harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( \hat { H } _ { \mathrm { P F } } ) _ { I J , n m } } & { = \bigg [ E _ { I } + \omega _ { \alpha } ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \bigg ] \delta _ { I J } \delta _ { n m } } \\ & { + \sqrt { \frac { \omega _ { \alpha } } { 2 } } \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { D } _ { I J } ( \sqrt { m + 1 } \delta _ { n , m + 1 } + \sqrt { m } \delta _ { n , m - 1 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { K } ^ { \mathcal { N } _ { \mathrm { e l } } } ( \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { D } _ { I K } ) ( \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { D } _ { K J } ) \delta _ { n m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , \omega \right\rangle + \left\langle \nabla \gamma , \nabla \psi \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \nabla \beta , \nabla \psi _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \beta , \omega \nabla ^ { \perp } \psi \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \beta \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \end{array}
\overline { { \sigma } } ^ { ( m ) } : = \prod _ { j = 1 } ^ { m } \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { d } } \| M _ { j } ( z ) \| , \quad \underline { { \sigma } } ^ { ( m ) } : = \prod _ { j = 1 } ^ { m } \left( \operatorname* { l i m i n f } _ { \| z \| \to \infty } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } \big ( M _ { j } ( z ) \big ) \right) ,
\tilde { m } _ { U _ { L } } ^ { 2 } ( t = 6 6 ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + 6 . 5 m _ { 1 / 2 } ^ { 2 } + 0 . 3 5 \cos { 2 \beta } M _ { Z } ^ { 2 } \, ,
8 \pi G r ^ { 2 } U = { \frac { { a } } { 2 ( { { b } } - 1 ) } } ( e v r ) ^ { - 2 } \left[ - 1 + 2 { { b } } ( e v r ) ^ { 2 } - { { b } } ( e v r ) ^ { 4 } \right] \ .
\int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } ( x ) \bigg \vert \sum _ { k \geq 1 } \widehat { \rho } ( k ) \, \lambda _ { k } e ^ { - \tau \lambda _ { k } } \phi _ { k } ( x ) \bigg \vert ^ { 2 } = \sum _ { k \geq 1 } \lambda _ { k } ^ { 2 \varepsilon } \vert \widehat { \rho } ( k ) \vert ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 ( 1 - \varepsilon ) } e ^ { - 2 \tau \lambda _ { k } } \lesssim \| \rho \| _ { \mathrm { H } ^ { \varepsilon } } ^ { 2 } \tau ^ { 2 ( \varepsilon - 1 ) } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { | S ( \sigma _ { 0 } ) \cap [ \tilde { z } _ { t } , \tilde { z } _ { t } ^ { \prime } ] ^ { 2 } | \geq | S ( \sigma _ { 0 } ) \cap [ \lceil \tilde { z } _ { t } \rceil , \lfloor \tilde { z } _ { t } ^ { \prime } \rfloor ] ^ { 2 } | } \\ & { \geq } & { | [ \lceil \tilde { z } _ { t } \rceil , \lfloor \tilde { z } _ { t } ^ { \prime } \rfloor ] \cap \mathbb { N } ^ { * } | - | \mathcal { D } _ { \lceil \tilde { z } _ { t } \rceil - 1 } ( \sigma _ { 0 } ) | - | \mathcal { D } _ { \lfloor \tilde { z } _ { t } ^ { \prime } \rfloor } ^ { \prime } ( \sigma _ { 0 } ) | } \\ & { \geq } & { \lfloor \tilde { z } _ { t } ^ { \prime } \rfloor - \lceil \tilde { z } _ { t } \rceil + 1 - 2 C _ { 1 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \geq \frac { 1 } { 2 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - 1 - \frac { 1 } { 4 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - 1 \geq \frac { 1 } { 8 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } . } \end{array}
{ \mathbb { D } } ( \mathbf L ) = \bigsqcup _ { j = 1 } ^ { r } \, { \mathbb { D } } ( \ell _ { j } ) , \, \, \, { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \mathbf L ) = \bigsqcup _ { j = 1 } ^ { r } \, { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \ell _ { j } ) , \, \mathrm { a n d } \, { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \mathbf L ) = \bigsqcup _ { j = 1 } ^ { r } \, { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \ell _ { j } )
E \left[ C _ { 7 } \right] = - \frac { \tau } { \left( 1 + 2 \tau \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) .
q ( \vec { x } ) = \epsilon ^ { a b c } \, \epsilon ^ { i j } \, \hat { n } ^ { a } \, \partial _ { i } \hat { n } ^ { b } \, \partial _ { j } \hat { n } ^ { c } = \frac { 2 } { r } \sin \theta ( r ) \, \theta ^ { \prime } ( r )
\langle { b ^ { j } b ^ { k } } \rangle = \langle { b _ { 0 0 } ^ { j } b _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \langle { b _ { 0 1 } ^ { j } b _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \langle { b _ { 0 0 } ^ { j } b _ { 0 1 } ^ { k } } \rangle + \delta \langle { b _ { 1 0 } ^ { j } b _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \delta \langle { b _ { 0 0 } ^ { j } b _ { 1 0 } ^ { k } } \rangle + \cdots .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi _ { i } } & { { } = \nabla . ( D _ { i } \phi _ { i } \nabla \mu _ { i } ) + k \left[ \frac { 2 \phi _ { 0 } } { 1 + ( \frac { \phi _ { I } } { \phi _ { A } } ) ^ { h } } - \phi _ { i } \right] \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { g } ^ { \pm } = V _ { E } ^ { \pm } = \frac { \sqrt { | g ( \omega ) | \left( 1 + \mathrm { s g n } [ g ( \omega ) ] \right) } } { \displaystyle \mu \sqrt { 2 } \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) } \; . } \end{array}
x = \left( { \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \qquad y = \left( { \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r l } { h ^ { \scriptscriptstyle ( > ) } ( r _ { * } ) } & { { } = \sqrt { \frac { 3 } { \sqrt { 5 } } } \left\{ \frac { 2 } { \pi } Q _ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \operatorname { t a n h } r _ { * } ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { P } = \frac { Q \Omega } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 3 } A } } \\ { C _ { Q } = \frac { Q } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 2 } A R } } \\ { C _ { t h r u s t } = \frac { F _ { t h r u s t } } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 2 } A } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \epsilon _ { n } ( x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } \langle \phi _ { n , x _ { 0 } } | h _ { o p } ( x _ { 0 } ) | \phi _ { n , x _ { 0 } } \rangle = } \end{array}
{ \cal { Z } } ( \tau { } ) = { \cal N } \tau ^ { - \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } ^ { - } } \bar { \tau } ^ { - \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } ^ { + } } { \cal { Z } } ( - \frac { 1 } { \tau } )
\begin{array} { r l } { \sigma ( g _ { 1 } ) \sigma ( g _ { 2 } ) } & { = ( s ( g _ { 1 } ) \rtimes R ^ { \theta ( g _ { 1 } ) } ) ( s ( g _ { 2 } ) \rtimes R ^ { \theta ( g _ { 2 } ) } ) = s ( g _ { 1 } ) s ( g _ { 2 } ) c ^ { \theta ( g _ { 2 } ) \theta ( g _ { 1 } ) } \rtimes R ^ { \theta ( g _ { 1 } ) + \theta ( g _ { 2 } ) } } \\ & { = s ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) \Xi ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) \rtimes R ^ { \theta ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) } = \Xi ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) \sigma ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { C \in X } | C | , \sum _ { C \in U } | C | \ge t / 3 \cdot p ^ { 5 } , } \\ & { \sum _ { P \in \mathcal { P } } | P | \le 2 t / 3 \cdot r = \frac { 4 t } { 3 \varepsilon _ { 1 } } \log ^ { 3 } n \le \frac { \varepsilon _ { 1 } t p ^ { 5 } } { 2 4 \log ^ { 2 } n } \le \varepsilon ( t p ^ { 5 } / 3 ) t p ^ { 5 } / 2 4 \quad \mathrm { a n d } } \\ & { \sum _ { C \in S } | C | \le t p ^ { 3 } \le \varepsilon ( t p ^ { 5 } / 3 ) t p ^ { 5 } / 2 4 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( 1 - t ) ^ { 2 } \mathbf { P } _ { 0 } + 2 ( 1 - t ) t \mathbf { P } _ { 1 } + t ^ { 2 } \mathbf { P } _ { 2 } } & { = ( 1 - t ) ^ { 3 } \mathbf { P } _ { 0 } + 2 ( 1 - t ) ^ { 2 } t \mathbf { P } _ { 1 } + ( 1 - t ) t ^ { 2 } \mathbf { P } _ { 2 } + ( 1 - t ) ^ { 2 } t \mathbf { P } _ { 0 } + 2 ( 1 - t ) t ^ { 2 } \mathbf { P } _ { 1 } + t ^ { 3 } \mathbf { P } _ { 2 } } \\ & { = ( 1 - t ) ^ { 3 } \mathbf { P } _ { 0 } + ( 1 - t ) ^ { 2 } t \left( \mathbf { P } _ { 0 } + 2 \mathbf { P } _ { 1 } \right) + ( 1 - t ) t ^ { 2 } \left( 2 \mathbf { P } _ { 1 } + \mathbf { P } _ { 2 } \right) + t ^ { 3 } \mathbf { P } _ { 2 } } \\ & { = ( 1 - t ) ^ { 3 } \mathbf { P } _ { 0 } + 3 ( 1 - t ) ^ { 2 } t { \frac { 1 } { 3 } } \left( \mathbf { P } _ { 0 } + 2 \mathbf { P } _ { 1 } \right) + 3 ( 1 - t ) t ^ { 2 } { \frac { 1 } { 3 } } \left( 2 \mathbf { P } _ { 1 } + \mathbf { P } _ { 2 } \right) + t ^ { 3 } \mathbf { P } _ { 2 } } \end{array} }
\hat { \Lambda } _ { A } ^ { \ C } \hat { \Lambda } _ { B } ^ { \ D } \hat { \eta } _ { C D } = \hat { \eta } _ { A B } \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \hat { \Lambda } _ { A } ^ { \ C } \hat { \Lambda } _ { B } ^ { \ D } \hat { \varepsilon } _ { C D } = \hat { \varepsilon } _ { A B }
\begin{array} { r l } { | E ( \mathcal { H } ^ { \prime } ) \setminus E ( \mathcal { H } ) | } & { \leq | \{ e \in V _ { 1 } \cup T \} | + | \{ e \in E ( \mathcal { H } ^ { \prime } ) \setminus E ( \mathcal { H } ) \mid e \cap A \neq \emptyset \} | } \\ & { \leq \binom { | V _ { 1 } | + t } { k } + a k \binom { | V _ { 1 } | + t + ( \alpha - 1 ) k ^ { 2 } } { k - 1 } } \\ & { \leq k \binom { | V _ { 1 } | + t + ( \alpha - 1 ) k ^ { 2 } } { k - 1 } n = O ( n ) . } \end{array}
( L U ) _ { k } = \frac { i } { m \left( \mathcal T _ { k } \right) } \left( \sum _ { \sigma \in \mathcal E _ { k } \cap \mathcal E ^ { \mathrm { i n t } } } \frac { U _ { j } - U _ { k } } { d _ { \sigma } } \ell _ { \sigma } + \sum _ { \sigma \in \mathcal E _ { k } \cap \mathcal E ^ { \mathrm { e x t } } } \frac { 0 - U _ { k } } { d _ { \sigma } } \ell _ { \sigma } \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r _ { s } \to 0 } \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { { \mathrm { S D } } , \mathrm { c o f e } } ( r _ { s } , \bar { f } ) \to } & { ( \bar { f } - 1 ) \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { U } + ( 2 - \bar { f } ) \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { P } } \\ { = } & { \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { U } + ( 2 - \bar { f } ) [ \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { P } - \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { U } ] } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \sin ^ { 2 } \phi _ { u } < 0 . 0 1 3 , \ \sin ^ { 2 } \phi _ { d } < 0 . 0 1 5 , } } \\ { { \sin ^ { 2 } \phi _ { c } < 0 . 0 2 0 , \ \sin ^ { 2 } \phi _ { s } < 0 . 0 1 5 . } } \end{array}
\int _ { \underline { { B } } _ { 1 } ^ { m + n } } \frac { d \mu ( K ^ { ( m , n ) } ) } { | K ^ { ( m , n ) } | ^ { 1 / 2 } } a ^ { * } ( K ^ { ( m ) } ) 1 _ { H _ { \mathrm { f } } + \Sigma [ K ^ { ( m ) } ] \leq 1 } w _ { m , n } ( H _ { \mathrm { f } } , K ^ { ( m , n ) } ) 1 _ { H _ { \mathrm { f } } + \Sigma [ \tilde { K } ^ { ( n ) } ] \leq 1 } a ( \tilde { K } ^ { ( n ) } ) \; .
\frac { \partial E _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ F ~ } } } { \partial v _ { n , p } } = \sum _ { q = \{ x , y , z \} } \left[ V _ { \mathrm { ~ U ~ C ~ } } ~ \sigma _ { p q } - \frac { \partial E _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ F ~ } } } { \partial R _ { I , p } } R _ { I , q } \right] \left( \boldsymbol { A } ^ { - 1 } \right) _ { n q }
G = \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { h } ^ { 2 } ( x ( k _ { i } ) ) \left[ \begin{array} { l l } { u ^ { 2 } ( k _ { i } ) } & { u ( k _ { i } ) v ( k _ { i } ) } \\ { v ( k _ { i } ) u ( k _ { i } ) } & { v ^ { 2 } ( k _ { i } ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { l c l } { { S _ { I I } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { f } } d \tau \int _ { 0 } ^ { \sigma _ { 0 } } d \sigma ~ \{ ( \partial _ { \sigma } X ^ { ( I I ) } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { \sigma } Y ^ { ( I I ) } ) ^ { 2 } \} } } } \\ { { } } & { { = } } & { { { \displaystyle M ^ { 2 } ~ \frac { \sigma _ { 0 } } { \pi } \, \sum _ { n \neq 0 } ^ { } \left( | \phi _ { n } ( \sigma _ { 0 } ) | ^ { 2 } + | \psi _ { n } ( \sigma _ { 0 } ) | ^ { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { f } } d \tau ~ { \sin } ^ { 2 } \, \left( \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } n \tau \right) } } } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ n ~ s ~ o ~ r ~ } } ^ { 0 } = t _ { 0 , 6 , 6 } T ^ { [ 6 ] } [ 0 , 6 ] + t _ { 0 , 1 0 , 1 0 } T ^ { [ 1 0 ] } [ 0 , 1 0 ] + \cdots
\begin{array} { r } { \mathcal { R } = \left\langle \left\{ \boldsymbol { u } ^ { ( i ) } \boldsymbol { u } ^ { ( i ) * } \right\} _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \right\rangle \in \mathbb { R } ^ { N \times N } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta } & { { } = } & { \sin { ( \phi _ { x } ) } - \sin { ( \phi _ { y } ) } + \frac { \tau \xi } { 4 } ( \sin { ( 2 \phi _ { x } ) } - \sin { ( 2 \phi _ { y } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \lbrace f , g \rbrace ) } & { = R ( X _ { g } f ) } \\ & { = R ( d f ( X _ { g } ) ) } \\ & { = R ( d \theta ( X _ { f } , X _ { g } ) ) } \\ & { = ( L _ { R } d \theta ) ( X _ { f } , X _ { g } ) + d \theta ( L _ { R } X _ { f } , X _ { g } ) + d \theta ( X _ { f } , L _ { R } X _ { g } ) } \\ & { = - d g ( L _ { R } X _ { f } ) + d f ( L _ { R } X _ { g } ) } \\ & { = d g ( L _ { X _ { f } } R ) - d f ( L _ { X _ { g } } R ) } \\ & { = L _ { X _ { f } } ( d g ( R ) ) - ( L _ { X _ { f } } d g ) ( R ) - L _ { X _ { g } } ( d f ( R ) ) + ( L _ { X _ { g } } d f ) ( R ) } \\ & { = - d ( X _ { f } g ) ( R ) + d ( X _ { g } f ) ( R ) } \\ & { = - R ( \lbrace g , f \rbrace ) + R ( \lbrace f , g \rbrace ) } \\ & { = 2 R ( \lbrace f , g \rbrace ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { m } \left( k \right) } & { { } = \epsilon ^ { 2 } \pi \int \! d \mathbf { q } \int \! d \mathbf { p } \omega _ { k } \Gamma _ { p q k } ^ { 2 } m _ { k } m _ { p } m _ { q } \left( \omega _ { q } m _ { q } ^ { - 1 } + \omega _ { p } m _ { p } ^ { - 1 } + \omega _ { k } m _ { k } ^ { - 1 } \right) \delta \left( \omega _ { p , q , k } \right) \delta \left( \mathbf { k } + \mathbf { q } + \mathbf { p } \right) , } \end{array}
Z \sim \int d { \hat { y } } _ { i } d { \hat { p } } _ { i } \frac { 1 } { g _ { s } \ln \delta } e ^ { - \frac { ( { \hat { q } } _ { m } - q _ { m } ) G ^ { m n } ( { \hat { q } } _ { n } - q _ { n } ) } { g _ { s } \ln \delta } } \int D X e ^ { - S ^ { * } - \int { \hat { q } } _ { m } V _ { m } ( X ) }
\frac 1 2 | F _ { B } | ^ { 2 } e ^ { - \bar { \Lambda } / T } = K ( E _ { C } , T ) , \qquad K ( E _ { C } , T ) = \int _ { 0 } ^ { E _ { C } } \rho ( \omega ) e ^ { - \omega / T } d \omega + \sum _ { i } \frac { A _ { i } } { T ^ { i } } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \widehat { G } _ { n } \in \Xi } \operatorname* { s u p } _ { G \in \Xi _ { 1 } ( l _ { n } ) } \mathbb { E } _ { p _ { G } } \biggr ( \lambda ^ { 2 } \| ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) \| ^ { 2 } \| ( \widehat { \mu } _ { n } , \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \mu , \Sigma ) \| ^ { 2 } \biggr ) \geq c _ { 1 } n ^ { - 1 / r } , } \end{array}
\widetilde { C _ { V } } ( u ) = \frac { \widetilde { C _ { \psi _ { \mathrm { t h } } } } ( u ) + \widetilde { C _ { \psi _ { \mathrm { a c } } } } ( u ) } { \widetilde { K } ( u ) ^ { 2 } } \equiv \widetilde { C _ { V } ^ { \mathrm { ( t h ) } } } ( u ) + \widetilde { C _ { V } ^ { \mathrm { ( a c ) } } } ( u ) .
\alpha ^ { - 1 } ( \omega ) = \alpha _ { 0 } ^ { - 1 } ( \omega ) + \frac { Z _ { L } } { \Delta } , \qquad \alpha _ { 0 } ^ { - 1 } ( \omega ) = \frac { \eta k } { 4 } H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k r _ { 0 } )
\frac { \mathrm { d } \lambda _ { \mathrm { c } } } { \mathrm { d } \tau } = \frac { \mathrm { d } \lambda } { \mathrm { d } \tau } + \frac { s } { 1 + s \eta } \frac { \mathrm { d } \eta } { \mathrm { d } \tau } < 0 \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \, \mathrm { d } y _ { i } } { \, \mathrm { d } \tau } } & { = - a _ { i } ^ { - 1 } a _ { k } b _ { k } \Phi _ { j } ( \boldsymbol { y } ) y _ { k } - a _ { i } ^ { - 1 } a _ { j } b _ { j } y _ { j } \Phi _ { k } ( \boldsymbol { y } ) } \\ & { \quad + c a _ { i } ^ { - 1 } ( a _ { k } - a _ { j } ) y _ { j } y _ { k } - \Phi _ { i } ( \boldsymbol { y } ) - \nu _ { 0 } a _ { i } y _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \alpha } \left| \langle \Psi _ { \alpha E } | \phi \rangle \right| ^ { 2 } = \sum _ { \alpha } \langle \phi | \Psi _ { \alpha E } \rangle \langle \Psi _ { \alpha E } | \phi \rangle = } \\ & { = \langle \phi | \delta ( E - H ) | \phi \rangle = - \frac { 1 } { \pi } \Im m \left[ \langle \phi | G ^ { + } ( E ) | \phi \rangle \right] , } \end{array}
{ \widehat { p } } ( d x _ { k - 1 } | \xi _ { k } ^ { i } , ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { p ( y _ { k - 1 } | \xi _ { k - 1 } ^ { j } ) p ( \xi _ { k } ^ { i } | \xi _ { k - 1 } ^ { j } ) } { \sum _ { l = 1 } ^ { N } p ( y _ { k - 1 } | \xi _ { k - 1 } ^ { l } ) p ( \xi _ { k } ^ { i } | \xi _ { k - 1 } ^ { l } ) } } ~ \delta _ { \xi _ { k - 1 } ^ { j } } ( d x _ { k - 1 } )
\mathbb { E } \Bigg ( \int _ { 0 } ^ { t } ( \sigma ( s , X _ { s } ^ { i , \tau } ) - \sigma ( s , Y _ { s } ^ { i , \tau } ) ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } s \Bigg ) \le \Lambda \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \big ( | X _ { s } ^ { i , \tau } - Y _ { s } ^ { i , \tau } | ^ { 2 } \big ) \le \Lambda \int _ { 0 } ^ { t } \operatorname* { s u p } _ { i = 1 , \ldots , N } \mathbb { E } \big ( | X _ { s } ^ { i , \tau } - Y _ { s } ^ { i , \tau } | ^ { 2 } \big ) .
C ( t ) = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { p _ { k , + } ^ { \mathrm { e q } } p _ { k , - } ^ { \mathrm { e q } } ( I _ { k } ^ { + } - I _ { k } ^ { - } ) ^ { 2 } } { \langle I ( 0 ) ^ { 2 } \rangle - \langle I ( 0 ) \rangle ^ { 2 } } e ^ { - \frac { \tau _ { k } ^ { + } \tau _ { k } ^ { - } } { \mu _ { k } } t } ,
\begin{array} { r l } { g _ { i j } } & { { } = \frac { \partial p ^ { m } } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial p ^ { n } } { \partial x ^ { j } } g _ { m n } , } \\ { D _ { a } ^ { i j } } & { { } = \frac { \partial x ^ { i } } { \partial p ^ { m } } \frac { \partial x ^ { j } } { \partial p ^ { n } } D ^ { m n } , } \\ { A _ { a } ^ { i } } & { { } = \frac { \partial x ^ { i } } { \partial p ^ { m } } A ^ { m } . } \end{array}
\mathcal { H } = \left( \begin{array} { l l } { \mathcal { H } _ { \bar { S } \bar { S } } } & { \mathcal { H } _ { \bar { S } S } } \\ { \mathcal { H } _ { S \bar { S } } } & { \mathcal { H } _ { S S } } \end{array} \right)
\overline { { F _ { \lambda } \theta _ { s , \lambda } ^ { 2 } } } = \frac { 2 } { \Delta ^ { 2 } M _ { \lambda _ { 0 } } } ( - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ \, \overline { { I _ { \Delta , \lambda } ^ { ( m ) } } } - \overline { { I _ { \Delta , \lambda } ^ { ( s + m ) } } } \, \right] , \quad T _ { \lambda } = 1 .
\delta E _ { k } ( \rho _ { k } , n _ { k } ) = \frac { 1 } { 2 } \langle \, \psi _ { 0 } ^ { ( v k + 1 ) } | - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + W _ { v k } ^ { 2 } + W _ { v k } ^ { \prime } | \psi _ { 0 } ^ { ( v k + 1 ) } \, \rangle .
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } _ { X _ { \sim i } } \left[ \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ Y _ { k } \right] \right] } & { { } = \mathbb { E } _ { X _ { \sim i } } \left[ \left( \sigma _ { Y _ { k } } \boldsymbol { \phi } _ { k } ^ { \mathrm { ~ r ~ o ~ w ~ } } \mathbf { A } \mathbb { E } \left[ \boldsymbol { \Psi } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } I _ { h } ( \mathbf { w } ) = I _ { h } \left( - \mathbf { v } \cdotp \nabla \mathbf { v } + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { v } + \mathbf { g } - \partial _ { t } \mathbf { u } \right) - \mu I _ { h } ( \mathbf { w } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { 6 } } & { = { u } ^ { 1 0 } + 1 0 \, { u } ^ { 9 } + 4 5 \, { u } ^ { 8 } + 1 2 0 \, { u } ^ { 7 } + 2 1 0 \, { u } ^ { 6 } + 2 5 2 \, { u } ^ { 5 } } \\ & { \qquad + 2 1 0 \, { u } ^ { 4 } + 1 2 0 \, { u } ^ { 3 } + 4 5 \, { u } ^ { 2 } + 1 0 \, u + 1 , } \\ { m _ { 5 } } & { = 2 \, { u } ^ { 1 1 } + 2 2 \, { u } ^ { 1 0 } + 1 3 2 \, { u } ^ { 9 } + 5 4 0 \, { u } ^ { 8 } + 1 5 4 8 \, { u } ^ { 7 } + 3 1 0 8 \, { u } ^ { 6 } } \\ & { \qquad + 4 3 6 8 \, { u } ^ { 5 } + 4 2 7 2 \, { u } ^ { 4 } + 2 8 5 0 \, { u } ^ { 3 } + 1 2 3 8 \, { u } ^ { 2 } + 3 1 6 \, u + 3 6 , } \\ { m _ { 4 } } & { = 4 4 \, { u } ^ { 1 0 } + 4 5 6 \, { u } ^ { 9 } + 2 3 1 6 \, { u } ^ { 8 } + 7 6 1 6 \, { u } ^ { 7 } + 1 7 5 7 2 \, { u } ^ { 6 } + 2 8 8 2 4 \, { u } ^ { 5 } } \\ & { \qquad + 3 3 1 9 6 \, { u } ^ { 4 } + 2 6 0 9 6 \, { u } ^ { 3 } + 1 3 2 9 6 \, { u } ^ { 2 } + 3 9 5 2 \, u + 5 2 0 , } \\ { m _ { 3 } } & { = 8 \, { u } ^ { 1 1 } + 8 8 \, { u } ^ { 1 0 } + 1 0 5 6 \, { u } ^ { 9 } + 6 7 8 4 \, { u } ^ { 8 } + 2 4 7 9 2 \, { u } ^ { 7 } + 5 9 4 4 8 \, { u } ^ { 6 } } \\ & { \qquad + 1 0 2 0 6 4 \, { u } ^ { 5 } + 1 2 8 6 8 8 \, { u } ^ { 4 } + 1 1 5 7 9 2 \, { u } ^ { 3 } + 6 9 3 4 4 \, { u } ^ { 2 } + 2 4 4 4 8 \, u + 3 8 0 8 , } \\ { m _ { 2 } } & { = 9 6 \, { u } ^ { 1 0 } - 2 5 6 \, { u } ^ { 9 } - 2 2 0 8 \, { u } ^ { 8 } + 4 9 6 0 \, { u } ^ { 7 } + 5 1 2 0 0 \, { u } ^ { 6 } + 1 4 2 0 4 8 \, { u } ^ { 5 } } \\ & { \qquad + 2 2 4 5 1 2 \, { u } ^ { 4 } + 2 3 7 7 6 0 \, { u } ^ { 3 } + 1 7 1 0 7 2 \, { u } ^ { 2 } + 7 4 7 5 2 \, u + 1 4 5 9 2 , } \\ { m _ { 1 } } & { = 1 3 4 4 \, { u } ^ { 9 } + 3 3 9 2 \, { u } ^ { 8 } - 1 2 7 3 6 \, { u } ^ { 7 } - 5 1 1 3 6 \, { u } ^ { 6 } - 3 7 7 6 0 \, { u } ^ { 5 } + 5 9 5 2 0 \, { u } ^ { 4 } } \\ & { \qquad + 1 3 8 7 5 2 \, { u } ^ { 3 } + 1 4 1 3 1 2 \, { u } ^ { 2 } + 9 0 1 1 2 \, u + 2 6 6 2 4 , } \\ { m _ { 0 } } & { = 4 3 5 2 \, { u } ^ { 8 } + 1 9 9 6 8 \, { u } ^ { 7 } + 1 5 6 1 6 \, { u } ^ { 6 } - 3 4 8 1 6 \, { u } ^ { 5 } - 3 3 7 9 2 \, { u } ^ { 4 } } \\ & { \qquad + 1 6 3 8 4 \, { u } ^ { 3 } - 4 0 9 6 \, { u } ^ { 2 } + 1 6 3 8 4 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { B } _ { t } \left( k _ { x } , k _ { y } \right) = \frac { 1 } { L ^ { 2 } } \int _ { [ 0 , L ] \times [ 0 , L ] } d x d y \ \boldsymbol { B } _ { t } ( x , y ) \ e ^ { - i ( k _ { x } x + k _ { y } y ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { j \left( { \frac { 1 + { \sqrt { - 1 6 3 } } } { 2 } } \right) } & { = - 6 4 0 3 2 0 ^ { 3 } , } & { e ^ { \pi { \sqrt { 1 6 3 } } } } & { \approx 6 4 0 3 2 0 ^ { 3 } + 7 4 3 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2 5 \dots } \\ { j _ { 2 A } \left( { \frac { \sqrt { - 5 8 } } { 2 } } \right) } & { = 3 9 6 ^ { 4 } , } & { e ^ { \pi { \sqrt { 5 8 } } } } & { \approx 3 9 6 ^ { 4 } - 1 0 4 . 0 0 0 0 0 0 1 7 \dots } \\ { j _ { 3 A } \left( { \frac { 1 + { \sqrt { - { \frac { 8 9 } { 3 } } } } } { 2 } } \right) } & { = - 3 0 0 ^ { 3 } , } & { e ^ { \pi { \sqrt { \frac { 8 9 } { 3 } } } } } & { \approx 3 0 0 ^ { 3 } + 4 1 . 9 9 9 9 7 1 \dots } \\ { j _ { 4 A } \left( { \frac { \sqrt { - 7 } } { 2 } } \right) } & { = 2 ^ { 1 2 } , } & { e ^ { \pi { \sqrt { 7 } } } } & { \approx 2 ^ { 1 2 } - 2 4 . 0 6 \dots } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } { \partial t } = \frac { \delta H } { \delta [ i \hbar \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] } } & { { } = } & { \frac { 1 } { i \hbar } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] } \\ { \frac { \partial [ i \hbar \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] } { \partial t } = - \frac { \delta H } { \delta \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } } & { { } = } & { - \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { m _ { n } n } H ( \sigma _ { n } ) } \\ & { \le \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \frac { 1 } { m _ { n } n } + P _ { e } R + \frac { 1 } { n } I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } , S ^ { n } ) \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { I ( X ^ { n } ; Y ^ { K _ { n } } , S ^ { n } ) } { n } } \end{array}