harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| H ( E , \vec { P } , M ) > _ { N R , W B } = N \sum _ { c , s _ { 1 } , s _ { 2 } } \int d ^ { 3 } p ^ { \prime } \ [ \frac { 1 } { \pi ^ { 3 / 4 } \beta _ { S } ^ { 3 / 2 } } e ^ { - \vec { p ^ { \prime } } ^ { 2 } / 2 \beta _ { S } ^ { 2 } } ]
\begin{array} { r } { | \hat { \psi } ^ { ( t h ) } ( \omega , z ) | = \left( \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } \left[ \pi \left( \omega + \beta ( z ) \right) / \left( 2 \eta ( z ) \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { v e c } \left( \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma } R ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } ( z I _ { n } - A ) ^ { - 1 } \vec { v } \, d z \right) = F \cdot \mathrm { v e c } ( \vec { v } ) } & { } \\ { = ( I _ { b } \otimes Q ( A ) ) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { d } \Gamma _ { i } ^ { T } \otimes A ^ { i } \right) ^ { - 1 } \mathrm { v e c } ( \vec { v } ) } & { = \mathrm { v e c } \left( R ( A ) \circ ^ { - 1 } \vec { v } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { S } \! _ { A } : F _ { S _ { A } } ( \Delta ) = \frac { 2 ( B - 1 ) } { 2 7 ( B + 1 ) ^ { 2 } } \Big \{ \left[ ( B - 1 ) ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } + 9 ( B + 1 ) ^ { 2 } \right] \Delta } & { { } } \\ { \pm \left[ \Delta ^ { 2 } - 3 ( B + 1 ) ^ { 2 } / ( B - 1 ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } \Big \} } & { { } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { { [ } J _ { i } , J _ { j } ] = i { \epsilon _ { i j } } ^ { k } J _ { k } } } & { { ( i , j , k = 1 , 2 , 3 ) } } \\ { { { [ } J _ { i } , S _ { j } ] = i { \epsilon _ { i j } } ^ { k } S _ { k } } } & { { } } \\ { { { [ } S _ { i } , S _ { j } ] = - i { \epsilon _ { i j } } ^ { k } J _ { k } ( 2 \vec { J } ^ { 2 } - C _ { 2 } - 4 ) } } & { { } } \\ { { { [ } C _ { 2 } , J _ { i } ] = [ C _ { 2 } , S _ { i } ] = 0 } } & { { \mathrm { w i t h ~ } \vec { J } ^ { 2 } = J _ { 1 } ^ { 2 } + J _ { 2 } ^ { 2 } + J _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \chi } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 1 3 - 0 . 0 3 \sigma , 0 . 1 3 + 0 . 0 3 \sigma ) , } & { d _ { L } } & { \sim \mathcal { U } ( 1 . 5 7 - 0 . 4 2 \sigma , 1 . 5 7 + 0 . 4 2 \sigma ) , } \\ { d _ { C } } & { \sim \mathcal { U } ( 2 . 1 2 - 0 . 8 0 \sigma , 2 . 1 2 + 0 . 8 0 \sigma ) , } & { d _ { R } } & { \sim \mathcal { U } ( 1 . 5 4 - 0 . 4 0 \sigma , 1 . 5 4 + 0 . 4 0 \sigma ) , } \\ { d _ { R , C } } & { \sim \mathcal { U } ( 1 2 . 0 8 - 1 . 5 1 \sigma , 1 2 . 0 8 + 1 . 5 1 \sigma ) , } & { d _ { D } } & { \sim \mathcal { U } ( 5 . 5 4 - 2 . 1 9 \sigma , 5 . 5 4 + 2 . 1 9 \sigma ) , } \\ { \rho _ { 1 } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 0 6 - 0 . 0 3 \sigma , 0 . 0 6 + 0 . 0 3 \sigma ) , } & { \rho _ { 2 } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 0 5 - 0 . 0 3 \sigma , 0 . 0 5 + 0 . 0 3 \sigma ) , } \\ { \rho _ { 3 } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 0 8 - 0 . 0 4 \sigma , 0 . 0 8 + 0 . 0 4 \sigma ) , } & { \rho _ { 4 } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 5 4 - 0 . 2 2 \sigma , 0 . 5 4 + 0 . 2 2 \sigma ) , } \\ { \rho _ { 5 } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 7 9 - 0 . 1 4 \sigma , 0 . 7 9 + 0 . 1 4 \sigma ) , } & { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 2 6 - 0 . 2 3 \sigma , 0 . 2 6 + 0 . 2 3 \sigma ) , } \\ { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 2 8 - 0 . 2 5 \sigma , 0 . 2 8 + 0 . 2 5 \sigma ) , } & { \rho _ { 3 } ^ { \prime } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 3 3 - 0 . 2 7 \sigma , 0 . 3 3 + 0 . 2 7 \sigma ) , } \\ { \rho _ { 4 } ^ { \prime } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 2 6 - 0 . 1 1 \sigma , 0 . 2 6 + 0 . 1 1 \sigma ) , } & { \rho _ { 5 } ^ { \prime } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 8 0 - 0 . 1 3 \sigma , 0 . 8 0 + 0 . 1 3 \sigma ) , } \\ { N ^ { 0 } } & { \sim \mathcal { U } ( 2 7 6 - 1 3 3 \sigma , 2 7 6 + 1 3 3 \sigma ) , } & { c _ { 1 2 3 } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 6 3 - 0 . 2 1 \sigma , 0 . 6 3 + 0 . 2 1 \sigma ) , } \\ { c _ { 4 } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 5 7 - 0 . 2 3 \sigma , 0 . 5 7 + 0 . 2 3 \sigma ) , } & { c _ { 5 } } & { \sim \mathcal { U } ( 0 . 7 1 - 0 . 2 3 \sigma , 0 . 7 1 + 0 . 2 3 \sigma ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( \xi , t ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \omega ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left. F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
{ \mathrm { H o m } } _ { { \mathcal { O } } _ { X } } ( { \mathcal { F } } , { \mathcal { G } } ) \rightarrow { \mathrm { H o m } } _ { { \mathcal { O } } _ { X } ^ { \mathrm { a n } } } ( { \mathcal { F } } ^ { \mathrm { a n } } , { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { a n } } )
\begin{array} { r l } { s [ f ] ( u ) } & { { } = p [ f ] ( u ) - p [ f ] ( u + 1 ) = ( \varrho [ f ] ) ^ { u } - ( \varrho [ f ] ) ^ { u + 1 } = ( \varrho [ f ] ) ^ { u } ( 1 - \varrho [ f ] ) , } \end{array}
\sum _ { r \geq 0 } \nu ^ { r } \sum _ { u + v = r \atop u , v \geq 0 } \rho _ { u } ( \rho _ { v } ( F G ) H ) = \sum _ { r \geq 0 } \nu ^ { r } \sum _ { u + v = r \atop u , v \geq 0 } \rho _ { u } ( F \rho _ { v } ( G H ) ) , \quad \forall F , G , H \in N [ \nu ] .
\begin{array} { r l r } { v _ { \perp } \left( B \right) } & { { } = } & { v _ { \perp , 0 } \sqrt { B / B _ { 0 } } } \\ { v _ { z } \left( B \right) } & { { } = } & { s _ { 0 } \sqrt { v _ { z , 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp , 0 } ^ { 2 } \left( 1 - B / B _ { 0 } \right) } } \end{array}
\frac { d \sigma ( \mu ^ { + } e ^ { - } \rightarrow H _ { f c } ^ { 0 } \gamma ) } { d t } = \frac { 1 } { 4 } \alpha ( h _ { S , P } ^ { \mu e } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } ( \frac { ( m _ { H } ^ { 4 } + s ^ { 2 } ) } { ( t - m _ { \mu } ^ { 2 } ) ( u - m _ { e } ^ { 2 } ) } - 2 m _ { H } ^ { 2 } ( \frac { m _ { \mu } ^ { 2 } } { ( t - m _ { \mu } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { ( u - m _ { e } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ) ) ,
{ \cal H } = \sum _ { { \bf { p } } } \epsilon _ { { \bf { p } } } \; ( a _ { { \bf { p } } } ^ { \dagger } a _ { { \bf { p } } } + b _ { { \bf { p } } } ^ { \dagger } b _ { { \bf { p } } } ) - \varepsilon _ { 0 } \; .
L I S ( \sigma ) \leq \sum _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor } L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) + \sum _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor - 1 } L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) + \sum _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor - 1 } L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } } ) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { k - 1 } , t _ { k } ] } \frac { M ( t ) Z _ { m _ { j } } ( t ) } { Z _ { m _ { 1 } } ( t ) } } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { k - 1 } , t _ { k } ] } \frac { M ( t ) \exp ( \Theta _ { m _ { j } } ( t ) + t _ { k } ^ { 1 - \varphi } ) } { \exp ( \Theta _ { m _ { 1 } } ( t ) - t _ { k } ^ { 1 - \varphi } ) } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { k - 1 } , t _ { k } ] } M ( t ) \exp \big ( - ( \Theta _ { m _ { 1 } } ( t ) - \Theta _ { m _ { j } } ( t ) ) + 2 t _ { k } ^ { 1 - \varphi } \big ) } \\ & { \leq M ( t _ { k } ) \exp \big ( - \frac 1 2 t _ { k } \lambda _ { t _ { k } } w _ { t _ { k } } + 2 t _ { k } ^ { 1 - \varphi } \big ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \widetilde { h } _ { u } ^ { + } } } \\ { { \widetilde { h } _ { u } ^ { 0 } } } \end{array} \right) , \qquad \left( \begin{array} { c } { { \widetilde { h } _ { d } ^ { - } } } \\ { { \widetilde { h } _ { d } ^ { 0 } } } \end{array} \right) . \qquad
\gamma _ { t } ^ { * } = \underset { \gamma _ { t } , \gamma _ { 0 } = \mathcal { O } _ { k } , \gamma _ { 1 } = \mathcal { O } _ { k + 1 } } { \arg \operatorname* { m i n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } L _ { \widehat { \mathcal { M } } } ( \gamma _ { t } , \dot { \gamma } _ { t } ) \mathrm { ~ d ~ } t ,
\frac 1 { r ^ { 2 } } \frac d { d r } \left( r ^ { 2 } \frac { d R _ { q , l } } { d r } \right) - \frac { l ( l + 1 ) - q ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } r ^ { 2 } } R _ { q , l } - \frac { 2 M } { \alpha ^ { 2 } } \left( \frac K r - E \right) R _ { q , l } = 0 \ .
\frac { \partial p } { \partial x } = \frac { p _ { R } - p _ { L } } { x _ { R } - x _ { L } } , \qquad \mathbf { v } = \left( \begin{array} { c } { u } \\ { v } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \frac { ( p _ { R } - p _ { L } ) } { 2 L \nu } y ( y - y _ { T } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) , \qquad \nu = 1 0 ^ { - 2 } ,
\begin{array} { r } { S _ { \alpha } ^ { d } = \left[ \begin{array} { l } { e _ { i } ^ { \top } } \\ { e _ { j } ^ { \top } } \\ { \vdots } \\ { e _ { k } ^ { \top } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { d \times n } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { e _ { \ell } = \gamma _ { 1 } \beta _ { 2 } } & { \tilde { e } _ { \ell } = \tilde { \gamma } _ { 1 } \tilde { \beta } _ { 2 } + \tilde { \gamma } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \tilde { \gamma } _ { 1 } \tilde { \gamma } _ { 3 } - 1 ) \tilde { \beta } _ { 3 } } \\ { f _ { \ell } = \gamma _ { 2 } \beta _ { 1 } + \gamma _ { 1 } ^ { - 1 } ( 1 + \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } ) \beta _ { 3 } { \quad \quad } } & { \tilde { f } _ { \ell } = \tilde { \gamma } _ { 2 } \tilde { \beta } _ { 1 } } \\ { h _ { \ell } = \gamma _ { 1 } \beta _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \beta _ { 2 } + \gamma _ { 3 } \beta _ { 3 } } & { \tilde { h } _ { \ell } = \tilde { \gamma } _ { 1 } \tilde { \beta } _ { 1 } - \tilde { \gamma } _ { 2 } \tilde { \beta } _ { 2 } - \tilde { \gamma } _ { 3 } \tilde { \beta } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \textrm { R H F } | \hat { S } ^ { 2 } | \textrm { R H F } \rangle = } & { { } 0 } \\ { \langle \textrm { U H F } | \hat { S } ^ { 2 } | \textrm { U H F } \rangle = } & { { } 1 - \left( \frac { 2 t } { U } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q } & { = \epsilon ^ { - 1 } = \mathcal { O } ( \epsilon ^ { - 1 } ) } \\ { B } & { = \operatorname* { m a x } ( 5 7 6 \Lambda ^ { 2 } , 2 3 0 4 \Gamma ^ { 2 } ) \epsilon ^ { - 2 } = \mathcal { O } ( \epsilon ^ { - 2 } ) } \\ { B ^ { \prime } } & { = 2 3 0 4 \epsilon ^ { - 1 } = \mathcal { O } ( \epsilon ^ { - 1 } ) } \\ { \gamma } & { = \frac { \epsilon } { 2 \overline { { K } } _ { 0 } + 4 \overline { { K } } _ { 2 } + 2 \overline { { K } } _ { 1 } ( \Lambda ^ { \alpha } + \Gamma ^ { \alpha } + 1 ) + 1 } = \mathcal { O } ( \epsilon ) ; \quad \mathrm { i f ~ } \alpha \in ( 0 , 1 ) } \\ { \gamma } & { = \frac { \epsilon } { 5 L _ { 1 } \sqrt { \Gamma ^ { 2 } + 1 } + 8 \sqrt { L _ { 0 } ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } } = \mathcal { O } ( \epsilon ) ; \quad \mathrm { i f ~ } \alpha = 1 } \\ { K } & { = \frac { 1 6 \epsilon } { 5 T \gamma } \big ( \mathbb { E } f ( w _ { 0 } ) - f ^ { * } \big ) = \mathcal { O } ( \epsilon ^ { - 1 } ) } \\ { T } & { = q K = \frac { 1 6 } { 5 T \gamma } \big ( \mathbb { E } f ( w _ { 0 } ) - f ^ { * } \big ) = \mathcal { O } ( \epsilon ^ { - 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \omega } _ { \mathrm { ~ m ~ } } } & { { } = [ \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \times \mathbf { \hat { m } } _ { \mathrm { ~ f ~ } } ] \cdot \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } + \frac { 1 } { I _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \mathbf { \hat { m } } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \cdot [ \mathbf { m } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \times \mathbf { B } _ { \mathrm { ~ r ~ } } - \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } ] } \end{array}
l _ { L } \rightarrow U _ { L } C l _ { L } ^ { * } ~ , ~ ~ l _ { R } \rightarrow U _ { R } ^ { l } C l _ { R } ^ { * } ~ , ~ ~ \nu _ { L } \rightarrow U _ { L } C \nu _ { L } ^ { * } ~ , ~ ~ \nu _ { R } \rightarrow U _ { R } ^ { \nu } C \nu _ { R } ^ { * } ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { t o p } } ^ { ( 4 ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { r _ { 1 1 } } & { r _ { 1 2 } } & { r _ { 1 3 } } & { \dots } & { r _ { 1 N } } \\ { r _ { 2 1 } } & { r _ { 2 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { r _ { 3 1 } } & { 0 } & { r _ { 3 3 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { r _ { N 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { r _ { N N } } \end{array} \right] _ { \mathrm { t o p } } } \end{array}
\mathrm { \ k a p p a = } \left( \begin{array} { c c c } { { k _ { 1 } } } & { { l } } & { { m } } \\ { { l } } & { { k _ { 2 } } } & { { t } } \\ { { m } } & { { t } } & { { k _ { 3 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) = } & { \, Q _ { C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } + \frac { 1 } { N } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] } \\ & { + Q _ { C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } + \frac { 1 } { N } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] , } \\ { P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) = } & { \, Q _ { C V M } \Big [ ( \rho _ { r _ { e } } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } ) , \big ( \rho _ { r _ { e } } - \frac { 1 } { N } , \rho _ { r _ { i } } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) \Big ] } \\ { P ( \rho _ { r } , \rho _ { r } ) = } & { \, 1 - P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } + \frac { 1 } { N } \big ) - P \big ( \rho _ { r } , \rho _ { r } - \frac { 1 } { N } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { { \mathbf { k } _ { 1 } } , { \mathbf { k } _ { 2 } } , { \mathbf { k } _ { 1 } ^ { \prime } } , { \mathbf { k } _ { 2 } ^ { \prime } } } ^ { \alpha , \beta , \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } } } & { { } = \left< { \Sigma } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , { \mathbf { k } _ { 1 } } , { \mathbf { k } _ { 1 } ^ { \prime } } } { \Sigma } _ { \beta , \beta ^ { \prime } , { \mathbf { k } _ { 2 } } , { \mathbf { k } _ { 2 } ^ { \prime } } } \right> _ { S _ { \phi } ^ { \prime } } } \end{array}
\mathrm { I m } C ( s ) = \theta ( s - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } ) { \frac { 1 } { 2 } } \beta ( s ) \left[ A _ { + - 0 } ^ { S } ( s ) f ^ { C * } ( s ) + { \frac { 1 } { 2 ! } } A _ { 0 0 0 } ^ { S } ( s ) f ^ { N * } ( s ) \right] ,
q _ { - } ^ { 0 } ( \tau ) = - \frac { \Omega \vartheta _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 \pi } \frac { e ^ { \Omega \tau \frac { \vartheta _ { 1 } ^ { \prime } } { \vartheta _ { 1 } } ( \Omega y ) } \vartheta _ { 1 } ( \Omega ( y - \tau ) ) + e ^ { - \Omega \tau \frac { \vartheta _ { 1 } ^ { \prime } } { \vartheta _ { 1 } } ( \Omega y ) } \vartheta _ { 1 } ( \Omega ( y + \tau ) ) } { \vartheta _ { 1 } ( \Omega \tau ) \vartheta _ { 1 } ( \Omega y ) } ,
m _ { t } ( \bar { M } - m g d \sin \bar { \theta } ) + \frac { m d } { B } \Big ( m d \big ( ( \mu _ { 1 1 } - \mu _ { 2 2 } ) \sin 2 \bar { \theta } - 2 \mu _ { 1 2 } \cos 2 \bar { \theta } \big ) - 2 m _ { t } ( \mu _ { 1 3 } \sin \bar { \theta } - \mu _ { 2 3 } \cos \bar { \theta } ) \Big ) = 0
U = \left[ \begin{array} { l l } { { \left( k _ { 0 } ^ { ( + ) } + { \gamma } _ { 5 } k _ { 0 } ^ { ( - ) } \right) } } & { { g _ { 0 } ^ { ( + ) } \left( 1 - { \gamma } _ { 5 } \right) } } \\ { { - g _ { 0 } ^ { ( - ) } \left( 1 - { \gamma } _ { 5 } \right) } } & { { \left( k _ { 0 } ^ { ( + ) } + { \gamma } _ { 5 } k _ { 0 } ^ { ( - ) } \right) } } \end{array} \right] \ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { X } } \quad } & { \operatorname { T r } ( \mathbf { X } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \operatorname { T r } \left( \mathbf { A } _ { j } \mathbf { X } \right) = y _ { j } , } \\ & { \sum _ { r } \left( \sum _ { s } \left| \mathbf { X } _ { r s } \right| ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } < \eta , ~ \mathbf { X } \succeq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf U } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { { \bf U } ^ { n } - \Delta t \, \left\{ { \bf M } ^ { - 1 } { \bf R e s } ^ { \prime } ( { \bf U } ^ { n } , t ^ { n } ) - { \bf S } ( t ^ { n } ) \right\} , } \\ { { \bf U } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 3 { \bf U } ^ { n } + { \bf U } ^ { ( 1 ) } } { 4 } - \frac { \Delta t } { 4 } \left\{ { \bf M } ^ { - 1 } { \bf R e s } ^ { \prime } ( { \bf U } ^ { ( 1 ) } , t ^ { n } + \Delta t ) - { \bf S } ( t ^ { n } + \Delta t ) \right\} , } \\ { { \bf U } ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { { \bf U } ^ { n } + 2 { \bf U } ^ { ( 2 ) } } { 3 } - \frac { 2 \Delta t } { 3 } \left\{ { \bf M } ^ { - 1 } { \bf R e s } ^ { \prime } ( { \bf U } ^ { ( 2 ) } , t ^ { n } + \Delta t / 2 ) - { \bf S } ( t ^ { n } + \Delta t / 2 ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigoplus _ { \mathrm { p e r m } } H _ { b } ^ { 0 , 0 } ( S ^ { 3 } ) \otimes H _ { b } ^ { 0 , 0 } ( S ^ { 3 } ) \otimes H _ { b } ^ { 0 , 1 } ( S ^ { 3 } ) , } \\ & { \bigoplus _ { \mathrm { p e r m } } H _ { b } ^ { 0 , 0 } ( S ^ { 3 } ) \otimes H _ { b } ^ { 0 , 1 } ( S ^ { 3 } ) \otimes H _ { b } ^ { 0 , 1 } ( S ^ { 3 } ) . } \end{array}
\varphi = - \int _ { s } ^ { t } \omega _ { g } ^ { \kappa ( k , t , t ^ { \prime } ) } \mathrm { d } t ^ { \prime } + \omega t + \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { l } \right) + \left[ \mathbf { A } ( t ) - \mathbf { A } \left( s \right) \right] \cdot \mathbf { x } _ { l }
T = \frac { \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } W _ { i } ( \theta ) \left| \int _ { 0 } ^ { \infty } \ln \left| \rho ( \lambda , \theta ) \right| \! \, d \lambda \right| d \theta } { \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } W _ { i } ( \theta ) \mathrm { { R B } \left( \ t h e t a \right) d \ t h e t a } } , \qquad 0 \le T \le 1 .
\begin{array} { r l } { \| f _ { j } \| _ { \mathcal B _ { 4 } ( \Omega ) } } & { \leq C \| \mathring \Pi ( R ( \gamma ) ) \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega ) } ^ { ( 1 + j ) \delta } } \\ { \| h _ { j } \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } } & { \leq C \| \mathring \Pi ( R ( \gamma ) ) \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega ) } ^ { ( 1 + j ) \delta } } \\ { \| \mathring \Pi ( R ( \gamma _ { j } ) ) \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega ) } } & { \leq \| \mathring \Pi ( R ( \gamma ) ) \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega ) } ^ { ( 1 + j ) \delta } . } \end{array}
( \theta _ { 0 } , \phi _ { 0 } , r _ { 0 } ) = ( 0 . 4 \, \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } , - 0 . 5 8 \, \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } , 0 . 1 \, \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } )
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } } & { F ( \Omega ^ { * } + t \Omega , \Omega _ { 1 } ^ { * } + t \Omega _ { 1 } ) \vert _ { t = 0 } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { J ^ { - 1 } ( k ( \Omega _ { 1 } - \Omega ) - \Omega ^ { * } \times ( J - \lambda ^ { * } \mathbf { E _ { 0 } } ) \Omega ) } \\ { - k / I ( \Omega _ { 1 } - \Omega ) - \Omega ^ { * } \times ( \Omega _ { 1 } - \Omega ) } \end{array} \right] = L ^ { * } \left[ \begin{array} { l } { \Omega } \\ { \Omega _ { 1 } } \end{array} \right] , } \end{array}
P _ { R } = - \, a R { \frac { \dot { \omega } R ^ { 2 } } { v _ { \perp } ^ { 4 } } } \left[ 1 - \sqrt { 1 - v _ { \perp } ^ { 2 } } - { \frac { v _ { \perp } } { 2 } } \arcsin v _ { \perp } \right] \arcsin v _ { \perp } \ .
\Omega _ { j k } ^ { ( \alpha \beta ) } \, = \, \frac { 2 R _ { j } ^ { ( \alpha \beta ) } R _ { k } ^ { ( \alpha \beta ) } - ( R ^ { ( \alpha \beta ) } ) ^ { 2 } \delta _ { j k } } { ( R ^ { ( \alpha \beta ) } ) ^ { 4 } } \; \; \; , \; \; \; R ^ { ( \alpha \beta ) } \equiv R ^ { ( \alpha ) } - R ^ { ( \beta ) } \; .
\epsilon _ { 1 } ^ { \mu } = ( 0 , \, \epsilon ^ { i j } \frac { { p } _ { j } } { | \vec { p } | } ) \qquad \qquad \epsilon _ { 2 } ^ { \mu } = ( \frac { | \vec { p } | } { M } , \, \frac { w _ { p } } { M } \frac { { p } ^ { i } } { | \vec { p } | } ) .
\int _ { 0 } ^ { 1 } { \mathrm { d } x } [ g _ { 1 } ^ { e p } ( x , Q ^ { 2 } ) - g _ { 1 } ^ { e n } ( x , Q ^ { 2 } ) ] \equiv \frac { 1 } { 6 } \left| \frac { g _ { A } } { g _ { V } } \right| [ 1 - \frac { \alpha _ { g _ { 1 } } ( Q ) } { \pi } ] .
\begin{array} { r } { \overline { { \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } \approx \overline { { \xi ^ { \prime } { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } \left. \frac { \partial \eta } { \partial x _ { i } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } \approx \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } \left( \xi ( \overline { { \boldsymbol { x } } } _ { p } ) + { x _ { p } ^ { \prime } } _ { j } \left. \frac { \partial \xi } { \partial x _ { j } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } - \overline { { \xi } } \right) } } \left. \frac { \partial \eta } { \partial x _ { i } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } = \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } { x _ { p } ^ { \prime } } _ { j } } } \left. \frac { \partial \xi } { \partial x _ { j } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } \left. \frac { \partial \eta } { \partial x _ { i } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { R _ { k } ^ { ( v ) } ( t ) = } & { { } \frac { 1 } { \langle z ( t ) \rangle ^ { ( v ) } } \sum _ { z < k } z P ^ { ( v ) } ( z , t ) \, , } \\ { R _ { q } ^ { ( e ) } ( t ) = } & { { } \frac { 1 } { \langle n ( t ) \rangle ^ { ( e ) } } \sum _ { n < q } n P ^ { ( e ) } ( n , t ) \, . } \end{array} } \end{array}
\phi _ { x } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \varphi _ { a } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) \varphi _ { b } ( { \vec { r } } _ { 2 } ) \pm \varphi _ { a } ( { \vec { r } } _ { 2 } ) \varphi _ { b } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) )
Z _ { Z G _ { 0 } } ^ { 1 / 2 } = i k _ { \mu } ( M _ { Z } ^ { 2 } + \delta M _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } Z _ { Z Z } ^ { 1 / 2 } Z _ { G _ { 0 } G _ { 0 } } ^ { 1 / 2 }
\left\| \eta u \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } \leq C \left( \left( \operatorname* { s u p } _ { r \in \{ 1 , \ldots , L \} } \| w ^ { - 1 } ( t , \cdot ) \| _ { \underline { { L } } ^ { p ^ { \prime } } ( \Lambda _ { r } ) } \right) \left\| w ( t , \cdot ) \nabla ( \eta u ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } \right) ^ { \alpha } \left\| \eta u \right\| _ { L ^ { 1 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } ^ { \beta } \| | x | _ { * } ^ { p / 2 } \eta u \| _ { L ^ { 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } ^ { \gamma } .
\Bigg | \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } \Bigg | ^ { 2 } \approx \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \mathcal { D } \omega } { c } \right) } { 4 } \frac { \eta ^ { 4 } } { 1 + \eta ^ { 2 } } \quad \mathrm { a n d } \quad \Bigg | \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } \Bigg | ^ { 2 } \approx 1 \, ,
\mathcal { G } \sim \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { G } _ { 1 , 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , j + 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , 4 } } \\ { \mathbb { O } } & { \mathcal { G } _ { i , j + 1 } ^ { ( 3 ) } } & { \mathbb { O } } \\ { 0 } & { \mathcal { G } _ { 4 , j + 1 } ^ { ( 3 ) } } & { \nu _ { 4 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ \langle Q _ { n } \left( \phi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { n } } \right) | \psi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { i _ { n } } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \langle \phi _ { i _ { \pi ( 1 ) } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { \pi ( n ) } } | \psi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { i _ { n } } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \pi ^ { - 1 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \langle \phi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { n } } | } \\ & { ~ ~ ~ ~ \psi _ { i _ { \pi ^ { - 1 } ( 1 ) } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { i _ { \pi ^ { - 1 } ( n ) } } \rangle } \\ & { = \langle \phi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \phi _ { i _ { n } } | Q _ { n } \left( \psi _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { i _ { n } } \right) \rangle . } \end{array}