harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { S H G } , \mathbf { k } } ^ { \mu \alpha \beta } ( \omega ) = \, \, } & { \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { v } ^ { \alpha } , \hat { v } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} + \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \frac { 1 } { 2 } \hat { h } ^ { \mu \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \hat { h } ^ { \mu \alpha } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { v } ^ { \beta } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} + \mathrm { t r } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \hat { h } ^ { \mu \alpha \beta } \cdot \hat { \rho } ^ { ( 0 ) } \right\} \mathrm { . } } \end{array}
S _ { i j } ( i \pi - \theta ) = S _ { i j } ( h \theta _ { h } + H \theta _ { H } - \theta ) = \prod _ { x = 1 } ^ { h } \prod _ { y = 1 } ^ { H } \left\{ x + h , y + H \right\} _ { \theta } ^ { - \mu _ { i j } ( x + h , y + H ) } \, \, .
J _ { D S } ( x ) = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { k } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { k } } & { { 0 } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { } } & { { \ddots } } & { { k } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { } } & { { 0 } } & { { k } } \\ { { u _ { N } } } & { { u _ { N - 1 } } } & { { u _ { N - 2 } } } & { { \cdots } } & { { u _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { A _ { 1 } ^ { \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { A _ { N } ^ { \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) } } \end{array} \right] = } & { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { 1 } } } & { \dotsc } & { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { 1 } } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { \dotsc } & { \alpha _ { 1 } ^ { \ell + 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { N } } } & { \dotsc } & { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { N } } } & { 1 } & { \alpha _ { N } } & { \dotsc } & { \alpha _ { N } ^ { \ell + 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { W _ { 1 } ^ { [ 2 ] } } \\ { \vdots } \\ { W _ { \ell } ^ { [ 2 ] } } \\ { R _ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { R _ { \ell + 1 } } \end{array} \right] , } \end{array}
{ \bar { { \cal G } } } _ { ( \mathrm { I } ) } ^ { \left( \rho \right) a } \Gamma ^ { \left( \rho \right) } = \Delta _ { \mathrm { c l } ( \mathrm { I } ) } ^ { \left( \rho \right) a } + O \left( \rho ^ { 2 } \right) \, \, , \; \; \; { \bar { { \cal G } } } _ { ( \mathrm { I I } ) } ^ { \left( \rho \right) a } \Gamma ^ { \left( \rho \right) } = \Delta _ { \mathrm { c l } ( \mathrm { I I } ) } ^ { \left( \rho \right) a } + O \left( \rho ^ { 2 } \right) \, \, ,
\begin{array} { r l } { \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } } & { = \bigg \| x _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } - \bigg ( \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \bar { \nu } _ { \ell } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \overset { ( a ) } { = } \bigg \| \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \big ( \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq I \eta ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \bigg \| \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\Lambda _ { \widetilde { T } _ { \beta } , M } ^ { \mathrm { e x } } = \Lambda _ { \widetilde { T } _ { \beta } , M } ^ { \mathrm { a } } = \underset { \kappa \to 0 ^ { + } } { \operatorname* { l i m } } \frac { c _ { \widetilde { T } _ { \beta } } ^ { \; a } ( \kappa ) } { c _ { M } ^ { \; a } ( \kappa ) } = \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { j } \nu _ { d } ( j ) } \; \underset { \kappa \to 0 ^ { + } } { \operatorname* { l i m } } \frac { \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) } { 2 \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } = \frac { \lambda _ { 1 } \nu _ { d } ( 1 ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { \beta } \lambda _ { j } \nu _ { d } ( j ) } .
I _ { T } ^ { ( 3 ) } ( { \beta } _ { 0 } , \delta , \epsilon ) = \int _ { \delta - \epsilon } ^ { \delta + \epsilon } d { \beta } _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { { \beta } _ { 0 } } d { \beta } \{ t _ { 0 } ^ { 2 } ( { \omega } , { \beta } ) + [ ( { \beta } _ { 1 } ^ { 2 } - { \beta } _ { 1 x } ^ { 2 } ) / { \beta } ^ { 2 } - 1 ] t _ { 1 } ^ { 2 } ( { \omega } , { \beta } ) \} I _ { \alpha } ^ { ( { \bf 2 3 } ) } ( { \beta } _ { 0 } , { \beta } )
\begin{array} { r l } & { \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) \in \mathcal { Z } } R e g r e t ( \mathcal { M } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } , \textbf { a l g o } , K ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \sqrt { \frac { p } { c _ { 1 } } } [ u ( H - \bar { H } - d - \rho ) - u ( - \rho ) ] \sqrt { \bar { H } L A K } ( 1 - \frac { 1 } { \bar { H } L A } ) ^ { 2 } . } \end{array}
g _ { s _ { 1 } } ^ { U D } = { \frac { 1 } { 2 } } g _ { s } ^ { 2 } T \biggl ( 1 + 8 g _ { s } ^ { 2 } { \frac { L _ { b } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \biggr ) \nonumber \, - T \biggl ( { \frac { L _ { b } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \biggl ( - h _ { t } ^ { 2 } g _ { s } ^ { 2 } + { \frac { 5 } { 2 } } g _ { s } ^ { 4 } \biggr ) + { \frac { 5 } { 6 } } { \frac { g _ { s } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \biggr ) ,
f _ { 0 } ( 9 8 0 ) \to \pi \pi , K \overline { { K } } ; \quad \ f _ { 0 } ( 1 5 0 0 ) \to \pi \pi , K \overline { { K } } , \eta \eta , \eta \eta ^ { ' } ; \quad \ a _ { 0 } ( 9 8 0 ) , f _ { 0 } ( 9 8 0 ) \to \gamma \gamma \nonumber
\mathcal { F } _ { ( 5 ) } \sim N _ { e f f } ( r ) v o l ( T ^ { 1 , 1 } ) , \qquad N _ { e f f } ( r ) = N + { \frac { 3 } { 2 \pi } } g _ { s } M ^ { 2 } \log ( r / r _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { n M ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { 8 d ^ { 2 } \kappa _ { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } c _ { m , j } ^ { 2 } } & { = \frac { n M ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { 8 d ^ { 2 } \kappa _ { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( \lambda _ { m , j } \cdot n ^ { 2 } \left( C ^ { 2 } + C _ { 1 } \right) \frac { 2 \cdot 6 4 ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } \delta ^ { 3 } \kappa _ { n } ^ { 2 } d } \right) } \\ & { = \frac { n M ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { 8 d ^ { 2 } \kappa _ { n } } \cdot n ^ { 2 } \left( C ^ { 2 } + C _ { 1 } \right) \frac { 2 \cdot 6 4 ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } \delta ^ { 3 } \kappa _ { n } ^ { 2 } d } \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 1 0 } n ^ { 3 } M ^ { 2 } } { \kappa _ { n } ^ { 3 } d ^ { 3 } } \times \frac { C ^ { 2 } + C _ { 1 } } { \gamma ^ { 2 } \delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau ^ { - 1 } ( \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf { v } _ { h } ) _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } \! } & { + \! a _ { h } ( \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf { v } _ { h } ) \! + \! b _ { h } ( \mathbf { y } _ { h } ^ { n } ; \mathbf { v } _ { h } , \boldsymbol { \lambda } _ { h } ^ { n + 1 } ) } \\ & { + b _ { h } ( \mathbf { y } _ { h } ^ { n } ; \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { n + 1 } , \boldsymbol { \mu } _ { h } ) \! = \! \ell [ \mathbf { y } _ { h } ^ { n } ] ( \mathbf { v } _ { h } ) \! - \! a _ { h } ( \mathbf { y } _ { h } ^ { n } , \mathbf { v } _ { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \forall \varphi _ { 1 } \in \mathscr { D } ( \mathcal { D } _ { 1 } ) , \forall \varphi _ { 2 } \in \mathscr { D } ( \mathcal { D } _ { 2 } ) , \ \langle T _ { 1 } \otimes T _ { 2 } , \varphi _ { 1 } \otimes \varphi _ { 2 } \rangle = \langle T _ { 1 } , \varphi _ { 1 } \rangle \times \langle T _ { 2 } , \varphi _ { 2 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ^ { q \zeta , q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } } & { { } = \frac { 2 } { 1 - \bar { \omega } _ { q } ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 1 - \bar { \omega } _ { q ^ { \prime } } ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 1 - ( \bar { \omega } _ { q } - \bar { \omega } _ { q ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } - 2 , } \\ { A _ { 2 } ^ { q \zeta , q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 - \bar { \omega } _ { q } } + \frac { 1 } { 1 - \bar { \omega } _ { q ^ { \prime } } } + \frac { 1 } { 1 - ( \bar { \omega } _ { q } + \bar { \omega } _ { q ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } - 1 , } \\ { A _ { 3 } ^ { q \zeta , q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } } & { { } = \delta _ { q q ^ { \prime } } \delta _ { \zeta \zeta ^ { \prime } } \left( \frac { 2 } { 1 + \bar { \omega } _ { q } } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 3 ) } = \frac { 1 } { 3 } \left( [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] + [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] - [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] \right) . } \end{array}
a r g _ { 1 } = m i n \left[ m a x \left( \frac { \sqrt { \overline { { k } } } } { \beta ^ { * } \overline { { \omega } } y } ; \frac { 5 0 0 \nu } { y ^ { 2 } \overline { { \omega } } } \right) ; \frac { 4 \overline { { k } } } { \sigma _ { \omega _ { 2 } } C D _ { k \omega } y ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { | \vec { T } _ { N _ { s } } - \vec { T } _ { 1 } | < } & { | \vec { T } _ { N _ { s } } - \vec { T } _ { i } ^ { \prime } | + | \vec { T } _ { N _ { s } } ^ { \prime } - \vec { T } _ { 1 } ^ { \prime } | + | \vec { T } _ { N _ { s } } ^ { \prime } - \vec { T } _ { 1 } | } \\ { \sim } & { O ( ( N _ { s } + 2 ) \theta _ { n } ) \sim O ( \Delta t ^ { 3 / 2 } ) . } \end{array}
{ H _ { { { \mathrm { s } } _ { \mathrm { 2 } } } } } \left( X \right) = - \sum _ { { s _ { n } } } { { p _ { 2 } } \left( { { s _ { n } } } \right) { { \log } _ { 2 } } { p _ { 2 } } \left( { { s _ { n } } } \right) } = 3 - \frac { 7 } { 8 } { \mathrm { l o } } { { \mathrm { g } } _ { \mathrm { 2 } } } { \mathrm { 7 } } \left( { { \mathrm { b i t s } } } \right)
\begin{array} { r l } { \delta s _ { A ^ { \prime } E ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { A ^ { \prime } F ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { A ^ { \prime } G ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { A ^ { \prime } H ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { = } \\ { \delta s _ { B ^ { \prime } E ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { B ^ { \prime } F ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { B ^ { \prime } G ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { B ^ { \prime } H ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { = } \\ { \delta s _ { C ^ { \prime } E ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { C ^ { \prime } F ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { C ^ { \prime } G ^ { \prime } } ^ { 2 } = \delta s _ { C ^ { \prime } H ^ { \prime } } ^ { 2 } } & { = 0 . } \end{array}
\pm A _ { 0 } \bar { \partial } g _ { 0 } g _ { 0 } ^ { - 1 } + \bar { A } _ { 0 } g _ { 0 } ^ { - 1 } \partial g _ { 0 } \pm A _ { 0 } g _ { 0 } \bar { A } _ { 0 } g _ { 0 } ^ { - 1 } + A _ { 0 } \bar { A } _ { 0 }
i s t h e s o c a l l e d N - n e u t r a l v e c t o r e n t e r i n g ^ { \prime } s d e f i n i t i o n o f ( a p p r o x i m a t e l y ) n e u t r a l s u r f a c e s ( A N S ) . N o w , i f w e u s e
\left\{ \begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } \frac { \partial \zeta } { \partial t } } & { = \frac { 1 } { N _ { 0 } \cdot N ( \iota ) } D [ \zeta ] \phi , } \\ { \omega _ { 0 } \frac { \partial \phi } { \partial t } } & { = \frac { 1 } { N _ { 0 } \cdot N ( \iota ) } \left( B _ { \zeta } \phi \cdot N _ { 0 } \right) \cdot D [ \zeta ] \phi - \frac { 1 } { 2 } | B _ { \zeta } \phi | ^ { 2 } - H ( \iota ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { u ( t , { \bf x } ) = u _ { e } ( { \bf x } ) + e ^ { \lambda t } \phi ( { \bf x } ) \, , \qquad v ( t , { \bf x } ) = v _ { e } ( { \bf x } ) + e ^ { \lambda t } \psi ( { \bf x } ) \, , } \\ & { } & { \mu _ { j } ( t ) = \mu _ { e j } + e ^ { \lambda t } \xi _ { j } \, , \qquad \eta _ { j } ( t ) = \eta _ { e j } + e ^ { \lambda t } \zeta _ { j } \, , \qquad \mathrm { f o r } \quad j \in \lbrace { 1 , \ldots , m \rbrace } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap ( B _ { 1 } \cup B _ { 2 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } - \frac { r } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma } { 2 } } \\ { 0 \leq x \leq \left( \frac { \sigma r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { \sigma } { r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } \leq z \leq \frac { r } { 2 } } \\ { - \left( \frac { \sigma r } { 2 } + \sigma z \right) \left( 1 - \frac { \sigma } { r } \right) ^ { - 1 } \leq x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - r \leq z \leq - \frac { r } { 2 } } \end{array} \right. . } \end{array}
\mathbf { a } \times \mathbf { b } = \left( a ^ { 2 } b ^ { 3 } - a ^ { 3 } b ^ { 2 } \right) \mathbf { e } _ { 1 } + \left( a ^ { 3 } b ^ { 1 } - a ^ { 1 } b ^ { 3 } \right) \mathbf { e } _ { 2 } + \left( a ^ { 1 } b ^ { 2 } - a ^ { 2 } b ^ { 1 } \right) \mathbf { e } _ { 3 } ,
\mu = \frac { 2 \sqrt { d } c } { \sqrt { A B - c ^ { 2 } } } , ~ ~ \gamma = \frac { 0 . 5 6 \left[ \frac { A - c } { 2 B } \left| 1 + \frac { c } { B } \right| ^ { 3 } + \frac { A + c } { 2 B } \left| 1 - \frac { c } { B } \right| ^ { 3 } + \left( 1 - \frac { A } { B } \right) \left| \frac { c } { B } \right| ^ { 3 } \right] } { ( \frac { A } { B } - \frac { c ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } ) ^ { 3 / 2 } d ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { v } ^ { \dagger } ( x , t ) \hat { v } ( x , t ) } & { { } = } & { \Delta \hat { v } _ { s o l } ^ { \dagger } \Delta \hat { v } _ { s o l } + \Delta \hat { v } _ { s o l } ^ { \dagger } \Delta \hat { v } _ { c } \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { u d } ^ { s . e } ( 2 \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow ) } & { { } = } & { 2 \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow - \uparrow \downarrow \uparrow , } \\ { P _ { s u } ^ { s . e } ( 2 \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow ) } & { { } = } & { 2 \uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow , } \\ { P _ { s d } ^ { s . e } ( 2 \downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow - \uparrow \uparrow \downarrow ) } & { { } = } & { 2 \uparrow \uparrow \downarrow - \uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow } \end{array}
\frac { I _ { c i r c } } { I _ { i n c } } = \left| \frac { E _ { c i r c } } { E _ { i n c } } \right| ^ { 2 } = \frac { T } { ( 1 - R ) ^ { 2 } + ( R 2 \pi / \omega _ { f s r } ) ^ { 2 } ( \omega - \omega _ { c } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { u ( x ) } & { \geq \lambda _ { + } ( 1 + \tau \epsilon ) ( x _ { n } + b _ { + } ) ^ { + } - \lambda _ { - } ( x _ { n } + b _ { - } ) ^ { - } } \\ & { \geq \lambda _ { + } ( 1 + \tau \epsilon ) ( x _ { n } + b _ { + } ) ^ { + } - \lambda _ { - } ( 1 - c _ { 1 } \eta \epsilon ) ( x _ { n } + b _ { + } ) ^ { - } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 1 d } } \\ { \dot { x } _ { 2 d } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { J _ { i } } \\ { - J _ { i } ^ { T } } & { - \left( R _ { d } + D _ { c } \right) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \tilde { Q } _ { 1 } x _ { 1 d } } \\ { Q _ { 2 } x _ { 2 d } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r l } { \eta _ { t + 1 } = } & { \eta _ { t } - \gamma _ { t } \cdot f _ { t } } & & { \mathrm { ( r e w a r d ~ t r a c k i n g ) } } \\ { \omega _ { t + 1 } = } & { \Pi _ { \Omega } \big [ \omega _ { t } - \beta _ { t } \cdot g _ { t } \big ] , } & & { \mathrm { ( c r i t i c ~ u p d a t e ) } } \\ { \theta _ { t + 1 } = } & { \theta _ { t } + \eta _ { t } \cdot \delta ^ { \pi _ { \theta _ { t } } } \cdot h _ { t } , } & & { \mathrm { ( a c t o r ~ u p d a t e ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { - n } ( x , y ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { y - x } } { w ^ { y - x + n + 1 } } \varphi ( w ) ^ { t } \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( v _ { i } - w ) } { \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \alpha _ { i } ^ { + } \varphi ( w ) ^ { L _ { i } - 1 } } , } \\ { \bar { \mathcal { S } } _ { ( m , n ] } ( x , y ) } & { = - \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { \vec { v } } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - y } } { w ^ { x - y - n + m + 1 } } \varphi ( w ) ^ { - t } \frac { \prod _ { i = m + 1 } ^ { n - 1 } \alpha _ { i } ^ { + } \varphi ( w ) ^ { L _ { i } - 1 } } { \prod _ { i = m + 1 } ^ { n } ( v _ { i } - w ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { I } _ { P D } = \frac { \mathrm { i } m _ { \alpha } } { \Theta _ { m } } \frac { \delta x _ { 0 } } { w _ { 0 } } \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 n + 1 ) \left( e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } - e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \right) } \end{array}
\underbrace { \mathbf { D } _ { 1 } } _ { 9 \times 8 } \underbrace { \mathbf { F } _ { 1 } } _ { 8 \times 8 } \underbrace { \mathbf { D } _ { 2 } } _ { 8 \times 8 } \underbrace { \mathbf { F } _ { 2 } } _ { 8 \times 8 } \underbrace { \mathbf { N } _ { 1 } } _ { 8 \times 1 } = \underbrace { \mathbf { c } } _ { 9 \times 1 }
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega _ { T } } \mu _ { \theta } ( x , t ) a _ { j } ( t ) \phi _ { j } ( x ) d x d t } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { T } } \left( \nabla u _ { \theta } \cdot a _ { j } ( t ) \nabla \phi _ { j } + q ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) a _ { j } ( t ) \phi _ { j } + a _ { j } ( t ) \phi _ { j } ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { \theta } \right) d x d t } \end{array}
- { \frac { 3 e ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar } } \left[ \ln \left( { \frac { ( 4 / 3 ) B _ { \mathrm { S O } } + B _ { \phi } } { B } } \right) - \psi \left( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { ( 4 / 3 ) B _ { \mathrm { S O } } + B _ { \phi } } { B } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname { e r f c } z } & { { } = { \frac { e ^ { - z ^ { 2 } } } { { \sqrt { \pi } } \, z } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } Q _ { n } } { { ( z ^ { 2 } + 1 ) } ^ { \bar { n } } } } } \end{array}
\sin ^ { 2 } \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) + \sin ^ { 2 } \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) + 2 \sin \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \, \sin \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \, \sin \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) = 1
\zeta ( \{ 2 p \} _ { n } ) = \frac { 2 p \cdot ( 2 \pi ) ^ { 2 p n } } { ( 2 p n + p ) ! } \left( \frac { 1 } { 2 \sin \frac { \pi } { 2 p } } \right) ^ { 2 p n + p } \bigg \{ 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { N _ { p } } R _ { p , k } ^ { 2 p n + p } \bigg \} \, ,
{ \tilde { \delta } } [ \phi - \phi _ { c l } ] = { \tilde { \delta } } [ { \dot { \phi } ^ { a } - \omega ^ { a b } \partial _ { b } H ] ~ d e t [ \delta _ { b } ^ { a } \partial _ { t } - \omega ^ { a c } \partial _ { c } \partial _ { b } H } ]
\frac { \partial n _ { \alpha } ( r , t ) } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial r } D \frac { \partial n _ { \alpha } ( r , t ) } { \partial r } \approx D ( t ) \frac { \partial ^ { 2 } n _ { \alpha } ( r , t ) } { \partial r ^ { 2 } } ,
| e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } \widetilde { y } _ { n } } - e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } \widetilde { y } _ { n + 1 } } | = e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } \widetilde { y } _ { n } } | e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } ( \chi _ { n } + \lambda ) } - 1 | \leq e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } ( \widetilde { y } _ { + } + 1 + \lambda ) } | e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } ( 1 + \lambda ) } - 1 |
\tilde { h } ^ { + } ( n , \omega ) + \tilde { h } ^ { - } ( n , \omega ) \; \; = \; \; \frac { \tilde { f } _ { 0 } ( \omega ) } { n - 1 } + \frac { \tilde { K } ( \omega ) \tilde { h } ^ { - } ( n , \omega ) } { n - 1 }
\mathbf { \hat { v } } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { \hat { v } _ { - Q } } & { \hdots } & { \hat { v } _ { - 1 } } & { \hat { v } _ { 0 } } & { \hat { v } _ { + 1 } } & { \hdots } & { \hat { v } _ { + Q } } \end{array} \right] ^ { \mathrm { T } } ,
{ \cal M } _ { a t } ^ { ( 1 ) } \left( \Omega _ { 1 } ^ { - } , \Omega _ { n } ^ { + } , \mathbf { q } \right) = \langle \psi _ { n l m } | F ( \mathbf { q } ) | \boldsymbol { \varepsilon } ^ { * } \cdot { \mathbf { w } } _ { 1 0 0 } ( \Omega _ { 1 } ^ { - } ) \rangle + \langle \boldsymbol { \varepsilon } \cdot { \mathbf { w } } _ { n l m } ( \Omega _ { n } ^ { + } ) | F ( \mathbf { q } ) | \psi _ { 1 0 0 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \omega } & { = \left( \frac { 1 - 4 \rho } { 4 \nu ^ { 4 } } \right) ^ { 1 / 6 } \frac { 1 } { \Delta V } = \frac { 1 } { V _ { s } } } \\ { \sigma } & { = \left( \frac { \nu ^ { 2 } \left( 1 - 4 \rho \right) } { 4 } \right) ^ { 1 / 3 } \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } = \frac { 1 } { \tau _ { s } } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c } { \varphi _ { 2 } } & { 0 } & & & \\ { - \varphi _ { 1 } } & { \varphi _ { 3 } } & { 0 } & & \\ { 0 } & { - \varphi _ { 2 } } & { \varphi _ { 4 } } & & \\ & & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { 0 } & { - \varphi _ { N - 2 } } & { \varphi _ { N } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { v _ { 1 } ( l ) } \\ { v _ { 2 } ( l ) } \\ { v _ { 3 } ( l ) } \\ { \vdots } \\ { v _ { N - 1 } ( l ) } \end{array} \right) = i \lambda ( l ) \left( \begin{array} { c } { \varphi _ { 1 } } \\ { \varphi _ { 2 } } \\ { \varphi _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { \varphi _ { N - 1 } } \end{array} \right) ,
\langle 0 | \hat { \mathrm { \bf ~ j } } _ { \mathrm { \bf ~ k } } | n \rangle = \int d ^ { 3 } r ( 1 - i \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } + . . . ) \langle 0 | \hat { \mathrm { \bf ~ j } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) | n \rangle = \langle 0 | \hat { \mathrm { \bf ~ j } } _ { 0 } | n \rangle - i \int d ^ { 3 } r \, ( \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } ) \langle 0 | \hat { \mathrm { \bf ~ j } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) | n \rangle + . . .
{ \langle \mathcal { Q } ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) \approx 4 \langle | \delta \boldsymbol { u } | ^ { 2 } \rangle \langle | \delta \boldsymbol { q } | ^ { 2 } \rangle \langle \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ^ { 2 } ( \theta _ { q } ) \rangle , }
\begin{array} { r } { ( f _ { \mathrm { H X C } } \delta \rho ) ( \mathbf r ) = \int \frac { \delta \rho ( \mathbf r ^ { \prime } ) } { | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } d \mathbf r ^ { \prime } + v _ { \mathrm { x c } } ^ { \prime } ( \rho ( \mathbf r ) ) \delta \rho ( \mathbf r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau \partial _ { t } \vec { m } } & { = 2 \left( \vec { m } _ { \mathrm { e q } } \left( \vec { w } \right) - \vec { m } \right) \ , } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \vec { m } _ { \mathrm { e q } } \left( \vec { w } \right) \simeq \vec { w } \frac { \tau } { 3 a } \left( 1 - \frac { \left( \vec { w } \tau / a \right) ^ { 2 } } { 1 5 } \right) \ . } \end{array}
\Delta L _ { k } ( N _ { 1 } , N _ { 2 } ; N _ { 1 } , N _ { 1 } ) = \frac { \langle L _ { k } ^ { ( K ) } ( N _ { 1 } , N _ { 2 } ) - L _ { k } ^ { ( R b ) } ( N _ { 1 } , N _ { 2 } ) \rangle _ { t } } { \langle L _ { k } ^ { ( K ) } ( N _ { 1 } , N _ { 1 } ) - L _ { k } ^ { ( R b ) } ( N _ { 1 } , N _ { 1 } ) \rangle _ { t } } , \quad k = x , y , z