harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( \omega ) } & { { } = { \left| \begin{array} { l l l } { \mu _ { 1 } } & { - i \mu _ { 2 } } & { 0 } \\ { i \mu _ { 2 } } & { \mu _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mu _ { z } } \end{array} \right| } \mathbf { H } ( \omega ) } \end{array}
\widehat { \widehat { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } } = \frac { v _ { i } + 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { 1 + 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { \Pi _ { i j k l } = \left[ - \frac { \nu } { 2 G ( 1 + \nu ) } \delta _ { i j } \delta _ { k l } + \frac { 1 } { 4 G } \left( \delta _ { i k } \delta _ { j l } + \delta _ { k j } \delta _ { i l } \right) \right] + } \\ { \frac { 1 } { 4 H } \left( N _ { i j } + \frac { 2 } { 3 } \Lambda \delta _ { i j } \right) \left( N _ { k l } + \frac { 2 } { 3 } \alpha \delta _ { k l } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { R _ { b } ^ { - } } & { { } = L R _ { f } ^ { + } L } & { T _ { b } ^ { - } } & { { } = J T _ { f } ^ { + } L } \\ { T _ { f } ^ { + } } & { { } = L T _ { b } ^ { - } J } & { R _ { f } ^ { - } } & { { } = J ^ { 2 } R _ { b } ^ { + } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { 1 } ( x , t ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } ( \tilde { \mu } _ { i } ( x , t ) - \langle { \tilde { \mu } _ { i } ( x , t ) } \rangle { } ) ^ { 2 } , } \\ { \chi _ { 2 } ( x , t ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } ( \tilde { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( x , t ) - \langle { \tilde { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( x , t ) } \rangle { } ) ^ { 2 } , } \\ { \chi ( \{ \Delta x _ { i } , \alpha _ { i } , \beta _ { i } \} ) } & { { } = \int \int ( \chi _ { 1 } ( x , t ) + \sqrt { \chi _ { 2 } ( x , t ) } ) d x d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) } & { = \left. A ( t ) \left\{ \frac { ( x - t ) [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { x } + \frac { y [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { y } \right\} \right\vert _ { \mathbf { X } _ { 0 } } } \\ & { \equiv \left. A ( t ) \left[ \frac { 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) } { r } \mathbf { e } _ { r } \right] \right\vert _ { \mathbf { X } _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } [ \Psi ^ { ( 0 ) } ] ( u ) \Big | _ { u = 2 } } & { = \frac { \frac 1 2 \pi \mathrm { i } - \frac 1 3 F _ { 0 } } { u - 2 } - \left( S _ { 1 } ^ { \Psi } \right) ^ { 2 } \mathcal { B } [ \Psi ^ { ( 2 ) } ] ( u - 2 ) \frac { \log ( 1 - \frac { u } { 2 } ) } { 2 \pi \mathrm { i } } + . . . } \\ & { = \frac { \frac 1 2 \pi \mathrm { i } - \frac 1 3 F _ { 0 } } { u - 2 } + \frac { 1 } { 3 } \left( \mathcal { B } [ F ] ^ { \prime } ( u - 2 ) + \frac { 1 7 - 1 2 \gamma _ { E } } { 6 } \mathcal { B } [ F ] ( u - 2 ) \right) \log \left( 1 - \frac { u } { 2 } \right) + . . . \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } i D ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + { \frac { \lambda } { 3 ! } } \int d ^ { d } x _ { 2 } \, D ( x _ { 0 } , x _ { 2 } ) \langle \psi \mid { \mathcal { T } } \{ \varphi ( x _ { 1 } ) \varphi ( x _ { 2 } ) \varphi ( x _ { 2 } ) \varphi ( x _ { 2 } ) \} \mid \psi \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Y _ { t } - \tilde { Y } _ { t } - ( Y _ { \tau } - \tilde { Y } _ { \tau } ) \| _ { U } = } & { \| \int _ { \tau } ^ { t } s ( T - r , Y _ { r } ) - s ( T - r , \tilde { Y } _ { r } ) \mathrm { d } r \| _ { U } } \\ { \leqslant } & { \int _ { \tau } ^ { t } \| s ( T - r , Y _ { r } ) - s ( T - r , \tilde { Y } _ { r } ) \| _ { U } \mathrm { d } r \leqslant 2 ( t - \tau ) R . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \infty } & { > \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \vert ( 1 + \lambda _ { \ell } ) ^ { s } a _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ( 1 + \lambda _ { \ell ^ { \prime } } ) ^ { s } \vert } \\ & { \geq \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \vert ( 1 + \lambda _ { \ell } + \lambda _ { \ell ^ { \prime } } ) ^ { s } a _ { \ell , \ell ^ { \prime } } \vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle - \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } } { r ^ { 3 } } I _ { 2 3 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 3 } \right\rangle _ { M } } & { { } = \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { 3 2 \mathrm { i } a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , 2 } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , - 2 } \right) \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \left( \frac { \langle ( E ^ { y } ) _ { i + 1 } ^ { n } \rangle _ { j } - \langle ( E ^ { y } ) _ { i - 1 } ^ { n } \rangle _ { j } } { 2 \Delta x } - \frac { \langle ( E ^ { x } ) _ { \cdot , j + 1 } ^ { n } \rangle _ { i } - \langle ( E ^ { x } ) _ { \cdot , j - 1 } ^ { n } \rangle _ { i } } { 2 \Delta y } \right) } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = \frac { \langle ( B ^ { z } ) _ { \cdot , j + 1 } ^ { n + 1 } \rangle _ { i } - \langle ( B ^ { z } ) _ { \cdot , j - 1 } ^ { n + 1 } \rangle _ { i } } { 2 \Delta y } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { \langle ( B ^ { z } ) _ { i + 1 } ^ { n + 1 } \rangle _ { j } - \langle ( B ^ { z } ) _ { i - 1 } ^ { n + 1 } \rangle _ { j } } { 2 \Delta x } } \end{array}
B _ { m , \| } ( \varphi _ { 0 } , \varphi _ { 1 } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } \partial _ { j } ^ { m } \varphi _ { 0 } \partial _ { j } ^ { m } \varphi _ { 1 } \mathrm { ~ a n d ~ } B _ { m , n } ( \varphi _ { 0 } , \varphi _ { 1 } ) = \int _ { \Omega } \partial _ { n } ^ { m } \varphi _ { 0 } \partial _ { n } ^ { m } \varphi _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { R _ { 3 , 1 } } & { : = - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 3 } ^ { - 1 } \Pi _ { S } \mathcal { L } ^ { 2 } \Psi _ { 3 } + ( \Phi _ { 3 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 3 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } ) \mathcal { L } ^ { 2 } \Psi _ { 3 } + \Phi _ { s } ^ { - 1 } \Pi _ { S } \mathcal { L } ^ { 2 } \Psi _ { 3 } } \\ & { \ - \Phi _ { 3 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 2 } \Pi _ { S } \Psi _ { 3 } + \Phi _ { 3 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 2 } \left( \Phi _ { 3 } \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 3 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \right) . } \end{array}
\Sigma _ { d i v } ^ { 0 } = { \frac { C e ^ { 2 } } { \beta } } \int { \frac { | { \bf k } | d | { \bf k } | } { ( 2 \pi ) } } { \frac { { \cal M } ( { \bf k } , p _ { 0 f } ) } { { \bf k } ^ { 2 } + p _ { 0 f } ^ { 2 } + { \cal M } ^ { 2 } ( { \bf k } , p _ { 0 f } ) } } { \frac { 1 } { | { \bf k } ^ { 2 } - { \bf p } ^ { 2 } | } }
T _ { \pm 2 - } ^ { + 2 } = T _ { \pm 2 + } ^ { + 2 } = T _ { \pm 2 - } ^ { - 2 } = T _ { \pm 2 + } ^ { - 2 } = 0 , T _ { \pm \pm 2 } ^ { + } = T _ { + - 2 } ^ { + } = T _ { \pm \pm 2 } ^ { - } = T _ { - + 2 } ^ { - } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \zeta _ { n } ( \gamma ) : = ( \eta _ { n } + \eta _ { P } ) \bar { { \beta } } ^ { S B } ( \gamma ) \bar { { \beta } } ^ { S B } ( \gamma ) ^ { \top } + A _ { n } ^ { \top } \sum _ { i , j , l = 1 } ^ { N } ( \mathcal { Q } ^ { - 1 } ) _ { j n } ^ { \top } Q _ { j i } ^ { l } ( \mathcal { Q } ^ { - 1 } ) _ { i n } A _ { n } \; , } \\ & { \mathcal { Z } _ { n } ^ { w } ( \gamma ) : = \eta _ { P } \bar { { \beta } } ^ { S B } ( \gamma ) \bar { { \beta } } ^ { S B } ( \gamma ) ^ { \top } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( A _ { j } ( \mathcal { Q } ^ { - 1 } ) _ { j n } A _ { n } \right) ^ { \top } \; , } \\ & { \mathcal { Z } _ { h , n } ^ { z } ( \gamma ) : = \eta _ { P } \bar { \beta } ^ { S B } ( \gamma ) \bar { \beta } ^ { S B } ( \gamma ) ^ { \top } + A _ { n } ^ { \top } \sum _ { i , j , l = 1 } ^ { N } ( \mathcal { Q } ^ { - 1 } ) _ { j n } ^ { \top } Q _ { j i } ^ { l } ( \mathcal { Q } ^ { - 1 } ) _ { i h } A _ { h } \; , \quad \mathrm { ~ f o r ~ } h \neq n \; , } \\ & { \mathcal { Z } _ { n } ^ { c } : = A _ { n } ^ { \top } \sum _ { i , j , k , l = 1 } ^ { N } ( \mathcal { Q } ^ { - 1 } ) _ { j n } ^ { \top } \left( L _ { j } ^ { k } - Q _ { j i } ^ { k } ( \mathcal { Q } ^ { - 1 } ) _ { i l } L _ { l } ^ { l } \right) \; , } \\ & { \hat { \mathcal { M } } ( z , t ) : = g - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \eta _ { n } z ^ { n } ( z ^ { n } ) ^ { \top } - \eta _ { P } \left( w ^ { P } ( t ) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } z ^ { n } \right) \left( w ^ { P } ( t ) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } z ^ { n } \right) ^ { \top } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { F } _ { \theta } } & { : = \cos ( \theta ) \dot { F } + \sin ( \theta ) \frac { d } { d s } \Big \lvert _ { s = 0 } \Big ( \star _ { g + s \dot { g } } ( F + s \dot { F } ) \Big ) , } \\ { ( \dot { \mathbf { E } } _ { \theta } , \dot { \mathbf { H } } _ { \theta } ) } & { : = ( \cos ( \theta ) \dot { \mathbf { E } } - \sin ( \theta ) \dot { \mathbf { H } } , \, \sin ( \theta ) \dot { \mathbf { E } } + \cos ( \theta ) \dot { \mathbf { H } } ) . } \end{array}
\Delta ( z ^ { 2 } ) { \cal F } ( z ) = \mathrm { c o n s t . } \int _ { 0 } ^ { \infty } \prod _ { i } d y _ { i } ~ y _ { i } ^ { n - 1 } \prod _ { i > j } ( y _ { i } - y _ { j } ) ~ e ^ { - \alpha \sum _ { i } z _ { i } ^ { 2 } / 4 y _ { i } - \beta \sum _ { i } y _ { i } - \gamma \sum _ { i } \ln y _ { i } } .
K _ { \nu } ( x ) \simeq \sqrt { \frac { \pi } { 2 x } } e ^ { - x } \left[ 1 + \frac { ( 4 \nu ^ { 2 } - 1 ) } { 1 ! 8 x } + \frac { ( 4 \nu ^ { 2 } - 1 ) ( 4 \nu ^ { 2 } - 9 ) } { 2 ! ( 8 x ) ^ { 2 } } + \cdots \right] .
\tilde { k } _ { i } ( \textbf { x } _ { m } , \textbf { x } _ { n } ) = \tilde { \sigma } _ { f , i } ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( \textbf { x } _ { m } - \textbf { x } _ { n } ) ^ { \textrm { T } } M _ { i } ( \textbf { x } _ { m } - \textbf { x } _ { n } ) \right)
\exp { { \frac { i } { \hbar } } S _ { \mathrm { I F } } [ x _ { c } ] } \approx e ^ { { \frac { i } { \hbar } } \left[ \int ^ { \cal C } d s _ { 1 } F ( s _ { 1 } ) f ( x _ { c } ( s _ { 1 } ) ) + { \frac { 1 } { 2 } } \int ^ { \cal C } d s _ { 1 } d s _ { 2 } f ( x _ { c } ( s _ { 1 } ) ) D ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) f ( x _ { c } ( s _ { 2 } ) ) \right] }
\begin{array} { r l } { y } & { \in H ^ { 0 } ( Y , - K _ { Y } ) } \\ { x } & { \in H ^ { 0 } \big ( Y , - \frac { 1 } { 2 } K _ { Y } - \frac { 1 } { 2 } E \big ) } \\ { x _ { \mu } } & { \in H ^ { 0 } \big ( Y , - \frac { a _ { \mu } } { 2 } K _ { Y } + \frac { 1 } { 2 } E \big ) , \quad \mathrm { f o r } \, \, x _ { \mu } \not = x , \, y } \end{array}
{ \cal W } ( y ) = \left( 1 - { \frac { ( D - 2 ) a ^ { 2 } } { 2 } } \sqrt { { \frac { D - 2 } { 4 ( D - 1 ) - a ^ { 2 } ( D - 2 ) ^ { 2 } } } \Lambda } | y | \right) ^ { \frac { 8 } { ( D - 2 ) ^ { 2 } a ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { N _ { i } ^ { 3 } \| \Omega _ { i } \| _ { 3 } ^ { 3 } } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } } & { \leq \sum _ { k } \frac { 1 } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } \sum _ { i , m , m ^ { \prime } \in S _ { k } } N _ { i } N _ { m } N _ { m ^ { \prime } } \sum _ { j } \Omega _ { i j } \Omega _ { m j } \Omega _ { m ^ { \prime } j } } \\ & { \leq \sum _ { k } \frac { 1 } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } \| \mu _ { k } \| _ { 3 } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | 1 \rangle \langle 1 | } & { { } \mapsto h ( | c _ { 1 } | ^ { 2 } - | c _ { 2 } | ^ { 2 } ) } \\ { | 2 \rangle \langle 2 | } & { { } \mapsto h ( | c _ { 2 } | ^ { 2 } - | c _ { 1 } | ^ { 2 } ) } \\ { | a \rangle \langle b | } & { { } \mapsto c _ { a } ^ { * } c _ { b } \quad \ \, ( a \neq b ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { \| ( \hat { p } - \tilde { \hat { p } } ) \cdot \hat { x } \| _ { Y ( 0 , T ; \Gamma _ { R } ^ { + } ) } = } & { } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) } \frac { \Big | \int _ { 0 } ^ { T } \langle \phi , \, v \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } \, d t \Big | } { \| v \| _ { X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) } } } \\ { \leq } & { } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) } \frac { \Big | \int _ { 0 } ^ { T } \langle \phi , \, v \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } \, d t \Big | } { \| v \| _ { X ( 0 , T ; \Omega _ { P M L } ^ { + } ) } } . } \end{array} } \end{array}
T ^ { \nabla ^ { \mathtt { A } } } \ \in \ \mathsf { \Gamma } \big ( \mathrm { S p a n } ( Z ) \otimes \big ( \mathrm { A n n } ( Z ) \wedge \mathrm { S p a n } ( \tau ) \big ) \, \oplus \, \ker ( \tau ) \odot _ { 0 } \bigl ( \mathrm { A n n } ( Z ) \wedge \mathrm { S p a n } ( \tau ) \bigr ) \big ) \ ,
\begin{array} { r l } { \log \left( \frac { a _ { i } ^ { - 1 } ( t + o ( t ) ) } { a _ { i } ^ { - 1 } ( t ) } \right) } & { = \int _ { t } ^ { t + o ( t ) } \frac { d } { d x } \log \left( a _ { i } ^ { - 1 } ( x ) \right) d x = \int _ { t } ^ { t + o ( t ) } \frac { \frac { d } { d x } a _ { i } ^ { - 1 } ( x ) } { a _ { i } ^ { - 1 } ( x ) } d x } \\ & { = \int _ { t } ^ { t + o ( t ) } \frac { F _ { i } ( a _ { i } ^ { - 1 } ( t ) ) } { a _ { i } ^ { - 1 } ( t ) } d x \xrightarrow { t \to \infty } 0 \ , } \end{array}
U _ { o p } | \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \Phi ^ { \prime } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) | 0 \rangle
\hat { \cal O } = a _ { q q } \left( 2 P _ { u d } ^ { s . e . } - 1 \right) + a _ { q s } \left( 2 P _ { s u } ^ { s . e . } - 1 \right) + a _ { q s } \left( 2 P _ { s d } ^ { s . e . } - 1 \right)
f ( z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ a _ { n } r ^ { n } \cos n \theta - b _ { n } r ^ { n } \sin n \theta \right] + i \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ a _ { n } r ^ { n } \sin n \theta + b _ { n } r ^ { n } \cos n \theta \right] ,
\begin{array} { r l } & { \frac { E _ { 1 } } { ( 1 + A _ { 1 } ) ^ { 2 } } - \frac { \overline { { E } } _ { 1 } } { ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 2 } } = - \frac { 2 \overline { { E } } _ { 1 } ( A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 } ) } { ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 3 } } } \\ & { + \frac { E _ { 1 } - \overline { { E } } _ { 1 } } { ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 2 } } + e _ { 1 } + e _ { 2 } + e _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } _ { \mathrm { l o c } } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) } & { { } = \frac { \left\langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } \left| \hat { \mathcal { O } } \right| \Psi _ { \mathcal { W } } \right\rangle } { \left\langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } \left| \Psi _ { \mathcal { W } } \right. \right\rangle } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho v _ { t t } - \alpha _ { 1 } v _ { x x } = 0 , } & { ( x , t ) \in ( 0 , L ) \times ( 0 , \infty ) } \\ { v ( 0 , t ) = 0 , \quad \alpha _ { 1 } v _ { x } ( L , t ) = \gamma V ( t ) } & { t \in ( 0 , \infty ) } \\ { ( v , v _ { t } ) ( x , 0 ) = ( v _ { 0 } , v _ { 1 } ) , } & { x \in [ 0 , L ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) } \\ & { = \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) + \langle D _ { x } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) , \tilde { \xi } _ { s } \rangle } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + \langle D _ { y } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) , \tilde { \eta } _ { s } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle D _ { x } ^ { 2 } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) \tilde { \xi } _ { s } , \tilde { \xi } _ { s } \rangle + \epsilon _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( x , } & { t _ { k } ) = \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { j } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \nabla _ { x } \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge \hat { \omega } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } \delta h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \prod _ { l = j } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { l } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \nabla _ { x } \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \wedge F ( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { j - 1 } ) } \\ & { + \sum _ { i _ { 1 } } \delta h h _ { w } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \prod _ { l = j } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t _ { l } } ^ { i _ { 1 } , 0 } ) \nabla _ { x } \varLambda _ { 2 , \epsilon } ( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , 0 } , x ) \wedge \tilde { \chi } _ { \varepsilon } ( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { i _ { 1 } , 0 } , t _ { j - 1 } ) } \end{array}
\mathrm { d } ( \mathrm { d } ( R \circ i ) u ) = \mathrm { d } ( \mathrm { d } ( R \circ F ^ { - 1 } \circ F \circ i ) u ) = \mathrm { d } ( \mathrm { d } ( R \circ F ^ { - 1 } ) \mathrm { d } ( F \circ i ) u ) = \mathrm { d } ( R \circ F ^ { - 1 } ) \mathrm { d } ( \mathrm { d } ( F \circ i ) u ) .
\begin{array} { l l } { { ( \Gamma ^ { A } ) { } ^ { T } = ( \Gamma ^ { A } ) { } ^ { \ast } = { C } ^ { - 1 } \Gamma ^ { A } { C } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ C = C ^ { T } = ( C ^ { \dagger } ) ^ { - 1 } \, . } } \end{array}
f _ { P } = \frac { A } { \sqrt { M _ { P } } } \left[ \alpha _ { s } ( M _ { P } ) ^ { - 2 / \beta _ { 0 } } \left\{ 1 + O ( \alpha _ { s } ( M _ { P } ) \, ) \, \right\} + O \left( \frac { 1 } { M _ { P } } \right) \, \right] \ ,
\omega _ { 0 } \equiv - { { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } } \left( { \displaystyle \sum _ { d > 1 } \omega _ { d } } \right) \ + \ F _ { 1 } / 2 \ , \quad \omega _ { 1 } \equiv - { { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } } \left( { \displaystyle \sum _ { d > 1 } \omega _ { d } } \right) \ - \ F _ { 1 } / 2 \ .
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { t } = \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { t } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { { b } _ { t } , 0 } } } } \\ { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { t < \tau _ { 1 } } } ^ { \mathbf { D } } = \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { D } } + \eta ( s ^ { \mathbf { D D } } \otimes s ^ { \mathbf { D D } } ) t } \\ { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { t < \tau _ { 1 } } } ^ { \mathbf { C } } = \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } } \\ { \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \qquad \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { D } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \end{array} \right] } \\ { s ^ { \mathbf { D D } } = \mathbf { e } _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , F a } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 2 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } = \varepsilon _ { a } } \left\{ \left[ \langle \xi _ { P b _ { 2 } } P a | I ^ { \prime } ( \Delta _ { P b _ { 2 } b _ { 2 } } ) | b _ { 2 } n \rangle + \langle P b _ { 2 } \xi _ { P a } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { P b _ { 2 } b _ { 2 } } ) | b _ { 2 } n \rangle \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d C _ { j } ( t ) } { d t } = R _ { j } C _ { j + 1 } ( t ) - \tilde { Q } _ { j } C _ { j } ( t ) + P _ { j } C _ { j - 1 } ( t ) , \; j \in \{ 0 , 1 , 2 , \dots \} , } \end{array}
\left( { \frac { \partial } { \partial \log \mu ^ { 2 } } } + \beta ( \alpha _ { s } ) { \frac { \partial } { \partial \log \alpha _ { s } } } + 2 \gamma _ { m } ( \alpha _ { s } ) \right) \Pi _ { S } = [ m ( \mu ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } Q ^ { 2 } \left\{ \gamma _ { S S } ( \alpha _ { s } ) + O \left( { \frac { m ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) \right\}
S _ { l c } ^ { F } = \frac { i } { 4 \pi l _ { s } ^ { 2 } } \int d \tau \int _ { 0 } ^ { 2 \pi l _ { s } ^ { 2 } p ^ { + } } d \sigma \left[ \left( \eta ^ { \alpha \beta } \delta _ { A B } - \epsilon ^ { \alpha \beta } \sigma _ { A B } ^ { 3 } \right) \partial _ { \alpha } x ^ { + } \bar { \theta } ^ { A } \Gamma _ { + } \left( \mathcal { D } _ { \beta } \theta \right) ^ { B } \right] ,
c _ { v } = \frac { \left( \frac { \Gamma ( 1 + 2 H ) } { \Gamma ( 1 + 2 H \alpha ) } t ^ { 2 H \alpha } + \left( \frac { 2 } { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) } - \frac { 1 } { \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } \right) v ^ { 2 } t ^ { 2 \alpha } \right) ^ { 1 / 2 } } { \frac { v } { \Gamma ( 1 + \alpha ) } t ^ { \alpha } } ,
\left. \frac { 1 } { { \cal B } _ { 0 } } \frac { d { \cal B } } { d \hat { q } ^ { 2 } } \right| _ { \hat { q } ^ { 2 } \to 1 } \sim \frac { \rho _ { 1 } } { 1 - \hat { q } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \epsilon } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi \mu _ { 0 } \Lambda } \ln \frac { \cos ( \pi X / W ) } { \cos ( \pi / 2 - \pi \xi / 2 W ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } + \{ \phi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \} } & { = v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } + \left\{ \psi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \right\} , } \\ { \partial _ { t } \psi _ { 1 } + \{ \phi _ { 1 } , \psi _ { 1 } \} } & { = v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \phi _ { 1 } , } \end{array}
\rho ^ { h } ( { \bf r } , { \bf r ^ { \prime } } ) = \frac { 1 } { \Omega } \sum _ { { \bf k } , { \bf G } } ( P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { + } - P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { - } ) \exp \left( i ( { \bf k } + { \bf G } ) \cdot ( { \bf r } - { \bf r ^ { \prime } } ) \right)
\begin{array} { r } { \mathfrak { m } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { \mathfrak { m } _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } } & { \mathfrak { m } _ { 1 2 } ^ { ( 0 ) } } & { \mathfrak { m } _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } } \\ { \omega ^ { 2 } \mathfrak { m } _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } + \mathfrak { m } _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } - \mathfrak { m } _ { 1 2 } ^ { ( 0 ) } } & { \omega ( \mathfrak { m } _ { 1 2 } ^ { ( 0 ) } - \mathfrak { m } _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } ) } & { \mathfrak { m } _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } } \\ { \omega \mathfrak { m } _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } + \mathfrak { m } _ { 1 2 } ^ { ( 0 ) } } & { \omega ^ { 2 } \mathfrak { m } _ { 1 2 } ^ { ( 0 ) } + \mathfrak { m } _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } } & { \mathfrak { m } _ { 3 3 } ^ { ( 0 ) } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { = \int d \vec { r } e ( \vec { r } ) } \\ & { = \int d \vec { r } \Bigg ( - \sum _ { m = - 1 } ^ { 1 } \sqrt { n _ { m } ( \vec { r } ) } \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 M } \sqrt { n _ { m } ( \vec { r } ) } } \\ & { \qquad + U ( \vec { r } ) n ( \vec { r } ) - p ( n _ { 1 } - n _ { - 1 } ) + q ( n _ { 1 } + n _ { - 1 } ) } \\ & { \qquad + \frac { c _ { 0 } } { 2 } n ^ { 2 } ( \vec { r } ) + \frac { c _ { 1 } } { 2 } \left( n _ { 1 } - n _ { - 1 } \right) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + c _ { 1 } n _ { 0 } \left[ n _ { 1 } + n _ { - 1 } + 2 \sqrt { n _ { 1 } n _ { - 1 } } c o s \theta _ { r } \right] \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta \left( \mathcal { I } _ { a } ( X ^ { k } ) \right) } & { = \mathcal { I } _ { a } ( X ^ { k } ) } \\ { \Theta \left( \mathcal { I } _ { a } ( X ^ { k } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { I } _ { a _ { i } } ( \tau _ { i } ) ) \right) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \Theta \left( \mathcal { I } _ { a _ { i } } ( \tau _ { i } ) ) \right) \, \widehat { \curvearrowright } \, \mathcal { I } _ { a } ( X ^ { k } ) . } \end{array}