\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \lambda \left( \Delta \xi \Delta \phi \right) _ { i + 1 / 2 , j } u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } } \\ & { = - i \alpha \Delta \phi _ { i + 1 / 2 , j } \bigg ( U _ { i , j } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 \_ i + 1 / 2 , j } + U _ { i + 1 , j } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j } \bigg ) u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j } ^ { ( k ) } } \\ & { - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \Delta \phi _ { i + 1 / 2 , j } \big ( p _ { i + 1 , j } ^ { ( k ) } - p _ { i , j } ^ { ( k ) } \big ) } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \bigg [ \left( \frac { \Delta \phi } { \Delta \xi } \right) _ { i + 1 , j } \bigg ( u _ { \xi \_ { i + 3 / 2 , j } } ^ { ( k ) } - u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } \bigg ) } \\ & { - \left( \frac { \Delta \phi } { \Delta \xi } \right) _ { i , j } \bigg ( u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } - u _ { \xi \_ { i - 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } \bigg ) \bigg ] } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \bigg [ \left( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \right) _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } \left( u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j + 1 } } ^ { ( k ) } - u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } \right) } \\ & { - \left( \frac { \Delta \xi } { \Delta \phi } \right) _ { i + 1 / 2 , j - 1 / 2 } \left( u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } - u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j - 1 } } ^ { ( k ) } \right) \bigg ] } \\ & { - \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \alpha ^ { 2 } \left( \Delta \xi \Delta \phi \right) _ { i + 1 / 2 , j } u _ { \xi \_ { i + 1 / 2 , j } } ^ { ( k ) } } \\ & { - \frac { 4 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \frac { \sin \phi _ { j } \Delta \phi _ { i + 1 / 2 , j } } { \sin \phi _ { 0 } } } \\ & { \bigg ( \frac { u _ { \phi \_ i + 1 , j - 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i + 1 , j + 1 / 2 \_ j } + u _ { \phi \_ i + 1 , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i + 1 , j \_ j - 1 / 2 } } { \Delta \phi _ { i + 1 , j } } } \\ & { - \frac { u _ { \phi \_ i , j - 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 \_ j } + u _ { \phi \_ i , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \phi _ { i , j \_ j - 1 / 2 } } { \Delta \phi _ { i , j } } \bigg ) } \\ & { + \frac { 4 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \frac { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } \sinh \xi _ { i + 1 / 2 } } { \sin \phi _ { 0 } } } \\ & { \bigg ( \frac { u _ { \phi \_ i , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 \_ i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } + u _ { \phi \_ i + 1 , j + 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j + 1 / 2 } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j + 1 / 2 } } } \\ & { - \frac { u _ { \phi \_ i , j - 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 \_ i + 1 / 2 , j - 1 / 2 } + u _ { \phi \_ i + 1 , j - 1 / 2 } ^ { ( k ) } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j - 1 / 2 } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j - 1 / 2 } } \bigg ) } \\ & { + \frac { 4 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \frac { \cos ^ { 2 } \phi _ { j } - \cosh ^ { 2 } \xi _ { i + 1 / 2 } } { \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } } \left( \Delta \xi \Delta \phi \right) _ { i + 1 / 2 , j } u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j } ^ { ( k ) } . } \end{array} } \end{array}