harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { l l l l l l l l l l } & & { \qquad } & & { \qquad } & & { \qquad } & & { + 1 x ^ { 7 1 } } & \\ { - 1 x ^ { 6 9 } } & { - 2 x ^ { 6 8 } } & { - x ^ { 6 7 } } & { + 2 x ^ { 6 6 } } & { + 2 x ^ { 6 5 } } & { + 1 x ^ { 6 4 } } & { - 1 x ^ { 6 3 } } & { - 1 x ^ { 6 2 } } & { - 1 x ^ { 6 1 } } & { - 1 x ^ { 6 0 } } \\ { - 1 x ^ { 5 9 } } & { + 2 x ^ { 5 8 } } & { + 5 x ^ { 5 7 } } & { + 3 x ^ { 5 6 } } & { - 2 x ^ { 5 5 } } & { - 1 0 x ^ { 5 4 } } & { - 3 x ^ { 5 3 } } & { - 2 x ^ { 5 2 } } & { + 6 x ^ { 5 1 } } & { + 6 x ^ { 5 0 } } \\ { + 1 x ^ { 4 9 } } & { + 9 x ^ { 4 8 } } & { - 3 x ^ { 4 7 } } & { - 7 x ^ { 4 6 } } & { - 8 x ^ { 4 5 } } & { - 8 x ^ { 4 4 } } & { + 1 0 x ^ { 4 3 } } & { + 6 x ^ { 4 2 } } & { + 8 x ^ { 4 1 } } & { - 5 x ^ { 4 0 } } \\ { - 1 2 x ^ { 3 9 } } & { + 7 x ^ { 3 8 } } & { - 7 x ^ { 3 7 } } & { + 7 x ^ { 3 6 } } & { + x ^ { 3 5 } } & { - 3 x ^ { 3 4 } } & { + 1 0 x ^ { 3 3 } } & { + 1 x ^ { 3 2 } } & { - 6 x ^ { 3 1 } } & { - 2 x ^ { 3 0 } } \\ { - 1 0 x ^ { 2 9 } } & { - 3 x ^ { 2 8 } } & { + 2 x ^ { 2 7 } } & { + 9 x ^ { 2 6 } } & { - 3 x ^ { 2 5 } } & { + 1 4 x ^ { 2 4 } } & { - 8 x ^ { 2 3 } } & & { - 7 x ^ { 2 1 } } & { + 9 x ^ { 2 0 } } \\ { + 3 x ^ { 1 9 } } & { - 4 x ^ { 1 8 } } & { - 1 0 x ^ { 1 7 } } & { - 7 x ^ { 1 6 } } & { + 1 2 x ^ { 1 5 } } & { + 7 x ^ { 1 4 } } & { + 2 x ^ { 1 3 } } & { - 1 2 x ^ { 1 2 } } & { - 4 x ^ { 1 1 } } & { - 2 x ^ { 1 0 } } \\ { + 5 x ^ { 9 } } & & { + x ^ { 7 } } & { - 7 x ^ { 6 } } & { + 7 x ^ { 5 } } & { - 4 x ^ { 4 } } & { + 1 2 x ^ { 3 } } & { - 6 x ^ { 2 } } & { + 3 x ^ { 1 } } & { - 6 x ^ { 0 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { g } _ { \mathcal { U } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) = \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) + \mathbf { g } _ { \mathcal { C } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) . } \end{array}
S _ { 5 } = T _ { 5 } \int _ { W _ { 6 } } \sqrt { - d e t G _ { i j } } - { \frac { T _ { 5 } } { 4 } } \int _ { W _ { 6 } } h _ { 3 } \wedge * h _ { 3 } - T _ { 5 } \int _ { W _ { 6 } } C _ { 6 } + { \frac { T _ { 5 } } { 2 } } \int _ { W _ { 6 } } C _ { 3 } \wedge d b _ { 2 } .
\mathrm { B R } ( B _ { d } \to \pi ^ { \mp } K ^ { \pm } ) = \frac { \tau _ { B _ { d } } } { 1 6 \pi M _ { B _ { d } } } \Phi \left( M _ { \pi } / M _ { B _ { d } } , M _ { K _ { u } } / M _ { B _ { d } } \right) \, \left\langle | A ( B _ { d } \to \pi ^ { \mp } K ^ { \pm } ) | ^ { 2 } \right\rangle
\begin{array} { r l } & { X = X _ { m - 1 , l _ { k } } \, , } \\ & { f = \partial _ { x _ { i } } T _ { m - 1 } ( t , \cdot ) \partial _ { x _ { j } } T _ { m - 1 } ( t , \cdot ) \, , } \\ & { g = \Bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \xi _ { m , k } \bigl ( \bigl ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) ^ { t } { + } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) + \xi _ { m , k } ^ { 2 } \bigl ( \bigl ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) ^ { t } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \Bigr ) _ { i j } \, . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int _ { M } \sqrt { - g } \; \left( R - 2 \Lambda \right) \; d ^ { 3 } x + \frac { 1 } { 8 \pi G } \int _ { r = r _ { \ast } } \sqrt { - \gamma } \; \Theta \; d ^ { 2 } x ,
\begin{array} { r l } & { \Re \int _ { | \xi | \le k _ { s } } M ( \xi ) \hat { u } ( \xi , H ) \cdot \bar { \hat { u } } ( \xi , H ) \, \mathrm { d } \xi \le C \omega ^ { - 1 } } \\ & { \left( C _ { 2 } ( \omega , h , L ) ^ { 2 } C _ { 1 } ( \omega , h , L ) \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } + C _ { 3 } ( \omega , h ) ^ { 2 } \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
( \Phi _ { a / A } ) _ { \alpha \beta } ( P S ; k ) = \int \frac { d ^ { 4 } x } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, e ^ { i k \cdot x } \langle P S | \overline { { { \psi } } } _ { \beta } ^ { ( a ) } ( 0 ) \psi _ { \alpha } ^ { ( a ) } ( x ) | P S \rangle ,
{ \begin{array} { r l r l } { \sin x } & { = x \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } } \right) , } & { \cos x } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } \left( n - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \! { \vphantom { ) } } ^ { 2 } } } \right) , } \\ { \sinh x } & { = x \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } } \right) , } & { \cosh x } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } \left( n - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \! { \vphantom { ) } } ^ { 2 } } } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { D _ { 1 , \sharp } ^ { * } ( P ) ( X , A , Y ) } & { = \left\{ \frac { I ( A = 1 ) } { g _ { P } ( 1 , X ) } - \frac { I ( A = 0 ) } { g _ { P } ( 0 , X ) } \right\} ( Y - \bar { Q } _ { P } ^ { ( A ) } ( X ) ) ( 1 , V ) ^ { \top } , } \\ { D _ { 2 , \sharp } ^ { * } ( P ) ( X ) } & { = ( \Psi _ { P } ^ { \sharp } ( X ) - B ^ { \sharp } ( P ) ^ { \top } ( 1 , V ) ^ { \top } ) ( 1 , V ) ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ [ [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , } \\ & { { \mathrm { w h e r e } } ~ ( x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ) = ( x _ { i 2 } , \dots , x _ { i n } ) , \quad i = 3 , 4 , } \\ & { \Longrightarrow { \mathrm { t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ a l l ~ b a s i c ~ c o m m u t a t o r s ~ i n ~ t h i s ~ f o r m ~ i s ~ e q u a l ~ t o ~ } } n . } \\ & { [ [ [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , x _ { 3 2 } , \dots , x _ { 3 n } ] \quad { \mathrm { a n d } } } \\ & { [ [ [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , x _ { 3 2 } , \dots , x _ { 3 n } ] , x _ { 3 2 } , \dots , x _ { 3 n } ] , } \\ & { { \mathrm { w h e r e } } ~ ( x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ) \neq ( x _ { 3 2 } , \dots , x _ { 3 n } ) , } \\ & { \Longrightarrow { \mathrm { t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ a l l ~ b a s i c ~ c o m m u t a t o r s ~ i n ~ t h i s ~ f o r m ~ i s ~ e q u a l ~ t o ~ } } 2 \times { \binom { n } { 2 } } . \qquad \qquad \qquad } \\ & { [ [ [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ] , x _ { 2 2 } , \dots , x _ { 2 n } ] , x _ { 3 2 } , \dots , x _ { 3 n } ] , x _ { 4 2 } , \dots , x _ { 4 n } ] , } \\ & { { \mathrm { w h e r e } } ~ ( x _ { i 2 } , \dots , x _ { i n } ) \neq ( x _ { j 2 } , \dots , x _ { j n } ) , \quad i , j = 2 , 3 , 4 , } \\ & { \Longrightarrow { \mathrm { t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ a l l ~ b a s i c ~ c o m m u t a t o r s ~ i n ~ t h i s ~ f o r m ~ i s ~ e q u a l ~ t o ~ } } { \binom { n } { 3 } } . \qquad \qquad \qquad \qquad \ } \end{array}
\frac { \partial B _ { x } } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial y } \left( \eta J _ { b } \right) = \frac { \partial J _ { b } } { \partial y } \left( \eta + J _ { b } \frac { \mathrm { d } \eta } { \mathrm { d } J _ { b } } \right) ,
\psi _ { n - 2 } ^ { \prime \prime } - 2 Y \psi _ { n } ^ { \prime } - \frac { Y } { 1 + Y } \psi _ { n - 1 } = \lambda _ { 3 } \psi _ { n - 3 } + \cdots + \lambda _ { n - 1 } \psi _ { 1 } + \lambda _ { n } ,
\varepsilon _ { 1 } ^ { \alpha \beta } ( \omega ) = \delta _ { \alpha \beta } + \frac { 2 } { \pi } P r . \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \omega ^ { \prime } \varepsilon _ { 2 } ^ { \alpha \beta } ( \omega ^ { \prime } ) } { ( \omega ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( \omega ) ^ { 2 } } d \omega ^ { \prime } ,
\delta n _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { + \frac { 1 } { \frac { 1 } { m } N } } & { \quad P _ { + } = r _ { + } \delta t } \\ { - \frac { 1 } { \frac { 1 } { m } N } } & { \quad P _ { - } = r _ { - } \delta t } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \alpha _ { t } ^ { 3 } } & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \delta ^ { 3 } } { u + \sigma ^ { 2 } t } \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \delta ^ { 3 } } { \sigma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } t } = \frac { \delta ^ { 3 } } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { 1 + t } \leq \frac { \delta ^ { 3 } } { \sigma ^ { 2 } } \ln ( T + 1 ) = \frac { b ^ { 2 } M ^ { 2 } } { \hat { L } ^ { 2 } } \ln ( T + 1 ) } \end{array}
( \mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } ) ^ { - \frac 1 2 } \left( \mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } - \left( \frac { \Delta t } { 2 \hbar } \right) ^ { 2 } \mathbf H ( \mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } ) ^ { - 1 } \mathbf H \right) ( \mathbf \Lambda _ { V } ^ { \prime \prime } ) ^ { - \frac 1 2 } \succ 0 \, ,
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \psi _ { \pm } } & { { } = } & { S - ( 1 + i \theta ) \psi _ { \pm } + i ( | \psi _ { \pm } | ^ { 2 } + 2 ( \Delta | \psi _ { - } | ^ { 2 } + ( 1 - \Delta ) | \psi _ { + } | ^ { 2 } ) ) \psi _ { \pm } } \end{array}
E ( \theta ) = \frac { \int d \mathbf { r } \psi _ { \theta } ^ { * } ( \mathbf { r } ) H \psi _ { \theta } ( \mathbf { r } ) } { \int d \mathbf { r } \psi _ { \theta } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \psi _ { \theta } ( \mathbf { r } ) }
\begin{array} { r l } & { U _ { + } ( \delta \mathbf { x } ) = U ( \mathbf { x } _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \delta \mathbf { x } ^ { + } ) ^ { T } ( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ) ^ { + + } \delta \mathbf { x } ^ { + } + } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac { 1 } { 2 } ( \delta \mathbf { x } ^ { - } ) ^ { T } ( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ) ^ { -- } \delta \mathbf { x } ^ { - } } \\ & { U _ { - } ( \delta \mathbf { x } ) = ( \delta \mathbf { x } ^ { - } ) ^ { T } ( \mathbf { \Sigma } ^ { -- } ) ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { - } - } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - ( \delta \mathbf { x } ^ { - } ) ^ { T } ( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ) ^ { - + } \delta \mathbf { x } ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { k , m , d , f } = \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq l \leq k } \left( \begin{array} { c } { d + l - 1 } \\ { l } \end{array} \right) ^ { 1 / 2 } \frac { ( ( m - l ) ! ) ^ { 1 / 2 } } { ( [ \frac { m - l } { d } ] ! ) ^ { d / 2 } } \left( \frac { 3 \sqrt { d } } { \pi } \right) ^ { m - l } | f | _ { H ^ { m } ( \Omega ) } , } \\ & { \beta _ { k , \sigma , d , f } = \frac { 5 \cdot 2 ^ { k d } \operatorname* { m a x } \{ \prod _ { i = 1 } ^ { d } ( b _ { i } - a _ { i } ) , d \} \operatorname* { m a x } \{ \| f \| _ { W ^ { k , \infty } ( \Omega ) } , 1 \} } { 3 ^ { d } \sigma \operatorname* { m i n } \{ 1 , C _ { k , m , d , f } \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { A } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } & { = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } z _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \sum _ { k _ { 1 } \leq t _ { 1 } , k _ { 2 } \leq t _ { 2 } } B ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \binom { t _ { 1 } } { k _ { 1 } } \binom { t _ { 2 } } { k _ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } B ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \sum _ { k _ { 1 } \leq t _ { 1 } , k _ { 2 } \leq t _ { 2 } } \binom { t _ { 1 } } { k _ { 1 } } \binom { t _ { 2 } } { k _ { 2 } } z _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } B ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) ( z _ { 1 } + 1 ) ^ { t _ { 1 } } ( z _ { 2 } + 1 ) ^ { t _ { 2 } } } \\ & { = F _ { B } ( z _ { 1 } + 1 , z _ { 2 } + 1 ) . } \end{array}
L ( Y , \hat { Y } ) = \frac { 1 } { b } \sum _ { i = 1 } ^ { b } \frac { 1 } { | \mathcal { G } _ { i } | } \sum _ { j \in \mathcal { G } _ { i } } ^ { | \mathcal { G } _ { i } | } w _ { j } \Bigl ( Y _ { i , j } - \hat { Y } _ { i , j } \Bigr ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { s } _ { i } \right] } & { { } = \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left\{ \int d \hat { h } _ { i } ^ { t } e ^ { - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } \left( s _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } \right) } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } - \epsilon \frac { \mathcal { A } } { \mathcal { B } } \Omega _ { r } ^ { * } U _ { q } ^ { * } } & { = \mathcal { A } \cos \phi , } \\ { \frac { d U _ { q } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \epsilon \frac { \mathcal { B } } { \mathcal { A } } \Omega _ { r } ^ { * } U _ { p } ^ { * } } & { = - \mathcal { B } \sin \phi , } \\ { \frac { d \Omega _ { r } ^ { * } } { d t ^ { * } } } & { = - \mathcal { C } U _ { p } ^ { * } U _ { q } ^ { * } , } \\ { \frac { d \phi } { d t ^ { * } } } & { = \epsilon \Omega _ { r } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 1 } } & { { } = \frac { L _ { 1 } } { L _ { 1 } + L _ { 2 } } \tilde { \Phi } \, , } \\ { \Phi _ { 2 } } & { { } = \frac { - L _ { 2 } } { L _ { 1 } + L _ { 2 } } \tilde { \Phi } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { s = 1 } ^ { N } Q _ { i _ { s } } ^ { ( d + 1 ) } ( x , a _ { s } , \mu _ { s } ) } & { = \sum _ { r = 0 } ^ { [ \frac { i _ { 1 } + \cdots + i _ { N } } { d + 1 } ] } { \frac { i _ { 1 } ! \cdots i _ { N } ! } { ( i _ { 1 } + \cdots + i _ { N } - r ( d + 1 ) ) ! } } \times } \\ & { \sum _ { s _ { 1 } = 0 } ^ { [ \frac { i _ { 1 } } { d + 1 } ] } \cdots \sum _ { s _ { N } = 0 } ^ { [ \frac { i _ { N } } { d + 1 } ] } { \frac { a _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } \cdots a _ { N } ^ { s _ { N } } ( - a _ { N + 1 } ) ^ { r - s _ { 1 } - \cdots - s _ { N } } } { s _ { 1 } ! \cdots s _ { N } ! ( r - s _ { 1 } - \cdots - s _ { N } ) ! } } \times } \\ & { { \frac { \gamma _ { \mu _ { N + 1 } } ( i _ { 1 } + \cdots + i _ { N } - ( d + 1 ) ( s _ { 1 } + \cdots + s _ { N } ) ) } { \gamma _ { \mu _ { 1 } } ( i _ { 1 } - ( d + 1 ) s _ { 1 } ) \cdots \gamma _ { \mu _ { N } } ( i _ { N } - ( d + 1 ) s _ { N } ) } } \times } \\ & { Q _ { i _ { 1 } + \cdots + i _ { N } - r ( d + 1 ) } ^ { ( d + 1 ) } ( x , a _ { N + 1 } , \mu _ { N + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathcal { A } - \mathcal { A } \times _ { 1 } \left( { \bf Q } _ { 1 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { \top } \right) \times _ { 2 } \left( { \bf Q } _ { 2 } { \bf Q } _ { 2 } ^ { \top } \right) \dots \times _ { N } \left( { \bf Q } _ { N } { \bf Q } _ { N } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left\| \mathcal { A } - \mathcal { A } \times _ { n } \left( { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
S _ { R N } = \frac { \nu ^ { ( n ) } r _ { 0 } ^ { n } } { 4 G _ { n + 2 } } + 2 \pi \sqrt { \frac { 2 r _ { 0 } ^ { 2 } M _ { 0 } } { ( n - 1 ) ^ { 2 } } \Delta M } \quad .
{ S _ { 1 4 } ^ { t h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } ( T _ { 1 4 } + T _ { 4 1 } ) = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } ( 1 + R ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \big ( \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 \mathbb { E } \bigg \| \bigg ( \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla h ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg ) - \bigg ( \bar { \nu } _ { t } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla h ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + 2 \mathbb { E } \bigg \| \bigg ( \nabla h ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla h ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 \mathbb { E } \bigg \| \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla h ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg \| \nabla h ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla h ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 \hat { L } ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 4 G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 4 G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } + 2 \mathbb { E } \bigg \| \nabla h ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla h ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
< p _ { 1 } , . . . , p _ { n } | S | q _ { 1 } , . . . . , q _ { m } > = l i m _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau E \Big [ \prod _ { j } \prod _ { k } ( \overline { { { f _ { p _ { j } } } } } , \partial _ { \tau } \phi _ { \tau } ) ( f _ { q _ { k } } , \partial _ { \tau } \phi _ { \tau } ) \Big ]
\tilde { \Upsilon } _ { \pm } ( q , x ) = \Upsilon _ { \pm } ( { \mathbf q } , x ) \, \delta ( q ^ { 0 } \! - \omega _ { \pm } ( { \mathbf q } ) ) + \Upsilon _ { \mp } ( - { \mathbf q } , x ) \, \delta ( q ^ { 0 } \! + \omega _ { \mp } ( { \mathbf q } ) ) .
\begin{array} { r l } { H _ { m n } } & { = E _ { 0 } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { s } } { \left( \frac { \partial G _ { p } } { \partial \Delta \tilde { r } _ { m } } \, \frac { \partial G _ { p } } { \partial \Delta \tilde { r } _ { n } } + G _ { p } \frac { \partial ^ { 2 } G _ { p } } { \partial \Delta \tilde { r } _ { m } \partial \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) } . } \end{array}
| x _ { i } - x _ { j } | ^ { 2 } = 2 | x _ { i } | ^ { 2 } + 2 | x _ { j } | ^ { 2 } - | x _ { i } + x _ { j } | ^ { 2 } \leq 2 | x _ { i } | ^ { 2 } + 2 | x _ { j } | ^ { 2 } - 4 \delta ^ { 2 } \to 0
{ \begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { \mathbf { r } ^ { \prime } } & { = \mathbf { r } + ( \gamma - 1 ) ( \mathbf { r u } ) \mathbf { u } + i \beta \gamma l u } \\ { l ^ { \prime } } & { = \gamma \left[ l - i \beta ( \mathbf { r u } ) \right] } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { \mathbf { r } ^ { \prime } } & { = \mathbf { r } + \left[ { \frac { \gamma - 1 } { v ^ { 2 } } } ( \mathbf { v r } ) - \gamma t \right] \mathbf { v } } \\ { t ^ { \prime } } & { = \gamma \left[ t - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } ( \mathbf { v r } ) \right] } \end{array} } } \end{array} }
\{ q ^ { 1 } = 0 , \quad q ^ { n + 2 } = \omega , \quad \mathrm { o r } \quad q ^ { 1 } = \omega , \quad q ^ { n + 2 } = 0 \} \quad \mathrm { a n d } \quad p _ { 1 } = 0 , \quad p _ { n + 2 } = 0
\begin{array} { l l } { { } } & { { ( 3 _ { 1 } \bigotimes 3 _ { 4 } ^ { * } ) \bigotimes ( 3 _ { 3 } \bigotimes 3 _ { 2 } ^ { * } ) \bigotimes 8 _ { 1 } \bigotimes 8 _ { 2 } \rightarrow ( 1 _ { 1 4 } \bigoplus 8 _ { 1 4 } ) \bigotimes ( 1 _ { 3 2 } \bigoplus 8 _ { 3 2 } ) \bigotimes 8 _ { 1 } \bigotimes 8 _ { 2 } } } \\ { { \rightarrow } } & { { [ 1 _ { 1 4 } \bigotimes 1 _ { 3 2 } \bigotimes 8 _ { 1 } \bigotimes 8 _ { 2 } ] \bigoplus [ 1 _ { 1 4 } \bigotimes 8 _ { 3 2 } \bigotimes 8 _ { 1 } \bigotimes 8 _ { 2 } ] \bigoplus [ 8 _ { 1 4 } \bigotimes 1 _ { 3 2 } \bigotimes 8 _ { 1 } \bigotimes 8 _ { 2 } ] } } \\ { { } } & { { \bigoplus [ 8 _ { 1 4 } \bigotimes 8 _ { 3 2 } \bigotimes 8 _ { 1 } \bigotimes 8 _ { 2 } ] . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( A _ { 1 } - p _ { j + 1 } I ) \widetilde W _ { j + 1 } } & { = ( A _ { 1 } - p _ { j + 1 } I ) ( A _ { 1 } - q _ { j + 1 } I ) ^ { - 1 } \left[ ( A _ { 1 } - p _ { j } I ) \widetilde W _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right] } \\ & { = \frac { r _ { j + 1 } } { r _ { j } } ( A _ { 1 } ) \left[ r _ { j } ( A _ { 1 } ) U + M _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right] } \\ & { = r _ { j + 1 } ( A _ { 1 } ) U + \frac { r _ { j + 1 } } { r _ { j } } ( A _ { 1 } ) \left( M _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } \left[ H _ { \lambda _ { i } - i + j } \right] _ { i , j = 1 } ^ { \ell } \cdot S = S _ { \lambda } ^ { P l } \cdot S = \sum _ { \boldsymbol \lambda } a _ { 1 } ^ { | \lambda ^ { ( 1 ) } | } a _ { 2 } ^ { | \lambda ^ { ( 2 ) } | - | \lambda ^ { ( 1 ) } | } \cdots a _ { n } ^ { | \lambda ^ { ( n ) } | - | \lambda ^ { ( n - 1 ) } | } \mathcal { S } ( \boldsymbol \lambda S ) } \end{array}
\mathrm { A R W } = \left[ \frac { \tilde { \Gamma } _ { 1 2 9 } ^ { 2 } S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( 1 2 9 ) } + \tilde { \Gamma } _ { 1 3 1 } ^ { 2 } S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( 1 3 1 ) } + ( \tilde { \Gamma } _ { 1 2 9 } ^ { 2 } + \tilde { \Gamma } _ { 1 3 1 } ^ { 2 } ) S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( \mathrm { c a l ) } } } { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } ,
L = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \varphi \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \varphi ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 ! } \varphi ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \xi R \varphi ^ { 2 } + \Lambda _ { 0 } + \kappa R + \widetilde { a } _ { 1 } R ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 9 } ( x , t ) } & { { } = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 - \exp ( - ( C \sigma _ { i } + \frac { k } { \xi } ) t ) } { ( C \sigma _ { i } + \frac { k } { \xi } ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad c ^ { \prime \prime } ( q _ { 1 } - 1 ) \left( \theta _ { ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \cdot T _ { s ^ { \prime } , 0 } \cdot \theta _ { - ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \right) + q _ { 1 } } \\ & { = I \left( ( q _ { 1 } - 1 ) T _ { s } + q _ { 1 } \right) } \\ & { = I ( T _ { s } ^ { 2 } ) } \\ & { = I ( T _ { s } ) ^ { 2 } } \\ & { = \left( c ^ { \prime \prime } \cdot \theta _ { ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \cdot T _ { s ^ { \prime } , 0 } \cdot \theta _ { - ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = ( c ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } ( q _ { 0 } ^ { \prime } - 1 ) \left( \theta _ { ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \cdot T _ { s ^ { \prime } , 0 } \cdot \theta _ { - ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \right) + ( c ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } q _ { 0 } ^ { \prime } . } \end{array}
[ x _ { k } ^ { ( \alpha ) } , x _ { l } ^ { ( \beta ) } ] \; = \; \frac { i } { 2 \pi \rho _ { 0 } q ^ { ( \alpha ) } } \, \delta _ { \alpha \beta } \, \epsilon _ { k l } \; \equiv \; \frac { i } { q ^ { \alpha } } \, \theta \, \delta _ { \alpha \beta } \, \epsilon _ { k l }
\begin{array} { r l r } { ( u _ { 0 } ^ { e } ) ^ { n + 1 } } & { = } & { ( u _ { 0 } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { 0 } \Delta x _ { e } } [ f ( u _ { 0 } ^ { e } , u _ { 1 } ^ { e } ) - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ] } \\ { ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { n + 1 } } & { = } & { ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { j } \Delta x _ { e } } [ f ( u _ { j } ^ { e } , u _ { j + 1 } ^ { e } ) - f ( u _ { j - 1 } ^ { e } , u _ { j } ^ { e } ) ] , \qquad 1 \le j \le N - 1 } \\ { ( u _ { k } ^ { e } ) ^ { n + 1 } } & { = } & { ( u _ { k } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { k } \Delta x _ { e } } [ F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - f ( u _ { k - 1 } ^ { e } , u _ { k } ^ { e } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( C ) } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int d { \bf S } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( C ) } } \cdot [ ( \lambda ^ { 2 } { \bf B } ) \times { \bf j } ] , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( V ) } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int d { \bf S } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( V ) } } \cdot [ ( \lambda ^ { 2 } \nabla \varphi ) \times { \bf j } ] } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \int d { \bf S } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( V ) } } \cdot [ ( \nabla \lambda ^ { 2 } ) \times { \bf j } + \lambda ^ { 2 } \mathrm { r o t } { \bf j } ] \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { n ^ { \prime } n } ^ { ( e ) } ( t ) \equiv \binom { n ^ { \prime } } { n } ( 1 - R _ { k } ^ { ( v ) } ( t ) ) ^ { n } R _ { k } ^ { ( v ) } ( t ) ^ { n ^ { \prime } - n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { Z } _ { 0 , k } ^ { ( n ) } } & { = B _ { k } ^ { ( n ) } - \kappa d _ { k } ^ { ( n ) } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } e ^ { \kappa t _ { i + 1 } } B _ { i } ^ { ( n ) } , } \\ & { = B _ { k } ^ { ( n ) } - \int _ { t _ { k } ^ { ( n ) } } ^ { t _ { k + 1 } ^ { ( n ) } } \hat { Z } _ { 0 } ^ { ( n ) } ( s ) d s . } \end{array}