harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Z } & { : = \Big \{ x \in \Omega : \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathcal G _ { k } ( x ) \neq 0 , \mathrm { ~ o r ~ \operatorname* { l i m } _ { k \to ~ \infty } ~ \mathcal ~ G _ k ( x ) ~ d o e s ~ n o t ~ e x i s t } \Big \} } \\ { Z _ { 0 } } & { : = \Big \{ x \in \Omega : | v | = \infty \Big \} } \\ { C _ { 0 } } & { : = \Omega \setminus ( Z \cup Z _ { 0 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \rho { \frac { D u _ { i } } { D t } } \, d V } & { = \int _ { \Omega } \nabla _ { j } \sigma _ { i } ^ { j } \, d V + \int _ { \Omega } \rho f _ { i } \, d V } \\ { \int _ { \Omega } \left( \rho { \frac { D u _ { i } } { D t } } - \nabla _ { j } \sigma _ { i } ^ { j } - \rho f _ { i } \right) \, d V } & { = 0 } \\ { \rho { \frac { D u _ { i } } { D t } } - \nabla _ { j } \sigma _ { i } ^ { j } - \rho f _ { i } } & { = 0 } \\ { { \frac { D u _ { i } } { D t } } - { \frac { \nabla _ { j } \sigma _ { i } ^ { j } } { \rho } } - f _ { i } } & { = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { f _ { \mathrm { e q } , \psi \vert \phi } ^ { 0 } = a _ { 0 , \psi \vert \phi } ( \psi \vert \phi ) } \\ & { f _ { \mathrm { e q } , \psi \vert \phi } ^ { \alpha } = a _ { \psi \vert \phi } ( \psi \vert \phi ) + b \frac { \vec { c } ^ { \alpha } \cdot \vec { J } _ { \psi \vert \phi } } { 2 c ^ { 2 } } , } \\ { \mathrm { w i t h } \ } & { \boldsymbol { J } _ { \psi \vert \phi } = \sum _ { \alpha = 0 } ^ { 4 } \boldsymbol { c } ^ { \alpha } f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) , \ \mathrm { f o r ~ } \alpha \neq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } ^ { - i s ( k ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) } } & { = \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k k _ { 1 } ) } + \frac { k _ { 2 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k k _ { 2 } ) } + \frac { 2 k _ { 1 } k _ { 2 } } { k ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k ^ { 2 } - k _ { 1 } k _ { 2 } ) } } \\ & { \approx \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } ( \mathrm { e } ^ { - 2 i s k _ { 2 } ^ { 2 } } + \mathrm { e } ^ { - 2 i s k k _ { 1 } } - 1 ) + \frac { k _ { 2 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } ( \mathrm { e } ^ { - 2 i s k _ { 1 } ^ { 2 } } + \mathrm { e } ^ { - 2 i s k k _ { 2 } } - 1 ) } \\ & { \quad + \frac { 2 k _ { 1 } k _ { 2 } } { k ^ { 2 } } ( \mathrm { e } ^ { - 2 i s k ^ { 2 } } + \mathrm { e } ^ { 2 i s k _ { 1 } k _ { 2 } } - 1 ) , } \end{array}
L _ { - 1 } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( m + \frac { 1 } { 2 } ) t _ { m } \frac { \partial } { \partial t _ { m - 1 } } + \frac { 1 } { 8 } \lambda ^ { - 2 } t _ { 0 } ^ { 2 } .
\Gamma _ { \mu } ^ { ( \mathrm { f ) } } = \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } G _ { \alpha \beta } ( k ) { \frac { ( 2 p - k ) _ { \alpha } } { ( p - k ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } \Sigma ( q - k ) \Gamma _ { \beta \mu } ( k , q - k , - q ) ,
M _ { i , i + 1 } = \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes . . . \otimes \mathbf { 1 } _ { i - 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - p } & { q } & { 0 } \\ { 0 } & { p } & { - q } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { i + 2 } \otimes . . . \otimes \mathbf { 1 } _ { N }
h \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } \big ( \textstyle \sum _ { p = 1 } ^ { n } \beta _ { i p } ^ { \ell } + \textstyle \sum _ { p = 1 } ^ { n } \beta _ { i p } ^ { w \ell } w _ { m a x } ^ { \ell } \big ) \in [ 0 , 1 ]
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ( h ) ( u , v ) } & { = ( \lambda + \mu ) \int _ { \Omega } ( \nabla \cdot u ) \nabla \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) + \nabla \cdot ( h \cdot \nabla u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) \, \mathrm { d } x } \\ & { - ( \lambda + \mu ) \int _ { S _ { R } } ( \nabla \cdot u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) ( n \cdot h ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exists \varphi \in [ 0 , 2 \pi ) , \quad } & { { } \left| T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - \frac { e ^ { j \varphi } } { 2 } \right| \leq \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
A = M _ { w } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s { \frac { s ^ { 2 } l n ( s / M _ { w } ^ { 2 } ) } { s - M _ { w } ^ { 2 } + i \epsilon } } \left[ \rho _ { V } ( s ) - \rho _ { A } ( s ) \right]
\mathbf { m } _ { i , j } = \frac { 1 } { 4 } ( \mathbf { m } _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } + \mathbf { m } _ { i + 1 / 2 , j - 1 / 2 } + \mathbf { m } _ { i - 1 / 2 , j + 1 / 2 } + \mathbf { m } _ { i - 1 / 2 , j - 1 / 2 } )
h = - \frac { 4 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } { 3 } r ^ { 2 } \mu ^ { 2 } \int d \phi \frac { d \phi } { d \mu } e ^ { 4 \frac { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } { 3 } \int \frac { d \phi } { d \ln \mu } d \phi }
\begin{array} { r l r } { \| u ( t ) \| } & { \leq } & { \left( 1 + B _ { \beta } \right) \left( 1 + B _ { \beta } \mathrm { e } ^ { B _ { \beta } } \right) \mathrm { e } ^ { c / 2 } \mathrm { e } ^ { - c t / 2 } \| u ( 0 ) \| } \\ & { } & { + \left( 1 + B _ { \beta } \right) { \frac { \mathrm { e } ^ { c / 2 } } { \sqrt { c } } } \epsilon , \qquad \forall t \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { k } \left( \eta _ { k } - \frac { 1 } { 4 ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) } \right) \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) } \\ { \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { 0 } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { 0 } ^ { * } ) + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ 4 ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon + \mathrm { E x p e c t E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E x p e c t E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q _ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p _ { * } ) \right] } \end{array}
\left\lVert E _ { 1 } ^ { { \theta / 2 } ^ { * } } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \left\lVert E _ { n } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left\lVert E _ { j } ^ { \theta / 2 } \tilde { P } E _ { j + 1 } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \leq d \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left\lVert E _ { j } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { j } ^ { { \theta / 2 } ^ { * } } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } .
u \left( \mathbf { x } _ { i } + \Delta \mathbf { x } \right) = u \left( \mathbf { x } _ { i } \right) + \left. \Delta \mathbf { x } \frac { \partial u } { \partial \mathbf { x } } \right| _ { \mathbf { x } _ { i } } + \left. \frac { \Delta \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial \mathbf { x } ^ { 2 } } \right| _ { \mathbf { x } _ { i } } + \cdots .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) \to \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) + \nabla \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \; \; \; \; \; \; } & { , } & { \; \; \, \mathrm { \bf ~ E } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) \to \mathrm { \bf ~ E } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) } \\ { \; \; \; \mathrm { \bf ~ p } _ { a } ( t ) \to \mathrm { \bf ~ p } _ { a } ( t ) + q _ { a } \nabla \chi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ( t ) ) \; \; } & { , } & { \; \; \; \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ( t ) \to \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \left( \mathcal { P } _ { \Psi } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) - P _ { \Psi } ^ { n } ( \mathfrak { s } ) \right) _ { j } \right| \leq \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = n + 1 } ^ { \infty } \ell _ { \Psi } ^ { i - 1 } \leq \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \ell _ { \Psi } ^ { n } } { 2 ^ { i - n - 1 } } \leq \frac { \ell _ { \Psi } ^ { n } } { 2 } . } \end{array}
\mathrm { S U ( 4 ) } \otimes \mathrm { S U ( 2 ) } _ { L } \otimes \mathrm { S U ( 2 ) } _ { R } \longrightarrow \mathrm { S U ( 3 ) } _ { C } \otimes \mathrm { S U ( 2 ) } _ { L } \otimes \mathrm { U ( 1 ) } _ { Y }
d M = ( m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ( m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } ) ( m _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) d m _ { 1 } d m _ { 2 } d m _ { 3 } d O _ { L } d O _ { R } .
\begin{array} { r l } { f ^ { R } ( t _ { 0 } ) = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { \infty } t _ { p } ( \omega ) \tilde { f } ( \omega ) e ^ { - i \omega t _ { 0 } } d \omega , } \\ { = } & { { } e ^ { - i \omega _ { s } t _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } t _ { p } ( \omega _ { s } + \delta ) \tilde { f } ( \omega _ { s } + \delta ) e ^ { - i \delta t _ { 0 } } d \delta , } \\ { = } & { { } t _ { p } ( \omega _ { s } ) e ^ { - i \omega _ { s } \tau _ { g } } f ( t _ { 0 } - \tau _ { g } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { H } _ { j } ( \mathcal { P E } _ { \uparrow } ( a , L , k ) ) _ { s , t } } & { = H _ { j + 1 } \left( \mathrm { C o n e } \left( ( \{ 0 \} \oplus \mathcal { E } _ { \uparrow } ( a , L , k ) ) ^ { \preceq ( s , t ) } \to \{ 0 \} \right) \right) } \\ & { = H _ { j } ( \mathcal { E } _ { \uparrow } ( a , L , k ) ^ { \leq t } ) = \frac { \{ v \in E _ { j } | \partial _ { E } v = 0 , \, \ell _ { E } ( v ) \leq t \} } { \partial _ { E } \left( \{ w \in E _ { j + 1 } | \ell _ { E } ( w ) \leq t \} \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { \infty } } & { r ^ { - 1 - \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \epsilon } ( ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 2 } | u _ { \mathrm { h o r } } ^ { \prime } | ^ { 2 } + \widetilde { \omega } ^ { 2 } m ^ { 2 } | u _ { \mathrm { h o r } } | ^ { 2 } ) + m ^ { 2 } | u _ { \mathrm { h o r } } | ^ { 2 } ] \, d r } \\ { \leq } & { \: C B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 2 } m ^ { 2 } ( | m \widetilde { \omega } | + | W | ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } } & { { } \simeq \sum _ { m } \mathfrak { u } _ { m } \underline { { \hat { \varphi } _ { m } } } ( \mathbf { x } ) , } \\ { \mathbf { w } } & { { } \simeq \sum _ { m } \mathfrak { w } _ { m } \underline { { \hat { \varphi } _ { m } } } ( \mathbf { x } ) , } \\ { p } & { { } \simeq \sum _ { j } \mathfrak { p } _ { j } \varphi _ { j } ( \mathbf { x } ) , } \\ { q } & { { } \simeq \sum _ { j } \mathfrak { q } _ { j } \varphi _ { j } ( \mathbf { x } ) , } \\ { d } & { { } \simeq \sum _ { j } \mathfrak { d } _ { j } \varphi _ { j } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\| \Pi _ { K } u \| _ { s , \rho } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \leq K ^ { \alpha } \| u \| _ { s - \alpha , \rho } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \, , \ 0 \leq \alpha \leq s \, , \quad \| \Pi _ { K } ^ { \perp } u \| _ { s , \rho } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \leq K ^ { - \alpha } \| u \| _ { s + \alpha , \rho } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \, , \ \alpha \geq 0 \, .
\{ \Omega , \phi \} = P ^ { 0 } \neq 0 \ \ , \ \ \phi = \frac { 1 } { 2 } \left[ P ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right] = 0 \Rightarrow P ^ { 0 } = \eta \sqrt { \vec { P } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \ \ , \ \ \eta = \pm 1 \ ,
F _ { A _ { / 1 } } = 0 \Longleftrightarrow q ^ { a _ { i / 1 } \left[ i \right] } = \phi ^ { a _ { i / 1 } } \left( q ^ { b _ { i / 1 } \left[ i - 1 \right] } , q ^ { b _ { i / 2 } \left[ i - 1 \right] } , q ^ { b _ { i / 2 } \left[ i \right] } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \gamma ( \gamma ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { k } } & { { } > } & { ( \gamma + 2 k \omega _ { 0 } ) ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 k } } \\ { \gamma \left[ ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ( \gamma + \omega _ { 0 } ) \right] ^ { k } } & { { } > } & { ( \gamma + 2 k \omega _ { 0 } ) ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 k } \, . } \end{array}
T _ { 1 } = \frac { 4 } { | 1 + \beta | ^ { 2 } } \quad \mathrm { a n d } \quad T _ { 2 } = \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } \, .
\left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } \leq C \left( M ( w ^ { - p ^ { \prime } } ) ^ { \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \left\| w \nabla f \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } \right) ^ { \alpha } \left\| f \right\| _ { L ^ { 1 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } ^ { \beta } \| | x | _ { * } ^ { p / 2 } f \| _ { L ^ { 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } ^ { \gamma } .
\begin{array} { r l } { A } & { \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , G ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , G ) - \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B ) - \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B ) } \\ & { \quad - \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G ) - \overline { { R } } _ { 2 } ( B , G ) + \overline { { R } } _ { 1 } ( B , B ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , B ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } K L ( Q _ { \theta } ^ { t + d t } | | Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } ) } & { { } = \nabla _ { \theta } \int Q _ { \theta } ^ { t + d t } \ln \frac { Q _ { \theta } ^ { t + d t } } { Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } } } \end{array}
B _ { \rho } ^ { \binom { I } { T } } ( \rho , z ) \approx \xi \, \frac { i } { \omega } { \binom { 1 } { e ^ { - \bar { \beta } _ { i } z } } } \sum _ { { \binom { g } { m } } = - \infty } ^ { \infty } { \binom { D _ { g } ^ { \prime } } { A _ { m } } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z \partial \rho } s i n c \sqrt { { \binom { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k _ { r } ^ { 2 } } } \rho ^ { 2 } + \left[ { \binom { k _ { 1 } } { k _ { r } } } z + \pi { \binom { g } { m } } \right] ^ { 2 } }
{ \dot { \mathbf { F } } } = { \frac { \partial } { \partial \mathbf { X } } } \left[ \mathbf { V } ( \mathbf { X } , t ) \right] = { \frac { \partial } { \partial \mathbf { X } } } \left[ \mathbf { v } ( \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) , t ) \right] = \left. { \frac { \partial } { \partial \mathbf { x } } } \left[ \mathbf { v } ( \mathbf { x } , t ) \right] \right| _ { \mathbf { x } = \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) } \cdot { \frac { \partial \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) } { \partial \mathbf { X } } } = { \boldsymbol { l } } \cdot \mathbf { F }
\begin{array} { r } { \frac { 1 + u v / c ^ { 2 } } { \sqrt { ( 1 - u ^ { 2 } / c ^ { 2 } ) ( 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } ) } } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - w ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } , } \\ { \frac { - ( u + v ) / c } { \sqrt { ( 1 - u ^ { 2 } / c ^ { 2 } ) ( 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } ) } } = \frac { - w / c } { \sqrt { 1 - w ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } . } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; \; \; \; \; \gamma ^ { 1 } = \left( \begin{array} { r r } { { 0 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; \; \; \; \; \gamma ^ { 2 } = \left( \begin{array} { r r } { { i } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - i } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \gamma _ { G } ( 1 ) } & { = ( \gamma | _ { [ 0 , t _ { 1 } ] } ) _ { G } ( t _ { 1 } ) \cdots ( \gamma | _ { [ t _ { \ell - 1 } , 1 ] } ) _ { G } ( 1 ) } \\ & { = ( \eta _ { 0 } a ^ { k _ { 1 } } b _ { 1 } ^ { - 1 } ) ( b _ { 1 } \eta _ { 1 } a ^ { \frac { 1 } { 2 } ( k _ { 2 } - k _ { 0 } ) } b _ { 2 } ^ { - 1 } ) \cdots ( b _ { \ell - 1 } \eta _ { \ell - 1 } a ^ { - \operatorname* { m a x } ( k _ { \ell - 2 } , k _ { \ell - 1 } ) } h _ { \gamma } ) } \\ & { = \eta _ { 0 } a ^ { k _ { 1 } } \eta _ { 1 } a ^ { \frac { 1 } { 2 } ( k _ { 2 } - k _ { 0 } ) } \cdots \eta _ { \ell - 1 } a ^ { - \operatorname* { m a x } ( k _ { \ell - 2 } , k _ { \ell - 1 } ) } h _ { \gamma } , } \end{array}
J _ { \mathrm { w } e } ^ { \mu } = \, \left\langle \bar { e } \, \gamma ^ { \mu } ( c _ { V } ^ { \prime } \, - c _ { A } ^ { \prime } \, \gamma _ { 5 } ) \, e \right\rangle = c _ { V } ^ { \prime } \, J _ { e } ^ { \mu } - c _ { A } ^ { \prime } \, J _ { 5 e } ^ { \mu } \; .
\partial ^ { 2 } G ^ { - 1 } = g \partial _ { \mu } G ^ { - 1 } G \partial _ { \mu } G ^ { - 1 } , \quad \mathrm { } \quad G ^ { - 1 } = G _ { 0 } ^ { - 1 } + G _ { 1 } ^ { - 1 } + G _ { 2 } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r } { { \bf { Q } } = \left[ \begin{array} { l } { { \bf Q } _ { 1 } } \\ { { \bf Q } _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { { \bf Q } _ { M } } \end{array} \right] , { \bf Q } _ { m } = { \bf K } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( e ^ { j { \mathbf { \psi } } _ { m } } ) . } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } E _ { h } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } \bar { E } _ { h } } { \mathrm { ~ d ~ } t } + \frac { \mathrm { ~ d ~ } E _ { h } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = ( \bar { \mathbf { u } } , \frac { \mathrm { ~ d ~ } \bar { \mathbf { u } } } { \mathrm { ~ d ~ } t } ) _ { \Omega } + ( \mathbf { u } ^ { \prime } , \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { u } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } t } ) _ { \omega } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } t \sin \left( x t \right) \phi \left( x \right) d x } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int \frac { d } { d x } \left( - \cos \left( x t \right) \right) \phi \left( x \right) d x = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int \frac { d } { d x } \left( \frac { \sin \left( x t \right) } { t } \right) \phi _ { x } \left( x \right) d x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | A _ { p p } ^ { n } | - \sum _ { q \neq p } | A _ { q p } ^ { n } | = 1 - \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { d } a _ { j } ^ { i , n } + 2 \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } c _ { j } ^ { i , n } } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { d } | \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } c _ { j + e _ { i } } ^ { i , n } - \frac { \Delta t } { 2 h } b _ { j + e _ { i } } ^ { i , n } | - \sum _ { i = 1 } ^ { d } | \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } c _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } + \frac { \Delta t } { 2 h } b _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } | } \\ & { = 1 - \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { d } a _ { j } ^ { i , n } + \frac { \Delta t } { 2 h } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \big ( b _ { j + e _ { i } } ^ { i , n } - b _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } ) } \\ & { - \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \big ( c _ { j + e _ { i } } ^ { i , n } - 2 c _ { j } ^ { i , n } + c _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } \big ) } \\ & { = 1 - \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \partial M ^ { i } ( x , t ) } { \partial x } \Big | _ { j , n } } \\ & { - \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \big ( D _ { j + e _ { i } } ^ { i , n } - 2 D _ { j } ^ { i , n } + D _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } \big ) } \\ & { + \frac { \Delta t } { 2 h } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \bigg ( M _ { j + e _ { i } } ^ { i , n } - M _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { \partial D ^ { i } ( x , t ) } { \partial x } \Big | _ { j + e _ { i } , n } - \frac { \partial D ^ { i } ( x , t ) } { \partial x } \Big | _ { j - e _ { i } , n } \bigg ) } \\ & { = 1 - \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Bigg ( \frac { \partial M ^ { i } ( x , t ) } { \partial x } \Big | _ { j , n } - \frac { M _ { j + e _ { i } } ^ { i , n } - M _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } } { 2 h } \Bigg ) } \\ & { + \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Bigg ( \frac { 1 } { 2 h } \bigg ( \frac { \partial D ^ { i } ( x , t ) } { \partial x } \Big | _ { j + e _ { i } , n } - \frac { \partial D ^ { i } ( x , t ) } { \partial x } \Big | _ { j - e _ { i } , n } \bigg ) } \\ & { \qquad \qquad - \frac { D _ { j + e _ { i } } ^ { i , n } - 2 D _ { j } ^ { i , n } + D _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } } { h ^ { 2 } } \Bigg ) } \\ & { = 1 + c _ { 1 } \Delta t \, ( d h ^ { 2 } ) , } \end{array}
4 \Lambda ^ { 4 } \prod _ { a = 1 } ^ { n _ { c } - 2 } ( x - \phi _ { a } ) ^ { 2 } - 4 \Lambda ^ { 4 } \prod _ { i = 1 } ^ { 2 n _ { c } - 4 } ( x + m _ { i } ) = - 4 \Lambda ^ { 2 } \alpha _ { n _ { c } - 1 } ^ { 4 } \prod _ { a = 1 } ^ { n _ { c } - 3 } ( x - \alpha _ { a } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \frac { d A ( \xi ) } { d \xi } = \frac { \int \mathrm { ~ d ~ } ^ { N } r _ { i } \; \frac { d U } { d \xi } \; \delta ( \hat { \xi } ( \{ r _ { i } \} ) - \xi ) \; e ^ { - U ( \{ r _ { i } \} ) / k _ { \mathrm { B } } T } } { \int \mathrm { ~ d ~ } ^ { N } r _ { i } \; \delta ( \hat { \xi } ( \{ r _ { i } \} ) - \xi ) \; e ^ { - U ( \{ r _ { i } \} ) / k _ { \mathrm { B } } T } } = \bigg \langle \frac { d U } { d \xi } \bigg \rangle _ { \! \! \xi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I I I } . k \lesssim } & { \; \underbrace { \int _ { I _ { n } } | \bar { \mu } | \int _ { \Gamma ( t ) } | v _ { 1 } ( \hat { s } _ { 1 , k } , t _ { k } ) - v _ { 1 } ( \hat { s } _ { 2 , k } , t _ { k } ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t } _ { = \mathrm { I I I } . k . 1 } } \\ & { + \underbrace { \int _ { I _ { n } } | \bar { \mu } | \int _ { \Gamma ( t ) } | v _ { 1 } ( \hat { s } _ { 2 , k } , t _ { k } ) - v _ { 2 } ( \hat { s } _ { 2 , k } , t _ { k } ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t } _ { = \mathrm { I I I } . k . 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. v _ { g } ^ { \pm } \right| _ { \epsilon ^ { \prime \prime } = 0 } } & { { } = \frac { 2 k _ { \pm } ^ { \prime } \mp \mu \Sigma } { \displaystyle { 2 \mu \omega } \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) } \; , } \\ { \left. V _ { E } ^ { \pm } \right| _ { \epsilon ^ { \prime \prime } = 0 } } & { { } = \frac { k _ { \pm } ^ { \prime } } { \displaystyle \mu \omega \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \pm \frac { \Sigma } { 2 \omega ^ { 2 } } k _ { \pm } ^ { \prime } \right) } \; , } \end{array}
\Upsilon : \left( \xi , \eta , \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) \longmapsto \left( \xi , \eta , \hat { \gamma } _ { 2 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } , \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \Psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { L } _ { 3 } \right)
- \left( \frac { 2 \pi { h ^ { \ast } } ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } - \frac { \gamma { h ^ { \ast } } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \right) \log { ( h ^ { \ast } ) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \gamma ( \gamma + 1 ) \varepsilon ^ { 6 } , ( \gamma + 1 ) { h ^ { \ast } } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } , \frac { { h ^ { \ast } } ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) } \leq \frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { 6 } } { 3 2 \pi } \log { \left( \sqrt [ ] { \frac { \gamma \varepsilon ^ { 4 } } { 8 \pi } } \right) } .