harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | e ( t _ { n } ) | ^ { 2 } + | e ^ { \prime } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \left\{ \displaystyle \frac { k _ { i } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } - 2 , s \} + 2 } } { r _ { i } ^ { 2 ( s + 1 ) } } \right\} \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { 2 } \Big ) ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } , s \} - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { i } - s + 1 ) } { \Gamma ( r _ { i } + s - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { i } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C \left( \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { 2 } \Big ) ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } , s \} - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { i } - s + 1 ) } { \Gamma ( r _ { i } + s - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { i } ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \times \left( \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { 2 } \Big ) ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } , s \} } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { i } - s + 1 ) } { \Gamma ( r _ { i } + s - 1 ) } \displaystyle \frac { 1 } { r _ { i } ( r _ { i } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { i } ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ { \le } & { C \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \left\{ \displaystyle \frac { k _ { i } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } - 2 , s \} + 2 } } { r _ { i } ^ { 2 ( s + 1 ) } } \right\} \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { 2 } \Big ) ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } , s \} - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { i } - s + 1 ) } { \Gamma ( r _ { i } + s - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { i } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C \operatorname* { m a x } _ { 1 \le i \le n } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { r _ { i } } \Big ) ^ { 3 } \Big \} \left( \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { i } } { 2 } \Big ) ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } , s \} - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { i } - s + 1 ) } { \Gamma ( r _ { i } + s - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( I _ { i } ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } { J _ { i j } ^ { + } } _ { \psi } ( x ; \epsilon ) = : { J _ { i j } ^ { + } } _ { \psi } ( x ) : - \frac { 1 } { 4 L } \left( z _ { i } \mp ( N + 1 - 2 i ) \right) \delta _ { i j } .
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \mathbf { z } ^ { i } \frac { ( \mathbf { \omega } ^ { i } ) ^ { 2 } } { ( v ^ { i } ) ^ { 2 } } \Phi ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { z } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } , \theta ) + \mathbf { z } ^ { i } \nabla ^ { 2 } \Phi ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { z } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } , \theta ) + \right. } \\ { \left. 2 \nabla _ { z } \Phi ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { z } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } , \theta ) + \frac { ( \mathbf { \omega } ^ { i } ) ^ { 2 } } { ( v ^ { i } ) ^ { 2 } } D ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } ) + 2 \nabla _ { x } ^ { 2 } D ( \mathbf { x } ^ { i } , \mathbf { \omega } ^ { i } ) \right| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathrm { e } ^ { S _ { \mathrm { I F } } [ A _ { \mu } ] } = \int _ { C } \! { \cal D } a _ { \mu } \, \exp \Bigl ( i S _ { \mathrm { h } } [ a _ { \mu } , A _ { \mu } ] + \log \operatorname * { d e t } ( { \bf D } ^ { 2 } + [ a ^ { i } , D _ { i } ] \Bigr ) \delta ( { \cal D } _ { i } a ^ { i } )
{ P ( x , T , T ^ { * } ) = { \frac { { \mid H ( T ) \mid } ^ { 2 } } { { T _ { r } } ^ { 3 } { \mid \eta ( T ) \mid } ^ { 6 } } } 2 x A ^ { 2 } e ^ { - 2 \alpha x } { \left( { \frac { \alpha - \beta } { 1 + 2 x \beta } } \right) } ^ { 2 } \left( 1 + \alpha + \beta + 2 x \alpha \beta - { 1 / { 4 x ^ { 2 } } } \right) }
\Gamma ( { \hat { k } } ) = i \int { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } V ( { \hat { k } } - { \hat { q } } ) \gamma \dot { \eta } [ G _ { \Sigma } ( q + P / 2 ) \Gamma ( q ^ { \perp } ) G _ { \Sigma } ( q - P / 2 ) ] \gamma \dot { \eta }
\mathcal { A } ( \mathcal { B } ) = \ln \left( \prod _ { i = 0 } ^ { N } \frac { F _ { - \rho ( i ) } } { F _ { + \rho ( i ) } } \right) = \ln \left( \frac { F _ { { - \rho } ( N ) } } { F _ { { + \rho ( 0 ) } } } \right) = \ln \left( \frac { F _ { { - \rho } ( 0 ) } ^ { \mathrm { ~ e ~ s ~ s ~ } } } { F _ { { + \rho ( 0 ) } } ^ { \mathrm { ~ e ~ s ~ s ~ } } } \right) = \mathcal { A } _ { \rho ( 0 ) } ^ { \mathrm { ~ e ~ s ~ s ~ } } .
\begin{array} { r l r } { \left( \vec { \mathcal { P } } _ { 1 } \right) ^ { \mathrm { T } } \hat { \sigma } _ { z } \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { G } } \left( 1 , 2 \right) \vec { \mathcal { P } } _ { 2 } } & { = } & { \left( \vec { \mathcal { P } } _ { 1 } \right) ^ { \mathrm { T } } \left\lbrack \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { G } } \left( 2 , 1 \right) \right\rbrack ^ { \mathrm { T } } \hat { \sigma } _ { z } \vec { \mathcal { P } } _ { 2 } \, , } \end{array}
Q _ { 1 + } - Q _ { 1 - } \to 2 \, \mathrm { R e } \, \left[ \theta \left( i \Delta m + \frac { 1 } { 2 } \Delta \Gamma \right) \right] \frac { t _ { \ell } t _ { r } } { t _ { \ell } + t _ { r } } \, .
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial F ( z ) } { \partial z } } & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } ^ { \prime } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z ) } \ \frac { - \beta \partial \mathcal { H } ( z ) } { \partial z } } { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } ^ { \prime } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z ) } } } \\ & { = \left< - \frac { \partial \mathcal { H } ( z ) } { \partial z } \right> _ { q _ { 1 } = z , p _ { 1 } = 0 } } \\ & { = \left< - \frac { \partial U } { \partial z } - \frac { \partial K } { \partial z } \right> _ { q _ { 1 } = z , p _ { 1 } = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \Re \sum _ { j = 0 } ^ { D } b _ { j } \sum _ { | 1 + i j t - \rho | \le \eta _ { k } } \left\{ F ( 1 + i j t - \rho ) + f ( 0 ) \left( \frac { \pi } { 2 \eta _ { k } } \cot \left( \frac { \pi } { 2 \eta _ { k } } ( 1 + i j t - \rho ) \right) - \frac { 1 } { 1 + i j t - \rho } \right) \right\} } \\ & { \qquad \qquad \le - b _ { 1 } \left[ F ( 1 - \beta ) - 0 . 3 4 8 \pi ^ { 2 } f ( 0 ) ( 1 - \beta ) \right] + c ^ { \prime } \pi ^ { 2 } \lambda f ( 0 ) \sum _ { j = 0 } ^ { D } b _ { j } N \left( j t , \eta _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { I } ( t ) } & { = g \left( e ^ { i \left( \omega _ { m } t + \Delta ( t ) \right) } \left( V _ { x } ( t ) - i V _ { y } ( t ) \right) + c . c . \right) \left( e ^ { i ( \omega _ { m } t + \Delta ( t ) ) } ( \sigma _ { x } + i \sigma _ { y } ) / 2 + h . c . \right) } \\ & { \approx \frac { g V _ { x } ( t ) } { 2 } \sigma _ { x } + \frac { g V _ { y } ( t ) } { 2 } \sigma _ { y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { { } = \iint 4 \pi | V ( \mathbf { p } , \mathbf { p } _ { 1 } , \mathbf { p } _ { 2 } ) | ^ { 2 } f _ { p 1 2 } \delta ( \omega - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \delta ( \mathbf { p } - \mathbf { p } _ { 1 } - \mathbf { p } _ { 2 } ) \, d \mathbf { p } _ { 1 } \, d \mathbf { p } _ { 2 } } \end{array}
\Pi _ { 1 } ^ { \delta ^ { 2 } } = \delta ^ { 2 } \frac { \lambda T \eta ^ { 2 } } { 8 \pi \Omega } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } } - \delta ^ { 2 } \frac { \lambda \eta ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ - \frac { 1 } { \epsilon } + \ln \left( \frac { 4 \pi T ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) - \gamma \right] .
{ \cal M } ( e _ { R } \bar { e } _ { L } \to \chi _ { R } \chi _ { R } ) = - { \cal M } ( e _ { R } \bar { e } _ { L } \to \chi _ { L } \chi _ { L } ) = e ^ { 2 } f _ { R } ^ { 2 } \sin \theta \; { \frac { m _ { \chi _ { 1 } ^ { 0 } } } { \sqrt s } } \left( { \frac { s } { t - \tilde { m } _ { e R } ^ { 2 } } } - { \frac { s } { u - \tilde { m } _ { e R } ^ { 2 } } } \right)
- { \frac { d ^ { 2 } \varphi } { d z ^ { 2 } } } = n _ { r } - n _ { f } - \tilde { n } = \mathrm { e } ^ { - \varphi / \theta } - [ { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \varphi ^ { 1 / 2 } + \mathrm { e } ^ { \varphi } \mathrm { e r f c } ( \varphi ^ { 1 / 2 } ) ] - \tilde { n } .
\left( \begin{array} { l } { { Z _ { A B } } } \\ { { Z _ { I } } } \end{array} \right) = \int \left( \begin{array} { l } { { T _ { A B } } } \\ { { T _ { I } } } \end{array} \right) = \int \left( \begin{array} { l } { { T _ { A B } ^ { - } } } \\ { { T _ { I } ^ { - } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { f _ { A B } ^ { \Lambda } } } \\ { { f _ { I } ^ { \Lambda } } } \end{array} \right) e _ { \Lambda } - \left( \begin{array} { l } { { h _ { \Lambda A B } } } \\ { { h _ { \Lambda I } } } \end{array} \right) g ^ { \Lambda }
\operatorname { A v g } \big ( \textstyle \operatorname { T r } \hat { Y } ^ { 2 } - \frac { 1 } { m d } \operatorname { T r } ^ { 2 } \hat { Y } ^ { \prime } \big ) = \operatorname { A v g } \operatorname { T r } \hat { Y } ^ { 2 } = m \operatorname { T r } \hat { h } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { w } ^ { k } - } & { \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { w } ^ { k } + \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } + \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } = - \nabla r ^ { k } + \Delta \mathbf { g } ^ { k } - \mu I _ { h } \mathbf { w } ^ { k } , \quad \nabla \cdotp \mathbf { w } ^ { k } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } _ { \mathrm { n } } } & { = \frac { \rho v _ { 0 } \ell } { \eta } , } \\ { \mathrm { E r } } & { = \frac { \eta v _ { 0 } \ell } { K } = \frac { \eta } { K } \cdot \frac { K } { \gamma } = \frac { \eta } { \gamma } , } \\ { \mathrm { R } _ { \mathrm { a } } } & { = \frac { K } { A } \cdot \frac { \alpha } { K } = \frac { \alpha } { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } ) \Pi _ { { \cal F } _ { l } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } } & { = \left\| \sum _ { i \leq l } \left\langle f ^ { * } , f _ { i } \right\rangle _ { \mu _ { \Xi } } ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } ) f _ { i } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } } \\ & { \leq \sum _ { i \leq l } \left| \left\langle f ^ { * } , f _ { i } \right\rangle _ { \mu _ { \Xi } } \right| \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } ) f _ { i } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( t ) \propto t ^ { - 2 - \frac { a T _ { x } } { b T _ { s } } } \int _ { \theta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \theta _ { \mathrm { m a x } } } \frac { \theta ^ { 1 + \frac { a T _ { x } } { b T _ { s } } } e ^ { - \theta } } { \left( - \log \left( \frac { \theta } { \omega _ { o } t } \right) \right) ^ { 1 - \frac { 1 } { n } } } \, d \theta \, . } \end{array}
V ^ { 2 - 2 h } \sum _ { e n } [ \mathrm { e x p } ( i \pi e / k ) - \mathrm { e x p } ( - i \pi e / k ) ] ^ { 2 h - 2 } = V ^ { - 2 h } \left( \begin{array} { c } { { h - 1 } } \\ { { 2 h - 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { C _ { n } ( t ) } & { { } = } & { K _ { \mathrm { K o } } \epsilon ^ { 2 / 3 } k _ { n } ^ { - 2 / 3 } , } \\ { \nu _ { n } k _ { n } ^ { 2 } } & { { } = } & { \nu _ { * } K _ { \mathrm { K o } } ^ { 1 / 2 } \epsilon ^ { 1 / 3 } k _ { n } ^ { 2 / 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( \vec { r } , t ) } & { { } = } & { \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \frac { \varrho \left( \vec { r } \: ^ { \prime } , t - \frac { | \vec { r } - \vec { r } \: ^ { \prime } | } { c } \right) } { | \vec { r } - \vec { r } \: ^ { \prime } | } \, , } \\ { \vec { A } ( \vec { r } , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { c } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \frac { \vec { j } \left( \vec { r } \: ^ { \prime } , t - \frac { | \vec { r } - \vec { r } \: ^ { \prime } | } { c } \right) } { | \vec { r } - \vec { r } \: ^ { \prime } | } \, . } \end{array}
\dot { T } = - \left[ \frac { \Gamma _ { e v } ( N , T , \epsilon _ { t } , \bar { \omega } ) } { 3 } { \widetilde { \kappa } ( \epsilon _ { t } ) } - \frac { \Gamma _ { 3 B } ( N , T , \bar { \omega } ) } { 3 } - \frac { \dot { \bar { \omega } } } { \bar { \omega } } - 1 \right] T .
m \mathbf { \ddot { r } } = \mathbf { F } ^ { \mathrm { B } } + \mathbf { F } ^ { \mathrm { \ t h e t a } } + \mathbf { F } ^ { \mathrm { R } } + \mathbf { F } ^ { \mathrm { A } } + \mathbf { F } ^ { \mathrm { F , e } } + \mathbf { F } ^ { \mathrm { F , m } } + \mathbf { F } ^ { \mathrm { P } } + \eta .
( \mathbf { A } \bullet \mathbf { L } ) ( \mathbf { B } \otimes \mathbf { M } ) . . . ( \mathbf { C } \otimes \mathbf { S } ) ( \mathbf { K } \ast \mathbf { T } ) = ( \mathbf { A } \mathbf { B } . . . \mathbf { C } \mathbf { K } ) \circ ( \mathbf { L } \mathbf { M } . . . \mathbf { S } \mathbf { T } )
I m { \cal M } _ { F i g . 1 } ^ { f u l l ~ Q C D } ( Q \bar { Q } ( ^ { 3 } P _ { 0 } ) ) = ( I m f _ { 8 } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) ) _ { 0 } f ( \epsilon ) \frac { 4 C _ { F } \alpha _ { s } } { 3 N _ { C } \pi } ( - \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { I R } } ) + ( I m f _ { 1 } ( ^ { 3 } P _ { 0 } ) ) _ { 0 } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } ( - \frac { 5 8 n _ { f } } { 8 1 } - \sum _ { i } \frac { 2 } { 3 } l n \frac { m _ { i } } { 2 m } ) ,
{ \hat { H } } _ { 3 } = { \frac { \mu _ { B } } { c } } \sum _ { i } { \frac { 1 } { m _ { i } } } \mathbf { s } _ { i } \cdot \left[ \mathbf { F } ( \mathbf { r } _ { i } ) \times \mathbf { \hat { p } } _ { i } + \sum _ { j > i } { \frac { 2 q _ { i } } { r _ { i j } ^ { 3 } } } \mathbf { r } _ { i j } \times \mathbf { \hat { p } } _ { j } \right]
\bar { S } _ { \dot { \phi } \dot { \phi } } ^ { \mathrm { ~ o ~ s ~ c ~ } } [ \Omega ] = \frac { \hbar \omega _ { \mathrm { ~ o ~ s ~ c ~ } } \kappa ^ { 2 } } { 2 P _ { \mathrm { ~ o ~ s ~ c ~ } } } \left( 1 + 2 n _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \right) = \frac { \left( \ln ( \eta ) \right) ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } | \alpha | ^ { 2 } } ( 1 + 2 n _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) ,
\begin{array} { r l r } { | \delta \varphi | } & { = } & { \left| \frac { \pi } { \left( \frac { \lambda } { 2 \sin ( \theta / 2 ) } \right) } x \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { z _ { 0 } ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 z _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) x ^ { 2 } } \right) \right| } \\ & { \approx } & { \left| \frac { \pi } { 4 \left( \frac { \lambda } { 2 \sin ( \theta / 2 ) } \right) } \frac { x \rho ^ { 2 } } { z _ { 0 } ^ { 2 } } \right| } \end{array}
= \sum ( - 1 ) ^ { \sum a _ { j } } \, \langle \delta _ { n } , Z _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } \ldots Z _ { m } ^ { a _ { m } } \rangle \, x _ { 1 } ^ { a _ { 1 } } \ldots x _ { m } ^ { a _ { m } } = \widetilde { \rho } \, ( \delta _ { n } )
H _ { D } = \int d ^ { 3 } \sigma [ - A _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \Gamma ( \tau , \vec { \sigma } ) + \lambda ( \tau , \vec { \sigma } ) \pi ^ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) + \lambda ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) { \cal H } _ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) ] .
- i { \sqrt 2 } g _ { 2 } \Phi _ { u } ^ { \dagger } { \frac { \tau ^ { i } } { 2 } } { \tilde { \Phi } } _ { u } { \tilde { W } } ^ { i } - i { \sqrt 2 } g _ { 2 } \Phi _ { d } ^ { \dagger } { \frac { \tau ^ { i } } { 2 } } { \tilde { \Phi } } _ { d } { \tilde { W } } ^ { i } - \mu { \tilde { \Phi } } _ { u } { \tilde { \Phi } } _ { d } + { \frac { 1 } { 2 } } M _ { 2 } { \tilde { W } } ^ { i } { \tilde { W } } ^ { i } + h . c . \ .
\bar { \Theta } ( \mathrm { d o w n } ) \sim \left[ 9 . 0 \times 1 0 ^ { - 3 } \mathrm { I m } X _ { s d } ^ { I } + 6 . 7 \mathrm { I m } X _ { b d } ^ { I } + 2 . 6 \mathrm { I m } X _ { b s } ^ { I } \right] \times 1 0 ^ { - 7 } \ .
\begin{array} { r l } { 0 = - } & { { } ( 1 + i ( \alpha - \frac { \xi } { 2 } ) ) E _ { t 0 } + O ( 1 ) } \\ { + } & { { } i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } E _ { t \mu _ { 1 } } E _ { t \mu _ { 2 } } E _ { t ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } + 2 E _ { t 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { r \mu _ { 3 } } ) + F _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } , \phi _ { \varepsilon } \rangle ] } & { { } \leq \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { X } } \mathbf { 1 } _ { \left\{ n _ { k } ^ { X } - s _ { k } ^ { X } ( 0 ) \geq i , \; | ( \tau _ { k , i } ^ { X } ( 0 ) - T ) - c | \leq \epsilon \right\} } \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { R _ { 0 1 } } & { = - R _ { 2 3 } = e ^ { 0 } \wedge e ^ { 1 } - e ^ { 2 } \wedge e ^ { 3 } } \\ { R _ { 0 2 } } & { = - R _ { 3 1 } = e ^ { 0 } \wedge e ^ { 2 } - e ^ { 3 } \wedge e ^ { 1 } } \\ { R _ { 0 3 } } & { = 4 e ^ { 0 } \wedge e ^ { 3 } + 2 e ^ { 1 } \wedge e ^ { 2 } } \\ { R _ { 1 2 } } & { = 2 e ^ { 0 } \wedge e ^ { 3 } + 4 e ^ { 1 } \wedge e ^ { 2 } } \end{array} }
\delta P ^ { - } \subset \mu \sigma _ { - } ^ { * } \sigma _ { + } \int _ { - L } ^ { L } { \frac { 1 } { 2 L } } e ^ { \lambda _ { + } ^ { ( - ) } ( 0 , x ^ { - } ) } e ^ { \lambda _ { + } ^ { ( + ) } ( 0 , x ^ { - } ) } d x ^ { - } + C . C .
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } } & { { } = \mathbf { d } _ { 0 } + \mathbf { r } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \mathbf { h } } & { { } = \boldsymbol { \alpha } \left( \mathbf { d } _ { 0 } - \mathbf { r } \right) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\gamma , z \vdash f ^ { \Pi } ( \gamma , z ) \equiv \lambda \underline { { x } } ^ { \prime } : A ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) \; . \; q _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ^ { * } f _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) , \textnormal { e v } ( z , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ) ) : [ \Pi _ { \underline { { x } } : A ^ { \prime } ( \delta ) } B ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } ) ] ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) )
\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { F _ { k } ^ { 2 } } } = { \frac { 5 } { 2 4 } } \left( \vartheta _ { 2 } ^ { 4 } \left( 0 , { \frac { 3 - { \sqrt { 5 } } } { 2 } } \right) - \vartheta _ { 4 } ^ { 4 } \left( 0 , { \frac { 3 - { \sqrt { 5 } } } { 2 } } \right) + 1 \right) .
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { + } } ( x ) } & { = f ( x + 2 A ) + f ( x + 2 A + 2 B ) + f ( x + 2 A + 2 B + 2 A ) + . . . = } \\ & { = f ( x + 2 ( L - x ) ) + f ( x + 2 ( L - x ) + 2 ( x - ( - L ) ) + . . . } \\ & { = f ( - x + 2 L ) + f ( x + 4 L ) + f ( - x + 6 L ) + . . . } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } f ( ( - 1 ) ^ { k } x + 2 k L ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( ( - 1 ) ^ { k } x + 2 k L ) - x _ { 0 } } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { h o p , k } ^ { ( \ell ) } } & { \rightarrow \hat { \mathcal { L } } _ { h o p , k } ^ { ( \ell ) } = \sqrt { t _ { k } ^ { ( \ell ) } } \left( \sigma _ { k , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( \ell ) } + a _ { \ell , k } \mathbb { I } \right) \, \, , } \\ { H = 0 } & { \rightarrow \hat { H } = \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { \ell , k } t _ { k } ^ { ( \ell ) } \left( a _ { \ell , k } ^ { * } \sigma _ { k , 0 } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( \ell ) } - a _ { \ell , k } \sigma _ { 0 , k } ^ { ( \ell + 1 ) } \sigma _ { k , 0 } ^ { ( \ell ) } \right) \, . } \end{array}
I _ { b } ( 0 , \vec { \cal Q } ) = 2 E _ { f } ( 8 E _ { f } ^ { 2 } - 4 m _ { f } ^ { 2 } - 2 { \cal Q } ^ { 2 } ) - 6 E _ { f } ( 2 \vec { P } \cdot \vec { \cal Q } - { \cal Q } ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { { \bf { S } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \mu ^ { \prime } \omega } \left[ | { \bf { E } } | ^ { 2 } { \bf { k } } ^ { * } - \left( { \bf { E } } \cdot { \bf { k } } ^ { * } \right) { \bf { E } } ^ { * } \right] \; . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } ( 0 , t + \Delta t ) = T _ { 0 } - g _ { 0 } ( 0 , t + \Delta t ) - g _ { 2 } ( 0 , t + \Delta t ) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x = 0 . 0 ; } \\ { g _ { 2 } ( L , t + \Delta t ) = T _ { L } - g _ { 0 } ( L , t + \Delta t ) - g _ { 1 } ( L , t + \Delta t ) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x = L ; } \end{array} \right.
\left( \rho , u , v , p \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 5 , 0 , 0 , 1 . 5 ) , } & { \mathrm { i f ~ } x > 0 . 8 , y > 0 . 8 , } \\ { ( 3 3 / 6 2 , 4 / \sqrt { 1 1 } , 0 , 0 . 3 ) , } & { \mathrm { i f ~ } x \leq 0 . 8 , y > 0 . 8 , } \\ { ( 7 7 / 5 5 8 , 4 / \sqrt { 1 1 } , 4 / \sqrt { 1 1 } , 9 / 3 1 0 ) , } & { \mathrm { i f ~ } x \leq 0 . 8 , y \leq 0 . 8 , } \\ { ( 3 3 / 6 2 , 0 , 4 / \sqrt { 1 1 } , 0 . 3 ) , } & { \mathrm { i f ~ } x > 0 . 8 , y \leq 0 . 8 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { p } } } & { = \left\{ S _ { \mathrm { p } - 2 } ^ { \mathrm { p } } \times S _ { \mathrm { p } - 2 } ^ { \mathrm { p } } \times S _ { \mathrm { p } - 2 } ^ { \mathrm { p } } , \ S _ { \mathrm { p } - 2 } ^ { \mathrm { p - 1 } } \right\} , } \\ { \mathcal { B } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { p } } } & { = S _ { \mathrm { p } - 1 } ^ { \mathrm { p } } \times S _ { \mathrm { p } - 1 } ^ { \mathrm { p } } \times S _ { \mathrm { p } - 1 } ^ { \mathrm { p } } , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { p } } } & { = L ^ { \mathrm { p } } \times L ^ { \mathrm { p } } \times L ^ { \mathrm { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { q } _ { \mathrm { s i g } } ^ { \prime } } & { = } & { \sqrt { T } \hat { q } _ { \mathrm { s i g } } + \sqrt { 1 - T } \hat { q } _ { \mathrm { e n v } } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \hat { p } _ { \mathrm { s i g } } ^ { \prime } } & { = } & { \sqrt { T } \hat { p } _ { \mathrm { s i g } } + \sqrt { 1 - T } \hat { p } _ { \mathrm { e n v } } . } \end{array}
d \Gamma = \frac { \kappa ^ { 2 } } { 5 \pi } \Big [ T _ { i j } ( \omega ^ { \prime } ) T _ { j i } ^ { * } ( \omega ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 3 } | T ~ ^ { i } ~ _ { i } ( \omega ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \Big ] \omega ~ \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) ~ d \omega
f _ { t _ { \mathrm { D } } } ( t _ { \mathrm { D } } , \eta , \overline { { \theta } } ) = f _ { \Theta } \left( \theta ( t _ { \mathrm { D } } , T _ { \mathrm { R } } ) , \eta , \overline { { \theta } } \right) \left| \frac { d \, \theta ( t _ { \mathrm { D } } , T _ { \mathrm { R } } ) } { d \, t _ { \mathrm { D } } } \right| .
\begin{array} { r l } { h _ { i j } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } ( i | \hat { \nabla } ^ { 2 } | j ) + \sum _ { A } ( i | \frac { Z _ { A } } { \hat { r } _ { 1 A } } | j ) , } \\ { ( i j | k l ) } & { { } = ( i j | \frac { 1 } { \hat { r } _ { 1 2 } } | k l ) , } \end{array}
\times \sum _ { \nu } \Phi _ { A ^ { \prime } A } ^ { ( \cal R , \nu ) } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } , s _ { 0 } ) \int _ { \delta - i \infty } ^ { \delta + i \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi i } \left[ \left( \frac { s } { s _ { 0 } } \right) ^ { \omega } G _ { \omega } ^ { ( \cal R ) } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } , \vec { q } ) \right] \Phi _ { B ^ { \prime } B } ^ { ( \cal R , \nu ) } ( - \vec { q } _ { 2 } , - \vec { q } , s _ { 0 } ) ,
\delta \psi _ { \mu a } \; = \; D _ { \mu } \, \varepsilon _ { a } \, + \, i \, \gamma _ { \mu } \, T \left( \Gamma _ { 4 5 } \right) _ { a b } \varepsilon ^ { b } \; + \, i \; \frac { 1 } { 6 } \; \sqrt { \, \frac { 1 } { 2 } } \, \left( \, \gamma _ { \mu } ^ { \; \nu \rho } \; - \; 4 \, \delta _ { \mu } ^ { \nu } \, \gamma ^ { \rho } \, \right) \left( \, H _ { \, \nu \rho a b } \; + \; \sqrt { \, \frac { 1 } { 2 } } \, h _ { \, \nu \rho a b } \, \right) \varepsilon ^ { b } ,