harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \overbrace { \left( \begin{array} { l } { y ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { y ^ { ( l - 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } ^ { z ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } } & { = \overbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { \boldsymbol { C } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & & & \\ & { \ddots } & & \\ & & { \boldsymbol { C } _ { 1 } ^ { ( l - 1 ) } } & { 0 } \end{array} \right) } ^ { \mathcal { C } _ { 1 1 } } \overbrace { \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { x _ { 1 } ^ { ( l - 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 1 } ^ { ( l ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } ^ { x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } + \overbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { \boldsymbol { C } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & & & \\ & { \ddots } & & \\ & & { \boldsymbol { C } _ { 2 } ^ { ( l - 1 ) } } & { 0 } \end{array} \right) } ^ { \mathcal { C } _ { 1 2 } } \overbrace { \left( \begin{array} { l } { x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { x _ { 2 } ^ { ( l - 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 2 } ^ { ( l ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } ^ { x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } } \\ & { + \underbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & & & \\ { \boldsymbol { D } ^ { ( 2 ) } } & { 0 } & \\ & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { \boldsymbol { D } ^ { ( l - 1 ) } } & { 0 } \end{array} \right) } _ { \mathcal { D } _ { 1 1 } } \underbrace { \left( \begin{array} { l } { u ^ { ( 2 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { u ^ { ( l - 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { u ^ { ( l ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } _ { w ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } + \underbrace { \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { D } ^ { ( 1 ) } } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) } _ { \mathcal { D } _ { 1 2 } } \underbrace { u ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } _ { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } + \underbrace { \left( \begin{array} { l } { g ^ { ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { g ^ { ( l - 1 ) } } \end{array} \right) } _ { g _ { 1 } } } \end{array}
\left[ D _ { i } , D _ { j } \right] = - a ^ { 2 } \left( \kappa ^ { 2 } + 3 \lambda ^ { 2 } - 4 \kappa \lambda I _ { r } \right) \sum _ { k \ne i , j } \left( K _ { i j k } - K _ { i k j } \right) , \qquad i \ne j ,
\left< { \delta \vec { y } ( t ) } \right> = \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { m a x } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 0 } ^ { N } { \left( A _ { \tau } ( \vec { x } _ { i } + \delta \vec { f } ( t - \tau ) ) - A _ { \tau } ( \vec { x } _ { i } ) \right) }
\begin{array} { l l } & { \displaystyle \int _ { Q } y \left( { \mathbb D } _ { T } ^ { \gamma } \phi + { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ) + q \phi \right) \, d x d t } \\ & { = \displaystyle \int _ { Q } f \phi \, d x d t + \int _ { a } ^ { b } y ^ { 0 } I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi ( 0 , x ) \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { T } v ( t ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ( t , b ^ { - } ) \mathrm { d } t , } \end{array}
P ( \Omega ) : = \operatorname* { s u p } \left\{ \int _ { \Omega } \nabla \cdot \phi ( y ) \, d y : \, \phi \in C _ { c } ^ { 1 } ( \mathbb R ^ { 3 } ; \mathbb R ^ { 3 } ) , \ | \phi | \leq 1 \right\} ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mu } _ { t } } & { = - \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \mu _ { t } } \\ { \dot { \Sigma } _ { t } } & { = - \Sigma _ { t } \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \left[ \Sigma _ { t } - \mu \mu ^ { \top } \right] \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } - \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \left[ \Sigma _ { t } - \mu \mu ^ { \top } \right] \left( \Sigma _ { t } + I _ { d } \right) ^ { - 1 } \Sigma _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r } { l ( u , v , w , p ; \nu ) = u u _ { x } + v u _ { y } + w u _ { z } + p _ { x } - \nu ( u _ { x x } + u _ { y y } + u _ { z z } ) , } \\ { m ( u , v , w , p ; \nu ) = u v _ { x } + v v _ { y } + w v _ { z } + p _ { y } - \nu ( v _ { x x } + v _ { y y } + v _ { z z } ) , } \\ { n ( u , v , w , p ; \nu ) = u w _ { x } + v w _ { y } + w w _ { z } + p _ { z } - \nu ( w _ { x x } + w _ { y y } + w _ { z z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { b o x } } & { { } = } & { \left( \frac { 1 0 0 + 4 \times 3 0 } { R _ { w a l l } } \right) \left( 0 - 1 9 \right) + \left( \frac { 1 0 0 } { R _ { w a l l } } \right) \left( 1 5 - 1 9 \right) } \end{array}
{ \boldsymbol { \nabla \times B } } = \mu _ { 0 } \left( { \boldsymbol { J } } + \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial { \boldsymbol { E } } } { \partial t } } \right) = \mu _ { 0 } \left( { \boldsymbol { J } } _ { f } + { \frac { \partial { \boldsymbol { D } } } { \partial t } } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { { \underline { { \int _ { a } ^ { b } } } } f ( x ) \, d x } & { { } = { \underline { { \int _ { a } ^ { c } } } } f ( x ) \, d x + { \underline { { \int _ { c } ^ { b } } } } f ( x ) \, d x } \\ { { \overline { { \int _ { a } ^ { b } } } } f ( x ) \, d x } & { { } = { \overline { { \int _ { a } ^ { c } } } } f ( x ) \, d x + { \overline { { \int _ { c } ^ { b } } } } f ( x ) \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { m } _ { r } } & { = } & { - \frac { \hbar } { 2 i } z \cos ( 2 \phi ) \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { \phi } } & { = } & { - \hbar k r \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { + \frac { \hbar } { 2 i } z \sin ( 2 \phi ) \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { z } } & { = } & { \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ & { = } & { \hat { s } _ { z } . } \end{array}
V _ { 2 } ( R _ { 2 } ) = k R _ { 2 } ^ { 2 } \left[ 3 ( 1 + \sigma _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } ( 1 + \sigma _ { 1 } ) - \frac { 3 } { 2 } \left( \frac { 3 - d } { 1 2 \pi } \right) ^ { 2 / 3 } ( \sigma _ { 0 } + 2 \sigma _ { 1 } ) k ^ { 1 / 3 } \rho ^ { 2 } + \frac { ( d - 3 ) ^ { 2 } } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \rho ^ { 6 } \right] ,
\begin{array} { r c l } { { \delta _ { \sigma } L _ { m } { } ^ { i } } } & { { = } } & { { - L _ { n } { } ^ { i } \sigma ^ { n } { } _ { m } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \sigma } A ^ { m } { } _ { \mu } } } & { { = } } & { { \sigma ^ { m } { } _ { n } A ^ { n } { } _ { \mu } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \sigma } V _ { m n \, \mu } } } & { { = } } & { { \mathcal { D } _ { \mu } \sigma _ { m n } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \sigma } B _ { m \, \mu \nu } } } & { { = } } & { { - B _ { n \, \mu \nu } \sigma ^ { n } { } _ { m } + 2 \partial _ { [ \mu | } \sigma _ { m n } A ^ { n } { } _ { | \nu ] } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \sigma } C _ { \mu \nu \rho } } } & { { = } } & { { 3 \partial _ { [ \mu | } \sigma _ { m n } A ^ { m } { } _ { | \nu } A ^ { n } { } _ { \rho ] } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k } \sqrt { n } ( c _ { k } \sqrt { n } } & { - p + k ) p - ( k - 1 ) k ( k p n + 2 ( c _ { k } \sqrt { n } - p + k ) n ) } \\ & { = - c _ { k } \sqrt { n } p ^ { 2 } + ( ( c _ { k } ^ { 2 } - k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ) n + k c _ { k } \sqrt { n } ) p - 2 k ( k - 1 ) ( c _ { k } \sqrt { n } + k ) n } \\ & { = \left( \frac { ( ( c _ { k } ^ { 2 } - k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ) \sqrt { n } + k c _ { k } ) ^ { 2 } } { 4 c _ { k } } - 2 k ( k - 1 ) ( c _ { k } \sqrt { n } + k ) \sqrt { n } \right) \sqrt { n } } \\ & { > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { C | C } = } & { ~ w _ { I } ( - c + b ) + \frac { 1 - w _ { I } } { k } \left\{ - c + b + \sum _ { k _ { C } ^ { \prime } = 0 } ^ { k - 1 } { \frac { ( k - 1 ) ! } { k _ { C } ^ { \prime } ! ( k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } ^ { \prime } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 } [ - ( k - 1 ) c + k _ { C } ^ { \prime } b ] } \right\} } \\ { = } & { - c + w _ { I } b + \frac { 1 - w _ { I } } { k } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | C } ] b . } \end{array}
p ^ { l , \bigstar } = \left\{ \begin{array} { l l } { p ^ { l , n } \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad u _ { R } ^ { \mathrm { i n t } } - u _ { L } ^ { \mathrm { i n t } } < 0 } \\ { p ^ { l , n + 1 } \, } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
A _ { s } ( Q ^ { 2 } / \mu _ { \overline { { { M S } } } } ^ { 2 } ) = A _ { s } ( Q ^ { 2 } / \mu _ { F } ^ { 2 } ) \bigg [ 1 + k _ { 1 } A _ { s } ( Q ^ { 2 } / \mu _ { F } ^ { 2 } ) + k _ { 2 } A _ { s } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } / \mu _ { F } ^ { 2 } ) \bigg ]
\begin{array} { r } { \rho { c _ { p } } { \partial _ { t } } T = \nabla \cdot \left( { { \tau _ { h } } - \frac { 1 } { 2 } } \right) c _ { s } ^ { 2 } \Delta t \nabla T - \rho { c _ { p } } { \bf { u } } \cdot \nabla T , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { m \geq 0 } \left| \partial _ { v } ^ { m } \big ( \mathfrak { s } _ { \alpha , + } ( v ) - k \sqrt { h _ { 1 } ( v ) h _ { 2 } ( v ) } \big ) \right| \leq C \Gamma _ { s } ( m ) M ^ { m } . } \end{array}
\mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { \pi G _ { h _ { l } h _ { l } } } { \lambda ^ { 2 } } \Lambda _ { \theta } { \sigma } _ { \mathrm { { s c a } } } \underbrace { \longrightarrow } _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ s ~ s ~ l ~ e ~ s ~ s ~ } } \mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { \pi G _ { h _ { l } h _ { l } } } { \lambda ^ { 2 } } \Lambda _ { \theta } { \sigma } _ { \mathrm { { e x t } } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \{ N _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \} } } & { = \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \hbar \omega _ { k } \left( N _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \right) \equiv \mathcal { E } + \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \hbar \omega _ { k } N _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } } \\ { \mathcal { E } _ { 0 } } & { = \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \frac { \hbar \omega _ { k } } { 2 } \; \; \; , \; \; \; N _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \Big | _ { t = 0 } ( i _ { \nabla f } H ) } & { = \frac { \partial } { \partial t } \Big | _ { t = 0 } \Big ( ( - u _ { t } + \Tilde { u } _ { t } ) ( i _ { \nabla { f _ { t } } } H ) + ( i _ { \nabla { f _ { t } ^ { \prime } } } H ) \Big ) } \\ & { = \Big ( ( - u _ { t } ^ { \prime } + \Tilde { u } _ { t } ^ { \prime } ) ( i _ { \nabla { f _ { t } } } H ) + ( - u _ { t } + \Tilde { u } _ { t } ) ( i _ { \nabla { f _ { t } } } H ) ^ { \prime } + ( i _ { \nabla { f _ { t } ^ { \prime } } } H ) ^ { \prime } \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = \Big ( ( - u _ { t } + \Tilde { u } _ { t } ) ^ { 2 } ( i _ { \nabla { f _ { t } } } H ) + 2 ( - u _ { t } + \Tilde { u } _ { t } ) ( i _ { \nabla { f _ { t } ^ { \prime } } } H ) + ( i _ { \nabla { f _ { t } ^ { \prime \prime } } } H ) \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = u ( i _ { \nabla u } H ) + ( i _ { \nabla { f _ { t } ^ { \prime \prime } } } H ) \Big | _ { t = 0 } . } \end{array}
\mathrm { I m } \left( \left( Y _ { \nu } Y _ { \nu } ^ { \dagger } \right) ^ { 2 1 } \right) ^ { 2 } \; = \; { \frac { \left( m _ { \nu _ { 1 } } ^ { 2 } - m _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } \right) M _ { 1 } M _ { 2 } } { 2 v ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \beta } } \mathrm { s i n h } 2 \theta _ { i } s i n 2 \theta _ { r } .
f _ { D M } ( \boldsymbol y ; n , \boldsymbol \alpha ) = \frac { n ! \, \Gamma \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } \alpha _ { i } \right) } { \Gamma \left( n + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \alpha _ { i } \right) } \prod _ { i = 1 } ^ { k } \frac { \Gamma ( y _ { i } + \alpha _ { i } ) } { y _ { i } ! \, \Gamma ( \alpha _ { i } ) } ,
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( r ) } & { = \frac { p + 3 } { \sqrt { p ^ { 4 } + 8 p ^ { 3 } + 4 p ^ { 2 } - 8 p r - 4 8 p - 2 4 r + 2 5 6 } } - \frac { p ^ { 2 } + 6 p + 2 r } { 3 2 \sqrt { p ^ { 2 } r + 6 p r + r ^ { 2 } + 2 5 6 } } } \\ & { \ge \frac { p + 3 } { \sqrt { p ^ { 4 } + 8 p ^ { 3 } + 4 p ^ { 2 } + 2 5 6 } } - \frac { p ^ { 2 } + 6 p + 2 \cdot 1 } { 3 2 \sqrt { 2 5 6 } } } \\ & { > 0 . } \end{array}
\textstyle { \sqrt { \frac { 1 } { 5 } } } \left( { \frac { 1 } { 5 } } - 0 \right) + { \sqrt { \frac { 2 } { 5 } } } \left( { \frac { 2 } { 5 } } - { \frac { 1 } { 5 } } \right) + \cdots + { \sqrt { \frac { 5 } { 5 } } } \left( { \frac { 5 } { 5 } } - { \frac { 4 } { 5 } } \right) \approx 0 . 7 4 9 7 .
\begin{array} { r l } { d _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) = d _ { v } ( z ) } & { { } \geq d _ { 0 } ( w ) = d _ { v } ( w ^ { \prime } ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { d _ { v } ( w ^ { \prime } ) = d _ { 0 } ( w ) } & { { } \leq s / 2 . } \end{array}
\mu _ { t } = \sqrt { \tau _ { w } \bar { \rho } } \kappa y \underbrace { \left[ 1 - \mathrm { e x p } \left( { \frac { - y ^ { * } } { A ^ { + } + f ( M _ { \tau } ) } } \right) \right] ^ { 2 } } _ { D ^ { c } } .
\begin{array} { r } { \psi = 1 : \ \rho = m \int f _ { \textrm { e q } } \textrm { d } \mathbf c , \quad \psi = \mathbf c : \ \rho \mathbf v = m \int \mathbf c f _ { \textrm { e q } } \textrm { d } \mathbf c , \quad \psi = \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } : \ \rho e = \frac { 3 } { 2 } \rho T = \frac { m } { 2 } \int ( \mathbf c - \mathbf v ) ^ { 2 } f _ { \textrm { e q } } \textrm { d } \mathbf c , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} } & { = \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} + \# \{ x _ { d + 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { d + 2 } ^ { n } } ( { x _ { d + 2 } ^ { n } } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i n \mathbf { v } _ { o c } } & { { } = } & { \{ \mathbf { v } _ { | s ^ { \prime } \rangle } , \mathbf { v } _ { | s \rangle } \} ^ { T } , } \\ { \mathbf { M } _ { t } } & { { } = } & { \left[ \begin{array} { c c } { \mathbf { M } _ { s ^ { \prime } s ^ { \prime } } } & { \mathbf { M } _ { s t i } } \\ { \mathbf { M } _ { s t i } ^ { T } + \mathbf { M } _ { s p o n } } & { \mathbf { M } _ { s s } } \end{array} \right] , } \end{array}
\mathcal { L } ( R a ) = \left( \begin{array} { l l l l l } { \nabla ^ { 2 } } & { 0 } & { - \partial _ { x } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \nabla ^ { 2 } } & { - \partial _ { z } } & { R a } & { - R a } \\ { \partial _ { x } } & { \partial _ { z } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \nabla ^ { 2 } } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { L e } \nabla ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \left( - \mathrm { i } - \frac { \eta _ { c } F ^ { \prime \prime } } { 2 \overline { { x } } } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \mu T \right) \overline { { u } } + F ^ { \prime } \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \overline { { x } } } + \left( - \frac { F } { 2 \overline { { x } } } - \frac { \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T } + \frac { \mu T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T ^ { 2 } } \right) \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \eta } } & { } \\ { - \frac { \mu } { 2 \overline { { x } } T } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u } } } { \partial \eta ^ { 2 } } + \frac { F ^ { \prime \prime } } { T } \overline { { v } } + \left( \frac { F F ^ { \prime \prime } } { 2 \overline { { x } } T } - \frac { \mu ^ { \prime \prime } T ^ { \prime } F ^ { \prime \prime } } { 2 \overline { { x } } T } + \frac { \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } F ^ { \prime \prime } } { 2 \overline { { x } } T ^ { 2 } } - \frac { \mu ^ { \prime } F ^ { \prime \prime \prime } } { 2 \overline { { x } } T } \right) \overline { { \tau } } - \frac { F ^ { \prime \prime } } { 2 \overline { { x } } T } \frac { \partial \overline { { \tau } } } { \partial \eta } } & { = 0 . } \end{array}
T _ { 3 } = - \sum _ { \bf { q } , \bf { q } ^ { \prime } } \frac { G ( { \bf { q } } ) , G ( { \bf { q } } ^ { \prime } ) } { m ^ { 2 } q _ { z } q _ { z } ^ { \prime } } ( q _ { x } q _ { x } ^ { \prime } - q _ { y } q _ { y } ^ { \prime } ) e ^ { - i ( { \bf { q } } + { \bf { q } } ^ { \prime } ) { \bf { r } } } [ g ( q _ { z } \tau ) g ( q _ { z } ^ { \prime } \tau ) + \sin ( q _ { z } \tau ) \sin ( q _ { z } ^ { \prime } \tau ) ] \mathrm { ~ , }
\overline { { \mathscr { E } } } ( \mathcal { E } _ { z } ) = \frac { \gamma t } { 4 } \frac { n 2 ^ { n } } { 2 ^ { n } + 1 } + o ( \gamma t ) = \frac { \gamma t } { 4 } \frac { \log _ { 2 } ( d ) d } { d + 1 } + o ( \gamma t ) \; .
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { L } } } _ { S } ^ { 0 } = \overline { { \Phi } } _ { S } ^ { \dag } \partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } \overline { { \Phi } } _ { S } \; \; , \; \; \overline { { \mathcal { L } } } _ { S } ^ { Z } = - \frac { g _ { Z } ^ { 2 } } { 4 } \overline { { \Phi } } _ { S } ^ { \dag } Z ^ { \mu } Z _ { \mu } \overline { { \Phi } } _ { S } \; \; , \; \; \overline { { \mathcal { L } } } _ { S } ^ { W } = - \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \overline { { \Phi } } _ { S } ^ { \dag } W ^ { \mu + } W _ { \mu } ^ { - } \overline { { \Phi } } _ { S } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \bar { F } _ { i i } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 2 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \bar { F } _ { i i } \left[ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \right] } \end{array}
Y _ { z } = \frac { - 4 } { \left( k a \right) ^ { 2 } } \left( A \cos \phi _ { 0 } + B \sin \phi _ { 0 } + C \sin \phi _ { 0 } \cos \phi _ { 0 } + D \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } + E \cos ^ { 2 } \phi _ { 0 } \right) + Y _ { z } ^ { p a s s i v e }
\left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { R } ^ { F U } } & { \boldsymbol { R } ^ { F \omega } } \\ { \boldsymbol { R } ^ { T U } } & { \boldsymbol { R } ^ { T \omega } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { U } ^ { ( 1 ) } } \\ { \omega ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { F } ^ { p o l y } } \\ { \boldsymbol { T } ^ { p o l y } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 2 \pi \int _ { a } ^ { b } ( x - h ) f ( x ) \, d x , } & { { \mathrm { i f } } \ h \leq a < b } \\ { \displaystyle 2 \pi \int _ { a } ^ { b } ( h - x ) f ( x ) \, d x , } & { { \mathrm { i f } } \ a < b \leq h } \end{array} \right.
z = \frac { \mathbb { W } _ { s , t } ^ { G } } { \mathbb { W } _ { s , t } ^ { D } } = \frac { ( \mathbb { E } _ { \varepsilon } + 1 ) \sum _ { n } n P _ { s t } ( n | L ) } { L ( 1 + \mathbb { E } _ { \xi } ) }
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = \bigg ( ( \beta + 1 ) ( 1 9 \lambda + 1 6 ) x _ { 2 } \big ( 9 ( - 1 3 9 \beta + 2 5 1 \lambda + 1 2 7 ) + 2 8 7 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 1 } ^ { 4 } + x _ { 1 } ^ { 2 } \big ( 3 5 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + 9 \big ( 9 8 ( \beta - 1 ) \lambda ^ { 2 } - ( 2 5 1 \beta + 7 4 1 ) \lambda - 3 3 7 \beta + 2 8 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } - 6 3 1 \big ) \big ) - 5 6 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 2 } ^ { 4 } } \\ & { + x _ { 2 } ^ { 2 } \big ( 3 7 8 ( \beta - 1 ) \lambda ^ { 2 } + ( 2 0 8 1 \beta + 1 9 1 ) \lambda + 1 8 1 1 \beta - 9 1 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } + 6 7 7 \big ) + 1 2 6 ( \beta - 1 ) \lambda ^ { 2 } \big ( 5 x _ { 3 } ^ { 2 } - 8 \big ) } \\ & { - x _ { 3 } ^ { 2 } \big ( - 1 3 1 7 \beta + 3 5 0 ( \beta + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } + 5 7 3 \big ) - \lambda \big ( 2 1 5 1 \beta + 3 5 0 ( \beta + 1 ) x _ { 3 } ^ { 4 } + 3 ( 5 0 9 - 5 4 1 \beta ) x _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \big ) \bigg ) \Bigg / ( 2 5 2 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 3 } ) , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { a b s } } ~ = ~ { \frac { 4 \pi } { \omega ^ { 2 } } } { \frac { f _ { \mathrm { a b s } } } { f _ { \mathrm { i n } } } } ~ = ~ \sigma _ { \mathrm { a b s } } ^ { 0 } \left[ 1 ~ - ~ \pi \eta \right] ~ .
{ \begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( t ) } & { = \, _ { 4 } F _ { 3 } \left( - { \frac { 1 } { 2 0 } } , { \frac { 3 } { 2 0 } } , { \frac { 7 } { 2 0 } } , { \frac { 1 1 } { 2 0 } } ; { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 3 } { 4 } } ; { \frac { 3 1 2 5 t ^ { 4 } } { 2 5 6 } } \right) } \\ { F _ { 2 } ( t ) } & { = \, _ { 4 } F _ { 3 } \left( { \frac { 1 } { 5 } } , { \frac { 2 } { 5 } } , { \frac { 3 } { 5 } } , { \frac { 4 } { 5 } } ; { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 3 } { 4 } } , { \frac { 5 } { 4 } } ; { \frac { 3 1 2 5 t ^ { 4 } } { 2 5 6 } } \right) } \\ { F _ { 3 } ( t ) } & { = \, _ { 4 } F _ { 3 } \left( { \frac { 9 } { 2 0 } } , { \frac { 1 3 } { 2 0 } } , { \frac { 1 7 } { 2 0 } } , { \frac { 2 1 } { 2 0 } } ; { \frac { 3 } { 4 } } , { \frac { 5 } { 4 } } , { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { 3 1 2 5 t ^ { 4 } } { 2 5 6 } } \right) } \\ { F _ { 4 } ( t ) } & { = \, _ { 4 } F _ { 3 } \left( { \frac { 7 } { 1 0 } } , { \frac { 9 } { 1 0 } } , { \frac { 1 1 } { 1 0 } } , { \frac { 1 3 } { 1 0 } } ; { \frac { 5 } { 4 } } , { \frac { 3 } { 2 } } , { \frac { 7 } { 4 } } ; { \frac { 3 1 2 5 t ^ { 4 } } { 2 5 6 } } \right) } \end{array} }
\frac { \partial ^ { 2 } \widehat { p _ { k } ^ { n + 1 } } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { p _ { k } ^ { n + 1 } } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \widehat { p _ { k } ^ { n + 1 } } = \frac { \rho } { \Delta t } \left[ \frac { \partial \widehat { \tilde { u } _ { k } } } { \partial x } + \frac { \partial \widehat { \tilde { v } _ { k } } } { \partial y } + \mathrm { i } k \widehat { \tilde { w } _ { k } } \right]
U ( { \vec { r } } + { \vec { \xi } } ) \approx U ( { \vec { r } } ) + \xi \cdot \nabla U ( { \vec { r } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i j } \xi _ { i } \xi _ { j } \partial _ { i } \partial _ { j } U ( { \vec { r } } )
\left\{ \begin{array} { l l l l l } { \textbf { e } _ { r } \; } & { = \sin \theta \cos \phi } & { \textbf { e } _ { x } \; + \sin \theta \sin \phi } & { \textbf { e } _ { y } \; + \cos \theta } & { \textbf { e } _ { z } } \\ { \textbf { e } _ { \theta } \; } & { = \cos \theta \cos \phi } & { \textbf { e } _ { x } \; + \cos \theta \sin \phi } & { \textbf { e } _ { y } \; - \sin \theta } & { \textbf { e } _ { z } } \\ { \textbf { e } _ { \phi } \; } & { = - \sin \phi } & { \textbf { e } _ { x } \; + \cos \phi } & { \textbf { e } _ { y } . } & \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ \{ d ( \cup _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \gamma _ { i } ^ { \delta } , 0 ) > e ^ { - t } \} \cap \{ | \gamma _ { 0 } ^ { \delta } ( t ) | > e ^ { - t + s } \} ] } \\ { \le } & { \mathbb { P } [ X [ \tilde { \tau } _ { i } , \tilde { \tau } _ { i } ^ { \prime } ] \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ s e p a r a t e ~ } \partial B ( 0 , r _ { i } ) \mathrm { ~ a n d ~ } \partial B ( 0 , r _ { i - 1 } ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \le i \le [ s ] ] } \\ { = } & { \mathbb { E } [ \mathbb { P } [ \mathcal { R } [ \tilde { \tau } _ { i } , \tilde { \tau } _ { i } ^ { \prime } ] \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ s e p a r a t e ~ } \partial B ( 0 , r _ { i } ) \mathrm { ~ a n d ~ } \partial B ( 0 , r _ { i - 1 } ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \le i \le [ s ] \, | \, \mathcal { R } _ { \tau _ { 1 } ^ { \prime } } , \ldots , \mathcal { R } _ { \tau _ { [ s ] } ^ { \prime } } ] } \\ { = } & { \mathbb { E } [ \Pi _ { i = 1 } ^ { [ s ] } \mathbb { P } _ { \mathcal { R } _ { \tau _ { i } } } [ \mathcal { R } [ \tau _ { i } , \tau _ { i } ^ { \prime } ] \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ s e p a r a t e ~ } \partial B ( 0 , r _ { i } ) \mathrm { ~ a n d ~ } \partial B ( 0 , r _ { i - 1 } ) ] } \\ { \le } & { ( 1 - \alpha ) ^ { [ s ] } . } \end{array}