harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \dot { r } = } & { { } } & { \frac { \sigma } { 2 } \left( ( n - 1 ) ^ { \alpha } - ( n - 1 ) ^ { \alpha } r ^ { 2 } \right) \cos { \psi } ; } \\ { \dot { \psi } = } & { { } } & { - \frac { \sigma } { 2 r } \left( ( 2 ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } ) r ^ { 2 } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } \right) \sin { \psi } + n - 2 . } \end{array}
\tilde { H } _ { S S H } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( v c _ { 2 j - 1 } ^ { \dag } c _ { 2 j } + w c _ { 2 j } ^ { \dag } c _ { 2 j + 1 } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) + ( D - C ) n _ { 1 } ,
{ \begin{array} { l l l } & { { \textit { I f } } ( S ( x ) , y , z ) } \\ { = } & { \rho ( P _ { 2 } ^ { 2 } , P _ { 3 } ^ { 4 } ) \; ( S ( x ) , y , z ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } { \textit { I f } } } \\ { = } & { P _ { 3 } ^ { 4 } ( x , { \textit { I f } } ( x , y , z ) , y , z ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( S ( . . . ) , . . . ) } \\ { = } & { y } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } P _ { 3 } ^ { 4 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } = } & { [ t _ { h } ( u ^ { n } ; \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ { = } & { [ t _ { h } ( u ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( u ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ & { - [ t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ { = } & { [ t _ { h } ( u ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ & { + [ t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( u ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ { = } & { : I _ { 4 1 } + I _ { 4 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { i j } } & { = \frac { 2 } { N - m _ { i } } , \qquad } & { \mathrm { i f ~ } i , j \mathrm { ~ a r e ~ i n ~ t h e ~ s a m e ~ p a r t i t i o n } } \\ { \omega _ { i j } } & { = \frac { ( N - 1 ) ( 2 N - m _ { i } - m _ { j } ) } { N ( N - m _ { i } ) ( N - m _ { j } ) } , \qquad } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array}
\tilde { \phi } _ { m } ^ { ( 1 ) } ( t ) = \phi _ { m } ^ { ( 1 ) } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } \vartheta _ { m } Q _ { m } ^ { 2 } ( t ) [ 2 z _ { m } - u - v ] - \frac { \varepsilon ^ { \prime } } { 8 } \, .
\begin{array} { r l } & { \Big ( \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } ( | x _ { i } - z _ { i } | + | y _ { i } - z _ { i } | ) } { | x _ { 3 } - z _ { 3 } | + | y _ { 3 } - z _ { 3 } | } + \frac { | x _ { 3 } - z _ { 3 } | + | y _ { 3 } - z _ { 3 } | } { \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } ( | x _ { i } - z _ { i } | + | y _ { i } - z _ { i } | ) } \Big ) ^ { - \theta } } \\ & { \qquad \sim \Big ( \frac { | x _ { 2 } - z _ { 2 } | + | y _ { 2 } - z _ { 2 } | } { 2 ^ { k ^ { 3 } - k ^ { 1 } } | I ^ { 2 } | } + \frac { 2 ^ { k ^ { 3 } - k ^ { 1 } } | I ^ { 2 } | } { | x _ { 2 } - z _ { 2 } | + | y _ { 2 } - z _ { 2 } | } \Big ) ^ { - \theta } } \\ & { \qquad \lesssim \Big ( \frac { | x _ { 2 } - z _ { 2 } | } { 2 ^ { k ^ { 3 } - k ^ { 1 } } | I ^ { 2 } | } + \frac { 2 ^ { k ^ { 3 } - k ^ { 1 } } | I ^ { 2 } | } { | x _ { 2 } - z _ { 2 } | } \Big ) ^ { - \theta } + \Big ( \frac { | y _ { 2 } - z _ { 2 } | } { 2 ^ { k ^ { 3 } - k ^ { 1 } } | I ^ { 2 } | } + \frac { 2 ^ { k ^ { 3 } - k ^ { 1 } } | I ^ { 2 } | } { | y _ { 2 } - z _ { 2 } | } \Big ) ^ { - \theta } , } \end{array}
G = \frac { \mathbb { E } \left\{ Y _ { R } ^ { \star } \right\} } { Y _ { R } ^ { \star } } = \frac { \mathbb { E } \left\{ \mathbf { h } _ { m } ^ { \mathcal { R } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } \star } - \mathbf { h } _ { m } ^ { \mathcal { I } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } \star } \right\} } { \mathbf { h } _ { m } ^ { \mathcal { R } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } \star } - \mathbf { h } _ { m } ^ { \mathcal { I } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } \star } } ,
\left\langle \Bigl [ J [ \xi _ { 1 } ^ { \prime } ] , J [ \xi _ { 2 } ^ { \prime } ] \Bigr ] \right\rangle = \left\langle i J \Bigl [ [ \xi _ { 1 } ^ { \prime } , \xi _ { 2 } ^ { \prime } ] \Bigr ] + i K [ \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ] \right\rangle ,
( 1 , 2 4 ) ( 2 , 2 3 ) ( 3 , 1 2 ) ( 4 , 1 6 ) ( 5 , 1 8 ) ( 6 , 1 0 ) ( 7 , 2 0 ) ( 8 , 1 4 ) ( 9 , 2 1 ) ( 1 1 , 1 7 ) ( 1 3 , 2 2 ) ( 1 5 , 1 9 )
{ \cal L } _ { I M } = { \frac { m } { 2 } } a _ { \mu } a ^ { \mu } - a _ { \mu } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \partial _ { \nu } A _ { \rho } + { \frac { 1 } { 2 } } A _ { \mu } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \partial _ { \nu } A _ { \rho }
- \tilde { \omega } G _ { \mathrm { R } } + F _ { \mathrm { R } } ^ { \prime } + \frac { 2 } { x } F _ { \mathrm { R } } + \tilde { M } _ { F } ( H G _ { \mathrm { L } } - K F _ { \mathrm { L } } ) = 0 \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { a b } } & { { } = ( a _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + a _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + a _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } ) ( b _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + b _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + b _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } ) } \end{array}
\delta \tilde { W } _ { i m j n } ^ { R } = \operatorname* { l i m } _ { \omega \to 0 } \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k q } \frac { f ( \varepsilon _ { k } ) - f ( \varepsilon _ { q } ) } { \varepsilon _ { k } - \omega - \varepsilon _ { q } - i \eta } v _ { i m q k } ( 2 v _ { j n q k } - v _ { j k q n } ) \right\}
\mathrm { K } _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } = \delta _ { \mu } ^ { \alpha } \gamma _ { \nu } ^ { \beta } - \delta _ { \mu } ^ { \beta } \gamma _ { \nu } ^ { \alpha } - \delta _ { \nu } ^ { \alpha } \gamma _ { \mu } ^ { \beta } + \delta _ { \nu } ^ { \beta } \gamma _ { \mu } ^ { \alpha } .
\begin{array} { r l } { \Delta G } & { = G _ { \mathrm { C O } } + 3 G _ { \mathrm { H _ { 2 } } } - G _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } - G _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } , } \\ { \Delta G _ { 0 } } & { = G _ { \mathrm { C O , 0 } } + 3 G _ { \mathrm { H _ { 2 } , 0 } } - G _ { \mathrm { C H _ { 4 } , 0 } } - G _ { \mathrm { H _ { 2 } O , 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } } & { { } = \hat { \hat { K } } \dot { x } _ { 1 } - K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) , } \\ { \ddot { x } _ { 2 } } & { { } = \hat { \hat { K } } \dot { x } _ { 2 } + K F \big ( { x } _ { 2 } - { x } _ { 1 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { y } ( \vec { r } ^ { \prime } ) = \exp \left\{ \big ( \mu - V ( \vec { r } ^ { \prime } ) \big ) / ( k _ { \mathrm { B } } T ) - y \, \exp \left[ \big ( \mu - V ( \vec { r } ^ { \prime } ) \big ) / ( k _ { \mathrm { B } } T ) \right] \right\} \, , } \end{array}
\hat { S } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } = \frac { g h ^ { 4 } } { 4 5 } ( | j _ { 1 } + k j _ { 2 } | ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) ( | j _ { 1 } + k j _ { 2 } | ^ { 2 } - 1 ) + O ( h ^ { 6 } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } | f ( r _ { 0 } \omega ) | ^ { 2 } d \omega } & { = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \left( f ( r _ { 0 } \omega ) - f ( R \omega ) \right) ^ { 2 } + 2 f ( r _ { 0 } \omega ) f ( R \omega ) - f ^ { 2 } ( R \omega ) \, d \omega } \\ & { \leq \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \left( \int _ { r _ { 0 } } ^ { R } \partial _ { r } f d r \right) ^ { 2 } d \omega + \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \frac 1 2 f ( r _ { 0 } \omega ) ^ { 2 } + 2 f ^ { 2 } ( R \omega ) d \omega } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { x _ { \xi } } ^ { 2 } = \cos ^ { 2 } \alpha \, \sigma _ { x _ { u } } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \alpha \, \sigma _ { x _ { v } } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { x _ { \zeta } } ^ { 2 } = \sin ^ { 2 } \alpha \, \sigma _ { x _ { u } } ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \alpha \, \sigma _ { x _ { v } } ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } } & { = \left( { \frac { 1 } { l } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \psi _ { q 1 } } & { = \left( { \frac { 2 } { l } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cos { \left( { \frac { 2 \pi \ q x } { l } } \right) } } \\ { \psi _ { q 2 } } & { = \left( { \frac { 2 } { l } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sin { \left( { \frac { 2 \pi \ q x } { l } } \right) } } \\ { E _ { q } } & { = { \frac { q ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { 0 } l ^ { 2 } } } } \end{array} }
m _ { c } \frac { d V _ { c } } { d t } = - 6 \pi \eta a V _ { c } - \frac { 1 } { 2 } m _ { f } \frac { d V _ { c } } { d t } - 6 \pi \eta a ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \frac { \frac { d V _ { c } } { d \tau } } { \left[ \pi \nu \left( t - \tau \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } + F _ { a c o u s t i c }
( \lambda _ { 3 , 1 } ^ { \pm } ) ^ { \frac { N } { v } } = ( \lambda _ { 3 , 1 } ^ { \pm } ) ^ { \frac { 1 8 } { 3 } } = ( - \frac { 1 } { 2 } ( 1 + i \sqrt { 3 } ) ) ^ { 6 } = ( \frac { 1 } { 2 } ( 1 - i \sqrt { 3 } ) ) ^ { 6 } = 1
m _ { e } u _ { e 0 } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } n _ { 1 } } { \partial z ^ { 2 } } + m _ { i } \frac { \partial ^ { 2 } n _ { 1 } } { \partial t ^ { 2 } } - \kappa T _ { e } \frac { \partial ^ { 2 } n _ { 1 } } { \partial z ^ { 2 } } = 0 .
\begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } - \theta _ { h } ^ { \ast n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } + \Delta t S _ { h } ( \theta _ { h } ^ { n } , \theta _ { h } ^ { n } ) } \\ { \leq - ( \rho ^ { n - 1 } - \rho ^ { \ast n - 1 } , \theta _ { h } ^ { n } ) + \Delta t \left( S _ { h } ( \rho ^ { n } , \theta _ { h } ^ { n } ) - S _ { h } ( c ^ { n } , \theta _ { h } ^ { n } ) \right) \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } S _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { \delta } \int _ { \{ 0 \leq u ^ { 1 } - u ^ { 2 } \leq \delta \} } | \Phi ( u ^ { 1 } ) - \Phi ( u ^ { 2 } ) | | \nabla ( u ^ { 1 } - u ^ { 2 } ) | \, d x \leq \frac { 1 } { \delta } \int _ { \{ 0 \leq u ^ { 1 } - u ^ { 2 } \leq \delta \} } L _ { \Phi } \delta | \nabla ( u ^ { 1 } - u ^ { 2 } ) | \, d x \to 0 } \end{array}
( \alpha _ { i } \wedge a _ { i } ) \cdot \psi = { \frac { 1 } { 4 } } ( 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 2 } ( \iota ( \alpha _ { i } ) ( a _ { i } \wedge \psi ) - a _ { i } \wedge ( \iota ( \alpha _ { i } ) \psi ) ) = { \frac { 1 } { 2 } } \psi - a _ { i } \wedge ( \iota ( \alpha _ { i } ) \psi ) .
\begin{array} { r l } { H [ \boldsymbol { \phi } ] } & { { } = \left[ \exp \left\{ - i \sum _ { k , j \in \mathcal { T } } \int d t \big [ \phi _ { k j } ( t ) z _ { k j } ( t ) + \underline { { J } } _ { k j } ^ { ( t t ) } x _ { j } ( t ) \hat { f } _ { k } ( t ) \big ] \right\} \right] _ { \underline { { \mathbf { J } } } } } \end{array}
V _ { e f f } = { \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \pi \epsilon _ { 0 } } } ( l n { \frac { r _ { c } + x } { r _ { 0 } } } + { \frac { \epsilon _ { 0 } J _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \pi m Q ^ { 2 } ( r _ { c } + x ) ^ { 2 } } } ) ~ ,
\operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \tilde { \rho } _ { 2 } ( T ) = \frac { \pi ^ { 3 / 2 } } { 2 4 \sqrt { 2 } } \left[ \frac { 1 1 } { 2 } - 3 C + \ln \left( \frac { 3 } { 2 } \pi ^ { 2 } \right) \right] = 1 . 0 6 0 3 6
\begin{array} { r l } { c ^ { 2 } \left| { \mathrm { T r } } [ ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) \right| } & { \leq c ^ { 2 } \left| { \mathrm { T r } } [ | P _ { \gamma } ^ { + } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) P _ { \gamma } ^ { + } ] + { \mathrm { T r } } [ P _ { \gamma } ^ { - } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) P _ { \gamma } ^ { - } ] \right| } \\ & { \leq \| P _ { \gamma } ^ { + } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) P _ { \gamma } ^ { + } \| _ { X _ { c } } + \| P _ { \gamma } ^ { - } \theta ( \gamma ) P _ { \gamma } ^ { - } \| _ { X _ { c } } + \| P _ { \gamma } ^ { - } \gamma P _ { \gamma } ^ { - } \| _ { X _ { c } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { W } } \Theta _ { m } ( \mathbf { x } _ { \alpha } , \mathbf { x } _ { \beta } ; \mathbf { W } _ { t } ) } & { = \Big ( \nabla _ { \mathbf { W } } ^ { 2 } f _ { m } ( \mathbf { x } _ { \alpha } ; \mathbf { W } _ { t } ) \Big ) \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ( \mathbf { x } _ { \beta } ; \mathbf { W } _ { t } ) + \Big ( \nabla _ { \mathbf { W } } ^ { 2 } f _ { m } ( \mathbf { x } _ { \beta } ; \mathbf { W } _ { t } ) \Big ) \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ( \mathbf { x } _ { \alpha } ; \mathbf { W } _ { t } ) . } \end{array}
\mathbf { H Q } \approx \mathbf { H Q } _ { K } = \mathbf { H } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \zeta _ { i } \zeta _ { i } ^ { \mathrm { T } } = \sum _ { i = 1 } ^ { K } ( \mathbf { H } \zeta _ { i } ) \zeta _ { i } ^ { \mathrm { T } } \approx \sum _ { i = 1 } ^ { K } \boldsymbol { \eta } _ { i } \zeta _ { i } ^ { \mathrm { T } }
\begin{array} { r l } { p _ { v } ^ { i } } & { : = \operatorname* { m i n } _ { \tau \in \Omega _ { \Gamma _ { v } \setminus \Lambda } } \mu _ { v } ^ { ( \Lambda , \sigma ) \oplus ( \Gamma _ { v } \setminus \Lambda , \tau ) } ( i ) \quad \forall i \in \{ 1 , . . . , q \} , } \\ { p _ { v } ^ { 0 } } & { : = 1 - \sum _ { i \in [ q ] } p _ { v } ^ { i } . } \end{array}
\operatorname * { d e t } { \bf L } + \mathrm { c . c . } \; , \; ( \mathrm { t r } { \bf L } ) ^ { 3 } + \mathrm { c . c . } \; , \; \mathrm { t r } { \bf L } \; ( \mathrm { t r } { \bf L } ^ { 2 } ) + \mathrm { c . c . } \; .
0 = ( \phi _ { 2 } ^ { \prime } + H _ { 1 } \phi _ { 1 } ) ^ { \prime } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \phi _ { 2 } ( 1 - \phi _ { i } ^ { 2 } - \phi _ { 2 } ^ { 2 } ) - ( i m - H _ { 1 } ) ( \phi _ { 1 } ^ { \prime } - H _ { 1 } \phi _ { 2 } ) - M ^ { 2 } ( \phi _ { 2 } + \sin \beta ) ;
K ^ { ( d ) } ( \theta ) = A ^ { ( d ) } ( \mu ) \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { d ( \lambda ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac { 1 } { d ( \lambda ) } } } \end{array} \right) ,
S _ { f i } ^ { ( 2 ) } = - \int \int d t _ { 1 } d t _ { 2 } \, \theta ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \int d { \bf r _ { 2 } } \, \Psi _ { { \bf p ^ { \prime } } } ^ { ( + ) \, \dagger } ( { \bf r _ { 2 } } ) \, \tau _ { 3 } \, H _ { i n t } ( { \bf r _ { 2 } } , t _ { 2 } ) \, H _ { i n t } ( { \bf r _ { 2 } } , t _ { 1 } ) \, \Psi _ { { \bf p } } ^ { ( + ) } ( { \bf r _ { 2 } } ) \; ,
C _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( \rho \ll 1 ) = \sum _ { n } ^ { } | \gamma v _ { n } | ^ { 2 } \Biggl \{ \delta _ { i j } ^ { \perp } \Bigl [ 1 - f ^ { 2 } ( \zeta ) + ( \varphi ( \varepsilon ) - 2 ) \sin ^ { 2 } \zeta \Bigr ] - e _ { y i } e _ { y j } \Bigl [ f _ { ( + ) } ^ { 2 } ( \zeta ) + f _ { ( - ) } ^ { 2 } ( \zeta ) \Bigr ] \Biggr \} \, ,
\begin{array} { r l r l } & { ( L \phi ) ( t ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } l ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta , } & & { ( K \phi ) ( t ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } k ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta , } \\ & { ( S \phi ) ( t ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } s ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta , } & & { ( R \phi ) ( t ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } r ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta , } \\ & { ( H \phi ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ( x , \mathcal { X } _ { i } ( \lambda t , x ) ) } { | t | } } & { \leq 2 | \lambda | + \frac { \lvert t - \tau ( t , x ) \rvert } { | t | } + \frac { d ( \chi _ { [ i , x ] } ( \tau _ { x } + \lambda \tau ( t , x ) ) , \mathcal { X } _ { i } ( \lambda t , x ) ) } { | t | } } \\ & { = : 2 | \lambda | + \tilde { \mathcal { R } } _ { 1 , x } ^ { \lambda , i } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { f } ^ { \beta } \, \phi _ { a } ^ { \beta } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) = \hat { h } \, \phi _ { a } ^ { \beta } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \, \mathcal { J } _ { i } ^ { \alpha } \, \phi _ { a } ^ { \beta } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \, + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \beta } } \, \left[ \mathcal { J } _ { i } ^ { \beta } - \mathcal { K } _ { i } ^ { \beta } \right] \phi _ { a } ^ { \beta } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \, \left[ \mathcal { L } _ { i , j } ^ { \alpha , \alpha } - \mathcal { O } _ { i , j } ^ { \alpha } \right] \, \phi _ { a } ^ { \beta } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \, + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \beta } } \, \left[ \mathcal { L } _ { i , j } ^ { \alpha , \beta } - \mathcal { Q } _ { i , j } ^ { \alpha , \beta } \right] \, \phi _ { a } ^ { \beta } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \beta } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \alpha } } \, \left[ \mathcal { L } _ { i , j } ^ { \beta , \alpha } - \mathcal { P } _ { i , j } ^ { \beta , \alpha } \right] \, \phi _ { a } ^ { \beta } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \beta } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \beta } } \, \left[ \mathcal { L } _ { i , j } ^ { \beta , \beta } + \mathcal { M } _ { i , j } ^ { \beta } + \mathcal { N } _ { i , j } ^ { \beta } - \mathcal { O } _ { i , j } ^ { \beta } - \mathcal { P } _ { i , j } ^ { \beta , \beta } - \mathcal { Q } _ { i , j } ^ { \beta , \beta } \right] \, \phi _ { a } ^ { \beta } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \mathrm { , } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r } { | ( I - \Pi _ { n } ) Z _ { n } | _ { s _ { 0 } } \overset \le N _ { n } ^ { - ( \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } ) } | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } N _ { n } ^ { - ( \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } ) } \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { x } ( \omega ) } & { \simeq } & { \sum _ { l } \frac { 2 \Gamma k _ { b } T } { m \pi \tau } \frac { \delta t _ { l } } { \left( \omega ^ { 2 } - \omega ( t _ { l } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } } \\ & { \simeq } & { \frac { 2 \Gamma k _ { b } T } { m \pi } \frac { 1 } { 2 \delta \, \omega _ { 0 } } \int _ { w _ { 0 } ( 1 - \delta ) } ^ { \omega _ { 0 } ( 1 + \delta ) } d \bar { \omega } \, \frac { 1 } { \left( \omega ^ { 2 } - \bar { \omega } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } } \end{array}
U = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k < j } \frac { \lambda ^ { 2 } } { | \vec { r } _ { j } - \vec { r } _ { k } | ^ { 2 } } - \psi _ { c } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { c ( \vec { r } _ { j } ) } { \bar { c } } .
3 \hat { \eta } \frac { \partial \hat { h } } { \partial \hat { t } } = \left( \frac { \partial } { \partial \hat { x } } \left[ \hat { m } ( \hat { h } ) \frac { \partial } { \partial \hat { x } } ( \hat { p } ) \right] - 3 \hat { \rho } g ^ { \prime } \hat { h } ^ { 2 } \frac { \partial \hat { h } } { \partial \hat { y } } \right) ^ { 1 / n }
u ^ { \mu } \frac { \partial f \left( \mathbf { x } \right) } { \partial r ^ { \mu } } + \frac { F ^ { \mu } } { M _ { 0 } } \frac { \partial f \left( \mathbf { x } \right) } { \partial u ^ { \mu } } = 0 \left[ 1 + O \left( \varepsilon ^ { d - 1 } \right) \right] ,
{ \cal I } _ { 2 } = \frac { W _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } { M ^ { 2 } } \left[ \frac { M ^ { 2 } } { 2 } \left( M ^ { 2 } - u \right) - u ( k \cdot p ) + \frac { m _ { l } ^ { 2 } } { 4 } \left( k \cdot p - \frac { M ^ { 2 } - u } { 2 } \right) \right]
\operatorname * { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \, ( \, \, 2 \, G ^ { * } ( s ) \, + \, \frac { 1 } { s } \, ) = \, \, \ln \, \eta ( z + i \alpha ) + \ln \, \eta ( - z + i \alpha ) \, \, + C _ { 0 } \, [ 5 p t ]
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ( t ) } & { = 4 - 0 . 5 \sin ( 4 t ) + 0 . 5 t , } \\ { \mu _ { 2 } ( t ) } & { = ( 1 - ( t - 0 . 5 ) ^ { 2 } ) \mathbf 1 ( 0 \leq t < 0 . 4 ~ \mathrm { o r } ~ 0 . 5 \leq t < 0 . 6 ) } \\ & { + ( 3 - 0 . 5 \sin ( 4 t ) ) \mathbf 1 ( 0 . 4 \leq t < 0 . 5 ~ \mathrm { o r } ~ 0 . 6 \leq t \leq 1 ) , } \\ { \mu _ { 3 } ( t ) } & { = 0 . 3 \mathbf 1 ( 0 \leq t < 0 . 3 5 ) + 0 . 7 \mathbf 1 ( 0 . 3 5 \leq t < 0 . 5 5 ) + 0 . 2 \mathbf 1 ( 0 . 5 5 \leq t \leq 1 ) . } \end{array}
I _ { B } ( T ) = \frac { ( 1 - W _ { A } ) I ( 0 ) } { 1 + C _ { B } e ^ { - E _ { n r B } / k _ { B } T } } + \frac { W _ { A } I ( 0 ) C _ { T R } e ^ { - E _ { T R } / k _ { B } T } } { ( 1 + C _ { B } e ^ { - E _ { n r B } / k _ { B } T } ) ( 1 + C _ { A } e ^ { - E _ { n r A } / k _ { B } T } + C _ { T R } e ^ { - E _ { T R } / k _ { B } T } ) }
\mathfrak { u } _ { h } : = ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { P } _ { h } , \widehat { \boldsymbol { u } } _ { h } , \widehat { \boldsymbol { p } } _ { h } ) \in \ensuremath { \mathfrak { U } } _ { h } : \quad b ( \mathfrak { u } _ { h } , \mathfrak { v } ) = L ( \mathfrak { v } ) \quad \forall \mathfrak { v } \in { \mathfrak { T } } ( \ensuremath { \mathfrak { U } } _ { h } )
U ( t ) = \frac { I _ { 0 } } { C _ { + } } \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( \omega s ) \frac { 1 + b e ^ { - s / \tau } } { \rho _ { C } e ^ { - s / \tau } + 1 } \exp \left\{ - \int _ { s } ^ { t } \frac { d x } { \theta ( x ) } \right\} d s .
\begin{array} { r } { e ^ { - \zeta ( g ) } \left( \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { \phi _ { k } ^ { i } } { w } \right) \leq y _ { k } ^ { i } \leq e ^ { \zeta ( g ) } \left( \rho _ { \operatorname* { m a x } } - { \frac { \phi _ { k } ^ { i } } { w } } \right) , } \\ { \forall ( \phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \in T _ { C } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } | \dot { X } ( t ) - \nabla \phi ^ { r } ( X ( t ) ) | ^ { 2 } d t d \pi } } \\ & { \le \int _ { \Omega } | x - y | ^ { 2 } d \pi - \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi ^ { r } | ^ { 2 } } \\ & { + 2 \int _ { B _ { R } } \phi ^ { r } \big ( \frac { \mu ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } - \frac { \lambda ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } - d ( \mu - \lambda ) \big ) } \\ & { + 2 \int _ { \partial B _ { R } } \phi ^ { r } \big ( ( \bar { g } - \bar { f } ) _ { r } - d ( g - f ) \big ) } \\ & { + \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } | \nabla \phi ^ { r } ( X ( t ) ) | ^ { 2 } d t d \pi - \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi ^ { r } | ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c c } { { d R ^ { \left( r + 1 \right) } = 0 } } & { { ; } } & { { r = 0 , 1 \; } } \\ { { d R ^ { \left( r + 1 \right) } - R ^ { \left( r - 1 \right) } H = 0 } } & { { ; } } & { { r = 2 , \ldots , 1 0 } } \end{array} \right. \quad .
( q _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { n * } ) _ { s a t } = \pm 5 \phi ( n _ { e } ) _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } \frac { ( 2 k _ { b } ) ^ { 3 / 2 } } { \sqrt { m _ { p } } } \left( \frac { T _ { i \pm 1 } + T _ { i } } { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { \Delta T _ { i \pm 1 } } { | \Delta T _ { i \pm 1 } | } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \mathcal { E } ( x , t ) ] = \nu \mathbb { E } [ | \nabla _ { j } \mathcal { U } _ { i } \nabla ^ { j } \mathcal { U } ^ { i } | ] = \nu \nabla _ { j } { U } _ { i } \nabla ^ { j } { U } ^ { i } = \epsilon ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , \mathbf { q } } } & { { } = \exp \left( - \sum _ { i } ^ { N _ { \mathrm { e l } } } \sum _ { j } ^ { N } ( 2 Z _ { j } ) ^ { 3 / 4 } u \left( ( 2 Z _ { j } ) ^ { 1 / 4 } | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { q } _ { j } | \right) \right) } \end{array}
{ \cal E } ^ { * } : = \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol { v } | ^ { 2 } + g ( b ^ { 3 } + \frac { h } { 2 } \nu ^ { 3 } ) , \quad { \cal E } : = \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol { v } | ^ { 2 } + g ( b ^ { 3 } + h \nu ^ { 3 } ) .