harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \frac { 1 } { \boldsymbol { \triangle } t ^ { 4 } } + \frac { \eta } { \boldsymbol { \triangle } t ^ { 3 } } \right) \boldsymbol { \mathbf { P } } ^ { n + 1 } } & { { } = \left( \frac { 4 } { \boldsymbol { \triangle } t ^ { 4 } } + \frac { 2 \eta } { \boldsymbol { \triangle } t ^ { 3 } } - \frac { 2 \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } { \boldsymbol { \triangle } t ^ { 2 } } - \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \eta } { \boldsymbol { \triangle } t } \right) \boldsymbol { \mathbf { P } } ^ { n } + \left( - \omega _ { 0 } ^ { 4 } - \frac { 6 } { \boldsymbol { \triangle } t ^ { 4 } } + 2 \frac { 2 \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } { \boldsymbol { \triangle } t ^ { 2 } } \right) \boldsymbol { \mathbf { P } } ^ { n - 1 } } \end{array}
{ \mathcal { P } } ( s | d ) \propto e ^ { - { \mathcal { H } } ( d , s ) } \propto e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \, ( s - m ) ^ { \dagger } D ^ { - 1 } ( s - m ) } \propto { \mathcal { G } } ( s - m , D )
X \; C _ { 1 } \: { \cal { B } } \: C _ { 1 } \: { \cal { B } } \: \cdots \: { \cal { B } } \: C _ { n } \; = \; X C _ { 1 } \: { \cal { B } } \: X C _ { 1 } \: { \cal { B } } \: \cdots \: { \cal { B } } \: X C _ { n } \; \; \; \; \;
\begin{array} { r l } { E ^ { * } ( ( A _ { 3 , K , I , n } ^ { * } ) ^ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } ) } & { = \sum _ { i = K + 1 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \left( \prod _ { h = i } ^ { j - 1 } \widehat f _ { h , n } ^ { * } \right) \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { l , n } ^ { * 2 } \right) } \end{array}
< v a c ^ { \prime } \mid : { W ^ { a } } _ { i } ( \vec { x } ) { W ^ { b } } _ { j } ( \vec { y } ) : \mid v a c ^ { \prime } > = { \delta } ^ { a b } \times ( 2 \pi ) ^ { - 3 } \int d \vec { k } e ^ { i \vec { k } . ( \vec { x } - \vec { y } ) } \; { \frac { F _ { + } ( \vec { k } ) } { \omega ( k ) } } \; \Delta _ { i j } ( \vec { k } ) ,
\frac { \| { W } \| } { K } = \frac { \| \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle \| } { \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } + { \bf { b } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \rangle / 2 } \le 1 .
\frac { \partial } { \partial x _ { j } } \Bigg ( C _ { R } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \Bigg ) \rightarrow \overline { { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \Bigg ( C _ { R } u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } \Bigg ) } }
\begin{array} { r l } { \mathsf { \Pi } _ { [ [ s r ] _ { J } , [ p q ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { J } \Pi _ { S _ { A } } } { C _ { S _ { B } \Sigma , K 0 } ^ { S _ { A } \Sigma } } \sum _ { \pi \theta \sigma \rho \tau } ( - 1 ) ^ { \tau } \, \times } \\ & { \times \, C _ { T \tau , J - \tau } ^ { K 0 } C _ { \frac { 1 } { 2 } \sigma , \frac { 1 } { 2 } \rho } ^ { J \tau } C _ { \frac { 1 } { 2 } \pi , \frac { 1 } { 2 } \theta } ^ { T \tau } \pi _ { r _ { \rho } s _ { \sigma } , p _ { \pi } q _ { \theta } } ^ { B A } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nu _ { \mathrm { H T S T } } = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 N - 3 } \, \nu _ { i } ^ { A } } { \prod _ { j = 1 } ^ { 3 N - 4 } \, \nu _ { j } ^ { S } } } \end{array}
\frac { \partial f ^ { 0 } } { \partial x ^ { 0 } } = \frac { \partial f ^ { a } } { \partial x ^ { a } } = \frac { \partial f ^ { a } } { \partial x ^ { b } } + \frac { \partial f ^ { b } } { \partial x ^ { a } } = \frac { \partial f ^ { 0 } } { \partial x ^ { b } } - \frac { \partial f ^ { b } } { \partial x ^ { 0 } } = 0 , \mathrm { f o r ~ } a , b \geq 1 .
\boldsymbol { r } \cdot \boldsymbol { \nabla } I ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { r } ) + \tau _ { h } n I ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { r } ) = \frac { \omega \tau _ { h } n } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } I ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ( 1 + A \cos { \alpha } \cos { \alpha ^ { \prime } } ) d \Omega ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \langle Z \rangle } & { = \rho \left[ 1 - \frac { B } { \sigma } \left( 1 - \frac { 2 E } { K } \right) \right] + \mathscr { O } ( \rho ^ { 1 / 2 } ) } \\ { \langle Z ^ { 2 } \rangle } & { = \rho ^ { 2 } \Big [ 1 - \frac { 3 \beta ( K - 2 E ) ^ { 2 } } { d _ { 1 } ^ { 2 } K } \big ( 8 e _ { 1 } + \beta e _ { 2 } \big ) \Big ] + \mathscr { O } ( \rho ^ { 3 / 2 } ) } \\ { \langle Z ^ { 3 } \rangle } & { = \rho ^ { 3 } \Big [ 1 - \frac { 9 \beta ( K - 2 E ) ^ { 2 } } { 5 d _ { 1 } ^ { 3 } K } \Big ( 2 0 d _ { 1 } e _ { 1 } + \beta ^ { 2 } ( K - 2 E ) \big ( ( 3 2 k ^ { 4 } - 3 6 k ^ { 2 } + 1 9 ) K - ( 6 4 k ^ { 4 } - 6 4 k ^ { 2 } + 3 4 ) E \big ) \Big ) \Big ] + \mathscr { O } ( \rho ^ { 5 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \mathcal { C } ) } & { = } & { \left( d _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) - 1 \right) d _ { ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) + d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \left( d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) - 1 \right) d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) + d _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) . } \end{array}
{ \widetilde T } _ { f \bar { f } } ^ { \mu \nu } ( k , k ^ { \prime } ) = \varepsilon ^ { \alpha \beta \mu \nu } k _ { \alpha } k _ { \beta } ^ { \prime } { \widetilde T } _ { f \bar { f } } ( k ^ { 2 } , k ^ { \prime 2 } ) ~ .
\begin{array} { r l r } { \psi ^ { ( i ) } ( r _ { i } ^ { \prime } , \rho _ { i } ^ { \prime } ) } & { = } & { C ^ { ( i ) } \frac { K _ { s _ { n } } \left( \sqrt { 2 } \kappa _ { 0 } \sqrt { r _ { i } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } } \right) } { \big ( r _ { i } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } \big ) ^ { D / 2 - 1 / 2 } } \frac { \sqrt { \sin \big [ 2 \arctan \left( r _ { i } ^ { \prime } / \rho _ { i } ^ { \prime } \right) \big ] } } { \big \{ \cos \big [ \arctan \left( r _ { i } ^ { \prime } / \rho _ { i } ^ { \prime } \right) \big ] \ \sin \big [ \arctan \left( r _ { i } ^ { \prime } / \rho _ { i } ^ { \prime } \right) \big ] \big \} ^ { D / 2 - 1 / 2 } } } \\ & { \times } & { \left[ P _ { s _ { n } / 2 - 1 / 2 } ^ { D / 2 - 1 } \Big \{ \cos \big [ 2 \arctan ( r _ { i } ^ { \prime } / \rho _ { i } ^ { \prime } ) \big ] \Big \} - \frac { 2 } { \pi } \tan \big [ \pi ( s _ { n } - 1 ) / 2 \big ] Q _ { s _ { n } / 2 - 1 / 2 } ^ { D / 2 - 1 } \Big \{ \cos \big [ 2 \arctan ( r _ { i } ^ { \prime } / \rho _ { i } ^ { \prime } ) \big ] \Big \} \right] \, , } \end{array}
v \equiv \frac { { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { m i x } } ( B _ { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) - \sin \phi _ { d } } { { \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { \mathrm { m i x } } ( B _ { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) \cos \gamma - \sin ( \phi _ { d } + \gamma ) } .
\begin{array} { r l } { { x _ { p } } _ { 0 } } & { { } \sim \mathcal { U } \left[ { { x _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , { { x _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] , \ \ \ { y _ { p } } _ { 0 } \sim \mathcal { U } \left[ { { y _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , { { y _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] , \ \ \ { z _ { p } } _ { 0 } \sim \mathcal { U } \left[ { { z _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , { { z _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] . } \end{array}
\operatorname { e r f c } ( x + y \mid x , y \geq 0 ) = { \frac { 2 } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \exp \left( - { \frac { x ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } } - { \frac { y ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } \theta } } \right) \, d \theta .
\begin{array} { r } { \eta = \eta _ { 0 } + \epsilon \eta _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \eta _ { 2 } + \dots , } \\ { F = \epsilon F _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } F _ { 2 } + \dots , } \\ { \bar { B } = \bar { B } _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } \bar { B } _ { 2 } + \dots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \tau } { 2 } ) \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t } - u _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } M } } \\ & { \qquad + \bigg ( \frac { 3 \tau L ^ { 2 } } { \mu M } + \frac { \tau L _ { y ^ { 2 } } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { 3 } M } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N + 1 | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } - N \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } \\ & { \times \left[ 1 - \sum _ { f = k } ^ { N } \binom { N + 1 } { f + 1 } p ^ { N - f } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } \right] } \\ & { - \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { f = 0 } ^ { k - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { f } \binom { k } { l } \binom { N + 1 } { f + 1 } p ^ { N - f } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times B _ { N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , 1 } \left( k - l + 1 , l + 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \mathcal { G } _ { N } ( t , s ) \, = \, } \\ { \, = \, \displaystyle \exp ( s ) \, \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } \xi \, \exp ( - \xi ) \, J _ { 0 } \left( 2 \, \sqrt { s \, \xi } \right) \, L _ { n } ( \xi \, { t } ) \, = \, } \\ { \, = \, \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \, ( 1 \, - \, t ) ^ { n } \, L _ { n } \left( \frac { s t } { t - 1 } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } { \frac { 1 } { p ! } } \sum _ { \sigma } \operatorname { s g n } ( \sigma ) A _ { \alpha _ { \sigma ( 1 ) } \cdots \alpha _ { \sigma ( p ) } \alpha _ { p + 1 } \cdots \alpha _ { q } } } \\ { = { } } & { { } \delta _ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { p } } ^ { \beta _ { 1 } \dots \beta _ { p } } A _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { p } \alpha _ { p + 1 } \cdots \alpha _ { q } } } \end{array}
\Psi ( \alpha ) = 0 . 6 6 7 \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) + 0 . 5 \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) ^ { 2 } + 0 . 1 0 0 \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) ^ { 3 } - 1 . 2 0 2 \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) ^ { 4 } \; . . .
\begin{array} { r l } { \frac { d I } { d t } = } & { { } \left. \frac { \partial I } { \partial t } \right| _ { \{ x \} , \{ p \} , H } \! \! \! \! + \left. \frac { \partial H } { \partial t } \frac { \partial I } { \partial H } \right| _ { \{ x \} , \{ p \} , t } } \\ { + \sum _ { i } \bigg ( \dot { x } _ { i } } & { { } \left. \frac { \partial I } { \partial x _ { i } } \right| _ { \{ p \} , t , H } + \dot { p } _ { i } \left. \frac { \partial I } { \partial p _ { i } } \right| _ { \{ x \} , t , H } \bigg ) = 0 \, . } \end{array}
{ I } = m [ n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } ] { \left[ \begin{array} { l l l } { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } & { - x y } & { - x z } \\ { - y x } & { x ^ { 2 } + z ^ { 2 } } & { - y z } \\ { - z x } & { - z y } & { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { n _ { 1 } } \\ { n _ { 2 } } \\ { n _ { 3 } } \end{array} \right] }
b _ { n > 0 } = \frac { 1 } { n ~ a _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( j \gamma - n + j ) a _ { j } b _ { n - j } ~ , ~ b _ { 0 } = \left( a _ { 0 } \right) ^ { \gamma } ~ , ~ a _ { 0 } \neq 0 .
L = \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { T r } \left[ \partial _ { \mu } M \partial ^ { \mu } M ^ { \dagger } \right] + m ^ { 2 } \, \mathrm { T r } \left[ A _ { L \mu } A _ { L } ^ { \mu } + A _ { R \mu } A _ { R } ^ { \mu } \right] ,
\begin{array} { r l r } { Z _ { \boldsymbol { \alpha } , 1 } ( \lambda ) Y _ { 2 } ( \lambda ) - Z _ { \boldsymbol { \alpha } , 2 } ( \lambda ) Y _ { 1 } ( \lambda ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } \frac { \alpha _ { \infty , j } } { j } t _ { \infty , i } ( ( - 1 ) ^ { i } - ( - 1 ) ^ { j } ) \lambda ^ { \frac { i + j } { 2 } - 1 } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 2 } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { s = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } \sum _ { m = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } \left( \frac { \alpha _ { \infty , 2 s - 1 } } { 2 s - 1 } t _ { \infty , 2 m } - \frac { \alpha _ { \infty , 2 s } } { 2 s } t _ { \infty , 2 m - 1 } \right) \lambda ^ { m + s - \frac { 3 } { 2 } } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 2 } \right) } \\ & { } & \end{array}
S _ { e f f } [ \chi _ { < } , \chi _ { < } ^ { \prime } , \nu , \xi , \eta ] = R e S _ { \L _ { c } } [ \chi _ { < } , \chi _ { < } ^ { \prime } ] - \int d ^ { 4 } x \Big [ R _ { - } ( x ) \nu ( x ) + Q _ { - } ( x ) \xi ( x ) + \chi _ { - } ( x ) \eta ( x ) \Big ] .
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { 2 } \log \mathbb { P } } & { \left\{ d _ { p - v a r } \left( S _ { 2 } \circ \Phi _ { l } ( X _ { t } ( x ) ) , \boldsymbol { X } ( x ) \right) > \frac { \delta } { \epsilon ^ { n } } \right\} } \\ & { \leq \log \left( \epsilon ^ { n } ( \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } - 1 ) ^ { \frac { n } { 2 } } \frac { d _ { p } ( l ) } { \delta } \right) \leq \log \left( 2 \frac { d _ { p } ( l ) } { \delta } \right) . } \end{array}
\sum _ { n } ^ { \infty } { \frac { a ^ { n } } { n ! } } \; H _ { n } ( x ) H _ { n } ( y ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - 4 a ^ { 2 } } } } \; \mathrm { e x p } \left[ { \frac { 4 a x y - 4 t ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { 1 - 4 a ^ { 2 } } } \right] \;
V _ { a b c } \left( r _ { a b } , r _ { a c } , r _ { b c } \right) = \sum _ { a } V _ { a } ^ { ( 1 ) } + \sum _ { a b } V _ { a b } ^ { ( 2 ) } \left( r _ { a b } \right) + V _ { a b c } ^ { ( 3 ) } \left( r _ { a b } , r _ { a c } , r _ { b c } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { I } ( { { { \tilde { X } } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } ) \approx \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \left( { \frac { { { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \rho P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } } } ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \beta _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ) P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \alpha _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } + 1 } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { K } \bigg ( \frac { \alpha _ { k } } { \sqrt { P } | \tilde { h } _ { k } | } \bigg ) ^ { 2 } \frac { \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } } { ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \alpha _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \rho P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \alpha _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { { { \frac { { { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \rho P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } } } ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \beta _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ) P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \alpha _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } + 1 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \bigg ( \frac { \alpha _ { k } } { ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \alpha _ { k ^ { \prime } } ) \sqrt { P } | \tilde { h } _ { k } | } } \\ & { + \frac { \beta _ { k } } { \sqrt { P } | \tilde { h } _ { k } | } \frac { { { \sum _ { k ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { K } \frac { \alpha _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } { \rho P | \tilde { h } _ { k ^ { \prime \prime } } | ^ { 2 } } } } ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \beta _ { k ^ { \prime } } ) \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { 2 \sum _ { k ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ) P | \tilde { h } _ { k ^ { \prime \prime } } | ^ { 2 } } ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \alpha _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \rho P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \alpha _ { k ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q } & { { } = } & { D \frac { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } { L } \sum _ { n + m = 0 } ^ { \infty } Q _ { m } ^ { n } \frac { ( \Delta P ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } , } \\ { I } & { { } = } & { e \rho _ { 0 } D \frac { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } { L } \sum _ { n + m = 0 } ^ { \infty } I _ { m } ^ { n } \frac { ( \Delta P ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } , } \end{array}
\centering \left\{ \begin{array} { r l } { A } & { { } = K _ { 1 } ( c o s ( 3 k b ) - 1 ) - 2 K _ { 2 } } \\ { B } & { { } = 2 K _ { 2 } c o s ( k b ) } \\ { C } & { { } = K _ { 2 } } \\ { D } & { { } = K _ { 2 } c o s ( 2 k b ) - 2 K _ { 2 } c o s ( k b ) } \end{array} \right.
\cos \theta = \sqrt { 3 } \frac { g _ { s } } { \sqrt { 3 g _ { s } ^ { 2 } + 4 e ^ { 2 } } } \ , \qquad \sin \theta = 2 \frac { e } { \sqrt { 3 g _ { s } ^ { 2 } + 4 e ^ { 2 } } } \ .
\boldsymbol { \epsilon } ( B _ { 0 } ) = \epsilon _ { 1 } ( B _ { 0 } ) ( { \mathbf e } _ { x } { \mathbf e } _ { x } ^ { T } + { \mathbf e } _ { y } { \mathbf e } _ { y } ^ { T } ) + i \epsilon _ { 2 } ( B _ { 0 } ) ( { \mathbf e } _ { x } { \mathbf e } _ { y } ^ { T } - { \mathbf e } _ { y } { \mathbf e } _ { x } ^ { T } ) + \epsilon _ { 3 } { \mathbf e } _ { z } { \mathbf e } _ { z } ^ { T }
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } , \mathbf S _ { T _ { 0 } + \tau } \odot \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } \rangle } & { = \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } , \mathbf S _ { T _ { 0 } + \tau } \odot \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } \odot \mathbf S _ { T _ { 0 } + \tau } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } - \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle } \\ & { \le \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } , \mathbf S _ { T _ { 0 } + \tau } \odot \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } \odot \mathbf S _ { T _ { 0 } + \tau } \rVert _ { \infty } \cdot \lVert \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } - \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } } \\ & { \le \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } , \mathbf S _ { T _ { 0 } + \tau } \odot \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + 3 M m \cdot M \cdot 2 K \beta _ { \tau } } \\ & { = \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } , \mathbf S _ { T _ { 0 } + \tau } \odot \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } ^ { \prime } \rangle + 6 M ^ { 2 } m ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \everymath { \displaystyle } \left( { \begin{array} { c c } { \frac { \partial } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial \tau } + \eta k ^ { 2 } } \end{array} } \right) } \left( { \begin{array} { c c } { u _ { 0 1 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \\ { b _ { 0 1 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } \\ & { } & { { \everymath { \displaystyle } + i \left( { \begin{array} { c c } { - 2 M ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } & { 2 M ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } \\ { N ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } & { - N ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { u _ { 0 1 } ^ { \ell } ( { \bf { q } } ; \tau ) } \\ { b _ { 0 1 } ^ { \ell } ( { \bf { q } } ; \tau ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } } \\ & { } & { = - i k ^ { j } B ^ { j } \left( { \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { u _ { 0 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \\ { b _ { 0 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) \equiv \left( { \begin{array} { c } { F _ { 0 1 u } ^ { i } } \\ { F _ { 0 1 b } ^ { i } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) , } \end{array}
\phi _ { i } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , n } \psi _ { i } ^ { n } , \qquad \phi _ { i j } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , n } \psi _ { i j } ^ { n } .
\left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \vec { p } ^ { \ i } | \right) ^ { 2 } - \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \vec { p } ^ { \ i } \right| ^ { 2 } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } p ^ { i } \right) ^ { 2 } = ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } = 0 .
W _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \gamma _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) = \frac { R _ { p p } ( \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) } { \omega _ { r } } = \frac { \alpha } { \sqrt { 3 } \pi } \frac { \lambda _ { r } } { \lambda _ { C } } \frac { 1 } { \gamma _ { \gamma } } \tilde { W } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \chi _ { \gamma } ) ,
\begin{array} { r } { C _ { n } ( t ) = \frac { 1 } { \rho _ { n } ( t ) } \prod _ { k = 1 } ^ { N } ( \lambda _ { n } - \lambda _ { k } ^ { * } ) \times \prod _ { j \ne n } ^ { N } \frac { 1 } { \lambda _ { n } - \lambda _ { j } } , } \end{array}
E _ { \ell , 1 } = \int _ { a } ^ { b } \chi _ { \ell } ( r ) \, \hat { h } _ { \ell , 1 } \chi _ { \ell } ( r ) \, r \, d r = P ( \ell , \Phi ) \, \langle r ^ { - 4 } \rangle _ { \ell } ,
\begin{array} { r l r } { \mathsf { E } [ U _ { i } ( t \! + \! 1 ) \! - \! } & { U _ { i } ( t ) \mid Y ^ { t } , \theta \! = \! i ] = \log _ { 2 } ( \rho _ { i } ( y ^ { t } ) ) + q \left( \log _ { 2 } ( 2 q ) \! - \! \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \! + \! ( q \! - \! p ) ( \iota _ { i } \Delta \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \right) \right) } & \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad + p \left( \log _ { 2 } ( 2 p ) \! - \! \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \! - \! ( q \! - \! p ) ( \iota _ { i } \Delta \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \right) \right) } & \\ { = } & { q \left( \log _ { 2 } ( 2 q ) \! - \! \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { \iota _ { i } \Delta \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \right) \right) + p \left( \log _ { 2 } ( 2 p ) \! - \! \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \frac { \iota _ { i } \Delta \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } { 1 \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \right) \right) } & \\ { \ge } & { C - \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \frac { \iota _ { i } \Delta - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \right) \, . } & \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { W } ( \xi _ { 1 } , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { W } _ { l i q } + \xi _ { 1 } ( \mathbf { W } _ { \xi _ { 1 } } ) _ { l i q } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi _ { 1 } < 0 } \\ { \mathbf { W } _ { g a s } + \xi _ { 1 } ( \mathbf { W } _ { \xi _ { 1 } } ) _ { g a s } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi _ { 1 } \geq 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { t } ^ { i , \eta } } & { = r _ { t } ^ { i } - \eta _ { t } ^ { * } + ( \phi ( s _ { t } ^ { i + 1 } ) - \phi ( s _ { t } ^ { i } ) ) ^ { T } \omega _ { t } , } \\ { g _ { t } ^ { N , \eta } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { t } ^ { i , \eta } \phi ( s _ { t } ^ { i } ) . } \end{array}