harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { 2 \big ( r ( x ) u _ { n , x x } \big ) _ { x x } u _ { n } ^ { \prime \prime } } & { \equiv } & { 2 \big [ ( r ( x ) u _ { n , x x } ) _ { x } u _ { n } ^ { \prime \prime } - r ( x ) u _ { n , x x } u _ { n , x } ^ { \prime \prime } \big ] _ { x } + 2 \left( r ( x ) u _ { n , x x } u _ { n , x x } ^ { \prime \prime } \right) , } \\ { 2 \big ( \kappa ( x ) u _ { n , x x } ^ { \prime } \big ) _ { x x } u _ { n } ^ { \prime \prime } } & { \equiv } & { 2 \big [ ( \kappa ( x ) u _ { n , x x } ^ { \prime } ) _ { x } u _ { n } ^ { \prime \prime } - \kappa ( x ) u _ { n , x x } ^ { \prime } u _ { n , x } ^ { \prime \prime } \big ] _ { x } + \left( \kappa ( x ) ( u _ { n , x x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) ^ { \prime } . } \end{array}
\left| \Im \left( \delta _ { 1 2 } ^ { d } \right) _ { L L } \right| < 4 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 } \; , \qquad \left| \Im \left( \delta _ { 1 2 } ^ { d } \right) _ { L R } \right| < 2 . 0 \times 1 0 ^ { - 5 } \; .
L \sim \left( \begin{array} { l l l } { { ( A - B ) \cos \alpha } } & { { - ( A + B ) \sin \alpha } } & { { 0 } } \\ { { ( A - B ) \sin \alpha } } & { { ( A + B ) \cos \alpha } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, ,
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d \tilde { s } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { V ^ { - \frac { 2 } { 1 + a ^ { 2 } } } d t ^ { 2 } - V ^ { + \frac { 2 } { 1 + a ^ { 2 } } } d \vec { x } ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { \varphi } } } & { { = } } & { { V ^ { - \frac { a } { 1 + a ^ { 2 } } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { F _ { t \underline { { { i } } } } } } & { { = } } & { { - n \ \sqrt { \frac { 2 } { 1 + a ^ { 2 } } } } } \\ { { p a r t i a l _ { \underline { { { i } } } } V ^ { - 1 } \, , } } \end{array} \right.
\frac { 1 } { \Omega } \sum _ { \mathbf { G } } \frac { 4 \pi \rho _ { \mu \nu } ^ { \mathbf { k } _ { \mu } \mathbf { k } _ { \nu } } ( \mathbf { G } + \mathbf { k } _ { \mu \nu } ) \rho _ { \xi } ( - \mathbf { G } + \mathbf { k } _ { \kappa \lambda } ) } { | \mathbf { G } + \mathbf { k } _ { \mu \nu } | ^ { 2 } } .
X = \left( 1 + \zeta ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 \alpha } } { \frac { \sin ( \alpha ( U + \xi ) ) } { ( \cos ( U ) ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } } \left( { \frac { \cos ( U - \alpha ( U + \xi ) ) } { W } } \right) ^ { \frac { 1 - \alpha } { \alpha } } ,
x = \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi = \sqrt { \frac { 2 B } { P _ { 0 } } [ 1 - \sin \phi _ { 0 } ] }
\begin{array} { r l } { \big \vert \langle G ( w _ { 1 } ) B _ { 1 } \ \cdots \ G ( w _ { k } ) B _ { k } - M ( w _ { 1 } , B _ { 1 } , . . . , w _ { k } ) B _ { k } \rangle \big \vert } & { \prec \mathcal { E } ^ { \mathrm { a v } } \, , } \\ { \left\vert \big ( G ( w _ { 1 } ) B _ { 1 } \ \cdots \ B _ { k } G ( w _ { k + 1 } ) - M ( w _ { 1 } , B _ { 1 } , . . . , B _ { k } , w _ { k + 1 } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \right\vert } & { \prec \mathcal { E } ^ { \mathrm { i s o } } } \end{array}
U ( \epsilon ) = e ^ { - { \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \frac { g } { D _ { 1 } } W _ { 1 } } } \\ { { \frac { g } { D _ { 1 } ^ { * } } W _ { 1 } ^ { * } } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } .
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { o u t } } \left( \mathbf { r } , z _ { \mathrm { a p } } ; k \right) = I _ { \mathcal { A } } ( \mathbf { r } ) u _ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { r } , z _ { \mathrm { a p } } ; k \right) , } \end{array}
M _ { 8 } = i \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } F _ { 2 } ^ { R } ( 0 ) \frac { m _ { b } } { q ^ { 2 } } [ \bar { u } _ { q } \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } q ^ { \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) T ^ { a } u _ { b } ] [ \bar { u } _ { q ^ { \prime } } \gamma ^ { \mu } T ^ { a } v _ { \bar { q } ^ { \prime } } ] .
\begin{array} { r l r } { \rho } & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S _ { X } } \Xi _ { \rho } ( 0 , \vec { p } , 1 , \vec { q } ) X \otimes w ( \vec { p } , \vec { q } ) + \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S _ { Y } } \Xi _ { \rho } ( 1 , \vec { p } , 1 , \vec { q } ) Y \otimes w ( \vec { p } , \vec { q } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S _ { X } ^ { C } } \Xi _ { \rho } ( 0 , \vec { p } , 1 , \vec { q } ) , \vec { x } ) X \otimes w ( \vec { p } , \vec { q } ) + \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S _ { Y } ^ { C } } \Xi _ { \rho } ( 1 , \vec { p } , 1 , \vec { q } ) Y \otimes w ( \vec { p } , \vec { q } ) } \\ & { + } & { \Delta _ { 1 } ^ { Z } ( \rho ) \; , } \end{array}
{ { \lambda } _ { 0 } } = \sqrt { \frac { 5 { { \nu } _ { 0 } } { { U } _ { 0 } } ^ { 2 } } { { { \varepsilon } _ { 0 } } } } , R { { e } _ { \lambda 0 } } = \frac { { { U } _ { 0 } } { { \lambda } _ { 0 } } } { \sqrt { 3 } { { \nu } _ { 0 } } } ,
\begin{array} { r l r l r } { \hat { H } _ { 0 } ^ { i } } & { { } = \sum _ { a , b = 1 } ^ { { B } \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } - \sum _ { a , b = 1 } ^ { B \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ^ { c } ] _ { a b } \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag } & { + \sum _ { a , b = 1 } ^ { B \nu _ { i } } \left( \left[ \mathcal { D } _ { i } ^ { 0 } \right] _ { b a } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \right) \dag } & { { } = \sum _ { a , b = 1 } ^ { { B } \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } - \sum _ { a , b = 1 } ^ { B \nu _ { i } } [ \Lambda _ { i } ^ { c } ] _ { a b } \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag } & { + \sum _ { a = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \left( \left[ \mathcal { D } _ { i } \right] _ { b \alpha } \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \right) \dag , , } \end{array}
i \partial _ { t } \psi ( \vec { r } , t ) = - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } \psi ( \vec { r } , t ) + V ( \vec { r } , t ) \psi ( \vec { r } , t ) + g | \psi ( \vec { r } , t ) | ^ { 2 } \psi ( \vec { r } , t )
E _ { y } ( \Delta k ; x , y , z ) = \frac { 2 \Delta k \cos ( \Delta k z ) } { 4 \pi \epsilon } \iint d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } \rho ( x ^ { \prime } + x , y ^ { \prime } + y ) y \frac { K _ { 1 } ( \Delta k \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ) } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } ~ ,
\begin{array} { r l } { r } & { { } = { \frac { h } { 1 - { \frac { \cos { \theta } } { \mu } } } } } \\ { h } & { { } = r _ { 0 } \left( 1 - { \frac { \cos { \theta _ { 0 } } } { \mu } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 } } & { { } = \Gamma _ { 1 } ^ { 0 } + \alpha ^ { 2 } r \left( \frac { \alpha t } { 1 5 } + \Psi _ { 1 } + 2 \, \Psi _ { 2 } H ( r - t ) \right) \, , } \\ { \Gamma _ { 2 } } & { { } = \Gamma _ { 2 } ^ { 0 } - \alpha \left( \frac { 4 } { 3 } - \Psi _ { 3 } + 2 \Psi _ { 4 } H ( r - t ) \right) \, , } \end{array}
a _ { \mu } ^ { L B L } ( M ) = a _ { \mu } ^ { L B L } ( \pi ^ { 0 } ) + a _ { \mu } ^ { L B L } ( \eta ) + a _ { \mu } ^ { L B L } ( \eta ^ { \prime } ) + a _ { \mu } ^ { L B L } ( \sigma ) + a _ { \mu } ^ { L B L } ( a _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \langle P _ { n } \rangle } & { = \frac { 1 } { Z } \int \frac { \mathrm { d } p \mathrm { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { f } } \, \mathrm { T r } [ \mathrm { e } ^ { - \beta \hat { H } ( p , q ) } | n \rangle \langle n | ] } \\ & { = \frac { 1 } { Z } \int \frac { \mathrm { d } p \mathrm { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { f } } \, \sum _ { a } \mathrm { e } ^ { - \beta [ T ( p ) + V _ { a } ( q ) ] } | \langle a ( q ) | n \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 4 _ { 1 } , n } ^ { ( 1 ) } ( q ) } & { = ( - 1 ) ^ { n } q ^ { | n | ( 2 | n | + 1 ) / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( - 4 E _ { 1 } ( q ) + \sum _ { \ell = 1 } ^ { k + 2 | n | } \frac { 1 + q ^ { \ell } } { 1 - q ^ { \ell } } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \frac { 1 + q ^ { \ell } } { 1 - q ^ { \ell } } \right) ( - 1 ) ^ { k } \frac { q ^ { k ( k + 1 ) / 2 + | n | k } } { ( q ; q ) _ { k } ( q , q ) _ { k + 2 | n | } } } \\ & { \quad - 2 ( - 1 ) ^ { n } q ^ { | n | ( 2 | n | - 1 ) / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { 2 | n | - 1 } ( - 1 ) ^ { k } \frac { q ^ { k ( k + 1 ) / 2 - | n | k } ( q ^ { - 1 } , q ^ { - 1 } ) _ { 2 | n | - 1 - k } } { ( q ; q ) _ { k } } \, , } \end{array}
\tilde { I } = { N ( N + 1 ) ^ { 2 } } \frac { I } { I _ { 0 } } = \sum _ { k } ^ { N } { \sum _ { i , j = k } ^ { N + 1 } { \kappa _ { i } ^ { k } \kappa _ { j } ^ { k } { \sigma _ { i } } { \sigma _ { j } } } }
D _ { 1 } A ^ { \prime \prime } + D _ { 2 } B ^ { \prime \prime } + { \frac { D _ { 1 } } { 2 } } { A ^ { \prime } } ^ { 2 } + { \frac { D _ { 2 } } { 2 } } { B ^ { \prime } } ^ { 2 } = { \frac { 4 \kappa ^ { 2 } } { D - 2 } } \left( - \Lambda + { \frac { F ^ { 2 } } { 4 g ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { - 2 B } \right) ~ ,
\int \frac { d ^ { 2 } { \bf k } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { ( { \bf k - p _ { 1 } } ) \wedge ( { \bf k - p _ { 3 } } ) } { [ ( { \bf k } - { \bf p } _ { 1 } ) ^ { 2 } ] [ ( { \bf k } - { \bf p } _ { 3 } ) ^ { 2 } ] } = 0 \; ,
{ \frac { d \sigma } { d ^ { 2 } p _ { a ^ { \prime } \perp } d ^ { 2 } p _ { b ^ { \prime } \perp } d y _ { a ^ { \prime } } d y _ { b ^ { \prime } } } } \, = \, x _ { a } ^ { 0 } f _ { \mathrm { e f f } } ( x _ { a } ^ { 0 } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) \, x _ { b } ^ { 0 } f _ { \mathrm { e f f } } ( x _ { b } ^ { 0 } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) \, { \frac { d \hat { \sigma } _ { g g } } { d ^ { 2 } p _ { a ^ { \prime } \perp } d ^ { 2 } p _ { b ^ { \prime } \perp } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \textup { r e d } , J } } { c } = } & { { } \ r _ { 0 } ( \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } \ r _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } ^ { 2 } \ r _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { J } ) + } \end{array}
\Delta \Gamma _ { 2 } = \Gamma _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - \Gamma _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } = \frac { S _ { 2 3 } ^ { 2 } \gamma _ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } } { 1 - S _ { 3 3 } \gamma _ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } } - \frac { S _ { 2 3 } ^ { 2 } \gamma _ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } } { 1 - S _ { 3 3 } \gamma _ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } } ,
G _ { 4 } ( \Lambda ) = G _ { 4 } ( \mu ) \left( \frac { \Lambda } { \mu } \right) ^ { 2 } \frac { ( 1 + b g ^ { 2 } ( \mu ) \ln ( \Lambda / \mu ) ) ^ { - c / b } } { 1 + w G _ { 4 } ( \mu ) \int _ { \mu } ^ { \Lambda } \frac { d \Lambda ^ { \prime } } { \Lambda ^ { \prime } } \left( \frac { \Lambda ^ { \prime } } { \mu } \right) ^ { 2 } ( 1 + b g ^ { 2 } ( \mu ) \ln ( \Lambda ^ { \prime } / \mu ) ) ^ { - c / b } } ,
\epsilon \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi _ { x } ^ { \epsilon } ( \bar { \xi _ { 1 } } ) _ { x } d x + \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } ^ { \epsilon } \bar { \xi _ { 1 } } d x + \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi _ { x } ^ { \epsilon } \bar { \xi _ { 1 } } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi ^ { \epsilon } \bar { \xi _ { 1 } } d x = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f \bar { \xi _ { 1 } } d x .
C _ { c } ^ { \infty } ( \Omega ) ^ { 3 } \ni \varphi = \left( \begin{array} { l } { \varphi _ { 1 } } \\ { \varphi _ { 2 } } \\ { \varphi _ { 3 } } \end{array} \right) \mapsto \nabla \times \varphi = \left( \begin{array} { l } { \partial _ { 2 } \varphi _ { 3 } - \partial _ { 3 } \varphi _ { 2 } } \\ { \partial _ { 3 } \varphi _ { 1 } - \partial _ { 1 } \varphi _ { 3 } } \\ { \partial _ { 1 } \varphi _ { 2 } - \partial _ { 2 } \varphi _ { 1 } } \end{array} \right) \in C _ { c } ^ { \infty } ( \Omega ) ^ { 3 }
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 5 + 4 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 6 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 7 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 5 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mu ( w - I _ { h , \kappa } w , \Delta w ) } & { \leq \frac { \mu ^ { 2 } c _ { 0 } h ^ { 2 } } { \nu } \left\| w \right\| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { c \mu ^ { 2 } \tau } { \nu } \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { d w ( s ) } { d s } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s + \frac { \nu } { 4 } \left\| \Delta w \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \mu } { 4 } \left\| w \right\| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { c \mu ^ { 2 } \tau } { \nu } \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { d w ( s ) } { d s } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s + \frac { \nu } { 4 } \left\| \Delta w \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \mathrm { R I N } _ { \mathrm { s h o u l d e r } } } { \mathrm { R I N } _ { \mathrm { s n } } } = e ^ { - 2 r } \frac { 4 \eta _ { i n j } \mathrm { P _ { b s c } } } { 2 \hbar \omega } S _ { \cos \Phi } ( f ) ,
U ( { \boldsymbol { x } } , t ) = \lambda _ { A } ( t ) \, U _ { A } ( { \boldsymbol { x } } ) + \lambda _ { B } ( t ) \, U _ { B } ( { \boldsymbol { x } } ) + \lambda _ { C } ( t ) \, U _ { C } ( { \boldsymbol { x } } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \vec { W } } { \partial t } - \frac { \partial } { \xi _ { 1 } } \left( \underline { { \underline { { \boldsymbol \Lambda } } } } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 1 } } \mathbf { W } \right) } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { { } = { \cfrac { 2 } { J } } ~ \left[ { \cfrac { 1 } { J ^ { 2 / 3 } } } ~ \left( { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \boldsymbol { B } } - { \cfrac { 1 } { J ^ { 4 / 3 } } } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { a } _ { d e t 1 } = \sqrt { 1 - T } \hat { a } _ { \mathrm { L O } } + \sqrt { T } \sqrt { \eta } \hat { a } _ { 2 / 1 , o u t } ^ { \mathrm { e x t 2 } } } \end{array}
\mathcal { E } _ { t } : = \Phi _ { t + s } ^ { - s } \left( A _ { a ( t + s ) } \right) \backslash A _ { a ( t ) } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathcal { X } _ { t } : = A _ { a ( t ) } \backslash \Phi _ { t + s } ^ { - s } \left( A _ { a ( t + s ) } \right) .
n _ { p h 1 2 } \Gamma _ { o u t } = \Gamma _ { o u t } \frac { n _ { p u m p } \Gamma _ { p } + N B _ { n r 1 2 } n _ { p n 1 2 } \frac { \gamma _ { r } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { n r } } } { \Gamma _ { o u t } + N B _ { r 1 2 } \left( 1 - \frac { \gamma _ { r } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { n r } } \right) }
D _ { k } \overset { \mathrm { d e f } } { : = } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { k - j } \left( \underset { m = j + 1 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } \alpha _ { 0 } ^ { ( j ) } } { 2 ^ { k - j } ( k - j ) ! } + \frac { ( - 1 ) ^ { k } \left( \underset { m = 0 } { \overset { k } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) \right) T _ { 1 } ^ { k + 1 } } { 2 ^ { k + 1 } ( k + 1 ) ( k - 1 ) ! } = 0
\begin{array} { r l } { | t ^ { - 1 } \sin ( \phi _ { s } ( t ) ) - \| M _ { 0 } \| | } & { = \frac { | t ^ { - 2 } \sin ^ { 2 } ( \phi _ { s } ( t ) ) - \| M _ { 0 } \| ^ { 2 } | } { t ^ { - 1 } \sin ( \phi _ { s } ( t ) ) + \| M _ { 0 } \| } \le \frac { | t ^ { - 2 } \sin ^ { 2 } ( \phi _ { s } ( t ) ) - \| M _ { 0 } \| ^ { 2 } | } { \| M _ { 0 } \| } = o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { C ^ { \prime } C Q } } & { { } = \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ p ~ c ~ h ~ } } ( \bar { \tau } _ { C ^ { \prime } C Q } ) } \\ { \tau _ { C Q } } & { { } = \sum _ { x ^ { \prime } , x } q _ { x ^ { \prime } , x } | x \rangle _ { C } \langle x | \otimes \tau _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } , } \end{array}
\left. \begin{array} { r c l } { { C _ { + \mu } ^ { \varepsilon } \: s _ { + \mu ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } } } & { { = } } & { { s _ { + \mu } ^ { \varepsilon } \: C _ { + \mu ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } \; = \; \displaystyle \frac { \mathrm { P P } } { \mu - \mu ^ { \prime } } \: Z ^ { - 1 } \: C _ { + \mu } ^ { \varepsilon } } } \\ { { s _ { + \mu } ^ { \varepsilon } \: s _ { + \mu ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \mathrm { P P } } { \mu - \mu ^ { \prime } } \: Z ^ { - 1 } \: ( s _ { + \mu } ^ { \varepsilon } - s _ { + \mu ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } ) } } \end{array} \right\}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { V } } \sum _ { \mathbf { k } \lambda } { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega _ { k } } & { = { \frac { 2 } { 8 \pi ^ { 3 } } } \int d ^ { 3 } k { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega _ { k } } \\ & { = { \frac { 4 \pi } { 4 \pi ^ { 3 } } } \int d k \, k ^ { 2 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega _ { k } \right) } \\ & { = { \frac { \hbar } { 2 \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } } \int d \omega \, \omega ^ { 3 } } \end{array} }
\left\langle ( \overline { X } _ { t } ( \omega ) - \overline { Y } _ { t } ( \omega ) ) S ^ { \beta } ( \overline { X } _ { t } ( \omega ) , \overline { Y } _ { t } ( \omega ) ) \, , \, n ( \overline { Y } _ { t } ( \omega ) ) \right\rangle \left\{ \begin{array} { l l } { = 0 } & { \textup { i f } \; \overline { X } _ { t } ( \omega ) \notin L _ { \delta } } \\ { \leq 0 } & { \textup { i f } \; \overline { X } _ { t } ( \omega ) \in L _ { \delta } } \end{array} \right. \quad \mathrm { f o r } \quad \overline { Y } _ { t } ( \omega ) \in \partial L _ { \delta }
\left[ \left( C _ { A _ { i , e } } ^ { 2 } + C _ { S _ { i , e } } ^ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { r } \left( r \frac { \partial } { \partial r } \right) \right) \hat { D } _ { T _ { i , e } } - \hat { D } _ { A _ { i , e } } \hat { D } _ { S _ { i , e } } \right] \tilde { \rho } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \Delta u + \kappa ^ { 2 } u } & { { } = 0 \quad \mathrm { i n } \quad D } \\ { \frac { \partial u } { \partial n } } & { { } = \rho _ { 0 } \omega \sum _ { j = 1 } ^ { s } h _ { j } \chi _ { j } \quad \mathrm { o n } \quad \partial D , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { { } + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \phi ^ { - 1 } \omega ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot \left[ \left( \omega ^ { 1 - \gamma } \left\langle \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi \right\rangle + \omega ^ { 1 - \alpha } \left\langle \boldsymbol \chi \mathbf k \right\rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right) \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } } \left\vert \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) - \mathbb { E } f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) \right\vert ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } } \\ & { \lesssim } & { \left( \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } } \left\vert \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) - \mathbb { E } f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) \right\vert ^ { p } \right) ^ { 1 / 2 p } } \\ & { } & { \times \Upsilon \sqrt { \frac { \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } } \left( \sqrt { \log \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } \sqrt { \log \prod _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } } \cdot \log \xi + \sqrt { p } \right) } \\ & { } & { + \Upsilon \sqrt { \frac { \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } } \left( \sqrt { \log \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } \sqrt { \log \prod _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } } \cdot \log \xi + \sqrt { p } \right) . } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { ( 4 , 2 , 0 ) } } & { { ( 7 , 5 , 3 ) } } & { { ( 1 0 , 8 , 6 ) } } & { { . . . } } \\ { { ( 6 . 5 , 3 , 0 ) } } & { { ( 9 . 5 , 6 , 3 ) } } & { { ( 1 2 . 5 , 9 , 6 ) } } & { { . . . } } \\ { { ( 8 . 5 , 4 , 0 ) } } & { { ( 1 1 . 5 , 7 , 3 ) } } & { { ( 1 4 . 5 , 1 0 , 6 ) } } & { { . . . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s _ { m } } & { { } = } & { \sum _ { \alpha = x , y , z } s _ { m , \alpha } } \\ { s _ { m , \alpha } } & { { } = } & { \bar { n } _ { \alpha } \ln \left( \frac { \bar { n } _ { \alpha } + 1 } { \bar { n } _ { \alpha } } \right) + \ln \left( \bar { n } _ { \alpha } + 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \sqrt { | \bar { \Phi } | } } { m } \geq \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \frac { k - r } { d _ { 2 } } } \sqrt { \frac { p p _ { 0 } } { s d _ { 1 } d _ { 2 } } } \implies \operatorname* { m a x } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { U } ( \gamma ) } \left\{ \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { t } } } | \langle A _ { i } , \Delta W _ { 1 } W _ { 2 } ^ { \star } \rangle | \right\} \geq \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \frac { k - r } { d _ { 2 } } } \sqrt { \frac { p p _ { 0 } } { s d _ { 1 } d _ { 2 } } } \cdot \gamma } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \ln r } { r } } & { { } = - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, ( 2 \ln t + \gamma _ { E } + \ln 4 ) \, e ^ { - r ^ { 2 } t ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \ln r } { r ^ { 2 } } } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, t \, ( 2 \ln t + \gamma _ { E } ) \, e ^ { - r ^ { 2 } t ^ { 2 } } . } \end{array}
P ( \mathrm { ~ S ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ } \cap \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ c ~ a ~ s ~ e ~ 3 ~ } ) = \frac { 1 } { n } \cdot \frac { 1 } { n - 1 } \cdot ( r _ { 1 } - 1 ) \cdot ( r _ { 2 } - r _ { 1 } )
a _ { 1 2 } a _ { 2 3 } a _ { 3 1 } = \left( \frac { \alpha \beta \gamma } { \epsilon _ { 2 1 } \epsilon _ { 3 2 } \epsilon _ { 1 3 } } \right) ^ { 1 / 2 } = ( \alpha \beta \gamma ) ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { 1 } ( A ) \rangle } & { { } = \left( \sum _ { k _ { d } = 1 } ^ { N } A _ { d k _ { d } } \hat { a } _ { k _ { d } } ^ { \dagger } \right) \ldots \left( \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 1 k _ { 1 } } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \right) | \textrm { v a c } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal S _ { B } \left( m _ { a } \right) } & { = } & { \left| \mathcal F \right| , } \\ { \tilde { \phi } } & { = } & { \arg \mathcal { F } , } \\ { \mathcal F } & { = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi \left| { \boldsymbol B } ( 0 ) \right| } \sum _ { l , m } \mathcal K _ { m , n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \left| \boldsymbol B _ { l , m } ( r ^ { \prime } ) \right| e ^ { - i m _ { a } r ^ { \prime } / c } r ^ { \prime } , } \end{array}
T r \left[ \left( U \overline { { { U } } } ( { \cal D } _ { \alpha } ^ { + } \overline { { { V } } } V ) + \overline { { { V } } } V ( { \cal D } _ { \alpha } ^ { + } U \overline { { { U } } } ) \right) _ { \ j \ B } ^ { i \ A } ( U ^ { 3 } V ^ { 2 } ) ^ { k } \right]
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { C } _ { - } ( f w ^ { + } ) ) ( k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } = } & { \; \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { f ( s ) w ^ { + } ( s ) } { s - ( k ^ { - 1 } ) _ { - } } d s \mathcal { B } = - \frac { k } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { f ( 1 / s ) w ^ { - } ( 1 / s ) } { k _ { + } s - 1 } d s } \\ { = } & { \; - \frac { k } { 2 \pi i } \int _ { - \Gamma } \frac { f ( u ) w ^ { - } ( u ) } { k _ { + } / u - 1 } \bigg ( - \frac { d u } { u ^ { 2 } } \bigg ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { k } { u } \frac { f ( u ) w ^ { - } ( u ) } { u - k _ { + } } d u } \end{array}