harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f ( x ^ { \mathrm { o u t } } ) \| ^ { 2 } = \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \mathbb { E } \| \nabla f ( x _ { \hat { r } - 1 } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ \frac { 2 ( f ( x _ { 0 } ) - \mathbb { E } [ f ( x _ { * } ) ] ) } { \eta K R } - \frac { 1 } { 4 \eta ^ { 2 } } \frac { 1 } { K R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { k , r - 1 } - x _ { k - 1 , r } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 e } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \mathbb { E } \| \widetilde v _ { r } - \nabla f ( x _ { r - 1 } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \left( { ^ { ^ C } \mathcal { D } _ { 0 ^ { + } } ^ { ^ \alpha } } u ( t ) \right) v ( t ) d t = \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } u ( t ) \left( { ^ { ^ { R L } } \mathcal { D } _ { T ^ { - } } ^ { ^ \alpha } } v ( t ) \right) d t + u ( T ) \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } v ( t ) - u ( 0 ) \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } v ( 0 ) } \end{array}
\S _ { 0 } ( t ) = \S ^ { 0 } ( t ) \left[ 1 + C _ { F } \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } ( i t / 2 ) ^ { 2 \epsilon } } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } \Gamma ( - \epsilon ) A + \cdots \right] \, , \quad \S ^ { 0 } ( t ) = - i \theta ( t ) \, .
\frac { m _ { i } } { m _ { j } } = \frac { M _ { c } ^ { i } } { M _ { c } ^ { j } } = \sqrt { \frac { ( \vec { \alpha } _ { i } \cdot \Lambda _ { + } ) ( \vec { \alpha } _ { i } \cdot \Lambda _ { - } ) } { ( \vec { \alpha } _ { j } \cdot \Lambda _ { - } ) ( \vec { \alpha } _ { j } \cdot \Lambda _ { + } ) } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ P _ { \lambda } ( c _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , c _ { M } ^ { 2 } ; \theta ) \right] = } & { \sum _ { | v | + | \mu | = | \lambda | } \frac { H ( \lambda ) } { H ( v ) H ( \mu ) } \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \Gamma ( \theta ( N - i + 1 ) ) \Gamma ( \theta ( N - i + 1 ) + \lambda _ { i } ) } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \Gamma ( \theta ( N - i + 1 ) + v _ { i } ) \Gamma ( \theta ( N - i + 1 ) + \mu _ { i } ) } } \\ & { \frac { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; \theta ) } { P _ { v } ( 1 ^ { M } ; \theta ) P _ { \mu } ( 1 ^ { M } ; \theta ) } C _ { \lambda } ^ { v , \mu } ( \theta ) P _ { v } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ; \theta ) P _ { \mu } ( b _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , b _ { M } ^ { 2 } ; \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { 0 } ^ { t _ { k } } W _ { l } ( t ) d t - \int _ { 0 } ^ { t _ { k } } \bar { W } _ { l - 1 } ( T _ { k ( l - 1 ) } + t ) d t ~ \right| } \\ { \leq ~ } & { \frac { 1 } { \lambda _ { l } } \left| \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { l - 1 } t _ { k } } ( \tilde { W } _ { l } ( t ) - \tilde { W } _ { l - 1 } ( T _ { k ( l - 1 ) } + t ) ) d t \right| + \left| \frac { 1 } { \lambda _ { l } } - \frac { 1 } { \lambda _ { l - 1 } } \right| \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { l - 1 } t _ { k } } \tilde { W } _ { l - 1 } ( t ) d t + \frac { 1 } { \lambda _ { l } } \int _ { \lambda _ { l - 1 } t _ { k } } ^ { \lambda _ { l } t _ { k } } \tilde { W } _ { l } ( t ) d t } \\ { \leq ~ } & { \frac { 1 } { \lambda _ { l } } \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { l - 1 } t _ { k } } \left| \tilde { W } _ { l } ( t ) - \tilde { W } _ { l - 1 } ( T _ { k ( l - 1 ) } + t ) \right| d t + \left| \frac { 1 } { \lambda _ { l } } - \frac { 1 } { \lambda _ { l - 1 } } \right| \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { l - 1 } t _ { k } } \tilde { W } _ { l - 1 } ( t ) d t + \frac { 1 } { \lambda _ { l } } \int _ { \lambda _ { l - 1 } t _ { k } } ^ { \lambda _ { l } t _ { k } } \tilde { W } _ { l } ( t ) d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \tilde { v } ( x , t , \cdot ) - v ^ { X , ( 1 ) } ( x , t , z _ { 1 } ( \zeta , t , \cdot ) ) \| _ { L ^ { 1 } ( \mathcal { X } _ { 1 , j } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 } \ln t , } \\ & { \| \tilde { v } ( x , t , \cdot ) - v ^ { X , ( 1 ) } ( x , t , z _ { 1 } ( \zeta , t , \cdot ) ) \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { X } _ { 1 , j } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } \ln t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g } & { = g _ { 1 } + \mathrm { i } g _ { 2 } = \operatorname { s i g n } ( c _ { 1 } ( x ) ) \left( \cos { ( x _ { 0 } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { 1 } } } \\ & { \phantom { = } + \mathrm { i } \operatorname { s i g n } ( c _ { 2 } ( x ) ) \left( \cos { ( x _ { 0 } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \sin { ( x ) } \right) ^ { m _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y ^ { i } ) ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { j , \varepsilon } - y ^ { j } ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { m } \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ( \sigma _ { l } ^ { i } ( X _ { s } , Y _ { s } ) - \theta ^ { i } ( Y _ { s } ) \sigma _ { l } ^ { 0 } ( X _ { s } , Y _ { s } ) \Big ) \Big ( \sigma _ { l } ^ { j } ( X _ { s } , Y _ { s } ) - \theta ^ { j } ( Y _ { s } ) \sigma _ { l } ^ { 0 } ( X _ { s } , Y _ { s } ) \Big ) \, \mathrm { d } s + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) } \\ & { = \sum _ { l = 1 } ^ { m } \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ( \sigma _ { l } ^ { i } ( 0 , y ) - \theta ^ { i } ( y ) \sigma _ { l } ^ { 0 } ( 0 , y ) \Big ) \Big ( \sigma _ { l } ^ { j } ( 0 , y ) - \theta ^ { j } ( y ) \sigma _ { l } ^ { 0 } ( 0 , y ) \Big ) \, \mathrm { d } s + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) } \\ & { = \Big ( \Sigma ^ { i j } ( y ) - \theta ^ { i } ( y ) \Sigma ^ { 0 j } ( y ) - \theta ^ { j } ( y ) \Sigma ^ { 0 i } ( y ) + \theta ^ { i } ( y ) \theta ^ { j } ( y ) \Sigma ^ { 0 0 } ( y ) \Big ) \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) . } \end{array}
L _ { n } ( \mathcal F ) \leq C \left( 2 \alpha + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \int _ { \alpha } ^ { \infty } \sqrt { \log ( { 8 } / { u } ) \, \mathcal { N } ( \Omega , { u } / { 2 } , \rho ) } \mathrm { d } u + \frac { 1 } { { n } } \int _ { \alpha } ^ { \infty } \log ( { 8 } / { u } ) \, \mathcal { N } ( \Omega , { u } / { 2 } , \rho ) \mathrm { d } u \right) .
\begin{array} { r l } & { g _ { n m } = \quad \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { l = 0 } ^ { m } G _ { k , n ; l , m } - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { l = 0 } ^ { m - 1 } G _ { k , n ; l , m - 1 } } \\ & { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { m } G _ { k , n - 1 ; l , m } \, + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { m - 1 } G _ { k , n - 1 ; l , m - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { W A P } ( L ^ { 1 } ( G ) ) } & { = C _ { b } ( G ) \cap \mathrm { s m a l l } _ { a } \left( { \mathrm { \mathbf { [ D L P ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) } \\ & { = C _ { b } ( G ) \cap \mathrm { s m a l l } _ { g } \left( { \mathrm { \mathbf { [ D L P ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) = \operatorname { W A P } ( G ) , } \\ { \operatorname { A S P } ( L ^ { 1 } ( G ) ) } & { = C _ { b } ( G ) \cap \mathrm { s m a l l } _ { a } \left( { \mathrm { \mathbf { [ N P ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) } \\ & { = C _ { b } ( G ) \cap \mathrm { s m a l l } _ { g } \left( { \mathrm { \mathbf { [ N P ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) = \operatorname { A S P } ( G ) } \\ { \operatorname { T a m e } ( L ^ { 1 } ( G ) ) } & { = C _ { b } ( G ) \cap \mathrm { s m a l l } _ { a } \left( { \mathrm { \mathbf { [ T ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) } \\ & { = C _ { b } ( G ) \cap \mathrm { s m a l l } _ { g } \left( { \mathrm { \mathbf { [ T ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) = \operatorname { T a m e } ( G ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb { P } } \left( \operatorname* { i n f } _ { L } \log | p _ { n } ( z ) | > 0 \right) } & { \geq { \mathbb { P } } \left( \bigcap _ { k = 1 } ^ { n ^ { 2 } } \{ \log | p _ { n } ( w _ { k } ) | > 1 \} \right) } \\ & { = 1 - \sum _ { k = 1 } ^ { n ^ { 2 } } { \mathbb { P } } \left( \log | p _ { n } ( w _ { k } ) | \leq 1 \right) } \\ & { \geq 1 - n ^ { 2 } \exp ( - C _ { 0 } \, n ) . } \end{array}
+ \frac { y ^ { 1 } z ^ { 7 } } { 1 ^ { a } 7 ^ { b } } + \frac { y ^ { 2 } z ^ { 7 } } { 2 ^ { a } 7 ^ { b } } + \frac { y ^ { 3 } z ^ { 7 } } { 3 ^ { a } 7 ^ { b } } + \frac { y ^ { 4 } z ^ { 7 } } { 4 ^ { a } 7 ^ { b } } + \frac { y ^ { 5 } z ^ { 7 } } { 5 ^ { a } 7 ^ { b } } + \frac { y ^ { 6 } z ^ { 7 } } { 6 ^ { a } 7 ^ { b } } + \frac { y ^ { 7 } z ^ { 7 } } { 7 ^ { a } 7 ^ { b } } + \cdots
^ 3 ( \sigma _ { s } \sigma _ { s } ^ { * } ) ^ { 3 } ( \overline { { \sigma _ { p } } } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } ) \left( ^ 1 ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { y } } } ) ^ { 1 } ( \pi _ { x } ^ { * } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) + ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { y } ) ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } \pi _ { y } ^ { * } ) \right)
c ^ { 2 } { d \tau } ^ { 2 } = \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - { \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } } } - r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } - r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 }
{ \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial t ^ { + } } } + \overline { { U _ { j } ^ { + } } } \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } = - \frac { \partial \overline { { P ^ { + } } } } { \partial x _ { i } ^ { + } } ~ + ~ ^ { M } D _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) + 1 } ( \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ) ~ ; i , j = 1 , 2 , 3 ; ~ \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { + } ^ { ( n ) } } & { = \frac { 2 i v ^ { ( n ) } T _ { 2 } ^ { ( n ) } } { \hbar } \chi ( \omega _ { c } ) F _ { c } e ^ { - i ( \omega _ { c } - \omega _ { p } / 2 ) t } \cos ( \Delta \omega t / 2 ) } \\ & { \times \frac { 1 + i T _ { 2 } ^ { ( n ) } \delta \omega ^ { ( n ) } } { 1 + \left( T _ { 2 } ^ { ( n ) } \delta \omega ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } + \zeta ^ { ( n ) } \left[ 1 + \cos \left( \Delta \omega \, t \right) \right] } . } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } \sum _ { p = u , c } \, \lambda _ { p } \bigg ( \sum _ { i = 1 , 2 } \, C _ { i } ( \mu ) \, Q _ { i } ^ { p } + \sum _ { i = 3 , \dots , 6 } C _ { i } ( \mu ) \, Q _ { i } + C _ { 8 g } ( \mu ) \, Q _ { 8 g } \bigg ) ,
W = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \left[ \mathbf { { B } } _ { k } ^ { \ast } \cdot \mathbf { { B } } _ { k } + \mathbf { { E } } _ { k } ^ { \ast } \cdot \frac { \partial } { \partial \omega _ { k } } \left( \omega _ { k } \overleftrightarrow { \mathbf { K } } ^ { h } \right) \cdot \mathbf { { E } } _ { k } \right] ,
4 . 1 6 6 6 6 6 6 6 7 \times 1 0 ^ { - 6 } T ^ { 4 } - 0 . 0 0 0 8 T ^ { 3 } + 0 . 0 6 4 9 5 8 3 3 3 3 3 T ^ { 2 } - 2 . 7 3 T + 5 5 . 2 2 3 4 3 7 5
{ \frac { \Gamma ( \delta + 1 ) } { \pi ^ { \delta } } } \left| { \frac { \boldsymbol { \nu } } { 2 \pi } } \right| ^ { - { \frac { n } { 2 } } - \delta } J _ { { \frac { n } { 2 } } + \delta } ( \! | { \boldsymbol { \nu } } | \! )
\begin{array} { r l } { \tau _ { \omega } ^ { j } } & { : = \tau _ { \mathfrak { a } ( \omega _ { j - 1 } ) } \circ \cdots \circ \tau _ { \mathfrak { a } ( \omega _ { 0 } ) } = \tau _ { \mathfrak { a } ( \omega _ { j - 1 } ) + \cdots + \mathfrak { a } ( \omega _ { 0 } ) } = \tau _ { \mathfrak { a } ( \omega _ { j - 1 } \circ \cdots \circ \, \omega _ { 0 } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \alpha _ { q } ( k ) - 1 ) } & { | [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { q r } | ^ { 2 } + | [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { q r } | ^ { 2 } } \\ & { < \frac { \xi ^ { 2 } } { D ^ { 2 } } \left( ( \alpha _ { q } ( k ) - 1 ) \left| \Re ( [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { q q } ) \right| ^ { 2 } + \left| \Re ( [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { r r } ) \right| \left| \Re ( [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { q q } ) \right| \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { E , \alpha } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ( \gamma ) } & { = G _ { \alpha } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( E ) , { \mu } _ { E } ^ { \gamma } } u _ { E , \gamma } ( \gamma _ { E } ) \, , } \\ { T _ { E , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ( \gamma ) } & { = T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( E ) , { \mu } _ { E } ^ { \gamma } } u _ { E , \gamma } ( \gamma _ { E } ) \, , } \end{array}
f _ { \ell } ^ { m } = \int _ { \Omega } f ( \theta , \varphi ) \, Y _ { \ell } ^ { m * } ( \theta , \varphi ) \, d \Omega = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi } \, d \theta \, \sin \theta f ( \theta , \varphi ) Y _ { \ell } ^ { m * } ( \theta , \varphi ) .
\phi = \int d r \frac { { \cal { L } } } { r ^ { 2 } } \left[ \frac { { \cal { E } } _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - \left( m ^ { 2 } c ^ { 2 } + \frac { { \cal { L } } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) \right] ^ { - 1 / 2 } .
\begin{array} { r } { \hat { P } _ { \mathrm { S } } ( t ) = e ^ { - k t } \left( \frac { 1 } { 4 } + \sum _ { \alpha \beta \in \{ x , y , z \} } R _ { \alpha , \beta } ^ { ( 1 ) } ( t ) R _ { \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } ( t ) \right) , } \end{array}
\langle T _ { \tau \tau } \rangle = - { \frac { \kappa \alpha ^ { 2 } } { 4 [ ( \alpha \tau + \beta ) ^ { 2 } + \kappa ] ^ { 3 / 2 } } } \left[ 3 ( \alpha \tau + \beta ) + 5 \sqrt { ( \alpha \tau + \beta ) ^ { 2 } + \kappa } \right] \ \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { p _ { G _ { * } } } \left( | \hat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } | + \lambda ^ { * } \| ( \widehat { \mu } _ { n } , \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \mu ^ { * } , \Sigma ^ { * } ) \| \right) } & { \overset { \mathrm { T h m } ~ } { \lesssim } \mathbb { E } _ { p _ { G _ { * } } } V ( p _ { \widehat { G } _ { n } } , p _ { G _ { * } } ) \leq \mathbb { E } _ { p _ { G _ { * } } } h ( p _ { \widehat { G } _ { n } } , p _ { G _ { * } } ) } \\ & { \overset { \mathrm { T h m } ~ } { \lesssim } \frac { \log n } { \sqrt { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \forall v \in { \mathcal S } ( u ) : \widehat \varphi _ { u , v } \le z _ { u , v } } & { \mid u \in \widehat \Xi _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( \mathrm { u n s u r e } ) } [ 2 w _ { \mathrm { h h } } , \infty ) \big ) } \\ & { : = \mathbb { P } \big ( \forall v \in { \mathcal S } ( u ) : U _ { u , v } \le z _ { u , v } \mid \forall v \in { \mathcal S } ( u ) : U _ { u , v } > r _ { k } \big ) . } \end{array}
B _ { 1 , 3 } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 3 } { 2 } t ^ { 2 } + 2 t , \quad } & { 0 \leq t < 1 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 - t ) ^ { 2 } , \quad } & { 1 \leq t < 2 } \\ { 0 \quad } & { o t h e r w i s e } \end{array} \right.
{ \frac { \partial l } { \partial x _ { i } ^ { ( k ) } } } = { \frac { \partial l } { \partial { \hat { x } } _ { i } ^ { ( k ) } } } { \frac { 1 } { \sqrt { \sigma _ { B } ^ { ( k ) ^ { 2 } } + \epsilon } } } + { \frac { \partial l } { \partial \sigma _ { B } ^ { ( k ) ^ { 2 } } } } { \frac { 2 ( x _ { i } ^ { ( k ) } - \mu _ { B } ^ { ( k ) } ) } { m } } + { \frac { \partial l } { \partial \mu _ { B } ^ { ( k ) } } } { \frac { 1 } { m } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { \lambda , l } \Gamma _ { I C } ( \lambda l , I _ { e } \to I _ { g } ) = } & { { } \frac { \alpha } { 1 + \alpha } \gamma , } \\ { \sum _ { \lambda , l } \Gamma _ { r a d } ( \lambda l , I _ { e } \to I _ { g } ) = } & { { } \frac { 1 } { 1 + \alpha } \gamma , } \end{array}
S _ { z } ^ { D } = \int d ^ { 4 } x \left( \int d ^ { 4 } \theta K ( z , z ^ { \dagger } ) \int d ^ { 2 } \theta l z \left\{ w - U ( A _ { D } ) + \frac { \Lambda ^ { 4 } z l } { w } f \left( \frac { A _ { D } ^ { 2 } } { w } , \frac { \Lambda ^ { 4 } } { w ^ { 2 } } \right) \right\} + h . c . \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { N o r m } _ { K [ m ] } ^ { K [ m \ell ] } ( { \kappa } _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } \mathfrak { l } } ) = \bigg ( } & { a _ { \ell } ( f ) - \frac { \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) \psi _ { 2 } ( \mathfrak { l } ) } { \ell } ( [ \mathfrak { l } ] \times [ \mathfrak { l } ] ) - \frac { \psi _ { 1 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) } { \ell } ( [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] \times [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) } \\ & { + ( 1 - \ell ) \frac { \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) } { \ell ^ { 2 } } ( [ \mathfrak { l } ] \times [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) \bigg ) ( { \kappa } _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { H } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { | E \rangle \! \rangle } \end{array} \right) = 0 , \quad \Sigma \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { | E \rangle \! \rangle } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { | E \rangle \! \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
S = 2 ^ { 5 / 4 } 3 ^ { - 3 / 4 } \pi ^ { 7 / 8 } n _ { w } ^ { 5 / 4 } \kappa ^ { - 3 / 4 } L ^ { 3 } \left( \delta M / M _ { 0 } \right) ^ { 3 / 4 } \ .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { M } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } = } & { - \mathbf { M } ( \mathbf { \Delta } \tilde { \mathbf { U } } \mathbf { \Xi } e ^ { - \Xi t } \mathbf { V } ) \vec { x } + \mathbf { M } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } } \\ { \partial _ { t } \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } } & { = ( \partial \vec { x } / \partial t ) ^ { T } ( \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } + \vec { x } ^ { T } \partial _ { t } ( \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) ^ { T } \vec { x } ) } \\ { \vec { x } ^ { T } \partial _ { t } ( \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } ) } & { = \vec { x } ^ { T } ( \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \frac { \partial \vec { x } } { \partial t } - \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } ( \mathbf { \Delta } \tilde { \mathbf { U } } \mathbf { \Xi } e ^ { - \Xi t } ) \vec { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { P } _ { n } \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } } \\ { 0 _ { m + n - 1 } } \end{array} \right) } & { = P _ { 1 } \Big [ P _ { 2 } \cdots P _ { k } \check { P } _ { k + 1 } \cdots \check { P } _ { n } \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } } \\ { 0 _ { m + n - 1 } } \end{array} \right) \Big ] } \\ & { = P _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } } \\ { 0 _ { m + n - 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } } \\ { 0 _ { m + n - 1 } } \end{array} \right) + \alpha _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { - e _ { 1 } ^ { ( n ) } } \\ { u _ { 1 } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { \alpha _ { 1 } u _ { 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } | u | ^ { q } \, d x } & { \le \left( \int _ { \Omega } \frac { | u | ^ { p } } { d _ { \Omega } ^ { \, p } } \, d x \right) ^ { \frac { q } { p } } \, \left( \int _ { \Omega } d _ { \Omega } ^ { \frac { p \, q } { p - q } } \, d x \right) ^ { \frac { p - q } { p } } } \\ & { \le \Big ( \mathfrak { h } _ { p } ( \Omega ) \Big ) ^ { - \frac { q } { p } } \left( \int _ { \Omega } | \nabla u | ^ { p } \, d x \right) ^ { \frac { q } { p } } \left( \int _ { \Omega } d _ { \Omega } ^ { \frac { p \, q } { p - q } } \, d x \right) ^ { \frac { p - q } { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { \vec { w } } [ n ] : = } & { { } T _ { s } ^ { \vec { w } } [ n ] + \int n v d \boldsymbol { r } + E _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \vec { w } } [ n ] + E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \vec { w } } [ n ] + E _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \vec { w } } [ n ] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { m } _ { i } } { d t } = } & { { } - \gamma _ { \mathbf { L } } \mathbf { m } _ { i } \times \left( \mathbf { B } _ { i } + \mathbf { B } _ { i } ^ { \mathrm { f } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 4 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 3 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 4 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 4 + 2 i , 4 k + 4 - 2 i } ^ { i - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = \sum _ { i } H _ { 1 } ( \boldsymbol { r _ { i } } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } H _ { 2 } ( \boldsymbol { r _ { i } } , \boldsymbol { r _ { j } } ) } \\ { H _ { 1 } ( \boldsymbol { r _ { i } } ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { i } - \sum _ { a } \frac { Z _ { a } } { | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { a } | } - i \boldsymbol { A } ( t ) \cdot \nabla _ { i } } \\ { H _ { 2 } ( \boldsymbol { r _ { i } } , \boldsymbol { r _ { j } } ) } & { = \frac { 1 } { | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } | } } \end{array}
T _ { \mathrm { U n r u h } } = \frac { \hbar \, { a } } { 2 \, \pi \, c \, k } = { 4 \cdot 1 0 ^ { - 2 1 } \ \mathrm { K } } \ \left( \frac { a } { 1 \ \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leqslant T - \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widehat { r } + 1 } ^ { r + k } \Big ( \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { z } ( z ) - f _ { t } ( x ) \Big ) \Big | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leqslant T - \widetilde { r } } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widehat { r } + 1 } ^ { r + k } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { z } ( z ) - f _ { t } ( x ) \Big | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leqslant T - \widetilde { r } } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widehat { r } + 1 } ^ { r + k } C _ { 2 } h ^ { r } } \\ { \le } & { C _ { 2 } \sqrt { T } h ^ { r } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ( T ) } } } { \partial r } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ( T ) } } } { \partial \theta ^ { 2 } } = \cos \theta \left[ 2 r \exp ( - r ^ { 2 } ) - \frac { \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) } { r } + \frac { \exp ( - r ^ { 2 } ) } { r } \right] . } \end{array}
\Gamma = { \frac { 1 } { 7 ! \sqrt { | \gamma | } } } \epsilon ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { 7 } } D _ { i _ { 1 } } X ^ { \mu _ { 1 } } \cdots D _ { i _ { 7 } } X ^ { \mu _ { 7 } } \Gamma _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 7 } } \, .
f ( \tau , \bar { \tau } ) = \sum _ { n \ge 0 } ( f , v _ { n } ) v _ { n } ( \tau , \bar { \tau } ) + \frac { 1 } { 4 \pi i } \int _ { R e s = 1 / 2 } ( f , E _ { s } ) E _ { s } ( \tau , \bar { \tau } ) d s
F _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { e ^ { \frac { 2 \pi i k } { n } } } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { - \frac { e ^ { \frac { 2 \pi i k } { n } } } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - e ^ { \frac { 2 \pi i k } { n } } } \end{array} \right) .