harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \overset { ( c ) } { = } P _ { S _ { 1 } S _ { 2 } } ( 1 , 0 ) H ( X ) + H ( X ) + P _ { X } ( 1 ) P _ { S _ { 2 } } ( 0 ) H ( Y _ { 1 } | X = 1 , S _ { 2 } = 0 ) } \\ & { \qquad + P _ { X } ( 1 ) P _ { S _ { 2 } } ( 1 ) H ( Y _ { 1 } | X = 1 , S _ { 2 } = 1 ) - H ( X ) } \\ & { \overset { ( d ) } { = } q ( 1 - \alpha ) H _ { b } ( p ) + p ( 1 - q \alpha ) H _ { b } \Big ( \frac { q ( 1 - \alpha ) } { ( 1 - q \alpha ) } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ ( 1 } & { + i k U _ { \mathrm { s h } } ) \partial _ { t } \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) \! - \! \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { ( 1 - i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) \partial _ { t } \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t + } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) \! ) u _ { \mathrm { i n } , k } ( y ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( 0 , y ) } } d y . } \end{array}
\frac { d } { d x } ( \frac { \partial F } { \partial y ^ { \prime } } ) - \frac { \partial F } { \partial y } = 0 \implies n ( y ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } e ^ { y } + n ( n - 1 ) ( y ^ { \prime } ) ^ { n - 2 } y ^ { \prime \prime } e ^ { y } - ( y ^ { \prime } ) ^ { n } e ^ { y } = 0 \implies ( y ^ { \prime } ) ^ { n - 2 } e ^ { y } [ n ( n - 1 ) y ^ { \prime \prime } + n ( y ^ { \prime } ) - ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] = 0
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathbb { P } ( \{ \tau = \eta \} \cap \{ R = r , I _ { 1 } = i _ { 1 } , \cdots , I _ { r } = i _ { r } , J _ { 1 } = j _ { 1 } , \cdots , J _ { r } = j _ { r } \} | \mathcal { B } _ { l } ) } { \mathbb { P } ( R = r , I _ { 1 } = i _ { 1 } , \cdots , I _ { r } = i _ { r } , J _ { 1 } = j _ { 1 } , \cdots , J _ { r } = j _ { r } | \mathcal { B } _ { l } ) } } \\ & { } & { = \frac { | M _ { r , \eta } | } { \sum _ { \eta ^ { \prime } \in S _ { r } } | M _ { r , \eta ^ { \prime } } | } = \frac { 1 } { r ! } . } \end{array}
W = \mu H _ { 1 } H _ { 2 } + f _ { i j } ^ { e } H _ { 1 } L _ { i } e _ { j } ^ { c } + f _ { i j } ^ { d } H _ { 1 } Q _ { i } d _ { j } ^ { c } + f _ { i j } ^ { u } H _ { 2 } Q _ { i } u _ { j } ^ { c } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \operatorname* { d e t } ( g + \varepsilon h ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { \operatorname* { d e t } ( g + \varepsilon h ) - \operatorname* { d e t } g } { \varepsilon } } \\ & { = \operatorname* { d e t } g \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { \operatorname* { d e t } ( g ^ { - 1 } ( g + \varepsilon h ) ) - 1 } { \varepsilon } } \\ & { = \operatorname* { d e t } g \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 + \varepsilon \mathrm { t r } ( g ^ { - 1 } h ) + \mathrm { O } ( \varepsilon ^ { 2 } ) - 1 } { \varepsilon } } \\ & { = \operatorname* { d e t } g \, \mathrm { t r } ( g ^ { - 1 } h ) } \end{array}
\mathbf { s } ( t ) = \mathbf { s } _ { 0 } + \mathbf { v } _ { 0 } t + { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { a } t ^ { 2 } = \mathbf { s } _ { 0 } + { \frac { \mathbf { v } _ { 0 } + \mathbf { v } ( t ) } { 2 } } t
\log { \mathbb { E } ( \mathrm { ~ C ~ O ~ V ~ I ~ D ~ - ~ 1 ~ 9 ~ \; ~ d ~ e ~ a ~ t ~ h ~ s ~ } ) } = \beta _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { d e m } } \beta _ { i } ^ { ( d e m ) } p _ { i } ^ { ( d e m ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { m o b } } \beta _ { j } ^ { ( m o b ) } p _ { j } ^ { ( m o b ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { e n v } } \beta _ { k } ^ { ( e n v ) } p _ { k } ^ { ( e n v ) }
\mathcal { A } _ { i } = \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } - \mathcal { L } _ { i } ( A _ { i } ) = \sum _ { s = 1 } ^ { S } \hat { y } _ { i } ^ { s } ( A _ { i } ) - y _ { i } ^ { s } \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( \hat { y } _ { i } ^ { s } ( A _ { i } ) ) .
\begin{array} { r } { < \alpha > \approx 0 . 5 ( \alpha _ { 0 } + \alpha _ { m a x } ) = \frac { c _ { 1 } } { \omega _ { c } } \frac { 1 + e ^ { - 2 k _ { 1 } / \omega _ { c } } } { 1 - e ^ { - 2 k _ { 1 } / \omega _ { c } } } , } \end{array}
| 1 \rangle , \, \, J _ { + } ( \vec { k } ) | 1 \rangle , \, \, J _ { + } ( \vec { k } ) J _ { + } ( \vec { k } ^ { \prime } ) | 1 \rangle \, \, \mathrm { f o r } \, \, \vec { k } \not = \vec { k } ^ { \prime } , \, \, ( J _ { + } ( \vec { k } ) ) ^ { 2 } | 1 \rangle , \, \, \cdots
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \gamma } ^ { \mathrm { ~ S ~ R ~ M ~ } } } & { { } = \frac { \hslash } { i } \sqrt { \gamma _ { 0 } } \left( 1 + \frac { \eta } { 2 } \hat { x } \right) \left( \hat { b } _ { i n } \hat { a } _ { c } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { c } \hat { b } _ { i n } ^ { \dag } \right) + } \\ { b _ { i n } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \hat { b } ( \omega ) e ^ { - i \omega t } \frac { d \omega } { 2 \pi } , \quad c _ { i n } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \hat { c } ( \omega ) e ^ { - i \omega t } \frac { d \omega } { 2 \pi } , } \end{array}
\omega _ { \mu } ^ { \prime c d } = \omega _ { \mu } ^ { c d } ( V ^ { \prime } ) + \frac { \kappa } { 8 } \eta _ { c i } V _ { d \mu } ^ { \prime } \varepsilon ^ { a b c d } \overline { { { \Psi } } } ^ { \prime } \gamma ^ { 5 } \gamma ^ { i } \Psi ^ { \prime } .
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial u } { \partial t } } & { = r _ { u } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } - u v ^ { 2 } + f ( 1 - u ) , } & { ( x , t ) } & { \in [ - L , L ] \times [ 0 , T ] } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } } & { = r _ { v } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + u v ^ { 2 } - ( f + k ) v , } & { ( x , t ) } & { \in [ - L , L ] \times [ 0 , T ] } \\ { u ( x , 0 ) } & { = 1 - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } ( \pi \frac { x - L } { 2 L } ) , } & { x } & { \in [ - L , L ] } \\ { v ( x , 0 ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \sin ^ { 2 } ( \pi \frac { x - L } { 2 L } ) , } & { x } & { \in [ - L , L ] } \\ { u ( x , t ) } & { = u ( x + 2 L , t ) , } & { ( x , t ) } & { \in \mathbb { R } \times [ 0 , T ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq C N \rho \int \left[ | \nabla f _ { p } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } f _ { p } ^ { 2 } v \right] \left[ a b ^ { 2 } \rho + \rho ^ { 2 / 3 } | x | ^ { 2 } \left[ 1 + s a b ^ { 2 } \rho ( \log N ) ^ { 4 } \right] \right] \, \textnormal { d } x } \\ & { \leq C N a a _ { p } b ^ { 2 } \rho + C N \rho ^ { 5 / 3 } a _ { p } ^ { 3 } \left[ 1 + s a b ^ { 2 } \rho ( \log N ) ^ { 4 } \right] } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \mathrm { F G } _ { N } ( \xi ) \, = \, \exp ( - N \xi ^ { 2 } ) \, \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \, \frac { ( N \xi ^ { 2 } ) ^ { m } } { m ! } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \boldsymbol { X } } _ { \mathcal { H } } ( \tau ) = \left( \partial _ { P _ { 1 } } \mathcal { H } ( \tau ) , \ldots , \partial _ { P _ { 3 N } } \mathcal { H } ( \tau ) , - \partial _ { X _ { 1 } } \mathcal { H } ( \tau ) , \ldots , - \partial _ { X _ { 3 N } } \mathcal { H } ( \tau ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \beta _ { \mathcal { G } } ^ { \prime \prime } ( \gamma , \gamma ) ( \mathcal { R } ( \mathcal { G } ) ) + 2 \beta _ { \mathcal { G } } ^ { \prime } ( \mathcal { R } ^ { \prime } ( \mathcal { G } ) ) + \beta _ { \mathcal { G } } ( \mathcal { R } ^ { \prime \prime } ( \gamma , \gamma ) ) = \beta _ { \mathcal { G } } ( \mathcal { R } ^ { \prime \prime } ( \gamma , \gamma ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \widehat { X } ^ { * } \frac { d } { d \theta } \frac { \partial \mathrm { g } } { \partial \boldsymbol { p } } \frac { d \widehat { X } } { d \theta } } & { + \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } \widehat { X } ^ { * } \frac { d } { d \theta } \mathrm { g } \frac { d } { d \theta } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } + \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \frac { \partial \mathrm { c } } { \partial \boldsymbol { p } } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } + \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \mathrm { c } \widehat { X } ^ { * } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } } \\ { = } & { \ \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \boldsymbol { p } } \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \mathrm { f } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } + \widehat { \lambda } \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \frac { \partial \mathrm { f } } { \partial \boldsymbol { p } } \lvert \widehat { X } \rvert ^ { 2 } + \widehat { \lambda } \int _ { - \theta _ { \mathrm { b } } } ^ { \theta _ { \mathrm { b } } } d \theta \, \mathrm { f } \widehat { X } ^ { * } \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \boldsymbol { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c } { \rho ( x ) u _ { t t } + \mu ( x ) u _ { t } + ( r ( x ) u _ { x x } ) _ { x x } + ( \kappa ( x ) u _ { x x t } ) _ { x x } = 0 , ~ ( x , t ) \in \Omega _ { T } , } \\ { u ( x , 0 ) = u _ { 0 } , ~ u _ { t } ( x , 0 ) = v _ { 0 } , ~ \qquad x \in ( 0 , \ell ) , } \\ { u ( 0 , t ) \ = 0 , ~ u _ { x } ( 0 , t ) = 0 , ~ \qquad \; \quad t \in [ 0 , T ] , } \\ { \left[ r ( x ) u _ { x x } + \kappa ( x ) u _ { x x t } \right] _ { x = \ell } \; = 0 , } \\ { \quad \quad - \left[ \big ( r ( x ) u _ { x x } + \kappa ( x ) u _ { x x t } \big ) _ { x } \right] _ { x = \ell } = g ( t ) , \ t \in [ 0 , T ] . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } v + v v _ { z } = - p _ { z } \qquad } & { p = \frac { 1 } { h \sqrt { 1 + h _ { z } ^ { 2 } } } - \frac { h _ { z z } } { ( 1 + h _ { z } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { \partial _ { t } h + v h _ { z } = - v _ { z } \frac { h } { 2 } } \\ & { h \left( t , \frac { \pm L ( t ) } 2 \right) = 1 \qquad } & { v \left( t , \frac { \pm L ( t ) } 2 \right) = \pm \sqrt { \mathrm { W e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac { \partial ( \beta h ) } { \partial t } + \partial _ { a } \left( \beta h v ^ { a } \right) } & { = \beta \mathfrak { M } , } \\ { \displaystyle \frac { \partial ( h \beta v ^ { c } ) } { \partial t } + \partial _ { a } \left( \beta h v ^ { c } v ^ { a } \right) + h \beta \gamma _ { a b } ^ { c } v ^ { a } v ^ { b } + h \beta \beta ^ { c a } \partial _ { a } { w } } & { = \beta \mathfrak { F } ^ { c } , } \end{array}
Z = \frac { 1 } { \mathrm { V O L ~ G } } \sum _ { n } \int [ d g _ { n } ] e ^ { - i \theta n } ~ \int \prod _ { x } d A ^ { a } ( x ) ~ < A \vert e ^ { - H / T } \vert g _ { n } ^ { \dagger } A g _ { n } + i g _ { n } ^ { \dagger } \nabla g _ { n } >
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q _ { 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial t } = } & { { } - \lambda \frac { \partial Q _ { 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } + D \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } + \alpha [ Q _ { 1 } ( t | x _ { 0 } ) } \\ { \frac { \partial Q _ { 1 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial t } = } & { { } - \lambda \frac { \partial Q _ { 1 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } + D \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 1 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } + \beta [ Q _ { 0 } ( t | x _ { 0 } ) } \end{array}
J _ { 2 } \, = \, - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \tilde { \eta } \partial _ { R } ( L \tilde { \eta } ) \, \mathrm { d } X + \mathcal { O } \bigl ( \epsilon \beta _ { \epsilon } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \bigr ) \, = \, \mathcal { O } \bigl ( \epsilon \beta _ { \epsilon } \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \bigr ) \, .
{ \cal V } _ { { \mu _ { 1 } } { \nu _ { 1 } } \, { \mu _ { 2 } } { \mu _ { 3 } } } ^ { g h o s t } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) = \frac \kappa 2 \left[ \eta _ { { \mu _ { 2 } } { \mu _ { 3 } } } ( { k _ { 2 } } _ { \mu _ { 1 } } { k _ { 3 } } _ { \nu _ { 1 } } + { k _ { 3 } } _ { \mu _ { 1 } } { k _ { 2 } } _ { \nu _ { 1 } } ) - ( \eta _ { { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 2 } } } { k _ { 1 } } _ { \nu _ { 1 } } + \eta _ { { \nu _ { 1 } } { \mu _ { 2 } } } { k _ { 1 } } _ { \mu _ { 1 } } ) { k _ { 2 } } _ { \mu _ { 3 } } \right] .
{ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left( - i \nabla + \mathbf { k } \right) ^ { 2 } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) + U ( \mathbf { x } ) u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) = E _ { \mathbf { k } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } )
\begin{array} { r l } { f _ { y } ( \theta , \phi ) = \sum _ { m = 1 } ^ { M } } & { { } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \alpha _ { m n } ^ { y } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } { g _ { 1 , i } } \left( m , n , \theta , \phi \right) \right. } \end{array}
E _ { \mathrm { i n t } } = E _ { \mathrm { p o l } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { e x c h } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { p o l } } ^ { ( 2 ) } + E _ { \mathrm { e x c h } } ^ { ( 2 ) } \cdots
\begin{array} { r l r } { \mathrm { M } 4 } & { = } & { e ^ { \alpha \tau \mathcal { A } } e ^ { \beta \tau \mathcal { B } } e ^ { \left( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) \tau \mathcal { A } } e ^ { ( 1 - 2 \beta ) \tau \mathcal { B } } e ^ { \left( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) \tau \mathcal { A } } e ^ { \beta \tau \mathcal { B } } e ^ { \alpha \tau \mathcal { A } } , } \end{array}
C _ { i } ( s ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \bigg [ \mathscr { R } _ { j } ( s ) - \sum _ { m = 3 } ^ { 4 } C _ { m } ( s ) \mathscr { C } _ { j } ^ { ( m ) } ( s ) \bigg ]
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } & { \left( \widehat { F ( \mu _ { 1 } , \gamma _ { 1 } ) - F ( { \mu _ { 2 } , \gamma _ { 2 } } ) } \right) ( k ) } \\ & { = i k _ { 1 } ( \widehat { \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) * ( - i \frac { k _ { 2 } } { | k | ^ { 2 } } \widehat { \gamma _ { 1 } } ) ( k ) + ( i k _ { 1 } \widehat { { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) * ( - i \frac { k _ { 2 } } { | k | ^ { 2 } } ( \widehat { \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } } ) ) ( k ) } \\ & { - i k _ { 2 } ( \widehat { \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) * ( - i \frac { k _ { 1 } } { | k | ^ { 2 } } \widehat { \gamma _ { 1 } } ) ( k ) - ( i k _ { 2 } \widehat { { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) * ( - i \frac { k _ { 1 } } { | k | ^ { 2 } } ( \widehat { \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } } ) ) ( k ) } \\ & { + \left. i k _ { 2 } \left( ( \widehat { \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) * ( - i \frac { k _ { 1 } } { | k | ^ { 2 } } \widehat { \gamma _ { 1 } } ) ( k ) + \widehat { { \gamma _ { 2 } } } ( k ) * ( - i \frac { k _ { 1 } } { | k | ^ { 2 } } ) ( \widehat { \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) \right) \right| _ { [ 0 , k _ { 2 } ] } } \\ & { - \widehat { \mu _ { 1 } } ( k _ { 2 } ) * i k _ { 1 } ( \widehat { \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) - ( \widehat { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } ) ( k _ { 2 } ) * i k _ { 1 } \widehat { \gamma _ { 2 } } ( k ) + c _ { 0 } i k _ { 1 } ( \widehat { \gamma - { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) } \end{array}
i n \Delta \psi _ { n } + \varepsilon \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \nabla ^ { \perp } \psi _ { m } \cdot \nabla \Delta \psi _ { n - m } = \frac { 1 } { \textrm { W o } ^ { 2 } } \left( \Delta ^ { 2 } \psi _ { n } + \partial _ { z z } \Delta \psi _ { n } \right) .
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } ^ { u } = } & { { } { \nu _ { \tau } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { b ^ { r } } } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } & { { } \overline { { b ^ { g } } } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + \overline { { b ^ { b } } } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \\ { t ^ { r } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } & { { } t ^ { g } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } { C _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + t ^ { b } { C _ { 2 } ^ { \dagger } } { C _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 3 } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } + } \end{array}
S _ { v \times v } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { s _ { c } } & { s _ { c + 1 } } & { \dots } & { s _ { c + v - 1 } } \\ { s _ { c + 1 } } & { s _ { c + 2 } } & { \dots } & { s _ { c + v } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { s _ { c + v - 1 } } & { s _ { c + v } } & { \dots } & { s _ { c + 2 v - 2 } } \end{array} \right] } .
\epsilon ^ { \mathrm { D F T } } \left( k = 0 , \, \omega \right) \overset { ! } { = } \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow 0 } \epsilon ^ { \mathrm { M e r m i n } } \left( k , \, \omega ; \, \nu \left( \omega \right) \right) ,
\beta { \cal F } = a - b ( 1 + 2 \beta { \cal F } ) ^ { 4 } , ~ ~ ~ a = \frac { \beta q _ { m } ^ { 2 } } { 2 r ^ { 4 } } , ~ ~ ~ b = \frac { \beta q _ { e } ^ { 2 } } { 2 r ^ { 4 } } .
{ \cal L } _ { e f f } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \overline { { { \nu } } } \gamma ^ { \mu } \left( 1 + \gamma _ { 5 } \right) \nu \overline { { { E } } } \gamma _ { \mu } \left( g _ { V } + g _ { A } \gamma _ { 5 } \right) E .
V ( \Phi ) = m ^ { 4 } \ln \left( 1 + \frac { | \Phi | ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) - c H ^ { 2 } | \Phi | ^ { 2 } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } | \Phi | ^ { 6 } ,
{ \mathbf { E } ( r , z ) } = E _ { 0 } \, { \hat { \mathbf { x } } } \, { \frac { w _ { 0 } } { w ( z ) } } \exp \left( { \frac { - r ^ { 2 } } { w ( z ) ^ { 2 } } } \right) \exp \left( \! - i \left( k z + k { \frac { r ^ { 2 } } { 2 R ( z ) } } - \psi ( z ) \right) \! \right)
\begin{array} { r l } { A _ { D } } & { { } \equiv \frac { \alpha _ { D } + \alpha _ { \bar { D } } } { \alpha _ { D } - \alpha _ { \bar { D } } } \approx - \tan ( \delta _ { p } - \delta _ { s } ) \sin ( \zeta _ { p } - \zeta _ { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( G ^ { \prime } G p ) \bigl ( ( \theta ^ { \prime } * \theta ) _ { c _ { 1 } } , \ldots , ( \theta ^ { \prime } * \theta ) _ { c _ { n } } \bigr ) } & { = ( G ^ { \prime } G p ) \bigl ( ( G ^ { \prime } \theta _ { c _ { 1 } } ) ( \theta _ { F c _ { 1 } } ^ { \prime } ) , \ldots , ( G ^ { \prime } \theta _ { c _ { n } } ) ( \theta _ { F c _ { n } } ^ { \prime } ) \bigr ) } \\ & { = \bigl [ ( G ^ { \prime } G p ) ( G ^ { \prime } \theta _ { c _ { 1 } } , \ldots , G ^ { \prime } \theta _ { c _ { n } } ) \bigr ] ( \theta _ { F c _ { 1 } } ^ { \prime } , \ldots , \theta _ { F c _ { n } } ^ { \prime } ) } \\ & { = \bigl [ G ^ { \prime } \bigl ( ( G p ) ( \theta _ { c _ { 1 } } , \ldots , \theta _ { c _ { n } } ) \bigr ) \bigr ] ( \theta _ { F c _ { 1 } } ^ { \prime } , \ldots , \theta _ { F c _ { n } } ^ { \prime } ) } \\ & { = \bigl [ G ^ { \prime } \bigl ( \theta _ { c _ { 0 } } ( F _ { p } ) \bigr ) \bigr ] ( \theta _ { F c _ { 1 } } ^ { \prime } , \ldots , \theta _ { F c _ { n } } ^ { \prime } ) } \\ & { = \bigl [ ( G ^ { \prime } \theta _ { c _ { 0 } } ) ( G ^ { \prime } F p ) \bigr ] ( \theta _ { F c _ { 1 } } ^ { \prime } , \ldots , \theta _ { F c _ { n } } ^ { \prime } ) } \\ & { = ( G ^ { \prime } \theta _ { c _ { 0 } } ) \bigl [ ( G ^ { \prime } F p ) ( \theta _ { F c _ { 1 } } ^ { \prime } , \ldots , \theta _ { F c _ { n } } ^ { \prime } ) \bigr ] } \\ & { = ( G ^ { \prime } \theta _ { c _ { 0 } } ) \bigl ( \theta _ { F c _ { 0 } } ^ { \prime } ( F ^ { \prime } F p ) \bigr ) } \\ & { = \bigl ( ( G ^ { \prime } \theta _ { c _ { 0 } } ) ( \theta _ { F c _ { 0 } } ^ { \prime } ) \bigr ) ( F ^ { \prime } F p ) } \\ & { = ( \theta ^ { \prime } * \theta ) _ { c _ { 0 } } ( F ^ { \prime } F p ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { p o l } ( t , \boldsymbol { X } ) } & { = \boldsymbol { X } \Delta E ( t ) } \\ & { = \boldsymbol { X } \, \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) - \boldsymbol { X } \, \frac { \Delta _ { B } } { 2 } \, \sin ( \theta _ { 0 } ) \, \Delta \theta _ { 0 } \, \exp ( - \kappa t ) \, \cos ( \omega t ) \, . } \end{array}
{ \cal V } ^ { m } [ v _ { * } ^ { \alpha } , k _ { m } ] ( z ) = : U _ { m } ( v _ { * } ^ { \alpha } , X ) ( z ) e ^ { \sqrt { - 1 } ( k _ { m } , X ( z ) ) } : \, , \quad \alpha = 1 , 2 , \ldots , p _ { 2 4 } ( m ) \, ,
\mathrm { \hat { H } } = \left( \begin{array} { l l l l } { \hat { H } _ { \mathrm { b g } } } & { W _ { 3 1 } } & { W _ { 2 3 } } & { W _ { 1 2 } } \\ { W _ { 3 1 } } & { \hat { H } _ { \mathrm { c } _ { 3 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { W _ { 2 3 } } & { 0 } & { \hat { H } _ { \mathrm { c } _ { 2 3 } } } & { 0 } \\ { W _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \hat { H } _ { \mathrm { c } _ { 1 2 } } } \end{array} \right) .
{ \cal F } = \operatorname * { d e t } \left[ \sum _ { r = - { \infty } } ^ { \infty } \sum _ { p = - { \infty } } ^ { \infty } A _ { r - N + j + p } A _ { p } \left( t _ { i } ^ { r + q } \pm t _ { i } ^ { - ( r + q ) } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { q 0 } \delta _ { j N } ( t _ { i } ^ { r } + t _ { i } ^ { - r } ) \right) \right] .
\frac { \mathrm { D e t } \Lambda ( x | g ) } { \mathrm { D e t } \Lambda ( x | 0 ) } = \exp \left\{ - e _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { g } d g ^ { \prime } \; \mathrm { T r } \; { \cal G } ( x | g ^ { \prime } ) F ( x ) \right\} \; .
2 o r d e r o f m a g n i t u d e i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f b a s e l i n e s r e s u l t s i n a n i m p r o v e m e n t o f t h e i m a g i n g d y n a m i c r a n g e b y a t l e a s t t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e ( f r o m a f e w
\Vert \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , \cdot - x ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , y - \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } = \Vert \phi ( D ) \mathfrak { q } \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } } + \mathcal { T } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } [ \mathfrak { q } ( \cdot ) ] ,
\begin{array} { r l } { \Delta v _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { r } ) _ { \mathbf { q } , A } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { N _ { s } \to \infty } \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \Delta v _ { \mathrm { K S , A } } ^ { i } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( \mathcal { T } ( B ) , \mathcal { T } ( C ) ) } & { = h ( T _ { 1 } ( B ) \cup T _ { 2 } ( B ) \cup \dots \cup T _ { n } ( B ) , T _ { 1 } ( C ) \cup T _ { 2 } ( C ) \cup \dots \cup T _ { n } ( C ) ) } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \{ h ( T _ { 1 } ( B ) , T _ { 1 } ( C ) ) , h ( T _ { 2 } ( B ) , T _ { 2 } ( C ) ) , \dots , h ( T _ { n } ( B ) , T _ { n } ( C ) ) \} . } \end{array}
{ \cal L } _ { i n t } ^ { ' } = \frac { f } { 2 M } \bar { \psi } [ i \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \partial _ { \mu } \phi + \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { \mu \nu } ( \partial _ { \mu } \omega _ { \nu } - \partial _ { \nu } \omega _ { \mu } ) ] \psi
\begin{array} { r l r } & { } & { { T } ( E ) = \left\vert \frac { t } { r _ { 0 } } \right\vert ^ { 2 } = \vert t \vert ^ { 2 } \frac { 4 \sin ^ { 2 } q } { \left\vert \psi _ { L } e ^ { i q } - \psi _ { L + 1 } \right\vert ^ { 2 } } , } \\ & { } & { { R } ( E ) = \left\vert \frac { r _ { 1 } } { r _ { 0 } } \right\vert ^ { 2 } = \left\vert \frac { \psi _ { L } e ^ { - i q } - \psi _ { L + 1 } } { \psi _ { L } e ^ { i q } - \psi _ { L + 1 } } \right\vert ^ { 2 } . } \end{array}