harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P _ { i j } ^ { \mathrm { s c a l e d } } = \frac { P _ { i j } - \underset { j = 1 , \ldots , N _ { s } } { \operatorname* { m i n } } ( P _ { i j } ) } { \underset { j = 1 , \ldots , N _ { s } } { \operatorname* { m a x } } ( P _ { i j } ) - \underset { j = 1 , \ldots , N _ { s } } { \operatorname* { m i n } } ( P _ { i j } ) } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad i = 1 , \ldots , n _ { \mu } + 1
\begin{array} { r l } { d \omega ( T , Z , I Z ) } & { = \omega ( [ T , Z ] , I Z ) + \omega ( [ Z , I Z ] , T ) + \omega ( [ I Z , T ] , Z ) } \\ & { = \omega ( [ I Z , T ] , Z ) = \omega ( [ Y , T ] , Z ) = \omega ( Y , Z ) } \\ & { = \omega ( I Z , Z ) \neq 0 ; } \\ { ( \theta \wedge \omega ) ( T , Z , I Z ) } & { = \theta ( T ) \omega ( Z , I Z ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( x , y ; m ) = \left\{ \begin{array} { r } { y _ { 1 } ( y ; m ) \left( \frac { y _ { 2 } ( b ; m ) } { y _ { 1 } ( b ; m ) } y _ { 1 } ( x ; m ) - y _ { 2 } ( x ; m ) \right) } \\ { b \leq x < y < 1 } \\ { y _ { 1 } ( x ; m ) \left( \frac { y _ { 2 } ( b ; m ) } { y _ { 1 } ( b ; m ) } y _ { 1 } ( y ; m ) - y _ { 2 } ( y ; m ) \right) } \\ { b < y < x \leq 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \vec { v } _ { 0 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } { d z } = \frac { d ^ { 2 } \vec { x } _ { z } ( \omega ) } { d z ^ { 2 } } } & { = - \left( \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) \cdot \nabla _ { X _ { z } } \right) \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) + \nabla _ { X _ { z } } g ( \vec { x } _ { z } ) + \frac { 1 } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } } \nabla _ { X _ { z } } \left( \frac { \nabla _ { X _ { z } } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } { \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R = \log \bigg ( \operatorname* { d e t } \bigg ( \mathbf { I } _ { N _ { s } } + \frac { p } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { { { { \mathbf { W } } _ { o p t } } } { \mathbf { H } } { { \mathbf { F } } _ { R F } } { { \mathbf { F } } _ { B B } } } } \\ { \times { { \mathbf { F } } _ { B B } ^ { H } { \mathbf { F } } _ { R F } ^ { H } { { \mathbf { H } } ^ { H } } { { { \mathbf { W } } _ { o p t } ^ { H } } } } \bigg ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left( \Lambda _ { \alpha _ { n } h } ( P \Psi _ { 0 } ) \right) ^ { ( j ) } ( x ) \right| } & { = \left| ( \alpha _ { n } h ) ^ { - j / 2 } \Lambda _ { \alpha _ { n } h } ( ( P \Psi _ { 0 } ) ^ { ( j ) } ) ( x ) \right| } \\ & { \leq h ^ { - \delta j } ( \pi h \alpha _ { n } ) ^ { - 1 / 4 } \left| ( P _ { j } \Psi _ { 0 } ) ( ( \alpha _ { n } h ) ^ { - 1 / 2 } x ) \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { B } \mathbf { \Lambda } ^ { - 1 } \mathbf { B } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { p } \mathbf { I } _ { N } ) = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { B } [ \mathbf { \Lambda } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { p } \mathbf { I } _ { N } ] \mathbf { B } ^ { - 1 } ) , } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { \Lambda } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { p } \mathbf { I } _ { N } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \frac { 1 } { \lambda _ { i } } + \frac { 1 } { p } \Big ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \frac { p + \lambda _ { i } } { \lambda _ { i } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \gamma , \delta \rangle } & { { } = } & { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta ) \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } ( \gamma ) | \mathrm { H } \rangle } \end{array}
- \ln Q ( x \mid z ) = \frac { 1 } { 2 } \left\| \frac { x - { \tilde { \mu } } ( z ) } { { \tilde { \sigma } } ( z ) } \right\| ^ { 2 } + \frac { D } { 2 } \ln 2 \pi + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { D } \ln { \tilde { \sigma } } _ { ( k ) } ^ { 2 } ( z )
\langle H _ { c c } | \overline { { { c } } } c | H _ { c c } \rangle = 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { \mu _ { \pi } ^ { 2 } ( H _ { c c } ) } { m _ { c } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \mu _ { G } ^ { 2 } ( H _ { c c } ) } { m _ { c } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \left. C _ { V } ( \omega ) \right\vert _ { A , \omega _ { 0 } , \gamma _ { L } , \gamma _ { G } } } & { = - A \frac { \textrm { I m } ( F ( x - x _ { 0 } - i y ) + F ( x + x _ { 0 } + i y ) ) } { \textrm { R e } ( F ( i y ) ) } } \\ & { + i A \frac { \textrm { R e } ( F ( x - x _ { 0 } + i y ) - F ( x + x _ { 0 } + i y ) ) } { \textrm { R e } ( F ( i y ) ) } } \end{array}
\int _ { t _ { n } } ^ { t } \int _ { t _ { n } } ^ { s } \left\| \frac { d w } { d z } ( z ) \right\| d z d s \leq \int _ { t _ { n } } ^ { t } \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { d w } { d z } ( z ) \right\| _ { V ^ { \prime } } d z d s \leq \tau \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { \partial w } { \partial s } ( s ) \right\| _ { V ^ { \prime } } d s .
U _ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ i ~ i ~ ) ~ } } \approx ( 1 + \Delta ( \kappa R ) ) U _ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ ) ~ } } \, , \ \ \ \ \ U _ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ v ~ ) ~ } } \approx ( 1 - \Delta ( \kappa R ) ) U _ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ ) ~ } } \, ,
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { L } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 6 } ( 2 u _ { i - 2 } - 7 u _ { i - 1 } + 1 1 u _ { i } ) , } \\ { P _ { \mathrm { C } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 6 } ( - u _ { i - 1 } + 5 u _ { i } + 2 u _ { i + 1 } ) , } \\ { P _ { \mathrm { R } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 6 } ( 2 u _ { i } + 5 u _ { i + 1 } - u _ { i + 2 } ) , } \end{array}
\left\lbrace \overline { { u } } , \overline { { v } } , \overline { { w } } , \overline { { \tau } } \right\rbrace = \left\lbrace \frac { F ^ { \prime \prime } ( \eta ) } { T } , - \frac { 3 } { 2 } \hat { \psi } \sqrt { \overline { { x } } } F ^ { \prime } ( \eta ) , 0 , - \frac { T ^ { \prime } ( \eta ) } { T } \right\rbrace \exp ( - \hat { \psi } \overline { { x } } ^ { 3 / 2 } ) + \ldots
\begin{array} { r l } { \int _ { v _ { 0 } - v _ { c } } ^ { 0 } v _ { i , d , y } ^ { \prime } \ d v _ { i , d , y } ^ { \prime } = } & { { } - \frac { Z _ { d } } { 4 \pi m _ { i , d } } \int _ { 0 } ^ { \alpha B _ { 0 } } \frac { B _ { z } ^ { \prime } } { n _ { e } ^ { \prime } } d B _ { z } ^ { \prime } } \end{array}
\mathrm { T r } \, \exp ( - H t ) = \mathrm { T r } \, \mathrm { I \! P } \int D q \exp \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \left[ - \frac 1 2 \dot { q } ^ { 2 } ( \tau ) - \dot { q } ( \tau ) \cdot \gamma B - \frac 3 2 \lambda ^ { 2 } B ^ { 2 } \right] .
( z _ { 1 } , { \cal Z } _ { 1 } , { \cal F } _ { 1 } ) \times ( z _ { 2 } , { \cal Z } _ { 2 } , { \cal F } _ { 2 } ) = ( z _ { 1 } z _ { 2 } , \, z _ { 1 } { \cal Z } _ { 2 } + z _ { 2 } { \cal Z } _ { 1 } , \, z _ { 1 } { \cal F } _ { 2 } + z _ { 2 } { \cal F } _ { 1 } - 2 { \cal Z } _ { 1 } { \cal Z } _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { h ( t ) = - A _ { 1 } \frac { \pi ^ { \frac { d } { 2 } } t ^ { r } \Gamma ( 2 - \frac { r + d } { 2 } ) } { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) } { _ 2 F _ { 1 } } ( - \frac { r } { 2 } , 1 - \frac { r + d } { 2 } ; 2 - \frac { r } { 2 } ; \frac { 1 } { t ^ { 2 } } ) + \frac { t ^ { 2 } } { 2 \tau } } \\ & { = - \frac { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) } { \pi ^ { \frac { d } { 2 } } \Gamma ( 2 - \frac { r + d } { 2 } ) } \frac { \pi ^ { \frac { d } { 2 } } t ^ { r } \Gamma ( 2 - \frac { r + d } { 2 } ) } { \Gamma ( 2 - \frac { r } { 2 } ) } { _ 2 F _ { 1 } } ( - \frac { r } { 2 } , 1 - \frac { r + d } { 2 } ; 2 - \frac { r } { 2 } ; \frac { 1 } { t ^ { 2 } } ) + \frac { r \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) t ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } } \\ & { = - t ^ { r } { _ 2 F _ { 1 } } ( - \frac { r } { 2 } , 1 - \frac { r + d } { 2 } ; 2 - \frac { r } { 2 } ; \frac { 1 } { t ^ { 2 } } ) + \frac { r \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) t ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } . } \end{array}
| s | , | t | , | u | \gg k _ { 1 } ^ { 2 } , k _ { 2 } ^ { 2 } , k _ { 3 } ^ { 2 } , k _ { 4 } ^ { 2 } , m _ { 0 } ^ { 2 } , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } , m _ { 3 } ^ { 2 }
[ \hat { \psi } _ { \lambda } ( \boldsymbol { r } ) , \hat { \psi } _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ] = \delta _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \mathbf x _ { T } ) } & { = D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \Pi _ { \Psi } ( \widetilde { \mathbf x } _ { T } , \Delta ^ { [ K ] , \beta } ) ) } \\ & { = D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \Pi _ { \Psi } ( \nabla \Psi ^ { * } ( \frac { \eta _ { T } } { \eta _ { T - 1 } } \nabla \Psi ( \mathbf z _ { T - 1 } ) ) , \Delta ^ { [ K ] , \beta } ) ) } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le D _ { \Psi } ( \vec { \theta } _ { T - 1 } , \nabla \Psi ^ { * } ( \frac { \eta _ { T } } { \eta _ { T - 1 } } \nabla \Psi ( \mathbf z _ { T - 1 } ) ) ) } \\ & { \stackrel { ( b ) } = D _ { \Psi ^ { * } } ( \frac { \eta _ { T } } { \eta _ { T - 1 } } \nabla \Psi ( \mathbf z _ { T - 1 } ) , \nabla \Psi ( \vec { \theta } _ { T - 1 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta _ { 2 } } J ^ { \pi } ( s _ { 1 } ) = } & { \nabla _ { \theta _ { 2 } } ( \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) Q ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ) } \\ { = } & { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } ( \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) \nabla _ { \theta _ { 2 } } ( c _ { 1 } + \gamma \lambda \eta _ { 2 } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 1 } } [ \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) ] ) ) } \\ { = } & { \gamma \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) \sum _ { s _ { 2 } } P ( s _ { 2 } | s _ { 1 } , a _ { 1 } ) \nabla _ { \theta _ { 2 } } \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { = } & { \gamma \sum _ { s _ { 2 } , \eta _ { 2 } } \mathrm { P r } ^ { \pi _ { 1 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) \nabla _ { \theta _ { 2 } } \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) } \end{array}
d s _ { 1 , 4 } ^ { 2 } = - ( H _ { 1 } H _ { 2 } H _ { 3 } ) ^ { - 2 / 3 } f d t ^ { 2 } + ( H _ { 1 } H _ { 2 } H _ { 3 } ) ^ { 1 / 3 } ( f ^ { - 1 } r ^ { 2 } d r ^ { 2 } + d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \partial _ { z } \overline { { p } } = - ( \overline { { \rho } } _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } ) g , \quad \overline { { p } } = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } R _ { v } ) \overline { { T } } , \quad \overline { { \rho } } _ { v } = \overline { { \rho } } _ { d } \overline { { q } } _ { v } , \quad \overline { { \theta } } = T \left( \frac { p _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { p } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \gamma } ^ { D } - \omega _ { \gamma } ^ { S } } { \omega _ { \gamma } ^ { D } } \bigg | _ { \mathrm { D o p p l e r } } \! \! } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { L } \! \! d t \big [ h _ { 0 0 , 0 } ^ { \mathrm { P D } } - h _ { 0 0 , 1 } ^ { \mathrm { P D } } \big ] _ { x ^ { \mu } = ( t , L , 0 , 0 ) } } \\ & { = h _ { + } c _ { \frac { \vartheta } { 2 } } ^ { 2 } t _ { \vartheta } ^ { 2 } \Big \{ - \cos [ \omega _ { g } L + \varphi _ { 0 } ] } \\ & { \qquad \qquad \quad ~ + \cos [ \omega _ { g } L ( 1 - c _ { \vartheta } ) + \varphi _ { 0 } ] \Big \} } \\ & { \quad - h _ { + } \, \omega _ { g } L \frac { s _ { \vartheta } t _ { \vartheta } } { 2 } \sin ( \omega _ { g } L + \varphi _ { 0 } ) \, . } \end{array}
| \Psi _ { N } \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { p _ { \sigma } } | \Psi _ { N } ^ { p } \rangle } & { p \in \mathrm { o c c u p i e d ~ o r b i t a l } } \\ { \hat { a } _ { p _ { \sigma } } \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } | \Psi _ { N } ^ { p } \rangle } & { p \in \mathrm { v i r t u a l ~ o r b i t a l } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left( \frac { c _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } } { 2 } - 1 \right) \left( \frac { c _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } } { 2 } + 1 \right) = - \rho ^ { 2 } \quad } & { { } \Longrightarrow \quad \frac { c _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { 2 } } { 4 } = 1 - \rho ^ { 2 } } \end{array}
\hat { \psi } \left[ \hat { \tau } \right] : = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 . 6 5 7 ~ e ^ { 1 - \frac { 1 } { 1 - ( 2 \hat { \tau } - 1 ) ^ { 2 } } } , } & { 0 \leq \hat { \tau } \leq 1 , } \\ { 0 , } & { \hat { \tau } > 1 . } \end{array} \right.
z _ { c o _ { \nu } } \, \simeq \, 5 \times 1 0 ^ { 8 } \bigg ( \frac { E } { e V } \bigg ) ^ { - 2 / 7 } \, , \quad E \, \geq \, 3 \times 1 0 ^ { 1 4 } \; e V \, .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 3 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , 1 , 1 } } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 1 } } \mathcal { I } _ { 1 , 1 } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \sum _ { k = 3 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , 1 , 1 } } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 1 } } \mathcal { I } _ { 1 , 1 } ^ { 1 } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 1 } } \mathcal { I } _ { 1 , 1 } ^ { 2 } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N + 1 | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } - N \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } \\ & { - \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { f = 0 } ^ { N } \sum _ { l = 0 } ^ { f } \binom { k } { l } \binom { N + 1 } { f + 1 } p ^ { N - f } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times B _ { N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , 1 } \left( k - l + 1 , l + 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { x } } & { { } = \frac { r \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } T _ { 1 } ( 1 ) + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } } T _ { 2 } , } \\ { \mathcal { B } _ { y } } & { { } = - \frac { r } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } \left[ \frac { 2 x y } { \sigma _ { \eta } \sigma _ { 0 } } \sin \Psi _ { 1 } ( 0 , 2 ) - \cos \Psi _ { 1 } ( 2 , 1 ) \right] , } \\ { \mathcal { B } _ { z } } & { { } = - \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } \left[ \frac { 2 r x } { \sigma _ { \eta } \sigma _ { 0 } } \cos \Psi _ { 1 } ( 0 , 1 ) - \cos \Psi _ { 1 } ( 1 , 0 ) \right] , } \end{array}
\left| B _ { a } \left( t \right) \right\rangle = e ^ { - \frac t { 2 \tau _ { a } } } \int d ^ { 3 } x \Psi _ { a } \left( \stackrel { \rightarrow } { x } , t ; \stackrel { \rightarrow } { v _ { a } , } \sigma _ { B P } \right) \left| a , \stackrel { \rightarrow } { x } \right\rangle ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 k \left( k ^ { 2 } - 1 \right) K ^ { 2 } \left( \frac { \left( \sqrt { 1 - k } + \sqrt { 1 + k } \right) \left( E + \left( k ^ { 2 } - 1 \right) K \right) } { k \left( k ^ { 2 } - 1 \right) } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + k } } - \frac { 1 } { \sqrt { 1 - k } } \right) K \right) } { \pi ^ { 2 } ( E ^ { \prime } K + ( E - K ) K ^ { \prime } ) } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \left\lfloor \frac { n } { 2 } \right\rfloor } ( 2 n + 1 ) \mathrm { \emph { c s c h } } ^ { 2 } \left( \frac { 2 n + 1 } { 2 } \frac { K ^ { \prime } } { K } \pi \right) } \end{array}
\bar { \sigma } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } R ( t - \tau ) \dot { \varepsilon } ( \tau ) d \tau = K ^ { v } \theta + \frac { 2 G _ { \alpha } } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - \tau ) ^ { - \alpha } \dot { e } ( \tau ) d \tau
u _ { e } ( x , t ) = \cos \left( \frac { a \pi } { l } t \right) \sin \left( \frac { \pi } { l } x \right) + \left[ \cos \left( \frac { 2 a \pi } { l } t \right) + \frac { l } { 2 a \pi } \sin \left( \frac { 2 a \pi } { l } t \right) \right] \sin \left( \frac { 2 \pi } { l } x \right) , \quad l = x _ { 1 } - x _ { 0 } .
\Vec { F } ^ { L } ( p , \Theta ) = \int _ { - \ell } ^ { 0 } \frac { I ( p ) } { c } \Delta \Vec { k } ^ { L } d p \quad \& \quad \Vec { F } ^ { R } ( p , \Theta ) = \int _ { 0 } ^ { \ell } \frac { I ( p ) } { c } \Delta \Vec { k } ^ { L } d p
\vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } > 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \, o v e r l i n e { \mathbb { I } } \setminus \partial \mathbb { I } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad | \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } | > 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \mathbb { I } \qquad 0 \leq m \leq M ,
f ( \nu ) _ { 1 f } = \frac { 4 \, A \left[ \Gamma ^ { 2 } - 4 ( \nu - \nu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] } { \left[ \Gamma ^ { 2 } + 4 ( \nu - \nu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } ,
s = { \cal S } ( \phi ) \equiv \left( \frac { 1 - \phi ^ { 2 } } { 2 \phi ^ { 2 } } \right) \ln \left( \frac { 1 + \phi } { 1 - \phi } \right) + \left( \frac { 1 + \phi } { 2 \phi } \right) - \frac { 3 } { \ln \left( \frac { 1 + \phi } { 1 - \phi } \right) } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } e ^ { s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) d s } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi i } \left\{ \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \int _ { \gamma - i T } ^ { \gamma + i T } e ^ { s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) d s + \operatorname* { l i m } _ { R \rightarrow \infty } \int _ { C _ { R } } e ^ { s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) d s + \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { C _ { r } } e ^ { s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) d s \right\} } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 \pi i } \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow 0 } \left\{ \int _ { - \infty + a \, i } ^ { - 1 / e + a \, i } e ^ { s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) d s + \int _ { - 1 / e - a \, i } ^ { - \infty - a \, i } e ^ { s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) d s \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } & { = \langle \mathcal C _ { i } , \partial _ { v _ { i } } F _ { + } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \leq \langle ( \sigma ^ { - 1 } ) _ { i j } \mathcal C _ { i } , \mathcal C _ { j } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \langle \sigma _ { i j } \partial _ { v _ { i } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } , \partial _ { v _ { j } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \theta ^ { * } } ^ { \prime } = { \theta ^ { * } } ^ { ( n ) } - { \theta ^ { * } } ^ { ( n ) } \frac { \langle A \rangle } { A } \Delta t ^ { \prime } + \beta ( q ^ { ( n ) } , r ^ { ( n ) } ) \xi \sqrt { \frac { \langle A \rangle } { A } } \sqrt { \Delta t ^ { \prime } } } \\ & { { \theta ^ { * } } ^ { ( n + 1 ) } = { \theta ^ { * } } ^ { ( n ) } - \frac { 1 } { 2 } \big [ { \theta ^ { * } } ^ { ( n ) } + { \theta ^ { * } } ^ { \prime } \big ] \frac { \langle A \rangle } { A } \Delta t ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } \big [ \beta ( q ^ { ( n ) } , r ^ { ( n ) } ) + \beta ( q ^ { \prime } , r ^ { \prime } ) \big ] \xi \sqrt { \frac { \langle A \rangle } { A } } \sqrt { \Delta t ^ { \prime } } } \end{array}
c _ { H ^ { 0 } h ^ { 0 } } = { \frac { 3 \cos \alpha \sin \alpha } { 1 6 s _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } } ~ [ m _ { t } ^ { 2 } ( 1 + \cot ^ { 2 } \beta ) + m _ { b } ^ { 2 } ( 1 + \tan ^ { 2 } \beta ) ] ~ [ - l n { \frac { s } { M ^ { 2 } } } ]
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { e N } } ( \mathbf { r } , \mathbf { R } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { e l e c } } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n u c l } } } \Bigg [ } & { \frac { a _ { 1 , \alpha } \, f _ { \alpha } ( R _ { i \alpha } ) } { 1 + a _ { 2 , \alpha } \, f _ { \alpha } ( R _ { i \alpha } ) } } \\ & { + \sum _ { p = 2 } ^ { N _ { \mathrm { o r d } } ^ { a } } a _ { p + 1 , \alpha } \, [ f _ { \alpha } ( R _ { i \alpha } ) ] ^ { p } - J _ { \mathrm { e N } } ^ { \infty } \Bigg ] } \end{array}
{ \frac { \langle : \dot { p } _ { i } \dot { p } ^ { i } : \rangle } { r _ { 1 } ^ { 2 } } } \sim { \frac { \kappa ^ { 2 } N ^ { 2 } } { L ^ { 4 } ( Q _ { 1 } Q _ { 5 } ) ^ { 2 } Q _ { 5 } } } ; \ \ { \frac { \langle : \dot { \gamma } ^ { 2 } : \rangle } { r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 5 } ^ { 2 } } } \sim { \frac { \kappa ^ { 2 } N ^ { 2 } } { L ^ { 4 } ( Q _ { 1 } Q _ { 5 } ) ^ { 2 } } }
\delta _ { r } ^ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r - \frac { \Delta r } { 2 } < r _ { i j } < r + \frac { \Delta r } { 2 } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r } & { \vec { L } _ { D } = ( I _ { n } \otimes P _ { \Omega } ) ( D C ) \vec { L } _ { C } , } & & { \ \ \ D C = ( I _ { n } \otimes E ^ { T } ) ( P _ { e r m } ) ^ { T } ( P _ { \partial \Omega } \otimes I _ { n } ) , } & \\ & { \vec { L } _ { C } = d i a g ( ( L _ { C } ) _ { 1 } , ( L _ { C } ) _ { 2 } , . . . , ( L _ { C } ) _ { N } ) , } & & { ( L _ { C } ) _ { j } = ( 2 ( J ^ { - } T ^ { - 1 } ) ^ { T } \Sigma ( \vec { W } ^ { - } - R \vec { W } ^ { + } - S ^ { - 1 } \vec { G } ) ) _ { j } . } & \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } ^ { * } \sim \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } \frac { 1 } { \big \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\hat { U } _ { C } = \left[ \begin{array} { l l } { \cos \left( \frac { \beta } { 2 } \right) } & { - i \sin \left( \frac { \beta } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \beta } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \beta } { 2 } \right) . } \end{array} \right]
\hat { H } ^ { \textrm { M S } } = \frac { 1 } { 2 M } \sum _ { i , j } \left[ \pmb { p } _ { i } \cdot \pmb { p } _ { j } - \frac { \alpha Z } { r _ { i } } \left( \pmb { \alpha } _ { i } + \frac { ( \pmb { \alpha } _ { i } \cdot \pmb { r } _ { i } ) \pmb { r } _ { i } } { r _ { i } ^ { 2 } } \right) \cdot \pmb { p } _ { j } \right] .
C = 1 . 0 ~ \mu \mathrm { ~ F ~ / ~ c ~ m ~ } ^ { 2 } , \; ( g _ { N a } , g _ { K } , g _ { L } ) = ( 3 5 , 9 , 0 . 1 ) \mathrm { ~ m ~ S ~ / ~ c ~ m ~ } ^ { 2 } , \; ( E _ { N a } , E _ { K } , E _ { L } ) = ( 5 5 , - 9 0 , - 6 5 ) \mathrm { ~ m ~ V ~ } , \; \phi = 5 .
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } ( t ) } & { = \dot { \Theta } ( \boldsymbol { q } ) = \int _ { \mathcal { D } } \nabla _ { \boldsymbol { q } } \Theta ( \boldsymbol { q } ) \cdot \dot { \boldsymbol { q } } d \boldsymbol { x } = \int _ { \mathcal { D } } \nabla _ { \boldsymbol { q } } \Theta ( \boldsymbol { q } ) \cdot \left[ \mathcal { N } ( \boldsymbol { q } ( \boldsymbol { x } , t ) ) + \epsilon \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } , t ) \right] d \boldsymbol { x } } \\ & { \approx \Omega _ { n } + \epsilon \int _ { \mathcal { D } } \boldsymbol { Z } ( \boldsymbol { x } , \theta ) \cdot \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } , t ) d \boldsymbol { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d e v } \{ j ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } & { { } = 1 9 . 7 ~ \mathrm { p s } , } \\ { \frac { \mathrm { d e v } \{ n _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { \omega A _ { 0 } } } & { { } = 3 8 . 4 ~ \mathrm { p s } . } \end{array}
c _ { n } ^ { 2 } + s _ { n } ^ { 2 } = 1 , \qquad c _ { n } ^ { 2 } - s _ { n } ^ { 2 } = \frac { m _ { n } } { \lambda _ { n } } , \qquad 2 c _ { n } s _ { n } = \frac { m _ { 0 } } { \lambda _ { n } } \, .