harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { j , n _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } } & { = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le m \le i _ { 0 } } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { j } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - j } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { m } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - m } ^ { \leftarrow } ( t ) } \right\} } \\ & { \ge \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { j } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - j } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { 1 } ^ { ( n _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { t ^ { j ( \alpha + \gamma ) } \cdot t ^ { ( i _ { 0 } - j ) ( \alpha + \gamma ) } } { t ^ { \alpha } \ell ( t ) \cdot t ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) ( \alpha + \gamma ) } } = \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( r , \tau ) } & { = c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tau _ { c } } } \, \left[ F _ { 1 } ( r , \tau ) + F _ { 2 } ( r , \tau ) \right] \, , } \\ { F _ { 1 } ( r , \tau ) } & { = g _ { 0 } ( r , \tau ) \, \cos \left( \tilde { \omega } _ { d } \tau + \frac { ( d + 1 ) \gamma } { 2 } - \phi \right) \, , } \\ { F _ { 2 } ( r , \tau ) } & { = \frac { g _ { 0 } ( r , \tau ) } { 2 \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, \sin \left( \tilde { \omega } _ { d } \tau + \frac { ( d + 1 ) \gamma } { 2 } - \phi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathbf { w } } _ { 3 } ^ { \top } } & { ( \mathbf { I } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } ) + \widetilde { \mathbf { w } } _ { 3 } ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } \otimes \mathbf { x } ) + \widetilde { \mathbf { w } } _ { 3 } ^ { \top } ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } ) } \\ & { = \widetilde { \mathbf { w } } _ { 3 } ^ { \top } \left[ ( \mathbf { I } + \mathbf { S } _ { n , n ^ { 2 } } + \mathbf { S } _ { n ^ { 2 } , n } ) ( \mathbf { x } \otimes \mathbf { x } \otimes \mathbf { I } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { 0 } } & { = \Big [ \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { e x t e n d } } ( t ) \mathrm { d } t \Big ] } \\ { \mathbf { w } _ { \mathrm { s i n } } } & { = \Big [ \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { e x t e n d } } ( t ) \sin ( t ) \mathrm { d } t , \cdots , \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { e x t e n d } } ( t ) \sin ( \frac { N } { 2 } t ) \mathrm { d } t \Big ] } \\ { \mathbf { w } _ { \mathrm { c o s } } } & { = \Big [ \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { e x t e n d } } ( t ) \cos ( t ) \mathrm { d } t , \cdots , \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { e x t e n d } } ( t ) \cos ( \frac { N } { 2 } t ) \mathrm { d } t \Big ] . } \end{array}
H ( p ) = 4 \pi N \int \frac { d ^ { 4 } l } { { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } } \left\{ \frac { ( l + p ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } { { [ ( l + p ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] } ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } } + ( p \to - p ) \right\} \delta ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta ( l ^ { 0 } , \mu )
\begin{array} { r l } { d X ( s ) = } & { \ \biggl ( b ( s , \alpha ( s ) ) X ( s ) + \bar { b } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) X ( s - \delta ) \biggr ) d s } \\ & { + \biggl ( X ( s ) \sigma ( s , \alpha ( s ) ) + X ( s - \delta ) \bar { \sigma } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) \biggr ) d W ( s ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \biggl ( X ( s - ) \eta ( s , \alpha ( s - ) , z ) } \\ & { + X ( ( s - \delta ) - ) \bar { \eta } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) , z ) \biggr ) \tilde { N } ( d s , d z ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi \left( \mathcal { S } \right) \mathcal { P } \left( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } \right) = \pi \left( \mathcal { S } ^ { \prime } \right) \mathcal { P } \left( \mathcal { S } ^ { \prime } \rightarrow \mathcal { S } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } } { \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { i / 2 } } \lesssim \frac { \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } } { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { i / 2 } } \to 0 , } \\ { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } } { \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { i / 2 } } \leq \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } } { \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { i / 2 } } \to 0 . } \end{array}
\mathrm { T r } e ^ { - K t } = \mathrm { t r } \int d ^ { 4 } x T \sum _ { p _ { 0 } } \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } e ^ { - i p \cdot x } e ^ { - K t } e ^ { i p \cdot x } \, ,
\nabla \cdot \left( r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta \omega } \right) = \nabla \cdot \big ( r \nabla ^ { \perp } \Psi ( r ) \big ) = \Psi ^ { \prime } ( r ) ( \nabla r \cdot \nabla ^ { \perp } r ) + r ( \nabla \cdot \nabla ^ { \perp } ) \Psi ( r ) = 0 ,
F _ { _ { I } } ^ { \nu } \simeq 1 0 ^ { - 1 3 } \times \left( \frac { 1 0 0 } { N _ { s p } } \times \frac { 1 \; s e c } { \tau _ { _ { 1 / 2 } } } \right) ^ { 2 / 3 } \times
\rho ( \theta ) = - { \frac { 1 } { \pi } } \sum _ { l = 1 } ^ { L } V _ { l } \int _ { \Gamma _ { l } } { \frac { d \theta ^ { \prime } } { { \cal Z } _ { l } ( \theta ^ { \prime } ) } } \log \left| 2 \sin \left( { \frac { \theta ^ { \prime } - \theta } { 2 } } \right) \right| + { \frac { 1 } { \pi } } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \int _ { \Gamma _ { l } } { \frac { d \theta ^ { \prime } } { { \cal Z } _ { l } ( \theta ^ { \prime } ) } } \log \left| 2 \sin \left( { \frac { \theta ^ { \prime } - \theta } { 2 } } \right) \right| \rho ( \theta ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \tau } D \Phi ^ { ( n ) } - n ^ { 2 } \big ( \gamma \Phi ^ { ( n ) } - ( 1 / \bar { \nu } _ { e i } ) D \Phi ^ { ( n ) } \big ) + } \\ & { \qquad + \bar { \rho } _ { i } ^ { 2 } \! \sum _ { n ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } \big ( \partial _ { u } \Phi ^ { ( n - n ^ { \prime } ) } \partial _ { v } D \Phi ^ { ( n ^ { \prime } ) } - } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad - \partial _ { v } \Phi ^ { ( n - n ^ { \prime } ) } \partial _ { u } D \Phi ^ { ( n ^ { \prime } ) } \big ) = 0 \, , } \end{array}
{ \bf p } _ { 1 } = { \bf q } _ { 1 } / 2 + { \bf q } _ { 2 } / 2 + { \bf k } _ { 2 1 } , \qquad { \bf p } _ { 2 } = - { \bf q } _ { 1 } / 2 + { \bf k } _ { 3 2 } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { a } } } & { { } = \mathcal { P } \left( \Delta t \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \Delta t \mathcal { P } \left( \Delta t \right) \cdot \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } _ { n } , t _ { n } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \Delta t \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } + \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } , t _ { n + 1 } \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { { } = \bar { \mathbf { a } } + \left( \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } \right) / 2 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { q _ { n } ( j ) } { q _ { n } ( l ) } } & { = \frac { \left( l - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( l - n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j - n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } = \frac { ( 2 j + 1 ) ^ { 2 } \cdots ( 2 l - 1 ) ^ { 2 } } { ( 2 n - 2 l + 1 ) ^ { 2 } \cdots ( 2 n - 2 j + 1 ) ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { ( 2 j + 1 ) ( 2 j + 2 ) \cdots ( 2 l - 1 ) ( 2 l ) } { ( 2 n - 2 l ) ( 2 n - 2 l + 1 ) \cdots ( 2 n - 2 j + 1 ) } = \frac { ( 2 l ) ! } { ( 2 j ) ! } \cdot \frac { ( 2 n - 2 l - 1 ) ! } { ( 2 n - 2 j - 1 ) ! } } \\ & { = \frac { \left( \begin{array} { c } { 2 l } \\ { 2 j } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { c } { 2 n - 2 j - 1 } \\ { 2 n - 2 l - 1 } \end{array} \right) } \le \left( \begin{array} { c } { 2 l } \\ { 2 j } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { 0 } , n } = \: } & { { } \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } V _ { \mathrm { 0 , 1 } } + \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { i } \right) c _ { \mathrm { E } } \left( 1 - c _ { \mathrm { I } } \right) V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e i } } \ + \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { i } \right) \left( 1 - c _ { \mathrm { E } } \right) V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e e } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { x } _ { \pm } = \frac { L \left( \sqrt { n _ { 1 } } \pm \sqrt { n _ { 2 } } \right) } { 2 \left( \sqrt { n _ { 1 } } \mp \sqrt { n _ { 2 } } \right) } , \quad \hat { B } _ { \pm } = \frac { s ^ { 2 } \left( \sqrt { n _ { 1 } } \mp \sqrt { n _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \quad \frac { \mathbb { P } ( M _ { n } ^ { j } / \sqrt { w _ { n } } \geq x ) } { 1 - \Phi ( x ) } = \frac { \mathbb { P } ( M _ { n } ^ { j } / \sqrt { w _ { n } } \leq - x ) } { 1 - \Phi ( - x ) } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { C \cdot \exp ( \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt { n } } + \frac { x ^ { 2 } } { n } + \frac { 1 } { \sqrt { n } } ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \log n ) ( 1 + x ) ) } & { \mathrm { w h e n } \quad a < 1 - \frac { 1 } { 2 ( \beta + 1 ) } } \\ { C \cdot \exp ( \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt { n } } + \frac { x ^ { 2 } } { \log n } + ( \frac { 1 } { \sqrt { \log n } } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { n } } \log n ) ( 1 + x ) ) } & { \mathrm { w h e n } \quad a = 1 - \frac { 1 } { 2 ( \beta + 1 ) } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } c } & { { } = \boldsymbol \nabla \cdot \Bigl \{ M c \boldsymbol \nabla \bigl [ \mu _ { 0 } ( c ) + \chi _ { s } \, s + \chi _ { p } \, p \bigr ] \Bigr \} \, , } \\ { \partial _ { t } s } & { { } = D \nabla ^ { 2 } s - k _ { 1 } c s + k _ { 2 } p + \Lambda \chi _ { s } \boldsymbol \nabla \cdot ( s \boldsymbol \nabla c ) \, , } \\ { \partial _ { t } p } & { { } = D \nabla ^ { 2 } p + k _ { 1 } c s - k _ { 2 } p + \Lambda \chi _ { p } \boldsymbol \nabla \cdot ( p \boldsymbol \nabla c ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 . 5 2 4 2 } & { 0 . 1 5 5 6 } & { 0 . 1 6 3 7 } \\ { - 0 . 2 8 2 1 } & { - 0 . 0 3 3 3 } & { 0 . 0 2 0 5 } \\ { 0 . 1 4 9 9 } & { - 0 . 0 3 3 6 } & { 0 . 0 3 2 5 } \end{array} \right] = \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 0 } ^ { T } , } \\ { \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 . 3 0 9 1 } & { - 0 . 1 2 6 4 } & { 0 . 2 0 2 0 } \\ { - 0 . 1 2 6 4 } & { - 0 . 1 7 4 9 } & { - 0 . 0 2 7 9 } \\ { 0 . 2 0 2 0 } & { - 0 . 0 2 7 9 } & { 0 . 0 5 3 2 } \end{array} \right] = \varepsilon ^ { * } \Delta _ { 1 } ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { l , m } ( \theta ) } & { { } = ( - 1 ) ^ { m } \sqrt { \frac { 2 l + 1 } { 2 } \frac { ( l - m ) ! } { ( l + m ) ! } } P _ { l } ^ { m } ( \cos { \theta } ) \mathrm { ~ \quad ~ f ~ o ~ r ~ } m \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \phi ^ { \prime \prime } ( z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } } & { { } = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial \beta } { \partial z _ { 2 } } ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \phi ^ { \prime } ( z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) | \psi _ { 0 } \rangle } & { = ( - i ) ^ { n } \sqrt { \frac { 2 ^ { n } } { ( \hbar \omega ) ^ { n } } } ( \hat { A } ^ { \dagger } ) ^ { n } | \psi _ { 0 } \rangle = ( - i ) ^ { n } \sqrt { 2 ^ { n } n ! } | \psi _ { n } \rangle } \\ & { = \frac { ( - i ) ^ { n } } { \sqrt { ( \hbar m \omega ) ^ { n } } } e ^ { \frac { m \omega } { \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } \left[ \hat { p } , \left[ \hat { p } , \cdots \left[ \hat { p } , e ^ { - \frac { m \omega } { \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } \right] \cdots \right] \right] _ { n } | \psi _ { 0 } \rangle . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { c l k } } ^ { ( 2 ) } = { \left( - \Gamma _ { m _ { e } } m _ { e } c ^ { 2 } \bar { \psi _ { e } } \psi _ { e } + \Gamma _ { \alpha } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } / 4 \right) } \phi ^ { 2 } .
C _ { n } = \left( - 1 \right) ^ { n + N / 2 } \sum _ { k = \left( n + 1 \right) / 2 } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \left( n , N / 2 \right) } \frac { k ^ { N / 2 } ( 2 k ) ! } { ( N / 2 - k ) ! k ! ( k - 1 ) ! ( n - k ) ! ( 2 k - n ) ! }
S \approx { \frac { L } { \left( { \frac { \varphi } { \theta } } + 1 \right) L \sin \theta - 1 } } = 1 \left/ \left( \left( { \frac { \varphi } { \theta } } + 1 \right) \sin \theta - { \frac { 1 } { L } } \right) \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { q _ { 0 } } & { \sim \nu _ { \lambda } ( \cdot | z ) } \\ { d q _ { t } } & { = - \nabla V _ { \mathrm { e x t } } ( q _ { t } ) d t + \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } d W _ { t } + \sum _ { \alpha = 1 } ^ { m } \nabla \xi _ { \mathrm { e x t } , \alpha } ( q _ { t } ) d \lambda _ { \alpha , t } } \\ { z ( t ) } & { = \xi _ { \mathrm { e x t } } ( q _ { t } ) . } \end{array} \right.
\mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - 1 } & { - 2 } & { - 3 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { - 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] }
\left. \begin{array} { l } { { \pi _ { F } ( x ) = \frac { \partial { \cal L } ( x ) } { \partial \dot { \psi } _ { F } ( x ) } = i \hbar \psi _ { F } ^ { \dag } ( x ) , \; \tilde { \pi } _ { F } ( x ) = \frac { \partial { \cal L } ( x ) } { \partial \dot { \psi } _ { F } ^ { \dag } ( x ) } = 0 } } \\ { { \pi _ { A } ( x ) = \frac { \partial { \cal L } ( x ) } { \partial \dot { \psi } _ { A } ( x ) } = i \hbar \psi _ { A } ^ { \dag } ( x ) , \; \tilde { \pi } _ { A } ( x ) = \frac { \partial { \cal L } ( x ) } { \partial \dot { \psi } _ { A } ^ { \dag } ( x ) } = 0 } } \end{array} \right\} .
P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } = \frac { 1 } { \mathcal { N } } \int \frac { d ^ { 3 } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \int \frac { d ^ { 3 } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \left| \alpha \left( \vec { q } , \vec { k } \right) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } ( Z ) } & { { } \approx \int _ { p _ { 0 } - 2 \hbar k } ^ { p _ { 0 } } \hat { \psi } ( p ) e ^ { i p Z / \hbar } \, d p + \int _ { p _ { 0 } } ^ { p _ { 0 } + 2 \hbar k } \hat { \psi } ( p ) e ^ { i p Z / \hbar } \, d p } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { L I V } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left[ a _ { \alpha \beta } ^ { \mu } \, \overline { { \psi } } _ { \alpha } \, \gamma _ { \mu } \, P _ { L } \, \psi _ { \beta } - i c _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } \, \overline { { \psi } } _ { \alpha } \, \gamma _ { \mu } \, \partial _ { \nu } P _ { L } \, \psi _ { \beta } \right] + h . c . \, , } \end{array}
{ \bf e } _ { - } \equiv \frac { { \bf p } _ { 1 } } { 2 c } + \frac { 1 } { 2 c } ( { \bf p } { \bf e } _ { + } + { \bf p _ { + } } { \bf e } _ { 1 } - 2 c \epsilon ) { \bf e } _ { + } ,
e _ { 0 } \ q ^ { \mu } \Gamma _ { \mu } ^ { ( 3 ) } ( p , P ; q , Q ) - \sigma Q \ 2 M \Gamma ^ { ( 4 ) } ( p , P ; q , Q , k , k ^ { \prime } ) = e _ { 0 } ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { G ^ { ( 2 ) } ( p ^ { \prime } , P ^ { \prime } ) } - \frac { 1 } { G ^ { ( 2 ) } ( p , P ) } \right] \ .
\boldsymbol { \nabla } \cdot \dot { \boldsymbol { X } } = \mathcal { D } _ { x _ { 1 } } \dot { \boldsymbol { X } } _ { 1 } + \mathcal { D } _ { x _ { 2 } } \dot { \boldsymbol { X } } _ { 2 } + \ldots + \mathcal { D } _ { x _ { p } } \dot { \boldsymbol { X } } _ { p } .
D _ { \mu \nu } ^ { ( B ) } \approx D _ { \mu \nu } ^ { ( A ) } \cos ^ { 2 } \theta _ { W } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ D _ { \mu \nu } ^ { ( 3 ) } \approx D _ { \mu \nu } ^ { ( A ) } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ~ .
\mathbf { R } _ { s } = \mathbf { H } _ { s } \mathbf { P } _ { s } \mathbf { P } _ { s } ^ { H } \mathbf { H } _ { s } ^ { H } \left( \sum _ { l = 1 , l \neq s } ^ { L } \left| q _ { s k } \right| ^ { 2 } \mathbf { H } _ { l } \mathbf { P } _ { l } \mathbf { P } _ { l } ^ { H } \mathbf { H } _ { l } ^ { H } + \sigma _ { w } ^ { 2 } \mathbf { I } _ { K _ { c } } \right) ^ { - 1 } .
( \omega ^ { 2 } - c _ { s } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) \left[ \omega + \frac { c ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } ( k - 2 k _ { 0 } ) k \right] = - \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p e } ^ { 2 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 \omega _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { \Big | \left\langle A _ { 1 } + A _ { 2 } , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle \Big | } & { \leq C _ { \rho , \kappa } \| u \| _ { s - 1 } \| u ^ { 1 } \| _ { s } ^ { 2 } \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\| } \\ & { \leq C _ { \rho , \kappa } \left( 1 + \left\| \sqrt { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \left\| \sqrt { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } } \right) \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } \| u \| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq C _ { \rho , \kappa } \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } \| u \| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { k } ^ { u p ^ { * } } = \operatorname* { m i n } \{ p _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } , \frac { a _ { k } \big [ { { E } } _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } - \zeta _ { k } v C _ { k } J _ { k } \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { \eta } ) f _ { k } ^ { 2 } \big ] } { t _ { k } ^ { u p } } \} , \: \forall , k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { n l n _ { z } } } & { { } = \frac { n ! ( m / \hbar ) ^ { l + 3 / 2 } \omega _ { \perp } ^ { l + 1 } \omega _ { z } ^ { 1 / 2 } } { 2 ^ { n } \pi ^ { 3 / 2 } ( n + l ) ! n _ { z } ! } , } \\ { E _ { n l n _ { z } } } & { { } = \hbar \left[ \omega _ { \perp } ( 2 n + l + 1 ) - l \frac { \omega _ { c } } { 2 } + ( n _ { z } + 1 / 2 ) \omega _ { z } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \parallel } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( J _ { \parallel } - v \rho \right) } \\ { \rho ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( \rho - { \frac { v } { c ^ { 2 } } } J _ { \parallel } \right) } \\ { J _ { \bot } ^ { \prime } } & { { } = J _ { \bot } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { c _ { l } , b _ { l } } ^ { d _ { l } } = \sum _ { b _ { l - 1 } , c _ { l - 1 } , d _ { l - 1 } , a _ { l - 1 } , a _ { l - 1 } ^ { \prime } } } & { { } A _ { c _ { l - 1 } , b _ { l - 1 } } ^ { d _ { l - 1 } } Y _ { d _ { l - 1 } , d _ { l } } ^ { a _ { l - 1 } ^ { \prime } } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { 3 } I _ { i } ( s , z ) = } & { \frac { R e \Omega } { d ^ { 8 } } \Bigg ( - d ^ { 8 } ( 1 + s R e P r ) \lambda _ { i } ^ { 2 } + d ^ { 6 } \Big ( ( 1 + s R e P r ) \big ( 2 - 4 ( z - z _ { d } ) \lambda _ { i } \big ) - 2 \lambda _ { i } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { + 4 d ^ { 4 } \bigg ( 3 + ( z - z _ { d } ) \big [ ( z - z _ { d } ) \lambda _ { i } ^ { 2 } - 6 \lambda _ { i } - ( 1 + s R e P r ) ( z - z _ { d } ) \big ] \bigg ) } \\ & { + 1 6 d ^ { 2 } ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } \big ( \lambda _ { i } ( z - z _ { d } ) - 3 \big ) + 1 6 ( z - z _ { d } ) ^ { 4 } \Bigg ) \exp \bigg ( - \lambda _ { i } z - \frac { ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \{ S _ { i } ^ { [ k ] } ( m ) \} } } & { \quad g \left( \overline { { \texttt { m s e } _ { \pi } ^ { [ 1 ] } } } , \cdots , \overline { { \texttt { m s e } _ { \pi } ^ { [ K ] } } } \right) } \\ { \mathrm { s . t . ~ ~ } } & { ~ ~ \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } S _ { i + 1 } ^ { [ k ] } - S _ { i } ^ { [ k ] } \right] \geq \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } , ~ \forall k . } \end{array}
\left\langle \psi _ { 1 } ^ { 2 } ( \textbf { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) \right\rangle = \left\langle \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) + \boldsymbol { \rho } \boldsymbol { \cdot } \nabla \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) \right\rangle ^ { 2 }
\int ^ { M } d ^ { 4 } k \equiv \int _ { 0 } ^ { M } d k \, k ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta _ { 1 } \, \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta _ { 2 } \, \sin \theta _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 3 }
\left[ n ^ { 2 } \delta _ { i j } - n ^ { i } n ^ { j } - \frac { { \varepsilon } _ { i j } } { \varepsilon _ { 0 } } - i \frac { V _ { 0 } } { \omega } \epsilon _ { i k j } n ^ { k } \right] { E } ^ { j } = 0 .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { b } ^ { \prime } = } & { { } \Delta _ { b } + 2 \mathcal { X } _ { b } ^ { \prime } + G _ { b c } \langle c \rangle ^ { 2 } , } \\ { \Delta _ { c } ^ { \prime } = } & { { } \Delta _ { c } + 2 \mathcal { X } _ { c } ^ { \prime } + G _ { b c } \langle b \rangle ^ { 2 } , } \end{array}
\eta _ { \underline { { { a b } } } } \, V _ { m } ^ { \underline { { { b } } } } \, \eta ^ { i \ell _ { 1 } } \, \epsilon ^ { m \ell _ { 2 } \dots \ell _ { d } } \, \epsilon _ { \ell _ { 1 } \dots \ell _ { d } } \, + \, 2 \, ( d ! ) \, a _ { 1 } \, \eta _ { \underline { { { a b } } } } \, \Pi _ { j } ^ { \underline { { { b } } } } \, h ^ { i j } = 0
S = - \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g _ { 5 } } ( \frac { 1 } { 2 } R + 6 k ^ { 2 } ) + 6 \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g _ { 4 } } k T ( \delta ( x ^ { 5 } ) + \delta ( x ^ { 5 } - \pi \rho ) )
I ( u ) = \sqrt { \sum _ { x \in \mathcal { M } ^ { * } } \left( \frac { \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] - z ( x ) } { \sqrt { \mathrm { V a r } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] + \mathrm { V a r } [ \epsilon _ { \mathrm { m e a s } , x } ] + \hat { \delta } _ { \mathrm { M L E } } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } z ^ { i } } \\ & { \geqslant a _ { n } | z | ^ { n } - \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } a _ { i } | z | ^ { i } } \\ & { \geqslant | z | ^ { n } - ( k - 1 ) \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } | z | ^ { i } } \\ & { = | z | ^ { n } - ( k - 1 ) \frac { | z | ^ { n } - 1 } { | z | - 1 } } \\ & { > | z | ^ { n } - ( k - 1 ) \frac { | z | ^ { n } } { | z | - 1 | } } \\ & { = | z | ^ { n } ( 1 - \frac { k - 1 } { | z | - 1 } ) } \\ & { > | z | ^ { n } ( 1 - 1 ) = 0 } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \infty ) } e ^ { a s } \| U ( s ) \| _ { p } ^ { p } + \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { a s } \sum _ { i } \left\| \nabla \left( \left| U _ { i } ( s ) \right| ^ { p / 2 } \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d s \right] \leq C \mathbb { E } \left[ \left\| U _ { 0 } \right\| _ { p } ^ { p } \right] ,
\begin{array} { r l } { d ( ( x ^ { \prime } , F ( x , x ^ { \prime } ) y ) , ( x ^ { \prime \prime } , F ( x , x ^ { \prime \prime } ) y ^ { \prime } ) ) } & { = d ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) + d ( F ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) F ( x , x ^ { \prime } ) y , F ( x , x ^ { \prime \prime } ) y ^ { \prime } ) } \\ & { = d ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) + d ( F ( x , x ^ { \prime \prime } ) y , F ( x , x ^ { \prime \prime } ) y ^ { \prime } ) } \\ & { = d ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) + d ( y , y ^ { \prime } ) } \\ & { = d ( ( x ^ { \prime } , y ) , ( x ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime } ) ) . } \end{array}