harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { x = 0 } ^ { 1 } \left( \int _ { y = 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \, { \mathrm { d } } y \right) \, { \mathrm { d } } x = { \frac { \pi } { 4 } }
\begin{array} { r l } { \omega \cdot \partial _ { \varphi } \hat { \psi } - \frac { 1 } { 2 \pi } \left( K _ { 2 0 } [ \hat { \eta } ] + K _ { 1 1 } ^ { T } [ \hat { w } ] \right) } & { = g _ { 1 } , } \\ { \omega \cdot \partial _ { \varphi } \hat { \eta } } & { = g _ { 2 } , } \\ { \omega \cdot \partial _ { \varphi } \hat { w } - \partial _ { x } ( K _ { 0 2 } [ \hat { w } ] ) - K _ { 1 1 } [ \hat { \eta } ] } & { = g _ { 3 } . } \end{array}
\delta A ^ { ( 3 ) } = d a \wedge \varphi ^ { ( 2 ) } ( x ) , \qquad \delta A ^ { ( 6 ) } = d a \wedge \varphi ^ { ( 5 ) } ( x ) + \delta A ^ { ( 3 ) } \wedge A ^ { ( 3 ) } , \qquad \delta a = 0 ,
\hat { \Delta } ^ { - 1 } = \Delta _ { 0 } ^ { - 1 } - g ^ { 2 } \int \Gamma _ { 0 } \hat { \Delta } \hat { \Delta } \Gamma + \int \Gamma _ { 0 } ^ { ( 4 ) } \hat { \Delta } + p i n c h \; t e r m s
\begin{array} { r l } & { \int _ { 1 } ^ { \infty } \operatorname* { m i n } \Big ( \frac { w _ { i } w _ { k } } { \mu n } , 1 \Big ) \operatorname* { m i n } \Big ( \frac { w _ { j } w _ { k } } { \mu n } , 1 \Big ) d F ( w _ { k } ) } \\ & { \leq \int _ { 1 } ^ { \infty } h ( w _ { i } , w _ { j } , w _ { k } ) w _ { k } ^ { - \alpha } L ( w _ { k } ) d w _ { k } } \\ & { \leq \int _ { 1 } ^ { \infty } h ( w _ { i } , w _ { j } , w _ { k } ) w _ { k } ^ { - \alpha + \delta } d w _ { k } } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } \operatorname* { m i n } \Big ( \frac { w _ { i } w _ { k } } { \mu n } , 1 \Big ) \operatorname* { m i n } \Big ( \frac { w _ { j } w _ { k } } { \mu n } , 1 \Big ) w _ { k } ^ { - \alpha - 1 + \delta } d w _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { P } : } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { l } { \dot { x } = A _ { c } ( t , j , y , u ) x + \Psi _ { c } ( t , j , y , u ) \theta } \\ { \dot { t } = 1 , \qquad \dot { j } = 0 } \end{array} } & { ( x , t , j ) \in C } \\ { \begin{array} { l } { x ^ { + } = A _ { d } ( t , j , y , u ) x + \Psi _ { c } ( t , j , y , u ) \theta } \\ { t ^ { + } = t , \qquad j ^ { + } = j + 1 } \end{array} } & { ( x , t , j ) \in D . } \end{array} \right. } \end{array}
F _ { \mathrm { { s h } } } ( \theta ) = \frac { 1 } { 2 \cos { \theta _ { \mathrm { { i } } } } } ( \cos ( \theta ) - \cos ( \theta _ { \mathrm { i } } ) ) \mathrm { s i n c } ( k a _ { \mathrm { e f } } ) ,
d s ^ { 2 } = - e ^ { 2 U } d t ^ { 2 } + e ^ { - 2 U } \left[ { \frac { d \tau ^ { 2 } } { \tau ^ { 4 } } } + { \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } ) \right] \ .
V ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } = V ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ i ~ o ~ r ~ } } + \eta A ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ c ~ e ~ s ~ } } + \eta ^ { 2 } L ^ { \mathrm { ~ e ~ d ~ g ~ e ~ s ~ } } + \eta ^ { 3 } P ^ { \mathrm { ~ v ~ e ~ r ~ t ~ i ~ c ~ e ~ s ~ } }
\begin{array} { r l } { \Delta ( \mathrm { t r } h + \mathrm { t r } h ^ { - 1 } ) } & { \geq | h ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot D h | _ { K } ^ { 2 } + | h ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot D h ^ { - 1 } | _ { H } ^ { 2 } } \\ & { \quad - 4 ( \mathrm { t r } h + \mathrm { t r } h ^ { - 1 } ) \big ( | \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } G _ { H } | _ { H } + | \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } G _ { K } | _ { K } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } g ( t ) } & { = \frac { \partial \left( \varphi ^ { * } ( t ) \bar { g } ( t ) \right) } { \partial t } } \\ & { = \left( \frac { \partial \left( \varphi ^ { * } ( t + \tau ) \bar { g } ( t + \tau ) \right) } { \partial \tau } \right) _ { \tau = 0 } } \\ & { = \left( \varphi ^ { * } ( t ) \frac { \partial \bar { g } ( t + \tau ) } { \partial \tau } \right) _ { \tau = 0 } + \left( \frac { \partial \left( \varphi ^ { * } ( t + \tau ) \bar { g } ( t ) \right) } { \partial \tau } \right) _ { \tau = 0 } } \\ & { = \varphi ^ { * } ( t ) \frac { \partial } { \partial t } \bar { g } ( t ) + \varphi ^ { * } ( t ) \mathcal { L } _ { \frac { \partial \varphi ( t ) } { \partial t } } \bar { g } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { F } _ { i j } ^ { \mathrm { ~ n ~ } } = \operatorname* { m a x } \left( 0 , \frac { 2 E _ { \mathrm { ~ p ~ } } \sqrt { R _ { i j } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } } { 3 ( 1 - \nu _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } ) } \left( \xi _ { i j } ^ { \frac { 3 } { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } A \xi _ { i j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dot { \xi } _ { i j } \right) \right) \frac { \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | } \, . } \end{array}
\gamma ( \bar { \rho } _ { \bar { \tau } } ) = \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left( \bar { \rho } _ { \bar { \tau } } ^ { 2 } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \Omega \, \frac { e ^ { - \Omega ^ { 2 } / 4 } } { 1 + ( \sigma \bar { \tau } \Omega ) ^ { 2 } } ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \boldsymbol { \pi } _ { q } \! = \! \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 + \alpha \boldsymbol { \beta } \mathbf { M } ( \mathbf { I } - \mathbf { R } ) ^ { - 1 } \mathbf { 1 } ) ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \; q = 0 } \\ { \pi _ { 0 } \alpha \boldsymbol { \beta } \mathbf { M } , } & { \mathrm { f o r } \; q = 1 } \\ { \boldsymbol { \pi } _ { 1 } \mathbf { R } ^ { q - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \; q \geq 2 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \omega _ { c _ { s } ^ { + } } } & { = c _ { s } ^ { e + } k _ { x } } \\ & { + \mathrm { i } \nu A \left( 1 + \frac { 1 - \varsigma \bar { u } _ { x } \left( \sqrt { { \left( \frac { \bar { u } _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - 1 \right) } { \sqrt { 2 \sqrt { { \left( \frac { \bar { u } _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - 1 } } \right) k _ { x } ^ { 2 } , } \\ { \omega _ { c _ { s } ^ { - } } } & { = c _ { s } ^ { e - } k _ { x } } \\ & { + \mathrm { i } \nu A \left( 1 - \frac { 1 - \varsigma \bar { u } _ { x } \left( \sqrt { { \left( \frac { \bar { u } _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - 1 \right) } { \sqrt { 2 \sqrt { { \left( \frac { \bar { u } _ { x } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - 1 } } \right) k _ { x } ^ { 2 } , } \end{array}
d \langle N \rangle _ { t } = 2 d t , \quad d L _ { t } = \frac { 1 } { g _ { t } ( 0 ) - W _ { t } } + 2 \frac { \mathrm { I m } \frac { \sqrt { g _ { t } ( g ( z ) ) - g _ { t } ( 0 ) } } { \left( g _ { t } ( g ( z ) ) - W _ { t } \right) ^ { 2 } } } { \mathrm { I m } \frac { \sqrt { g _ { t } ( g ( z ) ) - g _ { t } ( 0 ) } } { g _ { t } ( g ( z ) ) - W _ { t } } } d t .
\begin{array} { r l } { A _ { \delta } ( t ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { u \in [ 0 , t ] } \frac { \left\Vert \dot { W } _ { \delta } ( u ) \right\Vert } { u } } \\ { B _ { \delta } ( t ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { u \in [ 0 , t ] } \frac { \left\Vert X _ { \delta } ( u ) - x _ { 0 } \right\Vert } { u } } \\ { C _ { \delta } ( t ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { u \in [ 0 , t ] } \left\Vert \dot { X } _ { \delta } ( u ) \right\Vert . } \end{array}
\exp \left( \sum _ { g = 0 } ^ { \infty } x ^ { 2 g - 2 } \mathcal { F } _ { g } \right) = \exp \left( - \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } p ^ { \ell } \Phi _ { 0 } \vert _ { V _ { \ell } } ( \tau , z , \nu ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { L ^ { T } L } & { = \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] \right) ^ { T } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { - I } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { 2 I } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 I } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right] = I . } \end{array}
\langle 0 | H _ { \mathrm { t r i v } } + \Delta H _ { \mathrm { t r i v } } | 0 \rangle = - \frac { 1 } { 2 } \delta m ^ { 2 } \sum \frac { 1 } { 2 \tilde { \omega } } - \frac { \lambda } { 8 } ( \sum \frac { 1 } { 2 \tilde { \omega } } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { L }
P _ { g } ^ { o u t } = - < T _ { 1 } ^ { 1 } > _ { o u t } = \frac { - 1 } { 9 6 0 \pi ^ { 2 } \alpha _ { o u t } ^ { 4 } } = \frac { - \Lambda _ { o u t } ^ { 2 } } { 9 } \frac { 1 } { 9 6 0 \pi ^ { 2 } } .
\partial _ { T } { \log \cal W } = r \frac { 3 } { \pi } [ \frac { 1 } { 3 } G _ { 2 } ( \frac { T } { 3 } ) - G _ { 2 } ( T ) ] + \frac { 3 } { 2 \pi } G _ { 2 } ( \frac { T } { 3 } ) + \frac { 1 } { 2 \pi } G _ { 2 } ( U )
\begin{array} { r } { \mathrm { d i v } \left( \mathbf { u } \right) = \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } + \cdots + \frac { \partial u _ { d } } { \partial x _ { d } } , \qquad \frac { \partial \lambda } { \partial \mathbf { x } } = \left( \ \frac { \partial \lambda } { \partial x _ { 1 } } , \ \cdots , \ \frac { \partial \lambda } { \partial x _ { d } } \ \right) , \qquad \nabla \lambda = \left( \frac { \partial \lambda } { \partial \mathbf { x } } \right) ^ { T } = \left( \ \frac { \partial \lambda } { \partial x _ { 1 } } , \ \cdots , \ \frac { \partial \lambda } { \partial x _ { d } } \ \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ I _ { j } I _ { j + k } ] \leq } & { \mathbb { E } _ { Y _ { j } , Y _ { j + k } } [ \int _ { 0 } ^ { p } \int _ { 0 } ^ { p } \int _ { z _ { j } } ^ { z _ { j } + Y _ { j } } U ( t ) d t \times \int _ { z _ { j + k } } ^ { z _ { j + k } + Y _ { j + k } } } \\ & { U ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } ( \frac { 1 } { p ^ { 2 } } + C ^ { \prime } C ( \frac { \alpha ^ { j } } { p } + \frac { \alpha ^ { k } } { p } ) d z _ { j } d z _ { j + k } ] . } \end{array}
p _ { 1 0 } \, = \, { \frac { P _ { 0 } - p _ { 3 0 } } { 2 } } \, + \, p _ { 1 2 0 } , \qquad p _ { 2 0 } = { \frac { P _ { 0 } - p _ { 3 0 } } { 2 } } \, - \, p _ { 1 2 0 } .
\begin{array} { r l } { \hat { m } } & { = \arg \operatorname* { m a x } _ { m \in \{ 1 , 2 , \dots , N _ { r } \} } \left\{ \left( y _ { m } ^ { \mathcal { R } } \right) ^ { 2 } \right\} , } \\ { \hat { n } } & { = \arg \operatorname* { m a x } _ { n \in \{ 1 , 2 , \dots , N _ { r } \} } \left\{ \left( y _ { n } ^ { \mathcal { I } } \right) ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\sum _ { a , b = 1 } ^ { n - 2 } \Upsilon ^ { ( b ) } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , . . , k _ { b } ; m ^ { 2 } ) \Theta ^ { ( a ) } ( k _ { b + 1 } , . . , k _ { a } ; p ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) \Upsilon ^ { ( n - a - b ) } ( k _ { a + 1 } , . . , k _ { n } ; m ^ { 2 } ) \Bigg \}
\begin{array} { r } { v _ { 0 } ^ { 2 } = | \mathbf { X } ( t ) | ^ { 2 } + | \mathbf { X } ( t + 1 ) | ^ { 2 } - 2 | \mathbf { X } ( t ) | \, | \mathbf { X } ( t + 1 ) | \cos \theta ( t + 1 ) = R ( t ) ^ { 2 } + R ( t + 1 ) ^ { 2 } - 2 R ( t ) R ( t + 1 ) \cos \theta ( t + 1 ) . } \end{array}
A _ { \rho } ^ { \uparrow n } = \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \cdot A _ { \sigma _ { i } } ^ { \uparrow n } = \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \cdot \left( \sum _ { \pi \in S _ { n } } d ( \sigma _ { i } , \pi ) \cdot A _ { \pi } \right) = \sum _ { \pi \in S _ { n } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \cdot d ( \sigma _ { i } , \pi ) \right) A _ { \pi } = A _ { \rho ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d \alpha } } \varphi ( \alpha ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { - 2 \cos ( x ) + 2 \alpha } { 1 - 2 \alpha \cos ( x ) + \alpha ^ { 2 } } } d x } \end{array}
q _ { 1 } ^ { 2 } = ( p _ { - } - p _ { 1 } ) ^ { 2 } = - x _ { 2 } m ^ { 2 } \bigl [ \frac { ( 1 - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } } + z _ { 2 } \bigr ] \ ,
\left( \begin{array} { c } { { \psi _ { + } ( z , t ) } } \\ { { \psi _ { - } ( z , t ) } } \end{array} \right) = \mathcal { F } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { + } ( z - \Delta t , t - \Delta t ) } } \\ { { \psi _ { - } ( z + \Delta t , t - \Delta t ) } } \end{array} \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d ^ { 2 } z } { { d t } ^ { 2 } } = f ( z , \rho ) } \\ { \frac { d ^ { 2 } \rho } { { d t } ^ { 2 } } = g ( z , \rho ) } \end{array} \right. \mathrm { w i t h } \ \ \left\{ \begin{array} { l l } { z | _ { t = t _ { 1 } } = 0 , \ \ \frac { d z } { d t } | _ { t = t _ { 1 } } = v _ { z } ( t _ { 1 } ) \, , } \\ { \rho | _ { t = t _ { 1 } } = \rho _ { t _ { 1 } } , \ \ \frac { d \rho } { d t } | _ { t = t _ { 1 } } = 0 \, . } \end{array} \right.
( \mathbf { x } _ { 0 } ^ { L } , \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } ) ^ { T } = \mathcal L \mathcal R ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { 0 } ^ { R } , \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } ) ^ { T } , \quad ( \mathbf { p } _ { 0 } ^ { L } , \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } , \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } ) ^ { T } = ( \mathcal R \mathcal L ^ { - 1 } ) ^ { T } ( \mathbf { p } _ { 0 } ^ { R } , \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } , \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } ) ^ { T }
( \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { { 1 , 2 } } E _ { - } = \big ( ( \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { { 1 , 2 } } E _ { - } \big ) ^ { \circ _ { 1 , 1 } } + \mathcal { O } \big ( | e _ { 1 } + e _ { 2 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } | \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | e _ { 1 } + e _ { 2 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } | \big ) E _ { - } \, .
\prod _ { i < j } F _ { m i n } ( \theta _ { i j } ) \longrightarrow [ F _ { m i n } ( i \pi ) ] ^ { 2 } \frac { \sinh ^ { 2 } \theta _ { 1 2 } } { \sinh ^ { 2 } \theta _ { 1 2 } + \sin ^ { 2 } \pi \alpha } \, \, \, .
\int d ^ { D } p \, \, \, p _ { \lambda } p _ { \tau } p _ { \kappa } p _ { \eta } \, \, \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } p \cdot R \cdot p } = ( 2 \pi ) ^ { D / 2 } \left( R _ { { \tau } { \lambda } } ^ { - 1 } R _ { { \kappa } { \eta } } ^ { - 1 } + R _ { { \kappa } { \lambda } } ^ { - 1 } R _ { { \tau } { \eta } } ^ { - 1 } + R _ { { \eta } { \lambda } } ^ { - 1 } R _ { { \tau } { \kappa } } ^ { - 1 } \right) ( \operatorname * { d e t } R ) ^ { - 1 / 2 } . \nonumber \,
\left< { \Psi _ { \ell } ^ { \alpha } } \right| O \left| \Psi _ { \ell \, ^ { \prime } } ^ { \beta } \right> = \int d ^ { 3 } r \, \mathrm { t r } \left( { \Psi _ { \ell } ^ { \alpha } } ^ { \dagger } \left( O \otimes \Psi _ { \ell \, ^ { \prime } } ^ { \beta } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { u _ { i } \left( m , \omega \right) = } & { { } \; u _ { i } \left( x , y , z , m , t , \omega \right) } \\ { = } & { { } \int \hat { u } _ { i } \left( x , y , m ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } \right) \delta \left( | m ^ { \prime } | - | m | \right) \delta \left( | \omega ^ { \prime } | - | \omega | \right) } \\ { \hat { u } _ { i } \left( x , y , m ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } \right) } & { { } = \int u _ { i } \left( x , y , z , t \right) e ^ { - 2 \pi \textrm { \fontfamily { c m t t } \selectfont i } \left( m ^ { \prime } z - \omega ^ { \prime } t \right) } d z \; d t \quad \textrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma ^ { n + 1 , k + 1 } - \sigma ^ { n } } { \Delta t } + Q \left( \u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , k } , \sigma ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , k } \right) } & { = 0 , } \\ { \frac { \psi ^ { n + 1 , k + 1 } - \psi ^ { n } } { \Delta t } + Q \left( \u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , k } , \psi ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , k } \right) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { { } - \bar { f } \, x \, \mathrm { t a n } \left( \bar { f } \, t \right) - \bar { \tau } \, y \, \mathrm { t a n } \left( \bar { f } \, t \right) , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { { } - \bar { f } \, x - \bar { \tau } \, y , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { { } \tilde { h } _ { 0 } ( 0 ) \mathrm { e } ^ { \bar { \tau } \, t } \sec \left( \bar { f } \, t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \| \tilde { u } \| ^ { 2 } + \alpha \| \tilde { v } \| ^ { 2 } + 1 \right) + \frac 1 2 \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \alpha \varepsilon \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } } \\ { \le } & { \ C \big [ | \alpha ^ { \prime } | + ( 1 + \varepsilon ) | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ] \left( \| \tilde { u } \| ^ { 2 } + \alpha \| \tilde { v } \| ^ { 2 } + 1 \right) + C \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( u _ { x } ) ^ { 2 } } { u } \mathrm { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { r a d } } } & { { } = \frac { \omega } { 2 } \operatorname { I m } \left[ \mathbf { p } ^ { * } \cdot \mathbb { G } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { 0 } \right) \mathbf { p } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { \alpha _ { D } , \alpha _ { G } } ^ { \prime } ( u ) } \\ & { = \frac { ( \alpha _ { G } - \alpha _ { D } ) ( u ^ { 2 \alpha _ { D } } - 1 ) + \alpha _ { D } \alpha _ { G } \Big ( u ^ { \alpha _ { D } - \frac { \alpha _ { D } } { \alpha _ { G } } + 1 } - u ^ { \alpha _ { D } + \frac { \alpha _ { D } } { \alpha _ { G } } - 1 } \Big ) } { \alpha _ { G } u ^ { - \frac { \alpha _ { D } } { \alpha _ { G } } } \Big ( u + u ^ { \alpha _ { D } + \frac { \alpha _ { D } } { \alpha _ { G } } } \Big ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \cos \left( \frac { \phi } { 2 } \right) P _ { X } + \sin \left( \frac { \phi } { 2 } \right) P _ { Y } - i \sqrt { - 2 E } \cos \left( \frac { \phi } { 2 } \right) } { \cos \left( \frac { \phi } { 2 } \right) P _ { Y } - \sin \left( \frac { \phi } { 2 } \right) P _ { X } - i \sqrt { - 2 E } \sin \left( \frac { \phi } { 2 } \right) } = - i \frac { \sqrt { 1 - e } } { \sqrt { 1 + e } } .
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } \left( { 1 + e ^ { 2 } a \left[ { 1 - 1 2 \alpha ^ { 2 } g ^ { 2 } \partial ^ { 2 } } \right] } \right) F ^ { \mu \nu } \, + \frac { \chi } { 2 } \varepsilon _ { \mu \nu \lambda } A ^ { \mu } \partial ^ { \nu } A ^ { \lambda } \, .
\int \sinh ^ { n } a x \, d x = { \frac { 1 } { a ( n + 1 ) } } ( \sinh ^ { n + 1 } a x ) ( \cosh a x ) - { \frac { n + 2 } { n + 1 } } \int \sinh ^ { n + 2 } a x \, d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n < 0 { \mathrm { , ~ } } n \neq - 1 { \mathrm { ) } }
\begin{array} { l l } { e _ { r } = \gamma _ { 1 } \beta _ { 3 } } & { \tilde { e } _ { r } = \tilde { \gamma } _ { 2 } \tilde { \beta } _ { 3 } } \\ { f _ { r } = \gamma _ { 3 } \beta _ { 1 } + \gamma _ { 1 } ^ { - 1 } ( 1 + \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } ) \beta _ { 2 } { \quad \quad } } & { \tilde { f } _ { r } = \tilde { \gamma } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \tilde { \gamma } _ { 1 } \tilde { \gamma } _ { 3 } - 1 ) \tilde { \beta } _ { 1 } + \tilde { \gamma } _ { 3 } \tilde { \beta } _ { 2 } } \\ { h _ { r } = \gamma _ { 1 } \beta _ { 1 } + \gamma _ { 2 } \beta _ { 2 } - \gamma _ { 3 } \beta _ { 3 } } & { \tilde { h } _ { r } = \tilde { \gamma } _ { 1 } \tilde { \beta } _ { 1 } + \tilde { \gamma } _ { 2 } \tilde { \beta } _ { 2 } - \tilde { \gamma } _ { 3 } \tilde { \beta } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d t } } = } & { - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } + \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } + \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j } } \\ & { - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } - \mu _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \left( \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { R } - \mu _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j + 1 } } \\ & { - \left( \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { L } - \mu _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \delta \mathbf { U } _ { i - 1 , j } - \left( \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { L } - \mu _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j - 1 } } \\ & { + \mu _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i + 2 , j } + \mu _ { i , j + 1 / 2 } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i , j + 2 } + \mu _ { i - 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i - 2 , j } + \mu _ { i , j - 1 / 2 } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i , j - 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \varrho ( \varphi ) \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } + \sum _ { 1 \leq j \leq k } C _ { k } ^ { j } \partial _ { t } ^ { j } \varrho ( \varphi ) \partial _ { t } ^ { k - j } u _ { t } + \partial _ { t } ^ { k } ( \varrho ( \varphi ) u \cdot \nabla u ) + \nabla \partial _ { t } ^ { k } p } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \mu \Delta \partial _ { t } ^ { k } u - \lambda \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { k } ( \nabla \varphi \otimes \nabla \varphi ) \, , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { k } u = 0 \, , } \\ & { \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } + \partial _ { t } ^ { k } ( u \cdot \nabla \varphi ) + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { k } \varphi = \gamma \lambda \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi - \gamma \lambda \partial _ { t } ^ { k } h ( \varphi ) - \gamma \partial _ { t } ^ { k } ( \varrho ^ { \prime } ( \varphi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } ) \, . } \end{array} \right.
J _ { 0 } \pm J _ { 1 } = e ^ { \mp x / 2 } \left[ \left( p ^ { 2 } + \frac 1 4 \right) ^ { \frac 1 2 } \right] F ^ { \pm 1 } \, e ^ { \mp x / 2 } , \quad J _ { 2 } = p
\begin{array} { r l } & { H _ { 2 } ( f ) = \int _ { \mathbb { T } } - \frac { 1 } { 4 } v \Lambda ^ { \alpha - 1 } v + \frac { T _ { \alpha } } { 8 } v ^ { 2 } d x + \int _ { \mathbb { T } } - \frac { 1 } { 4 } z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \frac { T _ { \alpha } } { 8 } z ^ { 2 } d x = : H _ { 2 , 0 } + H _ { 2 , 2 } } \\ & { H _ { 3 } ( f ) = \frac { \alpha } { 1 6 } \int _ { \mathbb { T } } v \left( 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( z ^ { 2 } ) - T _ { \alpha } z ^ { 2 } \right) d x + \frac { \alpha } { 1 6 } \int _ { \mathbb { T } } z ^ { 2 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } z - \frac { T _ { \alpha } } { 3 } z ^ { 3 } d x = : H _ { 3 , 2 } + H _ { 3 , 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mu _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } ( \tilde { Q } ) - \mu ( \tilde { Q } ) ) ( x ) } & { \leq } & { \operatorname* { i n f } _ { \alpha } \parallel \tilde { \phi } _ { x } - \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } \alpha ( v ) \tilde { \phi } _ { v } \parallel _ { \mu } \parallel \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } \parallel _ { \mu } } \\ & { = } & { O ( r ( d , J ) ^ { 2 } ) , } \end{array}
F _ { i } ^ { m } = F _ { c } ^ { T } ( a _ { i } + a _ { 0 } ) + \frac { \beta } { a _ { i } + a _ { 0 } } + b + F _ { Y } [ \alpha , \lambda , \rho _ { j } , d _ { j } , ( a _ { i } + a _ { 0 } ) ] .
\begin{array} { r l r } { p _ { i } ^ { ( 2 \varepsilon ) } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \Bigl [ p _ { i } ^ { ( \varepsilon ) } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) + p _ { i } ^ { ( \varepsilon ) } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } \\ & { + } & { p _ { i } ^ { ( \varepsilon ) } ( x _ { 3 } , y _ { 3 } ) + p _ { i } ^ { ( \varepsilon ) } ( x _ { 4 } , y _ { 4 } ) \Bigr ] , } \end{array}