harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { Q _ { \chi ^ { ( I ) } } ( g , \theta , \alpha , z ) } \\ & { = Q _ { \chi ^ { ( I ) } } ( \widehat { H } _ { g } ( \theta , \alpha ) - z - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) , T ( \theta , \alpha ; z ) ) } \\ & { = \chi _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } - \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \left( T ( \theta , \alpha ; z ) + \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \right) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) \chi _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } } \\ & { = \chi _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } - \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( - { T ( \theta , \alpha ; z ) } ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \right) ^ { n } { T ( \theta , \alpha ; z ) } ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) \chi _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } . } \end{array}
\Bigl [ \overline { { \mathbb { R } ^ { n - 1 } \times \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } ; \{ 0 \} \times \partial \overline { { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } , \partial \overline { { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } \times \{ 0 \} \Bigr ] \cong \Bigl [ \overline { { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } \times \overline { { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } ; \partial \overline { { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } \times \partial \overline { { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } } \Bigr ] .
\begin{array} { r l } { L o s s _ { B C } } & { { } = M S E _ { B C } , } \\ { L o s s _ { I C } } & { { } = M S E _ { I C } , } \\ { L o s s _ { F } } & { { } = M S E _ { F } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { \omega _ { i } } { N _ { F } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { F } } \left| F _ { i } \left( x _ { j } , t _ { j } \right) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \widehat { \mathfrak { I } } _ { 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } } & { = | \Pi _ { 0 } T ( i _ { 0 } ) \Pi _ { 0 } Z _ { 0 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } } \\ & { \le | T ( i _ { 0 } ) \Pi _ { 0 } Z _ { 0 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } } \\ & { \overset { , \mathfrak { I } _ { 0 } = 0 } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \gamma ^ { - 1 } | \Pi _ { 0 } Z _ { 0 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } \gamma ^ { - 1 } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { y } } = \left\{ \left. 0 , { \frac { 1 + ( y _ { R } - y ) \left( { \frac { 1 } { y } } \right) _ { L } } { y _ { R } } } , { \frac { 1 + \left( y _ { L } - y \right) \left( { \frac { 1 } { y } } \right) _ { R } } { y _ { L } } } \, \, \right| \, \, { \frac { 1 + ( y _ { L } - y ) \left( { \frac { 1 } { y } } \right) _ { L } } { y _ { L } } } , { \frac { 1 + ( y _ { R } - y ) \left( { \frac { 1 } { y } } \right) _ { R } } { y _ { R } } } \right\}
\begin{array} { r l } { \left| \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left[ i \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { A } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { A } ^ { \prime } \right) \hat { d } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { d } _ { \overline { { \boldsymbol { k } } } _ { A } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) + i \int d \boldsymbol { k } _ { B } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { k } _ { B } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \right) \hat { c } _ { \overline { { \boldsymbol { k } } } _ { B } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \right. } \\ & { \left. + \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \right) \hat { d } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) - \int d \boldsymbol { k } _ { B } \int d \boldsymbol { k } _ { A } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { k } _ { B } , \boldsymbol { k } _ { A } ^ { \prime } \right) \hat { d } _ { \overline { { \boldsymbol { k } } } _ { A } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { \overline { { \boldsymbol { k } } } _ { B } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \right] | 0 \rangle , } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left[ i \int d \boldsymbol { r } _ { A } \int d \boldsymbol { r } _ { A } ^ { \prime } \xi _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } _ { A } , \bar { \boldsymbol { r } } _ { A } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { d , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ) \hat { \psi } _ { d , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ^ { \prime } ) + i \int d \boldsymbol { r } _ { B } \int d \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } \xi _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \bar { \boldsymbol { r } } _ { B } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { c , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ) \hat { \psi } _ { c , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } ) \right. } \\ & { \left. + \int d \boldsymbol { r } _ { A } \int d \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } \xi _ { c d } ( \boldsymbol { r } _ { A } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { d , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ) \hat { \psi } _ { c , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } ) \right] \left| 0 \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { s t a b } , n } ( \boldsymbol { \sigma } , \boldsymbol { W } ; \, \boldsymbol { v } ) } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \| \boldsymbol { f } \| \| \boldsymbol { v } \| \, \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } | \mathcal { F } ( \boldsymbol { W } ; \, \boldsymbol { v } ) | \, \mathrm { d } t + \| \boldsymbol { \sigma } \| \| \boldsymbol { v } _ { + } ^ { 0 } \| = : r _ { 1 } + r _ { 2 } + r _ { 3 } \, . } \end{array}
E = \frac { Q _ { \mathrm { e n c l } } } { 4 \pi r ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + \phi / M _ { \gamma } } \approx \frac { Q _ { \mathrm { e n c l } } } { 4 \pi r ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \phi } { M _ { \gamma } } \right) ,
{ \frac { 3 \rho _ { I } ^ { 2 } \left( m _ { u } + m _ { d } \right) ^ { 2 } M ^ { 6 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \left[ K _ { 0 } ( \rho _ { I } ^ { 2 } M ^ { 2 } / 2 ) + K _ { 1 } ( \rho _ { I } ^ { 2 } M ^ { 2 } / 2 ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { L } ( \mu ) } & { = } & { \textstyle { \frac { \partial f _ { L } } { \partial x } } + \left( \textstyle { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { L } } { \partial \mu \partial x } } + \frac { \beta \frac { \partial ^ { 2 } f _ { L } } { \partial x ^ { 2 } } } { 1 - \frac { \partial f _ { L } } { \partial x } } \right) \mu + O \left( \mu ^ { 2 } \right) , } \\ { \lambda _ { R } ( \mu ) } & { = } & { \textstyle { \frac { \partial f _ { R } } { \partial x } } + \left( \textstyle { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { R } } { \partial \mu \partial x } } + \frac { \beta \frac { \partial ^ { 2 } f _ { R } } { \partial x ^ { 2 } } } { 1 - \frac { \partial f _ { R } } { \partial x } } \right) \mu + O \left( \mu ^ { 2 } \right) , } \end{array}
M _ { 0 } = i \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \frac { 1 } { \hat { s } - M _ { W } ^ { 2 } } \bar { v } ( p _ { 2 } ) \gamma _ { \mu } P _ { L } u ( p _ { 1 } ) \bar { u } ( p _ { 3 } ) \gamma ^ { \mu } P _ { L } v ( p _ { 4 } )
\begin{array} { r l } { \| ( I - C _ { A } C _ { A } ^ { \dagger } ) A \| \le } & { \| ( H _ { k } ^ { \mathrm { T } } P ) ^ { - 1 } \| \| A ( I - H _ { k } H _ { k } ^ { \mathrm { T } } ) \| } \\ { \le } & { \| ( H _ { k } ^ { \mathrm { T } } P ) ^ { - 1 } \| \left( \| E \| + \| Q Q ^ { \mathrm { T } } A \left( I - H _ { k } H _ { k } ^ { \mathrm { T } } \right) \| \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } \exp ( \iota t ( T - Q _ { m } ) Q _ { m } | } & { = \frac { 1 } { \vartheta } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = i + 1 } ^ { n } \mathbb { E } \exp ( \iota t ( L + Q - Q _ { m } ) q _ { i j } \right| } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { \vartheta n ^ { 2 } } | \psi \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) | ^ { m - 2 } m n \mathbb { E } | q _ { 1 2 } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { { } \approx \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { { \mathcal { Z } } _ { i j } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left\{ \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \right\} p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { ( 6 , 1 , 1 ) } ( z , q ) } & { - H _ { ( 7 , 1 , 0 ) } ( q z , q ) - H _ { ( 6 , 0 , 2 ) } ( q z , q ) - H _ { ( 5 , 2 , 1 ) } ( q z , q ) + ( 1 - q z ) H _ { ( 7 , 0 , 1 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) } \\ & { + ( 1 - q z ) H _ { ( 6 , 2 , 0 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) + ( 1 - q z ) H _ { ( 5 , 1 , 2 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) - ( 1 - q z ) ( 1 - q ^ { 2 } z ) H _ { ( 6 , 1 , 1 ) } ( q ^ { 3 } z , q ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( x ^ { \prime } , ( x ^ { - } ) ^ { \prime } , ( x ^ { + } ) ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) } & { \geq c ( x , x ^ { - } , x ^ { + } , y , z ) - 2 \| c \| _ { \infty } \delta _ { N } - 2 \| c \| _ { \infty } \delta _ { N } } \\ & { = c ( x , x ^ { - } , x ^ { + } , y , z ) - 4 \| c \| _ { \infty } \delta _ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( x _ { 1 } | \mathbf { y } ; t ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } ( e ^ { - t \alpha _ { i } } ) ( \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ) ^ { - y _ { 1 } } ( \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ) ^ { x _ { 1 } } } \\ { \times } & { \left| \begin{array} { l l l l l } { F _ { 1 , 1 } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } , t ) } & { F _ { 1 , 3 } ( x _ { 1 } + 1 - y _ { 1 } , t ) } & { F _ { 1 , 4 } ( x _ { 1 } + 2 - y _ { 1 } , t ) } & { \ldots } & { F _ { 1 , N } ( x _ { 1 } + N - 1 - y _ { 1 } , t ) } \\ { F _ { 1 , 1 } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } - 1 , t ) } & { F _ { 1 , 3 } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } , t ) } & { F _ { 1 , 4 } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } + 1 , t ) } & { \ldots } & { F _ { 1 , N } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } + N , t ) } \\ { F _ { 3 , 1 } ( x _ { 1 } - y _ { 3 } , t ) } & { F _ { 3 , 3 } ( x _ { 1 } + 1 - y _ { 3 } , t ) } & { F _ { 3 , 4 } ( x _ { 1 } + 2 - y _ { 3 } , t ) } & { \ldots } & { F _ { 3 , N } ( x _ { 1 } + N - 1 - y _ { 3 } , t ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { F _ { N , 1 } ( x _ { 1 } - y _ { N } , t ) } & { F _ { N , 3 } ( x _ { 1 } + 1 - y _ { N } , t ) } & { F _ { 2 , 4 } ( x _ { 1 } + 3 - y _ { N } , t ) } & { \ldots } & { F _ { N , N } ( x _ { 1 } + N - 1 - y _ { N } , t ) } \end{array} \right| } \end{array}
\xi = \frac { n _ { 0 } \gamma _ { r } } { 2 \gamma _ { c } } = N _ { \mathrm { t r } } \Gamma \frac { 2 d ^ { 2 } } { \hbar \epsilon _ { 0 } n _ { \mathrm { a c t } } ^ { 2 } } \frac { Q _ { c } } { \gamma _ { 2 } }
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { t o t a l } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } \omega \frac { \frac { \hbar \omega } { \pi } } { \exp \left( \beta \hbar \omega \right) - 1 } = \frac { \pi } { 6 \hbar } \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } . } \end{array}
D _ { \theta } ( x , \sigma ) = \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } x + \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \sigma } { \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } F _ { \theta } \left( \frac { x } { \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } , \frac { 1 } { 4 } \log ( \sigma ) \right) ,
V = \int _ { 0 } ^ { \frac { 4 \pi \, C } { n - 2 } } d t \int _ { C } ^ { r } s ^ { n - 1 } \, d s \, \, \, \mathrm { V o l ( M ) } = \mathrm { V o l ( M ) } \, \frac { 4 \pi \, C } { n ( n - 2 ) } \left( r ^ { n } - C ^ { n } \right)
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { 0 } ( z ) } & { = } & { V _ { c } \, D \left( n _ { s } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } M _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G _ { s } } \mathcal { G } _ { 1 } ^ { d } \right) - i \frac { V _ { c } n _ { s } M _ { s } } { q _ { s } } ( l P + m Q ) , } \\ { \Gamma _ { 1 } ( z ) } & { = } & { \tau _ { H } / \cos { \theta _ { 0 } } V _ { c } D \left( n _ { s } G _ { s } ^ { c } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } M _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G _ { s } } \right) , } \\ { \Gamma _ { 2 } ( z ) } & { = } & { 2 \tau _ { H } / \cos { \theta _ { 0 } } V _ { c } n _ { s } G _ { s } ^ { c } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } M _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G _ { s } } + V _ { c } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } M _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G _ { s } } D G _ { s } ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \triangle _ { N , k } ^ { - 1 } \mathfrak { G } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbf { G } _ { N } ( v , v ^ { \prime } , k ) \Upsilon ( v ) \Upsilon ( v ^ { \prime } ) \mathfrak { G } ( v ^ { \prime } , k ) d v ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \eta _ { k } \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) - \eta _ { k + 1 } G _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } \\ & { \leq 6 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \left\Vert U _ { R } \right\Vert ^ { 2 } \left( \gamma + L ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { 2 } \right) \left\Vert \check { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + 6 \eta _ { k } ^ { 2 } \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } n L ^ { 4 } \left\Vert \bar { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + 3 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { 2 } L ^ { 2 } n \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 3 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } C \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + 3 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } _ { k + 1 } ) - G _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] + 3 ( \eta _ { k } - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { c ^ { - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } p _ { j } f _ { a , b ; \epsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } ( E _ { j } ) \ge c ^ { - 1 } p _ { 0 } f _ { a , b ; \epsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } ( E _ { 0 } ) \ge c ^ { - 1 } \eta ( 1 - \epsilon ^ { \prime } ) ^ { 2 } \ge 0 . 9 c ^ { - 1 } \eta . } \end{array}
u _ { 1 } = 0 , \qquad u _ { 2 } = e ^ { - \frac { x _ { 1 } } { R } } U ( x _ { 2 } + v t ) , \qquad \eta = - \frac { v } { g } e ^ { - \frac { x _ { 1 } } { R } } U ( x _ { 2 } + v t ) .
| [ L _ { \exp } ( A _ { G } , E _ { v } ) ] _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } | \leq 2 \sqrt { \deg ( v ) } \frac { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \lambda _ { \operatorname* { m i n } } } { m ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) - 1 } e ^ { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { ( m ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) - 1 ) ^ { 2 } } { \frac { 5 } { 4 } ( \lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ) } }
S _ { 1 / 2 } = \frac { \sqrt { Q ^ { 2 } } } { \omega \sqrt { 2 \omega } } \langle R , J ^ { \prime } , \frac { 1 } { 2 } \left| j _ { 3 } \right| N , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \rangle .
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = \nabla \cdot \left( \rho \nabla \left( \kappa B _ { \varepsilon } [ \rho ] + \alpha B _ { \varepsilon } [ \eta ] - \gamma \rho - \beta \eta \right) \right) , } & & { \mathrm { i n } \quad ( 0 , + \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } , } \\ { \frac { \partial \eta } { \partial t } } & { = \nabla \cdot \left( \eta \nabla \left( \alpha B _ { \varepsilon } [ \rho ] + B _ { \varepsilon } [ \eta ] - \beta \rho - \eta \right) \right) , } & & { \mathrm { i n } \quad ( 0 , + \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ e ~ p ~ } } = \int d \boldsymbol { R } d \boldsymbol { R } ^ { \prime } V ^ { \prime } ( \boldsymbol { R } ^ { \prime } ) \tilde { G } ( \boldsymbol { R } ^ { \prime } , \boldsymbol { R } ; \Delta \tau ) V ^ { \prime } ( \boldsymbol { R } ) \psi _ { T } ^ { 2 } ( \boldsymbol { R } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \omega \ensuremath { j _ { 0 x } ^ { \prime } } } & { = } & { \left( \frac { 4 u } { 3 } + w \right) k \cos \theta } & { \ensuremath { j _ { 0 x } ^ { \prime } } } & { + w k \sin \theta } & { \ensuremath { j _ { 0 y } ^ { \prime } } , } \\ { \omega \ensuremath { j _ { 0 y } ^ { \prime } } } & { = } & { \frac { 2 u } { 3 } k \sin \theta } & { \ensuremath { j _ { 0 x } ^ { \prime } } } & { + w k \cos \theta } & { \ensuremath { j _ { 0 y } ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { d } ^ { ( \alpha ) ( \mathrm { e q } ) } ( f ) ^ { 2 } } & { \leqslant } & { \frac { 1 } { b _ { d } ^ { ( \alpha ) } } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } R } \int _ { \mathbb { { R } } ^ { d } } \| \omega \| _ { 2 } ^ { d + 1 + 2 \alpha } | \hat { g } ( \omega ) | ^ { 2 } d \omega + \frac { \underline { { c } } ^ { 2 } } { R ^ { 2 \alpha } } \| g \| _ { L _ { 2 } ( { \mathbb B } ^ { d } ( R ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \leqslant } & { \Omega _ { d } ^ { ( { \alpha } ) } ( f ) ^ { 2 } + \overline { { c } } ^ { 2 } \underline { { c } } ^ { 2 } \Omega _ { d } ^ { ( { \alpha } ) } ( f ) ^ { 2 } \leqslant 2 \overline { { c } } ^ { 2 } \underline { { c } } ^ { 2 } \Omega _ { d } ^ { ( { \alpha } ) } ( f ) ^ { 2 } , } \end{array}
g _ { k k } = \left( \omega ^ { 2 } g ^ { E } + { \frac { k ^ { 2 } } { \epsilon \epsilon ^ { \prime } } } g ^ { H } + { \frac { 1 } { \epsilon } } { \frac { \partial } { \partial z } } { \frac { 1 } { \epsilon ^ { \prime } } } { \frac { \partial } { \partial z ^ { \prime } } } g ^ { H } \right) \bigg | _ { z = z ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l r } { \int _ { Z ^ { - } } ( - \Delta f \cdot g ) d A } & { = } & { \int _ { Z ^ { - } } \big ( - \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \tau ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial t ^ { 2 } } \big ) \cdot g d A } \\ & { = } & { - \int _ { Z ^ { - } } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \tau ^ { 2 } } \cdot g d A - \int _ { Z ^ { - } } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial t ^ { 2 } } \cdot g d A } \\ & { = } & { - \int _ { Z ^ { - } } f \cdot \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial \tau ^ { 2 } } d A - \int _ { Z ^ { - } } f \cdot \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial t ^ { 2 } } d A + \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial f } { \partial \tau } ( 0 , t ) \cdot g ( 0 , t ) d t } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial f } { \partial t } ( \tau , 0 ) \cdot g ( \tau , 0 ) d \tau - \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial f } { \partial t } ( \tau , 1 ) \cdot g ( \tau , 1 ) d \tau } \\ & { = } & { \int _ { Z ^ { - } } f \cdot ( - \Delta g ) d A + \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial f } { \partial \tau } ( 0 , t ) \cdot g ( 0 , t ) d t } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial f } { \partial t } ( \tau , 0 ) \cdot g ( \tau , 0 ) d \tau - \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial f } { \partial t } ( \tau , 1 ) \cdot g ( \tau , 1 ) d \tau } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
\left( | H \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } - | V \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } + | - m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\begin{array} { r l } { u ( x , z , t ) } & { { } = \epsilon c \frac { \cosh k ( z + H ) } { \sinh ( k H ) } \cos ( k x - \omega t ) + \epsilon ^ { 2 } \Omega c \frac { \cosh 2 k ( z + H ) } { \sinh ( 2 k H ) } \cos 2 ( k x - \omega t ) , } \\ { w ( x , z , t ) } & { { } = \epsilon c \frac { \sinh k ( z + H ) } { \sinh ( k H ) } \sin ( k x - \omega t ) + \epsilon ^ { 2 } \Omega c \frac { \sinh 2 k ( z + H ) } { \sinh ( 2 k H ) } \sin 2 ( k x - \omega t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \beta | u , \beta _ { S } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d K P ( \beta | K , u , \beta _ { S } ) P ( K | u , \beta _ { S } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \delta \Big ( \beta - \frac { 3 } { 2 k } \Big ) P ( K | u , \beta _ { S } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } n \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \delta \Big ( \beta - \frac { 3 } { 2 k } \Big ) \frac { 1 } { n } P ( k | u , \beta _ { S } ) } \\ & { = \frac { 3 } { 2 \beta ^ { 2 } } P \Big ( k = \frac { 3 } { 2 \beta } \Big | u , \beta _ { S } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { H } ( v ) ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { H } ( v ) ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ y _ { v } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { H } ( v ) ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { \le } & { \big | \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } y _ { v } \big | \cdot \big | \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( \mathcal { H } ( v ) ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle \big | } \\ { \le } & { \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { x _ { 1 } } \tilde { \phi } \| _ { W ^ { 2 , p } } } & { = \| \hat { \phi } \| _ { W ^ { 2 , p } } \leq C \| \hat { f } \| _ { p } } \\ & { \leq C \left( \| \nabla \tilde { \omega } \| _ { p } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ( \| u \| _ { p } + \| \nabla \tilde { \phi } \| _ { p } ) + \| \kappa \| _ { \infty } \| \nabla ^ { 2 } \tilde { \phi } \| _ { p } \right) . } \end{array}
\frac { \gamma ^ { 4 } } { 4 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } \! \! \! \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } e ^ { - t _ { 1 } \mathcal { K } } \mathcal { D } e ^ { ( t _ { 1 } - t _ { 3 } ) \mathcal { K } } \mathcal { D } e ^ { t _ { 3 } \mathcal { K } } d t _ { 3 } d t _ { 1 } ,
G ^ { ( 2 , 1 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; x _ { 3 } ) _ { i , j } = \left\langle { \phi } _ { i } ( x _ { 1 } ) { \phi } _ { j } ( x _ { 2 } ) \frac { 1 } { 2 } { \phi } _ { k } ^ { 2 } ( x _ { 3 } ) \right\rangle \, .
A _ { 1 2 3 } = - \left( \frac { z ^ { * } } { | z | } \right) ^ { 3 } e ^ { \hat { K } / 2 } \left[ \hat { K } ^ { S } F _ { S } + \hat { K } ^ { T } F _ { T } \left( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { n _ { i } } { 3 } - \frac { T + T ^ { * } } { 3 } \frac { y _ { 1 2 3 } ^ { \prime } ( T ) } { y _ { 1 2 3 } ( T ) } \right) \right]
\begin{array} { r l } { u _ { i j } ^ { B } } & { { } = \frac { a _ { i j } } { 2 r _ { c } } ( r _ { i j } - r _ { c } ) ^ { 2 } , } \\ { u _ { i j } ^ { S } } & { { } = \frac { K _ { s } } { 2 } ( r _ { i j } - r _ { o } ) ^ { 2 } , } \end{array}