harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T _ { r _ { \alpha } } = \left\| \Delta _ { \alpha } ^ { \mathrm { d i a g } } + \int _ { \phi _ { \alpha } } P ( \phi _ { \alpha } | r _ { \alpha } ) \Delta _ { \alpha } ^ { \mathrm { c o h } } d \phi _ { \alpha } \right\| , \quad P ( \phi _ { \alpha } | r _ { \alpha } ) = \int _ { \beta } P ( \phi _ { \alpha } , \beta | r _ { \alpha } ) d ^ { 2 } \beta .
\left\lVert \boldsymbol { u } - \mathcal { P } \boldsymbol { u } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } = \sum _ { \left\{ \lambda _ { j } > 8 c _ { 3 } C _ { 1 } ^ { 2 } \right\} } a _ { j k } ^ { 2 } , \ \mathrm { ~ o r ~ } \ \left\lVert \boldsymbol { u } - \mathcal { P } \boldsymbol { u } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } = \sum _ { \left\{ \mu _ { k } > 8 c _ { 4 } \lambda _ { j } ^ { b } C _ { 2 } ^ { 2 } \right\} } a _ { j k } ^ { 2 } .
\left\{ \begin{array} { r l } { \dot { \theta } ( t ) } & { = \Gamma _ { \beta } ( \theta ( t ) ) , } \\ { \theta ( 0 ) } & { = \Lambda _ { \alpha } ( \{ u _ { 0 } ( x _ { i } ) \} _ { i = 0 } ^ { N } ) } \end{array} \right.
[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { P } _ { 0 } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle ] + [ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { P } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 2 } | N \rangle ]
\frac { \partial T } { \partial t } + \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \boldsymbol { u _ { c p } } T ) = \sqrt { \frac { 1 } { R a \cdot P r } } \boldsymbol { \nabla } \cdot ( { \tilde { \lambda _ { c p } } \boldsymbol { \nabla } T } ) ,
{ \begin{array} { r l } { d _ { 1 } } & { = { \frac { \ln ( S / K ) + \left( r - q + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \right) \tau } { \sigma { \sqrt { \tau } } } } } \\ { d _ { 2 } } & { = { \frac { \ln ( S / K ) + \left( r - q - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \right) \tau } { \sigma { \sqrt { \tau } } } } = d _ { 1 } - \sigma { \sqrt { \tau } } } \\ { \varphi ( x ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } } } \\ { \Phi ( x ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - \infty } ^ { x } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } y ^ { 2 } } \, d y = 1 - { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } y ^ { 2 } } \, d y } \end{array} }
\rho ^ { P T } ( s , q ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x \bar { x } ( x Q ^ { 2 } + \bar { x } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { [ s { x } \bar { x } + x Q ^ { 2 } + \bar { x } q ^ { 2 } ] ^ { 3 } } \, d x \, .
\begin{array} { r l r } { V ( t ) } & { { } = } & { N m \omega ^ { 2 } r \left( { \frac { 1 - e ^ { - { \frac { 6 r ^ { \prime } \pi { \frac { ( S - 0 . 0 3 6 9 9 ) } { 5 . 9 1 2 5 } } t } { m } } } } { 6 r ^ { \prime } \pi { \frac { ( S - 0 . 0 3 6 9 9 ) } { 5 . 9 1 2 5 } } } } \right) . } \end{array}
{ \cal T } ( z , \theta ) = \frac { \delta \Gamma _ { S R S } } { \delta H ( z , \theta ) } = k \left\{ ( \hat { R } _ { 0 } - \hat { R } _ { \zeta } ) + \frac { \delta \hat { \Phi } ( H ) } { \delta H } + S ( H ) \right\} .
\begin{array} { r l } { \frac { d ( D I C ) } { d t } } & { = - C _ { P } \frac { d P } { d t } - C _ { Z } \frac { d Z } { d t } - \gamma _ { c } C _ { P } U _ { P } \; , } \\ { \frac { d ( T A ) } { d t } } & { = - \frac { 1 } { \rho _ { w } } \frac { d N } { d t } - \frac { 2 \gamma _ { c } C _ { P } U _ { P } } { \rho _ { w } } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L ( f , P ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \operatorname* { i n f } _ { t \in [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] } f ( t ) ( x _ { i + 1 } - x _ { i } ) , } \\ { U ( f , P ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] } f ( t ) ( x _ { i + 1 } - x _ { i } ) . } \end{array} }
\mu _ { \lambda } ( t ) = 2 \mathrm { T r } \left[ \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } } ( t ) \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { e } } \right] + \mathrm { T r } \left[ \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } } ( t ) \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { n } } \right] - 2 \mathrm { T r } \left[ \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } } ( 0 ) \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { e } } \right] - \mathrm { T r } \left[ \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } } ( 0 ) \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \mathrm { n } } \right]
\frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } \int \tilde { z } \, d \tilde { z } - \frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } \tilde { h } \int d \tilde { z } - \tilde { \eta } \int \frac { \partial \tilde { u } } { \partial \tilde { z } } \, d \tilde { z } = \int 0 \, d \tilde { z } ,
\partial _ { 0 } ( \partial _ { x } g \cdot g ^ { - 1 } ) - \partial _ { x } ( \partial _ { 0 } g \cdot g ^ { - 1 } ) \, + [ \partial _ { x } g \cdot g ^ { - 1 } , \partial _ { 0 } g \cdot g ^ { - 1 } ] \equiv 0
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } ( \phi , \theta _ { \psi , n ^ { 2 } } ^ { \Phi } , E ( \cdot , f _ { n , k , s } ) ) = } & { \int _ { \mathrm { S p } _ { 2 n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \phi ( h ) } \\ { \times } & { \theta _ { \psi , n ^ { 2 } } ^ { \Phi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) E ( u t ( 1 , h ) ; f _ { n , k , s } ) \psi _ { k } ( u ) d u d h . } \end{array}
{ \frac { d A _ { i } } { d t } } = k _ { B } T \sum _ { j } { \left[ { A _ { i } , A _ { j } } \right] { \frac { { d } { \mathcal { H } } } { d A _ { j } } } } - \sum _ { j } { \lambda _ { i , j } \left( A \right) { \frac { d { \mathcal { H } } } { d A _ { j } } } + } \sum _ { j } { \frac { d { \lambda _ { i , j } \left( A \right) } } { d A _ { j } } } + \eta _ { i } \left( t \right) .
\begin{array} { r l } { \widehat { u } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } h _ { j + j ^ { \prime } , j - j ^ { \prime } + 1 } e ^ { \frac { 2 \pi \mathsf { i } } { n } ( j \xi + j ^ { \prime } \xi ^ { \prime } ) } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { k , k ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } h _ { k , k ^ { \prime } + 1 } e ^ { \frac { \pi \mathsf { i } } { n } ( k ( \xi + \xi ^ { \prime } ) + k ^ { \prime } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) ) } } \\ & { = e ^ { - \frac { \pi \mathsf { i } } { n } ( \xi - \xi ^ { \prime } ) } \widehat { h } \bigg ( \frac { \xi + \xi ^ { \prime } } { 2 } , \frac { \xi - \xi ^ { \prime } } { 2 } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { I } _ { m } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \nu _ { \Omega _ { m } } ( r ) r ^ { 2 m + 1 } F _ { m , \Omega _ { m } } ( r ) \big ( \mathcal { H } _ { m , 1 } ( r ) + \mathcal { H } _ { m , 2 } ( r ) + \mathcal { H } _ { m , 3 } ( r ) \big ) d r } \\ & { = : \mathbb { I } _ { m , 1 } + \mathbb { I } _ { m , 2 } + \mathbb { I } _ { m , 3 } \neq 0 . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \displaystyle { \frac { d w _ { t h } } { d \omega } = \frac { \alpha } { 4 \pi ^ { 2 } \omega } \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { d t _ { 1 } } { t _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t _ { 2 } } { t _ { 2 } } \int _ { } ^ { } d ^ { 2 } \varrho \left( r _ { 1 } + r _ { 2 } { \bf p } _ { 1 } { \bf p } _ { 2 } \right) } } } \\ { { \displaystyle { \times \exp \bigg [ - i \left( t _ { 2 } - t _ { 1 } \right) + i \frac { \mathrm { \boldmath ~ \ v a r r h o ~ } ^ { 2 } } { 4 } \left( \frac { 1 } { t _ { 2 } } - \frac { 1 } { t _ { 1 } } \right) \bigg ] \left( \exp ( - V T ) - 1 \right) } } } \\ { { \displaystyle { = \frac { \alpha } { \pi ^ { 2 } \omega } \int _ { } ^ { } d ^ { 2 } \varrho \left[ r _ { 1 } K _ { 0 } ^ { 2 } ( \varrho ) + r _ { 2 } K _ { 1 } ^ { 2 } ( \varrho ) \right] \left( 1 - \exp ( - V T ) \right) } , } } \end{array}
\widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { L _ { 0 0 } ( b , \sigma ) } & { L _ { 0 1 } ( b , \sigma ) } & { L _ { 0 2 } ( b , \sigma ) } \\ { L _ { 1 0 } ( b , \sigma ) } & { L _ { 1 1 } ( b , \sigma ) } & { L _ { 1 2 } ( b , \sigma ) } \\ { L _ { 2 0 } ( b , \sigma ) } & { L _ { 2 1 } ( b , \sigma ) } & { L _ { 2 2 } ( b , \sigma ) } \end{array} \right) .
T _ { q } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - q } \\ { q ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) \quad \mathrm { w h e n c e } \quad R _ { q } = \left( \begin{array} { l l } { q } & { 1 } \\ { 0 } & { q ^ { - 1 } } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad L _ { q } = \left( \begin{array} { l l } { q } & { 0 } \\ { 1 } & { q ^ { - 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { d _ { \mathrm { T V } } ( X , Y ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \geq 0 } \left| p _ { k } - \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda } \right| = 3 ( \omega \lambda ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \omega \lambda } \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda } + \omega ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \leq \omega ^ { - \frac { 1 } { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { t } ^ { s } \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla u ( s ^ { \prime } , x ) \, d s ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } & { \leq C \sum _ { e ^ { \prime } \ni x } \left( \int _ { t } ^ { s } \left| \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \nabla u ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \right| \, d s ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq C \sum _ { e ^ { \prime } \ni x } \left( \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) \, d s ^ { \prime } \right) \left( \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) ( \nabla u ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } \, d s ^ { \prime } \right) . } \end{array}
{ \stackrel { 0 } { M } } _ { 1 4 } = \frac { \mu } { 2 9 } \, \varepsilon \; , \; { \stackrel { 0 } { M } } _ { 2 5 } = \frac { \mu } { 2 9 } \, \frac { 4 } { 9 } \, ( 8 0 + \varepsilon ) \; , \; { \stackrel { 0 } { M } } _ { 3 6 } = \frac { \mu } { 2 9 } \, \frac { 2 4 } { 2 5 } \, ( 6 2 4 + \varepsilon ) \; ,
\begin{array} { r l r } { ( X _ { \mathit { K } } ^ { T } X _ { \mathit { K } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { K } } ^ { T } Y } & { = } & { \theta _ { \mathit { K } } ^ { 0 } + ( X _ { \mathit { K } } ^ { T } X _ { \mathit { K } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { K } } ^ { T } ( Y - X _ { \mathit { K } } \theta _ { \mathit { K } } ^ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln E } & { { } = } & { \ln { \cal L } _ { \mathrm { m a x } } + { \frac { n } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \operatorname* { d e t } C _ { n } - \sum _ { p = 1 } ^ { n } \ln ( 2 a _ { p } + 2 b _ { p } ) } \end{array}
[ \wp ( z ) ] ^ { 3 } { \Big | } _ { z = 0 } \sim { \frac { 1 } { z ^ { 6 } } } + { \frac { 9 } { z ^ { 2 } } } \sum { \frac { 1 } { ( m \omega _ { 1 } + n \omega _ { 2 } ) ^ { 4 } } } + 1 5 \sum { \frac { 1 } { ( m \omega _ { 1 } + n \omega _ { 2 } ) ^ { 6 } } } .
\begin{array} { r l } { a _ { R } ^ { i } ( t ) } & { = a _ { T M } ^ { i } ( t ) - a _ { S C } ^ { i } ( t ) } \\ & { = a _ { g r a v , T M } ^ { i } ( t ) + a _ { p a r a , T M } ^ { i } ( t ) - a _ { g r a v , S C } ^ { i } ( t ) - a _ { p a r a , S C } ^ { i } ( t ) + a _ { i n , T M } ^ { i } ( t ) + a _ { c } ^ { i } ( t - \tau _ { c } ^ { i } ) } \\ & { = a _ { c } ^ { i } ( t - \tau _ { c } ^ { i } ) - a _ { p a r a , S C } ^ { i } ( t ) + G ^ { i j } ( t ) d _ { j } + a _ { p a r a , T M } ^ { i } ( t ) . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = - J _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } \sum _ { \hexagon } \hat { S } _ { 1 } ^ { + } \hat { S } _ { 2 } ^ { - } \hat { S } _ { 3 } ^ { + } \hat { S } _ { 4 } ^ { - } \hat { S } _ { 5 } ^ { + } \hat { S } _ { 6 } ^ { - } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } ,
\frac Ḋ Ḋ Ḋ d Ḍ Ḍ Ḋ \mathrm { Ḋ } d Ḍ \varepsilon Ḍ \mathcal Ḋ H Ḍ [ y + \varepsilon v ; \ensuremath Ḋ \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ Ḍ ] | _ { Ḋ } \varepsilon = 0 Ḍ = \left\langle \frac Ḋ \delta \mathcal Ḋ H Ḍ Ḍ Ḋ \delta y Ḍ ( y ; \ensuremath Ḋ \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ Ḍ ) , v \right\rangle
P _ { \mathrm { a t } } ( x ) = x ^ { 3 } + \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) x ^ { 2 } - \left( 1 + k _ { \mathrm { a } } \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) \right) x - k _ { \mathrm { a } } .
M = \left( \kappa g \left[ \frac { 1 6 } { 9 } \langle \phi \rangle - \frac { 1 5 6 8 } { 2 4 3 } \langle \psi ^ { 2 } \rangle - \frac { 1 7 6 } { 2 4 3 } \langle \psi ^ { 3 } \rangle \right] \right) \approx ( 0 . 6 7 2 8 9 )
\mathcal { L } ( \theta , \xi ) = \mathbb { E } \Big [ \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \left( 1 - p _ { \theta } ( t _ { j } , X _ { t _ { j } } ) \right) p _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } ) \mathrm { P n L _ { t _ { i } } } + \prod _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \left( 1 - p _ { \theta } ( t _ { j } , X _ { t _ { j } } ) \right) \mathrm { P n L _ { t _ { N } } } \Big ] .
f _ { G } ( g ) \sim \frac { e ^ { - c / 2 } } { \sigma _ { \bar { P } } \sigma _ { \hat { P } } a ^ { 2 } ( g ) } \left( \frac { b ( g ) e ^ { b ^ { 2 } ( g ) / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } ( 2 \Phi ( b ( g ) ) - 1 ) + \frac { 1 } { \pi } \right)
\operatorname* { m i n } _ { A _ { F } , H _ { F } } { \left( \left\| \left[ A _ { F } \; H _ { F } \right] ^ { T } \mathcal { D } _ { F } - \mathbf { F } \right\| _ { 2 } + \lambda _ { F } \left\| \left[ A _ { F } , H _ { F } \right] \right\| _ { 2 } \right) } ,
\big [ \sum _ { w \in \mathbb { W } } \kappa _ { w } \big ( \sum _ { k \in \mathbb { X } _ { n } } \frac { N _ { k } } { n } \, \widetilde { \mu } _ { w , k } \big ) \big ] \equiv \big [ \sum _ { w \in \mathbb { W } } \kappa _ { w } \big ( \sum _ { k \in \mathbb { X } _ { n } } \frac { N _ { k } } { n } \, \big ( \sum _ { i \in \mathcal { X } _ { k } } \mathbb { I } \{ W _ { i } = w \} \, Y _ { i } \big ) / \mathrm { m a x } \{ 1 , \sum _ { i \in \mathcal { X } _ { k } } \mathbb { I } \{ W _ { i } = w \} \} \big ) \big ]
\sum _ { \sigma } \int d ^ { 3 } u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } , \sigma ) u _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } , \sigma ) = \delta _ { i j } \; \; \; , \; \; \; \sum _ { i } u _ { i } ( \mathrm { \bf ~ r } , \sigma ) u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ) = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } )
M _ { i } = \left( \begin{array} { c c } { { a _ { r } } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { a _ { r - 1 } } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { a _ { 1 } } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { r _ { n _ { y } n _ { z } , m } ^ { 2 } = } & { \left( r \cos ( \phi ) \cos ( \varphi ) + \delta ^ { ( m ) } d _ { u } \cos ( \phi _ { u } ) \cos ( \varphi _ { u } ) \right) ^ { 2 } + \left( r \cos ( \phi ) \sin ( \varphi ) + \delta ^ { ( m ) } d _ { u } \cos \phi _ { u } \sin \varphi _ { u } - \delta _ { y } ^ { ( n ) } d _ { y } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \left( r \sin ( \phi ) + \delta ^ { ( m ) } d _ { u } \sin \phi _ { u } - \delta _ { z } ^ { ( n ) } d _ { z } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S M S E } \! } & { = \! \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sum _ { k = 1 } ^ { L } | \big ( \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } + \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \textnormal { \tiny { R I S } } } ) \big ) \mathbf { w } _ { k } | ^ { 2 } } \\ & { - 2 \! \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \! \mathrm { R e } \{ \! \big ( \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } \! + \! \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { r i s } } ) \big ) \mathbf { w } _ { \ell } \} \! + \! L ( 1 \! + \! \sigma _ { n } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 2 , 3 } \right| ^ { 2 } \right\} = \rho _ { b } M N \left( \mathscr { E } \left| \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } a _ { M , m } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } e ^ { j \varphi _ { m } } \right| ^ { 2 } \right) = \rho _ { b } M N \left( \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } M + \left( 1 - \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \right) M \right)
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \mathfrak { c } ( x + h , \chi ) - \mathfrak { c } ( x , \chi ) } { h } \right| } & { \leq \frac { a _ { \chi } } { x } + ( 1 - a _ { \chi } ) \left( \log { x } + 1 + \frac { \log { x } } { \sqrt { x } } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { a _ { \chi } + ( - x ) ^ { a _ { \chi } } \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } ( x ^ { - 1 } ) - x ^ { 1 - a _ { \chi } } \log { \sqrt { 1 - x ^ { - 2 } } } } { h } . } \end{array}
\delta \sigma _ { i } = { \frac { \alpha } { q } } K _ { i } ^ { 4 } \left[ ( 1 - q ) \ln \left( { \frac { K _ { i } } { \mu _ { i } } } \right) + { \frac { 1 } { 4 } } \right] + K _ { i } { \frac { \delta \sigma _ { i } ^ { \prime } } { 4 q } } ,
\begin{array} { r l r } { \delta H } & { { } = } & { \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \left\{ \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left[ \nabla \psi _ { \sigma } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \nabla \delta \psi _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \nabla \delta \psi _ { \sigma } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \nabla \psi _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] + \right. } \end{array}
S _ { w v } = - \frac { T _ { p } } { \sqrt { 2 { \cal V } } \kappa _ { \mathrm { o r b } } } \left\{ \int d ^ { p + 1 } \xi \sqrt { - | g _ { \alpha \beta } | } e ^ { - \kappa _ { \mathrm { o r b } } \phi \frac { ( 1 - p ) } { 2 } } \prod _ { a } e ^ { - \kappa _ { \mathrm { o r b } } \frac { \eta _ { a } } { 2 } } - \sqrt { 2 } \kappa _ { \mathrm { o r b } } \int C _ { p + 1 } \right\}
f _ { M } ( \boldsymbol y ; n , \boldsymbol { \theta } ) = \frac { n ! } { y _ { 1 } ! \cdots y _ { k } ! } \theta _ { 1 } ^ { y _ { 1 } } \cdots \theta _ { k } ^ { y _ { k } } ; \sum _ { i = 1 } ^ { k } y _ { i } = n .
{ \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \frac { \partial I _ { 1 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } + { \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \frac { \partial I _ { 2 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + { \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ ( I _ { 1 } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } - { \boldsymbol { F } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { F } } )
\begin{array} { r l } { \ell _ { x X } } & { = \cos \theta \cos \phi \cos \chi - \sin \phi \sin \chi , } \\ { \ell _ { x Y } } & { = - \cos \theta \cos \phi \sin \chi - \sin \phi \cos \chi , } \\ { \ell _ { x Z } } & { = \sin \theta \cos \phi , } \\ { \ell _ { y X } } & { = - \sin \theta \cos \chi , } \\ { \ell _ { y Y } } & { = \sin \theta \sin \chi , } \\ { \ell _ { y Z } } & { = \cos \theta , } \\ { \ell _ { z X } } & { = - \cos \theta \sin \phi \cos \chi - \cos \phi \sin \chi , } \\ { \ell _ { z Y } } & { = \cos \theta \sin \phi \sin \chi - \cos \phi \cos \chi , } \\ { \ell _ { z Z } } & { = - \sin \theta \sin \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { s l o w } = } & { { } } & { \frac { | k | V _ { S } } { 2 | \cos \theta | } ( \frac { 1 } { 8 } \pi \frac { m _ { e } } { m _ { p } } ) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
R = \frac { R _ { 1 } b \cosh ( \alpha t ) R _ { 1 } b + ( 1 - R _ { 1 } a ) \sinh ( \alpha t ) } { b ( 1 - R _ { 0 } R _ { 1 } ) \cosh ( \alpha t ) + \big [ a ( 1 - R _ { 0 } R _ { 1 } ) - R _ { 0 } - R _ { 1 } \big ] \sinh ( \alpha t ) }
\begin{array} { r l } { M _ { \epsilon _ { 1 } , \epsilon _ { 2 } } ^ { D } } & { = \frac { i \alpha } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } z ~ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } z ^ { \prime } ~ \int \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { r } _ { 1 } ~ \int \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { r } _ { 2 } ~ } \\ & { \times \mathrm { T r } \Big [ \hat { R } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { k } _ { 1 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 1 } ) G ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , z ) \hat { R } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { k } _ { 2 } , \boldsymbol { \epsilon } _ { 2 } ) } \\ & { \times G ( \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 1 } , z ^ { \prime } ) \Big ] \delta ( \omega + z - z ^ { \prime } ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 1 } n ( 1 - \beta ) ^ { n - 1 } v _ { g , n } } & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p ( 1 - \beta ) } \left( \sum _ { n \geq 1 } \alpha _ { n } [ ( 1 - \beta ) p ( 1 - p ) ] ^ { n } \right) ^ { g - 2 } \left( \sum _ { n \geq 2 } \alpha _ { n - 1 } [ ( 1 - \beta ) p ( 1 - p ) ] ^ { n } \right) , } \\ & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p ( 1 - \beta ) } \Big ( \tilde { p } ( 1 - \beta ) \Big ) ^ { g - 1 } ( 1 - \beta ) p ( 1 - p ) , } \\ & { = ( 1 - x ) ^ { g - 1 } ( 1 - p ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { Y ^ { \prime \prime } ( \rho ) + \frac { Y ^ { \prime } ( \rho ) } { \rho } - \frac { Y ( \rho ) } { \rho ^ { 2 } } - \alpha \, k ^ { 2 } \, Y ( \rho ) + \beta \, k Z ^ { \prime } ( \rho ) = 0 \quad } & { \rho > 0 \, , } \\ { Z ^ { \prime \prime } ( \rho ) + \frac { Z ^ { \prime } ( \rho ) } { \rho } - \gamma \, k ^ { 2 } Z ( \rho ) - \delta \, k \bigg [ Y ^ { \prime } ( \rho ) + \frac { Y ( \rho ) } { \rho } \bigg ] = 0 \quad } & { \rho > 0 \, , } \end{array} \right.
\Gamma _ { \nu N } \approx \phi _ { \nu } \, \langle \sigma _ { \nu N } \rangle \propto { \frac { L _ { \nu } } { \langle E _ { \nu } \rangle } } \langle E _ { \nu } ^ { 2 } \rangle \propto L _ { \nu } \langle E _ { \nu } \rangle \, ,
V ^ { ( 1 ) } = \frac 1 2 \int \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \ln D _ { N } - \int \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \ln ( k ^ { 2 } + m _ { g h } ^ { 2 } )
\frac { \partial \rho Y _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial \left( \rho u _ { j } Y _ { i } \right) } { \partial x _ { j } } = \frac { \partial \left( \rho D _ { i } \frac { \partial Y _ { i } } { \partial x _ { j } } \right) } { \partial x _ { j } } + \dot { \omega } _ { i }
\begin{array} { r } { D _ { m } \mathcal { U } = D _ { m } \mathcal { U } ( m , y ) : \mathcal { P } _ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { d } ) \times { \mathbb R } ^ { d } \to { \mathbb R } ^ { d } , \quad D _ { y } D _ { m } \mathcal { U } = D _ { y } D _ { m } \mathcal { U } ( m , y ) : \mathcal { P } _ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { d } ) \times { \mathbb R } ^ { d } \to { \mathbb R } ^ { d \times d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \Phi _ { E } - \Phi _ { 0 } ] } & { { \leq } - \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left( \frac { \rho \eta _ { t } } { 2 \lambda } \right) \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { t } \| ^ { 2 } - \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \frac { \lambda \eta _ { t } } { 2 \rho } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { t } \| ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 \lambda L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { \rho \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 1 \lambda L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { t = 0 } ^ { T } \eta _ { t } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { \theta } } & { { } = \int \mathbf { N } ^ { T } \left( k _ { A } \left( N _ { L } - \mathbf { N } _ { L } \mathbf { C } _ { L } \right) \mathbf { N } _ { \theta } \mathbf { \uptheta } - k _ { A } ^ { \prime } \mathbf { N } _ { L } \mathbf { C } _ { L } \left( 1 - \mathbf { N } _ { \theta } \mathbf { \uptheta } \right) \right) \; \mathrm { d } \Gamma = \mathbf { 0 } } \\ { q _ { L } } & { { } = - \int \mathbf { N } ^ { T } \left( k _ { A } \left( N _ { L } - \mathbf { N } _ { L } \mathbf { C } _ { L } \right) \mathbf { N } _ { \theta } \mathbf { \uptheta } - k _ { A } ^ { \prime } \mathbf { N } _ { L } \mathbf { C } _ { L } \left( 1 - \mathbf { N } _ { \theta } \mathbf { \uptheta } \right) \right) \; \mathrm { d } \Gamma = \mathbf { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { j } ^ { + } } & { { } = \frac { j } { 2 } \left( 1 - \frac { j } { N } \right) \left( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \frac { j } { N } - \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) \right) , } \\ { W _ { j } ^ { - } } & { { } = \frac { j } { 2 } \left( 1 - \frac { j } { N } \right) \left( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \left( 1 - \frac { j } { N } \right) + \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) \right) . } \end{array}