harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tau _ { i j } ^ { T R * } = \tau _ { i } ^ { T R * } = \tau _ { j } ^ { T R * } = \eta _ { i } \eta _ { j } \frac { 1 + \sqrt { \nu _ { i } / \nu _ { j } } } { \eta _ { i } + \eta _ { j } \sqrt { \nu _ { i } / \nu _ { j } } } \frac { U _ { j } ^ { T } - U _ { i } ^ { T } } { | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } .
\begin{array} { r l r } { M _ { 4 , x x x x } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } v _ { i x } ^ { 4 } } = \rho \left( 3 R ^ { 2 } T ^ { 2 } + 6 R T u _ { x } ^ { 2 } + u _ { x } ^ { 4 } \right) , } \\ { M _ { 4 , y y y y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } v _ { i y } ^ { 4 } } = \rho \left( 3 R ^ { 2 } T ^ { 2 } + 6 R T u _ { y } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 4 } \right) , } \\ { M _ { 4 , x x x y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } v _ { i x } ^ { 3 } v _ { i y } } = \rho u _ { x } u _ { y } \left( 3 R T + u _ { x } ^ { 2 } \right) , } \\ { M _ { 4 , x y y y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } v _ { i x } v _ { i y } ^ { 3 } } = \rho u _ { x } u _ { y } \left( 3 R T + u _ { y } ^ { 2 } \right) , } \\ { M _ { 4 , x x y y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } v _ { i x } ^ { 2 } v _ { i y } ^ { 2 } } = \rho \left( R T + u _ { x } ^ { 2 } \right) \left( R T + u _ { y } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ k _ { r } ^ { ( a ) } , k _ { s } ^ { ( b ) } \right] = \left[ l _ { r } ^ { ( a ) } , l _ { s } ^ { ( b ) } \right] = \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , l _ { s } ^ { ( b ) } \right] = \left[ k _ { r } ^ { ( a ) } , l _ { 0 } ^ { ( b ) } \right] = 0 , } \\ & { \left[ k _ { r \neq 0 } ^ { ( a ) } , l _ { s } ^ { ( b ) } \right] = \delta _ { r + s , 0 } \frac { 1 } { r } \frac { 1 } { 1 - q ^ { r } } \left( C ^ { - r } - C ^ { r } \right) H _ { 2 } ^ { - r M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { r A _ { a b } } - q ^ { r } H _ { 1 } ^ { - r A _ { a b } } \right) , } \\ & { \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - A _ { a b } e _ { n } ^ { ( b ) } , \quad \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = A _ { a b } f _ { n } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ l _ { 0 } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = A _ { a b } e _ { n } ^ { ( b ) } , \quad \left[ l _ { 0 } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - A _ { a b } f _ { n } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ k _ { r \neq 0 } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \frac { 1 } { r } \frac { 1 } { 1 - q ^ { r } } C ^ { - r / 2 } H _ { 2 } ^ { - r M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { r A _ { a b } } - H _ { 1 } ^ { - r A _ { a b } } \right) e _ { n + r } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ k _ { r \neq 0 } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - \frac { 1 } { r } \frac { 1 } { 1 - q ^ { r } } C ^ { r / 2 } H _ { 2 } ^ { - r M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { r A _ { a b } } - H _ { 1 } ^ { - r A _ { a b } } \right) f _ { n + r } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ l _ { r \neq 0 } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \frac { 1 } { r } \frac { 1 } { 1 - q ^ { r } } C ^ { - r / 2 } H _ { 2 } ^ { - r M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { r A _ { a b } } - H _ { 1 } ^ { - r A _ { a b } } \right) e _ { n - r } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ l _ { r \neq 0 } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - \frac { 1 } { r } \frac { 1 } { 1 - q ^ { r } } C ^ { r / 2 } H _ { 2 } ^ { - r M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { r A _ { a b } } - H _ { 1 } ^ { - r A _ { a b } } \right) f _ { n - r } ^ { ( b ) } . } \end{array}
- { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } l _ { \gamma } } } \int d s \sqrt { \overline { { y } } ^ { \prime \, 2 } ( s ) } { \frac { \delta ^ { 2 } \Psi [ \, \sigma ^ { \mu \nu } \ ; A ] } { \delta \sigma ^ { \mu \nu } ( s ) \sigma _ { \mu \nu } ( s ) } } = i { \frac { \partial } { \partial A } } \Psi [ \, \sigma ^ { \mu \nu } \ ; A ]
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi ( \textbf { r } , t ) } { \partial t } = } & { { } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } - i \hbar \frac { \gamma } { 2 } + g | \psi ( \textbf { r } , t ) | ^ { 2 } + V ( \textbf { r } ) \right] \psi ( \textbf { r } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in [ - \pi , \pi ] ^ { d } } \left\| \mathbb E \hat { f } _ { n } ( \theta ) - f ( \theta ) \right\| _ { \mathrm { H S } } } & { \leq B _ { 1 } ( \Delta _ { n } ) + B _ { 2 } ( \Delta _ { n } ) } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in [ - \pi , \pi ] ^ { d } } \mathbb E \left\| \hat { f } _ { n } ( \theta ) - \mathbb E [ \hat { f } _ { n } ( \theta ) ] \right\| _ { \mathrm { H S } } ^ { 2 } } & { = { \cal O } \left( \frac { \Delta _ { n } ^ { d } } { { | \mathbb T _ { n } | } } \right) , } \end{array}
a _ { m } \mathbf { ( R _ { n } , r ) } = { \frac { 1 } { \sqrt { N } } } \sum _ { \mathbf { k } } { e ^ { \mathbf { - i k \cdot R _ { n } } } \psi _ { m } \mathbf { ( k , r ) } } = { \frac { 1 } { \sqrt { N } } } \sum _ { \mathbf { k } } { e ^ { \mathbf { i k \cdot ( r - R _ { n } ) } } u _ { m } \mathbf { ( k , r ) } } .
\begin{array} { r l } { E ( x _ { 2 } ) } & { { } = \gamma \cos { \theta _ { \mathrm { L G } } } + \gamma _ { \mathrm { b l } } \cos { \theta _ { \mathrm { B L } } } + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { w r } } } ) } \\ { E ( x _ { 3 } ) } & { { } = [ \gamma + \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } , \zeta _ { \mathrm { w r } } ) ] \cos \theta _ { \mathrm { B G } } + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { w r } } } ) . } \end{array}
\arg \operatorname* { m i n } _ { s } f \left( s \right) = \arg \operatorname* { m i n } _ { s } \frac { 1 } { 2 } \left\| A \operatorname { d i a g } \left( s \right) { B } ^ { T } - C \right\| _ { F } ^ { 2 } = \arg \operatorname* { m i n } _ { s } \frac { 1 } { 2 } \left\| \sum _ { i } { s } _ { i } { a } _ { i } { b } _ { i } ^ { T } - C \right\| _ { F } ^ { 2 }
k _ { e h r } = \left[ \frac { 1 } { A } \sum _ { i = 1 } ^ { N } k _ { s _ { i } } ^ { n } A _ { i } \right] ^ { \frac { 1 } { n } } \quad \mathrm { w h e r e } \quad A = \sum _ { i = 1 } ^ { N } A _ { i }
+ \frac { x ^ { 2 } y ^ { 1 } z ^ { 5 } } { 2 ^ { a } 1 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 5 } } { 2 ^ { a } 2 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 2 ^ { a } 3 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 2 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } } { 2 ^ { a } 4 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 2 } y ^ { 5 } z ^ { 5 } } { 2 ^ { a } 5 ^ { b } 5 ^ { c } }
\frac { d } { d t } \left( \frac { s _ { v , \mathrm { r e l } } } { n } \right) = k _ { B } \left( \frac { T _ { \parallel } - T _ { \perp } } { 2 T _ { \perp } + T _ { \parallel } } \right) \left( - \nabla _ { \perp } \cdot { \bf u } _ { \perp } + 2 \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } \right) ,
\begin{array} { r l } { C _ { k } } & { = \sqrt { \sum _ { q = - 1 } ^ { + 1 } \left| \langle \Downarrow ; u _ { q } ^ { ( k ) } | V _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } | \Uparrow ; \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \right| ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { \sum _ { q = - 1 } ^ { + 1 } \left| \langle \Downarrow | \hat { D } _ { - 1 } | \Uparrow \rangle \langle u _ { q } ^ { ( k ) } | \hat { d } _ { q } ^ { ( k ) } | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle v _ { - 1 ; q } ^ { ( k ) } \right| ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { \sum _ { q = - 1 } ^ { + 1 } \left| - \mu _ { \Updownarrow } \mu _ { \updownarrow } v _ { - 1 ; q } ^ { ( k ) } \right| ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { | \mu _ { \Updownarrow } | | \mu _ { \updownarrow } | } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } \sqrt { \frac { 5 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { k } } { 2 } } , } \end{array}
T \geq \int d ^ { 2 } x \left\{ \pm \frac { 1 } { 2 } q a ^ { 2 } B \right\} = \pm \frac { 1 } { 2 } q a ^ { 2 } \Phi \, , \, \, \, \textrm { w h e r e } \, \, \, \Phi \equiv \int d ^ { 2 } x B = - \oint d l _ { i } A _ { i }
\langle F _ { \mu } ^ { i } [ \xi | s ] F _ { \mu ^ { \prime } } ^ { i ^ { \prime } } [ \xi ^ { \prime } | s ^ { \prime } ] \rangle = - { \frac { 3 i } { 4 a _ { \xi ^ { \prime } } ( s ^ { \prime } ) } } \delta ^ { i i ^ { \prime } } g _ { \mu \mu ^ { \prime } } \, \delta ( s - s ^ { \prime } ) \prod _ { \bar { s } = 0 } ^ { 2 \pi } \, \delta ^ { 4 } ( \xi ( \bar { s } ) - \xi ^ { \prime } ( \bar { s } ) ) ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { T - 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 0 \right) } & { { } = \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { T - 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { T - 1 } { \nu } _ { k i } ^ { T - 1 } } p \left( O _ { i } ^ { T - 1 } \mid 0 \right) + \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { T - 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { T - 1 } { \nu } _ { k i } ^ { T - 1 } } \right) p \left( O _ { i } ^ { T - 1 } \mid 0 \right) } \\ { \rho _ { T - 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( 1 \right) } & { { } = e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { T - 1 } \mu _ { k \setminus i } ^ { T - 1 } } p \left( O _ { i } ^ { T - 1 } \mid 1 \right) } \end{array}
{ \cal G } ( R ) = { \cal G } ( 0 ) F \left( - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \alpha } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } , \frac { R ^ { 2 } } { 8 } \right) \exp { \Biggl [ - \frac { R ^ { 2 } } { 8 } \Biggr ] } , ~ ~ ~ { \cal G } ( 0 ) = 4 \pi k _ { \sigma } ^ { 4 } \left( \frac { k } { k _ { \sigma } } \right) ^ { \alpha } 2 ^ { - 3 - \frac { \alpha } { 2 } } \Gamma \left( 2 + \frac { \alpha } { 2 } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| \begin{array} { l l l l } { g _ { 0 } ( 0 ) } & { g _ { 1 } ( 0 ) } & { \cdots } & { g _ { n } ( 0 ) } \\ { \beta _ { 0 } g _ { 0 } ( 0 ) } & { \beta _ { 1 } g _ { 1 } ( 0 ) } & { \cdots } & { \beta _ { n } g _ { n } ( 0 ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { \beta _ { 0 } ( \beta _ { 0 } - 1 ) \cdots ( \beta _ { 0 } - k + 1 ) g _ { 0 } ( 0 ) } & { \beta _ { 1 } \cdots ( \beta _ { 1 } - k + 1 ) g _ { 1 } ( 0 ) } & { \cdots } & { \beta _ { n } \cdots ( \beta _ { n } - k + 1 ) g _ { n } ( 0 ) } \end{array} \right| } \\ & { = } & { g _ { 0 } ( 0 ) g _ { 1 } ( 0 ) \cdots g _ { n } ( 0 ) \left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { \beta _ { 0 } } & { \beta _ { 1 } } & { \cdots } & { \beta _ { n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \beta _ { 0 } ^ { n } } & { \beta _ { 1 } ^ { n } } & { \cdots } & { \beta _ { n } ^ { n } } \end{array} \right| = \prod _ { i = 0 } ^ { n } g _ { i } ( 0 ) \cdot \prod _ { 0 \le i < j \le n } ( \beta _ { i } - \beta _ { j } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 1 - k r ^ { 2 } } d r \otimes d r + r ^ { 2 } \left( d \theta \otimes d \theta + \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi \otimes d \varphi \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { S p h e r e } } & { \mathrm { ~ i f ~ } k = 1 , } \\ { \mathrm { E u c l i d e a n ~ s p a c e } } & { \mathrm { ~ i f ~ } k = 0 , } \\ { \mathrm { H y p e r b o l i c ~ s p a c e ~ } } & { \mathrm { ~ i f ~ } k = - 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 1 } } & { { } = Z _ { T } \left( \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } + 1 \right) = \frac { 3 Z _ { T } } { 2 } \, , } \\ { \alpha _ { 2 2 } } & { { } = Z _ { T } \left( \frac { 3 } { 4 } + \frac { 3 } { 4 } + 0 \right) = \alpha _ { 1 1 } \, , } \\ { \beta _ { 1 1 1 1 } } & { { } = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \left( \frac { 1 } { 1 6 } + \frac { 1 } { 1 6 } + 1 \right) = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \frac { 9 } { 8 } \, , } \\ { \beta _ { 2 2 2 2 } } & { { } = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \left( \frac { 9 } { 1 6 } + \frac { 9 } { 1 6 } + 0 \right) = \beta _ { 1 1 1 1 } \, , } \\ { \beta _ { 1 1 2 2 } } & { { } = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \left( \frac { 3 } { 1 6 } + \frac { 3 } { 1 6 } + 0 \right) = \frac { 1 } { 3 } \beta _ { 1 1 1 1 } \, , } \end{array}
t _ { \ell } ^ { \dagger } : = t _ { S S l } ( 1 - \varepsilon _ { S S l } ) \left( \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \log \left( \frac { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } { k _ { 2 } } \right) \right)
V ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } = V ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ i ~ o ~ r ~ } } + V ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ c ~ e ~ s ~ } } + V ^ { \mathrm { ~ e ~ d ~ g ~ e ~ s ~ } } + V ^ { \mathrm { ~ v ~ e ~ r ~ t ~ i ~ c ~ e ~ s ~ } } .
\begin{array} { r l } & { D ( \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) } \\ & { \le \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } } D ( ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) } \\ & { \le \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } } D ( ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ) + \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } } D ( \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) + \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } } D ( \hat { W } _ { j } ^ { k } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) . } \end{array}
\sum _ { \mu \in \Lambda } \gamma _ { \mu } \langle \mu | : e ^ { B _ { 1 } ( z ) } : e ^ { A _ { 1 } ( z ) } | \chi \rangle V _ { 0 } ( \psi , z ) = V _ { 1 } ( \psi , w - z ) \sum _ { \mu \in \Lambda } \gamma _ { \mu } \langle \mu | : e ^ { B _ { 1 } ( z ) } : e ^ { A _ { 1 } ( z ) } | \chi \rangle \, ,
\Gamma _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) \left[ \Delta q ( Q ^ { 2 } ) + \Delta \bar { q } ( Q ^ { 2 } ) \right]
\left( \begin{array} { l l l } { { e ^ { i \theta } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { U } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { - i \theta } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { J _ { l f } ^ { p } } & { { } = - 3 \mu \partial _ { t } \int d \Omega \frac { p _ { \bot } } { 2 m c } \sin \theta _ { s } \Big ( \cos \varphi _ { s } \sin \varphi _ { p } } \\ { J _ { l f } ^ { f } } & { { } = q \int d \Omega \frac { p _ { z } } { m } f _ { l f } } \end{array}
\tilde { J } = \frac { 6 4 } { 3 } \frac { 1 } { ( { \cal V } _ { 2 , 2 } ^ { ( 1 ) } + { \cal V } _ { 2 , 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } \, \frac { { \cal V } _ { 2 , 2 } ^ { ( 2 ) } } { { \cal V } _ { 2 , 1 } ^ { ( 1 ) } } .
\begin{array} { r l r } { g _ { x } } & { = } & { g _ { x 0 } \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, , } \\ { g _ { y } } & { = } & { - \frac { q _ { k } m _ { k } \nu _ { k e } E } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } B ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \left( g _ { y 0 } + \frac { q _ { k } m _ { k } \nu _ { k e } E } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } B ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \cos \left( \frac { q _ { k } B } { m _ { k } } t \right) } \\ & { } & { + \left( g _ { z 0 } - \frac { q _ { k } ^ { 2 } E B } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } B ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \sin \left( \frac { q _ { k } B } { m _ { k } } t \right) \, , } \\ { g _ { z } } & { = } & { \frac { q _ { k } ^ { 2 } E B } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } B ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \left( g _ { z 0 } - \frac { q _ { k } ^ { 2 } E B } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } B ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \cos \left( \frac { q _ { k } B } { m _ { k } } t \right) } \\ & { } & { - \left( g _ { y 0 } + \frac { q _ { k } m _ { k } \nu _ { k e } E } { m _ { k } ^ { 2 } \nu _ { k e } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } B ^ { 2 } } \right) \, e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \sin \left( \frac { q _ { k } B } { m _ { k } } t \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \sum _ { \boldsymbol { X } , \boldsymbol { Y } } \int d \boldsymbol { H } P \left[ \boldsymbol { Y } | \boldsymbol { H } \right] \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } + ( 1 - x _ { i } ^ { t } ) y _ { i } ^ { t } } \delta \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) \right] \right\} } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \sum _ { y _ { i } ^ { t } = 0 , 1 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d h _ { i } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \hat { x } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - x _ { i } ^ { t } - ( 1 - x _ { i } ^ { t } ) y _ { i } ^ { t } \right) } \left[ 1 - e ^ { h _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] ^ { y _ { i } ^ { t } } \left[ e ^ { h _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] ^ { \left( 1 - y _ { i } ^ { t } \right) } \right. \right. } \\ & { \qquad \times \left. \left. \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \hat { h } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) } \right] \right\} } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \sum _ { y _ { i } ^ { t } = 0 , 1 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d h _ { i } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \hat { x } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - x _ { i } ^ { t } \right) } e ^ { - \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } ( 1 - x _ { i } ^ { t } ) y _ { i } ^ { t } } \left[ 1 - e ^ { h _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] ^ { y _ { i } ^ { t } } \left[ e ^ { h _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] ^ { \left( 1 - y _ { i } ^ { t } \right) } \right. \right. } \\ & { \qquad \times \left. \left. \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \hat { h } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) } \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathtt { S o l } _ { \mathcal { N } } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) : = \{ g \in \mathcal { F } _ { \mathcal { N } } | \; \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ^ { \alpha \beta } ( g ) = 0 , \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \alpha \beta } ( g ) = 0 \} , } \\ & { \mathtt { S o l } _ { \mathcal { D } } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) : = \{ g \in \mathcal { F } _ { \mathcal { D } } | \; \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ^ { \alpha \beta } ( g ) = 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { 1 ^ { s t } \ \mathrm { f a m i l y : } } } & { { X = - 4 } } \\ { { 2 ^ { n d } \ \mathrm { f a m i l y : } } } & { { X = + 1 } } \\ { { 3 ^ { r d } \ \mathrm { f a m i l y : } } } & { { X = 0 } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { { } = \frac { d _ { 5 } \log ( x ) } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } - \frac { d _ { 4 } \left( \kappa _ { 3 } ^ { 2 } - \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } \right) \log \left( x z _ { 2 } + z _ { 1 } \right) } { d _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R ^ { ( 0 ) } = \left( C ^ { - 1 } \otimes D ^ { - 1 } \right) \left( D ^ { - 1 } \otimes C ^ { - 1 } \right) \prod _ { a } \left( \psi _ { + , 0 } ^ { ( a ) } \otimes \left( D ^ { ( a ) } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \left( D ^ { ( a ) } \right) ^ { - 1 } \otimes \psi _ { + , 0 } ^ { ( a ) } \right) , } \\ & { R ^ { ( 1 ) } = \mathrm { e x p } \left( \sum _ { r \geq 1 } r \sum _ { a } k _ { r } ^ { ( a ) } \otimes k _ { - r } ^ { ( a ) } \right) , \quad R ^ { ( 2 ) } = 1 \otimes 1 + \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \sum _ { a } e _ { n } ^ { ( a ) } \otimes f _ { - n } ^ { ( a ) } + \dots , } \end{array}
\Gamma \, = \, \frac { 1 } { N } [ ( \omega _ { [ 6 ] } \, + \, \omega _ { [ 2 ] } ) \, \otimes \, \sigma _ { 2 } \, + \, ( \omega _ { [ 4 ] } \, + \, \omega _ { [ 0 ] } ) \, \otimes \, \sigma _ { 3 } ]
\frac { d E } { d x } = \frac { Z } { A } \frac { K q ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } \rho } \left[ 0 . 5 \, \ln \left( 2 m _ { e } \beta ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \frac { T _ { m a x } } { I ^ { 2 } } \right) - \beta ^ { 2 } \right] \, .
\begin{array} { r l } { \dim H ^ { 0 } ( B , T _ { \mathcal { Z } / B } | _ { C } ( - q _ { 1 } - \ldots - q _ { m } ) ) = - K } & { _ { \mathcal { Z } / B } \cdot C + ( \dim \mathcal { Z } - 1 ) ( 1 - g ( B ) ) - m ( \dim ( \mathcal { Z } ) - 1 ) } \\ & { + \dim H ^ { 1 } ( C , T _ { \mathcal { Z } / B } | _ { C } ( - q _ { 1 } - \ldots - q _ { m } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma \neq \sigma _ { 0 } ) } & { = \sum _ { \sigma ^ { \prime } \neq \sigma _ { 0 } } \mathcal { H } _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \Psi _ { \varepsilon } ( \sigma ^ { \prime } ) } { \Psi _ { \varepsilon } ( \sigma ) } + \mathcal { H } _ { \sigma \sigma _ { 0 } } \frac { \Psi _ { \varepsilon } ( \sigma _ { 0 } ) } { \Psi _ { \varepsilon } ( \sigma ) } = \sum _ { \sigma ^ { \prime } \neq \sigma _ { 0 } } \mathcal { H } _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } + \mathcal { H } _ { \sigma \sigma _ { 0 } } \sqrt { \frac { \alpha } { \varepsilon } } \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \mathcal { H } _ { \sigma \sigma _ { 0 } } \sqrt { \frac { \alpha } { \varepsilon } } , } \\ { E _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma _ { 0 } ) } & { = \sum _ { \sigma ^ { \prime } \neq \sigma _ { 0 } } \mathcal { H } _ { \sigma _ { 0 } \sigma ^ { \prime } } \frac { \Psi _ { \varepsilon } ( \sigma ^ { \prime } ) } { \Psi _ { \varepsilon } ( \sigma _ { 0 } ) } + \mathcal { H } _ { \sigma _ { 0 } \sigma _ { 0 } } \frac { \Psi _ { \varepsilon } ( \sigma _ { 0 } ) } { \Psi _ { \varepsilon } ( \sigma _ { 0 } ) } = \sum _ { \sigma ^ { \prime } \neq \sigma _ { 0 } } \mathcal { H } _ { \sigma _ { 0 } \sigma ^ { \prime } } \sqrt { \frac { \varepsilon } { \alpha } } + \mathcal { H } _ { \sigma _ { 0 } \sigma _ { 0 } } \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \mathcal { H } _ { \sigma _ { 0 } \sigma _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { S \in \dot { \mathcal { R } } } \frac { 1 } { \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( S ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \right] } \leq \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( \widetilde { \psi } _ { P } ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \times { \boldsymbol { \alpha } } ) ] + { \boldsymbol { \omega } } \times - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \times { \boldsymbol { \omega } } ) ] } \\ & { = \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta r _ { i } ] ^ { 2 } \right) { \boldsymbol { \alpha } } + { \boldsymbol { \omega } } \times \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta r _ { i } ] ^ { 2 } \right) { \boldsymbol { \omega } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C _ { r } ( \eta _ { 3 } , h ) } & { : = A _ { r } ( \eta _ { 3 } , h ^ { r } ) h ^ { 2 r / R - r / ( 2 R - 2 ) } ( h - 1 ) \left( \frac { ( r - 1 ) ! } { 2 \pi } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 R - 2 } } , } \\ { D _ { r } ( \eta _ { 3 } , h ) } & { : = B _ { r } ( \eta _ { 3 } ) h ^ { r / ( 2 R - 2 ) } ( h - 1 ) ^ { 1 - 2 / R } \left( \frac { 2 \pi } { ( r - 1 ) ! } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 R - 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { 2 } = - \langle u ^ { d } \cdot \nabla \phi _ { 1 } + \gamma \lambda [ f ^ { \prime } ( \phi _ { 1 } ) - f ^ { \prime } ( \phi _ { 2 } ) ] + \frac { \gamma } { 2 } [ \rho ^ { \prime } ( \phi _ { 1 } ) - \rho ^ { \prime } ( \phi _ { 2 } ) ] | u _ { 1 } | ^ { 2 } + \frac { \gamma } { 2 } \rho ^ { \prime } ( \phi _ { 2 } ) ( u _ { 1 } + u _ { 2 } ) \cdot u ^ { d } , \phi ^ { d } \rangle \, , } \end{array}