harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { n _ { t } = } & { { } \frac { \gamma ^ { 2 } M _ { t } ^ { 2 } } { 4 m _ { i } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 3 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } } \end{array}
\frac d { d x } \left[ x ^ { 2 } A N \frac { d h } { d x } \right] = A \left[ 2 u ^ { 2 } h + x ^ { 2 } \beta _ { 1 } ^ { 2 } ( h ^ { 2 } - 1 ) h + { x ^ { 2 } \beta _ { 3 } ^ { 2 } } h ( f ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) \right] \ ,
\frac { \partial } { \partial \omega } \bar { K } _ { i \omega } ( \eta ) \left| _ { \omega = \omega _ { n } } = \frac { 2 \omega _ { n } b } { K _ { i \omega _ { n } } ( \eta ) } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { d \xi } { \xi } K _ { i \omega _ { n } } ^ { 2 } ( \xi \eta ) \right. ,
\begin{array} { r l } { B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha ^ { \prime } , \beta ) } & { \le \beta \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma ^ { n } ( v , \alpha , \beta ) ) + \alpha ^ { \prime } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ^ { n } ( v , \alpha , \beta ) + v ) } \\ & { = B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha , \beta ) + ( \alpha ^ { \prime } - \alpha ) \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ^ { n } ( v , \alpha , \beta ) + v ) } \\ & { = B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha , \beta ) + ( \alpha ^ { \prime } - \alpha ) n \overline { { V _ { n } } } ( v , \gamma ^ { n } ( v , \alpha , \beta ) ) . } \end{array}
\mathcal { T } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( k _ { h } , k _ { z } ) \equiv | \mathcal { T } _ { \mathrm { k i n } } ( k _ { h } , k _ { z } ) | + | \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ t ~ } } ( k _ { h } , k _ { z } ) | + | \mathcal { B } ( k _ { h } , k _ { z } ) | + { \varepsilon _ { \! \scriptscriptstyle K } } ( k _ { h } , k _ { z } ) + { \varepsilon _ { \! \scriptscriptstyle P } } ( k _ { h } , k _ { z } ) .
E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime } = \frac { E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime \prime } \left( 1 - \frac { v } { c } \right) \left( 1 + \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } . \eqno ( 4 0 )
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 \arctan \left( { \frac { t } { x } } \right) } { e ^ { 2 \pi t } - 1 } } \, \mathrm { { d } } t = \ln \Gamma ( x ) - x \ln x + x - { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 \pi } { x } } .
\textrm { E n e r g y i n e V p e r i o n } \approx 3 0 \, \frac { Z ^ { 3 } \, n _ { 2 6 } ^ { 3 / 2 } } { T _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( 1 / Z ) ( 1 / \tau ) } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n - i } \Big [ \Big ( 1 - \frac { k - 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } - 2 \Big ( 1 - \frac { k } { n } \Big ) ^ { n - 1 } + \Big ( 1 - \frac { k + 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \Big [ 1 - \Big ( 1 - \frac { 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } - \Big ( \frac { i } { n } \Big ) ^ { n - 1 } + \Big ( \frac { i - 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] } \\ { = } & { ( n - 1 ) \Big [ 1 - \Big ( 1 - \frac { 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] - \Big ( 1 - \frac { 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 1 } ^ { q } } & { = S _ { 2 2 } ^ { q } = S _ { 3 3 } ^ { q } = S _ { 4 4 } ^ { q } = } \\ & { \left( 4 ( 1 - p ) ^ { 2 } + 2 p ( 1 - p ) \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } + \frac { 4 p ( 1 - p ) e V } { k _ { B } \mathcal { T } ( e ^ { \frac { e V } { k _ { B } \mathcal { T } } } - 1 ) } \right) k _ { B } \mathcal { T } . } \end{array}
( { \bf p } ; l _ { L } , l _ { R } ) \to ( { \bf p } ^ { \prime } ; l _ { L } ^ { \prime } , l _ { R } ^ { \prime } ) = ( { \bf p } + w x { \bf A } ; u _ { L } - { \bf p } \cdot { \bf A } - { \frac { w x } { 2 } } { \bf A } \cdot { \bf A } , u _ { R } - { \bf p } \cdot { \bf A } - { \frac { w x } { 2 } } { \bf A } \cdot { \bf A } ) \quad .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ^ { \tau _ { 1 } } ) } ( \check { \mathbf { q } } , \check { \mathbf { p } } ) } & { = } & { \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { ( \check { q } _ { 1 } \check { p } _ { 2 } ^ { 2 } - \check { q } _ { 2 } \check { p } _ { 1 } ^ { 2 } ) } { ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } - \hbar \frac { ( \check { p } _ { 1 } - \check { p } _ { 2 } ) } { ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) } + ( \check { q } _ { 1 } + \check { q } _ { 2 } ) \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } ( \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } + \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \tau _ { 1 } ) + 2 \tau _ { 2 } \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \frac { 2 } { 3 } \left( P _ { 2 } ^ { 2 } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } - Q _ { 2 } ) + P _ { 1 } ^ { 2 } + 2 P _ { 1 } P _ { 2 } Q _ { 1 } + \hbar P _ { 2 } \right) } \\ { \mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ^ { \tau _ { 2 } } ) } ( \check { \mathbf { q } } , \check { \mathbf { p } } ) } & { = } & { 2 \left( \frac { \check { p } _ { 1 } ^ { 2 } - \check { p } _ { 2 } ^ { 2 } } { \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } } - 2 \tau _ { 1 } ( \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } + \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } + \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } ) - 2 \tau _ { 2 } ( \check { q } _ { 1 } + \check { q } _ { 2 } ) - \check { q } _ { 1 } ^ { 4 } - \check { q } _ { 1 } ^ { 3 } \check { q } _ { 2 } - \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } - \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } ^ { 3 } - \check { q } _ { 2 } ^ { 4 } \right) } \\ & { = } & { 2 \left( - P _ { 2 } ^ { 2 } Q _ { 1 } - 2 P _ { 1 } P _ { 2 } - Q _ { 1 } ^ { 4 } + 3 Q _ { 1 } ^ { 3 } Q _ { 2 } - Q _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( Q _ { 2 } - Q _ { 1 } ^ { 2 } ) \tau _ { 1 } - 2 Q _ { 1 } \tau _ { 2 } \right) } \end{array}
( F _ { 1 } ( z ) F _ { 2 } ( z ) ) ^ { ( 2 n + 1 ) } | _ { z _ { 0 } } = \left( 2 n + 1 \atop n + 1 \right) z _ { 0 } \left( F _ { 1 } ^ { ( n + 1 ) } ( z _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } > 0
\begin{array} { r l } & { = p ( 9 q - 2 p ^ { 2 } ) + \frac { ( p ^ { 2 } - 3 q ) . 2 . \left( p ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } q \right) . p \sqrt { p ^ { 2 } - 3 q } } { p \left( p ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } q \right) } } \\ & { \le p ( 9 q - 2 p ^ { 2 } ) + \frac { ( p ^ { 2 } - 3 q ) \left[ \left( p ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } q \right) ^ { 2 } + p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } - 3 q ) \right] } { p \left( p ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } q \right) } } \\ & { = \frac { 2 7 q ^ { 2 } ( p ^ { 2 } - q ) } { 2 p ( 2 p ^ { 2 } - 3 q ) } } \end{array}
{ \cal U } \frac { \partial { \cal U } } { \partial t } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { { W } } & { { Y ^ { * } } } & { { - Z ^ { * } } } \\ { { Y } } & { { W ^ { * } } } & { { - Z } } \\ { { Z ^ { * } } } & { { Z } } & { { X } } \end{array} \right) ,
( a _ { i j } ) = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } \end{array} \right) .
q : = \int _ { 0 } ^ { w } \! \! \int _ { 0 } ^ { h = h _ { 0 } \mathfrak { h } } v _ { z } \, \mathrm { d } y \mathrm { d } x = \frac { w h _ { 0 } ^ { 3 } \mathfrak { h } } { \mu _ { f } } \frac { 1 } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 1 } { \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } \mathfrak { h } / 2 } \tan \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } \mathfrak { h } / 2 \right) \right] \left( - \frac { \partial p } { \partial z } \right) ,
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ^ { \prime } ( T _ { n } ^ { \prime } ) - U _ { i } ^ { \prime } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid \theta = i ] \le - U _ { i } ^ { \prime } ( 0 ) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ^ { \prime } ( T _ { n } ^ { \prime } ) \! - \! p _ { f } ( U _ { i } ( T _ { n } ) - C _ { 2 } ) \! \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n \! - \! 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } & { \leq } & { 2 ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | + | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | ) ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ) } \\ & { + } & { 2 \biggr ( \lambda _ { n } ( | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } | ) + \lambda _ { n } ^ { * } ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ) \biggr ) \biggr ( | \mu _ { n } - \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | v _ { n } - v _ { n } ^ { * } | \biggr ) } \\ & { \leq } & { 2 \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \end{array}
U _ { i } ( \varphi _ { i } ) = ( - 1 ) ^ { i } \left[ - \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \, \varphi _ { i } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { i } } { 4 } \, \varphi _ { i } ^ { 4 } \right]
e ^ { - 2 \psi _ { 2 } } = \left| \frac { D _ { 2 } Q _ { 1 } Q _ { 2 } } { \sqrt { c _ { 1 } c _ { 2 } } } \frac { \sinh \left[ \sqrt { c _ { 2 } } ( I ( A ) + \tilde { c } _ { 2 } ) \right] \sinh \left[ \sqrt { c _ { 1 } } ( I ( A ) + \tilde { c } _ { 1 } ) \right] } { \sinh ^ { 2 } \left[ \sqrt { D _ { 2 } } ( I ( A ) + \tilde { c } ) \right] } \right| ^ { 1 / 2 } e ^ { - ( f _ { 0 } I ( A ) + f _ { 1 } ) / \sqrt { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \| x ^ { \prime } - x _ { \mathrm { O P T } } \| _ { 2 } = } & { ~ \| A ^ { \dagger } A ( x ^ { \prime } - x _ { \mathrm { O P T } } ) \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \| A ( x ^ { \prime } - x _ { \mathrm { O P T } } ) \| _ { 2 } \cdot \| A ^ { \dagger } \| } \\ { \leq } & { ~ 2 \sqrt { \epsilon _ { 1 } } \cdot \| A x _ { \mathrm { O P T } } - b \| _ { 2 } \cdot \| A ^ { \dagger } \| } \\ { = } & { ~ \frac { 2 \sqrt { \epsilon _ { 1 } } } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( A ) } \cdot \| A x _ { \mathrm { O P T } } - b \| _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E = \int d \vec { r } \sum _ { m = - 1 } ^ { 1 } \psi _ { m } ^ { * } } & { \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 M } + U _ { t r a p } ( \vec { r } ) - p m + q m ^ { 2 } \right) \psi _ { m } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { c _ { 0 } } { 2 } n ^ { 2 } + \frac { c _ { 1 } } { 2 } | \vec { F } | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \dot { \mathbf u } } & { { } = - \nabla _ { \Gamma } p + 2 \mu { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } ( \mathbf D _ { \Gamma } ( \mathbf u ) ) + \mathbf b + p \kappa \mathbf n , } \\ { { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } \mathbf u } & { { } = 0 , } \\ { \dot { \rho } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \nu _ { 0 } + \int \left( z ( x ^ { \prime } ) - \frac { n ( x ^ { \prime } ) } { x ^ { \prime } } \right) d x ^ { \prime } \right) P _ { t } \left[ z - \frac { n } { x } \right] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \left( - \int d x \frac { n ( x ) } { x } \frac { \delta } { \delta z ( x ) } \right) ^ { k } \left( \nu _ { 0 } + \int z ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } \right) P _ { t } [ z ] } \\ & { = \exp \left[ - \int d x \frac { n ( x ) } { x } \frac { \delta } { \delta z ( x ) } \right] \left( \nu _ { 0 } + \int z ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } \right) P _ { t } [ z ] . } \end{array}
Z _ { i j | A } = \left( \frac { 1 } { \beta _ { i } ^ { \rightarrow } + \beta _ { j } ^ { \leftarrow } } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \rightarrow } } \left( \frac { 1 } { \beta _ { i } ^ { \leftrightarrow , o u t } + \beta _ { j } ^ { \leftrightarrow , i n } } \right) ^ { a _ { i j } ^ { \leftrightarrow } }
\begin{array} { r } { \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } = \mathrm { { R a } } \langle T u _ { 2 } \rangle } \end{array}
E _ { \mathrm { k i n } } = \frac { 1 } { 2 } M \sum _ { j } \sigma _ { j } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } M ( \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } + \sigma _ { z } ^ { 2 } ) \equiv \frac { 1 } { 2 } M \sigma ^ { 2 } .
\begin{array} { l } { \mathrm { F i n d ~ } \hat { v } _ { 1 } \in \mathrm { H } _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ^ { R } ; \partial \Omega ^ { R } \cap \partial \Omega ) \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ f o r ~ a l l ~ } v \in \mathrm { H } _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ^ { R } ; \partial \Omega ^ { R } \cap \partial \Omega ) } \\ { \displaystyle \int _ { \Omega ^ { R } } \nabla \hat { v } _ { 1 } \cdot \nabla v \, d x - \cfrac { 1 } { R - i } \int _ { \Gamma } \hat { v } _ { 1 } v \, d \sigma - ( 2 \pi ) ^ { 2 } \displaystyle \int _ { \Omega ^ { R } } \hat { v } _ { 1 } v \, d x = - \cfrac { 2 i } { R ^ { 2 } + 1 } \int _ { \Gamma _ { 1 } } w _ { 1 } ^ { - } v \, d \sigma . } \end{array}
\Omega _ { x } \equiv { \frac { \rho _ { x } ( t = t _ { 0 } ) } { \rho _ { \mathrm { c r i t } } } } = { \frac { 8 \pi G \rho _ { x } ( t = t _ { 0 } ) } { 3 H _ { 0 } ^ { 2 } } }
T _ { \alpha \beta } ( k , p , s _ { \perp } ) = \sum _ { X } \int d ^ { 4 } \xi \exp ( - i k \cdot \xi ) \langle 0 | \psi _ { \alpha } ( 0 ) | \Lambda ( p , s _ { \perp } ) , X \rangle \langle \Lambda ( p , s _ { \perp } ) , X ) | \bar { \psi } _ { \beta } ( \xi ) | 0 \rangle ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } d _ { 1 } + \theta ^ { \prime } \partial _ { z } \psi _ { 1 } + \nabla _ { z , y } ^ { \bot } P _ { \neq } \psi _ { 1 } \cdot \nabla _ { z , y } d _ { 1 } = 0 } \end{array}
\mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( H _ { 0 } + V _ { F } ) \Delta t / \hbar } = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } H _ { 0 } \Delta t / \hbar } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } V _ { F } ( x ) \Delta t / \hbar } + \mathcal { O } ( \Delta t ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbf { X } } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { d N } { d t } = \left( \displaystyle \frac { r _ { 1 } } { 1 + k P } - q N - \displaystyle \frac { \alpha ( 1 - \eta ) P } { a + b ( 1 - \eta ) N + c P } - d \right) N , } \\ { \displaystyle \frac { d P } { d t } = \left( r _ { 2 } - \displaystyle \frac { \beta P } { ( 1 - \eta ) N + \gamma } \right) P } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 8 } { N ^ { 2 } } \mathbb { E } \sum _ { i , j } Q _ { i i } G _ { i j } ^ { 2 } \right| } & { \leq \mathbb { E } \frac { 8 } { N ^ { 2 } } \sum _ { j } | Q _ { i i } | \sum _ { j } | G _ { i j } | ^ { 2 } } \\ & { \leq \mathbb { E } \frac { 8 } { N ^ { 2 } \eta } \sum _ { i } | Q _ { i i } | \Im G _ { i i } } \\ & { \leq \frac { 8 } { N \eta ^ { 3 } } . } \end{array}
C _ { n + 1 } : = \Big \langle J _ { \mu _ { 0 } } ^ { ( I _ { 0 } ) } ( x _ { 0 } ) J _ { \mu _ { 1 } } ^ { ( I _ { 1 } ) } ( x _ { 1 } ) . . . . . J _ { \mu _ { n } } ^ { ( I _ { n } ) } ( x _ { n } ) \Big \rangle _ { 0 \; c } ^ { \theta }
\left[ a _ { - } ( k _ { - } ) , p ^ { \dagger } ( k _ { - } ^ { \prime } ) \right] = \left[ a _ { - } ^ { \dag } ( k _ { - } ) , p ( k _ { - } ^ { \prime } ) \right] = i \ 2 \pi \ \delta ( k _ { - } - k _ { - } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \mathrm { t r } [ \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ^ { ( 1 ) } ( x , x ; \ensuremath { \mathrm { i } } u ) ] = - \frac { Z } { 4 c ^ { 2 } } e ^ { - 2 \kappa ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) | x | } \left( 2 + g ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) ^ { 2 } + g ( - \ensuremath { \mathrm { i } } u ) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\nu _ { n , \ell , J } ^ { n ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } , J ^ { \prime } } = R _ { \mathrm { C s } } c \Big [ \frac { 1 } { ( n - \delta _ { n , \ell , J } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( n ^ { ' } - \delta _ { n ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } , J ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } \Big ] \quad ,
\boldsymbol { F } _ { i j } ^ { e q } = \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } \left[ C _ { 1 } g _ { 0 } + C _ { 2 } \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial g _ { t } } { \partial \vec { r } } + C _ { 3 } \frac { \partial g _ { t } } { \partial t } \right] { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \frac { \partial H _ { J } ( \vec { \sigma } , \vec { \alpha } ; \lambda ) } { \partial \lambda } H _ { J } ( \vec { \sigma } ^ { \prime } , \vec { \alpha } ^ { \prime } ; \lambda ) \right] } & { = \frac { N } { 4 } \left[ \vphantom { \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } } V ( \sigma \cdot \sigma ^ { \prime } ) - V ( \alpha \cdot \alpha ^ { \prime } ) \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. - \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } \Big [ \sigma ( \tau ) \cdot \sigma ^ { \prime } ( \tau ^ { \prime } ) - \alpha ( \tau ) \cdot \alpha ^ { \prime } ( \tau ^ { \prime } ) \Big ] \frac { \partial V ( \alpha \cdot \alpha ^ { \prime } ) } { \partial [ \alpha ( \tau ) \cdot \alpha ^ { \prime } ( \tau ^ { \prime } ) ] } \right] , } \end{array}
+ \sum _ { n } \pi _ { n , 1 } \frac { \partial \overline { { { H } } } _ { 0 } } { \partial q _ { n , 0 } } + \sum _ { n } \sum _ { j _ { n } = 2 } ^ { m _ { n } - 1 } \pi _ { n , j _ { n } } \left[ \frac { \partial \overline { { { H } } } _ { 0 } } { \partial q _ { n , j _ { n } - 1 } } - \mu _ { n , j _ { n } - 1 } \right] \ .
\frac { g _ { \rho } ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { F _ { \pi } ^ { 2 } ( 0 ) } = \frac { F _ { \sigma } ^ { 2 } ( m _ { \rho } ) } { F _ { \pi } ^ { 2 } ( 0 ) } \left[ 1 - 2 g ^ { 2 } ( m _ { \rho } ) z _ { 3 } ( m _ { \rho } ) \right] \ \rightarrow \ 1 \ .
\; _ { j } \psi _ { k } \left[ { \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { \ldots } & { a _ { j } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { \ldots } & { b _ { k } } \end{array} } ; q , z \right] = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \ldots , a _ { j } ; q ) _ { n } } { ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , \ldots , b _ { k } ; q ) _ { n } } } \left( ( - 1 ) ^ { n } q ^ { \binom { n } { 2 } } \right) ^ { k - j } z ^ { n } .
\begin{array} { r l } & { V _ { k } = \langle u _ { k } , A u _ { k } \rangle + \| v _ { k } \| ^ { 2 } - \langle h v _ { k } , A u _ { k } \rangle } \\ { \Longrightarrow \ } & { V _ { k } = k ^ { 2 } \langle q _ { k } , A q _ { k } \rangle + \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \| h ( k - 1 ) p _ { k } + q _ { k } \| ^ { 2 } - k \langle h ( k - 1 ) p _ { k } + q _ { k } , A q _ { k } \rangle . } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) = q \left( { \frac { \mathbf { n } - { \boldsymbol { \beta } } } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { n } ) ^ { 3 } R ^ { 2 } } } \right) _ { \mathrm { { r e t } } } + { \frac { q } { c } } \left( { \frac { \mathbf { n } \times [ ( \mathbf { n } - { \boldsymbol { \beta } } ) \times { \dot { \boldsymbol { \beta } } } ] } { ( 1 - { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { n } ) ^ { 3 } R } } \right) _ { \mathrm { { r e t } } }
\begin{array} { l c l } { { \{ p ^ { n } , f \} _ { \theta } } } & { { = } } & { { \sum _ { s = 0 } ^ { n } \theta ^ { s - 1 } c _ { n } ^ { s } \{ \frac { 1 - ( - ) ^ { s } } { 2 } \} f ^ { s } p ^ { n - s } , } } \\ { { \{ p ^ { - n } , f \} _ { \theta } } } & { { = } } & { { \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \theta ^ { s - 1 } c _ { s + n - 1 } ^ { s } \{ \frac { ( - ) ^ { s } - 1 } { 2 } \} f ^ { s } p ^ { - n - s } . } } \end{array}
h _ { C } ( z _ { 1 C } , z _ { 2 C } \dots z _ { n C } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { c l a u s e ~ } } C { \mathrm { ~ s a t i s f i e d } } } \\ { 1 } & { { \mathrm { c l a u s e ~ } } C { \mathrm { ~ v i o l a t e d } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \eta \in \Xi _ { \mathcal B } : = } & { \{ \eta ( \mathbf x ) \in C ^ { 1 } ( \partial K ) ~ | ~ 0 \le | \eta ( \mathbf x ) | \le M _ { 1 } , } \\ & { \left| \eta ( \mathbf x ) - \eta ( \mathbf y ) \right| \le M _ { 2 } \left| \mathbf x - \mathbf y \right| ^ { \alpha _ { 0 } } , \ \forall \mathbf x , \mathbf y \in \partial K \} . } \end{array}
\cos \theta = { \frac { \mathbf { x } ^ { T } A \mathbf { x } } { \lVert \mathbf { x } \rVert \lVert A \mathbf { x } \rVert } } = { \frac { \langle \mathbf { x } , A \mathbf { x } \rangle } { \lVert \mathbf { x } \rVert \lVert A \mathbf { x } \rVert } } , \theta = \theta ( \mathbf { x } , A \mathbf { x } ) = { \widehat { \mathbf { x } , A \mathbf { x } } } = { \mathrm { t h e ~ a n g l e ~ b e t w e e n ~ } } \mathbf { x } { \mathrm { ~ a n d ~ } } A \mathbf { x }
I ^ { ( \pm ) } : = \int d ^ { 2 } q \, \frac { e ^ { i \vec { q } . ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) } } { k ^ { 2 } - q ^ { 2 } \pm i \epsilon } \; , ~ ~ ~ ~ ~ ~ k : = | \vec { k } | = \frac { \sqrt { 2 m E } } { \hbar } \, .
\begin{array} { r l } { M ( x , t , k ) = } & { \; I + \frac { M _ { 3 3 } ^ { ( 1 ) } } { k } \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + \frac { M _ { 3 3 } ^ { ( 2 ) } } { k ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { \; + \frac { \widetilde { M } _ { 1 3 } ^ { ( 2 ) } } { ( 1 - \omega ) k ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { - \omega } & { 0 } & { \omega } \\ { \omega ^ { 2 } } & { - \omega ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) + O ( k ^ { - 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| { \mathcal { X } } _ { i } ( x + \ell , t ) - { \mathcal { X } } _ { i } ( x , t ) \right| ^ { 3 } } \\ & { = \frac { \theta ^ { 3 } } { ( d ( d + 2 ) ) ^ { 3 / 2 } } | \psi ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) } \\ & { - 3 \frac { \theta ^ { 3 } } { ( d ( d + 2 ) ) ^ { 3 / 2 } } X _ { i } ( x ) X ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x ) \psi ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { + 3 \frac { \theta ^ { 3 } } { ( d ( d + 2 ) ) ^ { 3 / 2 } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x ) \psi ( x ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { + 3 \frac { \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( \ell ) \psi ( x ) \psi ( x ) } \\ & { + 3 \frac { \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { - 3 \frac { \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { - 6 \frac { \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { + 6 \frac { \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) \psi ( x ) } \\ & { + 3 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x ) } \\ & { + 6 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x ) } \\ & { + 3 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { + 6 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x = \ell ) } \\ & { + 2 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) \psi ( x + \ell ) } \\ & { + X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) } \\ & { - 3 X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) } \\ & { + 3 X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x + \ell ) X _ { i } ( x + \ell ) } \\ & { - \frac { \theta ^ { 3 } } { ( d ( d + 2 ) ) ^ { 3 / 2 } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) \psi ( x ) \psi ( x ) \psi ( x ) } \\ & { - 3 \frac { \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) \psi ( x ) \psi ( x ) } \\ & { - 3 \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) \psi ( x ) } \\ & { - X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) X _ { i } ( x ) } \end{array}