harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { P r } ( X _ { t _ { n + 1 } } = i _ { n + 1 } \mid X _ { t _ { 0 } } = i _ { 0 } , X _ { t _ { 1 } } = i _ { 1 } , \ldots , X _ { t _ { n } } = i _ { n } ) = p _ { i _ { n } i _ { n + 1 } } ( t _ { n + 1 } - t _ { n } )
\begin{array} { r } { ( { \bf u } _ { j , t } , { \bf v } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( { u } _ { i , j , t } , { v _ { i } } ) , \quad ( { \nu } _ { j } \nabla { \bf u } _ { j } , \nabla { \bf v } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( \nu _ { i , j } \nabla { u _ { i , j } } , \nabla { v _ { i } } ) , \quad ( { \bf f } _ { j } , { \bf v } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( { f _ { i , j } } , { v _ { i } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 0 } ( \alpha ) } & { { } = W _ { 0 1 } ( \alpha ) = ( 1 - e ^ { i \alpha } ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { k } ( \Theta ) J _ { k - 1 } ( \Theta ) } \\ { W _ { 0 0 } ( \alpha ) } & { { } = J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) + ( 1 + e ^ { i \alpha } ) \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) } { 2 } } \\ { W _ { 1 1 } ( \alpha ) } & { { } = e ^ { i \alpha } J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) + ( 1 + e ^ { i \alpha } ) \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { I } ( x , h , t ) = } & { - \int _ { v _ { a } } ^ { v _ { b } } \int _ { u _ { a } } ^ { u _ { b } } \frac { t } { \left( ( x - v ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } + ( h - u ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v } \\ { = } & { F _ { u _ { a } , v _ { a } } ( x , h , t ) - F _ { u _ { b } , v _ { a } } ( x , h , t ) - F _ { u _ { a } , v _ { b } } ( x , h , t ) + F _ { u _ { b } , v _ { b } } ( x , h , t ) , } \end{array}
g \, t _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } \Phi ^ { 2 } } + U \, t _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } \Phi } + c \, ( t _ { ( i _ { 1 } + 1 ) i _ { 2 } \ldots ( i _ { n } - 1 ) \Phi } + t _ { ( i _ { 1 } - 1 ) i _ { 2 } \ldots ( i _ { n } + 1 ) \Phi } ) - \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } t _ { i _ { 1 } \ldots i _ { j } } \, t _ { i _ { j + 1 } \ldots i _ { n } } = 0
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \frac { 1 } { n ! } \cdot \frac { d ^ { n } } { d t ^ { n } } [ x ^ { n } ] \frac { G ( x ) ^ { 2 } } { 1 - R ( x ) } \Bigg | _ { t = 0 } } \\ { - 1 } & { = \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \cdot \frac { d ^ { n - 1 } } { d t ^ { n - 1 } } [ x ^ { n } ] \frac { G ( x ) ^ { 2 } } { 1 - R ( x ) } \Bigg | _ { t = 0 } } \\ { 0 } & { = \frac { 1 } { k ! } \cdot \frac { d ^ { k } } { d t ^ { k } } [ x ^ { n } ] \frac { G ( x ) ^ { 2 } } { 1 - R ( x ) } \Bigg | _ { t = 0 } } \\ { 0 } & { = [ x ^ { n } ] \frac { G ( x ) ^ { 2 } } { 1 - R ( x ) } \Bigg | _ { t = 0 } - b _ { n } r ^ { n - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } x _ { 1 } ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = p _ { 1 , 1 } \phi _ { \mathrm { p h o t , c } } ( t ) - p _ { 1 , 2 } x _ { 1 } ( t ) 2 ^ { x _ { 3 } ( t ) / 1 0 - 5 / 2 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } x _ { 2 } ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 1 } { p _ { 2 , 1 } } - \phi _ { \mathrm { p h o t , c } } ( t ) + p _ { 2 , 2 } x _ { 1 } ( t ) 2 ^ { x _ { 3 } ( t ) / 1 0 - 5 / 2 } + u _ { 1 } ( t ) 1 0 ^ { - 6 } - \phi _ { \mathrm { v e n t , c } } ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } x _ { 3 } ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 1 } { p _ { 3 , 1 } } u _ { 3 } ( t ) - ( p _ { 3 , 2 } u _ { 2 } ( t ) 1 0 ^ { - 3 } + p _ { 3 , 3 } ) ( x _ { 3 } ( t ) - d _ { 3 } ( t ) ) + p _ { 3 , 4 } d _ { 1 } ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } x _ { 4 } ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 1 } { p _ { 4 , 1 } } \big ( \phi _ { \mathrm { t r a n s p , h } } ( t ) - \phi _ { \mathrm { v e n t , h } } ( t ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } - \sum _ { \langle i j \rangle , a b \sigma } t _ { i j } ^ { a b } d _ { i a \sigma } ^ { \dagger } d _ { j b \sigma } ^ { } - \sum _ { i \sigma } \mu n _ { i \sigma } + \sum _ { i a } U n _ { i a \uparrow } n _ { i a \downarrow } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { K _ { 1 } + \lambda K _ { 2 } } { \| A y \| ^ { 3 } } } & { = \frac { 2 ( c ^ { T } y ) ^ { 4 } + 3 ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } \| y \| ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \| y \| ^ { 4 } } { \| A y \| ^ { 3 } c ^ { T } y } } \\ & { = \frac { ( 2 ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \| y \| ^ { 2 } ) ( ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \| y \| ^ { 2 } ) } { \| A y \| ^ { 3 } c ^ { T } y } } \\ & { = \frac { 2 ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \| y \| ^ { 2 } } { \| A y \| c ^ { T } y } } \\ & { = \frac { ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } + \| A y \| ^ { 2 } } { \| A y \| c ^ { T } y } } \\ & { = 2 + \frac { ( c ^ { T } y - \| A y \| ) ^ { 2 } } { \| A y \| c ^ { T } y } } \end{array}
\frac { d \sigma } { d t } ( \gamma _ { L } ~ p \rightarrow \pi ^ { 0 } ~ p ) = \frac { d \sigma } { d t } ( x , Q ^ { 2 } ) \bigg | _ { t = \mathrm { t _ { m i n } } } \times e ^ { B ( t - t _ { m i n } ) } ,
\chi _ { 3 } ^ { S ^ { O U T } , S ^ { I N } } ( n _ { \perp } ) = g _ { 0 } + g _ { 1 } \cos ( a p _ { x } ) + g _ { 2 } \cos ( b p _ { y } ) + g _ { 3 } \sin ( a p _ { x } ) + g _ { 4 } \sin ( b p _ { y } ) + g _ { 5 } \cos ( a p _ { x } - b p _ { y } ) + g _ { 6 } \sin ( a p _ { x } - b p _ { y } )
\begin{array} { r l } { \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ^ { p - 2 } ( e ) \mathbf { a } ( t , e ) P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ^ { 2 } } & { \leq \left( \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ^ { p - 1 } ( e ) \mathbf { a } ( t , e ) ^ { \frac { p - 1 } { p - 2 } } P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { p - 2 } { p - 1 } } \left( \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } } \\ & { \leq C \left( \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ^ { p - 1 } ( e ) \mathbf { a } ( t , e ) ^ { \frac { p - 1 } { p - 2 } } P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { p - 2 } { p - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta } & { { } = \frac { \nu } { 1 - 2 \nu } } \\ { \beta ( 1 - 2 \nu ) } & { { } = \nu } \\ { \beta } & { { } = \nu ( 1 + 2 \beta ) } \\ { \nu } & { { } = \frac { \beta } { 1 + 2 \beta } } \end{array}
n = \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { S ^ { 3 } } d ^ { 3 } x \epsilon _ { i j k } t r [ g ^ { - 1 } \nabla _ { i } g ( x ) g ^ { - 1 } \nabla _ { j } g ( x ) g ^ { - 1 } \nabla _ { k } g ( x ) ] .
G _ { \Sigma } ( \tilde { s } ) = \frac { 4 } { \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \lambda ( \tilde { s } _ { j } ) \Delta \Sigma _ { j } \tilde { s } _ { j } G \left( \frac { \tilde { s } _ { j } } { \tilde { s } } \right) ,
\begin{array} { r l } { ( \Phi ^ { - 1 } ) _ { * } ( H _ { t } \partial _ { t } ) } & { = H _ { t + \eta } \partial _ { t } } \\ { ( \Phi ^ { - 1 } ) _ { * } ( \partial _ { t } ^ { 2 } ) } & { = \partial _ { t } ^ { 2 } } \\ { ( \Phi ^ { - 1 } ) _ { * } ( \Delta _ { t } ) } & { = \Delta _ { t + \eta } + E _ { \eta } } \\ { \implies ( \Phi ^ { - 1 } ) _ { * } ( \Delta _ { g } ) \Big | _ { t } } & { = \Delta _ { g } \Big | _ { t + \eta } + E _ { \eta } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j \in \mathrm { n . n . } } \lambda _ { q \zeta } ^ { i j } \lambda _ { q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } ^ { i j } = \eta \lambda _ { q } \lambda _ { q ^ { \prime } } \, \epsilon _ { q \zeta } \cdot P _ { \parallel } \epsilon _ { q ^ { \prime } \zeta ^ { \prime } } \, e ^ { i ( q + q ^ { \prime } ) \cdot r _ { i } } } \end{array}
\mathbb { M } = \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } } } & { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { e ^ { \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } } } & { - 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { e ^ { \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } } } \end{array} \right) ,
F _ { \mu \nu } = \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } \left( \sum _ { \kappa = 0 } ^ { 3 } A _ { \kappa \nu } ^ { \kappa } \right) - \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } \left( \sum _ { \kappa = 0 } ^ { 3 } A _ { \kappa \mu } ^ { \kappa } \right) ,
\mathrm { M S E _ { \mathrm { i c } } } = \frac { 1 } { P } \sum _ { i = 1 } ^ { P } | \sigma ( t = 0 ; \dot { \gamma } _ { i } ) - \sigma _ { \mathrm { i c , f i t } } ( \dot { \gamma } _ { i } ) | ^ { 2 } .
\hat { p } = - i ( \frac { \partial } { \partial \hat { q } } + O ( 2 ^ { - \frac { N } { 2 } } ( N ! ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { 2 } H _ { N + 1 } ( f _ { i } ( \vec { x } , t ) ) ) )
m _ { 0 } ^ { s } = 0 . 2 , R _ { 1 } ^ { f } = 0 . 5 2 / s , R _ { 2 } ^ { f } = 1 2 . 9 / s , R _ { \mathrm { ~ x ~ } } = 1 6 . 5 / s , R _ { 1 } ^ { s } = 2 . 9 7 / s
\theta _ { 1 } ( z | \tau ) \equiv \sum _ { n = - \infty } ^ { n = \infty } ( - 1 ) ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } i \pi \tau } e ^ { ( 2 n + 1 ) \pi i z } \, , \qquad \theta _ { 3 } ( z | \tau ) \equiv \sum _ { n = - \infty } ^ { n = \infty } e ^ { n ^ { 2 } i \pi \tau } e ^ { 2 n \pi i z } \, .
\begin{array} { r l } { \int \operatorname { a r c s e c } ( x ) \, d x } & { { } { } = x \, \operatorname { a r c s e c } ( x ) - \operatorname { s g n } ( x ) \ln \left( \left| x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right| \right) + C } \\ { \int \operatorname { a r c c s c } ( x ) \, d x } & { { } { } = x \, \operatorname { a r c c s c } ( x ) + \operatorname { s g n } ( x ) \ln \left( \left| x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right| \right) + C } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } } & { = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 1 ^ { - } } \times \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } ) = p _ { \mathbb { S } } ( 1 - \nu , - 2 \nu , 1 - \nu ) , } \\ { \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } } & { = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } \times \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { K ^ { - } } ) = p _ { \mathbb { S } } ( - \nu , 1 , - \nu ) , } \\ { \hat { \mathbf { n } } ^ { 2 ^ { - } K ^ { - } } } & { = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 2 ^ { - } } \times \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { K ^ { - } } ) = p _ { \mathbb { S } } ( 1 , - \nu , - \nu ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } ^ { ( j ) } ( P ) } & { = \mathbf { U } _ { i _ { \mathrm { r e f } } ( P ) } ^ { ( j ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { P } } \mathbf { F } _ { i } ^ { ( j ) } ( P ) \varphi \left( \left\| P - P _ { i } \right\| \right) , } \\ { \widehat { \mathbf { A } } ^ { ( j ) } ( P ) } & { = \widehat { \mathbf { A } } _ { i _ { \mathrm { r e f } } ( P ) } ^ { ( j ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { P } } \mathbf { G } _ { i } ^ { ( j ) } ( P ) \varphi \left( \left\| P - P _ { i } \right\| \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\langle { X _ { A } } ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle P { { _ { A } } ^ { 2 } } \right\rangle = V , } \\ & { \left\langle { { X _ { E _ { 0 } } } ^ { 2 } } \right\rangle = \left\langle P { { _ { E _ { 0 } } } ^ { 2 } } \right\rangle = 1 + { { \xi } _ { E } } , } \\ & { \left\langle { { X } _ { B _ { 0 } } } ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle { { P } _ { B _ { 0 } } } ^ { 2 } \right\rangle = V \mathrm { + } { { \xi } _ { E } } . } \end{array}
\sum _ { c \in \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } \left( e _ { P } ( c ) \log e _ { P } ( c ) - e _ { P } ( c ) \right) = \sum _ { c \in \mathcal { C } } \left( e _ { P } ( c ) \log e _ { P } ( c ) - e _ { P } ( c ) \right) - \sum _ { c \in \mathcal { C } \setminus \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } e _ { P } ( c ) \log e _ { P } ( c ) + \sum _ { c \in \mathcal { C } \setminus \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } e _ { P } ( c ) .
\begin{array} { r } { P ( \{ s _ { i } \} _ { t } | h ) = \prod _ { i , t } ^ { N , T } P ( s _ { i } | h ) = \prod _ { i , t } ^ { N , T } \frac { e ^ { - \eta s _ { i } J _ { i } h - \epsilon s _ { i } } } { 1 + e ^ { - ( \eta J _ { i } h + \epsilon ) } } . } \end{array}
L _ { \eta \eta } - \frac { L ^ { 2 } } { L _ { s s } } = \kappa _ { T } c _ { p } , \qquad \frac { L _ { s s } } { T } \frac { \partial \hat { \mu } } { \partial S } = \kappa _ { S } , \qquad \frac { L + L _ { s s } \hat { \mu } _ { T } } { T } = \kappa _ { S } S ( 1 - S ) S _ { T }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \mathbb { R } _ { \! C ^ { k } } ^ { n } } : \mathbb { R } _ { C ^ { k } } ^ { n } \times \mathbb { R } _ { C ^ { k - 1 } } ^ { n } } & { \longrightarrow \mathbb { R } _ { C ^ { k } } ^ { n } \times \mathbb { R } _ { C ^ { k - 1 } } ^ { n } \times \mathbb { R } _ { C ^ { k - 1 } } ^ { n } \times \mathbb { R } _ { C ^ { k - 2 } } ^ { n } } \\ { ( x , v ) } & { \longmapsto ( x , 0 , 0 , v ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { R } = \left( \begin{array} { l l l l } { \pmb { \alpha } _ { 1 } ^ { - 1 } } & { - \mathbf { T } _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } } & { \dots } & { - \mathbf { T } _ { 1 S } ^ { ( 2 ) } } \\ { - \mathbf { T } _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } } & { \pmb { \alpha } _ { 2 } ^ { - 1 } } & { \dots } & { - \mathbf { T } _ { 2 S } ^ { ( 2 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - \mathbf { T } _ { S 1 } ^ { ( 2 ) } } & { - \mathbf { T } _ { S 2 } ^ { ( 2 ) } } & { \dots } & { \pmb { \alpha } _ { S } ^ { - 1 } } \end{array} \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\partial _ { t } n _ { \mathrm e } = \nabla \cdot ( \mu _ { \mathrm e } \boldsymbol { \mathrm E } n _ { \mathrm e } + D _ { \mathrm e } \nabla n _ { \mathrm e } ) + S _ { \mathrm e } + S _ { \mathrm { p h } } \, ,
\frac { d ^ { 3 } { \bf p } _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { i } } \frac { d ^ { 3 } { \bf p } _ { j } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { j } } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { p _ { i j } } { 2 } \sqrt { \frac { E _ { + } ^ { 2 } - s } { s } } d E _ { + } d s
\begin{array} { r } { ( t _ { 1 } , \dotsc , t _ { n } ) \mapsto ( \bar { t } _ { 2 } \zeta ^ { j _ { 1 } } , \bar { t } _ { 1 } \zeta ^ { j _ { 1 } } , \dotsc , \bar { t } _ { 2 a } \zeta ^ { j _ { a } } , \bar { t } _ { 2 a - 1 } \zeta ^ { j _ { a } } , \bar { t } _ { 2 a + 1 } \zeta ^ { j _ { 2 a + 1 } } , \dotsc , \bar { t } _ { k } \zeta ^ { j _ { k } } , \bar { t } _ { k + 1 } , \dotsc , \bar { t } _ { n } ) } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = \int { \frac { \delta \left( t ^ { \prime } - { \frac { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } { c } } - t \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } { \frac { \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } { c } } d ^ { 3 } r ^ { \prime } d t ^ { \prime } \, .
\begin{array} { r } { k _ { \mathrm { B } } T _ { l i } = \frac { 1 } { 2 } I _ { i } ( 2 \pi f _ { l i 0 } ) ^ { 2 } \left( \frac { A } { 2 \sqrt { 2 } } \sin \sqrt { 2 } A + \sin ^ { 2 } \frac { A } { \sqrt { 2 } } \right) } \end{array}
a _ { F } ^ { ( n ) } = a _ { 1 } ^ { ( n ) } + \cdots + a _ { 5 } ^ { ( n ) } = \frac { 2 2 3 } { 2 4 } - \int d x \frac { 2 x m _ { F } ^ { 2 } - m _ { N } ^ { 2 } } { L ( x , m _ { F } ^ { 2 } , m _ { N } ^ { 2 } ) } H ( x ) - \int d x \frac { m _ { F } ^ { 2 } } { L ( x , m _ { F } ^ { 2 } , m _ { N } ^ { 2 } ) } P ( x ) ,
\begin{array} { r } { \Delta ( \rho _ { \uparrow } ( r ) , \rho _ { \downarrow } ( r ) ) = \Big ( \frac { 6 } { \pi } \Big ) ^ { 1 / 3 } \int ( \rho _ { \uparrow } ^ { 1 / 3 } ( r ) - \rho _ { \downarrow } ^ { 1 / 3 } ( r ) ) \times } \\ { \frac { ( | \psi _ { \uparrow } ( r ) | ^ { 2 } + | \psi _ { \downarrow } ( r ) | ^ { 2 } ) } { 2 } d ^ { 3 } r , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { 0 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) } & { = } & { - 1 + \frac { 1 } { 6 } ( 1 + \ln y _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 6 } } \\ { u _ { 1 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) } & { = } & { - \frac { 2 } { 1 1 } + \frac { 2 } { 8 0 } y _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 0 0 } ( 1 + \ln y _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } ) } \\ { u _ { 2 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) } & { = } & { \frac { 2 } { 1 1 } + \frac { 2 } { 3 } y _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 0 0 } ( 1 + \ln y _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } ) } \\ { u _ { 3 } ( y _ { \mathrm { m a } } ) } & { = } & { \frac { 3 9 } { 2 0 } + \frac { 2 } { 3 } y _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 0 0 } ( 1 + \ln y _ { \mathrm { m a } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { 0 ( t _ { 1 } + \Delta t ) } ^ { v } ( \textbf { y } _ { 0 } ) } & { \approx \textbf { x } _ { 1 } + \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ^ { - } ) + v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) \cdot \Delta t + O ( \Delta t ^ { 2 } ) , } \\ { \varphi _ { 0 ( t _ { 1 } + \Delta t ) } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) } & { = \textbf { x } _ { 1 } + v ^ { + } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) \cdot \Delta t , } \end{array}
\alpha = \alpha _ { 0 } [ 1 - \frac { \alpha _ { 0 } } { 3 \pi } l o g ( \frac { m ^ { 2 } } { p _ { 0 } ^ { 2 } } ) ] ^ { - 1 } = \alpha _ { 0 } [ 1 - \frac { \alpha _ { 0 } } { 3 \pi } l o g ( 2 / n _ { 0 } ) ] ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \partial ^ { k } \eta } & { = 2 ^ { - M | k | } ( \partial ^ { k } \eta ) ^ { 2 ^ { M } } + \sum _ { n = 0 } ^ { M - 1 } \left( 2 ^ { - n | k | } ( \partial ^ { k } \eta ) ^ { 2 ^ { n } } - 2 ^ { - ( n + 1 ) | k | } ( \partial ^ { k } \eta ) ^ { 2 ^ { n + 1 } } \right) } \\ & { = 2 ^ { - M | k | } ( \partial ^ { k } \eta ) ^ { 2 ^ { M } } + \sum _ { n = 0 } ^ { M - 1 } 2 ^ { - ( n + 1 ) | k | } ( \partial ^ { k } \varphi ) ^ { 2 ^ { n + 1 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbb { u } _ { i } ^ { 2 } } & { = 2 \mathbb { u } _ { i } , } & & { \mathrm { i f ~ } 1 \leq i < n } \\ { \mathbb { u } _ { i } \mathbb { u } _ { j } \mathbb { u } _ { i } } & { = \mathbb { u } _ { i } , } & & { \mathrm { i f ~ } | i - j | = 1 } \\ { \mathbb { u } _ { i } \mathbb { u } _ { j } } & { = \mathbb { u } _ { j } \mathbb { u } _ { i } , } & & { \mathrm { i f ~ } | i - j | > 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad N _ { \mathrm { s t } } ( g + 1 , q ) } \\ & { = [ ( q + 2 ) ^ { q } ] ^ { N _ { g , q } - 1 } \, [ 2 ( q + 2 ) ^ { q - 1 } ] ^ { M _ { g , q } - N _ { g , q } + 1 } \, N _ { \mathrm { s t } } ( g , q ) } \\ & { = 2 ^ { M _ { g , q } - N _ { g , q } + 1 } \, { ( q + 2 ) } ^ { ( q - 1 ) M _ { g , q } + N _ { g , q } - 1 } \, N _ { \mathrm { s t } } ( g , q ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { k } ( \Delta t ) } & { { } \approx } & { \left( n _ { k } - n _ { l } \right) } \\ { \vec { r } _ { k } ( \Delta t ) } & { { } \approx } & { \vec { r } _ { k } + \vec { b } _ { k l m } \, \Delta t - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) } \\ { \vec { u } _ { k } ( \Delta t ) } & { { } \approx } & { \vec { b } _ { k l m } - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \mathfrak { t } _ { s } ^ { 2 } } & { = \; \mathbb E \mathfrak { t } _ { s } + \binom { n } { s } \binom { n - s } { s } s ^ { 2 ( s - 2 ) } \left( \frac { \lambda } { n } \right) ^ { 2 ( s - 1 ) } \left( 1 - \frac { \lambda } { n } \right) ^ { 2 s ( n - 2 s ) + s ^ { 2 } + ( s - 1 ) ( s - 2 ) } } \\ & { = \; \mathbb E \mathfrak { t } _ { s } + ( \mathbb E \mathfrak { t } _ { s } ) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \lambda } { n } \right) ^ { - s ^ { 2 } } \left( \prod _ { i = 0 } ^ { s - 1 } \frac { n - s - i } { n - i } \right) = ( \mathbb E \mathfrak { t } _ { s } ) ^ { 2 } + \left( \mathbb E \mathfrak { t } _ { s } + \mathcal { O } \left( \frac { ( s \mathbb E \mathfrak { t } _ { s } ) ^ { 2 } } { n } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \log | \zeta ( \sigma + i t + i a u ) | } { \cosh ^ { 2 } u } \mathrm { d } u } & { = \int _ { - \infty } ^ { - 2 t / a } + \int _ { - 2 t / a } ^ { - ( t + t _ { 0 } ) / a } + \int _ { - ( t + t _ { 0 } ) / a } ^ { - ( t - t _ { 0 } ) / a } + \int _ { - ( t - t _ { 0 } ) / a } ^ { \infty } } \\ & { = I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } . } \end{array}
[ F ^ { 0 } ] ^ { 2 } = \left[ ( 1 + \frac { 4 \epsilon } { 3 } ) ( 1 - 2 \delta ) + { \cal O } ( \epsilon ^ { 2 } ) \right] f _ { \pi } ^ { 2 } = \frac { 2 f _ { K } ^ { 2 } + f _ { \pi } ^ { 2 } } { 3 } ( 1 - 2 \delta ) + { \cal O } ( \epsilon ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { n } \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } \mathcal { D } _ { n } ^ { * } } & { = } & { \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \\ { \eta = ( \eta _ { 1 } , \ldots \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell } ; } \\ { | \eta | = m } \end{array} } \, \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } + 1 ) } = \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { 1 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n } \\ { \eta = ( \eta _ { 1 } , \ldots \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell } ; } \\ { | \eta | = m } \end{array} } \, \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } ) } } \\ & { = } & { \chi _ { \ell \neq n } \, \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } + \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { 1 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell - 1 } \leq n - 1 , \ j _ { \ell } = n } \\ { \eta = ( \eta _ { 1 } , \ldots \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell } ; } \\ { | \eta | = m } \end{array} } \, \left( \prod _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } ) } \right) A _ { \eta _ { \ell } } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } } ^ { ( 2 ) } : = \frac { 1 } { 9 } \left( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ T ~ L ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ T ~ C ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ T ~ R ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ M ~ L ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ M ~ C ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ M ~ R ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ B ~ L ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ B ~ C ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } , \mathrm { ~ B ~ R ~ } } ^ { ( 2 ) } \right) .
\begin{array} { c } { { Z _ { N } ( \vartheta ) = 2 N \arctan \displaystyle \frac { \sinh \vartheta } { \cosh \Theta } + g ( \vartheta | \vartheta _ { j } ) + } } \\ { { + \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { i } G ( \vartheta - x - i \eta ) \log \left( 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( x + i \eta ) } \right) + } } \\ { { - \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { i } G ( \vartheta - x + i \eta ) \log \left( 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { - i Z _ { N } ( x - i \eta ) } \right) + \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( s ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \perp } ^ { \prime \prime } \frac { k _ { \perp } ^ { \prime \prime } \, \, e ^ { - k _ { \perp } ^ { \prime \prime } ( 2 7 s + 1 6 ) } I ( k _ { \perp } ^ { \prime \prime } , s ) } { 4 8 \pi \left( e ^ { 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } - 1 \right) \left[ - 2 e ^ { 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } \left( 2 k _ { \perp } ^ { 2 } + 1 \right) + e ^ { 4 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } + 1 \right] ^ { 2 } } , } \\ { G ( s ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \perp } ^ { \prime \prime } \frac { e ^ { - k _ { \perp } ^ { \prime \prime } ( 2 7 s + 1 6 ) } J ( k _ { \perp } ^ { \prime \prime } , s ) } { 1 9 2 \pi \, k _ { \perp } ^ { 2 } \left( e ^ { 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } - 1 \right) \left[ - 2 e ^ { 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } \left( 2 k _ { \perp } ^ { 2 } + 1 \right) + e ^ { 4 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } + 1 \right] ^ { 2 } } , } \end{array}