harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int d ^ { \, 3 } u \, \hat { B } _ { L } ^ { ( \tau ) } ( { \bf x } - { \bf u } ) \, \hat { \tau } _ { 3 } \, \hat { B } _ { R } ^ { ( \tau ) } ( { \bf u } - { \bf y } ) = \hat { \tau } _ { 3 } \, \delta ( { \bf x } - { \bf y } ) ,
M ( B _ { 2 } ^ { * } \to B \gamma ) = e _ { q } e e _ { \beta } ^ { * } \eta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } q _ { \nu } v _ { \sigma } [ \epsilon ^ { \beta \nu { \alpha _ { 1 } } \sigma } q _ { t } ^ { \alpha _ { 2 } } + ( \alpha _ { 1 } \leftrightarrow \alpha _ { 2 } ) ] g _ { D } ( B _ { 2 } ^ { * } , B ) \; ,
\begin{array} { r l } & { \ll \int _ { | t | \le \frac { V } { \log x } } e ^ { 2 c \sqrt { \log \log x - \log \log R } } \cdot ( \frac { \log x } { V \log R } ) ^ { 2 } \cdot \mathbb E [ \mathbf { 1 } _ { L ( 0 ) } \prod _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } | 1 - \frac { f ( p ) } { p ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } } } | ^ { - 2 } ] d t } \\ & { \ll \frac { V } { \log x } \cdot e ^ { 2 c \sqrt { \log \log x - \log \log R } } \cdot \Big ( \frac { \log x } { V \log R } \Big ) ^ { 2 } \cdot \mathbb E [ \prod _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } | 1 - \frac { f ( p ) } { p ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } } } | ^ { - 2 } ] } \\ & { \ll \Big ( \frac { \log x } { V \log R } \Big ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial Q ( x , a , t ) } { \partial a } + \frac { \partial Q ( x , a , t ) } { \partial t } + \delta ( a ) Q ( x , 0 , t ) } \\ & { } & { \quad = \gamma ^ { - 1 } \frac { \partial } { \partial x } \left[ \partial _ { x } U ^ { \epsilon } ( x ) Q ( x , a , t ) \right] + D \frac { \partial ^ { 2 } Q ( x , a , t ) } { \partial x ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D e c a y : } & { { } } & { \vec { P } \to 0 ; \; \Psi [ \gamma , C ] \to 1 ; } \\ { F i x e d P o i n t : } & { { } } & { \vec { P } \to \vec { P } _ { \infty } ; \; \Psi [ \gamma , C ] \to \Psi _ { \infty } [ C ] ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( I _ { \beta } ^ { \boldsymbol { \alpha } } f \right) ( \boldsymbol { u } ) = } & { } \\ { f r a c { 1 } { \gamma ( \beta ) } c ( \boldsymbol { \alpha } ) e _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \boldsymbol { u } ) \mathcal { F } ( e _ { \boldsymbol { \alpha } } f ) ( \widetilde { \boldsymbol { u } } ) \mathcal { F } \left( \frac { 1 } { | \boldsymbol { \cdot } | ^ { n - \beta } } \right) ( \widetilde { \boldsymbol { u } } ) } \\ { = } & { \ \frac { 1 } { \gamma ( \beta ) } c ( \boldsymbol { \alpha } ) e _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \boldsymbol { u } ) \mathcal { F } ( e _ { \boldsymbol { \alpha } } f ) ( \widetilde { \boldsymbol { u } } ) \gamma ( \beta ) ( 2 \pi ) ^ { - \beta } | \widetilde { \boldsymbol { u } } | ^ { - \beta } } \\ { = } & { \ ( 2 \pi ) ^ { - \beta } | \widetilde { \boldsymbol { u } } | ^ { - \beta } \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( f \right) ( \boldsymbol { u } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { t o t } } ^ { r } = - \frac { 4 } { 3 } M _ { E } , \quad P _ { \mathrm { t o t } } ^ { \theta } = P _ { \mathrm { t o t } } ^ { \phi } = P _ { \mathrm { t o t } } ^ { \perp } = \frac { 2 } { 3 } M _ { E } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb S ^ { d - 1 } } \| x - y \| _ { 2 } ^ { r } \, \mathrm { d } \mathbb S ^ { d - 1 } ( y ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { \mathbb S ^ { d - 2 } } \| x - y \| _ { 2 } ^ { r } \, \mathrm { d } \mathbb S ^ { d - 2 } ( y _ { ( d - 1 ) } ) ( 1 - y _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } \, \mathrm { d } ( y _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h \Delta \nu } & { { } = } & { p F _ { w } + \beta F _ { w } ^ { 2 } + \mathcal { O } ( F _ { w } ^ { 3 } ) , } \\ { F _ { w } } & { { } = } & { \alpha ( \Delta V / d ) + F _ { 0 } , } \\ { p / h } & { { } = } & { a ( d / \alpha ) - 2 b ( d / \alpha ) ^ { 2 } F _ { 0 } , } \\ { \beta / h } & { { } = } & { b ( d / \alpha ) ^ { 2 } , } \end{array}
\hat { \partial } ^ { + } \eta ^ { I } \bar { \alpha } ^ { I } | \Phi _ { s } \rangle + \Bigl ( \hat { \partial } ^ { + } - \frac { 2 \alpha ^ { + } } { 2 s + d - 4 } ( \bar { \alpha } \hat { \partial } + ( s - 1 ) \bar { \alpha } ^ { z } ) \Bigr ) | \Lambda \rangle = 0 \, .
\langle x ^ { i } ( \tau ) x ^ { j } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = - \alpha ^ { \prime } ( G ^ { - 1 } ) ^ { i j } \log ( \tau - \tau ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { i } { 2 } \theta ^ { i j } \epsilon ( \tau - \tau ^ { \prime } ) ,
M _ { k } = \operatorname* { s u p } \left\{ \left| { \frac { \partial ^ { p } f _ { k } } { \partial ^ { p _ { 1 } } x _ { 1 } \cdots \partial ^ { p _ { n } } x _ { n } } } ( x ) \right| ~ : ~ x \in \mathbb { R } ^ { n } { \mathrm { ~ a n d ~ } } p _ { 1 } , \ldots , p _ { n } \in \mathbb { Z } { \mathrm { ~ s a t i s f y ~ } } 0 \leq p _ { i } \leq k { \mathrm { ~ a n d ~ } } p = \sum _ { i } p _ { i } \right\} ,
P _ { \alpha } \left( m | T \right) = \frac { \mu _ { \alpha } ( m , T ) \ | W _ { \alpha } ( m , T ) | ^ { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d T \ \mu _ { \alpha } ( m , T ) \ | W _ { \alpha } ( m , T ) | ^ { 2 } } \ ,
\phi _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { v _ { 1 0 } / 2 } } & { { 0 } } \\ { { v _ { 1 0 } / 2 } } & { { 0 } } & { { v _ { 9 } / 2 } } \\ { { 0 } } & { { v _ { 9 } / 2 } } & { { v _ { 1 } 0 } } \end{array} \right)
H _ { i n t } = H _ { H F S } + H _ { Z e e m a n } = \frac { a _ { h f } } { \hbar ^ { 2 } } \vec { i } \cdot \vec { j } + \mu _ { B } \vec { B } \cdot \frac { g _ { s } \vec { s } + g _ { l } \vec { l } + g _ { i } \vec { i } } { \hbar }
\Dot { \rho } = - i [ \hat { H } , \rho ] + \sum _ { k } \hat { L } _ { k } \rho \hat { L } _ { k } ^ { \dag } - \frac { 1 } { 2 } ( \hat { L } _ { k } ^ { \dag } \hat { L } _ { k } \rho + \rho \hat { L } _ { k } ^ { \dag } \hat { L } _ { k } ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial \tilde { I } _ { j } } { \partial t } = d _ { I _ { j } } \Delta \tilde { I } _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \in \Omega } \left( \frac { L _ { j k } \bar { { \tilde { I _ { k } } } } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } \tilde { I } _ { j } \right) + ( \beta _ { j } - \gamma _ { j } ) \tilde { I } _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , t > 0 , \ j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \tilde { I } _ { j } } { \partial \nu } = 0 } & { x \in \partial \Omega _ { j } , t > 0 , \ j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \tilde { I } _ { j } ( x , 0 ) = I _ { j } ( x , 0 ) } & { x \in \Omega _ { j } , \ j \in \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { x } | \cos ( \rho t ) | ^ { 2 } d t } & { \leqslant \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { x } \left( | e ^ { i \rho t } | + | e ^ { - i \rho t } | \right) ^ { 2 } d t \leqslant \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } \left( e ^ { - 2 t \operatorname { I m \rho } } + e ^ { 2 t \operatorname { I m \rho } } \right) d t } \\ & { = \int _ { - x } ^ { x } e ^ { - 2 \operatorname { I m } \rho t } d t = \frac { \sinh ( 2 x \operatorname { I m } \rho ) } { \operatorname { I m } \rho } } \end{array}
\rho g R _ { 0 } ^ { 3 } \sin { \alpha } \sim \mu _ { 0 } R _ { c } \ell \left( \frac { \gamma } { \gamma _ { s } } \sin { \theta _ { e q } } \right) ^ { 3 } \left( \frac { U \tau } { \ell _ { s } } \right) ^ { m } .
\hat { \nabla } \equiv \nabla ( \hat { \Gamma } ) \ , \ \ \ \hat { \Gamma } _ { j k } ^ { i } = \Gamma _ { j k } ^ { i } + { \frac { 1 } { 2 } } H _ { \ j k } ^ { i } \ , \ \ \ \ { \cal F } _ { i j } \equiv \partial _ { i } { \cal A } _ { j } - \partial _ { j } { \cal A } _ { i } \ , \ \ \ \ \ \ \Phi = \phi + { \frac { 1 } { 2 } } \ln F \ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ } ( m ) _ { s t } \sim \, } & { { } \gamma _ { 1 } ^ { - 1 } \exp \left( { \frac { N \ln \left( 1 6 \, \gamma _ { 1 } \right) \left( p - 2 \right) } { \left( 5 p - 4 \right) } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ { \frac { \partial T _ { \rho \rho } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi \rho } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z \rho } } { \partial z } } + { \frac { 1 } { \rho } } ( T _ { \rho \rho } - T _ { \varphi \varphi } ) \right] } & { { } { \hat { \boldsymbol { \rho } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { \rho \varphi } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi \varphi } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z \varphi } } { \partial z } } + { \frac { 1 } { \rho } } ( T _ { \rho \varphi } + T _ { \varphi \rho } ) \right] } & { { } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { \rho z } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi z } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z z } } { \partial z } } + { \frac { T _ { \rho z } } { \rho } } \right] } & { { } { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array}
V _ { i } ( k _ { i } , \epsilon _ { i } , z _ { i } ) = ( \epsilon \cdot \partial X ( z _ { i } ) + i k _ { i } \cdot \psi ( z _ { i } ) \, \epsilon _ { i } \cdot \psi ( z _ { i } ) ) \, \mathrm { e } ^ { i k _ { i } \cdot X ( z _ { i } , \bar { z } _ { i } ) } .
c ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } = \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - { \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } } } - r ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } .
\int _ { 0 } ^ { T } d \tau _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau _ { 2 } \, \Bigl ( { \dot { G } _ { B } } ^ { 2 } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) - G _ { F } ^ { 2 } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \Bigr ) = - { \frac { 2 } { 3 } } \, T ^ { 2 } \quad
\begin{array} { r } { J ^ { \prime } = - { \frac { \gamma ( x , t ) } { m } } v P + { \frac { 1 } { m } } ( U ^ { \prime } P ) - { \frac { \gamma T } { m ^ { 2 } } } { \frac { \partial P } { \partial v } } . } \end{array}
\int { \frac { d ^ { D } \! p } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \left( ( p - q ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \right) } } \mathrm { ~ \ c ~ o ~ n ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ s ~ f ~ o ~ r ~ D ~ < ~ 4 ~ } \, .
{ \mathrm { . . . . . . . } } \left( - { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { - { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 5 + 3 ( { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } - { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { - 3 + 3 ( { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } - { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } ) } } \right) } }
\begin{array} { r l } { \langle D _ { w } x , D _ { w } x \rangle } & { = \sum _ { i } w _ { i } ^ { 2 } x _ { i } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \left( \sum _ { i } w _ { i } ^ { 2 } x _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { j } w _ { j } ^ { 2 } x _ { j } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \cdot \left( \sum _ { i , j } a _ { i , j } w _ { j } w _ { i } x _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { j , i } a _ { i , j } w _ { i } w _ { j } x _ { j } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \cdot \sum _ { i , j } a _ { i , j } w _ { i } w _ { j } ( x _ { i } ^ { 2 } + x _ { j } ^ { 2 } ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 4 } \cdot \sum _ { i , j } a _ { i , j } ^ { \prime } ( x _ { i } + x _ { j } ) ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \partial A } { \partial \epsilon _ { c } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ 9 ~ 2 ~ } } } = \frac { \exp ( - \epsilon _ { c } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ 9 ~ 2 ~ } } ) } { ( \exp ( - \epsilon _ { c } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ 9 ~ 2 ~ } } ) - 1 ) ^ { 2 } } \geq 0 \, ,
\left\langle \begin{array} { l } { { R _ { 1 } } } \\ { { J _ { 1 } } } \end{array} \right| { \hat { \cal T } } _ { J } ^ { R } \left| \begin{array} { l } { { R _ { 2 } } } \\ { { J _ { 2 } } } \end{array} \right\rangle = \left\langle \begin{array} { l l } { { R _ { 1 } } } & { { R } } \\ { { J _ { 1 } } } & { { J } } \end{array} \right. \left| \begin{array} { l } { { R _ { 2 } } } \\ { { J _ { 2 } } } \end{array} \right\rangle \langle R _ { 1 } \| { \hat { \cal T } } ^ { R } \| R _ { 2 } \rangle ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla u \vert } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) \lesssim \rho _ { ( \varphi _ { \vert \nabla u \vert } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ^ { \prime } ( \cdot ) s , \Omega } ( f ) + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) \, . } \end{array} } \end{array}
c _ { i } = \frac { 1 } { H _ { i } } \int _ { \Omega } Y ( x ) P _ { i } ( x ) f _ { X } ( x ) d x \approx \frac { 1 } { H _ { i } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } Y ( x _ { k } ) P _ { i } ( x _ { k } ) \omega _ { k }
\begin{array} { r l } { C _ { \mu } ( t ) } & { { } = k ^ { \mu } C _ { 0 } ( 0 ) \frac { t ^ { \mu } } { \mu ! } e ^ { - k t } } \\ { C _ { P } ( t ) } & { { } = C _ { 0 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { - k t } \sum _ { \mu = 0 } ^ { L - 1 } \frac { ( k t ) ^ { \mu } } { \mu ! } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | u | | _ { 1 } ^ { 2 } } & { = \sum _ { \alpha \beta } | | u _ { \alpha \beta } | | _ { 1 } ^ { 2 } \leq ( 2 n + 1 ) \sum _ { \alpha \beta } \sum _ { l \in L } | | \phi _ { l } u _ { \alpha \beta } | | _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 2 n + 1 ) \sum _ { \alpha \beta } \left( C _ { \alpha \beta , 0 } ( s ) ( | | \phi _ { 0 } u _ { \alpha \beta } | | _ { 0 } ^ { 2 } + | | P _ { s } \phi _ { 0 } u _ { \alpha \beta } | | _ { 0 } ^ { 2 } ) + \sum _ { L \setminus 0 } C _ { \alpha \beta , l } ( s ) | | P _ { s } \phi _ { l } u _ { \alpha \beta } | | _ { 0 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq C ( s ) \sum _ { \alpha \beta } \left( | | \phi _ { 0 } u _ { \alpha \beta } | | _ { 0 } ^ { 2 } + | | P _ { s } u _ { \alpha \beta } | | _ { 0 } ^ { 2 } + \sum _ { L } | | [ P _ { s } , \phi _ { l } \cdot ] u _ { \alpha \beta } | | _ { 0 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = C ( s ) \left( | | P _ { s } u | | _ { 0 } ^ { 2 } + | | \phi _ { 0 } u | | _ { 0 } ^ { 2 } + \sum _ { L } | | [ P _ { s } , \phi _ { s } \cdot ] u | | _ { 0 } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
F ( T ; H ) = \operatorname* { m a x } _ { | t - T | \leq H } \left| \zeta \left( { \frac { 1 } { 2 } } + i t \right) \right| , \qquad G ( s _ { 0 } ; \Delta ) = \operatorname* { m a x } _ { | s - s _ { 0 } | \leq \Delta } | \zeta ( s ) | .
\begin{array} { r l r } { m _ { 1 } \frac { d ^ { 2 } x _ { 1 } } { d t ^ { 2 } } } & { = } & { k _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) - m _ { 1 } g + N } \\ { m _ { j } \frac { d ^ { 2 } x _ { j } } { d t ^ { 2 } } } & { = } & { k _ { j - 1 } ( x _ { j - 1 } - x _ { j } ) + k _ { j } ( x _ { j + 1 } - x _ { j } ) - m _ { j } g , \qquad j = 2 , \cdots , n - 1 } \\ { m _ { n } \frac { d ^ { 2 } x _ { n } } { d t ^ { 2 } } } & { = } & { k _ { j - 1 } ( x _ { n - 1 } - x _ { n } ) - m _ { n } g } \end{array}
\begin{array} { r l } { + } & { { } \sum _ { n } \left( V _ { 2 } [ \lambda _ { 8 7 } , \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { k } _ { 8 7 } ] ( \boldsymbol { Q } ( n ) ) - E _ { \mathrm { ~ S ~ \textsubscript ~ { ~ 2 ~ } ~ } } ( n ) \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\Delta f = \frac { 1 } { \sqrt \rho } \left( \frac { 1 } { \epsilon } \nabla ^ { a } \frac { \partial ^ { L } } { \partial \theta ^ { a } } + \frac { 1 } { \bar { \epsilon } } { \overline { { { \nabla ^ { a } } } } } \frac { \partial ^ { L } } { \partial { \bar { \theta } } ^ { a } } \right) ( \sqrt \rho f ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { j \in J _ { n } } \int _ { I _ { j } ^ { n } } \frac { d u } { | x _ { j } ^ { n } - u | ^ { \frac { 1 } { 8 } } } } & { = \sum _ { j \in J _ { n } } \int _ { a _ { j } ^ { n } } ^ { x _ { j } ^ { n } } \frac { d u } { ( x _ { j } ^ { n } - u ) ^ { \frac { 1 } { 8 } } } + \int _ { x _ { j } ^ { n } } ^ { b _ { j } ^ { n } } \frac { d u } { ( u - x _ { j } ^ { n } ) ^ { \frac { 1 } { 8 } } } } \\ & { = \sum _ { j \in J _ { n } } \frac { 8 } { 7 } \left( ( x _ { j } ^ { n } - a _ { j } ^ { n } ) ^ { \frac { 7 } { 8 } } + ( b _ { j } ^ { n } - x _ { j } ^ { n } ) ^ { \frac { 7 } { 8 } } \right) } \\ & { \geq \sum _ { j \in J _ { n } } \frac { 8 } { 7 } \left( \frac { \ell _ { n } } { 2 } \right) ^ { \frac { 7 } { 8 } } = \frac { 8 } { 7 } | J _ { n } | ^ { \frac { 1 } { 8 } } \nearrow \infty . } \end{array}
{ \bf A _ { 2 } A _ { 1 } } f ( \bar { z } _ { 2 } ) = \int d \bar { z } _ { 0 } d z _ { 0 } e x p _ { q } \{ - q ^ { k } \bar { z } _ { 0 } z _ { 0 } \} \left[ \int d \bar { z } _ { 1 } d z _ { 1 } e x p _ { q } \{ - \bar { z } _ { 1 } z _ { 1 } \} A _ { 2 } ( \bar { z } _ { 2 } , z _ { 1 } ) A _ { 1 } ( \bar { z } _ { 1 } , z _ { 0 } ) \right] f ( \bar { z } _ { 0 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathcal { E } } _ { H } ( R , z ) \lesssim _ { \epsilon , n } } & { { } \frac { 1 } { H } + \frac { R } { H ^ { n + 1 } M ^ { n } } + \sum _ { k = 1 } ^ { q - 1 } R \biggr ( \frac { 4 } { 3 } \biggr ) ^ { k \epsilon } \biggr ( R ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } \biggr ( \frac { 4 } { 3 } \biggr ) ^ { \frac { 3 k } { 4 } } + \biggr ( \frac { 4 } { 3 } \biggr ) ^ { \frac { 1 1 k } { 1 2 } } + R ^ { - \frac { 1 } { 2 4 } } \biggr ( \frac { 4 } { 3 } \biggr ) ^ { \frac { 2 3 k } { 2 4 } } \biggr ) } \\ { \lesssim _ { \epsilon , n } } & { { } \frac { 1 } { H } + \frac { R } { H ^ { n + 1 } M ^ { n } } + \log M \biggr ( R ^ { \frac { 1 3 } { 1 2 } } M ^ { \frac { 3 } { 4 } + \epsilon } + R M ^ { \frac { 1 1 } { 1 2 } + \epsilon } + R ^ { \frac { 2 3 } { 2 4 } } M ^ { \frac { 2 3 } { 2 4 } + \epsilon } \biggr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf d e e c [ 2 ] } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } - \frac { 3 } { 3 2 } \, z \, a ( - k n ) \bigg [ 4 x \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 3 x \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\ln ( E _ { 0 } ) = \frac { \ln ( 1 0 0 ) \ln ( \langle E _ { z } ( 3 0 ) \rangle ) - \ln ( 3 0 ) \ln ( \langle E _ { z } ( 1 0 0 ) \rangle ) } { \ln { ( 1 0 0 / 3 0 ) } } \, .
\begin{array} { r } { H = \omega _ { 0 } \left( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } \right) + \frac { \mu } { 2 } \left( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 1 } \right) + g V ( t ) ( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } - a _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } ) } \end{array}
\mathcal { L } _ { H } = \sum \frac { e } { c } \textbf { A v } = \sum \frac { e } { 2 c } ( \textbf { H } \times \textbf { r } ) \textbf { v } = \sum \frac { e } { 2 c } ( \textbf { r } \times \textbf { v } ) \textbf { H }
\mathscr { L } _ { p } ^ { { \boldsymbol { f } } , \eta _ { \boldsymbol { f } } } ( { \boldsymbol { f } } , { \boldsymbol { g } } , { \boldsymbol { h } } ) = \eta _ { \boldsymbol { f } } \cdot \mathscr { L } _ { p } ^ { \boldsymbol { f } } ( \breve { { \boldsymbol { f } } } ^ { \star } , \breve { { \boldsymbol { g } } } ^ { \star } , \breve { { \boldsymbol { h } } } ^ { \star } )
\operatorname { t a n h } \left( { \frac { t } { 4 G M } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { T / X } & { { \mathrm { ( i n ~ I ~ a n d ~ I I I ) } } } \\ { X / T } & { { \mathrm { ( i n ~ I I ~ a n d ~ I V ) } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { a } _ { n } } & { { } = \Delta t \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } _ { n } , t _ { n } \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { { } = \mathcal { P } \left( \Delta t \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } + \Delta \mathbf { a } _ { n } \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { i } ( \varphi , \psi ) : = \operatorname* { s u p } _ { N \in \mathbb { N } } 2 ^ { - N } \frac { p _ { N , i } ( \varphi - \psi ) } { 1 + p _ { N , i } ( \varphi - \psi ) } , \ \ \ p _ { N , i } ( \varphi ) : = \operatorname* { m a x } _ { | \alpha | \leq N } \operatorname* { s u p } _ { x \in K _ { i } } | \partial ^ { \alpha } \varphi ( x ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } f ( x ) g ( x ) d x } & { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \cos \omega x \Big [ \frac { \omega ^ { 2 } } { \lambda \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } \cos \omega x + A \cosh \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] d x } \\ & { = } & { \frac { \omega ^ { 2 } } { \lambda \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } \Big ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { \sin \omega } { \omega } \Big ) + A \int _ { - 1 } ^ { 1 } \cos \omega x \cosh \frac { x } { 2 \sqrt { \lambda } } d x } \\ & { = } & { \frac { \omega ^ { 2 } } { \lambda \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } \Big ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { \sin \omega } { \omega } \Big ) + \frac { 2 A } { \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \lambda } } \Big [ \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \cos \omega \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \omega \sin \omega \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] . } \end{array}
\gamma ^ { i } \left( \begin{array} { l l } { { c } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { d } } \end{array} \right) \gamma ^ { j } = - \left( \begin{array} { l l } { { ( \delta ^ { i j } + i \epsilon ^ { i j } ) d } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( \delta ^ { i j } - i \epsilon ^ { i j } ) c } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta + \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \mu - \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { t } ^ { \epsilon } + \mathcal { J } _ { \epsilon } ( \mathcal { J } _ { \epsilon } h ^ { \epsilon } \mathcal { J } _ { \epsilon } v ^ { \epsilon } ) _ { x } + \mathcal { J } _ { \epsilon } \mathcal { J } _ { \epsilon } v _ { x } ^ { \epsilon } } & { = 0 , } \\ { v _ { t } ^ { \epsilon } + \mathcal { J } _ { \epsilon } ( \mathcal { J } _ { \epsilon } v ^ { \epsilon } \partial _ { x } \mathcal { J } _ { \epsilon } v ^ { \epsilon } ) + \left[ \mathscr { L } , \mathscr { N } h ^ { \epsilon } \right] h ^ { \epsilon } + \mathscr { N } h ^ { \epsilon } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] } & { \leq \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] - \alpha ( 1 - \gamma ) \left( 1 - \frac { 5 6 \alpha } { ( 1 - \gamma ) } \right) \mathbb { E } \left[ \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } \right] + \frac { 4 \alpha ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } E _ { t - 1 } + \frac { 8 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { M } } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] - \frac { \alpha ( 1 - \gamma ) } { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } \right] + \frac { 4 \alpha ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } E _ { t - 1 } + \frac { 8 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { m i s } } = } & { { } ~ \frac { g _ { A } } { \Delta } ( a ^ { \dagger } \sigma _ { A } - \sigma _ { A } ^ { \dagger } a ) + \frac { g _ { B } } { \Delta } ( b ^ { \dagger } \sigma _ { B } - \sigma _ { B } ^ { \dagger } b ) } \\ { + } & { { } ~ \frac { g _ { A } } { \Delta - \delta / 2 } [ a ^ { \dagger } ( | 1 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 4 | ) - ( | 2 \rangle \langle 1 | + | 4 \rangle \langle 3 | ) a ] } \\ { + } & { { } ~ \frac { g _ { B } } { \Delta + \delta / 2 } [ b ^ { \dagger } ( | 1 \rangle \langle 3 | + | 2 \rangle \langle 4 | ) - ( | 3 \rangle \langle 1 | + | 4 \rangle \langle 2 | ) b ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { j } _ { \pm } } & { = } & { c _ { \pm , \mathrm { i n } } \boldsymbol { u } - \omega _ { \pm } c _ { \pm , \mathrm { i n } } \nabla \mu _ { \pm } , } \\ { \boldsymbol { j } _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } } & { = } & { \Gamma _ { \pm } \boldsymbol { u } ^ { \mathrm { s } } - \omega _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } \Gamma _ { \pm } \nabla ^ { \mathrm { s } } \mu _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } } \end{array}