harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \mathbf V } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ t ~ } } ( x , y , z , t ) = } & { { } - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { { \mathbf Z } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } = t - r / c ) } { r } d V ^ { \prime } , } \\ { { \mathbf V } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ } } ( x , y , z , t ) = } & { { } - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { { \mathbf Z } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } = t + r / c ) } { r } d V ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vert G _ { p } ^ { ( x ) } ( \theta _ { 1 } ) \vert } & { = } & { \left\vert d _ { p } ( \eta ) \sin ( \Theta _ { p } ^ { ( x ) } - \theta _ { 1 } ) \right\vert + \mathcal { O } _ { 2 } , } \\ { \vert G _ { p } ^ { ( y ) } ( \theta _ { 1 } ) \vert } & { = } & { \left\vert s _ { p } ( \eta ) \sin ( \Theta _ { p } ^ { ( y ) } - \theta _ { 1 } ) \right\vert + \mathcal { O } _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { t } S _ { \mathbf { a } } ( t ) } & { = } & { - \Lambda _ { \mathbf { a } } ( t ) S _ { \mathbf { a } } ( t ) , } \\ { d _ { t } E _ { \mathbf { a } } ( t ) } & { = } & { \Lambda _ { \mathbf { a } } ( t ) S _ { \mathbf { a } } ( t ) - \Psi E _ { \mathbf { a } } ( t ) , } \\ { d _ { t } I _ { \mathbf { a } } ( t ) } & { = } & { \Psi E _ { \mathbf { a } } ( t ) - \Gamma I _ { \mathbf { a } } ( t ) , } \\ { d _ { t } R _ { \mathbf { a } } ( t ) } & { = } & { \Gamma I _ { \mathbf { a } } ( t ) . } \end{array}
B _ { I _ { 1 } ^ { 1 } \times I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } , I _ { 2 } ^ { 1 } \times I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } , I _ { 3 } ^ { 1 } \times I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 3 , 3 } = \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { 3 } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \langle D _ { K ^ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { 1 } ( j , m _ { 1 } ) f _ { j } \rangle _ { I _ { j } ^ { 1 } \times I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } \langle f _ { 3 } , h _ { I _ { 3 } } \rangle ,
\begin{array} { r l } & { | \mathcal { I } _ { n } ( \boldsymbol { t } , \boldsymbol { \tilde { t } } ) | \leq \tilde { C } _ { d } ^ { n } \int \prod _ { i \in \tilde { J } _ { 1 } } \frac { | y _ { i } ^ { \nu _ { i } } | } { ( 1 + | y _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { d + 1 } } \, d \boldsymbol { y } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } ( 1 , \hbar ^ { - 1 } | \boldsymbol { s } _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } , \sigma _ { i + 1 } ^ { 1 } - 1 } ^ { + } - \boldsymbol { \tilde { s } } _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } , \sigma _ { i + 1 } ^ { 2 } - 1 } ^ { + } + \hbar l _ { i } ^ { 1 } ( \boldsymbol { t } , \boldsymbol { \tilde { t } } ) ) | ) ^ { \frac { d } { 2 } } } } \\ & { \times \int \prod _ { i \in J _ { 1 } } \frac { | x _ { i } ^ { \epsilon _ { i } } | } { ( 1 + | x _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { d + 1 } } \, d \boldsymbol { x } \operatorname* { s u p } _ { | \gamma _ { 1 } | , \dots , | \gamma _ { n } | \leq d + 1 } \int \big | \partial _ { p _ { 1 } } ^ { \gamma _ { 1 } } \cdots \partial _ { p _ { n } } ^ { \gamma _ { n } } \partial _ { \boldsymbol { \xi } _ { \tilde { J } _ { 1 } } } ^ { \boldsymbol { \nu } } \partial _ { \boldsymbol { \eta } _ { J _ { 1 } } } ^ { \boldsymbol { \epsilon } } \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \alpha , \tilde { \alpha } ) | \hat { \varphi } ( \frac { p _ { 0 } } { \hbar } ) | ^ { 2 } \big | \, d \boldsymbol { p } d \boldsymbol { \eta } d \boldsymbol { \xi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \sigma _ { p } } ( \langle \nu , \nabla \mathcal { U } _ { N } ^ { N , k } \rangle | _ { \partial M } ) ( y _ { | } , \eta _ { | } ) = \iota \langle \nu , \eta \rangle _ { g } { \sigma _ { p } } ( \mathcal { R } ) ( y _ { | } , \eta _ { | } , y , \eta ) { \sigma _ { p } } ( \mathcal { U } _ { N } ^ { N , k } ) ( y , \eta ) , \quad k = 1 , 2 , } \end{array}
S = \frac { V } { 4 g ^ { 2 } } \mathrm { T r } \left( \sum _ { \rho \sigma } ( F _ { \rho \sigma } + \phi _ { \rho \sigma } \cdot { \bf 1 } ) g ^ { \rho \mu } g ^ { \sigma \nu } ( F _ { \mu \nu } + \phi _ { \mu \nu } \cdot { \bf 1 } ) \right) \, .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } ( \partial _ { i } X _ { j } - \delta _ { i j } ) = \partial _ { k } \mathbf { f } ^ { j } \circ X \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \partial _ { i } X ^ { k } - \delta _ { i k } \aftergroup \egroup \right) + \partial _ { i } \mathbf { f } ^ { j } \circ X \, , \qquad ( \partial _ { i } X _ { j } - \delta _ { i j } ) ( 0 , x ) = 0 \, , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } ( \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } - \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { x _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { y _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r } { P = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { V } \mathrm { R e } [ { { \bf J } ^ { * } ( { \bf r } _ { \mathrm { } } ) \cdot { \bf E } ( \bf r _ { \mathrm { } } ) } ] d V = \frac { \omega } { 2 } \mathrm { I m } [ { { \bf p } \cdot { \bf E } ( \bf r _ { \mathrm { d } } ) } ] . } \end{array}
{ \frac { \dot { a } } { a } } = H _ { 0 } { \sqrt { ( \Omega _ { 0 , R } a ^ { - 4 } + \Omega _ { 0 , M } a ^ { - 3 } + \Omega _ { 0 , k } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , \Lambda } ) } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } \left( t \right) } & { = \mathbf { p } \left( 0 , \mathbf { q } \left( 0 \right) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \left\{ \mathbf { A } ^ { p } \left[ \mathbf { a } \left( t ^ { \prime } \right) \right] d t ^ { \prime } + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { p } \left[ \mathbf { a } \left( t ^ { \prime } \right) \right] \cdot d \mathbf { w } ^ { p } ( t ^ { \prime } ) \right\} } \\ { \mathbf { q } \left( t \right) } & { = \mathbf { q } \left( T , \mathbf { p } \left( T \right) \right) + \int _ { t } ^ { T } \left\{ \mathbf { A } ^ { q } \left[ \mathbf { a } \left( t ^ { \prime } \right) \right] d t ^ { \prime } + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { q } \left[ \mathbf { a } \left( t ^ { \prime } \right) \right] \cdot d \mathbf { w } ^ { q } ( t ^ { \prime } ) \right\} . } \end{array}
R e s ( E _ { \gamma } ) = \frac { 2 . 3 5 5 \cdot \sigma ( E _ { \gamma } ) } { C h ( E _ { \gamma } ) } = \frac { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } E _ { \gamma } + c ^ { 2 } E _ { \gamma } ^ { 2 } } } { E _ { \gamma } } \times 1 0 0 \
\begin{array} { r } { [ \mathbf { W } ^ { - 1 } ] _ { 3 } = \left( \mathbf { W } _ { 3 } - \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \right) ^ { - 1 } = \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \right) ^ { k } } \\ { = \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } + \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } + \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } + \dots } \end{array} ,
A _ { 3 , \zeta } = Q \rho \tau _ { , \zeta } \ \ , \ \ \ \ A _ { 3 , \bar { \zeta } } = - Q \rho \tau _ { , \bar { \zeta } } \ \ , \ \ \ \ \kappa ^ { 2 } = I ^ { 3 } = { \frac { h ^ { 3 } e ^ { \tau _ { 0 } \tau } } { ( 1 - { \frac { 2 m } { r } } ) g _ { 2 2 } ^ { \beta } } }
- \; \left[ \delta _ { \alpha } \left( e m b ^ { * } \Delta _ { \beta } \right) _ { r } + \delta _ { \beta } \left( e m b ^ { * } \Delta _ { \alpha } \right) _ { r } \right] \cdot \Lambda ^ { r } \cdot \delta \left( \sigma - \sigma ^ { \prime } \right) \quad ,
\begin{array} { r l r } { H ( p , x ; t ) } & { { } = } & { - f _ { i } ( x ( t ) ) p _ { i } ( t ) + g _ { i j } ( x ( t ) ) p _ { i } ( t ) p _ { j } ( t ) , } \\ { p _ { i } } & { { } = } & { \frac { \partial S } { \partial x _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) ( f _ { 2 } ( y ) - f _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ) f _ { 3 } ( y ) } & { = ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) \frac { \| A y ^ { \prime } \| - \| A y \| } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } A ^ { T } A y } \\ & { = \left( \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) A ^ { T } A y } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } \right) ( \| A y ^ { \prime } \| - \| A y \| ) } \\ & { \leq \left( \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) A ^ { T } A y } { \| A y \| \| A y ^ { \prime } \| } \right) r \| y ^ { \prime } - y \| } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \lambda _ { a } } ( \sqrt { \lambda _ { a + \epsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \epsilon _ { - 2 } } } \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } + 1 ] } \cdot \left( \sqrt { \lambda _ { a + \varepsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \varepsilon _ { - 2 } } } \frac { 1 } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } + 1 ] } \right) } \\ { + } & { [ \overline { { a } } _ { 1 } ] \left( [ \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] + [ \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] \right) \cdot ( w _ { a , 1 } ) + \sqrt { \lambda _ { a + \epsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \epsilon _ { 2 } } } \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] } \cdot \left( \sqrt { \lambda _ { a + \varepsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \varepsilon _ { 2 } } } \frac { 1 } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] } \right) ) . } \end{array}
\epsilon ^ { \lambda _ { 1 } } ( q - \ell ) = ( \epsilon _ { 1 + 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } , \epsilon _ { 1 - } ^ { \lambda _ { 1 } } , \underline { { { \epsilon } } } _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } ) = \left( - { \frac { \underline { { { \epsilon } } } _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } \cdot \underline { { { \ell } } } } { ( q - \ell ) _ { - } } } , 0 , \underline { { { \epsilon } } } _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 3 } } E ( { \bf k } ) d { \bf k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 b _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 9 } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \quad \quad } \\ & { } & { ( s \omega _ { k } + s _ { p } \omega _ { p } + s _ { q } \omega _ { q } ) \left[ \frac { s \omega _ { k } } { e ^ { s } ( { \bf k } ) } + \frac { s _ { p } \omega _ { p } } { e ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) } + \frac { s _ { q } \omega _ { q } } { e ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) } \right] e ^ { s } ( { \bf k } ) e ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) e ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) \mathrm { d } { \bf k } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } \boldsymbol { \Phi } ^ { + } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \nabla \times \left( \frac { \boldsymbol { \Phi } ^ { + } } { \sqrt { n } } \right) + \frac { 1 } { n } \nabla \ln \sqrt { Z } \times \boldsymbol { \Phi } ^ { - } } \\ { i \partial _ { t } \boldsymbol { \Phi } ^ { - } } & { = - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \nabla \times \left( \frac { \boldsymbol { \Phi } ^ { - } } { \sqrt { n } } \right) - \frac { 1 } { n } \nabla \ln \sqrt { Z } \times \boldsymbol { \Phi } ^ { + } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { u b } = Q _ { u } ( z _ { b } ) } & { { } \approx 0 . 0 9 Q _ { F } , } \\ { M _ { u b } = M _ { u } ( z _ { b } ) + M _ { u } ^ { \prime } ( z _ { b } ) } & { { } \approx 0 . 3 6 M _ { 0 } \; \textrm { a n d } , } \\ { F _ { u b } = F _ { u } ( z _ { b } ) + F _ { u } ^ { \prime } ( z _ { b } ) } & { { } \approx - 0 . 7 1 | F _ { 0 } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x _ { \pi } ( t ) - x ^ { 0 } \| } & { \le ( t - t _ { 0 } ) e ^ { L _ { f x } ( t - t _ { 0 } ) } U ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) M _ { f } } \\ & { \le \sqrt { \varepsilon \gamma { M _ { F } } \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| } e ^ { L _ { f x } \varepsilon } c _ { u } M _ { f } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \in [ t _ { 0 } , t _ { 0 } + \varepsilon ] . } \end{array}
r _ { Q } ( v \cdot p ) = 1 + { \frac { 1 } { \bar { \Lambda } \, \hat { B } } } \, \bigg ( - v \cdot p \, \hat { A } + 4 \hat { F } _ { 6 } - \hat { G } _ { 2 } - 2 \hat { G } _ { 3 } ^ { \mathrm { r e g } } + 2 \hat { G } _ { 5 } - 6 \hat { G } _ { 6 } \bigg )
\begin{array} { l } { { u _ { + } ^ { 2 } = u _ { + } ; \ \ u _ { + } u _ { - } = 0 ; \ \ v _ { + } ^ { ( n ) } u _ { + } = u _ { - } v _ { + } ^ { ( n ) } } } \\ { { u _ { + } v _ { + } ^ { ( n ) } = v _ { + } ^ { ( n ) } u _ { - } = 0 ; \ \ v _ { + } ^ { ( \ell ) } v _ { - } ^ { ( m ) } = - \delta _ { \ell m } u _ { 0 } ; \ \ v _ { + } ^ { ( \ell ) } v _ { + } ^ { ( m ) } = \epsilon _ { \ell m n } v _ { - } ^ { ( n ) } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathsf { D } _ { \lambda } ( a \cdot x ) = \mathsf { D } _ { \lambda } ( \mathsf { q } ( a ) x ) = \lambda ( \mathsf { q } ( a ) ) \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) + \lambda ( x ) \mathsf { D } _ { \lambda } ( \mathsf { q } ( a ) ) = \mathsf { q } ( a ) \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) + 0 = a \cdot \mathsf { D } _ { \lambda } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { ( 2 ) } ( \tau ) } & { = \frac { \langle a _ { \mathrm { { o u t } } } ^ { \dag } ( 0 ) a _ { \mathrm { o u t } } ^ { \dag } ( \tau ) a _ { \mathrm { { o u t } } } ( \tau ) a _ { \mathrm { o u t } } ( 0 ) \rangle } { \langle a _ { \mathrm { { o u t } } } ^ { \dag } ( 0 ) a _ { \mathrm { o u t } } ( 0 ) \rangle ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { | t _ { \omega } | ^ { 4 } g _ { s } ^ { ( 2 ) } ( \tau ) + | u | ^ { 4 } g _ { m } ^ { ( 2 ) } ( \tau ) + 2 | t _ { \omega } u | ^ { 2 } g _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \tau ) g _ { m } ^ { ( 1 ) } ( \tau ) \cos ( \omega _ { m } \tau ) + 2 | t _ { \omega } u | ^ { 2 } g _ { s } ^ { ( 1 ) } ( 0 ) g _ { m } ^ { ( 1 ) } ( 0 ) } { ( | t _ { \omega } | ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = ( g _ { s } ^ { ( 2 ) } ( \tau ) - 1 ) \frac { | t _ { \omega } | ^ { 4 } } { ( | t _ { \omega } | ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + ( g _ { m } ^ { ( 2 ) } ( \tau ) - 1 ) \frac { | u | ^ { 4 } } { ( | t _ { \omega } | ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 | t _ { \omega } u | ^ { 2 } } { ( | t _ { \omega } | ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } g _ { m } ^ { ( 1 ) } ( \tau ) \cos ( \omega _ { m } \tau ) + 1 , } \end{array}
i \left[ \sigma ^ { \mu \nu } , \sigma ^ { \rho \tau } \right] = \eta ^ { \nu \rho } \sigma ^ { \mu \tau } - \eta ^ { \mu \rho } \sigma ^ { \nu \tau } - \eta ^ { \tau \mu } \sigma ^ { \rho \nu } + \eta ^ { \tau \nu } \sigma ^ { \rho \mu } ,
--- - \tilde { f } _ { s _ { 1 } n _ { 1 } , s _ { 2 } n _ { 2 } } = - ( - 1 ) ^ { 2 ( m _ { 1 } m _ { 2 } - s _ { 1 } s _ { 2 } + s _ { 1 } + s _ { 2 } ) } \tilde { f } _ { s _ { 2 } n _ { 2 } , s _ { 1 } n _ { 1 } } .
| b _ { i , j } ^ { ( k ) } | \le | \hat { a } _ { i , j } ^ { ( k ) } | + u \, \sum _ { \ell = k } ^ { n - 1 } \bigg [ | \hat { a } _ { i , j } ^ { ( \ell ) } | + | \hat { a } _ { \ell , j } ^ { ( \ell ) } | ( 3 + u ) \bigg ] \le | b _ { k , k } ^ { ( k ) } | \bigg ( 1 + u \, \sum _ { \ell = k } ^ { n - 1 } \frac { | \hat { a } _ { i , j } ^ { ( \ell ) } | } { | \hat { a } _ { k , k } ^ { ( k ) } | } + \frac { | \hat { a } _ { \ell , j } ^ { ( \ell ) } | } { | \hat { a } _ { k , k } ^ { ( k ) } | } ( 3 + u ) \bigg ) .
\int _ { 0 } ^ { \infty } d m \frac { m ^ { 2 } ~ e ^ { - \epsilon _ { m } m } } { e ^ { - \beta \Omega _ { H } ( 1 - x ) m } - 1 } = - \frac { 2 } { \epsilon _ { m } ^ { 3 } } - \frac { 2 \zeta ( 3 ) } { [ \beta \Omega _ { H } ( 1 - x ) ] ^ { 3 } } ~ ,
\frac { v ^ { 2 } ( r ) } { c ^ { 2 } } = \frac { 2 } { x } - \frac { \lambda ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } + \frac { 3 } { 4 } \frac { \lambda ^ { 4 } } { x ^ { 5 } } - \frac { 5 } { 8 } \frac { \lambda ^ { 6 } } { x ^ { 7 } } + { \cal O } ( x ^ { - 9 } ) ,
\hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ o ~ p ~ p ~ y ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { \bar { X } } \\ { \bar { \Theta } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - \sqrt { \frac { K _ { t } } { K } } } \\ { 1 } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { Z ^ { 2 } } \frac { \ddot { a } } { a } = } & { { } - \frac { 4 } { 3 } \pi \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) , } \\ { \frac { 1 } { Z ^ { 2 } } \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } = } & { { } - \frac { K \left( x , y , z \right) } { a ^ { 2 } } + \frac { 8 } { 3 } \pi \, T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } , } \end{array}
L = L _ { \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } _ { \alpha } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f } \ \exists \ \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ( t ) \in W _ { \alpha } } \\ { \operatorname* { m i n } _ { t _ { 0 } < t < t _ { e } } ( \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ( t ) ) - \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } _ { \alpha } ) ^ { 2 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \ ,
\begin{array} { r } { \Delta { \bf u } _ { j } ^ { m + 1 } = \Delta { \bf u } _ { j } ^ { m } + \omega \, { \bf r } _ { j } , \quad { \bf r } _ { j } = \left( \frac { \partial \overline { { { \bf { R e s } } _ { j } } } } { \partial { \bf u } _ { j } } \, \right) ^ { - 1 } \left[ - \sum _ { k \in \{ k _ { j } \} } \frac { \partial \overline { { { \bf { R e s } } _ { j } } } } { \partial { \bf u } _ { k } } \Delta { \bf u } _ { k } ^ { m } - { \bf R e s } _ { j } ( { \bf U } ^ { n } ) \right] - \Delta { \bf u } _ { j } ^ { m } , } \end{array}
x _ { e } \equiv \frac { p _ { T } } { 2 E _ { e } } \left( e ^ { - \eta _ { 1 } } + e ^ { - \eta _ { 2 } } \right) \; \; , \; x _ { p } \equiv \frac { p _ { T } } { 2 E _ { p } } \left( e ^ { \eta _ { 1 } } + e ^ { \eta _ { 2 } } \right) \; .
I _ { \partial D _ { j } } [ f ] : = \frac { \mathrm { d } f } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { - } ( x _ { j } ^ { - } ) - \frac { \mathrm { d } f } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { + } ( x _ { j } ^ { + } ) .
\begin{array} { r l r } & { ( 2 ) } & { \sum _ { a + b = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } \sum _ { I , J } c _ { I , J } ( a - | I | ) A ^ { a - | I | - 1 } B ^ { b - | J | } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { 1 } + 1 } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ) ^ { i _ { p } } ( \frac { \partial B } { \partial u } ) ^ { j _ { 1 } } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } B } { \partial u ^ { p } } ) ^ { j _ { p } } } \\ & { } & { + \sum _ { a + b = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } \sum _ { I , J } c _ { I , J } ( b - | J | ) A ^ { a - | I | } B ^ { b - | J | - 1 } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { 1 } + 1 } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ) ^ { i _ { p } } ( \frac { \partial B } { \partial u } ) ^ { j _ { 1 } + 1 } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } B } { \partial u ^ { p } } ) ^ { j _ { p } } , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { \mathbf { D } } \\ { \mathbf { B } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \cos \xi } & { - \sin \xi } \\ { \sin \xi } & { \cos \xi } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \mathbf { D ^ { \prime } } } \\ { \mathbf { B ^ { \prime } } } \end{array} \right) }
\alpha _ { i j } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \alpha _ { - 1 } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \alpha _ { - 1 } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha _ { - 1 } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \alpha _ { - 1 } } & { 1 } \end{array} \right] }
\gamma _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { m ; n n n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { A } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n n n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 1 } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { m ; n n n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { A } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n n n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 2 } \\ { 3 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { C } _ { m ; n n n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } - \frac { \mathscr { C } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } I _ { m ; n n n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 3 } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { D } _ { m ; n n n } ^ { m ^ { \prime } } - \frac { \mathscr { D } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } } I _ { m ; n n n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 4 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ f o r ~ } i = 5 ;
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] - \frac { \beta } { 2 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] - \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] \right) } \end{array}
\langle U \rangle = U _ { \infty } \left( 1 - W _ { d } \exp \left( - \frac { 2 \left( y - \delta \right) ^ { 2 } } { D ^ { 2 } \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) \exp \left( - \frac { 2 \left( z - z _ { h } \right) ^ { 2 } } { D ^ { 2 } \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) \right)
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \hat { \bf r } } \\ { \hat { \bf \Phi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \cos \phi } & { \sin \phi } \\ { - \sin \phi } & { \cos \phi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { \bf x } } \\ { \hat { \bf y } } \end{array} \right) , } \end{array}