harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( f _ { \tilde { Y } } ( z ) - { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } Y } \right] e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ^ { * } ( z ) + z ) } f _ { \tilde { Y } } ( z ) \right) - \beta f _ { \tilde { Y } } ( z ) - \eta ( z ) - \zeta ( 1 - \epsilon ) f _ { \tilde { Y } } ( z ) = 0 , } \end{array}
\lambda _ { \hat { \varepsilon } } ^ { ( 1 ) } ( F ) = - \frac { 1 } { \omega } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { \tilde { l } b } \frac { \sigma ^ { \tilde { a } k b } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } \xi _ { \tilde { a } } H _ { k } ^ { ( 0 ) } - \frac { 1 } { \omega } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { \tilde { l } \tilde { b } } \frac { \sigma ^ { 3 \tilde { a } \tilde { b } } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } ( B ^ { ( 1 ) } ( x , \tilde { \xi } ) ) _ { \tilde { a } } ^ { k } H _ { k } ^ { ( 0 ) } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \| \nabla \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k ^ { \ast } } ) \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \frac { 2 \rho \theta } { \rho - \kappa \theta } \left[ \frac { ( \gamma - \kappa + \rho \beta \theta ^ { - 2 } ) D } { K } + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } + \frac { \rho \lambda ( 3 \tau ^ { 2 } + 2 \beta ) } { 2 \theta ^ { 2 } K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \right] , } \end{array}
M _ { X } ( s _ { x } , t ) = \left. \exp \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { s _ { x } ^ { n } } { n ! } [ ( N _ { X } ) ^ { n } , H ] t \right) e ^ { s _ { x } N _ { X } } P ( 0 , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } \, .
\sum _ { p q r s } V _ { p q r s } \sum _ { j } \mathinner { | { p } \rangle } \mathinner { \langle { q } | } _ { j } \sum _ { k } \mathinner { | { r } \rangle } \mathinner { \langle { s } | } _ { k } \equiv \sum _ { p q r s } V _ { p q r s } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { q } a _ { r } ^ { \dagger } a _ { s } .
\begin{array} { r l r } { R } & { = } & { \frac { | A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { T } } ) + \eta ^ { 2 } | A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { L } } ) } { | A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { T } } ) + \eta ^ { 2 } | A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { L } } ) } \, , } \\ { T } & { = } & { \frac { | A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { T } } ) + \eta ^ { 2 } | A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { L } } ) } { | A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { T } } ) + \eta ^ { 2 } | A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { L } } ) } \, , } \end{array}
\partial _ { \mu _ { g y } } \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) = \nabla \psi _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } \frac { \partial \boldsymbol { \rho } } { \partial \mu _ { g y } } = \nabla \psi _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } \hat { \boldsymbol { \rho } } \frac { 1 } { \Omega _ { e } } \frac { c } { e \rho } ,
{ \frac { n } { n ^ { \prime } } } = { \frac { n } { n _ { 1 } } } \; { \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } } \cdots { \frac { n _ { I - 2 } } { n _ { I - 1 } } } \; { \frac { n _ { I - 1 } } { n ^ { \prime } } } \, .
\frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } 4 m _ { a } m _ { b } \sinh \theta } \nonumber = \frac { - i } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } 4 m _ { a } m _ { b } \sin \theta _ { 0 } } [ 1 + i \cot \theta _ { 0 } ( \theta - i \theta _ { 0 } ) + \cdots ] .
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { r } ( \omega ) } & { { } = 1 + \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \varepsilon _ { r } - 1 ) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \eta \omega } , } \\ { f _ { \mathrm { ~ F ~ } } ( \omega ) } & { { } = \frac { A _ { 3 } \omega \omega _ { 0 } } { ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \eta \omega ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , L ) ^ { d } } | \nu | ( \ensuremath { \mathrm { d } } x ) \prod _ { i = 1 } ^ { d } \sin \left( \frac { \pi x _ { i } } { L } \right) < \infty \quad \Longleftrightarrow \quad \int _ { ( 0 , L ) ^ { d } } | \nu | ( \ensuremath { \mathrm { d } } x ) \prod _ { i = 1 } ^ { d } \left( x _ { i } ( L - x _ { i } ) \right) < \infty . } \end{array}
W _ { i } ( t \! + \! 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \log _ { 2 } ( 2 q ) \! + \! a _ { i } \quad \mathrm { i f ~ } i \in S _ { 0 } , Y = X } \\ { \log _ { 2 } ( 2 p ) \! + \! b _ { i } \quad \mathrm { i f ~ } i \in S _ { 0 } , Y = X ^ { c } } \\ { \log _ { 2 } ( 2 p ) \! + \! c _ { i } \quad \mathrm { i f ~ } i \in S _ { 1 } , Y = X ^ { c } } \\ { \log _ { 2 } ( 2 q ) \! + \! d _ { i } \quad \mathrm { i f ~ } i \in S _ { 1 } , Y = X } \end{array} \right. \, ,
\begin{array} { r } { w _ { M , N } ^ { ( \mathrm { s y m } ) } ( r , K ^ { ( M , N ) } ) : = \frac { 1 } { M ! N ! } \sum _ { \pi \in \mathfrak { S } _ { M } } \sum _ { \widetilde { \pi } \in \mathfrak { S } _ { N } } { w } _ { M , N } ( r , K _ { \pi ( 1 ) } , \ldots , K _ { \pi ( N ) } , \widetilde { K } _ { \widetilde { \pi } ( 1 ) } , \ldots , \widetilde { K } _ { \widetilde { \pi } ( M ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { A l } } } & { = 0 . 5 \frac { n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } } { n _ { \mathrm { t o t } } } - \rho _ { \mathrm { v _ { A l } } } + \rho _ { \mathrm { { A l } _ { i } } } + \rho _ { \mathrm { { A l } _ { N } } } - \rho _ { \mathrm { { N } _ { A l } } } - \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { - } N ) } _ { A l } } } - \rho _ { \mathrm { { A r } _ { A l } } } } \\ { c _ { \mathrm { N } } } & { = 0 . 5 \frac { n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } } { n _ { \mathrm { t o t } } } - \rho _ { \mathrm { v _ { N } } } + \rho _ { \mathrm { N _ { i } } } + 2 \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { - } N ) } _ { i } } } + \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { - } N ) } _ { N } } } + 2 \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { - } N ) } _ { A l } } } - \rho _ { \mathrm { { A l } _ { N } } } - \rho _ { \mathrm { { A r } _ { N } } } } \\ { c _ { \mathrm { A r } } } & { = \rho _ { \mathrm { { A r } _ { i } } } + \rho _ { \mathrm { { A r } _ { A l } } } + \rho _ { \mathrm { { A r } _ { N } } } } \end{array}
f _ { C } \left( \frac { m } { k } \right) = \frac { 1 } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 3 k } { 2 m } \left( \frac { \pi } { 2 } - \tan ^ { - 1 } \frac { k } { m } \right) \right] ,
f ( \zeta , { \bar { \zeta } } ) = \langle \zeta | \hat { O } _ { f } ( b , b ^ { + } ) | \zeta \rangle = \int { \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \tilde { f } ( p , { \bar { p } } ) e ^ { - i ( \bar { p } \zeta + p \bar { \zeta } ) } .
Q _ { 1 } = \left( \! \! \begin{array} { c c } { T _ { 1 1 } ^ { s u b } } & { T _ { 1 2 } ^ { s u b } B } \\ { T _ { 2 1 } ^ { s u p } B } & { T _ { 2 2 } ^ { s u p } } \end{array} \! \! \right) ,
\begin{array} { r l r } { G \gamma ( t ) } & { { } = } & { \frac { E [ \mathrm { G e V } ] ( t ) } { 0 . 4 4 0 6 4 8 5 } } \\ { \alpha ( t ) } & { { } \approx } & { \frac { d ( G \gamma ( t ) ) } { d \theta } } \end{array}
| \rho \cdot \alpha | _ { \mathrm { m i n } } + | \rho \cdot \alpha | _ { \mathrm { m a x } } < h ^ { \vee } , \qquad | \rho ^ { \vee } \cdot \alpha | _ { \mathrm { m i n } } + | \rho ^ { \vee } \cdot \alpha | _ { \mathrm { m a x } } < h .
\mathrm { ~ I ~ P ~ R ~ } \mu = \frac { \sum { i = 1 } ^ { N } | \psi _ { \mu } ( x _ { i } ) | ^ { 4 } } { \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \psi _ { \mu } ( x _ { i } ) | ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { R \sin \phi _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } , } \\ { R - R \cos \phi _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { C _ { i } } ( \gamma _ { i } ) } & { = 2 k _ { 1 } ( C _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { r \, \frac { \gamma _ { i } } { t } } - 1 \right) + 2 k _ { 2 } D _ { 0 } \left( e ^ { s \, \frac { \gamma _ { i } } { t } } - 1 \right) \, , } \\ { \lambda _ { D _ { k } } ( \delta _ { k } ) } & { = 2 k _ { 2 } C _ { 0 } \left( e ^ { \tau \, \frac { \delta _ { k } } { t } } - 1 \right) + 2 k _ { 4 } ( D _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { p \, \frac { \delta _ { k } } { t } } - 1 \right) \, . } \end{array}
g ( s ) = \operatorname { R e } \left[ { \frac { - s ^ { k } \log ( - i s ) } { k ! ( 2 \pi i ) ^ { n } } } \right] = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { | s | ^ { k } } { 4 k ! ( 2 \pi i ) ^ { n - 1 } } } } & { n { \mathrm { ~ o d d } } } \\ { - { \frac { | s | ^ { k } \log | s | } { k ! ( 2 \pi i ) ^ { n } } } } & { n { \mathrm { ~ e v e n . } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { d s ^ { 2 } = - ( d X ^ { 0 } ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } ( t ) \left( \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - k r ^ { 2 } } + r ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } \right) \right) \equiv - ( d X ^ { 0 } ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } ( t ) d l _ { 3 \textrm { D } } ^ { 2 } \, , } \end{array}
H _ { F } = 1 + { \frac { Q _ { F } } { [ | \vec { x } - \vec { x } _ { 0 } | ^ { 2 } + 4 Q _ { 3 } | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ] ^ { 3 } } } , \ \ \ \ H _ { 3 } = { \frac { Q _ { 3 } } { | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | } } .
\begin{array} { r l } { D _ { \alpha } } & { { } = [ 1 , 1 0 0 ] ~ \ensuremath { \, \mathrm { m ^ { 2 } / s } } } \\ { t _ { \mathrm { ~ T ~ Q ~ } } } & { { } = [ 1 , 3 ] \ensuremath { \, \mathrm { m s } } } \\ { n _ { e 1 } } & { { } = [ 1 , 1 . 5 , 2 , 2 . 5 , 3 , 3 . 5 , 4 ] n _ { e 0 } } \\ { n _ { \mathrm { ~ N ~ e ~ 1 ~ } } / n _ { \mathrm { ~ D ~ 1 ~ } } } & { { } = [ 0 , 0 . 1 , 1 . 0 ] , } \end{array}
V ( k , q ) = \frac { { \cal C } } { 2 } \left( \frac { 1 } { q _ { \| } ^ { 2 } + ( k - q / 2 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { q _ { \| } ^ { 2 } + q ^ { 2 } / 4 } \right) ,
\begin{array} { c } { \nabla \cdot v = 0 } \\ { \rho \left( \frac { \partial v } { \partial t } + v \cdot \nabla v \right) = - \nabla p + \nabla \cdot \tau } \\ { \frac { \partial c } { \partial t } + v \cdot \nabla c = \kappa \nabla ^ { 2 } c } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { V _ { k } ^ { T } A ^ { T } ( A V _ { k } y _ { k } - b ) - V _ { k } ^ { T } \lambda _ { k } + V _ { k } ^ { T } \mu _ { k } } & { = 0 } \\ { ( \lambda _ { k } ) _ { i } ( [ V _ { k } y _ { k } ] _ { i } - \ell _ { i } ) } & { = 0 } & & { i \in \{ 1 , \ldots , n \} } \\ { ( \mu _ { k } ) _ { i } ( u _ { i } - [ V _ { k } y _ { k } ] _ { i } ) } & { = 0 } & & { i \in \{ 1 , \ldots , n \} } \\ { \ell _ { i } \leq [ V _ { k } y _ { k } ] _ { i } } & { \leq u _ { i } } & & { i \in \{ 1 , \ldots , n \} } \\ { ( \lambda _ { k } , \mu _ { k } ) } & { \geq 0 . } \end{array}
\Pi _ { \mathrm { c o l } } ^ { \mathrm { c o n f } } + \Pi _ { t } ^ { \mathrm { c o n f } } = - ( \bar { \Pi } _ { \mathrm { c o l } } ^ { \mathrm { c o n f } } + \bar { \Pi } _ { t } ^ { \mathrm { c o n f } } + \bar { \Pi } _ { \mathrm { h e a t } } ^ { \mathrm { c o n f } } + \bar { \Pi } _ { \mathrm { n e u t } } ^ { \mathrm { c o n f } } ) .
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { u , \vec { L } } = } & { \frac { \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } } { | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } | } \int \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \uparrow } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \downarrow } } \right] \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ 2 \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } } \vec { \nabla } \rho _ { \uparrow } - 2 \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } } \vec { \nabla } \rho _ { \downarrow } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \downarrow } } ( \vec { \nabla } \rho _ { \uparrow } - \vec { \nabla } \rho _ { \downarrow } ) \right] \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { + \int } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \uparrow } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \downarrow } } \right] \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right] \cdot \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } ( \mathbf { 0 } ; \infty ) = - \sqrt { \pi } ( \sqrt { 2 } - 1 ) \alpha \beta \Delta T _ { 0 } ^ { 2 } A ^ { 2 } a \mathbf { e } _ { x } + O ( \alpha ^ { 2 } ) + \mathrm { ~ c ~ u ~ b ~ i ~ c ~ a ~ n ~ d ~ h ~ i ~ g ~ h ~ e ~ r ~ - ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } . } \end{array}
W _ { 4 } ( x , p ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \frac { d y _ { 0 } } { 2 \pi } \, e ^ { - i p _ { 0 } y _ { 0 } } \int \frac { d ^ { 3 } y } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, e ^ { i \vec { p } \cdot \vec { y } } \left\langle \Psi \left( \vec { x } + { \textstyle { \frac { \vec { y } } { 2 } } } , x _ { 0 } + { \textstyle { \frac { y _ { 0 } } { 2 } } } \right) \, \Psi ^ { \dag } \left( \vec { x } - { \textstyle { \frac { \vec { y } } { 2 } } } , x _ { 0 } - { \textstyle { \frac { y _ { 0 } } { 2 } } } \right) \right\rangle \, .
\Phi _ { \alpha , \bar { \alpha } s } - \Phi _ { \bar { \alpha } , \alpha s } + \Phi _ { \beta , \bar { \beta } s } - \Phi _ { \bar { \beta } , \beta s } + [ ( q ^ { - x } \cdot \Phi _ { \bar { \alpha } , s } \Phi _ { \alpha , r s } + q ^ { x } \cdot \Phi _ { \alpha , r } \Phi _ { \bar { \alpha } , s s } ) - ( q ^ { - x } \cdot \Phi _ { \bar { \alpha } , r } \Phi _ { \alpha , s s }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - C _ { n } ( \theta _ { i } ) ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i j } } C _ { n } ( \theta _ { i } ) \right| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { ( \lambda , \nu ) \in S } 2 c \left( ( \operatorname { E } | X _ { i , t } | ^ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 \right) \left( \frac { 1 } { \lambda } \operatorname { E } | X _ { i , t } | + \operatorname { E } | \log ( X _ { i , t } ! ) | \right) < \infty . } \end{array}
E _ { e - \mathrm { H x c } } [ n ^ { ( \alpha ) } ] = ( 1 - \alpha ) E _ { \mathrm { H x c } } [ { \rho _ { - 1 } ^ { ( \alpha ) } } ] + \alpha E _ { \mathrm { H x c } } [ { \rho _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } } ] .
\sigma _ { j } = \underbrace { \overline { { \overline { { u } } _ { j } \overline { { \omega } } } } - \overline { { \overline { { u } } } } _ { j } \overline { { \overline { { \omega } } } } } _ { \mathrm { L e o n a r d } } + \underbrace { \overline { { \overline { { u } } _ { j } \omega ^ { \prime } } } + \overline { { u _ { j } ^ { \prime } \overline { { \omega } } } } - \overline { { \overline { { u } } } } _ { j } \overline { { \omega ^ { \prime } } } - \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } ~ \overline { { \overline { { \omega } } } } } _ { \mathrm { C r o s s } } + \underbrace { \overline { { u _ { j } ^ { \prime } \omega ^ { \prime } } } - \overline { { u _ { j } ^ { \prime } } } ~ \overline { { \omega ^ { \prime } } } } _ { \mathrm { R e y n o l d s } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { P } \underline { { v } } ( P ) } & { = \partial _ { P } v ( P , y ^ { * } ) \subset \mathrm { c o n v } \biggl ( \biggl \{ \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { r } } \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { c } } \pi _ { k } ^ { * } x _ { l } ^ { * } \partial _ { P } M _ { k l } ( P ) \: : \: ( x ^ { * } , \pi ^ { * } ) \mathrm { ~ i s ~ a ~ p r i m a l - d u a l ~ o p t i m a l ~ p a i r ~ f o r ~ } \biggr \} \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ d ~ } _ { q } V } & { { } = L _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ^ { T } \cdot m ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot R _ { \xi } \cdot \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ d ~ } _ { \xi } , } \\ { \mathrm { ~ H ~ e ~ s ~ s ~ } _ { q } V } & { { } = L _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ^ { T } \cdot m ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot R _ { \xi } \cdot \mathrm { ~ H ~ e ~ s ~ s ~ } _ { \xi } \cdot R _ { \xi } ^ { T } \cdot m ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot L _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { { } = S _ { 1 } ( t _ { o n } ) \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } S _ { 2 } ( t , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t , m ) d t + S _ { 1 } ( t _ { o n } ) \big ( S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) \big ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { n + 1 } ( W _ { 1 } ^ { \varepsilon c _ { a } ( a ) } , . . . , W _ { n } ^ { \varepsilon c _ { a } ( a ) } , y c _ { n } ( a ) ) } & { \leq \mathrm { ~ R H S ~ o f ~ ( } ) } \\ & { + n ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon c _ { a } ( n ) } \int _ { u } ^ { \varepsilon c _ { a } ( n ) } f _ { n } ( u , v , y c _ { a } ( z ) ) d F _ { n } ^ { * } ( v ) d F _ { n } ^ { * } ( u ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { H } _ { 1 } = \mathbb { A } : \hat { \mathbb { H } } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \Theta } \otimes ( 3 \textbf { m } \otimes \textbf { m } - \textbf { I } ) , \qquad \qquad \mathbb { H } _ { 2 } = \mathbb { A } : \hat { \mathbb { H } } _ { 2 } = \boldsymbol { \Theta } \otimes ( \textbf { I } - 2 \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) , } \\ & { \mathbb { H } _ { 3 } = \mathbb { A } : \hat { \mathbb { H } } _ { 3 } = ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \otimes ( 3 \textbf { m } \otimes \textbf { m } - \textbf { I } ) , \qquad \mathbb { H } _ { 4 } = \mathbb { A } : \hat { \mathbb { H } } _ { 4 } = ( \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) \otimes ( \textbf { I } - 2 \textbf { m } \otimes \textbf { m } ) , } \\ & { \mathbb { H } _ { 5 } = \mathbb { A } : \hat { \mathbb { H } } _ { 5 } = \hat { \mathbb { H } } _ { 5 } , \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbb { H } _ { 6 } = \mathbb { A } : \hat { \mathbb { H } } _ { 6 } = \hat { \mathbb { H } } _ { 6 } , } \end{array}
\delta _ { h } I _ { m } = \eta 2 k r E _ { 0 } E _ { \mathrm { L O } } \left( \frac { w _ { 0 } } { w _ { D } } \right) ^ { 2 } \int d ^ { 2 } x _ { \perp } \mathrm { e x p } \left[ - 2 \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w _ { D } ^ { 2 } } \right] h ( x , y , t ) ,
u ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { 6 } [ G ( x - 1 , \beta , z - \theta ) + G ( x - 1 , \beta , z + \theta ) + 4 G ( x - 1 , \beta , z ) ] , } & { \mathrm { ~ i f ~ } 0 . 2 \leq x < 0 . 4 , } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } 0 . 6 \leq x \leq 0 . 8 , } \\ { 1 - | 1 0 ( x - 1 . 1 ) | , } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 . 0 \leq x \leq 1 . 2 , } \\ { \frac { 1 } { 6 } [ F ( x - 1 , \alpha , a - \theta ) + F ( x - 1 , \alpha , a + \theta ) + 4 F ( x - 1 , \alpha , a ) ] , } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 . 4 \leq x < 1 . 6 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e , ~ } } \end{array} \right.
Z [ \eta ] = \int { \cal D } [ \chi ] \exp \left[ - { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } m _ { W } } } \int d ^ { 3 } x \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla ( \chi - \eta ) ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \cos \chi \right) \right]
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = m } ^ { \infty } \frac { m ! } { n ! } C _ { m } ( n ) t ^ { n } } & { = { \frac { t ^ { m } e ^ { - t ^ { 2 } } } { \beta ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } , \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) } } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { u t ^ { 2 } } u ^ { \frac { m - 1 } { 2 } + \mu _ { 1 } } ( 1 - u ) ^ { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } - 1 } d u } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } } { \frac { \beta ( \mu _ { 1 } + \frac { m + 1 } { 2 } , \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } + n ) } { \beta ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } , \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) } } t ^ { m + 2 n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( F \to F ^ { \prime } ) \circ v ( F ^ { \prime } | F ) } & { { } = - v ( F | F ^ { \prime } ) } \\ { v ( P | F ^ { \prime } ) } & { { } = T ( F \to F ^ { \prime } ) \circ v ( P | F ) + v ( F | F ^ { \prime } ) } \end{array}
A _ { L L o d d } ^ { P V } ( y ) = { \frac { [ u ( x _ { 1 } , m _ { W } ^ { 2 } ) \delta \bar { d } ( x _ { 2 } , m _ { W } ^ { 2 } ) + \delta u ( x _ { 1 } , m _ { W } ^ { 2 } ) \bar { d } ( x _ { 2 } , m _ { W } ^ { 2 } ) ] - [ u \leftrightarrow \bar { d } ] } { [ u ( x _ { 1 } , m _ { W } ^ { 2 } ) \bar { d } ( x _ { 2 } , m _ { W } ^ { 2 } ) + \delta u ( x _ { 1 } , m _ { W } ^ { 2 } ) \delta \bar { d } ( x _ { 2 } , m _ { W } ^ { 2 } ) ] + [ u \leftrightarrow \bar { d } ] } }
\mathbf { u } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbf { N } _ { i } \mathbf { u } _ { i } , \quad \varphi = \sum _ { i = 1 } ^ { m } N _ { i } \varphi _ { i } , \quad \phi = \sum _ { i = 1 } ^ { m } N _ { i } \phi _ { i } ,
\tilde { u } ( \lambda , \tau ) = \frac { 1 } { c _ { 0 } } u ( x , t ) , ~ ~ ~ ~ \tilde { r } ( \lambda , \tau ) = \frac { 1 } { g h _ { 0 } } r ( x , t ) , ~ ~ ~ ~ \tilde { \eta } = \eta / h _ { 0 } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Delta \psi } & { { } = F ( \psi ) , } & { } & { { } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } D _ { h } ^ { \mathsf { u p } } , } \\ { \partial _ { x } \psi } & { { } = \partial _ { y } \psi = 0 } & { } & { { } \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \{ y = 0 \} . } \end{array}
\rho _ { \textup { p } } V _ { \textup { p } } \boldsymbol { a } _ { \textup { p } } = V _ { \textup { p } } \left( \rho _ { \textup { p } } - \rho _ { \textup { f } } \right) \boldsymbol { g } + \boldsymbol { F } _ { \textup { D } } + \boldsymbol { F } _ { \textup { L } } \, ,
\rho ( t , x ) = \frac { 1 } { { ( 4 \pi \beta \frac { t ( T - t ) } { T } } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( V ( z ) + \frac { \| y - z \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } \frac { \| x - \frac { t z + ( T - t ) y } { T } \| ^ { 2 } } { 2 \frac { ( T - t ) t } { T } } } } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( V ( \tilde { y } ) + \frac { \| y - \tilde { y } \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } d \tilde { y } } \rho ( 0 , y ) d y d z .
\mathsf { P } \, ( \mathcal { H } \, | \, \mathcal { T } ) = \frac { \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } \, | \, \mathcal { H } ) } { \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } ) } \cdot \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } ) ,
\begin{array} { r l } & { H _ { 4 } ^ { ( 3 ) } ( f ) = \sum _ { i = 0 } ^ { 4 } \mathcal { H } _ { 4 , i } ^ { ( 3 ) } ( f ) , } \\ & { H _ { 4 , 0 } ^ { ( 3 ) } = \mathcal { H } _ { 4 , 0 } + \frac { 3 \alpha } { 3 2 } \int \left( \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v ^ { 2 } ) + 2 v \Lambda ^ { \alpha - 1 } v - T _ { \alpha } v ^ { 2 } \right) \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } K _ { 2 } ( v , v ) d x , } \\ & { H _ { 4 , 2 } ^ { ( 3 ) } = \mathcal { H } _ { 4 , 2 } + \frac { 3 \alpha } { 8 } \int \left( v \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + z \Lambda ^ { \alpha - 1 } v + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v z ) - T _ { \alpha } v z \right) \partial _ { x } \Pi _ { S } K _ { 1 } ( v , z ) d x } \\ & { \quad \quad \ + \frac { 3 \alpha } { 1 6 } \int \left( 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( z ^ { 2 } ) - T _ { \alpha } z ^ { 2 } \right) \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } K _ { 2 } ( v , v ) d x . } \end{array}