harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } e ^ { - \gamma _ { p } | \tau - k \Lambda | } } & { = } & & { \sum _ { k \in \mathbb { Z } } e ^ { - \gamma _ { p } | \tau _ { m } - k \Lambda | } , } \\ & { = } & & { e ^ { - \gamma _ { p } \tau _ { m } } \sum _ { k \in \mathbb { Z } _ { 0 } ^ { + } } e ^ { - k \gamma _ { p } \Lambda } } \\ & { } & & { + e ^ { \gamma _ { p } ( \tau _ { m } - \Lambda ) } \sum _ { k \in \mathbb { Z } _ { 0 } ^ { + } } e ^ { - k \gamma _ { p } \Lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } ( X ) } & { = \exp \left( \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { M } _ { 1 } ( [ 0 , 1 ] ) } \left( \int _ { [ 0 , 1 ] } A V @ R _ { \lambda } ( \log X ) \mu ( \mathrm { d } \lambda ) - \beta ( \mu ) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { M } _ { 1 } ( [ 0 , 1 ] ) } \tilde { \beta } ( \mu ) \exp \left( \int _ { [ 0 , 1 ] } A V @ R _ { \lambda } ( \log X ) \mu ( \mathrm { d } \lambda ) \right) , } \end{array}
\frac { d \Gamma ( { } ^ { 3 } S _ { 1 } ^ { \prime } \rightarrow 3 \gamma ) } { d \omega } \approx a _ { P } ^ { 2 } \frac { d \Gamma ( { } ^ { 3 } P _ { 1 } \rightarrow 3 \gamma ) } { d \omega } + \frac { d \Gamma ( { } ^ { 3 } S _ { 1 } \rightarrow 3 \gamma ) } { d \omega }
\begin{array} { r l } { F _ { N } = \bigg [ } & { h _ { P } ^ { Q } + \big ( U _ { P R } ^ { Q S } - U _ { P R } ^ { S Q } \big ) \gamma _ { S } ^ { R } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \big ( L _ { P R T } ^ { Q S U } - L _ { P R T } ^ { S Q U } - L _ { P R T } ^ { U S Q } \big ) \gamma _ { S U } ^ { R T } \bigg ] \tilde { a } _ { Q } ^ { P } } \end{array}
U _ { i 4 } ^ { ( e ) } = 0 = U _ { i 5 } ^ { ( e ) } \; , \; \; U _ { 4 j } ^ { ( e ) } = 0 = U _ { 5 j } ^ { ( e ) } \; , \; \; U _ { 4 4 } ^ { ( e ) } = 1 = U _ { 5 5 } ^ { ( e ) } \; .
\mathrm { L i p } _ { P _ { \Sigma _ { 1 } } V \to P _ { \Sigma _ { 2 } } V } ( \phi _ { \rho } ) < 1 \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \mathrm { L i p } _ { P _ { \Sigma _ { 2 } } V \to P _ { \Sigma _ { 1 } } V } ( \psi _ { \rho } ( v , \cdot ) ) < 1
\begin{array} { r } { w _ { i \sigma } ( \textbf { r } ) = \beta [ \varphi _ { i \sigma } ( \textbf { r } ) - \gamma \varphi _ { j \sigma } ( \textbf { r } ) ] = \beta [ \phi _ { i } ( \textbf { r } ) \chi _ { \sigma } ( i ) - \gamma \phi _ { j } ( \textbf { r } ) \chi _ { \sigma } ( j ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } R ( \sigma ( s , \alpha , b ) , \alpha ( b ) ( s ) , b ( s ) ) + p \cdot f ( \sigma ( s , \alpha , b ) , \alpha ( b ) ( s ) , b ( s ) ) \; \mathrm { d } s } \\ & { \qquad \qquad = \int _ { 0 } ^ { \operatorname* { m i n } I _ { 1 } } J ( s ) \; \mathrm { d } s + \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( \int _ { \operatorname* { m i n } I _ { j } } ^ { \operatorname* { m a x } I _ { j } } J ( s ) \; \mathrm { d } s + \int _ { \operatorname* { m a x } I _ { j } } ^ { \operatorname* { m i n } I _ { j + 1 } } J ( s ) \; \mathrm { d } s \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \int _ { \operatorname* { m i n } I _ { n } } ^ { \operatorname* { m a x } I _ { n } } J ( s ) \; \mathrm { d } s + \int _ { \operatorname* { m a x } I _ { n } } ^ { t } J ( s ) \; \mathrm { d } s } \\ & { \qquad \qquad \geq - \frac { \sqrt { 3 } \operatorname* { m i n } I _ { 1 } } { 5 0 } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { 3 } h ( p _ { i } ) + 9 5 ( \operatorname* { m i n } I _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } - | p | - | I _ { j } | \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { 3 } h ( p _ { i } ) - \frac { \sqrt { 3 } ( \operatorname* { m i n } I _ { j + 1 } - \operatorname* { m a x } I _ { j } ) } { 5 0 } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { 3 } h ( p _ { i } ) + 9 5 ( \operatorname* { m i n } I _ { j + 1 } - \operatorname* { m a x } I _ { j } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad - | p | - | I _ { n } | \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { 3 } h ( p _ { i } ) - \frac { \sqrt { 3 } ( t - \operatorname* { m a x } I _ { n } ) } { 5 0 } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { 3 } h ( p _ { i } ) } \\ & { \qquad \qquad \geq - t \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { 3 } h ( p _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { D } ( \vartheta ) ( p _ { 1 } \alpha _ { 1 } + p _ { 2 } \vartheta \alpha _ { 2 } ) } & { = \Lambda _ { \kappa } ( p _ { 2 } ) \alpha _ { 2 } + \Lambda _ { \kappa } ( p _ { 1 } ) \vartheta \alpha _ { 1 } , } \\ { D _ { \mathrm { h o r } } ( p _ { 1 } \alpha _ { 1 } + p _ { 2 } \vartheta \alpha _ { 2 } ) } & { = - \mathrm { i } { \nabla ( p _ { 1 } ) } _ { \langle 0 \rangle } c _ { B } ( { \nabla ( p _ { 1 } ) } _ { \langle 1 \rangle } ) ( \alpha _ { 1 } ) + p _ { 1 } D _ { B } ( \alpha _ { 1 } ) } \\ & { \quad + \mathrm { i } { \nabla ( p _ { 2 } ) } _ { \langle 0 \rangle } \vartheta c _ { B } ( { \nabla ( p _ { 2 } ) } _ { \langle 1 \rangle } ) ( \alpha _ { 2 } ) - p _ { 2 } \vartheta D _ { B } ( \alpha _ { 2 } ) } \\ { Z ( p _ { 1 } \alpha _ { 1 } + p _ { 2 } \vartheta \alpha _ { 2 } ) } & { = - p _ { 2 } \mathfrak { e } _ { B } ( \mathcal { F } _ { \Pi } ) ( \alpha _ { 2 } ) - p _ { 1 } \vartheta \mathfrak { i } _ { B } ( \mathcal { F } _ { \Pi } ) ( \alpha _ { 1 } ) . } \end{array}
\frac { | \mathit { { E } } _ { k } ^ { y } | } { | \mathit { { E } } _ { k } ^ { x } | } \approx \frac { \omega _ { 0 p e } ^ { 2 } | \Omega _ { 0 e } | \cos ^ { 2 } \theta \omega _ { k } } { c ^ { 2 } k _ { \parallel } ^ { 2 } | \Omega _ { 0 e } | ^ { 2 } - \left( \omega _ { 0 p e } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + c ^ { 2 } k _ { \parallel } ^ { 2 } \right) \omega _ { k } ^ { 2 } } ,
A _ { \mathrm { 0 i } } + A _ { \mathrm { 0 r } } = \frac { n _ { 1 } ^ { 2 } \sin \theta _ { \mathrm { t } } } { n _ { 2 } ^ { 2 } \sin \theta _ { \mathrm { i } } } A _ { \mathrm { 0 t } } \, ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { Q } } ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { 1 } { i \omega } \frac { \delta \langle j _ { \textrm { Q } } ^ { y } ( t ) \rangle } { \delta A _ { \textrm { p r o b } } ^ { x } ( t ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad - [ \hbar ( e _ { i + 1 , i + 1 } \otimes e _ { i , i } + e _ { i , i } \otimes e _ { i + 1 , i + 1 } ) , \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } ] } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { i , i } e _ { j , v } t ^ { - w } - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i , j } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { i + 1 , i + 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { j , i } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { i + 1 , i + 1 } e _ { j , v } t ^ { - w } - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { i , i } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F _ { p } ^ { x } } & { = { \frac { \partial \sigma _ { x x } } { \partial x } } \, d x \, d y \, d z + { \frac { \partial \sigma _ { y x } } { \partial y } } \, d y \, d x \, d z + { \frac { \partial \sigma _ { z x } } { \partial z } } \, d z \, d x \, d y } \\ { F _ { p } ^ { y } } & { = { \frac { \partial \sigma _ { x y } } { \partial x } } \, d x \, d y \, d z + { \frac { \partial \sigma _ { y y } } { \partial y } } \, d y \, d x \, d z + { \frac { \partial \sigma _ { z y } } { \partial z } } \, d z \, d x \, d y } \\ { F _ { p } ^ { z } } & { = { \frac { \partial \sigma _ { x z } } { \partial x } } \, d x \, d y \, d z + { \frac { \partial \sigma _ { y z } } { \partial y } } \, d y \, d x \, d z + { \frac { \partial \sigma _ { z z } } { \partial z } } \, d z \, d x \, d y { \vphantom { \begin{array} { l } \end{array} } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { d \Gamma } { d \Delta p } = } & { { } \, \frac { n _ { g } A \Delta p } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ( 2 e ^ { - 3 \Delta p ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \bigg ( \frac { 2 \Delta p } { m _ { g } \overline { { v } } } - \frac { 4 m _ { g } \overline { { v } } } { \Delta p } \bigg ) \mathrm { e r f } \big ( \Delta p / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) } \\ { = } & { { } \, \frac { n _ { g } A \Delta p } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \xi \Big ( \frac { \Delta p } { m _ { g } \overline { { v } } } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \ell \in H ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) } \quad } & { J ( S _ { \varepsilon } ( \ell ) , \ell ) + \frac { 1 } { 2 } \| \ell - \bar { \ell } \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \ell \in B _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) } ( \bar { \ell } , \rho ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal S } _ { \beta } ( \vec { k } ) = } & { { } \ \mathrm { i } \frac { 8 } { 4 5 } \frac { \alpha ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 4 } } \sqrt { \frac { k ^ { 0 } } { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } { \cal I } _ { m , 3 - m } ( \vec { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } s _ { X } ( t ) } & { = - n _ { X } \left( \frac { \lambda _ { X } } { n _ { X } } \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \frac { \lambda _ { \overline { { X } } } } { n _ { \overline { { X } } } } \langle \eta _ { t } ^ { \overline { { X } } } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \beta _ { G } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } \frac { s _ { X } ( t ) } { n _ { X } } \right) , } \\ { \frac { d } { d t } i _ { X } ( t ) } & { = - \frac { d } { d t } s _ { X } ( t ) + \gamma i _ { X } ( t ) . } \end{array}
{ \cal D } _ { > } ^ { i j } ( x ) = ( \delta ^ { i j } \! - \! \hat { x } ^ { i } \hat { x } ^ { j } ) { \cal D } _ { > } ( x ) + ( \delta ^ { i j } \! - \! 3 \hat { x } ^ { i } \hat { x } ^ { j } ) E ( x )
P _ { x x } ( \mathbf { k } ) = 2 \pi P _ { x x } ^ { s l a b } ( k _ { z } ) \delta ( k _ { x } ) \delta ( k _ { y } ) + \sqrt { 2 \pi } P _ { x x } ^ { 2 D } ( k _ { x } , k _ { y } ) \delta ( k _ { z } )
\begin{array} { r l } { \| \widetilde { G } _ { n } - G _ { P } \| _ { \infty } } & { \leq \| \widetilde { G } _ { n } - \widehat { G } _ { n } \| _ { \infty } + \| \widehat { G } _ { n } - G _ { P } \| _ { \infty } } \\ & { \leq 2 \, g _ { \operatorname* { m a x } , P } \, \varepsilon _ { n } ^ { F , P } + 3 \, \varepsilon _ { n } ^ { G , P } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { \rho } } { \partial t } } & { = i [ \rho , H _ { S } ] + \epsilon ^ { 2 } \sum _ { l } \sum _ { \alpha , { \tilde { \alpha } } = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \Big \{ a _ { l \alpha } ^ { * } b _ { l { \tilde { \alpha } } } \Big ( F _ { \tilde { \alpha } } \rho F _ { \alpha } ^ { \dagger } - \frac { \{ F _ { \alpha } ^ { \dagger } F _ { \tilde { \alpha } } , \rho \} } { 2 } - \frac { [ F _ { \alpha } ^ { \dagger } F _ { \tilde { \alpha } } , \rho ] } { 2 } \Big ) + c _ { l \alpha } ^ { \prime * } a _ { l { \tilde { \alpha } } } ^ { \prime } \Big ( F _ { \tilde { \alpha } } \rho F _ { \alpha } ^ { \dagger } - \frac { \{ F _ { \alpha } ^ { \dagger } F _ { \tilde { \alpha } } , \rho \} } { 2 } + \frac { [ F _ { \alpha } ^ { \dagger } F _ { \tilde { \alpha } } , \rho ] } { 2 } \Big ) } \\ & { + b _ { l \alpha } ^ { * } a _ { l { \tilde { \alpha } } } \Big ( F _ { \tilde { \alpha } } \rho F _ { \alpha } ^ { \dagger } - \frac { \{ F _ { \alpha } ^ { \dagger } F _ { \tilde { \alpha } } , \rho \} } { 2 } + \frac { [ F _ { \alpha } ^ { \dagger } F _ { \tilde { \alpha } } , \rho ] } { 2 } \Big ) + a _ { l \alpha } ^ { \prime * } c _ { l { \tilde { \alpha } } } ^ { \prime } \Big ( F _ { \tilde { \alpha } } \rho F _ { \alpha } ^ { \dagger } - \frac { \{ F _ { \alpha } ^ { \dagger } F _ { \tilde { \alpha } } , \rho \} } { 2 } - \frac { [ F _ { \alpha } ^ { \dagger } F _ { \tilde { \alpha } } , \rho ] } { 2 } \Big ) \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { R } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { R } } | \mathbf { u } _ { t } + \mathcal { N } [ \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { i } , t ^ { i } ) ] | ^ { 2 } } \\ { \mathcal { L } _ { B C } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { B C } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { B C } } | \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { i } , t ^ { i } ) - g ( \mathbf { x } ^ { i } , t ^ { i } ) | ^ { 2 } } \\ { \mathcal { L } _ { I C } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { I C } } \sum _ { i = 1 } ^ { I _ { B C } } | \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { i } , 0 ) - f ( \mathbf { x } ^ { i } ) | ^ { 2 } . } \end{array}
v _ { x c } ^ { \mathrm { L D A } } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \delta E ^ { \mathrm { L D A } } } { \delta \rho ( \mathbf { r } ) } } = \epsilon _ { x c } ( \rho ( \mathbf { r } ) ) + \rho ( \mathbf { r } ) { \frac { \partial \epsilon _ { x c } ( \rho ( \mathbf { r } ) ) } { \partial \rho ( \mathbf { r } ) } } \ .
\begin{array} { r } { S _ { \overline { { \varphi } } } = \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { \overline { { \varphi } } } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { \overline { { \varphi } } } = \overline { { \varphi } } ^ { \dagger } A _ { \varphi } \overline { { \varphi } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { U } ( \beta ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } } \times \left\{ \begin{array} { c c c } { 1 } & { , } & { - \sqrt { 3 } \, \le \, \frac { \beta } { \sqrt { \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } } \, < \, \sqrt { 3 } } \\ { 0 } & { , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \end{array}
\textsc { T } _ { \delta , \epsilon } ( \textsc { A } , f _ { U } ) = \textsc { T } _ { \delta , \epsilon } ( \{ \mathbf x ^ { t } \} _ { t \geq 0 } , f _ { U } ) = \operatorname* { i n f } \left\{ t \geq 0 : \operatorname* { m i n } \left\{ \| \mathbf g \| : \mathbf g \in \partial _ { \delta } f _ { U } ( \mathbf x ^ { t } ) \right\} \leq \epsilon \right\} .
\begin{array} { r l } { u } & { { } : = ( t , x , y , z ) \mapsto \mathrm { e } ^ { - t } \sin ( \pi x ) \sin ( \pi y ) \sin ( \pi z ) } \\ { v } & { { } : = ( t , x , y , z ) \mapsto \mathrm { e } ^ { - t } \left( x ^ { 2 } - x \right) \left( y ^ { 2 } - y \right) \left( z ^ { 2 } - z \right) } \\ { w } & { { } : = ( t , x , y , z ) \mapsto \mathrm { e } ^ { - t } \sin ( \pi x ) \sin ( \pi y ) \left( z ^ { 2 } - z \right) } \\ { p } & { { } : = ( t , x , y , z ) \mapsto \mathrm { e } ^ { - t } x y z } \end{array}
\Omega ^ { 2 ( 1 + q ) } = \frac { 2 D ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - 1 ) } { - \mu ( 1 + q ) ^ { 2 } } \left[ A + \frac { 2 s } { ( 1 + q ) Q } - \frac { D k } { ( 1 + q ) Q } \right] ^ { - 2 }
{ \frac { 2 . 3 4 \times 1 0 ^ { 2 } } { 5 . 6 7 \times 1 0 ^ { - 5 } } } \approx 0 . 4 1 3 \times 1 0 ^ { 2 - ( - 5 ) } = 0 . 4 1 3 \times 1 0 ^ { 7 } = 4 . 1 3 \times 1 0 ^ { 6 }
\dot { \theta _ { l } } \approx \frac { \left( p _ { \alpha } ( l ) - p _ { \alpha } ( l + 1 ) \right) } { \left( p _ { \mu } ( l + 1 ) - p _ { \mu } ( l ) \right) ^ { 2 } } \int _ { \bar { \theta } _ { l } } ^ { \bar { \theta } _ { l + 1 } } d \theta \dot { P } _ { \alpha } ( \theta )
\frac { 2 \pi ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } \rho ^ { 2 k } } { \Gamma ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } \frac { N _ { k - 1 } } { N _ { k } } \sim \frac { \rho ^ { 2 k } } { n ^ { k } } \sim \alpha ^ { 2 k } n ^ { k } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| V ^ { ( n ) } ( s , \cdot ) \| _ { p } ^ { p } \right] \leq C t \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| V ^ { ( n - 1 ) } \| _ { p } ^ { p } \right] + C t \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| V ^ { ( n ) } \| _ { p } ^ { p } \right] . } \end{array}
{ \operatorname * { d e t } } ^ { \prime } D \to { \operatorname * { d e t } } ^ { \prime } D \prod _ { i = 1 } ^ { r } \operatorname * { d e t } ( D - M _ { i } L _ { 1 } ) ^ { e _ { i } } \equiv \exp \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { r e g } ^ { ( k ) } [ A ] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \pi _ { R S , P Q } ^ { B A } = - ( - 1 ) ^ { - \sigma - \rho } \langle A | b _ { p \pi } ^ { \dagger } b _ { q \theta } ^ { \dagger } b _ { s _ { - \sigma } } b _ { r _ { - \rho } } | B \rangle = } \\ & { } & { = - ( - 1 ) ^ { - \sigma - \rho } \Pi _ { S _ { A } } ^ { - 1 } \sum _ { J T K } \mathsf { \Pi } _ { [ [ s r ] _ { J } , [ p q ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } \, \times } \\ & { } & { \times \, \sum _ { \mu \tau \kappa } C _ { S _ { B } \Sigma _ { B } , K \kappa } ^ { S _ { A } \Sigma _ { A } } C _ { T \tau , J - \mu } ^ { K \kappa } C _ { \frac { 1 } { 2 } - \sigma , \frac { 1 } { 2 } - \rho } ^ { J - \mu } C _ { \frac { 1 } { 2 } \pi , \frac { 1 } { 2 } \theta } ^ { T \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \phi _ { t } + \psi , \nu \rangle } & { \leq \langle \phi _ { t } + \psi , \mu _ { \mathcal { O } } \rangle + \biggl ( 9 \epsilon \frac { \operatorname { d i a m } _ { d } ( X ) } { \lambda _ { \alpha } } - t \biggr ) \langle d ^ { \beta } ( \cdot , \mathcal { O } ) , \nu \rangle + 7 0 \epsilon \delta ^ { \alpha } } \\ & { \leq \langle \phi _ { t } + \psi , \mu _ { \mathcal { O } } \rangle - 1 0 ^ { - 1 } t \langle d ^ { \beta } ( \cdot , \mathcal { O } ) , \nu \rangle + 7 0 \epsilon \delta ^ { \alpha } . } \end{array}
\mathrm { P r o b a b i l i t y } \sim \frac { 1 } { M _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } N \sim \frac { ( E R ) ^ { d } } { M _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } = \frac { ( E R ) ^ { d } } { M ^ { 2 + d } R ^ { d } } = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \left( \frac { s } { M ^ { 2 } } \right) ^ { d / 2 } ~ .
\tilde { H } _ { c } = \int d ^ { 2 } x [ \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } ( B _ { i } ^ { a } + \omega _ { i } ^ { a } ) ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } } { 2 } L ^ { a } L ^ { a } - B _ { 0 } ^ { a } G ^ { a } ]
{ \frac { { \dot { x } } _ { i } } { F _ { p _ { i } } } } = - { \frac { { \dot { p } } _ { i } } { F _ { x _ { i } } + F _ { u } p _ { i } } } = { \frac { \dot { u } } { \sum p _ { i } F _ { p _ { i } } } } .
\begin{array} { r l r } { Q Q \to Q Q } & { { } = } & { \frac 8 9 \, \frac { s ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } } \\ { Q G \to Q G } & { { } = } & { 2 \, \frac { s ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } } \\ { G G \to G G } & { { } = } & { \frac 9 2 \, \frac { s ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { \mathrm { L i n } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) = \left[ \begin{array} { l l } { \lceil A + R ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } } & { \lfloor A + R ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } } \\ { \lfloor A + S ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } } & { \lceil A + S ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { \widehat { x } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { C ^ { + } } & { C ^ { - } } \\ { C ^ { - } } & { C ^ { + } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { w } \\ { \widehat { w } } \end{array} \right] , } \end{array}
V _ { \mathcal { S P } } ^ { 0 } = ( ( 2 Z _ { \mathcal { S } } - N _ { \mathcal { S } } ) ( 2 Z _ { \mathcal { P } } - N _ { \mathcal { P } } ) + 2 N _ { \mathcal { S } } N _ { \mathcal { P } } ) \frac { G _ { F } ^ { 2 } ( \hbar c ) ^ { 5 } } { 1 6 \pi ^ { 3 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { V a r } \left\{ n ^ { - 1 } p ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } ^ { - 1 } \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } \right\} } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 2 } ) { \mathbb { E } } \left[ \left\{ \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } \right\} ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { - n ^ { - 1 } p ^ { - 1 } \{ { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 1 } ) \} ^ { 2 } \left[ { \mathbb { E } } \left\{ \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } \right\} \right] ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { \zeta _ { 1 } ^ { 2 } n ^ { - 1 } p ^ { - 2 } . } \end{array}
J = \Phi \, [ \, { \textbf { x } } ( t _ { 0 } ) , t _ { 0 } , { \textbf { x } } ( t _ { f } ) , t _ { f } \, ] + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { f } } { \mathcal { L } } \, [ \, { \textbf { x } } ( t ) , { \textbf { u } } ( t ) , t \, ] \, \operatorname { d } t
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } _ { L } } & { { } : = g _ { L } ( \mathbf { x } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } _ { L } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } ) = g _ { d } \left( g _ { e } ( \mathbf { x } ) \right) } \\ { \mathbf { y } _ { H } } & { { } : = g _ { H } ( \mathbf { x } ) = g _ { d } ( \mathbf { f } _ { H } ) = g _ { d } \left( g _ { e } ( \mathbf { x } ) \otimes \left( 1 + d _ { f } \pmb { \lambda } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { i j } = \frac { \partial \rho _ { w i } } { \partial y _ { j } } [ \rho _ { 1 } ] - \frac { \partial \rho _ { w 1 } } { \partial y _ { j } } [ \rho _ { i } ] , \quad \varrho _ { i j } = \frac { \partial \rho _ { o i } } { \partial y _ { j } } [ \rho _ { 1 } ] - \frac { \partial \rho _ { o 1 } } { \partial y _ { j } } [ \rho _ { i } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } P } & { = } & { \partial _ { i } ( f _ { i } P ) + \frac { 1 } { N } \partial _ { i } \partial _ { j } \left( g _ { i j } P \right) } \\ { f _ { i } } & { = } & { \left( \begin{array} { l } { \lambda \left[ m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) \right] } \\ { - \lambda \left[ 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) \right] + b \left[ \lambda - \lambda _ { 0 } \right] } \end{array} \right) } \\ { g _ { i j } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { \lambda \left[ 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) \right] } & { - \lambda \left[ m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) \right] } \\ { - \lambda \left[ m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) \right] } & { \lambda \left[ 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) \right] } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| H \left( X _ { t - \cdot } \right) - H _ { n } \left( X _ { t - \cdot } \right) \right| ^ { p } \right] } & { \leq \int _ { 0 } ^ { \delta } E \left[ \left| X _ { t - s } - X _ { t - \lfloor n s \rfloor / n } \right| ^ { p } \right] \, \mu ( \mathrm { d } s ) } \\ & { = O \left( n ^ { - p } \right) + O \left( \varepsilon ^ { p } n ^ { - p / 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \phantom { = } } \frac { 1 } { 2 \pi i } A \int _ { \gamma _ { A } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { x } \right) \mathbf { y } ^ { H } d z - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { x } \right) \mathbf { y } ^ { H } B d z } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ A \vec { x } \right) \mathbf { y } ^ { H } d z - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { x } \right) ( B ^ { H } \mathbf { y } ) ^ { H } d z . } \end{array}
\left( \frac { g ( x _ { k } ^ { 1 , \underline { { L } } } , y _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \underline { { L } } } } g ( x _ { k } ^ { j , \underline { { L } } } , y _ { k } ) } , \dots , \frac { g ( x _ { k } ^ { N _ { \underline { { L } } } , \underline { { L } } } , y _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \underline { { L } } } } g ( x _ { k } ^ { j , \underline { { L } } } , y _ { k } ) } \right) .