harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 3 } ( \mathrm { d } F ) } & { = ( - \mathbf { d } \mathscr { E } + L _ { e _ { 0 } } \mathscr { B } , \mathbf { d } \mathscr { B } ) } \\ { \mathcal { R } _ { 1 } ( { * } \mathrm { d } { * } F ) } & { = ( - { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { E } , - { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { B } - L _ { e _ { 0 } } \mathscr { E } ) } \end{array}
\Delta \rho ( k ) = \frac { 1 } { \pi } \frac { 1 } { k ^ { 2 } + 1 } \int _ { 1 } ^ { \infty } d x \left[ \Theta ( \Lambda - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } \delta - | k | ) - \Theta ( \Lambda - | k | ) \right] \left( \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } { x ^ { 2 } } + \frac { k ^ { 2 } } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right)
s _ { H ^ { \prime } } = { \frac { \sqrt { 2 } w } { \sqrt { v ^ { 2 } + 2 w ^ { 2 } } } } , \, \, \, \, c _ { H ^ { \prime } } = { \frac { v } { \sqrt { v ^ { 2 } + 2 w ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \left( \rho _ { \mathrm { 0 } } h \right) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { \mathrm { 0 } } h \mathbf { U } \right) = } & { - \nabla \cdot \left[ \rho _ { \mathrm { 0 } } h _ { \mathrm { l } } \phi \left( \mathbf { u } - \mathbf { U } \right) \right] - \frac { \Delta v _ { \mathrm { l } } } { v _ { \mathrm { 0 } } } \rho _ { \mathrm { 0 } } { g } \phi { u _ { r } } + \nabla \cdot \left( k \nabla T \right) } \\ & { + \rho _ { \mathrm { 0 } } q + \nabla \cdot \left[ \kappa _ { \mathrm { e d d } } \nabla \left( \rho _ { \mathrm { 0 } } h \right) \right] \, , } \end{array}
\langle i | H ^ { \mathrm { e f f } } | g \rangle \rightarrow \langle i | H ^ { \mathrm { e f f } } | g \rangle + \sum _ { k } \frac { \langle i | H ^ { \mathrm { e f f } } | k \rangle \langle k | H ^ { \mathrm { e f f } } | g \rangle } { E - E _ { k } } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \supset } & { } & { - y _ { \mu } \bar { l } _ { L } \mu _ { R } H - \lambda _ { E } \bar { l } _ { L } E _ { R } H - \lambda _ { L } \bar { L } _ { L } \mu _ { R } H } \\ & { } & { - \lambda \bar { L } _ { L } E _ { R } H - \bar { \lambda } H ^ { \dagger } \bar { E } _ { L } L _ { R } + h . c . , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \| \nabla _ { \theta } R _ { \alpha } ^ { p } ( \theta ^ { * } ) \| _ { \infty } } { C _ { \alpha } } \leq d ^ { \frac { 1 } { 2 } } r \left| \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime \prime } } ( z _ { \alpha } ^ { * } ) \right| + d r ^ { 2 } \left| \tilde { l } ^ { \alpha ^ { \prime \prime \prime } } ( z _ { \alpha } ^ { * } ) \right| , } \end{array}
\delta \nu _ { \mathrm { m i n } } = \left. \delta \nu / \chi ( \nu _ { 0 } + \delta \nu ) \right| _ { \delta \nu = 0 } \approx \frac { \delta \nu ( \chi _ { \mathrm { m a x } } ) } { 2 \chi _ { \mathrm { m a x } } } \Delta \chi
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { p } } } & { { } = \left\{ S _ { \mathrm { p } - 2 } ^ { \mathrm { p } } \times S _ { \mathrm { p } - 2 } ^ { \mathrm { p } } \times S _ { \mathrm { p } - 2 } ^ { \mathrm { p } } , \ S _ { \mathrm { p } - 2 } ^ { \mathrm { p - 1 } } \right\} , } \\ { \mathcal { B } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { p } } } & { { } = S _ { \mathrm { p } - 1 } ^ { \mathrm { p } } \times S _ { \mathrm { p } - 1 } ^ { \mathrm { p } } \times S _ { \mathrm { p } - 1 } ^ { \mathrm { p } } , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { p } } } & { { } = L ^ { \mathrm { p } } \times L ^ { \mathrm { p } } \times L ^ { \mathrm { p } } , } \end{array}
\mathcal { E } _ { \mathrm { d i s c r } } \leq \frac { e ^ { \frac { 2 5 7 } { 2 5 6 } c ^ { 2 } + \big ( \frac { 1 } { 8 } x + \frac { 5 } { 1 6 } \big ) c } } { e ^ { \pi c J / 1 0 } - 1 }
A _ { r } = - { \frac { 4 ^ { r } } { a _ { r } } } \sum _ { k = 1 } ^ { r } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } \, S ( r , k ) } { k + 1 } } \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) ^ { ( k ) }
\begin{array} { r l } { W [ \tilde { \phi } ] } & { { } = \frac { 1 } { 8 \sqrt { \pi ^ { 3 } } \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 3 } \phi _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \sum _ { j = i + 1 } ^ { K } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { i } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { j } } \tilde { \chi } _ { i j } \exp \left[ \frac { - ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \ell } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \alpha ^ { \prime } } } & { { \sim } } & { { \varepsilon ^ { 1 / 2 } \to 0 ~ , } } \\ { { g } } & { { \sim } } & { { \varepsilon \to 0 ~ , } } \\ { { | b _ { I } | } } & { { \sim } } & { { \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \to \infty ~ . } } \end{array}
\textbf { U } _ { i } ^ { n + 1 } = \textbf { U } _ { i } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \left[ \textbf { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } - \textbf { F } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } \right] + \Delta t \textbf { S } \left( \textbf { U } _ { i } ^ { n } \right)
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } - a _ { 0 } - \frac { 3 a _ { 1 } } { 2 } - a _ { 2 } - \frac { a _ { 3 } } { 2 } + \frac { a _ { 5 } } { 2 } - \frac { a _ { 7 } } { 2 } + d _ { 1 } + d _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { 6 } = \frac { 1 } { 2 } G m \left[ \sigma ^ { + } e ^ { i ( \delta _ { 1 } - \Omega _ { 2 } ) t } + \sigma ^ { - } e ^ { i ( \delta _ { 1 } + \Omega _ { 2 } ) t } \right] + \mathrm { H . c . } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e ^ { - \sqrt { \frac { \epsilon _ { G } ^ { k l } } { \epsilon } } } \, e ^ { - \frac { \epsilon } { k _ { B } T } } } & { \approx } & { e ^ { - 3 \xi _ { k l } + \left( \frac { 2 ( \epsilon - \epsilon _ { G p } ^ { k l } ) } { \Delta _ { k l } } \right) ^ { 2 } } \, , } \\ { \epsilon _ { G p } ^ { k l } } & { = } & { \xi _ { k l } \, k _ { B } T \, , } \\ { \Delta _ { k l } } & { = } & { \frac { 4 \sqrt { \xi _ { k l } } \, k _ { B } T } { \sqrt { 3 } } \, , } \\ { \xi _ { k l } } & { = } & { \left( \frac { \epsilon _ { G } ^ { k l } } { 4 k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 2 4 } ^ { \downarrow \downarrow , s h } } = { - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } } & { { } \triangleq \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n } - ( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } + \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \Tilde { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \boldsymbol k } ^ { \mathrm { w } } } & { = \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \hat { f } _ { \boldsymbol \ell } \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i ( \boldsymbol \ell - \boldsymbol k ) \boldsymbol x _ { j } } = \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \hat { f } _ { \boldsymbol k } \cdot \delta _ { \boldsymbol 0 , \boldsymbol k } = \hat { f } _ { \boldsymbol k } , \quad \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ( k _ { o u t } , k _ { i n } ) } & { } & { = \iiint R F ( u , \omega , \theta ) } \\ { \times } & { } & { \left( \int { e ^ { i \omega t _ { t x } ( x _ { i n } , \theta ) } e ^ { - i k _ { i n } x _ { i n } } d x _ { i n } } \right) } \\ { \times } & { } & { \left( \int { e ^ { i \omega t _ { r x } ( x _ { o u t } , \theta ) } e ^ { - i k _ { o u t } x _ { o u t } } d x _ { o u t } } \right) d u d \theta d \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { { } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { 2 } \int _ { \Omega } | \nabla u | ^ { 2 } ( x , t ) \mathrm { d } x + \varepsilon ^ { \frac { 9 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \Delta u | ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } t } \end{array}
\prod _ { \substack { j , k \geq 1 ; \, j \leq k \, g c d ( j , k ) = 1 } } \left( 1 + \frac { y ^ { j } } { 2 ^ { k } } \right) ^ { \frac { 1 } { j } } = \sqrt [ 3 ] { \left( \frac { 2 + y } { 2 - y } \right) ^ { 2 } } = 1 + \frac { 2 y } { 3 } + \frac { 2 y ^ { 2 } } { 9 } + \frac { 1 7 y ^ { 3 } } { 1 6 2 } + \frac { 1 1 y ^ { 4 } } { 2 4 3 } + \ldots
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { i \alpha \left( \mu _ { 1 2 } - 1 \right) u _ { \phi \_ i , j ( \phi = \pi ) } } \\ & { - \frac { \mu _ { 1 2 } - 1 } { \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } + \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } \Biggl [ \frac { \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } \left( \Delta \eta _ { i + 1 } - \Delta \eta _ { i } \right) + \frac { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } { \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } } \left( \Delta \eta _ { i } - \Delta \eta _ { i - 1 } \right) \Biggr ] _ { \phi = \pi } } \\ & { + \frac { \mu _ { 1 2 } \Delta \eta _ { i } } { \Delta \xi _ { i , j } \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 } } \left[ \biggl ( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \biggr ) _ { i , j + 1 } \left( U _ { i , j + 2 } ^ { ( 1 ) } - U _ { i , j + 1 } ^ { ( 1 ) } \right) - \biggl ( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \biggr ) _ { i , j } \left( U _ { i , j + 1 } ^ { ( 1 ) } - U _ { i , j } \right) \right] _ { \phi = \pi } } \\ & { - \frac { \Delta \eta _ { i } } { \Delta \xi _ { i , j } \Delta \phi _ { i , j - 1 / 2 } } \left[ \biggl ( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \biggr ) _ { i , j } \left( U _ { i , j } - U _ { i , j - 1 } ^ { ( 2 ) } \right) - \biggl ( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \biggr ) _ { i , j - 1 } \left( U _ { i , j - 1 } ^ { ( 2 ) } - U _ { i , j - 2 } ^ { ( 2 ) } \right) \right] _ { \phi = \pi } } \\ & { - \frac { \big ( \mu _ { 1 2 } - 1 \big ) \Delta \eta _ { i } } { \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } + \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } \Biggl [ \frac { \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } \left( U _ { i + 1 , j } - U _ { i , j } \right) + \frac { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } { \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } } \left( U _ { i , j } - U _ { i - 1 , j } \right) \Biggr ] _ { \phi = \pi } } \\ & { + \mu _ { 1 2 } \frac { u _ { z \_ i , j + 1 } ^ { ( 1 ) } - u _ { z \_ i , j } ^ { ( 1 ) } } { \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 } } \Bigr | _ { \phi = \pi } - \frac { u _ { z \_ i , j } ^ { ( 2 ) } - u _ { z \_ i , j - 1 } ^ { ( 2 ) } } { \Delta \phi _ { i , j - 1 / 2 } } \Bigr | _ { \phi = \pi } = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { q } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \lfloor q x \rfloor } { q } } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 1 - ( q x - \lfloor q x \rfloor ) , } \\ { \frac { \lfloor q x \rfloor + 1 } { q } } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } q x - \lfloor q x \rfloor , } \end{array} \right. } \end{array}
\Gamma ( B ( t ) \to f ) + \Gamma ( \overline { { { B } } } ( t ) \to f ) = \mathrm { P h S p } \times | { \cal N } | ^ { 2 } \times \left[ R _ { \mathrm { H } } e ^ { - \Gamma _ { \mathrm { H } } t } + R _ { \mathrm { L } } e ^ { - \Gamma _ { \mathrm { L } } t } \right] ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { V C ( t ) } \rho v _ { i } \, d \tau } & { { } = \int _ { V C ( t ) } \Big ( \partial _ { t } ( \rho v _ { i } ) + \nabla \cdot ( \rho v v _ { i } ) \Big ) d \tau } \end{array}
\sigma _ { F } ^ { b , \bar { b } } = ( \sigma _ { 1 } ) _ { F } ^ { b , \bar { b } } + ( \sigma _ { 2 } ) _ { F } ^ { b , \bar { b } } \, , \qquad \sigma _ { B } ^ { b , \bar { b } } = ( \sigma _ { 1 } ) _ { B } ^ { b , \bar { b } } + ( \sigma _ { 2 } ) _ { B } ^ { b , \bar { b } } \, .
u _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } , 0 ) = \alpha _ { 1 } + ( 1 - \alpha _ { 1 } + r ) \frac { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } + r ^ { \gamma _ { p } } } \; .
\left\{ \begin{array} { l l } { t a n { \theta } _ { H } } & { = \frac { \left( 1 - k \right) \sqrt { s i n ^ { 2 } \beta + ( k H _ { K } / H _ { S O T } ^ { D L } ) ^ { 2 } } } { k c o s \beta } } \\ & { = c o s \beta \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } } \\ { c o s { \varphi } _ { H } } & { = \frac { s i n \beta H _ { S O T } ^ { D L } / H _ { K } } { \sqrt { ( 1 - ( c o s \beta H _ { K } / H _ { S O T } ^ { D L } ) ^ { 2 } + ( s i n \beta H _ { K } / H _ { S O T } ^ { D L } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = s i n \beta \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } } \end{array} \right.
1 0 0 \uparrow \uparrow \uparrow n = ( 1 0 \uparrow \uparrow ) ^ { n - 2 } ( 1 0 \uparrow ) ^ { 9 8 } ( 2 \times 1 0 ^ { 2 0 0 } ) = ( 1 0 \uparrow \uparrow ) ^ { n - 2 } ( 1 0 \uparrow ) ^ { 1 0 0 } 2 . 3 < 1 0 \uparrow \uparrow \uparrow ( n + 1 )
{ \cal L } + { \cal L } _ { c t } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } M ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \mu ^ { 2 \epsilon } \phi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } A ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } M ^ { 2 } B \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \mu ^ { 2 \epsilon } C \phi ^ { 4 } \, - { \frac { 1 } { 2 } } ( m ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) ( 1 + B ) \phi ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \overline { { V } } ^ { \overline { { \alpha } } } - \overline { { Y } } ^ { \overline { { \alpha } } } } & { = - \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \lambda } \delta g _ { \lambda \beta } + 2 \nu _ { \sigma } E _ { R } ^ { \sigma } \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \mu } } } \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { \overline { { \mu } } } ^ { R } } \\ & { = - \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \lambda } \delta ( \eta _ { I J } \mathrm { e } _ { \lambda } ^ { I } \mathrm { e } _ { \beta } ^ { J } ) + 2 \nu _ { \sigma } E _ { R } ^ { \sigma } \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \mu } } } \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { \overline { { \mu } } } ^ { R } } \\ & { = - \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \lambda } \eta _ { I J } \mathrm { e } _ { \beta } ^ { J } \delta \mathrm { e } _ { \lambda } ^ { I } - \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu _ { \lambda } E _ { J } ^ { \lambda } \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { \overline { { \beta } } } ^ { J } + 2 \nu _ { \sigma } E _ { R } ^ { \sigma } \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \mu } } } \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { \overline { { \mu } } } ^ { R } } \\ & { = - \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \lambda } \eta _ { I J } \overline { { \mathrm { e } } } _ { \overline { { \beta } } } ^ { J } \delta \mathrm { e } _ { \lambda } ^ { I } + \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu _ { \lambda } E _ { J } ^ { \lambda } \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { \overline { { \beta } } } ^ { J } } \\ & { = - \nu ^ { \lambda } E _ { J } ^ { \overline { { \alpha } } } \delta \mathrm { e } _ { \lambda } ^ { I } + \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } N _ { I } \delta \mathrm { e } _ { \beta } ^ { I } } \\ & { = ( \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \sigma } \mathrm { e } _ { \sigma } ^ { I } - \nu ^ { \beta } \overline { { E } } ^ { \overline { { \alpha } } I } ) \delta \mathrm { e } _ { I \beta } } \\ & { = \jmath ^ { * } ( \nu ^ { \sigma } \mathcal { U } _ { \sigma } ^ { \alpha } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \Big ( \frac { 1 } { h _ { 2 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 2 } } ) \Big ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { h _ { 1 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 1 } } ) \frac { 1 } { h _ { 2 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 2 } } ) d x } \\ { = } & { \frac { 1 } { h _ { 2 } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \mathcal { K } ( v ) \Big ( \mathcal { K } ( v ) - \mathcal { K } ( v \frac { h _ { 1 } } { h _ { 2 } } ) \Big ) d v \le C \frac { 1 } { h _ { 2 } ^ { p } } \Big | 1 - \frac { h _ { 1 } } { h _ { 2 } } \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \mathcal { K } ( v ) \vert \vert v \vert \vert d v = O \Big ( \frac { \vert \kappa - \widehat { \kappa } \vert } { \kappa ^ { \frac { p } { r } + 1 } } \Big ) . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { D ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d t ^ { 2 } - \left( 1 - \frac { D ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \vec { x } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \| ( S ( t ) - I _ { d } ) v \| } & { = \| S ( t ) e ^ { t A } W ^ { \infty } b - e ^ { t A } W ^ { \infty } b \| = \| e ^ { t A } W b - e ^ { t A } W ^ { \infty } b \| } \\ & { = \| ( U ( t ) - U ^ { \infty } ( t ) ) e ^ { t B } b \| \le C e ^ { - \gamma t } \| e ^ { t B } b \| } \\ & { = C e ^ { - \gamma t } \| ( U ^ { \infty } ( t ) ^ { \top } U ^ { \infty } ( t ) ) ^ { - 1 } U ^ { \infty } ( t ) ^ { \top } v \| \le C e ^ { - \gamma t } \| v \| . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { A ^ { \sigma } ( \mu ) } } & { { \longrightarrow } } & { { A ^ { \sigma } ( \mu + \nu ) } } \\ { { \downarrow } } & { { \, } } & { { \downarrow } } \\ { { { \bf C } [ \sigma ^ { \vee } ] ( \mu + \chi ) } } & { { \longrightarrow } } & { { { \bf C } [ \sigma ^ { \vee } ] ( \mu + \nu + \chi ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { k + 1 } } & { = \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } - \tilde { W } { D } _ { k } - ( I - \tilde { W } ) E _ { k } - ( I - \tilde { W } ) ( \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } ) } \\ & { = \tilde { W } ( \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } ) - \tilde { W } { D } _ { k } - ( I - \tilde { W } ) E _ { k } } \\ & { = \tilde { W } ( \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } ) - \tilde { W } ( I - \tilde { W } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { s } _ { k } - ( I - \tilde { W } ) E _ { k } . } \end{array}
{ \cal D } _ { 0 } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { \left( 2 \beta p ^ { 2 } \theta _ { \mu \nu } + 2 p ^ { 2 } \omega _ { \mu \nu } \right) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \left( p ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \right) } } \end{array} \right) \mathrm { { . } }
\begin{array} { r } { \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } - 2 ^ { - 2 l - 1 } \leq \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { s , j _ { l + 1 } } \leq \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } + 2 ^ { - 2 l - 1 } , \quad \mathrm { o r ~ } \Big | \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { s , j _ { l + 1 } } - \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } \Big | \leq 2 ^ { - 2 l - 1 } . } \end{array}
{ \frac { \omega } { k } } = \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( v _ { A } ^ { 2 } + v _ { s } ^ { 2 } \right) \pm { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \left( v _ { A } ^ { 2 } + v _ { s } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 v _ { s } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { V _ { e e ^ { \prime } } } & { { } = } & { - \frac { 2 } { \gamma } \sum _ { \mu , \nu } \mathbf { d } _ { e g } ^ { \mu } \mathbf { d } _ { g e ^ { \prime } } ^ { \nu } \frac { e ^ { i k _ { 0 } r _ { i j } } } { \hbar r _ { i j } ^ { 3 } } } \end{array}
\operatorname { t r } \left( \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { \sigma } \right) = 4 \left( \eta ^ { \mu \nu } \eta ^ { \rho \sigma } - \eta ^ { \mu \rho } \eta ^ { \nu \sigma } + \eta ^ { \mu \sigma } \eta ^ { \nu \rho } \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n } E \left( \tilde { C } _ { n } \right) ^ { 2 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n } V a r \left( \tilde { C } _ { n } \right) } \\ & { = a _ { 1 } ^ { 2 } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } ^ { 2 } f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s _ { l } , t _ { l } ) \right) \int k ^ { 2 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) d m _ { 1 } d m _ { 2 } } \\ & { + a _ { 2 } ^ { 2 } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } ^ { 2 } \{ f _ { Z _ { 1 } } ( s _ { l } ) \} ^ { 2 } f _ { Z _ { 2 } } ( t _ { l } ) \right) \int \{ k _ { 2 } ( m ) \} ^ { 2 } d m } \\ & { + a _ { 3 } ^ { 2 } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } ^ { 2 } f _ { Z _ { 1 } } ( s _ { l } ) \{ f _ { Z _ { 2 } } ( t _ { l } ) \} ^ { 2 } \right) \int \{ k _ { 1 } ( m ) \} ^ { 2 } d m } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , t ) } & { { } \approx \mu _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } \omega _ { 0 } \Big [ 2 \pi r + \frac { ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \pi r r _ { 2 } } \Big ( r _ { 1 } ^ { 4 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 3 } ( r ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ) } \\ { E _ { z } ( r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , t ) } & { { } \approx \mu _ { 0 } ^ { 2 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } \frac { \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { r } \Big [ r _ { 1 } ^ { 3 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) + r ^ { 2 } r _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ] \cos ( \omega _ { 0 } t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { M } _ { i } ^ { T } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \mathbb { I } + \vec { m } _ { i } \cdot \vec { \sigma } ) ~ ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ \vec { m } _ { i } \in \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( \pm 1 , 0 , 0 ) , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( 0 , \pm 1 , 0 ) , \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( 0 , 0 , \pm 1 ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) } & { = \sum _ { k \not = 0 } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - 2 i s ( k _ { 2 } ^ { 2 } + k k _ { 1 } ) } d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } } \\ & { = \sum _ { k \not = 0 } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - 2 i s k _ { 2 } ^ { 2 } } d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } } \\ & { \quad + \sum _ { k \not = 0 } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( \mathrm { e } ^ { - 2 i s k k _ { 1 } } - 1 \right) d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } } \\ & { \quad + \sum _ { k \not = 0 } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \frac { k _ { 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \big ( \mathrm { e } ^ { - 2 i s k _ { 2 } ^ { 2 } } - 1 \big ) \left( \mathrm { e } ^ { - 2 i s k k _ { 1 } } - 1 \right) d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } } \\ & { = L _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) + L _ { 2 } ^ { \tau } ( f ) + P _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { \; 8 \arctan { \frac { 1 } { 1 0 } } - \arctan { \frac { 1 } { 8 4 } } - \arctan { \frac { 1 } { 2 1 3 4 2 } } } \\ & { - \arctan { \frac { 1 } { 9 9 1 2 6 8 8 4 8 } } - \arctan { \frac { 1 } { 1 9 3 0 1 8 0 0 8 5 9 2 5 1 5 2 0 8 0 5 0 } } } \\ & { - \arctan { \frac { 1 } { 1 9 7 9 6 7 8 9 9 8 9 6 4 0 1 8 5 1 7 6 3 2 4 0 4 2 4 2 3 8 7 5 8 9 8 8 3 5 0 3 3 8 } } } \\ & { - \arctan { \frac { 1 } { 1 1 7 5 7 3 8 6 8 1 6 8 1 7 5 3 5 2 9 3 0 2 7 7 7 5 2 8 4 4 1 9 4 1 2 6 7 6 7 9 9 1 9 1 5 0 0 8 5 3 7 0 1 8 8 3 6 9 3 2 0 1 4 2 9 3 6 7 8 2 7 1 6 3 6 8 8 5 7 9 2 3 9 7 } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { J _ { \Lambda _ { 1 } } \boxtimes J _ { \Lambda _ { 2 } } = \frac { 1 } { d ^ { 3 n } } \sum _ { \vec { p } , \vec { q } } w ( \vec { p } , \vec { q } ) \otimes ( \Lambda _ { 1 } ( w ( - N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) ) \boxtimes \Lambda _ { 2 } ( w ( N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) ) ) \; . } \end{array}