harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
U _ { F } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) = { \frac { \mathrm { i } } { \lambda D } } \, \delta \left( { \frac { \boldsymbol r ^ { \prime } } { \lambda D } } - F _ { 0 } \right) = \mathrm { i } \lambda D \, \delta ( \boldsymbol r ^ { \prime } - \lambda D \boldsymbol F _ { 0 } ) \, ,
R ( u , \lambda ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } E _ { i , i } \otimes E _ { i , i } + \sum _ { i \neq j } \alpha ( u , \lambda _ { i j } ) E _ { i , i } \otimes E _ { j , j } + \sum _ { i \neq j } \beta ( u , \lambda _ { i j } ) E _ { i , j } \otimes E _ { j , i }
\frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ d ~ } \, z ^ { 2 } } \left( \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } + \epsilon \delta \phi \right) - \left( - \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } - \epsilon \delta \phi \right) ^ { n } = \epsilon \delta ( z ) ,
\begin{array} { r l } { u _ { \mathrm { W } } } & { { } = ( b - c ) \bar { p } _ { \mathrm { W W } } , } \\ { u _ { \mathrm { M } } } & { { } = b \bar { p } _ { \mathrm { M W } } - c \bar { p } _ { \mathrm { W M } } , } \end{array}
J ^ { ( 2 ) } ( 3 ; 1 , 1 ) = \frac { \mathrm { i } \pi ^ { 2 } } { \sqrt { k _ { 1 2 } ^ { 2 } } } \ln \left( \frac { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \sqrt { k _ { 1 2 } ^ { 2 } } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \sqrt { k _ { 1 2 } ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol A - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \infty } = \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \left| \left[ \boldsymbol E _ { \mathrm { r } } \right] _ { \boldsymbol k , \boldsymbol \ell } \, \right| \leq \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \varepsilon = | \mathcal I _ { \b { M } } | \, \varepsilon , } \end{array}
d ( p , q ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { n - 1 } { 2 } \big ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { q } \big ) + \frac { n - 1 } { 4 } - \frac { n + 1 } { 2 p } } & { \quad \mathrm { i f ~ } p \geq \frac { 2 ( n + 1 ) } { n - 1 } , } \\ { \frac { n - 1 } { 2 } \big ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { q } \big ) } & { \quad \mathrm { i f ~ } 2 \leq p \leq \frac { 2 ( n + 1 ) } { n - 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F _ { \Delta x , \mathrm { a c } } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j } ) + \left( D u _ { 2 j } \mp q _ { 2 j } \right) ^ { 2 } \left( x - x _ { 2 j } \right) , } & { x _ { 2 j } < x \leq x _ { 2 j + 1 } , } \\ { \frac { F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j + 2 } ) + F _ { \mathrm { a c } } ( x _ { 2 j } ) } { 2 } \mp 2 q _ { 2 j } D u _ { 2 j } \Delta x } \\ { \quad + \left( D u _ { 2 j } \pm q _ { 2 j } \right) ^ { 2 } ( x - x _ { 2 j + 1 } ) , } & { x _ { 2 j + 1 } < x \leq x _ { 2 j + 2 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ^ { [ 2 . 2 ] } } & { : = \left( \int \left( \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) | \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \times \right. \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left. \left. \mathbb { 1 } _ { | w - z | \leq \frac { 1 } { 4 } | x - y | } \mathbb { 1 } _ { | z - y | \geq \frac { | x - y | } { 2 } } \mathbb { 1 } _ { | w - z | < \frac { 1 } { 2 } ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \lesssim \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta + j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } v ^ { q ^ { \prime } ( \frac { \zeta } { \alpha } - 1 ) } \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { n } \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { n } } \\ { \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { J } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ { \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { \boldsymbol { 0 } _ { r \times r } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \sqrt { n } \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ { - \boldsymbol { \delta } } \end{array} \right] + o ( \sqrt { n } \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { n } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) } \\ { \sqrt { n } \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \sqrt { n } \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) - \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 2 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \delta } + o ( \sqrt { n } \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { n } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) . } \end{array}
\operatorname { L i } _ { s } ( z ) + ( - 1 ) ^ { s } \operatorname { L i } _ { s } ( 1 / z ) = { \frac { ( 2 \pi i ) ^ { s } } { \Gamma ( s ) } } ~ \zeta \left( 1 - s , ~ { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { \ln ( - 1 / z ) } { 2 \pi i } } \right) .
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { x _ { 1 } + x _ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { G ( x ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 4 - x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } } & { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } \\ { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } } & { x _ { 1 } x _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } } & { x _ { 1 } x _ { 2 } } & { x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } } \end{array} \right] \succeq 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \omega _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } } & { { } = ( { \bf k } _ { 1 } - { \bf k } ) \cdot ( { \bf k } _ { 1 } + { \bf k } ) + ( { \bf k } _ { 2 } - { \bf k } _ { 3 } ) \cdot ( { \bf k } _ { 2 } + { \bf k } _ { 3 } ) } \end{array}
\left[ \kappa \frac { \partial } { \partial \kappa } + \beta ( g ) \frac { \partial } { \partial g } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { A } \gamma _ { \Phi ^ { A } } ( g ) n _ { A } \right] \Gamma _ { R } ( p , \kappa , g ) = 0 .
\epsilon ^ { \delta \alpha \beta \gamma } { \frac { \partial F _ { \beta \gamma } } { \partial x ^ { \alpha } } } = { \frac { \partial F _ { \alpha \beta } } { \partial x ^ { \gamma } } } + { \frac { \partial F _ { \gamma \alpha } } { \partial x ^ { \beta } } } + { \frac { \partial F _ { \beta \gamma } } { \partial x ^ { \alpha } } } = 0
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { \mu , h } \, y = - y ^ { \prime \prime } + q ( x ) y - \frac { 1 } { \mu - h } \, [ y ^ { \prime } ( \ell ) - h y ( \ell ) ] \, [ \mu \delta ( x - \ell ) + \delta ^ { \prime } ( x - \ell ) ] , } \\ & { { \mathbb A } _ { \mu , h } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } + q ( x ) y - \frac { 1 } { \mu - \overline { h } } \, [ y ^ { \prime } ( \ell ) - \overline { h } y ( \ell ) ] \, [ \mu \delta ( x - \ell ) + \delta ^ { \prime } ( x - \ell ) ] . } \end{array}
\bar { f } ( \omega , Q _ { t } ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { 1 / 2 - i \infty } ^ { 1 / 2 + i \infty } d \gamma ( Q _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \gamma } \tilde { f } ( \omega , \gamma )
l _ { i } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } } { { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } _ { } I ^ { 2 } } \langle B _ { \theta } ^ { 2 } \rangle _ { P } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } R _ { 0 } } { { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } _ { } I ^ { 2 } R _ { 0 } } \langle B _ { \theta } ^ { 2 } \rangle _ { P } = \frac { 2 V } { { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } _ { } I ^ { 2 } R _ { 0 } } \langle B _ { \theta } ^ { 2 } \rangle _ { P } .
\begin{array} { r l r } { a _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } i _ { 4 } } ^ { \left\{ 4 \right\} } } & { { } = } & { \frac { 7 \cdot 5 \cdot 3 } { 4 \cdot 3 \cdot 2 } \Big ( a _ { i _ { 1 } } a _ { i _ { 2 } } a _ { i _ { 3 } } a _ { i _ { 4 } } } \end{array}
\tilde { H } = \int \mathrm { d } x ~ \left[ | \tilde { \Pi } _ { \alpha } + \frac { \Theta } { 8 \pi ^ { 2 } } \tilde { \Pi } _ { \alpha } ^ { H } | ^ { 2 } + | \partial _ { i } \tilde { Z } _ { \alpha } | ^ { 2 } - ( \tilde { Z } _ { \alpha } ^ { * } \partial _ { i } \tilde { Z } _ { \alpha } ) ( \tilde { Z } _ { \beta } \partial _ { i } \tilde { Z } _ { \beta } ^ { * } ) \right] .
\begin{array} { r l } & { \frac { \alpha _ { t } L ^ { 2 } } { 2 n } \left( 1 - \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } C L } { n } \right) \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t } - x _ { i , t } ^ { \ell } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q C L } { 2 n ^ { 2 } } \left( 1 - \alpha _ { t } n Q L \right) \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) - f _ { i } ^ { * } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \leq \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } L \left( 3 \alpha _ { t } Q L ^ { 2 } + \frac { C } { n } \right) \left[ f ( x _ { t } ) - f ^ { * } \right] } \\ & { \quad + \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } L \left( 3 \alpha _ { t } Q L ^ { 2 } + \frac { C } { n } \right) \left( f ^ { * } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ^ { * } \right) } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } ^ { 3 } Q ^ { 3 } D L ^ { 2 } ( 1 + \alpha _ { t } C / n ) } { 2 } + \frac { 3 \alpha _ { t } ^ { 3 } Q ^ { 3 } L ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ z ^ { 2 } ] } & { = q \mathbb { E } \left[ z ^ { 2 } \big | \; | z - \beta | \leq 0 . 1 \right] + ( 1 - q ) \mathbb { E } \left[ z ^ { 2 } \big | \; | z - \beta | > 0 . 1 \right] } \\ & { \leq q ( \beta + 0 . 1 ) ^ { 2 } + ( 1 - q ) \mathbb { E } \left[ z ^ { 2 } \big | \; | z - \beta | > 0 . 1 \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left[ r ^ { 2 } \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } - 4 r \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } \right] } & { = } & { 8 \pi \rho \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial z ^ { 2 } } } & { = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left[ 3 r ^ { 2 } \! \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } + 4 r \left( \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } + \frac { \partial \beta } { \partial t } \right) \right] } & { = } & { 8 \pi p _ { r } \; , \; \; \; \; } \\ { - \frac { 1 } { 4 } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } + 4 \left( \frac { \partial \beta } { \partial r } \right) ^ { 2 } + 4 \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r ^ { 2 } } + 4 \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial r } \right] } & { = } & { 8 \pi p _ { \varphi } \; , } \\ { \frac { \partial \beta } { \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r \partial z } } & { = } & { 0 \; , } \\ { 2 \frac { \partial \beta } { \partial r } \frac { \partial \beta } { \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial z } } & { = } & { 0 \; , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left[ r ^ { 2 } \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } - 2 r \left( 2 \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } + \frac { \partial \beta } { \partial t } \right) \right] } & { = } & { 8 \pi r ^ { 2 } ( p _ { z } - p _ { \varphi } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - f _ { a } ) Q } \\ { 0 } \end{array} \right. g _ { c } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( c ^ { i } - c ) Q / s } \\ { 0 } \end{array} \right. g _ { \Gamma } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \Gamma ^ { i } - \Gamma ) Q / s } \\ { 0 } \end{array} \right. \mathrm { ~ a ~ t ~ } { \bf x } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \bf x } ^ { i } \qquad \quad \mathrm { ~ ( ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ ) ~ } } \\ { \Omega \setminus \{ { \bf x } ^ { i } \} \mathrm { ~ ( ~ e ~ l ~ s ~ e ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ ) ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { J } } _ { \mathrm { H } ^ { + } } } & { = - ( \nu _ { V a } - \nu _ { V a } ^ { \prime } ) - \nu _ { H a } } \\ { \overline { { J } } _ { \mathrm { O H } ^ { - } } } & { = \nu _ { V b } - \nu _ { V b } ^ { \prime } + \nu _ { H b } } \\ { \overline { { J } } _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { = \nu _ { c } ^ { \prime } - \nu _ { c } } \\ { \overline { { J } } _ { L } } & { = \nu _ { A } - \nu _ { A } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \parallel } ^ { ( 3 ) } ( t ) = \frac { q a } { n \hbar } \sum _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \int \frac { d k } { 2 \pi } v _ { s _ { 2 } s _ { 1 } , k } \rho _ { s _ { 1 } s _ { 2 } , k } ^ { ( 3 ) } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| z _ { k } ^ { ( t + 1 ) } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } } & { = \| z _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \| z _ { k } ^ { ( t + 1 ) } - z _ { k } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } + 2 \langle z _ { k } ^ { ( t + 1 ) } - z _ { k } ^ { ( t ) } , z _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { k } ^ { * } \rangle } \\ & { = \| z _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \gamma _ { k } ^ { 2 } \| h _ { g z } ^ { k , t } \| ^ { 2 } - 2 \gamma _ { k } \langle h _ { g z } ^ { k , t } , z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \rangle . } \end{array}
{ \dot { m } } = { \frac { A p _ { t } } { \sqrt { T _ { t } } } } \cdot { \sqrt { \frac { \gamma } { R } } } M \cdot ( 1 + { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } M a ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { \gamma + 1 } { 2 ( \gamma - 1 ) } } }
\begin{array} { l l l l } { { \ } } & { { \left< \psi \right| T _ { \sigma ^ { - } \sigma ^ { - } } ^ { \left( o u t \right) } \left( \sigma ^ { - } \right) \left| \psi \right> } } & { { = } } & { { \left< 0 _ { i n } \right| S ^ { - 1 } \, T _ { \sigma ^ { - } \sigma ^ { - } } ^ { \left( o u t \right) } \left( \sigma ^ { - } \right) S \left| 0 _ { i n } \right> } } \\ { { = } } & { { \left< 0 _ { i n } \right| T _ { \sigma ^ { - } \sigma ^ { - } } ^ { \left( i n \right) } \left( \sigma ^ { - } \right) \left| 0 _ { i n } \right> } } & { { = } } & { { \left< 0 _ { i n } \right| { \frac { 1 } { 2 } } \, \partial _ { \sigma ^ { - } } f ^ { \left( i n \right) } \left( \sigma ^ { - } \right) \partial _ { \sigma ^ { - } } f ^ { \left( i n \right) } \left( \sigma ^ { - } \right) \left| 0 _ { i n } \right> \; , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha \Delta t } & { { } = } & { \frac { \Delta t ^ { 2 } } { m + \mu \Delta t } } \\ { \beta ( t ) \Delta t } & { { } = } & { \frac { \Delta t ^ { 2 } } { m + \mu \Delta t } \phi ( t ) } \\ { \gamma \Delta t } & { { } = } & { \frac { m } { m + \mu \Delta t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { d s ^ { 2 } = { \frac { - 4 \; | d z | ^ { 2 } } { ( \overline { { \psi ^ { - } ( z ) } } \psi ^ { + } ( z ) - \overline { { \psi ^ { + } ( z ) } } \psi ^ { - } ( z ) ) ^ { 2 } } } = { \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } \; | \partial \rho _ { i } ( z ) | ^ { 2 } } { | \rho _ { i } ( z ) | ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } ( \lambda _ { i } \log | \rho _ { i } ( z ) | ) } } | d z | ^ { 2 } \, . } \end{array}
- \mathrm { t r } \ln \left( \bar { D } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \ln E + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \left( G _ { 0 } F \right) + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { t r } \left( G _ { 0 } F G _ { 0 } F \right) + \frac { 1 } { 6 } \mathrm { t r } \left( G _ { 0 } F G _ { 0 } F G _ { 0 } F \right) + \ldots
\begin{array} { r l } { V a r ^ { * } ( A _ { 1 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { K } \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } \widehat { f } _ { k , n } \right) \widehat { \sigma } _ { j , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } \widehat { f } _ { l , n } ^ { 2 } \right) + O _ { P } \left( \frac { 1 } { I + n } \right) } \\ { \overset { p } { \longrightarrow } } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { K } \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } f _ { k } \right) \sigma _ { j } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } f _ { l } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { t } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) + \mathcal { A } ( u ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) ) = \mathcal { S } ( \boldsymbol { x } , t ; \boldsymbol { \xi } ) , } \end{array}
\hat { W } ( A ( t ) ) = \sum _ { \lambda } r _ { \lambda } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A ^ { i j } ( t ) \hat { a } _ { \lambda } ^ { i } \, \hat { b } _ { \lambda } ^ { j } + \sum _ { \gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { N } r _ { \gamma } \hat { c } _ { \gamma } ^ { i }
D = \frac { 1 } { 2 } [ \Gamma _ { \mathrm { s c a t t } } ( N _ { R } ) + \Gamma _ { \mathrm { s c a t t } } ( N _ { L } ^ { \prime } ) ] \simeq \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \mathrm { s c a t t } } ( N _ { R } ) ,
\begin{array} { r l r } { n _ { \mathrm { C a ^ { + } } } ( t ) } & { { } = } & { n _ { \mathrm { C a ^ { + } } } ( 0 ) \; e ^ { - \tilde { k } _ { \mathrm { t o t } } t } , } \\ { n _ { \mathrm { C _ { 4 } H _ { n } ^ { + } } } ( t ) } & { { } = } & { n _ { \mathrm { C a ^ { + } } } ( 0 ) \; \frac { \tilde { k } ^ { ( 2 ) } } { \tilde { k } _ { \mathrm { t o t } } } \left( 1 - e ^ { - \tilde { k } _ { \mathrm { t o t } } t } \right) , } \end{array}
C ( u _ { 1 } ^ { 1 / m } , \dots , u _ { d } ^ { 1 / m } ) ^ { m } = \left( \Pi _ { g = 1 } ^ { G } C ^ { ( O _ { g } ) } \left( u _ { i _ { g , 1 } } ^ { 1 / m } , \dots , u _ { i _ { g , d _ { g } } } ^ { 1 / m } \right) \right) ^ { m } = \Pi _ { g = 1 } ^ { G } \left\{ C ^ { ( O _ { g } ) } \left( u _ { i _ { g , 1 } } ^ { 1 / m } , \dots , u _ { i _ { g , d _ { g } } } ^ { 1 / m } \right) \right\} ^ { m } .
\begin{array} { r l } { S _ { n } } & { = \left[ \frac 0 n , \frac 1 { n + 1 } \right] , \left[ \frac 1 n , \frac { 2 } { n + 1 } \right] , \ldots , \left[ \frac { n - 1 } n , \frac n { n + 1 } \right] , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { { S _ { n } } ^ { * } } & { = \left( \frac { 1 } { n + 1 } , \frac { 1 } { n } \right) , \left( \frac { 2 } { n + 1 } , \frac { 2 } { n } \right) , \ldots \left( \frac { n - 1 } { n + 1 } , \frac { n - 1 } { n } \right) , \left( \frac { n } { n + 1 } , 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\frac { \partial V } { \partial x } \cdot f ( x , y ) + \frac { \partial V } { \partial y } \cdot g ( x , y ) = 2 g ( x , y ) - f ( x , y ) = \lambda _ { 1 } ( ( x - 2 y ) ( 4 \mu y + 2 x + 2 y - 1 ) ) < 0 .
d _ { + } ( s ) = \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { i \infty } \! \mathrm { d } u \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } \tau \, \widehat w _ { D } ( \tau ) \exp \left[ - u \left( \ln \frac { \tau | s | } { \Lambda _ { V } ^ { 2 } } + i ( \phi - \pi ) \right) \right] \, .
\frac { \partial ^ { 2 } \vec { V } ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } = c ^ { 2 } \nabla \left( \nabla \cdot \vec { V } ^ { \prime } \right) + \frac { 1 } { \bar { \rho } } \frac { \partial \mathcal { S } } { \partial t }
\begin{array} { r l } { | \tilde { \psi } \rangle = \int _ { 0 } ^ { \pi } d k \tilde { \psi } _ { k } | k \rangle | g \rangle + \sum _ { x = 1 } ^ { M } } & { { } ( \tilde { \psi } _ { x A } | x , A \rangle + \tilde { \psi } _ { x B } | x , B \rangle ) | g \rangle } \\ { + } & { { } \tilde { \psi } _ { e } | \varphi , e \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } } & { = ( - 1 ) ^ { \pi } \iiint \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } ; x _ { 4 } ) \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 4 } ; x _ { 3 } ) \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 3 } ; x _ { 1 } ) \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 2 } ; x _ { 5 } ) \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 5 } ; x _ { 2 } ) g _ { 1 3 } g _ { 2 3 } g _ { 4 5 } \, \textnormal { d } x _ { 3 } \, \textnormal { d } x _ { 4 } \, \textnormal { d } x _ { 5 } } \\ & { = \frac { - 1 } { L ^ { 1 5 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 5 } \in P _ { F } } \iiint e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 4 } - x _ { 3 } ) } e ^ { i k _ { 3 } ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) } e ^ { i k _ { 4 } ( x _ { 2 } - x _ { 5 } ) } e ^ { i k _ { 5 } ( x _ { 5 } - x _ { 2 } ) } g _ { 1 3 } g _ { 2 3 } g _ { 4 5 } \, \textnormal { d } x _ { 3 } \, \textnormal { d } x _ { 4 } \, \textnormal { d } x _ { 5 } } \\ & { = \frac { - 1 } { L ^ { 1 5 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 5 } \in P _ { F } } e ^ { i ( k _ { 1 } - k _ { 3 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 4 } - k _ { 5 } ) x _ { 2 } } \int \, \textnormal { d } x _ { 3 } \, e ^ { i ( k _ { 3 } - k _ { 2 } ) x _ { 3 } } g ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) g ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) } \\ & { \quad \times \int \, \textnormal { d } x _ { 4 } \, \left[ e ^ { i ( k _ { 2 } - k _ { 1 } + k _ { 5 } - k _ { 4 } ) x _ { 4 } } \int \, \textnormal { d } x _ { 5 } \, e ^ { - i ( k _ { 5 } - k _ { 4 } ) ( x _ { 4 } - x _ { 5 } ) } g ( x _ { 4 } - x _ { 5 } ) \right] } \\ & { = \frac { - 1 } { L ^ { 1 2 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 5 } \in P _ { F } } e ^ { i ( k _ { 1 } - k _ { 3 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 4 } - k _ { 5 } ) x _ { 2 } } \int \, \textnormal { d } x _ { 3 } \, e ^ { i ( k _ { 3 } - k _ { 2 } ) x _ { 3 } } g ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) g ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) } \\ & { \quad \times \chi _ { ( k _ { 2 } - k _ { 1 } = k _ { 4 } - k _ { 5 } ) } \hat { g } ( k _ { 5 } - k _ { 4 } ) , } \end{array}
\int \prod _ { a = 1 } ^ { N } \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { a } } d ^ { D } z _ { j } ^ { ( a ) } \bigg | \prod _ { b < c } ^ { N } \; f ^ { ( b , c ) } \bigg | \; \leq \; \prod _ { a < b } ^ { N } \Bigg [ \int \; \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { a } } d ^ { D } z _ { i } ^ { ( a ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { b } } d ^ { D } z _ { j } ^ { ( b ) } \; \bigg | f ^ { ( a , b ) } \bigg | ^ { N - 1 } \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { N - 1 } } \; .
\begin{array} { r } { \frac { d N _ { s } ^ { ( p h . , s p . ) } } { d \tau } = \frac { 3 } { 8 \pi } \Delta o \, \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } } \int n ( \textbf { r } ) \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { ~ e ~ x ~ . ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) d \textbf { r } . } \end{array}
{ \cal { F } } _ { \alpha \mu \nu } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = \frac { 4 \pi } { i \sqrt { 2 } } \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 4 } y \ e ^ { - i q _ { 1 } x - i q _ { 2 } y } \langle 0 | T \left\{ J _ { \mu } ( x ) \, J _ { \nu } ( y ) \, j _ { 5 \alpha } ( 0 ) \right\} | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { { \rho } _ { S } ( t ) = } & { { } \sum _ { M = 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { t _ { M } } \int _ { \Omega } \cdots \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } } \end{array}
W e = \frac { \rho \, V _ { c } ^ { 2 } \, L _ { c } } { \sigma } \, , \quad R e = \frac { \rho \, V _ { c } L _ { c } } { \mu } \, , \quad m = \frac { \mu _ { g } } { \mu } \, , \quad \Lambda = \frac { \rho _ { g } } { \rho } \, .
\frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial \tau ^ { \alpha } } F ( \mathbf { q } , \tau ) \Big | _ { \tau = 0 } = ( - 1 ) ^ { \alpha } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \omega ^ { \alpha } S ( \mathbf { q } , \omega ) \ ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } { \bf T } ( { \bf u } + { \bf v } _ { 0 } ) : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } = \int _ { \Omega } { \bf T } { \bf u } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } + \int _ { \Omega } { \bf T } { \bf v } _ { 0 } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } = \int _ { \Omega } { \bf T } { \bf u } : { \bf D } { \bf v } \, d { \bf x } = \int _ { \Omega } { \bf f } \cdot { \bf v } \, d { \bf x } + \int _ { \partial \Omega } { \bf g } \cdot { \bf v } \, d S } \end{array}