harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { O _ { L } O _ { R } = } & { \int \varphi _ { \theta _ { L } , x _ { L } , y } ( \tilde { x } _ { L } , \tilde { y } _ { L } ) I _ { L } ( \tilde { x } _ { L } , \tilde { y } _ { L } ) d \tilde { x } _ { L } d \tilde { y } _ { L } \int \varphi _ { \theta _ { R } , x _ { R } , y } ( \tilde { x } _ { R } , \tilde { y } _ { R } ) I _ { R } ( \tilde { x } _ { R } , \tilde { y } _ { R } ) d \tilde { x } _ { R } d \tilde { y } _ { R } } \\ { = } & { \int \int \varphi _ { \theta _ { L } , x _ { L } , y } ( \tilde { x } _ { L } , \tilde { y } _ { L } ) \varphi _ { \theta _ { R } , x _ { R } , y } ( \tilde { x } _ { R } , \tilde { y } _ { R } ) I _ { L } ( \tilde { x } _ { L } , \tilde { y } _ { L } ) I _ { R } ( \tilde { x } _ { R } , \tilde { y } _ { R } ) d \tilde { x } _ { R } d \tilde { y } _ { R } d \tilde { x } _ { L } d \tilde { y } _ { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { 1 } ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } ) } & { = \frac { 2 y ^ { 1 } } { ( y ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 } , \ } \\ { x ^ { 2 } ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } ) } & { = \frac { 2 y ^ { 2 } } { ( y ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 } , \ } \\ { x ^ { 3 } ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } ) } & { = \frac { ( y ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 1 } { ( y ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { p } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) = - 2 \pi \mu | \mathbf { U } | L \cos \theta } & { { } \left( \frac { A _ { R e = 0 } ^ { ( 1 ) } + A ^ { ( 1 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ( 2 \chi ) } + \frac { A _ { R e = 0 } ^ { ( 2 ) } + A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ^ { 2 } ( 2 \chi ) } + \frac { A _ { R e = 0 } ^ { ( 3 ) } + A ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } { \ln ^ { 3 } ( 2 \chi ) } \right. } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \bar { y } } & { = } & { r ^ { \beta \gamma } ( v - i w ) e ^ { - i \theta } . } \\ { d x } & { = } & { \gamma r ^ { \gamma - 1 } e ^ { i \theta } d r + r ^ { \gamma } e ^ { i \theta } i d \theta . } \\ { d \bar { y } } & { = } & { r ^ { - \beta \gamma - 1 } ( - \beta \gamma ) ( v - i w ) e ^ { - i \theta } d r + r ^ { - \beta \gamma } e ^ { - i \theta } d v } \\ & & { \quad + r ^ { \beta \gamma } ( v - i w ) e ^ { - i \theta } ( - i ) d \theta . } \end{array}
\mathbf { q } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \lvert _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } \stackrel { d } { = } \sqrt { \rho _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } } \, \mathbf { O } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } + \boldsymbol { \Delta } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \lvert _ { \mathcal { Q } _ { k } } \stackrel { d } { = } \sum _ { \ell = 0 } ^ { k - 1 } [ \boldsymbol { \beta } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { \ell + 1 } \, \mathbf { q } _ { \ell } ^ { \mathrm { i n } } + \sqrt { \rho _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } } \, \mathbf { O } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } + \boldsymbol { \Delta } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ,
\Delta u _ { i } ( j ) = \sum _ { d = 1 } ^ { D _ { b } } b _ { d } \operatorname* { m a x } ( e _ { j d } - e _ { i d } , 0 ) - \big \| { \mathbf { c } } \circ ( { \mathbf { e } } _ { j } - { \mathbf { e } } _ { i } ) \big \| _ { 2 } .
g ( n ; x , v ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x \cdot p [ n - v + s ] , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( - s + 1 + v ) \leq n \leq ( K - s + v ) } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
G _ { d f } ^ { + , + } ( \textbf { x } _ { v } , \textbf { x } _ { v } ^ { \prime } , \omega ) = \int _ { \mathcal { D } _ { a c q } } G _ { M a r } ^ { + } ( \textbf { x } _ { v } , \textbf { x } _ { r } , \omega ) \mathcal { F } _ { 1 } ^ { + } ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { v } ^ { \prime } , \omega ) \, d \textbf { x } _ { r } ,
\sigma _ { l } ^ { v p } = - \frac { \alpha \eta f _ { c } } { 3 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d y ( 1 + \frac { 1 } { 2 } y ) ( 1 - y ) ^ { 1 / 2 } y ^ { - 1 } Q _ { l } ( 1 + \nu y ^ { - 1 } ) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } \nabla ( u ^ { 2 } ) \cdot \tau \, d \sigma } & { = \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } a _ { i j } n _ { j } n _ { m } ( n _ { m } \partial _ { i } - n _ { i } \partial _ { m } ) u ^ { 2 } d \sigma } \\ & { = - \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } u ^ { 2 } ( n _ { m } \partial _ { i } - n _ { i } \partial _ { m } ) ( a _ { i j } n _ { j } n _ { m } ) d \sigma } \\ & { = \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } u ^ { 2 } ( n _ { m } \partial _ { i } - n _ { i } \partial _ { m } ) ( n _ { i } n _ { m } ) d \sigma } \\ & { \qquad - \int _ { \partial B _ { r } \cap \Omega } u ^ { 2 } ( n _ { m } \partial _ { i } - n _ { i } \partial _ { m } ) ( ( a _ { i j } - \delta _ { i j } ) n _ { j } n _ { m } ) d \sigma } \\ & { = O ( \gamma ) H ( r ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l l } { { V _ { i n t } } } & { { = \left| c _ { 1 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } + c _ { 2 } \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } \right| ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { + \left| Z \right| ^ { 2 } \left[ c _ { 1 } ^ { 2 } \left( \left| \sigma _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| \sigma _ { 2 } \right| ^ { 2 } \right) + c _ { 2 } ^ { 2 } \left( \left| \phi _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| \phi _ { 2 } \right| ^ { 2 } \right) \right] , } } \end{array}
\Gamma _ { \theta \theta } ^ { r } = - r \, \Gamma _ { \phi \phi } ^ { r } = - r s i n ^ { 2 } ( \theta ) \, \Gamma _ { \phi \phi } ^ { \theta } = - s i n ( \theta ) c o s ( \theta ) \, \Gamma _ { r \theta } ^ { \theta } = \Gamma _ { \theta r } ^ { \theta } = \frac { 1 } { r } \, \Gamma _ { r \phi } ^ { \phi } = \Gamma _ { \phi r } ^ { \phi } = \frac { 1 } { r } \, \Gamma _ { \theta \phi } ^ { \phi } = \Gamma _ { \phi \theta } ^ { \phi } = c o t g ( \theta )
\langle \nabla ^ { 2 } P \rangle _ { i } ^ { t + \Delta t } - \frac { \rho } { \Delta t ^ { 2 } } \kappa _ { c } P _ { i } ^ { t + \Delta t } = - \kappa _ { r } \frac { \rho } { \Delta t ^ { 2 } } \frac { n _ { i } ^ { * } - n ^ { 0 } } { n ^ { 0 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \mathrm { v o l } _ { g + \varepsilon h } } & { = \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \sqrt { \operatorname* { d e t } ( g + \varepsilon h ) } \, d x ^ { 0 } \wedge d x ^ { 1 } \wedge d x ^ { 2 } \wedge d x ^ { 3 } } \\ & { = \frac { \mathrm { t r } ( g ^ { - 1 } h ) } { 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } g } \, d x ^ { 0 } \wedge d x ^ { 1 } \wedge d x ^ { 2 } \wedge d x ^ { 3 } } \\ & { = \frac { \mathrm { t r } ( g ^ { - 1 } h ) } { 2 } \mathrm { v o l } _ { g } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi ( x ) P _ { p } ( x , y ) } & { = \left( \frac { ( \pi ( x ) L ( x , y ) ) ^ { p } + ( \pi ( x ) L _ { \pi } ( x , y ) ) ^ { p } } { 2 } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { = \left( \frac { ( \pi ( y ) L _ { \pi } ( y , x ) ) ^ { p } + ( \pi ( y ) L ( y , x ) ) ^ { p } } { 2 } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { = \pi ( y ) P _ { p } ( y , x ) , } \end{array}
- N { \frac { \partial V } { \partial N } } = g T _ { 3 } + 2 \psi - T _ { 2 } U - c T _ { A B } + g { \frac { \alpha ^ { 3 } } { 3 } } + ( U + 2 c ) { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } + \makebox { t r } \ln ( ( U + g \alpha ) \delta _ { 0 } + c \delta _ { 1 } + g \Phi )
\begin{array} { r l } { \bar { \Delta } _ { 0 } ^ { \mathrm { C , F } } } & { \approx \frac { F ^ { 2 } \! - \! 1 } { 1 2 F } \eta \exp \left( - \frac { 2 \eta \lambda _ { \mathrm { s } } } { F \lambda _ { \mathrm { d } } } \Omega _ { \delta } \right) } \\ & { + \frac { F } { \eta } \exp \left( \frac { 2 \eta \lambda _ { \mathrm { s } } } { F \lambda _ { \mathrm { d } } } \Omega _ { \delta } \Big ( 1 - \frac { \eta } { F } \Big ) ^ { \delta - 1 } \right) + \frac { 1 \! - \! F } { 2 } . } \end{array}
\tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } = \sum _ { x _ { i } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \left( \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } \right) p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { T } | x _ { i } ^ { T } ) .
L = - M _ { 0 } ^ { Q } + \frac { 1 } { 2 } I _ { a b } \mathrm { t r } ( { \cal A } ^ { \dag } \dot { \cal A } \frac { \lambda _ { a } } { 2 } ) \mathrm { t r } ( { \cal A } ^ { \dag } \dot { \cal A } \frac { \lambda _ { b } } { 2 } ) - \frac { i } { 2 } \mathrm { t r } ( Y { \cal A } ^ { \dag } \dot { \cal A } ) ,
\begin{array} { r l } { d \langle u _ { t } ^ { G , h } - u _ { t } ^ { \hat { G } } , p _ { t } \rangle _ { H } } & { = - \langle u _ { t } ^ { G , h } - u _ { t } ^ { \hat { G } } , D \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { \hat { G } } ) p _ { t } + D \mathcal { L } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } ) \rangle _ { H } d t } \\ & { \quad + \langle p _ { t } , ( P _ { h } \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { { G } , h } ) - \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { \hat { G } } ) ) + ( P _ { h } G ( t , u _ { t } ^ { G , h } ) - \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } ) ) \rangle _ { H } d t } \\ & { \quad + \langle q _ { t } ^ { * } ( u _ { t } ^ { G , h } - u _ { t } ^ { \hat { G } } ) , d W _ { t } \rangle _ { H } } \\ & { \quad + \langle ( P _ { h } - I ) ^ { * } p _ { t } , B d W _ { t } \rangle _ { H } } \\ & { \quad + \langle q _ { t } \sqrt { Q } , ( P _ { h } - I ) B \sqrt { Q } \rangle _ { L _ { 2 } ^ { 0 } } d t . } \end{array}
A _ { B } = h _ { 1 } \, h _ { 2 } , \quad B _ { B } = h _ { 1 } - h _ { 2 } , \quad C _ { B } = 1 , \quad \kappa _ { B } = \frac 1 3 \, { h _ { 1 } } ^ { 2 } { h _ { 2 } } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { i \left( \partial _ { t } + M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } - \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right) a \left( e , \mathbf { p } , t \right) } & { = } & { \frac { \Omega } { 2 } f ^ { 2 } \left( t \right) \exp \left[ - i \delta t - i \phi \left( t \right) \right] a \left( g , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \\ { i \left( \partial _ { t } + M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } - \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right) a \left( g , \mathbf { p } , t \right) } & { = } & { \frac { \Omega ^ { \ast } } { 2 } f ^ { 2 } \left( t \right) \exp \left( i \delta t + i \phi \left( t \right) \right) a \left( e , \mathbf { p } + \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \end{array}
g ( \ddot { v } , \dot { v } , v ) = \ddot { v } + 3 c v ^ { 2 } \dot { v } - \Big ( 1 - \frac { b } { \tau } \Big ) \dot { v } + \frac { b c } { \tau } v ^ { 3 } - \frac { b - 1 } { \tau } v - \frac { b I - a } { \tau } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \tiny { \begin{array} { c } { i + j = r } \\ { i , j \geq 0 } \end{array} } } \left( ( P _ { i } \circ R _ { j } ) ( x ) - ( - 1 ) ^ { | P | | R | } ( R _ { j } \circ P _ { i } ) ( x ) \right) } & { = \sum _ { \tiny { \begin{array} { c } { i + j = r } \\ { i , j \geq 0 } \end{array} } } [ P _ { i } , R _ { j } ] _ { \tiny { { \mathrm { R N } } } } ( x ) } \\ & { = \left( [ P , R ] _ { \tiny { { \mathrm { R N } } } } \right) _ { r } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \! \left[ { \mathrm { \Large ~ \mathfrak ~ 1 ~ } } ( A ) \cdot \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) \right] \leq \mathbb { E } \! \left[ \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) \left( 1 - \left( 1 - e ^ { - \lambda } Z _ { \lambda } ^ { - 1 } \right) ^ { \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) } \right) \right] } \\ & { + \mathbb { E } \! \left[ \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) \left( 1 - \left( 1 - ( 2 d - 2 ) Z _ { \lambda } ^ { - 1 } \right) ^ { \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) } - \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) ( 2 d - 2 ) Z _ { \lambda } ^ { - 1 } ( 1 - ( 2 d - 2 ) Z _ { \lambda } ^ { - 1 } ) ^ { \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) - 1 } \right) \right] . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 , t } } \\ { y _ { 2 , t } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } } \\ { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 , t - 1 } } \\ { y _ { 2 , t - 1 } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { e _ { 1 , t } } \\ { e _ { 2 , t } } \end{array} \right] } ,
\psi = { \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { 1 } , } & { { \mathrm { i f ~ } } x < - L / 2 { \mathrm { ~ ( t h e ~ r e g i o n ~ o u t s i d e ~ t h e ~ b o x ) } } } \\ { \psi _ { 2 } , } & { { \mathrm { i f ~ } } - L / 2 < x < L / 2 { \mathrm { ~ ( t h e ~ r e g i o n ~ i n s i d e ~ t h e ~ b o x ) } } } \\ { \psi _ { 3 } , } & { { \mathrm { i f ~ } } x > L / 2 { \mathrm { ( t h e ~ r e g i o n ~ o u t s i d e ~ t h e ~ b o x ) } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { S _ { i } ( t - 1 ) + A _ { j } ( t - 1 ) } & { { } \xrightarrow { \beta ^ { ' } } } & { A _ { i } ( t ) + A _ { j } ( t ) , } \\ { A _ { i } ( t - 1 ) } & { { } \xrightarrow { \mu } } & { R _ { i } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L } & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } \frac { \int _ { 0 } ^ { \int _ { 1 } ^ { x } \left( u e ^ { - u } \right) d u } \left( t ^ { 2 } e ^ { t } \right) d t } { \left( x ^ { 3 } - 1 \right) } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } \frac { \frac { d } { d x } \int _ { 0 } ^ { \int _ { 1 } ^ { x } \left( u e ^ { - u } \right) d u } \left( t ^ { 2 } e ^ { t } \right) d t } { \frac { d } { d x } \left( x ^ { 3 } - 1 \right) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } \frac { \left[ \left( \int _ { 1 } ^ { x } \left( u e ^ { - u } \right) d u \right) ^ { 2 } e ^ { \left( \int _ { 1 } ^ { x } \left( u e ^ { - u } \right) d u \right) } \right] \cdot \frac { d } { d x } \left( \int _ { 1 } ^ { x } \left( u e ^ { - u } \right) d u \right) } { 3 x ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } \frac { [ ( 0 ) e ^ { 0 } ] \cdot ( 1 ) e ^ { - 1 } } { 3 ( 1 ) ^ { 2 } } = 0 , } \end{array}
V ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty ~ } & { ( x < 0 ) } \\ { \frac { \lambda } { w \sqrt { \pi } } e ^ { \textstyle - ( x - a ) ^ { 2 } / w ^ { 2 } } } & { ( x \ge 0 ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \partial r ( \xi ) } { \partial t } = \frac { \Dot { z } } { \sqrt { \Dot { r } ^ { 2 } + \Dot { z } ^ { 2 } } } \cdot \frac { V _ { \mathrm { ~ M ~ } } } { F } \cdot J ( \xi ) \ , } \\ { \frac { \partial z ( \xi ) } { \partial t } = \frac { - \Dot { r } } { \sqrt { \Dot { r } ^ { 2 } + \Dot { z } ^ { 2 } } } \cdot \frac { V _ { \mathrm { ~ M ~ } } } { F } \cdot J ( \xi ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d R ( t ) = } & { \ a ( t , \alpha ( t - ) ) d t + \sigma _ { 1 } ( t , \alpha ( t - ) ) d W _ { 1 } ( t ) + \sum _ { i = 1 , \ i \neq j } ^ { N } \gamma ^ { i j } ( t ) ( d J ^ { i j } ( t ) - \mu _ { i j } ( t ) ) } \\ { = } & { \ a ( t , \alpha ( t - ) ) d t + \sigma _ { 1 } ( t , \alpha ( t - ) ) d W _ { 1 } ( t ) + \gamma ( t , \alpha ( t - ) ) d \tilde { \Phi } ( t ) } \end{array}
\gamma : = \frac { \left( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } \right) ^ { 2 } \pi _ { 1 } \pi _ { 2 } } { \pi _ { 1 } \left( \mu _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \right) + \pi _ { 2 } \left( \mu _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { c c c } { \psi _ { 2 l } ^ { ( j ) } = } & { \exp { ( \phi _ { l } ^ { ( n ) } ) } \psi _ { 1 l } ^ { ( j ) } \{ \pm \omega _ { l r } \pm s _ { l } ^ { ( n ) } , \pm \Delta _ { l } \pm \theta _ { l } ^ { ( n ) } \} , } \\ & { t \rightarrow - \infty , } \\ { \psi _ { 2 l } ^ { ( j ) } = } & { \exp { ( \phi _ { l } ^ { ( m ) } ) } \psi _ { 1 l } ^ { ( j ) } \{ \pm \omega _ { l r } \pm s _ { l } ^ { ( m ) } , \pm \Delta _ { l } \pm \theta _ { l } ^ { ( m ) } \} , } \\ & { t \rightarrow + \infty . } \end{array} \right. } \end{array}
H _ { q } ( x , \xi , t ) = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d z ^ { - } } { 2 \pi } \, e ^ { i x ( P ^ { + } z ^ { - } ) } \, \langle \pi ( p ^ { \prime } ) | \bar { q } ( - z ^ { - } / 2 ) \gamma ^ { + } q ( z ^ { - } / 2 ) | \pi ( p ) \rangle
\begin{array} { r } { \Psi _ { N , L } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { N } ) = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l } { \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \psi _ { 1 } ( x _ { N } ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { \psi _ { N } ( x _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \psi _ { N } ( x _ { N } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
b \gets \left( \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } \: s ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , k } \; - \; \sum _ { i = 1 } ^ { n } d _ { i } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \; , \; \; \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } \: s ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } , k } \; - \; \sum _ { i = 1 } ^ { n } d _ { i } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \right)
\begin{array} { r l } { R } & { { } = \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } t + \alpha _ { 2 } \log ( 1 / \varepsilon ) , } \\ { D } & { { } = \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 2 } \log ( 1 / \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil } m \mathbb { P } ( N = m ) } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil } m \mathbb { P } ( A \cap A ^ { \prime } \cap ( N = m ) ) + \sum _ { m = 1 } ^ { \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil } m \mathbb { P } ( \neg ( A \cap A ^ { \prime } ) \cap ( N = m ) ) } \\ & { \leq \mathbb E ( N \mid ( A \cap A ^ { \prime } ) ) + \left\lceil n ^ { 2 } / p \right\rceil \mathbb { P } ( \neg ( A \cap A ^ { \prime } ) ) } \\ & { \leq \frac { 8 } { p } n \log n + O ( n ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { { } = | E _ { x } | ^ { 2 } + | E _ { y } | ^ { 2 } , } \\ { Q } & { { } = | E _ { x } | ^ { 2 } - | E _ { y } | ^ { 2 } , } \\ { U } & { { } = 2 \mathrm { R e } ( E _ { x } E _ { y } ^ { * } ) , } \\ { V } & { { } = - 2 \mathrm { I m } ( E _ { x } E _ { y } ^ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big ( H _ { n } ( s ) - \gamma \int _ { 0 } ^ { s } H _ { n } ( u ) e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } u \Big ) ^ { 2 } \mathrm { d } s } \\ { \quad } & { = \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big ( H _ { n } ( s ) e ^ { - \gamma s } + \gamma \int _ { 0 } ^ { s } ( H _ { n } ( s ) - H _ { n } ( u ) ) e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } u \Big ) ^ { 2 } \mathrm { d } s } \\ { \quad } & { \leqslant 2 \sigma ^ { 2 } \Big ( \int _ { 0 } ^ { \infty } H _ { n } ^ { 2 } ( s ) e ^ { - 2 \gamma s } \mathrm { d } s + 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big ( \int _ { 0 } ^ { s } ( H ( s ) - H ( u ) ) \gamma e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } u \Big ) ^ { 2 } \mathrm { d } s \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta { V } _ { A } } & { = } & { { V } _ { A _ { 2 } } - \widetilde { V } _ { A _ { 1 } } = { V } _ { A _ { 2 } } - { V } _ { A _ { 2 } } \frac { V _ { B _ { 1 } } } { { V } _ { A _ { 2 } } + { V } _ { B _ { 2 } } } , } \\ { \Delta { V } _ { B } } & { = } & { { V } _ { B _ { 2 } } - \widetilde { V } _ { B _ { 1 } } = { V } _ { B _ { 2 } } - { V } _ { B _ { 2 } } \frac { V _ { B _ { 1 } } } { { V } _ { A _ { 2 } } + { V } _ { B _ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( n - 1 ) _ { \mathrm { ~ T ~ , ~ P ~ } } } & { { } = } & { \frac { ( P / \mathrm { ~ P ~ a ~ } ) ( n - 1 ) _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { 9 6 0 9 5 . 4 3 } \times } \end{array}
\langle \sigma _ { \alpha \beta } \rangle = \frac { n _ { \alpha \beta } } { h } , \quad \langle \sigma _ { \alpha \beta } \zeta \rangle = - \frac { m _ { \alpha \beta } } { h ^ { 2 } } , \quad \langle \sigma _ { \alpha 3 } \rangle = \frac { q _ { \alpha } } { h } .
{ \begin{array} { r l } { \left\langle V _ { ( n , w ) } ( z ) \right\rangle _ { { \mathrm { D i r i c h l e t } } , \theta } } & { = { \frac { e ^ { i n \theta } \delta _ { w , 0 } } { | z - { \bar { z } } | ^ { \frac { n ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } } } } } \\ { \left\langle V _ { ( n , w ) } ( z ) \right\rangle _ { { \mathrm { N e u m a n n } } , \theta } } & { = { \frac { e ^ { i w \theta } \delta _ { n , 0 } } { | z - { \bar { z } } | ^ { \frac { R ^ { 2 } w ^ { 2 } } { 2 } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { K _ { N - n + j } ( { V } _ { n , d } ) = ( - 1 ) ^ { \frac { j } { 2 } } d ^ { \frac { n } { 2 } } \biggl ( \frac { d - 1 } { d } \biggr ) ^ { \frac { j } { 2 } } \frac { 2 ^ { n + 2 - j } \pi ^ { \frac { N } { 2 } } \Gamma \left( \frac { n } { 2 } + 1 \right) } { \Gamma \left( \frac { j } { 2 } + 1 \right) \Gamma ( n + 1 - j ) \Gamma \left( \frac { N + j - n } { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \leq } & { \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 2 \delta _ { \omega } ^ { t } - L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \frac { 2 \delta _ { z } ^ { t } - L _ { z } ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right] \right) \leq } \\ & { \mathcal { L } ( Z ^ { 0 } , \Omega ^ { 0 } ) - \mathcal { L } _ { \operatorname* { i n f } } + \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \Bigg ( C _ { 1 } \| \Omega ^ { t + 1 } - \Omega ^ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \sigma ^ { 2 } ( L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } + L _ { z } ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } ) } { 2 } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { Q } _ { L } = \frac { 1 } { 4 } \Psi ^ { \dagger } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \vec { \tau } \Psi \qquad \qquad \vec { Q } _ { R } = \frac { 1 } { 4 } \Psi ^ { \dagger } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \vec { \tau } \Psi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { i } ^ { ( x ) } \mathbf { P } ( \mathbf { x } , t ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { I \! H } } \nabla _ { i } ^ { x } \left( \frac { 1 } { | \mathbf { x } - \mathbf { y } | } \right) ) \nabla _ { ( y ) } ^ { i } \nabla _ { ( y ) } ^ { j } { \mathbf { U } } _ { i } ( \mathbf { y } , t ) { \mathbf { U } } _ { j } ( \mathbf { y } , t ) d ^ { 3 } y } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { I \! H } } \frac { ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { y } _ { i } ) } { | \mathbf { x } - \mathbf { y } | ^ { 2 } } \nabla _ { ( y ) } ^ { i } \nabla _ { ( y ) } ^ { j } { \mathbf { U } } _ { i } ( \mathbf { y } , t ) { \mathbf { U } } _ { j } ( \mathbf { y } , t ) d ^ { 3 } y } \end{array}
\tilde { Y } _ { t } = { \frac { h _ { t } ^ { 2 } } { 1 6 { \pi } ^ { 2 } } } , \, \, \, \tilde { Y } _ { b } = { \frac { h _ { b } ^ { 2 } } { 1 6 { \pi } ^ { 2 } } } , \, \, \, \tilde { Y } _ { \tau } = { \frac { h _ { \tau } ^ { 2 } } { 1 6 { \pi } ^ { 2 } } } ,
Y _ { E } = \left( \begin{array} { c c c } { { W T ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } } & { { W ^ { 3 } T ^ { 2 } } } & { { W ^ { 2 } T \xi ^ { 3 } } } \\ { { W T ^ { 2 } \xi ^ { 5 } } } & { { W T ^ { 2 } } } & { { W \xi } } \\ { { W ^ { 4 } \xi ^ { 2 } } } & { { W ^ { 3 } T \xi } } & { { W T } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { d L ( \tau ) = \left( - \gamma L ^ { \alpha } + \frac { ( D \alpha + D ) \left( - \frac { 2 \gamma } { D \alpha + D } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha + 1 } } e ^ { \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha + 1 } } { D \alpha + D } } } { \Theta ( \alpha + 1 ) \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } , - \frac { 2 L ^ { \alpha + 1 } \gamma } { \alpha D + D } \right) } \right) d \tau + \sqrt { D } \; d W _ { \tau } \qquad \alpha \neq - 1 \ , } \end{array}
X ^ { i } = H _ { i } ^ { - 1 } ( H _ { 1 } H _ { 2 } H _ { 3 } ) ^ { 1 / 3 } , \ \ \ A _ { t } ^ { i } = \frac { \tilde { q } _ { i } } { r ^ { 2 } + q _ { i } } , \ \ i = 1 , 2 , 3 .
\left( \frac { 1 } { 4 } r ^ { 2 } + 2 \sin ^ { 2 } F \right) F ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { 2 } r F ^ { \prime } + \sin 2 F \left[ ( F ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right] - \frac { \sin ^ { 2 } F } { r ^ { 2 } } \sin 2 F = 0 \ .