harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \phi _ { 3 } \left( r _ { i j l } , r _ { i k l } , \theta _ { i j k l } \right) = } & { } & { \lambda _ { i j k l } \epsilon _ { i j k l } \left[ \cos \theta _ { i j k l } - \cos \theta _ { 0 i j k l } \right] ^ { 2 } } \\ & { } & { \times \exp \left( \frac { \gamma _ { i j l } \sigma _ { i j l } } { r _ { i j l } - a _ { i j l } \sigma _ { i j l } } \right) } \\ & { } & { \times \exp \left( \frac { \gamma _ { i k l } \sigma _ { i k l } } { r _ { i k l } - a _ { i k l } \sigma _ { i k l } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { s } ( z ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } [ H ( z - z ^ { i } ) - H ( z - z ^ { i + 1 } ) ] \, S ( T _ { s } ^ { i } , T _ { s } ^ { i + 1 } , b _ { s } ^ { i } , b _ { s } ^ { i + 1 } , z ^ { i } , z ^ { i + 1 } , z ) , } \\ { T _ { l } ( z ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } [ H ( z - z ^ { i } ) - H ( z - z ^ { i + 1 } ) ] \, S ( T _ { l } ^ { i } , T _ { l } ^ { i + 1 } , b _ { l } ^ { i } , b _ { l } ^ { i + 1 } , z ^ { i } , z ^ { i + 1 } , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 1 , \pm ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 2 , \pm ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in U ( 0 , \delta ) \setminus \Sigma _ { \mathbf { T } } , } \\ & { \mathbf { T } ( z ) \left[ \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( \infty ) } ( z ) \right] ^ { - 1 } , \quad } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } = } & { { } t _ { \omega _ { 1 } } t _ { \omega _ { 2 } } [ \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 2 } ) + \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint f ^ { 2 } \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { { } = \iint \sin ^ { 3 } \beta \cos ^ { 2 } \alpha \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 4 \pi / 3 } \\ { \iint g ^ { 2 } \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { { } = \iint \sin ^ { 2 } \alpha \sin ^ { 3 } \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 4 \pi / 3 } \\ { \iint h ^ { 2 } \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { { } = \iint \sin \beta \cos ^ { 2 } \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 4 \pi / 3 } \\ { \iint f g \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { { } = \iint \sin \alpha \cos \alpha \sin ^ { 3 } \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 0 } \\ { \iint f h \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { { } = \iint \cos \alpha \sin ^ { 2 } \beta \cos \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 0 } \\ { \iint g h \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { { } = \iint \sin \alpha \cos \beta \sin ^ { 2 } \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \prod _ { k = 1 } ^ { M } \left[ \mathbb { E } \big [ e _ { i } ( \Vec { c ^ { 2 } } ) \big ] \right] ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } } \\ { = } & { \prod _ { k = 1 } ^ { M } \left[ \sum _ { i + j = k } \frac { ( M - i ) ! ( M - j ) ! } { M ! ( M - k ) ! } \frac { ( N - i ) ! ( N - j ) ! } { N ! ( N - k ) ! } e _ { i } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ) e _ { j } ( b _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , e _ { M } ^ { 2 } ) \right] ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { z } ( r ) = \frac { G R ^ { 2 } } { 4 \eta } \left( 1 - \left( \frac { r } { R } \right) ^ { 2 } + 2 \frac { L } { R } \right) , \quad u _ { r } = 0 , \quad u _ { \varphi } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \dot { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { j } ) = \Omega ^ { 2 } N _ { i j } ( \Omega ) , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad N _ { i j } ( \Omega ) = \delta _ { i j } - \frac { \Omega _ { i } \Omega _ { j } } { \Omega ^ { 2 } } , \quad \Omega ^ { 2 } \equiv \sum _ { i } \Omega _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { \tau } \| R _ { 3 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } } & { \leqslant } & { h _ { \tau } \| \chi \| _ { 0 , \tau } + h _ { \tau } \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \left( \| \boldsymbol { f } _ { h } - \boldsymbol { f } \| _ { 0 , \tau } + \| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } \| _ { 0 , \tau } \right) + h _ { \tau } \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } . } \end{array}
\langle P \rangle \equiv \langle 1 - \frac { 1 } { 3 } \, \mathrm { t r } \, U _ { P } \rangle = \sum _ { n = 1 } \frac { c _ { n } ^ { \mathrm { l a t } } } { \beta ^ { n } } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 6 } \, C _ { G G } ( \beta ) \, a ^ { 4 } \, \langle \frac { \alpha _ { s } } { \pi } G G \rangle _ { \mathrm { l a t t } } + \, O ( a ^ { 6 } ) ,
\frac { 2 } { \tau } | \bar { x } _ { n } ( \omega ) | ^ { 2 } = J _ { n } ^ { 2 } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \frac { \bar { w } _ { n } } { w _ { 0 } } \frac { 2 k _ { B } T \Gamma } { \pi m } \frac { 1 } { \left( \omega ^ { 2 } - \bar { \omega } _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } }
\sigma _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ p ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { e } , \mathbf { \xi } ) = \| \mathbf { s } _ { \mathbf { r } , \mathbf { e } } \mathbf { I } _ { \alpha } \mathbf { S } ^ { \dagger } ( \mathbf { \xi } ) \| \sigma = \| \mathbf { s } _ { \mathbf { r } , \mathbf { e } } \mathbf { I } _ { \alpha } \big ( \mathbf { S ( \mathbf { \xi } ) } ^ { T } \mathbf { S ( \mathbf { \xi } ) } \big ) ^ { - 1 } \mathbf { S ( \mathbf { \xi } ) } ^ { T } \| \sigma .
^ { g _ { R } } { _ { f } \Gamma _ { i j } ^ { k } } = ^ { \mathrm { S h } _ { r , 2 \rho ^ { \prime } } ( g ) } { _ { e } \Gamma _ { i j } ^ { k } } , \quad ^ { g _ { R } } { _ { f } \Gamma _ { i j } ^ { \varphi } } = ^ { g _ { R } } { _ { f } \Gamma _ { \varphi j } ^ { k } } = 0 , \quad \mathrm { a n d } \quad ^ { g _ { R } } { _ { f } \Gamma _ { \varphi j } ^ { \varphi } } = ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { - 1 } \kappa _ { R } \partial _ { f _ { j } } ( r ) .
\begin{array} { l } { { U = S O ( 5 , 5 ) , \quad K = S O \left( 5 \right) \otimes S O \left( 5 \right) } } \\ { { T = S O ( 4 , 4 ) , \quad k = S O \left( 4 \right) _ { L } \otimes S O \left( 4 \right) _ { R } } } \\ { { l _ { L , R } = 1 : \quad \left( \sum _ { i } r _ { i } ^ { ( l _ { L , R } ) } \right) _ { L , R } = 1 _ { L , R } } } \\ { { l _ { L , R } = 2 : \quad \left( \sum _ { i } r _ { i } ^ { ( l _ { L , R } ) } \right) _ { L , R } = 9 _ { L , R } } } \\ { { \quad \quad \quad \quad \quad = 5 _ { L , R } ^ { s p a c e } \oplus 4 _ { L , R } ^ { i n t e r n a l } } } \\ { { l _ { L , R } = 3 : \quad e t c . } } \end{array}
\rho _ { 0 } = \sigma _ { 0 } = I , \; \rho _ { 1 } = \sigma _ { 1 } = \sigma _ { x } , \; \rho _ { 2 } = \sigma _ { 2 } = i \sigma _ { y } , \; \rho _ { 3 } = \sigma _ { 3 } = \sigma _ { z } , \;
\begin{array} { r l } { H ^ { 2 } \left( \mathrm { W i t t } , \mathbb { C } \right) } & { \cong H ^ { 2 } \left( \mathcal { M } _ { g } , \mathbb { C } \right) , } \\ { \quad H ^ { 2 } \left( \mathrm { W i t t } \ltimes H ^ { \prime } , \mathbb { C } \right) } & { \cong H ^ { 2 } \left( \mathcal { P } _ { d } ^ { \prime } , \mathbb { C } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| } & { = \left| \omega _ { g } ^ { \textbf { k } _ { l } + \textbf { A } ( t _ { r } ) - \textbf { A } ( s ) } + \textbf { F } ( t _ { r } ) \cdot \textbf { D } _ { \mu } ^ { \textbf { k } _ { l } + \textbf { A } ( t _ { r } ) - \textbf { A } ( s ) } - \omega \right| < \Delta E , } \\ { \left| S _ { k ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| } & { = \left| \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) - \Delta \textbf { D } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| < \Delta x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 0 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { m } \hat { P } _ { 1 } \hat { V } _ { n } | N \rangle \right] } \end{array}
t _ { m \widehat { m } } ^ { \left[ V \right] } = \frac { E ^ { \prime 5 / 4 } \mu ^ { \prime } } { V _ { o } ^ { 3 / 4 } \varDelta \gamma ^ { 9 / 4 } } = \mathcal { B } _ { k s } ^ { - 5 / 2 } t _ { \widehat { m } \widehat { k } } ^ { \left[ V \right] } .
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { D } } & { { } = J ^ { 0 } - \mathbf { k } _ { A F } \cdot \mathbf { B } , } \\ { \nabla \times \mathbf { H } - \frac { \partial \mathbf { D } } { \partial t } } & { { } = \mathbf { J } + k _ { A F } ^ { 0 } \mathbf { B } + \mathbf { k } _ { A F } \times \mathbf { E } , } \end{array}
\nabla \times ( \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } + \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } { \partial t } ) = 0 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } = - \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } { \partial t } - \nabla A _ { 0 }
\begin{array} { r l } { C _ { i j n , i j n } ^ { \mathrm { p p } } } & { = \Omega _ { n } ^ { \mathrm { p p } } - \epsilon _ { i } ^ { \mathrm { ~ G T ~ } } - \epsilon _ { j } ^ { \mathrm { ~ G T ~ } } } \\ { C _ { a b n , a b n } ^ { \mathrm { h h } } } & { = \epsilon _ { a } ^ { \mathrm { ~ G T ~ } } + \epsilon _ { b } ^ { \mathrm { ~ G T ~ } } - \Omega _ { n } ^ { \mathrm { h h } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \cdots } & { M } & { \cdots } & { m } & { \cdots } & { M ^ { \prime } } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \cdots } & { m ^ { \prime } } & { \cdots } & { M ^ { \prime \prime } } & { \cdots } & { m ^ { \prime \prime } } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \end{array} \right] , } \end{array}
g ( x , y ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } h _ { M } ( x - M x ^ { \prime } , y - M y ^ { \prime } ) ~ f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) ~ d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 4 . 2 )
\begin{array} { r l } { \widehat K ^ { P } ( \xi ) } & { = \frac { - \pi ^ { \frac d 2 } } { 4 \Gamma ( \frac d 2 + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \beta ^ { 2 } } \! \! \! \! s ^ { - 1 } p ( \xi ) e ^ { - \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 4 s } } \frac { d s } { s } = - p ( \xi ) | \xi | ^ { - 2 } \frac { \pi ^ { \frac d 2 } } { \frac d 2 \Gamma ( \frac d 2 ) } \int _ { \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 4 \beta ^ { 2 } } } ^ { \infty } e ^ { - u } d u } \\ & { = \widehat K ( \xi ) e ^ { - \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 4 \beta ^ { 2 } } } \, . } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { j } ( - 1 ) ^ { k } \left( \begin{array} { c } { { k } } \\ { { a } } \end{array} \right) = ( - 1 ) ^ { j } \left( \begin{array} { c } { { j } } \\ { { a - 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \lambda _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } ( A _ { 1 } + A _ { 2 } ) \pm \frac { \sqrt { ( A _ { 1 } - A _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \Omega ^ { 2 } } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p ^ { * } } { \partial t ^ { * } } } & { { } = - \boldsymbol { v ^ { * } } \cdot \nabla ^ { * } p ^ { * } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \nabla ^ { * } \omega ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } p ^ { * } } { \omega ^ { * } } , } \\ { \frac { \partial q ^ { * } } { \partial t ^ { * } } } & { { } = - \boldsymbol { v ^ { * } } \cdot \nabla ^ { * } q ^ { * } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \nabla ^ { * } \omega ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } q ^ { * } } { \omega ^ { * } } , } \\ { \Delta ^ { * } \varphi ^ { * } } & { { } = - \nabla ^ { * } p ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } q ^ { * } - p ^ { * } \Delta q ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { P ( \widetilde \Omega _ { n } ^ { k } \setminus B _ { R _ { 0 } ^ { \prime } } ( 0 ) ) } { | \widetilde \Omega _ { n } ^ { k } \setminus B _ { R _ { 0 } ^ { \prime } } ( 0 ) | ^ { \frac 2 3 } } \le \bar { c } + 6 m ^ { \frac 1 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { i , j } ^ { n + 1 } + \frac { 1 } { \Delta x _ { i } } \left( \kappa _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { e f f } \frac { U _ { r , i + 1 , j } ^ { n + 1 } - U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } } { \frac 1 2 ( \Delta x _ { i + 1 } + \Delta x _ { i } ) } - \kappa _ { i - \frac 1 2 , j } ^ { e f f } \frac { U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } - U _ { r , i - 1 , j } ^ { n + 1 } } { \frac 1 2 ( \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i - 1 } ) } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { \Delta y _ { j } } \left( \kappa _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { e f f } \frac { U _ { r , i , j + 1 } ^ { n + 1 } - U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } } { \frac 1 2 ( \Delta y _ { j + 1 } + \Delta y _ { j } ) } - \kappa _ { i , j - \frac 1 2 } ^ { e f f } \frac { U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } - U _ { r , i , j - 1 } ^ { n + 1 } } { \frac 1 2 ( \Delta y _ { j } + \Delta y _ { j - 1 } ) } \right) } \\ { = } & { \rho _ { i , j } ^ { n } + \sum _ { p _ { k } \in \mathcal { P } _ { \mathrm { D } } ^ { n } + \mathcal { P } _ { \mathrm { i n } } ^ { n + 1 } } \frac { w _ { k } } { \Delta x _ { i } \Delta y _ { j } } \chi _ { [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] \times [ y _ { j } , y _ { j + 1 } ] } ( \boldsymbol { x } _ { k } ( t _ { n + 1 } ) ) } \\ & { - \sum _ { p _ { k } \in \mathcal { P } _ { \mathrm { D } } ^ { n } } \frac { w _ { k } } { \Delta x _ { i } \Delta y _ { j } } \chi _ { [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] \times [ y _ { j } , y _ { j + 1 } ] } ( \boldsymbol { x } _ { k } ( t _ { n } ) ) - \frac { c \Delta t } { \epsilon ^ { 2 } } ( S _ { i , j } ^ { n + 1 } - \sigma _ { p , i , j } ^ { n + 1 } U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } ) . } \end{array}
{ \hat { b } } _ { i } = \omega _ { i } ^ { ( 1 ) } \, , \qquad { \hat { b } } _ { 6 } = \omega ^ { ( 0 ) } \, , \qquad { \hat { \omega } } _ { i _ { 1 } \dots i _ { 5 } 6 } ^ { ( 6 ) } = \omega _ { i _ { 1 } \dots i _ { 5 } } ^ { ( 5 ) } \, .
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots ) + \lambda _ { 1 } ( c _ { 1 } - g _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots ) ) + \lambda _ { 2 } ( c _ { 2 } - g _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots ) ) + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \omega ^ { \lambda } ( x ) = u _ { \lambda } ( x ) - u ( x ) } \\ & { = \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } \left[ \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) \right] } \\ & { \qquad \times { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n + 2 s } f \left[ y ^ { \lambda } , { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right] \mathrm d y } \\ & { \quad + \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } \left( \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ) - K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) \right) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y } \\ & { \quad + \int _ { ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } \setminus ( \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) ) } \left[ \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) \right] } \\ & { \qquad \times { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n + 2 s } f \left[ y ^ { \lambda } , { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right] \mathrm d y } \\ & { \geq \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } \left[ \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) \right] } \\ & { \qquad \times \left[ { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n + 2 s } f \left( y ^ { \lambda } , { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { 2 s - n } u _ { \lambda } ( y ) \right) - f ( y , u ( y ) ) \right] \mathrm d y } \\ & { > \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } \left[ \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { | x | | y | } \right) ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - { \left( \frac { \lambda } { | y | } \right) } ^ { n - 2 s } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ^ { \lambda } ) \right] } \\ & { \qquad \times \left( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { D _ { n \, \mu } ^ { \prime } ( x ) } & { = U ( x ) D _ { n \, \mu } ( x ) U ^ { \dagger } ( x ) } \\ { G _ { n \, \mu \nu } ^ { \prime } ( x ) } & { = U ( x ) G _ { n \, \mu \nu } ( x ) U ^ { \dagger } ( x ) \, . } \end{array} \right.
\alpha ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 z } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ m ~ e ~ t ~ a ~ l ~ s ~ u ~ r ~ f ~ a ~ c ~ e ~ ; ~ } } \\ { - \frac { 1 } { 2 z } \frac { \epsilon _ { 0 } - 1 } { \epsilon _ { 0 } + 1 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ s ~ e ~ m ~ i ~ c ~ o ~ n ~ d ~ u ~ c ~ t ~ o ~ r ~ s ~ u ~ r ~ f ~ a ~ c ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
a _ { h } ( u , v ) = \int _ { \Omega _ { h } } \nabla u \cdot \nabla v - \int _ { \partial \Omega _ { h } } \frac { \partial u } { \partial n } v + \sigma h \sum _ { E \in \mathcal { F } _ { h } ^ { \Gamma } } \int _ { E } \left[ \frac { \partial u } { \partial n } \right] \left[ \frac { \partial v } { \partial n } \right] + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } ^ { \Gamma } } \sigma h ^ { 2 } \int _ { K } \Delta u \, \Delta v .
\begin{array} { r l r } { \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } } } & { { } = } & { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { H } } } { \omega _ { \mathrm { M } } } + l _ { \mathrm { e x } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) \left( 1 + \frac { \omega _ { \mathrm { H } } } { \omega _ { \mathrm { M } } } + l _ { \mathrm { e x } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) } \end{array}
\hat { u } ( x ; a ) \approx \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \sinh ( x ) \left( - 1 . 0 3 a ^ { 0 . 9 9 6 } \right) } { a x + 1 } + 1 } & { 0 \leq x < \frac { 1 } { ( a + 3 . 2 9 ) ^ { 0 . 6 2 1 } } } \\ { - \frac { ( a + 1 ) \sin ( 1 - x ) \left( - 0 . 8 8 3 a ^ { 0 . 9 9 3 } \right) } { a x + 1 } } & { \frac { 1 } { ( a + 3 . 2 9 ) ^ { 0 . 6 2 1 } } \leq x < 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S _ { h } ( t _ { w } , t _ { * } ) } & { { } = \exp \left\{ - D ^ { * } n ^ { ( 0 ) } ( t _ { w } - t _ { * } ) + \int _ { t _ { * } } ^ { t _ { w } } d t F ^ { * } ( t ) \right\} } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { c ( t , x , \eta ) - a ( t , x , \eta ) b ( t , x , \eta ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } } \int _ { \mathbb R \times \mathbb Z ^ { d } } e ^ { i ( \tau ^ { \prime } t + k ^ { \prime } \cdot x ) } \mathcal { F } _ { t , x } b ( \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } , \eta ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left\lbrace \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla _ { \tau , k } a ( t , x , \gamma , \tau + s \tau ^ { \prime } , k + s k ^ { \prime } ) \cdot ( \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } s \right\rbrace \, \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \mathrm { d } k ^ { \prime } } \\ & { = : \frac { 1 } { \gamma } \mathrm { m } ( t , x , \eta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x , r , \omega ) } & { \colon \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } _ { + } \times \Omega \to \mathbb { R } ^ { d } , } \\ { F ( x , r , \omega ) } & { \colon \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } _ { + } \times \Omega \to \mathbb { R } ^ { d \times m } , } \\ { \varphi ( x , r , z , \omega ) } & { \colon \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } _ { + } \times \mathbb { R } ^ { m } \times \Omega \to \mathbb { R } ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathfrak { a s s } _ { m } ( x , y , z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \mathfrak { a s s } _ { r } ( y , x , z ) = 0 , } \\ & { \mathfrak { a s s } _ { m } ( x , y , z ) + ( - 1 ) ^ { | z | | y | } \mathfrak { a s s } _ { l } ( x , z , y ) = 0 , } \\ & { \mathfrak { a s s } _ { l } ( x , y , z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \mathfrak { a s s } _ { l } ( y , x , z ) = 0 , } \\ & { \mathfrak { a s s } _ { r } ( x , y , z ) + ( - 1 ) ^ { | z | | y | } \mathfrak { a s s } _ { r } ( x , z , y ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| m ^ { \omega k _ { 4 } } ( x , t , \cdot ) ^ { - 1 } - I \| _ { L ^ { \infty } ( \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) ) } = O ( t ^ { - 1 / 2 } ) , } \\ & { m ^ { \omega k _ { 4 } } - I = \frac { Y _ { 1 } ( \zeta , t ) m _ { 1 } ^ { X , ( 1 ) } Y _ { 1 } ( \zeta , t ) ^ { - 1 } } { z _ { 1 , \star } \sqrt { t } ( k - \omega k _ { 4 } ) \hat { z } _ { 1 } ( \zeta , k ) } + O ( t ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } ( \omega ) = H ( \omega ) \Theta ( \omega ) + H ^ { * } ( - \omega ) \Theta ( - \omega ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { H ( \omega ) } & { : \quad \omega > 0 } \\ { \operatorname { R e } H ( \omega ) } & { : \quad \omega = 0 } \\ { H ^ { * } ( - \omega ) } & { : \quad \omega < 0 } \end{array} \right. , } \\ { P ( \omega ) = [ H ( \omega ) - H ^ { * } ( - \omega ) ] \Theta ( - \omega ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { : \quad \omega > 0 } \\ { i \operatorname { I m } H ( \omega ) } & { : \quad \omega = 0 } \\ { H ( \omega ) - H ^ { * } ( - \omega ) } & { : \quad \omega < 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { \theta } _ { j } } \right) - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \theta _ { j } } = I _ { j } \ddot { \theta } _ { j } + \frac { \partial \Pi } { \partial \theta _ { j } } = 0 \, , \quad j = 1 , 2 \, .
\mathrm { M A E = \ x i ^ { 2 } \sum _ { \ t a u , \ t a u ^ { \prime } } \frac { | \langle a _ { \ t a u } | L _ { z } ^ { N } | p _ { \ t a u ^ { \prime } } \rangle | ^ { 2 } - | \langle a _ { \ t a u } | L _ { x } ^ { N } | p _ { \ t a u ^ { \prime } } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta } , }
\begin{array} { r } { \frac { \sigma _ { \parallel } } { I _ { \mathrm { L } } } = 8 \pi \alpha \frac { k _ { f } } { k _ { i } } A _ { \parallel } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { 1 } { \alpha _ { s } ( q ^ { 2 } ) } \cong b _ { s } \ \ell n \, f r a c { q ^ { 2 } } { \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } } \qquad b _ { s } = \frac { 3 3 - 2 n _ { f } } { 1 2 \pi }
\partial _ { l } ^ { 2 } \psi _ { 0 } + ( \partial _ { l } \psi _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 1 } + \bar { a } _ { 1 } ) \partial _ { l } \psi _ { 0 } + a _ { 1 } \bar { a } _ { 1 } - m ^ { 2 } = 0 \, .
\sin ^ { 2 } { \frac { \gamma } { 2 } } = \sin ^ { 2 } ( { \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } } ) + \sin \theta \sin \theta ^ { \prime } \sin ^ { 2 } ( { \frac { \phi - \phi ^ { \prime } } { 2 } } ) ~ ~ .