harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
M ^ { S } ( \alpha _ { s } ) = \left( \frac { \alpha _ { s } } { \alpha _ { s } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right) ^ { \frac { ( \gamma _ { q q , 0 } + \gamma _ { G G , 0 } ) } { 2 \beta _ { 0 } } } \, \left( \frac { 4 \pi \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 4 \pi \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } \alpha _ { s } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right) ^ { \frac { \beta _ { 0 } ( \gamma _ { q q , 1 } + \gamma _ { G G , 1 } ) - \beta _ { 1 } ( \gamma _ { q q , 0 } + \gamma _ { G G , 0 } ) } { 2 \beta _ { 0 } \beta _ { 1 } } } .
{ \mathfrak { G } } \{ { \mathcal { B } } \} = { \mathcal { E } } + { \mathcal { B } } + ( { \mathcal { B } } \star { \mathcal { B } } ) + ( { \mathcal { B } } \star { \mathcal { B } } \star { \mathcal { B } } ) + \cdots
\begin{array} { r l } { \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S n _ { S , I } ^ { X } ( 0 ) } & { = \sum _ { n = 2 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \pi _ { n } ^ { X } \sum _ { I = 0 } ^ { n - 1 } ( n - I ) \binom { n } { I } \varepsilon ^ { I } ( 1 - \varepsilon ) ^ { n - I } = \sum _ { n = 2 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \pi _ { n } ^ { X } n ( 1 - \varepsilon ) } \\ & { = ( m _ { X } - \pi _ { 1 } ^ { X } ) ( 1 - \varepsilon ) \leq m _ { X } s ( 0 ) , } \end{array}
\varepsilon ^ { i k j } G _ { j m } \gamma _ { p } + \varepsilon ^ { i k j } E _ { j m } = 2 ( - \delta ^ { a i } \gamma _ { p } + 2 \varepsilon ^ { a i n } \Phi ^ { n } ) G _ { a b } \varepsilon ^ { b k m } + ( \delta ^ { a i } - 2 \gamma _ { p } \varepsilon ^ { a i n } \Phi ^ { n } ) ( \Gamma _ { a b m } - \gamma _ { p } S _ { a b m } ) ( \delta ^ { b k } - 2 \gamma _ { p } \varepsilon ^ { b k s } \Phi ^ { s } ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \sqrt { h } } { h } { \mathbb E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| { \mathcal H } \left( \frac { M _ { t } - { X _ { t } ^ { 1 } } } { \sqrt { h } \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } \right) \right] = } \\ & { \int _ { { \mathbb R } ^ { d } \times \mathbb R ^ { + } } \Psi ( m , m - u \sqrt { h } , \tilde { x } ) \| A ^ { 1 } ( m - u \sqrt { h } , \tilde { x } ) \| { \mathcal H } \left( \frac { u } { \| A ^ { 1 } ( m - \sqrt { h } u , \tilde { x } ) \| } \right) p _ { V } ( m , m - \sqrt { h } u , \tilde { x } ; t ) d m ~ d \tilde { x } ~ d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \Phi } ( x , t ) \, = \, \frac { e ^ { \lambda ^ { \alpha } x } } { \pi } \sum _ { j = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { j } x ^ { j } } { j ! } \lambda ^ { \alpha ( j + 1 ) } } & { \left[ \Gamma ( 1 + \alpha ( j + 1 ) ) \Gamma ( - \alpha ( k + 1 ) , \lambda t ) \sin ( ( j + 1 ) \alpha \pi ) \right. } \\ & { \left. - \Gamma ( 1 + \alpha j ) \Gamma ( - \alpha j , \lambda t ) \sin ( j \alpha \pi ) \right] , } \end{array}
H t _ { - } ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 } \log \mid \frac { \sin ( \frac { \pi ( \mu \tau - x ) } { 2 K } ) } { \sin ( \frac { \pi ( \mu \tau + x ) } { 2 K } ) } \mid + \frac { \mu \tau \pi } { 2 K } \frac { \vartheta _ { 1 } ^ { \prime } } { \vartheta _ { 1 } } ( \frac { \pi x } { 2 K } ) - 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { q ^ { 2 n } } { n ( 1 - q ^ { 2 n } ) } \sin ( \frac { n \pi \mu \tau } { K } ) \sin ( \frac { n \pi x } { K } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \xi } { \partial z _ { i } } } & { = - \sum _ { j = 1 } ^ { C } \frac { \partial t _ { j } \log ( y _ { j } ) } { \partial z _ { i } } = - \sum _ { j = 1 } ^ { C } t _ { j } \frac { \partial \log ( y _ { j } ) } { \partial z _ { i } } = - \sum _ { j = 1 } ^ { C } t _ { j } \frac { 1 } { y _ { j } } \frac { \partial y _ { j } } { \partial z _ { i } } } \\ & { = - \frac { t _ { i } } { y _ { i } } \frac { \partial y _ { i } } { \partial z _ { i } } - \sum _ { j \neq i } ^ { C } \frac { t _ { j } } { y _ { j } } \frac { \partial y _ { j } } { \partial z _ { i } } = - \frac { t _ { i } } { y _ { i } } \frac { 1 } { T } y _ { i } ( 1 - y _ { i } ) - \sum _ { j \neq i } ^ { C } \frac { t _ { j } } { y _ { j } } \frac { 1 } { T } ( - y _ { j } y _ { i } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { T } t _ { i } + \frac { 1 } { T } t _ { i } y _ { i } + \frac { 1 } { T } \sum _ { j \neq i } ^ { C } t _ { j } y _ { i } = - \frac { 1 } { T } t _ { i } + \frac { 1 } { T } \sum _ { j = 1 } ^ { C } t _ { j } y _ { i } = - \frac { 1 } { T } t _ { i } + \frac { 1 } { T } y _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { C } t _ { j } } \\ & { = \frac { 1 } { T } ( y _ { i } - t _ { i } ) } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \theta d \theta { \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } + k ^ { 2 } - 2 p k \cos \theta ) \ \left( 1 + { \frac { \alpha } { \sqrt { p ^ { 2 } + k ^ { 2 } - 2 p k \cos \theta } } } \right) } } = { \frac { 1 } { p k } } \ln \left[ { \frac { p + k + \alpha } { | p - k | + \alpha } } \right]
\begin{array} { r l r } { | \Psi ^ { \alpha } \rangle } & { = } & { \sum _ { \mu \in { \cal M } } ^ { M } C _ { \mu } ^ { \alpha } | \Psi _ { \mu } \rangle = \sum _ { \mu \in { \cal M } } ^ { M } C _ { \mu } ^ { \alpha } e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle } \\ { T ( \mu ) } & { = } & { T _ { \mathrm { C A S } } ( \mu ) + T _ { \mathrm { e x t } } ( \mu ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 0 } } & { { } = \theta _ { 0 } \left( \frac { p _ { 0 } } { p _ { 0 0 } } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } , } \\ { p _ { 0 } } & { { } = p _ { 0 0 } \left( 1 - \frac { g z } { c _ { p d } \theta _ { 0 } } \right) ^ { c _ { p d } / R _ { d } } , } \\ { \rho _ { 0 } } & { { } = \frac { p _ { 0 } } { R _ { d } T _ { 0 } } . } \end{array}
r _ { \mathrm { c i r c u l a r } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sin ( x _ { i } - { \bar { x } } ) \sin ( y _ { i } - { \bar { y } } ) } { { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sin ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sin ( y _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } } } } }
{ } _ { a } ^ { C } D _ { x } ^ { p } f ( x ) ~ : = ~ { \frac { 1 } { \Gamma ( p - k ) } } \int _ { a } ^ { x } { ( x - \tau ) } ^ { k - p - 1 } { \frac { d ^ { k } } { d x ^ { k } } } f ( \tau ) d \tau ~ ~ , ~ k - 1 < p \leq k
K \mathrm { - s c o r e } : = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq j \leq d } \| \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) - \boldsymbol { c } _ { j } \| ^ { 2 } , \quad \boldsymbol { x } _ { i } \in X _ { \mathrm { v l } } ,
\hat { U } _ { \mathrm { B R S T } } ( t _ { f } , t _ { i } ) = \left[ e ^ { - \frac { i } { \hbar } \epsilon \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } \right] ^ { N } \ \ \ , \ \ \, e p s i l o n = \frac { \Delta t } { N } = \frac { t _ { f } - t _ { i } } { N } \ \ \ .
\begin{array} { r c l r c l } { v _ { s } ( x ) } & { = } & { 1 - \frac { 2 \sinh ( x ^ { * * } ) } { \sinh ( L ) } \, \cosh ( L + x ) + o ( 1 ) , } \\ { q _ { s } ( x ) } & { = } & { - \frac { 2 \sinh ( x ^ { * * } ) } { \sinh ( L ) } \, \sinh ( L + x ) + o ( 1 ) , } \\ { w _ { s } ( x ) } & { = } & { 1 - \frac { 2 \sinh \left( x ^ { * * } / D \right) } { \sinh \left( L / D \right) } \, \cosh \left( ( L + x ) / D \right) + o ( 1 ) , } \\ { r _ { s } ( x ) } & { = } & { - \frac { 2 \sinh \left( x ^ { * * } / D \right) } { D \sinh \left( L / D \right) } \, \sinh \left( ( L + x ) / D ) \right) + o ( 1 ) . } \end{array}
t _ { \alpha } { } ^ { i } : = \; \stackrel { \mathrm { B } } { \Sigma } _ { \alpha } { } ^ { \! i } ( \stackrel { \mathrm { B } } { X } ) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \stackrel { \mathrm { B } } { \tau } _ { \alpha \beta } { } ^ { i } = 0 = { \tau } _ { \alpha \beta } { } ^ { \! i } - 2 \stackrel { \mathrm { B } } { X } _ { [ \alpha \beta ] } { } ^ { \! i }
\mathbf { u } \times \mathbf { v } = \varepsilon _ { i j k } { \hat { u } } _ { j } { \hat { v } } _ { k } \mathbf { e } _ { i } = \varepsilon _ { i j k } { \frac { \partial x _ { j } } { \partial q ^ { m } } } { \frac { \partial x _ { k } } { \partial q ^ { n } } } { \frac { \partial x _ { i } } { \partial q ^ { s } } } u ^ { m } v ^ { n } \mathbf { b } ^ { s } = [ ( \mathbf { b } _ { m } \times \mathbf { b } _ { n } ) \cdot \mathbf { b } _ { s } ] u ^ { m } v ^ { n } \mathbf { b } ^ { s } = { \mathcal { E } } _ { s m n } u ^ { m } v ^ { n } \mathbf { b } ^ { s }
\begin{array} { r l } { | \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } | } & { \leqslant \big | \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \theta _ { \Omega _ { 2 } } ( y ) \big | + \big | \theta _ { \Omega _ { 1 } } ( y ) - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } \big | + ( \Omega _ { 2 } - \Omega _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \big | \dot { \theta } _ { \tau \Omega _ { 2 } + ( 1 - \tau ) \Omega _ { 1 } } ( y ) \big | d \tau } \\ & { \leqslant \big | \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \theta _ { \Omega _ { 2 } } ( y ) \big | + \big | \theta _ { \Omega _ { 1 } } ( y ) - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } \big | + C _ { 0 } ( \Omega _ { 2 } - \Omega _ { 1 } ) e ^ { \frac { C _ { 0 } } { ( \Omega _ { 1 } - \kappa _ { 2 } ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \mathbf { y } _ { l , u } } & { = \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \sum _ { t = t _ { l } + 1 } ^ { t _ { l } + T _ { l } } y _ { u , t } \varphi ( \mathbf { x } _ { t } ) } \\ & { = \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } y _ { u , t } \varphi ( \mathbf { x } _ { t } ) } \\ & { = \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \varphi ( \mathbf { a } _ { h } ) \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) } y _ { u , t } } \\ & { = \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } \varphi ( \mathbf { a } _ { h } ) T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) y _ { l } ^ { u } ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H _ { l } } T _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) y _ { l } ( \mathbf { a } _ { h } ) \varphi ( \mathbf { a } _ { h } ) } \\ & { = \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } \mathbf { W } _ { H _ { l } } \bar { \mathbf { y } } _ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l c l } { ( \textbf { G } _ { n i } ) _ { s } } & { = } & { \textbf { P } _ { i } ( \textbf { h } _ { n i } ) _ { s } = \textbf { P } _ { i } ( \widetilde { \Lambda } _ { n i } ^ { + } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { L } + \textbf { P } _ { i } ( \widetilde { \Lambda } _ { n i } ^ { - } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { R } } \end{array} } \end{array}
\int d ^ { n } k = \int d ^ { n - 1 } k \; d k _ { n } = - i \left( \int d ^ { n - 1 } k \; d k _ { 0 } \right) _ { \mathrm { M i n k } } = - i \left( \int d ^ { n } k \right) _ { \mathrm { M i n k } } \ .
\begin{array} { r l r } { \int d w \, \alpha ^ { * } ( w ) \, \alpha ( w ) } & { { } = \int d w \, \beta ^ { * } ( w ) \, \beta ( w ) } & { = 1 \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \int d w \, \alpha ^ { * } ( w ) \, \beta ( w ) } & { { } = \int d w \, \beta ^ { * } ( w ) \, \alpha ( w ) } & { = 0 \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
H \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { K \rightarrow \infty } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } P ^ { * } \left( | A _ { 2 , K , I , n } ^ { * } | > \epsilon | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { l i m } _ { K \rightarrow \infty } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } P ^ { * } \left( | A _ { 3 , K , I , n } ^ { * } | > \epsilon | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } } & { = \mathsf { D } _ { x } ^ { n } + \alpha \gamma \left( x _ { t } \right) I , \; \alpha \in \mathbb { C } , } \\ { \mathcal { M } \psi \left( x _ { t } \right) } & { = \lambda \psi \left( x _ { t } \right) , \; \lambda \in \mathbb { C } , } \\ { \partial _ { t } \psi \left( x _ { t } \right) } & { = \mathcal { N } \psi \left( x _ { t } \right) , } \end{array}
4 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} + 4 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \}
\frac L { 2 \pi \rho _ { s } } = \ \int \frac { R \mathrm { d } R } { \sqrt { 1 - V _ { R } ^ { 2 } } } \left\{ \left[ \left( 1 + \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \ln \frac b a \right) + \frac P { \rho _ { s } } \right] V _ { R } \, R \, - \left( 1 + \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \ln \frac b a \right) \frac \kappa m \right\}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \frac { \partial \Tilde { f } ( s , t ) } { \partial t } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ e ^ { - s \eta ( 2 w ) } + e ^ { - s ( 1 - \eta ) ( 2 w ) } - 2 e ^ { - s w } \right] f ^ { 2 } ( w ) d w d \eta . } \end{array} } \end{array}
\partial _ { \alpha } \partial _ { \mu } F _ { \mu \beta } - \partial _ { \beta } \partial _ { \mu } F _ { \mu \alpha } + { \frac { A - 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } F _ { \alpha \beta } - { \frac { B } { 2 } } m ^ { 2 } F _ { \alpha \beta } = 0 \, .
\frac { { \partial { E _ { T } } } } { { \partial t } } + \nabla \cdot \left[ { \left( { { E _ { T } } + p } \right) { \bf { u } } } \right] = \nabla \cdot \left( { \kappa \nabla T + { \bf { P } } ^ { \prime } \cdot { \bf { u } } } \right) + \left( { { \bf { j } } \times { \bf { B } } } \right) \cdot { \bf { u } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathcal { A } [ ( - 2 ^ { - 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } x ^ { - 1 / 2 } , k ) \xrightarrow { \infty } ( y _ { 2 } , 1 ) ] - \mathcal { A } [ ( - 2 ^ { - 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } x ^ { - 1 / 2 } , k ) \xrightarrow { \infty } } & { ( y _ { 1 } , 1 ) ] } \\ & { = \mathcal { S } ( x , y _ { 2 } ) - \mathcal { S } ( x , y _ { 1 } ) . } \end{array}
\frac { d B } { d t } = - \mathrm { ~ i ~ } \lambda B + \mathrm { ~ i ~ } \, \mu _ { _ { S C } } \alpha _ { _ + } f + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu _ { _ { S C } } | B | ^ { 2 } B + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi _ { _ { S C } } | A | ^ { 2 } B .
{ \frac { 1 } { 4 } } S _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) = \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } { \frac { d \nu } { \nu } } G _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) \equiv { \frac { 1 } { M ^ { 2 } } } I ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { 2 M ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \Gamma ( Q ^ { 2 } )
\begin{array} { l l } { { \Delta m ^ { 2 } } } & { { = 8 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 1 } e V ^ { 2 } , } } \\ { { \, \, \mu } } & { { = 3 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 1 } \mu _ { B } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | w ( \cdot , t ) - } & { \Tilde { m } ( \cdot , t ) | | _ { p } = | | F _ { t } ^ { c } * u _ { 0 } - F _ { t } ^ { \hat { c } } * \Tilde { u } _ { 0 } + \Dot { F } _ { t } ^ { c } * v _ { 0 } - \Dot { F } _ { t } ^ { \hat { c } } * \Tilde { v } _ { 0 } | | _ { p } } \\ & { = | | F _ { t } ^ { c } * ( u _ { 0 } - \Tilde { u } _ { 0 } ) + ( F _ { t } ^ { c } - F _ { t } ^ { \hat { c } } ) * \Tilde { u } _ { 0 } + \Dot { F } _ { t } ^ { c } * ( v _ { 0 } - \Tilde { v } _ { 0 } ) + ( \Dot { F } _ { t } ^ { c } - \Dot { F } _ { t } ^ { \hat { c } } ) * \Tilde { v } _ { 0 } | | _ { p } } \end{array}
\frac { \partial _ { r } n _ { I } } { n _ { I } } = \left[ Z _ { I } \left( \frac { \delta _ { 1 2 } ^ { D } L _ { 1 1 } ^ { D } + \delta _ { 1 2 } ^ { T } L _ { 1 1 } ^ { T } - 2 \delta _ { 1 2 } ^ { e } L _ { 1 1 } ^ { e } } { L _ { 1 1 } ^ { D } + L _ { 1 1 } ^ { T } + 2 L _ { 1 1 } ^ { e } } \right) - \delta _ { 1 2 } ^ { I } \right] \frac { \partial _ { r } T _ { D } } { T _ { D } } \approx \left[ Z _ { I } \delta _ { 1 2 } ^ { D } - \delta _ { 1 2 } ^ { I } \right] \frac { \partial _ { r } T _ { D } } { T _ { D } } \, ,
\begin{array} { r l r } { N _ { j } } & { { } = } & { a _ { j } \, N _ { j - 1 } + N _ { j - 2 } \ , \quad 1 \leq j \leq n \ , \qquad N _ { - 1 } = 1 \ , \quad N _ { 0 } = 1 } \\ { L _ { j } } & { { } = } & { a _ { j } \, L _ { j - 1 } + L _ { j - 2 } \ , \quad 1 \leq j \leq n \ , \qquad L _ { - 1 } = A \ , \quad L _ { 0 } = B } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { c } } & { { } = A + a , \quad b _ { i n } = B + b , } \\ { c _ { i n } } & { { } = c , \quad b _ { o u t } = B _ { 1 } + b _ { 1 } , \quad c _ { o u t } = C _ { 1 } + c _ { 1 } } \end{array}
x _ { 1 } = \frac { r ^ { 2 } ( 3 r + 5 ) } { 4 ( 3 r ^ { 3 } + 1 4 r ^ { 2 } + 1 8 r + 9 ) } + \frac { 9 r ^ { 2 } } { 4 ( 3 r ^ { 2 } + 5 r + 3 ) }
V ^ { 0 } = V _ { t r e e } ( Q ) + \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } { \cal S } t r \left\{ { \cal M } ^ { 4 } ( \phi ) \left[ \ln \frac { { \cal M } ^ { 2 } ( \phi ) } { Q ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } \right] \right\}
Y ^ { ( i ) } ( z _ { \pm } , w ; r ) = { } ^ { ( i ) } \langle W ^ { * } | \exp \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } a _ { - k } G _ { k } \right) \exp \left( - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } a _ { k } F _ { k } \right) | W \rangle ^ { ( i ) } ,
\partial ^ { \mu } \left[ c _ { 1 } \, f _ { \mu \nu } - \frac { d _ { 1 } } { 2 } \, F _ { B \mu \nu } ( F _ { B \kappa \lambda } f ^ { \kappa \lambda } ) - \frac { d _ { 2 } } { 2 } \, \widetilde { F } _ { B \mu \nu } ( \widetilde { F } _ { B \kappa \lambda } f ^ { \kappa \lambda } ) \right] = 0 ,
\prod _ { i = 1 } ^ { ( l + 1 ) / 2 } ( I _ { 0 } ^ { 2 } + I _ { 1 } + w _ { i } I _ { 0 } ) = I _ { 0 } ^ { l + 1 } + I _ { 0 } ^ { l - 1 } I _ { 1 } + \cdots = 0 ,
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi r } { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { r ^ { 2 } } { r } } d u = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi r } { \frac { 1 } { 2 } } r \ d u } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i 2 f ( \theta ) z } \int _ { \lambda _ { a } } ^ { \lambda _ { b } } g ( \lambda ) e ^ { i 2 h ( \theta ) \lambda z } d \lambda \frac { d \phi } { d \theta } d \theta + \mathrm { c . c . } } \end{array}
\chi ^ { 2 } \left( d _ { 0 } , d _ { 1 } , d _ { 2 } , d _ { 3 } \right) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ R _ { 4 } ( w ) - \left( d _ { 0 } - d _ { 1 } \log ( w ) + d _ { 2 } \log ^ { 2 } ( w ) - d _ { 3 } \log ^ { 3 } ( w ) \right) \right] ^ { 2 } d w
\left. { \frac { \partial D } { \partial g _ { 0 0 } ^ { 2 } } } \right| _ { g _ { 0 0 } ^ { 2 } = g ^ { 2 } ( \Lambda ) } \times { \frac { d g ^ { 2 } ( \Lambda ) } { d \ln ( \Lambda ^ { 2 } / \lambda _ { P } ^ { 2 } ) } } - { \frac { \partial D } { \partial \ln Q ^ { 2 } } } = 0
\begin{array} { r l r } { R e _ { \mathrm { \ l a m b d a } } } & { { } = } & { \frac { u _ { \mathrm { r m s } } \lambda } { \nu } } \\ { \lambda } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 5 \nu } { \epsilon } } u _ { \mathrm { r m s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \texttt { m s e } _ { \pi } ^ { [ k ] } \left( t , \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } \right) } & { \triangleq { \mathbb { E } } \left[ \left( X _ { t } ^ { [ k ] } - \hat { X } _ { t } ^ { [ k ] } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( 1 - e ^ { - 2 \theta _ { k } \left( t - \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } \right) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \left( w C _ { \varphi } \right) ^ { n } \right) ^ { \ast } \left( f _ { l } \right) \right) ( x ) } & { = \left( f _ { l } \left( \left( w C _ { \varphi } \right) ^ { n } \right) ( x ) \right) } \\ & { = f _ { l } \left( \left( w C _ { \varphi } \right) ^ { n } ( x ) \right) } \\ & { = f _ { l } \left( \left( w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n - 1 } ( k ) } x _ { \varphi ^ { n } ( k ) } \right) _ { k \in \mathbb { N } } \right) } \\ & { = w _ { l } w _ { \varphi ( l ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n - 1 } ( l ) } x _ { \varphi ^ { n } ( l ) } } \\ & { = w _ { l } w _ { \varphi ( l ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n - 1 } ( l ) } x _ { l } } \\ & { = w _ { l } w _ { \varphi ( l ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n - 1 } ( l ) } f _ { l } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { S V D } } & { { } = } & { \frac { - 1 } { \log _ { 2 } N } \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \sigma } _ { i } \log _ { 2 } \tilde { \sigma } _ { i } } \\ { \tilde { \sigma } _ { i } } & { { } = } & { \frac { \sigma _ { i } } { \sum _ { j } ^ { N } \sigma _ { j } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \varepsilon } ^ { \frac { r } { 4 } } \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \left( \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } \frac { 1 } { \varepsilon } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) d \rho } & { = \int _ { 3 \varepsilon ^ { 1 - \beta } } ^ { 3 \left( \frac { r } { 4 } \right) ^ { 1 - \beta } } \left( \frac { t } { 3 } \right) ^ { \frac { - M \gamma - n - 1 } { 1 - \beta } } \left( \int _ { B _ { t } ( x ) } \frac { 1 } { \varepsilon } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) d \left( \frac { t } { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - \beta } } } \\ & { \leq C _ { \beta } \int _ { 3 \varepsilon ^ { 1 - \beta } } ^ { 3 \left( \frac { r } { 4 } \right) ^ { 1 - \beta } } t ^ { \frac { - M \gamma - n - 1 + \beta } { 1 - \beta } } \left( \int _ { B _ { t } } \frac { 1 } { \varepsilon } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) d t } \\ & { \leq C _ { \beta } \int _ { 3 \varepsilon ^ { 1 - \beta } } ^ { 3 \left( \frac { r _ { 1 } } { 4 } \right) ^ { 1 - \beta } } t ^ { \frac { - M \gamma - n - 1 + \beta } { 1 - \beta } + ( n + 1 ) } \omega _ { \varepsilon , t } ( x ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { u _ { r } } { \alpha K } = \xi _ { s } \left( - 1 + \frac { a ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \frac { a } { r } \cos \theta , } \\ & { \frac { u _ { \theta } } { \alpha K } = \xi _ { s } \left( 1 + \frac { a ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \frac { a } { 2 r } \sin \theta , } \\ & { \frac { p } { \alpha K ( \eta / a ) } = - \xi _ { s } \frac { a ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \cos \theta , } \end{array}
\begin{array} { r } { { j ^ { 0 } } ^ { \mu 5 } = \alpha \bar { u } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 5 } u + \beta \bar { d } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 5 } d + \gamma \bar { s } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 5 } s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { T } ( p _ { T } ) = z ( \log p _ { T } ) , \qquad \mathbb { T } ( \eta ) = z ( \eta ) , \qquad \mathbb { T } ( \phi ) = z ( \phi ) , \qquad \mathbb { T } ( m ) = z ( \log ( m + 2 ) ) , } \end{array}
I _ { \psi , { \widetilde \psi } } \equiv { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { M } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \left[ { \widetilde \psi } _ { \; \; \; \mu } ^ { A ^ { \prime } } \; e _ { A A ^ { \prime } \nu } \; D _ { \rho } \; \psi _ { \; \; \sigma } ^ { A } - \psi _ { \; \; \mu } ^ { A } \; e _ { A A ^ { \prime } \nu } \; D _ { \rho } \; { \widetilde \psi } _ { \; \; \; \sigma } ^ { A ^ { \prime } } \right] d ^ { 4 } x \; ,
\langle J _ { \mu \nu } \rangle = - \, \frac { \pi ^ { 2 } } { 9 0 L ^ { 4 } } \, \Lambda _ { \mu } ^ { \rho } \, \Lambda _ { \nu } ^ { \sigma } \, \left[ g _ { \rho \sigma } - 4 \, \frac { \ell _ { \rho } \, \ell _ { \sigma } } { \ell ^ { 2 } } \right] \; .