harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int \big ( K ^ { k \Delta t } \Phi _ { t , x } \big ) ( x ) \, d \mu ( x ) } & { = \int \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } c _ { j , t } ( x ) e ^ { \mu _ { j } k \Delta t } \psi _ { j } ( x ) \, d \mu ( x ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } d _ { j , t } \cdot e ^ { \mu _ { j } k \Delta t } = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } d _ { j , t } \cdot q _ { j } ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { W } { 6 \mu } } & { { } = \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { \theta ^ { 2 } } \dot { X } - \frac { 2 \ln ( L \theta / Z ) } { \theta ^ { 3 } } \dot { Z } - \frac { L } { \theta ^ { 3 } } \dot { \theta } \, , } \\ { \frac { W s L } { 6 \mu } } & { { } = \frac { L } { 2 \theta ^ { 2 } } \dot { X } - \frac { L } { \theta ^ { 3 } } \dot { Z } - \frac { L ^ { 2 } } { 4 \theta ^ { 3 } } \dot { \theta } \, , } \\ { \frac { W \theta } { 6 \mu } } & { { } = \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { 3 \theta } \dot { X } - \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { \theta ^ { 2 } } \dot { Z } - \frac { L } { 2 \theta ^ { 2 } } \dot { \theta } \, . } \end{array}
\tilde { h } _ { i } ( x ) : = \frac { 1 } { i } \left( \frac { x - 1 } { x - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } } \right) ^ { i } - \frac { 1 } { i + 1 } \left( \frac { x - 1 } { x - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } } \right) ^ { i + 1 } = \frac { 1 } { i ( i + 1 ) } \left( 1 - \frac { \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } } { x - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } } \right) ^ { i } \left[ 1 + i \frac { \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } } { x - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } } \right] .
\begin{array} { c l } { \mathcal { H } ^ { ( 1 ) } } & { = \left< { \mathcal { H } ^ { ( 1 ) } } \right> _ { \theta } } \\ & { = \displaystyle \left< { V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } \right> _ { \theta } + \delta _ { \nu } \left< { \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } + \left< { \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \theta } } \right> _ { \theta } } \\ & { = \left( \sqrt J \right) ^ { 3 } g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \cos \left( 3 \psi _ { 3 } + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) . } \end{array}
P = \left[ { \begin{array} { l l l l l l } { P _ { 1 , 1 } } & { P _ { 1 , 2 } } & { \dots } & { P _ { 1 , j } } & { \dots } & { P _ { 1 , S } } \\ { P _ { 2 , 1 } } & { P _ { 2 , 2 } } & { \dots } & { P _ { 2 , j } } & { \dots } & { P _ { 2 , S } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { P _ { i , 1 } } & { P _ { i , 2 } } & { \dots } & { P _ { i , j } } & { \dots } & { P _ { i , S } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { P _ { S , 1 } } & { P _ { S , 2 } } & { \dots } & { P _ { S , j } } & { \dots } & { P _ { S , S } } \end{array} } \right] .
\begin{array} { r l } { p ( x ^ { p } ( t + \tau ) + a , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) + a ) } & { { } = q ( x ^ { p } ( t + \tau ) + a - ( \overline { { x ^ { p } ( t ) + a } } ) , x ^ { v } ( t + \tau ) | x ^ { p } ( t ) + a - ( \overline { { x ^ { p } ( t ) + a } } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) \right| } & { \leq \left( \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \vert m \vert ^ { - 2 \delta } \left\vert \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( N , n ) e ^ { 2 \pi i n m \cdot \alpha } \right\vert ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| f \| _ { \delta , 2 } } \\ & { \leq K \left( \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \vert m \vert ^ { - 2 \delta } ( 1 + N \Vert m \cdot \alpha \Vert ) ^ { - 2 \vartheta } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| f \| _ { \delta , 2 } . } \end{array}
L = \int d ^ { 3 } x \, { \mathcal { L } } = \int d ^ { 3 } x \, \left[ { \frac { 1 } { 2 } } { \dot { \phi } } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \left[ \mathcal { L } \left( \rho + \varepsilon \mathcal { X } \right) - \mathcal { L } \left( \rho \right) \right] } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \left[ \log \int \phi \left( X _ { i } ; \theta \right) \left( \rho + \varepsilon \mathcal { X } \right) \left( \mathrm { d } \theta \right) - \log \int \phi \left( X _ { i } ; \theta \right) \rho \left( \mathrm { d } \theta \right) \right] } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \log \left[ 1 + \varepsilon \frac { \int \phi \left( X _ { i } ; \theta \right) \mathcal { X } \left( \mathrm { d } \theta \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \theta \right) \rho \left( \mathrm { d } \theta \right) } \right] } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \int \phi \left( X _ { i } ; \theta \right) \mathcal { X } \left( \mathrm { d } \theta \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \theta \right) \rho \left( \mathrm { d } \theta \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i \partial _ { z } A _ { n } } & { { } = t _ { 1 } B _ { n } + t _ { 2 } B _ { n + 1 } \, , } \\ { - i \partial _ { z } B _ { n } } & { { } = t _ { 1 } ( A _ { n } + C _ { n } ) + t _ { 2 } ( A _ { n - 1 } + C _ { n - 1 } ) \, , } \\ { - i \partial _ { z } C _ { n } } & { { } = t _ { 1 } B _ { n } + t _ { 2 } B _ { n + 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { t } } & { = } & { - \left[ { \frac { 1 } { r ^ { 3 } } } \left( \left[ r ^ { 2 } \phi ^ { \prime \prime } ( r ) + r \phi ^ { \prime } ( r ) \left( r \phi ^ { \prime } ( r ) + 3 \right) + 1 \right] \left[ r - b ( r ) \right] \right. \right. } \\ & { - } & { \left. \left. \frac { 1 } { 2 } \left[ r \phi ^ { \prime } ( r ) + 1 \right] \left[ r b ^ { \prime } ( r ) - b ( r ) \right] \right) \right] f _ { Q } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left[ r \phi ^ { \prime } ( r ) + 1 \right] \left[ r - b ( r ) \right] f _ { Q } - \frac { f } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { 3 x } ^ { 1 } } & { { } = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ E _ { c } ~ \kappa ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ H + ( \gamma + 1 ) E _ { c } ) } \\ { K _ { 3 x } ^ { 2 } } & { { } = } & { - d x ^ { 3 } ~ t ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ ( ( \gamma + 1 ) ~ t ~ u - v ) ~ E _ { c } + v ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( v - \gamma _ { 1 } ~ t ~ u ) ) } \\ { K _ { 3 x } ^ { 3 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( - v ^ { 3 } + 3 ~ t ~ u ~ v ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } ~ H ~ \kappa - 2 ~ t ^ { 2 } ~ u ^ { 2 } ~ v + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ t ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ H ~ t ^ { 2 } ~ v } \\ { K _ { 3 x } ^ { 4 } } & { { } = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H - ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \end{array}
| { \mathrm { D } } _ { 1 } ^ { 2 } g | ^ { s } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } B _ { 1 } = | { \mathrm { D } } _ { 1 } ^ { 2 } g | \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } N
\begin{array} { r l r } { \left< \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \hat { \mathcal X } \right> } & { { } = } & { \left< \hat { \mathcal X } ^ { 2 } \right> = \frac { 4 t _ { \mathrm { ~ m ~ } } N } { { \gamma _ { b } } + \frac { \omega _ { p } \sigma } { c } \Gamma + \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma } { \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } } , } \end{array}
\times \int \frac { V ( \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } ) d { z ^ { \prime } } } { 4 \Gamma ^ { \prime } \Omega _ { c } ^ { 2 } + [ \Gamma _ { r } + i V ( \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } ) ] [ 4 \Omega _ { c } ^ { 2 } - \Gamma ^ { \prime } ( \Gamma ^ { \prime } + \Gamma _ { r } ) ] }
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { X } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { X } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Y } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Y } } & { { } = 2 [ \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { + } ] = 2 \hat { \Sigma } _ { X } } \\ { \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Z } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Z } } & { { } = - 1 \, \quad \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Z } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Z } = 0 \ , } \end{array}
R e \, \tilde { \Pi } _ { F } ^ { ( q ) \, \nu \mu } ( Q ) = - \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \, N _ { f } \, R e \int \frac { d ^ { \, 4 } K } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, t r \left[ \gamma ^ { \mu } \, S ^ { ( 1 1 ) } ( K - Q ) \, \gamma ^ { \nu } \, S ^ { ( 1 1 ) } ( K ) \right] \, .
\left( \begin{array} { l } { \psi _ { n + 1 } ^ { \prime } } \\ { \psi _ { n } ^ { \prime } } \end{array} \right) = T _ { n } \left( \begin{array} { l } { \psi _ { n } ^ { \prime } } \\ { \psi _ { n - 1 } ^ { \prime } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \{ \tau _ { \infty } < t \} = \mathbb { P } \left\{ \underset { M \in \mathbb { N } ^ { * } } { \bigcap } A _ { M } \right\} } & { { } = \underset { M \rightarrow + \infty } { \operatorname* { l i m } } \mathbb { P } ( A _ { M } ) } \end{array}
M _ { N N } \simeq M _ { N N 3 } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { \beta y ^ { 5 } } } & { { 0 } } \\ { { \beta y ^ { 5 } } } & { { y ^ { 4 } } } & { { \beta y ^ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { \beta y ^ { 3 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \partial _ { t } C _ { t } = 2 I + \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ] C _ { t } + C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ] . } \end{array}
\langle h _ { c } | \psi ^ { \dagger } T ^ { a } \chi \chi ^ { \dagger } T ^ { a } \psi | h _ { c } \rangle \; \approx \; \langle \chi _ { c J } | \psi ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \chi \cdot \chi ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T ^ { a } \psi | \chi _ { c J } \rangle , \qquad J = 0 , 1 , 2 .
\mathrm { M S D } ( t ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \langle ( x _ { \mathrm { t r u e } , i } ( t + t _ { 0 } ) - x _ { \mathrm { t r u e } } ( t _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \rangle _ { t _ { 0 } }
\widetilde \omega ( \xi ) : = C _ { d } \left[ \int _ { 0 } ^ { \xi } \frac { \omega _ { b } ( \eta ) \omega _ { u } ( \eta ) } { \eta ^ { 2 } } d \eta + \omega _ { b } ( \xi ) \int _ { \xi } ^ { \infty } \frac { \omega _ { u } ( \eta ) } { \eta ^ { 2 } } \ d \eta + \omega _ { u } ( \xi ) \int _ { \xi } ^ { \infty } \frac { \omega _ { b } ( \eta ) } { \eta ^ { 2 } } \ d \eta \right] ,
\left( \frac { 1 } { \Delta t } \boldsymbol { I } + \boldsymbol { A } _ { g } * \boldsymbol { A } _ { c o n } - \boldsymbol { A } _ { g } * \boldsymbol { A } _ { l a p } \right) C ^ { n + 1 } = \boldsymbol { r h s } ,
\Upsilon ^ { J , \mathcal { H } } p = \sum _ { \substack { \tiny q \in \mathrm { C r i t } ( f ) , B \in \hat { \Gamma } \, \mathrm { i n d } _ { f } ( q ) = k + 2 I _ { c _ { 1 } } ( B ) } } \# \left( \left( e v _ { 0 , B } ^ { J , \mathcal { H } } \times e v _ { \infty , B } ^ { J , \mathcal { H } } \right) ^ { - 1 } ( \mathbf { D } ^ { v } ( p ) \times \mathbf { A } ^ { v } ( q ) ) \right) T ^ { B } q .
\epsilon _ { A B } = \epsilon ^ { A B } = \epsilon _ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \epsilon ^ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
E _ { 0 , M } = { \frac { \omega d } { 2 m } } \sum _ { n = 1 } ^ { M - 1 } \sin { \frac { n \pi } { M } } = { \frac { \pi \omega d } { m } } \left[ { 2 } M - { \frac { 1 } { 6 M } } + O ( { \frac { 1 } { M ^ { 2 } } } ) \right] ,
{ \cal A } ( A B \to A ^ { \prime } A ^ { \prime \prime } B ^ { \prime } ) \! = \! g e _ { A ^ { \prime } \mu } ^ { * } e _ { A ^ { \prime \prime } \nu } ^ { * } e _ { B ^ { \prime } \lambda } ^ { * } \cdot \bar { v } _ { B } \left( A _ { \mu \nu \lambda } ^ { a ^ { \prime } a ^ { \prime \prime } b ^ { \prime } } + \delta _ { \mu \nu \lambda } ^ { a ^ { \prime } a ^ { \prime \prime } b ^ { \prime } } \right) u _ { A } \, .
\begin{array} { r l } { p _ { 1 , 1 } } & { { } = 1 - p _ { 1 , 0 } - p _ { 1 , 3 } = \frac { N - 3 } { r + N - 1 } , } \\ { p _ { 1 , j } } & { { } = 0 \mathrm { ~ i ~ f ~ } j \neq 0 , 1 , 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \mathrm { T B } } } & { { } \equiv \left\{ \left( i \hat { \mathbf { x } } + j \hat { \mathbf { y } } + k \hat { \mathbf { x } } ^ { \prime } + l \hat { \mathbf { y } } ^ { \prime } \right) 2 \pi / a \mid i , j , k , l \in \mathbb { Z } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { f } } & { = } & { \left\{ i \left( \Delta + U | f | ^ { 2 } + 2 U | g | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} f + \zeta g + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { g } } & { = } & { \left\{ i \left( \Delta + U | g | ^ { 2 } + 2 U | f | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} g + \zeta f + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { c } _ { i } + { { \omega _ { \mathrm { i , e f f } } ^ { F } } } ( t ) ^ { 2 } c _ { i } } & { { } - \left( 1 - \frac { g _ { \mathrm { B F } } \alpha _ { \mathrm { B } } } { g _ { \mathrm { B B } } \alpha _ { \mathrm { F } } } \right) \frac { { \omega _ { y } ^ { F } } ( 0 ) ^ { 2 } } { c _ { i } ^ { 3 } } = 0 } \\ { { \mathrm { w i t h ~ } { \omega _ { \mathrm { i , e f f } } ^ { F } } } ( t ) ^ { 2 } } & { { } = \left( 1 - \frac { g _ { \mathrm { B F } } \alpha _ { \mathrm { B } } } { g _ { \mathrm { B B } } \alpha _ { \mathrm { F } } } \right) { \omega _ { i } ^ { F } } ( t ) ^ { 2 } - \frac { g _ { \mathrm { B F } } } { g _ { \mathrm { B B } } } \frac { \ddot { b _ { i } } } { b _ { i } } } \end{array}
C _ { 0 } ^ { \mathrm { P S } } ( \epsilon ) \simeq \left( \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } \right) ^ { \frac { 1 2 } { 2 5 } } \left[ 1 - 0 . 7 1 \, \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \pi } + \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \pi } \left( 0 . 6 3 + 2 \ln \frac { \mu } { \mu _ { c } } \right) + \frac { \epsilon \bar { \alpha } _ { s } } { \pi } \, G ( \epsilon ) \right] \, ,
S = { \frac { 2 } { g ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \left\{ { \frac { \vert \partial _ { \tau } w \vert ^ { 2 } + \vert \partial _ { x } w \vert ^ { 2 } } { ( 1 + \vert w \vert ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } + m ^ { 2 } { \frac { \vert w \vert ^ { 2 } } { 1 + \vert w \vert ^ { 2 } } } \right\}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( \left| X _ { d } \left( 1 , H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) \right) \right| \geq 2 y \right) } \\ & { \geq \mathbb { P } \left( \left| X _ { d } ( 1 , t _ { 0 } ) \right| \geq 3 y \right) - \mathbb { P } \left( \left| X _ { d } ( 1 , H ( t _ { 0 } ) ) - X _ { d } \left( 1 , H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) \right) \right| > y \right) . } \end{array}
1 9 m _ { \ell } ^ { 2 } \leq \left( \frac { R _ { 1 } ( \tau ) } { R _ { 0 } ( \tau ) } \right) \left( \frac { W _ { 0 } ( m _ { \ell } , \Gamma _ { \ell } , \tau ) } { W _ { 1 } ( m _ { \ell } , \Gamma _ { \ell } , \tau ) } \right) .
W ( x ) \sim \bigg ( \frac { \ln { ( R _ { \mathrm { M } } ) } } { \pi } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \cos { \bigg [ \frac { \pi } { \ln { ( R _ { \mathrm { M } } ) } } \ln { \bigg ( \frac { z } { z _ { 0 } } \bigg ) } \bigg ] } .
\begin{array} { r } { L = \frac 1 2 I _ { 2 } [ \dot { \theta } ^ { 2 } + \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ] + \frac 1 2 I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] ^ { 2 } - b R _ { i j } ( \theta , \varphi , \psi ) k _ { i } z _ { j } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q } & { { } \approx } & { 2 v _ { 0 } \left| \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } \right| \, ( 1 + 2 \Gamma T _ { D u r , 0 } \, \mathrm { c o s } \Delta ) \, \mathrm { c o s } \phi \, \mathrm { e } ^ { i \theta ( n _ { 1 } - m ) + i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathsf { R } _ { F } ( t ) | } & { \leq 2 \pi \| F ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \| \tilde { \psi } \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , 1 ; L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) ) } + \| \tilde { \psi } \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , 1 ; B V ( \mathbb { T } ) ) } \right) \mathrm { d } s } \\ & { \qquad \leq 2 \pi \| F ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } \int _ { 0 } ^ { t } \| u _ { 2 } \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , 1 ; L ^ { 1 } ( \mathbb { T } ) ) } \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r } { | K _ { 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | \leqslant C \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } , } \\ { | \partial _ { \varphi } K _ { 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | \leqslant C \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 } . } \end{array}
\frac { S } { V k _ { B } } = - n ( \mu ) \, \int _ { - \infty } ^ { + \infty } s ( \varepsilon ) \, d \varepsilon - \frac { 1 } { 2 } \, n ^ { \prime \prime } ( \mu ) \, \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( \varepsilon - \mu ) ^ { 2 } \, s ( \varepsilon ) \, d \varepsilon .
v _ { b } ( t ) = d v _ { b } \, \cos ( \omega _ { m } \, t ) , \quad \dot { v } _ { b } ( t ) = - d v _ { b } \, \omega _ { m } \, \sin ( \omega _ { m } \, t ) , \quad \ddot { v } _ { b } ( t ) = - d v _ { b } \, \omega _ { m } ^ { 2 } \, \cos ( \omega _ { m } \, t ) ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { t o t , < } } \left( \omega \right) } & { = - i e ^ { 2 } \hbar \sum _ { \alpha , \beta = L , R } \int _ { \mu _ { \beta } + \hbar \omega } ^ { \mu _ { \alpha } } \frac { d E } { 2 \pi \hbar } \Theta ( \mu _ { \alpha } - \mu _ { \beta } - \hbar \omega ) } \\ & { \times X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } ( E , E ^ { - } ) ( f ^ { \alpha } ( E ) - f ^ { \beta } ( E ^ { - } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { N } \left( \rho _ { n } \right) - \ell _ { N } \left( \rho _ { n , r } \right) } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \left[ ( \rho _ { n } * \phi ) \left( X _ { i } \right) \right] + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \left[ ( \rho _ { n , r } * \phi ) \left( X _ { i } \right) \right] = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \left[ \frac { ( \rho _ { n , r } * \phi ) \left( X _ { i } \right) } { ( \rho _ { n } * \phi ) \left( X _ { i } \right) } \right] . } \end{array}
\left[ \, \, T _ { + + } - T _ { -- } \, \, \right] _ { \sigma = 0 , \pi } = 0 , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \left[ \, \, G _ { + } ^ { 1 } - \eta _ { 1 } G _ { - } ^ { 1 } \, \, \right] _ { \sigma = 0 , \pi } = 0 ,
m _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 2 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \left( 1 - d + d \int _ { 0 } ^ { 1 } d t \oint \frac { d z } { 2 \pi \imath z } \frac { q ^ { 2 } } { S ( q ^ { 2 } ) } \right)
\begin{array} { r l r } { E ( ( I I ) _ { A } ) } & { = } & { E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E \left( k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) \right) = \frac { 1 } { h _ { n } } E \left( k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { h _ { n } } \int \left( k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } \right) \right) f _ { Z _ { 1 } } ( z _ { 1 } ) d z _ { 1 } } \\ & { = } & { \int k ( m ) f _ { Z _ { 1 } } ( m h _ { n } + s ) d m = \int k ( m ) \left[ f _ { Z _ { 1 } } ( s ) + m h _ { n } f _ { Z _ { 1 } ^ { ' } } ( \xi _ { n } ) \right] d m } \\ & { } & { ~ \mathrm { ( ~ f _ { Z _ { 1 } } ^ { ' } ~ d e n o t e s ~ t h e ~ d e r i v a t i v e ~ o f ~ f _ { Z _ { 1 } } ~ , ~ a n d ~ \xi _ { n } \in ~ ( s , ~ s ~ + ~ m h _ { n } ) ~ ) } } \\ & { = } & { f _ { Z _ { 1 } } ( s ) \int k ( m ) d m + h _ { n } f _ { Z _ { 1 } } ^ { ' } ( \xi _ { n } ) \int m k ( m ) d m . } \end{array}
\big ( \Theta _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) = \big ( \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) + \frac { 1 } { \gamma } \big ( \mathrm { e } _ { I } \wedge \mathrm { e } _ { J } \wedge \delta \mathcal { C } ^ { I J } , 0 \big ) - \frac { 1 } { \gamma } \underline { { \mathrm { d } } } \big ( \mathrm { e } _ { I } \wedge \delta \mathrm { e } ^ { I } , 0 \big ) ,
\Delta _ { 9 } ^ { d } ( \omega ) = - 4 \left( { \frac { 2 7 \pi \alpha _ { W } T ^ { 2 } } { 6 4 \Omega _ { 0 } M _ { W } ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 } \Biggl [ 1 + \Biggl ( { \frac { \omega - \Omega _ { 0 } } { \gamma } } \Biggl ) ^ { 2 } \Biggr ] ^ { - 6 } { \operatorname * { d e t } { \cal C } \ell ^ { 9 } } \ ,
{ \cal L } _ { \mathrm { C S } } = \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \left( A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } + \frac { 2 i } { 3 } g A _ { \mu } A _ { \nu } A _ { \lambda } \right) + 2 \bar { \Psi } \Psi \, .
A _ { u v } ( x , y ) \; = \; \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \: \hat { V } ( q ) \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \: A _ { u v } ( p + \frac { q } { 2 } , p - \frac { q } { 2 } ) \; e ^ { - i p ( x - y ) } \: e ^ { - i \: \frac { q } { 2 } \: ( x + y ) } \; ,
\times \frac { { \vec { q } _ { 1 } } ^ { 2 } { \vec { q } _ { 2 } } ^ { 2 } } { 2 { \vec { \Delta } } ^ { 2 } } \left( \frac { { \vec { \Delta } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) ^ { \epsilon } x \biggl [ \frac { \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon ) } { \Gamma ( 2 \epsilon ) } - \frac { ( 1 - x ) ^ { \epsilon } } { \epsilon } + \ln x + \frac { \epsilon } { 2 } \ln x \ln ( x ( 1 - x ) ^ { 2 } ) - 2 \epsilon \int _ { 0 } ^ { 1 - x } \frac { d z } { z } \ln ( 1 - z ) \biggr ] .
\mathcal { E } _ { x , y } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] = \delta _ { a b } ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { x } ^ { 2 n } \left| n \middle > \middle < n \right| + \mathcal { E } _ { x , y } ^ { \{ m m \} } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] + \mathcal { E } _ { x , y } ^ { \{ l m \} } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] .
u _ { 0 } = ( u _ { 0 } ^ { \mathrm { X } } , u _ { 0 } ^ { \mathrm { Y } } ) \in \mathcal { M } _ { \mathrm { F } } ( \mathrm { Q } ) \times \mathcal { M } _ { \mathrm { F } } ( \mathrm { Q } )
\rho _ { i } : \lambda : \rho _ { e } = d _ { i } \sqrt { \frac { \beta _ { i } } { 2 } } : 2 d _ { i } : d _ { i } \sqrt { \frac { \beta _ { e } } { 2 } \frac { m _ { e } } { m _ { i } } } = \sqrt { \frac { \beta _ { i } } { 8 } } : 1 : \sqrt { \frac { \beta _ { e } } { 8 } \frac { m _ { e } } { m _ { i } } } .
i s a s s u m e d t o b e a f u l l r a n k m a t r i x ( a s o b s e r v e d i n p r a c t i c a l c a l c u l a t i o n s ) , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e d i m e n s i o n o f t h e b a t h e q u a l s
\Gamma ( B \to X _ { c } e \bar { \nu } ) = \Gamma _ { 0 } \left[ I ( a , \mu ) \left\{ 1 + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } + \frac { 3 \lambda _ { 2 } } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } - \frac { 6 ( 1 - a ) ^ { 4 } } { f _ { 1 } ( a ) } \frac { \lambda _ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } \right\} + { \cal O } \left( \alpha _ { s } ^ { 2 } , \, \frac { \alpha _ { s } } { m _ { b } ^ { 2 } } , \, \frac { 1 } { m _ { b } ^ { 3 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } 2 } & { { } \frac { d } { d t } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \nu \| \nabla \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \mu \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } = - \langle \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { u } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle + \langle \Delta \mathbf { g } ^ { k } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle + \mu \| J _ { h } \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}