harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \int _ { M } \int _ { M } u w _ { 1 } w _ { 2 } \phi _ { x } ^ { r } \phi _ { y } ^ { r } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) } \\ { = } & { \int _ { M } \int _ { M } ( \partial _ { t } - \Delta _ { x } - \Delta _ { y } ) ( u \phi _ { x } ^ { r } \phi _ { y } ^ { r } ) w _ { 1 } w _ { 2 } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) } \\ { = } & { \int _ { M } \int _ { M } \left( - H _ { n } \phi _ { x } ^ { r } \phi _ { y } ^ { r } - u ( \Delta _ { x } \phi _ { x } ^ { r } \phi _ { y } ^ { r } + \Delta _ { y } \phi _ { y } ^ { r } \phi _ { x } ^ { r } ) \right) w _ { 1 } w _ { 2 } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) } \\ & { + 2 \int _ { M } \int _ { M } ( \Delta _ { x } \phi _ { x } ^ { r } + \langle \nabla \phi _ { x } ^ { r } , \nabla w _ { 1 } \rangle ) u \phi _ { y } ^ { r } w _ { 2 } + ( \Delta _ { y } \phi _ { y } ^ { r } + \langle \nabla \phi _ { y } ^ { r } , \nabla w _ { 2 } \rangle ) u \phi _ { y } ^ { r } w _ { 1 } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) . } \end{array}
\ddot { \vec { k } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \dot { \vec { k } } = - \left( \begin{array} { r } { \ddot { a } / a ^ { 2 } } \\ { \ddot { b } / b ^ { 2 } } \\ { \ddot { c } / c ^ { 2 } } \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array} { r } { { \dot { a } } ^ { 2 } / a ^ { 3 } } \\ { { \dot { b } } ^ { 2 } / b ^ { 3 } } \\ { { \dot { c } } ^ { 2 } / c ^ { 3 } } \end{array} \right) \enspace \enspace \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \enspace \enspace \ddot { \vec { n } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \dot { \vec { n } } = \left( \begin{array} { r } { \ddot { a } } \\ { \ddot { b } } \\ { \ddot { c } } \end{array} \right) .
1 = { \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + \dots + { \frac { 1 } { 3 ^ { n - 2 } } } + { \frac { 1 } { { \frac { 2 } { 3 } } \cdot 3 ^ { n - 1 } } }
\begin{array} { r l } { \exp \tilde { \mathbf { x } } } & { = \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } ^ { - T } \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } } \\ & { = \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } ^ { - T } } \\ & { = \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \, \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } } \\ & { = \mathbf { I } + \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } \tilde { \mathbf { x } } \, . } \end{array}
V ( T ) = \exp \Biggl \{ \int _ { 0 } ^ { T } d t \rho ^ { \mu } ( t ) \gamma _ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \left[ \rho _ { \mu } ( t _ { 1 } ) \gamma ^ { \mu } , \rho _ { \nu } ( t _ { 2 } ) \gamma ^ { \nu } \right] + \ldots \Biggr \} .
\cos \theta ^ { * } = { \frac { | p _ { z } ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) | } { p _ { z } ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) } } ~ { \frac { 2 } { m ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) \sqrt { m ^ { 2 } ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) + p _ { T } ^ { 2 } ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) } } } \left[ p ^ { + } ( \ell ^ { - } ) p ^ { - } ( \ell ^ { + } ) - p ^ { - } ( \ell ^ { - } ) p ^ { + } ( \ell ^ { + } ) \right] .
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } y ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { s \, \searrow \, 0 } \left( s \times { \frac { k _ { C L } } { \tau _ { C L } s + 1 } } \times { \frac { \Delta R } { s } } \right) = k _ { C L } \times \Delta R = y ( t ) | _ { t = \infty }
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \mathcal { O } \hat { r } } & { { } = } & { \hat { r } \left[ \mathcal { M } _ { \bf u } \hat { r } \hat { r } \mathcal { U } ( \tau _ { c } ) + \mathcal { M } _ { \bf d } \hat { r } \hat { r } \mathcal { U } ( 0 ) \right] \hat { r } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \rho _ { i } ^ { n + 1 } = \rho _ { i } ^ { * } - \Delta t c \mathcal { F } _ { i } ^ { w } + \Delta t \frac { c \sigma _ { i } ^ { n + 1 } } { \varepsilon ^ { 2 } } ( \phi _ { i } ^ { n + 1 } - \rho _ { i } ^ { n + 1 } ) , } \\ & { T _ { i } ^ { n + 1 } = T _ { i } ^ { * } + \Delta t \frac { c \sigma _ { i } ^ { n + 1 } } { \varepsilon ^ { 2 } C _ { v } } ( \rho _ { i } ^ { n + 1 } - \phi _ { i } ^ { n + 1 } ) , } \\ & { \phi ^ { n + 1 } = \phi ^ { * } + C _ { v } \beta ^ { n + 1 } ( T _ { i } ^ { n + 1 } - T _ { i } ^ { * } ) , } \end{array} \right.
\left\{ A , B \right\} = \left( \frac { \partial A } { \partial q ^ { i } } \frac { \partial B } { \partial p _ { i } } + \frac { \partial A } { \partial p _ { i } } \frac { \partial B } { \partial q ^ { i } } \right) + ( - 1 ) ^ { \sigma ( A ) } \left( \frac { \partial A } { \partial \theta ^ { i } } \frac { \partial B } { \partial \pi _ { i } } + \frac { \partial A } { \partial \pi ^ { i } } \frac { \partial B } { \partial \theta _ { i } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { ( \mu _ { m * } , d _ { m * } ) ( \mathrm { p r } _ { \ell * } , \mathrm { p r } _ { 1 * } , \mathrm { p r } _ { 1 * } ) \tilde { \kappa } _ { m \ell } ^ { ( 1 ) } } & { = ( \mu _ { m * } , d _ { m * } ) ( \ell - 1 ) ( T _ { \ell } , 1 , 1 ) \tilde { \kappa } _ { m } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \phi ( m ) ( \ell - 1 ) ( T _ { \ell } , 1 , 1 ) \kappa _ { m } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| y \right\| _ { L _ { t } ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq 2 \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } Q B u ( s ) \right] \operatorname { e } ^ { c ( t - s ) } d s = 2 \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ \Big ( Q \sum _ { k = 1 } ^ { n } \langle x ( s ) , q _ { k } \rangle _ { 2 } \, q _ { k } \Big ) ^ { \top } B u ( s ) \right] \operatorname { e } ^ { c ( t - s ) } d s } \\ & { = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { Q , k } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ \langle x ( s ) , q _ { k } \rangle _ { 2 } \; q _ { k } ^ { \top } B u ( s ) \right] \operatorname { e } ^ { c ( t - s ) } d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in S _ { k } } ( X _ { i j } - \bar { N } _ { k } \hat { \mu } _ { j } ) } & { = n _ { k } \bar { N } _ { k } ( \mu _ { k j } - \mu _ { j } ) + \sum _ { i \in S _ { k } } N _ { i } Y _ { i j } - \frac { n _ { k } \bar { N } _ { k } } { n \bar { N } } \Bigl ( \sum _ { m = 1 } ^ { n } N _ { m } Y _ { m j } \Bigr ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { \mathrm { X } \xrightarrow { \mathrm { r } } \emptyset \, , } \\ & { \mathrm { X } \xrightarrow { \mathrm { a } } Y \, , } \\ & { \mathrm { X } + \mathrm { X } \xrightarrow { \mathrm { b } } \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { Y } } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y } \quad \mathrm { p } \in [ 0 , 1 ] \, , } \\ { \emptyset } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y } \quad 1 - \mathrm { p } \in [ 0 , 1 ] \, , } \end{array} \right. \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \hat { f } ( L , x _ { \mathrm { i } } , s ) = \exp \left[ \frac { A } { B } \left( L - x _ { \mathrm { i } } - | L - x _ { \mathrm { i } } | \sqrt { 1 + \frac { 2 B \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) } { A ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( \hbar \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } } & { \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \sigma ( - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } / x ) \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ^ { 2 } - \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } \left[ x ^ { 2 } ( \hbar \omega ) ^ { 2 } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ^ { 2 } \right] } ~ \mathrm { d } x \right. } \\ & { - \left. \frac { ( \hbar \omega ) \sigma ( \hbar \omega ) } { 2 } \ln { \left( \frac { \hbar \omega - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } } { \hbar \omega + \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } } \right) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { j , y } ( \gamma _ { u } ( f ) ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { 0 \leq i < r } \left( v _ { j , t } ( a _ { i } ) + i { \cdot } v + i \cdot \frac { v _ { t } ( y ) } r \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { 0 \leq i < r } \left( v _ { j , t } ( a _ { i } ) + i \cdot \frac { v _ { t } ( x ) } r \right) = w _ { j , x } ( f ) , } \end{array}
\beta _ { j } = \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { m - j + 1 } , \| x \| = 1 } ( B x , x ) = \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { m - j + 1 } , \| x \| = 1 } ( P A P ^ { * } x , x ) = \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { m - j + 1 } , \| x \| = 1 } ( A ( P ^ { * } x ) , P ^ { * } x ) \leq \alpha _ { n - m + j } ,
\Gamma _ { \mu } ^ { \mathrm { o d d } } = - { \frac { i \theta } { 3 2 \pi } } \epsilon _ { \lambda \nu \mu } p _ { \lambda } q _ { \nu } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \rho _ { 2 } ( s ) F ( M ^ { 2 } , s , q ^ { 2 } ) ,
r _ { A } = C _ { n } n ^ { 2 } p + C _ { p } n p ^ { 2 } \, , \quad R _ { A } = r _ { A } - G _ { 0 } = C _ { n } \left( n ^ { 2 } p - n _ { 0 } ^ { 2 } p _ { 0 } \right) + C _ { p } \left( n p ^ { 2 } - n _ { 0 } p _ { 0 } ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \Delta s } & { { } \equiv } & { \frac { S _ { 2 } } { n _ { 2 } } - \frac { S _ { 1 } } { n _ { 1 } } = \frac { k _ { B } } { 2 } \left[ \ln \left( \frac { A _ { 2 } ^ { 2 } T _ { \parallel 2 } ^ { 3 } } { A _ { 1 } ^ { 2 } T _ { \parallel 1 } ^ { 3 } } \right) - 2 \ln r \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { R } _ { d } } } & { = { \mathbb { E } } ( { { \mathbf { F } } _ { R F } } { { \mathbf { F } } _ { B B } } { \mathbf { s s } ^ { H } } { \mathbf { F } } _ { B B } ^ { H } { \mathbf { F } } _ { R F } ^ { H } ) } \\ & { = { { \mathbf { F } } _ { R F } } { { \mathbf { F } } _ { B B } } { \mathbb { E } } ( { \mathbf { s } } { { \mathbf { s } } ^ { H } } ) { \mathbf { F } } _ { B B } ^ { H } { \mathbf { F } } _ { R F } ^ { H } } \\ & { = { { \mathbf { F } } _ { R F } } { { \mathbf { F } } _ { B B } } { \mathbf { F } } _ { B B } ^ { H } { \mathbf { F } } _ { R F } ^ { H } . } \end{array}
\langle A \rangle = \sum _ { a ^ { \prime } , a ^ { \prime \prime } } \langle \alpha \vert a ^ { \prime \prime } \rangle \langle a ^ { \prime \prime } \vert A \vert a ^ { \prime } \rangle \langle a ^ { \prime } \vert \alpha \rangle = \sum _ { a ^ { \prime } } a ^ { \prime } ~ | \langle a ^ { \prime } \vert \alpha \rangle | ^ { 2 }
\mathbb { E } \Vert x _ { k } \Vert ^ { p } \leq \left( ( 1 + \epsilon ) \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) \right) ^ { k } \mathbb { E } \Vert x _ { 0 } \Vert ^ { p } + \frac { 1 - ( ( 1 + \epsilon ) \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) ) ^ { k } } { 1 - ( 1 + \epsilon ) \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) } \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { p } { p - 1 } } - ( 1 + \epsilon ) } { \left( ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } - 1 \right) ^ { p } } \mathbb { E } \Vert q _ { 1 } \Vert ^ { p } .
- { \cal { L } } _ { e f f } = \frac { 4 G _ { F } ^ { S M } } { \sqrt { 2 } } \left\{ g _ { \mathrm L L } ^ { \mathrm V } \overline { { { e _ { L } } } } \gamma _ { \rho } \nu _ { e \mathrm L } \overline { { { \nu _ { \mu \mathrm L } } } } \gamma ^ { \rho } \mu _ { \mathrm L } + \ldots \right\} \; ,
d s ^ { 2 } = M d { \bf X } ^ { 2 } + { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { M } } d \chi ^ { 2 } + k \left[ { \frac { d a ^ { 2 } } { a } } + a \left( d \alpha ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \alpha d \beta ^ { 2 } + ( d \gamma + \cos \alpha d \beta ) ^ { 2 } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \log p _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) \right] } & { = \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \log \left( \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { j } } } \left[ p _ { t _ { i } } ^ { { t _ { j } } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } | \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) \right] \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \log \left( \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { j } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \frac { p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } { p _ { t _ { j } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } | \mathbf { x _ { t _ { i } } } ) } p _ { t _ { i } } ^ { { t _ { j } } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } | \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) \right] \right) \right] } \\ & { \geq \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { j } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \log \left( \frac { p _ { t _ { j } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } { p _ { t _ { j } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } | \mathbf { x _ { t _ { i } } } ) } p _ { t _ { i } } ^ { { t _ { j } } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } | \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { j } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \log \left( \frac { p _ { t _ { j } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } { p _ { t _ { j } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } | \mathbf { x _ { t _ { i } } } ) } \right) + \log \left( p _ { t _ { i } } ^ { { t _ { j } } \, , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } | \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( t , \omega ) } & { { } = \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \iint _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \left\langle \Psi _ { a } \left| \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 1 } ) \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 2 } ) \right| \Psi _ { a } \right\rangle \sin ( \omega t _ { 1 } ) \sin ( \omega t _ { 2 } ) } \end{array}
\delta \, \widehat \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) \, = \, \mathcal { O } _ { \mathcal { Z } } \Bigl ( \epsilon \delta ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \beta _ { \epsilon } \delta ^ { 2 } + \epsilon ^ { 3 } \beta _ { \epsilon } \delta + \epsilon ^ { 4 } \beta _ { \epsilon } ^ { 2 } \delta + \epsilon ^ { 5 } \beta _ { \epsilon } ^ { 3 } \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l } & { A _ { \mathrm { H _ { A } } - \mathrm { E } 2 } ( ^ { 3 } \mathrm { D } _ { 3 } \leftrightarrow ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } ) = } \\ & { \frac { \left\langle ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } \left| A _ { \mathrm { H _ { A } } } \right| { ^ 3 \mathrm { D } _ { 2 } } \right\rangle \times \langle ^ { 3 } \mathrm { D } _ { 2 } | A _ { E 2 } | ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } \rangle } { E _ { ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } } - E _ { ^ 3 \mathrm { D } _ { 2 } } } + } \\ & { \frac { \left\langle ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } \left| A _ { \mathrm { H _ { A } } } \right| { ^ 1 \mathrm { D } _ { 2 } } \right\rangle \times \langle ^ { 1 } \mathrm { D } _ { 2 } | A _ { E 2 } | ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } \rangle } { E _ { ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } } - E _ { ^ 1 \mathrm { D } _ { 2 } } } + } \\ & { \frac { \left\langle { ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } } | A _ { E 2 } | ^ { 3 } \mathrm { D } _ { 1 } \right\rangle \times \langle ^ { 3 } \mathrm { D } _ { 1 } \left| A _ { \mathrm { H _ { A } } } \right| { ^ 1 \mathrm { S } _ { 0 } } \rangle } { E _ { ^ 3 \mathrm { D } _ { 1 } } - E _ { ^ 1 \mathrm { S } _ { 0 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \int Q ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z ) , d z _ { 1 } ) Q ( z _ { 1 } , d z _ { 2 } ) \Big ( f _ { k } ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z _ { 2 } ) , \delta ) - f _ { k } ( \varphi _ { \delta } ( z ) , \delta ) \Big ) \cdot } \\ & { \quad \cdot \int _ { 0 } ^ { \delta } \int _ { 0 } ^ { \delta - s _ { 1 } } \lambda ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z ) ) e ^ { - s _ { 1 } \lambda ( \varphi _ { \delta / 2 } ( z ) ) } \lambda ( z _ { 1 } ) e ^ { - s _ { 2 } \lambda ( z _ { 1 } ) } e ^ { - ( \delta - s _ { 1 } - s _ { 2 } ) \lambda ( z _ { 2 } ) } d s _ { 2 } \, d s _ { 1 } } \\ & { \quad + \mathcal { O } ( \lVert g \rVert _ { \infty } ( 1 + \lvert z \rvert ^ { 3 m _ { \lambda } } ) \delta ^ { 3 } ) . } \end{array}
\nu \sim \mathrm { R e } \biggl [ 3 \omega \beta _ { \mathrm { i } } \biggl ( \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { \delta n } { n _ { 0 } } \biggr ) \biggr ] \approx 3 . 7 k _ { \parallel } v _ { \mathrm { t h , i } } \beta _ { \mathrm { i } } \biggl | \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } \biggr | .
\frac { d \chi } { d t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \tau _ { \uparrow } } ( \chi _ { \operatorname* { m a x } } - \chi ) \ } & { \ \mathrm { ~ d ~ u ~ r ~ i ~ n ~ g ~ T ~ R ~ A ~ t ~ r ~ e ~ a ~ t ~ m ~ e ~ n ~ t ~ , ~ } } \\ { \frac { - 1 } { \tau _ { \downarrow } } \chi \ } & { \ \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
P ( b _ { l } ) = 1 - \frac { 9 } { 2 } b _ { l } ^ { 2 } - 4 b _ { l } ^ { 4 } + \frac { 1 5 b _ { l } ^ { 4 } } { 2 \sqrt { 1 - b _ { l } ^ { 2 } } } \mathrm { t a n h } ^ { - 1 } \sqrt { 1 - b _ { l } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { W ( t ) ^ { \top } W ( t ) } & { = W _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + t \left[ \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } \right] } \\ & { \phantom { = \ } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \left[ \ddot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \top } \ddot { W } _ { 0 } + 2 \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } \right] + o ( t ^ { 2 } ) . } \end{array}
\widetilde { \mathcal { L } } ( 1 2 ) \, \widetilde { g } _ { e i } ( 1 2 ) = \mathrm { i } \boldsymbol { k } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } - \boldsymbol { v } _ { 2 } ) \, \widetilde { g } _ { e i } ( 1 2 ) \approx \mathrm { i } \boldsymbol { k \cdot v } _ { 1 } \, \widetilde { g } _ { e i } ( 1 2 )
\begin{array} { r l } & { \left\| | G _ { \infty } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { \infty } ( \psi _ { 2 } ) | | \nabla \psi _ { 2 } | \right\| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } ) } \leq C \left\| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | | \nabla \psi _ { 2 } | \right\| _ { L ^ { \frac { 4 } { 3 } } ( [ 0 , T ] ; L ^ { \frac { 4 } { 3 } } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) ) } } \\ & { \leq T ^ { \frac 1 2 } \left\| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \right\| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) } \| \nabla \psi _ { 2 } \| _ { L ^ { 4 } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 4 } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) ) } } \\ & { \leq T ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + T + T ^ { \frac { 1 } { q _ { 1 } ^ { \prime } } } Z _ { T } ( \psi _ { 1 } ) ^ { 2 \alpha } \right) Z _ { T } ( \psi ) \left\| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \right\| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { x } \left( \mathbf { r } , t \right) } & { = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int _ { \Omega } { \frac { J _ { x } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { A _ { y } \left( \mathbf { r } , t \right) } & { = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int _ { \Omega } { \frac { J _ { y } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { A _ { z } \left( \mathbf { r } , t \right) } & { = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int _ { \Omega } { \frac { J _ { z } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } } \end{array} }
G _ { \chi p } = \sum _ { q } { \frac { f _ { q } m _ { p } } { m _ { q } } } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \frac { \Re ( g _ { h _ { i } \chi \chi } ) \Re ( g _ { h _ { i } q q } ) } { m _ { h _ { i } } ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } { \frac { \Re ( g _ { \tilde { q } _ { k } \chi q } ^ { L } g _ { \tilde { q } _ { k } \chi q } ^ { R * } ) } { m _ { \tilde { q } _ { k } } ^ { 2 } } } \right] .
{ \hat { S } } = - T _ { \mathrm { M 9 } } \int d ^ { 9 } \xi \, \, | { \hat { k } } | ^ { 3 } \sqrt { | \mathrm { d e t } \left( { \hat { \Pi } } + | { \hat { k } } | ^ { - 1 } l _ { p } ^ { 2 } { \hat { \cal K } } ^ { ( 2 ) } \right) | } \, , \,
\tilde { E } _ { y } ( \tau , \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z e \frac { \tau ( y - y _ { 0 } ) \cosh ( \eta - \eta _ { 0 } ) } { 4 \pi { [ ( r _ { \bot } - r _ { \bot 0 } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 3 / 2 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \tau _ { 0 } < \tau _ { f } ( \mathbf { x } ; \mathbf { x } _ { 0 } ) < \tau } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { = \left( 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } \right) \left( 0 . 5 - 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { 2 x } { \epsilon } \right) , } \\ { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { = \left( 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } \right) \left( 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { 2 x } { \epsilon } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \theta _ { \mathrm { i n } } } & { { } = \theta _ { \mathrm { i n } } - \theta _ { \mathrm { i n , 0 } } , } \\ { d \theta _ { \mathrm { b m } } } & { { } = \theta _ { \mathrm { b m } } - \theta _ { \mathrm { b m , 0 } } , } \\ { d \theta _ { \mathrm { t r } } } & { { } = \theta _ { \mathrm { t r } } - \theta _ { \mathrm { t r , 0 } } , } \end{array}
H _ { \star } \sim \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { g } = 1 9 . 7 \, \frac { \lambda ^ { 4 3 / 4 0 } m _ { e } ^ { 1 / 2 } \, M _ { p l } ^ { 3 / 4 } } { \alpha ^ { 7 / 2 } \, m _ { p } ^ { 9 / 4 } }
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { z } } & { = } & { \hbar m \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { s } _ { z } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { s R _ { p } C \hat { \psi } _ { d } } & { { } = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \hat { \psi } _ { d } \, , } & { } & { { } z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, , } \\ { \ell _ { p } \partial _ { z } \hat { \psi } _ { d } ( 0 , s ) } & { { } = \xi [ \hat { \psi } _ { d } ( 0 , s ) - \hat { \Psi } ( s ) ] , } \\ { \partial _ { z } \hat { \psi } _ { d } ( \ell _ { p } , s ) } & { { } = 0 \, , } \end{array}
\mathbf { 1 } _ { A \cup B } = \operatorname* { m a x } \{ { \mathbf { 1 } _ { A } , \mathbf { 1 } _ { B } } \} = \mathbf { 1 } _ { A } + \mathbf { 1 } _ { B } - \mathbf { 1 } _ { A } \cdot \mathbf { 1 } _ { B } ,
R _ { p d } ( x _ { F } \rightarrow 1 ) = \frac { 1 } { 2 } \, \left[ \, 1 + \frac { \Delta _ { ( T ) } \bar { d } ( x _ { 2 } ) } { \Delta _ { ( T ) } \bar { u } ( x _ { 2 } ) } \, \right] _ { x _ { 2 } \rightarrow 0 } \, ,