harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { T \cdot ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) } \\ & { = ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol U } \Lambda ^ { 1 / 2 } ( { \boldsymbol V } ^ { T } ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) ) } \\ & { \qquad + ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol V } \Lambda ^ { 1 / 2 } ( { \boldsymbol U } ^ { T } X ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) ) } \\ & { \qquad + ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol V } \Lambda ^ { 1 / 2 } ( { \boldsymbol U } ^ { T } { \boldsymbol U } ) \Lambda ^ { 1 / 2 } ( { \boldsymbol V } ^ { T } ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) ) } \\ & { = \sqrt { \lambda _ { \ell } } \langle { \boldsymbol u } ( \ell ) , X ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) \rangle ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } ( \ell ) + { \boldsymbol \theta } _ { 1 } ( \ell ) } \end{array}
g _ { \mathrm { v } } \rho _ { \scriptscriptstyle \mathrm { B } } = \Bigl ( 1 + \eta { \frac { \phi _ { 0 } } { S _ { 0 } } } \Bigr ) \, m _ { \mathrm { v } } ^ { 2 } V _ { 0 } + { \frac { 1 } { 6 } } \zeta g _ { \mathrm { v } } ^ { 4 } V _ { 0 } ^ { 3 } \ .
\frac { d } { d t } \langle \phi ( \mathcal { V } _ { t } , \mathcal { W } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle = \langle G ( \mathcal { C } , \mathcal { C } ^ { * } ) \left[ \phi ( \mathcal { V } _ { t } ^ { \prime } , \mathcal { W } _ { t } ^ { \prime } , \mathcal { C } ) - \phi ( \mathcal { V } _ { t } , \mathcal { W } _ { t } , \mathcal { C } ) \right] \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { A } ^ { - 2 } \mathbf { b } - \mathsf { l a n } _ { k } ( x ^ { - 2 } ) \| _ { 2 } } & { \leq \| \mathbf { A } ^ { - 2 } \mathbf { b } - \mathbf { Q } \mathbf { T } ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { b } \| _ { 2 } + \| \mathbf { Q } \mathbf { T } ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { b } - \mathbf { Q } \mathbf { T } ^ { - 2 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } \| _ { 2 } } \\ & { \leq \| \mathbf { A } ^ { - 2 } \mathbf { b } - \mathbf { Q } \mathbf { T } ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { b } \| _ { 2 } + \| \mathbf { Q } \mathbf { T } ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \| \| \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { b } - \mathbf { Q } \mathbf { T } ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } \| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A } ^ { r } ( E ) } & { { } = - \frac { i } { 2 } \kappa } \\ { \Sigma _ { A } ^ { < } ( E ) } & { { } = - i \kappa \, \frac { P } { \omega _ { L } } \, \frac { \delta } { ( E - \omega _ { L } ) ^ { 2 } + ( \delta / 2 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { p \cdot A _ { p } } & { = p \cdot \operatorname* { l i m s u p } _ { n > 0 , p \nmid n } \mathbb { A O } ( \mathbb { S } , n , \delta _ { n } ) } \\ & { \subseteq \operatorname* { l i m s u p } _ { n > 0 , p \nmid n } p \cdot \mathbb { A O } ( \mathbb { S } , n , \delta _ { n } ) } \\ & { \subseteq \operatorname* { l i m s u p } _ { n > 0 , p \nmid n } \mathbb { A O } ( \mathbb { S } , n , p \delta _ { n } ) } & & { \mathrm { b y ~ l e m m a ~ p a r t ~ } } \\ & { = _ { a . e . } A _ { p } } & & { \mathrm { b y ~ l e m m a ~ . } } \end{array}
\langle ( { \vec { s } } _ { a } + { \vec { s } } _ { b } ) ^ { 2 } \rangle = \langle { \vec { s } } _ { a } ^ { \; 2 } \rangle + \langle { \vec { s } } _ { b } ^ { \; 2 } \rangle + 2 \langle { \vec { s } } _ { a } \cdot { \vec { s } } _ { b } \rangle
\begin{array} { r l r } { \bar { D } _ { j k } } & { = } & { - j k \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega ^ { 2 } \hat { p } ( \omega - k ) \hat { p } ( j - \omega ) \left( M _ { 1 1 , \omega } ^ { 2 } ( \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + M _ { 2 1 , \omega } ^ { 2 } \right) + } \\ & { } & { ( - k ) \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega \hat { p } ( \omega - k ) \hat { q } ( j - \omega ) \left( M _ { 1 1 , \omega } ^ { 2 } ( \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + M _ { 2 1 , \omega } ^ { 2 } \right) + } \\ & { } & { ( - j ) \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega \hat { q } ( \omega - k ) \hat { p } ( j - \omega ) \left( M _ { 1 1 , \omega } ^ { 2 } ( \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + M _ { 2 1 , \omega } ^ { 2 } \right) + } \\ & { } & { \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \hat { q } ( \omega - k ) \hat { q } ( j - \omega ) \left( M _ { 1 1 , \omega } ^ { 2 } ( \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + M _ { 2 1 , \omega } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\Phi _ { T } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ y ~ > ~ 0 ~ } } \\ { 1 + E r f ( y / \sigma _ { T } ) \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ y ~ \le ~ 0 ~ } } \end{array} \right. ,
H _ { \mathrm { X Y } } + \! H _ { \mathrm { Z } } = - \frac { J } { 2 } \sum _ { ( i , j ) } \frac { 1 } { r _ { { i j } } ^ { 3 } } \left( S _ { i } ^ { + } S _ { j } ^ { - } + \mathrm { { h . c . } } \right) + \sum _ { i } \delta _ { i } S _ { i } ^ { z } ,
\begin{array} { r l } { a y _ { 1 } ^ { 2 } \frac { h } { \left( f y _ { 1 } + g \right) ^ { 2 } } - \left( 1 + c \right) y _ { 1 } + b \frac { h } { \left( f y _ { 1 } + g \right) ^ { 2 } } + c d - e } & { = 0 , } \\ { a h y _ { 1 } ^ { 2 } - \left( 1 + c \right) \left( f y _ { 1 } + g \right) ^ { 2 } y _ { 1 } + \left( c d - e \right) \left( f y _ { 1 } + g \right) ^ { 2 } + b h } & { = 0 . } \end{array}
\left| { \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } \\ { x _ { 1 } ^ { 2 } } & { x _ { 2 } ^ { 2 } } & { x _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} } \right| = ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) .
\sigma _ { 1 1 } - \sigma _ { 3 3 } = \lambda _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } - \lambda _ { 3 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ ; ~ ~ \sigma _ { 2 2 } - \sigma _ { 3 3 } = \lambda _ { 2 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 2 } } } - \lambda _ { 3 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } }
r \sin { \frac { x } { r } } = x - x \cdot { \frac { x ^ { 2 } } { ( 2 ^ { 2 } + 2 ) r ^ { 2 } } } + x \cdot { \frac { x ^ { 2 } } { ( 2 ^ { 2 } + 2 ) r ^ { 2 } } } \cdot { \frac { x ^ { 2 } } { ( 4 ^ { 2 } + 4 ) r ^ { 2 } } } - \cdot
\begin{array} { r l } { E _ { \pm } ( \nu ) } & { { } = \frac { \nu - \nu _ { \mathrm { r e s } } } { 2 } \pm \frac { \sqrt { \left( \nu - \nu _ { \mathrm { r e s } } \right) ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } } } { 2 } + \nu _ { \mathrm { b a r e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H ^ { \beta } ( U \setminus U _ { N } ) } \right] } & { = \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H ^ { \beta } ( U \setminus U _ { N } ) } \mathrm { I } _ { \{ h _ { D _ { N } , U \setminus U _ { N } } \leq h _ { 0 } ( U \setminus U _ { N } ) \} } \right] } \\ & { + \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H ^ { \beta } ( U \setminus U _ { N } ) } \mathrm { I } _ { \{ h _ { D _ { N } , U \setminus U _ { N } } > h _ { 0 } ( U \setminus U _ { N } ) } \} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q ( x ) } & { = } & { \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) \subset { \cal S } ^ { k + 1 } ( d ) } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ( x ) \mu ^ { k } \left( \tilde { Q } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ^ { ( k ) } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) , s _ { k + 1 } = \emptyset } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( m + 1 ) } ( x ) Q _ { \bar { s } ( m ) } ^ { ( m ) } ( 0 ( s _ { m } ) ) \mathrm { ~ ( w i t h ~ m = m ( \bar { s } ( k + 1 ) ) ~ i n ~ e a c h ~ t e r m ) } } \\ & { } & { + \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) , s _ { k + 1 } \not = \emptyset } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ( x ) \mu ^ { k } \left( \tilde { Q } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ^ { ( k ) } \right) . } \end{array}
R _ { \Omega } = ( + 1 , + 1 , + 1 , \omega ^ { n } , \omega ^ { n } ) \otimes ( \omega ^ { n _ { 1 } } , \omega ^ { n _ { 2 } } , \omega ^ { n _ { 3 } } , \omega ^ { n _ { 4 } } , \omega ^ { n _ { 5 } } ) ~ , ~ \,
\Phi \left( a ( \mathbf { r } _ { 2 } ) , b ( \mathbf { r } _ { 1 } ) , r _ { 1 2 } \right) \approx \sum _ { \alpha \beta } p _ { \alpha } ^ { a } ( a ( \mathbf { r } _ { 2 } ) ) p _ { \beta } ^ { b } ( b ( \mathbf { r } _ { 1 } ) ) \Phi _ { \alpha \beta } ( r _ { 1 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x , y } ^ { \{ m m \} } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] = 3 ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } & { ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ( \lambda _ { x } \lambda _ { y } ) ^ { a + b } \bigg ( \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { x } ^ { 4 m } \Gamma ( \{ m , m \} ) _ { 1 , 1 } + } \\ & { \lambda _ { x } ^ { 4 a } \sum _ { i = \{ 2 , 3 \} } \Gamma ( \{ a , a \} ) _ { 1 , i } + \lambda _ { x } ^ { 4 b } \sum _ { i = \{ 2 , 3 \} } \Gamma ( \{ b , b \} ) _ { i , 1 } \bigg ) \left| a \middle > \middle < b \right| , } \end{array}
\left( \frac { d \sigma } { d T _ { e } d \phi } \right) = \left( \frac { d \sigma } { d T _ { e } d \phi } \right) ^ { \mathrm { w e a k } } + \left( \frac { d \sigma } { d T _ { e } d \phi } \right) ^ { \mathrm { e m } } ~ .
\begin{array} { r } { \frac { \beta _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } = \frac { \sum _ { k ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } { | \tilde { h } _ { k ^ { \prime \prime } } | ^ { 2 } } } { \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \beta _ { k ^ { \prime } } } , k = { 1 , 2 , \cdots , K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ( \mathfrak { m } ) \times Z ( \mathfrak { m } ) } & { \hookrightarrow \underbrace { Z ( \mathfrak { m } ) \times Z ( \Delta ) } _ { \mathrm { i r r e d u c i b l e } } \times Z ( \mathfrak { m } ^ { - } ) , } \\ & { \hookrightarrow Z ( \Delta ) \times Z ( \mathfrak { m } ) \times Z ( \mathfrak { m } ^ { - } ) \hookrightarrow \underbrace { Z ( \Delta ) \times Z ( \Delta ) } _ { \mathrm { i r r e d u c i b l e } } \times Z ( \mathfrak { m } ^ { - } ) \times Z ( \mathfrak { m } ^ { - } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \operatorname* { i n f } _ { \tau \geq t } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { \tau } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 1 2 3 ) \xrightarrow { \varphi _ { n } } ( 1 , ( 1 2 ) ) \rightarrow ( 1 , ( 1 2 ) ) \rightarrow ( 1 , ( 1 2 ) ) \rightarrow ( 1 , ( 1 2 ) ) \xrightarrow { f _ { n } } ( 1 ) ( 2 3 ) = \alpha _ { 3 } ( ( 1 2 3 ) ) , } \\ { ( 1 3 2 ) \xrightarrow { \varphi _ { n } } ( 2 , ( 1 2 ) ) \rightarrow ( 2 , ( 1 2 ) ) \rightarrow ( 2 , ( 1 2 ) ) \rightarrow ( 2 , ( 1 2 ) ) \xrightarrow { f _ { n } } ( 1 3 ) ( 2 ) = \alpha _ { 3 } ( ( 1 3 2 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Re [ \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { A B } ( \omega ) ] } & { { } = } & { \frac { 1 } { \hbar } \pi \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { B } \rho _ { { \bf k } } ( \omega ) . } \end{array}
\sin { \frac { \pi } { 1 2 } } = \sin 1 5 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \sqrt { 6 } } - { \sqrt { 2 } } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 3 } } } }
\frac { \int _ { A _ { p } } \bar { v } _ { x } \, d A } { \int _ { A _ { f } } \bar { v } _ { x } \, d A } = { \cal A } \bigl ( 1 \! - \! \bar { s } \bigr ) , \qquad { \cal A } ( f ) = 1 + \frac { 4 \alpha } { \pi } f ^ { 2 } - \frac { 2 \alpha + \sin ( 2 \alpha ) } { \pi } , \qquad \alpha = \cos ^ { - 1 } ( f ) .
r _ { \gamma } ^ { \prime } = \left( \frac { d N _ { c h } } { d \eta } \right) ^ { - 1 } \int _ { 0 . 4 \, \mathrm { G e V } / c } ^ { 2 . 0 \, \mathrm { G e V } / c } \frac { d N _ { \gamma } } { d p _ { T } } d p _ { T } ,
\tilde { w } _ { \mathrm { c a } } ^ { * } ( | \tilde { z } | = \tilde { R } _ { 1 } ) = \frac { 1 } { 4 } ( 1 - \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) - M I _ { - 1 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) ) ,
\begin{array} { r l } { \zeta _ { 0 } \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 U _ { \mathrm { p } } } } = } & { { } \frac { 1 } { 6 } [ ( \omega \tilde { t } _ { n } ) - ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ] \{ [ ( \omega \tilde { t } _ { n } ) + 2 ( \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ] } \end{array}
m _ { q } = { \frac { i \; 8 \; N _ { c } \; g ^ { 2 } } { - m _ { \sigma } ^ { 2 } } } \int { \frac { \bar { d } ^ { 4 } p \; m _ { q } } { p ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } } } \; .
\vec { \sigma } \cdot \vec { p } \, \, \tilde { \xi } _ { \lambda } ( \vec { p } ) = 2 p \lambda \, \tilde { \xi } _ { \lambda } ( \vec { p } ) \, , \quad \vec { \sigma } \cdot \vec { p } \, \, \tilde { \eta } _ { \lambda } ( \vec { p } ) = - 2 p \lambda \, \tilde { \eta } _ { \lambda } ( \vec { p } ) \, .
C = \left( \begin{array} { l l l } { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \nu _ { 1 1 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \nu _ { 1 2 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \nu _ { 1 3 } } \\ { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \nu _ { 1 2 } } & { \nu _ { 2 2 } } & { \nu _ { 2 3 } } \\ { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \nu _ { 1 3 } } & { \nu _ { 3 2 } } & { \nu _ { 3 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] - \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] \leq - \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { \eta } { 4 } E _ { t } + 2 \eta \hat { L } ^ { 2 } B _ { t } + \frac { \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - \frac { K + 1 } { 2 } \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + \frac { K + 1 } { 2 } \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] } \\ & { \geq \frac { 2 } { K } \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \frac { 2 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { K - 1 } { 2 } } \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - j \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + j \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) . } \end{array}
\underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 1 } = \frac { \mu } { \partial \rho } \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { 4 } { 3 } v _ { 1 } } & { \frac { 4 } { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - v _ { 2 } } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - v _ { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { 4 } { 3 } ( v _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( v _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( v _ { 3 } ) ^ { 2 } } & { \frac { 4 } { 3 } v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 3 } } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ ( \hat { Y } _ { u } - S _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] = \sigma ^ { 2 } S _ { 0 } ^ { 2 } u + S _ { 0 } ^ { 2 } \, \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { u } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) ^ { 2 } J _ { Z } ( \lambda d s , d x ) \right] \leq \sigma ^ { 2 } S _ { 0 } ^ { 2 } u + S _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { u } \mathbb { E } [ \bar { \mu } ] d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \left( \bar { R } _ { \eta } \right) _ { \# } \mu \right\Vert _ { \mathbb { B } _ { 1 } } } & { = \left\Vert \mathcal { L } _ { \eta } h _ { \mu } \right\Vert _ { \mathbb { B } } \leq \varkappa \left\Vert h _ { \mu } \right\Vert _ { \mathbb { B } } + D \left\Vert h _ { \mu } \right\Vert _ { L ^ { 1 } \left( I , \lambda \right) } } \\ & { = \varkappa \left\Vert \mu \right\Vert _ { \mathbb { B } _ { 1 } } + D \left\Vert \mu \right\Vert \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert v _ { n + 1 } ( s ) - ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s } } } ^ { * } v _ { n } ) ( s ) \rvert \leq } & { \lvert v _ { n + 1 } ( s ) - \hat { \lambda } \rvert + \lvert \hat { \lambda } - ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s } } } ^ { * } v _ { n } ) ( s ) \rvert } \\ { \leq } & { \epsilon _ { 1 } + \lvert \hat { \lambda } - ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s } } } ^ { * } v _ { n } ) ( s ) \rvert , \qquad \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } \\ { \leq } & { \epsilon _ { 1 } + \gamma \beta _ { \operatorname* { m a x } } \epsilon _ { 1 } , \qquad \mathrm { ( f r o m ~ p r o p o s i t i o n ~ ) } } \\ { \leq } & { 2 \epsilon _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \bar { X } _ { t } = } & { a ( \bar { X } _ { t } ) \mathrm { d } t + \mathrm { d } \bar { B } _ { t } + { \sf K } _ { t } ( \bar { X } _ { t } ) ( \mathrm { d } Z _ { t } - \frac { h ( \bar { X } _ { t } ) + \hat { h } _ { t } } { 2 } \mathrm { d } t ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \nabla | { \sf K } _ { t } ( \bar { X } _ { t } ) | ^ { 2 } \mathrm { d } t } \end{array}
\left( { \frac { R ^ { \prime } } { R } } \right) ^ { - 1 } \left( { \frac { R ^ { \prime } } { R } } \right) ^ { \prime } = { \frac { \hat { V } ^ { \prime } ( \phi ) } { \hat { V } ( \phi ) } } - { \frac { R ^ { \prime } } { R } } \; .
\langle M ( \partial _ { w } M ) ^ { * } \rangle = \frac { \langle M ( M ^ { * } ) ^ { 2 } \rangle } { 1 - \langle ( M ^ { * } ) ^ { 2 } \rangle } = \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \frac { ( | m | ^ { 2 } - \bar { m } ^ { 2 } ) + | z | ^ { 2 } ( | u | ^ { 2 } - \bar { u } ^ { 2 } ) } { ( 1 - \bar { m } ^ { 2 } - | z | ^ { 2 } \bar { u } ^ { 2 } ) ( \mathrm { I m } \, w + \mathrm { I m } \, m ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { j } } & { = \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { V } : \dim ( \mathcal { V } ) = j } { \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { V } } { \frac { x ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } \mathcal { A } _ { n } x } { x ^ { H } x } } } \geq \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { A } _ { n } ^ { - 1 } \widetilde { W } _ { j } } { \frac { x ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } \mathcal { A } _ { n } x } { x ^ { H } x } } } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { y \in \widetilde { W } _ { j } } { \frac { y ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } y } { y ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - 1 } y } } \geq \operatorname* { m i n } _ { y \in \widetilde { W } _ { j } } { \frac { y ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } y } { y ^ { H } y } } \cdot \operatorname* { m i n } _ { y \in \widetilde { W } _ { j } } { \frac { y ^ { H } y } { y ^ { H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - H } \mathcal { A } _ { n } ^ { - 1 } y } } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { V } : \dim ( \mathcal { V } ) = j } { \operatorname* { m i n } _ { y \in \mathcal { V } } { \frac { y ^ { H } \mathcal { B } _ { n } ^ { H } \mathcal { B } _ { n } y } { y ^ { H } y } } } \cdot \underline { { c } } _ { j } = \underline { { c } } _ { j } \mu _ { j } , \mathrm { ~ ό π ο υ ~ } \frac { 1 } { d ^ { 2 } } \leq \underline { { c } } _ { j } \leq c ^ { 2 } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { M + Q N ^ { - 1 } Q ^ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { N } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { I } & { - Q N ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { M } & { Q } \\ { - Q ^ { T } } & { N } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { N ^ { - 1 } Q ^ { T } } & { I } \end{array} \right) } .
F _ { 1 } ^ { \pi N } ( 0 , 0 , 0 ) \, = \, { \frac { 4 \pi } { e ^ { 2 } } } \; \beta ^ { \pi N } \, = \, { \frac { 4 \pi } { e ^ { 2 } } } \; \left( 9 . 1 \, \times \, 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { f m } ^ { 3 } \right) \; .
\begin{array} { r l } { { 4 } \frac { d A _ { p } ^ { ( r ) } } { d \tilde { Z } } } & { { } = \mu _ { p } A _ { s } ^ { ( r ) } A _ { i } ^ { ( r ) } } \\ { \frac { d A _ { s , i } ^ { ( r ) } } { d \tilde { Z } } } & { { } = - \mu _ { s , i } A _ { p } ^ { ( r ) } A _ { i , s } ^ { ( r ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 1 1 } x _ { 3 2 } x _ { 3 1 } ^ { * } x _ { 1 2 } ^ { * } ) } & { = h ( a h g ^ { * } b ^ { * } ) = ( - q ) ^ { - 1 } \cdot h ( a h ( b f - q \cdot c e ) ( d k - q \cdot f g ) ) } \\ & { = - q ^ { - 1 } [ h ( a h b f d k ) - q \cdot h ( a h c e d k ) - q \cdot h ( a h b f f g ) + q ^ { 2 } \cdot h ( a h c e f g ) ] } \\ & { = \frac { - q } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + 1 ) ( q ^ { 4 } + q ^ { 2 } + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { S ( 0 , 1 ) } e ^ { i r | h | \langle \gamma , \gamma _ { h } \rangle } d \Omega } & { = \int _ { M S ( 0 , 1 ) } e ^ { i r | h | \langle M ^ { T } \gamma ^ { \prime } , \gamma _ { h } \rangle } d \Omega ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { S ( 0 , 1 ) } e ^ { i r | h | \langle \gamma ^ { \prime } , M \gamma _ { h } \rangle } d \Omega ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { S ( 0 , 1 ) } e ^ { i r | h | \langle \gamma , e _ { 3 } \rangle } d \Omega = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \pi } e ^ { i r | h | \cos ( \theta ) } \sin ( \theta ) d \theta } \\ & { = 2 \pi \left[ - \frac { e ^ { i r | h | \cos ( \theta ) } } { i r | h | } \right] _ { 0 } ^ { \pi } = 2 \pi \frac { e ^ { i r | h | } - e ^ { - i r | h | } } { i r | h | } = 4 \pi \frac { \sin ( r | h | ) } { r | h | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( K , \lambda , \mu ) } & { : = - K ^ { T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \right] + \frac { 1 } { 2 } K ^ { T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } ^ { T } \right] K + \lambda ( K ^ { T } \mathbf { 1 } - 1 ) - \mu ^ { T } K . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { = - j \frac { { 2 \pi r \cos \theta } } { \lambda } \left[ { { \sqrt { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } - \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } } { - \sqrt { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } + \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } \right. } \\ & { \left. + \psi \left( \frac { D _ { T } } { r } \right) \sin \theta \right] , } \end{array}
\psi _ { \textbf { R } , \pm } ( \textbf { r } ) \propto \frac { e ^ { - \kappa _ { \pm } ( R ) | \textbf { r } - \textbf { R } / 2 | } } { | \textbf { r } - \textbf { R } / 2 | } \pm \frac { e ^ { - \kappa _ { \pm } ( R ) | \textbf { r } + \textbf { R } / 2 | } } { | \textbf { r } + \textbf { R } / 2 | } .
{ \frac { d P _ { \alpha \beta } } { d \phi ^ { \prime } } } = \sin 2 \theta _ { m } ^ { \prime } ~ F ( 2 \theta _ { m } ^ { \prime } - 2 \theta _ { m } ^ { \prime \prime } , 2 \theta _ { m } ^ { \prime \prime } ; 2 \phi ^ { \prime } , 2 \phi ^ { \prime \prime } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \lambda } \left( 0 . 1 7 9 9 6 - 0 . 2 0 5 2 3 \left( \frac { 1 - \beta } { \lambda } - 1 \right) \right) \le 0 . 0 8 7 \pi ^ { 2 } \frac { b _ { 1 } } { b _ { 0 } } \frac { 1 - \beta } { \eta _ { k } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { 2 \eta _ { k } } \left\{ \frac { b } { b _ { 0 } } \left( \frac { L _ { 1 } - 3 . 2 3 9 5 } { 2 ^ { k } - 2 } + L _ { 2 } + \log 1 . 5 4 6 \right) + \log \zeta ( 1 + \eta _ { k } ) \right\} } \\ & { \qquad \qquad + c ( R ) \lambda \Bigg [ \frac { b } { b _ { 0 } } \, \bigg \{ \left( \frac { 2 3 . 9 9 } { \sqrt { \eta _ { k } } } - 4 0 . 0 5 1 \right) ( L _ { 1 } - 3 . 2 3 9 5 ) + 1 . 2 0 3 1 L _ { 2 } + 1 . 7 8 6 } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 . 0 8 9 7 L _ { 2 } - 0 . 5 3 2 2 \log \eta _ { k } } { \eta _ { k } ^ { 2 } } \bigg \} + 1 . 8 \Bigg ] , } \end{array}