harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } } & { \mu \int _ { D } ( h \cdot \nabla \bar { v } _ { j } ) \Delta { u } _ { j } \, \mathrm { d } x = ( \lambda + \mu ) \int _ { D } ( \nabla \cdot u ) \nabla \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } x } \\ & { - ( \lambda + \mu ) \int _ { S } ( \nabla \cdot u ) ( n \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) ) \, \mathrm { d } s - \omega ^ { 2 } \int _ { D } ( h \cdot \nabla \bar { v } ) \cdot u \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \int \int \exp ( T r ( U \Lambda V Z + Z ^ { * } V ^ { * } \Lambda ^ { * } U ^ { * } ) d U d v } \\ { = } & { \sum _ { \lambda } \frac { C _ { 2 | \lambda | } ^ { 2 \lambda } } { | \lambda | ! } \frac { 4 ^ { | \lambda | } } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; \frac { 1 } { 2 } ) P _ { \lambda } ( 1 ^ { N } ; \frac { 1 } { 2 } ) } P _ { \lambda } ( Z ^ { T } Z ; \frac { 1 } { 2 } ) P _ { \lambda } ( \Lambda \Lambda ^ { T } ; \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { = } & { \sum _ { \lambda } \frac { C _ { 2 | \lambda | } ^ { 2 \lambda } } { | \lambda | ! } \frac { 4 ^ { | \lambda | } } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { N } ; \frac { 1 } { 2 } ) } \frac { 1 } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; \frac { 1 } { 2 } ) } P _ { \lambda } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } ) P _ { \lambda } ( z _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , z _ { M } ^ { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { = } & { \sum _ { \lambda } \frac { 4 ^ { | \lambda | } } { \prod _ { s \in 2 \lambda } [ a ( s ) + l ( s ) + 1 ] } \frac { \prod _ { s \in \lambda } [ a ( s ) + \frac { 1 } { 2 } l ( s ) + \frac { 1 } { 2 } ] } { \prod _ { s \in \lambda } [ \frac { N } { 2 } + j - 1 - \frac { 1 } { 2 } ( i - 1 ) ] } \frac { 1 } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; \frac { 1 } { 2 } ) } P _ { \lambda } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } ) P _ { \lambda } ( z _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , z _ { M } ^ { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { = } & { \sum _ { \lambda } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \frac { \Gamma ( \frac { N } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( i - 1 ) ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } N - \frac { 1 } { 2 } ( i - 1 ) + \lambda _ { i } ) } \frac { 1 } { \prod _ { s \in \lambda } [ a ( s ) + 1 + \frac { 1 } { 2 } l ( s ) ] } \frac { P _ { \lambda } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , \cdots , a _ { M } ^ { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } ) P _ { \lambda } ( z _ { 1 } ^ { 2 } , \cdots , z _ { M } ^ { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } ) } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { M } ; \frac { 1 } { 2 } ) } } \end{array}
{ \cfrac { d } { d t } } \left( \int _ { \Omega } \rho ~ \eta ~ { \mathrm { d V } } \right) \geq \int _ { \partial \Omega } \rho ~ \eta ~ ( u _ { n } - \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } ) ~ { \mathrm { d A } } + \int _ { \partial \Omega } { \bar { q } } ~ { \mathrm { d A } } + \int _ { \Omega } \rho ~ r ~ { \mathrm { d V } } .
\begin{array} { r l } { S _ { \Delta } : \quad ( x , z ) \mapsto ( 1 - x , - z ) , \quad ( u , w , \Theta , \Phi ) } & { { } \mapsto - ( u , w , \Theta , \Phi ) , } \\ { T _ { \delta } : \quad ( x , z ) \mapsto ( x , z + \delta ) , \qquad ( u , w , \Theta , \Phi ) } & { { } \mapsto ( u , w , \Theta , \Phi ) . } \end{array}
v _ { r } = A J _ { 1 } ( \kappa r ) e ^ { i ( k z - \omega t ) } , \quad v _ { \phi } = - i A \frac { \nu _ { o } \kappa ^ { 2 } } { \omega } J _ { 1 } ( \kappa r ) e ^ { i ( k z - \omega t ) } , \quad v _ { z } = i A \frac { \kappa } { k } J _ { 0 } ( \kappa r ) e ^ { i ( k z - \omega t ) } .
{ \textbf { A } } _ { P } = { \frac { d } { d t } } { \textbf { V } } _ { P } = { \frac { d } { d t } } { \big ( } [ S ] { \textbf { P } } { \big ) } = [ { \dot { S } } ] { \textbf { P } } + [ S ] { \dot { \textbf { P } } } = [ { \dot { S } } ] { \textbf { P } } + [ S ] [ S ] { \textbf { P } } .
2 i \frac { \partial } { \partial x _ { + } } { \eta } _ { 1 } - ( V + E + \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 } + e _ { 2 } ) b ) { \eta } _ { 1 } = - m _ { 1 } { \eta } _ { 3 } - m _ { 2 } { \eta } _ { 2 } ,
E + \lambda _ { 1 } \overrightarrow { E B } = \left[ \begin{array} { l } { x _ { E } } \\ { y _ { E } } \end{array} \right] + \lambda _ { 1 } \left[ \begin{array} { l } { x _ { B } - x _ { E } } \\ { y _ { B } - y _ { E } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { T ^ { \mu \nu } } & { = } & { \left[ \varepsilon + \frac { 3 \chi } { 4 } \frac { u ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \mu } \varepsilon } { \varepsilon } \right] u ^ { \mu } u ^ { \nu } + \left[ P + \frac { \chi } { 4 } \frac { u ^ { \mu } \mathcal { D } _ { \mu } \varepsilon } { \varepsilon } \right] \Delta ^ { \mu \nu } - 2 \eta \sigma ^ { \mu \nu } + \frac { \lambda u ^ { ( \mu } \Delta ^ { \nu ) \alpha } } { 2 } \frac { \mathcal { D } _ { \alpha } \varepsilon } { \varepsilon } \; , } \end{array}
\int _ { 1 / \Lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s } { s ^ { 5 / 2 } } } e ^ { - s \sigma ^ { 2 } } \left[ ( e B s ) \coth ( e B s ) - 1 \right] + \int _ { 1 / \Lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s } { s ^ { 5 / 2 } } } e ^ { - s \sigma ^ { 2 } }
\hat { \mathcal { L } } _ { M C } ( \theta ) = - \frac { N } { M } \sum _ { i \in \mathcal { S } } \log p \big ( \boldsymbol { y } _ { i } | \boldsymbol { f } ^ { g ( \theta , \boldsymbol { \epsilon } ) } ( \boldsymbol { X } _ { i } ) \big ) + K L \big ( q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \big | \big | p ( \boldsymbol { \omega } ) \big ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \Phi _ { t } ( \gamma _ { 0 } ( s ) ) } & { = \nabla \Phi _ { t } ( \gamma _ { 0 } ( s ) ) \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \gamma _ { 0 } ( s ) = \nabla \Phi _ { t } ( \gamma _ { 0 } ( s ) ) b _ { 0 } ( \gamma _ { 0 } ( s ) ) = b ( t , \Phi _ { t } ( \gamma _ { 0 } ( s ) ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ( x , t ) } & { { } = } & { \sum _ { m = 1 } ^ { q } B _ { q , m } \lambda ^ { q - m } x ^ { 2 m } - C _ { q } \cos ( q \omega _ { 0 } t ) x ^ { q } , \ \ \ \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle - { \cal M } \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \sinh x \, { \cal Q } ( x ) = - { \cal M } \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \displaystyle \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { x } \, { \cal Q } ( x ) - e ^ { - x } \, { \cal Q } ( x ) ] \, , } } \\ { { - { \cal M } \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \cosh x \, { \cal Q } ( x ) = - { \cal M } \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \displaystyle \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { x } \, { \cal Q } ( x ) + e ^ { - x } \, { \cal Q } ( x ) ] \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| A \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| s \alpha \beta u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } } & { \leq } & { C \left( \frac { | s | } { s _ { 1 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) \| f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } , } \\ { \| \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| s u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } } & { \leq } & { C \left( \frac { | s | } { s _ { 1 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) \frac { | s + \sigma _ { \rho } | } { s _ { 1 } } \| f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } , } \end{array}
m _ { U } ^ { 2 } \simeq 4 M _ { 1 / 2 } ^ { 2 } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; m _ { 0 } ^ { 2 } \simeq 2 m _ { Q } ^ { 2 } - 3 m _ { U } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { f ( x , \boldsymbol { v } ) } & { = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 \pi ^ { 3 / 2 } } \frac { e ^ { - v ^ { 2 } / 2 } } { V _ { 0 } + \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } } \Big [ c _ { 0 } + c _ { 1 } ( v _ { y } + Q _ { 1 } ) ^ { 2 } + c _ { 2 } ( v _ { z } + Q _ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { + } & { c _ { 3 } ( v _ { y } + Q _ { 1 } ) ^ { 2 } ( v _ { z } + Q _ { 2 } ) ^ { 2 } + c _ { 4 } ( v _ { y } + Q _ { 1 } ) ^ { 4 } + c _ { 5 } ( v _ { z } + Q _ { 2 } ) ^ { 4 } \Big ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a b } & { = 2 ^ { w - r _ { 1 } + \delta } \# \bar { q } _ { 1 } ^ { - 1 } ( \{ 0 \} ) \# O ( \bar { q } _ { 0 } ) \cdot 2 ^ { v ^ { \prime } } \# O ( \bar { q } _ { 1 } ) 2 ^ { 0 - 0 } \cdots , } \\ { c } & { = 2 ^ { v } \# O ( \bar { q } _ { 0 } ) 2 ^ { \delta - 0 } \# O ( \bar { b } _ { 1 } ) 2 ^ { - r _ { 1 } } 2 ^ { 0 - 0 } \cdots . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { C } & { D } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { C } & { I _ { m } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { D } \end{array} \right) } .
\hat { R } ^ { \lambda } \psi _ { m } ^ { ( l ) } ( r , \phi ) = \psi _ { m } ^ { ( l ) } \left( r , \phi - \frac { 2 \pi } { 3 } \lambda \right) = e ^ { i \frac { 2 l \pi } { 3 } \lambda } \psi _ { m } ^ { ( l ) } ( r , \phi ) ,
p _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = \left( \sqrt { \frac { m } { 2 \pi } } \right) ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \beta P ( \beta | S ) \exp ( - \beta k _ { 1 } ) \beta ^ { \frac { 3 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } & { \leq \frac { \alpha _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert g _ { n } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \left\Vert u _ { n } - \alpha _ { n } g _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq \frac { \alpha _ { n } ^ { 2 } } { 2 } ( C _ { u } + C _ { g } ) C _ { 3 } ^ { 2 } \left\Vert g _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \leq \frac { ( C _ { u } + C _ { g } ) C _ { 3 } ^ { 2 } C _ { g } ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( z , \theta , h , j ) } & { = - \frac { \sigma \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z } \partial _ { h } P ( w , h , j ) \, d w \cdot \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z _ { + } ( h , j ) } \partial _ { j } P ( w , h , j ) \, d w } { 2 \pi \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z _ { + } ( h , j ) } \partial _ { h } P ( w , h , j ) \, d w } } \\ & { + \frac { \sigma } { 2 \pi } \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z } \partial _ { j } P ( w , h , j ) \, d w + \frac { \theta } { 2 \pi } , } \\ { \phi _ { 2 } ( z , \theta , h , j ) } & { = \frac { \sigma \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z } \partial _ { h } P ( w , h , j ) \, d w } { 2 \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z _ { + } ( h , j ) } \partial _ { h } P ( w , h , j ) \, d w } . } \end{array}
\mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \nu _ { _ { S C } } = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } \right) \, r \mathrm { d } r ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left| X _ { s , t } ^ { l ; i } - X _ { s , t } ^ { m ; i } \right| ^ { p } } & { \preceq \left( \mathbb { E } \left| X _ { s , t } ^ { l ; i } - X _ { s , t } ^ { m ; i } \right| ^ { 2 } \right) ^ { \frac { p } { 2 } } \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \rho ^ { \prime } - v a r ; [ s , t ] ^ { 2 } } ^ { \frac { p } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } ( I ( t , x ) + E ( t , x ) ) d x = \int _ { \mathcal { L } } ( I _ { 0 } ( x ) + E _ { 0 } ( x ) ) d x } \\ { + } & { \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } \Bigl ( - \mu _ { 2 } ( x ) E ( s , x ) + \alpha ( x ) \frac { S ( s , x ) I ( s , x ) } { S ( s , x ) + I ( s , x ) + E ( s , x ) + R ( s , x ) } - \mu _ { 3 } ( x ) I ( s , x ) - \gamma ( x ) I ( s , x ) \Bigr ) d x d s . } \end{array}
\begin{array} { c } { { ( \, m _ { \widetilde { e } } ^ { 2 } \, ) _ { i j } \, \simeq \, - \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \, f _ { u _ { 3 } } ^ { 2 } \, ( V _ { K M } ) _ { 3 i } \, ( V _ { K M } ^ { * } ) _ { 3 j } \, ( \, 3 m _ { 0 } ^ { 2 } \, + \, a _ { 0 } ^ { 2 } \, ) \, \log ( \frac { M _ { G } } { M _ { G U T } } ) } } \\ { { ( \, m _ { \widetilde { L } } ^ { 2 } \, ) _ { i j } \, \simeq \, - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \, ( \, 3 m _ { 0 } ^ { 2 } \, + \, a _ { 0 } ^ { 2 } \, ) \, \{ \, f _ { \nu _ { 3 } } ^ { 2 } \, V _ { 3 i } ^ { * } \, V _ { 3 j } \, \log ( \frac { M _ { G } } { M _ { \nu _ { 3 } } } ) + \, f _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } \, V _ { 2 i } ^ { * } \, V _ { 2 j } \, \log ( \frac { M _ { G } } { M _ { \nu _ { 2 } } } ) \, \} } } \\ { { A _ { e } ^ { i j } \, \simeq \, - \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \, a _ { 0 } \, \{ \, f _ { e _ { i } } \, V _ { 3 i } ^ { * } \, V _ { 3 j } \, f _ { \nu _ { 3 } } ^ { 2 } \, \log ( \frac { M _ { G } } { M _ { \nu _ { 3 } } } ) + \, f _ { e _ { i } } \, V _ { 2 i } ^ { * } \, V _ { 2 j } \, f _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } \, \log ( \frac { M _ { G } } { M _ { \nu _ { 2 } } } ) } } \\ { { + \, 3 \, f _ { e _ { j } } \, ( V _ { K M ) _ { 3 j } } ^ { * } \, ( V _ { K M } ) _ { 3 i } \, f _ { u _ { 3 } } ^ { 2 } \, \log ( \frac { M _ { G } } { M _ { G U T } } ) \, \} } } \end{array}
T = T _ { e } = 1 \: \mathrm { ~ k ~ e ~ V ~ } * [ 1 - ( r / a ) ^ { 2 } ] , n _ { i } = n _ { e } = 4 . 4 * 1 0 ^ { 2 0 } \: m ^ { - 3 } * [ 1 - ( r / a ) ^ { 1 0 } ]
{ \sqrt { { \tilde { V } } _ { 0 } } } = { \sqrt { \tilde { E } } } \, \left| { \sec ( { \sqrt { \tilde { E } } } \, { \pi } / { 2 } ) } \right| , \qquad { \sqrt { { \tilde { V } } _ { 0 } } } = { \sqrt { \tilde { E } } } \, \left| { \csc ( { \sqrt { \tilde { E } } } \, { \pi } / { 2 } ) } \right|
\begin{array} { r } { { 1 1 } \rho \in { H _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( a , b ) } \Longleftrightarrow \rho \in L ^ { 2 } ( a , b ) \mathrm { ~ a n d ~ } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho \in L ^ { 2 } ( a , b ) , } \\ { \rho \in { H _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( a , b ) } \Longleftrightarrow \rho \in L ^ { 2 } ( a , b ) \mathrm { ~ a n d ~ } { \mathbb D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \rho \in L ^ { 2 } ( a , b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { G } } ^ { i j } } & { = } & { 2 \tilde { \Pi } ^ { a [ i } Q _ { a } ^ { j ] } , } \\ { \tilde { \mathcal { D } } _ { a } } & { = } & { 2 \tilde { \Pi } ^ { b i } \partial _ { [ a } Q _ { b ] i } - Q _ { a i } \partial _ { b } \tilde { \Pi } ^ { b i } , } \\ { \tilde { \tilde { \mathcal { H } } } } & { = } & { - \sigma \tilde { \Pi } ^ { a i } \tilde { \Pi } ^ { b j } R _ { a b i j } + 2 \tilde { \Pi } ^ { a [ i } \tilde { \Pi } ^ { | b | j ] } Q _ { a i } Q _ { b j } } \\ & { } & { + 2 \sigma | \operatorname* { d e t } ( \tilde { \Pi } ^ { a i } ) | ^ { 2 / ( n - 2 ) } \Lambda . } \end{array}
\delta x ( \sigma ) = \lambda \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { 2 k + 1 } \cos ( 2 k + 1 ) \sigma = \left\{ \begin{array} { l l } { { + \lambda \pi / 2 , \; \; \; \; \; } } & { { 0 < \sigma < \pi / 2 } } \\ { { - \lambda \pi / 2 , \; \; \; \; \; } } & { { \pi / 2 < \sigma < \pi } } \end{array} \right.
\lambda \to { \frac { \lambda \cos \delta - \sin \delta } { \lambda \sin \delta + \cos \delta } } , \ \ \ \ F _ { \mu \nu } \to - ( \lambda _ { 1 } \sin \delta + \cos \delta ) F _ { \mu \nu } + \lambda _ { 2 } \sin \delta \tilde { F } _ { \mu \nu } , \ \ \ \ g _ { \mu \nu } \to g _ { \mu \nu } .
\begin{array} { r l } & { | f _ { D _ { j } ^ { [ p ] } } ( \cdot ) f _ { D _ { k } ^ { [ p ] } } ( \cdot ) - \frac { 1 } { p ^ { 2 } } | = | ( f _ { D _ { j } ^ { [ p ] } } ( \cdot ) - \frac { 1 } { p } ) f _ { D _ { k } ^ { [ p ] } } ( \cdot ) + } \\ & { \frac { 1 } { p } ( f _ { D _ { k } ^ { [ p ] } } ( \cdot ) - \frac { 1 } { p } ) | \leq ( M + \frac { 1 } { p } ) \frac { C \alpha ^ { j } } { p } + \frac { 1 } { p } \frac { C \alpha ^ { k } } { p } . } \end{array}
\bigl ( J _ { 1 } , - M _ { 1 } ; J _ { 2 } , - M _ { 2 } \vert J _ { 1 } , J _ { 2 } ; J , - M _ { 1 } - M _ { 2 } \bigr ) ^ { * } = \bigl ( J _ { 1 } , M _ { 1 } ; J _ { 2 } , M _ { 2 } \vert J _ { 1 } , J _ { 2 } ; J , M _ { 1 } + M _ { 2 } \bigr )
J _ { B } = - \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \rho _ { x } \partial _ { z } - \rho _ { z } \partial _ { x } } \\ { \rho _ { x } \partial _ { z } - \rho _ { z } \partial _ { x } } & { \varsigma _ { x } \partial _ { z } - \varsigma _ { z } \partial _ { x } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { H = \frac 1 2 I _ { k a } ^ { - 1 } [ \epsilon _ { k i j } ( \tilde { R } p ) _ { i j } ] [ \epsilon _ { a b c } ( \tilde { R } p ) _ { b c } ] + \frac 1 2 \lambda _ { i j } [ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } ] + v _ { i j } P _ { i j } + \varphi _ { i j } \pi _ { i j } . } \end{array}
\mathbf { P } ^ { \alpha } = \frac { n _ { \alpha } } { \lambda _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ^ { i } ) } } \sum _ { g \in \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ^ { i } ) } \chi ^ { ( \alpha ) * } ( g ) \Gamma _ { \mathbb { G } ( \hat { H } _ { 0 } ^ { i } ) } ( g )
\begin{array} { r l } { G _ { T } ( z , n , m ) } & { = G _ { S } ( z , n , m ) + \sum _ { j = 0 } ^ { 4 } G _ { T } ( z , j , m ) \langle e _ { n } , ( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { \mathbf { k } } - z ) ^ { - 1 } e _ { j } \rangle _ { \mathbf { v } } } \\ & { = G _ { S } ( z , n , m ) + \sum _ { j = 0 } ^ { 4 } G _ { T } ( z , j , m ) G _ { S } ( z , n , j ) } \end{array}
\mathcal { P } ( \omega ^ { \prime } , t ) = \sum _ { \lambda r _ { i } n } \sum _ { m > 0 } \rvert \langle \lambda r _ { i } n m | \mathcal { T } \big [ e ^ { - i \int _ { 0 } ^ { t } \hat { H } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } ] \big | \Psi _ { 0 } \rangle \rvert ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { U _ { i } ^ { F a x e n } = - \frac { 1 } { 3 V _ { p } } \int _ { S _ { p } } u _ { i } ^ { \infty } ( n _ { j } x _ { j } ) d S } \\ { \Omega _ { i } ^ { F a x e n } = - \frac { 1 } { V _ { p } } P _ { i j } \epsilon _ { j r k } \int _ { S _ { p } } x _ { r } u _ { k } ^ { \infty } ( n _ { m } x _ { m } ) d S } \end{array}
H = \frac { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } { 2 } g ^ { \mu \nu } ( P _ { \mu } - Q _ { e } A _ { \mu } ) ( P _ { \nu } - Q _ { e } A _ { \nu } ) + ( \frac { m ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \prime } } \alpha ^ { \prime } } + \frac { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } Q _ { e } ^ { 2 } } { 2 k ^ { 2 } } - \frac { Q _ { e } \lambda R } { k } ) ,
\hat { H } _ { 0 } = \int _ { ( \infty ) } \frac { d ^ { 3 } \vec { k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega ( \vec { k } \, ) } \frac { 1 } { 2 } \omega ( \vec { k } \, ) \left[ a ^ { \dagger } ( \vec { k } \, ) a ( \vec { k } \, ) + a ( \vec { k } \, ) a ^ { \dagger } ( \vec { k } \, ) \right] \ ,
\frac { 1 } { N } \left[ \dot { \pi } ^ { \phi } - ( N ^ { i } \phi ^ { \phi } ) _ { , i } \right] = - \gamma ^ { - 1 / 2 } e ^ { \phi } \left[ \pi ^ { i j } \pi ^ { k l } \gamma _ { i k } \gamma _ { j l } + \frac { 1 } { 2 } \left( \pi ^ { \phi } \right) ^ { 2 } + \pi \pi ^ { \phi } \right] ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { b _ { \mathrm { o u t , 1 } } } \\ { a _ { \mathrm { i n , 1 } } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { s _ { 1 1 , 1 } } & { s _ { 1 2 , 1 } } \\ { s _ { 2 1 , 1 } } & { s _ { 2 2 , 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { b _ { \mathrm { i n , 1 } } } \\ { a _ { \mathrm { o u t , 1 } } } \end{array} \right) } \\ { \left( \begin{array} { l } { b _ { \mathrm { o u t , 2 } } } \\ { a _ { \mathrm { i n , 2 } } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { s _ { 1 1 , 2 } } & { s _ { 1 2 , 2 } } \\ { s _ { 2 1 , 2 } } & { s _ { 2 2 , 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { b _ { \mathrm { i n , 2 } } } \\ { a _ { \mathrm { o u t , 2 } } } \end{array} \right) } \end{array}
A = \frac { i } { 2 } \{ \frac { 1 } { 2 } d \ln ( \frac { d \overline { { { g } } } _ { 2 } } { d \overline { { { z } } } _ { 2 } } \frac { d z _ { 2 } } { d g _ { 2 } } ) + \frac { ( g _ { 2 } d \overline { { { g } } } _ { 2 } - \overline { { { g } } } _ { 2 } d g _ { 2 } ) } { ( 1 - g _ { 2 } \overline { { { g } } } _ { 2 } ) } \} ,
\frac { 4 \langle \! \langle \hat { h } \otimes \hat { h } | \hat { r } _ { 2 } \rangle \! \rangle } { \chi ^ { 4 } - 1 } \, ( 2 \eta _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } ) ^ { \tau - 1 } \Big ( \Big [ \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 \chi } \Big ] + \Big [ \frac { \chi } { 4 } + \frac { 1 } { 8 } - \frac { 2 1 } { 8 \chi } \Big ] + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } ) \Big ) + \mathcal { O } \big ( ( 2 \lambda _ { 3 } ) ^ { \tau } \big ) + \mathcal { O } ( 2 ^ { \tau } \eta _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } ^ { T } ) ,
\Gamma _ { H _ { Q } } ^ { S } = \frac { G _ { S } ^ { 2 } m _ { Q } } { 1 6 \pi } \left( 1 + \frac { 4 \pi } { m _ { Q } } \, \frac { \langle H _ { Q } | ( \bar { Q } q ) ( \bar { q } Q ) | H _ { Q } \rangle } { \langle H _ { Q } | \bar { Q } Q | H _ { Q } \rangle } \right) \, .
\bigl | \Phi _ { 2 } ^ { \prime } \bigl ( \lambda \eta _ { 0 } ( \rho ) \bigr ) \bigr | \, \le \, C A ( \rho ) ( 1 + \rho ) ^ { N } \, , \qquad \bigl | \Phi _ { 2 } ^ { \prime \prime } \bigl ( \lambda \eta _ { 0 } ( \rho ) \bigr ) \bigr | \, \le \, C B ( \rho ) ( 1 + \rho ) ^ { N } \, ,
\psi ^ { n } \left( \frac { t } { \sigma _ { \ell } \sqrt { n } } \right) = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } \right] \left[ 1 - \frac { \iota t ^ { 3 } } { 6 \sqrt { n } } \mathbb { E } \left( \frac { \ell _ { 1 } } { \sigma _ { \ell } } \right) ^ { 3 } \right] + o \left( \frac { ( | t | ^ { 3 } + t ^ { 6 } ) } { \sqrt { n } } \exp ( - t ^ { 2 } / 4 ) \right) .
\begin{array} { r l } { J _ { g } ( a ) } & { { } = { \left( \begin{array} { l } { g ^ { \prime } ( a ) } \end{array} \right) } , } \\ { J _ { f } ( g ( a ) ) } & { { } = { \left( \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( g ( a ) ) } \end{array} \right) } . } \end{array}
\frac { m } { { { m _ { 0 } } } } = { \left( { \frac { { { d ^ { 2 } } E } } { { d { k ^ { 2 } } } } } \right) ^ { - 1 } } = \frac { { { k ^ { 4 } } } } { { { k ^ { 4 } } + 6 \Gamma } } ,
\begin{array} { r l } { \bar { n } } & { \ge c _ { 2 } \kappa _ { U } \sigma _ { x } ^ { 2 } \gamma ( t + \log p ) \left\{ s ^ { * } + \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } / ( \kappa _ { L } \operatorname* { m i n } _ { j \in S ^ { * } } | \beta _ { j } ^ { * } | ^ { 2 } ) \right\} , } \\ { n _ { * } } & { \ge c _ { 2 } \kappa _ { U } ^ { 4 } \sigma _ { x } ^ { 4 } ( \gamma / \kappa _ { L } ) ^ { 2 } \zeta s ^ { * } , } \\ { n _ { \dagger } } & { \ge c _ { 2 } \kappa _ { U } ^ { 3 / 2 } \sigma _ { x } ^ { 2 } ( \gamma / \kappa _ { L } ) \zeta s ^ { * } \sqrt { \zeta + s ^ { * } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | T ( \phi , \widetilde { \phi } ) - T ( \phi ^ { \prime } , \widetilde { \phi } ) \Big | } & { = \Big | \frac { 1 } { | M _ { \Omega } | } \sum _ { ( i , j ) \in M _ { \Omega } } I \Big ( ( \phi ( \mathcal { I } _ { i } ) - \phi ( \mathcal { I } _ { j } ) ) ( \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) - \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) > 0 \Big ) } \\ & { - \frac { 1 } { | M _ { \Omega } | } \sum _ { ( i , j ) \in M _ { \Omega } } I \Big ( ( \phi ^ { \prime } ( \mathcal { I } _ { i } ) - \phi ^ { \prime } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) ( \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) - \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) > 0 \Big ) \Big | } \\ & { = \Big | \frac { 2 } { | M _ { \Omega } | } \sum _ { \mathcal { I } _ { j } \in \Omega \setminus \{ \mathcal { I } _ { k } \} } I \Big ( ( \phi ( \mathcal { I } _ { k } ) - \phi ( \mathcal { I } _ { j } ) ) ( \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { k } ) - \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) > 0 \Big ) } \\ & { - \frac { 2 } { | M _ { \Omega } | } \sum _ { I _ { j } \in \Omega \setminus \{ \mathcal { I } _ { k } \} } I \Big ( ( \phi ^ { \prime } ( \mathcal { I } _ { k } ) - \phi ^ { \prime } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) ( \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { k } ) - \widetilde { \phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) ) > 0 \Big ) \Big | } \\ & { \leq \frac { 2 } { | \Omega | } . } \end{array}