harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ d ^ { \dagger } } ^ { ( i ) } ( \eta ^ { n } \cdot \tau ^ { n } { \cal { G } } ) \; \; = \; \; \eta ^ { n } \cdot \tau ^ { n } \, { d ^ { \dagger } } ^ { ( i ) } { \cal { G } } + { \textsf { P } } _ { N } ( n ) \; \eta ^ { n - 1 } \cdot \tau ^ { n - 1 } \, { d ^ { \dagger } } ^ { ( i ) } { \cal { G } }
{ \ensuremath { \mathbb P } } _ { p } ( \ensuremath { \mathcal E } ( D ) ) \le \exp \Big ( - \operatorname* { m i n } _ { u \in \ensuremath { \mathcal S } _ { \alpha } } h _ { p } ^ { u } \Big ( \operatorname* { m a x } \Big ( Z , C \operatorname* { m i n } _ { v \in \ensuremath { \mathcal S } _ { \alpha } } ( a _ { v } - a _ { - v } ) \Big ) \Big ) \Phi ( D ) / C \Big ) .
\begin{array} { r l } & { | f _ { j } ( x , v _ { j } ( x ) ) - f _ { j } ( y , v _ { j } ( y ) ) | } \\ { = } & { m _ { j } ^ { - p } | f ( \lambda _ { j } x + x _ { j } , m _ { j } v _ { j } ( x ) ) - f ( \lambda _ { j } y + x _ { j } , m _ { j } v _ { j } ( y ) ) | } \\ { \leq } & { m _ { j } ^ { - p } | f ( \lambda _ { j } x + x _ { j } , m _ { j } v _ { j } ( x ) ) - f ( \lambda _ { j } x + x _ { j } , m _ { j } v _ { j } ( y ) ) | } \\ & { + m _ { j } ^ { - p } | f ( \lambda _ { j } x + x _ { j } , m _ { j } v _ { j } ( y ) ) - f ( \lambda _ { j } y + x _ { j } , m _ { j } v _ { j } ( y ) ) | } \\ { \leq } & { C m _ { j } ^ { - p + \sigma _ { 2 } } ( 1 + m _ { j } | v _ { j } ( x ) | + m _ { j } | v _ { j } ( y ) | ) ^ { p - \sigma _ { 2 } } | v _ { j } ( x ) - v _ { j } ( y ) | ^ { \sigma _ { 2 } } } \\ & { + C m _ { j } ^ { - p } ( 1 + m _ { j } | v _ { j } ( y ) | ) ^ { p + \frac { ( p - 1 ) \sigma _ { 1 } } { 2 s } } | ( \lambda _ { j } x + x _ { j } ) - ( \lambda _ { j } y + x _ { j } ) | ^ { \sigma _ { 1 } } } \\ { \leq } & { C | x - y | ^ { \operatorname* { m i n } \{ \beta \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 1 } \} } . } \end{array}
\int { \frac { d ^ { 4 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { l _ { \mu } } { [ ( l + \chi p ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } ] ^ { 2 } } } = \int { \frac { d ^ { 4 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { - \chi p _ { \mu } } { ( l ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } + { \frac { i } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \chi p _ { \mu } \, ,
\left\{ F , G \right\} = \sum _ { k } { \frac { 1 } { n _ { k } } \int { \frac { 1 } { i } \left( \frac { \delta F } { \delta \phi _ { k } ^ { * } } \frac { \delta G } { \delta \phi _ { k } } - \frac { \delta F } { \delta \phi _ { k } } \frac { \delta G } { \delta \phi _ { k } ^ { * } } \right) \mathrm { d } { \bf x } } } ,
\frac { 1 } { u } \Lambda \, \vec { v } _ { 1 } ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } } .
\{ A _ { i } ( x ) , \pi _ { j } ( y ) \} ^ { \ast } = \delta _ { i j } \delta ( { \vec { x } } - { \vec { y } } ) - \partial _ { i } \partial _ { j } { \frac { 1 } { 4 \pi | { \vec { x } } - { \vec { y } } | } } .
\Phi = \left( \begin{array} { l l } { { \phi _ { 1 } ^ { 0 } } } & { { \phi _ { 1 } ^ { + } } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { - } } } & { { \phi _ { 2 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) , \; \; \; \; \Delta _ { L , R } = \left( \begin{array} { l l } { { \delta _ { L , R } ^ { + } / \sqrt { 2 } } } & { { \delta _ { L , R } ^ { + + } } } \\ { { \delta _ { L , R } ^ { 0 } } } & { { - \delta _ { L , R } ^ { + } / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) ,
n _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { k } ) } - n _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { k } , a _ { k + 1 } ) } - n _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { k } , a _ { k + 2 } ) } + n _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { k } , a _ { k + 1 } , a _ { k + 2 } ) } = 0 ,
{ \bf E } _ { 1 } \times { \bf E } _ { 2 } \; = \; ( \, E _ { 1 } E _ { 2 } , \, E _ { 1 } \vec { E _ { 2 } } \, + \, \vec { E _ { 1 } } E _ { 2 } \, + \, \vec { E _ { 1 } } \times \vec { E _ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { v _ { \underline { { 1 } } , ( { \ensuremath { { \mathbb { F } } } _ { q } } ^ { \lambda } , { \ensuremath { { \mathbb { F } } } _ { q } } ^ { \phi } ) } = } & { \frac { q ^ { - \lambda ^ { 2 } - \phi ^ { 2 } + \lambda \phi - s _ { 1 } \lambda - s _ { 2 } \phi } \eta ( \infty ) } { \eta ( \lambda ) \eta ( \phi ) \eta ( s _ { 2 } - \lambda + \phi ) } \prod _ { k = 0 } ^ { s _ { 2 } - \lambda + \phi - 1 } ( 1 - q ^ { - k - 1 - \lambda + \phi - s _ { 1 } } ) . } \end{array}
{ d s } ^ { 2 } = - V ( U ) { d t } ^ { 2 } + \frac { { d U } ^ { 2 } } { V ( U ) } + \frac { U ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } { d x } _ { i } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { L ( \boldsymbol { \Theta } _ { t + 1 } ) - L ( \boldsymbol { \Theta } _ { t } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g \in { \mathcal { G } } } \Big \{ \left[ \hat { Q } _ { g , t + 1 } ^ { 2 } - \hat { Q } _ { g , t } ^ { 2 } \right] + \left[ \hat { Z } _ { g , t + 1 } ^ { 2 } - \hat { Z } _ { g , t } ^ { 2 } \right] } \\ & { ~ ~ ~ + \left[ \check { Q } _ { g , t + 1 } ^ { 2 } - \check { Q } _ { g , t } ^ { 2 } \right] + \left[ \check { Z } _ { g , t + 1 } ^ { 2 } - \check { Z } _ { g , t } ^ { 2 } \right] \Big \} . } \end{array}
G _ { k } ( m , \beta ) = \frac { \Gamma ( k + 1 ) ^ { 2 } } { \Gamma ( k + 3 / 2 ) } \left( \frac { 1 } { ( m + \beta ) ^ { k + 1 } } F \left( k + 1 , 1 / 2 ; k + 3 / 2 ; - \frac { m - \beta } { m + \beta } \right) + ( - ) ^ { k } ( \beta \rightarrow - \beta ) \right) ,
{ \cal F } _ { a } ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { a } \phi _ { a } { \cal F } ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { a } \phi _ { a } \, \frac { 1 } { a ^ { 3 } e } \phi \cdot ( \partial ^ { \mu } \phi \wedge \partial ^ { \nu } \phi ) + \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } - \partial ^ { \nu } A ^ { \mu } .
\hat { \delta } v = d v + ( w _ { i ^ { \prime } } + \zeta _ { i ^ { \prime } } ) d x ^ { i ^ { \prime } } + \zeta _ { 5 } \delta p \qquad \mathrm { a n d ~ } \qquad \delta p = d p + n _ { i ^ { \prime } } d x ^ { i ^ { \prime } }
\phi _ { n } ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt L } } e ^ { - i \epsilon _ { n } x - i e \int _ { 0 } ^ { x } A ( z ) d z } , \quad \epsilon _ { n } = { \frac { 2 \pi } { L } } \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { e L } { 2 \pi } } c \right) .
\operatorname { c h } _ { A } ( t ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \operatorname { T r } \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { k } A \right) ( - t ) ^ { n - k } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n } A ^ { k } \right) ( - t ) ^ { n - k } .
\begin{array} { r l r } { P _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \left| u _ { 2 } ( \tau + T ) \right| ^ { 2 } = 4 \; P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } e ^ { - \gamma T } } \\ { P _ { 2 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { \left| u _ { 2 } ( \tau + 2 T ) \right| ^ { 2 } = 1 6 \; P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } e ^ { - 2 \gamma T } } \\ { P _ { 2 } ^ { ( 4 ) } } & { { } = } & { \left| u _ { 2 } ( \tau + 3 T ) \right| ^ { 2 } = 6 4 \; P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } e ^ { - 3 \gamma T } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh ^ { 2 } \beta } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \mu } \left[ \epsilon _ { \mu } - \boldsymbol m _ { \mu } ^ { ( i ) } \cdot { \boldsymbol B } _ { 0 } \right] \left| i , \mu \right> \left< i , \mu \right| - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { \boldsymbol E } _ { a } ( t ) \cdot \boldsymbol d _ { \mu , \nu } ^ { ( i ) } \left| i , \mu \right> \left< i , \nu \right| ,
q \cdot k _ { 1 } \; = \; - { \frac { h ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 - x - x _ { + } ) \; \; , \; \; q \cdot k _ { 2 } \; = \; { \frac { h ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 - x _ { + } ) \; \; , \; \; k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } \; = \; { \frac { h ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 - x - { \frac { r ^ { 2 } } { 2 } } ) \; \; .
n _ { \mathrm { w } } ( k ^ { 2 } ) \; \equiv \; { \frac { 2 } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { k } { \frac { \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { \sqrt { k ^ { 2 } - \zeta ^ { 2 } } } } d \zeta \; = \; { \frac { 2 } { \pi } } E ( k ) \; ,
\begin{array} { r l } { X ^ { k + 1 } = } & { \frac { 1 } { 1 + \tau } \mathsf { P r o j } _ { + } \left( X ^ { k } + \tau C - \tau \left( y _ { 1 } ^ { k } \mathbf { e } _ { n } ^ { \mathsf { T } } + \mathbf { e } _ { n } ( y _ { 2 } ^ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \right) \right) , } \\ { y ^ { k + 1 } = } & { y ^ { k } + \sigma \left( \begin{array} { l } { ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) \mathbf { e } _ { n } } \\ { ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { e } _ { n } } \end{array} \right) - \sigma \mathbf { e } _ { 2 n } . } \end{array}
\tilde { g _ { i } } = \frac { \alpha g _ { i } + \beta } { \pm \overline { { { \beta } } } g _ { i } + \overline { { { \alpha } } } } , ~ ~ ~ \alpha \overline { { { \alpha } } } \mp + \beta \overline { { { \beta } } } , ~ ~ i = 1 , 2 ,
T = { \frac { ( C _ { 1 } - C _ { 2 } ) ^ { 2 } \left( { \frac { 1 . 1 2 8 } { 1 - { \frac { 0 . 1 7 7 k C _ { 1 } } { C _ { 2 } } } } } \right) ^ { 2 } } { 4 D s e \! f \! \! f \left( \left. { \frac { \mathrm { d } C } { \mathrm { d } x } } \right| _ { x = 0 } \right) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } , \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] } & { \le \frac \epsilon 2 \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] + ( 3 K M ^ { 2 } m _ { 0 } + 4 M ^ { 2 } ) \mathbb E \left[ \mathcal T _ { 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { i i } ^ { \prime } ( u ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } \sum _ { n _ { 0 } , n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 ( 1 - u ^ { 2 } ) } ( Q _ { i , n _ { 0 } } ^ { 2 } + Q _ { i , n _ { 1 } } ^ { 2 } - 2 u Q _ { i , n _ { 0 } } Q _ { i , n _ { 1 } } ) \right) } \\ & { \geq \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 1 + u } Q _ { i , n _ { 0 } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \geq \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - Q _ { i , n _ { 0 } } ^ { 2 } \right) = m _ { i } ^ { ( 0 ) } ( 1 / 2 ) } \end{array}
{ \cal L } _ { i n t , e f f } = - { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } J _ { \mu } ^ { - } ( x ) J ^ { + \mu } ( x ) = - { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } V _ { p n } ^ { * } V _ { p ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { } ( \bar { n } p ) _ { V - A } ( \bar { p } ^ { \prime } n ^ { \prime } ) _ { V - A }
\begin{array} { r l r } { \vert { \cal A } _ { \varepsilon } ^ { ( 3 ) } \vert } & { \ge } & { 4 K _ { 3 } \lambda ^ { 2 } \pi ^ { 4 } T ^ { 2 } \Big [ \frac { e ^ { - \frac { 3 \pi T } { \varepsilon } } + e ^ { - \frac { 6 \pi T } { \varepsilon } } } { \big ( 1 - e ^ { - \frac { 3 \pi T } { \varepsilon } } \big ) ^ { 3 } } - \frac { e ^ { - \big ( \frac { 3 \pi T } { \varepsilon } + 2 \pi T \big ) } + e ^ { - \big ( \frac { 6 \pi T } { \varepsilon } + 4 \pi T \big ) } } { \big ( 1 - e ^ { - \big ( \frac { 3 \pi T } { \varepsilon } + 2 \pi T \big ) } \big ) ^ { 3 } } } \\ { B i g ] } \\ & { } & { \ge 4 K _ { 3 } \lambda ^ { 2 } \Big [ \Big ( \frac { 2 } { ( \frac { 3 } { \varepsilon } ) ^ { 3 } } - \frac { 2 } { [ ( \frac { 3 } { \varepsilon } ) ^ { 3 } + 2 ] } \Big ) \frac { \pi } { T } - \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { ( \frac { 3 } { \varepsilon } ) ^ { 2 } } \ \Big ] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \beta _ { i } ^ { \rightarrow } + \beta _ { j } ^ { \leftarrow } ) e ^ { - ( \beta _ { i } ^ { \rightarrow } + \beta _ { j } ^ { \leftarrow } ) w _ { i j } ^ { \rightarrow } } } & { \mathrm { f o r ~ w _ { i j } ^ { \rightarrow } ~ > ~ 0 ~ } } \\ { ( \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , o u t } + \beta _ { j } ^ { \leftrightarrow , i n } ) e ^ { - ( \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , o u t } + \beta _ { j } ^ { \leftrightarrow , i n } ) w _ { i j } ^ { \leftrightarrow , o u t } } } & { \mathrm { f o r ~ w _ { i j } ^ { \leftrightarrow , ~ o u t } ~ > ~ 0 ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { f o r ~ w _ { i j } ~ = ~ 0 ~ } . } \end{array} \right.
K _ { I J } ( z , \overline { { z } } ) \stackrel { \mathrm { \scriptsize ~ d e f } } { = } \overline { { z } } ^ { i ^ { * } } ( T _ { I } ) _ { i ^ { * } j } \eta ^ { j k ^ { * } } ( T _ { J } ) _ { k ^ { * } l } z ^ { l } .
- \frac { 1 } { 2 } \int _ { x _ { 0 } = c o n s t . } d ^ { 3 } x [ \partial _ { \nu } A _ { a } ^ { \nu } ( x ) , Q ] \stackrel { \leftrightarrow } { \partial _ { x _ { 0 } } } u _ { a } ( x ) = 0 \quad ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathrm { S h } } } & { { } \propto \tilde { \mathrm { P e } } ^ { 1 / 2 } } & { \sigma _ { \mathrm { \ln k } } ^ { 2 } \ll 1 , } \\ { \tilde { \mathrm { S h } } } & { { } \propto \frac { \tilde { \mathrm { P e } } ^ { 1 / 2 } } { \sigma _ { \mathrm { \ln k } } ^ { 2 } } } & { \sigma _ { \mathrm { \ln k } } ^ { 2 } \gg 1 . } \end{array}
\tilde { I } _ { \mathrm { ~ 1 ~ } } ^ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } , k _ { m } ) = \int | g _ { \mathrm { ~ L ~ O ~ } } ( | k _ { m } - \boldsymbol { k } | ) g _ { \mathrm { ~ L ~ O ~ } } ( | \boldsymbol { k } ^ { \prime } - k _ { m } | ) | ^ { 2 } \sin \theta _ { k _ { m } } \mathrm { d } \theta _ { k _ { m } } \mathrm { d } \phi _ { k _ { m } } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \begin{array} { c } { \; \; \; \overbrace { \mathrm { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } } ^ { j + 1 } \; \; \; \; \; \; \overbrace { \mathrm { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } } ^ { j } } \\ { \left( \begin{array} { l l l l l l } { b _ { 0 } } & & & { a _ { 0 } } & & \\ { b _ { 1 } } & { \ddots } & & { a _ { 1 } } & { \ddots } & \\ { \vdots } & { \ddots } & { b _ { 0 } } & { \vdots } & { \ddots } & { a _ { 0 } } \\ { b _ { n - 1 } } & & { b _ { 1 } } & { a _ { n } } & & { a _ { 1 } } \\ & { \ddots } & { \vdots } & & { \ddots } & { \vdots } \\ & & { b _ { n - 1 } } & & & { a _ { n } } \end{array} \right) } \end{array} } } \\ & { } & { \longrightarrow \; \; \; \; \begin{array} { c } { \; \; \; \overbrace { \mathrm { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } } ^ { 2 j + 1 } } \\ { \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { b _ { 0 } } & { a _ { 0 } } & & & & & & \\ { b _ { 1 } } & { a _ { 1 } } & { b _ { 0 } } & { a _ { 0 } } & & & & \\ { \vdots } & { \vdots } & { b _ { 1 } } & { a _ { 1 } } & { \ddots } & & & \\ { b _ { n - 1 } } & { a _ { n - 1 } } & { \vdots } & { \vdots } & & { b _ { 0 } } & { a _ { 0 } } & \\ & { a _ { n } } & { b _ { n - 1 } } & { a _ { n - 1 } } & & { b _ { 1 } } & { a _ { 1 } } & { b _ { 0 } } \\ & & & { a _ { n } } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { b _ { 1 } } \\ & & & & & { b _ { n - 1 } } & { a _ { n - 1 } } & { \vdots } \\ & & & & & & { a _ { n } } & { b _ { n - 1 } } \end{array} \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dag { f _ { i a } ^ { \phantom { \dagger } } , f _ { j b } ^ { \dagger } \dag } } & { { } = \delta _ { i j } \delta _ { a b } \dag \dag { c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } , c _ { j \beta } ^ { \dagger } \dag } } & { = \delta _ { i j } \delta _ { \alpha \beta } \dag , , } \end{array}
\Psi _ { \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } 1 , \frac { 1 } { 2 } } ^ { M B ( \frac { 1 } { 2 } ) } = \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \psi _ { 1 } ^ { + 1 } \, \chi _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } \psi _ { 1 } ^ { \, 0 } \, \chi _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \bar { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } } & { { } = } & { \hbar k _ { n _ { 0 } } \frac { \mathcal N } { V } \left( \frac { m } { k _ { n _ { 0 } } r } \hat { \bf \Phi } + \hat { \bf z } \right) . } \end{array}
\Gamma _ { n l o c } = \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \kappa [ \frac { 1 } { 4 \lambda ^ { 2 } } C _ { Q } ( \kappa ) C _ { Q } ( \kappa ) \beta ^ { ( 1 ) } ( \kappa ) - 2 C _ { Q } ( \kappa ) C ( \kappa ) \beta ^ { ( 3 ) } ( \kappa )
\begin{array} { r l r } { \tilde { x } _ { m } ^ { ( N ) } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } B _ { k m } ^ { ( N ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } B _ { i m } ^ { ( N ) } x _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) } \\ & { = } & { \frac { \sum _ { l = 1 } ^ { L } \int _ { D } x \, \rho _ { m , l } ^ { ( N ) } ( x , t ) d x } { \sum _ { l = 1 } ^ { L } n _ { m , l } ^ { ( N ) } ( t ) } } \\ & { \rightarrow } & { \frac { \sum _ { l = 1 } ^ { L } \int _ { D } x \, \rho _ { m , l } ( x , t ) d x } { \sum _ { l = 1 } ^ { L } n _ { m , l } ( t ) } = : \tilde { x } _ { m } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Tilde { H } _ { p } } & { { } } & { = U ^ { \dagger } H _ { p } U = \sum _ { j = 1 } ^ { L - 1 } ( t | i \rangle \langle i + 1 | + t | i + 1 \rangle \langle i | ) + t e ^ { - i \theta L } | 1 \rangle \langle L | + t e ^ { i \theta L } | L \rangle \langle 1 | , } \\ { \Tilde { V } } & { { } } & { = V . } \end{array}
\operatorname* { m i n } \left\{ { { \sum _ { j = i - 2 , j \ne i } ^ { i + 2 } { \left[ \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { { { I } _ { j } } } { \bar { p } _ { 3 } ^ { r 2 } \left( x \right) - { { { \bar { Q } } } _ { j } } d x } \right] } } ^ { 2 } } \right\}
\dot { \eta } _ { i r r } = \left( L _ { \eta \eta } - \frac { L ^ { 2 } } { L _ { s s } } \right) \frac { | \nabla T | ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } + \frac { | { \bf J } _ { s } | ^ { 2 } } { L _ { s s } } + \frac { \varepsilon _ { k } } { T }
x _ { i } ( t ) \approx \sin \left( \omega _ { i } t + \delta _ { i } \right) \left[ \vec { x } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ( ( Q \cdot \vec { x } _ { i } ) \cdot \hat { x } _ { i } ) \cos \Omega _ { \textrm { r f } } t \right] ,
e r r _ { \mathrm { a b s } } : = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ - \pi / L , \pi / L ] } \, \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , N } \, \bigg | \omega _ { i , \mathrm { m u l l e r } } ^ { \alpha } - \omega _ { i , \mathrm { c a p } } ^ { \alpha } \bigg | ,
\begin{array} { r l } { E _ { 2 } } & { = \Vert U \ltimes \Sigma \ltimes V ^ { H } - U \ltimes \Sigma _ { r } \ltimes V ^ { H } \Vert _ { F } } \\ & { = \Vert U \ltimes \Sigma _ { p } \ltimes V ^ { H } \Vert _ { F } } \\ & { = \Vert \mathrm { b l k d i a g } ( 0 , \cdots , 0 , S _ { r + 1 } , \cdots , S _ { p } ) \Vert _ { F } } \\ & { = \sqrt { \sum _ { j = r + 1 } ^ { p } { \Vert \mathrm { S } _ { j } \Vert } _ { F } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { 0 } ( t ) } { d t } } & { = - c _ { 0 } ( t ) + \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \delta _ { 1 } } ^ { \delta _ { 2 } } \left[ h ( \phi , t ) \right] d \phi } \\ { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { 1 } ( t ) } { d t } } & { = - c _ { 1 } ( t ) + \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \delta _ { 1 } } ^ { \delta _ { 2 } } \left[ h ( \phi , t ) \right] e ^ { - i \theta } ( \phi ) d \phi } \\ { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \mathrm { - } 1 } ( t ) } { d t } } & { = - c _ { \mathrm { - } 1 } ( t ) + \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \delta _ { 1 } } ^ { \delta _ { 2 } } \left[ h ( \phi , t ) \right] e ^ { i \theta } ( \phi ) d \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { f } } & { = } & { \rho _ { \infty } \, \mathrm { , } } \\ { u _ { f } } & { = } & { u _ { \infty } \, \mathrm { , } } \\ { v _ { f } } & { = } & { v _ { \infty } \, \mathrm { , } } \\ { w _ { f } } & { = } & { w _ { \infty } \, \mathrm { , } } \\ { e _ { f } } & { = } & { e _ { \infty } \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \frac { \alpha _ { j } } { z - \zeta _ { j } } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( b _ { j } \mu _ { j } - c _ { j } \hat { \mu } _ { j } ) + \mathfrak i \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( c _ { j } \mu _ { j } + b _ { j } \hat { \mu } _ { j } ) ~ , \quad \left( \begin{array} { l } { \mu _ { j } } \\ { - \hat { \mu } _ { j } } \end{array} \right) = \nabla \ln | x - \xi _ { j } | ~ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 3 } - 1 } = \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 1 } { k - 1 } + \frac { 1 } { k + \varsigma } + \frac { 1 } { k + \bar { \varsigma } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \big | \nabla ( \phi ^ { \lambda } * \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , \cdot ) ) ( z ) \big | d z \, d \tau } \\ & { \quad \quad = \ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big | \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } ( \nabla \phi ^ { \lambda } ) ( z - w ) \big ( \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , w ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big ) d w \Big | \, d z \, d \tau } \\ & { \quad \quad \leq \ \frac { 1 } { c \, \lambda } \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } ( J ^ { \lambda } * J ^ { \lambda } ) ( z - w ) \big | \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , w ) - \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big | d w \, d z \, d \tau \leq C \mathcal { X } ^ { \lambda } \big ( \hat { s } ^ { \lambda } ; { ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N } ( \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l l } { \frac { \mu _ { t _ { a } } } { \mu _ { t _ { a } + \sigma _ { a } } } } & { \mathrm { i f ~ N = 0 ~ } } \\ { \frac { \mu _ { t _ { a } } ( \sigma _ { a } \sigma _ { b } ) ^ { \frac { N } { 2 } } } { ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) ^ { \frac { N + 2 } { 2 } } ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) ^ { \frac { N } { 2 } } } } & { \mathrm { i f ~ N ~ e v e n } } \\ { \frac { \mu _ { t _ { b } } \sigma _ { a } ^ { \frac { N + 1 } { 2 } } \sigma _ { b } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } } { ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) ^ { \frac { N + 1 } { 2 } } ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) ^ { \frac { N + 1 } { 2 } } } } & { \mathrm { i f ~ N ~ o d d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\gamma = { \frac { ( B \mu ) ^ { 2 } } { { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 E } } \cos 2 \theta \vert { \frac { 1 } { N } } { \frac { d N } { d t } } \vert _ { t _ { r } } } } , \qquad N = a _ { e } + a _ { \mu } .
\operatorname * { l i m } _ { \lambda \to 0 } \int \Delta _ { \lambda } ( x ) ~ { \frac { 1 } { x } } ~ g ( x ) \, d x ~ = ~ \operatorname * { l i m } _ { \lambda \to 0 } \int \Delta _ { \lambda } ( x ) \left( { \frac { P } { x } } ~ + ~ Z \, \delta ( x ) \right) \, g ( x ) \, d x
\langle { \overline { { \Psi } } } \Psi \rangle = \int { \frac { m } { ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } } { \frac { 2 d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } , \quad 0 < k < k _ { F } .
\begin{array} { r } { u = u _ { \sigma } \, \widehat { n } + u _ { \bot } , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad u _ { \bot } = u _ { 1 } \, \widehat { t } _ { 1 } + u _ { 2 } \, \widehat { t } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mu _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } } { \partial N _ { i } } \, = \, \frac { 1 } { g _ { \mathrm { D O S } , i } ^ { T } ( \mu _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } ) } + \int \Gamma _ { \mathrm { L D O S } , i } ^ { T } ( \mu _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } , \mathbf { r } ) \left( e Z _ { i } \frac { \partial \phi ( \mathbf { r } ) } { \partial N _ { i } } + \frac { \partial \mu _ { \mathrm { x c } } ^ { i i } ( \mathbf { r } ) } { \partial N _ { i } } + \frac { \partial \mu _ { \mathrm { c } , i } ^ { e I } ( \mathbf { r } ) } { \partial N _ { i } } \right) \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( 3 ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { f ( 3 + h ) - f ( 3 ) } { h } } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { ( 3 + h ) ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } } { h } } } \end{array}
V ( \sigma ; \lambda , \Lambda ; M ) = | \lambda \Lambda ^ { 2 } | ^ { 2 } \left[ 1 + 2 \frac { N \lambda ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( \ln \frac { | \lambda \sigma | ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } + 4 \right) + { \cal O } ( \lambda ^ { 4 } ) \right] .
{ \begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \phi - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } } } & { = - { \frac { \rho } { \epsilon _ { 0 } } } } \\ { \nabla ^ { 2 } \mathbf { A } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } } } & { = - \mu _ { 0 } \mathbf { J } } \end{array} }