harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta s = \left( \frac { g _ { \star \mathrm { R H } } } { g _ { \star \mathrm { d o m } } } \right) ^ { 1 / 4 } \, \left( \frac { H _ { \mathrm { d o m } } } { H _ { \mathrm { R H } } } \right) ^ { [ 4 - 3 ( 1 + w ) ] / [ 2 ( 1 + w ) ] } \, \Omega _ { r } ^ { - 3 / 4 } .
\frac { d { \cal P } _ { \mathrm { v a c } } ^ { \mathrm { e m } } ( \theta _ { 0 } ) } { d \Omega } = \frac { 1 6 } { 4 5 \pi ^ { 2 } } \frac { \gamma ( 1 + t ^ { 2 } ) ^ { - 5 } } { \tau _ { 0 } } \left\{ \sin ^ { 2 } \theta _ { 0 } + \frac { 9 } { 8 } ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } ) ( 1 + t ^ { 2 } ) + \frac { 1 0 5 \sqrt 3 \pi } { 2 5 6 } \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } \cos \theta _ { 0 } \right\} .
\begin{array} { r } { R _ { k } ( u ) ( v _ { i } \otimes v _ { j } ) = \sum _ { \mu = \operatorname* { m a x } ( - i , j - k ) } ^ { \operatorname* { m i n } ( j , k - i ) } \left( \sum _ { \lambda = \operatorname* { m a x } ( 0 , \mu ) } ^ { \operatorname* { m i n } ( j , k - i ) } \upsilon _ { i , j , k } ^ { \mu , \lambda } ( u ) \gamma _ { i , j , k } ^ { \mu , \lambda } ( u ) \right) v _ { j - \mu } \otimes v _ { i + \mu } } \end{array}
\theta _ { 1 } ^ { \pm } = q ^ { - 1 / 6 } \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } y ^ { - 2 } ) ( 1 + q ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 6 } ( 1 + q ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } y ^ { 2 } )
\small \dot { \sigma } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ f ~ } } = \frac { \varepsilon } { 2 } \int \d ^ { 4 } p \, W f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ) f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ) \left( \chi ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) + \chi ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) - \chi ( \vec { p } _ { 1 } ) - \chi ( \vec { p } _ { 2 } \right) \left( \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) } { f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) } + \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) } { f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) } - \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ) } { f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ) } - \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ) } { f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ) } \right) \, ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { c _ { ( m - 2 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 2 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 2 ) \times k + ( k - 1 ) } } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + ( k - 1 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { m - 2 , m - 2 } } & & { 0 } & \\ & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 2 , m - 2 } { \bf I } } & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 1 , m - 1 } { \bf J } } \\ & & { a _ { m - 1 , m - 1 } } & \\ & & & { \frac { 1 } { 2 } a _ { m - 1 , m - 1 } { \bf I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { d _ { 0 , m - 2 } } \\ { d _ { 1 , m - 2 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 2 } } \\ { d _ { 0 , m - 1 } } \\ { d _ { 1 , m - 1 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 1 } } \end{array} \right] } \end{array}
i S _ { F } ( x - y ) = \langle 0 | T ^ { + } ( \psi ( x ) \overline { { { \psi } } } ( y ) ) | 0 \rangle = \sqrt { 2 } i \int \frac { d ^ { n } p } { ( 2 \pi ) ^ { n } } e ^ { - i p \cdot ( x - y ) } \left( \frac { p \! \! \! \slash + m } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon } - \frac { \gamma ^ { + } } { 2 p ^ { + } } \right)
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathbb { W } } ^ { \lambda } = } & { } & { \sum _ { C , C ^ { \prime } \neq C } \mathrm { e } ^ { \lambda \eta _ { C , C ^ { \prime } } } W _ { C \to C ^ { \prime } } | C ^ { \prime } \rangle \langle C | - \sum _ { C } R _ { C } | C \rangle \langle C | } \\ & { } & { + \lambda \sum _ { C } g ( C ) | C \rangle \langle C | . } \end{array}
\Omega _ { \mathrm { [ 1 1 1 ] } } ^ { \mathrm { o u t } } = 2 \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } \sqrt { \frac { \gamma } { \omega \rho M _ { s } d ( d + s ) } } \Big ( 1 - \cos { \frac { n \pi d } { d + s } } \Big ) .
\operatorname { C N O T } ( H \otimes I ) | 0 0 \rangle = \left( { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] } \otimes { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \right) \right) { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \frac { | 0 0 \rangle + | 1 1 \rangle } { \sqrt { 2 } } }
\begin{array} { r l } { y ^ { \prime } } & { = \bigl [ \alpha y + w + w ^ { \prime } \bigr ] \bmod \mathsf { A } _ { \Delta } } \\ & { = \bigl [ t - t + \alpha ( x + s + z ) + w + w ^ { \prime } \bigr ] \bmod \mathsf { A } _ { \Delta } } \\ & { = \bigl [ t + ( \alpha s + w ) _ { \Delta } ^ { \mathrm { e } } + ( \alpha - 1 ) x + \alpha z \bigr ] \bmod \mathsf { A } _ { \Delta } } \\ & { = \bigl [ t + w _ { 0 } + ( \alpha - 1 ) x + \alpha z \bigr ] \bmod \mathsf { A } _ { \Delta } } \\ & { = \bigl [ t + \tilde { z } _ { \alpha } ^ { \prime } \bigr ] \bmod \mathsf { A } _ { \Delta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { l o g } \Biggl ( \sum _ { i : ( i , j ) \in \mathcal E } \mathrm { e x p } \Biggl ( y _ { i } ^ { k + 1 } + \mathrm { l o g } \left( \alpha h \overline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } \right) - \frac { u _ { i j } ^ { k } } { w _ { i j } } - y _ { j } ^ { k } \Biggr ) } \\ & { + \mathrm { e x p } \left( y _ { j } ^ { k + 1 } + \mathrm { l o g } \left( \alpha ( 1 - h \overline { { \Delta } } ) \right) - y _ { j } ^ { k } \right) } \\ & { + \mathrm { e x p } \left( y _ { j } ^ { k + 1 } + \mathrm { l o g } \left( \alpha h ( \overline { { \Delta } } - \underline { { \delta } } ) \right) - \frac { v _ { i } ^ { k } } { w _ { i i } } - y _ { j } ^ { k } \right) } \\ & { + \mathrm { e x p } \left( \mathrm { l o g } \left( c _ { j } \right) - y _ { j } ^ { k } \right) \Biggr ) \leq 0 \quad \forall j , \; k = 1 , . . . , K - 1 } \\ & { \mathrm { l o g } \Biggl ( \sum _ { i : ( i , j ) \in \mathcal E } \mathrm { e x p } \Biggl ( y _ { i } ^ { K } + \mathrm { l o g } \left( \alpha h \overline { { \beta } } _ { i j } ^ { K } \right) - \frac { u _ { i j } ^ { K } } { w _ { i j } } - y _ { j } ^ { K } \Biggr ) } \\ & { + \mathrm { e x p } \left( \mathrm { l o g } \left( \alpha ( 1 - h \overline { { \Delta } } ) \right) \right) + \mathrm { e x p } \left( \mathrm { l o g } \left( \alpha h ( \overline { { \Delta } } - \underline { { \delta } } ) \right) - \frac { v _ { i } ^ { K } } { w _ { i i } } \right) } \\ & { + \mathrm { e x p } \left( \mathrm { l o g } \left( c _ { j } \right) - y _ { j } ^ { K } \right) \Biggr ) \leq 0 \quad \forall j , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t ) } \\ { - x ( t ) } \\ { - u ( t ) } \end{array} \right) \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t ) } \\ { - x ( t ) } \\ { - u ( t ) } \end{array} \right) ^ { \top } \! d t \textrm { a n d } \delta \! \left[ \begin{array} { l } { \dot { X } _ { \delta } } \\ { - X _ { \delta } } \\ { - U _ { \delta } } \end{array} \right] \! \! \left[ \begin{array} { l } { \dot { X } _ { \delta } } \\ { - X _ { \delta } } \\ { - U _ { \delta } } \end{array} \right] ^ { \top } .
\begin{array} { r l } { \prod _ { l \in L } } & { c _ { k _ { l } } ( x _ { l } ) \prod _ { m \in M } s _ { k _ { m } } ( x _ { m } ) } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { \lfloor \# M / 2 \rfloor } } { 2 ^ { ( \# L + \# M ) / 2 } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { \# L + \# M } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { l } \frac { \mu ( 2 l + 1 ) } { ( 2 l + 1 ) ^ { 2 } } \frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 2 } \mu } { \mathcal S } _ { 2 l + 1 } \left( \sum _ { u \in L \cup M } e _ { u } k _ { u } x _ { u } \right) \cdot \prod _ { m \in M } e _ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varsigma ^ { 2 } ( V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) = \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( \Delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } \right) = \left( d ^ { - } \right) ^ { 2 } \left( \gamma \left\langle t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } ( V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \right\rangle + \gamma ^ { 2 } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } ( V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \right) \right) + \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } \leq } & { C \sum _ { 1 \leq j \leq k } \| \partial _ { t } ^ { j } \varrho ( \varphi ) \| _ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k - j } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } \big ( \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } \big ) } \\ { \leq } & { \frac { \mu } { 8 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } ^ { 2 } + \Big ( 1 + \sum _ { 0 \leq i \leq k } \| \partial _ { t } ^ { i } \varphi \| _ { 2 } ^ { 2 } \Big ) \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } \| \partial _ { t } ^ { j } u _ { t } \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \frac { \mu } { 8 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } ^ { 2 } + C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } \mathcal { D } _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } \mathcal { E } _ { j } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) \, , } \end{array}
\mathbf { u } _ { k } = \mathbf { v } _ { k } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \, ( \mathbf { v } _ { k } ) - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 2 } } \, ( \mathbf { v } _ { k } ) - \cdots - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { k - 1 } } \, ( \mathbf { v } _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e g } _ { \Lambda _ { 0 } } ( T ) + \mathrm { R e g } _ { \Lambda _ { j } } ( T ) } & { \geq \frac { T } { 2 } \epsilon ^ { \mu } \mathbb { P } _ { 0 } [ \mathcal { E } _ { j } ] + \frac { T } { 2 } \epsilon _ { j } ^ { \mu } \mathbb { P } _ { j } [ \mathcal { E } _ { j } ^ { c } ] } \\ & { \geq \frac { T } { 2 } \operatorname* { m i n } \{ \epsilon ^ { \mu } , \epsilon _ { j } ^ { \mu } \} \left( \mathbb { P } _ { 0 } [ \mathcal { E } _ { j } ] + \mathbb { P } _ { j } [ \mathcal { E } _ { j } ^ { c } ] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { F B S } _ { \mathrm { ( n ) } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \left| W _ { ( n ) } \right| } \sum _ { V \in W _ { ( n ) } } \left( \hat { M } _ { V } - M _ { V } \right) ^ { 2 } } \\ { \mathrm { F B S } _ { \mathrm { ( n ) , r e f } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \left| W _ { ( n ) } \right| } \sum _ { V \in W _ { ( n ) } } \hat { M } _ { V } ^ { 2 } + M _ { V } ^ { 2 } . } \end{array}
r _ { s } = \left[ \frac { 2 ^ { d } \pi ^ { ( d - 3 ) / 2 } \Gamma \left( \frac { d + 3 } { 2 } ) \right) } { d + 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 1 + d } } \frac { 1 } { M _ { F } } \left( \frac { M _ { B } } { M _ { F } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 + d } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { k } ( \mathcal { D } _ { k } ; \theta , H _ { k } ) = } & { { } \frac { w _ { k } ^ { f } } { N _ { k } ^ { f } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { f } } | | \mathcal { F } _ { k } ( \hat { u } _ { k } ( x _ { k } ^ { i } ) ) - f _ { k } ^ { i } | | ^ { 2 } + \frac { w _ { k } ^ { b } } { N _ { k } ^ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { b } } | | \mathcal { B } ( \hat { u } _ { k } ( x _ { k } ^ { i } ) ) - b _ { k } ^ { i } | | ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \frac { w _ { k } ^ { u } } { N _ { k } ^ { u } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { u } } | | \hat { u } _ { k } ( x _ { k } ^ { i } ) - u _ { k } ^ { i } | | ^ { 2 } + \mathcal { R } ( \theta , H _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( X _ { j } = 1 | \sigma _ { 0 } ) = \mathbb { P } ( b _ { j } \geq i | \sigma _ { 0 } ) = \mathbb { P } ( u _ { j } \leq e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - j ) } | \sigma _ { 0 } ) } \\ & { = } & { \operatorname* { m i n } \{ 1 , e ^ { - 2 \beta _ { n } ( ( i - j ) - ( \sigma _ { 0 } ( j ) - j ) _ { + } ) } \} \geq e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - j ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } \hat { B } , \, \hat { C } \bigr ] } & { { } = \hat { A } \bigl [ \hat { B } , \, \hat { C } \bigr ] + \bigl [ \hat { A } , \, \hat { C } \bigr ] \hat { B } , } \end{array}
\cosh ( \epsilon \cos \theta ) = 1 + ( 1 / 2 ) \epsilon ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + \mathrm { O } ( \epsilon ^ { 4 } ) \, \, \mathrm { a n d } \, \, \sinh ( \epsilon \cos \theta ) = \epsilon \cos \theta + \mathrm { O } ( \epsilon ^ { 3 } ) ,
H _ { \mathrm { c a v } } = \sum _ { c d } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } { p } _ { c d } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { c } ^ { 2 } \left( { q } _ { c d } + { \frac { \mu _ { d } ( \{ { \bf q } _ { i } \} ) } { \omega _ { c } \sqrt { \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { c a v } } } } } \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { T } _ { 1 , r } ^ { \dagger } \mathbf { V } _ { 2 } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { T } _ { 1 , r } } \\ & { = \mathbf { \Xi } _ { r } ^ { - 1 } \mathcal { U } _ { r } ^ { \top } \mathbf { L } ^ { \top } \mathbf { R } ^ { - \top } \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { L } \mathbf { L } ^ { \top } \mathbf { R } ^ { - \top } \mathcal { V } _ { r } } \\ & { = \mathbf { \Xi } _ { r } ^ { - 1 } \mathcal { U } _ { r } ^ { \top } \mathcal { U } _ { r } \mathbf { \Xi } _ { r } \mathcal { V } _ { r } ^ { \top } \mathcal { V } _ { r } \mathbf { \Xi } _ { r } \mathcal { U } _ { r } ^ { \top } \mathcal { U } _ { r } \mathbf { \Xi } _ { r } \mathcal { V } _ { r } ^ { \top } \mathcal { V } _ { r } } \\ & { = \mathbf { \Xi } _ { r } ^ { - 1 } \mathbf { \Xi } _ { r } ^ { 3 } = \mathbf { \Xi } _ { r } ^ { 2 } } \end{array}
\Delta \rho = \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 2 } } ( C _ { 2 } ^ { ( 3 a + 3 b ) } + C _ { 2 } ^ { ( 3 c ) } + C _ { 2 } ^ { ( 4 a ) } + C _ { 2 } ^ { ( 4 b ) } ) ,
\begin{array} { r } { L ( i ) = \frac { \cos ( \mathrm { l a t } ( m ) ) } { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { l a t } } } \sum _ { j } ^ { N _ { \mathrm { l a t } } } \cos ( \mathrm { l a t } ( m ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \beta _ { 0 } } & { = \beta _ { 1 } ^ { \prime \prime } + \beta _ { 3 } ^ { \prime } , \quad } & { \beta _ { 0 } ^ { \prime } } & { = \beta _ { 2 } ^ { \prime } + \beta _ { 3 } ^ { \prime \prime } , \quad } & { \beta _ { 0 } ^ { \prime \prime } } & { = \beta _ { 1 } ^ { \prime } + \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } , } \\ { \beta _ { 4 } } & { = \beta _ { 1 } ^ { \prime \prime } + \beta _ { 2 } ^ { \prime } , \quad } & { \beta _ { 4 } ^ { \prime } } & { = \beta _ { 2 } ^ { \prime \prime } + \beta _ { 3 } ^ { \prime } , \quad } & { \beta _ { 4 } ^ { \prime \prime } } & { = \beta _ { 1 } ^ { \prime } + \beta _ { 3 } ^ { \prime \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { T } _ { \pmb { x } } } & { { } \equiv \frac { \gamma - 1 } { R _ { d } \varrho _ { \pmb { x } } } ( \varrho e _ { \pmb { x } } - \frac { 1 } { 2 } \varrho _ { \pmb { x } } \| \pmb { \mathscr { u } } _ { \pmb { x } } \| ^ { 2 } - \varrho _ { \pmb { x } } \Phi _ { \pmb { x } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \Pi _ { \mathrm { ~ H ~ } } = } & { { } \frac { 1 } { V ^ { 2 } } [ N M + \frac { N ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \bar { \zeta } ^ { 2 } ) ] = n ^ { 2 } \big [ \frac { 1 } { f } - \frac { 1 + \bar { \zeta } ^ { 2 } } { 2 } \big ] \; . } \end{array}
\widehat { I } ( X ; Y | Z ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \psi ( k _ { x z _ { i } } + 1 ) + \psi ( k _ { y z _ { i } } + 1 ) - \psi ( k _ { z _ { i } } + 1 ) \right] - \psi ( k )
\textbf { C . } \, S ^ { v } + S ^ { l o g } = \sum _ { ( i , j ) } \left( \frac { \left( \pi _ { i j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } \left( l _ { i j } \right) ^ { 2 } } V _ { l } - \frac { 1 } { 2 } l o g ( w _ { l } ) \right)
\begin{array} { r l } & { \sin \angle ( q _ { i } , \biggl [ \begin{array} { l } { \tilde { v } _ { i } ^ { ( k ) } } \\ { \tilde { u } _ { i } ^ { ( k ) } } \end{array} \biggr ] ) \leq \sqrt { 1 + \frac { ( \alpha ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { ( \eta _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } } \sin \angle ( q _ { i } , \mathcal { W } ^ { ( k ) } ) , } \\ & { | \sigma _ { i } - \tilde { \sigma } _ { i } ^ { ( k ) } | \leq \| S _ { A } - \sigma _ { i } I \| \sin ^ { 2 } \angle ( q _ { i } , \biggl [ \begin{array} { l } { \tilde { v } _ { i } ^ { ( k ) } } \\ { \tilde { u } _ { i } ^ { ( k ) } } \end{array} \biggr ] ) \leq 2 \| A \| \sin ^ { 2 } \angle ( q _ { i } , \biggl [ \begin{array} { l } { \tilde { v } _ { i } ^ { ( k ) } } \\ { \tilde { u } _ { i } ^ { ( k ) } } \end{array} \biggr ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d s _ { 1 } } { d l } } & { = - e ^ { - ( n _ { 1 } s _ { 1 } / \tau _ { 1 } + n _ { 2 } s _ { 2 } / \tau _ { 2 } ) } + 1 - \frac { s _ { 1 } } { \tau _ { 1 } } , } \\ { \frac { d s _ { 2 } } { d l } } & { = - e ^ { - ( n _ { 1 } s _ { 1 } / \tau _ { 1 } + n _ { 2 } s _ { 2 } / \tau _ { 2 } ) } + 1 - \frac { s _ { 2 } } { \tau _ { 2 } } , } \\ { \frac { d \Phi } { d l } } & { = - \nu _ { 0 } \left( e ^ { - ( n _ { 1 } s _ { 1 } / \tau _ { 1 } + n _ { 2 } s _ { 2 } / \tau _ { 2 } ) } - 1 \right) ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ \Phi : = \log \tilde { P } _ { \mathrm { s s } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { X } _ { t } = g _ { t } { \mathbf { x } } _ { 0 } = \Xi _ { t } \circ \bar { g } _ { t } { \mathbf { x } } _ { 0 } = : { \mathbf { x } } _ { t } + \alpha \boldsymbol { \xi } ( { \mathbf { x } } _ { t } , t ) \, , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \mathbf { x } _ { t } : = \bar { g } _ { t } { \mathbf { x } } _ { 0 } \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \alpha \ll 1 \, , } \end{array}
k _ { \mathrm { V S C } } = \frac { 1 } { N } \frac { 2 } { \hbar } \Big | \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \langle \nu _ { k } | \hat { \mathcal S } | G \rangle \Big ) \Big | ^ { 2 } \cdot J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega _ { 0 } ) \cdot n ( \omega _ { 0 } ) ,
S _ { \mathrm { ~ D ~ Q ~ } } ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } t _ { 2 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } t _ { 3 } \ e ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \omega _ { 2 } t _ { 2 } + \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \omega _ { 3 } t _ { 3 } } S _ { \mathrm { ~ D ~ Q ~ } } ( t _ { 2 } , t _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l r } { A ^ { \left( e x t \right) \mu } } & { { } \sim } & { O \left( \frac { 1 } { \varepsilon } \right) , } \\ { A ^ { \left( p l \right) \mu } } & { { } \sim } & { O \left( \varepsilon ^ { k } \right) , k \geq 0 , } \\ { A ^ { \left( R R \right) \mu } } & { { } \sim } & { O \left( \varepsilon ^ { k _ { s } } \right) , k _ { s } > k . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { R ^ { 2 } R ^ { 2 } } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \frac { 2 } { \pi \Gamma } \; \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } } \; \left( \left\langle \bar { s } ^ { 2 } \right\rangle + \left\langle \bar { c } ^ { 2 } \right\rangle \right) ^ { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { \tau \Gamma } + \frac { 1 } { \tau \Gamma } e ^ { - \Gamma \tau } ) } \end{array}
W _ { 2 } \left( \mathcal { L } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } , \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } ) , \pi _ { \beta } \right) \leq 2 C ( \lambda \gamma ^ { 4 } + \gamma ^ { - 1 } + \gamma ^ { - \frac { q } { 2 } + 1 } ) + \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { m } { \gamma \beta } \lambda n } W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( \theta _ { 0 } , V _ { 0 } ) , \pi _ { \beta } )
\Psi _ { i } ^ { \mathrm { e q , 2 } } = \Psi _ { i } ^ { \mathrm { e q , N > 2 } } + \frac { w _ { i } } { c _ { s } ^ { 4 } } \mathcal { H } _ { i , x y } \left[ \partial _ { x } \left( \delta \Pi _ { x x y } ^ { \mathrm { e q , 2 } } + \delta \Pi _ { x y y } ^ { \mathrm { e q , 2 } } \right) + \partial _ { y } \left( \delta \Pi _ { x x y } ^ { \mathrm { e q , 2 } } + \delta \Pi _ { x y y } ^ { \mathrm { e q , 2 } } \right) \right] .
\begin{array} { r } { \tilde { \mathsf { E } } _ { 2 B } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { C } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } } \\ { \mathsf { P } ^ { \mathcal { L } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( t ) = } & { A \omega \cos _ { \alpha } ( \omega t + \phi ) } \\ { v ( t ) = } & { v _ { 0 } } \\ { x ( t ) = } & { A \sin _ { \alpha } ( \omega t + \phi ) } \\ { y ( t ) = } & { y _ { 0 } + \frac { t \left( u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } \right) + u _ { 0 } x _ { 0 } - u ( t ) x ( t ) } { v _ { 0 } ( \alpha + 1 ) } } \end{array}
\xi _ { 4 } \left( x , y \right) = \frac { 1 } { 4 } \int _ { - y } ^ { y } h _ { 4 4 } \left( x , y ^ { \prime } \right) d y ^ { \prime } - \frac { x ^ { 4 } } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } h _ { 4 4 } \left( x , y ^ { \prime } \right) d y ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { F ( ( x ; a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dotsc , a _ { n } ; z ) ) } & { = F \Bigl ( ( y _ { n - 1 } ; a _ { n } ; z ) ∘ \dotsb ∘ ( y _ { 1 } ; a _ { 2 } ; y _ { 2 } ) ∘ ( x ; a _ { 1 } ; y _ { 1 } ) \Bigr ) } \\ & { = F ( ( y _ { n - 1 } ; a _ { n } ; z ) ) ∘ \dotsb ∘ F ( ( y _ { 1 } ; a _ { 2 } ; y _ { 2 } ) ) ∘ F ( ( x ; a _ { 1 } ; y _ { 1 } ) ) \, . } \end{array}
p ( t ) = \operatorname { T r } \left( \rho ( t ) B \right) , \quad B = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \cdots \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) ,
{ \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { X _ { u } } \cdot \mathbf { X _ { u } } } & { \; \; \mathbf { X _ { u } } \cdot \mathbf { X _ { v } } } \\ { \mathbf { X _ { v } } \cdot \mathbf { X _ { u } } } & { \; \; \mathbf { X _ { v } } \cdot \mathbf { X _ { v } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
d \mu \, e ^ { - S } ~ = ~ \kappa \, \Lambda ^ { 6 } g ^ { - 4 } d \rho ^ { 2 } \, d ^ { 4 } x _ { 0 } \, l _ { 0 } ^ { - 1 } d ^ { 2 } \theta \, d ^ { 2 } \bar { \theta }
h _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) \geq h _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ^ { * } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) + \nabla _ { \boldsymbol { x } } h _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ^ { * } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) ^ { T } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } ^ { * } ) \geq h _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ^ { * } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } d u \ \mathcal { D } ^ { i } L _ { \ell } { \mathsf { a } } _ { i } } & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d u \ \left( D ^ { i } L _ { \ell } { \mathsf { a } } _ { i } + [ { \mathsf { a } } ^ { i } , L _ { \ell } { \mathsf { a } } _ { i } ] \right) } \\ & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d u \ L _ { \ell } D ^ { i } { \mathsf { a } } _ { i } - \int _ { - 1 } ^ { 1 } d u \ \left( \dot { \mathsf { a } } _ { i } ^ { \alpha } { \mathsf { a } } ^ { i \beta } - \dot { \mathsf { a } } _ { i } ^ { \beta } { \mathsf { a } } ^ { i \alpha } \right) \frac 1 2 f _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \tau _ { \gamma } } \\ & { = ( D ^ { i } { \mathsf { a } } _ { i } ) ^ { \mathrm { d i f f } } - 2 i \mathbb { G } ( { \mathsf { a } } ^ { \alpha } , { \mathsf { a } } ^ { \beta } ) \frac { 1 } { 2 } f _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \tau _ { \gamma } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 2 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) } & { = \textsc { A t o m w i s e L o n g R a n g e } ( h _ { i } , h _ { j } ) } \\ { \epsilon _ { 3 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) } & { = \textsc { A t o m w i s e L o n g R a n g e } ( h _ { i } , h _ { j } , h _ { k } ) } \\ & { \cdots . } \end{array}