harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { \lvert \mathcal { M } \rvert } \sum _ { m , \hat { m } \in \mathcal { M } } \frac { ( 2 \mu _ { m } \mu _ { \hat { m } } + c _ { 1 } ) ( 2 \sigma _ { m \hat { m } } + c _ { 2 } ) } { ( \mu _ { m } ^ { 2 } + \mu _ { \hat { m } } ^ { 2 } + c _ { 1 } ) ( \sigma _ { m } ^ { 2 } + \sigma _ { \hat { m } } ^ { 2 } + c _ { 2 } ) }
\langle | \Delta I _ { 1 } ( \omega ) | ^ { 2 } \rangle = \langle | I _ { 1 } ( \omega ) | ^ { 2 } \rangle - \langle | I _ { 1 } ( \omega ) | \rangle ^ { 2 } = e ^ { 2 } \sum _ { n } ( \langle g _ { n } ^ { 2 } \rangle - \langle g _ { n } \rangle ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { | 1 - z _ { 1 } \overline { { z _ { 2 } } } | ^ { 2 } } & { = ( 1 - z _ { 1 } \overline { { z _ { 2 } } } ) ( 1 - \overline { { z _ { 1 } } } z _ { 2 } ) = 1 + | z _ { 1 } z _ { 2 } | ^ { 2 } - z _ { 1 } \overline { { z _ { 2 } } } - \overline { { z _ { 1 } } } z _ { 2 } } \\ & { = 1 + \left| \frac { ( \lambda - d ) ( 1 - d \lambda ) } { c ^ { 2 } \lambda } \right| ^ { 2 } - \frac { \lambda - d } { c } \cdot \frac { 1 - \overline { { d } } \overline { { \lambda } } } { \overline { { c } } \overline { { \lambda } } } - \frac { \overline { { \lambda } } - \overline { { d } } } { \overline { { c } } } \cdot \frac { 1 - d \lambda } { c \lambda } } \\ & { = 1 + \left| \frac { ( 1 - a d ) \lambda } { c ^ { 2 } \lambda } \right| - \frac { 1 } { | c | ^ { 2 } } \left( \frac { \lambda } { \overline { { \lambda } } } + \frac { \overline { { \lambda } } } { \lambda } + 2 | d | ^ { 2 } - d \left( \overline { { \lambda } } + \frac { 1 } { \overline { { \lambda } } } \right) - \overline { { d } } \left( \lambda + \frac { 1 } { \lambda } \right) \right) } \\ & { = 1 + \frac { | b | ^ { 2 } } { | c | ^ { 2 } } + \frac { 1 } { | c | ^ { 2 } } \left( a \overline { { d } } + \overline { { a } } d - \frac { \lambda } { \overline { { \lambda } } } - \frac { \overline { { \lambda } } } { \lambda } \right) } \\ & { \leq 1 + \frac { | b | ^ { 2 } } { | c | ^ { 2 } } + \frac { 2 | a d | + 2 } { | c | ^ { 2 } } = 1 + \frac { | b | ^ { 2 } } { | c | ^ { 2 } } + \frac { 2 | b c + 1 | + 2 } { | c | ^ { 2 } } \leq \frac { ( | b | + | c | ) ^ { 2 } + 4 } { | c | ^ { 2 } } } \\ & { \leq \left| \frac { | b | + | c | + 2 } { c } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d X ( \theta , t ) } { d t } = a X ( \theta , t ) + b Y ( \theta , t ) + D _ { \scriptscriptstyle { X } } \nabla ^ { 2 } X ( \theta , t ) } \\ { \frac { d Y ( \theta , t ) } { d t } = c X ( \theta , t ) + d Y ( \theta , t ) + D _ { \scriptscriptstyle { Y } } \nabla ^ { 2 } Y ( \theta , t ) , } \end{array}
\kappa _ { i j } = \kappa _ { j i } , \quad \kappa _ { i j } ^ { \dagger } = \kappa _ { i j } , \quad \kappa _ { i j } \kappa _ { j k } = \kappa _ { i k } \kappa _ { i j } = \kappa _ { j k } \kappa _ { k i } , \quad \kappa _ { i j } ^ { 2 } = 1 \, .
\operatorname* { l i m } _ { p \to \infty } \int _ { \Omega } | \nabla w _ { p , q } ^ { \Omega } | ^ { p } \, d x = \operatorname* { l i m } _ { p \to \infty } \int _ { \Omega } | w _ { p , q } ^ { \Omega } | ^ { q } \, d x = \operatorname* { l i m } _ { p \to \infty } \left( \frac { 1 } { \Big ( \lambda _ { p , q } ( \Omega ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { p } } } \right) ^ { \frac { p \, q } { p - q } } = \int _ { \Omega } d _ { \Omega } ^ { \, q } \, d x ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } + \mathcal { L } \theta _ { k + 1 } + \frac { \nabla f ( \theta _ { k } ) } { \sqrt { f ( { \theta } _ { k } ) + C } } \tilde { r } _ { k + 1 } - \mathcal { L } \theta _ { k } = 0 , } \\ { \frac { \tilde { r } _ { k + 1 } - r _ { k } } { \delta t } = \left( \frac { \nabla f ( { \theta } _ { k } ) } { 2 \sqrt { f ( { \theta } _ { k } ) + C } } , \frac { \theta _ { k + 1 } - \theta _ { k } } { \delta t } \right) , } \\ { r _ { k + 1 } = \sqrt { f ( { \theta } _ { k + 1 } ) + C } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { S ^ { \pm } = \bigtriangleup ^ { ( n ) } \left( s ^ { \pm } \right) = \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } q ^ { s _ { ( 1 ) } ^ { 3 } } \otimes q ^ { s _ { ( 2 ) } ^ { 3 } } \otimes \cdots \otimes q ^ { s _ { ( i - 1 ) } ^ { 3 } } \otimes s _ { ( i ) } ^ { \pm } \otimes q ^ { - s _ { ( i + 1 ) } ^ { 3 } } \otimes \cdots \otimes q ^ { - s _ { ( n ) } ^ { 3 } } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { S ^ { 3 } = \bigtriangleup ^ { ( n ) } \left( s ^ { 3 } \right) = \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } 1 _ { ( 1 ) } \otimes 1 _ { ( 2 ) } \otimes \cdots \otimes 1 _ { ( i - 1 ) } \otimes s _ { ( i ) } ^ { 3 } \otimes \cdots \otimes 1 _ { ( n ) } ~ , } } \end{array}
\left( \boldsymbol { X } _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } \right) ^ { I , \lambda } = \phantom { + } \left( \int \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } \left( \vec { r } \right) ~ \boldsymbol { V } ^ { \textrm { X C } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } \left( \vec { r } \right) \textrm { d } ^ { 3 } r \right) ^ { I , \lambda } .
{ \bf K } ^ { ( 1 ) } ( \Phi _ { 1 } , \Phi _ { 2 } ) = ( 2 \pi i ) ^ { N } \frac 1 2 \sum _ { d W = 0 } ( \partial _ { k } \partial _ { { l } } W ) ^ { - 1 } \frac { \left( \Phi _ { 1 } \; \partial _ { k } \partial _ { l } \Phi _ { 2 } - \Phi _ { 2 } \; \partial _ { k } \partial _ { l } \Phi _ { 1 } \right) } { \operatorname* { d e t } \partial _ { m } \partial _ { n } W } .
\mathcal { L } = \overline { { { \psi } } } ^ { i } \partial \! \! \! \slash \psi ^ { i } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 M } \left[ ( \overline { { { \psi } } } ^ { i } \gamma _ { \mu } \psi ^ { i } ) ^ { 2 } \right] ,
F _ { a b } ~ = ~ - \, { \frac { \mathrm { \ s l ~ g } _ { 1 } } { 4 \! \mathrm { \ s l ~ g } } } \left( E _ { a a } + E _ { \theta ( a ) \theta ( a ) } \right) - \, { \frac { \mathrm { \ s l ~ g } } { 2 \! \mathrm { \ s l ~ g } _ { 1 } } } \, E _ { b b } \, + \, { \frac { 1 } { n } } \left( { \frac { \mathrm { \ s l ~ g } _ { 1 } } { 2 \! \mathrm { \ s l ~ g } } } \, + \, { \frac { \mathrm { \ s l ~ g } } { 2 \! \mathrm { \ s l ~ g } _ { 1 } } } \right) 1
\sum _ { n } \mathbf { N } _ { n } = \sum _ { n } m _ { n } \left( \mathbf { x } _ { n } - t \mathbf { u } _ { n } \right) = \left( \mathbf { x } _ { \mathrm { C O M } } \sum _ { n } m _ { n } - t \sum _ { n } m _ { n } \mathbf { u } _ { n } \right) = M _ { \mathrm { T O T } } ( \mathbf { x } _ { \mathrm { C O M } } - \mathbf { u } _ { \mathrm { C O M } } t )
{ \cal F } \vert _ { \theta = 0 } = \mathrm { T r } \left( 2 \overline { { { \lambda } } } \lambda - 2 \overline { { { \psi } } } _ { i } \psi _ { i } + f _ { i j k } X _ { i } [ X _ { j } , X _ { k } ] \right)
\delta c _ { F } = \sqrt { \bigg ( \frac { \partial c _ { F } } { \partial r _ { N } } \, \delta r _ { N } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \partial c _ { F } } { \partial a _ { F } } \, \delta a _ { F } \bigg ) ^ { 2 } } .
\sigma _ { T ( \mathrm { l i g h t } ) } ^ { \gamma ^ { * } p } ( \tilde { s } , Q ^ { 2 } ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } { Q ^ { 2 } } \sum _ { i \in \{ u , d , s , \bar { u } , \bar { d } , \bar { s } \} } e _ { i } ^ { 2 } \, x _ { B } \, f _ { i / p } \! \left( x _ { B } , Q ^ { 2 } \right) ,
\cos ^ { 2 } { \theta _ { j } } = \sum _ { k = 1 } ^ { l } \vert U _ { j k } \vert ^ { 2 } , \quad \sin ^ { 2 } { \theta _ { j } } = \sum _ { k = l + 1 } ^ { M } \vert U _ { j k } \vert ^ { 2 } .
S _ { Y M } = \int d x ^ { 4 } \{ - 8 T r ( K K ^ { \dag } ) [ ( \partial _ { \mu } \sigma ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \partial _ { \mu } \pi ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] + 8 T r ( K K ^ { \dag } ) ^ { 2 } ( \sigma ^ { \prime 2 } + \pi ^ { \prime 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 2 } \}
\mathbb E [ ( \int _ { \mathcal { L } } | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t ) ^ { q } ] \ge \frac { ( \mathbb E [ \int _ { \mathcal { L } } | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t ] ) ^ { 2 - q } } { ( \mathbb E [ ( \int _ { \mathcal { L } } | F ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } d t ) ^ { 2 } ] ) ^ { 1 - q } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { F } _ { s } } \left( \frac { 1 } { \mathbb { P } _ { 0 , t } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( 0 ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( t ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) } \right) } & { = \mathbb { E } _ { \mathcal { F } _ { s } } \left( \frac { 1 } { \mathbb { P } _ { 0 , t } ( \mathfrak { B } ^ { k } ( 0 ) , \mathfrak { B } ^ { k } ( t ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) } \right) } \\ & { = \frac { \mathbb { P } _ { - s , s } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( - s ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( s ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) } { \mathbb { P } _ { - s , s } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( - s ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( s ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } , [ - s , 0 ] \cup [ t , s ] ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \left[ { \cal H } _ { \mathrm { 3 D } } ( { \bf k } ) \right] C _ { { \bf k } } } & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } \! \left[ \! m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \! \right] \! C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } ^ { \dagger } [ \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } ] C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } } \\ & { \! + \! t _ { z } \sum _ { j _ { z } } \! \left\{ \! C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } ^ { \dagger } [ \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } ] C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } + 1 } + C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } [ \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } ] C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } \! \right\} \! } \\ & { \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sum _ { j _ { z } } \! \left\{ \! C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } ^ { \dagger } [ \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } ] C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } + 1 } \! - \! C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } [ \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } ] C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } \! \right\} \! } \\ & { \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sum _ { j _ { z } } C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } ^ { \dagger } [ \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } ] C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sum _ { j _ { z } } C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } ^ { \dagger } [ \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } ] C _ { k _ { x } , k _ { y } , j _ { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } \bar { X } _ { t } } { \mathrm { d } t } = \nabla \phi _ { t } ( \bar { X } _ { t } ) , \quad \bar { X } _ { 0 } \sim p _ { 0 } , } \\ & { \phi _ { t } \mathrm { ~ s o l v e s ~ t h e ~ P D E ~ } - \nabla \cdot ( \bar { p } _ { t } \nabla \phi _ { t } ) = \mathcal V ( \bar { p } _ { t } ) . } \end{array}
\chi _ { G \Delta ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 2 } G _ { i } \beta _ { i j } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) \beta _ { k l } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k l }
\begin{array} { l l l l } { { ( i ) : \quad } } & { { k ^ { 2 } \gg m ^ { 2 } \quad } } & { { \mathrm { a n d } } } & { { ( k - Q ) ^ { 2 } \gg m ^ { 2 } } } \\ { { ( i i ) : \quad } } & { { k ^ { 2 } \sim m ^ { 2 } } } & { { \Rightarrow } } & { { ( k - Q ) ^ { 2 } \gg m ^ { 2 } } } \\ { { ( i i i ) : \quad } } & { { ( k - Q ) ^ { 2 } \sim m ^ { 2 } } } & { { \Rightarrow } } & { { k ^ { 2 } \gg m ^ { 2 } \, , } } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } = 8 \pi \mu \cdot \frac { 2 0 a ^ { 5 } + 1 1 a ^ { 4 } b + 1 1 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + a ^ { 2 } b ^ { 3 } + a b ^ { 4 } + b ^ { 5 } } { 2 8 a ^ { 4 } + 1 3 a ^ { 3 } b + 1 3 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 3 } + 3 b ^ { 4 } } \; .
A ( z , t ) = \Psi ( z , t + \beta _ { 2 } g _ { 0 } z / g _ { 1 } ) \exp ( i g _ { 0 } t / g _ { 1 } + i 0 . 5 \beta _ { 2 } g _ { 0 } ^ { 2 } z / g _ { 1 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widetilde \theta _ { i } ( X ) \big ) } & { = \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { V a r } _ { \theta } \Big ( e _ { i } ^ { \top } D ^ { - 1 } \widehat \theta ( D X ) \Big ) \, d \mu ( D ) } \\ & { = \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } \operatorname { T r } \Big [ \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( D ^ { - 1 } \widehat \theta ( D X ) \big ) \Big ] \, d \mu ( D ) } \\ & { = \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } \operatorname { T r } \Big [ D ^ { - 1 } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat \theta ( D X ) \big ) ( D ^ { - 1 } ) ^ { \top } \Big ] \, d \mu ( D ) } \\ & { = \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } \operatorname { T r } \Big [ \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat \theta ( D X ) \big ) \Big ] \, d \mu ( D ) } \\ & { = \int _ { D \in \mathcal { O } _ { m } } \operatorname { T r } \Big [ \operatorname { V a r } _ { D \theta } \big ( \widehat \theta ( X ) \big ) \Big ] \, d \mu ( D ) } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m } ^ { \beta } ( R ) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat \theta _ { i } \big ) . } \end{array}
E _ { k , N } = \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { t \in \left[ \frac { \pi k } { h } a , \frac { \pi k } { h } b \right] } \left| \, \sum _ { n = N + 2 } ^ { + \infty } \widetilde a _ { n } \, t ^ { n } + ( \ln t ) \sum _ { n = N + 2 } ^ { + \infty } \widetilde b _ { n } \, t ^ { n } \right| , \, \operatorname* { m a x } _ { t \in \left[ \frac { \pi k } { h } a , \frac { \pi k } { h } b \right] } \left| \, \sum _ { n = N + 1 } ^ { + \infty } \widetilde c _ { n } \, t ^ { n } + ( \ln t ) \sum _ { n = N + 1 } ^ { + \infty } \widetilde d _ { n } \, t ^ { n } \right| \right\}
C _ { k } ^ { * } = C _ { k } = \sqrt { \sum _ { u _ { i } } | \langle \Downarrow ; u _ { i } ^ { ( k ) } | \hat { V } _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } | \Uparrow ; \downarrow ^ { ( k ) } \rangle | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \phi \left( [ S , T ] _ { Q } \right) } & { = \phi \left( \sum _ { \beta \in Q _ { 1 } } { \left( S \xrightarrow [ \beta ] { Q } T - T \xrightarrow [ \beta ] { Q } S \right) } \right) } \\ & { = \sum _ { \beta \in Q _ { 1 } } { \left[ \epsilon \left( S \xrightarrow [ \beta ] { Q } T \right) S \xrightarrow [ \beta ] { Q } T - \epsilon \left( T \xrightarrow [ \beta ] { Q } S \right) T \xrightarrow [ \beta ] { Q } S \right] } } \end{array}
v _ { \parallel } = \frac { 2 } { 9 } \frac { ( \rho _ { c e l l } - \rho _ { f l u i d } ) g } { \eta } \left( \frac { r _ { 1 } ^ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 3 } } { r _ { 1 } + r _ { 2 } } \right)
\delta _ { [ \mu _ { 1 } . . . \mu _ { n } ] } ^ { [ \nu _ { 1 } . . . \nu _ { n } ] } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k + 1 } \delta _ { \mu _ { 1 } } ^ { \nu _ { k } } \delta _ { [ \mu _ { 2 } . . \mu _ { k } . . \mu _ { n } ] } ^ { [ \nu _ { 2 } . . \nu _ { 1 } . . \nu _ { n } ] } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l r } { \chi _ { S o l o v e v } } & { { } = } & { \frac 1 2 \left( b X _ { 0 } ^ { 2 } + c _ { 0 } X ^ { 2 } \right) Z ^ { 2 } + \frac 1 8 ( a - c _ { 0 } ) ( X ^ { 2 } - X _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial g _ { f } } C _ { e f } ( \eta ) } & { = \beta ^ { 2 } ( \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } - \langle \sigma _ { e } \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } - \langle \sigma _ { e } \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } + \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } ^ { 2 } - \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } + \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } ^ { 2 } ) } \\ & { = - 2 \beta \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } C _ { e f } ( \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \| A y \| ^ { 2 } c ^ { T } y + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y \| y \| ^ { 2 } + \lambda ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \| y \| ^ { 2 } = 2 \| A y \| ^ { 3 } } \\ { \iff \lambda } & { = \frac { 2 \| A y \| ^ { 3 } - 2 \| A y \| ^ { 2 } c ^ { T } y - ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y \| y \| ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \| y \| ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 2 \| A y \| ^ { 3 } - 2 ( c ^ { T } y ) ^ { 3 } - 3 ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y \| y \| ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \| y \| ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { \mathrm { d } V } { \mathrm { d } N } = \left[ \lambda ^ { 2 } N ^ { 2 } + 2 g ^ { 2 } ( \phi ^ { 2 } - \phi _ { c } ^ { 2 } ) \right] N \left( \frac { M _ { * } } { M _ { \mathrm { P } } } \right) ^ { 2 } \, .
3 3 T = { \frac { 1 } { 2 } } [ \dot { \xi } ^ { 2 } + { \frac { ( p _ { \phi } + \cos ( \xi ) p _ { \psi } ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } ( \xi ) } } + s ^ { - 2 } p _ { \psi } ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { \left\vert \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } & { \leq \big \vert \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) \mathcal { F } \left( I \right) \left( e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right) \right) } \\ { \qquad } & { + \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } \left( \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - \delta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right) \right) \big \vert \, . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { E _ { f } } \\ { H _ { f } } \end{array} \right] = \mathrm { \mathbf { T } } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } \left[ \begin{array} { l } { E _ { b } } \\ { H _ { b } } \end{array} \right] , \mathrm { \mathbf { T } } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } = \left[ \begin{array} { c c } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right]
\mathsf { Q } ^ { \sf T } \left[ \tau \right] \left( \sf { D i v } _ { \mathsf { X } } \left[ \sf { Q } [ \tau ] \mathsf { P } ^ { \star } [ \tau ] \right] - \rho _ { 0 } \sf { A } _ { \tau } \left[ \sf X \right] \right) \cdot \mathsf { c } _ { 2 } \left[ \mathsf { X } \right] = 0 ,
\begin{array} { r } { \langle \alpha \rangle = \alpha + \left( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) \operatorname { t a n h } \Big [ b \left( \langle k \rangle - 1 \right) \Big ] , } \\ { \langle \beta \rangle = \beta + \Big ( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \Big ) \operatorname { t a n h } \Big [ b \Big ( \langle k \rangle - 1 \Big ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal D ~ \circ ~ \mathcal E ( \mathcal X _ { t + r } ) - \mathcal P ( \mathcal X _ { t + r } ) } & { { } \approx \boldsymbol 0 , } \\ { \mathcal D _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ~ \circ ~ \mathcal E ( \mathcal X _ { t + r } ) } & { { } \approx \mathscr X _ { t + r , p } , } \end{array}
A _ { 4 4 } = \frac { ( 3 ^ { 1 } 2 _ { [ 3 } ) ( 1 ^ { [ 1 } 2 _ { 4 ] } ) ( 1 ^ { 2 ] } 3 _ { 4 } ) } { ( 1 ^ { 1 2 } 2 ^ { 1 2 } ) } \, ,
\begin{array} { r l r } { \big \| \big ( \widehat f _ { N , \lambda } ( X _ { i } ) - f ^ { * } ( X _ { i } ) \big ) _ { i } \big \| _ { n } } & { \leq } & { \big \| A _ { N } ( K _ { N } ^ { 2 } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } A _ { N } ^ { * } ( F _ { N } + \pmb \varepsilon ) ^ { T } - F _ { N } ^ { T } \| _ { n } } \\ & { + } & { 2 \Big ( \big \| \big ( f ^ { * } ( X _ { i } ) - \pi _ { N } f ( X _ { i } ) \big ) _ { i } \big \| _ { n } + \big \| \big ( \pi _ { N } f ^ { * } ( X _ { i } ) - \widetilde \pi _ { N } f ( X _ { i } ) \big ) _ { i } \big \| _ { n } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \mathcal { G } ^ { \lambda } \big ( s ^ { b } ; ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } \big ) + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ s ^ { b } ( T , z ) \, g ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s ^ { b } ( T , z ) \big ) \Big ] d z } \\ { \leq } & { \ \mathcal { G } ^ { \lambda } \big ( s ; ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } \big ) + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ s ( T , z ) \, g ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s ( T , z ) \big ) \Big ] d z . } \end{array}
g ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \left( 1 + e ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
L _ { m } ( \alpha ) \equiv \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { - i V _ { m } ^ { - } } } } & { { e ^ { \alpha } e ^ { i V _ { m } ^ { + } } } } \\ { { e ^ { \alpha } e ^ { - i V _ { m } ^ { + } } } } & { { e ^ { i V _ { m } ^ { - } } } } \end{array} \right) \, , \quad \bar { L } _ { m } ( \alpha ) \equiv \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { - i V _ { m } ^ { + } } } } & { { e ^ { - \alpha } e ^ { i V _ { m } ^ { - } } } } \\ { { e ^ { - \alpha } e ^ { - i V _ { m } ^ { - } } } } & { { e ^ { i V _ { m } ^ { + } } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { z _ { i j } = } & { { } Q _ { i \rightarrow j } ^ { 0 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 0 } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 1 , 1 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 4 , 1 } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 4 , 1 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 1 , 1 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } \left( Q _ { i \rightarrow j } ^ { 1 , t } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 0 } + Q _ { i \rightarrow j } ^ { 0 } Q _ { j \rightarrow i } ^ { 1 , t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \b { x } ( t ) - \tilde { \b { x } } ( t ) \| _ { \mathcal { L } _ { 2 } } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \| \b { H } ( i \omega ) \hat { \b { f } } ( \omega ) - \b { H } ( i \omega ) \mathbb { P } \hat { \b { f } } ( \omega ) \| _ { 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } \omega } \end{array}
E _ { \mathrm { { T } } } = N E _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { N } E _ { \mathrm { F } } { \big | } _ { N ^ { \prime } } \, \mathrm { d } N ^ { \prime } = \left( { \frac { 3 } { 5 } } E _ { \mathrm { F } } + E _ { 0 } \right) N
d \Xi = - U d { \frac { 2 } { T } } + { \frac { P } { T } } d V + \sum _ { i = 1 } ^ { s } ( - { \frac { \mu _ { i } } { T } } ) d N _ { i } - { \frac { P } { T } } d V - V d { \frac { P } { T } }
\mu _ { - } = - z _ { - } e \psi + k _ { B } T \left[ \ln \left( { \frac { a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) - \frac { a _ { - } ^ { 3 } } { a _ { + } ^ { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } - a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) \right]
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial x } = \cos \theta X _ { 1 } - \frac { m \sin \theta } { I } X _ { 2 } + m \sin \theta Y , } \\ & { \frac { \partial } { \partial y } = \sin \theta X _ { 1 } + \frac { m \cos \theta } { I } X _ { 2 } - m \cos \theta Y , } \\ & { \frac { \partial } { \partial \theta } = X _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | z - y | ^ { 2 } + | z ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } & { \le 2 ( | z - x | ^ { 2 } + | x - y | ^ { 2 } ) + 3 ( | z ^ { \prime } - x | ^ { 2 } + | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } ) } \\ & { \le 5 t + 2 | x - y | ^ { 2 } + 3 | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } + 3 | x - x ^ { \prime } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal Z } } & { { } = } & { \operatorname* { d e t } ^ { - 1 } A \int { \cal D } [ d , d ^ { * } ] \exp ( - \sum _ { \alpha } d _ { \alpha } ^ { * } A _ { \alpha } d _ { \alpha } ) \times { \cal Z } _ { i m p } \int { \cal D } [ c , c ^ { * } ; f , f ^ { * } ] e ^ { - \sum _ { i } S _ { i m p } ^ { i } [ c , c ^ { * } ; f , f ^ { * } ] } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n + q } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \frac { m ! q ! \Gamma ( \kappa + m + 1 ) } { \Gamma ( \kappa + m + n + 1 ) } z ^ { q } \sum _ { j = 0 } ^ { m \wedge q } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! ( m - j ) ! ( q - j ) ! } \left( \frac { 1 - | z | ^ { 2 } } { z } \right) ^ { j } \mathcal { Z } _ { m - j , n } ^ { \kappa + j , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } \end{array}