harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { r } \rangle } & { = \frac { 1 } { \hbar } \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle + \frac { i } { \hbar } \langle ( \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) ) \mathbf { r } \rangle - \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { r } \rangle \langle \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle . } \end{array}
\delta _ { \kappa } \Pi _ { i } ^ { r } = 2 i \bar { \kappa } _ { + } \Gamma ^ { r } \partial _ { i } \theta + i \Pi _ { i } ^ { s } ( 2 \bar { \kappa } _ { + } \Gamma ^ { r } \tilde { \Omega } _ { s } \theta + \bar { \kappa } _ { + } \Gamma ^ { 1 1 } \tilde { \Omega } _ { 1 1 } \theta \delta _ { s } ^ { r } ) + M _ { ~ s } ^ { r } \Pi _ { i } ^ { s } + { \cal O } ( \theta ^ { 3 } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { L D O S } _ { \mathrm { h y b , c } } } & { { } = \kappa \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { V _ { c } } \left| 1 + i J ^ { * } \chi _ { a } \sqrt { \frac { V _ { c } } { V _ { a } } } \right| ^ { 2 } } \\ { \mathrm { L D O S } _ { \mathrm { h y b , a } } } & { { } = \gamma \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { a } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { V _ { a } } \left| 1 + i J ^ { * } \chi _ { c } \sqrt { \frac { V _ { a } } { V _ { c } } } \right| ^ { 2 } \, . } \end{array}
\Gamma [ \varphi _ { 0 } ] = \int d ^ { 4 } x \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \biggr ( \tilde { \Gamma } ^ { ( n ) } ( 0 , 0 , . . . ) ( \varphi _ { 0 } ) ^ { n } + . . . \biggr ) .
A = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { 8 } & { 2 0 t _ { 1 , 2 } } & { 0 } & { 2 0 t _ { 1 , 4 } } & { 0 } & { 2 0 t _ { 1 , 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 4 } & { 3 t _ { 2 , 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 3 t _ { 2 , 8 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 3 t _ { 4 , 5 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 3 t _ { 4 , 9 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 3 t _ { 6 , 7 } } & { 0 } & { 0 } & { 3 t _ { 6 , 1 0 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { t ^ { 0 } = P _ { 0 } ^ { \, d } ( t ) , \quad t = P _ { 1 } ^ { \, d } ( t ) , } \\ & { t ^ { 2 } = \frac { d - 1 } { d } P _ { 2 } ^ { \, d } ( t ) + \frac { 1 } { d } , } \\ & { t ^ { 3 } = \frac { d - 1 } { d + 2 } P _ { 3 } ^ { \, d } ( t ) + \frac { 3 } { d + 2 } P _ { 1 } ^ { \, d } ( t ) , } \\ & { t ^ { 4 } = \frac { ( d - 1 ) ( d + 1 ) } { ( d + 2 ) ( d + 4 ) } P _ { 4 } ^ { \, d } ( t ) + \frac { 6 ( d - 1 ) } { d ( d + 4 ) } P _ { 2 } ^ { \, d } ( t ) + \frac { 3 } { d ( d + 2 ) } , } \\ & { t ^ { 5 } = \frac { ( d - 1 ) ( d + 1 ) } { ( d + 4 ) ( d + 6 ) } P _ { 5 } ^ { \, d } ( t ) + \frac { 1 0 ( d - 1 ) } { ( d + 2 ) ( d + 6 ) } P _ { 3 } ^ { \, d } ( t ) + \frac { 1 5 } { ( d + 2 ) ( d + 4 ) } P _ { 1 } ^ { \, d } ( t ) , } \\ & { t ^ { 6 } = \frac { ( d - 1 ) ( d + 1 ) ( d + 3 ) } { ( d + 4 ) ( d + 6 ) ( d + 8 ) } P _ { 6 } ^ { \, d } ( t ) + \frac { 1 5 ( d - 1 ) ( d + 1 ) } { ( d + 2 ) ( d + 4 ) ( d + 8 ) } P _ { 4 } ^ { \, d } ( t ) } \\ & { \qquad + \frac { 4 5 ( d - 1 ) } { d ( d + 4 ) ( d + 6 ) } P _ { 2 } ^ { \, d } ( t ) + \frac { 1 5 } { d ( d + 2 ) ( d + 4 ) } . } \end{array}
\big ( G _ { 1 } A _ { 1 } | G _ { 2 } | A _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } = \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \big ( G _ { 1 } A _ { 1 } \mathrm { I m } \, G ( w _ { 2 , s } ) A _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } \, \frac { \mathrm { d } s } { \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } \, ,
\sum _ { ( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n } ) \in I } c _ { \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n } } X _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } \cdots X _ { n } ^ { \alpha _ { n } } = \sum _ { i } \left( \sum _ { ( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n - 1 } ) \mid ( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n - 1 } , i ) \in I } c _ { \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n - 1 } } X _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } \cdots X _ { n - 1 } ^ { \alpha _ { n - 1 } } \right) X _ { n } ^ { i } ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { R } } ( z ) } & { = E _ { 0 } \left[ \cos { \left( \psi z \right) } + \frac { i \delta } { \psi } \sin { \left( \psi z \right) } \right] \exp { \left( - i \delta z \right) } } \\ { E _ { \mathrm { W G } } ( z ) } & { = - E _ { 0 } \frac { i \kappa } { \psi } \sin { \left( \psi z \right) } \exp { \left( i \delta z \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \rho } = \int \Upsilon ( \mathbf { z } ) \Upsilon ^ { \dag } ( \mathbf { z } ) d \mathbf { z } } & { { } = } & { \! \int d \mathbf { z } \left( \begin{array} { l l } { | \Upsilon _ { + } | ^ { 2 } } & { \Upsilon _ { + } \Upsilon _ { - } ^ { * } } \\ { \Upsilon _ { + } ^ { * } \Upsilon _ { - } } & { | \Upsilon _ { - } | ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { - \overline { { { g } } } } } \partial _ { \mu } [ \pm \sqrt { - \overline { { { g } } } } \enspace \overline { { { g } } } ^ { \mu \gamma } \overline { { { g } } } ^ { \nu \delta } \tilde { F } _ { \gamma \delta } ] - \frac { \tilde { e } ^ { 2 } } { 8 \omega } \varphi ^ { 2 } \overline { { { g } } } ^ { \alpha \nu } \tilde { A } _ { \alpha } = 0
\begin{array} { r l } { \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } & { \propto \left\{ \begin{array} { l l } { p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 0 \right) } & { \mathrm { i f ~ x _ i ^ t = 0 ~ } , } \\ { p \left( O _ { i } ^ { t } \mid 1 \right) } & { \mathrm { i f ~ x _ i ^ t = 1 ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { L _ { x } } \left( \partial _ { y } \psi \partial _ { p } T - \partial _ { p } \psi \partial _ { y } T \right) - \left( \frac { 1 } { L _ { x } ^ { 2 } } \partial _ { p } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } \right) T = 0 \; ; \; L _ { x } \equiv s ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ N ~ u ~ } = \int _ { 0 } ^ { 1 } - \partial _ { y } T | _ { y = 0 } \; d p . } \\ { \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { L _ { x } ^ { 2 } } \partial _ { p } ^ { 2 } \psi + \partial _ { y } ^ { 2 } \psi \right) ^ { 2 } d p \, d y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { v } _ { \perp } = \left( \frac { 2 \nu } { r _ { 0 } } \cos ( \phi _ { 0 } ) - g \frac { \nu } { 2 } , \frac { 2 \nu } { r _ { 0 } } \sin ( \phi _ { 0 } ) \right) ^ { T } } \end{array}
d ( t ) = a _ { \alpha } ^ { \ast } ( t ) \sum _ { l = - 2 0 } ^ { 2 0 } \sum _ { \kappa = \beta , \gamma } a _ { \kappa , l } ( t ) \langle \lambda _ { \alpha } | \hat { z } | \lambda _ { \kappa , l } \rangle e ^ { - i \theta _ { \alpha \kappa } - i l \omega _ { I } t } + c . c . ,
\delta \phi ^ { k } = - \frac { \Lambda } { 1 2 } \epsilon ^ { k } \ , \qquad \delta \theta _ { \mu } ^ { k } = D _ { \mu } \epsilon ^ { k } + 2 \rho ^ { \nu } \Sigma _ { \nu \mu } ^ { k } \ , \qquad \delta \xi ^ { \mu } = - \rho ^ { \mu } \ ,
\begin{array} { r l } { | A \rangle } & { = \cos { \frac { \beta } { 2 } } | \leftrightarrow \, \rangle + \sin { \frac { \beta } { 2 } } | \updownarrow \, \rangle , } \\ { | B \rangle = } & { \cos { \frac { \beta } { 2 } } \, e ^ { - i \delta / 2 } | \leftrightarrow \, \rangle + \sin { \frac { \beta } { 2 } } \, e ^ { i \delta / 2 } | \updownarrow \, \rangle , } \end{array}
V ^ { ( 1 ) } ( \Phi ) = \frac { \lambda } { \alpha ^ { 2 } } \Phi ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \gamma ^ { 2 } ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { 2 \theta ^ { 4 } } - \frac { 8 \lambda } { \theta ^ { 2 } } \right] \Phi ^ { 4 } \left( \ln \frac { \Phi ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - \frac { 2 5 } { 6 } \right) .
\begin{array} { r } { D _ { \mathrm { e f f } , 1 1 } = D _ { 4 4 } ^ { 0 } + D _ { 4 4 } ^ { \mathrm { p e r t } } + \sum _ { l = 1 , 2 , 3 , 6 } \frac { D _ { 4 l } ^ { \mathrm { p e r t } } D _ { l 4 } ^ { \mathrm { p e r t } } } { \omega _ { 4 } ^ { 2 } - \omega _ { l } ^ { 2 } } , } \end{array}
\quad \cdots { \longrightarrow } { E _ { - i - 1 } } _ { | _ { m } } \stackrel { \mathrm { d } _ { | _ { m } } ^ { ( i + 1 ) } } { \longrightarrow } { E _ { - i } } _ { | _ { m } } \stackrel { \mathrm { d } _ { | _ { m } } ^ { ( i ) } } { \longrightarrow } { E _ { - i + 1 } } _ { | _ { m } } { \longrightarrow } \cdots \stackrel { \mathrm { d } _ { | _ { m } } ^ { ( 2 ) } } { \longrightarrow } E _ { - 1 } \stackrel { \rho _ { | _ { m } } } { \longrightarrow } T _ { m } M .
f ( T ) = f _ { I R } - ( ( F - N ) ^ { 2 } - 1 ) ( 4 F - N ) \frac { 4 5 g _ { m } ^ { 2 } ( T ) } { 3 2 \pi ^ { 2 } } - 3 F ^ { 2 } ( F - N ) \frac { 4 5 y ^ { 2 } ( T ) } { 3 2 \pi ^ { 2 } } + . . . ,
Z ( s ^ { \prime } ) = \operatorname * { l i m } _ { a \to \infty } \operatorname * { l i m } _ { s \to 1 / 2 + 0 i } Z [ a ( s - 1 / 2 ) + 1 / 2 ] = \operatorname * { l i m } _ { a \to \infty } Z ( 1 / 2 ) = Z ( 1 / 2 + 0 i ) .
\begin{array} { r l r } { a ( \epsilon , \phi ) } & { { } = } & { b ( \epsilon , \phi ) \, \tan ( \phi / 2 ) , } \\ { b ( \epsilon , \phi ) } & { { } = } & { \sqrt { \chi _ { 0 } ( \epsilon ) \, ( 1 + \sec \phi ) } , } \end{array}
J ^ { ( N ) } ( N - 1 ; 1 , \ldots , 1 ) = \frac { 1 } { \Lambda ^ { ( N ) } } \; \left( \prod m _ { i } ^ { 2 } \right) \; \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { m _ { i } ^ { 2 } } \; F _ { i } ^ { ( N ) } \; J _ { i } ^ { ( N ) } ( N - 1 ; 1 , \ldots , 1 ) .
X = \left( \begin{array} { c c c } { { M _ { L } } } & { { g _ { L } v _ { u } } } & { { 0 } } \\ { { g _ { L } v _ { d } } } & { { \mu _ { \phi } } } & { { \lambda _ { e } \sigma _ { L } } } \\ { { g _ { L } \sigma _ { L } } } & { { - \lambda _ { \nu } \sigma _ { R } } } & { { - \lambda _ { e } v _ { d } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \langle e ^ { t L } ( E _ { i j } ) , e ^ { t L } ( E _ { i j } ) \rangle _ { 2 } } & { = \sum _ { k , l = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \overline { { e ^ { \mu _ { k } t } } } e ^ { \mu _ { l } t } \langle \langle \beta _ { k } , E _ { i j } \rangle _ { 2 } \varepsilon _ { k } , \langle \beta _ { l } , E _ { i j } \rangle _ { 2 } \varepsilon _ { l } \rangle _ { 2 } } \\ & { = \sum _ { k , l = 1 } ^ { d ^ { 2 } } e ^ { ( \overline { { \mu _ { k } } } + \mu _ { l } ) t } ( \beta _ { k } ) _ { j i } \overline { { ( \beta _ { l } ) _ { j i } } } \langle \varepsilon _ { k } , \varepsilon _ { l } \rangle _ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L ( x ) } & { = \ell ( x ) \sum _ { j = 0 } ^ { k } { \frac { w _ { j } } { x - x _ { j } } } y _ { j } { \Bigg / } \ell ( x ) \sum _ { j = 0 } ^ { k } { \frac { w _ { j } } { x - x _ { j } } } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k } { \frac { w _ { j } } { x - x _ { j } } } y _ { j } { \Bigg / } \sum _ { j = 0 } ^ { k } { \frac { w _ { j } } { x - x _ { j } } } . } \end{array} }
\frac { \partial H } { \partial r } \left\{ { \begin{array} { l l } { < 0 } & { ( \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ t ~ h ~ e ~ r ~ n ~ h ~ e ~ m ~ i ~ s ~ p ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ) } \\ { > 0 } & { ( \mathrm { ~ S ~ o ~ u ~ t ~ h ~ e ~ r ~ n ~ h ~ e ~ m ~ i ~ s ~ p ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ) } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l r } { \| \zeta \| _ { W ^ { 1 , 2 } ( D _ { 1 } ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { C _ { 4 } ( \| \zeta \| _ { L ^ { 4 } ( D _ { 2 } ) } ^ { 4 } + \| w ^ { * } \lambda \| _ { L ^ { 4 } ( D _ { 1 } ) } ^ { 4 } ) } \\ { \| w ^ { * } \lambda \| _ { W ^ { 1 , 2 } ( D _ { 1 } ) } } & { \leq } & { C _ { 4 } ( \| \zeta \| _ { L ^ { 4 } ( D _ { 2 } ) } ^ { 4 } + \| w ^ { * } \lambda \| _ { L ^ { 4 } ( D _ { 1 } ) } ^ { 4 } ) . } \end{array}
\oint \mathrm { d } u _ { 1 } \oint \mathrm { d } u _ { 2 } \oint \mathrm { d } u _ { 3 } \frac { ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( u _ { 1 } - u _ { 3 } ) ^ { 2 } ( u _ { 2 } - u _ { 3 } ) ^ { 4 } } \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { ( z _ { i } - u _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } ( z _ { i } - u _ { 2 } ) ^ { 1 } } { ( z _ { i } - u _ { 3 } ) ^ { 1 } } \, .
\langle \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } | = [ c o n s t _ { N } \ \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \dots \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) | 0 \rangle ] ^ { + } = \langle 0 | \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) \dots \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) ( c o n s t _ { N } ) ^ { * }
\begin{array} { r l } { q ( z , t ) } & { = \frac { H } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } v _ { i , x } ( t ) \delta \left[ z - z _ { i } ( t ) \right] } \\ { j ( z , t ) } & { = \frac { 1 } { A _ { \mathrm { s } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i } v _ { i , x } ( t ) \delta \left[ z - z _ { i } ( t ) \right] } \\ { d ( z , t ) } & { = \frac { 1 } { A _ { \mathrm { s } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } v _ { i , x } ( t ) \left( \delta _ { i , \mathrm { w } } - f _ { \mathrm { w } } ^ { \mathrm { b } } \right) \delta \left[ z - z _ { i } ( t ) \right] } \end{array}
X ^ { \prime } = { \left[ \begin{array} { l } { c \, t ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right] } \, , \quad \eta = { \left[ \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \, , \quad X = { \left[ \begin{array} { l } { c \, t } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right] }
t = \frac { \gamma ( \delta _ { 1 } + 1 ) } { 2 v _ { \mathrm { l r } } } \geq \frac { \gamma \delta _ { 1 } } { 2 v _ { \mathrm { l r } } } \geq \operatorname* { m a x } ( 5 9 0 0 , \alpha , 7 ( d + 1 1 ) , \theta ) \geq 5 9 0 0 ,
\hat { r } = r + \frac { 1 } { 2 } h _ { 2 } \wedge e _ { 6 } = \frac { 1 } { 2 } ( h _ { 1 } + h _ { 2 } + h _ { 3 } ) \wedge e _ { 6 } + e _ { 1 } \wedge e _ { 5 } - e _ { 3 } \wedge e _ { 4 }
\begin{array} { r } { \| u _ { \varepsilon } - v _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ^ { \prime } ) } \leq \| u _ { \varepsilon } - v _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ^ { \prime } ) } + \frac { c _ { n } } { 2 ^ { 1 / n } n } \mathrm { d i a m } ( \Omega ^ { \prime } ) \| f - f _ { h } \| _ { L ^ { n } ( \Omega ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } \hat { \mathcal { S } } } & { \hat { \Gamma } _ { 1 } } & { \hat { \Gamma } _ { 3 } } \\ { \hat { \Gamma } _ { 1 } } & { \omega \hat { \mathcal { S } } } & { \hat { \Gamma } _ { 5 } } \\ { \hat { \Gamma } _ { 3 } } & { \hat { \Gamma } _ { 5 } } & { \hat { \mathcal { S } } } \end{array} \right) \setminus \hat { \mathcal { Q } } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { T _ { 0 } | \Omega \rangle = \frac { 1 } { 2 ( k - \check { g } ) } S _ { a 0 } ^ { a } | \Omega \rangle = \frac { p } { 2 ( k - \check { g } ) } | \Omega \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { J _ { 0 } | \Omega \rangle = \frac { 1 } { ( k - \check { g } ) } S _ { a 0 } ^ { a } | \Omega \rangle = \frac { p } { ( k - \check { g } ) } | \Omega \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { T _ { 0 } | a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } \rangle = \frac { k N } { 2 ( k - \check { g } ) } | a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { J _ { 0 } | a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } \rangle = \frac { k N } { ( k - \check { g } ) } | a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { T _ { 0 } | \bar { \Omega } , a _ { 1 } , \ldots , a _ { D } \rangle = \frac { k D - \bar { p } } { 2 ( k - \check { g } ) } | \bar { \Omega } , a _ { 1 } , \ldots , a _ { D } \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { J _ { 0 } | \bar { \Omega } , a _ { 1 } , \ldots , a _ { D } \rangle = \frac { k D - \bar { p } } { 2 ( k - \check { g } ) } | \bar { \Omega } , a _ { 1 } , \ldots , a _ { D } \rangle } } \end{array}
V _ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { r } ) = \sqrt { V _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } + \frac { 5 } { 3 } \frac { k _ { B } T ( \mathbf { r } ) } { m _ { \mathrm { p } } } } .
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] g ( x , v ) } & { = \mathcal { L } _ { R } ^ { * } ( g ( x , R ( x ) v ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) - g ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , v ) ) } \\ & { \quad - \mathcal { L } _ { B } ^ { * } \left( \lambda _ { r } \left( \nu ( v ) \int g ( x , y ) d y - g ( x , v ) \right) \right) } \\ & { = \lambda _ { r } \Big ( \nu ( v ) \int ( g ( x , R ( x ) y ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) y ) - g ( x , y ) \lambda _ { 1 } ( x , y ) ) d y } \\ & { \quad - \underbrace { g ( x , R ( x ) v ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) } _ { A } + \underbrace { g ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , v ) } _ { B } \Big ) } \\ & { \quad - \lambda _ { r } \Bigg ( \left( \nu ( R ( x ) v ) \int g ( x , y ) d y - \underbrace { g ( x , R ( x ) v ) } _ { A } \right) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) } \\ & { \quad - \left( \nu ( v ) \int g ( x , y ) d y - \underbrace { g ( x , v ) } _ { B } \right) \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Bigg ) . } \end{array}
\varepsilon _ { n , e q m } \approx \frac { 1 } { 2 m _ { \mu } } \frac { ( 1 3 . 6 \, \mathrm { { M e V } } ) ^ { 2 } } { L _ { R } } \frac { \beta _ { \perp } } { \beta \left< \frac { d E } { d z } \right> ( 1 - \frac { g _ { L } } { 2 } ) } \, ,
\begin{array} { r l } & { \langle x ^ { 2 } ( s ) \rangle = \sum _ { j } j ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { 1 } e ^ { i j k _ { 1 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { 2 } e ^ { - i j k _ { 2 } } \frac { \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t = 0 ) } { s + \frac { i } { \hbar } ( o _ { k _ { 1 } } - o _ { k _ { 2 } } ) } } \\ & { \langle x ^ { 2 } ( t ) \rangle = \sum _ { j } j ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { 1 } e ^ { i j k _ { 1 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { 2 } e ^ { - i j k _ { 2 } } \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) } \\ & { = \sum _ { j } j ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { 1 } e ^ { i j k _ { 1 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { 2 } e ^ { - i j k _ { 2 } } \sum _ { m , n } \rho ( m , n ; t ) e ^ { - i k _ { 1 } m + i k _ { 2 } n } } \\ & { = \sum _ { j } j ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { 1 } e ^ { i ( j - m ) k _ { 1 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d k _ { 2 } e ^ { i ( n - j ) k _ { 2 } } \sum _ { m , n } \rho ( m , n ; t ) } \\ & { = \sum _ { j } j ^ { 2 } \delta _ { j , m } \delta _ { j , n } \rho ( m , n ; t ) } \\ & { = \sum _ { j } j ^ { 2 } \rho ( j , j ; t ) . } \end{array}
\tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ^ { * } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } \in \tilde { \mathcal { X } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { e } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ) } \left( - \left( \tilde { C } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } , \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ) + \tilde { V } _ { t t ^ { \prime } } ^ { x } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ^ { x } ) \right) + \alpha \sqrt { \frac { \ln N ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ) } { N ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } , \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ) } } \right)
\begin{array} { r l } { | f ( x _ { \alpha } ) | / ( M p q r ) } & { = | ( ( x + M \alpha ) ^ { 2 } + 2 ( x + M \alpha ) \lceil \sqrt { N } \rceil + ( \lceil \sqrt { N } \rceil ) ^ { 2 } - N ) | / ( M p q r ) } \\ & { < | ( ( M ( \alpha + 1 ) ) ^ { 2 } + 2 ( M ( \alpha + 1 ) ) \lceil \sqrt { N } \rceil + ( \lceil \sqrt { N } \rceil ) ^ { 2 } - N ) | / ( M p q r ) } \\ & { \ll \frac { M r } { p q } + \frac { 2 \lceil \sqrt { N } \rceil } { p q } + \frac { 2 \sqrt { N } + 1 } { M p q r } . } \end{array}
\nabla \times \mathbf { E } = { \hat { \mathbf { k } } } \times \mathbf { E } _ { 0 } f ^ { \prime } \left( { \hat { \mathbf { k } } } \cdot \mathbf { x } - c _ { 0 } t \right) = - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } }
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { * } \varepsilon ^ { 3 } ( | \delta \mathbf { k } | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } ) ^ { - 3 / 2 } \Phi e ^ { i \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } \right\rangle } } & { = e ^ { i \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } \right\rangle } \varepsilon ^ { 3 } ( - \Delta + \varepsilon ^ { 2 } I ) ^ { - 3 / 2 } , } \\ { \Phi ^ { * } \tilde { J } _ { l } e ^ { - i \tau \varepsilon ^ { - 2 } \mathfrak { g } ( \delta \mathbf { k } ) } J _ { j } \varepsilon ^ { 3 } ( | \delta \mathbf { k } | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } ) ^ { - 3 / 2 } \Phi e ^ { i \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } \right\rangle } } & { = e ^ { i \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } \right\rangle } \tilde { J } _ { l } e ^ { - i \varepsilon ^ { - 2 } \tau \mathcal { A } ^ { \mathrm { e f f } } } J _ { j } \varepsilon ^ { 3 } ( - \Delta + \varepsilon ^ { 2 } I ) ^ { - 3 / 2 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { N _ { d b , c } ^ { s } } \\ { N _ { b b , c } ^ { s } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 - \epsilon _ { \mathrm { O P } } } & { \epsilon _ { \mathrm { O P } } } \\ { \epsilon _ { \mathrm { O P } } } & { 1 - \epsilon _ { \mathrm { O P } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { N _ { d b } ^ { s } } \\ { N _ { b b } ^ { s } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( f _ { p } \Big [ \sqrt { l } \Delta ( \beta ) - \log ( 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } ) - \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } - \log \frac { d f _ { p } } { d \bar { \rho } _ { p } } \Big ] \Big ) \Big ] } \\ & { \leq \mathbb { E } \Big [ f _ { p } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \Delta ( \beta ) - \log ( 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } ) - \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } - \log \frac { d f _ { p } } { d \bar { \rho } _ { p } } \Big ) \Big ] \Big ] \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { 1 } } & { = } & { \varepsilon ^ { 2 } \; I _ { 1 1 0 } , } \\ { K _ { 2 } } & { = } & { - \frac { \varepsilon \left( 1 + 2 \varepsilon \right) } { 4 \pi } \left( 1 + \sqrt { x } \right) \left( 3 - \sqrt { x } \right) \left[ \psi _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \sqrt { x } \right) ^ { 2 } \phi _ { 2 } \right] I _ { 1 1 1 } + \frac { \varepsilon } { 4 \pi } \left( 1 - x \right) \left( 9 - x \right) \psi _ { 2 } I _ { 2 1 1 } , } \\ { K _ { 3 } } & { = } & { + \frac { \varepsilon \left( 1 + 2 \varepsilon \right) } { 4 \pi } \left( 1 + \sqrt { x } \right) \left( 3 - \sqrt { x } \right) \left[ \psi _ { 1 } - \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + \sqrt { x } \right) ^ { 2 } \phi _ { 1 } \right] I _ { 1 1 1 } - \frac { \varepsilon } { 4 \pi } \left( 1 - x \right) \left( 9 - x \right) \psi _ { 1 } I _ { 2 1 1 } . } \end{array}
\Omega = - H \left( t , q , p = \psi ( t , q ) \right) { \mathrm { d } } t + \psi ( t , q ) \, \mathrm { d } q \stackrel { \textstyle ! } { = } \mathrm { d } S ( t , q ) = \partial _ { t } S ( t , q ) \, \mathrm { d } t + \partial _ { q } S ( t , q ) \, \mathrm { d } q \, .
\hat { \Sigma } _ { i , j } ^ { \tau } = \left\{ \begin{array} { l l } { | \rho ( X _ { i } , X _ { j } ) | , } & { | \rho ( X _ { i } , X _ { j } ) | \geq \tau } \\ { 0 , } & { | \rho ( X _ { i } , X _ { j } ) | < \tau . } \end{array} \right.
\Vec { v } = [ { \Psi _ { 1 } } ^ { T } { \Psi _ { 2 } } ^ { T } ] \left[ \begin{array} { l l } { { \sigma _ { 1 } } ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { { \sigma _ { 2 } } ^ { - 1 } } \end{array} \right] \Vec { a _ { d } } ( x _ { c } )
| \vec { p } | = \frac { \sqrt { [ m _ { B } ^ { 2 } - ( m _ { V _ { 1 } } + m _ { V _ { 2 } } ) ^ { 2 } ] [ m _ { B } ^ { 2 } - ( m _ { V _ { 1 } } - m _ { V _ { 2 } } ) ^ { 2 } ] } } { 2 m _ { B } } \ ,