harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \int A \sin ( \omega t + \varphi ) d t } & { = - { \frac { A } { \omega } } \cos ( \omega t + \varphi ) + C } \\ & { = - { \frac { A } { \omega } } \sin ( \omega t + \varphi + { \frac { \pi } { 2 } } ) + C } \\ & { = { \frac { A } { \omega } } \sin ( \omega t + \varphi - { \frac { \pi } { 2 } } ) + C \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { O _ { r } : \left| { i } \right\rangle \left| { k } \right\rangle } & { \mapsto \left| { i } \right\rangle \left| { r _ { i k } } \right\rangle \quad \forall i \in [ 2 ^ { w } ] - 1 , k \in [ s _ { r } ] , ~ \mathrm { a n d } } \\ { O _ { c } : \left| { \ell } \right\rangle \left| { j } \right\rangle } & { \mapsto \left| { c _ { \ell j } } \right\rangle \left| { j } \right\rangle \quad \forall \ell \in [ s _ { c } ] , j \in [ 2 ^ { w } ] - 1 , ~ \mathrm { w h e r e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( t ) = } & { { } \int _ { t _ { o , n , \nu } } ^ { t } d t ^ { \prime \prime } \frac { \hbar k ( t ^ { \prime \prime } ) } { m } } \\ { = } & { { } \frac { - e F _ { \mathrm { T H z } } } { m \omega ^ { 2 } } [ \omega ( t - t _ { o , n , \nu } ) \cos ( \omega t _ { o , n , \nu } ) } \end{array}
{ \cal L } _ { \psi } = - i \, \bar { \psi _ { + } } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { + } - i \, \bar { \psi _ { - } } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { - } + \bar { \psi _ { + } } \gamma ^ { 5 } \partial _ { y } \psi _ { + } + \bar { \psi _ { - } } \gamma ^ { 5 } \partial _ { y } \psi _ { - } - i \, \bar { \psi _ { + } } \partial _ { z } \psi _ { + } + i \, \bar { \psi _ { - } } \partial _ { z } \psi _ { - } \, .
\begin{array} { r } { \widehat { \mathbf { n } } ^ { + } ( \mathbf { x } ) + \widehat { \mathbf { n } } ^ { - } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { 0 } \quad \mathrm { a n d } \quad \widehat { \mathbf { n } } ^ { \pm } ( \mathbf { x } ) \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) = 0 \qquad \forall \mathbf { x } \in \Sigma } \end{array}
\| \delta ^ { k } \| ^ { 2 } \leq \sigma _ { k } ^ { 2 } \big ( \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } \big ) .
\sum { _ { t o r s i o n } } = \sum _ { i } [ \frac { 1 } { 2 } V _ { 1 , i } ( 1 + c o s \phi ) + \frac { 1 } { 2 } V _ { 2 , i } ( 1 - c o s 2 \phi ) + \frac { 1 } { 2 } V _ { 3 , i } ( 1 + c o s 3 \phi ) + \frac { 1 } { 2 } V _ { 4 , i } ( 1 - c o s 4 \phi ) ] .
[ \delta ( \epsilon _ { 1 } , t _ { 1 } ) , \delta ( \epsilon _ { 2 } , t _ { 2 } ) ] g = { \frac { t _ { 1 } \delta ( \epsilon _ { 1 2 } , t _ { 1 } ) - t _ { 2 } \delta ( \epsilon _ { 1 2 } , t _ { 2 } ) } { t _ { 1 } - t _ { 2 } } } g .
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } | P _ { \ell } ( \cos \theta ) | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } \mathcal { M } \rangle = } \end{array}
T ^ { ( n ) } { } _ { \mu \nu } = G ^ { ( n ) } { } _ { \mu } { } ^ { \rho _ { 1 } \cdots \rho _ { n - 1 } } G ^ { ( n ) } { } _ { \nu \rho _ { 1 } \cdots \rho _ { n - 1 } } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 n } } g _ { \mu \nu } G ^ { ( n ) \, 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } { { \bf J } } & { { } \equiv } & { { \bf J } _ { \nabla _ { i } \mathcal { H } } | _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } \equiv \left( \begin{array} { c c } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } } { \partial X _ { i } \partial X _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } } { \partial X _ { i } \partial P _ { i } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } } { \partial P _ { i } \partial X _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } } { \partial P _ { i } \partial P _ { i } } } \end{array} \right) \Bigg \vert _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } , } \\ { { \bf A } } & { { } \equiv } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
L = w _ { \mathrm { d a t a } } \mathrm { M S E _ { \mathrm { d a t a } } } + w _ { \sigma } \mathrm { M S E } _ { \sigma } + w _ { \lambda } \mathrm { M S E } _ { \lambda } + w _ { \mathrm { i c } } \mathrm { M S E } _ { \mathrm { i c } } ,
\begin{array} { r l } { \| F \Sigma _ { * } ^ { - 1 } \| _ { F } ^ { 2 } = } & { ~ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( B ^ { - 1 } ( B D - C ) S v _ { * } ) _ { n ( i - 1 ) + j } ^ { 2 } ( \sigma _ { i } ^ { * } ) ^ { - 2 } } \\ { = } & { ~ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( S B ^ { - 1 } ( B D - C ) v _ { * } ) _ { n ( i - 1 ) + j } ^ { 2 } ( \sigma _ { i } ^ { * } ) ^ { - 2 } } \\ { = } & { ~ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { k } S _ { n ( i - 1 ) + j , n ( i - 1 ) + j } ^ { 2 } ( B ^ { - 1 } ( B D - C ) v _ { * } ) _ { n ( i - 1 ) + j } ^ { 2 } ( \sigma _ { i } ^ { * } ) ^ { - 2 } } \\ { = } & { ~ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( \sigma _ { i } ^ { * } ) ^ { 2 } ( B ^ { - 1 } ( B D - C ) v _ { * } ) _ { n ( i - 1 ) + j } ^ { 2 } ( \sigma _ { i } ^ { * } ) ^ { - 2 } } \\ { = } & { ~ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( B ^ { - 1 } ( B D - C ) v _ { * } ) _ { n ( i - 1 ) + j } ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| B ^ { - 1 } ( B D - C ) v _ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
F _ { n } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , . . . , x _ { n } ; a , t ) = \prod _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , . . . , \alpha _ { n } \geq 0 } \frac { 1 - x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } x _ { 2 } ^ { \alpha _ { 2 } } . . . x _ { n } ^ { \alpha _ { n } } a t } { 1 - x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } x _ { 2 } ^ { \alpha _ { 2 } } . . . x _ { n } ^ { \alpha _ { n } } t } \equiv \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { _ { n } } { A _ { k } } t ^ { k }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { m } , \mathbf { u } } \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \lambda } , \boldsymbol { \nu } } \mathcal { L } _ { \mu } ( \mathbf { m } , \mathbf { u } , \boldsymbol { \lambda } , \boldsymbol { \nu } ) = \mathcal { R } ( \mathbf { m } ) } & { { } + } & { ( \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { P } \mathbf { u } ^ { e } - \mathbf { d } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \mu } { 2 } \| \mathbf { A ( m ) u } ^ { e } - \mathbf { b } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\Big ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } - \frac { 1 2 0 \cos \frac \pi 8 + 5 6 \sin \frac \pi 8 } { 1 3 7 } + \frac { 1 1 9 6 0 7 0 4 \cos \frac \pi { 1 6 } - 1 1 4 5 9 0 0 8 \sin \frac \pi { 1 6 } } { 9 5 0 8 0 4 9 } + \frac { 1 5 4 1 9 7 7 6 \cos \frac { 3 \pi } { 1 6 } - 5 4 5 3 7 6 0 \sin \frac { 3 \pi } { 1 6 } } { 9 5 0 8 0 4 9 } \Big ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ( \pi ^ { * } , \bar { \nu } _ { t } ) - \mathcal { U } ( \bar { \pi } _ { t } , \nu ^ { * } ) \leq } & { \frac 1 t \int _ { 0 } ^ { t } ( \| \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { s } , \nu _ { s } ; \cdot ) \| _ { B L } \| \nu ^ { * } - \hat { \nu } _ { s } \| _ { B L } ^ { * } + \| \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { s } , \nu _ { s } ; \cdot ) \| _ { B L } \| \pi ^ { * } - \hat { \pi } _ { s } \| _ { B L } ^ { * } ) d s } \\ & { + \frac { 1 } { \kappa t } \left( \mathcal H ( \hat { \nu } _ { 0 } | | \nu _ { 0 } ) + \mathcal H ( \hat { \pi } _ { 0 } | | \pi _ { 0 } ) \right) } \\ { \leq } & { \frac B t \int _ { 0 } ^ { t } ( \| \nu ^ { * } - \hat { \nu } _ { s } \| _ { B L } ^ { * } + \| \pi ^ { * } - \hat { \pi } _ { s } \| _ { B L } ^ { * } ) d s + \frac { 1 } { \kappa t } \left( \mathcal H ( \hat { \nu } _ { 0 } | | \nu _ { 0 } ) + \mathcal H ( \hat { \pi } _ { 0 } | | \pi _ { 0 } ) \right) . } \end{array}
S ( z , w ) = \frac { w ^ { 2 } + z ^ { 2 } - \frac { w ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 w ^ { 2 } z ^ { 2 } } { \sqrt { ( 1 + w ^ { 2 } ) ( 1 + z ^ { 2 } ) } } } { ( w ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { \delta \dot { \theta } _ { G } } & { { } = } & { - \frac { c R B _ { \phi } } { { \cal J } B _ { 0 } B _ { \parallel } ^ { * } } \frac { J _ { 0 } \delta E _ { r G } } { 2 d \psi / d r } \, , } \\ { \delta \dot { \cal E } _ { G } } & { { } = } & { \frac { c v _ { \parallel } } { { \cal J } B _ { \parallel } ^ { * } } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \frac { R B _ { \phi } v _ { \parallel } } { B _ { 0 } } \right) \frac { J _ { 0 } \delta E _ { r G } } { 2 d \psi / d r } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq E ( f ( T , Y ) - f ( T ^ { \prime } , Y ) ) ( h ( T ) - h ( T ^ { \prime } ) ) } \\ & { = E f ( T , Y ) h ( T ) + E f ( T ^ { \prime } , Y ) h ( T ^ { \prime } ) - E f ( T , Y ) E h ( T ^ { \prime } ) - E f ( T ^ { \prime } , Y ) E h ( T ) } \\ & { = 2 \mathrm { C o v } ( \gamma ^ { T } , g ( W ) ) } \end{array}
\frac { d \tilde { \mathbf { u } } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \tilde { \mathbf { u } } } , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \tilde { \mathbf { u } } ( 0 ) = \pi \mathbf { z }
f _ { 3 , { \varepsilon } } ( z _ { 3 } ) = \overline { { z } } _ { 3 } + P _ { \varepsilon } ( \overline { { z } } _ { 3 } ) \left( \frac 1 2 + \sum _ { \ell = 0 } ^ { k } m _ { \ell } ( { \varepsilon } ) \overline { { z } } _ { 3 } ^ { \ell } + P _ { \varepsilon } ( \overline { { z } } _ { 3 } ) N _ { \varepsilon } ( \overline { { z } } _ { 3 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { X _ { i } ^ { n + 1 } } & { { } = X _ { i } ^ { n } + U _ { i } ^ { n } T _ { L } ^ { n } \Bigg ( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \Bigg ) + C _ { i } ^ { n } T _ { L } ^ { n } \Bigg ( \Delta t - T _ { L } ^ { n } \bigg ( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \bigg ) \Bigg ) } \\ { U _ { i } ^ { n + 1 } } & { { } = U _ { i } ^ { n } \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) + C _ { i } ^ { n } T _ { L } ^ { n } \Bigg ( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \Bigg ) + \underbrace { \sqrt { C _ { 0 } \epsilon ^ { n } \frac { T _ { L } ^ { n } } { 2 } \Bigg ( 1 - \exp \left( - 2 \frac { \Delta t } { T _ { L } ^ { n } } \right) \Bigg ) } \; \zeta _ { i } ^ { U } } _ { I _ { i } ^ { U } ( \Delta t ) } . } \end{array}
e ^ { \pm \big ( T _ { \mathrm { A } } ( t ) \otimes I _ { \mathrm { B } } + I _ { \mathrm { A } } \otimes T _ { \mathrm { B } } ( t ) \big ) } = e ^ { \pm T _ { \mathrm { A } } ( t ) } \otimes e ^ { \pm T _ { \mathrm { B } } ( t ) } .
\begin{array} { r l } & { { \frac { \partial f _ { \alpha ^ { 2 } } } { \partial \alpha } } ( \xi ) = { \frac { \alpha } { 2 } } \log \xi + { \frac { \alpha } { 4 } } \xi + \left[ - { \frac { 1 } { 8 \alpha ^ { 3 } } } + { \frac { 1 3 \alpha } { 1 2 8 } } \right] \xi ^ { 2 } + \left[ - { \frac { 1 } { 8 \alpha ^ { 3 } } } + { \frac { 2 3 \alpha } { 3 8 4 } } \right] \xi ^ { 3 } + \mathcal { O } ( \xi ^ { 4 } ) \, , } \\ & { { \frac { \partial \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } } { \partial \alpha } } ( \alpha , 1 , 1 ) = \log \left[ { \frac { \alpha - 2 } { \alpha + 2 } } \right] ^ { 2 } + \alpha \log { \frac { 1 6 \alpha ^ { 2 } } { | 4 - \alpha ^ { 2 } | } } = \alpha \log { \frac { 4 \alpha ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } } + { \frac { \alpha ^ { 3 } } { 1 2 } } + { \frac { \alpha ^ { 5 } } { 1 6 0 } } + \mathcal { O } ( \alpha ^ { 7 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { I _ { \mathrm { ~ f ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { 2 } } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \sin \varphi } \\ { \sin ( 2 \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) \cos \varphi } \\ { 0 } \end{array} \right) = - m _ { \mathrm { ~ f ~ } } \left( \begin{array} { l } { B _ { \mathrm { ~ r ~ } , z } \sin \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \sin \varphi } \\ { B _ { \mathrm { ~ r ~ } , z } \sin \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \cos \varphi + B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } \cos \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \\ { B _ { \mathrm { ~ r ~ } , \perp } \sin \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \sin \varphi } \end{array} \right) + \frac { \zeta _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } } { 2 } \left( \begin{array} { l } { - \sin 2 \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \cos \varphi } \\ { \sin 2 \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \sin \varphi } \\ { 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } t } = } & { \left[ \omega _ { 0 } \left( 1 + \delta \right) - i \left( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) \right] a - \sqrt { 2 \Gamma _ { 1 } } E _ { i n } \, , } \\ { \frac { \mathrm { d } \Delta N } { \mathrm { d } t } = } & { - \frac { \Delta N } { \tau _ { f c } } + g _ { \mathrm { T P A } } \left| a \right| ^ { 4 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \Delta T } { \mathrm { d } t } = } & { - \frac { \Delta T } { \tau _ { t h } } + \frac { P _ { \mathrm { a b s } } } { m \, c _ { p } } \, , } \\ { \delta = } & { \! - \! \frac { 1 } { n _ { 0 } } \! \! \left[ \! \frac { \mathrm { d } n } { \mathrm { d } T } \Delta T \! + \! \sigma _ { \mathrm { F C D } } \Delta N \! + \! n _ { 2 } \left| a \right| ^ { 2 } \! \right] \! \! , } \\ { \gamma = } & { \Gamma _ { 1 } + \tilde { \gamma } + \eta _ { \mathrm { F C A } } \Delta N + \eta _ { \mathrm { T P A } } \left| a \right| ^ { 2 } . } \end{array}
| \alpha \rangle = e ^ { - { \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { \alpha ^ { n } } { \sqrt { n ! } } } | n \rangle = e ^ { - { \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } } } e ^ { \alpha { \hat { a } } ^ { \dagger } } e ^ { - { \alpha ^ { * } { \hat { a } } } } | 0 \rangle ~ ,
S = \int d t \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } - \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } \tilde { A } _ { \rho } + \frac { e } { m } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } ^ { e } \right] \; .
\begin{array} { r l } { \mu _ { t + 1 } ^ { ( j ) } } & { = \mu _ { t } ^ { ( j ) } + \eta \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) , } \end{array}
Q _ { \mathbb { P } ^ { 1 } } = \psi _ { R } \frac { \partial } { \partial r } + 2 \pi i \frac { \partial W _ { \mathbb { P } ^ { 1 } } } { \partial Y } \frac { \partial } { \partial \psi _ { \Phi } } = \psi _ { R } \frac { \partial } { \partial r } - 2 \pi ( q _ { + } e ^ { i Y } - q _ { - } e ^ { - i Y } ) \frac { \partial } { \partial \psi _ { \Phi } } .
{ \binom { x } { t } } \sim { \binom { x } { t } } + { \binom { \sqrt { { \frac { R ^ { 2 } } { 2 } } + R _ { s } ^ { 2 } } } { - { \frac { R } { \sqrt { 2 } } } } } \approx { \binom { x } { t } } + { \binom { { \frac { R } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { R _ { s } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } R } } } { - { \frac { R } { \sqrt { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } & { x _ { k + 1 } | _ { k + 1 - i } - x _ { k + 1 } | _ { k - i } = A ( x _ { k } | _ { k + 1 - i } - x _ { k } | _ { k - i } ) , } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i = 2 , \cdots , d - 1 , } \\ & { x _ { k + 1 } | _ { k } - x _ { k + 1 } | _ { k - 1 } = w _ { k } ( \bar { A } x _ { k } - \bar { B } K x _ { k } | _ { k - d - 1 } ) . } \end{array}
\langle O \rangle _ { \rho } = \int d \rho _ { 1 } d \rho _ { 2 } \, O ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) \exp \left( - \int d ^ { 2 } r _ { t } { \frac { \mathrm { T r } \left[ \rho _ { 1 } ^ { 2 } ( r _ { t } ) + \rho _ { 2 } ^ { 2 } ( r _ { t } ) \right] } { 2 g ^ { 4 } \mu ^ { 2 } } } \right) \, .
R _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ - \mathbf { r } _ { \mathrm { m e a n } } \cdot \mathbf { r } _ { \mathrm { m e a n } } + { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( \mathbf { r } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { k } \right)
E [ ( X ( t ) - E [ X ( t ) ] ) ^ { 4 } ] = ( 3 \sigma ^ { 4 } \nu + 1 2 \sigma ^ { 2 } \theta ^ { 2 } \nu ^ { 2 } + 6 \theta ^ { 4 } \nu ^ { 3 } ) t + ( 3 \sigma ^ { 4 } + 6 \sigma ^ { 2 } \theta ^ { 2 } \nu + 3 \theta ^ { 4 } \nu ^ { 2 } ) t ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { z z } ^ { 2 } ( z ) d z - \lambda \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { z } ^ { 2 } ( z ) d z } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } c _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } } \\ & { \geq } & { \sigma ( \lambda ) \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } c _ { i } ^ { 2 } } \\ & { = } & { \sigma ( \lambda ) \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } ( z ) d z . } \end{array}
\Delta { { U } _ { i , c } } = \Delta U _ { i , c } ^ { * } + \Delta t \frac { \partial p _ { i } ^ { n - { { \theta } _ { 2 } } } } { \partial { { x } _ { i } } } + \frac { \Delta { { t } ^ { 2 } } } { 2 } { { \bar { u } } _ { k } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { p } ^ { n } } } { \partial { { x } _ { k } } \partial { { x } _ { i } } }
\frac { G m _ { 1 } m _ { 2 } } { r } \left[ 1 + c \frac { G ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { r } \right] \rightarrow \frac { G m _ { 1 } m _ { 2 } } { r } \left[ 1 + ( c - \alpha ) \frac { G ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { r } \right]
\mathbb { E } \left\langle \mathbf { 1 } , \nu _ { 0 } ^ { \mathrm { X } } \right\rangle ^ { p } < \infty \, , \quad \mathbb { E } \left\langle \mathbf { 1 } , \nu _ { 0 } ^ { \mathrm { Y } } \right\rangle ^ { p } < \infty \, .
\begin{array} { r l } { \Tilde { f } ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) } & { = n \exp \left( \frac { \operatorname* { P r } v _ { x } } { A } \psi _ { 1 } ( \mathbf { u } ) - \frac { \operatorname* { P r } } { 2 A } \psi _ { 2 } ( \mathbf { u } ) - \frac { \operatorname* { P r } } { B } \psi _ { 3 } ( \mathbf { u } ) + \log \left( \frac { \operatorname* { P r } ^ { 3 } } { 2 A B ^ { 2 } \pi ^ { 3 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \frac { \operatorname* { P r } v _ { x } ^ { 2 } } { 2 A } \right) } \\ { A } & { = \frac { k _ { B } n \operatorname* { P r } T + ( \operatorname* { P r } - 1 ) \sigma _ { x x } } { n m } ; \quad B = \frac { 2 k _ { B } n \operatorname* { P r } T + ( 1 - \operatorname* { P r } ) \sigma _ { x x } } { n m } , } \end{array}
a ^ { 1 6 } + 1 4 a ^ { 1 2 } c ^ { 4 } + 1 1 2 a ^ { 1 0 } b ^ { 4 } c ^ { 2 } + 5 6 a ^ { 1 0 } c ^ { 6 } + 2 2 4 a ^ { 9 } b ^ { 6 } c + 1 6 a ^ { 8 } b ^ { 8 } + 6 7 2 a ^ { 8 } b ^ { 6 } c ^ { 2 } + 6 7 2 a ^ { 8 } b ^ { 4 } c ^ { 4 } + 1 1 4 a ^ { 8 } c ^ { 8 } + 9 1 2 a ^ { 7 } b ^ { 8 } c + 1 3 4 4 a ^ { 7 } b ^ { 6 } c ^ { 3 } + 8 9 6 a ^ { 7 } b ^ { 4 } c ^ { 5 } + 4 4 8 a ^ { 6 } b ^ { 1 0 } + 3 5 8 4 a ^ { 6 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 2 9 1 2 a ^ { 6 } b ^ { 6 } c ^ { 4 } + 2 2 4 a ^ { 6 } b ^ { 4 } c ^ { 6 } + 5 6 a ^ { 6 } c ^ { 1 0 } + 8 9 6 a ^ { 5 } b ^ { 1 0 } c + 6 3 8 4 a ^ { 5 } b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 4 0 3 2 a ^ { 5 } b ^ { 6 } c ^ { 5 } + 8 9 6 a ^ { 5 } b ^ { 4 } c ^ { 7 } + 2 2 4 a ^ { 4 } b ^ { 1 2 } + 3 1 3 6 a ^ { 4 } b ^ { 1 0 } c ^ { 2 } + 7 3 9 2 a ^ { 4 } b ^ { 8 } c ^ { 4 } + 2 9 1 2 a ^ { 4 } b ^ { 6 } c ^ { 6 } + 6 7 2 a ^ { 4 } b ^ { 4 } c ^ { 8 } + 1 4 a ^ { 4 } c ^ { 1 2 } + 8 9 6 a ^ { 3 } b ^ { 1 2 } c + 5 3 7 6 a ^ { 3 } b ^ { 1 0 } c ^ { 3 } + 6 3 8 4 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c ^ { 5 } + 1 3 4 4 a ^ { 3 } b ^ { 6 } c ^ { 7 } + 1 3 4 4 a ^ { 2 } b ^ { 1 2 } c ^ { 2 } + 3 1 3 6 a ^ { 2 } b ^ { 1 0 } c ^ { 4 } + 3 5 8 4 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 6 } + 6 7 2 a ^ { 2 } b ^ { 6 } c ^ { 8 } + 1 1 2 a ^ { 2 } b ^ { 4 } c ^ { 1 0 } + 8 9 6 a b ^ { 1 2 } c ^ { 3 } + 8 9 6 a b ^ { 1 0 } c ^ { 5 } + 9 1 2 a b ^ { 8 } c ^ { 7 } + 2 2 4 a b ^ { 6 } c ^ { 9 } + 2 5 6 b ^ { 1 6 } + 2 2 4 b ^ { 1 2 } c ^ { 4 } + 4 4 8 b ^ { 1 0 } c ^ { 6 } + 1 6 b ^ { 8 } c ^ { 8 } + c ^ { 1 6 }
\Phi _ { i } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i - 1 } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i + 1 } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , N } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) } & { \sigma _ { 2 } \mathbf { g } _ { i , 1 , 2 } ^ { ( 2 ) } ( 1 ) } & { \ldots } & { \sigma _ { D } \mathbf { g } _ { i , N - D + 1 , \ldots , N } ^ { ( D ) } ( 1 ) } \\ { \vdots } & & & & & & & & { \vdots } \\ { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } ( M ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i - 1 } ^ { ( 1 ) } ( M ) } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i + 1 } ^ { ( 1 ) } ( M ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , N } ^ { ( 1 ) } ( M ) } & { \sigma _ { 2 } \mathbf { g } _ { i , 1 , 2 } ^ { ( 2 ) } ( M ) } & { \ldots } & { \sigma _ { D } \mathbf { g } _ { i , N - D + 1 , \ldots , N } ^ { ( D ) } ( M ) } \end{array} \right]
\begin{array} { l l } { { f _ { \pi } = 9 3 , ~ M _ { \rho } = 7 6 9 , ~ m _ { \omega } = 7 8 2 , ~ m _ { \pi } = 1 3 9 . 5 ~ ~ ~ ( \mathrm { M e V } ) } } \\ { { \beta _ { \omega } = 9 . 3 , g _ { V } = 0 . 0 9 ~ . } } \end{array}
\mathcal { Z } ( 1 - d _ { A } ) + ( 1 - a + \mathcal { Z } d _ { A } F _ { A 1 0 } / \mathcal { F } _ { A _ { 3 } } ) \kappa _ { 1 } F _ { A 1 1 } / \mathcal { F } _ { A _ { 2 } }
\begin{array} { r l r l } & { r _ { 2 , a } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { r _ { 1 , a } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in U _ { 2 } , } & & { r _ { 2 , r } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { r _ { 1 , r } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in \partial U _ { 2 } \cap \partial { \mathbb D } , } \\ & { \hat { r } _ { 2 , a } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { \hat { r } _ { 1 , a } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in \hat { U } _ { 2 } , } & & { \hat { r } _ { 2 , r } ( k ) : = \tilde { r } ( k ) \overline { { \hat { r } _ { 1 , r } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \quad k \in \partial \hat { U } _ { 2 } \cap \partial { \mathbb D } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \sigma _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) , \sigma _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
M _ { e } ( t , x ) \approx \sum _ { p = - 1 } ^ { 1 } \hat { M } _ { p } \, e ^ { i p ( \omega _ { m } t - \kappa _ { m } x ) } = \hat { M } _ { 0 } + 2 d \hat { M } \cos ( \omega _ { m } t - \kappa _ { m } x ) ,
\begin{array} { r l } { \Big [ ( D ^ { 2 } - 1 ) - s \textrm { R e P r } \Big ] } & { { } \Big [ ( D ^ { 2 } - 1 ) - s \textrm { R e } \Big ] ( D ^ { 2 } - 1 ) \bar { \psi } ( s , z ) - \textrm { R i R e } ^ { 2 } \textrm { P r } \bar { \psi } ( s , z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \oint _ { C } \left( { \frac { 1 } { \; z ^ { 5 } } } + { \frac { 1 } { \; z ^ { 4 } } } + { \frac { 1 } { 2 ! \; z ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 3 ! \; z ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 4 ! \; z } } + { \frac { 1 } { \; 5 ! } } + { \frac { z } { 6 ! } } + \cdots \right) \, d z . } \end{array}
\left( \sum _ { k } { \frac { \partial } { \partial a _ { k } } } \right) \left( \sum _ { j } ( - 1 ) ^ { j } R ( a _ { j } , a _ { j } ) \right) = - \left( \sum _ { k } { \frac { \partial } { \partial a _ { k } } } \right) u \, .
\hat { \bf y } _ { m } ^ { \mathrm { B E } } = \left( \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { \top } { \bf A } - \frac { \hat { \sigma } _ { m } ^ { 2 } } { m } { \bf G } ^ { \top } { \bf G } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { \top } { \bf b } ( \hat { \sigma } _ { m } ^ { 2 } ) - \frac { 2 \hat { \sigma } _ { m } ^ { 2 } } { m } { \bf G } ^ { \top } { \bf d } \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \forall \, \, R > 0 , \, \, \mathrm { t h e r e ~ e x i s t s } \, \, \nu _ { R } > 0 \, \, \mathrm { s . t . } , \, \, \forall \, \, x \in \partial \Omega \bigcap \left( B _ { R } ( P ) \right) ^ { c } , \, \, \mathrm { t h e r e ~ a r e } } \\ & { } & { \mathrm { q u a s i - g e o m e t r i c ~ s e q u e n c e } \, \, \{ r _ { k } \} _ { k = 0 } ^ { + \infty } \, \, \mathrm { a n d } \, \, \nu \geq \nu _ { R } \, \, \mathrm { s . t . } \, \, \, \, \mathrm { h o l d s } , } \end{array}