harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \lambda _ { n } J _ { 0 } - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \lambda _ { n } J ( f ) \geq 0 \Big ) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big ( \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f ) \big ) } \\ & { \qquad \qquad \geq \lambda _ { n } \operatorname* { i n f } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } ( J ( f ) - J _ { 0 } ) + \operatorname* { i n f } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \widetilde { R } _ { \phi } ( f ) - \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) \Big ) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big ( \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f ) \big ) \geq \lambda _ { n } ( 2 ^ { j - 1 } - 1 ) J _ { 0 } + 2 ^ { i - 1 } \delta _ { n } \Big ) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big ( \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f ) \big ) \geq \lambda _ { n } ( 2 ^ { j - 1 } - 1 ) J _ { 0 } + 2 ^ { i - 1 } \delta _ { n } \Big ) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big ( \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \widetilde { R } _ { \upsilon } ( f ) \big ) \geq M ( i , j ) \Big ) , } \end{array}
\sum _ { \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { u } \mathbb { Z } _ { m } \setminus \{ \textbf { 0 } \} ; \atop ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , t ) } Z _ { i j } ^ { \boldsymbol { v } } = \sum _ { \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { u } \mathbb { Z } _ { m } \setminus \{ \textbf { 0 } \} ; \atop ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , - t ) } Z _ { i j } ^ { \boldsymbol { v } }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \bar { K } } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol { K } _ { i , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } \right) = \boldsymbol { \bar { J } } _ { n , 2 \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol { \xi } _ { i , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \boldsymbol { \xi } _ { i , \beta } ^ { T } \left( \boldsymbol { \theta } \right) , } \\ { \boldsymbol { K } _ { i , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \mathrm { E } \left[ \boldsymbol { u } _ { i , \beta } \left( Y _ { i } , \boldsymbol { \theta } \right) \boldsymbol { u } _ { i , \beta } ^ { T } \left( Y _ { i } , \boldsymbol { \theta } \right) \right] = \boldsymbol { J } _ { i , 2 \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) - \boldsymbol { \xi } _ { i , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { \xi } _ { i , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \begin{array} { l } { x - x _ { 0 } } \\ { y - y _ { 0 } } \\ { z - z _ { 0 } } \end{array} \right) = P \left( \begin{array} { l } { u } \\ { v } \\ { w } \end{array} \right) , \mathrm { ~ w h e r e ~ } P = \left( \begin{array} { l l l } { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } & { p _ { 1 2 } } & { p _ { 1 3 } } \\ { y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } & { p _ { 2 2 } } & { p _ { 2 3 } } \\ { z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } & { p _ { 3 2 } } & { p _ { 3 3 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { + } = \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { 4 } \left( N _ { u } - i \right) N _ { d } } { \prod _ { i = 0 } ^ { 5 } \left( N - i \right) } + \frac { p \, N _ { d } } { N } \left[ 1 - \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } \left( N _ { u } - i \right) - \prod _ { i = 0 } ^ { 4 } \left( N _ { d } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 4 } \left( N - i \right) } \right] } \\ & { P _ { - } = \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { 4 } \left( N _ { d } - i \right) N _ { u } } { \prod _ { i = 0 } ^ { 5 } \left( N - i \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { h _ { \mathrm { e f f } } } ( \Omega ) = } & { { } | \langle \mathrm { H G } _ { 0 1 } ^ { y } | h _ { y } \rangle \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } ^ { x } | h _ { x } \rangle | ^ { 2 } S _ { \delta y _ { c } } ( \Omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { n } ( \varphi ^ { ( n ) } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { X } ^ { n } , p _ { K } ^ { n } , W ^ { n } ) \leq \sum _ { \scriptstyle p _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } \atop { \scriptstyle \in { \cal P } _ { n } ( { \cal X } \times { \cal Z } ) } } 1 } \\ & { \times \operatorname* { P r } \{ M ^ { ( n ) } = p _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } \} \zeta ( \varphi ^ { ( n ) } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta n = \delta n _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ 1 ~ D ~ } } \\ { e ^ { - 2 x ^ { 2 } / w _ { 0 } ^ { 2 } } } & { \mathrm { ~ 2 ~ D ~ } } \\ { e ^ { - 2 r ^ { 2 } / w _ { 0 } ^ { 2 } } } & { \mathrm { ~ 3 ~ D ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
a _ { 4 , 4 } = r a _ { 4 , 4 } ^ { \mathrm { \tiny { s c a l } } } + { \frac { 1 } { 4 ! } } \int _ { \Sigma _ { r } } \bar { h } ^ { 1 / 2 } d ^ { 3 } x \left[ { \frac { 1 } { 1 6 } } \mathrm { T r } ( \bar { \gamma } ^ { i } \bar { \gamma } ^ { j } \bar { F } _ { i j } ) ^ { 4 } - { \frac { r } { 2 } } ( \bar { F } ^ { i j } \bar { F } _ { i j } ) ^ { 2 } \right] ~ ~ ~ ,
c _ { 4 } ^ { \{ 3 , L \} } \approx - 1 . 7 4 2 0 4 + 0 . 5 9 2 1 3 \, L ^ { - 1 } - 0 . 0 9 9 3 3 \, L ^ { - 2 } - 0 . 0 1 3 4 6 \, L ^ { - 3 } \, .
\dot { x } _ { h } = \sum _ { \ell \in \{ 0 , \dots , m \} } \Lambda _ { h } ^ { \ell } : = \Lambda _ { h } ^ { 0 } + \sum _ { \ell \in \{ 1 , \dots , m \} } \left( \sum _ { \substack { c _ { j } \in \{ 1 , \dots , N \} , \, \forall j \in \{ 1 , \dots , \ell \} } } \Phi _ { c _ { 1 } \dots c _ { \ell } } ^ { \ell , h } \left( \prod _ { j \in \{ 1 , \dots , \ell \} } x _ { c _ { j } } \right) \right) , \quad \Phi _ { c _ { 1 } \dots c _ { \ell } } ^ { \ell , h } \in \mathbb { R } ,
\begin{array} { r l r } { B _ { 1 } ( r ) } & { { } = } & { 2 . 2 r ^ { - 2 } } \\ { B _ { 2 } ( r ) } & { { } = } & { 6 r ^ { - 3 } + 1 . 1 8 r ^ { - 2 } } \\ { B _ { 3 } ( r ) } & { { } = } & { 0 . 5 ( r - 1 ) ^ { - 1 . 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A = } & { - I _ { 0 } I _ { m } m M _ { 0 } \, , } \\ { B = } & { b ^ { \pm } I _ { m } m ( I _ { 0 } K + K _ { t } M _ { 0 } ) + 2 ( I _ { 0 } k _ { t } m M _ { 0 } + I _ { m } k _ { t } m M _ { 0 } + I _ { 0 } I _ { m } k ( m + M _ { 0 } ) ) \, , } \\ { C = } & { ( b ^ { \pm } ) ^ { 2 } I _ { m } ( K _ { c } ^ { 2 } - K K _ { t } ) m + 4 ( I _ { 0 } + I _ { m } ) ( k _ { c } ^ { 2 } - k k _ { t } ) ( m + M _ { 0 } ) - } \\ & { 2 b ^ { \pm } ( I _ { 0 } K ( I _ { m } k + k _ { t } m ) + K _ { t } k _ { t } m M _ { 0 } + I _ { m } ( - 2 k _ { c } K _ { c } m + K k _ { t } m + k K _ { t } ( m + M _ { 0 } ) ) ) \, , } \\ { D = } & { 2 b ^ { \pm } ( - b ^ { \pm } ( K _ { c } ^ { 2 } - K K _ { t } ) ( I _ { m } k + k _ { t } m ) - 2 ( k _ { c } ^ { 2 } - k k _ { t } ) ( ( I _ { 0 } + I _ { m } ) K + K _ { t } ( m + M _ { 0 } ) ) ) \, , } \\ { E = } & { - 4 ( b ^ { \pm } ) ^ { 2 } ( k _ { c } ^ { 2 } - k k _ { t } ) ( K _ { c } ^ { 2 } - K K _ { t } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { X } | f _ { n , { \varepsilon } \, } ( x ) - f _ { n } ( x ) | ^ { 2 } \, d \mu ( x ) } & { \le C \int _ { X } \left( \fint _ { B ( x , 6 { \varepsilon } \, ) } | f _ { n } ( x ) - f _ { n } ( y ) | d \mu ( y ) \right) ^ { 2 } \, d \mu ( x ) } \\ & { \leq C \int _ { X } \fint _ { B ( x , 6 { \varepsilon } \, ) } | f _ { n } ( x ) - f ( x ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ & { + C \int _ { X } \left( \fint _ { B ( x , 6 { \varepsilon } \, ) } | f ( x ) - f ( y ) | d \mu ( y ) \right) ^ { 2 } \, d \mu ( x ) } \\ & { + C \int _ { X } \fint _ { B ( x , 6 { \varepsilon } \, ) } | f ( y ) - f _ { n } ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ & { \le C \| f - f _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( X , \mu ) } ^ { 2 } + C \int _ { X } \left( \fint _ { B ( x , 6 { \varepsilon } \, ) } | f ( x ) - f ( y ) | d \mu ( y ) \right) ^ { 2 } \, d \mu ( x ) . } \end{array}
\Phi _ { \infty } \left( z \right) = \phi _ { \beta } \left( z \right) \frac { 1 - \alpha \overline { { \phi } } _ { \beta } \left( 1 \right) } { 1 - \alpha \overline { { \phi } } _ { \beta } \left( z \right) } = \phi _ { \beta } \left( z \right) \frac { \overline { { a } } } { 1 - a C \left( z \right) } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { a ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } ) : = ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } ) , } \\ & { } & { b ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { q } ) : = ( \mu \nabla \times \boldsymbol { u } , \boldsymbol { q } ) , } \\ & { } & { c ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) : = ( \kappa \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) , } \\ & { } & { d ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { p } ) : = ( \nabla \times \boldsymbol { v } , \boldsymbol { p } ) } \\ & { } & { \ell _ { 1 } ( \boldsymbol { q } ) : = 0 , } \\ & { } & { \ell _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) : = ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { v } ) . } \end{array}
k _ { \mathrm { \ p h i } } = k _ { \mathrm { \ p h i _ { \mathrm { 0 } } } } \frac { \left[ \mathrm { m a x } \left( \phi , \phi _ { e } \right) \right] ^ { 3 } } { \phi _ { \mathrm { 0 } } ^ { 3 } } \, ,
\mathbf { B } _ { i } = ( \tilde { \mathbf { A } } _ { i } ^ { \top } \tilde { \mathbf { A } } _ { i } ) ^ { - 1 } \mathbf { \Phi } _ { i , 0 } ^ { \top } \mathbf { \Phi } _ { i - 1 , 1 } \in \mathbb { R } ^ { J _ { n } \times J _ { n } } , \qquad \mathrm { f o r } \; i = 1 , \cdots , N _ { t } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \frac { \partial H _ { a \alpha } ( \theta ) } { \partial \theta } R _ { a \alpha } ( \theta ) } & { = \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \left( - 1 + \sqrt { N S _ { a \alpha } } \right) H _ { a \alpha } ( 0 ) R _ { a \alpha } ( \theta ) } \\ & { = \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \frac { - 1 + \sqrt { N S _ { a \alpha } } } { 1 - \theta + \theta \sqrt { N S _ { a \alpha } } } H _ { a \alpha } ( \theta ) R _ { a \alpha } ( \theta ) } \\ & { = \frac { N \lambda ( G ^ { H } - F _ { g } ) } { 2 } \sum _ { a } \sum _ { \alpha } ( { \boldsymbol u } _ { a } { \boldsymbol v } _ { \alpha } ^ { T } ) ^ { 2 } H _ { a \alpha } ( \theta ) R _ { a \alpha } ( \theta ) + { \mathcal O } ( N \| { \boldsymbol U } \| _ { \infty } ^ { 2 } \| { \boldsymbol V } \| _ { \infty } ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \cal T } ( J / \psi \to \rho ^ { + } \pi ^ { - } ) = \sum _ { u \bar { d } , d \bar { u } } \left[ \widehat { \cal T } ( c \bar { c } _ { 1 } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) \to u \bar { d } + d \bar { u } ) { \cal F } _ { \rho ^ { + } } ( u \bar { d } ) \; { \cal F } _ { \pi ^ { - } } ( d \bar { u } ) \right] { \cal I } _ { J / \psi } ( c \bar { c } _ { 1 } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { \mathrm { R R , c l a s s i c a l } } } & { { } = \frac { 2 e ^ { 3 } } { 3 m c ^ { 3 } } \bigg \lbrace \gamma \bigg [ \bigg ( \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma m } \cdot \nabla \bigg ) \mathbf { E } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma m c } \times \bigg ( \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma m } \cdot \nabla \bigg ) \mathbf { B } \bigg ] } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { m x + y } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { m } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right) } .
W _ { C } ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) = e ^ { - 2 \Im S ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) } = W _ { V _ { 0 } } ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) W _ { 0 } ( t _ { r } ^ { \prime } , p _ { 0 x } ) ,
n _ { \mathrm { t } } ( \eta ) = 5 . 0 \times 1 0 ^ { 1 8 } \, \mathrm { H z } \, \cdot T ( \eta ) \times \left( \frac { P _ { \mathrm { i } } } { 1 \, \mathrm { W } } \right) \left( \frac { \lambda _ { \mathrm { s o u r c e } } } { 1 0 0 0 \, \mathrm { n m } } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { u _ { j + 1 } - 2 u _ { j } + u _ { j - 1 } } & { { } = - \frac { g _ { x } \Delta y ^ { 2 } } { \mu } \rho _ { j } \quad } & { 2 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \rho _ { j + 1 } \theta _ { j + 1 } - \rho _ { j } \theta _ { j } } & { { } = \rho _ { j } g _ { y } \Delta y \quad } & { 1 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \mu \left( u _ { j + 1 } - u _ { j - 1 } \right) ^ { 2 } + 4 \lambda \left( \theta _ { j + 1 } - 2 \theta _ { j } + \theta _ { j - 1 } \right) } & { { } = 0 \quad } & { 2 \leq j \leq N - 1 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial z \partial \bar { z } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } e ^ { u _ { j } } } & { = \pi \gamma _ { i } \delta _ { 0 } \, \, \mathrm { o n } \, \, D \quad ( \gamma _ { i } > - 1 ) } \\ { \frac { \sqrt { - 1 } } { 2 } \, \int _ { D ^ { * } } e ^ { u _ { i } } \mathrm { d } z \wedge \mathrm { d } \bar { z } } & { < \infty } \end{array} \right. \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \quad i = 1 , \cdots , n .
\begin{array} { r l r } { p } & { { } : = } & { \mathrm { ~ ' ~ t ~ h ~ e ~ p ~ a ~ s ~ s ~ e ~ n ~ g ~ e ~ r ~ i ~ s ~ m ~ o ~ v ~ i ~ n ~ g ~ r ~ e ~ l ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ t ~ o ~ t ~ h ~ e ~ g ~ r ~ o ~ u ~ n ~ d ~ ' ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { q } & { { } : = } & { \mathrm { ~ ' ~ t ~ h ~ e ~ p ~ a ~ s ~ s ~ e ~ n ~ g ~ e ~ r ~ i ~ s ~ n ~ o ~ t ~ m ~ o ~ v ~ i ~ n ~ g ~ r ~ e ~ l ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ t ~ o ~ t ~ h ~ e ~ a ~ i ~ r ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ ' ~ } } \end{array}
| z _ { 1 } , z _ { 2 } , \cdots z _ { N } \rangle = \psi _ { \mathrm { L L L } } ^ { \dag } ( z _ { 1 } ) \psi _ { \mathrm { L L L } } ^ { \dag } ( z _ { 2 } ) \cdots \psi _ { \mathrm { L L L } } ^ { \dag } ( z _ { N } ) | 0 \rangle ,
\begin{array} { r } { \phi ( \omega _ { 1 } ) - \phi ( \omega _ { 2 } ) = l _ { a c } \cdot ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) - \frac { 1 } { \mathrm { i } } \left( ( \tilde { r } _ { \infty } ( \omega _ { 1 } , j ) - \tilde { r } _ { \infty } ( \omega _ { 1 } , k ) ) - ( \tilde { r } _ { \infty } ( \omega _ { 2 } , j ) - \tilde { r } _ { \infty } ( \omega _ { 2 } , k ) ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \Delta _ { j + 1 } + \Delta _ { j + 1 } A _ { 2 } } & { = \left[ ( A _ { 1 } - p _ { j } I ) \widetilde { W } _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right] V ^ { * } r _ { j } ( - A _ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ & { - \frac { r _ { j + 1 } } { r _ { j } } ( A _ { 1 } ) \left[ ( A _ { 1 } - p _ { j } I ) \widetilde { W } _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right] V ^ { * } r _ { j + 1 } ( - A _ { 2 } ) ^ { - 1 } , \qquad j \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \psi | ( \hat { H } - E _ { 0 } ) \psi \rangle } & { { } = \langle \psi - \mathcal { P } _ { * } ( \psi ) | \hat { H } - E _ { 0 } | \psi - \mathcal { P } _ { * } ( \psi ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { m } } { d t } } & { { } = - r _ { 1 } \mathbf { m } + \sqrt { \frac { r _ { 1 } + r _ { 2 } \left( 1 - | \mathbf { m } | ^ { 2 } \right) } { N } } I \cdot \boldsymbol { \eta } ( t ) } \end{array}
\Pi ( { \vec { x } } ) = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } = - N } ^ { + N } \frac { 1 } { X ^ { 3 / 2 } } { \sqrt { \kappa _ { \vec { n } } } } P _ { \vec { n } } e x p \left( - 2 \pi i ( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } n _ { j } x _ { j } ) / X \right) .
\left( \begin{array} { c } { { \ h _ { u } ^ { + } } } \\ { { h _ { u } ^ { 0 } } } \end{array} \right) , \qquad \left( \begin{array} { c } { { h _ { d } ^ { - } } } \\ { { h _ { d } ^ { 0 } } } \end{array} \right) , \qquad
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } ^ { \beta } \frac { \partial G _ { 1 } ^ { \psi } } { \partial z ^ { \beta } } } & { = } & { \frac { B _ { 0 } } { \Omega _ { 0 } } \left[ G _ { 1 } ^ { \bf x } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla { \bf w } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \; + \; G _ { 1 } ^ { \bf x } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \left( \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf w } \right] } \\ & { } & { + \; \frac { B _ { 0 } } { \Omega _ { 0 } } \left( G _ { 1 } ^ { \mu } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \mu _ { 0 } } \; + \; G _ { 1 } ^ { \zeta } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \zeta _ { 0 } } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } . } \end{array}
S = \frac { 1 } { \alpha ^ { ' 1 2 } } \int d ^ { 2 6 } x \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } \left( R + 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \cdot 3 ! } H ^ { 2 } \right)
\Delta _ { i j } \equiv \Delta ( \eta _ { i } , \eta _ { j } ) = \frac { \mathrm { s g n } ( \eta _ { i } - \eta _ { j } ) } { \eta _ { i } } \log \left| \frac { \eta _ { i } + \eta _ { j } } { \eta _ { i } - \eta _ { j } } \right| ,
P _ { i } = \frac { 1 } { \mathcal { N } } \int \frac { d ^ { 3 } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \int \frac { d ^ { 3 } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \left| \alpha _ { i } \left( \vec { q } , \vec { k } \right) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { G _ { \tilde { n } _ { \| } \tilde { n } _ { \| } } ^ { R } } & { = 0 , } \\ { G _ { \tilde { \jmath } _ { \perp } \tilde { \jmath } _ { \perp } } ^ { R } } & { = \frac { \lambda ^ { 2 } c _ { \phi } ^ { 2 } } { \chi } \frac { ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } ) i \omega ( 1 + \tau ^ { 2 } k ^ { 2 } / k _ { 0 } ^ { 2 } ) - ( 1 + \tau ) ^ { 2 } ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ) D _ { \ell } k ^ { 2 } + ( 1 + \tau ) ^ { 2 } v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { \ell } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } } } \\ & { \qquad - i \omega \tilde { \sigma } \frac { ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } ) ( i \omega - D _ { \ell } k ^ { 2 } - \Gamma ) + ( 1 + \tau ) ^ { 2 } v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { \ell } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { x } P _ { X Y } ( x , y ) \alpha ( x , y ) \exp ( - \lambda _ { 1 } ^ { * } d _ { 1 } ( x , \hat { x } _ { 1 } ) - \lambda _ { 2 } ^ { * } d _ { 2 } ( X ^ { n } , \hat { X } _ { 2 } ^ { n } ) ) } \\ { * } & { \leq \sum _ { x } P _ { X Y } ( x , y ) \frac { \alpha ( x , y ) } { \alpha _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } ) } \exp ( - \lambda _ { 1 } ^ { * } d _ { 1 } ( x , \hat { x } _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \left( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { 1 } } - \frac { 1 } { n } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left( b _ { s , H } ^ { i _ { 1 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } \right) \, \mathrm { d } s \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } \\ & { \leq E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left| b _ { s , H } ^ { i _ { 1 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } \right| \, \mathrm { d } s \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } \\ & { \leq E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ \left| X _ { s } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } \right| + \left| H \left( X _ { s - \cdot } ^ { \varepsilon } \right) - H \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \big ) \right| \right\} \, \mathrm { d } s \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } = } & { - \sum _ { \substack { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } \\ & { - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } \\ & { - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } } \\ & { - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } . } \end{array}
g \left( x \right) = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( \frac { - \alpha ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) d \alpha + \int _ { 0 } ^ { x } \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( \frac { - \alpha ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) d \alpha ,
a _ { \ell } = \frac { \sum _ { \j \neq \ell } \left| f _ { \ell \mathrm j } \right| ^ { 2 } + \left| g _ { \ell } \right| ^ { 2 } } { 9 6 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { m _ { \ell } } { M _ { S } } \right) ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } { \partial t } } & { = - \frac { 2 J i } { \hbar } ( \cos ( k _ { 1 } ) - \cos ( k _ { 2 } ) ) \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } \\ & { - \frac { i } { 2 \pi \hbar } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q d q ^ { \prime } \langle [ \tilde { \beta } ( k _ { 1 } , q ) \delta ( q ^ { \prime } - k _ { 2 } ) - \tilde { \beta } ( q ^ { \prime } , k _ { 2 } ) \delta ( q - k _ { 1 } ) ] \tilde { \rho } ( q , q ^ { \prime } ; t ) \rangle _ { E } . } \end{array}
I \, = \, \int _ { \Omega } r ^ { 2 } \omega _ { \theta } ( r , z , t ) \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z \, = \, \Gamma \bar { r } ( t ) ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } \bigl ( \eta _ { * } + \delta \tilde { \eta } \bigr ) ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } X \, ,
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = } & { - g ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] , x _ { 3 } ) + ( - 1 ) ^ { x _ { 3 } x _ { 2 } } g ( [ x _ { 1 } , x _ { 3 } ] , x _ { 2 } ) - ( - 1 ) ^ { x _ { 1 } ( x _ { 2 } + x _ { 3 } ) } g ( [ x _ { 2 } , x _ { 3 } ] , x _ { 1 } ) } \\ & { } & { + [ x _ { 1 } , g ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ] - ( - 1 ) ^ { x _ { 2 } x _ { 1 } } [ x _ { 2 } , g ( x _ { 1 } , x _ { 3 } ) ] } \\ & { } & { + ( - 1 ) ^ { x _ { 3 } x _ { 1 } + x _ { 3 } x _ { 2 } } [ x _ { 3 } , g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] . } \end{array}