harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { 0 < \left( k ( k - 2 ) + r \right) r + r ( k - r ) \frac { 1 - 2 r } { 2 ( 1 - r ) } } \\ { \Leftrightarrow \, \, } & { ( 2 r - 1 ) ( k - r ) < 2 ( 1 - r ) ( k ( k - 2 ) + r ) } \\ { \Leftrightarrow \, \, } & { 2 r k - 2 r ^ { 2 } - k + r < 2 k ^ { 2 } - 4 k + 2 r - 2 r k ^ { 2 } + 4 r k - 2 r ^ { 2 } } \\ { \Leftrightarrow \, \, } & { r < u _ { 0 } = \frac { 2 k ^ { 2 } - 3 k } { 2 k ^ { 2 } - 2 k - 1 } , } \end{array}
\underbrace { \phi ^ { i _ { 2 ( k + r ) } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 2 ( k + r ) - 1 } ^ { \prime } } } \ldots \underbrace { \phi ^ { i _ { 2 } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 1 } ^ { \prime } } } F _ { a _ { p - 2 r + 1 } a _ { p - 2 r + 2 } } \ldots F _ { a _ { p - 1 } a _ { p } } ) .
\mathbf { A } ( \textrm { \boldmath { q } } ) = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 1 } & & & & \\ { g h - u _ { m } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } & { 2 u _ { m } } & { \frac { 2 } { 3 } \alpha _ { 1 } } & & & \\ { - 2 u _ { m } \alpha _ { 1 } } & { 2 \alpha _ { 1 } } & { u _ { m } } & { \frac { 3 } { 5 } \alpha _ { 1 } } & & \\ { - \frac { 2 } { 3 } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 3 } \alpha _ { 1 } } & { u _ { m } } & { \ddots } & \\ & & & { \ddots } & { \ddots } & { \frac { N + 1 } { 2 N + 1 } \alpha _ { 1 } } \\ & & & & { \frac { N - 1 } { 2 N - 1 } \alpha _ { 1 } } & { u _ { m } } \end{array} \right] .
| V _ { u b } | ^ { 2 } = \frac { 1 2 \pi ^ { 3 } } { G _ { F } ^ { 2 } m _ { B } } \frac { 1 } { T _ { B } ( p _ { \mathrm { m i n } } , p _ { \mathrm { m a x } } ) } \int _ { p _ { \mathrm { m i n } } } ^ { p _ { \mathrm { m a x } } } \! \! d p \, \frac { d \Gamma _ { B \to \pi } } { d p } ,
\mathrm { d } { \mathcal { H } } = \sum _ { i } \left( - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + { \dot { q } } ^ { i } \mathrm { d } p _ { i } \right) - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } } \mathrm { d } t
{ \begin{array} { r l } { \varpi } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \mathrm { d } t } { \sqrt { 1 - t ^ { 4 } } } } = { \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \mathrm { d } t } { \sqrt { 1 + t ^ { 4 } } } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \mathrm { d } t } { \sqrt { t - t ^ { 3 } } } } = \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { \mathrm { d } t } { \sqrt { t ^ { 3 } - t } } } } \\ & { = 4 \int _ { 0 } ^ { \infty } { \Bigl ( } { \sqrt [ { 4 } ] { 1 + t ^ { 4 } } } - t { \Bigr ) } \, \mathrm { d } t = 2 { \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt [ { 4 } ] { 1 - t ^ { 4 } } } \mathop { \mathrm { d } t } = 3 \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { 1 - t ^ { 4 } } } \, \mathrm { d } t } \\ & { = 2 K ( i ) = { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { B } { \bigl ( } { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 2 } } { \bigr ) } = { \frac { \Gamma ( 1 / 4 ) ^ { 2 } } { 2 { \sqrt { 2 \pi } } } } = { \frac { 2 - { \sqrt { 2 } } } { 4 } } { \frac { \zeta ( 3 / 4 ) ^ { 2 } } { \zeta ( 1 / 4 ) ^ { 2 } } } } \\ & { = 2 . 6 2 2 0 5 \; 7 5 5 4 2 \; 9 2 1 1 9 \; 8 1 0 4 6 \; 4 8 3 9 5 \; 8 9 8 9 1 \; 1 1 9 4 1 \ldots , } \end{array} }
\frac { d \mathbb { E } [ \Phi ( X ^ { \ast } , V _ { t } ^ { \ast } ) ] } { d t } = \mathbb { E } \left[ B ( X ^ { \ast } , X ) \bigl ( \Phi ( X ^ { \ast } , \Psi _ { \ast } ( V _ { t } ^ { \ast } , V _ { t } , \omega ) ) - \Phi ( X ^ { \ast } , V _ { t } ^ { \ast } ) \bigr ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) } & { = \psi _ { i } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \psi _ { i } ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) + \eta _ { i } \langle \nu _ { i } ^ { ( k ) } , x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \lambda ) = e ^ { - \lambda a ( t _ { 1 } ) } \cdot \frac { \Gamma \bigl ( \frac { \nu } { \mu } \bigr ) } { \lambda ^ { \frac { \nu } { \mu } } } \cdot \frac { b _ { 0 } } { \mu \, a _ { 0 } ^ { \frac { \nu } { \mu } } } \cdot \biggl ( 1 + \mathcal { O } \biggl ( \lambda ^ { - \frac { 1 + \nu } { \mu } } \biggr ) \biggr ) . } \end{array}
A _ { p } ^ { \prime } \left( \mathbf { r } , t \right) = A { } _ { p } \left( \mathbf { r } - \boldsymbol { \eta } , t \right) \simeq A _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) - \boldsymbol { \eta } \cdot \nabla A _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right)
\begin{array} { r l r l } { L e } & { { } = \frac { \kappa _ { T } } { \kappa _ { S } } = { \frac { S c } { P r } } , } & { \Lambda _ { T } } & { { } = \frac { 2 b _ { 0 } S _ { m } } { C _ { b } \Delta T ^ { 2 } } = { \frac { R a _ { S } } { R a _ { T } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \nu } ( z ) = \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { \nu } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \left( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { k } } { k ! \Gamma ( \nu + k + 1 ) } } \end{array}
\mathrm { R m } \equiv \frac { \hat { u } _ { z , \mathrm { r m s } } } { D _ { B } \hat { l } _ { f } } = \frac { \ensuremath { \mathrm { P m } } \hat { u } _ { z , \mathrm { r m s } } } { \ensuremath { \mathrm { P r } } \hat { l } _ { f } } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { s = 1 } ^ { t } \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } \bigg ( \sum _ { \ell = 1 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } v ( 1 \mathbf X _ { 1 } \mathbf Y _ { 1 } \cdots \mathbf X _ { s - 1 } \mathbf Y _ { s - 1 } \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 1 } } \cdots ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 4 } } \mathbf w _ { 2 } ^ { \ell } ) } \\ & { + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } ( \beta ^ { 2 } + 1 ) } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } } ) \bigg ) } \\ { \le } & { v ( \mathbf d ) \sum _ { s = 1 } ^ { t } \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } n _ { s , 4 j - 3 } } \\ { = } & { v ( \mathbf d ) \sum _ { s = 1 } ^ { t } \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } n _ { s , 4 j - 1 } } \\ { \le } & { \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } \left( n _ { s , 4 j - 1 } v ( 1 \mathbf X _ { 1 } \mathbf Y _ { 1 } \cdots \mathbf X _ { s - 1 } \mathbf Y _ { s - 1 } \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 1 } } \cdots ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 2 } } ) + \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 1 } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } + 1 } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 1 } } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \| \widehat { \eta } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } = O _ { p } \left( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { 1 3 q _ { n } } \kappa _ { n } ^ { 3 } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } \right) , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \| \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } = O _ { p } \left( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { 7 q _ { n } } \kappa _ { n } ^ { 2 } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { 2 } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { b D { \cfrac { d ^ { 3 } w _ { x } } { d x ^ { 3 } } } + q _ { x 1 } = 0 \quad , \quad { \frac { b ^ { 3 } D } { 1 2 } } { \cfrac { d ^ { 3 } \theta _ { x } } { d x ^ { 3 } } } - 2 b D ( 1 - \nu ) { \cfrac { d \theta _ { x } } { d x } } + q _ { x 2 } = 0 } \\ & { b D { \cfrac { d ^ { 2 } w _ { x } } { d x ^ { 2 } } } = 0 \quad , \quad { \frac { b ^ { 3 } D } { 1 2 } } { \cfrac { d ^ { 2 } \theta _ { x } } { d x ^ { 2 } } } = 0 \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 3 } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 3 } } \end{array} \right] , \quad y _ { 2 } = x _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Sigma } & { { } = } & { < \left( \begin{array} { c } { a _ { 1 , n } } \\ { b _ { 1 , n } } \\ { \vdots } \\ { a _ { \xi , n } } \\ { b _ { \xi , n } } \\ { \vdots } \end{array} \right) \left( a _ { 1 , n } ^ { * } , b _ { 1 , n } ^ { * } , \cdots , a _ { \xi , n } ^ { * } , b _ { \xi , n } ^ { * } , \cdots \right) > } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { = 0 . 5 , } \\ { \ p _ { 2 } } & { = \left\{ \begin{array} { c c } { 0 . 5 + \varepsilon } & { x _ { 2 } = x _ { 1 } } \\ { 0 . 5 - \varepsilon } & { x _ { 2 } \neq x _ { 1 } } \end{array} \right. } \\ { \ \ p _ { i } } & { = \left\{ \begin{array} { c c } { 0 . 5 + 4 \varepsilon } & { x _ { i } = x _ { 1 } } \\ { 0 . 5 - 4 \varepsilon } & { x _ { i } \neq x _ { 1 } } \end{array} \right. . } \end{array}
\partial _ { t } \rho = i [ \rho , H + i H ^ { \prime } ] + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { L } _ { \mathcal { O } _ { 1 } } \rho + ( 1 - \chi _ { 1 } ) \frac { \gamma _ { \sigma } } { 2 } \mathcal { L } _ { \sigma } \rho + ( 1 - \chi _ { 2 } ) \frac { \Gamma } { 2 } \mathcal { L } _ { a } \rho \, .
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x , S C } ( 0 , 0 , 0 ) } & { { } = } & { \frac { R C _ { S C } } { 2 \sqrt { 2 } \gamma \epsilon _ { x } \sigma _ { z } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \Big \langle \left[ \frac { 1 } { [ ( \sigma _ { y } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } - 1 ) u + 1 ] } \right] ^ { 1 / 2 } \Big \rangle _ { s } } \end{array}
\mathcal { F } _ { j - 1 } ( y ) = \left( \frac { j \cdot 2 ^ { j } } { \left[ b + y + \left( | y - b | ^ { c } + a ^ { c } \right) ^ { 1 / c } \right] ^ { j } } + \frac { e ^ { - y } } { \Gamma ( j ) } \right) ^ { - 1 }
\Pi ( k , k ^ { \prime } ) = - i G _ { a } ^ { 2 } \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 4 } x ^ { \prime } \exp ( i k x - i k ^ { \prime } x ^ { \prime } ) \mathrm { T r } \left[ \hat { k } \gamma ^ { 5 } G ( x , x ^ { \prime } ) \hat { k } ^ { \prime } \gamma ^ { 5 } G ( x ^ { \prime } , x ) \right] .
{ } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 3 } { 8 } } ; { \frac { 7 } { 8 } } ; z \right) ( z ^ { 4 } - 6 0 z ^ { 3 } + 1 3 4 z ^ { 2 } - 6 0 z + 1 ) ^ { 1 / 1 6 } = { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 4 8 } } , { \frac { 1 7 } { 4 8 } } ; { \frac { 7 } { 8 } } ; { \frac { - 4 3 2 z ( z - 1 ) ^ { 2 } ( z + 1 ) ^ { 8 } } { ( z ^ { 4 } - 6 0 z ^ { 3 } + 1 3 4 z ^ { 2 } - 6 0 z + 1 ) ^ { 3 } } } \right) .
B _ { 1 } \triangleq \frac { M M _ { \mathrm { E } } ( M - K ) \zeta ^ { 2 } \mathrm { t r } \big ( { \bf R } _ { k } ( { \bf R } _ { \mathrm { E } } + \beta _ { 3 } { \bf R } _ { \mathrm { B , E } } ) \big ) } { K ( M - K - M _ { \mathrm { E } } ) \mathrm { t r } ( { \bf R } _ { \mathrm { E } } + \beta _ { 3 } { \bf R } _ { \mathrm { B , E } } ) \sum _ { j = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } ( { \bf R } _ { j } ) }
S _ { \mathrm { D } } = \left( \begin{array} { l l l } { \lambda _ { x } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { y } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { z } ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
\mathbf { Q } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { \frac { \partial } { \partial \theta } + \cot \theta } & { - \cot \Theta } & { \nabla _ { 2 } + 2 } & { 0 } & { \csc \theta \frac { \partial } { \partial \Theta } } \\ { 0 } & { 0 } & { \csc \theta \frac { \partial } { \partial \Theta } } & { 2 } & { \nabla _ { 2 } } & { 2 \cot \Theta } \\ { \nabla _ { 2 } + 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { \frac { \partial } { \partial \theta } + \cot \theta } & { \csc \theta \frac { \partial } { \partial \Theta } } & { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathbf { a } } ( { \bf r } ) = } & { \sum _ { \tilde { a } _ { x } = 0 } ^ { \tilde { a } _ { x } \leq a _ { x } } E _ { a _ { x } } ^ { \tilde { a } _ { x } } \sum _ { \tilde { a } _ { y } = 0 } ^ { \tilde { a } _ { y } \leq a _ { y } } E _ { a _ { y } } ^ { \tilde { a } _ { y } } \sum _ { \tilde { a } _ { z } = 0 } ^ { \tilde { a } _ { z } \leq a _ { z } } E _ { a _ { z } } ^ { \tilde { a } _ { z } } \Lambda _ { \mathbf { \tilde { a } } } ( \mathbf { r } ) \equiv \sum _ { \mathbf { \tilde { a } } } E _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { \tilde { a } } } \Lambda _ { \mathbf { \tilde { a } } } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \phi _ { \mathbf { a } } ( { \bf r } ) \phi _ { \mathbf { b } } ( { \bf r } ) = } & { \sum _ { \tilde { p } _ { x } = 0 } ^ { \tilde { p } _ { x } \leq a _ { x } + b _ { x } } \left( E _ { x } \right) _ { a _ { x } b _ { x } } ^ { \tilde { p } _ { x } } \sum _ { \tilde { p } _ { y } = 0 } ^ { \tilde { p } _ { y } \leq a _ { y } + b _ { y } } \left( E _ { y } \right) _ { a _ { y } b _ { y } } ^ { \tilde { p } _ { y } } \sum _ { \tilde { p } _ { z } = 0 } ^ { \tilde { p } _ { z } \leq a _ { z } + b _ { z } } \left( E _ { z } \right) _ { a _ { z } b _ { z } } ^ { \tilde { p } _ { z } } \Lambda _ { \mathbf { \tilde { p } } } ( \mathbf { r } ) \equiv \sum _ { \mathbf { \tilde { p } } } E _ { \mathbf { a } \mathbf { b } } ^ { \mathbf { \tilde { p } } } \Lambda _ { \mathbf { \tilde { p } } } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ^ { 2 m - 2 } ( 1 / \alpha _ { \mathbf d } ^ { - } ) } & { = \beta ^ { 2 m - 2 } ( 1 / \alpha _ { \mathbf d } ^ { -- } v ( \mathbf d \overline { { e _ { 2 } \cdots e _ { m - 2 } } } 0 ) ) } \\ & { = \beta ^ { 2 m - 2 } \left( \frac { \beta ^ { m } v ( \mathbf d ) + \beta } { \beta ^ { m } + \beta } - ( 1 - 1 / \beta ^ { m - 1 } ) ( v ( \mathbf d ) + 1 / \beta ^ { m - 1 } ) \right) } \\ & { = \beta ^ { 2 m - 2 } \left( \frac { \beta ^ { m } v ( \mathbf d ) + \beta - ( \beta ^ { m } - 1 / \beta ^ { m - 2 } ) ( v ( \mathbf d ) + 1 / \beta ^ { m - 1 } ) } { \beta ^ { m } + \beta } \right) } \\ & { = \frac { \beta ^ { m } v ( \mathbf d ) + \beta } { \beta ^ { m } + \beta } } \\ & { = 1 / \alpha _ { \mathbf d } ^ { - } . } \end{array}
\zeta : = \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \boldsymbol { v } } _ { h } \in \boldsymbol { U } } \big ( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } ( \| \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { v } } _ { h } \| _ { { L } ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } + \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } - \tilde { \boldsymbol { v } } _ { h } ) \| _ { { L } ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } ) \big ) ^ { 1 / 2 } .
f _ { + } ( z ) = \delta - \frac { \alpha } { 2 ( \beta c + 2 i \omega ) } \left( \frac { c ( - 2 \omega + ( - i ) \beta c ) e ^ { - \frac { 2 i \omega z } { c } } } { \omega } + \beta c z ( \beta z + 2 ) + 2 i \omega z ( \beta z - 2 ) \right) ,
\overline { { { Q } } } _ { \dot { \alpha } } e ^ { - { \frac { P _ { 0 } } { 4 \kappa } } } \otimes Q _ { \beta } e ^ { \frac { P _ { 0 } } { 4 \kappa } } + Q _ { \beta } e ^ { - { \frac { P _ { 0 } } { 4 \kappa } } } \otimes \overline { { { Q } } } _ { \dot { \alpha } } e ^ { \frac { P _ { 0 } } { 4 \kappa } }
p ( V ) = 3 K _ { 0 } \left( { \frac { 1 - \eta } { \eta ^ { 5 } } } \right) \exp \left[ c _ { 0 } ( 1 - \eta ) \right] \left\{ 1 + c _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) + c _ { 3 } \eta ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \right\}
\frac { \mathrm { d } W ^ { \gamma } } { \mathrm { d } u } = \frac { \alpha m } { \sqrt { 3 } \pi } \frac { 1 } { ( 1 + u ) ^ { 3 } } \left\{ [ 1 + ( 1 + u ) ^ { 2 } ] K _ { 2 / 3 } ( \xi ) - ( 1 + u ) \int _ { \xi } ^ { \infty } \! K _ { 1 / 3 } ( t ) \, \mathrm { d } t \right\} .
2 J _ { 2 } ( K _ { x } ) J _ { 2 } ( K _ { y } ) \cos ( 2 \varphi ) ] + t _ { 3 } \cos ( q _ { y } b ) [ J _ { 0 } ( K _ { x } ) J _ { 0 } ( K _ { y } ) + 2 J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 1 } ( K _ { y } ) \cos ( \varphi ) + 2 J _ { 2 } ( K _ { x } ) J _ { 2 } ( K _ { y } ) \cos ( 2 \varphi ) ] \}
\begin{array} { r l } { q ^ { \binom { k } { 2 } } \binom { \alpha + n } { k } _ { q } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k } \left( q ^ { \binom { k - j } { 2 } } \binom { n } { k - j } _ { q } \right) \left( q ^ { \binom { j } { 2 } + n j } \binom { \alpha } { j } _ { q } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k } q ^ { \binom { k } { 2 } + j ( n - k + j ) } \binom { n } { k - j } _ { q } \binom { \alpha } { j } _ { q } } \end{array}
\frac { b } { \frac { \Delta M ^ { 2 } } { 2 E } } \sim \frac { b } { a } \frac { \Delta m _ { 1 2 } ^ { 2 } } { \Delta M ^ { 2 } } \simeq 5 \times ( 1 0 ^ { - 8 } - 1 0 ^ { - 7 } )
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \left[ \begin{array} { l } { + 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \\ { X _ { 1 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \end{array}
H = \int d ^ { 3 } x \left\{ \bar { \psi } ( - i \vec { \gamma } \cdot \vec { \nabla } - \mu \gamma _ { 0 } ) \psi - G \left[ ( \bar { \psi } \psi ) ^ { 2 } + ( \bar { \psi } i \gamma _ { 5 } \vec { \tau } \psi ) ^ { 2 } \right] - G ^ { \prime } ( \psi \tau _ { 2 } t ^ { A } C \gamma _ { 5 } \psi ) ^ { \dagger } ( \psi \tau _ { 2 } t ^ { A } C \gamma _ { 5 } \psi ) \right\}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } - ( 1 + i \alpha ) E _ { t 0 } + ( F - i \frac { \xi } { 2 } E _ { r 0 } ) } \\ { 0 = } & { { } - ( 1 + i \alpha ) E _ { r 0 } + ( r ( F - r _ { \textrm { E F } } E _ { t 0 } ) - i \frac { \xi } { 2 } E _ { t 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s = 1 } ^ { n } X _ { s } H _ { X _ { s } , 1 } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } H _ { X _ { s } , 2 } \delta _ { r _ { s } \geq 2 } } & { = } & { \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } q _ { j } p _ { j } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , 0 } t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , 0 } \delta _ { r _ { s } = 1 } - t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ( t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , 0 } + \hbar ) , } \\ { \sum _ { s = 1 } ^ { n } H _ { X _ { s } , 1 } } & { = } & { \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } p _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \lambda _ { t } d _ { t + 1 } \| } & { \leq \frac { M } { \sqrt { \epsilon } } ( J ( \theta _ { t } ) - J ( \theta _ { t + 1 } ) ) + \| \nabla J ( \theta _ { t } ) - g _ { t } \| + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla ^ { 2 } J ( \theta _ { t } ) - H _ { t } \| \Delta _ { t } + \frac { M } { 6 } | | d _ { t + 1 } | | ^ { 2 } , } \end{array}
\mu _ { 1 } ^ { 2 } = \alpha \lambda ^ { 2 } \frac { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) } { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) } , \ \ \ \ \ \ \ \ \, m u _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { \lambda ^ { 2 } } { \alpha } \frac { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) } { ( 1 - \lambda _ { 1 } ) } ,
f _ { A } = { \frac { \pi ( e _ { 1 } + e _ { 2 } ) E t e ^ { - \pi t \epsilon ^ { 2 } / 2 } } { 2 s i n ( \pi t \epsilon / 2 ) } } \, p r o d _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( 1 - e ^ { - \pi t n } ) ^ { 2 } } { ( 1 - e ^ { - \pi t ( n + i \epsilon ) } ) ( 1 - e ^ { - \pi t ( n - i \epsilon ) } ) } } \ .
\mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { [ 0 ] } , \mathbf { x } ^ { [ 1 ] } , \mathbf { x } ^ { [ 2 ] } , \ldots , \mathbf { x } ^ { [ N ] } ) = \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { [ 0 ] } ) \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { [ 1 ] } | \mathbf { x } ^ { [ 0 ] } ) \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { [ 2 ] } | \mathbf { x } ^ { [ 1 ] } ) \ldots \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { [ N ] } | \mathbf { x } ^ { [ N - 1 ] } ) \enspace ,
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 3 } \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 4 } \, f _ { i } ( \boldsymbol { v } _ { 3 } ) f _ { i } ( \boldsymbol { v } _ { 4 } ) \, } & { { } \frac { 1 } { \epsilon ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) } \frac { 1 } { \omega ^ { \prime } + \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 4 } } \left( 1 - \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } \right) } \end{array}
\log e _ { b } ( z ) \; \equiv \; \frac { 1 } { 4 } \int _ { i 0 - \infty } ^ { i 0 + \infty } \frac { d w } { w } \frac { e ^ { - i 2 z w } } { \sinh ( b w ) \sinh ( b ^ { - 1 } w ) } .
\begin{array} { r l r } { e _ { ( c ) } \otimes \omega ^ { ( d ) } } & { = } & { \left( \sum _ { a } l _ { a c _ { 1 } } { e ^ { \prime } } _ { a } \right) \otimes \cdots \otimes \left( \sum _ { a } l _ { a c _ { p } } e _ { a } ^ { \prime } \right) \otimes \left( \sum _ { b } r _ { b d _ { 1 } } { \omega ^ { \prime } } ^ { b } \right) \otimes \cdots \otimes \left( \sum _ { b } r _ { b d _ { q } } { \omega ^ { \prime } } ^ { b } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { ( a ) ( b ) } l _ { a _ { 1 } c _ { 1 } } l _ { a _ { 2 } c _ { 2 } } \cdots l _ { a _ { p } c _ { p } } r _ { b _ { 1 } d _ { 1 } } \cdots r _ { b _ { q } d _ { q } } \mathrm { ~ } { e ^ { \prime } } _ { ( a ) } \otimes { \omega ^ { \prime } } ^ { ( b ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { x c } } ^ { \mathrm { R S H } } } & { { } = ( \alpha + \beta ) \hat { V } _ { \mathrm { F R } } ^ { \mathrm { F o c k } } - \beta \hat { V } _ { \mathrm { S R } , \mu } ^ { \mathrm { F o c k } } + \beta V _ { \mathrm { S R } , \mu } ^ { \mathrm { D F A } } ( \rho ( \boldsymbol { r } ) ) } \end{array}
+ ( U _ { 2 } ^ { ( 1 ) } U _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { - 1 } d y _ { 5 } ^ { 2 } + ( U _ { 2 } ^ { ( 1 ) } U _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { - 1 } d y _ { 6 } ^ { 2 } + d x ^ { \alpha } d x ^ { \alpha } ]
R e \pi _ { \rho } ( s ) = \frac { ( s - s _ { \rho } ) ^ { 2 } } { \pi } P \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { I m \pi _ { \rho } ( z ) - I m \pi _ { \rho } ( s _ { \rho } ) - ( z - s _ { \rho } ) I m \pi _ { \rho } ^ { ' } ( s _ { \rho } ) } { ( z - s _ { \rho } ) ^ { 2 } ( z - s ) } d z
\Gamma _ { \mathbb { G } \left( \hat { H } _ { 0 } \right) } = \Gamma _ { \mathbb { G } \left( \hat { H } _ { 0 } ^ { 1 } \right) } \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } \left( \hat { H } _ { 0 } ^ { 2 } \right) } \otimes . . . \otimes \Gamma _ { \mathbb { G } \left( \hat { H } _ { 0 } ^ { N } \right) } ,
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { 3 a } } ^ { ( 3 ) } } & { { } = Z _ { 1 1 1 } \, W _ { 1 1 1 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 3 , 3 , 3 ) + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 1 2 } \, W _ { 1 1 2 } \: D ( \eta ^ { ( 3 ) } ; 3 , 4 , 4 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { d = 3 } ( \rho ) } & { \leq \frac { 3 } { 5 } ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } \rho ^ { 5 / 3 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 2 \pi } { 5 } ( 6 \pi ) ^ { 2 / 3 } a ^ { 3 } \rho ^ { 8 / 3 } \biggl [ 1 - \frac { 9 } { 3 5 } ( 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } a _ { 0 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 / 3 } + O \left( ( a ^ { 3 } \rho ) ^ { 2 / 3 + 1 / 2 1 } | \log ( a ^ { 3 } \rho ) | ^ { 6 } \right) \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { k } ^ { \pm } } & { { } = \omega _ { o } \pm \sqrt { v ^ { 2 } + w ^ { 2 } + 2 v w \, \cos { k } } \equiv \omega _ { o } \pm f _ { k } , } \\ { | \phi _ { k } ^ { \pm } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } } \sum _ { x = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i k \, x } \Big ( \pm e ^ { - i \theta _ { k } } | x , A \rangle + | x , B \rangle \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { 1 } ( t ) = 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t } , \quad c _ { 2 } ( t ) = - \frac { \varepsilon } { \sigma } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t } ) + c t \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t } , } \\ & { c _ { 3 } ( t ) = - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c \sigma } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t } ) + t , \quad c _ { 4 } ( t ) = \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t } , \quad c _ { 5 } ( t ) = - \frac { c } { \varepsilon } t \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t } . } \end{array}
\widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } = \frac { 1 } { 4 } \left[ U _ { i } + \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 i } } + \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 i } } \right]
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = ( P _ { 1 } - P _ { 2 } ) [ ( P _ { 1 } + P _ { 2 } - \Delta ) ^ { 2 } + 1 - ( B - 1 ) ^ { 2 } P _ { 1 } P _ { 2 } ] , } \\ { F } & { { } = \frac { [ ( B + 1 ) ( P _ { 1 } + P _ { 2 } ) - 2 \Delta ] [ ( P _ { 1 } + P _ { 2 } - \Delta ) ^ { 2 } + 1 ] } { B - 1 } . } \end{array}
F _ { n } ^ { { \cal O } | \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } ( \theta _ { 1 } \ldots \theta _ { n } ) = \left\langle { \cal O } ( 0 ) V _ { \mu _ { 1 } } ( \theta _ { 1 } ) V _ { \mu _ { 2 } } ( \theta _ { 2 } ) \ldots V _ { \mu _ { n } } ( \theta _ { n } ) \right\rangle .