harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { H } { p } w w ^ { \prime } \Bigg | _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } = \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } d r \, \Bigg \{ \frac { H } { p } ( w ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac { p } { H } u ^ { 2 } w ^ { 2 } - \frac { 1 } { p r ^ { 2 } } w ^ { 2 } ( 1 - w ^ { 2 } ) \Bigg \} ~ ~ .
f ( \alpha ) = \alpha ^ { n } + \cfrac { a _ { n - 1 } } { b _ { n - 1 } } \alpha ^ { n - 1 } + \dots + \cfrac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \alpha + \cfrac { a _ { 0 } } { b _ { 0 } } = 0 \implies D ^ { n } f ( \alpha ) = D ^ { n } \alpha ^ { n } + D ^ { n } \cfrac { a _ { n - 1 } } { b _ { n - 1 } } \alpha ^ { n - 1 } + \dots + D ^ { n } \cfrac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \alpha + D ^ { n } \cfrac { a _ { 0 } } { b _ { 0 } } = 0
\begin{array} { r l } { \left( x _ { i } c \shuffle x _ { j } d \right) \triangleleft h } & { = \left( x _ { i } \left( c \shuffle x _ { j } d \right) \triangleleft h \right) + \left( x _ { j } \left( x _ { i } c \shuffle d \right) \triangleleft h \right) } \\ & { = x _ { i } \left( \left( c \shuffle x _ { j } d \right) \triangleleft h \right) + g ( x _ { i } ) \left( \left( c \shuffle x _ { j } d \right) \shuffle _ { i } h \right) } \\ & { \quad + x _ { j } \left( \left( x _ { i } c \shuffle d \right) \triangleleft h \right) + g ( x _ { j } ) \left( \left( x _ { i } c \shuffle d \right) \shuffle _ { j } h \right) } \\ & { = x _ { i } \left( \left( c \triangleleft h \right) \shuffle x _ { j } d + c \shuffle \left( x _ { j } d \triangleleft h \right) \right) + x _ { j } \left( \left( x _ { i } c \triangleleft h \right) \shuffle d + x _ { i } c \shuffle \left( d \triangleleft h \right) \right) } \\ & { \quad \quad + g ( x _ { i } ) \left( \left( c \shuffle x _ { j } d \right) \shuffle _ { i } h \right) + g ( x _ { j } ) \left( \left( x _ { i } c \shuffle d \right) \shuffle _ { j } h \right) } \\ & { = x _ { i } \left( \left( c \triangleleft h \right) \shuffle x _ { j } d \right) + x _ { j } \left( x _ { i } \left( c \triangleleft h \right) \shuffle d \right) } \\ & { \quad \quad + g ( x _ { i } ) \left( \left( c \shuffle _ { i } h \right) \shuffle x _ { j } d \right) + x _ { j } \left( g ( x _ { i } ) \left( c \shuffle _ { i } h \right) \shuffle d \right) } \\ & { \quad x _ { i } \left( c \shuffle x _ { j } \left( d \triangleleft h \right) \right) + x _ { j } \left( x _ { i } c \shuffle \left( d \triangleleft h \right) \right) } \\ & { \quad \quad + x _ { i } \left( g ( x _ { j } ) \left( d \shuffle _ { j } h \right) \right) + g ( x _ { j } ) \left( x _ { i } c \shuffle \left( d \shuffle _ { j } h \right) \right) } \\ & { = \left( x _ { i } c \triangleleft h \right) \shuffle x _ { j } d + x _ { i } c \shuffle \left( x _ { j } d \triangleleft h \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \mathrm { s c } } \frac { d \mathbf r _ { 1 } \cdots d \mathbf r _ { N _ { \mathrm { i m p } } } } { \Omega _ { \mathrm { s c } } ^ { N _ { \mathrm { i m p } } ^ { \mathrm { s c } } } } { \sum } _ { I , J = 1 } ^ { N _ { \mathrm { i m p } } ^ { \mathrm { s c } } } e ^ { i ( \mathbf Q ^ { \prime } \cdot \mathbf r _ { J } - \mathbf Q \cdot \mathbf r _ { I } ) } } \\ & { } & { = N _ { \mathrm { i m p } } ^ { \mathrm { s c } } \, \delta _ { \mathbf G , \mathbf G ^ { \prime } } + N _ { \mathrm { i m p } } ^ { \mathrm { s c } } ( N _ { \mathrm { i m p } } ^ { \mathrm { s c } } - 1 ) \, \delta _ { \mathbf G , - \mathbf q } \delta _ { \mathbf G ^ { \prime } , - \mathbf q } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { X } _ { \mathrm { n , e } } } & { = \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } \mathbb { E } [ | \sum _ { n = 1 } ^ { N } \beta _ { n } \mathrm { e } ^ { \jmath \theta _ { n } } \tilde { h } _ { n } | ^ { 2 } ] } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \beta _ { n } ^ { 2 } ( \eta - \varepsilon _ { n } ) , } \end{array}
b _ { i } = ( \frac { 3 3 } { 5 } , 1 , - 3 ) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \tilde { b } _ { i } = ( \frac { 3 } { 5 } , - 3 , - 6 ) + \eta ( 4 , 4 , 4 ) \, \, \, ,
\Gamma ( \bar { D } ^ { 0 } ( t ) \to K ^ { - } \pi ^ { + } ) = { \frac { e ^ { - \Gamma t } } { 4 } } | \bar { B } | ^ { 2 } | { \frac { p } { q } } | ^ { 2 } \{ 4 | \bar { \lambda } | ^ { 2 } + ( { \Delta M } ^ { 2 } + { \frac { { \Delta \Gamma } ^ { 2 } } { 4 } } ) t ^ { 2 } + 2 R e ( \bar { \lambda } ) \Delta \Gamma t + 4 I m ( \bar { \lambda } ) \Delta M t \}
\begin{array} { r } { \bar { \Delta } _ { 0 } = \operatorname* { l i m } _ { W \to \infty } \frac { \sum _ { w = 1 } ^ { W } A _ { w } } { \sum _ { w = 1 } ^ { W } I _ { w } } = \frac { \mathbb { E } [ \sum _ { i = 1 } ^ { I } i ] } { \mathbb { E } [ I ] } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { \mathbb { E } [ I ^ { 2 } ] } { \mathbb { E } [ I ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \left( \| \hat { q } _ { l ^ { * } } - q ^ { * } \| _ { \infty } \leq 2 ^ { - l ^ { * } } b \right) } & { \geq P \left( \| \hat { q } _ { 0 } - q ^ { * } \| _ { \infty } \leq b \right) \left( 1 - \frac { \delta } { l ^ { \prime } } \right) ^ { l ^ { \prime } - 1 } } \\ & { \geq \left( 1 - \frac { \delta } { l ^ { \prime } } \right) ^ { l ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \bar { x } _ { \alpha } | } & { \leq | x _ { \alpha } | + | \bar { x } _ { \alpha } - x _ { \alpha } | } \\ & { \leq 1 - \rho c _ { \alpha } / 2 + \epsilon _ { P } / 2 < 1 - \rho c _ { \alpha } / 2 + \epsilon _ { P } , } \\ { \bar { x } _ { \alpha } } & { = x _ { \alpha } + ( \bar { x } _ { \alpha } - x _ { \alpha } ) } \\ & { \geq _ { 1 } - 1 + \rho c _ { \leq \alpha } - | \bar { x } _ { \alpha } - x _ { \alpha } | } \\ & { \geq - 1 + \rho c _ { \leq \alpha } - \epsilon _ { P } / 2 > - 1 + \rho c _ { \leq \alpha } - \epsilon _ { P } , } \\ { \bar { x } _ { \alpha } } & { \leq x _ { \alpha } + ( \bar { x } _ { \alpha } - x _ { \alpha } ) } \\ & { \leq _ { 1 } 1 - \rho c _ { \geq \alpha } + | \bar { x } _ { \alpha } - x _ { \alpha } | } \\ & { \leq 1 - \rho c _ { \geq \alpha } + \epsilon _ { P } / 2 < 1 - \rho c _ { \geq \alpha } + \epsilon _ { P } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 - e ^ { - s } - \left( 1 - ( 1 - e ^ { - s } ) \rho \right) - 3 e ^ { - s } \left( 1 - ( 1 - e ^ { - s } ) \rho \right) } & { = } & { 0 } \\ { - e ^ { - s } + \rho - \rho e ^ { - s } - 3 e ^ { - s } + 3 \rho e ^ { - s } - 3 \rho e ^ { - 2 s } } & { = } & { 0 } \\ { - 3 \rho e ^ { - 2 s } + \left( 2 \rho - 4 \right) e ^ { - s } + \rho } & { = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { e } _ { i } - \hat { \mathbf { b } } _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \| \mathbf { A } ^ { - 1 } ( \mathbf { e } _ { i } - \mathbf { A } \hat { \mathbf { b } } _ { i } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leqslant \| \mathbf { A } ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \cdot \| \mathbf { e } _ { i } - \mathbf { A } \hat { \mathbf { b } } _ { i } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \overset { \sharp } { \leqslant } \| \mathbf { A } ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \cdot \left( \frac { \epsilon } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } ( \mathbf { A } ) } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { m i n } } ( \mathbf { A } ) ^ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ^ { \prime } \left( \tau \right) } { \partial \tau } } & { { } - \left[ - E _ { \Vert } \left( t _ { f i n a l } - \tau \right) \xi - \frac { 1 + p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right] \frac { \partial P ^ { \prime } \left( t \right) } { \partial p } + \left( \frac { 1 - \xi ^ { 2 } } { p } \right) E _ { \Vert } \left( t _ { f i n a l } - \tau \right) \frac { \partial P ^ { \prime } \left( \tau \right) } { \partial \xi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { I } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } b B _ { 0 } } \int \frac { P _ { x x } ^ { 2 D } ( { \bf k } _ { \perp } ) } { k _ { \perp } } \mathrm { e r f } \left( \frac { b k _ { \perp } } { 2 B _ { 0 } } z \right) d { \bf k } _ { \perp } } \\ { \dot { J } _ { x } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } B _ { 0 } ^ { 2 } } \int \frac { P _ { x x } ^ { 2 D } ( { \bf k } _ { \perp } ) \cos ( k _ { x } X _ { 0 } ) } { \sqrt { ( b k _ { \perp } / B _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) } } } \\ & { } & { \times \exp \left( - \frac { ( b k _ { \perp } / B _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) z ^ { 2 } } { 2 ( b k _ { \perp } / B _ { 0 } ) ^ { 2 } + 4 ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) } \right) } \\ & { } & { \times \left[ \mathrm { e r f } \left( \frac { ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) z } { \sqrt { ( b k _ { \perp } / B _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) } } \right) \right. } \\ & { } & { + \left. \mathrm { e r f } \left( \frac { ( 1 / 2 ) ( b k _ { \perp } / B _ { 0 } ) ^ { 2 } z } { \sqrt { ( b k _ { \perp } / B _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) } } \right) \right] d { \bf k } _ { \perp } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { } ^ { 2 } R ^ { i j ; k l } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 2 \epsilon } \frac { d } { d J _ { n } ^ { i j ; k l } } \langle \Psi | \mathrm { e } ^ { \epsilon \hat { J } _ { n } ^ { \dagger } } ( \hat { H } - E ) \mathrm { e } ^ { \epsilon \hat { J } _ { n } } | \Psi \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| \xi \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } = } & { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \Big ( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } \xi ^ { \prime } ( s ) d s + \xi ( t _ { n - 1 } ) \Big ) ^ { 2 } d t \leq 2 \displaystyle \int _ { I _ { n } } \Big ( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } \xi ^ { \prime } ( s ) d s \Big ) ^ { 2 } d t + 2 k _ { n } | \xi ( t _ { n - 1 } ) | ^ { 2 } } \\ { \leq } & { 2 \displaystyle \int _ { I _ { n } } ( t - t _ { n - 1 } ) \Big ( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } | \xi ^ { \prime } ( s ) | ^ { 2 } d s \Big ) d t + 2 k _ { n } | \xi ( t _ { n - 1 } ) | ^ { 2 } } \\ { \leq } & { k _ { n } ^ { 2 } \| \xi ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } + 2 k _ { n } | \xi ( t _ { n - 1 } ) | ^ { 2 } . } \end{array} } \end{array}
S _ { \tilde { \Phi } } = \left[ \begin{array} { c c c } { 1 + \alpha _ { 1 } ^ { 2 } \quad \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \quad . . . \quad \alpha _ { 1 } \alpha _ { n } } \\ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \quad 1 + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \quad . . . \quad \alpha _ { 2 } \alpha _ { n } } \\ { . } \\ { . } \\ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { n } \quad \alpha _ { 2 } \alpha _ { n } \quad . . . \quad 1 + \alpha _ { n } ^ { 2 } } \end{array} \right]
I _ { 2 2 } ^ { b } ( y , a , b , d ) = - \frac { 1 } { a b ^ { d - 3 } } \sum _ { k = 0 } ^ { k < \frac { d - 4 } { 2 } } C ^ { ( 2 ) } ( d , k ) ( \frac { b } { a } ) ^ { 2 k } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { 2 k } \int _ { 0 } ^ { \frac { n \pi b } { a } } d u \, u ^ { d - 4 - 2 k } ( \coth u - 1 ) \cosh ( \frac { 2 u y } { b } ) .
\bar { P } ( k ) = P _ { 0 } \int r \; \ensuremath { \operatorname { d } \! { } r \d { } } \phi \ e ^ { - i k r \cos \phi } \theta ( r _ { 0 } - r ) = 2 \pi P _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 2 } \frac { J _ { 1 } ( k r _ { 0 } ) } { k r _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } = \partial _ { x } \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } + g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \\ & { \tilde { u } _ { n } ( x , t ) = \frac { 1 } { n } , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega } \\ & { \tilde { u } _ { n } ( x , 0 ) = \varphi _ { 0 } ( x ) + \frac { 1 } { n } , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega } \end{array}
\mathcal { H } _ { k i n } ^ { ( 2 ) } = - t _ { b } \sum _ { \left\langle i j \right\rangle } \big ( S _ { i { + } } ^ { 2 } S _ { j { - } } ^ { 2 } + S _ { j { + } } ^ { 2 } S _ { i { - } } ^ { 2 } \big ) ,
\begin{array} { r l } { p r o x _ { \frac { 1 } { \rho } g } ( \textbf { x } ) } & { = \textbf { x } - \textbf { R } ^ { H } ( \textbf { R } \textbf { R } ^ { H } ) ^ { - 1 } ( \textbf { R } \textbf { x } - \textbf { y } ) } \\ & { = \textbf { x } - \textbf { R } ^ { H } ( \textbf { R } \textbf { x } - \textbf { y } ) } \\ & { = \tilde { \textbf { y } } + ( \textbf { I } - \tilde { \textbf { R } } ) \textbf { x } , } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { w _ { 1 } } & { 0 } & { t - g } & { i \Delta } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & \\ { 0 } & { w _ { 1 } } & { i \Delta } & { t + g } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & \\ { t + g } & { - i \Delta } & { w _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & \\ { - i \Delta } & { t - g } & { 0 } & { w _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { w _ { L - 1 } } & { 0 } & { t - g } & { i \Delta } & \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { w _ { L - 1 } } & { i \Delta } & { t + g } & \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { t + g } & { - i \Delta } & { w _ { L } } & { 0 } & \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - i \Delta } & { t - g } & { 0 } & { w _ { L } } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathbb { B } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \alpha } \cos ( \theta ) } & { - i e ^ { i ( \alpha - \phi ) } \sin ( \theta ) } \\ { 0 } & { 0 } & { - i e ^ { i ( \alpha + \phi ) } \sin ( \theta ) } & { e ^ { i \alpha } \cos ( \theta ) } \end{array} \right)
\frac { \operatorname * { d e t } ^ { \prime } ( - \partial _ { \tau } ^ { 2 } + V ^ { \prime \prime } ) } { \operatorname * { d e t } ( - \partial _ { \tau } ^ { 2 } + \omega _ { + } ^ { 2 } ) } = \frac { e ^ { ( \omega _ { - } - \omega _ { + } ) ( T / 2 - \tau _ { I } ) } } { 2 \omega _ { - } F _ { + } F _ { - } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau F ^ { 2 } ( \tau ) .
\begin{array} { r } { \mathbb { S } _ { \textrm { I } } = ( T , \nabla T ) , \quad \mathbb { S } _ { \textrm { I I } } = ( \alpha , T , \nabla \alpha ) , \quad \mathbb { S } _ { \textrm { I I I } } = ( \alpha , T , \nabla \alpha , \nabla T ) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \frac { m _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ t ~ o ~ t ~ } } } { \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ o ~ } } } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { \nu _ { \mathrm { ~ l ~ } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - U } & { 0 } & { \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { - 4 U } { \pi } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { 2 } - D _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } ^ { 2 } + d _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } ^ { 2 } } \\ { \frac { - 4 } { \pi } } & { 0 } & { 0 } & { d _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { 2 } } & { - d _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V _ { \mathrm { ~ l ~ } } } \\ { n _ { \mathrm { ~ l ~ } } } \\ { n _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \\ { L _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \\ { L _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } } \end{array} \right]
\frac { \tilde { \mathcal { Z } } _ { R } ^ { [ i ] } } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { L } ^ { [ i ] } } = \frac { \gamma } { \gamma - \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \tilde { \lambda } _ { \mathcal { Z } } ^ { [ i ] } - D ( \tilde { \lambda } _ { \mathcal { Z } } ^ { [ i ] } ) ^ { 2 } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \tilde { \mathcal { D } } _ { R } ^ { [ i ] } = \tilde { \mathcal { D } } _ { L } ^ { [ i ] } .
\begin{array} { r } { - \theta _ { 0 } ^ { \prime \prime } + f ^ { \prime } ( \theta _ { 0 } ) = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ensuremath { \mathbb { R } } , \qquad \operatorname* { l i m } _ { \rho \to \pm \infty } \theta _ { 0 } ( \rho ) = \pm 1 , \qquad \theta _ { 0 } ( 0 ) = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \beta f = } & { { \frac { 1 } { 4 } } \beta ^ { 2 } J ^ { 2 } q ^ { r } - { \frac { 1 } { 2 } } r \beta ^ { 2 } J ^ { 2 } q ^ { r } - { \frac { 1 } { 4 } } \beta ^ { 2 } J ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \beta J _ { 0 } r m ^ { r } + { \frac { 1 } { 4 { \sqrt { 2 \pi } } } } r \beta ^ { 2 } J ^ { 2 } q ^ { r - 1 } + } \\ & { \int \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } z ^ { 2 } \right) \log \left( 2 \cosh \left( \beta J z { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } r q ^ { r - 1 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \beta J _ { 0 } r m ^ { r - 1 } \right) \right) \, \mathrm { d } z } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } ; x _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \sum _ { k \in P _ { F } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } ( k \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 4 } ( k \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ) ^ { 4 } + O ( | k | ^ { 6 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 6 } ) \right) } \\ & { = \rho - \frac { 1 } { 2 L ^ { 3 } } \sum _ { k \in P _ { F } } \left[ | k ^ { 1 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 1 } | ^ { 2 } + | k ^ { 2 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 2 } | ^ { 2 } + | k ^ { 3 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 3 } | ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 4 L ^ { 3 } } \left( \sum _ { k \in P _ { F } } \left[ | k ^ { 1 } | ^ { 4 } | x _ { 1 2 } ^ { 1 } | ^ { 4 } + | k ^ { 2 } | ^ { 4 } | x _ { 1 2 } ^ { 2 } | ^ { 4 } + | k ^ { 3 } | ^ { 4 } | x _ { 1 2 } ^ { 3 } | ^ { 4 } \right] \right. } \\ & { \qquad \left. + 6 \sum _ { k \in P _ { F } } \left[ | k ^ { 1 } | ^ { 2 } | k ^ { 2 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 1 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 2 } | ^ { 2 } + | k ^ { 1 } | ^ { 2 } | k ^ { 3 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 1 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 3 } | ^ { 2 } + | k ^ { 2 } | ^ { 2 } | k ^ { 3 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 2 } | ^ { 2 } | x _ { 1 2 } ^ { 3 } | ^ { 2 } \right] \right) } \\ & { \quad + O ( \rho ^ { 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 6 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ) ^ { n } \left[ \frac { G _ { n } ^ { ( 1 ) } - \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) d t } { x ^ { \sigma _ { 0 } f ( x ) } } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { p } = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \Big ( \frac { 2 } { d } \Big ) ^ { l } \Big ( \frac { 1 } { d } \Big ) \Big ( \frac { 1 } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Gamma ( a _ { j } + 1 ) } \Big ) \Gamma \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { a _ { j } } { 2 } + \frac { l + 1 } { 2 } \Big ) \Gamma \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { a _ { j } } { 2 } + \frac { l } { 2 } + 1 \Big ) \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Big ( \frac { R _ { j } } { d } \Big ) ^ { a _ { j } } } \\ { \times F _ { c } \Bigg ( \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { a _ { j } } { 2 } + \frac { l + 1 } { 2 } \Big ) , \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { a _ { j } } { 2 } + \frac { l } { 2 } + 1 \Big ) ; ( 1 + a _ { 1 } ) , \cdots , ( 1 + a _ { N } ) ; - \Big ( \frac { R _ { 1 } } { d } \Big ) ^ { 2 } , \cdots , - \Big ( \frac { R _ { N } } { d } \Big ) ^ { 2 } \Bigg ) } \end{array}
A ( t ) = \sqrt { \frac { \gamma } { \pi \sigma ^ { 2 } ( 1 - \exp [ - 2 \gamma t ] ) } } , \quad L ( t ) = \bigg ( \frac { \gamma } { \sigma ^ { 2 } ( 1 - \exp [ - 2 \gamma t ] ) } \bigg ) ^ { - 1 / 2 } , \quad c ( t ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { j } ^ { t + 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \Lambda _ { j } ^ { t } + \beta _ { 1 } \left( u _ { j } ^ { t + 1 } - \mathcal { F } ( \omega ^ { t + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t + 1 } ) \right) , \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \in n ^ { t } , } \\ { \Lambda _ { j } ^ { t } , \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \not \in n ^ { t } , } \end{array} \right. \; \forall j = 1 , \ldots , N , } \\ { y ^ { t + 1 } } & { = y ^ { t } + \beta _ { 2 } \left( v ^ { t + 1 } - \nabla z ^ { t + 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cos ( X + P ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ( \sqrt { 2 } [ X \cos ( \frac { 2 \pi } { 8 } ) + P \sin ( \frac { 2 \pi } { 8 } ) ] ) + } \\ { \cos ( X - P ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ( \sqrt { 2 } [ X \cos ( \frac { 1 4 \pi } { 8 } ) + P \sin ( \frac { 1 4 \pi } { 8 } ) ] ) + } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { \frac { \cos ^ { 2 } \sqrt { E } L - M ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \sqrt { E } L } { \cos ^ { 2 } \sqrt { E } L + M ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \sqrt { E } L } } & { = } & { \frac { - a } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \, , } \\ { \frac { M \sin 2 \sqrt { E } L } { \cos ^ { 2 } \sqrt { E } L + M ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \sqrt { E } L } } & { = } & { \frac { - b } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \, . } \end{array} \right.
S _ { e f f } = \Gamma ^ { \alpha \beta } \, h _ { \alpha \beta } \left( 0 \right) + \frac 1 2 \int d ^ { 4 } k \ \Pi ^ { \mu \nu , \, \alpha \beta } \left( k \right) \ h _ { \mu \nu } \left( k \right) \ h _ { \alpha \beta } \left( - k \right) + \cdots \ ,
\mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = ( _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \frac { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \textup { d e t } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) ) } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) + ( _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) .
\operatorname* { l i m } _ { i _ { h } \to \infty } \int _ { [ 0 , 1 ] } g _ { j } ( \alpha ) \; \mathrm { d } [ \mathfrak { m } _ { k , m + 1 } ^ { + , i _ { h } } - ( 1 - \alpha ) \; \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + , i _ { h } } ] = - \operatorname* { l i m } _ { i _ { h } \to \infty } \int _ { [ 0 , 1 ] } g _ { j } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \mathfrak { p } _ { k , m } ^ { + , i _ { h } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\langle f \right\vert N \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) \psi \left( x \right) \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) \psi \left( y \right) \right] \left\vert i \right\rangle = } \\ & { } & { \sqrt { 2 E _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } } \sqrt { 2 E _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } } \left\langle 0 \right\vert a _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } ^ { r ^ { \prime } } a _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] e ^ { - i q \cdot x } \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] e ^ { - i p \cdot y } \left\vert 0 \right\rangle - } \\ & { } & { \sqrt { 2 E _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } } \sqrt { 2 E _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } } \left\langle 0 \right\vert a _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } ^ { r ^ { \prime } } a _ { \mathbf { p } ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] e ^ { - i p \cdot x } \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] e ^ { - i q \cdot y } \left\vert 0 \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { = \mathrm { ( p o w e r ~ o f ~ m o m e n t u m ~ i n ~ n u m e r a t o r ) - ~ ( p o w e r ~ o f ~ m o m e n t u m ~ i n ~ d e m o n i n a t o r ~ ) } } \\ & { = D L - ( 2 N _ { \mathrm { B } } + 4 N _ { \mathrm { B } } n ) - ( 2 N _ { \mathrm { H } } + 4 N _ { \mathrm { H } } n ) - ( N _ { f } + 2 N _ { f } n ) } \\ & { = D L - ( 2 N _ { \mathrm { B } } + 2 N _ { \mathrm { H } } + N _ { f } ) - 2 n ( 2 N _ { \mathrm { B } } + 2 N _ { \mathrm { H } } + N _ { f } ) } \\ & { = D L - ( 2 n + 1 ) ( 2 N _ { \mathrm { B } } + 2 N _ { \mathrm { H } } + N _ { f } ) \, . } \end{array}