harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- g _ { 1 J } = \sqrt { 2 } \frac { ( \frac { J } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \mid 1 , 0 ) } { ( \frac { J } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } , + \frac { 1 } { 2 } \mid 1 , + 1 ) } f _ { 1 J } \, = \, \{ { } _ { - 2 } ^ { + 1 } \} \; f _ { 1 J }
\langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \times \delta { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle ^ { i } = - \frac { 1 } { 3 } \tau _ { b } \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \rangle \epsilon ^ { i \ell k } \frac { \partial B ^ { k } } { \partial x ^ { \ell } } = - \frac { 1 } { 3 } \tau _ { b } \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \rangle ( \nabla \times { \bf { B } } ) ^ { i } .
\tilde { E } _ { n \delta } ^ { ( i ) } = \sum _ { \begin{array} { c } { { k _ { 1 } p _ { 1 } + . . . + k _ { m } p _ { m } = n } } \\ { { 0 < k _ { 1 } < . . . < k _ { m } } } \end{array} } \frac { \left( q ^ { ( \alpha _ { i } , \alpha _ { i } ) } - q ^ { - ( \alpha _ { i } , \alpha _ { i } ) } \right) ^ { \sum _ { i } p _ { i } - 1 } } { p _ { 1 } ! \; . . . \; p _ { m } ! } ( E _ { k _ { 1 } \delta } ^ { ( i ) } ) ^ { p _ { 1 } } . . . ( E _ { k _ { m } \delta } ^ { ( i ) } ) ^ { p _ { m } }
\Delta _ { 2 , \alpha \beta } ^ { \sigma * } = - \mu ^ { \sigma } ( \frac { \partial u _ { \alpha } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \beta } } + \frac { \partial u _ { \beta } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } - \frac { 2 } { D } \frac { \partial u _ { \gamma } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \gamma } } \delta _ { \alpha \beta } ) ,
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } v _ { n } ^ { h } + c ( t , x , \alpha _ { n } ) + \nabla ^ { h } v _ { n } ^ { h } \cdot f ( t , x , \alpha _ { n } ) = - N h \Delta ^ { h } v _ { n } ^ { h } \qquad } & & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times { \mathbb { R } } ^ { d } } \\ & { v _ { n } ^ { h } ( T , x ) = q ( x ) \qquad } & & { \mathrm { ~ o n ~ } { \mathbb { R } } ^ { d } . } \end{array}
\| \tilde { A } _ { i j } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \cap \{ \varepsilon \leq x _ { 1 } \leq h - \varepsilon \} ) } \leq \lambda ^ { - 1 } \, , \qquad \| ( \tilde { A } _ { i j } , \tilde { A } ) \| _ { 1 , \alpha , \Omega \cap \{ \varepsilon \leq x _ { 1 } \leq h - \varepsilon \} } \leq M \, .
Z _ { L } ^ { ( m , n ) } ( \tau ) = Z _ { n / 2 } ^ { m / 2 } ( \tau ) ^ { 1 6 } + Z _ { 1 + n / 2 } ^ { m / 2 } ( \tau ) ^ { 1 6 } + Z _ { n / 2 } ^ { 1 + m / 2 } ( \tau ) ^ { 1 6 } + Z _ { 1 + n / 2 } ^ { 1 + m / 2 } ( \tau ) ^ { 1 6 } .
\log \Gamma ( z ) = ( z - { \frac { 1 } { 2 } } ) \mathrm { l o g } z - z + { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { ~ l o g \ } 2 \pi + 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \mathrm { t a n } ( { \frac { t } { z } } ) } { e ^ { 2 \pi t } - 1 } } d t ,
\chi _ { 1 } ^ { 2 } ( \delta _ { 0 } ) \propto E _ { \mu } \frac { J _ { / \delta } ^ { 2 } } { A } \left\{ ( \cos \delta \mp 1 ) \left[ 1 - \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { a ( L ) L } { 4 E _ { \nu } ^ { \mathrm { p e a k } } } \right) ^ { 2 } \right] \right\} ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { r } \, r _ { \pm } } & { { } = } & { 1 \pm ( \sigma - \delta ) \, \cos \theta \cdot u + \frac { 1 } { 2 } ( \sigma - \delta ) ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta \cdot u ^ { 2 } } \end{array}
F ^ { a { \mu } _ { 1 } { \cdots } { \mu } _ { p + 1 } } = \frac { ( - 1 ) ^ { p } } { ( p + 1 ) ! } { \Gamma } ^ { a b } { \epsilon } ^ { { \mu } _ { 1 } { \cdots } { \mu } _ { p + 1 } { \nu } _ { 1 } { \cdots } { \nu } _ { p + 1 } } G _ { { \nu } _ { 1 } { \cdots } { \nu } _ { p + 1 } } ^ { b } .
\left. + \frac { \xi ^ { 2 } ( - E ^ { q } - \tilde { E } ^ { q } + 2 E _ { T } ^ { q } ) - 2 \xi \tilde { E } _ { T } ^ { q } } { 1 - \xi ^ { 2 } } - \frac { t _ { 0 } - t } { 2 m ^ { 2 } } \tilde { H } _ { T } ^ { q } \right] \, ,
\forall _ { P \neq Q } \; \int d \mathbf { x } _ { 2 } \psi _ { P } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } ) \psi _ { Q } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ) = \delta _ { P Q }
\mathbf { W } _ { 2 : d } | ( W _ { 1 } > u ) = \mathbf { g } _ { 1 } ( W _ { 1 } ; \boldsymbol { \theta } ) + \mathbf { g } _ { 2 } ( W _ { 1 } ; \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { \varepsilon }
a \partial _ { \mu } C ^ { \mu \alpha } + { \frac { \alpha } { 2 } } \epsilon ^ { \alpha \mu \nu } C _ { \mu \nu } + e p \partial _ { \mu } A ^ { \mu \alpha } + { \frac { e q } { 2 } } \epsilon ^ { \alpha \mu \nu } A _ { \mu \nu } = 0 .
A _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { p } \, , \, \alpha _ { p + 1 } \cdots \alpha _ { q } } = { \frac { \partial ^ { q - p } } { \partial x ^ { \alpha _ { q } } \cdots \partial x ^ { \alpha _ { p + 2 } } \partial x ^ { \alpha _ { p + 1 } } } } A _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { p } } .
d S = \left[ \left( { \frac { \partial S } { \partial T } } \right) _ { V } + \left( { \frac { \partial S } { \partial V } } \right) _ { T } \left( { \frac { \partial V } { \partial T } } \right) _ { P } \right] d T + \left( { \frac { \partial S } { \partial V } } \right) _ { T } \left( { \frac { \partial V } { \partial P } } \right) _ { T } d P
H _ { \mathrm { p } , 1 } : = \epsilon _ { \mathrm { p } } \left( 2 N _ { \mathrm { p } , 1 } - \sum _ { y , x \in \mathbb { Z } \cap \lbrack - l , l ] : | x - y | = 1 } a _ { y , 1 } ^ { \ast } a _ { x , 1 } \right) - \mu _ { \mathrm { p } , 1 } N _ { \mathrm { p } , 1 } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { U } u _ { \bot } \cdot \nabla _ { \! \bot } f \, d A } & { { } = \int _ { U } \left[ \frac { u _ { 1 } } { \partial | t _ { 1 } | } \frac { \partial f } { \partial s _ { 1 } } + \frac { u _ { 2 } } { | t _ { 2 } | } \frac { \partial f } { \partial s _ { 2 } } \right] | t _ { 1 } | | t _ { 2 } | \, d s _ { 1 } \, d s _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal L } ( \rho | \{ \lambda _ { n } \} ) } & { \to \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { ( \rho - \mu _ { \rho } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } \right) \quad \mathrm { f o r } \quad T \gg \tau , } \\ { \mu _ { \rho } } & { = 2 \sum _ { n } ( 1 + \lambda _ { n } ^ { 2 } ) , } \\ { \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } & { = { 4 } \sum _ { n } ( 1 + \lambda _ { n } ^ { 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Theta } _ { 1 } h _ { \xi } ( x ) = } & { { } \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } h _ { \xi } ( x ) , \; \; \hat { \Theta } _ { 1 } \equiv - \partial _ { x } \left( \frac { 1 } { \epsilon ( x ) } \partial _ { x } \right) , } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ g ~ } , 0 } \sim \frac { \epsilon \, \pi \, \chi } { 1 + \chi } \, \frac { ( \chi + 1 ) ^ { 2 } \sec ^ { 2 } \theta + 2 \chi + 3 } { ( \chi + 2 ) ^ { 2 } } \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ a ~ \to ~ 0 ~ . ~ }
\begin{array} { r l r } { D ( \rho _ { 1 } \boxtimes \sigma _ { 1 } , \rho _ { 2 } \boxtimes \sigma _ { 2 } ) } & { = } & { D ( \mathcal { E } ( \rho _ { 1 } \otimes \sigma _ { 1 } ) , \mathcal { E } ( \rho _ { 2 } \otimes \sigma _ { 2 } ) ) } \\ & { \leqslant } & { D ( \rho _ { 1 } \otimes \sigma _ { 1 } , \rho _ { 2 } \otimes \sigma _ { 2 } ) } \\ & { \leqslant } & { D ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) + D ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S P } } } & { = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 M } + \hbar \omega _ { z } \hat { F } _ { z } + \hbar q \hat { F } _ { z } ^ { 2 } + \hbar \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } } \\ & { - i \frac { \alpha _ { v } } { 2 F } \left[ \mathbf { \hat { E } ^ { ( + ) } } \times \mathbf { \hat { E } } ^ { ( - ) } \right] \cdot \mathbf { \hat { F } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { ( 1 ) } ^ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega , k ) } } & { { } = ( 2 \cos ( k ) - 2 ) \ \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega , k ) } } \\ { \Delta _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega , k ) } } & { { } = \frac { 1 } { 1 2 } ( - 2 \cos ( 2 k ) + 3 2 \cos ( k ) - 3 0 ) \ \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega , k ) } } \\ { D ^ { 2 } \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega , k ) } } & { { } = - k ^ { 2 } \ \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega , k ) } } \\ { D \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega , k ) } } & { { } = \mathrm { i } k \ \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { ( \omega , k ) } . } \end{array}
\sigma _ { t } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { n _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( n _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { ( \Omega - 1 ) ^ { 2 } } \right] ,
{ \cal K } \, = \, - \mathrm { l o g } \left( \mathrm { i } \langle \Omega \, \vert \, \bar { \Omega } \rangle \right) \, = \, - \mathrm { l o g } \left[ \mathrm { i } \left( { \bar { X } } ^ { \Lambda } F _ { \Lambda } - { \bar { F } } _ { \Sigma } X ^ { \Sigma } \right) \right]
\left( \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 } ^ { L } - \hat { \mathbf { W } } _ { i } \right) \left( \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 } ^ { L } - \mathbf { W } ^ { M P } \right) \leq 1 0 ^ { - 2 0 }
| p _ { 0 N } \rangle = \operatorname * { l i m } _ { \tau \rightarrow - \infty } V _ { T } ( \sigma , \tau ; p _ { 0 } ) | \mathbf { 0 } \rangle = e ^ { i p _ { 0 \mu } \hat { x } _ { 0 } ^ { \mu } } | \mathbf { 0 } \rangle ~ , \quad \langle - p _ { 0 N } | = \langle \mathbf { 0 } | e ^ { i p _ { 0 \mu } \hat { x } _ { 0 } ^ { \mu } } ~ .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \Delta _ { t } ] = \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } \Big \lVert \theta _ { t , k } ^ { ( i ) } - \bar { \theta } _ { t } \Big \rVert ^ { 2 } \le \frac { 4 \alpha ^ { 2 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } \left[ c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } + 8 c _ { 1 } ^ { 2 } ( K - 1 ) H ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \Omega \epsilon _ { 0 } } } \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \left( \mathrm { ~ \bf ~ Q ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \cos ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) - \frac { 1 } { \omega _ { k } } \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \sin ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right) } \\ { \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \sqrt { \Omega \epsilon _ { 0 } } } \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \left( \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \cos ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \omega _ { k } \mathrm { ~ \bf ~ Q ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \sin ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right) } \end{array}
= [ ( p _ { 1 } , 0 , 0 , p _ { 1 } ) + ( p _ { 2 } , 0 , p _ { 2 } \sin \theta , p _ { 2 } \cos \theta ) ] ^ { 2 } = ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } - p _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta - ( p _ { 1 } + p _ { 2 } \cos \theta ) ^ { 2 }
{ \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \tau ^ { 2 } } } - { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \rho ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { \rho } } { \frac { \partial \Phi } { \partial \rho } } = - \Phi + \tilde { \alpha } \Phi ^ { 2 } - \Phi ^ { 3 } \; .
\mathrm { t a n } \delta ( n _ { p h } ) = \frac { F _ { 1 } \ \mathrm { t a n } \delta _ { 1 } ^ { 0 } } { \sqrt { 1 + \frac { n _ { p h } } { n _ { c , 1 } } } } + \frac { F _ { 2 } \ \mathrm { t a n } \delta _ { 2 } ^ { 0 } } { \sqrt { 1 + \frac { n _ { p h } } { n _ { c , 2 } } } } + C _ { 0 } .
F = \frac { N 2 \pi \sqrt { 2 } m ^ { 4 } } { N ( 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } ) ^ { \frac { 1 1 } { 2 } } g 2 \lambda } ( 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \left( \frac { m x } { \sqrt { 2 } } \right) ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { G _ { n } ^ { \kappa , \rho } ( z , w | t ) } & { = ( z \overline { { w } } ) ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( \kappa + 1 ) _ { m } } { m ! } ( t \overline { { z } } w ) ^ { m } } \\ & { { _ 2 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { - m , - n - \rho } \\ { \kappa + 1 } \end{array} \bigg | 1 - \frac { 1 } { | z | ^ { 2 } } \right) { _ 2 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { - m , - n - \rho } \\ { \kappa + 1 } \end{array} \bigg | 1 - \frac { 1 } { | w | ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\| g \| _ { \dot { H } ^ { - 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \simeq \varepsilon _ { m } \bigl \| g \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { T _ { 3 } } & { \leq C _ { 2 } ^ { ( r ) } \sum _ { a = 1 } ^ { r } \eta _ { a } ^ { 2 } \left( \left( \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \sum _ { 1 \leq u , v \leq m } { \mathsf K } _ { a } ( X _ { u } , X _ { v } ) - \mathbb { E } _ { X , X ^ { \prime } \sim P } [ { \mathsf K } _ { a } ( X , X ^ { \prime } ) ] \right) ^ { 2 } \right) \rightarrow 0 , } \end{array}
V _ { \mathrm { i n s t } } ( \varphi ) = - \int \! d \rho \, n _ { 0 } ( \rho ) \biggl ( { \frac { 4 } { 3 } } \pi ^ { 2 } \rho ^ { 3 } \biggr ) ^ { 2 } 1 2 | X | ^ { 2 } \cos ( \varphi - \theta ) \, ,
\begin{array} { r l } { V _ { \Phi } } & { = \frac { \mu _ { b _ { 0 } } } { r ^ { 2 } H ^ { 2 } } \Bigl ( 9 x ^ { 3 } - 9 ( 6 z - m ) x ^ { 2 } + ( 7 2 z ^ { 2 } - 8 ( 4 m - 3 ) z + 3 m ^ { 2 } ) x - 3 2 z ^ { 3 } + 2 4 m z ( z + 1 ) + m ^ { 2 } ( m + 2 ) \Bigr ) } \\ { F _ { \Phi } } & { = \frac { 8 \mathbf { Q } \mu _ { b _ { 0 } } } { r ^ { 3 } H ^ { 2 } } \Bigl ( - 3 x ^ { 2 } + ( 2 z + 6 ) x + m ( m + 4 ) \Bigr ) } \end{array} .
\delta _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { l } ) = \boldsymbol { l } ^ { T } \boldsymbol { J } _ { \tau } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) \boldsymbol { K } _ { \tau } ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) \boldsymbol { J } _ { \tau } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) \mathbf { l } \boldsymbol { . }
\left. \frac { } { } J ( 1 , 0 , 1 ) \right| _ { p _ { 1 } ^ { 2 } = p _ { 2 } ^ { 2 } = 0 } = \left. \frac { } { } J ( 0 , 1 , 1 ) \right| _ { p _ { 1 } ^ { 2 } = p _ { 2 } ^ { 2 } = 0 } = 0 ,
{ \bf D } = \left( \begin{array} { c c c } { { ( D _ { 1 1 } < < d _ { 1 } ) } } & { { \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } } } } & { { ( D _ { 1 3 } < < b ) } } \\ { { \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } } } } & { { d _ { 2 } } } & { { ( D _ { 2 3 } < < d ) } } \\ { { ( D _ { 1 3 } < < b ) } } & { { ( D _ { 2 3 } < < d ) } } & { { d _ { 3 } } } \end{array} \right) ,
Q ( z _ { p } ) = | \hat { \chi } _ { 2 \beta } ( z _ { p } ) | ^ { 2 } = \left| \int _ { z _ { p } - l / 4 } ^ { z _ { p } + l / 4 } d z _ { s } e ^ { 2 i \beta z _ { s } } \overline { { \Delta \chi } } ( z _ { s } ) _ { S } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { h ( t , z ) = h _ { c } H \left[ \frac { t _ { f } - t } { h _ { c } ^ { 3 / 2 } } , \frac { l s } { h _ { c } } \right] = h _ { c } H \left[ \frac { t _ { f } - t } { h _ { c } ^ { 3 / 2 } } , \frac { z } { h _ { c } } \right] } \\ & { v ( t , z ) = u ( z , t ) = h _ { c } ^ { - 1 / 2 } U \left[ \frac { t _ { f } - t } { h _ { c } ^ { 3 / 2 } } , \frac { z } { h _ { c } } \right] } \end{array}
I _ { 3 } ( q _ { c } , q _ { i } ) \approx - 1 / \epsilon + q _ { c } / ( a _ { 8 } \epsilon ^ { 2 } ) + q _ { i } / ( a _ { 9 } \epsilon ^ { 2 } ) - q _ { c } q _ { i } / ( a _ { 8 } a _ { 9 } \epsilon ^ { 3 } ) .
\kappa ( L Q _ { k } ^ { \perp } ) = \frac { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( L Q _ { k } ^ { \perp } ) } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( L Q _ { k } ^ { \perp } ) } \geq \frac { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( L Q _ { k + 1 } ^ { \perp } ) } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( L Q _ { k + 1 } ^ { \perp } ) } = \kappa ( L Q _ { k + 1 } ^ { \perp } ) ,
\left[ \rho ( r ) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } \right) \right] = \left[ \psi ^ { \dagger } ( r ) \psi ( r ) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } \right) \right] = \psi ^ { \dagger } ( r ) \delta \left( r - r ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r l r } { Q ^ { k l } } & { { } = } & { \frac { E _ { f } ^ { k l } } { E _ { i } ^ { k l } } \approx \frac { \epsilon _ { f } ^ { k l } } { 3 \, k T } \, \frac { \rho _ { k } \, R _ { k l } } { H _ { k l } \left( k T , u _ { k l } ^ { s } \right) + \rho _ { k } \, R _ { k l } } \, . } \end{array}
P _ { i n } = \cfrac { 4 \varepsilon _ { 0 } K _ { m } n _ { m } ^ { 4 } V _ { m , q } ^ { 2 ^ { { ( e f f ) } } } } { 3 \omega _ { m } \chi ^ { ( 3 ) } V _ { m m , q q } } \cfrac { \delta ^ { 3 } } { \delta _ { c } } .
\tilde { y } _ { 7 V } = P _ { 0 } + \frac { Y _ { 0 } ( x _ { t } ) } { \sin ^ { 2 } \Theta _ { \mathrm { W } } } - 4 Z _ { 0 } ( x _ { t } ) + P _ { E } E _ { 0 } ( x _ { t } )
T _ { 0 } ^ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial t } \psi \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla \psi \right) ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } } { 2 } e ^ { - \phi } | \psi | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { v _ { 0 } ( 0 ) = } & { 2 f _ { ( 0 , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) + \sqrt { 2 } f _ { ( 0 , 0 , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) } \\ { v _ { 1 } ( 0 ) = } & { f _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) + f _ { ( \frac { - 1 } { 2 } , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ f _ { ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) + f _ { ( 0 , \frac { - 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) \right] , } \\ { v _ { 0 } ( 2 ) = } & { 2 f _ { ( 0 , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) - \sqrt { 2 } f _ { ( 0 , 0 , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) , } \\ { v _ { 1 } ( 2 ) = } & { f _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) + f _ { ( \frac { - 1 } { 2 } , 0 , 2 ) } ( a , b , x ) } \\ & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ f _ { ( 0 , \frac { 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) + f _ { ( 0 , \frac { - 1 } { 2 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 4 } , b ^ { 1 / 4 } , x / 2 ) \right] . } \end{array}
\sum _ { m , m ^ { \prime } ; \, m \pm m ^ { \prime } \mathrm { e v e n } } A _ { M } ^ { B , m } \biggl \{ \widetilde \Pi _ { M N } ^ { + B C } ( m , \frac { m - m ^ { \prime } } { 2 } ) + \widetilde \Pi _ { M N } ^ { - B C } ( m , \frac { m + m ^ { \prime } } { 2 } ) \biggr \} A _ { N } ^ { C , m ^ { \prime } } .
I _ { 1 } ( d , a , c ) = { \frac { 1 } { 2 ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - d ^ { 2 } ) } } \ln \left( { \frac { c ^ { 2 } } { ( d + a ) ^ { 2 } } } \right) + { \frac { a } { ( c ^ { 2 } - d ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - d ^ { 2 } ) } } \arctan \left( { \frac { ( c ^ { 2 } - d ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { d } } \right)
+ H _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { 4 } } H _ { 2 } ^ { - \frac { 1 } { 4 } } ( d z _ { 1 } ^ { 2 } + d z _ { 2 } ^ { 2 } + d z _ { 3 } ^ { 2 } + d z _ { 4 } ^ { 2 } ) + H _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { 4 } } H _ { 2 } ^ { \frac { 3 } { 4 } } ( d x _ { 1 } ^ { 2 } + d x _ { 2 } ^ { 2 } + d x _ { 3 } ^ { 2 } + d x _ { 4 } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { { } = \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \delta z _ { 0 } } } & { { } \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { \mathrm { i } \omega t } + \mathrm { E } _ { 0 } \frac { \mathrm { i } \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } \omega t } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } + B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } + ( C _ { n } + C _ { m } ) \mathcal { U } _ { n , m } \Big ) - \mathrm { i } \frac { k w _ { 0 } ^ { 2 } m _ { S } } { 1 6 } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg ( A _ { n } \Big ( \mathcal { U } _ { n + 2 , m } } \end{array}
\sigma ^ { ( \mathrm { P I } ) } = \frac { \sigma _ { \mathrm { H } } ^ { ( \mathrm { P I } ) } ( Z _ { \mathrm { e f f } } ) } { 1 + S } \left( 1 + \frac { \sin ( k _ { e } R ) } { k _ { e } R } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \partial _ { \nu } \Bigl ( \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \partial _ { \mu } ( g g ^ { \mu \nu } ) \Bigr ) = 1 8 H ^ { 2 } + 6 \dot { H } } \\ { B _ { T } } & { = \frac { 2 } { \sqrt { - g } } \partial _ { \mu } ( \sqrt { - g } T ^ { \mu } ) = - \frac { 3 } { a ^ { 3 } } \dot { h } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { R } } } ( \mathfrak { M } ; V ) : = \overline { \mathfrak { S } } _ { T , ( \xi _ { \psi _ { 1 } } , \dots , \xi _ { \psi _ { T - 1 } } ) } ^ { \overline { \mathfrak { p } } _ { \mathfrak { M } } } V _ { \mathfrak { M } } - \overline { \mathfrak { S } } _ { T , ( \xi _ { \psi _ { 1 } } , \dots , \xi _ { \psi _ { T - 1 } } ) } ^ { * } V _ { \mathfrak { M } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { = \frac { A \Omega _ { \mathrm { e f f } } } { \lambda ^ { 2 } } \int \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \, \frac { \hbar \omega } { e ^ { \hbar \omega / k T _ { \mathrm { p } } } - 1 } } \\ & { = \int \mathrm { d } \nu \, P ( \nu ) } \\ { ( \Delta P ) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { \tau } \frac { A \Omega _ { \mathrm { e f f } } } { \lambda ^ { 2 } } \int \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \, \frac { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } e ^ { \hbar \omega / k T _ { \mathrm { p } } } } { \left( e ^ { \hbar \omega / k T _ { \mathrm { p } } } - 1 \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau } \int \mathrm { d } \nu \, \left[ \frac { P ( \nu ) ^ { 2 } } { N } + h \nu P ( \nu ) \right] , } \end{array}
\hat { V } _ { \mathrm { d d } } ( \mathbf { r } ) = - \sqrt { \frac { 2 4 \pi } { 5 } } \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \sum _ { \mu , \nu } C _ { \mu , \nu , \mu + \nu } ^ { 1 , 1 ; 2 } Y _ { 2 } ^ { \mu + \nu } ( \vartheta , \varphi ) ^ { * } \hat { d } _ { \mu } ^ { 1 } \hat { d } _ { \nu } ^ { 2 } ,
\sum _ { i = m + 1 } ^ { n } f ( i ) = \int _ { m } ^ { n } f ( x ) \, d x + { \frac { f ( n ) - f ( m ) } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \lfloor p / 2 \rfloor } { \frac { B _ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } } ( f ^ { ( 2 k - 1 ) } ( n ) - f ^ { ( 2 k - 1 ) } ( m ) ) + R _ { p } .
\begin{array} { r l r } { S _ { f i , d } ^ { B 1 } } & { = } & { - i \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t \, \langle \chi _ { \mathbf { k } _ { f } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 0 } , t ) \chi _ { \mathbf { k } _ { e } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t ) | V _ { d } ( r _ { 0 } , { r } _ { 1 } ) | { \chi } _ { \mathbf { k } _ { i } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 0 } , t ) \Psi _ { 1 s } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t ) \rangle , } \\ { S _ { f i , e x } ^ { B 1 } } & { = } & { - i \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t \, \langle \chi _ { \mathbf { k } _ { f } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t ) \chi _ { \mathbf { k } _ { e } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 0 } , t ) | V _ { e x } ( r _ { 0 } , { r } _ { 1 } ) | { \chi } _ { \mathbf { k } _ { i } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 0 } , t ) \Psi _ { 1 s } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t ) \rangle , \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { - m _ { 0 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } - A _ { i , j } ^ { ( \tau ) } \hat { P _ { j } } + B _ { i } ^ { ( \tau ) } \right) } & { = \frac { m _ { 0 } } { C _ { i } ^ { ( \tau ) } } C _ { i } ^ { ( \tau ) } \sum _ { j = 1 } ^ { M } A _ { i , j } ^ { ( \tau ) } \hat { P _ { j } } - B _ { i } ^ { ( \tau ) } m _ { 0 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 C _ { i } ^ { ( \tau ) } } m _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } C _ { i } ^ { ( \tau ) } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } A _ { i , j } ^ { ( \tau ) } \hat { P _ { j } } \right) ^ { 2 } - B _ { i } ^ { ( \tau ) } m _ { 0 } , } \end{array}
\mathcal { P } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( \mathrm { p } ) } = t _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { B } } ) \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { B } } ^ { \prime } + t _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { B } } ) \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { B } } ^ { \prime } / 2 + \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { B } } / 2