harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- A = \frac { d } { d t } \Big ( \int ( 1 - \phi ) { H } ( { \rho } _ { f } ) \Big ) - \int { H } ^ { \prime } ( { \rho } _ { f } ) \mathrm { d i v } \big ( \kappa ( \phi ) { \rho } _ { f } { Q } ^ { \prime } ( { \rho } _ { f } ) \nabla { \rho } _ { f } \big ) .
( \partial _ { \tau } ^ { 2 } + \omega ( k ) ^ { 2 } ) \xi ( \tau ; k , \nu ) = \sqrt { \frac { 4 \pi } { \mu ( k ) } } f ( k ) \sum _ { r } \frac { d { \cal E } ( k , \nu ) { \bf x } _ { r } ( \tau ) } { d \tau } g ( k , { \bf x } ( \tau ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { x } } & { = \frac { r \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } T _ { 1 } ( 1 ) + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } } T _ { 2 } , } \\ { \mathcal { B } _ { y } } & { = - \frac { r } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } \left[ \frac { 2 x y } { \sigma _ { \eta } \sigma _ { 0 } } \sin \Psi _ { 1 } ( 0 , 2 ) - \cos \Psi _ { 1 } ( 2 , 1 ) \right] , } \\ { \mathcal { B } _ { z } } & { = - \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } \left[ \frac { 2 r x } { \sigma _ { \eta } \sigma _ { 0 } } \cos \Psi _ { 1 } ( 0 , 1 ) - \cos \Psi _ { 1 } ( 1 , 0 ) \right] , } \end{array}
( \overline { { \partial } } \Psi _ { p , H } ^ { m } , v _ { H } ) + a ( \frac { \Psi _ { p , H } ^ { m } + \Psi _ { p , H } ^ { m - 1 } } { 2 } , v _ { H } ; \mu ) = - ( \frac { \partial A } { \partial \mu _ { p } } ( \mu ) \frac { \nabla u _ { H } ^ { m } ( \mu ) + \nabla u _ { H } ^ { m - 1 } ( \mu ) } { 2 } , \nabla v _ { H } ) , \textrm { f o r } v _ { H } \in V _ { H } , \textrm { f o r } m = \{ 1 , \dots , M _ { T } \}
\begin{array} { r } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { 3 D } ( \tau ) = \frac { 1 } { Z } \sum _ { l _ { 0 } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m _ { 0 } = - l _ { 0 } } ^ { l _ { 0 } } e ^ { - \frac { l _ { 0 } ( l _ { 0 } + 1 ) } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { l _ { 0 } , m _ { 0 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - A } ^ { A } \left| w \left( x _ { 1 } \right) \right| ^ { 2 } d x _ { 1 } } & { \leq C \left\{ \int _ { \mathbf { R } \backslash [ - A , A ] } \left( W _ { A } \left( x _ { 1 } \right) \right) ^ { 2 } d x _ { 1 } \right. } \\ & { + \left. \int _ { - A } ^ { A } \left( W _ { \infty } \left( x _ { 1 } \right) - W _ { A } \left( x _ { 1 } \right) \right) W _ { \infty } \left( x _ { 1 } \right) d x _ { 1 } + | R _ { 1 } ( A ) | + | R _ { 2 } ( A ) | \right\} . } \end{array}
+ ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ( { K _ { 1 } + K _ { 2 } - K _ { 3 } - K _ { 4 } } ) G ( K _ { 1 } ) G ( K _ { 2 } ) G ( K _ { 3 } ) G ( K _ { 4 } ) i \Gamma _ { ( K _ { 3 } , K _ { 4 } ; K _ { 1 } , K _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x } ^ { ( i ) } } & { { } = \mathrm { I d } ^ { \otimes ( i - 1 ) } \otimes \sigma _ { x } \otimes \mathrm { I d } ^ { \otimes ( N - i ) } , } \\ { \sigma _ { z } ^ { ( i ) } } & { { } = \mathrm { I d } ^ { \otimes ( i - 1 ) } \otimes \sigma _ { z } \otimes \mathrm { I d } ^ { \otimes ( N - i ) } , } \\ { \sigma _ { z } ^ { ( i ) } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } } & { { } = \mathrm { I d } ^ { \otimes ( i - 1 ) } \otimes \sigma _ { z } \otimes \mathrm { I d } ^ { \otimes ( j - i - 1 ) } \otimes \sigma _ { z } \otimes \mathrm { I d } ^ { \otimes ( N - j ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int C A _ { t } ^ { - 1 } \nabla \Phi ( x ) \exp ( - \Phi ( x ) ) \mathrm { d } \mathcal { N } ( A _ { t } x _ { t } , Q _ { t } ) } \\ & { \leqslant } & { \exp ( - E _ { 0 } ) \int C A _ { t } ^ { - 1 } \nabla \Phi ( x + A _ { t } x _ { t } ) \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , Q _ { t } ) } \\ & { \leqslant } & { \exp ( - E _ { 0 } ) \int \| C A _ { t } ^ { - 1 } \| ( \| \nabla \Phi ( 0 ) \| + L \| x + A _ { t } x _ { t } \| ) \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , Q _ { t } ) } \\ & { \leqslant } & { \exp ( - E _ { 0 } ) \| C A _ { t } ^ { - 1 } \| \left( \| \nabla \Phi ( 0 ) \| + L \| A _ { t } x _ { t } \| + L \int \| x \| \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , Q _ { t } ) \right) } \\ & { \leqslant } & { E ( 1 + \| x _ { t } \| ) \leqslant E ( 1 + R ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \tilde { U } _ { \lambda ^ { * } } ^ { j k } = \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } d t \frac { \tilde { \lambda } _ { j } ^ { * } \tilde { \lambda } _ { k } ^ { * } } { 4 k _ { \mathrm { B } } T } \Gamma _ { j k } ^ { - 1 } } \end{array}
\displaystyle \sum _ { \substack { s , t \in V ^ { \prime } \, s \neq t } } \displaystyle \sum _ { ( i , j ) \in E } u _ { i , j } w _ { i , j } x _ { i , j , s , t , c } ^ { ' } + \displaystyle \sum _ { \substack { s , t \in V ^ { \prime } \, s \neq t } } y _ { s , t , c } ^ { ' } - \displaystyle \sum _ { \substack { s , t \in V ^ { \prime } \, s \neq t } } \displaystyle \sum _ { ( i , j ) \in E ^ { \prime } } ( 1 - w _ { i , j } ) y _ { i , j , s , t , c } ^ { ' } \geq \mathcal { L } _ { k } .
\begin{array} { r } { t \to \Xi _ { \mathrm { e f f } } t - a \varphi \, , \ \varphi \to \frac { a t } { \ell _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } - \Xi _ { \mathrm { e f f } } \varphi \, , \ \Xi _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } = 1 + \frac { a ^ { 2 } } { \ell _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal { H } } ^ { t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } + 1 } = \bigcup _ { \lambda \in \{ 0 , 1 \} } ( ( { \cal { H } } _ { 1 } , { \cal { H } } _ { 1 } \mid { \cal { H } } _ { 2 } , { \cal { H } } _ { 2 } \mid { \cal { H } } _ { 3 } , { \cal { H } } _ { 3 } ) + \lambda ( { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 1 } } \mid { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 2 } } \mid { \mathbf { 0 } } , { \mathbf { 4 } } ) ) . } \end{array}
\phi _ { R } ( | x _ { i } - x _ { j } | ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | x _ { i } - x _ { j } | < R } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | x _ { i } - x _ { j } | \geq R . } \end{array} \right.
i J _ { z } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } ~ ,
\mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } = \mathcal { P } _ { z } + \mathcal { P } _ { r } = - \frac { \left( \varepsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { 1 } \right) } { 2 } | \mathbf E | _ { \mathrm { a v g } } ^ { 2 } .
d X ^ { 0 } = \sum _ { i = 1 } ^ { g } \left( \lambda _ { i } \omega _ { i } + \bar { \lambda } _ { i } \bar { \omega } _ { i } \right) + \mathrm { e x a c t } ~ ~ , ~ ~ d X ^ { 9 } = \sum _ { i = 1 } ^ { g } \left( \gamma _ { i } \omega _ { i } + \bar { \gamma } _ { i } \bar { \omega } _ { i } \right) + \mathrm { e x a c t }
E _ { \psi } \equiv q ^ { E _ { 1 1 } + E _ { n n } } E _ { 1 n } \, , ~ ~ ~ ~ F _ { \psi } \equiv E _ { n 1 } q ^ { - E _ { 1 1 } - E _ { n n } } \, , ~ ~ ~ ~ h _ { \psi } \equiv E _ { 1 1 } - E _ { n n }
{ \cal S } _ { q u a d } = t r \int d ^ { 4 } x \left( \frac { g ^ { 2 } } 8 \omega ^ { 2 } \chi ^ { * \mu \nu } \chi _ { \mu \nu } ^ { * } - \frac { g ^ { 2 } } 4 \omega \chi ^ { * \mu \nu } \varepsilon _ { \mu } \psi _ { v } ^ { * } - \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 } \varepsilon ^ { \mu } \varepsilon ^ { \nu } \psi _ { \mu } ^ { * } \psi _ { v } ^ { * } + \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 } \varepsilon ^ { 2 } \psi ^ { * \mu } \psi _ { \mu } ^ { * } \right) \; .
H _ { W } ^ { + } ( a m e ^ { i \pi / 2 } ) \, H _ { W } ^ { - } ( a m e ^ { i \pi / 2 } ) = \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } e ^ { - i \pi W } K _ { W } ^ { 2 } ( a m ) - \frac { 4 i } { \pi } I _ { W } ( a m ) K _ { W } ( a m ) ,
\left\| u \left( \frac { \cdot } { a } \right) \right\| _ { \underline { { H } } ^ { - 1 } ( a U ) } = a \| u \| _ { \underline { { H } } ^ { - 1 } ( U ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \left\| u \left( \frac { \cdot } { a } \right) \right\| _ { \widehat { \underline { { H } } } ^ { - 1 } ( a U ) } = a \| u \| _ { \widehat { \underline { { H } } } ^ { - 1 } ( U ) } .
\begin{array} { r l } { t \partial _ { t } \tilde { \eta } + \frac { 1 } { \delta } \Bigl \{ \phi _ { * } \, , \frac { \tilde { \eta } } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} + \frac { 1 } { \delta } \Bigl \{ \tilde { \phi } \, , \frac { \eta _ { * } } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} } & { + \Bigl \{ \tilde { \phi } \, , \frac { \tilde { \eta } } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} - \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \tilde { \eta } + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \tilde { \eta } \Bigr ) } \\ { \, } & { = \, \mathcal { L } \tilde { \eta } + \partial _ { R } \Bigl ( \frac { \epsilon \tilde { \eta } } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) + \frac { 1 } { \delta } \, \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) \, . } \end{array}
\sigma [ y ] = \left( \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { } } - 1 } \, \sum _ { y \in \mathbf { Y } ^ { \mathrm { e f f } } } ( y - \mu [ y ] ) ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } }
O _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } = { \frac { 1 } { 2 } } \, \delta _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mu \nu \lambda } \, \partial _ { \lambda } \, \partial ^ { \gamma } + { \frac { 2 } { \beta } } \, \delta \, _ { [ \alpha } ^ { [ \mu } \partial ^ { \nu ] } \partial _ { \beta ] }
\begin{array} { r l } & { - D _ { \mathrm { C V } } \ + b { \int ( p _ { _ \mathrm { I n l e t } } - p _ { _ \mathrm { O u t l e t } } } ) d y = } \\ & { \rho b \left( \int _ { \mathrm { O u t l e t } } ( { u } { u } + \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } ) d y - \int _ { \mathrm { I n l e t } } ( { u } { u } + \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } ) d y \right) + } \\ & { \rho b \left( \int _ { \mathrm { F r o n t } } ( { u } { v } + \overline { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } ) d x - \int _ { \mathrm { B a c k } } ( { u } { v } + \overline { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } ) d x \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ K _ { 1 , f _ { 1 } } K _ { 2 , f _ { 2 } } \ldots K _ { c , f _ { c } } \right] U \left[ K _ { c , i _ { c } } \ldots K _ { 2 , i _ { 2 } } K _ { 1 , i _ { 1 } } \right] \rho \left[ K _ { c , i _ { c } } \ldots K _ { 2 , i _ { 2 } } K _ { 1 , i _ { 1 } } \right] ^ { \dag } U ^ { \dag } \left[ K _ { 1 , f _ { 1 } } K _ { 2 , f _ { 2 } } \ldots K _ { c , f _ { c } } \right] ^ { \dag } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { W T } } [ n ( \vec { r } ) ] } & { = T _ { \mathrm { T F } } [ n ( \vec { r } ) ] + T _ { v W } [ n ( \vec { r } ) ] } \\ & { + \int \int { \mathrm { d } } \vec { r } { \mathrm { d } } \vec { r } ^ { \prime } ~ n ( \vec { r } ) ^ { 5 / 6 } K ( \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } ; n _ { 0 } ) n ( \vec { r } ^ { \prime } ) ^ { 5 / 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } \circ \mathbb { N } ^ { + } = } & { } & { ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } + N _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i N _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } \circ \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } - N _ { 1 } ^ { + } ) } \\ & { } & { + k _ { e g } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } \circ ( i \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i N _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } + N _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
\phi _ { L } ^ { a b } = \frac 1 2 ( \phi ^ { a b } + \frac 1 2 \epsilon ^ { a b c d } \phi ^ { c d } ) \quad \quad \phi _ { R } ^ { a b } = \frac 1 2 ( \phi ^ { a b } - \frac 1 2 \epsilon ^ { a b c d } \phi ^ { c d } )
\begin{array} { r l } & { u ^ { ( i ) } ( t ) = ( u _ { 0 } ) ^ { ( i ) } - \int _ { 0 } ^ { t } \left( \int _ { U } ( \eta _ { \epsilon } + \phi ( z _ { N } ( s ) ) ^ { 2 } ) \langle \nabla u _ { N } ( s ) , \nabla e _ { i } \rangle + ( u _ { N } ( s ) - g _ { N } ) e _ { i } d x \right) d s } \\ & { z ^ { ( i ) } ( t ) = ( z _ { 0 } ) ^ { ( i ) } - \int _ { 0 } ^ { t } \left( \int _ { U } 2 \epsilon \langle \nabla z _ { N } ( s ) , \nabla e _ { i } \rangle - \phi ^ { \prime } ( z _ { N } ( s ) ) \phi ( z _ { N } ( s ) ) | \nabla u _ { N } ( s ) | ^ { 2 } e _ { i } + \frac { 1 - z _ { N } ( s ) } { 2 \epsilon } e _ { i } d x \right) d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { g } } & { { } = \frac { 4 } { 3 } \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } c n _ { 2 } E ^ { 3 } } \\ { \partial _ { t } J _ { p } } & { { } = - v _ { e n } J _ { p } + \frac { e ^ { 2 } } { m _ { e } } n _ { e } E } \\ { J _ { i } } & { { } = \frac { w ( E ) n _ { n } U _ { I } } { E } , } \end{array}
- { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \alpha \, \partial \beta } } = \operatorname { c o v } [ \ln X , ( 1 - X ) ] = - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) = { \mathcal { I } } _ { \alpha , \beta } = \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \alpha \, \partial \beta } } \right] = \ln ( \operatorname { c o v } _ { G { X , ( 1 - X ) } } )
\int _ { \Pi } ( v _ { , \alpha } ^ { \alpha } + \Gamma _ { \beta \alpha } ^ { \beta } ) a \operatorname { d } \zeta ^ { 1 } \operatorname { d } \zeta ^ { 2 } = \int _ { \partial \Pi } a v ^ { \alpha } \varepsilon _ { \alpha \beta } \operatorname { d } \zeta ^ { \beta } .
G ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \Phi _ { k _ { + } } ( x , y ) + \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) - \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) } { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) + \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) } \frac { e ^ { - \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) \left| x _ { 2 } + y _ { 2 } \right| } } { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) } e ^ { \mathrm { i } \xi \left( x _ { 1 } - y _ { 1 } \right) } d \xi , x _ { 2 } \geq 0 , y _ { 2 } \geq 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) y _ { 2 } - \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) x _ { 2 } } } { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) + \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) } e ^ { \mathrm { i } \xi \left( x _ { 1 } - y _ { 1 } \right) } d \xi , x _ { 2 } \geq 0 , y _ { 2 } \leq 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) y _ { 2 } + \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) x _ { 2 } } } { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) + \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) } e ^ { \mathrm { i } \xi \left( x _ { 1 } - y _ { 1 } \right) } d \xi , x _ { 2 } \leq 0 , y _ { 2 } \geq 0 , } \\ { \Phi _ { k _ { - } } ( x , y ) + \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) - \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) } { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { + } \right) + \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) } \frac { e ^ { - \mathcal { S } ( \xi , k - ) \left| x _ { 2 } + y _ { 2 } \right| } } { \mathcal { S } \left( \xi , k _ { - } \right) } e ^ { \mathrm { i } \xi \left( x _ { 1 } - y _ { 1 } \right) } d \xi , x _ { 2 } , y _ { 2 } \leq 0 , } \end{array} \right.
{ \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - \gamma ) ^ { - 3 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } { \frac { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } { 2 } } \beta ^ { k } \right) \left( - \sum _ { r = 0 } ^ { 3 } \sigma _ { 3 , 2 r } \right) = 0 \; \mathrm { f r o m } \; W _ { \infty } ^ { 5 , D } ,
{ \cal L } _ { \mathrm { s c a l } } ^ { ( 2 ) } [ B ] = { \frac { 3 } { 4 } } \times \mathrm { e q . } ( \ref { G a m m a 2 s c a l } ) + { \frac { 1 } { 4 } } \times \mathrm { e q . } ( \ref { G a m m a 2 s c a l p I } ) .
b _ { k } = \frac { A \mathrm { e } ^ { - \omega T + \theta } } { ( 2 \pi ) ^ { d / 2 } \sqrt { \omega } } \left( 1 - \frac { 5 } { 1 2 } k ^ { 2 } + \frac { 1 7 } { 7 2 } k ^ { 4 } + 2 \sqrt { \frac { \lambda } { 4 } } \left( \frac { 3 \pi ^ { 2 } - 2 5 } { 1 4 4 } k _ { i } k _ { j } C _ { i j } + \frac { 2 1 - 2 \pi ^ { 2 } } { 9 6 } k ^ { 2 } \mathrm { T r } C _ { i j } \right) \right)
\left. \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( \mathrm { c a l ) } } \right\vert _ { \omega _ { 1 } } + \left. \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( \mathrm { c a l ) } } \right\vert _ { \omega _ { 2 } } = \frac { \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } .
\sum _ { i = 1 } ^ { D - 1 } \tilde { p } _ { i } = 1 \ , \qquad \sum _ { i = 1 } ^ { D - 1 } \tilde { p } _ { i } ^ { 2 } = 1 - \tilde { B } ^ { 2 } - \frac { \tilde { { \cal K } } ^ { 2 } } { D - 2 }
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \phi ( s ) ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) \; d s = } & { - \left[ ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( s ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } ( \phi ) ( s ) \right] _ { s = a } ^ { s = b } + \displaystyle \left[ I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } ( y ) ( s ) \beta ( s ) { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ) ( s ) \right] _ { s = a } ^ { s = b } } \\ & { + \displaystyle \int _ { a } ^ { b } y ( s ) { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ) ) ( s ) \; d s . } \end{array}
\left( A _ { 1 } , A _ { 2 } \right) = \frac { \mathrm { i } c } { \hbar } \int \left( A _ { 1 } ^ { * } \, \partial ^ { 0 } A _ { 2 } - A _ { 2 } \, \partial ^ { 0 } A _ { 1 } ^ { * } \right) \sqrt { - g } \, \mathrm { d } ^ { 3 } x \, , \quad \partial ^ { 0 } = g ^ { 0 \alpha } \partial _ { \alpha } \, .
j _ { S V V } ^ { 0 } = \left( \partial _ { \nu } \left( 1 - \frac { \partial _ { z } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) \phi \right) \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { 0 } \psi + i W ^ { \prime } \gamma ^ { 0 } \psi
( \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { a } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { M } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { b } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { b } _ { M } } \end{array} \right] ) _ { \boldsymbol { \xi } _ { M } } : = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { a } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { M } } \end{array} \right] ^ { T } \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l } { \boldsymbol { \xi } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { \boldsymbol { \xi } } \end{array} \right] } _ { = : \boldsymbol { \xi } _ { M } } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { b } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { b } _ { M } } \end{array} \right] ,
\frac { d Z } { d X } = - \tilde { y } _ { 0 } \mathcal { C } _ { 0 } ^ { 2 } \left( 2 e ^ { 2 \phi _ { 0 } } \right) ^ { \alpha } X ^ { - 2 } + \mathcal { O } ( p ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \omega } & { = \omega _ { 0 } ( k , v _ { | | } ) + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } \big ( ( \omega - v _ { | | } k ) ^ { 2 } - \Omega _ { e } \omega \big ) } { \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { e } + 2 \omega ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) ^ { 2 } } \frac { N } { n _ { 0 } } \, , } \\ { \gamma } & { = \frac { v _ { | | } ^ { 2 } } { 2 } + c _ { s } ^ { 2 } \ln n _ { 0 } + \frac { c _ { s } ^ { 2 } - v _ { | | } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } k ^ { 2 } } | B _ { W } | ^ { 2 } \, . } \end{array}
\sigma _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { 0 } \quad \quad \quad } & { \mathrm { i f ~ } \Delta Q _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \Delta Q _ { i - \frac { 1 } { 2 } } \leq 0 } \\ { \displaystyle { \frac { 2 \Delta Q _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \Delta Q _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta Q _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \Delta Q _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } } \quad } & { \mathrm { o t h e r w i s e ~ } } \end{array} \right.
\delta \lambda - { \bar { \delta } } \mu = ( \rho - { \bar { \rho } } ) \nu + ( \mu - { \bar { \mu } } ) \pi + ( \alpha + { \bar { \beta } } ) \mu + ( { \bar { \alpha } } - 3 \beta ) \lambda - \Psi _ { 3 } + \Phi _ { 2 1 } \, ,
\Pi _ { \Sigma } ( q ) \equiv \Pi _ { s } ( q ^ { 2 } , q \! \cdot \! u ) + \Pi _ { q } ( q ^ { 2 } , q \! \cdot \! u ) \rlap { / } { q } + \Pi _ { u } ( q ^ { 2 } , q \! \cdot \! u ) \rlap { / } { u } \ .
- \left( \beta _ { 1 } ^ { T T } + \frac { 1 - \beta _ { W } ^ { 2 } } { 2 \beta _ { W } ^ { 2 } } B _ { 1 } \right) < y _ { Z } < \beta _ { 2 } ^ { T T } + \frac { 1 - \beta _ { W } ^ { 2 } } { 2 \beta _ { W } ^ { 2 } } B _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \psi _ { n , k } ^ { ( 0 ) } - \left( i n \textrm { W o } ^ { 2 } + \alpha _ { k } \right) \Delta \psi _ { n , k } ^ { ( 0 ) } } & { = 0 , } \\ { \Delta ^ { 2 } \psi _ { n , k } ^ { ( 1 ) } - \left( i n \textrm { W o } ^ { 2 } + \alpha _ { k } \right) \Delta \psi _ { n , k } ^ { ( 1 ) } } & { = \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \nabla ^ { \perp } \psi _ { m , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \psi _ { n - m , k - j } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l l } { \displaystyle \frac 1 6 \operatorname* { m i n } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } l _ { x _ { k } } ^ { 2 } l _ { x _ { l } } ^ { 2 } } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } l _ { x _ { k } } = 1 } \\ & { \sum _ { l = 1 } ^ { m } l _ { x _ { l } } = 1 } \\ & { l _ { x _ { k } } \geq 0 } & { k = 1 , \ldots , n } \\ & { l _ { x _ { l } } \geq 0 } & { l = 1 , \ldots , m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { { \bf k } ( t ) } = } & { \frac { i } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } { \bf d } \cdot { \bf E } _ { \mathrm { N I R } } ( t ^ { \prime } ) } \\ & { \exp \{ - \frac { i } { \hbar } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } d t ^ { \prime \prime } ( E _ { \mathrm { c v } } [ { \bf k } ( t ^ { \prime \prime } ) ] - i \Gamma ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { P } _ { 2 D } ^ { G k } = s ^ { 2 } \cdot \mathbf { V } \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { S } ^ { ( k ) ^ { T } } \mathbf { V } ^ { - 1 } , } \\ { q _ { i } ^ { P } = \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } \left( \mathbf { P } _ { 2 D } ^ { G k } \right) _ { i j } q _ { j } ^ { C k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \widehat { \mathrm { d e g } } ( E _ { i } / E _ { i - 1 } , \eta _ { i } ) \leqslant } & { \widehat { \mathrm { d e g } } ( E , \xi ) } \\ { \leqslant } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \widehat { \mathrm { d e g } } ( E _ { i } / E _ { i - 1 } , \eta _ { i } ) + \frac { \nu ( \Omega _ { \infty } ) } { 2 } r \ln r . } \end{array}
\phi _ { m } = N _ { m } e ^ { { \frac { 5 } { 4 } } k \rho } \left[ J _ { 3 / 2 } \left( { \frac { 2 m } { k } } \right) Y _ { 5 / 2 } \left( { \frac { 2 m } { k } } e ^ { { \frac { k } { 2 } } \rho } \right) - Y _ { 3 / 2 } \left( { \frac { 2 m } { k } } \right) J _ { 5 / 2 } \left( { \frac { 2 m } { k } } e ^ { { \frac { k } { 2 } } \rho } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] } & { { } = \frac { 4 E ( \omega ) d \omega } { \pi \omega n ( \omega ) } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \mathbf { D } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ r ~ } } ( \omega ) ) } \end{array}
\delta _ { z \bar { z } } ^ { } ( z _ { 1 } ^ { } - z _ { 2 } ^ { } ) = - 2 z _ { 1 } ^ { } \bar { z } _ { 2 } ^ { } \delta ( z _ { 1 } ^ { } \bar { z } _ { 1 } ^ { } - z _ { 2 } ^ { } \bar { z } _ { 2 } ^ { } ) \delta ( z _ { 1 } ^ { } \bar { z } _ { 2 } ^ { } - z _ { 2 } ^ { } \bar { z } _ { 1 } ^ { } )
\begin{array} { r l } & { u = \int f ( v _ { \perp } ) d v _ { \perp } = \frac { 1 } { A } \Big \{ \sqrt { \pi } \frac { v _ { d r } } { v _ { t \perp } } \Big [ \mathrm { e r f } \Big ( \frac { v _ { d r } } { v _ { t \perp } } \Big ) - \mathrm { e r f } \Big ( \frac { v _ { d r } - v _ { \perp } } { v _ { t \perp } } \Big ) \Big ] } \\ & { + \exp \Big ( - \frac { v _ { d r } ^ { 2 } } { v _ { t \perp } ^ { 2 } } \Big ) - \exp \Big ( - \frac { ( v _ { \perp } - v _ { d r } ) ^ { 2 } } { v _ { t \perp } ^ { 2 } } \Big ) \Big \} , } \end{array}