harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | f _ { x } ( W _ { b } - \bar { \Delta } _ { 2 n , x } ) - f _ { x } ( W _ { b } - \bar { \Delta } _ { 2 n , x , i ^ { * } } ) | } & { \leq C | \bar { \Delta } _ { 2 n , x } - \bar { \Delta } _ { 2 n , x , i ^ { * } } | } \\ & { \leq C ( | \bar { D } _ { 1 n } - \bar { D } _ { 1 n , i ^ { * } } | + x | \bar { D } _ { 2 n } - \bar { D } _ { 2 n , i ^ { * } } | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { n , k + 1 } } & { = \frac { k + 1 } { n - k } B _ { n } ( k ) } \\ & { = \frac { k + 1 } { n - k } \gamma ( n , k ) } \\ & { = \frac { k + 1 } { n - k } \cdot \frac { k ! ( n - k ) ! } { ( n + 1 ) ! } } \\ & { = \frac { ( k + 1 ) ! ( n - ( k + 1 ) ) ! } { ( n + 1 ) ! } } \\ & { = \gamma ( n , k + 1 ) } \end{array}
\partial _ { t } \mathcal { V } - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { V } - \mu _ { 1 } g h _ { 0 } \partial _ { \xi } \mathcal { V } = ( \mu _ { 1 } + C _ { d , \beta } ) g h _ { 0 } ^ { \prime } \mathcal { V }
\begin{array} { r l } { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow f } } ( \mathbf { W } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + \frac { 1 } { 2 } , k } = ~ \frac { 1 } { 4 } ~ { \Big ( } } & { \mathbf { e } _ { Z } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j , k } + \mathbf { W } _ { i , j + 1 , k } + \mathbf { W } _ { i + 1 , j , k } + \mathbf { W } _ { i + 1 , j + 1 , k } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { Z } , } \\ { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow f } } ( \mathbf { W } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k + \frac { 1 } { 2 } } = ~ \frac { 1 } { 4 } ~ { \Big ( } } & { \mathbf { e } _ { \phi } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j , k } + \mathbf { W } _ { i , j , k + 1 } + \mathbf { W } _ { i + 1 , j , k } + \mathbf { W } _ { i + 1 , j , k + 1 } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { \phi } , } \\ { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow f } } ( \mathbf { W } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 2 } } = ~ \frac { 1 } { 4 } ~ { \Big ( } } & { \mathbf { e } _ { R } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j , k } + \mathbf { W } _ { i , j + 1 , k } + \mathbf { W } _ { i , j , k + 1 } + \mathbf { W } _ { i , j + 1 , k + 1 } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { R } . } \end{array}
\eta _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \overline { { { \mathscr F } } } ^ { * } : = \{ f ^ { * } \in L ^ { 2 } ( I ^ { * } , \mathfrak { m } ^ { * } ) : { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) < \infty \} , } \\ & { \overline { { { \mathscr E } } } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) : = { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) , \quad f ^ { * } \in \overline { { { \mathscr F } } } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \in C \cap \mathbb { Z } ^ { d + 1 } } w ( \alpha ) z ^ { \alpha } } & { = \sum _ { \alpha \in C \cap \mathbb { Z } ^ { d + 1 } } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { m } \ell _ { i } ( \alpha ) \right) z ^ { \alpha } } \\ & { = \sum _ { x \in \Pi \cap \mathbb { Z } ^ { d + 1 } } \sum _ { s _ { 1 } \geq 0 } \cdots \sum _ { s _ { r + 1 } \geq 0 } \underbrace { \prod _ { i = 1 } ^ { m } \ell _ { i } ( { x + s _ { 1 } v _ { 1 } + \cdots + s _ { r + 1 } v _ { r + 1 } } ) } _ { ( * ) } z ^ { x + s _ { 1 } v _ { 1 } + \cdots + s _ { r + 1 } v _ { r + 1 } } . } \end{array}
\bar { \Omega } _ { g } ( z _ { 0 } ; a _ { 1 } ) = { \frac { 1 } { q _ { 0 } ^ { 4 } } } \epsilon _ { g } ^ { n p } = - { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } } \times z _ { 0 } ^ { - 2 } \Bigl \{ I _ { 1 } ( z _ { 0 } ; a _ { 1 } ) + I _ { 2 } ( z _ { 0 } ; a _ { 1 } ) \Bigr \} ,
\lambda _ { L } ^ { ( 3 ) } = \bar { \lambda } _ { L } \biggr [ 1 + \bar { \lambda } _ { L } \frac { 2 } { \pi } \sum _ { i = 0 } ^ { L } \frac { k ^ { 2 ( L - i ) } \Lambda ^ { 2 i + 1 } } { 2 i + 1 } + \bar { \lambda } _ { L } ^ { 2 } \biggr ( \frac { 2 } { \pi } \sum _ { i = 0 } ^ { L } \frac { k ^ { 2 ( L - i ) } \Lambda ^ { 2 i + 1 } } { 2 i + 1 } \biggr ) ^ { 2 } \biggr ]
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { c e l l } } } & { { } = } & { \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { ( 1 - \frac { \beta } { 2 } ) \left[ 1 + \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { 2 } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) + 1 } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) } N \right] } \left\{ \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) + 1 } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) } v _ { p } \right] \Delta N - \left[ \tilde { \chi } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } / 2 ) } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } ) } \right] y _ { c } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { 4 , 2 , x x } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) v _ { i x } ^ { 2 } } } \\ { M _ { 4 , 2 , y y } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) v _ { i y } ^ { 2 } } } \\ { M _ { 4 , 2 , x y } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) { v _ { i x } } } { v _ { i y } } } \end{array}
\hat { \rho } ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \nabla _ { X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } } \{ x _ { j _ { 1 } } , \dotsc , x _ { j _ { m - 1 } } , v \} = \{ x _ { j _ { 1 } } , \dotsc , x _ { j _ { m - 1 } } , \nabla _ { X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } } v \} + \sum _ { l } \{ x _ { j _ { 1 } } , \dotsc , X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { m - 1 } } ( x _ { j _ { l } } ) , \dotsc x _ { j _ { m - 1 } } , v \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( | A B | ^ { r } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { m } s _ { i } ( A B ) ^ { r } } & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { m } s _ { i } ( A ) ^ { r } s _ { i } ( B ) ^ { r } } \\ & { \le \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } s _ { i } ( A ) ^ { p } ) ^ { \frac { r } { p } } \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } s _ { i } ( B ) ^ { q } ) ^ { \frac { r } { q } } } \\ & { = \big ( \mathrm { t r } ( | A | ^ { p } ) \big ) ^ { \frac { r } { p } } \big ( \mathrm { t r } ( | B | ^ { q } ) \big ) ^ { \frac { r } { q } } , } \end{array}
I m \left( \int _ { \infty } ^ { z } \left[ \sigma _ { 0 } \left( u + \frac { i \pi } { 2 } \right) + \sigma _ { 0 } \left( u - \frac { i \pi } { 2 } \right) \right] d u \right) \left\{ \begin{array} { r l } { { > 0 } } & { { I m ( z ) > 0 } } \\ { { < 0 } } & { { I m ( z ) < 0 } } \end{array} \right.
M _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { \mathbb { 1 } } & { \hat { n } } & { 0 } & { \ldots } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \hat { v } } & { } & { } \\ { \vdots } & { } & { } & { } & { \hat { v } } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { } & { \hdots } & { 0 } & { \mathbb { 1 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { \langle \mathbf { x } | } & { } & { \mathbf { P } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \left| \begin{array} { c c c c } { \phi _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } & { \phi _ { P _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \phi _ { P _ { N } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } \\ { \phi _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) } & { \phi _ { P _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \phi _ { P _ { N } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { x } _ { N } ) } & { \phi _ { P _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { N } ) } & { \cdots } & { \phi _ { P _ { N } } ( \mathbf { x } _ { N } ) } \end{array} \right| } \\ & { } & { = \sqrt { N ! } \, \hat { \mathcal { A } } \, \, \left[ \phi _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) \phi _ { P _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) \cdots \phi _ { P _ { N } } ( \mathbf { x } _ { N } ) \right] = } \\ & { } & { = \left| \phi _ { P _ { 1 } } \phi _ { P _ { 2 } } \cdots \phi _ { P _ { N } } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigl ( \nabla \cdot \bigl ( \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } \zeta _ { m , k } { \psi } _ { m , k } \sigma + \kappa _ { m } \nabla { \Chi } _ { m , k } \bigr ) \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } = \partial _ { t } { \Chi } _ { m , k } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \, . } \end{array}
\epsilon = - \frac { M \alpha ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } ( n _ { r } + \lambda + 2 ) ^ { 2 } } , \, \, \, \, \, \, n _ { r } \in \mathrm { { \bf Z } } , \, \, \, \, \, \, \lambda \in \mathrm { { \bf Z } }
| n + \delta \rangle _ { m } = \sum _ { j = 0 } ^ { m } c _ { j } z ^ { \frac { \delta } { 2 } + j } \bar { z } ^ { \frac { \delta } { 2 } + n - m + j } e ^ { - z \bar { z } / 2 } \quad ( 0 \leq m \leq n ) ,
M ^ { L } \rightarrow M ^ { L } \, ^ { \prime } = \tilde { U } ^ { L ^ { c } } M ^ { L } U ^ { L } = \left( \begin{array} { c c } { { m _ { \mu } } } & { { } } \\ { { } } & { { m _ { \tau } } } \end{array} \right) \ \ ,
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial t } + \frac { u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + u _ { z } ^ { ( k ) } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial z } + \frac { u _ { \phi } ^ { ( k ) } u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } - \frac { \big ( u _ { \phi } ^ { ( k ) } \big ) ^ { 2 } } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } } \\ & { = - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial p ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \Biggl \{ \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \biggl [ \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \biggr ] } \\ & { + \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \biggl [ \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \frac { \partial ( H _ { \xi } u _ { \xi } ^ { ( k ) } ) } { \partial \phi } \biggr ] + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { 2 } { H _ { \phi } H _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } - \frac { 2 } { H _ { \phi } ^ { 2 } H _ { \xi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } } \\ & { + \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } ^ { 2 } } \biggl [ - \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \xi } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } + \frac { \partial ^ { 2 } H _ { \phi } } { \partial \xi ^ { 2 } } - \frac { 1 } { H _ { \phi } } \left( \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } \right) ^ { 2 } \biggr ] u _ { \xi } ^ { ( k ) } } \\ & { + \biggl [ - \frac { 1 } { H _ { \phi } ^ { 2 } H _ { \xi } } \frac { \partial ^ { 2 } H _ { \phi } } { \partial \xi \partial \phi } + \frac { 1 } { H _ { \phi } ^ { 3 } H _ { \xi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \phi } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } + \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } H _ { \xi } } { \partial \phi \partial \xi } - \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } ^ { 3 } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \xi } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } \biggr ] u _ { \phi } ^ { ( k ) } \Biggr \} } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { F r } } \frac { \vec { g } \cdot \vec { e _ { \xi } } } { | \vec { g } | } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 1 } ( x ) = \beta S ( I + \alpha Y ) , } & { { } \qquad \mathcal { V } _ { 1 } ( x ) = \gamma _ { 1 } I , } \\ { \mathcal { F } _ { 2 } ( x ) = \nu \beta P ( I + \alpha Y ) , } & { { } \qquad \mathcal { V } _ { 2 } ( x ) = \gamma _ { 2 } Y . } \end{array}
\Xi ^ { \pm } ( u ) = 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \frac { ( u \pm i \alpha ) ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } } { \left[ ( u \pm i \alpha ) ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } .
\sum _ { i = 1 } ^ { k } E _ { \varepsilon } ( \Omega _ { i } ) \geq \sum _ { i = 2 } ^ { k } 4 \pi r _ { i } ^ { 2 } + 4 \pi \left( 1 - \sum _ { i = 2 } ^ { k } r _ { i } ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \geq 4 \pi + \sum _ { i = 2 } ^ { k } 4 \pi r _ { i } ^ { 2 } ( 1 - r _ { i } ) .
\begin{array} { r l } { \Vert u ( t , x ) \Vert _ { p } } & { \ge \Vert u ( t , x ) \Vert _ { 2 } = \left( \sum _ { n \ge 0 } n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ge \left( \mu _ { 0 } ^ { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } t ^ { n ( \theta + 1 ) } } { ( n ! ) ^ { \theta + 1 } } \right) ^ { 1 / 2 } \ge \mu _ { 0 } c _ { 1 } \exp \left( c _ { 2 } | \lambda | ^ { \frac { 2 } { \theta + 1 } } t \right) . } \end{array}
\lambda = \frac { \pi } { 4 } \, \frac { L + 2 } { L + 1 } \qquad \left\{ \begin{array} { l l l } { { 0 < u < 3 \lambda } } & { { \qquad } } & { { \mathrm { r e g i m e ~ } i ) } } \\ { { 3 \lambda - \pi < u < 0 } } & { { \qquad } } & { { \mathrm { r e g i m e ~ } i i ) . } } \end{array} \right.
G \left( \hat { s } , \tau \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \tau } } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma _ { 1 } + \Gamma _ { 2 } } \! \! \Pi ( w ) \exp { \left[ - \frac { \left( w + \hat { s } \right) ^ { 2 } } { 4 \tau } \right] } \, d w
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \Bigg [ } & { { } \ln \left[ \frac { 1 } { \mathbf { C } _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \right) \right] + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \chi _ { j } } > \; } & { B _ { j , j } E _ { j } ^ { \circ } + \sum _ { k } B _ { j , k } \cos ( \delta _ { k } ^ { \circ } - \delta _ { j } ^ { \circ } ) E _ { k } ^ { \circ } } \\ & { \qquad + \sum _ { \ell \neq j } ^ { N } E _ { j } ^ { \circ } | B _ { j , \ell } \cos { ( \delta _ { j } ^ { \circ } - \delta _ { \ell } ^ { \circ } ) } | . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \frac { \dot { T } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } \ln ^ { \frac { 2 } { 3 } } T ^ { 2 } } d T ^ { 2 } + \ln ^ { \frac { 2 } { 3 } } T ^ { 2 } \sum _ { j = 2 } ^ { 4 } d x _ { j } ^ { 2 } ,
\rho ( x ) = \sqrt { { \frac { 2 n _ { 0 } } { m } } } \, \cos ( m t ) + \sum _ { { \bf k } \ne { \bf 0 } } { \frac { 1 } { \sqrt { V \, 2 k ^ { 0 } } } } [ a _ { \bf k } e ^ { - i k x } + a _ { \bf k } ^ { + } e ^ { i k x } ]
( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 } , x _ { 1 1 } ) \longrightarrow ( - x _ { 1 } , - x _ { 2 } , - x _ { 3 } , - x _ { 4 } , - x _ { 5 } , x _ { 1 1 } + x _ { 1 } ) .
\; _ { p + 1 } F _ { q } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { - h , \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = h ! \; { \frac { \prod _ { j = n + 1 } ^ { p } \Gamma ( 1 - a _ { j } ) \prod _ { j = m + 1 } ^ { q } \Gamma ( b _ { j } ) } { \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma ( a _ { j } ) \prod _ { j = 1 } ^ { m } \Gamma ( 1 - b _ { j } ) } } \times
\left( \begin{array} { l l } { \begin{array} { l } { E _ { y } \mu _ { x } } \end{array} } & { z ^ { \prime } + D _ { y } \kappa _ { x } } \\ { ( z ^ { \prime } + D _ { y } \kappa _ { x } ) ^ { T } } & { z _ { 3 } } \end{array} \right) = \left[ C ( x ) E ( x , y ) - \left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) + x _ { 3 } A _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \right] \mathcal { L } _ { y } ^ { 2 } + P _ { x } \quad \textit { i n } \mathcal { Y } .
\begin{array} { r l } { \hat { \Gamma } _ { 3 } ^ { * } = } & { \tilde { \Gamma } _ { 3 } ^ { * } + \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 3 } } \Phi _ { 2 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } ^ { * } , \tilde { \ell } _ { 3 } ^ { * } ; \cdots \right) } \\ { = } & { \tilde { \Gamma } _ { 3 } + \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \Theta _ { 2 } ^ { \pm } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) + \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 3 } } \Phi _ { 2 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } + O \left( \frac { L _ { 2 } ^ { 8 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \right) , \tilde { \ell } _ { 3 } + O \left( \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 7 } } \right) ; \cdots \right) } \\ { = } & { \hat { \Gamma } _ { 3 } + \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \Theta _ { 2 } ^ { \pm } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \hat { M } _ { 0 } ( z ) Z _ { 0 } = Z _ { 0 } H ( z ) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ H ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { { \tilde { \hat { \omega } } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } ( z ) } } & { { 2 \hat { \rho } ^ { j } ( z ) } } \\ { { 0 } } & { { \hat { T } _ { i } ^ { ~ j } ( z ) } } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { ( i ) } = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { i } \left( \tilde { a } _ { i j } N _ { E } ( Y _ { ( j ) } ) + a _ { i j } N _ { I } ( Y _ { ( j ) } ) \right) , } \\ { y _ { n + 1 } = y _ { n } + \Delta t \sum _ { j = 1 } ^ { s } \left( \tilde { b } _ { j } N _ { E } ( Y _ { ( j ) } ) + b _ { j } N _ { I } ( Y _ { ( j ) } ) \right) . } \end{array}
L _ { f m } = \frac { k } { 2 } \bar { \psi } ^ { a } \psi ^ { a } + A \bar { \psi } _ { \scriptscriptstyle L } ^ { a c } \psi _ { \scriptscriptstyle L } ^ { a } + B \bar { \psi } _ { \scriptscriptstyle R } ^ { a c } \psi _ { \scriptscriptstyle R } ^ { a } ,
\Psi [ \mathbf { r } _ { i } ] = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \psi _ { \alpha _ { i } } ( \mathbf { r } _ { i } ) \equiv \psi _ { \alpha _ { 1 } } \otimes \psi _ { \alpha _ { 2 } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { \alpha _ { N } }
\widetilde { Y } _ { i } = \frac { \langle F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ) } { \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } .
\begin{array} { r l } { \big \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } } & { \big ( T ( t - s ) - T ( t - h - s ) \big ) g ( s ) \big \| _ { X } \chi _ { [ 0 , t - h ] } ( s ) } \\ & { \leq \big ( \big \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t - s ) \big \| + \big \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t - h - s ) \big \| \big ) \| g ( s ) \| _ { X } } \\ & { \leq K \Big ( \frac { 1 } { ( t - s ) ^ { \alpha } } + \frac { 1 } { ( t - h - s ) ^ { \alpha } } \Big ) \| g ( s ) \| _ { X } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c l c c l } { u _ { n _ { k } } } & { \rightharpoonup } & { u \ } & { \mathrm { w e a k l y ~ i n } } & { L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathcal { V } _ { 1 } ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } \\ { u _ { n _ { k } , x x } } & { \rightharpoonup } & { u _ { x x } \ } & { \mathrm { w e a k l y ~ i n } } & { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } \\ { u _ { n _ { k } , x x } ^ { \prime } } & { \rightharpoonup } & { u _ { x x } ^ { \prime } \ } & { \mathrm { w e a k l y ~ i n } } & { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } \\ { u _ { n _ { k } } ^ { \prime } } & { \rightharpoonup } & { u ^ { \prime } \ } & { \mathrm { w e a k l y ~ i n } } & { L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathcal { V } _ { 1 } ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } \\ { u _ { n _ { k } } ^ { \prime \prime } } & { \rightharpoonup } & { u ^ { \prime \prime } \ } & { \mathrm { w e a k l y ~ i n } } & { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ( \tilde { u } _ { h } - u , v ) } & { = g _ { 1 } ( h ) ( u , v ) + g _ { 2 } ( h ) ( u , v ) + g _ { 3 } ( h ) ( u , v ) + } \\ & { O ( \| h \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( D ) ^ { 2 } } ) + O ( \| h \| _ { 1 , \infty } \| v \| _ { H ^ { 1 } ( D ) ^ { 2 } } \| \tilde { u } _ { h } - u \| _ { H ^ { 1 } ( D ) ^ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { [ ( \Dot { F } _ { t } \otimes \Dot { F } _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 4 r r ^ { \prime } } \sum _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } \in \{ - 1 , 1 \} } ( r + \varepsilon | t | ) ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } | t ^ { \prime } | ) k _ { \mathrm { u } } ^ { 0 } \big ( ( r + \varepsilon | t | ) ^ { 2 } , ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } | t ^ { \prime } | ) ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d u } { d \tau } } & { = v + \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { 3 } } { \alpha _ { 1 } } u v + \frac { \alpha _ { 4 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 2 } v + \frac { \alpha _ { 5 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) } \\ & { \triangleq P ( u , v ) , } \\ { \frac { d v } { d \tau } } & { = \frac { \beta _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } u v + \frac { \beta _ { 3 } } { \alpha _ { 1 } } v ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 4 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 2 } v + \frac { \beta _ { 5 } } { \alpha _ { 1 } } u ^ { 3 } + O ( { | u , v | ^ { 4 } } ) } \\ & { \triangleq Q ( u , v ) , } \end{array}
\hat { K } _ { m } ( \theta ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \, \left| \mathrm { s i n } { \frac { \theta _ { 2 } - \theta } { 2 } } \right| \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } }
P ^ { ( 1 ) } 1 ( \omega _ { s } ) \approx \frac { \alpha e ^ { 2 } \omega _ { L } ^ { 2 } } { c } ( 1 + \xi ^ { 2 } ) ^ { 5 / 3 } \left( \frac { \omega _ { s } } { \omega _ { L } } \right) ^ { 1 / 3 } ,
\varphi ( \mathbf { r } , t ) = \int { \frac { \nabla ^ { \prime } \cdot { \mathbf { E } } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ) } { 4 \pi R } } \operatorname { d } \! ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } - { \frac { \partial { \psi ( \mathbf { r } , t ) } } { \partial t } }
{ \textbf { G } } ( s ) = { \frac { n _ { 1 } s ^ { 3 } + n _ { 2 } s ^ { 2 } + n _ { 3 } s + n _ { 4 } } { s ^ { 4 } + d _ { 1 } s ^ { 3 } + d _ { 2 } s ^ { 2 } + d _ { 3 } s + d _ { 4 } } } .
\begin{array} { r l } & { S [ \psi , { \psi } ^ { \dagger } , V ] = \int d ^ { 2 } r \, \bar { \Psi } ( { H } + i \tau _ { 3 } \eta ) \Psi } \\ & { = \int d ^ { 2 } r \left( \begin{array} { l l } { \psi ^ { \dagger } } & { i \psi ^ { \dagger } \sigma _ { z } } \end{array} \right) _ { \tau } \left( \begin{array} { l l } { H + i \eta } & \\ & { H - i \eta } \end{array} \right) _ { \tau } \left( \begin{array} { l } { \psi } \\ { i \sigma _ { z } \psi } \end{array} \right) _ { \tau } , } \\ & { } \end{array}
D ( x _ { F } , M \ | \ s ) = \sum _ { q _ { v } , \bar { q } _ { s } } \int d x ^ { P } d x ^ { T } q _ { v } ( x ^ { P } ) \bar { q } _ { s } ( x ^ { T } ) K ( x ^ { P } , q _ { v } ; x ^ { T } , \bar { q } _ { s } | x _ { F } , M , s ) .
[ x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ] \cong [ \lambda ^ { 1 2 } x _ { 0 } , \lambda ^ { 8 } x _ { 1 } , \lambda ^ { 2 } x _ { 2 } , \lambda x _ { 3 } , \lambda x _ { 4 } ] .
f _ { A } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = ( 1 - q _ { 2 } ) [ ( 1 - p _ { 1 } ) - q _ { 4 } ( p _ { 2 } - p _ { 1 } ) ^ { 2 } ] + q _ { 4 } ( 1 - p _ { 2 } )