harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left[ { \left[ \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { 0 } & { d } & { e } \\ { 0 } & { 0 } & { f } \end{array} \right] } , { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { x } & { y } \\ { 0 } & { 0 } & { z } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \right] } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { a x } & { a x + b y } \\ { 0 } & { 0 } & { d z } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } - { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { d x } & { e x - y f } \\ { 0 } & { 0 } & { f z } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf K } ( { \bf x } ) = 5 0 \left[ 0 . 5 ( 1 - 1 0 ^ { - 7 } ) ( \sin { ( 6 \pi \cos { x } ) } \cos { ( 4 \pi \sin { ( 3 y ) } ) } - 1 ) + 1 \right] { \mathit { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G , \chi ) } { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ) } } & { \le } & { \frac { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ^ { \prime } , \chi ^ { \prime } ) + C _ { 1 } / k + C _ { 2 } / k } { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ^ { \prime } ) + C _ { 1 } + C _ { 2 } } } \\ & { \le } & { \frac { ( 1 / k - c ^ { \prime } ) \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ^ { \prime } ) + C _ { 1 } / k + C _ { 2 } / k } { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ^ { \prime } ) + C _ { 1 } + C _ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { k } - c ^ { \prime } \cdot \frac { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ^ { \prime } ) } { \overline { { \operatorname { c r } } } ( G ^ { \prime } ) + C _ { 1 } + C _ { 2 } } } \\ & { \le } & { \frac { 1 } { k } - c , } \end{array}
\langle \mathcal { T } ( r _ { 0 } ) \rangle = \frac { R _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } + 2 R _ { 1 } ( R _ { 1 } - 2 K ) \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { R _ { 2 } } \right) } { 4 D } ,
\begin{array} { r } { g _ { \mathrm { n e t } } ( q ) = \mathrm { d i a g } ( [ \underbrace { - 1 , \ldots , - 1 } _ { r } , \underbrace { 1 , \ldots , 1 } _ { s } ] \odot h _ { \mathrm { n e t } } ( q ) ) } \end{array}
D _ { j } = { \left| \begin{array} { l l l l } { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { 1 } \rangle } \\ { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { 2 } \rangle } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \langle \mathbf { v } _ { 1 } , \mathbf { v } _ { j } \rangle } & { \langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { j } \rangle } & { \dots } & { \langle \mathbf { v } _ { j } , \mathbf { v } _ { j } \rangle } \end{array} \right| } .
\begin{array} { r l r } { [ ( b a ) x ] _ { \beta } } & { = } & { \left( \beta ( \alpha - \beta ) P + \frac { P } { \beta } \theta + \beta ^ { 2 } P + P \delta ^ { f } \right) w } \\ & { - } & { \left( \beta ( \alpha - \beta ) P + \frac { P } { \beta } \theta - \alpha \delta ^ { f } - \alpha \beta ^ { 2 } \right) w } \\ & { = } & { \left( \beta ^ { 2 } P + P \delta ^ { f } + \alpha \delta ^ { f } + \alpha \beta ^ { 2 } \right) w . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C ( r , \tau ) = c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \left[ F _ { 1 } ( r , \tau ) + F _ { 2 } ( r , \tau ) \right] , } \\ & { F _ { 1 } ( r , \tau ) = \cos ( \tilde { \omega } _ { d } \tau ) \, g _ { \mathrm { r e } } ( r , \tau ) - \sin ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) \, g _ { \mathrm { i m } } ( r , \tau ) , } \\ & { F _ { 2 } ( r , \tau ) = \frac { \sin ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, g _ { \mathrm { r e } } ( r , \tau ) + \frac { \cos ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, g _ { \mathrm { i m } } ( r , \tau ) \, , } \\ & { g _ { \mathrm { r e } } ( r , \tau ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda ^ { 2 } r ^ { 2 } } \, \cos \left( \kappa ^ { 2 } r ^ { 2 } + \frac { d \phi } { 2 } \right) } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } \, \left[ \left( \epsilon + \lvert \tau \rvert \, b / 2 \tilde { \tau } _ { c } \right) ^ { 2 } + b ^ { 2 } \, \tilde { \omega } _ { d } ^ { 2 } \, \lvert \tau \rvert ^ { 2 } \right] ^ { d / 4 } } , } \\ & { g _ { \mathrm { i m } } ( r , \tau ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda ^ { 2 } r ^ { 2 } } \, \sin \left( \kappa ^ { 2 } r ^ { 2 } + \frac { d \phi } { 2 } \right) } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } \, \left[ \left( \epsilon + \lvert \tau \rvert \, b / 2 \tilde { \tau } _ { c } \right) ^ { 2 } + b ^ { 2 } \, \tilde { \omega } _ { d } ^ { 2 } \, \lvert \tau \rvert ^ { 2 } \right] ^ { d / 4 } } \, , } \end{array}
m _ { I } \; f _ { L _ { 1 } \ldots L _ { r } } ^ { K _ { 1 } \ldots K _ { q } } ( u ) = ( \delta _ { K _ { 1 } I } - \delta _ { K _ { 1 } N } - \delta _ { L _ { 1 } I } + \delta _ { L _ { 1 } N } + \ldots ) f _ { L _ { 1 } \ldots L _ { r } } ^ { K _ { 1 } \ldots K _ { q } } ( u )
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \hat { \mathbf { Q } } _ { m } ( t ) \partial _ { t } \, \Bigl \langle \! \nabla T _ { m - 1 } ( t , \cdot ) \otimes \nabla T _ { m - 1 } ( t , \cdot ) \! \Bigr \rangle \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \hat { \mathbf { Q } } _ { m } ( t ) \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } } \Bigl ( \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \nabla T _ { m - 1 } \otimes \nabla T _ { m - 1 } + \nabla T _ { m - 1 } \otimes \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \nabla T _ { m - 1 } \Bigr ) ( t , x ) d x d t \, , } \end{array}
\mathrm { G R } ( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} ) = \frac { 1 } { N ( N - 1 ) } \cdot \sum _ { s \in N } \, \, \sum _ { t \in N , t \neq s } \frac { \ell _ { s \rightarrow t } ^ { \mathrm { ( S P ) } } } { \ell _ { s \rightarrow t } ^ { \mathrm { ( G R ) } } } ,
X ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { { \frac { N } { 2 } } - 1 } \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { { \frac { N } { 2 } } - 1 } \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { { \frac { N } { 2 } } - 1 } { \tilde { x } } _ { i j l } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } ) \cos ( \varphi ( 2 k _ { 1 } + i ) \cos ( \varphi ( 2 k _ { 2 } + j ) \cos ( \varphi ( 2 k _ { 3 } + l ) )
M _ { 6 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 2 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r } { { \mathbb P } \bigg ( \sqrt { \lfloor \pi t \rfloor } \operatorname* { s u p } _ { ( 1 - { \epsilon } ) \lfloor \pi t \rfloor \leq m \leq ( 1 + { \epsilon } ) \lfloor \pi t \rfloor } \| \beta ^ { \mathrm { l i n } , m } ( 1 ) - \beta ^ { \mathrm { l i n } , ( 1 - { \epsilon } ) \lfloor \pi t \rfloor } ( 1 ) \| _ { 2 } \geq \delta \sigma _ { D _ { \beta } } \bigg ) \leq \frac { 2 { \epsilon } } { \delta ^ { 2 } } . } \end{array}
T ( \vec { x } ) \simeq T ( \vec { x } , 0 ) + \alpha \delta T , \ p ( \vec { x } ) \simeq p ( \vec { x } , 0 ) + \alpha \delta p , \ \vec { m } ( \vec { x } ) \simeq \vec { m } ( \vec { x } , 0 ) + \alpha \delta \vec { m }
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { i } ^ { x } } & { { } = 1 - 2 \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i } } \\ { \hat { \sigma } _ { i } ^ { y } } & { { } \simeq - i ( \hat { b } _ { i } - \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } ) } \\ { \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } } & { { } \simeq - ( \hat { b } _ { i } + \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } ) . } \end{array}
\left( { \frac { \partial } { \partial t } + \langle { \overline { { \bf { u } } } } \rangle \cdot \nabla } \right) \left\langle { \frac { 1 } { 2 } { \bf { u } } ^ { \prime \prime } { } ^ { 2 } } \right\rangle = P ^ { \prime \prime } - \varepsilon ^ { \prime \prime } + \nabla \cdot { \bf { T } } ^ { \prime \prime } - \left\langle { \widetilde { u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } u ^ { \prime \prime } { } ^ { m } } \frac { \partial \widetilde { u } ^ { m } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { B } & { = 2 \frac { \partial ( \rho E - \rho E _ { r } - \rho E _ { v } ) } { \partial x } - ( \boldsymbol { U } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 \lambda _ { t } } ) \frac { \partial \rho } { \partial x } , } \\ { R _ { 1 } } & { = 2 \frac { \partial \rho U } { \partial x } - 2 U \frac { \partial \rho } { \partial x } , } \\ { R _ { 2 } } & { = 2 \frac { \partial \rho V } { \partial x } - 2 V \frac { \partial \rho } { \partial x } , } \\ { R _ { 3 } } & { = 2 \frac { \partial \rho W } { \partial x } - 2 W \frac { \partial \rho } { \partial x } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { t a i l } } } & { = q ^ { 2 } \frac { M } { R ^ { 3 } } \boldsymbol { \hat { r } } - \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 } \frac { d } { d t } \left( \boldsymbol { \nabla } \Phi \right) } \\ & { = q ^ { 2 } \frac { M } { R ^ { 3 } } \boldsymbol { \hat { r } } - \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 } \frac { M } { R ^ { 3 } } v \boldsymbol { \hat { \phi } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { \eta } & { = \left[ 1 + \frac { 4 } { \alpha \sigma ^ { 2 } } \right] ^ { 1 / 4 } , } & { \gamma _ { i } } & { = \left[ \frac \eta { 2 ^ { i } \Gamma ( i + 1 ) } \right] ^ { 1 / 2 } , } & { \zeta ^ { 2 } } & { = \frac { \alpha } { 2 } ( \eta ^ { 2 } - 1 ) , } & { C _ { 1 } } & { = \alpha + \zeta ^ { 2 } + \sigma ^ { - 2 } . } \end{array}
V _ { \mathrm { o u t } } = { \frac { R _ { \mathrm { f } } } { R _ { 1 } } } V _ { \mathrm { d i f } } = { \frac { R _ { \mathrm { f } } } { R _ { 1 } } } \left( V _ { 2 } - V _ { 1 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } / N _ { p } } & { { } = 1 + \frac { f \epsilon ^ { 2 } } { \left\langle \Delta p ^ { 2 } \right\rangle } = 1 + \frac { f \epsilon ^ { 2 } A N _ { s } } { p ^ { a } } } \end{array}
\ensuremath { \mathbf { x } } _ { \mathrm { b e s t } } = \ensuremath { \mathbf { x } } _ { n + 1 } , f ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { \mathrm { b e s t } } ) = f ( \ensuremath { \mathbf { x } } _ { n + 1 } )
\begin{array} { r l } & { V _ { 1 } ^ { * } ( s _ { 1 } ^ { k } ) - V _ { 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { 1 } ^ { k } ) } \\ & { \overset { ( 1 ) } { \leq } \hat { V } _ { 1 } ^ { k } ( s _ { 1 } ^ { k } ) - V _ { 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { 1 } ^ { k } ) } \\ & { \overset { ( 2 ) } { \leq } \sum _ { h = 1 } ^ { H } E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } \Big [ b _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } \\ & { \quad \quad \quad + O C E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) ) - O C E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) ) \Big ] } \\ & { \overset { ( 3 ) } { \leq } \sum _ { h = 1 } ^ { H } E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } \left[ 2 \sqrt { 2 } \vert u ( - H + h ) \vert \sqrt { \frac { S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \mathcal { C } ) } & { = } & { \left( d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) d _ { ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) - 1 \right) M _ { w } + m _ { w } } \\ & { = } & { \left( d _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) - m _ { w } \right) d _ { ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) + d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \left( d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) - m _ { w } \right) d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) + d _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) . } \end{array}
\Psi ( x ) = \sum _ { a } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \left( Z _ { + , n } ^ { 1 / 2 } ( E ) b _ { a } ( E ) \psi _ { a } ^ { ( + ) } ( { \bf x } ) e ^ { - i E t } + Z _ { - , n } ^ { 1 / 2 } ( E ) d _ { a } ^ { \dagger } ( E ) \psi _ { a } ^ { ( - ) } ( { \bf x } ) e ^ { + i E t } \right)
{ \chi ^ { 2 } ( \Delta m ^ { 2 } , \mathrm { { t a n } ^ { 2 } } \theta ) } ^ { Z } = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \, \bigg [ { \frac { R _ { i , \, s i m u l a t e d } ^ { Z } / R _ { i , \, S S M } ^ { Z } - \alpha \, R _ { i , \, o s c } ^ { Z } / R _ { i , \, S S M } ^ { Z } } { \sigma _ { i } ^ { Z } } } \bigg ] ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { 0 } } & { { } = \mathbf { r } _ { c } - \frac { 1 } { 3 } ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } + \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) } \\ { \mathbf { r } _ { 1 } } & { { } = \mathbf { r } _ { c } + \frac { 1 } { 3 } ( 2 \boldsymbol { \ell } _ { 1 } - \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) } \\ { \mathbf { r } _ { 2 } } & { { } = \mathbf { r } _ { c } + \frac { 1 } { 3 } ( 2 \boldsymbol { \ell } _ { 2 } - \boldsymbol { \ell } _ { 1 } ) . } \end{array}
U ( x ) = U _ { 0 } U _ { 1 } ( x ) = U _ { 0 } \exp \left( i \sum _ { a = 1 } ^ { N _ { f } ^ { 2 } - 1 } \xi ^ { a } ( x ) t _ { a } / F \right) , \qquad \xi ^ { a } ( x ) = \sum _ { n \neq 0 } \phi _ { n } ^ { a } \exp \left( i \frac { 2 \pi } { L } n \cdot x \right) ,
\begin{array} { r } { c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } \leq \frac { 8 \lambda ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } s _ { k } } { c } , } \end{array}
m _ { b } \simeq { \frac { g _ { t } ^ { 2 } } { M _ { S } ^ { 2 } } } { \frac { \xi _ { t } } { \xi _ { b } } } 4 \pi F _ { \pi } ^ { 3 } \sqrt { { \frac { N _ { C } } { N _ { T C } } } }
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l } { { 7 } x } & { } & { \; + \; } & { } & { y } & { } & { \; = \; } & { } & { 1 } & { } \\ { 2 x } & { } & { \; + \; } & { } & { y } & { } & { \; = \; } & { } & { 1 } & { } \\ { 3 x } & { } & { \; + \; } & { } & { 2 y } & { } & { \; = \; } & { } & { 3 } & { } \end{array} }
K _ { c } ( \theta ) = - \frac { ( 1 ) ^ { 2 } } { ( 1 - a _ { 0 } - a _ { 1 } ) ( 1 + a _ { 0 } + a _ { 1 } ) ( 1 - a _ { 0 } + a _ { 1 } ) ( 1 + a _ { 0 } - a _ { 1 } ) } .
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta } ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) \| _ { \mathcal { C } ( [ 0 , T ] ) } } & { \leq C [ \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta } w _ { 2 } \| _ { \mathcal { C } ( [ 0 , T ] ) } + \| w _ { 2 } \| _ { \mathcal { C } ( [ 0 , T ] ) } ] , } \\ { \| \mathfrak { I } _ { \theta } ( t ) \| _ { L _ { 2 } ( 0 , T ) } } & { \leq C \| w _ { 2 } - w _ { 2 } ( 0 ) \| _ { L _ { 2 } ( 0 , T ) } , } \\ { \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta } ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) \| _ { L _ { 2 } ( 0 , T ) } } & { \leq C [ \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta } w _ { 2 } \| _ { L _ { 2 } ( 0 , T ) } + \| w _ { 2 } - w _ { 2 } ( 0 ) \| _ { L _ { 2 } ( 0 , T ) } ] , } \end{array}
M ^ { ( 2 ) } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { { a ( z ) } } & { { b ( z ) } } \\ { { c ( z ) } } & { { a ( z ) } } \end{array} \right) , \quad w i t h \ b ( z ) \ \bar { b } ( \bar { z } ) = c ( z ) \ \bar { c } ( \bar { z } ) .
C _ { f } = \frac { \overline { { \tau _ { w } } } } { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { \infty } U _ { \infty } ^ { 2 } } \qquad \textrm { a n d } \qquad C _ { p } = \frac { \overline { { p _ { w } } } - p _ { \infty } } { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { \infty } U _ { \infty } ^ { 2 } } ~ ,
U \; = \; \left( \begin{array} { c c c } { { \triangle \beta _ { 0 } } } & { { - \triangle \alpha _ { 0 } } } & { { 0 } } \\ { { \triangle \bar { \alpha } _ { 0 } } } & { { \triangle \bar { \beta } _ { 0 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { i \, I m \, \sigma } } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { r l } & { \int _ { I _ { n } } \left( \boldsymbol { \alpha } _ { h p } ^ { \prime \prime } , \varphi \right) d t = \int _ { I _ { n } } \left( \boldsymbol { \widetilde { \mathcal { F } } } ( t , \boldsymbol { \alpha } _ { h p } ) , \varphi \right) d t , \quad \forall \varphi \in P _ { r _ { n } - 2 } ( I _ { n } , \mathbb { R } ^ { M } ) , } \\ & { \boldsymbol { \alpha } _ { h p } | _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } ) = \boldsymbol { \alpha } _ { h p } | _ { I _ { n - 1 } } ( t _ { n - 1 } ) , \quad \boldsymbol { \alpha } _ { h p } ^ { \prime } | _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } ) = \boldsymbol { \alpha } _ { h p } ^ { \prime } | _ { I _ { n - 1 } } ( t _ { n - 1 } ) } \end{array} \right.
f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } = \rho \prod _ { \alpha = 1 } ^ { D } { \left( 1 - \varsigma ^ { 2 } - u _ { \alpha } ^ { 2 } \right) } ^ { 1 - \lvert c _ { i \alpha } \lvert } { \left( \frac { c _ { i \alpha } u _ { \alpha } + \varsigma ^ { 2 } + u _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 } \right) } ^ { \lvert c _ { i \alpha } \lvert } .
\dot { \mathbf { p } } ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \Omega } ^ { * } \times \mathbf { p } + \alpha _ { 0 } \mathbf { p } \cdot \mathbf { E } ^ { * } \cdot ( \mathbf { I } - \mathbf { p } \mathbf { p } ) ,
[ j _ { + } { } ^ { n } , ( j _ { + } { } ^ { m } ) ^ { \dagger } ] = n \delta _ { m , n } , \qquad [ j _ { - } { } ^ { n } , ( j _ { - } { } ^ { m } ) ^ { \dagger } ] = n \delta _ { m , n } , \qquad [ j _ { + } { } ^ { n } , j _ { - } { } ^ { m } ] = 0 .
\begin{array} { r l } { t _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ o ~ l ~ d ~ ) ~ } } } & { { } = - \frac { 3 } { 2 } t _ { 3 } ^ { 2 } \cosh ( s ) \left[ \cosh ( s ) - 1 \right] , } \\ { t _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ f ~ o ~ l ~ d ~ ) ~ } } } & { { } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } t _ { 3 } ^ { 2 } \sinh ( s ) \left[ \cosh ( s ) + 1 \right] , } \end{array}
\xi \mapsto \xi ^ { \prime } = { \frac { \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \, \xi - \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } { \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \, \xi + \cos \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) } } .
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { 1 } } & { \leftrightarrow \{ v _ { 9 } \to v _ { 7 } , v _ { 1 2 } \to v _ { 8 } \} \qquad } & & { \alpha _ { 2 } \leftrightarrow \{ v _ { 9 } \to v _ { 8 } , v _ { 1 2 } \to v _ { 7 } \} } \\ { \beta _ { 1 } } & { \leftrightarrow \{ v _ { 7 } \to v _ { 1 0 } , v _ { 8 } \to v _ { 1 1 } \} \qquad } & & { \beta _ { 2 } \leftrightarrow \{ v _ { 7 } \to v _ { 1 1 } , v _ { 8 } \to v _ { 1 0 } \} } \\ { \gamma _ { 1 } } & { \leftrightarrow \{ v _ { 1 4 } \to v _ { 1 7 } , v _ { 1 6 } \to v _ { 1 8 } \} \qquad } & & { \gamma _ { 2 } \leftrightarrow \{ v _ { 1 4 } \to v _ { 1 8 } , v _ { 1 6 } \to v _ { 1 7 } \} } \\ { \lambda _ { 1 } } & { \leftrightarrow \{ v _ { 1 7 } \to v _ { 1 3 } , v _ { 1 8 } \to v _ { 1 5 } \} \qquad } & & { \gamma _ { 2 } \leftrightarrow \{ v _ { 1 7 } \to v _ { 1 5 } , v _ { 1 8 } \to v _ { 1 3 } \} . } \end{array}
\left( { \frac { a } { p } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \; \; \, 0 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } p { \mathrm { ~ d i v i d e s ~ } } a } \\ { + 1 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } a \operatorname { R } p { \mathrm { ~ a n d ~ } } p { \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ d i v i d e ~ } } a } \\ { - 1 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } a \operatorname { N } p { \mathrm { ~ a n d ~ } } p { \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ d i v i d e ~ } } a } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \Big ( \int _ { Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } e ^ { a _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { \quad \quad \quad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } e ^ { a _ { \theta } ( y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + C ^ { \prime } ( \epsilon K _ { 0 } + K _ { 0 } ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathcal { D } ^ { c o m , 1 } ( t , k , \xi , \xi _ { 1 } ) | \lesssim e ^ { - \lambda _ { \mathcal { D } } ^ { \prime } | \xi - \xi _ { 1 } | ^ { s _ { 0 } } } , } \end{array}
( \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } ) ^ { 4 / 3 } = \left( \frac { 1 + \sigma } { b } - \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } \right) ^ { 4 / 3 } + \frac { H ^ { * } } { c } \left( b \frac { R a } { R a _ { c r } } \right) ^ { - 1 / 3 } .
\hat { H } ( v ) = \hbar \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { \Omega _ { p } } { 2 } } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { p } ^ { * } } { 2 } } & { - \Delta ( v ) } & { \frac { \Omega _ { c } } { 2 } } \\ { 0 } & { \frac { \Omega _ { c } ^ { * } } { 2 } } & { - \delta ( v ) } \end{array} \right) ,
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } ( { 0 } ) = 1 } \\ { \rho _ { 1 } ( { 1 } ) = i } \\ { \rho _ { 1 } ( { 2 } ) = - 1 } \\ { \rho _ { 1 } ( { 3 } ) = - i } \end{array} \right. } \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 2 } ( { 0 } ) = 1 } \\ { \rho _ { 2 } ( { 1 } ) = - 1 } \\ { \rho _ { 2 } ( { 2 } ) = 1 } \\ { \rho _ { 2 } ( { 3 } ) = - 1 } \end{array} \right. } \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 3 } ( { 0 } ) = 1 } \\ { \rho _ { 3 } ( { 1 } ) = - i } \\ { \rho _ { 3 } ( { 2 } ) = - 1 } \\ { \rho _ { 3 } ( { 3 } ) = i } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { 0 . 5 1 x ^ { 2 } - 1 . 0 2 x y _ { 1 } - 8 . 1 6 x y _ { 2 } + O _ { 3 } ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { \dot { y } _ { 1 } } & { = } & { - 1 . 0 2 y _ { 1 } + 0 . 7 6 5 x ^ { 2 } + 0 . 0 1 9 8 x y _ { 1 } - 1 . 0 4 y _ { 1 } ^ { 2 } - 5 . 1 x y _ { 2 } } \\ & { } & { + 4 . 1 2 y _ { 1 } y _ { 2 } - 4 . 2 8 4 y _ { 2 } ^ { 2 } + O _ { 3 } ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { = } & { - 0 . 5 2 y _ { 2 } + 4 . 3 7 4 8 x y _ { 2 } + 0 . 4 8 y _ { 1 } y _ { 2 } - 1 . 0 6 2 y _ { 2 } ^ { 2 } + O _ { 3 } ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha / \beta } ^ { A } ( x , y ; a , b ) } & { = \widehat { f } _ { \alpha / \beta } ^ { D } ( x ^ { - 1 } , y ^ { - 1 } ; b , a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { B } ( x , y ; a , b ) } & { = \widehat { f } _ { \alpha / \beta } ^ { B } ( x ^ { - 1 } , y ^ { - 1 } ; b , a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { C } ( x , y ; a , b ) } & { = \widehat { f } _ { \alpha / \beta } ^ { C } ( x ^ { - 1 } , y ^ { - 1 } ; b , a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { D } ( x , y ; a , b ) } & { = \widehat { f } _ { \alpha / \beta } ^ { A } ( x ^ { - 1 } , y ^ { - 1 } ; b , a ) . } \end{array}
\hat { C } _ { 1 } ( m _ { b } ) = - 3 \, , \qquad \hat { C } _ { 3 } ( m _ { b } ) = - 3 \, , \qquad \hat { C } _ { 5 } ( m _ { b } ) = { \frac { 2 } { 3 } } \, , \qquad \hat { C } _ { 6 } ( m _ { b } ) = { \frac { 1 } { 3 } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { f ( \mu + k ) } { f ( \mu + ( k - 1 ) ) } } & { = \frac { \frac { m ! } { ( \mu + k ) ! ( m - \mu - k ) ! } } { \frac { m ! } { ( \mu + k - 1 ) ! ( m - \mu - k + 1 ) ! } } \cdot \frac { p } { 1 - p } } \\ & { = \frac { m - \mu - k + 1 } { \mu + k } \cdot \frac { p } { 1 - p } } \\ & { = \frac { m \cdot ( 1 - \frac { \mu + k - 1 } { m } ) } { ( 1 + \frac { k } { \mu } ) m \cdot p } \cdot \frac { p } { 1 - p } } \\ & { = \frac { 1 - \frac { \mu + k - 1 } { m } } { 1 + \frac { k } { \mu } } \cdot \frac { 1 } { 1 - p } } \\ & { = \frac { 1 - p \cdot \frac { \mu + k - 1 } { \mu } } { 1 + \frac { k } { \mu } } \cdot \frac { 1 } { 1 - p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \dot { \theta } _ { G } } & { = } & { - \frac { c R B _ { \phi } } { { \cal J } B _ { 0 } B _ { \parallel } ^ { * } } \frac { J _ { 0 } \delta E _ { r G } } { 2 d \psi / d r } \, , } \\ { \delta \dot { \cal E } _ { G } } & { = } & { \frac { c v _ { \parallel } } { { \cal J } B _ { \parallel } ^ { * } } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \frac { R B _ { \phi } v _ { \parallel } } { B _ { 0 } } \right) \frac { J _ { 0 } \delta E _ { r G } } { 2 d \psi / d r } \, . } \end{array}