harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I _ { 2 } = - \int _ { \mathbb R } \partial _ { x } ^ { 2 } ( v v _ { x } ) \partial _ { x } ^ { 3 } v \ d x = - \frac { 3 } { 2 } \int _ { \mathbb R } ( \partial _ { x } ^ { 3 } v ) ^ { 2 } v _ { x } \ d x ,
\tilde { A } _ { \mathrm { F } } ( t ) \boldsymbol \rho ( t ) = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } D _ { 2 } \boldsymbol \rho ( t ) - ( D _ { 1 } \boldsymbol s ( t ) ) \boldsymbol u ( t ) \boldsymbol \rho ( t ) - \boldsymbol s ( t ) ( D _ { 1 } \boldsymbol u ( t ) ) \boldsymbol \rho ( t ) - \boldsymbol s ( t ) \boldsymbol u ( t ) ( D _ { 1 } \boldsymbol \rho ( t ) ) ,
\begin{array} { r l } { d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \theta , \delta } ^ { y , \textup { J } } \Vert \mu _ { \theta , \delta } ^ { y , \bullet } ) = } & { d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \theta } ^ { y , \textup { M } } \Vert \mu _ { \theta } ^ { y , \bullet } ) + \int _ { \Theta } d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \delta | \theta } ^ { y , \textup { J } } \Vert \mu _ { \delta | \theta } ^ { y , \bullet } ) \mathrm { d } \mu _ { \theta } ^ { y , \textup { M } } , } \\ { d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \theta , \delta } ^ { y , \bullet } \Vert \mu _ { \theta , \delta } ^ { y , \textup { J } } ) = } & { d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \theta } ^ { y , \bullet } \Vert \mu _ { \theta } ^ { y , \textup { M } } ) + \int _ { \Theta } d _ { \textup { K L } } ( \mu _ { \delta | \theta } ^ { y , \bullet } \Vert \mu _ { \delta | \theta } ^ { y , \textup { J } } ) \mathrm { d } \mu _ { \theta } ^ { y , \bullet } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { \hbar \Delta _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hbar \epsilon \left( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } \right) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { \hbar \Omega _ { i } } { 2 } \left( \hat { p } _ { i } ^ { 2 } + \hat { q } _ { i } ^ { 2 } \right) + \hbar f _ { i } \hat { q } _ { i } + \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { I n t } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { R } ^ { l ^ { \mathrm { { c } } } } } & { = \int q \left( l _ { n + 1 } ^ { \mathrm { c } } - l _ { n } ^ { \mathrm { c } } \right) \ \mathrm { d } { \Omega _ { 0 } } } \\ & { - \left( 1 - \theta ^ { l ^ { \mathrm { c } } } \right) \ \Delta t \int q \ f _ { n } \left( u _ { i } , l ^ { \mathrm { c } } \right) \ \mathrm { d } { \Omega _ { 0 } } } \\ & { - \theta ^ { l ^ { \mathrm { c } } } \ \Delta t \int q \ f _ { n + 1 } \left( u _ { i } , l ^ { \mathrm { c } } \right) \ \mathrm { d } { \Omega _ { 0 } } \qquad \forall q \in { \mathcal { Q } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \langle A | \rho _ { s } ( t ) | A \rangle = - \frac { i } { \hbar } \langle A | H _ { s , - } \rho _ { s } ( t ) | A \rangle } \\ & { \qquad + \sum _ { \alpha , \beta = L , R } \sum _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { 4 } } ( - 1 ) ^ { \alpha + \beta } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } t _ { 1 } C _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { \beta } ( t , t _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \times \langle A | \hat { A } _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } ^ { \alpha } ( t ) \rho _ { s , \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { ( 1 ) \beta } ( t , t _ { 1 } ) | A \rangle . } \end{array}
A _ { M } \tilde { A } _ { N } = R _ { M N , M ^ { \prime } N ^ { \prime } } \tilde { A } _ { N ^ { \prime } } A _ { M ^ { \prime } } , \; \; \; \; \; \; A _ { M } ^ { \dagger } \tilde { A } _ { N } ^ { \dagger } = \tilde { A } _ { N ^ { \prime } } ^ { \dagger } A _ { M ^ { \prime } } ^ { \dagger } R _ { M ^ { \prime } N ^ { \prime } , M N }
\rho _ { 3 } = \exp [ i \kappa ( \hat { a } \hat { c } ^ { \dagger } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { c } ) ] \rho _ { 2 } \exp [ - i \kappa ( \hat { a } \hat { c } ^ { \dagger } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { c } ) ] .
\operatorname { p r o b } _ { \mathrm { a f t e r } } ( \psi \to \phi ) = \sum _ { j } \, \left| \langle { \mathrm { a f t e r } } \right| \phi , \epsilon _ { j } \rangle | ^ { 2 } = \sum _ { j } \, \left| \sum _ { i } \psi _ { i } ^ { * } \langle i , \epsilon _ { i } | \phi , \epsilon _ { j } \rangle \right| ^ { 2 } = \sum _ { j } \left| \sum _ { i } \psi _ { i } ^ { * } \phi _ { i } \langle \epsilon _ { i } | \epsilon _ { j } \rangle \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r l } { L ( x ) L ( x ) ^ { - 1 } } & { { } = 1 \qquad } & { { \mathrm { c o r r e s p o n d i n g ~ t o } } \qquad x ( x \backslash y ) } & { { } = y } \\ { L ( x ) ^ { - 1 } L ( x ) } & { { } = 1 \qquad } & { { \mathrm { c o r r e s p o n d i n g ~ t o } } \qquad x \backslash ( x y ) } & { { } = y } \\ { R ( x ) R ( x ) ^ { - 1 } } & { { } = 1 \qquad } & { { \mathrm { c o r r e s p o n d i n g ~ t o } } \qquad ( y / x ) x } & { { } = y } \\ { R ( x ) ^ { - 1 } R ( x ) } & { { } = 1 \qquad } & { { \mathrm { c o r r e s p o n d i n g ~ t o } } \qquad ( y x ) / x } & { { } = y } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathbf { Z } _ { p } } X } & { \cong F \left( X , \operatorname * { f i b } \left( 0 \rightarrow D _ { \mathbf { Q } _ { p } / \mathbf { Z } _ { p } } \right) \right) \cong F \left( X , \Sigma ^ { - 1 } D _ { \mathbf { Q } _ { p } / \mathbf { Z } _ { p } } \right) } \\ & { \cong \Sigma ^ { - 1 } F \left( X , D _ { \mathbf { Q } _ { p } / \mathbf { Z } _ { p } } \right) \cong \Sigma ^ { - 1 } I _ { \mathbf { Q } _ { p } / \mathbf { Z } _ { p } } X \mathrm { . } } \end{array}
H ^ { * } \equiv \mathcal { R } _ { j } \left( \frac { 1 } { 2 } \ddot { q } _ { j } + \frac { 1 } { 2 } f _ { j } - \frac { \partial f _ { j } } { \partial \dot { q } _ { i } } \dot { q } _ { i } \right) - \dot { \mathcal { R } } _ { i } \dot { q } _ { i } .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { U } } \, \hat { \mathcal { S } } } & { = \exp \biggl ( \frac { \mathrm { i } } { \hbar } \left( \underline { { \hat { A } } } \cdot \underline { { d } } _ { e n } \right) \biggr ) \exp \biggl ( \mathrm { i } \, \frac { \pi } { 2 } \sum _ { \lambda , k } ^ { 2 N _ { c } } \hat { n } _ { \lambda k } \biggr ) \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R M S E } ( v , t ) } & { = \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { l a t } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l o n } } L ( i ) ( \hat { X } _ { i , j , t } ^ { v } - X _ { i , j , t } ^ { v } ) ^ { 2 } } { N _ { l a t } N _ { l o n } } } } \\ { \mathrm { A C C } ( v , t ) } & { = \frac { \sum _ { i , j } L ( i ) \hat { X } _ { i , j , t } ^ { v } X _ { i , j , t } ^ { v } } { \sqrt { \sum _ { i , j } L ( i ) ( \hat { X } _ { i , j , t } ^ { v } ) ^ { 2 } \sum _ { i , j } L ( i ) ( X _ { i , j , t } ^ { v } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( X , Y , Z , \tau ) } & { = A ( Z ) \exp \Big ( - \frac { X ^ { 2 } } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } ( Z ) } - \frac { Y ^ { 2 } } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } ( Z ) } } \\ & { - \frac { \tau ^ { 2 } } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ( Z ) } + \frac { i k _ { 0 } } { 2 } ( \vartheta _ { _ { X } } ( Z ) X ^ { 2 } } \\ & { + \vartheta _ { _ { Y } } ( Z ) Y ^ { 2 } + \vartheta _ { \tau } ( Z ) \tau ^ { 2 } ) + i \psi ( Z ) \Big ) , } \end{array}
r _ { 0 } ^ { I } = \frac { 1 } { M _ { \pi } a _ { 0 } ^ { I } } - \frac { 2 M _ { \pi } b _ { 0 } ^ { I } } { ( a _ { 0 } ^ { I } ) ^ { 2 } } - \frac { 2 a _ { 0 } ^ { I } } { M _ { \pi } } \, .
{ \cal L } _ { \mathrm { c t } } ^ { ( 1 ) } = - \lambda ^ { - 1 / 2 } \left( \ddot { v } - m ^ { 2 } v + { \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } } v ^ { 3 } \right) \epsilon _ { \alpha } \zeta _ { \alpha }
\begin{array} { r } { E = E _ { 0 } + E _ { \gamma } } \\ { E ^ { \prime } = E _ { 0 } ^ { \prime } + E _ { \gamma } ^ { \prime } } \\ { E ^ { \prime } = E + K } \\ { E _ { 0 } = E _ { 0 } ^ { \prime } + K _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \alpha _ { k } ^ { 2 } } & { { } = } & { 1 , } \\ { \left[ \hat { T } _ { k } , \hat { T } _ { m } \right] _ { + } } & { { } = } & { 0 , \quad 1 \le k , m \le M , \ k \ne m } \end{array}
N \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \zeta _ { L } ^ { a } ( 1 - \zeta _ { L } ^ { a } ) + N \frac { 1 } { 2 } ( v _ { L } ^ { I } ) ^ { 2 } = 0 \ \ \bmod 1 ;
\begin{array} { r l r } { f _ { \mathrm { l o n g } } } & { { } = } & { \mathbf { \hat { e } _ { \parallel } } \cdot \mathbf { \nabla } ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { \hat { e } _ { \parallel } } ) \, , } \\ { f _ { \mathrm { f a s t } } } & { { } = } & { \mathbf { \nabla } \cdot ( \mathbf { v } - \mathbf { \hat { e } _ { \parallel } } v _ { \parallel } ) \, , } \end{array}
\mathcal { D } \frac { \partial ^ { 4 } w } { \partial x ^ { 4 } } + \rho \mathcal { A } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial t ^ { 2 } } = \delta \left( x \right) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega _ { P } t } , \quad P \in \mathbb { Z } .
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \vec { \omega } ) = \frac { 1 } { | \mathcal { S } | } \sum _ { \vec { x } \in \mathcal { S } } \mathcal { E } \big ( \mathcal { N } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { \omega } ) \big ) + \textrm { P e n a l t y } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ \eta _ { a } , \eta _ { b } \right] } \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } \bar { v } } { \sqrt { \partial _ { z } v ^ { 1 } } } ( t ) \right\| ^ { 2 } \leq 2 \mathbb { E } \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } \bar { v } } { \sqrt { \partial _ { z } v ^ { 1 } } } ( \eta _ { a } ) \right\| ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb { E } \int _ { \eta _ { a } } ^ { \eta _ { b } } ( 1 + \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + \| u ^ { 2 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) \| \bar { u } \| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( \beta ) } & { { } = \int \frac { d ^ { ( 2 ) } \ln ( \langle \exp ( s \kappa _ { 2 } ( \alpha , \beta ) ) \rangle ) } { d s ^ { ( 2 ) } } | _ { s = 0 } d \alpha } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { H _ { x } = H _ { p } } & { = - \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \operatorname { P } [ x _ { j } ] \ln \operatorname { P } [ x _ { j } ] } \\ & { = - \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \operatorname { e r f } \left( \left( j + { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \sqrt { 2 \pi } } \right) - \operatorname { e r f } \left( \left( j - { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \sqrt { 2 \pi } } \right) \right] \ln { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \operatorname { e r f } \left( \left( j + { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \sqrt { 2 \pi } } \right) - \operatorname { e r f } \left( \left( j - { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \sqrt { 2 \pi } } \right) \right] } \\ & { \approx 0 . 3 2 2 6 } \end{array} }
2 [ t _ { 1 } \cos ( q _ { x } b ) - t _ { 3 } \cos ( q _ { y } b ) ] J _ { 1 } ( K _ { y 2 } ) J _ { 2 } ( K _ { y 1 } ) \sin ( 2 \varphi _ { y 1 } - \varphi _ { y 2 } ) + 2 t _ { 2 } \cos [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 1 } ( K _ { x 2 } ) J _ { 2 } ( K _ { x 1 } ) \sin ( \varphi _ { x 2 } ) \}
\begin{array} { r l } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta ) \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta - \frac { 2 } { 3 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta ) } & { a \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta ) v \partial _ { v } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ { + ( 1 - \gamma ) \langle \mathbb { K } [ g ] , \varphi \rangle + ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { r ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta ) \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { a ^ { \perp } ( ( \mathfrak { u } _ { \mathrm { a } } ^ { \perp } , \mathfrak { e } _ { \mathrm { a } } ^ { \perp } ) , ( \delta \mathfrak { u } , \delta \mathfrak { v } ) ) = L _ { h } ( \delta \mathfrak { v } ) \quad \forall ( \delta \mathfrak { u } , \delta \mathfrak { v } ) \in \ensuremath { \mathfrak { U } } ^ { \perp } \times \ensuremath { \mathfrak { V } } ^ { \perp } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \widetilde { u } _ { j } } { \partial t } + \frac { \partial \widetilde { u } _ { i } \widetilde { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } } & { { } = \nu \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { u } _ { j } } { \partial x _ { i } \partial x _ { i } } - \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { r } } { \partial x _ { i } } - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \widetilde { p } } { \partial x _ { j } } , } \\ { \frac { \partial \widetilde { u } _ { k } } { \partial x _ { k } } } & { { } = 0 . } \end{array}
2 \lambda = M _ { 1 1 } + M _ { 2 2 } \pm \sqrt { ( M _ { 1 1 } + M _ { 2 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( M _ { 1 1 } M _ { 2 2 } - M _ { 1 2 } M _ { 2 1 } ) } .
\begin{array} { l } { { \left( D ^ { 1 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \to - \frac { 2 c \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } l _ { k } } { \varepsilon ^ { \mathrm { 2 } } \left[ \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } + \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right] ^ { \mathrm { 2 } } } \to o \left( \sigma ^ { - 1 } \right) \mathrm { , } } } \\ { { \left( D ^ { 2 } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \to - \frac { 2 c \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } l _ { k } } { 2 \pi \varepsilon ^ { \mathrm { 2 } } \left[ \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } + \left( \sigma _ { s , g } \right) _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \right] ^ { \mathrm { 2 } } } \to o \left( \sigma ^ { - 1 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , t _ { \kappa _ { l } ^ { i } + 1 } ] } \frac { | \xi _ { N } ( t ) | ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , t _ { \kappa _ { l } + 1 } ] } \frac { | \xi _ { N } ( t ) | ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , t _ { \kappa _ { l } + 1 } ] } \frac { | \xi _ { N } ( t ) | ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } + \frac { 3 \delta } { \nu } \sum _ { j = 1 } ^ { \kappa _ { l } + 1 } | \nabla \xi ^ { j } | ^ { 2 } \leq l . } \end{array}
r _ { 0 } ^ { r / l } ( \omega ) = \sqrt { R _ { 0 } ^ { r / l } } e ^ { i \psi ^ { R } } = i \frac { Q ^ { r / l } ( \omega ) } { \mathcal { R } ( \omega ) - i \mathcal { I } ( \omega ) } , \ \ \ \ \psi ^ { R } = \tan ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathcal { I } ( \omega ) } { \mathcal { R } ( \omega ) } \right] + \frac { \pi } { 2 } , \ \ \ \ R _ { 0 } ^ { r / l } = \frac { \left[ Q ^ { r / l } ( \omega ) \right] ^ { 2 } } { { \it \mathcal { R } } ^ { 2 } ( \omega ) + { \it \mathcal { I } } ^ { 2 } ( \omega ) } ,
- \frac { 1 } { 2 } \, C _ { 6 } ^ { - 1 } \, \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \, ( h _ { 0 0 } - h _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n } } ) ^ { - 1 } \, I _ { \mathfrak { n } 0 } \, I _ { 0 \mathfrak { n } }
\int _ { 0 } ^ { \infty } \Bigg ( \sum _ { i , j } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } ( s ) - x _ { j } ( s ) | \big ) \, \big | x _ { i } ( s ) - x _ { j } ( s ) \big | ^ { 2 } \Bigg ) ^ { 2 } \, d s \, \leq 2 N ^ { 2 } \mathcal { E } ( 0 ) < \infty \, .
d s ^ { 2 } = - \left( { 2 R \kappa } \right) d t ^ { 2 } + \left( 2 R \kappa \right) ^ { - 1 } d R ^ { 2 } + A _ { h } \left( 1 + { \frac { 2 R } { \sqrt { A _ { h } } } } \right) d \Omega ^ { 2 }
H _ { c } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \pi ^ { i } \pi _ { i } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 4 } \tilde { F } ^ { i j } \tilde { F } _ { i j } + \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \partial _ { i } \pi ^ { i } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { i } \pi ) ^ { 2 } - A ^ { 2 } \right] - A _ { i } ^ { \prime } \partial _ { i } \pi
( { \frac { 1 } { \hat { \omega } } } \gamma ^ { 0 } \hat { \pi } _ { k } \Sigma ^ { k } - s ) _ { \alpha _ { a } \alpha _ { a } ^ { \prime } } { \bf \Psi } _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { a } ^ { \prime } \ldots \alpha _ { N } } = 0 \; , \quad a = 1 , \ldots , N \; .
\mathbb { E } [ Z _ { i } \, Z _ { i } ^ { \prime } ] ^ { - 1 } \mathbb { E } [ Z _ { i } \, \mathcal { I } _ { i } ] = \mathbb { E } [ Z _ { i } \, Z _ { i } ^ { \prime } ] ^ { - 1 } \mathbb { E } [ Z _ { i } \, \mathbb { E } [ \, \mathcal { I } _ { i } \mid X _ { i } ] ] = \mathbb { E } [ Z _ { i } \, Z _ { i } ^ { \prime } ] ^ { - 1 } \mathbb { E } [ Z _ { i } \, \tau ( X _ { i } ) ] = \beta
\biggl [ \, G _ { i j k l } ( x ) \frac { \delta } { \delta h _ { k l } ( x ) } \frac { \delta } { \delta h _ { i j } ( x ) } - \frac { 1 } { ( 1 6 \pi G ) ^ { 2 } } \, \sqrt { h ( x ) } \Bigl ( \! ~ R ( x ) + 2 \Lambda \Bigr ) \biggr ] \, \Psi [ h ] = 0 \ ,
A _ { m } ( 4 , 4 ) = 1 , 4 , 2 2 , 1 4 0 , 9 6 9 , 7 0 8 4 , 5 3 8 2 0 , 4 2 0 7 3 2 , 3 3 6 2 2 6 0 , 2 7 3 4 3 8 8 8 , \ldots = A _ { m + 1 } ( 4 , 1 )
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { = { \frac { 2 } { \sqrt { I _ { 3 } } } } \left[ \left( { \frac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \frac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 2 } } } \right) { \boldsymbol { B } } - { \frac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] + 2 { \sqrt { I _ { 3 } } } ~ { \frac { \partial { \hat { W } } } { \partial I _ { 3 } } } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } } \\ & { = { \frac { 2 } { J } } \left[ { \frac { 1 } { J ^ { 2 / 3 } } } \left( { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) { \boldsymbol { B } } - { \frac { 1 } { J ^ { 4 / 3 } } } ~ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] + \left[ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial J } } - { \frac { 2 } { 3 J } } \left( { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + 2 ~ { \bar { I } } _ { 2 } ~ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) \right] ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } } \\ & { = { \frac { 2 } { J } } \left[ \left( { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) { \bar { \boldsymbol { B } } } - { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } \cdot { \bar { \boldsymbol { B } } } \right] + \left[ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial J } } - { \frac { 2 } { 3 J } } \left( { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + 2 ~ { \bar { I } } _ { 2 } ~ { \frac { \partial { \bar { W } } } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) \right] ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } } \\ & { = { \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } } ~ { \frac { \partial { \tilde { W } } } { \partial \lambda _ { 1 } } } ~ \mathbf { n } _ { 1 } \otimes \mathbf { n } _ { 1 } + { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } } ~ { \frac { \partial { \tilde { W } } } { \partial \lambda _ { 2 } } } ~ \mathbf { n } _ { 2 } \otimes \mathbf { n } _ { 2 } + { \frac { \lambda _ { 3 } } { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } } ~ { \frac { \partial { \tilde { W } } } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ \mathbf { n } _ { 3 } \otimes \mathbf { n } _ { 3 } } \end{array} }
\frac { 1 } { N } \frac { \theta _ { \mathrm { ~ s ~ } } F _ { i } \left( \mathbf { x } \right) } { \theta _ { \mathrm { ~ n ~ } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } F _ { k } \left( \mathbf { x } \right) h _ { k i } + \theta _ { \mathrm { ~ s ~ } } F _ { i } \left( \mathbf { x } \right) } .
I _ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } ^ { x y } ( \boldsymbol { r } , \epsilon ) = | E _ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } ^ { x y } ( \boldsymbol { r } , \epsilon ) | ^ { 2 } = | E _ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } ^ { x } ( \boldsymbol { r } , \epsilon ) | ^ { 2 } + | E _ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } ^ { y } ( \boldsymbol { r } , \epsilon ) | ^ { 2 }
\frac { d \overline { { C } } } { d t } = - \frac { 1 } { r } \frac { \partial r \overline { { u ^ { \prime } C ^ { \prime } } } } { \partial r } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial \overline { { \rho _ { 0 } w ^ { \prime } C ^ { \prime } } } } { \partial z }
\{ \lambda _ { \alpha } , \lambda _ { \beta } ^ { \dagger } \} = \delta _ { \alpha \beta } , \; \; \; \; \; \{ \lambda _ { \alpha } , \lambda _ { \beta } \} = \{ \lambda _ { \alpha } ^ { \dagger } , \lambda _ { \beta } ^ { \dagger } \} = 0 .
I ( s , t ) = \frac { 3 ^ { 9 } } { 2 ^ { 1 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d T \; e ^ { T } \; \frac { \operatorname * { d e t } ( 1 + S \tilde { X } ( T ) ) } { \operatorname * { d e t } ( 1 - S \tilde { N } ( T ) ) ^ { 1 3 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } p _ { i } Q _ { i j } p _ { j } \right)
y _ { \pm } \simeq \frac { a } { t } \, \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left[ ( n \pm b ) ^ { 2 } + c ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } , \ \ b = \frac { \beta t } { 4 \pi } \sqrt { \rho ( \lambda ^ { 1 1 } - \lambda ^ { 2 2 } ) } , \ \ c ^ { 2 } = \frac { \rho \beta ^ { 2 } t ^ { 2 } ( \lambda ^ { 1 1 } + \lambda ^ { 2 2 } ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \simeq \frac { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } .
\hat { j } _ { W } ^ { ( L ) } ( p ) \; = \; \frac { 2 i } { \pi } \sin ( p _ { 1 } L ) \sin ( p _ { 2 } L ) \left( \begin{array} { c } { { - \frac { 1 } { p _ { 1 } } } } \\ { { \; } } \\ { { + \frac { 1 } { p _ { 2 } } } } \end{array} \right) \; .
\Delta _ { \mathrm { p o l . } } = \Delta _ { L T } + \Delta _ { T T } + \Delta _ { F _ { 2 } } = \frac { \alpha m } { 2 \pi ( 1 + \kappa ) M } \left( \delta _ { L T } + \delta _ { T T } + \delta _ { F _ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { t } } & { { } = 0 , } \\ { \dot { p } _ { t } } & { { } = - V _ { 1 } , } \\ { \dot { A } _ { t } } & { { } = - V _ { 2 } , } \\ { \dot { \gamma } _ { t } } & { { } = - V _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { \underline { { \operatorname { c u r l } } } \left( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) \right) - \omega ^ { 2 } \varepsilon E _ { i } ^ { k + 1 } } & { = 0 } & { \mathrm { i n } \ \Omega _ { i } , } \\ { \mu ^ { - 1 } \gamma _ { i } ^ { t } \left( \operatorname { c u r l } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) \right) - i \omega \kappa \gamma _ { i } ^ { T } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) } & { = 0 } & { \mathrm { o n } \ \Gamma _ { i } ^ { \infty } , } \\ { \gamma _ { i } ^ { T } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) } & { = \gamma _ { i } ^ { T } \left( E _ { i } ^ { \mathrm { i n c } } \right) } & { \mathrm { o n } \ \Gamma _ { i } ^ { \mathrm { i n c } } , } \\ { \mu ^ { - 1 } S \left( \gamma _ { i } ^ { t } \left( \operatorname { c u r l } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) \right) \right) - i \omega \kappa \gamma _ { i } ^ { T } \left( E _ { i } ^ { k + 1 } \right) } & { = g _ { j i } ^ { k } } & { \mathrm { o n } \ \Sigma _ { i j } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { H } } ( \mathbf { K } ^ { \prime } + \mathbf { k } ) \approx \left( \begin{array} { c c } { u _ { A } } & { \gamma k \mathrm { e } ^ { - i \varphi ( \mathbf { k } ) } } \\ { \gamma k \mathrm { e } ^ { i \varphi ( \mathbf { k } ) } } & { u _ { B } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } = - \left( \frac { { r } _ { k + 1 } } { [ f ( \theta _ { k } ) + C ] ^ { q } } \nabla f ( \theta _ { k } ) + \mathcal { L } ( \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } ) \right) } \\ { \frac { { r } _ { k + 1 } - r _ { k } } { \delta t } = q [ f ( \theta _ { k } ) + C ] ^ { q - 1 } ( \nabla f ( \theta _ { k } ) , \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { S _ { 2 2 } ^ { q } ( \omega ) = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E [ A _ { \gamma \delta } ( 2 ) A _ { \delta \gamma } ( 2 ) } \\ { \times ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E + \hbar \omega ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E ) ] f _ { \delta } ( E + \hbar \omega ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \widetilde { \phi } _ { n l } ^ { \mathrm { t e s t } } ( r ) } { d r ^ { 2 } } } & { { } = \frac { 2 } { r } \bigg [ \frac { l ( l + 1 ) } { 2 r } - r \left[ V ^ { \mathrm { l o c } } ( r ) + A ( r ) \right] + Y _ { \mu } ( n l ; r ) } \end{array}