harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { d \psi _ { \omega } ^ { \scriptscriptstyle ( > ) } } { d r _ { * } } \bigg | _ { r _ { * } = 0 ^ { + } } - \frac { d \psi _ { \omega } ^ { \scriptscriptstyle ( < ) } } { d r _ { * } } \bigg | _ { r _ { * } = 0 ^ { - } } = a \psi ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { \alpha , t } + i \omega _ { \alpha } z _ { \alpha } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } . } \end{array}
\sum _ { \kappa , \varkappa , \varkappa ^ { \prime } = 0 } ^ { k } a _ { k , \kappa , \varkappa , \varkappa ^ { \prime } } \beta ^ { \varkappa + \varkappa ^ { \prime } } \Big [ \frac { \Gamma ( 1 + \alpha + \kappa ) } { \Gamma ( 2 + \alpha + 2 \gamma + \kappa ) } + \frac { \Gamma ( 1 + \alpha + \kappa + d ) } { \Gamma ( 2 + \alpha + 2 \gamma + \kappa + d ) } \Big ] .
S _ { \mathrm { a n o m a l o u s } } = - { \frac { 1 } { T _ { H } } } \int _ { \Sigma } e ^ { - \phi } { \cal L } _ { E } \; d ^ { 3 } r = - { \frac { k } { \hbar } } \int _ { \Omega } { \cal L } _ { E } \; \sqrt { g _ { E } } d ^ { 4 } x = - k \{ \alpha \chi + \beta p \} .
E _ { n } = E _ { n } ^ { 0 } + \int d \mathbf { r } \psi _ { n } ^ { * } { \hat { V } } \psi _ { n } + \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } { \frac { | \int d \mathbf { r } \psi _ { n } ^ { * } { \hat { V } } \psi _ { n } | ^ { 2 } } { E _ { n } ^ { 0 } - E _ { n ^ { \prime } } ^ { 0 } } } + . . .
\begin{array} { r l r } & { ( 3 ) } & { \sum _ { p = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \partial ^ { n - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { n - p } } \sum _ { I } c _ { I } A ^ { n - p - | I | } \sum _ { i _ { j } \neq 0 } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { 1 } } \cdots i _ { j } ( \frac { \partial ^ { j } A } { \partial u ^ { j } } ) ^ { i _ { j } - 1 } ( \frac { \partial ^ { j + 1 } A } { \partial u ^ { j + 1 } } ) ^ { i _ { j } + 1 } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ) ^ { i _ { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { L R } } } & { { } = } & { U _ { \mathrm { H V } } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } U _ { \mathrm { H V } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ R ~ } } ( z ) } & { { } = E _ { 0 } \left[ \cos { \left( \psi z \right) } + \frac { i \delta } { \psi } \sin { \left( \psi z \right) } \right] \exp { \left( - i \delta z \right) } } \\ { E _ { \mathrm { ~ W ~ G ~ } } ( z ) } & { { } = - E _ { 0 } \frac { i \kappa } { \psi } \sin { \left( \psi z \right) } \exp { \left( i \delta z \right) } , } \end{array}
f _ { i } ^ { S S } = w _ { i } \rho \left( 1 + 4 \frac { { \bf e } _ { i } \cdot \mathbf { u } ^ { * } } { c } + 8 \frac { ( { \bf e } _ { i } \cdot \mathbf { u } ^ { * } ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - 2 \frac { | \mathbf { u } ^ { * } | ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { J ( S ^ { 1 } , d ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { \log N ( S ^ { 1 } , d , \varepsilon ) } \, \mathrm { d } \varepsilon } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \pi } \sqrt { \log \left( \frac { \pi } { \varepsilon } + 1 \right) } \, \mathrm { d } \varepsilon } \\ & { = \pi \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { \sqrt { \log \left( x + 1 \right) } } { x ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq \pi \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, \mathrm { d } x = \pi \left[ - 2 x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right] _ { 1 } ^ { \infty } = 2 \pi < \infty . } \end{array}
u = \frac { p } { | p | } \left| - \frac { q } { 2 } + \sqrt { d } \right| ^ { 1 / 3 } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u ^ { \prime } = - \frac { | p | } { 3 } \left| - \frac { q } { 2 } + \sqrt { d } \right| ^ { - 1 / 3 }
\begin{array} { r l } { \dot { m } _ { i } = } & { { } ( 1 - a _ { i } ( \ell , m _ { i } ) ) k _ { R } - a _ { i } ( \ell , m _ { i } ) k _ { B } + B _ { m _ { i } } ( a _ { i } ) \xi ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { R e } \left\{ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } ( A e ^ { i \theta } \cdot e ^ { i \omega t } ) \right\} = \operatorname { R e } \{ A e ^ { i \theta } \cdot i \omega e ^ { i \omega t } \} = \operatorname { R e } \{ A e ^ { i \theta } \cdot e ^ { i \pi / 2 } \omega e ^ { i \omega t } \} = \operatorname { R e } \{ \omega A e ^ { i ( \theta + \pi / 2 ) } \cdot e ^ { i \omega t } \} = \omega A \cdot \cos ( \omega t + \theta + \pi / 2 ) } \end{array}
D _ { \mu } = \left\{ \begin{array} { c l } { { \partial _ { \mu } - i g \frac { \vec { \tau } } { 2 } \vec { W } _ { \mu } - \frac { i g ^ { \prime } } { 2 } Y B _ { \mu } } } & { { \; \; \mathrm { f o r } \; \mathrm { d o u b l e t s } } } \\ { { \partial _ { \mu } - \frac { i g ^ { \prime } } { 2 } Y B _ { \mu } } } & { { \; \; \mathrm { f o r } \; \mathrm { s i n g l e t s } . } } \end{array} \right.
A ( Z ) = { \frac { 1 } { 3 2 0 \pi ^ { 4 } } } \left[ { \frac { 1 } { ( Z - 1 ) ^ { 4 } } } + { \frac { 1 } { ( Z + 1 ) ^ { 4 } } } \right] = { \frac { 1 } { 1 0 } } \left[ ( \Delta _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \Delta _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] \, ,
\Phi _ { i } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i - 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i + 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , N } ^ { ( 1 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \sigma _ { 2 } \mathbf { g } _ { i , 1 , 2 } ^ { ( 2 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { D } \mathbf { g } _ { i , N - D + 1 , \ldots , N } ^ { ( D ) } ( h _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & { } & { } & { } & { } & { } & { } & { } & { \vdots } \\ { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { M } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i - 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { M } ) } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i + 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { M } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , N } ^ { ( 1 ) } ( h _ { M } ) } & { \sigma _ { 2 } \mathbf { g } _ { i , 1 , 2 } ^ { ( 2 ) } ( h _ { M } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { D } \mathbf { g } _ { i , N - D + 1 , \ldots , N } ^ { ( D ) } ( h _ { M } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \nabla \times \mathbf { A } } & { { } \Rightarrow \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { 1 } } \\ { \nabla \times \nabla \times \mathbf { A } } & { { } \Rightarrow \overline { { \mathbf { C } } } _ { 2 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { 1 } } \\ { \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } } & { { } \Rightarrow \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { 1 } } \\ { \varepsilon \nabla f } & { { } \Rightarrow \overline { { \mathbf { E } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { f } _ { 1 } } \\ { \varepsilon } & { { } \Rightarrow \overline { { \mathbf { U } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { 0 } } & { { } = - x _ { 0 } / r ^ { \prime } , } \\ { m _ { 0 } } & { { } = - y _ { 0 } / r ^ { \prime } , } \\ { l } & { { } = x / s ^ { \prime } , } \\ { m } & { { } = y / s ^ { \prime } . } \end{array}
2 i H _ { A } ^ { \ \ C } \sigma _ { C \dot { B } } ^ { \ \ \ m } + 2 i H _ { \dot { B } } ^ { \ \ \dot { C } } \sigma _ { A \dot { C } } ^ { \ \ \ m } - 2 i H _ { A \dot { B } } ^ { \ \ \ m } - \nabla _ { A } H _ { \dot { B } } ^ { \ m } - \nabla _ { \dot { B } } H _ { A } ^ { \ m } = 0
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \Psi } ^ { o } \left[ \left( \sum _ { x \in \Phi \setminus \{ t \} } ( h _ { x } - 1 ) \ell ( \| x \| ) \right) ^ { 2 } ~ \Bigg | ~ \Phi \right] } \\ & { \stackrel { \mathrm { \scriptsize ( a ) } } { = } \sum _ { x \in \Phi \setminus \{ t \} } \mathbb { E } \left[ ( h _ { x } - 1 ) ^ { 2 } \right] \ell ^ { 2 } ( \| x \| ) } \\ & { = \left( \mathbb { E } [ h ^ { 2 } ] - 1 \right) \sum _ { x \in \Phi \setminus \{ t \} } \tilde { \ell } ( \| x \| ) . } \end{array}
S ( t , \omega ) ( { \rho } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathrm { i } | \Omega | \frac { V } { 4 } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } { \rho } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \omega = ( j , k , 1 ) , } \\ { \mathrm { i } | \Omega | \frac { V } { 4 } { \rho } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \omega = ( j , k , 2 ) , } \end{array} \right.
e ^ { \frac 4 3 \phi } \simeq \frac { \left( 3 \, r _ { 3 } ^ { 2 } + 1 0 \, r _ { 3 } \, r _ { 4 } + 3 \, r _ { 4 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \, \left( 5 \, r _ { 3 } ^ { 2 } + 6 \, r _ { 3 } \, r _ { 4 } + 5 \, r _ { 4 } ^ { 2 } \right) } { 1 2 8 \, \left( r _ { 3 } + r _ { 4 } \right) } \, \, \sqrt { u _ { 0 } + 2 \, \kappa \, | u | ^ { 2 } } \; \kappa \, x + O ( x ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r } { e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| u _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } u _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \leq \Big ( C _ { 2 , \sigma } ( t ) + \Big ( \frac { 1 2 } { \sigma } \Big ) ^ { 3 } C _ { \sigma } ( t ) \Big ) \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + } \\ { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { 3 } \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y ( t ) = } & { \ E \biggl [ X ( T ) \xi ( T ) + \int _ { t } ^ { T } X ( s ) l ( s , \alpha ( s ) ) d s } \\ & { + \int _ { T } ^ { T + \delta } \biggl \{ \xi ( s ) \bar { b } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) X ( s - \delta ) } \\ & { + \psi ( s ) \bar { \sigma } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) X ( s - \delta ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \zeta ( s , z ) \bar { \eta } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) , z ) X ( ( s - \delta ) - ) \nu ( d z ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { D } \vartheta ^ { j } ( s ) \bar { \gamma } ^ { j } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) ) X ( ( s - \delta ) - ) \lambda _ { j } ( s ) \biggr \} d s | \mathcal { F } _ { t } \biggr ] } \end{array}
\frac { d E } { d \tau } = \frac { d } { d \tau } \int _ { V } d ^ { 3 } \sigma \: [ \frac { \vec { E } _ { \perp } ^ { 2 } + \vec { B } ^ { 2 } } { 2 } ] ( \tau , \vec { \sigma } ) = - \int _ { S } d \Sigma \: \vec { n } \cdot ( \vec { E } _ { \perp } \wedge \vec { B } ) ( \tau , \vec { \sigma } ) .
S _ { x } = \frac { I _ { H } - I _ { V } } { I _ { H } + I _ { V } } , \ S _ { y } = \frac { I _ { D } - I _ { A } } { I _ { D } + I _ { A } } , \ S _ { z } = \frac { I _ { R } - I _ { L } } { I _ { R } + I _ { L } } ,
\begin{array} { r l } { W _ { \infty } ( a / q ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le N < q } \left( S _ { N } ( a / q ) - \frac { N } { 2 q } \right) - \operatorname* { m a x } _ { 0 \le N < q ^ { \prime } } \left( S _ { N } ( a ^ { \prime } / q ^ { \prime } ) - \frac { N } { 2 q ^ { \prime } } \right) + \frac { \lfloor q / a \rfloor ( 2 a - 1 ) } { 8 q q ^ { \prime } } , } \\ { W _ { - \infty } ( a / q ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { 0 \le N < q } \left( S _ { N } ( a / q ) + \frac { N } { 2 q } \right) - \operatorname* { m i n } _ { 0 \le N < q ^ { \prime } } \left( S _ { N } ( a ^ { \prime } / q ^ { \prime } ) + \frac { N } { 2 q ^ { \prime } } \right) + \frac { \lfloor q / a \rfloor ( - 2 a - 1 ) } { 8 q q ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { k } t _ { i , j } h _ { k } ^ { - 1 } \cdot t _ { i - 1 , i + 1 } t _ { i + 1 , j } = t _ { i + 2 , j } t _ { i - 1 , j } t _ { i - 1 , i } } \\ & { \Leftrightarrow } & { h _ { k } t _ { i , j } h _ { k } ^ { - 1 } = t _ { i + 2 , j } t _ { i - 1 , j } t _ { i - 1 , i } t _ { i + 1 , j } ^ { - 1 } t _ { i - 1 , i + 1 } ^ { - 1 } . } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ s ~ q ~ } } ( v ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \pi / \vartheta , \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } v \geq v _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \mathrm { ~ o ~ r ~ } v \leq v _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \Pi _ { N } ^ { \mathrm { ( i r ) } } \big ( \alpha \big ) = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } | \alpha | ^ { 2 } } \left\{ 1 - \sum _ { m = 0 } ^ { N } F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) \right] \right\} , } \end{array}
\int _ { \Omega \times \mathcal { Y } } \Sigma ( x , y ) : \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { \partial _ { x _ { 3 } } \psi _ { 1 } ( x , y ) } \\ { 0 } & { 0 } & { \partial _ { x _ { 3 } } \psi _ { 2 } ( x , y ) } \\ { \partial _ { x _ { 3 } } \psi _ { 1 } ( x , y ) } & { \partial _ { x _ { 3 } } \psi _ { 2 } ( x , y ) } & { \partial _ { x _ { 3 } } \psi _ { 3 } ( x , y ) } \end{array} \right) \, d x d y = 0 ,
\mathrm { S N R } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma , \eta ) ] = \sqrt { \frac { \mathcal { I } ^ { 2 } } { \mathrm { V a r } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma , \eta ) ] } } = \sqrt { \frac { \mathcal { I } ^ { 2 } } { 2 \mathcal { I } - \mathcal { I } ^ { 2 } } } \stackrel { \mathcal { I } \ll 1 } { \sim } \sqrt { \mathcal { I } } ,
8 \delta \tilde { C } = 0 \; , \; \; \; \delta ( \tilde { \Delta } \: \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \: \tilde { C } ) = 0 \; , \; \; \; \delta [ \tilde { \Delta } \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \; \tilde { \Delta } \; . . . \; \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \: \tilde { \Delta } C ) ] = 0 \; ,
{ \frac { 5 } { 8 } } { \frac { 1 } { A _ { 2 } ( \nu ) \Gamma \left( 4 - { \frac { 2 } { \nu - 1 } } \right) } } \left( { \frac { k _ { B } m T } { \pi } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( { \frac { 2 k _ { B } T } { \kappa } } \right) ^ { 2 / ( \nu - 1 ) }
\begin{array} { r l r } { \left< h ( x , t ) ^ { 2 } \right> } & { = } & { \int _ { y _ { 1 } > 0 } \int _ { t _ { 1 } < t } P ^ { \mu } ( x , t | y _ { 1 } , t _ { 1 } ) \int _ { y _ { 2 } > 0 } \int _ { t _ { 2 } < t } P ^ { \mu } ( x , t | y _ { 2 } , t _ { 2 } ) \left< \xi ( y _ { 1 } , t _ { 1 } ) \xi ( y _ { 2 } , t _ { 2 } ) \right> } \\ & { = } & { \int _ { y > 0 } \int _ { t ^ { \prime } < t } P ^ { \mu } ( x , t | y , t ^ { \prime } ) ^ { 2 } . } \end{array}
e _ { n } H _ { n - 1 + { \frac { D } { 2 } } } ^ { ( 1 ) \prime } ( | \omega | r ^ { \prime } ) + f _ { n } H _ { n - 1 + { \frac { D } { 2 } } } ^ { ( 2 ) \prime } ( | \omega | r ^ { \prime } ) - d _ { n } H _ { n - 1 + { \frac { D } { 2 } } } ^ { ( 1 ) \prime } ( | \omega | r ^ { \prime } ) = { \frac { ( 2 n + D - 2 ) \Gamma \left( { \frac { D - 2 } { 2 } } \right) } { 4 ( \pi r ^ { \prime } ) ^ { \frac { D } { 2 } } | \omega | } } .
\begin{array} { r } { - \Re \left( \left( \begin{array} { l } { \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) } \\ { \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) \, , \, \widetilde { m } \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ^ { * } \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } = - \Re \left( \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { k } u ( \boldsymbol { m } ) } \\ { \beta _ { k } u ( \boldsymbol { m } ) \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) \, , \, \widetilde { m } \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ^ { * } \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } } \end{array}
\vert a ( \vec { k } ) \vert ^ { 2 } \leq ( 2 \pi ) ^ { 6 } \left[ { \vec { k } } ^ { 2 } \vert { \hat { \Phi } } ( \vec { k } , t ) \vert ^ { 2 } + \vert { \dot { \hat { \Phi } } } ( \vec { k } , t ) \vert ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { G _ { i j } } & { = \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \varphi _ { i } ( x ) \varphi _ { j } ( x ) d x } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { L _ { x } ^ { 3 } } { 3 0 } , \; \mathrm { f o r ~ i = j = 0 ~ } } \\ { 4 \frac { 2 - L _ { x } \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } \cot ( L _ { x } \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } / 2 ) } { L _ { x } \lambda _ { i } ^ { 3 / 4 } } , \; \mathrm { f o r ~ i = 0 ~ , ~ j ~ i s ~ e v e n ~ o r ~ j = 0 ~ , ~ i ~ i s ~ e v e n } } \\ { \frac { \tan ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } L _ { x } / 2 ) ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } L _ { x } \tan ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } L _ { x } / 2 ) + 2 ) } { \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } } , \; \mathrm { f o r ~ i = j ~ a n d ~ i ~ i s ~ o d d } , } \\ { \frac { \tan ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } L _ { x } / 2 ) ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } L _ { x } \cot ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } L _ { x } / 2 ) - 2 ) } { \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } } , \; \mathrm { f o r ~ i = j ~ a n d ~ i ~ i s ~ e v e n } , } \\ { \frac { 8 \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } \lambda _ { j } ^ { 1 / 4 } ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } \tan ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } L _ { x } / 2 ) - \lambda _ { j } ^ { 1 / 4 } \tan ( \lambda _ { j } ^ { 1 / 4 } L _ { x } / 2 ) ) } { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } } , \; \mathrm { f o r ~ i \neq ~ j ~ a n d ~ b o t h ~ o d d } } \\ { \frac { 8 \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } \lambda _ { j } ^ { 1 / 4 } ( \lambda _ { j } ^ { 1 / 4 } \cot ( \lambda _ { j } ^ { 1 / 4 } L _ { x } / 2 ) - \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } \cot ( \lambda _ { i } ^ { 1 / 4 } L _ { x } / 2 ) ) } { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } } , \; \mathrm { f o r ~ i \neq ~ j ~ a n d ~ b o t h ~ e v e n } } \\ { 0 , \; \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
F _ { k } ( x ^ { \omega _ { 1 } } \Phi ^ { 1 } , x ^ { \omega _ { 2 } } \Phi ^ { 2 } , . . . , x ^ { \omega _ { N } } \Phi ^ { N } ) = x ^ { 1 - \rho _ { k } } F _ { k } ( \Phi ^ { 1 } , \Phi ^ { 2 } , . . . , \Phi ^ { N } ) , \quad 1 \le k \le M \, ,
\begin{array} { r l } { H = } & { { } - \sum _ { \langle i j \rangle } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { i } - 2 g \sum _ { \langle \langle i j \rangle \rangle } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { i } e ^ { s _ { i k j } 2 \pi i / 3 } ( 1 - n _ { k } ) + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i \omega \lambda } \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda - x _ { 0 } ) + \theta _ { 2 } ( \lambda + x _ { 0 } ) ] } \\ { = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i \omega \lambda } \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda - \lambda _ { 0 } + i ) + \theta _ { 2 } ( \lambda + \lambda _ { 0 } - i ) ] } \\ { = } & { 2 i \sin ( \omega \lambda _ { 0 } ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i \omega \lambda } \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda + i ) ] } \\ { = } & { - \frac { 2 \sin ( \omega \lambda _ { 0 } ) } { \omega } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i \omega \lambda } \frac { d } { d \lambda } \mathrm { I m } [ \theta _ { 2 } ( \lambda + i ) ] } \\ { = } & { \frac { 2 \sin ( \omega \lambda _ { 0 } ) } { \omega } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i \omega \lambda } \frac { 2 \gamma \cos ( \gamma ) \sin ^ { 2 } ( \gamma ) \sinh ( \gamma \lambda ) } { ( \cosh ( \gamma \lambda ) - \cos ( \gamma ) ) ( \cosh ( \gamma \lambda ) - \cos ( 3 \gamma ) ) } } \\ { = } & { 2 i \sin ( \omega \lambda _ { 0 } ) \sinh ( \omega ) \frac { \sinh [ ( \frac { \pi } { \gamma } - 2 ) \omega ] } { \omega \sinh ( \frac { \pi } { \gamma } \omega ) } . } \end{array}
- \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \int _ { M _ { D } ^ { 1 1 } } d ^ { 1 1 } x \partial _ { 1 1 } ( \sqrt { - G } \frac { \sqrt { 2 } } { 9 6 } \bar { \psi } _ { \mu } \Gamma ^ { \mu \nu \xi \upsilon \rho 1 1 } \eta K _ { \nu \xi \upsilon \rho } )
\begin{array} { r l } { \Vert T _ { n } ( f - p _ { M } ) - \mathcal { C } _ { n } ( f - p _ { M } ) \Vert _ { 2 } } & { \leq \Vert T _ { n } ( f - p _ { M } ) \Vert _ { 2 } + \Vert \mathcal { C } _ { n } ( f - p _ { M } ) \Vert _ { 2 } } \\ & { \leq 2 \Vert f - p _ { M } \Vert _ { \infty } + 2 \Vert f - p _ { M } \Vert _ { \infty } \leq 4 \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { o } } & { { } \ge } & { \operatorname* { m a x } _ { x \in [ 0 , L ] } \frac { { \rho } \, g \sin ( \alpha ) } { \sqrt { 2 } } \frac { \left| h _ { 0 } \left( x - L / 2 \right) - \sin ( \pi x ) / \pi + \sin ( \pi L ) / \pi \right| } { h _ { 0 } - \cos ( \pi x ) } \, . } \\ { \sigma _ { o } } & { { } \ge } & { \frac { { \rho } \, g \, \sin ( \alpha ) \, h _ { 0 } \, L } { 2 \sqrt { 2 } ( h _ { 0 } - 1 ) } \approx 9 . 0 3 4 1 \, . } \end{array}
F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \; = \; x \sum _ { i } \: e _ { i } ^ { 2 } \: [ q _ { i } ( x , Q ^ { 2 } ) + \overline { { { q } } } _ { i } ( x , Q ^ { 2 } ) ] \: + \: O ( \alpha _ { S } ( Q ^ { 2 } ) ) ,
E _ { \phi } ^ { T } ( \rho , z ) \approx \xi e ^ { - \bar { \beta } _ { i } z } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } A _ { m } \, \frac { \partial } { \partial \rho } s i n c \sqrt { k _ { r } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \left( k _ { r } z + \pi m \right) ^ { 2 } } \, \, ,
\begin{array} { r } { C ( V _ { 0 } , f ) = C _ { \mathrm { ~ F ~ D ~ } } + c _ { 1 } \frac { \mathrm { ~ d ~ } I } { \mathrm { ~ d ~ } V } \bigg \rvert _ { V _ { 0 } } e ^ { - c _ { 2 } \sqrt { f } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { q ( E , V , E _ { a } , V _ { a } ) } & { { } = q \big ( T ( E , V ) , p ( E , V ) , T _ { 0 } , p _ { 0 } \big ) , } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } \quad q \big ( T _ { 0 } , p _ { 0 } , T _ { 0 } , P _ { 0 } \big ) } & { = 0 , } \\ { f ( E , V , E _ { a } , V _ { a } ) } & { { } = f \big ( T ( E , V ) , p ( E , V ) , T _ { 0 } , p _ { 0 } \big ) , } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } \quad f \big ( T _ { 0 } , p _ { 0 } , T _ { 0 } , P _ { 0 } \big ) \! } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { j } ^ { k } ( l ) | } & { \le _ { \mathtt { p e } } \gamma ^ { - 1 } N ^ { \tau } | \mathcal { R } _ { j } ^ { k } ( l ) | , } \\ { \gamma \left| \Psi _ { j } ^ { k } ( l ) ( \omega _ { 1 } ) - \Psi _ { j } ^ { k } ( l ) ( \omega _ { 2 } ) \right| } & { \le _ { \mathtt { p e } } | \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } | \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } N ^ { 2 \tau + 1 } | R _ { j } ^ { k } ( l ) | + N ^ { \tau } | \mathcal { R } _ { j } ^ { k } ( l ) ( \omega _ { 1 } ) - \mathcal { R } _ { j } ^ { k } ( l ) ( \omega _ { 2 } ) | , } \\ { | ( d _ { i } \Psi ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) _ { j } ^ { k } ( l ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 3 } N ^ { 2 \tau } | \mathcal { R } _ { j } ^ { k } ( l ) | \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } + \gamma ^ { - 1 } N ^ { \tau } | \left( d _ { i } \mathcal { R } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \right) _ { j } ^ { k } ( l ) | } \end{array}
g _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } = \Omega ^ { 2 } \tilde { g } _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } : = { \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } e ^ { d _ { i } \tilde { \beta } ^ { i } } \right) } ^ { \frac { - 2 } { D _ { 0 } - 2 } } \tilde { g } _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r l } { D _ { t } v _ { i } + \partial _ { i } P = \nu \nabla ^ { 2 } v _ { i } } & { + M _ { j } \partial _ { i } B _ { j } - \Gamma \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } \left( \omega _ { k } - 2 \Omega _ { k } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { j } \partial _ { j } \left( I \Omega _ { i } + \gamma M _ { i } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } u _ { 1 } } & { { } = \rho _ { 2 } u _ { 2 } , } \\ { p _ { 1 } + \rho _ { 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = p _ { 2 } + \rho _ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { v _ { 1 } } & { { } = v _ { 2 } , } \\ { w _ { 1 } } & { { } = w _ { 2 } , } \\ { h _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = h _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}