harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathrm { c h a r } \left( \frac { \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { 0 } ) } { \delta _ { K } ^ { 1 } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) } \right) = \mathrm { c h a r } } & { \, \left( \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } ^ { - } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) } \right) } \\ & { \qquad \qquad \times \mathrm { c h a r } \left( \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) } \right) \mathrm { c h a r } \left( \mathrm { c o k e r } ( \partial _ { \textup { \bf f } } ^ { 1 } ) \right) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ( \mathbb { P } _ { n _ { 0 } } , \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } ) } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal F } } \left| \int f d \mathbb { P } _ { n _ { 0 } } - \int f d \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } \right| } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal F } } \left| \int f d \mathbb { P } _ { n _ { 0 } } \pm \int f d P \pm \int { f d Q } - \int f d \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } \right| } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal F } } \left| \int f d \mathbb { P } _ { n _ { 0 } } - \int f d P - \int f d \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } + \int { f d Q } \right| + \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal F } } \left| \int f d P - \int { f d Q } \right| } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal F } } \left| \int f d \mathbb { P } _ { n _ { 0 } } - \int f d P - \int f d \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } + \int { f d Q } \right| , } \end{array}
V ( \sigma , \phi ) = { \frac { \lambda } { 4 } } ( \phi ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { m } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \, .
S _ { p } = 2 \pi \Omega _ { n + 1 } ^ { - \frac { 1 } { n } } \left( \frac { 2 } { d + 1 } \right) ^ { \frac { n + 1 } { n } } \kappa ^ { \frac { 2 } { n } } V _ { p } ^ { - \frac { 1 } { n } } M ^ { \frac { n + 1 } { n } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( W \! \! \to \! \! X ^ { n } \right) } & { = \log \sum _ { x ^ { n } } \operatorname* { m a x } _ { w } \mathcal { P } _ { X ^ { n } | W = w } ( x ^ { n } ) } \\ & { = \log \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } \operatorname* { m a x } _ { w } w ^ { k } ( 1 - w ) ^ { n - k } } \\ & { = \log \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } \left( \frac { k } { n } \right) ^ { k } \left( 1 - \frac { k } { n } \right) ^ { n - k } } \\ & { \leq \log \left( 2 + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \sqrt { \frac { n } { 2 \pi k ( n - k ) } } \right) } \\ & { \leq \log \left( 2 + \sqrt { \frac { \pi n } { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert \nabla u _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( - 4 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } ) } } & { { } \le c _ { 0 } ^ { \frac 1 2 } , } \\ { \left\lVert f _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( - 4 , 0 ; L ^ { \frac 6 5 } ( \mathsf C _ { 2 } ) ) } } & { { } \le \left\lVert f _ { r } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( - 4 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } ) } \lesssim c _ { 0 } ^ { \frac 3 4 } , } \\ { \left\lVert u _ { r } \cdot \nabla u _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( - 4 , 0 ; L ^ { \frac 6 5 } ( \mathsf C _ { 2 } ) ) } } & { { } \lesssim \left\lVert \nabla u _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( - 4 , 0 ) \times \mathsf C _ { 2 } ) } \left\lVert u _ { r } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( - 4 , 0 ; L ^ { 6 } ( \mathsf C _ { 2 } ) ) } \lesssim c _ { 0 } . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 3 } ^ { 2 } } + \Omega ^ { 2 } u = 0 ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mu _ { t } } & { = ( d + 1 ) m _ { t } ^ { d } m _ { t } ^ { \prime } \nu _ { t } \circ T _ { m _ { t } } + m _ { t } ^ { d + 1 } \partial _ { t } ( \nu _ { t } \circ T _ { m _ { t } } ) } \\ & { = \frac { ( d + 1 ) } { m _ { t } } m _ { t } ^ { \prime } \mu _ { t } + m _ { t } ^ { d + 1 } \left[ ( \partial _ { t } \nu _ { t } ) \circ T _ { m _ { t } } + \langle \partial _ { t } T _ { m _ { t } } , \nabla \nu _ { t } \circ T _ { m _ { t } } \rangle \right] } \\ & { = \frac { ( d + 1 ) } { m _ { t } } m _ { t } ^ { \prime } \mu _ { t } + m _ { t } ^ { d + 1 } ( \partial _ { t } \nu _ { t } ) \circ T _ { m _ { t } } + m _ { t } ^ { - 1 } \langle \partial _ { t } T _ { m _ { t } } , \nabla \mu _ { t } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 \pi = } & { { } \phi _ { \mathrm { O C } | f = f _ { \mathrm { b } } } + \phi _ { \mathrm { T r S e g 1 } | f = f _ { \mathrm { b } } } + \phi _ { \mathrm { D _ { 1 } A } | f = f _ { \mathrm { b } } } + } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| T _ { a } ^ { \varphi } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } = \| T _ { a } ^ { \varphi } ( 1 - \Delta ) ^ { - \tilde { m } / 2 } ( 1 - \Delta ) ^ { \tilde { m } / 2 } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \| ( 1 - \Delta ) ^ { \tilde { m } / 2 } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim \| f \| _ { h ^ { 2 n / ( n - 2 \tilde { m } ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } , } \end{array}
\nabla _ { \boldsymbol { \theta } } \left[ \lVert \epsilon - \hat { \epsilon } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \widetilde { \mathbf { x } } _ { t + N \tau } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } , \mathbf { x } _ { t } , N , t _ { \mathrm { d i f f } } ) \rVert _ { 2 } \right]
I _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } { \mathcal D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) ( \cdot , x ) = \beta ^ { i } ( b ^ { i } ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) - ( \beta ^ { i } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) ( \cdot , x ) .
\epsilon _ { p a r t } = \frac { i \omega _ { p } ^ { 2 } } { \mathrm { \ o m e g a } \left( \mathrm { \ o m e g a } ^ { 2 } + 2 \left( - i \mathrm { \ n u } \right) \mathrm { \ o m e g a } - \mathrm { } \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } \right) } .
\boldsymbol { \nabla } _ { i } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } + \boldsymbol { \nabla } _ { j } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { j }
{ \hat { \kappa } } : = { \frac { 1 } { 2 } } { ( { \bar { \pi } } _ { A } { \frac { \partial } { \partial { \bar { \pi } } _ { A } } } + \pi _ { A ^ { \prime } } { \frac { \partial } { \partial \pi _ { A ^ { \prime } } } } + 4 ) }
\sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) s _ { l } ( y r ) e _ { l } ( y \rho ) + 1 = \frac { y r \rho } { | r - \rho | } e ^ { - y | r - \rho | } \equiv \overline { { { \cal D } } } ( r , \rho , y ) \, { . }
\begin{array} { r l } & { T _ { 1 } ^ { ( s + 1 ) } = A + B \widehat { \eta } _ { 1 } ^ { ( s ) } , \; \; T _ { 2 } ^ { ( s + 1 ) } = A - B \widehat { \eta } _ { 2 } ^ { ( s ) } } \\ & { A = \frac { T _ { 1 0 } \widehat { \eta } _ { 2 } ^ { ( s ) } + T _ { 2 0 } \widehat { \eta } _ { 1 } ^ { ( s ) } } { \widehat { \eta } _ { 2 } ^ { ( s ) } + \widehat { \eta } _ { 1 } ^ { ( s ) } } , \; \; B = \frac { \left( T _ { 1 0 } - T _ { 2 0 } \right) C } { \widehat { \eta } _ { 2 } ^ { ( s ) } + \widehat { \eta } _ { 1 } ^ { ( s ) } } , } \\ & { C = e ^ { - \left( \widehat { \eta } _ { 1 } ^ { ( s ) } + \widehat { \eta } _ { 2 } ^ { ( s ) } \right) \Delta t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d _ { \omega } } { ( n ! ) ^ { 3 / 2 } } \sum _ { \alpha , \sigma \in S _ { n } } \chi _ { \omega } ( \sigma ) | \sigma \alpha \rangle \otimes \rho ( \sigma ) | \psi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \beta \in S _ { n } } | \beta \rangle \otimes \frac { d _ { \omega } } { n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \chi _ { \omega } ( \sigma ) \rho ( \sigma ) | \psi \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } x _ { 1 } ( z , t ) \, d z = \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } \partial _ { t } x _ { 1 } ^ { - } ( z , t ) \, d z = \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } - \partial _ { z } \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( x ) ( z , t ) \, d z = \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( a ^ { \prime } , t ) - \mathcal { N } _ { 1 } ^ { - } ( b ^ { \prime } , t ) } \end{array}
T _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ R ~ } } ( \lambda _ { 0 } ) = T _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ A ~ } } ( \lambda _ { 0 } ) = ( T _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ x ~ } } ( \lambda _ { 0 } ) + T _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } ( \lambda _ { 0 } ) ) / 2
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathcal { A } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ^ { i } ) \right) - \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ^ { i } ) = 0 , \boldsymbol { x } ^ { i } \in \Omega , i = 1 , 2 , . . . , N _ { i n } , } \\ { \boldsymbol { \mathcal { B } } \left( \boldsymbol { u } ( \bar { \boldsymbol { x } } ^ { j } ) \right) - \boldsymbol { g } ( \bar { \boldsymbol { x } } ^ { j } ) = 0 , \bar { \boldsymbol { x } } ^ { j } \in \Gamma , j = 1 , 2 , . . . , N _ { b c } , } \end{array}
e ^ { a _ { + } a _ { - } / 2 } e ^ { b _ { + } b _ { - } / 2 } \frac { e ^ { ( a _ { + } a _ { - } Q ^ { 2 } + a _ { + } b _ { - } Q + b _ { + } a _ { - } Q + b _ { + } b _ { - } Q ^ { 2 } ) / ( 1 - Q ^ { 2 } ) } } { 1 - Q ^ { 2 } } ,
\widetilde { \boldsymbol { \kappa } } _ { m } ^ { ( 1 ) } \in H ^ { 1 } \bigl ( \mathbf { Q } , H ^ { 1 } ( \Gamma ( m , p ) , \mathcal { D } _ { \kappa _ { f } } ^ { \prime } ) \hat { \otimes } _ { \mathcal O } H ^ { 1 } ( \Gamma ( m , p ) , \mathcal { D } _ { \kappa _ { g } } ^ { \prime } ) \hat { \otimes } _ { \mathcal O } H ^ { 1 } ( \Gamma ( m , p ) , \mathcal { D } _ { \kappa _ { h } } ^ { \prime } ) ( 2 - \kappa _ { { \boldsymbol { f } } { \boldsymbol { g } } { \boldsymbol { h } } } ^ { * } ) \bigr )
[ L ^ { \mu } , L ^ { \nu } ] = \{ \partial _ { \sigma } ( \partial ^ { \lambda } A ^ { \sigma } \partial ^ { \rho } A ^ { m } \partial _ { \rho } A ^ { \nu } ) \partial _ { \lambda } A ^ { \mu } - \partial _ { \sigma } ( \partial ^ { \lambda } A ^ { \sigma } \partial ^ { \rho } A ^ { m } \partial _ { \rho } A ^ { \mu } ) \partial _ { \lambda } A ^ { \nu } \} \partial _ { m }
W _ { 1 } ( \nu ^ { * } , \nu ^ { \epsilon } ) \leq \int _ { \Theta } \int _ { \Theta } | \theta - \theta ^ { \prime } | d \zeta ( \theta , \theta ^ { \prime } ) = \int _ { \Theta } \int _ { \theta ^ { \prime } \in \mathcal B _ { \theta , \epsilon } \cap \Theta } | \mathcal B _ { \theta , \epsilon } \cap \Theta | ^ { - 1 } | \theta - \theta ^ { \prime } | d \theta ^ { \prime } d \nu ^ { * } ( \theta ) \leq \epsilon .
D _ { \pm } = ( D _ { \pm } \tilde { \theta } ^ { \pm } ) \tilde { D } _ { \pm } \, , ~ ~ ~ ~ \tilde { D } _ { \pm } = \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } ^ { \pm } } + i \tilde { \theta } ^ { \pm } \frac { \partial } { \partial \tilde { x } ^ { \pm } }
( P _ { x } , P _ { y } ) = ( x _ { 1 } + t ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , \; y _ { 1 } + t ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ) \quad { \mathrm { o r } } \quad ( P _ { x } , P _ { y } ) = ( x _ { 3 } + u ( x _ { 4 } - x _ { 3 } ) , \; y _ { 3 } + u ( y _ { 4 } - y _ { 3 } ) )
\prod _ { \substack { \operatorname* { g c d } ( a , b , c , d , e ) = 1 \, a , b , c , d \geq 0 , e > 0 } } \left( 1 + v ^ { a } w ^ { b } x ^ { c } y ^ { d } z ^ { e } \right) ^ { \frac { 1 } { e } } = \frac { ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { ( 1 - v ^ { 2 } ) ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } } } { ( 1 - z ) ^ { \frac { 1 } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } } .
{ \frac { \partial \rho _ { s } } { \partial t } } + \frac { \partial \vec { v } \rho _ { s } } { \partial \vec { x } } = \dot { T } \rho _ { s } ^ { \infty } \left( { \frac { d \gamma _ { s } } { d T } } + \frac { \gamma _ { s } } { T } z \frac { K _ { 1 } ( z ) } { K _ { 2 } ( z ) } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { X _ { t } ^ { \varepsilon } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \sigma _ { l } ^ { 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } + \int _ { 0 } ^ { t } b ^ { 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s + \varepsilon \int _ { 0 } ^ { t } \beta ( Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } L _ { s } ^ { 0 } ( X ^ { \varepsilon } ) , } \\ { Y _ { t } ^ { \varepsilon , i } } & { = y ^ { i } + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \sigma _ { l } ^ { i } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } + \int _ { 0 } ^ { t } b ^ { i } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s + \varepsilon \int _ { 0 } ^ { t } \beta ( Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \theta ^ { i } ( Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } L _ { s } ^ { 0 } ( X ^ { \varepsilon } ) , \quad i = 1 , \dots , n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \| x _ { t } \| } & { \leq \frac { \kappa } { 1 - \rho } \| x _ { t _ { j } } \| + \beta w _ { \operatorname* { m a x } } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } - 1 ) } \\ { \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \| x _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 \kappa ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } - 1 ) } \\ { \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \| x _ { t } \| ^ { 4 } } & { \leq \frac { 8 \kappa ^ { 4 } } { 1 - \rho ^ { 4 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } + 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } - 1 ) } \end{array}
\omega _ { f } = \int d \sigma \left( f ^ { 1 2 } ( X ) + f ^ { 2 3 } ( X ) \frac { \partial X ^ { 1 } } { \partial \sigma } + f ^ { 3 1 } ( X ) \frac { \partial X ^ { 2 } } { \partial \sigma } \right) \, \, .
S ( \mathbf { \tilde { p } } , \mathbf { r } , t , t ^ { \prime } ) = I _ { p } t ^ { \prime } - \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } [ \dot { \mathbf { p } } ( \tau ) \cdot \mathbf { r } ( \tau ) + H ( \mathbf { r } ( \tau ) , \mathbf { p } ( \tau ) , \tau ) ] d \tau ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = \frac { \gamma s ^ { 2 } } { 1 + \gamma s ^ { 2 } } } \\ { x _ { 2 } } & { = \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } - 1 } \\ { x _ { 3 } } & { = \frac { G _ { 1 } } { 2 + G _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ { x _ { 4 } } & { = \frac { G _ { 2 } } { 2 + G _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ { x _ { 5 } } & { = \frac { G _ { 3 } } { 2 + G _ { 3 } } - \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { ( \rho ) _ { I _ { M A X } , j , k } } } & { { } { = } } & { { \frac { ( p ) _ { I _ { M A X } , j , k } } { ( \gamma - 1 ) ( e _ { i } ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } } \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } } } & { { } { = } } & { { ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { ( e ) _ { I _ { M A X } , j , k } } } & { { } { = } } & { { ( \rho ) _ { I _ { M A X } , j , k } \left[ ( e _ { i } ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } + \frac { 1 } { 2 } ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } \cdot ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } \right] \, \mathrm { ~ , ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } P ( S _ { T } ) - e ^ { - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } P ( \hat { S } _ { T } ^ { h } ) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( P ( S _ { T } ) - P ( \hat { S } _ { T } ^ { h } ) \right) + P ( \hat { S } _ { T } ^ { h } ) \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } - e ^ { - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } \right) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( P ( S _ { T } ) - P ( \hat { S } _ { T } ^ { h } ) \right) ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { E } \left[ P ^ { 2 } ( \hat { S } _ { T } ^ { h } ) \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } - e ^ { - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq c \left[ \mathbb { E } \left( e ^ { - 2 p \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \right) \right] ^ { 1 / p } \cdot \left[ \mathbb { E } \left| P ( S _ { T } ) - P ( \hat { S } _ { T } ^ { h } ) \right| ^ { 2 q } \right] ^ { 1 / q } + c \mathbb { E } \left[ \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } - e ^ { - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq c \left[ \mathbb { E } \left| \ln ( S _ { T } ) - \ln ( \hat { S } _ { T } ^ { h } ) \right| ^ { 2 q } \right] ^ { 1 / q } + c \mathbb { E } \left[ \left( e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } - e ^ { - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } \right) ^ { 2 } \right] = O ( h ^ { 2 } ) , } \end{array}
\left. { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } f ( { \boldsymbol { x } } ) \right| _ { { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { a } } } \, , \quad \left. { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } f ( { \boldsymbol { x } } ) \right| _ { { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { a } } } \, , \ldots , \left. { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } } f ( { \boldsymbol { x } } ) \right| _ { { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { a } } }
\begin{array} { r l } { \varPsi ^ { i } ( \xi , T ) = } & { { } \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ 1 _ { \{ T < \zeta ( \psi \circ \tau _ { T } ) \} } Q _ { j } ^ { i } ( \psi , T ; 0 ) \right] p _ { b } ( 0 , \eta , T , \xi ) \varPsi ^ { j } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta } \end{array}
G _ { 5 } ^ { i } ( p ^ { \prime } + q , p ^ { \prime } ) = \Bigl ( { \frac { \lambda ^ { i } } { 2 } } \Bigr ) \gamma _ { 5 } [ G _ { 1 } + \hat { q } G _ { 2 } + \hat { p } ^ { \prime } G _ { 3 } + \hat { p } ^ { \prime } \hat { q } G _ { 4 } ] ,
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega } \nabla P ^ { n + 1 } \cdot \nabla q = \rho _ { 0 } \int _ { \Omega } \left[ \textbf { T } + \nabla \left( \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } \right) \times \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } \right] \cdot \nabla q } \end{array}
u _ { A } ( { r } ) \ e ^ { - i ( 2 \ell + 1 ) \ \theta } = < { \bf r } | \ \left( Q _ { 2 } ^ { \dagger } \right) ^ { 3 1 } | b b , 2 \ell > = < { \bf r } | \ b f _ { A } , 2 \ell + 1 >
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ^ { r } ( t ) ( R _ { r } + r ) } & { { } = \Psi ( t ) - \Psi _ { 1 } ( t ) , } \\ { I _ { k } ^ { r } ( t ) r } & { { } = \Psi _ { k - 1 } ( t ) - \Psi _ { k } ( t ) , \qquad k = 2 , \ldots , n , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } = \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } \; \; \mathrm { a n d } \; \; \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } = \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( f ^ { * } \omega ) } & { = \sum _ { a _ { 1 } < \cdots < a _ { k } } \sum _ { b } \frac { \partial \omega _ { a _ { 1 } \cdots a _ { k } } } { \partial y ^ { b } } \left( \sum _ { i } \frac { \partial f ^ { b } } { \partial x ^ { i } } d x ^ { i } \right) \wedge d f ^ { a _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge d f ^ { a _ { k } } } \\ & { = \sum _ { a _ { 1 } < \cdots < a _ { k } } \sum _ { b } \frac { \partial \omega _ { a _ { 1 } \cdots a _ { k } } } { \partial y ^ { b } } f ^ { * } ( d y ^ { b } ) \wedge f ^ { * } ( d y ^ { a _ { 1 } } ) \wedge \cdots \wedge f ^ { * } ( d y ^ { a _ { k } } ) } \\ & { = f ^ { * } \left( \sum _ { a _ { 1 } < \cdots < a _ { k } } \sum _ { b } \frac { \partial \omega _ { a _ { 1 } \cdots a _ { k } } } { \partial y ^ { b } } d y ^ { b } \wedge d y ^ { a _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge d y ^ { a _ { k } } \right) } \\ & { = f ^ { * } d \omega , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { k , \, ( T _ { i } ) _ { i = 1 } ^ { k } , \, ( R _ { i } ) _ { i = 1 } ^ { k } } \ \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( \beta R _ { i } ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \frac { \Gamma ( T _ { i } + \beta ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } } ) } { \Gamma ( T _ { i } ) \Gamma ( 1 + \beta ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } } ) } , \quad \mathrm { s . t . } \quad \sum _ { i = 1 } ^ { k } T _ { i } = T , \quad \sum _ { i = 1 } ^ { k } R _ { i } = R . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \psi ( \zeta ) } { d \zeta ^ { 2 } } + \frac { 2 \zeta - 1 } { \zeta ( \zeta - 1 ) } \frac { d \psi ( \zeta ) } { d \zeta } - \frac { q + r ( 1 - 2 \zeta ) ^ { 2 } } { \zeta ^ { 2 } ( \zeta - 1 ) ^ { 2 } } \psi ( \zeta ) = 0
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { t + 1 } } & { : = \textup { a r g m i n } _ { u \in \Delta ^ { m } } \left\{ \eta \langle - \mathbf { A } v _ { t } + \mathbf { A } _ { : j _ { t } } , \bar { u } \rangle + \sum _ { i \in [ m ] } [ u ] _ { i } \log \frac { [ u ] _ { i } } { [ \tilde { u } _ { t } ] _ { i } } \right\} , } \\ { \tilde { v } _ { t + 1 } } & { : = \textup { a r g m i n } _ { v \in \Delta ^ { n } } \left\{ \eta \langle \mathbf { A } ^ { \top } u _ { t } - \mathbf { A } _ { : i _ { t } } , \bar { v } \rangle + \sum _ { j \in [ n ] } [ v ] _ { j } \log \frac { [ v ] _ { j } } { [ \tilde { v } _ { t } ] _ { j } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = \operatorname* { m a x } \{ 1 , k _ { Q } \} } ^ { \infty } \| T _ { j } R _ { Q , j } \| _ { L ^ { p } ( Q _ { \rho } ^ { * } ) } ^ { p } \lesssim 1 , } \\ & { \sum _ { j = \operatorname* { m a x } \{ 1 , k _ { Q } \} } ^ { \infty } \| T _ { j } \chi _ { 2 \sqrt n Q } R _ { Q , j } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } ^ { p } \lesssim 1 , } \\ & { \sum _ { j = \operatorname* { m a x } \{ 1 , k _ { Q } \} } ^ { \infty } \| T _ { j } \chi _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus 2 \sqrt n Q } R _ { Q , j } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } ^ { p } \lesssim 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \mathbf { d } | \mathbf { \theta } ) = h ( \mathbf { d } ) \exp \Big [ \mathbf { \eta } ( \mathbf { \theta } ) \cdot \mathbf { T } \left( \mathbf { d } \right) - A \left( \mathbf { \eta } ( \mathbf { \theta } ) \right) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { 0 } } & { { } = C P C ^ { T } + R , } \\ { \mathcal { A } _ { j } } & { { } = C \bar { A } ^ { j } P C ^ { T } - C \bar { A } ^ { j - 1 } A L R , \; \; j = 1 , 2 , \ldots , N _ { A } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 2 k } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) ^ { k } \frac { \partial ^ { k } } { \partial \theta _ { i } ^ { k } ( \tau ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } } & { = \langle ( \tilde { \phi } _ { i } ( \tau _ { + } ) + 1 ) ^ { k } \phi _ { i } ^ { k } ( \tau ) \rangle } \\ & { = \langle \phi _ { i } ^ { k } ( \tau ) \rangle } \\ & { = \langle [ \delta \phi _ { i } ( \tau ) + \langle n _ { i } ( \tau ) \rangle ] ^ { k } \rangle } \end{array}
\Delta _ { \mathrm { E P R } } ^ { - } = \Delta X _ { + } ^ { 2 } ( \varphi _ { - } ) + \Delta P _ { - } ^ { 2 } ( \varphi _ { - } ) = 2 ( V _ { 1 1 } + V _ { 3 3 } - 2 V _ { 1 3 } ) ,
n _ { i , \mathrm { { 3 D } } } ^ { ( \pm ) } ( \rho , z ) = n _ { 0 , \mathrm { { 3 D } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( i \frac { \lambda } { 2 \sigma _ { \mathrm { { O D T } } } } \right) ^ { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \rho } { \sigma _ { \perp } } \right) ^ { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { z \pm s / 2 } { \sigma _ { z } } \right) ^ { 2 } }