harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { \perp } D _ { r } ^ { ( 1 ) } - \frac { D _ { r } ^ { ( 1 ) } } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial D _ { \phi } ^ { ( 1 ) } } { \partial \phi } = D _ { r } ^ { ( 1 ) } + 2 \nu g K _ { 1 } ( r ) r \cos ( \phi ) , } \\ & { \Delta _ { \perp } D _ { \phi } ^ { ( 1 ) } - \frac { D _ { \phi } ^ { ( 1 ) } } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial D _ { r } ^ { ( 1 ) } } { \partial \phi } = D _ { \phi } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
W ( \Phi ) = \sum _ { i = 0 } ^ { N } M _ { i } W ( \imath e _ { i } ) + \frac { 1 } { 2 } \alpha \sum _ { l = 0 } ^ { N } s _ { N - l } \sum _ { m = 0 } ^ { l } \mathrm { T r } ( \Psi \Phi _ { 0 } ^ { m } \Psi \Phi _ { 0 } ^ { 2 l - m } ) + { \cal O } ( \Psi ^ { 3 } ) \, .
\frac { \frac { d \Delta E } { d t } _ { c h a r } } { \frac { d \Delta E } { d t } _ { n e u t } } \approx \frac { \pi ^ { 6 } } { 1 8 0 \zeta ( 5 ) } \frac { n } { \mu } e ^ { - \pi \sqrt { n } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \theta _ { k } ) \leftarrow } & { \, \operatorname* { P r } ( \theta _ { k } | \mathcal { D } _ { k } ) = \frac { \operatorname* { P r } ( \mathcal { D } _ { k } | \theta _ { k } ) \operatorname* { P r } ( \theta _ { k } ) } { \operatorname* { P r } ( \mathcal { D } _ { k } ) } } \\ { = } & { \, \frac { \operatorname* { P r } ( \mathcal { D } _ { k } | \theta _ { k } ) \int _ { \theta _ { k - 1 } } \operatorname* { P r } ( \theta _ { k - 1 } ) \operatorname* { P r } ( \theta _ { k } | \theta _ { k - 1 } ) d \theta _ { k - 1 } } { \operatorname* { P r } ( \mathcal { D } _ { k } ) } } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { p _ { 1 } + \cdots + p _ { n } } } { \partial ^ { p _ { 1 } } x _ { 1 } \cdots \partial ^ { p _ { n } } x _ { n } } } f ~ = ~ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 ^ { k } M _ { k } } } { \frac { \partial ^ { p _ { 1 } + \cdots + p _ { n } } f _ { k } } { \partial ^ { p _ { 1 } } x _ { 1 } \cdots \partial ^ { p _ { n } } x _ { n } } }
E _ { \mathrm { C } } \, = \, \frac { D - 2 } { 2 } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, \omega _ { n } \, = \, \frac { \pi ( D - 2 ) } { 2 \, R } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, n \,
\ensuremath { \left\langle { L } _ { f } { S } _ { f } { M } _ { { L } _ { f } } { M } _ { { S } _ { f } } \left\lvert { \hat { c } } _ { j } \right\rvert { L } _ { i } { S } _ { i } { M } _ { { L } _ { i } } { S } _ { i } \right\rangle }
\begin{array} { r l } { x _ { i } ( t + 1 ) - x _ { j } ( t + 1 ) } & { \leq \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | \left( \overline { { U _ { i j } ^ { \prime } } } ( t ) - x _ { i } ( t ) \right) + c + c + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | \left( x _ { j } ( t ) - \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) \right) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ & { \leq \frac { \left( 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | \right) c } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ & { \leq c } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau _ { B } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } } } & { r ^ { 2 - \eta } | L ( r ^ { 2 } L K \psi ) | ^ { 2 } \, d \sigma d r + \int _ { \tau _ { A } } ^ { \tau _ { B } } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 1 - \eta } | L ( r ^ { 2 } L K \psi ) | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ { \substack { \leq } } & { \: C ( \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \phi ] ( \tau _ { A } ) + \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K ^ { 2 } \phi ] ( \tau _ { A } ) ) + C \int _ { \Sigma _ { \tau _ { A } } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 2 - \eta } | L ( r ^ { 2 } L K \psi ) | ^ { 2 } \, d \sigma d r } \\ { + } & { \: C \int _ { \tau _ { A } } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 3 - \eta } | L ( r ^ { 3 } K G ) | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ { + } & { \: C \sum _ { k \leq 1 } \int _ { \tau _ { A } } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } [ ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 + \epsilon } + r ^ { 2 } \chi _ { \tau _ { A } \leq \tau \leq \tau _ { A } + 1 } + r ^ { 1 + \epsilon } ] | K ^ { k + 1 } G | ^ { 2 } \, r ^ { 2 } d \sigma d r d \tau . } \end{array}
\kappa = \frac { 1 } { s _ { v } } \, \kappa ^ { \prime } - \frac { 3 } { s _ { v } } \, ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { s _ { v } } \, \pounds _ { v } ^ { 2 } \log s _ { v }
\left[ \varphi ( x ) , \varphi ( y ) \right] = - { \frac { i } { 4 } } \left\{ \epsilon ( x ^ { -- } y ^ { - } ) - { \frac { x ^ { -- } y ^ { - } } { L } } \right\} \delta ^ { ( 2 ) } ( x ^ { \bot } - y ^ { \bot } ) \quad
G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = \sum _ { h = 1 } ^ { n } { \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma ( a _ { h } - a _ { j } ) ^ { * } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \Gamma ( 1 - a _ { h } + b _ { j } ) \; z ^ { a _ { h } - 1 } } { \prod _ { j = n + 1 } ^ { p } \Gamma ( 1 - a _ { h } + a _ { j } ) \prod _ { j = m + 1 } ^ { q } \Gamma ( a _ { h } - b _ { j } ) } } \times
P _ { \mathrm { S } } = \frac { ( \kappa ( \kappa ( 1 0 - 3 \kappa ) + 2 0 ) - 8 ) \cos ( 2 \theta ) + 1 6 \kappa \sin ^ { 2 } ( \theta ) \cos ( 2 \phi ) + 3 2 \kappa \sin ( 2 \theta ) \cos ( \phi ) + \kappa ( \kappa ( 3 \kappa + 3 8 ) + 4 4 ) + 8 } { 4 ( \kappa + 2 ) ^ { 2 } ( 3 \kappa + 2 ) }
\begin{array} { r } { \delta _ { n } ( { \bf \Pi } ) = \frac { n } { 2 \pi \mathrm { i } } \ln \operatorname* { d e t } r _ { n } ( { \bf \Pi } ) = \sum _ { p = 1 } ^ { n } ( p - 1 ) \# \Pi _ { p } . } \end{array}
n ( E ) = \frac { F ( E ) } { v ( E ) } = \sqrt { \frac { m _ { e } } { 2 } } \, \, ( \delta - 1 ) \, { \cal F } _ { o } \, E _ { o } ^ { \delta - 1 } \, E ^ { - \delta - 1 / 2 } \, \, \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { F } _ { i j } ^ { C 2 } } & { { } = } & { - \left( \frac { p _ { i } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { p _ { j } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } \right) \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \mathbf { e } _ { i j } , } \\ { \mathbf { F } _ { i j } ^ { D 2 } } & { { } = } & { \frac { \eta } { \sigma _ { i } \sigma _ { j } r _ { i j } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \left( \frac { 2 D - 1 } { D } \mathbf { v } _ { i j } + \frac { D + 2 } { D } \mathbf { e } _ { i j } \cdot \mathbf { v } _ { i j } \mathbf { e } _ { i j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf d } ( { \bf x } , \omega ) = \left( \begin{array} { l } { \hat { f } _ { 3 } } \\ { \frac { 1 } { i \omega } \partial _ { \alpha } ( \frac { 1 } { \rho } \hat { f } _ { \alpha } ) + \hat { q } } \end{array} \right) ( { \bf x } , \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( | \mathcal { N } _ { n } - \overline { { I } } | \geq \epsilon ) } & { \overset { ( a ) } \leq \operatorname* { P r } ( | \mathcal { N } _ { n } - S _ { n } | \geq \frac { \epsilon } { 2 } \cup | S _ { n } - \overline { { I } } | \geq \frac { \epsilon } { 2 } ) } \\ & { \overset { ( b ) } \leq \operatorname* { P r } ( | \mathcal { N } _ { n } - S _ { n } | \geq \frac { \epsilon } { 2 } ) + \operatorname* { P r } ( | S _ { n } - \overline { { I } } | \geq \frac { \epsilon } { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle \frac { \delta n ^ { ( 1 ) } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r } ) } { \delta n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) } = \frac { \delta n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) } { \delta n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) } } \ ~ } \\ { { \displaystyle - \int K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \frac { \delta \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) } { { \delta n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) } } d { \bf r ^ { \prime } } } \ ~ } \\ { { \displaystyle - \int \frac { \delta K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) } { \delta n ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) } \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } } \ ~ } \\ { { \displaystyle = \delta ( { \bf r - r ^ { \prime \prime } } ) - \delta ( { \bf r - r ^ { \prime \prime } } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle - \int \frac { \delta K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) } { \delta n ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) } \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } } \ ~ } \\ { { \displaystyle \propto \left\vert \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right\vert \propto \omega ^ { - 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { \prime } \! = \! \gamma _ { 1 } \! + \! \! \displaystyle \sum _ { i = 2 } ^ { a } \gamma _ { i } \left( \prod _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { i - 1 } p _ { i _ { 1 } } ^ { m _ { i _ { 1 } } } \right) \! \! + \! \! \left( \gamma _ { 1 } ^ { \prime } + \sum _ { i ^ { \prime } = 2 } ^ { a ^ { \prime } } \gamma _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( \prod _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { i ^ { \prime } - 1 } p _ { i _ { 1 } } ^ { \prime } \right) \right) m , } \\ & { \mu ^ { \prime } \! = \! \mu _ { 1 } \! + \! \! \displaystyle \sum _ { j = 2 } ^ { b } \mu _ { j } \! \! \left( \prod _ { j _ { 1 } = 1 } ^ { j - 1 } q _ { j _ { 1 } } ^ { n _ { j _ { 1 } } } \right) \! \! + \! \! \left( \mu _ { 1 } ^ { \prime } + \sum _ { j ^ { \prime } = 2 } ^ { b ^ { \prime } } \mu _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( \prod _ { j _ { 1 } = 1 } ^ { j ^ { \prime } - 1 } q _ { j _ { 1 } } ^ { \prime } \right) \right) n , } \end{array}
M _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 2 } & { 0 } & { \dots } & & { \dots } & { 0 } \\ { \tau _ { X _ { 1 } , r _ { 1 } - 2 } } & { 2 } & { 0 } & & & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { \vdots } \\ { \tau _ { X _ { 1 } , 2 } } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 2 } & { 0 } \\ { \tau _ { X _ { 1 } , 1 } } & { \tau _ { X _ { 1 } , 2 } } & { \dots } & & { \tau _ { X _ { 1 } , r _ { 1 } - 2 } } & { 2 } \end{array} \right) .
f _ { m } ( k ) \ = \ \frac { 2 ( \partial _ { r } J _ { m } ( k r ) | _ { r = R } H _ { m - \beta } ^ { ( 1 ) } ( k R ) - \partial _ { r } H _ { m - \beta } ^ { ( 1 ) } ( k r ) | _ { r = R } J _ { m } ( k R ) ) } { H _ { m - \beta } ^ { ( 2 ) } ( k R ) \partial _ { r } H _ { m - \beta } ^ { ( 1 ) } ( k r ) | _ { r = R } - H _ { m - \beta } ^ { ( 1 ) } ( k R ) \partial _ { r } H _ { m - \beta } ^ { ( 2 ) } ( k r ) | _ { r = R } } \ ,
\begin{array} { r } { Z ( \xi ) \propto \int \mathrm { ~ d ~ } ^ { N } r _ { i } \; \delta ( \hat { \xi } ( \{ r _ { i } \} ) - \xi ) \; e ^ { - U ( \{ r _ { i } \} ) / k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \partial \tilde { \xi } ^ { a } / \partial \xi ^ { b } , } } & { { \partial \tilde { \eta } _ { a } / \partial \xi ^ { b } } } \\ { { \partial \tilde { \xi } ^ { a } / \partial \eta _ { b } , } } & { { \partial \tilde { \eta } _ { a } / \partial \eta _ { b } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { X _ { \tau _ { i } ^ { j } } } & { : = C _ { \tau _ { i } ^ { j } } \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 2 i - 1 } ^ { j + 1 } } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 i } ^ { j + 1 } } \in \mathbb { C } ^ { r _ { \tau _ { i } ^ { j } } \times n _ { \tau _ { 2 i - 1 } ^ { j + 1 } } \times n _ { \tau _ { 2 i } ^ { j + 1 } } } , } \\ { U _ { \tau _ { i } ^ { j } } } & { : = \mathrm { M a t } _ { 0 } ( X _ { \tau _ { i } ^ { j } } ) ^ { T } \in \mathbb { C } ^ { n _ { \tau _ { i } ^ { j } } \times r _ { \tau _ { i } ^ { j } } } . } \end{array}
\mathcal { C } = \left\{ ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) \in \mathbb { S } ^ { 1 } \times \mathbb { S } ^ { 1 } \ | \quad | \alpha _ { 1 } = \alpha _ { 2 } \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \begin{array} { l } { \! \alpha _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } } \\ { \! \alpha _ { 2 } \mathrm { ~ a ~ r ~ b ~ i ~ t ~ r ~ a ~ r ~ y ~ } } \end{array} \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \begin{array} { l } { \! \alpha _ { 1 } \mathrm { ~ a ~ r ~ b ~ i ~ t ~ r ~ a ~ r ~ y ~ } } \\ { \! \alpha _ { 2 } = - \frac { \pi } { 2 } } \end{array} \right\}
W = { \frac { m ^ { 3 } N ^ { 2 } } { 2 4 g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } } } \left[ E _ { 2 } ( \tau ) - { \frac { q } { p } } E _ { 2 } \left( { \frac { q } { p } } \tau \right) \right] \to { \frac { m ^ { 3 } N ^ { 2 } E _ { 2 } ( \tau ) } { 9 6 \pi g } } - { \frac { m ^ { 3 } N ^ { 3 } } { 9 6 \pi g p ^ { 2 } } } \ .
{ \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 2 \pi N _ { f } } } \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { e ^ { C } } } \right) ^ { u } \ { \Gamma ( u - 1 ) \ \Gamma ( 2 - u ) } \ { \frac { \left( M ^ { 2 } \right) ^ { - u } } { M ^ { 2 } } } \ \bar { U } _ { s } \sigma ^ { \mu \nu } U _ { \tau } \ \bar { U } _ { e } \sigma _ { \mu \nu } U _ { d } .
\mathbf \Lambda _ { S , i j k } ^ { \prime \prime } = \operatorname { d i a g } \left( \frac { \Delta y \Delta z } { 4 } \mathbf I _ { 4 } , \frac { \Delta x \Delta z } { 4 } \mathbf I _ { 4 } , \frac { \Delta x \Delta y } { 4 } \mathbf I _ { 4 } \right) \, ,
\tilde { Z } _ { i j } = i \sigma _ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { { | Z | } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { | Z | } } \end{array} \right) \ , \qquad \tilde { Z } _ { i j } = i \sigma _ { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { { | Z | } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { | Z | } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { | Z | } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { | Z | } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } ( \varphi , \overline { { \upsilon } } ) } & { { } = \sum _ { \ell = 0 , 2 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } \hat { Y } _ { m } ^ { \ell } ( C ( \varphi , \upsilon _ { 3 } , \upsilon _ { 4 } ) ) A _ { m } ^ { \ell } ( \overline { { \upsilon } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } ^ { \prime } \right\rangle = } & { \left( \frac { \mathcal { I } _ { u j } \left( \nu , \eta , \Omega , k _ { \ell } \right) } { \mathcal { I } _ { u b } \left( \nu , \eta , \Omega , k _ { \ell } \right) } \frac { D _ { 0 } ^ { 2 } } { D _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \frac { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { b } ^ { \prime } \right\rangle } { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime 2 } \right\rangle } \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { w } ^ { \prime } \right\rangle } \\ { \sim } & { \, \, \frac { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { b } ^ { \prime } \right\rangle } { \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime 2 } \right\rangle } \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { w } ^ { \prime } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { l l r } { { g _ { L } ^ { 2 } = [ \quad 0 . 2 9 8 2 - 0 . 0 0 5 8 ( m _ { c } - 1 . 5 ) \, ] \pm 0 . 0 0 2 8 \pm 0 . 0 0 2 9 , } } \\ { { g _ { R } ^ { 2 } = [ \quad 0 . 0 3 0 9 - 0 . 0 0 5 3 ( m _ { c } - 1 . 5 ) \, ] \pm 0 . 0 0 3 4 \pm 0 . 0 0 2 8 , } } \\ { { \delta _ { L } ^ { 2 } = [ \, - 0 . 0 5 8 8 - 0 . 0 0 2 5 ( m _ { c } - 1 . 5 ) \, ] \pm 0 . 0 2 3 3 \pm 0 . 0 0 4 2 , } } \\ { { \delta _ { R } ^ { 2 } = [ \quad 0 . 0 2 0 6 + 0 . 0 0 1 0 ( m _ { c } - 1 . 5 ) \, ] \pm 0 . 0 1 5 5 \pm 0 . 0 0 3 9 , } } \end{array}
n _ { 1 } = \frac { N s - s } { 1 - r + s } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad n _ { 2 } = \frac { N s - r + 1 } { 1 - r + s } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \frac { N s - r + 1 } { 1 - r + s } \in \mathbb { Z } .
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { \lesssim | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { \gamma } { n } - 1 } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \| \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ^ { \prime } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \| \chi _ { B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \frac { \| \chi _ { B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } { \| \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \frac { | B | ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { p _ { 2 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } } { | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } } } \\ & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \frac { \| \chi _ { B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } { \| \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \frac { \| \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } { \| \chi _ { B } \| _ { L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \times \bigg ( \frac { | B | } { | 2 ^ { j + 1 } B | } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { q } } } \\ & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { 1 } { \alpha } - \frac { 1 } { p _ { 1 } ( \cdot ) } - \frac { 1 } { q } } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \times \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { ( j + 1 ) n } } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \left| \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } - \overline { { \alpha } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right| \geq \epsilon \right) } & { \leq C ^ { \prime } k ^ { 4 } C _ { k - 1 } ^ { \prime } \exp \left( - n c ^ { \prime } c _ { k - 1 } ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } / k ^ { 7 } \right) , } \\ { \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p ( k + 1 ) } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p ( k + 1 ) } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right| \geq \epsilon \right) } & { \leq C ^ { \prime } k ^ { 4 } C _ { k - 1 } ^ { \prime } \exp \left( - n c ^ { \prime } c _ { k - 1 } ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } / k ^ { 7 } \right) , } \\ { \frac { 1 } { N } [ \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { j + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } } & { \stackrel { \cdot \cdot } { = } 0 \qquad \; \; \; \frac { 1 } { N } [ \mathbf { q } _ { j } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \stackrel { \cdot \cdot } { = } 0 . } \end{array}
{ \sqrt [ [object Object] ] { 3 4 } } = 2 + { \cfrac { 1 } { 4 0 + { \cfrac { 4 } { 4 + { \cfrac { 6 } { 1 2 0 + { \cfrac { 9 } { 4 + { \cfrac { 1 1 } { 2 0 0 + { \cfrac { 1 4 } { 4 + \ddots } } } } } } } } } } } } = 2 + { \cfrac { 4 \cdot 1 } { 1 6 5 - 1 - { \cfrac { 4 \cdot 6 } { 4 9 5 - { \cfrac { 9 \cdot 1 1 } { 8 2 5 - { \cfrac { 1 4 \cdot 1 6 } { 1 1 5 5 - \ddots } } } } } } } } .
W \left[ C \right] = e ^ { - T E _ { c l a s s } } \frac { \operatorname * { d e t } \left( - \Delta _ { F } - \frac { 1 } { 4 } R ^ { ( 2 ) } + 1 \right) } { \operatorname * { d e t } \left( - \Delta + 2 \right) \operatorname * { d e t } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( - \Delta + 4 - R ^ { ( 2 ) } \right) \operatorname * { d e t } ^ { \frac { 5 } { 2 } } \left( - \Delta \right) } .
\begin{array} { r l } { \langle \Psi ^ { - } | G H Z \rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \langle H V | - \langle V H | ) ( | H H H \rangle + | V V V \rangle ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( \langle H V | H H H \rangle - \langle V H | H H H \rangle + \langle H V | V V V \rangle - \langle V H | V V V \rangle ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( | z e r o \rangle - | z e r o \rangle + | z e r o \rangle - | z e r o \rangle ) } \\ & { = | z e r o \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { \theta _ { j } ^ { d } = - \infty , \! \mathrm { ~ i f ~ } 0 \le \lambda ^ { d } < \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \! ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } } \\ { \theta _ { j } ^ { d } = \infty , \! \mathrm { ~ i f ~ } \lambda ^ { d } < \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \! ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } , \textrm { a n d } \lambda ^ { d } < 0 } \\ { \theta _ { j } ^ { d } = \infty , \mathrm { ~ i f ~ } \lambda ^ { d } > \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \! ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } } \\ { \theta _ { j } ^ { d } \in \mathbb { R } _ { \ge 0 } , \quad \mathrm { ~ i f ~ } \lambda ^ { d } = \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } \! ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Tilde { H } | \Tilde { \psi } ( \beta ) \rangle = E | \Tilde { \psi } ( \beta ) \rangle } & { } & { + \big ( c _ { 1 } [ t ( e ^ { - i \theta L } \beta ^ { L } - 1 ) + g e ^ { i \phi } \beta ] + c _ { 2 } [ t ( e ^ { - i \theta L } \beta ^ { - L } - 1 ) + g e ^ { i \phi } \beta ^ { - 1 } ] \big ) | 1 \rangle } \\ & { } & { + \big ( c _ { 1 } [ t ( e ^ { i \theta L } \beta - \beta ^ { L + 1 } ) + g e ^ { - i \phi } \beta ^ { L } ] + c _ { 2 } [ t ( e ^ { i \theta L } \beta ^ { - 1 } - \beta ^ { - ( L + 1 ) } ) + g e ^ { - i \phi } \beta ^ { - L } ] \big ) | L \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \pmb \sigma _ { 1 } } & { { } \times \pmb \sigma _ { 2 } ) \cdot { \pmb n } , \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { ( \pmb \sigma _ { 1 } \cdot { \pmb p } ) } & { { } ( \pmb \sigma _ { 2 } \cdot { \pmb q } ) + ( \pmb \sigma _ { 1 } \cdot { \pmb q } ) ( \pmb \sigma _ { 2 } \cdot { \pmb p } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S ( x ) \Lambda ( x ) } & { = S ( x ) \left\{ \lambda _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { v } \left( \alpha ^ { i _ { \ell } } x - 1 \right) \right\} } \\ & { = \left\{ \sum _ { i = 0 } ^ { d - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { v } e _ { j } \alpha ^ { ( c + i ) \cdot i _ { j } } x ^ { i } \right\} \left\{ \lambda _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { v } \left( \alpha ^ { i _ { \ell } } x - 1 \right) \right\} } \\ & { = \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { v } e _ { j } \alpha ^ { c i _ { j } } \sum _ { i = 0 } ^ { d - 2 } \left( \alpha ^ { i _ { j } } \right) ^ { i } x ^ { i } \right\} \left\{ \lambda _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { v } \left( \alpha ^ { i _ { \ell } } x - 1 \right) \right\} } \\ & { = \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { v } e _ { j } \alpha ^ { c i _ { j } } { \frac { \left( x \alpha ^ { i _ { j } } \right) ^ { d - 1 } - 1 } { x \alpha ^ { i _ { j } } - 1 } } \right\} \left\{ \lambda _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { v } \left( \alpha ^ { i _ { \ell } } x - 1 \right) \right\} } \\ & { = \lambda _ { 0 } \sum _ { j = 1 } ^ { v } e _ { j } \alpha ^ { c i _ { j } } { \frac { \left( x \alpha ^ { i _ { j } } \right) ^ { d - 1 } - 1 } { x \alpha ^ { i _ { j } } - 1 } } \prod _ { \ell = 1 } ^ { v } \left( \alpha ^ { i _ { \ell } } x - 1 \right) } \\ & { = \lambda _ { 0 } \sum _ { j = 1 } ^ { v } e _ { j } \alpha ^ { c i _ { j } } \left( \left( x \alpha ^ { i _ { j } } \right) ^ { d - 1 } - 1 \right) \prod _ { \ell \in \{ 1 , \cdots , v \} \setminus \{ j \} } \left( \alpha ^ { i _ { \ell } } x - 1 \right) } \end{array} }
k _ { 1 } = k _ { \infty , 1 } \exp \bigg ( \frac { - T _ { \mathrm { ~ a ~ , ~ 1 ~ } } } { T _ { \mathrm { ~ p ~ } } } \bigg ) \Rightarrow \frac { \mathrm { d } k _ { 1 } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ p ~ } } } = k _ { 1 } \frac { T _ { \mathrm { ~ a ~ , ~ 1 ~ } } } { T _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } }