harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l l } { \Delta ^ { * } u ( \eta ; \cdot ) + \omega ^ { 2 } u ( \eta ; \cdot ) = g ( \eta ; \cdot ) } & { \mathrm { i n } } & { D _ { h } ( \eta ) , } \\ { u ( \eta ; \cdot ) = 0 } & { \mathrm { o n } } & { S ( \eta ) , } \\ { T u ( \eta ; \cdot ) = \mathcal { T } u ( \eta ; \cdot ) } & { \mathrm { o n } } & { \Gamma _ { h } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B | } & { \le _ { \mathrm { c } } \frac { \delta _ { n } ^ { 3 d } } { | T _ { n } | } \sum _ { u \in \delta _ { n } \cdot \mathbb { Z } ^ { d } } \| C ( u ) \| _ { \mathrm { H S } } \sum _ { h ^ { \prime } \in \Delta _ { n } S _ { K } \cap \delta _ { n } \cdot \mathbb Z ^ { d } \ } \sum _ { h \in \Delta _ { n } S _ { K } \cap ( u - ( \mathbb T _ { n } - \mathbb T _ { n } ) ) \ } \| C ( h ^ { \prime } - u + h ) \| _ { \mathrm { H S } } } \\ & { \le \frac { 1 } { | T _ { n } | } \Big ( \sum _ { u \in \delta _ { n } \cdot \mathbb { Z } ^ { d } } \delta _ { n } ^ { d } \| C ( u ) \| _ { \mathrm { H S } } \Big ) \Big ( \delta _ { n } ^ { d } \sum _ { h ^ { \prime } \in \Delta _ { n } S _ { K } \cap \delta _ { n } \cdot \mathbb Z ^ { d } \ } 1 \Big ) \Big ( \sum _ { h \in \delta _ { n } \cdot \mathbb { Z } ^ { d } } \delta _ { n } ^ { d } \| C ( h ) \| _ { \mathrm { H S } } \Big ) } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { \Delta _ { n } ^ { d } } { | T _ { n } | } \right) , } \end{array}
\langle J _ { \mu _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } ( P _ { 1 } ) \ldots J _ { \mu _ { n } } ^ { a _ { n } } ( P _ { n } ) \rangle _ { T } \approx ( - i ) ^ { n } \frac { N T ^ { 2 } } { 1 2 } \delta \Gamma _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ( P _ { 1 } , \ldots , P _ { n } ) + O ( \frac { 1 } { f _ { \pi } ^ { 2 } } ) \ ,
( y _ { i , j } ) _ { m i d } = \left\{ \begin{array} { c } { ( y _ { i , j } ) _ { m i d } + 1 0 ^ { - 3 } , \ i \ \mathrm { ~ i ~ s ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } \\ { ( y _ { i , j } ) _ { m i d } - 1 0 ^ { - 3 } , \ i \ \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ d ~ d ~ } } \end{array} \right\}
\mathrm { M A T - r T F D } \left( \mathbb { S } _ { \mathrm { C R E S T } } , \mathbb { S } _ { \mathrm { P D B } } \right) = \frac { 1 } { \lvert \mathbb { S } _ { \mathrm { P D B } } \rvert } \sum _ { \mathbf { R } ^ { \prime } \in \mathbb { S } _ { \mathrm { P D B } } } \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { R } \in \mathbb { S } _ { \mathrm { C R E S T } } } \mathrm { r T F D } \left( \mathbf { R } , \mathbf { R } ^ { \prime } \right)
S = - \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } x d y \, \Bigl ( i \bar { \psi } \gamma ^ { \mu } \frac { \partial \psi } { \partial x ^ { \mu } } - \frac { 1 } { 2 } \bar { \psi } \gamma _ { 5 } \frac { \partial \psi } { \partial y } + \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { \mu } } \frac { \partial \phi } { \partial x _ { \mu } } - \frac { 1 } { 4 } \frac { \partial \phi } { \partial y } \frac { \partial \phi } { \partial y } + F ^ { 2 } \Bigr )
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 } ( t ) = \mathbb { P } ( \mathcal { N } ( t ) = 0 ) = \exp \left\{ - \lambda _ { c } \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { d } t } } { \lambda _ { d } } \right\} , \quad t \geq 0 , } \end{array}
\Pi _ { \rho } ( M ^ { 2 } ) ~ \approx ~ ( p a r t o n ~ m o d e l ) \cdot \left( 1 + { \frac { \alpha _ { s } ( M ^ { 2 } ) } { \pi } } + { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 M ^ { 4 } } } \langle { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } ( G _ { \mu \nu } ^ { a } ) ^ { 2 } \rangle + . . . \right)
\Delta \phi _ { \mathrm { ~ S ~ t ~ a ~ r ~ k ~ } } = - V _ { g } ^ { 2 } \frac { T _ { g } } { 2 \hbar } \left( \alpha _ { e } - \alpha _ { g } \right) \left[ \left( \frac { E ( 3 ) } { V _ { g } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { E ( 5 ) } { V _ { g } } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { { \mathbf { V } _ { \underline { { Q } } } ^ { \dagger } } } & { = T _ { f } ^ { \vee } \otimes ( \mathrm { I n d } _ { K } ^ { \mathbf { Q } } \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \Psi _ { T _ { 1 } } ) \otimes ( \mathrm { I n d } _ { K } ^ { \mathbf { Q } } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { T _ { 2 } } ) \otimes \varepsilon _ { \mathrm { c y c } } ^ { 1 - r } ( \Psi _ { T _ { 1 } } ^ { - 1 / 2 } \Psi _ { T _ { 2 } } ^ { - 1 / 2 } \circ \mathscr { V } ) } \\ & { \simeq \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \mathrm { I n d } _ { K } ^ { \mathbf { Q } } \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \mathrm { I n d } _ { K } ^ { \mathbf { Q } } \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { a } ) } & { = } & { 1 - \left( \frac { X ( t ) } { n } \right) ^ { k } } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { b } ) } & { = } & { \left( \frac { X ( t ) } { n } \right) ^ { k } - \left( \frac { X ( t ) - R ( t ) } { n } \right) ^ { k } } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { c } ) } & { = } & { \left( \frac { X ( t ) - R ( t ) } { n } \right) ^ { k } - \left( \frac { R ( t ) } { n } \right) ^ { k } } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { t + 1 } ^ { d } ) } & { = } & { \left( \frac { R ( t ) } { n } \right) ^ { k } . } \end{array}
\{ \pi _ { i } ( \textbf { k } ) , A _ { j } ( \textbf { q } ) \} ^ { * } = - ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ( \textbf { k + q } ) \left( \delta _ { i j } - \frac { k _ { i } k _ { j } } { \textbf { k } ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \big ( { - i \hbar c \frac { d } { { d z } } - { E _ { \omega } } } \big ) { \phi _ { R } } ( z ) + \hbar g \sum _ { j } ^ { \delta ( z - { z _ { j } } ) { e _ { j } } } = 0 ; } \\ & { } & { \big ( { i \hbar c \frac { d } { { d z } } - { E _ { \omega } } } \big ) { \phi _ { L } } ( z ) + \hbar g \sum _ { j } ^ { \delta ( z - { z _ { j } } ) { e _ { j } } } = 0 ; } \\ & { } & { ( \hbar { \omega _ { 0 } } - { E _ { \omega } } ) { e _ { j } } + \hbar g \left[ { { \phi _ { L } } ( { z _ { j } } ) + { \phi _ { R } } ( { z _ { j } } ) } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { Z _ { 2 3 } = } } & { { \frac { 1 } { s } ( \sum _ { l = 1 } ^ { g ( s ) } e ^ { 2 \pi i ( l - 1 ) / n s } + e ^ { - 2 \pi i / n } \sum _ { l = g ( s ) + 1 } ^ { s } e ^ { 2 \pi i ( l - 1 ) / n s } ) } } \\ { { } } & { { \times ( \sum _ { p = 0 } ^ { p _ { m a x } } e ^ { - 4 \pi i p / n } \sum _ { u ( p ) > j \geq l ( p ) } e ^ { 4 \pi i ( j - 1 ) / M } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } } & { { } = W _ { 1 } \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + W _ { 2 } \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + W _ { 3 } \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + W _ { 4 } \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 4 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + W _ { 5 } \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { X \ni x \to x _ { 0 } } \frac { \big \| \big ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi _ { i } ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \ \varphi _ { i } ( x ) ) \big ) ^ { - 1 } \ f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \ f ( x ) \big \| _ { \mathbb H } } { d ( x _ { 0 } , x ) } } \\ { \geq } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { X \ni x \to x _ { 0 } } \frac { \big | \pi _ { 1 , \mathbb { H } } \circ f ( x ) - \pi _ { 1 , \mathbb { H } } \circ f ( x _ { 0 } ) - \pi _ { 1 , \mathbb { H } } ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi _ { i } ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \ \varphi _ { i } ( x ) ) ) \big | } { d ( x _ { 0 } , x ) } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { X \ni x \to x _ { 0 } } \frac { \big | \pi _ { 1 , \mathbb { H } } \circ f ( x ) - \pi _ { 1 , \mathbb { H } } \circ f ( x _ { 0 } ) - \pi _ { 1 , \mathbb { H } } \circ D f ( x _ { 0 } ) ( \pi _ { 1 , i } \circ \varphi ( x ) - \pi _ { 1 , i } \circ \varphi _ { i } ( x _ { 0 } ) ) \big | } { d ( x _ { 0 } , x ) } , } \end{array}
\hat { R } _ { x y } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { n = 0 } ^ { N - m - 1 } x _ { n + m } y _ { n } ^ { * } , } & { m \geq 0 . } \\ { \hat { R } _ { x y } ^ { * } ( - m ) , } & { m < 0 . } \end{array} \right.
- { \frac { g } { 2 } } ( { \bar { \nu } } _ { e } \; { \bar { e } } ) \tau ^ { + } \gamma _ { \mu } ( W ^ { + } ) ^ { \mu } { \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { e } } } \\ { e } \end{array} \right) } = - { \frac { g } { 2 } } { \bar { \nu } } _ { e } \gamma _ { \mu } ( W ^ { + } ) ^ { \mu } e
\begin{array} { r l } { A ( x , t _ { k } ) = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \delta h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge F \left( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { j - 1 } \right) , } \\ { \varTheta ( x , t _ { k } ) = } & { - \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( Y _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \cdot R ( x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ; 0 ) \varTheta _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , } \end{array}
\| f - \hat { f } ^ { N } \| _ { H ^ { k } ( \Omega ) } \leq 2 ^ { k } 3 ^ { d } C _ { k , m , d , f } ( 1 + \sigma ) \mathrm { l n } ^ { k } \left( \beta _ { k , \sigma , d , f } N ^ { d + m + 2 } \right) N ^ { - m + k } ,
\psi _ { \pm } \left( \mathbf { x } \right) = \tau ( \mathbf { x } _ { s } , \mathbf { x } ) - \tau ( \mathbf { x } _ { s } , \mathbf { x } ^ { * } ) \mp \tau ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } ) \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { \mathrm { a d } } _ { T } ( U _ { 0 } ) = \mathrm { a d } _ { T } ( U _ { 0 } ) , \qquad \forall U _ { 0 } \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } , \qquad T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } , } \\ & { } & { \tilde { \mathrm { a d } } _ { T } ( U _ { 1 } ) = \check { \mathrm { a d } } _ { T } ( U _ { 1 } ) , \qquad \forall U _ { 1 } \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) } , \qquad T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { \, \mathrm { B e t a } \left( A _ { q } , B _ { q } \right) , \, \, m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { \, \mathrm { B e r n o u l l i } \left( q _ { m } \right) , } \\ { \lambda _ { m } \sim } & { \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \lambda } , \beta _ { \lambda } \right) , } \\ { \Omega _ { m } \sim } & { \, \mathrm { G P } \left( \nu _ { m } , \boldsymbol { K } \right) , } \\ { \nu _ { m } \sim } & { \, \mathrm { N o r m a l } \left( 0 , \sigma _ { \chi } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { i , \alpha \beta } ^ { ( 4 ) } = c _ { i \alpha } c _ { i \beta } ( c _ { i } ^ { 2 } - ( D + 4 ) ) - \delta _ { \alpha \beta } ( c _ { i } ^ { 2 } - ( D + 2 ) ) . } \end{array}
x _ { 6 } ^ { 4 } ( x _ { 1 } ^ { 8 } + x _ { 2 } ^ { 8 } - 2 \phi x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } ^ { 4 } ) + x _ { 3 } ^ { 4 } + x _ { 4 } ^ { 4 } + x _ { 5 } ^ { 4 } = 0 \; .
^ { \textbf * } \mathrm { P r o b } ^ { \textbf * } [ ^ { \textbf * } \beta _ { i } ^ { \textbf * } = ^ { \textbf * } 0 ^ { \textbf * } ] ^ { \textbf * } = ^ { \textbf * } \mathrm { P r o b } ^ { \textbf * } [ ^ { \textbf * } \beta _ { i } ^ { \textbf * } = ^ { \textbf * } 1 ^ { \textbf * } ] ^ { \textbf * } = ^ { \textbf * } 1 ^ { \textbf * } / ^ { \textbf * } 2 ^ { \textbf * }
\protect \eta = - { \frac { \mu } { \ln \mu } } \left( 1 + { \frac { \ln ( - \ln \mu ) } { \ln \mu } } + \left( { \frac { \ln ( - \ln \mu ) } { \ln \mu } } \right) ^ { 2 } - { \frac { \ln ( - \ln \mu ) } { ( \ln \mu ) ^ { 2 } } } + \cdots \right) .
\begin{array} { r } { d _ { \textup { K o l } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) \leq 3 \left( \frac { \sqrt { 2 \ln d } + 2 } { \sqrt { \underset { 1 \leq m \leq d } { \operatorname* { m i n } } \mathbb { E } [ F _ { m } ^ { 2 } ] } } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \left( d _ { \mathcal { H } _ { 2 } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } + d _ { \mathcal { H } _ { 2 } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lbrace \begin{array} { l } { i u _ { t } + u _ { x x } = ( \alpha | u | ^ { 2 p } + \beta | u | ^ { q } | v | ^ { q + 2 } ) u , } \\ { i v _ { t } + v _ { x x } = ( \alpha | v | ^ { 2 p } + \beta | v | ^ { q } | u | ^ { q + 2 } ) v , } \\ { u ( x , \, 0 ) = u _ { 0 } ( x ) , \qquad v ( x , \, 0 ) = v _ { 0 } ( x ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\left( \bar { Z } _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } ^ { a } \right) _ { b } ^ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { [ i _ { 1 } } \right) _ { \; \; b } ^ { a } \delta _ { i _ { 2 } } ^ { i } \delta _ { i _ { 3 } ] } ^ { j } ,
\begin{array} { r l } { x _ { k } ^ { \prime } } & { = F _ { K } ^ { k } x _ { 0 } ^ { \prime } + \sum _ { p = 0 } ^ { k - 1 } F _ { K } ^ { p } w _ { k - p - 1 } ^ { \prime } , } \\ { x _ { k } ^ { \prime \prime } } & { = F ^ { k } x _ { 0 } ^ { \prime \prime } + \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } F ^ { j } w _ { k - 1 - j } ^ { \prime \prime } } \\ & { + \Psi _ { k - 1 } x _ { 0 } ^ { \prime } + \sum _ { h = 0 } ^ { k - 1 } F ^ { h } G K \sum _ { p = 0 } ^ { k - h - 2 } F _ { K } ^ { p } w _ { k - h - 2 - p } ^ { \prime } , } \end{array}
\frac { m ( \kappa ^ { 2 } ) } { \pi } \int _ { \alpha } ^ { \infty } k \frac { d } { d k } \left[ \ln \left( 1 - e ^ { - a \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) \right] d k + \frac { b ( \kappa ^ { 2 } ) } { \pi } \int _ { \alpha } ^ { \infty } \frac { d } { d k } \left[ \ln \left( 1 - e ^ { - a \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) \right] d k
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 2 } \Big ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ^ { 1 } \big ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } f ( t , k , \cdot ) \big ) \Big ) ( t , k , \xi _ { 1 } ) = \int \mathcal { D } ^ { 1 } ( t , k , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \hat { f } _ { k } ( t , \xi _ { 2 } ) d \xi _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \sigma n l } } & { { } = \frac { | \nabla n _ { \sigma n l } | ^ { 2 } } { 8 n _ { \sigma n l } } + \frac { l ( l + 1 ) } { 2 } \frac { n _ { \sigma n l } } { r ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } G _ { i j } ^ { < } ( t ) = } & { \Big [ h ^ { \mathrm { H } } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ S + S ^ { \dagger } \Big ] _ { i j } ( t ) } \\ & { + \Big [ I ^ { \mathrm { M E } } + I ^ { \mathrm { M E } \dagger } \Big ] _ { i j } ( t ) \, , } \\ { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Delta G _ { i j } ^ { \lambda } ( t ) = } & { \Big [ h ^ { \mathrm { H F } } , \Delta G ^ { \lambda } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ \Delta U ^ { \mathrm { H F } } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) \, , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } [ - \epsilon _ { 0 } \nabla \cdot \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \rho ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] = - \epsilon _ { 0 } \nabla \cdot \frac { \partial \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } } { \partial t } + \frac { \partial \rho } { \partial t } = \nabla \cdot \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } + \frac { \partial \rho } { \partial t } = 0
\mathfrak { F _ { \ell } ^ { \star } } = \frac { 1 0 \mathfrak { F _ { \ell } } + 4 ( \mathfrak { F _ { \ell + 1 } } + \mathfrak { F _ { \ell - 1 } } ) - ( \mathfrak { F _ { \ell + 2 } } + \mathfrak { F _ { \ell - 2 } } ) } { 1 6 }
\begin{array} { l l } { { c _ { 1 } = { \frac { 1 } { 3 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) , } } & { { c _ { 2 } = { \frac { 5 } { 1 4 4 } } ( e _ { s } + 2 e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 3 } = { \frac { - 2 } { 9 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } & { { c _ { 4 } = { \frac { - 1 } { 9 } } ( 5 e _ { s } f + 1 2 e _ { s } + 1 2 e _ { u } f + 2 2 e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 5 } = { \frac { 1 } { 3 6 } } ( e _ { s } f \phi + 2 e _ { u } ) ( 1 4 \kappa - \xi ) , } } & { { c _ { 6 } = { \frac { - 1 } { 2 7 } } ( 8 e _ { s } f + 6 e _ { s } + 2 0 e _ { u } f + 8 e _ { u } ) \kappa _ { v } , } } \\ { { c _ { 7 } = { \frac { 1 } { 5 4 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) ( 4 \kappa + \xi ) , } } & { { c _ { 8 } = { \frac { 7 } { 1 0 8 } } ( e _ { s } f \phi + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 9 } = { \frac { 1 } { 3 6 } } ( e _ { s } + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } & { { c _ { 1 0 } = { \frac { 7 } { 1 0 8 } } ( e _ { s } f + e _ { u } f + e _ { u } ) , } } \end{array}
\bar { f } _ { i } ^ { ( \dagger ) } ( \mathbf { r } , \omega , t ) = \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { f } _ { i } ^ { ( \dagger ) } ( \mathbf { r } , \omega ) \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ( t ) ,
+ \left( \frac { x ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ^ { a } } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ^ { a } } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ^ { a } } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ^ { a } } + \frac { x ^ { 6 } } { 6 ^ { a } } \right) \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { b } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { b } } + \frac { y ^ { 3 } } { 3 ^ { b } } + \frac { y ^ { 4 } } { 4 ^ { b } } + \frac { y ^ { 5 } } { 5 ^ { b } } + \frac { y ^ { 6 } } { 6 ^ { b } } \right) \frac { z ^ { 6 } } { 6 ^ { c } } + \cdots
2 ^ { - 3 3 } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 - \beta + 4 \delta } \leq \tau _ { m } \leq 2 ^ { - 2 8 } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 - \beta + 4 \delta } \quad \mathrm { a n d } \quad 2 ^ { - 2 5 } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 - \beta + 2 \delta } \leq \tau _ { m } ^ { \prime \prime } \leq 2 ^ { - 2 4 } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 - \beta + 2 \delta } \, .
\begin{array} { r l } & { \left| \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } H _ { n } ( X _ { \delta } ) \right] - \mathbb { E } _ { x _ { k } } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } H _ { n } ( X _ { \delta } ) \right] \right| } \\ & { \phantom { \quad \quad } \leq \left| \mathbb { E } _ { x } \left[ \left( e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } - e ^ { \int _ { u } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } \right) H _ { n } ( X _ { \delta } ) \right] \right| } \\ & { \phantom { \quad \quad = } + \left| \mathbb { E } _ { x _ { k } } \left[ \left( e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } - e ^ { \int _ { u } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } \right) H _ { n } ( X _ { \delta } ) \right] \right| } \\ & { \phantom { \quad \quad = } + \left| \mathbb { E } _ { x _ { k } } \left[ e ^ { \int _ { u } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } H _ { n } ( X _ { \delta } ) \right] - \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { u } ^ { \delta } f ( X _ { s } ) d s } H _ { n } ( X _ { \delta } ) \right] \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \perp } ( B _ { 0 } ) = \sqrt { \mu _ { 3 3 } ( B _ { 0 } ) \, \epsilon _ { 2 2 } ( B _ { 0 } ) } = \sqrt { \, \frac { c _ { 1 } } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, B _ { 0 } ^ { 2 } } \, } \; . } \end{array}
U D U ^ { * } \; = \; \left( \begin{array} { c c } { { \nabla \! \! \! \! / } } & { { k \, \gamma ^ { 5 } \, e ^ { - R e \, \sigma } { \binom { 0 } { 1 } } } } \\ { { k ^ { * } \gamma ^ { 5 } \, e ^ { - R e \, \sigma } \, ( 0 , 1 ) \quad } } & { { \nabla \! \! \! \! / } } \end{array} \right) \; + \; \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i \, \partial \! \! \! / \, I m \, \sigma _ { 2 } } } \end{array} \right)
{ \hat { K } } _ { 3 } \equiv { \frac { 1 } { 2 } } \left( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + 1 \right) \ , \quad { \hat { K } } _ { + } \equiv a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } ^ { \dagger } \ , \quad { \hat { K } } _ { - } \equiv - a _ { 1 } a _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} } & { = \left\langle \frac { \delta F } { \delta u } , \omega \times \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + \left\langle \frac { \delta F } { \delta D } , \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + \left\langle \frac { 1 } { D } \frac { \delta F } { \delta \theta } \nabla \theta , \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle } \\ & { \qquad - \left\langle \frac { \delta G } { \delta D } , \nabla \cdot \frac { \delta F } { \delta u } \right\rangle - \left\langle \frac { 1 } { D } \frac { \delta G } { \delta \theta } \nabla \theta , \frac { \delta F } { \delta u } \right\rangle , } \end{array}
P _ { d } ( x , y ) \propto \mathrm { e x p } \left( - \frac { \left( x - \mu _ { d , x } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { \left( y - \mu _ { d , y } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l r } { { \phi _ { R } } ( z ) } & { = } & { \frac { { { e ^ { i { \omega / c } z } } } } { { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { . . . + { t _ { 1 } ^ { 2 } } \theta ( z - { z _ { 1 } } ) \theta ( { z _ { 2 } } - z ) + { t _ { 2 } ^ { 3 } } \theta ( z - { z _ { 2 } } ) \theta ( { z _ { 3 } } - z ) + . . . } \right] , } \\ { { \phi _ { L } } ( z ) } & { = } & { \frac { { { e ^ { - i { \omega / c } z } } } } { { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { . . . + { r _ { 1 } ^ { 2 } } \theta ( z - { z _ { 1 } } ) \theta ( { z _ { 2 } } - z ) + { r _ { 2 } ^ { 3 } } \theta ( z - { z _ { 2 } } ) \theta ( { z _ { 3 } } - z ) + . . . } \right] , } \end{array}
D _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 2 - 2 \cos \frac { \pi } { N } } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 - 2 \cos \frac { 2 \pi } { N } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] ,
Z ( \alpha ) = \sum _ { n _ { 3 } , n _ { 4 } } \ { \frac { \alpha ^ { n _ { 3 } + n _ { 4 } } 2 ( - 1 ) ^ { n _ { 4 } } { \cal { N } } _ { \varphi } e ^ { - S _ { e f f } [ \varphi _ { c } ] } } { ( 2 n _ { 3 } ) ! n _ { 4 } ! 2 ^ { n _ { 4 } } } } .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { Z } ( \mathbf { k } ) } & { \approx \mu _ { B } g _ { \mathrm { e f f } } B \left( 1 - \frac { \epsilon _ { 0 } } { \sqrt { 4 \Omega _ { R } ^ { 2 } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } + \mu _ { B } ^ { 2 } g _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } B ^ { 2 } } } \right) } \\ & { + \frac { \epsilon _ { \mathrm { p h } } ( \mathbf { k } ) } { 2 } \left[ \frac { \epsilon _ { X , - } } { \sqrt { 4 \Omega _ { R } ^ { 2 } + \epsilon _ { X , - } ^ { 2 } } } - \frac { \epsilon _ { X , + } } { \sqrt { 4 \Omega _ { R } ^ { 2 } + \epsilon _ { X , + } ^ { 2 } } } \right] . } \end{array}
\Pi ^ { 2 } \equiv \left( \Pi _ { \mu } ^ { a b } \right) ^ { 2 } \ ; \quad \Pi _ { \mu } ^ { a b } \equiv \delta ^ { a b } \hat { p } _ { \mu } - { \cal A } _ { \mu } ( \hat { x } ) [ \mathrm { a d } ( T _ { 3 } ) ] ^ { a b } \ ,