harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
L _ { 4 } ^ { F } = \frac { \kappa ^ { 2 } } { 3 6 } B _ { \mu \nu \alpha \beta } ^ { F } B _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } ^ { F } G ^ { \mu \mu _ { 1 } ; \nu _ { 1 } \nu } K ^ { \alpha \alpha _ { 1 } ; \beta _ { 1 } \beta } - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 1 2 } C _ { \mu \nu \rho ; \alpha \beta } ^ { F } C _ { ~ ~ ~ ~ ~ ~ \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } ^ { F \mu \nu \rho } K ^ { \alpha \alpha _ { 1 } ; \beta _ { 1 } \beta } .
C _ { a M } = \frac { 0 . 0 3 5 1 \; b ^ { 4 } \; \lambda ^ { 2 } / h _ { 0 } } { \sigma _ { 0 } - \epsilon _ { r } \epsilon _ { 0 } \Bigg ( \frac { \lambda ^ { 2 } } { h _ { 0 } } V \Bigg ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { L H S ~ o f ~ } = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left[ \frac { w \eta } { \sqrt { t } } \left( 1 - \frac { \eta L } { 2 \sqrt { t } } \right) - \frac { 3 \sigma ^ { 2 } w ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { t } \left( 1 - \frac { \eta L } { \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right] \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + w \Delta _ { T + 1 } } \\ { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { w \eta } { \sqrt { t } } \left[ 1 - \frac { \eta L } { 2 \sqrt { t } } - \frac { 3 \sigma ^ { 2 } w \eta } { \sqrt { t } } \left( 1 - \frac { \eta L } { \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right] \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + w \Delta _ { T + 1 } } \\ { \mathrm { \ensuremath { \geq } } } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { w \eta } { \sqrt { t } } \left[ 1 - \frac { \eta L } { 2 \sqrt { t } } - 3 \sigma ^ { 2 } w \eta \left( 1 - \frac { \eta L } { \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right] \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + w \Delta _ { T + 1 } } \\ { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { w \eta } { \sqrt { t } } \left[ 1 - \frac { \eta L } { 2 \sqrt { t } } - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { \eta L } { \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right] \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + w \Delta _ { T + 1 } } \\ { \geq } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { w \eta } { 2 \sqrt { t } } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + w \Delta _ { T + 1 } \geq \frac { w \eta } { 2 \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + w \Delta _ { T + 1 } } \end{array}
\mathbf { d } ( z ) = [ \mathrm { e } ^ { \textrm { i } k ^ { ( - N ) } z } , . . . , \mathrm { e } ^ { \textrm { i } k ^ { ( 0 ) } z } , . . . , \mathrm { e } ^ { \textrm { i } k ^ { ( + N ) } z } ] ^ { T }
\Phi _ { k } ( \lambda , t ) = \lambda ^ { \frac { 1 } { 4 } \sigma _ { 3 } } \frac { \sigma _ { 3 } + \sigma _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } \left( I + \frac { \mathcal { H } } { \sqrt { \lambda } } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) \right) e ^ { \big ( \frac { 4 } { 5 } \lambda ^ { \frac { 5 } { 2 } } + t \lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ) \sigma _ { 3 } } , \quad \lambda \in \Omega _ { k } ,
\begin{array} { r l } { \| } & { \nabla _ { \lambda } \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k + 1 } ) \| = \| F ( x _ { k + 1 } ) \| } \\ { \leq } & { \| F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) - \nabla F ( x _ { k } ) \Delta x _ { k + 1 } \| + \frac { 1 } { \rho } \| \Delta \lambda _ { k + 1 } \| } \\ { { \overset { { \mathrm { A s s . ~ } } } { \leq } } } & { 2 M _ { F } \| \Delta x _ { k + 1 } \| + \frac { 1 } { \rho } \| \Delta \lambda _ { k + 1 } \| } \\ { { \overset { } { \leq } } } & { \left( 2 M _ { F } + \frac { 1 } { \rho } \frac { L _ { f } + \beta _ { k + 1 } } { \sigma } \right) \| \Delta x _ { k + 1 } \| + \frac { 1 } { \rho } \; \frac { M _ { f } L _ { F } + ( 2 M _ { F } + \sigma ) \beta _ { k } } { \sigma ^ { 2 } } \| \Delta x _ { k } \| } \\ { \leq } & { \left( 2 M _ { F } + \frac { 1 } { \rho } \; \frac { L _ { f } \sigma + M _ { f } L _ { F } + ( 2 M _ { F } + \sigma ) \beta _ { k + 1 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) \| \Delta x _ { k + 1 } \| } \\ & { + \left( 2 M _ { F } + \frac { 1 } { \rho } \; \frac { L _ { f } \sigma + M _ { f } L _ { F } + ( 2 M _ { F } + \sigma ) \beta _ { k } } { \sigma ^ { 2 } } \right) \| \Delta x _ { k } \| } \end{array}
\langle U ^ { \dagger } \, , \, U ^ { \dagger } \rangle + \langle W ^ { \dagger } \, , \, W ^ { \dagger } \rangle + \langle P ^ { \dagger } \, , \, P ^ { \dagger } \rangle + \langle \Theta ^ { \dagger } \, , \, \Theta ^ { \dagger } \rangle = 1 ,
L = \int d ^ { p } x { \cal L } , \; \; { \cal L } = 1 - \sqrt { 1 - ( \partial _ { i } \phi ) ^ { 2 } } - \Sigma _ { p } e \phi \delta ( { \bf r } ) , \; \; \Sigma _ { p } = \frac { p \pi ^ { \frac { p } { 2 } } } { ( \frac { p } { 2 } ) ! }
\begin{array} { r l } { 2 ^ { 3 } } & { + ( a _ { 1 } + a _ { 4 } + a _ { 6 } ) 2 ^ { 2 } } \\ { + \left( a _ { 1 } a _ { 4 } + a _ { 1 } a _ { 6 } + a _ { 4 } a _ { 6 } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } + a _ { 5 } ^ { 2 } } { 4 } \right) 2 } \\ & { + a _ { 1 } a _ { 4 } a _ { 6 } + \frac { a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 5 } - a _ { 1 } a _ { 5 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 6 } - a _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } } { 4 } = 0 , } \end{array}
\frac { 1 } { G _ { c o n d } ^ { * } } = \frac { 1 } { \kappa A } \frac { 1 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } { \left[ \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { L - x } \right] ^ { - 1 } } \mathrm { ~ d ~ } x = \frac { L } { 6 \kappa A } \, ,
\hat { u } ( k , t ) : = \mathcal { F } \big \{ u ( x , t ) \big \} = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } u ( x , t ) \ \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k x } \ \mathrm { d } x ,
\varepsilon = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \quad { \mathrm { a n d } } \quad a + b \varepsilon = { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { 0 } & { a } \end{array} \right) } .
K ( { \frac { 1 } { n + { \frac { 1 } { 2 } } - c } } + { \frac { 1 } { K - n - { \frac { 1 } { 2 } } + c } } ) \rightarrow { \frac { 1 } { x } } + { \frac { 1 } { 1 - x } }
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { - \frac { 1 } { R _ { 1 } C _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 1 } } } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { R _ { 3 } C _ { 2 } } } & { \frac { 1 } { R _ { 3 } C _ { 2 } } } & { \frac { 1 } { C _ { 2 } } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { R _ { 3 } C _ { 3 } } } & { - \frac { 1 } { R _ { 3 } C _ { 3 } } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { L } } & { - \frac { 1 } { L } } & { 0 } & { - \frac { R _ { 2 } } { L } } \end{array} \right] , } \\ { B _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { R _ { 1 } C _ { 1 } } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \; \; C _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \; \; E _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 } { C _ { 3 } } } \\ { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
\mathrm { d } G = \sum _ { \alpha , \beta , S } \, \left( \mathrm { d } U + p \mathrm { d } V \, + V \mathrm { d } p \, - T \mathrm { d } S \, - S \mathrm { d } T \, + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \mu _ { i } \, \mathrm { d } n _ { i } \, + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \mathrm { n } _ { i } \, \mathrm { d } \mu _ { i } \, \right) + A \mathrm { d } \gamma \, + \gamma \mathrm { d } A \, ,
\begin{array} { r l } { ( y _ { k + 1 } - y _ { k } ) ^ { T } ( y _ { k + 1 } - y ^ { * } ) } & { \leq \alpha _ { k } ( m _ { k } ( y _ { k + 1 } ) - m _ { k } ( y ^ { * } ) ) } \\ & { = \alpha _ { k } ( m _ { k } ( y _ { k } ) - m _ { k } ( y ^ { * } ) ) + \alpha _ { k } ( m _ { k } ( y _ { k + 1 } ) - m _ { k } ( y _ { k } ) ) } \\ & { \leq \alpha _ { k } \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } p _ { * } ^ { 2 } \right) - \alpha _ { k } M _ { k } \| y _ { k + 1 } - y _ { k } \| _ { 2 } } \end{array}
\frac { d \hat { \rho } } { d t } = - \frac { i } { \hbar } [ \hat { H } , \hat { \rho } ] + \mathcal { L } ( \hat { L } _ { c } ) [ \hat { \rho } ] + \sum _ { k } \mathcal { L } ( \hat { L } _ { s , k } ) [ \hat { \rho } ] .
\begin{array} { r l } { \nu ^ { \frac 1 4 } \left\lVert \tilde { f } ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } } & { \le C ( \Omega ) \nu ^ { \frac 1 4 } \varepsilon _ { \nu } ^ { - \frac 1 4 } \left\lVert f ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } , } \\ { \nu ^ { \frac 1 4 } \left\lVert f _ { 1 } ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } } & { \le C ( \Omega ) \nu ^ { \frac 1 4 } \varepsilon _ { \nu } ^ { - \frac 1 4 } \left\lVert u ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 6 } ( \Omega ) ) } \left\lVert \nabla u ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K = 8 . 0 , \quad q _ { 1 } = 4 . 0 0 } & { \Rightarrow } & { \frac { \partial R e ( \lambda ) } { \partial m _ { 2 } } = - 0 . 3 8 3 8 7 3 , \quad \ell _ { 1 } = - 0 . 3 8 3 8 7 3 . } \\ { K = 7 . 9 , \quad q _ { 1 } = 4 . 1 5 } & { \Rightarrow } & { \frac { \partial R e ( \lambda ) } { \partial m _ { 2 } } = - 0 . 1 0 2 5 6 1 , \quad \ell _ { 1 } = - 3 . 5 9 6 7 2 } \\ { K = 7 . 8 , \quad q _ { 1 } = 4 . 3 0 } & { \Rightarrow } & { \frac { \partial R e ( \lambda ) } { \partial m _ { 2 } } = - 0 . 0 9 7 7 3 9 6 , \quad \ell _ { 1 } = - 4 . 3 9 8 2 7 . } \\ { K = 7 . 7 , \quad q _ { 1 } = 4 . 4 5 } & { \Rightarrow } & { \frac { \partial R e ( \lambda ) } { \partial m _ { 2 } } = - 0 . 0 8 7 1 0 4 3 , \quad \ell _ { 1 } = - 4 . 7 4 0 6 4 . } \\ { K = 7 . 6 , \quad q _ { 1 } = 4 . 6 0 } & { \Rightarrow } & { \frac { \partial R e ( \lambda ) } { \partial m _ { 2 } } = - 0 . 0 7 0 6 6 3 4 , \quad \ell _ { 1 } = - 4 . 9 2 1 1 1 . } \\ { K = 7 . 5 , \quad q _ { 1 } = 4 . 4 5 } & { \Rightarrow } & { \frac { \partial R e ( \lambda ) } { \partial m _ { 2 } } = - 0 . 0 8 7 7 3 5 8 , \quad \ell _ { 1 } = - 4 . 5 8 2 4 1 . } \\ { K = 7 . 4 , \quad q _ { 1 } = 4 . 3 0 } & { \Rightarrow } & { \frac { \partial R e ( \lambda ) } { \partial m _ { 2 } } = - 0 . 0 7 7 4 2 4 9 , \quad \ell _ { 1 } = 5 2 . 8 2 3 8 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { m } ^ { r / b } } & { { } \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { \Omega _ { m } ^ { r } ( \omega ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ r ~ e ~ d ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { \Omega _ { m } ^ { b } ( - \omega ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ l ~ u ~ e ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \end{array} \right. } \\ { \Gamma _ { m } ^ { r / b } } & { { } \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { \Gamma _ { m } ^ { r } ( \omega ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ r ~ e ~ d ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { \Gamma _ { m } ^ { b } ( - \omega ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ l ~ u ~ e ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta t } & { { } < } & { \frac { 1 } { 3 \, \nu _ { k l } ( t ) } } \\ { \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } ( t ) } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \, \vec { u } _ { k } ( t ) + m _ { l } \, \vec { u } _ { l } ( t ) } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { \nu _ { k l } } & { { } = } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } \, n _ { l } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } u _ { k l } ^ { 3 } \left( t \right) } \, \ln \Lambda _ { k l } \, , } \\ { u _ { k l } ( t ) } & { { } = } & { \left| \vec { u } _ { k } ( t ) - \vec { u } _ { l } ( t ) \right| \, . } \end{array}
\lambda _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 3 \sqrt { 5 } ( c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 1 } \\ { - ( A _ { 4 5 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + A _ { 4 8 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 2 } \\ { - ( A _ { 5 7 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + \bar { A } _ { 7 8 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 3 } \\ { - 2 A _ { 5 9 } ( \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 4 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } i = 3 , 4 ;
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } } & { = \Omega J _ { z } + \Omega ^ { \prime } S _ { z } + ( g _ { x } - \theta _ { x y } \Omega - \theta _ { y x } \Omega ^ { \prime } ) S _ { x } J _ { x } + ( g _ { y } + \theta _ { y x } \Omega + \theta _ { x y } \Omega ^ { \prime } ) S _ { y } J _ { y } + g _ { z } S _ { z } J _ { z } } \\ & { \quad + \left[ g _ { x } - \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { x y } \Omega + \theta _ { y x } \Omega ^ { \prime } ) \right] \theta _ { x y } S _ { x } ^ { 2 } J _ { z } - \left[ g _ { y } + \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { y x } \Omega + \theta _ { x y } \Omega ^ { \prime } ) \theta _ { y x } \right] S _ { y } ^ { 2 } J _ { z } } \\ & { \quad + \left[ g _ { x } - \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { x y } \Omega + \theta _ { y x } \Omega ^ { \prime } ) \right] \theta _ { y x } S _ { z } J _ { x } ^ { 2 } - \left[ g _ { y } + \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { y x } \Omega + \theta _ { x y } \Omega ^ { \prime } ) \theta _ { x y } \right] S _ { z } J _ { y } ^ { 2 } } \\ & { + g _ { z } \theta _ { x y } ( - S _ { z } S _ { x } J _ { x } + S _ { y } J _ { y } J _ { z } ) + g _ { z } \theta _ { y x } ( S _ { z } S _ { y } J _ { y } - S _ { x } J _ { x } J _ { z } ) + . . . } \end{array}
( 1 - x ^ { 2 } ) T _ { k + 1 } ^ { ( \ell + 2 ) } ( x ) = ( 2 \ell + 1 - k ) x T _ { k + 1 } ^ { ( \ell + 1 ) } ( x ) + ( \ell + 1 ) ( \ell - k - 1 ) T _ { k + 1 } ^ { ( \ell ) } ( x ) + ( k + 1 ) T _ { k } ^ { ( \ell + 1 ) } ( x ) .
\varepsilon ^ { ' \mu } \left( q ^ { \prime } , \lambda ^ { ' } = \pm 1 \right) \, = \, \left( 0 , \mp { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \cos \theta , - { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } , \pm { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \sin \theta \right) \, .
{ \begin{array} { r l } & { \quad \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { n - j - 1 } \left( \varphi _ { j } \right) C _ { s } ^ { \left( { \frac { n - j - 1 } { 2 } } \right) } \cos \left( \varphi _ { j } \right) C _ { s ^ { \prime } } ^ { \left( { \frac { n - j - 1 } { 2 } } \right) } \cos \left( \varphi _ { j } \right) \, d \varphi _ { j } } \\ & { = { \frac { 2 ^ { 3 - n + j } \pi \Gamma ( s + n - j - 1 ) } { s ! ( 2 s + n - j - 1 ) \Gamma ^ { 2 } \left( { \frac { n - j - 1 } { 2 } } \right) } } \delta _ { s , s ^ { \prime } } } \end{array} }
\gamma _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ } } = \frac { 3 \pi c ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } } { 2 \hbar \omega _ { 0 } ^ { 3 } } \frac { \beta ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } I _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ t ~ } } ,
P ( \bar { \nu } _ { e } \rightarrow \bar { \nu } _ { e } ) = 1 - 2 \, s _ { 1 3 } ^ { 2 } \, c _ { 1 3 } ^ { 2 } - 4 \, s _ { 1 2 } ^ { 2 } \, c _ { 1 2 } ^ { 2 } \, c _ { 1 3 } ^ { 4 } \, \mathrm { { s i n } ^ { 2 } } \bigg ( { \frac { 1 . 2 7 \, \Delta m ^ { 2 } ( { \mathrm { e V } ^ { 2 } } ) \, L ( \mathrm { { m } } ) } { E _ { \nu } ( { \mathrm { M e V } } ) } } \bigg ) \, ,
\begin{array} { r l } & { X = P B ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { i - 1 } , p _ { i } , p _ { i + 1 } , \cdots , p _ { N } ) , } \\ & { Y = P B ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { i - 1 } , p _ { i } ^ { \prime } , p _ { i + 1 } , \cdots , p _ { N } ) , } \\ & { Z = P B ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , \cdots , p _ { i - 1 } , p _ { i + 1 } , \cdots , p _ { N } ) , } \end{array}
x ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } y + \frac { 1 } { 2 } g y ^ { 2 } - g ^ { 2 } y ^ { 3 } + \frac { 9 } { 2 } g ^ { 3 } y ^ { 4 } - 2 7 g ^ { 4 } y ^ { 5 } + \cdots .
\begin{array} { l l l } { \mathbf { x } [ k + 1 ] } & { = } & { e ^ { \mathbf { A } T } \mathbf { x } [ k ] - \left( \int _ { v ( k T ) } ^ { v ( ( k + 1 ) T ) } e ^ { \mathbf { A } v } d v \right) \mathbf { B } \mathbf { u } [ k ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) u } & { = \left[ u ( p _ { 1 } ) , u ( p _ { 2 } ) , \ldots , u ( p _ { N _ { r } } ) \right] ^ { \top } = \left[ ( u , \delta _ { p _ { 1 } } ) , ( u , \delta _ { p _ { 2 } } ) , \ldots , ( u , \delta _ { p _ { N _ { r } } } ) \right] ^ { \top } \in \mathbb { C } ^ { N _ { r } } . } \end{array}
\omega _ { \pm } = \omega _ { m } - i \frac { \gamma _ { e f f _ { 1 } } - \gamma _ { e f f _ { 2 } } } { 4 } \pm \sqrt { J ^ { 2 } - ( \frac { \gamma _ { e f f _ { 1 } } + \gamma _ { e f f _ { 2 } } } { 4 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \theta _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = \, { \mathrm { a r c s i n } } { \Big ( } { \frac { n _ { 0 } } { n _ { 1 } } } \, \sin \theta _ { 0 } { \Big ) } } \\ { \theta _ { 1 } } & { { } = \alpha - \theta _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { \theta _ { 1 } ^ { \prime } } & { { } = \, { \mathrm { a r c s i n } } { \Big ( } { \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } } \, \sin \theta _ { 1 } { \Big ) } } \\ { \theta _ { 2 } } & { { } = \theta _ { 1 } ^ { \prime } - \alpha } \end{array}
\Delta \Lambda _ { 3 } ^ { Q _ { i } 1 } = T ( - \lambda _ { 3 } \lambda ^ { 2 } { \frac { L _ { f } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } - ( \lambda ^ { 2 } f _ { u _ { i } } ^ { 2 } + \lambda _ { 9 } ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } + f _ { u _ { i } } ^ { 2 } ) { \frac { L _ { b } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } + 2 \lambda ^ { 2 } f _ { u _ { i } } ^ { 2 } { \frac { L _ { f } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } )
d S _ { \mu } p ^ { \mu } = d \omega \left( 1 - \frac { \vec { v } _ { f } ^ { \, - 1 } \cdot \vec { p } } { E } \right) \, , \qquad d \omega \equiv \frac { d ^ { 3 } x d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, .
\begin{array} { r } { L _ { 1 , l } : = L I S ( \sigma | _ { \mathcal { S } _ { 1 , l } \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l } ( \Gamma ) ] } ) , } \\ { L _ { 2 , l } : = L I S ( \sigma | _ { \mathcal { S } _ { 2 , l } \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l } ( \Gamma ) ] } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Big [ { n _ { i } } \Big ] } & { { } = } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } n _ { i } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } = \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } n _ { i } \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { 1 } x _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } + c _ { 3 } x _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = [ x _ { 1 } \ x _ { 2 } ] \left[ \begin{array} { c c } { c _ { 1 } } & { \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ c _ { 1 } \ \ \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \ \ \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \ \ c _ { 3 } \right] ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { \lambda _ { 1 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 2 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 3 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 3 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 2 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 4 } ^ { * } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 4 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 3 } ^ { * } } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p r o x _ { \frac { 1 } { \rho } g } ( \textbf { x } ) } & { { } = \textbf { x } - \textbf { R } ^ { H } ( \textbf { R } \textbf { R } ^ { H } ) ^ { - 1 } ( \textbf { R } \textbf { x } - \textbf { y } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { ( k r ^ { 2 } ) j ( j + 1 ) } \left[ f _ { j m } \langle I \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } - g _ { j m } \langle V \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } \right] } \\ { V _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { ( k r ^ { 2 } ) j ( j + 1 ) } \left[ - g _ { j m } \langle I \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } + f _ { j m } \langle V \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } \right] , } \end{array}
\lambda _ { 1 } = { \frac { 1 } { r + 1 } } \left( r \, \alpha _ { 1 } + ( r - 1 ) \alpha _ { 2 } + \cdots + \alpha _ { r } \right) = e _ { 0 } - \left( e _ { 0 } + e _ { 1 } + \cdots + e _ { r } \right) / ( r + 1 ) .
\frac { L } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { m = - N } ^ { N } | \tilde { u } _ { m } | ^ { 2 } = L \frac { d } { d t } \sum _ { m = 1 } ^ { N } | \tilde { u } _ { m } | ^ { 2 } = 2 L \sum _ { m = 1 } ^ { N } u _ { m } ^ { r } \frac { d { u } _ { m } ^ { r } } { d t } + { u } _ { m } ^ { i } \frac { d { u } _ { m } ^ { i } } { d t } \le 0 .
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \alpha } } & { { } = 2 - S _ { \alpha } , } \\ { \Gamma _ { i \alpha } } & { { } = { \left( \frac { 2 u _ { \alpha } + S _ { \alpha } } { 1 - u _ { \alpha } } \right) } ^ { c _ { i \alpha } } , } \\ { S _ { \alpha } } & { { } = \sqrt { { ( u _ { \alpha } / \varsigma ) } ^ { 2 } + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \omega } & { { } = \frac { \omega ^ { 2 } v _ { b } \nabla _ { s } \kappa } { \kappa ^ { 2 } } - \frac { \nabla _ { s } \kappa \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { b } } { \kappa ^ { 2 } } - \frac { \omega ^ { 2 } \nabla _ { s } v _ { b } } { \kappa } - \frac { 2 \omega v _ { b } \nabla _ { s } \omega } { \kappa } + \kappa \nabla _ { s } v _ { b } + \frac { \nabla _ { s } ^ { 3 } v _ { b } } { \kappa } - \frac { 2 \omega \nabla _ { s } \kappa \nabla _ { s } v _ { n } } { \kappa ^ { 2 } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { E _ { 1 0 } ^ { c } = - 3 \sqrt { 1 5 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \sin i \cos i \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \bar { S } _ { 2 1 } , } \\ { E _ { 1 0 } ^ { s } = + 3 \sqrt { 1 5 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \sin i \cos i \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \bar { C } _ { 2 1 } , } \end{array} \right.
C _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } } = { \frac { \left[ b ^ { { \frac { 2 } { b } } - 2 b } \lambda \right] ^ { Q - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } } \Upsilon _ { b } ^ { \prime } ( 0 ) \Upsilon _ { b } ( 2 \alpha _ { 1 } ) \Upsilon _ { b } ( 2 \alpha _ { 2 } ) \Upsilon _ { b } ( 2 \alpha _ { 3 } ) } { \Upsilon _ { b } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } - Q ) \Upsilon _ { b } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } ) \Upsilon _ { b } ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 1 } ) \Upsilon _ { b } ( \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) } } \ ,
\begin{array} { r l } { | I I I _ { \delta } | } & { { } \leq \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \eta _ { \delta } | | p | | u | | \nabla \chi _ { \delta } | \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = v _ { 1 } ^ { H } C v _ { 2 } = ( v _ { 1 , * } + E _ { 1 2 } v _ { 2 , * } + r _ { 1 } ) ^ { H } C ( v _ { 2 , * } + E _ { 2 1 } v _ { 1 , * } + r _ { 2 } ) + O ( \epsilon ^ { 4 } ) } \\ & { = E _ { 2 1 } c _ { 1 , * } + \overline { { E } } _ { 1 2 } c _ { 2 , * } + \rho _ { 1 2 } + \overline { { \rho } } _ { 2 1 } + O ( \epsilon ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \iint _ { \mathbf { R } ^ { 2 } } e ^ { - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } d x \, d y } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - r ^ { 2 } } r \, d r \, d \theta } \end{array}
g _ { m } = { \frac { \partial I _ { D } } { \partial V _ { \mathrm { G S } } } } = { \frac { 2 I _ { \mathrm { D } } } { V _ { \mathrm { G S } } - V _ { \mathrm { t h } } } } = { \frac { 2 I _ { \mathrm { D } } } { V _ { \mathrm { o v } } } } ,
N _ { f } ^ { \mathrm { c r } } = 4 \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } + \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 } \frac { \left\langle \frac { \alpha _ { s } } { \pi } G _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu } \right\rangle } { \Lambda ^ { 4 } } \right] \ .