harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ( l ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \tilde { \rho } ^ { n } } } & { { } \geq H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 2 } / 3 } ( l ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \gamma _ { 3 } \triangleq \gamma _ { 1 } - \gamma ^ { * } \Lambda _ { 1 } ( \upsilon _ { 2 } ) > 0 , \gamma _ { 4 } \triangleq 1 - \gamma ^ { * } \Lambda _ { 2 } ( \upsilon _ { 2 } ) > 0 , } \\ & { } & { \gamma _ { 5 } \triangleq 1 - \frac { \epsilon _ { 1 } } { \mu _ { 3 } r _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } > 0 , \gamma _ { 6 } \triangleq 1 - \gamma ^ { * } \Lambda _ { 3 } ( \upsilon _ { 2 } , \tau _ { 2 } , r _ { 2 } ) > 0 , } \\ & { } & { \gamma _ { 7 } \triangleq 1 - \gamma ^ { * } \Lambda _ { 5 } ( \upsilon _ { 2 } , r _ { 2 } ) > 0 , } \end{array}
\dot { E } _ { \mathrm { h e a t } } ^ { p } = \alpha _ { \mathrm { h e a t } } \dot { E } ^ { p } \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \dot { E } _ { \mathrm { v i b } } ^ { p } = \alpha _ { \mathrm { v i b } } \dot { E } ^ { p } \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { \tilde { \varepsilon } _ { n } ^ { \mathrm { ( D i r a c ) } } } & { = } & { m _ { e } c ^ { 2 } - \frac { h c R _ { \infty } } { 1 + \mu _ { e p } } \, \bigg \{ \frac { Z ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } + \frac { Z ^ { 4 } \alpha ^ { 2 } } { n ^ { 3 } } \, \Big ( 1 - \frac { 3 } { 4 n } } \\ & { } & { + \frac { \mu _ { e p } } { ( 1 + \mu _ { e p } ) ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { 4 n } \Big ) \bigg \} . } \end{array}
C = \Re \left[ \frac { r _ { j } \pi } { i \beta ^ { - 1 } } w ( z ) \right] + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 \beta ^ { 2 } } \left( \sigma _ { 0 } ( 1 + 2 y ^ { 2 } ) + \sigma _ { 1 } y \right) \quad ,
{ \Omega } ( \vec { f } ( \vec { x } , t ) ) = - \frac { 1 } { \tau } \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( f _ { 1 } + f _ { 3 } - ( f _ { 1 } - f _ { 3 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } ) } \\ { ( f _ { 2 } + ( f _ { 1 } - f _ { 3 } ) ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } ) } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( f _ { 1 } + f _ { 3 } - ( f _ { 1 } - f _ { 3 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } ) } \end{array} \right)
\frac { A ^ { \alpha } ( x ) A ^ { \alpha } ( x ^ { \prime } ) } { 4 \pi ^ { 2 } a } \int d ^ { 2 } k _ { t } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega } \sin ( k _ { x } v ( x ) ) \sin ( k _ { x } v ( x ^ { \prime } ) ) \, e ^ { i [ k _ { y } ( y - y ^ { \prime } ) + k _ { z } ( z - z ^ { \prime } ) - \omega ( t - t ^ { \prime } ) ] }
{ \frac { d } { d t } } \mathbf { F } ( \mathbf { C } ( t ) + \mathbf { I } , t ) = \mathbf { F } _ { t } ( \mathbf { C } ( t ) + \mathbf { I } , t ) + \mathbf { v \cdot \nabla F } ( \mathbf { C } ( t ) + \mathbf { I } , t ) = \mathbf { F } _ { t } ( \mathbf { r } , t ) + \mathbf { v } \cdot \nabla \mathbf { F } ( \mathbf { r } , t ) ,
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \phi _ { n } \frac { d a _ { n } } { d t } = - \frac { \gamma h _ { 0 } ^ { 3 } \pi ^ { 4 } } { 3 \mu L _ { x } ^ { 4 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { 4 } a _ { n } \phi _ { n } + \sqrt { \frac { 2 k _ { B } T h _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \mu L _ { y } } } \frac { \partial \mathcal { N } } { \partial x } .
\begin{array} { r l } & { \left( c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \frac { A ^ { T } A y } { \| A y \| } \right) ^ { T } P _ { c } ( y - y ^ { \prime } ) } \\ { = } & { c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \frac { y ^ { T } \left( ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \right) ( I - \frac { c c ^ { T } } { \| c \| ^ { 2 } } ) ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y \| } } \\ { \geq } & { - \big \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \frac { y ^ { T } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ( I - \frac { c c ^ { T } } { \| c \| ^ { 2 } } ) ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y \| } \big \| } \\ { = } & { - \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \| \frac { \| y ^ { T } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ( I - \frac { c c ^ { T } } { \| c \| ^ { 2 } } ) ( y - y ^ { \prime } ) \| } { \| A y \| } } \\ { \geq } & { - \| c \| \| y - y ^ { \prime } \| } \end{array}
\eta = \left( \begin{array} { l l l l } { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } \\ { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in V } D _ { i i } \, x _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { = \sum _ { i \in V } D _ { i i } \cdot \frac { 1 } { D _ { i i } } \sum _ { j \in V } W _ { i j } \, x _ { j } ^ { ( 0 ) } \cdot \left( 1 + \sigma _ { \lambda ; i } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) \right) } \\ & { = \sum _ { j \in V } x _ { j } ^ { ( 0 ) } \sum _ { i \in V } W _ { j i } \cdot \left( 1 + \sigma _ { \lambda ; i } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) \right) = \sum _ { j \in V } D _ { j j } \, x _ { j } ^ { ( 0 ) } \cdot \left( 1 + \frac { 1 } { D _ { j j } } \sum _ { i \in V } W _ { j i } \, \sigma _ { \lambda ; i } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Vert x _ { k } - x \Vert } & { \leq } & { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \Vert x _ { k + 1 } - x _ { k } \Vert \leq \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \varphi ( f ( x _ { k } ) - \operatorname* { i n f } f ) - \varphi ( f ( x _ { k + 1 } ) - \operatorname* { i n f } f ) } \\ & { \leq } & { \varphi ( f ( x _ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } f ) - \varphi ( f ( x _ { K } ) - \operatorname* { i n f } f ) \leq \varphi ( f ( x ) - \operatorname* { i n f } f ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { K _ { a b } } & { = } & { \frac { 1 } { w _ { 0 } ( x ( g \cdot t ) ) ^ { 2 } } \sum _ { i , j } C _ { i j } ( x ( g \cdot t ) ) \frac { \partial x _ { i } ( g \cdot t ) } { \partial ( g \cdot t ) _ { a } } \frac { \partial x _ { j } ( g \cdot t ) } { \partial ( g \cdot t ) _ { b } } } \\ & { } & { = } & { \frac { 1 } { D ( g , t ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { 0 } ( x ( t ) ) ^ { 2 } } \sum _ { i , j , c , d } C _ { i j } ( x ( t ) ) \frac { \partial x _ { i } ( t ) } { \partial t _ { c } } \frac { \partial x _ { j } ( t ) } { \partial t _ { d } } \frac { \partial t _ { c } } { \partial ( g \cdot t ) _ { a } } \frac { \partial t _ { d } } { \partial ( g \cdot t ) _ { b } } } \\ & { } & { = } & { \frac { 1 } { D ( g , t ) ^ { 2 } } \sum _ { c , d } K _ { c d } \frac { \partial t _ { c } } { \partial \tilde { t } _ { a } } \frac { \partial t _ { d } } { \partial \tilde { t } _ { b } } , } \end{array}
\sqrt { - g } T ^ { \mu \nu } ( X ) = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d \sigma d \tau ( \dot { X } ^ { \mu } \dot { X } ^ { \nu } - X ^ { \mu } X ^ { \nu } ) \delta ^ { ( 3 ) } ( X - X ( \tau , \sigma ) ) .
\begin{array} { r l } { T ( x , y ) } & { { } = 1 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \frac { - a } { 2 } \leq x \leq \frac { a } { 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad 0 \leq y \leq - \sqrt { 3 } ( | x | - \frac { a } { 2 } ) } \end{array}
h _ { \mathrm { m i n } } = \frac { f _ { \mathrm { b u l k } } ( \phi _ { \mathrm { c } } , N ) - B \phi _ { s } ^ { 2 } - ( 3 / 2 ) D \phi _ { \mathrm { s } } ^ { 4 } } { ( N - 1 ) \phi _ { \mathrm { s } } ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { 4 n ^ { 2 } M ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { d ^ { 3 } \kappa _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } c _ { m , j } ^ { 2 } } & { = \frac { 4 n ^ { 2 } M ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { d ^ { 3 } \kappa _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( \lambda _ { m , j } \cdot n ^ { 2 } \left( C ^ { 2 } + C _ { 1 } \right) \frac { 2 \cdot 6 4 ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } \delta ^ { 3 } \kappa _ { n } ^ { 2 } d } \right) } \\ & { = \frac { 4 n ^ { 2 } M ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { d ^ { 3 } \kappa _ { n } ^ { 2 } } \cdot n ^ { 2 } \left( C ^ { 2 } + C _ { 1 } \right) \frac { 2 \cdot 6 4 ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } \delta ^ { 3 } \kappa _ { n } ^ { 2 } d } \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 1 5 } n ^ { 4 } M ^ { 2 } } { \kappa _ { n } ^ { 4 } d ^ { 4 } } \times \frac { C ^ { 2 } + C _ { 1 } } { \gamma ^ { 2 } \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Z _ { \mu i } = \frac { w _ { i } } { 2 } \left( E _ { i } ^ { \rho } \Phi _ { \mu i } + 4 E _ { i } ^ { \gamma } \left( \nabla \rho ( \mathbf { r } _ { i } ) \cdot \nabla \Phi _ { \mu i } \right) \right) , } \\ & { E _ { i } ^ { \rho / \gamma } = \left. \frac { \partial \varepsilon ( \rho ( \vec { r } ) , \gamma ( \vec { r } ) ) } { \partial \rho / \gamma } \right\vert _ { \vec { r } = \vec { r } _ { i } } } \\ & { \rho ( \ensuremath \mathbf { r } _ { i } ) = \sum _ { \mu } F _ { \mu i } \Phi _ { \mu i } , \qquad \nabla \rho ( \ensuremath \mathbf { r } _ { i } ) = 2 \sum _ { \mu } F _ { \mu i } \nabla \Phi _ { \mu i } , } \\ & { F _ { \mu i } = \sum _ { \nu } D _ { \mu \nu } \Phi _ { \nu i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) } & { = \frac { 1 } { M _ { \mathrm { r e a l } } } \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { \mathrm { r e a l } } } p _ { i } , } \\ { \widehat { t } _ { l o o p - R \Sigma _ { R } R } } & { = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } t _ { i } , } \end{array}
C ^ { - 1 } U _ { 3 } ^ { - 1 } \Gamma _ { + } ^ { - 1 } + \Gamma _ { + } ^ { - 1 } U _ { 3 } C ^ { - 1 } = C ^ { - 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } Y Y ^ { T } + \mu \alpha Z Y ^ { T }
\begin{array} { r } { l _ { c } = \sqrt { \frac { \sigma } { \rho g } } , \quad k _ { c } = \left( \frac { \rho \omega ^ { 2 } } { \sigma } \right) ^ { 1 / 3 } , \quad \epsilon = \frac { 2 \nu k _ { c } ^ { 2 } } { \omega } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \beta = \frac { 1 } { ( k _ { c } l _ { c } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 ^ { - 1 } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 } \| { q } \| ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { R } _ { i } ^ { - 1 } + 2 ^ { - 1 } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 } { q } ^ { \top } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { R } _ { i } { \tilde { W } } _ { i } { \tilde { W } } _ { i } ^ { \top } \right) { q } } \\ & { = } & { 2 ^ { - 1 } \| { q } \| ^ { 2 } + O _ { p } ( n ^ { - 1 / 4 } + p ^ { - \delta } ) \, . } \end{array}
x ^ { - \alpha } \; G _ { p , \, q + 1 } ^ { \, m , \, n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } , \alpha } \end{array} } \; \right| \, \eta x \right) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { c - i \infty } ^ { c + i \infty } e ^ { \omega x } \; \omega ^ { \alpha - 1 } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, { \frac { \eta } { \omega } } \right) d \omega ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { Y } ^ { m - 1 } } & { { } = \bigl \{ \vec { \chi } \in [ S _ { 1 } ^ { m - 1 } ] ^ { 2 } , \, \vec { \chi } \cdot \vec { n } = 0 \; \; \mathrm { ~ o ~ n ~ } \; \; \partial \mathscr { R } ; \; \vec { \chi } = \vec { X } ^ { m } - \vec { X } ^ { m - 1 } \; \; \mathrm { ~ o ~ n ~ } \; \Gamma ^ { m - 1 } \bigr \} , } \\ { \mathbb { Y } _ { 0 } ^ { m - 1 } } & { { } = \bigl \{ \vec { \chi } \in [ S _ { 1 } ^ { m - 1 } ] ^ { 2 } , \, \vec { \chi } \cdot \vec { n } = 0 \; \; \mathrm { ~ o ~ n ~ } \; \; \partial \mathscr { R } ; \; \vec { \chi } = \vec { 0 } \; \; \mathrm { ~ o ~ n ~ } \; \; \Gamma ^ { m - 1 } \bigr \} , } \end{array}
\varphi _ { \bf k } ^ { i n d } = \frac { \rho _ { \bf k } ^ { i n d } } { 2 k \varepsilon _ { 0 } } \frac { 2 ( 1 - e ^ { - 2 k d } ) } { \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } + ( \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 2 } ) e ^ { - 2 k d } } = \frac { \rho _ { \bf k } ^ { i n d } } { 2 k \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { k } } ,
\begin{array} { r l } { f ( t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { a e ^ { \alpha t } } & { t < t _ { o n } } \\ { ( a e ^ { \alpha t _ { o n } } + m ) e ^ { \alpha ( t - t _ { o n } ) } = ( f ( t _ { o n } ) + m ) e ^ { \alpha ( t - t _ { o n } ) } = ( a + m e ^ { - \alpha t _ { o n } } ) e ^ { \alpha t } } & { t _ { o n } \leq t < t _ { e n d } } \\ { ( ( f ( t _ { o n } ) + m ) e ^ { \alpha ( t _ { e n d } - t _ { o n } ) } - r m ) e ^ { \alpha ( t - t _ { e n d } ) } = f ( t , m = 0 ) + \Delta f e ^ { \alpha ( t - t _ { e n d } ) } = ( a + \Delta f e ^ { - \alpha t _ { e n d } } ) e ^ { \alpha t } } & { t _ { e n d } \leq t } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { \Phi _ { \mathbb { S } ^ { 2 n + 1 } } ^ { h } \colon } & { ( ( 0 , 1 ) ^ { 2 n + 1 } , \operatorname { u n i f } ) } & { \longrightarrow } & { ( \mathbb { S } ^ { 2 n + 1 } , \operatorname { u n i f } ) , } \\ & { ( y , t ) } & { \longmapsto } & { \Psi _ { \Phi _ { \mathbb { C P } ^ { n } } ( y ) } ( \Phi _ { \mathbb { S } ^ { 1 } } ( t ) ) = \Phi _ { \mathbb { S } ^ { 1 } } ( t ) \Phi _ { \mathbb { C P } ^ { n } } ( y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t + 1 } = } & { \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t } - \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { R _ { i } } { \pi _ { i } } \left( \omega _ { i } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ) + \omega _ { i } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ) ^ { - 1 } \right) \boldsymbol { B } _ { i } \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } + \lambda D _ { q } \right\} ^ { - 1 } } \\ & { \times \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { R _ { i } } { \pi _ { i } } \left( - \omega _ { i } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ) + \omega _ { i } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ) ^ { - 1 } \right) \boldsymbol { B } _ { i } + \lambda D _ { q } \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t } \right\} . } \end{array}
\widetilde { \mathcal { Q } } _ { k + 1 } = \left[ \vec { \mathcal { U } } _ { 1 , m } ^ { \mathcal { A } } , \vec { \mathcal { U } } _ { 2 , m } ^ { \mathcal { A } } , \ldots , \vec { \mathcal { U } } _ { k , m } ^ { \mathcal { A } } , \vec { \widetilde { \mathcal { R } ^ { \prime } } } _ { k } \right] \in \mathbb { K } _ { n } ^ { \ell \times ( k + 1 ) }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ d ~ n ~ } ( z , m ) = \mathrm { ~ d ~ n ~ } ( z + 2 \mathrm { ~ K ~ } ( m ) , m ) } \\ { \mathrm { ~ d ~ n ~ } ^ { 2 } ( z , m ) = 1 - m + m \mathrm { ~ c ~ n ~ } ^ { 2 } ( z , m ) } \\ { \int _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ K ~ } ( m ) } \mathrm { ~ d ~ n ~ } ^ { 2 } ( u , m ) d u = \mathrm { ~ E ~ } ( m ) , } \end{array}
\int { d ^ { 4 } x \sqrt { - g } [ - R + 2 \partial ^ { \mu } \phi \partial _ { \mu } \phi - e ^ { - 2 \phi } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - e ^ { 2 \phi } \tilde { G } _ { \mu \nu } \tilde { G } ^ { \mu \nu } ] } \ .
\begin{array} { r l } & { \widehat { \mathrm { M M D } } _ { u } [ p _ { s } ( \mathbf { y } ) , p _ { t } ( \mathbf { y } ) ] = \biggr [ \frac { 1 } { M ( M - 1 ) } \sum _ { i } ^ { M } \sum _ { i \neq j } ^ { M } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { s } , \mathbf { y } _ { j } ^ { s } ) } \\ & { - \frac { 2 } { M N } \sum _ { i , j } ^ { M N } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { s } , \mathbf { y } _ { j } ^ { t } ) + \frac { 1 } { N ( N - 1 ) } \sum _ { i } ^ { N } \sum _ { i \neq j } ^ { N } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { t } , \mathbf { y } _ { j } ^ { t } ) \biggr ] . } \end{array}
g ^ { - 2 } = - \frac { \langle \textrm { I m } \mathcal { N } _ { 1 1 } \rangle } { 2 } = - \frac { \langle \textrm { I m } \mathcal { N } _ { 2 2 } \rangle } { 2 } = \frac { \langle S + \bar { S } \rangle } { 2 }
\operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t < \infty } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i , j \leq N } | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ( t ) | < \infty , \quad \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i , j \leq N } | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } ( t ) | = 0 .
W \equiv m _ { e } ^ { * } v ^ { 2 } / 2 = m _ { e } ^ { * } { v _ { d } } ^ { 2 } / 2 + m _ { e } ^ { * } { v _ { t h } } ^ { 2 } / 2 + m _ { e } ^ { * } { v _ { d } } { v _ { t h } } \cos { \theta }
\begin{array} { r } { \bar { \Lambda } _ { k } \left( \left[ 0 , r \right] \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \pi \lambda _ { \mathrm { b } } \left( r ^ { 2 } - H _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \right) , } & { r \ge H _ { \mathrm { b } } , k = \mathrm { b } , } \\ { 2 \pi \lambda _ { \mathrm { u } } \int _ { H _ { \mathrm { u } } } ^ { r } { p _ { k } \left( x \right) x \, \mathrm { d } x } , } & { r \ge H _ { \mathrm { u } } , k \in \left\{ \mathrm { L } , \mathrm { N } \right\} , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { * } \cdot \sum _ { s } ( \boldsymbol { \chi } _ { s } ) _ { A } \cdot \mathbf { E } } & { { } = - \mathbf { E } ^ { * } \cdot \mathbf { n } _ { i } \times \left( \mathbf { n } _ { r } \times \mathbf { E } \right) } \end{array}
L [ h ] = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { P _ { t } h - h } { t } = P _ { s } \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { P _ { t } h - h } { t } \bigg | _ { s = 0 } = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { P _ { s + t } h - P _ { s } h } { t } \bigg | _ { s = 0 } = \frac { \textup { d } } { \textup { d } s } P _ { s } h \bigg | _ { s = 0 } .
\begin{array} { r l } & { | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { \tau _ { j } } ( x + x _ { j } , t + t _ { j } ) | } \\ { = } & { \left| \int e \left[ ( x + x _ { j } ) \cdot \xi + R ^ { 1 - 2 \alpha } ( t + t _ { j } ) ^ { \alpha } \mu \left( \frac { t + t _ { j } } { R ^ { 2 } } \right) \cdot \xi + ( t + t _ { j } ) | \xi | ^ { 2 } \right] \widehat { f _ { \tau _ { j } } } ( \xi ) d \xi \right| } \\ { = } & { \left| \int e \left[ x \cdot \xi + R ^ { 1 - 2 \alpha } ( t + t _ { j } ) ^ { \alpha } \mu \left( \frac { t + t _ { j } } { R ^ { 2 } } \right) \cdot \xi + t | \xi | ^ { 2 } \right] \widehat { f _ { \tau _ { j } , v _ { j } } } ( \xi ) d \xi \right| } \\ { = } & { \bigg | \int e \left[ R ^ { 1 - 2 \alpha } \left( ( t + t _ { j } ) ^ { \alpha } \mu \left( \frac { t + t _ { j } } { R ^ { 2 } } \right) - t ^ { \alpha } \mu \left( \frac { t } { R ^ { 2 } } \right) \right) \cdot ( \xi - c _ { \tau _ { j } } ) \right] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cdot e \left[ x \cdot \xi + R ^ { 1 - 2 \alpha } t ^ { \alpha } \mu \left( \frac { t } { R ^ { 2 } } \right) \cdot \xi + t | \xi | ^ { 2 } \right] \widehat { f _ { \tau _ { j } , v _ { j } } } ( \xi ) d \xi \bigg | } \\ { \sim } & { | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { \tau _ { j } , v _ { j } } ( x , t ) | , } \end{array}
\langle \, \eta \, | \, \bar { s } \gamma _ { \mu } c \, | \, D _ { s } \, \rangle = f _ { + } ^ { \eta } ( q ^ { 2 } ) \, ( p _ { D _ { s } } + p _ { \eta } ) _ { \mu } + f _ { - } ^ { \eta } ( q ^ { 2 } ) \, ( p _ { D _ { s } } - p _ { \eta } ) _ { \mu }
\begin{array} { r l } { \left. C _ { V } ( \omega ) \right\vert _ { A , \omega _ { 0 } , \gamma _ { L } , \gamma _ { G } } } & { { } = - A \frac { \textrm { I m } ( F ( x - x _ { 0 } - i y ) + F ( x + x _ { 0 } + i y ) ) } { \textrm { R e } ( F ( i y ) ) } } \end{array}
S _ { \parallel } = \exp \left[ \frac 1 { 2 \delta _ { \parallel } ^ { 2 } } \left( P _ { + } - \frac { M _ { \perp } } { \tau } X _ { + } ) \right) \left( P _ { -- } \frac { M _ { \perp } } { \tau } X _ { - } ) \right) \right]
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \Gamma } \int _ { \Omega } \Bigl | \omega _ { \theta } \bigl ( r , z , t \bigr ) - \omega _ { \mathrm { l i n } } \bigl ( r , z - a _ { 3 } ( t ) , t \bigr ) \Bigr | \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z \, } & { { } = \, \| \eta ( t ) - \eta _ { \mathrm { l i n } } ( t ) \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega _ { \epsilon } ) } } \\ { \, } & { { } \le \, C \| \eta ( t ) - \eta _ { \mathrm { l i n } } ( t ) \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \, \le \, C \epsilon ^ { 1 - 3 \sigma } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { x } } & { { } = \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \partial _ { x } m _ { x } , } \\ { v _ { y } } & { { } = \bigg ( \frac { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \partial _ { y } m _ { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \left( \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \alpha ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) + \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) ) + ( 1 - \alpha ) ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) ) \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) \right) \nu ( d z ) d s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \! \! \left( \sqrt { \alpha _ { 2 } } \phi _ { \alpha _ { 2 } - 1 } + \sqrt { \alpha _ { 2 } + 1 } \phi _ { \alpha _ { 2 } + 1 } \right) \phi _ { \beta _ { 2 } } \omega _ { 0 } ( \xi _ { 2 } ) \, \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( C ( \mathbf { m } , \mathbf { n } ) ) \le \exp \left( - \frac { \| \mathbf { m } - \mathbf { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 ( t + 2 ) } - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \frac { 2 } { 3 } [ ( m _ { i } ^ { + } ) ^ { 3 / 2 } + ( n _ { i } ^ { + } ) ^ { 3 / 2 } ] \right) + O _ { k } ( \sqrt { t } ( \| \mathbf { m } \| _ { 2 } ^ { 5 / 4 } + \| \mathbf { n } \| _ { 2 } ^ { 5 / 4 } ) + t ^ { 3 } ) \right) } \end{array}
\mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } ( \pi ) \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } ( - \pi ) = \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } ( 0 ) = \sigma _ { 3 } ^ { 2 } = { \bf 1 }
( \mathcal { D } ^ { i } ) _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ \begin{array} { c c c c } { \frac { 1 } { r _ { i j } } } & { \frac { x _ { i j } } { r _ { i j } } } & { \frac { y _ { i j } } { r _ { i j } } } & { \frac { z _ { i j } } { r _ { i j } } } \end{array} \} , } & { \mathrm { ~ f ~ u ~ l ~ l ~ } , } \\ { \{ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { r _ { i j } } } \end{array} \} , } & { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ i ~ a ~ l ~ - ~ o ~ n ~ l ~ y ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { 2 } } & { { } = } & { \textsf { m a x } ( \lambda _ { 1 2 } , \lambda _ { 1 3 } , \lambda _ { 2 3 } ) } \\ { \Lambda _ { 3 } } & { { } = } & { \lambda _ { 1 2 } \lambda _ { 1 3 } \lambda _ { 2 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathcal { P } + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Delta \pmb { x } _ { i } \frac { 1 } { \Delta \pmb { x } _ { i } } \frac { \partial } { \partial \mathscr { s } _ { i } } \left( U _ { i } ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathcal { P } \right) = 0 . } \end{array}
( 2 g - 2 ) ! H _ { 1 } ^ { g } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mu _ { 1 , n } ^ { g , n } \, q ^ { n } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { T _ { n , 1 , 2 g - 2 } } { n ! } q ^ { n } .
\begin{array} { r l } { c _ { \textrm { i } } ^ { \textrm { C } } } & { = \overline { { c _ { i } ^ { \textrm { o u t } } } } + \frac { I } { F Q } \quad \textrm { f o r } \quad i = \{ { \sf I I } , { \sf V } \} , } \\ { c _ { \textrm { i } } ^ { \textrm { C } } } & { = \overline { { c _ { i } ^ { \textrm { o u t } } } } - \frac { I } { F Q } \quad \textrm { f o r } \quad i = \{ { \sf I I I } , { \sf I V } \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { d ^ { i } ( \mathbf { x } , \omega ) = \int _ { \varXi } \, u ^ { i } ( \mathbf { x } , \omega ; \boldsymbol { \xi } ) \, \mathrm { ~ d ~ } \varXi = \sum _ { l } \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \left( \mathcal { G } _ { l } ^ { i j , k } ( \mathbf { x } , \omega ; \boldsymbol { \xi } _ { 0 } ) \underbrace { \int _ { \varXi } m ^ { j k } ( \omega ; \boldsymbol { \xi } ) \, \exp { [ - \imath \omega ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol \gamma _ { l } ) / c ] } \, \mathrm { ~ d ~ } \varXi } _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ a ~ r ~ e ~ n ~ t ~ s ~ o ~ u ~ r ~ c ~ e ~ f ~ u ~ n ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } \, s _ { l } ^ { j k } ( \omega ; \gamma _ { l } ) } \right) . } \end{array}
\mathrm { S N R } = \frac { P _ { \mathrm { r e c } } } { P _ { \mathrm { t h } } } \, \sqrt { \delta \nu \, t _ { \mathrm { i n t } } } = \frac { P _ { \mathrm { r e c } } } { k _ { B } T _ { \mathrm { e f f } } } \, \sqrt { \frac { t _ { \mathrm { i n t } } } { \delta \nu } } ~ ,