harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I _ { \varepsilon } ( \nu ) \equiv \frac { 1 } { 2 \nu ( 1 - \nu ) ( 2 - \nu ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, d t \, \frac { \nu \left[ 1 - t ^ { \frac { 1 } { 1 - \nu } + 1 } \right] + ( 2 - \nu ) \left[ t ^ { \frac { 1 } { 1 - \nu } } - t \right] } { ( 1 - t ) ^ { 3 - \varepsilon } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \Gamma _ { 8 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \pi } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( x , \phi ( x ) ) } & { = } & { k \phi ( x ) + x ^ { N } a ( x , \phi ( x ) ) + x \phi ( x ) b ( x , \phi ( x ) ) + \phi ^ { 2 } ( x ) c ( \phi ( x ) ) } \\ & { = } & { k x ^ { M } ( a _ { M } + a _ { M + 1 } x + \dots ) + x ^ { N } ( a ( 0 , 0 ) + \dots ) + } \\ & { } & { x ^ { M + 1 } ( a _ { M } b ( 0 , 0 ) + \dots ) + a _ { M } ^ { 2 } x ^ { 2 M } ( c ( 0 ) + \dots ) . } \end{array}
( \Gamma _ { 1 } ^ { \mathrm { s c a l a r s } } ) ^ { \wedge \wedge \vee } = - \frac { N _ { s } g ^ { 3 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { a } { m } \ln ( 1 / a ) \frac { p ^ { + } K ^ { \wedge } } { p _ { 1 } ^ { + } p _ { 2 } ^ { + } } \sum _ { l = 1 } ^ { M _ { 1 } - 1 } \frac { f _ { s } ( l / M ) } { M } - \, ( \, 1 \leftrightarrow 2 \, ) .
\begin{array} { r } { \left[ \Omega _ { 1 } ^ { 2 } - \Omega _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 2 b } { I _ { 2 } } K _ { 1 } \right] ^ { 2 } + \left[ 2 \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } - \frac { 2 b } { I _ { 2 } } K _ { 2 } \right] ^ { 2 } = c _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { H } ( \rho , x ) } & { = \cos ( \rho ( b - x ) ) + \int _ { x } ^ { b } \widetilde { G } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { H } ( x , t ) \cos ( \rho ( b - t ) ) d t , } \\ { \vartheta _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) } & { = \frac { \sin ( \rho ( b - x ) ) } { \rho } + \int _ { x } ^ { b } \widetilde { S } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { H } ( x , t ) \frac { \sin ( \rho ( b - t ) ) } { \rho } d t , } \end{array}
\boldsymbol { \mu } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { \mu } _ { q } } & { \boldsymbol { 0 } _ { m \times m } } \\ { \boldsymbol { 0 } _ { m \times m } } & { \boldsymbol { \mu } _ { p } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \log \frac { M _ { \alpha , i } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } } + \log \frac { M _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { j } ^ { \beta } } - \log \frac { M _ { \alpha , k } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } } - \log \frac { M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { l } ^ { \beta } } \right) } \\ { \times } & { } & { W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) = 0 \mathrm { ~ a . e . ~ . } } \end{array}
g _ { 2 } = \left( \frac { M _ { 1 } } { M _ { 2 } } \right) ^ { 3 / 4 } \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } , \qquad g _ { 1 2 } = \frac { 1 + M _ { 1 } / M _ { 2 } } { \sqrt { 1 + \left( M _ { 1 } / M _ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } } \frac { a _ { 1 2 } } { \sqrt { 2 } a _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ^ { 0 , 0 } } & { : = \mathcal { J } \cap \lbrace 2 { \mathbb N } \times 2 { \mathbb N } \rbrace } \\ { \mathcal { J } ^ { 0 , 1 } } & { : = \mathcal { J } \cap \lbrace 2 { \mathbb N } \times ( 2 { \mathbb N } + 1 ) \rbrace } \\ { \mathcal { J } ^ { 1 , 0 } } & { : = \mathcal { J } \cap \lbrace ( 2 { \mathbb N } + 1 ) \times 2 { \mathbb N } \rbrace } \\ { \mathcal { J } ^ { 1 , 1 } } & { : = \mathcal { J } \cap \lbrace ( 2 { \mathbb N } + 1 ) \times ( 2 { \mathbb N } + 1 ) \rbrace . } \end{array}
0 = \delta \int { c { \frac { d \tau } { d q } } d q } = \int { c \delta { \frac { d \tau } { d q } } d q } = \int { - { \frac { r ^ { 2 } } { c } } { \frac { d \varphi } { d \tau } } { \frac { d \delta \varphi } { d q } } d q } \, .
\begin{array} { r l } & { \Big | \Big \langle \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) - \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | } \\ & { = O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { 2 r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { 2 - \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { 2 r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { k } = \frac { 1 } { a \sqrt { \mu \epsilon } } \sqrt { \left[ \begin{array} { c } { \chi _ { n p } } \\ { \chi _ { n p } ^ { \prime } } \end{array} \right] + \left[ \frac { \pi a ( 2 n + 1 ) } { 2 d } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \textbf { B } } _ { 2 } = B _ { L } e ^ { i \phi } \left( \hat { x } + i \hat { y } _ { 2 } \right) + B _ { R } e ^ { - i \phi } \left( \hat { x } - i \hat { y } _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { n } \mathcal { Q } _ { t } ^ { n } ( h ) = \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 2 } } \mathcal { Q } _ { t } ^ { n } ( \Delta ^ { n } h - 2 n \alpha _ { n } \mathscr { A } _ { n } h ) + \frac { 2 \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \mathscr { D } _ { n } h ) + \frac { 2 \theta ( n ) } { n ^ { 2 } } \mathcal { Q } _ { t } ^ { n } ( \tilde { \mathscr { D } _ { n } } h ) + E _ { t } ^ { n } ( h ) , } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { q _ { n - 1 } ^ { n - 1 } = q _ { n } ^ { n } = - 2 , \quad q _ { n - 1 } ^ { n - 2 } = q _ { n } ^ { n - 2 } = 1 } } \\ { { q _ { n - 2 } ^ { n - 1 } = q _ { n - 2 } ^ { n } = q _ { n + 3 } ^ { n - 1 } = q _ { n + 1 } ^ { n } = q _ { n + 2 } ^ { n } = 1 } } \\ { { q _ { n } ^ { n - 1 } = q _ { n - 1 } ^ { n } = q _ { n + 1 } ^ { n - 1 } = q _ { n + 1 } ^ { n } = q _ { n + 2 } ^ { n - 1 } = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( 1 - f ^ { 2 } \right) \left( \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \mu _ { 1 } v _ { x 2 } q _ { x 2 } - \mu _ { 2 } v _ { x 1 } q _ { x 1 } \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ + \left( \mu _ { 1 } v _ { y 2 } q _ { y 2 } - \mu _ { 2 } v _ { y 1 } q _ { y 1 } \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ + \left( v _ { x 1 } q _ { x 1 } v _ { y 2 } q _ { y 2 } - v _ { x 2 } q _ { x 2 } v _ { y 1 } q _ { y 1 } \right) ^ { 2 } \geq 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { 2 d u ( d v + K d u ) + \tilde { g } _ { a b } d x ^ { a } d x ^ { b } \, , } } \\ { { F _ { ( p + 2 ) } } } & { { = } } & { { d u \land C \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { N _ { a / g } ( t ) } & { { } = } & { N _ { a / g } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ } } \ \cos \Big ( \frac { d _ { 1 2 } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \Big ) - } \\ { P _ { a / g } ( t ) } & { { } = } & { P _ { a / g } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ } } \cos \Big ( \frac { d _ { 1 2 } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \Big ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } c _ { 0 } \phi ^ { 2 } | \tilde { f } | } & { \leq \frac { 1 } { \delta q _ { 0 } } \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \left| c _ { 0 } | \tilde { f } | \varepsilon ^ { \frac { n } { q _ { 0 } } - 1 } | \nabla \tilde { u } | ^ { \frac { 2 } { q _ { 0 } } - 1 } \right| ^ { q _ { 0 } } + \frac { \delta ( q _ { 0 } - 1 ) } { q _ { 0 } } \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \left| \phi ^ { 2 } \varepsilon ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } | \nabla \tilde { u } | ^ { 1 - \frac { 2 } { q _ { 0 } } } \right| ^ { \frac { q _ { 0 } } { q _ { 0 } - 1 } } } \\ & { \leq \frac { c _ { 0 } ^ { q _ { 0 } } } { \delta q _ { 0 } } \Lambda _ { 0 } + \frac { \delta ( q _ { 0 } - 1 ) } { q _ { 0 } } \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \phi ^ { \frac { 2 q _ { 0 } } { q _ { 0 } - 1 } } | \nabla \tilde { u } | ^ { \frac { q _ { 0 } - 2 } { q _ { 0 } - 1 } } } \\ & { \leq \frac { c _ { 0 } ^ { q _ { 0 } } } { \delta q _ { 0 } } \Lambda _ { 0 } + \frac { C _ { n } \delta ( q _ { 0 } - 1 ) } { q _ { 0 } } \left( \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \phi ^ { \frac { 4 q _ { 0 } } { q _ { 0 } - 2 } } | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { q _ { 0 } - 2 } { 2 ( q _ { 0 } - 1 ) } } } \\ & { \leq \frac { 4 C _ { n } ( q _ { 0 } - 1 ) c _ { 0 } ^ { n } } { q _ { 0 } ^ { 2 } } \Lambda _ { 0 } + \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m a x } \left\{ \left[ \int _ { B _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \phi ^ { 2 } | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 4 q _ { 0 } } { q _ { 0 } - 2 } } , 1 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathcal { X } } R \Pi _ { \eta } \widehat { R } _ { 0 } \, \psi _ { 0 } = \int _ { \mathcal { X } } R \widehat { R } _ { 0 } \, \psi _ { 0 } - \left( \int _ { \mathcal { X } } \widehat { R } _ { 0 } \, \psi _ { \eta } \right) \left( \int _ { \mathcal { X } } R \, \psi _ { 0 } \right) = \int _ { \mathcal { X } } R \Pi _ { 0 } \widehat { R } _ { 0 } \, \psi _ { 0 } . } \end{array}
E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } [ \cdot ] : = \left\{ \begin{array} { r l r } & { 1 , \quad } & { h = 1 , } \\ & { E _ { s _ { 2 } ^ { k } \sim B _ { 1 } ( \cdot \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) } \left[ E _ { s _ { 3 } ^ { k } \sim B _ { 2 } ( \cdot \vert s _ { 2 } ^ { k } , a _ { 2 } ^ { k } ) } \left[ \cdots E _ { s _ { h } ^ { k } \sim B _ { h - 1 } ( \cdot \vert s _ { h - 1 } ^ { k } , a _ { h - 1 } ^ { k } ) } \left[ \cdot \right] \right] \right] , \quad } & { h \geq 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \| ( G - G ^ { \prime } ) * Z _ { \delta , d } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = } & { \int | \widetilde { G } - \widetilde { G ^ { \prime } } | ^ { 2 } ( \omega ) | \widetilde { K } _ { \delta , d } ( \omega ) | ^ { 2 } d \omega = \int | \widetilde { f } ( \widetilde { G } - \widetilde { G ^ { \prime } } ) | ^ { 2 } ( \omega ) \frac { | \widetilde { K } _ { \delta , d } ( \omega ) | ^ { 2 } } { | \widetilde { f } ( \omega ) | ^ { 2 } } d \omega } \\ & { \leq } & { \| p _ { G } - p _ { G ^ { \prime } } \| _ { 2 } ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \mathbb { R } ^ { d } } \frac { | \widetilde { K } _ { \delta , d } ( \omega ) | ^ { 2 } } { | \widetilde { f } ( \omega ) | ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { 4 \| f \| _ { \infty } h ^ { 2 } ( p _ { G } , p _ { G _ { 0 } } ) \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \mathbb { R } ^ { d } } \biggr \{ \frac { 1 } { c _ { f } ^ { 2 } } \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { d } \exp ( - \delta ^ { 4 } | \omega _ { i } | ^ { 4 } ) \exp ( 2 \alpha | \omega _ { i } | ^ { 2 } ) \biggr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow h + X ) } { d z } } & { = } & { \sum _ { a = q , \bar { q } , g } \int \frac { d \xi } { \xi } H _ { a } ( \frac { z } { \xi } , Q ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) D _ { a \rightarrow h } ( \xi , \mu ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { q } \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow q \bar { q } ) \biggr ( D _ { q \rightarrow h } ( z ) + D _ { \bar { q } \rightarrow h } ( z ) \biggr ) + { \mathcal O } ( \alpha _ { s } ) , } \end{array}
0 < v _ { T } < v _ { T } ^ { * } \land y _ { i } > \frac { \left( \frac { N _ { T } v _ { T } ( 1 - w ) } { r - 1 } + 1 \right) ^ { 1 / N _ { I } } - 1 } { w - 1 } = \frac { d ^ { 1 / N _ { I } } - 1 } { w - 1 }
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { = \pi ^ { - N } \int _ { 0 } ^ { \infty } \tau ^ { - N } e ^ { - t / \tau } p _ { \tau } ( \tau ) \, \mathrm { d } \tau } \\ & { = \frac { \beta ^ { \alpha } } { \pi ^ { N } \Gamma ( \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - ( t + \beta ) / \tau } } { \tau ^ { N + \alpha + 1 } } \, \mathrm { d } \tau . } \end{array}
W ^ { \mu \nu } ( q ; T ) = \sum _ { i } \frac { e ^ { E _ { i } / T } } { \cal Z } \sum _ { f } \langle i | j ^ { \mu } ( 0 ) | f \rangle \langle f | j ^ { \nu } ( 0 ) | i \rangle ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( q + p _ { f } - p _ { i } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { v e r s i n } ( \theta ) } & { { } = \mathrm { c o v e r s i n } \left( \theta + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \mathrm { v e r c o s i n } \left( \theta + \pi \right) = \mathrm { c o v e r c o s i n } \left( \theta + { \frac { 3 \pi } { 2 } } \right) } \\ { \mathrm { h a v e r s i n } ( \theta ) } & { { } = \mathrm { h a c o v e r s i n } \left( \theta + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \mathrm { h a v e r c o s i n } \left( \theta + \pi \right) = \mathrm { h a c o v e r c o s i n } \left( \theta + { \frac { 3 \pi } { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { N } ^ { \alpha } ( x ) } & { = N \left( - \sigma ^ { \prime } ( x ) \sigma ( x ) ^ { - 1 / \alpha } \right) - \left( - \sigma ^ { \prime } ( - x ) \sigma ( - x ) ^ { - 1 / \alpha } \right) } \\ & { = \sigma ^ { \prime } ( x ) \sigma ( - x ) ^ { - 1 / \alpha } - N \sigma ^ { \prime } ( x ) \sigma ( x ) ^ { - 1 / \alpha } } \\ & { = \sigma ^ { \prime } ( x ) \left( \sigma ( - x ) ^ { - 1 / \alpha } - N \sigma ( x ) ^ { - 1 / \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { m _ { 1 } , h } } & { \le \frac { 1 } { T _ { 1 } } \sum _ { g \mid k } L _ { 1 } \sum _ { v \pmod { T _ { 1 } } } \operatorname* { g c d } ( L _ { 2 } , k h L _ { 2 } / ( T _ { 2 } m _ { 1 } ) , d \ell + d ^ { \prime } v g ) ^ { 1 / 2 } L _ { 2 } ^ { 1 / 2 + \varepsilon } } \\ & { \ll \frac { 1 } { T _ { 1 } } \sum _ { g \mid k } L _ { 1 } \sum _ { v \pmod { T _ { 1 } } } \sqrt { \frac { k h L _ { 2 } } { T _ { 2 } m _ { 1 } } } L _ { 2 } ^ { 1 / 2 + \varepsilon } } \\ & { \ll \sum _ { g \mid k } L ^ { 1 + \varepsilon } \sqrt { \frac { k h } { T _ { 2 } m _ { 1 } } } } \\ & { \ll x ^ { 1 0 \delta } \sqrt { h } m _ { 1 } ^ { 1 / 2 + \varepsilon } , } \end{array}
\gamma \gamma \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } : \quad \sigma ( | \cos \theta | < Z ) = { \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } } \int _ { t _ { a } } ^ { t _ { b } } d t \left( | A ^ { + } s - m _ { \pi } ^ { 2 } B ^ { + } | ^ { 2 } + { \frac { | B ^ { + } | ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } } ( m _ { \pi } ^ { 4 } - t u ) \right)
H = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } [ \Psi ^ { ( 0 ) } ] ( u ) \Big | _ { u = 1 } } & { = - S _ { 1 } ^ { \Psi } \mathcal { B } [ \Psi ^ { ( 1 ) } ] ( u - 1 ) \frac { \log ( 1 - u ) } { 2 \pi \mathrm { i } } + . . . } \\ & { = - \mathcal { B } [ F ] ( u - 1 ) \log ( 1 - u ) + . . . } \\ & { = - \frac { \Gamma ( 2 - u ) } { ( 3 - u ) \Gamma ( 1 + u ) } \log ( 1 - u ) + . . . \, , } \end{array}
{ \sqrt { S } } \approx { \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \cdot 1 0 ^ { n } } & { { \mathrm { i f ~ } } a < 1 0 , } \\ { 6 \cdot 1 0 ^ { n } } & { { \mathrm { i f ~ } } a \geq 1 0 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { T } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta , ( 0 , a ) } [ \mathfrak { q } ] : = \int _ { 0 } ^ { a } \frac { \mathrm { d } v } { v } v ^ { \left( 1 + \frac { \beta } { \alpha } \right) q ^ { \prime } } \Vert \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , \cdot ) \star \nabla ^ { j } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \Vert _ { L ^ { p ^ { \prime } } } ^ { q ^ { \prime } } } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ^ { q ^ { \prime } } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j q ^ { \prime } } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k q ^ { \prime } } { \alpha } } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } \right] } \\ & { \qquad \times \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { \mathrm { d } v } { v } v ^ { \left( 1 + \frac { \beta } { \alpha } \right) q ^ { \prime } } \left[ v ^ { q ^ { \prime } ( \frac { \zeta } { \alpha } - 1 ) } \left( \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta q ^ { \prime } } { \alpha } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta q ^ { \prime } } { \alpha } } } \right) + \frac { 1 } { ( t - s ) ^ { q ^ { \prime } } } \right] \right) } \\ & { \lesssim \frac { \bar { p } _ { \alpha } ^ { q ^ { \prime } } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j q ^ { \prime } } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k q ^ { \prime } } { \alpha } } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } \right] \left[ a ^ { q ^ { \prime } \frac { \zeta + \beta } { \alpha } } \left( \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta q ^ { \prime } } { \alpha } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta q ^ { \prime } } { \alpha } } } \right) + \frac { a ^ { q ^ { \prime } \left( 1 + \frac { \beta } { \alpha } \right) } } { ( t - s ) ^ { q ^ { \prime } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { r _ { k } } } & { = ( \underbrace { { \bf { h } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } } _ { { \mathrm { D i r e c t ~ l i n k } } } \! \! + \underbrace { { \bf { f } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { \bf { P } } { { \bf { \Theta } } } { \bf { G } } } _ { { \mathrm { R e f l e c t e d ~ l i n k } } } ) \sum _ { j = 1 } ^ { K } \! { { { \bf { w } } _ { j } } { s _ { j } } } + \! \! \! \! \! \! \! \! \underbrace { { \bf { f } } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \bf { P } } } { { \bf { \Theta } } } { \bf { v } } } _ { \mathrm { N o i s e ~ i n t r o d u c e d ~ b y ~ a c t i v e ~ R I S } } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \underbrace { z _ { k } } _ { \mathrm { N o i s e ~ i n t r o d u c e d ~ a t ~ u s e r ~ k ~ } } , } \end{array}
T _ { \mathrm { { K S } } } = \frac { 1 } { 2 } \int \bigl | \boldsymbol { \nabla } \sqrt { \rho _ { \infty } ( \omega ; \vec { r } ) } \bigr | ^ { 2 } \, d ^ { 3 } \vec { r } \approx 1 . 1 3 0 \, 5 7 6 \; \omega
\langle \mathbf { v } _ { d } \cdot \nabla \alpha \rangle = - \frac { 2 H } { q B _ { 0 } R _ { 0 } r } \left( G _ { 1 } - \frac { ( \iota \alpha ) ^ { 2 } } { 4 } + 2 s G _ { 2 } - \alpha G _ { 3 } \right) ,
\left( \begin{array} { c c } { { O ( 1 ) } } & { { O ( x _ { 0 } / y _ { 0 } ) } } \\ { { O ( x _ { 0 } / y _ { 0 } ) } } & { { O ( ( x _ { 0 } / y _ { 0 } ) ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) m _ { S U S Y }
\begin{array} { l } { { { } [ L _ { i } , L _ { j } ] = [ \Lambda _ { i } , \Lambda _ { j } ] = 0 ; \; \; } } \\ { { [ L _ { i } , \Lambda _ { i } ] = H ; \; \; [ H , L _ { i } ] = 2 L _ { i } ; \; \; [ H , \Lambda _ { i } ] = - 2 \Lambda _ { i } } } \\ { { { } K _ { i j } = - K _ { j i } , [ K _ { i j } , K _ { j k } ] = 2 K _ { i k } , [ K _ { i j } , H ] = 0 } } \\ { { { } [ K _ { i j } L _ { j } ] = 2 L _ { i } ; \; \; [ K _ { i j } \Lambda _ { j } ] = 2 \Lambda _ { i } } } \\ { { { } [ K _ { i j } , L _ { k } ] = [ K _ { i j } , \Lambda _ { k } ] = 0 \; \; ( k \neq i , j ) } } \end{array}
U _ { \mathrm { A P } } ^ { \mathrm { b f } } ( \vec { x } ; C ) = e ^ { - \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } } U _ { \mathrm { A P } } ^ { \mathrm { b f } } ( D ( e ^ { \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } } ) \cdot \vec { x } ; e ^ { \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } } C e ^ { - \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } } ) e ^ { \mathrm { i } { \frac { \theta } { 2 } } \tau ^ { 3 } }
p _ { \mathrm { o } } ^ { \mathrm { f i t } } ( v ) = a ^ { \mathrm { f i t } } \, \frac { v ^ { n _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { f i t } } } } { v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { f i t } } } + v ^ { n _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { f i t } } } }
\begin{array} { r l } { \left\lceil \frac { n } { 3 } \right\rceil } & { \geqslant \left| A ^ { \prime \prime \prime } \right| + | B _ { 1 } | } \\ & { \geqslant \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| - 3 + | B _ { 1 } | } \\ & { = \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| - 3 + \left| A _ { [ \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } \\ & { = | A | - 3 + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } \end{array}
\nabla _ { { \mathbf { R } } } \ensuremath { \langle { \Phi ( { \mathbf { R } } ) } \rvert { \Phi ( { \mathbf { R } } ) } \rangle } = 2 \mathrm { R e } [ \ensuremath { \langle { \Phi ( { \mathbf { R } } ) } \rvert } \nabla _ { { \mathbf { R } } } \ensuremath { \lvert { \Phi ( { \mathbf { R } } ) } \rangle } ] = 0
\begin{array} { r l } { \hat { e } _ { \textbf { \textsc { p } } } } & { \equiv \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } = \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 4 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } = \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } - \delta _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } } \\ { \hat { e } _ { \textbf { \textsc { q } } } } & { \equiv \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } = \hat { a } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { q } _ { 4 } } \hat { a } _ { \textsc { q } _ { 2 } } = \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } - \delta _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \theta ( t ) } & { { } = } & { - \cos { \theta } \tan { \psi } - \sin ^ { 2 } { \theta } , } \\ { \frac { d } { d t } \psi ( t ) } & { { } = } & { \sin { \theta } \sin { \psi } \big ( \sin { \psi } - \cos { \theta } \cos { \psi } \big ) } \\ { \frac { d } { d t } \big ( t \lambda _ { 2 } ( t ) \big ) } & { { } = } & { \sin { \theta } \cos { \theta } \cos ^ { 2 } { \psi } + \sin { \psi } \cos { \psi } } \end{array}
d _ { R _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } i _ { 4 } } d _ { R _ { 2 } } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 5 } } d _ { R _ { 3 } } ^ { i _ { 3 } i _ { 4 } i _ { 5 } }
\begin{array} { r l } & { \hat { x } = ( 1 / 2 , 1 ) , \ \hat { u } = ( 1 / 3 , 2 / 3 ) , \, c ( x ) = ( x _ { 2 } - x _ { 1 } , x _ { 1 } , 2 - x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \geq 0 , } \\ & { h ( x , u ) = ( x _ { 2 } - x _ { 1 } u _ { 1 } - x _ { 2 } u _ { 2 } , u _ { 1 } + x _ { 1 } u _ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } , x _ { 1 } + 3 u _ { 1 } - u _ { 2 } , u _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ) \geq 0 . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \vec { B } - \frac { \partial ^ { 2 } \vec { B } } { \partial t ^ { 2 } } = - \vec { \nabla } \times ( \vec { \nabla } h \times \vec { B } ) - \frac { \partial h } { \partial t } \ \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } \ .