harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 4 ; 2 , 1 } } & { = } & { Y _ { 4 , 3 } \bar { y } } \\ & { = } & { 2 \underline { { 3 1 } } 2 1 y \bar { 1 } \bar { 2 } \underline { { \bar { 1 } \bar { 3 } } } \bar { 2 } \bar { y } } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { 2 1 3 2 1 y \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { y } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \mathcal { E } ( z , t ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } { \mathcal { E } } ( z , t ) - \mu _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } { \mathcal { P } } ( z , t ) = 0 , } \end{array}
M _ { B H } = 2 . 0 \times 1 0 ^ { 6 } M _ { \odot } \times ( \frac { L _ { H \alpha , b r o a d } } { 1 0 ^ { 4 2 } \, e r g \, s ^ { - 1 } } ) ^ { 0 . 5 5 } \times ( \frac { F W H M _ { H \alpha , b r o a d } } { 1 0 ^ { 3 } \, k m \, s ^ { - 1 } } ) ^ { 2 . 0 6 }
\mathcal { F } ( \vec { v } \, ) = \left( 2 \pi v _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ } } ^ { 2 } / 3 \right) ^ { - 3 / 2 } \, \exp \left( - \frac { 3 ( \vec { v } - \vec { v } _ { g } ) ^ { 2 } } { 2 v _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ } } ^ { 2 } } \right) ,
- \, ^ { \ast } \Gamma ^ { ( G ) \, \mu } ( p ; q , - p - q ) \, ^ { \ast } \! S ( p + q ) \, ^ { \ast } \Gamma ^ { ( Q ) \, \nu } ( - p ; p + q , - q ) \Big ) h _ { - } ( \hat { \bf q } ) \Big \} Q _ { \mu \nu } ( p ) \Big \vert _ { q ^ { 0 } = \omega _ { \bf q } ^ { - } , \; p ^ { 0 } = \omega _ { \mathbf p } ^ { l } } .
( p _ { f } ^ { 2 } - p _ { i } ^ { 2 } ) F ( q ^ { 2 } , p _ { f } ^ { 2 } , p _ { i } ^ { 2 } ) + q ^ { 2 } G ( q ^ { 2 } , p _ { f } ^ { 2 } , p _ { i } ^ { 2 } ) = 0 .
\left[ \partial ^ { \lambda } \partial _ { \lambda } + \nabla ^ { i } \nabla _ { i } \right] \chi = { \frac { 2 } { D - 2 } } { \frac { M _ { P } ^ { 2 - D } } { \sqrt { \widetilde G } } } { \widetilde T } \delta ^ { ( 2 ) } ( x ^ { i } ) ~ .
\delta \omega + i \left( \frac { \delta \Gamma _ { i } } { 2 } \right) = \frac { g ^ { 2 } } { ( \omega _ { t l s } - \omega _ { c } ) + i \Gamma _ { 2 } } \ \sigma _ { z 0 } ( \omega _ { t l s } , \omega _ { p u } , \Omega ) ,
\frac { \partial p } { \partial x } = \left( \frac { \partial x } { \partial x _ { 0 } } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial p } { \partial x _ { 0 } } \sim \frac { 1 } { x _ { 0 } } \frac { \partial p } { \partial x _ { 0 } } \sim \frac { 1 } { \sqrt { s } } \frac { \partial p } { \partial x _ { 0 } } .
\boldsymbol { z } = ( z _ { y _ { 1 } } , \, . . . , \, z _ { y _ { N } } , \, z _ { u _ { 1 } } , \, . . . , \, z _ { u _ { N } } , \, z _ { v _ { 1 } } , \, . . . , \, z _ { v _ { N } } )
\prod _ { j = 1 , k = 1 ; j < m o d ( j , x _ { i } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { i } } ^ { N ^ { \prime } , N / x _ { i } } ( z _ { j } - z _ { m o d ( j , x _ { i } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { i } } ) ,
r ^ { G } = \frac { q _ { p L } ^ { 2 } \sqrt { q _ { p R } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } - q _ { p R } ^ { 2 } \sqrt { q _ { p L } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } } { q _ { p L } ^ { 2 } \sqrt { q _ { p R } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } + q _ { p R } ^ { 2 } \sqrt { q _ { p L } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { { \bf W } ( { \bf x } ^ { \prime } , { \bf x } _ { F } ) } & { { } = } & { \int _ { { { \partial \mathbb { D } } } } { \bf W } ( { \bf x } ^ { \prime } , { \bf x } ) { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } , } \end{array}
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\delta g _ { L } ^ { \mathrm { S M } } \approx \frac { \sqrt { 2 } G _ { F } m _ { t } ^ { 4 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \int \frac { i d ^ { 4 } k } { ( k ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } k ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 } G _ { F } m _ { t } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } ~ ,
\begin{array} { r l r l } { 2 0 0 0 } & { = ( 2 - 1 / 2 , 2 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { 3 } } & { : } & { \mathrm { ~ 1 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t } } \\ { 2 0 0 0 . } & { = ( 2 0 0 0 - 1 / 2 , 2 0 0 0 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { 0 } } & { : } & { \mathrm { ~ 4 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t s } } \\ { 2 . } & { = ( 2 - 1 / 2 , 2 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { 0 } } & { : } & { \mathrm { ~ 1 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t } } \\ { 0 2 . } & { = ( 2 - 1 / 2 , 2 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { 0 } } & { : } & { \mathrm { ~ 1 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t } } \\ { 0 0 2 . } & { = ( 2 - 1 / 2 , 2 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { 0 } } & { : } & { \mathrm { ~ 1 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t } } \\ { 0 0 0 0 0 \, 0 0 0 0 0 2 . } & { = ( 2 - 1 / 2 , 2 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { 0 } } & { : } & { \mathrm { ~ 1 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t } } \\ { 0 0 . 2 } & { = ( 2 - 1 / 2 , 2 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { - 1 } } & { : } & { \mathrm { ~ 1 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t } } \\ { 0 . 0 2 } & { = ( 2 - 1 / 2 , 2 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { - 2 } } & { : } & { \mathrm { ~ 1 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t } } \\ { 0 . 0 0 2 } & { = ( 2 - 1 / 2 , 2 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { - 3 } } & { : } & { \mathrm { ~ 1 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t } } \\ { 0 . 0 0 2 0 } & { = ( 2 0 - 1 / 2 , 2 0 + 1 / 2 ] \times 1 0 ^ { - 4 } } & { : } & { \mathrm { ~ 2 ~ s i g n i f i c a n t ~ d i g i t s } } \end{array}
\begin{array} { c } { { \nu _ { L } = \left( \nu _ { 1 L } \cos \eta - \nu _ { 2 L } \sin \eta \right) , } } \\ { { \nu _ { R } = \left( \nu _ { 1 R } \sin \eta + \nu _ { 2 R } \cos \eta \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x _ { t + 1 } ) \le } & { F ( x _ { t } ) + \langle \nabla F ( x _ { t } ) , x _ { t + 1 } - x _ { t } \rangle + \frac { M } { 2 } \| x _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { F ( x _ { t } ) - \eta / 2 \| \nabla _ { t } \| ^ { 2 } - \langle \nabla F ( x _ { t } ) - \nabla _ { t } , \eta \nabla _ { t } \rangle } \\ { \le } & { F ( x _ { t } ) + \eta \| \nabla F ( x _ { t } ) - \nabla _ { t } \| \cdot \| \nabla _ { t } \| - \frac { \eta } { 2 } \| \nabla _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { - \frac { t } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \| \tilde { \psi } \| _ { \infty } } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { n } } \xi _ { j } \leq S _ { \gamma } ( \xi ) \leq e ^ { \frac { t } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \| \tilde { \psi } \| _ { \infty } } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { n } } \xi _ { j } } \\ { e ^ { - \frac { | t | } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \| \tilde { \psi } \| _ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \delta _ { i , n } } \leq S _ { \gamma } ( \xi ) ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \delta _ { i , n } } \leq e ^ { \frac { | t | } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \| \tilde { \psi } \| _ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \delta _ { i , n } } . } \end{array}
S _ { e f f } ^ { m } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - \bar { g } } [ \frac { I _ { 1 } } { 2 k } { \bar { g } } ^ { n m } D _ { n } H ^ { \dagger } D _ { m } H - \frac { I _ { 2 } } { 2 k } \lambda ( | H | ^ { 2 } - \upsilon _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r } { u = u _ { 0 } + \sigma , \quad x = x _ { 0 } + \sigma \left[ \left( 1 - \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \sigma ) \right) p _ { x } - \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( u ) p _ { y } \right] , \quad y = y _ { 0 } + \sigma \left[ \left( 1 + \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \sigma ) \right) p _ { y } - \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( u ) p _ { x } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { y } ( \theta , \phi ) = \sum _ { m = 1 } ^ { M } } & { \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \alpha _ { m n } ^ { y } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } { g _ { 1 , i } } \left( m , n , \theta , \phi \right) \right. } \\ & { \left. + \sum _ { n = 0 } ^ { N } \beta _ { m n } ^ { y } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } { g _ { 3 , i } } \left( m , n , \theta , \phi \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \llangle \vartheta ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { i n l e t } } \rrangle = \llangle \vartheta ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \rrangle = 0 \quad \mathrm { a t } \; s = 0 \; \mathrm { o n } \; \Sigma } \end{array}
\Bigl ( \mathbb { E } \bigl | \iota _ { \varepsilon } \bigl ( \Pi _ { z } ^ { \gamma , 1 } \tau \bigr ) ( \phi _ { z } ^ { \lambda } ) \bigr | ^ { p } \Bigr ) ^ { \frac { 1 } { p } } \lesssim ( \lambda \vee \mathfrak { e } ) ^ { - 1 } \Bigl ( 1 + \varepsilon ^ { \frac 9 4 - \bar { \kappa } } \mathfrak { e } ^ { - \frac 5 2 } + \varepsilon ^ { \frac 9 2 - \bar { \kappa } } \mathfrak { e } ^ { - 5 } \Bigr ) .
\begin{array} { r l r } { T _ { x z } } & { = } & { - \varepsilon _ { 0 } E _ { x } E _ { z } - \mu _ { 0 } ^ { - 1 } B _ { x } B _ { z } , } \\ { T _ { z z } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \varepsilon _ { 0 } ( E _ { x } ^ { 2 } \! + \! E _ { y } ^ { 2 } \! - \! E _ { z } ^ { 2 } ) + \mu _ { 0 } ^ { - 1 } ( B _ { x } ^ { 2 } \! + \! B _ { y } ^ { 2 } \! - \! B _ { z } ^ { 2 } ) \right] . } \end{array}
\Gamma [ { \hat { \mu } } , { \bar { \hat { \mu } } } ; { \hat { R } _ { 0 } } , { \bar { \hat { R } _ { 0 } } } ] = \Gamma _ { W Z P } [ { \hat { \mu } } ; { \hat { R } _ { 0 } } ] + { \bar { \Gamma } _ { W Z P } } [ { \bar { \hat { \mu } } } ; { \bar { \hat { R } _ { 0 } } } ] ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ^ { - 1 } { \bf C } \right] - n + \log \left( \frac { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \left[ { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) \right] } { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \left[ { \bf C } \right] } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { x \in \beth } D [ p ^ { - 1 } P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) , p _ { \ast } ^ { - 1 } P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) ] } \\ & { = \sum _ { x \in \beth } \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } | ( p ^ { - 1 } - p _ { \ast } ^ { - 1 } ) P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) | } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } | p ^ { - 1 } - p _ { \ast } ^ { - 1 } | \sum _ { x \in \beth } P _ { \ast } ( x ) \mathrm { T r } [ \omega _ { \ast } ( x ) ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } p ^ { - 1 } p _ { \ast } ^ { - 1 } | p - p _ { \ast } | \mathcal { N } p _ { \ast } \leq \frac { | p - p _ { \ast } | } { 2 p } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 p } D _ { G } ( \rho , \rho _ { \ast } ) . } \end{array}
\beta = \pi / 2 \quad \Longrightarrow \quad \bar { u } _ { \nu _ { a } } ( p ^ { \prime } ) i \sigma _ { \lambda \rho } q ^ { \rho } \mathrm { R e } ( \mu _ { e a } ) u _ { \nu _ { e } } ( p ) + \mathrm { h . c . }
{ \begin{array} { r l } { ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { v } ) ^ { \textsf { T } } } & { = ( \mathbf { v } \otimes \mathbf { u } ) } \\ { ( \mathbf { v } + \mathbf { w } ) \otimes \mathbf { u } } & { = \mathbf { v } \otimes \mathbf { u } + \mathbf { w } \otimes \mathbf { u } } \\ { \mathbf { u } \otimes ( \mathbf { v } + \mathbf { w } ) } & { = \mathbf { u } \otimes \mathbf { v } + \mathbf { u } \otimes \mathbf { w } } \\ { c ( \mathbf { v } \otimes \mathbf { u } ) } & { = ( c \mathbf { v } ) \otimes \mathbf { u } = \mathbf { v } \otimes ( c \mathbf { u } ) } \end{array} }
\left( \begin{array} { c } { { J _ { \mu } ^ { 8 } } } \\ { { J _ { \mu } ^ { 0 } } } \end{array} \right) = F K \left( \begin{array} { c } { { \partial _ { \mu } \eta _ { 8 } } } \\ { { \partial _ { \mu } \eta _ { 0 } } } \end{array} \right) ~ ,
\left( \Pi _ { \mathrm { V } a a } ^ { ( 1 ) } - \Pi _ { \mathrm { A } a a } ^ { ( 1 ) } - \Pi _ { \mathrm { A } a a } ^ { ( 0 ) } \right) ( 0 ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d s ~ { \frac { ( \rho _ { \mathrm { V } a a } ^ { ( 1 ) } - \rho _ { \mathrm { A } a a } ^ { ( 1 ) } - \rho _ { \mathrm { A } a a } ^ { ( 0 ) } ) ( s ) } { s } } \ \ ,
L ( \boldsymbol { \Pi } , \mathbf { H } , \mathbf { G } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { n _ { i } } { N } f _ { i } ( \boldsymbol { \Pi } ) + g ( \mathbf { H } ) + \langle \mathbf { G } , \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Pi } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } - \mathbf { H } \rangle + \frac { \nu } { 2 } \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Pi } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } - \mathbf { H } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } ,
m \cdot \mathrm { o r d } _ { \mathfrak { P } } \bigl ( \mathrm { c h a r } _ { \Lambda _ { K } ^ { - } } \bigl ( \mathfrak { X } _ { \mathrm { o r d } } ( E / K _ { \infty } ^ { - } ) _ { \mathrm { t o r s } } \bigr ) \bigr ) \leqslant 2 m \cdot \mathrm { o r d } _ { \mathfrak { P } } ( f _ { \Lambda _ { K } ^ { - } } ) + \mathcal { E } _ { \mathfrak { P } , m }
T _ { 3 } = \frac { \lambda ( z _ { 1 } ) z _ { 2 } ^ { n } } { z _ { 1 } - z _ { 2 } } \sum _ { k , \ell \in \mathbb { N } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } s _ { k , \ell } ^ { i , j } ( z _ { 1 } ^ { k } b _ { i } ^ { ( 1 ) } \gamma - \gamma b _ { i } ^ { ( 2 ) } z _ { 2 } ^ { k } ) \otimes b _ { j } z _ { 3 } ^ { \ell } \in ( A \otimes A \otimes A ) [ \! [ z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } ] \! ] .
\begin{array} { r l } { d \| D ^ { \alpha } v \| ^ { 2 } = } & { - 2 \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } ( u ^ { 2 } \partial _ { x } v ^ { 2 } + w ^ { 2 } \partial _ { z } v ^ { 2 } ) , D ^ { \alpha } v \Big \rangle d t } \\ & { + \Big \| \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 2 } ) \Big \| _ { L _ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } d t } \\ & { + 2 \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 2 } ) , D ^ { \alpha } v \Big \rangle d W } \\ { = } & { I _ { 1 } d t + I _ { 2 } d t + I _ { 3 } d W . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \varepsilon \mu \gamma ^ { * } ( } & { P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) , t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) - m _ { P } ) ^ { \nu - 1 } } \\ & { \le \big ( 1 + \varepsilon \mu \gamma ^ { * } ( \nu - 1 ) ( P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) , t _ { 0 } + ( j - 1 ) \varepsilon ) - m _ { P } ) ^ { \nu - 1 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \nu } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda ^ { 2 } D ^ { 2 } A ^ { 2 } = { \frac { D ^ { 2 } } { { R _ { A } } ^ { 2 } } } \; { \frac { ( R _ { A } - D ) ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } { D ( R _ { B } + D ) } } } & { { } = } & { { \frac { D ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } { R _ { A } R _ { B } } } \; { \frac { R _ { A } - D } { R _ { B } + D } } \; { \frac { R _ { B } } { R _ { A } } } } \end{array}
X _ { B } ( x , y , z , C _ { i } ) = \epsilon _ { a b c } \left[ \Phi ( Z _ { 0 } , x ) q ( x ) \right] _ { a } \left[ \Phi ( Z _ { 0 } , y ) q ( y ) \right] _ { b } \left[ \Phi ( Z _ { 0 } , z ) q ( z ) \right] _ { c } ,
T ( \Delta _ { c } ) = e x p [ - \alpha \frac { \Gamma _ { e } ^ { 2 } ( 4 \gamma ^ { 2 } + 4 \delta ^ { 2 } ) + 2 \gamma \Omega _ { c } ^ { 2 } \Gamma _ { e } } { ( 2 \gamma \Gamma _ { e } + \Omega _ { c } ^ { 2 } - 4 \Delta _ { p } \delta ) ^ { 2 } + ( 4 \Delta _ { p } \gamma + 2 \Gamma _ { e } \delta ) ^ { 2 } } ] ,
( p \, p ) ^ { \, \tilde { u } } \, ( p \, p _ { k } ) ^ { \, \hat { u } } \, e ^ { \, p \, y } = ( \nabla _ { y } \, \nabla _ { y } ) ^ { \, \tilde { u } } \, ( \nabla _ { y } \, p _ { k } ) ^ { \, \hat { u } } \, e ^ { \, p \, y }
\omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } ( V _ { \mathrm { ~ t ~ } } ) = { \omega ^ { \prime } } _ { 1 , 2 } ^ { 2 } ( 0 ) - T _ { 1 , 2 } ( V _ { 0 } - V _ { \mathrm { ~ t ~ } } ) ^ { 2 }
\boldsymbol F ^ { * } \boldsymbol F = \Bigg ( \sum _ { \boldsymbol j \in \mathcal I _ { \boldsymbol n } } \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i ( \boldsymbol k - \boldsymbol \ell ) \boldsymbol j / { n } } \Bigg ) _ { \boldsymbol k , \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \b { M } } } = N \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } , \quad \mathrm { ~ i f ~ } \, | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | \leq N ,
D _ { Q \to Q \bar { q } } ( z ) \; = \; \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \; \int d s \; \theta \left( s - { \frac { M ^ { 2 } } { z } } - { \frac { m _ { q } ^ { 2 } } { 1 - z } } \right) \operatorname * { l i m } _ { p _ { Q _ { 0 } } / m _ { Q } \rightarrow \infty } { \frac { | { \cal M } | ^ { 2 } } { | { \cal M } _ { 0 } | ^ { 2 } } } \;
\frac { d H _ { 1 } } { d t } = \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial \boldsymbol { J } } \cdot \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { J } } { \mathrm { d } t } + \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial \boldsymbol { \varphi } } \cdot \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { \varphi } } { \mathrm { d } t } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial K } { \partial \phi } } & { { } = \frac { K _ { D } + \phi \frac { \partial K _ { D } } { \partial \phi } - \frac { K _ { f } } { K _ { s } } \left( K _ { D } + ( 1 + \phi ) \frac { \partial K _ { D } } { \partial \phi } \right) } { \phi ( 1 + \Delta ) } - } \\ { \frac { \partial G } { \partial \phi } } & { { } = \frac { \partial G _ { D } } { \partial \phi } , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial \phi } } & { { } = \rho _ { f } - \rho _ { s } , } \end{array} } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l } { e \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } } & { i \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { i } & { 0 } \\ { 0 } & { \! \! \! \! - i } \end{array} \right) } } & { j \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \! \! \! \! - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } & { k \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \! \! \! \! - i } \\ { \! \! \! - i } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { { \overline { { e } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { \! \! \! - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \! \! \! \! - 1 } \end{array} \right) } } & { { \overline { { i } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { \! \! \! - i } & { 0 } \\ { 0 } & { i } \end{array} \right) } } & { { \overline { { j } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { \! \! \! - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } & { { \overline { { k } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k + 1 } ) } \\ { \leq } & { f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) + \langle \nabla f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) , \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k + 1 } - \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } \rangle + \frac { L } { 2 } \left\| \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k + 1 } - \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } \right\| ^ { 2 } } \\ { = } & { f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) - \overline { { \lambda } } \langle \nabla f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) , \frac { 1 } { n \overline { { \lambda } } } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } \rangle + \frac { L \overline { { \lambda } } ^ { 2 } } { 2 } \left\| \frac { 1 } { n \overline { { \lambda } } } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| ^ { 2 } } \\ { = } & { f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) - \frac { \overline { { \lambda } } } { 2 } \Bigg ( \left\| \nabla f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } + \left\| \frac { 1 } { n \overline { { \lambda } } } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| ^ { 2 } } \\ & { - \left\| \nabla f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) - \frac { 1 } { n \overline { { \lambda } } } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| ^ { 2 } \Bigg ) + \frac { L \overline { { \lambda } } ^ { 2 } } { 2 } \left\| \frac { 1 } { n \overline { { \lambda } } } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| ^ { 2 } , } \end{array}
P _ { 5 0 } = 5 ^ { 5 0 } \cdot { \frac { \Gamma \left( 3 / 5 + 5 0 \right) } { \Gamma \left( 3 / 5 \right) } } \approx 3 . 7 8 4 3 8 \times 1 0 ^ { 9 8 } .
\delta ( Z _ { x } , Z _ { y } ) = - \int [ \frac { f ( Z _ { x } , Z _ { y } ) d Z _ { x } } { ( 1 + Z _ { x } ) ( d x / d Z _ { x } ) } + \frac { f ( Z _ { x } , Z _ { y } ) d Z _ { y } } { ( 1 + Z _ { y } ) ( d y / d Z _ { y } ) } ]
\mathcal { L } = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { V _ { \mathrm { ~ \small ~ c ~ } , r _ { i } } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ o ~ b ~ s ~ } } } } \exp \frac { - [ V _ { \mathrm { ~ \small ~ c ~ } , r _ { i } } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ o ~ b ~ s ~ } } - V _ { \mathrm { ~ \small ~ c ~ } , r _ { i } } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } ( \hat { \theta } ) ] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { V _ { \mathrm { ~ \small ~ c ~ } , r _ { i } } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ o ~ b ~ s ~ } } } ^ { 2 } } \, ,
M _ { d } ^ { 0 } { M _ { d } ^ { 0 } } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c c c c } { { { m ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m ^ { 0 } J ^ { \ast } } } \\ { { 0 } } & { { { m _ { s } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { m ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { m ^ { 0 } J ^ { \ast } } } \\ { { m ^ { 0 } J } } & { { 0 } } & { { m ^ { 0 } J } } & { { 2 \left| J \right| ^ { 2 } + { m _ { 4 } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \: \: ,
N _ { p } = \frac { T _ { 0 } } { \Lambda _ { 0 } } \left[ T \left( \frac { \partial \mathcal { L } / T } { \partial T } \right) _ { p } \right] _ { T = T _ { 0 } } + \left( \frac { \lambda _ { F } } { \lambda } \right) ^ { 2 } ;
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 1 } 2 d ( n - 1 ) e ^ { - 2 a d n } } & { = 2 d e ^ { - 4 a d } + \sum _ { n \geq 3 } 2 d ( n - 1 ) e ^ { - 2 a d n } } \\ & { \leq 2 d e ^ { - 4 a d } + \frac { 2 e ^ { - \frac { a d } { 2 } } } { a } \sum _ { n \geq 3 } e ^ { - \frac { 3 a d n } { 2 } } } \\ & { = 2 d e ^ { - 4 a d } + \frac { 2 e ^ { - 5 a d } } { a ( 1 - e ^ { - \frac { 3 a d } { 2 } } ) } . } \end{array}
I _ { \mathrm { j } , n , s } ^ { ( f ) } \propto e ^ { 2 n \left[ \eta ( \gamma _ { 0 } u r _ { 0 } / n r _ { c } ) - \eta ( \gamma _ { 0 } u / n ) \right] } , \; \mathrm { j } = \mathrm { i } , \mathrm { e } ,
\mathbf { A } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } \end{array} \right) } , \quad \mathbf { B } = { \left( \begin{array} { l l l l } { b _ { 1 1 } } & { b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { b _ { 1 p } } \\ { b _ { 2 1 } } & { b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { b _ { 2 p } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { b _ { n 1 } } & { b _ { n 2 } } & { \cdots } & { b _ { n p } } \end{array} \right) }