harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\theta _ { F } ( 0 ) = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { 1 - i a \sigma _ { x y } ( 0 ) } { 1 + i a \sigma _ { x y } ( 0 ) } \right] = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { 1 - 2 i \alpha _ { F } } { 1 + 2 i \alpha _ { F } } \right] = 2 \alpha _ { F } \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { - \pi } ^ { \pi } d \theta _ { 2 } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \phi \ldots = } \\ & { } & { \int _ { - 4 \, S c + \theta } ^ { 4 \, S c + \theta } d \theta _ { 2 } \Bigg \{ \int _ { - \pi / 2 } ^ { - \phi _ { C } } d \phi \ldots + \int _ { \phi _ { C } } ^ { \pi / 2 } d \phi \ldots \Bigg \} } \\ & { } & { + \int _ { - \pi + \theta } ^ { - 4 \, S c + \theta } d \theta _ { 2 } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \phi \ldots + \int _ { 4 \, S c + \theta } ^ { \pi + \theta } d \theta _ { 2 } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d \phi \ldots } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { \langle D ^ { k } I _ { n } ( f ) , D ^ { k } I _ { n } ( g ) \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } } \\ & { = \sum _ { i _ { 1 } , \cdots , \i _ { k } \geq 1 } \langle D ^ { k } I _ { n } ( f ) , e _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes e _ { i _ { k } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } \langle D ^ { k } I _ { n } ( g ) , e _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes e _ { i _ { k } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } } \\ & { = \left( \frac { n ! } { ( n - k ) ! } \right) ^ { 2 } \sum _ { i _ { 1 } , \cdots , \i _ { k } \geq 1 } \langle I _ { n - k } ( f ) , e _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes e _ { i _ { k } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } \langle I _ { n - k } ( g ) , e _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes e _ { i _ { k } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } } \\ & { = \left( \frac { n ! } { ( n - k ) ! } \right) ^ { 2 } \sum _ { i _ { 1 } , \cdots , \i _ { k } \geq 1 } I _ { n - k } ( \langle f , e _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes e _ { i _ { k } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } ) I _ { n - k } ( \langle g , e _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes e _ { i _ { k } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta ( r ) } & { { } = } & { X _ { 5 } ( r , R _ { \mathrm { r e f } } ) \ln \frac { 2 D _ { \mathrm { e } } } { U _ { \mathrm { L R } } ( R _ { \mathrm { e } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { e ( n ) } { n } \cdot \frac { { \mathbb { E } } [ S _ { n + 1 } ^ { [ k ] } ] } { e ( n ) } } \\ { = } & { \frac { 1 } { { \mathbb { E } } [ M ^ { [ k ] } ] } \cdot \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { e ( n ) } \Bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { e ( n ) - 1 } { \mathbb { E } } \Bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { m = 1 } ^ { M _ { i } ^ { [ k ] } } W _ { i } ^ { [ k ] } ( m ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + Y _ { i } ^ { [ k ] } ( m ) \Bigg ] + o \left( e ( n ) \right) \Bigg ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { { \mathbb { E } } [ M ^ { [ k ] } ] } \cdot \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { e ( n ) } \! \! \sum _ { i = 1 } ^ { e ( n ) - 1 } \Bigg ( { \mathbb { E } } [ W ] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left. + { \mathbb { E } } \left[ M _ { i } ^ { [ k ] } \right] \cdot { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y _ { i } ^ { [ k ] } \right] \right) } \\ { = } & { { \mathbb { E } } \left[ ( 1 - \epsilon ) W + \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y ^ { [ k ] } \right] , } \end{array}
H ( A ) = \sum _ { i } \left( \alpha _ { i } ^ { o u t } k _ { i } ^ { o u t } + \alpha _ { i } ^ { i n } k _ { i } ^ { i n } \right) = \sum _ { i , j \neq i } \left( \alpha _ { i } ^ { o u t } + \alpha _ { j } ^ { i n } \right) a _ { i j } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } _ { \mathrm { E M L } } ^ { \ast } } & { = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { P r } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \mathrm { G a } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { P m } } { d _ { 3 } } \right) ^ { m _ { 3 } } \left( \frac { \mathrm { M a } } { d _ { 4 } } \right) ^ { m _ { 4 } } } \\ & { \times \left( \frac { \mathrm { E c } } { d _ { 5 } } \right) ^ { m _ { 5 } } \left( \frac { \mathrm { B i } } { d _ { 6 } } \right) ^ { m _ { 6 } } \left( \frac { \mathrm { P l } } { d _ { 7 } } \right) ^ { m _ { 7 } } \left( \frac { \mathrm { S p } } { d _ { 8 } } \right) ^ { m _ { 8 } } \left( \frac { \mathrm { M g } } { d _ { 9 } } \right) ^ { m _ { 9 } } , } \\ { \mathrm { R e } _ { \mathrm { A D L } } ^ { \ast } } & { = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { R e } _ { \mathrm { j e t } } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \nu _ { \ast } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } , } \\ { \mathrm { R e } _ { \mathrm { E S L } } ^ { \ast } } & { = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { P r } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \mathrm { B i } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { P l } } { d _ { 3 } } \right) ^ { m _ { 3 } } \left( \frac { \mathrm { M a } } { d _ { 4 } } \right) ^ { m _ { 4 } } \left( \frac { \mathrm { L a } } { d _ { 5 } } \right) ^ { m _ { 5 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \iota ( e _ { v } ) \right\Vert _ { p } ^ { p } } & { = \left\Vert \sum _ { u \in V _ { k - 1 } } 2 ^ { k \alpha } \Lambda _ { 2 ^ { - k + 1 } } ^ { d } ( u , v ) ( \delta ( v ) - \delta ( u ) ) \right\Vert _ { p } ^ { p } } \\ & { \leq \sum _ { u \in V _ { k - 1 } } \left\Vert 2 ^ { k \alpha } | v - u | ^ { \alpha } \Lambda _ { 2 ^ { - k + 1 } } ^ { d } ( u , v ) \frac { \delta ( v ) - \delta ( u ) } { | v - u | ^ { \alpha } } \right\Vert _ { p } ^ { p } } \\ & { = \sum _ { u \in V _ { k - 1 } } ( 2 ^ { k \alpha } | v - u | ^ { \alpha } \Lambda _ { 2 ^ { - k + 1 } } ^ { d } ( u , v ) ) ^ { p } \mathrm { , } } \end{array}
\mathsf { T } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { K _ { \mathsf { T } } } { 2 \beta _ { f } } } & { \mathrm { i } \omega ( \frac { 4 \beta _ { f } - K _ { \mathsf { T } } } { 4 \beta _ { f } ^ { 2 } } ) } \\ { \frac { \mathrm { i } K _ { \mathsf { T } } } { \omega } } & { 1 - \frac { K _ { \mathsf { T } } } { 2 \beta _ { f } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \log \left( \langle n _ { i } \rangle _ { 3 0 0 } - n _ { 0 } \right) } & { = } & { \log \alpha - \frac { \beta } { M _ { \mathrm { r e s } } - M _ { \mathrm { l i m } } } } \\ { M _ { \mathrm { r e s } } } & { = } & { M _ { \mathrm { l i m } } - \frac { \beta } { \log \left( \langle n _ { i } \rangle _ { 3 0 0 } - n _ { 0 } \right) - \log \alpha } . } \end{array}
\rho _ { 0 } ( T | \widehat { L } _ { 0 } ) = \frac { 2 D \widehat { L } _ { 0 } \left( \frac { \gamma } { D } \right) ^ { 3 / 2 } e ^ { 2 \gamma T - \frac { \gamma \widehat { L } _ { 0 } ^ { 2 } } { D \left( e ^ { 2 \gamma T } - 1 \right) } } } { \sqrt { \pi } \left( e ^ { 2 \gamma T } - 1 \right) ^ { 3 / 2 } } \ ,
\begin{array} { r } { \bar { \lambda } _ { n , i } \simeq \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda v _ { n , i } ^ { \lambda } \mathrm { d } \lambda } { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n , i } ^ { \lambda } \mathrm { d } \lambda } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Pi ^ { \lessgtr } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) } & { = } & { 2 \pi i \int \frac { d { \bf k } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } f ^ { \lessgtr } ( { \bf k } + { \bf q } , t ) f ^ { \gtrless } ( k , t ) } \\ & { } & { \times \delta \left( \hbar \omega - E ( { \bf q } + { \bf k } ) + E ( k ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \forall t \in [ 0 , T - \tau ] , ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , \tilde { x } ) \in X ^ { 3 } , q \in [ - \tau , 0 ] : } \\ & { \qquad \tau ^ { - 1 } \left( \mathcal { L } _ { f } v ( t , z ) + J ( t , x _ { 0 } , u ) + \phi ( t + \tau , x _ { 0 } ) - \phi ( t , x _ { 1 } ) \right) } \\ & { \qquad + \psi ( t + \tau , q , x _ { 0 } , \tilde { x } ) - \psi ( t , q , x _ { 0 } , \tilde { x } ) \geq 0 } \\ & { \forall t \in [ T - \tau , T ] , ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , \tilde { x } ) \in X ^ { 3 } , q : } \\ & { \qquad \tau ^ { - 1 } \left( \mathcal { L } _ { f } v ( t , z ) + J ( t , x _ { 0 } , u ) - \phi ( t , x _ { 1 } ) \right) - \psi ( t , q , x _ { 0 } , \tilde { x } ) \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k + 1 } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { \left[ ( 1 - \frac { \alpha _ { y } r \delta } { 4 } ) + 4 C \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \frac { 3 } { \alpha _ { y } r \delta } \right] \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \Big [ 4 ( C + 1 ) L ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \frac { 3 } { \alpha _ { y } r \delta } } \\ & { \qquad + \frac { 4 } { \alpha _ { y } r \delta } \Big ] L ^ { 2 } \Bigg ( 3 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } C \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 3 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 3 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 3 \widehat { \lambda } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { R } } _ { \gamma } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \Bigg ) } \\ & { + 4 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \frac { 3 } { \alpha _ { y } r \delta } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { C } ^ { 2 } } \\ & { + 2 s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \frac { 3 } { \alpha _ { y } r \delta } + 2 s _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { y } r \sigma _ { r } ^ { 2 } . } \end{array}
A _ { x } \longrightarrow - A _ { - x - 1 } , \ E _ { x } \longrightarrow - E _ { - x - 1 } , \ \psi _ { a , x } \longrightarrow ( - 1 ) ^ { x } \psi _ { a , - x } , \ \psi _ { a , x } ^ { \dag } \longrightarrow ( - 1 ) ^ { x } \psi _ { a , - x } ^ { \dag }
\frac { \ln Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } { \ln \lambda ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } \simeq 1 + \frac { \beta _ { 0 } } { 4 \pi } \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) \ln \frac { Q ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \; .
\frac { \partial } { \partial t } \Gamma _ { k } [ \psi , \Phi ] = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left\{ \frac { \partial R _ { k B } } { \partial t } \left( \Gamma _ { k } ^ { ( 2 ) } [ \psi , \Phi ] + R _ { k } \right) ^ { - 1 } \right\} - \mathrm { T r } \left\{ \frac { \partial R _ { k F } } { \partial t } \left( \Gamma _ { k } ^ { ( 2 ) } [ \psi , \Phi ] + R _ { k } \right) ^ { - 1 } \right\} \, .
\left[ \begin{array} { c c c } { \Delta t \mathcal { M } _ { s } ^ { T } } & { 0 } & { \mathcal { A } _ { s } ^ { T } } \\ { 0 } & { \alpha \Delta t \mathcal { M } } & { \Delta t \mathcal { C } ^ { T } } \\ { \mathcal { A } _ { s } } & { \Delta t \mathcal { C } _ { s } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { y } } \\ { \boldsymbol { u } } \\ { \boldsymbol { p } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \Delta t \mathcal { M } _ { s } ^ { T } \boldsymbol { y } _ { d } } \\ { 0 } \\ { \mathcal { M } _ { s } \boldsymbol { y } _ { 0 } + \Delta t \boldsymbol { f } _ { s } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \L _ { h } ( ( { u } _ { h } , p _ { h } ) , ( { z } _ { h } , y _ { h } ) ) : = \frac { 1 } { 2 } m ( { u } _ { h } - { { u } } _ { M } , { u } _ { h } - { { u } } _ { M } ) + A ( ( { u } _ { h } , p _ { h } ) , ( { z } _ { h } , y _ { h } ) ) - l ( z _ { h } ) } \\ { + \frac { 1 } { 2 } S _ { g } ( ( { u } _ { h } - u , p _ { h } - p ) , ( { v } _ { h } , q _ { h } ) ) + \tilde { S } _ { h } ( ( { u } _ { h } , p _ { h } ) , ( { v } _ { h } , q _ { h } ) ) - \frac { 1 } { 2 } S _ { h } ^ { \ast } ( ( { z } _ { h } , y _ { h } ) , ( { z } _ { h } , y _ { h } ) ) } \end{array}
\mathbf { h } ^ { D } ( A ) : = \frac { \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { ~ l ~ e ~ n ~ g ~ t ~ h ~ } ( \Phi ^ { t } ( \partial A ) ) \mathrm { ~ d ~ } t } { \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ a ~ } ( A ) } .
\langle f \mid g \rangle - \langle g \mid f \rangle = \langle { \hat { A } } { \hat { B } } \rangle - \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle - \langle { \hat { B } } { \hat { A } } \rangle + \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle = \langle [ { \hat { A } } , { \hat { B } } ] \rangle
\begin{array} { r l } { F ^ { \prime } ( x ) } & { = \sqrt { \cos ( x ^ { 2 } + x ) } \cdot 1 - 0 + \int _ { 1 } ^ { x } - \frac { x \sin ( x ^ { 2 } + t ) } { \sqrt { \cos ( x ^ { 2 } + t ) } } \, d t } \\ & { = \sqrt { \cos ( x ^ { 2 } + x ) } - \int _ { 1 } ^ { x } \frac { x \sin ( x ^ { 2 } + t ) } { \sqrt { \cos ( x ^ { 2 } + t ) } } \, d t . } \end{array}
E = - { \frac { W } { T } } = a _ { 1 } a _ { 2 } \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; \; D \left( k \right) \mid _ { k _ { 0 } = 0 } \; \exp \left( i { \vec { k } } \cdot \left( { \vec { x } } _ { 1 } - { \vec { x } } _ { 2 } \right) \right)
d _ { r } \omega = \frac { 1 } { r ! } \left( \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } \omega _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \cdots \mu _ { r } } \right) d x ^ { \nu } \wedge d x ^ { \mu _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge d x ^ { \mu _ { r } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 1 } = { \varphi } _ { 1 } \left( { \bf u } , \Delta { \bf u } , \nabla { \bf u } ; { \bf w } \right) + \psi _ { 1 } ( { \bf u } ) } , } \\ { \displaystyle { \ldots , } } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { i } = { \varphi } _ { i } \left( { \bf u } , \Delta { \bf u } , \nabla { \bf u } ; { \bf w } \right) + \psi _ { i } ( { \bf u } ) } , } \\ { \displaystyle { \ldots , } } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { n } = { \varphi } _ { n } \left( { \bf u } , \Delta { \bf u } , \nabla { \bf u } ; { \bf w } \right) + \psi _ { n } ( { \bf u } ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { E ^ { \mathrm { ~ r ~ k ~ k ~ y ~ } } = - \int _ { \Gamma } J _ { \mathrm { ~ r ~ k ~ k ~ y ~ } } \, \boldsymbol { m } _ { 1 } \cdot \boldsymbol { m } _ { 2 } \, \, \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { A } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { k } = \mathcal { F } \left\{ \mathbf { x } \right\} _ { k } } & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x _ { n } e ^ { - 2 \pi i k n / N } , \, \, \, \forall ~ k \in \mathbb { Z } } \\ { x _ { n } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ \mathbf { X } \right\} _ { n } } & { = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { k = - \lfloor ( N - 1 ) / 2 \rfloor } ^ { \lfloor N / 2 \rfloor } X _ { k } e ^ { 2 \pi i k n / N } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { P } ^ { \prime \prime } = } & { ( 1 + \cos k _ { x } - i \epsilon ) \Gamma _ { 1 } + ( 1 + \cos k _ { y } + i \epsilon ) \Gamma _ { 6 } - \sin k _ { x } \Gamma _ { 2 } } \\ & { - \sin k _ { y } \Gamma _ { 7 } + \frac { ( \beta + \gamma ) } { 2 } \Gamma _ { 1 3 } + \frac { i ( \beta - \gamma ) } { 2 } \Gamma _ { 1 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \alpha _ { n } } & { \ge \displaystyle \sum _ { r \in R } \left( 1 - \xi _ { k r } \left( 1 - x _ { k r } \right) \right) - | R | + 1 , } & & { \quad \forall k \in K , \forall n \in N _ { k } , } \\ { \alpha _ { n } } & { \le 1 - \xi _ { k r } \left( 1 - x _ { k r } \right) , } & & { \quad \forall k \in K , \forall n \in N _ { k } , \forall r \in R . } \end{array}
h _ { f } \, = \, a ^ { \dagger } a \; \; , \; \; { \tilde { h } } _ { f } \, = \, a a ^ { \dagger } \; \; , \; \; h _ { \varphi } \, = \, - \partial _ { 2 } ^ { 2 } + V ^ { \prime \prime } ( \varphi ( x _ { 2 } ) ) \; .
E = \sum _ { A = 1 } ^ { N _ { \mathrm { l a y e r } } } { \Big [ } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { A } } x _ { i } ^ { A } g _ { i } ^ { A } - L ^ { A } { \Big ] } - \sum _ { A = 1 } ^ { N _ { \mathrm { l a y e r } } - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { A + 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { A } } g _ { i } ^ { A + 1 } \xi _ { i j } ^ { ( A + 1 , A ) } g _ { j } ^ { A }
\begin{array} { r l } { H _ { ( 5 , 5 , 0 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 3 } ( ( - 2 , 0 , 0 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) - S _ { 1 3 } ( ( - 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) + q S _ { 1 3 } ( ( - 1 , 1 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) } \\ & { + ( 1 - z / q - z ) S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 0 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) - ( q - z - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) } \\ & { - q ( 1 - z ) z S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 0 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) - ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) } \\ & { + q ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 1 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) + ( 1 - z ) ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) } \\ & { - q ( 1 - z ) ( 1 - q z ) S _ { 1 3 } ( ( 2 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { g } } & { = \hbar \omega _ { 0 } \left( \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } + \frac { 1 } { 2 } \right) , } \\ { \hat { h } _ { e } } & { = \hbar ( \omega _ { e g } + \lambda ) + \hbar \omega _ { 0 } \left[ \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } - \frac { \Delta } { \sqrt { 2 } } ( \hat { b } + \hat { b } ^ { \dagger } ) + \frac { 1 } { 2 } \right] . } \end{array}
\Psi = \left( \begin{array} { l } { { { \frac { i G _ { \ell j } } { r } } \phi _ { j m } ^ { \ell } } } \\ { { { \frac { F _ { \ell j } } { r } } { { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } \cdot { \bf { \hat { r } } } } \phi _ { j m } ^ { \ell } } } \end{array} \right)
N _ { \mathrm { S P } } = 3 ^ { 2 } , \epsilon = 0 . 0 1 , L _ { \operatorname* { m a x } } = 5 , n _ { e } = 8 , N _ { 0 } = 2 \times 1 , T _ { \mathrm { t o t a l } } = 1 . 0
\sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] = 0 .
\texttt { V a r } \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } \right) = \underbrace { E \left[ \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } \right] } _ { = 1 } \texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \right) + \texttt { V a r } \left[ \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } \right] \, .
F _ { \mu \nu } ^ { a b } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a b } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a b } + \frac { 1 } { 2 } f _ { C D E F } ^ { a b } A _ { \mu } ^ { C D } A _ { \nu } ^ { E F } .
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 , j } } & { = } & { J _ { 3 , j } + J _ { 4 , j } , \quad H _ { 2 , j } = 2 J _ { 3 , j } , } \\ { E _ { 1 , j } } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } [ J _ { 1 , j } - J _ { 8 , j } + i ( J _ { 2 , j } - J _ { 7 , j } ) ] , } \\ { E _ { 2 , j } } & { = } & { - ( J _ { 5 , j } + i J _ { 6 , j } ) , } \\ { E _ { 3 , j } } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } [ J _ { 1 , j } + J _ { 8 , j } + i ( J _ { 2 , j } + J _ { 7 , j } ) ] , } \\ { F _ { 1 , j } } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } [ J _ { 1 , j } - J _ { 8 , j } - i ( J _ { 2 , j } - J _ { 7 , j } ) ] , } \\ { F _ { 2 , j } } & { = } & { - ( J _ { 5 , j } - i J _ { 6 , j } ) , } \\ { F _ { 3 , j } } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } [ J _ { 1 , j } + J _ { 8 , j } - i ( J _ { 2 , j } + J _ { 7 , j } ) ] , } \end{array}
[ \mathcal { T } ( \tilde { P } ) ] ( k ) = - \frac { k ^ { 2 } } { x _ { T } } \tilde { P } + \frac { x _ { T } } { 4 \xi ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { P } } { \partial k ^ { 2 } } + z \left[ \tilde { P } ( k + 1 , x ) + \tilde { P } ( k - 1 , x ) \right] ,
\partial _ { t } w = i A w - \frac { i } { 4 } \mathrm { e } ^ { i t \partial _ { x } ^ { 2 } } B ( \mathrm { e } ^ { - i t \partial _ { x } ^ { 2 } } w + \mathrm { e } ^ { i t \partial _ { x } ^ { 2 } } \overline { { w } } ) ^ { 2 } - i ( a t + b ) \mathrm { e } ^ { i t \partial _ { x } ^ { 2 } } B ( \mathrm { e } ^ { - i t \partial _ { x } ^ { 2 } } w + \mathrm { e } ^ { i t \partial _ { x } ^ { 2 } } \overline { { w } } ) .
\begin{array} { r l } { a _ { T ( V ) } ^ { r } ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes v ) \otimes ( \delta _ { g _ { j } } \otimes n ) ) } & { = T ( a _ { B } ^ { r } ) \mu _ { V , B } ^ { T } ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes v ) \otimes ( \delta _ { g _ { j } } \otimes n ) ) } \\ & { = \frac { \delta _ { i , j } } { \gamma ( g _ { i } ) ( | v | , n ) } ( \delta _ { g _ { i } } \otimes ( v \cdot n ) ) . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l l l } { X } & { \to } & { { \mathfrak { X } } _ { 2 } } & { \to } & { { \mathfrak { X } } _ { 3 } } & { \to \cdots } \\ { \downarrow } & & { \downarrow } & & { \downarrow } & \\ { \operatorname { S p e c } ( \mathbb { F } _ { p } ) } & { \to } & { \operatorname { S p e c } ( \mathbb { Z } / ( p ^ { 2 } ) ) } & { \to } & { \operatorname { S p e c } ( \mathbb { Z } / ( p ^ { 3 } ) ) } & { \to \cdots } \end{array} }
D _ { i } ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d \gamma \chi _ { i } ( \xi , \gamma ) \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \cos [ p ( x - y ) ] \ln \left| { \frac { ( 1 - \gamma ^ { 2 } ) p ^ { 2 } + 4 m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right| ,
[ { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } } { P _ { \beta } } { M _ { \mu \nu } } , M ] = { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } } { P _ { \lambda } } { M _ { \mu \nu } } { \omega ^ { \lambda } } _ { \beta } + { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } } { P _ { \beta } } { M _ { \mu \lambda } } { \omega ^ { \lambda } } _ { \nu } - { \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } } { P _ { \beta } } { M _ { \nu \lambda } } { \omega ^ { \lambda } } _ { \mu }
\frac { s ^ { \prime } } { W _ { i } ^ { \prime } } - \frac { s ^ { \prime } k _ { + } - t k _ { - } ^ { \prime } + u k _ { + } ^ { \prime } - 4 i \varepsilon ( q _ { + } q _ { - } p _ { + } k ) } { 2 W _ { i } W _ { i } ^ { \prime } } = \frac { s ^ { \prime } } { W _ { i } } - \frac { s ^ { \prime } k _ { - } - t ^ { \prime } k _ { + } ^ { \prime } + u ^ { \prime } k _ { - } ^ { \prime } - 4 i \varepsilon ( q _ { - } q _ { + } p _ { - } k ) } { 2 W _ { i } W _ { i } ^ { \prime } } .