harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \textbf { v } ^ { H } = H \delta \textbf { r } _ { k } = H ( \textbf { r } _ { k } ( t + \delta t / 2 ) - \textbf { r } _ { k } ( t - \delta t / 2 ) ) } \\ { = \delta t H \frac { \textbf { r } _ { k } ( t + \delta t ) - \textbf { r } _ { k } ( t ) } { 2 \delta t } + \delta t H \frac { \textbf { r } _ { k } ( t ) - \textbf { r } _ { k } ( t - \delta t ) } { 2 \delta t } } \\ { = \frac { \delta t H } { 2 } \textbf { v } _ { k } ( t + \delta t / 2 ) + \frac { \delta t H } { 2 } \textbf { v } _ { k } ( t - \delta t / 2 ) . } \end{array}
\left[ \frac { d { \sigma } _ { e A \rightarrow e c X } ^ { ( 0 ) } } { d x _ { B } d Q ^ { 2 } d p _ { c _ { T } } ^ { 2 } } \right] \, d p _ { c _ { T } } ^ { 2 } = \left[ \frac { d { \sigma } _ { e A \rightarrow e c X } ^ { ( 0 ) } } { d x _ { B } d Q ^ { 2 } } \, \delta ( p _ { c _ { T } } ^ { 2 } ) \right] \, d p _ { c _ { T } } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \Vert I _ { N } u - u \Vert _ { N I P G , \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } ^ { 2 } = \sum _ { \kappa \subset \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } \left( \varepsilon \Vert \nabla ( I _ { N } u - u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } + \Vert c _ { 0 } ( I _ { N } u - u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \hat { V } } ( u , v ) = - \frac { 1 } { \kappa } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d q } { \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } q ^ { 2 } } } \textrm { e } ^ { - q { \hat { R } } } { \hat { R } } . } \end{array}
r = - { \hat { r } } \left[ 1 - 2 q + 5 q ^ { 2 } - 3 2 q ^ { 3 } + 2 8 6 q ^ { 4 } - 3 0 3 8 q ^ { 5 } + 3 5 8 7 0 q ^ { 6 } + \cdots \right]
D ^ { m } ( e ^ { - 2 \phi } H _ { m n p } ) = 1 2 m A ^ { m } H _ { m n p } e ^ { - 2 \phi } + \frac { 1 } { 2 } G _ { n p q r } F ^ { q r } + { \frac { 1 } { 3 6 \cdot 4 8 } } \epsilon _ { n p q . . . r . . . } G ^ { q . . . } G ^ { r . . . } \ ,
e _ { 1 } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( B _ { R , i } ^ { N N } - B _ { R , i } ^ { M D } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( B _ { Z , i } ^ { N N } - B _ { Z , i } ^ { M D } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } _ { i , \beta , \boldsymbol { \alpha } } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } ( \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } } \frac { 1 } { 2 } \frac { h ^ { \prime } ( \boldsymbol { z } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \alpha } ) } { h ( \boldsymbol { z } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \alpha } ) } \left[ \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) \right\} \left( g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) - 1 \right) + \frac { \beta } { ( \beta + 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right] \boldsymbol { z } _ { i } , } \\ { u _ { i , \beta , \sigma ^ { 2 } } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } ( \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } } \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left[ \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) \right\} \left( g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) - 1 \right) + \frac { \beta } { ( \beta + 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right] , } \\ { \boldsymbol { u } _ { i , \beta , \boldsymbol { \beta } } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } ( \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } } \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } g _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) \right\} \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \frac { \epsilon _ { i } ( \boldsymbol { \beta } ) } { h ( \boldsymbol { z } _ { i } ^ { T } \boldsymbol { \alpha } ) } \boldsymbol { x } _ { i } , } \end{array}
G = C _ { 2 } C _ { 6 } \frac { \Gamma ( l / 2 ) } { 2 \Gamma ( 3 / 2 ) \Gamma [ ( l + 1 ) / 2 ] } + C _ { 3 } C _ { 7 } \{ 1 - \frac { \Gamma ( l / 2 ) } { 2 \Gamma ( 3 / 2 ) \Gamma [ ( l + 1 ) / 2 ] } \}
\ensuremath { n _ { s } } ( 3 \ensuremath { N _ { v a r } } + 2 \ensuremath { n _ { p } } \ensuremath { N _ { v a r } } - \ensuremath { n _ { p } } ) + 2 \ensuremath { n _ { p } } ^ { 2 } - \ensuremath { n _ { p } }
\frac { d R _ { q \bar { q } \to e e } } { d ^ { 4 } q } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 4 } } \frac { T } { q } f ^ { B } ( q _ { 0 } ; T ) \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \ \ln \frac { \left( x _ { - } + \exp [ - ( q _ { 0 } + \mu _ { q } ) / T ] \right) \left( x _ { + } + \exp [ - \mu _ { q } / T ] \right) } { \left( x _ { + } + \exp [ - ( q _ { 0 } + \mu _ { q } ) / T ] \right) \left( x _ { - } + \exp [ - \mu _ { q } / T ] \right) }
\hat { n } ( \vec { u } ; \theta ) = \hat { n } _ { 0 } ( \theta ) \sqrt { 1 - | \zeta ( \vec { u } ; \theta ) | ^ { 2 } } + \mathscr { R e } ( \hat { k } _ { 0 } ^ { \star } ( \theta ) \zeta ( \vec { u } ; \theta ) )
{ \cal L } _ { 2 } = - { \textstyle \frac 1 4 } \mathrm { T r } ~ \Bigl ( \partial ^ { \mu } \phi \partial _ { \mu } \phi + { \textstyle \frac 1 3 } \phi \varepsilon _ { \mu \nu } [ \partial ^ { \mu } \phi , \partial ^ { \nu } \phi ] \Bigr ) .
\begin{array} { r } { E ^ { * } ( F _ { i , j } ^ { * } ) = E ^ { * } \left( \widehat f _ { j , n } + \frac { \widehat \sigma _ { j , n } } { \sqrt { C _ { i , j } } } r _ { i , j } ^ { * } \right) = \widehat f _ { j , n } + \frac { \widehat \sigma _ { j , n } } { \sqrt { C _ { i , j } } } E ^ { * } \left( r _ { i , j } ^ { * } \right) = \widehat f _ { j , n } } \end{array}
\sin ^ { 3 } B \sin ^ { 1 1 } C - \sin ^ { 3 } C \sin ^ { 1 1 } A - \sin ^ { 3 } A \sin ^ { 1 1 } B = { \frac { 7 ^ { 3 } \cdot 1 7 } { 2 ^ { 1 4 } } } .
\rho _ { r , 0 } + \rho _ { r , 2 } + \sum _ { s = 1 } ^ { ( r - 1 ) / 2 } ( \rho _ { r , 4 s } + \rho _ { r , 4 s + 2 } ) = 1 \quad ( r = 1 , 3 , 5 \ldots ) \, .
\begin{array} { r l r } { \left\langle E _ { p } ( r ^ { n } ) \right\rangle } & { { } = } & { \frac { \kappa } { 2 } \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle \; = \; \frac { 1 } { 2 } k _ { B } T } \\ { \left\langle E _ { k } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { m } { c _ { 3 } \, \Delta { t } ^ { 2 } } ( \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle - \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle ) } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } = \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ I ~ S ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } ] / \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( k ) } ] . } \end{array}
\int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { { { ( t _ { n + 1 } - s ) } ^ { \nu } } { { s } ^ { k - 1 } } \mathrm { d } s } = { t } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { { { ( t _ { n + 1 } - s ) } ^ { \nu - 1 } } { { s } ^ { k - 1 } } \mathrm { d } s } - \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { { { ( t _ { n + 1 } - s ) } ^ { \nu - 1 } } { { s } ^ { k } } \mathrm { d } s } .
\frac { \mathrm { d ^ { 2 } } W _ { f i } } { \mathrm { d } u \mathrm { d } t } = \frac { W _ { R } } { 2 } \left( F _ { 0 } + \xi _ { 1 } F _ { 1 } + \xi _ { 2 } F _ { 2 } + \xi _ { 3 } F _ { 3 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { 0 } ^ { \Delta t } \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } f _ { i j } ( t ) { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E [ e ^ { - \tilde { r } ( T , \alpha ( T ) ) } \ln ( X _ { 2 } ( T ) ) ] = E \biggl [ e ^ { - \tilde { r } ( T , \alpha ( T ) ) } \ln ( c ) + \int _ { 0 } ^ { T } \biggl \{ \frac { - 1 } { \lambda _ { 2 } } h _ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \tilde { r } ( T , \alpha ( T ) ) } } \\ & { \times \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } e ^ { - \tilde { r } ( T , \alpha ( T ) ) } \biggl ( \ln ( \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) + 1 ) - \eta ( t - , \alpha ( t - ) , z ) \biggr ) \nu ( d z ) \biggr \} d t \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega \mathrm { ~ 2 ~ B ~ } } & { { } = } & { \Omega \mathrm { ~ 2 ~ b ~ 1 ~ } + \Omega \mathrm { ~ 2 ~ b ~ 2 ~ } + \Omega \mathrm { ~ 2 ~ b ~ 3 ~ } + \Omega \mathrm { ~ 2 ~ b ~ 4 ~ } + \Omega \mathrm { ~ 2 ~ b ~ 5 ~ } + \Omega \mathrm { ~ 2 ~ b ~ 6 ~ } } \end{array}
V ^ { ( 1 ) } = - \frac { g H } { 4 \pi ^ { 2 } } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { 2 } } \exp ( - l ^ { 2 } \beta ^ { 2 } / 4 s ) [ \frac { 1 } { \sinh ( g H s ) } + 2 \sinh ( g H s ) ] \cosh ( \beta l \rho ) .
f _ { i o n } ^ { B _ { 1 } } ( \Delta , q , k _ { e } ) = - \frac { 2 ^ { 5 / 2 } } { \pi \Delta ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( k _ { e } ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \int _ { - \frac 1 \kappa \Upsilon _ { x ^ { \prime } } } ^ { \frac 1 \kappa \Upsilon _ { x ^ { \prime } } } } & { \Bigl ( \tilde { \mathcal L } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) , \tilde { \mathcal R } ^ { \kappa } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \Bigr ) \Bigr ) - \tilde { \mathcal L } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) , \tilde { \mathcal R } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \Bigr ) \Bigr ) \Bigr ) \, d x _ { 1 } } \\ & { = \frac 1 \kappa \int _ { - \Upsilon _ { x ^ { \prime } } } ^ { \Upsilon _ { x ^ { \prime } } } \Bigl ( \tilde { \mathcal L } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) , \tilde { \mathcal R } ^ { 1 } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \Bigr ) \Bigr ) - \tilde { \mathcal L } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) , \tilde { \mathcal R } \Bigl ( \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \Bigr ) \Bigr ) \Bigr ) \, d x _ { 1 } = \colon \frac 1 \kappa \, Q ( x ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \vec { \beta } _ { k l } = \frac { \vec { p } _ { k } + \vec { p } _ { l } } { p _ { k } ^ { 0 } + p _ { l } ^ { 0 } } \, , } \\ & { } & { \gamma _ { k l } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \beta _ { k l } ^ { 2 } } } \, , } \\ & { } & { p _ { k } ^ { 0 } = \sqrt { m _ { k } ^ { 2 } c ^ { 2 } + \vec { p } _ { k } ^ { \, 2 } } \, , } \\ & { } & { p _ { l } ^ { 0 } = \sqrt { m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 2 } + \vec { p } _ { l } ^ { \, 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ^ { 2 } ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) } & { = } & { \lambda _ { \mathrm { m a x } } ( P _ { \mathit { F } } P _ { \mathit { E } } ) } \\ & { = } & { \lambda _ { \mathrm { m a x } } ( P _ { \mathit { F } } P _ { \mathit { E } } P _ { \mathit { F } } ) } \\ & { = } & { \| P _ { \mathit { E } } P _ { \mathit { F } } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\delta _ { Q } = \tilde { \delta } _ { Q } + \frac { 2 } { \pi } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 1 } \, \frac { \tilde { \delta } _ { Q } ^ { 2 } } { 1 + 2 \tilde { \delta } } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 2 } \, \frac { \tilde { \delta } _ { Q } ^ { 3 } } { ( 1 + 2 \tilde { \delta } ) ^ { 2 } } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } .
\mathbf { a } ( \mathbf { r } ) = \mathbf { A } _ { 2 } ( \mathbf { r } ) - \mathbf { A } _ { 1 } ( \mathbf { r } ) = C \nabla \phi _ { 1 } ( \mathbf { r } ) \times \nabla \phi _ { 2 } ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r l } { \operatorname { M S E } = } & { { } \operatorname { E } \left[ ( T ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] } \\ { = } & { { } \left( \operatorname { E } \left[ T ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right] \right) ^ { 2 } + \operatorname { V a r } ( T ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \upsilon \left( \beta \right) \left< \varphi \mid \beta \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } } & { = \delta _ { \lambda , \beta } \left( \varphi \left( \mathbf { z } \right) - \rho _ { A } ^ { \circ } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \varphi \left( \mathbf { A } \right) - \rho _ { B } ^ { \circ } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \varphi \left( \mathbf { B } \right) \right) } \\ & { \quad + \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } \upsilon \left( \gamma \right) \sum _ { \left( R , \alpha \right) } p _ { \left( R , \alpha \right) } ^ { \circ } \left( \gamma \right) q _ { \gamma \beta } \left< \varphi _ { \widetilde { \alpha } } \mid \gamma \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } , } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { i j } = \log \left( \frac { 1 } { T } \sum _ { \tau = 1 } ^ { T } \frac { P ( x ^ { ( t + \tau ) } = j \vert x ^ { ( t ) } = i ) } { P ( x ^ { ( t ) } = j ) } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d s ^ { 2 } } & { = g _ { i { \bar { j } } } \, d z ^ { i } \, d { \bar { z } } ^ { j } } \\ & { = { \frac { \left( 1 + | \mathbf { z } | { \vphantom { l } } ^ { 2 } \right) | d \mathbf { z } | ^ { 2 } - ( { \bar { \mathbf { z } } } \cdot d \mathbf { z } ) ( \mathbf { z } \cdot d { \bar { \mathbf { z } } } ) } { \left( 1 + | \mathbf { z } | { \vphantom { l } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { ( 1 + z _ { i } { \bar { z } } ^ { i } ) \, d z _ { j } \, d { \bar { z } } ^ { j } - { \bar { z } } ^ { j } z _ { i } \, d z _ { j } \, d { \bar { z } } ^ { i } } { \left( 1 + z _ { i } { \bar { z } } ^ { i } \right) ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\mathcal { H } = - \varepsilon \gamma \frac { \varrho c ^ { 2 } } { p } + \varepsilon \gamma - \Upsilon ^ { 0 0 } = \varepsilon \gamma - \frac { \mathcal { H } } { \Lambda _ { \rho } } \varrho c ^ { 2 } - \frac { p } { \Lambda _ { \rho } } \Upsilon ^ { 0 0 }
\prod _ { i = 1 } ^ { q - 2 } \lambda _ { 1 , i } \lambda _ { 2 , i } \lambda _ { 3 , i } = \left( \prod _ { x \neq k _ { 1 } } x \right) \left( \prod _ { x \neq k _ { 2 } } x \right) \left( \prod _ { x \neq k _ { 3 } } x \right) = \left( \prod _ { x \in \mathbb { F } _ { q } ^ { \ast } } x \right) ^ { 3 } ( k _ { 1 } k _ { 2 } k _ { 3 } ) ^ { - 1 } = 1 \, .
\hat { \boldsymbol \vartheta } = \underset { \boldsymbol \vartheta } { \mathrm { a r g m i n } } \ r ^ { k , m } ( \boldsymbol \vartheta ) ^ { \mathsf { T } } \cdot \Sigma ^ { - 1 } \cdot r ^ { k , m } ( \boldsymbol \vartheta ) \ .
\begin{array} { r l r } { - \overline { { A } } _ { 0 i } \cos \theta _ { i } + A _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 r } \sin \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { { } = } & { A _ { 0 t } \sin \theta _ { i } - \overline { { A } } _ { 0 t } \cos \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - A _ { 0 r } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { { } = } & { A _ { 0 t } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { { } = } & { \overline { { A } } _ { 0 t } \cos \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \mu \left( \overline { { A } } _ { 0 i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \right) \sin \overline { { \theta } } _ { t } } & { { } = } & { \mu _ { 0 } \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \theta _ { i } , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { R ^ { 2 } } { ( 1 - r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ( 4 \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } ( d x ^ { i } ) ^ { 2 } - ( 1 + r ^ { 2 } ) ^ { 2 } d t ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { C } \left( \mathbf { A } ^ { k } , \mathbf { A } ^ { k ^ { \prime } } \right) \left( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \right) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { s - 1 } \boldsymbol { C } \left( \mathbf { A } _ { i } ^ { k } , \mathbf { A } _ { i } ^ { k ^ { \prime } } \right) \left( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \right) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { s l _ { 1 } l _ { 2 } , \quad \left( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \right) = ( 0 , 0 ) , k = k ^ { \prime } ; } \\ { 0 , \quad \left( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \right) \neq ( 0 , 0 ) , k = k ^ { \prime } ; } \\ { 0 , ~ ~ ~ ~ k \neq k ^ { \prime } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( \mathbf { q } , \tau ) } & { = } & { \sum _ { \alpha = 0 } ^ { \infty } \left\{ \frac { 1 } { \alpha ! } \left. \frac { \partial ^ { \alpha } F ( \mathbf { q } , \tau ) } { \partial \tau ^ { \alpha } } \right| _ { \tau = 0 } \tau ^ { \alpha } \right\} } \\ & { = } & { \sum _ { \alpha = 0 } ^ { \infty } c _ { \alpha } ( \mathbf { q } ) \tau ^ { \alpha } \ . } \end{array}
\omega _ { j } ^ { 2 } = \frac { N ^ { 2 } ( k _ { j } ^ { 2 } + l _ { j } ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } m _ { j } ^ { 2 } } { k _ { j } ^ { 2 } + l _ { j } ^ { 2 } + m _ { j } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { t } ^ { - 1 } - \alpha _ { t - 1 } ^ { - 1 } } & { = \frac { ( u + \sigma ^ { 2 } t ) ^ { 1 / 3 } } { \delta } - \frac { ( u + \sigma ^ { 2 } ( t - 1 ) ) ^ { 1 / 3 } } { \delta } \overset { ( a ) } { \leq } \frac { \sigma ^ { 2 } } { 3 \delta ( u + \sigma ^ { 2 } ( t - 1 ) ) ^ { 2 / 3 } } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \frac { 2 ^ { 2 / 3 } \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { 3 \delta ^ { 3 } ( u + \sigma ^ { 2 } t ) ^ { 2 / 3 } } \overset { ( c ) } { = } \frac { 2 ^ { 2 / 3 } \sigma ^ { 2 } } { 3 \delta ^ { 3 } } \alpha _ { t } ^ { 2 } \leq \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } } { 3 M ^ { 2 } } \alpha _ { t } ^ { 2 } \leq \frac { \hat { L } } { 2 4 I b ^ { 2 } M ^ { 2 } } \alpha _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \langle \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y ) \hat { L } _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y ) \rangle _ { \mathrm { s s } } = \left. \frac { \kappa } { 2 } \langle ( \partial _ { y } \rho _ { 1 } ( z , y ) ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { s s } } \right| _ { z = - \infty } ^ { z = \infty } } \end{array}
V _ { n } = \mathbf { v } ^ { L } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } , \qquad \left( p ^ { G } - p ^ { L } \right) + 2 \mu ^ { L } \left[ \mathbb { D } \mathbf { v } ^ { L } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } \right] \cdot \mathbf { n } _ { 1 } + p ^ { s } \kappa = 0 , \qquad \left[ \mathbb { D } \mathbf { v } ^ { L } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } \right] _ { \tau } = 0 ;
\begin{array} { r l } { \textnormal { C Y B } ^ { \pm } ( r ) } & { = \sum _ { k , \ell \in \mathbb { Z } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } r _ { \ell , j } ^ { \pm } r _ { k , i } ^ { \pm } \otimes b _ { i } z _ { 2 } ^ { k } \otimes b _ { j } z _ { 3 } ^ { \ell } } \\ & { - \sum _ { m \in \mathbb { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } r _ { k , i } ^ { \pm } \otimes \left( z _ { 2 } ^ { k } b _ { i } ^ { ( 1 ) } r ( z _ { 2 } , z _ { 3 } ) - r ( z _ { 2 } , z _ { 3 } ) b _ { i } ^ { ( 2 ) } z _ { 3 } ^ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \overline { { \mathscr { R } } } = \mathbf { Z } ( L _ { 1 } + L _ { 2 } - E _ { 3 } - \cdots - E _ { 6 } ) , } & & { \overline { { \mathscr { R } } } ^ { \perp } = \left\{ a _ { 1 } L _ { 1 } + a _ { 2 } L _ { 2 } + \sum _ { i = 3 } ^ { 6 } E _ { i } \mid a _ { 1 } + a _ { 2 } + \sum _ { i = 3 } ^ { 6 } a _ { i } = 0 \right\} . } \end{array}
p _ { x } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ c ~ e ~ i ~ l ~ } ( u / w _ { p } ) - 0 . 5 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad u \geq 0 , } \\ { \mathrm { ~ f ~ l ~ o ~ o ~ r ~ } ( u / w _ { p } ) + 0 . 5 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad u < 0 , } \end{array} \right. \quad p _ { y } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ c ~ e ~ i ~ l ~ } ( v / w _ { p } ) - 0 . 5 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad v \geq 0 , } \\ { \mathrm { ~ f ~ l ~ o ~ o ~ r ~ } ( v / w _ { p } ) + 0 . 5 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad v < 0 . } \end{array} \right.
[ \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j } \gets \frac { 1 } { 1 - [ \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j } } \left[ \mathbf { f } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right) _ { j } - [ \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j } [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j } \right]
\begin{array} { r } { T _ { \mathrm { V } } = \frac { \omega _ { \mathrm { V } } } { \frac { \omega _ { 3 } } { T _ { 3 } } - \frac { \omega _ { 2 } } { T _ { 2 } } - \frac { \omega _ { \ell } } { T _ { \ell } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { 0 } ( x ) = \frac { ( x ^ { 2 } - 1 ) } { 5 } \sum _ { j = 1 } ^ { 5 } \xi _ { j } ( \cos ^ { 2 } ( j x ) - 1 ) , x \in [ - 1 , 1 ] , } \end{array}
U _ { R } = \left( \begin{array} { c c c } { { z _ { 1 1 } } } & { { z _ { 1 2 } } } & { { z _ { 1 3 } } } \\ { { z _ { 2 1 } } } & { { z _ { 2 2 } } } & { { z _ { 2 3 } } } \\ { { z _ { 3 1 } } } & { { z _ { 3 2 } } } & { { z _ { 3 3 } } } \end{array} \right)
\left[ \begin{array} { l } { { \varphi _ { 1 k _ { - } } } } \\ { { \varphi _ { 2 k _ { - } } } } \end{array} \right] = \sqrt { { \frac { \kappa } { 2 } } } \left[ \begin{array} { l } { { e ^ { i k _ { - } x ^ { - } } e ^ { i \pi / 2 } } } \\ { { e ^ { - i k _ { - } x ^ { - } } e ^ { - i \pi / 2 } } } \end{array} \right] .
F _ { d , i } = - \sum _ { k } C _ { D } ( k ) \frac { \rho _ { a } } { \Delta _ { z } } \widetilde { u } _ { i } \left( ( \widetilde { u } _ { l } - c ( k ) ) \cdot \frac { \partial \widetilde { \eta } ( k ) } { \partial x _ { l } } \right) { \mathcal { H } \left\{ ( \widetilde { u } _ { l } - c ( k ) ) \cdot \frac { \partial \widetilde { \eta } ( k ) } { \partial x _ { l } } \right\} } \qquad i = x , y ,
\begin{array} { r l } { R _ { n s } = } & { { } \frac { n _ { s } n _ { n } } { M _ { t h _ { s } } \ensuremath { v _ { \mathrm { t h } _ { s } } } ^ { 2 } \sqrt { \pi } ( 1 + \delta _ { n s } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { s } ^ { 2 } \sigma ( v _ { s } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { V } ( t , \theta ) = - \frac { E _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) } { 4 } \left[ ( \alpha _ { \parallel } - \alpha _ { \perp } ) \cos ^ { 2 } ( \theta ) + \alpha _ { \perp } \right] \, , } \end{array}
G _ { \beta } = \left( e ^ { L _ { \beta } } G _ { i n v } ( A ) \exp \left( i e \int _ { \overline { { { x } } } _ { f } } ^ { x _ { f } } A _ { \mu } d x ^ { \mu } - i e \int _ { \overline { { { x } } } _ { i } } ^ { x _ { i } } A _ { \mu } d x ^ { \mu } \right) \right) _ { A = 0 } .
\begin{array} { r l } { P _ { \tau } ( r > 2 ) } & { { } = 0 \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = 2 ) } & { { } = \frac { \tau ^ { 3 } } { 6 } \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = 1 ) } & { { } = \left( 1 - \frac { \tau ^ { 2 } } { 3 } \right) \tau \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = 0 ) } & { { } = \frac { \tau ^ { 3 } } { 6 } - \tau + 1 \, , } \end{array}
\frac { 1 } { 8 \pi \mu } \int _ { D _ { b } } \psi _ { \alpha } ( { \pmb \xi } ) S _ { a \, \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) d V ( { \pmb \xi } ) = { w } _ { a } ^ { S } ( { \pmb x } ) \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b }
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( t _ { 0 } - \omega , t _ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } , t _ { 3 } - \epsilon ^ { 3 } ) } & { = \mathcal { S } \mathcal { E } ( t _ { 0 } - 1 ) } \\ & { = \left( 1 + \epsilon \mathcal { S } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \mathcal { S } _ { 2 } + \epsilon ^ { 3 } \mathcal { S } _ { 3 } \right) \mathcal { E } ( t _ { 0 } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { e _ { 0 } = \frac { 1 } { N } \left( \frac { 1 } { N _ { s a m p l e } } \sum _ { s a m p l e } E _ { p o t } \left( \mathbf { x } _ { i } \right) + T _ { 2 5 6 , p r i } ^ { P B E } \right) } \end{array}
\left| \langle f | \alpha _ { 4 i } \bar { \chi } \gamma _ { 5 } \chi \bar { q _ { i } } \gamma _ { 5 } q _ { i } | i \rangle \right| ^ { 2 } \propto | \zeta _ { 5 i } | ^ { 2 } | | \alpha _ { 4 i } | ^ { 2 } \frac { ( - p _ { \chi _ { f } } \cdot p _ { \chi _ { i } } + m _ { \chi } ^ { 2 } ) } { m _ { \chi } ^ { 2 } } \frac { ( - p _ { N _ { f } } \cdot p _ { N _ { i } } + m _ { N } ^ { 2 } ) } { m _ { N } ^ { 2 } }