harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ J ^ { \nu } } _ { \mathrm { f r e e } } = ( c \rho _ { \mathrm { f r e e } } , \mathbf { J } _ { \mathrm { f r e e } } ) = \left( c \nabla \cdot \mathbf { D } , - \ { \frac { \partial \mathbf { D } } { \partial t } } + \nabla \times \mathbf { H } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { d p _ { x } } { d \phi } = } & { { } \frac { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { p _ { - } } [ a _ { 0 } ^ { 2 } \cos \phi \sin \phi + a _ { 0 } a _ { 1 } \sin ( 2 k _ { 0 } x + \phi _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \mathrm { B H } } = - J \sum _ { i } \left( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i + 1 } + \mathrm { h . c } \right) + \frac { U } { 2 } \sum _ { i } \hat { n } _ { i } \left( \hat { n } _ { i } - 1 \right) , } \\ & { H _ { \mathrm { F H } } = - t \sum _ { i } \left( \hat { c } _ { i } ^ { \dagger } \hat { c } _ { i + 1 } + \mathrm { h . c } \right) + U \sum _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { \le 2 ^ { n R } \operatorname* { P r } ( d _ { H } ( X _ { 1 } ^ { n } , X _ { i } ^ { n } ) \le n \delta ) + \kappa _ { n } } \\ & { \le 2 ^ { n R } 2 ^ { - n D ( \delta \| 1 - \hat { q } ) } + \kappa _ { n } } \\ & { = 2 ^ { - n \left[ D ( \delta \| 1 - \hat { q } ) - R \right] } + \kappa _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 1 - \left\langle { G _ { 1 } - m _ { 1 } } \right\rangle \right) \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } } \right\rangle } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } \left\langle { A _ { 1 } A _ { 2 } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { A _ { 1 } ( G _ { 2 } ^ { t } - m _ { 2 } I ) A _ { 2 } } \right\rangle - m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } } } } \right\rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { \mu } \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle } \\ & { + \sum _ { \mu } \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ^ { t } \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) A _ { 2 } ^ { t } G _ { 2 } \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { f } ( \gamma \tau , \gamma ^ { - 1 } \circ ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) ) } & { = \int _ { \gamma \tau } ^ { \infty } f ( t ) \cdot \left[ \gamma ^ { - 1 } \circ ( t X _ { 1 } + X _ { 2 } ) ^ { k - 2 } \right] d t } \\ & { = \int _ { \tau } ^ { \gamma ^ { - 1 } \infty } f ( t ) ( t X _ { 1 } + X _ { 2 } ) ^ { k - 2 } d t . } \end{array}
\Big | \frac { 1 } { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \mathbb { I } ( { \mathbf x } ^ { \top } { \mathbf a } _ { i } ^ { p } \geq 0 ) - \frac { 1 } { n _ { u } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \mathbb { I } ( { \mathbf x } ^ { \top } { \mathbf a } _ { i } ^ { u } \geq 0 ) \Big | \approx R _ { 0 } ( { \mathbf x } ) : = \Big | \frac { 1 } { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \sigma ( { \mathbf x } ^ { \top } { \mathbf a } _ { i } ^ { p } ) - \frac { 1 } { n _ { u } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \sigma ( { \mathbf x } ^ { \top } { \mathbf a } _ { i } ^ { u } ) \Big | .
R _ { 2 } = \frac { 4 \Gamma \left< u ^ { * 2 } \right> \left< u _ { S } ^ { + } \left( t ^ { + } \right) u _ { S } ^ { + } \left( t ^ { + } - \tau _ { a } ^ { + } \right) \right> } { \sqrt { \left< E _ { 2 L } ^ { 2 } \left[ u ^ { * } \right] \right> } \sqrt { \left< u _ { S } ^ { + 2 } \right> } }
\Pi _ { a b } ( k ) = i g \, D _ { a a ^ { \prime } } ^ { - 1 } ( k ) \, \tau _ { b x } ^ { 3 } \left( \int \frac { d ^ { 6 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } \Gamma _ { x a ^ { \prime } b } ( p - k / 2 , k , - ( p + k / 2 ) ) \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \left\lfloor \frac { \Delta _ { e ^ { - l n ^ { 4 } n } / n \ll t < T _ { 1 } - \xi / n } \arg p ( \zeta ( t ) ) } { \pi } \right\rfloor + \left\lfloor \frac { \Delta _ { T _ { 1 } + \xi / n < t < T - c _ { 2 } / n ^ { 2 / 3 } } \arg p ( \zeta ( t ) ) } { \pi } \right\rfloor } \\ { \ge } & { \left\lfloor \frac { \Delta _ { e ^ { - l n ^ { 4 } n } / n \ll t < T _ { 1 } - \xi / n } \arg p ( \zeta ( t ) ) } { \pi } + \frac { \Delta _ { T _ { 1 } + \xi / n < t < T - c _ { 2 } / n ^ { 2 / 3 } } \arg p ( \zeta ( t ) ) } { \pi } \right\rfloor - 1 . } \end{array}
= \frac { \mathfrak { p } ( x + k \alpha ) \mathfrak { q } ( x + ( k + 1 ) \alpha ) } { ( 1 - \mathfrak { p } ( x + ( k + 1 ) \alpha ) ) ^ { 2 } } = \frac { \mathfrak { p } ( x + k \alpha ) \mathfrak { q } ( x + ( k + 1 ) \alpha ) } { \mathfrak { q } ( x + ( k + 1 ) \alpha ) ^ { 2 } } = \frac { \mathfrak { p } ( x + k \alpha ) } { \mathfrak { q } ( x + ( k + 1 ) \alpha ) } ,
\begin{array} { r l r } { E _ { i } } & { { } = } & { F _ { 0 i } = \partial _ { 0 } A _ { i } - \partial _ { i } A _ { 0 } + i [ A _ { 0 } , A _ { i } ] } \\ { B _ { x } } & { { } = } & { F _ { y z } = \partial _ { y } A _ { z } - \partial _ { z } A _ { y } + i [ A _ { y } , A _ { z } ] } \end{array}
- \sum _ { { \bf { q } } _ { 1 } } A _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 + { \bf { q } } _ { 1 } / 2 } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } _ { 1 } ) A _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } _ { 1 } / 2 } ( - { \bf { q } } + { \bf { q } } _ { 1 } )
\left( \begin{array} { l } { { F ^ { ( \pm ) \Lambda } } } \\ { { G _ { \Sigma } ^ { ( \pm ) } } } \end{array} \right) \, \rightarrow \, \left( \begin{array} { l } { { F ^ { ( \pm ) \prime \Lambda } } } \\ { { G _ { \Sigma } ^ { ( \pm ) \prime } } } \end{array} \right) \, = \, \left( \begin{array} { l l } { { A _ { t } } } & { { B _ { t } } } \\ { { C _ { t } } } & { { D _ { t } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { F ^ { ( \pm ) \Lambda } } } \\ { { G _ { \Sigma } ^ { ( \pm ) } } } \end{array} \right)
\Gamma _ { \textrm { e P I E } } = \textrm { d i a g } \left[ \left( \frac { \operatorname* { m a x } \left( \left| P \right| ^ { 2 } \right) } { \alpha \beta } - \frac { \left| P \right| ^ { 2 } } { \alpha } \right) ^ { 1 / 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | \mathcal { T } _ { \mathfrak { c } } \bar { L } | } & { \leq \sqrt { \mathbb { E } | \mathcal { T } _ { \mathfrak { c } } | ^ { 2 } \mathbb { E } | \bar { L } | ^ { 2 } } = O ( n ^ { - 1 } h ^ { - ( d + 2 ) / 2 } ) } \\ { \mathbb { E } | ( H _ { \mathfrak { c } } + \mathcal { T } _ { \mathfrak { c } } ) \bar { Q } | } & { \leq \sqrt { \mathbb { E } | H _ { \mathfrak { c } } + \mathcal { T } _ { \mathfrak { c } } | ^ { 2 } \mathbb { E } | \bar { Q } | ^ { 2 } } = O \big ( ( n ^ { - 1 / 2 } + n ^ { - 1 } h ^ { - d - 2 } ) ( n ^ { - 1 / 2 } h ^ { - d / 2 - 1 } ) \big ) } \\ { \mathbb { E } ( H _ { \mathfrak { c } } \bar { L } ) ^ { 2 } } & { = O ( n ^ { - 1 } + n ^ { - 2 } h ^ { - 2 d - 4 } ) } \\ { \mathbb { E } | H _ { \mathfrak { c } } \bar { L } \bar { Q } | } & { = O \big ( ( n ^ { - 1 / 2 } + n ^ { - 1 } h ^ { - d - 2 } ) ( n ^ { - 1 / 2 } h ^ { - d / 2 - 1 } ) \big ) . } \end{array}
U ( x , y ; z = 0 ) = U _ { 0 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { - \frac { ( x - \beta _ { j } ) ^ { 2 } + ( y - \gamma _ { j } ) ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } e ^ { i \phi _ { j } } ,
x _ { t } ^ { ( m ) } = x _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { ( m ) } - \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { x } _ { t } = \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } - \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \bar { \nu } _ { \ell } .
\begin{array} { r l r } { \Psi : \left\{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) : x _ { 2 } > x _ { 1 } > 0 \right\} } & { \to } & { \left\{ ( p , e ) : p > 0 , 0 < e < 1 \right\} , } \\ { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { \mapsto } & { ( p , e ) = \left( \frac { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } } { x _ { 1 } + x _ { 2 } } , \frac { x _ { 2 } - x _ { 1 } } { x _ { 1 } + x _ { 2 } } \right) , } \end{array}
\frac { d l _ { \alpha } } { d \lambda } = - \frac { \partial H } { \partial x ^ { \alpha } } = \frac { 1 } { 2 } \dot { x } ^ { \mu } \dot { x } ^ { \nu } \frac { \partial g _ { \mu \nu } } { \partial x ^ { \alpha } } + \frac { 1 } { \omega } g ^ { \mu \nu } \dot { x } _ { \nu } \frac { \partial b _ { \mu } } { \partial x ^ { \alpha } } ,
\begin{array} { r l r } { - \frac { d ^ { 2 } } { d \phi ^ { 2 } } \Phi } & { = } & { m ^ { 2 } \Phi , } \\ { - \frac { d } { d \theta } \left( \sin \theta \frac { d \Theta } { d \theta } \right) + \frac { m ^ { 2 } } { \sin \theta } \Theta } & { = } & { l \sin \theta \Theta , } \\ { - \frac { d } { d r } \left( r ^ { 2 } \frac { d R } { d r } \right) + l R } & { = } & { 0 . } \end{array}
- { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \alpha ^ { 2 } } } = \operatorname { v a r } [ \ln ( X ) ] = \psi _ { 1 } ( \alpha ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) = { \mathcal { I } } _ { \alpha , \alpha } = \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \alpha ^ { 2 } } } \right] = \ln ( \operatorname { v a r _ { G X } } )
\Gamma [ \bar { \Phi } , \Phi ] = \int d ^ { 8 } z { \cal L } _ { e f f } ( \Phi , D _ { A } \Phi , D _ { A } D _ { B } \Phi ; \bar { \Phi } , D _ { A } \bar { \Phi } , D _ { A } D _ { B } \bar { \Phi } ) + ( \int d ^ { 6 } z { \cal L } _ { e f f } ^ { ( c ) } ( \Phi ) + h . c . ) + \ldots
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { - 1 / 2 } } & { ( f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c } } ( x _ { 0 } + \epsilon \check { x } ) - f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c } } ( x _ { 0 } ) ) = c \Psi ( \alpha _ { \star } \cdot \check { x } ; \kappa \vec { \alpha } _ { \star } ^ { \perp } \cdot ( x _ { 0 } - y _ { 0 } ) , k _ { \star } ) + O ( \epsilon ^ { 1 / 2 } ) , \ \epsilon \to 0 , } \\ { c : = } & { - ( \kappa / \pi ) ( 2 r ) ^ { 1 / 2 } \, \Delta f ( y _ { 0 } ) , \k _ { \star } : = \alpha _ { \star } / \Delta \alpha , \ \kappa : = \Delta \alpha / \epsilon , } \end{array}
\tilde { \psi } ^ { \alpha _ { i - 1 } \alpha _ { i } } ( x _ { i } | \boldsymbol x _ { < i } ) = M _ { x _ { i } } ^ { \alpha _ { i - 1 } \alpha _ { i } } + f _ { N N } ( x _ { i } | \boldsymbol x _ { < i } ) ,
V ( r , u ) = - { \frac { u ^ { 4 } } { r ^ { 9 } } } 2 ^ { 4 } \pi ^ { 7 / 2 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 4 } \Gamma ( { \frac { 9 } { 2 } } ) + O ( u ^ { 6 } ) \quad .
\begin{array} { r l } { S _ { x , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { x } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { y , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { y } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { z , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { z } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \end{array} .
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 5 . 0 4 , 0 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { i f ~ } x < 2 . 9 - 0 . 1 \sin \left[ 2 \pi \left( y + 0 . 2 5 \right) \right] , } \\ { ( 1 , 0 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { i f ~ } x < 3 . 2 , } \\ { ( 1 . 4 1 1 2 , - 6 6 5 / 1 5 5 6 , 0 , 1 . 6 2 8 ) , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { d ( x ) } & { = } & { \operatorname* { m i n } \{ \ell _ { 1 } ( x ) , \ldots , \ell _ { N } ( x ) \} , } \\ { \# _ { d } ( x ) } & { = } & { \# \{ i \in \{ 1 , \ldots , N \} \, \vert \, \ell _ { i } ( x ) = d ( x ) \} , } \\ { \Gamma ( x ) } & { = } & { \mathbb { Z } \langle \ell _ { 1 } ( x ) - d ( x ) , \ldots , \ell _ { N } ( x ) - d ( x ) \rangle . } \end{array}
\Delta m _ { \odot } ^ { 2 } = \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \ll \Delta m _ { \mathrm { a t m } } ^ { 2 } = \Delta m _ { 4 3 } ^ { 2 } \ll \Delta m _ { \mathrm { L S N D } } ^ { 2 } = \Delta m _ { 4 1 } ^ { 2 } \simeq \Delta m _ { 4 2 } ^ { 2 } \simeq \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } \simeq \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 }
\widetilde { K } _ { l } ( p ) = ( 4 \pi ) ^ { - 3 l / 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \cdots \mathrm { d } \alpha _ { l } \; A ^ { - 3 / 2 } \; \exp \left( \frac { - B } { A } p ^ { 2 } \right)
W = M _ { H } S _ { h } ^ { 2 } + m _ { l } S _ { l } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } S _ { h } ^ { 3 } + \lambda _ { 2 } S _ { h } ^ { 2 } S _ { l } + \lambda _ { 3 } S _ { l } ^ { 3 } + \lambda _ { 4 } S _ { h } S _ { l } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { C ^ { i j k l } } & { { } = } & { H ^ { i j k l } + \left( H ^ { i j } g ^ { k l } + H ^ { i k } g ^ { j l } + H ^ { i l } g ^ { j k } + H ^ { j k } g ^ { i l } + H ^ { j l } g ^ { i k } + H ^ { k l } g ^ { i j } \right) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } } & { \geq 1 + \log _ { 2 } ( M _ { d , { \varepsilon } / 5 } ) , } \\ { m _ { 1 } } & { \geq \log _ { 2 } ( C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } ( { \varepsilon } / 5 ) ^ { - 1 } ) , } \\ { m _ { 2 } } & { \geq 1 + \log _ { 2 } ( M _ { d , { \varepsilon } / 5 } ) + \log _ { 2 } ( C _ { 2 } d ^ { 2 } ( { \varepsilon } / 5 ) ^ { - 1 } ) , } \end{array}
{ \theta } = f ^ { ( 1 ) } ( \psi , \lambda ; \chi ) = \left[ \begin{array} { l l } { \psi - \chi , } & { \quad \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ i ~ s ~ t ~ r ~ a ~ l ~ : ~ } ~ { \lambda } \in [ 0 , \pi ) , } \\ { \psi + \chi , } & { \quad \mathrm { ~ d ~ e ~ x ~ t ~ r ~ a ~ l ~ : ~ } ~ { \lambda } \in ( - \pi , 0 ) , } \end{array} \right.
h _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { e v e n } } = \left( \begin{array} { c c c c } { { H _ { 0 } \left( 1 - { \frac { 2 M } { r } } \right) } } & { { H _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { H _ { 1 } } } & { { H _ { 2 } \left( 1 - { \frac { 2 M } { r } } \right) ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { r ^ { 2 } K ( r ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta K ( r ) } } \end{array} \right) e ^ { - i \omega t } P _ { l } ( \theta ) .
- i { \cal M } = B _ { 1 } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 4 } B _ { 2 } ( P _ { \mu } F ^ { \mu \nu } ) ( P ^ { \rho } F _ { \rho \nu } ^ { \prime } ) + \frac { 1 } { 4 } B _ { 5 } ( P ^ { \nu } q ^ { \mu } F _ { \mu \nu } ) ( P ^ { \sigma } q ^ { \rho } F _ { \rho \sigma } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ a ~ t ~ i ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } } & { { } = 2 \int _ { 0 } ^ { L _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } } - \cos ^ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } z ) \sin ^ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } z ) e ^ { i \Delta k z } d z } \end{array}
( 1 + 4 \cdot 2 ) \times ( 1 + 5 \cdot 2 ) = 9 \times 1 1 \; \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ c ~ l ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ s ~ } = 1 8 \times 2 2 \; \mathrm { ~ p ~ i ~ x ~ e ~ l ~ s ~ }
V _ { I J } ^ { [ 2 , 2 ] } = { \frac { \frac { m ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } [ V _ { I J } ^ { ( 2 ) } ( s ) ] ^ { 2 } } { V _ { I J } ^ { ( 2 ) } ( s ) - \frac { m ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } V _ { I J } ^ { ( 4 ) } ( s ) } }
\left[ \Delta _ { 3 } + \partial _ { z } ^ { 2 } - \frac { 1 5 k ^ { 2 } } { 4 \left( k \left| z \right| + 1 \right) ^ { 2 } } + 3 k \delta \left( z \right) \right] \bar { V } = G \mu \, \delta ^ { ( 3 ) } \left( x \right) \delta \left( z \right)
\begin{array} { r l } { J } & { { } = \left[ \begin{array} { c c } { \partial _ { \langle b \rangle } G _ { \langle b \rangle } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) } & { \partial _ { \langle v ^ { \dagger } c \rangle } G _ { \langle b \rangle } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) } \\ { \partial _ { \langle b \rangle } G _ { \langle v ^ { \dagger } c \rangle } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) } & { \partial _ { \langle v ^ { \dagger } c \rangle } G _ { \langle v ^ { \dagger } c \rangle } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leqslant \vartheta \leqslant N } ( \widetilde { U } _ { \vartheta } - \widetilde { U } _ { \vartheta } ^ { \prime } ) ^ { T } ( L _ { \vartheta } ( \widetilde { U } ) - L _ { \vartheta } ( \widetilde { U } ^ { \prime } ) ) \geqslant \varpi \| \widetilde { U } - \widetilde { U } ^ { \prime } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \Pi _ { N } ^ { \otimes n } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \\ & { = \exp \left\{ - \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } d _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } ^ { 2 } } \right\} \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j \geq 1 } c _ { j } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { j } t } } { \alpha _ { j } } \xi _ { j } \right) ^ { \otimes n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) . } \end{array}
U ^ { T } ( n _ { 1 } A + n _ { 2 } B ) U = U ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \alpha + \beta } { 2 } u _ { n } } & { \frac { 1 - \alpha } { 2 } n _ { x } \sqrt { U _ { 1 } } } & { \frac { 1 - \beta } { 2 } n _ { y } \sqrt { U _ { 1 } } } \\ { \frac { 1 - \alpha } { 2 } n _ { x } \sqrt { U _ { 1 } } } & { \frac { 1 } { 2 } u _ { n } } & { 0 } \\ { \frac { 1 - \beta } { 2 } n _ { y } \sqrt { U _ { 1 } } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } u _ { n } } \end{array} \right] U = U ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ & { \frac { 1 } { 2 } u _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } u _ { n } } \end{array} \right] U
< T _ { J , J } W _ { J _ { 1 } , m _ { 1 } } \prod _ { i = 2 } ^ { N } T _ { J _ { i } , J _ { i } } > = \frac { 4 J ( m _ { 1 } - J _ { 1 } ) } { p - 2 J } < W _ { J + J _ { 1 } - 1 , J + m _ { 1 } } \prod _ { i = 2 } ^ { N } T _ { J _ { i } , J _ { i } } > .
W _ { o } = - \frac { G m _ { o } } { R _ { o } } \frac { 4 \pi \rho } { 3 } a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 0 } \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } } { R _ { o } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 0 } \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } } { R _ { o } ^ { 2 } } . \right]
{ { T } _ { 1 } } = \frac { { \left\langle { { X } _ { A _ { 1 } } } { { X } _ { B _ { 1 } } ^ { m } } \right\rangle } ^ { 2 } } { \eta { V _ { A } V _ { M } } } = \frac { T { { V } _ { A } } } { { { V } _ { M } } } ,
U _ { N } = \left( \frac { Q ^ { 2 } \rho g s i n ( \theta ) } { 3 \mu } \right) ^ { 1 / 3 } , \, H _ { N } = \left( \frac { 3 \mu Q } { \rho g s i n ( \theta ) } \right) ^ { 1 / 3 }
\mathcal { F } = \frac { ( \chi _ { A S } f _ { A } N - \chi _ { A B } N ) + ( \chi _ { B S } ( 1 - f _ { A } ) N - \chi _ { A B } N ) } { \chi _ { \theta } N } + \mathcal { F } _ { O D T } + K _ { p a c k } \mathcal { F } _ { p a c k } .
u _ { e } ( x , y , t ) = \sin ( \mu x ) \sin ( \nu y ) ( 2 \cos ( \lambda t ) + \sin ( \lambda t ) ) , \qquad \mu = \frac { 2 \pi } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } , \nu = \frac { 2 \pi } { y _ { 1 } - y _ { 0 } } , \lambda = \sqrt { \mu ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { c } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { { } = \left( \frac { 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } \right) \left( \frac { 6 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 2 \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } \right) - \frac { \left( 1 - 1 3 \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } { n ^ { 2 } } , } \\ { \Bar { T } _ { c } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { { } = \pm \frac { 1 } { 3 n ^ { 4 } } \left[ 1 6 \left( 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \left( \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ { r _ { 0 ( c ) } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { { } = \pm \sqrt { \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } } . } \end{array}
\hat { F } _ { L } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } , Q ^ { 2 } , k _ { T } ^ { 2 } ) = { \frac { Q ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } k _ { T } ^ { 2 } } } \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \beta \int d ^ { 2 } \kappa _ { T } ^ { \prime } x ^ { \prime } \delta \left( x ^ { \prime } - \left( 1 + { \frac { \kappa _ { T } ^ { \prime 2 } + m _ { q } ^ { 2 } } { \beta ( 1 - \beta ) Q ^ { 2 } } } + { \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } \right) \times \nonumber
A _ { l } = \frac { 1 } { l ^ { 2 } \sqrt { 4 l ^ { 2 } - 1 } } , \quad B _ { l } = l ^ { 2 } ( l ^ { 2 } - 1 ) A _ { l } , \quad \Delta _ { l } = \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } \rho ^ { 2 } } + \frac { 2 } { \rho } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \rho } - \frac { l ( l + 1 ) } { \rho ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \| \mathbb { B } \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \mathbb { v } _ { \alpha } \left( \mathbb { K } _ { \alpha } ^ { * } - \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } \right) \| _ { 2 } } & { \leq \| \mathbb { B } \| _ { 2 } \| \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \mathbb { v } _ { \alpha } \left( \mathbb { K } _ { \alpha } ^ { * } - \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } \right) \| _ { 2 } } \\ & { = \| \mathbb { B } \| _ { 2 } \| \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \left( \mathbb { K } _ { \alpha } - ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } \right) \mathbb { v } _ { \alpha } ^ { * } \| _ { 2 } } \\ & { \leq \| \mathbb { B } \| _ { 2 } \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \| \left( \mathbb { K } _ { \alpha } - ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } \right) \mathbb { v } _ { \alpha } ^ { * } \| _ { 2 } } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ 1 , \| B \| _ { 2 } \} \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \| \left( \mathbb { K } _ { \alpha } - ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } \right) \mathbb { v } _ { \alpha } ^ { * } \| _ { 2 } \le \mathcal { Z } _ { u } , } \end{array}
= \ \sum _ { z = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) } { z } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sum _ { \qquad \qquad \qquad \left. \begin{array} { c } { { m _ { 1 } \geq 0 } } \\ { { m _ { 2 } \geq 0 } } \\ { { \ldots } } \end{array} \right| m _ { 1 } + m _ { 2 } + m _ { 3 } + \ldots = z } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! z ! \prod _ { q \geq 1 } \frac { 1 } { m _ { q } ! } \left( \frac { - \lambda ^ { q } } { q ! } \right) ^ { m _ { q } } = \ \sum _ { z = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) } { z } \left( \sum _ { q = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { - \lambda ^ { q } } { q ! } \right) \right) ^ { z } =
- { \boldsymbol { \nabla \times } } \left( { \boldsymbol { \nabla \times B } } \right) = \nabla ^ { 2 } { \boldsymbol { B } } = \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } { \boldsymbol { B } } = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } { \boldsymbol { B } } \ ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k } ^ { ( v ) } ( x ) } & { { } = 1 - { \frac { 1 } { \Gamma ( k - 1 ) } } \sum _ { r = k - 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { r - k + 1 } } { \Gamma ( r - k + 2 ) } } { \frac { \langle z _ { r + 1 } \rangle ^ { ( v ) } } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } { \frac { ( 1 - x ) ^ { r } } { r } } } \\ { \Phi _ { q } ^ { ( e ) } ( x ) } & { { } = 1 - { \frac { 1 } { \Gamma ( q - 1 ) } } \sum _ { s = q - 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { s - q + 1 } } { \Gamma ( s - q + 2 ) } } { \frac { \langle n _ { s + 1 } \rangle ^ { ( e ) } } { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } { \frac { ( 1 - x ) ^ { s } } { s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathrm { S } ( t ) \right] } & { = e ^ { - ( B + C ) t } \mathrm { S } ( 0 ) + \mathrm { S } ^ { \ast } \left( 1 - e ^ { - ( B + C ) t } \right) } \\ { \mathrm { V a r } \left( \mathrm { S } ( t ) \right) } & { = \frac { 1 } { \alpha } \left( 1 - e ^ { - 2 ( B + C ) t } \right) = \frac { A ^ { 2 } } { 2 ( B + C ) } \left( 1 - e ^ { - 2 ( B + C ) t } \right) } \end{array}