harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T _ { \mu \nu } ^ { e f f } = \phi _ { , \mu } \phi _ { , \nu } - K \tilde { g } _ { \mu \nu } + \frac { b _ { g } M ^ { 4 } } { ( \zeta + b ) ^ { 2 } } e ^ { - 2 \alpha \phi / M _ { p } } \tilde { g } _ { \mu \nu } + T _ { \mu \nu } ^ { ( f , c a n o n i c a l ) } - m F ( \zeta ) \overline { { { \Psi } } } ^ { \prime } \Psi ^ { \prime } \tilde { g } _ { \mu \nu } ,
\mathrm { I m } ~ { \rho _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \vec { q } , \omega ) } = \mathrm { I m } ~ \chi _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \mathbf { q } , \omega ) \mathcal { F } [ \delta V _ { \mathrm { e x t } } ] \ .
\gdef \thesubequation { \theequation \mathrm { ~ \textit ~ { ~ a ~ } ~ } , \textit { b } } \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } = - \nabla p + \frac { S c } { P e } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } , \quad \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { u } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , t ) } & { = i \Delta \omega _ { { e g } } \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , t ) + i \sum _ { s } \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , t ) \left( \sum _ { e ^ { \prime } } T _ { { g e ^ { \prime } } s } \rho _ { { e ^ { \prime } e } } ( \textbf { r } , t ) - \sum _ { g ^ { \prime } } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { g ^ { \prime } e } s } \right) } \\ & { + \sum _ { e ^ { \prime } , \, s } f _ { s } ^ { ( + ) * } ( \textbf { r } , t ) T _ { { g e ^ { \prime } } s } \rho _ { { e ^ { \prime } e } } ( \textbf { r } , t ) , } \end{array}
\langle \delta ^ { 2 } k _ { R } \rangle = \langle k _ { R } ^ { 2 } \rangle - \langle k _ { R } \rangle ^ { 2 } = \lambda ^ { 2 } \left( \frac { n + 2 } { N n } \right) ^ { 2 } \left\{ \left\langle \left( \sum _ { \bf i } \Vert \varphi _ { \bf i } \Vert ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right\rangle - \left( \sum _ { \bf i } \langle \Vert \varphi _ { \bf i } \Vert ^ { 2 } \rangle \right) ^ { 2 } \right\}
- E _ { \mathrm { c x } } I \frac { \partial ^ { 4 } { x ( y , t ) } } { \partial { y ^ { 4 } } } + \sigma \frac { \partial ^ { 2 } { x ( y , t ) } } { \partial { y ^ { 2 } } } = \rho S \frac { \partial ^ { 2 } { x ( y , t ) } } { \partial { t ^ { 2 } } } ~ .
\bigl | \partial _ { R } \hat { W } _ { \epsilon } \bigr | + \bigl | \partial _ { Z } \hat { W } _ { \epsilon } \bigr | \, \le \, \gamma \, \rho ^ { 2 \gamma - 1 } \, \hat { W } _ { \epsilon } \, \le \, \gamma \, \epsilon ^ { \sigma _ { 2 } - 2 \sigma _ { 1 } } \, \hat { W } _ { \epsilon } \, , \quad \mathrm { s i n c e } ~ \, \rho \ge \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \, ,
D _ { B o h m } = \frac { 1 } { 1 6 } \frac { k _ { B } T _ { e } } { e B } \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad D _ { c l a s s i c a l } = \frac { \omega _ { c } \tau } { 1 + ( \omega _ { c } \tau ) ^ { 2 } } \frac { k _ { B } T _ { e } } { e B }
\delta = \arcsin \left( \sin ( - \delta _ { 0 } ) \cos \left( \frac { 2 \pi } { 3 6 5 . 2 4 } ( N _ { d } + 9 ) + 2 e \sin \left( \frac { 2 \pi } { 3 6 5 . 2 4 } ( N _ { d } - 3 ) \right) \right) \right) ,
a _ { n } ^ { i j } = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { ( \nu _ { i } ) ! } { ( \nu _ { j } ) ! ( \nu _ { k } ) ! } D ^ { \nu _ { k } } { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { n } ) } & { \mathrm { i f ~ } \exists 1 \leq k \leq K \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } \nu _ { i } = \nu _ { j } + \nu _ { k } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } \frac { 2 } { 3 } k \mathbf { I } d V + \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot \mathbf { u } \otimes \frac { 2 } { 3 } k \mathbf { I } d A = \int _ { V } P _ { k } \otimes \frac { 2 } { 3 } \mathbf { I } d V + \oint _ { A } \mathbf { n } \cdot D _ { k } \otimes \frac { 2 } { 3 } \mathbf { I } d A - \int _ { V } \varepsilon \otimes \frac { 2 } { 3 } \mathbf { I } d V .
\begin{array} { r l r } { \langle \bar { \xi } _ { a s } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a s } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } & { = } & { 0 , } \\ { \langle \bar { \xi } _ { a c } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a c } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } & { = } & { 2 \pi n _ { t h } \delta ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) , } \\ { \langle \bar { \xi } _ { a s } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a c } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { u } ^ { * } \Phi _ { n } ^ { h } } & { = R \bar { \rho } \bar { \theta } \xi _ { n } ^ { h } ( 2 \pi ) + \lambda _ { 0 } \bar { \rho } ^ { 2 } ( \eta _ { n } ^ { h } ) _ { x } ( 2 \pi ) + \bar { \rho } ^ { 2 } \bar { u } \eta _ { n } ^ { h } ( 2 \pi ) + R \bar { \rho } ^ { 2 } \zeta _ { n } ^ { h } ( 2 \pi ) } \\ & { = R \bar { \rho } \bar { \theta } \alpha _ { 1 } ^ { n } + \lambda _ { 0 } \bar { \rho } ^ { 2 } i n \alpha _ { 2 } ^ { n } + \bar { \rho } ^ { 2 } \bar { u } \alpha _ { 2 } ^ { n } + R \bar { \rho } ^ { 2 } \alpha _ { 3 } ^ { n } } \\ & { = \bar { \rho } ^ { 2 } \nu _ { 3 } ^ { n } \alpha _ { 2 } ^ { n } \neq 0 , } \end{array}
\mathsf { H } _ { [ p , q ] _ { T } } ^ { A B } = \sum _ { \theta } \frac { \Pi _ { S _ { A } } C _ { \frac { 1 } { 2 } \theta , \frac { 1 } { 2 } - \theta } ^ { T 0 } } { ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \theta } C _ { S _ { B } \Sigma , T 0 } ^ { S _ { A } \Sigma } } \langle A | a _ { P } \hat { H } a _ { Q } ^ { \dagger } | B \rangle ,
M _ { i j } = \widehat { \overline { { \Delta } } } ^ { 2 } \sqrt { 2 \widehat { \overline { { s } } } ^ { 2 } } \ \widehat { \overline { { s } } } _ { i j } - \overline { { \Delta } } ^ { 2 } \widehat { \sqrt { 2 \overline { { s } } ^ { 2 } } \ \overline { { s } } _ { i j } }
I _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ p ~ } } ( \boldsymbol { r } , \omega _ { 0 } , \epsilon ) = I _ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } ^ { z } ( \boldsymbol { r } , \epsilon ) K ^ { z } ( \omega _ { 0 } ) + I _ { \mathrm { ~ b ~ g ~ } } ^ { x y } ( \boldsymbol { r } , \epsilon ) K ^ { x y } ( \omega _ { 0 } )
V _ { t } = r { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } + t | \downarrow \rangle \langle \uparrow | \otimes T _ { - 1 } - t | \uparrow \rangle \langle \downarrow | \otimes T _ { 1 } \mathrm { ~ w h e r e ~ } T _ { \pm 1 } : = \sum _ { j \in { \mathord { \mathbb Z } } } | j \pm 1 \rangle \langle j | .
\begin{array} { r l r } { \hat { \rho } } & { = \frac { \rho - \rho _ { \mathrm { { u p } } } } { \rho _ { \mathrm { d o w n } } - \rho _ { \mathrm { { u p } } } } , \hat { T } } & { = \frac { T - T _ { \mathrm { u p } } } { T _ { \mathrm { { d o w n } } } - T _ { \mathrm { u p } } } , } \\ { \hat { \Pi } } & { = \frac { \Pi } { \rho _ { \mathrm { { u p } } } ( 2 R T _ { \mathrm { u p } } ) } , \hat { Q } } & { = \frac { Q } { \rho _ { \mathrm { { u p } } } ( 2 R T _ { \mathrm { u p } } ) ^ { 1 . 5 } } , } \end{array}
{ \hat { H } } \left| \{ n _ { \mathbf { k } } \} \right\rangle = \left( \sum \hbar \omega \left( n _ { \mathbf { k } _ { l } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right) \left| \{ n _ { \mathbf { k } } \} \right\rangle
\begin{array} { l l } { { U ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \epsilon / 3 } } \\ { { 0 } } & { { - \epsilon / 3 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { U } , } } & { { \; \; \; N ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \epsilon } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { U } , } } \\ { { D ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho + \epsilon / 3 } } \\ { { 0 } } & { { - \epsilon / 3 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { D } , } } & { { \; \; \; L ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \epsilon } } \\ { { 0 } } & { { \rho + \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { D } . } } \end{array}
\mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \leq T } \left\langle \mathbf { 1 } , \nu ( t ) \right\rangle ^ { p } < \infty \, , \quad \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \leq T } \operatorname* { s u p } _ { i = 1 \, , \dots , L } \left\| \rho _ { i } \right\| _ { \infty } ^ { p } < \infty \, .
\begin{array} { r } { v _ { i } = \left( \chi _ { i } , i \frac { c ( \kappa r + 1 ) { \boldsymbol \sigma } \cdot \mathbf { r } } { ( 2 c ^ { 2 } - I _ { p } ) r ^ { 2 } } \chi _ { i } \right) ^ { T } . } \end{array}
{ R } _ { 1 2 } ( u - v ) Z _ { 2 1 } ^ { - 1 } L _ { 1 } ( u ) \tilde { Z } _ { 2 1 } L _ { 2 } ( v ) = Z _ { 1 2 } ^ { - 1 } L _ { 2 } ( v ) \tilde { Z } _ { 1 2 } L _ { 1 } ( u ) { R } _ { 1 2 } ( u - v ) \ll { r z l z l }
x _ { i } = \operatorname* { m i n } \Bigg [ \operatorname* { m i n } _ { k \in \mathcal { I } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ s ~ } } } \Big [ \frac { 1 } { \alpha _ { i k } } \Pi _ { i k } \Big ] , \: \beta _ { i } + \frac { 1 } { \alpha _ { i } } \sum _ { k \in \mathcal { I } _ { i } ^ { \mathrm { ~ n ~ e ~ } } } \Pi _ { i k } , \; \frac { 1 } { \alpha _ { l _ { i } } } l _ { i } , \; \frac { 1 } { \alpha _ { c _ { i } } } c _ { i } \; \Bigg ] \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho ^ { i } + \nabla \cdot ( \rho ^ { i } \mathbf { u } ^ { i } ) = } & { 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \rho ^ { i } \mathbf { u } ^ { i } ) + \nabla \cdot ( \rho ^ { i } \mathbf { u } ^ { i } \mathbf { u } ^ { i } ) = } & { - \rho ^ { i } \nabla \mu ^ { i } + \gamma \phi ( 1 - \phi ) ( \mathbf { u } ^ { 3 - i } - \mathbf { u } ^ { i } ) } \\ & { + \nabla \cdot \mathbf { \sigma } ^ { v i s c , i } + \delta _ { i 1 } \nabla \cdot \mathbf { \sigma } ^ { n e m } , } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { P } } _ { + } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } ( x , x ^ { \prime } ) ] \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) ^ { p } - C p ^ { p } s A _ { k + 1 } ^ { p - 1 } \left( 1 + \mu A _ { k } \right) } \\ & { \leq \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) ^ { p } - C \mu p ^ { p } s A _ { k + 1 } ^ { p - 1 } A _ { k } } \\ & { \leq \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) ^ { p } - C \mu p ^ { p } s A _ { k } ^ { p } } \\ & { = \left( \left( \frac { A _ { k + 1 } } { A _ { k } } - 1 \right) ^ { p } - C \mu p ^ { p } s \right) A _ { k } ^ { p } } \\ & { = \left( \left( C ^ { 1 / p } p \mu ^ { 1 / p } s ^ { 1 / p } \right) ^ { p } - C \mu p ^ { p } s \right) A _ { k } ^ { p } } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { i j } = \left< \frac { \partial \log \mathcal { L } ( \mathbf { X } | \mathbf { \theta } ) } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial \log \mathcal { L } ( \mathbf { X } | \mathbf { \theta } ) } { \partial \theta _ { j } } \right> , } \end{array}
\Phi _ { \mu } ( \theta ) _ { S , T } = \frac { 1 } { A ( L _ { m i n } , \theta ) } \int _ { E _ { \mu , m i n } } ^ { \infty } \frac { d \Phi _ { \mu } ( E _ { \mu } , \cos \theta ) } { d E _ { \mu } d \cos \theta } A _ { S , T } ( E _ { \mu } , \theta ) d E _ { \mu } \, \; ,
N _ { k } ^ { ( p , 0 ) } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \ldots \int _ { 0 } ^ { t _ { p - k - 1 } } d t _ { p - k } \int _ { 0 } ^ { 1 } d s _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s _ { 1 } } d s _ { 2 } \ldots \int _ { 0 } ^ { s _ { k - 1 } } d s _ { k } \times
- \frac { 1 } { T _ { 2 , 2 } } = b _ { 2 1 } = \sqrt { \gamma _ { 2 , 1 } } \sqrt { \gamma _ { 2 , 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 2 , 1 } - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 2 , 2 } .
\begin{array} { r l } { | \varepsilon _ { h } ^ { \mathrm { n o n l i n } } ( \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } z ) | } & { \lesssim \kappa ^ { 2 } \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 2 } } \bigl ( \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 3 } } + \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 6 } } ^ { 2 } \bigr ) \lvert | \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } z \rvert | _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim \kappa C _ { \textup { s o l } } ( u , \kappa ) \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 2 } } \bigl ( \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 3 } } + \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 6 } } ^ { 2 } \bigr ) \lvert | e _ { h } \rvert | _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\mathrm { d } \sigma _ { e ^ { + } e ^ { - } \to \l + X } = \int \mathrm { d } y _ { \gamma } \frac { 1 } { \sigma _ { c } } \frac { \mathrm { d } \sigma _ { c } } { \mathrm { d } y _ { \gamma } } \mathrm { d } \sigma _ { e ^ { + } \gamma \to \l + X } .
\scriptstyle \left\langle \rho ^ { 2 } \right\rangle \; = \; \left\langle x ^ { 2 } \right\rangle \; + \; \left\langle y ^ { 2 } \right\rangle \; = \; { \frac { 2 } { 3 } } \left\langle r ^ { 2 } \right\rangle
- \, i \, \frac { \alpha ^ { 3 } m ^ { 2 } } { \pi } \, T r \left\{ \, \gamma _ { \rho } \, \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \vec { \sigma } \cdot \vec { \epsilon _ { m } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \, \right\} \, \left( \, \frac { \pi } { \alpha } \, - \, 3 \, \right) \ .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \varphi _ { X } \! : \mathbb { R } \to \mathbb { C } } \\ { \displaystyle \varphi _ { X } ( t ) = \operatorname { E } \left[ e ^ { i t X } \right] = \int _ { \mathbb { R } } e ^ { i t x } \, d F _ { X } ( x ) = \int _ { \mathbb { R } } e ^ { i t x } f _ { X } ( x ) \, d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { i t Q _ { X } ( p ) } \, d p } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { b _ { 2 } ^ { \prime } } & { = } & { c _ { 1 } \, \beta _ { 0 } \quad \implies \quad b _ { 2 } = c _ { 1 } \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + c _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } ^ { \prime } } & { = } & { ( b _ { 1 } \beta _ { 1 } + 2 b _ { 2 } \beta _ { 2 } ) = c _ { 1 } \beta _ { 1 } + 2 c _ { 1 } \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + 2 c _ { 2 } \beta _ { 0 } } \\ & { \implies } & { b _ { 3 } = c _ { 1 } \beta _ { 0 } \ln ^ { 2 } { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + ( 2 c _ { 2 } \beta _ { 0 } + c _ { 1 } \beta _ { 1 } ) \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + c _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { \pm } } & { { } = } & { \frac { \omega } { c } \int \left( \pm \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left[ \chi _ { + } \right] + \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left[ \chi _ { - } \right] \right) d z \, , } \\ { \delta } & { { } = } & { \frac { \omega } { c } \int \left( \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \chi _ { - } \right] - \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \chi _ { + } \right] \right) d z \, . } \end{array}
( \underbrace { ( 2 + ( 2 + \dots + ( 2 } _ { k } + 1 / z ^ { 2 ^ { k + 1 } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ldots ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { - 1 } = z ^ { 2 } ( ( 2 z ^ { 2 ^ { 2 } } + ( 2 z ^ { 2 ^ { 3 } } + \ldots ( 2 z ^ { 2 ^ { k + 1 } } + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ldots ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { - 1 } .
\frac { \partial M ( x _ { + } ) } { \partial x _ { + } } = \frac { ( \beta q ) ^ { 3 / 2 } } { 8 \alpha G } \left( \frac { 2 C x _ { + } ^ { 2 } - 1 } { C ^ { 2 } x _ { + } ^ { 2 } } + B g ^ { \prime } ( x _ { + } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { Q ( 1 / 2 ) } & { { } = Q ( 1 / 3 ) = Q ( 1 / 4 ) = \cfrac { \gamma _ { 2 1 } + \Lambda } { D } , } \\ { Q ( 2 / 2 ) } & { { } = Q ( 2 / 3 ) = Q ( 2 / 4 ) = \cfrac { \gamma _ { 3 2 } } { D } , } \\ { Q ( 3 / 2 ) } & { { } = Q ( 3 / 3 ) = Q ( 3 / 4 ) = 0 , } \\ { Q ( 4 / 2 ) } & { { } = Q ( 4 / 3 ) = Q ( 4 / 4 ) = \cfrac { \gamma _ { 3 4 } } { D } , } \end{array}
\Xi _ { { m } _ { { 1 } } \ldots { m } _ { { 5 } } } ^ { { ( n ) } } \equiv S p ( v ^ { { T } } \tilde { \sigma } _ { { m } _ { { 1 } } { \bf . . . } { m } _ { { 5 } } } v \sigma ^ { { ( n ) } } ) \equiv v _ { \alpha } ^ { { a } } ( \tilde { \sigma } _ { { m } _ { { 1 } } { \bf . . . } { m } _ { { 5 } } } ) ^ { \alpha \beta } v _ { \beta } ^ { { b } } ( \sigma ^ { { ( n ) } } ) _ { { a b } } = 0
H _ { x } ( x ^ { * } , u ^ { * } , \lambda ^ { * } , t ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { \left. { \frac { \partial H } { \partial x _ { 1 } } } \right| _ { x = x ^ { * } , u = u ^ { * } , \lambda = \lambda ^ { * } } } & { \cdots } & { \left. { \frac { \partial H } { \partial x _ { n } } } \right| _ { x = x ^ { * } , u = u ^ { * } , \lambda = \lambda ^ { * } } } \end{array} \right] }
\left[ \begin{array} { l } { x _ { i } } \\ { \mathbf { r } ^ { T } \mathbf { x } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { u _ { 1 } } \\ { 1 } & { u _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \cdot \left[ \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right]
{ \cal C } \, = \, \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i \, \Theta _ { [ 1 / 2 ] } } } \\ { { - \, i \, \Theta _ { [ 1 / 2 ] } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, { \cal K } \quad ,
\alpha \left[ { \frac { s } { m } } \right] = \varepsilon _ { r } \varepsilon _ { 0 } \cdot { \frac { 4 \pi } { 1 0 0 0 } } { \frac { O e } { A / m } } \cdot 1 0 0 ~ { \frac { c m } { m } } \cdot \alpha \left[ { \frac { V } { c m ~ O e } } \right] = 1 . 1 1 3 \cdot 1 0 ^ { - 1 1 } \varepsilon _ { r } \cdot \alpha \left[ { \frac { V } { c m ~ O e } } \right]
S [ A ] = { \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } } \int ( \mathbb { E } ^ { 2 } - \mathbb { B } ^ { 2 } ) \, d ^ { \, 4 } x + \int ( \rho \phi - \mathbb { J } \cdot \mathbb { A } ) \, d ^ { \, 4 } x
\frac { \gamma _ { j } H _ { j } } { c ^ { 2 } } \frac { d } { d t } ( \gamma _ { j } { v } _ { j } ) = - q _ { j } n _ { j } \gamma _ { j } \frac { \partial \phi } { \partial x } - \left( \frac { \partial } { \partial x } + \frac { { v } _ { j } } { c ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial t } \right) P _ { j } ,
\begin{array} { r l } { q ( \lambda ) = } & { ( N - 1 ) ( p _ { d } N - \lambda ) , } \\ { R _ { j } = } & { ( j + 1 ) \bigg ( j \bigg ( - j ^ { 2 } + j - 2 \bigg ) ( 1 - p _ { d } ) } \\ & { + ( 1 - p _ { d } ) N ( N - 1 ) + ( N - 1 ) ^ { 2 } p _ { d } \bigg ) , } \\ { Q _ { j } = } & { - j ( 1 - p _ { d } ) ( 3 N - 2 ) ( N - j ) , } \\ { P _ { j } = } & { ( j - 1 ) ( 1 - p _ { d } ) ( j - 2 N ) ( j - N - 1 ) } \\ & { - ( N - 1 ) p _ { d } ( ( j - 2 ) N - j + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( r _ { 1 } ( 1 - x ) - \frac { 1 5 r _ { 1 } z } { 1 6 ( 1 + x ) } \right) , } \\ { \dot { y } } & { = } & { y \left( r _ { 2 } ( 1 - y / K _ { 2 } ) - \frac { 5 r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) z } { 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) } \right) , } \\ { \dot { z } } & { = } & { z \left( \frac { 1 5 c _ { 1 } r _ { 1 } x } { 1 6 ( 1 + x ) } + \frac { 5 r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) y } { 1 6 K _ { 2 } ( 1 + y ) } - \left( \frac { 3 c _ { 1 } r _ { 1 } } { 1 6 } + \frac { r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) } { 1 6 K _ { 2 } } - m \right) - m z \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { R } ^ { t } } & { = \mathbf { T } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { t } \mathbf { T } = \mathbf { U } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { t } \mathbf { W } \Sigma ^ { - 1 } , } & { \mathbf { R } ^ { L } } & { = \mathbf { T } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { L } \mathbf { T } = \mathbf { U } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { L } \mathbf { W } \Sigma ^ { - 1 } . } \end{array}
\Psi = \frac { \sqrt { q } } { P } e ^ { - i \Gamma } K W \left[ \left( 1 + \sigma _ { 3 } \right) \psi _ { 1 } \left( u ^ { 1 } \right) + \left( 1 - \sigma _ { 3 } \right) \psi _ { - 1 } \left( u ^ { 1 } \right) \right] \upsilon \, ,
\Omega ( t , r ) = 8 U _ { 0 } ^ { - 3 } t ^ { - 3 } r ^ { - 3 } \left[ U _ { 0 } ^ { 2 } r \left( A e ^ { U _ { 0 } r } + B e ^ { - U _ { 0 } r } \right) - U _ { 0 } \left( A e ^ { U _ { 0 } r } - B e ^ { - U _ { 0 } r } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { I _ { \ell } } \left( s \right) } & { = \exp \left\{ - \int _ { \chi _ { k , \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( y \right) } ^ { \infty } { \left[ 1 - \mathcal { M } _ { \mathsf { H } _ { \ell } } \left( s h _ { \ell } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( r \right) \right) \right] \bar { \lambda } _ { \ell } \left( r \right) \, \mathrm { d } r } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ^ { ^ { \prime } } ( x , y ) } & { { } = U ( x + x _ { 0 } , y + y _ { 0 } ) e ^ { i \delta } + U ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) e ^ { - i \delta } + U ( x + x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { \Xi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } : = N ^ { - ( | \boldsymbol { l } | + \sum ( J \cup J _ { * } ) + 3 ) / 2 } \sum _ { a b } } & { R _ { a b } | \partial ^ { \boldsymbol { l } } ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { \prime } ) _ { b a } | } \\ & { \times \prod _ { \boldsymbol { j } \in J } | \partial ^ { \boldsymbol { j } } \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } \rangle | \prod _ { \boldsymbol { j } \in J _ { * } } | \partial ^ { \boldsymbol { j } } \langle G _ { 2 } ^ { * } \mathring { A } _ { 2 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } \mathring { A } _ { 1 } ^ { * } \rangle | \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \d } { \d t } h ( t , s _ { \pm } ( t ) ) = \dot { h } \big ( t , s _ { \pm } ( t ) \big ) + \dot { s } _ { \pm } ( t ) \partial _ { y } h \big ( t , s _ { \pm } ( t ) \big ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \hat { \partial } _ { t } \hat { x } ( t , \eta ) + \hat { a } \hat { \nabla } ^ { 2 } \hat { x } ( t , \eta ) + T _ { p ( t ) } u ( t ) \hat { q } _ { 0 } \exp \left( - \frac { \Vert \eta - p ( t ) \Vert ^ { 2 } } { \hat { \rho } ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \hat { \tau } ( \eta ) \hat { \partial } _ { t } ^ { 2 } \hat { x } ( t , \eta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { E 1 } } = \frac { \kappa } { \beta } \cdot \frac { V _ { \mathrm { 0 } } } { V } \left( 1 - \left( \frac { V _ { \mathbf { 0 } } } { V } \right) ^ { \beta } \right) } \end{array}
P ( \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ) = \left| \delta _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } + \sum _ { i = 1 , 2 } U _ { { \alpha ^ { \prime } } i } \, \left( e ^ { i \, \Delta m _ { 3 i } ^ { 2 } \frac { L } { 2 E } } - 1 \right) U _ { { \alpha } i } ^ { * } \right| ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { k } \| u ^ { k + 1 } - u ^ { k } \| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } _ { k } \left\| \frac { 1 } { m n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } A _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ( y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { k } \left\| \frac { 1 } { m n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } A _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ( { \tilde { y } } _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } - y _ { i _ { k } ^ { \tau } \tau } ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \overset { L e m m a ~ } { \leq } \frac { n R ^ { 2 } + R _ { m } ^ { 2 } } { m ^ { 3 } n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { E } _ { \pm } = \frac { 1 } { n \sqrt { 2 ( n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } ) } } \left( \begin{array} { l } { n n _ { 3 } \mp \mathrm { i } n _ { 1 } n _ { 2 } } \\ { \pm \mathrm { i } ( n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } ) } \\ { \mp \mathrm { i } n _ { 2 } n _ { 3 } - n n _ { 1 } } \end{array} \right) \; .