harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left( \nabla ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { a } } \right) + J \left( \psi _ { \mathrm { a } } , \nabla ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { a } } \right) + J \left( \theta _ { \mathrm { a } } , \nabla ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { a } } \right) + \beta \frac { \partial \psi _ { \mathrm { a } } } { \partial x } } & { { } = - \frac { k _ { d } } { 2 } \nabla ^ { 2 } \left( \psi _ { \mathrm { a } } - \theta _ { \mathrm { a } } - \psi _ { \mathrm { o } } \right) } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \nabla ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { a } } \right) + J \left( \psi _ { \mathrm { a } } , \nabla ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { a } } \right) + J \left( \theta _ { \mathrm { a } } , \nabla ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { a } } \right) + \beta \frac { \partial \theta _ { \mathrm { a } } } { \partial x } } & { { } = - 2 k _ { d } ^ { \prime } \nabla ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { a } } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \nabla ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { o } } - \frac { \psi _ { \mathrm { o } } } { L _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } \right) + J \left( \psi _ { \mathrm { o } } , \nabla ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { o } } \right) + \beta \frac { \partial \psi _ { \mathrm { o } } } { \partial x } } & { { } = - r \nabla ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { o } } + d \nabla ^ { 2 } \left( \psi _ { \mathrm { a } } - \theta _ { \mathrm { a } } - \psi _ { \mathrm { o } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \left\lVert { f _ { s , t } \hat { \otimes } _ { 1 } f _ { u , v } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes 2 } } } \\ { = } & { { \left\lVert { \langle g _ { s , t } ^ { 1 } , g _ { u , v } ^ { 1 } \rangle _ { \mathcal { H } } \cdot g _ { t } \hat { \otimes } g _ { v } + \langle g _ { s , t } ^ { 2 } , g _ { u , v } ^ { 2 } \rangle _ { \mathcal { H } } \cdot g _ { u } ^ { 1 } \hat { \otimes } g _ { s } ^ { 1 } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes 2 } } } \\ { \leq } & { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ s , t ] } { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ u , v ] } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ 0 , 1 ] } + { \left\lVert { g _ { 0 } ^ { i } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n + 1 } ( t ) } { \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } + \nu _ { n + 2 } k _ { n + 2 } ^ { 2 } } u _ { n } ^ { < } ( t ) . } \end{array}
\mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \big | E _ { t } ^ { 1 , n } \big | ^ { 2 } \bigg ] \lesssim T ^ { 2 } \frac { \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } } { n ^ { 6 } } \quad \quad \textrm { a n d } \quad \quad \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \big | E _ { t } ^ { 2 , n } \big | ^ { 2 } \bigg ] \lesssim T ^ { 2 } \frac { \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l } { y _ { \ell ^ { \prime } \ell } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \ell } & { \ell ^ { \prime } = \ell + 1 , } \\ { \ell + 1 } & { \ell ^ { \prime } = \ell - 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { H } } _ { \mathrm { i n t } } ( t ) = \frac { - 1 } { c } \int d ^ { 3 } { \bf r } \; \hat { { \bf j } } ( { \bf r } ) \cdot { \bf A } ( { \bf r } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \partial D ( \epsilon ) } = } & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial D ( \epsilon ) } ( 1 , 1 , 1 ) \hat { w } d k - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial D ( \epsilon ) } ( \hat { \mu } - ( 1 , 1 , 1 ) ) \hat { w } d k } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial D ( \epsilon ) } ( 1 , 1 , 1 ) ( m ^ { \omega } - I ) d k - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial D ( \epsilon ) } \bigg ( \frac { \hat { \mu } _ { 1 } } { t ^ { 1 / 3 } } + \frac { \hat { \mu } _ { e r r } } { t ^ { 1 / 2 } } \bigg ) } \\ & { \times \bigg ( \frac { \hat { w } _ { 1 } } { t ^ { 1 / 3 } } + \frac { \hat { w } _ { 2 } } { t ^ { 1 / 2 } } + \frac { \hat { w } _ { 3 } \ln t } { t ^ { 2 / 3 } } + \frac { \hat { w } _ { 4 } } { t ^ { 2 / 3 } } + \frac { \hat { w } _ { 5 } \ln t } { t ^ { 5 / 6 } } + \frac { \hat { w } _ { e r r } } { t ^ { 5 / 6 } } \bigg ) d k . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { \xi } } & { { } } & { = \kappa \int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } h ^ { 3 / 2 } \sigma x ^ { 1 } , \quad L _ { \eta } = \kappa \int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } h ^ { 3 / 2 } \sigma x ^ { 2 } , } \\ { L _ { \zeta } } & { { } } & { = - \frac { \kappa } { 2 } \int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } h ^ { 3 / 2 } \sigma | z | ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 2 } \int d x ^ { 1 } d x ^ { 2 } h ^ { 3 / 2 } \sigma . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { 1 } ^ { L } ( k ) = \mathcal { B } \overline { { m _ { 6 } ^ { L } ( \overline { { k } } ) } } \mathcal { B } = \mathcal { B } \overline { { m _ { 1 } ^ { L } ( \overline { { k } } ) } } \overline { { v _ { 1 } ^ { L } ( \overline { { k } } ) ^ { - 1 } } } \mathcal { B } = \mathcal { B } \overline { { m _ { 1 } ^ { L } } } ( \overline { { k } } ) \mathcal { B } v _ { 1 } ^ { L } ( k ) , } \end{array}
\displaystyle \frac { d ^ { 2 } \theta _ { i } } { d \lambda ^ { 2 } } + \frac { 2 } { l } \frac { \sinh ( \tau / l ) } { \cosh ( \tau / l ) } \frac { d \tau } { d \lambda } \frac { d \theta _ { i } } { d \lambda } - \sin \theta _ { i } \cos \theta _ { i } \prod _ { j = i + 1 } ^ { j - 1 } \sin ^ { 2 } \theta _ { j } \left( \frac { d \theta _ { j } } { d \lambda } \right) ^ { 2 } + 2 \left( \sum _ { k = 1 } ^ { i - 1 } \frac { \cos \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \frac { d \theta _ { k } } { d \lambda } \right) \frac { d \theta _ { j } } { d \lambda } = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { n } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - 4 / l _ { n } \cdot ( t - d _ { n } ) } } \cdot \Delta \gamma _ { n } } \\ { \Delta \gamma _ { n } } & { { } \sim \mathcal { N } \left( 0 , \sigma _ { \Delta \gamma } \right) \quad \forall n } \\ { \sigma _ { \Delta \gamma } } & { { } \sim \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ f ~ C ~ a ~ u ~ c ~ h ~ y ~ } \left( 0 . 5 \right) } \\ { l _ { n } } & { { } = \log \left( 1 + \exp ( l _ { n } ^ { \dagger } ) \right) } \\ { l _ { n } ^ { \dagger } } & { { } \sim \mathcal { N } \left( 4 , 1 \right) \quad \forall n \quad \mathrm { ~ ( ~ u ~ n ~ i ~ t ~ i ~ s ~ d ~ a ~ y ~ s ~ ) ~ } } \\ { d _ { n } } & { { } = 2 7 ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \mathrm { ~ M ~ a ~ y ~ 2 ~ 0 ~ 2 ~ 1 ~ } + 1 0 \cdot n + \Delta d _ { n } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } n = { 0 , \dots , 9 } } \\ { \Delta d _ { n } } & { { } \sim \mathcal { N } \left( 0 , 3 . 5 \right) \quad \forall n \quad \mathrm { ~ ( ~ u ~ n ~ i ~ t ~ i ~ s ~ d ~ a ~ y ~ s ~ ) ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathscr { U } ( K - 1 ) } { \partial \omega _ { K - 1 } } } \\ { = } & { - \frac { \partial \mathscr { A } ( \mathscr { U } ( K - 1 ) ) } { \partial \omega _ { K - 1 } } \mathscr { X } _ { T } } \\ { + } & { \frac { \partial \mathscr { A } ( \mathscr { U } ( K - 1 ) ) } { \partial \omega _ { K - 1 } } \left( 1 - \omega _ { K - 1 } \right) e ( k _ { 0 } ) } \\ { - } & { \mathscr { A } ( \mathscr { U } ( K - 1 ) ) e ( k _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \overline { { \textup { E } } } } { \textup { E } _ { \textup { m a t r i x } } } } & { { } = } & { 0 . 9 0 5 - 1 . 4 0 1 \Phi _ { \textup { m a c r o } } - 0 . 8 6 8 \Phi _ { \textup { m e s o } } , \ \textup { R } ^ { 2 } = 0 . 9 1 3 , } \\ { \frac { \overline { { \sigma } } } { \sigma _ { \textup { m a t r i x } } } } & { { } = } & { 0 . 6 1 0 - 1 . 3 0 3 \Phi _ { \textup { m a c r o } } - 0 . 7 0 4 \Phi _ { \textup { m e s o } } , \ \textup { R } ^ { 2 } = 0 . 7 4 8 , } \end{array}
E _ { | 2 } \left( m \right) = \frac V { 2 \pi ^ { 2 } } \frac 1 2 \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p p ^ { 2 } \left( \sqrt { p ^ { 2 } + c _ { - } ^ { 2 } } + \sqrt { p ^ { 2 } + c _ { + } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { c } { t / t _ { 0 } = ( E / E _ { 0 } ) ^ { r } = \left( E _ { 1 } / E _ { 0 } + E _ { 2 } / E _ { 0 } \right) ^ { r } = } \\ { = ( E _ { 1 } / E _ { 0 } ) ^ { r } ( 1 + E _ { 2 } / E _ { 1 } ) ^ { r } \, \, \, , } \end{array}
\tilde { S } ( \boldsymbol { x } ) : = \left[ \begin{array} { l l l } { \tilde { s } _ { 1 } ^ { [ 1 ] } ( \boldsymbol { x } ) } & { \ldots } & { \tilde { s } _ { M } ^ { [ 1 ] } ( \boldsymbol { x } ) } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { \tilde { s } _ { 1 } ^ { [ Q ] } ( \boldsymbol { x } ) } & { \ldots } & { \tilde { s } _ { M } ^ { [ Q ] } ( \boldsymbol { x } ) } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { Q \times M } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \tilde { s } _ { m } ^ { [ q ] } ( \boldsymbol { x } ) : = \frac { s _ { m } ^ { [ q ] } \zeta _ { m } ( \boldsymbol { x } ) } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } s _ { m } ^ { [ q ] } \zeta _ { m } ( \boldsymbol { x } ) } .
\begin{array} { r l r } { K _ { l o w } ( s ) } & { { } = } & { \frac { 3 0 9 s ^ { 2 } + 5 0 8 . 4 s + 8 7 . 1 } { s ^ { 3 } + 3 9 . 9 s ^ { 2 } + 7 8 6 . 4 s + 2 7 5 0 } } \\ { K _ { m i d } ( s ) } & { { } = } & { \frac { 1 2 0 2 s ^ { 2 } + 2 6 5 1 s + 1 3 1 7 } { s ^ { 3 } + 3 9 . 9 s ^ { 2 } + 7 8 6 . 4 s + 2 7 5 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textstyle \sum _ { x \in \mathbb { Z } } \Psi _ { \ell } ^ { n } ( x ) \Phi _ { k } ^ { n } ( x ) } & { \textstyle = \sum _ { x \in \mathbb { Z } } \mathcal { R } Q _ { ( n - \ell , n ] } ^ { - 1 } ( x , y _ { n - \ell } ) ( \mathcal { R } ^ { * } ) ^ { - 1 } h _ { k } ^ { n } ( 0 , x ) } \\ & { \textstyle = \mathcal { R } ^ { * } ( Q _ { ( n - \ell , n ] } ^ { - 1 } ) ^ { * } ( \mathcal { R } ^ { * } ) ^ { - 1 } h _ { k } ^ { n } ( 0 , y _ { n - \ell } ) = ( Q _ { ( n - \ell , n ] } ^ { - 1 } ) ^ { * } h _ { k } ^ { n } ( 0 , y _ { n - \ell } ) . } \end{array}
\sigma ^ { 2 } = \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \dot { x } ( T ) = \gamma \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - x ( \tau ) - w _ { o f f } \tau } \, d \tau = w _ { o f f } \left[ \sqrt { 1 + 2 \epsilon } - 1 \right]
f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { a , } & { { \mathrm { i f ~ } } x = 1 } \\ { a , } & { { \mathrm { i f ~ } } x = 2 } \\ { c , } & { { \mathrm { i f ~ } } x = 3 . } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l r } { S _ { \infty } ^ { \mathrm { e i g } } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \sin ^ { 2 } ( \omega / 2 ) } } \\ & { \times } & { \mathrm { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \lambda } \frac { d t } { t } \sigma _ { 0 } ( t ; \zeta = 1 - e ^ { i \omega } ) \right) \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } R e ^ { i k ( N - 1 ) } + a _ { 2 } S e ^ { - i k ( N - 1 ) } ) } & { = } & { w ( a _ { 1 } S e ^ { i k ( N - 2 ) } + a _ { 2 } R e ^ { - i k ( N - 2 ) } ) + v ( a _ { 1 } S e ^ { i k ( N - 1 ) } + a _ { 2 } R e ^ { - i k ( N - 1 ) } ) . } \\ { E ( a _ { 1 } S e ^ { i k ( N - 1 ) } + a _ { 2 } R e ^ { - i k ( N - 1 ) } ) } & { = } & { v ( a _ { 1 } R e ^ { i k ( N - 1 ) } + a _ { 2 } S e ^ { - i k ( N - 1 ) } ) + w ( a _ { 1 } R e ^ { i k N } + a _ { 2 } S e ^ { - i k N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { \left| { \vec { k } _ { \mathrm { ~ Z ~ M ~ F ~ } } ^ { \prime } } \right| } } & { { } = \frac { m n \eta _ { e } } { \sqrt { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } + 2 n \eta _ { e } } } , } & { \cos \theta _ { \mathrm { ~ Z ~ M ~ F ~ } } } & { { } = 1 - \frac { s ( 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } + 2 n \eta _ { e } ) } { n \eta _ { e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot { \mathbf { u } } } & { { } = 0 } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { { } \in \Omega \times [ 0 , T ] } \\ { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + { \mathbf { u } } \cdot \nabla { \mathbf { u } } } & { { } = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } { \nabla ^ { 2 } } { \mathbf { u } } } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { { } \in \Omega \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = ( u _ { w } ( \mathbf { x } , t ) , 0 ) } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { { } \in \Gamma _ { 1 } \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = 0 } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { { } \in \Gamma _ { 2 } \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , 0 ) } & { { } = \mathbf { u } _ { 0 } ( \mathbf { x } ) } & { \mathbf { x } } & { { } \in \Omega } \end{array}
\sigma | \vec { v } | = \frac { s ^ { 4 } } { 1 6 E _ { 1 } E _ { 2 } m _ { e } ^ { 6 } } \left( 1 + \frac { . 3 } { \Lambda ^ { 4 } } \ln \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { s } \right) \right) ^ { 2 } \times 1 0 ^ { - 7 0 } \mathrm { c m } ^ { 2 } \, ,
{ \frac { \partial \overline { { U _ { i } U _ { j } } } } { \partial x _ { j } } } = \overline { { U _ { i } } } { \frac { \partial \overline { { U _ { j } } } } { \partial x _ { j } } } + \overline { { U _ { j } } } { \frac { \partial \overline { { U _ { j } } } } { \partial x _ { j } } }
\frac { d \alpha _ { i } } { d t } = \gamma _ { i } \ \alpha _ { i } \left( 1 - \frac { \alpha _ { i } } { A _ { i } } \right) + \sum _ { j } \frac { k _ { i j } } { N _ { m , i } } \left( e ^ { \alpha _ { i } - \alpha _ { j } } - 1 \right) \, , \qquad \alpha _ { k } = \ln \frac { I _ { k } ( t ) } { N _ { m , k } } \, ,
\widetilde { \Phi } _ { p p } = \frac { \left( 5 . 4 1 + C _ { f } \left( \beta + 1 \right) ^ { 5 . 4 1 } \right) \widetilde { \omega } } { \widetilde { \omega } ^ { 2 } + \widetilde { \omega } + ( \beta + 1 ) M + ( \widetilde { \omega } + 3 . 6 ) \frac { \widetilde { \omega } ^ { 4 . 7 6 } } { C _ { f } R _ { T } ^ { 5 . 8 3 } } }
W _ { 2 } ( R ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } R } } B J _ { 1 } B ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - i / R ^ { 2 } } } & { { i } } \\ { { 0 } } & { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i / R ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \frac { 1 } { | v ^ { \prime } | } G ( v - v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } } & { \geq \frac { 1 } { \lambda } \left( 1 - \int _ { | v ^ { \prime } | > \lambda } G ( v - v ^ { \prime } ) d v ^ { \prime } \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { \lambda } \left( 1 - \| | v ^ { \prime } | ^ { - 2 } 1 _ { | v ^ { \prime } | > \lambda } \| _ { L _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } \| | v - v ^ { \prime } | ^ { 2 } G ( v ^ { \prime } ) \| _ { L _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { \lambda } ( 1 - \frac { k _ { G } \langle v \rangle ^ { 2 } } { \lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } ) s } n \cdot \left( \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , \widetilde { k } s ) \, \mathrm { d } s , \ \ n \in \mathbb R ^ { d } , \ \ \vert n \vert = 1 , } \\ { I _ { 2 } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } ) s } s \widetilde { k } \cdot \left( \partial _ { \xi } ^ { \beta } \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , \widetilde { k } s ) \, \mathrm { d } s , \ \ \vert \beta \vert \in \lbrace 0 , 1 \rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \sum _ { i } \sum _ { j \in N _ { i } } \left( 1 - \delta _ { \sigma _ { i } , \sigma _ { j } } \right) g \left( \sigma _ { i } , \sigma _ { j } \right) + \lambda \sum _ { \sigma _ { i } } \left( a _ { i } - A _ { i } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
F _ { 0 } ( m , a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \sqrt { m ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \, [ \pi / 2 - \mathrm { a r c t a n } \, ( a / \sqrt { m ^ { 2 } - a ^ { 2 } } ) ] } } & { { m \geq a } } \\ { { } } & { { } } \\ { { - \sqrt { a ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \mathrm { l n } \, [ ( a + \sqrt { a ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, ) / m ] } } & { { m < a } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { N ^ { \gamma } \left( N ^ { 1 - \beta } \left( \chi ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) - \chi ( 0 ) \right) - G ( \chi ( 0 ) ) t \right) } \\ & { = N ^ { \gamma } \left( N ^ { 1 - \beta } H ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) - G ( \chi ( 0 ) ) t \right) + N ^ { 1 - \beta + \gamma } M ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) } \\ & { = N ^ { \gamma } \int _ { 0 } ^ { t } G ( \chi ^ { ( N ) } ( N ^ { \beta } u ) - G ( \chi ( 0 ) ) d u + o ( 1 ) + N ^ { 1 - \beta + \gamma } M ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) } \\ & { = N ^ { \gamma } \int _ { 0 } ^ { t } D G ( \chi ( 0 ) ) \bullet \left( \chi ^ { ( N ) } ( N ^ { \beta } u ) - \chi ( 0 ) \right) d u + o ( 1 ) + N ^ { 1 - \beta + \gamma } M ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) } \\ & { = N ^ { \gamma + \beta - 1 } D G ( \chi ( 0 ) ) \bullet \int _ { 0 } ^ { t } N ^ { 1 - \beta } \left( \chi ^ { ( N ) } ( N ^ { \beta } u ) - \chi ( 0 ) \right) d u + o ( 1 ) + N ^ { 1 - \beta + \gamma } M ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } [ X \leq ( p - t ) n ] } & { \leq e ^ { - ( N - n ) { \mathrm { D } } ( p + { \frac { t n } { N - n } } | | p ) } \leq e ^ { - 2 t ^ { 2 } n { \frac { n } { N - n } } } } \\ { \operatorname* { P r } [ X \geq ( p + t ) n ] } & { \leq e ^ { - ( N - n ) { \mathrm { D } } ( p - { \frac { t n } { N - n } } | | p ) } \leq e ^ { - 2 t ^ { 2 } n { \frac { n } { N - n } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { c _ { 1 } = \frac { c - \bar { y } c ^ { s } + x c ^ { t } - x \bar { y } c ^ { u } } { 4 } , \quad c _ { 2 } = \frac { c + \bar { y } c ^ { s } - x c ^ { t } - x \bar { y } c ^ { u } } { 4 } , } \\ & { c _ { 3 } = \frac { c + \bar { y } c ^ { s } + x c ^ { t } + x \bar { y } c ^ { u } } { 4 } , \quad c _ { 4 } = \frac { c - \bar { y } c ^ { s } - x c ^ { t } + x \bar { y } c ^ { u } } { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { z } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } } & { { } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) = H _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } ( x _ { 0 } ^ { \prime } , x _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \prod _ { i = 1 } ^ { \tau ^ { \prime } / \Delta t - 1 } \widetilde { h } ( x _ { i \Delta t } ^ { \prime } ) } \end{array}
{ \frac { q _ { w } } { \tau _ { w } U } } = { \frac { { \tilde { T } } _ { w } - { \tilde { T } } _ { r } } { ( \gamma - 1 ) \mathrm { M } ^ { 2 } \mathrm { P r } } } , \quad { \tilde { T } } _ { r } = 1 + { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } \mathrm { M } ^ { 2 } \mathrm { P r } ,
\begin{array} { r l } { \left\vert \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \langle v \rangle ^ { 2 } f ( t , x , v ) d v \right\vert } & { \leq C _ { q } M _ { 0 } e ^ { - t } + \frac { C _ { q } } { N ^ { q - 5 } } \overbar { M } } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - ( t - s ) } \int _ { \vert v \vert \leq N } \langle v \rangle ^ { 2 } \vert \mathbf { P } f ( s , x - v ( t - s ) , v ) \vert d v d s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - ( t - s ) } \int _ { \vert v \vert \leq N } \langle v \rangle ^ { 2 } \vert \Gamma ( f ) ( s , x - v ( t - s ) , v ) \vert d v d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \eta } { 1 - \eta } } & { = } & { \frac { 4 } { 3 \sqrt { \pi } } ( R _ { \mathrm { \mathrm { s u b } } } - 1 ) \frac { \Gamma ( \kappa + 1 ) } { ( \kappa - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \Gamma ( \kappa - \frac { 1 } { 2 } ) } \frac { \xi ^ { 3 } } { \Big [ 1 + \frac { \xi ^ { 2 } } { \kappa - \frac { 3 } { 2 } } \Big ] ^ { \kappa + 1 } } \cdot } \\ & { \cdot } & { \Bigg [ 1 - \frac { 4 } { \sqrt { \pi } } \frac { \Gamma ( \kappa + 1 ) } { ( \kappa - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 1 / 2 - \kappa } ( 2 \kappa - 1 ) \Gamma ( \kappa - \frac { 1 } { 2 } ) } \xi ^ { 1 - 2 \kappa } \Bigg ] , } \end{array}
\gamma = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { \mathrm { R e } \mathrm { P e } _ { s } \left( \sin \theta \right) ^ { 2 } \Gamma _ { 0 } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } }
\Gamma ^ { \mu \nu } = ( p ^ { 2 } + A ) \left( \eta ^ { \mu \nu } - { \frac { p ^ { \mu } p ^ { \nu } } { p ^ { 2 } } } - { \frac { \bar { \theta } ^ { \mu } \bar { \theta } ^ { \nu } } { \bar { \theta } ^ { 2 } } } \right) + ( p ^ { 2 } + A + B ) \, { \frac { \bar { \theta } ^ { \mu } \bar { \theta } ^ { \nu } } { \bar { \theta } ^ { 2 } } } + { \frac { p ^ { \mu } p ^ { \nu } } { \xi } }
\begin{array} { r l } { C } & { = C _ { 2 1 } y E _ { 2 1 } + C _ { 1 2 } y ^ { 2 } E _ { 1 2 } + C _ { 2 3 } x y ^ { 4 } E _ { 2 3 } + ( C _ { 1 3 } ^ { ( 1 ) } x ^ { 2 } y ^ { 2 } + C _ { 1 3 } ^ { ( 2 ) } y ^ { 7 } ) E _ { 1 3 } , } \\ { N } & { = N _ { 1 3 } x y ^ { 3 } E _ { 1 3 } + ( N _ { 2 3 } ^ { ( 1 ) } f + N _ { 2 3 } ^ { ( 2 ) } ( x ^ { 2 } + y ^ { 5 } ) ) E _ { 2 3 } . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } { \qquad \displaystyle \{ { \mathrm { S u b g r o u p ~ o f ~ } } \pi _ { 1 } ( X ) \} } & { \longleftrightarrow } & { \displaystyle \{ { \mathrm { p a t h - c o n n e c t e d ~ c o v e r i n g ~ } } p : E \rightarrow X \} } \\ { H } & { \longrightarrow } & { \alpha : X _ { H } \rightarrow X } \\ { p _ { \# } ( \pi _ { 1 } ( E ) ) } & { \longleftarrow } & { p } \\ { \displaystyle \{ { \mathrm { n o r m a l ~ s u b g r o u p ~ o f ~ } } \pi _ { 1 } ( X ) \} } & { \longleftrightarrow } & { \displaystyle \{ { \mathrm { n o r m a l ~ c o v e r i n g ~ } } p : E \rightarrow X \} } \\ { H } & { \longrightarrow } & { \alpha : X _ { H } \rightarrow X } \\ { p _ { \# } ( \pi _ { 1 } ( E ) ) } & { \longleftarrow } & { p } \end{array} }
P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ n ~ g ~ - ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } = \sum _ { i = 1 } ^ { C _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { i } } \frac { \lvert \mathbf { u } _ { j } \rvert } { \lvert \mathbf { u } _ { i } \rvert } P _ { i } ,
( \Omega - \vec { \cal Q } \cdot \vec { U } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( \Omega ^ { 2 } - 4 e ^ { 2 } \omega _ { 0 e } ^ { 2 } ) - 4 e ^ { 2 } \omega _ { 0 e ^ { \prime } } ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } = 0 \, .
\frac { \partial \sigma } { \partial M } = ( 2 - \omega ) C _ { 1 } \left( \frac { M } { \Lambda } \right) ^ { 1 - \omega } + ( 2 + \omega ) D _ { 1 } \left( \frac { M } { \Lambda } \right) ^ { 1 + \omega } + { \cal O } ( \left( \frac { M } { \Lambda } \right) ^ { 5 - 3 \omega } ) ,
R ( \lambda , \mu ) = \left[ \begin{array} { c c c c } { { f ( \mu , \lambda ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { g ( \mu , \lambda ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { g ( \mu , \lambda ) } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { f ( \mu , \lambda ) } } \end{array} \right]
T _ { \mu \nu } ~ = ~ i \, \int \, d ^ { 4 } x \, \exp ( i \, q \cdot x ) < K ( p _ { K } ) \pi ( p _ { \pi } ) | \mathrm { T } ( J _ { \mu } ( x ) J _ { \nu } ( 0 ) ) | B ( p _ { B } ) > ~ ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = f ( z ) } \\ & { \geqslant \left| a _ { n } z ^ { n } + a _ { n - 1 } z ^ { n - 1 } + a _ { n - 2 } z ^ { n - 2 } + a _ { n - 3 } z ^ { n - 3 } \right| - \left| \sum _ { i = 0 } ^ { n - 4 } a _ { i } z ^ { i } \right| } \\ & { \geqslant | z | ^ { n } \left| a _ { n } + \frac { a _ { n - 1 } } { z } + \frac { a _ { n - 2 } } { z ^ { 2 } } + \frac { a _ { n - 3 } } { z ^ { 3 } } \right| - ( k - 1 ) \sum _ { i = 0 } ^ { n - 4 } | z | ^ { i } } \\ & { \geqslant | z | ^ { n } \operatorname { R e } \left( a _ { n } + \frac { a _ { n - 1 } } { z } + \frac { a _ { n - 2 } } { z ^ { 2 } } + \frac { a _ { n - 3 } } { z ^ { 3 } } \right) - ( k - 1 ) \frac { | z | ^ { n - 3 } - 1 } { | z | - 1 } } \end{array}