harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Q } & { { } = Q _ { \mathrm { f } } + Q _ { \mathrm { b } } = \iiint _ { \Omega } \left( \rho _ { \mathrm { f } } + \rho _ { \mathrm { b } } \right) \, \mathrm { d } V = \iiint _ { \Omega } \rho \, \mathrm { d } V } \\ { I } & { { } = I _ { \mathrm { f } } + I _ { \mathrm { b } } = \iint _ { \Sigma } \left( \mathbf { J } _ { \mathrm { f } } + \mathbf { J } _ { \mathrm { b } } \right) \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } = \iint _ { \Sigma } \mathbf { J } \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } } \end{array}
( \mathbf { A } \bullet \mathbf { L } ) ( \mathbf { B } \otimes \mathbf { M } ) . . . ( \mathbf { C } \otimes \mathbf { S } ) = ( \mathbf { A } \mathbf { B } . . . \mathbf { C } ) \bullet ( \mathbf { L } \mathbf { M } . . . \mathbf { S } )
\mu ^ { l } = f _ { \; b c } ^ { a } f _ { \; d e } ^ { c } \left( \epsilon ^ { 0 i j l } A _ { j } ^ { e } \eta _ { i } ^ { \left( 2 \right) d } - { \cal P } ^ { \left( 2 \right) l e } \eta ^ { d } \right) \left( B _ { a } ^ { 0 k } A _ { k } ^ { b } + \eta _ { a } ^ { \left( 2 \right) k } { \cal P } _ { k } ^ { \left( 2 \right) b } + \eta _ { a } { \cal P } ^ { b } \right) .
g _ { E } = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ q - L ( q ) \right] \, d q = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - q ) \ln { \left( \frac { 1 } { 1 - q } \right) } \, d q = \frac { 1 } { 2 } .
[ U _ { 1 } ] _ { R } = F _ { R } = 3 l ^ { \prime } - E _ { 1 } ^ { \prime } - \dots - E _ { 9 } ^ { \prime } , \qquad [ U _ { 2 } ] _ { R } = E _ { 8 } ^ { \prime } , \qquad [ U _ { 3 } ] _ { R } = E _ { 9 } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { \rho _ { + } } & { { } = } & { \rho _ { 0 } + \partial _ { \lambda } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } . . . } \\ { \rho _ { - } } & { { } = } & { \rho _ { 0 } - \partial _ { \lambda } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } - \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { \mathrm { A } } } { \partial t } = } & { - \left( \frac { \kappa } { 2 } + i \delta \omega _ { \mathrm { A } } \right) E _ { \mathrm { A } } } \\ & { - \frac { D _ { 1 } } { 1 - \epsilon } \frac { \partial E _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta } + i \frac { D _ { 2 } } { 2 ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } E _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta ^ { 2 } } } \\ & { + i g _ { \mathrm { c o } } v _ { \mathrm { g } } \chi _ { \mathrm { c o } } ( \theta ) E _ { \mathrm { B } } + i g _ { \mathrm { N L } } \vert E _ { \mathrm { A } } \vert ^ { 2 } E _ { \mathrm { A } } + F } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } I _ { 1 k } = } & { 2 d ^ { 2 } s ^ { 3 } \lambda ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \nabla \psi | ^ { 4 } \theta ^ { 3 } | w | ^ { 2 } \, d x d t } \\ & { + 2 d ^ { 2 } s ^ { 3 } \lambda ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \nabla ^ { 2 } \psi ( \nabla \psi , \nabla \psi ) \theta ^ { 3 } | w | ^ { 2 } \, d x d t } \\ & { - d ^ { 2 } s ^ { 3 } \lambda ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( \partial _ { \nu } \psi ) ^ { 3 } \theta ^ { 3 } | w | ^ { 2 } \, d \sigma d t } \\ { \geqslant } & { 2 d ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } s ^ { 3 } \lambda ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \theta ^ { 3 } | w | ^ { 2 } \, d x d t + d ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } s ^ { 3 } \lambda ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \theta ^ { 3 } | w | ^ { 2 } \, d \sigma d t . } \end{array}
p _ { v } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { d _ { w } } \frac { q _ { X _ { v } ^ { ( 1 ) } ( t - ) } ^ { ( 1 ) , w } ( t - ) ^ { d } - q _ { X _ { v } ^ { ( 1 ) } ( t - ) + 1 } ^ { ( 1 ) , w } ( t - ) ^ { d } } { q _ { X _ { v } ^ { ( 1 ) } ( t - ) } ^ { ( 1 ) , w } ( t - ) - q _ { X _ { v } ^ { ( 1 ) } ( t - ) + 1 } ^ { ( 1 ) , w } ( t - ) } \leq \frac { 1 } { d _ { w } } \frac { q _ { X _ { v } ^ { ( 2 ) } ( t - ) } ^ { ( 2 ) , w } ( t - ) ^ { d } - q _ { X _ { v } ^ { ( 2 ) } ( t - ) + 1 } ^ { ( 2 ) , w } ( t - ) ^ { d } } { q _ { X _ { v } ^ { ( 2 ) } ( t - ) } ^ { ( 2 ) , w } ( t - ) - q _ { X _ { v } ^ { ( 2 ) } ( t - ) + 1 } ^ { ( 2 ) , w } ( t - ) } = p _ { v } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { p } } = \left( \frac { \tau _ { r } } { \Delta t } \boldsymbol { I } + \hat { \mathcal { A } } \right) ^ { - 1 } } & { { } \Big ( \frac { \tau _ { r } } { \Delta t } p ^ { n } \boldsymbol { \hat { e } } - \tau _ { r } \boldsymbol { a } \, E _ { 0 } G ( A ^ { ( 1 ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } - \tau _ { r } \hat { \mathcal { A } } \, E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \epsilon _ { 1 } } \partial _ { \epsilon _ { 2 } } \partial _ { \epsilon _ { 3 } } { \Lambda } _ { b ^ { ( 2 ) } , h ^ { ( 2 ) } , F ^ { ( 3 ) } } ( f ) | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = \epsilon _ { 3 } = 0 } } \\ { = } & { \partial _ { \epsilon _ { 1 } } \partial _ { \epsilon _ { 2 } } \partial _ { \epsilon _ { 3 } } \Lambda _ { b ^ { ( 2 ) } , h ^ { ( 2 ) } , F ^ { ( 2 ) } } ( f ) | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = \epsilon _ { 3 } = 0 } + ( \partial _ { \nu } \mathcal { U } _ { 3 } ^ { ( 3 , 1 ) } + \frac { 1 } { 2 } \langle b ^ { ( k ) } , \nu \rangle \mathcal { U } _ { 3 } ^ { ( 3 , 1 ) } ) | _ { ( 0 , T ) \times \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \theta } _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } } & { = } & { \{ X _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) X _ { \mathit { E } } \} ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y } \\ { ( X _ { \mathit { K } } ^ { T } X _ { \mathit { K } } ) _ { ( \mathit { E } \mathit { E } ) } ^ { - 1 } } & { = } & { \{ X _ { \mathit { E } } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) X _ { \mathit { E } } \} ^ { - 1 } , } \end{array}
V _ { \mathrm { 1 2 } } ^ { ( \Lambda ) } = \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } } { m } \left( a _ { \mathrm { 1 2 } } + \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } } \frac { 8 } { 5 \pi } \Lambda + \frac { 2 a _ { \mathrm { 1 2 } } ^ { 2 } } { \pi } \Lambda \right) ,
\epsilon \sim \sqrt { \frac { { \cal B } [ \overline { { { D ^ { 0 } } } } \rightarrow K ^ { - } \pi ^ { + } ] } { { \cal B } [ D ^ { 0 } \rightarrow K ^ { - } \pi ^ { + } ] } } \sim \sqrt { 0 . 0 0 3 1 } \sim 0 . 0 6 \ .
\Psi _ { \Lambda } [ A ] = \mathrm { e x p } ( - { \textstyle { \frac { 6 } { \Lambda } } } \int \tilde { \eta } ^ { a b c } T r [ A _ { a } \partial _ { b } A _ { c } + { \frac { \textstyle 2 } { 3 } } A _ { a } A _ { b } A _ { c } ] )
\begin{array} { r l } & { f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e } ) - f _ { p } ( z _ { p } ) - \langle \lambda _ { p } ^ { t + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle \leq \rho ^ { t } \langle z _ { p } ^ { t + 1 } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle - \frac { \alpha } { 2 } \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + } \\ & { \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \Big ( \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \Big ) + \langle \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \rangle , \ \forall z _ { p } \in \mathcal { W } . } \end{array}
( \rho , u _ { x } , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 2 / 3 \times 1 0 ^ { - 1 } ) , } & { 0 \leq x < 3 , } \\ { ( 1 0 ^ { - 3 } , 0 , 2 / 3 \times 1 0 ^ { - 1 0 } ) , } & { 3 \leq x \leq 9 . } \end{array} \right.
\lambda ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } a _ { \mathrm { e } } ( \xi , t _ { \mathrm { e } } ) \, \mathrm { d } \xi \, \stackrel { \mu \neq 1 } { = } \, \frac { t _ { \mathrm { e } } } { 1 - \mu } \left[ \left( 1 + \frac { t } { t _ { \mathrm { e } } } \right) ^ { 1 - \mu } - 1 \right] \, .
\begin{array} { r l } & { - \int _ { x } p ( x ) \log \sqrt { 2 \pi \sigma _ { p } ^ { 2 } } \ d x - \int _ { x } \frac { p ( x ) ( x - \mu _ { p } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } } \ d x } \\ & { = - \log \sqrt { 2 \pi \sigma _ { p } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } } \int _ { x } p ( x ) ( x - \mu _ { p } ) ^ { 2 } \ d x } \end{array}
\lfloor x \rfloor - \sum _ { i } \left\lfloor { \frac { x } { p _ { i } } } \right\rfloor + \sum _ { i < j } \left\lfloor { \frac { x } { p _ { i } p _ { j } } } \right\rfloor - \sum _ { i < j < k } \left\lfloor { \frac { x } { p _ { i } p _ { j } p _ { k } } } \right\rfloor + \cdots
\frac { K _ { \mathrm { ~ I ~ } } } { \sqrt { \pi l } } = \frac { 2 } { \pi } \int _ { r _ { w } } ^ { r _ { w } + l _ { 0 } } p ( r ) f \left( r , l , r _ { w } \right) \frac { \mathrm { ~ d ~ } r } { l \sqrt { 1 - \left( \frac { r - r _ { w } } { l } \right) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! D _ { \mathrm { p h y s . } } \big | _ { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } = c _ { 0 } + c _ { 1 } g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) + \left( c _ { 1 } \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + c _ { 2 } \right) g _ { 0 } ^ { 4 } ( \Lambda ) } \\ & { + } & { \left( c _ { 1 } \beta _ { 0 } \ln ^ { 2 } { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + ( 2 c _ { 2 } \beta _ { 0 } + c _ { 1 } \beta _ { 1 } ) \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } + c _ { 3 } \right) g _ { 0 } ^ { 6 } ( \Lambda ) } \\ & { + } & { \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { x _ { 0 } } ( \tau _ { D } ^ { \alpha } > t ) } & { = \mathbb { P } _ { x _ { 0 } } ( A _ { s } \in D , 0 \le s \le t ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { i \rightarrow \infty } \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \mathbb { P } _ { x _ { 0 } } ( A _ { j t / m } \in D _ { i } , j = 1 , \dots , m ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { i \rightarrow \infty } \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \int _ { D _ { i } } \cdots \int _ { D _ { i } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } p ^ { \alpha } ( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } ) d x , } \end{array}
( 3 , 1 7 , 1 0 , 7 , 9 ) ( 4 , 1 3 , 1 4 , 1 9 , 5 ) ( 8 , 1 8 , 1 1 , 1 2 , 2 3 ) ( 1 5 , 2 0 , 2 2 , 2 1 , 1 6 )
\mathbf { Q } _ { m } ^ { a } ( \zeta ) X \equiv ( S _ { m } ( \zeta ) , X ) ^ { a } - i \hbar \bar { \Delta } _ { m } ^ { a } X , \qquad \mathbf { Q } _ { A } ( \zeta ) X \equiv \{ S _ { m } ( \zeta ) , X \} _ { A } - i \hbar \bar { \Delta } _ { A } X .
h _ { 0 } { \sim } \frac { 9 { \mu } _ { a } V _ { 0 } R _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 R _ { 0 } ^ { 3 } g ( { \rho } _ { w } - { \rho } _ { a } ) - 9 { \mu } _ { a } V _ { 0 } R _ { 0 } }
S _ { x } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad S _ { y } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { q _ { 1 7 } = F _ { 1 7 } \left[ \sigma \left( T _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) + \left( \epsilon _ { \mathrm { e v a c } } ^ { - 1 } - 1 \right) q _ { 7 } - \left( \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } - 1 \right) q _ { 1 } \right] = F _ { 1 7 } \left[ \sigma \left( T _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) - \left( \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } - 1 \right) q _ { 1 } \right] } \\ & { q _ { 2 7 } = F _ { 2 7 } \left[ \sigma \left( T _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) + \left( \epsilon _ { \mathrm { e v a c } } ^ { - 1 } - 1 \right) q _ { 7 } - \left( \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } - 1 \right) q _ { 2 } \right] = F _ { 2 7 } \left[ \sigma \left( T _ { \mathrm { h } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } \right) - \left( \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } - 1 \right) q _ { 2 } \right] { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } { \epsilon ^ { d - 1 } \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { M \left( \epsilon \right) } \cdots \sum _ { n _ { d - 1 } = 0 } ^ { M \left( \epsilon \right) } \sqrt { 1 - \epsilon ^ { 2 } \left( n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { d - 1 } ^ { 2 } \right) } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { M \rightarrow \infty } { \ \frac { 1 } { M ^ { d - 1 } } \, \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { M \left( \epsilon \right) } \cdots \sum _ { n _ { d - 1 } = 0 } ^ { M \left( \epsilon \right) } \sqrt { 1 - \frac { n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { d - 1 } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { \leq n ’ \times 2 ^ { - N ^ { ( 1 - \eta / 2 ) E ( G _ { l } ) } } = 2 ^ { N ^ { ( 1 - \delta ) E ( G _ { l } ) } } \times 2 ^ { - N ^ { ( 1 - \eta / 2 ) E ( G _ { l } ) } } } \\ & { \leq 2 ^ { N ^ { ( 1 - \eta ) E ( G _ { l } ) } } \times 2 ^ { - N ^ { ( 1 - \eta / 2 ) E ( G _ { l } ) } } } \\ & { = 2 ^ { - N ^ { ( 1 - \eta / 2 ) E ( G _ { l } ) } ( 1 - N ^ { - \frac { \eta } { 2 } E ( G _ { l } ) } ) } \leq 2 ^ { - N ^ { ( 1 - \eta ) E ( G _ { l } ) } } = 2 ^ { - N ^ { \beta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i j k l } f _ { k l } } & { = - \frac { 1 } { 2 } J _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } g _ { k l } ( \mathbf A , \mathbf W ) \frac { \partial g _ { i j } ( \mathbf A , \mathbf W ) } { \partial w _ { k l } } , } \\ { P _ { i j u v } H _ { u v r s } P _ { k l x y } H _ { x y r s } } & { = \mathbb { E } [ g _ { i j } ( \mathbf A - \mathbf x \mathbf x ^ { T } , \mathbf W ) g _ { k l } ( \mathbf A - \mathbf x \mathbf x ^ { T } , \mathbf W ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Vert [ C _ { j , \sigma , N } ^ { I } ( x ) - C _ { j , \sigma , N } ^ { I I I } ( x ) ] _ { 1 2 } \Vert _ { L ^ { \infty } } = \Vert [ C _ { j , \sigma , N } ^ { I } ( x ) - C _ { k , \sigma , N } ^ { I I I } ( x ) ] _ { 2 1 } \Vert _ { L ^ { \infty } } } \\ & { } & { \le K \gamma ^ { - \operatorname* { m i n } ( s _ { + } , s _ { - } ) } \gamma ^ { - s _ { + } - s _ { - } } \ e ^ { - c [ d _ { j , \sigma } ( x , 0 ) ] ^ { \alpha } } , \ \mathrm { f o r } \ s _ { + } \ge j _ { m a x } - N , } \end{array}
{ \hat { u } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = k } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k + m } \frac { \Gamma ( k + m ) } { \Gamma ( m - k + 1 ) \Gamma ( k + 1 ) ^ { 2 } } z ^ { k } s ^ { m }
\frac { \tilde { c } ( \vec { r } ) } { \bar { c } } = \frac { a } { r } + \frac { \epsilon } { 2 } \left\{ - 1 + \frac { \cos \theta } { 4 } \left[ \frac { f ( 1 ) } { 2 r ^ { 2 } / a ^ { 2 } } + f ( r / a ) \right] \right\} ,
S _ { - } ( \eta ) = \left( \begin{array} { l l l l } { { \cosh \eta } } & { { \sinh \eta } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \sinh \eta } } & { { \cosh \eta } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cosh \eta } } & { { - \sinh \eta } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \sinh \eta } } & { { \cosh \eta } } \end{array} \right) ,
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { d } { d \beta } \frac { 1 } { N } \mathbb E \ln Z _ { N } ( \beta ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { i < j } \mathbb E J _ { i j } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle = \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } \big ( 1 - \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb E \bigl \langle R _ { L } ^ { 2 } \bigr \rangle \big ) .
\begin{array} { r l } { X _ { \theta } ^ { \mathrm { O s c } } } & { { } = F _ { \theta } \left( H _ { \mathrm { O s c } } \right) \partial _ { t } + \lambda \partial _ { \theta } \, , } \\ { X _ { \sigma } ^ { \mathrm { O s c } } } & { { } = F _ { \sigma } \left( H _ { \mathrm { O s c } } \right) \partial _ { t } + \sigma ( 1 - \sigma ) \partial _ { \sigma } \, , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \mathcal { R } _ { 1 } ( { \boldsymbol \tau } ) \, = \, \langle { \boldsymbol \tau } { \mathbf { n } } , \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \rangle _ { \Gamma } - \frac { 1 } { \nu } \int _ { \Omega } \big ( { \boldsymbol \sigma } _ { h } + ( \mathbf { u } _ { h } \otimes \mathbf { u } _ { h } ) \big ) ^ { \mathrm { d } } : { \boldsymbol \tau } - \int _ { \Omega } \mathbf { u } _ { h } \cdot \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \tau } ) } \\ { \displaystyle \quad + \, \frac { 1 } { \alpha } \int _ { \Omega } \big ( \alpha \, \mathbf { u } _ { h } + \mathtt { F } \, | \mathbf { u } _ { h } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } _ { h } - \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \sigma } _ { h } ) - \mathbf { f } \big ) \cdot \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \tau } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { r a d } \! \left( c \right) < \operatorname { c o s o c l e } \! \left( c - 1 \right) \qquad } & { \mathrm { i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f } \qquad \frac { c } { \operatorname { c o s o c l e } \! \left( c \right) } < \frac { c - 1 } { \operatorname { r a d } \! \left( c - 1 \right) } } \\ & { \mathrm { i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f } \qquad \operatorname { r a d } \! \left( c - 1 \right) < \frac { c - 1 } { c } \operatorname { c o s o c l e } \! \left( c \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { l } = \frac { 1 } { 2 \ln ( 2 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { z ^ { \, b _ { l } ^ { ( 3 ) } - 1 } \, \Gamma \left( 1 , c _ { 3 } \, z \right) \, } \\ & { \times \mathrm { G } _ { 2 , 2 } ^ { 1 , 2 } \left( \frac { \beta _ { E } ^ { 2 } \, P _ { s } } { N _ { o } } \, z \left| \begin{array} { c } { 0 , 0 } \\ { 0 , - 1 } \end{array} \right. \right) \, \mathrm { d } z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha \beta \gamma } ( 1 2 3 ) = f _ { \alpha } ( 1 ) f _ { \beta } ( 2 ) f _ { \gamma } ( 3 ) + f _ { \alpha } ( 1 ) g _ { \beta \gamma } ( 2 3 ) } & { + f _ { \beta } ( 2 ) g _ { \gamma \alpha } ( 3 1 ) } \\ & { + f _ { \gamma } ( 3 ) g _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) + h _ { \alpha \beta \gamma } ( 1 2 3 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \vec { v } _ { 0 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } { d z } = \frac { d ^ { 2 } \vec { x } _ { z } ( \omega ) } { d z ^ { 2 } } } & { { } = - \left( \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) \cdot \nabla _ { X _ { z } } \right) \vec { \Omega } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) + \nabla _ { X _ { z } } g ( \vec { x } _ { z } ) + \frac { 1 } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } } \nabla _ { X _ { z } } \left( \frac { \nabla _ { X _ { z } } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } { \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \left| E \right| ^ { 1 / 2 } r = z ^ { 2 / \epsilon } } } \\ { { | E | ^ { - D ^ { \prime } / 4 } \, u _ { l } ( r ) = w _ { l , \epsilon } ( z ) \, z ^ { 1 / \epsilon - 1 / 2 } } } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l } { d \widehat { L } ( t ) } & { { } = - \left( \gamma _ { 1 } ^ { \lambda } \left( \widehat { L } - \widehat { L } _ { m } \right) + \gamma _ { 2 } ^ { \lambda } \left( \frac { k _ { \mathrm { o n } } ^ { \lambda } } { k _ { \mathrm { o f f } } ^ { \lambda } } \right) ^ { n } \right) d t + \sqrt { D } \; d W _ { t } \ . } \end{array}
\frac { 1 } { \delta } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } } \bigl | \bigl \{ \Phi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \zeta _ { * } ) \, , \, \Theta \bigr \} \bigr | \, \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, \le \, C \Bigl ( \epsilon + \frac { \epsilon ^ { \gamma _ { 3 } } } { \delta } \Bigr ) \, \epsilon ^ { - N \sigma _ { 1 } } \int _ { \Omega _ { \epsilon } ^ { \prime } } W _ { \epsilon } \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, \le \, C \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } \, \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } { S \left( \vec { x } \right) } & { = } & { \frac { a W _ { L } \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } \left( x + 1 \right) \right) \mathrm { s i n c } \left( y \right) } { \sqrt { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d \vec { x } \left| a W _ { L } \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } \left( x + 1 \right) \right) \mathrm { s i n c } \left( y \right) \right| ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { \sqrt { W _ { L } } \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } \left( x + 1 \right) \right) \mathrm { s i n c } \left( y \right) . } \end{array}
\mathbb { E } ( E _ { n } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } } { k ! } \mathbb { E } ( \| b _ { T } \| _ { \mathcal { C } ^ { t } } ^ { p k } ) \le \widetilde C + \sum _ { k = n _ { \gamma } } ^ { n } \frac { \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } } { k ! } C ^ { p k } \mathbb { E } ( | X _ { 1 , 1 } | ^ { p k } ) = \widetilde C + \mathbb { E } \left( \sum _ { k = n _ { \gamma } } ^ { n } \frac { ( \ensuremath { \varepsilon } C ^ { p } | X _ { 1 , 1 } | ^ { p } ) ^ { k } } { k ! } \right) ,
| \psi ( t + \Delta t ) \rangle = \left( I _ { 2 } \otimes \widehat { \mathcal { P } } ( - \frac { \Delta t } { 2 } ) \right) \left( I _ { 2 } \otimes \widehat { \mathrm { Q F T } } ^ { \dag } \right) \left( I _ { 2 } \otimes \widehat { \mathcal { P } } ( k ^ { 2 } \Delta t ) \right) \left( I _ { 2 } \otimes \widehat { \mathrm { Q F T } } \right) | \psi ( t ) \rangle .
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \Big ( C _ { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { T } ( 1 + a ^ { u } ( t ) + a ^ { v } ( t ) ) d t > R \Big ) } & { \leq \sum _ { z \in \{ u , v \} } { \mathbb P } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } a ^ { z } ( t ) d t > \frac { R } { 2 C _ { \varepsilon } } - \frac { T } { 2 } \Big ) } \\ & { \leq K \psi _ { 0 } ( r ^ { \theta } ) ( 1 + { \mathbb E } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } ^ { \zeta _ { 0 } } + { \mathbb E } \| v _ { 0 } \| _ { L ^ { \zeta _ { 0 } } } ^ { \zeta _ { 0 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { 1 } _ { T _ { F } } } & { \left( ( \phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { C } } \left( ( \phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) = 1 } \\ & { \mathrm { i f f } \ \phi _ { k } ^ { i } \in \left[ \frac { w v _ { f } \rho _ { \operatorname* { m a x } } } { w e ^ { 2 \zeta ( g ) } + v _ { f } } , \frac { w e ^ { 2 \zeta ( g ) } v _ { f } \rho _ { \operatorname* { m a x } } } { w + e ^ { 2 \zeta ( g ) } v _ { f } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { z } } & { { } = x _ { 0 } } \\ { y _ { z } } & { { } = \frac { \mathcal { P } ^ { 2 } \pi ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 4 } } \left( a - y _ { 0 } \right) + y _ { 0 } . } \end{array}
( r ^ { 2 } - r _ { H } ^ { 2 } ) \partial _ { r } ^ { 2 } R _ { ( \gamma ) } ( r ) + \frac { 1 } { r } \left[ 2 r ^ { 2 } + \gamma ( r ^ { 2 } - r _ { H } ^ { 2 } ) \right] \partial _ { r } R _ { ( \gamma ) } ( r ) + \frac { \omega ^ { 2 } \ell ^ { 4 } } { ( r ^ { 2 } - r _ { H } ^ { 2 } ) } R _ { ( \gamma ) } ( r ) = 0 .
\begin{array} { r l } { | ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = \sum _ { M _ { J } , M _ { S } } \langle J M _ { J } S M _ { S } | \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle } \\ { \times } & { { } | ( N L ) J M _ { J } \rangle | ( s ~ s _ { 3 } ) S M _ { S } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \prime } = \underbrace { 1 - \bar { Y } _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } - \bar { Y } _ { \mathrm { ~ f ~ u ~ e ~ l ~ } } } _ { \delta } - \left( Y _ { \mathrm { ~ f ~ u ~ e ~ l ~ } } ^ { \prime } + Y _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ d ~ u ~ c ~ t ~ s ~ } } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { h _ { n } - \tau } & { \mathrm { i f ~ } \varphi ( h _ { n } - \tau ) < \psi ( h _ { n } - \tau ) , } \\ & { \operatorname* { i n f } \left\{ \begin{array} { l } { t \geq t _ { 1 } - \tau : \varphi ( h ) \geq \psi ( h ) } \\ { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } h \in [ t , h _ { n } - \tau ] } \end{array} \right\} } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d X _ { i } } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { k _ { i } ^ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { i j } ^ { 0 } \, \phi \big ( | X _ { i } - X _ { j } | \big ) \, ( X _ { j } - X _ { i } ) \, , } \end{array}