harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } u _ { 1 } ( t ) } & { { } = } & { - K ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) + f _ { 1 } ( t ) \ \ \ \ \ i = 1 } \\ { m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } u _ { i } ( t ) } & { { } = } & { - K ( 2 u _ { i } - u _ { i + 1 } - u _ { i - 1 } ) \ \ \ \ \ 1 < i < \infty , } \end{array}
( \mathcal { F } u ) ( t ) : = e ^ { ( t - t _ { 0 } ) \mathcal { A } _ { U } } u _ { 0 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } J _ { s } ( u ( s ) ) \, d s , \qquad t \in [ t _ { 0 } , T ] .
| N | ^ { 2 } = \int d \, \Omega \, \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { n } , d l } ^ { \ast } \left( k ^ { \prime } , k _ { 3 } ^ { \prime } , r \right) \tau _ { d d ^ { \prime } } ^ { c } \left( P ^ { 3 / 2 } \right) _ { c k ; l l ^ { \prime } } \tau _ { d ^ { \prime } d ^ { \prime \prime } } ^ { k } \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { n } , d ^ { \prime \prime } l ^ { \prime } } \left( k ^ { \prime } , k _ { 3 } ^ { \prime } , r \right) = \frac { 8 } { 3 } \ .
\sin \xi = - \frac { \mu _ { 3 } \mu _ { 0 } } { \mu ^ { 2 } } \left( \frac { v _ { 0 } } { v _ { d } } \frac { \Delta m ^ { 2 } } { { m ^ { \prime } } _ { \tilde { \nu } _ { \tau } ^ { 0 } } ^ { 2 } } + \frac { v _ { u } } { v _ { d } } \frac { \mu \Delta B } { { m ^ { \prime } } _ { \tilde { \nu } _ { \tau } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r } { \Big \vert \mathcal { J } _ { 2 } ( g _ { 1 } ) - \mathcal { J } _ { 2 } ( g _ { 2 } ) \Big \vert ^ { 2 } = \Big \vert \sqrt { \mathcal { J } _ { 2 } ( g _ { 1 } ) } + \sqrt { \mathcal J _ { 2 } ( g _ { 2 } ) } \Big \vert ^ { 2 } \Big \vert \sqrt { \mathcal { J } _ { 2 } ( g _ { 1 } ) } - \sqrt { \mathcal { J } _ { 2 } ( g _ { 2 } ) } \Big \vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( X ^ { 2 } ) - \mathbb { E } ( X ) ^ { 2 } = \sigma ^ { 2 } + \sum _ { i } p _ { i } E _ { i } ^ { 2 } - ( \sum _ { i } p _ { i } E _ { i } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R , 0 } } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } } \\ & { \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } = \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R , 0 } } \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } \right) } \end{array} .
\begin{array} { r l } { q _ { N } } & { = \sum _ { M \sim K } A _ { - 2 } \partial _ { i j } ^ { 2 } \mathbf { P } _ { N } ( v _ { M } ^ { i } v _ { K } ^ { j } ) + \sum _ { M \ll K } A _ { - 2 } \mathbf { P } _ { N } \left( \partial _ { j } v _ { K } ^ { i } \partial _ { i } v _ { M } ^ { j } + \partial _ { j } v _ { M } ^ { i } \partial _ { i } v _ { K } ^ { j } \right) = : I _ { N } + J _ { N } . } \end{array}
{ \cal A } _ { X P } = \left( P \! \! \! \! \mathrm { \large / } ^ { \star } + M ^ { \star } \right) \, \mathrm { s i g n } ( P _ { 0 } ^ { \star } ) \; \delta \left( P ^ { \star \, 2 } - M ^ { \star \, 2 } \right) \; .
\nu _ { \mathrm { ~ i ~ z ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ i ~ z ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\varepsilon = \frac { - 2 \left( { 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } } \right) + \frac { \Delta t } { \tau } \left( { 1 + e ^ { - \Delta t / \tau } } \right) } { \frac { \Delta t } { \tau } - \left( { 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } } \right) } ,
\| \lambda ( \phi ) \| _ { K , m + n } = \operatorname * { s u p } _ { \stackrel { | p | \leq m + n } { z \in K } } | D ^ { p } ( \lambda ( \phi ) ) ( z ) | \, \, , \qquad D ^ { p } = \frac { \partial ^ { | q | + | r | } } { \partial x _ { 1 } ^ { q _ { 1 } } \cdots \partial x _ { m } ^ { q _ { m } } \partial \theta _ { 1 } ^ { r _ { 1 } } \cdots \partial \theta _ { n } ^ { r _ { n } } } \, \, .
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \Vert } & { } & { u ^ { k + 1 } - u ^ { * } } & { \Vert _ { \mathcal M _ { k + 1 } } ^ { 2 } = \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k + 1 } } ^ { 2 } } \\ & { } & { = \quad } & { \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } + \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k + 1 } - \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } } \\ & { } & { \overset { \leq } \; \; } & { \Vert u ^ { k } - u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } - \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - u ^ { k } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } + \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k + 1 } - \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } } \\ & { } & { \leq \quad } & { \Vert u ^ { k } - u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } - \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - u ^ { k } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } + \Vert \mathcal M _ { k + 1 } - \mathcal M _ { k } \Vert \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { * } \Vert ^ { 2 } } \\ & { } & { \overset { \leq } \quad } & { \Vert u ^ { k } - u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } - \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - u ^ { k } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } + C ^ { 2 } \Vert \mathcal M _ { k + 1 } - \mathcal M _ { k } \Vert \Vert u ^ { k } - u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } } \\ & { } & { = \quad } & { \left( 1 + C ^ { 2 } \Vert \mathcal M _ { k + 1 } - \mathcal M _ { k } \Vert \right) \Vert u ^ { k } - u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } - \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u ^ { k } - u ^ { k } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { Q } _ { 0 } ^ { i n h } ( s ) = \frac { 1 } { s + r } \bigg ( 1 + \frac { r } { s + r + \alpha + \beta } } & { [ \alpha \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { r } ) } \\ & { + ( s + r + \beta ) \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { r } ) ] \bigg ) , } \\ { \tilde { Q } _ { 1 } ^ { i n h } ( s ) = \frac { 1 } { s + r } \bigg ( 1 + \frac { r } { s + r + \alpha + \beta } } & { [ \beta \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { r } ) } \\ & { + ( s + r + \alpha ) \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { r } ) ] \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } ( z ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { \mathrm { m a x } } } & { 0 < z < L _ { 1 } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { n _ { 2 } ( z ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { \mathrm { m a x } } } & { L _ { 1 } < z < L } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \bf V } _ { \mathrm { v e c } } ( \xi ^ { 1 } , \theta ) \equiv V _ { \mathrm { v e c } } ^ { ( - 1 ) } ( \xi ^ { 1 } ) + \theta V _ { \mathrm { v e c } } ^ { ( 0 ) } ( \xi ^ { 1 } ) \equiv \frac { i } { 2 } \sum _ { \mu = 0 } ^ { p ^ { \prime } } : \zeta _ { \mu } ( k ) { \bf \dot { X } } ^ { \mu } ( \xi ^ { 1 } , \theta ) \, \exp \left( i \sqrt { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } \sum _ { \rho = 0 } ^ { p ^ { \prime } } k _ { \rho } { \bf X } ^ { \rho } ( \xi ^ { 1 } , \theta ) \right) : ~ ,
z _ { 1 j } ( t ) = \frac { \cos { ( 2 \Psi _ { 1 j } ) } } { 2 \tau } \left( \int _ { t - 2 \tau } ^ { t } h ( t ) d t - \cos { \theta _ { 1 j } } \left( \int _ { t - \tau ( 1 + \cos \theta _ { 1 j } ) } ^ { t } h ( t ) d t - \int _ { t - 2 \tau } ^ { t - \tau ( 1 + \cos \theta _ { 1 j } ) } h ( t ) d t \right) \right) ; \, j = 2 , 3
\langle A _ { i } ( k , \tau ) A _ { j } ( l , \tau ) \rangle = \left( \delta _ { i j } - \frac { k _ { i } k _ { j } } { k ^ { 2 } } \right) \frac { e ^ { - 2 k ^ { 2 } \tau } } { k ^ { 2 } } \delta ( k + l ) \, ,
\begin{array} { r l } { \theta ( t ) } & { { } = \left( 1 - \frac { \mu } { M } \frac { t - T } { t _ { 0 } - T } \right) ^ { - 1 } , } \\ { \eta ( x , t ) } & { { } = \theta ^ { 2 } ( t ) \left[ \left( \frac { \mu } { M } - 1 \right) c + \frac { M } { \mu } \frac { x - x _ { 0 } \mp M } { t _ { 0 } - T } \right] + c . } \end{array}
R _ { \tau \tau / b b } \equiv \frac { B ( h \rightarrow \tau ^ { + } \tau ^ { - } ) } { B ( h \rightarrow b \bar { b } ) } = \left( \frac { 1 + \epsilon _ { b } \tan { \beta } } { 1 - \epsilon _ { b } / \tan { \alpha } } \right) ^ { 2 } R _ { \tau \tau / b b } ( S M ) , \nonumber
\begin{array} { r l r } { G _ { 0 } } & { { } = } & { G _ { 0 , 0 } , } \\ { G _ { 1 } } & { { } = } & { G _ { 2 , 0 } + G _ { 0 , 2 } , } \\ { G _ { 2 } } & { { } = } & { G _ { 4 , 0 } + 2 G _ { 2 , 2 } + G _ { 0 , 4 } , } \\ { G _ { 3 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } G _ { 2 , 0 } + G _ { 0 , 2 } , } \\ { G _ { 4 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } G _ { 4 , 0 } + \frac { 3 } { 2 } G _ { 2 , 2 } + G _ { 0 , 4 } , } \\ { G _ { 5 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } G _ { 4 , 0 } + G _ { 2 , 2 } + G _ { 0 , 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta ( t ) = \frac { | | \hat { \mathbf { j } } ( t ) - \mathbf { j } ( t ) | | _ { 2 } } { \langle | | \mathbf { j } ( t ) | | _ { 2 } \rangle _ { [ t _ { 0 } : \Delta _ { t } : t _ { q } ] } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \hat { h } _ { 0 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { h } _ { - 1 } + \nabla \hat { h } _ { 1 } \right] } & { { } = } & { 0 } \\ { \partial _ { t } \hat { h } _ { 1 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { h } _ { 0 } + \nabla \hat { h } _ { 2 } \right] } & { { } = } & { - A \, \pi \Gamma \left[ \hat { h } _ { 2 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { h } _ { 0 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ { \partial _ { t } \hat { h } _ { 2 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { h } _ { 1 } + \nabla \hat { h } _ { 3 } \right] } & { { } = } & { - 2 A \, \pi \Gamma \left[ \hat { h } _ { 3 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { h } _ { 1 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \end{array}
V _ { \mathrm { a c } } / I = h \times \left[ - 3 . 8 \pm 0 . 0 7 _ { \mathrm { s t a t } } \left( ^ { + 1 . 1 } _ { - 1 . 6 } \right) _ { \mathrm { s y s } } \right] ~ \mathrm { H z / \frac { W } { c m ^ { 2 } } } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { a n d } \operatorname { t r u e } \operatorname { f a l s e } } & { = ( \lambda p . \lambda q . p \ q \ p ) \ \operatorname { t r u e } \ \operatorname { f a l s e } = \operatorname { t r u e } \operatorname { f a l s e } \operatorname { t r u e } = ( \lambda a . \lambda b . a ) \operatorname { f a l s e } \operatorname { t r u e } = \operatorname { f a l s e } } \\ { \operatorname { o r } \operatorname { t r u e } \operatorname { f a l s e } } & { = ( \lambda p . \lambda q . p \ p \ q ) \ ( \lambda a . \lambda b . a ) \ ( \lambda a . \lambda b . b ) = ( \lambda a . \lambda b . a ) \ ( \lambda a . \lambda b . a ) \ ( \lambda a . \lambda b . b ) = ( \lambda a . \lambda b . a ) = \operatorname { t r u e } } \\ { \operatorname { n o t } _ { 1 } \ \operatorname { t r u e } } & { = ( \lambda p . \lambda a . \lambda b . p \ b \ a ) ( \lambda a . \lambda b . a ) = \lambda a . \lambda b . ( \lambda a . \lambda b . a ) \ b \ a = \lambda a . \lambda b . ( \lambda c . b ) \ a = \lambda a . \lambda b . b = \operatorname { f a l s e } } \\ { \operatorname { n o t } _ { 2 } \ \operatorname { t r u e } } & { = ( \lambda p . p \ ( \lambda a . \lambda b . b ) ( \lambda a . \lambda b . a ) ) ( \lambda a . \lambda b . a ) = ( \lambda a . \lambda b . a ) ( \lambda a . \lambda b . b ) ( \lambda a . \lambda b . a ) = ( \lambda b . ( \lambda a . \lambda b . b ) ) \ ( \lambda a . \lambda b . a ) = \lambda a . \lambda b . b = \operatorname { f a l s e } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { c _ { 1 } = - \frac { 2 R } { \xi J _ { 0 } ( \xi ) } ~ , } & { { } } & { c _ { 2 } = R ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 2 J _ { 1 } ( \xi ) } { \xi J _ { 0 } ( \xi ) } \right) ~ , } \end{array}
{ \cal U } _ { \Delta } ^ { \dagger } \vec { \nabla } \delta \vec { B } ^ { 3 } \, { \cal U } _ { \Delta } = \frac { 2 \pi } { 3 g } \epsilon _ { i j k } \epsilon _ { a b c } c _ { i } ^ { a } c _ { j } ^ { b } c _ { k } ^ { c } \delta ^ { ( 3 ) } ( \vec { \phi } ) \ .
\begin{array} { r } { W _ { { k + 1 } } ^ { w } \mathrm { e } ^ { i \theta _ { { k + 1 } } ^ { w } } = \frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { k + 1 } ^ { w } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } W _ { k } ^ { w } \mathrm { e } ^ { i \theta _ { k } ^ { w } } . } \end{array}
\nu _ { \mathrm { ~ e ~ } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ e ~ } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\begin{array} { r l r } { { \cal N } \left( z \right) } & { \sim } & { \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } \right) \left( 1 - z \right) } \\ { { \cal D } \left( z \right) } & { \sim } & { \alpha \lambda \left( 1 - z \right) ^ { \theta } } \\ { \Phi _ { \infty } \left( z \right) } & { \sim } & { \frac { \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } \right) } { \alpha \lambda } \left( 1 - z \right) ^ { 1 - \theta } \rightarrow 0 } \end{array}
\left. H ( 1 , p , q ) \right| _ { q ^ { 2 } = 0 } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } m } \int _ { 0 } ^ { 1 } d s ( 1 - s ) e ^ { i s ( p \cdot \tilde { q } ) } x ( s ) K _ { 1 } ( x ( s ) ) \, ,
\mathcal { H } ( t ) = \frac { \hbar } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { J _ { 1 2 } ^ { ( n ) } ( t ) } & { 0 } \\ { J _ { 1 2 } ^ { ( n ) } ( t ) } & { 0 } & { J _ { 2 3 } ^ { ( n ) } ( t ) } \\ { 0 } & { J _ { 2 3 } ^ { ( n ) } ( t ) } & { 0 } \end{array} \right) ,
I _ { n } ^ { p } \equiv \frac { \mu _ { 0 } ^ { ( p + 1 ) / 2 } } { n } \, \int _ { \Sigma } d ^ { p + 1 } \sigma \, e ( \, \sigma \, ) \, \left[ \, { \frac { ( \mathrm { d e t } \gamma _ { m n } ) ^ { n / 2 } } { e ( \, \sigma \, ) ^ { n } } } + n - 1 \, \right]
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ v _ { 2 j } W _ { i j k } Q _ { i k } ^ { 1 3 } \right] \simeq \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ v _ { 2 j } \frac { \partial Q _ { i k } ^ { 1 3 } } { \partial W _ { i j k } } \right] = - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ v _ { 2 j } ^ { 2 } Q _ { i i } ^ { 1 1 } Q _ { k k } ^ { 3 3 } \right] \xrightarrow [ n \to \infty ] - q _ { 1 } ( z ) q _ { 3 } ( z ) } \end{array}
e ^ { i \Gamma _ { C } [ \vec { \varphi } ] } = \langle T _ { C } \mathrm { e x p } \left[ \frac { i } { \delta } \int _ { C } \left\{ { \cal L } ^ { \prime } ( \vec { \phi } ( x ) + \vec { \varphi } ( x ) ) - \frac { \delta \Gamma _ { C } [ \vec { \varphi } ] } { \delta \vec { \varphi } ( x ) } \cdot \vec { \phi } ( x ) \right\} \right] \rangle .
\begin{array} { r l r } { I ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } ; A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | \mathbb { Q } ) } & { = } & { H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) + H ( A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | \mathbb { Q } ) - H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | \mathbb { Q } ) } \\ & { \overset { ( ) } { \geq } } & { 2 H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) - ( \bar { \alpha } + \epsilon ) L } \end{array}
\mu _ { ( N + 2 ) } = \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \perp } \left( \hat { x } \hat { x } + \hat { y } \hat { y } \right) + \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \parallel } \hat { z } \hat { z }
\begin{array} { r } { \frac { \sqrt { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle _ { n } - \langle C _ { P r } \rangle _ { n } ^ { 2 } } } { c \frac { d \langle C _ { P r } \rangle _ { n } } { d c } } = } \\ { \frac { C * ( k c T ) ^ { n + 2 } } { k c ^ { n } } \sqrt { \frac { 4 ! } { ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 4 ) } - \frac { 4 ! * 4 ! ( k c T ) ^ { 4 } } { ( n + 1 ) ^ { 2 } ( n + 2 ) ^ { 2 } ( n + 3 ) ^ { 2 } ( n + 4 ) ^ { 2 } } } * } \\ { \frac { ( k c ) ^ { n } ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) } { 4 * 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 4 } } } \\ { = \sqrt { \frac { 4 ! } { ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 4 ) } - \frac { 4 ! * 4 ! ( k c T ) ^ { 4 } } { ( n + 1 ) ^ { 2 } ( n + 2 ) ^ { 2 } ( n + 3 ) ^ { 2 } ( n + 4 ) ^ { 2 } } } * \frac { ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) } { 4 * 4 ! ( k c T ) ^ { 2 } } } \\ { = \sqrt { \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } ( n + 2 ) ^ { 2 } ( n + 3 ) ^ { 2 } ( n + 4 ) ^ { 2 } } { 4 ! ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 4 ) } - ( k c T ) ^ { 4 } } * \frac { 1 } { 4 ( k c T ) ^ { 2 } } } \\ { = \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } ( n + 2 ) ^ { 2 } ( n + 3 ) ^ { 2 } ( n + 4 ) ^ { 2 } } { 4 ! ( k c T ) ^ { 4 } ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 4 ) } - 1 } } \\ { = \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \frac { ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ^ { 2 } ( n + 4 ) ^ { 2 } } { 4 ! 4 ( k c T ) ^ { 4 } ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) } - 1 } } \end{array}
J _ { 2 } ( t ) \leq - \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } c _ { f } e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } R _ { 1 } ^ { - 1 } - \tilde { \varepsilon } ( \eta _ { k } ) \right) \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \leq R \} } \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] .
\partial _ { x } \varphi | _ { 0 } = \frac { 2 m _ { 0 } \sqrt { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 1 } } } { \beta ^ { 3 / 2 } } \cos \left( \frac { \beta \varphi ( 0 , t ) } { 2 } - i \alpha \right) \, ,
\begin{array} { r } { G = \{ i : | E _ { i } - \hat { E } _ { 0 } | \leq \frac { L } { 2 } \} , } \\ { B = \{ i : \frac { L } { 2 } \leq | E _ { i } - \hat { E } _ { 0 } | \leq 2 L \} , } \\ { F = \{ i : 2 L \leq | E _ { i } - \hat { E } _ { 0 } | \} . } \end{array}
\Delta _ { \mu \left( A \right) } ^ { \nu } = - \delta _ { \mu } ^ { \nu } \nabla ^ { 2 } + ( 1 - \xi ^ { - 1 } ) \nabla _ { \mu } \nabla ^ { \nu } + q ^ { 2 } \phi _ { c l } ^ { 2 } \delta _ { \mu } ^ { \nu }
\mathrm { { S Q N R } } = 1 0 \log _ { 1 0 } { \frac { \sigma _ { x } ^ { 2 } } { \sigma _ { q } ^ { 2 } } } = 1 0 \log _ { 1 0 } { \frac { ( M \Delta ) ^ { 2 } / 1 2 } { \Delta ^ { 2 } / 1 2 } } = 1 0 \log _ { 1 0 } M ^ { 2 } = 2 0 \log _ { 1 0 } M
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { D \left( \mathbf { a } \right) = \mathbf { A } _ { 1 } \left( \mathbf { a } , t \right) + \underline { { \mathbf { B } } } \left( \mathbf { a } , t \right) \cdot \mathbf { w } ( t ) } \end{array} } \end{array} ,
\ddot { \rho } = \left( \nabla V _ { 2 } - \nabla V _ { 1 } \right) \cdot \ \hat { \mathbf { e } } _ { 1 2 } + \frac { 1 } { \rho } \left( \left| \dot { \mathbf { r } } _ { 2 } - \dot { \mathbf { r } } _ { 1 } \right| ^ { 2 } - \dot { \rho } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \tau _ { x x } } & { : = } & { \Pi + \sigma _ { x x } = - \frac { 4 \mu } { 3 } \left( 1 + \frac { \delta } { 2 \left( 3 + \delta \right) } Z \right) \left( \frac { d v _ { x } } { d x } + \frac { \alpha _ { 0 } } { p } \left\{ \frac { d q _ { x } } { d x } - \frac { q _ { x } } { 2 p \theta } \frac { d \left( p \theta \right) } { d x } \right\} \right) \mathrm { , ~ } } \\ { q _ { x } } & { = } & { - \frac { \mu c _ { p } } { \operatorname* { P r } } \left[ \frac { d \theta } { d x } + \frac { \alpha _ { 0 } } { \rho } \left\{ \frac { d \left( \Pi + \sigma _ { x x } \right) } { d x } - \frac { \Pi + \sigma _ { x x } } { 2 p \theta } \frac { d \left( p \theta \right) } { d x } \right\} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \nabla _ { \mathbf { \overline { { f } } } } \mu _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } } & { { } = } & { - \mathbf { Q } _ { f } ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { - 1 * } \mathbf { Q } _ { q } \frac { \nabla _ { \mathbf { \overline { { q } } } } \mu _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \nabla _ { \mathbf { \overline { { q } } } } \mu _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } } & { { } = } & { \mathbf { Q } _ { q } ^ { - 1 } \left[ 2 \operatorname { R e } \left( \mathbf { H } ^ { * } \mathbf { \mathcal { R } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } \right) + \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { q } } _ { i } - \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { f } \mathbf { \check { f } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { f } } _ { i } \right] , } \end{array}
p _ { \mathrm { M A } } = \frac { \int _ { \mathrm { d i e l } } \vec { E } \cdot \vec { D } d v } { \int _ { \mathrm { A l l } } \vec { E } \cdot \vec { D } d v } \simeq \frac { t _ { \mathrm { M A } } } { \epsilon _ { r } } \frac { \int _ { \mathrm { s u r f } } \epsilon _ { 0 } \left| \vec { E } _ { \mathrm { v a c } } \right| ^ { 2 } d \sigma } { \int _ { \mathrm { A l l } } \vec { E } \cdot \vec { D } d v } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } ( t ) } & { { } = \int _ { \mathcal { D } } \left[ \boldsymbol { Q } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , \theta ) \cdot \mathcal { N } ( \boldsymbol { q } ) + \epsilon \boldsymbol { Q } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , \theta ) \cdot \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } , t ) \right] d \boldsymbol { x } } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { \operatorname * { d e t } \left( \hat { { \cal G } } _ { \parallel } ^ { ( 0 ) } \right) } } = \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname * { d e t } \left( \hat { { \cal G } } _ { \perp } ^ { ( 0 ) } \right) } } = \exp \left( - \beta _ { T } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \rho _ { 0 } ( k ) \Phi ( k ^ { 2 } ; \beta _ { T } , \mu ^ { 2 } ) \right)
N _ { i } = \biggl [ { \frac { 1 } { \Gamma _ { K _ { L } } } } \int _ { i } d m _ { \gamma \gamma } \biggl ( { \frac { d \Gamma } { d m _ { \gamma \gamma } } } \biggr ) N ( K _ { L } ) \biggr ] \mathrm { A c c e p t a n c e } _ { i } + \mathrm { B a c k g r o u n d } _ { i } \; ,
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { ( \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 ) ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \Psi _ { 3 } ( \tau - t ) ^ { T } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { \omega , \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } \star \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( \tau - t ) t ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } d t d \tau } \\ & { \ - \frac { 1 } { \mathtt { N } _ { \alpha } ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Psi _ { 3 } ( 1 - t ) ^ { T } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , \mathtt { N } _ { \alpha } } \star \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( 1 - t ) t ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( t + 1 ) ^ { 2 } = R ( t ) ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 v _ { 0 } \frac { ( 1 - \tilde { \beta } ) R ( t ) ^ { 2 } - R ( t ) R ( t - 1 ) \cos \theta ( t ) } { \sqrt { ( 1 - \tilde { \beta } ) ^ { 2 } R ( t ) ^ { 2 } + R ( t - 1 ) ^ { 2 } - 2 R ( t ) R ( t - 1 ) ( 1 - \tilde { \beta } ) \cos \theta ( t ) } } . } \end{array}
A _ { i } ^ { i n t } ( \nu , t ) \; = \; { \frac { 2 } { \pi } } \; { \mathcal P } \int _ { \nu _ { t h r } } ^ { \nu _ { m a x } } d \nu ^ { \prime } \; { \frac { \nu ^ { \prime } \; { \mathrm I m } _ { s } A _ { i } ( \nu ^ { \prime } , t ) } { \nu ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } } } \; ,
\mathbb { P } ( \| \boldsymbol { G } - \boldsymbol { I } \| _ { 2 } < \hat { \delta } + \epsilon _ { m } ) \ge \underbrace { \mathbb { P } ( \{ \| \mathbb { E } ( \boldsymbol { G } ) - \boldsymbol { I } \| _ { 2 } < \epsilon _ { m } \} ) } _ { : = P _ { 1 } } \underbrace { \mathbb { P } ( \{ \| \boldsymbol { G } - \mathbb { E } ( \boldsymbol { G } ) \| _ { 2 } < \hat { \delta } \} ) } _ { : = P _ { 2 } } .
{ \widetilde { U } } _ { 5 } = { \widetilde { g } } _ { 5 a } { \widetilde { U } } ^ { a } = \phi ^ { 2 } { \frac { c d \tau } { d s } } \left( k A _ { \nu } U ^ { \nu } + U ^ { 5 } \right) = \mathrm { { c o n s t a n t } }
M ^ { \beta } ( 0 ) = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln { \Vert \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \beta \, \right\} .
\widehat { U } ( \xi , \tau ) = \frac { \nu ^ { \prime } } { \pi } \frac { 1 - e ^ { - a \tau } } { a } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { U _ { 0 } ( e ^ { a \tau } \eta ) d \eta } { ( \xi - \eta ) ^ { 2 } + \left( \nu ^ { \prime } \frac { 1 - e ^ { - a \tau } } { a } \right) ^ { 2 } } .