harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal T } _ { \Delta N } = i \lambda \bar { g } \sum _ { \{ i , j \} } G _ { R } ( p _ { i } { + } p _ { j } ) - i \bar { g } ^ { 3 } \sum _ { \{ i , j \} , \{ l , m \} } G _ { R } ( p _ { i } { + } p _ { j } ) G _ { R } ( p _ { l } { + } p _ { m } ) \; ,
\begin{array} { r l } & { \Lambda _ { k } = \Lambda _ { \mathrm { p O } } ( T _ { k } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \, f _ { \mathrm { M B } } ( E ; T _ { k } ) \, \lambda _ { \mathrm { p O } } ( E ) \approx \int _ { 0 } ^ { E _ { \mathrm { m a x } } } d E \, f _ { \mathrm { M B } } ( E ; T _ { k } ) \, \lambda _ { \mathrm { p O } } ( E ) } \\ & { = \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { E _ { \mathrm { m a x } } } { 2 k _ { B } T _ { k } } \right) ^ { 3 / 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d z \sqrt { z + 1 } \exp \left( - \frac { E _ { \mathrm { m a x } } } { 2 k _ { B } T _ { k } } ( z + 1 ) \right) \lambda _ { \mathrm { p O } } ( E _ { \mathrm { m a x } } ( z + 1 ) / 2 ) } \\ & { \approx \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { E _ { \mathrm { m a x } } } { 2 k _ { B } T _ { k } } \right) ^ { 3 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { G } } w _ { i } \exp \left( - \frac { E _ { \mathrm { m a x } } } { 2 k _ { B } T _ { k } } ( z _ { i } + 1 ) \right) \lambda _ { \mathrm { p O } } ( E _ { \mathrm { m a x } } ( z _ { i } + 1 ) / 2 ) . } \end{array}
m _ { L R } = \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { m } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda ^ { n } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { f } ,
f _ { n } ( t ) = \int { \frac { d ^ { 2 } k } { 4 \pi ^ { 2 } } } I ^ { A } ( k _ { \perp } , r _ { \perp } ) { \frac { 1 } { \vec { k } _ { \perp } ^ { 2 } ( \vec { r } - \vec { k } ) _ { \perp } ^ { 2 } } } \left( { \frac { N _ { c } } { 8 \pi ^ { 3 } } } \hat { K } _ { r } \right) ^ { n } I ^ { B } ( k _ { \perp } , r _ { \perp } )
E _ { \mathrm { q u a s i l o c a l } } = E _ { + } - E _ { - } = \left( r \left[ 1 - \left| r , _ { y } \right| \right] \right) _ { y = y _ { + } } - \left( r \left[ 1 - \left| r , _ { y } \right| \right] \right) _ { y = y _ { - } } .
\operatorname * { l i m } _ { z \to - \infty } u _ { 2 } ( z ) = - \frac { \nu _ { 2 } } { 2 \nu _ { + } } + \frac { \mu _ { 2 } } { 2 } \left( 1 - \frac { \nu _ { 1 - } } { \nu _ { 1 + } } \right)
\begin{array} { c } { \kappa _ { r } ^ { * } = \frac { \kappa _ { A r } ^ { * } + \kappa _ { B r } ^ { * } } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { \kappa _ { \theta } ^ { * } } = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { A \theta } ^ { * } } + \frac { 1 } { 2 \kappa _ { B \theta } ^ { * } } . } \end{array}
\frac { d \rho } { d t } = \mathcal { L } [ \rho ] = - i [ H , \rho ] + \sum _ { \mu } \left( 2 L _ { \mu } \rho L _ { \mu } ^ { \dagger } - \left\{ L _ { \mu } ^ { \dagger } L _ { \mu } , \rho \right\} \right) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { n } C _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \varepsilon } ( A ^ { n } { \, : \, } C ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } \right] = C ( A { \, : \, } C ) _ { \rho } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { n } \widetilde { C } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \varepsilon } ( A ^ { n } { \, : \, } C ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } \right] = C ( A { \, : \, } C ) _ { \rho } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \big ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) \big ) ^ { 2 } - \big ( \overrightarrow { \Xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) \big ) ^ { 2 } \big ) \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \le T ^ { 2 } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } E _ { \nu _ { n } } \big [ \big \{ \big ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } \big ) ^ { 2 } - \big ( \overrightarrow { \Xi } _ { j } ^ { \ell } \big ) ^ { 2 } - \Sigma _ { \ell } \big \} ^ { 2 } \big ] ( \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } ) ^ { 2 } } \\ & { \quad \le \frac { T ^ { 2 } } { A } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } E _ { \nu _ { n } } \big [ \big ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } - \overrightarrow { \Xi } _ { j } ^ { \ell } \big ) ^ { 2 } \big ] ( \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } ) ^ { 2 } + A T ^ { 2 } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } E _ { \nu _ { n } } \big [ \big ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } + \overrightarrow { \Xi } _ { j } ^ { \ell } \big ) ^ { 2 } \big ] ( \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 2 ( \Sigma _ { \ell } ) ^ { 2 } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } ) ^ { 2 } } \\ & { \quad \lesssim T ^ { 2 } \bigg ( \frac { n \beta _ { n } ^ { 4 } } { A \ell } + \frac { A n } { \ell } + \frac { n } { \ell ^ { 2 } } \bigg ) \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { T } _ { \mathrm X } ^ { \mathrm { ( X Y ) } } \right) _ { j m , i k l n } } & { { } = \sum _ { x } ( \langle x | ) _ { i } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { j k } \, ( \langle x | ) _ { l } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { m n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( d _ { r } ( \omega _ { 1 } , j ) - d _ { r } ( \omega _ { 2 } , j ) ) } & { - ( d _ { r } ( \omega _ { 1 } , k ) - d _ { r } ( \omega _ { 2 } , k ) ) | } \\ & { \le | ( \mathtt { m } _ { \alpha } ( \omega _ { 1 } ) - \mathtt { m } _ { \alpha } ( \omega _ { 2 } ) ) ( \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) ) | + \left| \int _ { j } ^ { k } \partial _ { \xi } \mathfrak { m } _ { 1 } ( \omega _ { 1 } ) ( \xi ) - \partial _ { \xi } \mathfrak { m } _ { 1 } ( \omega _ { 2 } ) ( \xi ) d \xi \right| } \\ & { \ + | r ( \omega _ { 1 } , j ) - r ( \omega _ { 2 } , j ) | + | r ( \omega _ { 1 } , k ) - r ( \omega _ { 2 } , k ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log ( F ( e ^ { - \frac { t \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } } ) ) } & { = \log \int f e ^ { - \frac { t \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } } = \log \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( 1 - \frac { t \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + \frac { t ^ { 2 } \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ^ { 2 } } { 2 n \alpha _ { n } } + o ( \frac { 1 } { n \alpha _ { n } } ) ) } \\ & { = \log \Big ( 1 - \frac { t } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 n \alpha _ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ^ { 2 } + o ( \frac { 1 } { n \alpha _ { n } } ) ) } \\ & { = - \frac { t } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 n \alpha _ { n } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ^ { 2 } - \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } \right) ^ { 2 } \right) + o ( \frac { 1 } { n \alpha _ { n } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \Omega } _ { 1 } = \frac { I _ { 2 } - I _ { 3 } } { I _ { 1 } } \Omega _ { 2 } \Omega _ { 3 } + \frac { b } { I _ { 1 } } ( K _ { 2 } z _ { 3 } - K _ { 3 } z _ { 2 } ) , \qquad \qquad } \\ { \dot { \Omega } _ { 2 } = \frac { I _ { 3 } - I _ { 1 } } { I _ { 2 } } \Omega _ { 1 } \Omega _ { 3 } + \frac { b } { I _ { 2 } } ( K _ { 3 } z _ { 1 } - K _ { 1 } z _ { 3 } ) , \qquad \qquad } \\ { \dot { \Omega } _ { 3 } = \frac { I _ { 1 } - I _ { 2 } } { I _ { 3 } } \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } + \frac { b } { I _ { 3 } } ( K _ { 1 } z _ { 2 } - K _ { 2 } z _ { 1 } ) , \qquad \qquad } \\ { \dot { K } _ { 1 } = \Omega _ { 3 } K _ { 2 } - \Omega _ { 2 } K _ { 3 } , \quad \dot { K } _ { 2 } = - \Omega _ { 3 } K _ { 1 } + \Omega _ { 1 } K _ { 3 } , \quad \dot { K } _ { 3 } = \Omega _ { 2 } K _ { 1 } - \Omega _ { 1 } K _ { 2 } . } \end{array}
\| u _ { \varepsilon _ { i } } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega , g _ { S } ^ { m } ) } \leq D \| u _ { i } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega _ { \varepsilon _ { i } } , g _ { S } ^ { m } ) } \leq D C ( \| L _ { g _ { S } ^ { m } } ^ { * } u _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \varepsilon _ { i } } , g _ { S } ^ { m } ) } + \| u _ { i } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { \varepsilon _ { i } } , g _ { S } ^ { m } ) } ) .
\alpha = \frac { M ^ { 2 } \stackrel { \rightarrow } { p ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } ( k ^ { 2 } + 4 M ^ { 2 } \stackrel { \rightarrow } { p ^ { \prime } } ^ { 2 } h ^ { 2 } ) ,
\phi _ { i , j , g } ^ { ( k + 1 ) } = \frac { 1 } { a _ { i , j , g } ^ { 0 , 0 } } \left( s _ { i , j , g } - \sum _ { u = - l } ^ { l } \sum _ { v = - l } ^ { l } a _ { i , j , g } ^ { u , v } \, \phi _ { i + u , j + v , g } ^ { ( k ) } + a _ { i , j , g } ^ { 0 , 0 } \phi _ { i , j , g } ^ { ( k ) } \right) ,
\begin{array} { r } { \left| J _ { \frac { \pm 1 } { \alpha + 2 } } \Big ( \frac { 2 } { \alpha + 2 } z ^ { \alpha / 2 + 1 } \Big ) \right| = \left\{ \begin{array} { l l } { O \big ( 1 / \sqrt { z } \big ) } & { z \rightarrow 0 , } \\ { O \big ( z ^ { - \frac { \alpha } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } } \big ) } & { | z | \rightarrow \infty . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \frac { d \Omega _ { S } } { d t } } = - { \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt { G M _ { S } } } D ^ { - 5 / 2 } { \frac { d D } { d t } } = { \frac { 2 7 } { 4 } } k { \frac { G M _ { S } ^ { 2 } \, A ^ { 5 } } { M D ^ { 8 } } } \sin ( 2 \alpha )
S ( z ) = \frac { C } { z ^ { 2 } } O ( z ) n ( z ) \mathcal { L } _ { a t m } ^ { 2 } ( z ) \left[ \sum _ { i = O _ { 2 } , N _ { 2 } } \sum _ { J _ { i } } \tau ( J _ { i } ) \eta _ { i } ( \frac { d \sigma } { d \Omega } ) ^ { i } ( J _ { i } ) \right] + B
\begin{array} { r l } { E _ { y } ^ { \mathrm { t o t } } = } & { { } - 2 j E _ { \mathrm { i n } } \sin { \left( k z \right) } } \\ { H _ { x } ^ { \mathrm { t o t } } = } & { { } - 2 \frac { E _ { \mathrm { i n } } } { \eta } \cos { \left( k z \right) } } \end{array}
( \sigma ^ { a } ) _ { \alpha } ^ { \beta } = ( \tau ^ { a } ) _ { \alpha \beta } \, , \qquad ( \bar { \sigma } ^ { a } ) _ { \dot { \beta } } ^ { \dot { \alpha } } = ( \tau ^ { a } ) _ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } \, , \qquad a = 1 , 2 , 3 \, ,
\begin{array} { r l } { \| P _ { \gamma } ^ { - } \theta ( \gamma ) P _ { \gamma } ^ { - } \| _ { X _ { c } } } & { \leq \frac { 1 + \kappa } { 1 - \kappa } \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } ( P _ { \theta ( \gamma ) } ^ { + } - P _ { \gamma } ^ { + } ) \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } ^ { 2 } \| \theta ( \gamma ) \| _ { \sigma _ { 1 } } } \\ & { \leq \frac { \pi ^ { 2 } ( 1 + \kappa ) } { 1 6 ( 1 - \kappa ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } ( 1 - L ) ^ { 2 } } \frac { q \alpha _ { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } \leq C _ { \kappa , L } \frac { q \alpha _ { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I \Big ( \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) / v _ { i i } ^ { * } ( t ) > \varepsilon \Big ) = I ( O ( e ^ { q _ { n } } ( n h _ { 1 } ) ^ { - 1 / 2 } ) > \varepsilon ) \rightarrow 0 , } \\ { I \Big ( \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) / v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) > \varepsilon \Big ) = I ( O ( e ^ { q _ { n } } ( n h _ { 1 } ) ^ { - 1 / 2 } ) > \varepsilon ) \rightarrow 0 } \end{array}
\big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , \mathring { A } _ { 1 } , w _ { 2 } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } = - \big ( \underline { { G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } W G _ { 2 } } } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } + \mathcal { O } _ { \prec } \big ( \mathcal { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } \big ) \, ,
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { \le C _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } s \, \Psi ( t - s , x ) \Psi ( t - s , x ^ { \prime } ) \Psi ( t - s , y ) \Psi ( t - s , y ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \times \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } z \, \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } \, \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } ( t - s ) } } { 1 \wedge ( t - s ) ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | x - z | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t - s } } f ( z - z ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - 2 \mu _ { 1 } s } } { 1 \wedge s ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \frac { | z - y | ^ { 2 } + | z ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { 2 s } } . } \end{array}
{ \cal L } ^ { \dagger } \boldsymbol { \theta } ^ { \dagger } = \partial _ { t } \boldsymbol { \theta } ^ { \dagger } + \boldsymbol { \theta } ^ { \dagger } { \cal B } \left( { \bf u } \right) + \boldsymbol { \theta } ^ { \dagger } \left( t + T \right) { \cal C } \left( { \bf u } \right) = 0
\begin{array} { r } { \hat { \psi } _ { s } ( \omega , z ) = \left( \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \exp [ i \alpha ( z ) - i \omega y ( z ) ] } { \cosh \left[ \pi \left( \omega + \beta ( z ) \right) / \left( 2 \eta ( z ) \right) \right] } . } \end{array}
Z _ { 0 } \left[ \mathbb { 1 } + \left[ \mathbb { 1 } + \frac { \mathbf { Z _ { t } } } { Z _ { 0 } } \right] ^ { - 1 } \cdot \left[ \frac { \mathbf { Z _ { t } } } { Z _ { 0 } } - \mathbb { 1 } \right] \odot \left( \mathbf { d } ( z ) \cdot \mathbf { d } ( z ) ^ { T } \right) \right.
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \psi ( \mathbf d ) } ^ { + } } & { = \frac { \beta ^ { 2 m } - 1 } { \beta ^ { 2 m } v ( \mathbf d \overline { { \mathbf e } } ) - 1 } } \\ & { = \frac { ( \beta ^ { m } + 1 ) ( \beta ^ { m } - 1 ) } { \beta ^ { 2 m } ( v ( \mathbf d ) - ( 1 / \beta ^ { m } ) v ( \mathbf e ) ) - 1 } } \\ & { = \frac { ( \beta ^ { m } + 1 ) ( \beta ^ { m } - 1 ) } { \beta ^ { 2 m } v ( \mathbf d ) - \beta ^ { m } ( v ( \mathbf d ) - 1 ) - 1 } } \\ & { = \frac { ( \beta ^ { m } + 1 ) ( \beta ^ { m } - 1 ) } { ( \beta ^ { m } v ( \mathbf d ) + 1 ) ( \beta ^ { m } - 1 ) } } \\ & { = \frac { \beta ^ { m } + 1 } { \beta ^ { m } v ( \mathbf d ) + 1 } } \\ & { = \alpha _ { \mathbf d } ^ { - } } \end{array}
\int _ { 1 } ^ { \infty } e ^ { i a x } { \frac { \ln x } { x ^ { 2 } } } \, d x = 1 + i a \left[ - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 4 } } + \gamma \left( { \frac { \gamma } { 2 } } + \ln a - 1 \right) + { \frac { \ln ^ { 2 } a } { 2 } } - \ln a + 1 \right] + { \frac { \pi a } { 2 } } { \Bigl ( } \gamma + \ln a - 1 { \Bigr ) } + \sum _ { n \geq 1 } { \frac { ( i a ) ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! n ^ { 2 } } } ~ .
\begin{array} { r } { \hat { \psi } _ { \sigma } ( \textbf { r } ) = w _ { 1 } ( \textbf { r } ) \chi _ { \sigma } ( 1 ) \hat { a } _ { 1 \sigma } + w _ { 2 } ( \textbf { r } ) \chi _ { \sigma } ( 2 ) \hat { a } _ { 2 \sigma } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { R e s } \ G _ { a b } ( p ^ { 2 } ) \Bigl | _ { p ^ { 2 } = m _ { a } ^ { 2 } } = \frac { i \Sigma _ { a b } ( m _ { a } ^ { 2 } ) } { m _ { a } ^ { 2 } - m _ { b } ^ { 2 } } + i t _ { a b } = 0 , } \\ & { \mathrm { R e s } \ G _ { a b } ( p ^ { 2 } ) \Bigl | _ { p ^ { 2 } = m _ { b } ^ { 2 } } = \frac { i \Sigma _ { a b } ( m _ { b } ^ { 2 } ) } { m _ { b } ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } } + i t _ { \bar { b } \bar { a } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { u } ( k ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k - 1 < \lvert \mathbf { k ^ { \prime } } \rvert \leq k } \lvert \bf { u } ( \bf { k ^ { \prime } } ) \rvert ^ { 2 } , } \\ { E _ { b } ( k ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k - 1 < \lvert \mathbf { k ^ { \prime } } \rvert \leq k } \lvert \bf { b } ( \bf { k ^ { \prime } } ) \rvert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x , 0 ) } & { { } = 0 . 0 3 + \operatorname* { m a x } \left\{ d _ { h } \left( 1 - \left( { x } / { d _ { w } } \right) ^ { 2 } \right) , 0 \right\} , } \\ { \Gamma ( x , 0 ) } & { { } = \frac { L } { 2 d _ { w } } \left( 1 - \operatorname { t a n h } ( 2 0 0 ( | x | - d _ { w } ) ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { \mathcal { X } } } [ \mathrm { R H S ~ o f ~ ( ) } ] } \\ & { \lesssim \widehat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) + L ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } p _ { \ell } \right) \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } \left[ 1 + ( C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } + C _ { k } C _ { \sigma } + C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { k } C _ { \sigma } ^ { M + 1 } ) p _ { \ell } \right] \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } } \\ & { + \left( \rho \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } \left[ 1 + ( C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } + C _ { k } C _ { \sigma } + C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { k } C _ { \sigma } ^ { M + 1 } ) p _ { \ell } \right] C _ { a } + R _ { u } \right) \sqrt { \frac { 2 \delta } { n } } } \\ & { \lesssim \widehat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) + \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } x _ { \ell } \right) \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } \left[ 1 + \frac { ( C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } + C _ { k } C _ { \sigma } + C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { k } C _ { \sigma } ^ { M + 1 } ) } { L ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } } x _ { \ell } \right] \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } } \\ & { + \left( \rho \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } \left[ 1 + \frac { ( C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } + C _ { k } C _ { \sigma } + C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { k } C _ { \sigma } ^ { M + 1 } ) } { L ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } } x _ { \ell } \right] C _ { a } + R _ { u } \right) \sqrt { \frac { 2 \delta } { n } } } \end{array}
\eta ^ { 0 } = - \frac { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 0 } - \mathbb { G } ^ { 0 } \mathbb { H } ^ { 1 } } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } , \quad \eta ^ { 1 } = - \frac { 1 } { M _ { H } } \frac { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 2 } - \mathbb { G } ^ { 2 } \mathbb { H } ^ { 1 } } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } , \quad \eta ^ { 2 } = - \frac { \pi } { M _ { H } } \frac { \mathbb { H } ^ { 1 } } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } , \quad \eta ^ { 3 } = \frac { \pi } { M _ { H } } \frac { \mathbb { G } ^ { 1 } } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } .
\Omega _ { \rho i _ { 2 } \ldots i _ { 2 m - 2 } \sigma } ^ { ( 2 m - 1 ) } = { \frac { 1 } { ( 2 m - 3 ) ! } } k _ { \rho l _ { 1 } \ldots l _ { m - 1 } } { C _ { j _ { 2 } j _ { 3 } } } ^ { l _ { 1 } } \ldots { C _ { j _ { 2 m - 2 } \sigma } } ^ { l _ { m - 1 } } \epsilon _ { i _ { 2 } \ldots i _ { 2 m - 2 } } ^ { j _ { 2 } \ldots j _ { 2 m - 2 } } \, \, ,
\begin{array} { r l } { P ( z ) } & { = \prod \left( \frac { 1 } { 1 - z ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } d _ { 1 } \cdots d _ { j } e _ { 1 } \cdots e _ { k } } } \right) ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } / d _ { 1 } \cdots d _ { j } } } \\ & { = \prod \exp \left( \log \left( \left( \frac { 1 } { 1 - z ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } d _ { 1 } \cdots d _ { j } e _ { 1 } \cdots e _ { k } } } \right) ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } / d _ { 1 } \cdots d _ { j } } \right) \right) } \\ & { = \prod \exp \left( \frac { 1 } { d _ { 1 } \cdots d _ { j } } \log \left( \frac { 1 } { 1 - z ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } d _ { 1 } \cdots d _ { j } e _ { 1 } \cdots e _ { k } } } \right) \right) ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } } } \\ & { = \prod \exp \left( \frac { 1 } { d _ { 1 } \cdots d _ { j } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } d _ { 1 } \cdots d _ { j } e _ { 1 } \cdots e _ { k } \ell } } { \ell } \right) ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } } } \\ & { = \prod \exp \left( n _ { 1 } \cdots n _ { i } e _ { 1 } \cdots e _ { k } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } d _ { 1 } \cdots d _ { j } e _ { 1 } \cdots e _ { k } \ell } } { n _ { 1 } \cdots n _ { i } d _ { 1 } \cdots d _ { j } e _ { 1 } \cdots e _ { k } \ell } \right) ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } } } \\ & { = \prod \exp \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n _ { 1 } \cdots n _ { i } d _ { 1 } \cdots d _ { j } e _ { 1 } \cdots e _ { k } \ell } } { n _ { 1 } \cdots n _ { i } d _ { 1 } \cdots d _ { j } e _ { 1 } \cdots e _ { k } \ell } \right) ^ { ( n _ { 1 } \cdots n _ { i } ) ^ { 2 } \cdot e _ { 1 } \cdots e _ { k } } } \end{array}
\bar { h } _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ( x ) = \sqrt { 2 M ^ { 3 } } h _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ( x ) \, , \quad \bar { f } _ { 1 } = \sqrt { 2 | { \cal K } _ { 1 } | } f _ { 1 } \, , \quad \bar { f } _ { 2 } = \sqrt { 2 | { \cal K } _ { 2 } | } f _ { 2 }
\begin{array} { r l } { a } & { : = \lambda \left( \frac { \mu } { \lambda } \right) ^ { \frac { 1 } { \tau } } \left( \frac { \lambda _ { u } } { \lambda } \right) ^ { \eta } \in ( \lambda , 1 ) , } \\ { b } & { : = \left( \frac { \mu } { \lambda } \right) ^ { \frac { 1 } { \tau } + N _ { 0 } } \left( \frac { \lambda _ { u } } { \lambda } \right) ^ { \eta + T _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { C a s e A ) } } & { \, \mathrm { I f } \quad \mu \leq { 3 \gamma _ { 1 } } / { 5 } , \mathrm { a n d ~ } } \\ & { \mathrm { w h e n } \, \, \, 0 < c _ { 0 } \leq c _ { 0 } ^ { * } , \, \, \mathrm { f o r ~ } \, \, s > \lambda _ { 2 0 } \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm { f o r ~ } \, \, M _ { 0 } > M _ { 2 0 } , } \\ & { \mathrm { w h e n } \, \, \, c _ { 0 } ^ { * } < c _ { 0 } < 1 , \, \, \mathrm { f o r ~ } \, \, s > s ^ { * } , \, \, \mathrm { s o l u t i o n ~ o f ~ } \, \, \lambda _ { \mathrm { 2 I } } ( s ^ { * } ) = s ^ { * } , } \\ & { \qquad \Leftrightarrow \quad \mathrm { f o r ~ } \, \, M _ { 0 } > M _ { 2 0 } ^ { * } , \, \, \mathrm { s o l u t i o n ~ o f ~ } \, \, M _ { \mathrm { 2 I } } ( M _ { 2 0 } ^ { * } ) = M _ { 2 0 } ^ { * } , } \\ & { \mathrm { w h e r e } \, \, { c } _ { 0 } ^ { * } ( \mu ) \, \, \mathrm { i s ~ t h e ~ s o l u t i o n ~ o f } \, \, \lambda _ { 2 0 } = \bar { \lambda } _ { 0 } \, \, \Leftrightarrow M _ { 2 0 } ( c _ { 0 } ^ { * } , \mu ) = 1 . } \\ { \textbf { C a s e B ) } } & { \, \mathrm { I f } \quad \mu > { 3 \gamma _ { 1 } } / { 5 } , \, \, \mathrm { f o r ~ } \, \, s > \lambda _ { 2 0 } \, \Leftrightarrow \, \mathrm { f o r ~ } \, \, M _ { 0 } > M _ { 2 0 } , \, \mathrm { f o r ~ a n y } \, \, c _ { 0 } \in \, ] 0 , 1 [ \, . } \end{array}
\langle f \rangle ( \varepsilon ) \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { \bar { \eta } D ( \varepsilon ( p ) ) } \int _ { \eta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } \eta \, \eta e ^ { - \beta \eta \varepsilon + \ln \bar { \eta } F ( \eta ) } \quad } & { \mathrm { f o r } \quad \varepsilon < f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta _ { \mathrm { m i n } } ) , } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { f o r } \quad \varepsilon > f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta _ { \mathrm { m i n } } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left< [ X _ { n } ( t ) - X _ { n } ( 0 ) ] ^ { 2 } \right> } & { { } = 2 \left< X _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \right> - 2 \left< X _ { n } ( t ) X _ { n } ( 0 ) \right> } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \partial _ { r } - { \frac { a + j - 1 / 2 } { r } } } } & { { - \sqrt { 2 } e v f } } \\ { { - \sqrt { 2 } e v f } } & { { \partial _ { r } + { \frac { j + 1 / 2 } { r } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { h _ { 2 } ( r ) } } \\ { { h _ { 3 } ( r ) } } \end{array} \right) = 0 ,
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ E _ { n } ( \Omega ) - E _ { n } ( \Omega ^ { \prime } ) \right] = 2 \int _ { 0 ^ { + } } ^ { \infty } \frac { d \mathcal { N } _ { \Omega } ( \lambda ) - d \mathcal { N } _ { \Omega ^ { \prime } } ( \lambda ) } { \lambda } \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { H } = - t \sum _ { i < j } \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { \alpha } } \left( b _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } + h . c . \right) } \\ { + V \sum _ { i < j } \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { \alpha } } n _ { i } n _ { j } - \sum _ { i } \frac { V } { 2 } n _ { i } } \end{array}