harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
W _ { n } = \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \underset { g \in \{ 1 , \dots , G \} } { \operatorname* { m i n } } \frac { 1 } { 2 } \left| \hat { \textbf { U } } _ { n , m , i } - \theta _ { g } \right| = \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \underset { g \in \{ 1 , \dots , G \} } { \operatorname* { m i n } } \frac { 1 } { 2 } \left| \textbf { u } - \theta _ { g } \right| d \hat { C } _ { n , m } ( \textbf { u } ) .
\Lambda _ { n } ^ { k } ( \vartheta ) = \mathcal { B } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } b _ { m } \int _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ o ~ s ~ u ~ r ~ e ~ } _ { k } } d t \mu ( t ) \mathcal { P } _ { m } ^ { n } ( t ) .
E _ { \mathrm { b } } \simeq \frac { G M _ { \mathrm { N S } } ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { N S } } } \simeq 3 \times 1 0 ^ { 5 3 } \mathrm { e r g } \left( \frac { M _ { \mathrm { N S } } } { M _ { \odot } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 1 0 \mathrm { k m } } { R _ { \mathrm { N S } } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { f \left( x \right) } & { { } : } & { = { \bf E } \left( X _ { n + 1 } - x \mid X _ { n } = x \right) = { \bf E } \left( S \left( x \right) \right) - x + { \bf E } \left( \beta \right) = - x \left( 1 - \mu _ { \nu } \right) + { \bf E } \left( \beta \right) } \\ { \sigma ^ { 2 } \left( x \right) } & { { } : } & { = \sigma ^ { 2 } \left( \left( X _ { n + 1 } - x \right) \mid X _ { n } = x \right) = \sigma ^ { 2 } \left( S \left( x \right) \right) + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) = x \sigma ^ { 2 } \left( \nu \right) + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { p } _ { i } = \frac { \sum _ { j } w _ { \mathrm { ~ s ~ m ~ o ~ o ~ t ~ h ~ } } ( r _ { i j } ) p _ { j } } { \sum _ { j } w _ { \mathrm { ~ s ~ m ~ o ~ o ~ t ~ h ~ } } ( r _ { i j } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } | \mathbf { d } ) } & { = } & { \frac { P ( \mathbf { d } | \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) P ( \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) } { P ( \mathbf { d } ) } } \\ & { \propto } & { P ( \mathbf { d } | \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) P ( \boldsymbol { \theta } _ { T } , \boldsymbol { \theta } _ { v } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 8 , \mu , i } ( s , t , x , v ) } & { : = \Big ( \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \mu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] ( s , x - ( t - s ) v ) { \cdot } e _ { i } \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \Big ) , } \\ { G _ { 9 , \mu , i } ( s , t , x , v ) } & { : = \Big ( ( \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \mu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] { \cdot } e _ { i } - \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \mu } p ^ { \prime } ( \varrho ) ] ( s , x + ( 1 - e ^ { t - s } ) v ) { \cdot } e _ { i } ) \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \Big ) , } \\ { G _ { 1 0 , \nu , i } ^ { K } ( s , t , x , v ) } & { : = \Big ( ( \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \nu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] ( s , x - ( t - s ) v ) - \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \nu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] ( s , x + ( 1 - e ^ { t - s } ) v ) ) { \cdot } \nabla _ { v } f ( t , x , v ) e _ { i } \Big ) , } \\ { G _ { 1 1 , \nu , i } ^ { K } ( s , t , x , v ) } & { : = \Big ( \nabla _ { x } [ \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \nu } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ] ( s , x + ( 1 - e ^ { t - s } ) v ) { \cdot } \nabla _ { x } f ( t , x , v ) e _ { i } \Big ) . } \end{array}
\langle k ^ { 2 } \rangle _ { T } = T \kappa _ { 1 } + T ^ { 2 } \kappa _ { 2 } = T ( m + 1 ) \langle a \rangle + [ \langle a ^ { 2 } \rangle + ( m ^ { 2 } + 2 m ) \langle a \rangle ^ { 2 } ] T ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { m _ { i } ^ { 2 } ( t ) } & { { } = \sum _ { j _ { 1 } = 1 } ^ { N _ { p } } \sum _ { j _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { p } } \int d t _ { 1 } \int d t _ { 2 } G _ { i j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ( t , t _ { 1 } , t _ { 2 } ) U ^ { ( j _ { 1 } ) } ( t _ { 1 } ) U ^ { ( j _ { 2 } ) } ( t _ { 2 } ) . } \end{array}
\Phi _ { 1 } ^ { G } = e + \zeta \pi _ { 0 } ^ { - 1 } \; , \; \; \Phi _ { 2 } ^ { G } = \chi \; , \; \; \Phi _ { 3 \mu } ^ { G } = b _ { \mu } \; , \; \; \Phi _ { 4 } ^ { G } = x _ { 0 } - \zeta \tau \; , \; \; \Phi _ { 5 } ^ { G } = \psi ^ { 0 } \; , \; \;
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \gamma } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pi } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \omega \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { W } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\tilde { w } _ { \mathrm { m i n } } = - \frac { \tilde { F } } { 2 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } + \tilde { a } ( 1 + \tilde { a } ) } e ^ { \arctan ( 1 + 2 \tilde { a } ) - \pi } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ A ~ } } \\ { \frac { \tilde { L } ^ { 2 } - 2 \tilde { a } ^ { 2 } + \tilde { L } \tilde { a } } { ( \tilde { L } - \tilde { a } ) ^ { 3 } } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ C ~ . ~ } } \end{array} \right.
\mathcal { L } _ { n } ( \mathcal { D } ; \boldsymbol { \Theta } ) : = \frac { 1 } { | \mathcal { D } | } \sum _ { d \in \mathcal { D } } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 | \Omega | } | | \bar { \mathcal { S } } _ { \boldsymbol { \Theta } } ^ { i } ( \mathbf { W } _ { \mathbf { T } } \mathbf { u } _ { d } ) - \mathbf { W } _ { \mathbf { T } } \mathcal { S } ^ { i ( \overline { { \Delta t } } / \Delta t ) } ( \mathbf { u } _ { d } ) | | _ { \Omega _ { 2 } } ^ { 2 } ,
\frac { \partial r _ { 1 } } { \partial \ell _ { 1 } } = \frac { \partial r _ { 1 } } { \partial u _ { 1 } } \frac { d u _ { 1 } } { d \ell _ { 1 } } = \frac { L _ { 1 } ^ { 2 } } { M _ { 1 } k _ { 1 } } \frac { \sinh u _ { 1 } } { 1 - \cosh u _ { 0 } } = \left( \frac { L _ { 1 } ^ { 2 } } { M _ { 1 } k _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \frac { - \sinh u _ { 1 } } { r _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ { i ( t _ { 1 } \lfloor 1 / T x \rfloor + t _ { 2 } \lfloor 1 / x \rfloor ) } - 1 } { 1 + x } \, \mathrm { d } x = } & { - \frac { \pi } { 2 } | t _ { 1 } | - i \gamma t _ { 1 } - i t _ { 1 } \log | t _ { 1 } | - \frac { \pi } { 2 } | t _ { 2 } | - i \gamma t _ { 2 } - i t _ { 2 } \log | t _ { 2 } | } \\ & { + O \left( t _ { 1 } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { | t _ { 1 } | } + t _ { 2 } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { | t _ { 2 } | } + | t _ { 1 } t _ { 2 } | \log \frac { 1 } { | t _ { 1 } | } \log \frac { 1 } { | t _ { 2 } | } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { e } ^ { 2 } T _ { N } ^ { e } ( a , b , c ) = } & { [ a N ( N ( b ) c ) , a N ( N ( b c ) ) , a N ( b N ( c ) ) , a N ( b ) N ( c ) , a e , } \\ & { N ( N ( a b ) c ) , N ( N ( a b c ) ) , N ( a b N ( c ) ) , N ( a b ) N ( c ) , e , } \\ & { N ( N ( a ) b c ) , N ( N ( a b c ) ) , N ( a N ( b c ) ) , N ( a ) N ( b c ) , e , } \\ & { N ( N ( a ) b ) c , N ( N ( a b ) ) c , N ( a N ( b ) ) c , N ( a ) N ( b ) c , e c , e c , a e , e ] . } \end{array}
{ \frac { d \mathbf { P } } { d t } } = \beta C _ { P } ( \mathbf { P } ) ( \mathbf { P } - \mathcal { P } _ { * } ) \left[ \frac { \mu } { 2 } ( D _ { 1 , 2 } + D _ { 0 , 1 } ) + \frac { J ^ { n c } ( \mathbf { P } ) } { \mathbf { P } - \mathcal { P } _ { * } } \right] ,
\begin{array} { r } { T _ { h } ( r , z , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } K _ { n m } e ^ { - \beta _ { n m } ^ { 2 } t } J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) \cos ( \gamma _ { m } z ) , \quad \beta _ { n m } ^ { 2 } = \mu _ { n } ^ { 2 } + \gamma _ { m } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ] \ge } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \left| \frac { 1 - e ^ { j i \theta } } { 1 - e ^ { j \theta } } \right| ^ { 2 } \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & { } \\ { = } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \frac { 1 - \cos i \theta } { 1 - \cos \theta } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \delta u _ { m } | \right] } & { } \\ { = } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \frac { 1 } { ( 1 - \cos \theta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( N _ { t } - \frac { \sin \frac { N _ { t } + 1 } { 2 } \theta - \sin \frac { 1 } { 2 } \theta } { 2 \sin \frac { 1 } { 2 } \theta } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \delta u _ { m } | \right] } & { } \\ { \ge } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \frac { N _ { t } - \frac { 1 } { \sin \frac { 1 } { 2 } \theta } } { 1 - \cos \theta } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \delta u _ { m } | \right] } & { } \\ { = } & { { } \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } , } & { \quad { \scriptstyle ( \sqrt { N _ { t } - z } \ge \sqrt { 1 - z } \sqrt { N _ { t } } \; \mathrm { f o r } \; z \in [ 0 , 1 ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { G } } } \rightarrow \overline { { \mathbf { G } } } + c _ { 1 } \Big [ 2 \overline { { \Gamma } } _ { [ \kappa \mu ] } ^ { \kappa } P ^ { \mu } + ( n - 1 ) \big ( g ^ { \mu \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \rho } P _ { \rho } + P _ { \lambda } \partial _ { \nu } g ^ { \nu \lambda } - \frac { 1 } { 2 } P ^ { \nu } g _ { \alpha \beta } \partial _ { \nu } g ^ { \alpha \beta } \big ) + c _ { 1 } ( n - 1 ) P ^ { \lambda } P _ { \lambda } \Big ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \partial D ( e ) | } & { \ge \operatorname* { m i n } _ { 1 \le r \le d } 2 | D ( e ) | ^ { 1 - \frac { 1 } { r } } r L ^ { \frac { d } { r } - 1 } } \\ & { \ge \operatorname* { m i n } _ { 1 \le r \le d } 2 | D ( e ) | ^ { 1 - \frac { 1 } { r } } r ( 2 | D ( e ) | ) ^ { \frac { \frac { d } { r } - 1 } { d } } \ge 2 | D ( e ) | ^ { 1 - \frac { 1 } { d } } . } \end{array}
\left\langle U _ { \lambda } \left( w \right) \right\rangle _ { w _ { n _ { i ^ { \prime } } ^ { * } = 3 } ^ { \prime } } ^ { \left( { \it G } _ { 1 } \right) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } , l . c . } = \left( 1 + \right.
S ( t ) \equiv R ^ { 2 } ~ \mathrm { ~ M ~ i ~ n ~ } \left[ \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } , 2 \pi - ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { 2 }
\frac { \partial \hat { \theta } } { \partial t } + \hat { J } ( \hat { \psi } , \hat { \theta } ) + i k \left( U \hat { \theta } + \hat { \psi } \frac { \partial \Theta } { \partial y } \right) = 0 \qquad z = 0 , 1 0 \, \mathrm { ~ k ~ m ~ } \, ,
I \, m ( { \cal R } e s { \cal A } ) = \operatorname * { l i m } _ { p ^ { 2 } \rightarrow \mu ^ { 2 } } { \ - \frac 1 { 2 a _ { 1 } } ( \left| \tau _ { \mu \nu } \right| ^ { 2 } - \frac 1 2 \left| \tau _ { \mu } ^ { \, \, \, \mu } \right| ^ { 2 } ) . }
\begin{array} { r l } { \tilde { x } ( \tilde { \tau } ) } & { = 2 \tilde { k } _ { x } ( 0 ) \tilde { \tau } - \tilde { \tau } ^ { 2 } , \quad \tilde { k } _ { x } ( \tilde { \tau } ) = \tilde { k } _ { x } ( 0 ) - \tilde { \tau } , } \\ { \tilde { y } ( \tilde { \tau } ) } & { = \tilde { y } _ { 0 } + 2 \tilde { k } _ { y } ( 0 ) \tilde { \tau } , \quad \tilde { k } _ { y } ( \tilde { \tau } ) = \tilde { k } _ { y } ( 0 ) . } \end{array}
S _ { n } ( r ) = - k \ \ln \Big ( \delta _ { n } ( r ) \Big ) = - k \ \ln \Big ( { \frac { 1 } { r ( \prod _ { 1 } ^ { n } a _ { j - 1 } ) } } \Big ) = k \ \ln \Big ( { r ( \prod _ { 1 } ^ { n } a _ { j - 1 } ) } \Big )
\begin{array} { r l } & { { V _ { g } } _ { n u m } = \left[ \frac { \partial } { \partial k } ( \omega _ { n u m } ) \right] _ { R e } = \left[ \frac { \partial } { \partial k } \left( \frac { \beta } { \Delta t } \right) \right] _ { R e } = \left[ \frac { h } { \Delta t } \frac { d \beta } { d ( k h ) } \right] _ { R e } } \\ & { { V _ { g } } _ { e x a c t } \! = \! \! \left[ \frac { \partial } { \partial k } ( \omega _ { e x a c t } ) \right] _ { R e } \! \! \! = \! \! \left[ \frac { \partial } { \partial k } \left( I ( \lambda \! - \! \gamma k ^ { 2 } \! - \! c I k ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \right) \right] _ { R e } \! \! \! = \! \! \left[ \frac { 1 } { \alpha } ( c \! - \! 2 k \gamma I ) ( - I \omega ) ^ { 1 \! - \! \alpha } \right] _ { R e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \pi \in B ( 2 m ) , \pi ( 0 ) = m \; \; } } & { \sum _ { | w | = 2 m - 1 } \alpha _ { w } ( - 1 ) ^ { m - 1 } q ^ { \textup { c r o s s } ( \pi ) } \delta _ { p ( \pi ) , w } ^ { B } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { m - 1 } q ^ { \frac { m ( m - 1 ) } { 2 } } \sum _ { \pi ^ { \prime } \in S _ { m - 1 } \; \; } \sum _ { | v | = m - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { | w ^ { \prime } | = m - 1 } \alpha _ { v j w ^ { \prime } } q ^ { \textup { i n v } ( \pi ^ { \prime } ) } B _ { j i } \delta _ { \pi ^ { \prime } ( v ) , w } ^ { B } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { - 2 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ .
{ \begin{array} { r l } { A _ { n } ( x ) } & { = { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! ! } } - { \frac { x ^ { 2 n + 3 } } { 2 \times ( 2 n + 3 ) ! ! } } + { \frac { x ^ { 2 n + 5 } } { 2 \times 4 \times ( 2 n + 5 ) ! ! } } \mp \cdots } \\ { U _ { n } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) ! ! } } - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 \times ( 2 n + 3 ) ! ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 2 \times 4 \times ( 2 n + 5 ) ! ! } } \mp \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r c l } { { T _ { + } } } & { { = } } & { { - { \frac { \sqrt 3 } { 2 } } ( X _ { ( 1 1 ) } + X _ { ( - 1 - 1 ) } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( X _ { ( 3 1 ) } + X _ { ( - 3 - 1 ) } ) \, , } } \\ { { T _ { - } } } & { { = } } & { { { \frac { \sqrt 3 } { 2 } } ( X _ { ( 2 1 ) } + X _ { ( - 2 - 1 ) } ) - { \frac { 1 } { 2 } } ( X _ { ( 0 1 ) } + X _ { ( 0 - 1 ) } ) \, , } } \\ { { T _ { 3 } } } & { { = } } & { { - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } ( X _ { ( 1 0 ) } - X _ { ( - 1 0 ) } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( X _ { ( 3 2 ) } - X _ { ( - 3 - 2 ) } ) \, , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { D ^ { + } \delta \mathbf { X } ( t ) } { v _ { 0 } } - \left( \mathbb { I } - \frac { \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right] \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right] ^ { T } } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| ^ { 2 } } \right) \cdot \frac { D ^ { - } \delta \mathbf { X } ( t ) - \tilde { \beta } \delta \mathbf { X } ( t ) } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } } & { : = c _ { 1 } } \\ { s _ { k } ( c _ { 1 } , \ldots , c _ { k } ) } & { : = \Sigma _ { i = 1 } ^ { k - 1 } ( - 1 ) ^ { i + 1 } c _ { i } s _ { k - i } } \\ { f _ { 1 } ( s _ { 1 } ) } & { : = \operatorname { I d e n t i t y } } \\ { f _ { n } ( s _ { 1 } , \ldots , s _ { n } ) } & { : = f _ { n - 1 } ( s _ { 2 } , \ldots , s _ { n } ) - ( n - 1 ) f _ { n - 1 } ( s _ { 1 } , \ldots , s _ { n - 1 } ) . } \end{array}
F ( \varphi ) \equiv \sum _ { n = 0 } ^ { N } \int d x _ { 1 } . . . d x _ { n } \, \varphi ( x _ { 1 } ) \ldots \varphi ( x _ { n } ) t _ { n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) , \quad N < \infty ,
{ \begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } ( k _ { p } , \theta _ { p } ; k _ { q } , \theta _ { q } ) = } & { ( k _ { p } - k _ { q } ) \psi ( k _ { p } ) - \log \Gamma ( k _ { p } ) + \log \Gamma ( k _ { q } ) } \\ & { + k _ { q } ( \log \theta _ { q } - \log \theta _ { p } ) + k _ { p } { \frac { \theta _ { p } - \theta _ { q } } { \theta _ { q } } } . } \end{array} }
M _ { i j } ( q ) = ( - 1 ) ^ { q } \sqrt { 5 } \sum _ { q _ { 1 } , q _ { 2 } } ( \mathbf { \hat { e } } _ { i } \cdot \mathbf { \hat { e } } _ { q _ { 1 } } ^ { * } ) ( \mathbf { \hat { e } } _ { j } \cdot \mathbf { \hat { e } } _ { q _ { 1 } } ^ { * } ) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { q _ { 1 } } & { q _ { 2 } } & { - q } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { P } _ { 0 } } & { = } & { | \Phi _ { Z } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { Z } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { S \in \gamma } | \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } | = \sum _ { S } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 2 } } & { = } & { \sum _ { D \in \gamma } | \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } | = \sum _ { D } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 3 } } & { = } & { \sum _ { T \in \gamma } | \Phi _ { T } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { T } ^ { ( 0 ) } | = \sum _ { T } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { T } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { T } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 4 } } & { = } & { \sum _ { Q \in \gamma } | \Phi _ { Q } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { Q } ^ { ( 0 ) } | = \sum _ { Q } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { Q } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { Q } ^ { ( 0 ) } | , } \end{array}
P = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { ( 1 , - i ) \cdot V _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { ( 1 , - i ) \cdot V _ { r } } \end{array} \right) , \ Q = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { ( 1 , i ) \cdot V _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { ( 1 , i ) \cdot V _ { r } } \end{array} \right) \in \mathrm { M a t } _ { r , n } ( \mathbb C )
\begin{array} { r l r } { f _ { n m } ( k _ { x } , k _ { p } ) } & { { } = } & { \frac { e ^ { \frac { \lambda } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } } { 2 \pi } \int \int d x d p H _ { n m } ( x , p ) e ^ { - i ( k _ { x } x + k _ { p } p ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { d \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } } & { \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) p , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \hat { p } \} } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ p , \hat { p } \} \sum _ { d \in { \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } } \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \} } \\ { = } & { \operatorname* { m a x } \{ p , \hat { p } \} \exp \bigg ( - \sum _ { i } \big [ t a _ { i } + ( 1 - t ) b _ { i } - a _ { i } ^ { t } b _ { i } ^ { 1 - t } \big ] \bigg ) } \\ & { \times \sum _ { d \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } \prod _ { i } \frac { ( a _ { i } ^ { t } b _ { i } ^ { 1 - t } ) ^ { d _ { i } } } { d _ { i } ! } e ^ { - a _ { i } ^ { t } b _ { i } ^ { 1 - t } } \operatorname* { m i n } \{ f _ { 1 } ( t ) , f _ { 2 } ( t ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle j _ { c , x , \mathrm { ~ s ~ h ~ e ~ a ~ r ~ } } \rangle = \langle u ^ { \prime \prime } C _ { c } ^ { \prime \prime } \rangle \approx - K \frac { \partial \langle { C _ { c } } \rangle } { \partial x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { c c c c c c c } { \boxed { 1 } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { x } & { y } & { z } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { x ^ { 2 } } & { y ^ { 2 } } & { z ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { x ^ { 3 } } & { y ^ { 3 } } & { z ^ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c } { \boxed { y - x } } & { z - x } & { - x } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { y ^ { 2 } - x ^ { 2 } } & { z ^ { 2 } - x ^ { 2 } } & { - x ^ { 2 } } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { y ^ { 3 } - x ^ { 3 } } & { z ^ { 3 } - x ^ { 3 } } & { - x ^ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c } { ( y - x ) ( z - x ) ( z - y ) } & { ( y - x ) x y } & { - \left( y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) } & { y - x } & { 0 } \\ { ( y - x ) ( z - x ) ( z - y ) ( x + y + z ) } & { \left( y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) x y } & { - \left( y ^ { 3 } - x ^ { 3 } \right) } & { 0 } & { y - x } \end{array} } \\ & { = \begin{array} { c c c c c } { \boxed { ( z - x ) ( z - y ) } } & { x y } & { - y - x } & { 1 } & { 0 } \\ { ( z - x ) ( z - y ) ( x + y + z ) } & { ( y + x ) x y } & { - y ^ { 2 } - x y - x ^ { 2 } } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c } & { - ( z - x ) ( z - y ) x y z } & { ( z - x ) ( z - y ) ( x y + y z + x z ) } & { - ( z - x ) ( z - y ) ( x + y + z ) } & { ( z - x ) ( z - y ) } \end{array} } \\ & { = \begin{array} { c c c c c } & { - x y z } & { x y + y z + x z } & { - x - y - z } & { 1 } \end{array} } \end{array}
\int _ { r _ { 0 } } ^ { r } h \bar { \sigma } _ { \theta \theta } \, \mathrm { d } r \sim \bar { \sigma } _ { \theta \theta } h ^ { * 2 } \sim G \, \frac { r _ { 0 } ^ { 3 / 2 } h ^ { * } } { a ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { c _ { s } ^ { + } } } & { = ( \bar { u } _ { x } + \varsigma ) k _ { x } + \mathrm { i } \nu \left( A + \frac { B } { 2 \bar { \rho } \varsigma ^ { 3 } } \right) k _ { x } ^ { 2 } , } \\ { \omega _ { c _ { s } ^ { - } } } & { = ( \bar { u } _ { x } - \varsigma ) k _ { x } + \mathrm { i } \nu \left( A - \frac { B } { 2 \bar { \rho } \varsigma ^ { 3 } } \right) k _ { x } ^ { 2 } . } \end{array}
V _ { a , b } ( z ) \equiv \tilde { V } \left( x ( z ) \right) + \frac { 1 } { m } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( a + b + \frac { 1 } { 2 } \right) { \left( \frac { m ^ { \prime } } { m } \right) } ^ { \prime } + \left( a b + \frac { a + b } { 2 } + \frac { 3 } { 1 6 } \right) { \left( \frac { m ^ { \prime } } { m } \right) } ^ { 2 } \right] \; ,
= 2 \delta ^ { a b } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \operatorname * { l i m } _ { x \rightarrow y } ( \delta _ { \mu \nu } \partial _ { \lambda } ^ { x } \partial _ { \lambda } ^ { y } - \partial _ { \nu } ^ { x } \partial _ { \mu } ^ { y } ) \int \frac { d k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } e ^ { - i k ( x - y ) } [ D _ { \mu \nu } ^ { a b } ( k ) - D _ { \mu \nu } ^ { p e r t \, a b } ( k ) ] =
\frac { d } { d q _ { \perp } ^ { 2 } } \left[ C ^ { \pm } ( q _ { \perp } ^ { 2 } ) - C ^ { 0 } ( q _ { \perp } ^ { 2 } ) \right] | _ { q _ { \perp } ^ { 2 } = 0 } = - \frac { 1 } { 3 } \langle r _ { \pi } ^ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { d \nu } { \nu } ( \sigma _ { \gamma \pi ^ { \pm } } ^ { T } - \sigma _ { \gamma \pi ^ { 0 } } ^ { T } ) ,
S o l v _ { r + 1 } \, \equiv \, S o l v \left( E _ { r + 1 ( r + 1 ) } / { \cal H } _ { r + 1 } \right) = S o l v \left( S L ( 2 , R ) / O ( 2 ) \right) \, \oplus \, S o l v \left( \frac { G L ( r ) } { S O ( r ) } \right) \, \oplus \, { \bar { \cal W } } _ { r + 1 }
\begin{array} { r l } { H _ { n } \left( \hat { q } \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } \right) | \psi _ { 0 } \rangle } & { { } = ( - i ) ^ { n } \sqrt { \frac { 2 ^ { n } } { ( \hbar \omega ) ^ { n } } } ( \hat { A } ^ { \dagger } ) ^ { n } | \psi _ { 0 } \rangle = ( - i ) ^ { n } \sqrt { 2 ^ { n } n ! } | \psi _ { n } \rangle } \end{array}