harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \omega _ { 2 , 4 } = \frac { \omega _ { 1 , 4 } \omega _ { 2 , 3 } } { \omega _ { 1 , 3 } } , \omega _ { 2 , 5 } = - \frac { \omega _ { 1 , 3 } ^ { 2 } \omega _ { 1 , 5 } } { \omega _ { 1 , 4 } ^ { 2 } } , \omega _ { 3 , 1 } ( t ) = \eta _ { 2 } + } \\ & { } & { \frac { \left( - \omega _ { 2 , 2 } ^ { 2 } \omega _ { 1 , 1 } ^ { 4 } + 2 \omega _ { 1 , 2 } \omega _ { 2 , 1 } \omega _ { 2 , 2 } \omega _ { 1 , 1 } ^ { 3 } + \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \left( 2 \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } + 3 \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \right) \omega _ { 2 , 1 } ^ { 2 } \right) \int \gamma \, d t } { 3 \omega _ { 1 , 1 } \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } + \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \right) } , } \\ & { } & { \omega _ { 3 , 2 } ( t ) = \eta _ { 1 } + [ [ \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } - 6 \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } \right) \omega _ { 2 , 1 } ^ { 2 } - 2 \omega _ { 1 , 1 } \omega _ { 1 , 2 } \left( \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } - 6 \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } \right) \omega _ { 2 , 2 } \omega _ { 2 , 1 } } \\ & { } & { + \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } \left( 4 \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } - 3 \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } \right) \omega _ { 2 , 2 } ^ { 2 } ] \int \gamma \, d t ] / [ 3 \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } \omega _ { 1 , 2 } \left( \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } + \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \right) ] , } \\ & { } & { \omega _ { 3 , 5 } ( t ) = \omega _ { 1 , 5 } [ \frac { \omega _ { 1 , 3 } ^ { 2 } \omega _ { 3 , 4 } ( t ) ^ { 2 } } { \omega _ { 1 , 4 } ^ { 2 } } - \omega _ { 3 , 3 } ( t ) ^ { 2 } ] , \beta = - \frac { \left( \omega _ { 1 , 2 } \omega _ { 2 , 1 } - \omega _ { 1 , 1 } \omega _ { 2 , 2 } \right) ^ { 2 } \gamma } { 3 \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \left( \omega _ { 1 , 1 } ^ { 2 } + \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \right) } , } \end{array}
\left[ \left( 2 - \Delta ^ { 2 } \right) \Sigma ^ { 2 } - 1 \right] \, \left( - \Delta ^ { 2 } + 2 \Delta ^ { 4 } - 8 \Delta ^ { 4 } \Sigma ^ { 2 } + 1 3 \Delta ^ { 6 } \Sigma ^ { 2 } - 6 \Delta ^ { 6 } \Sigma ^ { 4 } \right) > 0
\partial _ { i } ^ { \prime } v _ { j } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { s _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \; , \qquad s _ { 0 } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } { \Omega } } { \mathrm { ~ d ~ l ~ n ~ } R } \bigg | _ { R _ { 0 } } \; .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ A ~ } \mathrm { ~ : ~ \ \ \ } } & { { } } & { \delta \pi _ { A } \sim R ^ { - 4 } , } \\ { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ B ~ } \mathrm { ~ : ~ \ \ } } & { { } } & { \delta \pi _ { B } \sim R ^ { - 3 } . } \end{array}
x _ { N } = - { \frac { a } { 2 b } } { \sqrt { \left( { \frac { c } { b } } \right) ^ { N - 1 } } } _ { N - 1 } F _ { N - 2 } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { N + 1 } { 2 N } } , { \frac { N + 3 } { 2 N } } , \cdots , { \frac { N - 2 } { N } } , { \frac { N - 1 } { N } } , { \frac { N + 1 } { N } } , { \frac { N + 2 } { N } } , \cdots , { \frac { 3 N - 3 } { 2 N } } , { \frac { 3 N - 1 } { 2 N } } ; } \\ { { \frac { N + 1 } { 2 N - 4 } } , { \frac { N + 3 } { 2 N - 4 } } , \cdots , { \frac { N - 4 } { N - 2 } } , { \frac { N - 3 } { N - 2 } } , { \frac { N - 1 } { N - 2 } } , { \frac { N } { N - 2 } } , \cdots , { \frac { 3 N - 5 } { 2 N - 4 } } , { \frac { 3 } { 2 } } ; } \\ { - { \frac { a ^ { 2 } c ^ { N - 2 } } { 4 b ^ { N } \left( N - 2 \right) ^ { N - 2 } } } } \end{array} \right] } + { \sqrt { \frac { c } { b } } } i _ { N - 1 } F _ { N - 2 } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 N } } , { \frac { 3 } { 2 N } } , \cdots , { \frac { N - 4 } { 2 N } } , { \frac { N - 2 } { 2 N } } , { \frac { N + 2 } { 2 N } } , { \frac { N + 4 } { 2 N } } , \cdots , { \frac { 2 N - 3 } { 2 N } } , { \frac { 2 N - 1 } { 2 N } } ; } \\ { { \frac { 3 } { 2 N - 4 } } , { \frac { 5 } { 2 N - 4 } } , \cdots , { \frac { 2 N - 3 } { 2 N - 4 } } ; } \\ { - { \frac { a ^ { 2 } c ^ { N - 2 } } { 4 b ^ { N } \left( N - 2 \right) ^ { N - 2 } } } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \Delta E } & { { } = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } - \frac { \alpha + \beta } { 2 } \right) , } \end{array}
f ( x ) = 1 + { \frac { 4 x ^ { 2 } - 8 x + 1 6 } { x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 8 x } } = 1 + { \frac { 4 x ^ { 2 } - 8 x + 1 6 } { x ( x ^ { 2 } - 4 x + 8 ) } }
\langle \Omega | T \{ \phi ( x ) \phi ( y ) \} | \Omega \rangle = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty ( 1 - i \epsilon ) } { \frac { \langle 0 | T \left\{ \phi _ { I } ( x ) \phi _ { I } ( y ) \exp \left[ - i \int _ { - T } ^ { T } d t \, H _ { I } ( t ) \right] \right\} | 0 \rangle } { \langle 0 | T \left\{ \exp \left[ - i \int _ { - T } ^ { T } d t \, H _ { I } ( t ) \right] \right\} | 0 \rangle } } ,
\epsilon = \frac { 1 } { 2 } M _ { P } ^ { 2 } \frac { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \phi ^ { 2 m + 2 } } , \quad \quad \eta = - M _ { P } ^ { 2 } \frac { m ( m + 1 ) c } { \phi ^ { m + 2 } }
p ( \mathbf { d } | \mathbf { m } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \prod _ { j = 1 } ^ { N _ { x } } \bigg ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { i j } } \exp ( - \frac { \big ( g _ { i j } ( \mathbf { m } ) - d _ { i j } \big ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i j } ^ { 2 } } ) \Bigg ) ,
\psi _ { \alpha } \oslash _ { \pm } 1 = 0 , \quad \psi _ { \alpha } \oslash _ { \pm } ( \psi _ { \beta } \otimes \Psi ) = \delta _ { \alpha \beta } \Psi \pm \psi _ { \beta } \otimes ( \psi _ { \alpha } \oslash _ { \pm } \Psi ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { x _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } ( \Gamma ) = a _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } ( \Gamma ) = c _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } ( \Gamma ) = A _ { 2 } , } \\ & { } & { y _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } ( \Gamma ) = b _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } ( \Gamma ) = d _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } ( \Gamma ) = B _ { 2 } . } \end{array}
| \Psi \rangle = \iint _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { ~ d ~ } \omega _ { s } \mathrm { ~ d ~ } \omega _ { i } \Phi ( \omega _ { s } , \omega _ { i } ) a _ { \omega _ { s } } ^ { \dagger } a _ { \omega _ { i } } ^ { \dagger } | 0 \rangle
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \hat { \boldsymbol D } } & { = } & { - \frac { g _ { a \gamma \gamma } } { \hbar c ^ { 2 } } \hat { \pi } ( t ) { \boldsymbol B } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times { \boldsymbol B } _ { f } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times { \boldsymbol M } + \mathcal O \left( g _ { a \gamma \gamma } \hat { \boldsymbol B } _ { f } \right) , } \\ { \frac { d } { d t } \hat { \boldsymbol B } _ { f } } & { = } & { - \boldsymbol \nabla \times { \boldsymbol D } , } \end{array}
\rho _ { \mathrm { q } } ( \Omega _ { 1 } , \dots , \Omega _ { N _ { \mathrm { i n t } } } ) \propto \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { i n t } } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \beta ^ { * } ( \beta , \omega _ { i } ) \omega _ { i } ^ { 2 } \Omega _ { i } ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \sin 2 x } & { { } = 2 \sin x \cos x = { \frac { 2 \tan x } { 1 + \tan ^ { 2 } x } } , } \\ { \cos 2 x } & { { } = \cos ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } x = 2 \cos ^ { 2 } x - 1 = 1 - 2 \sin ^ { 2 } x = { \frac { 1 - \tan ^ { 2 } x } { 1 + \tan ^ { 2 } x } } , } \\ { \tan 2 x } & { { } = { \frac { 2 \tan x } { 1 - \tan ^ { 2 } x } } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \frac { 2 Q ^ { 2 } } { \gamma ^ { 4 } } \left( 1 - \frac { 4 M } { r } \right) d t ^ { 2 } + \frac { 2 Q ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 4 M } { r } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + 2 Q ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i v } _ { x } ( u \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] ) } & { = u \cdot \nabla _ { x } \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] + ( \mathrm { d i v } _ { x } u ) \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] } \\ & { = \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ ( u \cdot \nabla _ { x } \mathfrak { h } ) ] + ( \mathrm { d i v } _ { x } u ) \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] + [ u \cdot \nabla _ { x } , \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } ] [ \mathfrak { h } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E = \int d \vec { r } \sum _ { m = - 1 } ^ { 1 } \psi _ { m } ^ { * } } & { { } \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 M } + U _ { t r a p } ( \vec { r } ) - p m + q m ^ { 2 } \right) \psi _ { m } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { 2 } ^ { 3 } } & { = } & { 1 , } \\ { x _ { j } ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { z ^ { 3 } } & { = } & { 1 , } \\ { ( x _ { i } x _ { i + 1 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 , } \\ { ( x _ { i } x _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j \geq i + 2 , } \\ { ( x _ { j } w ) ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( z w ^ { - 1 } x _ { 3 } ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } & { = } & { 1 , } \\ { ( z w ^ { - 1 } x _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 4 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( z w ^ { - 1 } x _ { 3 } ^ { - 1 } z ^ { - 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 2 } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { = } & { 1 , } \\ { ( w z ^ { - 1 } x _ { 3 } w z w ^ { - 1 } x _ { 2 } ^ { - 1 } x _ { 3 } ^ { - 1 } x _ { 2 } ) ^ { 2 } } & { = } & { 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { s , t } = } & { { } \int _ { S _ { A } } u _ { s } ^ { - * } ( x , y , z _ { A } ) \exp \left( 2 i k f _ { A } ( x , y ) \right) u _ { t } ^ { + } ( x , y , z _ { A } ) d S , } \\ { B _ { s , t } = } & { { } \int _ { S _ { B } } u _ { s } ^ { + * } ( x , y , z _ { B } ) \exp \left( 2 i k f _ { B } ( x , y ) \right) u _ { t } ^ { - } ( x , y , z _ { B } ) d S , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial } { \partial \epsilon } \Big \rvert _ { 0 } \int _ { \Omega } \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { g } ( m + \epsilon h ) \, d \Omega = \frac { \partial } { \partial \epsilon } \Big \rvert _ { 0 } \int _ { \Omega } \boldsymbol { \lambda } \cdot \Big ( \mathbf { g } ( m ) + \epsilon \mathbf { g } ( h ) \Big ) \, d \Omega } \\ & { } & { = \int _ { \Omega } \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { g } ( h ) d \Omega . } \end{array}
\langle N ( p _ { f } ) | A _ { \mu } ^ { i } ( x ) | N ( p _ { i } ) \rangle = \langle N ( p _ { f } ) | \bar { q } ( x ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \frac { \tau _ { i } } { 2 } q ( x ) | N ( p _ { i } ) \rangle .
\begin{array} { r l } { | I _ { f , 5 } ^ { L , H H } | } & { { } \leq C _ { e l l } \langle t \rangle ^ { 2 } \| \mathrm { A } ^ { \mathrm { R } } \widetilde { \varphi _ { 1 } } \| _ { L ^ { 2 } } \| \mathrm { A } P _ { | k | \geq k _ { M } } f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta = \frac { \left< \dot { W } \right> } { \left< \dot { Q } _ { \mathrm { i n } } \right> } } & { { } = { \frac { g \alpha H } { C _ { p } } \frac { 2 \left< X ^ { 2 } \right> } { b ( R / R _ { c } + 2 \left< Z \right> ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( \alpha , \gamma ) = \int _ { S ^ { 1 } \times S ^ { 1 } } G _ { \alpha , \gamma } ^ { * } \omega = \int _ { S ^ { 1 } \times S ^ { 1 } } ( \mathrm { i d } \times \varphi ) ^ { * } G _ { \alpha , \beta } ^ { * } \omega = \int _ { S ^ { 1 } \times S ^ { 1 } } G _ { \alpha , \beta } ^ { * } \omega = L ( \alpha , \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C \int _ { t _ { 2 } } ^ { t } \left( \frac { l } { s ^ { \frac { 3 d } { 2 } + 1 - l } } + \frac { d } { s ^ { \frac { d } { 2 } + 1 } } - \frac { \gamma \beta d } { 2 s ^ { d + 1 } } + \frac { C _ { 1 } } { s ^ { 2 } } \right) \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } s ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right) d s } \\ { \leq \ } & { C \int _ { t _ { 2 } } ^ { t } \left( - \frac { 1 } { \delta s ^ { 2 } } + \frac { \alpha - \gamma } { \delta s ^ { \frac { d } { 2 } + 1 } } \right) \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } s ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right) d s } \\ { = \ } & { C \int _ { t _ { 2 } } ^ { t } \frac { d } { d s } \left( \frac { \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } s ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right) } { \delta s } \right) d s \ = \ C \left( \frac { \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } t ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right) } { \delta t } - \frac { \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } t _ { 2 } ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right) } { \delta t _ { 2 } } \right) } \\ { = \ } & { C \frac { \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } t ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right) } { \delta t } - C _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 \leq \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { u _ { k } } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - A ^ { H } X A + E ^ { H } X E } & { C ^ { H } - A ^ { H } X B } \\ { C - B ^ { H } X A } & { D + D ^ { H } - B ^ { H } X B } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { u _ { k } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } f _ { n } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } & { = \int _ { \mathcal { D } _ { n } } f ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { n } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \\ & { \approx \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } f ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { n } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } = 1 . } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int { { \frac { \mathbf { J ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { p { \bf q } s , e { \bf q } ^ { \prime } s ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } = } & { \frac { 2 \pi e ^ { 4 } c ^ { 4 } } { V ^ { 4 } \hbar ^ { 4 } } \sum _ { i i ^ { \prime } } ^ { \prime } \frac { 1 } { \omega _ { i } ^ { 2 } \omega _ { i ^ { \prime } } ^ { 2 } } \sum _ { \pm } \delta ( \varepsilon _ { q } + \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { i } \pm \omega _ { i ^ { \prime } } ) } \\ & { \times \bigg | \overline { { u } } _ { { \bf q } ^ { \prime } s ^ { \prime } } \, \vec { \gamma } \cdot \sum _ { { \bf q } ^ { \prime \prime } } \Big [ \vec { \mathcal { E } } _ { i , { \bf q } ^ { \prime } - { \bf q } ^ { \prime \prime } } \, G _ { F } ( { \bf q } ^ { \prime \prime } , \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { i } ) \, \vec { \mathcal { E } } _ { i ^ { \prime } , { \bf q } + { \bf q } ^ { \prime \prime } } ^ { \pm } + \vec { \mathcal { E } } _ { i ^ { \prime } , { \bf q } ^ { \prime } - { \bf q } ^ { \prime \prime } } ^ { \pm } \, G _ { F } ( { \bf q } ^ { \prime \prime } , \varepsilon _ { q ^ { \prime } } \pm \omega _ { i ^ { \prime } } ) \, \vec { \mathcal { E } } _ { i , { \bf q } + { \bf q } ^ { \prime \prime } } \Big ] \cdot \vec { \gamma } \, v _ { { \bf q } s } \bigg | ^ { 2 } , } \end{array}
\lambda ^ { - 1 } = \frac { \Delta c } { M c _ { + } \Delta \chi \Delta s ^ { \star } } \exp \left( \frac { 2 L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \right) \, \frac { R } { 4 l _ { + } } \, \left[ l _ { - } + \frac { l _ { + } } { \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } \right] \left[ l _ { + } + \frac { l _ { - } } { \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } \right] \, ,
f _ { 1 } ( e ^ { - \pi / s } ) = \sqrt { s } f _ { 1 } ( e ^ { - \pi s } ) , ~ ~ f _ { 3 } ( e ^ { - \pi / s } ) = f _ { 3 } ( e ^ { - \pi s } ) , ~ ~ f _ { 2 } ( e ^ { - \pi / s } ) = f _ { 4 } ( e ^ { - \pi s } ) .
\begin{array} { r l } { \Vert \psi _ { n } ( a ) \Vert _ { s - \sigma } } & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { j } = n } \left( \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { j } \left( \frac { j ^ { j } } { e ^ { j } j ! } \right) ^ { 2 } j ! \, \mathbf { c } _ { k _ { j } , \ldots , k _ { 1 } } \Vert H _ { k _ { 1 } } \Vert _ { s } \cdots \Vert H _ { k _ { j } } \Vert _ { s } \Vert a \Vert _ { s } } \\ & { \leq \sum _ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { j } = n } \left( \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { j } \Vert H _ { k _ { 1 } } \Vert _ { s } \cdots \Vert H _ { k _ { j } } \Vert _ { s } \Vert a \Vert _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { E } ( g , \tau ) } & { = \int _ { \mathcal { M } } \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } d \pmb { \mathscr { s } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \mathscr { P } ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) } \\ & { \approx \sum _ { n } \int _ { \mathcal { M } } \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } d \pmb { \mathscr { s } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \delta ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } - \pmb { \sigma } ^ { n } ) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { n } g ( \pmb { \sigma } ^ { n } ) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( { \mathbf { y } } ; { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) } & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } \mid x _ { s } , { \mathbf { x } } _ { i } } \Big [ \log \frac { p ( { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) } { p ( { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) p ( { \mathbf { y } } \mid x _ { s } ) } \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } \mid x _ { s } , { \mathbf { x } } _ { i } } \Big [ \log \frac { p ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) } { p ( { \mathbf { y } } \mid x _ { s } ) } \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \Big [ D _ { \mathrm { K L } } \big ( p ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) \mid \mid p ( { \mathbf { y } } \mid x _ { s } ) \big ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } ) } & { = \mathcal { L } _ { H } ( \pmb { \theta } ) + \mathcal { L } _ { L } ( \pmb { \theta } ) } \\ & { = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { H R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } { \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N _ { H B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } { \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H B } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { H i g h - f i d e l i t y ~ p h y s i c s } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { L D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } } { \left\| \mathbf { y } _ { L } ( \mathbf { x } _ { L D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { L } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { L o w - f i d e l i t y ~ l a b e l e d ~ d a t a } } } \end{array} ,
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial V ^ { 2 } } \right) _ { T } } & { { } } & { = - \left( \frac { \partial P } { \partial V } \right) _ { T } = \frac { 1 } { V \kappa _ { T } } \geq 0 \Longleftrightarrow \kappa _ { T } > 0 \Longleftrightarrow \left( \frac { \partial P } { \partial V } \right) _ { T } \leqslant 0 , } \end{array}
\widehat { \beta } _ { t } ^ { b } = \frac { p _ { \mathrm { b i r t h } } ( t ) \sharp \left[ { \overline { { E _ { \mathrm { p a } } ( t ) } } } \right] } { \sum _ { \overline { { E _ { \mathrm { p a } } ( t ) } } } k _ { i , t } ^ { \mathrm { o u t } } k _ { j , t } ^ { \mathrm { i n } } } .
{ \frac { 4 i \pi z } { N \sqrt { 2 } } } = - { \frac { r - 1 } { r } } + \ln r + { \frac { ( r - 1 ) ( \ln ( r - 1 ) - 1 ) } { N r } } + { \frac { \bigl ( \ln ( r - 1 ) \bigr ) ^ { 2 } } { 2 N ^ { 2 } r } } + { \cal O } \bigl ( 1 / N ^ { 3 } \bigr ) .
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 0 } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { m } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { m } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { m } = \left[ \begin{array} { l l } { m } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { h ^ { 0 } R g _ { * } R \mathcal { H } o m _ { Y ^ { \prime } } ( \imath _ { * } ^ { \prime } g ^ { * } \Omega _ { X } ^ { q } ( \log \Delta _ { X } ) [ q ] , \Omega _ { Y ^ { \prime } } ^ { q + c } ( \log \Delta _ { Y ^ { \prime } } ) [ q + c ] ) } \\ & { \to h ^ { 0 } R g _ { * } R \mathcal { H } o m _ { U _ { Y ^ { \prime } } } ( \imath _ { * } ^ { \prime } g ^ { * } \Omega _ { X } ^ { q } ( \log \Delta _ { X } ) | _ { U _ { Y ^ { \prime } } } [ q ] , \Omega _ { Y ^ { \prime } } ^ { q + c } ( \log \Delta _ { Y ^ { \prime } } ) | _ { U _ { Y ^ { \prime } } } [ q + c ] ) } \end{array}
\gamma = \frac { 3 } { 8 \pi } \frac { \lambda ^ { 2 } } { \Delta x \Delta y } \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } } = \frac { 3 } { 8 \pi } \Delta o \, \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } }
{ \begin{array} { r l r } & { ( x + 1 ) \ 3 ^ { - x } = { \frac { 1 } { 2 } } } & { ( { \mathrm { m u l t i p l y ~ b y ~ } } 3 ^ { - x } / 2 ) } \\ { \Leftrightarrow \ } & { ( - x - 1 ) \ 3 ^ { - x - 1 } = - { \frac { 1 } { 6 } } } & { ( { \mathrm { m u l t i p l y ~ b y ~ } } { - } 1 / 3 ) } \\ { \Leftrightarrow \ } & { ( \ln 3 ) ( - x - 1 ) \ e ^ { ( \ln 3 ) ( - x - 1 ) } = - { \frac { \ln 3 } { 6 } } } & { ( { \mathrm { m u l t i p l y ~ b y ~ } } \ln 3 ) } \end{array} }
{ \cal O } _ { 7 } ( m _ { b } ) = { \cal O } _ { 7 } ( \mu ) \left[ \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \alpha _ { s } ( \mu ) } \right] ^ { 1 6 / ( 3 \beta _ { 0 } ) } + \sum _ { i \neq 7 } \epsilon _ { i } ( \mu ) { \cal O } _ { i } ( \mu )
\hat { v } _ { \mathrm { H , \pm } } ( p ) = \frac { \hbar } { \hbar } { L } \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \{ p \frac { d } { d { \alpha } _ { \pm p } } \mp ( 1 - \mathrm { N } ^ { 2 } ) ( \frac { e _ { + } \mathrm { L } } { 4 { \pi } { \hbar } } ) ^ { 2 } { \alpha } _ { \mp p } \} .
\begin{array} { r l } { F _ { \left. \Theta \right| L , t } \left( \theta \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \theta \in \left[ 0 , \theta _ { \operatorname* { m i n } } \right) , } \\ { 1 - \frac { 1 } { \pi } \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { H _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } - \sqrt { \left( H _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } + L ^ { 2 } \right) \left( H _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } + t ^ { 2 } \right) } \cos \theta } { L t } \right) , } & { \theta \in \left[ \theta _ { \operatorname* { m i n } } , \theta _ { \operatorname* { m a x } } \right) , } \\ { 1 , } & { \theta \in \left[ \theta _ { \operatorname* { m a x } } , \pi \right] , } \end{array} \right. } \\ { f _ { \left. \Theta \right| L , t } \left( \theta \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \sin \theta } { \pi \sqrt { \left( \cos \theta _ { \operatorname* { m i n } } - \cos \theta \right) \left( \cos \theta - \cos \theta _ { \operatorname* { m a x } } \right) } } , } & { \theta \in \left( \theta _ { \operatorname* { m i n } } , \theta _ { \operatorname* { m a x } } \right) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\langle e ^ { i n X / R } \rangle _ { \mathrm { m a t t e r } } = 2 \pi R \delta _ { n , 0 } , \quad \left\langle \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { 2 } c \partial c \ c \right\rangle _ { \mathrm { g h o s t } } = 1 .
\begin{array} { r } { R _ { T } ( g , d t ) = \pmb { g } ^ { T } \exp ( Q d t ) P \pmb { g } \approx \pmb { g } ^ { T } P \pmb { g } + d t \pmb { g } ^ { T } Q P \pmb { g } \leq \vec { g } ^ { T } P \pmb { g } \Rightarrow \pmb { g } ^ { T } Q P \pmb { g } \leq 0 } \end{array}