harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \frac { d f } { d x } } } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } { \frac { f ( x ) - f ( x - \epsilon ) } { \epsilon } } } \\ { { \frac { d ^ { 2 } \! f } { d x ^ { 2 } } } } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } { \frac { f ( x ) - 2 f ( x - \epsilon ) + f ( x - 2 \epsilon ) } { \epsilon ^ { 2 } } } } \end{array}
f _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ ( ~ n ~ e ~ q ~ ) ~ } } ( \mathbf { x } , t ) \approx \frac { w _ { i } } { c _ { s } ^ { 4 } } \mathbf { Q } _ { i } : \mathbf { \Pi } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ q ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \epsilon \frac { \partial ( f _ { i } ^ { \sigma , s e q } + \epsilon f _ { i } ^ { \sigma , ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } f _ { i } ^ { \sigma , ( 2 ) } + \cdots ) } { \partial t _ { 1 } } } \\ & { + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ( f _ { i } ^ { \sigma , s e q } + \epsilon f _ { i } ^ { \sigma , ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } f _ { i } ^ { \sigma , ( 2 ) } + \cdots ) } { \partial t _ { 2 } } } \\ & { + \epsilon v _ { i \alpha } \cdot \frac { \partial ( f _ { i } ^ { \sigma , s e q } + \epsilon f _ { i } ^ { \sigma , ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } f _ { i } ^ { \sigma , ( 2 ) } + \cdots ) } { \partial r _ { \alpha } } } \\ & { = - \frac { 1 } { \tau ^ { \sigma } } [ ( f _ { i } ^ { \sigma , s e q } + \epsilon f _ { i } ^ { \sigma , ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } f _ { i } ^ { \sigma , ( 2 ) } + \cdots ) - f _ { i } ^ { \sigma , s e q } ] - \epsilon S _ { 1 i } ^ { \sigma } . } \end{array} } \end{array}
V _ { \alpha } = D ( \alpha ) V _ { Q - \alpha } , ~ ~ ~ D ( \alpha ) = - [ \mu \pi \gamma ( b ^ { 2 } ) ] ^ { ( Q - 2 \alpha ) / b } \frac { \Gamma ( ( 2 \alpha - Q ) b ) \Gamma ( ( 2 \alpha - Q ) / b ) } { \Gamma ( - ( 2 \alpha - Q ) b ) \Gamma ( - ( 2 \alpha - Q ) / b ) } .
\ \gamma _ { L } ^ { \ell } = \frac { ( 1 + P _ { V } ^ { \ell } ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 + P _ { V } ^ { \ell \ 2 } ) } , \, \ \gamma _ { L } ^ { q } = \frac { 2 P _ { L } ^ { q \ 2 } } { 1 + P _ { V } ^ { \ell \ 2 } } , \ \, b r e a k \tilde { U } = { ( P _ { R } ^ { u } ) } ^ { 2 } , \ \ \tilde { D } = { ( P _ { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r c l } { { A _ { \mu } } } & { { = } } & { { e _ { \mu } ^ { a } P _ { a } + \omega _ { \mu } ^ { a } J _ { a } , } } \\ { { v } } & { { = } } & { { \rho ^ { a } P _ { a } + \tau ^ { a } J _ { a } , } } \end{array}
\begin{array} { c l c r } { { S _ { E J } ^ { p } = \frac { 1 } { 9 } < W _ { S } > - \frac { 1 } { 5 4 } < W _ { V } > ; } } \\ { { S _ { E J } ^ { n } = \frac { 1 } { 3 6 } < W _ { S } > - \frac { 1 } { 3 6 } < W _ { V } > , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { R _ { C } } s ( x , t ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } & { { } = - \int _ { x _ { i } - c t _ { i } } ^ { x _ { i } + c t _ { i } } g ( x ) \, \mathrm { d } x + c u ( x _ { i } , t _ { i } ) - c f ( x _ { i } + c t _ { i } ) + c u ( x _ { i } , t _ { i } ) - c f ( x _ { i } - c t _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r c l l } { { \alpha _ { i , 6 } + \alpha _ { i , 6 } ^ { H } } } & { { = } } & { { 0 , } } & { { i = 0 , 1 , 2 , } } \\ { { \beta _ { 0 , 6 } + \beta _ { 0 , 6 } ^ { H } } } & { { = } } & { { 0 , } } & { { } } \\ { { \lambda ^ { 6 } \left( \beta _ { 1 , 6 } + \beta _ { 1 , 6 } ^ { H } \right) } } & { { = } } & { { ( \partial H _ { 1 } / \partial x ) ( x _ { s } , y _ { s } ) , } } & { { } } \\ { { \lambda ^ { 6 } \left( \gamma _ { 0 , 6 } + \gamma _ { 0 , 6 } ^ { H } \right) } } & { { = } } & { { ( \partial H _ { 1 } / \partial y ) ( x _ { s } , y _ { s } ) . } } & { { } } \end{array}
- \mathbf { E } = - { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ( - x _ { 1 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 2 } ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { d ( x , \mathcal { P } _ { H } ( x ) ) } & { = \mathrm { a c o s h } \big ( - [ x , \mathcal { P } _ { H } ( x ) ] \big ) } \\ & { = \mathrm { a c o s h } \big ( - [ x , \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] ^ { 2 } } } \big ( x - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] h _ { k } ^ { \prime } ) ] \big ) } \\ & { = \mathrm { a c o s h } \big ( - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] ^ { 2 } } } \big ( - 1 - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] ^ { 2 } ) \big ) } \\ & { = \mathrm { a c o s h } \big ( \sqrt { 1 + \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] ^ { 2 } } \big ) = \mathrm { a c o s h } \big ( \sqrt { - [ P _ { H } ( x ) , P _ { H } ( x ) ] } \big ) . } \end{array}
\int \operatorname { a r c c o t } { x } \, d x = x \operatorname { a r c c o t } { x } + { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \vert 1 + x ^ { 2 } \vert } + C , { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ r e a l ~ } } x
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } ) \} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \omega ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \chi _ { \varepsilon } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s , } \end{array}
( \mu ^ { \prime } , \stackrel { 4 m ^ { \prime } } { \dots } , \mu ^ { \prime } , \mu ^ { \prime } + 4 , \stackrel { 4 m ^ { \prime } } { \dots } , \mu ^ { \prime } + 4 , 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \stackrel { 4 n ^ { \prime } } { \dots } , 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \mathbb { Z } _ { 8 } { \setminus } 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \stackrel { 4 r ^ { \prime } } { \dots } , \mathbb { Z } _ { 8 } { \setminus } 2 \mathbb { Z } _ { 8 } )
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { u } \cdot \nabla \boldsymbol { u } - \ensuremath \varepsilon \Delta \boldsymbol { u } + \nabla p } & { = \boldsymbol { f } , } & & { \mathrm { o n ~ } ] 0 , T [ \times \Omega , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { u } } & { = 0 , } & & { \mathrm { o n ~ } ] 0 , T [ \times \Omega , } \\ { \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } } & { = 0 , } & & { \mathrm { o n ~ } ] 0 , T [ \times \partial \Omega , } \\ { \ensuremath \varepsilon \boldsymbol { n } \times \nabla \times \boldsymbol { u } } & { = \boldsymbol { 0 } , } & & { \mathrm { o n ~ } ] 0 , T [ \times \partial \Omega , } \\ { \boldsymbol { u } } & { = \boldsymbol { u _ { 0 } } , } & & { \mathrm { o n ~ } \{ 0 \} \times \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( r , t ) } & { = ( d + 1 ) ! \int _ { \Delta ( L + ( t - r ) A ) _ { 0 } } G _ { ( L + ( t - r ) A , \varphi + t \Phi - r \psi _ { s } ) } ( 0 , \alpha ) \mathrm { d } \alpha } \\ & { = ( d + 1 ) ! \int _ { \Delta ( L _ { | E } + ( t - r ) A _ { | E } ) } G _ { \left( L _ { | E } + ( t - r ) A _ { | E } , P ( \varphi + t \Phi - r \psi _ { s } ) _ { | E } \right) } ( \alpha ) \mathrm { d } \alpha . } \end{array}
- \frac { \partial } { \partial r } S _ { r } ^ { ( q ) } = q \langle b _ { r } ^ { q - 1 } D ^ { ( 1 ) } ( b _ { r } ) \rangle + q ( q - 1 ) \langle b _ { r } ^ { q - 2 } D ^ { ( 2 ) } ( b _ { r } ) \rangle .
S ( x _ { \operatorname* { m i n } } ) = 2 \zeta ( 3 ) - \frac { x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 3 } } { 6 } - \frac { x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 4 } } { 4 8 } - \frac { x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 6 } } { 4 3 2 0 } + O \left( x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 7 } \right) \, .
| l ( [ \mathfrak { s } _ { i } ^ { ( n _ { i + 1 } , n _ { i + 2 } ) } ] ) - l ( \mathfrak { a } _ { i } ^ { ( n _ { i + 1 } ) } ) - l ( \mathfrak { b } _ { i } ) - l ( \mathfrak { c } _ { i } ^ { ( n _ { i - 1 } ) } ) - l ( \mathfrak { d } _ { i } ) + I _ { l } ( \mathbf { { l } } ( \mathfrak { b } _ { i } ) / 2 ) + I _ { l } ( \mathbf { { l } } ( \mathfrak { d } _ { i } ) / 2 ) | < \epsilon
\tilde { \Pi } = { 2 m \alpha } \int _ { \mu } ^ { \infty } d p _ { 0 } \left[ G ^ { - 1 } ( p _ { 0 } ) - G ^ { - 1 } ( - p _ { 0 } ) \right] \, = \, - { \frac { m \alpha } { k } } \ln { \left[ { \frac { \left( 2 \mu + \omega \right) k + G ( \mu ) } { \left( 2 \mu - \omega \right) k + G ( - \mu ) } } \right] } \, ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } & { { } = \prod _ { k = 1 } ^ { n } g _ { \alpha } ( \nu _ { k } ) \, , } \\ { S _ { \alpha } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } & { { } = \frac { 1 - \prod _ { k = 1 } ^ { n } g _ { \alpha } ( \nu _ { k } ) } { \alpha - 1 } \, , } \\ { H _ { \alpha } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } & { { } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \ln \left( g _ { \alpha } ( \nu _ { k } ) \right) } { 1 - \alpha } \, , } \end{array}
\left\langle m _ { \nu } \right\rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n } U _ { e i } ^ { 2 } m _ { i } = \sum _ { l = 1 } ^ { n } \frac 1 2 \left( \left( - i V _ { e i } \right) ^ { 2 } + \left( V _ { e i } \right) ^ { 2 } \right) m _ { i } = 0 .
| { \bf P } _ { \pi | | } | = \frac { z Q ^ { 2 } } { 2 M x } \sqrt { 1 - \left( \frac { 2 M x } { z Q ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \Big ( | { \bf P } _ { \pi \perp } | ^ { 2 } + M _ { \pi } ^ { 2 } \Big ) } .
g _ { 2 } ( u , \lambda ) ( d u ) ^ { 2 } + g _ { 3 } ( u , \lambda ) ( d \lambda ) ^ { 2 } \rightarrow \varpi \left[ ( d \widetilde { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \epsilon ( d \widetilde { x } ^ { 3 } ) ^ { 2 } \right] , \epsilon = \pm 1
\begin{array} { r l r } { \hat { x } _ { l } ^ { ( N ) } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } C _ { k l } ^ { ( N ) } ( t ) } \sum _ { i = 1 } ^ { N } C _ { i l } ^ { ( N ) } ( t ) x _ { i } ^ { ( N ) } ( t ) } \\ & { = } & { \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \int _ { D } x \, \rho _ { m , l } ^ { ( N ) } ( x , t ) d x } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } n _ { m , l } ^ { ( N ) } ( t ) } } \\ & { \rightarrow } & { \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \int _ { D } x \, \rho _ { m , l } ( x , t ) d x } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } n _ { m , l } ( t ) } = : \hat { x } _ { l } ( t ) . } \end{array}
Q = \left( \begin{array} { c c c c c c r } { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) .
c _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { b _ { 1 } } = \underbrace { \alpha _ { k } w _ { i } ^ { a } + \beta _ { k } \frac { d _ { s _ { i } } } { v _ { a } } + \gamma _ { k } ( b + r _ { i } ^ { a } d _ { s _ { i } } ) } _ { \mathrm { f i r s t ~ l e g ~ A M o D } } + \underbrace { \alpha _ { k } w _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } + \beta _ { k } \frac { l _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } } { v _ { p } } + \gamma _ { k } r ^ { p } l _ { s _ { i } s _ { j } , k } ^ { p } } _ { \mathrm { p u b l i c ~ t r a n s i t } } + \underbrace { \theta _ { k } \frac { d _ { s _ { j } } } { v _ { w } } } _ { \mathrm { w a l k i n g } } ,
\left\{ \begin{array} { r l } { g ^ { \prime } ( t ) } & { = - P g ^ { 3 } ( t ) + \frac { P } { \sqrt { 2 } } g ^ { 2 } ( t ) - \frac { l _ { d } ^ { \prime } ( t ) } { l _ { d } ( t ) } g ( t ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { l _ { d } ^ { \prime } ( t ) + l _ { u } ( t ) } { l _ { d } ( t ) } , } \\ { g ( 0 ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { H } ( \nu ^ { \mathrm { X } } ( t ) ) } & { : = \left( q ^ { 1 ; \mathrm { X } } ( t ) , \dots , q ^ { N ^ { \mathrm { X } } ( t ) ; \mathrm { X } } ( t ) , 0 , \dots \right) \, , } \\ { \mathrm { H } ( \nu ^ { \mathrm { Y } } ( t ) ) } & { : = \left( q ^ { 1 ; \mathrm { Y } } ( t ) , \dots , q ^ { N ^ { \mathrm { Y } } ( t ) ; \mathrm { Y } } ( t ) , 0 , \dots \right) \, . } \end{array}
\bar { \varepsilon } _ { i j } ( \omega ) = { \varepsilon } _ { i j } ( \omega ) + i \frac { k _ { A F } ^ { 0 } } { \omega ^ { 2 } } \epsilon _ { i k j } k ^ { k } + i \epsilon _ { i k j } \frac { k _ { A F } ^ { k } } { \omega } .
\dot { A } _ { 1 } ^ { \mu } = p _ { 1 } ^ { \mu } , \qquad \dot { p } _ { 1 } ^ { \mu } = 0 , \qquad ( p _ { 1 } ^ { \mu } ) ^ { 2 } = - 1 , \qquad \partial _ { 1 } p _ { 1 } ^ { \mu } = 0 .
\begin{array} { r l } { v _ { n } ^ { \pm } = { } } & { { } \sin { ( \beta ) } v _ { 0 } - \frac { 1 } { 4 \pi } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { \pm } } \Tilde { \Tilde { I } } ( x , w ) . } \end{array}
G _ { N } ^ { M } = \frac { 6 } { l ^ { 2 } } \delta _ { N } ^ { M } + \kappa ^ { 2 } \frac { \sqrt { - g _ { b r a n e } } } { \sqrt { - g } } T _ { N } ^ { M } = \frac { 6 } { l ^ { 2 } } \delta _ { N } ^ { M } + e ^ { - \beta } \kappa ^ { 2 } T _ { N } ^ { M } , \: \: ( M , N = y , t , x ^ { i } ) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ T ~ R ~ } \left\lbrack \vec { E } \right\rbrack \left( \vec { r } , \omega \right) } & { { } = } & { \vec { E } ^ { \star } \left( \vec { r } , \omega \right) , } \\ { \mathrm { ~ T ~ R ~ } \left\lbrack \vec { B } \right\rbrack \left( \vec { r } , \omega \right) } & { { } = } & { - \vec { B } ^ { \star } \left( \vec { r } , \omega \right) . } \end{array}
d = \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l l } { z _ { 1 } w _ { 1 } } & { z _ { 1 } } & { 1 } \\ { z _ { 2 } w _ { 2 } } & { z _ { 2 } } & { 1 } \\ { z _ { 3 } w _ { 3 } } & { z _ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right) }
\xi ( w ) = \frac { [ ( 1 - \vartheta ) ( c + 1 ) - 1 ] w ^ { 2 } + [ 2 - ( 1 - \vartheta ) ( c + 1 ) ] w - ( 1 - \vartheta ) w ^ { c + 1 } - \vartheta } { ( 1 - \vartheta ) w ^ { c + 2 } - ( 1 - \vartheta ) w ^ { c + 1 } - w ^ { 2 } + ( 1 + \vartheta ) w - \vartheta } , \: \: \forall w \in ( - 1 , 1 ) .
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { n } p _ { i } | n \rangle \langle n | p _ { i } ( E _ { n } - E _ { a } ) } \\ & { \times \left( \frac { 1 } { 2 \varepsilon } - \log [ 2 | E _ { n } - E _ { a } | ] + \frac { 5 } { 6 } - \frac { \gamma _ { \mathrm { E } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \log 4 \pi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( x , \tilde { V } ^ { * } ) = } & { \Big ( | | x | | _ { 1 } + \tilde { \mu } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { V } ^ { * } ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) + \tilde { \lambda } \tilde { V } ^ { * } ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) \Big ) } \\ & { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { c _ { b } } \\ { - c _ { a } + \delta ^ { * } ( x ) } & { - c _ { a } + c _ { b } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \nabla _ { 2 D } \hat { \psi } _ { k h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla _ { 2 D } \omega _ { h } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } + \beta _ { k } ^ { 2 } \right) \int _ { \Omega _ { 2 D h } } \hat { \psi } _ { k h } ^ { n + 1 } \omega _ { h } } \end{array}
\omega _ { \mu ( a ) ( b ) } = \eta _ { ( a ) ( c ) } e _ { \nu } ^ { ( c ) } e _ { ( b ) } ^ { \tau } \Gamma _ { \tau \mu } ^ { \nu } - \eta _ { ( a ) ( c ) } e _ { ( b ) } ^ { \nu } \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { ( c ) }
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \eta _ { 1 } } { \partial \theta _ { 1 } } = - \frac { \partial \eta _ { 1 } } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta _ { 1 } } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \cdots - \frac { \partial \eta _ { 1 } } { \partial U _ { n } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { n } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { n } ) } = 0 } \\ { \frac { \partial \eta _ { 1 } } { \partial \theta _ { 2 } } = - \frac { \partial \eta _ { 1 } } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta _ { 1 } } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \cdots - \frac { \partial \eta _ { 1 } } { \partial U _ { n } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { n } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { n } ) } = 0 } \\ { \cdots } \\ { \frac { \partial \eta _ { n - 2 } } { \partial \theta _ { 1 } } = - \frac { \partial \eta _ { n - 2 } } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta _ { n - 2 } } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \cdots - \frac { \partial \eta _ { n - 2 } } { \partial U _ { n } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { n } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { n } ) } = 0 } \\ { \frac { \partial \eta _ { n - 2 } } { \partial \theta _ { 2 } } = - \frac { \partial \eta _ { n - 2 } } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta _ { n - 2 } } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \cdots - \frac { \partial \eta _ { n - 2 } } { \partial U _ { n } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { n } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { n } ) } = 0 } \end{array} \right.
\mathcal { H } _ { C } = { \frac { 1 } { 2 } } p ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } { g _ { | \rho | } ^ { 2 } | \rho | ^ { 2 } } \, V ( \rho \cdot q ) ,
t _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } } = \frac { 1 } { a N } \bigg ( \frac { \pi } { \dot { m } _ { \mathrm { ~ o ~ } } } \bigg ) ^ { n } \big [ R _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { N } - r _ { \mathrm { ~ f ~ , ~ 0 ~ } } ^ { N } \big ] .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ C ~ } _ { 0 } } ^ { ( 3 ) } ( 1 , 1 ) = E _ { \mathrm { ~ C ~ } _ { 0 , 2 } } ^ { ( 3 ) } ( 1 , 1 ) - E _ { \mathrm { ~ C ~ } _ { 2 } } ^ { ( 3 ) } ( 1 , 1 ) = - \frac { 1 } { 8 \pi } \left( \frac { \pi } { 2 } + \frac { 5 } { 3 } \right) \approx - 0 . 1 2 8 \ 8 1 5 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { i j k l } } & { \! = \! } & { \langle x _ { i } x _ { j } x _ { k } x _ { l } \rangle - \langle x _ { i } x _ { j } \rangle \langle x _ { k } x _ { l } \rangle - \langle x _ { i } x _ { k } \rangle \langle x _ { j } x _ { l } \rangle - \langle x _ { i } x _ { l } \rangle \langle x _ { j } x _ { k } \rangle } \\ & { \! - \! } & { \langle x _ { i } x _ { j } x _ { k } \rangle \langle x _ { l } \rangle - \langle x _ { i } x _ { j } x _ { l } \rangle \langle x _ { k } \rangle - \langle x _ { i } x _ { k } x _ { l } \rangle \langle x _ { j } \rangle - \langle x _ { j } x _ { k } x _ { l } \rangle \langle x _ { i } \rangle } \\ & { \! + \! } & { 2 \, \langle x _ { i } x _ { j } \rangle \langle x _ { k } \rangle \langle x _ { l } \rangle + 2 \, \langle x _ { i } x _ { k } \rangle \langle x _ { j } \rangle \langle x _ { l } \rangle + 2 \, \langle x _ { i } x _ { l } \rangle \langle x _ { j } \rangle \langle x _ { k } \rangle + 2 \, \langle x _ { j } x _ { k } \rangle \langle x _ { i } \rangle \langle x _ { l } \rangle } \\ & { \! + \! } & { 2 \, \langle x _ { j } x _ { l } \rangle \langle x _ { i } \rangle \langle x _ { k } \rangle + 2 \, \langle x _ { k } x _ { l } \rangle \langle x _ { i } \rangle \langle x _ { j } \rangle - 6 \, \langle x _ { i } \rangle \langle x _ { j } \rangle \langle x _ { k } \rangle \langle x _ { l } \rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] } & { \le \left( h ( T ) ^ { \frac 1 4 } + f ( T ) \right) ^ { 4 } } \\ & { \le \left[ 8 \epsilon ^ { - 1 } ( 4 K + 3 ) M ^ { \frac 5 4 } + \epsilon ^ { - \frac 1 4 } ( 2 C _ { W } K + K + 1 ) ^ { \frac 1 4 } M ^ { \frac 1 2 } \right] ^ { 4 } T + o ( T ) } \\ & { \le 2 ^ { 2 0 } \epsilon ^ { - 4 } K ^ { 4 } M ^ { 5 } T + o ( \epsilon ^ { - 4 } K ^ { 4 } M ^ { 5 } T ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { m , n } = \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } } A \left( \sqrt { y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \frac { H _ { m } ( y _ { 1 } ) } { \sqrt { m ! } } \frac { H _ { n } ( y _ { 2 } ) } { \sqrt { n ! } } \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } d y _ { 1 } d y _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { \alpha } \left( j \right) } & { { } = \frac { j ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( 1 + 2 j ) } { 6 4 \pi ^ { \frac { 7 } { 2 } } } \left( e ^ { - j ^ { \alpha + 2 } } - e ^ { - j ^ { \alpha } ( 1 + j ) ^ { 2 } } \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } \quad } & { \sum _ { i \neq j } \| y _ { i } - y _ { j } \| _ { \infty } ( u _ { i j } + u _ { i j } ^ { \prime } ) + 2 \, v _ { i } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \sum _ { j \neq i } ( u _ { i j } - u _ { i j } ^ { \prime } ) + v _ { i } + \tau _ { i } \geq \nu _ { i } , } & { \forall { i \leq m } , } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \tau _ { i } = 1 , } & \\ & { u _ { i j } , u _ { i j } ^ { \prime } , v _ { i } , \tau _ { i } \geq 0 } & { \forall i , j \leq m , i \not = j . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { d } { d x } \left[ \pi R ( x ) ^ { 2 } v _ { \mathrm { w } } ( x ) \right] = 0 , } & { { } } & { } \\ { - \frac { d } { d x } \left[ \pi R ( x ) ^ { 2 } \rho _ { i } ( x ) v _ { i } ( x ) \right] = 0 , } & { { } } & { } \\ { - \frac { d p ( x ) } { d x } - \sum _ { i = \pm } \rho _ { i } ( x ) \xi _ { i } ( x ) [ v _ { \mathrm { w } } ( x ) - v _ { i } ( x ) ] \qquad } & { { } } & { } \\ { - \frac { 2 \lambda _ { 0 } ( x ) } { R ( x ) } v _ { \mathrm { w } } ( x ) = 0 , } & { { } } & { } \\ { - \frac { d \mu _ { i } } { d x } - \xi _ { i } ( x ) [ v _ { i } ( x ) - v _ { \mathrm { w } } ( x ) ] - \lambda _ { i } ( x ) v _ { i } ( x ) = 0 , } & { { } } & { } \\ { \frac { 1 } { R ( x ) ^ { 2 } } \frac { d } { d x } \left[ \varepsilon \varepsilon _ { 0 } R ( x ) ^ { 2 } \frac { d } { d x } \psi ( x ) \right] = - e \sum _ { i = \pm } q _ { i } \rho _ { i } ( x ) , } & { { } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \ell } { d t } } & { { } = } & { \alpha \frac { \partial S _ { L } } { \partial \ell } ( \ell , r ) = ~ ~ ~ \frac { \alpha } { 2 } f \left( \frac { \ell + r } { 2 } \right) , } \\ { \frac { d r } { d t } } & { { } = } & { \beta \frac { \partial S _ { R } } { \partial r } ( \ell , r ) = - \frac { \beta } { 2 } f \left( \frac { \ell + r } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { l } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( n ) } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } - \beta _ { l } u _ { l } } \end{array} \right) } & { = P _ { l } \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } } \end{array} \right) - \beta _ { l } P _ { l } \left( \begin{array} { l } { - e _ { l } ^ { ( n ) } } \\ { u _ { l } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } } \end{array} \right) - ( u _ { l } ^ { T } Q _ { A } v _ { l + 1 } ) p _ { l } + \beta _ { l } p _ { l } . } \end{array}
\phi = \left( \begin{array} { l } { { \phi ^ { + } } } \\ { { \phi ^ { 0 } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { { \chi ^ { 2 } ( x ) + i \chi ^ { 1 } ( x ) } } \\ { { v + \psi ( x ) - i \chi ^ { 3 } ( x ) } } \end{array} \right) ,