harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \delta b } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } 2 \lambda + \partial \rho ^ { ( 0 ) } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta \tilde { b } } } & { { = } } & { { - 5 \partial \rho ^ { ( 4 ) } - \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \tilde { \Lambda } + \frac { m } { 2 } \rho ^ { ( 5 ) } + 5 \Lambda ^ { ( 4 ) } \partial c ^ { ( 0 ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + 1 5 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \partial a ^ { ( 2 ) } \left( \delta a ^ { ( 2 ) } - 2 \partial \mu ^ { ( 1 ) } \right) \, , } } \end{array} \right.
\left( \! \frac { n _ { u } } { \widetilde { n _ { 0 } } } \! - \! 1 \! \right) \left( \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { d } } \! \right) ^ { 1 / 4 } \le g ( \delta ) \equiv \frac { \delta } { ( 1 \! - \! \delta ) ^ { 5 / 4 } } < g ( \delta ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { \mathcal { R } \big ( S _ { 2 5 } \cap \mathcal { N } _ { \varepsilon _ { 1 } } ( \Gamma _ { \mathrm { s o n i c } } ^ { 5 } ) \big ) \cap \{ ( x , y ) \, : \, | \hat { x } | < \varepsilon _ { 0 } \} = \big \{ ( x , y ) \, : \, | \hat { x } | < \varepsilon _ { 0 } , \, y = { f } _ { 5 , 0 } ( \hat { x } ) \big \} \, , } \end{array}
\mathfrak { b } _ { m } \equiv \left\{ \begin{array} { l l } & { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ i f ~ } m = 1 \mathrm { ~ o r ~ } 2 } \\ & { \underbrace { \left( \frac { m } { 2 m - 2 } \right) \cdot \left( \frac { m - 1 } { 2 m - 3 } \right) \cdots \left( \frac { 4 } { m + 2 } \right) \cdot \left( \frac { 3 } { m + 1 } \right) } _ { ( m - 2 ) \mathrm { ~ m a n y ~ t e r m s ~ } } \mathrm { ~ i f ~ } m \geq 3 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ ( \widehat { \theta } _ { \nu } - \mathbb { E } [ \widehat { \theta } _ { \nu } ] ) ^ { 4 } ] } & { = O ( n ^ { - 2 } + n ^ { - 4 } h ^ { - d - 4 } + n ^ { - 5 } h ^ { - 2 d - 4 } + n ^ { - 6 } h ^ { - 3 d - 4 } ) , } \\ { \mathbb { E } [ ( \bar { W } _ { 1 } - \mathbb { E } [ ( \nu ^ { \prime } U _ { 1 2 } ) ^ { 2 } ] ) ^ { 4 } ] } & { = O ( n ^ { - 2 } h ^ { - 4 d - 8 } + n ^ { - 4 } h ^ { - 6 d - 8 } + n ^ { - 5 } h ^ { - 6 d - 8 } + n ^ { - 6 } h ^ { - 7 d - 8 } ) , } \\ { \mathbb { E } [ ( \bar { W } _ { 2 } - \mathbb { E } [ ( \mathbb { E } [ \nu ^ { \prime } U _ { 1 2 } | Z _ { 1 } ] ) ^ { 2 } ] ) ^ { 4 } ] } & { = O ( n ^ { - 2 } + n ^ { - 4 } h ^ { - d - 8 } + n ^ { - 5 } h ^ { - 2 d - 8 } + n ^ { - 6 } h ^ { - 3 d - 8 } ) , } \end{array}
n _ { { \bf { k } } } = n ^ { \beta } ( { \bf { k } } ) \frac { N } { \langle N \rangle } + \sum _ { { \bf { q } } } a _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } ) a _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 } ( { \bf { q } } ) - \sum _ { { \bf { q } } } a _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } ) a _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 } ( { \bf { q } } )
\nabla _ { X } \left( \frac { 1 } { \dot { \ell } _ { 1 } } J D _ { X } H \right) = O \left[ \begin{array} { c c c c c c } { \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { r _ { 0 } \ell _ { 1 } ^ { 3 } } } & { \frac { \beta } { \chi ^ { 2 } } + \frac { \beta ^ { 3 } } { \ell _ { 1 } ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } \beta } } \\ { 1 } & { \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 3 } } } & { \beta ^ { 3 } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } \chi ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } \chi ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } \beta } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } \beta ^ { 4 } } } \\ { \beta ^ { 3 } } & { \frac { \beta ^ { 3 } } { \ell _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } \chi ^ { 2 } } } & { \beta ^ { 4 } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } \beta } } \end{array} \right] .
\hat { H } _ { \mathrm { m e t a l } } = \sum _ { i = - \infty } ^ { 0 } \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } t \left( c _ { i \sigma } ^ { \dagger } c _ { i - 1 , \sigma } + c _ { i - 1 , \sigma } ^ { \dagger } c _ { i \sigma } \right) ,
\begin{array} { r l } { \left. \frac { d } { d x } g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } , t ) \right| _ { x = 0 } } & { { } = - \left. \frac { d } { d x } g _ { 0 } ( x - x _ { \mathrm { i } } , t ) \right| _ { x = 0 } . } \end{array}
\mathrm { S N R } = \sigma _ { x | \eta } ^ { 2 } / \sigma _ { x | L } ^ { 2 } = ( 1 - p ) \frac { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } { \bar { \ell } ^ { 2 } } \frac { 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { \ell } + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } } { ( 1 + { \tau _ { \mathrm { c } } } / \tau _ { \ell } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { \ell } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } ) } \bigg / \left( \frac { 1 } { X _ { \mathrm { T } } f ( 1 - f ) ( 1 - p ) } + \frac { 1 } { R _ { \mathrm { T } } p ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \left. \left( \partial _ { z } H _ { y } \right) \right| _ { \mathrm { a v } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left. \left( \partial _ { z } H _ { \mathrm { i } , y } + \partial _ { z } H _ { \mathrm { r } , y } + \partial _ { z } H _ { \mathrm { t } , y } \right) \right| _ { z = 0 } } \\ & { = \partial _ { y } H _ { \mathrm { a v } , z } - j \omega D _ { \mathrm { a v } , x } } \\ & { = \partial _ { y } H _ { \mathrm { a v } , z } - \frac { j \omega } { 2 } \left. \left( \epsilon _ { 1 } E _ { \mathrm { i } , x } + \epsilon _ { 1 } E _ { \mathrm { r } , x } + \epsilon _ { 2 } E _ { \mathrm { t } , x } \right) \right| _ { z = 0 } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { = { \frac { \mu } { m _ { 1 } } } E = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } { \dot { \mathbf { x } } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { \mu } { m _ { 1 } } } U ( \mathbf { r } ) } \\ { E _ { 2 } } & { = { \frac { \mu } { m _ { 2 } } } E = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } { \dot { \mathbf { x } } } _ { 2 } ^ { 2 } + { \frac { \mu } { m _ { 2 } } } U ( \mathbf { r } ) } \\ { E _ { \mathrm { t o t } } } & { = E _ { 1 } + E _ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { | \Psi \rangle = \hat { \mathcal { U } } \, | \mathrm { v a c } \rangle \, , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \hat { \mathcal { U } } = \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } \xi \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { s } \mathrm { d } \omega _ { i } \, F ( \omega _ { s } , \omega _ { i } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) - \mathrm { h . c . } \right\} } \end{array}
S _ { N } ^ { ( 4 ) } ( x , y ) = K _ { N } ( x , y ) - \psi _ { 3 } ( x ) \sum _ { l = 1 } ^ { 4 } [ A _ { 0 } C _ { 0 0 } ^ { - 1 } C _ { 0 } ] _ { 3 l } \ \varepsilon \psi _ { l } ( y ) - \psi _ { 4 } ( x ) \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } [ A _ { 0 } C _ { 0 0 } ^ { - 1 } C _ { 0 } ] _ { 4 k } \ \varepsilon \psi _ { k } ( y ) ,
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } & { \delta d \phi = 0 \quad \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ & { \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) = \ast \boldsymbol { n } v = \frac { \partial \Sigma } { \partial t } \quad \mathrm { o n } \ \Sigma , } \\ & { \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) = \ast \boldsymbol { n } v = g \quad \mathrm { o n } \ \Gamma , } \end{array} \right. } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } & { d \delta \beta = d v \quad \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ & { d \beta = 0 \quad \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ & { \mathrm { t r } ( \ast \beta ) = 0 \quad \mathrm { o n } \ \Sigma \cup \Gamma , } \end{array} \right. } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } & { d \alpha = \delta \alpha = 0 \quad \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ & { \mathrm { t r } ( \ast \alpha ) = 0 \quad \mathrm { o n } \ \partial \Omega . } \end{array} \right. } \end{array}
x _ { N } \left( \tau \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { \left( N + 1 \right) / 2 } x _ { I } \left( \tau - \tau _ { 0 , 2 k - 1 } \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \left( N - 1 \right) / 2 } x _ { \bar { I } }
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \tau _ { B } \tau _ { S } ( G _ { S } + G _ { B } - f ^ { \prime } ( 1 ) ) , } \\ { b } & { { } = \tau _ { B } G _ { B } + \tau _ { S } G _ { S } + \tau _ { B } \tau _ { S } ( G _ { B } + G _ { S } ) \boldsymbol { k } ^ { 2 } - ( \tau _ { B } + \tau _ { S } ) f ^ { \prime } ( 1 ) , } \\ { c } & { { } = ( \tau _ { B } G _ { B } + \tau _ { S } G _ { S } ) \boldsymbol { k } ^ { 2 } - f ^ { \prime } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { h ^ { m ( s ) } = \varphi ^ { m ( s ) } + \eta ^ { m ( 2 ) } \, \chi ^ { m ( s - 2 ) } \; ; \; { \varphi _ { l } } ^ { l m ( s - 2 ) } = 0 , } } \\ { { \epsilon ^ { m ( s - 1 ) } = \varepsilon ^ { m ( s ) } + \eta ^ { m ( 2 ) } \, \zeta ^ { m ( s - 3 ) } \; ; \; { \varepsilon _ { l } } ^ { l m ( s - 3 ) } = 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { x } } & { { } = } & { \cos \phi \partial _ { r } - \frac { 1 } { r } \sin \phi \partial _ { \phi } } \\ { \partial _ { y } } & { { } = } & { \sin \phi \partial _ { r } + \frac { 1 } { r } \cos \phi \partial _ { \phi } } \end{array}
\ln \overline { { \Lambda } } = \ln \left\langle \frac { { { \lambda } _ { D } } } { { { b } _ { \operatorname* { m i n } } } } \right\rangle \approx \ln \frac { { { \lambda } _ { D } } } { \left\langle { { b } _ { \operatorname* { m i n } } } \right\rangle } .
T r \left( S \right) = \sum _ { p } \frac { \left( S ^ { - 1 } T ^ { 4 } S \right) _ { p 0 } \left( S ^ { - 1 } T ^ { 4 } S \right) _ { p 0 } \left( S ^ { - 1 } T ^ { - 2 } S \right) _ { p 0 } } { S _ { p 0 } }
\begin{array} { r l } { \| | B | B ^ { - 1 } b ^ { e } - b _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { K } _ { h } ) } } & { \lesssim C _ { b } h ^ { k _ { g } + 1 } , } \\ { \| | B | c ^ { e } - c _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { K } _ { h } ) } } & { \lesssim C _ { c } h ^ { k _ { g } + 1 } , } \\ { \| | B | f ^ { e } - f _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { K } _ { h } ) } } & { \lesssim C _ { f } h ^ { k _ { g } + 1 } . } \end{array}
\mathbf { p } _ { 1 } = \mathbf { r } _ { 1 } + \beta _ { 0 } \mathbf { p } _ { 0 } = { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 2 8 1 0 } \\ { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } + 0 . 0 0 8 8 { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 3 5 1 1 } \\ { 0 . 7 2 2 9 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta z ( \vec { x } ) } & { { } = \overline { { \chi } } ( \vec { x } ) + \chi _ { s } ( \vec { x } ) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \, , } \\ { z ( \vec { x } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \pi x _ { 2 } \right) \sin \left( 3 \pi x _ { 2 } \right) + \chi _ { s } ( \vec { x } ) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega _ { 1 } \, , } \\ { z ( \vec { x } ) } & { { } = 0 \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega _ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigl ( \bigl | Z ^ { ( n ) } ( t ) - Z ^ { ( n ) } ( s ) \bigr | ^ { 4 } \bigr ) } & { = \mathbb { E } \Big ( \frac { K _ { \ell } ^ { ( n ) } - \frac { \ell ^ { 2 } } { n } } { \sqrt { n } } - \frac { K _ { m } ^ { ( n ) } - \frac { m ^ { 2 } } { n } } { \sqrt { n } } \Big ) ^ { 4 } } \\ & { \leq \frac { 2 4 3 ( \ell - m ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } = 2 4 3 ( t - s ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , l a d - S } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \end{array}
( 1 + k _ { \parallel } ^ { 2 } d _ { i } ^ { 2 } + k ^ { 2 } d _ { e } ^ { 2 } ) \omega ^ { 2 } + i \eta k ^ { 2 } \omega - k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } ( 1 + k ^ { 2 } \rho _ { \tau } ^ { 2 } ) = 0 ,
I _ { 1 } = x , \; \; \; I _ { 2 } = y , \; \; \; I _ { 3 } \equiv W ( x , \, y ) = \ln \left[ { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } \left( 1 + { \frac { u } { \gamma } } \right) ^ { \gamma - 2 } \right] .
{ } ^ { t } \left( \bullet \ast { \tilde { S } } \right) : { \mathcal { D } } ^ { \prime } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \to { \mathcal { D } } ^ { \prime } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \qquad { } ^ { t } \left( \bullet \ast { \tilde { T } } \right) : { \mathcal { E } } ^ { \prime } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \to { \mathcal { D } } ^ { \prime } ( \mathbb { R } ^ { n } )
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) } & { : = \alpha _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } | P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ) , } \\ { \alpha ( x , y ) } & { : = \alpha ( x , y | P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } , P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \hat { c } _ { \mathrm { n e w } } ^ { \top } x _ { \mathrm { n e w } } ^ { * } - \hat { c } _ { \mathrm { n e w } } ^ { \top } \hat { x } _ { \mathrm { n e w } } \right] } & { \leq \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { i \in [ n ] } ( \hat { x } _ { \mathrm { n e w } } ) _ { i } \cdot \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { \mathrm { n e w } } ^ { * } } ( - r _ { i } ) _ { + } \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { \mathrm { n e w } } ^ { * } } ( - r _ { i } ) _ { + } \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { \mathrm { n e w } } ^ { * } } ( 1 - r _ { i } ) _ { + } \right] } \\ & { \leq \frac { 2 8 + 8 \bar { \Theta } ^ { 2 } + 7 m \bar { \sigma } ^ { 2 } } { \sqrt { T } } . } \end{array}
\widetilde { R } ( z , \theta ) \approx \pi ^ { - 5 / 6 } \textrm { D a } ^ { 1 / 3 } \theta ^ { - 2 / 3 } \delta ^ { 2 / 3 } \left( \frac { \lambda z \delta ^ { 2 / 3 } } { \theta ^ { 1 / 6 } } \right) \, \textrm { A i } \left( \frac { \lambda z \delta ^ { 2 / 3 } } { \theta ^ { 1 / 6 } } \right)
\begin{array} { r l } { T _ { i , j } } & { { } = e ^ { - \sigma _ { j } \sum _ { i ^ { \prime } = i } ^ { \infty } \eta _ { i ^ { \prime } , j } \Delta L _ { i } } \implies \frac { - \ln { T _ { i , j } } } { \sum _ { i ^ { \prime } = i } ^ { \infty } \eta _ { i ^ { \prime } , j } \Delta L _ { i } } , = \sigma _ { j } , } \end{array}
A = \left( { \begin{array} { c r r r r r } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r l } { ( \phi _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } p ) _ { \mathrm { Z } } } & { \approx \frac { g _ { S } \mu _ { B } B \langle \tau p \rangle } { [ I ] \hbar } \bigg [ - \alpha - \beta + \cos ( \theta ) \bigg ( \mu + \nu } \\ & { + \frac { 4 I ( I + 1 ) + 1 - 2 \mu ^ { 2 } - 2 \nu ^ { 2 } } { 4 \langle N \rangle } \bigg ) \bigg ] , } \end{array}
r _ { V } = \frac { 1 } { \sigma _ { \gamma p } } \sigma _ { _ { V p } } \frac { \alpha \pi } { \gamma _ { V } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \sigma _ { \gamma p } } \sqrt { 1 6 \pi } \sqrt { \frac { \alpha \pi } { \gamma _ { V } ^ { 2 } } } \left( \frac { d \sigma } { d t } \biggl | _ { t = 0 } \biggr . ( \gamma p \rightarrow V p ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
3 . 2 \beta ^ { [ 2 | 1 ] } ( x ) = - \frac { 1 1 } { 4 } x ^ { 2 } \left[ \frac { 1 - 2 . 7 9 9 6 x - 3 . 7 4 7 5 x ^ { 2 } } { 1 - 5 . 1 1 7 8 x } \right] ,
\begin{array} { r } { E ( \Lambda ^ { 2 } ) = \int _ { \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } } \frac { \Lambda } { 2 \pi } \sqrt { ( \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \Lambda ) ( \Lambda - \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ) } d \Lambda } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( T \right) _ { 1 , j , k } = \frac { T _ { t } } { 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - 1 ) ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + w ^ { 2 } ) _ { 1 , j , k } } \, } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { \left( p \right) _ { 1 , j , k } = \frac { 1 } { \gamma } ( T ) _ { 1 , j , k } ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u _ { j } ^ { 0 } ) ^ { T } w ( u _ { m } ^ { 0 } ) } & { { } = ( u _ { j } ^ { 1 } ) w ^ { T } ( u _ { m } ^ { 1 } ) } \\ { \implies ( u _ { j } ^ { 1 } \odot c ) ^ { T } w ( u _ { m } ^ { 1 } \odot c ) } & { { } = ( u _ { j } ^ { 1 } ) ^ { T } w ( u _ { m } ^ { 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { D } = - \frac { 3 R _ { p } ^ { 2 } \left( 2 \sqrt { k } + \alpha R _ { p } \right) } { 6 k ^ { 3 / 2 } + 3 \alpha k R _ { p } + 6 \sqrt { k } R _ { p } ^ { 2 } + 2 \alpha R _ { p } ^ { 3 } } } \\ { B _ { D } = - \frac { \alpha R _ { p } ^ { 3 } } { 1 2 k ^ { 3 / 2 } + 6 \alpha k R _ { p } + 1 2 \sqrt { k } R _ { p } ^ { 2 } + 4 \alpha R _ { p } ^ { 3 } } } \end{array}
F _ { Y } ( y ) = \operatorname { P } ( g ( X ) \leq y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { P } ( X \leq h ( y ) ) = F _ { X } ( h ( y ) ) , } & { { \mathrm { i f ~ } } h = g ^ { - 1 } { \mathrm { ~ i n c r e a s i n g } } , } \\ { \operatorname { P } ( X \geq h ( y ) ) = 1 - F _ { X } ( h ( y ) ) , } & { { \mathrm { i f ~ } } h = g ^ { - 1 } { \mathrm { ~ d e c r e a s i n g } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } } & { = 3 \| A y \| ^ { 2 } c ^ { T } y - ( c ^ { T } y ) ^ { 3 } } \\ & { = 2 \| A y \| ^ { 2 } c ^ { T } y + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y \| y \| ^ { 2 } } \\ { K _ { 2 } } & { = \| A y \| ^ { 2 } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) - ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } \\ & { = ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \| y \| ^ { 2 } } \\ { K _ { 3 } } & { = - ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } c ^ { T } y } \\ { K _ { 4 } } & { = \| A y \| ^ { 2 } c ^ { T } y ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } \end{array}
[ { \cal F } _ { k } , { \cal F } _ { p } ] = - 2 i \sin ( \frac { \theta ^ { i j } } { 2 } p _ { i } k _ { j } ) { \cal F } _ { k + p } = 2 i \sin ( \frac { \theta } { 2 } k \wedge p ) { \cal F } _ { k + p } .
a \! = \! \left( \mathcal { A } _ { 0 } \! + \! \delta a _ { 1 } e ^ { - i \lambda t + i \kappa \xi } \! + \! \delta a _ { 2 } ^ { * } e ^ { i \lambda ^ { * } t - i \kappa \xi } \right) e ^ { { i \left( { g \mathcal { A } _ { 0 } ^ { 2 } } / { 4 } - \eta M _ { 0 } ^ { 2 } \right) t } } \: .
\nabla \cdot \left( \mathbf { b } f v _ { | | } \right) _ { i } = \frac { 1 } { V _ { i } } \left[ \frac { A _ { i } + A _ { i + 1 } } { 2 } \Gamma _ { f , i + 1 / 2 } - \frac { A _ { i - 1 } + A _ { i } } { 2 } \Gamma _ { f , i - 1 / 2 } \right]
\ln [ 1 - \mu _ { n } ^ { 2 } ( n y ) ] \simeq - \frac { y ^ { 4 } \, t ^ { 6 } ( y ) } { 4 \, n ^ { 2 } } + { \cal O } ( n ^ { - 4 } ) , \quad t ( y ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + y ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { ~ \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle = ~ 0 . } \end{array}
\mathbf { E } _ { \mathrm { t } } = \mathbf { E } _ { \mathbf { k } { \mathrm { t } } \, } e ^ { \mp { \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } \, - \, n _ { 2 } ^ { 2 } } } \; k _ { 0 } y } \; e ^ { i { \big ( } ( n _ { 1 } k _ { 0 } \sin \theta _ { \mathrm { i } } ) x - \omega t { \big ) } } \, ,
\mathbf { A } = { \frac { 1 } { 2 } } { \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } \\ { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } & { y _ { 3 } } \end{array} \right| }
\begin{array} { r l r } { \frac { S } { K } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { 1 + R _ { \infty } } { 1 - R _ { \infty } } \right) ^ { 2 } - 1 \right] = \frac { 2 R _ { \infty } } { ( 1 - R _ { \infty } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & \\ & { = } & { \frac { 3 } { 2 } \frac { \displaystyle \lambda _ { t } } { \displaystyle \lambda _ { a } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r ^ { \prime \prime } } & { { } = } & { \frac { r } { \epsilon } \left( \frac { \vartheta ^ { \prime } } { h } - \frac { \varphi ^ { \prime } } { q } \right) + r \, \vartheta ^ { \prime 2 } + h \, \cos \vartheta \, \varphi ^ { \prime 2 } , } \\ { \vartheta ^ { \prime \prime } } & { { } = } & { \frac { - 1 } { r } \left( \frac { r ^ { \prime } } { \epsilon \, h } + h \, \sin \vartheta \, \varphi ^ { \prime 2 } + 2 \, r ^ { \prime } \, \vartheta ^ { \prime } \right) , } \\ { \varphi ^ { \prime \prime } } & { { } = } & { \frac { r \, r ^ { \prime } } { \epsilon \, h ^ { 2 } \, q } - \frac { 2 \, \varphi ^ { \prime } } { h } \, \left( r ^ { \prime } \, \cos \vartheta - r \, \vartheta ^ { \prime } \, \sin \vartheta \right) . } \end{array}
\sigma _ { i k } ^ { \prime } = \eta \Bigl ( { \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { k } } } + { \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { i } } } - { \frac { 2 } { 3 } } \delta _ { i k } { \frac { \partial v _ { l } } { \partial x _ { l } } } \Bigr ) + \zeta \delta _ { i k } { \frac { \partial v _ { l } } { \partial x _ { l } } } \ .
I _ { \phi } = 1 + \frac { \sqrt { 2 \epsilon } ( L ( \omega / { \bar { \omega } } _ { D i } ) + \tau ^ { - 1 } L ( \omega / { \bar { \omega } } _ { D e } ) ) } { 1 + \tau \omega _ { \ast n i } / \omega + \sqrt { 2 \epsilon } \tau [ 1 - \omega _ { \ast n i } / \omega - M ( \omega / { \bar { \omega } } _ { D i } ) - \tau ^ { - 1 } M ( \omega / { \bar { \omega } } _ { D e } ) ] } ,
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } ( r ) = \sqrt { \beta } \mathrm { K } _ { 1 } ^ { \prime } ( \sqrt { \beta } r ) \quad \mathrm { a n d } \quad f _ { \mathrm { d } } ^ { \prime } ( r ) = - \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \mathrm { R e } \left[ k _ { j } ^ { 2 } \frac { \mathrm { H } _ { - 1 } ^ { \prime } ( - k _ { j } r ) + \mathrm { Y } _ { 1 } ^ { \prime } ( - k _ { j } r ) } { 1 + \beta / 3 k _ { j } ^ { 2 } + ( 4 / 3 ) \mathrm { i } \epsilon / k _ { j } + ( 4 / 3 ) \epsilon ^ { 2 } k _ { j } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ E ~ } [ w _ { \boldsymbol { \mu } } ] } & { { } = 2 \mathrm { ~ E ~ } [ \ell ( \boldsymbol { \hat { \mu } } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) ] } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { { } = 2 \mathrm { ~ E ~ } [ \ell ( \boldsymbol { \hat { \mu } } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) ] - 2 \mathrm { ~ E ~ } [ \ell ( \boldsymbol { \mu } , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) ] } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { { } = M + N + \epsilon _ { N + M } - N - \epsilon _ { N } + \mathcal { O } ( n ^ { - 2 } ) } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { { } = M + \epsilon _ { N + M } - \epsilon _ { N } + \mathcal { O } ( n ^ { - 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } | \bar { \mathbf { y } } _ { l } ^ { \prime } - \bar { \mathbf { y } } _ { l } | } & { = \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { U } _ { T } , \mathcal { U } _ { T } ^ { \prime } } \left\Vert \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } ^ { \prime } } { \mathbf { y } } _ { l } ^ { u } - \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \mathbf { y } _ { l } ^ { u } \right\Vert _ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { | U _ { l } | } \operatorname* { m a x } _ { u , u ^ { \prime } \in \mathcal { U } } \Vert \mathbf { y } _ { l } ^ { u ^ { \prime } } - \mathbf { y } _ { l } ^ { u } \Vert _ { 2 } . } \end{array}