harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \left( \nabla ^ { 2 } A _ { r } - { \frac { 2 A _ { r } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial \left( A _ { \theta } \sin \theta \right) } { \partial \theta } } - { \frac { 2 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial A _ { \varphi } } { \partial \varphi } } \right) } & { { \hat { \mathbf { r } } } } \\ { + \left( \nabla ^ { 2 } A _ { \theta } - { \frac { A _ { \theta } } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } + { \frac { 2 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial A _ { r } } { \partial \theta } } - { \frac { 2 \cos \theta } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial A _ { \varphi } } { \partial \varphi } } \right) } & { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \\ { + \left( \nabla ^ { 2 } A _ { \varphi } - { \frac { A _ { \varphi } } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } + { \frac { 2 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial A _ { r } } { \partial \varphi } } + { \frac { 2 \cos \theta } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial A _ { \theta } } { \partial \varphi } } \right) } & { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \end{array} }
{ \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { c ( r ) } \left( { \frac { p ^ { \prime } ( z ) } { p ( z ) } } - { \frac { n } { z } } \right) d z = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { c ( r ) } { \frac { z p ^ { \prime } ( z ) - n p ( z ) } { z p ( z ) } } \, d z .
\begin{array} { r } { n ^ { ( 4 ) } ( x , t , k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { ( 3 ) } ( x , t , k ) P _ { 1 } ^ { R } ( x , t , k ) , \quad \; } & { k \in D _ { \epsilon } ( k _ { 0 } ) , \; k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap ( 1 , \infty ) , } \\ { n ^ { ( 3 ) } ( x , t , k ) P _ { 1 } ^ { L } ( x , t , k ) , \quad } & { k \in D _ { \epsilon } ( k _ { 0 } ) , \; k _ { 0 } \in \mathsf { Z } \cap ( - 1 , 0 ) , } \end{array} \right. } \end{array}
N ^ { * } ( 0 ) = N _ { 0 , g } \ \frac { 1 - e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } } { 1 - \cos \Phi ^ { * } ( 0 ) \ e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } } .
H _ { d } ( z ) = { \frac { ( b _ { 0 } K + b _ { 1 } ) + ( - b _ { 0 } K + b _ { 1 } ) z ^ { - 1 } } { ( a _ { 0 } K + a _ { 1 } ) + ( - a _ { 0 } K + a _ { 1 } ) z ^ { - 1 } } }
\sigma _ { g q } \langle \frac { \rho _ { q } } { 2 \omega } \rangle + \sigma _ { g g } \langle \frac { \rho _ { g } } { 2 \omega } \rangle = \frac { 9 } { 4 } \frac { 2 \pi \alpha _ { s } ^ { 2 } } { \mu _ { D } ^ { 2 } } T ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { I _ { B 0 , 0 } ^ { L } } & { = \int _ { - u _ { x } } ^ { \infty } d w _ { x } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d w _ { y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d w _ { z } f _ { B } ^ { L } = \frac { 1 - \operatorname { e r f } \left( - \frac { u _ { x } } { \sqrt { 2 } \eta _ { B } } \right) } { 2 } } \\ { I _ { B 0 , 0 } ^ { R } } & { = \int _ { - \infty } ^ { - u _ { x } } d w _ { x } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d w _ { y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d w _ { z } f _ { B } ^ { R } = \frac { 1 + \operatorname { e r f } \left( - \frac { u _ { x } } { \sqrt { 2 } \eta _ { B } } \right) } { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \pi } & { = 2 \left( 1 + { \cfrac { 1 } { 3 } } + { \cfrac { 1 \cdot 2 } { 3 \cdot 5 } } + { \cfrac { 1 \cdot 2 \cdot 3 } { 3 \cdot 5 \cdot 7 } } + { \cfrac { 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 } { 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 } } + { \cfrac { 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 } { 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 1 1 } } + \cdots \right) } \\ & { = 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \cfrac { n ! } { ( 2 n + 1 ) ! ! } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \cfrac { 2 ^ { n + 1 } n ! ^ { 2 } } { ( 2 n + 1 ) ! } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \cfrac { 2 ^ { n + 1 } } { { \binom { 2 n } { n } } ( 2 n + 1 ) } } } \\ & { = 2 + { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 4 } { 1 5 } } + { \frac { 4 } { 3 5 } } + { \frac { 1 6 } { 3 1 5 } } + { \frac { 1 6 } { 6 9 3 } } + { \frac { 3 2 } { 3 0 0 3 } } + { \frac { 3 2 } { 6 4 3 5 } } + { \frac { 2 5 6 } { 1 0 9 3 9 5 } } + { \frac { 2 5 6 } { 2 3 0 9 4 5 } } + \cdots } \end{array} }
{ A _ { 4 , 1 } } = \cos ^ { - 1 } ( ( { L _ { 2 - 4 } } ^ { 2 } + { L _ { 4 - 6 } } ^ { 2 } - { L _ { 2 - 6 } } ^ { 2 } ) / ( 2 \cdot { L _ { 2 - 4 } } \cdot { L _ { 4 - 6 } } ) )
\delta R _ { m _ { b } } = \sum _ { f = u , d , s , c } 3 Q _ { f } ^ { 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 2 } \frac { s } { \bar { m } _ { b } ^ { 2 } } \left[ \frac { 4 4 } { 6 7 5 } + \frac { 2 } { 1 3 5 } \log \frac { \bar { m } _ { b } ^ { 2 } } { s } \right] .
\frac { d \mathrm { H } [ q ] } { d t } = - \nu \int _ { \partial D } \left[ { \nabla ( q \log q ) + \mathbf { A } ^ { q } \times \nabla ( q \log q ) } \right] \cdot \mathbf { n } \, d S + \nu \int _ { D } q | \nabla \log q | ^ { 2 } d V ,
\begin{array} { l l } { { k \neq \infty : } } & { { \left[ J _ { n } ^ { \mu } , J _ { m } ^ { \nu } \right] = i \varepsilon ^ { \mu \nu \lambda } \eta _ { \lambda \rho } J _ { n + m } ^ { \rho } - ( k + 2 ) n \delta _ { n + m } \eta ^ { \mu \nu } } } \\ { { } } & { { \left[ \frac { J _ { n } ^ { \mu } } { \sqrt { k + 2 } } , \frac { J _ { m } ^ { \nu } } { \sqrt { k + 2 } } \right] = \frac 1 { \sqrt { k + 2 } } i \varepsilon ^ { \mu \nu \lambda } \eta _ { \lambda \rho } \frac { J _ { n + m } ^ { \rho } } { \sqrt { k + 2 } } - n \delta _ { n + m } \eta ^ { \mu \nu } } } \\ { { k \rightarrow \infty : } } & { { \left[ \alpha _ { n } ^ { \mu } , \alpha _ { n } ^ { \nu } \right] = - n \delta _ { n + m } \eta ^ { \mu \nu } , \quad \eta ^ { \mu \nu } = d i a g \left( 1 , - 1 , - 1 \right) } } \end{array}
\varepsilon _ { u } = \eta _ { P } [ 4 \sum _ { a ^ { \prime } < b ^ { \prime } } ( { \bf P } _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } } ) ^ { 2 } ] ^ { - 1 / 2 } { \bf P } _ { a b } \gamma ^ { a b } \varepsilon _ { \ell } \ \ ( \eta _ { P } \equiv \pm 1 ) .
\begin{array} { r } { - \int _ { \partial K } \hat { \psi } \, \frac { \partial \lambda _ { \ell } } { \partial \mathbf { t } } ~ d s + \sum _ { j = 1 } ^ { m } a _ { j } \int _ { \partial K } \lambda _ { j } \, \frac { \partial \lambda _ { \ell } } { \partial \mathbf { n } } ~ d s = \int _ { \partial K } \phi \, \frac { \partial \lambda _ { \ell } } { \partial \mathbf { n } } ~ d s ~ , \quad 1 \leq \ell \leq m ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \vec { \nabla } \wedge \vec { E } } & { { } = - \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } , } & { \vec { \nabla } \cdot \vec { B } } & { { } = 0 , } \\ { \vec { \nabla } \wedge \vec { H } } & { { } = \vec { j } + \frac { \partial \vec { D } } { \partial t } , } & { \vec { \nabla } \cdot \vec { D } } & { { } = \rho , } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( i ) \leq \frac { 1 + ( v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x + v t ) + \gamma _ { i } ( x + v t ) ) } { \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert + 2 \gamma _ { i } ( x + v t ) } e ^ { - \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert t + 2 t v _ { i } \beta \partial _ { i } \psi ( x ) } \leq 2 e ^ { - \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert t + 2 t v _ { i } \beta \partial _ { i } \psi ( x ) } . } \end{array}
m = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { N ^ { 2 } / G ^ { 2 } - k ^ { 2 } } \qquad } & { N ^ { 2 } / G ^ { 2 } > k ^ { 2 } } \\ { i \sqrt { k ^ { 2 } - N ^ { 2 } / G ^ { 2 } } \qquad } & { N ^ { 2 } / G ^ { 2 } < k ^ { 2 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { n - 1 } v ^ { \beta } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a \leq \epsilon _ { 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { n } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a + C _ { n , \epsilon _ { 1 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { n \beta } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a . } \end{array}
W _ { f i } [ K ] = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \hbar } } \exp \left\{ - \frac { i } { \hbar } \left( p _ { f } q _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \epsilon \, H ( p _ { f } - \epsilon K _ { j - 1 } - \sum _ { l = 1 } ^ { j } \epsilon \, J _ { l } ) \right) \right\} \, .
\begin{array} { r } { \mathbf { q } = q _ { s a t } s g n ( \boldsymbol { b } \cdot \nabla T _ { e } ) \boldsymbol { b } , } \\ { q _ { s a t } = 0 . 4 \left( \frac { 2 k _ { b } T _ { e } } { \pi m _ { e } } \right) ^ { 1 / 2 } n _ { e } k _ { b } T _ { e } = 5 \phi \rho ( p / \rho ) ^ { 3 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \lambda } { \sqrt { k } } = \frac { C _ { p } \Big ( \sqrt { \frac { k \log ( T ) } { h ^ { p } } } + \sqrt { \frac { \log ( T ) } { h ^ { 2 p } } } + \sqrt { \frac { \log ( T ) \log ^ { 2 } ( k ) } { h ^ { p } } } \Big ) } { \sqrt { k } } } \\ { = } & { C _ { p } \Big ( \sqrt { \frac { \log ( T ) } { h ^ { p } } } + \sqrt { \frac { \log ( T ) } { k h ^ { 2 p } } } + \sqrt { \frac { \log ( T ) \log ^ { 2 } ( k ) } { k h ^ { p } } } \Big ) } \\ { \le } & { C _ { p } \Big ( \sqrt { \frac { \log ( T ) } { h ^ { p } } } + \sqrt { \frac { 1 } { h ^ { p } } } + \sqrt { \frac { \log ( T ) } { h ^ { p } } } \Big ) } \\ { \le } & { C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log ( T ) } { h ^ { p } } } . } \end{array}
F _ { t } ( x , y , t ) = 2 x ( b u ^ { \prime } u ^ { \prime \prime } - a ( u ^ { \prime } v ^ { \prime \prime } + u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime } ) - b v ^ { \prime } v ^ { \prime \prime } ) - 2 y ( a v ^ { \prime } v ^ { \prime \prime } - b ( u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime } + u ^ { \prime } v ^ { \prime \prime } ) - a u ^ { \prime } u ^ { \prime \prime } )
\begin{array} { r l r } { \mathbf { V } _ { i \perp } } & { { } = \mathbf { 0 } } & { \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \Omega ^ { W } , } \\ { \Phi } & { { } = \Phi _ { \mathrm { b c } } } & { \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \Omega ^ { W } , } \\ { \boldsymbol { \tau } } & { { } = \boldsymbol { \tau } _ { \mathrm { b c } } } & { \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \Omega ^ { W } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { + + } } & { = \frac { N } { 2 } \left( 1 - q + \Delta \right) ( 2 q - \Delta - \Sigma ) \left( \frac { 1 + \epsilon } { 2 } \right) , } \\ { W _ { + - } } & { = \frac { N } { 2 } \left( 1 - q + \Delta \right) ( \Sigma - \Delta ) \left( \frac { 1 - \epsilon } { 2 } \right) , } \\ { W _ { - + } } & { = \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) ( 2 - 2 q + \Delta - \Sigma ) \left( \frac { 1 + \epsilon } { 2 } \right) , } \\ { W _ { -- } } & { = \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) ( \Sigma + \Delta ) \left( \frac { 1 - \epsilon } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , q } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E T r [ A _ { \gamma \delta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( \alpha , \sigma ) A _ { \delta \gamma } ^ { \rho ^ { \prime } \rho } ( \beta , \sigma ^ { \prime } ) ] } \\ { ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E ) ] f _ { \delta } ( E ) ) , } \end{array}
\mathrm { C O P } _ { \mathrm { h e a t i n g } } \leq { \frac { T _ { \mathrm { { H } } } } { T _ { \mathrm { { H } } } - T _ { \mathrm { { C } } } } } = \mathrm { C O P } _ { \mathrm { h e a t i n g , c a r n o t } }
\tilde { f } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , \omega ) = \frac { \rho ( x _ { 3 , F } ) } { 2 s _ { 3 } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } ) \tilde { T } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \omega ) } ,
\Psi ( \xi , x ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \Psi ^ { ( 0 ) } ( \xi , x ) \xi ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } E , } & & { \mathrm { f o r } \quad \alpha - \frac { 1 } { 2 } \notin \mathbb { Z } , } \\ & { \Psi ^ { ( 0 ) } ( \xi , x ) \xi ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { s _ { 0 } } { \pi i } \ln \xi } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) E , } & & { \mathrm { f o r } \quad \alpha + \frac { 1 } { 2 } \in \mathbb { N } , } \\ & { \Psi ^ { ( 0 ) } ( \xi , x ) \xi ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { s _ { 0 } } { \pi i } \ln \xi } & { 1 } \end{array} \right) E , } & & { \mathrm { f o r } \quad \frac { 1 } { 2 } - \alpha \in \mathbb { N } , } \end{array} \right.
\eta ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \; r : = \sqrt { \Big ( x \! - \! \frac 1 2 \Big ) ^ { 2 } + \Big ( y \! - \! \frac 1 2 \Big ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \eta ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) = 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r l r l } & { 2 \delta + y _ { 2 } - ( 1 + h ( y _ { 1 } ) ) } & & { \textnormal { f o r } } & { 1 + h ( y _ { 1 } ) - \delta } & { \leq y _ { 2 } \leq 1 + h ( y _ { 1 } ) } \\ & { \delta } & & { \textnormal { f o r } } & { h ( y _ { 1 } ) + \delta } & { < y _ { 2 } < 1 + h ( y _ { 1 } ) - \delta } \\ & { y _ { 2 } - h ( y _ { 1 } ) } & & { \textnormal { f o r } } & { h ( y _ { 1 } ) } & { \leq y _ { 2 } \leq h ( y _ { 1 } ) + \delta } \end{array} } \end{array} \right. } \end{array}
\dot { N _ { i } } = f \frac { \Gamma _ { s } } { 3 2 \, \pi ^ { 3 } } \, \frac { ( n + 3 ) ^ { ( n + 3 ) / ( n + 1 ) } \, ( n + 1 ) } { 2 ^ { 2 / ( n + 1 ) } } \, \Gamma ( 3 ) \, \zeta ( 3 ) \, T _ { \mathrm { B H } } \, ,
\begin{array} { r } { \Gamma _ { x } \sim \rho _ { * } \gamma \frac { \tilde { p _ { e } } ^ { 2 } } { \bar { p } _ { e } } L _ { p } \sim \rho _ { * } \frac { \gamma } { k _ { x } ^ { 2 } } \frac { \bar { p } _ { e } } { L _ { p } } \sim \rho _ { * } \frac { \gamma } { k _ { y } } \bar { p } _ { e } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N _ { x , k } ^ { \prime \prime } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { x , k } ^ { \prime \prime } } f _ { 1 } ( T ^ { a n } x ) f _ { 2 } ( T ^ { b n } x ) \prod _ { j = 1 } ^ { d } g _ { j } ( S _ { j } ^ { p _ { j } ( n ) } x ) = \int F _ { 0 } \otimes G _ { 0 } ^ { a } \otimes G _ { 0 } ^ { b } d \rho _ { x } = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ J _ { \psi _ { t } } \right] | _ { t = 0 } } & { { } = \left. \left[ \frac { \partial \, J _ { \psi _ { t } } } { \partial \, \nabla \psi _ { t } } \, { \cdot } \, \frac { \partial \, \nabla \psi _ { t } } { \partial t } \right] \right| _ { t = 0 } = \left. \left[ J _ { \psi _ { t } } ( \nabla \psi _ { t } ) ^ { - T } \, { \cdot } \, \nabla \left( \frac { \partial \psi _ { t } } { \partial t } \right) \right] \right| _ { t = 0 } } \end{array}
A ^ { 2 } - 5 A - 2 I _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l l } { 7 } & { 1 0 } \\ { 1 5 } & { 2 2 } \end{array} \right) } - { \left( \begin{array} { l l } { 5 } & { 1 0 } \\ { 1 5 } & { 2 0 } \end{array} \right) } - { \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { l } { { G = 6 i \ \Delta _ { m } ~ \mathrm { { I m } } [ ( Z _ { \circ } ) _ { 1 1 } ( Z _ { \circ } ) _ { 2 2 } ( Z _ { \circ } ) _ { 1 2 } ^ { \star } ( Z _ { \circ } ) _ { 2 1 } ^ { \star } ] } } \\ { { = \frac { 3 i } 2 } } \\ { { D e l t a _ { m } ~ \cos ( \theta ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) \ \sin ^ { 2 } ( 2 \phi ) \ \sin ( \alpha ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \varphi _ { a } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } = \| \varphi _ { a } \| _ { L ^ { p } ( B ( x _ { 0 } , a r _ { 2 } ) ) } } & { = a ^ { \frac { 3 } { p } } \| \varphi \| _ { L ^ { p } ( B ( 0 , r _ { 2 } ) ) } = a ^ { \frac { 3 } { p } } \| \varphi \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } , } \\ { \| \nabla _ { x } \varphi _ { a } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } = \| \nabla _ { x } \varphi _ { a } \| _ { L ^ { p } ( B ( x _ { 0 } , a r _ { 2 } ) \setminus B ( x _ { 0 } , a r _ { 1 } ) ) } } & { = a ^ { \frac { 3 } { p } - 1 } \| \nabla _ { x } \varphi \| _ { L ^ { p } ( B ( 0 , r _ { 2 } ) \setminus B ( 0 , r _ { 1 } ) ) } = a ^ { \frac { 3 } { p } - 1 } \| \nabla _ { x } \varphi \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } . } \end{array}
\sqrt { - g } T ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d \tau d \sigma ( \dot { X } ^ { \mu } \dot { X } ^ { \nu } - X ^ { \mu } X ^ { \nu } ) \delta ^ { ( 4 ) } ( X - X ( \tau , \sigma ) ) .
\begin{array} { r } { \left( \dot { f } ( x , t ) + \frac { k c _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega } f ^ { \prime } ( x , t ) \right) \sin \varPsi + \left( \dot { \phi } ( x , t ) + \frac { k c _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega } \phi ^ { \prime } ( x , t ) + G ( k ) \right) f ( x , t ) \cos \varPsi = - \frac { g \Omega } { 2 \omega } \left( \mathcal { S } ^ { y } \sin \varPsi + \mathcal { S } ^ { x } \cos \varPsi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } p _ { t B ^ { \prime \prime } } ^ { n + m } ( \psi ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \bigg ( { \frac { ( n + m ) ! } { n ! } } s ^ { - ( n + m ) } \cdot { \frac { 1 } { ( n + m ) ! } } p _ { s t B ^ { \prime \prime } } ^ { n + m } ( \psi ) \bigg ) } \\ & { \leq \bigg ( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( n + m ) ! } { n ! } } s ^ { - ( n + m ) } \bigg ) \cdot q _ { s t B ^ { \prime \prime } } ( \psi ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) = \{ \tilde { \bf D } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) \} ^ { - 1 } \tilde { \bf Y } ( { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) , } \end{array}
r _ { D } \cos \delta _ { D } = - \sqrt { r _ { D } ^ { 2 } - \left[ \frac { \tilde { \Gamma } _ { f _ { s } } \cos \phi _ { q } } { 2 \, \eta _ { f _ { s } } \langle \tilde { S } _ { f _ { s } } \rangle _ { + } } \right] ^ { 2 } } + { \cal O } ( r _ { D } ^ { 2 } ) .
R ( G ) = \left\{ \left. \sum _ { j = 1 } ^ { m } a _ { j } \tau _ { j } \right| \tau _ { 1 } , \ldots , \tau _ { m } { \mathrm { ~ a l l ~ i r r e d u c i b l e ~ r e p r e s e n t a t i o n s ~ o f ~ } } G { \mathrm { ~ u p ~ t o ~ i s o m o r p h i s m } } , a _ { j } \in \mathbb { Z } \right\} .
\begin{array} { r l r } { \frac { p _ { G _ { n } } ( x ) - p _ { G _ { * , n } } ( x ) } { \mathcal { D } ^ { \prime } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } & { = } & { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) [ f ( x | \mu _ { 0 } , \Sigma _ { 0 } ) - f ( x | \mu _ { n } ^ { * } , \Sigma _ { n } ^ { * } ) ] + \lambda _ { n } f ( x | \mu _ { n } , \Sigma _ { n } ) - \lambda _ { n } f ( x | \mu _ { n } ^ { * } , \Sigma _ { n } ^ { * } ) } { \mathcal { D } ^ { \prime } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \\ & { = } & { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \biggr ( \sum _ { | \alpha | = 1 } \frac { ( - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( - \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { \alpha ! } \frac { \partial { f } } { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { \Sigma ^ { \alpha _ { 2 } } } } ( x | \mu _ { n } ^ { * } , \Sigma _ { n } ^ { * } ) + R _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) \biggr ) } { \mathcal { D } ^ { \prime } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \\ & { + } & { \frac { \lambda _ { n } f ( x | \mu _ { n } , \Sigma _ { n } ) - \lambda _ { n } f ( x | \mu _ { n } ^ { * } , \Sigma _ { n } ^ { * } ) } { \mathcal { D } ^ { \prime } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { \mathrm { p a i r } } ^ { + } } { \mathrm { d } \varepsilon _ { + } \mathrm { d } t } } & { { } = } & { W _ { 0 } ( C + { \bf S } _ { + } \cdot { \bf D } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha - \kappa } & { \leq H _ { n } ( \eta ^ { ( \omega ) } ) = \frac { 1 } { n } H ( \pi _ { V _ { i } } \eta ^ { ( \omega ) } , { \mathcal D } _ { n } ) + \frac { 1 } { n } H ( \eta ^ { ( \omega ) } , { \mathcal D } _ { n } ^ { V _ { i } \oplus V _ { i } ^ { \perp } } | { \mathcal D } _ { n } ^ { V _ { i } } ) + O \left( \frac { 1 } { n } \right) } \\ & { \leq \alpha - 1 + \kappa + \frac { 1 } { n } H ( \eta ^ { ( \omega ) } , { \mathcal D } _ { n } ^ { V _ { i } \oplus V _ { i } ^ { \perp } } | { \mathcal D } _ { n } ^ { V _ { i } } ) + O \left( \frac { 1 } { n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h } { \partial k _ { x } } } & { { } \! = \! - 2 t _ { | | } a \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } a \cos ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , } \\ { \frac { \partial h } { \partial k _ { y } } } & { { } \! = \! - 2 t _ { | | } a \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } a \cos ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { h } & { { } \! = \! \left[ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } } \end{array}
{ \frac { ( y _ { 4 } - y _ { 1 } ) } { ( x _ { 4 } - x _ { 1 } ) } } { \frac { ( x _ { 4 } - x _ { 2 } ) } { ( y _ { 4 } - y _ { 2 } ) } } = { \frac { ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) } { ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) } } { \frac { ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) } { ( y _ { 3 } - y _ { 2 } ) } }
\Psi _ { 1 2 3 } ^ { B _ { 1 0 } } ( x , { \bf k _ { \perp } } ) = \frac { f _ { ( 1 0 ) } ( \mu _ { F } ) } { 2 4 \sqrt { 2 } } \, \phi _ { 1 2 3 } ^ { B _ { 1 0 } } ( x , \mu _ { F } ) \, \Omega _ { ( 1 0 ) } ( x , { \bf k _ { \perp } } ) \: .
\Gamma _ { 3 - f o r m } = \exp \left[ ( | g - 1 | + \delta _ { g , 1 } ) \left( 2 \pi \sigma r _ { s } ^ { 2 } \sqrt { V ( r _ { s } ) } \beta _ { H } - \frac { q ^ { 2 } } { r _ { s } r _ { + } } ( r _ { s } - r _ { H } ) \beta _ { H } + \frac { s ( r _ { s } ^ { 3 } - r _ { H } ^ { 3 } ) \beta _ { H } } { \l ^ { 2 } } \right) - \frac { 1 } { 8 \pi \sigma ^ { 2 } } \right]
h ( w _ { i j } ) = \left( \beta _ { i } ^ { \rightarrow } + \beta _ { j } ^ { \leftarrow } \right) a _ { i j } ^ { \rightarrow } w _ { i j } + \left( \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , o u t } + \beta _ { j } ^ { \leftrightarrow , i n } \right) a _ { i j } ^ { \leftrightarrow } w _ { i j } .
I _ { y } = - \partial _ { y _ { i } } \biggl \{ \underset { i \neq j } { \sum _ { j } } \int _ { \partial _ { c _ { j } } } \phi _ { i } \; d y + \int _ { \partial _ { \Omega } } \phi _ { i } \; d y + \int _ { \sigma _ { i } ^ { + } } \phi _ { i } \; d y + \int _ { \sigma _ { i } ^ { - } } \phi _ { i } \; d y + \int _ { \partial _ { c _ { i } } } \phi _ { i } \; d y \biggl \} ,
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { H } ( Y | X ) } & { = \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p ( x , y ) \log \left( { \frac { p ( x ) } { p ( x , y ) } } \right) } \\ & { = \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p ( x , y ) ( \log ( p ( x ) ) - \log ( p ( x , y ) ) ) } \\ & { = - \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p ( x , y ) \log ( p ( x , y ) ) + \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } { p ( x , y ) \log ( p ( x ) ) } } \\ & { = \mathrm { H } ( X , Y ) + \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } p ( x ) \log ( p ( x ) ) } \\ & { = \mathrm { H } ( X , Y ) - \mathrm { H } ( X ) . } \end{array} }
r = { \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + ( x x ^ { \prime } + y y ^ { \prime } ) ( x y x ^ { \prime } y ^ { \prime } + { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } ) } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { s } d ^ { X } ( t ) \, d t } & { = \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } \big [ ( \eta b e ^ { b X } - b ) \mathbf { 1 } \{ X > t \} \big ] \, d t = \mathbb { E } \Big [ ( \eta b e ^ { b X } - b ) \int _ { 0 } ^ { s } \mathbf { 1 } \{ X > t \} \, d t \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } \big [ ( \eta b e ^ { b X } - b ) \operatorname* { m i n } \{ X , s \} \big ] = T ^ { X } ( s ) , \quad s \in \mathbb { R } , } \end{array}