harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { m a x } _ { t = \alpha ^ { * } + \rho } ^ { t = \beta ^ { * } - \rho } \vert \vert \widetilde F _ { t , h } ^ { ( \alpha ^ { * } , \beta ^ { * } ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \ge \operatorname* { m a x } _ { t = s _ { k } + \rho } ^ { t = e _ { k } - \rho } \vert \vert \widetilde F _ { t , h } ^ { ( s _ { k } , e _ { k } ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \ge c _ { 1 } \sqrt { T } \kappa _ { k } ,
\delta S _ { l i n } = \int d ^ { 6 } x \, \left( \frac 1 { 1 2 } H _ { \mu \nu \rho } ^ { * } - \frac 2 3 h _ { \mu \nu \rho } ^ { + } \right) \delta H ^ { \mu \nu \rho } + \frac 1 { 2 \sqrt { u ^ { 2 } } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma \tau \phi } H _ { \mu \nu } ^ { - } H _ { \rho \sigma } ^ { - } v _ { \tau } \partial _ { \phi } \delta a \ .
\begin{array} { r } { \Delta g _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { ( 1 ) } ( E ) = \frac { \langle \psi _ { i } | \mathrm { P } ( E ) | \psi _ { k } \rangle } { ( E - \varepsilon _ { i } ) ( E - \varepsilon _ { k } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { h } } & { { } = } & { \{ w = ( w _ { 1 } , w _ { 2 } ) \in ( C ^ { 0 } ( \Omega ) ) ^ { 2 } : w \cdot n | _ { \Gamma } = 0 , w _ { i } | _ { K } \in P ^ { 2 } ( K ) , i = 1 , 2 , \forall K \subset \Omega _ { h } \} , } \\ { Q _ { h } } & { { } = } & { \{ q \in C ^ { 0 } ( \Omega ) : q | _ { K } \in P ^ { 1 } ( K ) , \forall K \subset \Omega _ { h } \} , } \end{array}
\Delta H = v ( \vec { x } ) + v ^ { j } ( \vec { x } ) ( - i \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } ) + v ^ { j j ^ { \prime } } ( \vec { x } ) ( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { j } \partial x ^ { j ^ { \prime } } } ) \; ,
\begin{array} { r } { \mathbf { K } _ { s , \P } ^ { n , h } = \bar { H } ( \mathbf { I } - \mathbf { \Pi } _ { k } ^ { \nabla } ) ^ { T } ( \mathbf { I } - \mathbf { \Pi } _ { k } ^ { \nabla } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) } \\ & { } & { \quad \quad \quad = \lambda ^ { 2 } \sum _ { \{ j _ { i } \} , \{ s _ { i , + } \} , \{ s _ { i , - } \} } ^ { N } \int _ { \Lambda _ { \beta } } d ^ { 3 } x x _ { + } ^ { 2 } \big [ C _ { j _ { 1 } , \sigma _ { j _ { 1 } } } ^ { I } ( x ) C _ { j _ { 2 } , \sigma _ { j _ { 2 } } } ^ { I } ( x ) C _ { j _ { 3 } , \sigma _ { j _ { 3 } } } ^ { I } ( - x ) \big ] _ { 1 1 } e ^ { - i \pi T x _ { 0 } - i x _ { + } + i x _ { - } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = D \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \frac { 2 \Phi ( L ^ { \prime } ) } { D } } H ( L ^ { \prime } ) \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( t ) } & { = - \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { S } } N ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla { V _ { \alpha \beta } ^ { r _ { I } } } \left( X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( t ) - X _ { \beta , j } ^ { { r _ { I } } , N } ( t ) \right) \, \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \sigma _ { \alpha } } \, \mathrm { d } B _ { \alpha , i } ( t ) } \\ { X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( 0 ) } & { = \eta _ { \alpha , i } , \qquad \alpha = 1 , \ldots , { n _ { S } } , \quad i = 1 , \ldots , N . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = \frac { e L _ { \perp } \langle B ^ { 2 } \rangle u } { T _ { i } } , } \\ { L _ { \perp } ^ { - 1 } } & { { } = - I \bigg ( \frac { 1 } { N _ { i } } \frac { \partial N _ { i } } { \partial \psi } - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T _ { i } } \frac { \partial T _ { i } } { \partial \psi } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { S } } ^ { \dagger } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { y } } } \sum _ { m } \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } , } \\ { \hat { d } _ { k _ { x } , \mathrm { A } } ^ { \dagger } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } } } \sum _ { m } \Big ( Y _ { m } - \frac { L _ { y } } { 2 } \Big ) \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { 2 n - 1 } ^ { \varepsilon } h _ { 2 n } ^ { \varepsilon } t _ { 2 n - 1 , 2 n } = t _ { 1 , 2 n } h _ { 2 n - 1 } ^ { \varepsilon } h _ { 2 n } ^ { \varepsilon } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \Longleftrightarrow } } & { r h _ { 2 n - 1 } ^ { \varepsilon } h _ { 2 n } ^ { \varepsilon } t _ { 2 n - 1 , 2 n } r ^ { - 1 } = r t _ { 1 , 2 n } h _ { 2 n - 1 } ^ { \varepsilon } h _ { 2 n } ^ { \varepsilon } r ^ { - 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( 5 ) ~ ( b ) , ( c ) , ( d ) } } { \Longleftrightarrow } } & { h _ { 2 } ^ { \varepsilon } h _ { 1 } ^ { \varepsilon } \underline { { t _ { 3 , 4 } } } = \underline { { t _ { 1 , 2 } } } h _ { 2 } ^ { \varepsilon } h _ { 1 } ^ { \varepsilon } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \Longleftrightarrow } } & { t _ { 1 , 2 } ^ { - 1 } h _ { 2 } ^ { \varepsilon } h _ { 1 } ^ { \varepsilon } = h _ { 2 } ^ { \varepsilon } h _ { 1 } ^ { \varepsilon } t _ { 3 , 4 } ^ { - 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { i n v e r s e } } { \Longleftrightarrow } } & { h _ { 1 } ^ { - \varepsilon } h _ { 2 } ^ { - \varepsilon } t _ { 1 , 2 } = t _ { 3 , 4 } h _ { 1 } ^ { - \varepsilon } h _ { 2 } ^ { - \varepsilon } } \\ & { \Longleftrightarrow } & { \mathrm { t h e ~ r e l a t i o n ~ ( 2 ) ~ ( b ) ~ f o r ~ } i = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { 1 } { 1 2 } - \frac { \mu } { 2 k } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \mu ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \right) v i + \left( \frac { \mu } { k } - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { w } { k } - \frac { 1 } { 2 } \right) + \left( \frac { 1 } { 1 2 } - \frac { w } { 2 k } + \frac { w ^ { 2 } } { 2 k ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { v i } . } \end{array}
V ^ { t h } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 . 9 7 5 3 ~ e ^ { i 1 ^ { \circ } } } } & { { 0 . 2 2 1 ~ e ^ { i 1 5 8 ^ { \circ } } } } & { { 0 . 0 0 3 4 ~ e ^ { i 8 4 ^ { \circ } } } } \\ { { 0 . 2 2 0 ~ e ^ { i 1 1 2 ^ { \circ } } } } & { { 0 . 9 7 4 5 ~ e ^ { i 8 9 ^ { \circ } } } } & { { 0 . 0 4 0 ~ e ^ { i 9 0 ^ { \circ } } } } \\ { { 0 . 0 0 8 5 ~ e ^ { i 2 7 0 ^ { \circ } } } } & { { 0 . 0 3 9 ~ e ^ { i 2 7 0 ^ { \circ } } } } & { { 0 . 9 9 9 2 ~ e ^ { i 9 0 ^ { \circ } } } } \end{array} \right)
\hat { \vec { y } } _ { k } : = \operatornamewithlimits { a r g m i n } _ { \vec { y } \in \mathcal { K } _ { k } ( \vec { A } , \vec { b } ) } \| \mathbf { b } - \mathbf { A } \mathbf { y } \| _ { 2 } = \operatornamewithlimits { a r g m i n } _ { \vec { y } \in \mathcal { K } _ { k } ( \vec { A } , \vec { b } ) } \| \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { b } - \mathbf { y } \| _ { \vec { A } ^ { 2 } } .
Z ( \omega ) = \displaystyle \frac { 1 } { i C _ { 0 } \omega } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \sigma ( \tau ) } { 1 + i \omega \tau } , \qquad \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \sigma ( \tau ) } { 1 + \tau } < + \infty , \quad 0 < C _ { 0 } \le \infty .
\begin{array} { r l } { P _ { z } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } \bigl ( z \to } & { { } z ^ { \prime } \bigr ) = H _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } ( x _ { 0 } ^ { \prime } , x _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \prod _ { i = 1 } ^ { \tau ^ { \prime } / \Delta t - 1 } \widetilde { h } ( x _ { i \Delta t } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \nearrow \ \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | \uparrow \ \rangle + | \downarrow \ \rangle \right) } \\ { | \searrow \ \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | \uparrow \ \rangle - | \downarrow \ \rangle \right) , } \end{array}
L = - { \dot { t } } ^ { 2 } - U ( r ) \, { \dot { x } _ { 5 } } ^ { 2 } \, + \, \frac { 1 } { U ( r ) } \, { \dot { r } } ^ { 2 } \, + \, \left( r ^ { 2 } \, + \, P ^ { 2 } \right) \, { \dot { \varphi } } ^ { 2 }
u _ { k } ( 0 ) = \sum _ { K } { \frac { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { A } { a } } } { { \frac { 2 m E _ { k } } { \hbar ^ { 2 } } } - ( k + K ) ^ { 2 } } } \, u _ { k } ( 0 )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { S _ { 2 1 } } } & { { } = 1 - \frac { \gamma _ { c } } { [ i ( \omega - \omega _ { c } ) - \alpha _ { c } ] - \frac { ( i J - \Gamma ) ^ { 2 } } { i ( \omega - \omega _ { m } ) - ( \alpha _ { m } + \gamma _ { m } ) } } } \end{array}
V ^ { D } \equiv \mu ^ { \epsilon } \sum _ { n } { \frac { 1 } { 2 } } \int { \frac { d ^ { D - 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } } \log \left( { \frac { k ^ { 2 } + m _ { n } ^ { 2 } ( \varphi _ { i } , D ) } { \mu ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r } { \| \partial _ { z z } u _ { 0 } ^ { j } - \partial _ { z z } u _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } \leq \| u _ { 0 } ^ { j } - u _ { 0 } \| _ { H ^ { 4 } } = \| ( I - P _ { j } ) u _ { 0 } \| _ { H ^ { 4 } } \leq \frac { C } { j } \| u _ { 0 } ^ { j } - u _ { 0 } \| _ { H ^ { 5 } } \leq \frac { C } { j } \| u _ { 0 } \| _ { \tilde { s } } \leq \frac { C M } { 2 j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \mathcal { S } \bar { g _ { \mathrm { o } } } \rangle } & { = \frac { 2 \chi } { 2 - \chi } \langle \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \mathcal { P } _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } \mathcal { C } \xi _ { n } ^ { - 1 } \bar { g } _ { \mathrm { o } } \rangle = \langle \mathcal { P } _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \mathcal { C } \xi _ { n } ^ { - 1 } \bar { g } _ { \mathrm { o } } \rangle = \langle \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \mathcal { C } \xi _ { n } ^ { - 1 } \bar { g } _ { \mathrm { o } } \rangle } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \bar { f } _ { \mathrm { o } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) \xi _ { n } ^ { - 1 } \bar { g } _ { \mathrm { o } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) \, \mathrm { d } \xi _ { t _ { 2 } } \, \mathrm { d } \xi _ { t _ { 1 } } \, \mathrm { d } \xi _ { n } } \\ & { = \langle \mathcal { C } \xi _ { n } ^ { - 1 } \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \bar { g } _ { \mathrm { o } } \rangle = \langle \mathcal { C } \xi _ { n } ^ { - 1 } \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \mathcal { P } _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } \bar { g } _ { \mathrm { o } } \rangle = \langle \mathcal { P } _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } \mathcal { C } \xi _ { n } ^ { - 1 } \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \bar { g } _ { \mathrm { o } } \rangle = \langle \mathcal { S } \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \bar { g } _ { \mathrm { o } } \rangle , } \\ { \langle \bar { f } _ { \mathrm { o } } , \mathcal { S } \bar { f } _ { \mathrm { o } } \rangle } & { = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \xi _ { n } ^ { - 1 } [ \bar { f } _ { \mathrm { o } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) ] ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi _ { t _ { 2 } } \, \mathrm { d } \xi _ { t _ { 1 } } \, \mathrm { d } \xi _ { n } \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { c l c r } { { \delta u _ { v } ^ { N } ( x ) = [ u _ { v } ^ { N } ( x ) - \frac { 1 } { 2 } d _ { v } ^ { N } ( x ) ] \hat { W } _ { S } ^ { ( u ) } ( x ) - \frac { 1 } { 6 } d _ { v } ^ { N } ( x ) \hat { W } _ { V } ^ { ( u ) } ( x ) ; } } \\ { { \delta d _ { v } ^ { N } ( x ) = - \frac { 1 } { 3 } d _ { v } ^ { N } ( x ) \hat { W } _ { V } ^ { ( d ) } ( x ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { { } \propto R ^ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } - R ^ { 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { i } + y _ { i } ) ^ { 2 } } \end{array} .
\mid \mathrm { ~ { { } _ { 1 } ~ F _ { 1 } } ~ } ( \alpha \beta , \beta ; z ) \mid ^ { 2 } + \left( \frac { 1 - \alpha } { \alpha } \right) \mid \mathrm { ~ { { } _ { 1 } ~ F _ { 1 } } ~ } ( \alpha \beta , 1 + \beta ; z ) - \mathrm { ~ { { } _ { 1 } ~ F _ { 1 } } ~ } ( \alpha \beta , \beta ; z ) \mid ^ { 2 } \equiv 1 \quad \mathrm { ( ~ \ a l p h a ~ r e a l ) }
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) d r _ { x } = 1 , \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) r _ { x } d r _ { x } = 0 , \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) r _ { x } ^ { 2 } d r _ { x } = \frac { \Delta ^ { 2 } } { 1 2 } . } \end{array}
\frac { \Delta T } { T } ( \vec { n } , \eta _ { 0 } , x _ { 0 } ) = \biggl [ \frac { \delta _ { \mathrm { r } } } { 4 } + \vec { n } \cdot \vec { \nabla } v _ { \mathrm { b } } + \Phi \biggr ] ( \eta _ { \mathrm { d e c } } , \vec { x } ( \eta _ { \mathrm { d e c } } ) ) - \int _ { \eta _ { 0 } } ^ { \eta _ { \mathrm { d e c } } } ( \Phi ^ { \prime } + \Psi ^ { \prime } ) ( \eta , \vec { x } ( \eta ) ) d \eta ,
\begin{array} { r } { \hat { R } _ { i } ( t ) = \sum _ { \mu } \big [ A _ { \mu _ { i } } ( t ) \hat { G } _ { \mu _ { i } } + A _ { \mu _ { i } ^ { \dagger } } ^ { * } ( t ) \hat { G } _ { \mu _ { i } ^ { \dagger } } \big ] , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { | M _ { H } \rangle } } \\ { { | M _ { L } \rangle } } \end{array} \right) \stackrel { t } { \to } \left( \begin{array} { c c } { { \Theta _ { H } ( t ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \Theta _ { L } ( t ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { | M _ { H } \rangle } } \\ { { | M _ { L } \rangle } } \end{array} \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Theta _ { H } ( 0 ) = \Theta _ { L } ( 0 ) = 1 \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \beta } f ( t , x ) } & { = \frac { \partial f ( t , x ) } { \partial t } + \mu ( t , x ) \cdot \frac { \partial f ( t , x ) } { \partial x } + \frac { 1 } { 2 } \sigma ( t , x ) ^ { 2 } \cdot \frac { \partial ^ { 2 } f ( t , x ) } { \partial x ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \beta ( t , x ) } \cdot \left| \sigma ( x , t ) \cdot \frac { \partial f ( t , x ) } { \partial x } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ( s ) = } & { { } \frac { 1 } { \sum _ { i } \xi _ { i } } \sum _ { i } \frac { \xi _ { i } } { s - i q _ { i } } , } \\ { \tilde { B } _ { i n } ( s , \omega ) = } & { { } \sum _ { i } \frac { \beta _ { i } ( \omega ) } { s - i q _ { i } } . } \end{array}
V _ { \triangle } ( s ) = \frac { 1 } { \sin { \alpha } \cos { \alpha } } \int _ { 0 } ^ { s } s ^ { \prime } w _ { a } ( s - s ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } s ^ { \prime } = \frac { s M _ { 0 } ( s ) - M _ { 1 } ( s ) } { \sin { \alpha } \cos { \alpha } } ,
\begin{array} { r l } { u _ { x } } & { { } = \alpha u _ { 0 } [ B \sin ( k _ { 0 } y ) - C \cos ( k _ { 0 } z ) ] } \\ { u _ { y } } & { { } = \beta u _ { 0 } [ C \sin ( k _ { 0 } z ) - A \cos ( k _ { 0 } x ) ] } \\ { u _ { z } } & { { } = u _ { 0 } [ \alpha A \sin ( k _ { 0 } x ) - \beta B \cos ( k _ { 0 } y ) ] } \end{array}
{ \cal M } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } [ \bar { u } _ { p } \gamma ^ { \alpha } ( F _ { V } + G _ { A } \gamma _ { 5 } ) u _ { n } ] [ \bar { u } _ { e } \gamma _ { \alpha } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) v _ { \nu } ] ,
\begin{array} { l l l } { { \alpha _ { i k } } } & { { = } } & { { 1 \otimes \cdots \otimes 1 \otimes \alpha _ { i } \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1 \in H ^ { 1 } ( ( M ) ^ { N } , { \bf { Z } } ) } } \\ { { \beta _ { k } } } & { { = } } & { { 1 \otimes \cdots \otimes 1 \otimes \beta \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1 \in H ^ { 2 } ( ( M ) ^ { N } , { \bf { Z } } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta F _ { r e a l } } & { { } = \frac { d } { d \varepsilon } \left\{ \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { r e a l } + \varepsilon \varphi - \hat { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } d \Omega + \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { i m } - \hat { U } _ { i m } ) ^ { 2 } d \Omega \right. } \end{array}
\textbf { D } = \varepsilon _ { 0 } \textbf { E } + \textbf { P } = \left( \varepsilon _ { 0 } + \frac { \mathrm { i } \sigma } { \omega } \right) { \textbf { E } } = \varepsilon _ { 0 } \left[ 1 - \frac { \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + \mathrm { i } \gamma ) } \right] \textbf { E } .
\begin{array} { r l } { \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \tilde { \boldsymbol { \Pi } } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { 2 } } & { \leq \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \tilde { \mathbf { V } } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \| \tilde { \mathbf { V } } ^ { \mathrm { T } } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } \tilde { \mathbf { V } } \| _ { 2 } } \\ & { = \| \left( \mathbf { V } ^ { \mathrm { T } } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { V } \right) ^ { - 1 / 2 } \mathbf { V } ^ { \mathrm { T } } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { V } \left( \mathbf { V } ^ { \mathrm { T } } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { V } \right) ^ { - 1 / 2 } \| _ { 2 } } \\ & { = \| \mathbf { I } _ { K } \| _ { 2 } = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { s x , \mathrm { R B D } } } & { = } & { D _ { s y , \mathrm { R B D } } = 2 D _ { \mathrm { R B D } } ^ { \mathrm { 2 D } } = \frac { \pi \Gamma ( \frac { 5 } { 6 } ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } ( 1 - f _ { s } ) \frac { b } { B _ { 0 } } l _ { \perp } } \\ & { = } & { \sqrt { \pi } ( 1 - f _ { s } ) \frac { b } { B _ { 0 } } \lambda _ { c 2 } , } \end{array}
\left. \epsilon _ { w } \frac { \partial \Phi _ { \textrm { I } } ( r ) } { \partial r } \right| _ { r = R } - \left. \epsilon _ { p } \frac { \partial \Phi _ { \textrm { I I } } ( r ) } { \partial r } \right| _ { r = R } = \frac { \sigma _ { 1 } } { \epsilon _ { 0 } } ,
\Sigma ( { \hat { p } } ) = m _ { 0 } + i \int { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } V ( { \hat { p } } - { \hat { q } } ) \gamma \dot { \eta } G _ { \Sigma } ( q ) \gamma \dot { \eta } ; \quad \eta _ { \mu } = P _ { \mu } / { | P | }
\left[ \begin{array} { l l } { h o u s e s } & { 7 } \\ { c a t s } & { 4 9 } \\ { m i c e } & { 3 4 3 } \\ { s p e l t } & { 2 4 0 1 } \\ { h e q a t } & { 1 6 8 0 7 } \\ { T o t a l } & { 1 9 6 0 7 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 2 n d } } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ d ~ } ) } & { { } = \int \frac { d Q } { \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left( \oint \frac { d z _ { j } } { 2 \pi i } \frac { \mathrm { e } ^ { Q z _ { j } } } { z _ { j } ^ { 1 + d _ { j } } } \right) } \end{array}
I _ { 1 } = - q ^ { 4 } + \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) \tilde { q } ^ { 2 } - \frac { \mathrm { ~ D ~ a ~ } } { \alpha } ,
\begin{array} { r } { \delta \psi _ { i } ^ { \pm } = G _ { 0 } ( \pm \omega + i \eta + \varepsilon _ { i } ) \Big ( V _ { \mathrm { t o t } } \delta \psi _ { i } ^ { \pm } + ( f _ { \mathrm { H X C } } \delta \rho ) \psi _ { i } + \delta V _ { \mathcal P } \psi _ { i } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \Tilde { { X } } ; { Y } ^ { K } | { A } ^ { 2 } ) } & { = H ( \Tilde { { X } } | { A } ^ { 2 } ) - H ( \Tilde { { X } } | { Y } ( { X } ^ { 2 } ) , { A } ^ { 2 } ) } \\ & { = 2 ( 1 - \alpha \delta ) H ( X ) - 2 \delta ( 1 - \alpha ) H ( X ) - 2 \delta ( 1 - \delta ) ( 1 - \alpha ) \left( 1 - \hat { q } \right) } \\ & { = 2 ( 1 - \delta ) H ( X ) - 2 \delta ( 1 - \delta ) ( 1 - \alpha ) \left( 1 - \hat { q } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i s t } _ { D } ( \gamma , \partial U ) } & { \geq \sum _ { k = 1 } ^ { p _ { i } } D ^ { \circ } ( a _ { k - 1 } ^ { i } , a _ { k } ^ { i } ) } \\ & { \geq | \ell _ { \gamma ( \frac { i - 1 } { n } ) } - \ell _ { a _ { j - 1 } ^ { i } } | + \ell _ { a _ { j - 1 } ^ { i } } + \ell _ { a _ { j } ^ { i } } - 2 \operatorname* { m a x } \Big ( \operatorname* { m i n } _ { c \in [ | a _ { j - 1 } ^ { i } , a _ { j } ^ { i } | ] } \ell _ { c } , \operatorname* { m i n } _ { c \in [ | a _ { j } ^ { i } , a _ { j - 1 } ^ { i } | ] } \ell _ { c } \Big ) + | \ell _ { \gamma ( \frac { i } { n } ) } - \ell _ { a _ { j } ^ { i } } | } \\ & { \geq \ell _ { \gamma ( \frac { i - 1 } { n } ) } + \ell _ { \gamma ( \frac { i } { n } ) } - 2 \operatorname* { m a x } \Big ( \operatorname* { m i n } _ { c \in [ | a _ { j - 1 } ^ { i } , a _ { j } ^ { i } | ] } \ell _ { c } , \operatorname* { m i n } _ { c \in [ | a _ { j } ^ { i } , a _ { j - 1 } ^ { i } | ] } \ell _ { c } \Big ) } \\ & { \geq 2 \Bigg ( \mathrm { d i s t } _ { D } ( \gamma , \partial U ) - \operatorname* { m a x } \Big ( \operatorname* { m i n } _ { c \in [ | a _ { j - 1 } ^ { i } , a _ { j } ^ { i } | ] } \ell _ { c } , \operatorname* { m i n } _ { c \in [ | a _ { j } ^ { i } , a _ { j - 1 } ^ { i } | ] } \ell _ { c } \Big ) \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \hat { Z } _ { t _ { n } } ^ { \pi } } & { : = \frac { 1 } { \Delta t _ { n } } \mathbb { E } _ { t _ { n } } \{ \hat { Y } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \pi } \Delta W _ { t _ { n } } \} , \quad \hat { \Gamma } _ { t _ { n } } ^ { \pi } : = \frac { 1 } { \Delta t _ { n } } \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \hat { Y } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \pi } \int _ { E } \gamma ( e ) \tilde { \mu } ( d e , ( t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) \right\} , } \end{array} } \end{array}
\chi _ { \odot , \mathrm { O B S } } ^ { 2 } ( \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } , \theta _ { 1 2 } , \theta _ { 1 3 } ) - \chi _ { m i n , \odot , \mathrm { O B S } } ^ { 2 } \leq \Delta \chi ^ { 2 } \mathrm { ( C L , ~ 3 ~ d . o . f . ) }
\begin{array} { r l } & { \mathrel { \phantom { = } } \exp \{ - | x | \} = \exp \{ - \operatorname* { m a x } ( - x , x ) \} } \\ & { \sim \exp \{ - \mathrm { s m o o t h \_ m a x } ( - x , x ) \} = \exp \{ - \mathrm { L o g S u m E x p } ( - x , x ) \} } \\ & { = \exp \left\{ - \log \left( e ^ { - x } + e ^ { x } \right) \right\} = \left( e ^ { - x } + e ^ { x } \right) ^ { - 1 } \propto \{ \cosh ( x ) \} ^ { - 1 } } \\ & { \sim \textstyle ( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { -- } ^ { \, l l ^ { \prime } } } & { { } = \sum _ { i , j = l , l ^ { \prime } } \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \hat { n } _ { i \sigma } \hat { n } _ { j \sigma ^ { \prime } } ( 1 - \hat { n } _ { i \bar { \sigma } } ) ( 1 - \hat { n } _ { j \bar { \sigma } ^ { \prime } } ) } \\ { \hat { P } _ { \Psi _ { \pm } } ^ { \, l l ^ { \prime } } } & { { } = | \Psi _ { \pm } ^ { l l ^ { \prime } } \rangle \langle \Psi _ { \pm } ^ { l l ^ { \prime } } | } \end{array}
- { \cal L } _ { Y } ^ { M } \ = \ \Phi _ { 1 } \bar { \nu } _ { L } ( h _ { 1 } N _ { 1 } \, + \, h _ { 2 } N _ { 2 } ) \ + \ M _ { 1 } N _ { 1 } ^ { T } C N _ { 1 } \ + \ M _ { 2 } N _ { 2 } ^ { T } C N _ { 2 } \ + \ \mathrm { H . c . } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { \mathbf { x } ^ { - } , 0 } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { - } ) , \mathbf { y } , \mathfrak { A } | _ { U ^ { c } } ) \mathbb { P } _ { t , \mathbf { x } ^ { + } } ( \mathbf { y } + f ( t ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { + } ) , \mathfrak { A } | _ { U ^ { c } } ) } \\ { \ge \; } & { \mathbb { P } _ { \mathbf { x } ^ { - } , 0 } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { - } ) , \textsf { T } f ( 0 ) + 2 \zeta _ { m } \iota , \mathfrak { A } | _ { U ^ { c } } ) \mathbb { P } _ { y , \mathbf { x } ^ { + } } ( \textsf { T } f ( 0 ) + 2 \zeta _ { m } \iota , \mathfrak { A } ^ { k } ( \mathbf { x } ^ { + } ) , \mathfrak { A } | _ { U ^ { c } } ) } \\ { \ge \; } & { e ^ { - c _ { k } m ^ { 2 } \sqrt { E _ { t , f } } } . } \end{array}
\epsilon _ { l } ^ { I ( 1 ) } = t _ { l } ^ { I ( 1 ) } ( s _ { z } ^ { ( 0 ) } ) , \; \; \epsilon _ { l } ^ { I ( 2 ) } = t _ { l } ^ { I ( 2 ) } ( s _ { z } ^ { ( 0 ) } ) , \; \; \cdots .