harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \tilde { E } = E / h = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { T } \bar { A } _ { T } \, \bigg \{ \frac { 1 } { 4 } \, \left[ \nu \left( \sum _ { i } \frac { - E _ { i } } { 8 \bar { A } _ { T } ^ { 2 } } L _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + ( 1 - \nu ) \left( \sum _ { i } \sum _ { j } \frac { E _ { i } \, E _ { j } } { 6 4 \bar { A } _ { T } ^ { 4 } } ( \underline { { \vec { \bf e } } } _ { i } \cdot \underline { { \vec { \bf e } } } _ { j } ) ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { h ^ { 2 } } { 1 2 } \left[ \nu \left( \sum _ { i } \frac { \Phi ( \theta _ { i } , \Theta _ { i } ) L _ { i } } { 2 \bar { A } _ { T } } \right) ^ { 2 } + ( 1 - \nu ) \left( \sum _ { i } \sum _ { j } \frac { \Phi ( \theta _ { i } , \Theta _ { i } ) \, \Phi ( \theta _ { j } , \Theta _ { j } ) } { 4 \bar { A } _ { T } ^ { 2 } L _ { i } L _ { j } } ( \underline { { \vec { \bf e } } } _ { i } \cdot \underline { { \vec { \bf e } } } _ { j } ) ^ { 2 } \right) \right] \bigg \} } \end{array}
x _ { 1 } ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { M } ) x _ { 2 } ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { M } ) { \overset { \underset { \mathrm { F T } } { } } { \longleftrightarrow } } { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \cdots \int _ { - \pi } ^ { \pi } X _ { 1 } ( \omega _ { 1 } - \theta _ { 1 } , \ldots , \omega _ { M } - \theta _ { M } ) X _ { 2 } ( \theta _ { 1 } , \ldots , \theta _ { M } ) \, d \theta _ { 1 } \cdots d \theta _ { M }
\tau ^ { - 1 } ( t ) \; \equiv \; \frac { d } { d t } \; \ln \; S ( t ) \; \approx \; \frac { \mathrm { T r } \; \dot { Y } \ln Y } { \mathrm { T r } \; Y \ln Y } \; = \; \frac { \int \tilde { d } k \; \dot { Y } _ { k } \ln Y _ { k } } { \int \tilde { d } k \; Y _ { k } \ln Y _ { k } } \; \; ,
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { s } - \beta \cdot X _ { s } + L ^ { 2 } \left( | \beta | ^ { 2 } + | X | ^ { 2 } \right) = 0 } \\ & { \frac { A _ { s } } { A } - \frac { L _ { s } } { L } - \frac { B } { 2 } d = 0 } \\ & { - \frac { L _ { s } } { L } - B = 0 } \\ & { 2 L \beta - \frac { X _ { s } } { L } = 0 } \\ & { - 2 L ^ { 3 } X + L B \beta - L \beta _ { s } - \frac { B X _ { s } } { 2 L } = 0 } \\ & { \frac { B _ { s } } { 4 } - \left( \frac { B ^ { 2 } } { 4 } + L ^ { 4 } \right) - \frac { B } { 2 } \frac { L _ { s } } { L } = - 1 . } \end{array}
D = \sqrt { ( m _ { 2 } - m _ { 1 } ) ^ { 2 } ( 1 + 2 \delta ) ^ { 2 } + 2 \Delta m ^ { 2 } ( 1 + 2 \delta ) \Delta \delta \cos 2 \theta + ( m _ { 2 } + m _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \Delta \delta ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { | B _ { 2 } | } & { \le \frac { \| K \| _ { \infty } } { \Delta _ { n } } \sum _ { | x _ { 1 } | \vee | x _ { 2 } | \ge L } | C ( x _ { 1 } ) | | C ( x _ { 2 } ) | \sum _ { y _ { 1 } = - n + 1 } ^ { n - 1 } K \left( \frac { y _ { 1 } } { \Delta _ { n } } \right) } \\ & { \le 2 \| K \| _ { \infty } \sum _ { | x _ { 1 } | \vee | x _ { 2 } | \ge L } | C ( x _ { 1 } ) | | C ( x _ { 2 } ) | = o \left( 1 \right) , \ \mathrm { a s } \ L \to \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \{ { \mathbf { f } } _ { m u } \} } \operatorname* { m i n } _ { u } \quad } & { \textrm { S I N R } _ { u } ^ { \mathrm { ( c ) } } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \sum _ { u \in \mathcal { U } } \left\lVert { \mathbf { f } } _ { m u } \right\rVert ^ { 2 } \leq P _ { m } ^ { c } , \quad \forall m \in \mathcal { M } _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { \mathrm { L } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } - i \hat { a } _ { \mathrm { V } } \right) } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { R } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } + i \hat { a } _ { \mathrm { V } } \right) , } \end{array}
\Phi = { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( | \gamma t | ^ { 1 - \alpha } - 1 \right) \tan \left( { \frac { \pi \alpha } { 2 } } \right) } & { \alpha \neq 1 } \\ { - { \frac { 2 } { \pi } } \log | \gamma t | } & { \alpha = 1 } \end{array} \right. }
{ \begin{array} { r l } { \cdots \to } & { \pi _ { 4 } ( S O ( 3 ) ) \to \pi _ { 4 } ( S O ( 4 ) ) \to \pi _ { 4 } ( S ^ { 3 } ) \to } \\ { \to } & { \pi _ { 3 } ( S O ( 3 ) ) \to \pi _ { 3 } ( S O ( 4 ) ) \to \pi _ { 3 } ( S ^ { 3 } ) \to } \\ { \to } & { \pi _ { 2 } ( S O ( 3 ) ) \to \pi _ { 2 } ( S O ( 4 ) ) \to \pi _ { 2 } ( S ^ { 3 } ) \to \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\langle x , \nabla \Bar { U } _ { r } \left( x \right) \right\rangle } & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left\langle x , \nabla U \left( x - y \right) \right\rangle \rho _ { r } ( y ) \mathrm { d } y \ge \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( m | x - y | ^ { 2 } - b \right) \rho _ { r } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { \ge \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( \frac { 1 } { 2 } m | x | ^ { 2 } - m | y | ^ { 2 } - b \right) \rho _ { r } ( y ) \mathrm { d } y \ge \frac { 1 } { 2 } m | x | ^ { 2 } - m r ^ { 2 } - b . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle A | } & { \doteq { \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 } ^ { * } } & { A _ { 2 } ^ { * } } & { \cdots } & { A _ { N } ^ { * } } \end{array} \right) } } \\ { | B \rangle } & { \doteq { \left( \begin{array} { l } { B _ { 1 } } \\ { B _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { B _ { N } } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { D } { 2 } e ^ { \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( Q ( \widehat { L } ) e ^ { - \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime } } } \right) } & { = \lambda \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime } } \right) \ . } \end{array}
\sqrt { - G } \, G ^ { M N } R _ { M N } = \sqrt { - g } \, [ g ^ { \mu \nu } R _ { \mu \nu } - \frac { D - 3 } { 4 ( D - 2 ) } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \ln \Phi \cdot \partial _ { \nu } \ln \Phi - \frac { \Phi } { 4 } f _ { \mu \nu } f ^ { \mu \nu } ] ,
\begin{array} { r l } { F ^ { \prime } ( x ) } & { = L _ { 0 } x \exp ( L _ { 1 } x ) + \frac { L _ { 1 } L _ { 0 } } { 2 } x ^ { 2 } \exp ( L _ { 1 } x ) - \frac { L _ { 0 } } { L _ { 1 } } } \\ { F ^ { \prime \prime } ( x ) } & { = L _ { 0 } \exp ( L _ { 1 } x ) + 2 L _ { 1 } L _ { 0 } x \exp ( L _ { 1 } x ) + \frac { L _ { 1 } ^ { 2 } L _ { 0 } x ^ { 2 } } { 2 } \exp ( L _ { 1 } x ) } \\ & { = L _ { 0 } \left( 1 - \frac { L _ { 1 } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } \right) \exp ( L _ { 1 } x ) + 2 L _ { 0 } + 2 L _ { 1 } F ^ { \prime } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { k + 1 } - g _ { k } = \ } & { k ( q _ { k + 1 } - q _ { k } ) + ( r - 1 ) ( q _ { k + 1 } - q ^ { * } ) - ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) - ( r - 1 ) ( q _ { k } - q ^ { * } ) } \\ { = \ } & { ( k + r - 1 ) q _ { k + 1 } - ( k + r - 1 ) q _ { k } - ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) } \\ { \overset { \mathrm { ( \texttt { H B } ~ r ~ ) } } { = } } & { - h ^ { 2 } \left( k + \frac { r - 2 } { 2 } \right) \nabla f ( q _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { O \vert x \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { - \vert x \rangle } & { \mathrm { ~ s ~ e ~ } x = y , } \\ { \ \ \vert x \rangle } & { \mathrm { ~ s ~ e ~ } x \ne y , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } ^ { 2 } | [ j _ { 1 } \, j _ { 2 } ] \, J \, M \rangle } & { { } = \hbar ^ { 2 } J ( J + 1 ) | [ j _ { 1 } \, j _ { 2 } ] \, J \, M \rangle } \\ { \mathrm { J _ { z } } | [ j _ { 1 } \, j _ { 2 } ] \, J \, M \rangle } & { { } = \hbar M | [ j _ { 1 } \, j _ { 2 } ] \, J \, M \rangle } \end{array}
\frac { d \sigma } { d y \, d \varphi } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { m ^ { 2 } x ^ { 4 } y ^ { 2 } } \sum _ { i i ^ { \prime } j j ^ { \prime } } F _ { i j } ^ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } \zeta _ { i } \xi _ { j } \zeta _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } \xi _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \, ,
\begin{array} { r l } { { \chi _ { \perp } ^ { \prime } } ( \omega ^ { \prime } ) } & { = \frac { - ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \left( 2 \Omega - \Omega _ { c e } \right) ^ { 2 } } , } \\ { { \chi _ { \times } ^ { \prime } } ( \omega ^ { \prime } ) } & { = \frac { \omega ^ { \prime } ( 2 \Omega - \Omega _ { c e } ) \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \left( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \left( 2 \Omega - \Omega _ { c e } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
0 _ { 1 , 1 } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \end{array} \right] } , \ 0 _ { 2 , 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } , \ 0 _ { 2 , 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Xi } _ { n ^ { \prime } } ^ { F B } } & { { } = D M ^ { - 1 } ( x _ { - ( n ^ { \prime } - 1 ) } , \, - ( n ^ { \prime } - 1 ) ) \boldsymbol { \Xi } _ { n ^ { \prime } } ^ { F B } + \boldsymbol { \xi } _ { n ^ { \prime } } \, , } \\ { \boldsymbol { \Xi } _ { n ^ { \prime } } ^ { F B } } & { { } = D M ( x _ { - ( 2 n - n ^ { \prime } ) - 1 } , \, - ( 2 n - n ^ { \prime } ) ) \boldsymbol { \Xi } _ { n ^ { \prime } } ^ { F B } + \boldsymbol { \xi } _ { n ^ { \prime } } \, , } \end{array}
| h ( \lambda _ { k } ) \rangle ^ { S } : = { \sqrt { 1 - f ( \lambda _ { k } ) ^ { 2 } - g ( \lambda _ { k } ) ^ { 2 } } } | \mathrm { n o t h i n g } \rangle ^ { S } + f ( \lambda _ { k } ) | \mathrm { w e l l } \rangle ^ { S } + g ( \lambda _ { k } ) | \mathrm { i l l } \rangle ^ { S } ,
M _ { 1 0 } \equiv \frac { \lambda _ { 1 0 } } { a _ { 0 } } , \quad M _ { 2 0 } \equiv \frac { \lambda _ { 2 0 } } { a _ { 0 } } , \quad M _ { \mathrm { 1 I } } \equiv \frac { \lambda _ { \mathrm { 1 I } } } { a _ { 0 } } , \quad M _ { \mathrm { 2 I } } \equiv \frac { \lambda _ { \mathrm { 2 I } } } { a _ { 0 } } , \quad
\sum _ { m = 0 } ^ { \hat { l } } x ^ { - m } \frac { 1 } { \Gamma ( \bar { l } - m + 1 ) } \frac { 1 } { \Gamma ( \hat { l } - m + 1 ) } \frac { 1 } { \Gamma ( m + 1 ) } = \frac { x ^ { - \hat { l } } } { \Gamma ( \bar { l } + 1 ) } L _ { \hat { l } } ^ { \bar { l } - \hat { l } } ( - x ) ,
h _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { \left( v + h _ { 0 } \right) / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) \quad h _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { { H ^ { + } } } \\ { { \left( H _ { 0 } + i A _ { 0 } \right) / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right)
g ^ { 2 } \rightarrow \tilde { g } ^ { 2 } = { \frac { g ^ { 2 } Q } { \sum _ { b = 0 } ^ { K - 1 } \tilde { B } ( b ) } } = { \frac { g ^ { 2 } \sum _ { a = 0 } ^ { K - 1 } B ( a ) } { P } } .
\begin{array} { r l } { r _ { x } ( s ) } & { { } = \alpha _ { h } s \, , } \\ { r _ { y } ( s ) } & { { } = R _ { h } \cos ( k s + \pi / 2 ) \, , } \\ { r _ { y } ( s ) } & { { } = R _ { h } \sin ( k s + \pi / 2 ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } S ( x ) \ d x \ = \ } & { { } w \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } \alpha e ^ { - \alpha x } \ d x + ( 1 - w ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } g ( x ) \ d x } \\ { \ = \ } & { { } \frac { 2 w } { \alpha ^ { 2 } } + ( 1 - w ) ( \sigma _ { g } ^ { 2 } + Q _ { g } ^ { 2 } ) } \end{array}
G _ { m } ( \tau ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, g _ { n } ^ { ( m ) } q ^ { n + r _ { m } } , ~ ~ ~ H _ { m } ( \tau ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, h _ { n } ^ { ( m ) } q ^ { n + r _ { m } ^ { \prime } - \frac { 1 } { 3 } } ,
\frac { \partial } { \partial t } \lvert u \rvert ^ { 2 } = 2 \Re { \frac { \partial u } { \partial t } u ^ { \ast } } = 2 \Re { - \mathrm { i } \big ( \gamma + \mathrm { i } \epsilon \big ) \lvert u \rvert ^ { 4 } } = 2 \epsilon \lvert u \rvert ^ { 4 } .
B _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ( z ) = \frac { \mu _ { 0 } I _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } N _ { \mathrm { ~ t ~ } } } { 2 } \frac { r _ { t } ^ { 2 } } { \left( r _ { t } ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } ,
[ \mathrm { d } \varphi ] = \operatorname* { l i m } _ { \substack { a \to 0 \, M \to \infty \, L = a M } } \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { M } \sqrt { \frac { x _ { T } } { 4 \pi a } } \mathrm { d } \varphi _ { j } \right] .
\frac { \theta ^ { x - x ^ { \prime } } } { ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 3 } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \! \mathrm { d } \eta \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \! \mathrm { d } v \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \! \mathrm { d } u \, \frac { [ \frac { \eta ( \alpha - \eta ) } { 1 + \kappa \eta } ] ^ { M } [ \frac { \eta ( \beta - \eta ) } { 1 + \kappa \eta } ] ^ { n - M } } { [ \frac { v ( \alpha - v ) } { 1 + \kappa v } ] ^ { M } [ \frac { u ( \beta - u ) } { 1 + \kappa u } ] ^ { n - M } } \frac { v [ \frac { \beta - u } { 1 + \kappa u } ] ^ { x ^ { \prime } - 2 ( M - n ) } } { \eta ^ { x - 2 ( M - n ) + 2 } } \frac { ( \alpha - 2 v - \kappa v ^ { 2 } ) ( 1 + \kappa u ) ( 1 + \kappa \eta ) \psi ( \eta ) } { ( v - u ) ( \eta - v ) ( \alpha - u - v - \kappa u v ) ( 1 + \kappa v ) \psi ( \frac { \beta - u } { 1 + \kappa u } ) }
{ \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + { \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ ( I _ { 1 } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } - { \boldsymbol { F } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { F } } ) + { \frac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } ~ I _ { 3 } ~ { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { - T } ~ .
| h _ { A _ { 1 } } ( 1 ) | ^ { 2 } = \eta _ { A } ^ { 2 } = 1 - 2 \, { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \, \bigg ( { \frac { 1 + z } { 1 - z } } \ln z + \frac 8 3 \bigg ) + \ldots \, ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ T _ { k } ] \leq { \tilde { \cal O } } \left( \frac { 1 } { \delta } + \frac { 1 } { \delta _ { 1 } } + \frac { \sqrt { ( 1 - \delta ) ( L _ { f } + \lambda + \kappa ) ( { \bar { L } } + \lambda + \kappa ) } } { \delta ( \lambda + \kappa ) } + \frac { L _ { f } } { \lambda + \kappa } + \frac { L } { n ( \lambda + \kappa ) } + \frac { \sqrt { ( 1 - \delta ) ( L _ { f } + \lambda + \kappa ) ( L + \lambda + \kappa ) } } { \sqrt { \delta } ( \lambda + \kappa ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { C } \left( \mathscr { C } _ { 2 n ^ { 2 } r } \in \mathsf { C a n P e r s i s t } _ { r } \right) } & { \geq \mathbb { E } _ { C } \left[ \mathbb { P } _ { \mathscr { C } _ { n } } \left( \mathscr { C } _ { 2 n ^ { 2 } r - n } \in \mathsf { C a n P e r s i s t } _ { r } \right) \mathbf { 1 } _ { \mathsf { N o S m a l l C o m p } _ { n } } \right] } \\ & { \geq \mathbb { E } _ { C } \left[ \mathbb { P } _ { \mathscr { C } _ { n } } \left( \cap _ { j \leq J } \mathsf { T r e a d } _ { j } \cap \mathsf { S t a y } \right) \mathbf { 1 } _ { \mathsf { N o S m a l l C o m p } _ { n } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { a T _ { f } } { h } = 0 . 0 0 1 2 5 \times 2 ^ { k + 2 } = \{ 0 . 0 1 , 0 . 0 2 , 0 . 0 4 , 0 . 0 8 , 0 . 1 6 , 0 . 3 2 \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ ( \hat { p } _ { i } - p _ { i } ) ^ { 2 } ] = \sum _ { j = 1 } ^ { i } \mathbb { E } [ e _ { H i } ^ { 2 } ] = i \sigma _ { e } ^ { 2 } + i ^ { 2 } e _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { \mathbb { E } [ \textrm { R M S } ] = \sqrt { \mathbb { E } [ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } ( \hat { p } _ { i } - p _ { i } ) ^ { 2 } ] } } \\ & { = \sqrt { \sigma _ { e } ^ { 2 } ( N - 1 ) / 2 + e _ { 0 } ^ { 2 } ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) / 6 } } \\ & { = \sqrt { \textrm { E } _ { r } ^ { 2 } + \textrm { E } _ { b } ^ { 2 } } } \end{array}
\rho _ { u } \rho _ { u } \Phi ^ { v } = \rho _ { u } ( \Phi ^ { u } R _ { u } \Phi ^ { v } ) = \Phi ^ { v } \lambda _ { u } ^ { 2 } = \rho _ { u } \rho _ { w } \Phi ^ { u } = \rho _ { u } ( \Phi ^ { w } ) R _ { v u } ( \Phi ^ { u } ) = \Phi ^ { v } R _ { v } ( \lambda _ { u } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r l r l r l r l } & { \lambda _ { \mathrm { e } } = \lambda _ { \mathrm { m i c r o } } = 0 \, , } & & { \mu _ { \mathrm { e } } = \mu _ { \mathrm { m a c r o } } = 1 / 2 \, , } & & { \mu _ { \mathrm { c } } = 0 \, , } & & { L _ { \mathrm { c } } = 1 \, , } & & { \mu _ { \mathrm { m i c r o } } = 2 0 \, . } \end{array}
\eta ^ { ( j ) } = \frac { 1 } { n _ { 1 } + \frac { 1 } { n _ { 2 } + \frac { 1 } { n _ { 3 } + \ldots } } } \equiv [ n _ { 1 } , \, n _ { 2 } , n _ { 3 } , \ldots , \, n _ { j } ]
\int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha _ { r } \; \cdots \tilde { U } _ { | \tau _ { r } = ( 1 - \alpha _ { 1 } ) \cdots ( 1 - \alpha _ { r - 1 } ) ( \alpha _ { r } - \alpha _ { r } ^ { 2 } ) \tau } \; \leq \; \operatorname * { s u p } _ { \alpha _ { r } \in [ 0 , 1 ] } \; \cdots \left( ( 1 - \alpha _ { 1 } ) \cdots ( 1 - \alpha _ { r - 1 } ) \tau \right) ^ { - 1 } \; g \; \; \; ,
\mathbf { F } = \Phi \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { \tilde { G } } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right) , \; \ \mathbf { W } = \left( \begin{array} { l l } { \Psi \mathbf { I } } & { \mathbf { 0 } } \\ { - \Psi \mathbf { I } } & { \Gamma \mathbf { I } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \hat { \hat { d } } _ { 1 } < \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } ) } & { = } & { \mathbb { P } ( \sqrt { n } ( \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } - \hat { \hat { d } } _ { 1 } ) > 0 ) \leq \mathbb { P } \big ( \big | { \sqrt { n } ( \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } - \hat { \hat { d } } _ { 1 } ) - q _ { \alpha } } \big | > - q _ { \alpha } \big ) \xrightarrow { n \to \infty } 0 . } \end{array}
b ( x , y , 0 ) = - \frac { ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) x } { 2 } + \frac { ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) \lambda } { 2 } \log \left[ \cosh \left( \frac { x } { \lambda } \right) \right] \! \! .
( Y _ { L } , Y _ { u } , Y _ { d } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( 1 / 3 , 4 / 3 , - 2 / 3 ) , \quad } } & { { \mathrm { q u a r k s } \hfill } } \\ { { } } & { { } } \\ { { ( - 1 , 0 , - 2 ) , } } & { { \mathrm { l e p t o n s } } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } & { \dot { x } ( t ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) + \left( \alpha \sqrt { \varepsilon ( t ) } - \frac { 1 } { \beta } \right) x ( t ) + \frac { 1 } { \beta } y ( t ) = 0 , } \\ & { \dot { y } ( t ) + \left( \frac { \alpha \beta \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } - \beta \varepsilon ( t ) - \frac { 1 } { \beta } + \alpha \sqrt { \varepsilon ( t ) } \right) x ( t ) + \frac { 1 } { \beta } y ( t ) = 0 , } \\ & { x ( t _ { 0 } ) = x _ { 0 } , \ y ( t _ { 0 } ) = - \beta \left( \dot { x } ( t _ { 0 } ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t _ { 0 } ) } ( x _ { 0 } ) \right) + \left( 1 - \alpha \beta \sqrt { \varepsilon ( t _ { 0 } ) } \right) x _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \rho ( x , y ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 5 . 9 9 7 0 , \qquad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \le 0 . 5 } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x > 0 . 5 } \end{array} \right. , \qquad } & { } & { { } u ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 9 8 . 5 9 1 4 , \qquad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \le 0 . 5 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x > 0 . 5 } \end{array} \right. } \\ { v ( x , y ) } & { { } = 0 , \qquad } & { } & { { } p ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 1 6 6 6 . 5 , \qquad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \le 0 . 5 } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x > 0 . 5 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle E ^ { \prime } , } & { \; \; A ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle F ^ { \prime } , \; \; A ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle G ^ { \prime } , \; \; A ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle H ^ { \prime } , } \\ { B ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle E ^ { \prime } , } & { \; \; B ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle F ^ { \prime } , \; \; B ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle G ^ { \prime } , \; \; B ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle H ^ { \prime } , } \\ { C ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle E ^ { \prime } , } & { \; \; C ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle F ^ { \prime } , \; \; C ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle G ^ { \prime } , \; \; C ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle H ^ { \prime } , } \\ { D ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle E ^ { \prime } , } & { \; \; D ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle F ^ { \prime } , \; \; D ^ { \prime } \leftrightarrowtriangle G ^ { \prime } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \textrm { d } X _ { t } ^ { \xi , s } = u ( X _ { t } ^ { \xi , s } , t ) \textrm { d } t + \sqrt { 2 \nu } \textrm { d } B _ { t } , } & { \textrm { f o r } t \geq s , } \\ { X _ { t } ^ { \xi , s } = \xi , } & { \textrm { f o r } t \leq s . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { d _ { i } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho \otimes \mathsf { i d } _ { C } ^ { \otimes r } } & { i = 0 } \\ { \mathsf { i d } _ { M } \otimes \mathsf { i d } _ { C } ^ { \otimes i - 1 } \otimes \Delta \otimes \mathsf { i d } _ { C } ^ { \otimes ( r - i ) } } & { 1 \le i \le r } \\ { \Tilde { t } \circ ( \lambda \otimes \mathsf { i d } _ { C } ^ { \otimes r } ) } & { i = r + 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
\leq \sum _ { i \neq m } 2 ^ { - n \left[ H \left( B \right) - \delta \right] } \ \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( i \right) } , \delta } \right\} \right\}
Y \! \downarrow \mathtt { H } _ { ( I ) } = \mathtt { R } _ { ( Y ; I ) } : = \! \sum _ { Y _ { 1 } \sqcup Y _ { 2 } = Y } \overline { { \mathtt { H } } } _ { ( Y _ { 1 } ) } \mathtt { H } _ { ( Y _ { 2 } \sqcup I ) } \qquad \mathrm { a n d } \qquad Y \! \uparrow \mathtt { H } _ { ( I ) } = \mathtt { A } _ { ( Y ; I ) } : = \! \sum _ { Y _ { 1 } \sqcup Y _ { 2 } = Y } \mathtt { H } _ { ( Y _ { 1 } \sqcup I ) } \overline { { \mathtt { H } } } _ { ( Y _ { 2 } ) } .
\tilde { \psi } _ { n + 1 } = \frac { m + \lambda \left| \tilde { \psi } _ { n } \right| ^ { 2 } } { \left( 1 + \lambda \right) \left| \tilde { \psi } _ { n } \right| ^ { 2 } } \tilde { \psi } _ { n } \; \; \; \textrm { ( p r o x i m a l P o i s s o n u p d a t e ) } ,
\begin{array} { r l } { R e l E f f \equiv \frac { T _ { t } \left( N _ { \mathrm { \textit { m i n } } } \right) } { T _ { t } \left( 2 \right) } } & { = \frac { c \ln \left( \frac { b - a } { \mu } \right) \left( \frac { N _ { \mathrm { \textit { m i n } } } + R } { R \ln N _ { \mathrm { \textit { m i n } } } } \right) } { c \ln \left( \frac { b - a } { \mu } \right) \left( \frac { 2 + R } { R \ln 2 } \right) } } \\ & { = \left( \frac { R \ln 2 } { 2 + R } \right) \left( \frac { N _ { \mathrm { \textit { m i n } } } + R } { R \ln N _ { \mathrm { \textit { m i n } } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \mathbf { b a } } ^ { ( 1 ) } } & { = ( \Delta \omega _ { \mathbf { a } } - \mathrm { i } \gamma / 2 ) \delta _ { \mathbf { a } , \mathbf { b } } } \\ { h _ { \mathbf { b a } } ^ { ( 2 ) } } & { = V _ { \mathbf { b a } } } \\ & { = - \frac { 3 \Gamma _ { \mathrm { n a t . } } B _ { q } } { 4 } \left\{ \left[ 1 - | \hat { \mathbf { r } } _ { \mathbf { b a } } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { q } | ^ { 2 } \right] \frac { 1 } { k r _ { \mathbf { b a } } } + \left[ 3 | \hat { \mathbf { r } } _ { \mathbf { b a } } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { q } | ^ { 2 } - 1 \right] \left[ \frac { 1 } { ( k r _ { \mathbf { b a } } ) ^ { 3 } } + \frac { \i } { ( k r _ { \mathbf { b a } } ) ^ { 2 } } \right] \right\} e ^ { - \mathrm { i } ( k r _ { \mathbf { b a } } + \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { r } _ { \mathbf { b a } } ) } ~ . } \end{array}
R _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) \prime } ( Y ) = - \frac { \delta _ { 2 } } { 2 Y } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad Q _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) \prime } ( Y ) = - \frac { \delta _ { 0 } } { 2 Y } - \frac { A _ { 1 } } { 2 ( 1 + Y ) } ,
\boldsymbol G _ { t } = I \left[ \begin{array} { l } { G _ { t } ^ { 1 , 3 } , \cdots , G _ { t } ^ { 1 , 1 5 } , \cdots , G _ { t } ^ { 1 6 , 2 } , \cdots , G _ { t } ^ { 1 6 , 1 4 } } \end{array} \right] ^ { T } ,