harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial { \eta } } { \partial t } \right) ^ { N N } = f \left( f ^ { K S } , \partial { f ^ { K S } } / \partial { \eta } , \partial { f ^ { K S } } / \partial { \eta _ { x } } , R \right) } \\ & { \left( \frac { \partial { \eta } } { \partial t } \right) ^ { N N } = f \left( \partial { f ^ { K S } } / \partial { \eta } , \partial { f ^ { K S } } / \partial { \eta _ { x } } , \partial { f ^ { K S } } / \partial { \eta _ { x x } } , R \right) } \\ & { \left( \frac { \partial { \eta } } { \partial t } \right) ^ { N N } = f \left( f _ { j } ^ { K S } , f _ { j - 1 } ^ { K S } , f _ { j + 1 } ^ { K S } , R \right) } \\ & { \left( \frac { \partial { \eta } } { \partial t } \right) ^ { N N } = f \left( f _ { t } ^ { K S } , f _ { t - 1 } ^ { K S } , f _ { t - 2 } ^ { K S } , R \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \underbrace { \left[ \frac { - D _ { \vee } - D _ { \wedge } - 1 + n } { C _ { \wedge } } \right] ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { \wedge } } } } _ { \textrm { l } _ { n } } \leq \vert \vert \phi \vert \vert < \underbrace { \left( \frac { n } { C _ { \vee } } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha _ { \vee } } } } _ { \textrm { u } _ { n } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { L = \frac 1 2 I _ { i } ( \Omega _ { i } ) ^ { 2 } - \frac 1 2 \lambda _ { i j } \left[ R _ { k i } R _ { k j } - \delta _ { i j } \right] - b ( k _ { 2 } R _ { 2 3 } + k _ { 3 } R _ { 3 3 } ) , } \end{array}
{ \cal L } = \bar { \psi } ( x ) \{ i \gamma \cdot \partial + \gamma ^ { \mu } ( { \frac { 1 } { g } } \tau _ { 3 } \rho _ { \mu } ^ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } e \tau _ { 3 } A _ { \mu } + { \frac { 1 } { g } } \omega _ { \mu } + { \frac { 1 } { 6 } } e A _ { \mu } ) \} \psi ( x )
| f | _ { m , k } = \operatorname* { s u p } _ { | p | \leq m } \left( \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \left\{ ( 1 + | x | ) ^ { k } \left| ( \partial ^ { \alpha } f ) ( x ) \right| \right\} \right) , \qquad k , m \in \mathbb { N } .
V _ { \mu \nu , \mathbf { k } } = \frac { V } { 2 } \sum _ { \mathbf { r } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \left( \frac { a } { | \mathbf { r } + ( \mathbf { e } _ { \mu } - \mathbf { e } _ { \nu } ) / 2 | } \right) ^ { 6 } .
\omega ^ { \pm } ( \kappa ) = \omega _ { a } \pm \sqrt { \frac { 2 \pi } { \Phi _ { 2 } } \left( \kappa + \frac { 1 } { 2 } \right) - \frac { i | \log \mathcal { A } | } { \Phi _ { 2 } } } , \quad \kappa \in \mathbb { R }
\begin{array} { r l } & { \Delta u + \kappa ^ { 2 } \varepsilon _ { r } u = 0 \quad \mathrm { i n } \quad \Omega , } \\ & { u = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \partial \Omega \backslash \Gamma , } \\ & { \frac { \partial u } { \partial \mathbf { \nu } } = \mathcal { T } ( u ) - 2 \textsf { i } \beta e ^ { \textsf { i } \alpha x } \quad \mathrm { o n } \quad \Gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { E } ( \mathbf { r } ) } & { = \varphi ^ { E , \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) + \varphi ^ { E , \mathrm { i n c } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \varphi ^ { E , \mathrm { i n c } } ( \mathbf { r } ) } & { = p _ { z } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } a _ { n \ell } ^ { 0 E } J _ { \ell } ( k _ { o } \rho _ { n } ) e ^ { j \ell \theta _ { n } } } \\ { \varphi ^ { E , \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) } & { = p _ { z } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } b _ { n \ell } H _ { \ell } ( k _ { o } \rho _ { n } ) e ^ { j \ell \theta _ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \mu _ { j + 1 } ^ { N } , \mu _ { j + 1 } ) } & { = d ( L _ { j } \mathcal { P } ^ { N } \mu _ { j } ^ { N } , L _ { j } \mathcal { P } \mu _ { j } ) } \\ & { \leq d ( L _ { j } \mathcal { P } ^ { N } \mu _ { j } ^ { N } , L _ { j } \mathcal { P } \mu _ { j } ^ { N } ) + d ( L _ { j } \mathcal { P } \mu _ { j } ^ { N } , L _ { j } \mathcal { P } \mu _ { j } ) . } \end{array}
\psi _ { \pm } ^ { ( a ) } ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \frac { \psi _ { n } ^ { ( a ) } } { u ^ { n } } , } & { \mathrm { r a t i o n a l } } \\ { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \frac { \psi _ { \pm , n } ^ { ( a ) } } { U ^ { \pm n } } , } & { \mathrm { t r i g o n o m e t r i c } } \\ { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \frac { \psi _ { \pm , n } ^ { ( a ) } } { U ^ { \pm n } } = \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \sum _ { \alpha \in \mathbb { Z } _ { \geq 0 } } \frac { \psi _ { \pm , n , \alpha } ^ { ( a ) } } { U ^ { \pm n } } q ^ { \alpha } , } & { \mathrm { e l l i p t i c } } \end{array} \right. .
\tilde { C } _ { a 1 } = \widetilde { C A } + \widetilde { C B } + \widetilde { C C } + \widetilde { C D } , \qquad \tilde { C } _ { b 2 } = \widetilde { A C } + \widetilde { B C } + \widetilde { C C } + \widetilde { D C }
\frac { 1 } { 2 } \hat { x } _ { 2 } ^ { ~ 2 } - \hat { x } _ { 3 } ^ { ~ 2 } \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } } \left( \frac { 2 } { \sigma _ { 0 } } ( 2 + \epsilon N ) + \epsilon \frac { 1 } { 2 } k _ { 0 } \ell ^ { 2 } \right) = 0 .
\left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 4 \Theta _ { \bar { 1 } } \Theta _ { \bar { 2 } } } } \\ { { - 4 \Theta _ { \bar { 1 } } \Theta _ { \bar { 2 } } } } & { { - 3 \Theta _ { \bar { 2 } } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { u } ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial ( \rho _ { 0 } \vec { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { 0 } \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } \right) } & { { } = - \rho _ { 0 } \nabla \left( \alpha _ { 0 } p ^ { \prime } \right) + \rho _ { 0 } b \mathbf { k } - f \mathbf { k } \times \rho _ { 0 } ( \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { g } ) + \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { \sigma } ) , } \\ { \frac { \partial ( \rho _ { 0 } \theta _ { l } ) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho _ { 0 } \mathbf { u } \theta _ { l } \right) } & { { } = - \frac { 1 } { c _ { p m } \Pi } \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { F } _ { R } ) + \rho _ { 0 } w _ { \mathrm { s u b } } \frac { \partial \theta _ { l } } { \partial z } + \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \nabla \cdot \bigl ( \rho _ { 0 } \nu _ { t } \nabla \theta _ { l } \bigr ) , } \\ { \frac { \partial ( \rho _ { 0 } q _ { t } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { u } q _ { t } ) } & { { } = \rho _ { 0 } w _ { \mathrm { s u b } } \frac { \partial q _ { t } } { \partial z } + \frac { 1 } { \mathrm { S c } _ { q _ { t } } } \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \nu _ { t } \nabla q _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( x , y ) \Big | _ { x = J _ { \varepsilon } ( y ) } } & { = \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) + \varepsilon ^ { 2 } P _ { \varepsilon } ( x ) - \varepsilon ^ { 2 } x \, Q ( \varepsilon ^ { 2 } x ) } \\ & { = \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) + \varepsilon ^ { 2 } \left[ x \, Q ( \varepsilon ^ { 2 } x ) - \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \right] - \varepsilon ^ { 2 } x \, Q ( \varepsilon ^ { 2 } x ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int ( \mathrm { d } \vec { p } ) \, f ^ { \prime \prime } \big ( \tilde { A } _ { \mathrm { W } } \big ) } & { { } = \int \mathrm { d } p _ { z } \, \frac { 2 \pi } { ( k _ { \mathrm { B } } T ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } q \, q \, f ^ { \prime \prime } \big ( \tilde { A } _ { \mathrm { W } } \big ) } \end{array}
{ \frac { g _ { \mu \nu } } { k ^ { 2 } } } + ( a - 1 ) { \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \quad \quad \mathrm { w i t h ~ ~ ~ a = \ v a r e p s i l o n ~ \ a l p h a ^ { 2 } ~ . }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { l \geq 1 } \mathbb { E } \left| X _ { s , t } ^ { l ; i } \right| ^ { p } } & { \preceq \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { 2 \rho ^ { \prime } } } } \\ { \operatorname* { s u p } _ { l \geq 1 } \mathbb { E } \left| \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { l ; i } d X _ { r } ^ { l ; j } \right| ^ { p } } & { \preceq \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { \rho ^ { \prime } } } , } \\ { \mathbb { E } \left| X _ { s , t } ^ { l ; i } - X _ { s , t } ^ { m ; i } \right| ^ { p } } & { \preceq \epsilon \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { 2 \rho ^ { \prime } } } } \\ { \mathbb { E } \left| \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { l ; i } d X _ { r } ^ { l ; j } - \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { m ; i } d X _ { r } ^ { m ; j } \right| ^ { p } } & { \preceq \epsilon \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { \rho ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\langle \alpha \right| T \left| \beta \right\rangle = \delta _ { \alpha , \beta } \frac { \mathbf { b } _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 M } \equiv \delta _ { \alpha , \beta } \hbar \Delta _ { \alpha } , } \\ & { \left\langle \alpha \right| V \left| \beta \right\rangle = \left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { \hbar \Omega _ { i j } } { 2 } \; \mathrm { i f } \; \frac { \mathbf { b } _ { \alpha } - \mathbf { b } _ { \beta } } { \hbar } = \mathbf { k } _ { i } - \mathbf { k } _ { j } , i \neq j \in [ 1 . . . 3 ] } \\ & { 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } } & { = a _ { 2 } , \alpha _ { 2 } = a _ { 3 } + a _ { 4 } \theta , \alpha _ { 3 } = a _ { 4 } , \alpha _ { 4 } = a _ { 5 } , \alpha _ { 5 } = a _ { 6 } + a _ { 5 } \theta , } \\ { \beta _ { 1 } } & { = b _ { 3 } + b _ { 4 } \theta + b _ { 5 } \theta ^ { 2 } - a _ { 3 } \theta - a _ { 4 } \theta ^ { 2 } , \beta _ { 2 } = b _ { 4 } + 2 b _ { 5 } \theta - a _ { 4 } \theta , \beta _ { 3 } = b _ { 5 } , \beta _ { 4 } = b _ { 7 } - a _ { 5 } \theta , } \\ { \beta _ { 5 } } & { = b _ { 6 } + b _ { 7 } \theta - a _ { 5 } \theta ^ { 2 } - a _ { 6 } \theta . } \end{array}
s ( \theta , \, \varphi ) = \frac { 3 } { 1 0 2 4 } \sqrt { \frac { 1 3 0 9 } { \pi } } \cos ( 4 \theta ) \sin ^ { 4 } ( \varphi ) \left( 9 9 + 1 5 6 \cos ( 2 \varphi ) + 6 5 \cos ( 4 \varphi ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { Q < } & { { } \; 1 , } \\ { 1 > \mathcal { R } _ { 0 } > } & { { } \; Q ( 1 - 2 \nu Q ) + \sqrt { 4 \nu Q ^ { 3 } \left( \nu Q - 1 + \frac { 1 } { Q } \right) } . } \end{array}
R = \frac { 3 ( \alpha - 1 ) } { ( 3 \alpha - 2 ) ( \alpha - 3 ) } \left[ ( 3 - 5 \alpha ) + \frac { ( \alpha - 1 ) } { 2 } ( 1 + N + K ^ { T } ( K ^ { - 1 } ) _ { T } ^ { T } \, \frac { h _ { 1 2 3 , T } } { h _ { 1 2 3 } } ) \right] .
\frac { d \sigma ^ { t o t } } { d x _ { F } } \left| _ { \Lambda _ { c } ( \overline { { { \Lambda } } } _ { c } ) } \right. = \frac { d \sigma ^ { p f } } { d x _ { F } } + \sigma _ { \Lambda _ { c } } ^ { r e c } \frac { d \sigma ^ { r e c } } { d x _ { F } } \left| _ { \Lambda _ { c } ( \overline { { { \Lambda } } } _ { c } ) } \right.
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { \frac { I _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { I _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { K _ { \mathrm { C } } } { 2 } \left[ \cos \left( \theta _ { 1 } - 3 \theta _ { 2 } \right) + \cos \left( 3 \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\sharp ( { \bf Q } _ { i } \setminus { \bf B } _ { i } ) = t _ { i } , \; \; \sharp ( { \bf Q } _ { i } ^ { { \bf N } } \setminus { \bf B } _ { i } ) = t _ { i } ^ { ( 1 ) } , \: \: \sharp ( { \bf Q } _ { i } ^ { { \bf A } } \setminus { \bf B } _ { i } ) = t _ { i } ^ { ( 2 ) } , \: \: \: t _ { i } = t _ { i } ^ { ( 1 ) } + t _ { i } ^ { ( 2 ) } . \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:
\overline { { \mathcal { F } } } ( \mathcal { A } , b ; \{ \varphi _ { j } \} ) = \left\langle \mathcal { F } ^ { ( N ) } ( \mathcal { A } + \varepsilon _ { \mathcal { A } } , b ; \{ \varphi _ { j } \} ) \right\rangle _ { \{ \varepsilon _ { \mathcal { A } } \} } .
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = \int _ { \partial B } \frac { 1 } { 4 \pi r } \left( \left( \frac { 1 } { c _ { 0 } } \frac { \partial p } { \partial t } + \frac { p } { r } \right) \frac { \mathbf { r } } { r } \cdot \mathbf { n } \right) d \partial B . } \end{array}
{ \cal M } ^ { ( q ) } = \frac { C } { 4 N _ { c } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, \phi ^ { ( q ) } ( x , Q ) \, \mathrm { S p } [ \gamma _ { 5 } ( \rlap / P - m _ { \eta ^ { \prime } } ) T _ { \mathrm { H } } ^ { ( q ) } ] ,
d s _ { 4 } ^ { 2 } = a _ { 4 } ^ { 2 } \left\{ ( 1 + 2 \phi _ { 4 } ) d t ^ { 2 } - \left[ ( 1 - 2 \psi _ { 4 } ) \O _ { i j } + 2 E _ { 4 | i j } + 2 F _ { 4 ( i | j ) } + h _ { 4 i j } \right] d x ^ { i } d x ^ { j } + W _ { 4 i } d t d x ^ { i } \right\} \; .
{ \dot { \gamma } } _ { u } = { \frac { \mathbf { a \cdot u } } { c ^ { 2 } } } \gamma _ { u } ^ { 3 } = { \frac { \mathbf { a \cdot u } } { c ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { \left( 1 - { \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 / 2 } } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ I ~ } } & { { } = - \left\langle \partial _ { c } ^ { 2 } \log \left( p ( x | c ) \right) \right\rangle = - \left\langle \partial _ { c } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \partial _ { \lambda _ { i } } \log \left( p ( x | c ) \right) \right) \frac { \mathrm { d } \lambda _ { i } } { \mathrm { d } c } \right] \right\rangle = } \end{array}
M _ { i , E _ { 0 } } = \frac { ( \frac { \mu _ { S } ( E _ { 0 } ) \rho d } { \sin \theta _ { i n } } + \frac { \mu _ { S } ( E _ { i } ) \rho d } { \sin \theta _ { o u t } } ) } { ( 1 - \exp [ - ( \frac { \mu _ { S } ( E _ { 0 } ) \rho d } { \sin \theta _ { i n } } + \frac { \mu _ { S } ( E _ { i } ) \rho d } { \sin \theta _ { o u t } } ) ] ) } .
{ \cal A } _ { n _ { B } , n _ { H } \ L O } ^ { \mathrm { B V } } \sim ( n _ { B } + n _ { H } ) ! ~ \alpha _ { W } ^ { ( n _ { B } + n _ { H } ) / 2 } ~ \mathrm { e } ^ { - 2 \pi / \alpha _ { W } } ~ \Biggl ( { \frac { \sqrt { \hat { s } } } { n _ { B } \ m _ { W } } } \Biggr ) ^ { n _ { B } } ~ m _ { W } ^ { - ( n _ { B } + n _ { H } ) } .
P ^ { \mathrm { T } } Q P = { \left[ \begin{array} { l l l } { R _ { 1 } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { R _ { k } } \end{array} \right] } \ ( n { \mathrm { ~ e v e n } } ) , \ P ^ { \mathrm { T } } Q P = { \left[ \begin{array} { l l l l } { R _ { 1 } } & & & \\ & { \ddots } & & \\ & & { R _ { k } } & \\ & & & { 1 } \end{array} \right] } \ ( n { \mathrm { ~ o d d } } ) .
\begin{array} { r l } { ( X ^ { n + 1 } ) ^ { [ 1 ] } } & { { } = X ^ { n } + U ^ { n } T _ { L } \left( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) + C T _ { L } \left[ \Delta t - T _ { L } \left( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) \right] + ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) ~ , } \\ { ( U ^ { n + 1 } ) ^ { [ 1 ] } } & { { } = U ^ { n } \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) + C T _ { L } \left[ ( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] + ( I ^ { U } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) . } \end{array}
{ \cal H } = \frac { p _ { x } ^ { 2 } + p _ { y } ^ { 2 } + p _ { z } ^ { 2 } } { 2 \mu } - \Omega ( t ) ( x p _ { y } - y p _ { x } ) + \varepsilon ( r ) - \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } f ( t ) ^ { 2 } \left[ \Delta \alpha ( r ) \frac { x ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \alpha _ { \bot } ( r ) \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { 2 1 } = } & { \int _ { M } { e ^ { - p u } \partial u \wedge \partial _ { J } u \wedge \Big ( \partial _ { J } \partial \Omega ^ { n - 2 } \wedge { \overline { \Omega } } ^ { n } - \partial \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial _ { J } { \overline { \Omega } } ^ { n } + \partial _ { J } \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } + \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial _ { J } \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } } \\ { + } & { \frac { 1 } { p } \int _ { M } { e ^ { - p u } \partial _ { J } u \wedge \Big ( \partial _ { J } \partial \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } + \partial \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial \partial _ { J } { \overline { \Omega } } ^ { n } + \partial \partial _ { J } \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } + \partial \Omega ^ { n - 2 } \wedge \partial _ { J } \partial { \overline { \Omega } } ^ { n } \Big ) } } \\ { \ge } & { - C \int _ { M } { e ^ { - p u } \partial u \wedge \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 1 } \wedge \overline { \Omega } ^ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } ^ { \mathrm { r o t } } = \delta _ { p _ { i } , - p _ { j } } ( 1 + \delta _ { \ell _ { i } 0 } + \delta _ { \ell _ { j } 0 } - 2 \delta _ { \ell _ { i } 0 } \delta _ { \ell _ { j } 0 } ) } & { ( 2 N _ { i } + 1 ) ( 2 N _ { j } + 1 ) \left( \begin{array} { l l l } { N _ { i } } & { 1 } & { N _ { j } } \\ { - \ell _ { i } } & { \ell _ { i } - \ell _ { j } } & { \ell _ { j } } \end{array} \right) ^ { 2 } ( 2 J _ { i } + 1 ) ( 2 J _ { j } + 1 ) \left\{ \begin{array} { l l l } { N _ { j } } & { J _ { j } } & { S } \\ { J _ { i } } & { N _ { i } } & { 1 } \end{array} \right\} ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { L ( x , y ) } \\ & { = } & { h ( x , y ) [ 1 - ( \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r 1 } x ^ { m - ( r - 1 ) } y ^ { k } + \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r 2 } x ^ { m - ( r - 1 ) } y ^ { k - 1 } + . . . + \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r k } x ^ { m - ( r - 1 ) } y ) } \\ & { = } & { \sum _ { r = 0 } ^ { k - 1 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { r } ( i ) x ^ { i } y ^ { r } - \sum _ { s = 2 } ^ { k } [ \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r s } x ^ { m - ( r - 1 ) } y ^ { k - s + 1 } \sum _ { t = 0 } ^ { s - 2 } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { t } ( i ) x ^ { i } y ^ { t } ] } \\ & { = } & { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { r = 0 } ^ { k - 1 } \Psi _ { r } ( i ) x ^ { i } y ^ { r } - \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { s = 2 } ^ { k } \sum _ { t = 0 } ^ { s - 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } c _ { r s } \Psi _ { t } ( i ) x ^ { m - ( r - 1 ) + i } y ^ { k - s + 1 + t } } \\ & { = } & { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { r = 0 } ^ { k - 1 } \Psi _ { r } ( i ) x ^ { i } y ^ { r } - \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { h = 2 } ^ { k } \sum _ { t = 0 } ^ { h - 2 } \sum _ { e = 1 } ^ { n } c _ { e h } \Psi _ { t } ( i ) x ^ { i + m - e + 1 } y ^ { k - h + 1 + t } , } \end{array}
{ { \bf { F } } _ { \mathrm { { i n t } } } } = - G \psi ( { \bf { x } } ) \sum _ { i } { w ( { { \left| { { { \bf { e } } _ { i } } } \right| } ^ { 2 } } ) } \psi ( { \bf { x } } + { { \bf { e } } _ { i } } \Delta t ) { { \bf { e } } _ { i } }
\begin{array} { r l } { \sigma { T ^ { - 1 } } } & { \leq C \sigma R ^ { - 1 } ( | \nabla \phi ( x _ { 1 } ) | + | \nabla \phi ( y _ { 1 } ) | ) + C L \varepsilon ^ { - 2 } h + C L \varepsilon ^ { - 2 } \tau } \\ & { \qquad + C ( | t _ { 1 } - s _ { 1 } - \tau | + | x _ { 1 } - y _ { 1 } | ) \left[ 1 + ( 8 L + 2 \sigma ) 2 \varepsilon ^ { - 2 } | x _ { 1 } - y _ { 1 } | \right] } \\ & { \leq C \sigma R ^ { - 1 } + C L \varepsilon ^ { - 2 } h + C \varepsilon ^ { 2 } M ^ { 2 } L ^ { - 1 } } \end{array}
s \ln ( p ) - t \ln ( q ) = \ln \left( 1 + { \frac { d } { q ^ { t } } } \right) = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m + 1 } { \frac { ( { \frac { d } { q ^ { t } } } ) ^ { m } } { m } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 } { 2 n + 1 } } { \left( { \frac { d } { 2 q ^ { t } + d } } \right) } ^ { 2 n + 1 } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } ) = - \sum _ { j = 1 } ^ { N } } & { \left\{ \beta _ { 1 } ( S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } ) ^ { * } \circ \left[ \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( u _ { j } ^ { { t _ { k _ { \ell } } } + 1 } + \frac { \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } } } { \beta _ { 1 } } \right) - \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right] \right\} , } \\ { \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t _ { k _ { \ell } } } ) = - \sum _ { j = 1 } ^ { N } } & { \Bigg \{ \beta _ { 1 } S _ { j } ^ { \top } ( D _ { \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } } ) ^ { * } \left[ \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } + \frac { \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } } } { \beta _ { 1 } } \right) - \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right] } \\ & { + \beta _ { 2 } \left[ \nabla ^ { \top } \left( v ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } + \frac { y ^ { t _ { k _ { \ell } } } } { \beta _ { 2 } } \right) + \Delta z ^ { t _ { k _ { \ell } } } \right] \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { = \frac { r } { y } \left( \! 1 \! - \! \frac { 2 ^ { \mathcal T } } { \pi } E \left( \frac { \pi } { 2 ^ { \mathcal T } } \Big | \frac { y ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \! \right) \! - \! \left( \! 1 \! - \! \frac { 2 ^ { \mathcal T } } { \pi } \sin \! \frac { \pi } { 2 ^ { \mathcal T } } \! \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , z , t ) } & { = \epsilon c \frac { \cosh k ( z + H ) } { \sinh ( k H ) } \cos ( k x - \omega t ) + \epsilon ^ { 2 } \Omega c \frac { \cosh 2 k ( z + H ) } { \sinh ( 2 k H ) } \cos 2 ( k x - \omega t ) , } \\ { w ( x , z , t ) } & { = \epsilon c \frac { \sinh k ( z + H ) } { \sinh ( k H ) } \sin ( k x - \omega t ) + \epsilon ^ { 2 } \Omega c \frac { \sinh 2 k ( z + H ) } { \sinh ( 2 k H ) } \sin 2 ( k x - \omega t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \operatorname { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] \operatorname { E } [ X _ { 3 } X _ { 4 } ] \operatorname { E } [ X _ { 5 } X _ { 6 } ] + \operatorname { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] \operatorname { E } [ X _ { 3 } X _ { 5 } ] \operatorname { E } [ X _ { 4 } X _ { 6 } ] + \operatorname { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] \operatorname { E } [ X _ { 3 } X _ { 6 } ] \operatorname { E } [ X _ { 4 } X _ { 5 } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \varepsilon } = T _ { \varepsilon } ( R ) : = \operatorname* { s u p } \big \lbrace T \in [ 0 , T _ { \varepsilon } ^ { \ast } [ , \ \ \mathcal { N } _ { m , r } ( f _ { \varepsilon } , \varrho _ { \varepsilon } , u _ { \varepsilon } , T ) \leq R \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \mathrm { h o l d s } \big \rbrace , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { \frac { k _ { 0 } \chi } { 2 \kappa } \beta ^ { 2 } - ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ) } & { \mp \mathrm { i } k _ { z } \beta } \\ { \mp \mathrm { i } k _ { z } \beta } & { \left( 1 + \frac { k _ { 0 } } { 2 \kappa } \chi \right) \beta ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { A _ { x } } \\ { A _ { z } } \end{array} \right) = 0 ,
\Gamma ^ { \mu } \Gamma ^ { \nu _ { 1 } . . . \nu _ { k } } = \Gamma ^ { \mu \nu _ { 1 } . . . \nu _ { k } } - { \frac { 1 } { ( k - 1 ) ! } } \eta ^ { \mu [ \nu _ { 1 } } \Gamma ^ { \nu _ { 2 } . . . \nu _ { k } ] }
H ^ { c } ( \xi _ { a } , \xi _ { b } ) = \frac { \tau ( \tau + \xi _ { a } \, \xi _ { b } ) \left[ \xi _ { a } \, \xi _ { b } ^ { 2 } \, x _ { a } + \tau ( \xi _ { a } x _ { b } + 2 \, \xi _ { b } \, x _ { a } ) \right] } { ( \xi _ { a } \, \xi _ { b } ) ^ { 2 } \, ( \xi _ { a } \, x _ { b } + \xi _ { b } \, x _ { a } ) ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } } & { \int _ { \Omega } \left( { ^ { ^ C } \mathcal { D } _ { 0 ^ { + } } ^ { ^ \alpha } } r ( y , s ) + A r ( y , s ) \right) f ( y , s ) d y d s } \\ & { = \displaystyle \int _ { \Omega } r ( y , T ) \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow T ^ { - } } \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } f ( y , s ) d y - \displaystyle \int _ { \Omega } r ( y , 0 ) \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } f ( y , 0 ) d y } \\ & { \quad + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left( { ^ { ^ { R L } } \mathcal { D } _ { T ^ { - } } ^ { ^ \alpha } } f ( y , s ) + A ^ { * } f ( y , s ) \right) r ( y , s ) d y d s } \\ & { \quad + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \partial \Omega } \left( r ( \varsigma , s ) \frac { \partial f ( \varsigma , s ) } { \partial \nu _ { _ { A ^ { * } } } } - \frac { \partial r ( \varsigma , s ) } { \partial \nu _ { _ { A } } } f ( \varsigma , s ) \right) d \varsigma d s . } \end{array}