harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \chi } & { = 2 k _ { 2 } r _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ { \kappa _ { 0 } } & { = 2 k _ { 1 } r _ { 4 } \left[ r _ { 1 } - \frac { l _ { 1 } r _ { 1 } } { \sqrt { d _ { 1 } ^ { 2 } + ( r _ { 1 } - r _ { 4 } ) ^ { 2 } } } + \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } l _ { 1 } r _ { 4 } } { ( d _ { 1 } ^ { 2 } + ( r _ { 1 } - r _ { 4 } ) ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right] , } \\ { \kappa _ { 0 } - \kappa } & { = 2 k _ { 1 } r _ { 4 } \left[ r _ { 2 } - \frac { l _ { 1 } r _ { 2 } } { \sqrt { d _ { 1 } ^ { 2 } + ( r _ { 2 } - r _ { 4 } ) ^ { 2 } } } + \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } l _ { 1 } r _ { 4 } } { ( ( d _ { 1 } ^ { 2 } + ( r _ { 2 } - r _ { 4 } ) ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { ( j , d ) } f _ { ( j , d ) , ( k , d ^ { \prime } ) } = r _ { ( k , d ) } \delta _ { d , d ^ { \prime } } - \left[ \nabla _ { X _ { ( k , d ^ { \prime } ) } } \Psi _ { ( k , d ) } \right] r _ { ( k + 1 , d ) } \cdots - \left[ \nabla _ { X _ { ( k , d ^ { \prime } ) } } \Psi _ { ( k + m , d ) } \right] r _ { { ( k + m , d ) } } = \frac { \partial \phi } { \partial X _ { ( k , d ^ { \prime } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B ( 2 ) } } { \partial \mathcal { E } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \gamma | \mathcal { E } | \ge \sigma _ { o } + \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { 2 \beta \gamma \left( \sigma _ { o } - \gamma | \mathcal { E } | + \frac { 1 } { 2 \beta } \right) } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \sigma _ { o } - \frac { 1 } { 2 \beta } \le \gamma | \mathcal { E } | \le \sigma _ { o } + \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { 2 \gamma \, \mathcal { E } } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \gamma | \mathcal { E } | \le \sigma _ { o } - \frac { 1 } { 2 \beta } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { n } ^ { 0 } = \frac { \hbar } { \tau } \mu _ { n } ; ~ ~ \nu _ { n , n ^ { \prime } } = \frac { \hbar } { \tau } \mu _ { n , n ^ { \prime } } ; ~ ~ \kappa _ { n } W _ { n } ^ { 2 } = \frac { \tau ^ { 3 } ( \alpha _ { n } ^ { ' } ) ^ { 2 } } { M \hbar } ; ~ ~ Q _ { n } = \frac { X _ { n } } { \rho _ { n } } ; ~ ~ \alpha _ { n } ^ { ' } = \frac { \rho _ { n } M } { \tau ^ { 2 } } . } \end{array}
| z ^ { ( a ) } - y ^ { ( a ) } | | z ^ { ( b ) } - y ^ { ( b ) } | \Vert \big [ \Sigma ( y , z , \lambda ) ^ { \le r } \big ] _ { 1 1 } \Vert _ { L ^ { \infty } } \le \lambda ^ { 2 } r ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \sigma \in \sigma _ { { \cal G } ^ { r } } } K \gamma ^ { - 2 r ( \sigma ) } e ^ { - c [ d _ { j , \sigma } ( y , z ) ] ^ { \alpha } } ,
\tilde { y } ^ { 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } ( v + m _ { i } ) - B _ { N _ { c } } ( v ^ { 2 } ) \tilde { y } + v ^ { 4 } \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } ( v - m _ { i } ) = 0 .
\begin{array} { r } { \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap B _ { 2 \rho } } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \leq C _ { k } ( 1 + \rho ^ { - 2 k ( 1 - \beta ) } \varepsilon ^ { 2 k } ) \varepsilon ^ { 2 } \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + C _ { k } \rho ^ { - 2 k ( 1 - \beta ) } \varepsilon ^ { 2 k } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } . } \end{array}
0 \to \bigoplus _ { \mu \in \mathrm { B } _ { h ( h + 1 ) } } { \mathcal { E } } ^ { \lambda / \mu } \to \cdots \to \bigoplus _ { \mu \in \mathrm { B } _ { 2 t } } { \mathcal { E } } ^ { \lambda / \mu } \to \cdots \to \bigoplus _ { \mu \in \mathrm { B } _ { 4 } } { \mathcal { E } } ^ { \lambda / \mu } \to \bigoplus _ { \mu \in \mathrm { B } _ { 2 } } { \mathcal { E } } ^ { \lambda / \mu } \to { \mathcal { E } } ^ { \lambda } \to \Sigma ^ { \lambda } { \mathcal { U } } ^ { * } \to 0 ,
\begin{array} { l l } { { D = 1 : } } & { { Z _ { E } ( \tau , z ) = 0 \, , } } \\ { { D = 2 : } } & { { Z _ { E } ( \tau , z ) = Z _ { T } ( \tau , z ) P ( \tau , z ) ^ { r - 2 } \, , } } \\ { { D = 3 , 5 : } } & { { Z _ { E } ( \tau , z ) = \frac { \chi ( E ) } { \chi ( T ) } Z _ { T } ( \tau , z ) P ( \tau , z ) ^ { r - D } \, . } } \end{array}
\partial ^ { \mu } ( \sqrt { - g } R _ { \mu } ) \, = \, \frac { 1 } { 1 9 2 \pi ^ { 2 } } \left[ ( N _ { c } ^ { 2 } - 1 ) - \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i } ( - 1 + c _ { i } ^ { ( 0 ) } ) \right] \epsilon _ { \mu \nu \lambda \delta } R ^ { \mu \nu \sigma \rho } R _ { \sigma \rho } ^ { \lambda \delta } \; ,
z ( 1 - z ) \frac { d ^ { 2 } \Phi _ { { l } } } { d z ^ { 2 } } + \left( \frac 9 4 - \frac { 1 5 } { 4 } z \right) \frac { d \Phi _ { { l } } } { d z } - \frac { 3 0 - l ( l + 1 ) } { 1 6 } \Phi _ { { l } } = 0
\O _ { 0 } ^ { 2 2 } = ( \alpha _ { \{ ( 2 , 2 ) \} } ^ { 3 2 } ) ^ { - 1 } ( 6 w _ { 3 } - 6 \alpha _ { \{ ( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) \} } ^ { 3 2 } w _ { 2 } ) - 4 w _ { 2 } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Lambda _ { \beta } } & { { } \to \Lambda _ { \beta } - \pounds _ { \beta } \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } } & { { } \to \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } - \pounds _ { \beta } \lambda , } \\ { \varphi } & { { } \to \varphi - \iota _ { \beta } \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \varphi _ { \ell } } & { { } \to \varphi _ { \ell } - \iota _ { \beta } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { q } _ { i } } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { d _ { \mathrm { H } } } W _ { i , l } ^ { \mathrm { q } } \sigma _ { i , l } , \ \ \ \boldsymbol { k } _ { i } = \sum _ { l = 1 } ^ { d _ { \mathrm { H } } } W _ { i , l } ^ { \mathrm { k } } \boldsymbol { \sigma } _ { i , l } , \ \ \ \boldsymbol { v } _ { i } = \sum _ { l = 1 } ^ { d _ { \mathrm { H } } } W _ { i , l } ^ { \mathrm { v } } \boldsymbol { \sigma } _ { i , l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { 1 } } & { = \frac { \lambda _ { 1 } + \lambda _ { n } } { 2 } , } \\ { \hat { w } _ { p } } & { = \frac { \lambda _ { p } + \lambda _ { p + 1 } } { 2 } , } \\ { \hat { w } _ { i } - \hat { w } _ { i + 1 } } & { = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p - 1 } ( \lambda _ { j + 1 } - \lambda _ { j } ) ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \frac { \hat { w } _ { 1 } - \hat { w } _ { p } } { \lambda _ { i + 1 } - \lambda _ { i } } , } \\ { F ( \widehat { W } ) } & { = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p - 1 } ( \lambda _ { j + 1 } - \lambda _ { j } ) ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } ( \hat { w } _ { 1 } - \hat { w } _ { p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { A \succeq _ { \mathrm { r e g , 2 } } B \quad \mathrm { i f f } \quad ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( y _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) p _ { i } q _ { j } \leq 0 , } \end{array}
\hat { N } _ { f } = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \, d r \int d \cos \theta \, d \phi \, \frac { \partial f ( r , t ) } { \partial t } \hat { J } ^ { 0 } ( r , \theta , \phi , t )
\cos { \frac { \pi } { 1 2 } } = \cos 1 5 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \sqrt { 6 } } + { \sqrt { 2 } } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 3 } } } }
\begin{array} { l l l l } { \mathrm { r } _ { 0 } = \left( { \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { r } _ { 1 } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { r } _ { 2 } = \left( { \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { r } _ { 3 } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} } \right) , } \\ { \mathrm { s } _ { 0 } = \left( { \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { s } _ { 1 } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { s } _ { 2 } = \left( { \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) , } & { \mathrm { s } _ { 3 } = \left( { \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} } \right) . } \end{array}
{ \cal L } _ { \pi \pi \pi \gamma } ( T ) = - { \frac { e N _ { c } } { 7 2 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ( T ) ^ { 3 } } } \, \, A _ { \alpha } \, \varepsilon ^ { a b c } \varepsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta } \partial _ { \beta } \pi ^ { a } \partial _ { \gamma } \pi ^ { b } \partial _ { \delta } \pi ^ { c }
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 } { 3 } ( M _ { T } ( t ) - 1 ) + \frac { 1 } { 9 } ( M _ { T } ( t ) - 1 ) ^ { 2 } = 1 \mathrm { , } } \\ & { 2 ( M _ { T } ( t ) - 1 ) + ( M _ { T } ( t ) - 1 ) ^ { 2 } = 1 \mathrm { , } } \\ & { \frac { 1 } { 9 } ( M _ { T } ( t ) - 1 ) ^ { 2 } = 1 \mathrm { , } } \\ & { ( M _ { T } ( t ) - 1 ) ^ { 2 } = 1 \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { t ^ { \prime } \equiv t / \tau _ { T } } \\ { r ^ { \prime } \equiv r / \sqrt { D _ { T } \tau _ { T } } } \\ { u _ { 1 } ( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \equiv N ( r , t ) / N _ { 0 } } \\ { u _ { 2 } ( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \equiv T ( r , t ) / T _ { 0 } } \\ { g ( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \equiv G ( r , t ) / N _ { 0 } } \end{array}
\vec { w } ( \vec { x } , t ) : = \left. \frac { \partial \vec { x } ( \vec { y } , t ) } { \partial t } \right| _ { \vec { y } = \vec { \mathcal { A } } [ t ] ^ { - 1 } ( \vec { x } ) } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad t \in [ 0 , T ] , \quad \vec { x } \in \mathscr { R } .
\begin{array} { r } { X ^ { 2 } - T ^ { 2 } = U V = r _ { s } ^ { 2 } e ^ { ( v - u ) / 2 r _ { s } } = r _ { s } ^ { 2 } e ^ { r / r _ { s } } ( r / r _ { s } - 1 ) } \\ { t = ( u + v ) / 2 = r _ { s } \ln ( V / U ) = r _ { s } \ln \left| \frac { X + T } { X - T } \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } s } & { { } = D \nabla ^ { 2 } s + \mu \left( 1 - p ( m ( x , t ) ) \right) - \mu s - \beta i s , } \\ { \partial _ { t } i } & { { } = D \nabla ^ { 2 } i + \beta ( t ) i s - ( \nu + \mu ) i , } \\ { \partial _ { t } m } & { { } = a \left( \int _ { y \in \Omega } Q _ { s p a c e } ( y ) i ( x - y , t ) \mathop { } \! \mathrm { d } y - m \right) . } \end{array}
d = - \underbrace { \frac { k ^ { 2 } ( z + s ) ^ { 4 } \sigma _ { p } ^ { 4 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } { 2 [ B D ] [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } } _ { h } - \underbrace { \frac { i k ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \sigma _ { y } ^ { 2 } } { [ B D ] } } _ { i } + \underbrace { \frac { [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] \sigma _ { y } ^ { 4 } } { 2 \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ B D ] } } _ { j } .
\begin{array} { r } { \left\lVert ( \partial _ { t } u , \nabla ^ { 2 } u ) \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , \infty } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) } \lesssim _ { p , s , n } \left\lVert f \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , \infty } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) } + \left\lVert \mathbb { A } _ { \mathcal { H } } u _ { 0 } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , \infty } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } . } \end{array}
\mathrm { { M A R E } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } ^ { N } { | \frac { x _ { i } ^ { \mathrm { { O F } } } - x _ { i } ^ { \mathrm { { K S } } } } { x _ { i } ^ { \mathrm { { K S } } } } | } .
\frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { p _ { t } ^ { * } } } \delta _ { t , 1 } \leq \lambda _ { 1 } T ^ { - 2 J } , \, \, \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( p _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { p _ { t } ^ { * } } } } \sqrt { \delta _ { t , 1 } } \leq 4 \lambda _ { 1 } T ^ { - J } , \, \, \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } \delta _ { t , 2 } \leq \lambda _ { 1 } T ^ { - 2 J } , \, \, \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( q _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } } \sqrt { \delta _ { t , 2 } } \leq 4 \lambda _ { 1 } T ^ { - J } .
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \rho } \rangle } & { { } = \sum _ { k } { \sqrt { \lambda _ { k } } } | \lambda _ { k } \rangle \otimes | u _ { k } \rangle , } \\ { | \psi _ { \sigma } \rangle } & { { } = \sum _ { k } { \sqrt { \mu _ { k } } } | \mu _ { k } \rangle \otimes | v _ { k } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J ^ { \theta ^ { \star } } ( u ) - J ^ { \theta ^ { \star } } ( u ^ { \theta ^ { \star } } ) } \\ & { = \mathbb { E } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { T } P _ { t } ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ) d t - \int _ { 0 } ^ { T } \big ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } u _ { t } - Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } \big ) d t } \\ & { \qquad - \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \big ( u _ { t } ^ { 2 } - ( u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ) ^ { 2 } \big ) d t - \phi \int _ { 0 } ^ { T } \big ( ( Q _ { t } ^ { u } ) ^ { 2 } - ( Q _ { t } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } ) ^ { 2 } \big ) d t + ( Q _ { T } ^ { u } - Q _ { T } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } ) P _ { T } } \\ & { \qquad - \varrho \big ( ( Q _ { T } ^ { u } ) ^ { 2 } - ( Q _ { T } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } ) ^ { 2 } \big ) \Bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \Bigg [ - \int _ { 0 } ^ { T } \big ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } - Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) \big ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } \big ) d t - \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \big ( u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } - u _ { t } \big ) ^ { 2 } d t } \\ & { \qquad - \phi \int _ { 0 } ^ { T } \big ( Q _ { t } ^ { u } - Q _ { t } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) ^ { 2 } d t - \varrho \big ( Q _ { T } ^ { u } - Q _ { T } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) ^ { 2 } \Bigg ] } \\ & { \qquad + \mathbb { E } \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { T } P _ { t } ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ) d t - \int _ { 0 } ^ { T } ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } ) Z _ { t } ^ { { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } } d t } \\ & { \qquad \qquad - \int _ { 0 } ^ { T } ( u _ { s } - u _ { s } ^ { \theta ^ { \star } } ) \int _ { s } ^ { T } G ^ { \star } ( t - s ) u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } d t d s - 2 \lambda \int _ { 0 } ^ { T } u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } \big ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } \big ) d t } \\ & { \qquad \qquad + ( Q _ { T } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } - Q _ { T } ^ { u } ) P _ { T } + 2 \phi \int _ { 0 } ^ { T } Q _ { t } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ( Q _ { t } ^ { u } - Q _ { t } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) d t } \\ & { \qquad \qquad + 2 \varrho Q _ { T } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ( Q _ { T } ^ { u } - Q _ { T } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) \Bigg ] . } \end{array}
R _ { l i j } ^ { ( + ) k } = \partial _ { i } \Gamma _ { j l } ^ { ( + ) k } - \partial _ { j } \Gamma _ { i l } ^ { ( + ) k } + \Gamma _ { i m } ^ { ( + ) k } \Gamma _ { j l } ^ { ( + ) m } - \Gamma _ { j m } ^ { ( + ) k } \Gamma _ { i l } ^ { ( + ) m } , \ \ R _ { i j } ^ { ( + ) } = R _ { i k j } ^ { ( + ) k } .
{ \frac { { \bar { g } } ( - \beta ) } { { \bar { g } } ( \beta ) } } = { \frac { \sinh \left( { \frac { \displaystyle \beta - i \pi } { \displaystyle \xi } } \right) } { \sinh \left( { \frac { \displaystyle \beta + i \pi } { \displaystyle \xi } } \right) } } \ ,
\begin{array} { r l } { \partial \rho } & { { } = \epsilon _ { 0 } \left[ - \boldsymbol { \nabla } V ( r > R _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \vert _ { r = R _ { \mathrm { ~ f ~ } } } + \boldsymbol { \nabla } V ( r < R _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \vert _ { r = R _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { y } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \hat { \lambda } _ { 8 } } \\ & { = } & { \frac { 2 } { 3 } \left( \hat { u } _ { 3 } + \hat { v } _ { 3 } \right) = \frac { 4 } { 3 } \hat { u } _ { 3 } + \frac { 2 } { 3 } \hat { t } _ { 3 } = \frac { 4 } { 3 } \hat { v } _ { 3 } - \frac { 2 } { 3 } \hat { t } _ { 3 } , } \end{array}
\sigma = ( 2 C _ { 1 } + 4 C _ { 2 } ( ( 1 - \varepsilon ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 1 - \varepsilon } - 3 ) ) ( 1 - \varepsilon - \frac { 1 } { ( 1 - \varepsilon ) ^ { 2 } } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { S \times ( 1 , 4 ) } | \nabla _ { S } ( \bar { u } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \phi ) | ^ { 2 } } & { \leq \int _ { S \times ( 1 , 4 ) } C ( \lambda , \Lambda ) ( 1 + \beta ^ { 2 } ) ( \phi ^ { 2 } + \dot { \phi } ^ { 2 } ) \bar { u } ^ { p } ( \bar { u } + | f _ { R } | ) } \\ & { \leq \int _ { S \times ( 1 , 4 ) } C ( \lambda , \Lambda ) ( 1 + \beta ^ { 2 } ) ( \phi ^ { 2 } + \dot { \phi } ^ { 2 } ) \bar { u } ^ { p + 1 } . } \end{array}
\frac { \langle u ^ { 2 } ( z ) \rangle } { u _ { \ast } ^ { 2 } } = c _ { u u } + d _ { u u } \ln \left( \frac { \delta } { z } \right) \ \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \, f r a c { \langle w ^ { 2 } ( z ) \rangle } { u _ { \ast } ^ { 2 } } = c _ { w w } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { k } [ \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \frac { \gamma _ { k } - \rho } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 4 L _ { f } } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] - \frac { \gamma _ { k } - \rho } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ { = } & { \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { \rho - 2 \lambda - \kappa } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \lambda } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 4 L _ { f } } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] - \frac { \gamma _ { k } - \rho } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] . } \end{array}
{ \frac { a _ { 0 } } { 2 } } - { \frac { \Delta a _ { 0 } } { 4 } } + { \frac { \Delta ^ { 2 } a _ { 0 } } { 8 } } - { \frac { \Delta ^ { 3 } a _ { 0 } } { 1 6 } } + \cdots = { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } - { \frac { 1 } { 1 6 } } + \cdots .
\mathrm { e } ^ { \tau \mathcal { L } _ { H _ { 1 } + H _ { 2 } } } = \prod _ { k = 1 } ^ { K } { \mathrm { e } ^ { a _ { k } \tau \mathcal { L } _ { H _ { 1 } } } \mathrm { e } ^ { b _ { k } \tau \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } } } + \mathcal { O } \left( \tau ^ { p + 1 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { V _ { e e ^ { \prime } } } & { = } & { - \frac { 2 } { \gamma } \sum _ { \mu , \nu } \mathbf { d } _ { e g } ^ { \mu } \mathbf { d } _ { g e ^ { \prime } } ^ { \nu } \frac { e ^ { i k _ { 0 } r _ { i j } } } { \hbar r _ { i j } ^ { 3 } } } \\ & { \times } & { \left\{ \vphantom { \frac { r _ { i j } ^ { \mu } r _ { i j } ^ { \nu } } { r _ { i j } ^ { 2 } } } \delta _ { \mu \nu } \left[ 1 - i k _ { 0 } r _ { i j } - ( k _ { 0 } r _ { i j } ) ^ { 2 } \right] \right. } \\ & { - } & { \left. \frac { \mathbf { r } _ { i j } ^ { \mu } \mathbf { r } _ { i j } ^ { \nu } } { r _ { i j } ^ { 2 } } \left[ 3 - 3 i k _ { 0 } r _ { i j } - ( k _ { 0 } r _ { i j } ) ^ { 2 } \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 2 + \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } + 2 n \delta ^ { ( k ) } \right) \frac { n \delta ^ { ( k ) } } { 1 + n \delta ^ { ( k ) } } } & { < \left( 2 + \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } + 2 n \delta ^ { ( k ) } \right) n \delta ^ { ( k ) } } \\ & { \leq 2 \left( 2 + 3 \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } + 2 \left\| \varepsilon ^ { ( k - 1 ) } \right\| _ { 1 } \right) \left( \left\| \varepsilon ^ { ( k - 1 ) } \right\| _ { 1 } + \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } \right) } \\ & { = 4 \left[ \left\| \varepsilon ^ { ( k - 1 ) } \right\| _ { 1 } + \frac { 5 } { 2 } \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } \left\| \varepsilon ^ { ( k - 1 ) } \right\| _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } \frac { \tilde { \xi } ^ { 4 } } { \left( \eta ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } } + \left\| \varepsilon ^ { ( k - 1 ) } \right\| _ { 1 } ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 4 \left[ \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k - 1 ) } } + \frac { 5 } { 2 } \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k - 1 ) } } \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } + \frac { 3 } { 2 } \frac { \tilde { \xi } ^ { 4 } } { \left( \eta ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } } + \frac { \tilde { \xi } ^ { 4 } } { \left( \eta ^ { ( k - 1 ) } \right) ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\dot { U } _ { \mathrm { I C } } \simeq 4 f _ { \mathrm { K N } } \tau _ { \mathrm { T } } n _ { \mathrm { p h 0 } } \overline { E } _ { \mathrm { p h } } \Theta _ { \mathrm { e f f } } c / l _ { \mathrm { e s c } }
\eta ( \mathbf { x } ) = H _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 g } e ^ { - ( r ^ { 2 } - 1 ) } , \qquad \mathbf { v } ( \mathbf { x } ) = \left[ \begin{array} { l } { u ( \mathbf { x } ) } \\ { v ( \mathbf { x } ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - u _ { \alpha } \sin ( \alpha ) } \\ { \phantom { - } u _ { \alpha } \cos ( \alpha ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { I \prime } & { = \int _ { o } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \zeta \int _ { 0 } ^ { R } \frac { r \mathrm { d } r } { \left( 1 + \frac { r ^ { 2 } } { r _ { p } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 4 } } = 2 \pi \left[ \left( 1 + \frac { r ^ { 2 } } { r _ { p } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \right] _ { 0 } ^ { R } } \\ & { = 2 \pi \left( \sqrt [ 4 ] { \frac { R ^ { 2 } } { r _ { p } ^ { 2 } } + 1 } - 1 \right) . } \end{array}
H = \frac { 1 } { ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } + Z ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \cdot \left( X ^ { \prime \prime } ( Y ^ { 2 } + Z ^ { 2 } ) + Y ^ { \prime \prime } ( X ^ { 2 } + Z ^ { 2 } ) + Z ^ { \prime \prime } ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) \right)
\begin{array} { r l r } { \lceil T _ { i } ^ { \operatorname* { m a x } } \rceil ^ { ( \hat { R } _ { 1 } ) } } & { \leq } & { T _ { i } ^ { \operatorname* { m a x } } + \hat { R } _ { 1 } } \\ & { \leq } & { T _ { i } ^ { \operatorname* { m a x } } + ( 1 + \epsilon ) \cdot \tilde { T } _ { \operatorname* { m i n } } } \\ & { \leq } & { ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot T _ { i } ^ { \operatorname* { m a x } } } \\ & { \leq } & { ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot T _ { i } ^ { * } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m \Dot { u } _ { x } } & { { } = L \cos ( \mu ) \sin ( \gamma ) \cos ( \psi ) - L \sin ( \mu ) \sin ( \psi ) - D \cos ( \gamma ) \cos ( \psi ) , } \\ { m \Dot { u } _ { y } } & { { } = L \cos ( \mu ) \sin ( \gamma ) \sin ( \psi ) + L \sin ( \mu ) \cos ( \psi ) - D \cos ( \gamma ) \sin ( \psi ) , } \\ { m \Dot { u } _ { z } } & { { } = L \cos ( \mu ) \cos ( \gamma ) + D \sin ( \gamma ) - m g , } \\ { \Dot { \vec { r } } } & { { } = \mathbf { u } , } \end{array}
{ \cal D } _ { k } = \frac { 1 } { 2 \pi } d e g ( h ^ { ( k ) } ) \qquad \qquad h ^ { ( k ) } = h \wedge \partial _ { + } h \wedge . . . \wedge \partial _ { + } ^ { k } h \qquad k = 0 , . . N - 1 .
\Omega _ { \psi } ( \omega , \eta ) = \frac { 1 } { \rho _ { c } } \frac { d \rho _ { \psi } } { d \log { \omega } } = g _ { 1 } ^ { 2 } \Omega _ { \gamma } ( \eta ) \biggl [ \frac { \omega } { \omega _ { 1 } } \biggr ] ^ { 3 - 2 \mu }