harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x _ { i } ( t + 1 ) } & { = \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } ^ { \prime } } } ( t ) - c ) + | U _ { i j } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) + x _ { i } ( t ) + ( x _ { j } ( t ) + c ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | } } \\ & { \leq \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } ^ { \prime } } } ( t ) - c ) + | U _ { i j } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) + x _ { i } ( t ) + ( x _ { j } ( t ) + c ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | ( x _ { j } ( t ) + c ) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ { x _ { j } ( t + 1 ) } & { = \frac { | U _ { i j } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) + ( x _ { i } ( t ) - c ) + x _ { j } ( t ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) + c ) } { 2 + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ & { \geq \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | ( x _ { i } ( t ) - c ) + | U _ { i j } ( t ) | ( \overline { { U _ { i j } } } ( t ) - c ) + ( x _ { i } ( t ) - c ) + x _ { j } ( t ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) + c ) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda \ge 8 ( 2 + C _ { 2 } ) ( 1 6 C _ { 1 } ) ^ { 2 } \kappa _ { U } ^ { 4 } \sigma _ { x } ^ { 4 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \gamma / \kappa _ { L } ) ^ { 2 } \frac { \zeta } { n _ { * } } + 8 ( 2 + C _ { 2 } ) \kappa _ { U } ^ { 3 / 2 } \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } ( \gamma / \kappa _ { L } ) \frac { \zeta \sqrt { \phi _ { * } } } { n _ { \dagger } } \ge 8 ( 2 + C _ { 2 } ) \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } \tilde { s } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { A } } & { { } ( t ^ { 1 } ) , s ^ { 1 } \rangle = \langle e ^ { - T ^ { 1 } } \mathcal { H } _ { K } e ^ { T ^ { 1 } } \Phi _ { 0 } , S ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle + \langle e ^ { - T ^ { 1 } } \mathcal { H } _ { K } e ^ { T ^ { 1 } } \Phi _ { 0 } , S ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - ( a _ { \mathrm { n o r t h } } + a _ { \mathrm { s o u t h } } + a _ { \mathrm { e a s t } } + a _ { \mathrm { w e s t } } + a _ { \mathrm { u p } } + a _ { \mathrm { d o w n } } ) u _ { i , j , k } } \\ & { + a _ { \mathrm { n o r t h } } u _ { i + 1 , j , k } + a _ { \mathrm { s o u t h } } u _ { i - 1 , j , k } + a _ { \mathrm { e a s t } } u _ { i , j + 1 , k } + a _ { \mathrm { w e s t } } u _ { i , j - 1 , k } + a _ { \mathrm { u p } } u _ { i , j , k + 1 } + a _ { \mathrm { d o w n } } u _ { i , j , k - 1 } = f _ { i , j , k } } \end{array}
\bar { \Phi } = 2 \sqrt 2 r , ~ ~ ~ \bar { F } _ { t r } = Q _ { E } e ^ { - 2 \sqrt 2 r } , ~ ~ ~ \bar { T } = 0 , { } ~ ~ ~ \bar { G } _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c } { { - f } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { f ^ { - 1 } } } \end{array} \right) ,
d \Sigma _ { p q } ^ { 2 } = \lambda ^ { 2 } ( d \psi + p \cos \theta _ { 1 } d \phi _ { 1 } + q \cos \theta _ { 2 } d \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 1 } ^ { - 1 } ( d \theta _ { 1 } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } d \phi _ { 1 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \dot { a } _ { 1 } = } & { { } - \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { 1 } \right) a _ { 1 } + \mathrm { ~ i ~ } a _ { 1 } \left( g _ { 1 1 } x _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + g _ { 1 2 } x _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \right) } \\ { + } & { { } \mathrm { ~ i ~ } J a _ { 2 } + F _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } t } + \mathcal { N } _ { 1 } , } \\ { \dot { a } _ { 2 } = } & { { } - \left( \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { 2 } \right) a _ { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } a _ { 2 } \left( g _ { 2 1 } x _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + g _ { 2 2 } x _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \right) } \\ { + } & { { } \mathrm { ~ i ~ } J a _ { 1 } + F _ { \mathrm { ~ l ~ } } + \mathcal { N } _ { 2 } , } \\ { \dot { x } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = } & { { } - \gamma _ { 1 } \left( x _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \beta g _ { 1 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \beta g _ { 1 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } \right) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = } & { { } - \gamma _ { 2 } \left( x _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \beta g _ { 2 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \beta g _ { 2 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } \right) , } \end{array}
\delta _ { 2 } Y _ { P } \simeq 0 . 0 1 2 \left( { \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ N _ { \overline { { \nu } } _ { s } } ( p ) + \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } N _ { \nu _ { \alpha } } ( p ) + N _ { \overline { { \nu } } _ { \alpha } } ( p ) \right] p d p - 3 \right) ,
\mathrm { ~ ( ~ A ~ 1 ~ ) ~ } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \delta _ { t } { \mathbf v } ( { \mathbf x } , t ) = { \mathbf 0 }
R _ { 2 } \ = \ \frac { B \sin ( x ) \big [ \sin ^ { 2 } ( x ) + 3 \cos ^ { 2 } ( y ) \big ] + A \cos ( y ) \big [ \cos ^ { 2 } ( y ) + 3 \sin ^ { 2 } ( x ) \big ] } { 2 \sin ^ { 2 } ( x ) \cos ^ { 2 } ( y ) [ B \sin ( x ) + A \cos ( y ) ] ^ { 3 } } ~ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { y } , \eta } } & { \quad f ( \mathbf { y } ) + q ( \eta ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad W ^ { j } + \mathbf { w } ^ { j ^ { \intercal } } \mathbf { y } \leq \eta , \quad j = 1 , \dots , k } \\ & { \quad \underline { { \eta } } \leq \eta \leq \overline { { \eta } } } \\ & { \quad \mathbf { y } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { y } } , \eta \in \mathbb { R } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } H _ { 3 , i } } & { \leq \sum _ { l \in [ k ] } \sum _ { \alpha \in \{ - 1 , 1 \} } \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal { W } } \mathbb { E } \left( { \mathbb { I } \left\{ { \alpha ( \check { A } _ { i \cdot } - \check { P } _ { i \cdot } ) w \geq \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) } \right\} } \Bigg | S _ { i } \cup \{ i \} \right) \right) } \\ & { = k \sum _ { \alpha \in \{ - 1 , 1 \} } \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal { W } } \mathbb { E } \left( { \mathbb { I } \left\{ { \alpha ( \check { A } _ { i \cdot } - \check { P } _ { i \cdot } ) w \geq \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) } \right\} } \Bigg | S _ { i } \cup \{ i \} \right) \right) } \\ & { = k \sum _ { \alpha \in \{ - 1 , 1 \} } \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal { W } } \mathbb { P } \left( \alpha \sum _ { j \in S _ { i } ^ { \mathsf { c } } } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) w _ { j } \geq \frac { \rho } { 8 k } \sqrt { \frac { \beta n } { k } } ( p - q ) \Bigg | S _ { i } \cup \{ i \} \right) \right) , } \end{array}
\mathcal { S } ( f ) = \frac { A } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { f _ { o } ^ { 2 } - f ^ { 2 } + i \tilde { \gamma } f } { ( f _ { o } ^ { 2 } - f ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \tilde { \gamma } f ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \overline { { \omega } } } { \partial t } + \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } \overline { { \omega } } } { \partial x _ { j } } } & { = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \left( \nu + \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { \omega } } \right) \frac { \partial \overline { { \omega } } } { \partial x _ { j } } \right] + \gamma \left\Vert \overline { { S } } \right\Vert ^ { 2 } - \beta \overline { { \omega } } ^ { 2 } } \\ & { + 2 \left( 1 - F _ { 1 } \right) \frac { 1 } { \sigma _ { \omega _ { 2 } } \overline { { \omega } } } \frac { \partial \overline { { k } } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \overline { { \omega } } } { \partial x _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { { } = } & { P _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) + P _ { j , i } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) } \end{array}
I _ { p } = \epsilon _ { w } I _ { b } + \frac { 1 - \epsilon _ { w } } { \pi } \int _ { \hat { n } \cdot \hat { s } > 0 } I _ { p } \: | \hat { n } \cdot \hat { s } | \: d \Omega \quad ( \hat { n } \cdot \hat { s } < 0 )
\begin{array} { r l r } { F ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { = } & { \left( - x _ { 1 } + \eta \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { p + 1 } 2 ^ { 2 p - 1 } } { ( 2 p ) ! } x _ { 1 } ^ { 2 p } x _ { 2 } ^ { 2 } , - x _ { 2 } \right) } \\ { F ^ { ( 2 ) } ( x ) } & { = } & { \left( - x _ { 1 } + \eta x _ { 2 } ^ { 2 } + \eta \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { p } 2 ^ { 2 p - 1 } } { ( 2 p ) ! } x _ { 1 } ^ { 2 p } x _ { 2 } ^ { 2 } , - x _ { 2 } \right) . } \end{array}
f _ { 1 } ^ { \prime } ( p ) = - 1 + \frac { { f ^ { \prime } ( p ) } ^ { 2 } - f ( p ) f ^ { \prime \prime } ( p ) } { { f ^ { \prime } ( p ) } ^ { 2 } } = - \frac { f ( p ) f ^ { \prime \prime } ( p ) } { f ^ { \prime } ( p ) ^ { 2 } } \leq 0 \qquad \forall p \in [ p _ { 0 } , p _ { * } ) .
{ \cal L } ^ { ( 0 ) } ~ = ~ \frac { \kappa } { 2 \pi } \epsilon ^ { m n } A _ { n } \dot { A } _ { m } + \pi _ { a } \dot { z } _ { a } + \pi _ { a } ^ { * } \dot { z } _ { a } ^ { * } + \Omega _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \dot { \alpha } - { \cal H } ^ { ( 0 ) } , ~ ~ ~ m , n = 1 , 2 ,
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { i _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \sum _ { i _ { 1 } = K + 1 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } } \sum _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } f _ { j _ { 1 } } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 4 } - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 3 } = j _ { 4 } + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \right) \right) } \\ { \leq } & { 2 \mu _ { \infty } \left( \prod _ { j _ { 3 } = 0 } ^ { \infty } \left( f _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \right) \right) \sum _ { i _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \sum _ { i _ { 1 } = K + 1 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } } \sum _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } } \\ { \leq } & { 2 \mu _ { \infty } \left( \prod _ { j _ { 3 } = 0 } ^ { \infty } \left( f _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \right) \right) \sum _ { i _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \sum _ { i _ { 1 } = K + 1 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } } \sum _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 4 } } } . } \end{array}
( 1 - \frac { t _ { \ell } } { t _ { \ell + 1 } } ) ( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ) ^ { m - 1 } ( 1 - \frac { 1 } { r ^ { p } } ) | U | \leq | \{ D v _ { I + \ell , U } \in \mathcal { W } _ { I + j + m , t _ { \ell + 1 } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { I + j + m , t _ { \ell + 1 } } ^ { 2 } \} | \newline \leq ( 1 - \frac { t _ { \ell } } { t _ { \ell + 1 } } ) ( \frac { 1 } { r ^ { p + 2 \delta } } ) ^ { m - 1 } ( 1 - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ) | U |
\left. + ( e ^ { G / 2 } ) _ { , \bar { A } } \bar { \chi } ^ { \bar { A } } \right] + \frac { N } { \kappa ^ { 2 } } \lambda \left[ ( e ^ { G / 2 } ) _ { , A } \chi ^ { A } + ( e ^ { G / 2 } ) _ { , \bar { A } } \bar { \phi } ^ { \bar { A } } \right]
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \big ( \| { \tilde { u } } \| ^ { 2 } + \alpha \| { \tilde { v } } \| ^ { 2 } \big ) + \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } = - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { v } } { \tilde { u } } _ { x } { \mathrm { d } x } - \alpha ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \mathrm { d } x } + \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } \| { \tilde { v } } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( e _ { - \boldsymbol { \alpha } } ( \boldsymbol { y } ) { \partial ^ { \boldsymbol { \varsigma } } [ e _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \boldsymbol { y } ) f ( \boldsymbol { y } ) ] } \right) ( \boldsymbol { x } ) = ( 2 \pi i \widetilde { \boldsymbol { x } } ) ^ { \boldsymbol { \varsigma } } \mathcal { F } _ { \alpha } ( f ) ( \boldsymbol { x } ) , } \end{array}
D _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } = \{ ( x , u ^ { k } , \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ^ { k } ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] , \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ^ { k } ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] ) : x \in \mathcal { M } , k = 1 , 2 , \ldots , 5 0 0 0 \} .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { t , h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \widetilde { r } O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) - a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } & { = \frac { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } { C _ { 2 } ( \theta ) D _ { 2 } ( U _ { 2 } ) } A ( \theta , U _ { 3 } ) C _ { 1 } ( \theta ) D _ { 1 } ( U _ { 2 } , U _ { 3 } ) } \\ & { = a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) A ( \theta , U _ { 3 } ) C ( \theta ) D ( U _ { 2 } , U _ { 3 } ) , } \end{array}
\overline { { \mathsf { L } } } = \overline { { \mathsf { K } } } - \overline { { \mathsf { P } } } - \overline { { \mathsf { W } } } = \frac { 1 } { 8 } \omega ^ { 2 } \left( M + m ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } - \frac { k } { \omega ^ { 2 } } \gamma ^ { 2 } \right) | \hat { X } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \hat { F } _ { X } ^ { \dagger } \hat { X } + \mathrm { c . c . } \, ,
\left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \operatorname { t a n h } ^ { 2 } J _ { 1 } = \operatorname { t a n h } J _ { 2 } \operatorname { t a n h } J _ { 0 } } } \\ { { \exp ( - 4 K ) = \cosh ( J _ { 2 } - J _ { 0 } ) } } \end{array} \right. \right. ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) = \frac { 8 b _ { 0 } } { \left( 4 + \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { \hat { \nu } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } \cdot \left[ 8 - 6 \left( \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 2 } \right] + \frac { \left( 1 + 2 u _ { 1 } \right) b _ { 0 } } { \left( 1 + \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { \hat { \nu } ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } } \cdot \left[ 1 - 6 \left( \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 4 } \right] , } \\ & { \mathrm { I m } ( b _ { 1 } ) = \frac { 8 b _ { 0 } } { \left( 4 + \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { \hat { \nu } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } \cdot \left[ - 1 2 \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } + \left( \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 3 } \right] + 4 \frac { \left( 1 + 2 u _ { 1 } \right) b _ { 0 } } { \left( 1 + \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { \hat { \nu } ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } } \cdot \left[ - \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } + \left( \frac { p _ { 1 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 3 } \right] , } \\ & { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) = \frac { 8 b _ { 0 } } { \left( 4 + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { \hat { \nu } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } \cdot \left[ 8 - 6 \left( \frac { p _ { 2 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 2 } \right] + \frac { \left( 1 + 2 u _ { 2 } \right) b _ { 0 } } { \left( 1 + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { \hat { \nu } ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } } \cdot \left[ 1 - 6 \left( \frac { p _ { 2 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { p _ { 2 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 4 } \right] , } \\ & { \mathrm { I m } ( b _ { 2 } ) = \frac { 8 b _ { 0 } } { \left( 4 + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { \hat { \nu } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } \cdot \left[ - 1 2 \frac { p _ { 2 } } { \hat { \nu } } + \left( \frac { p _ { 2 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 3 } \right] + 4 \frac { \left( 1 + 2 u _ { 2 } \right) b _ { 0 } } { \left( 1 + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { \hat { \nu } ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } } \cdot \left[ - \frac { p _ { 2 } } { \hat { \nu } } + \left( \frac { p _ { 2 } } { \hat { \nu } } \right) ^ { 3 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle x \rangle = \langle y \rangle = \langle x z \rangle = \langle y z \rangle = \langle y y y \rangle = \langle x x y \rangle = \langle x y y \rangle = \langle x z z \rangle = \langle y z z \rangle = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } \vartheta \Big | _ { \beta = - h ( t ) } } & { { } = \frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } , } \\ { \operatorname { I m } \vartheta \Big | _ { \beta = - h ( t ) } } & { { } = \frac { \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } - \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } + h _ { t } , } \end{array} \qquad \qquad J ^ { \mathrm { ~ b ~ } } = ( \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ) ^ { 2 } + ( \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ) ^ { 2 } .
{ \widetilde { \varphi } } ( s ) = 2 \gamma \int _ { a } ^ { \infty } d x \ { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) = \frac { \gamma } { s + \gamma } \, f r a c { c } { c \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } + c _ { _ 0 } q \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } .
\begin{array} { r l } & { { \mathcal { I } ^ { k , \alpha } } [ p ] ( m , x ; t ) : = \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d + 1 } } { \mathbf 1 } _ { b < m } B ^ { k } ( a ) \partial _ { k } p _ { W ^ { * 1 } , W } \left( m - a ^ { 1 } , x - a ; t - s \right) } p ( b , a ; s ) d b d a d s , } \\ & { { \mathcal { I } ^ { k , \beta } } [ p ] ( m , x ; t ) : = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } { \mathbf 1 } _ { b < m } B ^ { k } ( a ) \partial _ { k } p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b - a ^ { 1 } , x - a ; t - s ) p ( m , a ; s ) d b d a d s . } \end{array}
\frac { \overline { { \langle T \rangle } } _ { G + s _ { * } } } { \overline { { \langle T \rangle } } _ { G } } = \frac { \tau _ { G + s _ { * } } } { \tau _ { G } } \frac { R _ { G + s _ { * } } } { R _ { G } } < 1 .
\begin{array} { r l } { \| \left( \mathbf { I } - \mathbf { Q Q } ^ { T } \right) \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } \| _ { 2 } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { z } \in \mathbb { C } ^ { k } } \| \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } - \mathbf { Q z } \| _ { 2 } } \end{array}
F _ { 1 } = - \, \frac { 1 } { 2 4 } \log \Bigl \{ \biggl ( N _ { 1 } + 2 \varphi \frac { 1 } { y _ { + } ^ { 3 / 2 } \, y _ { - } ^ { 1 / 2 } } \biggr ) \biggl ( K _ { 1 } + 2 \varphi \frac { 1 } { y _ { + } ^ { 1 / 2 } \, y _ { - } ^ { 3 / 2 } } \biggr ) ( y _ { + } - y _ { - } ) ^ { 4 } \Bigr \} .
\begin{array} { r l } { 0 } & { < p ( \hat { s } _ { k - 1 } = s _ { k - 1 } \ \vert \ \hat { s } _ { < k - 1 } = s _ { < k - 1 } ) } \\ & { = \tilde { C } ^ { - 1 } \langle h _ { < k - 1 } h _ { < k - 1 } ^ { \top } , U _ { k - 1 } \left[ s _ { k - 1 } , : \right] ^ { \top } U _ { k - 1 } \left[ s _ { k - 1 } , : \right] , G _ { > k - 1 } \rangle } \\ & { = \tilde { C } ^ { - 1 } \langle h _ { < k } h _ { < k } ^ { \top } , G _ { > k - 1 } \rangle } \\ & { = \tilde { C } ^ { - 1 } \langle h _ { < k } h _ { < k } ^ { \top } , G _ { k } \circledast G _ { > k } \rangle } \\ & { = \tilde { C } ^ { - 1 } \langle h _ { < k } h _ { < k } ^ { \top } , G _ { k } , G _ { > k } \rangle } \\ & { = \tilde { C } ^ { - 1 } C } \end{array}
\langle \sqrt { 3 } \, { \mathcal S _ { i } } , 1 \rangle + \sum _ { j = 1 } ^ { N } 3 \cdot \langle { \mathcal S } _ { i } , { \mathcal C } _ { j } \rangle + \sum _ { j = 1 } ^ { N } 3 \cdot | \langle { \mathcal S } _ { i } , { \mathcal S } _ { j } \rangle | \leq \sum _ { 1 \le j \le N , j \ \mathrm { o d d } } 3 \cdot | \langle { \mathcal S } _ { i } , { \mathcal S } _ { j } \rangle | \le \sum _ { j \in \mathbb { N } , j \ \mathrm { o d d } } 3 \cdot | \langle { \mathcal S } _ { i } , { \mathcal S } _ { j } \rangle | .
\mathcal T = \operatorname* { m a x } \{ { \left\| w \right\| _ { { C ^ { 1 , \alpha } } ( { B _ { h _ { 2 } } ^ { + } } ( \mathbf { y ^ { \prime } } ) ) } } , { \left\| w \right\| _ { { C ^ { 1 , \alpha } } ( { B _ { h _ { 2 } } ^ { + } } ( \mathbf { y ^ { \prime \prime } } ) ) } } \} \le C { \left\| w \right\| _ { { H ^ { 1 } } ( \Omega \backslash ( K \cup K ^ { \prime } ) ) } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial \phi } \left[ v _ { \sigma } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ) \right] } & { { } = } & { \lambda \sum _ { \sigma ^ { \prime } } \left[ \mu _ { \sigma ^ { \prime } \to \sigma } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ^ { \prime } ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( D _ { x ^ { I } } , \hat { j } _ { * } \underline { A } ( 1 ) [ 3 ] ) } & { \rightarrow \Gamma ( \Gamma _ { x ^ { I } } , \hat { i } ^ { ! } \underline { A } ( 1 ) [ 4 ] ) } \\ & { \cong \Gamma ( \Gamma _ { x ^ { I } } , i ^ { ! } \underline { A } ( 1 ) [ 4 ] ) \cong \Gamma ( \Gamma _ { x ^ { I } } , ( p \cdot i ) ^ { ! } \underline { A } [ 2 ] ) \rightarrow \Gamma ( S , \underline { A } [ 2 ] ) , } \end{array}
\operatorname* { d e t } \operatorname { H e s s } ( \widetilde { P } ) _ { \beta } = - \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { - 2 i \Re H _ { \beta } } & { \Im H _ { \beta } } \\ { \Im H _ { \beta } } & { - \frac { i } { 2 } \Re H _ { \beta } } \end{array} \right) \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { n _ { \beta } ^ { T } } \\ { 0 } & { e _ { 3 } ^ { T } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { - 2 i \Re H _ { \beta } } & { \Im H _ { \beta } } \\ { \Im H _ { \beta } } & { - \frac { i } { 2 } \Re H _ { \beta } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { n _ { \beta } } & { e _ { 3 } } \end{array} \right) .
\zeta ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { u , } & { \mathrm { r a t i o n a l } } \\ { \mathrm { S i n } _ { \beta } ( u ) : = 2 \sinh \frac { \beta u } { 2 } = U ^ { 1 / 2 } - U ^ { - 1 / 2 } , } & { \mathrm { t r i g o n o m e t r i c } } \\ { \Theta _ { q } ( u ) : = - U ^ { - 1 / 2 } \theta _ { q } ( u ) = \left( U ^ { 1 / 2 } - U ^ { - 1 / 2 } \right) \prod _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - U ^ { - 1 } q ^ { k } \right) ( 1 - U q ^ { k } ) , } & { \mathrm { e l l i p t i c } } \end{array} \right. .