harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u ( t ) } & { = f - K _ { g ( t ) } - \alpha ( t ) } \\ & { = \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) - \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } \bar { K } + f - \alpha ( t ) } \\ & { = \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) + \bar { K } \left( \frac 1 A - \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } \right) + f - \frac 1 A \int _ { M } f \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } d \mu _ { \bar { g } } ; } \\ { u ( 0 ) } & { = u _ { 0 } \in \mathcal { C } _ { p , A } , } \end{array}
{ \cal Z } _ { \mathrm { 3 D { \, } A H M } } = \int D A _ { \mu } D \theta ^ { \mathrm { s i n g . } } D \theta ^ { \mathrm { r e g . } } \exp \left\{ - \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { 1 } { 4 e ^ { 2 } } { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \theta - A _ { \mu } \right) ^ { 2 } \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} = \ldots } & { { } + \left\langle \nabla \times \frac { \delta F } { \delta \omega ^ { \prime } } , \omega \times \frac { \delta G } { \delta u } - \frac { 1 } { D } \frac { \delta G } { \delta \theta } \nabla \theta \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( \Delta _ { t + 1 } | \Delta _ { t } , u _ { t } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p } & { \mathrm { i f } \, \, u _ { t } = 1 , \Delta _ { t + 1 } = 1 + \Delta _ { t } } \\ { 1 - p } & { \mathrm { i f } \, \, u _ { t } = 1 , \Delta _ { t + 1 } = 1 , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f } \, \, u _ { t } = 0 , \Delta _ { t + 1 } = 1 + \Delta _ { t } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\Gamma _ { \pi } = { \frac { 3 \pi ^ { 2 } \, | V _ { u d } | ^ { 2 } \, C ^ { 2 } \, f _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { B } ^ { 2 } \, r } } \times \left( { \frac { \mathrm { d } \Gamma _ { \mathrm { s l } } } { \mathrm { d } w } } \right) _ { w _ { \mathrm { m a x } } } .
\Lambda _ { \alpha } ^ { \ddagger } = - \sum _ { \beta = 6 , 7 } \tilde { C } _ { \alpha \beta } \Lambda _ { \beta } \, , \quad \alpha = 6 , 7 \, , \quad \quad \Lambda _ { 8 } ^ { \ddagger } = \Lambda _ { 8 } ^ { \dagger } = \Lambda _ { 8 } \, .
\begin{array} { r l } { v ( ( 0 0 2 ) ^ { j } ) } & { = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { j } ( 1 / \beta ^ { 3 } ) ^ { i } } \\ & { = 2 \cdot \frac { 1 / \beta ^ { 3 } - 1 / \beta ^ { 3 j + 3 } } { 1 - 1 / \beta ^ { 3 } } } \\ & { = 2 \cdot \frac { 1 - 1 / \beta ^ { 3 j } } { \beta ^ { 3 } - 1 } } \\ & { = 2 \cdot \frac { 1 - 1 / \beta ^ { 3 j } } { 2 \beta } } \\ & { = 1 / \beta - 1 / \beta ^ { 3 j + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } ^ { * } } \sqrt { T } \mathbb { E } _ { P } [ r _ { T } ( \pi ) ( P ) ] \geq \frac { 1 } { 1 2 } \operatorname* { i n f } _ { w \in \mathcal { W } } \operatorname* { m a x } _ { a \in [ K ] } \sqrt { \mathbb { E } ^ { X } \left[ { \left( \sigma ^ { d } ( X ) \right) ^ { 2 } } / { w ( a | X ) } \right] } + o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { { \bf k } , s , \sigma } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { z } } } \sum _ { j _ { z } = 1 } ^ { N _ { z } } e ^ { i k _ { z } j _ { z } a _ { z } } c _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } , s , \sigma } ^ { \dagger } , ~ ~ ~ ~ c _ { { \bf k } , s , \sigma } ^ = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { z } } } \sum _ { j _ { z } = 1 } ^ { N _ { z } } e ^ { - i k _ { z } j _ { z } a _ { z } } c _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } , s , \sigma } ^ , } \end{array}
{ \cal M } _ { i i \rightarrow j j } \sim g ^ { 2 } \sum _ { k } c _ { i i k } c _ { j j k } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { - t ( p ^ { 2 } + \lambda _ { k } ) } = g ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { - t p ^ { 2 } } \sum _ { k } c _ { i i k } c _ { j j k } e ^ { - t \lambda _ { k } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( G _ { N } = g ) } & { = \frac { \mathbb { P } \left( \left\{ G ^ { \mathcal { T } _ { N } } = g + 1 \right\} \cap \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \cap \mathcal { E } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) } { \mathbb { P } \left( \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \cap \mathcal { E } ^ { \mathcal { T } _ { N } } \right) } } \\ & { = \frac { p _ { N } \left[ \mathbb { P } \left( \left\{ G ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 1 ) } } = g \right\} \cap \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 1 ) } } \cap \mathcal { R } _ { 0 } ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 2 ) } } \right) + \mathbb { P } \left( \left\{ G ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 2 ) } } = g \right\} \cap \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 2 ) } } \cap \mathcal { R } _ { 0 } ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 1 ) } } \right) \right] } { p _ { N } \left[ \mathbb { P } \left( \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 1 ) } } \cap \mathcal { R } _ { 0 } ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 2 ) } } \right) + \mathbb { P } \left( \mathcal { R } ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 2 ) } } \cap \mathcal { R } _ { 0 } ^ { \mathcal { T } _ { N } ^ { ( 1 ) } } \right) \right] } . } \end{array}
\widetilde { A } = \sqrt { \frac 2 3 } \left( \begin{array} { l l } { \frac { l } { l + \sqrt 2 } } & { e ^ { \frac { 5 \pi i } 6 } \frac { l \, s _ { 0 } ^ { - 1 } f _ { \infty } ^ { - 2 } } { \sqrt 2 + l } } \\ { e ^ { \frac { \pi i } 6 } \frac { l \, s _ { 0 } f _ { \infty } ^ { 2 } } { \sqrt 2 - l } } & { \frac { l } { l - \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) , \quad \widetilde { B } = \sqrt { \frac 2 3 } \left( \begin{array} { l l } { - \frac { l } { l + \sqrt 2 } } & { e ^ { \frac { 5 \pi i } 6 } \frac { l \, s _ { 0 } ^ { - 1 } f _ { \infty } ^ { - 2 } } { \sqrt 2 + l } } \\ { e ^ { \frac { \pi i } 6 } \frac { l \, s _ { 0 } f _ { \infty } ^ { 2 } } { \sqrt 2 - l } } & { - \frac { l } { l - \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { 4 n - 8 \geq \sum _ { \mathrm { ~ P ~ p a t c h } } w _ { 2 } ( P ) } & { \geq } & { 8 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 2 } | + 4 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 3 } ^ { \odot } | + 0 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 4 } | - \sum _ { d \geq 5 } 0 | { \ensuremath { \cal P } } _ { d } | - 4 | { \ensuremath { \cal P } } ^ { \boxtimes } | - 2 | { \ensuremath { \cal P } } _ { 3 } ^ { \nabla } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \sigma } _ { \mathrm { M P } } ^ { 2 } } & { { } = \frac { \sigma _ { 1 _ { \mathrm { M P } } } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 _ { \mathrm { M P } } } ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\widetilde { \Phi } ( \lambda , t ) \sim ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( I + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \widetilde { \Phi } ^ { ( k ) } ( t ) } { \lambda ^ { k / 2 } t ^ { k / 5 } } \right) \mathrm { e } ^ { t g ( \lambda ) \sigma _ { 3 } } ,
\begin{array} { r l r } { d _ { t } S _ { i } ( t ) } & { { } = } & { - \Lambda _ { i } ( t ) S _ { i } ( t ) , } \\ { d _ { t } E _ { i } ( t ) } & { { } = } & { \Lambda _ { i } ( t ) S _ { i } ( t ) - \Psi E _ { i } ( t ) , } \\ { d _ { t } I _ { i } ( t ) } & { { } = } & { \Psi E _ { i } ( t ) - \Gamma I _ { i } ( t ) , } \\ { d _ { t } R _ { i } ( t ) } & { { } = } & { \Gamma I _ { i } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { p = 1 } ^ { 2 } \frac { 2 ! } { p ! ( 2 - p ) ! } k _ { < a _ { 1 } } . . . k _ { a _ { p } } \hat { \partial } _ { a _ { p + 1 } } . . . \hat { \partial } _ { a _ { 2 } > } \frac { \partial ^ { p - 1 } } { \partial \tau ^ { p - 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } } } & { { } = } & { - \frac { 2 k _ { a } b _ { b } + \tau k _ { a } k _ { b } } { ( b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } , } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { 3 } \frac { 3 ! } { p ! ( 3 - p ) ! } k _ { < a _ { 1 } } . . . k _ { a _ { p } } \hat { \partial } _ { a _ { p + 1 } } . . . \hat { \partial } _ { a _ { 3 } > } \frac { \partial ^ { p - 1 } } { \partial \tau ^ { p - 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } } } & { { } = } & { } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { 4 } \frac { 4 ! } { p ! ( 4 - p ) ! } k _ { < a _ { 1 } } . . . k _ { a _ { p } } \hat { \partial } _ { a _ { p + 1 } } . . . \hat { \partial } _ { a _ { 4 } > } \frac { \partial ^ { p - 1 } } { \partial \tau ^ { p - 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } } } & { { } = } & { } \end{array}
\int _ { \Omega } S _ { D C } d \Omega \sim \left( a _ { 2 } / a _ { 1 } \right) ^ { 2 } \int _ { \Omega } S _ { Q B A } d \Omega \sim 1 / \left[ \Delta ^ { 4 } \left( \gamma _ { S , 0 } \Delta ^ { 2 } + C \right) \right]
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \xi \xi } } & { { } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \xi - \xi ^ { \prime } , \eta - \eta ^ { \prime } ) ( \xi - \xi ^ { \prime } ) ^ { 2 } d \xi ^ { \prime } d \eta ^ { \prime } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \xi ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) d \xi ^ { \prime } d \eta ^ { \prime } } , } \\ { \gamma _ { \eta \eta } } & { { } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \eta - \eta ^ { \prime } , \xi - \xi ^ { \prime } ) ( \eta - \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 } d \eta ^ { \prime } d \xi ^ { \prime } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } R ( \eta ^ { \prime } , \xi ^ { \prime } ) d \eta ^ { \prime } d \xi ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \Phi _ { t } ( b ) - \Phi _ { t } ( a ) ) ^ { \mathsf { T } } P ( \Phi _ { t } ( b ) - \Phi _ { t } ( a ) ) } \\ & { = ( \exp ( A t ) ( b - a ) ) ^ { \mathsf { T } } P ( \exp ( A t ) ( b - a ) ) } \\ & { = ( b - a ) ^ { \mathsf { T } } \left( P + ( P A + A ^ { \mathsf { T } } P ) t + o ( t ) \right) ( b - a ) , } \end{array}
\Gamma _ { W W Z } = \frac { g _ { \omega 3 \pi } ^ { 2 } M _ { \omega _ { T } } } { 1 4 4 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { m _ { V } } ^ { \frac { ( M _ { \omega _ { T } } ^ { 2 } - 3 m _ { V } ^ { 2 } ) } { 2 M _ { \omega _ { T } } } } d E \; \frac { ( E ^ { 2 } - m _ { V } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } ( M _ { \omega _ { T } } ^ { 2 } - 2 M _ { \omega _ { T } } E - 3 m _ { V } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } { ( M _ { \omega _ { T } } ^ { 2 } - 2 M _ { \omega _ { T } } E + m _ { V } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } }
K ( t , { \bf x } , s \, \vert \, t , { \bf x } , 0 ) = \big \langle t , { \bf x } \big \vert \exp - i \left[ \left( { \partial _ { t } } ^ { 2 } - { \nabla } ^ { 2 } + 2 i q \phi ( \partial _ { t } + \partial _ { z } ) \right) s \right] \, \big \vert t , { \bf x } \big \rangle .
\begin{array} { r l r } & { } & { ( a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 1 } ^ { 2 } ) \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } } { ( a _ { 1 } ^ { 2 } + u ) ( a _ { 2 } ^ { 2 } + u ) } - \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } } { a _ { 3 } ^ { 2 } + u } \right) \frac { d u } { \Delta } \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { 2 } { 3 } \lambda ^ { - 3 } \frac { m _ { o } } { M } \left( \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho \in { H _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( a , b ) } \Longleftrightarrow \rho \in L ^ { 2 } ( a , b ) \mathrm { ~ a n d ~ } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho \in L ^ { 2 } ( a , b ) , } \\ { g \in { H _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( a , b ) } \Longleftrightarrow g \in L ^ { 2 } ( a , b ) \mathrm { ~ a n d ~ } { \mathbb D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } g \in L ^ { 2 } ( a , b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q _ { 1 } ( q _ { 1 } ( ( K - 3 ) q _ { 1 } ( 4 ( K ( K ( 1 3 K - 3 7 ) + 4 7 ) } & { } & \\ { - 3 1 ) - ( K - 3 ) ( K ( 7 K - 1 0 ) - 1 ) q _ { 1 } ) } & { } & \\ { + 2 K ( K ( - 5 1 ( K - 4 ) K - 3 2 2 ) + 1 4 0 ) + 1 5 4 ) } & { } & \\ { - 4 ( K - 3 ) ^ { 2 } ( K ( 1 7 K - 3 0 ) + 9 ) ) + ( K ( 1 7 K - 3 0 ) + 9 ) ^ { 2 } } & { > } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 1 } \| < \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 2 } \| \mathrm { ~ a n d ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 3 } \| } \\ { 2 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 2 } \| < \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 1 } \| \mathrm { ~ a n d ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 3 } \| } \\ { 3 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 3 } \| < \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 1 } \| \mathrm { ~ a n d ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 2 } \| } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { u ^ { n + 1 } - u ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { D } _ { x } ^ { 2 } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { 2 p + 2 } - | u ^ { n } | ^ { 2 p + 2 } } { | u ^ { n + 1 } | ^ { 2 } - | u ^ { n } | ^ { 2 } } \frac { u ^ { n + 1 } + u ^ { n } } { 2 p + 2 } } \\ & { \quad + \beta \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { p + 1 } + | v ^ { n } | ^ { p + 1 } } { 2 } \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { p + 1 } - | u ^ { n } | ^ { p + 1 } } { | u ^ { n + 1 } | ^ { 2 } - | u ^ { n } | ^ { 2 } } \frac { u ^ { n + 1 } + u ^ { n } } { p + 1 } } \\ { i \frac { v ^ { n + 1 } - v ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { D } _ { x } ^ { 2 } v ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { 2 p + 2 } - | v ^ { n } | ^ { 2 p + 2 } } { | v ^ { n + 1 } | ^ { 2 } - | v ^ { n } | ^ { 2 } } \frac { v ^ { n + 1 } + v ^ { n } } { 2 p + 2 } } \\ & { \quad + \beta \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { p + 1 } + | u ^ { n } | ^ { p + 1 } } { 2 } \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { p + 1 } - | v ^ { n } | ^ { p + 1 } } { | v ^ { n + 1 } | ^ { 2 } - | v ^ { n } | ^ { 2 } } \frac { v ^ { n + 1 } + v ^ { n } } { p + 1 } } \end{array}
\mathscr { P } ( t _ { s } ) = \frac { t _ { c } } { \tau } \frac { e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } ( \tau e ^ { \frac { t _ { s } } { \tau } } - t _ { s } - \tau ) } { t _ { s } ( e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } - 1 ) ^ { 2 } }
V _ { \mathrm { r e l } } ( R ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } a _ { i j } R ^ { j } \, e ^ { - \alpha _ { i } R } - \sum _ { k = 2 } ^ { 4 } \frac { C _ { 2 k } ^ { \mathrm { r e l } } f _ { 2 k } ( \eta R ) } { R ^ { 2 k } } ,
\widehat { M } _ { L N S } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \epsilon _ { u } ( \Lambda _ { l } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 1 / 2 } { \cal V } _ { l } ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { \epsilon _ { u } { \cal V } _ { l } ( \Lambda _ { l } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 1 / 2 } } } & { { x ^ { 2 k } N } } & { { x ^ { k + 1 } T ^ { T } } } \\ { { 0 } } & { { x ^ { k + 1 } T } } & { { x ^ { 2 } S } } \end{array} \right)
f ( x _ { t } , t ) = f ( t ) x _ { t } : = \frac { \dot { s } _ { t } } { s _ { t } } x _ { t } , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad g ( x _ { t } , t ) = g ( t ) : = s _ { t } \sqrt { 2 \dot { \sigma } _ { t } \sigma _ { t } } .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \pi _ { j } } \left( \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } g _ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \right) = \mathbb { E } _ { \pi _ { j } } \left( \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } \mathbb { E } [ g _ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } ) | \theta _ { j } ] \right) = \mathbb { E } _ { \pi _ { j } } \left[ \frac { - \mathbb { E } [ g _ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } ) | \theta _ { j } ] \pi _ { j } ^ { \prime } ( \theta _ { j } ) } { \pi _ { j } ( \theta _ { j } ) } \right] } \end{array}
z _ { [ r ] } ^ { ( n ) } \: T _ { [ r ] } ^ { ( n ) } \; = \; - 4 \: ( n \: T _ { [ r ] } ^ { ( n + 1 ) } + T _ { \{ r \} } ^ { ( n + 2 ) } ) \: + \: { \mathrm { ( s m o o t h ~ f u n c t i o n s ) } } \; .
\begin{array} { r l r } { \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| } & { = } & { \left\lfloor \frac { \Delta } { \hat { M } _ { \cal A } } \right\rfloor + 1 } \\ & { \leq } & { \frac { \Delta } { \gamma _ { C , \hat { \cal R } } \cdot M _ { \cal A } ^ { * } } + 1 } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { \gamma _ { C , \hat { \cal R } } } \cdot \left( \left\lfloor \frac { \Delta } { M _ { \cal A } ^ { * } } \right\rfloor + 1 \right) + 1 } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \gamma _ { C , \hat { \cal R } } } \cdot \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { R _ { \ell } ^ { * } , \Delta } \right| + 1 \ . } \end{array}
\Phi _ { E _ { 2 } , 2 } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \delta _ { \vec { r } , \pm ( \vec { \delta } _ { 0 } + \vec { \delta } _ { 1 } ) } - \delta _ { \vec { r } , \pm ( \vec { \delta } _ { 0 } - \vec { \delta } _ { 2 } ) } ,
E J _ { N S } ^ { p ( n ) } = \bigg [ 1 - a - 3 . 5 8 3 a ^ { 2 } - 2 0 . 2 1 5 a ^ { 3 } - 1 3 0 a ^ { 4 } - O ( a ^ { 5 } ) \bigg ] \times \left( \pm a _ { 3 } / 1 2 + a _ { 8 } / 3 6 \right) + O \bigg ( \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } \bigg ) ,
A ( \mathbf { k } , E ) = - { \frac { 1 } { \pi } } { \frac { \Sigma ^ { \prime \prime } ( E ) } { \left[ E - E _ { o } ( \mathbf { k } ) - \Sigma ^ { \prime } ( E ) \right] ^ { 2 } + \left[ \Sigma ^ { \prime \prime } ( E ) \right] ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { i } ^ { ( j ) , - } } & { = \mathbf { U } _ { i } ^ { ( j ) } \mathbf { \Sigma } _ { i } ^ { ( j ) } \left[ \mathbf { V } _ { i } ^ { ( j ) } \right] ^ { \top } , } \\ { \widehat { \mathbf { A } } _ { i } ^ { ( j ) } } & { = \left[ \mathbf { U } _ { i } ^ { ( j ) } \right] ^ { \top } \mathbf { S } _ { i } ^ { ( j ) , + } \mathbf { V } _ { i } ^ { ( j ) } \left[ \mathbf { \Sigma } _ { i } ^ { ( j ) } \right] ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \omega \pm \epsilon k _ { 0 } U _ { \mathrm { A } } \right) ^ { 2 } = \left( k \pm k _ { 0 } \right) ^ { 2 } U _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } - \left( 1 - \epsilon ^ { 2 } \right) k _ { 0 } ^ { 2 } U _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } , } \\ { k _ { 0 } \equiv \frac { j _ { \mathrm { C R } } } { 2 B _ { g } c } , \quad \epsilon \equiv \frac { U _ { \mathrm { A } } } { v _ { \mathrm { C R } } } . } \end{array}
\hat { A } _ { i j } = \frac { { \int _ { y _ { i - 1 } } ^ { y _ { i } } d y { \int _ { y _ { j - 1 } ^ { \mathrm { t r u e } } } ^ { y _ { j } ^ { \mathrm { t r u e } } } d y ^ { \mathrm { t r u e } } \, \hat { \cal { A } } ( y , y ^ { \mathrm { t r u e } } ) \, { \cal { X } } ( y ^ { \mathrm { t r u e } } ) } } } { { \int _ { y _ { j - 1 } ^ { \mathrm { t r u e } } } ^ { y _ { j } ^ { \mathrm { t r u e } } } } d y ^ { \mathrm { t r u e } } \, { \cal { X } } ( y ^ { \mathrm { t r u e } } ) } \; .
- { \cal L } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \overline { { { \psi _ { i } ^ { \alpha } } } } h _ { s } ^ { i j } \psi _ { j } ^ { \beta c } H _ { \alpha \beta } ^ { * } - { \frac { 1 } { 2 } } \overline { { { \psi _ { i } ^ { \alpha } } } } h _ { a } ^ { i j } \psi _ { j } ^ { \beta c } \phi ^ { \gamma } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } + \mathrm { h . c . } \ ,
\begin{array} { r l } { f _ { x , y } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { g } { l _ { e q } } } , } \\ { f _ { z } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { 3 k } { m } } , } \\ { f _ { x , y , r o t . } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { 3 k R ^ { 2 } } { 2 I _ { x } } } . } \end{array}
\mathbf { Q _ { i } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - \frac { 1 } { \bar { \rho } _ { i } \bar { c } _ { i } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \bar { \rho } _ { i } \bar { c } _ { i } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \bar { c } _ { i } ^ { 2 } } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \bar { c } _ { i } ^ { 2 } } } \end{array} \right) , \ \Phi _ { i } = \left( \begin{array} { l } { \phi _ { i } ^ { - } } \\ { \phi _ { i } ^ { s } } \\ { \phi _ { i } ^ { v } } \\ { \phi _ { i } ^ { w } } \\ { \phi _ { i } ^ { + } } \end{array} \right) .
\hat { { F } } _ { z ^ { 1 } z ^ { 2 } } = 0 \ , \quad \hat { { F } } _ { \bar { z } ^ { 1 } \bar { z } ^ { 2 } } = 0 \ , \quad \hat { { F } } _ { z ^ { 1 } \bar { z } ^ { 1 } } + \hat { { F } } _ { z ^ { 2 } \bar { z } ^ { 2 } } = 0 \ .
\theta _ { k } = \operatorname { a r c c o s } { \left( \frac { - \lambda + \cos { \left( \frac { 2 \pi k } { n } \right) } } { \sqrt { \left( - \lambda + \cos { \left( \frac { 2 \pi k } { n } \right) } \right) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } { \left( \frac { 2 \pi k } { n } \right) } } } \right) } .
F _ { n , j } ^ { I ^ { \prime } , I } = F _ { n - 1 , j } ^ { I ^ { \prime } , I } + \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \Delta V _ { n , j } ^ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \langle I ^ { \prime } | n , \kappa ^ { \prime } \rangle \langle n , \kappa | I \rangle ; \qquad F _ { 0 , j } ^ { I ^ { \prime } , I } = 0
F _ { n } ^ { \mathcal { O } | \ldots \mu _ { i } \mu _ { j } \ldots } ( \ldots \theta _ { i } , \theta _ { j } \ldots ) = F _ { n } ^ { \mathcal { O } | \ldots \mu _ { j } \mu _ { i } \ldots } ( \ldots \theta _ { j } , \theta _ { i } \ldots ) S _ { \mu _ { i } \mu _ { j } } ( \theta _ { i , j } ) \, .
\begin{array} { r l } { B ^ { \dagger } ( \theta , \phi ) a B ( \theta , \phi ) } & { { } = a \cos \theta - b e ^ { - i \phi } \sin \theta , } \\ { B ^ { \dagger } ( \theta , \phi ) b B ( \theta , \phi ) } & { { } = b \cos \theta + a e ^ { i \phi } \sin \theta . } \end{array}
F ( \Phi ) - \ell ^ { 2 } F ^ { \prime \prime } ( \Phi ) | \nabla \Phi | ^ { 2 } + O ( \ell ^ { 3 } ) = \frac { 2 \ell } { G _ { \mathrm { ~ c ~ } } } ( 1 - F ( \Phi ) ) \operatorname* { m a x } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \Psi + O ( \ell ^ { 3 } ) .
\begin{array} { r l r l r l } { A ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } = } & { { } c _ { 0 } \; , } & { \beta _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } = } & { { } \frac { e ^ { - c _ { 1 } / ( 2 c _ { 0 } ) } } { 2 c _ { 0 } } \; , } & { \beta _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } = } & { { } 2 A \beta _ { 1 } ^ { 2 } \; , } \end{array}
\Psi _ { p h o t o n } = e ^ { i k z _ { 1 } } u ( 1 ) \mid + > e ^ { - i k z _ { 2 } } \acute { u } ( 2 ) \mid - > + e ^ { i k z _ { 1 } } v ( 1 ) \mid - > e ^ { - i k z _ { 2 } } \acute { v } ( 2 ) \mid + >
[ \widetilde { Q } _ { 1 } ^ { ( d ) } ] _ { 1 } \; = \; - \, \frac { 1 } { 2 } \, [ \widetilde { Q } _ { 1 } ^ { ( u ) } ] _ { 1 } \; = \; \frac { 4 } { 3 } \, ( N ^ { 2 } - 1 ) \, .
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial } { \partial \xi } \Theta ^ { - } \right) ( \xi , s ) = c ^ { - } \sqrt { \frac { s } { a ^ { - } } } \exp \left( \sqrt { \frac { s } { a ^ { - } } } \xi \right) + \frac { u _ { \xi } ^ { - } } { \partial s } , } \\ & { \left( \frac { \partial } { \xi } \Theta ^ { + } \right) ( \xi , s ) = - c ^ { + } \sqrt { \frac { s } { a ^ { + } } } \exp \left( - \sqrt { \frac { s } { a ^ { + } } } \xi \right) + \frac { u _ { \xi } ^ { + } } { \partial s } . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi i } \frac { { ( - \lambda ) } ^ { p } } { p ! } \int _ { l } { \ ( \frac { 1 } { 2 } ) } ^ { n } \tau ^ { - ( n + \lambda ) - 1 } ( l n 2 \tau ) ^ { p } e x p ( \tau - \frac { z ^ { 2 } } { 4 \tau } ) d \tau .
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( \theta ) } & { { } = 1 + \chi _ { \frac { \omega _ { 3 } } { v _ { F } \cos \theta } } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 - 1 / \cos ^ { 2 } \theta } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textsf { X } _ { A } ^ { \pm } } & { \rightarrowtail \vert \phi ^ { \pm } \rangle _ { B C } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 0 0 \rangle \pm \vert 1 1 \rangle ) , } \\ { \textsf { Y } _ { A } ^ { \pm } } & { \rightarrowtail \vert \psi ^ { \mp } \rangle _ { B C } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 0 0 \rangle \mp i \vert 1 1 \rangle ) , } \end{array}
{ \cal { L } } _ { \mathrm { Y . } } ^ { ( \mu ) } = h _ { t } ( \mu ) { \bar { Q } } _ { L } ^ { a } { \tilde { \Phi } } t _ { R } ^ { a } + f _ { 1 } ( \mu ) Q _ { L } ^ { a T } C ^ { - 1 } i { \tau } _ { 2 } Q _ { L } ^ { b } { \omega } _ { 1 } ^ { d } { \epsilon } _ { a b d } + f _ { 2 } ( \mu ) t _ { R } ^ { a T } C ^ { - 1 } b _ { R } ^ { b } { \omega } _ { 2 } ^ { d } { \epsilon } _ { a b d } + \mathrm { ~ h . c . }
H = k \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { \sqrt { \frac { 1 + \alpha } { 2 } } } & & & & \\ { \sqrt { \frac { 1 + \alpha } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } & & & \\ & { 1 } & { 0 } & { \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } } & & \\ & & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & & { \sqrt { \frac { M - 1 } { 2 } } } & { 0 } & { \sqrt { \frac { M } { 2 } } } \\ & & & & { \sqrt { \frac { M } { 2 } } } & { 0 } \end{array} \right] .