harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { C ( \bar { X } ) } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \not \in \mathcal { S } _ { t } } q ( 2 t _ { 0 } ) ^ { q - 1 } | \left\langle A _ { i } , \bar { X } \right\rangle | } \\ & { \leq q ( 2 t _ { 0 } ) ^ { q - 1 } \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { i \not \in \mathcal { S } _ { t } } | \left\langle A _ { i } , \bar { X } \right\rangle | + \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } | \left\langle B _ { i } , \bar { X } \right\rangle | \right) } \\ & { \leq q ( 2 t _ { 0 } ) ^ { q - 1 } \gamma ^ { 2 } } \end{array}
{ \cal B } _ { 0 0 } \; = \; \left\{ \begin{array} { l } { { ( 2 . 9 _ { - 0 . 3 } ^ { + 0 . 4 } \pm 0 . 6 ) \cdot 1 0 ^ { - 4 } ~ ~ ~ ~ ( \mathrm { B e l l e } ) \; , \; \; \; \; \; \; } } \\ { { ( 2 . 6 \pm 0 . 3 \pm 0 . 6 ) \cdot 1 0 ^ { - 4 } ~ ~ ~ ~ ( \mathrm { C L E O } ) \; . } } \end{array} \right.
y ^ { 2 } = x ^ { 3 } + f _ { 8 } ( z ^ { \prime } ) z ^ { 4 } x + g _ { d _ { 1 } } ( z ^ { \prime } ) z ^ { 5 } + g _ { 1 2 } ( z ^ { \prime } ) z ^ { 6 } + g _ { d _ { 2 } } ( z ^ { \prime } ) z ^ { 7 }
\begin{array} { r l r } { c _ { n } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \frac { d \phi } { \cos ^ { 2 n } \phi } \ = \ \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } ( 1 + \tan ^ { 2 } \phi ) ^ { n } d \phi \ = \ \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 + y ^ { 2 } ) ^ { n - 1 } d y } \end{array}
\psi _ { \nu } = \Biggl \langle \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { { \nu } } \sum _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } e ^ { i { \nu } \theta _ { i j } } \Big | ^ { 2 } \Biggr \rangle
\begin{array} { r l } { A _ { [ b c ] } ^ { a d } - B _ { \quad [ c b ] } ^ { a d } - B _ { \quad [ b } ^ { a h } \ B _ { | h | c ] } ^ { \quad d } } & { = 0 ; \quad A _ { b } ^ { a c d } - B _ { \quad b } ^ { a [ c d ] } + B _ { \quad h } ^ { a [ c } B _ { \quad b } ^ { | h | d ] } = 0 ; \quad A _ { [ b c d ] } ^ { a } = 0 } \\ { A _ { a d } ^ { [ b c ] } + B _ { a d } ^ { \quad [ c b ] } + B _ { a h } ^ { \quad [ b } \ B _ { \quad d } ^ { | h | c ] } } & { = 0 ; \quad A _ { a c d } ^ { b } + B _ { a [ c d ] } ^ { \quad b } - B _ { a [ c } ^ { \quad h } B _ { | h | d ] } ^ { \quad b } = 0 ; \quad A _ { a } ^ { [ b c d ] } = 0 ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { H [ v , \mathbf { B } ^ { \prime } , \mathbf { A } ] } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( - \mathrm { i } \nabla _ { k } + \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { k } ) ) ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { B } ^ { \prime } ( \mathbf { r } _ { k } ) \cdot \mathbf { S } _ { k } } \\ & { \quad + \sum _ { k } v ( \mathbf { r } _ { k } ) + \lambda \sum _ { k < l } \frac { 1 } { r _ { k l } } . } \end{array}
\mathcal { F } = f _ { \mathrm { a s p } } ^ { 2 } + f _ { R _ { c } } ^ { 2 } + f _ { \mathrm { m i n r } } ^ { 2 } + f _ { \langle B \rangle } ^ { 2 } + f _ { \mathrm { b a l l } } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac { \partial h } { \partial t } + \partial _ { j } \left( h v ^ { j } \right) } & { { } = \mathfrak { M } , } \\ { \displaystyle \frac { \partial ( h v _ { i } ) } { \partial t } + \partial _ { j } \left( h v _ { i } v ^ { j } \right) + h \partial _ { i } w } & { { } = \mathfrak { F } _ { i } , \quad i = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 t ^ { \frac \delta 4 } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } } & { \le t ^ { - ( \frac 1 4 - \frac \delta 2 ) } \sqrt { 8 6 L _ { t - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ & { \Updownarrow } \\ { 4 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \le t ^ { - \frac 1 2 + \frac \delta 2 } \left( 8 6 L _ { t - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \\ & { \Uparrow ( a ) } \\ { 4 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \le t ^ { - \frac 1 2 + \frac \delta 2 } \left( 8 6 L _ { t - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \frac 1 { 3 L _ { t - 1 } K ^ { 3 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 3 } \right) } \\ & { \Updownarrow } \\ { 4 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \le t ^ { - \frac 1 2 + \frac \delta 2 } \left( \frac 1 3 \cdot 2 5 8 L _ { t - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \frac 2 3 \cdot \frac 1 { 2 L _ { t - 1 } K ^ { 3 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 3 } \right) , } \\ & { \Uparrow ( b ) } \\ { 4 \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } & { \le t ^ { - \frac 1 2 + \frac \delta 2 } \cdot 2 5 8 ^ { \frac 1 3 } 2 ^ { - \frac 2 3 } t ^ { \frac 1 2 } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \Updownarrow } \\ { 4 } & { \le t ^ { \frac \delta 2 } \left( \frac { 2 5 8 } 4 \right) ^ { \frac 1 3 } , } \end{array}
\ensuremath { \mathbf { x } } _ { j } = ( a _ { 1 , j } , \dots , a _ { n , j } , s _ { 1 , j } , \dots , s _ { n , j } , \sigma _ { 1 , j } , \dots , \sigma _ { n , j } , \omega _ { 1 , j } , \dots , \omega _ { n , j } , \phi _ { 1 , j } , \dots , \phi _ { n , j } )
\begin{array} { r l } & { { \cal L } \left( { { { \bf { S } } _ { k } } , { \lambda _ { k } } , { { \bf { Y } } _ { k } } } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathrm { { T r } } } \left( { { { \bf { S } } _ { k } } } \right) - \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { \mathrm { T r } } \left( { { { \bf { Y } } _ { k } } { { \bf { S } } _ { k } } } \right) } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { \lambda _ { k } } \left( { { \gamma _ { k } } \left( { \frac { { { \bf { h } } _ { k } ^ { H } \sum _ { i > k } { { { \bf { S } } _ { i } } { { \bf { h } } _ { k } } } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } + 1 } \right) - \frac { { { \bf { h } } _ { k } ^ { H } { { \bf { S } } _ { k } } { { \bf { h } } _ { k } } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } \right) } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \left( { \mathrm { { T r } } \left( { \left( { { { \bf { Z } } _ { k } } - { { \bf { Y } } _ { k } } } \right) { { \bf { S } } _ { k } } } \right) + { \lambda _ { k } } { \gamma _ { k } } } \right) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { - r } ^ { r } { \sqrt { r ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \, d x } & { = \int _ { - { \frac { \pi } { 2 } } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt { r ^ { 2 } \left( 1 - \sin ^ { 2 } \theta \right) } } \cdot r \cos \theta \, d \theta } \\ & { = 2 r ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cos ^ { 2 } \theta \, d \theta } \\ & { = { \frac { \pi r ^ { 2 } } { 2 } } . } \end{array} }
\int _ { \partial \Sigma } { \overline { { g } } } _ { I z } x \Theta _ { \epsilon } ( x ) \partial _ { n } z = \int _ { \Sigma } \partial _ { \alpha } \left( { \overline { { g } } } _ { I z } ^ { 1 } x \Theta _ { \epsilon } ( x ) \partial ^ { \alpha } z \right)
\begin{array} { r } { u ^ { i } ( \mathbf { x } , \omega ; \boldsymbol { \xi } ) = \sum _ { j , k = 1 } ^ { 3 } \mathcal { G } ^ { i j , k } ( \mathbf { x } , \omega ; \boldsymbol { \xi } ) \, m ^ { j k } ( \omega ; \boldsymbol { \xi } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { ( 1 ) , \mathbf { k } } ^ { \nu \mu \alpha } ( \omega ) = - \frac { i } { 2 } } & { { } \Big ( \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { 1 \mp 2 } ^ { c } = + \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \sin i \left( \cos i \mp 1 \right) } \\ & { \times \left( 2 \sin \gamma \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + 3 \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \cos \gamma \right) \bar { S } _ { 2 1 } , } \end{array}
\frac { P _ { p h } } { t _ { 0 } } = \frac { 3 . 1 5 9 \, B _ { 0 } } { B _ { p h } } + 3 . 3 0 9 \sqrt { \frac { \rho _ { p h } } { \rho _ { 0 } } } + 1 . 0 2 \sqrt { \frac { T _ { 0 } } { T _ { p h } } } - 3 . 5 4 1 \pm 0 . 4 3 4
\begin{array} { r l } { \hat { \bf P } _ { \mathrm { f i e l d } } } & { { } = \hbar k \hat { \bf z } \left( ( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } + \frac { 1 } { 2 } ) + ( \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } + \frac { 1 } { 2 } ) \right) , } \end{array}
\frac { \partial p _ { \mathrm { e f f } } ( x , t ) } { \partial t } = D _ { \mathrm { e f f } } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { \mathrm { e f f } } ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } - V _ { \mathrm { e f f } } \frac { \partial p _ { \mathrm { e f f } } ( x , t ) } { \partial x } + \delta ( x ) \delta ( t )
\begin{array} { c c c } { { J } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { \alpha } } & { { c } } & { { \bar { b } } } \\ { { \bar { c } } } & { { \beta } } & { { a } } \\ { { b } } & { { \bar { a } } } & { { \gamma } } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { { \cal R } = \bar { \cal C } { \cal K } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \bar { \cal C } = \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { p - 1 } \frac { q ^ { - m ( m - 1 ) / 2 } } { [ m ] ! } \left( - ( q - q ^ { - 1 } ) \right) ^ { m } e ^ { m } \otimes f ^ { m } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { { \cal K } = \displaystyle \frac { 1 } { p } \sum _ { n , n ^ { \prime } = 0 } ^ { p - 1 } q ^ { 2 n n ^ { \prime } } t ^ { n } \otimes \bar { t } ^ { n ^ { \prime } } ~ . } } \end{array}
\psi _ { \pm } ( \delta \theta ) = { \left( \begin{array} { l } { { \psi _ { + } \cos \delta \theta + \psi _ { - } \sin \delta \theta } } \\ { { \psi _ { + } \sin \delta \theta - \psi _ { - } \cos \delta \theta } } \end{array} \right) } ~ ,
\psi _ { L } = \left( \begin{array} { c } { { t _ { L } } } \\ { { b _ { L } } } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { \psi } _ { L } = \left( \begin{array} { c } { { - b _ { L } ^ { c } } } \\ { { t _ { L } ^ { c } } } \end{array} \right) ,
J ^ { A B } = \left\{ \begin{array} { l l } { { J ^ { a b } } } & { { \mathrm { i f ~ A = a , B = b \in \{ 0 , 1 , \cdots , ~ d \} ~ ; } } } \\ { { R P ^ { a } \quad } } & { { \mathrm { i f ~ A = a \in \{ 0 , 1 , \cdots , ~ d \} , ~ B = d + 1 ~ . } } } \end{array} \right.
\hat { \mathrm { H } } _ { ( 1 ) } \equiv \frac { \hbar } { 2 } \sum _ { \stackrel { p \in \cal Z } { p \neq 0 } } \frac { 1 } { p } \varepsilon _ { \mathrm { R } } ( p ) \rho _ { t o t } ( - p ) \rho _ { t o t } ( p ) ,
\begin{array} { r l r } { A ^ { ( j ) } } & { { } = } & { 2 \kappa ^ { ( j ) } k \sinh ( k h ) - \left( \kappa ^ { ( j ) 2 } + k ^ { 2 } \right) \sinh ( \kappa ^ { ( j ) } h ) } \\ { B ^ { ( j ) } } & { { } = } & { 2 k ^ { 2 } \cosh ( k h ) - \left( \kappa ^ { ( j ) 2 } + k ^ { 2 } \right) \cosh ( \kappa ^ { ( j ) } h ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \delta } _ { j } } & { = \omega _ { j } , } \\ { \tau _ { j } \dot { \omega } _ { j } } & { = - \omega _ { j } + \omega ^ { \mathrm { d } } - \kappa _ { j } \left( P _ { j } ^ { \mathrm { e l } } - P _ { j } ^ { \mathrm { d } } \right) , } \\ { \tau _ { j } \dot { E } _ { j } } & { = - E _ { j } + E _ { j } ^ { \mathrm { d } } - \chi _ { j } \left( Q _ { j } ^ { \mathrm { e l } } - Q _ { j } ^ { \mathrm { d } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf \Pi } _ { \mathrm { { { F } } } } : = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta t } { \Delta x } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left[ \left( \mathbf { F } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } ) - \mathbf { F } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } ) \right) + \left( \mathbf { F } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } ) - \mathbf { F } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } ) \right) \right] } \end{array}
\phi = \pm \frac { 1 } { | l _ { 1 } - l _ { 2 } | } \operatorname { a r c c o s } ( - \frac { \frac { 1 } { b } + b \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } } { 1 + \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } } )
\Delta t \equiv t _ { r } - t _ { l } , \quad \Delta m \equiv m _ { L } - m _ { S } , \quad \Delta \Gamma = \Gamma _ { L } - \Gamma _ { S } \quad \mathrm { a n d } \quad \Gamma = \frac { 1 } { 2 } ( \Gamma _ { L } + \Gamma _ { S } ) \, .
\begin{array} { r l r } { f \left( x _ { 0 } \right) } & { = } & { - \frac { B _ { z 0 } \left( x _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { | x _ { 0 } | ^ { 2 } } \left\langle \left( f ( x _ { 0 } ) + g ( y ) \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - 2 } } \\ & { } & { - 2 \frac { p _ { 0 } \left( x _ { 0 } \right) } { | x _ { 0 } | ^ { \gamma } } \left\langle \left( f ( x _ { 0 } ) + g ( y ) \right) ^ { - 1 / 2 } \right\rangle ^ { - \gamma } + \mathrm { c o n s t } } \end{array}
E _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \lambda ; z ) E _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) \sim \sum _ { n ^ { \prime \prime } } \frac { [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] } { z } E _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) E _ { b _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } - 1 ) } ( \lambda ^ { \prime } , 0 ) .
0 = \langle u , { \vec { a } } - { \vec { a } } \rangle = D _ { u } \log ( C ( \cdot ) ) \vert _ { { \vec { \lambda } } ^ { \prime } } - D _ { u } \log ( C ( \cdot ) ) \vert _ { \vec { \lambda } } = D _ { u } ^ { 2 } \log ( C ( \cdot ) ) \vert _ { \vec { \gamma } }
\mathbf { u } ^ { t + 1 } = \mathscr { F } _ { c o n v _ { 2 } } ( \mathbf { \widetilde { u } } ^ { t + 1 } , \mathbf { u } ^ { t } , \varepsilon ^ { t + 1 } , \varepsilon ^ { t } , \mathbf { s } _ { c o n v _ { 2 } } ^ { t } , \boldsymbol { \lambda } ; \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ) + \mathbf { \widetilde { u } } ^ { t + 1 } ,
\begin{array} { r l } { h } & { _ { s , x } ( t , y ) \lesssim 1 + \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \Vert \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , \cdot - x ) \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } \mathrm { d } u } \\ & { \lesssim 1 + \frac { 1 } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \Vert \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , \cdot - x ) \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } \mathrm { d } u , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma k ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - 1 } ( 2 \omega _ { 0 } ) } & { = } & { ( \gamma - \omega _ { 0 } + \omega _ { 0 } ) k ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - 1 } ( 2 \omega _ { 0 } ) } \\ & { = } & { 2 k \omega _ { 0 } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k } + 2 k \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { \mathrm { H O } } } & { = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \Omega } } ( a _ { x } ^ { \mathrm { H O } } + ( a _ { x } ^ { \mathrm { H O } } ) ^ { \dag } ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } ^ { \mathrm { H O } } } & { = \sqrt { \frac { m \Omega } { 2 \hbar } } ( a _ { x } ^ { \mathrm { H O } } - ( a _ { x } ^ { \mathrm { H O } } ) ^ { \dag } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \omega _ { n } - \sigma _ { 1 } \omega _ { n } } & { { } = f _ { n } , } \\ { \nabla ^ { 2 } \theta _ { n } - \sigma _ { 2 } \theta _ { n } } & { { } = h _ { n } , } \\ { - \nabla ^ { 2 } \psi _ { n } } & { { } = \omega _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sigma ( \tilde { N } _ { S } ) = \frac { ( 1 - \beta ) \cdot \sigma ( E _ { S } ) + \beta \cdot \sigma ( E _ { B } ) } { \delta } \, = \, \frac { \sigma ( E _ { S } ) } { \delta } , } \\ & { } & { \sigma ( \tilde { N } _ { B } ) = \frac { \varepsilon \cdot \sigma ( E _ { B } ) + ( 1 - \varepsilon ) \cdot \sigma ( E _ { S } ) } { \delta } \, = \, \frac { \sigma ( E _ { B } ) } { \delta } \, = \, \sigma ( \tilde { N } _ { S } ) , } \end{array}
{ I } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ R - 2 g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \phi \right] + I _ { m } [ \Psi _ { m } , \Omega ^ { 2 } ( \phi ) g _ { \mu \nu } ] \; ,
{ \cal M } _ { N } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 2 m _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } \upsilon _ { 1 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } \upsilon _ { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } \upsilon _ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { 2 m _ { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } g \upsilon _ { 1 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } g \upsilon _ { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } g \upsilon _ { 3 } } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } \upsilon _ { 1 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } g \upsilon _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - \frac { 1 } { 2 } \mu } } & { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } \upsilon _ { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } g \upsilon _ { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } \mu } } & { { 0 } } & { { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 3 } } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime } \upsilon _ { 3 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } g \upsilon _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } & { \left\langle \frac { d n _ { 1 } } { d t } \right\rangle = \langle 2 J + 1 \rangle , \quad \left\langle \frac { d n _ { 2 } } { d t } \right\rangle = \langle - J - 2 n _ { 2 } \rangle , \quad \left\langle \frac { d J } { d t } \right\rangle = \left\langle \frac { 8 n _ { 1 } n _ { 2 } } { \chi } - \frac { 2 n _ { 1 } ^ { 2 } } { \chi } - J \right\rangle , } & \\ & { \left\langle \frac { d n _ { 1 } ^ { 2 } } { d t } \right\rangle = \langle 4 n _ { 1 } J + 4 n _ { 1 } \rangle , \quad \left\langle \frac { d n _ { 2 } ^ { 2 } } { d t } \right\rangle = \langle - 2 n _ { 2 } J - 4 n _ { 2 } ^ { 2 } \rangle , \quad \left\langle \frac { d n _ { 1 } n _ { 2 } } { d t } \right\rangle = \langle - J n _ { 1 } - 2 n _ { 1 } n _ { 2 } + 2 J n _ { 2 } + n _ { 2 } \rangle . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \hat { p } _ { i } , \hat { p } _ { j } \} } & { { } = \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } , \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { j } \} } \\ { \& = ( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } ) ( \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { j } ) + ( \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { j } ) ( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \left( \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } \right) } & { = - \nabla p + \nabla \cdot \left[ \mu \left( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { \intercal } \right) \right] + \mathbf { F } , } \\ { \frac { \partial p } { \partial t } + \rho { c _ { s } } ^ { 2 } \left( \nabla \cdot \mathbf { u } \right) } & { = \frac { 1 } { \rho } \nabla \cdot \left( \mu \nabla p \right) , } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { M _ { 1 } N _ { 0 } } & { M _ { 1 } N _ { 1 } } & { M _ { 1 } N _ { 4 } } & { M _ { 1 } N _ { 5 } } \\ { M _ { 1 } N _ { 2 } } & { M _ { 1 } N _ { 3 } } & { M _ { 1 } N _ { 6 } } & { M _ { 1 } N _ { 7 } } \\ { M _ { 1 } N _ { 8 } } & { M _ { 1 } N _ { 9 } } & { M _ { 1 } N _ { 1 2 } } & { M _ { 1 } N _ { 1 3 } } \\ { M _ { 1 } N _ { 1 0 } } & { M _ { 1 } N _ { 1 1 } } & { M _ { 1 } N _ { 1 4 } } & { M _ { 1 } N _ { 1 5 } } \end{array}
\Gamma ( 0 ^ { + + } \rightarrow \pi \pi ) = C \frac { \pi } { 1 2 M } \left| \int d z d z ^ { \prime } \phi _ { \pi } ( z ) \phi _ { \pi } ( z ^ { \prime } ) \phi _ { 0 } ( k _ { i } ) \alpha _ { s } \frac { ( z - z ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 z \overline { { { z } } } ^ { \prime } + 2 z ^ { \prime } \overline { { { z } } } } { z \overline { { { z } } } z ^ { \prime } \overline { { { z } } } ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { W ^ { + } ( \Delta ) \equiv } & { \, W ^ { + + } + W ^ { + - } } \\ { = } & { \, \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) } \\ & { \, \times \left( 1 - \varepsilon - 2 \varepsilon ^ { 2 } ( 1 + \Delta ) + 2 \varepsilon q ( 1 + \varepsilon ) \right) , } \\ { W ^ { - } ( \Delta ) \equiv } & { \, W ^ { - + } + W ^ { -- } } \\ { = } & { \, \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) } \\ & { \, \times \left( 1 + \varepsilon + 2 \Delta \varepsilon ^ { 2 } - 2 \varepsilon q ( 1 + \varepsilon ) \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { I V , A } } } \\ { \psi _ { \mathrm { I V , B } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega ( L _ { \mathrm { A } } - L _ { \mathrm { c o } } ) / ( 2 c ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i n _ { \mathrm { w g } } \omega ( L _ { \mathrm { B } } - L _ { \mathrm { c o } } ) / ( 2 c ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { I I I , A } } } \\ { \psi _ { \mathrm { I I I , B } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { J _ { b } ( x ) = \frac { I / \Lambda ( x ) } { \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } d x [ 1 / \Lambda ( x ) ] } = \frac { I / F ( x ) } { \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } d x [ 1 / F ( x ) ] } . } \end{array}
4 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 2 0 0 0 } a _ { 0 2 0 0 } ^ { 2 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 0 0 0 } + 1 ) - 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 2 0 0 } + a _ { 1 2 1 0 }
\begin{array} { r l } { \langle t \rangle _ { - } } & { \equiv \frac { 1 } { \widetilde { K } _ { j } ^ { - } ( 0 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } t K _ { j } ^ { - } ( t ) d t = - \frac { 1 } { \widetilde { K } _ { j } ^ { - } ( 0 ) } \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \partial _ { s } \widetilde { K } _ { j } ^ { - } ( s ) } \\ & { = \frac { 1 } { \widetilde { K } _ { j } ^ { - } ( 0 ) } \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { D _ { j } h _ { j } ^ { \prime } ( s ) / 2 } { [ 2 + D _ { j } h _ { j } ( s ) / 2 \kappa _ { j } ] ^ { 2 } } = \frac { D _ { j } } { 4 \kappa _ { j } } \frac { \widetilde { K } _ { j } ^ { - } ( 0 ) } { 2 \kappa _ { j } } \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } h _ { j } ^ { \prime } ( s ) = \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( t , x , \gamma , \tau , k ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } } \int _ { \mathbb R \times \mathbb T ^ { d } } \int _ { \mathbb R \times \mathbb Z ^ { d } } e ^ { i ( \tau ^ { \prime } - \tau ) ( t - t ^ { \prime } ) } e ^ { i ( k ^ { \prime } - k ) \cdot ( x - x ^ { \prime } ) } a ( t , x , \gamma , \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) b ( t ^ { \prime } , x ^ { \prime } , \gamma , \tau , k ) \, \mathrm { d } t ^ { \prime } \mathrm { d } x ^ { \prime } \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \mathrm { d } k ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } } \int _ { \mathbb R \times \mathbb Z ^ { d } } e ^ { i ( \tau ^ { \prime } t + k ^ { \prime } \cdot x ) } a ( t , x , \gamma , \tau + \tau ^ { \prime } , k + k ^ { \prime } ) \mathcal { F } _ { t , x } b ( \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } , \gamma , \tau , k ) \, \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \mathrm { d } k ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho ^ { \nu } ( t ) - \rho ( t ) | ^ { q } d x d s } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho ^ { \nu } ( t ) - \rho ( t ) | ^ { q - 1 } | \rho ^ { \nu } ( t ) - \rho ( t ) | d x d s } \\ & { \leq \| \rho ^ { \nu } - \rho \| _ { L ^ { 2 ( q - 1 ) } ( 0 , T ; L ^ { 2 ( q - 1 ) } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { q - 1 } \| \rho ^ { \nu } - \rho \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } . } \end{array}
\int _ { t ^ { * } } ^ { + \infty } | W _ { \gamma } ( t ) | \, d t \leq \frac { 2 4 5 } { 2 } e ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 3 5 \log ^ { 2 } ( \gamma t ^ { * } ) } { \gamma t ^ { * } } } \right) ( \gamma t ^ { * } ) ^ { 1 0 } e ^ { - \frac { 2 } { 7 } \frac { \gamma t ^ { * } } { \log ^ { 2 } ( \gamma t ^ { * } ) } } .