harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { I I } ( x , y ) = - \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } ) + 2 \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } + \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 } y ^ { 2 } + \frac { B } { 2 y ^ { 2 } } \ ,
\Psi \simeq \hat { \mathcal { A } } _ { N } { \sum } _ { A , P } c _ { A , P } [ \Phi _ { A } ( \mathbf { x } _ { 1 } \cdots \mathbf { x } _ { N - 1 } ) \varphi _ { P } ( \mathbf { x } _ { N } ) ] ,
2 i ( U ^ { \mathrm { T } } W ) _ { I J } + ( U ^ { \mathrm { T } } V ) _ { I } { } ^ { K } \, F _ { K J } + F _ { I K } \, ( Z ^ { \mathrm { T } } W ) ^ { K } { } _ { J } - \textstyle { \frac { i } { 2 } } F _ { I K } \, ( Z ^ { \mathrm { T } } V ) ^ { K L } \, F _ { L J }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \sin \left( x t \right) \phi \left( x \right) d x } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int \frac { d } { d x } \left( - \frac { \cos \left( x t \right) } { t } \right) \phi \left( x \right) d x = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int \cos \left( x t \right) \phi _ { x } \left( x \right) d x = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { C } { t } = 0 } \end{array}
\Pi _ { 0 } ^ { i } ( q ^ { 2 } ) + S _ { \mathrm { V } } \Pi _ { 1 } ^ { i } ( q ^ { 2 } ) + \cdots = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \rho _ { 0 } ^ { i } ( s ) } { s - q ^ { 2 } } } d s + S _ { \mathrm { V } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \rho _ { 1 } ^ { i } ( s ) } { s - q ^ { 2 } } } d s + \cdots \ .
\begin{array} { r l } { \delta _ { \chi } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ } \chi = \chi _ { 0 } , } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \chi \neq \chi _ { 0 } , } \end{array} \right. } \\ { \mathfrak { a } ( \chi ) } & { = ( 1 + b _ { \chi } ) ( 1 - a _ { \chi } ) ( 1 - \delta _ { \chi } ) - \frac { L ^ { \prime } ( 0 , \chi ) } { L ( 0 , \chi ) } ( a _ { \chi } ( 1 - \delta _ { \chi } ) + \delta _ { \chi } ) , } \\ { \mathfrak { b } ( \chi ) } & { = ( 1 - c _ { \chi } ) a _ { \chi } + \frac { L ^ { \prime } ( - 1 , \chi ) } { L ( - 1 , \chi ) } ( 1 - a _ { \chi } ) , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathfrak { c } ( x , \chi ) } & { = a _ { \chi } \log { x } - ( 1 - a _ { \chi } ) ( 1 - \delta _ { \chi } ) x \log { x } - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 1 - 2 m - a _ { \chi } } } { ( 2 m + a _ { \chi } ) ( 2 m - 1 + a _ { \chi } ) } . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial x _ { \mu } } \frac { \partial } { \partial y _ { \nu } } \langle T \{ A _ { \mu } ( x ) A _ { \nu } ( y ) \} \rangle _ { 0 } = \langle T \{ \partial A ( x ) \partial A ( y ) \} \rangle _ { 0 } - i \xi \delta ^ { 4 } ( x - y ) .
i { \mathcal { M } } _ { t } = ( - i e ) ^ { 2 } { \bar { u } } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } u ( p _ { 1 } ) { \frac { - i } { t } } { \bar { u } } ( p _ { 4 } ) \gamma _ { \mu } u ( p _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { M _ { x _ { 0 } } ( \mu ) } & { = m \int \vert T _ { m } ^ { - 1 } ( x ) - x _ { 0 } \vert ^ { 2 } d \lambda } \\ & { = \frac { 1 } { m } \int \vert x - x _ { 0 } \vert ^ { 2 } d \lambda } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n } \frac { 1 } { m } \int \vert x - x _ { 0 } \vert ^ { 2 } d T _ { m _ { \mu _ { n } } } \# \bar { \mu } _ { n } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n } \frac { m _ { \mu _ { n } } } { m } M _ { x _ { 0 } } ( \mu _ { n } ) } \\ & { \le \operatorname* { l i m } _ { n } K \frac { m _ { \mu _ { n } } ^ { 2 } } { m } } \\ & { = K m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\| \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \left[ g _ { i } ( \theta _ { t , k } ^ { ( i ) } ) - \bar { g } _ { i } ( \theta _ { t , k } ^ { ( i ) } ) \right] \right\| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \left\| \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Y _ { t , k } ^ { ( i ) } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } \lVert Y _ { t , k } ^ { ( i ) } \rVert ^ { 2 } + \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \underbrace { \sum _ { i < j } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } [ \langle Y _ { t , k } ^ { ( i ) } , Y _ { t , k } ^ { ( j ) } \rangle ] } _ { 0 } } \\ & { + \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \sum _ { k < l } \underbrace { \mathbb { E } [ \langle Y _ { t , k } ^ { ( i ) } , Y _ { t , l } ^ { ( j ) } \rangle ] } _ { 0 } } \\ & { \le \frac { \sigma ^ { 2 } } { N K } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { I } ^ { + } } & { : = \{ ( 2 , 0 ) , ~ ( 0 , 2 ) , ~ ( 1 , 1 ) , ~ ( 1 , - 1 ) \} , } \\ { \Delta _ { I I } ^ { + } } & { : = \{ ( ( 2 , 0 ) , ~ ( 0 , - 2 ) , ~ ( 1 , 1 ) , ~ ( 1 , - 1 ) \} , } \\ { \Delta _ { I I I } ^ { + } } & { : = \{ ( 2 , 0 ) , ~ ( 0 , - 2 ) , ~ ( - 1 , - 1 ) , ~ ( 1 , - 1 ) \} , } \\ { \Delta _ { I V } ^ { + } } & { : = \{ ( - 2 , 0 ) , ~ ( 0 , - 2 ) , ~ ( - 1 , - 1 ) , ~ ( 1 , - 1 ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { S : \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } } \frac { \langle \boldsymbol { 1 } _ { S } , D _ { w } A D _ { w } \boldsymbol { 1 } _ { S } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { s } , D _ { w } ^ { 2 } \mathbf { 1 } \rangle } } & { = \frac { \langle c \cdot w + v , A ( c \cdot w + v ) \rangle } { c } } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { D _ { w } } ~ i s ~ d i a g o n a l ~ a n d ~ s o ~ \ensuremath { D _ { w } ^ { T } = D _ { w } } ] } } \\ & { = \frac { c ^ { 2 } + \langle v , A v \rangle } { c } } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { A w = w } ~ a n d ~ \ensuremath { A ^ { T } w = w } ] } } \\ & { \leq \frac { c ^ { 2 } + \| v \| _ { 2 } \| A v \| _ { 2 } } { c } } \\ & { \leq \frac { c ^ { 2 } + \| v \| _ { 2 } \sigma _ { 2 } ( A ) \| v \| _ { 2 } } { c } } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ f r o m ~ e q u a t i o n ~ s i n c e ~ \ensuremath { v \perp ~ w } ] } } \\ & { = c + \sigma _ { 2 } ( A ) \cdot ( 1 - c ) } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ u s i n g ~ e q u a t i o n ~ ] } } \\ & { = \sigma _ { 2 } ( A ) + ( 1 - \sigma _ { 2 } ( A ) ) \cdot c } \\ & { \leq \frac { 1 + \sigma _ { 2 } ( A ) } { 2 } } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { c = \langle \mathbf { 1 } _ { s } , D _ { w } ^ { 2 } \mathbf { 1 } \rangle \leq \frac { 1 } { 2 } } ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iota _ { p , q } } & { = \pi _ { 0 } ( \mathrm { s u s p } _ { q } ) = \pi _ { 0 } ( \Omega ^ { q - 1 } \mathrm { s u s p } _ { 1 } \circ ( 1 \ 2 \ \dots \ q ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { q - 1 } \pi _ { 0 } ( \Omega ^ { q - 1 } \mathrm { s u s p } _ { 1 } ) = ( - 1 ) ^ { q - 1 } \pi _ { 0 } ( \delta \circ \Bar { \cdot } ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { q } \pi _ { 0 } ( \Omega ^ { q - 1 } \delta ) = ( - 1 ) ^ { q } \partial _ { q } . } \end{array}
q _ { 1 } ( t _ { 1 } ) = 2 \, k _ { \mathrm { f } } ( t _ { 1 } ) \, e ^ { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t ^ { \prime } 2 \, k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) }
\begin{array} { r l } { \iint _ { S } { \mathbf v } \cdot \mathrm d { \mathbf { S } } } & { = \iint _ { S } \left( { \mathbf v } \cdot { \mathbf n } \right) \, \mathrm d S } \\ & { = \iint _ { T } \left( { \mathbf v } ( \mathbf { x } ( s , t ) ) \cdot { \frac { \left( { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial s } } \times { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial t } } \right) } { \left\| \left( { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial s } } \times { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial t } } \right) \right\| } } \right) \left\| \left( { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial s } } \times { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial t } } \right) \right\| \mathrm d s \, \mathrm d t } \\ & { = \iint _ { T } { \mathbf v } ( \mathbf { x } ( s , t ) ) \cdot \left( { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial s } } \times { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial t } } \right) \mathrm d s \, \mathrm d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \alpha } ^ { \mathrm { e q , 2 } } } & { { } = \rho u _ { \alpha } u _ { \alpha } + \rho c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } \theta , } \\ { \Pi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathrm { e q , 3 } } } & { { } = \rho c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta \gamma } \left[ u _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } \right] _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } + \rho \left( 1 - \delta _ { \alpha \beta \gamma } \right) \{ u _ { \alpha } u _ { \beta } u _ { \gamma } + c _ { s } ^ { 2 } \left[ u _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } \theta \right] _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } \} . } \end{array}
\mathrm { d } { \mathcal { L } } = \sum _ { i } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial q ^ { i } } } \mathrm { d } q ^ { i } + { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial { \dot { q } } ^ { i } } } \mathrm { d } { \dot { q } } ^ { i } \right) + { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } } \mathrm { d } t
\begin{array} { r l } { \bigl \{ \phi _ { 2 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 2 } } & { - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } \bigr \} - \frac { r _ { 0 } } { \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } _ { 0 } \, \partial _ { R } \eta _ { 1 } + \dot { \bar { z } } _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } \Bigr ) } \\ { \, } & { = \, \delta \Bigl [ \bigl ( \mathcal { L } - 1 \bigr ) \eta _ { 2 } + \partial _ { R } ( \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } ) - t \partial _ { t } \eta _ { 2 } \Bigr ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { k j } ( \tau ) } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \int d t \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) x _ { j } ( t , \tau ) } \\ { m ( t , \tau ) } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { j } x _ { j } ( t , \tau ) } \\ { g ( t , \tau ) } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { k } \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) } \\ { q ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { k } x _ { k } ( t , \tau ) x _ { k } ( t ^ { \prime } , \tau ) } \\ { Q ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { k } \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) \hat { f } _ { k } ( t ^ { \prime } , \tau ) } \\ { K ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { k } x _ { k } ( t , \tau ) \hat { f } _ { k } ( t ^ { \prime } , \tau ) \, , } \end{array}
\langle P _ { 2 } ( p ^ { \prime } ) | \, V _ { \mu } | P _ { 1 } ( p ) \rangle = \left( ( p + p ^ { \prime } ) _ { \mu } - { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } \, q _ { \mu } \right) F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) + { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } \, q _ { \mu } \, F _ { 0 } ( q ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r } { \tilde { Q } _ { s } ( \lambda ^ { 2 } L _ { x } , \lambda ^ { 2 } L _ { y } , \lambda ^ { 2 / \alpha } L _ { \parallel } , t / \lambda ^ { 2 } ) = \lambda ^ { 2 } Q _ { s } ( L _ { x } , L _ { y } , L _ { \parallel } , t ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l } { \rho _ { 1 } ^ { \prime } = } & { - ( b _ { 1 } + b _ { 2 } + \delta _ { 1 } ) \rho _ { 1 } + \gamma ( t ) q + b _ { 3 } \rho _ { 3 } + b _ { 4 } \rho _ { 2 } - \mathcal { F } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 3 } ) - \mathcal { G } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) , } \\ { \rho _ { 2 } ^ { \prime } = } & { - ( b _ { 4 } + c _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) \rho _ { 2 } + b _ { 2 } \rho _ { 1 } + c _ { 2 } \rho _ { 3 } + \mathcal { G } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) - \mathcal { H } ( \rho _ { 2 } , \rho _ { 3 } ) , } \\ { \rho _ { 3 } ^ { \prime } = } & { - ( b _ { 3 } + c _ { 2 } + \delta _ { 3 } ) \rho _ { 3 } + b _ { 1 } \rho _ { 1 } + c _ { 1 } \rho _ { 5 } - \phi ( t ) \rho _ { 3 } + \mathcal { F } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 3 } ) + \mathcal { H } ( \rho _ { 2 } , \rho _ { 3 } ) , } \\ { \rho _ { 4 } ^ { \prime } = } & { - \gamma ( t ) q , } \\ { \rho _ { 5 } ^ { \prime } = } & { \phi ( t ) \rho _ { 3 } , } \\ { \rho _ { 6 } ^ { \prime } = } & { \delta _ { 1 } \rho _ { 1 } + \delta _ { 2 } \rho _ { 2 } + \delta _ { 3 } \rho _ { 3 } , } \end{array} \right.
\frac { d } { d t } \left\langle D \right\rangle _ { \scriptstyle \! \Psi _ { \mathrm { \! { \scriptscriptstyle ( g s ) } } } } \stackrel { ( a \rightarrow 0 ) } { = } E _ { \mathrm { ( g s ) } } \, \left\{ 1 + O \left( \left[ \kappa a \right] ^ { 2 } \ln [ \kappa a ] \right) \right\} \; .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } & { \| D ^ { s } ( \Phi _ { h , K } - \mathrm { I d } ) \| _ { L ^ { \infty } ( K ) } \leq C h ^ { r + 1 - s } } & & { \forall s \in [ 1 , r + 1 ] } \\ & { \| D ^ { s } ( \Phi _ { h , K } ^ { - 1 } - \mathrm { I d } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \check { K } ) } \leq C h ^ { r + 1 - s } } & & { \forall s \in [ 1 , r + 1 ] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { S } } & { = - 4 f _ { y _ { 1 } } \left( P \mathcal { L } _ { S P } + S \mathcal { L } _ { S S } \right) + 8 f _ { y _ { 2 } } \Big [ S \mathcal { L } _ { S } ^ { 2 } + \left( P \mathcal { L } _ { P } - \mathcal { L } \right) \left( P \mathcal { L } _ { S P } + S \mathcal { L } _ { S S } \right) } \\ & { \quad + \mathcal { L } _ { S } \left( S P \mathcal { L } _ { S P } + ( P ^ { 2 } + 2 S ^ { 2 } ) \mathcal { L } _ { S S } \right) \Big ] \, , } \\ { f _ { P } } & { = - 4 f _ { y _ { 1 } } \left( P \mathcal { L } _ { P P } + S \mathcal { L } _ { S P } \right) + 8 f _ { y _ { 2 } } \Big [ P \mathcal { L } _ { P } \left( P \mathcal { L } _ { P P } + S \mathcal { L } _ { S P } \right) - \mathcal { L } \left( P \mathcal { L } _ { P P } + S \mathcal { L } _ { S P } \right) } \\ & { \quad + \mathcal { L } _ { S } \left( P S \mathcal { L } _ { P P } + P \mathcal { L } _ { S } + ( P ^ { 2 } + 2 S ^ { 2 } ) \mathcal { L } _ { S P } \right) \Big ] \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \gamma \dot { r } ( t ) = a ( t ) - k r ( t ) + \sqrt { 2 \gamma k _ { B } T } \, \xi ( t ) } & { } \\ { \dot { a } ( t ) = - \nu a ( t ) + F \sqrt { 2 \nu } \, \eta ( t ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \widetilde { C } _ { - \omega } ( k , \tau ) } & { = c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \left[ \tilde { F } _ { 1 } ( k ) + \tilde { F } _ { 2 } ( k ) \right] , } \\ { \tilde { F } _ { 1 } ( k ) } & { = \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } \left( \frac { \lvert \tau \rvert \, b } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \right) } \, \cos \big ( \tilde { \omega } _ { d } ( 1 + b k ^ { 2 } ) \lvert \tau \rvert \, \big ) , } \\ { \tilde { F } _ { 2 } ( k ) } & { = \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } \left( \frac { \lvert \tau \rvert \, b } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \right) } \frac { \sin \big ( \tilde { \omega } _ { d } ( 1 + b k ^ { 2 } ) \lvert \tau \rvert \big ) } { 2 \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, . } \end{array}
\begin{array} { l } { \left| { { e _ { j x } } } \right\rangle = { \left[ { 0 , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 } \right] ^ { \mathrm { T } } } , } \\ { \left| { { e _ { j x } } } \right\rangle = { \left[ { 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } } \right] ^ { \mathrm { T } } } , } \\ { \left| { { e _ { j z } } } \right\rangle = { \left[ { 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { } } 0 , \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { 1 } } , \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } , - \mathrm { { 1 } } } \right] ^ { \mathrm { T } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { \mathcal { D } } = \frac { \iota _ { N } } { G + \iota I } \frac { \mathrm { ~ K ~ } ( m ) } { \pi / 2 } \frac { \left( B _ { X } + ( B _ { M } - B _ { X } ) \frac { \mathrm { ~ E ~ } ( m ) } { \mathrm { ~ K ~ } ( m ) } \right) } { \sqrt { B _ { M } - B _ { X } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) = C _ { 1 } m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to k _ { 0 } , } \\ { m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = C _ { 2 } m ( k ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { k - k _ { 0 } } + O ( 1 ) , \qquad k \to k _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { t o t } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } \omega } { c } \sum _ { \alpha } | \langle \Psi _ { \alpha E _ { g } + \omega } | \hat { \epsilon } \cdot \vec { \mu } | g \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
V ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ x ~ \leq ~ - ~ L ~ } } \\ { \alpha \delta ( x ) + \eta \delta ( x - L ) } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
S _ { N ^ { \prime } } ( \alpha ^ { \prime } ) = \sum _ { \ell = 2 } ^ { L - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell + 1 } b _ { \ell } ( N ) \left( \frac { 1 - b _ { \ell } ( N ) q _ { \ell } ^ { \prime } \| q _ { \ell } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } \| } { 2 } - \| q _ { \ell } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } \| \sum _ { j = 2 } ^ { L - 1 } b _ { j } ( N ) q _ { j } ^ { \prime } - \frac { \| q _ { \ell } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } \| } { 2 } \right) .
Q _ { n } ( x ) = - \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { m \mathrm { e } ^ { B } } { 2 } \frac { \mathrm { i } \sigma _ { n } ^ { \pm } G _ { + } ( \mathrm { i } \xi _ { n } ) } { ( \xi _ { n } - 1 ) \xi _ { n } } + \frac { \mathrm { i } \sigma _ { n } ^ { \pm } Q ( \mathrm { i } \xi _ { n } ) } { \xi _ { n } } \right) q _ { 3 } ( x ) + \mathcal { O } \bigl ( B ^ { 0 } \bigr ) .
A _ { p q } = \frac 1 \pi \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \frac 1 { k + \frac 1 2 } I _ { \bar { \nu } + p + k + \frac 1 2 } ( x ) I _ { \bar { \nu } + q - k - \frac 1 2 } ( x ) .
\frac { \mu k ^ { \prime } } { R ^ { 2 } } = \frac { k } { R ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \phi } \left( - \ln \phi + \alpha ( h ) + \beta ( h ) \phi ^ { 2 } + \gamma ( h ) \phi \right) + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right)
\langle \frac { d q } { d s } \rangle = \langle \frac { 1 } { 2 m _ { o p } } \rangle \langle \frac { d q } { d \lambda } \rangle = \langle \frac { M } { m _ { o p } } \rangle \langle \frac { d q } { d \tau } \rangle ,
E _ { \mathrm { ~ F ~ } } = 2 P _ { \mathrm { ~ a ~ v ~ e ~ } } t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ , ~ F ~ } } = \frac { \pi } { 2 } \mathcal { A } _ { 0 , \mathrm { ~ F ~ } } ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 , \mathrm { ~ F ~ } } ^ { 2 } t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ , ~ F ~ } } \, ,
\epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) / \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , 2 )
\frac { \partial \psi } { \partial t } = \left( \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \, \frac { \partial } { \partial x } + \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right) \psi \ .
R _ { \mathrm { { m e a s u r e d } } } = R _ { \mathrm { { P M M A } } } + \frac { R _ { \mathrm { { B a S O } _ { 4 } } } T _ { \mathrm { { P M M A } } } ^ { 2 } } { 1 - R _ { \mathrm { { B a S O } _ { 4 } } } R _ { \mathrm { { P M M A } } } } .
L = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \ln ( f ( x ) ) \, d x - \lambda _ { 0 } \left( 1 - \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \, d x \right) - \lambda \left( \sigma ^ { 2 } - \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) ( x - \mu ) ^ { 2 } \, d x \right)
\begin{array} { r l r } { \left( { \bf \nabla } ^ { 2 } - \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { 2 } \right) { \bf A } } & { { } = } & { 0 } \\ { \left( \nabla ^ { 2 } - \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { 2 } \right) \Phi } & { { } = } & { 0 } \\ { { \bf \nabla } \cdot { \bf A } + \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } \Phi } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\hat { \sigma } _ { N } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { j } | \nu _ { j } \rangle \langle G | , ~ ~ \hat { \sigma } _ { N } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { j } | G \rangle \langle \nu _ { j } | .
G _ { k + 2 } ( m , \beta ) = \frac { 1 } { m ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } \left[ ( k + 1 ) ^ { 2 } \ G _ { k } ( m , \beta ) - ( 2 k + 3 ) \beta \ G _ { k + 1 } ( m , \beta ) \right] ,
\begin{array} { r l } { L _ { X F } } & { { } = \operatorname { R e } \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } \Bigg ( i \hbar \Omega ^ { * } \partial _ { t } \Omega + | \Omega | ^ { 2 } \left\langle \phi \mid i \hbar \partial _ { t } \phi - \hat { H } _ { e } \phi \right\rangle } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t > 0 } \| \omega _ { \theta } ( t ) \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \, < \, \infty \, , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \omega _ { \theta } ( t ) \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z \rightharpoonup \Gamma \, \delta _ { ( r _ { 0 } , z _ { 0 } ) } \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } t \to 0 \, .
\gamma _ { V } ^ { 2 } \equiv u _ { 3 } - \left( \frac { u _ { 1 } - u _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } > 0 , \qquad \gamma _ { F } ^ { 2 } \equiv w _ { 3 } - \left( \frac { w _ { 1 } - w _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } > 0 , \qquad \left| w _ { 1 } + w _ { 2 } \right| > 0 ,
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { { } } & { - 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n + m + 1 } \psi _ { n } ^ { m + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { p q } ^ { \mathrm { ( s q ) } } ( \theta ) } & { { } = \exp { ( \theta ( Q _ { p } ^ { \dagger } { } Q _ { q } - Q _ { q } ^ { \dagger } { } Q _ { p } ) ) } } \\ { U _ { p q r s } ^ { \mathrm { ( d q ) } } ( \theta ) } & { { } = \exp { ( \theta ( Q _ { p } ^ { \dagger } { } Q _ { q } ^ { \dagger } { } Q _ { r } Q _ { s } - Q _ { r } ^ { \dagger } { } Q _ { s } ^ { \dagger } { } Q _ { p } Q _ { q } ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \mathrm { ( H - T ) } } ( a \leftrightarrow b ) } & { { } = } & { \sum _ { n } \left( \frac { \left\langle a \left| A _ { \mathrm { H } } \right| { n } \right\rangle \left\langle { n } \left| A _ { \mathrm { T } } \right| b \right\rangle } { E _ { a } - E _ { n } } \right) } \end{array}
F ^ { 2 } = - 5 ! \left( \Lambda ^ { \prime } e ^ { \Lambda } \right) ^ { 2 } e ^ { - 8 A - 2 B } = - 5 ! \frac { 6 4 \xi ^ { 2 } k ^ { 2 } ( c _ { 2 } ^ { 2 } - 1 ) r _ { 0 } ^ { 8 } } { Y ^ { 5 / 2 } r ^ { 1 0 } f _ { + } ^ { 5 / 2 } f _ { - } ^ { 5 / 2 } } .
S _ { 1 ^ { j } } ( z ) = \sum _ { { \scriptstyle k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } + \cdots + m k _ { m } = j } \atop { \scriptstyle k _ { 1 } \geq 0 , \cdots , k _ { m } \geq 0 } } ( - 1 ) ^ { k _ { 2 } + k _ { 4 } + \cdots + k _ { 2 \left[ \frac m 2 \right] } } \frac 1 { k _ { 1 } ! \cdots k _ { m } ! } z _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } \cdots z _ { m } ^ { k _ { m } }