harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { P ( \ell \mid \theta , \textbf { L } _ { \mathrm { o b s } } , \boldsymbol \theta _ { \mathrm { o b s } } ) } & { \sim \mathcal { G P } ( \ell ; m _ { \mathrm { h y p e r } } ( \theta ) , C _ { \mathrm { h y p e r } } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) ) , } \\ { \textbf { w } _ { \mathrm { B Q } } ^ { \prime } } & { : = \int K _ { \mathrm { h y p e r } } ( \theta , \boldsymbol \theta _ { \mathrm { o b s } } ) K _ { \mathrm { h y p e r } } ( \boldsymbol \theta _ { \mathrm { o b s } } , \boldsymbol \theta _ { \mathrm { o b s } } ) ^ { - 1 } \mathrm { d } \Pi ^ { \prime } ( \theta ) , } \\ { \textbf { L } _ { \mathrm { o b s } } } & { : = L ( \boldsymbol \theta _ { \mathrm { o b s } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { i \partial _ { t } \psi - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } \psi + \left( \frac { i } { 2 } + V \right) \psi + ( 1 - i \alpha ) W _ { 0 } \psi = ( i \alpha - 1 ) W _ { r } \psi . } \end{array}
{ \hat { T } } _ { \mathrm { C M } } [ \rho _ { \mathrm { C M } } ( t ) ] = \left( { \frac { 1 } { \pi r _ { C } ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \int _ { \infty } ^ { \infty } d ^ { 3 } x \, e ^ { - { \frac { ( { \hat { Q } } - x ) ^ { 2 } } { 2 r _ { C } ^ { 2 } } } } \, \rho _ { \mathrm { C M } } ( t ) \, e ^ { - { \frac { ( { \hat { Q } } - x ) ^ { 2 } } { 2 r _ { C } ^ { 2 } } } }
\langle S _ { T } M _ { S _ { T } } | S ^ { \prime } M _ { S } ^ { \prime } \rangle | S _ { a } M _ { S _ { a } } ^ { \prime } \rangle = \langle S M _ { S } ^ { \prime } , S _ { a } M _ { S _ { a } } ^ { \prime } | S _ { T } M _ { S _ { T } } \rangle
\begin{array} { r l } { D _ { \omega } } & { : x \mapsto \sigma \left( \mathbf { w } _ { k } ^ { \mathsf { T } } r _ { k - 1 } ( \mathbf { W } _ { d - 1 } r _ { k - 2 } ( \dots r _ { 1 } ( \mathbf { W } _ { 1 } ( x ) ) ) \right) \, } \\ { G _ { \theta } } & { : z \mapsto \mathbf { V } _ { l } s _ { l - 1 } ( \mathbf { V } _ { l - 1 } s _ { l - 2 } ( \dots s _ { 1 } ( \mathbf { V } _ { 1 } z ) ) ) , } \end{array}
q ^ { \prime } = \frac { p \, q \, \mathrm { s g n } ( q ) } { \sqrt { p ^ { 2 } + \frac { g } { q ^ { 2 } } } } , \qquad p ^ { \prime } = \mathrm { s g n } ( q ) \sqrt { p ^ { 2 } + \frac { g } { q ^ { 2 } } } ,
\int _ { D ^ { 2 } } t r \int _ { S ^ { 2 } } t r \{ \delta a D _ { a } ( \delta g g ^ { - 1 } ) + D _ { a } ( \delta g g ^ { - 1 } ) \delta a - D _ { a } ( \delta g g ^ { - 1 } ) D _ { a } ( \delta g g ^ { - 1 } ) \} = 0 ,
\begin{array} { r l r } & { ~ } & { I ( X ; Y ) } \\ & { = } & { H ( Y ) - H ( Y \vert X ) } \\ & { = } & { H ( Y ) - \sum _ { x } p ( x ) H ( Y \vert X = x ) } \\ & { = } & { H ( Y ) \! - \! \left\{ \! \sum _ { x \in \mathcal { W } _ { G } } \! \! p ( x ) H ( Y \vert X \! = \! x ) + \! \! \sum _ { x \notin \mathcal { W } _ { G } } p ( x ) H ( Y \vert X \! = \! x ) \! \! \right\} } \\ & { = } & { H ( Y ) \! - \! \left\{ \! \sum _ { x \in \mathcal { W } _ { G } } \! \! p ( x ) f _ { W } + \! \! \sum _ { x \notin \mathcal { W } _ { G } } p ( x ) f _ { L } \! \! \right\} } \\ & { = } & { H ( Y ) - \left\{ f _ { W } ~ \omega + f _ { L } ~ ( 1 - \omega ) \right\} } \\ & { = } & { H ( Y ) - f _ { L } ~ + ~ \omega ~ ( f _ { L } - f _ { W } ) . } \end{array}
n _ { s } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \dots , \mathbf { r } _ { s } ) = { \frac { N ! } { ( N - s ) ! } } { \big \langle } \delta ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } ) \dots \delta ( \mathbf { r } _ { s } - \mathbf { r } _ { s } ^ { \prime } ) { \big \rangle } .
\begin{array} { r l } { ( Q _ { \mathcal { E } } \otimes \mathrm { i d } + \mathrm { i d } \otimes \mathrm { d } _ { { d R } } ) ( v \otimes \alpha d t ) } & { = Q _ { \mathcal { E } } ( v ) \otimes \alpha d t + v \otimes \underbrace { \mathrm { d } _ { d R } ( \alpha d t ) } _ { = 0 } } \\ & { = Q _ { \mathcal { E } } ( v ) \otimes \alpha d t . } \end{array}
( \sigma \partial _ { \sigma } ) ^ { m } \widetilde { R } _ { 0 0 } , ( \sigma \partial _ { \sigma } ) ^ { m } \widetilde { R } _ { 0 1 } , ( \sigma \partial _ { \sigma } ) ^ { m } \widetilde { R } _ { 0 2 } , ( \sigma \partial _ { \sigma } ) ^ { m } \widetilde { R } _ { 1 0 } , ( \sigma \partial _ { \sigma } ) ^ { m } \widetilde { R } _ { 1 2 } , ( \sigma \partial _ { \sigma } ) ^ { m } \widetilde { R } _ { 2 0 }
\sqrt { \langle \rho ^ { 2 } \rangle } \sim \sqrt { N _ { 4 } g _ { s } l _ { s } } \sqrt { l _ { s } ^ { 2 } / r _ { \perp 0 } } = ( g _ { s } N _ { 4 } ) ^ { 1 / 3 } l _ { s } \sqrt { \frac { ( g _ { s } N _ { 4 } ) ^ { 1 / 3 } l _ { s } } { r _ { \perp 0 } } } .
\mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { ~ D ~ B ~ } } N _ { \mathrm { ~ D ~ B ~ } } \mathrm { ~ M ~ S ~ D ~ } _ { \mathrm { ~ D ~ B ~ } } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \tilde { \sigma } _ { \mathrm { ~ D ~ B ~ } } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { X _ { t } = } & { e ^ { - t _ { 1 } \theta _ { 1 } } \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { t _ { 1 } } e ^ { j _ { 1 } \theta _ { 1 } } Q _ { j _ { 1 } , t _ { 2 } , \dots , t _ { N } } ^ { ( 2 ) } } \\ { = } & { e ^ { - t _ { 1 } \theta _ { 1 } } \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { t _ { 1 } } e ^ { j _ { 1 } \theta _ { 1 } } e ^ { - \sum _ { l = 0 } ^ { N - 2 } t _ { N - l } \theta _ { N - l } } \sum _ { j _ { 2 } = - \infty } ^ { t _ { 2 } } \dots \sum _ { j _ { N } = - \infty } ^ { t _ { N } } e ^ { \sum _ { l = 0 } ^ { N - 2 } j _ { N - l } \theta _ { N - l } } Z _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , \dots , j _ { N } } } \\ { = } & { e ^ { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } t _ { l } \theta _ { l } } \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { t _ { 1 } } \dots \sum _ { j _ { N } = - \infty } ^ { t _ { N } } e ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } Z _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , \dots , j _ { N } } } \\ { = } & { e ^ { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } t _ { l } \theta _ { l } } \sum _ { j _ { 1 } = - \infty } ^ { t _ { 1 } } \dots \sum _ { j _ { N } = - \infty } ^ { t _ { N } } e ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \Delta _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , \dots , j _ { N } } G , } \end{array}
\sum _ { 0 \le N < q _ { K } } e ^ { p S _ { N } ( \alpha ) } = \left( 1 + O \left( a _ { k + 1 } ^ { - 4 8 \operatorname* { m a x } \{ | p | , 1 \} } \right) \right) \sum _ { \substack { 0 \le N < q _ { K } \, | b _ { k } ( N ) - a _ { k + 1 } / 2 | \le \operatorname* { m a x } \{ 1 0 , 1 0 / \sqrt { | p | } \} \sqrt { a _ { k + 1 } \log a _ { k + 1 } } } } e ^ { p S _ { N } ( \alpha ) } .
\begin{array} { r } { \alpha _ { S } ^ { M 1 } ( \omega ) = \frac { 2 } { 3 ( 2 J _ { 0 } + 1 ) } \sum _ { n \pm } \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle n _ { 0 } J _ { 0 } \| T _ { M 1 } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\rho ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ^ { \prime } ) = \psi _ { \eta } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \psi _ { \eta } ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { w _ { \xi } ^ { t } = \left( 1 - d _ { \chi } ^ { m , \mu \nu } \cdot \left| u _ { \xi } ^ { \tau } \right| \cdot P _ { \xi } ^ { \tau } \cdot s _ { \xi } ^ { \tau } \right) w _ { \xi } ^ { t - 1 } - u _ { \xi } ^ { \tau } \cdot P _ { \xi } ^ { \tau } \cdot s _ { \xi } ^ { \tau } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | v ( x ) | , | \nabla v ( x ) | } & { \leq C _ { a } \left( 1 + L ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } W _ { A } \left( x _ { 1 } \right) , \quad x \in \Gamma _ { a } , } \\ { | u ^ { s } ( x ) - v ( x ) | , | \nabla u ^ { s } ( x ) - \nabla v ( x ) | } & { \leq C _ { a } \left( 1 + L ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( W _ { \infty } \left( x _ { 1 } \right) - W _ { A } \left( x _ { 1 } \right) \right) , \quad x \in \Gamma _ { a } , } \end{array}
g _ { \lambda \nu , \mu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \lambda \mu , \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } - g _ { \mu \nu , \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } + 2 g _ { \lambda \mu } { \ddot { x } } ^ { \mu } = { \frac { { \dot { x } } _ { \lambda } { \frac { d } { d \tau } } ( g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } ) } { g _ { \alpha \beta } { \dot { x } } ^ { \alpha } { \dot { x } } ^ { \beta } } } \qquad \qquad ( 7 )
\displaystyle \frac { 1 } { W H } \int _ { 0 } ^ { H } \int _ { 0 } ^ { W } u _ { 1 } ^ { \star } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \, d x _ { 2 } \, d x _ { 3 } = u _ { b } \, .
A = \left[ \begin{array} { l l l } { 5 . 4 8 5 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 5 . 4 8 5 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 5 . 7 7 5 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { a ^ { \mathcal { E } } ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) } & { = j \omega \mu \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } d S - \frac { j } { \epsilon \omega } \int _ { S } \nabla \cdot \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \int _ { S ^ { \prime } } \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } d S , } \\ { b ^ { \mathcal { E } } ( \mathbf { u } , \mathbf { v } ) } & { = \int _ { S } \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) \cdot \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) d S . } \end{array}
\rho _ { 1 } = \delta _ { 1 } \ \frac { ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \langle \mathcal { J } e _ { 1 } , e _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } } + \langle e _ { 1 } , \mathcal { J } e _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } } = \left[ \left[ \begin{array} { l } { e _ { 1 } ^ { \top } ( z ) , \ldots , \frac { d ^ { N - 1 } e _ { 1 } ^ { \top } } { d z ^ { N - 1 } } ( z ) } \end{array} \right] \mathcal { P } \left[ \begin{array} { l } { e _ { 2 } ( z ) } \\ { \vdots } \\ { \frac { d ^ { N - 1 } e _ { 2 } } { d z ^ { N - 1 } } ( z ) } \end{array} \right] \right] _ { a } ^ { b } , } \end{array}
[ S ] ^ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \Omega } & { - \Omega { \textbf { d } } + { \textbf { V } } _ { O } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } ^ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \Omega ^ { 2 } } & { - \Omega ^ { 2 } { \textbf { d } } + \Omega { \textbf { V } } _ { O } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } .
( a ; q ) _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { ( 1 - a ) ( 1 - a q ) ( 1 - a q ^ { 2 } ) \cdots ( 1 - a q ^ { n - 1 } ) } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { n \ge 1 , } } \\ { { 1 } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { n = 0 , } } \end{array} \right.
a ^ { * } = \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { M _ { \mathrm { B H } } ^ { 0 } } { M _ { \mathrm { 2 } } } \left\{ 4 - \left[ 1 8 \left( \frac { M _ { \mathrm { B H } } ^ { 0 } } { M _ { \mathrm { 2 } } } \right) ^ { 2 } - 2 \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { k + 1 } } & { = \tilde { W } \left[ \mathbf { x } _ { k } + \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) \right] - \tilde { W } \eta \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) + \tilde { W } \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } - ( I - \tilde { W } ) E _ { k } } \\ & { \quad - \tilde { W } \left[ \tilde { V } \mathbf { s } _ { k } + \eta \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) \right] + \tilde { W } \eta \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) } \\ & { = \tilde { W } \left[ \mathbf { x } _ { k } + \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) \right] + \tilde { W } \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } - ( I - \tilde { W } ) E _ { k } - \tilde { W } \hat { \mathbf { r } } _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \beta D _ { x } ^ { 4 } - \gamma D _ { y } ^ { 2 } + D _ { t } D _ { x } ) \xi \cdot \xi = \xi ( \beta \xi _ { x x x x } - \gamma \xi _ { y y } + \xi _ { x t } ) } \\ & { } & { + 3 \beta \xi _ { x x } ^ { 2 } - 4 \beta \xi _ { x } \xi _ { x x x } + \gamma \xi _ { y } ^ { 2 } - \xi _ { t } \xi _ { x } = 0 , } \end{array}
\int m ^ { 4 } d ^ { 3 } x \int _ { \epsilon } ^ { \mu ^ { - 2 } } t d t \int \frac { d p _ { 0 } } { 2 \pi } e ^ { - p _ { 0 } ^ { 2 } t } \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } e ^ { - p ^ { 2 } t } \, ,
\zeta = I \{ { G _ { \mathrm { { S } } } , Q _ { u u } } \} - I \{ { G _ { \mathrm { { S } } } , Q _ { b b } } \} + I \{ { G _ { \mathrm { { A } } } , Q _ { u b } } \} - I \{ { G _ { \mathrm { { A } } } , Q _ { b u } } \} ,
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { \psi ( m ) \equiv \frac { \delta F _ { W } ( m ) } { N } = e ( m ) - T s ( m ) = 2 \, T _ { p } g ( m ) \tau D ^ { 2 } + \frac { 4 } { 9 } T _ { p } ( 1 + \tau ) \big ( 3 g ( m ) - f ( m ) \big ) D ^ { 4 } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha ( t ) = \sqrt { F } \exp ( - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t + \mathrm { i } \theta ) , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \alpha _ { \mathrm { L O } } ( t ) = \sqrt { F _ { \mathrm { L O } } } \exp ( - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t + \mathrm { i } \theta _ { \mathrm { L O } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } } & { = - a _ { - } ^ { \varepsilon } p _ { - } ^ { \varepsilon } + a _ { + } ^ { \varepsilon } p _ { + } ^ { \varepsilon } \Big ( 1 - 2 \varepsilon \beta ( y ) \Big ) + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 - \delta } ) } \\ & { = - ( 1 - p _ { + } ^ { \varepsilon } ) \Big ( d \varepsilon - \frac { d ^ { \prime } \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 3 } ) \Big ) + p _ { + } ^ { \varepsilon } \Big ( d \varepsilon + \frac { d ^ { \prime } \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 3 } ) \Big ) \Big ( 1 - 2 \varepsilon \beta ( y ) \Big ) + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 - \delta } ) } \\ & { = 2 p _ { + } d \varepsilon - d \varepsilon + \frac { d ^ { \prime } \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 - \delta } ) . } \end{array}
\ensuremath { \mu } _ { i ( v ^ { \prime } J ^ { \prime } ) - X ( v ^ { \prime \prime } J ^ { \prime \prime } ) } = \ensuremath { \mu } _ { i - X } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \chi } _ { i ( v ^ { \prime } J ^ { \prime } ) } ( R ) \ensuremath { \chi } _ { X ( v ^ { \prime \prime } J ^ { \prime \prime } ) } ( R ) \, d R ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { | \psi _ { 0 } | ^ { 2 } } \\ { | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) = C ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { | \phi _ { 0 } | ^ { 2 } } \\ { | \phi _ { 1 } | ^ { 2 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \boldsymbol { \mu } } _ { n } = ( \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ) ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } + \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) ,
2 i { \hbar } \frac { \partial } { \partial x _ { - } } { \eta } _ { 3 } + \frac { 1 } { c } ( \tilde { \phi } + E ) { \eta } _ { 3 } = m _ { 1 } c { \eta } _ { 1 } + m _ { 2 } c { \eta } _ { 4 } .
\hat { H } _ { \mathrm { i n t e r } } ( R , \omega ; \bar { r } ) \equiv \hat { K } _ { F } ( R ) + V ^ { \prime } ( R ) + \hat { K } _ { M } ( R , \omega ) + \hat { K } _ { F M } ( R , \omega ) + \hat { K } _ { M , r o t } ( \omega ; \bar { r } ) + V _ { \mathrm { i n t e r } } ( R , \omega ; \bar { r } )
\begin{array} { r l } { | \zeta ( s ) | } & { \le \frac { 1 } { | s - 1 | } \left( 0 . 6 1 8 | Q _ { 0 } + s | ^ { 7 / 6 } \log | Q _ { 0 } + s | \right) ^ { 2 - 2 \sigma } \left( | Q _ { 0 } + s | \log | Q _ { 0 } + s | \right) ^ { 2 \sigma - 1 } } \\ & { = \frac { 0 . 6 1 8 ^ { 2 - 2 \sigma } } { | s - 1 | } | Q _ { 0 } + s | ^ { ( 4 - \sigma ) / 3 } \log | Q _ { 0 } + s | , \qquad 1 / 2 \le \Re s \le 1 , } \end{array}
{ \frac { i } { k _ { 0 } m _ { D } ^ { 2 } } } [ \Pi ^ { \rho \sigma } ( K _ { R } ) - \Pi ^ { \rho \sigma } ( K _ { A } ) ] = \int { \frac { d \Omega _ { \mathbf { v } _ { 1 } } } { 4 \pi } } \ v _ { 1 } ^ { \rho } \ v _ { 1 } ^ { \sigma } \ 2 \pi \delta ( v _ { 1 } . K )
\begin{array} { r l } { U ^ { ^ { \prime } } ( x , y ) } & { { } = U ( x + x _ { 0 } , y + y _ { 0 } ) e ^ { i \delta } + U ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) e ^ { - i \delta } + U ( x + x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { m } , \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \ { \frac { 3 ( \mathbf { m } \cdot { \hat { \mathbf { r } } } ) { \hat { \mathbf { r } } } - \mathbf { m } } { r ^ { 3 } } }
\begin{array} { r } { \delta \rho ( \mathbf r ) = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N / 2 } \psi _ { i } ( \mathbf r ) ( \delta \psi _ { i } ^ { + } ( \mathbf r ) + \delta \psi _ { i } ^ { - } ( \mathbf r ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { 0 } \simeq } & { { } \omega \left[ l _ { 1 } + j _ { 1 } + l _ { 2 } + j _ { 2 } - 3 \pm \mathrm { i } \left( l _ { 2 } + j _ { 2 } - l _ { 1 } - j _ { 1 } \right) \right] \, . } \end{array}
{ \mathrm { i n t e n s i t y } } _ { 1 } \times { \mathrm { d i s t a n c e } } _ { 1 } ^ { 2 } = { \mathrm { i n t e n s i t y } } _ { 2 } \times { \mathrm { d i s t a n c e } } _ { 2 } ^ { 2 }
C _ { 0 } = \frac { 1 } { f _ { 1 } } \{ B _ { 0 } ( 2 , 3 ) - B _ { 0 } ( 1 , 3 ) \} = \frac { 1 } { f _ { 2 } } \{ B _ { 0 } ( 1 , 3 ) - B _ { 0 } ( 1 , 2 ) \}
\mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } _ { t } + 2 ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } + \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } .
\begin{array} { r l r } { { \cal { R } } _ { i j } ( { \bf { k } } ) } & { { } = } & { \frac { \langle { u _ { i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) u _ { j } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ^ { \prime } ; \tau ) } \rangle } { \delta ( { \bf { k } } + { \bf { k } } ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p } & { { } \equiv 1 , 9 { \bmod { 2 0 } } \quad \Longrightarrow \quad p = x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } } \\ { p , q } & { { } \equiv 3 , 7 { \bmod { 2 0 } } \quad \Longrightarrow \quad p q = x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } } \end{array}
{ \cal L } _ { d } = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { p } } w _ { n } \cdot { \cal L } _ { d } ^ { ( n ) } = { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { I S I } } ^ { \mathrm { ( t o t ) } } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { p } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { I S I } } ^ { \mathrm { ( t o t ) } } } \cos ( \psi _ { j } ^ { ( n ) } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { i e } } { \rho _ { p } ^ { 2 } } } & { { } \approx } & { - \sum _ { l = D , T , p , B , \alpha } \frac { n _ { l } } { m _ { p } ^ { 2 } \, n _ { p } ^ { 2 } \, t _ { l e } ^ { e q } } \, \left( k T _ { i } - k T _ { e } \right) \, , } \end{array}
\sigma ^ { 0 k } \equiv i \alpha ^ { k } = i \, \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma ^ { k } } } \\ { { \sigma ^ { k } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; ; \; \sigma ^ { i j } = \epsilon _ { i j k } \, \left( \begin{array} { c c } { { \sigma ^ { k } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sigma ^ { k } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { B _ { \mu } - B _ { \mu - 1 } } \\ & { = } & { - 2 p ^ { \mu } + \mu p ^ { \mu - 1 } ( p - 1 ) ( 2 + ( p - 1 ) ( 2 \nu + 1 - \mu ) ) } \\ & { } & { + 2 p ^ { \mu - 1 } - ( \mu - 1 ) p ^ { \mu - 1 } ( p - 1 ) ( 2 + ( p - 1 ) ( 2 \nu + 1 - ( \mu - 1 ) ) ) } \\ & { = } & { p ^ { \mu - 1 } ( p - 1 ) [ - 2 + \mu ( 2 + ( p - 1 ) ( 2 \nu + 1 - \mu ) ) - ( \mu - 1 ) ( 2 + ( p - 1 ) ( 2 \nu + 2 - \mu ) ) ] } \\ & { = } & { p ^ { \mu - 1 } ( p - 1 ) [ - 2 + 2 \mu - 2 ( \mu - 1 ) + \mu ( p - 1 ) ( 2 \nu + 1 - \mu ) - ( \mu - 1 ) ( p - 1 ) ( 2 \nu + 2 - \mu ) ] } \\ & { = } & { p ^ { \mu - 1 } ( p - 1 ) [ \mu ( p - 1 ) ( 2 \nu + 1 - \mu ) - \mu ( p - 1 ) ( 2 \nu + 2 - \mu ) + ( p - 1 ) ( 2 \nu + 2 - \mu ) ] } \\ & { = } & { 2 p ^ { \mu - 1 } ( p - 1 ) ^ { 2 } ( \nu + 1 - \mu ) > 0 , } \end{array}
\Delta u _ { i } ( j ) = U _ { i } ( S _ { i } ^ { * } ; { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } ) - U _ { i } ( S _ { i } ^ { * } / { j } ; { \mathbf { E } } , { \mathbf { b } } , { \mathbf { c } } ) , ~ ~ { \mathrm { i f } } ~ ~ j \in S _ { i } ^ { * } ,
D ( n \omega _ { o } ) = \sqrt { 1 + 2 ( n \omega _ { o } ) ^ { \alpha } R _ { s } C _ { \alpha } \cos \left( \frac { \alpha \pi } { 2 } \right) + ( n \omega _ { o } ) ^ { 2 \alpha } R _ { s } ^ { 2 } C _ { \alpha } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } ) } & { = \sum _ { ( i , j , k ) \in \Sigma ( 3 ) } 2 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( j ) } + \zeta ^ { ( k ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } \beta _ { 2 } ^ { 2 } - \beta _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle w , \omega \times m \right\rangle } & { { } } \\ { \qquad - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g z + c _ { p } \theta \Pi \right\rangle - \left\langle w , \frac { 1 } { D } s \nabla \theta \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } + \nabla \cdot m \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 3 } , } \\ { \left\langle \gamma , \theta _ { t } \right\rangle + \left\langle \gamma \frac { 1 } { D } \alpha \nabla \theta , m \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle r , m - u D \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall r \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle v , \omega \right\rangle - \left\langle \nabla \times v , u \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall v \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \alpha , s - c _ { p } D \Pi \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \Pi ^ { \frac { 1 - \kappa } { \kappa } } } & { { } = \frac { R } { p _ { 0 } } D \theta . } \end{array}
( 1 - \gamma ^ { 1 } ) k _ { n } ( 0 , x ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { 1 } } \end{array} \right) k _ { n } ( 0 , x ^ { \prime } ) = 0 .
\begin{array} { r } { u ( x , y , 0 ) = u _ { 0 } ( x , y ) , \; \; v ( x , y , 0 ) = v _ { 0 } ( x , y ) , \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; h ( x , y , 0 ) = h _ { 0 } ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { x } } & { { } \approx \frac { h _ { i + 1 , j } - h _ { i - 1 , j } } { 2 \Delta x } , } \\ { h _ { y } } & { { } \approx \frac { h _ { i , j + 1 } - h _ { i , j - 1 } } { 2 \Delta y } j , } \\ { h _ { x x } } & { { } \approx \frac { h _ { i + 1 , j } - 2 h _ { i , j } + h _ { i - 1 , j } } { \Delta x ^ { 2 } } , } \\ { h _ { y y } } & { { } \approx \frac { h _ { i , j + 1 } - 2 h _ { i , j } + h _ { i , j - 1 } } { \Delta y ^ { 2 } } , } \\ { h _ { x y } } & { { } \approx \frac { h _ { i + 1 , j + 1 } - h _ { i - 1 , j + 1 } - h _ { i + 1 , j - 1 } + h _ { i - 1 , j - 1 } } { 2 \Delta x \, 2 \Delta y } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Pi _ { u } ( K ) } & { { } = } & { \Pi _ { u > } ^ { u < } ( K ) , } \\ { \Pi _ { B } ( K ) } & { { } = } & { \Pi _ { b < } ^ { u < } ( K ) + \Pi _ { b > } ^ { u < } ( K ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - { \frac { i } { 4 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Bigg [ \; \int _ { \partial H _ { j } } e ^ { \varphi } \left( { \frac { \partial \gamma _ { j } } { \partial \xi _ { i } } } d \overline { { \gamma _ { j } } } - { \frac { \partial \overline { { \gamma _ { j } } } } { \partial \xi _ { i } } } d \gamma _ { j } \right) \Bigg ] = - { \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } c _ { i } } { 2 \delta _ { i } } } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { j } ^ { 2 } } { r _ { j } [ H _ { j } ] } } { \frac { \partial r _ { j } [ H _ { j } ] } { \partial \xi _ { i } } } \, . } \end{array}