harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } & { c \mathcal { E } \mathbf { u } ^ { 3 } = \frac { c } { \lambda } \big ( 2 \frac { \alpha } { h ^ { 2 } } \mathcal { I } \times _ { 1 } A + \frac { \beta } { h ^ { 2 } } \mathcal { I } + \mathcal { E } \times _ { 1 } ( A + V ) \big ) \mathbf { u } ^ { 3 } , } \\ & { \| \mathbf { u } \| _ { 2 } ^ { 2 } = 1 , } \end{array} \right.
G _ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } J _ { \pm } ^ { a } \hat { \chi } _ { \pm a } + \frac { i \sqrt 2 k } { 3 } f _ { a b c } \, \hat { \chi } _ { \pm } ^ { a } \hat { \chi } _ { \pm } ^ { b } \hat { \chi } _ { \pm } ^ { c } \, .
\sigma _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } - p } \stackrel { > } { \sim } 0 . 3 ( 1 ) \times 1 0 ^ { - 1 0 } \mathrm { p b } ; \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, m _ { 1 / 2 } \leq 1 ( 0 . 6 ) \, \mathrm { T e V }
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { i } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \Bigg | \frac { g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) } - \frac { g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l , a } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l , a } ) } \Bigg | } \\ { \beta _ { i } } & { = } & { \frac { \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l , a } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l , a } ) } - \frac { g _ { k } ( X _ { k } ^ { i , l - 1 } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g _ { k } ( X _ { k } ^ { j , l - 1 } ) } . } \end{array}
\varepsilon _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } b _ { 1 } \ldots b _ { p } } \varepsilon ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } c _ { 1 } \ldots c _ { p } } = ( - ) ^ { t } \, p ! \, n ! \, \delta _ { [ b _ { 1 } } ^ { [ c _ { 1 } } \ldots \delta _ { b _ { p } ] } ^ { c _ { p } ] } \, .
\begin{array} { r l } { E _ { \theta _ { e } } ( y ) } & { = C _ { L } ^ { e } \circ \sigma \circ C _ { L - 1 } ^ { e } \ldots \circ \sigma \circ C _ { 2 } ^ { e } \circ \sigma \circ C _ { 1 } ^ { e } ( y ) , } \\ { D _ { \theta _ { d } } ( z ) } & { = C _ { L } ^ { d } \circ \sigma \circ C _ { L - 1 } ^ { d } \ldots \circ \sigma \circ C _ { 2 } ^ { d } \circ \sigma \circ C _ { 1 } ^ { d } ( z ) , } \\ { u _ { \theta } ( y ) } & { = D _ { \theta _ { d } } \circ E _ { \theta _ { e } } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { 5 } } & { \left\| | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) | ^ { 5 - j } | \Pi _ { \tau } e _ { n } | ^ { j } \right\| _ { l _ { \tau } ^ { \frac { 4 } { 3 } } L ^ { \frac { 4 } { 3 } } } \lesssim \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \| _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| \Pi _ { \tau } e _ { n } \| _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 4 } } } \\ & { \qquad \qquad + \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \| _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 4 } } \| \Pi _ { \tau } e _ { n } \| _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 4 } } ^ { 2 } + \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \Pi _ { \tau } e _ { n } \| _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 4 } } ^ { 3 } } \\ & { \qquad \qquad + \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } L ^ { \infty } } \| \Pi _ { \tau } e _ { n } \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } L ^ { \infty } } \| \Pi _ { \tau } e _ { n } \| _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 4 } } ^ { 3 } + \| \Pi _ { \tau } e _ { n } \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \Pi _ { \tau } e _ { n } \| _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 4 } } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. v _ { g } ^ { \pm } \right| _ { \epsilon ^ { \prime \prime } = 0 } } & { = \frac { 2 k _ { \pm } ^ { \prime } \mp \mu \Sigma } { \displaystyle { 2 \mu \omega } \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) } \; , } \\ { \left. V _ { E } ^ { \pm } \right| _ { \epsilon ^ { \prime \prime } = 0 } } & { = \frac { k _ { \pm } ^ { \prime } } { \displaystyle \mu \omega \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \pm \frac { \Sigma } { 2 \omega ^ { 2 } } k _ { \pm } ^ { \prime } \right) } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 2 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \frac { \big [ \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } - \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big [ \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] + \frac { 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } { \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big [ \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } - 1 \big ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \frac { \big [ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } - \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big [ \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \big ] + \big [ { 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big ] \cdot \big [ 1 - \frac { 1 } { \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big ] } \\ & { = } & { \Big [ 1 + \frac { 1 / 2 } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \Big ] \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \big [ { 1 - \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big ] \cdot \big [ 1 - \frac { 1 } { \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big ] } \\ & { = } & { \frac { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } + \big [ 1 - \frac { 1 } { \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } \big ] + \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } \frac { \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } { \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { B } _ { f } \setminus \mathbb { B } _ { g } } & { = \left\{ ( r , \theta , \varphi _ { 1 } , \dots , \varphi _ { d - 2 } ) : r _ { g } \le r \le r _ { 1 } , \ 0 \le \theta \le \theta _ { 1 } , \ 0 \le \varphi _ { 1 } , \dots , \varphi _ { d - 3 } \le \pi , \ 0 \le \varphi _ { d - 2 } < 2 \pi \right\} } \\ & { \ \quad \cup \left\{ ( r , \theta , \varphi _ { 1 } , \dots , \varphi _ { d - 2 } ) : r _ { 2 } \le r \le r _ { 1 } , \ \theta _ { 1 } \le \theta \le \theta _ { 2 } , \ 0 \le \varphi _ { 1 } , \dots , \varphi _ { d - 3 } \le \pi , \ 0 \le \varphi _ { d - 2 } < 2 \pi \right\} } \\ & { = : \mathbb { B } _ { 1 } \cup \mathbb { B } _ { 2 } } \end{array}
\dot { E } = \omega _ { i } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \left| \hat { v } _ { r } \right| ^ { 2 } + \left| \hat { v } _ { \theta } \right| ^ { 2 } + \left| \hat { v } _ { z } \right| ^ { 2 } \right) r \mathrm { ~ d } r
\begin{array} { r l } & { \frac { P ( x , t + \Delta t ) - P ( x , t ) } { \Delta t } = - P ( x , t ) } \\ & { + \alpha _ { 0 } \int d I \int d y \int d z P ( y , t ) P ( z , t ) f ( I ) \delta ( x - y - I ( z - y ) ) } \\ & { + \sum _ { m = 1 } ^ { M } \alpha _ { m } \int d I \int d y P ( y , t ) f ( I ) \delta ( x - y - I ( X _ { m } - y ) ) , } \end{array}
\mathbf { X } \in \mathbb { R } ^ { h _ { \mathrm { i n } } \times w _ { \mathrm { i n } } \times f _ { \mathrm { i n } } } \to \mathbf { s } _ { \mathrm { i n } } \in \mathbb { R } ^ { N _ { \mathrm { i n } } }
\lambda _ { 1 , 2 } = \frac { 1 } { 2 ( \zeta + 1 ) } \left[ - \varepsilon \gamma _ { 0 } ( 1 + \zeta ) ^ { 2 } - ( \gamma _ { 1 } + \zeta ) ( \gamma _ { 0 } \zeta + 1 ) \pm S \right] ,
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } } & { \leq \mathbb { E } \left[ \left( - f ^ { \prime } ( | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | ) \frac { Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } } { | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | } \cdot \left( \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { X } _ { T _ { k } } ) - \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { Y } _ { T _ { k } } ) \right) + c ^ { \prime } \eta _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \log \eta _ { k } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \right) \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left( - f ^ { \prime } ( | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | ) \frac { Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } } { | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | } \cdot \left( \nabla U ( \bar { X } _ { T _ { k } } ) - \nabla U ( \bar { Y } _ { T _ { k } } ) \right) + c ^ { \prime } \eta _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \log \eta _ { k } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \right) \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] } \\ & { \leq - \left( e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } \kappa - c ^ { \prime } \eta _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \log \eta _ { k } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] , } \end{array}
( 1 , 3 , { \bar { 3 } } ) \rightarrow 2 \, ( 1 , 2 ) _ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \oplus ( 1 , 2 ) _ { \frac { 1 } { 2 } } \oplus 2 \, ( 1 , 1 ) _ { 0 } \oplus ( 1 , 1 ) _ { 1 }
\begin{array} { r l } { \fint _ { B _ { r } } ( p - 1 ) | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y \, \mathrm { d } y } & { = \frac { c ^ { p - 2 } } { \omega _ { d } r ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { r } ( p - 1 ) \int _ { \partial B _ { \rho } } | y _ { 1 } | ^ { p - 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } y _ { i } ^ { 2 } D _ { i i } \phi ( x ) \right) \, \mathrm { d } \sigma ( y ) \, \mathrm { d } \rho } \\ & { = \frac { 1 } { \omega _ { d } r ^ { d } } \Delta _ { p } \phi ( x ) \int _ { \partial B _ { 1 } } | y _ { 1 } | ^ { p } \, \mathrm { d } \sigma ( y ) \int _ { 0 } ^ { r } \rho ^ { d + p - 1 } \, \mathrm { d } \rho } \\ & { = r ^ { p } \frac { d } { p + d } a _ { p , d } ^ { - 1 } \Delta _ { p } \phi ( x ) . } \end{array}
f _ { i } ( s ) = { \frac { 1 } { 2 i \sigma ( s ) } } \left( \eta _ { i } ( s ) \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \delta _ { i } ( s ) } - 1 \right) , \quad \sigma ( s ) = \sqrt { 1 - { \frac { 4 } { s } } } ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \mathfrak { p } _ { L , F } } & { = \mathfrak { p } _ { L , C } , } & { \qquad \mathfrak { p } _ { L , S } } & { = \mathfrak { p } _ { R , F } , } & { \qquad \mathfrak { p } _ { R , S } } & { = \mathfrak { p } _ { R , C } ; } \\ { \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , F } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , C } ^ { \flat } , } & { \qquad \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , S } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , F } ^ { \flat } , } & { \qquad \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , C } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , F } ^ { \flat } , } \\ { \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , F } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , S } ^ { \flat } , } & { \qquad \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , S } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , C } ^ { \flat } , } & { \qquad \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , C } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , S } ^ { \flat } ; } \\ { \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , F } ^ { \sharp } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , C } ^ { \sharp } , } & { \qquad \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , S } ^ { \sharp } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , F } ^ { \sharp } , } & { \qquad \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , S } ^ { \sharp } } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , C } ^ { \sharp } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { a = 2 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } ( - 1 ) ^ { | I | } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a } \left( \frac { z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) ^ { | I | } } \\ & { } & { 2 ! ^ { i _ { 1 } } 3 ! ^ { i _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } } b _ { 3 } ( \delta ) ^ { i _ { 2 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \theta } = \frac 1 2 m _ { 3 } I _ { ( 1 - 2 ) } \sin 2 \psi _ { 0 } \sin \theta , \qquad \dot { \varphi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = \sum _ { j = 1 , 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \hat { { \cal U } } _ { j } ^ { \dagger } ( \tau , s ) \left[ - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + A _ { 0 } ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t t } u ( x , y , t ) - \alpha ^ { 2 } \Delta u ( x , y , t ) = 1 , } & { \quad ( x , y ) , t \in \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x , y , 0 ) = \phi ( x , y ) , } & { \quad ( x , y ) \in \Omega , } \\ & { \partial _ { t } u ( x , y , 0 ) = \psi ( x , y ) , } & { \quad ( x , y ) \in \Omega , } \\ & { u ( x , y , t ) = 0 , } & { \quad ( x , y ) \in \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \end{array}
{ } ^ { C } D _ { t } ^ { \alpha } f ( t ) = { \frac { 1 } { \Gamma ( n - \alpha ) } } \int _ { 0 } ^ { t } { \frac { f ^ { ( n ) } ( \tau ) \, d \tau } { \left( t - \tau \right) ^ { \alpha + 1 - n } } } .
\hat { \Delta } ^ { \prime } \! = \displaystyle \frac { 1 \! + \! v } { 2 \hat { s } ^ { 2 } } \! - \! \frac 1 2 , \quad \hat { s } ^ { \prime } ( \xi , \! Z ) \! = \! K \! \left\{ \! \widetilde { N } \! \left[ Z \! + \! \hat { \Delta } \right] \! - \! \widetilde { N } ( Z ) \! \right\} \! ,
\tau _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ( q ) = e ^ { - 4 ( q / \varpi _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ) ^ { 2 } } Q _ { 0 } \left( \frac { 2 s ^ { 2 } } { \varpi _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } } , \frac { 4 q a _ { R } } { \varpi _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } } \right) ,
\left[ { \cal L } \right] _ { t } = i \left[ \frac { \pi } { l \sqrt { t } } \frac { 1 } { \sqrt { \left( l _ { + } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \right) \left( l ^ { 2 } - l _ { - } ^ { 2 } \right) } } \right] \Theta \left( l _ { + } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \right) \Theta \left( l ^ { 2 } - l _ { - } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { \| \mathbb { E } \left[ \mathsf { S } _ { t , k + 1 } \vert \mathcal { F } _ { t , k } \right] - \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \| \mathsf { S } _ { t , k } - \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , k - 1 } ) + \mathbb { E } \left[ \eta _ { t , k + 1 } \vert \mathcal { F } _ { t , k } \right] \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \| \mathsf { S } _ { t , k } - \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , k - 1 } ) \| ^ { 2 } + \frac { C _ { b } ^ { 2 } } { m _ { t , k + 1 } ^ { 2 } } } \\ & { + 2 \frac { C _ { b } } { m _ { t , k + 1 } } \| \mathsf { S } _ { t , k } - \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , k - 1 } ) \| \; . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { \gamma ^ { ( 1 ) } } \\ { \gamma ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) } _ { \perp } \equiv \left( \begin{array} { l } { \gamma ^ { ( 2 ) } } \\ { - \gamma ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \gamma ^ { ( 1 ) } } \\ { \gamma ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { L ( u , v ) } & { = \Pi _ { \tau } \left( | \Pi _ { \tau } u | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } v + 2 \Pi _ { \tau } u \cdot \Pi _ { \tau } v \Pi _ { \tau } u \right) , } \\ { Q ( u , v ) } & { = - \Pi _ { \tau } \left( | \Pi _ { \tau } v | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } u + 2 \Pi _ { \tau } u \cdot \Pi _ { \tau } v \Pi _ { \tau } v \right) , } \\ { C ( u , v ) } & { = \Pi _ { \tau } \left( | \Pi _ { \tau } v | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } v \right) , } \\ { S ( u ) } & { = ( I - \Pi _ { \tau } ) ( | u | ^ { 2 } u ) + \Pi _ { \tau } \Bigl ( | \Pi _ { \tau } u | ^ { 2 } ( I - \Pi _ { \tau } ) u + 2 \Pi _ { \tau } u \cdot ( I - \Pi _ { \tau } ) u \Pi _ { \tau } u } \\ & { \quad + \Pi _ { \tau } u | ( I - \Pi _ { \tau } ) u | ^ { 2 } + 2 \Pi _ { \tau } u \cdot ( I - \Pi _ { \tau } ) u ( I - \Pi _ { \tau } ) u + | ( I - \Pi _ { \tau } ) u | ^ { 2 } ( I - \Pi _ { \tau } ) u \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) \Phi } & { = \psi \dot { F } ^ { i j } \partial _ { t } b _ { i j } - \psi \dot { F } ^ { i j } ( \psi F ) _ { i j } = \psi \dot { F } ^ { i j } ( \partial _ { t } u ) _ { i j } + \psi \dot { F } ^ { i j } ( \partial _ { t } u ) \delta _ { i j } - \psi \dot { F } ^ { i j } ( \psi F ) _ { i j } } \\ & { = - \psi \eta \dot { F } ^ { i j } u _ { i j } + \psi \dot { F } ^ { i j } ( \psi F - \eta u ) \delta _ { i j } = - k \alpha \eta \psi F + \psi ^ { 2 } F \dot { F } ^ { i j } \delta _ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathrm { T } } _ { I } ( \emph { \textsf { A } } _ { I } ) } & { = \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \frac { \emph { \texttt { g } } ^ { r } } { r ! } \mathrm { R } _ { r ; I } ( \emph { \textsf { S } } ^ { \, r } ; \emph { \textsf { A } } _ { I } ) } \\ & { = \mathrm { T } _ { I } ( \emph { \textsf { A } } _ { I } ) + \underbrace { \emph { \texttt { g } } \, \mathrm { T } _ { I } ^ { 1 } ( \downarrow \mathtt { H } _ { ( I ) } \otimes \emph { \textsf { S } } \emph { \textsf { A } } _ { I } ) + \frac { \emph { \texttt { g } } ^ { 2 } } { 2 ! } \mathrm { T } _ { I } ^ { 2 } ( \downarrow \downarrow \mathtt { H } _ { ( I ) } \otimes \emph { \textsf { S } } \emph { \textsf { S } } \emph { \textsf { A } } _ { I } ) + \cdots } _ { \mathrm { p e r t u r b a t i o n } } \ . } \end{array}
\begin{array} { l } { { i ) \qquad \chi ^ { ( 1 ) } = a ^ { ( 1 ) } + p ^ { F } \sum _ { s = 1 } ^ { k + 1 } \frac { \eta _ { s } ^ { F } } { | \vec { x } - \vec { x } _ { s } | } \quad , \quad \chi ^ { ( 2 ) } = a ^ { ( 2 ) } + p ^ { H } \sum _ { s = 1 } ^ { k + 1 } \frac { \eta _ { s } ^ { H } } { | \vec { x } - \vec { x } _ { s } | } } } \\ { { i i ) \qquad \chi ^ { ( 1 ) } = a ^ { ( 1 ) } + \sum _ { s = 1 } ^ { k + 1 } \frac { p _ { s } ^ { F } } { | \vec { x } - z _ { s } | } \quad , \quad \chi ^ { ( 2 ) } = a ^ { ( 2 ) } + \sum _ { s = 1 } ^ { k + 1 } \frac { p _ { s } ^ { H } } { | \vec { x } - z _ { s } | } } } \end{array}
\begin{array} { r } { M \left\lVert \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right\rVert _ { H _ { \star } } \ge \operatorname { \mathbb E } [ \left\lVert G ( \theta _ { 1 } ; Z ) - G ( \theta _ { 2 } ; Z ) \right\rVert _ { G _ { \star } ^ { - 1 } } ] , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \in \Theta _ { r } ( \theta _ { \star } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \pounds _ { \xi } R _ { i j k } ^ { l } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } [ 2 \varOmega ( \delta _ { j } ^ { l } R _ { i k } - \delta _ { k } ^ { l } R _ { i j } ) + ( 2 \varOmega R _ { j } ^ { l } - R _ { j } ^ { x } \hbar _ { x } ^ { l } ) g _ { i k } + R _ { j } ^ { l } \hbar _ { i k } - ( 2 \varOmega R _ { k } ^ { l } - R _ { k } ^ { y } \hbar _ { y } ^ { l } ) g _ { i j } } \\ & { - } & { R _ { k } ^ { l } \hbar _ { i j } ] - \frac { 1 } { 6 } [ ( 2 \varOmega R - R ^ { \prime } ) ( g _ { i j } \delta _ { k } ^ { l } - g _ { i k } \delta _ { j } ^ { l } ) + R ( \delta _ { k } ^ { l } \hbar _ { i j } - \delta _ { j } ^ { l } \hbar _ { i k } ) ] , } \end{array}
m _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } = m _ { { \tilde { \mu } } _ { L } } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } + ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta _ { w } ) \cos ( 2 \beta ) M _ { Z } ^ { 2 } \qquad \Rightarrow \qquad m _ { \tilde { \nu } } < m _ { { \tilde { \mu } } _ { L } } ,
J _ { n } = J _ { n } ^ { A } \cup J _ { n } ^ { \tilde { A } } ; \quad I _ { j } ^ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { j } ^ { n } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \in J _ { n } ^ { A } } \\ { \tilde { A } _ { j } ^ { n } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \in J _ { n } ^ { \tilde { A } } } \end{array} \right. ; \quad x _ { j } ^ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { j } ^ { n } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \in J _ { n } ^ { A } } \\ { \tilde { a } _ { j } ^ { n } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \in J _ { n } ^ { \tilde { A } } } \end{array} \right. .
E _ { 1 } - E _ { 2 } = \sqrt { p ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } } - \sqrt { p ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } \approx \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 p } \quad ,
{ L _ { \cal F } } = \frac { 1 } { { { N _ { \cal F } } } } \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { \cal F } } } { l \left( { \hat { u } { { ( { t _ { i } } , { { \bf { x } } _ { i } } ) } _ { t } } + { \cal F } ( { { \bf { x } } _ { i } } , \hat { u } ( { t _ { i } } , { { \bf { x } } _ { i } } ) ) - f ( { t _ { i } } , { { \bf { x } } _ { i } } ) } \right) }
\mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \; = \; - \, \epsilon _ { \delta } \; \frac { \widehat { \sf z } } { \Omega _ { 0 } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, \nabla \left( \chi _ { \mathrm { g c } } \; \frac { \partial \delta \Phi } { \partial t } - \frac { c \, \beta } { 4 \pi } \, \widehat { \sf z } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \delta A _ { \| } \right) ,
\mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } = \prod _ { \ell = N + 1 } ^ { 1 } \mathbb { T } _ { ( \ell ) , \nu } = \mathbb { T } _ { ( N + 1 ) , \nu } \prod _ { \ell = N } ^ { 1 } \mathbb { T } _ { ( \ell ) , \nu }
{ \cal L } _ { R e } = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { D } x \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n } } \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { n } } T r ( 2 p \cdot a \gamma _ { 5 } - a ^ { 2 } + i \{ \gamma \cdot a , m \} \gamma _ { 5 } ) ^ { n } .
\frac { k _ { 1 } } { k } = \frac { n - m } { 2 } + \nu \; , \; \; \; \frac { k _ { 2 } } { k } = \frac { n - m } { 2 } - \nu \; , \; \; \; \nu \equiv \sqrt { \frac { ( n - m ) ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \Omega ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { d \theta ( t ) } \\ { d \dot { \theta } ( t ) } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l } { \dot { \theta } ( t ) d t } \\ { \frac { g } { l } \sin ( \theta ( t ) ) \, d t + \frac { d a ( t ) } { m l ^ { 2 } } + \frac { d W ( t ) } { m l ^ { 2 } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\delta m ^ { 2 } \sim { \frac { 1 } { M _ { p l } ^ { 2 } } } ( \Lambda ^ { 4 } + m _ { 3 / 2 } ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } + m _ { 3 / 2 } ^ { 4 } \ln \Lambda ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } R _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { n } } & { = \ell _ { n } + \frac { \big ( \mathbb { E } R _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { n } \big ) ^ { 2 } } { 1 + \mathbb { E } R _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { n } } , } \end{array}
R _ { f } ( b ) = R _ { f } ( b = 0 ) ~ m i n \{ \sqrt { 1 - \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } ~ \sin ^ { 2 } \Phi } + \epsilon _ { 0 } ~ \cos \Phi , ~ ~ \sqrt { 1 - \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } ~ \sin ^ { 2 } \Phi } - \epsilon _ { 0 } ~ \cos \Phi \} .
\begin{array} { r } { \hat { C } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 + \frac { 1 } { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + \frac { 1 } { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right) = \frac { 4 } { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( \Delta ) } & { { } = U ( 0 , 2 0 ) , } \\ { \varphi ( V ) } & { { } = U ( 0 , 4 ) , } \\ { \varphi ( U _ { f f } ) } & { { } = U ( 0 , 2 0 ) , } \\ { \varphi ( U _ { f c } ) } & { { } = U ( 0 , 2 0 ) , } \\ { \varphi ( \Gamma ) } & { { } = U ( 0 . 0 1 , 1 ) , } \\ { \varphi ( b ) } & { { } = U ( - 5 . 0 , 5 . 0 ) . } \end{array}