harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } ^ { \prime } = } & { \int d ^ { 2 } \vec { r } \Big [ \sum _ { s = \uparrow , \downarrow } | \vec { r } s \rangle \bigr ( - \frac { \hbar ^ { 2 } \vec { \nabla } ^ { 2 } } { 2 m } + V ( \vec { r } ) + \frac { \delta } { 2 } ( \sigma _ { z } ) _ { s s } \bigr ) \langle \vec { r } s | } \\ & { - i \gamma _ { \downarrow } | \vec { r } \downarrow \rangle \langle \vec { r } \downarrow | + \bigr ( M _ { R } ( \vec { r } ) | \vec { r } \uparrow \rangle \langle \vec { r } \downarrow | + h . c . \bigr ) \Big ] . } \end{array}
\Phi _ { \mathrm { S A } } ^ { s } ( \Delta t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { s } \gamma _ { j } \Big ( \Phi _ { j } ^ { + } \big ( \frac { \Delta t } { j } \big ) + \Phi _ { j } ^ { - } \big ( \frac { \Delta t } { j } \big ) \Big ) .
\begin{array} { r l } & { ( \mathcal { L } _ { X } G ) d F _ { 1 } \land \dotsc \land d F _ { k } \land d A _ { 1 } \land \dotsc \land d A _ { l } \left( \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } \land \dotsc \land \frac { \partial } { \partial t _ { k + l } } \right) } \\ & { + G d F _ { 1 } \land \dotsc \land d F _ { k } \land d A _ { 1 } \land \dotsc \land d A _ { l } \mathcal { L } _ { X } \left( \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } \land \dotsc \land \frac { \partial } { \partial t _ { k + l } } \right) . } \end{array}
\delta _ { \xi } x ^ { I } = \xi ^ { \alpha } \gamma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { I } \psi ^ { \dot { \alpha } } , \, \delta _ { \xi } \psi _ { \dot { \alpha } } = \xi ^ { \alpha } \gamma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { I } \bar { \partial } x ^ { I }
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 U } { c ^ { 2 } } } & { { } = } & { r _ { g } \Big \{ \frac { 1 } { r } - \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } J _ { \ell } R ^ { \ell } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial s ^ { \ell } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} + { \cal O } ( r _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
f _ { k n } \, g ^ { k } \, v ^ { n } \longrightarrow \gamma \, ( \alpha ) ^ { n } \, ( - \alpha ) ^ { k } \, \frac { \Gamma ( k + n + b + 1 ) \, \Gamma ( k + n + 1 ) } { k ! \, n ! } \, g ^ { k } \, v ^ { n } \, .
\begin{array} { r l r } { \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B ( 1 ) } } & { { } = } & { 2 \sigma _ { o } \, \frac { \gamma \, \mathcal { E } } { \operatorname* { m a x } _ { \beta } \left( \gamma \left| \mathcal { E } \right| \, , \sigma _ { o } \right) } \, , } \end{array}
( 1 0 ^ { - 2 0 0 / 1 0 } ~ \mathrm { F S } ^ { 2 } ~ \mathrm { H z } ^ { - 1 } ) ( f _ { \mathrm { R } } / 2 ) \approx 1 0 ^ { - 1 5 0 / 1 0 } ~ \mathrm { F S ^ { 2 } }
a = a _ { 1 } + a _ { 2 } u + a _ { 3 } v + a _ { 4 } w + \frac 1 2 a _ { 5 } \boldsymbol { u } ^ { 2 } + \frac 1 2 a _ { 6 } \boldsymbol { \xi } ^ { 2 } + a _ { 7 } { \varepsilon _ { v } } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \alpha } _ { a } = \chi _ { a } ^ { \prime } \left( \sqrt { \eta _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , a } \gamma _ { \mathrm { r a d } } } \, S _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , a } + i J ^ { * } \chi _ { c } \sqrt { \eta _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , c } \kappa } \, S _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , c } \right) } \\ { \bar { \alpha } _ { c } = \chi _ { c } ^ { \prime } \left( \sqrt { \eta _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , c } \kappa } \, S _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , c } + i J \chi _ { a } \sqrt { \eta _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , a } \gamma _ { \mathrm { r a d } } } \, S _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , a } \right) \, , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 4 } & { 7 } \\ { - 2 } & { 3 } & { 3 } \end{array} \right] } \otimes { \left[ \begin{array} { l l l l } { 8 } & { - 9 } & { - 6 } & { 5 } \\ { 1 } & { - 3 } & { - 4 } & { 7 } \\ { 2 } & { 8 } & { - 8 } & { - 3 } \\ { 1 } & { 2 } & { - 5 } & { - 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l } { 8 } & { - 9 } & { - 6 } & { 5 } & { - 3 2 } & { 3 6 } & { 2 4 } & { - 2 0 } & { 5 6 } & { - 6 3 } & { - 4 2 } & { 3 5 } \\ { 1 } & { - 3 } & { - 4 } & { 7 } & { - 4 } & { 1 2 } & { 1 6 } & { - 2 8 } & { 7 } & { - 2 1 } & { - 2 8 } & { 4 9 } \\ { 2 } & { 8 } & { - 8 } & { - 3 } & { - 8 } & { - 3 2 } & { 3 2 } & { 1 2 } & { 1 4 } & { 5 6 } & { - 5 6 } & { - 2 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { - 5 } & { - 1 } & { - 4 } & { - 8 } & { 2 0 } & { 4 } & { 7 } & { 1 4 } & { - 3 5 } & { - 7 } \\ { - 1 6 } & { 1 8 } & { 1 2 } & { - 1 0 } & { 2 4 } & { - 2 7 } & { - 1 8 } & { 1 5 } & { 2 4 } & { - 2 7 } & { - 1 8 } & { 1 5 } \\ { - 2 } & { 6 } & { 8 } & { - 1 4 } & { 3 } & { - 9 } & { - 1 2 } & { 2 1 } & { 3 } & { - 9 } & { - 1 2 } & { 2 1 } \\ { - 4 } & { - 1 6 } & { 1 6 } & { 6 } & { 6 } & { 2 4 } & { - 2 4 } & { - 9 } & { 6 } & { 2 4 } & { - 2 4 } & { - 9 } \\ { - 2 } & { - 4 } & { 1 0 } & { 2 } & { 3 } & { 6 } & { - 1 5 } & { - 3 } & { 3 } & { 6 } & { - 1 5 } & { - 3 } \end{array} \right] }
\operatorname* { l i m } _ { u \to \infty } z ^ { * } = \operatorname* { l i m } _ { u \to \infty } \cfrac { 2 c ^ { H + 1 } } { ( c - 1 ) \left[ u ^ { 1 - \frac { 1 } { c } } ( c - 1 ) ^ { \frac { 1 } { c } } + 1 \right] } = 0
J _ { 3 } ^ { 0 } = - \frac { 1 } { 4 } \left[ \bar { e } \gamma ^ { 0 } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) e - \bar { u } \gamma ^ { 0 } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) u + \bar { d } \gamma ^ { 0 } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) d \right] \; ,
\delta _ { 1 , 1 } = \delta _ { 1 , 2 } = 2 . 5 , \, \delta _ { 1 , 3 } = 0 , \qquad \delta _ { 2 , 1 } = \delta _ { 2 , 2 } = \delta _ { 2 , 3 } = 0 , \qquad \delta _ { 3 , 1 } = \delta _ { 3 , 2 } = - 2 . 5 , \, \delta _ { 3 , 3 } = 0 .
\begin{array} { r } { D = | \langle e | W ( \Omega _ { 0 } , \delta _ { 2 + } ^ { \prime } , \pi / 2 , \tau ) V ( \delta _ { \mathrm { f } + } ^ { \prime } , T ) W ( \Omega _ { 0 } , \delta _ { 1 + } ^ { \prime } , 0 , \tau ) | g \rangle | ^ { 2 } } \\ { - | \langle e | W ( \Omega _ { 0 } , \delta _ { 2 - } ^ { \prime } , - \pi / 2 , \tau ) V ( \delta _ { \mathrm { f } - } ^ { \prime } , T ) W ( \Omega _ { 0 } , \delta _ { 1 - } ^ { \prime } , 0 , \tau ) | g \rangle | ^ { 2 } . } \\ { { } } \end{array}
\mathrm { ~ \bf ~ { ~ D ~ } ~ } _ { U } = \left( \begin{array} { l l l } { - \dot { \varepsilon } / 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \dot { \varepsilon } / 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \dot { \varepsilon } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { E I \frac { \partial ^ { 4 } w } { \partial x ^ { 4 } } + \rho A \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial t ^ { 2 } } = \sum _ { n = - \infty } ^ { n = + \infty } F _ { n } \delta ( x - n d ) } \\ & { G J \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial x ^ { 2 } } - \rho I _ { p } \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial t ^ { 2 } } = - \sum _ { n = - \infty } ^ { n = + \infty } ( - 1 ) ^ { n } F _ { n } \frac { b + \hat { L } } { 2 } \delta ( x - n d ) . } \end{array}
\mathbf { Y } = N ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } k \sin \theta _ { m } + c ^ { 2 } k _ { x } } & { a ^ { 2 } k \cos \theta _ { m } + c ^ { 2 } k _ { z } } \\ { a ^ { 2 } k \cos \theta _ { m } + c ^ { 2 } k _ { z } } & { - a ^ { 2 } k \sin \theta _ { m } - c ^ { 2 } k _ { x } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal A _ { 1 } ^ { 1 } - \mathcal B _ { 1 } ^ { 1 } = } & { \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S } \\ { \mathcal A _ { 2 } ^ { 2 } - \mathcal B _ { 2 } ^ { 2 } = } & { \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } \otimes ( \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S ) + ( \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S ) \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } } \\ { \mathcal A _ { 3 } ^ { 3 } - \mathcal B _ { 3 } ^ { 3 } = } & { \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } ^ { ( 2 ) } \otimes ( \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S ) } \\ & { + \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } \otimes ( \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S ) \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } } \\ & { + ( \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S ) \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { 2 } \| _ { X _ { c } } } & { \leq \frac { ( 1 + \kappa ) } { ( 1 - \kappa ) } \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } ( P _ { \gamma } ^ { + } - P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ) \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \| | \mathcal D | ^ { - 1 / 2 } \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } ( P _ { \gamma _ { n - 1 } } ^ { + } - P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ) \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \| \gamma _ { n - 1 } | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } \| _ { \sigma _ { 1 } } } \\ & { \leq \frac { \pi ^ { 2 } ( 1 + \kappa ) } { 1 6 ( 1 - \kappa ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } \frac { R \alpha _ { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \| \gamma _ { n - 2 } - \gamma \| _ { X _ { c } } \| \gamma _ { n - 1 } - \gamma _ { n - 2 } \| _ { X _ { c } } } \\ & { \leq C _ { \kappa , L } ^ { \prime \prime } \frac { R \alpha _ { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } \| \gamma _ { n - 1 } - \gamma _ { n - 2 } \| _ { X _ { c } } } \end{array}
\alpha _ { 3 } - i \beta _ { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 2 } ^ { 2 } ; \; \alpha _ { 4 } - i \beta _ { 4 } = - \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } ; \; \alpha _ { 5 } - i \beta _ { 5 } = - \gamma _ { 2 } \gamma _ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 3 } ^ { 2 } + \beta _ { 3 } ^ { 2 } + \gamma _ { 3 } ^ { 2 } ) , \dots
S _ { x y } = - 2 \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } \frac { H ( H _ { \mathrm { d l } } \cos { \phi _ { H } } \mp H _ { \mathrm { f l } } \sin { \phi _ { H } } ) } { H _ { k } ^ { 2 } } + \mathcal { O } [ H _ { x } ] ^ { 2 } + \mathcal { O } [ H _ { y } ] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mu ( I _ { m _ { k } } ) } & { = \prod _ { j = 1 } ^ { k } q _ { l _ { j } } ^ { - 2 \widetilde { s } _ { l _ { j } } } = \prod _ { j = 1 } ^ { K } q _ { l _ { j } } ^ { - 2 \widetilde { s } _ { l _ { j } } } \cdot \prod _ { j = K + 1 } ^ { k } q _ { l _ { j } } ^ { - 2 \widetilde { s } _ { l _ { j } } } \le C _ { 0 } \prod _ { j = 1 } ^ { K } q _ { l _ { j } } ^ { - 2 ( s - \varepsilon ) } \cdot \prod _ { j = K + 1 } ^ { k } q _ { l _ { j } } ^ { - 2 ( s - \varepsilon ) } } \\ & { \leq C _ { 0 } 2 ^ { 2 ( k - 1 ) } ( q _ { m _ { k } } ) ^ { - 2 ( s - \varepsilon ) } \le \frac { C _ { 0 } } 4 ( q _ { m _ { k } } ) ^ { - 2 ( s - 2 \varepsilon ) } \leq C _ { 0 } | I _ { m _ { k } } | ^ { s - 2 \varepsilon } . } \end{array}
\frac { \pi \alpha ^ { \prime } n } { | M | } \sqrt { | m _ { 2 } m _ { 3 } | } \ , \quad \frac { \pi \alpha ^ { \prime } n } { | M | } \sqrt { | m _ { 1 } m _ { 3 } | } \ , \quad \frac { \pi \alpha ^ { \prime } n } { | M | } \sqrt { | m _ { 1 } m _ { 2 } | } \ .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } \langle \mathrm { ~ B ~ } \rangle , n } = E _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } , n } + \langle \Psi _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } , n } | X ^ { \dagger } B X \Psi _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } , n } \rangle } \end{array}
M _ { + 1 } ^ { 2 } = \frac { \lambda _ { 7 } } { 2 } ( v _ { \eta } ^ { 2 } + v _ { \rho } ^ { 2 } ) - \frac { A } { \sqrt 2 } \left( \frac { 1 } { v _ { \rho } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { v _ { \chi } ^ { 2 } } \right) , \; M _ { + 2 } ^ { 2 } = \frac { \lambda _ { 8 } } { 2 } ( v _ { \eta } ^ { 2 } + v _ { \chi } ^ { 2 } ) - \frac { A } { \sqrt 2 } \left( \frac { 1 } { v _ { \rho } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { v _ { \chi } ^ { 2 } } \right) , \;
0 = < \Omega { \cal O } > _ { J } = < { \frac { \partial _ { r } { \cal O } } { \partial \Phi ^ { A } } } { \frac { \partial _ { l } \Sigma } { \partial K _ { A } } } - { \frac { \partial _ { r } { \cal O } } { \partial K _ { A } } } { \frac { \partial _ { l } \Sigma } { \partial \Phi ^ { A } } } - i \hbar ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { A } + 1 } { \frac { \partial _ { r } } { \partial \Phi ^ { A } } } { \frac { \partial _ { r } { \cal O } } { \partial K _ { A } } } > _ { J } .
\begin{array} { r l } & { \epsilon _ { 2 } ( N _ { 2 } ) \leq } \\ & { \mathbb { P } \left[ \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 2 } } i ( X _ { 2 } [ j ] ; Y _ { 2 } [ j ] ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) I ( X _ { 2 , i } ; Y _ { 2 , i } ) } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) V ( X _ { 2 , i } ; Y _ { 2 , i } ) } } \right. } \\ & { < \left. \frac { \log \frac { M _ { 2 } - 1 } { 2 } + s \log N _ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) I ( X _ { 2 , i } ; Y _ { 2 , i } ) } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) V ( X _ { 2 , i } ; Y _ { 2 , i } ) } } \right] } \\ & { + \frac { 1 } { ( N _ { 2 } ) ^ { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \left< \pi ^ { - } l ^ { + } \nu _ { l } | T | K ^ { 0 } \right> } } & { { = } } & { { F _ { l } ( 1 - y _ { l } ) , } } \\ { { \left< \pi ^ { - } l ^ { + } \nu _ { l } | T | \bar { K } ^ { 0 } \right> } } & { { = } } & { { x _ { l } F _ { l } ( 1 - y _ { l } ) , } } \\ { { \left< \pi ^ { + } l ^ { - } \bar { \nu } _ { l } | T | K ^ { 0 } \right> } } & { { = } } & { { \bar { x } _ { l } ^ { * } F _ { l } ^ { * } ( 1 + y _ { l } ^ { * } ) , } } \\ { { \left< \pi ^ { + } l ^ { - } \bar { \nu } _ { l } | T | \bar { K } ^ { 0 } \right> } } & { { = } } & { { F _ { l } ^ { * } ( 1 + y _ { l } ^ { * } ) \quad \quad ( l = e , \, \mu ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { A } _ { 2 } ^ { + } ( E _ { n } - \omega ) \tilde { A } _ { 1 } ^ { + } ( \omega ) = \frac { A _ { 1 } A _ { 2 } } { 4 \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \, e ^ { - i ( \varphi _ { 1 } + \varphi _ { 2 } ) } \, e ^ { i E _ { n } t _ { 2 } } \times } \\ & { \times } & { \exp \left[ - \frac { ( \omega - \omega _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { \left( \omega - E _ { n } + \omega _ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } - i \omega \tau \right] } \end{array}
\left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } + | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } + | - m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\begin{array} { l } { { T ( x ^ { \prime \prime } ) = L ( l ^ { \prime } ) T ( x ) L ^ { + - 1 } ( l ^ { \prime } ) + T ( x ^ { \prime } ) + } } \\ { { \phantom { T ( x ^ { \prime \prime } ) = } 1 / 2 i \left[ \Xi ( \xi ^ { \prime } ) U ( u ^ { \prime } ) \Xi ( \xi ) L ^ { + - 1 } ( l ^ { \prime } ) - \right. } } \\ { { \phantom { T ( x ^ { \prime \prime } ) = a s d f } \left. L ( l ^ { \prime } ) \Xi \left( \xi \right) U ^ { - 1 } ( u ^ { \prime } ) \Xi ^ { + } ( \xi ^ { \prime } ) \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r _ { j + 1 } \leq r \leq r _ { j } \} } \mathcal { E } _ { 2 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq } & { \: C \sum _ { k \leq 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r _ { j + 1 } \leq r \leq r _ { j } \} } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widetilde { Z } ^ { k } \widetilde { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r } \\ { \leq } & { \: C 2 ^ { - j } ( 1 + \tau ) ^ { - 1 + \epsilon } \sum _ { k \leq 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r _ { j + 1 } \leq r \leq r _ { j } \} } \mathcal { E } _ { 1 - \epsilon } [ \widetilde { Z } ^ { k } \widetilde { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r . } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \tau \in \mathcal { T } } O T \left( \mu , \nu , \lVert \cdot - \tau ( \cdot ) \rVert ^ { 2 } \right) = \operatorname* { i n f } _ { \tau \in \mathcal { T } } O T \left( \mu , ( \tau ^ { - 1 } ) _ { \# } \nu , \lVert \cdot - \cdot \rVert ^ { 2 } \right) = \operatorname* { i n f } _ { \tau \in \mathcal { T } } W _ { 2 } ^ { 2 } \left( \mu , ( \tau ^ { - 1 } ) _ { \# } \nu \right) ,
| \angle ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } , \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } ) | - | \angle ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } , \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } ) | \leq | \angle ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } , \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } ) | \leq | \angle ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } , \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } ) | + | \angle ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } , \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } ) | .
\begin{array} { r l } { n _ { S , I } ^ { X } ( T ) } & { { } = \langle \eta _ { 0 } ^ { X } , f _ { T , 0 } ^ { S , I } \rangle - \int _ { 0 } ^ { T } \left( \lambda _ { X } \langle \eta _ { T } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } f _ { T , t } ^ { S , I } \rangle + \Lambda _ { X } ( t ) \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } f _ { T , t } ^ { S , I } \rangle \right) d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \lambda = 1 } ^ { M } \Delta n _ { i j } ^ { \lambda } } & { { } = 0 \, , } \\ { \sum _ { \lambda = 1 } ^ { M } \Delta n _ { i k } ^ { \lambda } ( \Delta n _ { l j } ^ { \lambda } ) ^ { * } } & { { } = M \delta _ { i l } \delta _ { j k } \delta _ { n _ { j } , 1 } \delta _ { n _ { i } , 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 4 } { R - a _ { \textnormal { o d d } } } } \\ & { \quad = \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \operatorname* { i n f } \left\{ \int _ { - R } ^ { R } \left( 2 | f | ^ { 2 } + 4 x f \partial f + 2 | x | ^ { 2 } | \partial f | ^ { 2 } + v | f | ^ { 2 } | x | ^ { 2 } \right) \, \textnormal { d } x : f ( x ) = f ( - x ) , \, f ( R ) = 1 \right\} } \\ & { \quad = \frac { 4 } { R } + \frac { 2 } { R ^ { 2 } } \operatorname* { i n f } \left\{ \int _ { - R } ^ { R } \left( | \partial f | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v | f | ^ { 2 } \right) | x | ^ { 2 } \, \textnormal { d } x : f ( x ) = f ( - x ) , \, f ( R ) = 1 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } X _ { n } } & { { } = \operatorname* { s u p } \{ \operatorname* { i n f } \{ X _ { m } : m \in \{ n , n + 1 , \ldots \} \} : n \in \{ 1 , 2 , \dots \} \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle w , T \rho ( e ^ { \xi } ) v \rangle } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \langle w , T d \rho ( \xi ^ { n } ) v \rangle = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \langle w , T d \sigma ( E _ { 0 } ( \xi ^ { n } ) ) v \rangle } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \langle w , d \sigma ( E _ { 0 } ( \xi ^ { n } ) ) T v \rangle = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ^ { n } ) } { n ! } } \langle d \rho ( \xi ^ { n } ) w , T v \rangle } \\ & { = \langle \rho ( e ^ { - \xi } ) w , T v \rangle = \langle w , \rho ( e ^ { \xi } ) T v \rangle . } \end{array}
0 = \left\langle \phi ^ { \prime } , \left( ( 5 h _ { 0 } + 1 ) \; h _ { 0 } \; \Delta \, ( Q _ { - 2 } ) - 1 2 q _ { 0 } \; \Delta \, ( L _ { - 1 } ) ^ { 2 } + 6 q _ { 0 } \, ( h _ { 0 } + 1 ) \; \Delta \, ( L _ { - 2 } ) \right) \left( \phi \otimes \phi _ { 0 } \right) \right\rangle .
{ \cal M } _ { K e \mu } ^ { X } \, = \, - \, \frac { \sqrt 2 \pi \alpha _ { S } ( M _ { X } ) \; f _ { K } \; m _ { K } ^ { 2 } \; Q } { M _ { X } ^ { 2 } \, ( m _ { s } + m _ { d } ) } \; \big ( { \cal D } _ { e d } { \cal D } _ { \mu s } ^ { * } \; + \; { \cal D } _ { e s } { \cal D } _ { \mu d } ^ { * } \big ) \; \big ( \bar { e } \gamma _ { 5 } \mu \big ) .
e ^ { - V ( L ) } = \kappa ^ { ( 2 d - 3 p ) / 4 } \hat { L } ^ { 4 - 2 d + p } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y { \frac { y ^ { ( d - 4 ) / 2 } } { ( 1 + 4 y \hat { L } ^ { - 4 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } } } e ^ { - y } ,
\| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = \| \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } - \| \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = \| \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } - [ \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ( [ \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { - 1 } [ \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } }
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { 2 \rightarrow 1 } ^ { a v } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \langle k _ { 2 \rightarrow 1 } ( t ) \rangle } \\ & { } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 2 } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \Bigg \langle e ^ { i \int _ { t - \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } ( E _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) - E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) ) / \hbar } } \\ & { } & { \times T r _ { b } \left\{ e ^ { i ( \hat { B } _ { 1 } + \hat { H } _ { b } ) \tau / \hbar } \hat { J } ^ { \dagger } ( t ) e ^ { - i ( \hat { B } _ { 2 } + \hat { H } _ { b } ) \tau / \hbar } \hat { \rho } _ { b , 2 } \hat { J } ( t - \tau ) \right\} \Bigg \rangle \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \phi } _ { k } ( { \bf x } ) } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { - i { \bf A } ( t ) \cdot { \bf x } } \phi _ { k } ( { \bf x } ) , } \\ { \tilde { \xi } } & { { } = } & { \xi + \int { { \bf E } ( t ) \cdot { \bf x } \ \rho ( { \bf x } ) \ \mathrm { d } { \bf x } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } U _ { i + m , j + 1 } x ^ { i } y ^ { j } } \\ & { = } & { c _ { 1 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } U _ { i , j } x ^ { i } y ^ { j } + c _ { 2 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } U _ { i + 1 , j } x ^ { i } y ^ { j } + . . . + c _ { n } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } U _ { i + ( n - 1 ) , j } x ^ { i } y ^ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta ^ { ( \omega ^ { j } ) } } & { \left( B \left( \varphi _ { \omega _ { 1 } } ^ { - 1 } \cdots \varphi _ { \omega _ { n _ { j } - 1 } } ^ { - 1 } W + x , r \right) \right) } \\ & { = \sum _ { u \neq v } p _ { u } ^ { ( \omega ^ { j } ) } f _ { u } ^ { ( \omega ^ { j } ) } \eta ^ { ( \omega ^ { j + 1 } ) } \left( B \left( \varphi _ { \omega _ { 1 } } ^ { - 1 } \cdots \varphi _ { \omega _ { n _ { j } - 1 } } ^ { - 1 } W + x , r \right) \right) } \\ & { \leq \sum _ { u \neq v } p _ { u } ^ { ( \omega ^ { j } ) } \eta ^ { ( \omega ^ { j + 1 } ) } \left( B \left( \varphi _ { \omega _ { 1 } } ^ { - 1 } \cdots \varphi _ { \omega _ { n _ { j + 1 } - 1 } } ^ { - 1 } W + \left( f _ { u } ^ { ( \omega ^ { j } ) } \right) ^ { - 1 } ( x ) , \frac { r } { r _ { \operatorname* { m i n } } ^ { n _ { j + 1 } - n _ { j } } } \right) \right) } \\ & { \leq \left( 1 - p _ { \operatorname* { m i n } } ^ { n _ { j + 1 } - n _ { j } } \right) \phi ^ { ( \omega ^ { j + 1 } ) } \left( \varphi _ { \omega _ { 1 } } ^ { - 1 } \cdots \varphi _ { \omega _ { n _ { j + 1 } - 1 } } ^ { - 1 } W , \frac { r } { r _ { \operatorname* { m i n } } ^ { n _ { j + 1 } - n _ { j } } } \right) , } \end{array}
\langle \mathrm { ~ E ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \rangle _ { + } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ E ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathrm { ~ E ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } > 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \langle \mathrm { ~ E ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \rangle _ { - } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ E ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathrm { ~ E ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } < 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
b _ { 2 } = 6 N - 1 2 M ^ { 2 } \ \ \ \ \ \ b _ { 1 } = 9 N ^ { 2 } - 4 8 N M ^ { 2 } + 4 8 M ^ { 4 } - L \ \ \ \ \ \ b _ { 0 } = - ( 8 M ^ { 3 } - 6 N M ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { Z _ { n } ( \phi ) } \sum _ { x \in E _ { n } } \exp ( S _ { n } \phi ( x ) ) \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } & { \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 0 } ^ { n - 1 } f ( \pi _ { 1 } ( \sigma ^ { k _ { 1 } } x ) + \pi _ { 2 } ( \sigma ^ { k _ { 2 } } x ) ) } \\ & { = \int f \mathrm { d } ( \mu _ { \mathrm { m i n } } \circ \pi _ { 1 } ^ { - 1 } \otimes \mu _ { \mathrm { m i n } } \circ \pi _ { 2 } ^ { - 1 } ) , } \end{array}