harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \left( x _ { i } c ^ { \prime } \triangleleft d \right) \triangleleft h - x _ { i } c ^ { \prime } \triangleleft \left( d \triangleleft h \right) } } \\ & { = \left( x _ { i } \left( c ^ { \prime } \triangleleft d \right) + \alpha _ { i } x _ { i } \left( c ^ { \prime } \shuffle _ { i } d \right) \right) \triangleleft h - \left( x _ { i } \left( c ^ { \prime } \triangleleft \left( d \triangleleft h \right) \right) - \alpha _ { i } x _ { i } \left( c ^ { \prime } \shuffle _ { i } \left( d \triangleleft h \right) \right) \right) } \\ & { = x _ { i } \left( c ^ { \prime } \triangleleft d \right) \triangleleft h + \alpha _ { i } x _ { i } \left( c ^ { \prime } \shuffle _ { i } d \right) \triangleleft h - x _ { i } \left( c ^ { \prime } \triangleleft \left( d \triangleleft h \right) \right) - \alpha x _ { i } \left( c ^ { \prime } \shuffle _ { i } \left( d \triangleleft h \right) \right) } \\ & { = x _ { i } \left( \left( c ^ { \prime } \triangleleft d \right) \triangleleft h \right) + \alpha _ { i } x _ { i } \left( \left( c ^ { \prime } \triangleleft d \right) \shuffle _ { i } h \right) + \alpha _ { i } x _ { i } \left( \left( c ^ { \prime } \shuffle _ { i } d \right) \triangleleft h \right) + \alpha _ { i } ^ { 2 } x _ { i } \left( \left( c ^ { \prime } \shuffle _ { i } d \right) \shuffle _ { i } h \right) } \\ & { \quad \quad - x _ { i } \left( c ^ { \prime } \triangleleft \left( d \triangleleft h \right) \right) - \alpha _ { i } x _ { i } \left( c ^ { \prime } \shuffle _ { i } \left( d \triangleleft h \right) \right) } \\ & { = x _ { i } \left( \left( c ^ { \prime } \triangleleft d \right) \triangleleft h - c ^ { \prime } \triangleleft \left( d \triangleleft h \right) \right) + \alpha _ { i } ^ { 2 } x _ { i } \left( c ^ { \prime } \shuffle _ { i } \left( d \shuffle h \right) \right) } \\ & { \quad + \alpha _ { i } x _ { i } \left( \left( c ^ { \prime } \triangleleft h \right) \shuffle _ { i } d \right) + \alpha _ { i } x _ { i } \left( \left( c ^ { \prime } \triangleleft d \right) \shuffle _ { i } h \right) \quad \mathrm { ( c . f . ~ T h e o r e m ~ ~ ) } . } \end{array}
^ 3 ( \sigma _ { s } \sigma _ { s } ^ { * } ) ^ { 3 } ( \overline { { \sigma _ { p } } } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } ) \left( ^ 1 ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { y } } } ) ^ { 1 } ( \pi _ { x } ^ { * } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) + { } ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { y } ) ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } \pi _ { y } ^ { * } ) \right)
( \pmb { { \cal B } } , \pmb { { \cal D } } - \pmb { { \cal E } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ h ~ o ~ m ~ } ~ } } , \pmb { { \cal E } } - \pmb { { \cal E } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ h ~ o ~ m ~ } ~ } } , \pmb { { \cal H } } )
\mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ) ^ { - 1 } = ( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ) ^ { - 1 } \mathbf { C A } ^ { - 1 }
\delta V _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ T ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ w ~ C ~ V ~ T ~ Z ~ } } ( R ) = V _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ T ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ w ~ C ~ V ~ T ~ Z ~ } } ( R ) - V _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ S ~ D ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ p ~ w ~ C ~ V ~ T ~ Z ~ } } ( R ) \, ,
\begin{array} { c c } { { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } \frac { \boldsymbol { E } ^ { \flat } } { \alpha } = - L _ { e _ { 0 } } \boldsymbol { B } ^ { \flat } } & { { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \boldsymbol { B } ^ { \flat } = 0 } \\ { { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \frac { \boldsymbol { E } ^ { \flat } } { \alpha } = \frac { k } { \alpha } \rho } & { { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } \boldsymbol { B } ^ { \flat } = \frac { k } { \alpha } \frac { \boldsymbol { J ^ { \flat } } } { c } + L _ { e _ { 0 } } \frac { \boldsymbol { E } ^ { \flat } } { \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } } & { \leq 9 6 I \zeta _ { f } ^ { 2 } + 1 6 I \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 1 6 I C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 3 2 I C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 1 6 I \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { 2 0 I \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } } \\ { \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } } & { \leq 2 4 I \zeta _ { f } ^ { 2 } + 8 I \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 4 I C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 I C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 I \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { 5 I \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \boldsymbol { x ^ { a a } } , \boldsymbol { x ^ { a b } } ) } & { { } = \sum _ { x _ { a n } } \frac { \left[ x ^ { a n } + \sum _ { k } ( x _ { k } ^ { a a } + x _ { k } ^ { a b } ) \right] ! } { x ^ { a n } ! \prod _ { k } x _ { k } ^ { a a } ! x _ { k } ^ { a b } ! } { p ^ { a n } } ^ { x _ { a n } } \prod _ { k } { p _ { k } ^ { a a } } ^ { x _ { k } ^ { a a } } { p _ { k } ^ { a b } } ^ { x _ { k } ^ { a b } } } \end{array}
\langle h ( p + \Delta ) \vert J ^ { \mu } ( 0 ) \vert h ( p ) \rangle = \bar { u } ( p + \Delta ) \left\{ \gamma ^ { \mu } F _ { 1 } ( \Delta ^ { 2 } ) + i \sigma ^ { \mu \nu } \Delta _ { \nu } \frac { F _ { 2 } ( \Delta ^ { 2 } ) } { 2 m } \right\} u ( p ) ,
\int _ { \Gamma _ { 0 } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 3 } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 5 } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s = 0 ,
f = - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { ( 1 - w ^ { k } ) ( 1 - x ^ { 6 s k } w ^ { - k } ) ( x ^ { 4 s k } + x ^ { ( 2 r - 6 s ) k } ) ( 1 + x ^ { 2 s k } ) } { k ( 1 - x ^ { 2 r k } ) ( 1 + x ^ { 6 s k } ) } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { ( { \mathrm { H J B } } ) } ( m , u ) } & { = C ^ { ( { \mathrm { H J B } } ) } \Big \| \displaystyle - \frac { \partial u } { \partial t } - \nu \Delta u + H ( m , \nabla u ) + \int _ { \tilde { \mathcal { Q } } } \frac { \partial H } { \partial m } ( \zeta , m ( t , \cdot ) , \nabla u ( t , \zeta ) ) ( \cdot ) m ( t , \zeta ) \mathrm { d } \zeta \Big \| _ { L ^ { 2 } ( \tilde { \mathcal { Q } } _ { T } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( e _ { 1 } + i e _ { 5 } + e _ { 9 } + i e _ { 1 3 } ) , \quad A _ { 1 } \equiv \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - e _ { 1 } + i e _ { 5 } - e _ { 9 } + i e _ { 1 3 } ) } \\ { A _ { 2 } ^ { \dagger } } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( e _ { 2 } + i e _ { 6 } + e _ { 1 0 } + i e _ { 1 4 } ) , \quad A _ { 2 } \equiv \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - e _ { 2 } + i e _ { 6 } - e _ { 1 0 } + i e _ { 1 4 } ) } \\ { A _ { 3 } ^ { \dagger } } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( e _ { 3 } + i e _ { 7 } + e _ { 1 1 } + i e _ { 1 5 } ) , \quad A _ { 3 } \equiv \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - e _ { 3 } + i e _ { 7 } - e _ { 1 1 } + i e _ { 1 5 } ) . } \end{array}
W ( s _ { i } \gets s _ { j } ) = \frac { F _ { j } } { \sum _ { l \in \Omega _ { i } } F _ { l } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { \exp ( \tau + \pi _ { j } / \kappa ) } { \exp ( \tau + \pi _ { i } / \kappa ) + \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \exp ( \pi _ { \ell } / \kappa ) } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ j ~ = ~ i ~ , ~ } } \\ { \displaystyle { \frac { \exp ( \pi _ { j } / \kappa ) } { \exp ( \tau + \pi _ { i } / \kappa ) + \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \exp ( \pi _ { \ell } / \kappa ) } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ j ~ \neq ~ i ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { J _ { 2 , \epsilon } \to J _ { 2 } } & { = \iiint _ { Q _ { r } } f ( u ) ( u - 2 k ) ( v , x , t ) \varphi ^ { p } ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \le \, \iiint _ { Q _ { r } } \big ( \textup { \texttt { c } } _ { \mathrm { o } } u ^ { \gamma - 1 } + \textup { \texttt { h } } \big ) u ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \le \, c \iiint _ { Q _ { r } } \big ( u ^ { p } + \mathtt { h } ^ { \frac { p } { p - 1 } } + \textup { \texttt { c } } _ { \mathrm { o } } u ^ { \gamma } \big ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t , } \end{array}
\vartheta _ { \mathbf { P } } \colon \left\{ \begin{array} { l l } { a \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { b b c } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ p _ 1 ~ } } \\ { c b b } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ 1 - p _ 1 ~ } } \end{array} \right. } \\ { b \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { c c a } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ p _ 2 ~ } } \\ { a c c } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ 1 - p _ 2 ~ } } \end{array} \right. } \\ { c \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { a a b } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ p _ 3 ~ } } \\ { b a a } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ 1 - p _ 3 ~ } } \end{array} \right. } \end{array} \right.
\rho = \rho ^ { \uparrow } + \rho ^ { \downarrow } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \rho ^ { \uparrow } \left( { \bf x } ; t \right) = \sum _ { k \geq 1 } { n _ { k } ^ { \uparrow } \left| \phi _ { k } ^ { \uparrow } \left( { \bf x } ; t \right) \right| ^ { 2 } } ,
{ \cal P } _ { 2 } ( x ) = 1 - \frac { 4 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 6 } { 5 } x ^ { 4 } - \frac { 4 } { 7 } x ^ { 6 } + \frac { 1 } { 9 } x ^ { 8 }
\left[ { \frac { \alpha } { \pi } } \right] _ { 2 } \equiv \alpha ^ { \frac { \mathrm { N } \pi - 1 } { 2 } } { \bmod { \pi } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \exists \eta \in \mathbb { Z } [ \omega ] : \alpha \equiv \eta ^ { 2 } { \bmod { \pi } } } \\ { - 1 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { { \frac { 3 } { 4 } } + { \frac { 5 } { 6 } } } & { { } = { \frac { 3 \cdot 6 } { 4 \cdot 6 } } + { \frac { 4 \cdot 5 } { 4 \cdot 6 } } = { \frac { 1 8 } { 2 4 } } + { \frac { 2 0 } { 2 4 } } } & { = { \frac { 1 9 } { 1 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 , m } \leq } & { \bigg | C _ { \theta , \beta _ { 0 } } \left( C _ { \theta / m , \beta _ { 1 } } ^ { ( O _ { 1 } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) ^ { 1 / m } , \dots , C _ { \theta / m , \beta _ { G } } ^ { ( O _ { G } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } ) ^ { 1 / m } \right) ^ { m } } \\ & { - C _ { 0 , \beta _ { 0 } } \left( C _ { \theta / m , \beta _ { 1 } } ^ { ( O _ { 1 } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) , \dots , C _ { \theta / m , \beta _ { G } } ^ { ( O _ { G } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } ) \right) \bigg | } \\ & { + \bigg | C _ { 0 , \beta _ { 0 } } \left( C _ { \theta / m , \beta _ { 1 } } ^ { ( O _ { 1 } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) , \dots , C _ { \theta / m , \beta _ { G } } ^ { ( O _ { G } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } ) \right) } \\ & { - C _ { 0 , \beta _ { 0 } } \left( C _ { 0 , \beta _ { 1 } } ^ { ( O _ { 1 } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) , \dots , C _ { 0 , \beta _ { G } } ^ { ( O _ { G } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } ) \right) \bigg | } \\ & { = : E _ { 1 , m } + E _ { 2 , m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\vert \nabla ^ { 2 } \theta _ { A \left( t \right) s } \right\vert } & { \leq } & { e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert \nabla ^ { 2 } \theta _ { s } \right\vert + t \left\vert \nabla ^ { 2 } d \xi \right\vert \right) } \\ & { } & { + C e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - C \tau \left\vert \xi \right\vert } \left( \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } = 2 } \left\vert \nabla ^ { k _ { 1 } } b _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert \left\vert \nabla ^ { k _ { 2 } } \xi \right\vert \left\vert \nabla ^ { k _ { 3 } } \theta _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert \right) d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( \varepsilon ) } & { : = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 - k } { \sqrt { y ^ { 2 } + \varepsilon } } y ^ { k - 1 } ( \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) ) d y , } \\ { I _ { 2 } ( \varepsilon ) } & { : = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } ( \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) ) d y , } \\ { I _ { 3 } ( \varepsilon ) } & { : = \ell ( t , 0 ) \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 - k } { \sqrt { y ^ { 2 } + \varepsilon } } y ^ { k - 1 } d y - \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } d y \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } } & { { } = u _ { i } ^ { ( 0 ) } + \delta u _ { i } ^ { ( 1 ) } + O ( \delta ^ { 2 } ) } \\ { u _ { i } ^ { \infty } } & { { } = u _ { i } ^ { \infty , ( 0 ) } + \delta u _ { i } ^ { \infty , ( 1 ) } + O ( \delta ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( \nu _ { 1 } ) = 4 N _ { T } \qquad m ( \nu _ { 2 } ) = N _ { T } + N _ { H } \qquad m ( \nu _ { 3 } ) = N _ { H } + 4 N _ { D } - 4 N _ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { b } } & { : = c _ { 0 } - \omega ( K ( k ) + i K ^ { \prime } ( k ) + \gamma ) \frac { H _ { 1 } ( \gamma ) } { H _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma ) } } \\ & { = 4 ( k ^ { 2 } - \lambda ) + 4 ( \lambda + k ^ { 2 } - 1 ) \frac { \Theta _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma ) H _ { 1 } ( \gamma ) } { \Theta _ { 1 } ( \gamma ) H _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma ) } , } \end{array}
\int _ { \mathcal { B } _ { \alpha } } \left( 2 \frac { \partial \Lambda _ { \mathcal { E } } } { \partial \boldsymbol { q } } - \frac { \partial \Lambda _ { \mathcal { W } } } { \partial \boldsymbol { q } } \right) \boldsymbol { \delta q } = 0 \ ,
\widetilde { \omega } ^ { - 2 } = \omega ^ { - 2 } \left[ 1 + \epsilon \eta \left( x ^ { i } , v \right) \right] \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \widetilde { B } = B \left( x ^ { i } , v \right) \left[ 1 + \epsilon \eta \left( x ^ { i } , v \right) \right]
{ \begin{array} { r l } { g _ { i j , k } } & { = ( \mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } _ { j } ) _ { , k } = \mathbf { b } _ { i , k } \cdot \mathbf { b } _ { j } + \mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } _ { j , k } = \Gamma _ { j i k } + \Gamma _ { i j k } } \\ { g _ { i k , j } } & { = ( \mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } _ { k } ) _ { , j } = \mathbf { b } _ { i , j } \cdot \mathbf { b } _ { k } + \mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } _ { k , j } = \Gamma _ { k i j } + \Gamma _ { i k j } } \\ { g _ { j k , i } } & { = ( \mathbf { b } _ { j } \cdot \mathbf { b } _ { k } ) _ { , i } = \mathbf { b } _ { j , i } \cdot \mathbf { b } _ { k } + \mathbf { b } _ { j } \cdot \mathbf { b } _ { k , i } = \Gamma _ { k j i } + \Gamma _ { j k i } } \end{array} }
J _ { B } \vert _ { \mathcal { M } } = - \left( \begin{array} { c c } { \medskip 0 } & { \delta ( z - \zeta ) \rho _ { { } _ { \Delta } } ( \zeta _ { x } \partial _ { z } + \partial _ { x } ) } \\ { \delta ( z - \zeta ) \rho _ { { } _ { \Delta } } ( \zeta _ { x } \partial _ { z } + \partial _ { x } ) } & { \delta ( z - \zeta ) \, \sigma _ { x } \partial _ { z } - \delta ^ { \prime } ( z - \zeta ) \sigma \, ( \zeta _ { x } \partial _ { z } + \partial _ { x } ) } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \underset { X \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \| W _ { 1 } - Z _ { 1 } X \| } & { = \underset { X \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \left\| Z ^ { T } ( W _ { 1 } - Z _ { 1 } X ) \right\| } \\ & { = \underset { X \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \left\| \left[ \begin{array} { l } { Z _ { 1 } ^ { T } W _ { 1 } - X } \\ { Z _ { 2 } ^ { T } W _ { 1 } } \end{array} \right] \right\| } \\ & { = \| Z _ { 2 } ^ { T } W _ { 1 } \| = { \mathrm { d i s t } } ( \mathcal { S } _ { 1 } , \mathcal { S } _ { 2 } ) . } \end{array}
W = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 8 , 5 7 . 1 5 9 7 , - 3 3 . 0 0 1 2 , 5 6 3 . 5 4 4 ) ^ { T } , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad y \geq h ( x , 0 ) } \\ { ( 1 . 4 , 0 , 0 , 2 . 5 ) ^ { T } , \quad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\gamma _ { N } = \frac { { \bar { \alpha } } _ { s } } { N } + 2 \zeta ( 3 ) \left( \frac { { \bar { \alpha } } _ { s } } { N } \right) ^ { 4 } + O \left( \left( \frac { { \bar { \alpha } } _ { s } } { N } \right) ^ { 6 } \right) \; .
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } \left[ S ^ { \prime \prime } \right] = \frac { \partial \omega } { \partial \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } } \mathcal { H } _ { 1 } - \frac { \partial \omega } { \partial \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } } \mathcal { H } _ { 2 } - E \left( t _ { r } \right) \frac { \partial \omega } { \partial \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } } \mathcal { H } _ { 3 } . } \end{array}
\epsilon ( t ) = { \frac { 1 } { 4 } } ( \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } + 1 ) ^ { 2 } - t ^ { 2 } - { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } } \ln { \left( { \frac { 1 } { 2 t } } ( \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } + 1 ) \right) }
\begin{array} { r l } { M _ { A b } } & { = M _ { 0 } \cos \alpha , } \\ { M _ { A b } ^ { 2 } } & { = M _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha = M _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - \sin ^ { 2 } \alpha ) , } \\ { \left\langle { M _ { A b } } \right\rangle } & { \approx M _ { 0 } - \frac { M _ { 0 } } { 2 } \left\langle { \sin ^ { 2 } \alpha } \right\rangle . } \end{array}
C _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } = f _ { \mathrm { ~ s ~ w ~ e ~ e ~ p ~ } } ( F _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } , F _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } ) .
B ^ { ( 2 ) } = \lambda ^ { 4 } [ I _ { \log 1 } ^ { ( 2 ) } ( m ^ { 2 } , \Lambda ) + I _ { \log 3 } ^ { ( 2 ) } ( m ^ { 2 } , \Lambda ) ] + 3 \lambda ^ { 2 } I _ { \log 2 } ^ { ( 2 ) } ( m ^ { 2 } , \lambda ^ { 2 } , \Lambda )
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } { \frac { \partial \Delta } { \partial C } } & { { } = \frac { ( \phi - 1 ) K _ { f } } { \phi K _ { s } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + c s \phi } \right) \frac { \partial K _ { s } } { \partial C } , } \\ { \frac { \partial K _ { s } } { \partial C } } & { { } = K _ { c } - K _ { q } , \qquad } & { } & { { } \frac { \partial G _ { s } } { \partial C } = G _ { c } - G _ { q } , } \\ { \frac { \partial K _ { D } } { \partial C } } & { { } = \frac { 1 - \phi } { 1 + c s \phi } \frac { \partial K _ { s } } { \partial C } , \qquad } & { } & { { } \frac { \partial G _ { D } } { \partial C } = \frac { 1 - \phi } { 1 + \frac { 3 } { 2 } c s \phi } \frac { \partial G _ { s } } { \partial C } , } \\ { \frac { \partial \rho _ { s } } { \partial C } } & { { } = ( \rho _ { c } - \rho _ { q } ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } & { { } = \eta _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } \eta _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ m ~ } } \eta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } , } \\ { \eta _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } } & { { } : = 1 - \exp \left( - 2 a _ { R } ^ { 2 } / w _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } ^ { 2 } \right) \simeq \frac { 2 a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } ^ { 2 } } : = \eta _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } . } \end{array}
\left( \hat { V } ^ { - 1 } ( x , { \frac { 1 } { t } } ) \partial _ { \alpha } \hat { V } ( x , { \frac { 1 } { t } } ) \right) ^ { T } = - \hat { V } ^ { - 1 } ( x , t ) \partial _ { \alpha } \hat { V } ( x , t )
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ C ~ } _ { 0 , 2 } } ^ { ( 3 ) } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } & { { } = - \frac { 2 \mu ^ { 3 } } { 3 \pi } \left( \frac { 2 } { m _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { m _ { 1 } m _ { 2 } } + \frac { 2 } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { H } } } & { = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { m _ { i } } } \nabla _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } V _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } } \nabla _ { i } ^ { 2 } + V _ { i } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \hat { H } } _ { i } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { P \left( w _ { n } | \Lambda _ { n } \right) } & { { } = \sum _ { N _ { \mathrm { t e } , n } = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \beta \Lambda _ { n } ) ^ { N _ { \mathrm { t e } , n } } e ^ { - \beta \Lambda _ { n } } } { N _ { \mathrm { t e } , n } ! } } \end{array}
\hat { \operatorname * { d e t } } [ D ( A _ { L } , A _ { R } ) ] = { \frac { \operatorname * { d e t } [ D ( A _ { L } , A _ { R } ) \hat { D } ( A _ { L } , A _ { R } ) ] } { \operatorname * { d e t } [ \hat { D } ( A _ { L } , A _ { R } ) ] } } .
\bar { a } _ { k - 1 } ^ { ( k ) } = \Big \{ \begin{array} { c c c } { { ( k + 1 ) / 2 } } & { { } } & { { k \mathrm { ~ ~ o d d } } } \\ { { - k / 2 } } & { { } } & { { k \mathrm { ~ ~ e v e n } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { 1 } { 1 } { { P r } } ( \partial _ { t } \bar { \omega } _ { \pm } + u \cdot \nabla \bar { \omega } _ { \pm } ) - \Delta \bar { \omega } _ { \pm } } & { = 0 } & { \textnormal { i n } } & { \Omega } \\ { \bar { \omega } _ { \pm } } & { = - 2 ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \mp \Lambda } & { \textnormal { o n } } & { \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } \\ { \bar { \omega } _ { \pm , 0 } } & { = \omega _ { 0 } \mp | \omega _ { 0 } | } & { \textnormal { i n } } & { \Omega \, . } \end{array}
e _ { 0 } ( g _ { 4 } ) = \frac { 1 } { 2 } \ln a + \frac { 1 } { 2 4 } ( a - 1 ) ( a - 9 ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( 3 g _ { 4 } ) ^ { k } \, \frac { ( 2 k - 1 ) ! } { k ! \, ( k + 2 ) ! }
{ n } _ { \mathrm { i n d } } ( \boldsymbol { k } , \omega ) | _ { \boldsymbol { q } , \Omega , A } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { n } _ { \mathrm { i n d } } ( m \boldsymbol { q } , m \Omega ) | _ { A } \delta _ { \boldsymbol { k } , m \boldsymbol { q } } \delta _ { \omega , m \Omega }
\pi _ { A } ^ { a \, \prime } \, = \, \phi _ { A } ^ { \ast \, a } \, \, , \, \, \, \, \phi _ { A } ^ { \prime } \, = \, { \bar { \phi } } _ { A } \, \, \, \, , \, \, \, \, \phi _ { A } ^ { \ast \, a \, \prime } \, \, = \, \, \, \, \pi _ { A } ^ { \, a } \, \, \, , \, \, \, \, { \bar { \phi } } ^ { A \, \prime } \, = \, \phi ^ { A } \, \, ,
M _ { i n v } = ( E _ { Z } + E _ { \gamma } ) ^ { 2 } - ( \vec { p } _ { Z } + \vec { p } _ { \gamma } ) ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } + 2 \alpha p _ { Z } \sqrt { M _ { Z } ^ { 2 } + p _ { Z } ^ { 2 } } - \alpha p _ { Z } ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r l } & { - \left( a ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } + b ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } \right) = T \left( a ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } + b ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } \right) } \\ & { = - b \lambda \left( \frac { 1 } { z s ( z ) } + 1 \right) ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } } \\ & { \qquad + a \lambda ( z s ( z ) + 1 ) ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } - b \lambda ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { z s ( z ) } + 1 \right) ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol v } + { \boldsymbol \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { x } } & { = \operatorname* { m i n } \left( v _ { + } - n _ { a } \sqrt { \frac { k _ { B } T _ { + } } { m } } , v _ { - } - n _ { a } \sqrt { \frac { k _ { B } T _ { - } } { m } } \right) , } \\ { b _ { x } } & { = \operatorname* { m a x } \left( v _ { - } + n _ { b } \sqrt { \frac { k _ { B } T _ { - } } { m } } , v _ { + } + n _ { b } \sqrt { \frac { k _ { B } T _ { + } } { m } } \right) , } \\ { b _ { r } } & { = \operatorname* { m a x } \left( n _ { r } \sqrt { \frac { k _ { B } T _ { - } } { m } } , n _ { r } \sqrt { \frac { k _ { B } T _ { + } } { m } } \right) . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tilde { c } _ { i } ^ { \mathrm { a } } ( y ) } { \mathrm { d } y ^ { 2 } } = - \lambda _ { i } ^ { - 1 } \frac { u _ { z } } { D _ { i } ^ { \mathrm { a } } } \tilde { c } _ { i } ^ { \mathrm { a } } ( y ) \; .