harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | G ( \Delta _ { k } ^ { - } \circ ( \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { - } - \Sigma _ { 0 k } ^ { - } ) ) | + | G ( \Delta _ { k } ^ { + } \circ ( \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } ) ) | } & { \leq | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { - } - \Sigma _ { 0 k } ^ { - } | | _ { \infty } | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \Delta _ { k } ^ { + } | | _ { F } } \\ & { \leq \lambda _ { 0 } | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \Delta _ { k } ^ { + } | | _ { F } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \left| x _ { i , n } - x _ { j , n } \right| < \infty \qquad \forall i \in I _ { k } \ \mathrm { a n d } \ \forall j \in I _ { k } , } \\ & { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \left| x _ { i , n } - x _ { j , n } \right| = \infty \qquad \forall i \in I _ { k } \ \mathrm { a n d } \ \forall j \not \in I _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathrm { D i v } _ { h } } } & { = - \mathbb { M } _ { n } ^ { - 1 } \, ( { \mathrm { G r a d } _ { h } } ) ^ { T } \, \mathbb { M } _ { e } , } \\ { \widetilde { \mathrm { G r a d } _ { h } } } & { = - \mathbb { M } _ { f } ^ { - 1 } \, ( { \mathrm { D i v } _ { h } } ) ^ { T } \, \mathbb { M } _ { c } , } \\ { \widetilde { \mathrm { C u r l } _ { h } } } & { = \mathbb { M } _ { e } ^ { - 1 } \, ( { \mathrm { C u r l } _ { h } } ) ^ { T } \, \mathbb { M } _ { f } . } \end{array}
Z = \int \: { \cal D } A _ { \mu } ^ { a } \; e x p \{ - \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } \int \: ( \partial _ { \mu } \vec { A } _ { \nu } - \partial _ { \nu } \vec { A } _ { \mu } + \vec { A } _ { \mu } \times \vec { A } _ { \nu } ) ^ { 2 } \} .
\frac { d { \sigma } ( N ) } { d \Omega } = { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } \frac { { p ^ { \prime } } { ( N ) } } { p } { | T ^ { ( 0 ) } ( N ) + T ^ { ( 1 ) } ( N ) + T ^ { ( 2 ) } ( N ) | } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { { } = ( A _ { x } , A _ { y } ) } \\ { \mathbf { B } } & { { } = ( B _ { x } , B _ { y } ) } \\ { \mathbf { C } } & { { } = ( C _ { x } , C _ { y } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } \Pi _ { \alpha _ { n } } ( A | Y ^ { n } ) = E _ { 0 } \frac { \int _ { A } \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha _ { n } } } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha _ { n } } } d \Pi ( \eta ) } { \int \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha _ { n } } } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha _ { n } } } d \Pi ( \eta ) } } & { \leq E _ { 0 } \frac { \int _ { A } \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha _ { n } } } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha _ { n } } } d \Pi ( \eta ) } { \Pi ( B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon _ { n } ) ) e ^ { - 2 { \alpha _ { n } } n \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } } 1 _ { C _ { n } } + P _ { 0 } ( C _ { n } ^ { c } ) } \\ & { = \frac { \int _ { A } \int p _ { \eta } ^ { n } ( x ) ^ { \alpha _ { n } } p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( x ) ^ { 1 - \alpha _ { n } } d \mu ( x ) d \Pi ( \eta ) } { \Pi ( B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon _ { n } ) ) e ^ { - 2 { \alpha _ { n } } n \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } } + o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { q } { 2 c } \int _ { 0 } ^ { c t } r ^ { \prime } \mathtt { d } r ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { v \left[ r ^ { 2 } ( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta ) + 4 v r ^ { \prime } t _ { r } \cos \theta - 2 v ^ { 2 } t _ { r } ^ { 2 } \right] \sin \theta \mathtt { d } \theta } { \left[ r ^ { 2 } + v ^ { 2 } t _ { r } ^ { 2 } + 2 v r ^ { \prime } t _ { r } \cos \theta \right] ^ { 5 / 2 } } = } \\ { = \frac { q } { 2 c } \int _ { 0 } ^ { c t } r ^ { \prime } \mathtt { d } r ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { v \left[ r ^ { 2 } ( 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } ) ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) - 2 ( r ^ { \prime } \cos \theta - v t ) ^ { 2 } \right] \sin \theta \mathtt { d } \theta } { \left[ r ^ { 2 } ( 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } ) ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) + ( r ^ { \prime } \cos \theta - v t ) ^ { 2 } \right] ^ { 5 / 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \times } & { { } \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 2 } } \frac { d - 1 } { d } \right] P ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) , } \end{array}
f ( \mathbf { X } ; \nu , \mathbf { M } , { \boldsymbol { \Sigma } } , { \boldsymbol { \Omega } } ) = K \times \left| \mathbf { I } _ { n } + { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } ( \mathbf { X } - \mathbf { M } ) { \boldsymbol { \Omega } } ^ { - 1 } ( \mathbf { X } - \mathbf { M } ) ^ { \mathrm { { T } } } \right| ^ { - { \frac { \nu + n + p - 1 } { 2 } } } ,
i \hbar { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } ( x ) = < 0 | i \hbar { \frac { \partial \psi ^ { ( 2 ) } ( x ) } { \partial t } } | 1 > = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \, \Phi ( x ) \, .
\begin{array} { r l r } { ( 2 E _ { c } - H ) ~ d \rho - u ~ d \rho u - v ~ d \rho v + d \rho E } & { = } & { 0 } \\ { ( ( \gamma + 1 ) E _ { c } - \gamma _ { 1 } H ) ~ ( E _ { c } d \rho + d \rho E ) - ( \gamma E _ { c } + ( 2 - \gamma ) H ) ~ ( u d \rho u + v d \rho v ) } & { = } & { 0 } \\ { - E _ { c } G ~ d \rho + u G ~ d \rho u + v G ~ d \rho v + ( \gamma _ { 1 } H - \gamma E _ { c } ) ~ d \rho E } & { = } & { 0 , } \end{array}
A = 2 \pi ^ { 2 } ( r _ { 0 } ) ^ { 3 } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } \left\{ ( C ^ { I J } q _ { I } q _ { J } ) _ { \partial i Z = 0 } \right\} ^ { 3 / 4 } \qquad \Longrightarrow \qquad 8 \pi \sqrt { \frac { Q _ { H } ( Q _ { F } ) ^ { 2 } } { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { 2 k _ { m T G D } ^ { \infty } } & { = \langle g _ { m T G D } ^ { \infty } \rvert \hat { \Gamma } \lvert g _ { m T G D } ^ { \infty } \ \rho _ { e q } \rangle = } \\ & { = \int d \mathbf { x } \ \rho _ { e q } ( \mathbf { x } ) \ \frac { \partial g _ { m T G D } ^ { \infty } } { \partial \mathbf { x } } ^ { T } \mathbf { D } \frac { \partial g _ { m T G D } ^ { \infty } } { \partial \mathbf { x } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \boldmath ~ S ~ } ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s ) } & { = } & { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } + \displaystyle \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } - s \mathrm { \boldmath ~ H ~ } } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { k \in M } y _ { k } c _ { k } - s } & { \displaystyle \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { 0 } ^ { T } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } ^ { T } } \\ { \displaystyle \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { 0 } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } } & { \displaystyle \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { 0 } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { k } } \end{array} \right) , } \end{array}
\int _ { \Delta _ { r - 2 } } e ^ { u _ { 1 } x _ { 1 } + \cdots + u _ { r - 2 } x _ { r - 2 } } \, \left( \int _ { 0 } ^ { \alpha } e ^ { u _ { r - 1 } x _ { r - 1 } + u _ { r } ( \alpha - x _ { r } ) } d x _ { r - 1 } \right) \, d x _ { 1 } \cdots d x _ { r - 2 } ,
f _ { \omega } ( t ) = \sqrt { \omega t } \Big [ A _ { \omega } J _ { \alpha } \Big ( \sqrt { \frac { v _ { f } } { v _ { i } } } \omega t \Big ) + B _ { \omega } J _ { - \alpha } \Big ( \sqrt { \frac { v _ { f } } { v _ { i } } } \omega t \Big ) \Big ]
\left( \frac { d \sigma } { d \Omega } \right) _ { c m } = \frac { \lambda ^ { 4 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } s } \left[ \frac { t ^ { 2 } } { \left( t - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } + \frac { t u } { \left( t - m ^ { 2 } \right) \left( u - m ^ { 2 } \right) } + \frac { u ^ { 2 } } { \left( u - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \right] .
N _ { t _ { u } } \triangle t _ { u } = N _ { t _ { D _ { 1 } } } \triangle t _ { D _ { 1 } } = N _ { t _ { D _ { 2 } } } \triangle t _ { D _ { 2 } } = . . . = N _ { t _ { D _ { n } } } \triangle t _ { D _ { n } }
- \hat { y } _ { s s s s } - \sigma \hat { y } _ { s s } = \left( \beta \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } + \frac { ( 1 - \beta ) \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } } { ( \lambda \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } + 1 ) } \right) \hat { y } .
A _ { j , k } \frac { d \textbf { f } _ { i } } { d t } + \oint \textbf { h } _ { n } d l = 0 ; \textbf { h } _ { n i } = \widetilde { \Lambda } _ { n i } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } , \widetilde { \Lambda } _ { n i } = \widetilde { \Lambda } _ { 1 i } n _ { 1 } + \widetilde { \Lambda } _ { 2 i } n _ { 2 }
e ^ { \gamma _ { 0 } \rho ^ { 2 } / 4 } \, | \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) | \, \le \, C \, \delta ^ { - 1 } ( 1 + \rho ) \, e ^ { - ( \gamma - \gamma _ { 0 } ) \rho ^ { 2 } / 4 } \, , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \, \rho \le 2 \epsilon ^ { - \sigma _ { 0 } } \, ,
\begin{array} { r l } { 1 = \sum _ { i = 1 } ^ { N } y _ { i } } & { { } = x _ { 2 } \left( 1 + \gamma _ { 2 } + \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } + \cdots + \prod _ { k = 2 } ^ { N - 2 } \gamma _ { k } \right) } \end{array}
I _ { 2 } = \frac { \tilde { q } ^ { 2 } } { \alpha } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( ( \tilde { q } ^ { 2 } - 1 ) ( \tilde { q } ^ { 2 } + \mathrm { ~ D ~ a ~ } ) + \mathrm { ~ D ~ a ~ } \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } ^ { \prime } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) ,
\begin{array} { r l } { \eta _ { G 1 1 , x x } } & { { } = \frac { \eta _ { 3 } } { 2 } \left[ U _ { m , y } \Delta y \mathbb { Q } _ { y } \left( \frac { \partial B _ { z } } { \partial y } \right) + U _ { m , z } \Delta z \mathbb { Q } _ { z } \left( \frac { \partial B _ { y } } { \partial z } \right) \right] , } \\ { \eta _ { G 1 1 , y y } } & { { } = \frac { \eta _ { 3 } } { 2 } \left[ U _ { m , z } \Delta z \mathbb { Q } _ { z } \left( \frac { \partial B _ { x } } { \partial z } \right) + U _ { m , x } \Delta x \mathbb { Q } _ { x } \left( \frac { \partial B _ { z } } { \partial x } \right) \right] , } \\ { \eta _ { G 1 1 , z z } } & { { } = \frac { \eta _ { 3 } } { 2 } \left[ U _ { m , x } \Delta x \mathbb { Q } _ { x } \left( \frac { \partial B _ { y } } { \partial x } \right) + U _ { m , y } \Delta y \mathbb { Q } _ { y } \left( \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } \right) \right] , } \\ { \eta _ { G 1 1 , x y } } & { { } = \eta _ { G 1 1 , y x } = \eta _ { G 1 1 , y z } = \eta _ { G 1 1 , z y } = \eta _ { G 1 1 , x z } = \eta _ { G 1 1 , z x } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { n + 1 } } & { = } & { - \arcsin \Big ( \frac { P _ { n } } { \sqrt { P _ { n } ^ { 2 } + d _ { 1 2 } ^ { 2 } N _ { n } ^ { 2 } } } \Big ) + } \\ & { } & { 2 \arctan \Big [ e ^ { \alpha L _ { g } \sqrt { N _ { n } ^ { 2 } + P _ { n } ^ { 2 } / d _ { 1 2 } ^ { 2 } } } \cdot } \\ & { } & { \tan \Big ( \frac { r } { 2 } \Phi _ { n } + \frac { 1 } { 2 } \arcsin \Big ( \frac { P _ { n } } { \sqrt { P _ { n } ^ { 2 } + d _ { 1 2 } ^ { 2 } N _ { n } ^ { 2 } } } \Big ) \Big ) \Big ] , } \\ { N _ { n + 1 } } & { = } & { \Big ( N _ { n } \cos \Phi _ { n } - \frac { 1 } { d _ { 1 2 } } P _ { n } \sin \Phi _ { n } \Big ) e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } + } \\ & { } & { N _ { 0 , g } \Big ( 1 - e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } \Big ) , } \\ { P _ { n + 1 } } & { = } & { \Big ( P _ { n } \cos \Phi _ { n } + d _ { 1 2 } N _ { n } \sin \Phi _ { n } \Big ) e ^ { - T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \qquad \qquad \qquad \mathcal { L } ( n x , \tilde { a } _ { n } y + \tilde { b } _ { n } ) \underset { n \to \infty } { \to } \tilde { c } ( x , y ) \quad \mathrm { w h e r e } } \\ & { \tilde { c } ( x , y ) \, x ^ { 1 - \alpha } < y ^ { \beta } , \; \; \tilde { c } ( x , y ) \underset { y \to 0 } { \sim } y ^ { - \beta } , \; \; \tilde { c } ( x , y ) = o \left( y ^ { - \beta } \right) \; \mathrm { f o r } \; y \to \infty , } \\ & { \mathrm { w i t h } \quad \tilde { a } _ { n } = \mathcal { O } \left( n ^ { \frac { 1 - \alpha } { \beta } } \right) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \tilde { b } _ { n } = { O } \left( \tilde { a } _ { n } \right) \mathrm { ~ o r ~ } \, o \left( \tilde { a } _ { n } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { K _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x , y ) } & { : = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha + 1 ) } } \sum _ { i = 0 } ^ { n } { \frac { L _ { i } ^ { ( \alpha ) } ( x ) L _ { i } ^ { ( \alpha ) } ( y ) } { \binom { \alpha + i } { i } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha + 1 ) } } { \frac { L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) L _ { n + 1 } ^ { ( \alpha ) } ( y ) - L _ { n + 1 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( y ) } { { \frac { x - y } { n + 1 } } { \binom { n + \alpha } { n } } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha + 1 ) } } \sum _ { i = 0 } ^ { n } { \frac { x ^ { i } } { i ! } } { \frac { L _ { n - i } ^ { ( \alpha + i ) } ( x ) L _ { n - i } ^ { ( \alpha + i + 1 ) } ( y ) } { { \binom { \alpha + n } { n } } { \binom { n } { i } } } } ; } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = { \frac { B \, x ^ { m - n + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } } { c ( m + n ( 2 p + 1 ) + 1 ) } } \, - \, { \frac { 1 } { c ( m + n ( 2 p + 1 ) + 1 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m - n } \left( a \, B ( m - n + 1 ) + ( b \, B ( m + n \, p + 1 ) - A \, c ( m + n ( 2 p + 1 ) + 1 ) ) x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle ( G - M ) A \rangle = } & { - \langle \underline { { W G } } ( \mathcal { X } [ A ] M ) ^ { \circ } \rangle + \langle G - M \rangle \langle ( G - M ) ( \mathcal { X } [ A ] M ) ^ { \circ } \rangle } \\ & { - \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { - } c _ { - } ( \mathcal { X } [ A ] M ) \langle \underline { { W G } } E _ { - } \rangle + \mathcal { O } _ { \prec } \big ( N ^ { - 1 } \big ) \, , } \end{array}
\frac { S O ( 4 , n _ { A } n _ { B } ) } { S O ( 4 ) \times S O ( n _ { A } n _ { B } ) } \to \frac { S O ( 2 , n _ { 1 } n _ { 3 } + n _ { 2 } n _ { 4 } ) } { S O ( 2 ) \times S O ( n _ { 1 } n _ { 3 } + n _ { 2 } n _ { 4 } ) } \times \frac { S O ( 2 , n _ { 1 } n _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 3 } ) } { S O ( 2 ) \times S O ( n _ { 1 } n _ { 4 } + n _ { 2 } n _ { 3 } ) } .
\mid \Psi \rangle = \int d \xi _ { 1 } d \eta _ { 1 } \ldots d \xi _ { N } d \eta _ { N } \sum _ { a _ { 1 } \ldots a _ { N } } \Psi _ { a _ { 1 } \ldots a _ { N } } ( \xi _ { 1 } \eta _ { 1 } \ldots \xi _ { N } \eta _ { N } )
\begin{array} { r l r } { G ( w ; \rho ) = \frac { a _ { 0 } } { 2 } } & { { } + } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \bigg \{ \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \tilde { f } ( m ) } { m } C _ { c o s } ( n , m ) \cos { \bigg ( \frac { 2 \pi n w } { T } \bigg ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { a } } & { { } = \sum _ { b } S _ { a b } \sqrt { \frac { 2 I _ { b } } { \omega _ { b } } } \sin \phi _ { b } \, , } \\ { p _ { a } } & { { } = \sum _ { b } \left( S _ { a b } \sqrt { 2 I _ { b } \omega _ { b } } \cos \phi _ { b } - Y _ { a } S _ { a b } \sqrt { \frac { 2 I _ { b } } { \omega _ { b } } } \sin \phi _ { b } \right) \, . } \end{array}
{ \frac { M _ { \Lambda _ { b } ^ { * * } } } { M _ { \Lambda _ { c } ^ { * * } } } } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { M _ { N } } { M _ { D } } } - { \frac { M _ { N } } { M _ { B } } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( + 1 ) } } & { { } = } & { \sum _ { S ( + 1 ) } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } = 0 } } | \Phi _ { S ( + 1 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S ( + 1 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } } & { { } = } & { \sum _ { S ( - 1 ) } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } = 0 } } | \Phi _ { S ( - 1 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S ( - 1 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \end{array}
W _ { P D } = \frac { 1 } { 2 } c \alpha ^ { 2 } \ \int _ { \mathbb { H } } | \boldsymbol { \xi } | ^ { 4 - b } \textup { d V } = \frac { 1 } { 2 } c \alpha ^ { 2 } \ \gamma ( \mathbb { H } , b , d ) \ \delta ^ { 4 - b + d } ,
\begin{array} { r l } { \bullet \quad } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } _ { x t } { \tilde { v } } _ { x x } { \mathrm { d } x } \le C \| { \tilde { u } } _ { x t } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 6 } \| { \tilde { v } } _ { x x } \| ^ { 2 } , } \\ { \bullet \quad } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \tilde { u } \tilde { v } ) _ { x x } { \tilde { v } } _ { x x } { \mathrm { d } x } \le C \big ( \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } \| { \tilde { u } } _ { x x } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } \| { \tilde { v } } _ { x x } \| ^ { 2 } \big ) + \frac { \alpha } { 6 } \| { \tilde { v } } _ { x x } \| ^ { 2 } , } \\ { \bullet \quad } & { \overline { { v } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } _ { x x } { \tilde { v } } _ { x x } { \mathrm { d } x } \le C \| { \tilde { u } } _ { x x } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 6 } \| { \tilde { v } } _ { x x } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\cos \widehat { b x c } = \frac { ( x - b ) ^ { 2 } + ( x - c ) ^ { 2 } - ( b - c ) ^ { 2 } } { 2 \left| x - b \right| \left| x - c \right| } = \frac { \mathcal { B } ^ { 2 } + \mathcal { C } ^ { 2 } - 3 \mathcal { X } \alpha } { 2 \mathcal { B C } }
\begin{array} { r l } { \alpha } & { \leq \frac { 1 } { 1 2 C } , \ \gamma \leq \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \sqrt { \alpha } } { 2 \sqrt { C } } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) \alpha ^ { 2 } } { 1 2 9 6 C } , \frac { \alpha } { 1 - \lambda _ { 2 } } \right\} , \ \theta > 1 8 , } \\ { m } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { 3 2 \theta } { \gamma ( 1 - \lambda _ { 2 } ) } , \frac { 8 \sqrt { 2 } L } { \mu \gamma ( 1 - \lambda _ { 2 } ) } , \frac { 3 \theta L \sqrt { 6 } } { 2 \sqrt { \alpha } \mu } , \frac { 8 \theta } { \alpha } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( x ) } & { { } = { 1 } \cdot { \frac { x - 2 } { 1 - 2 } } \cdot { \frac { x - 3 } { 1 - 3 } } + { 4 } \cdot { \frac { x - 1 } { 2 - 1 } } \cdot { \frac { x - 3 } { 2 - 3 } } + { 9 } \cdot { \frac { x - 1 } { 3 - 1 } } \cdot { \frac { x - 2 } { 3 - 2 } } } \end{array}
S _ { \mathrm { b o u n d a r y } } ^ { G L S M } = \int d x ^ { 0 } \left\{ i { \frac { \Theta } { 2 \pi r } } \sum _ { i } ( \phi _ { i } \widetilde { D } _ { 0 } \overline { { { \phi } } } _ { i } - \overline { { { \phi } } } _ { i } \widetilde { D } _ { 0 } \phi _ { i } ) \right\}
C _ { \bf x x x x x } = \langle \delta { \bf x } \otimes \delta { \bf x } \otimes \delta { \bf x } \otimes \delta { \bf x } \otimes \delta { \bf x } \rangle - \left\lbrace C _ { \bf x x x } \otimes C _ { \bf x x } \right\rbrace _ { 1 0 }
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 ^ { + } } \frac { \bar { Z } ( s , y , \zeta ( c s ) ) - \bar { Z } ( 0 , y , z _ { 0 } ) } { s } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 ^ { + } } \frac { d ( s , \zeta ( c s ) ) + d ( \zeta ( c s ) , \gamma ( y ) ) - d ( z _ { 0 } , \gamma ( y ) ) } { s } - \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 ^ { + } } \frac { d ( s , \zeta ( c s ) ) } { s } - c \, ( \partial _ { N _ { z _ { 0 } } } ^ { x } d ) | _ { z _ { 0 } , \gamma ( y ) } - \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 ^ { + } } \sqrt { 1 + c ^ { 2 } } - c \cos \alpha _ { x } - \varphi ^ { \prime } \, . } \end{array}
1 + { \frac { 2 4 } { 6 0 } } + { \frac { 5 1 } { 6 0 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 0 } { 6 0 ^ { 3 } } } = { \frac { 3 0 5 4 7 } { 2 1 6 0 0 } } = 1 . 4 1 4 2 1 { \overline { { 2 9 6 } } } .
\mathbf { S ^ { \prime \prime } } = { \frac { 1 } { P ^ { \prime } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { S _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { S _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { S _ { 3 } ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { P } } { \left[ \begin{array} { l } { S _ { 0 } } \\ { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \end{array} \right] } .
\lambda ^ { U } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \lambda ^ { 6 } } } & { { 0 } } \\ { { \lambda ^ { 6 } } } & { { 0 } } & { { \lambda ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \ \ \lambda ^ { D } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 2 \lambda ^ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 2 \lambda ^ { 4 } } } & { { 2 \lambda ^ { 3 } } } & { { 2 \lambda ^ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 2 \lambda ^ { 3 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \ \int P _ { \lambda } ( Z ^ { T } V ^ { T } \Lambda ^ { T } \Lambda V Z ; \frac { 1 } { 2 } ) d V = \int P _ { \lambda } ( Z Z ^ { T } V ^ { T } \Lambda ^ { T } \Lambda V ; \frac { 1 } { 2 } ) d V } \\ { = } & { \frac { P _ { \lambda } ( Z Z ^ { T } ; \frac { 1 } { 2 } ) P _ { \lambda } ( \Lambda ^ { T } \Lambda ; \frac { 1 } { 2 } ) } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { N } ; \frac { 1 } { 2 } ) } = \frac { P _ { \lambda } ( Z ^ { T } Z ) P _ { \lambda } ( \Lambda \Lambda ^ { T } ) } { P _ { \lambda } ( 1 ^ { N } ; \frac { 1 } { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \textbf { h } _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } } & { } & { = ( \textbf { h } _ { i } ^ { + } ) _ { L } + ( \textbf { h } _ { i } ^ { - } ) _ { R } } \\ & { } & { = ( \widetilde { \Lambda } _ { i } ^ { + } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { L } + ( \widetilde { \Lambda } _ { i } ^ { - } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { R } \mathrm { , ~ w h e r e ~ } \widetilde { \Lambda } _ { i } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \left( \widetilde { \Lambda } _ { i } \pm | \widetilde { \Lambda } _ { i } | \right) } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( \textbf { h } _ { i } ) _ { L } + ( \textbf { h } _ { i } ) _ { R } \right\} - \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( \Delta \textbf { h } _ { i } ^ { + } ) _ { j + 1 / 2 } - ( \Delta \textbf { h } _ { i } ^ { - } ) _ { j + 1 / 2 } \right\} ; } \\ & { } & { ( \Delta \textbf { h } _ { i } ^ { \pm } ) _ { j + 1 / 2 } = \left[ \widetilde { \Lambda } _ { i } ^ { \pm } \left\{ ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { R } - ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { L } \right\} \right] _ { j + 1 / 2 } } \end{array}
^ 3 S = \int d ^ { 3 } x { \mid h \mid } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ - ^ { 3 } R + \frac { 1 } { 4 } T r \left[ ( J ^ { G } ) ^ { 2 } + ( J ^ { \vec { \Omega } } ) ^ { 2 } \right] \right\} ;
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \in \mathbb { Z } , \ l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } } ( \langle k \rangle } & { + \langle l \rangle ) ^ { 2 s } | ( \partial _ { \xi } ) ^ { \eta } \widehat { \mathfrak { c } _ { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } } ^ { \varphi , x } ( \omega , l , k , \xi ) | ^ { 2 } } \\ & { \le _ { m , m ^ { \prime } , \eta , s } ( | \mathfrak { a } ( \omega ) | _ { m , s + \mu , \eta _ { 0 } } | \mathfrak { b } ( \omega ) | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta } ) ^ { 2 } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } \in \mathbb { Z } , \ l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathbb { Z } ^ { \nu } } \left( \frac { \langle \xi + \tau _ { 1 } j _ { 2 } \rangle ^ { m - ( \eta - n ) } \langle \xi + \tau _ { 2 } j _ { 1 } \rangle ^ { m ^ { \prime } - n } } { ( \langle j _ { 1 } \rangle + \langle l _ { 1 } \rangle ) ^ { \mu } ( \langle j _ { 2 } \rangle + \langle l _ { 2 } \rangle ) ^ { \mu } } \right) ^ { 2 } } \\ & { \ + \left( | \mathfrak { a } ( \omega ) | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta } | \mathfrak { b } ( \omega ) | _ { m ^ { \prime } , s + \mu , \eta } \right) ^ { 2 } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } \in \mathbb { Z } , \ l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathbb { Z } ^ { \nu } } \left( \frac { \langle \xi + \tau _ { 1 } j _ { 2 } \rangle ^ { m - ( \eta - n ) } \langle \xi + \tau _ { 2 } j _ { 1 } \rangle ^ { m ^ { \prime } - n } } { ( \langle j _ { 1 } \rangle + \langle l _ { 1 } \rangle ) ^ { \mu } ( \langle j _ { 2 } \rangle + \langle l _ { 2 } \rangle ) ^ { \mu } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}