harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
p ( \rho ) = \left\{ \begin{array} { l } { \rho { \theta _ { v } } , ~ ~ \mathrm { { } } \rho \le { \rho _ { 1 } } } \\ { { \rho _ { 1 } } { \theta _ { v } } + ( \rho - { \rho _ { 1 } } ) { \theta _ { m } } , ~ ~ \mathrm { { } } { \rho _ { 1 } } \le \rho \le { \rho _ { 2 } } } \\ { { \rho _ { 1 } } { \theta _ { v } } + ( { \rho _ { 2 } } - { \rho _ { 1 } } ) { \theta _ { m } } + ( \rho - { \rho _ { 2 } } ) { \theta _ { l } } , ~ ~ \mathrm { { } } \rho > { \rho _ { 2 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { c c c } { { } } & { { \alpha _ { 1 } \to \Gamma _ { 0 } ^ { 0 1 } ( { \bf 0 } ) \cos \theta + \Gamma _ { 0 } ^ { 0 2 } ( { \bf 0 } ) \sin \theta } } & { { \ \ \ , \ \alpha _ { 2 } \to o ( \rho ) , } } \\ { { } } & { { \beta _ { 1 } \to \Gamma _ { 0 } ^ { 1 2 } ( { \bf 0 } ) \phantom { \cos \theta + c _ { 2 } s i } } } & { { \ \ \ , \ \ \ \ \phantom { a a } \beta _ { 2 } \to 1 + o ( \rho ) , } } \\ { { } } & { { \gamma _ { 1 } \to - \Gamma _ { 0 } ^ { 0 2 } ( { \bf 0 } ) \cos \theta + \Gamma _ { 0 } ^ { 0 1 } ( { \bf 0 } ) \sin \theta } } & { { \ \ , \ \ \gamma _ { 2 } \to o ( \rho ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q ( \varphi , \psi ) } & { { } = ( - 1 ) ^ { n } Q ( \psi , \varphi ) ; } \\ { Q ( \varphi , \psi ) } & { { } = 0 } & { } & { { } { \mathrm { ~ f o r ~ } } \varphi \in H ^ { p , q } , \psi \in H ^ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } , p \neq q ^ { \prime } ; } \\ { i ^ { p - q } Q \left( \varphi , { \bar { \varphi } } \right) } & { { } > 0 } & { } & { { } { \mathrm { ~ f o r ~ } } \varphi \in H ^ { p , q } , \ \varphi \neq 0 . } \end{array}
\operatorname { t r } \left( \mathbf { A } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { B } \right) = \operatorname { t r } \left( \mathbf { A } \mathbf { B } ^ { \mathsf { T } } \right) = \operatorname { t r } \left( \mathbf { B } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \right) = \operatorname { t r } \left( \mathbf { B } \mathbf { A } ^ { \mathsf { T } } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } b _ { i j } \; .
\begin{array} { r l } { \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , \varphi ) \big ) } & { { } = \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) \big ) + \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) , \varphi \big ) , } \\ { \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \theta , \varphi ) } & { { } \triangleq \frac { \omega _ { N } - \omega _ { C } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 1 } + f _ { 1 } ( t , \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
\tilde { P } \; = \; \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \ldots } { \mathrm { c o n s t } } ( n , \ldots ) \; C _ { n , \ldots } \: { \cal { B } } \: C _ { n - 1 , \ldots } \: { \cal { B } } \: \cdots \: { \cal { B } } \: C _ { 0 , \ldots } \; \; \; ,
\begin{array} { r l r } & { D ( x , w ; \boldsymbol { \mu } ) + E ( w , p ; \boldsymbol { \mu } ) = \int _ { 0 } ^ { T } \langle \bar { g } ( \boldsymbol { \mu } ) , w \rangle \mathrm { d t } , \quad } & { \forall w \in \mathcal { X } , } \\ & { E ( x , q ; \boldsymbol { \mu } ) = \int _ { 0 } ^ { T } \langle f ( \boldsymbol { \mu } ) , q \rangle _ { Y ^ { * } Y } \mathrm { d t } , \quad } & { \forall q \in \mathcal { Y } _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } \Delta ^ { h } v \, v \varphi \, d x } & { = - \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } | D ^ { h } v | ^ { 2 } \varphi \, d x + \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } v ( t , x + h e _ { i } ) ( v ( t , x + h e _ { i } ) - v ( t , x ) ) \varphi ( t , x ) \, d x } \\ & { \qquad \quad - \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } v ( t , x ) ( v ( t , x ) - v ( t , x - h e _ { i } ) ) \varphi ( t , x ) \, d x } \\ & { = - \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } | D ^ { h } v | ^ { 2 } \varphi \, d x - \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } v D ^ { - h } v \cdot D ^ { - h } \varphi \, d x , } \end{array}
\dot { m } = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { \mathrm { ~ S ~ t ~ } } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \: \mathrm { ~ P ~ r ~ } } \Bigg ( { n _ { \Gamma _ { j } } \partial _ { j } T _ { L } \: \bigr \vert } _ { \: \Gamma } - \frac { k _ { G } } { k _ { L } } { n _ { \Gamma _ { j } } \partial _ { j } T _ { G } \: \bigr \vert } _ { \: \Gamma } \Bigg )
{ \tilde { \Psi } } _ { L } \rightarrow \exp ( \frac { 1 } { 2 } \alpha ( x ) ) { \tilde { \Psi } } _ { L } , \qquad { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L } \rightarrow \exp ( \frac { 1 } { 2 } \alpha ( x ) ) { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L } .
\begin{array} { r } { \mu _ { 0 } = \frac { \delta } { s _ { 1 } } \frac { 8 v _ { 1 } ^ { 2 } ( - 3 v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { D } + 3 v _ { 2 } ^ { 2 } ) } { - 7 v _ { 1 } ^ { 2 } + 3 v _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { D } + 9 v _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
H ^ { j k } = \left\{ \begin{array} { l l } { { - { \frac { m _ { j } m _ { k } } { m _ { j } ^ { 2 } - m _ { k } ^ { 2 } } } \left( \ln \left[ { \frac { \Delta { \overline { { m } } } _ { j } ^ { 2 } - s \bar { y } _ { + } / 2 } { \Delta { \overline { { m } } } _ { j } ^ { 2 } - s \bar { y } _ { - } / 2 } } \right] - \ln \left[ { \frac { \Delta { \overline { { m } } } _ { k } ^ { 2 } - s \bar { y } _ { + } / 2 } { \Delta { \overline { { m } } } _ { k } ^ { 2 } - s \bar { y } _ { - } / 2 } } \right] \right) } } & { { \quad i f \quad m _ { j } ^ { 2 } \ne m _ { k } ^ { 2 } } } \\ { { \, \, \, \, \lambda _ { a d } ^ { 1 / 2 } { \frac { m _ { j } ^ { 2 } s } { ( \Delta { \overline { { m } } } _ { j } ^ { 2 } - s \bar { y } _ { + } / 2 ) ( \Delta { \overline { { m } } } _ { j } ^ { 2 } - s \bar { y } _ { - } / 2 ) ) } } } } & { { \quad i f \quad m _ { j } ^ { 2 } = m _ { k } ^ { 2 } } } \end{array} \right.
\left. \frac { { \mathscr Z } _ { \beta \alpha } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \right| _ { ( 2 , 2 k - 1 ) } \simeq \sqrt { g _ { \mathrm { s } } \, \frac { ( - 1 ) ^ { k + n + 1 } \cot \left( \frac { \pi n } { 2 k - 1 } \right) } { 6 4 \pi \left( 2 k - 1 \right) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi n } { 2 k - 1 } \right) } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( 1 , n ) } + \cdots .
\begin{array} { r l } { P ( \Delta } & { t _ { k _ { p } } ^ { i } | \vartheta ) = \bigg [ \sum _ { m = 1 } ^ { M } \pi _ { m } \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { p l } } \frac { \lambda _ { m } } { 2 } } \\ { \times } & { \exp \Big ( \frac { \lambda _ { m } } { 2 } \left( 2 ( \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k _ { p } } ^ { i } - n T ) + \lambda _ { m } \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } \right) \Big ) } \\ { \times } & { \mathrm { e r f c } \left( \frac { \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k _ { p } } ^ { i } - n T + \lambda _ { m } \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { I R F } } \sqrt { 2 } } \right) \bigg ] ^ { \mathcal { W } _ { k _ { p } } ^ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \alpha } v _ { i , \beta } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { 5 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \left( \frac { R _ { - , \alpha } } { R _ { - } ^ { 2 } } - \frac { R _ { + , \alpha } } { R _ { + } ^ { 2 } } \right) \left( \delta _ { \beta \gamma } - \frac { 2 } { 5 } \mu \epsilon _ { \beta \gamma } \right) + \frac { 3 } { 5 } \left( \frac { R _ { + , \beta } } { R _ { + } ^ { 2 } } - \frac { R _ { - , \beta } } { R _ { - } ^ { 2 } } \right) \delta _ { \alpha \gamma } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! \langle \hat { F } ^ { n } \rangle = } & { { } \sum _ { m = 0 } ^ { \lfloor n / 2 \rfloor } \frac { n ! } { 2 ^ { m } m ! } \langle { \hat { F } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ^ { m } \sideset { } { ' } \sum _ { \{ n _ { k } - 2 m _ { k } \} } \frac { 1 } { n _ { 1 } ! \cdots n _ { K } ! } \mathrm { t r _ { \ t S } } \rho _ { \bf n - 2 m } ^ { ( n - 2 m ) } . } \end{array}
{ \frac { \partial L } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { r } } } _ { k } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { C } \lambda _ { i } { \frac { \partial f _ { i } } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } = 0
\frac { 1 } { \tau } \big \langle \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf { v } _ { h } \big \rangle _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } + a _ { h } ( \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf { v } _ { h } ) = - a _ { h } ( \mathbf { y } _ { h } ^ { n } , \mathbf { v } _ { h } ) + \ell [ \mathbf { y } _ { h } ^ { n } ] ( \mathbf { v } _ { h } ) \quad \forall \, \mathbf { v } _ { h } \in \mathcal { F } _ { h } ( \mathbf { y } _ { h } ^ { n } ) .
\begin{array} { r l r l r l } & { \boldsymbol { \vartheta } _ { 1 } ^ { I } ( \xi , \eta ) = \left[ \begin{array} { l } { \eta } \\ { 1 - \xi } \end{array} \right] \, , } & & { \boldsymbol { \vartheta } _ { 2 } ^ { I } ( \xi , \eta ) = \left[ \begin{array} { l } { 1 - \eta } \\ { \xi } \end{array} \right] \, , } & & { \boldsymbol { \vartheta } _ { 3 } ^ { I } ( \xi , \eta ) = \left[ \begin{array} { l } { \eta } \\ { - \xi } \end{array} \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \widetilde { \Upsilon } ^ { E } ( g ; g _ { b } ) _ { 0 } } & { = g _ { 0 \kappa } g ^ { \mu \nu } ( \Gamma ( g ) _ { \mu \nu } ^ { \kappa } - \Gamma ( g _ { b } ) _ { \mu \nu } ^ { \kappa } ) - \theta ( g ; g _ { b } ) _ { 0 } } \\ & { = g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } g _ { 0 \nu } - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \partial _ { 0 } g _ { \mu \nu } - g _ { 0 \kappa } g ^ { \mu \nu } \Gamma ( g _ { b } ) _ { \mu \nu } ^ { \kappa } - \theta ( g ; g _ { b } ) _ { 0 } \quad \mathrm { a t } \quad \Sigma _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x _ { s } } \, \mathrm { d } k \right| } & { \ge ( \phi * f _ { * } ) ( x _ { s } ) - \left| \int _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x _ { s } } \, \mathrm { d } k - \phi * f _ { * } ( x _ { s } ) \right| } \\ & { \ge \frac { K } { \sigma } \beta - \epsilon \frac { K } { \sigma } - \frac { K } { \sigma } \exp ( - \pi \sigma ^ { 2 } ) \ge \frac { K } { \sigma } \left( \beta - \frac { \beta - \omega } { 6 } - \frac { \beta - \omega } { 6 } \right) } \\ & { = \frac { K } { \sigma } \left( \frac { 2 \beta + \omega } { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \phi ^ { 2 } ( t _ { i } ) \rangle \approx } & { { } \frac { \rho _ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } } { 2 m ^ { 2 } } \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } \alpha _ { k } \Delta v \sqrt { f ( v _ { j } ) f ( v _ { k } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { F } _ { 2 } [ u _ { \alpha } ] \langle a _ { \alpha } ^ { j } \rangle _ { j \geq 2 } \langle a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { - i } \rangle } \\ { \oplus } & { \langle a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { - i } \rangle ( \frac { [ a _ { \lambda _ { 1 } } , \cdots , a _ { \lambda _ { n - 2 } } ] } { \langle 1 \rangle } [ u _ { \lambda _ { 1 } } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ] [ a _ { \alpha } ] ) / \{ \mathrm { g o l d ~ r e l a t i o n s } \} . } \end{array}
\Delta G ( t ) = k _ { B } T \ln \frac { k _ { 1 2 } ( t ) k _ { 2 3 } ( t ) k _ { 3 1 } ( t ) } { k _ { 2 1 } k _ { 3 2 } ( t ) k _ { 1 3 } ( t ) } = k _ { B } T \ln \frac { 3 } { 4 } < 0 .
f _ { \mu } ^ { a } ( \psi _ { , \mu } ^ { b } ) - f _ { \mu } ^ { a } ( \psi ^ { a } , \lambda _ { a } ^ { \mu } ) - \lambda _ { b } ^ { \nu } \frac { \partial f _ { \nu } ^ { b } } { \partial \lambda _ { a } ^ { \mu } } + \frac { \partial L } { \partial \lambda _ { a } ^ { \mu } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { w _ { \zeta } ^ { 2 } f } { f _ { \zeta } } } & { = ( w _ { \zeta } ^ { 0 } ) ^ { 2 } \zeta + O \left( \frac { 1 } { \zeta ^ { 2 } } \right) = \left( \sum _ { k = 1 } ^ { M } \frac { \gamma _ { k } } { 2 \pi i ( \zeta - \zeta _ { k } ) } \right) ^ { 2 } \zeta + O \left( \frac { 1 } { \zeta ^ { 2 } } \right) = \sum _ { k , j } ^ { M } \frac { \gamma _ { k } \gamma _ { j } } { ( 2 \pi i ) ^ { 2 } ( \zeta - \zeta _ { j } ) } + O \left( \frac { 1 } { \zeta ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\boldsymbol \phi _ { \tau , h } ( t ) : = \xi _ { n , l } ( t ) \boldsymbol \phi _ { h } \quad \mathrm { w i t h } \quad \xi _ { n , l } ( t ) : = \left( \prod _ { i = 1 \atop i \neq l } ^ { k + 1 } \big ( t - t _ { n , i } ^ { \mathrm { G R } } \big ) \right) \left( \prod _ { i = 1 \atop i \neq l } ^ { k + 1 } \big ( t _ { n , l } ^ { \mathrm { G R } } - t _ { n , i } ^ { \mathrm { G R } } \big ) \right) ^ { - 1 } \in \mathbb P _ { k } ( I _ { n } ; \mathbb { R } ) \, , \; \; \boldsymbol \phi _ { h } \in \boldsymbol V _ { h } \, ,
\begin{array} { r l } { \Delta ( l _ { v } f _ { w } ) } & { = ( \Delta l _ { v } ) f _ { w } + l _ { v } \Delta f _ { w } + 2 \langle \nabla l _ { v } , \nabla f _ { w } \rangle } \\ & { = - n l _ { v } f _ { w } - | \mathrm { I I } _ { \Sigma } | ^ { 2 } l _ { v } f _ { w } + 2 \langle v ^ { \top } , - A ( w ^ { \top } ) \rangle } \\ & { = - n l _ { v } f _ { w } - | \mathrm { I I } _ { \Sigma } | ^ { 2 } l _ { v } f _ { w } - 2 \, \mathrm { I I } ( v ^ { \top } , w ^ { \top } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { s } } & { = \left( 1 - \frac { \tau } { M } \right) ^ { N - 1 } } \\ & { \stackrel { { ( a ) } } \approx \left( 1 - \frac { \tau } { M } \right) ^ { N } } \\ & { = \left( \left( 1 - \frac { \tau } { M } \right) ^ { { M } / { \tau } } \right) ^ { { N \tau } / { M } } } \\ & { \stackrel { { ( b ) } } \approx e ^ { - { N \tau } / { M } } } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { 4 } P _ { \nu _ { k } \to \nu _ { \alpha } } ^ { \mathrm { E a r t h } } = 1 \, , \qquad \sum _ { \alpha = e , s , \mu , \tau } P _ { \nu _ { k } \to \nu _ { \alpha } } ^ { \mathrm { E a r t h } } = 1 \, .
\nabla ( \textbf { f } \cdot \textbf { g } ) = \textbf { f } \times ( \nabla \times \textbf { g } ) + ( \textbf { f } \cdot \nabla ) \textbf { g } + \textbf { g } \times ( \nabla \times \textbf { f } ) + ( \textbf { g } \cdot \nabla ) \textbf { f }
\begin{array} { r l } & { c _ { i + 1 } ( F ^ { * } ) - c _ { i + 1 } ( F _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - \delta _ { i + 1 } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) - \Delta _ { i + 1 } \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ = c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - \delta _ { i + 1 } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) - \Delta _ { i + 1 } \cdot 0 } \\ { } & { ~ ~ = 0 . } \end{array}
{ \cal M } = 4 i e G \left( Q _ { i } - Q \frac { k \cdot q _ { 1 } } { k \cdot p } \right) \left( \frac { q _ { 1 \mu } q _ { 2 \nu } } { l _ { 1 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } + \frac { q _ { 2 \mu } q _ { 1 \nu } } { l _ { 2 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } + \frac { g _ { \mu \nu } } { 2 } \right) \epsilon _ { \gamma } ^ { \mu } ( k ) \epsilon _ { W } ^ { \nu } ( p )
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + \frac { A ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \left( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } M _ { i } \left( 1 - \mathcal { R } _ { i } \right) \left( 1 + M _ { i } \left( 1 - \mathcal { R } _ { i } \right) \right) \right) + \alpha _ { 3 } ( 1 + \mathcal { R } _ { 3 } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } ( 1 - \mathcal { R } _ { i } ) \cot \theta ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { F _ { a } ^ { ( 1 ) } } \\ { F _ { t } ^ { ( 1 ) } } \\ { M _ { z } ^ { ( 1 ) } } \\ { F _ { a } ^ { ( 2 ) } } \\ { F _ { t } ^ { ( 2 ) } } \\ { M _ { z } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \beta _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { - \beta _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathrm { s y m . } } & { } & { } & { } & { } & { \beta _ { 7 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { u _ { a } ^ { ( 1 ) } } \\ { u _ { t } ^ { ( 1 ) } } \\ { \theta _ { z } ^ { ( 1 ) } } \\ { u _ { a } ^ { ( 2 ) } } \\ { u _ { t } ^ { ( 2 ) } } \\ { \theta _ { z } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( E _ { \ell } ) } & { = \mathbb { P } \bigg ( \Big \{ \langle Y , u _ { \ell } \rangle ^ { 2 } > \ell K \sigma ^ { 2 } \Big \} \bigg ) } \\ & { = 2 - \bigg ( \Phi \Big ( \sqrt { \ell K } - \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) + \Phi \Big ( \sqrt { \ell K } + \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { \ell } \rangle } { \sigma } \Big ) \bigg ) } \\ & { = G _ { \ell } . } \end{array}
S _ { \mu } ^ { \parallel } = \frac { 2 M ^ { 2 } k _ { 1 \mu } - V p _ { 1 \mu } } { M V } \ , \ \S _ { \mu } ^ { \bot } = \frac { u p _ { 1 \mu } + V k _ { 2 \mu } - [ 2 u \tau + V ( 1 - y ) ] k _ { 1 \mu } } { \sqrt { - u V ^ { 2 } ( 1 - y ) - u ^ { 2 } M ^ { 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { N N } } ^ { K ^ { - } } } & { { } = \alpha _ { \nu } M _ { K } \left[ ( 2 \nu - 1 ) \cos ^ { 2 } \phi \cos ^ { 2 } \beta - \nu \right] , } \\ { M _ { \mathrm { E E } } ^ { K ^ { - } } } & { { } = \alpha _ { \nu } M _ { K } \left[ ( 2 \nu - 1 ) \sin ^ { 2 } \phi \cos ^ { 2 } \beta - \nu \right] , } \\ { M _ { \mathrm { U U } } ^ { K ^ { - } } } & { { } = \alpha _ { \nu } M _ { K } \left[ ( 2 \nu - 1 ) \sin ^ { 2 } \beta - \nu \right] , } \\ { M _ { \mathrm { N E } } ^ { K ^ { - } } } & { { } = \alpha _ { \nu } M _ { K } ( 2 \nu - 1 ) \sin \phi \cos \phi \cos ^ { 2 } \beta , } \\ { M _ { \mathrm { N U } } ^ { K ^ { - } } } & { { } = \alpha _ { \nu } M _ { K } ( 1 - 2 \nu ) \cos \phi \sin \beta \cos \beta , } \\ { M _ { \mathrm { E U } } ^ { K ^ { - } } } & { { } = \alpha _ { \nu } M _ { K } ( 1 - 2 \nu ) \sin \phi \sin \beta \cos \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { Y } ( y + 1 ) } & { = \theta { ( 1 - \theta ) ^ { y + 1 } } e ^ { - \lambda } s _ { y + 1 } } \\ & { = \theta { ( 1 - \theta ) ^ { y + 1 } } e ^ { - \lambda } \left[ s _ { y } + \frac { 1 } { \Gamma ( y + 2 ) } \left( \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) ^ { y + 1 } \right] } \\ & { = ( 1 - \theta ) p _ { Y } ( y ) + \theta e ^ { - \lambda } \frac { { \lambda } ^ { y + 1 } } { \Gamma ( y + 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 1 1 } } & { { } = { \frac { \left( - 4 \eta - 8 \right) \psi + 6 \eta } { \left( \eta + 2 \right) \eta } } } \\ { B _ { 1 2 } } & { { } = { \frac { \left( - 6 \eta - 6 \right) \psi + 3 \eta ^ { 2 } + 6 \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 2 } } } } \\ { B _ { 1 3 } } & { { } = { \frac { \left( - 1 2 \, \eta - 1 8 \right) \psi + 3 \, { \eta } ^ { 2 } + 1 8 \, \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 3 } } } } \\ { B _ { 2 1 } } & { { } = { \frac { \left( 6 \, \eta + 1 2 \right) \psi - 1 2 \, \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 2 } } } } \\ { B _ { 2 2 } } & { { } = { \frac { \left( 1 2 \, \eta + 1 2 \right) \psi - 6 \, { \eta } ^ { 2 } - 1 2 \, \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 3 } } } } \\ { B _ { 2 3 } } & { { } = { \frac { \left( 2 4 \, \eta + 3 6 \right) \ln \left( \eta + 1 \right) - 6 \, { \eta } ^ { 2 } - 3 6 \, \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 4 } } } } \\ { B _ { 3 1 } } & { { } = { \frac { \left( - 1 2 \, \eta - 1 8 \right) \psi + 3 \, { \eta } ^ { 2 } + 1 8 \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 3 } } } } \\ { B _ { 3 2 } } & { { } = - \frac 3 2 \, { \frac { \left( \left( 2 \eta + 2 \right) \psi + { \eta } ^ { 2 } - 2 \, \eta \right) \left( \left( - 2 \eta - 2 \right) \psi + { \eta } ^ { 2 } + 2 \eta \right) } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 5 } } } } \\ { B _ { 3 3 } } & { { } = { \frac { 1 2 \, \left( \eta + 1 \right) ^ { 2 } \psi ^ { 2 } + \left( - 7 2 { \eta } ^ { 2 } - 9 6 \, \eta \right) \psi - 3 \, { \eta } ^ { 2 } \left( { \eta } ^ { 2 } - 4 \, \eta - 2 8 \right) } { 2 \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 6 } } } } \end{array}
\mathbf { W } _ { o u t } = \left( \begin{array} { c c c c } { 2 . 8 6 9 5 } & { - 1 . 0 7 3 1 } & { 1 . 8 6 5 5 } & { - 3 . 4 9 5 6 } \\ { - 2 . 7 3 7 5 } & { 1 . 3 1 5 8 } & { - 1 . 5 9 9 5 } & { 3 . 5 1 6 5 } \end{array} \right) .
\left\lVert \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } - \mathbb { E } \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } \right\rVert _ { \psi _ { 1 } } \leq C \left\lVert \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } \right\rVert _ { \psi _ { 1 } } \leq \left\lVert \epsilon _ { r , t } \right\rVert _ { \psi _ { 2 } } \left\lVert \epsilon _ { s , t } \right\rVert _ { \psi _ { 2 } } \leq C
\begin{array} { c } { { \{ p _ { i } ( x ) , p _ { j } ( y ) \} = - \delta _ { i j } \delta ^ { \prime } ( x - y ) \ 1 \leq i , j \leq l } } \\ { { \{ p _ { i } ( x ) , p _ { j } ( y ) \} = \delta _ { i j } \delta ^ { \prime } ( x - y ) \ l + 1 \leq i , j \leq k + 1 + 2 l } } \\ { { \{ p _ { i } ( x ) , p _ { j } ( y ) \} = 0 \ 1 \leq i \leq l , \ l + 1 \leq j \leq k + 1 + 2 l } } \end{array}
P _ { d ; a b c } ( x , s _ { a b } , s _ { b c } , s _ { a b c } , s _ { a d } , s _ { b d } , s _ { c d } ) = S _ { d ; a b c } ( x , s _ { a b } , s _ { b c } , s _ { a b c } , s _ { a d } , s _ { b d } , s _ { c d } ) P _ { b c \rightarrow P } ( x , s _ { b c } ) ,
\psi ^ { N } \xrightarrow [ C _ { t } ^ { 0 } H _ { x } ^ { \frac { 5 } { 2 } + \delta ^ { - } } ] { L _ { t } ^ { 2 } H _ { 0 , x } ^ { \frac { 7 } { 2 } + \delta ^ { - } } } \psi
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } : = \frac { 1 } { | \mathcal { V } | } \sum _ { x \in \mathcal { V } } \| f _ { \theta } ( x ) - y \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { | \mathcal { S } | } \sum _ { x \in \mathcal { S } } \| f _ { \theta } ( x ) - y \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { Y _ { 2 } ( \lambda ) \, \partial _ { \lambda } Y _ { 1 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) \, \partial _ { \lambda } Y _ { 2 } ( \lambda ) } { Y _ { 2 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) } } & { \overset { \lambda \to \infty } { = } } & { O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 4 } \right) } \\ { \frac { Y _ { 2 } ( \lambda ) \, \partial _ { \lambda } Y _ { 1 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) \, \partial _ { \lambda } Y _ { 2 } ( \lambda ) } { Y _ { 2 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) } } & { \overset { \lambda \to X _ { s } } { = } } & { O \left( ( \lambda - X _ { s } ) ^ { - r _ { s } } \right) } \end{array}
S ( \boldsymbol r , t ) = - i \rho _ { N } \frac { \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } \hbar } \left< \left[ \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ( t ) , \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ( 0 ) \right] \right> _ { \Omega _ { p } = 0 } \cdot \delta ( \boldsymbol r ) ,
u _ { 0 } ( x ) = { u } _ { e } ( x ) + u _ { s } ( x + L , 0 ) , \; u _ { e } = e ^ { - \left( \frac { 2 x } { l } \right) ^ { 8 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { u } } \bar { u } _ { n } , \; \bar { u } _ { n } : = \epsilon _ { n } \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ^ { 2 } \left( k _ { n } x \right)
{ \mathrm { w h e r e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } = 0 . 5 \sin \left( 1 \right) - 2 \cos \left( 1 \right) + \sin \left( 2 \right) - 1 . 5 \cos \left( 2 \right) } \\ { A _ { 2 } = 1 . 5 \sin \left( 1 \right) - \cos \left( 1 \right) + 2 \sin \left( 2 \right) - 0 . 5 \cos \left( 2 \right) } \\ { B _ { 1 } \left( x , y \right) = 0 . 5 \sin \left( x \right) - 2 \cos \left( x \right) + \sin \left( y \right) - 1 . 5 \cos \left( y \right) } \\ { B _ { 2 } \left( x , y \right) = 1 . 5 \sin \left( x \right) - \cos \left( x \right) + 2 \sin \left( y \right) - 0 . 5 \cos \left( y \right) } \end{array} \right. }
\widetilde \nu ( x ^ { \mu } ) = + { \frac { 1 } { 2 } } ( \psi _ { \downarrow } ( x ^ { \mu } ) + \psi _ { \uparrow } ^ { c } ( x ^ { \mu } ) ) + { \frac { \gamma ^ { 5 } } { 2 } } ( \psi _ { \uparrow } ( x ^ { \mu } ) - \psi _ { \downarrow } ^ { c } ( x ^ { \mu } ) ) \, .
{ \mathcal { H } } = \sum _ { i } { \dot { q } } ^ { i } { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial { \dot { q } } ^ { i } } } - { \mathcal { L } } = \sum _ { i } { \dot { q } } ^ { i } p _ { i } - { \mathcal { L } }