harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { \tau } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { \tau } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { 1 } } & { = \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { y } - \hat { y } ^ { \setminus i } } & { = \frac { p \left( 1 - \eta \right) } { 1 - p } \frac { n - m } { n - 1 } ( \hat { y } ^ { i \setminus j } - \hat { y } ^ { j \setminus i } ) } \\ & { = \frac { m \left( 1 - \eta \right) } { n - 1 } \P _ { H \sim \textnormal { H y p e r G e o m e t r i c } ( n - 2 , m - 1 , K - 1 ) } \left\{ H = \left\lfloor \frac { m K } { n } \right\rfloor \right\} } \\ & { = \frac { m - \left\lfloor \frac { m K } { n } \right\rfloor } { n } \P _ { H \sim \textnormal { H y p e r G e o m e t r i c } ( n - 1 , m , K - 1 ) } \left\{ H = \left\lfloor \frac { m K } { n } \right\rfloor \right\} } \\ & { \geq ( 1 - \delta - n ^ { - 1 } ) p \P _ { H \sim \textnormal { H y p e r G e o m e t r i c } ( n - 1 , m , K - 1 ) } \left\{ H = \lfloor p ( 1 + \lfloor n \delta \rfloor ) \rfloor \right\} } \\ & { > \varepsilon , } \end{array}
\Pi ( { \bf { x } } ) \approx ( \frac { i } { 2 \sqrt { N _ { 0 } } } ) \sum _ { { \bf { q } } } e x p ( i { \bf { q . x } } ) [ d _ { { \bf { q } } / 2 } ( { \bf { q } } ) - d _ { - { \bf { q } } / 2 } ^ { \dagger } ( - { \bf { q } } ) ]
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { y y } = \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { y y } ^ { 1 1 } } & { - \tilde { S } _ { y y } ^ { 1 2 } } \\ { - \tilde { S } _ { y y } ^ { 1 2 } } & { - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { y y } ^ { 1 1 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } } \end{array}
W = - \frac { 1 } { 4 } k _ { i j k } \mathcal { E } _ { i } ^ { * } \mathcal { E } _ { j } M _ { k } - \frac { 1 } { 4 } \xi _ { i j k l } \mathcal { E } _ { i } ^ { * } \mathcal { E } _ { j } M _ { k } M _ { l }
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { e _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { e _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } . . . \sum _ { e _ { n - 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { e _ { n } = 0 } ^ { \infty } U _ { e _ { 1 } + s _ { 1 } , e _ { 2 } + s _ { 2 } , . . . , e _ { n - 1 } + s _ { n - 1 } , e _ { n } + 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { e _ { i } } } \\ & { = } & { \sum _ { e _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { e _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } . . . \sum _ { e _ { n - 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { e _ { n } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { u _ { 1 } = 1 } ^ { k _ { 1 } } \sum _ { u _ { 2 } = 1 } ^ { k _ { 2 } } . . . \sum _ { u _ { n - 1 } = 1 } ^ { k _ { n - 1 } } } \\ & { } & { c _ { u _ { 1 } u _ { 2 } . . . u _ { n - 1 } } U _ { e _ { 1 } + u _ { 1 } - 1 , e _ { 2 } + u _ { 2 } - 1 , . . . , e _ { n - 1 } + u _ { n - 1 } - 1 , e _ { n } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { e _ { i } } , } \end{array}
\nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \sim \delta ^ { 0 } \ \ , \ \ \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { \mathcal { B } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \sim \delta ^ { 0 } \ \ , \ \ \boldsymbol { \mathcal { B } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \sim \delta ^ { 0 } .
\begin{array} { r l } { c _ { h } ( \underline { { u } } _ { h } , \underline { { u } } _ { h } , \underline { { v } } _ { h } ) = } & { { } \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \int _ { T } ( \nabla \underline { { u } } _ { h } \cdot \underline { { u } } _ { h } ) \cdot \underline { { v } } _ { h } \: d \underline { { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( r ) } & { \simeq \frac { 1 } { 3 2 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ 1 0 \ln \left( \frac { 2 } { \kappa r } \right) - 3 - 1 0 \gamma \right] , } \\ { C _ { 2 } } & { \simeq \frac { 3 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \, , } \\ { C _ { 3 } ( r ) } & { \simeq - \frac { \mu } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ 2 \ln \left( \frac { 2 } { \kappa r } \right) - 1 - 2 \gamma \right] , } \end{array}
{ \cal A } _ { i } ( x _ { p } ) = { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \mu c ^ { 2 } } } e _ { i j } \partial _ { j } ^ { ( p ) } \ln \{ \prod _ { q ( \ne p ) } ( \vec { x } _ { p } - \vec { x } _ { q } ) ^ { 2 } \} .
\hat { N } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = - N } ^ { N } \hat { B } _ { n , k } ^ { \prime \dagger } \hat { A } _ { n , k + m } ^ { \prime } + \hat { B } _ { n , k } ^ { \prime } \hat { A } _ { n , k - m } ^ { \prime \dagger } \, .
\theta _ { i , j } ^ { ( 2 ) } : = \theta _ { i , j } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } \frac { a _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } a _ { 1 , j } ^ { ( 1 ) } } { a _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } ( a _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } ) } - \frac { \theta _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } a _ { 1 , j } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { 1 , j } ^ { ( 1 ) } a _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } \theta _ { 1 , j } ^ { ( 1 ) } } { a _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } + \theta _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ T ~ R ~ } \left\lbrack \vec { \mathcal { E } } \right\rbrack } & { { } = } & { \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { ~ T ~ R ~ } \left\lbrack \vec { E } \right\rbrack } \\ { \mathrm { ~ T ~ R ~ } \left\lbrack \vec { H } \right\rbrack } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \vec { E } ^ { \star } } \\ { - \vec { H } ^ { \star } } \end{array} \right] \equiv \hat { \sigma } _ { z } \vec { \mathcal { E } } ^ { \star } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big \langle \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { \le } & { \vert \vert \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { O _ { p } ( \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { 2 r } } ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) } \end{array}
I _ { 3 } = \int _ { - 4 E ^ { 2 } ( 1 - \hat { z } ) } ^ { 0 } \frac { d k ^ { 2 } ( - k ^ { 2 } ) } { ( k ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sqrt { \hat { z } ^ { 2 } - \frac { k ^ { 2 } } { E ^ { 2 } } } } .
d s ^ { 2 } = ( H _ { 1 } H _ { 5 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left[ - d t ^ { 2 } + d x ^ { 2 } + H _ { 1 } \sum _ { i = 6 } ^ { 9 } d x _ { i } ^ { 2 } \right] + ( H _ { 1 } H _ { 5 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } [ d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } ] ,
\tilde { A } _ { m } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } ( \tilde { F } _ { m } + i \tilde { \pi } _ { m } ) , \; \; \; \; \; \; \tilde { A } _ { m } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } ( \tilde { F } _ { m } - i \tilde { \pi } _ { m } )
\begin{array} { r l r } { \rho _ { e g } ( \mathbf { r } ) } & { { } \approx } & { \rho _ { e g } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { p } ( \mathbf { r } ) + \rho _ { e g } ^ { ( 3 1 ) } | \Omega _ { p } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \Omega _ { p } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\psi ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 + c \quad } & { | s | \le a } \\ { 1 + c \cos ^ { 2 } \left( \displaystyle { \frac { \pi } { 2 } \frac { | s | - a } { b - a } } \right) \quad a < } & { | s | < b } \\ { 1 \quad } & { | s | \geq b } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \langle p _ { i } ^ { 2 } \rangle } { \partial t } } & { { } = } & { \mathcal { C } _ { i x } \langle p _ { x } ^ { 2 } \rangle + \mathcal { C } _ { i y } \langle p _ { y } ^ { 2 } \rangle + \mathcal { C } _ { i z } \langle p _ { z } ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { { } = i \Gamma _ { 4 } + | \Omega _ { c } | ^ { 2 } ( 1 / d _ { 4 3 } ^ { \ast } - 1 / d _ { 4 3 } ) , } \\ { B _ { 1 } } & { { } = | \Omega _ { c } | ^ { 2 } ( 1 / d _ { 4 3 } ^ { \ast } - 1 / d _ { 4 3 } ) , } \\ { A _ { 2 } } & { { } = \Gamma _ { 3 1 } \Gamma _ { 2 4 } + \Gamma _ { 3 2 } \Gamma _ { 1 4 } + \Gamma _ { 3 2 } \Gamma _ { 3 1 } , } \\ { B _ { 2 } } & { { } = \Gamma _ { 3 1 } \Gamma _ { 3 2 } + \Gamma _ { 3 2 } \Gamma _ { 1 3 } + \Gamma _ { 2 3 } \Gamma _ { 3 1 } . } \end{array}
( - \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ) \{ a _ { 1 } \sigma _ { 1 } + a _ { 2 } \sigma _ { 2 } \} ( - \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } ) = - a _ { 1 } \sigma _ { 1 } - a _ { 2 } \sigma _ { 2 }
I _ { p } = \frac { 1 } { \psi _ { m a g } - \psi _ { b r y } } \left[ c _ { p } \int R P _ { b } ^ { \prime } d A + c _ { f 1 } \int \frac { F F _ { b 1 } ^ { \prime } } { \mu _ { 0 } R } d A + c _ { f 2 } \int \frac { F F _ { b 2 } ^ { \prime } } { \mu _ { 0 } R } d A \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } W ^ { ( 2 ) } - \nabla \psi \cdot \nabla \zeta , ~ } \\ { \mathcal { W } ^ { ( 3 ) } = ~ } & { { } W ^ { ( 3 ) } + W ^ { ( 1 ) } ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { W } ^ { ( 4 ) } = ~ } & { { } W ^ { ( 4 ) } + W ^ { ( 2 ) } ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } , ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ } \\ { \mathcal { W } ^ { ( 5 ) } = ~ } & { { } W ^ { ( 5 ) } + W ^ { ( 3 ) } ( \nabla \zeta ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ( r ) = \Big [ \Big ( } & { { } 1 } & { - \frac { U _ { \mathrm { L R } } ( r ) } { U _ { \mathrm { L R } } ( R _ { \mathrm { e } } ) } e ^ { - \beta ( r ) X _ { 5 } ( r , R _ { \mathrm { e } } ) } \Big ) ^ { 2 } - 1 \Big ] D _ { \mathrm { e } } . } \end{array}
W _ { \mu \nu } ^ { ( A ) } ( L ) = e _ { f } ^ { 2 } { \frac { M } { P \cdot q } } [ h _ { L } ( x _ { \mathrm { B j } } ) + h _ { L } ( - x _ { \mathrm { B j } } ) ] \varepsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } q ^ { \rho } S ^ { \sigma } ( \lambda ) \, .
\begin{array} { r l } { Q _ { i } } & { = \left\{ x \in S : \| x - y \| _ { \infty } > i L ^ { \frac 1 4 } \right\} , } \\ { D _ { i } } & { = \left\{ x \in S : \| x - y \| _ { \infty } = i L ^ { \frac 1 4 } \right\} , } \\ { A _ { i } } & { = \left\{ x \in D _ { i } : \operatorname* { m i n } _ { z \in \boxplus S } \| x - z \| _ { \infty } \leq h \right\} , } \\ { B _ { i } } & { = D _ { i } \setminus A _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ( \rho ^ { - } - \rho ) } & { { } = c ^ { - } V ( h ^ { - } ) \rho ^ { - } - c V ( h ) \rho , } \\ { \lambda \left( \rho ^ { - } ( h ^ { - } + p ( \rho ^ { - } ) ) - \rho ( h + p ( \rho ) ) \right) } & { { } = c ^ { - } \rho ^ { - } V ( h ^ { - } ) \left( h ^ { - } + p ( \rho ^ { - } ) \right) - c \rho V ( h ) \left( h + p ( \rho ) \right) , } \\ { \lambda ( c ^ { -- } c ) } & { { } = 0 . } \end{array}
R _ { n } ^ { m } ( r ) = \sum _ { q = 0 } ^ { \frac { ( n - m ) } { 2 } } \frac { ( - 1 ) ^ { q } ( n - q ) ! } { q ! \left[ \frac { n + m } { 2 } - q \right] ! \left[ \frac { n - m } { 2 } - q \right] ! } r ^ { n - 2 q }
\begin{array} { r l } { { \cal R } _ { 3 } ^ { 2 } } & { \; { : = } \; 2 R ^ { 2 } + \frac { 2 R _ { m } ^ { 2 } } { n } + \frac { 2 1 ( 1 - \delta ) } { 4 } \left( \frac { 2 R ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } + \frac { 1 1 R _ { m } ^ { 2 } } { 2 \delta n } + \frac { 1 2 ( 1 - \delta ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } n } \frac { 1 2 R ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } } + \frac { 2 2 8 R _ { m } ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } m ^ { 2 } n } + \frac { 4 3 2 ( 1 - \delta _ { 1 } ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \phi _ { \mathrm { ~ s ~ g ~ } } = \frac { \left\langle \Delta \hat { N } _ { a } \right\rangle } { \left\vert \partial \left\langle \hat { N } _ { a } \right\rangle / \partial \phi \right\vert } = \frac { \sqrt { ( B - C \cos \phi ) N } } { C N \left\vert \sin \phi \right\vert } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { e g } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { 2 i \Gamma _ { r } } { 4 \Omega _ { c } ^ { 2 } + \Gamma ^ { \prime } \Gamma _ { r } } } \\ { \rho _ { e g } ^ { ( 3 1 ) } } & { = } & { \frac { 1 6 i \Gamma _ { r } ^ { 2 } [ ( 4 i \Omega _ { c } ^ { 2 } + \Gamma _ { r } ( i \Gamma _ { e } - 2 \Delta ) ] ^ { 2 } } { \Gamma _ { e } ( \Gamma _ { e } ^ { 2 } \Gamma _ { r } ^ { 2 } + 8 \Gamma _ { e } ^ { 2 } \Omega _ { c } ^ { 2 } + 4 \Gamma _ { r } ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } + 1 6 \Omega _ { c } ^ { 4 } ) ^ { 2 } } } \\ { \rho _ { e g } ^ { ( 3 2 ) } ( \mathbf { r _ { \bot } } - \mathbf { r _ { \bot } ^ { \prime } } ) } & { = } & { \frac { 2 5 6 ( \Gamma ^ { \prime } + \Gamma _ { r } ) \Omega _ { c } ^ { 4 } } { ( 4 i \Omega _ { c } ^ { 2 } - \Gamma ^ { \prime } \Gamma _ { r } ) | 4 \Omega _ { c } ^ { 2 } + \Gamma ^ { \prime } \Gamma _ { r } | ^ { 2 } } } \end{array}
\mathbf { \Omega } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \omega _ { z } } & { - \omega _ { y } } \\ { - \omega _ { z } } & { 0 } & { \omega _ { x } } \\ { \omega _ { y } } & { - \omega _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \psi _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { h } ( { \bf r } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { B Z } } } u _ { { \bf G } } ^ { h } ( { \bf r } ) \exp \left( i { \bf k } \cdot { \bf r } \right) , } \\ { u _ { \bf G } ^ { h } ( { \bf r } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \exp \left( i { \bf G } \cdot { \bf r } \right) . } \end{array}
V ( \mathbf { R } ) \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { q _ { i } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } | } } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } ( - 1 ) ^ { m } I _ { \ell } ^ { - m } ( \mathbf { R } ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } R _ { \ell } ^ { m } ( \mathbf { r } _ { i } ) ,
9 0 _ { \phi } \rightarrow 4 5 _ { \phi } 1 8 0 _ { \phi + 9 7 . 1 8 } 3 6 0 _ { \phi + 2 9 1 . 5 4 } 1 8 0 _ { \phi + 9 7 . 1 8 } 4 5 _ { \phi }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ S ^ { 2 } ] } & { = \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \big ( } X _ { i } - { \overline { { X } } } { \big ) } ^ { 2 } \right] = \operatorname { E } { \bigg [ } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \bigg ( } ( X _ { i } - \mu ) - ( { \overline { { X } } } - \mu ) { \bigg ) } ^ { 2 } { \bigg ] } } \\ & { = \operatorname { E } { \bigg [ } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \bigg ( } ( X _ { i } - \mu ) ^ { 2 } - 2 ( { \overline { { X } } } - \mu ) ( X _ { i } - \mu ) + ( { \overline { { X } } } - \mu ) ^ { 2 } { \bigg ) } { \bigg ] } } \\ & { = \operatorname { E } { \bigg [ } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) ^ { 2 } - { \frac { 2 } { n } } ( { \overline { { X } } } - \mu ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) + { \frac { 1 } { n } } ( { \overline { { X } } } - \mu ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } 1 { \bigg ] } } \\ & { = \operatorname { E } { \bigg [ } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) ^ { 2 } - { \frac { 2 } { n } } ( { \overline { { X } } } - \mu ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) + { \frac { 1 } { n } } ( { \overline { { X } } } - \mu ) ^ { 2 } \cdot n { \bigg ] } } \\ & { = \operatorname { E } { \bigg [ } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) ^ { 2 } - { \frac { 2 } { n } } ( { \overline { { X } } } - \mu ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) + ( { \overline { { X } } } - \mu ) ^ { 2 } { \bigg ] } } \end{array} }
P r \{ ( h _ { d } ( X _ { 1 } ) - h _ { d } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) < 0 \} = P r \{ ( X _ { 1 } - X _ { 2 } ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) > 0 \} .
U _ { i } ^ { \lambda } ( \mathbf { X } , t ) = \lambda ~ U _ { i } ( \mathbf { X } , t ) = \lambda \int _ { \tau } d \tau \iint _ { \Sigma } \big [ U _ { j } ( \pmb { \xi } , \tau ) \big ] ~ c _ { j k p q } ~ \mathbf { G } _ { i p , q } ( \mathbf { X } , t ; \pmb { \xi } , \tau ) ~ \nu _ { k } ~ d \Sigma ( \pmb { \xi } )
\langle \psi | \hat { H } _ { Q } | \psi \rangle = \sum _ { n } | A _ { n } | ^ { 2 } \omega _ { n } ^ { 0 } + \sum _ { n } | A _ { n } | ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { ' } X _ { n } + \sum _ { n } ( \mu _ { n , n + 1 } A _ { n } ^ { \star } A _ { n + 1 } + \mu _ { n , n - 1 } A _ { n } ^ { \star } A _ { n - 1 } ) .
a _ { 0 } = \int _ { M ^ { \alpha } } 1 ~ ~ , ~ ~ a _ { 1 } = \int _ { M ^ { \alpha } } ( { \frac { 1 } { 6 } } R + X ) ~ + ~ ( 2 \pi \alpha ) c _ { 2 } ( \alpha ) \int _ { \Sigma } ~ 1 ~ ~ .
\begin{array} { r l } { I _ { \xi } = } & { \int _ { \widetilde { G } _ { \xi } N _ { n } ( F ) N _ { n } ^ { r } ( \mathbb { A } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n } ^ { r } ( F ) \backslash N _ { n } ^ { r } ( \mathbb { A } ) } \phi ( n h ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , n h ) ) \Phi ( \xi ) f _ { s } ( \gamma u t ( 1 , n h ) ) \psi _ { k } ( u ) d n d u d h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \partial \Gamma = \emptyset , | \Gamma | \geq m } \mathbb E w ( \Gamma ) ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { \partial \Gamma = \emptyset , | \Gamma | \geq m } e ^ { \delta | \Gamma | - \delta m } \mathbb E w ( \Gamma ) ^ { 2 } } \\ & { \leq e ^ { - \delta m } \prod _ { \gamma } \bigl ( 1 + e ^ { \delta | \gamma | } \mathbb E w ( \gamma ) ^ { 2 } \bigr ) } \\ & { = e ^ { - \delta m } \prod _ { k \leq N } \prod _ { | \gamma | = k } \bigl ( 1 + e ^ { \delta | \gamma | } \mathbb E w ( \gamma ) ^ { 2 } \bigr ) \leq e ^ { - \delta m } \exp \Bigl ( \sum _ { k \geq 3 } \frac { ( \beta / \beta _ { \alpha } ) ^ { \alpha k } e ^ { \delta k } } { 2 k } \Bigr ) , } \end{array}
P ^ { - 1 } J _ { 1 } P = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 + b - \beta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 + \epsilon } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { C _ { T } ( u , f ) \lesssim \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { \ell } ) } + \left\Vert \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f } } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { \infty } ) } \left( \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell + 1 } ) } ^ { 2 } + \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { \ell + 1 } ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
i \hbar { \frac { \partial \Psi } { \partial t } } = \left( \sum _ { i } { \hat { H } } _ { D } ( i ) + \sum _ { i > j } { \frac { 1 } { r _ { i j } } } + \sum _ { i > j } { \hat { B } } _ { i j } \right) \Psi
\Delta { \sf t } = \Biggl \{ \begin{array} { l l } { ~ ~ { \sf t ^ { v } } _ { m a x } \, , } & { \qquad \delta t < { \sf t ^ { v } } _ { m a x } \, , } \\ { \frac { \hbar } { \delta { \cal E } _ { f } } \, , } & { \qquad \delta t \ge { \sf t ^ { v } } _ { m a x } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d s _ { l } ( t ) } { d t } } & { = - s _ { l } ( t ) k \gamma \sum _ { m = 1 } ^ { n } { A _ { l m } p _ { m } i _ { m } ( t ) } , } \\ { \frac { d i _ { l } ( t ) } { d t } } & { = s _ { l } ( t ) k \gamma \sum _ { m = 1 } ^ { n } { A _ { l m } p _ { m } i _ { m } ( t ) } - \mu i _ { l } ( t ) , } \\ { \frac { d r _ { l } ( t ) } { d t } } & { = \mu i _ { l } ( t ) . } \end{array}
\left( \frac { 1 } { 1 - x _ { 1 } } \right) _ { + } \equiv \left( \frac { 1 } { 1 - x _ { 1 } } \right) - \delta ( 1 - x _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \left( \frac { 1 } { 1 - z } \right) \ .
\begin{array} { r } { ( S _ { C _ { P } \oplus C _ { P } ^ { * } } , \ S _ { K _ { P } } , \ S _ { K _ { P } ^ { * } } ) = ( I _ { C _ { P } \oplus C _ { P } ^ { * } } , \ I _ { K _ { P } } , \ I _ { K _ { P } ^ { * } } ) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - v ^ { - 1 } } & { - v ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \hat { Y } } _ { l } ^ { I } { \hat { Y } } _ { m } ^ { J } = \sum _ { K = 0 } ^ { N } ( - ) ^ { N + K } \sqrt { ( 2 I + 1 ) ( 2 J + 1 ) } \Bigl \{ \begin{array} { c c c } { { I } } & { { J } } & { { K } } \\ { { { \frac { N } { 2 } } } } & { { { \frac { N } { 2 } } } } & { { { \frac { N } { 2 } } \ } } \end{array} \Bigr \} C _ { l m n } ^ { I J K } { \hat { Y } } _ { n } ^ { K }
\begin{array} { r l } { \left( \Phi _ { s } \left( f _ { v } ^ { G } \right) \right) ( u m s ) } & { = \left( \Phi _ { s } \left( f _ { v } ^ { G } \right) \right) ( k ^ { - 1 } s k ^ { \prime } ) } \\ & { = \phi _ { s } ( k ^ { - 1 } s k ^ { \prime } ) \cdot v } \\ & { = \left( \rho ( k ^ { - 1 } ) \circ \phi _ { s } ( s ) \circ \rho ( k ^ { \prime } ) \right) \cdot v } \\ & { = \left( \rho ( k _ { M } ^ { - 1 } ) \circ \phi _ { s } ( s ) \circ \rho ( k _ { M } ^ { \prime } ) \right) \cdot v } \\ & { = \phi _ { s } ( k _ { M } ^ { - 1 } s k _ { M } ^ { \prime } ) \cdot v } \\ & { = \phi _ { s } ( m s ) \cdot v } \\ & { = \rho _ { M } ( m ) \cdot \left( \phi _ { s } ( s ) \cdot v \right) } \\ & { = \rho _ { M } ( m ) \cdot v _ { s } } \\ & { = f _ { v _ { s } } ^ { M } ( m ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \Omega } ( t \, | \, n _ { 0 } ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } P _ { \Omega } ^ { \mathrm { ~ F ~ P ~ } } ( \tau \, | \, n _ { 0 } ) \, \mathrm { ~ d ~ } \tau . } \end{array}
\textstyle 4 \pi c \boldsymbol { \Pi } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ f ~ i ~ e ~ l ~ d ~ } ~ } } = \pmb { { \cal D } } { \boldsymbol \times } \pmb { { \cal B } } + \pmb { { \cal E } } { \boldsymbol \times } \pmb { { \cal H } } - \pmb { { \cal E } } { \boldsymbol \times } \pmb { { \cal B } } - \varkappa ^ { - 2 } \big ( \nabla \cdot \pmb { { \cal E } } \big ) \Big ( \nabla { \boldsymbol \times } \pmb { { \cal B } } - \frac { 1 } { c } \frac { \partial \phantom { t } } { \partial t } \pmb { { \cal E } } \Big ) .
{ L _ { 2 - 6 } } = \sqrt { ( { L _ { 0 - 2 } } ^ { 2 } + { L _ { 6 , 0 } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 0 - 2 } } \cdot { L _ { 6 , 0 } } \cdot \cos ( { A _ { 0 , 1 } } ) ) }
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } } { \partial t } = \gamma \frac { 1 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \left( \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \times \mathrm { ~ \boldmath ~ B ~ } _ { \mathrm { e f f } } + \alpha \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \times \left( \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \times \mathrm { ~ \boldmath ~ B ~ } _ { \mathrm { e f f } } \right) \right) , } \end{array}
\delta [ \hat { P } ^ { ( U ) , ( i ) } ( \xi ) ] \equiv P _ { q q } ^ { ( U ) , ( i ) } ( \xi ) + P _ { g q } ^ { ( U ) , ( i ) } ( \xi ) - P _ { q g } ^ { ( U ) , ( i ) } ( \xi ) - P _ { g g } ^ { ( U ) , ( i ) } ( \xi ) \equiv 0 \; .
\begin{array} { r } { { \mathbf { B } } _ { 0 } = ( 1 , 0 , 0 ) , \, { \mathbf A } = ( 0 , 0 , 0 ) , \ f = \frac { 1 } { \pi ^ { \frac { 3 } { 2 } } v _ { \parallel } v _ { \perp } ^ { 2 } } e ^ { - \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { v _ { \parallel } ^ { 2 } } - \frac { p _ { y } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } } { v _ { \perp } ^ { 2 } } } , \, T = 0 . 5 , } \end{array}
\Phi ^ { \pm } = \pm \operatorname { a r c c o s } ( A ) , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad A = \cfrac { 1 - \sqrt { 1 - 4 q ^ { 2 } ( v _ { s r } - 1 ) } } { 2 q ( v _ { s r } - 1 ) }