harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \delta _ { k } } & { = \Delta _ { i , k } ^ { t } - \Delta _ { i , k - 1 } ^ { t } = \mathbf { x } _ { i , k } ^ { t } - \mathbf { x } _ { i , k - 1 } ^ { t } } \\ & { = - \eta _ { l } \bigl ( \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k - 1 } ^ { t } - \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \frac { 1 } { \lambda } ( \mathbf { x } _ { i , k - 1 } ^ { t } - \mathbf { x } _ { i , 0 } ^ { t } ) \bigr ) = - \eta _ { l } ( \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k - 1 } ^ { t } - \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \frac { 1 } { \lambda } \Delta _ { i , k - 1 } ^ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| g - D _ { 0 } g _ { p } \right| _ { g _ { p } } ^ { 2 } } & { = \left( \frac { p s ^ { - ( p - 1 ) } } { 2 p - 1 } \right) ^ { 2 } \left[ s ^ { - 1 } \phi - ( 2 p - 1 ) D _ { 0 } s ^ { p - 1 } + O ( s ^ { - 1 } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( \frac { p s ^ { - ( p - 1 ) } } { 2 p - 1 } \right) ^ { 2 } \left[ \phi _ { 0 } s _ { 0 } ^ { - p } s ^ { ( p - 1 ) } \left( e ^ { - G _ { \phi _ { 0 } } ( \phi ) } - e ^ { - G _ { \phi _ { 0 } } ( \infty ) } \right) + O ( s ^ { - 1 } ) \right] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { x } \left[ \mathcal { I } _ { i n } ^ { 0 } \right] _ { ( I , J ) } ( t , x ) } & { = e ^ { d t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \sum _ { ( K , L ) } \nabla _ { x } \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) \nabla _ { x } \mathrm { N } _ { ( I , J ) , ( K , L ) } ^ { t ; 0 } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \left[ \mathcal { F } _ { \mid t = 0 } \right] _ { ( K , L ) } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v } \\ & { \quad + e ^ { d t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \sum _ { ( K , L ) } \mathrm { N } _ { ( I , J ) , ( K , L ) } ^ { t ; 0 } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \nabla _ { x } \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) \nabla _ { x } \left[ \mathcal { F } _ { \mid t = 0 } \right] _ { ( K , L ) } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v . } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { s t a t i c } } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 0 } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { a d d e d } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { M } ( \omega ) } & { \widetilde { J } ( \omega ) } \\ { \widetilde { J } ( \omega ) } & { \widetilde { I } ( \omega ) } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } & { = S _ { l o n g } ( t _ { e n d } , m ) , } \\ { \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m = 0 ) d t } & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p _ { l o n g } ( t , m ) d t } \\ & { = Z _ { 1 } ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m = 0 ) d t } \\ { \implies Z _ { 1 } ^ { - 1 } } & { = 1 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \cos 1 0 ^ { \circ } \cdot \cos 5 0 ^ { \circ } \cdot \cos 7 0 ^ { \circ } } & { = { \frac { \sqrt { 3 } } { 8 } } , } \\ { \cos 1 5 ^ { \circ } \cdot \cos 4 5 ^ { \circ } \cdot \cos 7 5 ^ { \circ } } & { = { \frac { \sqrt { 2 } } { 8 } } , } \\ { \cos 1 5 ^ { \circ } \cdot \cos 7 5 ^ { \circ } } & { = { \frac { 1 } { 4 } } . } \end{array} }
\Pi ^ { \left( 2 \right) } \left( \delta \varphi \right) = \frac 1 2 T r \frac 1 { - i \partial _ { \mu } \gamma _ { \mu } + r ^ { 2 } M } r \delta \varphi _ { a } \Gamma _ { a } r \frac 1 { - i \partial _ { \mu } \gamma _ { \mu } + r ^ { 2 } M } r \delta \varphi _ { a } \Gamma _ { a } r
\Delta T = { \frac { 3 } { 1 6 \pi } } { \frac { 1 } { s ^ { 2 } c ^ { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } } } \left[ m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } - { \frac { 2 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } } \log { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } } \right] ,
\begin{array} { r } { \sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } \beta _ { m + 1 } \partial _ { t } ^ { 2 } ( p ^ { m + 1 } ) = \varrho \sum _ { m = 1 } ^ { + \infty } \varrho ^ { m } \beta _ { m + 1 } \partial _ { t } ^ { 2 } ( \tilde { p } ^ { m + 1 } ) = \varrho F ^ { \varrho } ( x , \tilde { p } , \partial _ { t } \tilde { p } , \partial _ { t } ^ { 2 } \tilde { p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 6 } } & { = } & { b \mathrm { ~ } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) \exp \left\{ - \frac { \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} } \\ & { } & { \left[ 2 \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) + \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right] } \end{array}
\times H \left[ \frac { k _ { 1 } ^ { + } + k _ { 2 } ^ { + } } { P _ { 1 } ^ { + } + P _ { 2 } ^ { + } } , \frac { P _ { 1 } ^ { + } - P _ { 2 } ^ { + } } { P _ { 1 } ^ { + } + P _ { 2 } ^ { + } } , ( P _ { 2 } - P _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] \geq 0 \, .
\int _ { 0 } ^ { T } \left< \partial _ { t } u _ { \theta } , \phi \right> _ { ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } , W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) } d t = - \int _ { \Omega _ { T } } M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla \frac { \phi } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t
\begin{array} { r l r } { E [ \operatorname* { m a x } ( c _ { 1 } , c _ { 2 } ) } & { = } & { { \frac { 1 } { 4 } } \operatorname* { m a x } ( 0 , 0 ) + { \frac { 1 } { 4 } } \operatorname* { m a x } ( 0 , 1 ) + { \frac { 1 } { 4 } } \operatorname* { m a x } ( 1 , 0 ) + { \frac { 1 } { 4 } } \operatorname* { m a x } ( 1 , 1 ) } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { 4 } } 0 + { \frac { 1 } { 4 } } 1 + { \frac { 1 } { 4 } } 1 + { \frac { 1 } { 4 } } 1 } \\ & { = } & { { \frac { 3 } { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma ( a n + b ) = \frac { 1 } { a n + b } \Gamma ( a n + b + 1 ) \sim \frac { 1 } { a n + b } \sqrt { 2 \pi ( a n + b ) } \, ( a n + b ) ^ { a n + b } e ^ { - ( a n + b ) } } \\ & { \sim \frac { 1 } { a n } \sqrt { 2 \pi a n } \, ( a n + b ) ^ { a n } ( a n + b ) ^ { b } e ^ { - ( a n + b ) } \sim \frac { 1 } { a n } \sqrt { 2 \pi a n } \, ( a n ) ^ { a n } e ^ { b } ( a n ) ^ { b } e ^ { - ( a n + b ) } } \\ & { \sim \frac { 1 } { a n } \sqrt { 2 \pi a n } \, ( a n ) ^ { a n } ( a n ) ^ { b } e ^ { - a n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi ( \nu ) } & { = } & { \frac { P ^ { + } ( \nu ) - P ^ { - } ( \nu ) } { P ^ { + } ( \nu ) + P ^ { - } ( \nu ) } } \\ & { = } & { \frac { g a } { c ^ { 2 } } \, \frac { \pi \nu L } { c } \, \frac { F \sin \left( \frac { 4 \pi \nu } { c } \, L \right) } { 1 + F \sin ^ { 2 } \left( \frac { 2 \pi \nu } { c } \, L \right) } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \nabla . ( { \boldsymbol { u } } { \boldsymbol { u } } ) } & { { } = - { \nabla } { p } + \frac { 1 } { R e } { \nabla } ^ { 2 } { \boldsymbol { u } } , } \\ { { \nabla } . { \boldsymbol { u } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\int { \frac { \cos a x \, d x } { ( \sin a x ) ( 1 - \cos a x ) } } = - { \frac { 1 } { 4 a } } \cot ^ { 2 } { \frac { a x } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 a } } \ln \left| \tan { \frac { a x } { 2 } } \right| + C
\boldsymbol { \tau } = \frac { 2 } { 3 } k \pmb { I } - \nu _ { t } \left[ \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } + \left( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } \right) ^ { \operatorname { T } } \right] + k \pmb { b } ^ { \bot } .
\begin{array} { r } { \langle \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ B ~ r ~ } } ( t ) \rangle = 0 , \quad \langle \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ B ~ r ~ } } ( t ) \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ B ~ r ~ } } ( t ^ { \prime } ) \rangle = 2 k _ { B } T \mathbf { M } \delta ( t - t ^ { \prime } ) , } \end{array}
{ \Delta } _ { a } = \frac { \gamma ^ { 2 } } { m _ { a _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { 2 } - m _ { a _ { 0 } } ^ { 2 } } \quad \mathrm { { a n d } } \quad { \Delta } _ { K } = \frac { \gamma ^ { 2 } } { m _ { K _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { 2 } - m _ { K _ { 0 } } ^ { 2 } } ,
C _ { n } ( Q ^ { 2 } , g ( \kappa ) , \kappa ) = { \frac { c _ { n } \bigl ( g ^ { 2 } ( Q ) \bigr ) } { Q ^ { d _ { n } } } } \, \biggl [ { \frac { g ^ { 2 } ( Q ) } { g ^ { 2 } ( \kappa ) } } \biggr ] ^ { ( 2 \gamma _ { J } - \gamma _ { n } ) / 2 b } \Bigl \{ 1 + { \cal O } ( g ^ { 2 } ( Q ) ) \Bigr \} \, ,
P _ { t } ( \theta ) = \frac { \theta ^ { \hat { S } _ { t } } ( 1 - \theta ) ^ { \hat { F } _ { t } } P _ { 0 } ( \theta ) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { \hat { S } _ { t } } ( 1 - y ) ^ { \hat { F } _ { t } } P _ { 0 } ( y ) \mathrm { ~ d ~ } y } , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] .
S _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { - \frac { 1 + f ^ { 2 } } { 1 - f ^ { 2 } } } } & { { \frac { 2 f } { 1 - f ^ { 2 } } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - \frac { 2 f } { 1 - f ^ { 2 } } } } & { { \frac { 1 + f ^ { 2 } } { 1 - f ^ { 2 } } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { s _ { 2 } ( f _ { v } ^ { \prime } ( w _ { g } ) ) } & { = s _ { 2 } ( \sum _ { \Tilde { g } \xrightarrow [ ] g } w _ { \Tilde { g } } - \sum _ { \Tilde { g } \xrightarrow [ ] 1 } w _ { \Tilde { g } } + e w _ { \Tilde { 1 } } ) } \\ & { = \sum _ { \Tilde { g } \xrightarrow [ ] g } \sum _ { \Tilde { h } \in G _ { w } } ( r ( \Tilde { g } ) + 1 - a _ { \Tilde { g } ^ { - 1 } , \Tilde { h } } ) \Tilde { h } - \sum _ { \Tilde { g } \xrightarrow [ ] 1 } \sum _ { \Tilde { h } \in G _ { w } } ( r ( \Tilde { g } ) + 1 - a _ { \Tilde { g } ^ { - 1 } , \Tilde { h } } ) \Tilde { h } + e \sum _ { \Tilde { h } \in G _ { w } } ( r ( \Tilde { 1 } ) + 1 - a _ { \Tilde { 1 } , \Tilde { h } } ) \Tilde { h } . } \end{array}
\clubsuit _ { 2 } ( n , n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( ( n + 2 ) ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } + 1 2 ( \lfloor n / 2 \rfloor + 1 ) ^ { 2 } + 8 ) / 2 4 , } & { \mathrm { f o r ~ n ~ d i v i s i b l e ~ b y ~ 3 ~ ; } } \\ { ( ( n + 2 ) ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } + 1 2 ( \lfloor n / 2 \rfloor + 1 ) ^ { 2 } ) / 2 4 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \mu _ { 0 } ^ { \Phi } \vert r ] = \mathbb { E } \Bigg [ \prod _ { i \neq 0 } \Bigg ( 1 - \frac { \eta / F } { 1 + \frac { D _ { i } ^ { \alpha } } { \theta R _ { i } ^ { \alpha \epsilon } r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } } } \Bigg ) \Bigg ] } \\ & { \approx \mathbb { E } \Bigg [ \exp { \Bigg ( \! - \! \lambda _ { \mathrm { s } } \int _ { x \in \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg [ 1 - \bigg ( 1 - \frac { \eta / F } { 1 + \frac { \Vert x \Vert ^ { \alpha } } { \theta W _ { x } r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } } } \bigg ) \bigg ] \mathrm { d } x \Bigg ) } \Bigg ] } \\ & { = \exp { \Bigg ( - \mathbb { E } \bigg [ \int _ { x \in \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } \eta / F \mathrm { d } x } { 1 + \frac { \Vert x \Vert ^ { \alpha } } { \theta W _ { x } r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } } } \bigg ] \Bigg ) } } \\ & { = \exp { \Bigg ( - \lambda _ { \mathrm { s } } \frac { \eta } { F } \pi \mathbb { E } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta W _ { x } r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } \frac { \delta u ^ { \delta - 1 } \mathrm { d } u } { u + \theta W _ { x } r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } } \bigg ] \Bigg ) } } \\ & { = \exp { \Bigg ( - \lambda _ { \mathrm { s } } \frac { \eta } { F } \pi \theta ^ { \delta } \Gamma ( 1 - \delta ) \Gamma ( 1 + \delta ) r ^ { 2 ( 1 - \epsilon ) } \mathbb { E } \big [ W _ { x } ^ { \delta } \big ] \Bigg ) } } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \exp { \Bigg ( - \lambda _ { \mathrm { s } } \frac { \eta } { F } \pi \theta ^ { \delta } \Gamma ( 1 - \delta ) \Gamma ( 1 + \delta ) \frac { \Gamma ( \epsilon + 1 ) } { ( \lambda _ { \mathrm { d } } \pi ) ^ { \epsilon } } r ^ { 2 ( 1 - \epsilon ) } \Bigg ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi _ { 1 } : \Gamma _ { 1 } ( \mathfrak N ) _ { \mathfrak b } \backslash ( F ^ { 2 } \setminus \{ 0 \} ) \rightarrow \mathcal P _ { 1 } ( \mathfrak N ) _ { \mathfrak b } } \\ { \varphi _ { 0 } : \Gamma _ { 0 } ( \mathfrak N ) _ { \mathfrak b } \backslash ( F ^ { 2 } \setminus \{ 0 \} ) \rightarrow \mathcal P _ { 0 } ( \mathfrak N ) _ { \mathfrak b } } \end{array}
{ \cal A } _ { \beta } = \frac { 1 } { 8 { \pi } ^ { 2 } } [ - 2 ( \beta / l ^ { 2 } ) l ^ { - 2 } e \cdot R \cdot e + ( \beta / l ^ { 2 } ) ^ { 2 } R ^ { a b } { \mathrm { \tiny ~ \wedge ~ } } R _ { a b } + 2 ( \beta / l ^ { 2 } ) ^ { 2 } l ^ { - 2 } T \cdot T ] + O [ ( \beta / l ) ^ { - 2 } ) ] .
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } , \nu _ { y } ^ { \varepsilon } ) } & { = W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } , T _ { * } \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) , } \\ { W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } , T _ { * } \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) } & { = W _ { 1 } ( \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } , T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { \star J } } & { = c _ { \phi } \tilde { F } + ( - ) ^ { q + 1 } \ell \, { \star L } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } _ { \psi } } } & { = ( - ) ^ { p + 1 } \tilde { c } _ { \phi } \ell \Xi + ( - ) ^ { p } \ell \, { \star \tilde { J } } , } \\ { \mathrm { d } { \star L } } & { = ( - ) ^ { q } c _ { \phi } \tilde { F } _ { \psi } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } } } & { = \tilde { c } _ { \phi } F , } \\ { \nabla _ { \mu } T ^ { \mu \nu } } & { = ( F \cdot J ) ^ { \nu } + ( \tilde { F } \cdot \tilde { J } ) ^ { \nu } } \\ & { \qquad + ( \ell \, \Xi \cdot L ) ^ { \nu } + ( \tilde { F } _ { \psi } \cdot \tilde { J } _ { \psi } ) ^ { \nu } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A ( z , t ) = F ( z , t ) \, \cos \left( \sqrt { \frac { 6 \beta _ { 2 } } { | \beta _ { 4 } | } } t \right) \, e ^ { - i \beta _ { 0 } z } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad F ( z , t ) = \sqrt { \frac { 8 \beta _ { 2 } } { 3 \gamma t _ { 0 } ^ { 2 } } } \, \mathrm { { s e c h } } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) \, e ^ { i \kappa z } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \kappa = \frac { \beta _ { 2 } } { t _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t } , S ) - ( E ^ { - } ) ^ { 2 } \geq } \\ & { ( 1 - \alpha \rho - \alpha ) ( \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t + 1 } , S ) - ( E ^ { - } ) ^ { 2 } ) + 2 \alpha \mu ( \operatorname { d i s t } ( x _ { t + 1 } , S ) - E ^ { - } ) + ( 1 - \alpha L _ { g } ) \Vert x _ { t } - x _ { t + 1 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 - \alpha \rho - \alpha + \frac { 2 \alpha \mu } { \operatorname { d i s t } ( x _ { t + 1 } , S ) + E ^ { - } } ) \left( \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t + 1 } , S ) - ( E ^ { - } ) ^ { 2 } \right) + ( 1 - \alpha L _ { g } ) \Vert x _ { t } - x _ { t + 1 } \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| M _ { 1 2 } \right| \leq \int _ { \mathbb R } \left| \partial _ { x } ^ { 3 } ( \partial _ { x } w ) ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \ d x \right| \leq C \left( \left\| \partial _ { x } ^ { 4 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| w _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \right\| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A = { } } & { { } I ( r _ { s } ) r _ { s } \cosh ( m r _ { s } ) } \\ { D = { } } & { { } - \frac { e ^ { - m r _ { s } } } { 2 m } \left[ I ( r _ { s } ) ( 1 + m r _ { s } ) + I ^ { \prime } ( r _ { s } ) r _ { s } \right] \, . } \end{array}
\boldsymbol { M } \boldsymbol { F } = \sum _ { \iota = 1 } ^ { 2 ^ { \dim } - 1 } \boldsymbol { S } ^ { \iota } \hat { \boldsymbol { F } } ^ { \iota } , M _ { j i } = \int _ { \Omega _ { c } } l _ { j } l _ { i } d \boldsymbol { \xi } , S _ { j i } ^ { \iota } = \int _ { \Omega _ { c } ^ { \iota } } l _ { j } \hat { l } _ { i } d \boldsymbol { \xi } .
\begin{array} { r l } { \left< X _ { n } ^ { 2 } ( t ) \right> } & { { } = \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { p = 1 } ^ { N } S _ { n m } S _ { n p } \left< \mathcal { X } _ { m } ( t ) \mathcal { X } _ { p } ( t ) \right> } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { I } ^ { p } = \, \mathcal { N } _ { I } ^ { 0 } } & { \oplus \left\{ \bigoplus _ { i \in \mathcal { I } } \nabla \mathcal { E } _ { i } ^ { p + 1 } \right\} \oplus \left\{ \bigoplus _ { j \in \mathcal { J } } \nabla \mathcal { F } _ { j } ^ { p + 1 } \right\} \oplus \nabla \mathcal { C } _ { 1 2 3 4 } ^ { p + 1 } \oplus \left\{ \bigoplus _ { k = 1 } ^ { 3 } \mathcal { V } _ { k } ^ { p } \otimes \mathcal { T } _ { k } \right\} \oplus \left\{ \bigoplus _ { i \in \mathcal { I } } \mathcal { E } _ { i } ^ { p } \otimes \mathcal { T } _ { i } \right\} } \\ & { \oplus \left\{ \bigoplus _ { j \in \mathcal { J } } \mathcal { F } _ { j } ^ { p } \otimes \mathcal { T } _ { j } \right\} \oplus \mathcal { R } _ { * } ^ { p + 1 } \, , \qquad \begin{array} { r l } { \mathcal { I } } & { = \{ ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) \} \, , } \\ { \mathcal { J } } & { = \{ ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 2 , 3 , 4 ) \} } \end{array} \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( x , x _ { \mathrm { i } } , t ) = G _ { 0 } ( x , x _ { \mathrm { i } } , t ) - \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } \, f ( L , x _ { \mathrm { i } } , t ) G _ { 0 } ( x , L , t - t _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } } & { L _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } } \\ & { = \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) f ^ { m } [ d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } ] + \int _ { \Omega } [ L _ { \gamma _ { 2 } } - L _ { g _ { S } ^ { m } } ] ( h _ { 2 } ) f ^ { m } d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } - \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } } \\ & { = \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } - h _ { 1 } ) f ^ { m } [ d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } ] + \int _ { \Omega } [ L _ { \gamma _ { 2 } } - L _ { \gamma _ { 1 } } ] ( h _ { 1 } ) f ^ { m } [ d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } ] } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) f ^ { m } [ d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - d \mu _ { \gamma _ { 1 } } ] + \int _ { \Omega } [ L _ { g _ { S } ^ { m } } - L _ { \gamma _ { 1 } } ] ( h _ { 1 } ) f ^ { m } d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega } [ L _ { \gamma _ { 2 } } - L _ { g _ { S } ^ { m } } ] ( h _ { 2 } ) f ^ { m } d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } } \\ & { = \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } - h _ { 1 } ) f ^ { m } [ d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } ] + \int _ { \Omega } [ L _ { \gamma _ { 2 } } - L _ { \gamma _ { 1 } } ] ( h _ { 1 } ) f ^ { m } [ d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } ] } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) f ^ { m } [ d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - d \mu _ { \gamma _ { 1 } } ] + \int _ { \Omega } [ L _ { \gamma _ { 2 } } - L _ { \gamma _ { 1 } } ] ( h _ { 1 } ) f ^ { m } d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega } [ L _ { \gamma _ { 2 } } - L _ { g _ { S } ^ { m } } ] ( h _ { 2 } - h _ { 1 } ) f ^ { m } d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } ^ { \prime } } & { \triangleq \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { k = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } u _ { i } \: u _ { j } \: p _ { Y | X } ( k | i ) \: [ 1 - p _ { Y | X } ( k | j ) ] } \\ { p _ { 1 } ^ { \prime } } & { \triangleq \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { k = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } u _ { i } \: p _ { Y | X } ( k | i ) \: [ 1 - p _ { Y | X } ( k | i ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \approx 2 r _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { 2 } \Big [ \mathrm { ~ l ~ n ~ } \Big ( \frac { 8 r _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { 0 . 5 b _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } \Big ) - 2 \Big ] = N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { 2 } \times 0 . 3 ~ \mu \mathrm { ~ H ~ } , } \end{array}
A _ { T T } = a _ { T T } \, \frac { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } h _ { 1 } ^ { q } ( x _ { a } , M ^ { 2 } ) h _ { 1 } ^ { \bar { q } } ( x _ { b } , M ^ { 2 } ) + ( a \leftrightarrow b ) } { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } q ( x _ { a } , M ^ { 2 } ) \bar { q } ( x _ { b } , M ^ { 2 } ) + ( a \leftrightarrow b ) } \, ,
A _ { \bar { \psi } } ^ { i } = \frac { B ^ { i } \varrho ^ { 2 } [ 1 - 2 \sum _ { j \neq i } B ^ { j } A _ { \bar { \psi } } ^ { j } ] } { ( 1 + ( B ^ { i } ) ^ { 2 } \varrho ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 2 c _ { 1 } } & { - 2 c _ { 1 } X } \\ { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \langle r ^ { n - 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle } \end{array} \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 2 c _ { 1 } X + 2 } \end{array} \right) \, \left( \frac { c _ { 3 } \Delta { t } } { 2 m } \right) ^ { 2 } \, \langle \beta ^ { n } \beta ^ { n } \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x , y } [ \left| a \middle > \middle < b \right| ] = \delta _ { a b } ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { x } ^ { 2 n } \left| n \middle > \middle < n \right| + N ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ^ { N } ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) ( - \lambda _ { y } ) ^ { a + b } \sum _ { \mathcal { M } } \sum _ { p , q , \{ r _ { i } \} = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { x } ) ^ { p + q + 2 \sum r _ { i } } \times } \\ & { \sum _ { \Phi ^ { \prime } , \Phi ^ { \prime \prime } \in \mathcal { P } } \Gamma ( \mathcal { M } , \Phi ^ { \prime } , \Phi ^ { \prime \prime } ) \left< q r _ { 1 } \ldots r _ { N - 1 } \right| \Phi ^ { \prime } \left( \left| b \right> \left| \mathcal { M } \right> \right) \left( \left< p r _ { 1 } \ldots r _ { N - 1 } \right| \Phi ^ { \prime \prime } \left( \left| a \right> \left| \mathcal { M } \right> \right) \right) ^ { * } \left| p \middle > \middle < q \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tau = } & { - i \left( \frac { G ^ { \prime } ( 0 ) } { G ( 0 ) } - \sum _ { p _ { \ell } \in i \mathbb { R } } \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { p _ { \ell } } \right) } \\ & { + 2 I m \left( \sum _ { z _ { \ell } , R e [ z _ { \ell } ] > 0 } \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { z _ { \ell } } - \sum _ { p _ { \ell } , R e [ p _ { \ell } ] > 0 } \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { p _ { \ell } } \right) } \end{array} } \end{array}