harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { = ( 1 \ 2 \ 3 \ 4 ) ( 5 \ 6 \ 7 \ 8 ) ( 9 \ 1 0 \ 1 1 \ 1 2 ) ( 1 3 \ 1 4 \ 1 5 \ 1 6 ) \; , } \\ { p _ { 2 } } & { = ( 1 \ 2 ) ( 5 \ 6 ) ( 9 \ 1 0 ) ( 1 3 \ 1 4 ) \; , } \\ { p _ { 3 } } & { = ( 1 \ 6 \ 1 3 ) ( 2 \ 8 ) ( 3 \ 9 \ 1 2 \ 5 \ 1 5 \ 1 4 ) ( 4 \ 1 1 \ 7 ) \; , } \\ { p _ { 4 } } & { = ( 1 \ 9 \ 1 6 \ 1 5 \ 5 \ 7 \ 4 \ 8 \ 1 0 \ 6 \ 1 3 \ 2 \ 3 \ 1 4 \ 1 2 ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { \theta } \mid \mathbf { E } , \mathbf { \alpha } ) } & { { } = { \frac { p ( \mathbf { E } \mid \mathbf { \theta } , \mathbf { \alpha } ) } { p ( \mathbf { E } \mid \mathbf { \alpha } ) } } \cdot p ( \mathbf { \theta } \mid \mathbf { \alpha } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { L } ^ { S } \left( \theta ( \rho _ { L } ^ { R } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ( \mathbf { 1 } _ { L } \otimes \varphi _ { t t t } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ( l \otimes r \otimes r ^ { \prime } \otimes n ) \otimes l ^ { \prime } \right) \otimes m } \\ { = \lambda _ { L } ^ { S } \left( \theta ( \rho _ { L } ^ { R } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ( l \otimes r r ^ { \prime } \otimes n ) \otimes l ^ { \prime } \right) \otimes m = \lambda _ { L } ^ { S } \left( \theta ( l r r ^ { \prime } \otimes n ) \otimes l ^ { \prime } \right) \otimes m } \\ { = \theta ( l r r ^ { \prime } \otimes n ) l ^ { \prime } \otimes m = l r r ^ { \prime } \zeta ( n \otimes l ^ { \prime } ) \otimes m = l \otimes r r ^ { \prime } \zeta ( n \otimes l ^ { \prime } ) m } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { { 2 ( { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf 3 } , { \bf 2 } ) _ { 1 / 3 } } } & { { ( { \bf 3 } , { \bf 1 } , { \bf 3 } , { \bf 2 } ) _ { 1 / 3 } } } & { { 2 ( { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf 2 } ) _ { - 1 } } } & { { ( { \bf 3 } , { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf 2 } ) _ { - 1 } } } \\ { { ( u , d ) _ { L } , ( c , s ) _ { L } } } & { { } } & { { ( \nu _ { e } , e ) _ { L } , ( \nu _ { \mu } , \mu ) _ { L } } } & { { } } \\ { { 2 ( { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf \overline { { { 3 } } } } , { \bf 1 } ) _ { - 4 / 3 } } } & { { ( { \bf \overline { { { 3 } } } } , { \bf 1 } , { \bf \overline { { { 3 } } } } , { \bf 1 } ) _ { - 4 / 3 } } } & { { } } \\ { { u _ { R } ^ { c } , c _ { R } ^ { c } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 2 ( { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf \overline { { { 3 } } } } , { \bf 1 } ) _ { 2 / 3 } } } & { { ( { \bf \overline { { { 3 } } } } , { \bf 1 } , { \bf \overline { { { 3 } } } } , { \bf 1 } ) _ { 2 / 3 } } } & { { 2 ( { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf 1 } ) _ { 2 } } } & { { ( { \bf \overline { { { 3 } } } } , { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf 1 } ) _ { 2 } } } \\ { { d _ { R } ^ { c } , s _ { R } ^ { c } } } & { { } } & { { e _ { R } ^ { c } , \mu _ { R } ^ { c } } } & { { } } \end{array}
{ \frac { \pi \varepsilon \ell } { \operatorname { a r c o s h } \left( { \frac { d } { 2 a } } \right) } } = { \frac { \pi \varepsilon \ell } { \ln \left( { \frac { d } { 2 a } } + { \sqrt { { \frac { d ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } } - 1 } } \right) } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 8 } ( x , t ) } & { = + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 4 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { \times \left( \frac { 1 - \exp ( - C ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) t ) } { ( C \sigma _ { i } - \frac { k } { \xi } ) ( C ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } , \dots , a _ { n } ) } & { { } \! = \! } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d ^ { n } { \bf x } \, f ( { \bf x } ) \, \prod _ { i = 1 } ^ { n } \pi ( x _ { i } , a _ { i } ) \ = \ \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( 2 a _ { i } ) ^ { - 1 } \! \int _ { - a _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } d x _ { 1 } \dots \int _ { - a _ { n } } ^ { a _ { n } } d x _ { n } \, f ( \tilde { \bf x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { \leftarrow } } & { { } = \mathcal { M } _ { T } - \mathcal { M } _ { \mathcal { R } } \mathcal { M } _ { T } ^ { - 1 } \mathcal { M } _ { \mathcal { R } } , } \\ { \mathcal { R } _ { \rightarrow } } & { { } = - \mathcal { M } _ { \mathcal { T } } ^ { - 1 } \mathcal { M } _ { \mathcal { R } } . } \end{array}
p _ { m a x } - p _ { g a s } \simeq \frac { 1 } { 2 } \, \tilde { v } _ { j e t } ^ { 2 } \quad \mathrm { w i t h } \quad \tilde { v } _ { j e t } = v _ { z } ( r = 0 , z = z _ { j e t } + r _ { j e t } ) - \frac { d z _ { j e t } } { d \tau } \,
V ( H _ { t } , H _ { \chi } ) = \frac { \lambda } { 2 } \left[ ( H _ { t } ^ { \dagger } H _ { t } ) ^ { 2 } + ( H _ { \chi } ^ { \dagger } H _ { \chi } ) ^ { 2 } + 2 | H _ { t } ^ { \dagger } H _ { \chi } | ^ { 2 } \right] + M _ { H _ { t } } ^ { 2 } H _ { t } ^ { \dagger } H _ { t } + M _ { H _ { \chi } } ^ { 2 } H _ { \chi } ^ { \dagger } H _ { \chi } + \mu _ { \chi \chi } \mu _ { \chi t } \left( H _ { t } ^ { \dagger } H _ { \chi } + \mathrm { h . c . } \right) ~ .
\mathbf { A } \mathbf { x } = { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 1 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \tau } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( \tau ) } & { { } = } & { - E _ { q - 1 } ^ { \{ n \} } ( \tau ) . } \\ { \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( \tau ^ { \prime } ) } & { { } = } & { E _ { q + 1 } ^ { \{ n \} } ( 0 ) - E _ { q + 1 } ^ { \{ n \} } ( \tau ) , } \\ { E _ { q } ^ { \{ n \} } ( 0 ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { q - 1 } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad q = 0 , 2 , 4 , . . . } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( 0 ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { q - 1 } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad q = 3 , 5 , . . . } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \, \tau ^ { \prime } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( \tau ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { q + 1 } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad q = 0 , 2 , 4 , . . . } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \, \tau ^ { \prime } E _ { q } ^ { \{ n \} } ( \tau ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { q + 1 } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad q = 1 , 3 , 5 , . . . } \end{array}
{ \cal L } = \cdots - \frac { g } { 2 m _ { W } } \sum _ { a , b } \sum _ { i , j , k , l } a _ { i } ^ { * } v _ { j } \lambda _ { i j k l } \left( v _ { k } ^ { * } b _ { l } + b _ { k } ^ { * } v _ { l } \right) G ^ { + } S _ { a } ^ { - } S _ { b } ^ { 0 } + \mathrm { H . c . }
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { ~ A ~ r ~ e ~ a ~ } } = \eta A , } \\ { V _ { \mathrm { ~ L ~ i ~ n ~ e ~ } } = \eta ^ { 2 } L , } \\ { V _ { \mathrm { ~ P ~ o ~ i ~ n ~ t ~ } } = \eta ^ { 3 } P . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ^ { \gamma } } & { ( x ) - V ^ { \gamma } ( y ) = \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \| e ^ { \gamma s } T _ { s } x \| _ { X } - \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \| e ^ { \gamma s } T _ { s } y \| _ { X } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \big ( \| e ^ { \gamma s } T _ { s } x \| _ { X } - \| e ^ { \gamma s } T _ { s } y \| _ { X } \big ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \big | \| e ^ { \gamma s } T _ { s } x \| _ { X } - \| e ^ { \gamma s } T _ { s } y \| _ { X } \big | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { s \geq 0 } \| e ^ { \gamma s } T _ { s } ( x - y ) \| _ { X } \leq M \| x - y \| _ { X } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { x } \left( \frac { w _ { 1 } } { w _ { 0 } } \right) } & { { } = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } r \left( a _ { x } ^ { 2 } - ( a _ { x } ^ { \dag } ) ^ { 2 } \right) \right] , } \\ { r } & { { } = - \log \left[ \frac { w _ { 1 } } { w _ { 0 } } \right] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \begin{array} { r l } & { E _ { 1 \mp 2 } ^ { c } = + \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \sin i \left( \cos i \mp 1 \right) } \\ & { \times \left( 2 \sin \gamma \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + 3 \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \cos \gamma \right) \bar { S } _ { 2 1 } , } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } & { E _ { 1 \mp 2 } ^ { s } = - \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \sin i \left( \cos i \mp 1 \right) } \\ & { \times \left( 2 \sin \gamma \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + 3 \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \cos \gamma \right) \bar { C } _ { 2 1 } , } \end{array} } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { i n d } _ { \mathrm { L i e } } ^ { \mathrm { I d } } ( \mathfrak { g } ) \cong \mathbf { i n d } _ { \mathrm { L i e } } ^ { \mathrm { I d } } \circ \Omega _ { \mathrm { L i e } } \circ B _ { \mathrm { L i e } } ( \mathfrak { g } ) } & { \cong \mathbf { o b l v } \circ B _ { \mathrm { L i e } } ( \mathfrak { g } ) } \\ & { \cong \overline { { \mathrm { C } } } _ { * } ( \mathfrak { g } ) [ - 1 ] \: . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda } & { \equiv g ^ { 2 } \, \frac { P } { \omega _ { L } } \, \frac { \kappa } { \Delta ^ { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } } } \\ & { \times \left[ \frac { \Delta + E _ { 0 } - \frac { i } { 2 } \kappa } { \left( \Delta + E _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } } + \frac { \Delta - E _ { 0 } + \frac { i } { 2 } \kappa } { \left( \Delta - E _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { ( w C _ { \varphi } ) ^ { N } ( x _ { N } ) = ( w C _ { \varphi } ) ^ { N } ( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { a _ { k } e _ { k } } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { N - 1 } ( k ) } a _ { \varphi ^ { N } ( k ) } e _ { k } } = x _ { N } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { a _ { k } e _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \Delta t } \frac { c _ { y } \dot { y } ^ { 2 } + c _ { \theta } \dot { \theta } ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 3 } S } d t } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ i ~ m ~ } ( v _ { 1 } , \ldots , v _ { n } ; v _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , v _ { n } ^ { \prime } ) = \prod _ { p = 1 } ^ { n } \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ( v _ { p } , v _ { p } ^ { \prime } ) ,
\mathrm { S S I M } _ { \mathrm { G T } } = \frac { \left( 2 \mu _ { \lambda } \mu _ { \mathrm { G T } } + c _ { 1 } \right) \left( 2 \sigma _ { \mathrm { c o v } } + c _ { 2 } \right) } { \left( \mu _ { \lambda } ^ { 2 } + \mu _ { \mathrm { G T } } ^ { 2 } + c _ { 1 } \right) \left( \sigma _ { \lambda } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { G T } } ^ { 2 } + c _ { 2 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \sum _ { i , j } \left( \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { 2 } \delta _ { i j } + 2 \pi Z _ { p } ^ { 2 } \frac { k _ { i } k _ { j } } { k ^ { 2 } } \right) P _ { i } P _ { j } } \end{array}
\underbrace { \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \sin ( | \lambda _ { 0 } | ) } { | \lambda _ { 0 } | } } & { 0 } & { \frac { \cos ( | \lambda _ { 0 } | ) - 1 } { | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 - \cos ( | \lambda _ { 0 } | ) } { | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } } } & { 0 } & { \frac { \sin ( | \lambda _ { 0 } | ) - | \lambda _ { 0 } | } { | \lambda _ { 0 } | ^ { 3 } } } \end{array} \right) } _ { = : M _ { | \lambda _ { 0 } | } } \left( \begin{array} { l } { p _ { a 0 } } \\ { p _ { b 0 } } \\ { p _ { c 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
{ \cal L } ^ { \prime } = - \; \frac { e } { 2 \sin \theta _ { W } \cos \theta _ { W } } Z _ { \mu } \bar { b } ^ { \prime } \gamma ^ { \mu } ( g _ { V } ^ { \prime } - g _ { A } ^ { \prime } \gamma _ { 5 } ) b - i \frac { g _ { s } } { 2 m _ { b ^ { \prime } } } \hat { d } _ { c } \bar { b } ^ { \prime } \sigma ^ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } T ^ { a } b G _ { \mu \nu } ^ { a } + \mathrm { h . c . }
\langle j _ { 0 } ( x ) \rangle ^ { ( 1 ) } = i 4 \pi ^ { 2 } e ^ { 3 } g \int d ^ { 2 } y \int d p ^ { 0 } \, \mathrm { T r } \, [ \gamma _ { 0 } \, \Sigma ( p ^ { 0 } , { \bf x } - { \bf y } ) \, \gamma _ { 0 } \, \Sigma ( p ^ { 0 } , { \bf 0 } ) \, \gamma _ { 0 } \, \Sigma ( p ^ { 0 } , { \bf y } - { \bf x } ) ] \; .
\operatorname { d i s t } ( \langle r _ { 1 } , \theta _ { 1 } \rangle , \langle r _ { 2 } , \theta _ { 2 } \rangle ) = \operatorname { a r c o s h } \, \left( \cosh r _ { 1 } \cosh r _ { 2 } - \sinh r _ { 1 } \sinh r _ { 2 } \cos ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) \right) \, .
\begin{array} { r l } { G _ { \mu i } } & { = \sum _ { \lambda } w _ { i } A _ { \mu \lambda i } F _ { \lambda i } , } \\ { \tilde { K } _ { \mu \nu } } & { = \sum _ { i } G _ { \mu i } \Phi _ { \nu i } , } \\ { K _ { \mu \nu } } & { \approx \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { K } _ { \mu \nu } + \tilde { K } _ { \nu \mu } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } } & { { } = \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } - \Delta t \, \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) } \\ { \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } } & { { } = \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } + \sqrt { \Delta t } \, g ( t _ { i } ) \, z _ { t _ { i } } } \\ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } & { { } = \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } + \Delta t \, g ^ { 2 } ( t _ { i } ) \, s _ { \theta } ( \hat { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } , t _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \left| \int _ { 0 } ^ { t } p e ^ { a s } \varphi ^ { 2 } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \left| U _ { j } \right| ^ { p - 2 } U _ { j } B ( U ) _ { j } d x d s \right| \leq \delta \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { a s } \left\| \nabla \left( \left| U _ { j } ( s ) \right| ^ { p / 2 } \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } d s + C _ { \delta } \delta _ { 0 } ^ { \kappa } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { a s } \| U ( s ) \| _ { p } ^ { p } d s , } \end{array} } \end{array}
\int { \cal D } Q \; { \cal D } c \; { \cal D } { \bar { c } } ~ \exp \! \left[ \frac { i } { 2 g _ { 0 } ^ { 2 } } \, S ^ { \mathrm { d i a m } } \right] = \left( \mathrm { d e t } ^ { - 1 / 2 } \, D ^ { 2 } [ B ] \, \right) ^ { D - 2 } .
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { W } _ { n } \right) \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } & { = \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } e ^ { \hat { A } + \hat { B } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } \\ & { = e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } e ^ { \hat { B } } \, e ^ { \hat { A } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle } \\ & { = e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } \langle 0 | e ^ { \hat { B } } \left( e ^ { - \hat { B } } \hat { a } _ { \mu } e ^ { \hat { B } } \right) \left( e ^ { \hat { A } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } e ^ { - \hat { A } } \right) e ^ { \hat { A } } | 0 \rangle } \\ & { = e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } \langle 0 | \left( \hat { a } _ { \mu } - \bigl [ \hat { B } , \, \hat { a } _ { \mu } \bigr ] \right) \left( \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } + \bigl [ \hat { A } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \bigr ] \right) | 0 \rangle } \\ & { = e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } \left\{ \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle - \bigl [ \hat { B } , \, \hat { a } _ { \mu } \bigr ] \bigl [ \hat { A } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \bigr ] \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { f } } & { = \mathrm { c l } _ { [ \triangle _ { \ell , m , n } ; \mathcal { F } _ { \ell , m , n , 0 } ; \cdots ; \mathcal { F } _ { \ell , m , n , d - 1 } ] } \mathrm { f } _ { \{ \mathcal { I } \} } ^ { \circ } } \\ { \mathrm { f } ^ { \prime } } & { = \mathrm { c l } _ { [ \triangle _ { \ell , m , n } ; \mathcal { F } _ { \ell , m , n , 0 } ; \cdots ; \mathcal { F } _ { \ell , m , n , d - 1 } ] } \mathrm { f } _ { \{ \mathcal { I } ^ { \prime } \} } ^ { \circ } } \end{array}
\begin{array} { r } { | \check { \Psi } ^ { \tilde { Q } } ( y ) | = 2 ^ { - n k _ { \tilde { Q } } / 2 } | \check { \Psi } _ { j } ( x - c _ { \tilde { Q } } ) | \lesssim \frac { 2 ^ { - n k _ { \tilde { Q } } / 2 } 2 ^ { j n - j N _ { 1 } } } { | y - c _ { \tilde { Q } } | ^ { N _ { 1 } } } \lesssim \frac { 2 ^ { - n k _ { \tilde { Q } } / 2 } 2 ^ { j n - j N _ { 1 } } } { | y - c _ { Q } | ^ { N _ { 1 } } } } \end{array}
f ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { p } , t ^ { * } ) = \Psi ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { p } , t ^ { * } ) / n ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \int _ { S _ { p } } f ( \mathbf { x } , \mathbf { p } , t ^ { * } ) d ^ { 2 } \mathbf { p } = 1 .
{ \bf x } _ { t + 1 } = { \bf x } _ { t } + ( { \bf x } _ { t } - { \bf x } _ { t - 1 } ) + \Delta t ^ { 2 } \left[ - ( a _ { 0 } - a ( t ) ) { \bf x } _ { t } + c _ { 0 } Q \cdot s i g n ( { \bf x } _ { t } ) \right] .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial L } { \partial v } } - { \frac { \partial M } { \partial u } } } & { = L \Gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } + M ( \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } - \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } ) - N \Gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } } \\ { { \frac { \partial M } { \partial v } } - { \frac { \partial N } { \partial u } } } & { = L \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } + M ( \Gamma _ { 2 2 } ^ { 2 } - \Gamma _ { 1 2 } ^ { 1 } ) - N \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } } & { { } = \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 5 } } { 3 2 \pi ^ { 4 } N _ { p } \hbar \omega _ { \gamma } \omega _ { p } ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \bf q } ^ { \prime } \sum _ { \pm } \sum _ { s s ^ { \prime } j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \in S } a _ { 2 } ^ { ( n ) } } & { = f ( \mathbf { r } ^ { * } ) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { 1 } ^ { ( n ) } - \sum _ { n = T + 1 } ^ { N } a _ { 2 } ^ { ( n ) } } \\ & { = f ( \mathbf { r } ^ { * } ) - 2 N M - 2 ( N - T ) M } \\ & { \ge M ( 4 N - 3 T / 2 ) + M / 2 - 2 N M - 2 ( N - T ) M } \\ & { = M T / 2 + M / 2 . } \end{array}
W ( \mathbf { r } , h ) = w _ { 0 } \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 - q ) ^ { 5 } - 6 ( 2 - q ) ^ { 5 } + 1 5 ( 1 - q ) ^ { 5 } } & { \mathrm { f o r ~ 0 ~ \leq ~ q ~ \leq ~ 1 ~ } } \\ { ( 3 - q ) ^ { 5 } - 6 ( 2 - q ) ^ { 5 } } & { \mathrm { f o r ~ 1 ~ < ~ q ~ \leq ~ 2 ~ } } \\ { ( 3 - q ) ^ { 5 } } & { \mathrm { f o r ~ 2 ~ < ~ q ~ \leq ~ 3 ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { w i t h } \qquad q = { \lVert } \mathbf { r } { \rVert } / h ,
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | g ( \nu ) | ^ { 2 } \, \mathrm { ~ d ~ } t } & { { } = \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } | a ( l ) | ^ { 2 } + \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \kappa = - \infty } ^ { \infty } | b _ { j } ( \kappa ) | ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left| \mathbf { R } _ { i i } \right| ^ { 1 / 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } - \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \right) \mathbf { x } \right) } { 2 \left| \mathbf { R } \right| ^ { 1 / 2 } } \left[ \mathrm { T r } \left( \left( \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } - \mathbf { R } ^ { - 1 } \right) \mathbf { H } \right) + \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } \mathbf { R } ^ { - 1 } + \mathbf { D } \right) \mathbf { x } \right]
\begin{array} { c c c c c c c } { { \bf x } _ { k + 1 } } & { = } & { \mathcal { A } \, { \bf x } _ { k } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \theta _ { i } ( k ) \mathcal { A } \, { \bf \phi } _ { i } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \theta _ { i } ( k ) \mu _ { i } { \bf \phi } _ { i } } \\ & { = } & { \mathcal { A } ^ { k } \, { \bf x } _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \theta _ { i } ( 1 ) \mu _ { i } ^ { k } { \bf \phi } _ { i } \mathrm { , } } \end{array}
\mathbb { E } \Big [ \Big ( J _ { i j } ^ { ( t o ) } ( \tau ) - \frac { \hat { \lambda } ( \tau ) } { \sqrt { N _ { t } } } \Big ) \Big ( J _ { j i } ^ { ( o t ) } ( \tau ) - \frac { \tilde { \lambda } ( \tau ) } { \sqrt { N _ { t } } } \Big ) \Big ] = \frac { 1 } { N _ { t } } \, .
k _ { \mathrm { v i s , \pm } } = { \frac { \left( \Lambda _ { 2 } ^ { \pm } + \rho _ { \mathrm { v i s } } \right) } { 6 M ^ { 3 } \sqrt { 1 + ( { 4 \alpha \Lambda _ { b } } / { 3 M ^ { 5 } } ) } } }
\hat { F } ^ { \Lambda \Sigma } = F ^ { \Lambda \Sigma } + a _ { 1 } \bar { \psi } ^ { A } \psi ^ { B } L _ { \ \ A B } ^ { \Lambda \Sigma } + a _ { 2 } \bar { \psi } ^ { A } \Gamma _ { a } \chi _ { A B C } L ^ { \Lambda \Sigma B C } V ^ { a }
\begin{array} { r l } { \tau _ { g } ^ { c } } & { = - \frac { 1 } { 2 \Delta _ { x } \Delta _ { y } } \sum _ { z _ { p } \in ( z , z + d z ) } \sum _ { q } F _ { x } ^ { p q } ( z _ { p } - z _ { q } ) l _ { p q } ^ { d z } , } \\ { p _ { g } ^ { c } } & { = \frac { 1 } { 2 \Delta _ { x } \Delta _ { y } } \sum _ { z _ { p } \in ( z , z + d z ) } \sum _ { q } F _ { z } ^ { p q } ( z _ { p } - z _ { q } ) l _ { p q } ^ { d z } , } \end{array}
\varphi _ { n } ^ { E } ( \mathbf { r } ) = p _ { z } \sum _ { \ell } \left[ a _ { n \ell } J _ { \ell } \left( k _ { o } \rho _ { n } \right) + b _ { n \ell } H _ { \ell } \left( k _ { o } \rho _ { n } \right) \right] e ^ { j \ell \theta _ { n } }
\begin{array} { r } { B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \ensuremath { \mathbf { P } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \ell } ( n _ { \ell } \rightarrow n _ { \ell } + 1 ) } & { { } = \left( N _ { \ell } - n _ { \ell } \right) w _ { \ell } ( 0 ) , } \\ { W _ { \ell } ( n _ { \ell } \rightarrow n _ { \ell } - 1 ) } & { { } = n _ { \ell } w _ { \ell } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle n \rangle _ { \mathrm { e f f } } ^ { + } } & { = \frac { \Gamma _ { m } n _ { \mathrm { t h } } } { \Gamma _ { m , \mathrm { e f f } } ^ { r } } - \left( \frac { 2 \kappa ^ { \mathrm { e x t } } } { \kappa } \right) \frac { 1 + C / 2 } { 1 + C } n _ { \phi } ^ { \mathrm { p h o t o n } } , } \\ { \langle n \rangle _ { \mathrm { e f f } } ^ { - } } & { = \frac { \Gamma _ { m } n _ { \mathrm { t h } } } { \Gamma _ { m , \mathrm { e f f } } ^ { b } } + \frac { C } { 1 - C } + \left( \frac { 2 \kappa ^ { \mathrm { e x t } } } { \kappa } \right) \frac { 1 - C / 2 } { 1 - C } n _ { \phi } ^ { \mathrm { p h o t o n } } , } \end{array}
\begin{array} { c } { { e _ { i } ^ { a } e _ { i } ^ { b } = \delta ^ { a b } , } } \\ { { e _ { i } ^ { a } e _ { j } ^ { a } = g _ { i j } } } \\ { { g ^ { a b } = e _ { i } ^ { a } e _ { j } ^ { b } g ^ { i j } } } \end{array}
g = \frac { 4 \pi ^ { 2 } R } { e ^ { 2 } } \, \left( C _ { A B } d \vec { r } _ { A } \cdot d \vec { r } _ { B } + ( C ^ { - 1 } ) _ { A B } ( d \psi _ { A } + \vec { \omega } _ { A C } \cdot d \vec { r } _ { C } ) ( d \psi _ { B } + \vec { \omega } _ { B D } \cdot d \vec { r } _ { D } ) \right) .
\int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) q ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { p ( \mathbf { x } ) q ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } = \mathbb { E } _ { p ( X , Y ) } \left[ \frac { q ( X , Y ) } { p ( X ) q ( X ) } \right] \approx \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \frac { q ( \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { y } _ { j } ) } { p ( \mathbf { x } _ { j } ) q ( \mathbf { x } _ { j } ) } .