harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbf { b } } _ { \ell } = \sigma _ { \ell } ( u _ { \ell } ^ { \star } ) = \left( a ( \chi _ { \xi _ { 1 } } ^ { ( \ell ) } , u _ { \ell } ^ { \star } ) , \dots , a ( \chi _ { \xi _ { n _ { \ell } } } ^ { ( \ell ) } , u _ { \ell } ^ { \star } ) \right) ^ { T } = \left( \langle \chi _ { \xi _ { 1 } } ^ { ( \ell ) } , f \rangle _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } , \dots , \langle \chi _ { \xi _ { n _ { \ell } } } ^ { ( \ell ) } , f \rangle _ { L _ { 2 } ( \mathbb { M } ) } \right) ^ { T } \! \! . } \end{array}
\left[ X ^ { \mu } , X ^ { \nu } \right] = \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } 2 \alpha ^ { \prime } \left( \frac { - 2 \pi \alpha ^ { \prime } F } { 1 - ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } F ) ^ { 2 } } \right) ^ { \mu \nu } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { ( \rho \rho ^ { \prime } ) ^ { m } + ( \rho / \rho ^ { \prime } ) ^ { m } } { m } \sin m \epsilon .
\begin{array} { r l } { U _ { s } ( y , z , y _ { c } , z _ { c } , t ) } & { = \hat { U } _ { s } ( \xi _ { s } , \eta _ { s } , \xi _ { s c } , \eta _ { s c } , t ) = U _ { s 0 } ( t ) g ( \xi _ { s } , \eta _ { s } ) , } \\ { \mathrm { ~ ~ ~ w h e r e ~ } } & { \xi _ { s } = y / W _ { s } , ~ \eta _ { s } = z / H _ { s } , ~ \xi _ { s c } = y _ { c } / W _ { s } , ~ \eta _ { s c } = z _ { c } / H _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { \prime } [ n ] } & { { } = \frac { V ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ n ] } { T _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ n ] } } \\ { V ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ n ] } & { { } = E _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ } } + E _ { \mathrm { ~ J ~ } } + E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } + E _ { \mathrm { ~ n ~ n ~ } } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { v _ { 2 } \to v _ { \operatorname* { m i n } } ^ { + } } M _ { 2 , \operatorname* { m i n } } = \infty \, , \quad \operatorname* { l i m } _ { v _ { 2 } \to 0 ^ { - } } M _ { 2 , \operatorname* { m i n } } = 0 \, , \quad \frac { \mathrm { d } M _ { 2 , \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } } { \mathrm { d } v _ { 2 } } = \frac { 2 v _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 4 } v _ { 2 } } { ( v _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } - v _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } < 0 \, ,
\begin{array} { r l r } { | v ( s ) | } & { \leq } & { | v ( s _ { 1 } ) | + | T | ( u ( s ) + u ( s ) ) } \\ & { \leq } & { A u ( s ) B [ b _ { 2 } ( \delta ) u ( s ) ^ { 2 } + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 1 } + u ( s ) ^ { N } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] } \\ & { } & { + 4 A u ( s ) ^ { 2 } C [ 3 b _ { 2 } ( \delta ) u ( s ) + \cdots + N b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 2 } + u ( s ) ^ { N - 1 } N ( 2 + 2 c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] } \\ & { \leq } & { ( A B + 4 A C \cdot 2 N ) u ( s ) [ b _ { 2 } ( \delta ) u ( s ) ^ { 2 } + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 1 } + u ( s ) ^ { N } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] } \\ & { = } & { D u ( s ) [ b _ { 2 } ( \delta ) u ( s ) ^ { 2 } + \cdots + b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 1 } + u ( s ) ^ { N } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) ] , } \end{array}
( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) = \left( \frac { M _ { 1 1 } x + M _ { 1 2 } y + M _ { 1 3 } } { M _ { 3 1 } x + M _ { 3 2 } y + M _ { 3 3 } } , \frac { M _ { 2 1 } x + M _ { 2 2 } y + M _ { 2 3 } } { M _ { 3 1 } x + M _ { 3 2 } y + M _ { 3 3 } } \right) .
\zeta ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { t } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; t \geq \frac { 3 \delta ^ { \prime } } { 4 } \, , } \\ { \frac { \delta ^ { \prime } } { 2 } } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; t < \frac { \delta ^ { \prime } } { 2 } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r l } { \operatorname { s i n h c } x } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \sinh x } { x } , } & { \mathrm { i f ~ } x \neq 0 } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } x = 0 } \end{array} \right. } & { \operatorname { s i n h c } x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \operatorname { s i n h c } x } & { \sim \frac { e ^ { x } } { 2 x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \operatorname { t a n h c } x } & { : = \frac { \operatorname { s i n h c } x } { \cosh x } } & { \operatorname { t a n h c } x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \operatorname { t a n h c } x } & { \sim \frac { 1 } { x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \operatorname { c o t h c } x } & { : = \frac { 1 } { \operatorname { t a n h c } x } , } & { \operatorname { c o t h c } x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \operatorname { c o t h c } x } & { \sim x \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \operatorname { c s c h c } x } & { : = \frac { 1 } { \operatorname { s i n h c } x } , } & { \operatorname { c s c h c } x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \operatorname { c s c h c } x } & { \sim 2 x e ^ { - x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty . } \end{array}
\omega ^ { l , n e w } = \omega ^ { l } + \frac { n ( P _ { \omega } - P _ { \omega } ^ { 0 } ) } { I ^ { l } } \frac { I ^ { l } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } I ^ { j } } \frac { j n _ { t } } { N _ { 0 } } , \quad l = 1 , 2 , \cdots , n , j = 1 , 2 , \cdots , \frac { N _ { 0 } } { n _ { t } } ,
E _ { C } ^ { { \mathrm { f } i x e d } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \, \ln \left( 1 - \exp { ( - 2 \omega R ) } \right) = - \frac { R } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \omega \, d \omega } { \exp { ( 2 \omega R ) } - 1 } \, { . }
\begin{array} { r l r } { G _ { 0 } } & { { } = } & { 1 , } \\ { G _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { 3 } { 2 } , } \\ { G _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 5 } { 4 } , } \\ { G _ { 3 } } & { { } = } & { 1 , } \\ { G _ { 4 } } & { { } = } & { \frac { 5 } { 2 } , } \\ { G _ { 5 } } & { { } = } & { \frac { 7 } { 4 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } \end{array} \right) _ { C } \times \exp i \left( \begin{array} { c c c } { { - c } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { - c } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 2 c } } \end{array} \right) _ { L } \times \exp i \left( \begin{array} { c c c } { { a - b } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { c - a } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { b - c } } \end{array} \right) _ { R }
{ \cal { R } } _ { G B } ^ { 2 } = { \frac { 4 8 M ^ { 2 } ( r ^ { 2 } - A ^ { 2 } { c o s } ^ { 2 } \theta ) [ ( r ^ { 2 } + A ^ { 2 } { c o s } ^ { 2 } \theta ) ^ { 2 } - 1 6 r ^ { 2 } A ^ { 2 } { c o s } ^ { 2 } \theta ] } { ( r ^ { 2 } + A ^ { 2 } { c o s } ^ { 2 } \theta ) ^ { 6 } } } \,
\begin{array} { r l } { K _ { s } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( C K _ { c } + ( 1 - C ) K _ { q } \right) \right. } \\ { + } & { { } \left. \left( \frac { 1 } { C / K _ { c } + ( 1 - C ) / K _ { q } } \right) \right] , } \\ { G _ { s } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( C G _ { c } + ( 1 - C ) G _ { q } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { | \mu _ { 5 } | } { k _ { \mathrm { ~ I ~ } } / a } \right| _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ I ~ } } } & { { } \simeq \left( \frac { 2 \sigma _ { Y } ^ { 2 } } { \bar { \rho } \lambda _ { Y } } \right) ^ { 1 / 3 } } \end{array}
\| \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } - \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \| _ { F } \leq \left( 1 + \sqrt { \frac { I _ { n } ^ { \prime } } { T _ { n } } } + \frac { I _ { n } ^ { \prime } } { \sqrt { T _ { n } } } \sqrt { 8 \log ( 1 / \delta _ { n } ) } \right) \| \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 }
{ \frac { d H ^ { - 1 } ( y , { \tilde { \mathbf { x } } } ) } { d y \, d { \tilde { \mathbf { x } } } } } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - { \frac { d V ( { \tilde { \mathbf { x } } } ) } { d { \tilde { \mathbf { x } } } } } } \\ { \mathbf { 0 } _ { n \times 1 } } & { \mathbf { I } _ { n \times n } } \end{array} \right] }
\tilde { a } _ { \tilde { n } } ^ { \alpha } = \int _ { 0 } ^ { \pi } ~ \frac { d \sigma _ { - } } { \pi } \exp \left[ 4 i \tilde { n } \frac { e _ { \mu } X _ { R } ^ { \mu } ( \sigma _ { - } ) } { e _ { \mu } P _ { R } ^ { \mu } } \right] \xi _ { i } ^ { \alpha } \partial _ { - } X _ { R } ^ { i } ( \sigma _ { - } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o } \mathbb { P } _ { 1 } ^ { \mathrm { c u } } \{ 1 \} ( 2 ) } & { \twoheadrightarrow \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( 2 ) \cong \mathrm { c o L i e } ( 2 ) \otimes _ { k } \mathrm { s g n } _ { S _ { 2 } } [ 1 ] \cong } \\ & { \cong \mathrm { t r i v } _ { S _ { 2 } } [ 1 ] \cong \mathrm { C o m m } ( 2 ) [ 1 ] \stackrel { \mu } { \longrightarrow } \mathcal { O } ( 2 ) [ 1 ] \: ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { \eta } { 4 } \mathbb { E } \bigg \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \bigg \| ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + \eta G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 2 \eta \hat { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
b _ { * } ( t ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 N h _ { 1 } } \bigg [ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \sum _ { j \neq i } \mathbb { E } ( Z _ { i j } ( t ) \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) \} ) } { \sum _ { j \neq i } \mathbb { E } ( \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) \} ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \sum _ { i \neq j } \mathbb { E } ( Z _ { i j } ( t ) \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) \} ) } { \sum _ { i \neq j } \mathbb { E } ( \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) \} ) } \bigg ] ,
C _ { K 0 } ^ { a } = \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } C _ { n 0 } ^ { a } , \quad C _ { 0 K } ^ { a } = \displaystyle \sum _ { r \neq 0 } C _ { 0 r } ^ { a } , \quad C _ { K K } ^ { a } = \sum _ { n \neq 0 , r \neq 0 } C _ { n r } ^ { a }
\begin{array} { r l } { L _ { M E } } & { = \frac { \mu _ { 0 } ^ { 3 } n ^ { 2 } } { 4 \pi l } ( \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \Big [ r _ { 1 } ^ { 4 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 4 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad + 2 r _ { 1 } ^ { 3 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ] , } \end{array}
{ P _ { h } } = \frac { 1 } { { { T _ { v i b } } } } \int _ { 0 } ^ { T _ { v i b } } { F _ { t o t } } \frac { { d Y } } { { d T } } d T = \frac { 1 } { { { T _ { v i b } } } } \int _ { 0 } ^ { T _ { v i b } } ( { M _ { s } } \frac { { { d ^ { 2 } } Y } } { { d { T ^ { 2 } } } } + { C _ { s } } \frac { { d Y } } { { d T } } + K Y ) \frac { { d Y } } { { d T } } d T ,
\begin{array} { r } { \dot { \Omega } _ { 1 } = \frac { ( I _ { 2 } - I _ { 3 } ) \Omega _ { 3 } } { I _ { 2 } } \Omega _ { 2 } , \qquad \dot { \Omega } _ { 2 } = - \frac { ( I _ { 2 } - I _ { 3 } ) \Omega _ { 3 } } { I _ { 2 } } \Omega _ { 1 } , \qquad \dot { \Omega } _ { 3 } = 0 , } \end{array}
{ \frac { d F _ { O _ { 2 } l o o p } } { d t } } = { \frac { ( Q _ { f e e d } * F _ { O _ { 2 } f e e d } - V _ { O _ { 2 } } ( t ) - ( Q _ { f e e d } - V _ { O _ { 2 } } ) * F _ { O _ { 2 } l o o p } ( t ) ) } { V _ { l o o p } } }
{ \boldmath \mathrm { S } } _ { 3 _ { b c } , \overline { { D } } } ^ { 3 _ { b b } } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { { \sqrt { 6 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 } } } } } } \\ { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { { \sqrt { 6 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 } } } } } } \\ { { 0 } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } } } & { { 0 } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 6 } } } } } } & { { { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 } } } } } } \\ { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { { \frac { 3 } { 2 } } } } } } & { { 0 } } \\ { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { { \frac { 3 } { 2 } } } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l r l } & { \alpha _ { i } } & & { \beta _ { i j } } \\ { \alpha _ { 1 } } & { = 0 } & { \beta _ { 2 1 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \alpha _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } } & { \beta _ { 3 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \alpha _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } } & { \beta _ { 4 3 } } & { = 1 } \\ { \alpha _ { 4 } } & { = 1 } & & { } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { T _ { ( \Vec { t ^ { 0 } } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } H _ { i } ^ { - 1 } ( S _ { 1 , 1 } ) } \\ { \supset } & { \mathrm { S p a n } \langle v _ { 1 } , \ldots , v _ { N } , \frac \partial { \partial x _ { 1 } } , \frac \partial { \partial x _ { 2 } } \rangle } \\ { = } & { \mathrm { S p a n } \langle \frac \partial { \partial t _ { 1 } } , \ldots , \frac \partial { \partial t _ { N } } , \frac \partial { \partial x _ { 1 } } , \frac \partial { \partial x _ { 2 } } \rangle } \\ { = } & { T _ { ( \Vec { t ^ { 0 } } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } ( ( 0 , \delta ) ^ { N } \times F ) , } \end{array}
\ell _ { \pm } \; = \; x _ { \pm } p _ { 1 } + \frac { \mathrm { \boldmath ~ \ell ~ } _ { \pm } ^ { 2 } } { s x _ { \pm } } p _ { 2 } \: + \: \ell _ { \pm \perp } , \: \: \: \mathrm { \boldmath ~ \ell ~ } _ { \pm } ^ { 2 } \equiv - \ell _ { \pm \perp } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \ddot { c } _ { i } } & { { } + { { \omega _ { \mathrm { i , e f f } } ^ { F } } } ( t ) ^ { 2 } c _ { i } - \left( 1 - \frac { g _ { \mathrm { B F } } \alpha _ { \mathrm { B } } } { g _ { \mathrm { B B } } \alpha _ { \mathrm { F } } } \right) \frac { { \omega _ { y } ^ { F } } ( 0 ) ^ { 2 } } { c _ { i } ^ { 3 } } = 0 } \\ { { \mathrm { w i t h ~ } { \omega _ { \mathrm { i , e f f } } ^ { F } } } } & { { } ( t ) ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { g _ { \mathrm { B F } } \alpha _ { \mathrm { B } } } { g _ { \mathrm { B B } } \alpha _ { \mathrm { F } } } \right) { \omega _ { i } ^ { F } } ( t ) ^ { 2 } - \frac { g _ { \mathrm { B F } } } { g _ { \mathrm { B B } } } \frac { \ddot { b _ { i } } } { b _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { t } _ { 0 0 } } & { \= \lambda ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } ( 1 + 4 t ^ { 2 } ) \ , } \\ { \mathfrak { t } _ { 2 2 } } & { \= - \lambda ^ { 2 } - 4 z ^ { 2 } ( 1 - 4 y ^ { 2 } ) \ , } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { \mathfrak { t } _ { 1 1 } } & { \= - \lambda ^ { 2 } - 4 z ^ { 2 } ( 1 - 4 x ^ { 2 } ) \ , } \\ { \mathfrak { t } _ { 3 3 } } & { \= 3 \lambda ^ { 2 } - 4 z ^ { 2 } ( 1 + 4 \lambda - 4 z ^ { 2 } ) \ . } \end{array}
K _ { \mathrm { F S } } ^ { \nu } \equiv K _ { \mathrm { F S } } ( ^ { 2 } \! D _ { 3 / 2 } , ^ { 2 } \! F _ { 7 / 2 } ) - K _ { \mathrm { F S } } ( ^ { 2 } \! S _ { 1 / 2 } )
\mathbb { E } [ \xi _ { t } | \mathcal { F } _ { t - 1 } ] = 0 , \quad \mathrm { V a r } ( \xi _ { t } | \mathcal { F } _ { t - 1 } ) = g \left( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } \right) \left( 1 - g \left( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } \right) \right) \leq 1 / 4 .
\int \operatorname { a r c c s c } ( x ) \, d x = x \operatorname { a r c c s c } ( x ) \, + \, \ln \left( \left| x \right| + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) \, + \, C = x \operatorname { a r c c s c } ( x ) \, + \, \operatorname { a r c o s h } | x | \, + \, C
\begin{array} { r l r } { f _ { \mathrm { c a r } , i } ( t ) } & { { } = } & { \Omega _ { i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } r _ { i , k } \cos \left( \nu _ { k } t - \phi _ { i , k } \right) , } \\ { f _ { \mathrm { s d f } , i } ( t ) } & { { } = } & { \Omega _ { i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } r _ { i , k } \sin \left( \nu _ { k } t - \phi _ { i , k } \right) , } \end{array}
\left( \frac { d ^ { 2 } \hat { R } } { d \hat { t } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \hat { R } } \right) _ { J A } = \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 6 4 } { a ^ { 2 } \mathrm { ~ W ~ e ~ } } \left( 1 + \frac { 1 } { 8 \hat { R } ^ { 3 } } \right) \right] \, .
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } | f _ { T S S } ( y ; \alpha , \delta , \lambda ) | \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \frac { \partial } { \partial \beta } f _ { N } ( z ; \mu + \beta y , y ) \bigg | \mathrm { d } z \mathrm { d } y } \\ { \le } & { \ C \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { y } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } | f _ { T S S } ( y ; \alpha , \delta , \lambda ) | \mathrm { d } y } \\ { < } & { \ \infty . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \textrm { i n t e r } } = t _ { \textrm { i n t e r } } \sum _ { \times = 1 } ^ { 2 } \sum _ { i _ { \times } } \sum _ { j _ { \times } > i _ { \times } } \left[ \left( \left| i _ { \times } , j _ { \times } \rangle \langle i _ { \bar { \times } } , j _ { { \times } } \right| + \textrm { H . C . } \right) + \left( \left| i _ { \times } , j _ { \times } \rangle \langle i _ { { \times } } , j _ { \bar { \times } } \right| + \textrm { H . C . } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d X _ { t } } & { = \nu _ { t } \sigma _ { t } \, d W _ { t } \, , } \\ { d \sigma _ { t } ^ { 2 } } & { = 0 { . } 0 1 6 2 \cdot \big ( 0 { . } 8 4 6 5 - \sigma _ { t } ^ { 2 } \big ) \, d t + 0 { . } 1 1 7 \cdot \sigma _ { t } \, d B _ { t } \, , } \\ { \nu _ { t } } & { = \big ( 6 - \sin ( 3 \pi t / 4 ) \big ) \cdot 0 { . } 0 0 2 \, , ~ t \in [ 0 , 1 ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d m } { d t } \right) } & { = } & { \left( \frac { d m } { d t } \right) _ { d } + \left( \frac { d m } { d t } \right) _ { c } + \left( \frac { d m } { d t } \right) _ { t } } \\ & { = } & { h _ { d + c } A _ { s } \mathcal { M } ( c _ { s a t } ( T _ { s } ) - c _ { \infty } ( T _ { \infty } ) ) + Y _ { v } ^ { s } \left( \frac { d m } { d t } \right) _ { a } } \end{array}
A _ { \cal F } = - \tilde { A } ^ { T } K \tilde { A } - \frac { 1 } { 4 } \tilde { A } ^ { T } Z \tilde { A } - \tilde { A } ^ { T } J \tilde { A } + 4 { \cal M } _ { \mu \nu } ^ { - 1 \ A B } \partial _ { \rho } { \cal H } _ { B } ^ { \rho \nu } \partial _ { \sigma } { \cal H } _ { A } ^ { \sigma \mu }
d s ^ { 2 } = e ^ { - 2 k \mid y \mid } \left[ - \left( 1 - \frac { U _ { T } ^ { 4 } } { k ^ { 4 } } e ^ { 4 k \mid y \mid } \right) d t ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } d x ^ { i } d x ^ { i } \right] + \frac { d y ^ { 2 } } { 1 - \frac { U _ { T } ^ { 4 } } { k ^ { 4 } } e ^ { 4 k \mid y \mid } }
A _ { L L } ^ { J / \psi } ( p p ) = \frac { \left[ d \sigma ( p _ { + } p _ { + } \rightarrow J / \psi ~ X ) - d \sigma ( p _ { + } p _ { - } \rightarrow J / \psi ~ X ) \right] } { \left[ d \sigma ( p _ { + } p _ { + } \rightarrow J / \psi ~ X ) + d \sigma ( p _ { + } p _ { - } \rightarrow J / \psi ~ X ) \right] } = \frac { E d \Delta \sigma / d ^ { 3 } p } { E d \sigma / d ^ { 3 } p } ~ ,
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ( \varepsilon , r ) = } & { \frac { 1 } { \sqrt 2 } \int _ { z _ { \varepsilon r } ( - \varepsilon ^ { - 1 } ) } ^ { z _ { \varepsilon r } ( - \varepsilon ^ { - 1 } ) + \varepsilon } \frac { d s } { \sqrt { f _ { \Delta ( \varepsilon , r ) } ( s ) } } } \\ & { \qquad - \varepsilon ^ { 2 } \int _ { z _ { \varepsilon r } ( - \varepsilon ^ { - 1 } ) } ^ { z _ { \varepsilon r } ( - \varepsilon ^ { - 1 } ) + \varepsilon } \frac { \sqrt { f _ { \Delta ( \varepsilon , r ) } ( s ) } \left( \sqrt { 2 ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta ( \varepsilon , r ) } ( s ) ) } - 1 \right) } { \sqrt { 2 ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta ( \varepsilon , r ) } ( s ) ) } \left( \sqrt { 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta ( \varepsilon , r ) } ( s ) } + \sqrt 2 \right) } \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { j k , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } = } & { { } } & { \int N ( x , z ) \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( x ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( x ) \Lambda _ { j } ( x ) \Lambda _ { k } ( z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } z } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } _ { S \sim \mathcal { D } ^ { n } } \left[ \operatorname* { m i n } _ { C \in \Pi _ { h } } \frac { \mu _ { n } ( C ) } { \mu ( C ) } > \frac { 1 } { 2 } \right] } & { \geq 1 - m \exp ( - n \gamma / 4 m ) ~ , } \\ { \operatorname* { P r } _ { S \sim \mathcal { D } ^ { n } } \left[ \operatorname* { m a x } _ { C \in \Pi _ { h } } \frac { \mu _ { n } ( C ) } { \mu ( C ) } < 2 \right] } & { \geq 1 - m \exp ( - n \gamma / 3 m ) ~ , } \\ { \operatorname* { P r } _ { S \sim \mathcal { D } ^ { n } } \left[ \sum _ { C \in \Pi _ { l } } \mu ( C ) < 2 \gamma \right] } & { \geq 1 - \exp \left( - n ( \gamma - \sqrt { m / n } ) ^ { 2 } / 2 \right) ~ . } \end{array}
{ \cal { L } } _ { \mathrm { g h . } } = - { \partial } ^ { \mu } { \bar { c } } _ { a } D _ { \mu } { c ^ { a } } = - { \partial } ^ { \mu } { \bar { c } } _ { a } ( { \partial } _ { \mu } c ^ { a } + { \varphi _ { r s } } ^ { a } { A _ { \mu } } ^ { r } { c ^ { s } } ) ~ .
\begin{array} { r l } { \hat { E } ^ { ( + ) } ( t , z ) } & { { } = \mathcal { E } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t \right) } \hat { A } _ { \mathrm { f } } ( t , z ) , } \\ { \hat { A } _ { \mathrm { f } } ( t , z ) } & { { } = \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \sum _ { m \in \mathbb { N } } \hat { a } _ { \mathrm { f } , m } ^ { ( k ) } u _ { m } ( t - k T , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { u } ) _ { S } } & { { } = \nu \nabla _ { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { f } _ { S } , } \\ { ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { u } ) _ { I } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { \boldsymbol { x } } p + \boldsymbol { f } _ { I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \ell _ { p } ^ { n } ( \ell _ { q } ^ { k } ) } ( \alpha ) } & { : = \bigg ( \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { \ell _ { p } ^ { n } ( \ell _ { q } ^ { k } ) } } \, \prod _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { j = 1 } ^ { k } | z _ { i j } | ^ { \alpha _ { i j } } \bigg ) ^ { - 1 } \, = \, \prod _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { j = 1 } ^ { k } x _ { i j } ^ { - \alpha _ { i j } } = m ^ { \frac { m } { p } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \, \prod _ { j = 1 } ^ { k } \bigg ( \frac { \| \alpha _ { i \bullet } \| _ { \ell _ { 1 } } ^ { 1 / q - 1 / p } } { \alpha _ { i j } ^ { 1 / q } } \bigg ) ^ { \alpha _ { i j } } \, . } \end{array}
\bar { m } _ { { 1 , 2 } } ^ { 2 } = { m } _ { { 1 , 2 } } ^ { 2 } + \frac { \partial \Delta V } { \partial v _ { { 1 , 2 } } ^ { 2 } } \quad , \quad { m } _ { { 1 , 2 } } ^ { 2 } = { m } _ { H _ { { 1 , 2 } } } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 }
P _ { 1 } = - \frac { 4 i } { k ^ { 2 } L } [ \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } 2 m a _ { 2 m } ( 0 ) + i k \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { d a _ { 2 m + 1 } ( 0 ) } { d k _ { x } } ] = - \frac { 4 i } { k ^ { 2 } L } P .
\hat { \chi } _ { 1 } ( \textbf { x } ) \nabla \boldsymbol { \cdot } \textbf { A } _ { 1 } ( \textbf { x } ) = 0 \therefore \nabla \boldsymbol { \cdot } \textbf { A } _ { 1 } ( \textbf { x } ) = 0 .