harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \bf { G } } _ { \alpha } } & { { } = { \bf { A } } _ { \alpha } + \xi _ { 3 } { \bf { A } } _ { 3 , \alpha } , } \\ { { \bf { G } } _ { 3 } } & { { } = { \bf { A } } _ { 3 } . } \end{array}
T = \frac { \iint d t _ { 1 } d t _ { 2 } | \psi _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } | ^ { 2 } t _ { 1 } } { \iint d t _ { 1 } d t _ { 2 } | \psi _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } | ^ { 2 } }
\frac { \partial \vec { Q } } { \partial t } + \vec { \nabla } \cdot \vec { \mathcal { F } } ( \vec { Q } , \overrightarrow { \nabla Q } ) \equiv \frac { \partial \vec { Q } } { \partial t } + \vec { \nabla } \cdot \left[ \vec { \mathcal { F } } _ { e } ( \vec { Q } ) - \vec { \mathcal { F } } _ { v } ( \vec { Q } , \overrightarrow { \nabla Q } ) \right] = 0 \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { S _ { \infty } ^ { \mathrm { s p } } ( \omega ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } S _ { n } ^ { \mathrm { s p } } ( \omega ) , } \\ { S _ { n } ^ { \mathrm { s p } } ( \omega ) } & { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { \ell , m = 1 } ^ { n } \mathrm { c o v } ( s _ { \ell } , s _ { m } ) z ^ { \ell - m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { q _ { \mathrm { s t } } } } & { \colon \mathrm { C } _ { \mathrm { b } } ( D _ { K } ) \rightarrow \mathrm { C } _ { \mathrm { b } } ( D _ { K _ { \mathrm { s t } } } ) , \quad f \mapsto f \circ q _ { \mathrm { s t } } \textrm { a n d } } \\ { \mathrm { e x t } } & { \colon \mathrm { C } _ { \mathrm { b } } ( D _ { K _ { \mathrm { s t } } } ) \rightarrow \mathrm { C } ( K _ { \mathrm { s t } } ) , \quad f \mapsto \mathrm { e x t } ( f ) } \end{array}
\int d ^ { ( p + 1 ) } x \, d ^ { ( 9 - p ) } y \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \bot } \cdot y } } { ( 7 - p ) \, r ^ { 7 - p } \, \Omega _ { 8 - p } } = \frac { V _ { p + 1 } } { k _ { \bot } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { ( m _ { 3 } ) _ { u , v } ^ { 1 , 0 ; r , s } } & { = - \frac { r ! s ! ( u + v + 1 ) ! ( r + s - u - v - 1 ) ! } { ( r + s + 1 ) ! u ! v ! ( r - u ) ! ( s - v - 1 ) ! } , } \\ { ( m _ { 3 } ) _ { u , v } ^ { r , s ; 1 , 0 } } & { = \frac { r ! s ! ( u + v ) ! ( r + s - u - v ) ! } { ( r + s + 1 ) ! u ! v ! ( r - u ) ! ( s - v - 1 ) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 1 } } & { = } & { x _ { 1 , 1 } + x _ { 2 , 1 } - x _ { 3 , 1 } - x _ { 4 , 1 } \; , } \\ { S _ { 2 } } & { = } & { x _ { 1 , 1 } - x _ { 2 , 1 } + x _ { 3 , 1 } - x _ { 4 , 1 } \; , } \\ { S _ { 3 } } & { = } & { x _ { 1 , 2 } + x _ { 2 , 2 } - x _ { 3 , 2 } - x _ { 4 , 2 } \; , } \\ { S _ { 4 } } & { = } & { x _ { 1 , 2 } - x _ { 2 , 2 } + x _ { 3 , 2 } - x _ { 4 , 2 } \; , } \end{array}
f _ { k } ( \tau _ { o } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \omega _ { k } ( \tau _ { o } ) } } \; \; ; \; f _ { k } ^ { \prime } ( \tau _ { o } ) = - i \sqrt { \omega _ { k } ( \tau _ { o } ) } f _ { k } ( \tau _ { o } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { D } { D t } \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } ^ { \prime } \right\rangle = } & { { } - \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \times \mathbf { j } ^ { \prime } \right\rangle \cdot \left( \left\langle \mathbf { W } \right\rangle + 2 \boldsymbol { \Omega } \right) - \left\langle w _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } - j _ { i } ^ { \prime } b _ { j } ^ { \prime } \right\rangle \partial _ { j } \left\langle B \right\rangle _ { i } - \partial _ { j } \left\langle U \right\rangle _ { m } \left\langle \epsilon _ { i j k } u _ { i } ^ { \prime } \partial _ { m } b _ { k } ^ { \prime } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varlimsup _ { n \to \infty } \int _ { \Omega } | D ( U _ { n } ^ { T } ) | } & { = \varlimsup _ { n \to \infty } \int _ { 1 / T } ^ { T } \mathrm { P e r } ( \{ U _ { n } > t \} ) \, \mathrm d t } \\ & { \leq \Lambda \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { T ^ { 2 - p _ { n } } - T ^ { p _ { n } - 2 } } { 2 - p _ { n } } = \Lambda \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \log T } & { \mathrm { ~ i f ~ } p = 2 } \\ { \displaystyle \frac { T ^ { 2 - p } - T ^ { p - 2 } } { 2 - p } } & { \mathrm { ~ i f ~ } p \in ( 1 , 2 ) . } \end{array} \right. } \end{array}
E _ { l } ^ { [ s t a t ] } ( \tau , { \vec { r } } , \eta ) = \int { \frac { d \nu d ^ { 2 } { \vec { k } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { e ^ { i \nu \eta + i { \vec { k } } { \vec { r } } } } { i k _ { t } ^ { 2 } } } \left[ \begin{array} { c } { { k _ { r } \tau ^ { - 1 } s _ { 1 , i \nu } ( k _ { t } \tau ) } } \\ { { \nu k _ { t } ^ { 2 } \tau s _ { - 1 , i \nu } ( k _ { t } \tau ) } } \end{array} \right] _ { l } \rho ( { \vec { k } } , \nu ) ~ .
Z = \beta ^ { N / 2 } \Gamma ( N / 2 ) ^ { - 1 } { \LARGE \int _ { 0 } ^ { \infty } } d \sigma ( 4 \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { M } \sigma ^ { N - 1 } e x p ( - \beta \sigma ^ { 2 } )
\begin{array} { l r } { T _ { A B } ^ { + } = \frac { x f _ { i } } { x f _ { i } + y f _ { j } } \frac { y } { N } } \\ { T _ { A B } ^ { - } = \frac { y f _ { j } } { x f _ { i } + y f _ { j } } \frac { x } { N } } \end{array} ,
f ( x ; \lambda , \sigma ) = \frac { - \ln ( \sigma ) } { \lambda } ( \frac { x } { \lambda } ) ^ { - \ln ( \sigma ) - 1 } e ^ { - ( x / \lambda ) ^ { ( } - \ln ( \sigma ) ) } ; x \ge 0 ; \sigma \in ( 0 , 1 ] ; \lambda > \mathbb { R } ^ { + }
\langle { T _ { 0 } } ^ { 0 } \rangle = \rho ( t ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \langle { T _ { i } } ^ { j } \rangle = - p ( t ) { \delta _ { i } } ^ { j } = - { \frac { { \delta _ { i } } ^ { j } } { D - 1 } } ~ { \frac { A } { R ^ { D } ( t ) } } ,
\begin{array} { r l r } { G _ { 2 } } & { = } & { - d \left[ d ^ { 2 } + m ^ { 2 } ( m ^ { 2 } + 2 i k \nu ) \right] \left[ ( \alpha _ { + } - \alpha _ { - } ) ( R _ { + } r _ { + } - R _ { - } r _ { - } ) - ( \alpha _ { + } + \alpha _ { - } ) ( R _ { + } r _ { - } - R _ { - } r _ { + } ) \right] } \\ & { } & { + 2 m ^ { 2 } d ^ { 2 } \left[ ( \alpha _ { + } + \alpha _ { - } ) ( R _ { + } r _ { + } - R _ { - } r _ { - } ) - ( \alpha _ { + } - \alpha _ { - } ) ( R _ { + } r _ { - } - R _ { - } r _ { + } ) \right] } \\ & { } & { - m \alpha _ { + } \alpha _ { - } ( d ^ { 2 } + m ^ { 4 } ) ( R _ { + } + R _ { - } ) ( r _ { + } + r _ { - } ) } \\ & { } & { + m \left[ k d ^ { 2 } ( k + 4 i \nu ) - ( 2 k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( m ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } \nu ^ { 4 } \right] ( R _ { + } - R _ { - } ) ( r _ { + } - r _ { - } ) } \\ & { } & { - 2 m \alpha _ { + } \alpha _ { - } ( m ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( R _ { + } R _ { - } + r _ { + } r _ { - } ) } \\ & { } & { - 2 d \, z \left\{ \ \ \alpha _ { - } ( m ^ { 2 } - d ) \left[ m \alpha _ { + } ( R _ { + } + R _ { - } ) + i \, k \nu ( R _ { + } - R _ { - } ) \right] \right. } \\ & { } & { \qquad \quad \left. - \alpha _ { + } ( m ^ { 2 } + d ) \left[ m \alpha _ { - } ( r _ { + } + r _ { - } ) + i \, k \nu ( r _ { + } - r _ { - } ) \right] \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = \frac { ( q ^ { 2 m } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 m - 2 } + ( m - 1 ) q ^ { 2 m } - ( m - 1 ) q ^ { 2 m + 2 } - 1 ) } { q ^ { 4 m - 3 } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } } \\ { c _ { 2 } } & { = \frac { ( q ^ { 2 m } - 1 ) ^ { 2 } ( m q ^ { 2 m - 2 } - ( m - 1 ) q ^ { 2 m } - 1 ) } { q ^ { 4 m - 3 } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } } } \\ { c _ { 3 } } & { = \frac { ( q ^ { 2 m } - 1 ) ( q ^ { 2 m + 4 } - m ( q ^ { 4 } - 1 ) q ^ { 2 m } - q ^ { 2 } ) } { q ^ { 4 m } ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array}
K _ { 2 } ^ { * } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \widehat { K } _ { 2 } ^ { * } , } & { \mathrm { i f } \; p \in \left( \frac { 1 } { 2 } + c _ { 2 } , - \frac { 4 c _ { 2 } - 9 } { 8 c _ { 2 } + 6 } - \frac { 1 } { 4 } C \right) } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f } \; p \in \left[ - \frac { 4 c _ { 2 } - 9 } { 8 c _ { 2 } + 6 } - \frac { 1 } { 4 } C , 1 \right] , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ( \kappa , k ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } u ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) \int _ { t } ^ { \infty } p ( t _ { v } ) \, \mathrm { d } t _ { v } \, \mathrm { d } t } \end{array}
f ( \eta _ { f } , \eta _ { i } ) = { \frac { 2 } { D _ { i } ^ { \prime } - C _ { f } ^ { \prime } } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad C _ { i } ^ { \prime } \equiv { \frac { \partial } { \partial \eta } } C ( \eta _ { i } ) ~ , \mathrm { e t c }
\begin{array} { r l } { Q _ { V ^ { * } } ( u _ { i } , u _ { i + 1 } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { i - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { i } ) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 2 } } \\ & { + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 3 } , x _ { i - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { i - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 3 } , x _ { i } ) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 3 } } \\ & { + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 3 } , x _ { i - 2 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 3 } , x _ { i - 1 } ) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 3 } . } \end{array}
\tau _ { z } = \left( \begin{array} { l l l } { { B _ { 2 } - z _ { 2 } } } & { { B _ { 1 } - z _ { 1 } } } & { { I } } \end{array} \right) , \quad \sigma _ { z } = \left( \begin{array} { l } { { - B _ { 1 } + z _ { 1 } } } \\ { { B _ { 2 } - z _ { 2 } } } \\ { { J } } \end{array} \right) .
\Gamma _ { a , b } ( t _ { 2 } ) = \left[ \int _ { b _ { t _ { 2 } } } ^ { \infty } \int _ { x } ^ { \infty } - \int _ { b _ { t _ { 1 } } } ^ { \infty } \int _ { a _ { t _ { 1 } } } ^ { \infty } + \int _ { a _ { t _ { 1 } } } ^ { \infty } \int _ { a _ { t _ { 1 } } } ^ { \infty } - \int _ { a _ { t _ { 2 } } } ^ { \infty } \int _ { x } ^ { \infty } \right] f ( x ) f ( y ) d y d x .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \hat { \bf r } } \\ { \hat { \bf \Phi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \cos \phi } & { \sin \phi } \\ { - \sin \phi } & { \cos \phi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { \bf x } } \\ { \hat { \bf y } } \end{array} \right) . } \end{array}
k _ { z , n } ^ { \pm } = \frac { n _ { n } } { c } \omega _ { n } ^ { \pm } \cos \theta _ { n } ^ { \pm } , \quad k _ { x , n } ^ { \pm } = \frac { n _ { n } } { c } \omega _ { n } ^ { \pm } \sin \theta _ { n } ^ { \pm } ,
G _ { M N } d x ^ { M } d x ^ { N } = H _ { p } ^ { - { \frac { 4 ( n - 1 ) } { ( p + n ) \Delta _ { p } } } } \left[ - d t ^ { 2 } + d { \bf x } \cdot d { \bf x } \right] + H _ { p } ^ { \frac { 4 ( p + 1 ) } { ( p + n ) \Delta _ { p } } } \left[ d \tilde { y } ^ { 2 } + g _ { i j } d y ^ { i } d y ^ { j } \right] ,
\begin{array} { r l } { g ( \mathbf { x } _ { k } ) } & { { } = \int | \psi ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) | ^ { 2 } d \mathbf { x } _ { 1 } \ldots { } d \mathbf { x } _ { k - 1 } d \mathbf { x } _ { k + 1 } \ldots { } d \mathbf { x } _ { N } . } \end{array}
\left. { \frac { \partial \Gamma _ { n - 1 } } { \partial \kappa } } \right| _ { \Phi , K } = \left. { \frac { \partial W _ { n - 1 } } { \partial \kappa } } \right| _ { J , K } = \left. { \frac { \partial _ { r } < \chi _ { n - 1 } > _ { J } } { \partial K _ { A } } } \right| _ { J } J _ { A } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { A } } .
A _ { \alpha , \boldsymbol { \vartheta } , N } = \frac { 1 } { 8 } \, \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } [ r ( \alpha , \boldsymbol { \vartheta } , N ) ] ^ { 4 } \sin 2 \alpha \; d \Omega _ { 3 } \, ,
\begin{array} { r l } { \dot { s } _ { x x } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \langle W ( x ) \rangle ( s _ { x y } + s _ { y x } ) - 2 \Delta ( s _ { x n } + s _ { n x } ) - \Delta ( \langle \sigma _ { 1 } ^ { x } \rangle + \langle \sigma _ { 2 } ^ { x } \rangle ) - \gamma s _ { x x } } \\ { \dot { s } _ { x y } } & { = \frac { 1 } { 2 } \langle W ( x ) \rangle ( s _ { x x } - s _ { y y } ) - 4 \Omega s _ { x n } + 2 \Omega \langle \sigma _ { 1 } ^ { x } \rangle + \Delta ( s _ { x x } - s _ { y y } ) - \gamma s _ { x y } } \\ { \dot { s } _ { x n } } & { = - \langle W ( x ) \rangle s _ { y n } + \Omega s _ { x n } - \Delta s _ { y n } - \frac { 3 } { 2 } \gamma s _ { x n } } \\ { \dot { s } _ { y x } } & { = \frac { 1 } { 2 } \langle W ( x ) \rangle ( s _ { x x } - s _ { y y } ) - 4 \Omega s _ { n x } + 2 \Omega \langle \sigma _ { 2 } ^ { x } \rangle + \Delta ( s _ { x x } - s _ { y y } ) - \gamma s _ { y x } } \\ { \dot { s } _ { y y } } & { = \frac { 1 } { 2 } \langle W ( x ) \rangle ( s _ { x y } + s _ { y x } ) - 4 \Omega ( s _ { y n } + s _ { n y } ) + 2 \Omega ( \langle \sigma _ { 1 } ^ { y } \rangle + \langle \sigma _ { 2 } ^ { y } \rangle ) + 2 \Delta ( s _ { x n } + s _ { n x } ) - \Delta ( \langle \sigma _ { 1 } ^ { x } \rangle + \langle \sigma _ { 2 } ^ { x } \rangle ) - \gamma s _ { y y } } \\ { \dot { s } _ { y n } } & { = \langle W ( x ) \rangle s _ { x n } + \Omega ( s _ { y y } - 4 s _ { n n } ) + \Delta s _ { x n } - \frac { 3 } { 2 } \gamma s _ { y n } } \\ { \dot { s } _ { n x } } & { = - \langle W ( x ) \rangle s _ { n y } + \Omega s _ { n x } - \Delta s _ { n y } - \frac { 3 } { 2 } \gamma s _ { n x } } \\ { \dot { s } _ { n y } } & { = \langle W ( x ) \rangle s _ { n x } + \Omega ( s _ { y y } - 4 s _ { n n } ) + \Delta s _ { n x } - \frac { 3 } { 2 } \gamma s _ { n y } } \\ { \dot { s } _ { n n } } & { = \Omega ( s _ { y n } + s _ { n y } ) - \gamma s _ { n n } . } \end{array}
\Omega _ { \nu } ^ { - 1 } = \; \int d ^ { 4 } x \; \; \left[ \omega _ { \nu } ^ { - 1 } \right] _ { 5 } \; \equiv \; \int d ^ { 4 } x \; \left( c ^ { a } \partial _ { \nu } C ^ { * a } - A _ { \mu } ^ { a } \partial _ { \nu } A ^ { * a \mu } \; \right) \; ,
\Big | \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { n , m = 0 } ^ { N - 1 } a _ { n } b _ { m } c _ { n + m } \Big | ^ { 2 } \le \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } b _ { m } c _ { n + m } \Big | ^ { 2 } \le \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 0 } ^ { 2 ( N - 1 ) } e ^ { 2 \pi i m t } c _ { m } \Big | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \ } & { \int _ { a } ^ { b } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( L ( x ) + \Psi ( u ( t , x ) ) \right) \, d \mu _ { N } ( t , \, x ) \, d t } \\ { = } & { \int _ { a } ^ { b } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( L ( x ) + \Psi ( u ( t , x ) ) \right) \, d \mu ( t , \, x ) \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { \mathrm { d } \overline { \mathscr { B } } _ { s } } { \mathrm { d } s } \mathcal { L } _ { s } ^ { - 1 } \left[ \overline { { \mathscr { A } } } _ { s } \right] = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \overline { \mathscr { B } } \left( \frac { u _ { 1 } \cdot v } { 2 T } \right) \mathscr { A } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o v } ( V , T ) } & { = \operatorname { E } \left( T \cdot \left[ { \frac { 1 } { f ( X ; \theta ) } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } f ( X ; \theta ) \right] \right) } \\ & { = \int t ( x ) \left[ { \frac { 1 } { f ( x ; \theta ) } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } f ( x ; \theta ) \right] f ( x ; \theta ) \, d x } \\ & { = { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left[ \int t ( x ) f ( x ; \theta ) \, d x \right] = { \frac { \partial } { \partial \theta } } E ( T ) = \psi ^ { \prime } ( \theta ) } \end{array} }
{ \begin{array} { r l r l r l } & { { \frac { D ^ { 1 } ( f \circ g ) } { 1 ! } } } & { = \left( f ^ { ( 1 ) } \circ g \right) { \frac { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { 1 ! } } } \\ & { { \frac { D ^ { 2 } ( f \circ g ) } { 2 ! } } } & { = \left( f ^ { ( 1 ) } \circ g \right) { \frac { \frac { g ^ { ( 2 ) } } { 2 ! } } { 1 ! } } } & { + \left( f ^ { ( 2 ) } \circ g \right) { \frac { { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } } { 2 ! } } } \\ & { { \frac { D ^ { 3 } ( f \circ g ) } { 3 ! } } } & { = \left( f ^ { ( 1 ) } \circ g \right) { \frac { \frac { g ^ { ( 3 ) } } { 3 ! } } { 1 ! } } } & { + \left( f ^ { ( 2 ) } \circ g \right) { \frac { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { 1 ! } } { \frac { \frac { g ^ { ( 2 ) } } { 2 ! } } { 1 ! } } } & { + \left( f ^ { ( 3 ) } \circ g \right) { \frac { { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } } { 3 ! } } } \\ & { { \frac { D ^ { 4 } ( f \circ g ) } { 4 ! } } } & { = \left( f ^ { ( 1 ) } \circ g \right) { \frac { \frac { g ^ { ( 4 ) } } { 4 ! } } { 1 ! } } } & { + \left( f ^ { ( 2 ) } \circ g \right) \left( { \frac { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { 1 ! } } { \frac { \frac { g ^ { ( 3 ) } } { 3 ! } } { 1 ! } } + { \frac { { \frac { g ^ { ( 2 ) } } { 2 ! } } { \frac { g ^ { ( 2 ) } } { 2 ! } } } { 2 ! } } \right) } & { + \left( f ^ { ( 3 ) } \circ g \right) { \frac { { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } } { 2 ! } } { \frac { \frac { g ^ { ( 2 ) } } { 2 ! } } { 1 ! } } } & { + \left( f ^ { ( 4 ) } \circ g \right) { \frac { { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } { \frac { g ^ { ( 1 ) } } { 1 ! } } } { 4 ! } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { q ( \sqrt { N } M _ { i j } ) = q ( \sqrt { N } W _ { i j } + \sqrt { N } { \boldsymbol u } _ { i } \Lambda ^ { 1 / 2 } { \boldsymbol u } _ { j } ^ { T } ) \approx \sqrt { N } \left( \frac { q ( \sqrt { N } W _ { i j } ) } { \sqrt { N } } + \mathbb { E } [ q ^ { \prime } ( \sqrt { N } W _ { i j } ) ] { \boldsymbol u } _ { i } \Lambda ^ { 1 / 2 } { \boldsymbol u } _ { j } ^ { T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { n , m } } & { \equiv \Big ( - A _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n + 2 , m ) } + A _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m + 2 ) } - B _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n - 2 , m ) } } \\ & { + B _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m - 2 ) } \Big ) / \left( 2 \sqrt { 2 } \beta _ { ( 0 , 0 ) , ( 0 , 2 ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { I m ( R _ { + } + R _ { - } ) \simeq - \frac { \sqrt { \pi } } { 4 \beta _ { i } } \left( \frac { \Omega _ { i } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left| \frac { \delta B _ { 0 \theta } } { B _ { 0 } } \right| ^ { 2 } \left( 1 - \Gamma _ { s \theta } \right) \sigma _ { s \theta } } \\ & { \times } & { \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } ( \omega - \omega _ { * i } ) _ { s } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { \times } & { \left[ \left( \frac { \omega _ { + } } { \omega _ { A } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \sigma _ { + s } z _ { + } \Delta _ { s } } - \left( \frac { \omega _ { - } } { \omega _ { A } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \sigma _ { - s } z _ { - } \Delta _ { s } } \right] . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { W ^ { + } } \\ { G } \end{array} \right] ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { \Lambda ^ { + } - R ^ { T } | \Lambda ^ { - } | R } & { - R ^ { T } | \Lambda ^ { - } | ^ { 1 / 2 } \tilde { S } } \\ { - \tilde { S } ^ { T } | \Lambda ^ { - } | ^ { 1 / 2 } R } & { I - \tilde { S } ^ { T } \tilde { S } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { W ^ { + } } \\ { G } \end{array} \right] - G ^ { T } G ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r c l } { \displaystyle \mathrm { d } s ^ { 2 } \! = \! \left( 1 \! + \! 2 \, \Phi \right) \mathrm { d } t ^ { 2 } \! - \! \left( 1 \! + \! 2 \, \Phi \right) ^ { - 1 } \mathrm { d } r ^ { 2 } \! - \! r ^ { 2 } \left( \mathrm { d } \theta ^ { 2 } \! + \! \sin ^ { 2 } \theta \mathrm { d } \varphi ^ { 2 } \right) . } \end{array} } \end{array}
\frac { p _ { i } ^ { ( N , G ) } } { \frac { 1 } { N } } = N p _ { i } ^ { ( N , G ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 - G } { 2 G - 1 } \left( \frac { \Gamma ( N + 1 ) \Gamma ( i - 2 + 1 / G ) } { \Gamma ( N + 1 / G - 1 ) \Gamma ( i ) } - 1 \right) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { H _ { N } - H _ { i - 1 } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right.
r _ { + } ^ { 2 } = { \frac { m l ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 + \sqrt { 1 + ( { \frac { 2 j } { m l } } ) ^ { 2 } } ) ~ , ~ ~ | r _ { - } | ^ { 2 } = { \frac { m l ^ { 2 } } { 2 } } ( \sqrt { 1 + ( { \frac { 2 j } { m l } } ) ^ { 2 } } - 1 ) ~ ~
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 , 0 } ^ { \left( j \right) } } & { \rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Sigma _ { + } ^ { \left( \ell \right) } \left( 1 + \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \right) \, \, , } \\ { \sigma _ { 2 , 0 } ^ { \left( \ell \right) } } & { \rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Sigma _ { - } ^ { \left( \ell \right) } \left( 1 - \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \right) \, \, , } \\ { \sigma _ { 0 , 1 } ^ { \left( \ell \right) } } & { \rightarrow \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Sigma _ { - } ^ { \left( \ell \right) } \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \, \, , } \\ { \sigma _ { 0 , 2 } ^ { \left( \ell \right) } } & { \rightarrow - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Sigma _ { + } ^ { \left( \ell \right) } \Sigma _ { z } ^ { \left( \ell \right) } \, \, , } \end{array}
{ \cal L } ( \phi _ { 1 } ) ~ = ~ \lambda \eta \phi _ { 1 } ^ { * } \phi _ { 1 } + m ^ { 2 } \phi _ { 1 } ^ { * } \phi _ { 1 } + ( h \eta \bar { e } _ { L } e _ { R } + m _ { e } \bar { e } _ { L } e _ { R } + H . c . ) \ .
\boldsymbol { x } _ { i , k + 1 } ^ { a } = \boldsymbol { x } _ { i , k + 1 } ^ { f } + \boldsymbol { K } _ { k + 1 } ( \boldsymbol { y } _ { i , k + 1 } - \boldsymbol { s } _ { i , k + 1 } ^ { f } )
\delta \Gamma _ { e f f } = t r \int d ^ { d } x \, ( D _ { \mu } \epsilon ^ { a } ) \frac { \delta \Gamma _ { e f f } } { \delta A _ { \mu } ^ { a } } = - t r \int d ^ { d } x \, \epsilon ^ { a } D _ { \mu } \left( \frac { \delta \Gamma _ { e f f } } { \delta A _ { \mu } ^ { a } } \right) \; .
W ( p , q ) \equiv W _ { 4 } ( p , q ; 0 ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 + \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 } } } & { { p } } & { { q } } & { { - \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { { p } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { - p } } \\ { { q } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - q } } \\ { { \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 } } } & { { p } } & { { q } } & { { 1 - \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ F ~ } } ( \textbf { r } ) = \frac { \hbar ^ { 2 } ( 6 \pi ^ { 2 } n _ { \mathrm { ~ L ~ i ~ } } ( \textbf { r } ) ) ^ { 2 / 3 } } { 2 m _ { \mathrm { ~ L ~ i ~ } } } . } \end{array}
\bar { A } _ { \beta , 1 } ^ { ( 2 ) } = \left. A _ { \beta , 1 } ^ { ( 0 ) } \right| _ { { \cal C } _ { \beta } } N ^ { ( 2 ) } ( d - 2 ) \int _ { \Sigma } + \left. A _ { \beta , 1 } ^ { ( 2 ) } \right| _ { { \cal C } _ { \beta } } \int _ { \Sigma } + \left. A _ { \beta , 1 } ^ { ( 1 ) } \right| _ { { \cal C } _ { \beta } } ( d - 2 ) \int _ { \Sigma } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ^ { L } } & { = - \left[ \frac { ( L _ { 1 } ) ^ { 2 } } { M _ { 1 } k _ { 1 } } ( \cosh u _ { 1 } - 1 ) \right] ^ { L } < 0 , \quad p _ { 1 } ^ { L } = \left[ \frac { M _ { 1 } k _ { 1 } } { L _ { 1 } } \frac { \sinh u _ { 1 } } { 1 - \cosh u _ { 1 } } \right] ^ { L } < 0 , } \\ { x _ { 2 } ^ { L } } & { = \left[ \frac { ( L _ { 2 } ) ^ { 2 } } { M _ { 2 } k _ { 2 } } ( \cosh u _ { 2 } - 1 ) \right] ^ { L } > 0 , \quad p _ { 2 } ^ { L } = \left[ \frac { M _ { 2 } k _ { 2 } } { L _ { 2 } } \frac { \sinh u _ { 2 } } { 1 - \cosh u _ { 2 } } \right] ^ { L } > 0 , } \\ { x _ { 1 } ^ { R } } & { = - \left[ \frac { ( L _ { 1 } ) ^ { 2 } } { M _ { 2 } k _ { 2 } } ( \cosh u _ { 1 } - 1 ) \right] ^ { R } < 0 , \quad p _ { 1 } ^ { R } = \left[ \frac { M _ { 2 } k _ { 2 } } { L _ { 1 } } \frac { \sinh u _ { 1 } } { 1 - \cosh u _ { 1 } } \right] ^ { R } < 0 , } \\ { x _ { 2 } ^ { R } } & { = \left[ \frac { ( L _ { 2 } ) ^ { 2 } } { M _ { 1 } k _ { 1 } } ( \cosh u _ { 2 } - 1 ) \right] ^ { R } > 0 , \quad p _ { 2 } ^ { R } = \left[ \frac { M _ { 1 } k _ { 1 } } { L _ { 2 } } \frac { \sinh u _ { 2 } } { 1 - \cosh u _ { 2 } } \right] ^ { R } > 0 . } \end{array}
\operatorname { E S } _ { \alpha } ( X ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - \mu - { \frac { \sigma } { \alpha \xi } } { \big [ } \Gamma ( 1 - \xi , - \ln \alpha ) - \alpha { \big ] } } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi \neq 0 , } \\ { - \mu - { \frac { \sigma } { \alpha } } { \big [ } { \mathrm { l i } } ( \alpha ) - \alpha \ln ( - \ln \alpha ) { \big ] } } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi = 0 . } \end{array} \right. }