harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int _ { D _ { H } } 2 \Re \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { E } ( u , ( x _ { 2 } - m ) e _ { j } ) \partial _ { 2 } \bar { u } _ { j } \, \mathrm { d } x } \\ & { \le \int _ { D _ { H } } - g \cdot u - 2 \Re ( g \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } ) ( x _ { 2 } - m ) \, \mathrm { d } x + \Re \int _ { | \xi | \le k _ { s } } M ( \xi ) \hat { u } ( \xi , H ) \cdot \bar { \hat { u } } ( \xi , H ) \, \mathrm { d } \xi } \\ & { + ( H - m ) \int _ { \Gamma _ { H } } 2 \Re ( \mathcal { T } u \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } ) - \mathcal { E } ( u , \bar { u } ) + \omega ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p } & { { } = } & { \left( E , \mathbf { p } \right) ; \qquad q = \left( E , - \mathbf { p } \right) , } \\ { p ^ { \prime } } & { { } = } & { \left( E , \mathbf { p } ^ { \prime } \right) ; \qquad q ^ { \prime } = \left( E , - \mathbf { p } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { s } ^ { - 1 } } & { = \left( 6 { \varepsilon } ^ { - 1 } ( C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } 2 ^ { n _ { 1 } + 1 } ) ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \sqrt { 6 } { \varepsilon } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } C _ { 2 } d ( 2 ^ { 3 + \log _ { 2 } ( 6 \mathfrak { c } d ^ { \frac { 5 } { 2 } } { \varepsilon } ^ { - 1 } ) } ) ^ { 3 / 2 } } \\ & { = \sqrt { 6 } { \varepsilon } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } C _ { 2 } d 2 ^ { \frac { 9 } { 2 } } ( 6 \mathfrak { c } d ^ { \frac { 5 } { 2 } } { \varepsilon } ^ { - 1 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ & { = 2 ^ { \frac { 1 3 } { 2 } } 3 ^ { 2 } C _ { 2 } \mathfrak { c } ^ { \frac { 3 } { 2 } } d ^ { \frac { 1 9 } { 4 } } { \varepsilon } ^ { - 2 } . } \end{array}
s _ { n } \geq H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } } ( l ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \tilde { \rho } ^ { n } } + 2 \log _ { 2 } \sqrt { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { ~ h ~ } } - \mathrm { l e a k } _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } .
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { c f } } ( \mathbf { r } ) \propto } & { { } \int d \mathbf { k } \int d \mathbf { k } ^ { \prime } \frac { 2 \pi a } { q ^ { \prime } } J _ { 1 } ( a q ^ { \prime } ) } \end{array}
\phi ^ { ( 0 ) \prime } J ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } \phi ^ { ( 0 ) \prime \prime } \left( J ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } + \phi ^ { ( 1 ) \prime } J ^ { ( 1 ) } + \phi ^ { ( 2 ) } = 0 , \,
\left\{ \begin{array} { l l } { \quad x ^ { k } } & { = \, \, \mathrm { p r o x } _ { t f } ( p ^ { k } ) } \\ { \quad y ^ { k } } & { = \, \, \mathrm { p r o x } _ { t g ^ { * } } ( q ^ { k } ) } \\ { \; \; \left[ \begin{array} { l } { u ^ { k } } \\ { v ^ { k } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbb I } & { t K ^ { * } } \\ { - t K } & { \mathbb I } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { 2 x ^ { k } - p ^ { k } } \\ { 2 y ^ { k } - q ^ { k } } \end{array} \right] } \\ { \quad p ^ { k + 1 } } & { = \, \, p ^ { k } + u ^ { k } - x ^ { k } } \\ { \quad q ^ { k + 1 } } & { = \, \, q ^ { k } + v ^ { k } - y ^ { k } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } } & { { } = } & { \sum _ { { \bf k } + { \bf G } } \frac { ( { \bf k } + { \bf G } ) ^ { 2 } } { 2 } + U _ { 0 } ^ { P C } , } \\ { U _ { 0 } ^ { P C } ~ \Omega } & { { } = } & { \int V _ { x c } \left[ \tilde { n } + n ^ { h } + \hat { n } + \tilde { n } _ { c } \right] ~ d { \bf r } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 3 } [ \ell ] = \mathbb { E } \left[ | \mathcal { X } _ { i } ( x + \ell , t ) - \mathcal { X } ( x , t ) | ^ { 3 } \right] = - \frac { 4 } { 5 } \| X _ { i } \| ^ { 3 } = - \frac { 4 } { 5 } X ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { l } { { \Gamma ( p < \mu ) = \displaystyle - \frac { e ^ { 4 } p } { 9 6 \pi ^ { 3 } } \left[ 1 + { \frac { 3 \mu ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } \log \left( 1 - { \frac { p ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right) \right] \hfill } } \\ { { \Gamma ( p > \mu ) = \displaystyle \frac { e ^ { 4 } \mu ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 3 } p } \left[ - 1 + \frac { 2 \mu } { 3 p } + \log \left( \frac { 2 p \mu ( p - \mu ) } { m _ { f } ^ { 2 } ( p + \mu ) } \right) \right] . \hfill } } \end{array}
{ C } _ { \textup { d } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 4 ( 1 + 0 . 1 5 \, \textup { R e } _ { \textup { d } } ^ { 0 . 6 8 7 } ) / \textup { R e } _ { \textup { d } } } & { ~ \textup { R e } _ { \textup { d } } \leq 1 0 0 0 } \\ { 0 . 4 4 } & { ~ \textup { R e } _ { \textup { d } } > 1 0 0 0 } \end{array} \right.
\rho c _ { v } \frac { d } { d t } T = \frac { d } { d t } ( \rho e _ { t } ) - e _ { t } \frac { d } { d t } \rho - \mathbf { u } ^ { T } \frac { d } { d t } ( \rho \mathbf { u } ) + \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { u } \frac { d } { d t } \rho .
T \Bigl ( A ^ { \nu } ( x ) A ^ { \rho } ( x ^ { \prime } ) \Bigr ) = \theta ( t - t ^ { \prime } ) \, A ^ { \nu } ( x ) A ^ { \rho } ( x ^ { \prime } ) + \theta ( t ^ { \prime } - t ) \, A ^ { \rho } ( x ^ { \prime } ) A ^ { \nu } ( x )
\begin{array} { r } { z = \frac { 2 n \xi \left| g \left( \frac { \phi } { \Phi } \right) \right| } { \sqrt { \left[ 1 + \xi ^ { 2 } g ^ { 2 } \left( \frac { \phi } { \Phi } \right) \right] } } \left[ \frac { s ( \phi ) } { s _ { n } ( \phi ) } \left( 1 - \frac { s ( \phi ) } { s _ { n } ( \phi ) } \right) \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { \star } ( z + \delta ) - W ^ { \star } ( z ) } & { \ll \frac { \delta } { z } z ^ { \frac { c _ { 1 } } { \log T } } + \frac { ( \log T ) ^ { 2 } } { T } } \\ & { \ll z ^ { \frac { c _ { 1 } } { \log T } } + \frac { ( \log T ) ^ { 2 } } { T } \ll \delta ^ { \frac { c _ { 1 } } { 2 \log T } } + \frac { ( \log T ) ^ { 2 } } { T } . } \end{array}
Q ^ { - } \sim \sqrt { g ^ { 2 } N } \times \frac { K } { \sqrt { N } } \times \sum _ { n , l = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { l } \right) \times \left( \Gamma ^ { \dagger } ( l + n ) \Gamma ( l ) \Gamma ( n ) + \Gamma ^ { \dagger } ( n ) \Gamma ^ { \dagger } ( l ) \Gamma ( n + l ) \right) ,
\begin{array} { r l } { { k _ { 1 } } * [ { e _ { \alpha + \beta } } * ( \gamma } & { { \sinh _ { \gamma } } + ( \alpha + \beta ) { \cosh _ { \gamma } } ) - { \cosh _ { \gamma } } + e _ { \alpha + \beta } ] } \\ & { = \textstyle { \frac \gamma 2 } { k _ { 2 } } * [ { \sinh _ { \gamma } } - { e _ { \alpha + \beta } } * ( ( { \alpha + \beta } ) { \sinh _ { \gamma } } + \gamma { \cosh _ { \gamma } } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L } & { { } \rightarrow e ^ { i 2 \theta ^ { \prime } } L , } \\ { Q } & { { } \rightarrow { \mathrm { R e } } \left( e ^ { i 2 \theta ^ { \prime } } L \right) , } \\ { U } & { { } \rightarrow { \mathrm { I m } } \left( e ^ { i 2 \theta ^ { \prime } } L \right) . } \end{array}
{ \frac { { \cal V } } { \pi ^ { 3 / 2 } } } = \left( { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \langle \dot { q } ^ { 2 } \rangle + 2 \langle q \rangle - { \frac { 5 \sqrt { 2 } } { 2 } } \langle q ^ { 2 } \rangle + { \frac { 1 6 \sqrt { 3 } } { 9 } } \langle q ^ { 3 } \rangle - \langle q ^ { 4 } \rangle \right) R ^ { 3 } - { \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } } \langle q ^ { 2 } \rangle R ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \neq j } \frac { p _ { i } ^ { k + 1 } \alpha h \beta _ { i j } ^ { k } } { p _ { j } ^ { k } } } & { + \frac { p _ { j } ^ { k + 1 } \alpha \left( 1 - h \Delta \right) } { p _ { j } ^ { k } } } \\ & { + \frac { p _ { j } ^ { k + 1 } \alpha h ( \overline { { \Delta } } - \delta _ { j } ^ { k } ) } { p _ { j } ^ { k } } + \frac { c _ { j } } { p _ { j } ^ { k } } \leq 1 \quad \forall j } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \partial _ { t } ( \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \epsilon _ { \alpha } - \psi _ { \alpha } \right) ) + \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \epsilon _ { \alpha } - \psi _ { \alpha } \right) \mathbf { v } _ { \alpha } \right) + \mathrm { d i v } \left( \theta \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } \right) - \tilde { \rho } _ { \alpha } s _ { \alpha } \theta } & { { } ~ \geq 0 . } \end{array}
2 { \left[ \begin{array} { l l } { Q _ { x x } - M _ { x x } + Q _ { x x } Y _ { x x } + Q _ { x y } Y _ { x y } } & { Q _ { x y } - M _ { x y } + Q _ { x x } Y _ { x y } + Q _ { x y } Y _ { y y } } \\ { Q _ { y x } - M _ { y x } + Q _ { y x } Y _ { x x } + Q _ { y y } Y _ { x y } } & { Q _ { y y } - M _ { y y } + Q _ { y x } Y _ { x y } + Q _ { y y } Y _ { y y } } \end{array} \right] }
i \Pi _ { 4 } ^ { \mu \nu } ( p ) = \frac { 4 e ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { [ 2 k ^ { \mu } k ^ { \nu } - p ^ { \mu } k ^ { \nu } - p ^ { \nu } k ^ { \mu } + g ^ { \mu \nu } ( p \cdot k - k \cdot k + m ^ { 2 } ) ] k ^ { 2 } } { [ ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] } ,
P _ { \ell } ( \cos \gamma ) = { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } ( - 1 ) ^ { m } Y _ { \ell } ^ { - m } ( \theta , \varphi ) Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } )
\sigma \left[ \frac { \sum _ { j \in { \cal I } _ { k } ^ { ( t ) } } w _ { j } \epsilon _ { j } ( \omega ) } { \sum _ { j \in { \cal I } _ { k } ^ { ( t ) } } w _ { j } } - \frac { \sum _ { l \in { \cal I } _ { k + 1 } ^ { ( t ) } } w _ { l } \epsilon _ { l } ( \omega ) } { \sum _ { l \in { \cal I } _ { k + 1 } ^ { ( t ) } } w _ { l } } \right] ~ > ~ \frac { \sum _ { l \in { \cal I } _ { k + 1 } ^ { ( t ) } } w _ { l } \mu _ { l } } { \sum _ { l \in { \cal I } _ { k + 1 } ^ { ( t ) } } w _ { l } } - \frac { \sum _ { j \in { \cal I } _ { k } ^ { ( t ) } } w _ { j } \mu _ { j } } { \sum _ { j \in { \cal I } _ { k } ^ { ( t ) } } w _ { j } } ~ \ge ~ 0 .
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { z } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { z } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { z } ^ { h } } { \partial z ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { z } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { z } ^ { h } } { \partial y } + u _ { z } ^ { h } \frac { \partial u _ { z } ^ { h } } { \partial z } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial z } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } ) } \\ { = f _ { z } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } \in \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { h } ( T ( h ) - I ) \int _ { 0 } ^ { t } T ( \tau ) x \, d \tau } & { = \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { t } T ( \tau + h ) x \, d \tau - \frac { 1 } { h } T ( \tau ) x \, d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { h } \int _ { t } ^ { t + h } T ( \tau ) x \, d \tau - \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } T ( \tau ) x \, d \tau . } \end{array}
[ \hat { p } _ { \alpha } + \beta _ { \alpha \beta } \hat { \epsilon } ^ { \beta } , \hat { p } _ { \alpha ^ { \prime } } + \beta _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } \hat { \epsilon } ^ { \beta ^ { \prime } } ] = i ( \beta _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } + \beta _ { \beta \alpha ^ { \prime } } \partial _ { \alpha } \epsilon ^ { \beta } + \beta _ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha ^ { \prime } } \epsilon ^ { \beta } ) .
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { v } } - P _ { \mathrm { g } } = \rho _ { \mathrm { l } } \left[ R _ { \mathrm { b } } \left( 1 + 2 \pi R _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } n R _ { \mathrm { b } } \right) \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t ^ { 2 } } + \left( \frac { 3 } { 2 } + 4 \pi R _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } n R _ { \mathrm { b } } \right) \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \right) ^ { 2 } \right] + \frac { 4 \mu _ { \mathrm { l } } } { R _ { \mathrm { b } } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } } \\ { + 4 \pi n \rho _ { \mathrm { l } } R _ { \mathrm { d } } R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { d } } } { \mathrm { ~ d } t } \right) \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \right) + \frac { 2 \sigma } { R _ { \mathrm { b } } } . } \end{array}
L _ { M } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } D _ { \mu } \phi ^ { a } D ^ { \mu } \phi ^ { a } - \frac { \beta ^ { 2 } g ^ { 2 } } { 4 } ( \phi ^ { a } \phi ^ { a } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { N o r m } _ { K [ m ] } ^ { K [ m \ell ] } ( \tilde { \kappa } _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } \mathfrak { l } } ) = ( \ell - 1 ) \bigg ( } & { a _ { \ell } ( f ) - \frac { \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) \psi _ { 2 } ( \mathfrak { l } ) } { \ell } ( [ \mathfrak { l } ] \times [ \mathfrak { l } ] ) - \frac { \psi _ { 1 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) } { \ell } ( [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] \times [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) } \\ & { + ( 1 - \ell ) \frac { \psi _ { 1 } ( \mathfrak { l } ) \psi _ { 2 } ( \overline { { \mathfrak { l } } } ) } { \ell ^ { 2 } } ( [ \mathfrak { l } ] \times [ \overline { { \mathfrak { l } } } ] ) \bigg ) ( \tilde { \kappa } _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { r \left( \frac { a _ { 2 } \mu _ { 2 } } { q _ { 2 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) } + \frac { 1 } { q _ { 2 } } - \frac { a _ { 2 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } } { K q _ { 2 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { \mu _ { 2 } } { K q _ { 2 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) } \right) \quad > } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i m } ( \Omega _ { L } ^ { \mathrm { O B C } } ) } & { = \frac { ( 3 + \sqrt 5 ) ^ { L + 1 } - ( 3 - \sqrt 5 ) ^ { L + 1 } } { 2 ^ { L + 1 } \sqrt { 5 } } , } \\ { \mathrm { d i m } ( \Omega _ { L } ^ { \mathrm { P B C } } ) } & { = \frac { ( 3 + \sqrt 5 ) ^ { L } + ( 3 - \sqrt 5 ) ^ { L } } { 2 ^ { L } } , } \end{array}
{ \cal L } _ { Z 0 } = - { \frac { 1 } { 4 } } ( \partial _ { \mu } Z _ { \nu } - \partial _ { \mu } ) ^ { 2 } + \xi _ { Z } ( \partial _ { \mu } Z ^ { \mu } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { Z } ^ { 2 } Z _ { \mu } ^ { 2 } .
Q ( \phi ^ { a } ) = \left( \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { \xi } { \sqrt 3 } ) + N _ { \phi ^ { a } } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } ( - 1 + \frac { \xi } { \sqrt 3 } ) + N _ { \phi ^ { a } } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } ( - \frac { 2 \xi } { \sqrt 3 } ) + N _ { \phi ^ { a } } } } \end{array} \right)
B ( \frac { 1 } { n } + m , 1 - \frac { 1 } { n } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \zeta ^ { \frac { 1 } { n } + m - 1 } ( 1 - \zeta ) ^ { 1 - \frac { 1 } { n } - 1 } d \zeta
C ( w ) = \left[ \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { w - 1 } } & { { w } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right] ,
\tilde { \mu } ( \tilde { t } ) : = \sum _ { i = 1 } ^ { k } c _ { j } \left( \frac { \tilde { t } } { \tilde { \lambda } } \right) ^ { i - \alpha } \mu ( \tilde { t } + \tilde { \lambda } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { k } d _ { j } \mu ^ { ( j ) } ( \tilde { \lambda } ) \tilde { \lambda } ^ { \alpha } \tilde { t } ^ { j - \alpha } , \quad \tilde { \lambda } = \frac { \lambda } { R ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { U _ { B } = } & { { } \sum _ { x } \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , x } ^ { \dagger } - a _ { d A , x } ^ { \dagger } ) a _ { u A , x + 2 } } \\ { + } & { { } e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , x + 2 } ^ { \dagger } + a _ { d A , x + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { u A , x } } \\ { - } & { { } e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , x } ^ { \dagger } - a _ { d A , x } ^ { \dagger } ) a _ { d A , x + 2 } } \\ { + } & { { } e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , x + 2 } ^ { \dagger } + a _ { d A , x + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { d A , x } ] } \\ { - } & { { } \sum _ { x } ( a _ { u B , x } ^ { \dagger } a _ { u B , x } + a _ { d B , x } ^ { \dagger } a _ { d B , x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { R e s } ( f ; z _ { 0 } ) = \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow z _ { 0 } } \frac { d ^ { n - 1 } } { d z ^ { n - 1 } } \left[ ( z - z _ { 0 } ) ^ { n } f ( z ) \right] . } \end{array}
\alpha = \operatorname* { m i n } _ { m \in [ M ] } \frac { T _ { m } \sigma _ { m } ^ { 2 } } D \geq \frac { T _ { \operatorname* { m i n } } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } } D \geq \frac { T _ { \operatorname* { m i n } } \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } } { M T _ { \operatorname* { m a x } } } \geq \frac { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } } { M C _ { \sharp } } \, .
\frac { d a _ { 3 } } { d t } = { \mathcal { M } } _ { 3 } a _ { 1 } \bar { a } _ { 2 } + \mathcal { N } _ { 3 } a _ { 5 } \bar { a } _ { 4 } - \mathcal { V } _ { 3 } a _ { 3 }
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } | \varphi | ^ { p } \, | \nabla u _ { n } | ^ { p } \, d x } & { \le \| \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } ^ { p } \, \frac { 1 } { ( \log n ) ^ { p } } \int _ { B _ { 1 / n } ( x _ { 0 } ) } \frac { 1 } { | x - x _ { 0 } | ^ { p } } \, d x } \\ & { = \| \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } ^ { p } \, \frac { N \, \omega _ { N } } { ( \log n ) ^ { p } } \, \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { n } } \varrho ^ { N - p - 1 } \, d \varrho . } \end{array}
u \overline { { { u } } } + d \overline { { { d } } } c o s ^ { 2 } \theta _ { c } + s \overline { { { s } } } s i n ^ { 2 } \theta _ { c } + ( s \overline { { { d } } } + d \overline { { { s } } } ) c o s \theta _ { c } s i n \theta _ { c } .
\left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 1 } & { \alpha } & { \alpha ^ { 2 } } & { \cdots } & { \alpha ^ { c - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \alpha ^ { ( a - 1 ) } } & { \alpha ^ { 2 ( a - 1 ) } } & { \cdots } & { \alpha ^ { ( c - 1 ) ( a - 1 ) } } \end{array} \right) \mathrm { \ a n d ~ \ } \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { \alpha } & { \alpha ^ { 2 } } & { \cdots } & { \alpha ^ { c - 1 } } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \alpha ^ { ( a - 1 ) } } & { \alpha ^ { 2 ( a - 1 ) } } & { \cdots } & { \alpha ^ { ( c - 1 ) ( a - 1 ) } } & { 1 } \end{array} \right)
{ \tilde { \sigma } } ^ { M } = \langle \sigma _ { 1 1 } , \sigma _ { 2 2 } , \sigma _ { 3 3 } , { \sqrt { 2 } } \sigma _ { 2 3 } , { \sqrt { 2 } } \sigma _ { 1 3 } , { \sqrt { 2 } } \sigma _ { 1 2 } \rangle .
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma _ { _ X } } { d Z } } & { { } = 2 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta _ { _ { X } } \sigma _ { _ X } + b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \sigma _ { _ X } + \frac { 1 5 } { 8 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { 0 } \zeta _ { 4 } \sigma _ { _ X } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { i } t _ { i } } & { = } & { A _ { 1 } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { K n } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { j } } + \frac { \partial \hat { v } _ { j } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) n _ { i } t _ { j } - A _ { 2 } \left( \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { K n } \right) ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \hat { x } _ { k } } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { k } } + \frac { \partial \hat { v } _ { k } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) t _ { i } } \\ & { } & { + A _ { 3 } \mathrm { K n } \frac { \partial \hat { \theta } } { \partial \hat { x } _ { i } } t _ { i } - A _ { 4 } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \mathrm { K n } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { \theta } } { \partial \hat { x } _ { i } \hat { x } _ { j } } n _ { i } t _ { j } \mathrm { , } } \end{array}
J _ { N } ( x ) \ = \ \frac { 1 } { N _ { c } \, ! } \, \, \epsilon ^ { \alpha _ { 1 } , \cdots , \alpha _ { N _ { c } } } \, \, \Gamma _ { J J _ { 3 } , T T _ { 3 } } ^ { f _ { 1 } , \cdots , f _ { N _ { c } } } \, \, \psi _ { \alpha _ { 1 } f _ { 1 } } ( x ) \cdots \psi _ { \alpha _ { N _ { c } } f _ { N _ { c } } } ( x ) ,
\big ( \mathring { A } ^ { { w , w ^ { \prime } } } \big ) ^ { * } = \mathring { ( A ^ { * } ) } ^ { { \bar { w } ^ { \prime } , \bar { w } } } \, , \quad \mathring { A } ^ { w , w ^ { \prime } } E _ { - } = \mathring { ( A E _ { - } ) } ^ { { w , - w ^ { \prime } } } \, , \quad E _ { - } \mathring { A } ^ { w , w ^ { \prime } } = \mathring { ( E _ { - } A ) } ^ { { - w , w ^ { \prime } } } \, .
\omega _ { Z } = \mathbf { \Omega } : \nabla \mathbf { u } , \nabla \mathbf { u } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } \\ { \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right) \Rightarrow \frac { d \omega _ { Z } } { d \left( \nabla \mathbf { u } \right) } = \mathbf { \Omega } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) .
\mathbb { E } _ { J } \big ( \textrm { T r } e ^ { - \beta H _ { p } } \big ) ^ { n } = \mathbb { E } _ { J } \textrm { T r } \exp { \left[ - \frac { \beta } { M } \sum _ { \tau = 1 } ^ { M } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n } \sum _ { ( i _ { 1 } \cdots i _ { p } ) } J _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } \sigma _ { i _ { 1 } } ^ { \alpha } ( \tau ) \cdots \sigma _ { i _ { p } } ^ { \alpha } ( \tau ) + \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { N } H _ { \Gamma } ( \sigma _ { i } ^ { \alpha } ) \right] } ,
\begin{array} { r l } { S _ { 0 } } & { { } = E _ { x } ^ { 2 } + E _ { y } ^ { 2 } , } \\ { S _ { 1 } } & { { } = E _ { x } ^ { 2 } - E _ { y } ^ { 2 } , } \\ { S _ { 2 } } & { { } = 2 | E _ { x } | | E _ { y } | c o s \delta , } \\ { S _ { 3 } } & { { } = 2 | E _ { x } | | E _ { y } | s i n \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { N } ^ { ( 1 ) } ( q ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } q ^ { N k + k ( k + 1 ) / 2 } \frac { 1 } { 1 - q ^ { k } } } \\ & { = - q ^ { N } \frac { q } { 1 - q } + q ^ { 2 N } \frac { q ^ { 3 } } { 1 - q ^ { 2 } } - q ^ { 3 N } \frac { q ^ { 6 } } { 1 - q ^ { 3 } } + q ^ { 4 N } \frac { q ^ { 1 0 } } { 1 - q ^ { 4 } } + \dots , } \\ { G _ { N } ^ { ( 2 ) } ( q ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } q ^ { N k + k ( k + 1 ) / 2 } \sum _ { L _ { 1 } = 1 } ^ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { 1 - q ^ { L _ { 1 } } } \frac { 1 } { 1 - q ^ { k - L _ { 1 } } } - \frac { 1 } { 1 - q ^ { k } } \right) } \\ & { = q ^ { 2 N } \cdot \frac { q ^ { 3 } } { 2 } \left[ \frac { 1 } { ( 1 - q ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 - q ^ { 2 } } \right] - q ^ { 3 N } \cdot q ^ { 6 } \left[ \frac { 1 } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 2 } \right) } - \frac { 1 } { 1 - q ^ { 3 } } \right] + } \\ & { + q ^ { 4 N } \cdot \frac { q ^ { 1 0 } } { 2 } \left[ \frac { 2 } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 3 } \right) } + \frac { 1 } { \left( 1 - q ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 1 - q ^ { 4 } } \right] + \dots , } \\ { G _ { N } ^ { ( 3 ) } ( q ) } & { = - q ^ { 3 N } \cdot \frac { q ^ { 6 } } { 6 } \left[ \frac { 1 } { ( 1 - q ) ^ { 3 } } - \frac { 3 } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 2 } \right) } + \frac { 2 } { 1 - q ^ { 3 } } \right] + } \\ & { + q ^ { 4 N } \cdot \frac { q ^ { 1 0 } } { 2 } \left[ \frac { 1 } { ( 1 - q ) ^ { 2 } \left( 1 - q ^ { 2 } \right) } - \frac { 1 } { \left( 1 - q ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - \frac { 2 } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 3 } \right) } + \frac { 2 } { 1 - q ^ { 4 } } \right] + \dots , } \\ { G _ { N } ^ { ( 4 ) } ( q ) } & { = q ^ { 4 N } \cdot \frac { q ^ { 1 0 } } { 2 4 } \bigg [ \frac { 1 } { ( 1 - q ) ^ { 4 } } - \frac { 6 } { ( 1 - q ) ^ { 2 } \left( 1 - q ^ { 2 } \right) } + \frac { 8 } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 3 } \right) } + } \\ & { + \frac { 3 } { \left( 1 - q ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - \frac { 6 } { 1 - q ^ { 4 } } \bigg ] + \dots . } \end{array}
\Bigl [ \prod _ { a } \Delta ^ { 2 } ( \varphi _ { a } ) \Bigr ] \, \times \, \exp \Bigl \{ - { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { N } { L } } \Bigl ( \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } { \frac { \pi l } { L } } } } + { \frac { 1 } { 1 2 } } \Bigr ) \sum _ { a , \alpha } \varphi _ { a , \alpha } ^ { 2 } + O ( \varphi ^ { 4 } ) \Bigr \} ~ ~ .