harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\dot { w _ { k } } = \pi _ { k } F ( \pi _ { k } ) - T { \frac { d { F ( \pi _ { k } ) } } { d \pi _ { k } } } , \qquad \dot { w ^ { \prime } } _ { k } = \pi _ { k } F ^ { \prime } ( \pi _ { k } ) - T { \frac { d { F ^ { \prime } ( \pi _ { k } ) } } { d \pi _ { k } } } .
\begin{array} { r } { \sum _ { \ell + s \leq \Lambda } \big ( \| \partial _ { t } ^ { \ell } u \| _ { s + 1 } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } p \| _ { s } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } \phi \| _ { s + 2 } ^ { 2 } \big ) \lesssim \sum _ { \ell + s \leq \Lambda } \big ( 1 + \mathbf { E } _ { \ell + s } ^ { \aleph _ { s } } ( t ) \big ) \mathbf { E } _ { \ell + s } ( t ) } \\ { \lesssim \big ( 1 + \mathbf { E } _ { \Lambda } ^ { \aleph _ { \Lambda } } ( t ) \big ) \mathbf { E } _ { \Lambda } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \delta } ^ { 0 } } & { \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta = \int _ { 0 } ^ { \delta } \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \delta } \frac { \sqrt { 1 + ( 1 - p ^ { 2 } ) \tan ^ { 2 } ( \theta ) } \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 + ( 1 - p ^ { 2 } ) ^ { 2 } \tan ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \tan ( \delta ) } \frac { \sqrt { 1 + ( 1 - p ^ { 2 } ) s ^ { 2 } } } { 1 + ( 1 - p ^ { 2 } ) ^ { 2 } s ^ { 2 } } \, d s \leq \int _ { 0 } ^ { \tan ( \delta ) } \frac { 1 + ( 1 - p ^ { 2 } ) s ^ { 2 } } { 1 + ( 1 - p ^ { 2 } ) ^ { 2 } s ^ { 2 } } \, d s \leq 2 \tan ( \delta ) \to 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { e } ( \textbf { r } ^ { \prime } ) } & { = \frac { 2 c _ { 0 } \rho _ { 0 } \cos \theta _ { l e n s } } { c _ { 0 } \rho _ { 0 } \cos \theta _ { l e n s } + c _ { l e n s } \rho _ { l e n s } \cos \theta _ { 0 } } ; } \\ & { \mathrm { ~ w i t h ~ } \quad \frac { \sin \theta _ { l e n s } } { c _ { l e n s } } = \frac { \sin \theta _ { 0 } } { c _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mu _ { 2 } \otimes \mathbb { I } _ { N _ { 2 } } ) \circ ( \mathbb { I } _ { \mathcal { A } } \otimes h ) \circ \delta _ { N _ { 1 } } ^ { 1 } + ( \mu _ { 2 } \otimes \mathbb { I } _ { N _ { 2 } } ) \circ ( \mathbb { I } _ { \mathcal { A } } \otimes \delta _ { N _ { 2 } } ^ { 1 } ) \circ h + ( \mu _ { 1 } \otimes \mathbb { I } _ { N _ { 2 } } ) \circ h = f - g . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | v ^ { ( 3 ) } - v ^ { \omega } | \leq } & { \; \left\{ \begin{array} { l l } { C | z t ^ { - 1 / 3 } | ^ { N } e ^ { - c | z | ^ { 3 } } , } & { | z | \leq t ^ { \frac { 2 } { 1 5 } } , } \\ { C e ^ { - c | z | ^ { 3 } } , } & { | z | \geq t ^ { \frac { 2 } { 1 5 } } , } \end{array} \right. \quad k \in \mathcal { Y } _ { 1 } ^ { \epsilon } , } \end{array}
\mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { 0 } , \quad \mathrm { i f } \quad \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ^ { ( t ) } ( v ) } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle ) \le 0 } \\ { \displaystyle \operatornamewithlimits { a r g m a x } _ { \{ { \boldsymbol x } _ { n } \mid n \in \mathcal { N } ^ { ( t ) } ( v ) \} } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle ) , \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r } { \boldsymbol J ( t ) = - \frac { e } { m _ { e } \Omega _ { \mathrm { c e l l } } } \sum _ { b } \int _ { \mathrm { B Z } } d \boldsymbol k f _ { b \boldsymbol k } \int _ { \mathrm { c e l l } } d \boldsymbol r u _ { b \boldsymbol k } ^ { * } ( \boldsymbol r , t ) \boldsymbol v _ { \boldsymbol k } ( t ) u _ { b \boldsymbol k } ( \boldsymbol r , t ) , } \end{array}
[ F _ { n } ] ( t , x ) \sim \frac { \mathrm { c o n s t } } { \sqrt { - A _ { 2 } ( t ) } } \, x ^ { n - 1 } \, e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 A _ { 2 } ( t ) } } , \quad | x | \to \infty , \quad t > 0 .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 , 2 } \ } & { { } = - { \frac { b } { 4 a } } - S \pm { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { - 4 S ^ { 2 } - 2 p + { \frac { q } { S } } } } } \\ { x _ { 3 , 4 } \ } & { { } = - { \frac { b } { 4 a } } + S \pm { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { - 4 S ^ { 2 } - 2 p - { \frac { q } { S } } } } } \end{array}
M _ { \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb \xi } ) = 8 \pi \mu \mathcal { F } _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } u _ { \alpha } ( { \pmb \xi } ) + [ { \pmb v } _ { \beta { \pmb \beta } _ { n } } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ]
\begin{array} { r } { { \bf E } ( { \bf r } ) = \mathcal { E } _ { 0 } \, T \; \hat { \bf e } _ { 0 } ^ { + } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } [ k _ { z } ( z - z _ { n } ) + k _ { x } x ] } , \quad \quad \quad z > z _ { n } } \end{array}
k _ { i j } ^ { \mathrm { P } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \frac { \ell \left( 4 \sin \phi _ { j } + \mu \cos \phi _ { j } \right) + \mu ( 1 - \alpha ) L } { \ell ^ { 2 } + 2 ( 1 - \alpha ) L \ell \cos \phi _ { j } + ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } L ^ { 2 } } - \frac { \ell \left( 4 \sin \phi _ { j } + \mu \cos \phi _ { j } \right) - \alpha \mu L } { \ell ^ { 2 } - 2 \alpha L \ell \cos \phi _ { j } + \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } } \right] .
\mathcal { A } _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } ^ { \mu \rightarrow e } = P _ { \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } } - P _ { \overline { { \nu } } _ { \mu } \rightarrow \overline { { \nu } } _ { e } } = - 1 6 J \sin \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } L } { 4 E } \sin \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L } { 4 E } \sin \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } L } { 4 E } \; .
{ \cal L } = \bar { \psi } _ { \alpha } ( i \partial \! \! \! / - e A \! \! \! / ) \psi _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } ( \phi ^ { * } \bar { \psi } _ { \alpha } ^ { c } \psi _ { \alpha } - \phi \bar { \psi } _ { \alpha } \psi _ { \alpha } ^ { c } ) - \lambda N \phi ^ { * } \phi \, \, \, \, .
{ \begin{array} { r l r l r l } { \mathbf { i } } & { = { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , } & { \mathbf { j } } & { = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , } & { \mathbf { k } } & { = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } } \end{array} }
\nabla f _ { \lambda } ( \bar { x } , \bar { y } ) = 0 ~ ~ \Leftrightarrow ~ ~ \left( \begin{array} { l } { 2 \bar { x } - \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } \bar { x } } \\ { 4 \bar { y } - \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } \bar { y } } \end{array} \right) = 0 ~ ~ \Leftrightarrow ~ ~ \left( \begin{array} { l } { \bar { x } } \\ { \bar { y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 + 2 \lambda _ { 2 } } } \\ { \frac { \lambda _ { 1 } } { 4 + 2 \lambda _ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \textup { s d } ( } & { \textup { s v } _ { \mathcal { V } , f } ( x _ { k } , u _ { k } , t _ { k } , t _ { k + 1 } ) , } \\ & { \textup { s v } _ { \mathcal { O } } ( t _ { k } , t _ { k + 1 } ) ) \geq \gamma } \\ { \Leftarrow \textup { s d } ( } & { \textup { c o } ( \{ \mathcal { V } ( x _ { k } ) , \mathcal { V } ( x _ { k + 1 } ) \} ) \oplus B _ { r ( x _ { k } , u _ { k } ) } , } \\ & { \textup { c o } ( \{ \mathcal { O } _ { k } , \mathcal { O } _ { k + 1 } \} ) \oplus B _ { w _ { k } } ) = \gamma } \\ { \iff \textup { s d } ( } & { \textup { c o } ( \{ \mathcal { V } ( x _ { k } ) , \mathcal { V } ( x _ { k + 1 } ) \} ) , } \\ & { \textup { c o } ( \{ \mathcal { O } _ { k } , \mathcal { O } _ { k + 1 } \} ) ) = \gamma + r ( x _ { k } , u _ { k } ) + w _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ( y ) } & { { } = } & { \frac { y _ { R } ( y ; m ) } { ( 1 - y ^ { 2 } ) \mathscr { W } ( y _ { L } ( y ; m ) , y _ { R } ( y ; m ) ) } } \\ { C ( y ) } & { { } = } & { \frac { y _ { L } ( y ; m ) } { ( 1 - y ^ { 2 } ) \mathscr { W } ( y _ { L } ( y ; m ) , y _ { R } ( y ; m ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { x } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = ( 1 - \xi - \eta - \zeta ) \mathbf { x } _ { 1 } + \zeta \, \mathbf { x } _ { 2 } + \eta \, \mathbf { x } _ { 3 } + \xi \, \mathbf { x } _ { 4 } \, , } & & { \mathbf { x } : \Omega \to V _ { e } \, , } \\ { \Omega } & { = \{ ( \xi , \eta , \zeta ) \in [ 0 , 1 ] ^ { 3 } \; | \; \xi + \eta + \zeta \leq 1 \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \overline { { { G } } } _ { i } ^ { ( m ) } ( x | z ) } } & { { = } } & { { ( - \tau ) ^ { i - 1 } \displaystyle \sum _ { 1 \leq \mu _ { 1 } < \cdots < \mu _ { n - 1 } \leq M } ( - 1 ) ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } m n - m - n + i + \mu _ { i } } } } \\ { { } } & { { \times } } & { { \operatorname * { d e t } \left( h _ { \alpha } ^ { ( m - 1 ) } ( x _ { \mu _ { i } } | z ^ { \prime } ) \right) _ { 1 \leq i , \alpha \leq n - 1 } \overline { { { G } } } _ { i } ^ { ( m - 1 ) } ( \stackrel { \mu } { \hat { x } } | z ) . } } \end{array}
\frac { \partial P } { \partial x } = \frac { 1 } { x _ { T } } \frac { \partial ^ { 2 } P } { \partial \varphi ^ { 2 } } + \left( i q \varphi - \frac { x _ { T } } { 4 \xi ^ { 2 } } \varphi ^ { 2 } + 2 z \cos \varphi \right) P ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { a r t a n h } z } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { L o g } \left( { 1 + z } \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { L o g } \left( { 1 - z } \right) } \\ { \operatorname { a r c o t h } z } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { L o g } \left( { 1 + { \frac { 1 } { z } } } \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { L o g } \left( { 1 - { \frac { 1 } { z } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { g } } & { = } & { J _ { 0 } - J _ { 1 } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \rangle - J _ { 2 } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { i + 2 } \rangle - J _ { 3 } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { i + 3 } \rangle } \\ & { } & { - K \langle \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i + 2 } \sigma _ { i + 3 } \rangle } \end{array}
\frac { l \pi } { 2 L _ { x } } \to k _ { x } \; , \; \frac { m \pi } { 2 L _ { y } } \to k _ { y } \; , \; \frac { n \pi } { 2 L _ { z } } \to k _ { z } \; \mathrm { ~ a n d ~ } \; \omega _ { l , m , n } \to \omega \; .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } U ( t ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t } & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { | { \mathcal D } _ { j } | } \sum _ { k \in { \mathcal D } _ { j } } u _ { k } \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } e ^ { - 2 i \pi \lambda _ { k } t } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \frac { 1 } { | I _ { p } | } \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { | { \mathcal D } _ { j } | } \sum _ { k \in { \mathcal D } _ { j } } u _ { k } { \mathcal F } [ \varphi ] ( \lambda _ { k } - \lambda _ { \ell } ) } \\ & { = } & { u _ { \ell } \delta ^ { - j _ { \ell } } \frac { { \mathcal F } [ \varphi ] ( 0 ) } { | I _ { p } | } + \frac { 1 } { | I _ { p } | } \sum _ { j = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { | { \mathcal D } _ { j } | } \sum _ { k \in { \mathcal D } _ { j } \setminus \{ \ell \} } u _ { k } { \mathcal F } [ \varphi ] ( \lambda _ { k } - \lambda _ { \ell } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ( u _ { \mathrm { m i n } } ^ { * } , 0 ) = E ^ { * } , \quad - \sqrt { 1 - A _ { 0 } } < u _ { \mathrm { m i n } } ^ { * } < - 1 \implies } \\ & { \frac { ( u _ { \mathrm { m i n } } ^ { * } ) ^ { 2 } } { 4 } \left( A _ { 0 } ( 2 - 3 ( u _ { \mathrm { m i n } } ^ { * } ) ^ { 2 } ) - 2 ( ( u _ { \mathrm { m i n } } ^ { * } ) ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \right) = \frac { A _ { 0 } } 4 \left( 2 A _ { 0 } q _ { * } ^ { 2 } - 1 \right) , \quad } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \sqrt { 1 - A _ { 0 } } < u _ { \mathrm { m i n } } ^ { * } < - 1 . } \end{array}
a _ { s } ( Q ^ { 2 } ) _ { \mathrm { p e r t , 2 } } = a _ { s } - a _ { s } ^ { 2 } A _ { 1 } ( Q ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) + + a _ { s } ^ { 3 } A _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { s } ^ { 3 } \, A _ { 2 } ( Q ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) + \dots \, \, .
F _ { \pi , I = 1 ( 0 ) } ( 0 , 0 ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 4 ( 9 ) m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \! \! d s \, \frac { 1 } { s } \, \mathrm { I m } \, F _ { \pi , I = 1 ( 0 ) } ( s , 0 ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \hat { d } ) } & { { } \leq \left( \frac { k ^ { k } \left( \eta ! \right) } { \eta ^ { k } \left( \eta - k \right) ! } \right) ^ { 2 } e ^ { 3 } \left( \frac { 2 \eta \left( k + e \right) } { k ^ { 2 } } \right) ^ { k } . } \end{array}
K = \int d k E ( k ) = \int _ { k = k _ { \textrm { C } } } ^ { \infty } d k K o \ \varepsilon ^ { 2 / 3 } k ^ { - 3 / 5 } = C _ { K 0 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 2 / 3 } ,
( d s ) ^ { 2 } = - \frac { 1 } { \sqrt { \Lambda } } \left( 1 + \frac { 2 } { 3 } \delta \mathrm { c o s } R \right) \mathrm { s i n } ^ { 2 } R d ^ { 2 } T + \frac { 1 } { \Lambda } \left( 1 - \frac { 2 } { 3 } \delta \mathrm { c o s } R \right) d ^ { 2 } R + \frac { 1 } { \Lambda } \left( 1 - 2 \delta \mathrm { c o s } \right) d ^ { 2 } \Omega _ { ( 2 ) }
\begin{array} { r l } { * [ 0 . 2 c m ] } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { i } ^ { N } \frac { ( y _ { i } - \alpha _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { v _ { i } } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } = b ^ { 2 } \delta \eta _ { l l l \perp } + a ^ { 2 } \delta \lambda + \delta \eta _ { \perp l } v ^ { 2 } + b ^ { 2 } \delta \eta _ { l l l } - \frac { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \delta \lambda ( \chi _ { \perp } + \lambda _ { \perp } + \delta \lambda + \delta \chi ) } { 4 \varepsilon H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \; , } \\ & { } & { U _ { 1 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } = b ^ { 3 } \delta \eta _ { l l l \perp } + a ^ { 2 } b \delta \lambda + ( \delta \eta _ { \perp l } + \delta \eta _ { l l l } ) b v ^ { 2 } - \frac { a ^ { 2 } b \delta \lambda [ ( \chi _ { \perp } + \lambda _ { \perp } ) v ^ { 2 } + b ^ { 2 } ( \delta \lambda + \delta \chi ) ] } { 4 \varepsilon H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \; , } \\ & { } & { U _ { 2 } ^ { \mu } l _ { \mu } = b \left( \frac { \delta \chi } { 3 } + \delta \eta _ { l l l } \right) + \frac { ( \chi _ { \perp } - \eta _ { l l } ) b } { 3 } - \frac { a ^ { 2 } b ( \chi + \lambda _ { \perp } ) ( \chi _ { \perp } + \lambda _ { \perp } + \delta \lambda + \delta \chi ) } { 4 \varepsilon H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \; , } \\ & { } & { U _ { 2 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } = b ^ { 2 } \left( \frac { \delta \chi } { 3 } + \delta \eta _ { l l l } \right) + \frac { ( \chi _ { \perp } - \eta _ { l l } ) v ^ { 2 } } { 3 } - \frac { a ^ { 2 } ( \chi + \lambda _ { \perp } ) [ ( \chi _ { \perp } + \lambda _ { \perp } ) v ^ { 2 } + b ^ { 2 } ( \delta \lambda + \delta \chi ) ] } { 4 \varepsilon H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \; , } \\ & { } & { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) = \frac { 3 \chi a ^ { 2 } + \lambda _ { \perp } v ^ { 2 } + \delta \lambda \, b ^ { 2 } } { 4 \varepsilon } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { S _ { x , x } \left( \omega \right) } & { { } = \frac { C } { \left| \omega \right| ^ { \nu } } + S _ { \infty } , } & { S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) } & { { } = \sigma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y ^ { \prime } } & { = } & { y + \frac { y z } { z _ { 0 } } , } \\ & { = } & { y + \frac { A B } { z _ { 0 } } \cos ( \omega _ { y } t + \phi ) \cos ( \omega _ { z } t ) , } \\ & { = } & { y + \frac { A B } { 2 z _ { 0 } } \left( \cos ( \omega _ { z } t - \omega _ { y } t - \phi ) + \cos ( \omega _ { z } t + \omega _ { y } t + \phi ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \beta + 2 \gamma - 2 - \frac { \beta ( 3 - 4 H ) } { \alpha } > - 1 , } \\ { 2 \alpha - ( 2 - 4 H ) > 1 , } \end{array} \right. } \\ { \Longleftrightarrow } & { \, 2 \alpha + \frac { \alpha } { \beta } \operatorname* { m i n } ( 2 \gamma - 1 , 0 ) > 3 - 4 H , } \\ { \Longleftrightarrow } & { \, 2 \alpha + \frac { \alpha } { \beta } \operatorname* { m i n } \left( 2 \gamma - 1 , 2 \gamma - 1 + \frac { \beta ( 1 - 2 H ) } { \alpha } , 0 \right) > 3 - 4 H . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \bar { \mathbf { U } } _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { + } \right\} ~ \to ~ \left\{ \widehat { \mathbf { U } } _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { + , \mu } \right\} _ { \mu = 1 } ^ { Q } , \quad \left\{ \bar { \mathbf { U } } _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { - } \right\} ~ \to ~ \left\{ \widehat { \mathbf { U } } _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { - , \mu } \right\} _ { \mu = 1 } ^ { Q } \quad \mathrm { f o r ~ f i x e d ~ i ~ } , } \\ & { \left\{ \bar { \mathbf { U } } _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { + } \right\} ~ \to ~ \left\{ \widehat { \mathbf { U } } _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { \mu , + } \right\} _ { \mu = 1 } ^ { Q } , \quad \left\{ \bar { \mathbf { U } } _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { - } \right\} ~ \to ~ \left\{ \widehat { \mathbf { U } } _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { \mu , - } \right\} _ { \mu = 1 } ^ { Q } \quad \mathrm { f o r ~ f i x e d ~ j ~ } . } \end{array}
a [ G ] ( A , V , t ) : = \int _ { \{ A ^ { \prime } \geq V ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } K _ { R } ( \phi _ { t } ( A , V ) , \phi _ { t } ( A ^ { \prime } , V ^ { \prime } ) ) \xi _ { R } ( y _ { t } ( V ) + y _ { t } ( V ^ { \prime } ) ) G ( A ^ { \prime } , V ^ { \prime } , t ) \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , t ) } \textup { d } V ^ { \prime } \textup { d } A ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { r m s } } } & { { } = { \frac { V _ { \mathrm { p e a k } } } { 2 } } } \\ { V _ { \mathrm { d c } } } & { { } = { \frac { V _ { \mathrm { p e a k } } } { \pi } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { i } + \frac { 5 } { 2 } \rho T \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } + \frac { 5 } { 2 } \sigma _ { i k } \frac { \partial T } { \partial x _ { k } } - \sigma _ { i k } T \frac { \partial \ln \rho } { \partial x _ { k } } - \frac { \sigma _ { i k } } { \rho } \frac { \partial \sigma _ { k l } } { \partial x _ { l } } + T \frac { \partial \sigma _ { i k } } { \partial x _ { k } } + } & { { } } \\ { + \frac { 7 } { 5 } q _ { i } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } + \frac { 7 } { 5 } q _ { k } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { k } } + \frac { 2 } { 5 } q _ { k } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { i } } + } & { { } \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial R _ { i k } } { \partial x _ { k } } + \frac { 1 } { 6 } \frac { \partial \Delta } { \partial x _ { i } } + m _ { i k l } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { l } } = - \frac { 2 } { 3 } \frac { p } { \mu } q _ { i } , } \\ { \dot { \sigma } _ { i j } + \frac { 4 } { 5 } \frac { \partial q _ { \langle i } } { \partial x _ { \rangle j } } + 2 \sigma _ { k \langle i } \frac { \partial v _ { j \rangle } } { \partial x _ { k } } + \sigma _ { i j } \frac { \partial v _ { k } } { \partial x _ { k } } + } & { { } 2 \rho T \frac { \partial v _ { \langle i } } { \partial x _ { j \rangle } } + \frac { \partial m _ { i j k } } { \partial x _ { k } } = - \frac { p } { \mu } \sigma _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathrm { L } \rangle = \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \end{array}
F ( z ) = \sum _ { n \geq 1 } Z ( C _ { n } ) ( f ( z ) , f ( z ^ { 2 } ) , \ldots , f ( z ^ { n } ) ) = \sum _ { n \geq 1 } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { d \mid n } \varphi ( d ) f ( z ^ { d } ) ^ { n / d }
[ \phi ( y ) \, , \, \phi ( y ^ { \prime } ) ] = - { \frac { i \pi \beta ^ { 2 } } { 2 } } s \left( \frac { y - y ^ { \prime } } { R } \right) \quad , \quad [ \bar { \phi } ( \bar { y } ) \, , \, \bar { \phi } ( \bar { y } ^ { \prime } ) ] = { \frac { i \pi \beta ^ { 2 } } { 2 } } s \left( \frac { \bar { y } - \bar { y } ^ { \prime } } { R } \right) \quad ,
\nabla ( { \mathbf a } \cdot { \mathbf b } ) = ( { \mathbf a } \cdot \nabla ) { \mathbf b } + ( { \mathbf b } \cdot \nabla ) { \mathbf a } + { \mathbf a } \times ( \nabla \times { \mathbf b } ) + { \mathbf b } \times ( \nabla \times { \mathbf a } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { \bf Y } _ { 1 } ^ { \pm } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \tilde { \bf W } _ { 1 1 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) + \tilde { \bf W } _ { 1 2 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { \pm } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) , } \\ & { } & { \tilde { \bf Y } _ { 2 } ^ { \pm } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \tilde { \bf W } _ { 2 1 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) + \tilde { \bf W } _ { 2 2 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { \pm } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C o v ( Z _ { l } , Z _ { k } ) } & { \leq 2 c ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ F _ { U U } ( u , v ) - F _ { U } ( u ) F _ { U } ( v ) \right\} \frac { 1 } { f _ { \bar { Q } } \{ F _ { \bar { Q } } ^ { - 1 } ( u ) \} } \frac { 1 } { f _ { \bar { Q } } \{ F _ { \bar { Q } } ^ { - 1 } ( v ) \} } \, d u \, d v } \\ & { = 2 c ^ { 2 } C o v ( \bar { Q } _ { k } , \bar { Q } _ { l } ) . } \end{array}
\left[ F _ { \sigma } ^ { \sigma \sigma \sigma } \right] = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left[ \begin{array} { l l l } { \kappa _ { 1 } } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { e ^ { i \pi \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } \right) \kappa _ { 2 } } } & { e ^ { - i \pi \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } \right) \kappa _ { 2 } } } \\ { 1 } & { e ^ { - i \pi \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } \right) \kappa _ { 2 } } } & { e ^ { i \pi \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } \right) \kappa _ { 2 } } } \end{array} \right] ,
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = y ( t _ { n - 1 } ) - a \cdot ( t _ { n } - t _ { n - 1 } ) } \\ { 0 } & { = \left[ c + b \sin ( 2 \pi t _ { n - 1 } ) \right] - a t _ { n } + a t _ { n - 1 } } \\ { t _ { n } } & { = { \frac { 1 } { a } } \left[ c + b \sin ( 2 \pi t _ { n - 1 } ) \right] + t _ { n - 1 } } \\ { t _ { n } } & { = t _ { n - 1 } + { \frac { c } { a } } + { \frac { b } { a } } \sin ( 2 \pi t _ { n - 1 } ) } \end{array} }
\langle \hat { E } _ { t ^ { \prime } i ^ { \prime } } \Psi ^ { ( 0 ) } | \hat { H } _ { 0 } - E ^ { ( 0 ) } | \hat { E } _ { t i } \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle = - f _ { i i ^ { \prime } } D _ { t ^ { \prime } t } + \delta _ { i i ^ { \prime } } \left[ \sum _ { u } f _ { u t } D _ { t ^ { \prime } u } + \sum _ { u v } f _ { u v } \left( \Gamma _ { t ^ { \prime } t u v } + \delta _ { t u } D _ { t ^ { \prime } v } - D _ { t ^ { \prime } t } D _ { u v } \right) \right]
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { 0 } \vert \hat { T } \rho ( x , t ) \rho ( 0 , 0 ) \vert \Phi _ { 0 } \rangle } & { = } & { \langle \Phi _ { 0 } \vert ( a ( x , t ) a ( 0 , 0 ) ) ^ { \dagger } ( a ( x , t ) a ( 0 , 0 ) ) \vert \Phi _ { 0 } \rangle } \\ & { + } & { \langle \Phi _ { 0 } \vert a ^ { \dagger } ( x , t ) a ( 0 , 0 ) \vert \Phi _ { 0 } \rangle \langle v a c \vert \hat { T } a ( x , t ) a ^ { \dagger } ( 0 , 0 ) \vert v a c \rangle } \\ & { + } & { \langle \Phi _ { 0 } \vert a ( x , t ) a ^ { \dagger } ( 0 , 0 ) \vert \Phi _ { 0 } \rangle \langle v a c \vert \hat { T } a ^ { \dagger } ( x , t ) a ( 0 , 0 ) \vert v a c \rangle . } \end{array}
\left( P ^ { ( 2 ) } + P ^ { ( 1 ) } + P ^ { ( 0 - s ) } + P ^ { ( 0 - w ) } \right) _ { \mu \nu , \kappa \lambda } = \frac 1 2 \left( \eta _ { \mu \kappa } \eta _ { \nu \lambda } + \eta _ { \mu \lambda } \eta _ { \nu \kappa } \right) .