harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { f _ { x _ { j } ^ { i } } ^ { i } } { f _ { x _ { s } ^ { i } } ^ { i } } } = { \frac { \mu _ { j } } { \mu _ { s } } } = { \frac { f _ { x _ { j } ^ { k } } ^ { k } } { f _ { x _ { s } ^ { k } } ^ { k } } } .
N _ { \uparrow \downarrow } ^ { \pi ^ { + } } = \frac { 4 } { 9 } u ^ { + } D _ { 1 } + \frac { 1 } { 9 } d ^ { + } D _ { 2 } + \frac { 4 } { 9 } \bar { u } ^ { + } D _ { 2 } + \frac { 1 } { 9 } \bar { d } ^ { + } D _ { 1 } + \frac { 1 } { 9 } s ^ { + } D _ { 3 } + \frac { 1 } { 9 } \bar { s } ^ { + } D _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { | \tilde { X } | } & { = \big | \sum _ { i j k \ell ( d i s t ) } \tilde { \Omega } _ { i j } \tilde { \Omega } _ { j k } \theta _ { k } \theta _ { \ell } \theta _ { \ell } \theta _ { i } \big | \lesssim \sum _ { i j k \ell } \beta _ { i } \theta _ { i } \beta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { i } \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} _ { D } ( v , \Sigma ) = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast d v ) \wedge ( \ast \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta v } ) \wedge ( \ast \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \Big ( E ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } ) \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta v } ) - E ( \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta \Sigma } ) \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathbb { R } ^ { d } } } & { \int _ { u \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { v \in \mathbb { R } ^ { d } } \operatorname* { s u p } _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \in B ( 0 , \delta ) } | \mathrm { c u m } ( X ( \lambda _ { 1 } + u ) , X ( \lambda _ { 2 } + v ) , X ( \lambda _ { 3 } + w ) , X ( 0 ) ) | d v d u } \\ & { \leq 1 6 \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { u \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { v \in \mathbb { R } ^ { d } } \operatorname* { s u p } _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \in B ( 0 , \delta ) } } \\ & { \quad \Big \{ | C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } + u - w ) C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } + u ) C _ { Z } ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } + v - w ) C _ { Z } ( \lambda _ { 2 } + v ) | } \\ & { \quad + | C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } + u - v ) C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } + u ) C _ { Z } ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } + v - w ) C _ { Z } ( \lambda _ { 3 } + w ) | } \\ & { \quad + | C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } + u - v ) C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } + u - w ) C _ { Z } ( \lambda _ { 2 } + v ) C _ { Z } ( \lambda _ { 3 } + w ) | \Big \} d v d u } \\ & { \leq 1 6 | C _ { Z } ( 0 ) | ^ { 2 } \int _ { u \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { v \in \mathbb { R } ^ { d } } \operatorname* { s u p } _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } \in B ( 0 , \delta ) } \Big \{ | C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } + u ) C _ { Z } ( \lambda _ { 2 } + v ) | } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + | C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } + u - v ) C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } + u ) | } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + | C _ { Z } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } + u - v ) C _ { Z } ( \lambda _ { 2 } + v ) | \Big \} d v d u } \\ & { \leq 4 8 | C _ { Z } ( 0 ) | ^ { 2 } \left( \int _ { u \in \mathbb { R } ^ { d } } \operatorname* { s u p } _ { \lambda \in B ( 0 , 2 \delta ) } | C _ { Z } ( \lambda + u ) | d u \right) ^ { 2 } < \infty . } \end{array}
F _ { \mathrm { p r o m p t } } = \frac { \sum _ { t = - 2 8 \, \mathrm { n s } } ^ { 1 5 0 \, \mathrm { n s } } P E ( t ) } { \sum _ { t = - 2 8 \, \mathrm { n s } } ^ { 1 0 \, \mathrm { \ m u s } } P E ( t ) } .
_ { r } F _ { s } \left( \begin{array} { l } { ( \alpha _ { r } ) } \\ { ( \beta _ { s } ) } \end{array} ; x \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \alpha _ { 1 } ) _ { k } ( \alpha _ { 2 } ) _ { k } \cdots ( \alpha _ { r } ) _ { k } } { ( \beta _ { 1 } ) _ { k } ( \beta _ { 2 } ) _ { k } \cdots ( \beta _ { s } ) _ { k } } \frac { x ^ { k } } { k ! } ,
\begin{array} { r l } { { \bf { a } } _ { \mathrm { { P } } } ( \theta , \phi ) } & { = { \bf { a } } _ { \mathrm { L } } ^ { ( y ) } \otimes { \bf { a } } _ { \mathrm { { L } } } ^ { ( z ) } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \Big [ 1 , \cdots , e ^ { j k d ( n _ { 1 } \sin \phi \sin \theta + n _ { 2 } \cos \theta ) } , } \\ & { \cdots , e ^ { j k d ( ( N _ { 1 } - 1 ) \sin \phi \sin \theta + ( N _ { 2 } - 1 ) \cos \theta ) } \Big ] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { 1 } ( \rho ) = \frac { ( \rho - \rho _ { - } ) ( \rho _ { + } - \rho ) } { ( \rho _ { + } - \rho _ { - } ) ^ { 2 } } , } \\ & { h _ { 2 } ( \rho ) = - \frac { \rho - \rho _ { - } } { \rho _ { + } - \rho _ { - } } \log \left( \frac { \rho - \rho _ { - } } { \rho _ { + } - \rho _ { - } } \right) - \frac { \rho _ { + } - \rho } { \rho _ { + } - \rho _ { - } } \log \left( \frac { \rho _ { + } - \rho } { \rho _ { + } - \rho _ { - } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \theta ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d \omega \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \right. + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { \Phi } _ { ( 0 ) } ^ { < } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { > } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \in \mathcal { S } } R _ { k } } & { < \log \operatorname* { d e t } \left[ \mathbf { I } _ { N _ { b } } + \frac { \sum _ { k \in \mathcal { S } } \left\| \mathbf { F } \boldsymbol { \Phi } \mathbf { g } _ { k } + \mathbf { d } _ { k } \right\| ^ { 2 } P _ { k } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right] , } \\ & { \forall \mathcal { S } \in \Bigl \{ 1 , 2 , \ldots , K \Bigr \} . } \end{array}
G _ { 1 } ( q , T ) = { \frac { 1 } { 6 f _ { \pi } ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d x } { \pi ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { e ^ { x / T } - 1 } } { \frac { x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } - q ^ { 2 } / 4 } } .
\delta L = \frac { \partial L } { \partial q ^ { k } } d q ^ { k } + \frac { \partial L } { \partial \dot { q } ^ { k } } d \dot { q } ^ { k } = \left[ - \frac { d } { d \tau } \frac { \partial L } { \partial \dot { q } ^ { k } } + \frac { \partial L } { \partial q ^ { k } } \right] d q ^ { k } + \frac { d } { d \tau } \left( \frac { \partial L } { \partial \dot { q } ^ { k } } d q ^ { k } \right) = F _ { k } d q ^ { k } + \frac { d } { d \tau } \Omega _ { 1 }
\mathbf { q } ( \mathbf { x } , 0 ) = [ \rho , u , v , w , B _ { x } , B _ { y } , B _ { z } , P ] ^ { T } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { q } _ { l } , \quad \, \mathrm { i f } \ z \leq 0 , } \\ { \mathbf { q } _ { h } , \quad \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { i = 1 , 2 } \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } , \nabla \tilde { \phi } _ { b } \right) _ { \tau _ { i } } = \sum _ { i = 1 , 2 } \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \boldsymbol { f } - \beta \left( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } \right) , \nabla \tilde { \phi } _ { b } \right) _ { \tau _ { i } } } } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \sum _ { i = 1 , 2 } \left( \left\| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau _ { i } } + \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau _ { i } } \right) \cdot \| \nabla \tilde { \phi } _ { b } \| _ { 0 , \tau _ { i } } } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \sum _ { i = 1 , 2 } h _ { e } ^ { - 1 / 2 } \left( \left\| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau _ { i } } + \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau _ { i } } \right) \cdot \| \phi \| _ { 0 , e } , } \end{array}
\{ \bar { q } _ { i } ^ { \dot { \alpha } } , \bar { s } _ { \dot { \beta } } ^ { j } \} \Phi = \left[ - \delta _ { i } ^ { j } ( \sigma ^ { \mu \nu } ) ^ { \dot { \alpha } } { } _ { \dot { \beta } } m _ { \mu \nu } - 2 \delta _ { \dot { \beta } } ^ { \dot { \alpha } } \left( 2 t _ { j } ^ { i } + \delta _ { i } ^ { j } ( \ell + r ) \right) \right] \Phi = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \omega ( P ) } & { = d _ { \omega } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) = d _ { \omega } ( s _ { 1 } , s _ { 1 } ^ { \prime } ) + d _ { \omega } ( s _ { 1 } ^ { \prime } , s _ { 2 } ^ { \prime } ) + d _ { \omega } ( s _ { 2 } ^ { \prime } , s _ { 2 } ) } \\ & { \ge 2 k - 2 d _ { \omega } ( s _ { 2 } ^ { \prime } , s _ { 1 } ^ { \prime } ) - 2 \ell _ { 0 } - 2 7 \ge 2 k - 4 \ell _ { 0 } - 2 7 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } | Q _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ) } \\ { * } & { : = \Big \{ \mathsf { E } _ { Q _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } } \Big [ \exp ( - \lambda _ { 2 } ^ { * } d _ { 2 } ( x , \hat { X } _ { 2 } ) ) \big | Y = y , \hat { X } _ { 1 } = \hat { x } _ { 1 } \Big ] \Big \} ^ { - 1 } , } \\ & { \beta ( x , y | Q _ { \hat { X } _ { 1 } } , Q _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ) } \\ { * } & { : = \Bigg \{ \mathsf { E } _ { Q _ { \hat { X } _ { 1 } } } \Bigg [ \exp \Bigg ( - \frac { \lambda _ { 1 } ^ { * } d _ { 1 } ( x , \hat { X } _ { 1 } ) } { 1 + \xi ^ { * } } - \frac { \log \beta _ { 2 } ( x , y , \hat { X } _ { 1 } | Q _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ) } { 1 + \xi ^ { * } } \Bigg ) \Bigg ] \Bigg \} ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta F ( h ) = } & { - \frac { h ^ { 2 } } { 2 \pi } u ( i ) G _ { + } ( 0 ) ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { v ^ { 2 } } { \pi } \int \frac { e ^ { - \eta } P ( \eta , v ) u ( \eta ) } { \eta v - 1 } d \eta } \\ & { - e ^ { - 2 B } \varrho ( i \pm \epsilon ) u ( i ) - \sum _ { n \geq 1 } \frac { q ^ { n } \varrho _ { n , \pm } u _ { n } } { \mu n - 1 } \bigg ) \, . } \end{array}
u _ { \pm } = \frac { 1 } { 4 \sqrt { 2 } } \Big ( ( F _ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + F _ { \mu \nu } ^ { * } F _ { \mu \nu } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \pm ( F _ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } - F _ { \mu \nu } ^ { * } F _ { \mu \nu } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big )
\left\{ \begin{array} { c } { f _ { 1 \mp 2 } ^ { + } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } + f _ { e } \pm 2 f _ { o } , } \\ { f _ { 1 \mp 2 } ^ { - } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } - f _ { e } \mp 2 f _ { o } , } \end{array} \right.
s ^ { \xi } = - \frac { b } { 2 a } \left( 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } } \right) < 0 \quad \mathrm { i . e . , } \quad \rho ^ { \xi } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \xi \varphi } = \frac { b } { 2 a } \left( 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } } \right) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( 2 k + 1 \right) \pi } , \quad k \in \mathbb { Z } ,
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { R } } & { { } = } & { 1 . 5 , \ \gamma _ { R } = 1 0 0 , } \\ { \alpha _ { b } } & { { } = } & { 1 . 8 , \ \gamma _ { b } = 1 , } \\ { \alpha _ { t } } & { { } = } & { 1 . 1 , \ \gamma _ { t } = 5 0 0 . } \end{array}
\langle M ( v ^ { \prime } ) | \, \bar { h } _ { v ^ { \prime } } \Gamma \, i G ^ { \mu \nu } h _ { v } \, | M ( v ) \rangle = - \mathrm { T r } \Big \{ \phi ^ { \mu \nu } ( v , v ^ { \prime } , \mu ) \, \overline { { { \cal M } } } ( v ^ { \prime } ) \, \Gamma { \cal M } ( v ) \Big \} \, ,
\begin{array} { r l } { \zeta ( t = 0 ) = } & { \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } ( C _ { 1 } \varepsilon _ { N } + C _ { 0 } ) + \kappa } \\ { = } & { \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( \varepsilon _ { N } + \frac { C _ { 0 } } { C _ { 1 } } ) + \kappa } \\ { = } & { \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( ( 2 \kappa + 1 ) ^ { 2 } - 1 ) + \kappa } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { c } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { W } } f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { c } } ( \mathbf { W } ) \gtrsim t _ { 0 } ^ { q } \cdot \sqrt { \frac { k - r } { d _ { 2 } } } \cdot \sqrt { \frac { p p _ { 0 } } { s d _ { 1 } d _ { 2 } } } , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ \mathbf { W } ^ \star \in ~ \mathcal { W } ~ a n d ~ a n y ~ q \geq ~ 1 ~ } . } \end{array}
B _ { t 1 2 } ^ { ( 1 1 ) } = { \frac { 2 m \cosh \delta _ { e } \sinh \delta _ { e } } { r ^ { D - 3 } } } f _ { D } T , \ \ \ \ \ \ B _ { \phi _ { i } 1 2 } ^ { ( 1 1 ) } = - { \frac { 2 m l _ { i } \mu _ { i } ^ { 2 } \sinh \delta _ { e } } { r ^ { D - 3 } } } f _ { D } T .
\begin{array} { c } { { { \bf M } _ { 2 q , W } ^ { A } = \frac { 1 } { \sqrt 8 } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 2 } } \end{array} \right) _ { W } \quad \quad a n d \quad \quad { \bf M } _ { 2 q , W } ^ { S } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) _ { W } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k + 1 ) } ) \, ] \lesssim \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \sum _ { i \in { \mathcal { C } } _ { 1 } } \frac { 1 } { 2 } \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ^ { 2 } \, ] - \sum _ { i \in { \mathcal { C } } _ { 2 } } \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { k } \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ^ { 2 } \, ] } \\ { = \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ^ { 2 } \, ] - \sum _ { i \in { \mathcal { C } } _ { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { k } - \frac { 1 } { 2 } ) \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ^ { 2 } \, ] } \\ { = \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \frac { 1 } { 2 } \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \Vert ^ { 2 } \, ] - \sum _ { i \in { \mathcal { C } } _ { 2 } } \frac { 1 } { 2 } t ( \theta _ { k } - 1 ) \, \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ^ { 2 } \, ] . } \end{array}
\partial \partial _ { J } \beta \wedge A \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } = I _ { 1 } + I _ { 2 } + n \partial _ { J } \overline { { \partial } } u \wedge \partial \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } \wedge A - n \partial \overline { { \partial } } u \wedge \partial _ { J } \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } \wedge A
\langle q q _ { \pm } \rangle = { \frac { 1 } { V } } { \frac { \partial \ln Z } { \partial j _ { \pm } } } ; \; \; \chi _ { \pm } = { \frac { \partial \langle q q _ { \pm } \rangle } { \partial j _ { \pm } } } ; \; \; R ( j _ { + } ) = \left\vert { \frac { \chi _ { + } } { \chi _ { - } } } \right\vert _ { j _ { - } = 0 } .
\begin{array} { r l } { ( \tau , 1 _ { g } ) J _ { \tau } } & { = \sqrt { - 1 } \left( I ( M , \sqrt { - 1 } \cdot 1 _ { g } ) I ( M ^ { - 1 } , \tau ) \right) ^ { \top } ( \tau , 1 _ { g } ) } \\ & { = \sqrt { - 1 } \left( I ( M , M ^ { - 1 } \tau ) I ( M ^ { - 1 } , \tau ) \right) ^ { \top } ( \tau , 1 _ { g } ) } \\ & { = \sqrt { - 1 } I ( 1 _ { 2 g } , \tau ) ^ { \top } ( \tau , 1 _ { g } ) } \\ & { = \sqrt { - 1 } ( \tau , 1 _ { g } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu ^ { 1 } } & { { } = } & { 0 } \\ { \mu ^ { 2 } } & { { } = } & { I _ { 2 } \left( M _ { 2 } ( 3 ) - M _ { 2 } ( 4 ) \right) } \\ { \mu ^ { 3 } } & { { } = } & { I _ { 3 } \left( M _ { 3 } ( 4 ) - 3 M _ { 3 } ( 6 ) + 2 M _ { 3 } ( 8 ) \right) } \\ { \mu ^ { 4 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } I _ { 2 } ^ { 2 } \left( M _ { 4 } ( 5 ) - 4 M _ { 4 } ( 8 ) + 3 M _ { 4 } ( 9 ) \right) } \\ { \mu ^ { 5 } } & { { } = } & { \frac { 5 } { 6 } I _ { 2 } I _ { 3 } \left( M _ { 5 } ( 6 ) - 5 M _ { 5 } ( 1 0 ) + 2 M _ { 5 } ( 1 2 ) + 8 M _ { 5 } ( 1 6 ) - 6 M _ { 5 } ( 1 8 ) \right) } \\ { \mu ^ { 6 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } I _ { 2 } ^ { 3 } \left( M _ { 6 } ( 7 ) - 6 M _ { 6 } ( 1 2 ) + 1 5 M _ { 6 } ( 1 5 ) - 1 0 M _ { 6 } ( 1 6 ) \right) } \\ { \mu ^ { 7 } } & { { } = } & { \frac { 7 } { 1 2 } I _ { 2 } ^ { 2 } I _ { 3 } \left( M _ { 7 } ( 8 ) - 7 M _ { 7 } ( 1 4 ) + 9 M _ { 7 } ( 1 8 ) - 5 M _ { 7 } ( 2 0 ) + 1 2 M _ { 7 } ( 2 4 ) - 3 0 M _ { 7 } ( 3 0 ) + 2 0 M _ { 7 } ( 3 2 ) \right) } \\ { \mu ^ { 8 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 8 } I _ { 2 } ^ { 4 } \left( M _ { 8 } ( 9 ) - 8 M _ { 8 } ( 1 6 ) + 2 8 M _ { 8 } ( 2 1 ) - 5 6 M _ { 8 } ( 2 4 ) + 3 5 M _ { 8 } ( 2 5 ) \right) } \end{array}
u _ { x } \cos \theta ^ { \prime } - u _ { z } \sin \theta ^ { \prime } = { \frac { r } { R _ { A } } } + { \frac { R _ { A } - D } { R _ { B } } } r = - { \frac { D - R _ { A } + R _ { B } } { R _ { A } R _ { B } } } r \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { - 2 V _ { t } \mu P _ { s , o } ^ { \prime } ( t ) L } { \left( \frac { k _ { l } } { 1 0 0 0 } \right) A ( P _ { g , o } ( t ) - 0 ) } } & { = ( 0 + P _ { g , o } ( t ) + 2 P _ { a } + 2 b ) } \\ { \frac { - 2 0 0 0 V _ { t } \mu P _ { s , o } ^ { \prime } ( t ) L } { k _ { l } A ( P _ { g , o } ( t ) ) } } & { = P _ { g , o } ( t ) + 2 P _ { a } + 2 b } \end{array}
\begin{array} { l } { { c _ { 1 } ^ { [ \alpha ] _ { k } | [ \beta ] _ { l } } = 0 , \quad k \neq l , \quad k + l \neq n , } } \\ { { c _ { 1 } ^ { [ \alpha ] _ { k } | [ \beta ] _ { n - k } } = c _ { 1 } ^ { ( k ) } \varepsilon ^ { [ \alpha ] _ { k } [ \beta ] _ { n - k } } , \quad k , n - k \ge 4 , \quad 2 k \neq n , } } \\ { { \varepsilon ( c _ { 1 } ^ { ( k ) } ) = n \, ( m o d \, \, 2 ) , \quad c _ { 1 } ^ { ( k ) } = - c _ { 1 } ^ { ( n - k ) } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { S } ( m \geq 2 ) = \int _ { x _ { s } ^ { - } } ^ { x _ { s } ^ { + } } { \ln \left[ { \lambda { x ^ { m - 1 } } ( 1 - x ) } \right] d x } = F ( x _ { s } ^ { + } ) - F ( x _ { s } ^ { - } ) } \end{array}
b ^ { 2 } - 4 a c = [ 2 A ( 1 - p ^ { \prime } ) + 2 B p ^ { \prime } + p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) ] ^ { 2 } - 4 [ A - B - 1 + 2 p ^ { \prime } ] [ ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 2 } A - p ^ { 2 } B ]
\begin{array} { r } { C _ { m } = \frac { 4 \left[ J _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) + Y _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) \right] ^ { - 1 / 2 } } { \pi ( k a ) ^ { 2 } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \delta = - \tan ^ { - 1 } \left[ \frac { Y _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) } { J _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) } \right] } \end{array}
\sum _ { v \in \underline { { 2 } } ^ { n } } \sum _ { i , j , k \in \mathbb { Z } } ( - 1 ) ^ { i } q ^ { j } x ^ { k } \operatorname { r k } C ^ { i , j , k } ( D _ { v } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( q + q ^ { - 1 } ) \cdot J _ { L } ( q ) } & { \mathrm { i f ~ L ~ i s ~ o f ~ c l a s s - 0 } , } \\ { ( q x + q ^ { - 1 } x ^ { - 1 } ) \cdot J _ { L } ( q ) } & { \mathrm { i f ~ L ~ i s ~ o f ~ c l a s s - 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma = \left( \frac { \lambda } { 4 \pi } \right) ^ { 4 } } & { \frac { \gamma \prime ^ { 2 } \bar { P } \Psi _ { q } ^ { 2 q \prime } \Psi _ { p } ^ { 2 q \prime } } { r _ { q } ^ { 2 } r _ { p } ^ { 2 } } \left| \sum _ { m _ { y } } \sum _ { m _ { z } } \frac 1 { \left[ 1 - 2 m _ { y } \varepsilon _ { q } \Phi _ { q } - 2 m _ { z } \varepsilon _ { q } \Theta _ { q } + ( m _ { y } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } ) \varepsilon _ { q } ^ { 2 } \right] ^ { ( q \prime + 1 ) / 2 } } \right. } \\ & { \left. \times \frac 1 { \left[ 1 - 2 m _ { y } \varepsilon _ { p } \Phi _ { p } - 2 m _ { z } \varepsilon _ { p } \Theta _ { p } + ( m _ { y } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } ) \varepsilon _ { p } ^ { 2 } \right] ^ { ( q \prime + 1 ) / 2 } } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \tilde { \theta } _ { T } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } \le \tilde { \mathcal { O } } \left( \frac { \tau ^ { 2 } G ^ { 2 } } { K ^ { 2 } T ^ { 2 } } + \frac { c _ { \mathrm { q u a d } } ( \tau ) } { \nu ^ { 2 } N K T } + \frac { c _ { \mathrm { l i n } } ( \tau ) } { \nu ^ { 4 } K T ^ { 2 } } + \frac { B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G } { \nu } + \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { v ( V ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \frac { 1 } { 1 2 \Delta V ^ { 2 } } ( V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 3 } . } \end{array}
E _ { x , \omega , k } ^ { ( r ) } = \left\{ \begin{array} { l } { C _ { 0 , k } ^ { + } \exp ( - \lambda _ { 0 , k } z ) + C _ { 0 , k } ^ { - } \exp ( \lambda _ { 0 , k } z ) , z < z _ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { C _ { r , k } ^ { + } \exp ( - \lambda _ { r , k } ( z - z _ { r - 1 } ) ) + } \\ { + C _ { r , k } ^ { - } \exp ( \lambda _ { r , k } ( z - z _ { r } ) ) , \quad \quad z _ { r - 1 } \leq z \leq z _ { r } } \\ { \vdots } \\ { C _ { N , k } ^ { + } \exp ( - \lambda _ { N , k } ( z - z _ { N - 1 } ) ) , z \geq z _ { N - 1 } . } \end{array} \right.
\Pi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , q ) = - ( m _ { N } + m _ { N ^ { \ast } } ) g _ { \pi N N ^ { \ast } } \{ { \frac { \lambda _ { N } ( s ) \lambda _ { N ^ { \ast } } ( t ) } { ( p _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { N } ^ { 2 } ) ( p _ { 2 } ^ { 2 } - M _ { N ^ { \ast } } ^ { 2 } ) } } - { \frac { \lambda _ { N ^ { \ast } } ( s ) \lambda _ { N } ( t ) } { ( p _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { N ^ { \ast } } ^ { 2 } ) ( p _ { 2 } ^ { 2 } - M _ { N } ^ { 2 } ) } } \} i { \hat { p } } \gamma _ { 5 } + \cdots
\begin{array} { l l } { { g _ { _ L } ( \widehat { \mathbf { f } } _ { \mu } , \widehat { \mathbf { f } } _ { \nu } ) = g _ { \mu \nu } } } \\ { { g _ { _ L } ( \widehat { \mathbf { f } } _ { \mu } , \mathbf { e } _ { k } ) = 0 } } \\ { { g _ { _ L } ( \mathbf { e } _ { k } , \mathbf { e } _ { l } ) = g _ { 0 \, k l } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { n } ( p _ { A } , p _ { B } ) } & { : = \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \\ & { \qquad - \mathrm { P } ( \mathrm { \textnormal { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o } ~ n ~ } \mid \mathrm { \textnormal { T e a m ~ B ~ s e r v e s ~ f i r s t } } ) } \end{array}
\Delta { \lambda } _ { 1 } = 2 L \left( ( 1 + { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } ) - ( 1 + { \frac { v ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } } \right) = { 2 L } { \frac { v ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { d _ { h } ( \varphi , y ) ^ { 2 ( \ell _ { 1 } + \cdots + \ell _ { n } ) + q } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left( \frac { d ^ { j } } { d \varphi ^ { j } } e _ { h } ( \varphi , y ) \right) ^ { \ell _ { j } } = \frac { 1 } { d _ { h } ( \varphi , y ) ^ { q } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left( \frac { 1 } { d _ { h } ( \varphi , y ) ^ { 2 } } \frac { d ^ { j } } { d \varphi ^ { j } } e _ { h } ( \varphi , y ) \right) ^ { \ell _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { \tilde { n } } = \mathcal { F } \left( a \right) = \sum _ { \tilde { m } = 0 } ^ { N - 1 } a _ { \tilde { m } } \exp \left[ - 2 \pi i \tilde { m } \tilde { n } / N \right] } \end{array}