harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \gamma \left. \frac { \partial \kappa ^ { \prime } } { \partial \eta ^ { \prime } } \right| \eta ^ { \prime } = - \gamma \frac { \partial ^ { 2 } \eta ^ { \prime } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { 2 M } { b } \frac { \partial \eta ^ { \prime } } { \partial t ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P S F } ( \mathbf { o _ { p } } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { s p p } } & { u _ { k } \cdot \sigma ( | ( \mathbf { o _ { p } } - \mathbf { o _ { k } } ) \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { x } | / L ) } \\ & { \cdot \sigma ( | ( \mathbf { o _ { p } } - \mathbf { o _ { k } } ) \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { y } | / L ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( t ) \! = \! E _ { \mathrm { o } } e ^ { - i \omega _ { \mathrm { o } } t } \exp \left( - \frac { t ^ { 2 } } { ( \Delta T / ( 2 \ln { 2 } ) ) ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal L ( \mathbf A , \mathbf \Sigma _ { \varepsilon } ) } & { = \log \biggl \{ p ( \mathbf y ( \mathbf x _ { 1 } ) ) \prod _ { t = 2 } ^ { n } p ( \mathbf y ( \mathbf x _ { t } ) \mid \mathbf y ( \mathbf x _ { t - 1 } ) , \mathbf A , \mathbf \Sigma _ { \varepsilon } ) \biggl \} } \\ & { \propto - \frac { n } { 2 } \log ( | \mathbf \Sigma _ { \varepsilon } | ) - \frac { \mathbf y ( \mathbf x _ { 1 } ) ^ { T } \mathbf \Sigma _ { \varepsilon } ^ { - 1 } \mathbf y ( \mathbf x _ { 1 } ) } { 2 } } \\ & { \qquad - \sum _ { t = 2 } ^ { n } \frac { ( \mathbf y ( \mathbf x _ { t } ) - \mathbf A \mathbf y ( \mathbf x _ { t - 1 } ) ) ^ { T } \mathbf \Sigma _ { \varepsilon } ^ { - 1 } ( \mathbf y ( \mathbf x _ { t } ) - \mathbf A \mathbf y ( \mathbf x _ { t - 1 } ) ) } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta = \widetilde \eta _ { 0 } \exp \left\{ - \left[ \frac { r _ { 0 } } { R \left( \frac { 2 } { W _ { \mathrm { e f f } } ( \phi - \chi ) } \right) } \right] ^ { \vartheta \left( \frac { 2 } { W _ { \mathrm { e f f } } ( \phi - \chi ) } \right) } \right\} , } \end{array}
q ^ { 2 } \xi _ { 0 2 } ( p , q ) - p . q \xi _ { 1 1 } ( p , q ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ - \left[ { \frac { 1 } { 2 } } + m ^ { 2 } \xi _ { 0 0 } ( p , q ) \right] + { \frac { p ^ { 2 } } { 2 } } \xi _ { 1 0 } ( p , q ) + { \frac { 3 q ^ { 2 } } { 2 } } \xi _ { 0 1 } ( p , q ) \right\}
\epsilon _ { \mathrm { r } } = 1 - \frac { \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + \nu _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } - i \frac { \nu _ { \mathrm { m } } } { \omega } \frac { \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + \nu _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { D _ { G } ( \sigma , \sigma _ { \ast } ) } & { \leq \frac { 1 } { p } D ( \rho , \rho _ { \ast } ) + \frac { 1 - \mathrm { T r } \rho _ { \ast } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 p } D _ { G } ( \rho , \rho _ { \ast } ) } \\ & { = \frac { 3 } { 2 p } D _ { G } ( \rho , \rho _ { \ast } ) - ( 1 - p ) \frac { 1 - \mathrm { T r } \rho _ { \ast } } { 2 p } , } \end{array}
\mathcal { M } _ { \widehat { k } } ^ { \left[ V \right] } \left( t \right) = \mu ^ { \prime } \frac { V _ { o } E ^ { \prime 3 } \varDelta \gamma ^ { 2 / 3 } } { K _ { I c } ^ { 1 4 / 3 } t } = \mathcal { M } _ { \widehat { k } } \frac { t _ { s } } { t } .
\left( \begin{array} { l l l l } { \overline { Y } ( \rho ) } & { \overline { Y } ^ { \prime } ( \rho ) } & { \overline { Z } ( \rho ) } & { \overline { Z } ^ { \prime } ( \rho ) } \end{array} \right) ^ { T } = { \bf W } ( \rho ) \int _ { a } ^ { \rho } ( { \bf W } ( r ) ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac 1 \mu \Psi _ { k } ( r ) } \end{array} \right) ^ { T } \, d r \, , \qquad \rho > 0 \, ,
\sigma _ { p } ( D _ { x _ { 3 } } ^ { \kappa + 1 } \tilde { H } ) \vert _ { H ^ { ( 0 ) } = \chi _ { \hat { \varepsilon } } } = \sum _ { j = 0 } ^ { \kappa } \sum _ { n = 0 } ^ { j } \left( \begin{array} { l } { j } \\ { n } \end{array} \right) ( B ^ { ( 1 ) } ) ^ { \kappa - j } \sigma _ { p } ( D _ { x _ { 3 } } ^ { j - n } Y ) ( B ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } \chi _ { \hat { \varepsilon } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { G _ { J d } = 2 \mathrm { d i a g } ( T ) = 2 ( \epsilon D + \eta \Lambda + c I ) , \quad } & { \mathrm { d a m p e d ~ J a c o b i ~ p r e c o n d i t i o n e r } , } \\ { G _ { J p } = 2 { \epsilon } D + \eta \Lambda + c I + \delta _ { 0 } I , \quad } & { \mathrm { p e r t u r b e d ~ J a c o b i ~ p r e c o n d i t i o n e r } , } \end{array} \right.
\vec { n } ( t + \mathrm { d } t ) \cdot \vec { k } ( t + \mathrm { d } t ) = ( \vec { k } ( t ) + \dot { \vec { k } } \mathrm { d } t ) \cdot ( \vec { n } ( t ) + \dot { \vec { n } } \mathrm { d } t ) = c o n s t a n t = n _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ } } .
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \Big [ \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { t , h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } - 2 \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } \Big ] } \\ & { + \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \Big [ - \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { t , h _ { 1 } } \rangle _ { L _ { 2 } } + 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } \Big ] } \\ { = } & { I _ { 4 , 1 } + I _ { 4 , 2 } + I _ { 4 , 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \phi - \phi ^ { N } \| _ { W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \Omega } | \phi - \phi ^ { N } | ^ { 2 } \, d x + \int _ { \Omega } | \nabla \phi - \nabla \phi ^ { N } | ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \int _ { \{ | \phi | > N \} } | \phi - N | ^ { 2 } \, d x + \int _ { \{ | \phi | > N \} } | \nabla \phi | ^ { 2 } \, d x } \\ & { \leq \int _ { \{ | \phi | > N \} } 4 \, | \phi ( x ) | ^ { 2 } \, d x + \int _ { \{ | \phi | > N \} } | \nabla \phi ( x ) | ^ { 2 } \, d x \xrightarrow [ N \to \infty ] 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \boldsymbol { r } _ { k } ) \approx f ( \boldsymbol { r } _ { k } , \chi ) } & { = \underbrace { M ^ { \sigma _ { 1 } ^ { y } } M ^ { \sigma _ { 2 } ^ { y } } \cdots M ^ { \sigma _ { N } ^ { y } } } _ { \mathrm { y - e n c o d i n g } } \; \underbrace { M ^ { \sigma _ { 1 } ^ { x } } \cdots M ^ { \sigma _ { N } ^ { x } } } _ { \mathrm { x - e n c o d i n g } } \, , } \\ & { = M ^ { \omega _ { 1 } } M ^ { \omega _ { 2 } } \cdots M ^ { \omega _ { 2 N } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { R o t } = B ( N ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) } \\ & { H _ { S R } = \gamma \left( T ^ { 1 } ( N ) \cdot T ^ { 1 } ( S ) - T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( N ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) \right) } \\ & { H _ { a S R } = \gamma _ { G } T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( N ) T _ { q = 0 } ^ { 1 } ( S ) } \\ & { H _ { b _ { F } ( \mathrm { Y b } ) } = b _ { F } ( ^ { 1 7 1 , 1 7 3 } \mathrm { Y b } ) T ^ { 1 } ( I ) \cdot T ^ { 1 } ( S ) } \\ & { H _ { c ( \mathrm { Y b } ) } = c ( ^ { 1 7 1 , 1 7 3 } \mathrm { Y b } ) \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } T _ { q = 0 } ^ { 2 } ( I , S ) } \\ & { H _ { b _ { F } ( \mathrm { H } ) } = b _ { F } ( \mathrm { H } ) T ^ { 1 } ( I ) \cdot T ^ { 1 } ( S ) } \\ & { H _ { c ( \mathrm { H } ) } = c ( \mathrm { H } ) \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } T _ { q = 0 } ^ { 2 } ( I , S ) } \\ & { H _ { Q } = e ^ { 2 } Q q _ { 0 } ( ^ { 1 7 3 } \mathrm { Y b } ) \frac { \sqrt { 6 } } { 4 I ( 2 I - 1 ) } T _ { q = 0 } ^ { 2 } ( I , I ) } \\ & { H _ { q _ { G } } = - q _ { G } \sum _ { q = \pm 1 } e ^ { - 2 i q \phi } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , N ) } \\ & { H _ { p _ { G } } = p _ { G } \sum _ { q = \pm 1 } e ^ { - 2 i q \phi } T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , S ) } \\ & { H _ { S t a r k } = - T _ { p = 0 } ^ { 1 } ( D _ { \mathrm { \tilde { X } } } ) T _ { p = 0 } ^ { 1 } ( E ) } \\ & { H _ { Z e e m a n } = g _ { S } \mu _ { B } T _ { p = 0 } ^ { 1 } ( S ) T _ { p = 0 } ^ { 1 } ( B ) } \end{array}
\hat { \mathcal { V } } ( \hat { h } ) = { \hat { C } } _ { \alpha \beta \gamma } { \hat { h } } ^ { \alpha } { \hat { h } } ^ { \beta } { \hat { h } } ^ { \gamma } + 3 C _ { \alpha } { \hat { h } } ^ { \alpha } \delta _ { A B } { \hat { h } } ^ { A } { \hat { h } } ^ { B }
\begin{array} { r } { n _ { e } ( t , z ) = \left. \frac { \hat { \gamma } \: \widetilde { n _ { 0 } } } { \hat { s } \, \hat { J } } \right\vert _ { ( \xi , Z ) = \big ( c t \! - z , Z _ { e } ( t , z ) \big ) } = \left. \frac { \widetilde { n _ { 0 } } ( Z ) } { ( 1 \! - \! \hat { \beta } ^ { z } ) \hat { J } } \right\vert _ { ( \xi , Z ) = \big ( c t \! - z , Z _ { e } ( t , z ) \big ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \mathbb { E } \left[ X ( t ) \right] - x ( t ) \Vert ^ { 2 } } & { { } \leq C _ { 1 } \beta ^ { - 1 } , } \\ { \mathbf { V } \left[ X _ { i } ( t ) \right] } & { { } \leq C _ { 2 } \beta ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\vert E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ g _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ g _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] \right\vert } \\ & { \leq \Big \vert E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ g _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) - f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] + E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] } \\ & { - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ g _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) - f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] \Big \vert } \\ & { \leq \left\vert E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h + 1 } ( \cdot \vert s , a ) } [ g _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) - f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] \right\vert + \left\vert E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] \right\vert } \\ & { + \left\vert E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ g _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) - f _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) ] \right\vert } \\ & { \leq 2 \epsilon + 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { \frac { S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } ( 1 + \frac { 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { S } } { \epsilon } ) \right) } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } } } \\ & { \overset { ( 1 ) } { \leq } \frac { 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert } { K H } } \\ & { + 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { \frac { S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) + S \log ( 1 + 2 \sqrt { S } K H ) } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } } } \\ & { \leq 8 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { \frac { S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } } , } \end{array}
\left( \frac { M _ { \alpha , k } ^ { \prime } M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - \frac { M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) = 0 \mathrm { ~ a . e . ~ } .
\begin{array} { r } { I ( \theta _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \left( \frac { \partial \hat { \epsilon } _ { i } } { \partial \theta } \right) ^ { t } \Sigma ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \hat { \epsilon } _ { i } } { \partial \theta } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda ( s ) = \left( 1 - { \frac { 3 } { 3 ^ { s } } } \right) \zeta ( s ) = \left( 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } \right) - { \frac { 2 } { 3 ^ { s } } } + \left( { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 5 ^ { s } } } \right) - { \frac { 2 } { 6 ^ { s } } } + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \langle \frac { 1 } { r _ { 1 2 } ^ { 3 } } \Big \rangle _ { \varepsilon } } & { { } = \frac { 1 } { R ^ { 3 } } + \frac { 6 } { R ^ { 5 } } + \frac { 7 5 } { R ^ { 7 } } - C _ { 6 } \, \frac { 1 0 } { R ^ { 8 } } + \frac { 1 5 7 5 } { R ^ { 9 } } + \mathcal { O } ( R ^ { - 1 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { i } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { i } } { d t ^ { 2 } } + I _ { i } \gamma _ { i } \frac { d \psi _ { i } } { d t } + \frac { 1 } { 2 } I _ { i } ( 2 \pi f _ { l i 0 } ) ^ { 2 } \sin 2 \psi _ { i } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { B \cdot \zeta } \left( { \mathfrak { C l } } _ { G } ( g ) ^ { + } \right) } & { = \lambda _ { B } \left( { \mathfrak { C l } } _ { G } ( g ) ^ { + } \right) \overline { { \zeta ( g ) } } } \\ & { = \lambda _ { b } ^ { G } \left( { \mathfrak { C l } } _ { G } ( g ) ^ { + } \right) \overline { { \zeta ( g ) } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { b } \left( { \mathfrak { C l } } _ { H } ( h _ { i } ) ^ { + } \right) \overline { { \zeta ( g ) } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { b } \left( { \mathfrak { C l } } _ { H } ( h _ { i } ) ^ { + } \right) \overline { { \zeta _ { H } ( h _ { i } ) } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { b \cdot \zeta _ { H } } \left( { \mathfrak { C l } } _ { H } ( h _ { i } ) ^ { + } \right) = \lambda _ { b \cdot \zeta _ { H } } ^ { G } \left( { \mathfrak { C l } } _ { G } ( g ) \right) } \end{array}
\int _ { t ^ { * } } ^ { + \infty } | W _ { \gamma } ( t ) | \, d t \leq 3 5 e ^ { 2 } \int _ { t ^ { * } } ^ { + \infty } ( \gamma t ) ^ { 4 } e ^ { - \frac { 2 } { 7 } \frac { \gamma t } { \log ^ { 2 } ( \gamma t ) } } \, d t = 3 5 e ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } \int _ { x = \gamma t ^ { * } } ^ { + \infty } x ^ { 4 } e ^ { - \frac { 2 } { 7 } \frac { x } { \log ^ { 2 } ( x ) } } \, d x .
\begin{array} { r l r } { | \chi _ { ( K , [ c ] ) } ( g , h ) | } & { = } & { \bigg | \frac { 1 } { | K | } \sum _ { s \in G , s g s ^ { - 1 } \in K , s h s ^ { - 1 } \in K } \frac { c ( s h s ^ { - 1 } , s g ^ { - 1 } s ^ { - 1 } ) c ( s g s ^ { - 1 } , s h g ^ { - 1 } s ^ { - 1 } ) } { \tilde { c } _ { i } ( s g s ^ { - 1 } , s g ^ { - 1 } s ^ { - 1 } ) } \bigg | } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { | K | } \sum _ { s \in G , s g s ^ { - 1 } \in K , s h s ^ { - 1 } \in K } \bigg | \frac { c ( s h s ^ { - 1 } , s g ^ { - 1 } s ^ { - 1 } ) c ( s g s ^ { - 1 } , s h g ^ { - 1 } s ^ { - 1 } ) } { \tilde { c } _ { i } ( s g s ^ { - 1 } , s g ^ { - 1 } s ^ { - 1 } ) } \bigg | } \\ & { = } & { \frac { 1 } { | K | } \sum _ { s \in G , s g s ^ { - 1 } \in K , s h s ^ { - 1 } \in K } 1 \leq \frac { | G | } { | K | } ~ . } \end{array}
\mathrm { \hat { H } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { \Omega _ { 1 } } { 2 } } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { 1 } } { 2 } } & { - \Delta _ { 1 } } & { \frac { \Omega _ { 2 } } { 2 } } \\ { 0 } & { \frac { \Omega _ { 2 } } { 2 } } & { - \Delta _ { 1 2 } } \end{array} \right)
f _ { \pi } ^ { 2 } \; = \; 4 N _ { c } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { M ^ { 2 } ( k ) - \frac 1 2 M ( k ) M ^ { \prime } ( k ) k + \frac 1 4 M ^ { 2 } ( k ) k ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } + M ^ { 2 } ( k ) ) ^ { 2 } }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c u r l } \mathbf { A } } & { = \left( { \frac { \partial A _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial A _ { y } } { \partial z } } , { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial A _ { z } } { \partial x } } , { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } \right) } \\ & { = \left( { \frac { \partial A _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial A _ { y } } { \partial z } } \right) \mathbf { i } + \left( { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial A _ { z } } { \partial x } } \right) \mathbf { j } + \left( { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } \right) \mathbf { k } } \\ & { = { \left| \begin{array} { l l l } { \mathbf { i } } & { \mathbf { j } } & { \mathbf { k } } \\ { { \cfrac { \partial } { \partial x } } } & { { \cfrac { \partial } { \partial y } } } & { { \cfrac { \partial } { \partial z } } } \\ { A _ { x } } & { A _ { y } } & { A _ { z } } \end{array} \right| } } \\ & { = \nabla \times \mathbf { A } } \end{array} }
u _ { 1 } ^ { T F } = \frac { ( p ^ { \prime } + q ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 4 q ^ { 2 } } \left[ \frac { \mu ^ { \prime } + \frac { ( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) } { 2 q ^ { \prime } } - \frac { 1 } { 2 } \zeta ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } + \frac { q ^ { 2 } - p ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } q ^ { \prime } } \right] ,
\begin{array} { r } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( \mathbf { T } p , \mathbf { T } q ) \gtrsim d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) \cdot \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { e ^ { \epsilon } \cdot d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } { \log ( 1 / d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) ) } \right) \cdot \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { e ^ { \epsilon } } { \log ( 1 / d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) ) } \right) . } \end{array}
\mathcal { A } _ { i \alpha , j \beta } = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i j } ^ { [ \alpha ] } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \alpha = \beta , } \\ { \delta ( i , j ) \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \alpha \neq \beta , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { Z _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { C H } } ( r ) = Z _ { \mathrm { n u c l } } ( r ) - r \int _ { 0 } ^ { \infty } \! d r ^ { \prime } \, \frac { \rho _ { \mathrm { c o r e } } ( r ^ { \prime } ) } { \mathrm { m a x } \{ r , r ^ { \prime } \} } \, , } \end{array}
\frac { I _ { F i b e r \: C o u p l e d } } { I _ { 0 . 9 N A \: o b j e c t i v e } } = \frac { \int _ { \lambda = 5 5 0 n m } ^ { \lambda = 7 0 0 n m } I _ { F i b e r \: C o u p l e d } ( \lambda ) d \lambda \cdot \gamma _ { F i b e r } ^ { - 1 } } { \int _ { \lambda = 5 5 0 n m } ^ { \lambda = 7 0 0 n m } I _ { 0 . 9 N A \: o b j e c t i v e } ( \lambda ) d \lambda \cdot \gamma _ { O b j e c t i v e } ^ { - 1 } }
\pi ( d \alpha ) = \left( \begin{array} { l l } { { \gamma ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \alpha _ { 1 \nu } } } & { { - g ^ { \mu \nu } \gamma ^ { 5 } V _ { \nu } ( \partial _ { \mu } \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 1 \mu } - \alpha _ { 2 \mu } ) } } \\ { { g ^ { \mu \nu } \gamma ^ { 5 } V _ { \nu } ( \partial _ { \mu } \tilde { \alpha } _ { 5 } + \alpha _ { 1 \mu } - \alpha _ { 2 \mu } ) } } & { { \gamma ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \alpha _ { 2 \nu } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { t + \delta } { 2 \pi } \log \frac { t + \delta } { 2 \pi } - \frac { t - \delta } { 2 \pi } \log \frac { t - \delta } { 2 \pi } = f ( t + \delta ) - f ( t - \delta ) \le 2 \delta f ^ { \prime } ( t + \delta ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad = \frac { \delta } { \pi } \left( \log ( t + \delta ) - \log 2 \pi + 1 \right) < \frac { \delta } { \pi } \log t + \frac { \delta } { \pi } \left( \frac { \delta } { t _ { 0 } } - \log 2 \pi + 1 \right) } \end{array}
[ \omega _ { { \cal Z } _ { \star } } : \tilde { o } _ { 1 } \star _ { z } \tilde { o } _ { 2 } ] = [ \omega _ { { \cal Z } _ { \star } } : \tilde { o } _ { 1 } ] \star _ { z } [ \omega _ { { \cal Z } _ { \star } } : \tilde { o } _ { 2 } ] ~ .
\begin{array} { r } { \sigma ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) = - \frac { 1 6 \pi \omega _ { e m } ^ { 3 } \omega _ { e x } } { 9 c ^ { 4 } } \sum _ { \rho , \lambda = x , y , z } \Im \langle A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) | \hat { \mu } _ { \rho } | B _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) \rangle . } \end{array}
\xi ( x , y ) : = | f ( x ) | ^ { 2 } Q _ { t } ( x , y ) e ^ { - ( | \gamma | ^ { 2 } - d ) t } \left( e ^ { \gamma X _ { s } ( x ) + \overline { \gamma } X _ { s } ( y ) } - { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { \gamma X _ { s } ( x ) + \overline { \gamma } X _ { s } ( y ) ) } \ | \ \mathcal F _ { r } \right] \right) \mathbf { 1 } _ { A _ { r , q } ( x ) } .
\begin{array} { r l } { u ( x , t _ { k } ) = } & { { } \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { j } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge \hat { \omega } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \end{array}
\theta ^ { \alpha 1 } = v _ { \dot { A } } ^ { \alpha + } \theta _ { \dot { A } } ^ { - } , \ \theta ^ { \alpha 2 } = v _ { A } ^ { \alpha - } \theta _ { A } ^ { + } , \ \lambda _ { + } ^ { \alpha } = v _ { A } ^ { \alpha - } \lambda _ { A } , \ \lambda _ { - } ^ { \alpha } = v _ { \dot { A } } ^ { \alpha + } \lambda _ { \dot { A } }
\chi = \left[ \begin{array} { l l } { { \tau ^ { - 1 } } } & { { - \tau ^ { - 1 } \omega ^ { T } } } \\ { { - \tau ^ { - 1 } \omega } } & { { \breve { \lambda } + \tau ^ { - 1 } \omega \omega ^ { T } } } \end{array} \right]
\frac { \partial } { \partial \zeta } \left( \varphi _ { n } ^ { ( 0 ) } \frac { \partial c _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } { \partial \zeta } + \varphi _ { n } ^ { ( 1 ) } \frac { \partial c _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } { \partial \zeta } \right) = l ^ { 2 } Q _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ,
\left( \begin{array} { c c c c } { { \psi _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \psi _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \psi _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \psi _ { 4 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) = \underbrace { \left( \begin{array} { c c c c } { { \psi _ { 1 } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \psi _ { 2 } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \psi _ { 3 } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \psi _ { 4 } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \end{array} \right) } _ { \in { \cal M } ( 4 , { \sl C } ) } \underbrace { \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } _ { f } ,
\begin{array} { r l } { \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \frac { ( t - s ) ^ { 2 q } \vert k \vert } { ( 1 + \vert k \vert ( t - s ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } t } & { = \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \frac { 1 } { \vert k \vert ^ { 2 q } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { 0 } ^ { \vert k \vert ( T - s ) } \frac { \tau ^ { 2 q } } { ( 1 + \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \leq \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \frac { 1 } { \vert k \vert ^ { 2 q } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \tau ^ { 2 q } } { ( 1 + \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } \tau , } \end{array}