harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x _ { i , j , k } ( t ) = } & { x _ { \operatorname* { m i n } } + \Delta x _ { o } \left[ i + A _ { x } \sin ( 2 \pi \omega t ) \sin \frac { n _ { x y } \pi j \Delta y _ { o } } { L _ { y } } \sin \frac { n _ { x z } \pi k \Delta z _ { o } } { L _ { z } } \right] } \\ { y _ { i , j , k } ( t ) = } & { y _ { \operatorname* { m i n } } + \Delta y _ { o } \left[ j + A _ { y } \sin ( 2 \pi \omega t ) \sin \frac { n _ { y x } \pi i \Delta x _ { o } } { L _ { x } } \sin \frac { n _ { y z } \pi k \Delta z _ { o } } { L _ { z } } \right] } \\ { z _ { i , j , k } ( t ) = } & { z _ { \operatorname* { m i n } } + \Delta z _ { o } \left[ k + A _ { z } \sin ( 2 \pi \omega t ) \sin \frac { n _ { z x } \pi i \Delta x _ { o } } { L _ { x } } \sin \frac { n _ { z y } \pi j \Delta y _ { o } } { L _ { y } } \right] } \end{array}
{ \cal D } _ { \mu } ^ { \mathrm { M A C R O } } \left( E , h = 1 0 ^ { 3 } \; \mathrm { g / c m } ^ { 2 } , \vartheta \right) = C _ { 0 } \left( \frac { E } { 1 \; \mathrm { G e V } } \right) ^ { - \gamma _ { \mu } } \left( \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 . 1 E \cos \vartheta } { 1 1 5 \, \mathrm { \small \mathrm { ~ G e V } } } } + \frac { 0 . 0 5 4 } { 1 + \frac { 1 . 1 E \cos \vartheta } { 8 5 0 \, \mathrm { \small \mathrm { ~ G e V } } } } \right) ,
\mathbf { u } ^ { E } = \left[ \begin{array} { c c c c } { d o f _ { 1 } ( \mathbf { v } ^ { h } ) } & { d o f _ { 2 } ( \mathbf { v } ^ { h } ) } & { . . . } & { d o f _ { 2 n _ { d } } ( \mathbf { v } ^ { h } ) } \end{array} \right] ^ { T } = \left[ \begin{array} { c c c c c } { u _ { 1 } ^ { 1 } } & { u _ { 2 } ^ { 1 } } & { . . . } & { u _ { 1 } ^ { 2 n _ { d } } } & { u _ { 2 } ^ { 2 n _ { d } } } \end{array} \right] ^ { T } .
\left. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ( L _ { d } ^ { \dag } { \cal A } L _ { u } ^ { * } ) _ { j l } ( L _ { d } ^ { \dag } { \cal A } L _ { e } ) _ { n i } \hat { V } _ { l m } \hat { V } _ { n 1 } ^ { \dag } - ( L _ { d } ^ { \dag } { \cal A } L _ { u } ^ { * } ) _ { m l } ( L _ { u } ^ { \dag } { \cal A } L _ { e } ) _ { 1 i } \hat { V } _ { l j } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { 1 , l } = L I S ( \tau ) \geq 2 \sqrt { R } - R ^ { 1 \slash 3 } } \\ & { \geq } & { 2 \sqrt { n } \Big ( \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y - ( K _ { 0 } T ) ^ { - 1 0 } - \Upsilon _ { l } \Big ) ^ { 1 \slash 2 } } \\ & { } & { - n ^ { 1 \slash 3 } \Big ( \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y + ( K _ { 0 } T ) ^ { - 1 0 } \Big ) ^ { 1 \slash 3 } } \\ & { \geq } & { 2 \sqrt { n } \Big ( \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \Big ( 1 - \frac { ( K _ { 0 } T ) ^ { - 1 0 } + \Upsilon _ { l } } { \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y } \Big ) - C M _ { \theta } ^ { 1 \slash 3 } T ^ { - 2 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } } \\ & { \geq } & { 2 \sqrt { n } \Big ( \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } - C ( ( K _ { 0 } ^ { - 1 0 } T ^ { - 1 0 } + \Upsilon _ { l } ) ^ { 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } + M _ { \theta } ^ { 1 \slash 3 } T ^ { - 2 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) } \\ & { \geq } & { 2 \sqrt { n } \Big ( \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } - C ( ( K _ { 0 } ^ { - 5 } T ^ { - 5 } + \Upsilon _ { l } ^ { 1 \slash 2 } ) n ^ { 1 \slash 2 } + M _ { \theta } ^ { 1 \slash 3 } T ^ { - 2 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) , } \\ & { } & \end{array}
( { \check { R } } \otimes \mathbf { 1 } ) ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ) ( { \check { R } } \otimes \mathbf { 1 } ) = ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ) ( { \check { R } } \otimes \mathbf { 1 } ) ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } )
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { R } } \frac { d \psi _ { + } } { d t } } & { = \biggl [ - \frac { t _ { \mathrm { R } } \Delta \omega } { 2 } + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A ^ { \prime } | \psi _ { + } | ^ { 2 } + B ^ { \prime } | \psi _ { - } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad - i \left( \delta _ { 0 } - \frac { \delta _ { \pi } } { 2 } \right) \biggr ] \psi _ { + } - i \frac { \delta _ { \pi } } { 2 } \psi _ { - } + \sqrt { \theta } \, S , } \\ { t _ { \mathrm { R } } \frac { d \psi _ { - } } { d t } } & { = \biggl [ - \frac { t _ { \mathrm { R } } \Delta \omega } { 2 } + i \, g t _ { \mathrm { R } } \left( A ^ { \prime } | \psi _ { - } | ^ { 2 } + B ^ { \prime } | \psi _ { + } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad - i \left( \delta _ { 0 } - \frac { \delta _ { \pi } } { 2 } \right) \biggr ] \psi _ { - } - i \frac { \delta _ { \pi } } { 2 } \psi _ { + } + \sqrt { \theta } \, S . } \end{array}
\begin{array} { r } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 ^ { a _ { j } } } \sum _ { n _ { j } = 1 } ^ { \infty } \phi _ { n _ { j } } \frac { ( k R _ { j } ) ^ { 2 n _ { j } + a _ { j } } } { 2 ^ { 2 n _ { j } } \Gamma ( a _ { j } + n _ { j } + 1 ) } = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { N } = 0 } ^ { \infty } \frac { \phi _ { 1 , 2 , \cdots , N } k ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } { 2 ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } } \\ { \times \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { N } ( R _ { j } ) ^ { ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Gamma ( a _ { j } + n _ { j } + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \left\langle \delta _ { k } , \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } ) } \delta _ { k } \right\rangle } & { = } & { \sum _ { - ( n - 1 ) \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq 0 } \left\langle \delta _ { k } , A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( - j _ { \ell } ) } A _ { \eta _ { 2 } } ^ { ( - j _ { \ell - 1 } ) } \ldots A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( - j _ { 1 } ) } \delta _ { k } \right\rangle } \\ & { = } & { \sum _ { - ( n - 1 ) \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq 0 } \overline { { \left\langle \delta _ { k } , A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( j _ { \ell } ) } A _ { \eta _ { 2 } } ^ { ( j _ { \ell - 1 } ) } \ldots A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( j _ { 1 } ) } \delta _ { k } \right\rangle } } } \\ & { = } & { \sum _ { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \overline { { \left\langle \delta _ { k } , A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( j _ { \ell } ) } A _ { \eta _ { 2 } } ^ { ( j _ { \ell - 1 } ) } \ldots A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( j _ { 1 } ) } \delta _ { k } \right\rangle } } } \\ & { = } & { \sum _ { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \left\langle \delta _ { k } , ( A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( j _ { 1 } ) } ) ^ { * } ( A _ { \eta _ { \ell - 1 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ) ^ { * } \ldots ( A _ { \eta _ { 1 } } ^ { ( j _ { \ell } ) } ) ^ { * } \delta _ { k } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + 8 \| \nabla F ( x _ { t } ) - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + 8 \hat { L } ^ { 2 } \| y _ { t } - y ^ { * } ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 6 \hat { L } ^ { 2 } } { \mu } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) } \\ & { \leq \frac { 8 ( \Omega _ { t } - \Omega _ { t + 1 } ) } { 3 \gamma \eta } . } \end{array}
\Gamma _ { S } ^ { 2 2 } ( p ) + e ^ { - \eta ( p ^ { 0 } ) \bar { \Theta } } \Gamma _ { S } ^ { 1 2 } ( p ) = - \left[ \Gamma _ { S } ^ { 1 1 } ( p ) + e ^ { \eta ( p ^ { 0 } ) \bar { \Theta } } \Gamma _ { S } ^ { 1 2 } ( p ) \right]
a ( n ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } k ! \left\{ { \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} } \right\} = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { k - j } { \binom { k } { j } } j ^ { n } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { m ^ { n } } { 2 ^ { m } } } .
{ \cal M } _ { \tilde { t } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { M _ { \tilde { t } _ { L } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } + \cos { 2 \beta } ( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 2 } { 3 } } \, s _ { W } ^ { 2 } ) \, M _ { Z } ^ { 2 } } } & { { m _ { t } \, M _ { L R } ^ { t } } } \\ { { m _ { t } \, M _ { L R } ^ { t } } } & { { M _ { \tilde { t } _ { R } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } + { \frac { 2 } { 3 } } \, \cos { 2 \beta } \, s _ { W } ^ { 2 } \, M _ { Z } ^ { 2 } \, . } } \end{array} \right) \, ,
k _ { \rho } : = 2 \mathrm { L i p } _ { V \to L _ { \sigma } ^ { p } } ( F _ { \rho } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } C _ { \alpha } e ^ { ( \mu _ { 2 } + \varepsilon - \mu ) y } y ^ { - \alpha } d y < 1
\int _ { - 1 } ^ { + 1 } \, { \frac { \, T _ { m } ( x ) \, \log ( 1 + x ) \, } { \, { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } \, } } \, } } \, \mathrm { d } x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } \int _ { - 1 } ^ { + 1 } { \frac { T _ { m } ( x ) \, T _ { n } ( x ) } { \, { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } \, } } \, } } \, \mathrm { d } x ~ ,
\mathrm { O R } = { \frac { \operatorname { o d d s } ( x + 1 ) } { \operatorname { o d d s } ( x ) } } = { \frac { \left( { \frac { p ( x + 1 ) } { 1 - p ( x + 1 ) } } \right) } { \left( { \frac { p ( x ) } { 1 - p ( x ) } } \right) } } = { \frac { e ^ { \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } ( x + 1 ) } } { e ^ { \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } x } } } = e ^ { \beta _ { 1 } }
{ \overset { { A } ^ { \prime } } { \mathop { \left[ { \begin{array} { l l l } { 2 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - 2 } & { 2 } & { 2 } \\ { - 2 } & { 1 } & { 3 } \end{array} } \right] } } } \left[ { \begin{array} { l } { a } \\ { b } \\ { c } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { b _ { 1 } } \\ { c _ { 1 } } \end{array} } \right] , \quad { \mathrm { ~ } } { \overset { { B } ^ { \prime } } { \mathop { \left[ { \begin{array} { l l l } { 2 } & { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { - 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { - 1 } & { 3 } \end{array} } \right] } } } \left[ { \begin{array} { l } { a } \\ { b } \\ { c } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { l } { a _ { 2 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { c _ { 2 } } \end{array} } \right] , \quad { \mathrm { ~ } } { \overset { { C } ^ { \prime } } { \mathop { \left[ { \begin{array} { l l l } { 2 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 3 } \end{array} } \right] } } } \left[ { \begin{array} { l } { a } \\ { b } \\ { c } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { l } { a _ { 3 } } \\ { b _ { 3 } } \\ { c _ { 3 } } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ^ { ( y ) } \left( w _ { x } \right) } & { = \frac { \exp \frac { - w _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \cos \theta \sin \theta w _ { x } } { \sqrt { 2 \pi } \eta ^ { 3 } } } \\ { f _ { 2 } ^ { ( y ) } \left( w _ { x } \right) } & { = \frac { \exp \frac { - w _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } \left( w _ { x } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + a ^ { 2 } b ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \right) } { \sqrt { 2 \pi } \eta ^ { 5 } } } \end{array}
\frac { \partial f } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial f } { \partial \vec { r } } = \frac { g _ { t } - f } { \tau } + \frac { g _ { t r } - g _ { t } } { Z _ { r } \tau } + \frac { g _ { M } - g _ { t r } } { Z _ { v } \tau } ,
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \nabla _ { 2 D } \hat { P } _ { k h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } v _ { h } + \beta _ { k } ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { P } _ { k h } ^ { n + 1 } v _ { h } = \rho _ { 0 } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { \textbf { G } } _ { 2 D , k h } \cdot \nabla _ { 2 D } v _ { h } - i \beta _ { k } \rho _ { 0 } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { G } _ { z , k h } v _ { h } } \end{array}
| \Sigma f _ { V } | ^ { 2 } \le \eta _ { V } + \frac { \alpha _ { s } C _ { F } } { 8 \pi } \cdot ( l o g ( x ) ( 5 x ^ { 2 } + 2 x - 1 ) - ( x ^ { 4 } + x ^ { 3 } - x - 1 ) ) .
\begin{array} { r l } & { V = \frac { 4 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { p } X _ { i j } G _ { i ^ { \prime } j } } { ( n \bar { N } + m \bar { M } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 m ^ { 2 } \bar { M } ^ { 2 } \big [ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { X _ { i j } ^ { 2 } - X _ { i j } } { N _ { i } ( N _ { i } - 1 ) } + \sum _ { 1 \leq i \neq i ^ { \prime } \leq n } X _ { i j } X _ { i ^ { \prime } j } \big ] } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } ( n \bar { N } + m \bar { M } ) ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \frac { 2 n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } \big [ \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { G _ { i j } ^ { 2 } - G _ { i j } } { M _ { i } ( M _ { i } - 1 ) } + \sum _ { 1 \leq i \neq i ^ { \prime } \leq m } G _ { i j } G _ { i ^ { \prime } j } \big ] } { m ^ { 2 } \bar { M } ^ { 2 } ( n \bar { N } + m \bar { M } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { n ^ { 2 } } { k } \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } ( u _ { 0 } ) ( h ( X _ { ( n - k ) } ) - h ( u _ { 0 } ) ) } { 2 h ^ { \prime \prime } ( u _ { 0 } ) } = \frac { n p _ { 0 } ^ { 2 } ( u _ { 0 } ) h ( X _ { ( n - k ) } ) } { \int _ { u _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { 2 x ^ { 2 } } { u _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { p _ { 0 } ^ { 3 } ( x ) } { ( 1 - F _ { 0 } ( x ) ) ^ { 2 } } d x } \xrightarrow { d } \xi ^ { 2 } , } \end{array}
\hat { S } _ { i } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } [ \hat { S } _ { i } ^ { \dag } \hat { S } _ { i } + \hat { S } _ { i } \hat { S } _ { i } ^ { \dag } ] + ( \hat { S } _ { i } ^ { 0 } ) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 4 } ( \hat { n } _ { i \uparrow } - \hat { n } _ { i \downarrow } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial B _ { \rho } } \ln \frac { \pi ( n + 1 ) } { \pi ( n ) } \ } \\ & { = \frac { w _ { + \rho } ( n ) \bar { w } _ { - \rho } ( n + 1 ) - w _ { - \rho } ( n + 1 ) \bar { w } _ { + \rho } ( n ) } { \{ w _ { + \rho } ( n ) + \bar { w } _ { + \rho } ( n ) \} \{ w _ { - \rho } ( n + 1 ) + \bar { w } _ { - \rho } ( n + 1 ) \} } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { H _ { x } ^ { 0 } } \\ { H _ { y } ^ { 0 } } \\ { H _ { z } ^ { 0 } } \end{array} \right] _ { A } = B \left[ \begin{array} { c } { \left( - i I _ { 1 1 } \right) \sin \phi } \\ { \left( - i I _ { 1 1 } \right) \cos \phi } \\ { I _ { 1 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \sqrt { \left( v _ { 0 } + \frac { \sigma \xi } { \tau } \right) ^ { 2 } + 2 g x } } & { \approx \sqrt { v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x } \left( 1 + \frac { v _ { 0 } \sigma \xi } { ( v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x ) \tau } + \frac { \sigma ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } { 2 ( v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x ) \tau ^ { 2 } } - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } { 2 ( v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \sqrt { v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x } \left( 1 + \frac { v _ { 0 } \sigma \xi } { ( v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x ) \tau } + \frac { g x \sigma ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } { 2 ( v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { H } } ^ { 0 } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } & { = E _ { n } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } \\ { \left( { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } } + V \right) \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } & { = E _ { n } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } \\ { p ^ { 2 } \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } & { = 2 m _ { e } ( E _ { n } - V ) \left\vert \psi ^ { 0 } \right\rangle } \end{array} }
\begin{array} { r } { L _ { m , n } ( J ( t ) , \psi _ { u } ) - L _ { m , n } ( u , \psi _ { u } ) \leq ( 1 - t ) L _ { m , n } ( u , \psi _ { u } ) + t L _ { m , n } ( v , \psi _ { u } ) - L _ { m , n } ( u , \psi _ { u } ) \leq t h < 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | R ^ { * } ( T ^ { * } T ) ^ { N + 1 } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } } & { \leq | | R ^ { * } ( T ^ { * } T ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } T ^ { * } | | _ { 2 \rightarrow 2 } | | T ( T ^ { * } T ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } + 1 } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } } \\ & { = | | T ( T ^ { * } T ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } | | T ( T ^ { * } T ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } + 1 } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } } \\ & { = \left( | | R ^ { * } ( T ^ { * } T ) ^ { N } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } | | R ^ { * } ( T ^ { * } T ) ^ { N + 2 } R | | _ { 2 \rightarrow 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l l } { - \nabla \cdot ( \epsilon _ { o x } \nabla u _ { i } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } ~ \Omega _ { i } , ~ ~ i = 1 , 2 , } \\ { - d ( \epsilon _ { c h } u _ { \gamma } ^ { \prime } ) ^ { \prime } } & { = } & { \rho - \epsilon _ { o x } ( \nabla u _ { 1 } \cdot n _ { 1 } + \nabla u _ { 2 } \cdot n _ { 2 } ) } & { \mathrm { o n } ~ \gamma , } \\ { u _ { i } } & { = } & { u _ { \gamma } } & { \mathrm { o n } ~ \gamma , } \\ { u _ { i } } & { = } & { 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D } ^ { i } , } \\ { \epsilon _ { o x } \nabla u _ { i } \cdot n _ { i } } & { = } & { 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { N } ^ { i } , } \\ { u _ { \gamma } ( 0 ) = u _ { \gamma } ( L ) } & { = } & { 0 . } \end{array} \right.
\rho = \psi ^ { \dagger } \psi , \quad \mathbf { j } = \psi ^ { \dagger } \gamma ^ { 0 } { \boldsymbol { \gamma } } \psi \quad \rightleftharpoons \quad J ^ { \mu } = \psi ^ { \dagger } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } \psi
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \left\lVert \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\rVert ^ { 2 } \right] } & { \leq \widetilde { \mathcal { O } } \left( ( M + L ) G _ { H } \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { m a x } } \right) } \\ & { + \frac { 2 M + L } { T } \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { T } 8 \log ( T _ { m a x } ) T _ { m a x } \left( \mathcal { E } _ { 2 } ( t ) + 1 6 B ^ { 2 } \mathcal { E } _ { a p p } ^ { 2 } \right) } } \\ & { + \widetilde { \mathcal { O } } \left( G _ { H } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { m a x } } { T _ { m a x } } \right) + \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { E } _ { 2 } ( t ) + 1 6 B ^ { 2 } \mathcal { E } _ { a p p } ^ { 2 } . } \end{array}
H _ { 2 } ^ { \dagger } H _ { 1 } \tilde { \tau } _ { L } ^ { c } = ( \bar { h } _ { 2 } ^ { + } h _ { 1 } ^ { 0 } + \bar { h } _ { 2 } ^ { 0 } h _ { 1 } ^ { - } ) \tilde { \tau } _ { L } ^ { c } ,
\begin{array} { r l } { H ^ { i } ( G _ { r } , M ) = } & { \varinjlim _ { ( n , p ) = 1 } H ^ { i } ( G _ { r } , M [ n ] ) } \\ { \cong } & { \varinjlim _ { ( n , p ) = 1 } H ^ { i } ( G _ { r } , { \mathbb Z } / n { \mathbb Z } ) \otimes _ { { \mathbb Z } / n { \mathbb Z } } M [ n ] } \\ { \cong } & { \varinjlim _ { ( n , p ) = 1 } ( \bigwedge ^ { i } H ^ { 1 } ( G _ { r } , { \mathbb Z } / n { \mathbb Z } ) ) \otimes _ { { \mathbb Z } / n { \mathbb Z } } M [ n ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { c } ( \tau ) } & { { } \sim \tilde { C } ( l ) + \frac { 1 } { N } \left( \frac { 1 } { N } - \frac { 2 } { N - l } \right) \left( N \tilde { C } ( 0 ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } 2 ( N - k ) \tilde { C } ( k ) \right) + } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S ( \mathbf { q } ) } & { = 1 + { \frac { 1 } { N } } \langle \sum _ { i \neq j } \mathrm { e } ^ { - i \mathbf { q } ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } ) } \rangle = 1 + { \frac { 1 } { N } } \left\langle \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { e } ^ { - i \mathbf { q } \mathbf { r } } \sum _ { i \neq j } \delta \left[ \mathbf { r } - ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } ) \right] \right\rangle } \\ & { = 1 + { \frac { N ( N - 1 ) } { N } } \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { e } ^ { - i \mathbf { q } \mathbf { r } } \left\langle \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 1 } ) \right\rangle } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \bar { \beta } ( r ) = \sum _ { l } \bar { \beta } _ { l } \phi _ { l } ( r ) , } & { { } } \\ { \bar { \bar { \beta } } ( r ) = \sum _ { l } \bar { \bar { \beta } } _ { l } \phi _ { l } ( r ) , } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { U } } _ { \mathrm { Q M } } } & { = } & { \frac { V } { 2 } \left\langle \overline { { \hat { { \bf E } } \cdot \hat { { \bf D } } } } + \overline { { \hat { { \bf B } } \cdot \hat { { \bf H } } } } \right\rangle = \epsilon V \left\langle \overline { { \hat { { \bf E } } \cdot \hat { { \bf E } } } } \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { \epsilon V } { 4 } \left\langle \overline { { \hat { \mathcal { E } } \cdot \hat { \mathcal { E } ^ { \dagger } } } } + \overline { { \hat { \mathcal { E } ^ { \dagger } } \cdot \hat { \mathcal { E } } } } + \overline { { \hat { \mathcal { E } } \cdot \hat { \mathcal { E } } } } + \overline { { \hat { \mathcal { E } ^ { \dagger } } \cdot \hat { \mathcal { E } ^ { \dagger } } } } \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { \epsilon V } { 4 } \left\langle \overline { { \hat { \mathcal { E } } \cdot \hat { \mathcal { E } ^ { \dagger } } } } + \overline { { \hat { \mathcal { E } ^ { \dagger } } \cdot \hat { \mathcal { E } } } } \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { \epsilon V } { 4 } \frac { 2 \hbar \omega } { \epsilon V } \left\langle \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } + \hat { a } _ { \mathrm { H } } \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \right\rangle } \\ & { = } & { \hbar \omega \left\langle \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } + \frac { 1 } { 2 } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rangle } \\ & { = } & { \hbar \omega \left( N _ { \mathrm { H } } + \frac { 1 } { 2 } + N _ { \mathrm { V } } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \hbar \omega \left( N + 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } & { \check { B } _ { h } ( v , \chi ) \leqslant C \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } ( \varOmega ) } \| \nabla \chi \| _ { L ^ { 2 } ( \varOmega ) } } & & { \forall \, v , \chi \in H ^ { 1 } ( \varOmega ) , } \\ & { \check { B } _ { h } ( v , v ) \geqslant C ^ { - 1 } \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } ( \varOmega ) } ^ { 2 } \sim \| v \| _ { H ^ { 1 } ( \varOmega ) } ^ { 2 } } & & { \forall \, v \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \varOmega ) . } \end{array} } \end{array}
\small \mathrm { C I } = \left( \widehat { \beta } _ { j } ^ { \mathrm { D e b } } - z _ { \alpha / 2 } \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } } , \quad \widehat { \beta } _ { j } ^ { \mathrm { D e b } } + z _ { \alpha / 2 } \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } } \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \widehat { \mathrm { V } } = \frac { \widehat { \sigma } _ { \epsilon } ^ { 2 } } { n } \widehat { u } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } \widehat { u } ,
\chi ^ { 2 } = \Sigma _ { i = 1 } ^ { 2 } \Sigma _ { j = 1 } ^ { 2 } \left( \left[ \rho _ { i } - \rho ^ { B L U E } \right] ( { \bf M } ^ { - 1 } ) _ { i j } \left[ \rho _ { j } - \rho ^ { B L U E } \right] \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { \epsilon } ^ { 1 } \left( z = \xi / \eta \right) } & { = \frac { z + \bar { z } } { \bar { z } + 1 } = \frac { \xi \bar { \eta } + \eta \bar { \xi } } { \xi \bar { \xi } + \eta \bar { \eta } } } \\ { \hat { \epsilon } ^ { 2 } \left( z = \xi / \eta \right) } & { = \frac { 1 } { i } \frac { z - \bar { z } } { z \bar { z } + 1 } = \frac { 1 } { i } \frac { \xi \bar { \eta } - \eta \bar { \xi } } { \xi \bar { \xi } + \eta \bar { \eta } } } \\ { \hat { \epsilon } ^ { 3 } \left( z = \xi / \eta \right) } & { = \frac { z \bar { z } - 1 } { z \bar { z } + 1 } = \frac { \xi \bar { \xi } - \eta \bar { \eta } } { \xi \bar { \xi } + \eta \bar { \eta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { { } = F _ { 2 n - 1 } = F _ { n } ^ { 2 } + F _ { n - 1 } ^ { 2 } } \\ { b _ { n } } & { { } = 2 F _ { n } F _ { n - 1 } } \\ { c _ { n } } & { { } = F _ { n } ^ { 2 } - F _ { n - 1 } ^ { 2 } = F _ { n + 1 } F _ { n - 2 } . } \end{array}