harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \mathrm { I } ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) } { \ensuremath { \mathrm { d } } s } + ( \alpha + \beta ) n \mathrm { I } ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ) = \frac { \beta n } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } \mathrm { I } ( { \ensuremath { \boldsymbol } x } , { \ensuremath { \boldsymbol } s } ^ { \prime } ) \, d \Omega ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } } & { ( \mathrm { c o l l i s i o n ~ b e t w e e n ~ 1 ~ a n d ~ } i | K _ { n } \ge k , \tilde { K } _ { n } \ge \tilde { k } ) } \\ & { \le \operatorname* { P r } ( \mathrm { c o l l i s i o n ~ b e t w e e n ~ 1 ~ a n d ~ } i | | K _ { n } = k , \tilde { K } _ { n } = \tilde { k } ) } \end{array}
k _ { x } = { \frac { 2 \pi n _ { x } } { L } } , \quad k _ { y } = { \frac { 2 \pi n _ { y } } { L } } , \quad k _ { z } = { \frac { 2 \pi n _ { z } } { L } } , \qquad n _ { x } , n _ { y } , n _ { z } = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots .
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \alpha } f _ { \alpha , p } ( x ) = ( 1 - p ) \frac { \sigma ( x ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } \log { \left( e ^ { - x } + 1 \right) } } { ( e ^ { x } + 1 ) \alpha ^ { 2 } } - p \frac { \sigma ( - x ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } \log { ( e ^ { x } + 1 ) } } { ( e ^ { - x } + 1 ) \alpha ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 2 } } & { { } = \frac { Z _ { 2 } } { \omega _ { 0 } } = 0 . 6 5 \, \mathrm { n H } } \\ { C _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { Z _ { 2 } \omega _ { 0 } } - C _ { 1 2 } - B _ { 2 3 e } / \omega _ { 0 } = 0 . 6 5 4 \, \mathrm { p F } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } } & { { } = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i ) } } & { { } = \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } + \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i - 1 ) } , t _ { n + 1 / 2 } \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { { } = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ 2 \bar { \mathbf { a } } ^ { ( i t e r ) } - \bar { \mathbf { a } } ^ { ( 0 ) } \right] } \end{array} } \end{array}
S _ { L i o u v } [ \varphi ] = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int _ { D } d x ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { a } \varphi ) ^ { 2 } + 8 \pi \mu b ^ { 2 } e ^ { \varphi } \right] + \phi _ { \infty } + 2 \log { R } - \sum _ { i } \left( \eta _ { i } \varphi _ { i } + 2 \eta _ { i } ^ { 2 } \log { \epsilon _ { i } } \right) .
B _ { u } + B _ { d } \; \; \sim \; \; \int _ { k ^ { 2 } < \bar { \rho } ^ { - 2 } } \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { k ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \; \; \sim \; \; \bar { \rho } ^ { - 2 } .
\Omega g \cdot ( d _ { r + a / n + \alpha / 2 n } ^ { a } \tilde { d } _ { r + a / n + \alpha / 2 n } ^ { - a } ) = \lambda ( d _ { r + a / n + \alpha / 2 n } ^ { a } \tilde { d } _ { r + a / n + \alpha / 2 n } ^ { - a } ) .
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { l i n } } ( k _ { y } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 4 \left( 2 - 2 k _ { y } ^ { 2 } + \sqrt { 1 - 2 k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 4 } + 6 \mu } \right) \sqrt { - 1 + k _ { y } ^ { 2 } + \sqrt { 1 - 2 k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 4 } + 6 \mu } } } { 3 \sqrt { 3 } } , } & { 0 < k _ { y } < \sqrt { \frac { 2 + \sqrt { 3 \mu } } { 2 } } } \\ { \frac { 4 \sqrt { - 1 + k _ { y } ^ { 2 } - \sqrt { 4 - 8 k _ { y } ^ { 2 } + 4 k _ { y } ^ { 4 } - 3 \mu } } \left( - 2 + 2 k _ { y } ^ { 2 } + \sqrt { 4 - 8 k _ { y } ^ { 2 } + 4 k _ { y } ^ { 4 } - 3 \mu } \right) } { 3 \sqrt { 3 } } , } & { \sqrt { \frac { 2 + \sqrt { 3 \mu } } { 2 } } < k _ { y } < \sqrt { 1 + \sqrt { \mu } } , } \end{array} \right. } \\ { k _ { x , \mathrm { l i n } } ( k _ { y } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 3 \left( 3 - 3 k _ { y } ^ { 2 } + \sqrt { 1 - 2 k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 4 } + 6 \mu } \right) ^ { 3 / 2 } } { 8 \left( 2 - 2 k _ { y } ^ { 2 } + \sqrt { 1 - 2 k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 4 } + 6 \mu } \right) } , } & { 0 < k _ { y } < \sqrt { \frac { 2 + \sqrt { 3 \mu } } { 2 } } } \\ { 0 , } & { \sqrt { \frac { 2 + \sqrt { 3 \mu } } { 2 } } < k _ { y } < \sqrt { 1 + \sqrt { \mu } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 3 } \left( \Delta \vec { p } _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, j } \right) } & { = } & { \int \frac { d ^ { 3 } \xi } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \, e ^ { - i \vec { \xi } \cdot \left( \Delta \vec { p } _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, j } \right) } \, . } \end{array}
T r f K ( t , x , x ) = ( 4 \pi t ) ^ { - 3 / 2 } t r ( \int _ { B ^ { 3 } } d x \sqrt { g } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - t ) ^ { k } } { k ! } ( f a _ { k } ) + \int _ { S ^ { 2 } } d \theta \sqrt { \gamma } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } t ^ { \frac { k + 1 ` } { 2 } } c _ { \frac { k + 1 } { 2 } } ( f ) )
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } T ( t , x ) } & { = - \frac { \partial _ { 2 } X _ { i } ( T ( t , x ) ; t , x ) } { v _ { i } \left( T ( t , x ) , X ( T ( t , x ) ; t , x ) \right) } } \\ { \partial _ { x _ { \ell } } T ( t , x ) } & { = - \frac { \partial _ { 3 _ { \ell } } X _ { i } \left( T ( t , x ) ; t , x \right) } { v _ { i } \left( T ( t , x ) , X \left( T ( t , x ) ; t , x \right) \right) } \qquad \ell = 1 , \ldots , n + m \, . } \end{array}
\operatorname { C o v } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } ) \geqslant \mathscr { F } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } , \quad \mathscr { F } _ { { i j } } ( \boldsymbol { \theta } ) = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { T r } \left( \rho _ { \boldsymbol { \theta } } \left\{ \mathscr { L } _ { i } , \mathscr { L } _ { j } \right\} \right) ,
\frac { A _ { R } } { A _ { I } } = r _ { 1 2 } + l _ { 1 2 } l l _ { 2 1 } \frac { r l _ { 2 1 } e ^ { 2 i \delta _ { L } } } { 1 - r l _ { 2 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i \delta _ { L } } } + s _ { 1 2 } l s _ { 2 1 } \frac { r s _ { 2 1 } e ^ { 2 i \delta _ { S } } } { 1 - r s _ { 2 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i \delta _ { S } } }
{ \cal S } ^ { n } \equiv { \cal S } \left( \varphi _ { n } ^ { \alpha } , \varphi _ { n + 1 } ^ { \alpha } , \nabla \varphi _ { n } ^ { \alpha } , \nabla \varphi _ { n + 1 } ^ { \alpha } , T \right) \rightarrow { \cal S } ^ { n } \left( T _ { n } \right) \equiv { \cal S } \left( \varphi _ { n } ^ { \alpha } , \varphi _ { n + 1 } ^ { \alpha } , \nabla \varphi _ { n } ^ { \alpha } , \nabla \varphi _ { n + 1 } ^ { \alpha } , T _ { n } \right) ,
r _ { X } ( k ) = \frac { P _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ , ~ X ~ } \times \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ , ~ X ~ } } ( k ) } { \sqrt { P _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ , ~ X ~ } } ( k ) P _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ , ~ X ~ } } ( k ) } } \; .
- \frac { 6 } { R _ { p } } \int _ { r = R _ { p } } n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) = \int _ { r = R _ { p } } f _ { a b } ( { \pmb x } ) ( \delta _ { b \alpha } + n _ { b \alpha } ( { \pmb x } ) ) d S ( { \pmb x } )
\begin{array} { r l } { F ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ } } ( t ; k \omega ) } & { { } = \int _ { - ( k + 1 ) \omega } ^ { - ( k - 1 ) \omega } \tilde { F } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ } } ( \omega ^ { \prime } ) \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \omega ^ { \prime } t } \mathrm { ~ d ~ } \omega ^ { \prime } } \end{array}
D ( x , N ) = { \frac { 1 } { N } } + { \frac { 1 } { N } } \cos { \frac { 1 } { 2 } } N x + { \frac { 2 } { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } N - 1 } \cos ( k x ) = { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } N x } { N \tan { \frac { 1 } { 2 } } x } } .
q _ { m - 1 } ( \textrm { \textbf { A } } ) = \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } \textrm { \textbf { A } } + \alpha _ { 2 } \textrm { \textbf { A } } ^ { 2 } + \ldots + \alpha _ { m - 1 } \textrm { \textbf { A } } ^ { m - 1 } \approx \textrm { \textbf { A } } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \nabla F ( x ) - \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y ) } & { = \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ) - \nabla _ { x } f ( x , y ) } \\ & { \quad - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ) - \lambda ( \nabla _ { x } g ( x , y ) - \nabla _ { x } g ( x , y ^ { * } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } \left( \boldsymbol { x } \right) = \mathcal { R } \left( \boldsymbol { R } \right) \, \widetilde { \psi } \left( \boldsymbol { x } _ { 0 } \right) \quad , \quad \boldsymbol { x = R \, x } _ { 0 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u _ { 1 } ^ { \mathcal { G } _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { \mathcal { G } _ { 1 } } , u _ { 3 } ^ { \mathcal { G } _ { 1 } } ) } & { = \left( \frac { x _ { 1 } ( 1 - x _ { 3 } ) } { 1 - x _ { 2 } - x _ { 3 } } , \frac { x _ { 2 } } { 1 - x _ { 3 } } , x _ { 3 } \right) , } \\ { ( u _ { 1 } ^ { \mathcal { G } _ { 2 } } , u _ { 2 } ^ { \mathcal { G } _ { 2 } } , u _ { 3 } ^ { \mathcal { G } _ { 2 } } ) } & { = \left( x _ { 1 } , \frac { x _ { 2 } } { 1 - x _ { 1 } } , \frac { x _ { 3 } ( 1 - x _ { 1 } ) } { 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } } \right) , } \\ { ( u _ { 1 } ^ { \mathcal { G } _ { 3 } } , u _ { 2 } ^ { \mathcal { G } _ { 3 } } , u _ { 3 } ^ { \mathcal { G } _ { 3 } } ) } & { = \left( x _ { 1 } , \frac { x _ { 2 } } { ( 1 - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 3 } ) } , x _ { 3 } \right) . } \end{array}
{ \mathsf { L } } _ { \mathfrak { A } } ( a ^ { - 1 } ) \leqslant C \left\| { a ^ { - 1 } } \right\| _ { { \mathfrak { A } } } ^ { 2 } { \mathsf { L } } _ { \mathfrak { A } } ( a ) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad { \mathsf { L } } _ { \mathfrak { B } } ( b ^ { - 1 } ) \leqslant C \left\| { b ^ { - 1 } } \right\| _ { { \mathfrak { B } } } ^ { 2 } { \mathsf { L } } _ { \mathfrak { B } } ( b ) \mathrm { . }
C _ { i } ^ { \gamma g } ( \omega , \overline { { { \gamma } } } ) = \overline { { { \gamma } } } \tilde { F } _ { i } ^ { \gamma g } ( \omega , \overline { { { \gamma } } } ) \: R \left( \frac { \overline { { { \alpha } } } _ { S } } { \omega } \right)
\begin{array} { r l } { \bar { \ell } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } } & { { } = \frac { \bar { v } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } } { v _ { 0 } } D _ { \mathrm { ~ C ~ J ~ } } \; \bar { t } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } , } \\ { \bar { v } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } \left( \bar { y } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } \right) } & { { } = \left( 1 - \bar { y } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } \right) v _ { \mathrm { ~ N ~ } } + \bar { y } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } v _ { \mathrm { ~ C ~ J ~ } } , } \\ { \bar { U } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } \left( \bar { y } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } \right) } & { { } = \left( 1 - \bar { y } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } \right) U _ { \mathrm { ~ N ~ } } + \bar { y } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } U _ { \mathrm { ~ C ~ J ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { R _ { T } } \delta m _ { i } \right) } & { { } = - \sum _ { i = 1 } ^ { R _ { \mathrm { T } } } \delta m _ { i } / { \tau _ { \mathrm { m } } } + q \delta \ell ( t ) / ( \alpha { \tau _ { \mathrm { m } } } ) + \eta _ { m } ( t ) , } \\ { \dot { \delta x ^ { \ast } } } & { { } = - \delta x ^ { \ast } ( t ) / { \tau _ { \mathrm { r } } } - \gamma q \delta \ell ( t ) + \gamma \alpha \sum _ { i = 1 } ^ { R _ { \mathrm { T } } } \delta m _ { i } ( t ) + \eta _ { x } ( t ) , } \end{array}
2 \uparrow \uparrow \uparrow 4 = { \begin{array} { l } { \underbrace { 2 _ { } ^ { 2 ^ { { } ^ { . \, ^ { . \, ^ { . \, ^ { 2 } } } } } } } } \\ { \qquad \quad \ \ \ 6 5 , 5 3 6 { \mathrm { ~ c o p i e s ~ o f ~ } } 2 } \end{array} } \approx ( 1 0 \uparrow ) ^ { 6 5 , 5 3 1 } ( 6 \times 1 0 ^ { 1 9 , 7 2 8 } ) \approx ( 1 0 \uparrow ) ^ { 6 5 , 5 3 3 } 4 . 3
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { 3 a } } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { = \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \, W _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \: D ( \eta ^ { \mathrm { r e l } } ; 1 , 3 , 3 ) } \\ & { + \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 2 , 3 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \, W _ { 2 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \: D ( \eta ^ { \mathrm { r e l } } ; 1 , 4 , 4 ) } \\ & { + S _ { 1 2 3 } \: Z _ { 2 , 3 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \, W _ { 3 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \: D ( \eta ^ { \mathrm { r e l } } ; 3 , 2 , 4 ) } \\ & { - \frac 3 5 \: Z _ { 4 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \, W _ { 1 1 1 } \: D ( \eta ^ { \mathrm { r e l } } ; 3 , 3 , 3 ) , } \end{array}
A _ { N } ^ { h } \equiv \frac { { \Delta } { \sigma } _ { N } ^ { h } } { { \sigma } _ { N } ^ { h } } = \frac { { \sum } e _ { i } ^ { 2 } { { \Delta } q _ { i } ( x ) } D _ { i } ^ { h } ( z ) } { { \sum } e _ { i } ^ { 2 } q _ { i } ( x ) D _ { i } ^ { h } ( z ) } .
\frac { d \mathcal { E } ^ { \ell } } { d t } + \frac { 1 } { \Delta x } \left( F _ { G } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - F _ { G } ^ { \ell - \frac { 1 } { 2 } } \right) = \frac { 1 } { \Delta x } \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \left( \mathbf { g } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { g } ^ { \ell - \frac { 1 } { 2 } } \right) + \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \mathbf { P } ^ { \ell } ,
I ( \beta ) = \frac { 3 } { 4 \pi } \, \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \, \sin \theta d \theta \, \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, \frac { ( \cos ^ { 2 } \theta \cos x \cos y + \sin x \sin y - \beta ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) d y } { ( 1 - \beta \sin \theta \sin x ) ^ { 3 } ( 1 + \beta \sin \theta \sin y ) ^ { 2 } } .
\Pi ( n ; \varphi \setminus \alpha ) = \int _ { 0 } ^ { \varphi } { \frac { 1 } { 1 - n \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \mathrm { d } \theta } { \sqrt { 1 - \left( \sin \theta \sin \alpha \right) ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \| _ { \mathcal { H } ( p ( \cdot ) ^ { \prime } , q ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ) } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } r ^ { \frac { n } { \alpha ^ { \prime } } } \| \chi _ { B ( x _ { 0 } / r , r _ { 0 } / r ) } \| _ { p ( \cdot ) ^ { \prime } , q ^ { \prime } } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } r ^ { \frac { n } { \alpha ^ { \prime } } } \left\| \| \chi _ { B ( x _ { 0 } / r , r _ { 0 } / r ) } \chi _ { B ( \cdot , 1 ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) ^ { \prime } } } \right\| _ { L ^ { q ^ { \prime } } } . } \end{array}
e _ { \breve { \mu } } ^ { ( 1 0 ) \, \breve { \alpha } } = \left( \begin{array} { l l } { { e _ { \mu } ^ { \alpha } } } & { { \bar { B } _ { \mu } ^ { m } \bar { e } _ { m } ^ { a } } } \\ { { 0 } } & { { \bar { e } _ { m } ^ { a } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \dim ( \mathfrak { W } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { n } { \operatorname* { g c d } ( c , n ) } \right) ^ { r } } & { \mathrm { ~ i f ~ } d \equiv 0 \pmod { n } } \\ { \left( \frac { n } { \operatorname* { g c d } ( d , n ) } \right) ^ { r - 1 } \cdot \frac { n } { \operatorname* { g c d } ( ( r - 1 ) d , n ) } } & { \mathrm { ~ i f ~ } c \equiv 0 \pmod { n } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathbf { u } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 1 } = \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { r } _ { 1 k } } & { \stackrel { ( a ) } { = } \mathbf { V } ^ { T } \left[ \mathbf { V } \mathbf { D } _ { k } \left( \tau _ { 2 k } \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { p } _ { 2 k } + \gamma _ { 2 k } \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { r } _ { 2 k } \right) - \alpha _ { 2 k } \mathbf { r } _ { 2 k } \right] / ( 1 - \alpha _ { 2 k } ) } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } \left[ \mathbf { D } _ { k } \left( [ \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { 1 } \mathbf { S } ^ { T } [ \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { 1 } + \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } [ \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 1 } \right) - [ \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 1 } [ \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 1 } \right] / ( 1 - [ \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 1 } ) } \\ & { \stackrel { ( e ) } { = } \left[ \left[ \mathbf { f } _ { q } ^ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { q } ^ { \mathrm { i n } } , \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } , \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } \right) - \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \right] / ( 1 - \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ) \right] _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - \omega \bar { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) \bar { \rho } ( { \bf x } ) } \\ { 1 } & { \omega \bar { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) \bar { \rho } ( { \bf x } ) } \end{array} \right) ^ { * } \left( \begin{array} { l } { \bar { F } ^ { p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { \bar { F } ^ { v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E _ { k } ^ { s } } { \partial t } } & { { } = } & { \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } f ( \theta _ { k } , \phi _ { k } ) \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \quad \quad } \end{array}
p _ { j } \left( t \right) = t \left\vert \nabla ^ { j } d \xi \right\vert + \sum _ { J _ { j } } t ^ { k _ { 1 } + . . . + k _ { j } } \left\vert \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { 1 } } \left\vert \nabla \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { 2 } } . . . \left\vert \nabla ^ { j } \theta _ { s } \right\vert ^ { i _ { j + 1 } } \left\vert d \xi \right\vert ^ { k _ { 1 } } \left\vert \nabla d \xi \right\vert ^ { k _ { 2 } } . . . \left\vert \nabla ^ { j - 1 } d \xi \right\vert ^ { k _ { j } } ,
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { F } } ^ { 0 } } & { = \mathrm { i d } , } \\ { { \mathcal { F } } ^ { 1 } } & { = { \mathcal { F } } , } \\ { { \mathcal { F } } ^ { 2 } } & { = { \mathcal { P } } , } \\ { { \mathcal { F } } ^ { 3 } } & { = { \mathcal { F } } ^ { - 1 } = { \mathcal { P } } \circ { \mathcal { F } } = { \mathcal { F } } \circ { \mathcal { P } } , } \\ { { \mathcal { F } } ^ { 4 } } & { = \mathrm { i d } } \end{array} }
\dot { N } = \left( \gamma _ { a } - \Gamma _ { 0 } \right) N - \gamma _ { c } N ^ { 2 } + \frac { \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } { \hbar \Omega _ { 0 } } + A \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { H } } = \langle \overline { { \psi } } _ { a } | \Sigma ( p ) | \psi _ { a } \rangle + \langle \overline { { \psi } } _ { a } | \Gamma _ { 0 } ( p , p ) V | \psi _ { a } \rangle - \delta m , } \end{array}
\overline { { { | M | ^ { 2 } } } } = \frac { 1 } { 4 } | M | _ { Z } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } | M | _ { \gamma } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } R e M _ { Z } M _ { \gamma } ^ { + } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } { \bf m } ( { \bf x } , t ) } & { { } = - { \bf m } \times { \bf h } _ { \mathrm { e f f } } - { \bf m } \times \left( { \bf m } \times { \bf h } _ { \mathrm { e f f } } \right) + \sigma ( { \bf x } , t ) { \bf m } \times \left( { \bf m } \times { \bf m } _ { \mathrm { f } } \right) } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } , \mathbf { t } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \left( { \frac { q ( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ^ { 2 } } } + { \frac { q \mathbf { n } _ { s } \times { \big ( } ( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) \times { \dot { { \boldsymbol { \beta } } _ { s } } } { \big ) } } { c ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } \right) _ { t = t _ { r } }
\mathcal { G } _ { 0 } ( t ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { L } \mathcal { R } _ { 0 } | _ { t = 0 } \, \mathrm { d } z } { \int _ { 0 } ^ { L } \mathcal { R } _ { 0 } \, \mathrm { d } z } .
\begin{array} { r l } { \{ \Bar W _ { m n } , \Bar Y _ { m n } \} } & { \rightarrow \Bar W _ { i + l , j } ( y _ { G _ { y } } ) \approx \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { i + l } , j } W ( x , y _ { G _ { y } } ) d x , } \\ { \{ \Bar V _ { m n } , \Bar Z _ { m n } \} } & { \rightarrow \Bar W _ { x , i + l , j } ( y _ { G _ { y } } ) \approx \frac { 1 } { \Delta x } \int _ { I _ { i + l } , j } W _ { x } ( x , y _ { G _ { y } } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { Z _ { i j } } & { { } = \sum _ { T _ { i j } } \nu _ { \Psi _ { i } \to j } ( T _ { i j } ) \nu _ { \Psi _ { j } \to i } ( T _ { i j } ) } \end{array} } \end{array}
D _ { 2 } = M \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } e \frac { f _ { D } } { f _ { \pi } } \left( \frac { g _ { \rho } g _ { \rho \pi \gamma } } { ( q + k ) ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } + i m _ { \rho } \Gamma _ { \rho } } - \frac { g _ { \omega } g _ { \omega \pi \gamma } } { ( q + k ) ^ { 2 } - m _ { \omega } ^ { 2 } + i m _ { \omega } \Gamma _ { \omega } } \right)
\begin{array} { r l } { [ 2 , 2 ] _ { o , g } } & { = ( 2 , 2 ) _ { g , o } - ( 1 , 1 ) _ { x , y } ( 2 , 1 ) _ { g , o } = ( ( 2 , 2 ) , 2 ) - ( ( 0 , 1 ) , 1 ) ( ( 2 , 1 ) , 1 ) - \sum _ { i + j = 2 } ( ( i , 0 ) , 1 ) ( ( j , 2 ) , 1 ) } \\ & { = [ ( 2 , 2 ) , 2 ] - ( ( 2 , 0 ) , 1 ) ( ( 0 , 2 ) , 1 ) - ( ( 0 , 0 ) , 1 ) ( ( 2 , 2 ) , 1 ) = [ ( 2 , 2 ) , 2 ] - [ ( 2 , 0 ) , 1 ] [ ( 0 , 2 ) , 1 ] , } \end{array}
A _ { \mathrm { Y } } ( p , q , r , d ) \, = \, \left\{ \begin{array} { l l } { \Big ( \frac { ( p ^ { \prime } ) ^ { 1 / p ^ { \prime } } q ^ { 1 / q } r ^ { 1 / r } } { p ^ { 1 / p } ( q ^ { \prime } ) ^ { 1 / q ^ { \prime } } ( r ^ { \prime } ) ^ { 1 / r ^ { \prime } } } \Big ) ^ { d / 2 } \, , } & { \mathrm { \ i f \ } 1 < p , q , r < \infty \, , } \\ { 1 } & { \, \mathrm { \ e l s e } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \substack { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } } \left| \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 1 } } \chi ( p ) \right| ^ { 2 } \left| \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } \chi ( p ) \right| \left| \sum _ { n \leq q } \chi ( n ) \sum _ { d \mid n } \lambda _ { d } ^ { + } \right| } \\ & { \ll \frac { ( q ^ { 1 - \eta } ) ^ { 2 / L } } { \varphi ( q ) } \left( \sum _ { \substack { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } } \left| \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 1 } } \chi ( p ) \right| ^ { 2 L } \right) ^ { \frac { 1 } { L } } \left( \sum _ { \substack { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } } \left| \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } \chi ( p ) \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \sum _ { \substack { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } } \left| \sum _ { n \leq q } \chi ( n ) \sum _ { d \mid n } \lambda _ { d } ^ { + } \right| ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { L } } . } \end{array}
R = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { \theta _ { 1 } } } & { { \theta _ { 2 } } } & { { \cdots } } & { { \theta _ { n } } } \\ { { - \theta _ { 1 } } } & { { 1 } } & { { \theta _ { 1 2 } } } & { { \cdots } } & { { \theta _ { 1 n } } } \\ { { - \theta _ { 2 } } } & { { - \theta _ { 1 2 } } } & { { 1 } } & { { \cdots } } & { { \theta _ { 2 n } } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { - \theta _ { n } } } & { { - \theta _ { 1 n } } } & { { } } & { { } } & { { \theta _ { n n } } } \end{array} \right) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \begin{array} { c } { { \theta _ { n } = \frac { \sqrt { 2 } s _ { w } m _ { Z } ^ { 2 } } { n ^ { 2 } M _ { c } ^ { 2 } } } } \\ { { \theta _ { i j } = - \frac { 1 } { | i ^ { 2 } - j ^ { 2 } | } \frac { 2 s _ { w } ^ { 2 } m _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { c } ^ { 2 } } } } \end{array}