harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A \, ( T _ { 1 } , T _ { 2 } , T _ { 3 } ) = Z _ { T _ { 1 } } * ( Z _ { T _ { 2 } } * Z _ { T _ { 3 } } ) - ( Z _ { T _ { 1 } } * Z _ { T _ { 2 } } ) * Z _ { T _ { 3 } } \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol \Gamma \left[ \mathrm { i } ( ( \bar { x } _ { k } ^ { \prime } ) ^ { * } - x _ { j } ) \right] } & { = \boldsymbol \Gamma \left[ \frac { n _ { k } ^ { \prime } } 2 - \frac { n _ { j } } 2 + \mathrm { i } ( \nu _ { k } ^ { \prime } - \nu _ { j } ) + \epsilon _ { j k } \right] } \\ & { = \frac { \Gamma \bigl ( \frac { n _ { k } ^ { \prime } } 2 - \frac { n _ { j } } 2 + \mathrm { i } ( \nu _ { k } ^ { \prime } - \nu _ { j } ) + \epsilon _ { j k } \bigr ) } { \Gamma \bigl ( 1 + \frac { n _ { k } ^ { \prime } } 2 - \frac { n _ { j } } 2 - \mathrm { i } ( \nu _ { k } ^ { \prime } - \nu _ { j } ) - \epsilon _ { j k } \bigr ) } , } \end{array}
\mathrm { ~ c ~ N ~ L ~ L ~ } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { x , \mathbf { F } \in \mathcal { D } _ { t e s t } } \ln { ( 2 \pi ) } + \ln { ( a _ { * } U ( x ) + b _ { * } ) } + \frac { ( \hat { \mathbf { F } } - \mathbf { F } ) ^ { 2 } } { ( a _ { * } U ( x ) + b _ { * } ) } \ .
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t } } & { = } & { \frac { \partial T _ { \mathrm { C } } } { \partial ( \mathrm { O F } ) } \frac { \mathrm { d } ( \mathrm { O F } ) } { \mathrm { d } t } + \frac { \partial T _ { \mathrm { C } } } { \partial p _ { \mathrm { C } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t } } \\ { \frac { \mathrm { d } \mathcal { W } _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t } } & { = } & { \frac { \partial \mathcal { W } _ { \mathrm { C } } } { \partial ( \mathrm { O F } ) } \frac { \mathrm { d } ( \mathrm { O F } ) } { \mathrm { d } t } + \frac { \partial \mathcal { W } _ { \mathrm { C } } } { \partial p _ { \mathrm { C } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { d } t } . } \end{array}
d \eta ^ { 2 } = { \frac { \left( 1 + { \frac { r ^ { 2 } } { \tilde { L } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } r ^ { 2 p } } { \left( { \frac { r ^ { p + 1 } } { \tilde { L } } } + { \frac { E } { T _ { p } V _ { p } } } \right) ^ { 2 } } } d t ^ { 2 } ,
\left[ \begin{array} { l l } { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & { - a \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \\ { - a ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r } { \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 3 } } G _ { 3 } E _ { - } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 3 } } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big ( G _ { 1 } \mathring { ( A _ { 1 } ^ { \prime } ) } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } E _ { - } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } } \\ { \big ( G _ { 1 } ( \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G _ { 2 } ^ { * } ( \mathring { A _ { 1 } ^ { * } } ) ^ { { \bar { w } _ { 2 } , \bar { w } _ { 1 } } } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } \big ( G _ { 3 } ^ { * } \mathring { ( A _ { 2 } ^ { * } ) } ^ { { \bar { w } _ { 3 } , \bar { w } _ { 2 } } } G _ { 2 } ^ { * } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 3 } } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { y } \boldsymbol { y } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { \Omega _ { \sigma } } ( \vec { A } ^ { N } ( t ) , \vec { \varphi } _ { l } ) } & { = ( \vec { j } _ { a } , \vec { \varphi } _ { l } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } , } \\ { \frac { d } { d t } c _ { k } ^ { N } ( t ) } & { = ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } , } \\ { c _ { k } ^ { N } ( 0 ) } & { = \alpha _ { k } ^ { N } , } \end{array}
\ln 2 = { \cfrac { 1 } { 1 + { \cfrac { 1 } { 2 + { \cfrac { 1 } { 3 + { \cfrac { 2 } { 2 + { \cfrac { 2 } { 5 + { \cfrac { 3 } { 2 + { \cfrac { 3 } { 7 + { \cfrac { 4 } { 2 + \ddots } } } } } } } } } } } } } } } } = { \cfrac { 2 } { 3 - { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 9 - { \cfrac { 2 ^ { 2 } } { 1 5 - { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 2 1 - \ddots } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \vec { U } } { \partial \partial t } - \frac { \partial } { \xi _ { 1 } } \left( \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 1 } ( \mathbf { U } _ { m } ) \frac { \partial } { \partial \xi _ { 1 } } \mathbf { U } \right) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 2 } \! \! } & { = } & { \! \! - \delta _ { 1 } m ^ { \dag } m + \Omega _ { 1 } \left( \sigma _ { + + } - \sigma _ { -- } \right) } \\ & { } & { \! \! + \frac { 1 } { 2 } \Big [ \left( G m + \Omega _ { 2 } e ^ { i \delta _ { 2 } t } \right) \left( \sigma _ { + + } { - } \sigma _ { + - } { + } \sigma _ { - + } { - } \sigma _ { -- } \right) } \\ & { } & { \! \! + \left( G m ^ { \dag } + \Omega _ { 2 } e ^ { - i \delta _ { 2 } t } \right) \left( \sigma _ { + + } { - } \sigma _ { - + } { + } \sigma _ { + - } { - } \sigma _ { -- } \right) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \Delta { E _ { 0 } } } { E _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } & { { } = \left( \frac { \Delta E _ { \gamma } } { E _ { \gamma } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \beta \sin \theta } { 1 - \beta \cos \theta } \right) ^ { 2 } \times \left( \Delta \theta \right) ^ { 2 } + } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } _ { A } = - r _ { 1 } ( x _ { A } ) + r _ { 3 } ( x _ { C } , x _ { D } ) } \\ { \dot { x } _ { B } = r _ { 1 } ( x _ { A } ) - r _ { 2 } ( x _ { B } ) + 2 r _ { 5 } ( x _ { D } ) } \\ { \dot { x } _ { C } = r _ { 1 } ( x _ { A } ) + r _ { 2 } ( x _ { B } ) - r _ { 3 } ( x _ { C } , x _ { D } ) - r _ { 4 } ( x _ { C } ) } \\ { \dot { x } _ { D } = - r _ { 3 } ( x _ { C } , x _ { D } ) - r _ { 5 } ( x _ { D } ) - r _ { 6 } ( x _ { D } , x _ { E } ) + F _ { D } } \\ { \dot { x } _ { E } = r _ { 4 } ( x _ { C } ) + r _ { 6 } ( x _ { D } , x _ { E } ) - r _ { 7 } ( x _ { E } ) } \end{array} \right. ,
\langle \Delta + \theta | = \operatorname * { l i m } _ { \acute { z } \rightarrow \infty } \langle 0 | \left( { \phi ( \acute { z } ) \acute { z } ^ { 2 \Delta } + \bar { \theta } [ \psi ( \acute { z } ) + \ln \acute { z } ^ { 2 } \phi ( \acute { z } ) ] } \acute { z } ^ { 2 \Delta } \right) ,
\left( Q _ { j k } ^ { ( i ) } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| ^ { 2 } } { 4 \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right) \right| \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) \right| } \frac { 1 } { b _ { j k } ^ { ( i ) } b _ { k j } ^ { ( i ) } } } & { \textrm { i f } \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \neq 0 } \\ { 0 } & { \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \right) _ { j \geq 2 , 1 \leq k \leq j - 1 } .
H _ { \sigma , \alpha } \ : = \ \left\{ \Psi \in { \mathcal H } _ { \sigma } ^ { ( 0 ) } \bigm | Q _ { \alpha } \ \Psi = 0 \right\} \ \big / \ \left\{ \Psi \mid \Psi = Q _ { \alpha } \Phi , \Phi \in { \mathcal H } _ { - \sigma } ^ { ( 0 ) } \right\} ,
\operatorname* { m a x } _ { 0 \leq k \leq n } \| u ( t _ { k } ) - u _ { k } \| _ { H ^ { \sigma } } \leq e ^ { C n h } \left( \left\| u ^ { 0 } - u _ { 0 } \right\| _ { H ^ { \sigma } } + C \left( \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , \dots , s \} } \left\| N ( u ( t _ { - 1 } + c _ { i } h ) ) - \gamma _ { - 1 , i } \right\| _ { H ^ { \sigma } } + h ^ { s } \right) \right) .
L _ { 1 } \left( \xi _ { j } \right) + L _ { 2 } \left( \xi _ { j } \right) + \lambda _ { 1 } \| \xi _ { j } \| _ { 1 } = 0 . 5 ( \Theta _ { 1 } \xi _ { j } - { \dot { U } } _ { 1 } ) ^ { 2 } + 0 . 5 ( \Theta _ { 2 } \xi _ { j } - { \dot { U } } _ { 2 } ) ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } \| \xi _ { j } \| _ { 1 }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d Z } \left( \frac { \partial \langle L _ { c } \rangle } { \partial q ^ { \prime } } \right) } & { - \frac { \partial \langle L _ { c } \rangle } { \partial q } } \\ & { = 2 \mathrm { R e } \left\{ \int \int \int d X d Y d \tau \mathcal { Q } \frac { \partial \Phi ^ { \ast } } { \partial q } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( \exists \lambda \in 3 \lambda _ { j } ( t _ { 0 } ) , \lambda ^ { \prime } \in S _ { \lambda , \lfloor \log _ { 2 } ( M ) \rfloor + 1 } \, : \, \left| \widecheck { \Delta } _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { M } \right| \geq c _ { 2 } \log ( j ) ^ { \frac { d } { 2 } } \left\| \widecheck { \Delta } _ { \lambda ^ { \prime } } ^ { M } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right) } \\ & { \leq 3 M \exp ( - c _ { d } c _ { 2 } ^ { \frac { d } { 2 } } \log ( j ) ) . } \end{array}
\hat { \Gamma } _ { a } \gamma _ { 2 , 3 } ^ { \dagger } \hat { \Gamma } _ { a } ^ { - 1 } = \gamma _ { 2 , 3 } , \ \hat { \Gamma } _ { a } c _ { E ^ { \prime } , a } ^ { \dagger } \hat { \Gamma } _ { a } ^ { - 1 } = c _ { - E ^ { \prime } , a } .
\begin{array} { r l } & { a ( t ) * \intop _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { w i n d o w } \left( \frac { \omega - \omega _ { 1 } } { \Delta \omega } \right) \frac { 1 } { \left( \omega - \omega _ { 1 } \right) ^ { 2 } } e ^ { i \omega t } d \omega = } \\ & { a ( t ) * e ^ { i \omega _ { 1 } t } \mathrm { s i n c } \left( t \Delta \omega \right) * t e ^ { i \omega _ { 1 } t } \theta \left( t \right) = \frac { a ( t ) } { 2 \pi } * e ^ { i \omega _ { 1 } t } \times } \\ & { \left( 2 t \mathrm { S i } ( \Delta \omega t ) + \pi t + 2 \cos ( t ) / \Delta \omega \right) \theta \left( t \right) \rightarrow a ( t ) * e ^ { i \omega _ { 1 } t } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \lambda = } & { { } - 2 [ D k _ { r } ^ { 2 } + \chi ] - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) \pm } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \dot { \bar { \mathbf { w } } } _ { 1 } = \hat { A } _ { 3 } ^ { 1 1 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { w } } _ { 1 } + \hat { A } _ { 3 } ^ { 1 2 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { w } } _ { 2 } + \bar { B } _ { 3 } u _ { 1 } , } \\ { \dot { \bar { \mathbf { w } } } _ { 2 } = \hat { A } _ { 3 } ^ { 2 2 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { w } } _ { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \times ( \mathbf { a } \times \mathbf { c } ) } & { { } = ( \mathbf { a } \cdot ( \mathbf { b } \times \mathbf { c } ) ) \mathbf { a } } \\ { ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \cdot ( \mathbf { c } \times \mathbf { d } ) } & { { } = \mathbf { b } ^ { \mathrm { T } } \left( \left( \mathbf { c } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { a } \right) I - \mathbf { c } \mathbf { a } ^ { \mathrm { T } } \right) \mathbf { d } } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { { \bf k } \to 0 } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } \mathrm { I m } \left[ G ^ { + + } ( { \bf q } , | t - t ^ { \prime } | ) G ^ { + + } ( { \bf q } - { \bf k } , | t - t ^ { \prime } | ) \right] \to - \frac { \left[ 1 + 2 n ( \omega _ { { \bf q } } ) \right] } { 8 \omega _ { { \bf q } } ^ { 3 } } - \beta \frac { n ( \omega _ { { \bf q } } ) \left[ 1 + n ( \omega _ { { \bf q } } ) \right] } { 4 \omega _ { { \bf q } } ^ { 2 } } + { \cal O } \left( \frac { \Gamma ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \right) \; .
\sigma _ { \varepsilon } ( y , t ) \to \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , t ) 1 _ { \{ \tau ^ { + } \geq 0 , n ^ { + } = 0 \} } + \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , t ) 1 _ { \{ \tau ^ { - } \geq 0 , n ^ { - } = 0 \} } = \omega ( y , t ) 1 _ { \{ y \in \partial D \} } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } } & { \triangleq [ F _ { 1 } , F _ { 2 } , \hdots , F _ { K } ] ^ { \intercal } , } \\ { \mathbf { f } _ { k } } & { \triangleq [ f _ { k , 1 } , f _ { k , 2 } , \hdots , f _ { k , L } ] ^ { \intercal } , \: k \in [ K ] , } \\ { \mathbf { w } } & { \triangleq [ W _ { 1 } , W _ { 2 } , \hdots , W _ { L } ] ^ { \intercal } , } \\ { \mathbf { f } ^ { \prime } } & { \triangleq [ F _ { 1 } ^ { \prime } , F _ { 2 } ^ { \prime } , \hdots , F _ { K } ^ { \prime } ] ^ { \intercal } , } \\ { \mathbf { F } } & { \triangleq [ \mathbf { f } _ { 1 } , \mathbf { f } _ { 2 } , \hdots , \mathbf { f } _ { K } ] ^ { \intercal } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { 1 } ( \phi ) } & { { } : = } & { ( P _ { \phi } ) \nu _ { \phi } ( \xi ) \mathrm { ~ , ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } \\ { ( P _ { \phi } ) \nu _ { \phi } ( \xi ) } & { { } = } & { \int H ( y , \phi ) ( Q _ { \phi } ) d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \pm } ^ { Y } ( y , t , z ) } & { = m ^ { P } ( y , 0 ) \Big ( I + \frac { m _ { 1 } ^ { W } ( \tilde { y } ) } { w } + O ( w ^ { - 3 } ) \Big ) m ^ { P } ( y , 0 ) ^ { - 1 } m _ { \pm } ^ { P } ( y , z ) } \\ & { = \left( I + \frac { B _ { 1 } } { t ^ { 1 / 6 } } \right) m _ { \pm } ^ { P } ( y , z ) + O ( t ^ { - 1 / 2 } ) , \qquad z \in P , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \sum _ { \vec { L } } \rho ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) , } \\ { \rho ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \sum _ { \mu \nu } \sum _ { \vec { L } ^ { \prime } } D _ { \mu \nu } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } \vec { L } \, ^ { \prime } } \xi _ { \mu } ^ { \vec { L } } \left( \vec { r } \right) \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } ^ { \prime } } \left( \vec { r } \, ^ { \prime } \right) . \quad } \end{array}
( { \bf a } _ { i } \cdot { \bf a } _ { j } ) = ( { \bf b } _ { i } \cdot { \bf b } _ { j } ) = ( { \bf c } _ { i } \cdot { \bf c } _ { j } ) = \delta _ { i j } , \quad ( { \bf a } _ { i } \cdot { \bf b } _ { j } ) = - \frac { 1 } { 2 } , \quad ( { \bf a } _ { i } \cdot { \bf c } _ { j } ) = \frac { 1 } { 2 } , \quad
\pi _ { I } ^ { 1 \pm } \times \pi _ { I } ^ { 2 \pm } , \quad \pi _ { I } ^ { 1 \pm } \times \pi _ { I I I } ^ { 2 \pm } , \quad \pi _ { I I I } ^ { 1 \pm } \times \pi _ { I } ^ { 2 \pm } , \quad \pi _ { I I I } ^ { 1 \pm } \times \pi _ { I I I } ^ { 2 \pm } ,
\Gamma _ { \mu } ^ { ( \mathrm { L } ) } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \lambda _ { i } ( p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } , p _ { 3 } ^ { 2 } ) \; L _ { i , \mu } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) ,
\left| { \begin{array} { c c c } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } \\ { x _ { 3 } } & { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { x _ { 1 } } \end{array} } \right| = \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } \right) \left( x _ { 1 } + \omega x _ { 2 } + \omega ^ { 2 } x _ { 3 } \right) \left( x _ { 1 } + \omega ^ { 2 } x _ { 2 } + \omega x _ { 3 } \right) ,
\tilde { \beta } ( g ) = - \frac { 1 } { 2 } g - \frac { 3 6 g ^ { 2 } } { 1 + 4 8 g } + \frac { 8 6 4 g ^ { 3 } } { ( 1 + 4 8 g ) ^ { 3 / 2 } } \ln \left| \frac { 1 - \sqrt { 1 + 4 8 g } } { 1 + \sqrt { 1 + 4 8 g } } \right| .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { i } = } & { { } \mathcal { L } \left[ \rho _ { i } \right] + \epsilon \sigma ^ { 2 } \rho _ { i } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { ~ d ~ } t ^ { \prime } \int \mathrm { ~ d ~ } \vec { z } ^ { \prime } \chi _ { i } ( t , t ^ { \prime } , \vec { z } , \vec { z } ^ { \prime } ) \rho _ { i } ( \vec { z } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { \mathbf { r } } \delta \left[ \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - 1 \right] } & { { } = \int \mathrm { D } \eta \exp \left\{ \frac { 1 } { v } \int \mathrm { d } \mathbf { r } i \eta ( \mathbf { r } ) \left[ \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \hat { \phi } _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - 1 \right] \right\} } \\ { \delta \left[ \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \mathbf { R } _ { j } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { j } \right] } & { { } = \int \mathrm { d } \mathbf { f } _ { j } \exp \left\{ i \mathbf { f } _ { j } \cdot \left[ \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \mathbf { R } _ { j } ( s ) - \boldsymbol { \xi } _ { j } \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { 4 } ^ { 2 } ( q ) } & { { } = i q ^ { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } q ^ { 2 k ^ { 2 } - k } \vartheta _ { 1 } \left( { \frac { 2 k - 1 } { 2 i } } \ln q , q \right) , } \\ { \vartheta _ { 4 } ^ { 2 } ( q ) } & { { } = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } q ^ { 2 k ^ { 2 } } \vartheta _ { 4 } \left( { \frac { k \ln q } { i } } , q \right) . } \end{array}
l ( \sigma ) = \bar { \phi } + \sqrt { 2 } \sum _ { e = 2 } ^ { \infty } l _ { e } \left( \cos e \sigma - i ^ { e } \right) \, , \quad r ( \sigma ) = \bar { \phi } + \sqrt { 2 } \sum _ { e = 2 } ^ { \infty } r _ { e } \left( \cos e \sigma - i ^ { e } \right) \, . ~ ~ ~ ~
\begin{array} { r l } { \mu ^ { \prime } } & { = \underline { { \mathcal A } } \left( \left( \Psi \circ G \right) ( n ^ { \prime } , 0 ) , \underline { G } ( \underline { n } ^ { \prime } , 0 ) \right) } \\ & { = \underline { { \mathcal A } } \left( \Psi \left( G ( n ^ { \prime } , 0 ) \right) , \underline { G } ( \underline { n } ^ { \prime } , 0 ) \right) } \\ & { = z ^ { - 1 } \underline { z } ^ { - 1 } \underline { { \mathcal A } } \left( \Psi \left( ( n , 0 ) \right) , ( \underline { n } , 0 ) \right) } \\ & { = z ^ { - 1 } \underline { z } ^ { - 1 } \mu . } \end{array}
\begin{array} { r } { C = \int _ { - 1 } ^ { \infty } e ^ { \alpha ( 1 + \mathrm { S } ) } ( 1 + \mathrm { S } ) ^ { - 2 + \alpha } \mathrm { d } \mathrm { S } = e ^ { \alpha } \alpha ^ { 1 - \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - z } z ^ { \alpha - 2 } \mathrm { d } z = e ^ { - \alpha } \alpha ^ { 1 - \alpha } \Gamma ( \alpha - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { = B \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right) : = \left\{ f \in C ^ { 1 , 1 } ( \mathbb { R } ) : f ( s ) \geqslant c _ { 1 } , s \in \mathbb { R } \mathrm { ~ a n d ~ } \| f \| _ { C ^ { 1 , 1 } ( \mathbb { R } ) } \leqslant c _ { 2 } \right\} } \\ { E } & { = E \left( d _ { 1 } , d _ { 2 } , \omega \right) : = \left\{ \tilde { \beta } \in Y : \Re ( \tilde { \beta } ( s ) ) \geqslant d _ { 1 } , s \in \mathbb { R } , \| \tilde { \beta } \| _ { \infty } \leqslant d _ { 2 } , \right. \mathrm { ~ a n d ~ } | \tilde { \beta } ( s ) - \tilde { \beta } ( t ) | \leqslant \omega ( | s - t | ) , s , t \in \mathbb { R } \} } \end{array}
\left. \frac { \partial \rho } { \partial h } \right\vert _ { p } \Delta h g \Delta z A _ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } } = \frac { A _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { A _ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } } ^ { 2 } } \frac { \dot { m } ^ { 2 } } { 2 \rho _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \frac { \Sigma \left( f _ { \mathrm { ~ i ~ } } L _ { \mathrm { ~ i ~ } } \right) } { L } .
g _ { * } ( T ) = \sum _ { i } \left( \frac { T _ { i } } { T } \right) ^ { 4 } \frac { 1 5 g _ { i } } { \pi ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } u \; \frac { u ^ { 2 } \sqrt { u ^ { 2 } + \mu _ { i } ^ { 2 } } } { \exp \left( \sqrt { u ^ { 2 } + \mu _ { i } ^ { 2 } } \right) \pm 1 } \; ,
G ( x , x ^ { \prime } ) \sim \frac { \sqrt { \Delta _ { V V M } ( x , x ^ { \prime } ) } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 4 } { \Delta ( x , x ^ { \prime } ) } + v ( x , x ^ { \prime } ) \ln \frac { 1 } { 2 } \Delta ( x , x ^ { \prime } ) + w ( x , x ^ { \prime } ) \right)
\begin{array} { r } { \mathrm { G V D } _ { \mathrm { g a i n } } = - \frac { \alpha } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \frac { ( 2 g _ { 0 } - \alpha _ { w } ) \alpha _ { w } T _ { 2 } ^ { 2 } } { g _ { 0 } } , } \end{array}
\frac { d \varphi ^ { \prime } } { d \tau } = \left( - \frac 1 2 + \frac 1 2 z - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } x + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + \frac { \sqrt 6 } { 2 } y \right) \varphi ^ { \prime } \ .
\| \nabla v - \nabla ( \pi _ { N } v ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) ^ { 3 } } \leqslant C _ { k } ^ { \star } N ^ { - k } \| v \| _ { W _ { 2 k } ^ { k + 1 } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) } ,
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } \left[ \eta _ { T , 1 } \sqrt { \log { N } } + N \exp \left( - C _ { 2 } \frac { \eta _ { T , 1 } ^ { 2 } T } { K \psi _ { N } ^ { 2 } d _ { N } ^ { 2 } S _ { 2 } } \right) + N \exp \left( - C _ { 3 } \frac { \eta _ { T , 1 } ^ { 2 } T } { d _ { N } ^ { * 2 } S _ { 2 } ^ { * } } \right) \right] } \\ & { \leq C _ { 1 } \left[ \frac { \sqrt { K } d _ { N } ^ { * } \psi _ { N } ^ { 2 } } { \sqrt { T } } \sqrt { \log ( N ) \log ( N \log ( N ) ) } + \frac { N } { ( N \log ( N ) ) ^ { C _ { 2 } \frac { d _ { T , 1 } ^ { * 2 } } { d _ { N } ^ { 2 } } } } + \frac { N } { ( N \log ( N ) ) ^ { C _ { 3 } K \psi _ { N } ^ { 2 } } } \right] } \\ & { \leq C \left[ \frac { \sqrt { K } \log ( N ) d _ { N } ^ { * } \psi _ { N } ^ { 2 } } { \sqrt { T } } + \frac { 1 } { \log ( N ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { \varepsilon } ( w ) = \left( \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } \right) \left( - \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } \right) } \\ & { \quad - \left( ( \alpha - \beta ) \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } + \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } + \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { i } - z ) + 1 \right) \left( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } \right) } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } \left( \varepsilon ^ { 1 / 2 } \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } - \frac { \varepsilon } { 2 } \left( \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } \right) ^ { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } } { 3 } \left( \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } \right) ^ { 3 } \right) + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { t } v ^ { 3 } + \mathbf { x } _ { i } v ^ { 2 } - ( u _ { i } - z ) v + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p - ( k + 2 ) } & { = \frac { ( c _ { k } ^ { 2 } - k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ) \sqrt { n } + k c _ { k } } { 2 c _ { k } } - ( k + 2 ) } \\ & { > \frac { ( k ^ { 3 } + 5 k ^ { 2 } - 6 k - k ( k - 1 ) ( k - 2 ) ) c _ { k } + k c _ { k } - 2 c _ { k } ( k + 2 ) } { 2 c _ { k } } } \\ & { = \frac { ( 8 k ^ { 2 } - 8 k ) + k - 2 ( k + 2 ) } { 2 } } \\ & { > 0 . } \end{array}
\mathbf { t } ( \tilde { \mathbf { t } } ) = ( \mathbf { I } + \mathbf { P } ) \tilde { \mathbf { t } } = \left( \mathbf { I } + \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } } \\ { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } + \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } } \\ { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } + \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } } \end{array} \right]
\hat { \boldsymbol D } ( \boldsymbol r ) \equiv \hat { U } \hat { \boldsymbol E } _ { c } ( \boldsymbol r ) \hat { U } ^ { \dagger } = \hat { \boldsymbol E } _ { c } ( \boldsymbol r ) + \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \hat { \boldsymbol P } ,