harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \textrm { V I X } } _ { T } ^ { 2 } ( \ell ) } & { = \frac 1 \Delta \sum _ { | I | , | J | \leq n } \ell _ { I } \ell _ { J } \sum _ { e _ { K } = ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } } \sum _ { | H | \leq 2 n + 1 } ( e ^ { \Delta G ^ { \top } } - \operatorname { I d } ) _ { { \mathscr L } ( K ) { \mathscr L } ( H ) } \langle e _ { H } , \widehat { { \mathbb X } } _ { T } \rangle } \\ & { = \frac 1 \Delta \sum _ { | K | , | H | \leq 2 n + 1 } ( e ^ { \Delta G ^ { \top } } - \operatorname { I d } ) _ { { \mathscr L } ( K ) { \mathscr L } ( H ) } \langle e _ { K } , ( \ell \shuffle \ell ) \otimes e _ { 0 } \rangle \langle e _ { H } , \widehat { \mathbb X } _ { t } \rangle } \\ & { = \frac 1 \Delta \langle I ( \Delta ) ( ( \ell \shuffle \ell ) \otimes e _ { 0 } ) , \widehat { \mathbb X } _ { T } \rangle . } \end{array}
\delta _ { \Gamma ^ { 2 } } K = - \delta \Gamma _ { \; \; \; \mu \nu } ^ { \lambda \; ( 2 ) } \Big ( \delta _ { \lambda } ^ { \nu } K _ { \; \; \alpha \beta } ^ { \mu } g ^ { \alpha \beta } + K _ { \; \; \lambda \alpha } ^ { \alpha } g ^ { \mu \nu } - ( K _ { \; \; \; \lambda } ^ { \mu \nu } + K _ { \; \; \lambda } ^ { \nu \; \; \; \; \mu } ) \Big ) : = - \delta \Gamma _ { \; \; \; \mu \nu } ^ { \lambda \; ( 2 ) } \Psi _ { \lambda } ^ { \; \; \mu \nu }
\partial _ { t } \boldsymbol { \mathcal { U } } + ( \boldsymbol { \mathcal { U } } \cdot \nabla ) \boldsymbol { \mathcal { U } } + \nabla \mathcal { P } = \frac { 1 } { \mathrm { R e } _ { \tau } } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { \mathcal { U } } , \quad \nabla \cdot \boldsymbol { \mathcal { U } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \frac { d P _ { m } ^ { s } ( \Omega , z ) } { d z } } & { { } = - \left[ \sum _ { l } g _ { B } ^ { ( m , l ) } ( \Omega ) \Tilde { P } _ { l } \right] P _ { 0 } \: P _ { m } ^ { s } ( \Omega , z ) } \end{array}
\begin{array} { r } { s ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { v } ) = \sum _ { i \in \{ s , \ell , a \} } \int _ { \Omega _ { i } } \mu _ { i } \, ( ( \nabla \boldsymbol { w } ) \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ) : ( ( \nabla \boldsymbol { v } ) \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ) \operatorname* { d e t } \boldsymbol { F } \, \mathrm { d } x \, , } \end{array}
- \left( \hbar \partial _ { \lambda } \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } + \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } \left( \underset { j = 1 } { \overset { g } { \sum } } \frac { \hbar } { \lambda - q _ { j } } \right) \right) \left( \frac { Q ( \lambda ) } { P ( \lambda ) } + \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } \lambda + g _ { 0 } \right)
\begin{array} { r l } { U _ { 0 } } & { = \{ x _ { 2 } ^ { 2 } - 2 x _ { 3 } ^ { 2 } = x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 5 } + x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 4 } + x _ { 3 } ( x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } + x _ { 5 } ^ { 2 } - 2 x _ { 3 } ( x _ { 4 } + x _ { 5 } ) ) = 0 \} \subset \mathbb { P } _ { k _ { 0 } } ^ { 5 } , } \\ { V _ { 0 } } & { = \{ x _ { 3 } = x _ { 4 } x _ { 5 } = c _ { 0 } = 0 \} \subset \mathbb { P } _ { k _ { 0 } } ^ { 6 } , } \\ { S _ { 0 } } & { = \{ x _ { 6 } ^ { 3 } = x _ { 3 } x _ { 6 } - x _ { 4 } x _ { 5 } = c _ { 0 } = 0 \} \subset \mathbb { P } _ { k _ { 0 } } ^ { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { \frac { i } { \hbar } \frac { 1 } { T _ { \mathrm { T H z } } } \int _ { 0 } ^ { T _ { \mathrm { T H z } } } d t e ^ { i ( \Omega + n \omega ) t } \int \frac { d ^ { D } { \bf P } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } { \bf d } ^ { * } } \\ & { \exp \{ - \frac { i } { \hbar } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } d t ^ { \prime \prime } ( E _ { \mathrm { c v } } [ { \bf k } ( t ^ { \prime \prime } ) ] - i \Gamma ) \} { \bf d } \cdot { \bf E } _ { \mathrm { N I R } } ( t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \textnormal { i d } , \sigma } } & { { } = \int _ { Q _ { L } ^ { D } - Q _ { L } ^ { D } } \int _ { | w _ { 1 } | } ^ { d _ { 1 } L } \frac { h ( p _ { L } | ( \tilde { w } _ { 1 } , \pi _ { 1 } w ) | ) h ( p _ { L } | w | ) \prod _ { \ell \neq 1 } ( d _ { \ell } L - | w _ { \ell } | ) } { | w | } \mathrm { d } \tilde { w } _ { 1 } \mathrm { d } w } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { r } \alpha _ { k } \tilde { \lambda } _ { k } ^ { l } + \sum _ { k = r + 1 } ^ { p } \alpha _ { k } \tilde { \theta } _ { k } ^ { l } = ( A _ { 1 } ^ { l } ) _ { i i } = ( A _ { 2 } ^ { l } ) _ { i i } = \sum _ { k = 1 } ^ { r } \beta _ { k } \tilde { \lambda } _ { k } ^ { l } + \sum _ { k = r + 1 } ^ { q } \beta _ { k } \tilde { \mu } _ { k } ^ { l }
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { 1 } ( t ) } & { = C K \sin \big ( \omega { v } _ { 1 } ( t ) \big ) e ^ { - \nu { v } _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } } } \\ & { \phantom { = } + K \eta \big ( { x } _ { 1 } ( t ) - { x } _ { 2 } ( t ) \big ) \operatorname { s g n } \big ( { x } _ { 1 } ( t ) - { x } _ { 2 } ( t ) \big ) e ^ { - \nu \left[ { x } _ { 1 } ( t ) - { x } _ { 2 } ( t ) \right] ^ { 2 } } , } \\ { \dot { x } _ { 1 } ( t ) } & { = v _ { 1 } ( t ) , } \\ { \dot { v } _ { 2 } ( t ) } & { = C K \sin \big ( \omega { v } _ { 2 } ( t ) \big ) e ^ { - \nu { v } _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } } } \\ & { \phantom { = } + K \eta \big ( { x } _ { 2 } ( t ) - { x } _ { 1 } ( t ) \big ) \operatorname { s g n } \big ( { x } _ { 2 } ( t ) - { x } _ { 1 } ( t ) \big ) e ^ { - \nu \left[ { x } _ { 2 } ( t ) - { x } _ { 1 } ( t ) \right] ^ { 2 } } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } ( t ) } & { = v _ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\frac { q ^ { 2 } + q + 1 } { 3 } = \mathrm { { o r d } } _ { \mathfrak { p } } ( J _ { \mathcal { O } _ { K } } ^ { ( 0 , q ^ { 2 } + q + 1 ) } ) \geqslant \frac { ( \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) ( q - 1 ) } { 3 \cdot ( q ^ { 3 } - 1 ) \cdot 3 } \sum _ { n \geqslant 1 } \# \mathcal { M } _ { n } = \frac { 1 } { 9 } \cdot \# \mathcal { M } _ { 1 } \geqslant \frac { q ^ { 2 } + q + 1 } { 9 } .
\mathbf { E } ^ { ( 2 , - ) } ( z ) = \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) \sigma _ { 2 } \left( s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } \right) ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - i } \\ { - i } & { 1 } \end{array} \right) | x | ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 3 } } \varphi _ { 1 } ( - z ) ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } } .
M _ { \nu } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { M / 2 } } & { { - M / 2 } } \\ { { 0 } } & { { - M / 2 } } & { { M / 2 } } \end{array} \right) .
p _ { M } \to \overline { { { a } } } _ { M } ^ { N } \circ p _ { N } = \overline { { { a } } } _ { M } ^ { N } p _ { N } + \frac { 1 } { 2 } [ p _ { N } , \overline { { { a } } } _ { M } ^ { N } ] = \overline { { { a } } } _ { M } ^ { N } p _ { N } - \frac { i \hbar } { 2 } ( \partial _ { N } \overline { { { a } } } _ { M } ^ { N } + b _ { M } ^ { P } \partial _ { P } \overline { { { a } } } _ { M } ^ { N } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { S } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 ( 2 J + 1 ) } } \alpha _ { n J } ^ { ( 0 ) } } \\ { \alpha _ { V } } & { { } = ( - 1 ) ^ { J + I + F } \sqrt { \frac { 2 F ( 2 F + 1 ) } { F + 1 } } \left\{ \begin{array} { l l l } { F } & { 1 } & { F } \\ { J } & { I } & { J } \end{array} \right\} \alpha _ { n J } ^ { ( 1 ) } } \\ { \alpha _ { T } } & { { } = ( - 1 ) ^ { J + I + F + 1 } \sqrt { \frac { 2 F ( 2 F - 1 ) ( 2 F + 1 ) } { 3 ( F + 1 ) ( 2 F + 3 ) } } \left\{ \begin{array} { l l l } { F } & { 2 } & { F } \\ { J } & { I } & { J } \end{array} \right\} \alpha _ { n J } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
C ( m _ { b } ) = \big ( m _ { b } ^ { \mathrm { p o l e } } \big ) ^ { 5 } \, \bigg \{ 1 - { \frac { 2 \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { 3 \pi } } \, \bigg ( \pi ^ { 2 } - { \frac { 2 5 } { 4 } } \bigg ) + \ldots \bigg \} \, .
T r _ { \{ \eta , \overline { { { \eta } } } \} } ( I ) = T r _ { \{ \eta , \overline { { { \eta } } } \} } ( \theta ) = T r _ { \{ \eta , \overline { { { \eta } } } \} } ( \overline { { { \theta } } } ) = 0 \; \; , T r _ { \{ \eta , \overline { { { \eta } } } \} } ( \overline { { { \theta } } } \theta ) = q \; .
{ \mit \Delta } _ { i \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \ell } } } \left[ \: \frac { 1 } { \sigma ^ { \pm } } \int d x \: { \mit \Omega } _ { i } ^ { 2 } ( x ) { \frac { d \sigma } { d x } } ^ { \! \pm } - \left( \frac { 1 } { \sigma ^ { \pm } } \int d x \: { \mit \Omega } _ { i } ( x ) { \frac { d \sigma } { d x } } ^ { \! \pm } \right) ^ { 2 } \: \right] ^ { 1 / 2 }
\frac { ( \vec { \nabla } \times \vec { J } ) _ { L , { \cal T } } ^ { 2 } } { V ^ { 2 } } \simeq \biggl ( 0 . 9 \, \frac { e ^ { 2 } \, \pi ^ { 2 } } { \Gamma ( 3 / 4 ) ^ { 4 } } \sin ^ { 4 } { \frac { \pi } { 8 } } \biggr ) \frac { k _ { 1 } ^ { 4 } } { L ^ { 4 } } \mu ^ { - 3 } ,
\theta _ { s } ( t ) = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \frac { \Delta \theta } { \tau } t , } & { 0 < t < \tau } \\ { 2 \Delta \theta - \frac { \Delta \theta } { \tau } t . } & { \tau < t < 2 \tau } \end{array} \right.
\vec { \beta } ^ { ( n ) } = \Re \{ \nabla _ { \vec { \rho } } ( n K s ( \vec { \rho } ) + \tilde { k } _ { 0 } \rho ) \} = \beta _ { s w } + \delta _ { \beta } + n \nabla _ { \vec { \rho } } ( K s ( \vec { \rho } ) )
\begin{array} { r l } & { \hat { A } _ { * , i _ { 2 } } ^ { \{ 1 , 2 \} } ( z ) = \sum _ { i \in \{ - 1 , 0 , 1 \} } z ^ { i } \hat { A } _ { i , i _ { 2 } } ^ { \{ 1 , 2 \} } , \quad \hat { A } _ { i _ { 1 } , * } ^ { \{ 1 , 2 \} } ( z ) = \sum _ { i \in \{ - 1 , 0 , 1 \} } z ^ { i } \hat { A } _ { i _ { 1 } , i } ^ { \{ 1 , 2 \} } , } \\ & { \hat { A } _ { * , i _ { 2 } } ^ { \{ 2 \} } ( z ) = \sum _ { i \in \{ 0 , 1 \} } z ^ { i } \hat { A } _ { i , i _ { 2 } } ^ { \{ 2 \} } , \quad \hat { A } _ { i _ { 1 } , * } ^ { \{ 2 \} } ( z ) = \sum _ { i \in \{ - 1 , 0 , 1 \} } z ^ { i } \hat { A } _ { i _ { 1 } , i } ^ { \{ 2 \} } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } e _ { A } + ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \pi _ { A } = \widetilde { Q } _ { A } \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } e _ { B } + ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) \pi _ { B } = \widetilde { Q } _ { B } \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } e _ { S } + ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \pi _ { S } = \widetilde { Q } _ { S } \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } . } \end{array} \right.
\left. { \frac { d \sigma _ { \gamma ^ { * } N \rightarrow V N } ^ { L } } { d t } } \right| _ { t = 0 } = { \frac { 1 2 \pi ^ { 3 } \Gamma _ { V \rightarrow e ^ { + } e ^ { - } } M _ { V } \alpha _ { s } ^ { 2 } ( Q ) \eta _ { V } ^ { 2 } \left| \left( 1 + i { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { d } { d \ln x } } \right) x G _ { T } ( x , Q ^ { 2 } ) \right| ^ { 2 } } { \alpha _ { E M } Q ^ { 6 } N _ { c } ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r } { \Gamma ( k _ { \perp } ) = \int _ { 0 } ^ { k _ { \perp } } \mathrm { d } k _ { \perp } ^ { \prime } \: \left[ \varepsilon _ { \vec { k } ^ { \prime } } ( k _ { \perp } ^ { \prime } ) - { D _ { \parallel } } _ { \vec { k } ^ { \prime } } ( k _ { \perp } ^ { \prime } ) - { D _ { \perp } } _ { \vec { k } ^ { \prime } } ( k _ { \perp } ^ { \prime } ) \right] . } \end{array}
\dot { d } _ { 1 } = \gamma \frac { ( 1 + B ) } { 2 } \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } d _ { 3 } } { 1 - d _ { 3 } ^ { 2 } } , ~ \dot { d } _ { 2 } = - \gamma \frac { ( 1 + B ) } { 2 } \frac { d _ { 1 } d _ { 2 } d _ { 3 } } { 1 - d _ { 3 } ^ { 2 } } .
\forall ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in ( { \mathcal { X } } _ { 1 } , { \mathcal { X } } _ { 2 } ) , \; ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in ( { \mathcal { Y } } _ { 1 } , { \mathcal { Y } } _ { 2 } ) , \; ( p _ { 1 } \times p _ { 2 } ) ( ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) | ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ) = p _ { 1 } ( y _ { 1 } | x _ { 1 } ) p _ { 2 } ( y _ { 2 } | x _ { 2 } )
\begin{array} { r } { { \cal U } ^ { ( 0 ) } ( { \bf R } , { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) = { \cal E } ^ { ( 0 ) } ( { \bf R } , { \bf q } _ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ^ { ( 0 ) } ] , { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) + V ( { \bf R } ) . } \end{array}
3 \left( \frac { \dot { a } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { k } { a ^ { 2 } } \right) - 2 \left( 3 \frac { \dot { a } } { a } \dot { \Phi } - \dot { \Phi } ^ { 2 } \right) = \kappa ^ { 2 } e ^ { \Phi } \rho _ { T } ,
\begin{array} { r l } { \Dot { \hat { a } } _ { 2 / 1 } } & { { } = \mp i \Delta _ { 2 1 } \hat { a } _ { 2 / 1 } - \frac { \kappa _ { 2 / 1 } } { 2 } \hat { a } _ { 2 / 1 } + \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { e x t 1 } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { e x t 1 } } + \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { e x t 2 } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { e x t 2 } } + \sqrt { \kappa _ { 2 / 1 } ^ { \mathrm { i n t } } } \hat { a } _ { 2 / 1 , i n } ^ { \mathrm { i n t } } + C _ { \hat { a } _ { 2 / 1 } } ^ { r / b } } \\ { \Dot { \hat { b } } } & { { } = - i \Omega _ { m } \hat { b } - \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } \hat { b } + \sqrt { \Gamma _ { m } } \hat { b } _ { \mathrm { i n } } + C _ { \hat { b } } ^ { r / b } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \log \left( h _ { \operatorname* { m a x } } - h _ { 0 } \right) } & { { } = } & { \log \alpha - \frac { \beta } { M _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } - M _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } } } \\ { M _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } } & { { } = } & { M _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } - \frac { \beta } { \log \left( h _ { \operatorname* { m a x } } - h _ { 0 } \right) - \log \alpha } } \end{array}
\hat { H } _ { I } ^ { ( q ) } ( \hat { x } , \hat { p } ) = \frac { f ^ { 2 } } { 6 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { V ^ { ( k ) } ( 0 ) } { k ! } \hat { x } ^ { k } \biggl ( k \hat { x } ^ { 2 } \partial _ { \hat { x } } ^ { 2 } + k ( k + 2 ) \hat { x } \partial _ { \hat { x } } + \frac { 1 } { 6 } k ( k - 1 ) ( 2 k + 5 ) \biggr ) .
F _ { 2 } ( 0 ) = \frac { 1 } { 2 } \, \frac { \alpha } { \pi } + \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 2 } \, \left[ \frac { 1 9 7 } { 1 4 4 } + \frac { 1 } { 2 } \, \zeta ( 2 ) - 3 \, \zeta ( 2 ) \, \ln 2 + \frac { 3 } { 4 } \, \zeta ( 3 ) \right] \, ,
\begin{array} { r l } { I ( t ) } & { { } = H _ { \mathrm { ~ L ~ P ~ F ~ } } \{ r _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( t ) V ( t ) \} = \frac { 1 } { 2 } A _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) \cos ( \phi ( t ) ) } \\ { Q ( t ) } & { { } = H _ { \mathrm { ~ L ~ P ~ F ~ } } \{ r _ { \mathrm { ~ Q ~ } } ( t ) V ( t ) \} = \frac { 1 } { 2 } A _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) \sin ( \phi ( t ) ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { d p = \sigma q d t + 2 \xi p d t + 2 \hat { x } d \eta , } \\ & { } & { d q = 2 \xi q d t + 2 \hat { y } d \eta , } \\ & { } & { \operatorname* { m a x } _ { u \in [ - \mu , 1 ] } u p = \hat { u } p , } \\ & { } & { p ( T ) = \lambda - \beta \hat { x } ( T ) , \; \; \; q ( T ) = - \beta \hat { y } ( T ) , \; \; \; \beta \geq 0 . } \end{array}
\log _ { 1 0 } M _ { \mathrm { B H } } = 8 . 6 6 _ { - 0 . 0 1 - 0 . 5 } ^ { + 0 . 0 1 + 0 . 5 } + 1 . 3 2 _ { - 0 . 0 1 } ^ { + 0 . 0 1 } \times \log _ { 1 0 } \left( \frac { M _ { \star } } { 1 0 ^ { 1 1 } \ M _ { \odot } } \right) ,
H _ { \mathbf { k } } ^ { M } = H _ { \mathbf { p } } ^ { M } + H _ { \mathbf { q } } ^ { M } = { \frac { 2 E _ { \mathbf { p } } ^ { M } } { | \mathbf { p } | } } + { \frac { 2 E _ { \mathbf { q } } ^ { M } } { | \mathbf { q } | } } > { \frac { 2 \left( E _ { \mathbf { p } } ^ { M } + E _ { \mathbf { q } } ^ { M } \right) } { | \mathbf { k } | } } = { \frac { 2 E _ { \mathbf { k } } ^ { T } } { | \mathbf { k } | } } \geq { \frac { 2 E _ { \mathbf { k } } ^ { M } } { | \mathbf { k } | } } ,
\begin{array} { r l } { \left| \Delta \Gamma _ { 2 i } ^ { t + 1 } \right| } & { \leq \Gamma _ { 2 i } ^ { t } \cdot e ^ { \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 1 5 } { \zeta } \cdot \frac { \log n } { n } } - \Gamma _ { 2 i } ^ { t } \leq \Gamma _ { 2 i } ^ { t } \cdot \left( 1 + 2 \cdot \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 1 5 } { \zeta } \cdot \frac { \log n } { n } \right) - \Gamma _ { 2 i } ^ { t } } \\ & { = \Gamma _ { 2 i } ^ { t } \cdot \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 3 0 } { \zeta } \cdot \frac { \log n } { n } \leq \sqrt { \frac { \log n } { b n } } \cdot n ^ { 1 / 8 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { k j } ( t _ { k } , t _ { j } ) } & { \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \tilde { s } _ { k } ^ { * } ( f ) \tilde { s } _ { j } ( f ) \mathrm { e } ^ { - i \omega ( t _ { j } - t _ { k } ) } } { J ( f ) } , } \\ { q _ { k } ( t _ { k } ) } & { \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \tilde { s } _ { k } ^ { * } ( f ) \mathrm { e } ^ { i \omega t _ { k } } \tilde { v } ( f ) } { J ( f ) } , } \end{array}
\epsilon ^ { a b c } u ^ { T a } \, C \, u ^ { b } = \epsilon ^ { a b c } u ^ { T a } \, C \gamma _ { 5 } \, u ^ { b } = \epsilon ^ { a b c } u ^ { T a } \, C \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \, u ^ { b } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { 6 } } & { = : I + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { A } _ { 1 , * } = : I + \varepsilon ^ { 2 } A _ { 1 , * } + \varepsilon ^ { 4 } \mathcal { A } _ { 2 , * } , \quad \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } } & { = : I + \varepsilon ^ { 2 } \tilde { \mathcal { A } } _ { 1 , * } = : I - \varepsilon ^ { 2 } A _ { 1 , * } + \varepsilon ^ { 4 } \tilde { \mathcal { A } } _ { 2 , * } . } \end{array}
\textstyle \theta ^ { - 1 } \gamma \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( 1 + \theta ) ^ { t } \bar { \mathcal { S } } _ { ( 0 , n _ { j } ] } ( y , x _ { j } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \bar { \Gamma } _ { \varepsilon } } \mathrm { d } v \, e ^ { \bar { F } _ { \varepsilon } ( 1 - \hat { \theta } ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / ( \gamma \sigma ) ) ) } ,
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { _ { X = Y } } } & { = \frac { 1 } { 3 2 k _ { 0 } \zeta _ { 1 } \left( 2 A ^ { 2 } \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } + \sqrt { 2 } \zeta _ { 1 } \right) } } \\ & { \times \left( 2 8 A ^ { 2 } a _ { 1 } \zeta _ { 1 } \zeta _ { 4 } - 6 0 A ^ { 2 } c _ { 0 } \zeta _ { 1 } \zeta _ { 4 } \right. } \\ & { \left. - 3 2 A ^ { 2 } b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } - 1 6 \sqrt { 2 } b _ { 1 } \zeta _ { 1 } \zeta _ { 3 } \right) + O ( \theta ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { n } \| \le \| e ^ { n _ { 0 } } \| \le } & { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \tau _ { k } \Big ( \sum _ { l = 1 } ^ { k } p _ { k - l } ^ { ( k ) } \| \Upsilon ^ { l } \| \Big ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \tau _ { k } \| r ^ { k } \| } \\ { \le } & { 2 c _ { 0 } t _ { n } \tau _ { n } ^ { 2 } + 2 t _ { n } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le k \le n } \sum _ { l = 1 } ^ { k } p _ { k - l } ^ { ( k ) } ( \| R ^ { l } \| + \| \xi ^ { l } \| ) } \\ { \le } & { c _ { v } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { 1 \le k \le n } \sum _ { j = 1 } ^ { k } p _ { k - j } ^ { ( k ) } a _ { 0 } ^ { ( j ) } \int _ { t _ { j - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { j - \frac { 1 } { 2 } } } \Big ( t - t _ { j - \frac { 3 } { 2 } } \Big ) | \partial _ { t t } U | d t + t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \beta - 1 } h ^ { 2 } + t _ { n } \tau _ { n } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
H _ { W } ^ { S M } = { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } V _ { u d } ^ { * } V _ { u s } \sum _ { i } \biggl ( z _ { i } ( \mu ) - { \frac { V _ { t d } ^ { * } V _ { t s } } { V _ { u d } ^ { * } V _ { u s } } } y _ { i } ( \mu ) \biggr ) Q _ { i } ( \mu ) + \mathrm { ~ h . ~ c . }
\begin{array} { r l r } { B _ { L } ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( n ) } \Big ] _ { L } + \frac { ( - \beta ) } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left( \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \Big ] - B _ { L } ^ { ( i ) } B _ { L } ^ { ( n - i ) } \right) } \end{array}
E _ { 0 } = - \sqrt { \Delta ^ { 2 } + ( d u ) ^ { 2 } } \approx - \Delta ( 1 + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d u } { \Delta } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 } \left( \frac { d u } { \Delta } \right) ^ { 4 } + \dots )
{ \bf v } \; \equiv \; \dot { \bf x } \; = \; \dot { \psi } \; \frac { \partial \bf x } { \partial \psi } \; + \; \dot { \theta } \; \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \; = \; \sqrt { \frac { 2 \psi } { B _ { 0 } } } \left( \frac { \dot { \psi } } { 2 \psi } \, \widehat { r } \; + \; \dot { \theta } \, \widehat { \theta } \right)
W ^ { \mathrm { \tiny { r e g } } } = \eta \left[ - { \frac { 1 } { 1 2 \pi } } m ^ { 3 } a _ { 0 } + { \frac { 1 } { 8 \pi } } m a _ { 1 } - { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } { \frac { 1 } { m } } a _ { 2 } + O ( m ^ { - 3 } ) \right] ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { ( u _ { i _ { 1 } } \cdot \nabla _ { t } ) \cdots ( u _ { i _ { s } } \cdot \nabla _ { t } ) \operatorname* { d e t } ( D _ { x } \pi \omega _ { i _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { \prime } , \ldots , D _ { x } \pi \omega _ { i _ { k - s } ^ { \prime } } ^ { \prime } D _ { x } \pi \omega _ { i _ { 1 } ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } , \ldots , D _ { x } \pi \omega _ { i _ { s } ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } ) } \\ & { = ( u _ { i _ { 1 } } \cdot \nabla _ { t } ) \cdots ( u _ { i _ { s } } \cdot \nabla _ { t } ) \operatorname* { d e t } ( v _ { i _ { 1 } ^ { \prime } } , \ldots , v _ { i _ { k - s } ^ { \prime } } , D _ { x } \pi \omega _ { i _ { 1 } ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } , \ldots , D _ { x } \pi \omega _ { i _ { s } ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r \, e ^ { - \lambda \, \eta ( r , s v , \phi ) } \, \Bigl ( \lambda \, \frac { \partial } { \partial s } \eta ( r , s v , \phi ) + \frac { 1 } { s } \Bigr ) } \\ & { = r \, e ^ { - \pi \lambda r ^ { 2 } } \, \Bigl \{ \frac { 1 } { s } - \lambda s v ^ { 2 } \bigl [ 2 \lambda r ^ { 2 } ( \phi \cos \phi - \sin \phi ) ^ { 2 } - \phi + \cos \phi \sin \phi \bigr ] \Bigr \} + o ( v ^ { 2 } ) \quad \mathrm { a s ~ v \to 0 ~ , } } \end{array}
\Pi ( \tau ) = i \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( \omega ) e ^ { - \omega \tau } d \omega , \quad \rho ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { a - i \infty } ^ { a + i \infty } \Pi ( \tau ) e ^ { \omega \tau } d \tau ,
\int _ { \bar { z } _ { N } + h / 2 } ^ { \infty } \frac { 2 f _ { \infty } } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 3 } } \, d \bar { z } _ { 0 } = \frac { 1 } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { N } - h / 2 \right) ^ { 2 } }
D = \left[ \frac { 5 \alpha _ { 1 } \left( 3 \alpha _ { 2 } + 4 \alpha _ { 3 } \right) } { 4 \left( 3 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } + 5 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } + 2 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } + 2 \alpha _ { 3 } ^ { 2 } \right) } \right] \mathrm { ~ C ~ a ~ } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { f } ( x ) } & { = \tilde { g } \circ \tilde { b } _ { L } \circ \tilde { W } _ { L } \circ \cdots \circ \tilde { \sigma } _ { 1 } \circ \tilde { b } _ { 1 } \circ \tilde { W } _ { 1 } ( x ) } \\ & { = \psi ( \sigma _ { L - 1 } \circ b _ { L - 1 } \circ W _ { L - 1 } \circ \cdots \circ \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) , \ldots , \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) , x ) } \\ & { \qquad \qquad \cdot g ( b _ { L } \circ W _ { L } \circ \cdots \circ \sigma _ { 1 } \circ b _ { 1 } \circ W _ { 1 } ( x ) ) . } \end{array}
\mathcal { B } _ { m } ^ { \left[ V \right] } \left( t = t _ { m k } ^ { \left[ V \right] } \right) = \varDelta \gamma \frac { E ^ { \prime 3 / 5 } V _ { o } ^ { 3 / 5 } } { K _ { I c } ^ { 8 / 5 } } = \left( \frac { V _ { o } } { V _ { \widehat { k } } ^ { \textrm { h e a d } } } \right) ^ { 3 / 5 } = \mathcal { B } _ { k s } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } P ( m , t , \tau _ { i } ) } { \mathrm { d } t } } & { { } = I ( P ( m - 1 , t , \tau _ { i } ) - P ( m , t , \tau _ { i } ) ) - \gamma ( m P ( m , t , \tau _ { i } ) - ( m + 1 ) P ( m + 1 , t , \tau _ { i } ) ) } \end{array}
\kappa = e _ { \mathrm { L } } , \, e _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } , \, I _ { \mathrm { L } } , \, I _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } }
\begin{array} { r } { V _ { \xi } = \left( - \xi _ { 2 } , \xi _ { 1 } , 0 \right) ^ { \top } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad W _ { \xi } = \left( - \xi _ { 3 } , 0 , \xi _ { 1 } \right) ^ { \top } } \end{array}
\hat { \mathbf { D } } = \left[ \begin{array} { l l l } { 2 u _ { x } + v _ { y } } & { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { \frac 1 2 u _ { z } } \\ { \frac 1 2 ( u _ { y } + v _ { x } ) } & { u _ { x } + 2 v _ { y } } & { \frac 1 2 v _ { z } } \end{array} \right] .