harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { \Omega _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { \mathrm { i n } } } { 2 } \int _ { - d } ^ { s } m _ { z } ^ { 2 } d z = \frac { ( \gamma \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } \omega _ { H } + i \gamma \omega \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ) } { 2 \omega } } \\ { \times \int _ { - d } ^ { s } \frac { \partial u _ { x } } { \partial z } m _ { z } d z } \\ { \frac { \Omega _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { \mathrm { i n } } } { 2 } \int _ { - d } ^ { s } u _ { x } ^ { 2 } d z = \frac { - \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } \omega + i \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ( \omega _ { H } + \omega _ { M } ) } { 2 \rho M _ { s } \omega ^ { 2 } } } \\ { \times \int _ { - d } ^ { s } \frac { \partial m _ { z } } { \partial z } u _ { x } d z } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } ^ { \prime \prime } \equiv \sum _ { u = 1 } ^ { t } d _ { u } + ( s ^ { + } - s ^ { - } ) \bmod p , } \\ { a _ { 2 } ^ { \prime \prime } \equiv \sum _ { u = 1 } ^ { t } d _ { u } ^ { 2 } + ( s ^ { + } - s ^ { - } ) + 2 ( \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { 1 } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { 1 } ) \bmod p , } \\ { \vdots } \\ { a _ { t } ^ { \prime \prime } \equiv \sum _ { u = 1 } ^ { t } d _ { u } ^ { t } + ( s ^ { + } - s ^ { - } ) + t ( \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { 1 } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { 1 } ) } \\ { \qquad + \dotsm + t ( \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { t - 1 } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { t - 1 } ) \bmod p . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { C _ { ( 1 ) } } & { = } & { U + \widehat { \widetilde { U } } + \widehat { U } + \widetilde { U } + \overline { { U } } + \overline { { \widehat { \widetilde { U } } } } + \overline { { \widehat { U } } } + \overline { { \widetilde { U } } } , } \\ { - C _ { ( 2 ) } } & { = } & { U \widehat { \widetilde { U } } + U \widehat { U } + U \widetilde { U } + U \overline { { U } } + U \overline { { \widehat { \widetilde { U } } } } + U \overline { { \widehat { U } } } + U \overline { { \widetilde { U } } } + \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } + \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } + \widehat { \widetilde { U } } \overline { { U } } } \\ & { + } & { \widehat { \widetilde { U } } \overline { { \widehat { \widetilde { U } } } } + \widehat { \widetilde { U } } \overline { { \widehat { U } } } + \widehat { \widetilde { U } } \overline { { \widetilde { U } } } + \widehat { U } \widetilde { U } + \widehat { U } \overline { { U } } + \widehat { U } \overline { { \widehat { \widetilde { U } } } } + \widehat { U } \overline { { \widehat { U } } } + \widehat { U } \overline { { \widetilde { U } } } + \widetilde { U } \overline { { U } } + \widetilde { U } \overline { { \widehat { \widetilde { U } } } } } \\ & { + } & { \widetilde { U } \overline { { \widehat { U } } } + \widetilde { U } \overline { { \widetilde { U } } } + \overline { { U \widehat { \widetilde { U } } } } + \overline { { U \widehat { U } } } + \overline { { U \widetilde { U } } } + \overline { { \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } } } + \overline { { \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } } } + \overline { { \widehat { U } \widetilde { U } } } , } \\ { C _ { ( 7 ) } } & { = } & { \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } \overline { { U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } } } + U \widehat { U } \widetilde { U } \overline { { U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } } } + U \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } \overline { { U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } } } + U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \overline { { U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } } } } \\ & { + } & { U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } \overline { { \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } } } + U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } \overline { { U \widehat { U } \widetilde { U } } } + U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } \overline { { U \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } } } + U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } \overline { { U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } } } . } \end{array}
\langle n _ { i } ( \tau ) n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle + \langle \phi _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle
W _ { P P T } = \left| C _ { n ^ { * } l ^ { * } } \right| ^ { 2 } { \sqrt { \frac { 6 } { \pi } } } f _ { l m } E _ { i } \left( { \frac { 2 } { F } } \left( 2 E _ { i } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 n ^ { * } - | m | - { \frac { 3 } { 2 } } } \left( 1 + \gamma ^ { 2 } \right) ^ { \left| { \frac { m } { 2 } } \right| + { \frac { 3 } { 4 } } } A _ { m } ( \omega , \gamma ) e ^ { - { \frac { 2 } { F } } \left( 2 E _ { i } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } g \left( \gamma \right) }
| T _ { I I } ( \theta , E _ { 0 } / e , \omega , t ) | ^ { 2 } = \sum _ { k , p = 0 } ^ { \infty } t _ { 2 k } ^ { p } ( \theta ) \frac { E _ { 0 } ^ { 2 k + p } } { \omega ^ { 2 k } } \cos ^ { p } ( \omega t ) \sin ^ { 2 k } ( \omega t ) .
\begin{array} { r l r } { R _ { i , k } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \alpha _ { i } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) + \alpha _ { i } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l , a } ) \right) - \alpha _ { i } ( \overline { { X } } _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \right\} \Delta _ { l - 1 } } \\ { M _ { i , k } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { d } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \beta _ { i j } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) + \beta _ { i j } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l , a } ) \right) - \beta _ { i j } ( \overline { { X } } _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \right\} [ W _ { j , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , k \Delta _ { l } } ] } \\ { M _ { i , k } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \sum _ { ( j , m ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 2 } } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( h _ { i j m } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) + h _ { i j m } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l , a } ) \right) - h _ { i j m } ( \overline { { X } } _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \right\} \Big ( [ W _ { j , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , k \Delta _ { l } } ] \times } \\ & { } & { [ W _ { m , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { m , k \Delta _ { l } } ] - \Delta _ { l - 1 } \Big ) } \\ { M _ { i , k } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { \sum _ { ( j , m ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 } \left( h _ { i j m } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) - h _ { i j m } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l , a } ) \right) \Big ( [ W _ { j , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , k \Delta _ { l } } ] [ W _ { m , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { m , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ] - } \\ & { } & { [ W _ { m , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - W _ { m , k \Delta _ { l } } ] [ W _ { j , ( k + 2 ) \Delta _ { l } } - W _ { j , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ] \Big ) } \end{array}
\displaystyle \frac { \sigma _ { \gamma \gamma } ( \mathrm { s p i n ~ 0 } ) } { \sigma _ { \gamma \gamma } ( \mathrm { t o t a l } ) } \ < \ 0 . 1 9 \quad \mathrm { f o r } \quad 1 . 1 \ \leq \ W \ \leq \ 1 . 4 \ \mathrm { G e V }
\mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } \end{array} \right] } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { a _ { m 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } \end{array} \right) } = \left( a _ { i j } \right) \in \mathbb { R } ^ { m \times n } .
\begin{array} { r l r } { | \theta , \phi \rangle } & { { } = } & { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } ( \phi ) \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { L R } } ( \theta ) | \mathrm { L } \rangle } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c } { { { \left( \begin{array} { c c c } { { \eta ^ { 1 } } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { \ddots } } & { { \ddots } } \\ { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { e _ { 1 } \eta ^ { 1 } } } \end{array} \right) } } } & { { } } & { { } } & { { \mathrm { \Huge ~ 0 } } } \\ { { } } & { { { \left( \begin{array} { c c c } { { \eta ^ { 2 } } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { \ddots } } & { { \ddots } } \\ { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { e _ { 2 } \eta ^ { 2 } } } \end{array} \right) } } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } \\ { { \mathrm { \Huge ~ 0 } } } & { { } } & { { } } & { { { \left( \begin{array} { c c c c } { { \eta ^ { m } } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { \ddots } } & { { \ddots } } \\ { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { e _ { m } \eta ^ { m } } } \end{array} \right) } } } \end{array} \right)
\mathbf { H } ( \mathbf { m } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } [ \mathbf { J } _ { i } ( \mathbf { m } ) ^ { T } \mathbf { J } _ { i } ( \mathbf { m } ) + \mathbf { R } _ { i } ( \mathbf { m } ) ] ,
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \int _ { D } \phi _ { l m } \mathcal { R } ( x , t ) \, \mathrm { d } r = \frac { \partial } { t } \int _ { D } \phi _ { l m } \mathcal { A } ( x , t ) \, \mathrm { d } r + \int _ { D } \phi _ { l m } \nabla \cdot \mathcal { F } ( x , t ) \, \mathrm { d } r - \int _ { D } \phi _ { l m } \mathcal { V } ( x , t ) \, \mathrm { d } r } \\ & { = } & { \frac { \partial } { \partial t } \int _ { D _ { m } } \phi _ { l m } \mathcal { A } ( x , t ) \, \mathrm { d } r + \int _ { \partial D _ { m } } \phi _ { l m } \mathcal { F } ( x , t ) \cdot d S - \int _ { D _ { m } } ( \nabla \phi _ { l m } ) \cdot \mathcal { F } ( x , t ) \, \mathrm { d } r - \int _ { D _ { m } } \phi _ { l m } \mathcal { V } ( x , t ) \, \mathrm { d } r } \\ & { \approx } & { \frac { \partial } { \partial t } \int _ { D _ { m } } \phi _ { l m } \mathcal { A } ( x , t ) \, \mathrm { d } r + \int _ { \partial D _ { m } } \phi _ { l m } \mathcal { F } ^ { * } ( x , t ) \cdot \mathrm { d } S } \\ & { - } & { \int _ { D _ { m } } ( \nabla \phi _ { l m } ) \cdot \mathcal { F } ( x , t ) \, \mathrm { d } r - \int _ { D _ { m } } \phi _ { l m } \mathcal { V } ( x , t ) \, \mathrm { d } r } \end{array}
v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { A - e x } } [ n ; \Psi _ { 0 } , \Phi _ { 0 } ] ( { \bf r } , t ) = v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { e x a c t \, g . s . } } [ n ( t ) ] ( { \bf r } )
\begin{array} { c } { { \displaystyle { D _ { \nu } ^ { T E } ( t ) = \nu D _ { T E } ^ { ( 1 ) } ( t ) + D _ { T E } ^ { ( 0 ) } ( t ) + \nu ^ { - 1 } D _ { T E } ^ { ( - 1 ) } ( t ) . } } } \end{array}
\left( - \nabla \cdot \left( \frac { \nabla } { | \nabla \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } | } \right) + \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 3 } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ^ { k } ) ^ { 2 } - 1 \right) \right) \bar { U } _ { r e a l } ^ { k + 1 } = \lambda _ { 1 } \hat { U } _ { r e a l } \; \; \; \mathrm { f o r } \; k = 1 , 2 , 3 , \ldots
{ \left[ \begin{array} { l } { V _ { 1 } } \\ { V _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - r } \\ { r } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { I _ { 1 } } \\ { I _ { 2 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \langle I _ { \mathrm { z } } ^ { \mathrm { l a b } } ( t _ { 0 } , \alpha ) \rangle ~ { = } ~ } & { \mathrm { T r } [ I _ { \mathrm { z } } ^ { \mathrm { l a b } } e ^ { - i \, 2 \pi H _ { \mathrm { Q } } t _ { 0 } } \hat { \rho _ { 1 } } e ^ { i 2 \pi H _ { \mathrm { Q } } t _ { 0 } } ] } \\ { { = } ~ } & { \mathrm { T r } [ ( I _ { \mathrm { y ^ { ' } } } \sin { \theta } \sin { \varphi } ) e ^ { - i 2 \pi H _ { \mathrm { Q } } t _ { 0 } } \hat { \rho _ { 1 } } e ^ { i 2 \pi H _ { \mathrm { Q } } t _ { 0 } } ] } \\ { { = } ~ \frac { h \, f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } } { 3 \, k _ { \mathrm { B } } \, T _ { \mathrm { s } } } } & { \sin { ( 2 \pi f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } t _ { 0 } ) } \sin { ( \alpha \sin { \theta } \sin { \varphi } ) } \sin { \theta } \sin { \varphi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \frac { \vert k \vert ^ { 2 } ( t - s ) ^ { 3 } \varphi ( t - s ) ^ { 2 } } { ( 1 + \vert k \vert ( t - s ) ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } t } & { \leq \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \frac { 1 } { \vert k \vert ^ { 2 } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \varphi ( T - s ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \tau ^ { 3 } } { ( 1 + \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } \tau . } \\ & { \leq \varphi ( T ) ^ { 2 } \underset { k \in \dot { \mathbb Z } ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \frac { 1 } { \vert k \vert ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \tau ^ { 3 } } { ( 1 + \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } } \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \lesssim \varphi ( T ) ^ { 2 } , } \end{array}
\hat { r } _ { j h l } ( \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } + \frac { 2 } { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } - \frac { 6 } { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } ) + ( \hat { r } _ { j } \hat { P } _ { h l } + \hat { r } _ { h } \hat { P } _ { j l } + \hat { r } _ { l } \hat { P } _ { j h } ) ( \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } + \frac { 4 } { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } - \frac { 4 } { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { N } } )
\Pi _ { \mu \nu } \equiv - { \frac { 1 } { 4 } } T _ { \mu \lambda } T _ { \nu } ^ { \lambda } + { \frac { 1 } { 1 2 } } T T _ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 8 } } g _ { \mu \nu } \left( T _ { \lambda \kappa } T ^ { \lambda \kappa } - { \frac { 1 } { 3 } } T ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } & { F ^ { \prime \prime } > 0 \, \mathrm { ~ o n ~ } \, ( 0 , \overline { \alpha } ) \cup ( \underline { \beta } , \infty ) , \qquad F ^ { \prime \prime } < 0 \, \mathrm { ~ o n ~ } \, ( \overline { \alpha } , \underline { \beta } ) ; } \\ & { F ^ { \prime } ( 0 ) < F ^ { \prime } ( \underline { \beta } ) , \qquad \quad F ^ { \prime } ( \infty ) > F ^ { \prime } ( \overline { { \alpha } } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { g ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \, \mathbf { r } _ { n } ) } & { = { \frac { V ^ { N } } { N ! } } \left( \prod _ { i = n + 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { V } } \! \! \int \! \! \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } _ { i } \right) { \frac { 1 } { Z _ { N } } } \sum _ { \pi \in S _ { N } } e ^ { - \beta U ( \mathbf { r } _ { \pi ( 1 ) } , \ldots , \, \mathbf { r } _ { \pi ( N ) } ) } } \end{array} }
( 1 + x ) ^ { n } = { \binom { n } { 0 } } x ^ { 0 } + { \binom { n } { 1 } } x ^ { 1 } + { \binom { n } { 2 } } x ^ { 2 } + \cdots + { \binom { n } { n - 1 } } x ^ { n - 1 } + { \binom { n } { n } } x ^ { n } ,
\int { \cal D } V = \int \prod _ { n } \left( d V _ { n } ^ { 1 } d V _ { n } ^ { 2 } d V _ { n } ^ { 3 } d \lambda _ { n } ^ { 1 } d \lambda _ { n } ^ { 2 } d \bar { \lambda } _ { n } ^ { 1 } d \bar { \lambda } _ { n } ^ { 2 } d D _ { n } \right) \prod _ { i } ^ { 2 n _ { 0 } } d V _ { 0 } ^ { i } \prod _ { i } ^ { n _ { 0 } } d \lambda _ { 0 } ^ { i }
\begin{array} { r l } { \overline { T } _ { 1 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 9 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \bigg [ \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
v = c { \sqrt { 1 - \left( { \frac { m _ { 0 } c ^ { 2 } } { K + m _ { 0 } c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { c { \sqrt { K ( K + 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } ) } } } { K + m _ { 0 } c ^ { 2 } } } = { \frac { c { \sqrt { ( E - m _ { 0 } c ^ { 2 } ) ( E + m _ { 0 } c ^ { 2 } ) } } } { E } } = { \frac { p c ^ { 2 } } { E } } \, .
\begin{array} { r l r } { \| ( \omega - \mathcal { A } _ { \beta - 1 } ) \mathcal { D } ( \mathcal { M } \varphi - \mathcal { M } \upsilon ) \| _ { X _ { \beta - 1 } } } & { \leq } & { c \| \mathcal { M } \varphi - \mathcal { M } \upsilon \| _ { \partial X } } \\ & { \leq } & { c L _ { R } ^ { 9 } \| \varphi - \upsilon \| _ { \alpha } , } \end{array}
{ \cal L } _ { D } [ A , H , V ] = { \cal L } _ { G } [ A ] + \frac { 1 } { 2 G } V ^ { \mu } V _ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { D } } H _ { \mu _ { 3 } . . . \mu _ { D } } F _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } [ A + V ] ,
\ddot { \boldsymbol { P } } = \ddot { \xi } \boldsymbol { P } ^ { \prime } + \dot { \xi } ^ { 2 } \boldsymbol { P } ^ { \prime \prime } , \qquad \ddot { \boldsymbol { L } } = l \ddot { \phi } \boldsymbol { e } _ { \phi } - l \dot { \phi } ^ { 2 } \boldsymbol { e } _ { l } + \ddot { \boldsymbol { P } } , \qquad \ddot { \boldsymbol { R } } = r \, \ddot { \phi } \boldsymbol { e } _ { \phi } - r \, \dot { \phi } ^ { 2 } \boldsymbol { e } _ { l } + \ddot { \boldsymbol { P } } .
\begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = A x + B _ { 2 } ( C _ { 1 } B _ { 2 } ) ^ { - 1 } \dot { z } - B _ { 2 } ( C _ { 1 } B _ { 2 } ) ^ { - 1 } C _ { 1 } A x } \\ & { = ( A - B _ { 2 } ( C _ { 1 } B _ { 2 } ) ^ { - 1 } C _ { 1 } A ) x + B _ { 2 } ( C _ { 1 } B _ { 2 } ) ^ { - 1 } \dot { z } } \\ & { = A _ { q } x + B _ { 2 } ( C _ { 1 } B _ { 2 } ) ^ { - 1 } \dot { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } ^ { 2 } - c ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } ) ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) } & { = - \omega _ { p } ^ { 2 } \frac { n } { \gamma \cos \alpha } ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) , } \\ { n / \gamma } & { \approx 1 + \delta n - ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) ^ { 2 } / 2 , } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } \delta n } & { = - \frac { c ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 2 } } \nabla ^ { 2 } ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) ^ { 2 } , } \\ { \gamma ^ { 2 } } & { = 1 + ( \vec { a } - \vec { a } _ { D C } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb E \left[ | \! | \boldsymbol { y } - X \hat { \boldsymbol { \beta } } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } \mid \mathcal X \right] - \mathbb E \left[ | \! | \boldsymbol { y } - X { \boldsymbol { \beta } } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } \mid \mathcal X \right] } & { \leq } & { \operatorname* { m i n } _ { \alpha \in \mathbb R ^ { M L } } \left( | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \boldsymbol { \alpha } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + 2 D \lambda \mathcal N ( \boldsymbol { \alpha } ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { { } = \gamma \Bigg ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial h } { \partial r } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { \partial h } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } } r d r d \theta - \pi a ^ { 2 } \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { F ( T , \Omega , N ) = \Omega k _ { B } T \left\{ n \ln n + [ 3 / 2 \ln ( 2 \pi \hbar ^ { 2 } / ( m k _ { B } T ) ) - 1 ] n \right. } \\ & { } & { \left. - F _ { 0 } ( T ) n ^ { 3 / 2 } - F _ { 1 } ( T ) n ^ { 2 } \ln n - F _ { 2 } ( T ) n ^ { 2 } - F _ { 3 } ( T ) n ^ { 5 / 2 } \ln n - F _ { 4 } ( T ) n ^ { 5 / 2 } + { \cal O } ( n ^ { 3 } \ln n ) \right\} . } \end{array}
S _ { \pm } ^ { R } = \mp { \frac { h e ^ { - B } } { A R _ { 0 M } ^ { 3 } } } e ^ { - A / t _ { 2 } } \left[ 1 - \exp \left( - { \frac { A } { t _ { 2 } } } \left( ( 1 + z ) ^ { 3 / 2 } - 1 \right) \right) \right]
\begin{array} { r l } { \frac { \displaystyle \sum _ { \pi \operatorname { A S C } } ( - 1 ) ^ { | \pi | / 2 } t ^ { | \pi | / 2 } s _ { \pi } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \displaystyle \prod _ { i \leq j } ( 1 - t x _ { i } x _ { j } ) } } & { = 1 , } \\ { \frac { \displaystyle \sum _ { \pi \operatorname { A S C } } ( - 1 ) ^ { | \pi | / 2 } t ^ { | \pi | / 2 } s _ { \pi ^ { \prime } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } { \displaystyle \prod _ { i < j } ( 1 - t x _ { i } x _ { j } ) } } & { = 1 . } \end{array}
H _ { \mathrm { m o l } } ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { P } } , { \mathbf { r } } , { \mathbf { p } } ) \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } ) = E \, \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ c ~ i ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ T ~ P ~ } } { \mathrm { ~ T ~ P ~ } + \mathrm { ~ F ~ P ~ } } } \\ { \mathrm { ~ R ~ e ~ c ~ a ~ l ~ l ~ } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ T ~ P ~ } } { \mathrm { ~ T ~ P ~ } + \mathrm { ~ F ~ N ~ } } } \\ { \mathrm { ~ F ~ 1 ~ s ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } & { { } = 2 \cdot \frac { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ c ~ i ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } \cdot \mathrm { ~ R ~ e ~ c ~ a ~ l ~ l ~ } } { \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ c ~ i ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } + \mathrm { ~ R ~ e ~ c ~ a ~ l ~ l ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \mathrm { s r } } ^ { \sharp } : = } & { \: \bigg \{ ( \omega , m , \Lambda ) \: \textnormal { a d m i s s i b l e } \, \big | \, \Lambda \geq \left( \frac { a } { 1 + a } + \alpha \right) ^ { - 2 } \omega _ { \mathrm { h i g h } } ^ { 2 } , \: m \omega \in \left( 0 , m \upomega _ { + } + \alpha \sqrt { \Lambda m ^ { 2 } } \right) , \: \textnormal { a n d : } } \\ & { \Lambda \geq \left( \frac { a } { 1 + a } + \alpha \right) ^ { - 2 } \omega _ { \mathrm { h i g h } } ^ { 2 } m ^ { 2 } \, \textnormal { o r } \, \left| m \widetilde { \omega } \right| \geq \eta _ { \flat } m ^ { 2 } \bigg \} , } \\ { \mathcal { G } _ { \mathrm { n s r } } ^ { \sharp , \omega } : = } & { \: \left\{ ( \omega , m , \Lambda ) \: \textnormal { a d m i s s i b l e } \, \big | \, | \omega | \geq \omega _ { \mathrm { h i g h } } , \: \Lambda < \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } \omega ^ { 2 } , \: m \omega \notin \left( 0 , m \upomega _ { + } + \alpha \sqrt { \Lambda m ^ { 2 } } \right) \right\} , } \\ { \mathcal { G } _ { \mathrm { n s r } } ^ { \sharp , \Lambda } : = } & { \: \left\{ ( \omega , m , \Lambda ) \: \textnormal { a d m i s s i b l e } \, \big | \, \Lambda \geq \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } ^ { - 1 } \omega _ { \mathrm { h i g h } } ^ { 2 } , \: \Lambda > \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } ^ { - 1 } \omega ^ { 2 } , \: m \omega \notin \left( 0 , m \upomega _ { + } + \alpha \sqrt { \Lambda m ^ { 2 } } \right) \right\} , } \\ { \mathcal { G } _ { \mathrm { n s r } } ^ { \sharp , \sim } : = } & { \: \bigg \{ ( \omega , m , \Lambda ) \: \textnormal { a d m i s s i b l e } \, \big | \, | \omega | \geq \omega _ { \mathrm { h i g h } } , \: \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } \Lambda \leq \omega ^ { 2 } \leq \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } ^ { - 1 } \Lambda , \: m \omega \notin \left( 0 , m \upomega _ { + } + \alpha \sqrt { \Lambda m ^ { 2 } } \right) \bigg \} , } \\ { \mathcal { G } ^ { \flat } : = } & { \: \left\{ ( \omega , m , \Lambda ) \: \textnormal { a d m i s s i b l e } \, \big | \, | \omega | < \omega _ { \mathrm { h i g h } } | m | , \: \Lambda \leq \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } ^ { - 1 } \omega _ { \mathrm { h i g h } } ^ { 2 } m ^ { 2 } \right\} \setminus ( \mathcal { G } _ { \mathrm { s r } } ^ { \sharp } \cup \mathcal { G } _ { \mathrm { n s r } } ^ { \sharp , \sim } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { \mathrm { p o l y g o n } } d x d y e ^ { i q _ { \perp } \cdot r _ { \perp } } = } & { \sum _ { k \in \mathrm { v e r t i c e s } } \pm \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { k } } { W \cdot q _ { \perp } } \; \frac { 1 } { q _ { \perp } \cdot \hat { \mu } _ { k } } \; e ^ { i q _ { \perp } \cdot V _ { k } } } \end{array} .
\begin{array} { r l r } { V ^ { 1 } ( \tau ) } & { = } & { c _ { 1 } \sin ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) + c _ { 2 } \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) , } \\ { V ^ { 2 } ( \tau ) } & { = } & { c _ { 1 } \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) - c _ { 2 } \sin ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) , } \\ { V ^ { 3 } ( \tau ) } & { = } & { c _ { 3 } . } \end{array}