harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d _ { i d e a l , i } } & { { } = D _ { p } \exp \left( \frac { - \Delta _ { i } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) } \\ { I _ { i } } & { { } = \operatorname* { m i n } \left( \frac { d _ { i d e a l , i } } { f D _ { p } } , 1 \right) ^ { \gamma } , } \end{array}
P ( E = G D \mid C = c ) = ( 0 . 0 1 + { \frac { 0 . 8 1 - 0 . 0 1 } { 1 6 - 1 1 } } ( c - 1 1 ) ) ( 0 . 5 - { \frac { 0 . 5 - 0 . 0 5 } { 1 6 - 1 1 } } ( c - 1 1 ) )
{ \hat { T } } = \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - i \, t \left( \sum _ { \alpha = 1 , 2 , 3 } { \omega _ { 1 } } \, { \hat { P } } ^ { ( e _ { \alpha } ) } + \sum _ { \alpha = 4 , 5 } { \omega _ { 2 } } \, { \hat { P } } ^ { ( e _ { \alpha } ) } \right) \right] ,
\delta \left[ f \left[ A \right] \right] { \cal M } \left( x , y ; a , b \right) = - \delta \left[ f \left[ A \right] \right] \left( \partial _ { 3 } ^ { y } \delta ^ { a b } \left( 1 - \epsilon ^ { a } + \eta \epsilon ^ { a } \partial _ { 3 } ^ { x } \right) - g f ^ { a b c } \epsilon ^ { c } A _ { 3 } ^ { c } \left( y _ { \perp } \right) \right) \delta ^ { 4 } \left( x - y \right) \ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } b _ { I ( i ) } ^ { ( 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i - I ( i ) } ^ { ( 2 ) \leftarrow } ( t ) \P \left( \boldsymbol Z ^ { ( 1 ) } + \boldsymbol Z ^ { ( 2 ) } \in t A \right) } & { = c _ { i } ^ { I ( i ) } \mu _ { i } ^ { ( 1 ) } ( A ) + c _ { 0 } ^ { I ( i ) } \mu _ { i } ^ { ( 2 ) } ( A ) = \mu _ { i } ^ { \oplus } ( A ) } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { \hbar , \lambda } ( - t _ { 0 } ) = U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \sum _ { k = k _ { i j } } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , i , j } } \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - i } } \mathcal { T } ( \iota , k , \boldsymbol { x } , t _ { 0 } ; \hbar ) + \mathcal { D } _ { 1 } ^ { 1 } ( t _ { 0 } ) + \mathcal { D } _ { 2 } ^ { 1 } ( t _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( h ) ( \tilde { u } _ { h } , v ) } & { = \mu \int _ { D } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \nabla \tilde { u } _ { h , j } ( \nabla h + \nabla h ^ { \top } - ( \nabla \cdot h ) I _ { 2 } ) \nabla \bar { v } _ { j } \, \mathrm { d } x , } \\ { g _ { 2 } ( h ) ( \tilde { u } _ { h } , v ) } & { = ( \lambda + \mu ) \int _ { D } ( \nabla \cdot \tilde { u } _ { h } ) ( \nabla \bar { v } : \nabla h ^ { \top } ) + ( \nabla \cdot \bar { v } ) ( \nabla \tilde { u } _ { h } : \nabla h ^ { \top } ) } \\ & { - ( \nabla \cdot h ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) ( \nabla \cdot \tilde { u } _ { h } ) \, \mathrm { d } x , } \\ { g _ { 3 } ( h ) ( \tilde { u } _ { h } , v ) } & { = \omega ^ { 2 } \int _ { D } ( \tilde { u } _ { h } \cdot \bar { v } ) ( \nabla \cdot h ) \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , z ) = \frac { e ^ { i k _ { z } z } } { i \lambda z } \iint \mathbf { E _ { 0 } } ( \mathbf { R } + \mathbf { r } _ { 0 } ) \exp \left[ \frac { i k } { 2 z } \left| \mathbf { r } ^ { \prime } - ( \mathbf { R } + \mathbf { r } _ { 0 } ) \right| ^ { 2 } \right] d ^ { 2 } R \, ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { j } \frac { \Delta t } { \mu _ { - } \Delta x _ { j } } \sigma \left( u _ { j } ^ { n , - } , u _ { j } ^ { \ast , \pm } \right) \leq 1 , \qquad \operatorname* { m a x } _ { j } \frac { \Delta t } { \mu _ { + } \Delta x _ { j } } \sigma \left( u _ { j } ^ { \ast , \pm } , u _ { j } ^ { n , + } \right) \leq 1 } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { ( 1 - R ) } d x \, x ^ { a } ( 1 - x - R ) ^ { b } = \frac { \Gamma ( a + 1 ) \Gamma ( b + 1 ) } { \Gamma ( a + b + 2 ) } ( 1 - R ) ^ { a + b + 1 } \qquad \mathrm { i f } \quad \mathrm { R e } ( R ) < 1 \quad \mathrm { a n d } \quad \mathrm { I m } ( R ) = 0
\begin{array} { r l } { \left\| D ^ { \alpha } ( f g ) - f D ^ { \alpha } g - g D ^ { \alpha } f \right\| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq C _ { ( \alpha ) } \sum _ { \beta + \gamma = \alpha , \beta , \gamma \neq 0 } \left\| D ^ { \beta } f \cdot D ^ { \gamma } g \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = C _ { ( \alpha ) } \sum _ { \left| \beta ^ { \prime } \right| + | \gamma ^ { \prime } | \leqq N - 2 } \left\| D ^ { \beta ^ { \prime } } ( D f ) \cdot D ^ { \gamma ^ { \prime } } ( D g ) \right\| _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( h ) ( u , v ) } & { + g _ { 3 } ( h ) ( u , v ) = } \\ & { \mu \int _ { D } \nabla ( h \cdot \nabla u ) : \nabla \bar { v } \, \mathrm { d } x - ( \lambda + \mu ) \int _ { D } ( \nabla \cdot u ) \nabla \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) \mathrm { d } x } \\ & { - \omega ^ { 2 } \int _ { D } ( h \cdot \nabla u ) \cdot \bar { v } \, \mathrm { d } x + ( \lambda + \mu ) \int _ { S } ( \nabla \cdot u ) ( n \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) ) \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { n } ^ { \mathrm { T E } } ( z ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { l , t } } c _ { n , l } ^ { \mathrm { T E } } \phi _ { l } ( z ) } \\ { \tau _ { n } ^ { \mathrm { T M } } ( z ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { l , t } } c _ { n , l } ^ { \mathrm { T M } } \phi _ { l } ( z ) } \\ { \zeta _ { n } ( z ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { l , z } } d _ { n , l } ^ { \mathrm { T M } } \psi _ { l } ( z ) , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { \gamma } \\ { Z ^ { 0 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \cos \theta _ { \mathrm { W } } } & { \sin \theta _ { \mathrm { W } } } \\ { - \sin \theta _ { \mathrm { W } } } & { \cos \theta _ { \mathrm { W } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { B ^ { 0 } } \\ { W ^ { 0 } } \end{array} \right) }
s = \mathcal { B } _ { 1 } \mathcal { B } _ { 2 } \mathcal { B } _ { 3 } + \mathrm { { c . c . } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 \quad \mathrm { h o n e y c o m b } , } \\ { + 2 \quad \mathrm { t r i a n g u l a r } , } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { 2 } } { d t } = } & { } & { ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) B _ { r 1 2 } n _ { p h 1 2 } - n _ { 2 } \gamma _ { r 1 2 } + ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) B _ { n r 1 2 } n _ { p n 1 2 } - n _ { 2 } \gamma _ { n r 1 2 } + } \\ & { } & { ( n _ { 3 } - n _ { 2 } ) B _ { n r 2 3 } n _ { p n 2 3 } + n _ { 3 } \gamma _ { n r 2 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 0 } ^ { \left( d \right) } } & { \equiv \frac { d ^ { 2 } } { 2 ^ { d } \pi ^ { d / 2 } } \frac { L ^ { d } } { \Gamma \left( \frac { d } { 2 } + 1 \right) \left( c _ { s 0 } ^ { \left( d \right) } \right) ^ { d } } \, , } \\ { \kappa _ { \pm } ^ { \left( d \right) } } & { \equiv \pm \frac { d ^ { 2 } \left( d - 1 \right) } { 2 ^ { d } \pi ^ { \frac { d - 1 } { 2 } } } \frac { L ^ { d - 1 } } { \Gamma \left( \frac { d - 1 } { 2 } + 1 \right) } \left( c _ { s \pm } ^ { \left( d \right) } \right) ^ { 1 - d } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } } & { = } & { \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \| K _ { N } - K _ { N } ^ { \dag } \| _ { \infty } ( \| K _ { N } \| _ { \infty } - \rho _ { 0 } + R _ { N } - \| A _ { N } - A _ { N } ^ { \dag } \| _ { \infty } ) \, + } \\ & { } & { \; \frac { \| K _ { N } ^ { \dag } \| _ { \infty } ( \| K _ { N } - K _ { N } ^ { \dag } \| _ { \infty } - \| A _ { N } - A _ { N } ^ { \dag } \| _ { \infty } ) + R _ { N } ( \| K _ { N } - K _ { N } ^ { \dag } \| _ { \infty } + \| K _ { N } ^ { \dag } \| _ { \infty } - \| K _ { N } \| _ { \infty } ) } { R _ { N } + \| K _ { N } ^ { \dag } \| _ { \infty } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { F i n d } \quad } & { \mathcal { P } _ { \operatorname* { m i n } } , \alpha _ { \operatorname* { m i n } } = \underset { \mathcal { P } , \alpha } { \mathrm { a r g m i n } } \, \psi ( \mathcal { P } , \alpha ) } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad } & { \nabla \phi ( \boldsymbol { m } ^ { F W I } ( \mathcal { P } , \alpha , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) , \mathcal { P } , \alpha , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) = \mathbf { 0 } \quad \mathrm { f o r ~ e a c h ~ } \boldsymbol { m } ^ { \prime } \in \mathcal { M ^ { \prime } } , } \end{array}
\mathrm { d } _ { Q } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } = \left( \sum _ { \sigma } \mathrm { d } _ { Q } \mu _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } \, S _ { \pm \rho } ^ { \sigma } \right) \frac { 1 } { \tau _ { \rho } } \exp \left( \sum _ { \sigma } \mu _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } \, S _ { \pm \rho } ^ { \sigma } \right) = F _ { \pm \rho } ~ j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } ,
U _ { i j } ( r _ { i j } ) = \frac { z _ { i } z _ { j } } { r _ { i j } } + A _ { i j } \exp \left( - \frac { r _ { i j } } { \rho _ { i j } } \right) - \frac { C _ { i j } } { r _ { i j } ^ { 6 } }
\begin{array} { r l } & { \quad \Delta t ^ { 2 } \, g ( t _ { i } ) ^ { 4 } \, \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ | | \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - \frac { 1 } { 2 } s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \frac { 1 } { 2 } s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { = } & { \quad \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } [ | | \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } - \mu _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } ] + \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } [ | | \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } - \mu _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } ] \right] } \\ { = } & { \quad \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } , \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) } \left[ | | \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } - \mu _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } - \mu _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { = } & { \quad \mathcal { L } _ { \mathrm { s i n g l e } } ( \theta ) . } \end{array}
f x ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots , n _ { m } ) = { \frac { 1 } { N _ { 1 } \cdots N _ { m } } } \sum _ { K _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \cdots \sum _ { K _ { m } = 0 } ^ { N _ { m } - 1 } F x ( K _ { 1 } , K _ { 2 } , \ldots , K _ { m } ) e ^ { i { \frac { 2 \pi } { N _ { 1 } } } n _ { 1 } K _ { 1 } + i { \frac { 2 \pi } { N _ { 2 } } } n _ { 2 } K _ { 2 } \cdots + i { \frac { 2 \pi } { N _ { m } } } n _ { m } K _ { m } }
\begin{array} { r l r } { - \frac { { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } } & { - } & { \frac { G M _ { \oplus } } { c ^ { 2 } r _ { \mathrm { A } } } \Big ( 1 - J _ { 2 } \Big [ \frac { R _ { \oplus } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ] ^ { 2 } \frac { 3 z _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } - r _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { 2 r _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } \Big ) = } \\ & { = } & { \frac { 3 G M _ { \oplus } } { 2 c ^ { 2 } a _ { 0 } } - \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 2 } a _ { 0 } } e _ { 0 } \cos { \cal E } _ { 0 } - \frac { 7 G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } J _ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } a _ { 0 } ^ { 3 } } \big ( 1 - { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \sin ^ { 2 } i _ { 0 } \big ) - \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } J _ { 2 } \sin ^ { 2 } i _ { 0 } } { c ^ { 2 } a _ { 0 } ^ { 3 } } \cos 2 ( \omega _ { 0 } + u ) , } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ 6 ~ B ~ 9 ~ 5 ~ } } [ n ] = 0 . 2 8 E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ I ~ D ~ E ~ R ~ } } [ n ] + E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ , ~ s ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ 6 ~ B ~ 9 ~ 5 ~ } } [ n ] .
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \textrm { f o r \ensuremath { r \in [ 0 , \frac { 1 } { 3 } ) } , } } \\ { \frac { 1 } { 2 } + 5 4 \left( r - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 3 } - \frac { 9 } { 2 } \left( r - \frac { 1 } { 2 } \right) } & { \textrm { f o r } r \in [ \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } ] , } \\ { 0 } & { \textrm { f o r } r \geq \frac { 2 } { 3 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { i \dot { \alpha } } & { { } = - ( \Delta _ { c } + i \frac { \kappa } { 2 } - \frac { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } \right\rangle } { \Delta _ { 0 } } ) \alpha + \eta _ { p } } \\ { i \left\langle \dot { \hat { c } } _ { m } \right\rangle } & { { } = m \omega _ { B } \left\langle \hat { c } _ { m } \right\rangle + \frac { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { 2 } } { \Delta _ { 0 } } | \alpha | ^ { 2 } \sum _ { m , n } J _ { m , n } \left\langle \hat { c } _ { n } \right\rangle , } \end{array}
\frac { 1 } { \gamma } \frac { \tau ( t ) } { \dot { \tau } ( t ) } \ddot { x } ( t ) + \frac { ( 1 + \gamma ) \dot { \tau } ( t ) ^ { 2 } - \tau ( t ) \ddot { \tau } ( t ) } { \gamma \dot { \tau } ( t ) ^ { 2 } } \dot { x } ( t ) + \dot { \tau } \left( t \right) \nabla f \left( x ( t ) + \frac { 1 } { \gamma } \frac { \tau ( t ) } { \dot { \tau } ( t ) } \dot { x } ( t ) \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } ( t ) } & { { } = \dot { \Theta } ( \boldsymbol { q } ) = \int _ { \mathcal { D } } \nabla _ { \boldsymbol { q } } \Theta ( \boldsymbol { q } ) \cdot \dot { \boldsymbol { q } } d \boldsymbol { x } = \int _ { \mathcal { D } } \nabla _ { \boldsymbol { q } } \Theta ( \boldsymbol { q } ) \cdot \left[ \mathcal { N } ( \boldsymbol { q } ( \boldsymbol { x } , t ) ) + \epsilon \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } , t ) \right] d \boldsymbol { x } } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 2 } ^ { q } = S _ { 3 4 } ^ { q } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - R ) ( 1 - p ) } \\ { \times \bigg ( 2 k _ { B } \mathcal { T } + p \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { d L ( \tau ) = \left( \gamma L ^ { \alpha } - D ( \alpha - \beta ) L ^ { \beta - 1 } + \mathcal { O } \left( \frac { D ^ { 2 } } { L ^ { 2 + \alpha - 2 \beta } } \right) \right) d \tau + \sqrt { D \, L ^ { \beta } } \ d W _ { \tau } \ . } \end{array}
2 \mathrm { ~ R ~ - ~ C ~ l ~ } + 2 \mathrm { ~ N ~ a ~ } \xrightarrow [ ] { \mathrm { ~ d ~ i ~ e ~ t ~ h ~ y ~ l ~ e ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } } \mathrm { ~ R ~ - ~ R ~ } + 2 \mathrm { ~ N ~ a ~ C ~ l ~ } .
\begin{array} { r l } & { | \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } K ( x _ { j } , y ) g ^ { 2 } ( y ) d y - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } g ^ { 2 } ( y ) \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } K ( x , y ) d x d y | } \\ { = } & { | \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } K ( x _ { j } , y ) - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } K ( x , y ) d x \Big ) g ^ { 2 } ( y ) d y | } \\ { \leq } & { \| \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } K ( x _ { j } , y ) - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } K ( x , y ) d x \| _ { \infty } \| g \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\Sigma ( \tau ) \simeq 2 \int { \frac { q ^ { 2 } \; d q } { \widehat { \cal P } _ { q } } } \; | a _ { q } | ^ { 2 } \left[ 1 + \cos \left( 2 \int _ { 0 } ^ { \tau } d x \; { \cal P } _ { q } ( x ) + \alpha _ { q } \right) \right]
\begin{array} { r } { \left( e ^ { k c T ( y - 1 ) } - e ^ { 4 k c T ( y - 1 ) } - 3 e ^ { 2 k c T ( y - 1 ) } + 3 e ^ { 3 k c T ( y - 1 ) } \right) = } \\ { ( 1 - 1 - 3 + 3 ) + k c T ( y - 1 ) ( 1 - 4 - 6 + 9 ) + \frac { ( k c T ( y - 1 ) ) ^ { 2 } } { 2 ! } ( 1 - 1 6 - 1 2 + 2 7 ) } \\ { + \frac { ( k c T ( y - 1 ) ) ^ { 3 } } { 3 ! } ( 1 - 6 4 - 2 4 + 8 1 ) } \\ { = - ( k c T ( y - 1 ) ) ^ { 3 } } \\ { = ( k c T ( 1 - y ) ) ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { r } ^ { \pm } } & { = \pm \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( q c _ { 1 } ^ { \pm } e ^ { - q | z | } + Q c _ { 2 } ^ { \pm } e ^ { - Q | z | } \right) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { G _ { z } ^ { \pm } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } q \left( c _ { 1 } ^ { \pm } e ^ { - q | z | } + c _ { 2 } ^ { \pm } e ^ { - Q | z | } \right) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { P ^ { \pm } } & { = \pm \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } c _ { 1 } ^ { \pm } e ^ { - q | z | } J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { | S _ { 0 } | } \sum _ { i \in S _ { 0 } } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } \| } \\ { \leq } & { \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { | S _ { 0 } | } \sum _ { i \in H } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } \| + \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { | S _ { 0 } | } \sum _ { i \in S _ { 0 } \setminus H } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } \| } \\ { \leq } & { \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { | S _ { 0 } | } \sum _ { i \in H } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } \| + \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in S _ { 0 } \setminus H } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| + \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in S _ { 0 } \setminus H } x _ { i } z _ { i } \| } \\ { \leq } & { ( 1 + ( C _ { 2 } + 1 2 C _ { 2 } ^ { 1 . 5 } ) K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) ) \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + ( C _ { 2 } + 1 2 C _ { 2 } ^ { 1 . 5 } ) K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) \sigma \; . } \end{array}
M _ { R } = { \left( \begin{array} { l l l } { ( R \mathbf { e } _ { 1 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 1 } } & { ( R \mathbf { e } _ { 2 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 1 } } & { ( R \mathbf { e } _ { 3 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 1 } } \\ { ( R \mathbf { e } _ { 1 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 2 } } & { ( R \mathbf { e } _ { 2 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 2 } } & { ( R \mathbf { e } _ { 3 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { ( R \mathbf { e } _ { 1 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 3 } } & { ( R \mathbf { e } _ { 2 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 3 } } & { ( R \mathbf { e } _ { 3 } R ^ { - 1 } ) \cdot \mathbf { e } _ { 3 } } \end{array} \right) } .
\left[ \arcsin \left( \sqrt { \frac { - \tilde { c } } { b } } \right) , \pi - \arcsin \left( \sqrt { \frac { - \tilde { c } } { b } } \right) \right] \subset \left( \frac { \pi } { 2 } - \delta _ { 2 } , \frac { \pi } { 2 } + \delta _ { 2 } \right) .
s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \sqrt [ 2 \xi ] { \frac { c } { a } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \sqrt { \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } - 1 } } { \xi } \pi } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \sqrt [ 2 \xi ] { \frac { c } { a } } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \sqrt { \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } - 1 } } { \xi } \pi } ,
\begin{array} { r l } { k _ { \pm } } & { { } = \omega \left( I _ { + } + i \, I _ { - } \right) \pm \frac { \mu \Sigma } { 2 } \; , } \\ { \tilde { k } _ { \pm } } & { { } = - \omega \left( I _ { + } + i \, I _ { - } \right) \pm \frac { \mu \Sigma } { 2 } \; , } \end{array}
\{ \hat { \psi } _ { a } , \hat { \psi } _ { b } \} = \{ \hat { \psi } _ { a } ^ { \dagger } , \hat { \psi } _ { b } ^ { \dagger } \} = 0 , \; \; \; \; \{ \hat { \psi } _ { a } , \hat { \psi } _ { b } ^ { \dagger } \} = \delta _ { a b } .
\hat { H } = \hat { T } + \sum _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ a ~ t ~ o ~ m ~ s ~ } } \left( x _ { \alpha } \right) \left[ \hat { V } _ { l o c } ^ { \alpha , \mathrm { ~ o ~ r ~ t ~ h ~ o ~ } } + \hat { V } _ { n o n l o c } ^ { \alpha , \mathrm { ~ o ~ r ~ t ~ h ~ o ~ } } + \hat { V } _ { S O } ^ { \alpha , \mathrm { ~ o ~ r ~ t ~ h ~ o ~ } } \right] + \left( 1 - x _ { \alpha } \right) \left[ \hat { V } _ { l o c } ^ { \alpha , \mathrm { ~ c ~ u ~ b ~ i ~ c ~ } } + \hat { V } _ { n o n l o c } ^ { \alpha , \mathrm { ~ c ~ u ~ b ~ i ~ c ~ } } + \hat { V } _ { S O } ^ { \alpha , \mathrm { ~ c ~ u ~ b ~ i ~ c ~ } } \right]
\begin{array} { r l } { \left\langle \nabla \gamma , \nabla P _ { 0 } \phi \right\rangle } & { { } = \left\langle \nabla \gamma , \delta \phi \right\rangle , \quad \forall \gamma \in \overline { { \mathbb { V } } } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \alpha , - \tilde { \nabla } ^ { 2 } P _ { 2 } \psi \right\rangle : = \left\langle \delta \alpha , \delta P _ { 2 } \psi \right\rangle } & { { } = \left\langle \delta \alpha , \nabla \phi \right\rangle , \quad \forall \gamma \in \overline { { \mathbb { V } } } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { x _ { 1 } } ( \theta , \pi , G ) } & { = \left( \begin{array} { c } { \int _ { { \cal { S } } } F ( \theta + \alpha ) G _ { 1 , x _ { 1 } } ^ { 2 } ( \alpha ) F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ { \int _ { { \cal { S } } } F ( \theta + \alpha ) G _ { 0 , x _ { 1 } } ^ { 2 } ( \alpha ) [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ { \int _ { { \cal { S } } } F ( \alpha ) [ 1 - G _ { 1 , x _ { 1 } } ^ { 2 } ( \alpha ) ] F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ { \int _ { { \cal { S } } } F ( \alpha ) [ 1 - G _ { 0 , x _ { 1 } } ^ { 2 } ( \alpha ) ] [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ { \int _ { { \cal { S } } } \left[ 1 - F ( \theta + \alpha ) \right] G _ { 1 , x _ { 1 } } ^ { 2 } ( \alpha ) F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ { \int _ { { \cal { S } } } \left[ 1 - F ( \theta + \alpha ) \right] G _ { 0 , x _ { 1 } } ^ { 2 } ( \alpha ) [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ { \int _ { { \cal { S } } } \left[ 1 - F ( \alpha ) \right] [ 1 - G _ { 1 , x _ { 1 } } ^ { 2 } ( \alpha ) ] F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ { \int _ { { \cal { S } } } \left[ 1 - F ( \alpha ) \right] [ 1 - G _ { 0 , x _ { 1 } } ^ { 2 } ( \alpha ) ] [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F i t t _ { R _ { \infty } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { \infty } ) _ { R _ { \infty } ^ { \chi } } ^ { - } ) } & { \subseteq } & { F i t t _ { R _ { \infty } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { \infty } ) _ { R _ { \infty } ^ { \chi } } ^ { - } ) = } \\ & { = } & { ( \Theta _ { \Sigma \cup J } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { \infty } / F ) ( N I _ { v , p } , 1 - \sigma _ { v } ^ { - 1 } e _ { v , p } ) ) _ { R _ { \infty } ^ { \chi } } , } \end{array}
\hat { \phi } ( t , r ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \omega } { \sqrt { \omega } } \, \left[ b _ { \omega } e ^ { - i \omega t } \psi _ { \omega } ( t , r ) + b _ { \omega } ^ { \dagger } e ^ { i \omega t } \psi _ { \omega } ^ { \ast } ( t , r ) \right] .
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , x \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { n _ { * } = \operatorname* { m i n } _ { e \in \mathcal { E } } \frac { n ^ { ( e ) } } { \omega ^ { ( e ) } } \qquad \bar { n } = \Bigg ( \sum _ { e \in \mathcal { E } } \frac { \omega ^ { ( e ) } } { n ^ { ( e ) } } \Bigg ) ^ { - 1 } \qquad n _ { \operatorname* { m i n } } = \operatorname* { m i n } _ { e \in \mathcal { E } } n ^ { ( e ) } \qquad n _ { \dagger } = \Bigg ( \sum _ { e \in \mathcal { E } } \frac { \omega ^ { ( e ) } } { ( n ^ { ( e ) } ) ^ { 3 / 2 } } \Bigg ) ^ { - 1 } . } \end{array}