harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { q ^ { \prime \prime } ( x ) } & { = ( \Phi ( q ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) ) ( x ) } \\ & { = ( \Gamma _ { - } ( q ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) ) ( x ) + ( \Gamma _ { + } ( q ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) ) ( x ) } \\ & { \le q ^ { \prime } ( x - b ^ { \prime } ) + q ^ { \prime } ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { = ( \Phi ( q , b ) ) ( x - b ^ { \prime } ) + ( \Phi ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { = ( \Gamma _ { - } ( q , b ) ) ( x - b ^ { \prime } ) + ( \Gamma _ { + } ( q , b ) ) ( x - b ^ { \prime } ) + ( \Gamma _ { - } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) + ( \Gamma _ { + } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { = ( \Gamma _ { - } ( q , b ) ) ( x - b ^ { \prime } ) + ( \Gamma _ { + } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) + ( ( \Gamma _ { + } ( q , b ) ) ( x - b ^ { \prime } ) + ( \Gamma _ { - } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) ) } \\ & { \le \frac 1 4 + \frac 1 4 + \frac 1 2 = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { u } u _ { u } } & { { } = \rho _ { d } u _ { d } , } \\ { \rho _ { u } u _ { u } ^ { 2 } + p _ { u } + p _ { r , u } } & { { } = \rho _ { d } u _ { d } ^ { 2 } + p _ { d } + p _ { r , d } } \\ { ( E _ { u } + p _ { u } + p _ { r , u } ) u _ { u } } & { { } = ( E _ { d } + p _ { d } + p _ { r , d } ) u _ { d } } \end{array}
\left[ \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { X } \mathbf { \mathcal { A } } _ { - } ^ { X } + \omega ^ { 2 } \mathbf { 1 } \right] \mathbf { C } ^ { X } \mathbf { ( } \omega ) = \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { X } .
\begin{array} { r } { \phi ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \alpha ) = \frac 1 2 \sum _ { s \in \mathcal { S } } \sum _ { \omega \in \mathcal { W } } \Vert \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \omega , s ) \Vert _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { m } ^ { \top } \Gamma ( \alpha , \mu ) \boldsymbol { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { U } & { \colon \mathbb { Z } \to \mathbb { W } _ { n } , } & { \star } & { \colon \mathbb { W } _ { n } \otimes \mathbb { W } _ { n } \to \mathbb { W } _ { n } , } \\ { F _ { s } } & { \colon \mathbb { W } _ { s n } \to \mathbb { W } _ { n } \quad ( s \geq 1 ) , } & { V _ { s } } & { \colon \mathbb { W } _ { n } \to \mathbb { W } _ { s n } \quad ( s \geq 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { h y b } } & { { } = \tilde { f } _ { d } \left( { 1 + f _ { e } } \right) l _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ A ~ N ~ S ~ } } + \left( { 1 - \tilde { f } _ { d } } \right) l _ { \mathrm { ~ \tiny ~ L ~ E ~ S ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { H } _ { d e m } \left( z \right) } & { = - \frac { M _ { S } } { 4 \pi } \nabla _ { \textbf { r } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } d r ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \theta ^ { \prime } d \theta ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi ^ { \prime } \frac { r _ { < } ^ { l } } { r _ { > } ^ { l + 1 } } P _ { l } \left( \cos \theta ^ { \prime } \right) \cos \theta ^ { \prime } \delta \left( r ^ { \prime } - R \right) } \\ & { = - \frac { M _ { S } } { 2 } \nabla _ { \textbf { r } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } d r ^ { \prime } \frac { r _ { < } ^ { l } } { r _ { > } ^ { l + 1 } } \delta \left( r ^ { \prime } - R \right) \overset { = \frac { 2 } { 2 l + 1 } \delta _ { l 1 } } { \overbrace { \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } P _ { l } \left( \cos \theta ^ { \prime } \right) } } } \\ & { = - \frac { M _ { S } } { 3 } \nabla _ { \textbf { r } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } d r ^ { \prime } \frac { r _ { < } } { r _ { > } ^ { 2 } } \delta \left( r ^ { \prime } - R \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { \omega _ { I - 1 , K } } { \omega _ { K I } } } } & { = } & { \frac { \prod _ { n = k } ^ { I - 2 } p _ { v _ { n + 1 } v _ { n } } } { \prod _ { n = k } ^ { I - 1 } p _ { v _ { n } v _ { n + 1 } } } } \\ & { = } & { \frac { p _ { v _ { k + 1 } v _ { k } } \cdot p _ { v _ { k + 2 } v _ { k + 1 } } \cdot \ldots \cdot p _ { v _ { I - 2 } v _ { I - 3 } } \cdot p _ { v _ { I - 1 } v _ { I - 2 } } } { p _ { v _ { k } v _ { k + 1 } } \cdot p _ { v _ { k + 1 } v _ { k + 2 } } \cdot \ldots \cdot p _ { v _ { I - 2 } v _ { I - 1 } } \cdot p _ { v _ { I - 1 } v _ { I } } } } \\ & { = } & { \frac { p _ { v _ { I } v _ { I - 1 } } } { p _ { v _ { I } v _ { I - 1 } } } \cdot \frac { \prod _ { n = K } ^ { I - 2 } } { \prod _ { n = K } ^ { I - 1 } } = \frac { 1 } { p _ { v _ { I } v _ { I - 1 } } } \prod _ { n = K } ^ { I - 1 } \frac { p _ { v _ { n + 1 } v _ { n } } } { p _ { v _ { n } v _ { n + 1 } } } } \\ & { = } & { \frac { k _ { v _ { I } } } { e _ { I I - 1 } } \prod _ { n = K } ^ { I - 1 } \frac { e _ { v _ { n + 1 } v _ { n } } } { k _ { v _ { n + 1 } } } \frac { k _ { v _ { n } } } { e _ { v _ { n } v _ { n + 1 } } } } \\ & { = } & { \frac { k _ { v _ { I } } } { e _ { I I - 1 } } \frac { k _ { v _ { K } } \cdot k _ { v _ { K + 1 } } \cdot \ldots \cdot k _ { v _ { I - 1 } } } { k _ { v _ { K + 1 } } \cdot \ldots \cdot k _ { v _ { I - 1 } } \cdot k _ { v _ { I } } } = k _ { v _ { K } } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { U _ { n } } \\ { U _ { n + 1 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - Q } & { P } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { U _ { n - 1 } } \\ { U _ { n } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - Q } & { P } \end{array} \right] } ^ { n } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { U _ { 0 } } \\ { U _ { 1 } } \end{array} \right] }
\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } b _ { j k } ^ { ( i ) } < ( 1 - \xi - \kappa ) + \xi + \frac { \kappa } { 2 } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { j } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| } { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { l } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| } + \frac { \kappa } { 2 } \frac { \sum _ { k = j + 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right| } { \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { l } \right\rangle \right| } < 1 .
A ( \omega ) = - \log _ { 1 0 } \left( \frac { I _ { \mathrm { t , s o l u t i o n } } ( \omega ) } { I _ { \mathrm { t , c e l l } } ( \omega ) + I _ { \mathrm { r , c e l l } } ( \omega ) - I _ { \mathrm { r , s o l u t i o n } } ( \omega ) } \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { y _ { 1 } ( y ; 0 ) = \mathbb { P } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( y ) = y } \\ & { } & { y _ { 2 } ( y ; 0 ) = \mathbb { Q } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( y ) = \frac { y } { 2 } \ln \left( \frac { 1 + y } { 1 - y } \right) - 1 } \\ & { } & { y _ { 1 } ^ { ' } ( y ; 0 ) = 1 } \\ & { } & { y _ { 2 } ^ { ' } ( y ; 0 ) = \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { 1 + y } { 1 - y } \right) + \frac { y } { 1 - y ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 , 5 } \lambda _ { 2 , 6 } \lambda _ { 3 , 4 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 3 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 , 5 , 6 } } ) } & { = ( - 1 ) ^ { n } ( \frac { ( \chi - 2 ) ^ { 2 } } { \chi ^ { 2 } } + 2 \frac { \chi - 2 } { \chi ^ { 2 } } + \frac { \chi - 2 } { \chi ^ { 2 } } - 2 \frac { \chi - 1 } { \chi ^ { 2 } } ) \kappa _ { e ^ { 2 } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } \frac { \chi - 3 } { \chi } \kappa _ { e ^ { 2 } } . } \end{array}
\partial _ { \mu } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { \mu } \partial ^ { \nu } \varphi \partial _ { \nu } \varphi - \lambda x ^ { \mu } \varphi ^ { 4 } \right] = \partial _ { \mu } \left( x ^ { \mu } { \mathcal { L } } \right)
I ( x , - 1 / 2 , \Omega , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta ( \Omega - e _ { y } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \in [ - 1 / 8 , 1 / 8 ] , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { Q _ { m } ^ { \prime \prime } } & { = \frac { ( x | \tau ^ { k } a ) ^ { m } } { ( x ; \tau ^ { k } b ) ^ { m } } \frac { ( z ; \tau ^ { k } b ) ^ { m } } { ( z | \tau ^ { k } a ) ^ { m } } \langle e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes v | B ( x , y ) \widehat { B } ( z , w ) | e _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes u \rangle , } \\ { Q _ { m } ^ { \prime \prime \prime } } & { = \frac { ( y | ( \tau ^ { k } a ) ^ { \prime } ) ^ { m } } { ( y ; ( \tau ^ { k } b ) ^ { \prime } ) ^ { m } } \frac { ( w ; ( \tau ^ { k } b ) ^ { \prime } ) ^ { m } } { ( w | ( \tau ^ { k } a ) ^ { \prime } ) ^ { m } } \langle v \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } | C ( x , y ) \widehat { C } ( z , w ) | u \otimes e _ { 0 } ^ { \otimes m } \rangle , } \\ { Q _ { m } ^ { \prime \prime \prime \prime } } & { = \frac { ( y | ( \tau ^ { k } a ) ^ { \prime } ) ^ { m } } { ( y ; ( \tau ^ { k } b ) ^ { \prime } ) ^ { m } } \frac { ( w ; ( \tau ^ { k } b ) ^ { \prime } ) ^ { m } } { ( w | ( \tau ^ { k } a ) ^ { \prime } ) ^ { m } } \frac { ( x | \tau ^ { k } a ) ^ { m } } { ( x ; \tau ^ { k } b ) ^ { m } } \frac { ( z ; \tau ^ { k } b ) ^ { m } } { ( z | \tau ^ { k } a ) ^ { m } } \langle v | D ( x , y ) \widehat { D } ( z , w ) | u \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = \omega _ { + } c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 1 } + \omega _ { - } c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 2 } + g \left[ V _ { x } ( t ) \cos \left( \omega _ { m } t + \Delta ( t ) \right) + V _ { y } ( t ) \sin \left( \omega _ { m } t + \Delta ( t ) \right) \right] \, ( c _ { 1 } ^ { \dagger } c _ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \dagger } c _ { 1 } ) } \end{array}
x _ { m T G D } ^ { \infty } = a y _ { 1 } ^ { \infty } - \sum _ { j = 2 } ^ { N ^ { - } } \mathbf { v } _ { j } ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { - + } \delta \mathbf { x } ^ { + \infty } y _ { j } ^ { \infty } .
\begin{array} { r l r } { q ( \chi ) } & { { } = } & { \frac { I _ { \mathrm { Q E D } } } { I _ { \mathrm { C } } } , } \\ { I _ { \mathrm { Q E D } } } & { { } = } & { m c ^ { 2 } \int c ( k \cdot k ^ { \prime } ) \frac { d W _ { f i } } { d \eta d r _ { 0 } } d r _ { 0 } , } \\ { I _ { \mathrm { C } } } & { { } = } & { \frac { 2 e ^ { 4 } E ^ { 2 } } { 3 m ^ { 2 } c ^ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \left[ \rho _ { g } \left( \varepsilon _ { g } + \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } \right) \right] + \frac { \partial } { \partial x } \left[ \rho _ { g } v \left( \varepsilon _ { g } + \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } + \frac { P } { \rho _ { g } } \right) \right] = } \\ { - \frac { 4 } { D _ { 1 } } \dot { m } _ { c } \left( \varepsilon _ { g } + \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } + \frac { P } { \rho _ { g } } \right) - \frac { 4 } { D _ { 1 } ^ { 2 } } N u \cdot k _ { g } ( T _ { g } - T _ { s } ) . } \end{array}
\Delta \Sigma _ { n p } = \frac { g ^ { 2 } } 6 \frac { \pi ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } 4 \sqrt { \frac { m ^ { 2 } } { \tilde { p } ^ { 2 } } } K _ { 1 } \left( \sqrt { m ^ { 2 } \tilde { p } ^ { 2 } } \right) .
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } - \mathrm { s _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ) } } } } } } } } } }
\sigma ( E ) = \frac { 1 } { E } \sum _ { k } \sum _ { j } \left[ h _ { s , k , j } e ^ { \left( \sqrt { E } - u _ { k } \right) ^ { 2 } / w _ { s , k , j } ^ { 2 } } + h _ { a , k , j } e ^ { \left( \sqrt { E } - u _ { k } \right) ^ { 2 } / w _ { a , k , j } ^ { 2 } } \right]
I _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } } = \frac { 2 } { H _ { x _ { 1 } } + H _ { x _ { 2 } } } \iint p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \log _ { 2 } \left( \frac { p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { p ( x _ { 1 } ) p ( x _ { 2 } ) } \right) d x _ { 1 } d x _ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { w ( \xi , \zeta | { a } , { c } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { T ( \xi - a ) T ( \zeta - c ) } \int _ { 0 } ^ { T ( \xi - a ) } d t \int _ { 0 } ^ { T ( \zeta - c ) } \Theta ( W - | t - t ^ { \prime } | ) \, d t \, d t ^ { \prime } \; . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \dot { \alpha } _ { p } } \\ { \dot { \beta } _ { p } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { J ^ { s } } \left( \begin{array} { l } { \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \\ { - \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { H ^ { \coth } [ \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } / J ^ { s } ] - C _ { 1 } } \\ { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } / J ^ { s } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } / J ^ { s } + H ^ { \coth } [ \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } / J ^ { s } ] - C _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \| u _ { i } - ( u _ { i } ) _ { \theta } \| _ { H ^ { l } ( \Omega ) } \leq C _ { l , k , d + 1 , u _ { i } } \lambda _ { l , u _ { i } } ( N ) N ^ { - k + l } , } \\ & { \| v _ { i } - ( v _ { i } ) _ { \theta } \| _ { H ^ { s } ( \Omega ) } \leq C _ { s , k - 1 , d + 1 , v _ { i } } \lambda _ { s , v _ { i } } ( N ) N ^ { - k + 1 + s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { A D } ( t ) } & { { } = \prod _ { n = 1 } ^ { N } U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } ~ \rho _ { 1 } ~ { ( U _ { A D } ^ { \lambda _ { n } } ) } ^ { \dagger } , ~ ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } , } \\ { \rho ^ { C D } ( t ) } & { { } = \prod _ { n = 1 } ^ { N } U _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } ~ \rho _ { 1 } ~ { ( U _ { C D } ^ { \lambda _ { n } } ) } ^ { \dagger } . } \end{array}
\widetilde { \alpha _ { 0 } } = \frac { \alpha _ { 0 } - ( 0 . 0 5 7 + 0 . 0 1 5 ) / 2 } { ( 0 . 0 5 7 - 0 . 0 1 5 ) / 2 } , \qquad \widetilde { m } = \frac { m - ( 0 . 4 0 + 0 . 3 1 ) / 2 } { ( 0 . 4 0 - 0 . 3 1 ) / 2 } .
\begin{array} { r l } { { 1 } 0 } & { = ( \omega U _ { 3 } ) ^ { t } A ( \chi V _ { 3 } ) + ( \gamma U _ { 3 } ) ^ { t } C ^ { t } ( \chi V _ { 3 } ) + ( \omega U _ { 3 } ) C ( \zeta V _ { 3 } ) + ( \gamma U _ { 3 } ) ^ { t } B ( \zeta V _ { 3 } ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( W ) \operatorname* { d e t } ( Z ) ( U _ { 3 } ) ^ { t } C V _ { 3 } = \operatorname* { d e t } ( W ) \operatorname* { d e t } ( Z ) g ( U _ { 3 } , V _ { 3 } ) } \end{array}
\langle u _ { s } w _ { s } \rangle _ { \phi } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( u ( t _ { k , \phi } ) - \langle u \rangle _ { \phi } \right) \left( w ( t _ { k , \phi } ) - \langle w \rangle _ { \phi } \right) } { N } ,
\begin{array} { r } { | R _ { \pm } \rangle = \sqrt { \frac { | A _ { \mathbf { k } } | } { | A _ { \mathbf { k } } | + | B _ { \mathbf { k } } | } } \left( \begin{array} { l } { \pm \sqrt { \frac { | B _ { \mathbf { k } } | } { | A _ { \mathbf { k } } | } } e ^ { - i \Delta \phi / 2 } } \\ { 1 } \end{array} \right) \textrm { , } } \\ { | L _ { \pm } \rangle = \sqrt { \frac { | B _ { \mathbf { k } } | } { | A _ { \mathbf { k } } | + | B _ { \mathbf { k } } | } } \left( \begin{array} { l } { \pm \sqrt { \frac { | A _ { \mathbf { k } } | } { | B _ { \mathbf { k } } | } } e ^ { - i \Delta \phi / 2 } } \\ { 1 } \end{array} \right) \textrm { , } } \end{array}
P _ { L R } \approx P _ { L R } ^ { \infty } = 1 - \frac { 1 - ( 1 - z ) ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + ( 1 - z ) ^ { 2 } } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad P _ { C } \approx P _ { C } ^ { \infty } = z ,
\Gamma _ { \alpha \beta } = \frac { 2 \omega _ { a } ^ { 2 } } { \hbar \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } \mathbf { d } _ { \alpha } ^ { * } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \{ \bar { G } ( \mathbf { r } _ { \alpha } , \mathbf { r } _ { \beta } , \omega _ { a } ) \} \mathbf { d } _ { \beta } ^ { T }
{ \begin{array} { r r r r l } { 1 0 x _ { 1 } } & { - x _ { 2 } } & { + 2 x _ { 3 } } & & { = 6 , } \\ { - x _ { 1 } } & { + 1 1 x _ { 2 } } & { - x _ { 3 } } & { + 3 x _ { 4 } } & { = 2 5 , } \\ { 2 x _ { 1 } } & { - x _ { 2 } } & { + 1 0 x _ { 3 } } & { - x _ { 4 } } & { = - 1 1 , } \\ & { 3 x _ { 2 } } & { - x _ { 3 } } & { + 8 x _ { 4 } } & { = 1 5 . } \end{array} }
\int \! \! \! D \! A \ \exp \left\{ i \bar { V } ^ { i } ( \eta _ { x } + \Delta \eta ) Y _ { i } ( \eta _ { x } + \Delta \eta ) + i W ^ { i } ( \eta _ { x } - \Delta \eta ) \bar { U } _ { i } ( \eta _ { x } - \Delta \eta ) + i S ( A ) \right\} .
\frac { i } { 2 \Lambda ^ { 2 } \xi } < < \int d ^ { 4 } x \, ( \partial . { \hat { A } } ^ { a } ) \, e ^ { - \frac { \partial ^ { 2 } } { 2 \Lambda ^ { 2 } \xi } } \, \partial ^ { 2 } ( \partial . A ^ { a } ) > >
\tilde { E } _ { P } ( \omega ) = \frac { E _ { 0 } \sqrt { \pi } \tau } { \sqrt { 2 \ln { ( 2 ) } } } \exp { \biggl \{ i C _ { t } \left( \frac { f } { \Delta f ( C _ { t } , t _ { c h } ) } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { f } { \Delta f ( C _ { t } , t _ { c h } ) } \right) ^ { 2 } \biggr \} } ,
\sum _ { i x , i y } \sqrt { ( \Delta _ { 3 , x x x } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } + ( 2 \Delta _ { 3 , x x y } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } + ( 2 \Delta _ { 3 , x y y } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } + ( \Delta _ { 3 , y y y } ^ { \sigma * } ) ^ { 2 } }
\frac { 1 } { N ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ( \mathrm { d } s ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ( \mathrm { d } s ^ { \prime } ) \frac { \mathbf { E } \langle ( G _ { s } - G _ { s ^ { \prime } } ^ { * } ) \mathcal { A } _ { s } \rangle \langle ( G _ { s } - G _ { s ^ { \prime } } ^ { * } ) \mathcal { A } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } \rangle } { \big ( \sqrt { \eta ^ { 2 } + s ^ { 2 } } + \sqrt { \eta ^ { 2 } + s ^ { 2 } } \big ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } & { F _ { 0 1 } ^ { 0 } = - A ^ { \prime } - \frac { U } { A } - \frac { A } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } ( 1 - R _ { i } ) , \quad F _ { 1 2 } ^ { 2 } = r \, C ^ { \prime } - \frac { W } { A } + \left( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \right) C , } \\ & { F _ { 1 3 } ^ { 3 } = \left[ \left( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \right) C + r c ^ { \prime } - \frac { z } { A } \right] \sin \theta , \quad F _ { 0 2 } ^ { 3 } = r C V , \quad F _ { 0 3 } ^ { 2 } = - r V \, C \, \sin \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { r e f l } } & { = \mathrm { E } _ { 0 } \mathrm { i } ^ { m } e ^ { \mathrm { i } \omega t } \Bigg ( - \mathcal { U } _ { n , m } + \frac { \mathrm { i } m } { 2 } \bigg ( \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \bigg ) - \frac { \mathrm { i } \epsilon } { 2 } \bigg ( \mathcal { U } _ { n + 2 , m } A _ { n } - \mathcal { U } _ { n , m + 2 } A _ { m } + \mathcal { U } _ { n - 2 , m } B _ { n } - \mathcal { U } _ { n , m - 2 } B _ { m } \bigg ) + \frac { \epsilon m } { 4 } \bigg ( \mathcal { U } _ { n + 2 , m } A _ { n } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } } \\ & { + \mathcal { U } _ { n + 2 , m } A _ { n } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } - \mathcal { U } _ { n , m + 2 } A _ { m } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } - \mathcal { U } _ { n , m + 2 } A _ { m } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } + \mathcal { U } _ { n - 2 , m } B _ { n } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + \mathcal { U } _ { n - 2 , m } B _ { n } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } - \mathcal { U } _ { n , m - 2 } B _ { m } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } - \mathcal { U } _ { n , m - 2 } B _ { m } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \bigg ) \Bigg ) } \end{array}
\gamma _ { \xi } ^ { ( \beta ) } ( X ) \simeq \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 5 } b _ { \xi } ( X ) { \cal T } _ { \xi } ^ { 4 } ( X ) - \frac { 1 } { 1 2 } c _ { \xi } ( X ) { \cal M } _ { \xi } ^ { 2 } ( X ) { \cal T } _ { \xi } ^ { 2 } ( X ) + \frac { 1 } { 6 \pi } { \cal M } _ { \xi } ^ { 3 } ( X ) \, { \cal T } ^ { ( \xi ) } ( X ) .
\partial ^ { \mu } { \cal { G } } _ { \mu \mu _ { 2 n } . . . \mu _ { s } } ^ { \{ n - 1 \} } \; \; = \; \; { \frac { ( s + 1 - 2 n ) } { ( s + 2 - 2 n ) } } \, \partial _ { ( \mu _ { 2 n } } \, { \cal { G } } _ { \mu _ { 2 n + 1 } . . . \mu _ { s } ) } ^ { \{ n \} }
V _ { m e t } = \sum _ { k \in m e t } \left( \int \rho _ { A } ^ { T } ( \vec { r } \, ) \frac { 1 } { \left| \vec { r } - \vec { s } _ { k } \right| } d \vec { r } \right) q _ { k } \left( \vec { s } _ { k } , \varepsilon _ { m e t } ( \omega ) , \rho _ { D } ^ { T } \right)
\begin{array} { r l } & { J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega _ { 0 } ) = \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \frac { \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega _ { 0 } } { \left( \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \vec { S } } \cdot { \vec { J } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( J ^ { 2 } + S ^ { 2 } - L ^ { 2 } ) = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } [ j ( j + 1 ) - l ( l + 1 ) + s ( s + 1 ) ] ,
\lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + \delta { \boldsymbol { \theta } } ) \rVert \leq 2 m ^ { - 1 } , \quad \forall \lVert \delta { \boldsymbol { \theta } } \rVert \leq \frac { m } { 4 L } .
\begin{array} { r l r } { c \left( \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( \zeta , \beta \right) } , T _ { \zeta , \beta } \right) } & { = } & { c \left( \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right) } , T _ { \left\{ \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right\} } + \tau \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } \right) \right) , } \\ { \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right) } } & { = } & { \mathbf { p } _ { - , T _ { \left\{ \zeta , \beta \right\} } - T _ { \left\{ \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } \right\} } - \tau \left( \zeta ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } \right) } ^ { \left( \zeta , \beta \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { f \in F _ { d , 1 , \gamma } , \| f \| _ { F _ { d , 1 , \gamma } } \leq 1 } | \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } f ( x ) d x - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } f ( X _ { j } ) | \leq \operatorname* { m a x } _ { \emptyset \neq u \subseteq I _ { d } } \gamma _ { u , d } \cdot \frac { c ( | u | , q ) } { N ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 d } } } } \end{array}
i \omega \widetilde { T } _ { 1 } - ( \gamma - 1 ) \left( i \omega \widetilde { \rho } _ { 1 } + \frac { \widetilde { V } _ { z 1 } } { H } \right) = - \frac { 1 } { \tau _ { V } } \rho _ { 0 } T _ { 0 } \widetilde { T } _ { 1 } ,
v _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } v ^ { 2 } f ( v ) \, d v = 4 \pi \left( { \frac { m } { 2 \pi k T } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } v ^ { 4 } e ^ { - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k T } } } \, d v .
\mathcal { A } _ { n } : = \Big \{ \| \mu ^ { n , t } - \rho _ { t } \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \leq \frac { 1 } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big \} \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { B } _ { \delta , n } : = \Big \{ \big \| ( \nabla u _ { \delta } ^ { n , t } , \nabla ^ { 2 } u _ { \delta } ^ { n , t } ) \big \| _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \leq \frac { 1 } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big \} .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial J ^ { \pi ^ { \theta } } ( \mu ) } { \partial \theta _ { 1 } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } = \mu ( s _ { 1 } ) \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ( - A ^ { \pi ^ { \theta } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ) } \\ & { \frac { \partial J ^ { \pi ^ { \theta } } ( \mu ) } { \partial \theta _ { 2 } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) } = \frac { \gamma } { 1 - \gamma } d _ { \mu ^ { \pi } } ^ { \pi } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \pi _ { 2 } ^ { \theta } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) ( - \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } ^ { \theta } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) ) . } \end{array}
{ \cal G } _ { \bullet \bullet } = \delta ( { \frac { 2 } { s } } x _ { \ast } ) \big ( \partial _ { i } - i [ V _ { i } , ) U ^ { i } { \frac { s / 2 } { i \partial _ { \ast } } } , \qquad { \cal G } _ { \ast \ast } = \delta ( { \frac { 2 } { s } } x _ { \bullet } ) \big ( \partial _ { i } - i [ U _ { i } , ) V ^ { i } { \frac { s / 2 } { i \partial _ { \bullet } } } ,