harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( \bigg ( \frac { \partial } { \partial { t } } } & { + \omega _ { \nu } \bigg ) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) + \omega _ { C } ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) \bigg ] \hat { u } _ { z } } \\ & { = \bigg [ \omega _ { C } \omega _ { A } ^ { 2 } \frac { k _ { x } k } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \omega _ { A } ^ { 2 } \frac { k _ { y } k _ { z } } { k _ { z } ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) \bigg ( \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \nu } \right) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) \bigg ] \hat { u } _ { y } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { 1 + \rho = \tau _ { 2 } = \tau _ { 3 } = \cdots = \tau _ { n } \, , } } \\ { { 1 - \rho - \sum _ { s = 2 } ^ { n } \tau _ { s } = 0 \, , } } \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array} { l } { { \rho = ( 2 - n ) / n \, , } } \\ { { \tau _ { 2 } = \tau _ { 3 } = \cdots = \tau _ { n } = 2 / n \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I } & { = \int _ { \mathbb { R } } ( 1 + v ^ { 2 } ) M [ f ] \, d v + \int _ { \mathbb { R } } ( 1 + v ^ { 2 } ) M [ g ] \, d v } \\ & { = \left( \rho _ { f } + \rho _ { f } u _ { f } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } \rho _ { f } ^ { 3 } \right) + \left( \rho _ { g } + \rho _ { g } u _ { g } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } \rho _ { g } ^ { 3 } \right) } \\ & { = \rho _ { f } + \rho _ { g } + \left( \rho _ { f } + \rho _ { g } \right) | u _ { f } | ^ { 2 } + \rho _ { g } \left( u _ { g } ^ { 2 } - u _ { f } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 1 2 } ( \rho _ { f } ^ { 3 } + \rho _ { g } ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathcal { A } [ ( - 2 ^ { - 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } x ^ { - 1 / 2 } , k ) \xrightarrow { \infty } ( y _ { 2 } , 1 ) ] - \mathcal { A } [ ( - 2 ^ { - 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } x ^ { - 1 / 2 } , k ) } & { \xrightarrow { \infty } ( y _ { 1 } , 1 ) ] } \\ & { = \mathfrak { h } ( x , y _ { 2 } ) - \mathfrak { h } ( x , y _ { 1 } ) . } \end{array}
+ { \bigg ( } 8 + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + { \frac { 1 } { 6 4 } } { \bigg ) } \; \; \; h e q a t + { \bigg ( } 1 + { \frac { 2 } { 3 } } { \bigg ) } \; \; \; r o
{ \cal I } _ { n } = \frac { 1 } { ( 2 \pi i ) ^ { n } } \int \frac { d ^ { 4 } k _ { 1 } \cdots d ^ { 4 } k _ { n } } { ( k _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) ( k _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) \cdots ( k _ { n } ^ { 2 } - m _ { n } ^ { 2 } ) ( ( p - k _ { 1 } - k _ { 2 } - \cdots - k _ { n } ) ^ { 2 } - m _ { n + 1 } ^ { 2 } ) } \ \ .
\begin{array} { r } { \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } } W ( \tilde { u } ) \geq \frac { \tau ^ { 2 } } { 4 } \left( \frac { \tau } { 2 \tilde { C } _ { 2 } } \right) ^ { \frac { ( n + 1 ) [ ( n + 1 ) + \delta _ { 0 } ] } { 2 \delta _ { 0 } } } = C \tau ^ { \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } + ( n + 1 ) \delta _ { 0 } + 4 \delta _ { 0 } } { 2 \delta _ { 0 } } } . } \end{array}
\mathbf { m } _ { i } ^ { ( a ) } = [ m _ { i x } ^ { ( a ) } , m _ { i y } ^ { ( a ) } , m _ { i z } ^ { ( a ) } ] = [ \sin \theta _ { i } ^ { ( a ) } \cos \varphi _ { i } ^ { ( a ) } , \sin \theta _ { i } ^ { ( a ) } \sin \varphi _ { i } ^ { ( a ) } , \cos \theta _ { i } ^ { ( a ) } ]
\begin{array} { r l } { \Delta V _ { k } } & { = \frac { 1 } { \lambda } ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) ^ { \top } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) + \frac { \kappa } { \lambda [ 1 + ( \eta - \kappa ) \phi _ { k } ^ { \top } F _ { k - 1 } \phi _ { k } ] } \| ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) ^ { \top } \phi _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } { \lambda } ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) + \frac { \kappa ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } { \lambda [ 1 + ( \eta - \kappa ) \phi _ { k } ^ { \top } F _ { k - 1 } \phi _ { k } ] } \| ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } \phi _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { 2 } { \mathcal { N } _ { k } } \| ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) ^ { \top } \phi _ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } { \mathcal { N } _ { k } } \| ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } \phi _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + A _ { k } \left[ \| ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } \phi _ { k } \| ^ { 2 } + \| ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) \phi _ { k } \| ^ { 2 } \right. + \left. 2 ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } \phi _ { k } \phi _ { k } ^ { \top } ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) \right] } \\ & { \quad - ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) ^ { \top } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) - ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \hat { \mathbf { T } } _ { n n ^ { \prime } } ^ { \ell \ell ^ { \prime } } } { \partial p _ { i } } = } & { } & { - \left( 1 - \delta _ { n n ^ { \prime } } \right) e ^ { j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) \phi _ { n n ^ { \prime } } } \left[ j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) s _ { n \ell } \right. } \\ & { } & { \times \frac { J _ { \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } r _ { n ^ { \prime } } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \frac { \partial \phi _ { n n ^ { \prime } } } { \partial p _ { i } } + k _ { o } H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) s _ { n \ell } \frac { J _ { \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } r _ { n ^ { \prime } } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } } \\ & { } & { \times \frac { \partial R _ { n n ^ { \prime } } } { \partial p _ { i } } + H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) \frac { J _ { \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } r _ { n ^ { \prime } } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \frac { \partial s _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } } \\ & { } & { + k _ { o } H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) s _ { n \ell } \frac { J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n ^ { \prime } } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \frac { \partial r _ { n ^ { \prime } } } { \partial p _ { i } } } \\ & { } & { - k _ { o } H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) s _ { n \ell } \frac { J _ { \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } r _ { n ^ { \prime } } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) ^ { 2 } } J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( x ) = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( \lambda = + 1 ) \right. } \\ & { \left. \; \; \; \; + \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( \lambda = - 1 ) \right] \, , } \\ { \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( y ) = } & { \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left[ \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( \lambda = - 1 ) \right. } \\ & { \left. \; \; \; \; - \mathcal { M } _ { M _ { e } M _ { g } } ^ { ( \mathrm { H G } _ { 0 0 , 1 0 , 0 1 } ) } ( \lambda = + 1 ) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P \left( t \right) } { \partial t } } & { { } + \left[ - E _ { \Vert } \left( t \right) \xi - \frac { 1 + p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right] \frac { \partial P \left( t \right) } { \partial p } - \left( \frac { 1 - \xi ^ { 2 } } { p } \right) E _ { \Vert } \left( t \right) \frac { \partial P \left( t \right) } { \partial \xi } } \end{array}
\alpha ( \mathbf x , t ) = \frac { H _ { \mathrm { w e t } } ( \mathbf x , t ) } { H _ { \mathrm { d r y } } } = \frac { H _ { \mathrm { d r y } } + \zeta ( \mathbf x , t ) } { H _ { \mathrm { d r y } } }
\mathrm { ~ N ~ o ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ p ~ e ~ n ~ e ~ t ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ a ~ t ~ t ~ h ~ e ~ w ~ a ~ l ~ l ~ s ~ : ~ } v = 0 ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ y = \pm \frac { 1 } { 2 } ,
\begin{array} { r } { C _ { 1 } = \frac { C ( k ^ { 2 } - s _ { 1 } ^ { 2 } ) } { \omega s _ { 1 } - k \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } ( s _ { 1 } ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) \right) } , \quad C _ { 2 } = - C _ { 1 } ^ { * } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad C \in \mathbb { R } , } \end{array}
{ \frac { i } { 8 \pi \alpha } } \int _ { \Gamma } { \frac { \cot \left( { w / 2 \alpha } \right) } { \sin ^ { 2 } w / 2 } } d w = \frac 1 6 \left( { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } } - 1 \right)
\begin{array} { r l } { 0 = } & { a ^ { l } ( K - 1 ) e _ { l } } \\ { + } & { \sum _ { j = 1 } ^ { l - 1 } \binom { l } { j } a ^ { j } ( K - 1 ) e _ { j } \cdot \mathbb { E } \left[ u ^ { l - j } ( K - 1 ) \right] } \\ { + } & { \sum _ { j = 1 } ^ { l - 1 } \binom { l } { j } a ^ { j } ( K - 1 ) \left( \mathbb { E } \left[ x ^ { j } ( k _ { 0 } ) \right] + \omega _ { K - 1 } e _ { j } \right) } \\ { \cdot } & { \frac { \partial \mathbb { E } \left[ u ^ { l - j } ( K - 1 ) \right] } { \partial \omega _ { K - 1 } } + \frac { \partial \mathbb { E } \left[ u ^ { l } ( K - 1 ) \right] } { \partial \omega _ { K - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { v } _ { z , L C } = \frac { \intop _ { L C } \, f _ { M B } \left( \mathbf { v } \right) \, v _ { z } \, d ^ { 3 } v } { \intop _ { L C } f _ { M B } \, \left( \mathbf { v } \right) \, d ^ { 3 } v } . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { o u t } ( s ) = \frac { 2 \Im } { \omega _ { m } ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } \sqrt { \zeta _ { m } \omega _ { m } k _ { B } T } \left( \frac { N _ { A } } { M _ { m } } \right) e ^ { - \zeta \omega _ { m } t } \sin { \sqrt { \omega _ { m } ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { { } = \mathcal { M } ^ { - 1 } ( P _ { i j } ) = \left( 2 ^ { n } + 1 \right) P _ { i j } , } \\ { C } & { { } = \mathcal { M } ^ { - 1 } ( P _ { j i } ) = \left( 2 ^ { n } + 1 \right) P _ { j i } . } \end{array}
A _ { 2 } ^ { \mathrm { G C H P T } } ( s , t , u ) = \frac { s - \frac { 4 } { 3 } M _ { \pi } ^ { 2 } } { F _ { \pi } ^ { 2 } } + \alpha \frac { M _ { \pi } ^ { 2 } } { 3 F _ { \pi } ^ { 2 } }
- 1 - { \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } \leq q ^ { 2 } \leq 0 \quad \mathrm { a n d } \quad { \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } \leq q ^ { 2 } \leq + \infty \; ,
( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ( z _ { 1 } - z _ { 3 } ) ( z _ { 2 } - z _ { 3 } ) ( w _ { 1 } - w _ { 2 } ) ( w _ { 1 } - w _ { 3 } ) ( w _ { 2 } - w _ { 3 } )
1 = \sum _ { n , n _ { 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { \underline { { { m } } } _ { i } } \, ^ { \prime } \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } \sum _ { \underline { { { l } } } _ { j } } \, ^ { \prime } \left| \psi ^ { ( n , n _ { 1 } ) } \right| ^ { 2 } \, .
\sigma _ { \delta _ { n } | \epsilon _ { n } } ^ { 2 } \approx \big ( \left. \frac { \partial \bar { x } _ { n } } { \partial \delta _ { n } } \right| _ { \bar { \delta _ { n } } = 0 } \big ) ^ { - 2 } \sigma _ { x _ { n } | \epsilon _ { n } } ^ { 2 }
( N _ { A } , N _ { B } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 6 } h , } & { B = A \pm 1 } \\ { \frac { 2 } { 3 } h , } & { B = A } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
( \Phi , \Psi ) = N \int _ { \Lambda } \prod _ { x , i } d A _ { x , i } \psi ( A _ { x , i } ) { \prod _ { x } } ^ { \prime } \delta [ ( \nabla ^ { * } A ) _ { x } ] \operatorname * { d e t } M ^ { \prime } ( A ) \Phi ^ { * } ( A ) \Psi ( A ) ,
\operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l } } w _ { l } ( \mathbf { x } ) \leq \sqrt { \frac { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + \sqrt { \frac { 4 \sigma ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l } } \log ( 1 / \beta ) } { T _ { l } | U _ { l } | } } + \sqrt { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } B ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l } } } { T _ { l } } } .
p ( \mathbf { x } , t ) = \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { ( 1 - w _ { 0 } ) } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { q - 1 } z _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + \frac { \Delta t } { 2 } \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) \cdot \nabla \rho + \rho s _ { 0 } ( \mathbf { u } ) \right]
\Gamma ( q ^ { 2 } , T ) = - g ^ { 3 } \overline { { { u } } } _ { f } ( p ^ { \prime } ) \gamma _ { 5 } \tau _ { \alpha } u _ { i } ( p ) \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { k ^ { 2 } \, n _ { B } ( k _ { 0 } ) \delta ( k ^ { 2 } - \mu _ { \pi } ^ { 2 } ) } { [ ( p ^ { \prime } - k ) ^ { 2 } - M _ { N } ^ { 2 } ] [ ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { N } ^ { 2 } ] }
{ \cal N } = 1 - { \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } \, C _ { f } \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, { \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 - x } } \, .
{ \mathcal G } _ { 1 1 } ( n = 2 ) = - \frac 1 6 \left( \frac { 2 } { \alpha ( 1 \! - \! \alpha ^ { 2 } ) } + \frac { 1 } { \alpha \! - \! \gamma } - \frac { 2 } { 1 \! + \! \alpha \! - \! \gamma } + \frac { 1 } { 2 \! + \! \alpha \! - \! \gamma } \right) \nonumber
( S ^ { - 1 } ) _ { \mu \nu } ^ { a b } = { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } ( - D _ { \rho } ^ { a c } D _ { \rho } ^ { c b } \delta _ { \mu \nu } - 2 f _ { a c b } G _ { \mu \nu } ^ { c } ) \quad .
\begin{array} { r l } { T \left( \Delta \right) } & { { } = \sqrt { \frac { \pi } { 2 \beta } } \left( \thinspace C \left( \beta , \gamma \right) \thinspace \left[ \mathrm { e r f i } \left( \sqrt { \frac { \beta } { 2 } } \left( \Delta + \frac { \gamma } { \beta } \right) \right) - \mathrm { e r f i } \left( \sqrt { \frac { \beta } { 2 } } \left( q - 1 + \frac { \gamma } { \beta } \right) \right) \right] \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { \alpha \beta \mathbf { k } } ( t ) = \frac { 1 } { V } \langle \Phi _ { \alpha \mathbf { k } } ( t ) | \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { p } } \cdot ( \hat { \mathbf { p } } + \hbar \mathbf { k } ) | \Phi _ { \beta \mathbf { k } } ( t ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { W = \left\{ ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \in \left( \mathbb { C } \setminus \bigcup _ { \alpha \in Y ^ { * } } \sigma ( \mathcal { C } ^ { \alpha } ) \right) ^ { 2 } : \begin{array} { l } { I _ { 1 1 } ( \omega _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 2 } ) ) - I _ { 1 1 } ( \omega _ { 2 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 1 } ) ) = 0 } \\ { \mathrm { ~ o ~ r ~ } } \\ { ( V _ { 1 } ^ { d e f } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) - V _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega ) ) + V _ { 1 } I _ { 2 2 } ( \omega ) = 0 } \end{array} \right\} } \end{array}
\frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial \tilde { u } _ { i } \tilde { u } _ { j } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \tilde { p } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ ( \nu + \nu _ { s g s } ) \left( \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial { x _ { j } } } + \frac { \partial \tilde { u } _ { j } } { \partial { x _ { i } } } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial \tilde { u } _ { k } } { \partial { x _ { k } } } \right) \right] + F \delta _ { i 1 } ,
\begin{array} { r l } { d \| D ^ { \alpha } v \| ^ { 2 } = } & { - 2 \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } - \nu \partial _ { z z } v ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } ( u ^ { 2 } \partial _ { x } v ^ { 2 } + w ^ { 2 } \partial _ { z } v ^ { 2 } - \nu \partial _ { z z } v ^ { 2 } ) , D ^ { \alpha } v \Big \rangle d t } \\ & { + \Big \| \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 2 } ) \Big \| _ { L _ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } d t } \\ & { + 2 \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 2 } ) , D ^ { \alpha } v \Big \rangle d W } \\ { = } & { I _ { 1 } d t + I _ { 2 } d t + I _ { 3 } d W . } \end{array}
\nabla \cdot \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } = \left( \frac { \partial } { \partial R } p _ { s } + \frac { 2 \alpha _ { s } C \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } } { R } , 0 , \frac { \partial } { \partial z } p _ { s } \right) .
E = \int _ { S } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \overline { { P } } } & { { } \approx 2 \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } \Big ( \frac { \pi n I _ { 0 } } { 4 l } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big \{ r _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \Big ( \frac { r _ { 1 } \omega _ { 0 } } { c _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } + \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } \Big ( 1 - \Big ( \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \Big ) ^ { 4 } \Big ) \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } } & { { } = } & { - \hbar k \frac { 8 } { 3 } \frac { \delta _ { 1 } s _ { 1 } s _ { 2 } } { Q } \cos ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) \left[ \sin ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) \sin ( 2 k z ) + 5 \right] \left[ 2 \sin ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) + \sin ( 2 k z ) \right] \, , } \\ { f _ { 2 } } & { { } = } & { - \hbar k \frac { 4 } { 3 } \frac { \delta _ { 2 } s _ { 1 } s _ { 2 } } { Q } \cos ^ { 2 } ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) \cos ( k z ) \left[ 2 \sin ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) + \sin ( 2 k z ) \right] \, , } \\ { Q } & { { } = } & { s _ { 1 } 9 \cos ^ { 2 } ( 2 k z + 2 \Delta \phi ) + s _ { 2 } \left[ 2 0 - \cos ( 4 k z ) - \cos ( 4 k z + 4 \Delta \phi ) + 1 4 \sin ( 2 k z ) \sin ( 2 k z + \Delta \phi ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textstyle \left( \prod _ { s = 1 } ^ { \lambda } \frac { [ k + 1 - i - s ] _ { q } } { [ j + 1 - i - \lambda - s ] _ { q , u } } \right) \left( \prod _ { s = 1 } ^ { \lambda - \mu } \frac { [ k + \mu - j + s ] _ { q } } { [ j - i - 2 \lambda + s ] _ { q , u } } \right) \left( \prod _ { s = 1 - \lambda } ^ { \operatorname* { m i n } ( i , k - j ) } \frac { [ j - i - \lambda + s ] _ { q , u } } { [ k + 1 - \lambda - s ] _ { q , u } } \right) \left( \prod _ { s = 1 } ^ { j - \lambda } \frac { [ s - k - 1 ] _ { q , u } } { [ s - i - \lambda - 1 ] _ { q , u } } \right) } \end{array}
j _ { f } ^ { + } = - i V _ { l a b } \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \mathrm { T r } \gamma ^ { + } [ { \bf G } _ { 0 1 } ^ { f } ( p ) - { \bf G } _ { 1 0 } ^ { f } ( p ) ] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( | \widecheck { \Delta } _ { j , k } ^ { M } | > y 2 ^ { - j H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) } \right) } & { \leq \exp \left( - c _ { d } \left( y c ^ { - 1 } M ^ { \frac { 1 - H \left( \frac { k + 1 } { 2 ^ { j } } \right) } { d } } \right) ^ { \frac { 2 } { d } } \right) } \\ & { \leq \exp \left( - c _ { d } \left( y c ^ { - 1 } M ^ { \frac { 1 - \operatorname* { s u p } K } { d } } \right) ^ { \frac { 2 } { d } } \right) } \end{array}
{ \cal M } = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 } { \lambda } + { \cal G } _ { 0 } ( 0 , 0 ) } } & { { { \cal G } _ { 0 } ( 0 , \ell ) } } \\ { { } } & { { } } \\ { { { \cal G } _ { 0 } ( \ell , 0 ) } } & { { \frac { 1 } { \lambda } + { \cal G } _ { 0 } ( \ell , \ell ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 1 } { 2 \sigma } } } & { { \frac { e ^ { - \sigma \ell } } { 2 \sigma } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \frac { e ^ { - \sigma \ell } } { 2 \sigma } } } & { { \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 1 } { 2 \sigma } } } \end{array} \right) .
\Omega _ { i } = \frac { l _ { i } } { ( l _ { i } ^ { 2 } + r _ { H } ^ { 2 } ) } \frac { r _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } { ( \pi N ) ^ { 1 / 2 } } \sp J _ { i } = \frac { 4 } { 3 } \frac { V _ { 5 } ( \pi N ) ^ { 1 / 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } r _ { 0 } ^ { 3 / 2 } l _ { i }
\delta L ^ { + 4 } = ( \epsilon _ { b } ^ { \beta } \theta ^ { + b } \partial _ { \beta } ^ { - } - \epsilon ^ { + b } \partial _ { b } ^ { - } ) L ^ { + 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \theta ^ { + b } \epsilon _ { b } ^ { \beta } ) \partial ^ { + \alpha } \mathrm { T r } ( A _ { \alpha } ^ { + } A _ { \beta } ^ { + } ) \ ,
\int \cot ^ { n } a x \, d x = - { \frac { 1 } { a ( n - 1 ) } } \cot ^ { n - 1 } a x - \int \cot ^ { n - 2 } a x \, d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 5 } ^ { 2 } ( r , \theta ) \rangle } & { { } = \frac { k _ { B } T } { \gamma } \frac { 1 } { \pi } \Big [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 K _ { 0 , \alpha } } \psi _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { a } ^ { b } \phi ( s ) { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) \; d s = } & { \displaystyle \int _ { a } ^ { b } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ) ) ( s ) \; d s - \left[ ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } ( \phi ) ( s ) \right] _ { s = a } ^ { s = b } } \\ { = } & { \displaystyle \int _ { a } ^ { b } y ( s ) { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ) ) ( s ) \; d s } \\ & { - \left[ ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } ( \phi ) ( s ) \right] _ { s = a } ^ { s = b } + \displaystyle \left[ I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } ( y ) ( s ) \beta ( s ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ) ( s ) \right] _ { s = a } ^ { s = b } . } \end{array}
\Gamma _ { A = 0 } = 2 V \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { 2 t } \left[ \mathrm { T r } _ { \mathrm { N S } } \left( \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { \cal F } } { 2 } \, q ^ { 2 L _ { 0 } - 1 } \right) - \mathrm { T r } _ { \mathrm { R } } \left( \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { \cal F } } { 2 } \, q ^ { 2 L _ { 0 } } \right) \right]
{ \cal B } ( B _ { d } ^ { 0 } \rightarrow D ^ { 0 } \bar { D } ^ { 0 } ) \geq \left[ \sqrt { \frac { { \cal B } ( B _ { d } ^ { 0 } \rightarrow D ^ { + } D ^ { - } ) } { { \cal B } ( B _ { u } ^ { + } \rightarrow D ^ { + } \bar { D } ^ { 0 } ) } } - 1 \right] ^ { 2 } { \cal B } ( B _ { u } ^ { + } \rightarrow D ^ { + } \bar { D } ^ { 0 } ) \; ,