harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } \mathbf { P } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \mathbf { P } _ { k , \sigma } \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { P _ { 2 , 3 } C _ { 1 } Q _ { 4 , 3 } ^ { * } } & { = \ell _ { 2 , 1 } C _ { 2 } } \\ { P _ { 3 , 3 } C _ { 1 } Q _ { 4 , 3 } ^ { * } } & { = \ell _ { 1 , 1 } C _ { 1 } } \\ { P _ { 2 , 2 } C _ { 2 } Q _ { 4 , 3 } ^ { * } } & { = \ell _ { 2 , 2 } C _ { 2 } } \\ { P _ { 3 , 2 } C _ { 1 } Q _ { 4 , 3 } ^ { * } } & { = \ell _ { 1 , 2 } C _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { \mathrm { I C M E } } = - \frac { \xi _ { 1 } } { 2 } \left( 2 ( E _ { x } M _ { x } + E _ { y } M _ { y } ) ^ { 2 } + E _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } m ^ { 2 } \right) } \\ { - \frac { \xi _ { 2 } } { 2 } \Big ( E _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } M _ { z } ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } M _ { x } M _ { z } ( E _ { y } ^ { 2 } - E _ { x } ^ { 2 } ) } \\ { + 4 \sqrt { 2 } E _ { x } E _ { y } M _ { y } M _ { z } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } } w _ { i } ^ { 0 } Z _ { i , \ell } ^ { 0 } - \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { j \in M _ { 1 } } w _ { j } ^ { 1 } Z _ { j , \ell } ^ { 1 } \right| } & { = \left| \frac { 1 } { n _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 0 } } f _ { S ^ { * } , \ell } ^ { k ^ { * } \alpha ^ { * } } ( Z _ { i } ^ { 0 } ) - \frac { 1 } { n _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } f _ { S ^ { * } , \ell } ^ { k ^ { * } \alpha ^ { * } } ( Z _ { j } ^ { 1 } ) \right| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { f _ { \ell } \in \mathcal { F ^ { * } } } \left| \frac { 1 } { n _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 0 } } f _ { \ell } ( Z _ { i } ^ { 0 } ) - \frac { 1 } { n _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } f _ { \ell } ( Z _ { j } ^ { 1 } ) \right| } \\ & { = \gamma _ { \mathcal { F } ^ { * } } ( \mathbb { Q } _ { n _ { 0 } } ^ { 0 } , \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } ^ { 1 } ) = \gamma _ { \mathcal { F } ^ { * } } ( g ( \mathcal { Z } _ { 0 } ) , g ( \mathcal { Z } _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { C } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } \equiv - i \left\langle T _ { c } \, \hat { a } _ { C } ( \tau _ { 1 } ) \, \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle } \\ { B _ { i j } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } \equiv - i \left\langle T _ { c } \, \hat { b } _ { i } ( \tau _ { 1 } ) \, \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } ( \tau _ { 2 } ) \right\rangle \qquad ( i , j = 1 , 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { p } } & { { } = \Bigg ( \bigotimes _ { i = 0 } ^ { p - 1 } Z _ { i } \Bigg ) \otimes \frac { X _ { p } + i Y _ { p } } { 2 } ~ = : \Bigg ( \bigotimes _ { i = 0 } ^ { p - 1 } Z _ { i } \Bigg ) \otimes Q _ { p } , } \\ { a _ { p } ^ { \dagger } { } } & { { } = \Bigg ( \bigotimes _ { i = 0 } ^ { p - 1 } Z _ { i } \Bigg ) \otimes \frac { X _ { p } - i Y _ { p } } { 2 } ~ = : \Bigg ( \bigotimes _ { i = 0 } ^ { p - 1 } Z _ { i } \Bigg ) \otimes Q _ { p } ^ { \dagger } { } , } \end{array}
\xi _ { t } = - \left( x _ { t } \xi _ { x } + y _ { t } \xi _ { y } + z _ { t } \xi _ { z } \right) , \quad \eta _ { t } = - \left( x _ { t } \eta _ { x } + y _ { t } \eta _ { y } + z _ { t } \eta _ { z } \right) , \quad \zeta _ { t } = - \left( x _ { t } \zeta _ { x } + y _ { t } \zeta _ { y } + z _ { t } \zeta _ { z } \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { N } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } ^ { \mathrm { m a x } } } } \mathrm { d } \tau _ { \mathrm { d } } P ( \tau _ { \mathrm { d } } ) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { u } ^ { \mathrm { m a x } } } } \mathrm { d } \tau _ { \mathrm { u } } P ( \tau _ { \mathrm { u } } ) \mathcal { N } \left( \tau _ { \mathrm { d } } , \tau _ { \mathrm { u } } \right) , } \\ { \overline { { F } } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } ^ { \mathrm { m a x } } } } \mathrm { d } \tau _ { \mathrm { d } } P ( \tau _ { \mathrm { d } } ) \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { u } ^ { \mathrm { m a x } } } } \mathrm { d } \tau _ { \mathrm { u } } P ( \tau _ { \mathrm { u } } ) \overline { { F } } \left( \tau _ { \mathrm { d } } , \tau _ { \mathrm { u } } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { D ( \boldsymbol { \mu } ) } & { E ^ { * } ( \boldsymbol { \mu } ) } \\ { E ( \boldsymbol { \mu } ) } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x } \\ { p } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \bar { g } ( \boldsymbol { \mu } ) } \\ { f ( \boldsymbol { \mu } ) } \end{array} \right) \begin{array} { l l } & { \mathrm { i n ~ } X ^ { * } , } \\ & { \mathrm { i n ~ } Q . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \Delta ^ { 2 } = - 6 ( \chi N ) ^ { 2 } ( \Delta ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \Big ( 2 ( \chi N ) ^ { 2 } - \delta _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \Big ) \Delta ^ { 2 } + \frac { \delta _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } - ( \chi N ) ^ { 2 } } { 8 } .
F = \frac { 1 } { \tilde { r } } \sigma ( \alpha ) ^ { - 5 } \ d \mathrm { V o l } _ { S ^ { 5 } } = \tilde { r } ^ { 4 } 1 2 ^ { - 5 / 2 } \sigma ^ { - 8 } \sin ^ { 4 } \alpha \ d \alpha \wedge d \Omega _ { ( 4 ) } \, .
\begin{array} { r } { x = i , \qquad \hat { A } = \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { C } _ { n } , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \hat { B } = \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } . } \end{array}
2 ( 2 p _ { 1 } + 1 ) J _ { 5 } - 2 ( 2 p _ { 2 } + 1 ) J _ { 3 } - 2 ( 2 p _ { 1 } + 1 ) J _ { 4 } + 2 ( 2 p _ { 2 } + 1 ) J _ { 6 } \ .
\begin{array} { r l } { H _ { \delta x _ { c } } = } & { \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp c } } { A } d ^ { 2 } k _ { \perp } \frac { 2 } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( k _ { x } / k _ { \Lambda } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( k _ { y } / k _ { \Lambda } ) ^ { 2 } } } \\ & { | \mathcal { F } _ { k _ { x } } [ \langle x | \mathrm { H G } _ { 0 1 } ^ { x } ( x _ { c } ) \rangle ] \mathcal { F } _ { k _ { y } } [ \langle y | \mathrm { H G } _ { 0 0 } ^ { y } ( y _ { c } ) \rangle ] | ^ { 2 } } \\ { H _ { \delta y _ { c } } = } & { \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp c } } { A } d ^ { 2 } k _ { \perp } \frac { 2 } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( k _ { x } / k _ { \Lambda } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( k _ { y } / k _ { \Lambda } ) ^ { 2 } } } \\ & { | \mathcal { F } _ { k _ { y } } [ \langle y | \mathrm { H G } _ { 0 1 } ^ { y } ( y _ { c } ) \rangle ] \mathcal { F } _ { k _ { x } } [ \langle x | \mathrm { H G } _ { 0 0 } ^ { x } ( x _ { c } ) \rangle ] | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } ( u , \varphi , x _ { 0 } , \rho ) = { \operatorname* { s u p } } ^ { k _ { 1 } , \dots , k _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } } & { C _ { k _ { i } , s } \bigg \{ \int _ { B _ { \rho } ( 0 ) } \frac { \varphi ( x _ { 0 } + \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } \xi _ { j } ^ { i } ) - \varphi ( x _ { 0 } ) } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } } \\ & { + \int _ { B _ { \rho } ( 0 ) ^ { c } } \frac { u ( x _ { 0 } + \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } \xi _ { j } ^ { i } ) - u ( x _ { 0 } ) } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } \bigg \} . } \end{array}
\mathbf { r } _ { 1 } = \mathbf { r } _ { 0 } - \alpha _ { 0 } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { 0 } = { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } - { \frac { 7 3 } { 3 3 1 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 1 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 2 8 1 0 } \\ { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { e ^ { ( a ) } ( u ) e ^ { ( \digamma ) } ( v ) } & { = e ^ { ( a ) } ( u ) f ^ { ( \digamma ) } ( v ) \psi _ { + } ^ { ( \digamma ) } ( - v - c / 2 ) ^ { - 1 } } \\ & { = - \phi ^ { a \Leftarrow \digamma } ( - u , - v ) ^ { - 1 } f ^ { ( \digamma ) } ( v ) \psi _ { + } ^ { ( \digamma ) } ( - v - c / 2 ) ^ { - 1 } e ^ { ( a ) } ( u ) } \\ & { = - \left( U V \right) ^ { - \frac { \mathfrak { t } } { 2 } \chi _ { a \digamma } } \phi ^ { a \Leftarrow \digamma } ( v - u ) ^ { - 1 } f ^ { ( \digamma ) } ( v ) \psi _ { + } ^ { ( \digamma ) } ( - v - c / 2 ) ^ { - 1 } e ^ { ( a ) } ( u ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d x } { d \varphi } } } & { { } = r ^ { \prime } ( \varphi ) \cos \varphi - r ( \varphi ) \sin \varphi } \\ { { \frac { d y } { d \varphi } } } & { { } = r ^ { \prime } ( \varphi ) \sin \varphi + r ( \varphi ) \cos \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { } & { - 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n + m + 1 } \psi _ { n } ^ { m + 1 } } \\ & { } & { \left( \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { m + 1 } ( a ) } { L _ { n } ^ { m + 1 } ( a ) } \right) . } \end{array}
{ \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f _ { i } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { \mu _ { 1 } \leq \ldots \leq \mu _ { j } } ( - 1 ) ^ { j } { \frac { \partial ^ { j } } { \partial x _ { \mu _ { 1 } } \dots \partial x _ { \mu _ { j } } } } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f _ { i , \mu _ { 1 } \dots \mu _ { j } } } } \right) = 0
Z _ { \circ } \ = \ \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c _ { \phi } } } & { { s _ { \phi } } } \\ { { 0 } } & { { s _ { \phi } } } & { { - c _ { \phi } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { \theta } } } & { { s _ { \theta } } } & { { 0 } } \\ { { s _ { \theta } } } & { { - c _ { \theta } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { i \alpha } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c _ { \phi } } } & { { s _ { \phi } } } \\ { { 0 } } & { { s _ { \phi } } } & { { - c _ { \phi } } } \end{array} \right)
\sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } \cdot \mu \left( \bigcup _ { j = 1 } ^ { \infty } ( S _ { j } \cap A _ { i } ) \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } c _ { i } \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \mu ( S _ { j } \cap A _ { i } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { 0 } , T ] } \Vert \mathcal { F } u ( t ) \Vert _ { V } } & { { } \leq C _ { 0 } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { \omega ( T - t _ { 0 } ) } , 1 \} r _ { 0 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { U _ { A B } = } & { { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { \ell _ { A } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \ell _ { B } = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \ell _ { B } } { \binom { 2 \ell _ { A } + 2 \ell _ { B } } { 2 \ell _ { A } } } ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \sum _ { m _ { A } = - \ell _ { A } } ^ { \ell _ { A } } \sum _ { m _ { B } = - \ell _ { B } } ^ { \ell _ { B } } ( - 1 ) ^ { m _ { A } + m _ { B } } I _ { \ell _ { A } + \ell _ { B } } ^ { - m _ { A } - m _ { B } } ( \mathbf { R } _ { A B } ) \; Q _ { \ell _ { A } } ^ { m _ { A } } Q _ { \ell _ { B } } ^ { m _ { B } } \; \langle \ell _ { A } , m _ { A } ; \ell _ { B } , m _ { B } \mid \ell _ { A } + \ell _ { B } , m _ { A } + m _ { B } \rangle . } \end{array} }
\mathrm { d } _ { t } \eta + \Big ( H \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \eta ) \Big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \eta = 0 ,
\begin{array} { r l } { h ^ { 2 } q _ { t } = - n ( n + 1 ) h ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial t } Y _ { n } ( s , \bar { s } ) } & { { } = - n ( n + 1 ) i \omega h ^ { 2 } \left( - s \frac { \partial Y _ { n } } { \partial s } + \bar { s } \frac { \partial Y _ { n } } { \partial \bar { s } } \right) } \end{array}
\alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } = 1 1 6 4 8 + 2 1 6 3 2 \kappa ^ { 2 } - 1 8 2 5 1 \kappa ^ { 4 } - 1 1 9 \kappa ^ { 6 } > 0 , \quad \forall \, \kappa ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] ,
\begin{array} { r } { M _ { W } ^ { 2 } ( 1 - \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } } ) = \frac { \pi \alpha } { \sqrt { 2 } G _ { \mu } } ( 1 + \Delta r ( M _ { W } , . . . ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial u _ { j } ^ { d , p } } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \rho _ { g } \left( \frac { \partial u _ { i } ^ { d , p } } { \partial t } + \frac { \partial u _ { j } u _ { i } ^ { d , p } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } ^ { d , p } u _ { i } ^ { u , p } } { \partial x _ { j } } \right) } & { { } = } & { - \frac { \partial p ^ { d , p } } { \partial x _ { i } } + { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { u _ { i } ^ { d , p } } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + { \mathcal G } ^ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { c v } - \mathbf { x } _ { q } ) F _ { i , p } ^ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { > 0 } ^ { ( \digamma ) } ( U ) = \sum _ { n > 0 } f _ { n } ^ { ( \digamma ) } U ^ { - n } , \quad f _ { \leq 0 } ^ { ( \digamma ) } ( U ) = \sum _ { n \leq 0 } f _ { n } ^ { ( \digamma ) } U ^ { - n } , } \\ & { e _ { \geq 0 } ^ { ( \digamma ) } ( U ) = \sum _ { n \geq 0 } e _ { n } ^ { ( \digamma ) } U ^ { - n } , \quad e _ { < 0 } ^ { ( \digamma ) } ( U ) = \sum _ { n < 0 } e _ { n } ^ { ( \digamma ) } U ^ { - n } , } \end{array}
S _ { s } = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 1 0 } ^ { 2 } } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - G ^ { s } } \left[ e ^ { - 2 \Phi } \left\{ { \cal R } _ { G ^ { s } } + 4 ( \partial \Phi ) ^ { 2 } \right\} - { \frac { 1 } { 2 \cdot ( p + 2 ) ! } } F _ { p + 2 } ^ { 2 } \right] ,
H = \tau ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) + 4 w _ { 0 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) \, .
\tau _ { \delta } ( \zeta ) = \tau _ { \delta } ( \zeta ^ { \prime } , \zeta _ { n + 1 } ) \left( \frac { 2 \delta \zeta ^ { \prime } } { 1 + \zeta _ { n + 1 } + \delta ^ { 2 } ( 1 - \zeta _ { n + 1 } ) } , \frac { 1 + \zeta _ { n + 1 } - \delta ^ { 2 } ( 1 - \zeta _ { n + 1 } ) } { 1 + \zeta _ { n + 1 } + \delta ^ { 2 } ( 1 - \zeta _ { n + 1 } ) } \right) .
\langle \widehat { N } _ { \textnormal { t o t } } \rangle = \sum _ { j , \sigma } \langle \hat { n } _ { { j } , \sigma } \rangle \leftrightarrow \langle z _ { 1 } \rangle + \langle z _ { 4 } \rangle + \langle z _ { 5 } \rangle + \langle z _ { 8 } \rangle ,
{ \begin{array} { r l } { \left| \, { \tan } { \biggl ( } { \frac { \theta } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } { \biggr ) } \right| } & { = \left| { \frac { \tan { \frac { 1 } { 2 } } \theta + \tan { \frac { 1 } { 4 } } \pi } { 1 - \tan { \frac { 1 } { 2 } } \theta \, \tan { \frac { 1 } { 4 } } \pi } } \right| = \left| { \frac { t + 1 } { 1 - t \cdot 1 } } \right| } \\ & { = \left| { \frac { 1 + t } { 1 - t } } \right| . } \end{array} }
{ H } _ { i } / \hbar = \frac { \Omega _ { 1 } } { 2 } ( { \sigma } _ { g p } ^ { i } + { \sigma } _ { p g } ^ { i } ) + \frac { \Omega _ { 2 } ( x _ { i } ) } { 2 } ( { \sigma } _ { e p } ^ { i } + { \sigma } _ { p e } ^ { i } ) - \Delta { \sigma } _ { p p } ,
\begin{array} { r l } { \langle \hat { F } _ { i j } ^ { \mathrm { c o m p . } } \rangle } & { { } = { F } _ { i j } + { { \Sigma } } _ { a b } ^ { - 1 } \mathrm { C o v } \left[ { \mu } _ { a , i } ^ { t } , { \mu ^ { t } } _ { b , j } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { i } ^ { * } ( 0 ) } & { { } \simeq \frac { \exp \left[ i ( \ln \mu + \nu / 2 ) + i ^ { 2 } \nu / 2 \right] } { \exp \left[ ( i - 1 ) ( \ln \mu + \nu / 2 ) + ( i - 1 ) ^ { 2 } \nu / 2 \right] } = \mu e ^ { \nu i } \; . } \end{array}
\begin{array} { l } { { < \chi ( { \{ n _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { N } ; { \{ m _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { M } ; { \{ q _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { Q } ; { \{ t _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { T } ; { \{ \nu _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { 4 } ) \mid \chi ( { \{ n _ { r } \} } _ { 1 } ^ { N } ; { \{ m _ { r } \} } _ { 1 } ^ { M } ; { \{ q _ { r } \} } _ { 1 } ^ { Q } ; { \{ t _ { r } \} } _ { 1 } ^ { T } ; { \{ \nu _ { r } \} } _ { 1 } ^ { 4 } ) > = } } \\ { { = \displaystyle \prod _ { r = 1 } ^ { N } \delta _ { n _ { r } n _ { r } ^ { \prime } } \cdot \displaystyle \prod _ { r = 1 } ^ { M } \delta _ { m _ { r } m _ { r } ^ { \prime } } \cdot \displaystyle \prod _ { r = 1 } ^ { Q } \delta _ { q _ { r } q _ { r } ^ { \prime } } \cdot \displaystyle \prod _ { r = 1 } ^ { T } \delta _ { t _ { r } t _ { r } ^ { \prime } } \cdot \displaystyle \prod _ { r = 1 } ^ { 4 } \delta _ { \nu _ { r } \nu _ { r } ^ { \prime } } . } } \end{array}
c _ { \mathrm { g l o b a l } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } c _ { \mathrm { l o c a l } } ^ { \mathrm { a t o m } , i } = \bar { c } _ { \mathrm { l o c a l } } ( r _ { \mathrm { c u t } } )
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \{ l , m \} ) = \gamma + \gamma ^ { \dagger } , \quad \gamma = \frac { 1 } { 6 } \Bigg ( } & { \frac { ( 1 + e ^ { i \phi } ) ( \eta ^ { ( 1 ) \dagger } \eta ^ { ( 3 ) } + \eta ^ { ( 5 ) \dagger } \eta ^ { ( 1 ) } ) } { \sqrt { \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 1 ) } \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 3 ) } } } + \frac { ( 1 - e ^ { i \phi } ) ( \eta ^ { ( 1 ) \dagger } \eta ^ { ( 4 ) } + \eta ^ { ( 6 ) \dagger } \eta ^ { ( 1 ) } ) } { \sqrt { \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 1 ) } \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 4 ) } } } + } \\ & { \frac { ( 1 - e ^ { i \phi } ) ( \eta ^ { ( 2 ) \dagger } \eta ^ { ( 3 ) } + \eta ^ { ( 5 ) \dagger } \eta ^ { ( 2 ) } ) } { \sqrt { \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 2 ) } \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 3 ) } } } + \frac { ( 1 + e ^ { i \phi } ) ( \eta ^ { ( 2 ) \dagger } \eta ^ { ( 4 ) } + \eta ^ { ( 6 ) \dagger } \eta ^ { ( 2 ) } ) } { \sqrt { \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 2 ) } \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 4 ) } } } + } \\ & { \frac { ( 1 + e ^ { 2 i \phi } ) \eta ^ { ( 5 ) \dagger } \eta ^ { ( 3 ) } } { \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 3 ) } } + \frac { ( 1 - e ^ { 2 i \phi } ) \eta ^ { ( 6 ) \dagger } \eta ^ { ( 3 ) } } { \sqrt { \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 3 ) } \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 4 ) } } } + \frac { ( 1 + e ^ { 2 i \phi } ) \eta ^ { ( 4 ) \dagger } \eta ^ { ( 6 ) } } { \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( 4 ) } } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { i , j } ^ { I } = \ensuremath { \langle \Phi _ { I } \vert } \hat { E } _ { i , j } \ensuremath { \vert \Psi _ { 0 } \rangle } = \sum _ { J = 1 } ^ { M } c _ { J } \ensuremath { \langle \Phi _ { I } \vert } \hat { E } _ { i , j } \ensuremath { \vert \Phi _ { J } \rangle } , } \end{array}
\bar { \chi } _ { \alpha \beta } ( p _ { \alpha } ^ { \prime } , p _ { \beta } ^ { \prime } ; \vec { P } ) \, = \, \left( \gamma _ { 0 } \chi ^ { \dagger } ( - p _ { \beta } ^ { \prime } , - p _ { \alpha } ^ { \prime } ; \vec { P } ) \gamma _ { 0 } \right) _ { \alpha \beta } \; .
\begin{array} { r l } & { { { \mathbf { W } } ^ { * } } = { { \mathbf { W } } ^ { n } } + \frac { 1 } { 2 } \Delta t \mathcal { L } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } \right) + \frac { 1 } { 8 } \Delta { { t } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial t } \mathcal { L } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } \right) } \\ & { { { \mathbf { W } } ^ { n + 1 } } = { { \mathbf { W } } ^ { n } } + \Delta t \mathcal { L } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } \right) + \frac { 1 } { 6 } \Delta { { t } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial t } \mathcal { L } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } \right) + 2 \frac { \partial } { \partial t } \mathcal { L } \left( { { \mathbf { W } } ^ { * } } \right) \right) , } \end{array}
\delta _ { \epsilon } \Phi ^ { \alpha _ { 0 } } = Z _ { \; \; \alpha _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } \epsilon ^ { \alpha _ { 1 } } \rightarrow \delta _ { \epsilon } A _ { \mu } ^ { a } = \partial _ { \mu } \epsilon ^ { a } + \epsilon _ { \mu } ^ { a } ,
n _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } ) = \rho _ { 2 } ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } ; { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } ) / n ( { \bf r } ^ { \prime } ) - n ( { \bf r } ) \quad ,
\begin{array} { r l } { { \cal R } ( f ) - { \cal R } ( f ^ { * } ) } & { \leq \frac { 2 k _ { e } \varepsilon ^ { 2 } } { n } + \frac { 8 M ^ { 2 } \log ( n ) ^ { 1 + \delta } } { n } \left\| f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } + \frac { 6 4 k a } { n } + \operatorname* { m a x } ( k - k _ { \lambda } , 0 ) \left\| f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + 2 c _ { r } \left\| T _ { \lambda } ^ { - 1 } \Pi _ { { \cal F } _ { \lambda } } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } ^ { 2 } \left\{ { \cal L } _ { k _ { \lambda } } ( \hat { \Theta } ; \lambda ) - { \cal L } _ { k _ { \lambda } } ( \Theta _ { * } ; \lambda ) \right\} + \left\| ( I - \Pi _ { { \cal F } _ { \lambda } } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega } \partial _ { t } u ^ { N } \phi _ { j } d x } & { = } & { - \int _ { \Omega } M _ { \theta } ( u ^ { N } ) \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \cdot \nabla \frac { \phi _ { j } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x , } \\ { \int _ { \Omega } \mu ^ { N } \phi _ { j } d x } & { = } & { \int _ { \Omega } \left( \nabla u ^ { N } \cdot \nabla \phi _ { j } + q ^ { \prime } ( u ^ { N } ) \phi _ { j } + \phi _ { j } ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u ^ { N } \right) d x , } \\ { u ^ { N } ( x , 0 ) } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \int _ { \Omega } u _ { 0 } \phi _ { j } d x \right) \phi _ { j } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf z _ { 1 } } & { : = - \tau \left[ \cos \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) + \mathrm { i } \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } + 1 } \sin \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) \right] , } \\ { \mathbf z _ { 2 } } & { : = \tau \left[ \sin \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) + \mathrm { i } \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } + 1 } \cos \left( \varphi - \theta _ { 0 } \right) \right] , } \\ { \mathbf z _ { 3 } } & { : = \tau \left( - \cos \varphi + \mathrm i \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } + 1 } \sin \varphi \right) , \ \mathbf z _ { 4 } : = \tau \left( - \sin \varphi - \mathrm i \sqrt { \frac { k ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } + 1 } \cos \varphi \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \delta x _ { + } ^ { \mu } = h ^ { \mu } ( z ) + 2 i \lambda _ { \mathbf i } ( z _ { + } ) \sigma ^ { \mu } \bar { \theta } ^ { \mathbf i } \ , \qquad \qquad } } & { { \delta \theta _ { \mathbf i } ^ { \alpha } = \lambda _ { \mathbf i } ^ { \alpha } ( z _ { + } ) \ , } } \\ { { \delta x _ { - } ^ { \mu } = { \bar { h } } ^ { \mu } ( z ) - 2 i \theta _ { \mathbf i } \sigma ^ { \mu } { \bar { \lambda } } ^ { \mathbf i } ( z _ { - } ) \ , \qquad \qquad } } & { { \delta \bar { \theta } ^ { { \dot { \alpha } } { \mathbf i } } = { \bar { \lambda } } ^ { { \dot { \alpha } } { \mathbf i } } ( z _ { - } ) \ , } } \end{array}
\frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \, - \, \Lambda ^ { 2 } \, + \, m ^ { 2 } \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } + m ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \, = \, \frac { C _ { g } \pi ^ { 2 } } { 3 N _ { c } m ^ { 2 } } \, \equiv \, \frac { \gamma m ^ { 2 } } { 2 } .
\ddot { \Phi } - \frac { 2 } { a } \, \dot { \Phi } _ { , r } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \, \Phi _ { , r r } + H \dot { \Phi } = 8 \pi G \, \dot { \varphi } \left( \delta \dot { \varphi } - \frac { 1 } { a } \, \delta \varphi _ { , r } \right) ,