harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { y _ { 3 k } ( \mathcal D _ { k } ) + C _ { k 1 } ( \rho _ { k 2 } ^ { * } ( \lambda _ { 1 k 2 } ) | _ { \Gamma _ { k } } ^ { 1 } - C _ { k 2 } ) ^ { C _ { k 3 } } } { f _ { k } } + \frac { K _ { 0 } } { a _ { 0 } } } \\ & { + \frac { C _ { k 4 } ( \rho _ { k 2 } ^ { * } ( \lambda _ { 1 k 2 } ) | _ { \Gamma _ { k } } ^ { 1 } ) ^ { - C _ { k 5 } } } { g _ { k } } = T , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X ^ { 2 } { \bf \nabla } ~ { \bf \cdot } ~ \frac { { \bf \nabla } \chi } { X ^ { 2 } } } & { { } = } & { - \mu _ { 0 } X ^ { 2 } p ^ { \prime } - g g ^ { \prime } , } \end{array}
\mathbf { P } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } } ^ { - } = \left[ \begin{array} { l l l l } { R _ { 1 } ^ { - } } & { R _ { 2 } ^ { - } } & { \cdots } & { R _ { N / 2 } ^ { - } } \end{array} \right]
\left\{ \begin{array} { r l } { \Omega _ { y , \hat { y } } ^ { 2 } } & { : = \{ \hat { y } \in ( \bar { t } , \bar { t } + \delta ) , y \in ( \bar { t } - \delta , \bar { t } ] \} , } \\ { \Omega _ { y , \hat { y } } ^ { 3 } } & { : = \{ \hat { y } \in ( \bar { t } - \delta , \bar { t } ) , y \in [ \bar { t } , \bar { t } + \delta ) \} } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { [ V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } , \Gamma ] } & { { } = 0 = [ V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } ^ { \dagger } , \Gamma ] \; \; \mathrm { ~ o ~ r ~ } } \\ { \{ V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } , \Gamma \} } & { { } = 0 = \{ V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } ^ { \dagger } , \Gamma \} , } \end{array}
{ \frac { d \sigma _ { m } } { d z } } = - { \frac { Q _ { e } ^ { 2 } e ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } } { \frac { 2 z } { 1 - z } } \sigma _ { 0 } \Big \{ \delta _ { 1 } ^ { V _ { 1 } } ( s ) - { \frac { Q _ { e } ^ { 2 } e ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } } L \ln z \Big \} .
h _ { x t } = - \frac { 1 } { 2 } \left( 3 h _ { x } ^ { 2 } + 3 h h _ { x x } + \partial _ { x } [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ] h - \mathscr { Q } h + h - h _ { x x } \right) .
\pi _ { i } = \frac { \partial L } { \partial v ^ { i } } = \frac { { m } \left[ v ^ { i } - u ^ { i } u ^ { 0 } ( 1 + u ^ { 0 } \vec { u } \vec { v } ) \right] } { \sqrt { ( 1 + u ^ { 0 } \vec { u } \vec { v } ) ^ { 2 } - ( \vec { v } ) ^ { 2 } } } = - m \omega _ { i }
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } ( F , G ) = \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( x ) } | | F ( G ( x ) ) - x | | _ { 1 } + \mathbb { E } _ { y \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( y ) } | | G ( F ( y ) ) - y | | _ { 1 }
{ \begin{array} { r l } { { \left[ \begin{array} { l } { { \dot { e } } _ { 1 } } \\ { { \dot { e } } _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { { \dot { e } } _ { i } } \\ { \vdots } \\ { { \dot { e } } _ { n - 1 } } \\ { { \dot { e } } _ { n } } \end{array} \right] } } & { = { \mathord { \overbrace { \left[ \begin{array} { l } { { \dot { h } } _ { 1 } ( x ) } \\ { { \dot { h } } _ { 2 } ( x ) } \\ { \vdots } \\ { { \dot { h } } _ { i } ( x ) } \\ { \vdots } \\ { { \dot { h } } _ { n - 1 } ( x ) } \\ { { \dot { h } } _ { n } ( x ) } \end{array} \right] } ^ { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } H ( x ) } } } - { \mathord { \overbrace { M ( { \hat { x } } ) \, \operatorname { s g n } ( V ( t ) - H ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } ^ { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } H ( { \hat { x } } ) } } } = { \left[ \begin{array} { l } { h _ { 2 } ( x ) } \\ { h _ { 3 } ( x ) } \\ { \vdots } \\ { h _ { i + 1 } ( x ) } \\ { \vdots } \\ { h _ { n } ( x ) } \\ { L _ { f } ^ { n } h ( x ) } \end{array} \right] } - { \left[ \begin{array} { l } { m _ { 1 } \operatorname { s g n } ( v _ { 1 } ( t ) - h _ { 1 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \\ { m _ { 2 } \operatorname { s g n } ( v _ { 2 } ( t ) - h _ { 2 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \\ { \vdots } \\ { m _ { i } \operatorname { s g n } ( v _ { i } ( t ) - h _ { i } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \\ { \vdots } \\ { m _ { n - 1 } \operatorname { s g n } ( v _ { n - 1 } ( t ) - h _ { n - 1 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \\ { m _ { n } \operatorname { s g n } ( v _ { n } ( t ) - h _ { n } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l } { h _ { 2 } ( x ) - m _ { 1 } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( { \mathord { \overbrace { { \mathord { \overbrace { v _ { 1 } ( t ) } ^ { v _ { 1 } ( t ) = y ( t ) = h _ { 1 } ( x ) } } } - h _ { 1 } ( { \hat { x } } ( t ) ) } ^ { e _ { 1 } } } } ) } \\ { h _ { 3 } ( x ) - m _ { 2 } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( v _ { 2 } ( t ) - h _ { 2 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \\ { \vdots } \\ { h _ { i + 1 } ( x ) - m _ { i } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( v _ { i } ( t ) - h _ { i } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \\ { \vdots } \\ { h _ { n } ( x ) - m _ { n - 1 } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( v _ { n - 1 } ( t ) - h _ { n - 1 } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \\ { L _ { f } ^ { n } h ( x ) - m _ { n } ( { \hat { x } } ) \operatorname { s g n } ( v _ { n } ( t ) - h _ { n } ( { \hat { x } } ( t ) ) ) } \end{array} \right] } . } \end{array} }
t _ { 0 n } ^ { \ell } = \left( \frac { ( 2 \ell ) ! } { n ! { ( 2 \ell - n ) ! } } \right) ^ { 1 / 2 } \, e ^ { - i \ell \phi } \frac { \tau ^ { n } } { ( 1 + | \tau | ^ { 2 } ) ^ { \ell } } \, .
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { a \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( a ) \overline { { \chi } } ( a ) \right| } & { \leq \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } \nu ( n ) \left| 1 - \left| \mathbb { E } _ { b \in B } \chi ( b ) \right| ^ { 2 } \right| } \\ & { \leq ( 1 + \eta ) \left( \left( 1 + \frac { \delta } { 5 } \right) ^ { 2 } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { R } _ { k , n } ^ { 0 } } & { \stackrel { d } { = } } & { \ln \frac { k } { n } - \frac { 1 } { k } \sum _ { i = n - k + 1 } ^ { n } \ln ( 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } V _ { ( i ) } / V _ { ( n - k ) } ) ) } \\ & { \le } & { \ln \frac { k } { n } - \frac { 1 } { k } \sum _ { i = n - k + 1 } ^ { n } \ln ( 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } X _ { ( i ) } / X _ { ( n - k ) } ) ) = \tilde { R } _ { k , n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { \mathrm { t } } ^ { ( l ) } : = 2 M _ { \mathrm { t } } ^ { ( l + 1 ) } , \quad d _ { \mathrm { t } } ^ { ( l ) } : = 2 d _ { \mathrm { t } } ^ { ( l + 1 ) } \quad l = { l _ { { \mathrm { m a x } } } } - 1 , \ldots , 2 . } \end{array}
p _ { ( i ) } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { 2 } p _ { \mathrm { p a r t o n } } } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \mathrm { i n n e r } \, \mathrm { b a n d } } } \\ { { p _ { \mathrm { p a r t o n } } } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \mathrm { o u t e r } \, \mathrm { b a n d } } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { \hat { c } _ { l , \uparrow } } & { { } = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { l - 1 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { z } \hat { \sigma } _ { l } ^ { - } , \quad \hat { n } _ { l , \uparrow } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \hat { \sigma } _ { l } ^ { z } \right) , } \\ { \hat { c } _ { l , \downarrow } } & { { } = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { L + l - 1 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { z } \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { - } , \quad \hat { n } _ { l , \downarrow } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \hat { \sigma } _ { L + l } ^ { z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal L } } & { { } = - \log L ( \mathbf { X } | \mathbf { W } , \mathbf { H } ) \equiv \sum \left( \mathbf { W } \mathbf { H } - \mathbf { X } \odot \log ( \mathbf { W } \mathbf { H } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Hat { \mathcal { T } } _ { \mathcal { U } } ^ { \pi } v : = \operatorname* { m a x } _ { R , P \in \mathcal { U } } v _ { P , R } ^ { \pi } , \qquad \Hat { \mathcal { T } } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v : = \operatorname* { m a x } _ { \pi } \operatorname* { m a x } _ { R , P \in \mathcal { U } } v _ { P , R } ^ { \pi } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { m } } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { u _ { m } \in \mathcal { B } _ { m } } \mathcal { J } ( u _ { m } ) } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { u _ { m } \in \mathcal { B } _ { m } } \left\{ \frac { 1 } { p } \int _ { V } | u _ { m } | ^ { p } d \mu - \frac { 1 } { 2 } \int _ { V } | \nabla u _ { m } | ^ { 2 } d \mu \right\} } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { B } _ { 1 } } \left\{ \frac { m ^ { p / 2 } } { p } \int _ { V } | v | ^ { p } d \mu - \frac { m } { 2 } \int _ { V } | \nabla v | ^ { 2 } d \mu \right\} } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { B } _ { 1 } } \mathcal { J } _ { m } ( v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { 2 } } & { { } + \frac { \zeta } { 2 n ^ { 2 } } \left( 4 S ^ { 2 } - n ^ { 2 } ( 4 - 3 \beta S ) - 4 S ( S + n ^ { 2 } \beta ) \cos ( k _ { z } \Delta z ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \pi \mathbf { u } ) = \pi \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) } & { { } \quad \Leftrightarrow \quad F _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { - 1 } ( \pi F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) ) = \pi F _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { - 1 } ( F _ { \hat { \mathcal { G } } } ( \mathbf { z } ) ) } \end{array}
L ( D , { \boldsymbol { \beta } } ) = \left\| Y - X { \boldsymbol { \beta } } \right\| ^ { 2 } = ( Y - X { \boldsymbol { \beta } } ) ^ { \mathsf { T } } ( Y - X { \boldsymbol { \beta } } ) = Y ^ { \mathsf { T } } Y - Y ^ { \mathsf { T } } X { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \beta } } ^ { \mathsf { T } } X ^ { \mathsf { T } } Y + { \boldsymbol { \beta } } ^ { \mathsf { T } } X ^ { \mathsf { T } } X { \boldsymbol { \beta } }
\int _ { \mathcal T _ { k } } \mathbf { F } \left( \mathbf { u } _ { h } ( \mathbf { x } ) \right) { \psi } _ { i } ( \mathbf { x } ) \ \mathrm { d } \mathbf { x } \approx \sum _ { i = j } ^ { N _ { q } } w _ { j } \mathbf { F } \left( \mathbf { u } _ { h } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { q } ) \right) { \psi } _ { i } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { q } ) ,
\Gamma ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 4 } } \delta ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \delta ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) \frac { 1 } { ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ^ { 4 } } + { \mathrm 2 ~ p e r m s . }
L ^ { 2 } \leq L _ { 0 } ^ { 2 } \exp ( - k _ { 1 } K _ { M } ( t - t _ { 0 } ) ) + \frac 1 2 \varepsilon _ { S S l } ^ { 2 } \varepsilon _ { M M } ^ { 2 } \left( 1 - \exp ( - k _ { 1 } K _ { M } ( t - t _ { 0 } ) ) \right) .
\langle T _ { i } ^ { k } \rangle _ { D } ^ { ( 1 b ) } ( \xi _ { 2 } , \xi ) = \frac { \zeta } { 2 \pi \xi ^ { 2 } \ln ( \xi / \xi _ { 2 } ) } { \mathrm { d i a g } } ( 1 + 1 / \ln ( \xi / \xi _ { 2 } ) , - 1 ) .
Z _ { 0 } [ j , { \bar { \varepsilon } } , \varepsilon ] = \exp \left( - \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \ \mathrm { d } ^ { 4 } y \ { \bar { \varepsilon } } ^ { a } ( x ) \ C ^ { a b } ( x - y ) \ \varepsilon ^ { b } ( y ) \right) \exp \left( { \frac { 1 } { 2 } } \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \ \mathrm { d } ^ { 4 } y \ j _ { \mu } ^ { a } ( x ) \ D ^ { a b \mu \nu } ( x - y ) \ j _ { \nu } ^ { b } ( y ) \right)
\left( \prod _ { i } \int d \theta _ { i } ^ { * } d \theta _ { i } \right) e ^ { - \theta _ { i } ^ { * } B _ { i j } \theta _ { j } } = \left( \prod _ { i } \int d \theta _ { i } ^ { * } d \theta _ { i } \right) e ^ { - \theta _ { i } ^ { * } b _ { i } \theta _ { i } } = \prod _ { i } b _ { i } = \operatorname* { d e t } B .
{ { 2 } \times 1 0 ^ { - 7 } { \frac { \mathrm { { N } } } { m } } } = { \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } } { \frac { ( 1 \ \mathrm { { A ) ^ { 2 } } } } { { 1 } \ \mathrm { { m } } } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tau _ { R } = } & { { } I m \left[ \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } \right] - \sum _ { z _ { \ell } } I m \left[ \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } \right] } \\ { \tau _ { I } = - } & { { } R e \left[ \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } \right] + \sum _ { z _ { \ell } } R e \left[ \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \rho } } & { g ( \rho ) = \frac { q - p } { q \ln ( 2 ) } \frac { 1 - \rho } { \rho } \frac { 1 } { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } } } \\ { + } & { \frac { p } { q \ln ( 2 ) } \left( \frac { ( q - p ) \frac { 2 } { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } } } { 1 + ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } } - \frac { ( q - p ) \frac { 2 } { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } } } { 1 - ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } } \right) \, . } \end{array}
\langle \omega \sb k \omega \sb 1 \omega \sb 2 \rangle = J _ { k 1 2 } h _ { 2 } ( k _ { 1 } ) \Phi ( k ) ( k \sb 1 / k ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } \sb 1 + { \bf k } \sb 2 ) \ .
\begin{array} { r l } { | A _ { * * * l } | _ { \infty } \leq } & { { } \sum _ { a b c d } | B _ { a b c d } | \cdot | C _ { a * } | _ { \infty } \cdot | D _ { b * } | _ { \infty } \cdot | E _ { c * } | _ { \infty } \cdot | F _ { d l } | } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } F _ { 0 E } = - \overline { { \sum _ { \mathbf { k } = \mathbf { k ^ { \prime } } + \mathbf { k ^ { \prime \prime } } } \Lambda _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { k ^ { \prime } } J _ { k ^ { \prime } } \delta L _ { k ^ { \prime } } \delta H _ { k ^ { \prime \prime } } } } , } \end{array}
\Gamma ( B \to X _ { u } \ell \nu ) = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } | V _ { u b } | ^ { 2 } m _ { B } ^ { 5 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } } \left[ 1 - 0 . 9 8 { \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \pi } } - 0 . 4 8 \beta _ { 0 } \left( { \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \pi } } \right) ^ { 2 } - 7 . 1 4 { \frac { \langle s _ { H } \rangle } { m _ { B } ^ { 2 } } } + \dots \right] \, ,
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta } _ { 1 } } & { { } = } & { \Gamma \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) } \\ { \dot { \theta } _ { 2 } } & { { } = } & { \Gamma \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { 2 } \langle \hat { u } _ { 1 } , \hat { u } _ { 2 } \rangle = { \mathcal { T } } _ { 2 } ( \hat { u } _ { 1 } , \hat { v } _ { 2 } , \hat { w } _ { 2 } ) = { \mathcal { T } } _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } , \hat { v } _ { 2 } , \hat { w } _ { 2 } ) - \underbrace { \langle \hat { u } _ { 1 } , \hat { u } _ { 1 } \rangle } _ { = 1 } { \mathcal { T } } _ { 1 } ( \hat { u } _ { 1 } , \hat { v } _ { 2 } , \hat { w } _ { 2 } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( Z _ { t } \geq K ) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left( Z _ { t } \geq K ; | \mathcal { Z } _ { t } - Z _ { t } | \geq \frac 1 2 Z _ { t } \right) + \mathbb { P } \left( Z _ { t } \geq K ; \mathcal { Z } _ { t } \ge \frac 1 2 Z _ { t } \right) } \\ { \leq } & { \mathbb { E } \left[ \mathbf { 1 } _ { \left\{ Z _ { t } \geq K \right\} } \mathbb { P } ( | \mathcal { Z } _ { t } - Z _ { t } | \geq \frac 1 2 Z _ { t } \vert \theta ) \right] + \mathbb { P } \left( \mathcal { Z } _ { t } \geq \frac 1 2 K \right) } \\ { \leq } & { \mathbb { E } \left[ \frac { 4 } { Z _ { t } } \mathbf { 1 } _ { \left\{ Z _ { t } \geq K \right\} } \right] + \mathbb { P } \left( \mathcal { Z } _ { t } \geq \frac 1 2 K \right) } \\ { \leq } & { \frac { 4 } { K } + \mathbb { P } \left( \theta _ { t } ( \mathbb { R } _ { + } ) \geq \frac 1 2 K \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { m } a _ { k } { \frac { [ \Gamma ( m + 1 ) ] ^ { 2 } } { \Gamma ( m + 1 - k ) \, \Gamma ( m + 1 + k ) } } = \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \left[ a _ { 0 } + a _ { 1 } { \frac { m } { m + 1 } } + a _ { 2 } { \frac { m ( m - 1 ) } { ( m + 1 ) ( m + 2 ) } } + \cdots \right] = s ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n _ { s } } } & { { } = 0 } \\ { \boldsymbol { \sigma \cdot n _ { s } } } & { { } = - \frac { 1 } { \beta } \left( \begin{array} { l l } { \eta _ { e } } & { - \eta _ { o } } \\ { \eta _ { o } } & { \eta _ { e } } \end{array} \right) ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) \boldsymbol { t _ { s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { a c } } ( \mathrm { o u t } ) } & { = \tau \, \phi _ { \mathrm { a c } } ( \mathrm { i n } ) - \beta ^ { * } \phi _ { \mathrm { m a g } } ( \mathrm { i n } ) , } \\ { \phi _ { \mathrm { m a g } } ( \mathrm { o u t } ) } & { = \tau \, \phi _ { \mathrm { m a g } } ( \mathrm { i n } ) + \beta \, \phi _ { \mathrm { a c } } ( \mathrm { i n } ) . } \end{array}
P = { \left( \begin{array} { l l l } { | } & { } & { | } \\ { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \\ { | } & { } & { | } \end{array} \right) } \equiv { \left( \begin{array} { l l l } { ( \mathbf { v } _ { 1 } ) _ { 1 } } & { \cdots } & { ( \mathbf { v } _ { n } ) _ { 1 } } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { ( \mathbf { v } _ { 1 } ) _ { n } } & { \cdots } & { ( \mathbf { v } _ { n } ) _ { n } } \end{array} \right) }
D _ { a } \approx \frac { \Delta x } { 2 \, c } \cdot \beta = \frac { \Delta t _ { L } } { 2 } \cdot \beta \qquad \mathrm { a n d } \qquad D _ { r } \approx \frac { 1 } { \, 2 \, } \cdot \beta ^ { 2 }
{ \frac { m _ { 1 } u _ { 1 } + m _ { 2 } u _ { 1 } - m _ { 1 } u _ { 1 } - m _ { 2 } u _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } = { \frac { m _ { 2 } ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { x ^ { n } } & { { } = \left( b ^ { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { n } = \underbrace { b ^ { \frac { 1 } { n } } \times b ^ { \frac { 1 } { n } } \times \cdots \times b ^ { \frac { 1 } { n } } } _ { n \, { \textrm { t i m e s } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( S , V ) } & { \geq \int _ { \frac { 1 } { 3 } \sqrt { ( 1 - S ) ( 1 + S ) } } ^ { V } \frac { V - Z } { 2 Z } d Z } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \bigg [ V ( \log Z - 1 ) \bigg ] _ { \frac { 1 } { a } \sqrt { ( 1 - S ) ( 1 + S ) } } ^ { V } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } V \log \frac { 3 V } { \sqrt { ( 1 - S ) ( 1 + S ) } } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 4 } V \log \left( 2 + \frac { V } { \sqrt { ( 1 - S ) ( 1 + S ) } } \right) . } \end{array}
{ \bar { \epsilon } } _ { i j } ( \omega ) = \left( \epsilon + \mathrm { i } \, \frac { { \mathbf { k } \cdot \mathbf { b } } } { { \omega } ^ { 2 } } \right) { \delta } _ { i j } - \frac { \mathrm { i } } { { \omega } ^ { 2 } } \, k _ { i } \, b _ { j } \; .
n _ { L } = \left( \begin{array} { c } { { \displaystyle \nu _ { L } ^ { \prime } } } \\ { { \displaystyle ( \nu _ { R } ^ { \prime } ) ^ { C } } } \end{array} \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \nu _ { L } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c } { { \displaystyle \nu _ { e L } } } \\ { { \displaystyle \nu _ { { \mu } L } } } \\ { { \displaystyle \nu _ { { \tau } L } } } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \nu _ { R } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c } { { \displaystyle \nu _ { e R } } } \\ { { \displaystyle \nu _ { { \mu } R } } } \\ { { \displaystyle \nu _ { { \tau } R } } } \end{array} \right) \, ,
H = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { \Omega _ { b } } { 2 } } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { b } } { 2 } } & { - \Delta } & { \frac { \Omega _ { r } } { 2 } } \\ { 0 } & { \frac { \Omega _ { r } } { 2 } } & { - \delta } \end{array} \right) ,
( \delta g _ { i j } ) ^ { \Vert } = ( 1 - \tilde { G } ) _ { i j } { } ^ { k l } \delta g _ { k l } = \frac { 1 } { d - 1 } g _ { i j } \ \delta \log \operatorname * { d e t } g \equiv 2 g _ { i j } \ \delta \tilde { \lambda }
\Delta M ^ { d i a g } = \left( \begin{array} { c c c } { { \delta } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \rho } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \epsilon } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~
\textbf { B } ( x , y , s ) = \nabla \times \textbf { A } ( x , y , s ) = \left[ \begin{array} { l } { \frac { \partial A _ { s } } { \partial y } - \frac { 1 } { 1 + \frac { x } { \rho } } \frac { \partial A _ { y } } { \partial s } } \\ { \frac { 1 } { 1 + \frac { x } { \rho } } \frac { \partial A _ { x } } { \partial s } - \frac { \partial A _ { s } } { \partial x } - \frac { A _ { s } } { \rho + x } } \\ { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } \end{array} \right] \overset { \overset { \mathrm { g a u g e } } { A _ { x } = A _ { y } = 0 } } { = } \left[ \begin{array} { l } { \frac { \partial A _ { s } } { \partial y } } \\ { - \frac { \partial A _ { s } } { \partial x } - \frac { A _ { s } } { \rho + x } } \\ { 0 } \end{array} \right] \; .
\Delta \theta _ { \mathrm { B B } } = - \frac { 2 \pi \alpha _ { b } } { K ( m ) } \in ( - 2 \pi , 0 ] , \quad \Delta \theta _ { \mathrm { D B } } = \frac { 2 \pi \alpha _ { d } } { K ( m ) } \in [ 0 , 2 \pi ) .
\begin{array} { r } { \widehat { \mathcal { K } } \mathbf { g } _ { i } = \langle \left[ \nu _ { 1 } , \ldots , \nu _ { r } \right] , \left[ \mathbf { g } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { g } _ { r } \right] \rangle , \; \forall \mathbf { g } _ { i } \in \widehat { \mathcal { G } } , } \end{array}
\Sigma ^ { x , \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) = - \sum _ { i } ^ { o c c } \Psi _ { i \sigma } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { i \sigma } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) v ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } \{ \mathcal { T } \} = } & { { } \frac { H ^ { 4 } - z _ { 0 } ^ { 4 } } { 6 D ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 } \frac { K \left( H ^ { 3 } - z _ { 0 } ^ { 3 } \right) } { D ^ { 2 } } } \end{array}
\mathbf { M } \ddot { \mathbf { x } } = \mathbf { F } ( \mathbf { x } ) \dot { \mathbf { x } } \quad \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ s ~ k ~ e ~ w ~ - ~ s ~ y ~ m ~ m ~ e ~ t ~ r ~ i ~ c ~ } \ \mathbf { F } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - E ^ { \top } } \\ { E } & { - \widehat { B } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } & { : = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } u _ { \mathrm { o u t } } ( t ) e ^ { i \omega t } d t } \\ & { = \sqrt { 2 \pi } e ^ { i \omega t _ { 0 } } \Bigg \{ \frac { \tau } { \sqrt { 1 + 2 i \Lambda \tau ^ { 2 } } } \; e ^ { - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \frac { \tau ^ { 2 } } { 1 + 2 i \Lambda \tau ^ { 2 } } ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } } e ^ { - i \varphi } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad + \frac { \tau } { \sqrt { 1 - 2 i \Lambda \tau ^ { 2 } } } \; e ^ { - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \frac { \tau ^ { 2 } } { 1 - 2 i \Lambda \tau ^ { 2 } } ( \omega + \Omega ) ^ { 2 } } e ^ { + i \varphi } \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { l o s s } } \rightarrow \infty } P _ { \mathrm { l o s s } } \left( U _ { \eta } = r _ { 1 } \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { l o s s } } \rightarrow \infty } \frac { \exp \left( - \beta _ { \mathrm { l o s s } } r _ { 1 } \right) } { Z _ { \mathrm { l o s s } } } , } \\ & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { T r S e g 1 } } } & { { } = \phi _ { \mathrm { C C _ { 1 } } } + \phi _ { \mathrm { C _ { 1 } D } } + \phi _ { \mathrm { D D _ { 1 } } } = 3 \times \phi _ { \mathrm { s e c t } } } \\ { \phi _ { \mathrm { T r S e g 3 } } } & { { } = \phi _ { \mathrm { P P _ { 1 } } } + \phi _ { \mathrm { P _ { 1 } Q } } + \phi _ { \mathrm { Q Q _ { 1 } } } = 3 \times \phi _ { \mathrm { s e c t } } } \end{array}
Y = \frac { 1 } { 5 } X _ { 1 } + \frac { 1 } { 5 } X _ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } X _ { 3 } + \frac { 1 } { 5 } X _ { 4 } + \frac { 1 } { 5 } X _ { 5 }
\begin{array} { r l } { A _ { j } ^ { * n } = \{ f \in A ^ { n } ( \Gamma ; M ) \colon f ( \gamma _ { 1 } , \cdots , \gamma _ { n } ) } & { \mathrm { ~ d e p e n d s ~ o n l y ~ o n ~ } } \\ & { \gamma _ { 1 } , \cdots , \gamma _ { n - j } \in \Gamma \mathrm { ~ a n d ~ } p ( \gamma _ { n - j + 1 } ) , \cdots , p ( \gamma _ { n } ) \in G \} . } \end{array}
\sigma + \left( { \frac { \eta _ { 1 } } { E _ { 1 } } } + { \frac { \eta _ { 2 } } { E _ { 1 } } } + { \frac { \eta _ { 2 } } { E _ { 2 } } } \right) { \dot { \sigma } } + { \frac { \eta _ { 1 } \eta _ { 2 } } { E _ { 1 } E _ { 2 } } } { \ddot { \sigma } } = \eta _ { 2 } { \dot { \varepsilon } } + { \frac { \eta _ { 1 } \eta _ { 2 } } { E _ { 1 } } } { \ddot { \varepsilon } }