harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \hat { p } ( \theta | \{ d \} ) = \frac { \langle \delta ( \Lambda _ { i } ) p ( \theta | \Lambda _ { i } ) \rangle _ { \Lambda _ { i } \sim p ( \Lambda | \{ d \} ) } } { \langle \delta ( \Lambda _ { i } ) \rangle _ { \Lambda _ { i } \sim p ( \Lambda | \{ d \} ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { \beta } = \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 1 } a _ { 2 } b } p ( a _ { 1 } ) p ( a _ { 2 } , b ) \ln \sum _ { c } p ^ { \beta } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , c ) p ^ { \beta } ( b | c ) , } \\ & { } & { \sum _ { c } p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , c ) p ( b | c ) = p ( a _ { 1 } ) p ( a _ { 2 } , b ) . } \end{array}
J _ { n l r } ^ { ( d - 2 ) } = ( \partial _ { 1 2 } ^ { 2 } + \partial _ { 1 3 } ^ { 2 } + \partial _ { 2 3 } ^ { 2 } ) J _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } } ^ { ( d ) } .
\begin{array} { c } { { | j _ { 2 } ^ { \prime } - j _ { 3 } ^ { \prime } | \leq j _ { 1 } ^ { \prime } \leq \operatorname * { m i n } ( j _ { 2 } ^ { \prime } + j _ { 3 } ^ { \prime } , p ^ { \prime } - 2 - j _ { 2 } ^ { \prime } - j _ { 3 } ^ { \prime } ) } } \\ { { | j _ { 2 } - j _ { 3 } | \leq j _ { 1 } \leq \operatorname * { m i n } ( j _ { 2 } + j _ { 3 } , p - 2 - j _ { 2 } - j _ { 3 } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { H } ^ { s } ( \Omega ) : = \left\lbrace \textbf { u } = ( u _ { i } ) _ { i = 1 } ^ { d } \quad : \quad u _ { i } \in H ^ { s } ( \Omega ) \right\rbrace , \quad \textbf { H } _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) : = \left\lbrace \textbf { u } \in \textbf { H } ^ { 1 } ( \Omega ) \, : \, \textbf { u } | _ { \Gamma } = 0 \right\rbrace , } \end{array}
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) + \mathcal { E } _ { \mathrm { p } } e ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } + \mathcal { E } _ { \mathrm { l } } = 2 \kappa _ { a } \left( a _ { - } e ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } + a _ { + } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { p } t } \right) ,
\sigma _ { e l } = \sigma _ { e l } ( M _ { A } , 1 ) , \qquad \sigma _ { q } = \sigma _ { q } ( M , 1 ) , \qquad \sigma _ { i n } = \int _ { M + m _ { \pi } } ^ { W } d M _ { h } \sigma _ { i n } ( M _ { h } , \theta _ { m a x } ) ,
{ \left| \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } } & { \dots } & { a _ { 1 , n } } \\ { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } } & { \dots } & { a _ { 2 , n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { n , 1 } } & { a _ { n , 2 } } & { \dots } & { a _ { n , n } } \end{array} \right| } .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { ( a , \delta ) } } & { = \lambda _ { a } = [ \overline { { a } } _ { 1 } ] [ \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } \\ { \lambda _ { ( a , \delta , \chi _ { \ell } ) } } & { = \frac { \lambda _ { a } } { 2 } = \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } ] [ \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } { 2 } . } \end{array}
P _ { w } = 2 \cdot 1 0 ^ { - 3 } P _ { B } = 2 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \int _ { V } \vec { \nabla } \cdot \frac { ( \vec { \mathrm { v } } \wedge \vec { B } ) \wedge \vec { B } } { \mu _ { 0 } } d V
\begin{array} { r l r } { \dot { N } } & { = } & { - N [ 1 / \tau _ { \mathrm { 1 B } } + \beta _ { \mathrm { 2 B } } \bar { n } + \nu ( \eta ) \Gamma _ { \mathrm { e v } } \bar { n } ] } \\ { \dot { E } } & { = } & { - E [ 1 / \tau _ { \mathrm { 1 B } } + ( 3 / 4 ) \beta _ { \mathrm { 2 B } } \bar { n } + ( 1 / 3 ) \alpha ( \eta ) \Gamma _ { \mathrm { e v } } \bar { n } ] , } \end{array}
{ \cal R } = ( 2 S _ { c l } ) ^ { 3 k } \, \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \, \left( S _ { i } \right) ^ { - k } \left( \frac { ( S _ { i } ^ { 2 } + S _ { c l } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } + S _ { c l } } { ( S _ { i } ^ { 2 } + S _ { c l } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } - S _ { c l } } \right) ^ { - k / 2 }
\hat { \Delta } ( { \textbf k } _ { \| } ) = \left[ \begin{array} { l l } { \hat { \Delta } ^ { 1 1 } ( { \textbf k } _ { \| } ) } & { \hat { \Delta } ^ { 1 2 } ( { \textbf k } _ { \| } ) } \\ { \hat { \Delta } ^ { 2 1 } ( { \textbf k } _ { \| } ) } & { \hat { \Delta } ^ { 1 1 } ( { \textbf k } _ { \| } ) } \end{array} \right] , \,
\begin{array} { r l } & { R _ { x x x x } ^ { ( 3 a ) } ( t _ { 2 } , t _ { 3 } ) = \ensuremath { \langle g | } D _ { x } U ( t _ { 2 } + t _ { 3 } , t _ { 2 } ) D _ { x } U ( t _ { 2 } , 0 ) D _ { x } ^ { \dagger } D _ { x } ^ { \dagger } \ensuremath { | g \rangle } , } \\ & { R _ { x x x x } ^ { ( 3 b ) } ( t _ { 2 } , t _ { 3 } ) = \ensuremath { \langle g | } D _ { x } U ( t _ { 2 } , t _ { 2 } + t _ { 3 } ) D _ { x } U ( t _ { 2 } + t _ { 3 } , 0 ) D _ { x } ^ { \dagger } D _ { x } ^ { \dagger } \ensuremath { | g \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) = \gamma _ { \mathrm { r p } } ( F ) + \gamma _ { \mathrm { r m } } ( F ) = \gamma _ { \mathrm { r } } \cosh \left[ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { 2 } q _ { t } = - n ( n + 1 ) h ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial t } Y _ { n } ( s , \bar { s } ) } & { = - n ( n + 1 ) i \omega h ^ { 2 } \left( - s \frac { \partial Y _ { n } } { \partial s } + \bar { s } \frac { \partial Y _ { n } } { \partial \bar { s } } \right) } \\ & { = - 2 n ( n + 1 ) i \omega \frac { \partial ( Y _ { n } , h ) } { \partial ( s , \bar { s } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \ddot { \theta } _ { 1 } ( t ) = } & { { } - \frac { 1 } { d _ { 1 } ( t ) } \biggl ( d _ { 2 } ( t ) \ddot { \theta } _ { 2 } ( t ) + \phi _ { 1 } ( t ) \biggr ) , } \\ { d \ddot { \theta } _ { 2 } ( t ) = } & { { } \frac { 1 } { m _ { 2 } \ell _ { c _ { 2 } } ^ { 2 } + I _ { 2 } - \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) } { d _ { 1 } ( t ) } } \biggl ( d a ( t ) + d W ( t ) + \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) } { d _ { 1 } ( t ) } \phi _ { 1 } ( t ) } \end{array}
m _ { L L } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 4 3 7 9 7 2 } } & { { - 0 . 8 9 7 6 9 8 } } & { { - 0 . 9 7 7 3 1 9 3 } } \\ { { - 0 . 8 9 7 6 9 8 } } & { { - 0 . 4 4 3 2 9 6 } } & { { - 0 . 2 3 0 0 6 8 } } \\ { { - 0 . 9 7 7 3 1 9 3 } } & { { - 0 . 2 3 0 0 6 8 } } & { { - 0 . 0 0 5 3 2 4 } } \end{array} \right) m _ { 0 }
\gamma _ { \alpha \alpha _ { 1 } \beta \beta _ { 1 } } = \frac { \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } + \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta } } { 2 } - \frac { \delta _ { \alpha \alpha _ { 1 } } \delta _ { \beta \beta _ { 1 } } } { 3 }
x _ { i } = x _ { L } + \left( i - \frac { 1 } { 2 } \right) \Delta x \quad \forall i \in [ 1 , N ] , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \ \Delta x = \frac { x _ { R } - x _ { L } } { N } , \qquad t ^ { n } = n \Delta t , \ n \in [ 0 , n _ { m a x } ]
\begin{array} { r l } & { \mathbf { D } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { z _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } } { \kappa _ { 3 } d _ { 1 } } + \frac { z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) c _ { 2 } - z _ { 1 } z _ { 3 } c _ { 1 } } { \kappa _ { 1 } d _ { 1 } } } & { \frac { z _ { 1 } z _ { 2 } c _ { 1 } } { \kappa _ { 3 } d _ { 1 } } - \frac { z _ { 1 } z _ { 2 } c _ { 1 } } { \kappa _ { 2 } d _ { 1 } } } \\ { \frac { z _ { 1 } z _ { 2 } c _ { 2 } } { \kappa _ { 3 } d _ { 1 } } - \frac { z _ { 1 } z _ { 2 } c _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } d _ { 1 } } } & { \frac { z _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 2 } } { \kappa _ { 3 } d _ { 1 } } + \frac { z _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } - z _ { 3 } z _ { 1 } c _ { 1 } - z _ { 2 } z _ { 3 } c _ { 2 } } { \kappa _ { 2 } d _ { 1 } } } \end{array} \right] , } \\ & { d _ { 1 } = z _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } - z _ { 3 } z _ { 1 } c _ { 1 } + z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) c _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G ( - s ) } & { = } & { \prod _ { j = 1 } ^ { n / 2 } \left( - \left( s - { \frac { m } { 2 } } - q _ { k } \right) \right) \left( - \left( s - { \frac { m } { 2 } } + q _ { k } \right) \right) } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { n } \prod _ { k = 1 } ^ { n / 2 } \left( ( s - m ) + { \frac { m } { 2 } } - q _ { k } \right) \left( ( s - m ) + { \frac { m } { 2 } } + q _ { k } \right) = ( - 1 ) ^ { n } G ( s - m ) . } \end{array}
\lambda _ { k } ^ { + } = \frac { \lambda _ { 1 , k } + \lambda _ { 2 , k } } { \sqrt { 2 } } \qquad \quad \lambda _ { k } ^ { - } = \frac { \lambda _ { 1 , k } - \lambda _ { 2 , k } } { \sqrt { 2 } } \qquad ( k \neq 0 )
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { i } k _ { i \gamma } ^ { * } k _ { i \gamma } \right| \geq } & { { } \left| \sum _ { i } k _ { i \alpha } ^ { * } k _ { i \alpha } \right| \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \left| \sum _ { i } k _ { i \gamma } ^ { * } k _ { i \gamma } \right| \geq } & { { } \left| \sum _ { i } k _ { i \beta } ^ { * } k _ { i \beta } \right| . } \end{array}
2 L R T : \, \, \, \, \, \, V _ { a b s } ^ { s i m , e x p } \, = \, V _ { t h e r m } ^ { s i m } \, < \, V _ { t h e r m } ^ { e x p } \, \ll \, V _ { p r o b e } ^ { s i m , e x p } .
R ( \Delta x _ { 1 } , \Delta x _ { 2 } ; f ) = \frac { \big | f ^ { \Delta x _ { 1 } } - f ^ { \Delta x _ { 2 } } \big | _ { L ^ { 1 } } } { \big | f ^ { \Delta x _ { 2 } } \big | _ { L ^ { 1 } } } , \quad \textrm { w h e r e } \quad \big | f ^ { \Delta x } \big | _ { L ^ { 1 } } = \frac { 1 } { | I | } \sum _ { ( i , j ) \in I } \big | f _ { i , j } ^ { \Delta x } \big | .
\begin{array} { r l } { x } & { { } = ( q a _ { 0 } + \rho ) \cos \left( \phi _ { 0 } - q \frac { \pi } { 2 } \right) + q \rho \sin \left( q \varphi - \varphi _ { 0 } \right) } \\ { y } & { { } = ( q a _ { 0 } + \rho ) \sin \left( \phi _ { 0 } - q \frac { \pi } { 2 } \right) + q \rho \cos \left( q \varphi - \varphi _ { 0 } \right) } \\ { z } & { { } = z _ { 0 } + \rho \phi \cot { \theta } } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \| \alpha \, \mathbf { u } _ { h } + \mathtt { F } \, | \mathbf { u } _ { h } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } _ { h } - \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \sigma } _ { h } ) - \mathbf { f } \| _ { 0 , T } } \\ { \displaystyle \quad \leq \, C _ { 2 } \, \Big \{ \| { \boldsymbol \sigma } - { \boldsymbol \sigma } _ { h } \| _ { \mathbf { d i v } ; T } + \| \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , T } + \big \| | \mathbf { u } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } - | \mathbf { u } _ { h } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } _ { h } \big \| _ { 0 , T } \Big \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin \left[ \phi ( t ) - \phi \left( t _ { l } \right) \right] } & { { } = J _ { 0 } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \left( \sin ( w _ { 0 } t - \phi _ { t _ { l } } ) \right) } \end{array}
= \; \frac { 1 } { Z } \; \int { \cal D } A \; \sum _ { n = - \infty } ^ { n = + \infty } \delta \Big ( \nu [ A ] - n \Big ) \; e ^ { i \theta \nu [ A ] } \; { \cal D } \overline { { { \psi } } } { \cal D } \psi \; e ^ { - S _ { J } }
{ \cal L } _ { \mathrm { V M D 1 } } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 4 } \rho _ { \mu \nu } ^ { 0 } \rho ^ { 0 \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } m _ { \rho } ^ { 2 } \rho _ { \mu } ^ { 0 } \rho ^ { 0 \mu } + \rho ^ { 0 \mu } J _ { \mu } ^ { \rho } + \frac { e } { f _ { \rho } } ( - \frac { 1 } { 2 } F ^ { \mu \nu } \rho _ { \mu \nu } ^ { 0 } + A _ { \mu } ^ { \rho } ) .
\begin{array} { r l r } { \delta { \sf S } } & { = } & { ( e / c ) \, { \bf A } ^ { * } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf X } \; + \; J \, \delta \Theta \; - \; W ^ { * } \; \delta t , } \\ { \delta \Phi } & { = } & { { \bf E } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf X } \; - \; c ^ { - 1 } \partial \delta \varphi / \partial t , } \\ { \delta { \bf A } } & { = } & { { \bf E } \; c \, \delta t \; + \; \delta { \bf X } \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf B } \; + \; \nabla \delta \varphi , } \end{array}
\frac { \Phi _ { u u } ( k _ { x } , y ; \delta , \delta _ { \nu } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } = \frac { \delta \Phi _ { u u } ( k _ { x } \delta , y ^ { + } ; R e _ { \tau } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } = \delta g _ { 1 } ( k _ { x } \delta , y ^ { + } ; R e _ { \tau } ) .
\hat { f } _ { i j k } ^ { l , 0 } = \frac { \sum _ { j k } \left| v _ { x , i } ^ { - } \right| \hat { f } _ { i j k } ^ { l , 1 } } { \sum _ { i j k } v _ { x , i } ^ { + } \left( \Delta v \right) ^ { 3 } \mathcal { M } \left( v _ { y , l w } , v _ { z , l w } , T _ { l w } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \displaystyle I _ { x } } & { { } \displaystyle = \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial \phi _ { x } } = J _ { 2 } , } \\ { \displaystyle \psi _ { 2 } } & { { } = \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial J _ { 2 } } = \phi _ { x } - \int _ { 0 } ^ { s } { \frac { 1 } { \beta _ { x } \left( \tau \right) } d \tau } + \frac { 2 \pi } { L } s \nu _ { x } , } \end{array}
g = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { M _ { P } } { M _ { V } } } F ( t ) \left\{ \frac { 1 } { m _ { q } } - \frac { 1 } { 2 \mu _ { - } } \frac { m _ { Q } } { M _ { P } } \frac { \beta _ { V } ^ { 2 } } { \beta _ { P V } ^ { 2 } } \right\} \; .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { u } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \nabla u } } & { = - \boldsymbol { \nabla } p + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } + T \boldsymbol { e _ { z } } + \boldsymbol { f } , } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } + \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \boldsymbol { u } T ) } & { = \sqrt { \frac { 1 } { R a \cdot P r } } \nabla ^ { 2 } T , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle E _ { p } ( r ^ { n } ) \right\rangle } & { = } & { \frac { \kappa } { 2 } \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle \; = \; \frac { 1 } { 2 } k _ { B } T } \\ { \left\langle E _ { k } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right\rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { m } { c _ { 3 } \, \Delta { t } ^ { 2 } } ( \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle - \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } k _ { B } T \, , } \end{array}
\Pi ^ { * } ( { \vec { x } } ) = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } = - N } ^ { + N } \frac { 1 } { X ^ { 3 / 2 } } p _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } ^ { * } e x p \left( - 2 \pi i ( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } n _ { j } x _ { j } ) / X \right) ,
S [ \psi ^ { * } , \psi ] = \int [ D x ^ { \mu } ( s ) ] \, \psi ^ { * } [ x ( s ) ] \left[ - \hbar ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } d s \sqrt { x ^ { \, \prime \, 2 } } \right) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d s } { \sqrt { x ^ { \, \prime \, 2 } } } } { \frac { \delta ^ { 2 } } { \delta x ^ { \mu } ( s ) \ \delta x _ { \mu } ( s ) } } + m ^ { 4 } \right] \psi [ x ( s ) ] \nonumber \,
\begin{array} { r l } { \hat { O } _ { 1 } } & { = \frac { \mathbf { p } \cdot \nabla } { m } + \frac { \mathbf { p } } { m } \cdot e \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d \lambda \mathbf { B } ( x + i \hbar \lambda \nabla _ { p } ) \times \nabla } \\ { \hat { O } _ { 2 } } & { = \frac { \nabla ^ { 2 } } { 4 m } - \frac { p ^ { 2 } } { m } - \frac { e \hbar ^ { 2 } } { 1 2 m } \nabla \cdot ( \mathbf { B } \times \nabla ) } \\ & { + 2 \frac { \mathbf { p } } { m } \cdot i e \hbar \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d \lambda \lambda \mathbf { B } ( x + i \hbar \lambda \nabla _ { p } ) \times \nabla _ { p } } \\ { D _ { t } } & { = \partial _ { t } + e \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d \lambda \mathbf { E } ( x + i \hbar \lambda \nabla _ { p } ) \cdot \nabla _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { t } ( s _ { t + 1 } , u _ { t + 1 } | s _ { t } , a _ { t } , u _ { t } ) } & { = P _ { t } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , a _ { t } , u _ { t } ) P _ { t } ( u _ { t + 1 } | s _ { t + 1 } , s _ { t } , a _ { t } , u _ { t } ) } \\ & { = \underbrace { P _ { t } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , a _ { t } , u _ { t } ) } _ { \mathrm { n e w ~ o b s e r v e d ~ s t a t e } } \underbrace { P _ { t } ( u _ { t + 1 } | s _ { t + 1 } ) } _ { \mathrm { n e w ~ u n o b s e r v e d ~ s t a t e } } . } \end{array}
\mathcal { C } = \left\Vert \mathcal { A } O _ { n + 1 } - \tilde { \psi } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } + \alpha \left\Vert \Gamma O _ { n + 1 } - \Gamma O _ { n } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { \rho } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) _ { + } } & { \leq \tilde { C } \delta ^ { p _ { 3 } } + \tilde { C } \delta ^ { - M } \varepsilon ^ { 2 } + \tilde { C } \varepsilon ^ { 2 } + \tilde { C } \delta ^ { - M } \varepsilon ^ { 3 } + \tilde { C } \delta \varepsilon } \\ & { \leq \tilde { C } \delta . } \end{array}
\omega _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ) = \frac { \varphi _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ } } ( \tau ) } { \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ) } \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \omega _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } ( \tau ) = \frac { \varphi _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } ~ } } ( \tau ) } { \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } ( \tau ) } ,
\begin{array} { r l } { \| e ^ { i t \mathcal { D } _ { 0 } } u _ { 0 } \| _ { L ^ { p } ( I , L ^ { q } ( \mathcal { M } ) ) } } & { \leq C \| u _ { 0 } \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } + C t _ { 0 } \operatorname* { s u p } _ { s } \| | \mathcal { D } _ { m } | ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } e ^ { i t \mathcal { D } _ { 0 } } u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } \leq C \| u _ { 0 } \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \alpha _ { y x } ( f _ { \omega } ) + \alpha _ { y x , z } ( f _ { \omega } ) \mathcal { E } _ { z } \rangle } & { { } \approx \sum _ { r } \sum _ { s } \tilde { a } _ { r } ^ { \ast } \tilde { a } _ { s } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( E _ { r } ^ { ( 0 ) } - E _ { s } ^ { ( 0 ) } + { } ^ { ( 0 ) } \langle r | V | r \rangle ^ { ( 0 ) } - { } ^ { ( 0 ) } \langle s | V | s \rangle ^ { ( 0 ) } + \dots ) t / \hbar } } \end{array}
\sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; \sigma _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; \sigma _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right)
\varsigma = \big ( \rho _ { 2 } u _ { 2 } ( x , z ) - \rho _ { 1 } u _ { 1 } ( x , z ) + \zeta _ { x } ( \rho _ { 2 } w _ { 2 } ( x , z ) - \rho _ { 1 } w _ { 1 } ( x , z ) ) \big ) \delta ( z - \zeta ( x ) ) .
\mathcal { F } _ { \mathrm { t o } , \mathsf { f } , + } ^ { \circ } ( \varrho ) = \nu ^ { - 1 } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } w \varrho ( w ) \Big ( V ( w ) - 1 + \log \varrho ( w ) - \log \Big ( \nu + \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } w ^ { \prime } \varrho ( w ^ { \prime } ) \phi _ { \mathrm { t o } } ( w - w ^ { \prime } ) \Big ) \Big )
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { N } } ( \mathbf { x } \mid \mathbf { \mu } , \mathbf { \Sigma } ) } & { = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { D / 2 } } } { \frac { 1 } { | \mathbf { \Sigma } | ^ { 1 / 2 } } } \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { x } - \mathbf { \mu } ) ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - \mathbf { \mu } ) \right\} } \\ { { \mathcal { W } } ( \mathbf { \Lambda } \mid \mathbf { W } , \nu ) } & { = B ( \mathbf { W } , \nu ) | \mathbf { \Lambda } | ^ { ( \nu - D - 1 ) / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { T r } ( \mathbf { W } ^ { - 1 } \mathbf { \Lambda } ) \right) } \\ { B ( \mathbf { W } , \nu ) } & { = | \mathbf { W } | ^ { - \nu / 2 } \left\{ 2 ^ { \nu D / 2 } \pi ^ { D ( D - 1 ) / 4 } \prod _ { i = 1 } ^ { D } \Gamma \left( { \frac { \nu + 1 - i } { 2 } } \right) \right\} ^ { - 1 } } \\ { D } & { = { \mathrm { d i m e n s i o n a l i t y ~ o f ~ e a c h ~ d a t a ~ p o i n t } } } \end{array} }
\frac { \partial c } { \partial t ^ { * } } = D _ { \mathrm { s a t } } \frac { 1 } { r ^ { * } } \frac { \partial } { \partial r ^ { * } } \left( r ^ { * } \frac { \partial c } { \partial r ^ { * } } \right) ~ ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ ~ ~ \frac { \partial c } { \partial r ^ { * } } \biggr | _ { r ^ { * } = 0 } = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ c ( r ^ { * } = R ) = c _ { \mathrm { s a t } } .
\frac { \delta \bar { S } } { \delta \Phi } \sum _ { k = 0 } ^ { N } \bar { s } _ { \lambda } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { k } } \partial _ { \mu _ { 1 } } \dots \partial _ { \mu _ { k } } \epsilon ^ { \lambda } - \bar { T } _ { E \lambda } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \epsilon ^ { \lambda } = \partial _ { \mu } \left( \epsilon ^ { \mu } \bar { { \cal L } } - \frac { \partial \bar { { \cal L } } } { \partial ( \partial _ { \mu } \Phi ) } \sum _ { k = 0 } ^ { N } \bar { s } _ { \lambda } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { k } } \partial _ { \mu _ { 1 } } \dots \partial _ { \mu _ { k } } \epsilon ^ { \lambda } \right.
< \xi ( { \bf k } , \tau ) \xi ( - { \bf k } ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } ) > _ { \xi } \stackrel { T \rightarrow \infty } { = } 2 \Upsilon ( \varphi _ { 0 } ( \tau ) , T ( \tau ) ) T ( \tau ) ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ^ { ( 3 ) } ( \bf { k } - \bf { k } ) \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) .
S _ { i } ( x ) = { \frac { z _ { i } ( x - t _ { i - 1 } ) ^ { 3 } } { 6 h _ { i } } } + { \frac { z _ { i - 1 } ( t _ { i } - x ) ^ { 3 } } { 6 h _ { i } } } + \left[ { \frac { f ( t _ { i } ) } { h _ { i } } } - { \frac { z _ { i } h _ { i } } { 6 } } \right] ( x - t _ { i - 1 } ) + \left[ { \frac { f ( t _ { i - 1 } ) } { h _ { i } } } - { \frac { z _ { i - 1 } h _ { i } } { 6 } } \right] ( t _ { i } - x )
\begin{array} { r l r } { \left\langle \Delta x ^ { 2 } \right\rangle } & { = } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \frac { 2 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } { \int } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - { z } ^ { \prime } } P _ { x x } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i k _ { z } \Delta z ^ { \prime } } } \\ & { } & { \times e ^ { - ( \langle b _ { x } ^ { 2 } \rangle k _ { x } ^ { 2 } + \langle b _ { y } ^ { 2 } \rangle k _ { y } ^ { 2 } ) \Delta z ^ { 2 } / ( 2 B _ { 0 } ^ { 2 } ) } d \Delta z ^ { \prime } d { z } ^ { \prime } d \mathbf { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { o _ { t } } & { { } = \sigma ( W _ { o } \cdot [ \tilde { q } _ { t - 1 } , e _ { t } ] + \beta _ { o } ) , } \\ { { \tilde { q } } _ { t } } & { { } = o _ { t } \operatorname { t a n h } ( \it { C _ { t } } ) . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { M = { \sqrt { \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } } } & { \cos ( \theta ) = { \frac { \alpha } { M } } } & { \sin ( \theta ) = { \frac { \beta } { M } } } \\ { C , D = E \mp F i } & { } & { } \\ { G = { \sqrt { E ^ { 2 } + F ^ { 2 } } } } & { \cos ( \delta ) = { \frac { E } { G } } } & { \sin ( \delta ) = { \frac { F } { G } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { ( l ) } ( z ) = \widehat { \mathbf { P } } ^ { ( \infty ) } ( z ) \sigma _ { 3 } } & { \left( \frac { s _ { 1 } } { h _ { 1 } ^ { ( l ) } } \right) ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } | x | ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \varphi _ { 5 } ( z ) ^ { - ( \alpha + \frac { 1 } { 2 } ) \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { 1 } { | x | \varphi _ { 5 } ( z ) } } & { 1 } \end{array} \right) 2 ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { | x | \varphi _ { 5 } ( z ) } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\alpha _ { 1 } ( \lambda ) = \frac { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z _ { 2 } + \lambda - \nu ) ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - \nu ) I _ { ( - \infty , \nu - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - \nu ) ^ { 2 } I _ { ( - \infty , \nu - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } = 1 + \alpha _ { 1 } ^ { * } ( \lambda )
\begin{array} { r } { E _ { \nu , J } ^ { \Lambda } = \sum _ { ( k , l ) \geq ( 0 , 0 ) } \mu ^ { - ( l + k / 2 ) } U _ { k l } ^ { \Lambda } \left( \nu + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { k } \left[ J ( J + 1 ) \right] ^ { l } } \end{array}