harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
b _ { 1 } ( v _ { 1 } ) = \left( { \frac { n - 1 } { n } } \right) { v _ { 1 } } ^ { n } = \left( { \frac { 2 } { 3 } } \right) { 0 . 2 5 } ^ { 3 } = 0 . 0 1 0 4
\begin{array} { r l } { = } & { { } \, \sqrt { \pi } e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 4 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg [ \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \Big ( \frac { v _ { i , z } \overline { { v } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \Delta p \overline { { v } } ^ { 2 } } { 4 m _ { g } } \Big ) e ^ { - \big ( v _ { i , z } / \overline { { v } } - \Delta p / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { x \in { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } , | x | \leq R } \left| V _ { n } ( t , x ) - V ( t , x ) \right| ^ { 2 } \leq \frac { h \tau } { 2 ^ { n + 1 } } \sum _ { t \leq s \in { \mathbb { N } } _ { T } ^ { \tau } } \sum _ { x \in { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } } } \\ & { \qquad \qquad \exp \left[ { C \exp ( 1 + \| \nabla ^ { h } V \| _ { \infty } ^ { 2 } ) ( s - t ) / h } \right] \left| D ^ { h } ( V _ { 0 } ( s , x ) - V ( s , x ) ) \right| ^ { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , e ^ { - | x | + R + 1 } \right\} . } \end{array}
< \phi \mid \phi > = { \frac { 1 } { 2 } } \int { \frac { d ^ { 2 } q _ { \perp } d z } { { \frac { 1 } { 4 } } - z ^ { 2 } } } \times \sum _ { h ^ { \prime } h ^ { \prime \prime } } { \mid \phi _ { h ^ { \prime } h ^ { \prime \prime } } ( { \bf q } _ { \perp } , z ) \mid } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } f ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) - f ( 0 , y ) } & { = f _ { x } ( 0 , y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } X _ { \tau } ^ { \varepsilon } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { y ^ { i } } ( 0 , y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } - y ^ { i } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } f _ { x x } ( 0 , y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } | X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { x y ^ { i } } ( 0 , y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } - y ^ { i } ) } \\ & { + \frac 1 2 \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } f _ { y ^ { i } y ^ { j } } ( 0 , y ) \mathbf { E } _ { 0 , y } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } - y ^ { i } ) ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , j } - y ^ { j } ) + Q ^ { \varepsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { \tiny { \mathrm { g e n } } } ( y ) } & { = } & { \exp \left( - \frac { y } { 2 } \right) y ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } \times } \\ & { \times } & { \Bigg [ c _ { 1 } ~ _ { 1 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } - E + \frac { \delta ~ \nu } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , 1 + \frac { 1 } { 2 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , y \right) + } \\ & { + } & { c _ { 2 } ~ U \left( \frac { 1 } { 2 } - E + \frac { \delta ~ \nu } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , 1 + \frac { 1 } { 2 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , y \right) \Bigg ] , } \end{array}
\delta \Sigma ( t ) = { 3 } \frac { \alpha } { { 8 } \pi ^ { 2 } c } \left[ \frac { \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \log \left( \frac { c ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } { \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } } \right) - \frac { [ \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) ] } { 2 c ^ { 2 } } \log \left( \frac { c ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } { [ \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) ] } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { D _ { x } ^ { \infty } ( K _ { D } ) } & { { } = D _ { x } ^ { f r o z e n } \left( t = T _ { D } K _ { D } ^ { - \alpha / \gamma } \right) } \\ { \gamma } & { { } = 0 . 3 6 7 + 0 . 6 \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { \mathrm { f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) } & { { } = \Delta { g } _ { \mathrm { r e l . , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) - \Delta { g } _ { \mathrm { a p p r o x , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) \, , } \\ { \delta _ { \Xi _ { 0 } } g _ { \mathrm { f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } } & { { } = \Delta { g } _ { \mathrm { r e l . , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 2 s ) - \Xi _ { 0 } \, \Delta { g } _ { \mathrm { r e l . , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) \, , } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { Q } } { \partial t } + \frac { \partial \mathbf { F ^ { c } } } { \partial x } + \frac { \partial \mathbf { G ^ { c } } } { \partial y } + \frac { \partial \mathbf { F ^ { v } } } { \partial x } + \frac { \partial \mathbf { G ^ { v } } } { \partial y } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \nu _ { e k } } & { { } = } & { \frac { a _ { e k } } { u _ { k e } ^ { 3 } } \, , } \\ { \nu _ { e l } } & { { } = } & { \frac { a _ { e l } } { u _ { k e } ^ { 3 } } \, , } \\ { \nu _ { e m } } & { { } = } & { \frac { a _ { e m } } { u _ { k e } ^ { 3 } } \, , } \\ { a _ { e k } } & { { } = } & { \frac { n _ { k } ^ { e } } { C _ { k e } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k e } \, , } \\ { a _ { e l } } & { { } = } & { \frac { n _ { l } ^ { e } } { C _ { k e } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k e } \, , } \\ { a _ { e m } } & { { } = } & { \frac { n _ { m } ^ { e } } { C _ { k e } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \Lambda _ { k e } \, , } \\ { C _ { k e } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k e } ^ { 2 } } { q _ { k } ^ { 2 } q _ { e } ^ { 2 } } \, , } \\ { \gamma _ { e } } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { u _ { e } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \, , } \\ { u _ { k e } } & { { } = } & { \left| \vec { u } _ { k } - \vec { u } _ { e } \right| } \end{array}
\langle T \rangle \equiv \frac { \sum _ { b , a } | t _ { b a } | ^ { 2 } } { N _ { \mathrm { i n } } } = \frac { N _ { \mathrm { e f f } } } { N _ { \mathrm { i n } } } \frac { \sum _ { i } \sigma _ { i } ^ { 4 } } { \sum _ { i } \sigma _ { i } ^ { 2 } } \leq \frac { N _ { \mathrm { e f f } } } { N _ { \mathrm { i n } } } .
( \Omega ^ { \bullet } ( X _ { \delta } ) , \nabla _ { \omega } ^ { \delta } ) : \, 0 \longrightarrow \Omega ^ { 0 } ( X _ { \delta } ) \overset { \nabla _ { \omega } ^ { \delta } } { \longrightarrow } \Omega ^ { 1 } ( X _ { \delta } ) \overset { \nabla _ { \omega } ^ { \delta } } { \longrightarrow } \cdots \overset { \nabla _ { \omega } ^ { \delta } } { \longrightarrow } \Omega ^ { n } ( X _ { \delta } ) \longrightarrow 0
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial S } { \partial t } = d _ { 1 } \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x ^ { 2 } } - K _ { 1 } \frac { S M } { K _ { 4 } + S } + F ( x , t ) , \quad ( x , t ) \in ( 0 , 1 ) \times ( 0 , T ) , } \\ { \frac { \partial M } { \partial t } = d _ { 2 } \frac { \partial } { \partial x } ( \lambda ( M ) \frac { \partial M } { \partial x } ) - K _ { 2 } M + K _ { 3 } \frac { S M } { K _ { 4 } + M } + G ( x , t ) , \quad ( x , t ) \in ( 0 , 1 ) \times ( 0 , T ) , } \\ { S ( 0 , t ) = \mu _ { 1 } ( t ) , \quad S ( 1 , t ) = \mu _ { 2 } ( t ) , \quad t \in ( 0 , T ) } \\ { M ( 0 , t ) = \mu _ { 3 } ( t ) , \quad M ( 1 , t ) = \mu _ { 4 } ( t ) , \quad t \in ( 0 , T ) , } \\ { S ( x , 0 ) = S _ { 0 } ( x ) , \quad M ( x , 0 ) = M _ { 0 } ( x ) , \quad x \in [ 0 , 1 ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\Gamma ^ { ( 1 ) } = { \frac { 3 1 } { 1 8 0 } } \ln ( \mu ^ { 2 } a ^ { 2 } ) + { \frac { 7 } { 4 5 } } \ln ( 2 ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( \pi ) + { \frac { 6 9 3 1 } { 3 0 2 4 0 } } - { \frac { 1 } { 3 } } \zeta _ { R } ^ { \prime } ( - 3 ) + { \frac { 1 1 } { 6 } } \zeta _ { R } ^ { \prime } ( - 1 ) .
\mathcal { S } ( \nu _ { k } ) = \left( \nu _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( \nu _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \right) - \left( \nu _ { k } - \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( \nu _ { k } - \frac { 1 } { 2 } \right) \, ,
{ \hat { U } } _ { I } ( l ) ^ { - 1 } { \hat { J } } _ { I } ^ { \mu } ( 0 ) { \hat { U } } _ { I } ( l ) = L ( l ) _ { \nu } ^ { \mu } { \hat { J } } _ { I } ^ { \nu } ( 0 ) , \qquad [ { \hat { P } } _ { I \mu } , { \hat { J } } _ { I } ^ { \mu } ( 0 ) ] = 0
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \{ \mathfrak { D } ( \epsilon ) \} } & { { } } & { = \frac { \epsilon ^ { 2 } + Q \epsilon + \gamma } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } , } \\ { \mathrm { I m } \{ \mathfrak { D } ( \epsilon ) \} } & { { } } & { = \frac { ( \gamma - 1 ) \epsilon - Q } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } [ \tau _ { \varepsilon } > t | { \mathcal X } _ { \tau _ { \varepsilon } } = { \mathcal Y } _ { \tau _ { \varepsilon } } ] \lesssim e ^ { - r _ { 1 } t } , \quad \mathbb { P } [ \tau _ { \varepsilon } > t | { \mathcal X } _ { \tau _ { \varepsilon } } \neq { \mathcal Y } _ { \tau _ { \varepsilon } } ] \lesssim e ^ { - r _ { 2 } t } . } \end{array}
V _ { t r e e } ( \Lambda ) = m _ { 1 } ^ { 2 } \phi _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } \phi _ { 2 } ^ { 2 } - 2 m _ { 3 } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \phi _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { I } _ { i a } } & { \to } & { \mathcal { I } _ { i a } + \mathrm { r a n d } [ 0 , 5 ~ \mathrm { k e V } ] } \\ { \mathcal { I } _ { i a } } & { \to } & { \mathcal { I } _ { i a } / \sum _ { b } \mathcal { I } _ { i b } \equiv \hat { \mathcal { I } } _ { i a } } \\ { u _ { i a } } & { = } & { \alpha + ( 1 - 2 \alpha ) \hat { \mathcal { I } } _ { i a } } \\ { y _ { i a } } & { = } & { \log \frac { u _ { i a } } { 1 - u _ { i a } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } \delta A _ { \parallel { k } } = - \frac { 4 \pi } { c } \delta J _ { \parallel { k } } = - \frac { 4 \pi } { c } \sum _ { j = i , e } n _ { 0 j } q _ { j } \int v _ { \parallel } \delta f _ { j { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n / 2 } \frac { 2 \pi } { n } \left( \frac { n } { 2 } - j + \frac { 1 } { 2 } \right) \sin { \left[ k \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \frac { 2 \pi } { n } \right] } \sin { \left( \frac { k \pi } { n } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n / 2 } \frac { 2 \pi } { n } \left( \frac { n } { 2 } - j + \frac { 1 } { 2 } \right) \left\lbrace \cos { \left[ k \left( j - 1 \right) \frac { 2 \pi } { n } \right] } - \cos { \left( k j \frac { 2 \pi } { n } \right) } \right\rbrace } \\ & { = \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 0 } ^ { n / 2 - 1 } \frac { 2 \pi } { n } \left( \frac { n } { 2 } - j - \frac { 1 } { 2 } \right) \cos { \left( k j \frac { 2 \pi } { n } \right) } } \\ & { \phantom { 2 p c } - \frac { 1 } { n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n / 2 } \frac { 2 \pi } { n } \left( \frac { n } { 2 } - j + \frac { 1 } { 2 } \right) \cos { \left( k j \frac { 2 \pi } { n } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { n } \frac { 2 \pi } { n } \frac { n - 1 } { 2 } - \frac { 1 } { n } \frac { 2 \pi } { n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n / 2 - 1 } \cos { \left( k j \frac { 2 \pi } { n } \right) } - \frac { 1 } { n } \frac { \pi } { n } \cos { \left( k \pi \right) } . } \end{array}
V D = V \left[ \begin{array} { l l l l } { \lambda _ { 1 } \mathbf e _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } \mathbf e _ { 2 } } & { \ldots } & { \lambda _ { n } \mathbf e _ { n } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { \lambda _ { 1 } V \mathbf e _ { 1 } } & { \lambda _ { 2 } V \mathbf e _ { 2 } } & { \ldots } & { \lambda _ { n } V \mathbf e _ { n } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { ~ \displaystyle \sum _ { \alpha } \left[ \partial _ { t } ( \tilde { \rho } _ { \alpha } \psi _ { \alpha } ) + \mathrm { d i v } ( \tilde { \rho } _ { \alpha } \psi _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } ) - \mathbf { T } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { q } _ { \alpha } - \theta \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } \right) \right. } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \left. + \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } - e _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 \right] \leq 0 . } \end{array}
m _ { v , s } ^ { 2 } = \displaystyle { \frac { \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } e ^ { - s \tau } s \rho _ { v , s } ( s ) d s } { \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } e ^ { - s \tau } \rho _ { v , s } ( s ) d s } }
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ^ { \ell } ( x _ { j } , x _ { k } ; V _ { q } ) ( w - e _ { \ell } ) } & { = \iota _ { q } ^ { w - e _ { \ell } , w } , } \\ { f _ { 1 } ^ { \ell } ( x _ { j } , x _ { k } ; V _ { q } ) ( w - e _ { \ell } ) } & { = \iota _ { q } ^ { w - e _ { j } - e _ { \ell } , w - e _ { j } } \oplus \iota _ { q } ^ { w - e _ { k } - e _ { \ell } , w - e _ { k } } , } \\ { f _ { 2 } ^ { \ell } ( x _ { j } , x _ { k } ; V _ { q } ) ( w - e _ { \ell } ) } & { = \iota _ { q } ^ { w - e _ { j } - e _ { k } - e _ { \ell } , w - e _ { j } - e _ { k } } . } \end{array}
{ \mathcal W } _ { d } ^ { m - 3 } = \left( \begin{array} { c c } { \lambda _ { + } ^ { m - 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { - } ^ { m - 3 } } \end{array} \right) = \lambda _ { - } ^ { m - 3 } \left( \begin{array} { c c } { \epsilon } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad \epsilon = \left( \frac { \lambda _ { + } } { \lambda _ { - } } \right) ^ { m - 3 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { ( n ) } } & { = \frac { i g _ { W } ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 n + D } \sqrt { \pi ^ { D } } M _ { W } ^ { 8 n + 2 - D } } \bigg \{ \frac { \Gamma \big ( 4 n + 2 - \frac { D } { 2 } \big ) } { \Gamma ( 4 n ) } \bigg ( D + \frac { p ^ { 4 } } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \bigg ) \int _ { 0 } ^ { 1 } B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } , 4 n , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) } \\ & { \, \, - \Gamma \bigg ( 4 n + 1 - \frac { D } { 2 } \bigg ) \bigg [ \frac { 1 } { \Gamma ( 4 n - 1 ) } \bigg ( 1 + \frac { p ^ { 2 } } { 2 M _ { W } ^ { 2 } } \bigg ) + \frac { \sqrt { \pi } } { 4 ^ { 2 n } \Gamma ( 2 n ) \Gamma \big ( 2 n - \frac { 1 } { 2 } \big ) } \bigg ( 4 + \frac { 2 p ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } , 4 n - 1 , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) } \\ & { + \frac { ( - 1 ) ^ { 4 n } \Gamma ( 4 n ) \Gamma \big ( 4 n - \frac { D } { 2 } \big ) } { \Gamma ( 4 n + 1 ) } \bigg [ \frac { n } { \Gamma ( 4 n - 1 ) } + \frac { \sqrt { \pi } \Gamma ( 4 n - 2 ) } { \Gamma ( 2 n - 1 ) \Gamma \big ( 2 n - \frac { 1 } { 2 } \big ) } + \frac { 1 } { 4 } \bigg ] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \frac { \, _ { 2 } \tilde { F } _ { 1 } \big ( 1 , 4 n - \frac { D } { 2 } , 4 n - 1 , 1 - \frac { 1 } { r } \big ) } { ( 1 - r ) ^ { 4 n - 2 } r ^ { 4 n - \frac { D } { 2 } } } \bigg \} \, . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } \| ( A ^ { * } q _ { k } ) ^ { \prime \prime } ( x ) \| _ { 2 \to 2 } = \operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } \left\| \sum _ { m = 1 } ^ { M } q _ { k } [ m ] a _ { m } ^ { \prime \prime } ( x ) \right\| _ { 2 \to 2 } \leq \sum _ { m = 1 } ^ { M } | q _ { k } [ m ] | \operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } \| a _ { m } ^ { \prime \prime } \| _ { 2 \to 2 } ( x ) .
\begin{array} { r l } { P _ { t } ^ { R } P _ { t } ^ { D } P _ { 2 t } ^ { B } P _ { t } ^ { D } P _ { t } ^ { R } V ( x , v ) } & { \leq ( 1 + t \gamma _ { 0 } ) P _ { t } ^ { R } P _ { t } ^ { D } P _ { 2 t } ^ { B } P _ { t } ^ { D } V ( x , v ) + M t } \\ & { \leq ( 1 + t \gamma _ { 0 } ) ( 1 - \rho t ) P _ { t } ^ { R } V ( x , v ) + t ( M + ( 1 + \gamma _ { 0 } ) B ) } \\ & { \leq ( 1 + t \gamma _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 1 - \rho t ) V ( x , v ) + t ( M ( 2 + \gamma _ { 0 } ) + ( 1 + \gamma _ { 0 } ) B ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { * } \left( \boldsymbol { x } , t \right) } & { { } = f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } \left( \boldsymbol { x } , t \right) + \left( 1 - \Omega \right) f _ { i } ^ { \mathrm { n e q } } \left( \boldsymbol { x } , t \right) } \\ { f _ { i } \left( \boldsymbol { x } + \boldsymbol { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t \right) } & { { } = f _ { i } ^ { * } \left( \boldsymbol { x } , t \right) , } \end{array}
\mathrm { d . f . } = { \frac { \left( { \frac { s _ { 1 } ^ { 2 } } { n _ { 1 } } } + { \frac { s _ { 2 } ^ { 2 } } { n _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { { \frac { \left( s _ { 1 } ^ { 2 } / n _ { 1 } \right) ^ { 2 } } { n _ { 1 } - 1 } } + { \frac { \left( s _ { 2 } ^ { 2 } / n _ { 2 } \right) ^ { 2 } } { n _ { 2 } - 1 } } } } .
\begin{array} { r l r l } { \bar { x } } & { { } \sim \mathsf E X } & { } & { { } \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { 1 } { g } ( H + \mu g ) } \\ { \overline { { x ^ { 2 } } } } & { { } \sim \mathsf E X ^ { 2 } } & { } & { { } \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } ( H ^ { 2 } + ( 1 + 2 \mu g ) H + ( \mu g ) ^ { 2 } + ( \sigma g ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \rho } } & { { } = \frac { \rho } { \sqrt { \rho _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ { x _ { Z } } & { { } = \frac { Z ^ { \ell } \left( \rho _ { 1 } ^ { 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } \right) - \left( Z _ { 1 } ^ { \ell } \rho _ { 1 } ^ { 2 } + Z _ { 2 } ^ { \ell } \rho _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { ( Z _ { 2 } ^ { \ell } - Z _ { 1 } ^ { \ell } ) \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - 1 + c } & { { } \le } & { a - b \le 1 - c \; \Rightarrow \; a + c \le 1 + b \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; - 1 + b \le a - c \; , } \\ { - 1 - c } & { { } \le } & { a + b \le 1 + c \; \Rightarrow \; - 1 - b \le a + c \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; a - c \le 1 - b \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { \, \, \, \mu } ^ { \nu } = R _ { \, \, \, \mu } ^ { \nu } - \frac { 1 } { 2 } \, \delta _ { \, \, \, \mu } ^ { \nu } \, R = T _ { \, \, \, \mu } ^ { \nu } . } \end{array}
\delta \eta _ { ( p ) \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p - 2 k - 1 } } ^ { * } = - \left( \left( p - 2 k \right) \partial ^ { \mu } A _ { ( p ) \mu \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p - 2 k - 1 } } ^ { * } + \partial _ { \left[ \mu _ { 1 } \right. } A _ { ( p ) \left. \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { p - 2 k - 1 } \right] } ^ { * } \right) .
\begin{array} { r } { \footnotesize \frac { \langle T \rangle } { \langle T _ { r ^ { \star } } ^ { G } \rangle } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { r ^ { \star } x _ { 0 } \alpha ( \alpha + \beta ) \mu _ { 2 } ^ { \star } } { \lambda \left[ r \beta \mu _ { 1 } ^ { \star } e ^ { \frac { x _ { 0 } } { 2 D } \left( \mu _ { 1 } ^ { \star } + \mu _ { 2 } ^ { \star } \right) } + \left( \alpha + \beta \right) \left[ e ^ { \frac { x _ { 0 } \mu _ { 1 } ^ { \star } } { 2 D } } { ( \beta \mu _ { 1 } ^ { \star } + \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } ) - \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } } \right] \right] } \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \; \; \; \lambda < \lambda _ { c } } \\ { \frac { x _ { 0 } \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } } { 2 D \beta + x _ { 0 } \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \; \lambda \geq \lambda _ { c } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } } & { { } = \mathbf { R } ^ { T } ( \mathbf { w _ { j } } + \mathbf { w _ { k } } ) } \\ { \mathbf { u } } & { { } = \mathbf { R } ^ { T } ( \mathbf { p } ) } \end{array}
\langle p , i | T { \overline { { \Psi } } } ( { \frac { z } { 2 } } ) \Gamma \Psi ( { \frac { z } { 2 } } ) { \overline { { \Psi } } } ( - { \frac { z } { 2 } } ) \Gamma ^ { \prime } \psi _ { j } ( - { \frac { z } { 2 } } ) | 0 \rangle \to \delta _ { i j } \mathrm { T r } \left[ \langle p , i | { \overline { { \Psi } } } ( { \frac { z } { 2 } } ) \psi _ { i } ( - { \frac { z } { 2 } } ) | 0 \rangle \Gamma S ( z ) \Gamma ^ { \prime } \right] ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { + } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { 2 i v ^ { ( n ) } T _ { 2 } ^ { ( n ) } } { \hbar } \chi ( \omega _ { c } ) F _ { c } e ^ { - i ( \omega _ { c } - \omega _ { p } / 2 ) t } \cos ( \Delta \omega t / 2 ) } \end{array}
\frac { \mathop { } \! \mathrm { d } \tilde { h } _ { u } } { \mathop { } \! \mathrm { d } t } = \tilde { J } _ { u } \tilde { h } _ { u } + \tilde { \Psi } _ { u } \tilde { K } _ { u } \tilde { h } _ { u } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { D a t a } : } & { { } = \alpha \mathcal { L } _ { B u l k } + \beta ( \mathcal { L } _ { B C } + \mathcal { L } _ { I C } ) + \gamma \mathcal { L } _ { I B } } \\ { \mathcal { L } _ { P h y } : } & { { } = \lambda ( \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { x } } } + \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { y } } } + \mathcal { L } _ { P D E _ { c } } ) . } \end{array}
k _ { \textup { l } } \frac { \partial T } { \partial r } = h _ { \textup { f } } ( T _ { \textup { a m b } } - T _ { \textup { s } } ) + L _ { \textup { v } } ( T _ { \textup { s } } ) \, \rho _ { \textup { l } } \, \frac { \partial R } { \partial t } .
\left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } & { S _ { 1 3 } } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } } & { S _ { 2 3 } } \\ { S _ { 3 1 } } & { S _ { 3 2 } } & { S _ { 3 3 } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \end{array} \right] .
{ \frac { C _ { 1 } } { k _ { 1 } } } ~ = ~ { \frac { C _ { 2 } } { k _ { 2 } } } ~ = ~ { \frac { C _ { 3 } } { k _ { 3 } } } ~ = ~ { \frac { C _ { X } } { k _ { X } } } ~ = ~ { \frac { C _ { g r a v } } { k _ { g r a v } } } ~ ,
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { j i t t e r } } / \mathrm { F S } ^ { 2 } } & { { } = \frac { \langle \{ n _ { \mathrm { j i t t e r } } ( t ) \} ^ { 2 } \rangle } { A _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } = \frac { ( \omega A _ { 0 } / A _ { R } ) ^ { 2 } \mathbb { V } \{ j ( t [ i ] ) \} } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } H \left( \pi _ { W } \eta ^ { ( \omega ) } , { \mathcal D } _ { n } \right) } & { \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { m } \sum _ { u \in \mathbb { X } _ { k ^ { \prime } } ^ { ( \omega ) } } p _ { u } ^ { { ( \omega ) } } H \left( \pi _ { W } \left( f _ { u } ^ { ( \omega ) } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } \right) , { \mathcal D } _ { k + m } | { \mathcal D } _ { k } \right) - O \left( \varepsilon \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { m } \sum _ { u \in \mathbb { X } _ { k ^ { \prime } } ^ { ( \omega ) } } p _ { u } ^ { { ( \omega ) } } H \left( \pi _ { W } \left( f _ { u } ^ { ( \omega ) } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } \right) , { \mathcal D } _ { k + m } \right) - O \left( \varepsilon \right) - O ( 1 / m ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { m } \sum _ { u \in \mathbb { X } _ { k ^ { \prime } } ^ { ( \omega ) } } p _ { u } ^ { { ( \omega ) } } H \left( \pi _ { \varphi _ { \omega _ { k ^ { \prime } } } ^ { - 1 } \cdots \varphi _ { \omega _ { 1 } } ^ { - 1 } W } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } , { \mathcal D } _ { m } \right) - O \left( \varepsilon \right) - O ( 1 / m ) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } H _ { m } \left( \pi _ { \varphi _ { \omega _ { k ^ { \prime } } } ^ { - 1 } \cdots \varphi _ { \omega _ { 1 } } ^ { - 1 } W } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } \right) - O \left( \varepsilon \right) - O ( 1 / m ) . } \end{array}
W _ { \mathbf { n } \mathbf { n } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { \sqrt { \prod _ { p = 0 } ^ { M - 1 } n _ { p } ! n _ { p } ^ { \prime } ! } } \sum _ { \mathbf { k } ^ { \prime } \in \mathrm { p e r m s } ( \mathbf { m } ^ { \prime } ) } V _ { m _ { 1 } k _ { 1 } ^ { \prime } } \cdots V _ { m _ { N } k _ { N } ^ { \prime } } .