harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V _ { i j } ^ { L } \ = \ ( U _ { L } ^ { t \dagger } U _ { L } ^ { b } ) _ { i j } \, , \qquad V _ { i j } ^ { R } \ = \ - \, ( U _ { R } ^ { t } ) _ { 2 i } ^ { * } ( U _ { R } ^ { b } ) _ { 2 j } \, .
\partial _ { + } \partial _ { - } \Omega + \frac { \mu } { 4 } e ^ { 2 \rho } \Omega ^ { 1 - \lambda - \gamma / 4 } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 2 \rho } \Omega ^ { ( \gamma - 2 \epsilon ) / 4 + 1 } F _ { - + } ^ { 2 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } ^ { u } = } & { { \nu _ { \mu } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { c ^ { r } } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } & { \overline { { c ^ { g } } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + \overline { { c ^ { b } } } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ { s ^ { r } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } & { s ^ { g } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + s ^ { b } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ & { \mu ^ { + } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { S _ { 2 } ^ { d } = } & { { \overline { { \nu } } _ { \mu } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } \\ { { c } ^ { r } { B _ { 1 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } & { { c } ^ { g } { B _ { 2 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + { c } ^ { b } { B _ { 3 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } \\ { \overline { { s ^ { r } } } { B _ { 3 } } { B _ { 2 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } & { \overline { { s ^ { g } } } { B _ { 1 } } { B _ { 3 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + \overline { { s ^ { b } } } { B _ { 2 } } { B _ { 1 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } + } \\ & { \mu ^ { - } { B _ { 3 } } { B _ { 2 } } { B _ { 1 } } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } \omega _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j r } | \lambda _ { j } \ast [ ( I - S _ { t } ^ { \mathbb { K } } ) u ] | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } & { \lesssim _ { r , s } 2 ^ { N ( r - s ) } \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j s } \sum _ { k = N + 1 } ^ { \infty } 2 ^ { - \frac { M } { 2 } | j - k | } | \phi _ { k } \ast u | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } , \quad t = 2 ^ { - N } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) - \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } { \varepsilon } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { T } } _ { x x } } & { = { \frac { { \hat { J } } _ { x } ^ { 2 } } { 2 I _ { x x } } } } \\ { { \hat { T } } _ { y y } } & { = { \frac { { \hat { J } } _ { y } ^ { 2 } } { 2 I _ { y y } } } } \\ { { \hat { T } } _ { z z } } & { = { \frac { { \hat { J } } _ { z } ^ { 2 } } { 2 I _ { z z } } } } \end{array} } \,
\langle \bar { P } \rangle _ { 1 } = { \frac { \partial } { \partial \bar { t } } } \, \bar { F } _ { 1 } = - { \frac { \langle P \rangle _ { 1 } } { \langle P P \rangle _ { 0 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \, { \frac { \langle P P P \rangle _ { 0 } } { \langle P P \rangle _ { 0 } } } \ .
\sigma = \frac { 1 } { 4 \pi \lambda _ { B } } \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { \rho } \bar { \psi } \quad } & { \textrm { o n } \quad \Gamma _ { 6 } \, , } \\ { \partial _ { z } \bar { \psi } \quad } & { \textrm { o n } \quad \Gamma _ { 7 } \, , } \end{array} \right.
f = \frac { \mu } { 2 } \textnormal { T r } ( \boldsymbol { \underline { { \underline { { \ell } } } } } _ { 0 } \boldsymbol { \underline { { \underline { { \lambda } } } } } ^ { \top } \boldsymbol { \underline { { \underline { { \ell } } } } } ^ { - 1 } \boldsymbol { \underline { { \underline { { \lambda } } } } } ) .
\begin{array} { r } { \delta s _ { D ^ { \prime } E ^ { \prime } } ^ { 2 } \approx 2 ( \vec { r } _ { D } - \vec { r } _ { E } ) \cdot ( \vec { r } _ { D ^ { \prime } } - \vec { r } _ { D } + \vec { r } _ { E } - \vec { r } _ { E ^ { \prime } } ) + \delta s _ { D E } ^ { 2 } \, , } \\ { \delta s _ { D ^ { \prime } F ^ { \prime } } ^ { 2 } \approx 2 ( \vec { r } _ { D } - \vec { r } _ { F } ) \cdot ( \vec { r } _ { D ^ { \prime } } - \vec { r } _ { D } + \vec { r } _ { F } - \vec { r } _ { F ^ { \prime } } ) + \delta s _ { D F } ^ { 2 } \, , } \\ { \delta s _ { D ^ { \prime } G ^ { \prime } } ^ { 2 } \approx 2 ( \vec { r } _ { D } - \vec { r } _ { G } ) \cdot ( \vec { r } _ { D ^ { \prime } } - \vec { r } _ { D } + \vec { r } _ { G } - \vec { r } _ { G ^ { \prime } } ) + \delta s _ { D G } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } = } & { { } ( 1 - e ^ { - \beta } ) ^ { - 1 } \sum _ { \Delta t = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \beta \Delta t } P ^ { \Delta t + 1 } } \\ { = } & { { } ( 1 - \eta ) P ( I - \eta P ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\hat { \vec { u } } ( \vec { k } , \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \vec { W } ( \vec { r } ) W ( t ) e ^ { - i ( \vec { k } \cdot \vec { r } - \omega t ) } \vec { u } ( \vec { r } , t ) \, d \vec { r } \, d t
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } R _ { 1 } ^ { p } ( \theta ^ { * } ) = \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) + \frac { ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right) Y X _ { i } \right] . } \end{array}
\frac { \sqrt { - \hat { g } } } { \hat { g } _ { s t r } } \frac { \hat { g } ^ { 0 0 } \hat { g } ^ { 1 1 } F _ { 0 1 } } { \sqrt { 1 + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } \hat { g } ^ { 0 0 } \hat { g } ^ { 1 1 } F _ { 0 1 } ^ { 2 } } } = B _ { 2 3 } = \frac { s } { 2 \pi R ^ { 2 } } ,
\left( \partial _ { t } - { \frac { l } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } \partial _ { \theta } \right) ^ { 2 } X _ { 4 } - \left( { \frac { l \, \rho } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } } \partial _ { \theta } ^ { 2 } + \partial _ { z } ^ { 2 } \right) X _ { 4 } + O ( l ^ { 3 } ) = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { d x _ { k } ( t ) } & { = [ \bar { A } _ { k } x _ { k } ( t ) + B _ { k } v ( t ) ] d t + \sum _ { i = 1 } ^ { q } N _ { i , k } x _ { k } ( t ) d W _ { i } ( t ) , } \\ { \bar { y } _ { k } ( t ) } & { = \bar { C } _ { k } x _ { k } ( t ) + \left[ \begin{array} { l } { v ( t ) } \\ { 0 } \end{array} \right] , \quad t \geq 0 , } \end{array}
u _ { l , b } = \frac { A } { \sqrt { m _ { b } } } \varepsilon _ { v , k _ { 0 } , b } ( k _ { 0 } ) e x p [ i k _ { 0 } ( z _ { l } - z _ { 0 } ) - \omega t ] \times e x p [ - \frac { ( z _ { l } - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } { x i ^ { 2 } } ]
\| q _ { k } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } \| - \| q _ { k } \alpha \| = \frac { 1 } { R q _ { k } ^ { \prime } + q _ { k - 1 } ^ { \prime } } - \frac { 1 } { R q _ { k } + q _ { k - 1 } } = \frac { a _ { 1 } p _ { k } } { a _ { k + 1 } q _ { k } q _ { k } ^ { \prime } } + O \left( \frac { a _ { 1 } p _ { k } } { a _ { k + 1 } ^ { 2 } q _ { k } q _ { k } ^ { \prime } } \right) ,
\begin{array} { r l } { A _ { \mathrm { p } } } & { { } = \int _ { q _ { \infty } ^ { - } ( E ^ { * } ) } ^ { q _ { 0 } ( E ^ { * } ) } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - E ^ { * } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } + \int _ { - q _ { \infty } ^ { + } ( 2 - E ^ { * } ) } ^ { q _ { \infty } ^ { + } ( 2 - E ^ { * } ) } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - ( 2 - E ^ { * } ) - \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } } \\ { { } } & { { } = \int _ { \sqrt { 2 ( E ^ { * } - 1 ) } } ^ { \sqrt { 2 E ^ { * } } } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - E ^ { * } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } + \int _ { - \sqrt { 2 ( E ^ { * } - 1 ) } } ^ { \sqrt { 2 ( E ^ { * } - 1 ) } } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - ( 2 - E ^ { * } ) - \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } } \\ { { } } & { { } = \int _ { - \sqrt { 2 ( E ^ { * } - 1 ) } } ^ { \sqrt { 2 E ^ { * } } } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - E ^ { * } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } } \\ { { } } & { { } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { T } _ { 2 } } & { { } = { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 9 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \bigg [ x \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( { \bf x } ) - \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ H _ { i J } ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) \circ \mathcal { F } [ \Delta c _ { J K } ( { \bf x } ) \epsilon _ { K } ( { \bf x } ) ] \right] } & { - } \\ { \omega ^ { 2 } \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ G _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) \circ \mathcal { F } [ \Delta \rho ( { \bf x } ) u _ { j } ( { \bf x } ) ] \right] = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ H _ { i J } ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) \circ M _ { J } ( { \bf k } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \big ( E _ { f _ { \pm 1 } } \big [ \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ] - E _ { f _ { 0 } } \big [ \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ] \big ) ^ { 2 } \leq n V ^ { 2 } B ^ { 2 + 1 / \beta } \| K \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ) } ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { | \theta | \leq 1 } \operatorname { V a r } _ { f _ { \theta } } \big ( \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ) , } \end{array}
\left. \times \left( \frac { r ^ { 2 } } { r ! } ( \frac { 1 } { \sinh { \frac { \xi } { 2 } } } ) ^ { r + 1 } + \frac { r - 1 } { ( r - 1 ) ! } ( \frac { 1 } { \sinh { \frac { \xi } { 2 } } } ) ^ { r - 1 } \right) \right] .
Z [ j ] = e ^ { \frac { i } { \hbar } \int d x ^ { 4 } { \cal { L } } _ { I } ( \frac { \hbar } { i } \frac { \delta } { \delta j } ) } Z _ { 0 } [ j ] \textrm { w i t h } Z _ { 0 } [ j ] = \int _ { \Lambda } { \cal { D } } \eta \; e ^ { \frac { i } { \hbar } \int d x ^ { 4 } \left( \frac { 1 } { 2 } [ ( \partial \eta ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \eta ^ { 2 } ] + j \eta \right) } ,
\begin{array} { r l r l } { \sigma _ { n } } & { \colon a _ { i } \mapsto a _ { 0 } a _ { i } a _ { 0 } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } 0 \le i \le n , \ a _ { n + 1 } \mapsto a _ { n } , } & & { \mathrm { f o r ~ } 0 \le n \le K , } \\ { \sigma _ { n } } & { \colon a _ { i } \mapsto a _ { 0 } a _ { i } a _ { 0 } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } 0 \le i \le K + 1 , } & & { \mathrm { f o r ~ } n > K . } \end{array}
\Lambda _ { S } = \frac { \sum _ { i \in S } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \Delta \epsilon _ { i } ) v _ { i } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \Delta \epsilon _ { \kappa } ) v _ { \kappa } ^ { 2 } + \sum _ { j \neq \kappa } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \Delta \epsilon _ { j } ) v _ { j } ^ { 2 } } \; .
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \eta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \eta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\mathcal { F } _ { i } ^ { n } : \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } _ { i } ^ { n } = ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n } , \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n } ) \mapsto ( \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { i } ^ { n + 1 } , \ensuremath { \boldsymbol { P } } _ { i } ^ { n + 1 } ) = \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } _ { i } ^ { n + 1 }
\begin{array} { r l } { \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } } \right\rangle } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } \left\langle { A _ { 1 } A _ { 2 } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { A _ { 1 } ( G _ { 2 } - m _ { 2 } I ) A _ { 2 } } \right\rangle - m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } } } } \right\rangle } \\ & { + \frac { m _ { 1 } } { N } \sum _ { \mu } \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { G _ { 1 } - m _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } } \right\rangle } \\ & { + \frac { m _ { 1 } } { N } \sum _ { \mu } \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } } \right\rangle \left\langle { G _ { 2 } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 2 } A _ { 2 } } \right\rangle . } \end{array}
- \int _ { V } \left[ \nabla \cdot { \bf S } _ { \mathrm { M } } + \frac { \partial u _ { \mathrm { M } } } { \partial t } - \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { \mu } { \bf A } \cdot { \bf E } \right] \, d ^ { 3 } x \, ,
\frac { f ^ { 2 } } { 6 } \, E \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, \psi _ { n } ^ { ( 0 ) * } ( x ) \bigl \{ 1 - 4 \mu x ^ { 2 } [ V ( x ) - E ] - { \textstyle \frac { 2 } { 3 } } x ^ { 3 } \mu V ^ { \prime } ( x ) \bigr \} \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } ( x ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } ( \mathbf { A } , \beta ) } & { = \sum _ { k } \frac { \beta ^ { k } } { k ! } \mathbf { V } _ { k } ( \mathbf { A } ) } \\ & { = \mathbf { Q } \left\{ \left[ \sum _ { k } \frac { \beta ^ { k } } { k ! } \sum _ { l = 1 } ^ { k } \mathbf { L } ( k , l ) \right] \odot \mathbf { M } \right\} \mathbf { Q } ^ { \top } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = \ } & { { } \frac { \Omega } { 2 } \sum _ { i } \left( \hat { \sigma } _ { i } ^ { g r } + \hat { \sigma } _ { i } ^ { g s } + \mathrm { H . c . } \right) - \sum _ { i } \left( \Delta _ { r } \hat { n } _ { i } ^ { r } + \Delta _ { s } \hat { n } _ { i } ^ { s } \right) } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { X ^ { \Lambda } } } \\ { { - { \frac { i } { 2 } } F _ { \Lambda } } } \end{array} \right) \Longrightarrow \left( \begin{array} { l } { { X ^ { 0 } } } \\ { { - i X ^ { 1 } } } \end{array} \right) , ~ ~ \left( \begin{array} { l } { { X ^ { 1 } } } \\ { { - i X ^ { 0 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { | \mathbf { v } - \mathbf { u } | ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } } \\ { | \mathbf { A } - \mathbf { u } | ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } } \\ { | \mathbf { B } - \mathbf { u } | ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } } \\ { | \mathbf { C } - \mathbf { u } | ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { q _ { 3 } } \\ { q _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { q _ { 2 } } & { - q _ { 1 } } \\ { q _ { 3 } } & { - q _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { X _ { 1 } + X _ { 2 } } \\ { X _ { 1 } X _ { 2 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { s ^ { \prime } ( \tau ) ( \sigma ) } & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in \tilde { S } | h ( \tilde { \sigma } ) = \sigma } \tilde { s } ( \tau ) ( \tilde { \sigma } ) } \\ & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in S _ { 0 } | h _ { 0 } ( \tilde { \sigma } ) = \sigma } + \sum _ { \upsilon \in T } \sum _ { \tilde { \sigma } \in S _ { \upsilon } | h _ { \upsilon } ( \tilde { \sigma } ) = \sigma } \tilde { s } ( \tau ) ( \tilde { \sigma } ) } \\ & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in S _ { \tau } | h _ { \tau } ( \tilde { \sigma } ) = \sigma } \tilde { s } ( \tau ) ( \tilde { \sigma } ) } \\ & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in I _ { \tau } | f _ { \tau } ( \tilde { \sigma } ) = \sigma } s _ { \tau } ( \tilde { \sigma } ) + \sum _ { \tilde { \sigma } \in O _ { \tau } | g _ { \tau } ( \tilde { \sigma } ) = \sigma } s _ { \tau } ( \tilde { \sigma } ) } \\ & { = \sum _ { s ( \tau ) ( \sigma ) } 1 + \sum _ { t ( \tau ) ( \sigma ) } 0 } \\ & { = s ( \tau ) ( \sigma ) . } \end{array}
A _ { D } = \sum _ { k } \left\{ \frac { ( x - 1 ) } { 2 ( x + 2 ) } \mathrm { R e } ( { \cal D } _ { 1 ( k ) } ^ { R } + { \bar { \cal D } } _ { 1 ( k ) } ^ { L } ) + \mathrm { R e } ( { \cal D } _ { 2 ( k ) } ^ { L } - { \bar { \cal D } } _ { 2 ( k ) } ^ { L } ) \right\} ~ .
( A - 1 I ) \mathbf { x } _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 } & { 3 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 5 } & { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 3 } \\ { - 9 } \\ { 9 } \\ { - 3 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } = \mathbf { 0 } ,
\begin{array} { c l } { \displaystyle \sum _ { n + n ^ { \prime } = 2 l _ { 3 \nu _ { x } } } { f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n ^ { \prime } } \cos { \xi _ { n } } \cos { \xi _ { n ^ { \prime } } } } } & { = \displaystyle \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } { f _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } - k } g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } + k } \cos { \xi _ { l _ { 3 \nu _ { x } } - k } } \cos { \xi _ { l _ { 3 \nu _ { x } } + k } } } } \\ & { = \displaystyle \sum _ { k = - \infty , k \neq 0 } ^ { \infty } { \frac { g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } + k } g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } - k } } { l _ { 3 \nu _ { x } } + k - 3 \nu _ { x } } \cos { \xi _ { l _ { 3 \nu _ { x } } + k } } \cos { \xi _ { l _ { 3 \nu _ { x } } - k } } } } \\ & { \cong \displaystyle \sum _ { k = - \infty , k \neq 0 } ^ { \infty } { \frac { g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } + k } g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } - k } } { k } \cos { \xi _ { l _ { 3 \nu _ { x } } + k } } \cos { \xi _ { l _ { 3 \nu _ { x } } - k } } } , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } & { 6 } & { 7 } & { 8 } \\ { 4 } & { 5 } & { 7 } & { 6 } & { 8 } & { 2 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 4 } & { 6 } & { 2 } & { 5 } & { 8 } & { 3 } & { 7 } \\ { 4 } & { 6 } & { 2 } & { 5 } & { 8 } & { 3 } & { 7 } & { 1 } \end{array} \right) } = ( 1 \ 4 \ 6 \ 2 \ 5 \ 8 \ 3 \ 7 )
\begin{array} { r l r } & { } & { \bar { \phi } G { \cal T } \frac { \partial \bar { v } _ { z } } { \partial \bar { t } } = - \frac { 1 } { I ^ { 2 } } \frac { \partial \Pi _ { p } } { \partial \bar { z } } - \bar { \phi } G ( 1 + \bar { v } _ { z } ) , } \\ & { } & { \frac { \partial S \bar { \phi } } { \partial \bar { t } } + \frac { \partial S \bar { \phi } \bar { v } _ { z } } { \partial \bar { z } } + \frac { \partial S \bar { \phi } \bar { v } _ { x } } { \partial \bar { x } } = 0 , \qquad S = \sqrt { 1 \! - \! 4 \bar { z } ^ { 2 } } , } \\ & { } & { \Pi _ { p } = \frac { \eta _ { n } ( \bar { \phi } ) } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { \bar { \phi } } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } ) ^ { 1 / 2 } } T , } \\ & { } & { \bar { v } _ { x } = \frac { 1 } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } ) ^ { 1 / 4 } I } , \qquad I = \frac { 4 } { \pi } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { S ( \bar { z } ) \, d \bar { z } } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } ( \bar { z } ) ) ^ { 1 / 4 } } . } \end{array}
\dot { \rho } ( t ) \approx - \frac { i } { \hbar } [ H _ { 0 } , \rho ( t ) ] - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \langle e ^ { - i t H _ { 0 } / \hbar } [ V _ { \mathrm { p h - e l } } ( t ) , [ V _ { \mathrm { p h - e l } } ( t - t ^ { \prime } ) , \rho ( t ) \otimes | 0 \rangle \langle 0 | ] ] e ^ { i t H _ { 0 } / \hbar } \rangle \, ,
\frac { D \nu _ { t } } { D t } = - \frac { S _ { i j } } { 2 S _ { k l } S _ { k l } } \frac { D \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { D t } - \frac { \nu _ { t } } { 2 S _ { k l } S _ { k l } } \frac { D } { D t } \left( S _ { i j } S _ { i j } \right) .
\frac { 1 } { G ( k ^ { 2 } ) } = \widetilde { Z } _ { 3 } - \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 3 N _ { c } } { 4 } \left( \frac { 1 } { 2 } \, Z ( k ^ { 2 } ) G ( k ^ { 2 } ) + \int _ { k ^ { 2 } } ^ { \Lambda ^ { 2 } } \frac { d q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \, Z ( q ^ { 2 } ) G ( q ^ { 2 } ) \right) \; ,
\cos \left( { \frac { \pi } { 6 0 } } \right) = \cos \left( 3 ^ { \circ } \right) = { \frac { 2 \left( 1 + { \sqrt { 3 } } \right) { \sqrt { 5 + { \sqrt { 5 } } } } + \left( { \sqrt { 1 0 } } - { \sqrt { 2 } } \right) \left( { \sqrt { 3 } } - 1 \right) } { 1 6 } }
\begin{array} { r l } { A _ { n } ^ { [ \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) ] } } & { = ( S _ { n } ^ { [ 1 ] } ) ^ { T } Q _ { n } ^ { [ \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) ] } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 1 , 1 ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { \ell } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { i } ^ { [ 1 , 1 ] } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 5 , 1 ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { \ell } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { i } ^ { [ 5 , 1 ] } } \end{array} \right] ^ { T } \left( \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \hat { Z } _ { 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 2 , 1 ] } + P _ { \alpha _ { n } } ( 2 \ell ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 , 1 } = } & { { } - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \left( Y _ { s } ^ { \xi } \right) H \left( Y _ { s } ^ { \xi } , s ; t , x \right) \wedge \hat { \theta } ( \xi , 0 ) \right] \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = \iint \Big [ A _ { p } ( \mathbf { k } ) \, \underbrace { \hat { \mathbf { e } } _ { p } \, e ^ { i \, \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } } _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ w ~ a ~ v ~ e ~ } } + A _ { s } ( \mathbf { k } ) \, \underbrace { \hat { \mathbf { e } } _ { s } \, e ^ { i \, \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } } _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ w ~ a ~ v ~ e ~ } } \Big ] \, e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { 0 } } \, \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \theta ) \, \mathrm { ~ d ~ } \theta \, \mathrm { ~ d ~ } \phi ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } D - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 0 } } \lambda _ { i } \left< D , \psi _ { i } \right> \varphi _ { i } - \eta \left< D , \psi _ { 2 } \right> \varphi _ { 2 } + \gamma D = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \mathcal { O } ; } \\ & { D = v \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } , \ D = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 2 } . } \end{array}
\chi _ { i } ( \xi ) = \arg \left( \frac { d w } { d z } \right) = \left\{ { \begin{array} { l } { - \delta _ { i } ( \xi ) + \pi , \quad 0 \leq \xi \leq f , \quad \, \, \eta = 0 , \quad \quad \, \, i = 1 , } \\ { \qquad \qquad \qquad b \leq \xi \leq \pi / 2 , \, \, \eta = \pi | \tau | / 2 , i = 2 , } \\ { - \delta _ { i } ( \xi ) , \quad \quad \, \, \, \, f \leq \xi \leq \pi / 2 , \, \, \eta = 0 , \quad \quad \, \, i = 1 , } \\ { \qquad \qquad \qquad 0 \leq \xi \leq b , \, \, \quad \eta = \pi | \tau | / 2 , \, \, i = 2 . } \end{array} } \right.
{ A } _ { C P } ^ { d i r } \approx { \frac { - 2 { r } ^ { \prime } \xi \mathrm { s i n } ( { \delta } _ { u } ^ { \prime } - { \delta } _ { c } ^ { \prime } ) \mathrm { s i n } \gamma } { 1 + 2 { r } ^ { \prime } \xi \mathrm { c o s } ( { \delta } _ { u } ^ { \prime } - { \delta } _ { c } ^ { \prime } ) \mathrm { c o s } \gamma } } ,