harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = s _ { 0 } } H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s _ { 0 } } ^ { Y } ( p ) ) ) ) } & { = D H _ { - t } ^ { X } \left( \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = s _ { 0 } } H _ { s } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s _ { 0 } } ^ { Y } ( p ) ) ) \right) } \\ & { = D H _ { - t } ^ { X } \left( Y ( H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s _ { 0 } } ^ { Y } ( p ) ) ) ) \right) } \\ & { = Y ( H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s _ { 0 } } ^ { Y } ( p ) ) ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } = \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } \frac { ( 1 + \left\| \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } \right\| _ { L ^ { \infty } } ) ^ { p } } { ( 1 + \left\| \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } \right\| _ { L ^ { \infty } } ) ^ { p } } } \\ { \leq } & { C _ { p } \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left( 1 + \left\| \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } \right\| _ { L ^ { \infty } } ^ { p } \right) } \\ { \leq } & { C _ { p } \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } \left( 1 + \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left\| \partial _ { z } v _ { n } \right\| _ { L ^ { \infty } } ^ { \frac p 2 } \right) } \\ { \leq } & { C _ { p } \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } \left( 1 + \| \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ^ { \frac p 2 } + \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left\| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \right\| _ { L ^ { \infty } } ^ { \frac p 2 } \right) \leq C _ { p , \kappa } \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { \mathrm { s } } } & { { } = } & { T ( \eta ) \left( \frac { P _ { \mathrm { i } } } { \hbar \omega } \right) \tau \, , } \\ { N _ { \mathrm { b } } } & { { } = } & { T ( 0 ) \left( \frac { P _ { \mathrm { i } } } { \hbar \omega } \right) \tau + n _ { \mathrm { d c } } \tau \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x , y ) } & { { } \approx \mathcal { N } \sqrt { 2 \pi } \int \mathrm { d } u \, \mathrm { d } v \, \smash { \widetilde { \psi } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \left( 0 , \frac { u } { \sqrt [ 6 ] { 3 } \, \delta _ { a } } - \frac { 2 \pi } { \lambda } \sin \theta \right) \mathcal { U } _ { \mathrm { ~ H ~ } } \left( u , v , \sqrt [ 3 ] { 3 } \frac { x - L _ { c } } { \delta _ { a } } , \frac { y \cos \theta - 2 L _ { c } \sin ^ { 3 } \theta } { \sqrt [ 6 ] { 3 } \, \delta _ { a } \cos \theta } , - \frac { \lambda L _ { c } } { 2 \pi \sqrt [ 3 ] { 3 } \, \delta _ { a } ^ { 2 } } \frac { \cos 2 \theta } { \cos \theta } \right) , } \end{array}
\kappa _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { - ( \ell + 1 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } j = \ell + \frac { 1 } { 2 } , } \\ { + \, \ell } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } j = \ell - \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right.
\bar { H } ( \Phi _ { 0 } ( { \bf k } , t ) , \Pi _ { 0 } ( { \bf k } , t ) ) = \frac { 1 } { 2 } \Pi _ { 0 } ^ { 2 } ( { \bf k } , t ) + \Bigl [ \omega _ { \bf k } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \phi _ { c l } ^ { 2 } ( t ) + \frac { \lambda } { 2 } g _ { 1 1 } ( { \bf 0 } , t ) \Bigr ] \frac { \Phi _ { 0 } ^ { 2 } ( { \bf k } , t ) } { 2 } .
\frac { \Ddot { a } ( t ) } { a ( t ) } = - \frac { 4 \pi G } { 3 } \rho ( R ( t ) , t ) \quad \Rightarrow \quad \Ddot { R } ( t ) = - \frac { 4 \pi G } { 3 } \rho ( R ( t ) , t ) R ( t ) \ .
\begin{array} { r l } & { \geq x \tilde { b } _ { \bar { t } } + z _ { \bar { t } } + p _ { y } ( \bar { t } + \delta _ { N } ) + y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } - y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta \uparrow \delta _ { N } } x \tilde { b } _ { \bar { t } } + z _ { \bar { t } } + p _ { y } ( \bar { t } + \delta ) \geq 0 , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \mathcal { P } _ { \mathbb { V } } \xi _ { j } \mathcal { P } _ { \mathbb { V } } f ) = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \mathcal { P } _ { \mathbb { V } } \mathcal { L } \mathcal { P } _ { \mathbb { V } } f .
\begin{array} { r l } { \int _ { [ 0 , 1 ] \times \Omega } \| v \| ^ { 2 } d \rho + \lambda | \zeta | } & { = \int _ { [ 0 , 1 ] \times \Omega } \| v \| ^ { 2 } \, d \gamma _ { t } \, d t + \lambda | \zeta | } \\ & { = \int _ { \Omega } \| T ( x ^ { 0 } ) - x ^ { 0 } \| ^ { 2 } \, d \gamma _ { 0 } ^ { * } ( x ^ { 0 } ) + \lambda ( | \nu _ { 0 } | + | \nu ^ { 1 } | ) } \\ & { = \int _ { \Omega ^ { 2 } } \| x ^ { 0 } - x ^ { j } \| ^ { 2 } \, d \gamma ^ { * } ( x ^ { 0 } , x ^ { j } ) + \lambda ( | \mu ^ { 0 } - \gamma _ { 0 } ^ { * } | + | \mu ^ { j } - \gamma _ { 1 } ^ { * } | ) } \\ & { = O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) } \end{array}
1 = \int D \rho \delta \left( \rho ( { \bf x } ) - \rho _ { \mathrm { g a s } } ( { \bf x } ) \right) = \int D \rho D \lambda \exp \left\{ i \left[ \sum _ { a = 1 } ^ { N } q _ { a } \lambda ( { \bf z } _ { a } ) - \int d ^ { 3 } x \lambda \rho \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { { } : \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ ) ~ } \to v _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } } & { { } : v _ { 1 } \to v _ { 2 } , } \\ { e _ { 3 } } & { { } : v _ { 2 } \to v _ { 3 } , } \\ { e _ { 4 } } & { { } : v _ { 3 } \to v _ { 4 } , } \\ { e _ { 5 } } & { { } : v _ { 4 } \to v _ { 1 } , } \\ { e _ { 6 } } & { { } : v _ { 3 } \to \mathrm { ~ ( ~ o ~ u ~ t ~ p ~ u ~ t ~ ) ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { E 0 } } & { { } = } & { ( q / c ) \, \psi \, { \sf d } \theta , } \\ { \gamma _ { E 1 } } & { { } = } & { \frac { q } { c } \, \Psi _ { 1 } ( \psi ) \; { \sf d } \theta \; + \; m { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \frac { \partial \bf x } { \partial \psi } \, { \sf d } \psi + \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \, { \sf d } \theta \right) , } \end{array}
T _ { D D } ( L , m , d , z ) = \frac { 2 g } { L } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sin ^ { 2 } ( \frac { n \pi z } { L } ) \int d ^ { d - 1 } p \frac { 1 } { ( \vec { p } ^ { \, 2 } + ( \frac { n \pi } { L } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } .
{ ^ { ( + ) } \xi } ^ { i } = \left( - \beta \partial _ { \phi } { ^ { ( + ) } \xi } ^ { \phi } ( x ^ { + } ) , { ^ { ( + ) } \xi } ^ { \phi } ( x ^ { + } ) \right) , \qquad { ^ { ( - ) } \xi } ^ { i } = \left( - \beta \partial _ { \phi } { ^ { ( - ) } \xi } ^ { \phi } ( x ^ { - } ) , { ^ { ( - ) } \xi } ^ { \phi } ( x ^ { - } ) \right)
\begin{array} { r l r } { \mathcal D _ { x } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 } \frac { \langle ( \Delta x _ { 2 } - \Delta x _ { 1 } ) ^ { 2 } \rangle } { z ^ { 2 } } } \end{array}
{ \frac { \partial f } { \partial \rho } } { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial f } { \partial \varphi } } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } + { \frac { \partial f } { \partial z } } { \hat { \mathbf { z } } }
\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \{ \hat { P } _ { 3 } ( s ) \} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } = \| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \cosh ( l s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cosh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cdots \cosh ( l _ { n - 1 } s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } \right\} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } \leq 1 + \left| \frac { l _ { 1 } - l _ { n } } { l _ { n } } \right| ,
\langle \phi ^ { \alpha } ( x _ { 1 } ) \phi ^ { \beta } ( x _ { 2 } ) O ( x _ { 3 } ) O ( x _ { 4 } ) \rangle = Y ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) \delta ^ { \alpha \beta } ,
\begin{array} { r l } { \P ( \boldsymbol Z ^ { ( 1 ) } + \ldots + \boldsymbol Z ^ { ( n ) } \in t A ) } & { \sim \frac { 1 } { ( b _ { 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) ^ { i } ) } \frac { n ! } { ( n - i ) ! } \prod _ { j = 1 } ^ { i } x _ { j } ^ { - \alpha } } \\ & { = C _ { n , i } \prod _ { j = 1 } ^ { i } \frac { x _ { j } ^ { - \alpha } } { b _ { 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) } } \\ & { \sim C _ { n , i } \prod _ { j = 1 } ^ { i } \P ( Z _ { j } > t x _ { i } ) , } \end{array}
\mathcal I _ { P } ^ { n + \frac 1 2 } = \mathcal I _ { P , \mathrm { ~ W ~ } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { ~ E ~ } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { ~ S ~ } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { ~ N ~ } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { ~ B ~ } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { ~ T ~ } } ^ { n + \frac 1 2 } \, ,
\cup : \textrm { T o t } \left( \textrm { T o t } ( C ^ { \bullet } ( \mathcal { U } , \mathcal { F } ^ { \bullet } ) ) \otimes \textrm { T o t } ( C ^ { \bullet } ( \mathcal { U } , \mathcal { G } ^ { \bullet } ) ) \right) \to \textrm { T o t } ( C ^ { \bullet } ( \mathcal { U } , \textrm { T o t } ( \mathcal { F } ^ { \bullet } \otimes \mathcal { G } ^ { \bullet } ) ) ) .
\begin{array} { r } { \widetilde { Q } _ { w } = \widetilde { Q } _ { n , w } = \frac { Q _ { n , w } } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } Q _ { n , w } } = \frac { \sum _ { p _ { w } = 1 } ^ { P _ { w } } \rho _ { w } V _ { n , p _ { w } } } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } \left( \sum _ { p _ { w } = 1 } ^ { P _ { w } } \rho _ { w } V _ { n , p _ { w } } \right) } \qquad \qquad w = 1 , 2 , . . . , W } \end{array}
\tilde { F } _ { c } ^ { ( t ) } = \epsilon _ { \mathrm { i } } ^ { ( t ) } \times \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 + \tilde { a } } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ A ~ } } \\ { \frac { e ^ { 4 \tilde { L } } + e ^ { 4 \tilde { a } } + 2 e ^ { 2 \tilde { L } + 2 \tilde { a } } [ \cos ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) - 2 ] } { e ^ { 4 \tilde { L } } ( \tilde { a } + 1 ) + e ^ { 4 \tilde { a } } ( \tilde { a } - 1 ) - 2 e ^ { 2 \tilde { L } + 2 \tilde { a } } [ \tilde { a } \cos { ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) } + \sin { ( 2 \tilde { L } - 2 \tilde { a } ) ] } } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ B ~ } } \\ { \frac { ( \tilde { L } - \tilde { a } ) ^ { 3 } } { 2 \tilde { L } ^ { 2 } - \tilde { a } ^ { 2 } - \tilde { L } \tilde { a } } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ C ~ } , } \end{array} \right.
( x _ { i + 3 } , f _ { i + 3 } ) \rightarrow f _ { i + 3 } = f _ { i } + \frac { f _ { i } ^ { \prime } } { 1 ! } ( 3 h ) + \frac { f _ { i } ^ { \prime \prime } } { 2 ! } ( 3 h ) ^ { 2 } \rightarrow f _ { i + 3 } = f _ { i } + 3 h f _ { i } ^ { \prime } + \frac { 9 } { 2 } h ^ { 2 } f _ { i } ^ { \prime \prime }
\mathsf { a } _ { \mu \nu } , \mathsf { b } _ { \mu } \gets \mathsf { a } _ { \mu \nu } + \nabla \mathsf { U } _ { \mu } \cdot \nabla \mathsf { U } _ { \nu } \, \mathrm { d } t / 4 , \mathsf { b } _ { \mu } - \nabla \mathsf { U } _ { \mu } \cdot \mathrm { d } \tilde { { \boldsymbol { x } } } / 2
\left( c - 1 \right) \left( \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } ^ { 2 } + \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } \right) \sigma _ { 3 \tilde { j } \tilde { i } } \tilde { \varepsilon } ^ { \tilde { i } \tilde { d } } \xi _ { \tilde { d } } \hat { \mu } ^ { 3 \tilde { j } } = 0 .
\begin{array} { r l } { { \bf u } } & { { } = \breve { { \bf u } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 1 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \bf T } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \breve { { \bf t } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 2 } ; } \\ { \bar { c } } & { { } = \breve { \bar { c } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 3 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad - { \bf j } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \breve { j } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 4 } ; } \\ { \phi } & { { } = \breve { \phi } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 5 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad - \textbf { d } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \breve { \varpi } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 6 } ; } \\ { \bar { \xi } } & { { } = \breve { \bar { \xi } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 7 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \lambda _ { \xi } \nabla \bar { \xi } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 8 } ; } \\ { \mathrm { ~ d ~ } } & { { } = \breve { \mathrm { ~ d ~ } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 9 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \nabla \mathrm { ~ d ~ } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 1 0 } . } \end{array}
\frac { \eta v _ { z } ^ { * } L } { P ^ { * } R _ { 0 } ^ { 2 } } \hat { r } ^ { - 1 } \partial _ { \hat { r } } \left[ \hat { r } \partial _ { \hat { r } } \hat { v } _ { z } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) \right] = \partial _ { \hat { z } } \hat { P } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) .
\left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) _ { z = z _ { 0 } + d } = \mathbf M ( d ) \left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) _ { z = z _ { 0 } } .
\frac { K } { 2 } \int _ { R } \sqrt { - g } g ^ { r r } \phi ( - k , r ) \partial _ { r } \phi ( k , r ) \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } - \frac { K } { 2 } \int _ { L } \sqrt { - g } g ^ { r r } \phi ( - k , r ) \partial _ { r } \phi ( k , r ) \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \ ,
B _ { n } + i A _ { n } = \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \left. \frac { \partial ^ { n - 1 } \left( B _ { y } + i B _ { x } \right) } { \partial ( x + i y ) ^ { n - 1 } } \right\rvert _ { x = 0 , y = 0 }
\begin{array} { r l } { e _ { s } \, v _ { 0 } ^ { a } } & { = C G ( \frac { a _ { i _ { 0 } - 1 } } { 2 } , \frac { a _ { i _ { 0 } - 1 } } { 2 } ; \, \frac { a _ { i _ { 0 } } } { 2 } , - \frac { a _ { i _ { 0 } } } { 2 } \, | \, \frac { m } { 2 } , \frac { m } { 2 } - s ) \, \, v _ { 0 } ^ { a _ { i _ { 0 } - 1 } } } \\ & { = \sqrt { \frac { ( m + 1 ) ! \; ( a _ { i _ { 0 } } ) ! \; ( a _ { i _ { 0 } - 1 } ) ! } { \big ( \frac { a _ { i _ { 0 } } + a _ { i _ { 0 } - 1 } + m } { 2 } + 1 \big ) ! \; \big ( \frac { a _ { i _ { 0 } } + a _ { i _ { 0 } - 1 } - m } { 2 } \big ) ! } } \, \, v _ { 0 } ^ { a _ { i _ { 0 } - 1 } } \ne 0 . } \end{array}
\underbrace { \frac { 1 } { 2 } \langle \rho v _ { r } \rangle _ { r \varphi } \Omega } _ { \mathrm { r a d i a l \: f l o w s } } = \underbrace { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } r ^ { 2 } \mathcal { T } _ { r \varphi } } _ { \mathrm { t u r b u l e n t \: s t r e s s \: \sim \ a l p h a } } + \underbrace { \frac { \partial } { \partial z } \mathcal { T } _ { z \varphi } } _ { \mathrm { w i n d \: s t r e s s \: \sim \ a l p h a _ { z } } } .
\operatorname { L i } _ { 3 } ( { \frac { 1 } { 2 } } ) = { \frac { 1 } { 6 } } ( \ln 2 ) ^ { 3 } - { \frac { 1 } { 1 2 } } \pi ^ { 2 } \ln 2 + { \frac { 7 } { 8 } } \zeta ( 3 ) ,
\delta ^ { * } : = \frac { k _ { 1 } } { 2 k _ { 2 } } ( K _ { M } + e _ { 0 } ) \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { 4 k _ { 2 } } { k _ { 1 } } \frac { e _ { 0 } } { ( K _ { M } + e _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \left\| { U - U ^ { * } H ^ { \top } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { = \left\| { U U ^ { \top } U - U ^ { * } U ^ { * \top } U } \right\| _ { \mathrm { o p } } \leq \left\| { U U ^ { \top } - U ^ { * } U ^ { * \top } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \left\| { U } \right\| _ { \mathrm { o p } } \leq \left\| { U U ^ { \top } - U ^ { * } U ^ { * \top } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\lambda _ { \nu _ { e } } ( E ) = \lambda _ { \nu _ { e } } ^ { 0 } \frac { E _ { 0 } ^ { 2 } } { E ^ { 2 } } \, , \qquad \lambda _ { \nu _ { \mu } , \nu _ { \tau } } ( E ) = \lambda _ { \nu _ { \mu } , \nu _ { \tau } } ^ { 0 } \frac { E _ { 0 } ^ { 2 } } { E ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { t = } & { \; 2 a ^ { 2 } \bar { b } \bar { a } - a b \bar { a } ^ { 2 } + 3 a \bar { a } T ( k , j ) + b \bar { a } T ( j , j ) + \bar { a } T ( j \times j , k ) - T ( j , j ) T ( k , j ) + 2 T ( j , k ) T ( j , j ) } \\ & { \; + 2 b \bar { a } T ( j , j ) + 2 \bar { a } T ( j \times k , j ) + \bar { b } T ( j \times j , j ) + 2 T ( ( j \times k ) \times j , j ) - T ( ( j \times j ) \times k , j ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { n } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) } & { = } & { 2 \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( B _ { j } ^ { ( 1 ) } a _ { j } - A _ { j } ^ { ( 1 ) } b _ { j } \right) \Phi _ { n - 1 } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) + \Phi _ { n - 2 } ( i \mathcal { L } z _ { l } ) } \\ & { = } & { \mathcal { F } _ { l } ^ { ( n ) } ( B _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \dots , B _ { M } ^ { ( 1 ) } , B _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \dots , B _ { M } ^ { ( 2 ) } , \{ A _ { \nu _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } , A _ { \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \dots , A _ { \nu _ { 1 } , \dots , \nu _ { n } } ^ { ( n ) } \} ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 0 } ( x ) } & { \in C ^ { 2 + \alpha } ( \bar { \Omega } ) , \qquad \qquad g \in \mathcal { C } ^ { \alpha , \frac { \alpha \nu } { 2 } } ( \bar { \Omega } _ { T } ) , } \\ { \psi ( x , t ) } & { \in \mathcal { C } ^ { 2 + \alpha , \frac { 2 + \alpha } { 2 } \nu } ( \partial \Omega _ { T } ) , \quad \psi _ { 1 } ( x , t ) \in \mathcal { C } ^ { 1 + \alpha , \frac { 1 + \alpha } { 2 } \nu } ( \partial \Omega _ { T } ) , } \end{array}
\sum _ { a = 1 } ^ { 2 } \overline { { { \psi _ { a } } } } ( x ) \psi _ { a } ( x ) \longrightarrow \frac { ( - 1 ) ^ { x } } { 2 a } ( \psi _ { 1 , x } ^ { \dagger } \psi _ { 1 , x } + \psi _ { 2 , x } ^ { \dagger } \psi _ { 2 , x } - 1 ) \quad ;
\begin{array} { r l } { \mathcal D _ { i j } } & { { } \approx \left( \begin{array} { c c } { D _ { A } ( 1 + \psi ) } & { D _ { A } ( \psi + \chi \phi _ { 0 } ) } \\ { D _ { I } ( \psi + \chi \phi _ { 0 } ) } & { D _ { I } ( 1 + \psi ) } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { Q } ( \gamma , \delta , \tilde { \mu } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { ( \gamma + \delta ) I } & { - \gamma I } & { 0 } \\ { - \gamma I } & { ( \gamma + \delta ) I } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \tilde { \mu } I } \end{array} \right] , } \\ { \tilde { R } ( \tilde { \eta } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { \eta } I } \end{array} \right] . } \end{array}
\Phi _ { 1 } ^ { \prime } = \left[ p _ { \mu } + q A _ { \mu } \right] g ^ { \mu \nu } \left[ p _ { \nu } + q A _ { \nu } \right] - m ^ { 2 } = 0 \; , \; \; g ^ { \alpha \nu } g _ { \nu \beta } = \delta _ { \beta } ^ { \alpha } \; .
\begin{array} { r l r } { \| \hat { g } ( \theta , \xi ) \| ^ { 2 } } & { = } & { \left\| \delta ^ { k } ( \xi ) \cdot \nabla Q ( s , a ; \theta ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { 3 ( \delta ^ { 0 } ( \xi ) ) ^ { 2 } + 3 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta - \theta ^ { 0 } \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { 9 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \operatorname* { m a x } _ { ( s , a ) } | Q ( s , a ; \theta ^ { 0 } ) | ^ { 2 } + 9 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + \frac { 1 0 8 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| Q ^ { 0 } - T Q ^ { 0 } \| _ { \mu } ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } , } \end{array}
{ \mathcal { E } _ { - i } } | _ { \mathcal { I } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left\{ e \in \mathcal { E } _ { - 1 } \mid \rho ( e ) [ \mathcal { O } ] \subseteq \mathcal { I } \right\} } & { \mathrm { f o r } \; i = 1 } \\ { \frac { \mathcal { E } _ { - i } } { \mathcal { I } \mathcal { E } _ { - i } } } & { \mathrm { f o r } \; i \geq 1 } \end{array} \right.
E _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \dot { \chi _ { j } } ^ { 2 } ( { \bf k } , t _ { 0 } ) + k ^ { 2 } \chi _ { j } ^ { 2 } ( { \bf k } , t _ { 0 } ) + m _ { \chi _ { j } } ^ { 2 } \chi _ { j } ^ { 2 } ( { \bf k } , t _ { 0 } ) + g _ { j } ^ { 2 } \varphi ( t _ { 0 } ) \chi _ { j } ^ { 2 } ( { \bf k } , t _ { 0 } ) \right] \; .
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { \rho } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda x } d G ( x ) } & { = \lambda ^ { \rho + 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } G ( x ) e ^ { - \lambda x } d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { \rho } G ( x / \lambda ) e ^ { - x } d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \lambda } \lambda ^ { \rho } G ( x / \lambda ) e ^ { - x } d x + \int _ { \lambda } ^ { \infty } \lambda ^ { \rho } G ( x / \lambda ) e ^ { - x } d x } \\ & { \leq \lambda ^ { \rho } G ( 1 ) ( 1 - e ^ { - \lambda } ) + \operatorname* { s u p } _ { x \geq 1 } \frac { G ( x ) } { x ^ { \rho } } \int _ { \lambda } ^ { \infty } x ^ { \rho } e ^ { - x } d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( \mathbb { P } \big ( \Phi ( \mathcal { I } _ { i } ) > \Phi ( I _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \Phi ( \mathcal { I } _ { i } ) < \Phi ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) \Big ) \Big ( \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } ( I _ { i } ) > \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { i } ) < \widetilde { \Phi } ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) \Big ) > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \vphantom { \bigg ( } } } & { { \begin{array} { c c c c c c } { { \quad \, H _ { u } ^ { 0 } } } & { { \ \ H _ { d } ^ { 0 } } } & { { \quad L ^ { 0 } } } & { { \quad \ N ^ { c } } } & { { \quad S } } & { { } } \end{array} } } \\ { { \widehat { M } _ { N S } = \begin{array} { l } { { H _ { u } ^ { 0 } } } \\ { { H _ { d } ^ { 0 } } } \\ { { L ^ { 0 } } } \\ { { N ^ { c } } } \\ { { S } } \end{array} } } & { { \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { H } } & { { G ^ { T } } } & { { 0 } } & { { \rho _ { d } M ^ { T } } } \\ { { H } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho _ { u } M ^ { T } } } \\ { { G } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho _ { u } M } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho _ { u } M ^ { T } } } & { { N } } & { { T ^ { T } } } \\ { { \rho _ { d } M } } & { { \rho _ { u } M } } & { { 0 } } & { { T } } & { { S } } \end{array} \right) } } \end{array}
2 z _ { i j } \equiv 2 z _ { 3 3 } + \left( \begin{array} { c c c } { { 2 \alpha + 2 \gamma } } & { { \alpha + 2 \gamma } } & { { \alpha + \gamma } } \\ { { \alpha + 2 \gamma } } & { { 2 \gamma } } & { { \gamma } } \\ { { \alpha + \gamma } } & { { \gamma } } & { { 0 } } \end{array} \right) _ { i j } \qquad \mathrm { m o d } \ K
\xi _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } ( 0 , t ) = \frac { \ensuremath { \mathbf { { \ell } } } _ { i } ( 0 ) \cdot \ensuremath { \mathbf { { \ell } } } _ { i } ( t ) } { \ensuremath { \mathbf { { \ell } } } _ { i } ( 0 ) \cdot \ensuremath { \mathbf { { \ell } } } _ { i } ( 0 ) } ,
K _ { \lambda g } ( v , w ) = { \frac { \lambda g \left( R ^ { \lambda g } ( v , w ) w , v \right) } { | v | _ { \lambda g } ^ { 2 } | w | _ { \lambda g } ^ { 2 } - \langle v , w \rangle { \vphantom { | } } _ { \lambda g } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { \lambda } } { \frac { g \left( R ^ { g } ( v , w ) w , v \right) } { | v | _ { g } ^ { 2 } | w | _ { g } ^ { 2 } - \langle v , w \rangle { \vphantom { | } } _ { g } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { \lambda } } K _ { g } ( v , w ) .