harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { S } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { d t } \mathbf { I } + \nabla \times ( \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \nabla \times \quad ) - \nabla \times ( { \mathbf V } _ { 0 } \times \quad ) } & { \nabla \times ( { \mathbf B } _ { 0 } \times \quad ) } \\ { \mathbf { C } _ { 2 } } & { \mathbf { C } _ { 1 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\mathrm { ~ P ~ o ~ t ~ } ( \textsc { \detokenize { e c d e A l l } } ) \geq \mathrm { ~ P ~ o ~ t ~ } ( \textsc { \detokenize { e c d e D e v s } } ) \geq \mathrm { ~ P ~ o ~ t ~ } ( \textsc { \detokenize { o b s I n t } } )
\begin{array} { r l } { \Pi _ { m \ell } ( \tau , r ) = } & { \: b _ { + , m \ell } w _ { + , m \ell } ( r ) f _ { + } ^ { m \ell } ( \tau , r ) + b _ { - , m \ell } w _ { + , m \ell } ( r ) f _ { - } ^ { m \ell } ( \tau , r ) + \Pi _ { m \ell , \mathrm { e x p } } ( \tau , r ) , } \\ { \Pi _ { m \ell , \mathrm { e x p } } ( \tau , r ) = } & { \: { \mathfrak { h } } _ { m \ell } \widetilde { w } _ { \infty , m \ell } ( r ) \left[ E _ { + } ( f _ { + , \mathrm { e x p } } ^ { m \ell } - f _ { + } ^ { m \ell } ) ( \tau , r ) + E _ { - } ( f _ { - , \mathrm { e x p } } ^ { m \ell } - f _ { - } ^ { m \ell } ) ( \tau , r ) \right] . } \end{array}
{ \frac { < p _ { 0 } > } { \epsilon _ { 0 } } } \rightarrow - 1 - { \frac { 1 6 } { 3 \; \log | \frac { 1 } { 4 } - \epsilon _ { 0 } | } } + O ( \epsilon _ { 0 } - \frac { 1 } { 4 } ) \; .
{ \begin{array} { r l r l r } { { \mathrm { 1 . } } } & { } & { ( x , y ) } & { \mapsto ( x + a , y + b ) , } \\ { { \mathrm { 2 . } } } & { } & { ( x , y ) } & { \mapsto ( a x , b y ) , } & { \qquad { \mathrm { w h e r e ~ } } a b \neq 0 , } \\ { { \mathrm { 3 . } } } & { } & { ( x , y ) } & { \mapsto ( a x , y + b ) , } & { \qquad { \mathrm { w h e r e ~ } } a \neq 0 , } \\ { { \mathrm { 4 . } } } & { } & { ( x , y ) } & { \mapsto ( a x + y , a y ) , } & { \qquad { \mathrm { w h e r e ~ } } a \neq 0 , } \\ { { \mathrm { 5 . } } } & { } & { ( x , y ) } & { \mapsto ( x + y , y + a ) } \\ { { \mathrm { 6 . } } } & { } & { ( x , y ) } & { \mapsto ( a ( x \cos t + y \sin t ) , a ( - x \sin t + y \cos t ) ) , } & { \qquad { \mathrm { w h e r e ~ } } a \neq 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mu _ { i j j j j j } ^ { ( 5 ) } ( t ) = \frac { 1 } { 1 2 0 } } & { { } \iiint \! \! \! \iint _ { - \infty } ^ { \infty } \epsilon _ { i j j j j j } ( - \omega ^ { ( 5 ) } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } , \omega _ { 5 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , \tau ) } & { = - i \Delta \omega _ { { e g } } \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , \tau ) - i \sum _ { s } \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , \tau ) \left( \sum _ { e ^ { \prime } } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e ^ { \prime } g } s } - \sum _ { g ^ { \prime } } T _ { { e g ^ { \prime } } s } \rho _ { { g ^ { \prime } g } } ( \textbf { r } , \tau ) \right) } \\ & { + \sum _ { e ^ { \prime } , \, s } f _ { s } ^ { ( - ) * } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e ^ { \prime } g } s } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Dot { \theta } = \omega - \sigma R _ { 0 } ( \theta ) ( B _ { 1 } W _ { 1 } ^ { - 1 } ( V ^ { 1 } ) ^ { \top } ) ^ { - } \sin ( V ^ { 1 } B _ { 1 } ^ { \top } \theta - U ^ { 1 } \alpha ) \, . } \end{array}
\Delta ( n ) = \frac { 7 n \sqrt { \frac { 1 } { n } \log _ { 2 } \frac { 2 } { \Tilde { \varepsilon } } } + 2 \log _ { 2 } \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { P A } } } + \log _ { 2 } \frac { 2 } { \varepsilon _ { \mathrm { E C } } } } { n } \, .
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l } { \displaystyle y _ { t } + \displaystyle { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \, ( \beta \, { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) + q \, y } & { = } & { f } & { \mathrm { ~ i n ~ } Q : = ( a , b ) \times ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( b ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { v } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle y ( \cdot , 0 ) } & { = } & { y ^ { 0 } } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( a , b ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq M \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + 2 \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Pi } & { = } & { \Pi _ { l } ^ { S } + \Pi _ { l } ^ { \omega } + \Pi _ { n l } , } \\ { \Pi _ { l } ^ { S } } & { = } & { - \frac { r ^ { 2 } } { 1 2 } \widetilde { S } _ { i j } \widetilde { S } _ { j k } \widetilde { S } _ { k i } , \quad \Pi _ { l } ^ { \omega } = \frac { r ^ { 2 } } { 4 8 } \widetilde { \omega } _ { i } \widetilde { \omega } _ { j } \widetilde { S } _ { i j } , } \\ { \Pi _ { n l } } & { = } & { \widetilde { S } _ { i j } \int _ { 0 } ^ { r ^ { 2 } } \left( \overline { { \bar { A } _ { i k } ^ { \sqrt { l } } \bar { A } _ { j k } ^ { \sqrt { l } } } } ^ { \sqrt { r ^ { 2 } - l } } - \overline { { \bar { A } _ { i k } ^ { \sqrt { l } } } } ^ { \sqrt { r ^ { 2 } - l } } \overline { { \bar { A } _ { j k } ^ { \sqrt { l } } } } ^ { \sqrt { r ^ { 2 } - l } } \right) \mathrm { d } l , } \end{array}
d _ { k } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { k + n } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i ( k - 1 ) } ( a _ { 1 } , \ldots , d _ { k } ( a _ { i + 1 } , \ldots , a _ { i + k } ) , \ldots , a _ { k + n } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { m } _ { k + 1 } } & { { } = \operatorname { p r o x } _ { \mathbf { R } } \left( \mathbf { m } _ { k } + \alpha _ { k } \frac { \partial J } { \partial \mathbf { m } _ { k } } \right) } \end{array}
\operatorname * { d e t } \left[ d _ { n _ { j } + N - j + 1 , i } \right] = \operatorname * { d e t } \left[ \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } x ^ { p } \left( x ^ { p + | n _ { j } + i - j | } - x ^ { p + n _ { j } + 2 N + 2 - i - j } \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { v } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } \sin ( \varphi | z _ { 2 } - z _ { 1 } | / d ) } , } \\ { w } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } \sin ( \varphi | z _ { 3 } - z _ { 2 } | / d | ) } , } \\ { C } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } } \left[ \cot ( \varphi | z _ { 2 } - z _ { 1 } | / d ) + \cot ( \varphi | z _ { 3 } - z _ { 2 } | / d ) \right] , } \\ { D } & { { } = } & { \frac { i } { 2 \Gamma _ { 0 } } - \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } } \cot ( \varphi | z _ { 2 } - z _ { 1 } | / d ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { \gamma } } & { < } & { 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { e V / c ^ { 2 } } \, \left( \frac { S _ { 1 2 } } { 2 } \right) ^ { 1 / 6 } \left( \frac { 1 \, \mathrm { d a y } } { \tau } \right) ^ { 1 / 1 2 } } \\ & { \times } & { \left( \frac { n _ { \mathrm { d c } } } { 1 0 ^ { - 6 } \, \mathrm { H z } } \right) ^ { 1 / 1 2 } \left( \frac { 1 \, \mathrm { W } } { P _ { \mathrm { i } } } \right) ^ { 1 / 6 } \left( \frac { 1 0 0 0 \, \mathrm { n m } } { \lambda _ { \mathrm { s o u r c e } } } \right) ^ { 7 / 6 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { ( a + b ) ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } - a ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } - b ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } - \sum _ { 1 \leq i \leq p - 1 } s _ { i } ^ { \mathfrak { g } } ( a , b ) } \\ { = } & { \bigg ( P ( a + b ) - P ( a ) - P ( b ) - \sum _ { 1 \leq i \leq p - 1 } \sigma _ { i } ^ { \mathfrak { a } } ( a , b ) \bigg ) x } \\ & { + s ( a + b ) - s ( a ) - s ( b ) - \sum _ { 1 \leq i \leq p - 1 } s _ { i } ^ { \mathfrak { a } } ( a , b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u _ { D } , v _ { D } ) } & { { } = ( 0 , 0 ) , } \\ { ( u _ { K ^ { - } } , v _ { K ^ { - } } ) } & { { } = \left( \frac { 2 } { 3 } \frac { 1 - 2 \nu } { 1 - \nu } , - \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 + \nu } { 1 - \nu } \right) , } \\ { ( u _ { 1 ^ { - } } , v _ { 1 ^ { - } } ) } & { { } = \left( - \frac { 4 } { 3 } \frac { 1 - 2 \nu } { 1 - \nu } , - \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 + \nu } { 1 - \nu } \right) , } \\ { ( u _ { 2 ^ { - } } , v _ { 2 ^ { - } } ) } & { { } = \left( - \frac { 2 } { 3 } \left[ 1 - 2 \nu \right] , - \frac { 2 } { 3 } \left[ 1 + \nu \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta r _ { x } ( t ) = R \, \mathrm { c o s } ( \pi + \beta ( t ) ) = - R \, \mathrm { c o s } \beta ( t ) } \\ { \Delta r _ { y } ( t ) = R \, \mathrm { s i n } ( \pi + \beta ( t ) ) = - R \, \mathrm { s i n } \beta ( t ) } \end{array}
U = U ( S , \Phi _ { B } , V , \kappa , \vec { r } , \dotsc ) \enspace \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ n ~ a ~ l ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ o ~ f ~ a ~ q ~ u ~ a ~ n ~ t ~ i ~ z ~ e ~ d ~ e ~ m ~ p ~ t ~ y ~ b ~ o ~ x ~ ) ~ } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { 2 } \vert \tilde { T } ( x , y , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { 1 } { 2 \gamma _ { j } } \left( \hat { \theta } _ { j } - \theta _ { j } \right) ^ { 2 } \right) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \left( F _ { i } ( x ) + b _ { i } ( x ) y + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { i , j } \theta _ { j } \right) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { p } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) \tilde { w } ( x , y , \hat { \theta } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { 1 } { \gamma _ { j } } \left( \hat { \theta } _ { j } - \theta _ { j } \right) \tilde { w } ( x , y , \hat { \theta } ) } \\ & { + ( y - k ( x , \hat { \theta } ) ) \left( f ( x , y ) + g ( x , y ) \tilde { k } ( x , y , \hat { \theta } ) + \right. } \\ & { \left. + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) \theta _ { j } - \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { \partial k } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) \tilde { w } ( x , y , \hat { \theta } ) \right) } \\ & { - ( y - k ( x , \hat { \theta } ) ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } \left( F _ { i } ( x ) + b _ { i } ( x ) y + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { i , j } ( x ) \theta _ { j } \right) } \end{array}
J ^ { + } = 4 \pi | V _ { \mathbf { p } _ { 1 } , \mathbf { p } _ { 2 } } ^ { \mathbf { p } } | ^ { 2 } \, f _ { p 1 2 } \, \delta ( \omega - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \delta ( \mathbf { k } - \mathbf { k _ { 1 } } - \mathbf { k _ { 2 } } ) \delta ( m - m _ { 1 } - m _ { 2 } )
\ddot { \vec { r } } _ { A _ { a } A _ { b } } = \ddot { \vec { r } } _ { A _ { b } } - \ddot { \vec { r } } _ { A _ { a } } = - \frac { G ( m _ { A _ { a } } + m _ { A _ { b } } ) } { r _ { A _ { a } A _ { b } } ^ { 2 } } \hat { r } _ { A _ { a } A _ { b } } .
p _ { X } ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { p , } & { { \mathrm { i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ 1 } } } \\ { 1 - p , } & { { \mathrm { i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ 0 } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \nabla _ { s } P } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial p _ { i } } { \partial s } \mathrm { d } x _ { i } \circ Q + \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \cdot ( \mathrm { H } ( x _ { i } ) \circ Q ) \frac { \partial Q } { \partial s } , } \\ { \nabla _ { t } P } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial p _ { i } } { \partial t } \mathrm { d } x _ { i } \circ Q + \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \cdot ( \mathrm { H } ( x _ { i } ) \circ Q ) \frac { \partial Q } { \partial t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = 2 \bigg ( \pi r ^ { 2 } \frac { \theta } { 3 6 0 } \bigg ) + 2 \bigg ( \pi R ^ { 2 } \frac { \alpha } { 3 6 0 } \bigg ) - 2 \bigg ( \frac { H ( r + x ) } { 2 } \bigg ) - \frac { 2 x h } { 2 } } \\ & { = \pi r ^ { 2 } \frac { \theta } { 1 8 0 } + \pi R ^ { 2 } \frac { \alpha } { 1 8 0 } - H ( r + x ) - x h } \\ { L } & { = 2 \bigg ( 2 \pi r \frac { \theta } { 3 6 0 } \bigg ) + 2 \bigg ( 2 \pi R \frac { \alpha } { 3 6 0 } \bigg ) = \frac { \pi } { 9 0 } ( r \theta + R \alpha ) } \end{array}
T ^ { \mu \nu } = \partial ^ { ( \mu } \Phi \partial ^ { \nu ) } \Phi ^ { * } - \frac 1 2 \eta ^ { \mu \nu } \partial ^ { \lambda } \Phi \partial _ { \lambda } \Phi ^ { * } - \frac 1 2 \eta ^ { \mu \nu } \frac { m ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \Phi \Phi ^ { * }
V [ { \bf j } ] = \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \int d ^ { 3 } x \left\{ \Lambda | { \bf j } | \left[ \ln \left[ \frac { \Lambda } { 2 \zeta } | { \bf j } | + \sqrt { 1 + \left( \frac { \Lambda } { 2 \zeta } | { \bf j } | \right) ^ { 2 } } \right] + 2 \pi i n \right] - 2 \zeta \sqrt { 1 + \left( \frac { \Lambda } { 2 \zeta } | { \bf j } | \right) ^ { 2 } } \right\} .
{ \mathcal { L } } \supset B _ { \mu } h _ { u } h _ { d } + A h _ { u } { \tilde { q } } { \tilde { u } } ^ { c } + A h _ { d } { \tilde { q } } { \tilde { d } } ^ { c } + A h _ { d } { \tilde { l } } { \tilde { e } } ^ { c } + { \mathrm { h . c . } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { s } \boldsymbol { \chi } _ { s } ^ { H } \cdot \mathbf { E } } & { { } = - \mathbf { E } - \mathbf { n } _ { r } \times \left( \mathbf { n } _ { r } \times \mathbf { E } \right) + \mathcal { O } ( \epsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho = \frac { 2 \lambda r } { \hbar c } , \quad \lambda = \sqrt { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 4 } - \varepsilon ^ { 2 } } , \quad \gamma = \sqrt { \kappa ^ { 2 } - Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } , } \end{array}
\left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { z = R _ { 0 } \left( 1 + \frac { \sigma ^ { 2 } } { R _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } } } \\ { { \widetilde { \mathcal { Z } } = \mathcal { Z } \left( 1 + \frac { \sigma ^ { 2 } } { R _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { M C } , p } ^ { ( k ) } = \frac { 1 } { p } \sum _ { i = 1 } ^ { p } F ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) , \qquad \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } \left[ \widehat { F } _ { \mathrm { M C } , p } ^ { ( k ) } \right] = \frac { \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] } { p } \, , } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { S ^ { - 1 } : M \to \mathbf { S } } \\ { P ^ { \prime } = ( \xi , \eta ) \longmapsto P = ( x , y , z ) = \left( { \frac { \xi } { 1 + \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } } , { \frac { \eta } { 1 + \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } } , { \frac { - 1 + \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } { 2 + 2 \xi ^ { 2 } + 2 \eta ^ { 2 } } } \right) } \end{array} \right. }
{ \left[ \begin{array} { l } { V _ { 1 } } \\ { I _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { n } \\ { - n } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { I _ { 1 } } \\ { V _ { 2 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \dot { V } = } & { \tilde { x } _ { u } ^ { T } \big [ \dot { P } ( t ) + P ( t ) M ( t ) + M ^ { T } ( t ) P ( t ) \tilde { x } _ { u } + 2 P ( t ) N ( t ) \tilde { x } _ { o } \big ] } \\ { = } & { - \tilde { x } _ { u } ^ { T } Q ( t ) \tilde { x } _ { u } + 2 \tilde { x } _ { u } ^ { T } P ( t ) N ( t ) \tilde { x } _ { o } } \\ { \leq } & { - c _ { 3 } \| \tilde { x } _ { u } \| ^ { 2 } + 2 c _ { 2 } \| N ( t ) \| \| \tilde { x } _ { u } \| \| \tilde { x } _ { o } \| } \\ { \leq } & { - c _ { 3 } \| \tilde { x } _ { u } \| ^ { 2 } + \bigg [ \frac { c _ { 3 } } { 4 } \| \tilde { x } _ { u } \| ^ { 2 } + \frac { 4 c _ { 2 } ^ { 2 } } { c _ { 3 } } \| N ( t ) \| ^ { 2 } \| \tilde { x } _ { o } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ { \leq } & { - \frac { 3 c _ { 3 } } { 4 } \| \tilde { x } _ { u } \| ^ { 2 } + \frac { 4 c _ { 2 } ^ { 2 } } { c _ { 3 } } \| N ( t ) \| ^ { 2 } \| \tilde { x } _ { o } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { - \frac { 3 c _ { 3 } } { 4 c _ { 2 } } V + \frac { 4 c _ { 2 } ^ { 2 } } { c _ { 3 } } \| N ( t ) \| ^ { 2 } \| \tilde { x } _ { o } \| ^ { 2 } . } \end{array}
g ( l ) \gets C _ { 4 } { + } C _ { 3 } l ^ { \prime } { + } \frac { 1 } { 2 } C _ { 2 } l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } { + } 1 ) { + } \frac { 1 } { 6 } C _ { 1 } l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } { + } 1 ) ( l ^ { \prime } { + } 2 )
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \nu } \left. s _ { g g } \right\vert _ { \tau _ { b } = 0 . 5 \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j , \nu \right) } } & { { } = } & { i \frac { d \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( \nu \right) } { d \nu } \left. s _ { g g } \right\vert _ { \tau _ { b } = 0 . 5 \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j , \nu \right) } , } \\ { \left. \frac { \partial s _ { g g } } { \partial \tau _ { b } } \right\vert _ { \tau _ { b } = 0 . 5 \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j , \nu \right) } } & { { } = } & { i \nu \left( \left\vert s _ { a 1 } \right\vert ^ { 2 } - \left\vert s _ { d 1 } \right\vert ^ { 2 } \right) \left. s _ { g g } \right\vert _ { \tau _ { b } = 0 . 5 \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j , \nu \right) } . } \end{array}
\hat { t } = r _ { + } t - r _ { - } \varphi , \; \; \; \hat { \varphi } = r _ { + } \varphi - r _ { - } t , \; \; \; \hat { r } ^ { 2 } = \frac { r ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } } .
\boldsymbol { \mathcal { P } } ( \boldsymbol { d } ) ( \boldsymbol { r } _ { j } , \boldsymbol { \Theta } _ { j k } ) \, , \quad j = 1 , \dots , N _ { r } \, , \quad k = 1 , \dots , ( \boldsymbol { N } _ { \theta } ) _ { j } \, .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { r } ^ { \Pi } } & { = \mathcal { A } _ { \Pi } J _ { r , 0 } + \mathcal { A } _ { \Pi } J _ { r + 1 , 0 } + \mathcal { C } _ { \Pi } J _ { r + 2 , 0 } , } \\ { \gamma _ { r } ^ { n } } & { = - \frac { J _ { 4 1 } J _ { r + 2 , 1 } } { D _ { 3 1 } } + \frac { J _ { 3 1 } J _ { r + 3 , 1 } } { D _ { 3 1 } } , } \\ { \gamma _ { r } ^ { \pi } } & { = \frac { J _ { r + 4 , 2 } } { J _ { 4 , 2 } } , \, \gamma _ { r } ^ { \Omega } = \frac { J _ { r + 6 , 3 } } { J _ { 6 , 3 } } , \, \gamma _ { r } ^ { \Theta } = \frac { J _ { r + 8 , 4 } } { J _ { 8 , 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = [ \mathbf { P } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \; \mathbf { V } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] , \; } & { \quad \mathbf { C } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = [ \mathbf { U } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \; \mathbf { Q } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] , } \\ { \mathbf { C } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = [ \mathbf { P } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \; \mathbf { V } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] , \; } & { \quad \mathbf { C } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = [ \mathbf { U } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \; \mathbf { Q } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { < \Delta W ( \cdot , x _ { 1 } ) > } & { = < \Delta W ( \cdot , x _ { 2 } ) > = 0 , } \\ { < \Delta ^ { 2 } W ( \cdot , x _ { 1 } ) > = < \Delta ^ { 2 } W ( \cdot , x _ { 2 } ) > } & { = \sum _ { z \in Z ^ { d } } b ^ { 2 } ( - z ) | t _ { 2 } - t _ { 1 } | = B ( 0 ) | t _ { 2 } - t _ { 1 } | , } \\ { < \Delta W ( \cdot , x _ { 1 } ) \Delta W ( \cdot , x _ { 2 } ) > } & { = \sum _ { z \in Z ^ { d } } b ( x _ { 1 } - z ) b ( x _ { 2 } - z ) | t _ { 2 } - t _ { 1 } | = B ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) | t _ { 2 } - t _ { 1 } | . } \end{array}
\sqrt { 2 } V _ { L } ^ { \vphantom { T } } L \partial _ { i } V _ { R } ^ { T } = - e ^ { - ( A + \eta / 2 ) } E _ { i } ^ { ( L ) } \hat { n } - e ^ { A - \eta / 2 } { \frac { \hat { g } _ { i j } } { \sqrt { \hat { g } } } } ( B _ { j } ^ { ( L ) } + \epsilon _ { j k l } E _ { k } ^ { ( L ) } C _ { l } ) \hat { m } \ .
\begin{array} { r l } { \sinh x + \sinh y } & { { } = 2 \sinh \left( { \frac { x + y } { 2 } } \right) \cosh \left( { \frac { x - y } { 2 } } \right) } \\ { \cosh x + \cosh y } & { { } = 2 \cosh \left( { \frac { x + y } { 2 } } \right) \cosh \left( { \frac { x - y } { 2 } } \right) } \end{array}
\left\langle w , \frac { \partial v } { \partial t } \right\rangle + \left\langle w , q ^ { * } u ^ { \perp } \right\rangle - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \nabla \cdot w , u \cdot v \right\rangle + G ^ { \prime } ( v ; w ) , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } .
{ \cal A } ( i _ { \nu _ { c } } ^ { R _ { c } } \rightarrow f _ { \nu _ { a } } ^ { R _ { a } } f _ { \nu _ { b } } ^ { R _ { b } } ) = \sum _ { R , \nu } c _ { R , \nu } \sum _ { R ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } } \left( \begin{array} { c c c } { { R _ { a } } } & { { R _ { b } } } & { { R ^ { \prime } } } \\ { { \nu _ { a } } } & { { \nu _ { b } } } & { { \nu ^ { \prime } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { { R } } & { { R _ { c } } } & { { R ^ { \prime } } } \\ { { \nu } } & { { \nu _ { c } } } & { { \nu ^ { \prime } } } \end{array} \right) \left< R ^ { \prime } | | R | | R _ { c } \right> ,
\begin{array} { r l } & { M ^ { \mathrm { S } } ( \rho ) \sigma = \psi _ { \sigma } , \quad \forall ~ \sigma \in T _ { \rho } \mathcal { P } , } \\ & { M ^ { \mathrm { S } } ( \rho ) ^ { - 1 } \psi = - \nabla _ { \theta } \cdot \Bigl ( \rho ( \theta ) \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho ) \rho ( \theta ^ { \prime } ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \psi ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \Bigr ) , \quad \forall ~ \psi \in T _ { \rho } ^ { * } \mathcal { P } . } \end{array}
\sum _ { l = 1 } ^ { 2 N _ { t } } { { \tilde { F } } _ { l } } = \frac { 2 m ^ { * } } { e ^ { 2 } N _ { 2 D } E ^ { \omega } } \sum _ { l j i k } ^ { 2 N _ { t } } { { \mu } _ { j } B _ { l k } f _ { k } ^ { \omega } Z _ { j i } D _ { i l } }
\begin{array} { r l } { \lVert \varphi _ { [ t _ { n } , 0 ] } - \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , 0 ] } \rVert _ { C ^ { 0 , \alpha } } } & { \lesssim \lVert \varphi _ { [ t _ { n - 1 } , 0 ] } - \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , 0 ] } \rVert _ { C ^ { 0 , \alpha } } + \mathcal { O } ( \Delta t ( \Delta \tau \operatorname* { m i n } ( h ^ { 3 } \Delta t ^ { - 1 } , h ^ { 2 } ) + \Delta t ^ { s } ) + \Delta t ^ { p + 1 } ) } \end{array}
G _ { \mathrm { ~ e ~ } } = - \eta _ { 0 \mathrm { ~ e ~ } } \left[ 2 \nabla _ { \| } v _ { \| \mathrm { ~ e ~ } } + C ( \phi ) / B - C ( p _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) / ( e n _ { \mathrm { ~ e ~ } } B ) \right]
\begin{array} { r l } { \Phi ( \xi , \tau ) } & { { } = k _ { L } \xi - \frac { 2 c ^ { 2 } \tau } { \omega _ { L } w _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 1 + \left\langle \frac { \delta n ( r , \xi ; | a _ { s } | ^ { 2 } ) } { \Delta n } \right\rangle _ { \perp } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { 0 , 1 } = \mu _ { 0 } = b _ { 0 } , \quad \mu _ { k , k + 1 } = \frac { b _ { 0 } b _ { 1 } \cdots b _ { k } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { k } } , \mu _ { k } = \frac { b _ { 0 } \cdots b _ { k - 1 } q _ { k } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { k } } , \; k \geq 1 , } \\ & { \mathfrak { m } ^ { * } ( \{ 0 \} ) = 1 , \quad \mathfrak { m } ^ { * } ( \{ k \} ) = \frac { b _ { 0 } b _ { 1 } \cdots b _ { k - 1 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { k } } , \; k \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { m } \dot { R } } & { = \frac { \gamma } { \pi \tau _ { m } } + 2 R V - \hat { g } _ { \mathrm { s y n } } \tau _ { m } R ^ { 2 } \; , } \\ { \tau _ { m } \dot { V } } & { = V ^ { 2 } - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + \hat { g } _ { \mathrm { s y n } } \tau _ { m } R [ E _ { \mathrm { s y n } } - V ] + I _ { 0 } \; . } \end{array}
E _ { u l } = \frac { 1 } { 2 } \big \langle u _ { l } ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } \quad , \quad E _ { v l } = \frac { 1 } { 2 } \big \langle v _ { l } ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } \quad , \quad E _ { w l } = \frac { 1 } { 2 } \big \langle w _ { l } ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } ,