harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { i } \frac { i } { 2 } \nabla _ { a } ( { \bf V } \cdot { \bf K } _ { a } ) \psi ^ { a } \psi ^ { b } = \frac { 2 i \pi ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } e ^ { 2 } } \frac { ( \hat { \bf v } ^ { i } \cdot \hat { \bf v } ^ { i } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { ( 1 + 2 \mu r ) ^ { 2 } } \left( \cos \theta \, \psi ^ { r } \psi ^ { \phi } + \psi ^ { r } \psi ^ { \psi } - r \sin \theta ( 1 + 2 \mu r ) \psi ^ { \theta } \psi ^ { \phi } \right)
\mathbb { E } \exp ( \iota t \widetilde { U } _ { \mathfrak { c } } ) = \mathbb { E } \exp \left[ \iota t \left( \frac { \nu ^ { \prime } \bar { L } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } } + \frac { \nu ^ { \prime } \bar { Q } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } } \right) \right] + \iota t \mathbb { E } H _ { \mathfrak { c } } \frac { \nu ^ { \prime } \bar { L } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } } \exp ( \iota t \frac { \nu ^ { \prime } \bar { L } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } } ) + O \left( \mathcal { E } _ { 1 } ( t ) \right) ,
\ell _ { E P } = \int \! \Big ( \frac { 1 } 2 D \| u \| _ { g } ^ { 2 } + D \big \langle \rho , i \sqrt { \mu } \tilde { \xi } - \widehat H _ { e } \big \rangle - \frac { \mu } { 8 D } { \| \nabla { D } \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } } - \frac \mu 4 D \| \nabla \rho \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Big ) \, \mathrm { d } r .
\begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } p ^ { 1 } } { \mathrm { d } \tau } } } & { { } = q \gamma \left[ c \left( { \frac { E _ { x } } { c } } \right) + ( - v _ { y } ) ( - B _ { z } ) + ( - v _ { z } ) ( B _ { y } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { \mu \eta } ( t - t ^ { \prime } ) = \hbar ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \int \mathrm { d } x \int \mathrm { d } x ^ { \prime } e ^ { - i \omega ( t - t ^ { \prime } ) } } \\ { \times g _ { \mu } ( x , \omega ) g _ { \eta } ^ { * } ( x ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) \left\langle \hat { c } ( x , \omega ) \hat { c } ^ { \dagger } ( x ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) \right\rangle _ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D H ^ { \varepsilon } ( x , y ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 + g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( x ) ( B ^ { \varepsilon } ( y ) - 1 ) } & { g _ { \varepsilon } ( x ) D B ^ { \varepsilon } ( y ) } \\ { - g _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( x ) \theta ( y ) } & { \mathrm { I d } - g _ { \varepsilon } ( x ) D \theta ( y ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\phi _ { \varepsilon , n } \in C _ { c } ^ { \infty } ( B _ { \varepsilon , n , \delta _ { 0 } } ) , \quad 0 \leq \phi _ { \varepsilon , n } \leq 1 , \quad \phi \big | _ { \overline { { B _ { \varepsilon , n } } } } = 1 , \quad \| \nabla _ { x } \phi _ { \varepsilon , n } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } \leq c ( \delta _ { 0 } ) \varepsilon ^ { - \alpha } .
\begin{array} { r } { [ W _ { 1 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } , \mathcal D _ { \gamma } - c ^ { 2 } \beta ] u = i c [ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { j } \partial _ { j } , W _ { 1 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } ] u + \alpha [ W _ { 1 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } , W _ { 2 , \gamma } ] u . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathrm { T r i g } _ { \Lambda _ { m } } ( \mathbb { T } ^ { n } ) \big ) = \prod _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { T } } \Big | \sum _ { 0 \le \alpha _ { j } \le m } z ^ { \alpha _ { j } } \Big | \, d z = \prod _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { T } } | D _ { m } ^ { + } ( z _ { j } ) | \, d z _ { j } = ( L _ { m } ^ { + } ) ^ { n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e ^ { - \mathrm { i } \hat { h } _ { I } \delta t } \vec { \phi } _ { p } ( t ) } & { = } & { V ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - W _ { j , p } \delta t } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { W _ { j , p } \delta t } } \end{array} \right) V \left( \begin{array} { l } { c _ { p } ( t , { \bf r } _ { j } ) } \\ { c _ { j , p } ( t ) } \end{array} \right) . } \end{array}
a ^ { 2 1 } + 2 8 a ^ { 1 8 } c ^ { 3 } + 8 4 a ^ { 1 7 } c ^ { 4 } + 2 7 3 a ^ { 1 6 } c ^ { 5 } + 9 2 4 a ^ { 1 5 } c ^ { 6 } + 1 9 5 6 a ^ { 1 4 } c ^ { 7 } + 2 9 8 2 a ^ { 1 3 } c ^ { 8 } + 4 3 4 0 a ^ { 1 2 } c ^ { 9 } + 5 7 9 6 a ^ { 1 1 } c ^ { 1 0 } + 5 7 9 6 a ^ { 1 0 } c ^ { 1 1 } + 4 3 4 0 a ^ { 9 } c ^ { 1 2 } + 2 9 8 2 a ^ { 8 } c ^ { 1 3 } + 1 9 5 6 a ^ { 7 } c ^ { 1 4 } + 9 2 4 a ^ { 6 } c ^ { 1 5 } + 2 7 3 a ^ { 5 } c ^ { 1 6 } + 8 4 a ^ { 4 } c ^ { 1 7 } + 2 8 a ^ { 3 } c ^ { 1 8 } + b ^ { 1 2 } ( 2 6 8 8 a ^ { 9 } + 2 4 1 9 2 a ^ { 8 } c + 9 6 7 6 8 a ^ { 7 } c ^ { 2 } + 2 2 5 7 9 2 a ^ { 6 } c ^ { 3 } + 3 3 8 6 8 8 a ^ { 5 } c ^ { 4 } + 3 3 8 6 8 8 a ^ { 4 } c ^ { 5 } + 2 2 5 7 9 2 a ^ { 3 } c ^ { 6 } + 9 6 7 6 8 a ^ { 2 } c ^ { 7 } + 2 4 1 9 2 a c ^ { 8 } + 2 6 8 8 c ^ { 9 } ) + b ^ { 8 } ( 8 4 a ^ { 1 3 } + 1 0 9 2 a ^ { 1 2 } c + 6 5 5 2 a ^ { 1 1 } c ^ { 2 } + 2 4 0 2 4 a ^ { 1 0 } c ^ { 3 } + 6 0 0 6 0 a ^ { 9 } c ^ { 4 } + 1 0 8 1 0 8 a ^ { 8 } c ^ { 5 } + 1 4 4 1 4 4 a ^ { 7 } c ^ { 6 } + 1 4 4 1 4 4 a ^ { 6 } c ^ { 7 } + 1 0 8 1 0 8 a ^ { 5 } c ^ { 8 } + 6 0 0 6 0 a ^ { 4 } c ^ { 9 } + 2 4 0 2 4 a ^ { 3 } c ^ { 1 0 } + 6 5 5 2 a ^ { 2 } c ^ { 1 1 } + 1 0 9 2 a c ^ { 1 2 } + 8 4 c ^ { 1 3 } ) + c ^ { 2 1 }
\phi = \sqrt { \frac { \pi ( R _ { s } ^ { 2 } + R _ { p } ^ { 2 } ) \omega } { 4 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \left( \frac { \mathrm { c o s } ^ { 2 } \theta } { D _ { y } } + \frac { \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta } { D _ { x } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d \theta \right] ^ { - 1 }
A _ { z } : = \frac { 1 } { 2 } \left( A _ { x } - i A _ { y } \right) = \frac { f ( r ^ { 2 } ) } { 4 r ^ { 2 } } \left( - i y + x \right) = \frac { f ( r ^ { 2 } ) } { 4 r ^ { 2 } } \left( \bar { z } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { \bf S } \rangle } & { { } = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( 2 \chi ) \cos ( 2 { \it \Psi } ) } \\ { \cos ( 2 \chi ) \sin ( 2 { \it \Psi } ) } \\ { \sin ( 2 \chi ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { K L \left( q _ { T } \| \breve { q } _ { K } \right) = } & { \int _ { \mathcal { \mathcal { C } } } q _ { T } ( x ) \log \frac { q _ { T } ( x ) } { \breve { q } _ { K } ( x ) } d x } \\ { = } & { - H \left[ q _ { T } \right] + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 n } \lambda _ { i } \int _ { \mathcal { C } } x ^ { k } q _ { T } ( x ) d x } \\ { = } & { H \left[ \breve { q } _ { K } \right] - H \left[ q _ { T } \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { 4 \pi } \nabla ^ { 2 } \phi _ { 1 } \left( x \right) + \frac { \rho _ { t h } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \left( x \right) =
{ \frac { - T } { 1 2 \pi } } [ 3 ( M _ { A } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } + ( M _ { H } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } + ( M _ { g } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } ] \qquad \mathrm { ( L a n d a u ) }
\begin{array} { r } { { \mu } _ { a , i } ^ { t } = \frac { \partial t _ { a } } { \partial \theta _ { i } } = \left. \frac { \partial ^ { 2 } \ln \mathcal { L } } { \partial \theta _ { i } \partial \theta _ { a } } \right\vert _ { \theta _ { * } } = \hat { F } _ { a , i } ^ { \mathrm { d e r i v } } } \end{array}
( P ) _ { , i ; j } = \partial _ { i } \partial _ { i } P = { \frac { 2 } { 3 } } g _ { i j } ( Z ^ { 2 } ) _ { \mathrm { c r } } \qquad \mathrm { a t } \qquad \partial _ { i } P = \partial _ { i } Z = 0 .
\begin{array} { r l } { \eta _ { I } ^ { \left[ 1 \right] } \left( \mu \right) } & { { } = \mathbb { E } _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \sim \mu } \left[ \delta _ { \lambda , 1 } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ 1 \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) \right] + \sum _ { \left( R , \alpha \right) } p _ { \left( R , \alpha \right) } ^ { \circ } \left( L \right) \eta _ { \widetilde { \alpha } \left( I \right) } ^ { \left[ L \right] } \left( \mu \right) ; } \\ { \eta _ { I } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) } & { { } = \mathbb { E } _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \sim \mu } \left[ \delta _ { \lambda , \beta } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) \right] } \\ { \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \eta _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mu \right) } & { { } = 0 \textrm { f o r s o m e } \beta \in \mathcal { L } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } } & { = \tilde { A } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k } + \tilde { H } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { K } \; \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { B } \; \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s } + \tilde { L } \; \mathbf { u } _ { i n } + \tilde { C } } \\ { \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } } & { = \tilde { A } _ { s } \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \tilde { K } _ { s } \; \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \tilde { B } _ { s } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { H } _ { s } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } } \\ { \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } } & { = \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \frac { \Delta t } { 2 } ( \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } + \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } ) . } \end{array} } \end{array} \right.
\log \Big [ \frac { p _ { \hat { \theta } + \hat { h } / \sqrt { n } } } { p _ { \hat { \theta } } } ( X ^ { n } ) \frac { \pi ( \hat { \theta } + \hat { h } / \sqrt { n } ) } { \pi ( \hat { \theta } ) } \Big ] + \hat { \omega } _ { s t } ^ { - 1 } \hat { h } _ { s } \hat { h } _ { t } / 2 - \log 2 \hat { w } ( \hat { h } ) = \hat { r } _ { n , 4 } ( \hat { h } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle q \rangle } { d t ^ { \prime } } } & { { } = } & { - \langle b _ { i j } \mu _ { j i } \rangle - \big ( c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \big ( 8 \langle q \rangle + 1 \big ) - c _ { 2 } c _ { 3 } \big ( 1 6 \langle q ^ { 2 } \rangle + 4 \langle q \rangle + 4 \big ) = - R \big ( \langle q \rangle - \overline { { q } } \big ) } \\ { \frac { d \langle r \rangle } { d t ^ { \prime } } } & { { } = } & { - \langle b _ { i k } b _ { k j } \mu _ { j i } \rangle - \big ( c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \bigg ( \frac { 2 7 } { 2 } \langle r \rangle \bigg ) - c _ { 2 } c _ { 3 } \big ( 6 \langle r \rangle + 3 0 \langle q r \rangle - 6 \langle b _ { i j } b _ { j k } b _ { i k } \rangle \big ) } \end{array}
{ \sqrt [ [object Object] ] { z } } = x + { \cfrac { 2 x \cdot y } { n ( 2 z - y ) - y - { \cfrac { ( 1 ^ { 2 } n ^ { 2 } - 1 ) y ^ { 2 } } { 3 n ( 2 z - y ) - { \cfrac { ( 2 ^ { 2 } n ^ { 2 } - 1 ) y ^ { 2 } } { 5 n ( 2 z - y ) - { \cfrac { ( 3 ^ { 2 } n ^ { 2 } - 1 ) y ^ { 2 } } { 7 n ( 2 z - y ) - \ddots } } } } } } } } .
T = \frac { T _ { 2 1 } T _ { 1 2 } e ^ { - i \omega _ { 2 } ^ { + } n _ { 2 } \ell } } { 1 - \Gamma _ { 2 1 2 } \Gamma _ { 2 1 2 } ^ { - } e ^ { - i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Gamma = \Gamma _ { 1 2 1 } \frac { 1 - e ^ { - i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } { 1 - \Gamma _ { 2 1 2 } \Gamma _ { 2 1 2 } ^ { - } e ^ { i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { F ^ { \mathrm { R S } } } & { = \sum _ { d } p _ { d } \left( \frac { d } { 2 } - 1 \right) \sum _ { c } p ( c ) \sum _ { x } \gamma ( x ) \prod _ { i = 1 } ^ { d } w ( s _ { i } ) \int \prod _ { l = 1 } ^ { d } \mathrm { d } \mathcal { P } ^ { \mathrm { R S } } ( \mu _ { l } ) \log Z _ { \Psi _ { i } } ( \mu _ { 1 } , \dots , \mu _ { d } ; x , c , s _ { 1 } , \dots , s _ { d } ) } \\ & { - \frac { d _ { \mathrm { a v } } } { 2 } \sum _ { d } r _ { d } \sum _ { x } \gamma ( x ) \sum _ { c } p _ { c } \sum _ { s _ { 1 } , \dots , s _ { d } } \prod _ { k = 1 } ^ { d } w ( s _ { k } ) \int \prod _ { k = 1 } ^ { d } \mathrm { d } \mathcal { P } ^ { \mathrm { R S } } ( \mu _ { k } ) \log z _ { \Psi _ { i } \to j } ( \mu _ { 1 } , \dots , \mu _ { d } ; x , c , s _ { 1 } , \dots , s _ { d } ) } \end{array} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \left[ L \left( \alpha ^ { A } , { \alpha ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) - L \left( \varphi ^ { A } , { \varphi ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) \right] } \\ { = } & { { \frac { \partial } { \partial x ^ { \sigma } } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } \right) { \bar { \delta } } \varphi ^ { A } + { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } { \bar { \delta } } { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } = { \frac { \partial } { \partial x ^ { \sigma } } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } { \bar { \delta } } \varphi ^ { A } \right) . } \end{array} }
\sigma _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \equiv ( \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } ) ^ { 2 } \left[ - 1 + \tau F _ { 2 } ( 1 + \xi _ { s } Z ( \xi _ { s } ) \right] \lvert \delta \phi _ { 1 } \rvert ^ { 2 } / \omega _ { 0 } ^ { 2 }
B ( x ) = \int { \frac { 1 } { e ^ { - 4 x } } } e ^ { - 2 x } \cosh x \, \mathrm { d } x = \int e ^ { 2 x } \cosh x \, \mathrm { d } x = { \frac { 1 } { 6 } } e ^ { x } ( 3 + e ^ { 2 x } ) + C _ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( \gamma + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } } { ( 1 - \gamma ) } \right) \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } n } { ( 1 - \gamma ) } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } n \sigma ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( \frac { 1 + \gamma } { 2 } \right) \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } n } { ( 1 - \gamma ) } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } n \sigma ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { d ( \textbf { f } _ { i } ) _ { j } } { d t } = - ( R _ { i } ) _ { j } ^ { n } = - \frac { 1 } { \Delta x } \left[ ( \textbf { h } _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } ^ { n } - ( \textbf { h } _ { i } ) _ { j - 1 / 2 } ^ { n } \right]
\begin{array} { r l } { H _ { f r e e } = } & { { } \omega _ { 1 } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \omega _ { 2 } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } a _ { 2 } + \omega _ { m } b ^ { \dagger } b , } \\ { H _ { i n t } = } & { { } g _ { 1 } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } a _ { 1 } ( b ^ { \dagger } + b ) + g _ { 2 } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } a _ { 2 } ( b ^ { \dagger } + b ) , } \\ { H _ { d r i v e } = } & { { } i \sqrt { \kappa _ { e x 1 } } \epsilon _ { l 1 } e ^ { - i \omega _ { l 1 } t } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } + i \sqrt { \kappa _ { e x 2 } } \epsilon _ { l 2 } e ^ { - i \omega _ { l 2 } t } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } + H . c . , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { A } ^ { \mu \nu } ( q , p ) } & { = } & { \frac { i } { M } \, \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \, q _ { \alpha } \mathtt { s } _ { \beta } \, S _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) + \frac { i } { M ^ { 3 } } \, \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \, q _ { \alpha } ( p \cdot q \ \mathtt { s } _ { \beta } - \mathtt { s } \cdot q \ p _ { \beta } ) \, S _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha \left| { \mathrm { T r } } [ W _ { \theta ( \gamma ) - \gamma } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) ] \right| } & { \leq \frac { \pi } { 2 c ^ { 2 } } \alpha _ { c } \| \theta ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } \leq \frac { \pi } { 2 ( 1 - L ) ^ { 2 } } \frac { \alpha _ { c } } { c ^ { 2 } } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } \leq C _ { \kappa , L } \frac { \alpha _ { c } } { c ^ { 2 } } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \frac { k _ { x } } { k _ { 0 } } \right) _ { m a x } = \mathrm { N A } _ { \mathrm { e f f } } = \mathrm { N A } _ { \mathrm { o b j } } \cdot n _ { \mathrm { S I L } } \approx 2 . 2 5 ,
\operatorname* { i n f } _ { \pi } W _ { 2 } ^ { 2 } ( \pi , \gamma ^ { n , t } ) \leq \mathcal { C } _ { n } \frac { \log ( n ) } { n } \sqrt { \frac { \log \log ( n ) } { \log ^ { 1 - \frac { 2 } { \eta } } ( n ) } } \quad \mathrm { w i t h ~ } \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \mathbb { E } [ \exp ( \frac { 1 } { C } \mathcal { C } _ { n } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ) ] \leq 2 ,
\begin{array} { r l } { \Delta E } & { { } = \frac { \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 1 } \right) } { \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 2 } \right) / E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 2 } } - \frac { \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 1 } \right) } { \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 1 } \right) / E _ { \mathrm { ~ k ~ } , 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 4 } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ) } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta _ { i } } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } } & { = \langle n _ { i } ( \tau ) n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \\ & { = \langle [ \tilde { \phi } _ { i } ( \tau _ { + } ) + 1 ] \phi _ { i } ( \tau ) [ \tilde { \phi } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) + 1 ] \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
( i i i ) \ \forall n \geq 1 , \quad \Delta S _ { n } < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad { \mathcal E } = ( { \mathcal E _ { n } } ) _ { n \geq 1 } \quad \mathrm { ~ i ~ s ~ c ~ o ~ n ~ t ~ r ~ a ~ c ~ t ~ i ~ n ~ g ~ s ~ p ~ a ~ c ~ e ~ - ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } .
\sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell + a } } \left( \begin{array} { c } { { - 1 / 2 } } \\ { { \ell } } \end{array} \right) = { \frac { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } ) \Gamma ( a ) } { \Gamma ( a + { \frac { 1 } { 2 } } ) } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \frac { 1 } { h ^ { p } } } ^ { T - 1 } | c o v ( Z _ { 1 } , Z _ { 1 } + t ) | \le } & { D \sum _ { t = \frac { 1 } { h } } ^ { \infty } \frac { e ^ { - 2 C t } } { h ^ { 2 p } } } \\ { \le } & { D \frac { e ^ { - 2 C \frac { 1 } { h ^ { p } } } } { h ^ { 2 p } } } \\ { \le } & { \widetilde { D } \frac { 1 } { h ^ { 2 p } } h ^ { p } = \widetilde { D } h ^ { p } } \end{array}
\omega _ { E } ( \vartheta ) = \frac { \omega _ { \mathrm { L } } S _ { 0 } } { 2 \pi } \frac { \delta \left( E - H _ { \mathrm { S } } ( \vartheta ) \right) } { \Theta ( \omega _ { \mathrm { L } } S _ { 0 } + E ) \Theta ( \omega _ { \mathrm { L } } S _ { 0 } - E ) }
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \biggr \{ \frac { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } } { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } } , \frac { \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | } { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } } \biggr \} \not \to \infty . } \end{array}
C _ { 1 } = - \frac { C _ { 2 } } { x _ { \mathrm { m a x } } } = \vert z _ { \mathrm { d e p t h } } \vert \frac { x _ { \mathrm { m i n } } } { \left( x _ { \mathrm { m a x } } - x _ { \mathrm { m i n } } \right) } = \vert z _ { \mathrm { d e p t h } } \vert \frac { R _ { \mathrm { i n } } } { \left( R _ { \mathrm { o u t } } - R _ { \mathrm { i n } } \right) }
U _ { 3 } ^ { \mathrm { Y } } ( \infty ) = U _ { 3 } ^ { \mathrm { Y } } ( X ) + \frac { U _ { 3 } ^ { \mathrm { Y } } ( X ) - U _ { 3 } ^ { \mathrm { Y } } ( X - 1 ) } { \left( 1 - 1 / X \right) ^ { - n ^ { \mathrm { Y } } } - 1 } .
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \int _ { \theta _ { i } ^ { r - 1 } } ^ { \theta _ { i } ^ { k } } p ( \theta _ { i } , \theta _ { - i } ) } { \int _ { \theta _ { i } ^ { r - 1 } } ^ { \theta _ { i } ^ { k } } p _ { i } ( \theta _ { i } ) d \theta _ { i } } = \frac { p ( \theta _ { i } ^ { k } , \theta _ { - i } ) } { p _ { i } ( \theta _ { i } ^ { k } ) } = p _ { i } ( \theta _ { - i } | \theta _ { i } ^ { k } ) .
\begin{array} { r l } { x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) n _ { v } x _ { j } ( \tilde { c } ) n _ { j } ^ { - 1 } b ^ { \prime } } & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) n _ { v } x _ { j } ( \tilde { c } ) n _ { v } ^ { - 1 } n _ { v } n _ { j } ^ { - 1 } b ^ { \prime } } \\ & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) x _ { v \alpha _ { j } } ( \pm \tilde { c } ) n _ { v } n _ { j } ^ { - 1 } b ^ { \prime } } \\ & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) x _ { v \alpha _ { j } } ( \pm \tilde { c } ) n _ { v s _ { j } } b ^ { \prime } . } \end{array}
{ \mathrm { g a i n - d b } } = 1 0 \log { \frac { \frac { V _ { \mathrm { o u t } } ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { o u t } } } } { \frac { V _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { i n } } } } } ~ \mathrm { d B } .
\begin{array} { r } { L _ { \mu } ( x , \omega ) = S _ { \mu \mu } ^ { - 1 / 2 } \sqrt { \frac { 2 \epsilon _ { I } ( x , \omega ) } { \pi \omega _ { \mu } } } A _ { \mu } ( \omega ) \tilde { f } _ { \mu } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { t } = \Psi ( \Lambda ( \mathbf { u } _ { t } ) ) } & { { } \rightarrow \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ } } ( \mathbf { u } ) = \| \mathbf { u } _ { t } - \Psi ( \Lambda ( \mathbf { u } _ { t } ) ) \| ^ { 2 } } \\ { \theta _ { t } = \Lambda ( \Psi ( \theta _ { t } ) ) } & { { } \rightarrow \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ i ~ s ~ t ~ e ~ n ~ c ~ y ~ } } ( \theta ) = \| \theta _ { t } - \Lambda ( \Psi ( \theta _ { t } ) ) \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t } } & { = x + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \sigma _ { l } ^ { 0 } ( X _ { s } , Y _ { s } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } + \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( b ^ { 0 } ( X _ { s } , Y _ { s } ) + \beta ( X _ { s } , Y _ { s } ) \frac { \Sigma ^ { 0 0 } ( X _ { s } , Y _ { s } ) } { d ( X _ { s } ) } \Big ) \, \mathrm { d } s , } \\ { Y _ { t } ^ { i } } & { = y ^ { i } + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \sigma _ { l } ^ { i } ( X _ { s } , Y _ { s } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } + \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( b ^ { i } ( X _ { s } , Y _ { s } ) + \beta ( X _ { s } , Y _ { s } ) \theta ^ { i } ( X _ { s } , Y _ { s } ) \frac { \Sigma ^ { 0 0 } ( X _ { s } , Y _ { s } ) } { d ( X _ { s } ) } \Big ) \, \mathrm { d } s , } \\ & { \quad i = 1 , \dots , n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { g } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + \mathcal { V } ^ { - 1 } [ \hat { V } _ { b } ( \hat { t } ) - \mathcal { S } ^ { 2 } - \hat { t } ] } \left[ \mathcal { P } + \textrm { C a } ^ { - 1 } \left( \frac { \pi } { 4 \mathcal { S } } + 2 \alpha \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { u , i } } & { = } & { \partial _ { j } ( f \mathcal { C } _ { i j } ) , } \\ { F _ { u , i } ( { \bf k } ) } & { = } & { \sum _ { \bf p } \left[ i k _ { j } f ( { \bf q } ) \mathcal { C } _ { i j } ( { \bf p } ) \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) } & { = } & { \Re [ F _ { u , i } ( { \bf k } ) u _ { i } ^ { * } ( { \bf k } ) ] = - c _ { 1 } \sum _ { \bf p } \Im \left[ k _ { j } f ( { \bf q } ) \mathcal { C } _ { i j } ( { \bf p } ) u _ { i } ^ { * } ( { \bf k } ) \right] , } \end{array}