harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \begin{array} { l l l l l } { e ^ { \alpha _ { 1 } x _ { 1 } } } & { e ^ { \alpha _ { 2 } x _ { 1 } } } & { e ^ { \alpha _ { 3 } x _ { 1 } } } & { e ^ { \alpha _ { 4 } x _ { 1 } } } & { e ^ { \alpha _ { 5 } x _ { 1 } } } \\ { e ^ { \alpha _ { 1 } x _ { 2 } } } & { e ^ { \alpha _ { 2 } x _ { 2 } } } & { e ^ { \alpha _ { 3 } x _ { 2 } } } & { e ^ { \alpha _ { 4 } x _ { 2 } } } & { e ^ { \alpha _ { 5 } x _ { 2 } } } \\ { e ^ { \alpha _ { 1 } x _ { 3 } } } & { e ^ { \alpha _ { 2 } x _ { 3 } } } & { e ^ { \alpha _ { 3 } x _ { 3 } } } & { e ^ { \alpha _ { 4 } x _ { 3 } } } & { e ^ { \alpha _ { 5 } x _ { 3 } } } \\ { e ^ { \alpha _ { 1 } x _ { 4 } } } & { e ^ { \alpha _ { 2 } x _ { 4 } } } & { e ^ { \alpha _ { 3 } x _ { 4 } } } & { e ^ { \alpha _ { 4 } x _ { 4 } } } & { e ^ { \alpha _ { 5 } x _ { 4 } } } \\ { e ^ { \alpha _ { 1 } x _ { 5 } } } & { e ^ { \alpha _ { 2 } x _ { 5 } } } & { e ^ { \alpha _ { 3 } x _ { 5 } } } & { e ^ { \alpha _ { 4 } x _ { 5 } } } & { e ^ { \alpha _ { 5 } x _ { 5 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { K _ { n \cdot 1 } } \\ { K _ { n \cdot 2 } } \\ { K _ { n \cdot 3 } } \\ { K _ { n \cdot 4 } } \\ { \mu _ { n \cdot 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] ,
\int \sec { a x } \, d x = { \frac { 1 } { a } } \ln { \left| \sec { a x } + \tan { a x } \right| } + C = { \frac { 1 } { a } } \ln { \left| \tan { \left( { \frac { a x } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \right) } \right| } + C
\begin{array} { r l } { ( A _ { h } \nabla ( \omega v _ { 2 } ) , \nabla \chi ) } & { = ( \omega ( I - A _ { h } ) \nabla v _ { 1 } , \nabla \chi ) + ( ( I - A _ { h } ) \nabla v _ { 1 } \cdot \nabla \omega , \chi ) } \\ & { \quad + ( v _ { 2 } A _ { h } \nabla \omega , \nabla \chi ) - ( A _ { h } \nabla v _ { 2 } \cdot \nabla \omega , \chi ) \quad \forall \chi \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \varOmega ) . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi , \mathrm { ~ d ~ } ) = g ( \mathrm { ~ d ~ } ) \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ + ~ } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi ) + \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ - ~ } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi )
\begin{array} { r } { \frac { \kappa } { \gamma } = - \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - 1 } \tilde { x } _ { n } \frac { \tilde { x } _ { n + 1 } - \tilde { x } _ { n } } { \Delta t } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - 1 } [ \tilde { x } _ { n } ] ^ { 2 } } , } \\ { D = \frac { \Delta t } { 2 ( N _ { \mathrm { s } } - 1 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - 1 } \left( \frac { \tilde { x } _ { n + 1 } - { \tilde { x } _ { n } } } { \Delta t } + \frac { \kappa } { \gamma } \tilde { x } _ { n } \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial c _ { \sigma } } } & { { } = 2 \langle \chi _ { \sigma } \mid \frac { \delta T _ { s } } { \delta \rho } + v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ( \mathbf { r } ) + \frac { \delta J } { \delta \rho } + \frac { \delta E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } { \delta \rho } - \mu | \sum _ { \nu } c _ { \nu } \chi _ { \nu } \rangle \, . } \end{array}
m _ { a 1 } = \frac { \widetilde { C C } + \widetilde { C D } - \widetilde { D C } - \widetilde { D D } } { 2 } \, , \qquad m _ { b 2 } = \frac { \widetilde { C C } + \widetilde { D C } - \widetilde { C D } - \widetilde { D D } } { 2 }
\overline { { { C } } } ( \alpha _ { l } ) = \frac { \Gamma ( \frac { D } { 2 } - 1 ) } { 2 ^ { D } \pi ^ { \frac { 3 } { 2 } D - 2 } } \sum _ { m = 0 } ^ { M } ( L _ { m } + 2 \delta _ { m , l } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \cos ( 2 n \pi \alpha _ { m } ) } { n ^ { D - 2 } } .
F _ { 2 } ( m _ { b } ) = \eta ^ { - \frac { 1 6 } { 2 3 } } \{ F _ { 2 } ( M _ { W } ) + F _ { 2 } ^ { 0 } [ \frac { 1 1 6 } { 1 3 5 } ( \eta ^ { \frac { 1 0 } { 2 3 } } - 1 ) + \frac { 5 8 } { 1 8 9 } ( \eta ^ { \frac { 2 8 } { 2 3 } } - 1 ) ] \} ,
Q \left| A _ { i } ( \theta ) \right\rangle = \sqrt { m _ { i } } \mathrm { e } ^ { \theta / 2 } \mathcal { Q } \left| A _ { i } ( \theta ) \right\rangle \quad , \quad \bar { Q } \left| A _ { i } ( \theta ) \right\rangle = \sqrt { m _ { i } } \mathrm { e } ^ { - \theta / 2 } \bar { \mathcal { Q } } \left| A _ { i } ( \theta ) \right\rangle
\zeta _ { a , b } ^ { \pm } ( z ) = { \left( \sin z \right) } ^ { 2 \mu _ { \pm } } { \left( \cos z \right) } ^ { 2 \nu _ { a , b } } { } _ { 2 } F _ { 1 } \! \left( \alpha _ { a , b } ^ { \pm } , \beta _ { a , b } ^ { \pm } ; \gamma _ { \pm } ; \sin ^ { 2 } z \right) \; .
\begin{array} { r } { \frac { h _ { 0 } } { 2 x _ { \lambda } } \frac { d } { d x } \left[ ( x _ { \lambda } ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) \frac { d \Phi _ { 0 } } { d x } \right] + \Phi _ { 0 } = A } \end{array}
\begin{array} { r l } { H / \hbar = } & { \ \omega _ { c } c ^ { \dagger } c + \omega _ { m } m ^ { \dagger } m + \frac { \omega _ { a } } { 2 } S _ { z } + \frac { \omega _ { b } } { 2 } \left( q ^ { 2 } + p ^ { 2 } \right) } \\ & { + g _ { a } \left( S _ { + } c + S _ { - } c ^ { \dagger } \right) - g _ { c } c ^ { \dagger } c q + g _ { m } m ^ { \dagger } m q + H _ { \mathrm { d r i } } / \hbar , } \end{array}
v = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } w _ { i } ( \Lambda _ { i } ) - ( n - 2 ) \rho - \sum _ { i } n _ { i } \lambda _ { i } + K \sum _ { i } m _ { i } \lambda _ { i } , \; \; n _ { i } , m _ { i } \in { \bf Z } , \; n _ { i } \geq 0
Z _ { T M } ^ { r e d } = \int { \cal D } p { \cal D } q d e t { \bigl \{ \Theta _ { a } , \Upsilon _ { b } \bigr \} } \delta ( \theta ) \delta ( { \theta } _ { i } ^ { T } ) \delta ( \Upsilon ) \delta ( { \Upsilon } _ { i } ^ { T } ) e ^ { i \int ( p \dot { q } - { \cal H } _ { T M } ) } \; ,
\sigma _ { h } ( y ) = \sigma _ { h } ^ { 1 } ( 1 - \mathcal { H } ( y - y _ { 1 } ) ) + \sum _ { i = 2 } ^ { n - 1 } \sigma _ { h } ^ { i } \left[ \mathcal { H } ( y - y _ { i - 1 } ) - \mathcal { H } ( y - y _ { i } ) \right] + \sigma _ { h } ^ { n } \mathcal { H } ( y - y _ { n - 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { \linespread { 0 . 3 } } & { \frac { 1 } { p { - } 1 } \sum _ { s = 1 } ^ { p } \cos \{ \pi ( r { - } 1 ) x _ { s } \} \cos \{ \pi ( j { - } 1 ) x _ { s } \} { = } \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { p - 1 } , } & { r { \neq } j , r { - } j \mathrm { ~ e v e n } } \\ { 0 , } & { r { - } j \mathrm { ~ o d d } } \\ { \frac { p + 1 } { 2 p - 2 } , } & { r { = } j { \neq } 1 , p } \\ { \frac { p } { p - 1 } , } & { r { = } j { = } 1 , p } \end{array} \right. } \\ & { \frac { 1 } { p { - } 1 } \sum _ { s = 1 } ^ { p } \sin \{ \pi ( r { - } 1 ) x _ { s } \} \cos \{ \pi ( j { - } 1 ) x _ { s } \} } \\ & { = \frac { \{ 1 - ( - 1 ) ^ { r - j } \} } { 4 ( p - 1 ) } \left[ \mathrm { c o t } \{ \pi ( r - j ) / ( 2 p - 2 ) \} + \mathrm { c o t } \{ \pi ( j + r - 2 ) / ( 2 p - 2 ) \} \right] . } \end{array}
g _ { \mu \nu } ^ { E } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = - { \frac { 1 } { \left( H _ { 1 } H _ { 2 } H _ { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } f d t ^ { 2 } + \left( H _ { 1 } H _ { 2 } H _ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \left[ f ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } \right] ,
i \; \partial _ { - } \Psi ^ { i } \Psi ^ { i } + { \frac { 1 } { N } } D _ { \alpha } \Psi ^ { i } D _ { \alpha } \Psi ^ { i } = { \frac { 1 } { N } } \; D _ { \alpha } ( \Psi ^ { i } D _ { \alpha } \Psi ^ { i } ) \; ,
\boldsymbol { g } ^ { o } \left( \boldsymbol { \theta } ^ { r } \right) \triangleq \nabla _ { \boldsymbol { \theta } ^ { r } } \left( \ln p \left( \boldsymbol { y } ^ { r } \mid \boldsymbol { \theta } ^ { r } , \boldsymbol { x } \right) \right) , \boldsymbol { g } ^ { p } \left( \boldsymbol { \theta } ^ { r } \right) \triangleq \nabla _ { \boldsymbol { \theta } ^ { r } } \left( \ln p _ { \mathbf { \Theta } ^ { r } } \left( \boldsymbol { \theta } ^ { r } \right) \right)
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } ^ { \prime } ( \chi ) } & { \ll \frac { q ^ { M } } { M ^ { 3 A ^ { \prime } / 2 } } \left( \sum _ { A _ { 1 } < \d ( g ) \leq ( 1 - \delta ) M } \frac { \tau _ { k } ( g ) } { q ^ { \d ( g ) } } + \sum _ { \d ( h ) \leq \delta M } \frac { \tau _ { k } ( h ) } { q ^ { \d ( h ) } } \right) \ll \frac { q ^ { M } } { M ^ { 3 A ^ { \prime } / 2 - k } } . } \end{array}
\textbf { E } _ { h } ^ { \top } \textbf { 1 } = ( \mathbf { D } _ { \pi _ { 0 } } \mathbf { P } ^ { h } ) ^ { \top } \textbf { 1 } = ( \mathbf { P } ^ { h } ) ^ { \top } \mathbf { D } _ { \pi _ { 0 } } \textbf { 1 } = ( \mathbf { P } ^ { h } ) ^ { \top } \pi _ { 0 } = \pi _ { h }
\alpha ( T ) = \left[ 1 + ( 0 . 3 7 4 6 4 + 1 . 5 4 2 2 6 \omega ^ { \prime } - 0 . 2 6 9 9 2 \omega ^ { 2 } ) \left( 1 - \sqrt { T / T _ { c } } \right) \right] ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { V _ { l } = } & { { } - \frac { \alpha } { 2 r ^ { 4 } } W _ { 6 } \Big ( \frac { r } { r _ { c } } \Big ) - \frac { 1 } { r } - \Big ( \frac { N - S } { r } + A _ { 1 } \Big ) e ^ { - B _ { 1 } r } } \end{array}
M _ { f i } ^ { A } = - \frac { e _ { a } ^ { 2 } Q g ( Q ^ { 2 } - g ^ { 2 } ) } { 3 6 \pi ^ { 2 } M ^ { 4 } } \ln \left( \frac { M } { m _ { a } } \right) m _ { a } \overline { { { u } } } ( p _ { a } ^ { \prime } ) u ( p _ { a } ) \varepsilon ^ { \sigma \beta \omega \alpha } k _ { 3 \omega } k _ { 4 \alpha } A _ { \sigma } ( k _ { 3 } ) A _ { \beta } ( k _ { 4 } )
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \ell } \int _ { 0 } ^ { \ell } u ( x ; \mu , \ell ) \ d x = \frac { { \mathcal K } _ { 1 } + { \mathcal K } _ { 2 } } { { \mathcal K } _ { 3 } + { \mathcal K } _ { 4 } } > \frac { ( \beta ( \mu ) - { \epsilon } ) { \mathcal K } _ { 3 } + { \mathcal K } _ { 2 } } { { \mathcal K } _ { 3 } + { \mathcal K } _ { 4 } } . } \end{array}
- \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 9 } x ^ { 8 } + \frac { 8 } { 6 3 } x ^ { 6 } + \frac { 1 6 } { 1 0 5 } x ^ { 4 } + \frac { 6 4 } { 3 1 5 } x ^ { 2 } + \frac { 1 2 8 } { 3 1 5 } \right)
( n l ) = \left\{ \begin{array} { c c l } { { ( 0 0 ) } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \pi , ~ \eta , ~ \eta ^ { \prime } , K , ~ \bar { K } , ~ \rho , ~ \omega } } \\ { { ( 0 1 ) } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { a _ { 1 } , ~ \sigma , ~ f _ { 0 } } } \\ { { ( 1 0 ) } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { \pi ^ { * } ( 1 3 0 0 ) } } \end{array} \right.
( n _ { h } \nabla c _ { h } , \nabla \bar { n } _ { h } ) \approx \displaystyle \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { i < j \in I } \end{array} } \sqrt { n _ { i } } \sqrt { n _ { j } } ( c _ { j } - c _ { i } ) ( \bar { n } _ { i } - \bar { n } _ { j } ) ( \nabla \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { j } } , \nabla \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) .
\begin{array} { r l } { ( K u ) ( x ) } & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } K ( x , y ) u ( y ) d y } \\ & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } K ( x , y ) \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle y , \eta \rangle ) \hat { u } ( \eta ) \mathrm { \dj } \eta d y } \\ & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } \times \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle y , \eta \rangle ) K ( x , y ) \hat { u } ( \eta ) \mathrm { \dj } \eta d y } \\ & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } \times \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle x , \eta \rangle ) \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle y - x , \eta \rangle ) K ( x , y ) \hat { u } ( \eta ) \mathrm { \dj } \eta d y } \\ & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } \times \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle x , \eta \rangle ) \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle z , \eta \rangle ) ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } K ( x , z - x ) \hat { u } ( \eta ) \mathrm { \dj } z \mathrm { \dj } \eta } \\ & { = \int _ { \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } \exp ( \mathord { \mathrm { i } } \langle x , \eta \rangle ) k ( x , \eta ) \mathrm { \dj } \eta . } \end{array}
\Phi _ { \pm } ( { \alpha } ) = \varphi _ { 0 } ( \tilde { \alpha } ) + { \cal C } _ { \mathrm { I R } } ^ { \pm } \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 } { \tilde { \alpha } } } \tilde { \alpha } ^ { 2 \Delta } + \sum _ { \ell \geq 1 } { \cal C } _ { \ell } ^ { \pm } \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 } { 1 - 2 \Delta } \frac { \ell } { \tilde { \alpha } } } \tilde { \alpha } ^ { \frac { 2 \Delta } { 1 - 2 \Delta } \ell } \varphi _ { \ell } ( \tilde { \alpha } ) .
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } ) ( t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { \angle } ) , \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle } & { { } = \langle ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ^ { 1 } ) - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ^ { 1 } ) ) ( T _ { * } ^ { \angle } + R ^ { \angle } ) \Phi _ { 0 } , \Psi ^ { 0 } \rangle = \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ^ { 1 } ) ( T _ { * } ^ { \angle } + R ^ { \angle } ) \Phi _ { 0 } , \Psi ^ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } d P _ { \gamma } ^ { + } h \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } } & { \leq \frac { \alpha _ { c } } { 2 c ^ { 2 } ( 1 - \kappa ) ^ { 1 / 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } \| [ W _ { h } , \mathcal D _ { \gamma } ] \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } } \\ & { \leq \frac { \alpha _ { c } } { 2 c ( 1 - \kappa ) ^ { 1 / 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } \left( 1 6 ( 1 + \kappa ) \| h \| _ { Y } + c \| [ W _ { h } , \beta ] \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } } & { = } & { \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \left| \, \exists t \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } F ( x , y , t ) = \frac { \partial F } { \partial t } ( x , y , t ) = 0 \right. \right\} } \\ { } & { = } & { \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \left| \, \exists t \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } \left( x - t ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( y - t ^ { 6 } \right) ^ { 2 } - 1 = 0 , \, - 6 t ^ { 2 } \left( x - t ^ { 3 } \right) - 1 2 t ^ { 5 } \left( y - t ^ { 6 } \right) = 0 \right. \right\} } \\ { } & { = } & { \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \left| \, \exists t \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } \left( x - t ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( y - t ^ { 6 } \right) ^ { 2 } - 1 = 0 , \, t ^ { 2 } \left( \left( x - t ^ { 3 } \right) + 2 t ^ { 3 } \left( y - t ^ { 6 } \right) \right) = 0 \right. \right\} } \\ { } & { = } & { \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \left| \, x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 \right. \right\} \bigcup \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \left| \, \left( x - t ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( y - t ^ { 6 } \right) ^ { 2 } - 1 = 0 , \, x = t ^ { 3 } - 2 t ^ { 3 } \left( y - t ^ { 6 } \right) \right. \right\} } \\ { } & { = } & { \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \left| \, x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 \right. \right\} \bigcup \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \left| \, \left( - 2 t ^ { 3 } \left( y - t ^ { 6 } \right) \right) ^ { 2 } + \left( y - t ^ { 6 } \right) ^ { 2 } = 1 , \, x = t ^ { 3 } \left( 1 - 2 y + 2 t ^ { 6 } \right) \right. \right\} } \\ { } & { = } & { \left\{ ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \left| \, x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 \right. \right\} \bigcup \left\{ \left. \left( t ^ { 3 } \mp \frac { 2 t ^ { 3 } } { \sqrt { 4 t ^ { 6 } + 1 } } , t ^ { 6 } \pm \frac { 1 } { \sqrt { 4 t ^ { 6 } + 1 } } \right) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \right| \, t \in \mathbb { R } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \pi _ { i } ( E , x ) | } & { = | \partial ( \pi _ { i } ( E , x ) ) | \, | \iota ( \pi _ { i } ( E _ { b } , x ) ) | , \textrm { i f } i \ge 1 , } \\ { | \pi _ { i } ( B , b ) | } & { = | \partial ( \pi _ { i } ( E , x ) ) | \, | \delta ( \pi _ { i } ( B , b ) ) | , \textrm { i f } i \ge 2 , } \\ { | \pi _ { 1 } ( B , b ) | } & { = | \partial ( \pi _ { 1 } ( E , x ) ) | \, | \pi _ { 0 } ( E _ { b } ) | , } \\ { | \pi _ { i } ( E _ { b } , x ) | } & { = | \delta ( \pi _ { i + 1 } ( B , b ) ) | | \iota ( \pi _ { i } ( E _ { b } , x ) ) | , \textrm { i f } i \ge 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { h ( x ) = \frac { h _ { 0 } } { R } + \left( \frac { L } { R } \right) ^ { 3 } \frac { C a } { 6 P r } \zeta ( x ) \left[ \frac { 3 M a R } { H _ { 0 } } - \frac { 1 } { B r } \right] } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \frac { p _ { \infty } R } { \sigma } \left[ \left( \frac { L } { R } \right) ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\Psi _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( w ^ { \prime } , x ^ { 4 } w _ { 2 n } | \zeta ^ { \prime } , x ^ { 2 } \zeta _ { 2 n } ) J ( w ^ { \prime } x ^ { 4 } w _ { 2 n } | \zeta ^ { \prime } , x ^ { 2 } \zeta _ { 2 n } ) = \sigma \Psi _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( w _ { 2 n } , w ^ { \prime } | \zeta ) J ( w _ { 2 n } , w ^ { \prime } | \zeta ) \prod _ { j = 1 } ^ { 2 n - 1 } \left( \frac { \zeta _ { j } } { \zeta _ { 2 n } } \right) ^ { \frac { 1 } { r } } ,
a _ { \alpha } ^ { \pm } { \cal E } ^ { \alpha \beta } a _ { \beta } ^ { \pm } = 0 \ \, L e f t r i g h t a r r o w \ \ a _ { 2 } ^ { \pm } a _ { 1 } ^ { \pm } = q a _ { 1 } ^ { \pm } a _ { 2 } ^ { \pm } \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } \equiv \mathbf { u } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { 1 } { 1 - { \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ { \frac { \mathbf { u } } { \gamma _ { v } } } - \mathbf { v } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { v } } { 1 + \gamma _ { v } } } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { k } ( E ) } & { = } & { \sum _ { v = 0 } ^ { v _ { \mathrm { m a x } } } n _ { k v } \sum _ { v ^ { \prime } = 0 } ^ { v _ { \mathrm { m a x } } ^ { \prime } } \sum _ { J = 0 } ^ { J _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { J ^ { \prime } = J - 1 } ^ { J + 1 } s _ { k J J ^ { \prime } } \times } \\ & { } & { V \left( E , \Delta E _ { \mathrm { e x p } } , \gamma _ { k } , E _ { k v v ^ { \prime } } + \Delta E _ { k J J ^ { \prime } } , f _ { k v v ^ { \prime } } \right) , } \end{array}
\boldsymbol { \mathcal { Y } } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } = ( c _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } ^ { ( 1 ) } , . . . , c _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } ^ { ( m ) } , . . . , c _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } ^ { ( N _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } ) } ) ^ { \intercal }
H = { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } ( 2 - { \frac { R ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } m g z ( 1 + { \frac { R ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } ) + u _ { 1 } p _ { \lambda } + u _ { 3 } { \vec { p } } \cdot { \vec { r } }
S _ { { \mathrm { \scriptsize ~ { g a u g e d } } } } = \frac 1 2 \int _ { M } d ^ { 2 } x \left( G _ { \mu \nu } D ^ { a } X ^ { \mu } D _ { a } X ^ { \nu } + i Y _ { \alpha } \epsilon ^ { a b } ( \partial _ { a } V _ { b } ^ { \alpha } - \partial _ { b } V _ { a } ^ { \alpha } ) \right) \, ,
\widehat { \beta } _ { t } ^ { b } = \frac { p _ { \mathrm { b i r t h } } ( t ) \sharp \left[ { \overline { { E _ { \mathrm { t p a } } ( t ) } } } \right] } { \sum _ { \overline { { E _ { \mathrm { t p a } } ( t ) } } } k _ { i , t } ^ { \mathrm { o u t } } k _ { j , t } ^ { \mathrm { i n } } } .
\chi ^ { 2 } ( T _ { e 0 } , D _ { 0 } ) = \sum _ { t , \lambda } \left( D _ { \mathrm { ~ E ~ } } ( t , \lambda ) - D _ { \mathrm { ~ S ~ } } ( t , \lambda , T _ { e 0 } , D _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { ( 2 A _ { 1 } + A _ { 2 } ) F _ { 1 2 3 - 4 5 6 } } & { = ( 2 A _ { 1 } + A _ { 2 } ) ( F _ { 1 2 3 - 4 } + F _ { 1 2 3 - 5 } + F _ { 1 2 3 - 6 } ) } \\ & { = A _ { 4 } F _ { 4 - 1 2 3 } + A _ { 5 } F _ { 5 - 1 2 3 } + A _ { 6 } F _ { 6 - 1 2 3 } } \\ & { = A _ { 4 } ( F _ { 4 1 } + F _ { 4 2 } + F _ { 4 3 } ) + A _ { 5 } ( F _ { 5 1 } + F _ { 5 2 } + F _ { 5 3 } ) + A _ { 6 } ( F _ { 6 1 } + F _ { 6 2 } + F _ { 6 3 } ) } \\ & { = 2 A _ { 1 } ( F _ { 1 4 } + 2 F _ { 1 5 } + F _ { 1 6 } ) + A _ { 2 } F _ { 2 5 } { . } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { } } & { { \Psi = e ^ { - i \phi } \psi , \ \ \ \ \ } } \\ { { } } & { { \tilde { A } _ { \mu } = A _ { \mu } - \sqrt { N } \partial _ { \mu } \phi \ . \ \ \ \ \ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { | \tilde { B } \} } & { { } = } & { \bigg [ \int _ { 0 } ^ { \tau _ { c } } d \tau ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \prime } } \mathcal { X } ( \tau ^ { \prime } ) \bigg ] | B \} } \end{array}
P ( k _ { 1 } , \dots , k _ { n } \, | \, \rho ) \approx \frac { N ^ { n } } { n ! } \sum _ { i } s _ { i } \exp \left( - N \sum _ { k } a _ { k } I ( \vec { R } _ { i } \vec { x } _ { k } ) \right) \prod _ { j = 1 } ^ { n } a _ { k _ { j } } I ( \vec { R } _ { i } \vec { x } _ { k _ { j } } )
\begin{array} { r l } { \left\| \mathbf { p } _ { i + 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } } & { \le \hat { C } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } + \beta _ { i } ^ { 2 } \left( \hat { C } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } ^ { 2 } + \beta _ { i - 1 } ^ { 2 } \left\| \mathbf { p } _ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 2 } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \le \hat { C } \left( \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } + \beta _ { i } ^ { 2 } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } ^ { 2 } + \cdots + \prod _ { j = 2 } ^ { i } \beta _ { j } ^ { 2 } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { 1 } } ^ { 2 } \right) + \left\| \mathbf { p } _ { 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { 0 } } ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { i } \beta _ { j } ^ { 2 } } \\ & { \le \hat { C } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 4 } \left( \frac { 1 } { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { 1 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { 1 } } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \hat { C } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { 0 } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \le \hat { C } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 4 } \sum _ { j = 0 } ^ { i } \frac { 1 } { \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { j } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { j } } ^ { 2 } } \le \frac { \hat { C } ( i + 1 ) } { \gamma ^ { 2 } } \left\| \mathbf { G } _ { k } ^ { i } \right\| _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ^ { 4 } , } \end{array}
\log Z [ { v } , { v } ^ { \dagger } ] = \int d ^ { d } { x } d ^ { d } { y } { v } ^ { \dagger } ( { \mathbf { x } } ) \left( K \gamma ^ { 0 } \frac { \gamma \cdot ( { \mathbf { x } } - { \mathbf { y } } ) } { | { \mathbf { x } } - { \mathbf { y } } | ^ { d + 2 m + 1 } } \right) { v } ( { \mathbf { y } } ) ,
\tilde { W } [ \rho , G _ { 0 0 } ] = - \sum _ { j } \frac { c _ { j } } { 2 } \mathrm { T r } \ln \left( \frac { \tilde { \mathcal { O } } + \rho M _ { j } ^ { 2 } } { \tilde { \mathcal { O } } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { n _ { 2 , \mathrm { H } } ^ { \mathrm { c o f e } } ( R ; r _ { s } , \bar { f } ) = } & { n ^ { 2 } + \Delta \Pi _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { c o f e } } ( r _ { s } , \bar { f } ) N ( \bar { k } _ { F } R ) \; , } \\ { \Delta \Pi _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { c o f e } } ( r _ { s } , \bar { f } ) = } & { n ^ { 2 } \frac { ( 2 - \bar { f } ) ( \bar { f } - 1 ) } { \bar { f } ^ { 2 } } = - \frac { ( 2 - \bar { f } ) ( \bar { f } - 1 ) } { \bar { f } } \Pi _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { c o f e } } \; , } \end{array}
\left\langle \boldsymbol { D } \right\rangle = \left\langle \boldsymbol { \mathcal { J } } ( u ) \right\rangle + \langle \boldsymbol { N } \rangle \sim \mathcal { N } \left( \left\langle \boldsymbol { \mathcal { J } } ( u ) \right\rangle , \frac { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { M _ { 1 } M _ { 2 } } \right) \, ,
\phi _ { 1 } \star \phi _ { 2 } = \exp \, \Bigl ( \frac { i k } { 2 } \, \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } ^ { x } \partial _ { \nu } ^ { y } \Bigr ) \, \phi _ { 1 } ( x ) \phi _ { 2 } ( y ) \Big \vert _ { x = y } \, ,