harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { E _ { k j x } \cong \frac { - N _ { k } e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R _ { k j } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { 3 \left( \Delta X _ { k j } \right) ^ { 2 } } { R _ { k j } ^ { 2 } } - 1 \right) \left( \frac { x _ { k } } { R _ { k j } } + \frac { \dot { x } _ { k } } { c } \right) - \frac { \left( \Delta Y _ { k j } \right) ^ { 2 } } { R _ { k j } c ^ { 2 } } \ddot { x } _ { k } + 3 \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } ^ { 3 } } y _ { k } + 3 \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } ^ { 2 } c } \dot { y } _ { k } + \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } c ^ { 2 } } \ddot { y } _ { k } \right] , } \\ & { E _ { k j y } \cong \frac { - N _ { k } e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R _ { k j } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { 3 \left( \Delta Y _ { k j } \right) ^ { 2 } } { R _ { k j } ^ { 2 } } - 1 \right) \left( \frac { y _ { k } } { R _ { k j } } + \frac { \dot { y } _ { k } } { c } \right) - \frac { \left( \Delta X _ { k j } \right) ^ { 2 } } { R _ { k j } c ^ { 2 } } \ddot { y } _ { k } + 3 \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } ^ { 3 } } x _ { k } + 3 \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } ^ { 2 } c } \dot { x } _ { k } + \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } c ^ { 2 } } \ddot { x } _ { k } \right] , } \\ & { j = 1 , ~ 2 , ~ . . . , ~ n . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { E ^ { ( J ) } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { J } } \! d \sigma ~ { \dot { T } } ^ { ( J ) } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { P _ { X } ^ { ( J ) } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { J } } \! d \sigma { } ~ { \dot { X } } ^ { ( J ) } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { P _ { Y } ^ { ( J ) } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { J } } \! d \sigma { } ~ { \dot { Y } } ^ { ( J ) } } } } \end{array}
F _ { \mu \nu } \! \left( t \right) = h _ { \mu \nu } + \sum _ { \lambda \sigma } ^ { N } \left( \left( \mu \nu | \lambda \sigma \right) - \frac { \left( \mu \sigma | \lambda \nu \right) } { 2 } \right) P _ { \sigma \lambda } \! \left( t \right)
F ( x ^ { * } , r ^ { * } ) - F ( \tilde { x } , r ^ { * } ) = 2 \langle \tilde { x } - x ^ { * } , g + r \rangle = - 2 \langle ( \langle x ^ { * } , g \rangle - P ) g , g + r \rangle = - 2 ( \langle x ^ { * } , g \rangle - P ) - 2 \langle ( \langle x ^ { * } , g \rangle - P ) g , r \rangle \leq - 2 ( \langle x ^ { * } , g \rangle - P ) ( 1 - \| g \| \| r \| ) < 0
\mathcal { F } \left[ \left< u ( t ) ^ { 2 } \right> \right] _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } = 2 \eta \, k _ { B } T \delta ( \omega ) \, \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \hat { \chi } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { \chi } ( - \omega ^ { \prime } ) \, .
E _ { n } = - { \frac { m _ { e } e ^ { 4 } } { 2 ( 4 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar ) ^ { 2 } } } \, { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } = - { \frac { 1 3 . 6 \, { \mathrm { e V } } } { n ^ { 2 } } } .
{ \tau } _ { 2 } ( { \pi } ( f _ { 0 } ) , { \pi } ( f _ { 1 } ) , { \pi } ( f _ { 2 } ) ) = - \int _ { S ^ { 2 } } T r { \Gamma } D ^ { - 1 } [ D , f _ { 0 } ] D ^ { - 1 } [ D , f _ { 1 } ] D ^ { - 1 } [ D , f _ { 2 } ] d ^ { 2 } x ,
\mathbf { T } = \iint _ { \partial V } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \supset \mathbf { x } \times \left( { \boldsymbol { \sigma } } \cdot { \mathrm { d } } { \boldsymbol { S } } \right) = \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( R \cdot \mathbf { e _ { r } } ) \times \left( { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \mathbf { e _ { r } } \cdot R ^ { 2 } \sin \theta { \mathrm { d } } \varphi { \mathrm { d } } \theta \right) = 8 \pi \mu R ^ { 3 } \cdot { \boldsymbol { \omega } } _ { R }
\frac { d ^ { 2 } \hat { \sigma } } { d Q ^ { 2 } d y } = A \frac { \tau ( \tau + z _ { 1 } z _ { 2 } - \epsilon \tau ) } { ( z _ { 1 } z _ { 2 } ) ( z _ { 1 } x _ { 2 } + z _ { 2 } x _ { 1 } ) ^ { 2 } } \; { \mathcal { M } } ( s , x _ { 1 } , x _ { 2 } , z _ { 1 } , z _ { 2 } , \epsilon )
\begin{array} { r l } { \left. \frac { e _ { i j } } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 1 ) } = 0 } } & { : = b _ { i j } ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 1 ) } } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 1 ) } = 0 } } & { \equiv S ^ { ( 1 , 2 ) } : = a _ { 2 3 } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 2 ) } } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 1 ) } = 0 } } & { \equiv S ^ { ( 2 ) } : = a _ { 3 3 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { t } \triangleq \operatorname* { m a x } _ { 1 \le s \le t , i \in [ K ] } \left\{ \left\lvert Q _ { s , i } - Q _ { s - 1 , i } \right\rvert \right\} , } \\ { L _ { s , t } \triangleq \operatorname* { m a x } _ { s < \tau \le t , i \in [ K ] } \left\{ \left\lvert Q _ { \tau , i } - Q _ { \tau - 1 , i } \right\rvert \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } & { = \int _ { \operatorname* { m i n } ( a , c ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( a , c ) } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } \\ & { + \int _ { \operatorname* { m a x } ( a , c ) } ^ { \operatorname* { m i n } ( b , d ) } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } \\ & { + \int _ { \operatorname* { m i n } ( b , d ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( b , d ) } | \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) - \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t . } \end{array}
\kappa _ { p } = \frac { ( 2 p ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \langle x ^ { 2 p } \rangle _ { + } } { 2 x _ { + } ^ { 2 p } } - \frac { ( 2 p - 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \langle x ^ { 2 p - 1 } \rangle _ { + } } { 2 x _ { + } ^ { 2 p - 1 } } \sim B ( 2 p ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \alpha } + B ( 2 p - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \alpha } \sim 2 B ( 2 p ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \alpha } \; .
\begin{array} { r l r } { K _ { 4 x } ^ { 1 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ t ~ E _ { c } ~ ~ \kappa ~ ( u + t ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) ~ H ) } \\ { K _ { 4 x } ^ { 2 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ t ~ \kappa ~ ( 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + \gamma ~ \kappa ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) H ) } \\ { K _ { 4 x } ^ { 3 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ t ~ \kappa ~ ( - u ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ t ~ v ^ { 2 } + \gamma _ { 1 } ~ u ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) H ) } \\ { K _ { 4 x } ^ { 4 } } & { = } & { d x ^ { 3 } \kappa ( - \gamma _ { 1 } H \kappa - \gamma _ { 1 } v E _ { c } - v \kappa ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } t u E _ { c } - \gamma _ { 1 } t ^ { 2 } v E _ { c } } \\ & { - } & { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } t ^ { 2 } v E _ { c } + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } H t u + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } H t ^ { 2 } v ) } \end{array}
[ D _ { n } , { \cal H } ] \, = \, - n t ^ { n - 1 } { \cal H } + \frac { n \! - \! 1 } { 2 } ( m ^ { 2 } \! - \! \beta ^ { 2 } ) t ^ { n - 2 } + \frac { n \! + \! 1 } { 2 } t ^ { n } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 3 } \, ( k \! + \! 1 ) ( n \! - \! k \! - \! 2 ) t ^ { n \! - \! k \! - \! 3 } J _ { k } \, .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \psi } = \boldsymbol { { U } } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol \phi ^ { \mathcal { C } } } \\ { \phi _ { \mathcal { A } } } \\ { \phi _ { \mathcal { B } } } \\ { \boldsymbol \phi ^ { \mathcal { V } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { y } } & { = \frac { \frac { \{ \, \{ \{ f ( q ) \} \} _ { i \pm \frac 1 2 } \} _ { j + \frac 1 2 } } { 8 } - \frac 1 2 | v _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { * } | [ q ] _ { i , j + \frac 1 2 } } { 1 + \Delta t \left( \frac { \{ [ u ] _ { i \pm 1 } \} _ { j + \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } + \frac { [ \{ \{ v \} \} _ { i \pm \frac 1 2 } ] _ { j + \frac 1 2 } } { 4 \Delta y } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( \hbar \omega ) \approx \frac { 1 } { \hbar \omega } \Bigg ( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 R ^ { * } } { n ^ { 3 } } } & { { } \mathcal { G } \left( E _ { x _ { n } } - \hbar \omega \right) + } \end{array}
\frac { \ell _ { C } ^ { ( 3 ) } } { ( 2 m _ { c } ) ^ { 2 } ( 2 m _ { b } ) } + \frac { \ell _ { B } ^ { ( 3 ) } } { ( 2 m _ { c } ) ( 2 m _ { b } ) ^ { 2 } } = \frac { \ell _ { A } ^ { ( 3 ) } } { ( 2 m _ { c } ) ( 2 m _ { b } ) } \left( \frac { 1 } { 2 m _ { c } } + \frac { 1 } { 2 m _ { b } } \right) + \frac { \ell _ { D } ^ { ( 3 ) } } { ( 2 m _ { c } ) ( 2 m _ { b } ) } \left( \frac { 1 } { 2 m _ { c } } - \frac { 1 } { 2 m _ { b } } \right) ,
\begin{array} { r l } { H _ { \mathfrak { c } } } & { : = - \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \frac { 1 - \mathfrak { c } } { 2 \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } } \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] - \frac { 1 } { 2 n \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big \{ \big ( \ell _ { i } ^ { 2 } - \mathbb { E } [ \ell _ { i } ^ { 2 } ] \big ) + 4 \mathbb { E } [ \ell _ { i } q _ { i j } | Z _ { i } ] \Big \} } \\ & { \qquad - \frac { 2 } { n \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \mathbb { E } [ q _ { i j } q _ { i k } | Z _ { j } , Z _ { k } ] , } \end{array}
\tan ^ { 2 } \phi = \frac { M _ { Z } ^ { 2 } - M _ { Z _ { 1 } } ^ { 2 } } { M _ { Z _ { 2 } } ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } } \simeq \frac { 2 M _ { Z } \Delta M } { M _ { Z _ { 2 } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \sum _ { k } \left\| y ^ { k } - y ^ { k - 1 } \right\| _ { ( P \Sigma ^ { k + 1 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \right] } & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { k } \left\| ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } , y ^ { k } - y ^ { k - 1 } ) \right\| _ { N ^ { k + 1 } } ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { k } b ^ { k } \right] = \sum _ { k } \mathbb { E } \left[ b ^ { k } \right] < \infty , } \end{array}
Z _ { n m } = \frac { k _ { 0 } \eta } { 4 } \left[ H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 0 } y _ { m n } ) - H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 0 } \sqrt { y _ { m n } ^ { 2 } + 4 h ^ { 2 } } ) \right]
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - \beta k E _ { n } } = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } { \beta } ^ { 2 } k ^ { 2 } m ^ { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { \frac { 2 { \beta } ^ { 2 } e B k ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } - 1 } \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \widetilde { h } _ { 1 } \widetilde { t } _ { 3 } \widetilde { a } _ { 1 } ) ^ { g + 1 } } \\ & { = } & { \Bigl ( ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \underset { \rightarrow } { \underline { { t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } } } } \cdots \underset { \rightarrow } { \underline { { t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } } } } \cdot t _ { \alpha _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \cdots t _ { \alpha _ { 1 } ^ { k - 1 } } ) \Bigr ) ^ { g + 1 } } \\ & { \sim } & { \left( ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } \underline { { t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \alpha _ { 1 } ^ { 1 } } } } \cdot \underline { { t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } t _ { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } } } \cdots \underline { { t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } t _ { \alpha _ { 1 } ^ { k - 1 } } } } ) \right) ^ { g + 1 } } \\ & { \sim } & { \Bigl ( ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } ( \alpha _ { 1 } ^ { 1 } ) } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \cdot t _ { t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } \cdots t _ { t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ( \alpha _ { 1 } ^ { k - 1 } ) } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) \Bigr ) ^ { g + 1 } } \\ & { = } & { \Bigl ( ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) \Bigr ) ^ { g + 1 } } \\ & { = } & { ( t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 3 } } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) ^ { 2 g + 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \left\lVert \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\rVert ^ { 2 } \right] \leq } & { \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) } \\ & { + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) + \mathcal { O } \left( \mathcal { E } _ { a p p } \right) . } \end{array}
V _ { A } ^ { \mathrm { ~ E ~ C ~ P ~ } } = V _ { A \ell _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { \ell _ { \operatorname* { m a x } } } \delta V _ { A \ell } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } | Y _ { \ell m } \rangle \langle Y _ { \ell m } |
\xi _ { \mathrm { C P , 1 } } = \frac { \sigma _ { t _ { L } \bar { t } _ { L } } ^ { + + } - \sigma _ { t _ { R } \bar { t } _ { R } } ^ { -- } } { \sigma _ { t _ { L } \bar { t } _ { L } } ^ { + + } + \sigma _ { t _ { R } \bar { t } _ { R } } ^ { -- } }
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 } | = } & { ~ | \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } y _ { v } \cdot \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ \mathcal { M } _ { z } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle | } \\ { \le } & { ~ | \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } y _ { v } | \cdot | \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ \mathcal { M } _ { z } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle | } \\ { \le } & { ~ \sigma \cdot | \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } y _ { v } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \frac { d } { d t } \right) ^ { 2 n - 1 } C ^ { \prime } \left( t \right) } & { = \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \frac { d } { d t } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \cos \omega t \right) } \\ & { = \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( \frac { d } { d t } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \cos \omega t \right) } \\ & { = \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \tilde { C } ^ { \prime \prime } \left( \omega \right) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \left( \frac { d } { d t } \right) ^ { 2 n - 1 } \cos \omega t \right) } \\ & { = \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \tilde { C } ^ { \prime \prime } \left( \omega \right) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \left( - 1 \right) ^ { n } \omega ^ { 2 n - 1 } \sin \omega t \right) } \end{array}
\tilde { F } _ { \phi ^ { 3 } } \left( \left. x , \xi , \frac { 1 - x } { 1 - \xi ^ { 2 } } b ^ { \perp } \right| m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } \right) = \frac { 1 } { 4 \pi } ( 1 - x ) V ( r _ { 1 } , r _ { 1 } b ^ { \perp } | m _ { 1 } , m _ { 3 } ) V ( r _ { 2 } , r _ { 2 } b ^ { \perp } | m _ { 2 } , m _ { 3 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } ( \mathbf { k } ) } & { { } = - i \mathbf { k } G _ { \Phi } ( \mathbf { k } ) + i \mathbf { k } \times \mathbf { G } _ { \mathbf { A } } ( \mathbf { k } ) } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { r } ) } & { { } = - \iiint i \mathbf { k } G _ { \Phi } ( \mathbf { k } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } d V _ { k } + \iiint i \mathbf { k } \times \mathbf { G } _ { \mathbf { A } } ( \mathbf { k } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } d V _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ~ f _ { 1 } ( \omega ) } & { { } = } & { \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } a _ { m } \frac { ( \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } ) ^ { 2 } } + b _ { 1 } , } \\ { f _ { 2 } ( \omega ) } & { { } = } & { \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } c _ { m } \frac { ( \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } ) ^ { 2 } ( \omega - \omega _ { 0 } ) } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } ) ^ { 2 } } + b _ { 2 } . } \end{array}
P ^ { \mu } = m U ^ { \mu } = m \gamma ( v ) ( c , v _ { x } , v _ { y } , v _ { z } ) = \left( { \frac { E } { c } } , p _ { x } , p _ { y } , p _ { z } \right) = \left( { \frac { E } { c } } , \mathbf { p } \right) .
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { b } } & { { } = } & { - \frac { 4 m c ^ { 2 } } { 3 } \, \alpha \big ( Z \alpha \big ) ^ { 3 } \, g _ { I } \, \frac { m _ { e } } { m _ { p } } \Big ( I + \frac { 1 } { 2 } \Big ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \Delta } } e ^ { - { \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \Delta ^ { 2 } } } } = { \frac { 2 \sqrt { 2 / \pi } } { \sqrt { \Delta ^ { 2 } + 4 \sigma ^ { 2 } } } } e ^ { \frac { - 4 x ^ { 2 } + 4 ( x _ { 0 } + \lambda - \Gamma \mu \Delta ^ { 2 } ) x + 4 \Delta ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } \mu ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } - 8 \Gamma \mu \sigma ^ { 2 } ( \lambda + x _ { 0 } ) - 2 \Gamma \tau _ { 0 } ( \Delta ^ { 2 } + 4 \sigma ^ { 2 } ) - ( \lambda + x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \Delta ^ { 2 } + 4 \sigma ^ { 2 } ) } } .
\mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } = \sigma _ { x | \eta } ^ { 2 } / \sigma _ { x | L } ^ { 2 } = \kappa ^ { 2 } N \tau _ { m } ^ { 2 } \sigma _ { v } ^ { 2 } \frac { 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { v } } + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } } { ( 1 + { \tau _ { \mathrm { m } } } / { \tau _ { v } } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { v } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } ) } \bigg / \left( \frac { 1 } { N X _ { \mathrm { T } } f ( 1 - f ) ( 1 - p ) ^ { 2 } } + \frac { \tilde { \alpha } } { R _ { \mathrm { T } } ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } ) } \right) ,
\begin{array} { r } { S _ { 2 } ^ { 2 } = - \log ( B ^ { 2 } \frac { \pi } { \sqrt { 4 ( \Xi - \Phi ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( 2 \Phi ^ { 2 } + \Psi ) ^ { 2 } } } ) . } \end{array}
S _ { 3 } ( \ell ) = - \frac { 1 2 } { d ( d + 2 ) } X _ { i } ^ { 3 } \mathbf [ \psi ( x ) \psi ( x + \ell ) ] = - \frac { 1 2 } { d ( d + 2 ) } X _ { i } ^ { 3 } f ( x , y ) K ( \| x - y \| ; \lambda )
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( \mathbf { F } \leq \mathbf { z } \right) - \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } \right) \leq \left[ 1 + \left( \frac { 2 } { \delta } \right) ^ { 2 } \right] d _ { \mathcal { H } _ { 2 } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) + \frac { \delta } { \sqrt { \underset { 1 \leq m \leq d } { \operatorname* { m i n } } \mathbb { E } [ F _ { m } ^ { 2 } ] } } \left( \sqrt { 2 \ln d } + 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \overline { { B } } _ { \Omega _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { \nu } \\ { \sqrt { | { \Omega _ { 0 } } | } U } \end{array} \right) \| _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } \leq \| \overline { { B } } _ { \Omega _ { 0 } } \| _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } \left( | \nu | ^ { 2 } + | { \Omega _ { 0 } } | \| U \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) \leq \| \overline { { B } } _ { \Omega _ { 0 } } \| _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } \| x \| _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \overline { { \Gamma } } } ( Q ^ { 2 } ) = - { \frac { \kappa ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { 8 M ^ { 2 } } } + { \cal O } \left( { \frac { Q ^ { 4 } } { ( ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } M m _ { \pi } ) } } \right) \ .
\hat { T } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } : = \left. \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { \Delta } } x _ { i } y _ { i } ^ { \prime \prime } \right/ \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { \Delta } } x _ { i } ^ { 2 } \simeq \frac { 1 } { m _ { \Delta } \sigma _ { x } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { \Delta } } x _ { i } y _ { i } ^ { \prime \prime } .
| \Vec { d } _ { S O V C } | ^ { 2 } = \frac { | \langle A ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) | \hat { h } ^ { \mathrm { ~ S ~ O ~ } } | B ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 ) \rangle \langle B ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 ) | \hat { h } ^ { \mathrm { ~ L ~ V ~ C ~ } } | A ^ { 2 } \Pi _ { 3 / 2 } ( 0 1 0 ) \rangle | ^ { 2 } } { ( \Delta E _ { A B } ) ^ { 2 } ( \Delta E _ { A A } + \omega ^ { A } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { ~ A ~ X ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } | ^ { 2 } ,
\mathbf { k } _ { i } = ( k _ { i } \sin { \theta _ { p } } \cos { \phi _ { p } } ) \hat { x } + ( k _ { i } \sin { \theta _ { p } } \sin { \phi _ { p } } ) \hat { y } + ( k _ { i } \cos { \theta _ { p } } ) \hat { z } .
{ \cal M } ~ ~ = \left[ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle m _ { 8 8 } ^ { 2 } } } & { { ~ ~ \displaystyle m _ { 0 8 } ^ { 2 } } } \\ { { \displaystyle m _ { 0 8 } ^ { 2 } } } & { { ~ ~ \displaystyle m _ { 0 0 } ^ { 2 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \bf H } } { \partial t } = \mathrm { r o t } { \bf [ u \times H ] } - \mathrm { r o t } ( \nu _ { m } \, \mathrm { r o t } { \bf H } ) + \frac { c } { 4 \pi } \frac { \partial } { \partial t } \left( \mathrm { r o t } \frac { { \bf E } } { \sigma } \right) , \quad } \\ { { { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } } \; \; \mathrm { r o t } \frac { { \bf E } } { \sigma } = \frac { \mathrm { r o t } { \bf E } } { \sigma } + \mathrm { g r a d } \left( \frac { 1 } { \sigma } \right) \times { \bf E } , \; \nu _ { m } = \frac { c ^ { 2 } } { 4 \pi \sigma } . \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \langle \hat { q } \rangle / d t } & { { } = m ^ { - 1 } \cdot \langle \hat { p } \rangle , } \\ { d \langle \hat { p } \rangle / d t } & { { } = - \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime } \rangle . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( A , B , C , D ) } & { = { \overline { { \overline { { f ( A , B , C , D ) } } } } } } \\ & { = { \overline { { { \overline { { A } } } \, { \overline { { B } } } + { \overline { { A } } } \, { \overline { { C } } } + B C D } } } } \\ & { = \left( { \overline { { { \overline { { A } } } \, { \overline { { B } } } } } } \right) \left( { \overline { { { \overline { { A } } } \, { \overline { { C } } } } } } \right) \left( { \overline { { B C D } } } \right) } \\ & { = \left( A + B \right) \left( A + C \right) \left( { \overline { { B } } } + { \overline { { C } } } + { \overline { { D } } } \right) } \end{array} }