harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial v _ { x } } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial v _ { x } } { \partial x } + v _ { z } \frac { \partial v _ { x } } { \partial z } + \frac { \partial P } { \partial x } - \nu \nabla ^ { 2 } v _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial v _ { z } } { \partial t } + v _ { x } \frac { \partial v _ { z } } { \partial x } + v _ { z } \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } + \frac { \partial P } { \partial z } - g \alpha T - \nu \nabla ^ { 2 } v _ { z } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol \Phi = \left( \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } \right) _ { \boldsymbol k , j } = \boldsymbol A ^ { T } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad v _ { \boldsymbol k } = \int _ { \mathbb T ^ { d } } 1 \cdot \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x } \, \mathrm d \boldsymbol x = \delta _ { \boldsymbol 0 , \boldsymbol k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { k } ^ { i } } & { = \alpha _ { k + 1 } ^ { i } ( \mathsf { A } _ { k } ) ^ { 2 } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } r _ { k } ^ { i j } ( \eta _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } + q _ { k } ^ { i } , } \\ { \bar { \alpha } _ { k } ^ { i } } & { = \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } ( \bar { \mathsf { A } } _ { k } ) ^ { 2 } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) ( \delta _ { k } ^ { j } ) ^ { 2 } + ( q _ { k } ^ { i } + \bar { q } _ { k } ^ { i } ) , } \\ { \beta _ { k } ^ { i } } & { = \bar { \mathsf { A } } _ { k } \beta _ { k + 1 } ^ { i } + \sum _ { j \in - i } \big ( ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) \delta _ { k } ^ { j } + \bar { \mathsf { A } } _ { k } \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \big ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } } \\ & { ~ ~ - \big ( \bar { m } _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \delta _ { k } ^ { j } \big ) ^ { \prime } \mu _ { k } ^ { i \star } + \bar { \mathsf { A } } _ { k } \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } c _ { k } , } \end{array}
a ^ { q } \big ( \mathbf { J } _ { h } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } \big ) = a \big ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } \big )
\begin{array} { r l } { { \mathcal { F } } ^ { - 1 } \{ S ( f ) \} } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } S [ n ] \cdot \delta \left( f - { \frac { n } { P } } \right) \right) e ^ { i 2 \pi f x } \, d f , } \end{array}
\hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { 0 } = \int d ^ { 3 } r \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { 2 m _ { a } } [ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) + \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } ] = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a }
E _ { \epsilon } [ \eta ] \, = \, \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \, \eta _ { 1 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \, \eta _ { 2 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X - \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } \bigr ) \bigl ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } \bigr ) \, \mathrm { d } X \, ,
x _ { f _ { p - k } } ^ { \epsilon } = \left\{ \begin{array} { c c } { 1 - \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { k / 2 } b _ { v _ { p - k + 2 \ell - 1 } } ( \epsilon ) - \sum _ { \ell = 0 } ^ { k / 2 } b _ { v _ { p - k + 2 \ell } } ( \epsilon ) \right) , } & { \textrm { i f k i s e v e n } } \\ { \sum _ { \ell = 1 } ^ { ( k + 1 ) / 2 } b _ { v _ { p - k + 2 \ell - 1 } } ( \epsilon ) - \sum _ { \ell = 0 } ^ { ( k - 1 ) / 2 } b _ { v _ { p - k + 2 \ell } } ( \epsilon ) , } & { \textrm { i f k i s o d d } } \end{array} . \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { 3 } \beta \beta _ { 1 } } = m _ { \beta \beta _ { 1 } \alpha { \pmb \alpha } _ { 3 } } = } \\ & { - } & { R _ { p } ^ { 3 } \int _ { r = R _ { p } } \left[ \frac { ( 4 + 1 5 \hat { \lambda } ) \, \delta _ { \gamma \beta } n _ { \beta _ { 1 } } ( { \pmb x } ) + \, \delta _ { \gamma \beta _ { 1 } } n _ { \beta } ( { \pmb x } ) + 4 0 \hat { \lambda } ( 1 + 3 \hat { \lambda } ) \, n _ { \gamma \beta \beta _ { 1 } } ( { \pmb x } ) } { 8 \pi ( 1 + 5 \hat { \lambda } ) ( 1 + 3 \hat { \lambda } ) } \right] \times } \\ & { } & { \bigg [ \delta _ { \alpha \gamma } n _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } ( { \pmb x } ) - \hat { \lambda } ( 3 t _ { \alpha \gamma } ( { \pmb x } ) n _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } ( { \pmb x } ) + t _ { \alpha _ { 1 } \gamma } ( { \pmb x } ) n _ { \alpha \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } ( { \pmb x } ) + t _ { \alpha _ { 2 } \gamma } ( { \pmb x } ) n _ { \alpha _ { 1 } \alpha \alpha _ { 3 } } ( { \pmb x } ) + t _ { \alpha _ { 3 } \gamma } ( { \pmb x } ) n _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha } ( { \pmb x } ) ) \bigg ] d S ( { \pmb x } ) } \\ & { = } & { - \frac { R _ { p } ^ { 5 } } { 3 0 ( 1 + 5 \hat { \lambda } ) ( 1 + 3 \hat { \lambda } ) } \bigg [ \left( 4 + 1 2 \hat { \lambda } - 1 5 \hat { \lambda } ^ { 2 } \right) \delta _ { \alpha \beta } \eta _ { \beta _ { 1 } { \pmb \alpha } _ { 3 } } + \left( 1 + 3 \hat { \lambda } + 1 5 \hat { \lambda } ^ { 2 } \right) \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } \eta _ { \beta { \pmb \alpha } _ { 3 } } } \\ & { } & { + 5 \hat { \lambda } ( 1 + 3 \hat { \lambda } ) ( \delta _ { \alpha \alpha _ { 1 } } \eta _ { \beta \beta _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } + \delta _ { \alpha \alpha _ { 2 } } \eta _ { \beta \beta _ { 1 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } } + \delta _ { \alpha \alpha _ { 3 } } \eta _ { \beta \beta _ { 1 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big [ n _ { i } ( n _ { i } - 1 ) ( n _ { i } - 2 ) \dots ( n _ { i } - k + 1 ) \Big ] = \frac { z _ { i } ^ { ( k ) } } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } = k ! f _ { i } ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { Q } _ { \mathrm { ~ F ~ M ~ } } } & { { } = } & { \alpha _ { \mathrm { ~ T ~ } } \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } \frac { p \bar { c } _ { \mathrm { ~ g ~ } } } { 2 } \bigg ( \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \bigg ) \bigg ( \frac { T _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { T _ { \mathrm { ~ g ~ } } } - 1 \bigg ) } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { ~ F ~ M ~ } } } & { { } = } & { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } ( C _ { \mathrm { ~ g ~ } } \bar { c } _ { \mathrm { ~ g ~ } } - C _ { \mathrm { ~ p ~ } } \bar { c } _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) } \end{array}
\pi _ { \mathrm { d i s } } ^ { * } : \mathrm { S h } _ { \mathrm { G } ^ { S } \times K _ { \mathrm { G } , S } } ( \overline { { \mathfrak { X } } } _ { \mathrm { G } } ) \to \mathrm { S h } _ { ( \mathrm { G } ^ { S } \times K _ { \mathrm { G } , S } ) ^ { \mathrm { d i s } } } ( \overline { { \mathfrak { X } } } _ { \mathrm { G } } ^ { \mathrm { d i s } } ) .
\begin{array} { r l r } { U _ { j k } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \kappa \, \alpha } \sum _ { s = | m | } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } ( k , j ) } \sum _ { t = 0 } ^ { j + k - 2 s } ( - 1 ) ^ { j + k + t } { \binom { j + k - 2 s } { t } } } \end{array}
\mathbf { y } _ { n + 1 } = \mathbf { y } _ { n } + \mathbf { L } ( \mathbf { P } _ { p , q } ( 2 ^ { - k _ { n } } \mathbf { M } _ { n } h _ { n } ) ) ^ { 2 ^ { k _ { n } } } \mathbf { r } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \mathbf { g } _ { i } ( t _ { n } ) \Delta \mathbf { w } _ { n } ^ { i } \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , { \widetilde { \mathbf { y } } } _ { n } ) \mathbf { g } _ { i } ( t _ { n } ) \Delta \mathbf { z } _ { n } ^ { i } + { \frac { d \mathbf { g } _ { i } ( t _ { n } ) } { d t } } ( \Delta \mathbf { w } _ { n } ^ { i } h _ { n } - \Delta \mathbf { z } _ { n } ^ { i } ) \right) , \qquad \qquad ( 7 . 3 )
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { L } } _ { x } } & { { } = N _ { x } ^ { \left( c \right) } \hat { \ell } , } \\ { \hat { \mathcal { L } } _ { y } } & { { } = N _ { y } ^ { \left( c \right) } \hat { \ell } a . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( t ) - S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( 0 ) } & { { } = k _ { \mathrm { ~ B ~ } } D _ { K L } \left( P _ { N } \left| P _ { N } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \right. \right) - k _ { \mathrm { ~ B ~ } } \hat { D } _ { K L } \left( f _ { 1 } \left| f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \right. \right) \geq 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tau > \; } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \; } & { \mathrm { f o r ~ a ~ f i n i t e ~ R e y n o l d ' s ~ n u m b e r ~ } } \\ { Q \; \in \; } & { [ 3 , 9 , 2 7 ] } & { \; } & { \mathrm { b y ~ c h o i c e ~ o f ~ l a t t i c e } } \\ { N + 1 = } & { 2 ^ { q c } \; \mathrm { f o r } \; q c \; \in \; \mathcal { N } ^ { + } } \\ { T > \; } & { 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { ( g * B ) ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { 1 } { \sqrt { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } \ e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } - Q ) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } ) } } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { Q _ { 0 } \sigma ^ { 2 } - Q \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - x \sigma ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } \sigma \sqrt { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ( \omega , x ) } & { { } = } & { C _ { v } \left( \frac { \gamma - 1 } { \sqrt { P r } } + 1 \right) } \\ { \alpha _ { f } ( \omega , x ) } & { { } = } & { C _ { v } \left( 2 - 2 \, f \, k \, x \left( \frac { \gamma - 1 } { \sqrt { P r } } + 1 \right) \right) } \\ { \alpha _ { g } ( \omega , x ) } & { { } = } & { C _ { v } \left( 1 + 2 \, g \, ( k \, x ) ^ { 2 } \left( \frac { \gamma - 1 } { \sqrt { P r } } + 1 \right) \right) } \\ { \textrm { w i t h } } & { { } } & { C _ { v } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 } \frac { \delta _ { v } } { r ( x ) } ( 1 - \mathrm { j } ) \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \chi } ( u ; s ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \tilde { \rho } ( q , u ; s ) d q } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \sum _ { m , n } \rho _ { m , n } ( s ) e ^ { - i m \left( p + \frac { u } { 2 } \right) } e ^ { i n \left( p - \frac { u } { 2 } \right) } d p } \\ & { = \sum _ { m , n } \delta _ { m , n } \rho _ { m , n } ( s ) e ^ { - i ( m + n ) \frac { u } { 2 } } } \\ & { = \sum _ { m } \rho _ { m , m } ( s ) e ^ { - i m u } . } \end{array}
I ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } ( \theta , \tau ) = | A _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } Y _ { 2 2 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } + A _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } Y _ { 2 0 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } + A _ { s } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } Y _ { 0 0 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { s } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } | ^ { 2 }
- \frac { \mathbf { \delta E } \times \mathbf { b } } { B } = \left( \frac { r \dot { S } } { 2 B } + \frac { 8 r ^ { 2 } } { 2 1 B } \sum _ { m } \dot { A } _ { m } e ^ { i m \varphi } \right) \hat { r } + \left( \frac { 1 } { 7 } \frac { r ^ { 2 } } { B } \sum _ { m } \frac { i \dot { A } _ { m } } { m } e ^ { i m \varphi } \right) \hat { \varphi }
\begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { 2 } F ( P ) } { d P ^ { 2 } } } } & { { } = { \frac { d F ^ { \prime } ( P ) } { d P } } = { \frac { F ^ { \prime } ( P _ { 1 } ) - F ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) } { d P } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { d T = \lambda g \sqrt { 1 + { y ^ { \prime } } ^ { 2 } } d x \frac { y ^ { \prime } } { \sqrt { 1 + { y ^ { \prime } } ^ { 2 } } } = \lambda g \frac { d y } { d x } d x = \lambda g d y \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( n ) } & { = \frac { \pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 0 ) } { L - ( n - 1 ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \frac { L - i } { L - i + 1 } } \\ & { = \frac { \pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 0 ) } { L - ( n - 1 ) } \frac { L - ( n - 1 ) } { L } } \\ & { = \frac { \pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( 0 ) } { L } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( q , T _ { m } ) } & { { } : = \operatorname* { l i m } _ { t \uparrow T _ { m } } \rho _ { i } ( q , t ) + \mathrm { Z } ( q ) \, , } \\ { \rho _ { i } ( q , T _ { m } , \omega ) \in L ^ { \infty } ( \mathrm { Q } ) \, , } & { { } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \rho _ { i } ( q , T _ { m } , \omega ) \geq 0 \, , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ . ~ e ~ . ~ } q \in \mathrm { Q } \, , \quad \mathbb { P } - \mathrm { ~ a ~ . ~ s ~ . ~ } \, . } \end{array}
W ^ { 2 } = - Q ^ { 2 } - Q ^ { ' 2 } + \frac { Q ^ { 2 } Q ^ { ' 2 } } { s } + x x ^ { \prime } s - 2 Q Q ^ { ' } \sqrt { ( 1 - x ) ( 1 - x ^ { \prime } ) } \cos \varphi ^ { \mathrm { l a b } }
T _ { \mu \nu } ( q , v ) = \int d ^ { 4 } x e ^ { i x { \cal Q } } T \left[ ( \bar { h } _ { v } ( x ) \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) q ( x ) ) ( \bar { q } ( 0 ) \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) h _ { v } ( 0 ) ) \right]
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { k } } { 1 + n { \alpha _ { n } } \lambda _ { k } } \psi _ { k } ^ { 2 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \psi _ { k } ^ { 2 } k ^ { - 1 - 2 \gamma } } { 1 + n { \alpha _ { n } } k ^ { - 1 - 2 \gamma } } \lesssim \| l \| _ { \mu } ^ { 2 } ( n \alpha _ { n } ) ^ { - \left( \frac { 1 + 2 \gamma + 2 \mu } { 1 + 2 \gamma } \wedge 1 \right) } \lesssim \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } \end{array}
G _ { \hat { \mu } \hat { \nu } } ^ { 1 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { - \frac { 2 } { 3 } \phi } G _ { \mu \nu } + e ^ { - \frac { 2 } { 3 } \phi } C _ { \mu } C _ { \nu } } } & { { e ^ { \frac { 1 } { 3 } \phi } C _ { \mu } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { e ^ { \frac { 1 } { 3 } \phi } C _ { \nu } } } & { { e ^ { \frac { 4 } { 3 } \phi } } } \end{array} \right) .
\Delta _ { B } = { \frac { 2 { \textrm { a r c t a n h } } { \sqrt { \left( 1 - \omega ^ { 2 } \right) \left( 1 - v _ { \mathrm { K } } ^ { 2 } \right) } } } { \sqrt { 1 - \omega ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { \Phi ( J , t ) } & { = e ^ { - \left( \Gamma _ { \mathrm { u d } } + \Gamma _ { \mathrm { d u } } \right) t / 2 } \Big \{ \cos \big [ t \sqrt { ( 2 i \gamma + 2 J / N ) ^ { 2 } - \Gamma _ { \mathrm { u d } } \Gamma _ { \mathrm { d u } } } \big ] } \\ & { + t \frac { \Gamma _ { \mathrm { u d } } + \Gamma _ { \mathrm { d u } } } { 2 } \mathrm { s i n c } [ t \sqrt { ( 2 i \gamma + 2 J / N ) ^ { 2 } - \Gamma _ { \mathrm { u d } } \Gamma _ { \mathrm { d u } } } ] \Big \} , } \\ { \Psi ( J , t ) } & { = e ^ { - \left( \Gamma _ { \mathrm { u d } } + \Gamma _ { \mathrm { d u } } \right) t / 2 } t \left[ i ( 2 i \gamma + 2 J / N ) - 2 \gamma \right] } \\ & { \times \mathrm { s i n c } \big [ t \sqrt { ( 2 i \gamma + 2 J / N ) ^ { 2 } - \Gamma _ { \mathrm { u d } } \Gamma _ { \mathrm { d u } } } \big ] } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { \varphi ( r _ { 1 1 } ) } & { \varphi ( r _ { 1 2 } ) } & { \cdots } & { \varphi ( r _ { 1 N } ) } \\ { \varphi ( r _ { 2 1 } ) } & { \varphi ( r _ { 2 2 } ) } & { \cdots } & { \varphi ( r _ { 2 N } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \varphi ( r _ { N 1 } ) } & { \varphi ( r _ { N 2 } ) } & { \cdots } & { \varphi ( r _ { N N } ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \omega _ { 1 } } \\ { \omega _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \omega _ { N } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { u _ { 1 , \mathrm { s o u r c e } } } \\ { u _ { 2 , \mathrm { s o u r c e } } } \\ { \vdots } \\ { u _ { N , \mathrm { s o u r c e } } } \end{array} \right] .
\phi _ { 2 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - | x | } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 \le | x | \le 1 \ , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \ . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { g _ { p } ( a U _ { p } + b V _ { p } , Y _ { p } ) } & { = a g _ { p } ( U _ { p } , Y _ { p } ) + b g _ { p } ( V _ { p } , Y _ { p } ) \, , \quad { \mathrm { a n d } } } \\ { g _ { p } ( Y _ { p } , a U _ { p } + b V _ { p } ) } & { = a g _ { p } ( Y _ { p } , U _ { p } ) + b g _ { p } ( Y _ { p } , V _ { p } ) \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l r l r l } { a _ { 0 } } & { = m + r + 1 , } & { a _ { 1 } } & { = m + t , } & { a _ { 2 } } & { = m - r , } & { a _ { 3 } } & { = m - t , } \\ { a _ { 4 } } & { = m + s , } & { a _ { 5 } } & { = m + u , } & { a _ { 6 } } & { = m - s , } & { a _ { 7 } } & { = m - u - 1 , } \\ { a _ { 8 } } & { = m - r , } & { a _ { 9 } } & { = m - t - 1 , } & { a _ { 1 0 } } & { = m + r , } & { a _ { 1 1 } } & { = m + t , } \\ { a _ { 1 2 } } & { = m - s - 1 , } & { a _ { 1 3 } } & { = m - u - 1 , } & { a _ { 1 4 } } & { = m + s - 1 , } & { a _ { 1 5 } } & { = m + u . } \end{array}
\widetilde { \alpha } _ { j } = - \frac { p _ { j } } { \mathsf { A } } \, d \psi _ { j } \, , \qquad d \, \widetilde { \alpha } _ { j } = - \frac { 1 } { \mathsf { A } } \, d p _ { j } \wedge \, d \psi _ { j } \, , \qquad j = 2 , \cdots , N \, .
S ( \omega ) \equiv \rho _ { 1 1 } \frac { \gamma _ { 1 } ( \delta ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 1 } } { 4 } \Lambda ) } { ( \delta ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } ) ^ { 2 } }
Q ^ { ( u ) } = U ^ { ( q ) } U ^ { ( q ) \dagger } \ , \ Q ^ { ( d ) } = D ^ { ( q ) } D ^ { ( q ) \dagger } \ , \L ^ { ( u ) } = U ^ { ( l ) } U ^ { ( l ) \dagger } \ , \ L ^ { ( d ) } = D ^ { ( l ) } D ^ { ( l ) \dagger } \ .
K _ { n } + i J _ { n } = \frac { 1 } { \mathrm { B } \rho } \left. \frac { \partial ^ { n - 1 } \left( B _ { y } + i B _ { x } \right) } { \partial ( x + i y ) ^ { n - 1 } } \right\rvert _ { x = 0 , y = 0 }
T _ { 5 } = \frac { \lambda ( z _ { 1 } ) z _ { 3 } ^ { n } } { z _ { 1 } - z _ { 3 } } \sum _ { k , \ell \in \mathbb { N } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } s _ { k , \ell } ^ { i , j } \theta _ { b _ { j } z _ { 2 } ^ { \ell } } ( - z _ { 3 } ^ { k } b _ { i } ^ { ( 2 ) } \gamma + \gamma b _ { i } ^ { ( 1 ) } z _ { 1 } ^ { k } ) \in ( A \otimes A \otimes A ) [ \! [ z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } ] \! ] .
\begin{array} { r } { E I \frac { \partial ^ { 4 } w ( x , t ) } { \partial x ^ { 4 } } + \rho A \frac { \partial ^ { 2 } w ( x , t ) } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { K } { a } ( w ( x , t ) - v ( x , t ) ) = 0 , } \\ { M \frac { \partial ^ { 2 } v ( x , t ) } { \partial t ^ { 2 } } - K ( w ( x , t ) - v ( x , t ) ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G ( z ) = } & { } & { 4 A R _ { g } \int _ { \zeta } ^ { \infty } \frac { \left[ g ( \eta ) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ~ g \left( \frac { \eta } { \sqrt { 2 } } \right) - \eta \right] \eta } { \sqrt { \eta ^ { 2 } - \zeta ^ { 2 } } } d \eta } \\ { = } & { } & { 2 A R _ { g } \left[ f \left( \zeta \right) - f \left( \frac { \zeta } { \sqrt { 2 } } \right) \right] ~ . } \end{array}
{ \frac { \delta L _ { 1 } } { \delta q } } = { \cal H } { \frac { \delta L _ { 0 } } { \delta q } } ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \frac { \delta L _ { 1 } } { \delta q _ { t } } } = { \cal H } { \frac { \delta L _ { 0 } } { \delta q _ { t } } } \nonumber
j _ { \mathbb { F } , R } ( A \otimes B ) = ( A \otimes B ) \underset { r , \alpha \otimes \beta } { \rtimes } \mathbb { F } \underset { r , \overline { { \rho } } } { \ltimes } R ^ { o p } \cong \big ( A \underset { r , \alpha } { \rtimes } \mathbb { G } \underset { r , \overline { { \tau } } } { \ltimes } T ^ { o p } \big ) \otimes \big ( B \underset { r , \beta } { \rtimes } \mathbb { H } \underset { r , \overline { { \sigma } } } { \ltimes } S ^ { o p } \big ) .
\sigma \equiv \sigma _ { f i r e } = \frac { 7 } { 4 } - \frac { 8 + 3 \chi _ { 1 } \sqrt { 9 \chi _ { 1 } ^ { 2 } - 1 6 / A _ { 1 } } } { 4 \chi _ { 1 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { ( 1 } & { - \lambda _ { s } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } ) \tau ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \delta \phi - 4 \lambda _ { d } ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \delta \phi } \\ & { + 2 \left( 1 - \frac { f \rho \tau } { 3 a \zeta } - ( \lambda _ { s } ^ { 2 } + \lambda _ { d } ^ { 2 } ) \nabla ^ { 2 } \right) \tau \partial _ { t } \delta \phi = 0 \; . } \end{array}
[ J _ { 1 } ^ { a b } , K _ { 1 } ^ { c d } ] + [ K _ { 1 } ^ { a b } , J _ { 1 } ^ { c d } ] = 2 \Bigl ( \delta ^ { b c } \, Q _ { 1 } ^ { a d } - \delta ^ { d a } \, Q _ { 1 } ^ { c b } \Bigr ) .
{ Q _ { L } \; \rightarrow \; \left( \sum _ { \nu } C _ { V } ^ { 2 } \right) { \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 9 6 \pi ^ { 4 } \alpha } } \; \sqrt { { \frac { \pi } { 2 } } } \; \left( { \frac { 3 } { 5 } } v _ { * } ^ { 2 } \right) ^ { - 3 / 2 } \; \omega _ { p } ^ { 1 5 / 2 } \; T ^ { 3 / 2 } \; e ^ { - \omega _ { p } / T } \; . }
G _ { \beta } ^ { B } ( \mathrm { \bf r } _ { 2 } , \mathrm { \bf r } _ { 1 } ) = { \frac { m \omega _ { c } } { \pi } } e ^ { - \beta \omega _ { c } } \exp \left[ - { \frac { m \omega _ { c } } { 2 } } \left\{ r _ { 2 1 } ^ { 2 } + 2 i \epsilon \hat { \mathrm { \bf k } } \cdot ( \mathrm { \bf r } _ { 2 } \times \mathrm { \bf r } _ { 1 } ) \right\} \right] ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) } & { { } = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \beta + \nu \right) } } \frac { 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } } { 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } } \end{array}
\operatorname { E S } _ { \alpha } ( X ) = 1 - { \frac { 1 } { \alpha ( \sigma + { \pi / 2 } ) } } \left( \tan { \frac { \pi \alpha } { 2 } } \exp { \frac { \pi \mu } { 2 \sigma } } \right) ^ { 2 \sigma / \pi } \tan { \frac { \pi \alpha } { 2 } } { _ { 2 } F _ { 1 } } \left( 1 , { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \sigma } { \pi } } ; { \frac { 3 } { 2 } } + { \frac { \sigma } { \pi } } ; - \tan \left( { \frac { \pi \alpha } { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \lambda _ { 5 } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 6 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 7 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) , \lambda _ { 8 } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { - 2 } { \sqrt { 3 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
f _ { 0 } ^ { 2 } = 4 \sqrt { 2 } G _ { \mu } m _ { Z } ^ { 2 } \frac { 1 - \Pi _ { W } ( 0 ) } { 1 - \Pi _ { Z } ( m _ { Z } ^ { 2 } ) } = 4 \sqrt { 2 } G _ { \mu } m _ { Z } ^ { 2 } \frac { 1 - \Pi _ { W } ( 0 ) } { 1 - \Pi _ { Z } ( 0 ) } \; \; ,
\begin{array} { r l } { p _ { \phi } ( \mathbf { r } , \phi ) : = \frac { P _ { 1 } ( \mathbf { r } , \phi ) } { p _ { \mathbf { r } } ( \mathbf { r } ) } , \qquad \bar { p } _ { \phi } ( \mathbf { r } , \phi ) } & { { } : = \frac { N } { M ( \mathbf { r } ) } \int P _ { 1 } ( \mathbf { r } + \tilde { \mathbf { r } } , \phi ) \theta ( R - | \tilde { \mathbf { r } } | ) d \tilde { \mathbf { r } } . } \end{array}