harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l l l } { { \mathrm { r e g } \, \, \varepsilon } } & { { = } } & { { \mathrm { r e g } \, \, p / D = \varepsilon _ { c } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { \mathrm { r e g \, } p _ { \perp } } } & { { = } } & { { - \mathrm { r e g } \, \, \varepsilon , } } \end{array}
t _ { 0 } ( \omega ) = \sqrt { T _ { 0 } } e ^ { i \psi ^ { T } } = \frac { \csc \left( \frac { \omega n } { c } L \right) } { { \it \mathcal { R } } ( \omega ) - i { \it \mathcal { I } } ( \omega ) } , \ \ \ \ \psi ^ { T } = \tan ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathcal { I } ( \omega ) } { \mathcal { R } ( \omega ) } \right] , \ \ \ \ T _ { 0 } = \frac { \csc ^ { 2 } \left( \frac { \omega n } { c } L \right) } { { \it \mathcal { R } } ^ { 2 } ( \omega ) + { \it \mathcal { I } } ^ { 2 } ( \omega ) } ,
\begin{array} { r l } { \overline { { f } } _ { r } ( K , \beta ^ { * } , \sigma ^ { 2 } ) = 1 - \operatorname* { m a x } \Bigg ( } & { \underset { \ell \in \{ 1 , \cdots , r - D _ { m ^ { * } } \} } { \operatorname* { m a x } } \Big ( F _ { \chi ^ { 2 } ( \ell ) } ( \ell K ) \Big ) , } \\ & { \underset { \ell \in \{ r - D _ { m ^ { * } } + 1 , \cdots , r \} } { \operatorname* { m a x } } \bigg ( F _ { \chi ^ { 2 } ( \ell ) } \Big ( \frac { \ell K } { 2 } - \underset { k = r - \ell + 1 } { \overset { D _ { m ^ { * } } } { \sum } } \frac { \beta _ { k } ^ { * 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \Big ) \bigg ) \Bigg ) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \ell ^ { 2 } \, [ d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \Omega _ { D - 2 } ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \theta \, d \tau ^ { 2 } ] = \ell ^ { 2 } \, d \Omega _ { D } ^ { 2 }
\int _ { M _ { 0 } } r ( \alpha ) = c \sum _ { P _ { i } \in F _ { Y } } \sum _ { I } n _ { I } \frac { \pi ( Q _ { I } ) \alpha ( Q _ { I } ) } { \prod _ { j \notin I } ( \lambda ^ { j } ( P _ { i } ) , Q _ { I } ) } .
R _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } \geq r \left[ R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } - \frac { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } } { \sqrt { n } } + \frac { \Theta - \Phi _ { n } } { n } \right] ,
\tilde { A } _ { s } = \Phi _ { s } ^ { T } A _ { s } \Phi _ { s } , \; \tilde { K } _ { s } = \Phi _ { s } ^ { T } K _ { s } \Phi _ { s } , \; \tilde { B } _ { s } = \Phi _ { s } ^ { T } B _ { s } R \Phi _ { f } , \; \tilde { H } _ { s } = \Phi _ { s } ^ { T } H _ { s } ( R \Phi _ { f } ) \otimes ( R \Phi _ { f } ) \; .
\begin{array} { r } { \mathrm { R e } \; ( { \bf k } \times { \bf k } ^ { \prime } ) \overline { { \delta \phi } } _ { { \bf k } ^ { \prime } } ^ { \ast } \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } g _ { a , { \bf k } - { \bf k } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } ( { \bf k } \times { \bf k } ^ { \prime } ) \left( \overline { { \delta \phi } } _ { { \bf k } ^ { \prime } } ^ { \ast } \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } g _ { a , { \bf k } - { \bf k } ^ { \prime } } + \overline { { \delta \phi } } _ { { \bf k } ^ { \prime } } \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } ^ { \ast } g _ { a , { \bf k } - { \bf k } ^ { \prime } } ^ { \ast } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathtt { A } ( \xi _ { 1 } ) | } & { \overset { , } { \ge } | C _ { 1 } | | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha } - | m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi _ { 1 } ) | } \\ & { \overset { , } \ge \left( c _ { \alpha } | C _ { 1 } | - C _ { 2 } \mathtt { M } ^ { 1 - \alpha } \right) | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha } - C _ { 2 } \mathtt { M } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } } \\ & { \overset { , } { \ge } \frac { c _ { \alpha } | C _ { 1 } | } { 2 } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha } - \frac { c _ { \alpha } | C _ { 1 } | } { 4 } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha } } \\ & { \ge \frac { c _ { \alpha } | C _ { 1 } | } { 4 } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | P ( C _ { n , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { d } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) - P ( C _ { n , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { h } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) | } \\ & { \leq P \{ \mathrm { ~ t h e r e ~ i s ~ } h \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } d + 1 \leq h \mathrm { ~ a n d ~ } k _ { h } > 0 \} } \\ & { \leq ( n - | w _ { d + 1 } | + 1 ) P ( w _ { d + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k + 1 } ^ { 1 } - V _ { k } ^ { 1 } = \ } & { \ h ^ { 2 } ( k + r - 1 ) k \langle q _ { k } - q ^ { * } , A ( q _ { k + 1 } - q ^ { * } ) \rangle } \\ & { - h ^ { 2 } ( k + r - 2 ) ( k - 1 ) \langle q _ { k - 1 } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle } \\ { = \ } & { h ^ { 2 } \langle q _ { k } - q ^ { * } , A \Delta _ { k } \rangle , } \end{array}
V _ { \mathrm { { D e g r e e } } } = \frac { \mathrm { { D e g r e e } } ^ { \alpha } ( i ) } { \mathrm { { D e g r e e } } ( i ) } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ V _ { \mathrm { { C l u s t e r i n g } } } = \frac { \mathrm { { C l u s t e r i n g } } ^ { \alpha } ( i ) } { \mathrm { { C l u s t e r i n g } } ( i ) } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ V _ { \mathrm { { C l o s e n e s s } } } = \frac { \mathrm { { C l o s e n e s s } } ^ { \alpha } ( i ) } { \mathrm { { C l o s e n e s s } } ( i ) } ,
\mathbf { u } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \end{array} \right) \quad \mathbf { u } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { \gamma } \\ { \delta } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \end{array} \right) .
\int _ { 0 } ^ { { \sqrt { 2 } } - 1 } I _ { \mathbb { Q } } ( x ) \, d x + \int _ { { \sqrt { 2 } } - 1 } ^ { 1 } I _ { \mathbb { Q } } ( x ) \, d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } I _ { \mathbb { Q } } ( x ) \, d x .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| g ( x ) - \nabla f ( x ) \| ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \| \nabla f _ { 1 } ( x ) - \nabla f ( x ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla f _ { 2 } ( x ) - \nabla f ( x ) \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 4 } \| \nabla f _ { 1 } ( x ) - \nabla f _ { 2 } ( x ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 4 } \| \nabla f _ { 2 } ( x ) - \nabla f _ { 1 } ( x ) \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \| \nabla f _ { 1 } ( x ) - \nabla f _ { 2 } ( x ) \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( 2 ( a _ { 1 } x - b _ { 1 } ) a _ { 1 } - 2 ( a _ { 2 } x - b _ { 2 } ) a _ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left( ( a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } ) x - ( a _ { 1 } b _ { 1 } - a _ { 2 } b _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } \end{array}
\rho ~ { \dot { \eta } } \geq { \frac { 1 } { T } } \left( \rho ~ { \dot { e } } - { \boldsymbol { \sigma } } : { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { v } \right) + { \frac { 1 } { T ^ { 2 } } } ~ \mathbf { q } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } T \qquad \implies \qquad \rho ~ { \dot { \eta } } ~ T \geq \rho ~ { \dot { e } } - { \boldsymbol { \sigma } } : { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { v } + { \frac { \mathbf { q } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } T } { T } } .
f ( \Vec { x } \cdot \Vec { w } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \Vec { x } \cdot \Vec { w } > 0 ; } \\ { 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ; } \end{array} \right.
\frac { b _ { y } ^ { ( i , j ) } } { \Delta x } + \frac { d _ { y } ^ { ( i , j ) } } { \Delta x \Delta y } \left( y - y ^ { ( j ) } \right) - \frac { c _ { x } ^ { ( i , j ) } } { \Delta y } - \frac { d _ { x } ^ { ( i , j ) } } { \Delta x \Delta y } \left( x - x ^ { ( i ) } \right) = 0 .
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { t r } ( b ) } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { x = i , k } \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } = \varepsilon _ { x } } \ensuremath { \langle \psi _ { i } \psi _ { n } | } { R } _ { \mathrm { t r } } ( 0 ) \ensuremath { | \psi _ { n } \psi _ { k } \rangle } \, . } \end{array}
\mathcal N _ { k _ { n n } } ( x _ { i } ) = \{ x _ { j } | x _ { j } \ \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ } \ k _ { n n } \ \mathrm { ~ n ~ e ~ i ~ g ~ h ~ b ~ o ~ u ~ r ~ h ~ o ~ o ~ d ~ o ~ f ~ } \ \ x _ { i } \}
\begin{array} { r l } { \widetilde { X } ^ { \left( q \right) } } & { { } = \frac { \Gamma \left( \beta ^ { \left( q \right) } + 2 \right) } { \Gamma \left( \beta ^ { \left( q \right) } + 1 \right) } + \mu \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathscr { X } ( k _ { 0 } + 1 ) } \\ { = } & { \mathscr { A } ( \mathscr { U } ( k _ { 0 } ) ) \mathscr { X } ( k _ { 0 } ) + \mathscr { U } ( k _ { 0 } ) } \\ { = } & { \mathscr { A } ( \mathscr { U } ( k _ { 0 } ) ) \mathscr { A } _ { 0 : k _ { 0 } - 1 } \left( 0 \right) \mathscr { X } ( 0 ) + \mathscr { U } ( k _ { 0 } ) } \end{array}
\underbrace { ( 1 - P _ { \mathrm { O N } } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } _ { P ( 0 \mathrm { ~ c ~ o ~ p ~ y ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } ) } + \underbrace { 2 P _ { \mathrm { O N } } ^ { ( 1 ) } ( 1 - P _ { \mathrm { O N } } ^ { ( 1 ) } ) + { P _ { \mathrm { O N } } ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } } _ { P ( 1 \geq \mathrm { ~ c ~ o ~ p ~ y ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } ) } = 1 ,
\mathrm { V a r } ( \hat { x } _ { a } ( 0 ) - \hat { x } _ { b } ( 0 ) ) = \mathrm { V a r } ( \hat { p } _ { a } ( 0 ) + \hat { p } _ { b } ( 0 ) ) = \Delta _ { \mathrm { E P R } } ^ { 2 } / 4
\begin{array} { r l } { ( z , t ) } & { { } \rightarrow ( H _ { w } z _ { w } , T _ { d } t _ { d } ) } \\ { ( n , \, q , \, q _ { v } , \, p _ { s i } , \, \rho ) } & { { } \rightarrow ( n _ { c } n , \, q _ { c } q , \, q _ { v , c } q _ { v } , \ p _ { s i , c } p _ { s i } , \ \rho _ { 0 0 } \rho ) } \end{array}
\mathbf { J } = \left[ \begin{array} { c c } { \mathbf { O } _ { 2 } } & { \mathbf { I } _ { 2 } } \\ { - \mathbf { I } _ { 2 } } & { \mathbf { O } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } - p _ { I I I } = } & { \frac { 1 } { 2 } \rho \left( 1 - E ^ { 2 } \left( \psi _ { I } , \chi _ { I } \right) \right) { v _ { I } ^ { 2 } } _ { t } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } \rho \left( \overline { { E } } ^ { 2 } - 1 \right) v _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { + p _ { I } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) - p _ { I I } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) } \end{array}
\sigma _ { n , ( i ) } ^ { 2 } ( \lambda ) = E \left[ ( \lambda ^ { \prime } \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } ) ^ { 2 } \right] = \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \lambda ^ { \prime } \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } E \left[ G _ { i , t } G _ { i , t } ^ { \prime } \right] \mathfrak { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \lambda = \lambda ^ { \prime } \mathcal { V } _ { n , ( i ) } \lambda .
\begin{array} { r l r } { \bar { G } _ { 1 1 } } & { = } & { { S } _ { N , 1 1 } ( \Delta t ) ^ { T } C _ { N } { S } _ { N , 1 1 } ( \Delta t ) + { S } _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) ^ { T } { S } _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) , } \\ { \bar { G } _ { 1 2 } } & { = } & { { S } _ { N , 1 1 } ( \Delta t ) ^ { T } C _ { N } { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) + { S } _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) ^ { T } { S } _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) , } \\ { \bar { G } _ { 2 1 } } & { = } & { { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) ^ { T } C _ { N } { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) + { S } _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) ^ { T } { S } _ { N , 2 1 } ( \Delta t ) , } \\ { \bar { G } _ { 2 2 } } & { = } & { { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) ^ { T } C _ { N } { S } _ { N , 1 2 } ( \Delta t ) + { S } _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) ^ { T } { S } _ { N , 2 2 } ( \Delta t ) . } \end{array}
\mathbf { X } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { x ( t ) } \\ { \theta ( t ) } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ O ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { X ( t ) } \\ { \Theta ( t ) } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { g } ( x ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } D _ { x } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \theta ^ { k } } [ W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu _ { 1 } ^ { k + 1 } , \mu _ { 2 } ^ { k + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } _ { \theta ^ { k } } \sum _ { i , j } w _ { i j } \left( \| x _ { 1 , i } ^ { k + 1 } - x _ { 2 , j } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| y _ { 1 , i } ^ { k + 1 } - y _ { 2 , j } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq C \sum _ { i , j } w _ { i j } \left( \| x _ { 1 , i } ^ { k } - x _ { 2 , j } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| y _ { 1 , i } ^ { k } - y _ { 2 , j } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \| \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 1 } ^ { k } ) - \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 2 } ^ { k } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
R ^ { + - } ( s ) = { \frac { 3 2 \pi q _ { t } ^ { 4 } N _ { c } } { m _ { t } ^ { 4 } } } ( C ^ { + - } ( \alpha _ { s } ) + \ldots ) \partial _ { \bf x \bf y } ^ { 2 } \mathrm { I m } G ( { \bf x } , { \bf y } , E ) | _ { x , y = 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { T \sim \pi } \left[ \left( \sum _ { d = 0 } ^ { M } d p _ { T } ( d ) \right) ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } _ { T \sim \pi } \left[ \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } p _ { T } ^ { 2 } ( d ) + 2 \sum _ { 0 = i < j } ^ { M } i j p _ { T } ( i ) p _ { T } ( j ) \right] } \\ & { = \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } \mathbb { E } _ { T \sim \pi } \left[ p _ { T } ^ { 2 } ( d ) \right] + 2 \sum _ { 0 = i < j } ^ { M } i j \mathbb { E } _ { T \sim \pi } \left[ p _ { T } ( i ) p _ { T } ( j ) \right] } \\ & { = \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } \frac { \alpha _ { d } \left( \alpha _ { d } + 1 \right) } { \alpha \left( \alpha + 1 \right) } + 2 \sum _ { 0 = i < j } ^ { M } i j \frac { \alpha _ { i } \alpha _ { j } } { \alpha \left( \alpha + 1 \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { \alpha + 1 } \sum _ { d = 0 } ^ { M } \frac { d ^ { 2 } \alpha _ { d } } { \alpha } + \frac { 1 } { \alpha \left( \alpha + 1 \right) } \left( \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } \alpha _ { d } ^ { 2 } + 2 \sum _ { 0 = i < j } ^ { M } i j \alpha _ { i } \alpha _ { j } \right) } \\ & { = \frac { c _ { 2 } } { \alpha + 1 } + \frac { 1 } { \alpha \left( \alpha + 1 \right) } \left( \sum _ { d = 0 } ^ { M } d \alpha _ { d } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { c _ { 2 } } { \alpha + 1 } + \frac { \alpha c _ { 1 } ^ { 2 } } { \alpha + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert E ^ { u , \varrho } ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \lesssim \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert u ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } + \Lambda \left( \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m - 2 } } \right) \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m + 1 } } . } \end{array}
G _ { a } ^ { ( 2 ) } \equiv - \left( \partial _ { j } \pi _ { a } ^ { j } - f _ { \; \; a c } ^ { b } \pi _ { b } ^ { j } A _ { j } ^ { c } \right) \approx 0 , \; G _ { i } ^ { ( 2 ) } \equiv - 2 \partial ^ { j } \pi _ { j i } \approx 0 ,
\mu ( c ) = \mu ( c _ { 0 } ) + k _ { \mathrm { B } } T \ln ( \frac { c } { c ^ { 0 } } ) + k _ { \mathrm { B } } T \int _ { \ln c ^ { 0 } } ^ { \ln c } d \ln ( c ) \left[ \frac { 1 } { S ^ { 0 } } - 1 \right] .
\bigcup _ { \alpha < \omega _ { 1 } } \mathbf { \Sigma } _ { \alpha } ^ { 0 } = \bigcup _ { \alpha < \omega _ { 1 } } \mathbf { \Pi } _ { \alpha } ^ { 0 } = \bigcup _ { \alpha < \omega _ { 1 } } \mathbf { \Delta } _ { \alpha } ^ { 0 }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t _ { 1 } \in \mathbb { N } } \left[ \frac { 1 } { 2 } P ^ { + } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) + P ^ { + } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } < T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) \right] } \\ & { \qquad < \sum _ { t _ { 1 } \in \mathbb { N } } \left[ \frac { 1 } { 2 } P ^ { - } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) + P ^ { - } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } < T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { F } _ { i } } & { { } = } & { \frac { F _ { i } } { ( 2 \omega _ { i } ) ^ { 1 / 2 } } , } \\ { \tilde { F } _ { i j } } & { { } = } & { \frac { F _ { i j } } { ( 2 \omega _ { i } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { j } ) ^ { 1 / 2 } } , } \\ { \tilde { F } _ { i j k } } & { { } = } & { \frac { F _ { i j k } } { ( 2 \omega _ { i } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { k } ) ^ { 1 / 2 } } , } \\ { \tilde { F } _ { i j k l } } & { { } = } & { \frac { F _ { i j k l } } { ( 2 \omega _ { i } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { j } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { k } ) ^ { 1 / 2 } ( 2 \omega _ { l } ) ^ { 1 / 2 } } } \end{array}
\left\| w _ { h } \right\| _ { 1 } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B \left( \Psi ; w _ { h } , v _ { h } \right) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } \quad \mathrm { a n d } \quad \left\| w _ { h } \right\| _ { 1 } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { v _ { h } \in V _ { h } } \frac { B \left( \Psi ; v _ { h } , w _ { h } \right) } { \| v _ { h } \| _ { 1 } } .
( { \mathcal Z } [ A ] ) _ { q u a d . } \; = \; \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 3 } x \, F _ { \mu \nu } \frac { 1 } { 1 6 \sqrt { - \partial ^ { 2 } } } F _ { \mu \nu } \right] \; .
\begin{array} { r } { \Upsilon ^ { ( k ) } ( h ) = - e ^ { i \lambda x _ { | } \cdot \xi _ { | } } ( i \lambda \partial _ { 3 } \phi ( x _ { | } , 0 , \xi _ { | } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( \partial _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \langle b ^ { ( k ) } , \nu \rangle ) a _ { j } ^ { ( k ) } ( x _ { | } , 0 , \xi _ { | } ) + O ( \lambda ^ { - N - 1 } ) ) . } \end{array}
\int _ { s _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } R ( s ) H ( s ) d s = \int _ { s _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } R ^ { \mathrm { e x p } } ( s ) \left( H ( s ) - P _ { N } ( s ) \right) d s + 6 \pi i \oint _ { | s | = s _ { 1 } } \Pi ^ { \mathrm { Q C D } } ( - s ) P _ { N } ( s ) d s .
\begin{array} { r l } { \hat { \langle P \rangle } } & { { } = \hat { \langle P \rangle } ^ { - } \! \! ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle P \rangle } ^ { + } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle P \rangle } ^ { - } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) , } \\ { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { \prime } } & { { } = \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) , } \end{array}
\rho ( \eta ) \sim \biggl ( \frac { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } \biggr ) ^ { 3 } \int _ { \cal K } \mathrm { d } k _ { \mathrm { p h y s } } \, k _ { \mathrm { p h y s } } ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { p h y s } } ( k ) = \biggl ( \frac { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } \biggr ) ^ { 3 } { \cal O } ( k _ { \mathrm { c } } ^ { 4 } ) ,
\begin{array} { r } { F _ { N } ( \mu ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 2 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { | x _ { i } - x _ { j } | } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ \mu = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { x _ { i } } , } \\ { + \infty } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal S } _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { d t } \left( { \begin{array} { c c } { P _ { c l } ( t ) , } & { P _ { q } ( t ) } \end{array} } \right) \Bigl [ { \begin{array} { c c } { 0 } & { D _ { A } ^ { - 1 } } \\ { D _ { R } ^ { - 1 } } & { D _ { K } ^ { - 1 } } \end{array} } \Bigr ] \Big ( { \begin{array} { c } { P _ { c l } ( t ^ { \prime } ) } \\ { P _ { q } ( t ^ { \prime } ) } \end{array} } \Big ) } \\ & { + } & { \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } d t P _ { q } ( t ) E ( t ) , } \end{array}
v _ { \mathrm { { x c , \ a l p h a \ b e t a } } } ^ { \mathrm { L D A } } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \delta E ^ { \mathrm { L D A } } } { \delta \rho _ { \alpha \beta } ( \mathbf { r } ) } } = { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { \alpha \beta } { \frac { \delta E ^ { \mathrm { L D A } } [ 2 \rho _ { \alpha } ] } { \delta \rho _ { \alpha } } } = - \delta _ { \alpha \beta } { \Big ( } { \frac { 3 } { \pi } } { \Big ) } ^ { 1 / 3 } 2 ^ { 1 / 3 } \rho _ { \alpha } ^ { 1 / 3 }
\Lambda _ { \alpha } = \left( 1 - \frac { 1 } { \eta _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { \parallel } \left( p _ { \parallel } - p _ { \parallel r e s } ^ { - } \right) } { k _ { \parallel } p _ { \parallel } + m _ { j } \left( \omega _ { k } + n \Omega _ { j } \right) } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } ( f _ { i } ^ { \prime \prime } ) ^ { - 1 } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } - \varepsilon _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) | f _ { i } ^ { \prime } | ^ { 2 } ( \partial _ { i } u ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } - ( \varepsilon _ { i } - \theta _ { i } ) } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { \int _ { B } \Big [ f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \Big ] ^ { \frac { 1 } { \rho } } \eta ^ { \frac { 2 k } { \rho } } \eta ^ { \frac { 2 k } { \rho * } } \, \mathrm { d } x + c } \\ & { \leq } & { \varepsilon \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x + c ( \varepsilon , r ) } \end{array}
P _ { \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \beta } } ^ { \prime } = \left| U _ { \beta 1 } ^ { \prime } U _ { \alpha 1 } ^ { * } + U _ { \beta 2 } ^ { \prime } U _ { \alpha 2 } ^ { * } \exp { \left( - i \frac { \epsilon _ { 2 } - \epsilon _ { 1 } } { 2 p } \, L \right) } \right| ^ { 2 } + \left| U _ { \beta 3 } ^ { \prime } U _ { \alpha 3 } ^ { * } + U _ { \beta 4 } ^ { \prime } U _ { \alpha 4 } ^ { * } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { 0 } \left( \frac { \tilde { r } } { r _ { b } } \right) = \left\{ \begin{array} { c } { a _ { 1 } - \frac { \tilde { r } ^ { 2 } } { 4 } ~ ~ \tilde { r } < r _ { b } } \\ { a _ { 1 } + \frac { \tilde { r } } { 4 } ( \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } - \tilde { r } ) - \frac { r _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \log \left( \frac { \tilde { r } } { r _ { b } } + \sqrt { \left( \frac { \tilde { r } } { r _ { b } } \right) ^ { 2 } - 1 } \right) ~ ~ r _ { b } < \tilde { r } \ll \infty } \end{array} \right. . } \end{array}
\theta _ { 3 } \left( z \left| \tau \right. \right) = 1 + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } q ^ { n ^ { 2 } } \cos ( 2 n z ) , \ \ \ \ \ q = e ^ { \pi i \tau } , \, | q | < 1 , \ \ \tau \in \mathrm { \bf ~ C } ,
{ \begin{array} { r l } { p } & { = { \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 3 } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } } + \cdots \right) = 0 . 0 5 8 1 5 2 2 \ldots } \\ { q } & { = { \frac { 1 5 } { 2 \pi ^ { 5 } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 5 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 5 } } } + \cdots \right) = 0 . 0 2 5 4 1 3 2 \ldots } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \mathbf { A } } & { = \operatorname* { d e t } \mathbf { A } _ { 1 } \times \cdots \times \operatorname* { d e t } \mathbf { A } _ { n } , } \\ { \operatorname { t r } \mathbf { A } } & { = \operatorname { t r } \mathbf { A } _ { 1 } + \cdots + \operatorname { t r } \mathbf { A } _ { n } . } \end{array} }
{ \cal B } = \left( \begin{array} { l l l } { { H _ { i j } } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { } } & { { - k ^ { - 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { { \delta _ { k j } } } & { { } } & { { H _ { k l } ^ { - 1 } U _ { l } ^ { - } } } \\ { { k ^ { 2 } U _ { j } ^ { + } } } & { { } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { { } } & { { G ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } } \\ { { = } } & { { \displaystyle \int d ^ { 4 } x _ { 5 } \int d ^ { 4 } x _ { 6 } < 0 | T \left( \pi _ { 1 } \pi _ { 2 } \chi _ { 3 } \chi _ { 4 } ( \pi \star \sigma \star \pi ) _ { 5 } ( \chi \star \sigma \star \chi ) _ { 6 } \right) | 0 > , } } \end{array}