harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \| { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell } } \| \| { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell } } \| } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } 2 { \varphi } ( G _ { i } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { i } ) } & { = \sqrt { \frac { \| { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell } } \| ^ { 2 } } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } 2 { \varphi } ^ { 2 } ( G _ { i } ) } \sqrt { \frac { \| { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell } } \| ^ { 2 } } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } 2 { \varphi } ^ { 2 } ( \hat { G } _ { i } ) } \cos ( \theta ^ { \ell + 1 } ) , } \\ { \implies \frac { 1 } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } { \varphi } ( G _ { i } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { i } ) } & { = \sqrt { \frac { 1 } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } { \varphi } ^ { 2 } ( G _ { i } ) } \sqrt { \frac { 1 } { n _ { \ell } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \ell } } { \varphi } ^ { 2 } ( \hat { G } _ { i } ) } \cos ( \theta ^ { \ell + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( X _ { i , 1 } ^ { + } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \hbar W _ { n , 1 } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } + \hbar ( \displaystyle \sum _ { v = 1 } ^ { l } \alpha _ { v } ) \Phi ( X _ { 0 , 0 } ^ { + } ) + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } W _ { n , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } W _ { u , 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ i ~ = ~ 0 ~ } , } \\ { - \hbar W _ { i , i + 1 } ^ { ( 2 ) } t - \frac { i } { 2 } \hbar \Phi ( X _ { i , 0 } ^ { + } ) } \\ { \quad + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } W _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } W _ { u , i + 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } W _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } W _ { u , i + 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ i ~ \neq ~ 0 ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
R _ { 1 } = \left( \frac { 2 i } { Q ^ { 2 } } \right) ^ { n } Q _ { \mu _ { 1 } } ^ { \prime } . . . Q _ { \mu _ { n } } ^ { \prime } \; \mathrm { \bf ~ S } _ { \{ \sigma , \mu _ { 1 } , . . . , \mu _ { n } \} } \left[ \bar { \psi } \gamma _ { 5 } \gamma _ { \sigma } D _ { \mu _ { 1 } } . . . D _ { \mu _ { n } } \psi \right]
\begin{array} { r } { \frac { D \rho } { D t } + \rho \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } = 0 \Leftrightarrow \frac { \partial \rho } { \partial t } + \frac { \partial \left( \rho u _ { i } \right) } { \partial x _ { i } } = 0 . } \end{array}
{ \frac { R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \, \mathrm { d } \boldsymbol \Phi = \sqrt { \frac { R _ { B } ( R _ { A } - D ) } { R _ { A } ( R _ { B } + D ) } } \; { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol \phi } { \sin \alpha } } \, .
\begin{array} { r l r } { I \left( z \right) } & { { } = } & { I _ { - } \exp \left( - \frac { z } { \lambda } \right) + I _ { + } \exp \left( + \frac { z } { \lambda } \right) } \\ { V \left( z \right) } & { { } = } & { R I _ { - } \exp \left( - \frac { z } { \lambda } \right) - R I _ { + } \exp \left( + \frac { z } { \lambda } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { L } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \\ { 0 . 1 } \end{array} \right) \mathrm { k m \, s } ^ { - 1 } , \quad \mathbf { F } _ { e , L } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 0 . 0 1 } & { 0 . 9 5 } & { 0 . 0 2 } \\ { - 0 . 0 1 5 } & { 0 } & { 0 . 9 } \end{array} \right) , \quad \mathscr { E } _ { L } = \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } , L } } \\ { \mathbf { u } _ { R } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { - 0 . 0 3 } \\ { - 0 . 0 1 } \end{array} \right) \mathrm { k m \, s } ^ { - 1 } , \quad \mathbf { F } _ { e , R } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 . 0 1 5 } & { 0 . 9 5 } & { 0 } \\ { - 0 . 0 1 } & { 0 } & { 0 . 9 } \end{array} \right) , \quad \mathscr { E } _ { R } = \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } , R } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ J ~ S ~ D ~ } ( p , q ) = \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( p | | m ) + \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( q | | m ) ) } \\ { m = \frac { 1 } { 2 } ( p + q ) } \\ { \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( p | | m ) = \sum _ { i } p _ { i } \log _ { 2 } ( \frac { p _ { i } } { m _ { i } } ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { S _ { e , \tau } \left( \varphi \left( t _ { n } \right) \right) = e ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \varphi \left( t _ { n } \right) + \varepsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { i ( \tau - s ) \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } G \left( \varphi \left( t _ { n } + s \right) \right) \textrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 2 } ( t ) } & { = L _ { n } ( \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) ) ^ { 4 } - 4 \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) L _ { n } ( \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) ) ^ { 3 } + 6 ( \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) ) ^ { 2 } L _ { n } ( \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) ) ^ { 2 } } \\ & { \quad - 4 ( \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) ) ^ { 3 } L _ { n } \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) d r } \\ & { = \frac { \theta ( n ) } { n ^ { 6 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \Xi _ { j } - \Xi _ { j + 1 } ) ^ { 4 } ( T _ { v _ { n } ^ { 1 } t } ^ { - } \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } ) ^ { 4 } , } \end{array}
\{ P ^ { ( k _ { 1 } ) } \otimes { R ^ { ( k _ { 2 } ) } } \} _ { q } ^ { ( Q ) } = \sum _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } C _ { k _ { 1 } q _ { 1 } k _ { 2 } q _ { 2 } } ^ { Q q } P _ { q _ { 1 } } ^ { ( k _ { 1 } ) } R _ { q _ { 2 } } ^ { ( k _ { 2 } ) } \, ,
\frac { \nabla _ { \mathbf { p } } \mu _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } = \mathbf { Q } _ { p } ^ { - 1 } \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { R } } { \partial \mathbf { p } } \right) ^ { * } \mathbf { Q } _ { f } \frac { \nabla _ { \mathbf { \overline { { f } } } } \mu _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } + 2 \operatorname { R e } \left( \mathbf { \tilde { H } } ^ { * } \mathbf { \mathcal { R } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { p _ { W _ { 1 } W _ { 2 } } ( 1 , w _ { 1 } , w _ { 2 } ) } & { { } = \bigl ( 1 - | \mathbf { s } | ^ { 2 } \bigr ) \, p _ { 0 } ( w _ { 1 } , w _ { 2 } ) } \end{array}
\widetilde { \Pi } ^ { ( 2 ) } ( k ^ { 2 } , m ) = - \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha \frac { m } { \sqrt { m ^ { 2 } - k ^ { 2 } \alpha ( 1 - \alpha ) } } = - \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { m } { \sqrt { k ^ { 2 } } } \ln { \left( \frac { 2 \sqrt { m ^ { 2 } } + \sqrt { k ^ { 2 } } } { 2 \sqrt { m ^ { 2 } } - \sqrt { k ^ { 2 } } } \right) } \, .
A _ { i } ^ { l } = { \frac { \sin ( \pi s ) } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d z ( z l / a ) ^ { - 2 s } { \frac { \partial } { \partial z } } \left( { \frac { D _ { i } ( t ) } { l ^ { i } } } \right) .
R _ { d d r } ( \mathbf { x } _ { R } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) = \int _ { \mathbb { S } _ { 0 } } v ^ { + } ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { R } ^ { \prime } , t ) * U ^ { - , + } ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) d \mathbf { x } _ { R } .
\frac { 1 } { 4 } \omega _ { \hat { \mu } } ^ { \hat { i } \hat { j } } \gamma _ { \hat { i } \hat { j } } \, \varepsilon _ { a } \, = \, - \frac { 1 } { 2 } \bar { g } A _ { \hat { \mu } } ^ { I } \left( \Gamma _ { I 4 5 } \right) _ { a } ^ { \; b } \, \varepsilon _ { b } ,
d P _ { i } = \sum _ { k } \frac { \partial P _ { i } } { \partial q _ { k } } d q _ { k } + \frac { \partial P _ { i } } { \partial t } d t = \nabla _ { \mathbf { q } } P _ { i } \cdot d \mathbf { q } + \frac { \partial P _ { i } } { \partial t } d t
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } u _ { 1 } } & { = \rho _ { 2 } u _ { 2 } , } \\ { p _ { 1 } + \rho _ { 1 } u _ { 1 } ^ { 2 } } & { = p _ { 2 } + \rho _ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { v _ { 1 } } & { = v _ { 2 } , } \\ { w _ { 1 } } & { = w _ { 2 } , } \\ { h _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } } & { = h _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \varepsilon } ( x , t ) } & { { } = \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \theta _ { + } ( x _ { 1 } , t ) - \frac { 1 } { \varepsilon } \phi ^ { \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) u ^ { 2 } ( x , t ) \theta _ { + } ( x _ { 1 } , t ) } \end{array}
\tilde { f } _ { b b } \left( \tilde { k } _ { 0 } \right) = \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 2 } ^ { 2 } } { 2 \pi } \frac { \Theta \left( \tilde { k } _ { 0 } \right) } { D \left( \tilde { k } _ { 0 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \omega ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( \omega - \vec { v } . \vec { k } ) \approx \omega \, , } \\ { \vec { k } ^ { \prime } } & { { } = \vec { k } + \frac { 1 } { v ^ { 2 } } ( \gamma - 1 ) ( \vec { v } . \vec { k } ) \vec { v } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \gamma \omega \vec { v } \approx - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \omega \vec { v } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P r \{ ( h _ { i } ( X _ { 1 } ) - h _ { i } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) ) < 0 \} } & { { } = } & { 1 - P r \{ ( h _ { i } ( X _ { 1 } ) - h _ { i } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) > 0 \} } \end{array}
\textup { P L } _ { m k } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \textup { D } - 3 5 \log _ { 1 0 } \left( d _ { m k } \right) , \textup { i f } d _ { m k } > d _ { 1 } } & \\ { - \textup { D } - 1 0 \log _ { 1 0 } \left( d _ { 1 } ^ { 1 . 5 } d _ { m k } ^ { 2 } \right) , \textup { i f } d _ { 0 } < d _ { m k } \leq d _ { 1 } } & \\ { - \textup { D } - 1 0 \log _ { 1 0 } \left( d _ { 1 } ^ { 1 . 5 } d _ { 0 } ^ { 2 } \right) , \textup { i f } d _ { m k } \leq d _ { 0 } } & \end{array} \right. ,
\sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, \ln ( \bar { \omega } _ { m } ^ { 2 } \, + \, k _ { n } ^ { 2 } ) \, = \, \frac { 2 } { T } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { k _ { n } } { 2 } \, + \, T \, \ln ( 1 \, - \, e ^ { - k _ { n } / T } ) \right] \, { , }
\vartheta - h d t , \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \vartheta = ( p _ { i } - \frac { 1 } { 2 } { B _ { c } } \, \varepsilon _ { i j } \, x _ { j } ) d x _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \theta \varepsilon _ { i j } \, p _ { i } d p _ { j } = P _ { i } d Q _ { i } ,
\approx \frac { 1 } { W } \sum _ { r _ { i } } ^ { r _ { c u t } } | E _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { D F T } } ( r _ { i } ) - E _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { M D } } ( r _ { i } ) | ^ { 2 } w ( r _ { i } ) ,
\Phi ^ { a b } = \phi _ { 1 } ^ { a } \phi _ { 2 } ^ { b } + \phi _ { 2 } ^ { a } \phi _ { 1 } ^ { b } - \frac { 2 } { 3 } \delta ^ { a b } ( \vec { \phi _ { 1 } } \cdot \vec { \phi _ { 2 } } ) .
f _ { \pi / p } ( \xi , t ) = 3 . 2 5 7 \xi \frac { - t } { ( m _ { \pi } ^ { 2 } - t ) ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } - t } { 1 . 2 1 \xi } \right) ,
\vartheta : = \frac { z _ { t } } { z _ { w } } = \frac { x _ { t } x _ { \alpha } + y _ { t } y _ { \alpha } } { x _ { \alpha } ^ { 2 } + y _ { \alpha } ^ { 2 } } + i \frac { y _ { t } x _ { \alpha } - x _ { t } y _ { \alpha } } { x _ { \alpha } ^ { 2 } + y _ { \alpha } ^ { 2 } } ,
R _ { m } ( p _ { T } , x ) = N _ { m } \sqrt { x ( 1 - x ) } \exp ( - p _ { T } ^ { 2 } / 2 \omega ^ { 2 } ) \cdot \exp ( { \frac { - m ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } } ( x - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { m _ { q _ { 1 } } ^ { 2 } - m _ { q _ { 2 } } ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } )
\begin{array} { l } { { [ H _ { i } , H _ { j } ] = 0 ~ , } } \\ { { [ H _ { i } , X _ { j } ^ { - } ] = - a _ { i j } X _ { i } ^ { - } ~ , } } \\ { { [ X _ { i } ^ { - } , X _ { j } ^ { - } ] = 0 ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ a _ { i j } = 0 ~ , } } \\ { { \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { 1 - a _ { i j } } ( - 1 ) ^ { m } \left( \begin{array} { c } { { 1 - a _ { i j } } } \\ { { m } } \end{array} \right) ( X _ { i } ^ { - } ) ^ { 1 - a _ { i j } - m } X _ { j } ^ { - } ( X _ { i } ^ { - } ) ^ { m } = 0 ~ , ~ ~ ~ ~ ( i \not = j ) ~ , } } \\ { { \Delta ( H _ { i } ) = H _ { i } \otimes 1 + 1 \otimes H _ { i } ~ , } } \\ { { \Delta ( X _ { i } ^ { - } ) = X _ { i } ^ { - } \otimes 1 + 1 \otimes X _ { i } ^ { - } ~ , } } \\ { { \epsilon ( H _ { i } ) = 0 = \epsilon ( X _ { i } ^ { - } ) ~ , } } \\ { { S ( H _ { i } ) = - H _ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ S ( X _ { i } ^ { - } ) = - X _ { i } ^ { - } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = \frac { ( x - t ) \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { x } + \frac { y \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { c } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = X _ { c } , \sigma = \epsilon _ { c } ) \quad \forall c } \\ { \tau } & { \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 0 0 0 ) } \\ { Y _ { c } ^ { \dagger } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = \hat { Y } _ { c } , \sigma = \tau ) \quad \forall c . } \end{array}
\hat { P } | n \rangle _ { \pm } = \hat { P } \frac { 1 } { 2 } ( 1 \pm \hat { P } ) | n \rangle = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { P } \pm \hat { P } ^ { 2 } ) | n \rangle = \pm \frac { 1 } { 2 } ( 1 \pm \hat { P } ) | n \rangle = \pm | n \rangle _ { \pm }
\begin{array} { c c l } { | \phi _ { j > N } \rangle } & { = } & { \hat { a } _ { j - N } ^ { \dagger } | \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { 2 } . . \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { N - 1 } \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } ^ { N } \rangle \otimes | 0 0 . . 0 \rangle } \end{array}
\sigma _ { d i s s \leftarrow { v _ { i } ^ { + } } } = \frac { \pi } { 4 \varepsilon } \sum _ { { l , \Lambda } } \rho ^ { { \Lambda } } \sum _ { j } \left\vert S _ { d _ { j } , { l } v _ { i } ^ { + } } ^ { { \Lambda } } \right\vert ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { m _ { v _ { 0 } v _ { L } } } & { { } = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } k _ { v _ { K } } \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { | K | - 1 } \pi _ { v _ { K _ { i } } } } { \pi _ { v _ { K } } } } \end{array}
x _ { f } \approx s _ { M } \frac { g ^ { \prime } } { g } \frac { a _ { f } ^ { \prime } } { a _ { f } } \frac { v _ { f } ^ { \prime } / a _ { f } ^ { \prime } - v _ { f } / a _ { f } } { 1 - v _ { f } / a _ { f } } .
\begin{array} { r l } { \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } u _ { t } ^ { ( 3 ) } \| } & { = \operatorname* { m a x } _ { v : \| v \| = 1 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in S _ { \mathrm { b a d } } \cup E _ { t } } v ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } \mathrm { c l i p } _ { \theta _ { t } } ( x _ { i } ^ { \top } w _ { t } - y _ { i } ) } \\ & { \leq 2 C _ { 2 } K \alpha \log ^ { a } ( 1 / \alpha ) \theta _ { t } } \\ & { \leq 6 C _ { 2 } ^ { 1 . 5 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) ( \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + \sigma ) \; . } \end{array}
\Pi _ { { \mathcal { C } } } = - i \oint _ { { \mathcal { C } } } d { \mathbf { R } } \cdot \ensuremath { \langle { \Phi ( { \mathbf { R } } ) } \rvert } \nabla _ { { \mathbf { R } } } \ensuremath { \lvert { \Phi ( { \mathbf { R } } ) } \rangle } .
{ \cal M _ { N } ^ { \prime } } = \left[ \begin{array} { c c } { { M _ { 1 } + g _ { 1 } ^ { 2 } v _ { 1 } v _ { 2 } / f u } } & { { - g _ { 1 } g _ { 2 } v _ { 1 } v _ { 2 } / f u } } \\ { { - g _ { 1 } g _ { 2 } v _ { 1 } v _ { 2 } / f u } } & { { M _ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } v _ { 1 } v _ { 2 } / f u } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial } { \partial t } \frac { 1 } { \kappa ( x , t ) } \frac { \partial } { \partial t } - \frac { \partial } { \partial x } \frac { 1 } { \rho ( x , t ) } \frac { \partial } { \partial x } \right) u ( x , t ) = 0 , \quad x \in \mathbb { R } , \, t \in \mathbb { R } , } \\ & { u ( x , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega t } \, \, \, \mathrm { i s } \, \, T \mathrm { - p e r i o d i c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { ( 1 , 1 ) } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { - \frac { r \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { N _ { I } ( w - 1 ) } - v _ { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { ( 1 - r ) ( w ^ { N _ { I } } - 1 ) } { N _ { T } ( w - 1 ) } - v _ { T } } \end{array} \right) } \end{array}
- \nabla \cdot \left( \frac { \nabla \bar { U } _ { r e a l } } { | \nabla \bar { U } _ { r e a l } | } \right) + \lambda _ { 1 } ( \bar { U } _ { r e a l } - \hat { U } _ { r e a l } ) + 2 \lambda _ { 3 } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ) ^ { 2 } - 1 \right) \bar { U } _ { r e a l } = 0 \; \; \; \mathrm { ~ i ~ n ~ } \; \Omega
\begin{array} { r l } { \dot { R } ( t ) } & { = v _ { R } ( t ) , } \\ { m \dot { v } _ { R } ( t ) } & { = - \frac { \partial V ( x ) } { \partial x } + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } u _ { i } ( t ) , } \\ { \dot { u } _ { i } ( t ) } & { = - \eta _ { i } v _ { R } ( t ) - \nu _ { i } u _ { i } ( t ) + \sqrt { 2 \nu _ { i } \eta _ { i } k _ { \mathrm { B } } T } \xi _ { i } ( t ) , } \end{array}
H : = P D P ^ { - 1 } = \left( \frac { \pi + \lambda } { 2 } \right) I _ { 4 } - \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \frac { \lambda } { 2 } } & { \frac { \pi } { 4 } ( 1 + e ^ { - i \lambda } ) } & { \frac { \pi } { 4 } ( 1 - e ^ { - i \lambda } ) } \\ { \frac { \lambda } { 2 } } & { 0 } & { \frac { \pi } { 4 } ( 1 - e ^ { - i \lambda } ) } & { \frac { \pi } { 4 } ( 1 + e ^ { - i \lambda } ) } \\ { \frac { \pi } { 4 } ( 1 + e ^ { i \lambda } ) } & { \frac { \pi } { 4 } ( 1 - e ^ { i \lambda } ) } & { 0 } & { \frac { \lambda } { 2 } } \\ { \frac { \pi } { 4 } ( 1 - e ^ { i \lambda } ) } & { \frac { \pi } { 4 } ( 1 + e ^ { i \lambda } ) } & { \frac { \lambda } { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { | \langle h , x \otimes y \rangle | ^ { 2 } } & { = \left| \sum _ { i } \mu _ { i } \langle u _ { i } , x \rangle _ { 1 } \langle v _ { i } , y \rangle _ { 2 } \right| ^ { 2 } \leqslant \left( \sum _ { i } \mu _ { i } | \langle u _ { i } , x \rangle _ { 1 } | | \langle v _ { i } , y \rangle _ { 2 } | \right) ^ { 2 } } \\ & { \leqslant \mu _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { i } | \langle u _ { i } , x \rangle _ { 1 } | ^ { 2 } \sum _ { j } | \langle v _ { i } , y \rangle _ { 2 } | ^ { 2 } \leqslant \mu _ { 1 } ^ { 2 } \| x \| ^ { 2 } \| y \| ^ { 2 } } \\ & { = \mu _ { 1 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ^ { \prime } ( p ) = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \log { p _ { j } } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } T _ { i , j } \log { p _ { j } } } \\ { \leq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log { \sum _ { j = 1 } ^ { n } T _ { i , j } p _ { j } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log { q _ { i } } = H _ { 0 } ^ { \prime } ( q ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { Z _ { N } \left( q \right) } { Z _ { \infty } ( q ) } } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } [ 1 ] \Bigg \{ \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N + 1 } \right] \cdot \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { m } v _ { j } ^ { 2 } \right] \cdot \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { v _ { j } - u _ { i } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } \frac { f \left( q ^ { k } \right) } { \left( 1 - f \left( q ^ { k } \right) \right) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( v _ { j } ^ { - k } - u _ { j } ^ { - k } \right) \right] \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left( \frac { a _ { i } ^ { - 1 } ( \delta ( t ) t ) } { a _ { i } ^ { - 1 } ( t ) } \right) } & { = \int _ { t } ^ { \delta ( t ) t } \frac { d } { d x } \log a _ { i } ^ { - 1 } ( x ) d x = \int _ { t } ^ { \delta ( t ) t } \frac { F _ { i } ( a _ { i } ^ { - 1 } ( x ) ) } { a _ { i } ^ { - 1 } ( x ) } d x } \\ & { \sim \int _ { t } ^ { \delta ( t ) t } \frac { c } { x } d x = c \log ( \delta ( t ) ) } \end{array}
\mathcal { P } _ { m n m ^ { \prime } n ^ { \prime } } = P _ { \mathrm { I N T } } ^ { \ast } ( m \Delta + f _ { \mathrm { c } } ^ { h } ) P _ { \mathrm { I N T } } ( n \Delta + f _ { \mathrm { c } } ^ { h } ) P _ { \mathrm { I N T } } ( m ^ { \prime } \Delta + f _ { \mathrm { c } } ^ { h } ) P _ { \mathrm { I N T } } ^ { \ast } ( n ^ { \prime } \Delta + f _ { \mathrm { c } } ^ { h } )
m _ { 0 } = { \frac { m _ { Z } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta ( M _ { 1 } c _ { w } ^ { 2 } + M _ { 2 } s _ { w } ^ { 2 } ) \mu \cos \xi } { M _ { 1 } M _ { 2 } \mu \cos \xi - m _ { Z } ^ { 2 } \sin { 2 \beta } ( M _ { 1 } c _ { w } ^ { 2 } + M _ { 2 } s _ { w } ^ { 2 } ) } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ] = \mathbb { E } \Bigg [ \! \prod _ { i \neq 0 } \! \left( \! 1 \! \! - \! \! \int _ { 0 } ^ { D _ { i } } \! \! \! \frac { \frac { \eta } { F } \frac { 5 } { 2 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u \exp { ( \! - \! \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u ^ { 2 } ) } \mathrm { d } u } { \big ( 1 \! + \! \frac { D _ { i } ^ { \alpha } u ^ { \! - \! \alpha \epsilon } } { \theta r ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) } } \big ) \big ( 1 \! - \! \exp { ( \! - \! \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } } \pi D _ { i } ^ { 2 } ) \big ) } \! \! \right) \! \! \Bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \Bigg [ \! \exp \! \bigg ( \! \sum _ { i \neq 0 } \! \log \Big ( \! 1 \! \! - \! \! \int _ { 0 } ^ { D _ { i } } \! \! \! \frac { \frac { \eta } { F } \frac { 5 } { 2 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u \exp { ( \! - \! \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u ^ { 2 } ) } \mathrm { d } u } { \big ( 1 \! + \! \frac { D _ { i } ^ { \alpha } u ^ { \! - \! \alpha \epsilon } } { \theta r ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) } } \big ) \! \big ( 1 \! - \! e ^ { \! - \! \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi D _ { i } ^ { 2 } } \big ) } \! \Big ) \! \bigg ) \Bigg ] } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \mathbb { E } _ { r } \Bigg [ \! \exp { \Bigg ( \! \! - \! 2 \pi \lambda _ { \mathrm { s } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \kappa } \! \! \frac { \frac { \eta } { F } \frac { 5 } { 2 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u e ^ { \! - \! \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u ^ { 2 } } \mathrm { d } u \kappa \mathrm { d } \kappa } { \big ( 1 \! + \! \frac { \kappa ^ { \alpha } u ^ { \! - \! \alpha \epsilon } } { \theta r ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) } } \big ) \big ( 1 \! - \! e ^ { \! - \! \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi \kappa ^ { 2 } } \big ) } \! \Bigg ) \! } \Bigg ] } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \exp { \! \Bigg ( \! \! - \! z \! - \! \frac { 4 } { 5 } \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } z ^ { 2 } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \frac { \eta } { F } q \exp { ( - z s q ) } \mathrm { d } s \mathrm { d } q } { \big ( 1 \! + \! \frac { q ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) / 2 } } { \theta s ^ { \alpha \epsilon / 2 } } \big ) \big ( 1 \! - \! e ^ { - z q } \big ) } \Bigg ) } \mathrm { d } z , } \end{array}
\hat { H } _ { G } = \sum _ { j } ^ { V } [ { \frac { 1 } { 2 } \omega _ { j } { ( \hat { p } _ { A _ { j } } ^ { 2 } + \hat { q } _ { A _ { j } } ^ { 2 } ) } } + { \frac { 1 } { 2 } \omega _ { j } { ( \hat { p } _ { B _ { j } } ^ { 2 } + \hat { q } _ { B _ { j } } ^ { 2 } ) } } ]
V _ { c o , k } = \frac { U _ { k } } { ( 1 + \overline { { g } } _ { k } ) ^ { 2 } } + \frac { O _ { k } } { ( 1 + \overline { { g } } _ { e x , k } ) ( 1 + \overline { { g } } _ { i n , k } ) } - \frac { J _ { k } } { ( 1 + \overline { { g } } _ { k } ) ( 1 + \overline { { g } } _ { i n , k } ) } - \frac { F _ { k } } { ( 1 + \overline { { g } } _ { k } ) ( 1 + \overline { { g } } _ { e x , k } ) }