harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
r = \frac { 1 } { 6 } \bigg [ 3 R i F r ^ { 2 } R e ^ { 2 } P r - s ^ { 3 } R e ^ { 3 } P r ( P r + 1 ) \bigg ] + \frac { 1 } { 2 7 } \big [ s ^ { 3 } R e ^ { 3 } ( P r + 1 ) ^ { 3 } \big ]
q _ { R } ( \vec { r } \, , t ) = e ^ { - i \omega t } M _ { W } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \bigl [ G _ { R } ( r ) + i \vec { \sigma } \cdot \hat { r } F _ { R } ( r ) \bigr ] \chi _ { \mathrm { h } } \ ,
b ^ { \frac { u } { v } } = \left( b ^ { u } \right) ^ { \frac { 1 } { v } } = { \sqrt [ [object Object] ] { b ^ { u } } } = \left( b ^ { \frac { 1 } { v } } \right) ^ { u } = \left( { \sqrt [ [object Object] ] { b } } \right) ^ { u } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { q _ { j } } } \frac { ( u _ { j } ^ { \top } u _ { j } ) ^ { \frac { p } { 2 } } } { ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 } } d u _ { j } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { p + q _ { j } - 1 } [ { \mathrm { I } } ( q _ { j } \ge 3 ) \prod _ { i = 1 } ^ { q _ { j } - 2 } ( \sin \theta _ { i } ) ^ { q _ { j } - 1 - i } + { \mathrm { I } } ( q _ { j } = 2 ) ] } { ( b _ { j } + r ^ { 2 } / 2 ) ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 } } \, d r \, d \theta _ { 1 } \, d \theta _ { 2 } \cdots d \theta _ { q _ { j } - 1 } } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { p + q _ { j } - 1 } } { ( b _ { j } + r ^ { 2 } / 2 ) ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 } } \, d r \, d \theta _ { 1 } \, d \theta _ { 2 } \cdots d \theta _ { q _ { j } - 1 } . } \end{array}
| T _ { \ensuremath { \mathrm { i f } } } ^ { S B } | ^ { 2 } = \underbrace { | I ( T ) | ^ { 2 } } _ { \textrm { i n t r a c y c l e } } ~ \underbrace { \left[ \frac { \sin { ( a T N / 2 ) } } { \sin { ( a T / 2 ) } } \right] ^ { 2 } } _ { \textrm { i n t e r c y c l e } } .
H ^ { 2 } ( a ) = 3 H _ { 0 } ^ { 2 } \Omega _ { \mathrm { N R } } \frac { ( 1 + \delta ) ^ { 8 / 3 } } { a ^ { 6 } \delta ^ { ' 2 } } \int d a \frac { a \delta ^ { \prime } \delta } { ( 1 + \delta ) ^ { 5 / 3 } }
G ( p ) = \frac { 1 } { 2 ( \bar { p } ^ { - } - p ^ { + } ) p ^ { + } - \omega _ { p } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \sqrt { 2 } i \pi n T p ^ { + } - ( \omega _ { p } ^ { 2 } + 2 ( p ^ { + } ) ^ { 2 } ) }
\omega ^ { - 1 } ( \eta ( t ) ) \tilde { W } [ \eta | t ] \omega ( \eta ( t ) ) = - 8 \pi \dot { \eta } ^ { \mu } ( t ) \int \delta \xi d s \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } W ^ { \rho \sigma } [ \xi | s ] \dot { \xi } ^ { \nu } ( s ) \delta ( \xi ( s ) - \eta ( t ) ) ,
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 4 \, 2 } ^ { - 4 } ( i ) = } & { { } - \frac { 2 1 } { 6 4 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } ( \cos i ) ^ { 2 } + \frac { 2 1 } { 3 2 } \sqrt { 5 } ( \sin i ) ^ { 2 } \cos i } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } \left( q _ { \phi } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) \| p ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) \right) } & { = \int _ { z } q _ { \phi } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) \log \frac { q _ { \phi } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) } { p ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) } d \mathbf { z } } \\ & { = \int _ { \mathbf { z } } q _ { \phi } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) \log \frac { p ( \mathbf { x } , \mathbf { z } ) } { q _ { \phi } ( \mathbf { z } | x ) } d \mathbf { z } + \log p ( \mathbf { x } ) } \end{array}
R ^ { \mu } { } _ { \nu , \lambda \rho } = \partial _ { \lambda } \Gamma ^ { \mu } { } _ { \nu , \rho } - \partial _ { \rho } \Gamma ^ { \mu } { } _ { \nu , \lambda } + \Gamma ^ { \mu } { } _ { \sigma , \lambda } \Gamma ^ { \sigma } { } _ { \nu , \rho } - \Gamma ^ { \mu } { } _ { \sigma , \rho } \Gamma ^ { \sigma } { } _ { \nu , \lambda } ,
A ( x ) \simeq { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 - { \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ^ { 2 } } } \right) \left[ 2 + { \frac { m _ { \tau } ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } } \right] ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u ^ { \nu } + u ^ { \nu } \cdot \nabla _ { x } u ^ { \nu } + \nabla _ { x } p ^ { \nu } = \nu \Delta u ^ { \nu } + f ^ { \nu } \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \mathbb { R } ^ { 3 } , } \\ { \nabla _ { x } \cdot u ^ { \nu } = 0 , } \\ { u ^ { \nu } ( 0 , \cdot ) = u _ { 0 } ^ { \nu } , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { S } _ { 1 } ^ { W } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + { \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \sharp } } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \leq C \left( \mathcal { S } _ { t r a p } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \mathcal { N } [ W \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } , H ] + \mathcal { N } _ { \sharp } [ H , H ] \right) .
+ { \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } } ( \partial _ { \mu } h _ { \nu 0 } + \partial _ { \nu } h _ { \mu 0 } - \partial _ { 0 } h _ { \mu \nu } ) ( \partial ^ { \mu } h ^ { \nu 0 } + \partial ^ { \nu } h ^ { \mu 0 } - \partial ^ { 0 } h ^ { \mu \nu } ) \Bigr ]
\begin{array} { r l r } { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } & { = } & { \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) + \beta _ { j } ^ { * } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ^ { * } ( t ) , } \\ { \pi _ { 1 , i j } ^ { * } ( t ) } & { = } & { \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ^ { * } ( t ) , } \\ { \pi _ { 2 , i j } ^ { * } ( t ) } & { = } & { \beta _ { j } ^ { * } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ^ { * } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \mathbf { b } _ { 0 } } } \quad } & { \Bigl | \mathbf { b } _ { 0 } ^ { H } \boldsymbol { \chi } _ { \hat { k } } \Bigl | } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { | b _ { n } | = 1 , \: \forall n = 1 , 2 , \ldots , N , } \\ { \quad } & { \arg ( \mathbf { b } _ { 0 } ^ { H } \boldsymbol { \chi } _ { \hat { k } } ) = \varphi _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } r ^ { k } ( t ) \, d t } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } r ^ { k } ( n T / N ) = \langle r ^ { k } \rangle _ { N } \; . } \end{array}
h _ { 0 } = \frac { l _ { p } ^ { \prime 9 } } { R _ { 6 } ^ { \prime } R _ { 7 } ^ { \prime } R _ { 8 } ^ { \prime } R _ { 9 } ^ { \prime } R _ { 1 1 } ^ { \prime } } \left( \frac { Q _ { 0 } } { R _ { 1 1 } ^ { \prime } } \right) \frac { 1 } { r ^ { 3 } } = \frac { Q _ { 0 } l _ { p } ^ { 3 } } { r ^ { 3 } }
\frac { 1 } { - \frac { \partial \lambda _ { n } ( E _ { n } ) } { \partial E _ { n } } } \int \phi _ { n } ^ { \star } ( E _ { n } ; \xi , \eta , \varphi ) \phi _ { n } ( E _ { n } ; \xi , \eta , \varphi ) ( \xi + \eta ) d V _ { 0 } = 1
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \tilde { X } _ { \infty } } A } & { = X \lrcorner F _ { A _ { \infty } } + X \lrcorner \left( d _ { A } a + \left[ a \wedge a \right] \right) + d _ { A } \left( \tilde { X } _ { \infty } \lrcorner A \right) } \\ & { = d _ { A } \left( X \lrcorner a \right) + \left[ a , \left( X _ { \infty } \lrcorner A _ { \infty } \right) \right] + X \lrcorner \left( d _ { A } a + \left[ a \wedge a \right] \right) + d _ { A } \left( \tilde { X } _ { \infty } - X _ { \infty } \right) } \end{array}
F = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \log \int D ^ { N ^ { 2 } } \phi _ { + } D ^ { N ^ { 2 } } \phi _ { - } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \phi _ { a } K _ { a b } \phi _ { b } + V ( \phi _ { a } , \phi _ { b } ) \right)
P _ { \mathrm { B r e m } } = 5 . 3 4 \times 1 0 ^ { 3 } \, Z _ { \mathrm { e f f } } \left( \frac { n _ { e } } { 1 0 ^ { 2 0 } \mathrm { m } ^ { - 3 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { T _ { e } } { 1 \mathrm { k e V } } \right) ^ { 1 / 2 } \, \mathrm { W } / \mathrm { m } ^ { 3 } ,
Q _ { t o t a l } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { { 1 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 6 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { c _ { s } ^ { \mathrm { e + } } } & { { } = \frac { u _ { x } + \varsigma \, \sqrt { 2 \, \sqrt { { \left( \frac { u _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - 1 } } { \sqrt { { \left( \frac { u _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } } , } \\ { c _ { s } ^ { \mathrm { e - } } } & { { } = \frac { u _ { x } - \varsigma \, \sqrt { 2 \, \sqrt { { \left( \frac { u _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - 1 } } { \sqrt { { \left( \frac { u _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { v } _ { 1 } ^ { + } - \mathbf { v } _ { 1 } ^ { -- } \mathbf { u } _ { 0 } d _ { 1 } - \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { W } ^ { 0 } | _ { \rho = + \infty } } { d _ { \Gamma } } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \mathbf { v } _ { 1 } ^ { + } - \mathbf { v } _ { 1 } ^ { -- } \mathbf { u } _ { 0 } d _ { 1 } - \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { W } ^ { 0 } | _ { \rho = + \infty } \big ) } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { = \sum _ { \textsc { p } \textsc { q } } D _ { \textsc { p } \textsc { q } } ^ { X } \, \phi _ { \textsc { p } } ^ { * } ( { \mathbf { \mathbf { x } } } _ { 1 } ) \phi _ { \textsc { q } } ( { \mathbf { \mathbf { x } } } _ { 1 } ^ { \prime } ) , } \\ { \Gamma _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { = \sum _ { \textsc { p } \textsc { q r s } } d _ { \textsc { p } \textsc { q r s } } ^ { X } \, \phi _ { \textsc { p } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) \phi _ { \textsc { q } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) \phi _ { \textsc { r } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) \phi _ { \textsc { s } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \Big ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } \chi _ { \epsilon } ( \rho ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) \chi _ { \epsilon } ( \rho ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } \Big ) } \\ & { \quad = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } \Big ( [ \chi _ { \epsilon } ( \rho ) , \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ] + \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) \chi _ { \epsilon } ( \rho ) - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) \chi _ { \epsilon } ( \rho ) \Big ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad = \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \bigg ( \Big ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) \Big ) \chi _ { \epsilon } ( \rho ) \bigg ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad \quad + \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \Big ( [ \chi _ { \epsilon } ( \rho ) , \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ] \Big ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } : = \MakeUppercase { \romannumeral 1 } + \MakeUppercase { \romannumeral 2 } . } \end{array}
\pi _ { \lambda } \, = \, 0 \, , \qquad | \phi | ^ { 2 } \lambda \, + \, { \frac { 1 } { 2 } } \pi _ { a } \pi _ { a } \, + \, \partial _ { x } \phi ^ { a } \partial _ { x } \phi ^ { a } \, = \, 0 \, ,
c _ { 2 } ^ { - } = { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } V _ { u s } ^ { \star } V _ { u d } \mathrm { I m } \, C _ { 6 } \, \biggl ( 1 6 B _ { 0 } ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } L _ { 5 } \biggr ) \; .
\Bigl ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } \Bigr ) \omega = \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } \Bigl ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) - \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) \Bigr ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( 0 ) ^ { - 1 } \omega .
\sigma ^ { ( i ) } = \sigma _ { 1 } \, v _ { i } \, D _ { w } ^ { ( i ) } = \sigma _ { 1 } \, v _ { i } \, D _ { 0 } \left( \frac { \xi ^ { ( i ) } } { \xi _ { 0 } } \right) ^ { 2 - d _ { w } }
7 . \mu _ { 3 , 1 } ( p _ { 2 } ) = \Sigma _ { p _ { 1 } } \alpha _ { 3 } ( p _ { 2 } , p _ { 1 } ) . \mu _ { 6 , 3 } ( p _ { 1 } ) . \mu _ { 7 , 3 } ( p _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \Delta F _ { \mathrm { R P } } ^ { \ddagger } } & { { } = - k _ { \mathrm { B } } T \ln \left[ \frac { Z \ \rho ( z _ { \mathrm { T S } } ) \ \left< \lambda _ { \xi } \right> _ { z _ { \mathrm { T S } } } } { \Lambda \ q _ { \mathrm { R } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ^ { \left( e x t \right) \mu } } & { \sim } & { O \left( \varepsilon ^ { k } \right) , k \geq 0 , } \\ { A ^ { \left( p l \right) \mu } } & { \sim } & { O \left( \frac { 1 } { \varepsilon } \right) , } \\ { A ^ { \left( R R \right) \mu } } & { \sim } & { O \left( \varepsilon ^ { k _ { s } } \right) , k _ { s } > k , } \end{array}
( A ^ { a b c } \theta _ { a } \eta _ { b } \psi _ { c } ) ^ { 4 } = \operatorname* { d e t } ( A ) ( \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } ( \eta _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \eta _ { 2 } ) ^ { 2 } ( \psi _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \psi _ { 2 } ) ^ { 2 } .
A ( r _ { o } ) = { \frac { 1 } { r _ { o } } } + { \frac { a + 2 r _ { o } } { a ^ { 2 } e ^ { - 2 r _ { o } / a } } } - { \frac { a + 2 r _ { o } + 2 r _ { o } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } e ^ { - 2 r _ { o } / a } } }
\begin{array} { r l } { x } & { = \sqrt { \frac { 2 \ell ^ { 2 } K } { ( f ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( \theta ) } } \, \cos ( f ^ { - 1 } ( \theta ) ) \equiv F ( K , \theta ) , } \\ { y } & { = \sqrt { \frac { 2 \ell ^ { 2 } K } { ( f ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( \theta ) } } \, \sin ( f ^ { - 1 } ( \theta ) ) \equiv G ( K , \theta ) , } \end{array}
\hat { D } ( \vec { \Delta } _ { 1 } , \vec { \Delta } _ { 2 } ) = \hat { D } _ { 2 + 1 } ( \vec { \Delta } _ { 1 } , \vec { \Delta } _ { 2 } ) + \hat { D } _ { 1 + 2 } ( \vec { \Delta } _ { 1 } , \vec { \Delta } _ { 2 } ) \; .
\begin{array} { r l r } { [ \mathrm { ~ B ~ } _ { \mathrm { ~ i ~ } } \mathrm { ~ O ~ } _ { \mathrm { ~ i ~ } } ] } & { { } = } & { { \frac { 2 \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } V } { q _ { 0 } } } \left( { \frac { 1 } { w ^ { 2 } ( T _ { s } ) } } - { \frac { 1 } { w ^ { 2 } ( T _ { e } ) } } \right) } \end{array}
\beta _ { i j } ^ { \mathrm { e f f } } = \beta _ { i j } ^ { \mathrm { S } } + \beta _ { i j } ^ { \mathrm { N S } } , ~ ~ ~ ~ \beta _ { i j } ^ { \mathrm { N S } } = \frac { \sum _ { F } \beta _ { i j } ^ { F } + \frac { \beta _ { i j } ^ { \mathrm { S } } } { 2 \pi \alpha _ { i j } ^ { - 1 } ( \mu ) } \sum _ { F } \beta _ { i j } ^ { F } \ln \frac { M _ { F } } { \mu } } { 1 + \frac { 1 } { 2 \pi \alpha _ { i j } ^ { - 1 } ( \mu ) } \sum _ { F } \beta _ { i j } ^ { F } \ln \frac { M _ { F } } { \mu } }
\begin{array} { r l } { \rho \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + u _ { i } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } \right) } & { { } = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { x _ { j } } \left[ \mu \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) \right] + \sigma \kappa \delta _ { s } n _ { i } \, , } \\ { \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial p _ { e } ( \textbf { r } , t ) } { \partial t } = } & { { } - } & { \nabla \cdot ( p _ { e } \textbf { u } _ { e } ) + q _ { e } n _ { e } \textbf { u } _ { e } \textbf { E } } \end{array}
\int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { 1 } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } - f _ { 2 } + 2 f _ { \mathrm { c } } ^ { h } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ^ { \ast } ( 2 f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - f _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { p _ { c } = \mu u _ { c } L ^ { - 1 } , \, \eta _ { c } } & { { } = A ^ { - \frac { 1 } { n } } \left( \frac { u _ { c } } { L \tau } \right) ^ { \frac { 1 - n } { n } } , \, \mathcal { H } _ { c } = \mu \left( \frac { u _ { c } } { L } \right) ^ { 2 } , \, \mu _ { c } = \mu , \, f _ { c } = \rho _ { c } g , \, p _ { w c } = \rho _ { c } g L . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f : ( 0 , 1 ) \times ( 0 , \infty ) \times ( 0 , \infty ) } & { \to ( 0 , \infty ) ^ { 3 } } \\ { \theta } & { \mapsto \left( \Gamma ( 1 - \alpha ) \frac { \delta } { \lambda ^ { 1 - \alpha } } , \Gamma ( 2 - \alpha ) \frac { \delta } { \lambda ^ { 2 - \alpha } } , \Gamma ( 3 - \alpha ) \frac { \delta } { \lambda ^ { 3 - \alpha } } \right) . } \end{array}
t ( x , X ) = \operatorname* { s u p } { \big \{ } \operatorname* { m i n } \{ | Z | : Z \subseteq Y \ \wedge \ x \in \mathrm { { c l } } _ { X } ( Z ) \} : Y \subseteq X \ \wedge \ x \in \mathrm { { c l } } _ { X } ( Y ) { \big \} } .
{ \cal Q } _ { A B C } = Q _ { A B ; C } + Q _ { C B ; A } - \frac 2 3 \left( \eta _ { A C } Q ^ { \nu } { _ { B ; \nu } } + \eta _ { B ( A } Q _ { C ) } { ^ \nu } { _ { ; \nu } } \right) = { Q } _ { A B | | C } + { Q } _ { C B | | A } +
p = { \frac { R T } { V _ { \mathrm { m } } } } \left[ 1 + { \frac { 9 { \frac { p } { p _ { \mathrm { c } } } } } { 1 2 8 { \frac { T } { T _ { \mathrm { c } } } } } } \left( 1 - { \frac { 6 } { \frac { T ^ { 2 } } { T _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { - R \dot { Q } _ { 2 } } & { = \frac { Q _ { 1 } } { C } + \frac { R ^ { 2 } } { L } \left( Q _ { 1 } + Q _ { 2 } \right) + R \left( \dot { Q } _ { 1 } + \dot { Q } _ { 2 } \right) \, , } \\ { R \dot { Q } _ { 1 } } & { = \frac { R ^ { 2 } } { L } \left( Q _ { 1 } + Q _ { 2 } \right) + R \left( \dot { Q } _ { 1 } + \dot { Q } _ { 2 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( { \bf k } + i \mathbfit { q } , \omega ) = } \\ { \left( \frac { m } { 2 \pi k ^ { 2 } k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { e f f } } } \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left[ - \frac { m } { 2 k ^ { 2 } k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { e f f } } } \left( \omega - \frac { \hbar k ^ { 2 } } { 2 m } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t + 1 } - x _ { t } \right\Vert ^ { 2 } \right] \leq \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q C } { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) - f _ { i } ^ { * } \right] } \\ & { \quad + \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } D + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q } { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( Q ( m \overline { L } ) ) \dim _ { K } Q ( m L ) } & { \leq } \\ { \widehat { \mathrm { d e g } } ( Q ( m \overline { L } ) ) \leq - m } & { \widehat { \mathrm { d e g } } _ { \xi _ { \psi - \phi } } ( s ) ( \dim _ { K } ( Q ( m L ) ) ) + \widehat { \mathrm { d e g } } ( Q ( m \overline { A } ) ) } \\ & { - \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( Q ( m \overline { A } ) ) \left( \dim _ { K } ( Q ( m A ) ) - \dim _ { K } ( Q ( m L ) ) \right) } \end{array}
[ u _ { 1 } , \ u _ { 2 } , \ 1 ] = \left[ { \frac { x _ { 1 } } { x _ { 0 } } } , \ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 0 } } } , \ { \frac { x _ { 0 } } { x _ { 0 } } } \right]
( { \bf D } \bar { \bf u } : { \bf D } { \bf v } ) _ { | ( x , y , z ) } = ( { \bf D } { \bf u } : { \bf D } \bar { \bf v } ) _ { | ( x , y , - z ) } \, , \qquad [ ( \mathrm { d i v } \, \bar { \bf u } ) ( \mathrm { d i v } \, { \bf v } ] _ { | ( x , y , z ) } = [ ( \mathrm { d i v } \, { \bf u } ) ( \mathrm { d i v } \, \bar { \bf v } ] _ { | ( x , y , - z ) } \, .
\tilde { F } _ { \mathrm { I \! P } } ^ { ( c ) } ( \beta , Q ^ { 2 } , m _ { c } ^ { 2 } ) \simeq \int _ { \beta } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \, C _ { g } \left( \frac { m _ { c } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } , z \right) \, g _ { \mathrm { I \! P } } \left( \frac { \beta } { z } , Q ^ { 2 } \right) .
\sigma ( \underbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } _ { = : H _ { \alpha _ { 1 } } } ) = \underbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } _ { = : H _ { \alpha _ { 3 } } } )
w _ { \mathrm { ~ a ~ u ~ x ~ } } = { f _ { \mathrm { ~ c ~ } } } ( \operatorname { S m o o t h M a x W e i g h t e d } ( \{ w _ { j j ^ { \prime } } , w _ { j j ^ { \prime } } \} _ { j j ^ { \prime } } | \beta _ { \omega } ) | t _ { \mathrm { ~ a ~ u ~ x ~ } } , \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ u ~ x ~ } } ) \mathrm { ~ . ~ }
E ( { \bf x } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } q e ^ { i { \bf q . x } } \frac { 1 } { | { \bf q } | ^ { 4 } } = E ( o ) - \frac { | { \bf x } | } { 4 \pi } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { D _ { \bar { x } } ^ { j + 1 } ( { \bar { x } } ^ { j - 1 } [ F _ { 1 } ] ) = \left( \begin{array} { c } { j + 1 } \\ { 2 } \end{array} \right) ( { \bar { x } } ^ { j - 1 } ) ^ { ( j - 1 ) } [ F _ { 1 } ] ^ { ( 2 ) } + R _ { j } ( { \bar { x } } ) = } \\ & { } & { \frac { ( j + 1 ) ! } { 2 } [ F _ { 1 } ] ^ { ( 2 ) } + R _ { j } ( { \bar { x } } ) = \frac { ( j + 1 ) ! } { 2 } \, \delta ( { \bar { x } } ) + R _ { j } ( { \bar { x } } ) , } \end{array}
\left. \Phi _ { x } ^ { \mathrm { p h y s } } \right\vert _ { z = \zeta ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) } = \frac { \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } + \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } , \quad \left. \Phi _ { y } ^ { \mathrm { p h y s } } \right\vert _ { z = \zeta ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) } = \frac { \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } - \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } , \quad J ^ { \mathrm { s } } = ( \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } + ( \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { m _ { s } n _ { s } \left[ \frac { \partial \vec { v } _ { s } } { \partial t } + \left( \vec { v } _ { s } \cdot \vec { \nabla } \right) \vec { v } _ { s } \right] \times \vec { B } } & { { } = } & { } \\ { q _ { s } n _ { s } \left( \vec { E } + \vec { v } _ { s } \times \vec { B } \right) \times \vec { B } } & { { } - } & { \vec { \nabla } p _ { s } \times \vec { B } . } \end{array}