ { 2 } \rangle = \frac { 2 k _ { B } T } { \gamma \pi ^ { 2 } } \frac { L _ { x } } { L _ { y } } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } ( 1 - \exp ( - 2 A n ^ { 4 } t ) ) ,
Q ^ { ( 2 ) } ( E ) = \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } } { \mu E } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { ( l + 1 ) ( l + 2 ) } { 2 l + 3 } \sin ^ { 2 } \left( \delta _ { l } ( E ) - \delta _ { l + 2 } ( E ) \right) ,
{ \cal M } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { m _ { \mathrm { D } } } } & { { 0 } } \\ { { m _ { \mathrm { D } } } } & { { 0 } } & { { m _ { \mathrm { R } } } } \\ { { 0 } } & { { m _ { \mathrm { R } } } } & { { m _ { N } } } \end{array} \right) ,
I = \int _ { \cal { M } } d ^ { 4 } \! x \sqrt { \tilde { g } } e ^ { \Phi } \left( \tilde { R } ( \tilde { g } ) + \left( \nabla \Phi \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 2 } } H _ { \mu \nu \rho } H ^ { \mu \nu \rho } - \left( \nabla T \right) ^ { 2 } + V ( T ) \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \omega _ { 0 } \to 0 } \sigma _ { x } ^ { 2 } } & { { } = \bar { g } _ { v \to x } ^ { 2 } \frac { 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { v } } + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } } { ( 1 + { \tau _ { \mathrm { m } } } / { \tau _ { v } } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { v } } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } ) } \sigma _ { v } ^ { 2 } + \bar { g } _ { a \to x } ^ { 2 } \alpha R _ { \mathrm { T } } p ( 1 - p ) \frac { 1 } { 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } } + X _ { \mathrm { T } } f ( 1 - f ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { N } ( s ) } & { \sim \frac { 1 } { s } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d n } { \cosh \left( n ^ { 1 - a / 2 } s ^ { 1 / 2 } / \sqrt { 2 } \right) ^ { \frac { 4 } { 2 - a } } } } \\ & { \sim \left( \frac { 2 } { s } \right) ^ { \frac { 3 - a } { 2 - a } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d v } { v } \left( \frac { \sqrt { v } } { \cosh \left( v \right) } \right) ^ { \frac { 4 } { 2 - a } } \; . } \end{array}
J = \frac { \mathrm { I m } \: b } { 6 \, [ \, 3 \, ( \mathrm { I m } \, b ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - x y - y z - z x \, ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } = \frac { \sin 2 \chi } { 6 \sqrt { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \left( \{ H , F \} + \delta H \right) ( x , y , q , p ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( q ^ { T } ( B + B ^ { T } ) q + p ^ { T } ( B + B ^ { T } ) p \right) + \delta \sum _ { i = 1 } ^ { m } r _ { i } \left( x _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } \right) + \delta p ^ { T } B q - \delta } \\ & { \geq \frac { c } { 2 } \left( \delta \left( | x | ^ { 2 } + | y | ^ { 2 } \right) + | q | ^ { 2 } + | p | ^ { 2 } \right) - \delta \| B \| | p | | q | - \delta } \\ & { \geq \frac { c \delta } { 2 } \left( | x | ^ { 2 } + | y | ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } ( c - \delta \| B \| ) \left( | q | ^ { 2 } + | p | ^ { 2 } \right) - \delta } \\ & { = \frac { c \delta } { 2 } \left( | x | ^ { 2 } + | y | ^ { 2 } + | q | ^ { 2 } + | p | ^ { 2 } \right) - \delta } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \sum _ { k , j } \varphi _ { k , j } \Big [ e ( w _ { k , j } ) - \rho _ { \delta _ { k } } * e ( u ) \Big ] \right\| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { k , j } \left\| \varphi _ { k , j } \Big [ e ( w _ { k , j } ) - \rho _ { \delta _ { k } } * e ( u ) \Big ] \right\| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le \sum _ { k , j } \left\| e ( w _ { k , j } ) - \rho _ { \delta _ { k } } * e ( u ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( q _ { k , j } ) } ^ { 2 } \le \delta ^ { \frac { 1 } { 3 } } \sum _ { k , j } \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( q _ { k , j } ^ { \prime \prime } ) } ^ { 2 } \lesssim \delta ^ { \frac { 1 } { 3 } } \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { a } ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int e ^ { i \omega t } a ( t ) d t \, } \\ { a ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int e ^ { - i \omega t } \tilde { a } ( \omega ) d \omega . \, } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \beta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \beta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
{ \frac { \alpha _ { g _ { 1 } } ( Q ) } { \pi } } = { \frac { \alpha _ { R } ( Q ^ { * } ) } { \pi } } - \left( { \frac { \alpha _ { R } ( Q ^ { * * } ) } { \pi } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \alpha _ { R } ( Q ^ { * * * } ) } { \pi } } \right) ^ { 3 } + \cdots .
V ( \tau ) = e ^ { \frac { i } { \hbar } H _ { 0 } \tau } U ( \tau ) e ^ { - \frac { i } { \hbar } H _ { 0 } \tau } = \hbar \sum _ { n = 1 } ^ { N } \delta ( \tau - t _ { n } ) V _ { n } \, , \quad \tau \in [ 0 , t ] \, ,