harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \lambda _ { a } } ( - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \lambda _ { a + \epsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \epsilon _ { - 2 } } } \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } + 1 ] } \cdot \left( - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \lambda _ { a + \varepsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \varepsilon _ { - 2 } } } \frac { 1 } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } + 1 ] } \right) } \\ { + } & { \frac { 1 } { 2 } [ \overline { { a } } _ { 1 } ] \left( [ \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] + [ \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] \right) \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } w _ { a , 1 } \right) + \frac { 1 } { 2 } [ \overline { { a } } _ { 1 } ] \left( [ \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] + [ \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] \right) \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } w _ { a , 1 } \right) } \\ { + } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \lambda _ { a + \epsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \epsilon _ { 2 } } } \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] } \cdot \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \lambda _ { a + \varepsilon _ { 1 } } \lambda _ { a + \varepsilon _ { 2 } } } \frac { 1 } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] } \right) ) = [ 2 ] \cdot \frac { 1 } { 2 } [ \overline { { a } } _ { 1 } ] \left( [ \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] + [ \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] \right) . } \end{array}
y _ { i } ^ { \mathrm { ~ b ~ o ~ n ~ d ~ } \: ( k ) } = \sum _ { j \in A _ { i } } H _ { \mathrm { ~ n ~ } } ^ { ( k ) } ( x _ { j i } ^ { ( k ) } ) f _ { c } ( r _ { i j } | R _ { c } , \Delta _ { R _ { c } } ) .
\begin{array} { r l } { X _ { \Delta _ { 1 } } = } & { { } ( - 2 D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } + D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } + D _ { 3 3 ^ { \prime } } + D _ { 2 ^ { \prime } 2 } - 1 ) { \eta _ { 1 } } + ( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } } ) { \eta _ { 3 } } } \\ { + } & { { } ( { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } + 1 } ) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } + ( - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 } } - { D _ { 3 } } ) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { i , k } ^ { ( 2 , l ) } } & { = } & { \sum _ { ( j , m ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 2 } } \frac { \partial \beta _ { i j } } { \partial x _ { m } } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \Bigg ( \alpha _ { m } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \Delta _ { l } + \sum _ { ( n , p ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 2 } } h _ { m n p } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) [ [ W _ { n , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - W _ { n , k \Delta _ { l } } ] \times } \\ & { } & { [ W _ { p , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - W _ { p , k \Delta _ { l } } ] - \Delta _ { l } ] \Bigg ) [ W _ { j , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ] } \\ { M _ { i , k } ^ { ( 3 , l ) } } & { = } & { \sum _ { ( j , m ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 2 } } \left\{ h _ { i j m } ( X _ { ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ^ { l } ) - h _ { i j m } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \right\} \Big ( [ W _ { j , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ] [ W _ { m , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - } \\ & { } & { W _ { m , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ] - \Delta _ { l } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 = } & { \tau _ { \mathcal M } ( \rho ( p ) ) \le \tau _ { \mathcal M } ( \rho ( p , \sigma _ { p } ) ) \le \tau _ { \mathcal M } ( 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { p } } \parallel \! \rho ( p , \sigma _ { p } ) \! \parallel _ { p } } \\ { \le } & { \tau _ { \mathcal M } ( 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { p } } \parallel \! \rho ( p , \frac { 1 } { \tau _ { \mathcal N } ( 1 ) } ) \! \parallel _ { p } \le \tau _ { \mathcal M } ( 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { p } } \tau _ { \mathcal N } ( 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { p } } \parallel \! \rho ( p ) \! \parallel _ { p } \to 1 } \end{array}
\langle I ^ { \prime } I _ { 3 } \left| { \cal O } ( u \leftrightarrow d ) \right| I I _ { 3 } \rangle = ( - 1 ) ^ { I ^ { \prime } - I } \langle I ^ { \prime } - \! I _ { 3 } \left| { \cal O } \right| I - \! I _ { 3 } \rangle .
( \hat { M } ^ { 0 , 2 } , \cdots \hat { M } ^ { 0 , K + 1 } , \hat { M } ^ { 1 , 1 } , \cdots , \hat { M } ^ { 1 , K } , \hat { M } ^ { 2 , 0 } , \cdots , \hat { M } ^ { 2 , K - 1 } , \cdots , \hat { M } ^ { L - 1 , 0 } , \cdots , \hat { M } ^ { L - 1 , K - 1 } )
\begin{array} { r } { \overline { { \boldsymbol { \pi } } } = \overline { { \boldsymbol { \Xi } } } _ { b } = \sum _ { \boldsymbol { q } n } \frac { l _ { B } \boldsymbol { q } } { 2 } \left( \overline { { X } } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } + \overline { { P } } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } \right) , \; \; \overline { { X } } _ { \boldsymbol { q } n } = \frac { - \xi _ { \boldsymbol { q } n } } { \epsilon _ { \boldsymbol { q } n } } , \; \; \overline { { P } } _ { \boldsymbol { q } n } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \alpha } } & { { } = \frac { 2 ^ { \alpha } \Gamma \left( \frac { \alpha + 1 } { 2 } \right) \Gamma \left( \nu + \frac { \alpha + 1 } { 2 } \right) } { \Gamma \left( \nu \right) } } \\ { m _ { \alpha } ^ { a p p } } & { { } = \Gamma \left( \frac { 1 + \alpha } { \gamma ( \nu ) } \right) \frac { \lambda ( \nu ) ^ { 1 + \alpha } } { \gamma ( \nu ) } } \end{array}
F _ { \gamma } ^ { e } \left( x , Q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } \right) = { \frac { \alpha } { 2 \pi } } \left[ { \frac { 1 + ( 1 - x ) ^ { 2 } } { x } } \ln { \frac { Q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } { Q _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } } } + 2 m _ { e } ^ { 2 } x \left( { \frac { 1 } { Q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { Q _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \left[ \mathcal { I } _ { p _ { 0 } ^ { a } } ^ { - 1 } \right] _ { k } \cap \left[ \mathcal { I } _ { \Pi _ { i } } ^ { - 1 } \right] _ { k } } & { = \emptyset , i \ge 2 , } \\ { \left[ \mathcal { I } _ { p _ { 0 } ^ { a } } ^ { - 1 } \right] _ { k } \cap \left[ \mathcal { I } _ { \Pi _ { 1 } } ^ { - 1 } \right] _ { k } } & { = \{ y _ { 0 } ^ { k - l } F _ { l } ( y _ { 1 } , \dots , y _ { n } ) : F _ { l } \in S _ { l } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \Sigma } _ { \mathrm { i n t } } } & { = } & { \sum _ { u , s } \left( \Gamma _ { u \to u + 1 } p _ { U , S } ( u , s , h , t ) + \right. } \\ & { ~ } & { \left. - \Gamma _ { u + 1 \to u } p _ { U , S } ( u + 1 , s , h , t ) \right) \log \frac { \Gamma _ { u \to u + 1 } } { \Gamma _ { u + 1 \to u } } + } \\ & { + } & { \sum _ { u , s } \left( \Gamma _ { s \to s + 1 } p _ { U , S } ( u , s , h , t ) + \right. } \\ & { ~ } & { \left. - \Gamma _ { s + 1 \to s } p _ { U , S } ( u , s + 1 , h , t ) \right) \log \frac { \Gamma _ { s \to s + 1 } } { \Gamma _ { s + 1 \to s } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } q _ { 1 } ^ { n } \to 0 , \ \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } \left\{ ( q _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { n } \right\} + 1 \to 0 , \ \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } \biggr ( \frac { ( q _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 3 } } { 6 } + \frac { q _ { 1 } ^ { n } q _ { 2 } ^ { n } } { 2 } \biggr ) \to 0 . } \end{array}
\overline { { \tilde { p } _ { \theta } ( \boldsymbol { 0 } ) } } ^ { \theta } = \frac 1 M \sum _ { i = 1 } ^ { M } p ( [ R \cos \theta _ { i } , R \sin \theta _ { i } ] ) + \frac 1 M \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { r = 0 } ^ { r = R } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { e } _ { r } d r , \quad \theta _ { i } = \frac { 2 \pi i } { M } .
u ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } \cos ( k _ { 1 } x ) + b _ { 1 } \sin ( k _ { 1 } x ) } & { \mathrm { ~ x ~ \in ~ } \textrm { l a y e r } 1 } \\ { a _ { 2 } \cos ( k _ { 2 } x ) + b _ { 2 } \sin ( k _ { 2 } x ) } & { \mathrm { ~ x ~ \in ~ } \textrm { l a y e r } 2 } \\ { a _ { 3 } \cos ( k _ { 3 } x ) + b _ { 3 } \sin ( k _ { 3 } x ) } & { \mathrm { ~ x ~ \in ~ } \textrm { l a y e r } 3 } \end{array} \right.
M ( x ) = x ^ { - 1 / 2 } \left[ C _ { 1 } J _ { \lambda } \left( \frac { \sqrt { 4 \alpha c _ { \epsilon } } } { \epsilon x ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } } \right) + C _ { 2 } J _ { - { \lambda } } \left( \frac { \sqrt { 4 \alpha c _ { \epsilon } } } { \epsilon x ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } } \right) \right] \; \; \; ,
\mathbf { T } _ { \mathrm { l w } } = \frac { 1 } { 1 0 c } \int d \mathbf { r } \left\lbrace 3 ( \mathbf { r } \cdot \mathbf { J } ) \mathbf { r } - 2 r ^ { 2 } \mathbf { J } \right\rbrace ,
\displaystyle \mathbf { v } _ { p } ^ { \nu + 1 } = \mathbf { v } _ { p } ^ { \nu } + \frac { q _ { p } \Delta t _ { \nu } } { m _ { p } } \left( \mathbf { E } ^ { n + \theta } ( \mathbf { x } _ { p } ^ { \nu } ) + \frac { \mathbf { v } _ { p } ^ { \nu + 1 } + \mathbf { v } _ { p } ^ { \nu } } { 2 } \times \mathbf { B } ^ { n } ( \mathbf { x } _ { p } ^ { \nu } ) \right)
\begin{array} { r l } & { \sqrt { | C _ { 1 } | ^ { 4 } + | C _ { 2 } | ^ { 4 } + | C _ { 1 } | ^ { 2 } | C _ { 2 } | ^ { 2 } \left( 1 - \cos ^ { 2 } 2 N \theta _ { 0 } + 2 \cos 2 N \theta _ { 0 } \right) } } \\ & { \leq | C _ { 1 } | ^ { 2 } \sqrt { 3 - \cos ^ { 2 } 2 N \theta _ { 0 } + 2 \cos 2 N \theta _ { 0 } } } \\ & { = \tau ^ { 2 N + 4 } ( [ 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } ( \varphi - \theta _ { 0 } ) ] [ 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \varphi ] ^ { N + 1 } ) \sqrt { 3 - \cos ^ { 2 } 2 N \theta _ { 0 } + 2 \cos 2 N \theta _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau \frac { \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } } { \Delta t } = } & { { } - \kappa \Delta ^ { 2 } \phi ^ { n + 1 } - \kappa \nabla ^ { 2 } \frac { G ^ { \prime } ( \phi ^ { n } ) } { \epsilon ^ { 2 } } + \kappa \frac { G ^ { \prime \prime } ( \phi ^ { n } ) } { \epsilon ^ { 2 } } \left( \nabla ^ { 2 } \phi ^ { n } - \frac { G ^ { \prime } ( \phi ^ { n } ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) + \gamma \left( \nabla ^ { 2 } \phi ^ { n + 1 } - \frac { G ^ { \prime } ( \phi ^ { n } ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\vert V \vert < V _ { m a x } ^ { o f f } ; \ e V _ { m a x } ^ { o f f } < 2 \left\vert \varepsilon _ { 0 } \right\vert - 5 . 8 5 6 \Gamma _ { a } \ \left( < 2 \left\vert \varepsilon _ { 0 } \right\vert / e \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { \zeta \to 0 } & { \mathrm { ~ e ~ q ~ u ~ a ~ l ~ w ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { \zeta \to \infty } & { \mathrm { ~ g ~ r ~ o ~ u ~ n ~ d ~ - ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ - ~ s ~ p ~ e ~ c ~ i ~ f ~ i ~ c ~ } } \end{array} \right.
\frac { d } { d t } S _ { W Z } ( t ) = i ^ { [ \frac { p + 1 } { 2 } ] } \, \frac { 2 \, i } { p ! } \int \phi ^ { * } \, \Pi ^ { a _ { 1 } } ( t ) \wedge \cdots \wedge \Pi ^ { a _ { p } } ( t ) \wedge \left( \bar { \nu } ( t ) \Gamma _ { a _ { 1 } } \cdots \Gamma _ { a _ { p } } \, t \, d \theta \right)
\frac { \tilde { \cal E } _ { q } [ \phi ( x ) ] } { L } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \left( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } \omega _ { j } ^ { 2 } \log \frac { \tilde { \omega } _ { j } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k } { 2 \pi } \tilde { \omega } ( k ) ^ { 2 } \log \frac { \tilde { \omega } ( k ) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \frac { d } { d k } \left( \tilde { \delta } ( k ) - \tilde { \delta } _ { 1 } ( k ) \right) \right) \, .
\operatorname { d i v i d e } _ { s } = \lambda x . \lambda y . \operatorname { p a i r } \ ( \operatorname { p l u s } \ ( \operatorname { d i v Z } \ ( \operatorname { f i r s t } \ x ) \ ( \operatorname { f i r s t } \ y ) ) \ ( \operatorname { d i v Z } \ ( \operatorname { s e c o n d } \ x ) \ ( \operatorname { s e c o n d } \ y ) ) ) \ ( \operatorname { p l u s } \ ( \operatorname { d i v Z } \ ( \operatorname { f i r s t } \ x ) \ ( \operatorname { s e c o n d } \ y ) ) \ ( \operatorname { d i v Z } \ ( \operatorname { s e c o n d } \ x ) \ ( \operatorname { f i r s t } \ y ) ) )
\frac { - 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, \frac { \langle h _ { \scriptscriptstyle 3 } ^ { 0 } \rangle } { \langle h _ { \scriptscriptstyle 1 } ^ { 0 } \rangle } \; ( m _ { \scriptscriptstyle \ell _ { j } } ^ { 2 } - m _ { \scriptscriptstyle \ell _ { i } } ^ { 2 } ) \; \lambda _ { i j k } \; \lambda _ { k } ^ { \! \scriptscriptstyle H } A _ { k } ^ { \! \scriptscriptstyle H } \; f ( M _ { h _ { \scriptscriptstyle 1 } ^ { \mathrm { - } } } ^ { 2 } , M _ { \tilde { \ell } _ { R _ { k } } } ^ { 2 } ) \; .
\boldsymbol { \sigma } _ { i } = \boldsymbol { \zeta } _ { i } + \alpha ^ { 2 } \big ( \boldsymbol { A } _ { i } + \boldsymbol { \zeta } _ { i } \cdot \nabla _ { \epsilon { \mathbf { x } } } \boldsymbol { \xi } _ { i } \big )
\begin{array} { r l } { a [ n ] ( \mathbf { r } ) } & { = \pi \left( \frac { n } { 2 } \right) ^ { 2 / 3 } \left[ B _ { 0 } + C _ { 0 } \left( \frac { | \nabla n | ^ { 2 } } { 8 n \tau _ { 0 } } \right) \right] } \\ { b _ { i } [ n ] ( \mathbf { r } ) } & { = \pi \left( \frac { n } { 2 } \right) ^ { 2 / 3 } \left[ B _ { i } + C _ { i } \left( \frac { | \nabla n | ^ { 2 } } { 8 n \tau _ { 0 } } \right) \right] } \end{array}
+ 6 . 3 2 8 \times 1 0 ^ { - 2 } \alpha - 1 . 6 3 3 6 \times 1 0 ^ { - 3 } \alpha ^ { 2 } + 3 . 3 6 4 4 \times 1 0 ^ { - 5 } \alpha ^ { 3 } - 3 . 4 2 6 5 \times 1 0 ^ { - 7 } \alpha ^ { 4 } + 1 . 6 8 9 3 \times 1 0 ^ { - 9 } \alpha ^ { 5 } - 3 . 0 3 3 4 \times 1 0 ^ { - 1 2 } \alpha ^ { 6 }
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \widehat { T } ) = \frac { 2 V _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } \left( 1 + 2 \frac { C _ { x , y } ^ { 2 } } { V _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } } \right) ,
\partial _ { t } u = p \left( p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \partial _ { p } \left( \partial _ { p } u - \partial _ { p } \varphi _ { 0 } + f _ { 0 } \right) u ( p , t ) = \gamma u \partial _ { p } ^ { 2 } u + g _ { 0 } u ,
+ \biggl ( \frac { \alpha L } { 2 \pi } \biggr ) ^ { 3 } \biggl [ C _ { 3 } ( x _ { 1 } ) ( \Delta _ { 3 1 } ^ { ( x _ { 1 } ) } + \Delta _ { 3 1 } ) + \int _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } \frac { d t } { t } \Delta _ { 3 1 } ^ { ( t ) } \overline { { C } } _ { 3 } ( x _ { 1 } , t ) \biggr ] \ ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 1 } ( \delta , v ) } & { = \left\lbrace \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { i \Sigma ( v ) \cdot \omega } \big ( \Omega _ { 1 } ( \delta , v / A _ { 1 } ) \cdots \Omega _ { 1 } ( \delta , v / A _ { r } ) - \Omega ( \delta , v ) \big ) , } & { \Sigma ( v ) \neq 0 , } \\ { 0 , } & { \Sigma ( v ) = 0 ; } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( x , z ) = Y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( x , z ) - Y ( x , z ) = Y _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( x , z ) - h _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ( x , \Theta , z ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { { R ( \Delta ) = I ( \Delta ) = \Delta ^ { N - 1 } ( \Delta ^ { - 1 } \Omega \Delta ^ { - 1 } ) ^ { N - 1 } , } } \\ { { R ( \Omega ) = \Delta ^ { N - 2 } \Omega ( \Delta ^ { - 1 } \Omega \Delta ^ { - 1 } ) ^ { N - 1 } , } } \\ { { I ( \Omega ) = \Delta ^ { N - 1 } ( \Delta ^ { - 1 } \Omega \Delta ^ { - 1 } ) ^ { N - 1 } \Omega \Delta ^ { - 1 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { f } ( a , N ) \le N = \sqrt { \frac { 1 } { \eta _ { 3 } } + \frac { 3 2 \eta _ { 3 } ^ { 1 / 2 } h } { 1 5 \sqrt { \pi } } } N \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 6 } } & { \le \sqrt { \frac { 1 } { \eta _ { 3 } h } + \frac { 3 2 \eta _ { 3 } ^ { 1 / 2 } } { 1 5 \sqrt { \pi } } } h ^ { 1 / 2 } N \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 6 } } \\ & { \le A _ { 3 } h ^ { 1 / 2 } N \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla ( e ^ { \lambda w } ) \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { B } _ { 1 } ) } ^ { p } = \lambda ^ { p } \int _ { \mathbb { B } _ { 1 } } e ^ { \lambda p w } | \nabla w | ^ { p } } & { \leqslant \lambda ^ { p } \left( \int _ { \mathbb { B } _ { 1 } } e ^ { \lambda p q ^ { \prime } w } \right) ^ { \frac { 1 } { q ^ { \prime } } } \left( \int _ { \mathbb { B } _ { 1 } } | \nabla w | ^ { p q } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \leqslant \lambda ^ { p } \left( 4 \pi + \Psi \right) ^ { \frac { 1 } { q ^ { \prime } } } \left( \int _ { \mathbb { B } _ { 1 } } | \nabla w | ^ { p q } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \leqslant \Psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ C ~ } + \mathrm { ~ O ~ } _ { 2 } } & { { } \leftrightarrows \mathrm { ~ C ~ O ~ } _ { 2 } , } \\ { \mathrm { ~ C ~ } + 0 . 5 \mathrm { ~ O ~ } _ { 2 } } & { { } \leftrightarrows \mathrm { ~ C ~ O ~ } , } \\ { \mathrm { ~ C ~ } + 2 \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } } & { { } \leftrightarrows \mathrm { ~ C ~ H ~ } _ { 4 } , } \\ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } + 0 . 5 \mathrm { ~ O ~ } _ { 2 } } & { { } \leftrightarrows \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } . } \end{array}
\lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { \ell } \rangle } = \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \ell } } \Phi _ { n } ^ { \langle \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { \ell } \rangle } P _ { \mathbf { k } n } ^ { ( \ell ) } ,
M \left[ { \begin{array} { r r r r } { 2 } & { 1 } & { - 1 } & { 8 } \\ { - 3 } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 1 } \\ { - 2 } & { 1 } & { 2 } & { - 3 } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l r } { { \cal H } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int ( | \nabla A _ { 1 } | ^ { 2 } + | \nabla A _ { 2 } | ^ { 2 } ) d x d y d \tau } \\ & { + } & { \int V ( x , y , \zeta ) ( | A _ { 1 } | ^ { 2 } + | A _ { 2 } | ^ { 2 } ) d x d y d \tau } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \int ( | A _ { 1 } | ^ { 4 } + | A _ { 2 } | ^ { 4 } + 2 g _ { 1 2 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } | A _ { 2 } | ^ { 2 } ) d x d y d \tau . } \end{array}
P _ { i j } = - \overline { { u _ { i } ^ { ' } u _ { k } ^ { ' } } } \frac { \partial \overline { { u _ { j } } } } { \partial x _ { k } } - \overline { { u _ { j } ^ { ' } u _ { k } ^ { ' } } } \frac { \partial \overline { { u _ { i } } } } { \partial x _ { k } }
R _ { \mu \nu \sigma } ^ { \lambda } ( \Gamma ) \equiv \Gamma _ { \mu \nu , \sigma } ^ { \lambda } - \Gamma _ { \mu \sigma , \nu } ^ { \lambda } + \Gamma _ { \alpha \sigma } ^ { \lambda } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \alpha } - \Gamma _ { \alpha \nu } ^ { \lambda } \Gamma _ { \mu \sigma } ^ { \alpha }
\begin{array} { r l } { n \cdot \mathrm { V a r } ( \lambda ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \lambda _ { i } - \bar { \lambda } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \lambda _ { i } ^ { 2 } - 2 \lambda _ { i } \bar { \lambda } + \bar { \lambda } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } ^ { 2 } - 2 \bar { \lambda } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } + n \bar { \lambda } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } ^ { 2 } - 2 \bar { \lambda } \cdot n \bar { \lambda } + n \bar { \lambda } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } ^ { 2 } - n \bar { \lambda } ^ { 2 } } \end{array}
\sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } \alpha _ { n , \boldsymbol { k } m } \left( \frac { \omega _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } } { c } \right) ^ { 2 } \varepsilon ( \boldsymbol { r } ) u _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { r } ) = \frac { \omega _ { \boldsymbol { k } n } { } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \tilde { \varepsilon } ( \boldsymbol { r } ) \sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } \alpha _ { n , \boldsymbol { k } m } u _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { r } ) ,
\sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } = \frac { \i } { 2 } ( { \sigma ^ { \mu } } _ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { \sigma } ^ { \nu \dot { \alpha } } { } _ { \beta } - { \sigma ^ { \nu } } _ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { \sigma } ^ { \mu \dot { \alpha } } { } _ { \beta } ) , \qquad \bar { \sigma } _ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } ^ { \mu \nu } = \frac { \i } { 2 } ( \bar { \sigma } _ { \dot { \alpha } } ^ { \mu \alpha } \sigma _ { \alpha \dot { \beta } } ^ { \nu } - \bar { \sigma } _ { \dot { \alpha } } ^ { \nu \alpha } \sigma _ { \alpha \dot { \beta } } ^ { \mu } ) .
\begin{array} { r l } { \langle f \vert \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) \vert i \rangle = } & { { } \frac { 1 } { \hbar } \sum _ { b } \sum _ { n } \frac { \left< f \middle | \widehat { M _ { s } } \middle | n \right> \left< n \middle | \widehat { M _ { I } } \middle | i \right> } { \left( E _ { n } - E _ { i } \right) / \hbar - \omega _ { I } - j \Gamma } } \\ { \langle f \vert \widehat { \mathcal { P } } ^ { N R T } ( \omega _ { I } ) \vert i \rangle = } & { { } \frac { 1 } { \hbar } \sum _ { b } \sum _ { n } \frac { \left< f \middle | \widehat { M _ { I } } \middle | n \right> \left< n \middle | \widehat { M _ { s } } \middle | i \right> } { \left( E _ { n } - E _ { f } \right) / \hbar + \omega _ { I } + j \Gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { X } } & { { } = \boldsymbol { \varphi } ^ { ( 0 ) } + \xi _ { 3 } { \bf { A } } _ { 3 } , } \\ { \boldsymbol { x } } & { { } = \boldsymbol { \varphi } + \xi _ { 3 } \lambda _ { 3 } { \bf { a } } _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { 𝓝 _ { σ } 𝕍 ( A ; B ⊗ C ) } & { \quad = } & { \quad \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } \phantom { ∫ } } \\ & { 𝕍 ( A ; N ⊗ B ⊗ C ) } & { \quad ≅ } & { \quad \mathrm { ( b y ~ a s s o c i a t i v i t y ) } \phantom { ∫ } } \\ & { ∫ ^ { X ∈ 𝕍 } 𝕍 ( A ; N ⊗ X ) × 𝕍 ( X ; B ⊗ C ) } & { \quad ≅ } & { \quad \mathrm { ( b y ~ s y m m e t r y ~ o f ~ 𝕍 ) } \phantom { ∫ } } \\ & { ∫ ^ { X ∈ 𝕍 } 𝕍 ( A ; N ⊗ X ) × 𝕍 ( X ; C ⊗ B ) } & { \quad ≅ } & { \quad \mathrm { ( b y ~ a s s o c i a t i v i t y ) } \phantom { ∫ } } \\ & { 𝕍 ( A ; N ⊗ C ⊗ B ) } & { \quad = } & { \quad \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } \phantom { ∫ } } \\ & { 𝓝 _ { σ } 𝕍 ( A ; C ⊗ B ) . \phantom { \int } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { p o l } } ^ { ( 1 ) } } & { = \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { i } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { j } \, \rho _ { A } ( \mathbf { x } _ { i } | \mathbf { x } _ { i } ) v _ { i j } \rho _ { B } ( \mathbf { x } _ { j } | \mathbf { x } _ { j } ) , } \\ & { = \sum _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \sum _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } D _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { A } D _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { B } \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { i } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { j } v _ { i j } \phi _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { i } ) \phi _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ ( \mathbf { x } _ { i } ) \phi _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { j } ) \phi _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ ( \mathbf { x } _ { j } ) } \end{array}
\mathrm { M _ { i R } \approx \ l a m b d a _ { i i } \frac { ( 3 \times 1 0 ^ { 1 6 } G e V ) ^ { 2 } } { 2 \times 1 0 ^ { 1 8 } G e V } \ e t a ^ { 2 } \ n e w l i n e \approx \ l a m b d a _ { i i } ( 4 . 5 \times 1 0 ^ { 1 4 } G e V ) \ e t a ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbb { P } _ { N } ^ { V , P } } { d \mathbf { x } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) } & { \leqslant e ^ { c _ { N } + 5 P \ln N } \exp { \left[ N \left\{ \mathcal { E } _ { P } ( \mu _ { P } ) - \mathcal { E } _ { P } ( \widetilde { \mu } _ { N } ) + \int \left( V + \ln \frac { d \widetilde { \mu } _ { N } } { d x } \right) d \widetilde { \mu } _ { N } \right\} - \sum _ { i = 1 } ^ { N } V ( x _ { i } ) \right] } } \\ & { = e ^ { c _ { N } + 5 P \ln N } \exp { \left[ - N P D ^ { 2 } ( \widetilde { \mu } _ { N } , \mu _ { P } ) + N \int \left( V + \ln \rho _ { P } \right) d \widetilde { \mu } _ { N } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } V ( x _ { i } ) \right] } \, } \end{array}