harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } | E _ { 1 } | + \lambda _ { 2 } | E _ { 2 } | } & { \le \frac { n - 1 } { n } \lambda _ { 1 } \int _ { \partial ^ { * } E _ { 1 } } \frac { d \mathcal { H } ^ { n - 1 } } { H _ { 1 } } + \frac { n - 1 } { n } \lambda _ { 2 } \int _ { \partial ^ { * } E _ { 2 } } \frac { d \mathcal { H } ^ { n - 1 } } { H _ { 2 } } } \\ & { = \frac { n - 1 } { n } \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( \partial E _ { 1 } ) + \frac { n - 1 } { n } \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( \partial E _ { 1 } ) . } \end{array}
( f \circ \mathcal { L } ^ { - 1 } ) ( \mathfrak { s } ) = \left\{ f ( \mathfrak { u } ) \ \backslash \ \mathfrak { u } \in \mathcal { L } ^ { - 1 } ( \mathfrak { s } ) \right\} = f _ { C } ( \mathfrak { s } ) ,
\mathcal { L } _ { V I } ( \theta ) \equiv - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \log p \big ( \boldsymbol { y } _ { i } | \boldsymbol { f } ^ { \boldsymbol { \omega } } ( \boldsymbol { X } _ { i } ) \big ) d \boldsymbol { \omega } + K L \big ( q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \big | \big | p ( \boldsymbol { \omega } ) \big )
\begin{array} { r l r } & { } & { \omega _ { 0 } = ( 6 \bar { u } _ { r } + \epsilon c _ { 1 } \bar { u } _ { r } ^ { 2 } ) k _ { r } - \left( 1 + \epsilon c _ { 3 } \bar { u } _ { r } \right) k _ { r } ^ { 3 } + \epsilon c _ { 4 } k _ { r } ^ { 5 } , \quad \omega _ { 1 } = 0 , } \\ & { } & { \omega _ { 2 } = \frac { 3 6 + 2 4 \epsilon c _ { 1 } \bar { u } _ { r } - \epsilon \left( 4 8 c _ { 3 } - 6 c _ { 1 } - 6 c _ { 2 } \right) k _ { r } ^ { 2 } } { 2 4 k _ { r } - \epsilon \left( 1 2 0 c _ { 4 } k _ { r } ^ { 3 } - 2 4 c _ { 3 } \bar { u } _ { r } k _ { r } \right) } + O \left( \epsilon ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { = \frac { 3 } { 2 k _ { r } } + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 4 } \left( c _ { 1 } + c _ { 2 } - 8 c _ { 3 } + 3 0 c _ { 4 } \right) k _ { r } + \left( c _ { 1 } - \frac { 3 } { 2 } c _ { 3 } \right) \frac { \bar { u } _ { r } } { k _ { r } } \right] + O \left( \epsilon ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( z v _ { 0 } ) _ { 1 } } & { = ( z v _ { 0 } ^ { a _ { i _ { 0 } } , b _ { j _ { 0 } } , c } ) _ { 1 } } \\ & { = \sum _ { i + j = \frac { a _ { i _ { 0 } } + b _ { j _ { 0 } } - c } { 2 } } C G ( \frac { a _ { i _ { 0 } } } { 2 } , \, \frac { a _ { i _ { 0 } } } { 2 } - i ; \, \frac { b _ { j _ { 0 } } } { 2 } , \; \frac { b _ { j _ { 0 } } } { 2 } - j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } ) \, z v _ { i } ^ { a _ { i _ { 0 } } } \otimes v _ { j } ^ { b _ { j _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { E } _ { \eta } ( \tau , \mathbf { x } ) } & { { } = } & { \frac { Z e } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } \mathbf { x } ^ { \prime } \frac { \tau \sinh ( \eta - \eta _ { 0 } ) } { { [ ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 3 / 2 } } f _ { \bot } ( x ^ { \prime } , x _ { 0 } ; y ^ { \prime } , y _ { 0 } ) \Theta \left( 1 - \frac { { x ^ { \prime } } ^ { 2 } } { r _ { a } ^ { 2 } } - \frac { { y ^ { \prime } } ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \right) } \\ { \tilde { B } _ { y } ( \tau , \mathbf { x } ) } & { { } = } & { Z e \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { x } ^ { \prime } d ^ { 2 } \mathbf { x } ^ { \prime \prime } \frac { \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) ^ { 2 } ( x ^ { \prime } - x ^ { \prime \prime } ) \sinh ( \eta _ { 0 } - \eta ^ { \prime } ) } { ( ( x ^ { \prime } - x ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + ( y ^ { \prime } - y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta _ { 0 } - \eta ) ) ^ { 5 / 2 } } \times } \end{array}
\| u _ { \varepsilon ^ { \prime } } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ^ { \prime \prime } ) } \leq C ( \| u _ { \varepsilon ^ { \prime } } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ^ { \prime \prime \prime } ) } + \| ( L _ { 1 } , \ldots , L _ { n } ) \| _ { \ell ^ { 2 } } ) \quad \forall \varepsilon ^ { \prime } < \operatorname { d i s t } ( \overline { { \Omega } } ^ { \prime \prime \prime } , \Omega ^ { c } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { D } \textbf { u } } { \textnormal { D } t } + f \hat { z } \times \textbf { u } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla p + b \hat { z } + \nu \Delta \textbf { u } , } \\ { \frac { \textnormal { D } b } { \textnormal { D } t } + N ^ { 2 } w } & { { } = \kappa \Delta b , } \\ { \nabla . \textbf { u } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { d e p t h } ( G _ { P } ) + \operatorname { h e i g h t } \left( \frac { \mathfrak { m } S + P } { P } \right) } & { = \operatorname { h e i g h t } _ { S } ( P ) - 1 + \dim ( S / P ) - \dim ( S / \mathfrak { m } S + P ) } \\ & { = \operatorname { h e i g h t } _ { S } ( P ) - 1 + d + 1 - \operatorname { h e i g h t } _ { S } ( P ) - \dim ( S / \mathfrak { m } S + P ) } \\ & { = d - \dim ( S / \mathfrak { m } S + P ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \| \bar { x } _ { L , k _ { 0 } } - x _ { t r u e } \| } { \| x _ { t r u e } \| } } & { \leq } & { \frac { \| x _ { L , k _ { 0 } } - x _ { t r u e } \| } { \| x _ { t r u e } \| } + \frac { \| x _ { L , k _ { 0 } } - \bar { x } _ { L , k _ { 0 } } \| } { \| x _ { t r u e } \| } } \\ & { = } & { \frac { \| x _ { L , k _ { 0 } } - x _ { t r u e } \| } { \| x _ { t r u e } \| } + \frac { \| x _ { L , k _ { 0 } } - \bar { x } _ { L , k _ { 0 } } \| } { \| x _ { L , k _ { 0 } } \| } \frac { \| x _ { L , k _ { 0 } } \| } { \| x _ { t r u e } \| } } \\ & { \leq } & { \frac { \| x _ { L , k _ { 0 } } - x _ { t r u e } \| } { \| x _ { t r u e } \| } + { \cal O } ( t o l ) . } \end{array}
{ { \cal L } ^ { \prime } } _ { U } ^ { N C } = - \frac { g } { 2 \cos \theta _ { W } } ( \bar { u } \; \; \bar { c } \; \; \bar { t } ) _ { R } \gamma ^ { \mu } { U _ { R } ^ { U } } ^ { \dagger } \tilde { \Delta } \, U _ { R } ^ { U } \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { c } } \\ { { t } } \end{array} \right) _ { R } \, Z _ { \mu } ^ { 0 } ,
\begin{array} { r } { { \ensuremath { \mathcal R } } = \frac { 1 } { 3 } { \ensuremath { \mathcal R } } _ { 1 / 2 } + \frac { 2 } { 3 } { \ensuremath { \mathcal R } } _ { 3 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { m } = \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \left( \int _ { r _ { \mathrm { c } } } ^ { r } \frac { q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } ( r ^ { \prime } ) } { \hbar } \mathrm { d } r ^ { \prime } - \frac { q _ { \infty } r } { \hbar } \right) + \frac { m \pi } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \theta } _ { i } = \mathcal { H } ( p _ { i } ) \left[ \omega _ { i } - \sum _ { j \in \mathcal { K } } \mathcal { H } ( p _ { j } ) \mathcal { K } _ { i j } \sigma _ { i j } \sin ( \theta _ { i } - \theta _ { j } - \Phi _ { i j } ) \right] , \; \; i \in \mathcal { K } , } \\ { \dot { p } _ { i } = \mathcal { H } ( p _ { i } ) \left[ \sum _ { h \in \mathcal { M } } \mathcal { H } ( p _ { h } ) \mathcal { M } _ { i h } \frac { \Gamma _ { i , h } + \Gamma _ { h , i } } { 2 } ( \delta _ { h } p _ { h } - \delta _ { i } p _ { i } ) \frac { \cos ( \theta _ { h } - \theta _ { i } ) + 1 } { 2 } \right. } \\ { - \left. \sum _ { k \in \mathcal { E } } \mathcal { H } ( p _ { k } ) \mathcal { E } _ { i k } \kappa _ { i k } p _ { k } \mathrm { ~ d ~ } _ { k } \frac { \sin ( \theta _ { k } - \theta _ { i } ) + 1 } { 2 } O _ { k } , \right] , \; \; i \in \mathcal { K } . } \end{array}
\small \mathcal { F } [ Q ] = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int \Big [ \| g ( x , t ) - \hat { f } ( x ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } + { U _ { \mathcal { O } } ( x , t ) } + { U _ { \mathcal { G } } ( x , t ) } \Big ] \, q _ { t } ( x ) \, \mathrm { ~ d ~ } x \, \mathrm { ~ d ~ } t .
\begin{array} { r l } { \underbrace { \ddot { x } + d ( x ^ { 2 } - 1 ) \dot { x } + x } _ { \Omega _ { \mathrm { n a t } } } = } & { { } \underbrace { a \sin ( \omega t ) } _ { \Omega _ { \mathrm { d r i v e } } } \, . } \end{array}
q ^ { + } = f ^ { i } ( x ) u _ { i } ^ { + } + \theta ^ { + \alpha } \psi _ { \alpha } ( x ) + \bar { \theta } _ { \dot { \alpha } } ^ { + } \bar { \xi } ^ { \dot { \alpha } } ( x ) + 2 i \theta ^ { + \alpha } \bar { \theta } ^ { + \dot { \alpha } } \partial _ { \alpha \dot { \alpha } } f ^ { i } ( x ) u _ { i } ^ { - }
\kappa _ { 0 } = \frac { c } { n _ { \mathrm { g } } } \left[ m + 2 L _ { \mathrm { m } } \left( \frac { n _ { \mathrm { g } } } { n _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { m } } } \alpha _ { \mathrm { m } } - \frac { n _ { \mathrm { g } } } { n _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { w g } } } \alpha _ { \mathrm { w g } } \right) \right] \frac { 1 } { L } + \frac { c } { n _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { w g } } } \alpha _ { \mathrm { w g } } .
\zeta _ { \alpha } ( z , f _ { V } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \left( { \frac { V ( m ^ { 2 } ) ^ { 1 - z } } { z - 1 } } + a _ { \alpha , 2 } ( f _ { V } ) ( m ^ { 2 } ) ^ { - z } \right) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { P ( X _ { 1 } = 1 \mid d o ( X _ { i } = 0 ) ) } & { = 0 . 5 ( P ( X _ { 1 } = 1 \mid X _ { i } = 0 , X _ { 2 } = 1 ) + P ( X _ { 1 } = 1 \mid X _ { i } = 0 , X _ { 2 } = 0 ) ) } \\ & { = ( 1 - q ) \left( \frac { 0 . 5 ^ { 2 } - ( 1 - 2 q ) \varepsilon ^ { 2 } } { 0 . 5 ^ { 2 } - ( 1 - 2 q ) ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } \right) \in [ 0 . 5 - 4 \varepsilon , 0 . 5 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { q } \Phi ( \bar { q } , \bar { u } ) ^ { \ast } } & { = \alpha \Delta - [ ( \kappa \circ H ) ^ { \prime } ( \bar { q } ) ] ^ { \star } : L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 } ( \O ) ) \to L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { - 1 } ( \O ) ) , } \\ { \partial _ { u } \Phi ( \bar { q } , \bar { u } ) ^ { \ast } } & { = \mathbb { I } : L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { 0 } ^ { 1 } ( \O ) ) \to L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) , } \\ { \partial _ { q } \Psi ( \bar { q } , \bar { u } ) ^ { \ast } } & { = 0 : L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) \to L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { - 1 } ( \O ) ) , } \\ { \partial _ { u } \Psi ( \bar { q } , \bar { u } ) ^ { \ast } } & { = \mathbb { I } : L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) \to L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) . } \end{array}
( g _ { A } / g _ { V } ) _ { { \Xi } ^ { - } \rightarrow { \Xi } ^ { o } } = ( - { \frac { 1 } { 3 } } ) { \frac { 1 + { \frac { 4 } { 3 } } { \delta } ^ { 2 } } { 1 + 2 { \delta } ^ { 2 } } }
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { \hat { g } _ { 4 } } \Bigl \{ \hat { R } _ { 4 } + \frac { 2 \hat { \nabla } _ { \mu } { \cal A } \hat { \nabla } ^ { \mu } { \cal A } ^ { \dagger } } { ( { \cal A } - { \cal A } ^ { \dagger } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 8 } T r \bigl ( l \hat { \nabla } m \bigr ) ^ { 2 } - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } \frac { e ^ { \Phi _ { 4 } } } { b ^ { 6 } } \Bigr \}
J _ { \mu } = J _ { \mu } ^ { \mathrm { h a d } } + J _ { \mu } ^ { \mathrm { l e p } } = \left( \psi _ { d } ^ { \dagger } \, \, \psi _ { s } ^ { \dagger } \, \, \psi _ { b } ^ { \dagger } \right) U _ { K M } j _ { \mu } \left( \begin{array} { l } { { \psi _ { u } } } \\ { { \psi _ { c } } } \\ { { \psi _ { t } } } \end{array} \right) + \left( \psi _ { e } ^ { \dagger } \, \, \psi _ { \mu } ^ { \dagger } \, \, \psi _ { \tau } ^ { \dagger } \right) j _ { \mu } \left( \begin{array} { l } { { \psi _ { \nu _ { e } } } } \\ { { \psi _ { \nu _ { \mu } } } } \\ { { \psi _ { \nu _ { \tau } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { t } = } & { { } \frac { \gamma M _ { t } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } { q _ { \parallel , u } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mu } = } & { { } ~ \frac { \partial \bar { \Psi } } { \partial \phi } - \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \bar { \Psi } } { \partial \nabla \phi } \right) , } \\ { \bar { \upsilon } = } & { { } ~ \frac { \partial \bar { \psi } } { \partial \phi } - \frac { 1 } { \rho } \mathrm { d i v } \left( \rho \frac { \partial \bar { \psi } } { \partial \nabla \phi } \right) . } \end{array}
I = \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } + 2 \alpha ^ { \prime } \left[ - \zeta ( 3 ) \rho - 2 \zeta ( 3 ) \alpha _ { 3 4 } - \zeta ( 3 ) \alpha _ { 1 2 } - 2 \zeta ( 3 ) \alpha _ { 2 3 } - 2 \zeta ( 3 ) \alpha _ { 2 4 } \right] + { \cal O } ( { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \varepsilon } ( x , t ) = } & { { } \phi \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \left( \kappa \Delta - \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } u ^ { j } ( x , t ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial } { \partial t } - A \right) \gamma ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d - 1 } , t ) } \end{array}
\vec { g } _ { m } ^ { ( t , e ) } \gets \frac { | \mathcal { I } _ { m } ^ { ( t ) } | } { | \xi _ { m } ^ { ( t , e ) } | } \sum _ { j \in \xi _ { m } ^ { ( t , e ) } } \frac { \lambda _ { m } ^ { ( t , j ) } } { \sum _ { j ^ { \prime } \in \mathcal { I } _ { m } ^ { ( t ) } } \lambda _ { m } ^ { ( t , j ^ { \prime } ) } } \cdot \nabla \ell ( \theta _ { m } ^ { ( t , e ) } ; \vec { z } _ { m } ^ { ( t , j ) } )
\begin{array} { r } { \textbf { v } _ { k } ( t + \delta t / 2 ) = \frac { ( 1 + \delta t H / 2 ) \textbf { v } _ { k } ( t - \delta t / 2 ) + \delta t / m _ { k } \textbf { f } _ { k } ( t ) } { 1 - \delta t H / 2 } , } \\ { \textbf { r } ( t + \delta t ) = \textbf { r } ( t ) + \delta t \textbf { v } ( t + \delta t / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { = { \mathsf { e } } + \frac { u } { 2 } \Delta \mu + ( D ^ { i } { \mathsf { a } } _ { i } ^ { \mathrm { r a d } } ) ^ { \mathrm { i n } } - D ^ { i } { \mathsf { a } } _ { i } ^ { \mathrm { r a d } } } \\ & { = { \mathsf { e } } + \frac { u } { 2 } \Delta \mu + \Delta \varphi _ { k > 1 } ^ { \mathrm { i n } } - \Delta \varphi _ { k > 1 } . } \end{array}
\pi ^ { i j } = - 2 \gamma ^ { 1 / 2 } e ^ { - \frac { 3 } { 2 } ( \phi - \tilde { \phi } ) } \left[ \frac { 1 } { 2 } \gamma ^ { i j } H + \gamma ^ { - 1 / 3 } \left( \frac { \partial H } { \partial h _ { i j } } - \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial H } { \partial h _ { k l } } h _ { k l } h _ { i j } \right) \right] ~ ~ ~ ,
J = \left\{ \begin{array} { c } { { R ( e _ { x } , \pi ) \Theta , \mathrm { ~ s = ~ i n t e g e r } } } \\ { { { \cal K } R ( e _ { x } , \pi ) \Theta , \mathrm { ~ f o r ~ ~ s = ~ s e m i - i n t e g e r } } } \end{array} \right.
r ^ { * } = r + { \frac { 1 } { 2 \sqrt 2 ( 4 - \epsilon ) } } \log | f _ { e } | - { \frac { 2 - \epsilon } { 2 \sqrt 2 ( 4 - \epsilon ) } } \int ^ { y } { \frac { d y } { 1 - y + A y ^ { 1 + B } } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { e r f i } ( z ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d } { d t } \mathrm { e r f i } ( t z ) \, d t = \frac { 2 z } { \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { t ^ { 2 } z ^ { 2 } } \, d t = \frac { 2 z } { \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { z ^ { 2 } ( 1 - s ) } \, \frac { d s } { 2 \sqrt { 1 - s } } } \\ & { = \frac { z e ^ { z ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - s } } e ^ { - s z ^ { 2 } } \, d s = \frac { z e ^ { z ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \chi _ { [ 0 , 1 ] } ( s ) } { \sqrt { 1 - s } } e ^ { - s z ^ { 2 } } \, d s . } \end{array}
\mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ } } = - ( \xi _ { | | } ^ { s } \hat { { \bf { t } } } \hat { { \bf { t } } } + \xi _ { \perp } ^ { s } \hat { { \bf { n } } } \hat { { \bf { n } } } ) \cdot { \bf { X } } _ { t } ,
Y _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } = \displaystyle \sum _ { \forall n , m \ne 0 , 0 } \bigg [ \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ , ~ ( ~ \mathrm { ~ i ~ n ~ } ~ ) ~ } } Y _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } , ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } + \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ , ~ ( ~ i ~ n ~ ) ~ } } Y _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ } , ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } \bigg ] \, .
\| ( \mathbf { R } _ { 1 } , R _ { 2 } , 0 , \mathbf { R } _ { 3 } , \mathbf { R } _ { 4 } ) \| _ { \mathbb { F } ( T ) } \leq C ( T ) \| ( \tilde { \mathbf { v } } , \tilde { p } , h ) \| _ { \mathbb { E } ( T ) } ,
\begin{array} { r } { \gamma \triangleq \frac { { \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \rho _ { k } P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } } } \sigma _ { \textrm { c o v } } } { \sqrt { 2 } \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho _ { k } ) P | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } } A ^ { \prime } \sigma _ { \textrm { r e c } } } . } \end{array}
N _ { \ell } = \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d s \langle \widetilde { \Psi } _ { \ell } ( s ) | \partial _ { k } \hat { H } | \Psi _ { \ell } ( s ) \rangle .
\, \mathrm { d } \rho _ { t } = \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \Big ( \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } \rho _ { t } \Big ) \, \mathrm { d } t + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } * \rho _ { t } ) \rho _ { t } ) \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } ,
\begin{array} { r l } { \langle \delta \hat { G } _ { i j } ( t _ { 0 } ) \rangle } & { { } = 0 \, , } \\ { L _ { i j k l } ( t _ { 0 } ) = \langle \delta \hat { G } _ { i k } ( t _ { 0 } ) \delta \hat { G } _ { j l } ( t _ { 0 } ) \rangle } & { { } = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } n _ { j } ( 1 \pm n _ { i } ) \, , \quad } \end{array}
I ( \mathbf { z } ) \leq \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \bigg ( { \| { \mathbf z } _ { 1 } - { \mathbf z } \| \operatorname* { m i n } _ { \| \mathbf y \| = 1 } \operatorname* { m a x } _ { - 2 \leq m \leq 2 } | \mathbf y ^ { T } \mathbf D _ { m } \hat { \mathbf P } | } \bigg ) ^ { - 1 }
I ( \omega ^ { \prime } ) = \frac { a ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } } { 4 \omega ^ { 6 } + \omega ^ { 4 } [ ( a - 1 ) ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } - 2 ( a + 1 ) \gamma ^ { \prime } + 1 ] + \omega ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } ( a ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } + a ^ { 2 } + 1 ) + a ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } } ,
| V _ { N } \rangle = \mu _ { N } e ^ { E _ { N } } | 0 \rangle , \ \ E _ { N } = - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } A _ { k } ^ { \dagger } U _ { k } A _ { N - k } ^ { \dagger } ,
\frac { d } { d u } \biggl | _ { u = 0 } \widetilde { Z } ( R ( S ) , \langle \cdot \, , \cdot \rangle ^ { A ( u ) } ) = \biggl ( \, \sum _ { k = 0 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } ( - 1 ) ^ { k } a _ { 0 } ( B _ { k } \, P _ { [ { \cal H \/ } _ { k } ^ { \perp } ] } \, | \, \Delta _ { k } ) \biggr ) \, \widetilde { Z } ( R ( S ) , \langle \cdot \, , \cdot \rangle )
\begin{array} { r l } { \omega _ { v ^ { r } } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { M } _ { r } } \left\{ \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { r } } \pi ( m ) \right\} } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \left\{ \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \pi ( m ) \right\} . } \end{array}
G _ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } u _ { j } \mathrm { t a n h } ( ( \boldsymbol { k } _ { j } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b _ { j } ^ { x } ) \mathrm { t a n h } ( k _ { j } ^ { t } t + b _ { j } ^ { t } )
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { i , k } - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } \right] = \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { x } _ { k } - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { i , k } - \bar { x } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] \leq \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { 2 } { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \check { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } k ^ { 2 - \nu } \, \widetilde { c } _ { k } = \gamma _ { 0 } ^ { \nu } , \quad \gamma _ { 0 } ^ { \nu } : = \nu \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - r } \zeta \sin ( \zeta ) } { ( r ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } ) ^ { ( 2 + \nu ) / 2 } } \, d r d \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \mathrm { m } } } & { \equiv \left\{ \left( { i } \hat { \mathbf { x } } + { j } \hat { \mathbf { y } } - { i } \hat { \mathbf { x } } ^ { \prime } - { j } \hat { \mathbf { y } } ^ { \prime } \right) 2 \pi / a \mid { i } , { j } \in \mathbb { Z } \right\} } \\ & { = \left\{ \mathbf { G } _ { ( i , j , - i , - j ) } \mid i , j \in \mathbb { Z } \right\} } \\ & { \equiv \left\{ \mathbf { G } _ { \mathrm { m } , ( i , j ) } \mid i , j \in \mathbb { Z } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { z _ { \mathrm { m i n } } = \frac { 1 } { 2 n \left( 1 - \cos \Theta \right) } \left( \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { e x } } } + \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { e m } } } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
P _ { \phi } = { \frac { \delta L } { \delta \dot { \phi } } } = \dot { \phi } - { \frac { \partial _ { + } a } { \partial _ { - } a } } \partial _ { - } \phi = \phi ^ { \prime } - { 2 a ^ { \prime } } { \frac { \partial _ { - } \phi } { \partial _ { - } a } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname * { m i n } _ { \mathbf { p } , \mathbf { b } } \quad } & { \tau ^ { U L } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { a _ { k } b _ { k } \log _ { 2 } ( 1 + \frac { p _ { k } ^ { u p } h _ { k } } { b _ { k } \mathcal { N } _ { 0 } } ) \geq \frac { a _ { k } s } { t _ { k } ^ { u p } } , \: \forall k , } \\ & { p _ { k } ^ { u p } \leq \frac { a _ { k } \Big [ { { E } } _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } - \zeta _ { k } v C _ { k } J _ { k } \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { \eta } ) f _ { k } ^ { 2 } \Big ] } { t _ { k } ^ { u p } } , \: \forall k , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } b _ { k } \leq { { B } } , } \\ & { 0 \leq p _ { k } ^ { u p } \leq p _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } , \: \forall k , } \\ & { b _ { k } \geq 0 , \: \forall k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { L } _ { i j m } ^ { k l n } = \int } & { \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 1 } } \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 3 } } \, \phi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \phi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \phi _ { n } ( { \mathbf { r } _ { 3 } } ) } \\ & { \hat { L } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \phi _ { m } ( { \mathbf { r } _ { 3 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { x } ( \lambda _ { r } / 2 + ( - y / \sigma ^ { 2 } ) _ { + } ) g ( y ) d y } & { = - \frac { \lambda _ { r } } { 8 \sigma ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { x } y ^ { 2 } \textnormal { s i g n } ( y ) d y - \frac { 1 } { 4 \sigma ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { x } ( - y ) _ { + } y ^ { 2 } \textnormal { s i g n } ( y ) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { E } ( x , y , \omega ) } & { { } = e ^ { - ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) } e ^ { - i \tau _ { a } \delta \omega ( X ^ { 2 } - Y ^ { 2 } ) } e ^ { - \delta \omega ^ { 2 } / \Delta \omega ^ { 2 } } } \\ { A ( x , y , t ) } & { { } = e ^ { - ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) } e ^ { - ( t - \tau _ { a } ( X ^ { 2 } - Y ^ { 2 } ) ) ^ { 2 } / \tau _ { 0 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { p _ { 1 } } & { \mapsto x _ { 1 } } & { p _ { 1 } } & { \mapsto y _ { 1 } } & { p _ { 1 } } & { \mapsto z _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } & { \mapsto x _ { 1 } ^ { - 1 } } & { p _ { 2 } } & { \mapsto y _ { 2 } } & { p _ { 2 } } & { \mapsto z _ { 2 } } \\ { p _ { 3 } } & { \mapsto x _ { 2 } } & { p _ { 3 } } & { \mapsto y _ { 2 } ^ { - 1 } } & { p _ { 3 } } & { \mapsto z _ { 2 } z _ { 1 } ^ { - 1 } z _ { 2 } ^ { - 1 } } \\ { p _ { 4 } } & { \mapsto x _ { 2 } ^ { - 1 } } & { p _ { 4 } } & { \mapsto y _ { 1 } ^ { - 1 } } & { p _ { 4 } } & { \mapsto z _ { 2 } ^ { - 1 } } \end{array}
T _ { \eta ^ { \prime } \rightarrow \eta \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 } \sin { 2 \theta } \ \biggl ( T _ { \eta _ { 8 } \rightarrow \eta _ { 8 } \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } - T _ { \eta _ { 0 } \rightarrow \eta _ { 0 } \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } } \biggr ) \ + \ \cos 2 \theta \ T _ { \eta _ { 0 } \rightarrow \eta _ { 8 } \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } }