harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \rVert M _ { x } ( Q ) - M _ { \varphi , x } ( Q ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \\ & { \rVert d _ { i } ( M _ { x } ( Q ) - M _ { \varphi , x } ( Q ) ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } U ^ { n } ( I - U ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { \frac { 1 } { N } } ( I - U ^ { N } ) = 0
\begin{array} { r } { C ( \Omega _ { t } ^ { \mathbf { c } , \mathbf { d } } , \Omega _ { t } ^ { \mathbf { c } ^ { \prime } , \mathbf { d } ^ { \prime } } ) ( 0 , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { M \left( \prod _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { a ^ { \prime } } p _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } \right) \left( \prod _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { b ^ { \prime } } q _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \right) } & { { \mathbf { c } } = { \mathbf { c } } ^ { \prime } , { \mathbf { d } } = { \mathbf { d } } ^ { \prime } } \\ { 0 , } & { { \mathbf { c } } \neq { \mathbf { c } } ^ { \prime } , { \mathbf { d } } = { \mathbf { d } } ^ { \prime } } \\ { \ 0 , } & { { \mathbf { c } } = { \mathbf { c } } ^ { \prime } , { \mathbf { d } } \neq { \mathbf { d } } ^ { \prime } } \\ { 0 , } & { { \mathbf { c } } \neq { \mathbf { c } } ^ { \prime } , { \mathbf { d } } \neq { \mathbf { d } } ^ { \prime } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { U } { U _ { p } } = } & { { } \frac { 3 } { 2 } \left( 1 - c _ { h } ^ { 2 } \right) - \frac { 2 h ^ { 2 } } { \nu t _ { O } } \sum _ { n h = 1 } ^ { \infty } \left( e ^ { - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } ) t } \left( - e ^ { - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } } \right) \left( t - t _ { o } \right) \right) } \end{array}
f ( x ) = { \frac { 1 + \sqrt { q } T _ { q } } { 2 } } f _ { 1 } ( x ) + { \frac { 1 - \sqrt { q } T _ { q } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { x } f _ { 1 } ^ { 2 } ( y ) d y - { \frac { \omega } { 2 } } ( x - x _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { F \equiv F ( z ) } & { : = | \mathbf { m } ( z ) | S | \mathbf { m } ( z ) | , } \\ { B \equiv B ( z , \zeta ) } & { : = 1 - S \mathbf { m } ( z ) \mathbf { m } ( \zeta ) , } \\ { B _ { 0 } \equiv B _ { 0 } ( z ) } & { : = 1 - S | \mathbf { m } ( z ) | ^ { 2 } = | \mathbf { m } ( z ) | ^ { - 1 } ( 1 - F ) | \mathbf { m } ( z ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { \boldsymbol S } & { = \left( \begin{array} { c c c } { - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \\ { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } & { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \end{array} \right) \; , } & { \boldsymbol S ^ { - 1 } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } & { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \end{array} \right) } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \mathcal { J } _ { 0 } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { \alpha } & { - \omega _ { * } } & { 0 } \\ { \omega _ { * } } & { \alpha } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \beta } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { 2 } ( \hat { u } _ { 2 } ^ { [ k ] } ) } & { \displaystyle \geq \frac 1 2 b _ { 2 } ( \hat { u } _ { 2 } ^ { [ k ] } - u _ { 2 } ^ { [ k ] } , \hat { u } _ { 2 } ^ { [ k ] } - u _ { 2 } ^ { [ k ] } ) } \\ & { \displaystyle = \int _ { \Omega _ { 2 } } \left( \frac { c _ { 2 } } { 2 } | \nabla ( \hat { u } _ { 2 } ^ { [ k ] } - u _ { 2 } ^ { [ k ] } ) | ^ { 2 } + \frac 1 2 | \hat { u } _ { 2 } ^ { [ k ] } - u _ { 2 } ^ { [ k ] } | ^ { 2 } \right) d x } \\ & { \displaystyle \geq \frac { \check { c } _ { 2 } } { 2 } \lVert \hat { u } _ { 2 } ^ { [ k ] } - u _ { 2 } ^ { [ k ] } \rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { 2 } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \int _ { \Omega } \left( f ( \phi _ { h } ^ { n + 1 } ) g ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } ) + \psi \left( \phi _ { h } ^ { n + 1 } \right) + h \left( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } \right) \right) + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla \phi _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle + \frac { 1 } { 2 } \left| \left| \nabla \left( \phi _ { h } ^ { n + 1 } - \phi _ { h } ^ { n } \right) \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \left| \left| \nabla \left( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } - \mathbf { F } _ { h } ^ { n } \right) \right| \right| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle + \Delta t \nu | | \nabla \mathbf { v } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \gamma | | \mathbf { M } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \int _ { \Omega } b \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } } \\ & { \displaystyle \leq \int _ { \Omega } \left( f ( \phi _ { h } ^ { n } ) g ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) + \psi \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) + h \left( \mathbf { F } _ { h } ^ { n } \right) \right) + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla \phi _ { h } ^ { n } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { F } _ { h } ^ { n } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
G _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \vec { \rho } , u ) = \frac { g } { L } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \cos ( \frac { n \pi u } { L } ) \int d ^ { d - 1 } p \frac { e ^ { i \vec { p } . \vec { \rho } } } { ( \vec { p } ^ { \, 2 } + ( \frac { n \pi } { L } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } ,
F _ { j k } ( p ) = A ( l _ { \{ p , p + \mu _ { j } \} } ) + A ( l _ { \{ p + \mu _ { j } , p + \mu _ { j } + \nu _ { k } \} } ) - A ( l _ { \{ p + \mu _ { j } + \nu _ { k } , p + \nu _ { k } \} } - A ( l _ { \{ p + \nu _ { k } , p \} } )
\frac { l _ { \nu \mu } ^ { \mu \nu } \Gamma ( n - 1 ) } { 4 \Gamma ( n / 2 + 1 ) } - \frac { l _ { \mu \nu } ^ { \mu \nu } \Gamma ( n - 1 ) } { 4 \Gamma ( n / 2 + 1 ) } ) .
E _ { \mathrm { t o t } } = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } { \dot { \mathbf { x } } } _ { 1 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } { \dot { \mathbf { x } } } _ { 2 } ^ { 2 } + U ( \mathbf { r } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) { \dot { \mathbf { R } } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \mu { \dot { \mathbf { r } } } ^ { 2 } + U ( \mathbf { r } )
V _ { s } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } + L ^ { 2 } ) = U _ { 2 } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } ) V _ { s } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } ) U _ { 2 } ^ { \dagger } ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \rho ( \Sigma _ { R } , z _ { 0 } , \delta ) : = \operatorname* { i n f } \big \{ \rho \in ( z _ { 0 } , R ] : } & { \ \Sigma _ { R } \cap \mathbb { R } ^ { n } \times \{ z \} \subset \sqrt { z } \mathbb { B } _ { \delta } ^ { n } ( S ) \times \{ z \} , \ \ \ \forall \rho \leq z \leq R ; } \\ & { \ \Sigma _ { R } \cap \mathbb { R } ^ { n } \times [ \rho , R / 2 ] = \mathrm { E S } [ u _ { R } ] \mathrm { ~ w i t h ~ } \| u _ { R } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 } , S \times [ \rho , R / 2 ] } \leq \delta \big \} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 2 A } & { = { \left| \begin{array} { l l } { 1 } & { 3 } \\ { 6 } & { 1 } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l } { 3 } & { 7 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l } { 7 } & { 4 } \\ { 2 } & { 4 } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l } { 4 } & { 8 } \\ { 4 } & { 5 } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l } { 8 } & { 1 } \\ { 5 } & { 6 } \end{array} \right| } } \\ & { = 1 - 1 8 \; + 6 - 7 \; + 2 8 - 8 \; + 2 0 - 3 2 \; + 4 8 - 5 = 3 3 } \\ { A } & { = 1 6 . 5 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { p \big [ n _ { U } - k \; \mathrm { i n } \; \alpha \big ] } & { = \bigg [ \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \Big ( 1 - \frac { 2 r } { \pi r _ { 1 } } \Big ) \bigg ] ^ { n _ { U } - k } \exp \bigg [ - \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \Big ( 1 - \frac { 2 r } { \pi r _ { 1 } } \Big ) \bigg ] \bigg [ ( n _ { U } - k ) ! \bigg ] ^ { - 1 } } \\ { p \big [ k \; \mathrm { i n } \; \beta \big ] } & { = \big ( \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \big ) ^ { k } \exp \big ( - \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \big ) \big ( k ! \big ) ^ { - 1 } } \\ { p \big [ n _ { U } ^ { \prime } - k \; \mathrm { i n } \; \gamma \big ] } & { = \bigg [ \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \Big ( 1 - \frac { 2 r } { \pi r _ { 1 } } \Big ) \bigg ] ^ { n _ { U } ^ { \prime } - k } \exp \bigg [ - \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \Big ( 1 - \frac { 2 r } { \pi r _ { 1 } } \Big ) \bigg ] \bigg [ ( n _ { U } ^ { \prime } - k ) ! \bigg ] ^ { - 1 } } \\ { p \big [ n _ { U } \; \mathrm { i n } \; ( \alpha \cup \beta ) \big ] } & { = \big ( \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \big ) ^ { n _ { U } } \exp \big ( - \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \big ) \big ( n _ { U } ! \big ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ^ { \ell } = ( c _ { x , 0 } ^ { \ell } , c _ { y , 0 } ^ { \ell } , r _ { 0 , 0 } ^ { \ell } , r _ { 1 , 0 } ^ { \ell } , \ldots , r _ { Z - 1 , 0 } ^ { \ell } , \mu _ { \mathrm { i , 0 } } ^ { \ell } ) , \quad \ell = 1 , \ldots , L , } \end{array}
\omega _ { g c } = \left( \begin{array} { c c c c c c c } & { d X _ { g c } ^ { 1 } } & { d X _ { g c } ^ { 2 } } & { d X _ { g c } ^ { 3 } } & { d V _ { \parallel } } & { d \mu } & { d \theta } \\ { d X _ { g c } ^ { 1 } } & { 0 } & { \frac { e } { c } B _ { 3 } } & { - \frac { e } { c } B _ { 2 } } & { - m b _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { d X _ { g c } ^ { 2 } } & { - \frac { e } { c } B _ { 3 } } & { 0 } & { \frac { e } { c } B _ { 1 } } & { - m b _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { d X _ { g c } ^ { 3 } } & { \frac { e } { c } B _ { 2 } } & { - \frac { e } { c } B _ { 1 } } & { 0 } & { - m b _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { d V _ { \parallel } } & { m b _ { 1 } } & { m b _ { 2 } } & { m b _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { d \mu } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { m \frac { c } { e } } \\ { d \theta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - m \frac { c } { e } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { u } } _ { x t } \| ^ { 2 } = - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \tilde { u } \tilde { v } ) _ { t } { \tilde { u } } _ { x t } { \mathrm { d } x } - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \alpha \tilde { v } ) _ { t } { \tilde { u } } _ { x t } { \mathrm { d } x } - \alpha ^ { \prime \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } _ { t } { \mathrm { d } x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { D } : } & { = ( \mathbf { u } , \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } ) _ { \omega } - ( \bar { \mathbf { u } } , \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \bar { \mathbf { u } } ) _ { \Omega } } \\ & { = \mathbf { u } ^ { T } \boldsymbol { \omega } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } - \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \boldsymbol { \Omega } \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \bar { \mathbf { u } } \quad \xrightarrow { \mathrm { u n i f o r m ~ g r i d } } } \\ & { = \frac { H } { J } \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } - H \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \bar { \mathbf { u } } . } \end{array}
\pi _ { x } \colon \ensuremath { \ensuremath { \mathrm { C } ^ { * } } _ { \mathrm { r e d } } } ( \mathcal { I } _ { x } ^ { \ensuremath { \mathcal { G } } } , \mathcal { I } _ { x } ^ { \ensuremath { \mathcal { E } } } ) \to \pi ( \ensuremath { \ensuremath { \mathrm { C } ^ { * } } _ { \mathrm { r e d } } } ( \mathcal { I } ^ { \ensuremath { \mathcal { G } } } , \mathcal { I } ^ { \ensuremath { \mathcal { E } } } ) ) _ { x }
T _ { \mathbf { v } } \mathbf { p } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { v _ { x } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { v _ { y } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { v _ { z } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { p _ { x } } \\ { p _ { y } } \\ { p _ { z } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { p _ { x } + v _ { x } } \\ { p _ { y } + v _ { y } } \\ { p _ { z } + v _ { z } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = \mathbf { p } + \mathbf { v }
\bar { \cal K } = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + 4 - \frac { 6 } { \cosh ^ { 2 } x } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + \sigma ^ { 2 } - \frac { 2 } { \cosh ^ { 2 } x } } } \end{array} \right)
G _ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } u _ { j } \sigma ( ( \boldsymbol { k } _ { j } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b _ { j } ^ { x } ) \sigma ( k ^ { t } t + b _ { j } ^ { t } )
y _ { 1 } = \rho _ { 0 } ^ { 2 } \mathrm { e x p } \left( 1 - { \frac { A } { B } } \right) \, , \, y _ { \chi } = \sqrt { e } y _ { 1 } \, , \, \chi = 1 + { \frac { B } { 2 \rho _ { 0 } ^ { 4 } } } \mathrm { e x p } \left( { \frac { 2 A } { B } } - 3 \right) ~ .
\begin{array} { r l } { - 2 f ( t ) + F _ { m } ( t ) = - 2 k \big ( x ( t ) - X ( t ) \big ) - 2 k _ { c } \big ( \theta ( t ) - \Theta ( t ) \big ) + F _ { m } ( t ) } & { = m \, \ddot { x } ( t ) \, , } \\ { - 2 t ( t ) + T _ { m } ( t ) = - 2 k _ { c } \big ( x ( t ) - X ( t ) \big ) - 2 k _ { t } \big ( \theta ( t ) - \Theta ( t ) \big ) + T _ { m } ( t ) } & { = I _ { m } \, \ddot { \theta } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { E 0 } } & { { } = } & { q \, \Phi ( \psi ) , } \\ { H _ { E 1 } } & { { } = } & { q \, \Phi _ { 1 } ( \psi ) \; + \; \mu _ { 0 } \, B _ { 0 } \; + \; m \, { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, c \, \Phi ^ { \prime } ( \psi ) \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } , } \end{array}
\tilde { c } _ { g , z } = k c _ { g , z } = \pm \frac { 2 \Omega ( 1 - ( N / ( 2 \Omega ) ) ^ { 2 } ) ( k _ { z } / k _ { h } ) } { \sqrt { ( N / ( 2 \Omega ) ) ^ { 2 } + ( k _ { z } / k _ { h } ) ^ { 2 } } ( 1 + ( k _ { z } / k _ { h } ) ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { ( \sum { A _ { i } I _ { i } \tau _ { i } } ) = A _ { e } I _ { e } \tau _ { e } + A _ { w w } I _ { w w } \tau _ { w w } \ + A _ { s r } I _ { s r } \tau _ { s r } \ + \ A _ { n r } I _ { n r } \tau _ { n r } \ + A _ { s } I _ { s } \tau _ { s } } \end{array}
\tilde { v } ( \mathbf { x } , \mathbf { k } ) = ( \mathscr { G } \- v ) ( \mathbf { x } , \mathbf { k } ) = | \widetilde { \Omega } | ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \mathbf { a } \in \Gamma } e ^ { - i \left< \mathbf { k } , \mathbf { x } + \mathbf { a } \right> } v ( \mathbf { x } + \mathbf { a } ) , \qquad \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { d } , \quad \mathbf { k } \in \mathbb { R } ^ { d } .
d = { \vec { r } } _ { s } \cdot { \vec { n } } _ { 0 } = | { \vec { r } } _ { s } | \cdot | { \vec { n } } _ { 0 } | \cdot \cos ( 0 ^ { \circ } ) = | { \vec { r } } _ { s } | \cdot 1 = | { \vec { r } } _ { s } | .
\begin{array} { l l } { { \displaystyle { \frac { d w _ { b } ^ { ( 2 ) } } { d \omega } = \frac { \alpha } { \pi \omega } r _ { 2 } ~ \mathrm { R e } ~ \nu ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } t d t \exp \left( - i \kappa t \right) \left[ \frac { 1 } { \sinh ^ { 2 } \nu t } - \frac { 1 } { ( \nu t ) ^ { 2 } } \right] } } } \\ { { \displaystyle { = \frac { \alpha } { \pi \omega } r _ { 2 } ~ \mathrm { R e } ~ \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \exp \left( - i \frac { z } { \tilde { \nu } } \right) \left[ \frac { z } { \sinh ^ { 2 } z } - \frac { 1 } { z } \right] } } } \\ { { \displaystyle { = \frac { \alpha } { \pi \omega } r _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \exp \left( - \tilde { s } z \right) \cos \tilde { s } z \left[ \frac { z } { \sinh ^ { 2 } z } - \frac { 1 } { z } \right] } , } } \end{array}
U _ { D } ( \lambda ) \psi _ { \alpha } ( r , p ) = e ^ { - \lambda / 2 } \sqrt { \frac { 2 p } { \pi } } \ \frac { r \cos \alpha \cos ( e ^ { - \lambda } r p ) - \sin \alpha \sin ( e ^ { - \lambda } r p ) } { \sqrt { r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha + \sin ^ { 2 } \alpha } } .
L ( \theta ) = \underset { \tau \sim \pi _ { \theta } } { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { t = 0 } ^ { T } \log \left( \pi _ { \theta } ( a _ { t } \vert s _ { t } ) \right) A ^ { \pi _ { \theta } } ( s _ { t } , a _ { t } ) \right] ,
\cos { \theta _ { j } } \hat { B } _ { \mathrm { ~ u ~ } , j } ^ { \dag } = \sum _ { k = 1 } ^ { l } U _ { j k } \hat { a } _ { k } ^ { \dag } , \quad \sin { \theta _ { j } } \hat { B } _ { \mathrm { ~ d ~ } , j } ^ { \dag } = \sum _ { k = l + 1 } ^ { M } U _ { j k } \hat { a } _ { k } ^ { \dag } ,
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathbb P } } _ { N } ^ { \beta , h _ { w } } } & { \left( \left\{ \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert \le C N ^ { \frac { 4 } { 3 } } \right\} \bigcap \left\{ \left\vert \phi ^ { - 1 } ( [ 1 , H _ { w } - m ] ) \right\vert \ge 2 e ^ { - 2 \beta m } N ^ { 2 } \right\} \right) } \\ & { \le 2 \exp \left( 4 \beta N + 4 \beta C N ^ { \frac { 4 } { 3 } } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 \beta m } N ^ { \frac { 4 } { 3 } } \right) . } \end{array}
\left. \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial g _ { k } \partial a _ { \ell } } \left\langle \frac 1 N \, \mathrm { t r } \, \frac { 1 } { z - \phi } \right\rangle \right| _ { g _ { j } = 0 } = 0 \ \ \mathrm { ~ i f ~ } \ \ \ell + 2 > k .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { b } _ { 1 } } & { = { \cfrac { \partial x _ { 1 } } { \partial q ^ { 1 } } } \mathbf { e } _ { 1 } + { \cfrac { \partial x _ { 2 } } { \partial q ^ { 1 } } } \mathbf { e } _ { 2 } + { \cfrac { \partial x _ { 3 } } { \partial q ^ { 1 } } } \mathbf { e } _ { 3 } } \\ { \mathbf { b } _ { 2 } } & { = { \cfrac { \partial x _ { 1 } } { \partial q ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { 1 } + { \cfrac { \partial x _ { 2 } } { \partial q ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { 2 } + { \cfrac { \partial x _ { 3 } } { \partial q ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { 3 } } \\ { \mathbf { b } _ { 3 } } & { = { \cfrac { \partial x _ { 1 } } { \partial q ^ { 3 } } } \mathbf { e } _ { 1 } + { \cfrac { \partial x _ { 2 } } { \partial q ^ { 3 } } } \mathbf { e } _ { 2 } + { \cfrac { \partial x _ { 3 } } { \partial q ^ { 3 } } } \mathbf { e } _ { 3 } } \end{array} }
R = r _ { 0 } + r _ { p } ^ { q } \{ E _ { q } ^ { p } \} + \frac { 1 } { 4 } r _ { p q } ^ { s t } \{ E _ { s t } ^ { p q } \} + \frac { 1 } { 3 6 } r _ { p q s } ^ { t u v } \{ E _ { t u v } ^ { p q s } \} + . . .
\begin{array} { r l } { | J _ { 3 } | } & { \leq C \| \xi \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T ] ) } \| w _ { 1 } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T ] ) } [ \| w \| _ { \mathcal { C } ( \bar { \Omega } _ { T _ { 3 } } ) } + \langle w \rangle _ { t , \Omega _ { T _ { 3 } } } ^ { ( \theta / 2 ) } ] \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \tau ^ { - \theta } ( t _ { 2 } - \tau ) ^ { \theta / 2 } [ 1 + ( t _ { 2 } - \tau ) ^ { 1 - \theta / 2 } ] d \tau } \\ & { \leq C \Delta t ^ { \theta / 2 } \| \xi \| _ { \mathcal { C } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } \| w _ { 1 } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T ] ) } [ \| w \| _ { \mathcal { C } ( \bar { \Omega } _ { T _ { 3 } } ) } + \langle w \rangle _ { t , \Omega _ { T _ { 3 } } } ^ { ( \theta / 2 ) } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bigg ( \frac { \partial } { \partial z } + K \bigg ) I _ { + } ( z ) } & { { } = } & { - S \bigg ( I _ { + } ( z ) - I _ { - } ( z ) \bigg ) + \bar { \cal J } ( z ) } \\ { \bigg ( \! - \frac { \partial } { \partial z } + K \bigg ) I _ { - } ( z ) } & { { } = } & { - S \bigg ( I _ { - } ( z ) - I _ { + } ( z ) \bigg ) + \bar { \cal J } ( z ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d i } { d t } } & { { } = } & { i \left( \left( \bar { \beta } + ( { \bar { w } } + { { u } } i ) \frac { \bar { \eta } ( p i + q ) } { a \bar { \eta } ( p i + q ) + 1 } \right) ( 1 - i - r ) - \alpha \right) } \\ { \frac { d r } { d t } } & { { } = } & { \left( i \alpha p _ { r } - r l _ { i } \right) } \end{array}
R = \operatorname * { d e t } ( B ) / \operatorname * { d e t } ( C ) = { \frac { \operatorname * { d e t } ( \left< W _ { 0 } ^ { * } \psi _ { \alpha } \; , \; \phi _ { \beta } ^ { 1 } \right> ) } { \operatorname * { d e t } ( \left< \psi _ { \alpha } \; , \; \phi _ { \beta } \right> ) } } .
\begin{array} { r l } { \mu _ { 2 0 } \to } & { { } \frac { K } { 2 } \biggl \{ 1 - \alpha ^ { 2 } + \frac { 2 { d _ { r } } \kappa ( 1 + \beta ) } { { d _ { t } } ( 1 + \kappa ) ^ { 2 } } \biggl [ 1 - \theta + \frac { \kappa ( 1 - \beta ) } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin \left( \frac { n \omega _ { c r } } { c } L \right) \left[ \cos \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } } { c } L _ { 0 } \right) \mathcal { R } ( \omega _ { c r } ) - \sin \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } } { c } L _ { 0 } \right) \mathcal { I } ( \omega _ { c r } ) \right] } & { = \cos \frac { \pi ( l + \frac { 1 } { 2 } ) } { 2 N + 1 } , } \\ { \cos \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } } { c } L _ { 0 } \right) \mathcal { I } ( \omega _ { c r } ) + \sin \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } } { c } L _ { 0 } \right) \mathcal { R } ( \omega _ { c r } ) } & { = 0 . } \end{array}
\Gamma ( D ^ { + } ) - \Gamma ( D ^ { 0 } ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { c } ^ { 2 } } { 4 \pi } | V _ { c s } | ^ { 2 } | V _ { u d } | ^ { 2 } [ \langle D ^ { + } | P ^ { c d } | D ^ { + } \rangle - \langle D ^ { 0 } | P ^ { c u } | D ^ { 0 } \rangle ] \, ,
E _ { C } ^ { \mathrm { f i x e d } } ( R \to \infty , T ) = \frac { R T } { 2 } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Omega _ { n } = 2 \pi R T ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n = 2 \pi R T ^ { 2 } \zeta ( - 1 ) = - \frac { \pi R T ^ { 2 } } { 6 } \, { , }
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ I ~ . ~ a ~ : ~ } \displaystyle \frac { \lambda _ { \alpha } } { 2 } \frac { \partial } { \partial t } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { i } ^ { \alpha * } ) } \\ { \mathrm { ~ I ~ . ~ b ~ : ~ } \lambda _ { \alpha } \langle \tilde { u } _ { j } \rangle \nabla _ { j } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { i } ^ { \alpha * } ) } \\ { \mathrm { ~ I ~ I ~ : ~ } \lambda _ { \alpha } \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { \alpha } ^ { j * } \nabla _ { j } \langle \tilde { u } ^ { i } \rangle } \\ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ : ~ } \displaystyle - \frac { 1 } { 2 } \langle a _ { \alpha } a ^ { \beta * } a _ { \gamma } \rangle \varphi _ { \gamma } ^ { j } \nabla _ { j } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { \beta } ^ { i * } ) } \\ { \mathrm { ~ I ~ V ~ : ~ } \displaystyle \frac { 1 } { \rho } \varphi _ { i } ^ { \alpha * } \langle a _ { \alpha } \nabla _ { i } p \rangle } \\ { \mathrm { ~ V ~ : ~ } \nu \lambda _ { \alpha } \nabla _ { j } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \nabla ^ { j } \varphi _ { \alpha } ^ { i * } + \varphi _ { i } ^ { \alpha } \nabla ^ { i } \varphi _ { \alpha } ^ { j * } ) } \\ { \mathrm { ~ V ~ I ~ : ~ } \nu \lambda _ { \alpha } ( \nabla ^ { j } \varphi ^ { i \alpha } \nabla _ { j } \varphi _ { i \alpha } ^ { * } + \nabla ^ { i } \varphi ^ { j \alpha } \nabla _ { j } \varphi _ { i \alpha } ^ { * } ) } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } \tilde { c } _ { a } ( t ) } & { { } = ( \omega _ { a } - \omega _ { g } - \omega ) \tilde { c } _ { a } ( t ) + \int { d E \frac { \mathcal { V } _ { a E } \mathcal { D } _ { g E } ^ { * } e ^ { i \omega t } } { \omega _ { g } + \omega - \omega _ { E } } \tilde { c } _ { g } ( t ) } } \end{array}