harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\lambda _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \sqrt { 5 } ( c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 1 } \\ { - A _ { 4 5 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } - A _ { 5 7 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } + \frac { 3 } { 5 } A _ { 5 9 } ( 3 \gamma _ { i 3 } ^ { \prime } - \gamma _ { i 4 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 2 } \\ { - A _ { 4 6 } ( \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 3 } \\ { - A _ { 4 8 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } - \bar { A } _ { 7 8 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } A _ { 5 9 } } { 5 c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } ( 4 \gamma _ { i 3 } ^ { \prime } - 3 \gamma _ { i 4 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 4 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } i = 1 , 2 , 5 ;
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf l } \cdot \hat { \bf l } } & { = } & { \hat { l } _ { x } ^ { 2 } + \hat { l } _ { y } ^ { 2 } + \hat { l } _ { z } ^ { 2 } } \\ & { = } & { \hat { l } _ { + } \hat { l } _ { - } + \hat { l } _ { z } ^ { 2 } - \hbar \hat { l } _ { z } } \\ & { = } & { \hat { l } _ { - } \hat { l } _ { + } + \hat { l } _ { z } ^ { 2 } + \hbar \hat { l } _ { z } . } \end{array}
x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } x _ { n } e _ { n } , \quad { \textit { i . e . , } } \quad x = \operatorname* { l i m } _ { n } P _ { n } ( x ) , \ P _ { n } ( x ) : = \sum _ { k = 0 } ^ { n } x _ { k } e _ { k } .
\begin{array} { r l } { \tilde { A } ^ { \pm } ( \omega ) } & { { } = \frac { A _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 a } } \exp \left( \pm i \phi - \frac { ( \omega \pm \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 a } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { T } _ { 1 } } [ R ( t ) ] + \mathbb { E } _ { \mathcal { T } _ { i } } [ R ( t ) ] } & { > \frac { t \Delta } { 2 } ( \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { 1 } } ( T _ { a _ { 1 } } ( t ) \le t / 2 ) + \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { i } } ( T _ { a _ { 1 } } ( t ) > t / 2 ) ) } \\ & { \ge \frac { t \Delta } { 4 } \exp \left( - \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { 1 } } , \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { i } } ) \right) . } \end{array}
{ \cal D } _ { \mathrm { e r r } } ^ { Q } \simeq \frac { { \mathbb { E } } [ | Z ^ { Q } - 1 | ] } { { \mathbb { E } } [ Z ^ { Q } + 1 ] } = \frac { Q ^ { Q - 1 } } { ( Q - 1 ) ! } e ^ { - Q } .
\sigma ^ { 2 D } ( x ) \! = \! \left\{ \! \! \begin{array} { l l } { \sigma _ { G } ^ { 2 D } v _ { G } ^ { 2 D } ( x ) , } & { - \frac { L _ { G } ^ { 2 D } } { 2 } \! < \! x \! < \! \frac { L _ { G } ^ { 2 D } } { 2 } } \\ { \sigma _ { O } ^ { 2 D } v _ { O } ^ { 2 D } ( x ) , } & { \frac { L _ { G } ^ { 2 D } } { 2 } \! + \! \Delta x \! < \! x \! < \! a _ { G } \! - \frac { L _ { G } ^ { 2 D } } { 2 } - \! \Delta x } \end{array} \right.
A _ { N } ( x _ { F } , p _ { \perp } | h , s ) = { \frac { 1 } { \cos \varphi } } { \frac { N ( x _ { F } , p _ { \perp } , \varphi ; h | s , \uparrow ) - N ( x _ { F } , p _ { \perp } , \pi - \varphi ; h | s , \uparrow ) } { N ( x _ { F } , p _ { \perp } , \varphi ; h | s , \uparrow ) + N ( x _ { F } , p _ { \perp } , \pi - \varphi ; h | s , \uparrow ) } } .
V ^ { \alpha \dot { \alpha } } = \left( \begin{array} { l l } { { V ^ { 1 \dot { 1 } } } } & { { V ^ { 1 \dot { 2 } } } } \\ { { V ^ { 2 \dot { 1 } } } } & { { V ^ { 2 \dot { 2 } } } } \end{array} \right) = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } \, \left( \begin{array} { l l } { { V ^ { 1 } + V ^ { 4 } } } & { { V ^ { 2 } - V ^ { 3 } } } \\ { { V ^ { 2 } + V ^ { 3 } } } & { { - V ^ { 1 } + V ^ { 4 } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { V ( x , \hat { \theta } ) = } & { \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { Q } { 2 } \left( x _ { 2 } + \hat { \theta } _ { 1 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \hat { \theta } _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 3 } + \mu x _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \gamma _ { 1 } } \left( \hat { \theta } _ { 1 } - \theta _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \gamma _ { 2 } } \left( \hat { \theta } _ { 2 } - \theta _ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
F _ { 2 } \rightarrow F _ { 2 } ^ { ( E = 0 ) } + E \left. { \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial E } } \right\vert _ { E = 0 } \equiv F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } + E F _ { 2 } ^ { \prime ( 0 ) } \; ,
\eta _ { 3 } = \epsilon _ { i j k l } \, z _ { i } \bar { z } _ { j } \, d \bar { z } _ { k } \wedge d \bar { z } _ { l } \ , \; \; \; \; \eta _ { 4 } = ( z _ { i } \, d \bar { z } _ { i } ) \wedge ( \bar { z } _ { j } \, d z _ { j } ) \ , \; \; \; \;
t \partial _ { t } W _ { \epsilon } \, = \, \chi _ { 1 } ( \epsilon R ) \, t \partial _ { t } \hat { W } _ { \epsilon } ( R , Z ) + t \dot { \epsilon } R \chi _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon R ) \, \hat { W } _ { \epsilon } ( R , Z ) \, .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \varphi x } ^ { x } = } & { \frac { 2 J m \sin \varphi \cos \varphi } { L } - \frac { ( I J + J m \sin ^ { 2 } \varphi ) L ^ { \prime } } { L ^ { 2 } } , } \\ { \Gamma _ { \varphi x } ^ { y } = } & { \frac { J m ( \sin ^ { 2 } \varphi - \cos ^ { 2 } \varphi ) } { L } + \frac { J m \sin \varphi \cos \varphi L ^ { \prime } } { L ^ { 2 } } , } \\ { \Gamma _ { \varphi x } ^ { \theta } = } & { \frac { J m \sin \varphi } { L } + \frac { J m \cos \varphi L ^ { \prime } } { L ^ { 2 } } , } \\ { \Gamma _ { \varphi x } ^ { \varphi } = } & { \frac { m ^ { 2 } ( 2 \sin \varphi \cos \varphi + \sin ^ { 2 } \varphi - \cos ^ { 2 } \varphi ) } { L } , } \\ & { - \frac { m ( I + m \sin ^ { 2 } \varphi - m \sin \varphi \cos \varphi ) L ^ { \prime } } { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( \widehat { L } ) } & { { } = \frac { 2 \lambda } { D } \; e ^ { \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime } } } \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } d \widehat { L ^ { \prime } } \; e ^ { - \int ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime \prime } } } \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime \prime } } \right) \ , } \end{array}
F ( h ) \leq \sum _ { 1 \leq k < N + 1 } m _ { k } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \frac { d ( B _ { i } , B _ { i + 1 } ) } { \sum _ { i + 1 \leq j < N + 1 } m _ { j } } = \sum _ { 0 \leq i < N + 1 } \sum _ { i + 1 \leq k < N + 1 } \frac { m _ { k } } { \sum _ { i + 1 \leq j < N + 1 } m _ { j } } d ( B _ { i } , B _ { i + 1 } ) = \sum _ { 0 \leq i < N + 1 } d ( B _ { i } , B _ { i + 1 } ) ,
\Phi = \sqrt { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { \pi ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \eta _ { 8 } } { \sqrt { 6 } } } } & { { \pi ^ { + } } } & { { K ^ { + } } } \\ { { \pi ^ { - } } } & { { - \frac { \pi ^ { 0 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \eta _ { 8 } } { \sqrt { 6 } } } } & { { K ^ { 0 } } } \\ { { K ^ { - } } } & { { { \bar { K } } ^ { 0 } } } & { { - \frac { 2 \eta _ { 8 } } { \sqrt { 6 } } } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { S = \int d t } & { { } \left[ \frac { 1 } { 2 } \dot { Q } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \omega _ { Q } ^ { 2 } Q ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \dot { P } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \omega _ { P } ^ { 2 } P ^ { 2 } \right. } \end{array}
\omega _ { S _ { \mathrm { N S } } } \circ \varrho _ { V } ^ { 2 } \approx \omega _ { S _ { \mathrm { N S } } } , \qquad \omega _ { S _ { \mathrm { N S } } } \circ \varrho _ { V ^ { \prime } } ^ { 2 } \approx \omega _ { S _ { \mathrm { N S } } } .
\left. \frac { d ( \mathcal { E } / m c ^ { 2 } ) } { d ( \omega / \omega _ { L } ) } \right| _ { c o h } \sim \frac { \alpha } { \pi } \eta \frac { S l T \omega _ { L } ^ { 4 } } { c ^ { 3 } } ( 1 + \xi ^ { 2 } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \left( \frac { n } { n _ { c } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \omega } { \omega _ { L } } \right) ^ { - \frac { 8 } { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { N } } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \hat { \mathcal { N } } _ { + } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + \hat { \mathcal { N } } _ { - } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } , } \\ { \hat { \mathcal { F } } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \hat { \mathcal { F } } _ { + } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + \hat { \mathcal { F } } _ { - } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 1 } ( t ) } & { \! \! = \! \! } & { \xi _ { 1 } ^ { 2 } + \dot { \xi } _ { 1 } ^ { 2 } + \ddot { \xi } _ { 1 } ^ { \, 2 } , } \\ { a _ { 2 } ( t ) } & { \! \! = \! \! } & { { \big ( \dot { \xi } _ { 1 } \ddot { \xi } _ { 2 } - \ddot { \xi } _ { 1 } \dot { \xi } _ { 2 } \big ) } ^ { 2 } + { \big ( \ddot { \xi } _ { 1 } \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } \ddot { \xi } _ { 2 } \big ) } ^ { 2 } + { \big ( \xi _ { 1 } \dot { \xi } _ { 2 } - \dot { \xi } _ { 1 } \xi _ { 2 } \big ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B _ { 3 } | } & { = \left| Z _ { ( \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 } ] } ^ { 1 ( 2 ) } \right| + | Z _ { B } | + | Z _ { G } | + \left| Z _ { ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } ] } \right| + | Z _ { B } | + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } \\ & { = | Z | + | Z _ { B } | + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } \\ & { = \left| A _ { [ \frac { 2 } { 3 } ] } \right| + | Z _ { B } | } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } ( \rho , \phi ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { p } } I ( \rho , \phi ) \rho d \rho d \phi } \\ { I _ { 2 } ( \rho , \phi ) } & { = } & { \int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { p } } I ( \rho , \phi ) \rho d \rho d \phi } \\ { I _ { 3 } ( \rho , \phi ) } & { = } & { \int _ { \pi } ^ { \frac { 3 \pi } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { p } } I ( \rho , \phi ) \rho d \rho d \phi } \\ { I _ { 4 } ( \rho , \phi ) } & { = } & { \int _ { \frac { 3 \pi } { 2 } } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { p } } I ( \rho , \phi ) \rho d \rho d \phi } \end{array}
\begin{array} { r } { \arg \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { w } } \quad \frac { ( \boldsymbol { w ^ { \intercal } \mu _ { b } - \boldsymbol { w ^ { \intercal } \mu _ { a } ) } ^ { 2 } } } { \sigma _ { a } ^ { 2 } + \sigma _ { b } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varpi _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) } & { { } = r _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \sin ( \theta ) = v _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \sin ( \theta ) t } \\ { z _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) } & { { } = r _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \cos ( \theta ) = v _ { \mathrm { M C } } ( \theta ) \cos ( \theta ) t \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { i \partial _ { t } \psi = - i b _ { 1 , 1 } \partial _ { X } \psi + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { X } ^ { 2 } - \partial _ { z } ^ { 2 } ) \psi + \hat { D } _ { h o d } \psi - [ i - \delta ] \psi - } \\ & { } & { - [ ( 1 - f _ { R } ) | \psi | ^ { 2 } - \Delta _ { T } + Q ] \psi - h _ { 0 } \exp \left( - \frac { z ^ { 2 } } { \sigma _ { z } ^ { 2 } } \right) \xi ( X ) , } \\ & { } & { \partial _ { t } \Delta _ { T } = - A \int _ { 0 } ^ { L } | \psi | ^ { 2 } \frac { d X } { L } - B \Delta _ { T } , \ \ } \\ & { } & { \partial _ { t } ^ { 2 } Q = - \frac { 2 \gamma _ { R } \tau } { \gamma } \partial _ { t } Q - \frac { \tau ^ { 2 } \Omega _ { R } ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \left[ Q - f _ { R } | \psi | ^ { 2 } \right] , \ \ } \\ & { } & { \xi ( X ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } \exp \left( - \frac { [ X + m L ] ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \Big ( \frac { 1 } { 2 } | D ( Z _ { s } ) | ^ { 2 } + V ( Z _ { s } ) \Big ) \mathrm { d } s = \int _ { \varphi _ { \varepsilon } ^ { 0 } ( t _ { 1 } ) } ^ { \varphi _ { \varepsilon } ^ { 0 } ( t _ { 2 } ) } \Big ( \frac { 1 } { 2 } | D ( \varphi _ { \varepsilon } ( Z _ { ( \varphi _ { \varepsilon } ^ { 0 } ) ^ { - 1 } ( s ) } ) ) | ^ { 2 } + V ( \varphi _ { \varepsilon } ( Z _ { ( \varphi _ { \varepsilon } ^ { 0 } ) ^ { - 1 } ( s ) } ) ) \mathrm { d } s . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { 4 } { 9 } } ( \Delta u _ { v } ( x , Q ^ { 2 } ) + 2 \Delta \bar { u } ( x , Q ^ { 2 } ) ) + { \frac { 1 } { 9 } } ( \Delta d _ { v } ( x , Q ^ { 2 } ) + 2 \Delta \bar { u } ( x , Q ^ { 2 } ) + 2 \Delta \bar { s } ( x , Q ^ { 2 } ) ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { V o l } _ { \sigma } \big ( \mathrm { c o n v } ( a u _ { \rho } , T ( P ) ) \big ) } & { = \operatorname { V o l } _ { \sigma } \big ( \widehat T ( \mathrm { c o n v } ( a u _ { \rho } , P ) ) \big ) } \\ & { = | \operatorname* { d e t } ( \widehat T ) | \operatorname { V o l } _ { \sigma } \big ( \mathrm { c o n v } ( a u _ { \rho } , P ) \big ) } \\ & { = | \operatorname* { d e t } ( T ) | \cdot a ( u _ { \rho } * u _ { \rho } ) \cdot \operatorname { V o l } _ { \sigma ^ { \rho } } ( P ) } \\ & { = a ( u _ { \rho } * u _ { \rho } ) \cdot \operatorname { V o l } _ { \sigma ^ { \rho } } ( T ( P ) ) . } \end{array}
\textbf { C } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \textbf { B } } & { \textbf { A B } } & { \textbf { A } ^ { 2 } \textbf { B } } & { \textbf { A } ^ { 3 } \textbf { B } } & { . . . } & { \textbf { A } ^ { N - 1 } \textbf { B } } \end{array} \right]
{ \begin{array} { r l } & { 2 x ^ { 6 } - 4 x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 3 x } \\ { = } & { A \left( x - 1 \right) ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } + B \left( x - 1 \right) \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } + \left( D x + \left( A - B \right) \right) \left( x - 1 \right) ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 1 \right) + \left( x - 1 \right) ^ { 3 } } \\ { = } & { \left( A + D \right) x ^ { 6 } + \left( - A - 3 D \right) x ^ { 5 } + \left( 2 B + 4 D + 1 \right) x ^ { 4 } + \left( - 2 B - 4 D + 1 \right) x ^ { 3 } + \left( - A + 2 B + 3 D - 1 \right) x ^ { 2 } + \left( A - 2 B - D + 3 \right) x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { \delta } ^ { s } ( E ) } & { \le \mathcal { H } _ { \delta } ^ { s } ( \bigcup _ { n \ge k _ { 0 } } \mathcal E _ { n } ) \le \sum _ { n \ge k _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { | H _ { n } | } \sum _ { j = 1 } ^ { \Gamma _ { i } } \mathcal { H } _ { \delta } ^ { s } ( S _ { i , j } ) } \\ & { \lesssim \sum _ { n \ge k _ { 0 } } | H _ { n } | \Gamma _ { i } ( r _ { n } \lambda ^ { - n } ) ^ { s } } \\ & { \lesssim \sum _ { n \ge k _ { 0 } } \lambda ^ { 2 n } ( r _ { n } \lambda ^ { - n } ) ^ { s } = \sum _ { n \ge k _ { 0 } } e ^ { n ( 2 \log \lambda - ( \alpha + \log \lambda ) s ) } . } \end{array}
A = \left[ { \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { - 3 } & { 0 } & { 2 } & { - 8 } \\ { 0 } & { 1 } & { 5 } & { 0 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 7 } & { - 9 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \, \right] .
A _ { 2 } ( N , N ^ { \prime } ) : = \underset { m \in \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } ~ \underset { n \leq \lfloor \eta N \rfloor } { \mathbb { E } } ~ \underset { m ^ { \prime } \in \mathbb { Z } / \tilde { N ^ { \prime } } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } ~ \underset { n ^ { \prime } \leq \lfloor \eta N ^ { \prime } \rfloor } { \mathbb { E } } \int _ { \mathcal { M } } G ( \xi _ { N ^ { \prime } , \tilde { R } ^ { \prime } ( m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) } ^ { s , e } ) \cdot \xi _ { N , \tilde { R } ( m , n ) } ^ { s , e } d \lambda .
m ^ { 2 } ( \phi _ { A D } ) \sim c _ { 1 } \left( \frac { g ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { | F _ { X } | } { M } \right) ^ { 2 } + c _ { 3 } \left( \frac { | F _ { X } | } { M } \right) ^ { 2 } e ^ { - M r _ { s u s y } }
\begin{array} { r l r } { \Delta \tau _ { \odot } ^ { \mathrm { t i d a l } } } & { = } & { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t \, c ^ { - 2 } u _ { \mathrm { E \odot } } ^ { \tt t i d a l } \simeq - \frac { G M _ { \odot } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt G P S } ) ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } \mathrm { A U } ^ { 3 } } \Big ( \Delta t + \frac { 3 } { n _ { \tt G P S } } \cos \big [ 2 \phi _ { \odot 0 } + n _ { \tt G P S } ( t + t _ { 0 } ) \big ] \sin \big [ n _ { \tt G P S } \Delta t \big ] \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } \sum _ { \imath = 1 } ^ { 2 } \left[ \frac { p _ { \imath } ^ { 2 } } { 2 m _ { \imath } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { \imath } \omega _ { \mathrm { m _ { \ i m a t h } } } ^ { 2 } x _ { \imath } ^ { 2 } + \hbar \Delta _ { \imath } a _ { \imath } ^ { \dagger } a _ { \imath } \right] } \\ { - } & { { } \sum _ { \imath , \jmath = 1 } ^ { 2 } \hbar g _ { \imath \jmath } a _ { \imath } ^ { \dagger } a _ { \imath } x _ { \jmath } - \hbar J \left[ a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { \dagger } \right] } \\ { + } & { { } \mathrm { ~ i ~ } \hbar \left[ F _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } t } a _ { 1 } ^ { \dagger } - F _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { * } \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } t } a _ { 1 } \right] + \mathrm { ~ i ~ } \hbar F _ { \mathrm { ~ l ~ } } \left[ a _ { 2 } ^ { \dagger } - a _ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \left\langle \nabla _ { N } \mathrm { T o r } \left( N , V _ { 1 } \right) , J N \right\rangle } & { = - \left\langle N \left\langle V _ { 1 } , J N \right\rangle X _ { 0 } + N \left\langle V _ { 1 } , X _ { 0 } \right\rangle \mathrm { T o r } \left( N , X _ { 0 } \right) , J N \right\rangle } \\ & { = - \left\langle \left( V _ { 1 } , J N \right) \mathrm { T o r } \left( N , X _ { 0 } \right) , J N \right\rangle } \\ & { = \left\langle \mathrm { T o r } \left( N , X _ { 0 } \right) , J N \right\rangle . } \end{array}
\left( \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - ( \omega + \mathrm { i } \gamma ) ^ { 2 } \right) \mathbf { j } _ { x y } - \mathrm { i } \left( \begin{array} { l l } { \omega + \mathrm { i } \gamma } & { - \mathrm { i } \omega _ { \mathrm { c } } } \\ { \mathrm { i } \omega _ { \mathrm { c } } } & { \omega + \mathrm { i } \gamma } \end{array} \right) \mathbf { E } _ { x y } = 0
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - 2 \langle ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } - \mathrm { { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } T \rangle } \\ & { \qquad + \frac { 2 } { 3 \mathrm { P r } } \langle ( \alpha + \kappa ) u \cdot ( u \cdot \nabla ) u \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } + 2 \mathrm { { R a } } \langle ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } n _ { 1 } \rangle _ { \gamma ^ { - } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S e l } ^ { { \boldsymbol { g } } } ( \mathbf { Q } , \mathbf { A } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } ) } & { \simeq \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { s t r } , \mathrm { r e l } } } ( K , A _ { f } ( r ) \otimes \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { \mathbf { c } - 1 } ) \oplus \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { s t r } , \mathrm { r e l } } } ( K , A _ { f } ( r ) \otimes \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ^ { \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { \mathbf { c } - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 4 } } & { { } = } & { 2 a _ { 2 } a _ { 3 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } C _ { n - 1 } C _ { n + 1 } / \mathrm { d e n r 1 . } , } \\ { I _ { 5 } } & { { } = } & { 2 a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } C _ { n } C _ { n + 1 } / \mathrm { d e n r 1 . } , } \\ { I _ { 6 } } & { { } = } & { - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n + 1 } C _ { n + 2 } / \mathrm { d e n r 2 . } , } \\ { I _ { 7 } } & { { } = } & { - 2 a _ { 1 } a _ { 2 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n } C _ { n + 2 } / \mathrm { d e n r 2 . } , } \\ { I _ { 8 } } & { { } = } & { - 2 a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n } C _ { n + 1 } / \mathrm { d e n r 2 . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { T } ( u ) } & { { } = \epsilon _ { 0 } + ( \epsilon _ { \infty } - \epsilon _ { 0 } ) \exp { \left( - \exp { \left( - \xi _ { T } ( u - u _ { 0 } ) \right) } \right) } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { m } \dot { R } } & { { } = \frac { \gamma } { \pi } + 2 R V _ { s } \; , } \\ { \tau _ { m } \dot { V } _ { s } } & { { } = V _ { s } ^ { 2 } - ( \pi \tau R ) ^ { 2 } + I _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } + I _ { 0 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k + 1 } } & { \leq \frac { V _ { k } } { 1 + \hat { \sigma } } + n \psi \alpha \mu _ { k + 1 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { V _ { k - 1 } } { ( 1 + \hat { \sigma } ) ^ { 2 } } + \frac { n \psi \alpha \mu _ { k } ^ { 2 } } { 1 + \hat { \sigma } } + n \psi \alpha \mu _ { k + 1 } ^ { 2 } \leq \dots } \\ & { \leq V _ { 0 } \sigma ^ { k + 1 } + \sum _ { t = 0 } ^ { k } { n \psi \alpha \rho ^ { 2 ( k - t ) } } \sigma ^ { t } } \\ & { = \sigma ^ { k + 1 } \big ( V _ { 0 } + n \psi \alpha \sigma ^ { - 1 } \sum _ { t = 0 } ^ { k - 1 } ( \frac { \rho ^ { 2 } } { \sigma } ) ^ { t } \big ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { = - \; R ^ { 3 } \cdot { \frac { { \boldsymbol { \omega } } _ { R } \times \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } } \\ { { \boldsymbol { \omega } } ( \mathbf { x } ) } & { = { \frac { R ^ { 3 } \cdot { \boldsymbol { \omega } } _ { R } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 3 } } } - { \frac { 3 R ^ { 3 } \cdot ( { \boldsymbol { \omega } } _ { R } \cdot \mathbf { x } ) \cdot \mathbf { x } } { \| \mathbf { x } \| ^ { 5 } } } } \\ { p ( \mathbf { x } ) } & { = 0 } \\ { { \boldsymbol { \sigma } } } & { = - p \cdot \mathbf { I } + \mu \cdot \left( ( \nabla \mathbf { u } ) + ( \nabla \mathbf { u } ) ^ { T } \right) } \\ { \mathbf { T } } & { = \iint _ { \partial V } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \supset \mathbf { x } \times \left( { \boldsymbol { \sigma } } \cdot { \mathrm { d } } { \boldsymbol { S } } \right) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( R \cdot \mathbf { e _ { r } } ) \times \left( { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \mathbf { e _ { r } } \cdot R ^ { 2 } \sin \theta { \mathrm { d } } \varphi { \mathrm { d } } \theta \right) } \\ & { = 8 \pi \mu R ^ { 3 } \cdot { \boldsymbol { \omega } } _ { R } } \end{array} }
\left( \begin{array} { c c c } { { ( \kappa - \ln \tilde { q } ) \eta ( \tilde { \tau } ) ^ { 2 } } } & { { - \Lambda _ { 1 , 2 } ( \tilde { \tau } ) } } & { { - \eta ( \tilde { \tau } ) ^ { 2 } } } \\ { { - \Lambda _ { 1 , 2 } ( \tilde { \tau } ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \eta ( \tilde { \tau } ) ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
f _ { \alpha } ( { \bf v } ) = \mathcal { N } _ { \alpha } \exp \left[ - \frac { m _ { e } ( v _ { | | } - u _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { 2 \; T _ { \alpha } } - \frac { m _ { e } v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 \; A _ { \alpha } \; T _ { \alpha } } \right] ,
\operatorname* { m i n } \bigg \{ - \Delta _ { p , \overline { { \xi _ { k } } } } ^ { N } u _ { k } , - H _ { k } ( D u _ { k } , \overline { { \xi _ { k } } } ; a _ { 1 } ) \Delta _ { p , \overline { { \xi _ { k } } } } ^ { N } u _ { k } , - H _ { k } ( D u _ { k } , \overline { { \xi _ { k } } } ; a _ { 2 } ) \Delta _ { p , \overline { { \xi _ { k } } } } ^ { N } u _ { k } \bigg \} = | | \widetilde { f } | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } ,
\Sigma _ { j } ( p ) = i \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 2 } \int \frac { \bar { d } ^ { 4 } k } { k ^ { 2 } - m _ { W } ^ { 2 } } \gamma _ { L \mu } \frac { \eta ^ { \mu \nu } } { \gamma . ( p + k ) - m _ { j } } \gamma _ { L \nu } \equiv p . \gamma _ { L } { \cal F } _ { j } ( p ^ { 2 } , m _ { W } , m _ { j } ) .