harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname* { P r } ( a ) } & { = { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } } \left| { \frac { 1 - { e ^ { 2 \pi i 2 ^ { n } \delta } } } { 1 - { e ^ { 2 \pi i \delta } } } } \right| ^ { 2 } } & & { { \mathrm { f o r ~ } } \delta \neq 0 } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } } \left| { \frac { 2 \sin \left( \pi 2 ^ { n } \delta \right) } { 2 \sin ( \pi \delta ) } } \right| ^ { 2 } } & & { \left| 1 - e ^ { 2 i x } \right| ^ { 2 } = 4 \left| \sin ( x ) \right| ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } } { \frac { \left| \sin \left( \pi 2 ^ { n } \delta \right) \right| ^ { 2 } } { | \sin ( \pi \delta ) | ^ { 2 } } } } \\ & { \geqslant { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } } { \frac { \left| \sin \left( \pi 2 ^ { n } \delta \right) \right| ^ { 2 } } { | \pi \delta | ^ { 2 } } } } & & { | \sin ( \pi \delta ) | \leqslant | \pi \delta | } \\ & { \geqslant { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } } { \frac { | 2 \cdot 2 ^ { n } \delta | ^ { 2 } } { | \pi \delta | ^ { 2 } } } } & & { | 2 \cdot 2 ^ { n } \delta | \leqslant | \sin ( \pi 2 ^ { n } \delta ) | { \mathrm { ~ f o r ~ } } | \delta | \leqslant { \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } } } } \\ & { \geqslant { \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { f \leftarrow g } ^ { ( 2 ) } } & { { } = - i \sum _ { i j \mu \nu } \epsilon _ { j } ^ { \nu } \epsilon _ { i } ^ { \mu } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \, \tilde { F } _ { j } ( \omega _ { f g } - \omega ) \tilde { F } _ { i } ( \omega ) \times } \end{array}
\frac { \partial \varrho _ { \mathrm { g c } } } { \partial t } + \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf J } _ { \mathrm { g c } } \; = \; \epsilon _ { \delta } \, e \int _ { P } \frac { d _ { 0 } \delta F } { d t } \; = \; 0 ,
\mathcal { L } ^ { \mathrm { D } } = - \sum _ { l , l ^ { \prime } } \overline { { { \nu _ { { l ^ { \prime } } R } } } } \, M _ { l ^ { \prime } l } ^ { \mathrm { D } } \, \nu _ { { l } L } + \mathrm { h . c . } \,
{ \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { ~ B P S : } \quad { \cal D } ( a _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( a _ { 3 } + a _ { 4 } ) ; 0 ; 0 , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) \; .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - C _ { n } ( \theta _ { i } ) ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 M } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \right| } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 M } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \right| } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] + \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] } { \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \right) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] } { \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + c \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { n } { \lambda _ { 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \left( c ( \operatorname { E } | X _ { i , t } | ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 + c \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } n ^ { \frac { 3 } { 2 } } n ^ { - 1 } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \left( c ( \operatorname { E } | X _ { i , t } | ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 + c \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n ^ { 3 } \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { - 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lambda _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) } \\ & { = c \operatorname* { m a x } _ { m = 1 , \dots , M } \frac { 1 } { p _ { m } } \left( ( \operatorname { E } | X _ { i , t } | ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + \lambda _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) + 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { 2 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = - \frac { i q ^ { 4 } a \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } } { 2 \pi n \hbar } \frac { 1 } { \nu \nu _ { 0 } \vartheta _ { 3 } } \int d k \frac { K _ { B } ^ { 4 } } { \kappa ^ { 7 } } , } \\ & { S _ { 4 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = - \frac { i q ^ { 4 } a \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } } { \pi n \hbar } \frac { 1 } { \nu \vartheta _ { 0 } \vartheta _ { 3 } } \int d k \frac { K _ { B } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \kappa ^ { 7 } } , } \\ & { S _ { 6 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = \frac { i q ^ { 4 } a \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } } { 2 \pi n \hbar } \frac { 1 } { \nu _ { 0 } \vartheta \vartheta _ { 3 } } \int d k \frac { K _ { B } ^ { 4 } } { \kappa ^ { 7 } } , } \\ & { S _ { 8 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = \frac { i q ^ { 4 } a \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } } { \pi n \hbar } \frac { 1 } { \vartheta _ { 0 } \vartheta \vartheta _ { 3 } } \int d k \frac { K _ { B } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \kappa ^ { 7 } } . } \end{array}
T _ { \mu \nu } ^ { S \rightarrow V V } = T _ { \mu \nu } ^ { S V V } ( k _ { 1 } , m ; k _ { 2 } , m ; k _ { 3 } , m ) + T _ { \nu \mu } ^ { S V V } ( l _ { 1 } , m ; l _ { 2 } , m ; l _ { 3 } , m ) .
J \bigr | _ { H } = \bigoplus _ { J ^ { \prime } , J ^ { \prime \prime } } m _ { J ^ { \prime } , J ^ { \prime \prime } } ^ { J } \, ( J ^ { \prime } , J ^ { \prime \prime } ) _ { ( N - k ) | J ^ { \prime } | - k | J ^ { \prime \prime } | } \; .
\Bar { \b { g } } _ { k } = \mathbf { S } _ { w } \mathbf { W } \widetilde { \b { g } } _ { k } , \quad \widetilde { \b { g } } _ { k } = ( \mathbf { g } _ { 1 , k } , \dots , \mathbf { g } _ { N _ { s } , k } ) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } ^ { \pm } } & { = e ^ { \mu ( \nu _ { 1 } ) } \left[ n _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } \pm \delta _ { n _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } } ^ { \pm } \right] / p _ { \mu ( \nu _ { 1 } ) } } \\ { m _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } ^ { \pm } } & { = e ^ { \mu ( \nu _ { 1 } ) } \left[ m _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } \pm \delta _ { m _ { \mathrm { X ( Z ) , } \mu ( \nu _ { 1 } ) } } ^ { \pm } \right] / p _ { \mu ( \nu _ { 1 } ) } } \end{array}
\dot { x } _ { c _ { j ^ { \prime } } } x _ { c _ { j ^ { \prime \prime } } } = \left( \Phi ^ { 0 , j ^ { \prime } } + \sum _ { \substack { c _ { 1 } \in \{ 1 , \dots , N \} } } \Phi _ { c _ { 1 } } ^ { 1 , j ^ { \prime } } x _ { c _ { 1 } } + \dots + \sum _ { \substack { c _ { j } \in \{ 1 , \dots , N \} , \, \forall j \in \{ 1 , \dots , m \} } } \Phi _ { c _ { 1 } \dots c _ { m } } ^ { m , j ^ { \prime } } x _ { c _ { 1 } } \dots x _ { c _ { m } } \right) x _ { c _ { j ^ { \prime \prime } } } .
\nabla _ { \mu } ^ { ( \pm ) } U ( x ) = \frac { 1 } { 2 a } \left\{ R _ { \mu } ( x ) U ( x + a _ { \mu } ) L _ { \mu } ^ { \dagger } ( x ) - R _ { \mu } ^ { \dagger } ( x - a _ { \mu } ) U ( x - a _ { \mu } ) L _ { \mu } ( x - a _ { \mu } ) \right\} .
\begin{array} { r l } { \dot { l } ^ { a } } & { { } = - \sum _ { a , a ^ { \prime } , c } W _ { a ^ { \prime } a } ^ { c } p \left( a ^ { \prime } , c \right) \mathrm { l n } \frac { p \left( a ^ { \prime } , c \right) } { p \left( a , c \right) } } \end{array}
\frac { 1 } { \tilde { p } } : = \frac { \epsilon } { \epsilon + 2 \epsilon _ { 1 } } \frac { 1 } { p _ { 0 } } + \frac { 2 \epsilon _ { 1 } } { \epsilon + 2 \epsilon _ { 1 } } \frac { 1 } { 2 } , \qquad \frac { 1 } { \tilde { q } } : = \frac { \epsilon } { \epsilon + 2 \epsilon _ { 1 } } \frac { 1 } { q _ { 0 } } + \frac { 2 \epsilon _ { 1 } } { \epsilon + 2 \epsilon _ { 1 } } \frac { 1 } { 2 } ,
\bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \omega , { \bf q } ) = i \omega + \nu _ { \kappa } { \bf q } ^ { \, 2 } \, , \qquad \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \omega , { \bf q } ) = - 2 D _ { \kappa } \, ,
\chi ( s ) = 2 \psi _ { 1 } ( s ) \int _ { - \infty } ^ { s } d x \; \psi _ { 0 } ( x ) f ( x ) - 2 \psi _ { 0 } ( s ) \int _ { 0 } ^ { s } d x \; \psi _ { 1 } ( x ) f ( x ) .
L _ { e f f } = \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( t ) \Phi ^ { 2 } + \frac { \lambda ( t ) } { 4 ! } \varphi ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \xi ( t ) R \varphi ^ { 2 } + \Lambda _ { 0 } ( t ) + \kappa ( t ) R + \widetilde { a } _ { 1 } ( t ) R ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { | \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r , \theta , \varphi _ { * } ) \leq } & { \: | \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( r _ { I } , \theta , \varphi _ { * } ) + 2 \int _ { R } ^ { r } | \widehat { \psi } | | X \widehat { \psi } | ( \tau , r , \theta , \varphi _ { * } ) \, d r ^ { \prime } } \\ { \leq } & { \: | \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r _ { I } , \theta , \varphi _ { * } ) + \int _ { R } ^ { \infty } r ^ { - 1 - \delta } | \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r , \theta , \varphi _ { * } ) \, d r ^ { \prime } + \int _ { R } ^ { \infty } r ^ { 1 + \delta } | X \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r , \theta , \varphi _ { * } ) \, d r ^ { \prime } } \\ { \leq } & { \: | \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r _ { I } , \theta , \varphi _ { * } ) + C \int _ { R } ^ { \infty } r ^ { 1 + \delta } | X \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r , \theta , \varphi _ { * } ) \, d r ^ { \prime } } \\ { \leq } & { \: | \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r _ { I } , \theta , \varphi _ { * } ) + C \int _ { R } ^ { \infty } r ^ { 1 + \delta } | X \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r , \theta , \varphi _ { * } ) \, d r ^ { \prime } } \\ { \leq } & { \: | \widehat { \psi } | ^ { 2 } ( \tau , r _ { I } , \theta , \varphi _ { * } ) + C \int _ { R } ^ { \infty } ( r ^ { 1 + \delta } | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } + r ^ { - 1 + \delta } | K \phi | ^ { 2 } + r ^ { - 1 + \delta } | \Phi \phi | ^ { 2 } ) ( \tau , r , \theta , \varphi _ { * } ) \, d r ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 , a , b } = } & { { } p _ { 0 } ^ { 4 } + 4 p _ { 0 } ^ { 3 } ( 1 - p _ { 0 } ) + 3 p _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - p _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \frac { a } { 2 } ( 1 - p _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 2 + p _ { 0 } ) - \frac { b } { 2 } p _ { 0 } ^ { 2 } ( [ 3 - p _ { 0 } ) . } \end{array}
\sqrt { - \frac { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } + 2 H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } + H _ { k } ^ { 2 } - H _ { x } ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } \approx 1
Q _ { M } ( x , y ) = ( \alpha x + \beta y ) ( \alpha ^ { \prime } x + \beta ^ { \prime } y ) / q , \mathrm { ~ ~ w h e r e ~ ~ } q = \operatorname * { g c d } ( \alpha \alpha ^ { \prime } , \alpha \beta ^ { \prime } + \beta \alpha ^ { \prime } , \beta \beta ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = \sum _ { i } ^ { N } \sum _ { \ell = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { d } G _ { \ell } ^ { \alpha \beta } \hat { \sigma } _ { i \alpha } ^ { e g } \hat { \sigma } _ { i + \ell , \beta } ^ { g e } } \end{array}
\tilde { H } _ { j - A } = - \, g \int d { \bf r } \, { \psi ^ { \dagger } } ( { \bf r } ) \alpha _ { i } { \textstyle \frac { \lambda ^ { h } } { 2 } } \psi ( { \bf r } ) \, A _ { { \sf G I } \, i } ^ { h } ( { \bf r } ) \, ;
\frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p e } ^ { 2 } ( Q _ { f l u i d } - 1 ) \left( \frac { \cos ^ { 2 } \theta _ { + } } { D _ { + } } + \frac { \cos ^ { 2 } \theta _ { - } } { D _ { - } } \right) = 1 ,
\begin{array} { r l } { - \delta \ln \mathcal { I } } & { = \sum _ { n } \ln \frac { \ell _ { n } } { \ell _ { n } + i M } - \sum _ { n } \ln \frac { \ell _ { n } } { \ell _ { n } - i M } = 2 i \operatorname { I m } \mathcal { I } } \\ & { = \sum _ { n } \ln \frac { \ell _ { n } - i M } { \ell _ { n } + i M } \approx - i \pi \left( \sum _ { \ell _ { n } > 0 } 1 - \sum _ { \ell _ { n } < 0 } 1 \right) \, , } \end{array}
\left[ ( h r ^ { 2 } { \frac { d } { d r } } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } r ^ { 4 } ( 1 + { \frac { r _ { K } } { r } } ) ( 1 + { \frac { R } { r } } ) ^ { 3 } - 2 h R ^ { 2 } ( 1 + { \frac { R } { r } } ) ^ { - 2 } \right] \nu = 0 \ .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } _ { n } - \tilde { \mu } ^ { \star } } & { = \Sigma G ^ { T } \left[ ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } - ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } \right] ( G \mu - b ) } \\ & { = \Sigma G ^ { T } \left[ ( G \Sigma G ) ^ { - 1 } ( - \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I ) ( - \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I - G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } \right] ( G \mu - b ) } \\ & { = \sigma _ { G , n } ^ { 2 } \Sigma G ^ { T } \left[ ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } \right] ( G \mu - b ) } \\ & { = \sigma _ { G , n } ^ { 2 } \Sigma G ^ { T } \left[ ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ( G \Sigma G ^ { T } ) \right] ^ { - 1 } ( G \mu - b ) } \\ & { = \sigma _ { G , n } ^ { 2 } \Sigma G ^ { T } \left[ \sigma _ { G , n } ^ { 2 } G \Sigma G ^ { T } + ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { 2 } \right] ^ { - 1 } ( G \mu - b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { H } ^ { 2 } ( N ) } & { = - \frac { ( H - 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 1 - H } F _ { H } ^ { 2 } ( N ) = - \frac { ( H - 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 1 - H } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( N - k + 1 ) \left\lvert 2 \rho _ { k } ( H ) \right\rvert } \\ & { = - \frac { ( H - 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 1 - H } \Biggl ( \sum _ { k = 2 } ^ { N } ( N - k + 1 ) \left\lvert ( k + 1 ) ^ { 2 H } + ( k - 1 ) ^ { 2 H } - 2 k ^ { 2 H } \right\rvert } \\ & { \quad + N \left\lvert 2 ^ { 2 H } - 2 \right\rvert \Biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { S } ^ { d } } | \tilde { f } _ { X } ( x ) - \mathrm { E } ( \tilde { f } _ { X } ( x ) ) | } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { S } ^ { d } } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \left| \sum _ { q = 1 } ^ { N ( d , l ) } B _ { q } ^ { l } ( x ) \sum _ { r = 1 } ^ { N ( d , l ) } ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) _ { q r } ^ { - 1 } \left( n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \overline { { B _ { r } ^ { l } ( Z _ { i } ) } } - \phi _ { r } ^ { l } ( f _ { Z } ) \right) \right| } \\ { = } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { S } ^ { d } } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \left| B ^ { l } ( x ) ^ { \mathstrut \scriptscriptstyle { \top } } ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \left( n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \overline { { B ^ { l } ( Z _ { i } ) } } - \phi ^ { l } ( f _ { Z } ) \right) \right| } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { S } ^ { d } } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \| B ^ { l } ( x ) \| \cdot \left\| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \left( n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \overline { { B ^ { l } ( Z _ { i } ) } } - \phi ^ { l } ( f _ { Z } ) \right) \right\| } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { S } ^ { d } } \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \| B ^ { l } ( x ) \| \cdot \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { o p } } \left\| n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \overline { { B ^ { l } ( Z _ { i } ) } } - \phi ^ { l } ( f _ { Z } ) \right\| } \\ { = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \sqrt { \frac { N ( d , l ) } { \nu ( \mathbb { S } ^ { d } ) } } \cdot \| ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { { o p } } } \left\| n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \overline { { B ^ { l } ( Z _ { i } ) } } - \phi ^ { l } ( f _ { Z } ) \right\| , } \end{array}
\operatorname { k } _ { \sigma } ( A _ { i } , M _ { j } ) = \int \textrm { d } \hat { R } \textbf { D } ^ { \lambda } ( \hat { R } ) \left| \int n _ { i } ( \textbf { r } ) n _ { j } ( \hat { R } \textbf { r } ) \textrm { d } \textbf { r } \right| ^ { 2 } ,
M ( r _ { D } , \theta _ { D } , t ) \propto \Pi _ { [ \Omega t , \Omega t + \alpha ] } ( \theta _ { d } ) \cdot \Pi _ { [ 0 , R ] } ( r ) = \Pi _ { \left[ \frac { \theta _ { d } } { \Omega } , \frac { \theta _ { d } + \alpha } { \Omega } \right] } ( t ) \cdot \Pi _ { [ 0 , R ] } ( r )
\begin{array} { r l } { \tau _ { y } \mu _ { n , \beta } ( \omega ) } & { = \frac { 1 } { | V _ { n } | } \sum _ { x \in V _ { n } } \tau _ { x + y } \nu _ { \beta } ( \tau _ { - x } \omega ) } \\ & { = \frac { 1 } { | V _ { n } | } \sum _ { x \in V _ { n } } \tau _ { x + y } \nu _ { \beta } ( \tau _ { - x - y } \tau _ { y } \omega ) = \frac { 1 } { | V _ { n } | } \sum _ { z \in V _ { n } + y } \tau _ { z } \nu _ { \beta } ( \tau _ { - z } \tau _ { y } \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { F = \int _ { \Omega } \Bigg [ \underbrace { \gamma _ { \mathrm { l g } } { \sqrt { 1 + | \nabla ( h + \zeta ) | ^ { 2 } } } } _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ q ~ u ~ i ~ d ~ - ~ g ~ a ~ s ~ \, ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ f ~ a ~ c ~ e ~ \, ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } + \underbrace { \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta ) \sqrt { 1 + | \nabla \zeta | ^ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ q ~ u ~ i ~ d ~ - ~ b ~ r ~ u ~ s ~ h ~ \, ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ f ~ a ~ c ~ e ~ \, ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } + \underbrace { f _ { \mathrm { w e t } } ( h , \zeta ) \sqrt { 1 + | \nabla \zeta | ^ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ w ~ e ~ t ~ t ~ i ~ n ~ g ~ p ~ o ~ t ~ e ~ n ~ t ~ i ~ a ~ l ~ } } } \\ { + \underbrace { f _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta ) } _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ u ~ s ~ h ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } + \underbrace { ( h + \zeta ) f _ { \mathrm { l i q } } ( \rho _ { \mathrm { l i q } } ) } _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ q ~ u ~ i ~ d ~ b ~ u ~ l ~ k ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } + \underbrace { ( d - h - \zeta ) f _ { \mathrm { v a p } } ( \rho _ { \mathrm { v a p } } ) } _ { \mathrm { ~ v ~ a ~ p ~ o ~ u ~ r ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } + \underbrace { ( d - h - \zeta ) f _ { \mathrm { a i r } } ( \rho _ { \mathrm { a i r } } ) } _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } \Bigg ] \mathrm { d } ^ { 2 } x , } \end{array}
v ~ = ~ { \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } ; ~ ~ ~ A ~ = ~ { \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 } } \left( { \frac { r _ { 1 } r _ { 5 } r _ { n } } { r _ { 0 } } } \right) ^ { 2 } ; ~ ~ B ~ = ~ { \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 } } \left( { \frac { r _ { 1 } r _ { 5 } } { r _ { 0 } } } \right) ^ { 2 } .
B \, = \, m + \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \frac { \lambda + 1 } { \lambda } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \frac { k B } { A ^ { 2 } k ^ { 2 } + B ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { ( p ^ { 2 } + k ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 p ^ { 2 } k ^ { 2 } } }
0 = ( { \cal M } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac 1 { 4 k _ { q } } \tilde { \gamma } \tilde { g } ^ { 2 } ( q _ { 0 } ^ { 2 } + \bar { q } _ { 0 } ^ { 2 } ) { \cal M } ^ { 2 } + \frac 1 { 4 k _ { T } k _ { q } } ( \tilde { \gamma } \tilde { g } ^ { 2 } - \frac 1 { k _ { T } } ) q _ { 0 } ^ { 2 } \bar { q } _ { 0 }
\mathrm { Q F T } _ { n } ^ { \dagger } \sum _ { \omega \vdash n } \sum _ { 1 \leq i , j \leq d _ { \omega } } ( c ( \omega ) ) _ { i j } | \omega , i , j \rangle = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \sum _ { \lambda \vdash n } \sqrt { \frac { d _ { \lambda } } { n ! } } { \mathrm { T r } { \left( c ( \lambda ) \rho _ { \lambda } ( \sigma ) ^ { \dagger } \right) } } | \sigma \rangle .
{ \begin{array} { r c l } { \operatorname { S i } ( x ) } & { \approx } & { x \cdot \left( { \frac { \begin{array} { l } { 1 - 4 . 5 4 3 9 3 4 0 9 8 1 6 3 2 9 9 9 1 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \cdot x ^ { 2 } + 1 . 1 5 4 5 7 2 2 5 7 5 1 0 1 6 6 8 2 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \cdot x ^ { 4 } - 1 . 4 1 0 1 8 5 3 6 8 2 1 3 3 0 2 5 4 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \cdot x ^ { 6 } \ ~ ~ + 9 . 4 3 2 8 0 8 0 9 4 3 8 7 1 3 0 2 5 \cdot 1 0 ^ { - 8 } \cdot x ^ { 8 } - 3 . 5 3 2 0 1 9 7 8 9 9 7 1 6 8 3 5 7 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } \cdot x ^ { 1 0 } + 7 . 0 8 2 4 0 2 8 2 2 7 4 8 7 5 9 1 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 3 } \cdot x ^ { 1 2 } \ ~ ~ - 6 . 0 5 3 3 8 2 1 2 0 1 0 4 2 2 4 7 7 \cdot 1 0 ^ { - 1 6 } \cdot x ^ { 1 4 } } \end{array} } { \begin{array} { l } { 1 + 1 . 0 1 1 6 2 1 4 5 7 3 9 2 2 5 5 6 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \cdot x ^ { 2 } + 4 . 9 9 1 7 5 1 1 6 1 6 9 7 5 5 1 0 6 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \cdot x ^ { 4 } + 1 . 5 5 6 5 4 9 8 6 3 0 8 7 4 5 6 1 4 \cdot 1 0 ^ { - 7 } \cdot x ^ { 6 } \ ~ ~ + 3 . 2 8 0 6 7 5 7 1 0 5 5 7 8 9 7 3 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } \cdot x ^ { 8 } + 4 . 5 0 4 9 0 9 7 5 7 5 3 8 6 5 8 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 3 } \cdot x ^ { 1 0 } + 3 . 2 1 1 0 7 0 5 1 1 9 3 7 1 2 1 6 8 \cdot 1 0 ^ { - 1 6 } \cdot x ^ { 1 2 } } \end{array} } } \right) } \\ & { ~ } & \\ { \operatorname { C i } ( x ) } & { \approx } & { \gamma + \ln ( x ) + } \\ & & { x ^ { 2 } \cdot \left( { \frac { \begin{array} { l } { - 0 . 2 5 + 7 . 5 1 8 5 1 5 2 4 4 3 8 8 9 8 2 9 1 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \cdot x ^ { 2 } - 1 . 2 7 5 2 8 3 4 2 2 4 0 2 6 7 6 8 6 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \cdot x ^ { 4 } + 1 . 0 5 2 9 7 3 6 3 8 4 6 2 3 9 1 8 4 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \cdot x ^ { 6 } \ ~ ~ - 4 . 6 8 8 8 9 5 0 8 1 4 4 8 4 8 0 1 9 \cdot 1 0 ^ { - 9 } \cdot x ^ { 8 } + 1 . 0 6 4 8 0 8 0 2 8 9 1 1 8 9 2 4 3 \cdot 1 0 ^ { - 1 1 } \cdot x ^ { 1 0 } - 9 . 9 3 7 2 8 4 8 8 8 5 7 5 8 5 4 0 7 \cdot 1 0 ^ { - 1 5 } \cdot x ^ { 1 2 } } \end{array} } { \begin{array} { l } { 1 + 1 . 1 5 9 2 6 0 5 6 8 9 1 1 0 7 3 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \cdot x ^ { 2 } + 6 . 7 2 1 2 6 8 0 0 8 1 4 2 5 4 4 3 2 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \cdot x ^ { 4 } + 2 . 5 5 5 3 3 2 7 7 0 8 6 1 2 9 6 3 6 \cdot 1 0 ^ { - 7 } \cdot x ^ { 6 } \ ~ ~ + 6 . 9 7 0 7 1 2 9 5 7 6 0 9 5 8 9 4 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 0 } \cdot x ^ { 8 } + 1 . 3 8 5 3 6 3 5 2 7 7 2 7 7 8 6 1 9 \cdot 1 0 ^ { - 1 2 } \cdot x ^ { 1 0 } + 1 . 8 9 1 0 6 0 5 4 7 1 3 0 5 9 7 5 9 \cdot 1 0 ^ { - 1 5 } \cdot x ^ { 1 2 } \ ~ ~ + 1 . 3 9 7 5 9 6 1 6 7 3 1 3 7 6 8 5 5 \cdot 1 0 ^ { - 1 8 } \cdot x ^ { 1 4 } } \end{array} } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { y _ { t + 1 } ^ { 1 } = \frac { x _ { 0 } ^ { 1 } + y ^ { 2 } \rho _ { t + 1 } } { 1 + \rho _ { t + 1 } } + \frac { \epsilon _ { t } ^ { 1 } } { 1 + \rho _ { t + 1 } } , } \\ & { y _ { t + 1 } ^ { 2 } = \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } + y ^ { 1 } \rho _ { t + 1 } } { 1 + \rho _ { t + 1 } } + \frac { \epsilon _ { t } ^ { 2 } } { 1 + \rho _ { t + 1 } } . } \end{array}
S _ { q _ { 1 } } : = \sum _ { 1 \leq r \ll \frac { M _ { 0 } - p ^ { 2 } n } { Q _ { 1 } } } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \Big | \sum _ { q _ { 1 } \in \Phi _ { 1 } } \overline { { \chi } } ( q _ { 1 } ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) \frac { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r , x ) } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) ^ { 1 / 4 } } \Big | ^ { 2 } .