harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) } & { { } = } & { \frac { H _ { 2 } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) } { \beta \varepsilon } = - \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } u Q ( u ) R _ { ( 1 ) } ( u , r / r _ { c } ) \sin \left( u \xi / r _ { c } \right) , } \\ { E _ { 3 } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) } & { { } = } & { \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } u Q ( u ) R _ { ( 0 ) } ( u , r / r _ { c } ) \cos \left( u \xi / r _ { c } \right) , } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { u , \mathbf { A } } \{ \frac { 1 } { 2 } \| u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { A } \| ^ { 2 } - \langle u , \rho \rangle - \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \rangle \}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \mathcal { I } } } ( \mathbf { x } ) } & { = } & { \frac { \mathcal { I } ( \mathbf { x } ) - \mathcal { I } _ { \mathrm { m i n } } } { \mathcal { I } _ { \mathrm { m a x } } - \mathcal { I } _ { \mathrm { m i n } } } \mathrm { \phantom { . . . } ( M i n - m a x ~ n o r m ~ i m a g e ) } , } \\ { \overline { { \mathcal { I } } } ( \mathbf { x } ) } & { = } & { \frac { \mathcal { I } ( \mathbf { x } ) } { \int \mathcal { I } d \mathbf { x } } \mathrm { \phantom { . . . } ( I n t e g r a l ~ n o r m ~ i m a g e ) } , } \\ { \overline { { S } } \equiv ( } & { \overline { { S } } ^ { 1 } , } & { \overline { { S } } ^ { 2 } ) = \frac { S } { \sum S ^ { 1 } } \mathrm { \phantom { . . . } ( S p e c t r a l ~ n o r m ) } , } \end{array}
\hat { g } _ { i j \sigma } = ( 1 - \hat { n } _ { i \bar { \sigma } } ) \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } ( 1 - \hat { n } _ { j \bar { \sigma } } ) + \hat { n } _ { i \bar { \sigma } } \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } \hat { n } _ { j \bar { \sigma } }
{ \dot { \textbf { x } } } ( t ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - d _ { 4 } } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - d _ { 3 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - d _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - d _ { 1 } } \end{array} \right] } { \textbf { x } } ( t ) + { \left[ \begin{array} { l } { n _ { 4 } } \\ { n _ { 3 } } \\ { n _ { 2 } } \\ { n _ { 1 } } \end{array} \right] } { \textbf { u } } ( t )
\frac { \mathcal { D } \sigma _ { i j } } { \mathcal { D } t } = \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial t } + v _ { k } \frac { \partial \sigma _ { i j } } { \partial x _ { k } } \overbrace { - \dot { w } _ { i k } \sigma _ { j k } - \dot { w } _ { j k } \sigma _ { i k } } ^ { - \sigma _ { i j } ^ { \mathcal { R } } } ,
Q = \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \cdots , m } \operatorname* { l i m s u p } _ { j \in \mathbb { N } } \operatorname* { m a x } _ { k = 1 , \dots , j - 1 } \frac { ( \widehat { K } ^ { ( i ) } ) ^ { 2 } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| ^ { 2 } } { \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right) \right| \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) \right| } < 1 ,
\begin{array} { r l } & { \bar { F } _ { n m } ^ { k } ( i ) = \sum _ { s = 0 } ^ { m } \sum _ { t = t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \sum _ { c = c _ { 1 } } ^ { c _ { 2 } } \frac { ( - 1 ) ^ { c + g } } { 2 ^ { 2 n - 2 t } } \frac { ( 2 n - 2 t ) ! } { t ! ( n - t ) ! ( n - m - 2 t ) ! } } \\ & { \times C _ { m } ^ { s } C _ { n - m - 2 t + s } ^ { c } C _ { m - s } ^ { \frac { 1 } { 2 } n - \frac { 1 } { 2 } k - t - c } ( \sin i ) ^ { n - m - 2 t } ( \cos i ) ^ { s } , } \end{array}
{ \vec { a } } = { \vec { a } } _ { 0 } + { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { c } } _ { 0 } \, t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { p } } \, t ^ { 4 }
\lVert \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } \rVert = \lVert \boldsymbol { \Lambda } \rVert \cos \angle ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } , \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } ) ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { U _ { 1 1 } } & { U _ { 1 2 } } \\ { U _ { 2 1 } } & { U _ { 2 2 } } \end{array} \right) ^ { - 1 } T ( \omega ) \left( \begin{array} { l l } { U _ { 1 1 } } & { U _ { 1 2 } } \\ { U _ { 2 1 } } & { U _ { 2 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { B _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { B _ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } } = } & { ~ \phi \nabla \bar { \mu } ^ { \mathrm { I } } , } \\ { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \phi \nabla \left( \rho \bar { \upsilon } ^ { \mathrm { I I } } + \bar { \psi } ^ { \mathrm { I I } } \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } \right) + \mathbf { c } , } \\ { \mathbf { c } = } & { ~ \nabla \left( ( \tilde { \rho } _ { 1 } - \tilde { \rho } _ { 2 } ) \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \frac { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { * } V } & { \cong f ^ { * } p _ { 1 } ^ { * } V ( n , n + d ) _ { k } ^ { \vee } \otimes _ { { \mathcal { O } } _ { U } } f ^ { * } p _ { 2 } ^ { * } { \mathcal { O } } ( - 1 ) \cong W | _ { U } \otimes _ { { \mathcal { O } } _ { U } } ( L ^ { \otimes \ell } ) ^ { \vee } | _ { U } \cong V ^ { \prime } | _ { U } . } \end{array}
F = T ^ { 4 } [ c _ { 0 } + c _ { 2 } g ^ { 2 } + c _ { 3 } g ^ { 3 } + ( c _ { 4 } ^ { \prime } \ln g + c _ { 4 } ) g ^ { 4 } + ( c _ { 5 } ^ { \prime } \ln g + c _ { 5 } ) g ^ { 5 } + O ( g ^ { 6 } ) ] ,
\begin{array} { r l } { \Delta } & { f _ { i j } ( \tau ) = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta \tau \sum _ { k } [ - H _ { i k } ^ { ( 0 ) } f _ { k j } ( \tau ) + f _ { i k } ( \tau ) H _ { k j } ] , } & { \tau < \beta _ { T } , } \\ { - \frac { \Delta \tau } { 2 } \sum _ { k } [ H _ { i k } f _ { k j } ( \tau ) + f _ { i k } ( \tau ) H _ { k j } ] , } & { \tau \ge \beta _ { T } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left. \begin{array} { c c c } { { S _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \nonumber } } \\ { { S _ { \Delta } \nonumber } } \\ { { \tilde { S } _ { \Delta } } } \end{array} \right\} \varpi = ( \varpi + 2 ) \left\{ \begin{array} { c c c } { { S _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \nonumber } } \\ { { S _ { \Delta } \nonumber } } \\ { { \tilde { S } _ { \Delta } } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \int _ { x _ { 2 } } ^ { y } \exp \big ( f [ ( x _ { 2 } , \ell ) \to ( z , m + 1 ) ] - f _ { m } ( z ) \big ) \, d z } \\ { \leq } & { \exp \big ( f [ ( x _ { 2 } , \ell ) \to ( y , m + 1 ) ] - f [ ( x _ { 1 } , \ell ) \to ( y , m + 1 ) ] \big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \int _ { x _ { 2 } } ^ { y } \exp \big ( f [ ( x _ { 1 } , \ell ) \to ( z , m + 1 ) ] - f _ { m } ( z ) \big ) \, d z } \\ { \leq } & { \exp \big ( f [ ( x _ { 2 } , \ell ) \to ( y , m + 1 ) ] - f [ ( x _ { 1 } , \ell ) \to ( y , m + 1 ) ] \big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \int _ { x _ { 1 } } ^ { y } \exp \big ( f [ ( x _ { 1 } , \ell ) \to ( z , m + 1 ) ] - f _ { m } ( z ) \big ) \, d z . } \end{array}
\left( P _ { 1 } + i P _ { 2 } \right) \psi _ { 1 } \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } \right) = \hbar k _ { 1 } \psi _ { 2 } \, \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } \right) , \; \left( P _ { 1 } - i P _ { 2 } \right) \psi _ { 2 } \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } \right) = \hbar k _ { 1 } \psi _ { 1 } \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \pi _ { 1 } ( M ^ { * } ) } & { = \pi _ { 1 } ( U _ { 1 } ^ { * } ) \ast _ { \pi _ { 1 } ( U _ { 1 } ^ { * } \cap U _ { 3 } ^ { * } ) } \pi _ { 1 } ( U _ { 3 } ^ { * } ) \ast _ { \pi _ { 1 } ( U _ { 3 } ^ { * } \cap U _ { 2 } ^ { * } ) } \pi _ { 1 } ( U _ { 2 } ^ { * } ) } \\ & { = \langle a , b , c \, | \, a ^ { 3 } = b ^ { 2 } = c \rangle . } \end{array}
\Tilde { Z } _ { N } \left( t _ { k } ^ { + } , t _ { k } ^ { - } \right) = \frac { 1 } { N ! } \prod _ { l = 1 } ^ { N } \oint \frac { { \mathrm { d } } z _ { l } } { 2 \pi i z _ { l } } \prod _ { 1 \leq i < j \leq N } \left| z _ { i } - z _ { j } \right| ^ { 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { t _ { k } ^ { + } } { k } z _ { i } ^ { k } + \frac { t _ { k } ^ { - } } { k } z _ { i } ^ { - k } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { n 2 } ) ^ { 2 } } & { = \mathbb { V } \{ j ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \frac { \mathbb { V } \{ n _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( \sigma _ { a 2 } ) ^ { 2 } } & { = \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( \sigma _ { b 2 } ) ^ { 2 } } & { = \frac { \mathbb { V } \{ b _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \mathbb { V } \{ b _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { i } ^ { n } ( t ) = \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \left( \lambda _ { i } ^ { * } \right) + \left( \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \right) ^ { \prime } \left( \lambda _ { i } ^ { * } \right) \frac { q ( t ) } { \sqrt { n } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \right) ^ { \prime \prime } \left( \lambda _ { i } ^ { * } + \frac { c \cdot q ( t ) } { \sqrt { n } } \right) \left( \frac { q ( t ) } { \sqrt { n } } \right) ^ { 2 } \quad \mathrm { f o r ~ s o m e } \quad c \in \left( 0 , 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { x } ^ { + } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( n _ { i } - n _ { e } ) d \tilde { x } + F _ { x } ^ { + } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { x } v _ { z } n _ { e } d \tilde { x } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { | \xi ^ { \prime } - \xi | \rightarrow 0 } \ln \coth \frac { 1 } { 2 } | \xi ^ { \prime } - \xi | = + \infty , \: \: \: \operatorname * { l i m } _ { | \xi ^ { \prime } - \xi | \longrightarrow \infty } \ln \coth \frac { 1 } { 2 } | \xi ^ { \prime } - \xi | = 2 e ^ { - | \xi ^ { \prime } - \xi | } \: ;
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) } { \partial t } = } & { { } - \frac { z P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) } { \langle z ( t ) \rangle ^ { ( v ) } } P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) \, , \mathrm { ~ } \forall z \ge 2 \, , } \\ { \frac { \partial P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) } { \partial t } = } & { { } \left[ \frac { 2 P ^ { ( v ) } ( { 2 } , { t } ) } { \langle z ( t ) \rangle ^ { ( v ) } } - 1 \right] P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) \, , } \\ { \frac { \partial P ^ { ( v ) } ( { 0 } , { t } ) } { \partial t } = } & { { } P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) \, , } \\ { \langle z ( t ) \rangle ^ { ( v ) } = } & { { } P ^ { ( v ) } ( { 1 } , { t } ) + 2 P ^ { ( v ) } ( { 2 } , { t } ) + 3 P ^ { ( v ) } ( { 3 } , { t } ) \, . } \end{array}
m \; \ddot { \bf x } \; = \; \frac { e } { c } \left( \nabla { \bf A } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \dot { \bf x } \; - \frac { } { } \dot { \bf x } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla { \bf A } \right) \; = \; \frac { e } { c } \, \dot { \bf x } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf B } ,
\ensuremath { \mathbf { x } } = ( a _ { 1 } , \dots , a _ { 4 } , s _ { 1 } , \dots , s _ { 4 } , \sigma _ { 1 } , \dots , \sigma _ { 4 } , \omega _ { 1 } , \dots , \omega _ { 4 } , \phi _ { 1 } , \dots , \phi _ { 4 } , \varphi _ { 2 } , \dots , \varphi _ { 5 } )
\begin{array} { r l } & { T B P _ { 1 } = ( o i l _ { w , C O O - } ) * ( C a l _ { s , C a O H 2 + } + C a l _ { w , C O 3 C a + } + C a _ { w , C O 3 M g + } ) , } \\ & { T B P _ { 2 } = ( o i l _ { s , N H + } ) * ( C a l _ { w , C O 3 - } + C a , _ { s , C a O - } + C a l _ { s , C a C O 3 - } + C a l _ { s , C a S O 4 - } ) , } \\ & { T B P _ { 3 } = o i l _ { w , C O O C a + } * ( C a l _ { w , C O 3 - } + C a l _ { s , C a O - } + C a l _ { s , C a C O 3 - } + C a l _ { s , C a S O 4 - } ) , } \\ & { T B P _ { 4 } = o i l _ { w , C O O M g + } * ( C a l _ { w , C O 3 - } + C a l _ { s , C a O - } + C a l _ { s , C a C O 3 - } + C a l _ { s , C a S O 4 - } ) , } \\ & { T B P = T B P _ { 1 } + T B P _ { 2 } + T B P _ { 3 } + T B P _ { 4 } . } \end{array}
r _ { 1 } ^ { - 2 } r _ { 5 } ^ { - 2 } [ p ( u ) - p _ { i } ( u ) p ^ { i } ( u ) / r _ { 1 } ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } ( u ) / r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 5 } ^ { 2 } ] = { \frac { \partial } { \partial u } } { \sigma } + \sigma ^ { 2 } .
K _ { r } ^ { \{ A _ { k + 1 } \} } \ = \ \sum _ { j = 1 } ^ { k + 1 } \ { { Y } ^ { j } } _ { 1 1 } \chi _ { j } \ = \ \sum _ { j = 1 } ^ { k + 1 } \ ( - 1 ) ^ { j - 1 } \chi _ { j }
\sin \frac { \delta _ { 3 } - \delta _ { 2 } } { 2 } = \sqrt { 1 + \frac { m _ { u } } { m _ { c } } } \left| V _ { c b } \right| _ { \mathrm { { \tiny ~ e x p } } } = 0 . 0 4 0 1 \pm 0 . 0 0 1 8 \ ,
\vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } , t ) = \bar { J } _ { 1 } \sum _ { n } \vec { J } _ { 1 } ^ { n } ( \vec { x } ) g ^ { n } ( t ) , \qquad \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } , t ) = \bar { J } _ { 2 } \sum _ { n } \vec { J } _ { 2 } ^ { n } ( \vec { x } ) g ^ { n } ( t ) .
\delta T _ { 0 } ^ { 0 } = \delta \varepsilon = \varepsilon _ { , X } \delta X + \varepsilon _ { , \varphi } \delta \varphi = \frac { \varepsilon + p } { c _ { S } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \delta \varphi } { \dot { \varphi } } \right) ^ { . } - \Phi \right] - 3 H \left( \varepsilon + p \right) \frac { \delta \varphi } { \dot { \varphi } }
\begin{array} { r l } { \mathscr E _ { - , \alpha } ^ { \varepsilon } } & { : = \| e ^ { q _ { \alpha } | \xi | ^ { 2 } / 4 } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \} \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \| e ^ { q _ { \alpha + 1 } | \xi | ^ { 2 } / 4 } \{ F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \} \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\tilde { \beta } _ { \mathrm { S T T } } = \beta _ { \mathrm { S T T } } + \frac { q \rho _ { s } } { \rho _ { s } + \alpha } + \varDelta \frac { \epsilon _ { \mathrm { d m } } } { \epsilon _ { \mathrm { n e } } } \frac { \left( q - \beta _ { \mathrm { S T T } } - \beta _ { \mathrm { S O T } } \sin \phi \right) \rho _ { s } + q \alpha } { \rho _ { s } + \alpha }
\frac { A _ { 1 } } { A _ { 0 } } = \frac { 2 k _ { 0 } ( 1 - \frac { A } { 2 B } ) } { ( 1 - \frac { A } { 2 B } ) k _ { 0 } + ( 1 + \frac { A } { 2 ( A + B ) } ) k _ { 1 } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { l } \overline { { u } } \ d y } & { = \int _ { 0 } ^ { l } \partial _ { t } \overline { { u } } \ d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { l } \nu \partial _ { y } ^ { 2 } \overline { { u } } + \partial _ { y } \overline { { [ \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } ] } } \ d y } \\ & { = \nu \left[ \partial _ { y } \overline { { u } } \right] _ { 0 } ^ { l } + \left[ \overline { { [ \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } ] } } \right] _ { 0 } ^ { l } = 0 } \end{array}
\pi = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \prod _ { j = 2 } ^ { m / 2 } ( j , m + 2 - j ) \prod _ { i = 1 } ^ { m / 2 } ( i , m + 1 - i ) , } & { m } & { ~ e v e n } \\ & { \prod _ { j = 2 } ^ { \lceil m / 2 \rceil } ( j , m + 2 - j ) \prod _ { i = 1 } ^ { \lfloor m / 2 \rfloor } ( i , m + 1 - i ) , } & { m } & { ~ o d d } \end{array} \right. ,
\begin{array} { c r } { g _ { \varepsilon } } & { = \sqrt { ( \mathcal { E } + 1 ) ( 1 + \mathcal { E } _ { 0 } ) } \: A \mathrm { ~ R ~ e ~ } \: B , } \\ { f _ { \varepsilon } } & { = \sqrt { ( \mathcal { E } - 1 ) ( 1 - \mathcal { E } _ { 0 } ) } \: A \mathrm { ~ I ~ m ~ } \: B , } \end{array}
M _ { \nu } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { Y ^ { \nu } { \frac { v } { \sqrt 2 } } } } \\ { { ( Y ^ { \nu } ) ^ { T } { \frac { v } { \sqrt 2 } } } } & { { M _ { N } } } \end{array} \right) .
= \phi \left( x _ { u } , \frac { 1 } { N } \left( \sum _ { q \in \mathcal { M } _ { w } } \left( \sum _ { v \in \mathcal { Z } _ { q } } \psi \left( x _ { u } , x _ { v } \right) \right) + \sum _ { r \in \mathcal { Z } _ { w } \backslash u } \psi \left( x _ { u } , x _ { r } \right) \right) \right) \quad .
\begin{array} { r l } { \bar { E } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { B _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { B _ { 2 } } \end{array} \right] , \bar { C } = \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } } & { - C _ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { \bar { Q } ( \gamma , \delta ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { ( \gamma + \delta ) I } & { - \gamma I } \\ { - \gamma I } & { ( \gamma + \delta ) I } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \sf A T } _ { \Omega , J _ { \tau } , J _ { \tau ^ { \prime } } , U } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { Z } \cdot \exp \left[ \sum _ { u v \in E } J _ { \tau } \tau _ { u } \tau _ { v } + J _ { \tau ^ { \prime } } \tau _ { u } ^ { \prime } \tau _ { v } ^ { \prime } + U \tau _ { u } \tau _ { u } ^ { \prime } \tau _ { v } \tau _ { v } ^ { \prime } \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial x } { \partial r } = \frac { 2 \eta } { 3 P } \frac { \partial } { \partial r } \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r q ) } { \partial r } - \frac { 2 } { v _ { g } ^ { 2 } } \left[ \tau _ { \mathrm { d i s } } ^ { - 1 } + \frac { \omega _ { B } ^ { 2 } } { e ^ { 2 } \tilde { R } } \frac { 4 T ^ { 2 } \ln ^ { 2 } 2 } { 3 P v _ { g } ^ { 2 } } \right] q } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \alpha _ { 1 } \tilde { \tau } \frac { \pi ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 9 P v _ { g } ^ { 2 } } \frac { \omega _ { B } ^ { 2 } } { e ^ { 2 } \tilde { R } } \frac { \partial y } { \partial r } . } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \Psi } + { \mathcal { L } } _ { \Psi \Phi } = \Psi ^ { + } ( i \partial _ { 0 } + i { \vec { \partial } } { \vec { \sigma } } ) \Psi - i g \Phi \Psi ^ { + } \sigma _ { 2 } \Psi ^ { * } + i g \Phi ^ { * } \Psi ^ { T } \sigma _ { 2 } \Psi
\begin{array} { r l r } { \frac { 6 } { R _ { p } } \int _ { r = R _ { p } } ( \delta _ { a \alpha } - 3 n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) ) d S ( { \pmb x } ) } & { + } & { \frac { 6 \lambda f ^ { t } } { R _ { p } } \int _ { r = R _ { p } } ( \delta _ { a \alpha } - n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) ) d S ( { \pmb x } ) = } \\ { 2 f ^ { n } \int _ { r = R _ { p } } n _ { a \alpha } ( \pmb x ) d S ( { \pmb x } ) } & { - } & { f ^ { t } \int _ { r = R _ { p } } ( \delta _ { a b } - n _ { a b } ( \pmb x ) ) d S ( { \pmb x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \right| \ \underset { r _ { i } \in \mathbb { N } } { = } \ \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } r _ { i } ^ { 2 } + 2 - Z _ { 0 , 4 } \left( \# \{ i | r _ { i } = 0 \} \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } r _ { i } ^ { 2 } + 2 - \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } \delta _ { r _ { i } , 0 } \ , } \\ & { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \right| \ \underset { r _ { 1 } , r _ { 2 } \in \mathbb { N } + \frac 1 2 } { = } \ \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \left\lfloor r _ { i } ^ { 2 } \right\rfloor + 1 \ , } \\ & { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \right| \ \underset { r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } , r _ { 4 } \in \mathbb { N } + \frac 1 2 } { = } \ \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \left\lfloor r _ { i } ^ { 2 } \right\rfloor + 3 \ . } \end{array}
I _ { n o n - p l a n a r } ^ { T } = \frac { g } { 8 \pi ^ { 2 } } \int p d p k d k \frac { J _ { 0 } ( \tilde { p } k ) } { ( e ^ { \beta ( \frac { k ^ { 2 } } { 2 } - \mu ) } - 1 ) ( e ^ { \beta ( \frac { k ^ { 2 } } { 2 } - \mu ) } - 1 ) } .
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 2 ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \qquad + \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) + \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( c ) } { \leq } 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( d ) } { \leq } 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 2 L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \underbrace { \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 , 1 } } + \bigg \| \gamma \alpha _ { t - 1 } \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
V \frac { \partial U } { \partial y } = \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } } V _ { o } \frac { d U _ { o } } { d y _ { o } } \frac { U _ { e } } { x } = \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { x } V _ { o } \frac { d U _ { o } } { d y _ { o } } ,
\begin{array} { r l } { \big \| \theta _ { m } - \theta _ { m - 1 } \big \| _ { C ^ { 0 , \mu } ( [ t _ { 0 } , 1 ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } } & { { } \leq \big \| \theta _ { m } - \theta _ { m - 1 } \big \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , 1 ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } ^ { 1 - \mu } \big \| \partial _ { t } ( \theta _ { m } - \theta _ { m - 1 } ) \big \| _ { L ^ { \infty } ( [ t _ { 0 } , 1 ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } ^ { \mu } } \end{array}
\zeta _ { i } ( z | \beta ) = \sum _ { \omega } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } d _ { i } ( \omega ) \left[ \left( { \frac { 2 \pi } { \beta } } ( k + l _ { i } ) \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right] ^ { - z } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { I } _ { \alpha } ^ { \uparrow } ( A { \, : \, } B X ) _ { \rho } } \\ { = } & { \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { B X } } \log ( \sum _ { x } p _ { x } ^ { \alpha } q _ { x } ^ { - \alpha ^ { \prime } } \exp ( ( \alpha ^ { \prime } ) \mathbb { D } _ { \alpha } ( \rho _ { A B } ^ { x } | | \rho _ { A } \otimes \tau _ { B } ^ { x } ) ) ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { - \alpha ^ { \prime } } \operatorname* { m i n } _ { q \in \mathcal { P } ( \mathcal { X } ) } \log ( \sum _ { x } p _ { x } ^ { \alpha } q _ { x } ^ { - \alpha ^ { \prime } } \exp ( ( \alpha - 1 ) \mathbb { I } _ { \alpha } ( \rho _ { A B } ^ { x } | | \rho _ { A } ) ) ) \ , } \end{array}
u _ { 1 } ( { \bf k } ) = \left[ \frac { ( k _ { 0 } + m ) } { 2 m } \right] ^ { 1 / 2 } \left[ \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { { \bf k } } } \\ { { \overline { { { ( k _ { 0 } + m ) } } } } } \end{array} \right] \; \; \; , \; \; \; u _ { 2 } ( { \bf k } ) = \left[ \frac { ( k _ { 0 } - m ) } { 2 m } \right] ^ { 1 / 2 } \left[ \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { { \bf k } } } \\ { { \overline { { { ( k _ { 0 } - m ) } } } } } \end{array} \right] \; .
\hat { \varepsilon } _ { r } = \left| \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { g } - a _ { 1 1 } } } & { { a _ { 1 2 } } } & { { 0 } } \\ { { a _ { 2 1 } } } & { { \epsilon _ { g } - a _ { 2 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { a _ { 3 2 } } } & { { \epsilon _ { g } + a _ { 3 3 } } } \end{array} \right| ,