harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { q } \cdot \mathbf { F } \rangle } & { { } = { \Bigl \langle } q _ { x } { \frac { d p _ { x } } { d t } } { \Bigr \rangle } + { \Bigl \langle } q _ { y } { \frac { d p _ { y } } { d t } } { \Bigr \rangle } + { \Bigl \langle } q _ { z } { \frac { d p _ { z } } { d t } } { \Bigr \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma ( s , t ) : = \int _ { s } ^ { t } g ( r ) d r , } \\ & { G ( s , t ) : = 1 + 8 \mu _ { 1 } \nu ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } e ^ { 2 \mu _ { 1 } \Gamma ( s , t ) } \left[ \nu ^ { 1 / 2 } \int _ { s } ^ { t } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } g ( r ) d r + \mu _ { 1 } \Gamma ( s , t ) \int _ { s } ^ { t } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 2 } { 2 } } g ( r ) d r \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { \partial } { \partial \alpha } f ( \alpha , \lambda ) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial \alpha } \left[ - ( 1 - \alpha ) ( \frac { \lambda } { 1 - \alpha } \log \frac { \lambda } { 1 - \alpha } ) - ( 1 - \alpha ) ( 1 - \frac { \lambda } { 1 - \alpha } ) \log ( 1 - \frac { \lambda } { 1 - \alpha } ) + 2 \alpha \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \ln 2 } \left[ - \ln ( 1 - \alpha ) + \ln ( 1 - \alpha - \lambda ) \right] + 2 , } \end{array}
\mathbf { W } _ { \mu \nu } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \phi _ { \mu } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \phi _ { \nu } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \big ( \nabla _ { 1 } \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \big ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { q _ { 1 } } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 2 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 2 } e ^ { i \theta } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \theta } ) H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 2 } { \mathbb { D } } } ( q _ { 1 } e ^ { i \alpha } , q _ { 2 } e ^ { i \theta } ) d \alpha } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \alpha } ) - H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \theta } ) ) H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 2 } { \mathbb { D } } } ( q _ { 1 } e ^ { i \alpha } , q _ { 2 } e ^ { i \theta } ) d \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial L } { \partial y _ { i } } \right\rvert _ { \mathbf y ^ { * } ; \vec { \lambda } ^ { * } , \mu ^ { * } } = - g _ { i } + \ln ( y _ { i } ^ { * } ) - \ln ( x _ { i } ) + \lambda _ { i } ^ { * } + \mu ^ { * } } & { = 0 \quad \forall 1 \le i \le K , } \\ { y _ { i } ^ { * } > \beta \Rightarrow \lambda _ { i } ^ { * } } & { = 0 \quad \forall 1 \le i \le K . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \overline { { V } } } & { = \dim V - \dim ( \mathrm { i m } \, \mathrm { d } _ { x } ^ { ( 3 ) } ) } \\ & { = \dim V - \mathrm { r k } ( E _ { - 2 } ) + \mathrm { r k } ( E _ { - 2 } ^ { \prime } ) + \dim ( \mathrm { i m } \, ( \mathrm { d } _ { x } ^ { ( 2 ) } ) ) - \dim ( \mathrm { i m } \, ( { \mathrm { d } _ { x } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) ) - \dim ( \mathrm { i m } \, ( { \mathrm { d } _ { x } ^ { \prime } } ^ { ( 3 ) } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \textrm { T } } ^ { I , \lambda } = } & { { \phantom { - } } \sum _ { \mu \nu } \sum _ { \vec { L } } \left( T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } \right) ^ { I , \lambda } \left[ \Re ( D _ { \nu \mu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } } ) + \Re ( D _ { \nu \mu } ^ { \beta \beta , \vec { L } } ) \right] } \\ & { - \sum _ { \mu \nu } \sum _ { \vec { L } } \left( S _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } \right) ^ { I , \lambda } \left[ \Re ( W _ { \nu \mu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } } ) + \Re ( W _ { \nu \mu } ^ { \beta \beta , \vec { L } } ) \right] . } \end{array}
I _ { 2 1 } ( y , a , b , d ) = \frac { 1 } { a } \frac { 1 } { ( 2 \sqrt { \pi } ) ^ { d - 1 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( \frac { \alpha } { y } ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } K _ { \frac { d - 3 } { 2 } } ( 2 \alpha y ) .
\left\{ 2 p _ { \frac { 3 } { 2 } , m = \frac { 3 } { 2 } } , 1 s _ { \frac { 1 } { 2 } , m = \frac { 1 } { 2 } } , 2 p _ { \frac { 3 } { 2 } , m = - \frac { 1 } { 2 } } \right\}
\frac { \left( 1 - \mathcal { R } \right) q \rho _ { s } \varOmega _ { s } + \bar { \beta } \zeta \varDelta } { \alpha \zeta \varDelta - \rho _ { s } q - \alpha ^ { 2 } \frac { q + \zeta ^ { 2 } \varDelta ^ { 2 } } { \rho _ { s } + \alpha \zeta \varDelta } } < 0
\frac { \partial ^ { \ell } p _ { y , i } ^ { k } ( y _ { j } ) } { \partial ^ { \ell } y } = \frac { \partial ^ { \ell } \partial ^ { k } f ( x _ { i } , y _ { j } ) } { \partial ^ { \ell } y \, \partial ^ { k } x } , \quad \frac { \partial ^ { \ell } p _ { y , i } ^ { k } ( y _ { j + 1 } ) } { \partial ^ { \ell } y } = \frac { \partial ^ { \ell } \partial ^ { k } f ( x _ { i } , y _ { j + 1 } ) } { \partial ^ { \ell } y \, \partial ^ { k } x } , \quad \ell = 0 , \dots , m .
\begin{array} { r l } { Y _ { t } ^ { j } } & { = W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) = 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) + 1 _ { \{ t \geq T _ { \xi } \} } W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { T _ { \xi } } ^ { \xi } , T - t ) } \\ & { = 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } \circ \mathbb { W } ^ { + } = } & { { } } & { ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } + W _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle w , f u ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , g \eta \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \alpha , \eta _ { t } + H \nabla \cdot u \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { N ^ { \beta , d } ( t ) = \sum _ { \kappa = 0 } ^ { d + 1 } w ^ { \kappa , d } \left( \frac { t - t _ { \beta + \kappa } } { \Delta _ { \mathrm { t } } } \right) _ { + } ^ { d } \quad \beta = 0 , 1 , 2 , \ldots . } \end{array}
\hat { H } ^ { \prime } ( t ) = { \hat { U } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { H } ( t ) \hat { U } ( t ) + i \frac { \partial \hat { U } ( t ) } { \partial t } = \left[ \begin{array} { l l } { \varepsilon _ { - } ( t ) } & { i \dot { \chi } } \\ { - i \dot { \chi } } & { \varepsilon _ { + } ( t ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { E = \frac { 1 } { 2 } k _ { \phi } \sum _ { i , \rho } \delta \phi _ { i \rho } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } k _ { \psi } \! \! \sum _ { i , j , \rho , \sigma } \! \! \delta \psi _ { i j \rho \sigma } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } k _ { \ell } \sum _ { i , \rho } \delta \ell _ { i \rho } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } & { \leq \mathrm { Q } \left( \frac { \xi ^ { * } L _ { 1 } + L _ { 2 } + O ( \sqrt { n } \eta _ { n } ) } { \sqrt { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } } \right) + \frac { 6 \mathrm { T } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } { \sqrt { n } \mathrm { V } ^ { 3 / 2 } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } } \\ { * } & { \qquad + \frac { 2 | \mathcal { X } | } { n ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar k _ { n } ( t ) = } & { { } \hbar k _ { n } ( t _ { n } ^ { \prime } ) + \frac { e F _ { \mathrm { m a x } } } { \omega } \{ \frac { 1 } { 2 } [ ( \omega \tilde { t } ) ^ { 2 } - ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] } \end{array}
{ \cal Z } _ { \overline { { { \beta V } } } } ^ { \overline { { { \alpha V } } } } \equiv \mathrm { T r } ( q ^ { H _ { \overline { { { \alpha V } } } } ^ { L } } ~ { \overline { { q } } } ^ { H _ { \overline { { { \alpha V } } } } ^ { R } } h ^ { - 1 } ( { \overline { { { \beta V } } } } ) ) ~ ,
{ \begin{array} { r l } { f ( v , \theta , \phi ) \, d v \, d \theta \, d \phi } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \left( { \frac { m } { k _ { \mathrm { B } } T } } \right) ^ { 2 } e ^ { - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k _ { \mathrm { B } } T } } } ( v ^ { 3 } \sin { \theta } \cos { \theta } \, d v \, d \theta \, d \phi ) } \end{array} } ; \quad v > 0 , \, 0
\begin{array} { r l r } { x _ { 3 } } & { { } = } & { x _ { 1 } \oplus x _ { 2 } , \quad y _ { 3 } = y _ { 1 } \oplus y _ { 2 } \implies } \\ { x _ { 3 } + y _ { 3 } } & { { } = } & { ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) \oplus ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) } \end{array}
\prod _ { p } \left( 1 + { \frac { 1 } { p ( p - 1 ) } } \right) = { \frac { \zeta ( 2 ) \zeta ( 3 ) } { \zeta ( 6 ) } } = { \frac { 3 1 5 } { 2 \pi ^ { 4 } } } \zeta ( 3 ) ,
\hat { \mathbf { G } } _ { N F } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 0 } ) \approx \frac { 3 \mathbf { n } \mathbf { n } - \hat { \mathbf { I } } } { 4 \pi \mathit { \omega } ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } \mathit { R } ^ { 3 } }
\begin{array} { r } { \kappa _ { n } = - \frac { | \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } | } { 2 t _ { 0 } ^ { 2 } } \, ( \nu - n ) ^ { 2 } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad n = 0 , \ldots , \lfloor \nu \rfloor . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , p , q } } & { = f ( t ^ { * } ) = m _ { 1 } g _ { 1 } ( t ^ { * } ) + m _ { 2 } g _ { 2 } ( t ^ { * } ) \leq m _ { 2 } g _ { 1 } ( t ^ { * } ) + m _ { 2 } g _ { 2 } ( t ^ { * } ) } \\ & { \leq m _ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { t } ( g _ { 1 } ( t ) + g _ { 2 } ( t ) ) \leq m _ { 2 } \frac { 4 ( p - q ) ^ { 2 } } { 3 p } , } \end{array}
R _ { u u } ^ { f } ( \Delta z ; y _ { 0 } ) = \frac { \langle { u _ { f } ^ { \prime } ( x , y _ { 0 } , z , t ) u _ { f } ^ { \prime } ( x , y _ { 0 } , z + \Delta z , t ) } \rangle } { \langle { u _ { f } ^ { 2 } } \rangle } .
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ d ( z ) - d _ { V } ( z ) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { n ! } \Bigg ( V _ { m } ^ { n } ( g _ { n } ) - \int _ { [ 0 , l ] ^ { n } } K _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \mathrm { d } x _ { n } \Bigg ) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { n ! } \Bigg ( V _ { m } ^ { n } ( g _ { n } ) - \int _ { [ 0 , l ] ^ { 2 n } } g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 n } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \mathrm { d } x _ { 2 n } \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } & { \leq \left\Vert \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } V _ { \operatorname* { m a x } } + \beta C _ { 1 } ^ { 3 } C _ { 2 } \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } . } \end{array}
\mathbb { D } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } } ( R _ { \ell } ) = \left( \begin{array} { l l } { J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \\ { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } J _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } H _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { u _ { x } } & { { } = - \frac { 1 } { n } d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } b _ { y } , } \\ { \partial _ { t } n } & { { } = d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } ^ { 2 } b _ { y } , } \\ { \mathrm { d } _ { t } u _ { y } } & { { } = \frac { 1 } { n } v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \partial _ { x } b _ { y } , } \\ { \partial _ { t } b _ { y } } & { { } = v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \partial _ { x } u _ { y } - d _ { i } \cos \theta \partial _ { x } \left( \frac { 1 } { n } c _ { s } ^ { 2 } \partial _ { x } n \right) } \end{array}
H = \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \hbar \omega _ { x g } \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { - } + \hbar \omega _ { x g } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { - } + \frac { \hbar g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x ( \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { + } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { + } ) ,
\begin{array} { r l } { r ( M ) } & { = \frac { u _ { + } } { v _ { + } } - 1 + \tau } \\ & { = \frac { M - \kappa ^ { 2 } + \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } } { M + \kappa ^ { 2 } - \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } } - 1 + \tau } \\ & { = \frac { 2 M } { M + \kappa ^ { 2 } - \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } } - 2 + \tau } \\ & { = \frac { M ( M + \kappa ^ { 2 } + \sqrt { ( M - \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \kappa ^ { 2 } } ) } { 2 \kappa ^ { 2 } ( M + 1 ) } - 2 + \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( x ) } & { \geq } & { C \int _ { y \in \mathcal C _ { 0 , \Sigma } ^ { R _ { \ast } , e } , \sigma _ { 1 } | x | \leq | x - y | \leq \sigma _ { 2 } | x | } K _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) | y | ^ { a } u ^ { p } ( y ) \mathrm d y } \\ & { \geq } & { C \int _ { y \in \mathcal C _ { 0 , \Sigma } ^ { R _ { \ast } , e } , \sigma _ { 1 } | x | \leq | x - y | \leq \sigma _ { 2 } | x | } \frac { | y | ^ { a } u ^ { p } ( y ) } { | x - y | ^ { n - 2 s } } \mathrm d y } \\ & { \geq } & { C _ { 1 } | x | ^ { p \mu _ { 0 } + ( n + a ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial t } } & { = - S _ { 1 } \, r _ { 1 } } \\ { \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial t } } & { = - S _ { 2 } \, r _ { 2 t } } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } } & { = \frac { c _ { 1 } } { c _ { 0 } } \left( \mathcal D _ { \mathrm { e f f , x } } \frac { \partial ^ { 2 } T } { \partial x ^ { 2 } } + \mathcal D _ { \mathrm { e f f , y } } \frac { \partial ^ { 2 } T } { \partial y ^ { 2 } } - \left< u _ { x } \right> \frac { \partial T } { \partial x } - \left< u _ { y } \right> \frac { \partial T } { \partial y } \right) - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 0 } } \, S _ { 1 } \, r _ { 1 } + \frac { c _ { 3 } } { c _ { 0 } } \, S _ { 2 } \, r _ { 2 t } - \frac { c _ { 4 } } { c _ { 0 } } \, U ( T - T _ { a } ) } \end{array}
\omega _ { \pm } = \frac { i } { 2 } \gamma \pm \sqrt { \Omega ^ { 2 } + \frac { 2 } { m } \left( K _ { 1 } - \sqrt { K _ { 1 } ^ { 2 } - \bar { K } _ { 1 } ^ { 2 } } \cos \theta \right) - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } } ,
\begin{array} { r } { h \in \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { U } \left( N \right) } & { \left( \mathrm { c l a s s ~ A I I I } \right) ; } \\ { \mathrm { O } \left( N \right) } & { \left( \mathrm { c l a s s ~ B D I } \right) ; } \\ { \mathrm { S p } \left( N \right) } & { \left( \mathrm { c l a s s ~ C I I } \right) . } \end{array} \right. } \end{array}
( T D C S ) _ { a v } = \frac { 1 } { 2 \pi \cos \theta _ { p } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi _ { p } G ( \phi _ { p } , \Delta m , \Delta \alpha ) \frac { d ^ { 3 } \sigma ( \mathbf { q } ) } { d \Omega _ { s } d \Omega _ { e } d E _ { e } } ,
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathbf { g } } ^ { \mathrm { \tiny \mathrm { \tiny { C S } } } } ( \boldsymbol \theta ) } & { = \sum _ { w = 1 } ^ { W } \boldsymbol \Phi \ensuremath { \mathbf { g } } _ { w } ^ { \mathrm { \tiny { K } } } ( \boldsymbol \theta ) = \boldsymbol \Phi \Big ( \sum _ { w = 1 } ^ { W } \ensuremath { \mathbf { g } } _ { w } ^ { \mathrm { \tiny { K } } } ( \boldsymbol \theta ) \Big ) = \boldsymbol \Phi \ensuremath { \mathbf { g } } ^ { \mathrm { \tiny { K } } } ( \boldsymbol \theta ) } \\ & { = \underbrace { \boldsymbol \Phi \ensuremath { \mathbf { g } } _ { \mathcal { A } } ( \boldsymbol \theta ) } _ { \mathrm { t o p - ~ K ~ e n t r i e s } } + \ \underbrace { \boldsymbol \Phi \ensuremath { \mathbf { g } } _ { \mathcal { B } } ( \boldsymbol \theta ) , } _ { \mathrm { o t h e r ~ n o n - z e r o } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \tilde { N } _ { S } ^ { 2 } | N \rangle = N q _ { S } q _ { B } / \delta ^ { 2 } + N ^ { 2 } p _ { S } ^ { 2 } , } \\ & { \langle \tilde { N } _ { B } ^ { 2 } | N \rangle = N q _ { S } q _ { B } / \delta ^ { 2 } + N ^ { 2 } p _ { B } ^ { 2 } , } \\ & { \langle \tilde { N } _ { S } \tilde { N } _ { B } | N \rangle = N q _ { S } q _ { B } / \delta ^ { 2 } + N ^ { 2 } p _ { S } p _ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 1 } { { P r } } ( \partial _ { t } \tilde { \omega } _ { \pm } + u \cdot \nabla \tilde { \omega } _ { \pm } ) - \Delta \tilde { \omega } _ { \pm } } & { { } = \mathrm { { R a } } \partial _ { 1 } T } & { \textnormal { i n } } & { { } \Omega } \\ { \tilde { \omega } _ { \pm } } & { { } = \pm \Lambda } & { \textnormal { o n } } & { { } \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } \\ { \tilde { \omega } _ { \pm , 0 } } & { { } = \pm | \omega _ { 0 } | } & { \textnormal { i n } } & { { } \Omega \, , } \end{array}
V _ { i \sigma } = \sum _ { j \alpha } V _ { i j } \left( \rho _ { j j } ^ { \left( \alpha \right) } - \rho _ { 0 j j } ^ { \left( \alpha \right) } \right) + U \left( \rho _ { i i } ^ { \left( \overline { { \sigma } } \right) } - \rho _ { 0 i i } ^ { \left( \overline { { \sigma } } \right) } \right)
( n - 1 ) F _ { i } ^ { * } ( t ) = \underbrace { \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d \mathcal { M } _ { i j } ( s ) } _ { B _ { 1 i } ( t ) } - \underbrace { \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } K _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \big [ e ^ { \pi _ { 1 , i j } ^ { * } ( s , t ) } - e ^ { \pi _ { 1 , i j } ^ { * } ( s ) } \big ] d s } _ { B _ { 2 i } ( t ) } .
I _ { 5 } = 2 4 C \, \, T r \left( \theta ^ { \left( 1 \right) } G ^ { - 1 } \theta ^ { \left( 1 \right) } G ^ { - 1 } \right) P _ { 9 } W _ { 9 } ^ { \left( 2 \right) } X _ { 5 6 7 8 9 } ^ { \left( 2 \right) } . \nonumber
\begin{array} { r } { \langle R ^ { 2 } ( s ) \rangle \approx 6 D s \left[ 1 + \frac { \lambda } { d } \left( \frac { 2 \lambda ( 1 - e ^ { - \frac { s } { \lambda } } ) } { 3 s } - 1 + \frac { 2 } { 3 } { \cal E } _ { 3 } ( \frac { s } { \lambda } ) \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle a | \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ \mathrm { i } ~ k ~ R ~ } } | b \rangle = \langle a | \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ \mathrm { i } ~ K ( \mathfrak { a } ~ + ~ \mathfrak { a } ^ { \dagger } ) ~ } } | b \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { a ! } } \frac { 1 } { \sqrt { b ! } } \Big ( \frac { \partial } { \partial x } \Big ) ^ { a } \Big ( \frac { \partial } { \partial y } \Big ) ^ { b } f _ { K } ( x , y ) \Bigg | _ { x = y = 0 } = \mathrm { e } ^ { \mathrm { \footnotesize ~ \frac { - K ^ { 2 } } { 2 } ~ } } \frac { \sqrt { a ! } } { \sqrt { b ! } } ( \mathrm { i } K ) ^ { b - a } L _ { a } ^ { ( b - a ) } ( K ^ { 2 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname { t r a c e } \left( \boldsymbol { \Lambda } _ { 1 } \boldsymbol { \Phi } _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \Phi } _ { 2 } \boldsymbol { \Lambda } _ { 2 } \boldsymbol { \Phi } _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \Phi } _ { 1 } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { i } \boldsymbol { \Lambda } _ { 1 } [ i , i ] \cdot \operatorname { t r a c e } \left( \boldsymbol { \Phi } _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \Phi } _ { 2 } \boldsymbol { \Lambda } _ { 2 } \boldsymbol { \Phi } _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \Phi } _ { 1 } \right) } \\ & { = \sigma _ { 1 } ( \boldsymbol { A } ) \operatorname { t r a c e } ( \boldsymbol { B } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) \equiv \frac { \pi } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } , \zeta } \frac { \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } { \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } } \delta ( \omega - \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ) = \sum _ { \mathbf { k } } \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } J _ { \mathrm { l o s s } } ( \omega , \mathbf { k } ) } { \left[ \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } + \xi _ { \mathbf { k } } ( \omega ) \right] ^ { 2 } + [ J _ { \mathrm { l o s s } } ( \omega , \mathbf { k } ) ] ^ { 2 } } , } \end{array}
\int _ { \Omega } \, \Bigl | \omega _ { \theta } ( r , z , t ) - \frac { \Gamma } { 4 \pi \nu t } \, e ^ { - \frac { ( r - r _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \nu t } } \Bigr | \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z \, \le \, C \, \Gamma \, \frac { \sqrt { \nu t } } { r _ { 0 } } \, \log \Bigl ( \frac { r _ { 0 } } { \sqrt { \nu t } } + 1 \Bigr ) \, ,
\begin{array} { r l } { f ( \xi ( \omega ) , x ) } & { = \Delta \hat { y } + \hat { y } + \hat { \zeta } + b ( \xi ( \omega ) , x ) , } \\ { b ( \xi ( \omega ) , x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sqrt { \lambda _ { i } } \phi _ { i } ( x ) \xi _ { i } ( \omega ) , } & { \mathrm { i n ~ } ( 0 , 0 . 5 ) \times ( 0 , 1 ) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 2 , 0 } ^ { r e c } } & { = ( 2 - 1 ) J _ { 0 , 0 } + \frac { \sin \theta \cos \theta } { c _ { 2 \bmod 2 } } ( 2 - 2 ) ! ! = J _ { 0 , 0 } + \frac { \cos \theta \sin \theta } { 2 \pi } , } \\ { J _ { 2 , 0 } ^ { e x p } } & { = ( 2 - 1 ) ! ! J _ { 0 , 0 } + \cos \theta \sum _ { i = 1 } ^ { 1 } \frac { ( 2 - 1 ) ! ! } { ( 2 i - 1 ) ! ! } ( 2 i - 2 ) ! ! \frac { \sin ^ { 2 i - 1 } \theta } { 2 \pi } = J _ { 0 , 0 } + \frac { \cos \theta \sin \theta } { 2 \pi } , } \end{array}
\mathcal { R } _ { 3 } ( \mathrm { d } F ) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathbf { d } \mathscr { E } + L _ { e _ { 0 } } \mathscr { B } = 0 } \\ { \mathbf { d } \mathscr { B } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } & { \frac { \tilde { \tau } - \tau + k ( 1 - \eta ) \left( 2 ( \tilde { \tau } - \tau ) T + T ^ { 2 } \left( \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } + \tau } { T } ) } + \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } - \tau } { T } ) } - 2 \exp { ( - \frac { \tau } { T } ) } \right) \right) } { \tilde { \tau } + 2 k ( 1 - \eta ) \left( T ^ { 2 } \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } } { T } ) } + \tilde { \tau } T - T ^ { 2 } \right) } } & { \mathrm { i f } \quad \tau } & { < \tilde { \tau } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { k ( 1 - \eta ) T ^ { 2 } \left( 1 - \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } } { T } ) } \right) ^ { 2 } \exp { ( - \frac { \tau } { T } ) } } { \tilde { \tau } + 2 k ( 1 - \eta ) \left( T ^ { 2 } \exp { ( - \frac { \tilde { \tau } } { T } ) } + \tilde { \tau } T - T ^ { 2 } \right) } } & { \mathrm { i f } \quad \tau } & { \geq \tilde { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { \mu \nu } ( \underline { { r } } , \underline { { r } } ^ { \prime } ) \, } & { = \displaystyle \int \mathrm { d } \underline { { R } } \, \rho _ { \mu \nu } ( \underline { { r } } , \underline { { r } } ^ { \prime } ; \underline { { R } } ) \, \tilde { S } _ { \mu \nu } ( \underline { { R } } , \underline { { R } } ) = \tilde { \rho } _ { \mu \nu } ^ { ( e ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho _ { \lambda } = \frac { 2 \pi } { 1 5 } ( 1 - r ) ^ { 4 } ( 2 + 8 r - 2 5 r ^ { 2 } ) , \qquad \rho _ { \mathrm { d m } } = \frac { 4 \pi } { 1 5 } ( 1 - r ) ^ { 5 } ( 1 + 5 r ) , } \\ & { } & { p _ { \mathrm { d m } } ^ { r } = - \frac { 4 \pi } { 1 5 } ( 1 - r ) ^ { 5 } ( 1 + 5 r ) , \qquad \quad p _ { \mathrm { d m } } ^ { \perp } = - \frac { 4 \pi } { 1 5 } ( 1 - r ) ^ { 4 } ( 1 + 4 r - 2 0 r ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( 1 + \frac { \delta } { \sqrt { \delta ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } a - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( 1 - \frac { \delta } { \sqrt { \delta ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } b \, , } \\ { u } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( 1 - \frac { \delta } { \sqrt { \delta ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } a + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( 1 + \frac { \delta } { \sqrt { \delta ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } b \, , } \end{array}