harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \leq \sqrt { 2 } e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + | k | \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| \Phi _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + } \\ { + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) + 4 \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { \sigma } { 4 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) | k | t C _ { \sigma } ( t ) \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + } \\ { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} . } \end{array}
T = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { \alpha _ { 1 } } & { \beta _ { 2 } } & & & & { 0 } \\ { \beta _ { 2 } } & { \alpha _ { 2 } } & { \beta _ { 3 } } & & & \\ & { \beta _ { 3 } } & { \alpha _ { 3 } } & { \ddots } & & \\ & & { \ddots } & { \ddots } & { \beta _ { m - 1 } } & \\ & & & { \beta _ { m - 1 } } & { \alpha _ { m - 1 } } & { \beta _ { m } } \\ { 0 } & & & & { \beta _ { m } } & { \alpha _ { m } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { H \psi ( r , \theta , \phi ) } & { { } = } & { E \psi ( r , \theta , \phi ) , } \\ { L ^ { 2 } \psi ( r , \theta , \phi ) } & { { } = } & { l ( l + 1 ) \hbar ^ { 2 } \psi ( r , \theta , \phi ) , } \\ { L _ { z } \psi ( r , \theta , \phi ) } & { { } = } & { m \hbar \psi ( r , \theta , \phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big ( 1 - \prod _ { m = m _ { 1 } } ^ { m _ { 2 } - 1 } e ^ { - \hbar ^ { \frac { 3 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } s _ { m } } \prod _ { j = a _ { m - 1 } + 1 } ^ { a _ { m } } e ^ { - \hbar ^ { \frac { 3 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } t _ { j } } \big ) \leq \sum _ { m = m _ { 1 } } ^ { m _ { 2 } - 1 } 1 - e ^ { - \hbar ^ { \frac { 3 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } s _ { m } } + \sum _ { m = m _ { 1 } } ^ { m _ { 2 } - 1 } \sum _ { j = a _ { m - 1 } + 1 } ^ { a _ { m } } 1 - e ^ { - \hbar ^ { \frac { 3 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } t _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle ( x ( t ) - x ( 0 ) ) ^ { 2 } \rangle } & { { } = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { t } d \Delta \int _ { 0 } ^ { t - \Delta } d t ^ { \prime } \langle v ( t ^ { \prime } ) v ( t ^ { \prime } + \Delta ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { b } ^ { - 1 } = - \frac { d P } { d V } = \frac { \gamma P _ { 0 } } { V _ { b } } + 2 \sigma \left( \frac { 4 \pi } { 3 V _ { b } ^ { 4 } } \right) ^ { 1 / 3 } \left( \gamma - \frac { 1 } { 3 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf F } } & { = B _ { x } d y \wedge d z + B _ { y } d z \wedge d x + B _ { z } d x \wedge d y + E _ { x } d x \wedge d t + E _ { y } d y \wedge d t + E _ { z } d z \wedge d t . } \\ & { = B _ { x } d \overline { { y } } \wedge d \overline { { z } } + \lambda _ { v } B _ { y } d \overline { { z } } \wedge ( d \overline { { x } } + v d \overline { { t } } ) + \lambda _ { v } B _ { z } ( d \overline { { x } } + v d \overline { { t } } ) \wedge d \overline { { y } } } \\ & { \quad \, + \lambda _ { v } ^ { 2 } E _ { x } ( d \overline { { x } } + v d \overline { { t } } ) \wedge \left( d \overline { { t } } + \frac { v } { c ^ { 2 } } d \overline { { x } } \right) + \lambda _ { v } E _ { y } d \overline { { y } } \wedge \left( d \overline { { t } } + \frac { v } { c ^ { 2 } } d \overline { { x } } \right) + \lambda _ { v } E _ { z } d \overline { { z } } \wedge \left( d \overline { { t } } + \frac { v } { c ^ { 2 } } d \overline { { x } } \right) } \\ & { = B _ { x } d \overline { { y } } \wedge d \overline { { z } } + \lambda _ { v } \left( B _ { y } + \frac { v E _ { z } } { c ^ { 2 } } \right) d \overline { { z } } \wedge d \overline { { x } } + \lambda _ { v } \left( B _ { z } - \frac { v E _ { y } } { c ^ { 2 } } \right) d \overline { { x } } \wedge d \overline { { y } } + E _ { x } d \overline { { x } } \wedge d \overline { { t } } } \\ & { \quad \, + \lambda _ { v } \left( E _ { y } - v B _ { z } \right) d \overline { { y } } \wedge d \overline { { t } } + \lambda _ { v } \left( E _ { z } + v B _ { y } \right) d \overline { { z } } \wedge d \overline { { t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mathbf { c } _ { 0 } + \mathrm { P e } ^ { 2 } \partial _ { x } \left\langle u ( \mathbf { D } \Delta _ { \mathbf { y } } - \partial _ { \tau } ) ^ { - 1 } \left( u \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } \right) \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } = \partial _ { x } ( \mathbf { D } \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega ( \mathfrak { a s s } _ { m } ( x , y , z ) , \alpha ^ { 2 } ( t ) ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \big ( \omega ( \mathfrak { a s s } _ { r } ( y , x , z ) , \alpha ^ { 2 } ( t ) \big ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { | x | ( | y | + | z | + | t | ) } \omega ( \alpha ^ { 2 } ( y ) , a s ( z , t , x ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \omega ( \alpha ^ { 2 } ( y ) , a s ( x , z , t ) ) } \\ & { = \omega ( \alpha ^ { 2 } ( y ) , ( - 1 ) ^ { | x | ( | z | + | t | ) } a s ( z , t , x ) - a s ( x , z , t ) ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\alpha _ { r } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 4 } } } & { { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ s c a l a r ~ f i e l d } } } \\ { { \frac { n - 2 } { 4 n } } } & { { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ c o m p o n e n t ~ o f ~ a ~ c o v a r i a n t ~ v e c t o r f i e l d } } } \\ { { \frac { n + 2 } { 4 n } } } & { { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ c o m p o n e n t ~ o f ~ a ~ c o n t r a v a r i a n t ~ v e c t o r } } } \\ { { \frac { n - 4 } { 4 n } } } & { { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ c o m p o n e n t ~ o f ~ a ~ c o v a r i a n t ~ t e n s o r ~ f i e l d ~ o f ~ r a n k t w o . } } } \end{array} \right.
\hat { F } _ { [ A ] [ B ] } ^ { [ \dot { A } ] [ \dot { B } ] } = \sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname * { m i n } ( 2 a , 2 b ) } \sum _ { \dot { t } = 0 } ^ { \operatorname * { m i n } ( 2 \dot { a } , 2 \dot { b } ) } S [ A ] S [ B ] S [ \dot { A } ] S [ \dot { B } ] \epsilon _ { [ s ] } \epsilon ^ { [ \dot { t } ] } F _ { [ C ( s ) ] } ^ { [ \dot { C } ( \dot { t } ) ] } \ \ \ .
{ \frac { \partial \ln \mathrm { B } ( \alpha , \beta ) } { \partial \alpha } } = - { \frac { \partial \ln \Gamma ( \alpha + \beta ) } { \partial \alpha } } + { \frac { \partial \ln \Gamma ( \alpha ) } { \partial \alpha } } + { \frac { \partial \ln \Gamma ( \beta ) } { \partial \alpha } } = - \psi ( \alpha + \beta ) + \psi ( \alpha ) + 0
\psi ( \mathbb { x } , t ) = \phi ( \mathbb { x } , t ) \, e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } m c ^ { 2 } t } \quad { \textrm { w h e r e } } \quad \phi ( \mathbb { x } , t ) = u _ { E } ( x ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } E ^ { \prime } t } .
F \; = \; \frac { 3 2 } { 9 } \alpha _ { s } \alpha _ { z } \hat { s } ^ { 2 } R e \left( \frac { 1 } { \hat { t } D _ { Z ^ { ' } } ^ { \hat { u } } } + \frac { 1 } { \hat { u } D _ { Z ^ { ' } } ^ { \hat { t } } } \right)
\begin{array} { r l } & { { E } _ { n m } = \left( n + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( m - \phi \right) ^ { 2 } + \frac { \mu ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 \hbar ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \hbar } \\ & { \times \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \hbar \omega _ { c } } { 2 } \left( m - \phi \right) - \frac { \mu } { 4 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { A } } _ { A } ^ { k } = } & { { } - q _ { k } ^ { 2 } \left[ ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } + ( \kappa - \delta ) \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) + \mathrm { R e } ( \mathrm { K } ^ { k } ) - \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \right] + \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } } \\ { \dot { \mathcal { A } } _ { B } ^ { k } = } & { { } - q _ { k } ^ { 2 } \left[ \beta \mathcal { A } _ { B } ^ { k } + ( \kappa + \delta ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \cos ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) - \frac { 4 \epsilon } { L \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \right] + \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \, , } \end{array}
{ \sigma _ { u \xi } ^ { ( 1 ) } - \frac { \partial _ { u } T ^ { ( 1 ) } } { h _ { u } } } + \frac { h _ { \xi } } { h _ { u } } \, ( \partial _ { u } \delta \xi [ u ] ) \, ( \sigma _ { \xi \xi } ^ { ( 0 ) } - \sigma _ { u u } ^ { ( 0 ) } - \partial _ { \xi } T ^ { ( 0 ) } ) + \delta \xi [ u ] \, \partial _ { \xi } \Big ( \sigma _ { u \xi } ^ { 0 } - \frac { \partial _ { u } T ^ { ( 0 ) } } { h _ { u } } \Big ) = 0 \mathrm { ~ a t ~ } \xi = \xi _ { 0 } \ . \
\begin{array} { r l } { H ^ { 0 } \Big ( X ( N ) , \omega \big ( - C ( N ) \big ) \Big ) \otimes H ^ { 0 } \Big ( X ( N ) , \omega \big ( - C ( N ) \big ) \Big ) } & { { \, \longrightarrow \, } H ^ { 0 } \Big ( X _ { 0 } ( p , N ) , \Omega \big ( - C ( N ) \big ) \Big ) } \\ { \alpha \otimes \beta } & { \longmapsto \pi _ { 1 } ^ { * } \alpha \cdot \pi _ { 2 } ^ { * } \beta . } \end{array}
c _ { R } = \frac { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \frac { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } } { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } \frac { c _ { \mathrm { N } ^ { + } } ^ { * } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } ^ { * } } { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } ^ { * } }
\vec { U } _ { t } + { \bf D _ { x } } ( { \bf A } \vec { U } ) + { \bf A } ^ { T } { \bf D _ { x } } ( \vec { U } ) = 0 \quad \mathrm { w h e r e } \quad \vec { U } = \left[ \begin{array} { l } { \vec { U } _ { 1 } } \\ { \vec { U } _ { 2 } } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad { \bf A } = \left[ \begin{array} { l l } { { \bf a _ { 1 1 } } } & { { \bf a _ { 1 2 } } } \\ { { \bf a _ { 2 1 } } } & { { \bf a _ { 2 2 } } } \end{array} \right] .
{ \frac { \mathrm { D i a m e t e r ~ o f ~ U n i v e r s e } } { \mathrm { D i a m e t e r ~ o f ~ E a r t h ~ a r o u n d ~ t h e ~ S u n } } } = { \frac { \mathrm { D i a m e t e r ~ o f ~ E a r t h ~ a r o u n d ~ t h e ~ S u n } } { \mathrm { ~ D i a m e t e r ~ o f ~ E a r t h } } }
\begin{array} { r l } { N _ { t } + ( U N ) _ { x } + U _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { U _ { t } + U U _ { x } + \frac { ( 1 + B ) B _ { x } } { 1 + N } } & { { } = 0 , } \\ { B - N - \left( \frac { B _ { x } } { 1 + N } \right) _ { x } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E } & { \left[ \varepsilon ^ { - 2 } f \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } \big ) , \theta \right) P _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) P _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } \\ { \xrightarrow { P } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } f \left( X _ { s } ^ { 0 } , H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) , \theta \right) \left[ \sigma \sigma ^ { \top } \right] ^ { i j } \left( X _ { s } ^ { 0 } , H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) , \beta _ { 0 } \right) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
{ \bf j } ^ { \uparrow } = \{ H _ { \mathrm { k i n } } , \rho ^ { \uparrow } \} = \frac { 1 } { i } \sum _ { k } { \frac { n _ { k } ^ { \uparrow } } { 2 } \left( \phi _ { k } ^ { \uparrow * } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow } - \phi _ { k } ^ { \uparrow } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow * } \right) } ,
\left\{ \begin{array} { l } { \begin{array} { r l r } & { \hat { \mathbf { d } } _ { f } = \hat { \mathbf { d } } _ { s } - \hat { \mathbf { d } } _ { s } ( t = t _ { 1 } ) , } & { \; \mathrm { o n } \; \hat { \Omega } \cap \cal S , } \\ & { \hat { \mathbf { d } } _ { f } = \mathbf { 0 } , } & { \; \mathrm { o n } \; \Gamma _ { 1 } ^ { f } \cup \Gamma _ { 2 } ^ { f } \cup \Gamma _ { 3 } ^ { f } . } \end{array} } \end{array} \right.
Z _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ \textit ~ { ~ \textcent ~ } ~ } } = \frac { \sum _ { c ^ { \prime } \neq c } \delta _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ \textit ~ { ~ \textcent ~ } ~ } , \mathrm { ~ \scriptsize ~ \textit ~ { ~ \textcent ~ } ~ } ^ { \prime } } ( S _ { c ^ { \prime } c } + S _ { c ^ { \prime } c } ^ { * } ) ( P _ { c ^ { \prime } } + P _ { c ^ { \prime } } ^ { * } ) \sum _ { c ^ { \prime } \neq c } ( S _ { c ^ { \prime } c } + S _ { c ^ { \prime } c } ^ { * } ) ( P _ { c ^ { \prime } } + P _ { c ^ { \prime } } ^ { * } ) } ,
\frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { \ell } } = \frac { 1 } { 8 \pi \mu r ^ { 5 } } \left( - 3 x _ { j } x _ { k } \delta _ { i \ell } S _ { j k } - 3 x _ { i } x _ { k } S _ { \ell k } - 3 x _ { i } x _ { j } S _ { j \ell } + \frac { 1 5 x _ { i } x _ { j } x _ { k } x _ { \ell } S _ { j k } } { r ^ { 2 } } \right) .
G _ { n } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) = \left< \Omega \right| T \phi _ { H } ( x _ { 1 } ) \dots \phi _ { H } ( x _ { n } ) \left| \Omega \right> = \frac { \left< 0 \right| T \phi _ { D } ( x _ { 1 } ) \dots \phi _ { D } ( x _ { n } ) \; { \cal { S } } \left| 0 \right> } { \left< 0 \right| { \cal { S } } \left| 0 \right> } .
\frac { \langle n \rangle } { V } = \frac { 1 } { V } \lambda \frac { \partial } { \partial \lambda } \ln Z \left[ \lambda , T \right] = \lambda \langle \mathrm { T r } g ^ { \dagger } \mathrm { T r } g - 1 \rangle \rightarrow \lambda \left| \left< \mathrm { T r } g \right> \right| ^ { 2 } + O ( N ^ { 0 } ) ~ ~ ( \mathrm { a s } ~ N \rightarrow \infty )
H ^ { 2 } r ^ { 2 } ( \tilde { \tau } ) = \frac { 1 } { H ^ { 2 } } \wp ( \tilde { \tau } - \tilde { \tau } _ { 0 } ; \; g _ { 2 } , \; g _ { 3 } ) + \frac { 2 } { 3 } ,
{ \bf Q } _ { 0 } = \frac { \partial { \bf q } _ { 0 } ^ { T } } { \partial \boldsymbol { \gamma } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad { \bf P } _ { 0 } = \frac { \partial { \bf p } _ { 0 } ^ { T } } { \partial \boldsymbol { \gamma } } \, .
\begin{array} { r l r } { G _ { \perp m } ^ { \prime } ( b ) } & { { } = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } x _ { \perp } ^ { m + 1 } \exp ( - x _ { \perp } ^ { 2 } ) J _ { 0 } \frac { \partial J _ { 0 } } { \partial l } d x _ { \perp } , } \\ { G _ { \perp m } ^ { \prime \prime } ( b ) } & { { } = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } x _ { \perp } ^ { m + 1 } \exp ( - x _ { \perp } ^ { 2 } ) \left( \frac { \partial J _ { 0 } } { \partial l } \right) ^ { 2 } d x _ { \perp } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { h } ^ { 1 , E _ { \mathrm { c u t } } } } & { ( u _ { h } , u _ { h } ) = \eta _ { E _ { \mathrm { c u t } } } \int _ { E _ { \mathrm { c u t } } } \nabla \cdot \left( \frac 1 2 \beta ( u _ { E _ { \mathrm { i n } } } - u _ { E _ { \mathrm { c u t } } } ) ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x } \\ & { = \eta _ { E _ { \mathrm { c u t } } } \int _ { \partial E _ { \mathrm { c u t } } } \left( \frac 1 2 \beta ( u _ { E _ { \mathrm { i n } } } - u _ { E _ { \mathrm { c u t } } } ) ^ { 2 } \right) \cdot n \: \mathrm { d } { s } } \\ & { = \eta _ { E _ { \mathrm { c u t } } } \int _ { e _ { \mathrm { o u t } } } \left( \frac 1 2 \beta _ { 2 } ( u _ { E _ { \mathrm { i n } } } - u _ { E _ { \mathrm { c u t } } } ) ^ { 2 } \right) \: \mathrm { d } { s } - \eta _ { E _ { \mathrm { c u t } } } \int _ { e _ { \mathrm { i n } } } \left( \frac 1 2 \beta _ { 1 } ( u _ { E _ { \mathrm { i n } } } - u _ { E _ { \mathrm { c u t } } } ) ^ { 2 } \right) \: \mathrm { d } { s } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { \Delta ^ { 1 } } } \\ { { \Delta ^ { 2 } } } \\ { { \Delta ^ { 3 } } } \end{array} \right) ( q , k ) | _ { \cal V } \simeq \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { - 6 } } \\ { { - 9 } } \end{array} \right) \ln \left( \frac { k } { q } \right) + ( S U ( 5 ) \, \, \, \mathrm { s y m m e t r i c } ) .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] = } & { \sum _ { X \neq \mathrm { A } } \int \int \frac { \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) \rho _ { X } ( \mathbf { r } _ { x } ) } { | \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } - \mathbf { r } _ { x } | } { \mathrm { d } } \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } { \mathrm { d } } \mathbf { r } _ { x } - \sum _ { X \neq \mathrm { A } } \sum _ { I \in \mathrm { A } } \int \frac { Z _ { I } \rho _ { X } ( \mathbf { r } _ { x } ) } { | \mathbf { R } _ { I } - \mathbf { r } _ { x } | } { \mathrm { d } } \mathbf { r } _ { x } } \\ & { - \sum _ { X \neq \mathrm { A } } \sum _ { J \in X } \int \frac { Z _ { J } \rho _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } { | \mathbf { R } _ { J } - \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } | } { \mathrm { d } } \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } + \sum _ { X \neq \mathrm { A } } \sum _ { I \in \mathrm { A } } \sum _ { J \in X } \frac { Z _ { I } Z _ { J } } { | \mathbf { R } _ { I } - \mathbf { R } _ { J } | } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { a } _ { \mathrm { t o t , B G } } ^ { \mathrm { J } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { a _ { \mathrm { t o t , 2 } } } & { \cdots } & { a _ { \mathrm { t o t } , N } } \end{array} \right] . } \end{array}
X = i g _ { s } \sum _ { \lambda \in \Delta _ { s } } x ( \lambda \cdot q , \xi ) E ( \lambda ) , \quad Y = i g _ { s } \sum _ { \lambda \in \Delta _ { s } } y ( \lambda \cdot q , \xi ) E ( \lambda ) , \quad E ( \lambda ) _ { \mu \nu } = \delta _ { \mu - \nu , \lambda } .
\prod _ { j = 1 } ^ { N } \Phi ( x _ { j } | \mu , \sigma ^ { 2 } ) \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - N / 2 } \exp \left\{ - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { ( x _ { j } - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right\} \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - N / 2 } \exp \left\{ - \frac { N ( \overline { { x } } - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right\} ,
\left. \begin{array} { r c l } { { { [ \! [ } \tau _ { p } ^ { ( m ) } , \tau _ { q } ^ { ( n ) } { ] \! ] } } } & { { = } } & { { - \tau _ { \{ p , q \} } ^ { ( m + n + 1 ) } \, , } } \\ { { { [ \! [ } \tau _ { p } ^ { ( m ) } , \tau ^ { ( n ) } { ] \! ] } } } & { { = } } & { { \phantom { - } m \, \tau _ { p } ^ { ( m + n + 1 ) } \, , } } \\ { { { [ \! [ } \tau ^ { ( m ) } , \tau ^ { ( n ) } { ] \! ] } } } & { { = } } & { { \phantom { - } ( m - n ) \, \tau ^ { ( m + n ) } } } \end{array} \right\} n = 0 , 1 , 2 , \ldots .
S _ { n } ^ { \mathrm { e m p } } = 0 . 7 5 \frac { \ln ( 0 . 7 8 \varepsilon ^ { 0 . 5 } + 1 ) } { ( 0 . 7 8 \varepsilon ^ { 0 . 5 } + 1 ) ^ { 2 } } ,
\overline { { G } } _ { 3 } V \overline { { G } } _ { 6 } V = { \frac { 1 1 \alpha n _ { c } } { 1 2 \pi } } \ln { \bigg ( 1 + { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 4 m _ { g } ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } } \bigg ) } \, .
W [ u _ { N } ] = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } g ( \phi ) \ln \sin ^ { 2 } ( { \frac { \phi - \phi ^ { \prime } } { 2 } } ) g ( \phi ^ { \prime } ) l d \phi l d \phi ^ { \prime }
\textbf { h } _ { m _ { 1 } m _ { 2 } } ^ { l _ { 1 } l _ { 2 } } \to \sum _ { m _ { 1 } ^ { \prime } , m _ { 2 } ^ { \prime } } D _ { m _ { 1 } m _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { l _ { 1 } } ( \textbf { R } ) D _ { m _ { 2 } m _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { l _ { 2 } } \textbf { h } _ { m _ { 1 } ^ { \prime } m _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { l _ { 1 } l _ { 2 } }
\delta _ { d } = - \frac { \omega } { 2 } \mathrm { I m } \left( \sqrt { 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega \left( \omega + \omega _ { c } \right) } } - \sqrt { 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega \left( \omega - \omega _ { c } \right) } } \right) .
\begin{array} { r l } { \dot { x } } & { { } = p _ { 1 } x + p _ { 2 } y } \\ { \dot { y } } & { { } = p _ { 3 } x + p _ { 4 } y + p _ { 5 } x z } \\ { \dot { z } } & { { } = p _ { 6 } z + p _ { 7 } x y \, . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { 1 ( x , y ) } } & { { : = } } & { { \delta _ { e } ( y ) } } \\ { { ( f _ { 1 } \bullet f _ { 2 } ) ( x , y ) } } & { { : = } } & { { \int _ { H } f _ { 1 } ( x , z ) \, f _ { 2 } ( z ^ { - 1 } x z , z ^ { - 1 } y ) \, d z } } \\ { { \epsilon ( f ) } } & { { : = } } & { { \int _ { H } f ( e , y ) \, d y } } \\ { { ( \Delta f ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } } & { { : = } } & { { f ( x _ { 1 } x _ { 2 } , y _ { 1 } ) \, \delta _ { y _ { 1 } } ( y _ { 2 } ) } } \\ { { ( S f ) ( x , y ) } } & { { : = } } & { { f ( y ^ { - 1 } x ^ { - 1 } y , y ^ { - 1 } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ C ] } & { = M _ { \alpha } \mathbb { E } [ \sigma _ { \alpha } ( U ) ^ { - 1 } ( S _ { 1 } \beta ) ^ { r + 1 } \exp ( \sigma _ { \alpha } ( U ) ( S _ { 1 } \beta _ { 1 } ) ^ { - r } ) ] \geqslant M _ { \alpha } \mathbb { E } [ \sigma _ { \alpha } ( U ) ^ { - 1 } ( S _ { 1 } \beta ) ^ { r + 1 } ] } \\ & { = M _ { \alpha } \mathbb { E } [ \sigma _ { \alpha } ( U ) ^ { - 1 } ] \mathbb { E } [ S _ { 1 } ^ { r + 1 } ] \mathbb { E } [ \beta ^ { r + 1 } ] } \end{array}
G _ { 2 i } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { 2 } \ v _ { 2 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } = \left\langle v _ { 2 } \hat { f } _ { i } ^ { e q } \right\rangle
\begin{array} { r l r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \P ( x ) \geq 0 } } & & { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } \P ( x ) } \\ & { \mathrm { s . t . } } & & { \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } \P ( x ) = 1 , \ \int _ { a } ^ { b } x \, \mathrm { d } \P ( x ) = \mu , \ \int _ { a } ^ { b } | x - \mu | \mathrm { d } \P ( x ) = \delta , } \end{array}
- \partial _ { \mathbf { p } } ( \widetilde { v _ { 1 } L } ) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \cdot \left( \tilde { \mathbf { p } } ^ { \ell + 1 } - \tilde { \mathbf { p } } ^ { \ell } \right) + \tilde { \mathbf { p } } ^ { \ell + 1 } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - \tilde { \mathbf { p } } ^ { \ell } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell } = \tilde { \mathbf { p } } ^ { \ell + 1 } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - \widetilde { v _ { 1 } L } ^ { \ell + 1 } - \tilde { \mathbf { p } } ^ { \ell } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell } + \widetilde { v _ { 1 } L } ^ { \ell } .
\begin{array} { r } { \dot { h } = \langle u _ { z } \rangle = \frac { 1 } { \pi R ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { R } u _ { z } ( r ) r \, d r d \varphi = \frac { G R ^ { 2 } } { 8 \eta } \left( 1 + \frac { 4 L } { R } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r i ) } } } & { { } ( \alpha ; \tau _ { 1 } ) = \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { \tau _ { \mathrm { m } } } F _ { n - 1 } [ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r i } } ( \tau _ { 1 } ; n ) ] d \tau _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } q _ { B , d } ( { \mathbf x } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \| { \mathbf x } \| ^ { 2 } / B ^ { 2 } } } \left( 2 I - \frac { 3 { \mathbf x } { \mathbf x } ^ { \top } } { B ^ { 2 } ( 1 + \| { \mathbf x } \| ^ { 2 } / B ^ { 2 } ) } - \frac { \| { \mathbf x } \| ^ { 2 } I } { B ^ { 2 } ( 1 + \| { \mathbf x } \| ^ { 2 } / B ^ { 2 } ) } + \frac { 2 \| { \mathbf x } \| ^ { 2 } { \mathbf x } { \mathbf x } ^ { \top } } { B ^ { 4 } ( 1 + \| { \mathbf x } \| ^ { 2 } / B ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) ~ . } \end{array}