harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \dagger } D ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } ) a _ { I } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } } \\ & { \times } & { \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { I } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \dagger } H _ { W } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } ) a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { ( E _ { i } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne f } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \dagger } H _ { W } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } ) a _ { I } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } } \\ & { \times } & { \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { I } ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } ) ^ { \dagger } D ( \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } ) a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { y _ { 0 } ^ { * * } = } & { ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } , } \\ { y _ { 1 } ^ { * * } = } & { ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 1 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } , } \\ { y _ { 2 } ^ { * * } = } & { ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda } { \alpha ( 1 - p _ { S } ) + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } . } \end{array} \right.
1 \wedge \left( \frac { \pi ( \tilde { X } ) } { \pi ( \overline { { X } } _ { t _ { n } } ) } \, \exp \Bigg ( \delta \sum _ { j = 1 } ^ { d } \left( \lambda _ { j } ( \overline { { X } } _ { t _ { n } + \delta / 2 } , \overline { { V } } _ { t _ { n } } ) - \lambda _ { j } ( \overline { { X } } _ { t _ { n } + \delta / 2 } , - \tilde { V } ) \right) \Bigg ) \right)
\begin{array} { r l } { v _ { p q r s } \approx } & { { } \sum _ { Q } ^ { N _ { a u x } } [ K _ { p q } ^ { Q } ] ^ { L } [ K _ { r s } ^ { Q } ] ^ { L } + \langle R _ { p q } ^ { L } R _ { r s } ^ { S } \rangle _ { N _ { s } } + \langle R _ { p q } ^ { S } R _ { r s } ^ { L } \rangle _ { N _ { s } } } \end{array}
{ P i _ { t } ( \omega , k ) \; = \; { \frac { 4 \alpha } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \; { \frac { p ^ { 2 } } { E } } \left( { \frac { \omega ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } - { \frac { \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } { \frac { \omega } { 2 v k } } \log { \frac { \omega + v k } { \omega - v k } } \right) \Bigg ( n _ { F } ( E ) \; + \; { \bar { n } } _ { F } ( E ) \Bigg ) \; , }
\lambda _ { \textup { m i n } } ( \mu ( s , \mathbf { A } ) ) = \operatorname* { m i n } _ { \| \vec { v } \| = 1 } \mathbf { v } ^ { * } \mu ( s , \mathbf { A } ) \mathbf { v } = \operatorname* { m i n } _ { \| \vec { v } \| = 1 } \operatorname { R e } \Big [ \frac { \sigma ^ { \prime } ( s ) } { \pi \mathrm { i } } \mathbf { v } ^ { * } R ( \sigma ( s ) , \mathbf { A } ) \mathbf { v } \Big ] .
\hat { \mathbf { V } } { ^ { \mathrm { s } } } = \mathrm { d e x p } _ { \hat { \mathbf { X } } } ( \dot { \hat { \mathbf { X } } } ) , \ \ \ \hat { \mathbf { V } } { ^ { \mathrm { b } } } = \mathrm { d e x p } _ { - \hat { \mathbf { X } } } ( \dot { \hat { \mathbf { X } } } )
\begin{array} { r l } & { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } J ^ { m } ( | u | ^ { 2 p } \ u ) ( \overline { { J ^ { m } u } } ) d x \leq \ 2 \| J ^ { m } ( | u | ^ { 2 p } \ u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \ \| J ^ { m } u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ { \leq \ } & { C _ { m } \left\| J ^ { m } u \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \ \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 p } \ \| J ^ { m } u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \leq C _ { m } \left\| J ^ { m } u \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \ \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 1 } ( u ) } & { \approx } & { \frac { 1 + \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } } { 2 \left( \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } - 1 \right) } - \frac { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } u ^ { 2 } } { 1 6 } - \frac { 1 } { 4 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } u ^ { 2 } \ln ( \gamma _ { 1 } u ) , } \\ { \alpha _ { n } ( u ) } & { \approx } & { \frac { 1 + \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } } { 2 \left( \varepsilon _ { 1 } / \varepsilon _ { 0 } - 1 \right) } + u ^ { 2 } \frac { 2 + \left[ \left( n - 1 \right) \varepsilon _ { 1 } - \left( n + 1 \right) \varepsilon _ { 0 } \right] \beta ^ { 2 } } { 8 n \left( n ^ { 2 } - 1 \right) } , } \end{array}
\Theta _ { i _ { 1 } i _ { 2 } . . . i _ { n } } ^ { m } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , . . . , x _ { n } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \alpha } { 2 \pi i } \alpha ^ { m } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \left( \alpha x _ { k } - 1 + i 0 \right) ^ { - i _ { k } } .
v _ { h } ( f ) = \mathrm { o r d } _ { t } ( f | _ { V _ { h } } ) = \mathrm { o r d } _ { t } \left( f ( t , \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } t ^ { n } ) \right) , \quad { \mathrm { f o r ~ } } f \in \mathbb { C } [ x , y ] .
\frac { d U _ { N } ^ { ( m ) } } { d \tau ^ { ( m ) } } = \mathcal { B } _ { N } ^ { ( S ) } [ U ^ { ( m ) } ] - U _ { N } ^ { ( m ) } \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \alpha ^ { j } \mathrm { R e } \left( U _ { - j } ^ { ( m ) * } \mathcal { B } _ { - j } ^ { ( S ) } [ U ^ { ( m ) } ] \right) , \quad - m < N \le S ,
\begin{array} { r } { { 1 } \mathrm { E _ { r } } \big ( \{ t _ { n } \} \, \vert \, \mathcal { T } = t , t _ { n } < t \leq t _ { n + 1 } \big ) = \alpha ( n + 1 ) + \beta ( t _ { n + 1 } - t ) . } \\ { \Rightarrow \mathcal { E } = \mathbb { E } ( \mathrm { E } _ { \mathrm { r } } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { n } } \! \big ( \alpha n + \beta ( t _ { n } - t ) \big ) f _ { \mathcal { T } } ( t ) \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\omega ^ { - 1 } ( s ) = \frac { 2 } { T _ { x } } \int _ { x } ^ { x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } e ^ { U ( y , s ) / T _ { x } } d y \int _ { x _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { y } e ^ { - U ( z , s ) / T _ { x } } d z .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \rho } F [ \mathbf { E } ] = } & { \phantom { + } \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { 0 } ( \mathrm { d } _ { \rho } \varepsilon _ { \infty , k } ) \partial _ { t } \tilde { E } _ { k } E _ { k } } \\ & { - \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } ( \mathrm { d } _ { \rho } \sigma _ { k } ) \tilde { E } _ { k } E _ { k } } \\ & { + \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 ( \mathrm { d } _ { \rho } \kappa ^ { ( i ) } ) \partial _ { t } \tilde { E } _ { k } \Re \left\{ Q _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} . } \end{array}
\nu _ { \mu } ~ = ~ \sqrt { 1 - U _ { \mu 3 } ^ { 2 } - U _ { \mu 4 } ^ { 2 } } \cdot \nu ^ { \prime } ~ + ~ U _ { \mu 3 } \cdot \nu _ { 3 } ~ + ~ U _ { \mu 4 } \cdot \nu _ { 4 } ~ ,
\mathfrak { h } _ { L } \doteq \left\{ \psi \in \mathfrak { h } : \forall x \in \mathbb { Z } \times \{ 0 , 1 \} \backslash \left[ - L , L \right] , \ \psi ( x ) = 0 \right\} \equiv \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } \cap \lbrack - L , L ] \times \{ 0 , 1 \} ) .
\begin{array} { r } { \frac { d A _ { s , i } } { d Z } + \left( \nu _ { s , i } - i \gamma _ { s , i } | A _ { p } | ^ { 2 } \right) A _ { s , i } = i \eta _ { s , i } A _ { p } ^ { 2 } A _ { i , s } ^ { * } e ^ { - i \Delta k \cdot Z } . } \end{array}
S _ { i m } ^ { ( j + 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { i m } ^ { ( j ) } + \alpha ^ { ( j ) } X _ { k ^ { ( j ) } i } ^ { ( j ) } } & { \mathrm { i f } \; i < \ell , m = \ell } \\ { S _ { i m } ^ { ( j ) } + 2 \alpha ^ { ( j ) } X _ { k ^ { ( j ) } i } ^ { ( j ) } + ( \alpha ^ { ( j ) } ) ^ { 2 } } & { \mathrm { i f } \; i = \ell , m = \ell } \\ { S _ { i m } ^ { ( j ) } + \alpha ^ { ( j ) } X _ { k ^ { ( j ) } m } ^ { ( j ) } } & { \mathrm { i f } \; i = \ell , m > \ell } \\ { S _ { i m } ^ { ( j ) } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
\langle \mathbf { K } _ { A } ^ { P } | \mathbf { K } _ { B } ^ { Q } \rangle = \delta _ { P Q } \delta _ { A B } , \quad \langle \mathbf { K } | \mathbf { K } \rangle = 1 , \quad \langle \mathbf { K } _ { A } ^ { P } | \mathbf { K } \rangle = 0 .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { I } } _ { 2 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k , l , s _ { k + \beta + 1 } ; \hbar ) = } & { \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - 2 } } \sum _ { \alpha ^ { 1 } \in \mathbb { N } ^ { k _ { 1 } } } \int _ { [ 0 , t ] ^ { \beta + k } } \boldsymbol { 1 } _ { [ s _ { k + \beta + 1 } , t ] } ( s _ { k + \beta } ) V _ { \hbar , x _ { l } } ^ { s _ { k + \beta + 1 } } \tilde { \Theta } _ { \beta } ^ { \mathrm { d o b } } ( \boldsymbol { s } _ { \beta + k , k } ; V , \hbar ) } \\ & { \times \prod _ { m = 1 } ^ { k } \Theta _ { \alpha _ { m } ^ { 1 } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { \iota ( m ) } ; V , \hbar ) U _ { \hbar , 0 } ( - t ) \, d \boldsymbol { s } _ { k , 1 } . } \end{array}
\overline { { | \langle \psi _ { 0 } | \Psi _ { \chi } \rangle | ^ { 2 } } } \Big | _ { _ { E _ { \chi } = E } } = \frac { 1 } { \pi } \frac { \hbar \Gamma / 2 } { ( E - \mathcal { E } _ { 0 } - \Delta \mathcal { E } ) ^ { 2 } + ( \hbar \Gamma / 2 ) ^ { 2 } }
F _ { 1 } ^ { i } = - \mathrm { T r } \left( v _ { j } \hat { \rho } _ { 1 } ^ { j } \partial _ { i } \left( \hat { H } _ { \mathrm { J C } } + \hat { H } _ { \mathrm { p u m p } } \right) \right) = \beta ^ { i j } v _ { j } ,
B _ { * } ^ { 2 } \sim P ^ { - 1 } = \frac { \eta } { \nu } \ \quad ( P \ll 1 ) , \qquad B _ { * } ^ { 2 } \sim P ^ { - 3 } = \frac { \eta ^ { 3 } } { \nu ^ { 3 } } \quad ( P \gg 1 ) .
f ( x , t , \tau , y , z , q ) = A x ^ { - C } t ^ { C _ { 2 } } \tau ^ { C _ { 2 } - C _ { 1 } } y ^ { C _ { 3 } } z ^ { C _ { 4 } } q ^ { C - C _ { 3 } - C _ { 4 } } \Bigl ( 1 + a _ { 1 } x ^ { 2 } + a _ { 2 } x ^ { 4 } \Bigr ) ^ { { \frac { C - C _ { 1 } } { 4 } } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { E \in \Omega _ { h } } } & { \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \eta } ) \boldsymbol { U } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \, \delta \bigl ( \| \boldsymbol { \eta } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , W _ { \infty } ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) ) } ^ { 2 } + h ^ { - 2 } \| \boldsymbol { \eta } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , W _ { \infty } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) ) } ^ { 2 } \bigr ) \| \boldsymbol { U } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq \Lambda \, \delta \big ( \tau ^ { 4 } + h ^ { 2 s - 2 } + \tau ^ { 4 } h ^ { - 2 } \big ) \texttt { D A T A } ( n ) \, . } \end{array}
\langle u ^ { n } \rangle = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } u ^ { n } e ^ { - u ^ { 2 } f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) / 2 } \mathrm { d } u } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - u ^ { 2 } f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) / 2 } \mathrm { d } u } .
\mathbf { J } = \frac { c } { 4 \pi } \nabla \times \mathbf { B } = \frac { c } { 4 \pi } \left( - \frac { \partial B _ { y } } { \partial z } , - \nabla ^ { 2 } A , \frac { \partial B _ { y } } { \partial x } \right) ,
\frac { d \hat { \sigma } } { d \hat { t } } ( \mathrm { s i n g l e t } ) = \frac { { \cal N } _ { 1 } } { 1 6 \pi \hat { s } ^ { 2 } } ~ \left[ \frac { \hat { s } ^ { 2 } ( \hat { s } - 4 M _ { c } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \hat { t } ^ { 2 } ( \hat { t } - 4 M _ { c } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \hat { u } ^ { 2 } ( \hat { u } - 4 M _ { c } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \hat { s } - 4 M _ { c } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \hat { t } - 4 M _ { c } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \hat { u } - 4 M _ { c } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] ,
\Gamma ( \omega , \vec { k } ) = - \mathrm { I m } \, \mathcal { D } ( \omega , { \vec { k } } ) / \partial _ { \omega } \mathrm { R e } \, \mathcal { D } ( \omega , \vec { k } ) \big | _ { \omega _ { X } } = \sum _ { n } \Gamma _ { n } ( \omega , \vec { k } ) > 0 .
( z _ { 1 } , . . . , z _ { \it N } ) \sim ( { \lambda } ^ { k _ { j } ^ { 1 } } z _ { 1 } , . . . . , { \lambda } ^ { k _ { j } ^ { N } } z _ { N } ) , \, \, \, j = 1 , . . . , { \it N } - n .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 0 } ^ { + } - \gamma _ { 0 } ^ { - } = \frac { ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ( 1 - v ) } { ( v - 2 ) ^ { 3 } } \left[ 2 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } ( v - 1 ) ^ { 2 } + \right. } & { { } } \\ { \left. 6 c _ { 0 } v ( c _ { 0 } v + v - 2 ) - 3 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ( v - 1 ) ( 2 c _ { 0 } v + v - 2 ) \right] + } & { { } } \\ { \frac { ( v c _ { 0 } ) ^ { 3 } } { ( v - 2 ) ^ { 3 } } \left[ 2 c _ { 0 } v + 3 ( v - 2 ) \right] - c _ { 0 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl | U _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) - U _ { 2 } ^ { * } ( \hat { s } ) \bigr | } & { = \Bigl | \operatorname* { m a x } _ { a _ { 1 } \in \mathcal { A } } \, \Bigl \{ r _ { 1 } ( \hat { s } , a _ { 1 } ) + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } \bigl ( f _ { 1 } ( \hat { s } , a _ { 1 } , w ) \bigr ) \bigr ] \Bigr \} - \operatorname* { m a x } _ { a _ { 2 } \in \mathcal { A } } \, \Bigl \{ r _ { 2 } ( \hat { s } , a _ { 2 } ) + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 2 } ^ { * } ( f _ { 2 } ( \hat { s } , a _ { 2 } , w ) ) \bigr ] \Bigr \} \Bigr | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \, \bigl | r _ { 1 } ( \hat { s } , a ) + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } \bigl ( f _ { 1 } ( \hat { s } , a , w ) \bigr ) \bigr ] - r _ { 2 } ( \hat { s } , a ) - \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 2 } ^ { * } ( f _ { 2 } ( \hat { s } , a , w ) ) \bigr ] \bigr | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \, \bigl | r _ { 1 } ( \hat { s } , a ) - r _ { 2 } ( \hat { s } , a ) \bigr | + \gamma \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \, \bigl | \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } \bigl ( f _ { 1 } ( \hat { s } , a , w ) \bigr ) \bigr ] - \mathbb { E } \bigl [ U _ { 2 } ^ { * } \bigl ( f _ { 2 } ( \hat { s } , a , w ) \bigr ) \bigr ] \bigr | } \\ & { \leq \begin{array} { r l } { [ t ] \epsilon _ { r } } & { + \gamma \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \, \bigl | \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } \bigl ( f _ { 1 } ( \hat { s } , a , w ) \bigr ) - U _ { 1 } ^ { * } \bigl ( f _ { 2 } ( \hat { s } , a , w ) \bigr ) \bigr ] \bigr | } \\ & { + \gamma \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \, \bigl | \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } \bigl ( f _ { 2 } ( \hat { s } , a , w ) \bigr ) - U _ { 2 } ^ { * } \bigl ( f _ { 2 } ( \hat { s } , a , w ) \bigr ) \bigr ] \bigr | } \end{array} } \\ & { \leq \epsilon _ { r } + \gamma L _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { a , w } \| f _ { 1 } ( \hat { s } , a , w ) - f _ { 2 } ( \hat { s } , a , w ) \| _ { 2 } + \gamma \operatorname* { m a x } _ { s \in \mathcal { S } } \, \bigl | U _ { 1 } ^ { * } ( s ) - U _ { 2 } ^ { * } ( s ) \bigr | } \\ & { \leq \epsilon _ { r } + \gamma L _ { 1 } d + \gamma \bigl | U _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) - U _ { 2 } ^ { * } ( \hat { s } ) \bigr | . } \end{array}
\mathbb { P } _ { 1 } ^ { \mathrm { n u } } ( n ) \cong ( \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } \circ \mathrm { L i e } ) ( n ) \cong \bigoplus _ { k \ge 0 } \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } ( k ) \otimes _ { S _ { k } } \left( \bigoplus _ { i _ { 1 } + \ldots + i _ { k } = n } \mathrm { I n d } _ { S _ { i _ { 1 } } \times \ldots \times S _ { i _ { k } } } ^ { S _ { n } } \mathrm { L i e } ( i _ { 1 } ) \otimes _ { k } \ldots \otimes _ { k } \mathrm { L i e } ( i _ { k } ) \right) \: ,
\hat { C } _ { 2 } ( \rho , \gamma , \eta ) = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \rho } } & { \sqrt { 1 - \rho } e ^ { i \gamma } } \\ { \sqrt { 1 - \rho } e ^ { i \eta } } & { - \sqrt { \rho } e ^ { i ( \gamma + \eta ) } } \end{array} \right) ,
\frac { N _ { R R E A } ^ { 4 } } { N _ { R R E A } ^ { 3 } } = \frac { N _ { R R E A } ^ { 3 } } { N _ { R R E A } ^ { 2 } } = \frac { N _ { R R E A } ^ { 2 } } { N _ { R R E A } ^ { 1 } } = ( \nu _ { e ^ { - } } + \nu _ { e ^ { - } \gamma } \nu _ { \gamma e ^ { - } } )
[ \mathrm { S t } ] \bar { D } _ { t } \bar { f } + \left( \bar { v } _ { \alpha } - [ \mathrm { S t } ] \bar { u } _ { \alpha } \right) \bar { \partial } _ { \alpha } \bar { f } = \frac { 1 } { [ \mathrm { K n } ] } \bar { \mathcal { J } } _ { B } .
{ \begin{array} { r l r l } { q _ { i } ( t ) } & { = e ^ { - \alpha t } \left[ Q _ { i } \cos { \omega _ { 1 } t } + B _ { i } \sin { \omega _ { 1 } t } \right] } & & { \omega _ { 1 } \equiv { \sqrt { \omega ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } } } , } \\ { p _ { i } ( t ) } & { = e ^ { - \alpha t } \left[ P _ { i } \cos { \omega _ { 1 } t } - m ( \omega _ { 1 } Q _ { i } + 2 \alpha B _ { i } ) \sin { \omega _ { 1 } t } \right] } & & { B _ { i } \equiv { \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } } \left( { \frac { P _ { i } } { m } } + 2 \alpha Q _ { i } \right) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { S _ { 3 } ^ { d } = } & { { } { \overline { { \nu } } _ { \tau } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \\ { { b } ^ { r } { C _ { 1 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } & { { } { b } ^ { g } { C _ { 2 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + { b } ^ { b } { C _ { 3 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \\ { \overline { { t ^ { r } } } { C _ { 3 } } { C _ { 2 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } & { { } \overline { { t ^ { g } } } { C _ { 1 } } { C _ { 3 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + \overline { { t ^ { b } } } { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \omega _ { 3 } ^ { \dagger } \omega _ { 3 } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } = } & { { } \frac { [ \sigma _ { z } ^ { 2 } ] _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } } { \eta T _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } } - \frac { u _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + V _ { 0 } } { \eta T _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } \mathcal H ^ { N } ( z ) } & { = \left\langle \frac { \partial \mathcal H ^ { N } ( z ) } { \partial z } , \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } z \right\rangle = \left\langle \frac { \partial \mathcal H ^ { N } ( z ) } { \partial z } , \left[ \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I ^ { \top } } & { 0 } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Psi ( z ) } \end{array} \right) \right] \frac { \partial \mathcal H ^ { N } ( z ) } { \partial z } \right\rangle } \\ & { = - \langle v - \textbf { 1 } \bar { v } , \Psi ( z ) v - \textbf { 1 } \bar { v } \rangle \le 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } = \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } G _ { j _ { l } j _ { l } } , } & { } & { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma } = \sum _ { l m } \left( | D _ { l m } ^ { \sigma + } | ^ { 2 } - | D _ { l m } ^ { \sigma - } | ^ { 2 } \right) G _ { h _ { l } h _ { l } } , } & { } & { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { i n t } } ^ { \sigma } = 2 \sigma \sum _ { l m } \mathrm { R e } \{ { C _ { l m } ^ { \sigma } } ^ { * } D _ { l m } ^ { \sigma \sigma } G _ { j _ { l } h _ { l } } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } { d x } } & { = \frac { d } { d x } \left( f ( x ) \cdot g ( x ) ^ { - 1 } \right) } \\ & { \overbrace { = } ^ { \mathrm { p r o d u c t ~ r u l e } } f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) ^ { - 1 } + f ( x ) \frac { d } { d x } g ( x ) ^ { - 1 } } \\ & { \overbrace { = } ^ { \mathrm { c h a i n ~ r u l e } } f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) ^ { - 1 } + f ( x ) \cdot - 1 \cdot g ( x ) ^ { - 2 } \cdot g ^ { \prime } ( x ) } \\ & { = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) ^ { 2 } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Delta u = - \lambda _ { 1 } ( \Omega _ { i } ) u _ { i } + \lambda _ { 1 } ( \Omega _ { j } ) u _ { j } \qquad } & { \mathrm { o n ~ } \{ u \ne 0 \} } \\ { | \nabla u ^ { + } | ^ { 2 } - | \nabla u ^ { - } | ^ { 2 } = m _ { i } - m _ { j } , \, | \nabla u ^ { + } | \ge \sqrt { m _ { i } } \quad \mathrm { a n d } \quad | \nabla u ^ { - } | \ge \sqrt { m _ { j } } } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega _ { u } ^ { + } \cap \partial \Omega _ { u } ^ { - } \, ; } \\ { | \nabla u ^ { + } | = \sqrt { m _ { i } } } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega _ { u } ^ { + } \setminus \partial \Omega _ { u } ^ { - } \, ; } \\ { | \nabla u ^ { - } | = \sqrt { m _ { j } } } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega _ { u } ^ { - } \setminus \partial \Omega _ { u } ^ { + } \, . } \end{array} \right.
\hat { \mu } ( \sigma ) = \frac { \tau _ { v } } { \tau _ { e } } \left[ 1 - \mathrm { i } ( \sigma \tau _ { e } ) ^ { - 1 } + ( \mathrm { i } \sigma \tau _ { a } ) ^ { - \alpha } \Gamma ( 1 + \alpha ) \right] ^ { - 1 } \ ,
d s ^ { 2 } = \left( 1 - { \frac { r _ { - } } { r } } \right) ^ { - 1 } ( d x ^ { 5 } + { \frac { 2 Q } { r } } d t ) ^ { 2 } - \left( 1 - { \frac { r _ { + } } { r } } \right) d t ^ { 2 } + { \frac { 1 - r _ { - } / r } { 1 - r _ { + } / r } } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( 1 - { \frac { r _ { - } } { r } } ) ^ { 2 } d \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { a } & { { } = { \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } } \left( { \hat { x } } + { \frac { i } { m \omega } } { \hat { p } } \right) } \\ { a ^ { \dagger } } & { { } = { \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } } \left( { \hat { x } } - { \frac { i } { m \omega } } { \hat { p } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( 1 + \tau \frac { \partial } { \partial t } + a _ { E } \eta _ { T } \nabla ^ { 2 } \right) \overline { { \boldsymbol { \mathcal { E } } } } } & { = } & { \overline { { \boldsymbol { \mathcal { E } } } } ^ { ( 0 ) } , } \\ { \overline { { \boldsymbol { \mathcal { E } } } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { \alpha _ { i j } \overline { { B } } _ { j } + \eta _ { i j k } \partial _ { k } \overline { { B } } _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ( V ) } & { { } = \frac { \sqrt { \sum _ { \alpha , a } \langle E _ { \alpha } ^ { a } | E _ { \alpha } ^ { a } \rangle \sum _ { \beta , b } \langle \! \langle E _ { \beta } ^ { b } | E _ { \beta } ^ { b } \rangle \! \rangle } } { L } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( A _ { 1 } , A _ { 2 } ) } & { \stackrel { ( b _ { 1 } ) } { \approx } \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } e ^ { j \pi \left( A _ { 1 } n - A _ { 2 } \right) ^ { 2 } } \mathrm { d } n } \\ & { \stackrel { ( b _ { 2 } ) } { = } \frac { 1 } { N \sqrt { 2 } A _ { 1 } } \int _ { - \sqrt { 2 } A _ { 2 } } ^ { \sqrt { 2 } A _ { 1 } N - \sqrt { 2 } A _ { 2 } } e ^ { j \pi \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } } \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ( t ) } & { : = - \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } \Big [ ( a _ { 1 } \cdot \nabla u _ { 1 } ) \cdot \nabla u _ { 2 } + ( a _ { 2 } \cdot \nabla u _ { 2 } ) \cdot \nabla u _ { 1 } \Big ] \, d x d r , } \\ { J _ { 2 } ( t ) } & { : = \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } \Big [ f _ { 1 } ( \cdot , u ) u _ { 2 } + f _ { 2 } ( \cdot , u ) u _ { 1 } \Big ] \, d x d r , } \\ { J _ { 3 } ( t ) } & { : = \sum _ { n \geq 1 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } \big [ ( b _ { n , 1 } \cdot \nabla ) u _ { 1 } + g _ { n , 1 } ( \cdot , u ) \big ] \big [ ( b _ { n , 2 } \cdot \nabla ) u _ { 2 } + g _ { n , 2 } ( \cdot , u ) \big ] \, d x d r . } \end{array}
\frac { 1 } { \lambda _ { a } } \sim \frac { 4 \sigma _ { 0 } } { \pi L } F ( \Theta ) \frac { E ^ { 2 } \langle B ^ { 2 } \rangle } { \left( m _ { \Delta } ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right) ^ { 3 } }